武忠祥2027660题是什么样的

ok， 今天说一下六六零这本习题册，主播认为六六零最精华的地方在于上面的细节概念题，不管跟哪个老师，细节概念题都是非常推荐你们写一写的， 而且今年题目按难度星级标就出来了，在写题前会有个大概的心理预估，不会出现以往那种难度一下高一下低的情况了。而且这本修主要是选填题训练细节概念题很好 级的，二刷三刷的，能学到很多东西。讲解可以看江小谦老师或者新一老师，这两位老师对六六零的讲解视频评价都很好。这本书比较推荐在基础衔接强化的时候使用， 比如学完高数基础之后，学习现代的时候可以拿出来写，基础阶段写这本书的话，大多数同学会感觉比较难，这是很正常的，先做三星以下的就可以了， 心机比较高的题目可以强化再做。所以红开的同学主播更推荐先写基础版研选择题，或者再写六六零题。总的来说就被习题策系为很好的习题策，希望大家好好利用，把基础打好，拿捏选填题。还有一件事，加纳。

这是用定义来判定可导性，这是重点，这也是难点。我们再来看，比如说像这种问题，在下列函数中啊，在零点不可导的是 就这四个函数，谁在零点不可导，那么大家注意，他们都带有绝对值，要看他的零点可导不可导，那一般都应该使用定义啊。 那么在这呢，我们几个方法都用一下啊，因为是选择题，我们用直接法、排除法，首先我们用直接法，那位同学说，那直接法你怎么看出哪一个一定是在零点不可倒呢？ 但是这个有一个分析过程啊，就是我们一开始呢，一般应该从第一个往后面看，但实际上呢，这个地方大家注意啊，我们说这个， 那些同学说，你怎么知道这个呢？你看按照这个导数的定义，它在零点按导数定义写，是不是应该是这个极限就是 x 去向零，然后呢， f 减 f 零， f 是 谁？ f 是 cosine， 正好 x 绝对值减 f 零， f 零是 cosine， cosine 等于一啊，然后除以谁 x。 那么这个时候我们要熟悉这个键呢，就是 x 去向零的时候，我们知道一减 cosine， x 等于谁？二分之一 x 平方，那么所以这个分子应该等于谁？它是减一，它就等价于 这个负的二分之一，谁根号 x 绝对值的平方，这下除以 x， 那 这个应该等于谁？负的二分之一？ x 趋向于零，下面是 x， 上面是谁？根号 x 绝对值平方，就是 x 绝对值。事实上我们知道这个极限应该是不存在的，为什么？因为它这个极限应该 x 如果趋向零，从大于零的边去里边是正一，那这就是负二分之一， 这样就是诱导数，如果 x 呢？从小于零的边去向零，那这个是负一，那这个就是二分之一，那这说明这个函数在零点左右倒数存在的不相等，当然零点不可倒啊，这是直接说明这个啊是不可倒。

对于基础阶段藏东西这个问题啊，我们有些同学就是会觉得这个基础严选题可能会稍稍做不动吗？ 那么我们怎么解决呢？就是我个人是觉得啊，基础啊，基础阶段这个基础严选题呢，我们不要把它当做一个啊，这个训练的这种题型来做，我们就把它当成这个立体来做就行了。 因为，呃，就是因为吴老他这个教学特点，所以导致他基础阶段不会给你讲那么详细，那么有一些知识点呢，我们需要在严选题中来给他学习到 我们可以在做严选题的时候啊，通过一些啊，就把这个题不会的，因为基础严选题还是比较基础的。如果说你这道题不是因为计算错误，各种各样的错误犯错，而是因为你 不了解这个知识点，那么你完全就不需要去死扣它。你看到这个，看到这个题第一眼你都想不出来你学过这个知识点，但你不需要去死扣它，你直接 啊，对吧？你直接就是啊，看解析对吧？听讲解，把这道题背后的知识点弄懂了，那你知道这个知识点弄懂了，那你这道题自然自然而然就会做了，所以说，嗯，就是应对藏东西这一点，就是我觉得不要把这个延伸题当成这个训练题来做，你当成一个呃立体来做就行了。 然后我给大家推荐一位我自己在看的一个 b 这个严选题的讲解吧，就是 b 站上有位老师叫陈汉老师，然后他讲的这个严选题的也非常啊，他会给你补充很多知识点， 然后让你在听严选题的讲解的同时呢，也能够把背后的知识点啊。吴老可能没有提到知识点，给它全部弄清楚。

