吉林省中考数学动点题标准答案

快来看这道题，你需要几分钟？好的，我们今天继续来看一道很多同学都怕的动点锥子问题。 题目说在矩形 abcd 中， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八， e 点在 ad 边上，并且 d 一 是 a 一 长度的三倍，那 a 一 的长度就是二了， d 一 的长度自然就是六了。 然后 p 点在 bc 边上运动， q 点在 bc 的 延长线上，并且 c q 和 cp 相等，接着连接 e， q 和 d， p 相交于点 f。 最后让我们求线段 b f 的 最小值是多少？ 好的，相信大家也思考的差不多了，不知道你有了清晰的解析思路没有？ 首先根据这一个条件，我们可以知道 c 点其实是 p q 的 总点，而又因为第一的长度是定值，所以说这里的一组八字相似，他们的相似比我们是知道的 好。那当我们遇到这种情况的八字相似的时候，有一个东西大家一定要掌握， 就是如果我们过 o 点任意引一条线段的话，那么根据相似三角形的判定，是不是始终都有 a， e 比 d， f 等于 m 比 n 呢？ 那如果我们能够确定 e 点在 a b 上的具体位置的话，比如说现在 a 一 等于三分之一 m， 那 么根据这一个结论，我们是不是就能随机确定出 f 点在 c d 上的具体位置啊？你会发现 df 也等于三分之一的 n。 这一个小知识就是我今天要跟大家讲的好，那现在我们回到题目上来，可以看到 c 点在 p q 上的位置已经是确定的了，所以我们连接 cf 并把它延长。 那么根据刚才那个结论，我们是不是可以知道极点也一定是第一的终点了，所以说 f 点就在这样一条固定的直线上运动，那自然是当 b f 和 c g 垂直的时候才能取到最小值了。 至于最后的计算，用一组相似就能轻松得出了，算出来 b f 的 最小值应该是五分之十二倍的根十，你学会了吗？

并角并高最值问题，如图，角 q， c， p 等于凹斐凹法为定值， c， h 等于 a， a 为定值。点 q， 点 p 为线段 a、 b 上的动点。探求一下 q， p 的 最小值，做三角形 q， c， p 的 外接与 o 过点 o 做 o， k 垂直， q， p 与点 k 连接， 一得角 q， p 等于凹斐，设半径为二，所以当二最小时， q， p 等于点 h， 重合时二最小，即 q， p 最小。 如图，三角形 a， b， c 为等腰直角。三角形 a， c 等于三点 q， 点 p 为边 a， b 上的动点角 q， c， p 等于四十五度。当三角形 q， c， p 的 面积最小时，其实就是当 q p 的 长最小时， a， q 的 长为多少？ 这是一道填空题，可直接做出 q， p 最小时的情况。如图， q， p 的 长为最小或点 c 座 c， h 垂直 i， b 于点 h， 此时角 q， c， h 等于角 q， c， a 等于二十二点五度。或点 q 座 q， k 垂直 a， c， e 点 k， e 等于二分之三根号二。 设 q， h 等于 x， 则 q， q 等于 x， a， q 等于根号二 x。 通过计算可得 a， q 等于三，根号二点三。

大家好，我是吴老师，今天给大家出示的是动态几何旋转临界问题，这是中考数学压轴题当中的最后一问， 今天你听完我的视频以后这类题型的分问答，先听听题目， 在二梯三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度， a、 b 等于五， b、 c 等于三点 d 在 a、 c 边上，且 cd 等于一点 p， 从点 a 出发，沿折线 a、 b、 b、 c 匀速运动，到达点 c 停止 连接 p d， 将线段 p d 绕点 d 顺时针旋转九十度得到就 d。 设点 p， 在 该折线上运动的路径长为 x， 当点就在三角形 a、 b、 c 外部不含边界时，直接写出 x 的 取值范围。 这类问题它的难点在于哪呢？就是临界状态的图形，我们画不出来，大家按下暂停键，独立去思考一下，正确答案是它，两个答案你都出来了吗？我们先来整体的感知一下， 我们会发现点 p 的 运动路径是条折线，而点 q 的 运动路径呢，也是一条折线，这是为什么呢？ 那是因为呀，在整个的运动过程当中，点 p、 点 d、 点 q， 它们的相对位置关系始终都没有变， 那么这个相对的位置关系指的是什么呢？夹角九十度没变，再有长度啊， p、 d 始终是等于 q、 d 的， 这就是相对位置关系啊，没变。 所以这里边这个图形上的每一点的运动路径，它的形状是相同的，所以点 p 的 运动路径，它的形状是折线，所以点 q 的 运动路径， 它的形状也是折线啊，这一知识点非常的重要，我们记住它了，我们就可以手动的画出点 q 的 运动路径了，那么该如何画呢？这个非常的关键，我们一起来看一下。 首先呢，点 p 是 从点 a 出发的，把点 p 放在点 a 处， p d 的 长度已知了，我们根据它们的相对位置关系，垂直线段相等，可以找到点 q 的 初始位置是这里， 然后点 p 运动到点 b 处， p d 长度知道了，哎，做垂直等线段，就可以找到点 q 的 这折点的位置，再继续移动点 p， 让它和点 c 重合， 那么 p d 长度有了，做垂直等线段哎，把此时点 q 的 位置找出来，那么三点确定了，顺齿以连的就是点 q 的 运动路径了， 这样一来啊，他求的呢，是点 q 在 三角形 a、 b、 c 外部的情况，你看到外部都有哪些了吗？那很显然是找到临界点，那么临界点的位置第一个位置在这儿，点 q 在 a c 上， 那么我们画图形的时候该怎么画呢？来确定路径之后啊，交点 p 的 位置啊，很好找了， d q 的 长，有了左垂直等线段啊，就可以找到点 p 的 位置了，那么这就是第一个临界状态时候的图形。那么第二个位置啊，是这种情况， q 点位置确定了啊， d q 的 长确定了，垂直等线段，点 p 的 位置也确定了，这就是第二个临界状态的图形。第三个 好，点 q 到这了，还是连接 d， q 长度有了，做垂直等线段啊。第三个临界状态图形也出现了，图形找到之后，我们接下来就是进行计算了， 来第一种情况，我们来进行计算，那么计算的方式很显然啊，平行对应边去乘比例 x 呢，是 a p 的 场啊。第一种情况求出来了。第二种情况，点 p， 点 q 都在边 ab 上，那么三角形 p d， q 是 等腰直角三角形，我们利用它的性质啊，我们做一条高线啊，利用等腰直角三角形的三线合一的性质啊，还有垂直就会出现相似， 就会找到边的关系了啊， ap 还是 x 的 值，那么它等于 am 加 mp， 而 mp 呢，是等于 dm， 那 么这个搞定了。第三种情况， 点 p 呢，是在 b c 上，点 q 是 在 a b 上，那我们要充分利用 d q 等于 pd， 那 我们要做一线三垂直构造，全等 全等啊，等零代换，这里边还有相似呢，对应边乘比例算出相应的线段，然后利用线段的和差就可以找到此是 a b 的 长了。 那么拓展一下，当点 q 在 三角形 a b c 内部的时候，不含边界 x 的 取值范围，你知道是什么了吗？ 欢迎大家在评论区给出正确的答案，感谢大家的聆听，我们下次见！

