武忠祥基础讲义例15

好，学员们，大家好，今天给大家讲一下啊，就是鸿开的呃用书计划，然后学习计划。呃基础阶段呢？我们一般来说就是呃这个高等数学基础篇，然后还有六六零和真题真刷的基础篇，这个是金榜时代推出的呃考研基础三件套。然后我们分开来给大家讲。 首先第一本是呃高等数学基础篇，这本书的话今年新增了一个配套的研试卷，然后我个人认为这个研试卷是非常非常行的 啊，他真的是我觉得真的是一本就非常精髓，然后他也很好的弥补了，就是前几年，嗯，很多，可能我看很多学长学姐他们会说，就是呃做六六零的话做不动，然后演习就很好弥补这一点。然后这个高等数篇的话，我觉得是编的非常棒。然后我们可以看一下他的目录， 嗯，他的话就是每一张里面他都会先讲一下考试内容概要，然后再讲一下常考题型与典型例题，他就是分这两部分讲。然后呢第一部分呢，主要就是他是会集中的介绍一下这张会考什么东西啊？考试的题型，然后呢配合立体来讲， 我们拿呃第四张来举例。第四张呢？第四张他这里有四种，就是不定积分的概念性质。不定积分基本共是三种主要积分法，三类常见可积函数积分。然后他前面就是讲这些，呃，讲这些概念，然后呢配套一些具体来讲， 然后呢？后面呢？他在讲这个长考题型典型问题的时候，他就是比方说这一张他只有一个长考题，就是求不定积分，然后他会配很多，就是这这个部分就几乎全配立体来讲解做这类题的方法。 然后在在这个呃章节的末尾呢，他会配一个就是超链接，就是他会跟六六零联动起来啊，他卷接六六零就是在你刚开始学完这一张时候比较适合做的一些题目。 好，这个是呃高等数学基础篇。然后关于演选题呢，我觉得演选题他非常，他真的是非常非常好，尤其是你刚刚学完这个，刚学完这个高等数学基础篇之后，你去做演选题，你会发现他， 嗯，怎么说能让你错很多吧？可以这样说，就是他对你的基础，对你的概念把握非常好。然后这个选选择题呢，我觉得就是大家刚开始学完错很多是很正常的，因为你看我这里也标了很多，就是在目录这里标了很多我错的题。 就是大家如果一开始错的话，我觉得考研数学就数学，考研数学的学习呢，就是不断的错，然后再不断做错题吗？所以大家错的话，也可以像我一样把错题标在这个，就是目录这里，然后随时就可以回去翻看，也不需要做成错题的，因为那样的话太费费时间精力了。 然后就是这个演选题呢，他也是配有解析的，但是是电子版的解析，然后好像是舞蹈的公众号他也发了。然后 就是这个演选题呢，他题量不是很多，他一张的话，但是也是比较足够的，你可能写一张大概也需要一到两小时，他一张的话，嗯，我算下来就是大概就是看了一下，就是每一张大概是有二十二三十道题这个样子。对，然后都是分为这个选择题、填空题、解答题。 对，我觉得这个演选题真的是他今年呃金宝时代团队做出了一个最好的改编，他这个演选题非常非常棒， 就是他能在你学完知识点的第一个，第一第一时间让你巩固一下这些知识点。而且他对概念的考察非常深刻，我觉得他们就是就跟他们团队做六六零。是，就是风格是一贯，就是他们六六零做的也是很考察那个概念吗？考察你对概念深刻的理解，所以我觉得英语真的是真的非常值得一做。

啊，兄弟们大家好，上一期视频发布后，好多兄弟问讲义怎么复盘？真题真刷怎么做？六六零什么阶段做这些问题呢？后面都会出视频解答，然后今天给大家带来分享一下这个五老的高等数学基础篇的使用指南。 古老的高等数学基础篇是他上基础阶段的上课教材，一共有十二张，每一张呢，都是考试内容概要加常考题型与典型例题组成的。第一个部分主要讲解这一张涉及到的知识点，每个知识点下面会有一到两道例题， 比方说啊，单调性，极有性，这里下面会有道例题讲解。然后第二部分呢，主要讲解例题解答方法技巧，注意点。 那么这里呢，就是啊，常考题型，他这里会有很多立体，比方说一道一种题型，他下面会有三道，四道，四道、五道这种立体。 然后学习流程呢，就是先听课建议呢，高等数学基础片的每一张听课要控制在两天以内，一天听考试内容概要，一天听典型立体讲解。 然后呢，每一张内容不一不一样多，比如第一张我我统计了有五个课时啊，两天你可能听不完，那么你花三天，如果有一张比较少，那你一天就可以听完，反正就是听课部分，我们要 尽量快一点，按照自己的节奏尽快听完。听完课后啊，我们要复盘讲义，因为我们听完啊，听课已经花了一两天了，我们需要及时的复习，再去做演选题啊。好多兄弟问怎么复盘，我是先把知识点看一遍，然后尽量记一些，再把再把这个例题的答案遮住了 啊，例题答案拿白纸遮住了，然后再自己再做一遍啊。因为很多兄弟包括我其实是不喜欢预习的，老师上课讲例题的话，你可能没有参与感，这个时候需要你复盘重新做一遍例题， 然后做完之后呢，把不会的例题看解析或者看课搞懂以后做个标记，然后在题旁边做个标记，这样方便我们后期二刷。就是当时不会的例题。 然后这就是啊我们听课所用的这个高等数学基础篇的使用指南啊，下一期给大家分享研选题怎么使用，怎么二刷。

