济南初中数学试卷有几个题

济南的初三家长们，别再蒙圈了，今天用大白话把这个指标生的这件事给你唠明白， 看完啊，绝对不踩坑，尤其是咱们普通初中的家长，一定要认真听完。首先说指标生到底是啥意思？说白了就是济南的公办高中 拿出招生总计划的不少于百分之六十的招生名额下分给每个初中学校。济南市一共有 一百四十七所初中学校，济南外国语没有指标名额，实际就是一百四十六所。每个初中啊，大概能分到百分之二十到百分之三十的名额，不用去跟全市的孩子及统招的独木桥。那指标生有什么样的优势呢？ 对于普通初中的孩子来说啊，指标升的优势还是比较明显的。录取呢，不看全市的排名，就看孩子在自己学校的名次，哪怕孩子分数比重点高中统招分数线稍微低， 只要是在本校排名靠前，照样能有机会啊！进到重点高中，相当于啊，多了一条校内上岸的捷径。重中之重啊，是报考条件必须得记牢。说了这么多啊，硬性条件少，一样都不行。第一个，填志愿得按孩子学籍来。 第二个，中考的分数得够济南教育局划的最低线，不够线的就无法享受指标资格。第三个，孩子的综合评价 正始必升都得达到 c 级及以上水平，差一门儿都不行。在这里呢，再强调一遍哈，需要同时满足以上三个条件，才有指标生报考资格。 再说说二零二六年济南中考的新规定，现在每个孩子能填三所指标高中，可不能瞎填哈，高中分给咱们初中学校多少名额呢？就从本校选出符合条件的孩子里啊，按分数从高到低录，录满为止， 红分的也不额外多录取，按照分数优先遵循志愿的录取原则来说呢，填报的时候啊，需要结合校内排名和自己的意愿做个简单的排序， 一旦录取啊，就改不了，撤不回了，千万别瞎填。最后总结一句啊，指标生就是普通初中孩子的福利，记好条件，填对志愿，就能多一次进重点高中的机会， 家长们赶紧记好，别等错过了再后悔。建议点赞收藏，反复观看，有不明白的可以评论区留言，我是米老师，关注我，读懂济南教育，做明白家长！

下面我们来看一下二零二五年济南历下阴末的这个第十五题填空题。 嗯，已知条件是三角形 a、 b、 c 是 个直角，三角形那个有一个内角角， b 是 六十度，所以这个角的度数就是三十度，而且 b、 c 的 长度是已知的，这个长度是四 点和点 n 是 两个动点啊，落在 a c 和 b c 上，已知这个角的度数一定是三十度。 下面做对称或者说翻折得到 c 撇啊，就这个三角形和这个三角形关于 m、 n 对 称的。 然后再将 a、 c 撇绕点 a 旋转三度角，得到 e 点，求 c e 的 最小值，很容易能得到的就是 ab 的 长度和 ac 的 长度啊，所以这个长度是八，这个长度是四根三。 嗯，因为呢， c 和 c 撇关于 m、 n 对 称啊，对称点的连线总是会被对准轴垂直平分的，所以连接 c、 c 撇 这个地方一定是几个直角，一定是一个直角，所以这个角的度数是三十度，所以马上我们就能得到这个角 c 撇 c、 n 这个角的度数就是六十度。 当这个角的度数出来的时候，哎，我们实际上就已经找到了 c 撇的一种轨迹， 为什么呢？因为这个 b、 c 这条边是个固定的，边是不动的， c 点又是个定点，而 c、 c 撇和它所成的角度始终是保持六十度， 那不就说明 c 撇的运动轨迹始终是在这条直线上吗？是吧，因为你如果到这里，它的度数就不再是六十度，比六十度大，在这边比六十度小，所以始终要落在 c、 c 撇这条直线上啊。延长一下，一、 c、 c 撇， 假设这个点是得点，因为角 b 也是六十度，所以我们就知道了 b、 c、 d 这个三角形实际上是一个等边三角形 啊， c 撇就在这上面运动，然后 c 撇和 e 点，嗯，典型的这个实际上是一个刮度啊，因为它绕固定点转三度角，这个长度和这个长度保持相等， 这就说明 c 撇是一个主动点，而亦是从动点。下面是让我们能够找到一点的轨迹的啊，根据刮豆就可以找到。 嗯，因为下面这个题目有点复杂，我们所以可以反向刮豆来做啊，我们就不再找一点的轨迹了，因为 c 撇的轨迹是一个确定的，在这两条运动 就是 e 和 c 撇，它两个之间是主动点和从动点的关系啊。主动点是怎么得到从动点呢？是绕点 a 逆时针方向旋转三十度，所以这个从动点 e 就 可以绕点 a 顺时针方向旋转三十度，得到点 c 撇， 我们找到了 e 和 c 一 撇之间的对应关系。那下面我们要找一条边啊，另外一条边 就是，呃，比如说 f c 撇吧，比如说 f、 c 撇这条边呢？是和 e c 是 有对应关系的啊， 对应关系，这个 c 撇和 e 就是 主动点和从点的关系啊，由 e 怎么找到 c 撇呢？哎，绕点 a 顺时针方向转三度角，所以 c 也可以绕点 a 顺时针方向旋转三度角，就能找到点 f， 而这个角度就是三度， 所以 c 点绕点 a， 顺时针方向旋转三十度角，那这个点 c 应该落在这个位置啊，这个位置就是点 f 啊， af 等于 ac， 嗯，这现在是个等腰三形，这样 af 的 长度也是四根三，过来之后有什么用呢？下面你看，只要我连接 c 撇 f， 就马上能证出这个三角形和这个三角形是全等的。手拉手的全等吗？因为这个边等于这个边啊， a c 撇就等于 a e， 角一加角二三十度，角二加角三三十度，所以角一等于角三 s a s 三角形全等。 这实际上就是逆刮斗原理啊。逆刮斗我找到了什么呢？找到了我要求的这个 c f 当中这个定点 c 的 对应点 f， 所以 这时候 c e 就 和 c p、 f 这两条边始终是保持相等的关系。 找到了这个点 f， 找到了 c p f 和它相等，那就求 c p f 的 最小值即可 啊。这样的好处是什么呢？不用再去画 e 点的运动轨迹，可以直接利用 c 撇的运动轨迹，因为 c 撇的运动轨迹是一个现成的，我们已经找到了 啊，所以你要求 c e 的 最小值的时候啊， e 的 轨迹不好找，我们找到 c 撇是和它对应的，所以你就要再找到一个 c 这个定点的对应点 f 就 可以了。 怎么找到它呢？就是有一点，如何得到 c 撇，那就由 c 如何得到点 f 好 了。到这里我们求一下 c 撇 f 的 最小值，因为点 c c 撇在这条线上运动， 哎，然后呢，这就变成了点线的距离垂线上最短，所以当点 c 撇落在这里的时候 啊，也就是个蓝线的长度就是它最小值，这个角度是六十度，我们是刚才已知的，因为 b c d 是 个等边三角形，所以这个角度就三十度，哎，这样求出这条边的长度来即可。 这条边总长四根三，而这个是四啊，因为这是个等边三角形，这个是四，这个是四，那这块就是四，所以这块长度就是四，根三减四， 所以这个就是它的一半二，根三减二，然后呢，这条边是 d c 撇的根三倍，再乘根三即可。 最后答案，六减二，根三。当然这个题也可以直接利用观察原理来求一点的轨迹。嗯，看一下还有什么精彩的方法可以把你的方法打在评论区。

看一下二零二五高薪一摸的第十题啊，给出了一个这样的二次函数问，以下说法正确的是， 嗯， a 选项啊，无论 m 取何值，图像总经过点一逗号零和负一，逗号负二， a 选项呢？可以带进去试一下就可以了，对吧？很容易，这个一逗号零肯定是要经过的，是吧？因为当 s 等于一的时候，这个是零，零乘任何数都得零。第二个就是把负一也代入，如果 x 等于负一的话， 那就成了负 m 加 m 减一，在乘以括号里负一减一， 所以这个地方 m 正好被消掉啊，就是负一，乘以负二，那就是二，所以并不是负一负二，而是负一的话，二 啊，无论 m 取何值，它都会经过这个点，所以 a 选项错了啊。从这里也能说明一个问题，说明什么呢？就是，嗯，无论 m 取何值 啊，它一定会经过这个点，这个点是怎么得到的？你看，当你把负一带入的时候，这个式子是不是恰好为零啊？所以你这个地方也可以把 m 提一下啊。 那第一个括号里就这样子，对吧？就是无论 m 取何值，它都经过某个什么什么什么定点，所以你只需要把 m 消掉就可以，所以把 x 加一当成它的系数，令它等于零， 这样我们就会找到那个定点了，对吧？所以当 x 等于负一的时候就可以了。哎，只不过这个定点呢，坐标它写错了而已。