好，下面我们一起来看题。如图所示， ab 等于三， a、 c 等于二。以 b、 c 为腰 点， b 作为直角顶点，向上构造一个等腰直角三角形 b、 c、 d 这 a、 d 的 体式范围，那么求体式范围，实质上就是求 a、 d 的 最大值和最小值。 那么本题我们首先来看，注意到三角形 b、 c、 d 是 一个等腰直角三角形， b、 c 等于 b、 d 的， 那么我们可以将 b、 d 看作是 b、 c 绕 b 点顺时针旋转九十度， 所以这里我们把 a、 b、 a、 c 也绕 b 点顺时针旋转九十度， 实质上就相当于把这个三角形 abc 绕 b 点，顺时针旋转九十度。 好，我们把这个三角形 abc 绕 b 点旋转到 a、 p、 b、 d， 此时我们不难看到 a、 p、 d 就 等于 a、 c 等于二。 我们连接 a、 a、 p， 由于 a、 b 旋转九十度到 a、 p、 b， 所以 这里 a、 b、 a、 p 就是 一个等腰直角三角形，所以这个 a、 a、 p 应该等于 a、 b 的 根号二倍。这个等腰直角三角形三边的关系，那么 a、 b 等于三，所以 a、 a、 p 就 等于三，根号二。 所以我们这里得到两个线段， a、 p、 d 等于二， a、 a、 p 由于是等腰直角三角形得到，它的长度是三根号二。 我们下面关注这三条线段啊，我这里说线段 a、 d 这条线段， a、 a、 p 这条线段和 a、 p、 d 这条线段，我们会发现 a、 d 应该大于这两条线段的差，小于这两条线段的和，我这里说的是大于和小于，没有讲等于，这就是三角形 a、 p、 a、 d 当中哎， 两边只差小于第三边，两边只和大于第三。那么这里老师为什么写了个等号呢？我们来看，当 a、 p、 d、 a 在 一直线时，它们等号成立， 所以 a、 d 的 范围我们就出来了。我们把二、三根号二代入，就得到 a、 d 大 于三，根号二减二，小于等于三根号二加二，在这两个范围之间。 好，我们来好，我们来看动态演示。刚才我们已经证明了， a、 p、 d 就 等于 a、 c 等于二， 而 a、 a、 p 是 等于 a、 b 的 根号二倍，就等于三根号二。所以这两条这条等于二，这条等于三，根号二。 那么这一条我们来看一下它什么时候等于这两条的和。 我们说 a、 b 等于三，所以我们 b 点可以看成是以 a 为圆心，三为半径的圆上运动，我们说运动到它们一直线时，此时 a、 d 就 等于这两条虚线的和。 当在这个位置时，我们会发现，你看啊，在变动这个 a、 d 就 等于 这两条虚线的差，所以为什么有等号成立，同学你理解了吗？本期就讲到这里，再见！

我们听说这个四月二十七号有十二轮，我们就能够差不多预测出今年中考的 整个的具体方向。嗯，王老师你这又开始做这个整理了，那这不是二六年出了大概得有个二十套了，然后每套是六点八十四个点二二十四整个的一个考法啊，问法啊，肯定得 整出来啊，因为你只有这样的话，你，你有这个数据统计和表单，你才能知道说今年的这个整体的复习方向是啥样的。嗯， 照比往年二五年哪些有新增的题型或者新增的问法，还有哪种问法不出了，都是可以通过这个统计表数据整理。对，能够能够分析出来的，尤其是像名校啊、军工啊，地方，还有这个省二啊，这些都是都是能够分析出一些东西的。 我们听说这个四月二十七号十二模就是万众期待的一个考试啊，我们就能够差不多 预测出今年中考的整个的出题方向了，到时候给大家出一些视频啊，如果是有什么新题型啊，改动啥的，给大家发对应性练习，大家再发大家进王老师初三的那个粉丝群呢。