如果你从今天开始考研数学的学习，并且高数基础跟的是武忠祥老师，参考我这样的调整可以助你更上一层楼。那么首先如果你的基础延缓期正确率高于百分之六十，那么后续的规划主要根据你有没有做六六零。如果你基础阶段已经开始做六六零了，而且正确率不错的话，我推荐你直接开武忠祥强化，开二六的课， 那么开五中央强化之后，直接做八八零的基础和综合，八八零可以先刷综合基础留到学现代的时候刷。如果你的八八零综合刷不动，你可以先刷基础，然后学现代的时候再刷八八零综合高速过完开现代记得一定要复盘高速阶段的错题和讲义。 然后开现代的时候分为两条线，一边高入复习，一边现代学习。高入复习主要是复盘奖励加刷八八零的剩余部分。八八零刷完之后呢，你可以买一本一千题刷，或者完成六六零的剩余部分。那么现代学习可以参考主页的现代满分攻略，也就是主页置顶第一个。 如果你基础阶段没有刷六六零，我建议你直接开现代基础高速复习，就是复习讲义加刷六六零。然后现在学习的话，跟刚才一样，现在学完之后再开五中强的高速强化，直接刷八八零，同时复盘八八零的现代错题。如果八八零现在复盘完了，可以买一本一千题刷一下一千题的现代部分。 然后就是两个同样的后续调整。高数现代全部学完之后呢，初二就完成八八零以及一千题剩余部分后再开真题，数一数三就是一边学概论，一边完成高数现代八八零和一千题的剩余部分。你按照这个规划走的话，你的目标给我定在一百三以上。当然习迪策的正确率仅供参考， 如果你的习迪策正确率低于百分之六十，我建议你直接开高数强化技术，学完之后直接跟吴老强化刷八八零， 后续学习以做图八八零为第一目标。高速强化学完开现代，然后也是分为两条线，高速复习线，复盘讲义加八八零，错题后刷六六零。现在学习线就是选择老师听课加做题，如果你的人选题正确率远低于百分之五十，建 议你先做基础七百题，后续学习的规划可以参考我后面要出的视频。然后就是两条路线的参考时间，仅供参考。下一期视频咱们讲一下如果你基础比较差，该怎么样尽可能的去调整。

我想告诉纪录片第一张啊，这个函数极限连续这一张，这一张呢，其实内容很多，因为他有五个课时，所以很多小伙伴刚开始学的时候会觉得，啊，怎么一直在听课听不完？好像 因为这张也比较重要，后面很多的内容都跟这张有关，所以即使是吴老他技术喜欢讲戏，这张也不能再戏了。对，所以而且这张他内容内容也是很多，然后你有很多需要去记的地方，像求极限他就有特别多种方法，我没记错的话应该是有七种吧。 啊，反正就是挺多种方法啊，然后你这张的话是非常重要的，后面很多的内容，包括你学到了啊，这个高数高数下册的时候啊，其实很多内容都跟这张是有关系的， 所以我觉得这张是一定要好好的去学的，把不会做的，不会没听懂的、没搞懂的，全都得写会。然后看一下我这张的演选题，这张演选题的题量呢，也是比较多的，一共又有啊，四十啊，三十九道题。 对，其实这张，呃，尤其是他涉及到这个函数极限连续这边，他就会有一些概念题，需要你去辨析的话，就会错，就会错的比较离谱 啊，当时这是我做的。嗯，其实看就是错误率是非常高，你看全都很多都划错，有一 些是概念题，有一些是自己知识的理解不到位，包括后面的一些证明题啊，一些这种啊，很多都不会当时，但是，但是呢，刚开始学这都是很正常的，所以我觉得啊，这一张好好搞，然后把不会的都给它弄懂了，然后我们再去看后面，刚开始学就不要特别急。

这个我们经常说的经典错误，标准的零分，那为什么错了？实际上主要就是这个等号，就这错了。有同学做这个题做的更简单，那怎么做？ 他说老师这题简单。为什么简单？刚才分析的时候有同学就已经注意到了，那我这个地方不是可以这样看吗？那你看，你这不是 x 趋向于正无穷， 你上面 e x， 等一下，你不是一加 x 分 之一的 x 平方次方，那不就是它的 x 次方，再 x 次方， 这个没有问题，它为什么写这个？它一看哪边趋向 e， 这不是 x， 那 这不就等于这个吗？这不就等于 x 趋向于正无穷，那这个上面 e x， 下面这个不是一，这有个 x， 这不是也是一 x 吗？那这个就等于谁就等于一，这多简单。那怎么跟你这个答案不一样？大家注意，前面这个改写没有问题，这这样子写这个等号，这就是个经典的错误，标准的年份， 那为什么不能这样写？那你注意，你这个相当于极限，分两步走，这个 x 你 先别着急，我先算那边，算完以后再算你外面。那你注意求极限。能不能这样？你想先算哪里就先算哪里， 如果求极限能这样做，你想想求极限有难题吗？肯定没有难题，你达到一个极限不好算，那哪里当。