好了，这是 a 选项，我们再来看一下 b 选项， 当 m 不 等二分之一的时候，图像与 s 九总是有两个交点。 那我们看一下，什么时候会有一个焦点啊？这个焦点我们已经知道了，一个焦点就是一逗号零，这个肯定是一个焦点， 那如果这个也是一逗号零的话，那不就一个焦点吗？那这个地方我们来可以算一下啊，就是当它等于零的时候， 当等于零的时候，这时候呢，如果这个交点也是一的话，零，哎，我们可以把一带进去啊， x 等于一，带入就是二， m 减一等于零，此时 m 等于二分之一。哎， 恰好是题目当中写的这种情况，是吧？也就是当 m 等于二分之一的时候，这个二次函数会变成一个什么样的二次函数呢？ 嗯，就是这个。另外等于零这个的这个括号里，这个括号等于零，它的减是一多少零，这个也是一多少零啊，一定是一个什么样的图像呢？就是就是这样的图像， 就这个二次函数和 x 轴只有一个焦点，这个焦点就是一到零 啊，也就是这个式的一定能整理成一个完全平方的形式的。嗯，哎，你可可以把二分之一带入试一下，是吧？就是二分之一 x 减去二分之一，再乘以 x 减一，这个二次函数不就这样吗？提取二分之一， 所以二分之一 x 减一的平方，你看它的顶点坐标就是一斗，零就是顶点落在 x 轴上的，这种情况 啊，这是这时候呢，不是有两个交点啊，还有没有别的情况呢？ 哎，实际上也还有别的情况，因为这个题目有个问题啊，就是他并没有说他是一个二次函数，所以如果这个二次项的系数啊，就是这个第一个括号里一次项的系数 m， 如果等于零， 那这个式就变成了一个 e 函数啊，把 m 点零代入，那变成了这个，那它与 x 轴当然只有一个交点了，对吧？所以说呢， b 选项实际上是漏掉了这种情况， 所以它错在这里，应该不等于二分之一和不等于不等于多少，不等于二分之一，还有不等于零啊，这样这个 b 选项就对了。 好，我们再来看一下 c 选项，当 m 大 于二分之一的时候， m 大 于二分之一，这个二项系数就是二分之一。然后呢？嗯，开口向上 就是这样的一个图像， 它要求的是什么呢？当 s 小 于的时候，它的增减性， 所以我们只要知道这个一到底是在对准轴的左侧还是右侧，就就能找到答案，所以他的对准轴很重要。下面我们来求一下这个式子的对准轴， 因为他给出的这个形式非常像焦点式啊，二次函数焦点式已经 x 一 等于一了，一逗号零这个点，那我们求一下 x 二啊，令这个式子也等于零， 就是 mx 加上 m 减一等于零， mx 就 等于一减 m， 同时除以 m， 然后这就是另外一个减啊，另外一个与二次函数与 x 轴的交点，它的横坐标 m 分 之一减一 啊，所以我们求一下这两个焦点的中点就是对称轴啊， x 一 加 x 二除以二吗？ 一加上 m 分 之一减一，再除以二，一和一消掉，就等于二 m 分 之一，这样我们就求出了它的对称轴， 然后此时 m 的 值是大于二分之一的， m 的 值大于二分之一，二， m 就 大于一 二， m 大 于一，那对应轴这个分母比一大，这个对应轴就比一小，所以这样的话，我们就找到了一的位置，一的位置应该在这个位置，那当 x 小 于一时，那函数的图像就是哪一块呢？ 小一啊，就是这部分图像。 那这部分图像里面是不是 y， c， s 增大而减小的？哎，实际上并不是，是吧？这一部分 y， c， s 增大而增大，这一部分 y， c， s 增大而减小， 所以它并不是落在对准轴的单独的一侧，如果单独的一侧，那就对了啊。所以说这个 c 选项也是错的。 那我们看一下得选项，当 m 大 于零的时候， m 大 于零，开口向上函数的最小值是什么？开口向上最小值就在顶点处取的 啊，顶点就把它的顶点的横坐标带入就可以算出来。而顶点的横坐标我们在第三问，在 c 选项当中已经求过了，是二 m 分 之一，所以可以把它带进去算一下， 就是二， m 分 之一乘以 m 再乘 以二， m 分 之一减一， 这就是它的最最小值， m 和 m 约分约掉，所以这个框里 m 减去二分之一再乘以二， m 分 之一减一，嗯，算它一下吧， m 乘以它就是二分之一再减 m 再减去四 m 分 之一，再加上二分之一， 就等于负的 m 减去四 m 分 之一再加一。啊，和的选项完全一样啊，所以这个题目正确答案就选的 这个题目呢，主要是一个，嗯，含有字母参数的二次函数，主要考虑这个字母参数对这个二次函数的影响 啊。你看 a、 b、 c、 d 四个选项都是就 m 的 取值来说明对二次函数有哪些不同的影响。好了，这个题目这样我们就分享到这里。

好，请问，那我们来看这个题，先看我们的素材，他告诉我们通过整面积法得到一个式子，由这个得到一个式子啊，这个东西我们称作什么来着？通过我们的图形， 通过我们的图形去验证我们的公式啊，借助的就是什么法？ 等面积法，那由图形验证公式有几种思路来着？两种还记得不？同学们强调过啊，没记住的再记一下。第一种叫整体球， 等于分开求，第二个叫什么？直接求等于间接求。那你看我们本题是怎么求的？ 整体去求一下它的面积啊，整个的面积是边长是 a 加 b 方加 b 方，这叫整体求出来的。 那分开球呢？就是分别先加 a 方加两个 a， b 加 b 方，这个叫分开球。那第一个是等于用的整体球等于分开球的。什么时候用直球等于间接球来着？哎， 就是表示这个小阴影部分面积的时候，直接求等于间接求，直接求就是它乘它间接求就是大子减小的，明白吗？求一部分的时候用的是直接求，等于间接求，求整体的时候用的是整体求，等于分开求啊。比如说这个 上面这个适合于用它的等面积法去做，一整个的面积的等面积法去做，而下面的是用适合一部分。好吧，来掌握这两个之后，后面就很简单了， 下面能够验证平方差公式的是，那就一个一个去看呗。来，你看他针对的都是哪个面积啊？硬面积去算的，我们看第一个硬部分积，这个怎么去算？这个怎么去算？我们可以用整体求吧。 应用面积怎么去算？一整个的式面积是 a 方，一小个的面积是 b 方，所以它就是 a 方减 b 方，表达这个式子对不对？而第二个呢？第二个怎么去算呢？它挪成这样了，这样我们就长成宽喽。 长是 a 加 b， 宽呢？我们说这里是 a， 也就是这里是 a， 那 这里是 b， 所以 这个宽是 a 减 b， 长是 a 加 b， 那 就是 a 加 b， 乘以 a 减 b。 第二个图形表达是这个意思，而他俩之间转换的时候，面积大小是没有变化的，所以他俩相等。那既然他俩相等，那我们就正确了啊，他验证的就是我们的平方差公式。第二个前面是不是仍然是 a 方减 b 方呀？ 啊？大的减小的，对吧？那后面呢？后面变成了一个等腰的一个梯形。梯形面积怎么去算来着？上底加下底乘高除以二，上底是二 b 啊，上底是二 b， 下底是二， a 乘高，高是多少？这个高就是这个长度吧， 是吧？这个长度是多少？这是 a， 这是 b 还是 a 减 b？ 最高是 a 减 b， 再除个二，那除个二之后，相当于把这里的二消掉了，最后还剩下的是 a 加 b 乘以 a 减 b， 那 左右相等， 这个等于这个没有问题，这个也是。那第三个呢？第三个呢？左边这个怎么去算？ 这轮到他了。那么用大减小，大减小，小的是不规则的呀，所以大减小间接求不行，那我们就直接求呗，能理解不？大减小减减，这个不规则的不会减，所以我们就直接求。直接求的话，它是多少？ 这是 a， 这是 b， 上面就是 a 减 b， 那 这里呢？它是 a， 它是 a， 它是 b， 它是 a 减 b 啊，也就是说 这里是 a 减 b， 这里也是 a 减 b， 那 面积就是 a 减 b 的 平方喽。那右边怎么去算？ 四个单独算吗？那不好算，我们怎么弄？我们减一减啊？减一减，你会发现，如果你四个单独算，算完之后还是它还是这个式子，就没意义了，你即使算了也没意义，那我们大减小，大的是 a 方，对吧？ a 方，那怎么减小呢？你看到这里，其实你也应该判断出来，它不是验证的平方差。它验证的谁啊？光线平方是怎么验证减小的？我能不能先减它减它啊？减这个长条是 宽是 b， 长是 a， 减这个长条是减了个 ab， 减这个长条也减了个 ab， 所以 我们减了两个 ab 的 过程中，这个地方是不是减了两次啊？ 