反双曲正弦函数洛必达

反正斜函数求导 y 等于 a， r， c 三 x 用反函数的性质， 他跟 y 等于三 x 互为法人数，所以我们把 x 跟 y 交换 就得到了 五。等于 a， l， c 三 x， 我们对他进行求导，因为他我们都认识。对 x 求导等于一，对外 针对 x 进行求导， y 相当于 y， 相当于一个关于 x 的 函数。 第二天倾倒，首先三个倾倒是 coside， y 外出道就是外得导出，然后我们可以得到，这是我们想要的东西，我们把我们想要的放在一边。 倒数等于分子是一，我们的考三万 好 so 是多少？我们知道三个平方加 cos 平方等于一，所以 cus y 可以看做是 根号下一减三 y 的平方，把它带入进去。为什么要带塞摁呢？是因为 j x 跟塞摁可以替换，要等于 一点开水平方，所以说就求出来了 倒数。反正先还说倒数 是刚往下一级 x 的平方分之一。

正弦函数最值怎么找？一分钟搞定？最值的话，从图像上看，最大值一，最小值负一，他指的 x 横坐标，当 x 等于二分之派加二 k 派。哎，这有一个最大值，下一个在这，他们两个之间的距离呢？二分之派到二分之五也是啊，差了一个周期，所以是 k 乘以一个周期。二派 后面这个 k 数 c， 你 就不要把它忘记了。好，再往下一个是对称轴啊，对称轴的话，会发现在最高点这个位置， 左右两边的图像被对称了，然后在最低点的这个位置。好，这里一点，可以作为一个对称轴啊，这两个地方呢，都可以作为对称轴，所以两个相邻对称轴之间的距离能看到是二分之派到二分之三派，距离差了派，也就是半个周期， 半个就行。所以我们在这里面写的时候呢，从二分之派开始，然后加上啊派，但是有整数的，你可以加一个派，加两个派，或者减一个派，减两个派都可以。所以我们在写对称轴的时候呢， 会写 x 等于二分之派加 k 派， k 属于 z。 好， 还有一个叫做对称中心啊，正弦函数的对称中心呢，都在图向上，要注意这一点，比如说零到零，派到零， 二派动零啊，三派动零，这些地方我们都管啊，叫做一个啊对称中心，所以对称中心纵坐标啊，在这里是零，那作为横坐标呢？从零开始，准确来说我应该是这样，零加上中间的间隔是派，叫整数个派乘以 k 派。 好了啊，这个东西作为他的一个横坐标，那相当写的 k 派到零。 ok 啊，这是整个我们说的正弦函数的一个基本性质， 那你想正弦函数这些性质呢？需要同学们把它记住啊，那考的时候啊，我们在考试当中可能遇到的东西会是他们的综合或者是一些呃，变形。比如说我举一个例子，考一个周期吧，对于周期这么写，对于 x 一 x 二任意的数好了。呃，任取两点之后呢，我说 f x 等于一个三 x， 然后让 f x 一 减去 f x 二绝对值呢？等于一个二啊。这个时候我问，呃， x 一 减 x 二绝对值等于最小值是多少？ ok， 好， 这么一个内容啊，其实题目的意思就是说，我在正弦函数的图像上任意去两点，当他俩的纵坐标差值的绝对值等于二的时候，乘以坐标的 差值的绝对值，相当于距离啊，它的最小值是多少？那你像这个东西，我在想的时候呢， f x 的 最大值一，最小值负一。只有让最大值和最小值做差啊，一减负一的绝对值或者是负一减一的绝对值，我们才能取到这个 啊，其他的都取了。所以说 f x 一 和 x 二一定是有一个最大值，有一个最小值啊。然后呢说 x 一 减 x 二距离的最小值，那就是最近，也就是相邻的一个最大值和一个最小值啊，他俩横着的一个距离。 那我们知道这个东西从图像上能看懂，它是属于大周期的，所以在这呢，最小就应该看。

三分钟带你通透正弦函数定律，正弦函数，我们来看一下左边这个图啊， a、 b、 c a b c 一， a b 二 c 二， a b 三、 c 三，对吧？那么斜边永远是这个， a 到 b， a 到 b 一， b 二、 b 三，这条弦叫斜边，对吧？这一边呢？ b c、 b、 c 一， b 二， c 二，还有 b 三、 c 三角斜边。当我知道角 a， 比如说等于三十度的时候，我们之前学过什么？在这个直角三角形里，比如说 a、 b、 c， 对 吧？对边比斜边是 一半，对吧？一比二的关系。好，那我们写一下，比如说角 a 是 等于三十度，那么对边是 b c 比上 ab 等于一比二，它还等于谁？那么在 a、 b、 c 一 这个三角形对边是哪个？ b c 一 比上 ab， 对 吧？这个是对比斜，同理，那么 b 二 c 二， b 二， c 二比上斜边是 ab 二，对吧？这是对比斜，那么还有什么？ b 三 c 三， b 三 c 三比上 ab 三，对吧？这个也是对比斜边，那么它们的共同点是什么？ 共同点都是对的。这个定角角 a 等于三十度的时候，这个没问题吧？他无论这个对比斜，他是哪个边，对吧？他前提都是这个定角，这个角 a 的 度数是一定的， 对边比斜边都是一比二，对吧？这个也是，那么在 a、 b、 c 里面也是一比二啊。 好，我们下面来引到这个正弦函数当中，那么在左侧这 a、 b、 c 三角形，角 c 是 直角，对吧？在 r、 t 三角形当中，那么当定角是角 f 的 时候，刚才我们研究的是它是三十度，对吧？是一比二的关系，那么对边比斜边是一个定值的时候，我们叫做角 f 的 正弦是 sine f 等于 对边比斜边啊，可以写成塞 a 等于角， a 的 对边比上角， a 的 斜边等于 bc， 比上 ab， 对 边，对吧？比上斜边也就是角阿凡无论对吧 是怎样，他在这， bc 是 在这这个位置或者在哪个位置，只要是这个角阿凡他是一个定角的时候， 他这个角度是确定的，那么对边比斜边，这个比值也是一个定值啊，它的本质就是在 首先啊，前提这个一定要写啊，在哪个哪个，在哪个直角三角形当中，对吧？定角 sine f 等于对边比斜边，然后这个直是定的，角是定的，那么它的这个正弦， 包括我们后面学的这个余弦以及正弦，它的值也是定的啊，正弦它是对边比斜边啊，然后表示的方法有 sin a， sin r， 或者是 sin 三十度，或者是 sin 角 e， 或者是 sin 角 abc 啊，这些的表示方法我们可以看一下，可以注意一下啊。 