它为 d， 那 么它呢？我们能够写成一加 n 分 之负一的 n 减一，我们刚才直观的看，就是当 n 无限增大的时候，它和一呢，要多接近有多接近， 那么什么叫做要多接近有多接近呢？这个 x n 是 一个数， e 也是一个数，那么这两个数的接近程度我们知道可以用他们差的绝对值来表示，所以你看这个竖列的象 x n 和这个常数 e， 那 么它的接近程度可以用它两只差的绝对值来表示。 那么这个等于谁呢？先让大家知道，这个就等于 n 分 之负一的 n 加一次方的绝对值，那就等于谁就等于 n 分 之一。这个 n 分 之一，这个数就刻画了这个数列的通向和这个常数一的接近程度。 大家看，随着 n 的 增加，这个 n 分 之一呢越来越小，并且要多小可以多小。那么你看，如果你要使得这个 n 分 之一，比如说这个要小于谁啊？小于一百分之一， 那么大家看能做到只要谁，只要这个 n 大 于谁啊？ n 大 于一百，那就说从第一百项以后，他都能满足他两个呢接近的程度小于百分之一，那么如果你要求啊，他这个接近程度要小于这个千分之一， 那也可以，那么这个时候只要谁啊，只要这个 n 大 于谁啊？一千啊，那就是第一千项以后的项， 那么这些项呢？和这个一，他这个接近的程度， n 分 之一，他都可以小于千分之一，那一般的，如果你要求他要更接近，比如说他要小于这个一万分之一， 那么大家看，只要这个 n 大 于谁啊？一万啊，一万，那更一般的这个对任意给定的一个正数一的等于零， 不管你给的多么小，那么这个时候呢，你要这个 n 分 之一小于谁啊？ epsilon 呢？这让大家看，只要我 n 充分大，只要我 n 大 到什么，从这一块可以看出，只要我的 n 大 于谁啊？你这个 epsilon 分 之一， 那这个时候就一定有谁，就一定有 x n 减一的绝对值小于 epsilon， 那由于这个 e 次呢是任意的，就是你不管你取得多么小，那么只要我 n 大 于这个 e 次呢？分之一，那么那后面的项它呢？这个 x， n 与 e 的 接近程度都可以小于你事先给的这样一个 e 次呢？ 由于这个 epsilon 呢是任意的，所以那这个 x n 和 e 呢，就是要多接近，都可以有多接近，所以数学上就引入了数列极限的严格的 epsilon 大 n 定义，那么这个定义呢？就这样。

好，然后呢我们再来看，比如说像这个，这个呢，没有现成的技能可以用啊，那么里边底下呢，是一个根号，里边是个二次三项式， 所以呢，你注意，你看这种形式我们就能凑，那么这个呢，我把里边怎么样？配方一下，大家看上面这个底下配方一下，我是不是可以把它写成根号， 那么后面这个呢，是不是可以写成 x 加一的平方？这应该写减号， 那你看，因为这个呢是 x 加二， x 加一，那么这相当于给他减了个一，那就得加个一，那这就是二。那么看到这个以后，我们应该想到哪个结果呢？是不是应该想到这个结果啊？就是这个结果， 那么这个结果怎么用呢？哎，你看这是 a 方减 x 方，我们是二，是不可以看到根号二的平方，只不过这是 x 加一。哎，那我上面 dx 是 不是也能写成 dx 加一啊？ 啊？那这个二呢？是不是可以写成根号二的平方？那你等于谁？阿克赛因 a 分 之 x， 那 我们等于谁？我们就等于阿克赛因，我们的 a 就是 根号二， 所以这就是根号二。我们的 x 换成了谁？ x 加一，然后再加上谁常数， 那所以你看，有了刚才这个结论，做这个，我把里边配方我就可以凑为一方，用这个地方这个结论。 好，我们再来看，比如说像这道问题贪婪题，那这个怎么做呢？先让大家看这个贪婪题，它等于谁？它等于塞隐 x 除以谁啊？ cos x d x， 哎，那这个时候三个 x dx 是 不是可以凑谁啊？那这可以写成 cosine x， 分 之 d 的 cosine x 前面来个括号， 那我们这个地方就有一个结论，那就是 x 分 之 dx， 它等于谁？就等于 log x 的 绝对值加常数， 无非你这就是把我们的 x 换成了 cosine， 所以 立马就得结果，这就等于负的烙印的 cosine x 绝对值加上常数。 那我想你摊进题会做 cosine 题，是不是一样的思想可以做好，下面呢再来看，比如说 cosine 的 平方，这个怎么做呢？ 这个没有现成的结呢，可以直接用，但是呢用一下我们初等数学，一个结呢， cosine 方等于谁？它是不是等于二分之一，然后就是一加上谁啊？一加上这个 cosine 二 x d x， 那这个时候呢，大家看分项可以做二分之一，第一项一，谁就倒数等于一，当然是 x， 谁就倒数等于 cosine 二 x， 那 当然应该是二分之一，塞应谁啊？二 x 加上谁啊，常数， 这就做出来了，所以这个呢，就是把它用三角公式写成一加 cosine 二 x， 然后分项积分，那这个地方做出这个结果，也可以看到是凑为分。