我们只需要剪他一次，而他剪了两次，再加一次，那就再加个比方，左右相等，你看他验证的就是 完全平方式了，那就不是平方差了，是这样吗？来第四个，前面仍然是 a 方减 b 方，大小的减小了嘛？右面呢？哎，变成了个平行四边形。平行四边形面积怎么算？底乘高也很好，知道 a 加 b， 那 高呢？ 高是不是两个小梯形是多少？一个小梯形是 多少？不知道，是吧？那么我们的高是俩小题型，我们就找俩小题型，这是一个，这一个连起来， 你看这里是不是俩小题型的高，这俩小题型的合起来是这个啊，是这个平行四边形的高，那这俩是多少？这是 a， 这是 b， 那 这俩合起来是不是也是 a 减 b 啊？ 就等于 a 减 b， 是 高乘以底是 a 加 b， 它俩相等，哎，验证的也是平方差，那所以合起来，我们判断完之后，平方差公式有一二四三个啊。 遵循的原则就是我们这两个直接求、间接求、整体求、分开求，能理解不？在这问，他说拼成了一个正方形，判断他们的关系在哪里呢？那个正方形 在这呢，是吧？那这个正方形求它怎么求？这个是你看来回到这里，同学们回到这里，是不是求里面小的的时候是直接求等间接求，求大的才是整体，等于分开，是吧？ 小的是直接等间接，那直接求怎么直接求它？先求边长呀，这个边长是多少？ 他是 a， 所以 他是 a 吧？他是 a， 那 他是 b， 他 也是 b， 这是 a， 这是 b， 变成这是 a 减 b， 同理这里也是 a 减 b， 那 a 减 b 乘 a 减 b， 是 我们直接求出来的面积，那间接求怎么求？大的减小的呀？大的合起来是多少？ 那它合起来变成是 a 加 b， 那 面积就是 a 加 b 的 平方减去呢？减这四个，那这四个完全相同。长乘宽是一个的，面积是 ab， 那 减四个 ab 就是 减四 ab， 对 吧？这是这里的一个等的关系式，那我们就弄完了， 来，继续继续往下看啊，继续往下看，来，如果它乘它等于它求它加它的值，很乱，这个式子我们不会求，不会求怎么办？你会发现它和它一样，它和它一样，我们还是用什么方法？ 在这里经常用的一个方法叫换元法，是不是换元法令它等于，比如说 m 令它等于 n， 那 就相当于 m 乘以 n 等于二。我们不能用 a d 了，因为 a d 已经有了，有 a 了， 那 m 乘以等于二，求的是 m 方加 n 方，那怎么去求？这里是不是还是我们强调的那个知识点叫之二求二啊？ 哪俩求哪俩？是这四个啊？ a 加 b， a 减 d， a 方加 b 方啊， a 方加 b 方 a b 这四个知道任意两个可以求另外两个，所依据的公式就是它 和它就叫完全平方式，利用这个两个式子去算的啊。利用这两个式子去算的方法就是，第一步先列式子啊，列式子，第二步我们代数就可以了。 唯一要注意的就是你会发现 a 方加 b 方 ab 是 这两个里面都有特殊的，就在于 a 加 b 和 a 减 b 啊，看到加就用第一个式子，看到减就用第二个式子，这就叫我们的加二求二，对吧？你看啊， 知道他知道他，也相当于知道他知道他，是吧？啊，知道他要求他，也就相当于知道他要求他，那另一个条件知二求二呀，总不能知一求一啊，那是不是得从他那里挑一个？ 那这里到底是用 m 加 n 呢？还是用 m 减 n 呢？你可以验证一下，对吧？验证一下 m 加 n 等于多少？ m 加 n， 它加它负， a 加 a 消掉六加负， a 是 五， m 加 n 等于五，那就它符合要求，算出来是一个数，我们就用它呗。 你不放心的话可以算一下，减 m 减 n 的 话，六减负一是七负 a 减 a 是 减二 a， 它就是一个带字母的，所以不能用了，用带数的 它，它俩合起来去求它啊，这是和加有关的，所以第一步列式子，列第一个，对吧？列第一个，列第一个的话就是 m 双 第一个式的话就是 m 加 n 方等于 m 方加二 m， n 加 n 方，对不对？再数第二步， m 加 n 是 五， m 加 n 方是二十五，等于 m 方加 n 方是我们要求的 m n 呢？ m n 是 二二， m n 就是 四，所以我们的 m 方加 n 方等于二十一啊，所以也就是我们的六减 a 的 平方加 a 减一的平方等于 二十一，那这个题就算完了，明白吧？这里重点用的是换元法， 那下一个题又用什么呢？这套题，这个题出的比较乱啊，前后逻辑的联系性不大，但是呢，啊，这个题又考察的知识点特别多，适合我们去复习啊。你看这个题说这个式子， 没遇过的同学肯定不会去，不会做啊，你就识别出它的类型来就行，我告诉你它叫什么，它叫平方差。 平方差公式的一个规律体。规律体为什么是平方差公式呢？ 是因为这个里面不可能是完全平方式，完全平方式得是一个数加一个数的平方，那这里没有说明不是完全平方式，而我们学过的除了完全平方式就是什么平方差，那肯定是平方差喽。 那怎么去用呢？怎么去用平方差呢？你会发现里面都是加，对吧？我们的平方差是 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方加 b 方，你发现没有？减去构成平方式平方差公式，那怎么办？ 那我们就借助第一个去构造一个完全平方式，能理解我的意思吧，同学们，构造怎么构造二加一，怎么配出平方差来？是不是二加一乘以二减一等于二的平方减一，这叫一个平方差呀，那里面涉及到的是二加一，所以我们就可以写成 我们用另外两个去表示，二加一，就变成了二的平方减一，除一个，二减一，把它除过来，而除过来之后，恰好这里又等于一，所以直接变成了二平方减一的平方。也就是说这个式子你可以直接换成它， 所以啊，我们就可以写了，所以我们的原式就变成了 啊，原式本来不是二加一，二的平方加一，二的四乘方加一，二的八乘方加一吗？就变成了二的平方减一，乘以二的平方加一，乘以二的四乘方加一，乘以二的八乘方加一。你没发现前面两个可以形成 完全平方式，按这个平方差公式，平方差公式变成了二的二次方的平方，就是二的四次方减一等于二的四次方加一，等于二的八次方加一。你会发现，哎，新形式的这个又和后面变成了完全平方式啊。变成平方差公式， 你要再变成二点八次方减一，乘以二点八次方加一，哎，它俩又乘了，那最后是二的十六次方减一。一直用平方差啊，差来一凑乘差又和差乘平方差，差来一凑乘差又和差乘平方差，对吧？最后出来的答案是这个， 这个是我们答案。好，那这个地方呢？需要给大家拓展一下，我给大家拓展两个知识点，拓展你会发现这个规律题不仅可以做到二的八次方，第一种情况，我直接二加一，一直加到多少加到， 比如说二的六十四，六十四次方加一，可不可以？可以吧，那你能直接写出它的规律答案吗？是不是也可以 这个和前面这个凑成一个平方差，他又和他凑成一个平方差，凑出来，这个又和后面一个又凑出来，一直凑到和他为止，是不是？那凑到最后肯定是二的六十四平方减一，乘个二的六十四平方加一，变成了二的 一百二十八层面积，这叫规律，这个规律一直拓展会用吗？会用啊。第二个我们要拓展的知识点是什么？如果二变成了三加一，三的平方加一，三的四平方加一，在这点呢？比如说三的 八四方加一，三的八四方加一，那这个时候怎么去弄呢？啊？大家记住，一定要遵循刚才的规律。平方差规律题，把第一个凑出来， 那三加一怎么去凑？是不是成个三减一合起来等于三方减一啊？对吧？但是呢，我们要的是它，所以把它提前凑来，就等于把三减一除过来，除过来之后你发现，哎，这俩有区别了。 下面这个直接变成一，所以分母没了，这里变成二，分母还在着，那它就变成了什么？ 二分一的三分二所方减一，对吧？那么当你带回去的时候，当你把它带回来的时候，一定不要漏了这个 等于二分一的三点二乘以一乘一个三点二乘以加一，那后面规定一直在，但是这个二分之一也一直在，是不是同底同底？如果变成了四加一，四个平方加一，那你想要会变成什么？ 会变成里面有个三分一点点，能理解不啊？这是我们拓展的两个知识点。好，这个地方讲完了，我们来看第四个图形问题， 图形问题怎么去做？这种题的第四问往往都是图形问题，对吧？