包河一模数学几何压轴

我们来看一下二零二六年包河区一模选择题第十题已知矩形 a、 b、 c、 d、 p 点从 d 出发，以一厘米每秒的速度向 a 运动。 q 点从 b 出发，以两厘米每秒的速度向 c 运动。因为速度之比是一比二，所以走过的路程之比也是一比二，那么 p d 比上 b q 就是 一比二。 然后再将四边形 p d、 c、 q 沿着 p q 翻折 a 选项说 p、 q 交对角线 b、 d 于 e 点，则 q e 等于二倍的 p e。 我们连接 b、 d 和 p q 交于点 e， 那 么可以得出三角形 p d、 e 和三角形 q、 b、 e 是 相似的，那么 p d 比上 b q 就 等于 p e 比上 q e， 所以 q e 等于二倍的 p e， a 选项是对的。 b 选项若点地撇在 a、 d 边上时，则 b、 q 等于二倍的 c、 q， 那 我们可以画出图形。 若地撇落在 a、 d 上，那么折痕 p、 q 是 垂直 a、 d 的， 这样四边形 p q、 c、 d 也是一个矩形，那么 p d 就 等于 c q。 因为 b、 q 是 等于两倍的 p d 的， 那么就等于两倍的 c q， 所以 b 选项也是对的。 c 选项射线 q、 c 撇经过点 a， 则 a、 p 和 c 撇、 d 撇互相平分。那我们可以在原图的基础上稍微改动一下，把 a、 q、 c 撇三个点连起来，那么角 q、 c 撇、 d 撇是九十度，那么角 a、 c 撇 d 撇也是九十度。 要证明 a、 p 和 c 撇、 d 撇互相平分，那么设它的交点为 o， 也就是证明 a o 等于 o， p oc 撇等于 o d 撇。那么显然我们证明这两个三角形全等，就可以 由折叠可知。角 d 等于角 d 撇等于九十度，那么 p d 撇和 a、 c 撇是平行的，有一个内错角，还有一对对顶角，所以再找一个边就可以了。 那我们可以关注一下折叠所得到的条件。由折叠可知， p d 和 p d 撇相等，然后 c、 q 和 c 撇 q 相等， 角一等于角二，角一又等于角三，那么角二等于角三，这样 a、 q 和 ap 就是 相等的。 那么这里我们可以设一下 p d 的 长，假设是 x， 那 么 p d 撇也是 x， b q 就是 二 x， 那 么 ap 的 长度就可以用矩形的长减去 x， 那 我们假设矩形的长设为 a 的 话，那 ap 就是 a 减 x， 那 么 a q 的 长呢？就是 a 减去二 x， 那么这个 c 撇 q 跟 c q 相等，也是 a 减二 x， 这样我们 ac 撇就可以知道它是等于 a q 减去一个 c 撇 q， 也就是 a 减 x 减去一个 a 减二 x 就 等于 x， 那 么 a、 c 撇的长度，它和 p d 撇的长度是相等的，这样两个三角形就是全等的，所以这个 c 选项也是对的。 我们再来看 d 选项，若 ab 等于三， bc 等于三倍根号二，那么 a、 c 撇之间的最小距离是根号三减一，要求 a、 c 撇之间的距离。因为 a 点是固定的点， c 撇是动点，所以我们要找到这个 c 撇的运动轨迹。 根据 b 选项我们可以知道，三角形 p d、 e 和三角形 b、 q、 e 是 相似的， 那么 p d 比 b q 等于 d， e 比上 b， e 是 一比二，那也就是说 e 点它是一个固定的点， 那么 ec 的 长度和 ec 撇的长度是相等的，那么 c 撇的轨迹就是以 e 为圆心， ec 为半径的圆，我们画出圆 e， 然后连接 a、 e， a， e 和圆的交点 是 c 撇，此时 a、 c 撇是最小的，那么 a、 c 撇的长度可以用 a e 减去 c 撇 e， c 撇 e 就是 圆的半径 r。 然后接下来我们可以把 a、 e 和 r 的 长度分别求一下。我们已知 d， e 和 b e 的 比是一比二， 过 e 点做 e， f 垂直 bc 可以 构造相似，那么 e、 f 比 dc 等于 b， f 比 bc 等于 b， e 比上 b d， 因为 b e 比上 b， e 是 一比二，那么 b e 比上 b d 就是 二比三， dc 长度是三， bc 的 长度是三倍，根号二，那么 e、 f 可以 求出来，是二， b f 可以 求出来，是二倍，根号二。 e、 f 和 b f 求出来之后，那么 f、 c 就 知道了，是根号二， e、 f 是 二，那么 ec 的 长度可以勾股定底，求出来等于根号下二的平方四，加上根号的平方二，等于根号六， 那么圆的半径 r 就 知道了。然后再求 a、 e 的 长度，我们把这个 f、 e 往上延长，交于这个点 g， 那 么 g、 e 的 长度就是三减二是一。 a g 的 长度和 b、 f 的 长度相等是二倍，根号二，那么 a、 e 的 长度就是根号下二倍。根号的平方八，加上 g， e， 也就是一的平方是一等于三，那么最终这个 a、 c 撇的长度就是三减根号六，所以 d 选项错了。

我们再来讲一下二零二六年合肥包和一模的选择题压轴题啊。第十题，我们看一下啊，题目说啊，有一个矩形， 然后呢，这个沿着 p q 往这边翻折，把这个直角梯形给它翻折到这边去啊，就这么一个情况。然后呢，这个 p q 的 位置啊， p q 的 位置的话，呃，他这个 p 点是从 d 点往这边是移动， 速度是一厘米每秒，然后呢，这个 q 点是从 b 点往 c 这个方向移动啊，这个速度是两厘米每秒，所以其实这两个关系就一比二的关系啊，大概就这个情况，我们看 a 选项，若 p q 交对角线，交 b 对 角线，余点 e， 则这个 q e 等于两倍的 p e， 这个对不对啊？这很显然是对的啊，这两个三角形是相似，而且相似比正好是一比二，所以 a 是 肯定是正确的，没有什么问题。我们再看 b， 他 说啊，如果点 d 就 翻折过来，这个 d 一 撇仍然在 a d 上， 那什么意思啊？那其实就是翻折过去啊，他这个就是翻折的夹角，就是九十度，是这样吧，那只有 d 翻折的九十度的话，他才能在 d 一 撇，还是在一条线上，所以这个 d p 啊， d q， 他 就是跟 ab 跟 cd 是 平行关系 好，那这样子的话呢，这个是 x， 就 翻折呢，这个圆是二 x， 对 吧？二 x 呢，这个也是 x， 所以 他问的是这个 b q， 这个啊，等于两倍的 c q， 那 很显然是正确的，所以 b 也是正确的。好，咱们再看 c c 啊，如果说这个翻折到这边来，这个底下这个 q c 一 撇，它的延长线正好也经过 a 的 话， 然后他就说啊，他就说这个 a p 跟这个 c 撇 d 撇是互相平分，哎，互相平分啊，所以简单的，咱们简单的看一下这个题目啊。呃，互相平分呢，实际上就是正，你看这两个直角三角形占他们全等吧，因为这两个直角三角形的话相似是很容易正的， 然后如果说他这对应的边如果也相等的话，那么这两个三角形不就全等吗？所以就是正全等关系啊。 ok， 我 们来看一下啊。呃，首先呢，我们就找边的关系，我们起初呢设的这个边是 x， 对 吧？那这个不也是 x， 那 这边就是二 x 好，呃，所以其实很容易就能发现啊，这个三角形跟这边这两个小三角形是相似关系吗？因为这个圈叉角都是对应相等的啊，相似关系，那么相似关系这底下是二 x， 这底下是 x， 那 所以这两个三角形相似之后，它的相似比是二比一啊， 所以他这条直角边是不是也是二比一，对吧？这个直角边也是二比一，那咱们看啊，这个 a b 他 跟 c d 相等的吧，而 c d 翻折过去跟这个 d 撇 c 撇是不是也相等的啊？那这是二，这是一，那这是不是就是一 啊？因为这个两段的和加在一起相等吗？等于二，对吧？所以这是二，这是一，这是一，那这两个不就相等了吗？就找到了一组对应边相等，所以这两个三角形全等啊，全等的话，我们 c 选项就是正确的。 最后我们看一下 d 选项， d 选项，这个长方形的长和宽都告诉我们了啊，一个是三，一个是三倍根号二，然后他就问这个 a 点跟 c 一 撇，这个距离 最小值啊，那这个数字当中呢？这个题目当中呢，这个 a 是 确定的，是固定的，也就是说这个 c 一 撇是个动点，对吧？而且是个翻折后的动点，如何确定翻折后动点的这个运动轨迹？ 哎，我们看一下啊。呃，刚才呢，我们看了第一问，第一问呢，他说啊，这两个三角形是相似比，是一比二，对啊，就恒定不变的。也就说大家发现没有，这个 b d 这条直线是固定的，所以这个 e 点它竟然是一比二的比，所以这个 e 点的位置是不是也是恒定不变的， 对吧？ e 点是不变的啊，那么 e c 一 撇跟 e c 也是不变的呀，对吧？为什么呀？因为这个 c 一 撇，它的位置将受到 e 的 这个影响，大家发现了没有，这个 e 间是固定的，而 e c 一 撇跟 e c， 哎，它是两个动点，是不是就可以理解为，可以理解为以 e 为圆心，这个 e c 一 撇为半径的这样一个圆， 哎，是不是这样？因为角度不变，所以这个 c 一 撇，它是在这个圆上运动， 可以理解不？ c 一 撇是在这个圆上运动，所以运动到哪里，它到 a 点的距离最短，其实大家都发现了吧，我们直接连接 a e， 对 吧？直接连接 a e， 当 c 点在这个位置， c 一 撇在这个位置的时候， a c 一 撇最短， 所以我们要求出 a c 一 撇，是不是就要求出 a e 再减去这样一个半径就可以了，对吧？半径的很好求啊，根据这个三角形，咱们用这个相似笔啊，我自己已经求过了，你们自己求一下。 好，那然后呢？我们只要求出 a e 是 不是就行了？这个 a e 其实也很简单啊， a e 的 话，咱们直接这个三角形做垂线，看到没有？用这个相似比啊，就这个三角形。呃，就是其实就直接用这个三角形啊，做个高就可以了啊，对吧？相似比我就不做了啊，这个地方求出来应该是几啊？应该是三是吧？ 然后呢，最终答案就是这一段减去这个半径啊，就得到了这一段，所以结果很显然不是这个根号三减一啊，所以这个 d 选项是错误的。好吧，所以这题错误的这个选项选 d 啊。