中考数学想拿高分，这类二次函数里四十五度角求点 p 坐标的题型，你必须得会。题目告诉我们，抛物线与 y 轴交于点 a 与 x 轴交于点 b， 点 p 是 抛物线上一点，若角 b、 a、 p 等于四十五度，求点 p 的 坐标。这种题千万别一上来就硬算几何综合，先画图，再动笔。 题目要求角 b、 a、 p 等于四十五度，那我们就先画一个四十五度的角出来，以 a 为顶点，画一个四十五度角。一画，你就会明白，符合条件的直线 a、 p 一 共有两条，一条在 a、 b 的 下方，一条在 a、 b 的 上方，对应的就有两个点 p。 那 我们一步一步来，先看下方这个点 p、 e 这个点的解析式求出来，再和 p、 e 线连成方程组，解出来的 x 和 y 就是 焦点坐标。 所以核心就一件事，把直线 a、 p、 e 的 解析式求出来。一条直线我们只需要两个点，现在已经有点 a 了，只要再多一个点就能求解析式。题目给了四十五度，这个角非常特殊，看到四十五度，又想直角三角形。我们在 a、 p、 e 这条直线上取一点 c， 使 b、 c 垂直于 a、 p、 e。 只要把点 c 的 坐标求出来，直线 a、 p、 e 就 出来了。 图画出来，你就会发现，因为这里是四十五度角，所以这两条线段垂直且相等，这就是一线三垂直模型。我们只需要过点 c 做一条水平线，平行于 x 轴与 y 角交于点 e， 过点 b 往下做垂线，得到 b、 d， 那 么左右两个三角形必然相等。这个结论都知道吧？全等过后，我们设 c e 等于 x， 那 么 b、 d 也等于 x， o e 等于六减 x， 所以 a o 等于 a， e 减 c， e 等于六，减 x 再减 x 等于六点二， x， 而 a o 等于三，所以六点二， x 等于三，直接解出 x 等于一点五， c， e 等于一点五， o， e 等于一点五，所以点 c 的 坐标就是一点五个逗号负一点五。我们现在点 a 和点 c 的 两个坐标都有了， 那求 a p e 这条直线的解析式还不简单，过程我就不写了，直接给大家。结果，直线 a p e 的 解析式为 y 等于负三， x 加三点 p e 就是 直线 a p e 和抛物线的交点，所以我们直接把两个解析式连立，解出来的结果就是它们的交点坐标 化减方程，我们会得到两个解， x 等于零和 x 等于十一， x 等于零对应的就是点 a， 这是题目本来就已知的点，不是我们要求的点 p 一， 所以这个解直接舍去。剩下的另外一个解就是我们要找到点 p 一 的横坐标，把 x 等于十一带回直线，解析式算出 y 等于负三十，所以点 p 一 的坐标为十一到负三零。 接下来我们求上方这个点 p 二。很多同学都知道两直线垂直斜率乘积等于负一这个结论，但是很多地区用这个结论是容易扣分的。所以这道题这个方法我就不讲了，我们还是用最老实最安全的方法，依旧是用一线三垂直来搞定它。我们在 a p 二这条直线上取一点 h， 使 b h 垂直于 a， p 二，同样构造一线三垂直 或点 h 做水平线，平行于 x 轴，那么左右两个三角形同样全等，和前面的方法一模一样，设未知数列方程，很快我们就能求出点 h 的 坐标是四点五，逗号四点五。 再利用点 a 和点 h 直接求出 ap 二的解析式为， y 等于三分之一， x 加三。继续把直线 ap 二和抛物线连立方程组 解出来。同样两个结， x 等于零和 x 等于三分之十三， x 零对应的还是点 a， 直接舍去，把 x 等于三分之十三带回直线，算出纵坐标，得到上方这个点 p 二为三分之十三，逗号九分之四十。

七年级下册开始，数学拉开差距的就是动点问题，你真的很难考过一个每天坚持练习动点压轴题的孩子， 给大家推荐这本。这套动点压轴题专项训练七八九年级都有。七年级这本主要是以数轴上的动点为主，一共五十道题。八年级这一本主要是关于三角形、四边形和函数的动点，一共五十道题。九年级内容就比较多，一共一百道题。他把初一、初二、初三的重点问题都总结融合在一起， 一共安排了四轮复习，而且难度是由易到难，逐渐拔高。并且每道题的答案都非常详细，右边是学生作答区域， 左边是详细的手写版参考答案。看不懂也没关系，可以看宁浩老师的视频讲解，学生在家也能轻松自学压轴题。初中数学想拿高分的同学，这套书一定得准备动点压轴题，一定要攻克下来！

动点是中考的热点和难点，初中数学想要取得高分，就一定要对动点问题有非常透彻的研究。如何吃透动点问题？建议使用这本动点压轴专项训练。这本资料精选精讲的都是动点压轴大题， 并且每个题都配有视频讲解，它囊括的题型也非常全面，几何压轴题、函数压轴题都有包括。 而且他每个题都设计了两页，一页独立思考作答，另一页是详细贴心的解析，非常优质的一本资料。他对中考数学会遇到的动点题型进行了由易到难的系统练习，助力同学们解析能力螺旋式上升，基础不错的同学赶紧练起来！

今天我们分享一下八年级数学月考压轴题，全对的寥寥无几，一般来说，动点问题是最难解决的问题，我们看这道题，做这类题呢，首先搞清楚动点的起始点 和结束点，以及它的速度，在读题的时候画一画，标一标，然后看问题。第一题好解决，两秒钟 p q 的 长，那我们看两秒钟之后， p 点到这个位置， q 点在这个位置，那么 p q 的 长度就在直角三角形中。利用勾股定律求一下 p q 的 长度。 第三问，当 q 点在 c 上运动时，求使三角形 b c q 成为等腰三角形的运动时间，那这时候我们就要分情况讨论了。假如 q 点到了 c 的 这个位置，这时候三角形 c b q 谁是腰长呢？那分三种情况，当 b c 等于 c q 时，当 b c 等于 b q 时，当 c q 等于 b q 时，三种情况下求解就可以了。最终答案是多少呢？ 请把答案写在评论区吧，注意分情况讨论。好，再见！