而图形问题，我们的思路是要去表达他们之间的关系，通过设边长去表达。那这里不需要设的，已经给出来了，我们标一标 a、 b、 c、 d， 大 的都是 a， 小 的这个是 b 啊，告诉你们， a 加 b 等于六， a 乘 b 等于 a 加 b 等于六， a 乘 b 等于六。让我们求阴影部分的面积，那你看有加了，有乘了，这个阴影部分的面积，大概率又有谁啊？大概率又有 a 方加 b 方， 因为 a 加 b 有 了， a 乘 b， b 有 了，是不是就差它了？知二求二的类型吗？那我们最后要去找的这个阴影部分面积含着它，阴影部分面积算它俩，所以我们可以标个序号，假如说它是一，它是二，你会发现一的面积比较难求， s 要等于 s， 一 加 s 二啊，一的比较难求二的好求二的是什么？边长是 b， 这也是 b， 所以 正方形的面积是 b 方，它占四分之一份，所以是四分之一 b 方。 那这个面积怎么去求呢？不要忘了里面还有个条件，读题一定要读完这个地方。是啊，中点，中点的话，那这边就是二分之一 a， 这边也是二分之一 a， 对 不对？好条件，标完了求面积。 那我们求面积的时候有没有横平竖折线？能不能直接求呢？你会发现你不会求是吧？ s 一 这里你不会求，你直接求，不会求，你就只能怎么求？ 间接求呗。那什么叫间接求呢？那不就是通过割补法吗？割补法，怎么割补法？把它割成规规矩矩的，怎么规规矩矩？ 他不会算，那我谁会算他？我起码会算吧。那这个小正方形放着干啥的？提醒我们的，从这里做个连过来，从这里连过来，这里是垂直，这里也是垂直，是不是就分开了？ 能理解我的意思吗？同学们，我们分一下，哎，我们把这个大的这个长方形割一割，哎， 这根线我沿下来，这根线我拉过来，那这个的面积是不等于大的？减去一二三，减去它三了，对吧？那你是不是就可以写式子了？那 s 一 就等于什么？大的？ 大的是多少？这是 a， 这是 a， 二分之一底乘高是二分之一 a 方，减多少呢？减第一个底是二分之二分之一底乘高，那就是二十一乘以底，底是二分之一 a， 高是 b， 那 就乘以底。 哎，再乘个高，再减去第二部分，第二部分的话，这是二分之一 a， 这是长，宽是 b， 这是二分之一 a， 长乘宽是这个，再减去最后一部分它，它怎么去算？ 二分之一底乘高，底是二分之一 a， 高呢？高是多少？这里是 a， 这里是 b， 是 不是 a 减这个高，是不是 a 减 b 啊？所以就是二分之一 乘以底，底是二分之一 a， 高是 a， 减 b。 那 整理一下，整理一下，前面是二分一 a 方，减去四分之一 ab， 减去二分之一 ab， 再减去二分之一乘二分之一是四分之一 a， 放进去是 a 方，减 a， b。 那 减呢？要去括号去括号，就变成了四分之一 a 方。原本是里边是减 a， b 挪出来变成了 加四分之一 ab， 对 吧？来，继续整理，它和它消掉了，只剩下什么？只剩下二分之一 a 方，减去二分之一 ab， 点却四分之一 a 方，然后这里还可以化减，是吧？啊？你再化减，化减就变成了什么？就变成了四分之一 a 方减二分之一 a b， 对吧？好，这是谁啊？这是 s 一， 这是 s 一， 这是 s 二，所以啊，所以我们的面积，所以我们的 s 就 等于 s 一 加 s 二就等于四分之一 a 方减去二分之一 ab 加上个四分之一 b 方，哎，熟悉不？ a 方 ab 地方是不是什么？ 是不是我们的平方差啊？完全平方。是啊，完全平方，是我们把这个四分之一提出来，里面认识了， a 方减二， ab 加 b 方，这里就等于多少四分之一，再给它合并回去啊。 a 减 b 的 平方，对吧？那现在相当于我们要求差， 你会发现，哎，求的不是差，而是差，知道的是差俩，那这是不是知二求二啊？ 那知道他俩能先求出谁来？能先求出他来，是吧？求出他来之后怎么求 a 减 b 呢？再列一遍式子， 所以这里相当于要列几遍式子，要列两遍啊，那我们在这里的空格的这个列一下吧。啊，列一下吧，第一遍是谁？第一遍你看，知道加，你就先列加的，能理解不啊？先列加的就是 a 加 b 方 等于 a 方减加二， ab 加 b 方是吧？ a 加 b 的 平方是多少？六六三十六等于呢？ a 方加 b 方，不知道，是我们要求的 再加一个二 ab， ab 是 六二， ab 是 十二，所以 a 方加 b 方等于二十四。这是第一遍， 第二遍再用减的，因为我们最后要求的是减的，再用一遍减的，再用一遍减的就是 a 减 b 方等于 a 方减二 a， b 加 b 方是吧？那 a 减 b 的 平方呢？ a 减 b 是 多少？ a 减 b 的 平方是要求的 a 方加 b 方是二十四，然后呢， a， b 是 六二六十二减十二等于个十二。 a， 这样是不是把它求出来了？它等于十二，那这里就等于十二了。哦，那这里等于十二的话就等于多少， 这里的话就变成等于四分之一乘十二等于三。那这个三就是我们本题的答案。好吧， 那你看，我们这个题反复的比较多，为了把过程给大家呈现的更具体一点啊，这个题出的还是比较说好也好，说不好也不好。好的原因是他考察的知识点足够的全，足够的全，而不好的点在于他前后的联系线太弱，东一榔头西一棒头，明白吗？ 啊，总结一下，这里面涉及到几个知识点，第一，图形到公式的转变有两种方法要记住。第二，知二求二的思想要注牢。第三，换元法要记得。第四，平方差规律题要会做。 第五啊，图形关系要理解，怎么个求法啊？那这个题就讲完了。好吧，那我们再看一看行不行？

新年级的家长注意了，密算是我们整个初中数学的高频考点，而在密算当中，符号的处理又是很容易让我们孩子踩坑的地方，很多家长觉得孩子缺少计算总结，别着急，今天呢，我们就整理了密算当中最容易出错的八种题型， 赶紧收藏起来，让孩子慢慢的去学。我们来看这八个题，他们有一个共同的特点，就是容易出错，那怎么样可以避免这个错误呢？我们先来讲两个知识点，第一个知识点是叫统一底数。 什么是统一底数？有这样的一个式子，二的 m 次方乘以负二的 n 次方。先说好，我们这一个式子是不能直接进行计算的， 你要先把它们化成底数一样的形式，之后再进行计算。那怎么样可以化成底数相同的形式呢？这就涉及到我们的第二个知识点，叫偶数优先。 偶数优先是什么意思？二的 m 次方乘以负二的四次方。负二的四次方是不是就等于二的四次方？因为我们的指数它是一个偶数， 任何一个数的偶次幂它都是正值，所以它就等于二的 m 次方，它的结果就等于二的 m 加四次方。 好，这个地方就是我们的这个知识点，我们用这一个知识点去做这八个题目，他就会变得非常的简单，我们来试一试。 先来看第一个题目，观察一下他们的底数是不是一样的，是一样的，那我们直接匀算就可以了， 它就是负 x 的 三加三次方。熟了之后你可以直接写出来，它就是负 x 六次方就等于 x 的 六次方。注意哈，在这里我们的这个符号是可以消掉的，这种情况一定要把符号消掉。 第二个，负 x 的 平方乘以 x 的 四次方，乘以括起来负 x 的 平方。前两项是底数相同的形式，那么我们是不是就要处理后边的这一个，它是不是一个偶数密， 那么它就等于 x 的 平方，所以我们这样超过了，就等于负的 x 的 平方乘以 x 的 四次方，再乘以 x 的 平方，它就等于负的 x 的 八次方。 第三个，负的括起来 x 的 平方的三次方，我们直接算就好了。注意哈，这个符号我们是不受管制的，也就是 x 的是二加三还是二乘三，是不是二乘以三啊，它就等于负的 x 的 六次方。第四个， 这时候注意了，我们的这个符号是不是被这个二所管制的，那么它就是 x 的 平方的三次方，它就等于 x 的 六次方。第五个， 这一个符号还受我们的这个二所影响吗？是不是就不受了？它受的是谁的影响？受的是这个 g 次幂三的影响，那它等于多少？那我们是不是它肯定是一个负的，它又是负的 x 的 平方的三次方就等于负的 x 的 六次方。 再来看第六个，这时候我这一个符号受的是谁的影响？是不是受的二的影响， 那他肯定是一个正值，我这个符号是可以被消掉的，也就是 x 的 三次方的平方就等于 x 的 六次方。 