包括去一模数学家做题，做完这道题以后，我最直观的感受，这道题充满了浓浓的中考气息，用四个字来评价，无懈可击。那这道题具体好在哪里？一块来分享一下。首先第一问给了二次函数表达是，如果题目中给了这种形式，我们的同学能不能看出什么门道来， 只不过定点问题你看出来了没有？好，这是第一个知识点。第二个知识点的话，二次函数和 a 次函数相交的问题，这个呢，也是后面中考考察的重点知识。 然后第一问的第二小问考察的是面积最大问题，面积最大问题还是转化成含有横坐标的 e o 二次函数显示求最大值啊，常规题型。好，我们再看一下第二大问。第二大问的话，上来给了两个莫名其妙的点坐标，然后他们横坐标给了一个比例关系式。 我们的同学如果刷了中考题以后，你会发现，然后利用一个横坐标代替另外一个横坐标，求出对应的函数值，然后把函数值带入了 k 的 表达式里面。然后你整理完，发现 我们的分子和分母可以约掉，约掉完之后剩余的就是个常数，就 k 是 个常数。但这道题我想提醒一下同学们，如果我以后再考察的话，这个可能考察的就不再是， 不再是内向积乘外向积找很多表和重的表的关系，或者你使用内向积外向积去处理很多表重的表关系的时候，可能你处理不出来的。这个时候你要注意一点啊，我们的九年级上册学的等比性质。

各位同学大家好，你点赞啊，我讲课，今天给大家分享一下合肥蜀山区的第二十题，这个题的话主要是让我们来证明叫做脚拉脚， 脚拉脚啊，很多同学说，老师，我们通常对吧？初二是初二的时候，就我们两个三人全懂，对吧？经常会讲的是什么？手拉手模型对不对？手拉手模型，那这个呢？就是脚拉脚模型。来，首先看一下什么叫脚拉脚模型， 首先的构成条件是双等幺三角形啊。等幺三角形又是什么？这个三角形，这是什么？直角对吧？这个三角形，这个是什么？是直角， 这是他们的什么顶点？哎，这个呢，是他们的什么角？他们角啊，这是他们的角，对吧？是不是汇成什么？ 对他们脚进行什么相交，对吧？好，把这个线是吗画在一起啊？ ok， ok， 哎呦，这两个黄色的三角形，所以说他们脚与角对应对不对？ ok， 这叫角，这叫什么？ 念？等腰 r d 三角形对吧？ abc 啊，这是垂直， ok 啊，这个呢是垂直对不对？等腰 r d 三角形。 abc 啊， abc， 这个呢？是什么？是 b d e， 对 吧？这两个都是什么？等腰等腰 r t 三角形，那它有一个什么的结论呢？结论就是 以这个顶点的直角，以这个顶点的直角对不对？他两颗连接对不对？交与这个什么？他们的底对吧？ ok， 那 得的结论是，这两个所形成的角一定是直角，对吧？是垂直的，是垂直的， 如果是，对吧？ abc， 这两个是什么？都是等腰直角三角形，所以说呢，就 am 对 不对？还等于什么？还等于 啊，还等于什么？ dm 对 不对？这两个边什么是相等的？如果说这两个什么是 不是等腰啊？的三角形，这边只是直角，对吧？只是直角，只是直角，他不是什么等腰，他不是等腰，只是直角，说明是什么呢？只是垂直 啊，只是垂直，他不是什么不是相等。 ok 啊，一定要注意什么这种细节。 ok， 好， 来看一下这个题呢，思想就是来证明手拉手模型，你看一下这是什么？两个直角对不对？ ok 啊，直角， 直角，对吧？直角，直角。那这个三角形 a， d， b 和什么？和 a， e， c 的 这两个三角形它就是什么？它就是啊， ok 啊， ok 啊，这个呢？ ok 啊，叫什么？叫直角三角形？这他们的角对吧？叫 a 点，说明的话 啊，以这个顶点移过来以这个顶点移过来，说明这两个什么 d， f 和什么和 f、 e 这两个三角形，呃，不，这两个，这两条边一定是相等的，就是正好是第一小问让我们来求的，对吧？ ok， 第一小问让我们证明什么？证明的是 a， a， d， g， 对 吧？和三角形，什么和三角形？ a， e、 h 这两个三角形干嘛啊？是干嘛呢？是相似对吧？ ok， 大家画一下啊，大家画一下啊， 那这两个三角形如何来证明相似呢？好，再来看一下 a， b， d 和 a， e， c 是 什么？是阿发角对不对？这是 a 对 吧？这是 abd， 看啊，这是阿发，对不对？这个呢，也是阿发。又因为什么 那么多终点，大家我给大家说了，对吧？看到终点立刻想到呢，哪三个点？第一个是什么？中卫线对不对？中卫线？第二个是什么？是背长中线对不对？还有什么？还有等腰或者是等边存在什么叫三线 合一对不对？好，给你几个中点，你要知道要怎么来硬啊，要做什么辅助线啊？来继续走。 那这个是它中点，这个是直角，对不对？我们知道中线等于直角，三角形斜边的什么一半对不对？说明什么？这条边和这条边相等，说明这个位多少？这也是 阿法角，对不对？ ok， 那 同理的话， h 是 什么？ a c 的 中点说明什么？ h e 和什么是它的一半对不对？和三边是相等， 所以说这个什么也是 af， 要证明这个三角形和这个三角相似，我找的角可不可？不可以？那这个是直角对吧？那这个是多少？ af， 说明这是多少？就是九十减去 af， 对 不对？是不是？ ok， 九十减去 af， 那 同理的话，这个是直角，这个是 af， 那 这个角呢？ 也是多少？九十减去 af 对 不对？九十减去 af， 对 吧？再来还有呢？ 哎，有的同学说，老师，这个是不是对顶角直接就来了？不是对顶角啊，这个什么？这是这角？对，然后呢？是斜过来的啊？不是 a b a， e， 他 们不在同一条直线上啊，好吧，不是对顶角，我们再看， 对吧？在三角形中，对吧？两个角的内角和等于这个角的外角，对不对？是不是？所以说什么？这就等于这是 a， 这是 a 什么？这是多少？ i a， 对 吧？是不是 i a， 对 不对？所以，对吧，这个三角形是多少？ i a， 这个三角形是什么？是 i a， 这个呢？是什么？九十减 a， 这个呢？九十减 a， 所以 有两个角是吗？相等对不对？说明这两个三角形是吗？就相似了呀，特别简单吧。 ok， 第一小问呢，就能证明出来了。 第二小问的话，对吧？可以，可以，用什么备上中线和什么和中位线这两种来求，对吧？两种方法都可以，那我就选择一个中位线来求吧。好吧，那我就连接什么？连接 e f， ok， 连接 e f 连接什么 eh， 对 不对？ ok， 这是出外的内容啊。出外的内容， ok， 好， 你看一下 g 是 什么？是 ab 的 中点对不对？ f 呢？是 bc 的 中点，所以说 gf 等于什么？等于 ac 的 一半，对不对？平行且等于什么？ ac 的 一半，对吧？这个呢？ d 什么 h 是 什么？是 a c 的 一半对不对？所以什么 f h 是 什么？是 ab 的 什么一半对不对？所以呢？那么呢，这平行且相等的话，说明这一定是什么？ e 组对边平行且相等的四边形，为什么为平行四边形对不对？ ok， 再来， 我要想证明，对吧？ d f 和什么和 d e 这两个相等，相等的话，我证明主要证明什么？这两个三角形干嘛？这两个三角形全等就行， 对不对？这两个三角形？如何证明这两个三角形全等呢？各位同学对吧？啊？在问题中转换成转换成这个，这个三角形全等。哎呦，画的有点不太好，撤回一点， ok， 好， 就证明这个啊。 d， g， f 和什么和 f e h 这两三角形干嘛全等？那如何证明全等呢？你看，首先已经知道了这是平行四边形对不对？这条边和这条边什么相等， 那又因为什么？这个 h e 是 和什么？这是它斜边对不对？这个边和这边相等，所以说这三条边干嘛呢？