中考倒计时这个斜修求最值的方法，你一定要学会！这道题用几何做辅助线的方法有点难想到，但是我们用代数法也可以秒杀。这个 o a 的 长度等于三， 圆的半径等于六，而 b 点作为这个圆上的动点，过 b 往 l 上面做了一个垂直，那么 bc 在 左右移动的过程中， ac 和 bc 都是在变化的，现在让你求这两个加起来什么时候最大？ 那么你观察一下这个 bc， 它很明显是一段没有画完的一个弦，我们一般见到弦一定要把它的垂径做出来。我过 o 点去做一个 o e 垂直于 bc， 那 么你就会发现 o a c e 是 一个矩形，所以 c e 是 三，而 ac 等于 o e， 所以 你要求的这个 ac 加 bc， 我 们是可以把它转化一下的。 ac 加 bc 就 等于 o e 加上 b c 被这个 e 点分割成上下两部分了，加上 b e， 再加上 e c， 而 e c 它等于 o a 就是 三。所以现在我们要求的最大值就变成它俩之和的最大值了。你想象一下， b c 靠右走的话，那么 o e 就 会变长， b e 就 会变短， 往左走， o e 就 会变短， b e 就 会变长，那它们两个之间很明显是存在一个关系的。你会发现题目里面半径等于六这个条件我还没有用到，对吧？所以 o b e 连 o b 的 长度始终等于六，也就是说我把这个 o e 设为 x， b e 设为 y， 它们始终会满足勾股定律， x 方加外方等于三十六。那你现在要求的就是 x 加 y 的 最大值。 那么对于数感比较强的同学，他会一眼看出来这是一个对称式，这也是一个对称式。那什么时候取到最值呢？当然是 x 等于 y 的 时候，所以可以直接口算出来， x 方等于 y 方等于十八， 也就是说 x 等于 y 等于三倍根号二的时候，我们能求到最值。那这道题最后答案就是三倍根号二加三，倍根号二加三，也就是六倍根号二加三。 但是如果你不知道这个求最值的技巧，我们也可以通过一元二次方程把它做出来。你需要掌握一个万能 k 法，我设你要求的这个 x 加 y 等于 k， 那 么 y 就 可以改写成 k 减 x， 我 把它往刚才这个等式里面一带，能得到 x 方加上 k 减 x 的 平方等于三十六，这不就是一个普普通通的函数？平方等于三十六，这不就是二 x 方减二 k， x 加上 k 方减三十六等于零。含餐的一元二次方程求参数一般都是从单二它下手的这个动点，不管它怎么动， x 方加 y 方等于三十六始终成立。也就是说这个一元二次方程它一定会有解。所以我们必须满足单二，它等于四 k 方减去四乘二， 再乘 k 方减三十六，这个东西，它必须得要大于等于零。那解一下呢？ k 方是小于等于七十二的那个方 k， 也就是我们要求的这个 x 加 y， 它就等于六倍根号二，同样也能算出来最终答案。六倍根号二加三，这个方法你学会了吗？关注范范老师，掌握更多压轴题解析技巧！