把你容易犯的一些经典的错误消灭在萌芽状态。再来看一个，比如说像这个题，这是第一章的一个题目啊，说给出以下四个极限，其中极限等于 e 的 个数，就是这四个极限，有几个都等于 e， 那 有同学一看，说道，是这都等于 e 啊，应该选它呀。哎，你看这一加 x 分 之一的 x 方，这不是基本极限，这个也等于 e 啊， 那这个也等于一啊，原因是什么原因？他说啊，你凑一下基本极限，那么最后要算这个极限，因为根号一加 x 平方比上 x， 这个等于一啊，所以这个也是一啊。然后这个呢？因为你凑一下那个基本极限，最后就是 x 乘赛引 x 分 之一， x 曲线无穷赛引 x 分 之一，等价于 x 分 之一，所以这个极限就等于一啊，所以我选它呀！ 那么大家注意，选 d 就是 经典的错误，标准的零分，但很多同学会犯这样的错误， 那么大家注意身上这个题正确的答案是谁啊？不是 d 啊，这个是错误的，那么等于意义的呢？身上只有一个 啊，正确答案是 a。 那 么这种题目主要是想强调我们同学平时容易犯的一些经典错误，我们把你容易犯的一些经典的错误消灭在萌芽状态，而不要让你把这种经典错误带到考场上去，那你不是就考不了很好的成绩啊。 那么大家注意这个为什么错呢啊？你可注意，我们基本这些 e 是 这样讲的，那应该是一加 x 的 x 分 之一次方，这个等于 e， 那另外一个，那就是 x 趋向于无穷的时候，那这个时候一加 x 分 之一的 x 次方等于一， 那么它就属于，这两个是对的，这两个呢，看似跟它很像，但是实际上完全不一样，为什么不一样？你看这两个人家都是一的无穷大次方， x 就 像里边指向一，肩膀指向无穷，这也是个一的无穷大次方， 然后呢，这套趋向零，这个和这个是个倒数关系，这个等于一，但是你注意我们这个呢， x 趋向零，这里边是趋向无穷，肩膀是趋向零，这是无穷大的零次方，这个呢， x 趋向无穷的时候，这是个无穷大的零次方，所以它就不是这个类型。看到没有？ 那么事实上大家注意这个极限应该是不存在。因为什么？因为这写的是 x 去向零，那么大家注意你 x 如果从小于零的边去向零，这里边就去向负无穷， 那么大家注意，底数是负的时候，那么很多点上它的定义都没有，所以这个极限应该是不存在， 而这个呢，是一个无穷大的零次方，但是它可以改写，写成谁呀？ x 趋向于正无穷，那么这呢，可以写成 e 的 x 分 之幺幺， e 加 x 这个指数是个无穷比无穷，但是呢，我们知道 me 还是说比这个对数还是趋向无穷速度快，所以这个应该是 e 零方，这个极限应该是一， 这个等于 e， 没有问题啊，这个是等于 e， 这个等于一，这个是不存在，这个也错了，这个为什么错了？那么大家注意，你说有同学也说啊，老师， x 趋向无穷， 这个计算不就是一吗？注意，这是经典的错误啊，因为什么？因为注意 x 如果趋向于正无穷，这个应该等于一，但是呢，如果 x 趋向于负无穷呢？ 根号一加 x 方，这个极限等于负一，所以就不是这个极限等于一啊？为什么等于负一？因为你要做这个的话，那你想你这个地方把平方是不是要开出来？那么平方开出来的时候， x 就 像负，它等于负 x， 所以 这个里边是一加 x 方分之一，这个等于负一， 所以这个呢，如果 x 趋向于正无穷，那么这个时候呢，它应该是趋向 e， 但是如果 x 趋向于负无穷呢？它就 e 的 负一次方，那么所以这个极限应该叫做不存在，而不是极限的 e。 所以这四个极限里边等于一的只有一个，就只有这一个是等于一，这个是不存在，这个也是不存在，而这个呢，他应该等于一，只有这一个是等于一。那你像这种问题，也是我们这个里边反映了很多我们同学容易犯的一些经典的错误， 那么这些呢？我们在基础阶段就应该把这些东西理清楚，因为我们考卷里面也多次考到这些最基本的内容。