我们来看三、四、五、六这四道题，他其实就是在考察我们这一个符号受谁的影响。对于第三个来说，符号在括号的外面，他不受任何的影响，我最终的结果肯定是负值。对于第四个来说，我这个符号是受我这个 偶数密二的影响呢？所以我得出的结果肯定是正的。第五个，这个符号不受二的影响，他受的是三的影响，所以他得出来的结果肯定是一个负的。第六个， 他是受这一个二的影响，所以我得出来的结果肯定是正的。只要是弄明白这些区别，我们的计算是很难出错的。再来看第七个， 他们两个底数是不相同的，那我们就要优先的对这个偶次方的式子进行变换，那我 a 减 b 的 平方，我是不是可以变成 b 减 a 的 平方，再乘以 b 减 a 的 三次方，他又等于 b 减 a 的 五次方。 在这里大家可能不明白的是， a 减 b 的 平方，为什么可以把它化成 b 减 a 的 平方？ 在这里你可以这样想，我们把 x 等于 a 减 b， 那 么我问 x 的 平方，它是不是等于负 x 的 平方？ 我们的 x 等于 a 减 b， 那 负 x 是 不是就等于负的 a 减 b？ 我 们去掉括号之后，它不就变成了 b 减 a 了吗？你把它替换进去，你把它替换进去，它不就变成了我们上面的这个式子了吗？ 我们再来看第八个，第八个底数是一致的，我们直接进行计算就可以了，它就是 a 减 b 的 五次方， 这样我们这八个题就讲完了。通过今天的这个视频，是不是有很多的收获？那就赶紧收藏起来，慢慢的去学习。

好，同学们，那我们来看这个题，这个题给大家带来三种思路，四个解法。那分别来看， 矩形纸片 a、 b， c d 中， a b 等于 n， 二， a d 等于二，一是中解，那两边长度各是一， 然后呢，将它翻折，翻折意味着对应边相等，对应角相等，两个都是垂直，两个长度都是一，这俩角也相等，是吧？下面这俩角也也相等，然后， 然后怎么样呢？告诉我们， b d 撇等于二，则 d f 的 形式，那求 d f 本质上也就求 d 撇 f， 它俩只要知道一个都行，对吧？那怎么去切入呢？我们来看，这里面你会觉得最特殊的一个条件是哪个？ 是不是这个相对比较特殊呀？它为什么单拎出来一个 b d 撇给你呢？哎，聪明的你应该会发现，这根辅助线大概率是要连上的， 不然的话，这根线根本不在一个三角形里，我们要把它放在一个三角形里去讨论，这个线段长才有意义，对吧？所以当你连上它的时候， 连上它的时候，这个长度勾股定律求出来是根三，那你再看，这是根三，这是一，这是二，又满足一个新的勾股定律，对吧？所以这里也是垂直， 那这就是我们本题的基本推导。接下来我们将分几个思路去求值。首先怎么求呢？当你发现三角类问题，在矩形边上有一个直角的时候，你很容易想到什么， 哎，这就是我们的发音，你很容易想到一线三垂直吧，是不是非常常见？在矩形折这里， 那一线三垂直，这边顶过来是这个直角三角形没有问题。那这边是哪个直角三角形呢？你会发现，哎，他没有伸过来， 他所在的不是一个直角方形，那怎么办？那这里我们分两条路走，第一，你是不是可以把它延伸过来，是吧？把它延伸过来之后，是不是就变成这两个象形相似啊？这个点记为细点吧，就会有谁啊？ 三角形 a、 b、 e， 相似的三角形 d， e、 c， 对 吧？它俩相似，你看这个三角形三个边都知道这个三角形，知道这个长度是一，那么通过相似是不是能求出它和它来， 那它俩分别是多少呢？一线三十指，站着的等于趴着的等于趴着的， 那他俩行，他俩是对应他俩的比例关系，是根二比一，那这里是一，这里也应该一除以一个根二，是吧？啊，那这个长度应该是二分之根二， 同理，这个再除以根二，能得到这里是多少根三比根二化解完之后是二分之根力，那这样的话啊，这个小短边这里是多少？ 二分之六减一，而我们要求的是谁，求的是他俩，这时候你能发现吗？条件不够，我们设 x 就 可以用我们的 什么传统思路？勾股定律列方程，此时的 p、 f 已经变成了二分之二减 x， 是 吧？设它为 x， 它就是 x， 这个就是二分之二减 x， 由他三能用勾股定律来吧，是吧？然后我们由 勾股定律得得什么呢？二分之根二 减 s 的 平方要等于二分之根六减一的平方，加上一个多少 x 方， 这个解的话很好解，因为左右两边的 s 方会消掉，是吧？啊？最后能解出来的是 s， 等于根三减二减根二，很好解啊，朋友们，很好解，你自己去解一下就行。 好，这是我们第一个方法，那这个方法还有一条线，我再给大家想说一下是什么呢？你会发现这边是一个直角三角形，这边呢？这根一在这没有直角三角，那我们怎么办？ 我们可以从这里构造一个等腰值啊？啊？这里构造一个直角三角形啊，不是等腰值啊，我们利用它和它群的， 他是不是也和左边的全等，这能理解吧？如果他俩全等了，那这里是一个跟三的关系，跟三比一的关系，那由他比他等于他比他都等于跟三。你是不是能把这段和这段求出来， 那这段这段求出来。有的人说，那和求他有什么关系呢？别着急啊，我们在我这做个垂直啊，我，我们把它尽量放在三角形里去，这时候仍然设他为 s， 那这段知道了，这段是 s， 那 你这个是不能表示出来一个多少的数减 s， 是 吧？ 然后呢？然后呢？他你知道了，他是一，这个你求出来了，这段是不是也知道了？ 那这段知道了，这段用 s 表示了，这段是 s， 是 不也能勾股定底，列什么？列方程？所以这个题虽然是法一，其实这有两种思路啊，能理解不？ 这就是我们的第一种解法。好了，那我们把它缩小一下，放一边，然后再来看第二种。 好，第一个思路在这里，那我们来看第二个思路，依旧是先把条件标一，标根二二两边各是一对吧？垂直、垂直，这俩角相等，然后这里是二，连上它之后啊，连上它之后，这里是根三，我们弄出来一个垂直， 那弄出来一个垂直，我们再来分析啊，再来分析，我要求的是它，要求的是它，其实也就是说要知道这个角的正切值就好办了，对吧？ 那同时呢，这里一个垂直是一个关键性的条件，我们如果通过这个垂直想不到一叶三水的话，那我起码可以倒角吧。倒角的话，它是不是和它相等？ 它俩相等，那角度是不是有个二倍的关系？这个的正切可以求，那这个的正切也就可以求。我设它为阿尔法，它是阿尔法，它是二阿尔法，这个就是二阿尔法，所以 它怎么求呀？这里就用到我们一个拓展的知识，有的同学可能没接触过啊，叫正切二倍角。 什么叫正弦二分角？你只需要记住 tangent alpha 和 tangent 二 alpha， 只要有一个知道，它俩之间就可以互相的对倒转换，能理解吧？ 那这是怎么去推呢？待会儿给大家讲一下，你要记住下面我画的这个三角形。好，现在我们知道的是二 alpha， 对 吧？那假设 这个角就是 r， 那 它的对比零是一比根二的关系，这里是根三，对吧？接下来我们怎么操作呢？我们延伸这个边， 使得它俩相等，我再连过来，我再连过来。那你想想，这个是个外角吧，这个是它俩的外角吧， 所以他俩相加应该等于 r， 而他用这个等幺，所以这个是 r 法，这个也是 r 法，并且呢，这里是根三，这里应该也是 根三，你看由这个大小，你是不是推出了贪心的 r 法，等于一比上个根三加根二呀？简单不同的道理，如果你由他推，他也一样推，怎么去推啊？怎么去推？ 由它推它的话，你看你知道是这个比这个，是吧？那怎么去推这个比这个呢？你可以设它为 x 啊，你知道这个边了，这是 x， 这个就是这个数减 x， 这个就是这个数减 x， 然后勾股定里列方程，求出 x 来，求出 x 来之后，它的对称不就知道了吗？所以是来回可以推的，能理解不好了，猜这个二号就知道了。我们回到这个题里，那就是谁啊？ 所以就是这样， d f 比 d e， 也就是 d f 比一等于三分之二，也就等于根三加根二分之一。 那所以这里我们解释了啊， d f 等于根三加根二分之一。上下分母有理化一下，同时乘以根三等于根二，下面分母变成了一。答案就是这个啊，答案就是这个，这是我们的法二。 那接下来我们再来给大家介绍法三，先把法二放一边好了，法二我们再来看法三，依旧是先把条件标一标， 这是根二，一一一垂直，垂直，是吧？