所以你看，首先给了不定积分的性质，那么这个性质里边也体现了一些基本方法啊。首先，那我们来看这个性质，那他的不定积分求导就等于小 f， 那 这个很容易验证，因为不定积分等于谁，不定积分就等于圆函数加长数， 那所以它求导也就是这个求导，这个求导不是就等于 f x 好， 但它的导数等于 f x， 那 它的微分就等于导数乘 d x， 所以 这两条很容易验证啊。那么另外呢，大家看， f 一 撇都不等积分， 那谁的导数等于 f 一 撇做不等积分就等于 f 加长数。 那么另外呢，注意 d f d f 实际上就是 f 一 撇 d x， 所以 等于 f x 加长数。那这些节呢，也可以用来算不等积分，但是呢，他们实际上主要在讲什么？ 你看这个呢，是先积分后导数，这个是先积分后为分，但是呢，一做以后看这个积分号没了，就剩下 f， 这相当于这个为分跟积分给抵消掉了，就是 f， 那 这个呢，是先导数后积分，这是先导数后积分，这是先为分后积分， 那这样呢，多了个常数，实际上这四条都是在解释为分和积分互为逆用算， 只不过如果你是最后做积分，你看这点，这两条都是最后做积分，他就有个任意常数。那么前面这两条呢，都是先做积分，后做导数，或者后做为分， 那常数求倒常数，求一分都等于零，所以那个没有任意常数。那么再下来呢， 这就是我们倒数里边和差的倒数，等于倒数的和差，倒过来就形成了这个地方和差的积分等于积分的和差， 那么大家注意这一条是让我们用的很多啊，那么这一条就是我们通常做积分的时候叫分向积分法啊，就是把我们 这个求导数的公式里边和差导数等于倒数，和差倒过来就形成了和差积分等于积分的和差，那这就形成了我们积分法里边非常重要的一个方法，叫分向积分法。 那么还有一个什么呢？还有一个就是常数可以从积分号这边拿出来，嗯，这就是不定积分的性质，实际上也给我们提供了求不定积分的一些基本的方法。 那我们说这个做积分就是做导数的逆用算，那我们得把求导数的基本公式倒过来，形成积分的基本公式，再加方法，我们做题就比较方便了。

啊，兄弟们大家好啊，都说吴老的这个基础阶段喜欢藏东西，那么是不是真的有这回事呢？啊？我自己学了一段时间，感觉下来呢，是真的有藏东西这回事的。嗯，比方说这个求极限的几种方法，这里他利用单调一节准则求极限，吴老的基础讲义他只讲了一道例题，然后又比如说第六章， 第六章他这个定积分的应用，然后他吴老我觉得讲的也相对比较浅显，然后可能做做习题的话还是会有些痛苦，还需要就是去啊学一下，看一下解析，学一下别的老师讲解。 那么我觉得藏东西这个东西呢？你啊，你说他基础阶段藏东西啊，我觉得这是吴老的一个特点吧，你不能说他不好。 嗯，就是他，他的特点就是基础阶段要给你弄得非常简变，然后强化阶段再给你补细节，这个是吴老的一个教学理念。当然呢，啊，对我们同学来说啊，可能会在做题阶段给我们带来一些不便，那么我们也可以通过就是呃，看别的老师，或者看 b 站上一些讲解来把它给弄明白。

那么下面呢，我们再来看三元 x 分 之一，谁让大家知道这个是谁？三元 x 分 之一啊，它就是 cosine 啊，这就是 cosine x dx。 这个怎么做呢？我们看在这个地方呢，把它改写一下，我们给份子份母同乘一个谁啊？同乘一个 cosine 加上 cosine 梯， 那么所以呢，这个上面就是 cosine x， 然后呢，这就是 cosine x 加上谁啊？ cotangent x 那 么 form 呢，就是 cosine 的 x 加上 cotangent x d x。 有 同学说，那为什么会这样做呢？ 你有没有注意看，上面就是 cosine 的 方加 cosine 的 tangent， 那 这个时候呢，你注意这个 cosine 的 求导 是不是就等于负的 cosine 的 cosine， 那 么 cosine 的 求导是不是刚好就是谁啊？负的 cosine 的 方， 所以呢，你看这个分子是可以凑分母的，微分是不是就差一个符号，所以呢，这是不是就等于负的？然后呢，这儿呢，就是 cosine x 加上谁啊？ cosine t x 但是上面这个分子正好能凑底的 cosine t x 加上谁啊 cosine t 的 x， 那么这样就做出来了，这个最后结果等于谁负的，然后是烙印绝对值 cosine 的 x， 然后再加上谁 cosine t x， 然后加上常数， 那好了，这个会做，那你这个会做不？这个 cosine x 分 之一 dx， 那 么大家知道这就谁啊？这就是 sine x 的 dx， 是不是跟刚才是一样的？这个分子分母是不是也同乘 second t 加 time t， 它凑上面为分，没有负二，所以这个结果立马写出来，就是孬影的 second t， 然后加上些 tangent x 的 绝对值加常数。注意这两个结果，希望大家记住啊，这个以后用的很多，那就是先记这个看 second 不 定积分，这很好记，就等于 long 绝对值 second 加 tangent。 那么这个 cosine 呢？也等于 law in 的 绝对值 cosine 加 cosine， 所以 前面有个符号。因为 cosine cosine 的 求导数有个符号，所以这样记比较好记。 当然我们原来大学同济书上写这个，结果写的不是这个，前面不是符号，这个唠昂里边是个减号。 但是呢，注意不定积分这个结果的形式不唯一，我们认为这个和这个这样对照记好记。你看，这就是 law secondary 不 定积分等于 law 绝对值 secondary 加 time 题 whole secondary 不 定积分等于 law。