命题，这四个命题里面，真命题的个数到底有几个？第一个，他说 x 去向无穷， f 去向 a， 那 么这个时候 n 去向无穷， f， n 就 去向 a， 那 么大家注意，这个是函数极限， x 去向正无穷，它以 a 为极限，那实际上几何上看的话，那这个时候注意 f， 这是 f x， x 向下无穷，它取下 a， 那 实际上呢？也就是说这个是 a 啊，但 x 无限增加，那这个 f x 和 a 要多近有多近，注意，这是函数，这实际上是个竖列，竖列就是个整标函数啊。那你注意，刚才人家 x 是 取任意大于零的任意式数，这个呢， n 就 只取谁一二 啊？那这就是 n， 所以呢，这个 f 的 一，实际上就这点的值， f 二就这点的值， f n 就 这点值。 那么大家注意， x 以任意方式取向无穷大的取向 a， 你 是个特殊，当然取向 a， 所以 这个一看就是对的。任意当然可以推特殊， 但是反过来呢，这个极限单元 a 能推出这个极限单元 a 吗？那么这个极限单元 a， 你 只能说整数点上取向 a， 那 别点上，你管不了呀，所以这个特殊当然不能推，一般这肯定是错的。然后下面呢，啊，那大家注意看， x 趋向 x 零， f 以 a 为极限，那 n 趋向无穷的时候， x n 又趋向 x 零，那有同学说，那当然这个对啊， 那你看 n 趋向无穷，你这个不是趋向于 x 零吗？你趋向 x 零，那这个当然就趋向 a 啊，这个就对啊，是不是？所以说这个对就是经典的错误，标准的零分。 但这个呢，很多同学很觉得这个是对的，但是这个是错的，错在哪里？这就是想强调一下，我们复习数学的时候一定要注意，这概念一定是要理解到位，要理解准确。 好，那我们来看一下啊， x 就 像 x 点 f， 以 a 为极限，那通俗的讲， x 无限靠近 x 点 f 和 a 要多接近有多接近，严格的数学也表述是对任意给的一组，大家从在德尔塔当 x 满足这个关系， f 减 a 的 绝对值小与不减。 那么大家注意，这个时候一定要注意这个地方有个大于零，大于零就是去星领域啊，就是去星领域里边的函数值， 那么和 a 要多接近有多接近。那么所以我们经常说啊， x 趋向 x 零， f 也有极限啊，我们经常说 x 趋向于 x 零， f x 趋向于 a， 但是这两都是趋向，这两是有区别的，区别在哪里？那你要注意看，这地方是个大于零，所以 x 是 趋向 x 零，但是 x 不 等于 x 零，因为这有大于零。看到没有？这有没有大于零？没有啊。所以这个 f x， 它可以趋向 a， 它也可以等于 a， 它也可以横等于 a， 它可以有些点上等于 a， 有 些点上趋向 a， 所以 这两个趋向是不一样的，就是这个字面呢，是趋向 x 零，而不等于 x 零，那这个 f x 呢？趋向 a， 它是可以趋向 a， 也可以等于 a， 总之这个地方是不一样的。那在这就要注意了，那你注意你这个 x， 就是 说这个那 x 的 虚线 x 零不等于 x 零，那么所以呢，这个极限等于 a， 那 那个函数他就说就是这这个极限。我们经常讲的就是 a x 虚线 x 零的时候，他在这一带的极限 与谁啊？与 f x 零无关，就是因为这个大于零，也就说我们研究极限是研究 x 趋向零，而不等 x 零。零极点的变化趋势跟你那点有没有定义，有定义，函数值等于多少毫无关系。那么大家注意，你看我们不是熟悉这个极限吗？ x 趋向于零的时候，三 x 比 x 极限等于谁？一，实际上大家看这个函数在零点就没有定义，但是内在照样可以有极限，是因为我们这个 x 是 趋向零，但是不等于零，它是临近点的变化趋势呀， 所以那点没定义，那点极限照样可以存在。但是我们经常举这个例子，我们说你看那这个，那我们老板说 x 去向零的时候，塞盈 x 塞盈 x 分 之一，比上 x 塞盈 x 分 之一，极限等于一。 那经常有同学说，老师，这个极限等于一，他为什么等于一？他说，老师你看这个，虽然后面不存在无穷小，成语接变无穷小，这个趋向零啊，那这个里边这个也趋向零啊， 所以这个极限等于一啊，为什么呢？因为你 x 趋向零，这个趋向零，这个极限等于一，这个理由成立吗？我们说说这个极限等于一，就是经典的错误，原因是什么？那你注意这个 x 是 自变呢，它是趋向零，但是还有一个它不等于零。 那么你注意你这个东西是趋向零没有问题，第一个满足了，第二个满足不满足，你这个 x 乘以 x 分 之一不等于零，这个条件满足不满足不能满足啊，因为大家知，知道这个在零点的任何曲线都有零点，他虽然是整荡的，但是呢，他始终 会有零点，但他不能满足这个条件啊，这个极限等于一，对这个里边这个是趋向零，不等于零，但是你这个不等于零，不能满足，所以说这个极限等于一就是经典的错误。 那问题就来了，你这个极限等于 a， 注意，你这个 x 是 趋向 x 零，但是这个 x 不 能等于 x 零，因为也可能 f x 零就没意义，但这个时候你可注意，这个 x n 是 趋向于 x 零的， 注意，这个时候这个 x n 是 可以等于 x 零的，它也可以横等于 x 零啊，但是它就不能满足这个条件啊，不能满足这个条件，你就不能说这个极限等于 a 啊，也可能这个 f 在 x 零那点就没有定义，这就是细节。然后完了以后看这个啊，它是 n 取下无穷 x n 取下 x 零， f x n 取下 a， 它就取下 a， 你 注意这是特殊点，特殊点它取下 a， 能不能以任意特殊，能不能推出任意呢？当然不能啊，但是特殊点上，它取下 a， 能推出以任意方式取下它，这个极限等于 a， 那 不能啊， 那么所以这个也不对，那么所以呢，这四个里边呢，只有第一个是对的，那么所以正确的个数只有一个。那么这种主要就是看你对数学的概念到底理解到位没理解到位。概念一定是要理解，不是简单的背，就是概念最核心最本质的东西，一定要理解清楚。 让我们上了考场以后，这个选择题是我们的一大障碍，而选择题经常考的就是概念，考的是理论，所以我们复习考研数学的时候，对概念理论 一定要把它弄清楚，就真正要理解它，理解它的要点，理解它的一些细节，理解它的一些核心，而且简单背一个概念，将把题做好，这就是我们基础阶段夫妻的时候特别应该强调的。

六六零这个题是基础题吗？但是为什么我基础课听完以后还做不动呢？正常不正常怎么办啊？大家注意啊， 这个六六零我们叫六，这个基础过关六百六，那为什么叫基础过关六百六呢啊？因为大家注意啊，作为命题的人，一般说来，这个卷子的题目的排序都是从易到难， 那么大家注意，我们第一大题就是选择题，第二大题是填空题，那么既然选择题和填空题放在前面，那从主观上讲，它是作为基础提出的 啊，这就是为什么选择题、选填题，这个六六零都是选择填空题，为什么叫基础过关六六零？就是因为按照命题的这个逻辑关系啊，一般是由易到难。选择题填空题放在第一大题，第二大题，那就是作为基本题出的，所以我们叫基础题。 但是有同学说了，既然是基础题，我们怎么基础阶段课学完以后选六六零，里边有很多题做不出来，正常不正常啊？那到底怎么办？我们说这个基础阶段的课听完以后做六六零，有很多题做不了，很正常， 为什么很正常呢？因为大家注意，六六零是基础公关，六六零是六基础选择填空题最后应该达到的要求，所以这个六六零是选择填空题最后应该达到的要求。所以他里边有很多题目 是有难度的，那么有一部分题适合基础阶段做，而有一部分题是适合强化阶段做。那么所以呢，这个六种人里面，有些题目我们在基础阶段课听完以后做不出来，很正常，因为有些选择填空题，他所要用到的方法 或者知识点，我们在强化阶段才能讲到，那么所以基础阶段呢？有些题做不了很正常，你可以把它留在强化阶段，完了以后再来做，这才是个科学的选择。