好，来，我们来看几何动点最值难题，礼形元加点元最值。这道题怎么处理呢？我们来读题，看左边这个图啊，对不对？左边这个图，在 r t 三角形直角三角形 a、 b、 c 当中， a、 b 垂直于 b c， 哎，这是一个直角， a、 b 等于六， b c 等于四， p 是 三角形 a、 b、 c 内部一个动点， p 是 一个动点，但是呢，不管这个点 p 怎么样动， a p 始终是垂直于 b p 的， 这个角始终是一个直角。好，这就是所有的一致条件。那么现在再问你什么呀？让你求 c p 的 最角值， 来求 c p 的 最小值。很多孩子，尤其是初三的孩子，拿到这种类型的题目，求最值，一筹莫展，这咋求啊？ c p， 我 都不知道他该跟什么有关，就让我求 c p 的 最小值，怎么求呢？所以要跟着我的思路听，什么叫隐形圆限行啊，不管点 p 怎么运动，是不是始终有角？ a、 p、 b 是 一个什么角？直角九十度的角。哎，那么根据什么呀？在圆里面直径所对的圆周角等来直径所对的圆周角是九十度。来，我写一下 来，在圆里面。哦，直径所对的什么呀？圆周角等一段图吗？是不是九十度呀？哎，所以，不管你这个点 p 怎么运动，这个点 p 的 轨迹是什么？始终是以 a、 b 为直径的一个圆呐。哎，这是关键啊，所以点 p 呢，它的轨迹就是在三角形 a、 b、 c 内部的一段圆弧。来，我给你描出来，朋友们，就是这段弧，他别的颜色比他描 来，这就是点 p 的 轨迹。好，知道了点 p 的 轨迹，那么剩下的问题是轻而易举的隐形元，第一步，陷阱第二步，利用点圆最值的原理。大招是给他讲的怎么连接？求 c p 的 最小值，圆外一点 c 到圆上最短的距离等于谁？连接 c 点和圆心 h 跟圆的交点，这个 p 就是 我指的那个最小的 p 点的位置。 来，那我们口算一下，你看 a b 等于六，那么 h 是 不是圆心呀？它是不是一定是直径的终点？ a b 等于等于三，那 b c 是 不是等于根号下 bc 的 平方加上什么呀？ b h 的 平方还可以口算呢，勾三股四全五等几啊，是不是等于五呀？ c h 等于多少？ h b 是 等于半径啊，这个圆的半径等于几啊？等于直径的一半，而 a b 是 直径等于六，所以 h b 就 等于二分之一的什么直径等于二分之一的 ab 就 等于几啊？三。好，那我再问你， c p 的 最小值等于几啊？哎，是不是口算来， c p 的 最小值是不是就等于 c h 减去 h p 就 等于五，减 三等于二？搞定，那么这道题是不是就搞定了？这是什么呀？咱们初中阶段有一个难度动态几何求对的问题哦，很多孩子还在放弃这种题的时候，我们的孩子学了大招数已经可以口算了，几乎可以口算了，而这道题的来源是咱们大招宝典第九实验几何模型大招时期好了，我们来看一下这道几何动点最值问题已经元和点元最值的结合我们说了啊，这种类型题真的是在考试当中拉开差距的， 有的孩子看到图哎，瞬间就能够想到这是隐形元，还要用点最值的原理去解，有的孩子他死活看不出来，看不出来呢，这个题就解不出来。好，我们看一眼回题。先看左边这个图说三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形 a、 b 等于二，那这个呢？三角形是不是一个关于一确定的边角是二的等边三角形？好，那么说 t 为三角形 a、 b、 c 那 个动点点 p 在 三角形 a、 b、 c 内动，且满足，这有一个定角角 a、 b、 c 等于一百五十度，这个角是一百五十度。 哎，那么问你线段 p b 的 长度最小值是多少？哎，这怎么求啊？首先呢，你要求 p、 b 长度的最小，那你看点 b， 我 可以把它看成这个定点。哦，那你看点 p 是 不是一个动点啊？哎，这个我要求定点到动点的距离最小，我一定要用什么呀？要用轨迹思维，什么叫轨迹思维？这个 p 点在动，虽然把这个角 p 是 一百五十度，那我要找到你这个点 p 的 轨迹是一个什么图形呢？ 哎，对不对？所以呢，我们说了，从标题里面看出来它是一个什么图形呢？就说题目里面没有明确告诉你这个点 p 的 轨迹是一个圆，但是呢，根据条件的挖掘，你能够发现，哦，原来它就是一个圆。 注意，看这个点 p 的 逻辑，为什么是一个圆呢？你看右边这个点 p 给你画出来是一个圆。注意啊，隐形元限行，我说了四大方法，大多数人在这里面用的隐形元限行的方法叫什么？叫什么呀？定边，定角， 注意，非常关键的定边定角来确定这个隐形元。什么叫定边，什么叫定角？ a、 p、 c。 注意看啊，我给你打印了蓝色三角形，就是一个标准，定边定角 a、 c 是 不是一个定边等于几？等于二？哦，它所对角这个角 a、 p、 c 是 一百五十度，屏幕一条， 这是不是定边定角？那么点 p 的 轨迹就是什么？一个圆，而 a、 c 呢？就是这个圆里面的一条弦， a、 c 就是 一条弦。有人说，老师，为啥呀？为啥来去看我们大多数没有一个角，来，我给你大概说一下，你看，我们说在圆里面啊，在一个圆里面有 一个什么性质？圆里面有一个什么性质？同弧，一条弧所对的圆周角是不是一定相等的？ ab 这条弦，如果它是一个确定了长度的弦，那么在这个圆里面，它所对的什么圆周角一定是相等的，是不是一个圆啊？ 你注意看这个 a、 b、 c 是 不是一个定边角啊？ a、 b、 c 定边角。所以呢，回到这道题目里面， a、 c 等于二。题目已知条件告诉你， a、 b、 c 都等于二角， a、 b、 c 等于一百五十度，一百五十度。所以呢，点 p 的 轨迹就是以 a、 c 为弦的。什么呀？一个圆，当然点 p 在 三角形 a、 b、 c 内部，那它是不是这段圆的一段啊？是不是弧 a、 c 啊？点 p 是 不是弧 a、 c 这段它的轨迹？好，那么我知道了它的轨迹。下面的问题要求， p、 b 长度的最小值是不是就搞定了？是不是很 搞定了？是不是？哎，那他怎么搞定的？是不是变成了？后面这块叫什么呀？点圆最直了，是不是点圆最直了？点 p 的 轨迹在这个圆上运动，那么点 b 是 圆外一点，圆外一点到圆上一点的距离的最小值。怎么？求大招？书里面我们讲的清清楚楚的，是不是什么直接连接圆心，直接连接圆心啊，直接连接圆心啊，哎，直接去连接圆心，那我是不是直接去连接这个圆心 b o 吧， 连接圆心 b o， 但是注意啊，你首先要连接圆心，你还要能够求的出来呢，哎，那你怎么求呢？你看，我要找出来此时的这个 p 点，就是取最小最小值的这个 b p， 那 我是不是需要两个条件，此时的 b o 最小值是不是应该等于，首先 b o 减去这个半径那点 p 不 管在哪里都减去 o p， o p， 是 这样， o p 不 就是我们的半径吗？ 而 b o 呢？不是需要求，那问题就变成了，哎，我怎么来求这个 b o， 又怎么来求这个半径？二，哎，注意看啊，那怎么来求呢？在这里面我们就要用到这个一百五十度角了，你看 为什么我们连接了 a、 o、 c、 o 之后，在这里给大家标出来这个角多少度？六十度，为什么这个角是六十度呢？他为什么六十度？怎么求的？追他。 我们说了圆的内接四边形有什么区别？是不是对角互补？哎，那么所以这个六十度是正来的，我随便在圆上找另外一点，哎，连接，然后呢再去连接，我随便设一个点，你看 a、 b、 c、 d， 我 认为这点为 d 点 d， 那 么 a、 d， c、 p 这四边形呢？ a、 d、 c、 p 这四边形当中，你看它是不对角互补呀， 为什么这是圆的内切四边形的性质，课堂老师是什么角告诉过你的，那所以我问你，这个角 d 等于多少度？你看角 d 等于一百八十度，减去角 a、 p、 c。 注意啊，这是什么？再说一遍，圆的内切四边形对角互补的性质，所以一百八十度减一百五十度等于三十度呀。好， 那我再要利用一个例子是什么， a、 c 这段弧所对的圆心角等于它对的圆周角是什么？二倍，所以角 a、 o、 c 也就是要求的圆心角等于多少？等于二倍的角 d 三十度乘以二，是不是等于六十度？所以角 a、 o、 c 六十度就是这么来的。注意看啊，这个推导步骤为什么难倒很多人，难倒何人？但是呢，你学过大招数，你是不是顺利成交呀？你都不用画这个图口算，看到这个图形，一百八十减一百五十，三十三十乘以二等于六十度，搞定。 哎，要有这个能力啊，孩子必须在中考前掌握这个能力。好，那我问你，角 a、 o、 c 等于六十度，那你看 a、 o、 c 这三角形是一个什么三角形？哎， a、 o、 c 这三角形是不是等于等边三角形啊？有一个角是六十度的等腰三角形， a、 o 和 c、 o 都是半径的，对不对？所以他俩一定想等啊，你看，你描出来 a、 o、 c 这个三角形是一个等边三角形， 写一下啊，那么在等边三角形 a、 o、 c 中，那这个半径是不是出来了？半径 o c a、 o 不 就等于 a、 c 吗？而题目已经告诉我了， a b a、 c 这个等边三角形占几啊？不是等于二吗？哎， a、 c 等于二，那半径不都等于二吗？这个 r 是 不是就等于 a、 c 等于二？哦，原来这个圆的半径是这么求出来的，题目没有明确告诉你，但是你看，通过你找到了这个等边三角形，是不是就求出来了？半径等于二。 好，半径等于二。那你看，我再给你描一下这个 r， 我 是不是求出来了？这个 r， 你 看你写一下，是不是等于二？求出来了。最后一步是不是要求这个 b o 的 长度？ b o 怎么求啊？ b o 在 这里面求出一看，我给你描一下， 你看看 a、 b、 c 是 不是等边三角形啊？你说老师咋不等边三角形啊？回顾一下题目第一句话，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形啊， a、 o、 c 我 们也证不出来，也是等边三角形，那这两个等边三角形落在一块是什么呀？不就是一个菱形，是一个菱形，求 b o、 b、 o 是 它的对角线，对角线怎么求啊？来，我们写一下， 其实很好求啊，咱们以后都可以算了，我们一起算下来，在什么这个菱形 a、 b、 c、 o 中，你要求这个 b o 等于根号三倍的边长啊？有的朋友不知道这个 b o 为什么等于根号三倍边上一下，你看我们设中间的焦点，焦点讲讲为什么 a 点 e 吧， 这对角线互相平分，平角是六十度。平行的对角线平分，平分，平角，这个角是三十度，这个角是六十度，那么 bc 这个边长是二，变成二，那么 ec 是 不是等于一？那么 b p 是 不是等于根号三？ bc 等于根号三，那么同理，这个 o、 p 是 不是等于二倍的根号三呀？你看 b o 二倍的根号三，我也有了，那这个答案， b p 的 最小值等于多少呢？ 哎，是不是就等于二倍的根号三减去二了？好嘞，这就是我们讲的大数圆的这题目。我们再次强调啊，这个题目你要想在考试当中，尤其在中考当中破解出这种压轴性的题目，你就要有这种能力，首先看出来他是一个引形圆，再一步呢，你要看出来他是一个点于最值，你还要具备什么圆的内接四边形对角后这行灵活的运用起来。 好嘞，这就是我们讲的这道题目。