接着我们来到最后啊，特殊角的时候，这个度数我们可以单独记啊，方便我们后面进行使用和运算啊。比如说当他等于三十度的时候，我们前面说是多少三三十度是等于二分之一， 他是怎么来的？直角三角形对边是一半一二，那他是多少？根号三，所以三三十度等于二分之一，那么三六十度的时候，对边是哪个根号三？斜边是二， 根号三比二，所以 sine 六十度是二分之，根号三啊，这个是六十度。接下来看右边这个是等腰直角三角形四十五度的时候，对吧？写一下，这个是四十五度，两个边相等，一比一比根号二，斜边就是根号二，所以 sine 四十五度是二分之根号二 是怎么来的？对边是一比根号二，然后我们化简成分母是二分之根号二啊，这个是我们需要特殊记的，也就是给你三十三十度，我可以知道二分之一，三十六十度，二分之根号三，对吧？ 三四十五度是二分之根号二，那么反我反推的时候，比如说他的正弦值，我告诉你他的对边比斜边是根号三比二，你要知道他的这个角是六十度。关注我用白话给你讲透数学。

一个视频带你学会正弦函数三性记。高一上学期呢，我们学习了只对逆的函数。呃，在高一下一期我们会学习一个新的函数，叫做三角函数，那三角函数主要包含三个 的正弦函数、余弦函数和正切数。作为一个新的函数，我们在研究，然后呢要去研究它的定域值域单调性、奇偶性、定点坐标的一些函数的基本特征。那对于这个函数来说呢，我们还是一样还是要从这些地方去研究它。 那比如说第一个叫做正弦数，那正弦还是我们在研究的时候第一步呢，我们要去找他的一个。呃，图像，我们叫五点描图法，那在这里面五点描图法 关键的五个点呢是零到零啊，二分之派到一派到负一和二派到零啊，总共是五个点。 把这个图像呢用平滑的曲线给他连上之后啊，可以把他的图像画出来，那在画图的时候你要注意啊，呃，让这个图稍微给它准确一点。这个地方派 派的话，我们知道是等于三点一四，而他的纵坐标呢是一，所以我们在画这个曲线的时候呢，他是一个稍微点一点。有的同学在这里画图的时候可能比较随心所欲啊，他在画的时候，哎，可能画成这个样子 啊，大概的形状是出来了，但是啊，如果要是找图像的焦点坐标的时候，可能会影响我们正常的一个呃，解析啊，那 第二个直域，直域，我们在这里能看到最大值是一，最小值是负一，然后周期啊，周期的话，最小正周期叫二拍，也就是说，比如说从零到零到二拍到零，这个地方我们可以把它叫做一个周期啊，中间的这一段图像， 那你说这个图像老说他的周期是三派，可以吗？啊，也是可以的，他往前往后啊，都是无限循环的。那你说我说他的周期是四派 哎，也是可以啊，所以我这里强调的这个最小正周期啊，是二派，然后基友信，基友信的话是我们在 b q 一 当中学的 七函数关于零斗零中心对称，偶函数关于 y 轴对称，所以在这里能看到正弦函数，它是一个奇函数啊， 单调性啊，包含了单调增区间、单调减区间、单调增区间，我们一般是从负二分之派到负一和二分之派到一啊，这个地方我们管它叫做一个增区间啊，那你想每一个周期其实都会有一个增区间，从二分之三派到 二分之五拍啊，也可以再往前啊，在这里也可以啊，也就是说他会有无数个增区间，所以我们在写的时候呢，会从负二分之派啊开始到二分之派。 但是我一看，从这个负二分之派开始的到下一个增区间啊，负二分之派到二分之三派，隔了一个最小的正周期啊，所以这个地方我应该加上 啊，整数个二派，所以我们在这里加 k 乘以二派，也就是我们常说的叫二 k 派。后面也是一样加上一个 k 乘以二派啊，整理好叫做二 k 派，然后最后呢告诉他 k 属于 c。 好， 这是一个 b 区间， 同样的单调减区间的话，就是另外一部分，那叫二分之派到二分之三派，或者说二分之五派到二分之七派都可以啊，减区间也是类似的，得到分区间和减区间。那有的同学这个地方在写的时候啊，刚开始你学习的时候他会写从这 零到二分之派，说这是一个增去减码，我再写一个二分之三派到二派也是一个增去减码，这样就把一个完整的增去减啊，断成了两份，所以我们写完整增去减的时候会，哎，怎么去写？

题型六，构造正弦函数形当出现 f p x 乘 f x 加上 f x 乘 cos x 的 时候，我们知道它的原函数就是 f x 乘 cos。 当出现 f p x 乘三 x 减 f x 乘括号 x 的 时候，它这个部分可以构造的原函数就是 f x 除三 x 点例，六杠 一定域是在零到二分之派上，根据这个条件特点，所以我们构造的 元函数 g x 应该是等于 f x 乘三 x 好， 此刻对 g x 求导得到的是 f p x 乘三 x 加上 f x 三 x 求导是扩散 x 好， 尤提得它是大于零的，所以 g x 在 零到二分之派 单调递增。再将题目条件当中这个形式进行转换，转到 g 上面去，左侧刚好是 g x 加二分之派， 右侧刚好是 g 六分之派。又因为 g x 在 零到二分之派上单调递增，所以在这里面自变量 x 加二分之派要 大于六分之派，并且每一个部分都要在我们的二分之派里面小于二分之派。 括号里面每个数都介于零到二分之派之间，再结合单调性去掐住，所以 x 最后是大于负，三分之派小于零。 简例六杠二 y 等于 f x 定域是在零到派内，结合左侧式子的特点，所以我们构造的 g x 应该是 f x 除三 x。 对 g x 求导是三 x 平方分之 f p x， 三 x 减去 f x 乘扩散 x。 根据划线部分题目条件等于 x 分 之一减一除以三 x 方，整理得一减 x 除以 x 乘以三 x 方， 那么 x 的 范围是属于零到派。由此我们可以知道，当 x 属于零到一的时候， g 撇 x 分 子分母都是正的， 则 g x 在 零到一是单调递增的第二种情况，当 x 属于一到 pi 的 时候， g p x 分 母部分是正数，分子部分是负数，所以它小于零，则 g x 在 一到 pi 是 单减。本题当中 我们再来看到选项部分， a 选项要分析 f 六分之派和 f 四分之派， 那就是在 g x 当中比较 g 六分之派和 g 四分之派。