这会是你看到的关于考研数学六百六十题最详细的使用攻略，结合数学一百四十分以及七年一线的数学教学经验，来告诉你六百六十题在全年三个复习阶段过程当中详细的使用方法。 大家好，我是让你考研不走弯路的聪哥，不得不说啊，六百六十题里面的题目都是非常经典的，对于概念的挖掘都是很深的，并且六百六十题当中呢，只有选择和填空，而在考研数学当中， 选择和填空占据了整体分数的一半，所以做好六百六十题呢，能做好对选填的这种针对性训练，使用这本书呢，对于提高我们对于基础概念的理解会有很大的帮助。 接下来我会从基础、强化、冲刺三个阶段来讲六百六十题的使用方法我们开始。首先我们来讲基础阶段，那么在基础阶段啊，我给大家提供两种做六百六十题的选择。首先第一 是我个人最推荐的，你在基础阶段结束以后，再来系统性的做六百六十题，为什么呢？因为六百六十题我刚刚说过了，他的综合性是有一定高度的，所以如果你仅凭着学完一章就来做的话，有一些题目你可能做不动，这可能会打击你的自信心。而如果你是把整个基础阶段 所有高数的知识点全部学完以后再来做的话，那你在理解这道题目的时候的难度是会低一点的。 有同学就说，那我想现在就开始做，那么这个时候呢，就是第二种方法，就是你每学完一张之后啊，就来做这一张对应的六百六十题，但是这个时候你注意你不要全做，你就来做难度等级在三星以下的，因为现在的书上啊，都给你标注了这个难度等级， 那么剩下的四星、五星、六星这些题目呢，你就留到强化决断的时候再来做，这样会更稳妥一些。六万 六书上留的做题空间不是特别大啊，所以我给大家准备了这种一面一题的，能够方便大家在平板上使用的这种做题本，做题空间很大，也能够方便你进行二刷复盘，获取方式呢，见评论区。另外啊，我不知道大家需不需要六百六十题的重点题， 虽然六百九的题目已经很经典了，但是为了提高大家做题效率呢，我有这个打算，但是不知道需要的同学多不多啊，请给本期视频三连，并在评论区告诉我， 如果需要的同学多，我尽快做出来发给大家。另外，我的主页还有更多的优质备考经验和备考资料，大家可以多多的去翻一翻。那么这个地方呢，有两个注意点跟大家说一下啊。 首先，第一点，大家一定要集中性的做完固定数量的题目以后啊，再来对答案，为什么呢？因为首先你要给自己一个连续的思考过程，你不要说哎，我做完一题马上就对 答案，那这个时候你都还没有太进入到做题思考的状态，你就被自己打断掉了，那么这样你是很难找到做题的状态的。其次呢，如果你做完一题就对一题答案，你很容易就看到了下一题的答案，这样也是影响了你这个做题的这个质量的， 另外考虑到六百六十题的难度比较大，所以我在考虑出一个六百六十题的主题讲解啊，因为我们已经有了七年的一线教学经验，带出了很多的高分的同学，所以我对于做题呢是有一定的自己的个人见解的， 但是因为今年六百六十几家的改动比较大，如果全部做完的话呢，是一个庞大的工程，本身我们自己也还在做其他习题的讲解，大家也可以先去看一下我们讲解其他题目的这些讲课质量怎么样，如果觉得好 需要我们的六百六十题的讲解的话，欢迎在评论区里面告诉我。第二个呢，对于错题，大家一定要及时的进行回顾和 复习，并且最好是要做到间隔固定周期来进行复习。同时针对一类你弄不懂的问题呢，大家也可以去使用这个复习全书基础片来去进行查漏补缺。当然基础片呢，它是分为了高速、现代和概率三本，大家根据自己的需要去使用。 那么具体的怎么来操作呢？大家可以准备一个像这样的表格，那么这个表格呢，你就按照章节进行分开，那么你就在每次做完了固定题目以后，对完答案，然后你把你的这些不会的蒙对的或者模糊的这些题的题号 填在这些地方，然后呢在对应的后面这个位置写上这道题，你当时出现问题的具体原因是哪些？当你记录好之后，接下来呢，你就按照间隔时间来进行复习，比如说这两道题啊，你是今天发现做错了，那么等到后天的时候，你就把这两道题拿出来答案盖住，重新做 一遍，看看自己是否掌握了。如果掌握了，做上一种标记，再到第五天的时候，再拿出来看看自己是否真的记住了。因为有的时候，比如说你今天做完对的答案，你在隔了一天之后去看的，你可能还有一点记忆，你凭着记忆能够做出来，但这个时候他不一定是你真的掌握了，所以你需要在第五天的时候再重新做一遍，看看自己是否是真实的掌握。 如果你发现哎，不会了，那循环回来，重新这个过程你不要觉得很烦，你只有通过这样一轮一轮的滚动，你才能够真正的把这个题目给吃透。当然这个表格的 word 版啊，我分享给大家，大家你们可以根据自己的实际使用需要呢，再在我这个版本上 去进行更改，找出一个适合你自己的版本，然后打印出来，去做好记录，去认认真真的去使用。获取方式呢，见评论区。同时呢，你在像不断的二刷的过程当中遇到不会的问题呢，同样还是可以回 回到我们刚刚所说的这个复习全数基础片里面，去找到对应的知识点，去认认真真的进行查漏补缺。当然大家只做六百六十题肯定是不够的啊，数学想要学好，一定要大量的做题，那么这个时候呢，大家可以做一做真题，真刷基础片里面的题目，这里面选择的呢都是早年的真题，难度不高，适合大家在这个阶段去使用。 强化阶段，就本书而言，大家有两件重要的事情需要做，第一件事情是继续不断的复习在基础阶段积累下来的错题和模糊的题啊，实际上也就是我刚刚所说的让你们在表格上做了标记的这些题目。 那为什么要不断的这么做？因为你在基础阶段高速学完之后，你还有现代概率，那么这个时候随着你学习的内容不断增多，很多知识混在一起之后啊，你在最开始学的那些内容，可能你就已经忘记了，所以你需要通过这样不断的去复习，加 生自己对于以前薄弱知识点的这种记忆，不断的把薄弱的变成不薄弱，甚至变成擅长的，那么你的分数自然就上去了。 这是第一件事情复习，第二件事情就是我说的，哎，你要完成剩下的难度心数在三星以上的这些题目。注意啊，你在做这些题目的时候，你的做题方法和我在基础阶段所说的那些做题方法是一模一样的，这里我就不多做赘述了。 另外，今年在强化阶段，我会给大家做免费的知识梳理课程，尽可能的帮助大家去吃透一些平常的易错点、难点，帮你们梳理清楚中间的知识脉络，来帮助大家去进行提分，都是免费的， 所以大家记得提前关注我好吗？最后，到了冲刺阶段，就六百六十题这本书而言，他仍然还有使用价值，最大的价值就是里面的概念题， 因为你经过了基础阶段和强化阶段之后，同一个知识点，你对他的理解的深度已经不一样了，所以这个时候你再把六百六里面的概念题拿出来去做，你的感受和理解绝对不一样，所以这个时候利用六百六进行查漏补缺，我觉得是一个非常好的选择， 你可以通过这样的回顾来看看自己对哪些概念的理解还不到位，那么这个时候你再回过头去进行查漏补缺，进一步的完善自己的知识框架。那么通过以上的讲述， 大家对于六百六十集在全年三个阶段里面该如何去使用应该心里都有数了。如果对你有帮助，请不要吝啬你的点赞、投币和收藏，如果对你有帮助，请在弹幕里面打一波，懂了，随后 会大量的更新关于考研数学、考研英语、考研政治、考研专业课该如何复习的详细规划，希望在今天这一路上能够帮助到大家，请大家多多关注我。另外，如果你们在复习过程当中有任何的问题，都可以在评论区里面留言，我们下期视频再见！