是相等的， 那同理可得，这个边和这边是什么？是相等？平行四边形对不对？平行四边形对吧？所以说什么 h f 和什么和 ag 是 相等的？因为同样的 dh 是 这个这个三角形的中中线，对不对？所以 dh 等于什么？ ag， 对 不对啊？ d g 等于 ag， 对 吧？ 所以说什么这三角边干嘛相等？所以在这个三角形中对不对？对吧？这个边和这个边相等， 那这个边呢？和什么和这条边相等啊？ ok， 所以 这还加一个角吗？这角可相等也相等，为什么呢？因为这个是 i a， 这个呢？这个是 i a， 对 吧？然后再加一个平行四边形的什么对顶角，所以说这个这个大角呢？就相等了，对吧？所以呢，这个三角形中 和这个三角形中这个边和这个边是相等的啊？在这个三角形中和这个三角形这个边和这个边是相等的，所以说什么 边角边，对不对？边角边。所以呢，这两个三角形干嘛就全等？全等过后对应边不相同吗？都是斜边，对不对？是不是？所以呢，这个三角形是什么？斜边是 d f， 这个三角形的是什么？斜边是什么？ f e 对 不对？所以这两个边干嘛就相等了呀？第二小问就简单了啊，老铁。第三小问的话难度大一点，好像有点，就是不好想啊，不好想 啊，他叫我们表示什么？表示的是 d f e， 对 不对？是不是？如果是等腰直角三角形的话，那说明这个角就就为多少？就是直角，他是不是等腰直角三？他不是等腰直角三角形，他让我们求这个角的话，怎么来？来呢？我们这这个角是等于什么？这个角 大的减去这两个角，对不对？是不是？那我们知道这两个三角形干嘛啊？这两个三角形 全懂，我设置是 x 可以 吗？可以吧，这个呢是 y 对 不对？因为是全懂的话，那说明这是多少 对吧？这个角和这个角是系数相等的，所以说这个角是多少 x 对 不对？是不是？ ok， 好， 这个角为 x， 那 这个角为 x 的 话我们再来，因为这个角和这个角干嘛？也是相等的对吧？平四边形对角么设是吗？阿法吧。好吧。啊 啊白塔啊，说的是白塔来吧。所以什么角，什么 d f e 就 等于什么 d f e 等于什么？等于等于 g f h 减去什么 x y 对 不对？是不是就等于角 g f h 减去多少 x 减去 y， 可以 这样的吧。好吧， ok， 对 吧？那大的对不对？减去这两个角啊，就等于什么？这个角， 那我们知道这个和这个角是相等，都是 x， 所以 说什么在这个三角形中的话，呃， x 加 y 就 等于什么？那一百八减去什么？ 二倍的阿帕和什么和白塔对不对？是不是？所以说就转成什么 g h f 减去多少减去括号是一百八 对吧？一百八减去什么括号 i f 加上什么 i v 的 摆塔能听懂吗？能不能，对吧。在这个三角形中啊，一百八减去这两个啊，一百八对不对？减去什么这个角就等于什么 x 什么加 y 没问题吧？哦再来，那这个角呢，怎么来表示呢 啊？ g f 什么 h 这个角是不是是个什么平线对不对？那一百八啊，这个大角是拿什么一百八减去什么？这白塔为什么呢？因为同方内角互补对不对？所以说什么一百八，什么减去多少 减去什么白塔对吧？减去多少都化简一下吧，然后负负得重对不对？加上什么 白塔是不是？然后呢？加上多少？二倍的阿帕对不对？那一百八，一百八又掉，白塔，白塔又掉，就等于几？就等于 i a， 对 吧？所以说这个角啊，一下来就这么角， d， f， e 就 等于几？ 就等于。哎， ok， 难不难？不好想啊，不好想。好，我们再复盘一下啊，这个点一样就是 d f， e， 对 不对？就等于什么？ g， f h 减去什么这两个角，这两个角是 x 加 y， 对 不对？那这个呢？也是 y， 为什么呢？因为这个三角形和这三角形干嘛 全等，对不对？所以这是 x， 这是 x， 所以呢， x 加 y 又等于多少？又等于多少？在这个三角形中的话，等于一百八减去这两个角，对吧？是，这是 beta， 这是什么？ alpha？ ab 的 alpha， 对 不对？转成这样子， 那这个角来怎么来转化呢？对吧？嗯， d f， h 就 等于什么？就等于拿这两个角是什么？互补的，对不对？ beta 加它是多少？一百八。那， 那这个怎么来表示？拿一百八什么减去什么白塔就等于什么？就等于 g f h， 对 不对？所以说一百八减去什么白塔，对吧？然后呢？经过什么化简的一百八，一百约掉，对吧？白塔白塔约掉进去，挨背的什么 a， 对 不对 啊？ ok， 好， 今天呢就分享到这吧。好，这个题主要是讲的是什么？脚拉脚模型啊，脚拉脚模型。 ok， 行，就给这样子点赞，拜拜。

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是安徽 c 二零联盟一模数学的几何压轴大题， 题目给了我们一个等腰直角三角形 a、 b、 c、 d 点在 b、 a 延长线上， e 点在 b、 c 边上，并且 d 一 和 d、 c 是 相等的，所以这个三角形是一个等腰三角形，然后再做 e、 g 垂直 ab， 他的题干就是这么的简洁。不知道大家读完题目之后有什么感想啊？反正我的感想就是，这道题他延续了安徽省前两年中考几何压轴题的特点，一是难度不大，二是不需要辅助线。 好，我们先来看第一小问，他让我们证明 e、 g 和 a、 d 是 相等的，那要证线段相等。我们的第一想法是不是去找全等三角形啊？ 可以看到 e、 g 在 直角三角形第一极中，而 a、 d 也在一个直角三角形中，并且这两个直角三角形的斜边还是相等的，所以说我们要么再找一组相等边， 或是再找一组相等角，要是根据题目条件来看的话，显然是不是倒角要方便一些啊。 可以看到角 e、 d、 g 是 等于 r 法减四十五度的，而这个角 d、 c、 a 它也等于 r 法减四十五度，所以角 e、 d、 g 和角 d、 c、 a 是 相等的，那现在全等条件就够了吧，所以说 e、 g 和 a、 d 确实是相等的。 好，再来看第二小问，题目说若 a、 f 和 c、 f 的 长度都是二，然后让我们求 cd 的 长度， 这答案是不是都写在脸上了呀？因为很显然三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 c、 d 是 相似的，所以 af 比 ad 等于 ad 比 ac， 这样 ad 的 长度就出来了，然后再用勾股定律就能把 c、 d 的 长度算出来了。 好，我们再来看最后一小问题目说若 a d 比 a， b 等于 c， 一 比 b 一 等于 k， 然后让我们把 k 的 值求出来。 就这个问题，怎么说呢？如果你还需要加辅助线的话，那说明你的反应还不够快。因为第一问我们已经证明了 e g 和 a d 是 相等的，又因为三角形 b g 是 等腰直角三角形，所以 b g 和 e g 也是相等的。 那也就是说啊， b 七比 ab 也等于 k， 然后再根据平行线分线段成比例， a 七比 b 七等于 c， 一 比 b 一 等于 k。 发现问题了没有？这个时候 a 七比 b 七等于 b 七比 ab 等于 k。 那 看到这个东西，不知道你们有没有想到黄金分割比啊？ 去年广东中考是不是刚考过啦？所以说这个 k 它是等于二分之根五减一的，你学会了吗？

我是专注安徽中考的宣传。刘老师，我们看一下来自于合肥包河一模的这个选择压轴题，他说有个矩形啊，我们看这个图啊，有个矩形， 呃，他说这个 p 点呢？从 d 点出发， q 点从 b 点出发，然后速度不一样，呃，其中的这个 p 点慢一点，速度是一， q 点快点速度是二， 有一个点到达终点，另一点也随之停止。然后呢，再以这个 q p 啊为对称轴翻折，得到一个新的一个四边形 a 选项， a 选项，他说这个 p q 交对角线 b d 于 e 点啊，这个 e 点，我们把它连起来啊，于 e 点， 那你比如说你是设这个是这，这是 t， 那 我这不就二 t 嘛，对不对？八字形嘛，这简单，对吧？那我这个 q e 就 等于两倍的 p e， 这个肯定是对的，那这个肯定不选 好，我们再看这个第二个啊，他说这个 d 撇在 a d 上， d 撇在 a d 上啊， 在 a d 上的话，它是个什么样子？那你这个要自己画图嘞， d 撇在 a d 边上，那你，你这么想，你这个 d 撇点和这个 d 点是关于这个对称吧，对不对？那你 你这个 d 撇点在 a d 上，那我这个，那我这个对称轴一定是也是垂直的吧， 能不能理解啊？你自己画的话，就是说 d 撇点它在 a d 上，你 d 又在这里，他们的这个就是 d 撇点和 d 的 对称轴，是不是这个线啊？ 对不对？那它这个对称轴就是平行 d c 的， 所以你在画图的时候，你要往这方面去想。好，就像那现在呢，我直接把这图给调出来，好吧， 那么现在移一下啊，那么移一下，那就是移，那你就，那你就往这边移嘛。