hello， 大家好，我们学完了平行四边形的五种判定方法之后呢，今天这节课和大家一起学习拓展动点的问题，这是常考的题型之一， 我们一起来看一下题目。首先我们一起来读题。如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行 b、 c， a， d 等于九， b， c 等于六 p、 q 分 别是 a、 d、 b、 c 上的动点 点 p 以一厘米每秒的速度由 a 出发向终点 d 运动点 q， 以两厘米每秒的速度由 c 出发向终点 b 运动， 当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动。问题问，经过几秒，直线 p q 在 四边形 a、 b、 c、 d 上截出一个平行四边形， 那我们就发现 q 点的运动速度比 p 点运动的速度快，而 p 点走的路程呢，要比 q 点所走的路程要圆。 问题又问，经过几秒，就是问运动时间，那问运动时间的话，我们就可以设运动 时间为 t 秒，那运动时间知道了，运动速度也知道了，那点 p 和点 q 所表示的路程我们也可以表示出来了。所以呢， a p 它就等于 t 乘一等于 t 厘米， a p 是 t 厘米，则 p d 呢，也可以表示出来，就是九减 t 厘米 运动时间知道了， q 点的运动路程呢，也可以表示出来，那 c， q 就 等于 t 乘二等于二 t 厘米， 那么 b q 呢，也可以表示出来了，就等于六减二 t 厘米。接着那么就分析 这个 p 点和 q 点在什么样的位置的时候，就可以截出一个平行四边形。我们发现 q 点的速度比 p 点的速度快。第一种情况，当 p 和 q 都在路上的时候， 就是左边这个四边形 abq 是 平行四边形，即 bq 等于 ap 的 时候， 是左边这个平行四边形 a b q， p 是 平行四边形，那 b q 表示出来了，那就是 六减二 t， a p 呢，也表示出来了，它是等于 t， 它们先等的，那就可以解出这个 t 的 值，可以解出来。那第二种情况呢？ 因为 q 的 运动速度比 p 的 运动速度快，而 q 走的路程比 p 走的路程要短，所以第二种情况，当这个 q 点到达终点 b 的 时候，那么这个 p 还在路上，所以它第二种情况呢，就是这样子的， c q 等于 p d 的 时候，这个四边形 p b， 也就是 q 啊 p q， c d 是 平行四边形，那 c q 表示出来是二 t， p d 表示出来是九减 t 一 相等，那最终呢，也可以解出 t 的 值。 以上就是分析的过程，那么具体的过程如何去书写呢？我们一起来 解。设 p q 运动的时间为 t 秒，由提议得 a p c q b q pd 这四条线段都可以用 t 来表示出来， 那因为 a d 平行 bc， 所以呢，已经有一组对边分别平行了，那我们就分两种情况进行讨论，当 b q 等于 ap， 这个四边形，就是平行四边形，理由是一组对边平行且相等，也就是 ap 平行 b q， 那当 b q 等于 ap 的 时候，结合这两种情况，那就是一组对边平行且相等的四边形，四平行四边形，从而呢，就得到对边相等，就可以解除 t， 这是第一种。第二种呢，当 c q 等于 pd 的 时候，那由 ad 平行 bc， 那 么就也得到这个 c q 平行 pd 也是由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，就可以证出它是平行四边形。因此呢，就得到对边相等 p d 等于 bc， 那 bc 是 二 t， p d 是 九减二 t， 所以 二 t 等于九减 t， 解的 t 等于三。综上所述，经过两秒或三秒，直线 p q 在 四边形 a、 b， c， d 上截出一个四边形，是平行四边形。 以上就是书写的过程，我们今天的课先讲到这里，下节课见。