看完基础篇的网课后，是先做严选题后，把书缝后面的标注的六六零部分的题目做六六零，剩一部分强调的这么对，这个问题很好啊，就是看完吴老师的这个基础篇这个课之后， 注意不是说把一本书看完了，然后再做题，按章复习第一章内容，看完就做这个严选题的第一章的题， 然后呢，这个第二张看完就做第二张的题，完了以后再做六六零。里边在这方标注的啊，第一张六六零他是希望你做什么，你可以去做那个相应的六六零，然后完了以后呢？有同学就说，哎，六六零不是还有剩余的题吗？ 剩余的题就可以放在强化阶段来做啊，这就是这个老师帮大家做了一个选择，这样做就比较科学。

这球就有点啰嗦了，再来看曲线，用拆数方程给出求这个曲线在 t 等于一内点的法线方程，那么大家注意，你求法线关键还是求法线的斜率，而求法线的斜率核心还是求谁啊？切线的斜率， 因为切线斜率知道法线斜率是负倒数啊，但是呢，我们刚才讲了，不管你曲线用什么方程给出，切线的斜率始终等于谁？ d y d x， 咳咳，所以还是要求这个，但是呢，这个 d y d x 怎么求呢？这个是个参数方程求导问题，所以 d y d x 呢？我们知道这是一阶直接代公值，就 y 对 t 的 导数除以 x 对 t 的 导数，那这个等于谁呢？ y 对 t， 这个要只可以写成 二分之一绕引一加 t 方，那么这个对 t 求导呢？大家看应该是一加 t 方分之二， t 那 个二跟二分之一消去了， 分母是他的 t， 那 么他的 t 就是 一加 t 方分之一，那么这个整理就是 t。 好 了， 那我们切线的斜率，这个等于谁？把 t 等于一带到这，那就是一。但是我们要求的是法线法线的斜率和切线斜率负倒数，那所以这个等于负一。好了，我们要写法线方程 y 减 y， 那 么 y 呢？就这个东西把一带进去，烙印根号二，那实际上也就是二分之一。烙印二等于法线的斜率负一乘上 x 减 x 零， x 零，就是这把一带进去二个带点一是谁啊？就是四分之派， 然后我们把负 x 移过去，那就是 x 加 y 等于腰端，应该是四分之派，然后再加二分之一的烙印二，问题就解决了。 那么这个呢，就是通过这一种我们学会曲线如果用参数方程给出，不管你求切线还是求法线核心还是求出切线的斜率，当曲线用参数方程给出的时候，切线斜率还是求 d y d x， 那 就用这个公式叫 y 对 t 的 导数除以 x 对 t 的 导数。 那我们知道曲线的方程有三种啊，直角坐标我们会解决，参数方程我们也会解决，所以这个参数方程这个呢？数三不要求。

啊，五中上高速纪录片，第三张威风种植定例及导数应用，然后这张呢，就是可能后面他都会比较喜欢考那种啊证明题什么的，因为他这个威风种植定例就是考察的重点嘛， 然后这一张的话后面还有一些这个呃应用的应用题，然后这这这一半呢？为什么我没有写呢？因为这个是受灾要求的内容，然后所以我就没有学， 然后这里有一些这个凹陷啊，拐点啊这种题目，其实我觉得，呃，这里也是需要记一下，而且我觉得这里还是 就是有的时候还蛮难记的，你会发现，因为他有这种第一充分条件，第二充分条件有的时候你过一段时间你会发现你忘记了，而且尤其这边拐点也是的啊，拐点其实他这个就是对应的这个极值的这边嘛， 是吧？所以这边还有的时候还是得呃加强一下记忆，然后这个曲率半径啊什么的，然后看一下我这张的，呃，这个演选题的正确率吧，这张这张也是做的不咋样 啊，没关系，做的不咋样，因为严选题吗？我们就主要是把它当成立体来做，然后解决这质性的问题。嗯，看还是错了蛮多的，尤其是这边的这个啊，证明题，对吧？证明题只要一出我技术阶段就不会做，就是错。对， 这张我觉得基础现在啊有些东西不会做的话，比如说像证明题那种，我们也可以稍微放一放，等到强化再去搞。