哎，那他是什么样子？他，他是不是这个样子，看到了吗？哎，那 d 撇点，哎，他就这样子，此时我的这个对称轴，对吧？那就是平行 d c 的， 呃，我们还是一样啊，我们设置是 t， 我 这个 b q 是 几 t 啊？是不是二 t 啊？那我这个也是 t 嘛， 那我 b q 是 不是 q c 的 两倍啊？那不肯定的嘛，是不是啊？啊？这也简单，好，接下来主要是 c d 选项啊，他说 q c 撇擦掉了啊，他说这个 q c 撇 经过点这个 q c 撇的射线啊，经过点 a 哦，经过点 a 什么意思？那咱们那咱们先把这个线连起来啊， 连起来，那它是一个什么位置啊？就是现在 q c 撇是不是经过射线？是不是不是经过点 a 啊？对不对啊？他说他问 这个看一下先，他问这个，这个叫什么？这个 ap 和这个 c 撇 d 是 不是互相平分？我们先把这个角标一下，你，你这个是直角，你这个也是直角，这也是直角，这也是直角。 如果 a p 和 c 撇 d 互相，呃， c 撇 d 撇互相平分的话，那不就意味着加上我们车中间这这点是 m 点，那不就是意味着 a c 撇 m 和这个 m d 撇 p 是 什么关系？是全等吗？说到底，这个题就是让我证明一个什么东西呢？让我证明 d 撇 p 和 a c 撇相等 啊，你要是能把它乘出来就行。这个题首先还是标参数嘛，比如说它是 t， 它也是 t， 你 把你能标的都标出来，这是几 t， 这一定是二 t， 对 不对？这是条件给的。还有一个折叠，折叠，这个是直角，这是直角啊，这我都，这个我们都标过了， 说到底啊，就是证明 a c 撇，它也是什么？它也是 t。 好， 这里面有个东西啊，就是接下来这个条件，可能有些同学捕捉不到 接下来这个条件有可能有同学捕捉不到，就是这个对称的这个性质嘛， 你发现我们做对称做久了，有的时候需要连接这个对应点，对吧？呃，有有，有的时候，更多的时候是需要你把这个对称当中啊所有的条件给利用上。你这是 alpha， 这是 alpha， 我 这讲是不是 alpha？ 同学，是不是？ 那我就看出，不管这个 p 和 q 在 什么位置啊，我这个 a p q， 它就是一个什么三角形，它是个等腰三角形，是不是？ 他说等幺三的心，我们不妨设这是 m， 因为它这个里面没有数据嘛。我设这是 m， 可不可以？那我这是 m， 这也是 m， 你再看哦， a p 怎么表示啊？ a p， 我 这是二 t m， 我 这个 ad 是 不是也是二 t 加 m 啊？所以这个 a p 怎么表示？就是 t 加 m， 哦，它是 t 加 m， 那 我这个 a q 也是什么？ t 加 m 减 m， 这是不是 t？ 你 听起来感觉挺简单的，但是我个人感觉在考场啊。首先你得把图做出来吧，是不是？这是第一个， 第二个，设这个字母你能不能想到？设这个字母？设这个 m， 你 能不能想到？好，即使你想到能设这个 m， 能不能把它对称的性质条件给挖掘完全 回到前面那句话，这个 alpha alpha 里面用到你就看不出 a p q 是 一个等腰 啊。这个 c 选项是这样子的，好看。这个 d d， 它给它给出数值了，把它擦掉。这个 d 怎么说呢， ab 等于三， bc 是 三倍的根号二， 它让你求 a、 c 撇的一个最小值。好，我们先感受一下这个图，在变化的过程当中感受一下啊，我把这个线去掉啊，这线不要了，那就把这个连起来，它让我求 a、 c 的 最小值， 那么在变化的过程当中，你发现这个 c 撇是在变化，对吧？那现在问题来了，那这个 c 撇点的轨迹到底是什么？ c 撇点的轨迹到底是什么？ 这个题最难的地方就在于什么呢？这个，这个翻折啊，它是有几个动点啊？几个动点？两个动点，在有些参考书上把它称之为双动点翻折模型， 双动点翻折，两个点在动。嗯， 好，这个时候啊，咱们做个停顿，我们再把这个 a 选项再拿，再拿出来说一下， 我们现在连接 b、 d， 其实，其实它这个题啊，已经是在降低难度了，但是呢，有同学，有同学看不出来啊，确实看不出来，因为你我把 a 选项做完了，我可能就不会不会管这个 a 选项了，谁知道呢，这个题的 a 选项是对， 是一个对 d 选项， d 选项的一个提示。再动啊，我把这个变为虚象啊， 不管怎么动，我这是 t 啊，我这是 t， 我 这是 t， 我 这是几 t， 我 这是二 t， 我 设这个点，我设这个点是 m 点， 那 dm 比上 bm 是 几比几？告诉我一比二吧，我就问你们啊，这个 b 点和 d 点是什么点？定点吧。然后呢，你这个 m 点又在这个 bd 的 一个三等分点，我问你这个 m 点是什么点，你告诉我 m 点是动点还是定点？定点， ok， 那 就是说 p 点和 q 点在运动的时候产生了一个定点，那这个定点就是什么点？就是 m 点 啊，这个我觉得学生很难想好，想到这一步之后再看这个 c 撇，那这个 c 撇轨迹好像也不足以求出来， 接下来还要利用，利用到这个对称的性质，不管 c 撇点在什么位置啊，在什么位置，你看啊，我连接这个 c 撇 m 和这个 m c， 哎，我就问你，这个线段和这个线段是什么关系？ 是不是相等？哦，那这个线，那 c 点是定点， m 点是定点，那我就问你，这个长度是不是个定值？ 那这个长度是不是个定值啊？那这个长度是个定值，那就意味着一个动点到一个定点的距离是一个定值。那我现在问你， c 撇点的轨迹是什么？ 那就是以 c p m 为半径，以 m 点为圆心干什么？画一个圆？就是同学，可能有的同学想不到，原来圆心在这个位置啊， 我们以前做这个轨迹都是什么？定弦，定角，是不是有个直径，有个圆，有个有一个直角啊？这个做多了，这个东西突然出现在同学面前，可能确实有点吃不消。好，那我们就把这个圆给做出来，好吧，把这个圆给做出来 啊，圆怎么做出来？圆做出来之后，哎，有同学就说，哎，这个老师，现在我会了，叫啥？叫一箭穿心，是不是 啊？那咋那拿啥一箭穿心啊？就是就是，当我这个 c 撇点运动到什么时候最小啊？那就是 a 点和这个圆心相连嘛，是不是？那我现在我就求啥呢？我现在我就是求 am， am 求出来之后我就把这个半径减掉。 道理都明白了，那现在我们剩下的工作就这个计算，说到减半径，你得求半径吧，那它的半径是多少呢？哎，这个 m 点，你，你可记得是什么点？叫 b d 的 一个什么点？三等分点，那这个时候 我构在这里再构造一个这样的三角形，就是我接下来的工作是为了求半径。是计算啊， 那你往下做一个垂线，比如说这个点是 n 点，那我就问同学，这个 n 点是不是也是 b c 的 三等分点，对不对？你这个上面是三倍的根号二，那我这个长度是不是根号二？它是根号二， 那你这个点，你，你比如说你再往上做吧，你，你再往上做，那这是 dm 比上，嗯， mb 是 二比一，那我上面这个长度比比上，下面这个长度是不是一比二， 一比二，对不对？总长度是三，那这个长度是几？是不是二？同学，是二的话，那它的半径出来了，那就是刚好加四，加减 四，加上一个二是多少？刚好六，它应该是刚好六啊，所以这个半径啊，是刚好六，好，刚好六，上面是几，上面是一吧，上面是一，那这个程度是几？ 这这个点也是三大分点吧，这个应该是二倍的多少？根号二。哦，原来这个 am 我 也能求了， 多少啊？八加上一等于根号九等于三啊。最终答案就是拿这个 a m 减去这个半径，也就是说当我这个 c， 当我这个叫什么呢？ c 撇点在这个位置的时候，我 a c 撇是最小， 最终答案应该是应该是多少？应该是三，减去根号六。好，我们这里就讲到这里。