初中数学拉分的大象就是动点，只要是点一动，孩子就炸。七年级是数轴上的动点，最难的就是相遇啊，追及问题，或者是需要分类讨论的情况。八年级就是几何压轴，全是拉分点， 比如存在性问题啊啊，线段的最值问题啊，旋转问题啊，对吧？那到了九年级，那简直就是数学压轴题当中的一个天花板，加上二次函数原相似， 中考第二十三，二十四道题啊，必考，求最值，求存在性，或者是分类讨论。家长和孩子最头疼的就是他看到动点，孩子就懵，心理性的一个抗拒，感觉这就不是我能做的题，直接就放弃了。 那是因为从七年级开始，在这种最简单的动点问题上，他就没有建立起思维，所以到了初二初三，你再去做这种动点题，他的脑子他是推不动的。但是动点题他有一个特点，就是别管他怎么动，你要保持不动， 而且他基本上都是一些固定的题型。宁浩老师大家都不陌生吧，他用手写即标注的一个方式，他是把所有的这些关于动点的各类考法都给你做了一个总结，而且题目都是各地区的期中期末以及中考真题。七八年级他是各五十道题，九年级他是一百道题。 这本书的特点就是孩子他能学的进去，一面是题目，另一面是直接给出你这个解析过程，方便孩子去建立思维，去揣测补漏。 九年级的就更高级了，直接用手写的形式，孩子看上去会更加的直观，没有抵触的情绪。这里面的题啊，你就让孩子去做吧，有了它，别的资料都不用了。

这道几何最值题，全班百分之九十都不会，核心就一个手拉手模型，将三角形 c d p 旋转六十度，构造全等，把 c q 转化为定点到直线的距离。 当 c q 垂直于 q t 时， c q 最小，由 c d 等于 d t 小， c d t 等于六十度，所以 c t 等于 c d 等于二，直接算出 c q 最小值是一学会的评论区扣一。详细答案，明晚见评论区，记得点赞关注哦！

好，同学们，我们今天看一道经典的动点图形面积问题，在坐标轴中， a 点在外轴， b 点在 x 轴， ab 的 距离始终为二， m 是 ab 的 中点，求 x 的 轨迹所围成图形的面积， 这是 x 轴，这是 y 轴。好，大家根据这道题能看出来吗？我今天呢去教了我的四个学生，都是初三的，其中有一个女生，她的一模成绩数学在一百三。我问她这个图形是什么，她说圆。我问她为什么， 他没有给出过答案，对，是圆，但是为什么是圆？我们根据数学理论， 怎么去分析是圆，怎么分析是圆？ 好，我们看一下这个题，我讲解一下。 在图中呢，我们知道 ab 一个在外轴，一个在 x 轴， m 点为中点，我们连接一条线，我感觉大家都可以看出来了。连接 o m， 我 们知道如果 ab 在 x 轴和外轴的时候，它们所围成的三角形是 a o b， 由于直角坐标系这个角， a o b 始终为直角， 那我们是不是有个定律叫做 m 是 斜边上的中点，在直角 三角形中，斜边上的中线 为斜边的一半， 是不是就可以得 o m 等于二分之一， ab 是 不是始终等于一同时呢？ o o m 是 个定值，它要绕着 o 点旋转，所以它可以围成一个是以半径为一，以圆点圆心为 o 点的一个圆。好，我们看下面，我把图形给画出来了， 此时这是 m 的 轨迹，无论 ab 在 x y 轴上怎么变化， m 点的轨迹使用在这个圆的边上。好，那我们是不是就可以求出这个面积了？通过 pi r 的 平方是不是等于 pi？ 好， 我希望大家注意到，注意下这个模型去分，怎么去分析？好，今天就讲到这里。