二期考研数学用书它来了，无基础不数学、高懂数学。我跟的是五中祥老师编注的这本基础片，在短时间内理清考研数学高数部分的基本知识点，零基础到基础阶段的学习，形成完整的知识体系。 随书赠送一本严选择题，方便自测。里面都是敞开题型和典型的例题，学完一张做一张现行单数。我跟的是被称为现代大王的林永乐老师，帮助大家深入理解基本概念，牢牢记住基本定律和公式。对于重点难点知识呢，书中都有相应的例题 做题单是用深受好评的六百六十提拉二期版进行了全新的调整，按科目分册编排，金榜的名师们专门精心编写了大量的全新题目，贴合命题趋势解析，完整详记。准备参加二期考研的宝子可以提前准备。

做完了，那我们说这就是经典错误标准的零分啊。那个二零二一年数一数二的考题，他说 y 等于谁啊？ y x 由参数方程所决定，这一看就是参数方程求导，嗯， 那么参数方程求导这个地方要注意，数三是不要求只有数一数二要求，那这个数一数二还很喜欢考， 那这个呢？是求二阶，我们先得求一阶，然后再去求二阶啊，那这个一阶呢？我们知道是 d y d x， 但这个就是代公式 d y d x 等于谁，就等于 y 对 t 的 导数，除以 x 对 t 的 导数，因为 x y 都是用 t 表示出来， 那么大家看外对 t 就 这个对 t 求导，这是两个相乘，所以首先是四倍的 e t， 因为 t 减一，求导是一，再加上一个四倍的，然后是 t 减一 e t 求导是 e t， 这才是前面这个求导，还有后面，然后这个地方再加一个二 t， 那 么下面呢？是 x 对 t， 这个 x 对 t 就是 二 e t， 再加上谁一， 然后我们把这个式子整理一下啊，那谁想大家看这等于谁？底下呢？是二倍的 e t， 然后再加上一上面。对， 你看这地方有个四 e t， 这地方呢有个负四 e t， 这样就消去了，那么这上面就剩一个四 t e 的 t， 然后再加一个，后面是一个谁，是一个二 t， 那么大家看，如果分子上提走一个二 t 的 话，分子上提走一个二 t 的 话，那是不是剩下一个，这个时候是个二倍的 e t， 再加一把，下面就消去了啊？所以这个 dy 点 x 就 等于它。 那考场上有的同学就很激动，你这题太容易了吗？那一节倒数是这个，你让我算二节倒数？二节倒数还不简单啊？那这个 y 对 x， 二节，二节不是有一节再求一次倒数啊？再求倒数就是二呀，但那个值也就是二，所以这个我就写二呀，做完了， 那我们说这就是经典错误，标准的零分啊，但是改卷的时候你就发现写这种答案同学很多很多， 所以呢，我们就希望大家不要犯这种低级的错误啊，就是送分都送不到手里来，那就太遗憾了，为什么错？你搞清楚他以后才不会犯这样的错啊。为什么错了呢？那我问你，这个 y 对 x 一 节，你要得到二节，那这个左边要对谁求一次？对 x 求一次， 但是你右边呢？这到这右边对谁求？对 t 求，你说你一个等式，一边对 x， 一 边对另外一个变量求，这还能是等式吗？当然不能保证是等式啊，等式求导数，要是求还是等式，要两边对同一个变量求导数。 那问题来了，我们要得这个左边只能对 x， 那 右边也只能对 x 啊，那右边对 x 怎么求呢？啊？这个思想要知道，就是你两边都要对 x， 但是右边直接表现为 t 的 函数， 那么所以呢，这个对 x 求导要看作复合，那首先是右端对 t 是 二，但是还要乘上一个谁啊？ t 对 x， 这才是两边对 x 啊。你右端对 x， 那 就等于右端先对 t， 再乘 t 对 x， 这才是等式。所以这个地方呢，刚才的解法就是丢掉了这个， 但是 t 对 x 导数怎么求呢？我们可知道 x 是 t 的 函数，那我们知道，根据函数和反函数导数的关系， t 对 x 导数就等于 x 对 t 的 导数的倒数啊， 那么所以这个等于谁？上面是二，底下呢？ x 对 t， 我 们刚才求过，那这就是二， e t 加一， 所以这个时候注意，你要求 y 对 x 的 二阶在 t 等于零的值，那就是这个里边把 t 等于零带进去，那么 t 等于零带上面是二，底下等于三，所以正确的答案应该是三分之二，而不是这个地方的二 啊。所以我们总结一下啊，这种题的一种经典的错误，一定要回避啊，就是刚才这个地方，这就是经典错误，正确的呢，跟错误的就差一个谁啊？ dt dx， 因为两边是对 x 求，所以这个错误一定不能犯。 那么另外呢，一节导数大家注意是带公式，那有同学说，二节导数不是也有公式，为什么不带呢？你回去试一下，这个二节导数，你要带公式做也能做，但是要比较麻烦。而我们用的是什么思想呢？ 一阶导数代公式，二阶导数就是一阶导数两边求导这个思想，但是一定要注意，两边对谁求，对 x 求， 而左边呢，是表现为 t 的 函数，那怎么对 x 求？那就等于右端对 t， 在 乘上 t 对 x， 就 这个地方呢，这个不能少啊，这个地方切记要注意，这是一阶代公式，右二阶是两边同时对 x 求， 但这个时候一定要注意，右端是 t 的 函数，右端对 x 求，就等于右端对 t， 还要乘一个 t 对 x， 就 后面这个 t 对 x， 这个倒数，这个东西不能丢，那如果不出现这种错误，那像这种题，分数一定能够拿到手，但对数一数二，同学，这是常考的。