这俩角相等，然后这里有个二，这里有个二，连上它之后，这里是根三，这里还是个垂直。 好了，那我们求它或者求它。那我们上面两个方法都没想到，那怎么做呢？哎，这个方法有点难想啊，那我就延长它交于这边。 为什么要这样延长呢？是因为我可以把条件往左边引，对吧？左边上面的数字更多，这个点，比如说记为 f 撇吧。那你看他俩是不是有全等的关系，求这个也就是求这个，是吧？这时候你不会做的时候，你就可以蒙了， 这是怎么求？你现在看着他俩是不是一个像一个很相等的一个等腰关系啊，我们连猜带证啊，他俩是不是相等腰？ 大家竖向等腰，那你就把它当等腰去做呗，反正是压轴，它就是根三，那这个就是根三减根二，对吧？根三减根二，那你蒙也能蒙？对啊啊，这是我们的法三，那法三怎么去验证一下呢？ 那我们就用角度喽，这是阿尔法，这是阿尔法，那上面这个是个阿尔法，你看怎么去验证啊？我们推一推 对零角，所以这个是二法，是吧？那这个角呢？这是九十度，这里就应该是九十减二法， 那这个角呢？这个角它是二法，它就是九十减二法，你看九十减二法，再加个二法，是不是就是九十减二法？那是不是就正出它俩角相同的了，正弦就出现了吧？啊，很简单的一个题，是不是？ 好，这就是我们介绍的三个方法，发一用过一线三十节去做，发二用正切二倍角去做。发三画了一个八字，是吧？这三个方法都可以用啊，都可以用， 那考试的时候呢？你能想到第一个做出来就可以了。第二个如果你没有知识储备，有点难想啊。第三个呢？连猜带证的一个过程大家都体会一下，这就是我们本题的全部解析过程。

给怎么样？期末数学第一次考试考了一百四十六分，是不是多亏了这套上分卷？他和别的试卷真的不一样，他有个类题推送的功能太牛了，你看我教你怎么用能上一百四十五。我每次都是先做 a 卷，把整个单元的漏洞先筛查出来。你看，我第六题错了，放在平时，我根本就不知道错的是哪类知识点，也不知道去哪找同类题巩固， 而他就很好。第二张试卷直接就是类题推送，我一看这张诊断表，第六题错了，马上就知道是实数与数轴这里存在问题，对应的就是上分点五。 我只要把这组题练完，这类题都不会再出错了。最后再去做第三张卷子综合检测，那这个单元就彻底吃透了。 说真的，我也是头一次见这种带类题推送的初中试卷。第一张试卷呢，负责找出孩子的问题，第二张试卷负责给出解决的办法。 你像我们这种非专业的家长来说，简直就是救星，特别适合没有学习计划，漏洞多，又不会举一反三。同时咱又不想花冤枉钱给孩子报班的家庭，虞书英都有，而且呢版本特别的全把它给用好呀，月考期中期末，咱心里真的踏实了。

市中区这次的初二期末考试已经考完了，我们来分析一下数学卷子，看看这次数学考的难度怎么样。看，先看一下选择题啊，前面的选择呢，整体来说难度没有很大。第九题，这次考的题目特别接近中考题角平分线和中垂线的指标作图。 然后第十题，这个题呢，正常来说是选择压轴，他的这个压轴题呢，是属于课内内容的一个向外拓展，就是如果你课内掌握的比较好，或者几何做的比较好，这个题是可以考，嗯，就是能够做出来的，他不是说那种纯难题哈，脱离课本的那种难题。 嗯，所以这个题就看看大家的一个基础功底了。但这个题呢，四个答案全是对的，就害怕有些孩子蒙也蒙不对。 然后填空题的最后一个，他就相对有一点脱离课内了哈，他是一个新定义的题目，就属于，呃，给了你一个概念，要先弄弄弄明白这个概念以后，结合图形去做，他的难度会稍微大一些。 然后再有就是最后两道大题的压轴，倒数第二题，函数的压轴呢？这次考的这个第三问是角度存在性，对于我班的孩子来说，我感觉我很自信哈，我觉得这个题应该是问题不大，我们正好期末考试还复习，复习到了，而且我们上课讲的时候，四十五度角度 存在性也给孩子说了，因为这个东西，本来啊，他是在初三二册属于角度存在性，考的会比较多，然后在这两年呢，逐渐的一册属于角度存在性，陆陆续续的就相当于考点前置的这么一个感觉啊，我们在去年的课本里边就新增了这一家， 所以这两年一直在考这个内容哈。四十五度角存在性，考的还是挺普通的，那属于学了的同学应该是会做，没学的同学就应该会。 嗯，不太擅长哈，就是考试之前我也一直一直给孩子说，我说如果让我压考点，我就给你们压，交个存在性，没想到压中了。 然后这个二十五题还是常常规的老朋友手拉手，但这个题呢，他的第二问就设置了一个坎，第二问在拉手脚这个位置哈，他跟我们常规讲的那个倒脚的方式有一点不太一样。 嗯，然后如果要是说孩子的这个应变能力不强，可能第二问就就要就要失手了。然后第三问的难度会比较大一些，他的辅助线不太好做，然后以及想法考虑的都不太，都不太简单哈，所以这也是能拉开孩子差距的。这个题目主要的两个比较难的点，我觉得 一个就是填空的最后一个，一个就是这个最后一道答题的最后一问，这两问是属于难度比较大，不太好想的。然后剩下的第十题啊，以及这个倒数第二题，二十四题，这个题它属于是课内内容的一个小拓展，就看大家这个平时的基础功底怎么样了。 嗯，正常来说的话，哪怕这四道题你做的都不好。剩下的部分考察的还是比较基础和简单的，大概是一百三十五分左右吧，就看孩子的一个整体大体情况了。嗯，如果要是下来一百三，指定是还是有问题的啊，一定要在剧中的补一补。

呃，在这份发走之前呢我再说一下什么样的孩子适合做这个就是后三个题。呃大题的最后三个题，二次函数和反比例函数只会做第一问，第二问一点思路没有，不会做的。然后你可以去专门看他，因为我们按照呃题型分类以及考点， 嗯全部这个分类好了。呃就比如说以这个反比例为例吧。以这个反比例为例我们就是分了七个专题，第一个是线段问题 啊，第二个是面积问题第三个是存在性，这个存在性包含了所有的存在性，是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形啊，这几个都有。然后第四个部分是， 嗯，相似问题哈，未知的话，因为我们之前只做过画图题，但是考试的是还是有的哈。模拟题还是有的。呃第五个部分是角度问题，不管是四十五度的，特殊的角，三十度的还是等角，背角和叉角都有。然后第六个是几何变换， 呃第六个是几何变换最后就是我们最近呃两年才出现的材料分析题，就是阅读理解，就是那个篇幅就比较长，然后需要通过孩子去呃仔仔细细认真的审题啊。好了这个是讲第二次函数的话，呃差不多也也也挺多的， 嗯二次函数多是因为他后面也加了一部分这个选择的亚洲如果说，嗯这个你有需要的话也可以看看他。但是前面的基础就是线段问题啊，面积问题啊，这角存在性问题，这这一些你该学的你就去学一学，最起码你第二问的分。 嗯努努力，你要是一百二十分是吧？你努努力，你把第二问的分再拿到手稳定一下，嗯，就可以了。好了，如果说想了解的话，你可以去这个在群里去了解一下啊。

中考数学大题的第一道题通常是术语式的花言巧志，这题他属于送分题，但也是丢分题。他的核心特点就是只要你步骤对了，结果必对，但是只要你中间有一步写错，就直接零分。 我把这题的考点、难点和易错点给大家总结一下，笔记放在视频的结尾，你们自行去保存就好。第一个核心考点是平方差公式和完全平方公式，这两个公式你们自己必须必须全部会背。然后第二点是 分式变号。第三点是 a 的 零次方，任何数的零次方都等于一。 第四点是负值数密就是 a 的 负 p 次方。然后易错点是绝对值的化简。绝对值的化简呢？ a a 减 b 的 绝对值，你要判断 a 减 b 的 正负，然后再去化简。 呃。还有一个就是负号的干扰，比如说负二的平方，括号负二的平方，它的结果是四呃。第五个点是三角函数，也是非常重要的一个点，经常会考。