然后如果非奇次项是 d 的 t 次方乘 p m t 就是 m 次多项式，指数函数乘多项式，那怎么定呢？ 这个时候看 a 加 d， a 就是 刚才奇次里边这个 a， 然后呢， d 是 这个指数的这个底数，如果这两相加不等于零， 那这个时候呢，就是这另乘 d 的 梯次方乘一个谁 q m t， 就 你这是 p m t， 这是个具体 m 次，我们这就是一般的 m 次。 然后如果 a 加 d 要等于零，那注意这个前面要多乘一个 t。 所以关于费奇次方程，我们就聊要求这样两种费奇次项，一种是费奇次项是 m 次多项式，一种就是 m 次多项式乘上一个指数函数。 所以这个地方内容跟我们前面的关于这个高阶限性常系数微分方程内容完全对应。 这就是数学三对查分方程的要求，就只要求一个一阶线性长系数，其次和非其次非其次里边是两种非次项。 但是这个知识点呢，在我们数三卷子隔几年还会拉出来要考一下，比如说 九七年的考题，那这个叉分方程的通解，大家看这是一个一阶线圈长细数，非其次，所以首先写其次的通解， 那么写其次通解，关键是要找这个 a， a 等于谁负一，那这个 a 等于负一，它的通解是谁啊？通解就 c 乘上负 a 的 梯子方， 那非就是一，一的 t 次方就是一，所以其次通解就是它。然后呢，要找非其次的特解，但是注意它的非其次呢，是一个指数乘上一个多项式，那关键要正确的设出这段的特解， 那注意这呢，人家是个 t 的 一次方，那我们这个地方呢，肯定应该是一个一般的 t 的 一次多项式， 所以首先我们这应该有二的梯次方，然后呢，应该有一个谁啊？应该有个一般的一次多项式，那就是 a t 加 b 前面呢，要不要乘一个 t， 那 主要看 a 加上 d 等于不等于零，那这呢，我们刚才说了，这个 a 是 等于负一，那这的 d 等于谁啊？ d 是 等于二的 啊，这个时候呢，你看这个地方呢， a 加上 d， 它是不等于零， 既然不等于零，那所以这个地方呢，前面就不用再乘 t， 那 这个就设好了，然后这个设好以后呢，把它带到圆方程里边去啊，那这个时候的 y t 加一就是它， 然后呢，减去外 t， 外 t 就是 它，然后等于 t 二的 t 次方两边把 t 二的 t 次方消掉，然后比较同次密的系数， 我们就可以求得 a 和 b， a 和 b 求得以后，非其次特解就知道了。然后呢，圆方程通解就等于其次通解，再加上谁啊？非其次特解问题就解决了。

啊，五中上高速纪录片，第三张威风种植定例及导数应用，然后这张呢，就是可能后面他都会比较喜欢考那种啊证明题什么的，因为他这个威风种植定例就是考察的重点嘛， 然后这一张的话后面还有一些这个呃应用的应用题，然后这这这一半呢？为什么我没有写呢？因为这个是受灾要求的内容，然后所以我就没有学， 然后这里有一些这个凹陷啊，拐点啊这种题目，其实我觉得，呃，这里也是需要记一下，而且我觉得这里还是 就是有的时候还蛮难记的，你会发现，因为他有这种第一充分条件，第二充分条件有的时候你过一段时间你会发现你忘记了，而且尤其这边拐点也是的啊，拐点其实他这个就是对应的这个极值的这边嘛， 是吧？所以这边还有的时候还是得呃加强一下记忆，然后这个曲率半径啊什么的，然后看一下我这张的，呃，这个演选题的正确率吧，这张这张也是做的不咋样 啊，没关系，做的不咋样，因为严选题吗？我们就主要是把它当成立体来做，然后解决这质性的问题。嗯，看还是错了蛮多的，尤其是这边的这个啊，证明题，对吧？证明题只要一出我技术阶段就不会做，就是错。对， 这张我觉得基础现在啊有些东西不会做的话，比如说像证明题那种，我们也可以稍微放一放，等到强化再去搞。

呃，五中项告诉纪录片的这个第二张导数与微分，然后这张呢是有呃，两个课时，呃，因为我们最重要的三大计算就是求极限、求导数，呃，求积分嘛，所以这张当然也是非常重要的 啊。这张的学习难度我觉得也是，主要是有前面就是有一些概念需要辨析啊，对于概念的这个理解还是要深刻一点，在技术阶段的时候就把这个概念给他理解透了。然后呢，还有一些求导数的方法 啊，这里还初步讲了一些这个导数的应用，导数的几何 e 这种。然后我们第二张看一下我做的引选择题。第二张引选择题这个正确率其实也不是很高， 就是刚开始做的时候，基本上引选择题我都会错很多，看一下我的正确率，打叉的都是错的，对，基本上可能错的有一半吧。嗯，所以我觉得这张呢，大家也是要去好好把它好好搞。 刚开始错啊，错多错少都没关系，因为刚开始我建议大家一直就是建议大家把演绎题当成立题来做，所以你刚开始错，那就错了，去看讲解，去看解析，把它搞懂，把知识性的内容先给他弄明白就行。