所以六六零吴老师建议大家，就是有一部分能做的，在基础阶段做掉，做不了的，画个记号，在强化阶段再做。有很多同学说，哎，这个数学基础过关，六六零是应该基础阶段做，那我们怎么做的时候，后来发现很多题我做不了，正确率很低，正常不正常， 正常。那么首先我老师想说的是啊，是因为他里面有些题用到的是我们强化阶段要讲的东西，虽然叫基础过关六百六十题，但是呢，因为他是选择填空题最后要达到的目标，所以基础阶段做不了很正常。 但是有同学就说了，说你这个是基础过关，不是基础阶段做吗？那为什么题还那么难呢？啊？是因为大家注意，我们这个是选择填空题，作为命题的人，一般原则是把最基本的题应该写在前面，所以你看考研卷子，第一大题是选择题，第二大题填空题。 所以从他这个概念上讲，那选择填空题我放在前面，是作为基础提出的。但是实际上大家注意，这个选择题啊，是作为基础提出的，但是每年很多同学丢分丢的非常严重。 那么所以呢，这个六六零在基础阶段做啊，有很多题做不了，正确率不是很高，很正常。你应该把能做的先做了，做不了的，画个记号，放在强化阶段做，有些他适合强化阶段做，你非得要在基础阶段要把它拿下，那这个效率就很低。

各位同学大家好，下面我们来看这一道题 啊，这是二零零二年数学四的一道考题，已知 f 的 一个元函数是它要求 x f 一 撇抵 x 的 不等积分。 那这种题呢，当然主要拿到以后就是看，因为这正好是个 f 一 撇 d x， 它俩放在一起就可以凑谁啊底的 f， 所以 这个时候拿来以后啊，首先就是把 f 一 撇 d x 凑成 d f， 这不是就是 u d v 很 好的一个分布积分的形式，所以我们就分布积分，那就得到 x， f 减去 f 出来，前面这个 x 求到。 然后完了以后呢，注意，小 f 的 一个圆函数是它，那不定积分等于谁，就等于圆函数加一个常数，所以这一项就解决了。但是 f 等于谁啊？ 既然它是 f 的 圆函数，那 f 等于谁？那我们知道 f 就 等于它的圆函数求导数啊， 那这个求导等于谁，就等于二倍的幺 x， 再乘上一个谁 x 分 之一，所以这个 f 呢，就可以用它带进去，那么它往里边一带的话，这个前面这个 x 消掉， 最后就得到第一项二倍烙印。第二项呢，他的不定积分就等于他的一个任意一个元函数，再加一个谁啊常数，这就做出来了。 但是这个题呢，倒不麻烦，但这是一种综合性的题，他考到了这样几个知识点，一个呢就是分布积分这个方法。那么另外一个考到元函数的概念， 那它的不定积分就等于圆函数加长数，它自己等于谁， f 自己就等于它的任何一个圆函数，怎么样求导数？ 所以这种题呢，就是既有方法，也有概念在里边，那这种题在我们卷子里边多次考到，所以它也代表一个类型。好，有关这个题目呢？我们就看到这个地方。

这一题是三到建筑物上对这个东西的记分，做这一类比就是背记函数比较复杂题目我们一定要用好两个东西，第一个东西叫提前化简背记函数，第二个东西叫换元。好，我们看一下这一题。 x 平方减二， x 在 这个根号里面，它是可以给它题简写成 x 减一的平方减一的形式，那如果这个时候我们令 t 等于 x 减一，抵 x 等于抵 t 上加线就变成 t 等于二和 t 取进正无穷元积分 就等于二到整数上 t 的 次次方。根号加 t 的 平方减一 d t， 那 这个时候我们看到这种形式，我们要优先讲到用三角换元， t 等于 circle circle theta， 那 么底 t 就 等于 circle theta 乘上 time theta 根号下 t 的 平方减一就等于 time theta， t 等于二， t 等于二的时候， c 它是等于二的，那么 c 它是等于三分之派 t 去极无穷，那这个 c 它是等于二分之派的去极二分之派的。这一系列的换元一定要做好，那我们写回去，也就是三分之派 二分之一四个 c， 它贪心 c， 它底下就是 四次方，乘上一个贪心 c， 它这个化简的结果就是 约掉，约掉，约掉三次方，它也就是扩展以 c， 它的三次方。 好。做了这么多，现在去求这个， 它的三次方可以写成 cosine theta 乘上一个 e 减它的平方，那我们令 mu 等于 sine theta， dmu 就 等于扩散指数 dmu， 我 们化成只有三 e 含只有三 e c 它的一个形式， 三分之派二分之派，扩散指数一减三 e c 平方 dmu 也就等于 minus 三分之一 minus 三次方代入二分之根号三 e e 减三分之一，再减去二分之根号三，减去二十四倍。二十四分之三倍的根号三。 化简之后是三分之二，减去八分之三倍根号三。

加一个无穷小，这个做很多关于斜渐线的问题会来的更简洁，比如说二零一七年数学。二啊，那是这个，他说曲线这个的斜渐线方程，那么这种斜渐线我们刚才在前面还讲了一个方法啊，就直接看 看谁他能不能写成一个向量函数加无穷小。那么大家看这个 y 等于谁啊？能不能写成向量函数加无穷小啊？大家注意这个 x 乘一，哎，这个不是就是个一次函数吗？但是后面是谁啊？ 后面是 x 乘上阿克赛引 x 分 之二呀。那么大家注意，如果后面这个要去向零的话， 那他就是心减一些，但后面这个呢？极限等于谁啊？因为这个等加 x 分 之二，所以这个极限等于二呀，不等于零啊，那你说怎么办？那我说这就很简单了，你希望后面去向零，你给后面减个二， 你看这不是就曲线零了吗？但是你不能平白无故减二，你得减二，前面就得加二呀，这不就做完了吗？那这不就写成 x 加二，加上一个后面这个方括号不是曲线零吗？所以另外就知道 y 的 极限线就是 x 加二，那你说上了考场，这个是不是要比这个快很多？ 所以大家要注意，关于这个斜渐线，利用我们给大家总结的他能不能写成一个现象来说，加一个无穷小，这个做很多关于斜渐线的问题会来的更简洁。好，这是我们要看的第十三。