好，我们来看一下来自于合肥包河一模的填空压轴题，然后这个题一开始出，出来的时候呢？呃，有人说他出错了，感觉题目怪怪的， 这题的这个问法呀，他不应，他不应该问这个 m 的 最大值，他应该问这个 m 的 取值范围，那可能更加合理一点， 网上有不同的这个解法啊，在这里我只说一下我的一个看法啊，第一题是没有什么歧义的啊，第一题也是非常简单，就是把这个两个点带入嘛，就是把这两个点带到这里面去就可以了，那就是说这个 b 等于 k， a， 然后加上这个二零二六，然后这个是负 a 等于负 b， 负 b， k 加上二零二六，然后呢，可以看成是可以看成这两个方程两式相减， a 加 b 等于 ape 的， 这个 a 加 b， 然后呢，你 a 加 b 是 不可能为零的啊，因为它这里讲了 a 方不等于 b 方不等于零，就是绝对是 a， 不 等于绝对是 b， 反正就是这个意思，对吧？啊？它们两个相加， a 加 b 是 不可能等于零，所以可以等于一，那这是第一题， 我们说第二题，第二题的话，前期操作和这个是一样的，你就把这两个点往里面带入嘛，那就是 b 等于 m 分 之一， a 的 平方减三，要是负 a 等于 m 分 之一，地方减三。 呃，这两个式子啊，接下来的操作呢，和这个是一样的啊，两个式相减，两个式相减，可以知道 b 加 a 等于 m 分 之一，然后这个就是 a 方减 b 方嘛，那 a 方减 b 方，那你就可以写成 a 加 b， a 减 b， 然后 a 加 b 消掉，可以推出这个 a 减 b 啊， 等于 m 啊，那前面其实非常好理解啊，然后这个是 a b m 的 关系啊。啊，这个更加直观啊，有同学会说，老师这个前面这个也是 a b m 的 关系。对，这个也是的啊，但是这个更加清楚一点。然后呢，我们把这个关系啊，把这个三式 带入到这个之前这个呃，方程组当中的某一个方程啊，那就是能得到一个什么呢？比如说我们写成这样，那我们这么写吧，那我们这么写，就是这个 a 是 等于 b 加 m， 对 吧？ 我们把这 a 换掉啊，换哪一个呢？我们带入第一个吧，第一个那就是 b 等于 m 分 之一，就是 b 加 m 的 平方减三 啊，就是到这一步。然后呢，你整理化简啊，我相信这个你们是会的啊，把它化成一般式嘛，两边同时乘以 m， 这 m 是 大于零啊，两边同时乘以 m 化成一般式，就能得到一个 b 方，然后加上 b m 加上 m 方，减去一个三 m 等于零。好，接下来的操作啊，我个人做法和答案就是有点微小的区别啊， 我们换个颜色，就讲一下这个答案的做法是什么，就是他得到这一步之后啊，这个标准答案的讲法呢，就是说这个必有解，必有解。然后呢，他这个比特呢，他这个比特就是大于等于零啊，他把这个代码算出来，他代码，他这个代码怎么表示？ 他这代码就他这个代码就等于这个这个 m 方减去四乘以 a 乘以一个 c， 那就是大于等于零嘛？大于零之后呢？化简之后呢，就是得到一个，就是负三 m 方，加上这个十二 m， 这个是大于等于零，然后因为这个 m 是 你这个 m 是 一个正数嘛？ m 是 个正数，你两边可以是，两边是可以约去 m 的， 最终呢算出来就是 m 小 于等于四。 如果说按照这个蓝色部分来看的话呢，这他这个题的这个答案应该是什么呢？应该是这个 m 的 范围，准确的说应该是 m 小 于等于四大于零，对不对？求的是，求的是最大值啊，所以说他这个答案给的是四。 呃，这块零就是说这个蓝色是单部分啊，然后我认为啊，我认为它只强调第一个它，它用两个点啊，第一个它这个过程啊，它只强调了 delta 大 于等于零，然后我认为 delta 大 于等于零，只能保证这个方程有解， 但是这个 b 是 有范围的，因为这个你看这个 a b 啊，这个 a b 是 是在这个函数上，那这个 b 呢？是这个函数的一个这个纵坐标，所以这个 b 呢，是大于等于负三的，这个 b 不 可能比负三小， 就是你直接写掉大于零。再说一下，只能保证这个方程它有解，但是你要保证这个解是大于零负三的，所以，所以我认为啊，你要保证它较小的根 大于等于负三，就是它这个函数啊，你看，我可以把这个看，我可以把这个当做是个函数，然后这个函数呢，你先保证这个方程啊，你先保这个，保证这个方程有解，对吧？好，不管是一个假设两个解，也是对，这个它大于等于零是要写的啊，比如说我先这么写啊，假设它有两个解， 然后这个我保证这个较小的根啊，假设它有两个解，然后这个我保证这个较小的根我应该这么画 会出，它有两个结，我保证这个较小的根是比负三大就行了，所以说应该是写两个再换个颜色啊，我觉得应该是写两个， 这两个就是第一个是它大于零，大于等于零可以推出这个 m 呢，它是这个小于等于四。第二个就是说把这个较小的根求出来，就是二 a， 二 a 就是 二 a 分 之负 b， 负 b 是 负 m， 然后负的根号对它，然后这个要大于等于负三， 你把这个不等式也需要解出来，然后最终答案其实也是一样的，因为它下面这个不等式啊，它是实数解，那在这里我就不解了啊，它是一个实数解，它是所有实数取两者的公共部分，还是 m 小 于等于四，但是我觉得这一步是有必要 去加进来的，不加进来的话，感觉到总总是感觉怪怪的啊。好，然后呢？ 说到这里的话，还有个东西啊，一个，还有一个就是说条件限制，你看这里 a 方不等于 b 方，哎，这个我们可能会忘记啊， 就是 a 方它是不等于 b 方的， a 方不等于 b 方，那就可以推出一个什么东西呢？那就可以推出这个这个 b 加上 m 的 平方，哎，就是 就是不等于这个，这个，这个 b 方，对不对啊？推出 b 方加上 m 方，加上二 b m， 那 就等于 b 方 b 消掉了嘛，对不对啊？然后就是两边再约去一个 m， 就是 m 加上一个二 b 等于零二，那就推出 b 不等于负的二分之 m 啊，就是说你 b 是 不可能等于负的二分之 m 的， 这个也是 b 的 一个范围嘛，对吧？ b 是 大于负三，而且 b 它是不等于负的二分之 m。 好， 你这个也要考虑到， 那我就把那你怎么想啊？嗯， b 就是 说或者说 m 是 不等于这个负二 b 的， 对吧？ 好，我就把这个状态下的这个 m 的 值啊给求出来，求出来之后你要把它舍掉，对不对？好，我现在就把这个负的二分之 m 啊带到这个方程里面，那就是 这个四分之 m 方，然后减去这个二分之 m 方，加上 m 方，然后是减一个三 m 啊，它是等于零的。 好，这个算出来呢？这个 m 呢？它是等于零或者是四，但是我这个东西，对吧？是， 是个反推嘛？就是我这个试着算出零和四是在 b 等于负的二分之 m， 但是你 b 是 b 是 不能等于负的二分之 m， 那 也就是说 m 是 不能等于零，且不能等于四，所以说你这个 m 等于四， 你要把它给筛选出来，然后最终啊，最终结合结，呃，结合这个 m 不 等于四，然后结合 m 小 于等于四，以及结合题干中的大于零，就是结合这三个不等式嘛。 然后就是结合这个 m 大 于零，小于等于四，最终范围应该是 m 大 于零小于四啊。然后这个是我能够理解， 就是假如说你对这个题目有更好的一个想法的话啊。呃，你可以在这个视频的评论区给打出来啊，互相学习。那我们就讲到这里啊。

来这个第十四题，这个第十四题的话，它是，呃，若函数图像存在 a 逗号 b 与负 a 逗号负 a， 它则称为函数的关联函数。然后呢，如果如这个函数都在这个图像上面，嗯，这个第十三题我再强调一下。第十三题的话，它这个是， 这个是圆的弧长公式，圆的弧长公式和扇形的弧长公式，它是不一，不一样的啊，不一样的就是扇形的弧长公式， 嗯，扇形的弧长公式，它们俩是不一样的。不能搞混了啊，不能搞混了。然后呢的关联函数，它如这个它存在这个，然后呢则称它是关联函数，那也就是说这个图像， 这个它的图像上面存在这两个，然后呢九、 k 的 值，也就是说把这个 ab 带进去，那也就是说 b 的 话，是等于一个 a 加上一个二零二六，然后这个是，嗯， x， 这个是负的 负 b， k 加上一个二零二六，然后呢？然后算出来这个，我们拿这个一式减去这个二式。 一式减二式的话，那也就是说这个是 a 加 b， a 加 b 倍的 k 是 等于一个这个 b 加 a 的， 然后呢这个 k 的 话，就等于一个一，然后这个算出来的 k 等于 k 的 值。是，就是一嘛？直接写一啊，直接写一， 然后呢？第二小题，第二小题的话，它这里它的最大值，最大值的话，那也就是说，若，嗯，把这个还是一样的，把这个 ab 都带到这里面去，然后呢给化简一下， 那我们在这边写啊，那也就是说这个的话，就是 a 的 平方，然后 m 减去一个三，等于一个 b， 然后呢 b 的 平方减去一个 m 减三等于一个 a， 然后这个是一式，这个是二式，然后呢 一是减，二是，嗯，一是减二，是的话，那个三就没有了，对吧？那也就是说就剩一个这个，哎，这个是负 a， 这个是负 a， 然后呢这个是 a 减 b， 然后这个是 a 加 b， 然后除以一个 m， 然后等于一个 b 加 a 负三减负三减三，不就负三加三吗？是零啊。然后它减它的话，不就是 a 平方减 b 平方吗？就等于 a 减 b， 乘以个 a 加 b， 然后再化减，这里再化减的话，那也就是说 a 是 等于一个 b 加 m， a 是 不是都相等的？其实它这里啊，你看 a 逗号 b 和负 b 逗号负 b 逗号负 a， 它这个 b 的 话和这个 b 是 它们俩互为相反数， b 还是那个 b， 对 吧？只加了符号，那我们就把这个 a 点 a 等于这个带到这里面去， a 等于这个带到这里面去的话，那也就是说，嗯，我把它写或缩小一点， 那也就是说这个就相当于是这个 b 等于一个 m 分 之一 a 的 平方减三， b 就 等于一个 m 分 之一 b 加三减三。