因为六分之派和四分之派都介于零到一之间，所以 g 六分之派 要小于 g 四分之派。有第一部分的讨论，在零到一上单调递增既化简出来可以得到根号 r f 六分之派小于 f 四分之派 好，所以 a 正确，那依次来。再来看到 b 好， 要出现三分之派和二分之派，那么三分之派、二分之派都比一大，也就是说自变量三分之派小于二分之派同时介于一到 派上，所以距三分之派和距二分之派由一到派上是单调递减，那么距三分之派更大 好化简出来可以得到 f 的 三分之派要大于二分之根号三 f 二分之派，所以 b 选项错误。 c 选项 要比较三分之派和三分之二派同样也介于一到派之间，所以距的三分之派要大于距的三分之二派。代入整理出来是 f 三分之派反而是要大于 f 的 三分之二派， 所以 c 选项错误。倒选项比较的是二分之派和三分之二派，因为 一小于二分之派小于三分之二派小于派，所以在一到派上是单调递减的，所以距二分之派的值要大于距三分之二派的值 好。代入表达式整理出来，二分之根号三 f 的 二分之派是要大于 f 三分之二派，所以倒选项同样错误， 便是六杠一定义域是在零到二分之派上，那么已知关键条件， f x 要大于 f p x 乘以贪婪的 x， x 属于零的二分之派，贪婪的 x 是 正数，那么这个部分我们现在看不出这个处理结构。由此 对贪婪的 x 进行切划弦整理， f x 大 于 f p x， 贪婪的 x 就 换成散 x 除扩散 x， 那 么乘同乘以扩散 x， 扩散 x 是 正数，那么在整理既 扩散 x 乘 f x 减去三 x 乘 f p x 是 要大于零。由这个结构，所以我们知道构造的 函数大 f x 可以 是 f x 除散 x， f p x 求导等于 f p x 散 x 减去 f x 乘扩散 x 除以散 x 方 有这个信息。我们可以知道 f p x 小 零在零到二分之派上，所以 f x 在 定义域零到二分之派上是单调递减。和刚才那道题类似哦，我们同样 a 选项分析，因为六分之派要小于四分之派，它是单调递减，所以 f 的 六分之派要大于 f 的 四分之派。 好，代入原来的表达式，那么既小 f 六分之派除一个 sine 的 六分之派要大于 小 f 四分之派除以三的四分之派，整理出来得到的是 根号二 f 六分之派要大于 f 四分之派，所以 a 选项错误。同理， b 选项我们应该比较的是四分之派和三分之派四分之派小于三分之派，由零到二分之派单调递减，所以大 f 四分之派要大于大 f 三分之派。 和 a 选项类似，代入整理可以得到的是根号六小 f 四分之派要大于两倍的 f 三分之派。好，这是 b 选项。再来看到 c 选项， c 选项当中我们要比较的是三分之五派和六分之派， 十二分之五派要大于六分之派，所以大 f 的 十二分之五派 要小于大 f 六分之派。代入，好，这个我们要算一下哈， 小 f 十二分之五派除以的十二分之五派要小于小 f 六分之派除以三的六分之派， 那么的十二分之五派额外要提一下，虽然它不是特殊角度，但是它可以由我们的特殊角度四分之派和六分之派相加得到， 带进去，那就二分之根号二乘以二分之根号三加上二分之根号二乘以二分之一， 等于四分之根号六加根号二，带入到上式，所以上式可以整理得根号六减根号二。 f 的 十二分之五派要小于两倍的 f 六分之派，所以 c 选项正确， 那么同理来看到多少选项当中，因为十二分之派要小于六分之派， 所以大 f 的 十二分之派要大于大 f 的 六分之派，那么代入 g f 的 十二分之派除以三的十二分之派， 大于 f 的 六分之派除以六分之派。那么在这边特别关注到十二分之派，我们怎么去求它， 大家思考一下，好，它等于三的特殊角度，四分之派减六分之派。拆开我们可以算出来，它是四分之根号六减根号二， 带到对应的式子当中去，所以整理出来倒选项应该是大于的符号，所以倒选项同样错误， 便是六杠二定义为 r f x 是 偶函数。关键来看到这边，这边的话，主要是因为 f x 前面有个系数是三，那么 f p x 旁边配的是三 x， 所以 在这边我们说构造的 g x 应该是 f x 乘三 x 这样的形式特点，但是有三的话，我们构造出来是三 x 的 三次。哈，好，对， g x 求导 f p x 乘以三 x 的 三次求导是三散 x 方，里面求导可散 x， 我们提个三 x 的 平方，所以可以得到的是 f p x 乘以三 x 加上三，括号三 x 乘 f x， 由这边是三 x 的 平方，它肯定是大于等于零的。 题目当中这里是小于零的，所以 g p x 要小于等于零，所以 g x 在 r 上单调递减。好，再来看到已知 f x 是 偶函数， 那么我们来看到按 x 的 三次， 它是一个奇函数， f x 是 偶函数，偶函数乘积函数，所以 g x 在 r 上是奇函数。 再来求 g 六分之派等于 f 六分之派乘以 sine 六分之派的三次， 最后算出来是等于负四分之一。好，下面将所求的部分进行转换。 不等式当中 f x 加二分之派，那么旁边应该配 sin x 加二分之派了。那我们整理一下 sin x 加二分之派是不是等于我们的扩散 x， 所以原式当中整理出来， f x 加二分之派乘以 x 加二分之派的三次要小于四分之一，所以左侧是 g 的 x 加二分之派。四分之一。我们知道 g 六分之派等于负四分之一， 然后 g x 在 r 上是奇函数，所以由此可以得到 g 负六分之派应该是等于四分之一，所以这边可以给它换成 g 负六分之派。因为 g x 在 r 上单调递减，所以 x 加二分之派是要大于负的三分之二派便是六杠三 定义域负二分之派到二分之派右侧当中有一个负 f x， 首先我们要对这个式子进行整理哦， 我们用到的是 r b 角公式，对式子整理移过来之后是 cosine r x 加一乘 f x 加上 sine r x 乘 f p x， 它是要大于零。 扩散 r x 加一，我们对它进行处理，刚好应该是等于两倍的扩散 x 平方乘 f x 加上散 r x 是 两倍的散 x 乘扩散 x 乘 f p x 要大于零。