求导法，什么时候叫对数求导法？就是两边取对数求导，叫对数求导法。那什么时候要用对数求导法呢？通常主要是有两种情况，哪两种情况？比如说像这样的题目，那么大家看这个地方，这是什么？ 底下变，上面变，这叫密值函数，既像密函数，也像指数，它既不是密，也不是指数，那么这种求导呢？那么一种办法就是用对数求导法。所以我们先看啊，就是取对数， 就是烙印 y， 那 就等于谁 x 烙印的谁啊，一加上塞 x， 然后你要让我们算这代为分，实际上主要算出他在派，这代导数乘 d x 就 行了。好，那我们取了对数就好求了，两边对 x 求导，所以这个呢，叫做复合。首先对外求，那就是 y 分 之 y 一 撇， 那么右端呢，是两个函数相乘，它求到它不动，那就等于谁烙印的 e 加上塞印 x， 然后呢，再加上 x 不 动，后面求到，那么后面求到就是 e 加塞印 x， 反之塞印求到 cos x， 但前面还有个 x， 那 么在这呢，我们就把 x 等于派给他带进去，那么带进去以后呢，左边分子就是 y， 一 撇的派，分子呢？ 你把派带进去就是一的派侧方方么？就是一啊，那就等于谁派带进去，这里边一烙一就是零。那么这个地方呢，把派带下面是一，上面这个是负一，那不就等于负派吗？ 那好了，那我们就得到谁，这个等于负派，这个等于负派，那为分等于谁，这个为分就等于这一点的导数乘 d x， 那 么所以就等于负派乘 d x， 那么这就是密值函数求导数常用的一种方法。对数求导法，那么这种密值函数呢？求导还有什么办法呢？ 那我知道把它可以改写啊，就是个 e 加 sin x x 次方，它可以改写成指数的形式，就是 e 的 x 烙印在谁 e 加 sin x。 那么这个时候按照复合函数求导法，我就可以直接求这个 y 的 导数，那么求出这个 y 的 导数，然后导数乘 d x 就是 为分。所以这种秘制函数求导我们比较常用的有两种方法。 那么一种方法呢，就是我们刚才这个对数求导法，两边取对数，倒数好求。还有一种呢，就是把这个秘制函数给写成指数的一种复合，然后用复合函数求导法求好。

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这个题注意，我们说一个更好的方法，更好的方法是什么啊？注意从哪看出来的？你看这个烙印一加 x 啊，那大家可注意，你看它这个烙印的一加 x， 可以把它写成谁，可以把它写成烙印一加 x 减烙印，这是谁啊？一，那我想大家都知道，烙印一是等于零的，那同学就说了，那你怎么会想到这方要减个烙印一呢？因为大家知道这个时候这两个叉是不是可以看作 f 等于烙印 x， 它在两点的函数值的差，那么大家注意，出现同一个函数在两点函数值差， 我们往往可以考虑谁啊？拉格朗日中的，因为它等于 f 一 撇克 c 乘上 b 减 a。 但是我们用的时候一定要注意， f 是 谁就是烙印 x， b 是 谁， e 加 x， a 就是 e。 那 好了，你看，我们用一下拉格朗日中的定律，这就等于 f 一 撇克 c， 那 这个 f 一 撇克 c 就是 克 c， 分 之一乘上 b 减 a， b 减 a， 就是 一加 x 减一，这就是 x。 然后注意这个可 c 在 哪里呢？这个可 c 应该在 a b 之间，那我们应该是大于一，小于一加 x， 那 怎么证明我们上面结论呢？那么大家看，可 c 是 比一大的 x， 现在是大于零，那么可 c 呢？分母变小，直接放大，所以它不超过 x 这一半就正好了。哎，如果把分母放大，这就变小，那所以它应该大于。把这个可 c 用一加 x 换掉，这不就是一加 x， 这变正好了。你看， 这样用拉格朗日种植定例证是比用单调性要更方便，但是要注意什么样的题目适合用拉格朗日定例？ 就是你这个不等式问题里边如果能够出现同一函数在两点函数值的差啊，你看他可以写成烙印，在两点函数值差，这个时候往往就可以考虑用拉格朗日种植定好，这是我们要看的这个历史期。

过去的话，有的同学内容是看吴老师基础篇，去做别的地方的题，那别的题又跟吴老师讲内容不配套，这个时候给很多同学带来不方便。那么今年吴老师给基础篇配了严选题，那这样的有课有书，有题目做， 那这样子形成一个体系，效果会更好，效率会更高。那我们接触阶段，首先要用的第一个就是吴老师为高等数学基础阶段专门编的这个教材，叫高等数学基础篇二零二七， 那吴老师专门为这个高数基础篇配了相应的研试卷，那么这样既有内容，又有视频课，又有相应的练习题，这个就比较完整，复习起来效果就会来的更好。除了看这个基础篇，做基础篇的研卷题， 那这个时候呢，还要不要做别的地方题呢？如果要做，做哪些题呢？啊？那么一个呢？实际上除了这个严选题以外，也可以历年真题，但是注意早期的八七到零八年， 这些真题也可以拿来做，那么还有什么呢？还有就是金榜时代出的数学基础过关六百六十题，对吧？有同学说，那我时间比较紧，这两本书我的到底应该做哪一个呢？ 那吴老师认为啊，就是如果你的基础比较好，就直接做六六零，如果基础不是特别好，先做这个，然后再做六六零。