济南的家长注意了，二零二六年中考要迎来九大颠覆性的改革，今天我把所有的变化拆解的明明白白，点赞、关注、收藏。视频有点长，没听明白的反复听，非常非常重要。 第一、志愿扩容大升级。以前是指标生统招生分开报名，一个指标志愿加上三个平行志愿。现在是指标统招合并为一个批次报名，直接改成三个指标志愿加七个平行志愿选择多，大大降低了滑涨风险。二、 填报全靠自己来以后初中学校不再统一组织填报志愿，完全由家长和孩子自己操作，这就要求咱们必须提前吃透政策，别到时候手忙脚乱。三、中平 录取免中考。十二所重点高中部分保留推荐生，其余整合为综合评价招生。五月前两周考试，考试条件各学校自主制定，一旦录取直接免中考，而且入招人数还扩招了，这对于学霸来说是天大的机会。四、考生人数 二零二六年中考考生预计是八点五万到九万人，竞争非常重要。五、报名精准，一码一效， 正式实行一码一效，每个高中对应专属编码，报名更精准。六、志愿混合更灵活七个平行志愿支持高中和中职混合填报，你可以七个全填高中，也可以填五个高中，两个中职都可以。 升学路径一下子拓展了，就算发挥失常，也有了更多兜底的选择。七、指标生资格全覆盖，市区所有初三学生都能够享受指标生的资格，不再受户籍、学籍的限制，真正实现了教育公平。八、同分排序更清晰 同分录取规则明确，先看总分，再看语数总分，接着是语数单科最高分，然后是英语、物理、化学、体育的分数，每个考生都有自己的单独排名。九、一体录取新算法 体育类的综合分等于中考成绩乘以零点三，加专业成绩乘以零点七。艺术类的综合分等于文化课成绩乘以零点五，加专业成绩乘以六百六，除以三百乘以零点五。 想走一起路线的孩子，一定要算好自己的分数权重。总的来说，中考这九大变化，整体立好， 更公平、更稳妥，家长们心里一定要有数，不管志愿怎么变，同分怎么拍，一起分怎么算，分数都是硬道理。当前的最紧急的事情还是把孩子的分数提起来。

学会拆题，一定是初中数学提分最快的方式，这条视频我把完整的拆题过程分享给你。第一步叫做拆题干，把题干中所有给的条件你全部拆开，根据这些条件，能推出什么就先推出什么。第二步叫拆考点，这题考察的是哪个公式，哪个定律，哪个模型， 考察的测试一次函数还是勾股定律啊，还是说三角形？全等，你先把它分析出来。第三步叫做拆问题，去倒推目标。如果说让咱求长度，你就要想勾股定律啊，相似啊，还是说全等啊，还是说面积法？ 如果让咱求坐标，就要想解析式啊，还是说焦点，还是说距离公式。如果让咱们去证明，那就要去想判定定律。 用全等还是用相似啊？还是用平行。第四步叫做拆步骤，一种题型，它分为几步，第一步是什么？第二步是什么？第三步是什么？第四步是什么？全部用语言给它总结出来。就这样，干上一个月，坚持一个月，你的成绩必定有一个质的飞跃。

今天我们分享的题目是本市大阪七年级下册第一章里面一道整式计算题。为什么要去讲一道计算题呢？是因为我在我教学的过程当中，我发现除了一些顶尖的孩子计算没问题之外，其他的孩子他在计算上或多或少都存在一些问题。 当我们集团出现问题的时候，家长朋友们，你们是不是经常给孩子说的一句话就是，我们下一次认真一点，仔细一点，别这么粗心，一定能做对，包括我们孩子自己是不是也说，哎，我这个题做的太快了，这个我下次的时候我好好做，一定能做对。 但是我在这里想纠正一下大家的这个观念，你计算出错，其实是你能力不行，而不是你粗心，也不是你马虎，是因为你没有形成自己的一套计算的逻辑，你没有一套自己的计算习惯，所以你的计算才会出错。 我们话不多说，我们就以这一道题为例子，来给大家说一说，我们这个计算你应该怎么去， 怎么去做他，我们来看题目哈，你看这几个题目看起来就很复杂，如果是程度一般的孩子呢，看到之后他可能就已经有点那种畏惧了，就害怕自己算不对，可能他要去验算两遍，或者验算三遍，甚至是 如果是你一旦有了这个心得哈，你第一遍能做对的概率不会超过百分之十，我们来看看他应该怎么去处理。对于这种复杂的计算也好，还是简单的计算也好，我们其实都可以用分块的方法对它进行计算，也就是把它化繁为简， 我们把它分成两块，第一块就是我用红框圈起来这个地方，我们可以把它看成第一块，然后我再用绿色的框，我再给他圈一块，我们把这一个地方看成第二块。 比如说我们在计算的时候，我们只需要先关注一和二就可以，为什么这样说呢？为什么要用这样的这个计算逻辑呢？其实我们在小学的时候就已经学过这个方法了，举一个例子哈，你看我们如果用五乘二减去三乘四，再除以个三吧， 我们再去计算这一个式子的时候，我们是不是先算五乘二，先算三乘四，算完之后再算减，然后再除以三，对吧？我们到了初中之后， 他的不一样的地方在哪呢？他不一样无非就是在这个地方，就是我们的这个五乘二变成了 一个单项式，乘以一个多项式，三乘四变成了两个多项式相乘。但是我们的这个计算顺序是不变的呀，仍然是我们小学的时候学的那些方法，先算乘法，再算加减，有括号，先算括号，你就记住这个顺序和逻辑，你就去算就可以了。 好，我们说完了这个计算的顺序，我们再来说在计算过程当中他的一些技巧，就是说我们可以避免，让我，让我们自己避免出错的一些点。在哪啊？我们好开始算了哈，我们说了这个地方是第一部分，这个地方是第二部分， 我们把它两个看成独立的两个部分，怎么样可以把它看成独立的两个部分，就是给他加括号就行了，看怎么做的哈，他就等于 中括号，我先算第一部分，算第一部分，我带着括号，我带着括号去算，就是说第一部分算的时候，我就把这个 x 给它乘到这个里边来就可以了，是吧？那就是 x 的 三次方， y 的 平方减去 x 的 平方 y， 这是第一部分，我算完了我第一部分算的这个结果，我用一个小括号把它括起来，它这两个就独立了，然后我再算第二部分。 在算第二部分之前，我要注意到的是，我的第一部分和第二部分之间他的这个符号是什么？他是加还是减？如果是加我就写加，如果是减，我就照抄，我就写减。 减的时候我要算第二部分了，我仍然要用一个小括号把它独立出来。我们发现第二部分是一个多项式和多项式相乘，如果这个我们现在在写的这个地方是我们的答案卷的话，你肯定不能 直接往上写，对吧？你要在你的草稿纸上先对它进行一个演算。好，我们在草稿纸上去算一下 x y 的 平方减去 y 乘以 x 的 平方减去 x y， 那 它等于什么呢？这个题我们应该怎么做呢？有的同学可能算这一个题， 他都会出错，我们怎么样可以避免出错？你就把，你就把这个式子里面的 x y 的 平方，你看成一部分，负 y， 你 看成一部分， s 的 平方是一部分，负 x， y 看成一部分，怎么样？可以把他们 单独的看成一部分，还是同样的道理，加括号怎么算哈？它就等于 x y 的 平方，我是不是加括号了？乘以，我是不是要乘以？分别乘以后边两项，乘以 x 的 平方，再加上 x y 的 平方乘以负 x y， 就是 说我用这一个符号给他，我用这个括号把它独立出来之后，我中间的这个符号永远都是加号， 我不用再管它是正还是负的问题，是正还是负这一个问题，我放在下一步当中去做，然后再加上负 y 乘以 x 的 平方，再加上负 y 乘以负 x y。 好，我们下一步才是去处理每一项的。这个符号是什么？好，我处理一下哈。第一个肯定是正的，对吧？我们直接算就可以了，就是 x 的 三次方 y 的 平方。第二项一个正的乘以一个负的，那它肯定是负的，再减去 x 的 平方 y， 第三项是一个负的，减去 x 的 平方 y。 第四项负负得正，对吧？再加上 x y 的 平方。 好了，这样我的这个蹲下式就算完了，你还这样算，你还容易出错吗？是不是比你从脑子里边去想他是正的还是负的？甚至有的同学他直接就得出这个结果，就是在他的这个脑子里面就直接得出结果， 你是不是正确的概率大大的提高了，我们再抄到这里就可以了，再减去 x 的 三次方 y 的 平方，减去 x 的 平方 y， 再加上 x y 的 平方除以三 x y 的 平方。好了， 我们把下边这个草稿纸的这里的我给给大家擦掉哈，我们进行下一步的计算，我们下一步是要干什么呢？ 下一步是不是就要这个把这个中括号里面的这两个小括号我们给他去掉？去括号要注意， 当你两个括号相连，第二个括号前面是一个符号的时候，你这时候你脑子里边一定要有一个警钟，我括号里面所有的项我都要变号，你在写每一项的时候，你要想一想，它的符号变了吗？ 它就等于求括号了哈，它就是 x 的 三次方 y 的 平方减去 x 的 平方， y 第一项是正的， 那我给它进行编号，它就是减 x 的 三次方 y 的 平方。