再来看到，因为 x 属于负二分之派到二分之派之间，所以我们知道扩散 x 是 要大于零的，可以同时约掉一个 r 扩散 x， g 扩散 x 乘 f x 加上散 x 乘 f p x 是 要大于零。关键出来这一步， 所以我们设 g x 应该等于 f x 乘散 x， g p x 就 等于 f p x 乘三 x 加上 f x 乘扩散 x 有 划线部分，我们可以知道它是大于零，所以 g x 在 负二分之派到二分之派是单增。那么我们从选项来看一下，在这里面 a 选项当中要和一个数零比较，那我们去看到令 x 等于零的时候，我们知道距零是等于零的好， 所以 a 选项当中我们自变量分别取的是零和六分之派， 零要小于六分之派单调递增，所以距零要小于距六分之派代入的话，那就是既零要小于 f 六分之派乘以散六分之派。 所以我们可以知道 a 选项 b 选项当中 要分析比较的是 f 六分之派和 f 负六分之派，那么我们在这里面可以先把距六分之派和负六分之派六分之派 带进去，是等于二分之一乘一个 f 六分之派是负二分之一乘一个 f 负六分之派 大于负二分之一乘以 f 负六分之派。整理出来之后，所以 b 选项正确， c 选项 我们应该分析的是三分之派要大于四分之派，所以距三分之派要大于距四分之派。那么将 这个式子代入之后，我们最后得到的表达式是根号三 f 三分之派最后要大于根号二 f 四分之派，所以它是错误的。 再来看到否选项否选项当中我们要分析的是 负一和 g 一， g 负一带进去是 f 负一乘一个 sine， 负一 g 一 带进去是 f 一 乘以 sine 一。 那么我们关键是要判断 f 负一和 f 一 的正负型， 那么可以借助距零进行分析，因为我们知道距零是等于零的，所以这边要小于距零，这里要大于距零。 好，那么三负一很显然是我们的负数，所以 f 负一是大于零的。 同样分析这个部分，散一是正数，那么要大于零，所以 f 一 也要大于零， 由此可以推出它的乘积也要大于零，所以倒选项错误，倒选项再次强调，我们要借助中间量距零等于零进行分析。

各位同学大家好，我是研发部老师，最近呢，做了一套农图的高考数学决胜预测的这个四套卷哈，上面呢，有很多题目呢，呃，比较的新颖啊，我们其中挑一道挑几道题目呢，给大家做一下这个录制哈。先我们看一下它的单选择题的第八题， 他说 f x 呢，是一个正弦函数哈，对于一个区间 i， 我 们定义这个区间 i 的 正弦的波动幅啊，就实际上就是最大值和最小值，大家可以看一下定义哈，那么 wi 呢，等于这个 f x 在 这个区间上的最大值，且这个区间上的最小值。那么 下列说法呢？正确的是第一个，他说如果这个正弦波动幅呢，等于二，问你区间 i 的 长度的最小值。好，那么大家要注意，正弦的波动幅等于二，那就相当于 正一和负一啊，大家要注意哈，那么 f 的 最大值得是什么呢？得是一， f 的 最小值呢？得是负一。那么正弦函数最大值最小值之间是什么呀？相差多少呢？相差半个周期 啊，相差半个周期，所以呢，应该是什么？应该是 pi， 所以 a 选项呢，显然是错的啊， a 选项显，显然错的。 b 选项，若区间 i 的 长度呢，大于 pi， 则必有这个正弦波动幅呢，等于 二。那么这个呢，大家要注意哈，大于 pi， 说明它是几个周期啊，它是这个大于半个周期，对吧？那么， 呃，那么大家要注意哈，你看啊，这一段正好是多少呢？这一个啊，我们画一个之间函数，这一段呢，正好是多少呢？这一段呢，正好是 pi， 那 么我在这边上再挑一段， 所以这一段的区间长度啊，大家看一下，这一段的区间长度可就是大于 pi 了， 但是它的它的 omega i 呢，明显是小于二的，因为最大值到最小值之间才等于二，所以这个明显小于二，所以呢， b 是 干嘛的？ b 呢？是错误的 c 选项。如果这个呃 正弦波动幅等于一，那么区间 i 长度的最大值，大家注意了哈，大家看，我们仍然是画一个， 那么它等于一的话，我们大家要知道一可以写成什么？一可以写成是呃一减零或零减负一，这两个是差不多的啊，或者是什么呢？或者是二分之一减负的二分之一， 对不对？那么如果是一减零的话呢？如果是一减零，那么大家注意最小的是什么呢？最小的就是二分之派，如果是二分之一减二分之一的话呢，是不应该是 这个六分之五派到六分之七派，他们就三分之派，所以我们不最大值派，我们先知道什么呢？最小值我们讲的时候讲全面一点哈，最小值应该是什么呢？最小值应该是三分之派，那么最大值是多少呢？最大值的就是什么呢？最大值大家可以看一下， 就是你，你这个地方呢，如果大的话，他肯定要经过这个最高或最低点，所以这个我们就不用考虑了，只考虑一减零或者零减负一。所以呢，他正好占多少呢？正好占半个周期啊，半个周期， 半个周期，对吧？正好占半个周期，不能再大了啊，不能再大了。所以呢，最大值呢？是多少？最大值呢？确实是 pi， 所以呢， c 选项呢，是正确的。 接下来我们看一下 d 选项， d 选项的话呢，若区间 i 的 长度是三分之 pi， 则必有它大于等于二分之一，那么我们知道 c 是 对的情况下的话呢，我们 d 的 话，大家在做的时候倾向性就要注意， d 的 话我们干嘛？我们举反例即可啊， 我们举反例即可啊，举反例怎么办呢？区间长度 i 等于三分之 pi， 比如说我们让 i 等于什？ i 等于什么呢？ i 等于三分之 pi 到三分之二 pi， 那 么这个时候它的最小值呢？又等于什么？又等于 f 三分之 pi 等于二分之根号三 最大值呢？ f 最大值等于 f 二分之 pi 等于一，那么这个时候 omega 就 这个 w i 呢，它就等于 二分之二分之二，减根号三明显小于二分之一的，所以 d 呢，是错误的，大家理解。那么综上呢，这一题呢，选择这个，选择 c 选项啊，那么整张试卷上面呢，其实有很多的这个偏创新一点的题目啊，比如说， 比如说这个集合的话呢，考察的是这个逻数备论啊。第一道题考察的什么呢？第一道题考察的是组合数，然后第七题呢，考察的是什么呢？考察的是直线中的对称性，但是他借助台球这个讲的，其实也比较的这个新颖哈 啊，圆锥线的题目呢，考了这个光学性质啊，前段时间江南时下的卷子也考过光学性质啊。然后这上面，比如说，比如说呃，解三角形的题目呢，考察了共圆啊， 四边形中的这个共圆对角互补的这种概念啊。十六题的这个呃，十六题的这个概率题呢？以分音题作为背景啊。第二问的时候，其实考察的这种概率的这种， 这种计算，啊，概率的计算，我还有一些这个期望的转化，其实我觉得还是可以去给，就是大家如果程度稍微好一点的话，还是可以去做一做啊。好，那么整张卷，整张这个， 呃，卷子呢？我们后面可能还会给大家去进行一些相关题目的这个录制。好吧，那我们今天的视频呢，就给大家讲到这里，感谢大家点赞关注，谢谢大家。