各位同学大家好，今天我们来学习第四章的第二节换元积分法。 那我们知道这个不定积分呢，实际上是这样定义的，就是小 f x 不 定积分用这个记号来表示，它等于谁呢？它等于小 f 的 一个元函数，大 f 加上常数 c。 所以呢，求这个不定积分主要就是要找小 f 的 一个圆函数，那么所谓找一个圆函数，那就是要找一个大 f， 使得它的导数等于小 f， 这个大 f 就 叫小 f 的 圆函数。 所以呢，求不定积分实际上是做的导数的逆用算，就是过去我们知道函数求导数，现在是知道一个函数导数，然后呢，求这个函数本身。 既然做不定积分，就是做导数的逆用算。所以我们就想，如果我们把导数的公式 倒过来，是不就形成积分的公式啊？所以我们在前面呢，就把导数的基本公式倒过来，形成积分的基本公式。但是大家知道求导数仅仅有这个基本触动函数，导数公式还不行，所以后来我们还介绍了求导数的一系列的方法。 那么那个地方的方法主要介绍了什么呢？这让我们介绍了很多方法，那么一个呢，就是关于有理用算，就是和差，还有乘积，还有谁啊？商的导数， 还介绍了什么复合函数求导法，那么后面还介绍什么引函数求导法，对数求导法等等等等。 那这个方法很多呀，我们把哪些方法呢？应该倒过来，那我们说应该把最核心的方法倒过来。大家有没有想过，求导数的那么多方法里边，最核心的是哪几个方法呢？ 我们认为就是这个有理用算和复合，因为这两个方法是其他任何方法都无法取代的， 但是呢，引函数求导，谁想你有没有仔细想想，它实际上是复合函数求导法对的一种应用，参数方程求导也是复合函数求导法的应用，所以我们认为这个所有的求导法里边最核心的就是这两个方法， 既然做积分是做导数的逆用算，所以我们只要把这两个方法倒过来就可以了。实际上呢，这个负函数，这个求导法倒过来就是我们积分里边非常重要的一个方法，就是换元法啊，换元法， 这就是我们今天要讲的内容。那么把这个有理用算法则倒过来的时候，大家知道和差的倒数等于倒数的和差，那和差的基本就等于基本的和差，这就形成了我们平常 做积分的时候，一个基本的方法叫风向积分法，一个复杂的积分，我可以把它拆成若干项积分，这个方法在前面介绍过了，那么这呢，我们把乘法倒过来就形成了，谁啊？就形成我们积分里边另外一个非常重要的方法叫分布积分法， 当然乘法倒过来也可以是一个公式，但是很不好用，所以呢，这两个核心方法里边，我们就是复合函数求导法倒过来就形成换元法，而乘法导数的乘法法则倒过来就是分布积分法， 所以我们做不定积分的核心方法就两个，一个就是换元，一个就分布。那么今天这一节呢，主要是要讲换元法，而下一节主要是讲分布积分法， 那么下面呢，我们来看换元法，那么换元法里边呢？第一个就叫做第一类换元法。