动点问题是中考中常考的一个问题，今天我们来看二零二五年吉林省中考第十九题动点面积和函数相结合的问题。 我们看如图，三角形 a、 b、 c 中 ab 等于三倍的根号二 b、 c 得五角 b、 a、 c 等于四十五度。 动点 p 从 a 出发，沿 a、 c 以每秒一个单位长度的速度向中点 c 匀速运动。当点 p 出发后，以 a、 p 为边 作正方形 a、 p、 d、 e， 使点 d 和点 b 始终在边， a、 c 同侧， a、 c 的 同侧啊，在上面，都在上面设 p 的 运动时间为 x 秒正方形 a、 p、 d、 e 与三角形 abc 重叠的部分，面积是 y。 然后第一问，求 a、 c 的 长，求 a、 c 的 长，怎么求？那么我们还是根据已有的数据， ab 等于三倍的根号二， bc 得五啊，这里是五，这里是四十五度。见到四十五度，我们就想到构造，怎么构造呢？做垂直 四十五度啊，构造直角三角形 b、 f 有 四十五度的直角三角形，那就是等腰直角三角形三倍的根号二。我们根据等腰三角形三边关系，我可以知道 a、 f 等于三， b、 f 等于三，那么三角形 b、 f、 c 又是直角三角形，根据勾股定律， f、 c 得四，所以说很容易求出 a、 c 的 长为七。 第二问，求 y 关于 x 的 函数解析式，并写出自变量 x 的 取值范围。那好，我们看一看这里的自变量和函数分别是什么？这里的 x， x 是 p 点的运动时间， p 呢，是这样来运动，那每秒一个单位长度， a、 p 的 长度就是 x。 然后我们再继续来看， y 是 正方形 a、 d、 f、 e 与三角形 abc 的 重叠部分。那我们运动着试一试，我们看一看，这里有一个运动的节点，就是点 b， 那 做垂直运动，当 a、 d 运动到 b、 f 这个位置时，也就是 p 点和 f 点重合时，我们看一看这个重叠部分，都是这个三角形。当继续运动的时候， 继续运动， p 点在 f、 c 之间，我们会发现这个 d 点在 a、 b 的 延长线上， 那么此时它重叠的部分就是一个三角形和一个梯形。所以说这疑问呢，我们要分两种情况进行讨论。第一种情况，我们说明，此时 p 在 a、 f 之间，那就是 d 在 线段 a、 b 上说，当 d 在 线段 a、 b 上， 那么我们看一看，重叠的部分是这个三角形，三角形的底是 a， p， 高是 d， p 是 等腰直角，三角形是相等的，它就是 x， 那 么面积 y 就 等于 a， p 乘以 d， p 乘以二分之一， y 就 等于这是 x， 这也是 x 是 x 方，那就是二分之一 x 方， 那么此时它的取值范围 x 大 于零，然后呢，到三啊，三秒的时候，也就是说 p 点和 f 点重合都是这种情况。当继续运动，也就是说 p 点在 ab 的 延长线上， 此时重合的部分是我们分割一下，这是一个不规则的图形，分割一下，有这样一个三角形，还有这样一个四边形，所以说呢，我们要讨论。第二问，当地在线段 a b 延长线上， 那么也就是点 p 在 f、 c 之间，或者说点 p 在 线段 f、 c 上，那么此时呢，我可以得到这样几个有用的线段，说 f p 等于 ap 减 af， 也就是我们代入一下， ap 啊，是 x， af 是 三，就是 x 减三啊，这里是 x 减三， 然后 p d 点 d， 在 这里红笔写的 d， p d 垂直于 ac， 然后呢， b f 也垂直 ac 啊，两个垂直，所以我得 p d 平行于 b f， 然后我就有 p c 比上 f c 等于 p e 比上 b f。 带入相关数据，我们看一看 p c 的 长，然后这里是 f c 是 四，这是 x 减三，那 p c 就 等于啊四减去 x 减三，比上 f c 是 四，等于 p e， p e， 我 们不知道啊， p e 比上三， 然后我可求得通过这个比例，我可求得 pe 的 值。 pe 等于四分之二十一减三 x， 这是上底下底高。我们都解决了，那么梯形的面积，我们就可以求 梯形 e， p f b， 它的面积就等于 pe 加 b， f 乘以 p f 乘以二分之一，那么我可以把它解出来， 解出来，经过计算，它等于 s t 形的面积负的三分之八倍的。 x 减七，括号的平方加六，这是梯形的面积，那重合部分的面积呢？我们是不是还要把这个三角形的面积加上，那么 s 重合的面积 就等于负的三分之八。 x 减七，括号平方加六，我再加上三乘以三，乘以二分之一啊， s s 在 这里呢，是重合的面积是 y， 那 么此时 y 就 等于负的三分之八 啊，这里有个错误啊，这是八分之三，八分之三等于负的八分之三倍的，然后 x 减七，括号平方，这里呢是四分之九二，二分之九加六，是啊，加上十点五，那么我们就可以看了， 写出自变量的取之范围。 x， 是 啊，肯定要大于三，那就三小于等于 x， 小 于等于七， 此时这是第二问，我们解决掉。好，我们看看第三问，说正方形 a， p d， e 的 对称中心为点 b 时，直接写出 x 的 值，对称中心为点 b。 正方形，那么 b， d 啊，由对称中心 为 b 得，所以 a p a b， 所以 ab 等于 b， d 等于三倍的根号二，那么 ad 呢，就等于六倍的根号二， ad 的 六倍的根号二，那么 a、 p 呢，就等于六， 也就是说 ap 是 六的话，它运动的时间 x 就 等于六，这样就解决了。本题主要涉及三角形边长的计算，平行线分线段成比例啊，这里通过辅助线构造直角三角形，由勾股定律来解决第一问， 然后第二问呢，我们是分情况进行讨论，第三问利用的是中心对称的性质。记得点赞关注哦！

当点一运动时，两个三角形始终保持全等。利用勾股定律列等式由二次函数求出最小值。

今天我们来看一道在初中数学学习过程中经常遇到的动点问题，这也是在中考过程中，我们做模拟试卷或平常做练习的时候经常出现的一一种类型的题。我们看一下题目，正方形 abc 的 边长为四角， a、 p、 b 等于九十度， 让我们求什么呢？求 c、 b 的 最小， c、 p 的 最小值，题目很短。好，我们来分析一下， 其中给到一个关键信息是角 a、 p、 b 等于九十度，那我们观察一下，在三角形 a、 b、 p 中是吧？角 a、 p、 b 等于九十度，始终等于九十度，它算对应的是哪三角形的哪条边呢？对，它对应的是 ab 边。那么从这里面是不是可以分析出来， 如何让角 a、 p、 b 等于九十度？它的轨迹是什么样的呢？大家有没有想到这个问题，我们在我们是不是在 学习过程中遇到一个问题，是在圆中圆周角所对应的弦为直径时，这个角横为九十度。好，我们如果这样分析的话，我们可以看一下， 这边老师给你们画出来了这个图形 p 点可以是以 a、 b 为直径所做的一个圆上的任意一个点， 因为 p 点无论在这个圆上任何一个点的时候，连接 a、 p、 b， 它始终等于九十度。好，我们做出这个图形之后，我们以我们设为圆，圆心为 o 点， o 为 ab 的 中点。 好，我们再看这道题，现在求 cp 的 最小值， cp 的 最小值呢？我们知道两点之间线段最短，我们连接两个定点就是 c 和 o 点。 连接这两个定点后，我们可以发现，如果屁点为 o， c 和圆的交点的时候，这个时候是不是 c p 应该是最小值，再往外往上往下都是都会变大？好，我们现在可以根据这个题目来求一下。 正方形的边上为四， ob 为半径为二，所以 oc 的 长度为根号下二的平方加上四的平方，就等于二倍根号五。然后呢， o p 呢，又是圆的半径， o p 的 值为二，所以 c p 也就等于 o p， oc 减去 o p 也就等于二倍根号五减二。所以这道题的答案是二倍根号五减二。 好，同学们，我们再回顾一道一下这道题。在我们所做题的时候，我们想到九十度对应的对应的边呢？ a b 横为一个，一个定边， 我们有没有想到圆周角，我们有没有想到圆周角这个九十度，然后确定 p 的 轨迹？好，大家关注一下这个题。

动点问题是初中数学压轴的必考题型，也是容易拉开分数差距的题型。数学要拿高分，一定要吃透动点题型。建议使用这套动点压轴专项训练，对初中动点问题进行系统突破。他七八九年级各有一本收入的都是动点压轴大题， 每个题除了配有条理清晰的视频讲解，他也配了精致贴心的答案解析，非常不错的一套资料。助理同学们拿下压轴题，中考数学冲高分，建立数学优势。