同学们，三角函数的最终点它来了，我们百分之九十的考试题都会围绕正弦型函数给大家出题考察，那么正弦型函数怎么去攻克？大家跟着老师拿开笔记一起上课， ok， 我 们说正弦型函数之前，我们先复习一下正弦函数 y 等于 sine x 啊，这个叫做正弦函数， 那么他是怎么来的呢？他应该是由一个单位员，一个员，一个字典在这转圈，哎，他的纵坐标的记录，大家看纵坐标的记录，上升下降，下降上升，哎，这个正弦函数就会制出来了，对吧？ 那么什么叫正弦型函数呢？大家来跟上。 y 等于 a 倍的 sine omega x 加 f， 哎，这个我们通常给它叫做正弦型函数的一个表达形式，那么这个 a， omega 和 f 是 三个不同的参数，有不同的功能，那么他们究竟怎么去，咱们怎么去理解他们呢？大家跟上老师， 这三个最简单的就是这个 a 啊，这个 a 叫做正负啊，它的考点是最最最简单的，比如说 sine x 长成这样， 那么二倍的三 x 呢？那就是横坐标不要变，纵坐标变成两倍，震动的幅度加强了。大家看，我们学过物理的，大家都知道这个震动啊，大家看有这么震的，也有这么震的，对不对？说震幅的不同大小， 大家只要注意什么呢？大家注意震幅不是 a， 是 a 的 绝对值，是震幅，大家看能明白吧？ a 的 绝对值，也就是说 a 的 a 如果得负二，那么他的这个震动幅度，大家一定要注意啊，比如说 a 得二，是这个长度得二，还是这个长度得二，这个大家一定要注意这个震幅啊， 来，注意是笨了，就是说以这个东西为平衡，哎，这个长度是二，这个长度也是二，正离中间的位置最远是二，最最 下边最远也是二，这个叫做正负。那么通常来说，我们的三角函数正负是多少呢？是一，也就是我们的最大值是一，最小值是负一，这叫正负是一，那么正负是三呢？最大值是三，最小值负三。 ok， 那 么老师给大家画一个图，考察大家一下啊，非常简单，大家来看啊，那么我们来画一个图啊，这个点是负一，这个点是七，请问正负是几？ 比如说老师，那最大的是七呀，正负是七呀，错了，那么很明显一个三角函数被往上平移了，他应该是上下对称的，对不对？那么很明显他现在关于这条线对称了，那么这个总长度是六，那么半拉就是三，正负就是三，来看，能理解吧， 正负是最简单的，老师不多说了，那么这节课的重点我们落在 omega 和 find 上，很多同学对 omega 和 find 是 不理解的，我们把它擦掉， ok， 那 么大家跟上，什么是 omega， 什么是 find 呢？首先我们研究这两件事之前，我们先弄清什么是 x， 大家注意 x， 我 们都要给他灌输一个情景，也也就是说我们很多同学学过物理，我们可以用物理的语言，那么如果没学过物理的同学也能听得明白，非常简单，我们灌输一个情景，一个小点，在这转呐转呐转，那么 x， 我 们可以理解为时间， 就是他转了多久啊，他刚开始在这转了一秒，他跑哪两秒跑哪三秒，跑哪也是横，坐标是一个，其实说白了是 x 轴，我们可以把它理解为时间轴，一秒钟，哪两秒钟，哪三秒钟哪，用这种感觉去想，那么如果 x 大家认为是时间了，大家说欧米克是啥？ 大家注意，我们物理的语言告诉咱们，它叫做角速度啊，大家学过物理圆周运动的都知道它叫角速度就行了。那么我们速度乘时间等于啥呀？ 速度乘时间他不等于长度吗？等于距离啊，对不对？等于他走了多远，大家看能理解吧？那么走了多远是不是我们走的路程啊？那么大家注意翻译叫什么呢？翻译叫做出象位， 哎，这又来了一个词，大家说什么叫象位？很多同学对象位这个词一听就蒙了，什么叫象位啊？大家注意，翻译叫出象位，整体叫做象位。 那么相位说简单点就是单位圆当中的位置，相位就是单位圆当中的位置，那么这个相位就是零， 这个相位就是二分之派，这个相位就是派，这个相位就是二分之三派，那么这个来三十度，这个相位就是六分之派，就是单位圆当中的位置，他的这个点的位置他在哪？那么什么叫出相位？就是他刚开始跑时候在哪啊？刚开始跑他在哪个位置啊？ 叫做出向位，起步的向位，那起步的向位加上他跑了多远呢？的一个长度，是不是等于他最终在哪啊？他随时随着时间的推移，他在哪啊？他的位置在哪啊？向位大家能听懂吗？再说一遍， 他起步在这开始跑，一声枪响跑，跑起来之后，他是不是在随着时间他的位置在变呢？他从这跑的，一会跑到这，跑到这跑，跑到这，对不对？所以说这个叫做位置，这个叫做出位置，这个叫做他跑动的距离来看，能明白吧？速度乘时间 那么好，那么我们理解了这样的一个物理情景之后，我们想如果 omega 大， 那会发生什么现象？那比如说举例，三 x 和三 x 会有什么区别？三 x 长成这样，那么三 x 二 x 呢？大家注意，三 x 是 这么跑的， 三 x 呢？是这么跑的，因为它速度快呀，对不对？所以说它是不是很快，都很短的时间就跑了一圈，所以它图像是不是长这样啊？大家看，很短的时间就跑了一圈，那你同样的时间我能跑两圈，大家看能明白吧？所以说 omega 越大，图像越 密集，这时候很多数学老师讲，纵坐标不变，横坐标缩小啊，欧米扩大二倍，横坐标缩小一半啊，这个道理大家还能明白吧？那么我们再来比较，三 x 和三 x 加六分之派有什么样的一个关系呢？那么三 x 是 这样的啊，老师，简化啊，草图， 那么再加六分之派呢？很多老师讲啊，这叫左加右减，往哪平移啊？可以，这数学的角度，函数的角度可以的，但还可以换一个角度。