二期考研的同学大家好，我是魔气学长，今天这期视频是关于高数部分跟武忠祥的基础加强化阶段的学习情况说明，关注我，今年一定带你从双飞上九二！ 高数选择红开，很重要的一点就是不要在基础阶段停留太久，你要抓紧结束高数基础，快速与强化期的武忠祥老师见面。 五中强的强化课真的是憨爆了，讲的非常细致啊，他还会顺带过基础的内容，所以你完全不用担心基础不牢，反而恰恰是进入强化学习后，更能巩固基础，学好高数。很多同学选择红开，他以为我反复的刷这个高等数学基础篇，或者是停留在这个高数的基础阶段， 还额外去做一些习题，这就是巩固基础。但是因为课程体系的原因，这恰恰不是在巩固基础。 高数基础学习建议两个月左右的时间完成，那么甚至数二的同学呢，可能都不需要两个月啊。基础阶段学习呢，你就做配套的基础篇研试卷就可以了。基础阶段学习，做一本习题册完全足够啊。 基础阶段更多的是要熟悉下知识点，了解一部分的题型，因为有很多的知识点呢，我们在基础阶段还没有学习，所以一些题目不能做也是正常的。 上课之前呢，你就先预习一下知识点，看完课后梳理知识点，做一做讲义。例题没有做出来的，就可以当做错题处理啊。学习完一个章节的课程之后，搞懂例题，再去做这一章节对应的基础篇。严选择题， 做完后看答案解析。要是还不懂的题目呢，可以去看一些博主的视频讲解啊。比较推荐的是考研数学陈汉老师的这个严选择题讲解讲的非常不错啊。如果学有余力，基础篇这一章节对应标注的六六零， 那其他一些难度星级比较高的题目呢？可以不做啊，因为你可能还做不动。那为什么我说学有余力可以再做一部分六六零呢？那是因为基础篇有选择题，除了第一章的题目比较多之外，其他章节题目的这个数量都是比较少的。 六六零呢，他也是比较有难度的。基础阶段你做不动是很正常的，这大部分不是你的原因，而是因为我们课程体系的原因，因为我们大部分知识点啊，放在了强化阶段。 如果你按照我上面所说的进行学习，讲义加基础，严选题的正确率还是普遍低于三十，那你就要考虑换老师了。可能五中选老师啊不太适合你，又或者说你的学习方法真的有一定的问题， 所以不要硬跟一个老师，适合自己的才是最好的。然后再说一下错题的重要性，讲义的例题大于习力侧的错题，讲义上面的例题一定是优先的。 然后高速强化学习。这个呢，就要建议多花点时间了，可以花二点五个月左右的时间完成。对应的教材呢，是高等数学的辅导讲义，也是有配套严选择题的。对于高速强化， 你可以基础学完后紧跟着强化，也可以学完现代基础加强化后再来高数强化。如果你的基础阶段题型正确率在百分之四十到五十，那我更建议高数基础和强化一起学，那如果基础阶段的题型正确率在百分之七十以上，那可以先学现代，也可以直接进行高数强化，自己自行选择。 要注意的就是你在学现代的时候呢，不要忘记复习高数啊，这可以通过翻看讲义，知识点加做错题进行。 那如果是高数基础加强化一起学习，同学进度比较快的话，那可能二七考研的这个强化课程还没有开始啊。那你看二六的课程也是完全没有问题的，因为我们每年的这个课程的内容呢，变动不会太大，二七版的高等数学基础篇啊，也完全适配二六的强化课。 那如果是先学现代，再学高数强化的，那就不用担心这个问题了，因为到你学习的时候，二七的强化课程也更新差不多了。 那首先第一类基础题的正确率在百分之四十到百分之五十的，更建议直接强化，即使你是三月份才开始学习的，那我觉得也基本在五月份左右，你就能结束高速基础的学习。这时候呢，直接开始高速强化，也是预习一遍知识点，看课，梳理知识点，加做例题， 学完一个章节，再去做对应的强化研试卷。如果觉得题目呢，可能比较简单，那你也可以去做八八零的强化篇和拓展篇。 第二个就是正确率在百分之七十以上的同学，如果选择直接开高速强化，也是和上面一样的学习过程，学习完一个章节后，做对应的强化，严选题学有余力呢，可以补做八八零的强化拓展篇。 那么第二类同学呢？我们说你可能已经做过部分的六六零了，那所以说这时候强化阶段还可以补做了习力测，那就是八八零，因为八八零的质量也是很高的， 如果先开现代，那你就复习高数，有余力的。你做完剩下的六六零，后面进行高数强化时，你按照我们上面刚才所说的进行学习就可以了。 在学习完高数强化之后，你进行其他部分的学习，不论是现在还是概率，你都不要忘记复习高数，翻看强化讲义知识点和做错题。当你学完高数强化之后，强化的讲义就已经成了你主要的复习资料，那你这个基础的资料呢？可以不用了，同时可以完成没写完的高质量习例册，比如八八零或者是一千。 那好，以上就是这些全部内容，希望对你有所帮助。如果你有更多的问题，可以加入主页粉丝群，了解更多考研信息。

这个第六章的话，第六章我觉得学习难度还是蛮大的。因为啊，吴老上课讲的第六章呢，他就是，呃，他把这个 啊，主要是讲了一下，他会讲一下这个公式的推导，就是以及这些公式他是怎么来的。然后呢？就是你可能上课的时候就是怎么说这种吧，这一张他因为是定积分的应用吗？我觉得还是要多做题吧。 所以这一张我觉得你得，呃高，就是高数这个讲义的学习是一部分，但是你更多的还得在这个习体中学习。嗯，如果你这个一开始做这一张不会做的话也很正常，我这一张就没几道会做的， 然后我是直接去，呃，有些不会做的我就控制了，然后去听了讲解，然后讲解析，可能就听了两三四个小时吧。这个解析就是 啊， b 站上有个老师讲的很细，我觉得讲的还不错了。我感觉听完了应该就是，呃，听完了应该就是自己在做，应该就会做了。对，这一张，这张我也错的错了不少，就很多不会做吗？

啊，我就想告诉你有篇第四张啊，不定积分这里啊，不定积分这里呢，我觉得，嗯，他主要就是介绍一些这个积分的求解方法嘛，不定积分求解方法， 然后也是后面定积分啊，包括这个二重积分啊，三重积分啊这种啊这些的基础，所以这张一定要好好搞，然后得把这个不定积分的基本公式就得给他备注了。但是呢，其实我现在也有一些对不住，比方说下面的这个 还有一些这个啊，有的时候可能也会记不住，所以我们要多次重复，然后把这个记下来，然后还有一些主要积分法、分布积分法，然后换元法这些，这张和下一张、第五张、第四张、第五张都要好好搞，因为后面有很多的内容都是要用到这一张的知识。 对，这张课时量也不是很多，然后知识点也不是很多，主要是就是要去计算了啊，多多去练习。然后这一张看一下我严选题，严选题就是其实也做的不咋样吧，对吧？错了很多，尤其是个解答题。哦，解答题错好多啊， 对，反正就是。嗯，这张还得多去练吧，然后如果，呃研研试卷就是练的不够的话，还可以再再找些别的题目再练一下积分，这里我确实觉得还是对整个高数的学习还是蛮重要的。