然后呢，那也就是说， 嗯， m， 然后呢把这个化简一下，把这个化简一下的话，然后它这个 把它移到这边来，也就是说这个是减去一个三 m， 再减去一个 m， b 等于一个零， 这样子的，这个可以再化简一下，然后呢这个这个式子等于零的话，然后他说他是他关于他的关联函数，那也就是说这个值，这个值是存在点的，对吧？也就是说他这个德尔塔是有实数根的，这个德尔塔得大于等于零， 那这个，嗯，这个 b 相当于就是这里的 x， 对 吧？相当于这里的 x， 那 也就是说我们的这个 m 相当于常数，那也就是说我们得把这里给化出来，化减出来有 b 平方加上一个二，三得六， b 加上一个三的九，减去一个三， m 减去一个三， b 等于零，那这个式子这个式要成立的话，然后同时它是有两个点的嘛？所以说它这个德尔塔是大于等于零的，它德尔塔大于等于零， 它的德尔塔大于等于零的话，那么也就是说这个 b 是 相当于是 x， 是 不是 x， 它就等于是 x 的 值吗？带进去的，对吧？那也就是这个 m 是 它的常数项，那也就是说这个德尔塔的话，等于一个 m 的 平方减去一个，嗯， 减去一个四倍的 m 的 平方，减去一个三 m， 然后呢？算出来等于一个 负三 m 平方，加上一个十二 m， 然后呢？因为它是大于等于零的，然后算出来这个 m 的 取值范围。 呃，这个是 m 的 平方减四， m 要小于等于零，然后提取一个 m， 那 也就是说 m 减四 小于等于零，因为它这个 m 是 大于零的嘛。 m 要大于零，只能是 m 减四，要要这个小于等于零，那么那也就是说 m 减四小于等于零，因为这个 m 是 大于零的，所以这个 m 是 小于等于四的。那 m 小 于等于等于四的话，它最大值不就取四吗？它最大值就是取四的，然后这个第二小题就解出来了。

好，各位大朋友，我们来看一下包合一膜的第二十三题。已知抛物线 y 等于 x， 平方减二 a x 像这种题的话，边读条件你就能分析到它其实应该是一个焦点式， 我可以提取 a x 括号 x 减二。在这你就知道它应该有两个根，一个根是零，一个根是二。 接下来与直线 y 等于 x 减二，交于 ab 两个点，其中点 b 在 x 轴上。好，那 b 在 x 轴上，可以先用直线去求嘛？所以 b 的 坐标已经确定了，那其实就是二对零。 如果点 a 的 横坐标是负一，直线 l 和 y 轴交于点 c， 直线 l 和 y 轴交于点 c， 那 点 c 是 知道的， c 应该是零度负二。 第一位要求 a 的 值，我们看一下 a 来自抛物线解析，抛物线解析只有一个未知数，所以它只需要一个点，当然你带入点 b 是 没有用的，你带入点 b 会得到零等于零，所以还有哪个点点 a 呀？ 因为 a 告诉了我横坐标，而 a 是 抛物线和直线的交点，那说明 a 在 直线上，所以这个点 a 快 速戳一下负一负三，然后带入。求 a 的 过程我就不写了，在这呢，我们可以求得 第一问， a 等于负一，然后接下来第二问， p 是 线段 bc 上的一个点，过点 p 怎么样怎么样？你读到这儿的时候，你就知道这个题肯定是要画图的，然后题目没有给你图，这个时候不要烦， 因为你仔细发现，在现有的条件下，这个图形已经很好画了。比如说解析式是确定的， a 等于负一，可以带进去用第二个。这两个根咱一开始说一个是 b， 这个数就是二。好，然后这个地方是点 c 是 零度负二 p 是 线段， b c 上一个点。好，我们随便点一个 p 过点 p 作 p q 平行于 y 轴，要画一条竖线， 交抛物线于点 q。 求四边形 b p q o。 嗯，那其实这么看的话， b p q o 这里会有一点点问题啊，它这个命名不对，应该叫 b p o q， 因为这个 b p q o 这好像形成不了四边形吧。好， b p o q 四边形的命名， 让我求这个四边形面积最大的时候点 p 的 坐标。想一下，虽然我们平时求习惯了的是三角形，但是你看看这个四边形难不难？求这个四边形。这个四边形小学管它叫正形，我们初中管它叫垂面四边形，因为它的对角线是互相垂直的。 然后呢？垂尾四边形，它的有一个结论是面积算法就等于二分之一对角线乘积。那在这儿你可以简单震一下，把它拆成上下两个三角形啊，当然你拆左右也可以。 好，我都选 b o 为底， 那上面一个其实就是 q 的 坐标 y q 下面一个， 那其实应该是 p 的 坐标标，那就是负的 y p。 好， 先变个形，就等于二分之一 b o 乘上 y q 减 y p。 那 这一步我心里有数了，接下来我只需要把每个点的坐标给它假设出来就可以了，所以接下来应该是个纯计算。 而且第二问考面积最值，其实是在我们平时的训练预期之内的，我们设它要求面积最大是点 p 的 坐标。设点 p， p 是 在这条直线上，横坐标小 p， 纵坐标是 p， 点二对应的则点 q 是 在抛物线上，横坐标也是 p， 纵坐标带入抛物线，解析式。好，所以给它带入 面积等于二分之一。 b o 的 长度就是二，乘上 y q 减 y p， y q 在 这儿负 p 方加二， p 再减它，那就是减 p 加二呗。 最后一步，配方 好，从格式上请大家注意一下，因为这个坑我们最近跳了很多次了，配方之后先不要激动的写最值，一定要去看一下取值范围。答案。这个题它说 p 是 在线段 b c 上，所以因为 p 大 于零小于二，所以 p 的 二分之一确实在范围内，所以当 p 的 二分之一时，面积最大。好消息，它也没让我求最大，我此时只要点 p 坐标就可以了。 好，下一问。如果 m n 是 抛物线上不同的两个点，而且满足这个东西，已知抛物线既存在最小值，设这个什么等于 k， 请判断 k 是 否为定值，若为定值，求出 k， 如果不是定值，请确定其取范围。好， 到这，虽然这个第二问我们不太常见，但是心里应该有数，这个题应该是纯计算，所以那到这里的时候调整一下心态，深呼吸，只要保证计算正确就可以 来。第一个， m n 是 抛物线上不同的两个点，上面 m n 是 可以带入解析式的，但是因为现在 a 还不知道，所以我先不着急，后面满足这个式子。嗯，小学生都会处理，先交叉相乘 s 减一乘以 m 减一等于 m s。 这个式子是在学英式分解的时候跟大家讲过，建议大家一定要记住的。哎，发现 m s 可以 抵消掉，那把这个式子现在写好看一点，就可以变成 m 加 s 等于一， 先放在这，不知道有没有用。先放在这啊。好，这条件用完，下面已知抛物线既存在一个最小值，既然存在最小值，那上面开口应该是要朝上，所以 a 要大于零，以及对抛物线求最值，对方嘛， 调整一下。好。那么因为有最小值 负二， a 方加一，所以第一个发现开口要朝上， a 要大于零，第二个发现我这个地方最直就是它 负 a 方等于负二， a 方加一。好，这里可以求到一个跟 a 有 关的方程，而且这个方程长得很好看，你把这一一向过去，不就是 a 方等于一，那 a 本来得正负一，但是因为我这儿 a 又要大于零，所以只能取 a 等于一。太好了， 这个条件用完，接下来可以回第一句话了，因为我们第一句话没有往里带的时候，当时说 a 不知道，那现在 a 知道了， 所以解型式为 y 等于 x 平方减二 x， 则这个大 m 啊，其实也就是 t 等于 s 方减二 s， n 等于 m 方减二 m。 好，那这句话也已经用完了，接下来该到它了。设这个东西等于 k， 问我 k 是 不是定值，我只能怎么办？只能先把它算出来，那 t 可以 往里带， n 可以 往里带，那现在问题是什么？ 问题是我们发现这里面好像是不是字母有点多呀？所以我们需要统一字母，那回头看看我们哪些发现没有用上 a 等于 e 用上了，那接下来应该是这个式子，你看方程用于消元啊，当你觉得字母很多的时候，我们就只需要把字母换一，换 好，现在往里站。 比如我如果保留 t， 保留 t， 那 就是 s 方减二， s 加一。哎呀，好开心啊，这竟然是个加乘方式。那上面 s 方减二 s， 然后这个 n 我 们刚刚说给它换掉，因为从这个式子发现， m 可以 换成一减 s， m 换成一减 s， 一 减 s 括号的方，再减去二倍的一减 s 来化简一下，嗯，化简完还挺好看的。 n 换成它，然后因为前面是减号，所以减 s 方加一，后面再加个一，再来平方一下，上面 s 方， s 方消掉， 所以上面现在是负 s 负二， s 加二括号的平方，下面我们刚刚说它是完全平方式，就是 s 减一括号的平方，是不是定值马上就要看出来了。 首先上面可以调一个负号，中间变减号，其次把二提出来，注意二提出来变成四，所以上面是四倍 s 减一块平方，下面再除以 s 减一块平方，因为 s 不 等一啊，直接抵消掉就是等于四。好，所以那么现在我们要回答问题了， 然后这个题有个小小的细节的话，就是要注意答题规范，他问的是是否为定值的这种题目，那所以上一个先回答是定值， 然后求 k 如下。最后一步回答问题，所以 k 是 定值， 为 k 等于四。 ok， 那 么这道题二十三题就讲完了。像这种纯计算的题目，我们最近其实练习的挺多的，待会儿只要放平心态，保证计算不出错就可以。