你从这开始跑，跑一圈，那我从这开始跑啊，六分之派的出将位吗？我跑一圈不回来了吗？所以说六分之派是二分之一吧，所以说我搁这跑啊， 跑到二分之一又回来了，大家看我这个图能理解吗？从零开始跑，时间开始跑，一个周期跑回来了，跑到二分之一这个点了，也从这开始跑来看，上升，下降，下降，上升，再上升一点点回来了， 对不对？所以说从今开始，大家去理解什么叫 omega， 什么叫 five， 一个是起跑点，一个是跑步的速度， ok 吧？跑步速度越大，他用的时间就越少，就越密集。跑步的速度越小， 他跑的就越慢，他就越稀疏，就这个道理。 ok， 老师带大家一起画一个完整的图像，大家看黑板。 ok， 同学们，大家一起来动笔画这个函数的图像，大家可以点个暂停，自己尝试一下。 ok， 老师给大家带着大家去做图，大家一定要学会做图，不会做图做函数等于白给啊。大家来看， 首先我们先用一个单位圆，这个单位圆可太重要了，老师把这个圆画稍微圆一点，哈，有点没画好啊， 这个单位员可太重要了，大家一定不要离开他啊，单位员一切三角函数都是在他身上展开的。 ok， 我 们先看旗袍点，旗袍点在负三分之派，大家找到这个象位， 零负二分之派，负三分之派，是不是在这负三分之派，负六十度这个位置对不对？也就是跟我们的正三百度六分，呃，三分之五派是一个象位对不对？ ok， 那 么这个象位找到了，然后他就开始跑，对不对？ 我们先不用管他啊，这个二是最后去改就行了，我们不用改这个，管这个二，那么从这个点开始跑，我们要画图，大家得跟上。这个点是不是负三分之派对应负二分之根号三呢？我们找到啊，这个是负一， 找到这个负二分之根号三，我们还得找到这个这个，这也是特殊点啊，这也是特殊点，负二分之一的这个点，那么我们从这开始画 往上划，对不对？一个格，两个格上去一个格，两个格上去了，我们把这看成一个格，这看成一个格，对不对？那这有几个格？这是一个，这是一个，这是一个，这是不是三个格啊？对吧？上上上，然后呢？这三个格下来，下下下，然后呢？这三个格下来， 下下下，下到负一了，下到负一了，然后再上一个格，再上一个格。哦， ok， 到这一个周期就画完了，大家看一个周期一共有十二个片段，十二个片段， 我老师故意给大家画细，要不然我直接就是一勾就完事了，但是这一勾大家错过很多细节，大家跟上， 为什么说十二个呢？每一个四分之一就切成三份，每一个四分之一给它切成三份，每个四分之一给它切成三份。大家看，从这开始上上上上下下下下下下上看两个上三个上三个下三个下一个上，大家看能明白吧？这个到负二分之二三，那么我们标注横坐标， 正常来说标注横坐标一个周期，这应该标二派，然后给它切成十二份，除以十二。每个每个段是六分之派。六分之一派，六分之二派。六分之三，六分之五，六分之六六分之七六分之八六分之九，六分之十六分之一，六分之十二二派。但是大家注意这道题，我们的周期还是二派吗？ 不是了，我们的周期应该等于二派，是一个总路程，也是一个圆的总路程，除以我们的速度等于我们走一圈的时间，对不对？ 周期等于二派。表密个这么来的路程除以速度等于时间，那么二派比二也就等于派，也就是他用不了二派就跑一圈，他用派他就跑一圈了，大家看能明白吗？ 派，那么我们把十派拆成十二段，那么这是十二分之一，这是十二分之二派，三，四十二分之 五派，六，七十二分之八派，九，十十二分之十一派，十二派。大家看这个图就完美的画出来了，那么他再问你说，同学让你求六分之派到十二分之十一派上的直域什么什么的，你看图就可以了。 所以说大家这节课一定要学会如何将 omega 和 five 对 应到图像当中。 ok， 下课。

今天我们来看 e p 基础一百二十题的第二题，这个题目说当 x 去零时，这两个部分是等价的，所以我们先列一个等价的定义，也就是厘米特 x 去零两个部分比之极限等于一 x 减去 long x 加上根号下一加 x 平方，然后比上 c x k 方等于一。 那这也是一个已知极限求参数的问题，那我们的方法呢，就是去求这个极限，呃，求极限先判断类型应该是一个零比零型， 处理零比零型的不一定是，我们有三个方法，第一个等价无穷小，第二个泰勒公式，第三个呢就是洛比特法则，等价无穷小，好像不太适用泰勒公式呢，我们暂时并不知道这个 law 这个东西的泰勒展开我们后面会说，那我们就考虑洛比特法则能不能落呢？能落的，对吧？因为它满足洛比特法则的使用条件，零比零，或者无穷比无穷，或者问号比无穷。 第二个分子分母在曲线领域内可导，第三个分子导数在曲线领域内不为零是没有问题的，对吧？那我们就直接落啊， c k x 的 k 减一次方，分子呢，就是一减去，我直接把这个导书写出来，然后我们再解释， 就是就是老往这个东西的导数就是一比上高下，一加 x 方，为什么呢？我们可以来看一下。呃，其实没有什么，就是你别忘了对内涵会求导就可以了，因为这个非常常见，所以呢，我建议大家先把它记住啊，后面我们也会再做一个总结哈，那我们继续呃，我们就能知道怎么样呢 啊，这个极限为一。然后我们说你在计算的过程当中啊，如果你出现了这种分式当中还有分式的情况，你看这是不是分式当中分子还有个分式啊？那我们就考虑对它通个分啊，这相对于小小小的计算技巧吧。我给分子通个分，是不是 根号下一加 x 方，减去一个一比上根号下一加 x 方，然后 c k x 的 k 点一次方。那我们说 在这个计算极限过程当中啊，有非零因子，我们可以把它先算出来，也叫我们的这个优先法则，它作为加减的一部分就不要算哈，它是单独作为一个因子，是一个非零常数，我们是可以把它先算出来的。好，那这样的话就是厘米的 x 去零， c k， x 的 k 减一次方，然后根号下一 加 x 方，减去一个一。好，那这也是一个零比零性，我们可以考虑用一个等加无通宵，对吧？因为这个分子太明显，它是不就是我们这个这个等加无通宵。当 x 取零时， 一加 x alpha 次方减一，是不是等价于 alpha x， 我 们这里把 x 换成 x 方就可以了， alpha 就是 我们的二分之一，大家能理解吧？