第二项是负的，加上 x 的 平方， y 的 三次方，第三项变成正的 x 的 平方 y 第四项变成负的，减去 x 的 平方，再除以三 x， y 的 平方。 好了，下一步是要干什么？是不是要去合并同类项？好，我们看看这个同类项是怎么合并的哈，有什么技巧你又去找，你先找他的最高次密 x 的 三次方 y 的 平方，看看有没有，哎，这里有一个 x 的 三次方 y 的 平方，这两个是消掉的，那我就可以给它消掉就行了。 x 的 平方 y， 看看后边有没有，哎，这里有一个 x 的 平方 y， 那 他两个也是消掉了，在后面 x 的 平方， y 的 三次方没有，负 x 的 y 的 平方更没有。好了，那我就照抄下来，把这两项 它就等于 x 的 平方 y 的 三次方，再减去 x， y 的 平方，除以三 x y 的 平方， 我们下一步是不是就在用这两项分别和这一个东西去除就可以了。 坐到这里，很多同学说，哎，老师你不要讲了，剩下的我来，但是我告诉你哈，在这里还有一个技巧，什么技巧呢？就是说我们到了初中和高中之后， 我们写除法的时候，你尽量的不要再去写除法了，你要用分号的形式来表示除号。为什么这样说，我们来算一下你就知道了哈，我们用第一项，你要是用这个 x 的 平方去除以三 x y 的 平方，我们给他写成分式的形式 除以三 x y 的 平方。你有没有发现这个题目突然间变得很简单，当然这两个式子它本来就很简单哈，但是你如果，如果是遇到后面 遇到比较复杂的，你这样写成分式的，它是非常的清晰的。你那你就直接去看了。我们这个数和数相处，那就是下边还是留着三，上面还是一，这个没有，没有什么变化。下面 x 的 平方和 x 相处，那我这个 s 平方没有了，上面剩下一个 x， 下面这个 s 直接消掉了。 y 的 平方和 y 的 三四方相除，这个 y 的 平方角上边只剩了一个 y， 那 我不就是三分之 x y 吗？是不是很简单，就是你一眼就能看出来，而且还不容易出错，所以我们的第一项， 我们第一项就是三分之，它就等于三分之 x y。 到了第二项，注意要先把这个符号给他放在这里，再减去 x y 的 平方，除以三 x y 的 平方，这两个可以消掉吗？是吧？它就是三分之一吗？ 所以我们当然你最后的结果是这一个也可以，如果你觉得它不好看，你写成三分之 x， y 减一都可以，都是最简单的形式，这样我们这个题就做完了。我相信这一个视频对那些计算能力差的孩子是很有帮助的哈， 你好好的去思考一下，就用我的这个方法，你把它用到其他的计算当中，通过你日常的训练，你把这一个方法和你自身的能力融合在一块，我相信你的这个计算能力是可以大大提高的。

把数学的抽象思维考到极致，这是一道秋桐班的招生试题，那么我们知道秋桐班是由我国著名的数学家秋成桐教授 发起的一项全球数学领军人才的培养计划，这个班是在清华。我们观察这道题，这是一道计算题，和我们常规的找规律的题，和那个数列计算的题，他不一样的地方是这个题目的分子部分不 同，我们常见的题是分子要么是一，要么是二，是同一个数，分子相同，分母不同，那么这个题是分母不同，分子也不同，难就难在这里。那么我们说像这类题，他给到的这个有现象，有同学非得要较真的话，你硬算也能算出来。 但是显然这道题考察的是要求我们找到这个题的通向公式，也就是涉及到一个非常重要的数学思想，由特殊到一般的思想， 那么这就是数学思维的最为明显的体现，叫抽象，由特例抽象出可以通向的一个东西。那我们来观察这个视皮的结构，观察这个第一项，首先来看它的分母，分母是三个连续自然数相乘， 这是分母的规律。三个连续自然数相乘，一二三二三四三四五，这个规律很明显。那么分子如果单独只看分子的话，它是连续递减十八、十七、十六，那么这样来找的话，我们就将分子和分母割裂了。我们现在是要将分子和分母统一起来， 当做一个整体结构来考虑。那么再观察我们的分子和分母到底有什么样的一个共性，就是分子和分母当中阴式的第一项相加，它的和为十九， 这就是规律。所以我们要求的这个式子的通项我们可以怎么写？用 k 代表一的话，分母就是 k 乘以 k 加一， 再乘以 k 加二，连续三个自然数相乘，这是分母。那么分子呢？是不是就是十九减去 k， 这就是我们的通项公式。那么通项公式之后，就需要给他来列项了，这个分式给他拆向拆成两项， k 乘以 k 加一，乘以 k 加二分之十九，这是第一项。那么第二项这个 k 和 k 就 直接约分了，那么剩下的 k 加一，乘以 k 加二 分之一，我们就将通项拆成这样两项，那么拆成两项之后，再来分组列项，前面的列项，后面的也列项。我们首先看这个第一项分子是十九，分母是 k 乘以 k 加一，再乘以， 可以加啊，我们来看看怎么列项。首先将这个分子当中的十九，我们给它提出来，分母上其实就成了一了， k 乘以 k 加一，再乘以 k 加二分之一，这是前面的这第一项， 这个十九这个长数我们先放在这前面，乘以后面这个连续三项自然数分之一相乘，我们就列项，变成列成第一个分式的分母是前两项，第二个分式的分母是后两项，这样就都连续起来了。 k 乘以 k 加一，那么这是分母。我们这里写一的话，减去 k 加一，再乘以 k 加二分之一， 那么这样给他还原之后，我们看看由这一项到这一项，我们给他通分还原的时候， k 乘以 k 加一，再乘以 k 加二，这里是 k 加二，这里是乘以 k， 那 么 k 加二，减去 k， 分 子上是二，分子上是二，我们提取一个二分之一出来，那么这就是个等量带坏的过程， 所以我们将这一项式子就给它列向成这样的两项长，那么后面的式子，我们的 k 加一乘以 k 加二分之一，这个列项就可以直接 k 加一分之一，减去 k 加二分之一， 也就是将这两个式子我们分组列向列向成这样的式子，这里头的 k 他 最后的取值范围大于等于一小于等于十八的，这就是我们给他分组列向拆出来之后的通项公式。其实就是这样一项，再减去后面这一项， 那我们找到通式之后，就可以原式等于了。将这个系数提到前面二分之十九乘以，那么 k 是 大于等于一小于等于十八的，也就是一乘二分之一，减去二乘以三分之一， 那么这个第二项加上二乘以三分之一，减去三乘以四分之一。同样第三项当中又加上这个三乘以四分之一，减去四乘以五分之一， 这样一直到第十八项加上十八乘以十九分之一，减去十九乘以二十分之一， 这是前面这个式子列项得到的结果。那么后面这个式子 k 加一分之一，乘以 k 加二分之一，它的列项结果，我们 k 加一分之一，就是二分之一，二分之一减三分之一加三分之一，减四分之一，一直到最后减最后一项二十分之一。 上面的原式分组列项之后，得到的结果就是这个，那么我们看这里互为相反数抵消掉，互为相反数抵消掉，那么最后这里面就剩下一乘以二分之一，减去十九乘以二十分之一了， 将那个式子再给它直接成开，二分之十九乘以二分之一，减去十九乘以二十分之一，这里再减去二分之一，加上后面的二十分之一， 四分之十九，减去十九和十九，约掉四十分之一，减去二分之一，加上二十分之一，最后通分就四十分之一。百九减一减二十加上二， 最后是一百七十一，那么这就是最后的结果。回头我们看这道题，它这种竞赛题或者这种自主招生题，和我们常见的题不一样的地方，就是有常见题的影子，但是它的规律性就不那么明显。这道题当中，我们第一个分子它不是统一的分子，各不相同。 那么第二个要分组列项，就像我们前面学到过的有关的分组分解音式的思路一样，它是如出一辙的。在这道题当中，是把数学的抽象思维考到极致。 我们列出这个式子的通项公式之后，就别说是这样一个式子，如果是他最后一直加到一百九十八乘以一百九十九乘以二百分之一，如果这个式子最后是加这么多，我们依然可以用这个公式来计算，那么也是 k 大 于等于一小于等于一百九十八来做就好了。 那么再往上大呢？我讲过有一个日本东京大学的入学招生式题，最后是四百三百九十八乘以三百九十九乘以四百的思路，就是同一个思路， 这就是数学的抽象思维，我们找到通向公式之后，用这样一个公式可以解决这一类问题。好，这个题也给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。