好，那么下面呢，我们做一个总结，微积分研究的主要对象、思想方法和特征。 微积分研究的主要对象是什么呢？那你看我们刚才研究这个指点运动，不管是研究这个微观，还是研究它的这个整体 微观是研究损失速度，那就是知道位移，然后求损失速度。宏观那就是知道速度求谁啊？求他的位移， 但是他的对象都是一个谁啊？都是个函数，只不过在这呢，我们就把它抽象出来，你看微观研究的时候知道的就是位移函数，宏观的时候知道是谁？速度函数。 但就像如果细棒的质量问题，你要研究微观，那你得告诉我，就是它在一个区间段上，它的质量是什么？就是质量函数，然后可以研究线密度。 那么如果是宏观研究，那你得告诉我什么密度函数，然后再来研究谁啊？研究整体的质量。所以你看 微积分研究的对象是什么？就是函数，或者就是变量。那我们初等数学研究的对象主要是什么？常量啊？所以微积分研究的主要对象就是函数，那我们主要研究函数的变化规律啊，这是研究的对象。 那么研究的时候主要从两个方面，一个方面就从微观上来研究，实际上是研究它的变化率，也就主要是倒数。另外一个方面呢，就是从宏观上研究，那就研究它的改变量，那实际上就是我们的积分，这就是微积分研究的主要对象。 那么另外呢，微积分研究的思想方法，你看通过刚才那个指点运动，那一个是研究微观，一个是研究宏观，那这两个呢？实际上是两个不同的问题，但是这个微观也好，宏观也好，研究的基本思想是一样的， 那一个基本的想法都是利用谁啊？已知来研究未知，那这个话什么东西是已知的？实际上均匀变化不管是微管的问题还是横管的问题，这个我们是熟悉的， 那你比如说这个损失速度的问题，如果你是均匀变化，那损失速度就等于就用谁啊？除法， 如果是这个均匀变化，如果是谓语问题，那就是乘法。所以对均匀变化，那不管是变化率还是这个谓语，那这个我们都是知道一个是用除法，一个是用乘法， 但是如果是非均匀变化呢？那我们就是借助于均匀来研究非均匀 对这个损失速度，那怎么来借助于均匀来研究非均匀？那所以我们考虑一个小的时间间隔内， 把一个非均匀变化量静止看作均匀，用这个时间间隔内走过的位置除以时间，得到它的平均速度啊这微小局部，然后把非均匀静止看作均匀，得到这个变化率静止值。第二步通过取极限得到它的精确值。 对宏观的问题研究卫衣的问题，实际上也是就在把它首先划分，然后在一个微小的局部，把一个非均匀变化的问题近视看作均匀，用处理均匀的乘法得到近视。

那么下面呢，我们再来看三次方，那么三次方的时候，大家注意是不是可以这样考虑，你看我们留一个 cosine 平方，拿一个 cosine 可以 凑谁啊？底的 cosine， 哎，底散音 x 倍儿就等于 cos 底 x， 但是为什么要凑底散音呢？你这凑成底散音，这儿如果也能写成散音形式，我是不是就可以做？谁让大家知道你的 cos 音方就等于谁啊？一减 散音平方 x 底的散音的 x， 那 好啦，这个时候就出结果了，一底散音，那就谁散音 x， 塞盈平方抵塞盈，那这会儿就等于负的三分之一，谁啊？塞盈立方 x 加上谁啊？乘数啊。 好， cosine 平方会做， cosine 立方会做，但是两个方法不一样啊，你看 cosine 平方是用二倍角公式，那我想你这个会做，你塞盈平方会不会做一样的思想， 那 cosine 立方呢？是拿一个 cosine 凑底赛影，然后把 cosine 方写赛影方，那你这个会做，你赛影立方，你会不会做？是不是一样的思想方法？好，下面呢，我们再来看这个 x dx 一 加烙印，然后达到这个以后呢，是不是应该注意到这个看 x 和这个 d x， 大家想你这个 x 分 子 d x， 它容易凑谁啊？啊，这个凑为分，就是这些常用的形式，一定要熟悉， 我想大家知道 x 分 子 d x 是 不是可以凑 d 的 谁啊？烙印的 x， 所以呢，我们又看到这有褶，那当然这个就可以写成谁，这就可以写成根号的，然后是一加褶也 x， 本来我们这头可以凑成底的褶也 x， 但是呢，这里边是一加微分号，里边写个常数没有问题，那这不是就可以用这个键呢？就是我们刚才讲的根号 x 分 之 d x， 这等于谁？二，根号 x 加常数， 那么所以立马就得到这个就等于二倍的根号，一加上烙印 x， 再加上常数。好，我们再来看，比如说像这个问题， 根号 x 么？这 d x 一 加 x， 那 么看到这个以后呢，注意就是我们通常见到这个 啊，这个也是一种比较常用的形式。那什么东西呢？就是这个题目里边呢？首先看根号 x， 就 前面这个地方呢，有一个根号 x 分 子 d x， 那么大家想一想，这个根号 x 和这底 x， 它容易凑谁？它是不是可以凑底的二倍的谁啊？根号 x 啊，它也可以写成什么二倍的底的根号 x， 所以呢，你看这个呢，我们立马就可以写成二倍底的根号 x， 那你这个地方凑成底根号，我们当然希望剩下的地方也写成根号 x， 那 这个 x 是 不是可以写成根号 x 平方呀？那所以它可以写成一加根号 x， 括起来平方， 那这个时候是不是就可以用这公式了？一加 x， 分 子 d x， 这个等于谁？平方，这是不等于 arg tangent x 加常数， 所以我们等于谁？我们就等于二倍阿克弹性体，根号 x 加长数，这不就是错位分吗？好，这也是一个常用的错位分的形式。