那这样的话就是厘米 x 去零二分之一， x 的 平方比上 c k， x 的 k 减一次方，这个极限等于一。好， 那首先你得保证分子分母是同接无穷小吧，所以第一个 k 减一应当等于二，然后第二个因为它比值是不是也应该相等？就是 c k， 然后等于二分之一，所以第一个我们解出来 k 应当等于三，第二个我们解出来 c 等于多少，是不等于六分之一？好，所以我们就说清楚了， k 等于三， c 等于六分之一，选择我们的 a 选项，好吧，就我们就说这些， 下面我们再补充一些内容。我们刚才做这个题的时候呢，涉及到了这样一个函数，这个函数呢叫反创取正弦函数，它的名字不太重要，但是这几个考点是比较重要的，我们一一来解释一下。第一个它是记函数，其实这个在高考的时候就有所涉及，为什么呢？来，你看记函数，我们首先先列一个定义，那就等价于证明这个事情， 就证明 f x 加 f x 等于零啊，为什么这样？因为我们对数是比较喜欢加减法的。好，所以你看后面这个就容易看懂，对吧？那这样的话就正出来了，满足计算论定义嘛。好，那第二个呢？这个其实我们也刚刚说过了，就它的导数是一比二，刚才一加 x 方建议大家把它记住，因为你记住了之后，你第三个 这个不定积分，你也把它记住了，因为它就是相对于是个逆过程吧，对吧？你看圈二的这个证明也容易，就是你不要忘了对内涵求导就可以了啊。然后圈三的证明呢？那其实也非常显然了，你圈二知道了之后，你不就反过来吗？你别忘了加 c 就 可以了。这是前三个啊，都比较简单。我们重点来说第四个，就是这个东西的麦克劳力展开是啥呢？是这样一个 式子，就是 x 减六分之 x 三次方，加上小 o x 三次方。嗯，怎么来的呢？两种正法，第一种正法呢，就是我们根据这个题的结论， 呃，根据这个题目我们就容易发现，你看啊，它们两个是等价的，那么我 c 和 k 求出来了，我给它一个项，是不是就能得到这样一个事情啊？它本来是等价，那我给它后面再加上一个小 o x s 方加上一个 pi 诺余项，我是不是就能得到它的一个麦克劳林展开了？ 好，那我们继续再说哈。就是有的同学可能会说，老师你这个稍微马后炮啊，那我万一考试的时候我忘了这个题咋办呢？那我们就来说一个，说一个比较一般的乘法，就是我们对这个 f x 在 x 等于零处做一个它的展开，好，我们给它展开成这样一个形式。那你是不是只需要把 f 零 f 一 撇零， f 两撇零， f 三撇零求出来，我们就能 给它斩到三阶了，大家能理解吧？那我们就分别求吗？那 f 零很显然等于零啊，一看就是零，那 f 一 撇零呢？我们刚刚讲了它的导数，所以说你把它导数一求，你把零带进去不就可以了吗？ f 一 撇零等于一， 那 f 两撇零呢？哎，你可以选择去在 f 一 撇 x 的 基础之上继续求导啊，求完导之后就是这个东西啊，那 f 两撇零就等于零， 把它带入嘛，对吧？这个没有什么技术含量，你也可以直接口算，因为你想 f x 是 g， 求导之后就是偶吧，那再求导是不是还是 g 啊？所以说 f 两撇零显然是零，因为它在 x 等于零是有定义嘛，对吧？所以说这三个就容易求。那 f 三撇零呢？你可以在 f 两撇 x 的 基础之上，你再去求导 啊，你就是再对它求导，然后把零带进去，没有任何问题。那我们为方便起见，也可以用一个定义，是可能比较方便的，那我们就直接列一个导数的定义，那就是 这样一个式子，对吧？大家应该能看懂， f 两撇 x 减 f 两撇零比上 x 减零，这样一个好处就是我可以把这个 x 削掉，你不然的话还得分式求倒，怪麻烦的。好，这样的话，你看他就得到了他，那你把 x 等于零代入，他说就是负一啊，也就说 f 三撇零等于负一。好，那我们回来， f 零等于零， f 一 撇零等于一， f 两撇零等于零， f 三撇零等于 一，但是呢，等于一还是负一来着。哦，等于负一，但是你别忘了这还有个三的结成。哈，别忘了还有个三的结成，所以说来，我们把它 写过来，那是不就是 x 减去六分之一 x 三次方，哎，注意后面还有个小 o x 三次方，对吧？你不然的话，那就不是等号了，那就是等价，对吧？你再加上一个偏多余项。好，那这样的话我们就把这四个结论给说清楚了，都挺重要的啊，希望大家能把这四个结论都掌握。

第三条性质，这条性质挺好，最重要也是大家考试当中特别容易出错的一条性质，叫做单调性。这个函数比我们以往所学的函数都要复杂，大家看他的图像，会发现他的图像是一上一下，对吧？这样上下穿梭的样子，沿着 x 轴再上下穿梭， 所以他的增减镜就非常的复杂，他一会增，一会减，是吧？从这增，然后下来减，然后又增下来再减，所以他的增减变化呢？很复杂啊。好，那咱来观察，来，争取间在途中呢，我们可以在底子那个轴上给他争取间，给他点出来。大家这个图像往左边稍微延伸一点，是不是他的争取间在图中啊？是将这一段最低点到最高点， 这一段就是它的函数的递增的位置。好，那大家先把这两个点的坐标找到右边这个点，我们知道它是多少度，就把咱们图像上的九十度的点是我们的二分之二。好，左边这个点他俩是对称的，那么右边正九十，我们呢就是负，所以从负九十到正九十，这就是函数的一个递增的位置， 能看出来吧？在这大家注意啊，好多写一个增区间，从零开始写，不对，零只是一部分，你得从最低到最高才能叫增，懂了吗？不能只写一部分。好，那他这一段是增，大家再看，总会发现是不是后面还有增，嗯，对不对？你看，比如从这个点到这个点，这里也是增，对不对？大家好，所以他的增区间有多少个？ 无数无数个，对不对？那这些增益啊，最终要写到一起，就写成一个集合，这是几到几？负二分之二到三分之二，对，也就是在负二分之二到正二分之二这段范畴上，它就递增，那除了这一段以外，下一段是几？再问他一下，这个点派这个点是几？二分之三派，它是二百七十度，二百七十度。 那所以大家看看看这个弧度方向，从最低到最低就是间隔多少？从负九十到正二点七就得间隔三百六，是不是？同样最高到最高它也得间隔三百六，这是九十，这个四百五，是不是？所以它间隔多少呢？