好的，我们来看一下这个包河区 一模，然后这个函数的一道压轴题啊，这道题我认为它出题的质量非常的高，然后非常接近于中考的一个知识点的一个难度啊，非常非常接近中考的一个知识点的一个难度， 那特别是近些年的一些中考含参数的一些问题，他非常的接近，然后我们要去想啊，这道题他好在哪里？ 因为这道题他完全能够引导我们孩子，就是说在考试的过程当中如何去想提，所以他出题的方式比较好，他不会说出一些比较稀奇古怪的，你想到你可能就有分，想不到就没分的那种，不可能的 啊，这道题它就比较好的，就好在这一点啊，它在引导我们如何能够去想题。好，我们来完整的看一下这道题， 它这个 y 等于 x 平方减二， x 与这个直线交于 a， b 两点点 b 在 x 轴上，注意这个点 b 在 x 轴上。好， a 点的横坐标是负一，然后 啊与 y 轴交于点 c， 与 y 轴交于点 c， 那 也就是发啊，有与 y 轴交于点 c， 所以 c 点坐标是到零发这个点 好。第一问，他让我们求 a 的 值啊，求 a 的 值，那交于 ab 两点， a 点的横坐标知道了，我们把横坐标直接怎么样？直接代入，那纵坐标也知道，纵坐标知道以后，我们再往里面往 y 等于什么？ ax 平方减二， ax 里面代入，也就是能够把这个 a 给算出来。第一问我就不去重点去讲了，然后我们看一下第二问，第二问，他说平行于 y 轴，平行于 y 轴，然后问这个面积最大的时候，这个其实你只要手搓一个图出来，那这道题基本上你就能够能够快速的把它解出来了。好， 它线段 b c 啊， p 为线段 b c 上一点，且它要平行于谁啊？平行 y 轴，那它要平行 y 轴 b 点位置啊，它们俩交点交于点 b， 交点交于点 b， 然后它后面没有加 c， 那 所以一定是过圆点的一个啊，参数 好，大概这个样子，然后 p 点为 p c 啊，这是开口向下啊，开口向下这个图还画反了 d， 问 a 算出来应该是等于负一的啊？这个我刚才没写上，所以我顺手画了一个开口向上。 好，然后以向量数上面有一个点 p， 然后或 p 点做一个平行于谁啊？平行于 y 轴的一条直线， 这个是 p 点，这个是 q 点。然后让我们求这个四边形的面积，这个四边形的面积其实也就相当于什么呢？也就相当于我们可以怎么样呢？可以去 以 p q 为底，这是 o， 这是 p， 那 以 p q 为底，那就二分之一 p q 乘一个是 x d， 减去一个是 x o， 这是固定的什么？固定的一个公式啊？固定的一个公式，用各部分做切垂钩的形式来进行解这道题 好，这道题我也不多去计算了， p q 两点，我们可以设一个横组，设一个动点，横坐标为相同的，都为 m， 那 纵坐标直接往表达式里面代入，然后 b 点和 o 点它们之间的距离我们也能够取出来。所以这道题没有什么好讲的，我们重点看第三问。 虽然说他是整道试卷的一个压轴题，但是我认为这道题他非常适合于我们，尤其是中等生去训练啊，中等生去训练，一方面训练，一方面思考。点 m 在 这里，点 e 在 这里，他会抛物线上面两点，然后满足这个等量关系，他说存在一个最小值，设他 的比值等于 k， 问 k 是 否是个定值？好，我们快速把题目给过一遍，这个时候我们再回归到题目里面，其实我们在读题目的时候，我们就要去想它这种含参数的问题，含参数的问题，如果说对于我们很多学生来说，没有做题的时候没有任何思路的话， 那我们就去想逐字逐句的去分段，按照题目的要求，把每一句话想表达的意思给彻底的理解透，或者说我哪怕我硬算，我都要把它给算出来，对不对？那，那第一句话，这两个点在这个函数上，在这个抛物线上，那我们就可以把这两个点怎么样往抛物线里面带入 啊？往抛物线里面带入，我们就能够找到 s 与 t， m 与 n 之间的什么数量关系。好，这是第一句话，第二句话给了我们这个表达式， 这个表达式其实想告诉我们的是什么分式，告诉我们的其实就是什么，就是化解，化解，化解的目的，你看这里面是 s 与 m， 就是 想告诉我 s 与 m 之间的什么 数量关系，为什么要告诉 s 与 m？ 因为前面 m 点和 n 点，它们两个横坐标，一个是 s， 一个是 m， 它们两个横坐标不同，横坐标不同，那我怎么样能够把它们用同一个字母来进行表示呢？那我就得找 s 与 m 之间的关系，所以 也就是在这里，所以我们现在 s 减一比上一个什么 m 就 等于 s 比上个 m 减一，这个时候我们交叉相乘， s 减一乘以多少？ m 减一比上一个什么等于 m？ s， 所以 sm 减去个 m 减去个 s 加上一个一等于什么 sm， 所以 我们知道了 s 负 s 减 m 加一等于几啊？等于零， 所以 m 就 等于什么 e 减 s， ok， 我 们找到了 m 与 s 之间的什么数量关系。好说明这个，我们到第二句话已经，我们把这道题目已经基本上解决完三分之一了啊，只能够说解决完三分之一，最起码我能够把题目当中所让我们去表达的每一句话我已经处理完一半了。好，第三句话 他说他存在一个最小值，那最小值，那我们知道这是一个开口，我不确定的一个函数 啊。开口，因为第二问的，第二问的条件不，不是在第一问的基础上，他现在 y 是 等于什么？ x 平方减去个什么 r， x 开口不确定，但是他我们知道他要存在最小值，那 a b 需要怎么样大于零，他会才会存在一个最小值？最小值什么时候？去对称轴的时候，对称轴是多少呢？当 x 等于负的 r， a 分 之 b 的 时候， r 乘以 a， 比如说负 a 好 对称轴为一的时候，也就说当 x 等于一的时候， 我们取到 y 的 最小值是负二， a 的 平方怎么样？加一，我们把一带入，往函数里面带入，那我们得到的也就是 a 减去个二， a 等于什么？取到最小值负二， a 平方加一，这个时候我们可以算出来两个值啊，两个 a 的 值，一个 a 的 值是我们的一，一个 a 的 值是我们的 负的二分之一，由于他要开口向上取最小值啊，取最小值，所以这个负二分之一就舍去，所以 a 值取一。好，那我们也就是说这个完整的函数的表达式，我也就知道了， x 平方减去个多少 r x， 然后就要化简。最后一句话啊，他给我们分式还是一样的，我们刚才讲分式，他告诉我们，想告诉我们，让我们去化解，也就是说我要在求它的 k 是 一个定值的时候，我要能够把左边化简出来，它是一个定值就可以了，也就 k 等于这个定值就行了。好， m 和 s 啊， m 和 e 分 别在这个函数上，那所以当横坐标为 s 的 时候，纵坐标为 t， 那 也就 t 是 等于什么呢？ s 平方减去个多少 r？ s 的 m 呢？ m 和 e 之间的关系，也就是说当横坐标为 m 的 时候，纵坐标 a e 是 等于什么呢？ m 平方减去个多少 r m， 那这个时候我 m 可以 用谁来表示？一减 s 来表示，所以 a 也就相当一减 s， 括号来的平方减去二倍的什么？一减 s， 那 我们现在来化解这个式子的要求啊，按照这个式子的要求，我把它化解一下， t 减 n 加一，也就是我们的 s 平方减去一个 r， s 减去一个什么？ m 平方减去一个 r， m 再加一，我们将这个 m 等于多少呢？一加一减 s 代入，那这个时候我们化解完，也就相当 r 减去个多少 r 减 s， 这个化解的过程我就不去多说了。 然后我们 t 加一呢，也就是 s 平方减 r， s 加一，它也就是我们的 s s 减一括 y 的 什么平方？好，那我们把题目当中所要求的，我现在都已经化解完了，那我现在就是代入了，代入以后， 它的平方也就相当于二减二。 s 括 y 的 平方比上一个多。 s 减一括 y 的 平方， 它可以提取出来一个减，提取出来一个二二的平方，也就相当四。一减 s 括 y 的 平方比上一个多少？ s 减一括 y 的 平方，你看一减 s 的 平方和 s 减一的平方没有任何区别，所以它化解完等于四，也就相当于 k 等于几？ k 等于四，它是不是一个定值？是一个定值 啊？确实是一个定值，所以现在我们再回顾一下这一整道题，一整道题，我们做了哪些事情啊？做了哪些事情？第一句话，其实它在这个函数上我们可以代入， 然后到了第二句话告诉我们，给了我们一个等式，给了我们一个等式呢，我们就要去找什么，因为这个等式我肯定是解不出来的，因为一个等式两个未知数肯定解不出来的，所以我可以去找 s 与 m 之间的什么数量关系。 第三句话告诉我们最小值，最小值的话，那我们可以把谁给求出来，把这个 a 给求出来。第四句话，在化简求值的过程当中，那我尽可能的把这个参数统一，都用谁来表示，都用 s 来表示，我就可以把这个 m 换成多少呢？ e 减 s， 所以 这句话完整的体现了我们近些年中考的，我们可以去参考一下 啊，这个二四年和二五年的中考题，这种含参数的问题，我们再回想一下，我们到最后实际落实的时候，其实它就是两个大的问题啊，就是两个大的问题，我们现在来讲一下，一个是什么化解， 一个什么求知，这两个问题当中我们在面临他的过程当中，我们要想着如何去处理这些题目，我们要去理解每一句话他想表达的意思，所以函数的题目好就好在这一点你真的不知道如何去下笔的话，那你把题目去拆分一下， 你要明白他每一道题，每一个问题，每一句话让你去做什么样的事情。当你把这些每一句话所所要，你去做的一些事情，你把它全部都做出来以后，可能你一整道题看的时候你看不出来，但是每一句话你把它拆开来以后，每一个条件都化解出来以后，你就知道。哎，这些题目如何能够串起来去用 啊？这就是包河区的最后一道题，我认为出题的质量非常好，然后也是非常的建议各位初三的孩子们重视一下，去自己去独立思考一下的啊。