三百六，二派，没错，所以我们要把这个区间给它加上二 k， 二，加上二派的位置， 右边减一个，加上二 k， 这样就形成了无数个区间，这几个区间都是图中蓝色的，就是咱们的函数的增。比如，当然在写完这个增区间的时候，大家养成个好习惯，别最后拿写完了让人给你扣分了。 我问一下，这个区间当中的 k 是 啥数？ k， 整数、整数和 y， 所以 大家在后面写着 k 属于 z， 属于 z。 然后呢？大家写完这个区间之后，养成个好习惯，这个区间后面画一个向上的箭头，表示它的 x 值在变大的时候， y 也变大，但是增区间画一个向上的箭头 好，那么减区间同样是按照这个结构来出现，那么大家看出来哪是减？从这个点开始到这下来吧，这段是减，然后下一段时候从这开始，然后再减。 ok， 那 也是一样，大家把它的左右两个观点表出来，可以，是不是？所以减区间就是从九十度二分之二开始， 对吧？给他加一个二 k 啊，到几结束呢？来减区间的另一边就从到到哪结束了，二分之三派吧，两百七对不对？二分之三派，二分之三派加上二 a 派啊？正好 k 属于 z， 大家可以划一个向下的箭头， 那么这两个对应的区间就是正弦函数它的减区间，所以第三条性质他会考察我们这个函数的增减性。增减区间比较重要啊。

再来看第四条性质，第四条性质也是大家在上学期学到的一个经典的话叫做基友性。基友性那挣钱包括用软件，包括用这个帮大家自己去画图，包括诱导公式都可以画出来，它是一个关于谁对称的原点吧，就连原点对称的一个经典的基函数，所以它是基友性。当然大家也可以把这个基函数对应的这个诱导公式再写一遍， 就是括号负。二、我们可以把这括号干嘛呀？记函数，大家可以把括号干嘛呀？记下边吧，那就等于负的三。二、这个括号是可以考到三角函数里面的。前面好， 第五条性质和第六条这两条三角函数写的比较多啊，它的第五条性质我们叫做周期性。周期性那这个词其实我们在上一期也听过，但是大家在物理当中有读，物理当中大家学的这个物理当中周期什么周期？ 圆周运动，对吧？哎，包括大家想想咱们地球绕着太阳转这一圈是多少度来，地球绕着太阳转这一圈多少度？一年吧。三百六十五天不是公转吗？自转是二十四小时的，那三百六十五天就是一个单位公转的周期，所以他这一公转之后，太阳的垂直点位置变，就再叫纯重力变， 对不对？所以在咱们竖条体现出来的这个函数，它的图像会出现循环，它就叫周期。那这个循环的单位大家可以怎么看呢？是吧？一、你可以这么看，从最高点到最高点，那一下一上，这就是循环 回到原来的位置，或者是什么呢？从最低点到最低点呢？这也叫一个循环，对不对？再或者是啥呢？从一个零点开始，一上加一下，这也行，能懂吗？哎，只要是它循环的重复的单位都可以。那其实这三个长度如果算完，它是一样的，也都是三百六十， 所以这个函数它的周期就从三百六十一，也就等于二百。答案，我们数学上把它叫更准确，叫做最小正周期啊，那就是二百。 走吧，在这找周期，别找错了。第六条性质也是我们啊考试中的重点，三角形的图像，其实最烦人的就是它的第三条性质和第六条性质。第三条性质，刚才咱们说的是它的什么？增减吧，变化很复杂，这第六条也复杂， 就这个图形，大家仔细看会发现它既是怎么对称，也是中心对称，对不对？大家沿着某一个点旋转来，你自己想想来旋转，明白吧？重合，沿着某一个线对折，你会发现它也重合， 所以它既有轴，还有圆中心，因此它的第六条有它的对称轴，你得找到它的轴在哪，也能判断出它的中心在哪。好，那我问一下。来，咱们先看轴，你们看你们自己画的那个图，告诉我上一个轴在哪， 都是哪些值，是它的轴？来，都有哪些轴？来画一下，是这条线，是它的五，哎，这条多少度？二十二十，二十，二十二十三派，对不对？下一个呢？下一个是这条线，谁呢？二十五派出来五路二十五派。 所以这些图中这些线都是它的轴。那大家观察一下它俩间隔多少呢？来，九十跟二百七之间间隔多少？一百八，这俩间隔呢？也是一百八，对不对？所以它的轴，它的对称轴就可以表示成 x 等于。大家注意轴是不是竖着的， 竖着的线都是 s， 那 就是九十度二分之二，加上一百八的倍数 a， 二逗号 k 属于这个，就是这个函数所有的对称轴也是它的对称轴啊。那么图中的这些个点同样也是它的中心来，比如说原点旋转，一百八就是中心，这个点也是 这点谁呢？一百八就是派，这个点也是二派，所以大家观察他的中心有啥特征，看到没？全是一百八的位数吧？是不是零一百八，二派、三派、四派、五派都有，所以他的中心，大家注意，中心是一个点，我们要写个坐标， k 派逗，零逗号， k 属于谁？这个就是这个函数所有的东西。

大家好，我是小张老师，今天给大家讲一下这一道求极限的题目。好，首先咱们看到这一个题目啊，分析一下， 咱们直接把这个正无穷直接带进来之后，发现了他是无穷大的零次方啊，也就是七种未定式 之一。而且咱们还会看到它其实也是什么密纸函数的形式，常见的处理办法就是， 而且咱们知道这个公式啊， e 和 loin 会相互湮灭掉。 好，来解一下这一道题。减原式等于 好。拿下来之后呢， 好，这里出现了一个比较特别的函数， 罗音 x 加上根号下一加 x 的平方。这一个函数呢，它其实叫做反双曲 正写，它是奇函数， 而且它的 e 间导数呢，就等于根号下 e 加 x 的平方分之一啊。它的图像大致是这个。而且它的反函数呢， y 等于二分之 e 的 x， 减掉 e 的负 x。 这个函数很特别，大家一定要熟记，在考研数学当中还是会经常的遇到。 而且如果说 x 是七零的呀，那么 lowing 的 x 加上更像一加 x 的平方，它有一个等价无穷小公式啊，它是等价 x 的。 好，这个地方咱们就补充到这里。然后咱们接下来呢，看一下这一道题究竟如何解。 好，继续等于这个底数 e 的话，咱们是可以提前写出来的。 好，写成 x 分子挪用的 x 加上更换下一加 x 的平方。显然政务权带进来之后呀， 你会发现这个东西就是无穷蛋，下面分母也是无穷蛋，无穷比无穷心。咱们考 用落笔打法则。好，接下来又继续等。好，上面求导，刚才咱们说过了， 他等于根号下一加二次的平方分之一。下面求到十一啊。最后的结果就等于一的零次方等于一。