我们再来讲一下这个二零二六年合肥包河区一模的这个二十题，一道圆的大题，我们看一下啊，这个题他说啊，这个 c d 是 一条切线，然后切点是 c， 然后呢？这个做一条割线 c a， 然后做一条割线 c b 正好这 ab 是 直径嘛？ 然后第一问，让我们正的是 ec a 啊， ec a 就 这个角啊，这个角等于这个角啊，这个有点过于典型啊，非常典型的这个弦切角 啊，这里我不主动去讲了啊，大家去把这个衔接角的这个证明方法简单的去说一下啊，我不再说了啊，这个很简单，肯定是要做辅助线的啊，这样连一下，对吧？这个角等于这个角啊，然后这两个角是互余，这两个角是互余，好吧，衔接角啊，我就讲了一万零一遍了，这个衔接角的重要性，你看他现在这个题，直接就让你去证明这个东西啊，然后第二问， 第二问，他这样说的啊，这个 d a 比上一个 a o 就 二比三，然后 ec 的 长是三，让我们求这个 ab 的 长，实际上呢，我们这里可以设一下，设，这个是二 m， 这是三 m， 对 吧？这是三 m， 实际上就是通过这个三这个值，然后让我们把这个小 m 解出来嘛，就这个意思。 所以前面我们做了很多关于这个旋切角啊，这个三角形的这个这个一些结论啊，很显然就是 c d 的 平方，对吧？ d c 的 平方等于 d a 乘上 d b， 就这个结论是需要大家用这个相似三角形是正的，你看这个三角形和这个三角形是不相似的呀，对吧？因为角 d 是 公共角，然后这两个角差，所以是不是和这个相似啊？对吧？相似的话啊，这个地方你们自己去表达一下啊，这个的平方等于这个乘上这个 啊，是这样关系，这里的相似比，我们再写一下啊， c d 的 平方，是吧？等于一个这个 d a 乘上一 d b 啊， 你们可以用这个相似笔，用刚才画的两个三角形相似啊，去做一下这个结论。然后呢，这个 cd 的 平方，它就是等于这个二 m 乘上一个，呃，八 m， 是 不是十六 m 平方，所以这个 cd 的 结果呢，就是四 m 啊，所以再回来啊，那这个地方呢，就是四 m 减三，对吧？四 m 减三，然后我们再看啊，这是四 m 减三，这是二 m， 然后呢这个 e a， 听说了，这个 e a 是 垂直的嘛？在这 垂直的话，我们只需要把 a 表达出来就行了。 a e 这个地方因为是垂直，所以正好也是相切，相切的话，那恰恰来讲，这里又来个啊，弦切角，这个弦切角是不是对应的这个圆周角还是它呀？所以这三个角都是相等的， 那这个三角形不是一个等腰三角形吗？这是三，这是不是就是三？所以这个就形成了一个勾股定律，对吧？四 m 减三的平方等于二 m 方加这个三的平方，然后我们算出来， m 就是 专门考咱们弦切角的啊。

最后来讲一下这个二零二六年的这个包河区一模的这个压轴题啊，二十三题，这道题也是二次函数作为垫底的题，看一下啊，呃，抛物线这个里面 a 不知道，然后有有一条直线给拿去交，拿去交 a 的 横坐标知道了啊，实际上这两个点的话都能知道，对吧？ a 的 横坐标知道了，带进去纵坐标不就知道了吗？然后这个 b 它又在 x 轴上，所以 b 点实际上坐标也都知道了啊，这两个坐标去带进去求 a 的 话，其实很容易啊 啊，所以咱们带进去，把 a 带进去，这个 b 带进去好像不行啊，把 a 带进去就行了， a 带进去求求出来，这个 a 是 负一，然后是一个开口向下的一个抛物线啊，我们再看这个第一问的第二小问啊，在这啊， 他说 p 是 线段 b， c 上一个点啊，在这上面，记住啊，是线段啊，线段上啊，线段上，所以这个 p 在 这排除两端的这个情况啊。现在呢，过 p 点，然后做一条平行于 y 轴的直线，然后交于这个抛物线于 q 点，所以 q 在 上面上下关系就确定了 啊。那这时候他问啊，这个四边形 p b q o 的 面积最大，这个四边形面积最大啊， p 的 坐标，实际上这个四边形不规则，四边形，我们完全是用这个割股变成两个三角形，对吧？ 哎，这个题整个大方向就是很常规了，这个三角形我们只需要以 p q 作为底，对吧？这个三角形我们以 p q 为底，高的话其实就是 o， b 就是 o b 吧，就垂直的嘛，对吧？高其实就是确定的，就是二， 那所以咱们设一下这个 p 的 坐标，对，因为 p 在 直线上，所以我们设 p 的 坐标 m 逗号 m 减二，因为这个直线方程是 y， 等于这个 x 减二，是吧？好，同样的这个 p q， 他 们的横坐标一样， q 点的这个横坐标跟 p 点一样，也是 m。 这个纵坐标呢，我们直接带到刚才解出来的这个抛物线这个方程里面去啊，就这个 好面积的话，是这个三角形，对吧？加上这个三角形有二分之一底乘高，对吧？这个底的话，就是它们的纵轴边的差嘛，就是这个减去这个啊，负 m 方加二 m， 再减去这个 m 减二。 高的话啊，我们可以统一放一起写，用 o 点到这个 p q 的 距离和 b 到 p q 的 距离。其实放一起不就是 o b 吗？就是二，所以直接乘以二，这二分之一跟二就约去了啊，结果就是里面这个化解的结果，负 m 方加 m 加二，所以很显然这个取对称轴的时候，负二分之 b 就是 二分之一，二分之一它确实也在这个 a c 上啊，没有问题。所以 这个 m 等于二分之一，我们带到这个里面去， p 的 坐标就出来了啊，这是我们的这个第一题的第二小问。好，我们再看这个第二第二题啊，第二题，他说啊，这个 m n 在 这个方程里面，然后呢，这里面是 st m n 这边，这边有一个 s 跟 m 的 关系，也就是说这两个点的横坐标有一个关系 啊，他问这个纵坐标对吧？问这个纵坐标，这个这一坨能不能是一个定值 k 啊？当然了，这里还有个条件啊，他说抛物线既存在最小值，负二 a 方加一，存在这最小值 啊，那这个不就是顶点坐标吗？最小值啊，最小值的话，那就意味着开口朝上啊，好，我们来看一下这个解法，那么因为他有最小值，所以这个最小值是顶点坐标， 我们顶点坐标，我们直接把对称轴解一下啊，对称轴带进去，解出来的是不是就是他的最小值啊？对吧？我们把这个一带进去，结果是负 a 啊，一带进去是 a 减二， a 等于负 a， 负 a 等于他这个数字当中讲的这个最小值负二， a 方加一，这 a 是 不是就解出来了呀？ 啊？很容易解啊，解出来一个是正的，一个是负的啊，因为他有最小值吗？所以开口朝上， a 肯定是大于零，所以我们取那个正 a 等于一，这样的话我们抛线方程就出来了，是这个， 好，我们再回来啊。题目有个条件是，这个是两个这个点坐标的横坐标关系，我们化解一下啊，交叉相等化解一下，化解一下这个 sm 约掉这个负 s 减 m 移移过去，就得到这样一个结论，对吧？ s 加 m 等于一，这是两个横坐标的这个和， 然后他问的是这个 k 的 值这一坨啊，好，我们把这坨给它化解一下，这一坨化解一下。这个 t 减 n， t 带到这个式子当中去，是不是就 s 方减二， s 减去 n 就 减去一个 m 方去过后啊，加二 m 再加一，底下这个 t 也是一样换掉啊， s 方减二， s 再加个一， 那现在这个式子呢？我们用刚才这个条件， m 把 m 给它剃掉啊， m， m 给它换成 s， 对 吧？带进去，然后带进去之后呢？上面化简就不去赘数了啊，上面就是一坨是关于 s 的 一个式子啊，底下也是关于 s 的 一个式子， 然后化简啊，上面化简之后正好呢上面是二减去二 s 的 平方，这个二是不可以提出来，提出来变成四，甚至就是 s 减一平方或者一减 s 平方一样的啊，这个底下不正好也是完全平方式啊， s 减一的平方就可以正好约掉啊，结果就是四啊，所以它确实是一个定制啊。