直角三角形中线定理几年级

各位关于中线的定力啊，一共就这四个啊，考试考不出这几个，所以说这几个定力必须得知道啊，重心啊，第一个是什么？物理重心，我们都知道这个中线啊，三条中线，就是这几个终点的连线，对不对？叫中线 底的啊，底的三条中线啊，连起来这个叫重心。为什么叫物理重心呢？因为啊，你如果拿一根绳啊，吊着他， 吊着这个三角形，它是平衡状态啊，它也是物理重心啊，这个为什么会出现这种情况呢？看后面就知道了啊。第二个特性啊，第二个特性是固定比例，什么固定比例？就说这条线啊， 始终是这条线的两倍，假设这个边长是 a， 它一定是二 a， 假设啊，这个是 b， 它是 c 啊，不是，假设他是 c， 他 一定是二 c， 就 说这条线始终是这条线的二分之一，哎，为什么呢？这么神奇吗？等我给大家证明啊。第三个面积相等，就什么呢？这三条中线啊，相交之后形成六个六个三角形，你看这是不是六个三角形啊， 对不对？这每一个三角形面积全部一样啊，每个面积都相等，全部等于六分之一 s， 六分之一 s， 就是 这个整面积是 s 的 情况下啊，这六个都相等，你说神奇不神奇啊？等我给大家证明啊，等我给大家怎么，现在就给大家证明吧。好，怎么证明这这六个三角形面积相等啊？其实很简单，我给大家简单证明一下啊，看能理解不能啊？ 比如说啊，比如说这个小面积 a， 这个小面积啊，这个小三角形它的面积是 a， 那 这个小三角形的面积一定也是 a， 那 有的同学问，为什么他俩相等啊？各位，这是不是中线啊？中线的话，这两个底是不是相等？他俩这个底啊，是不是都相等？高呢？ 高是不是统一一个高呀？因为顶点都一样，他们的高都是一样的，所以 d 相等。高相等，所以他俩相等。这个道理能不能明白？那同样的道理，你看这个三角形和这个三角形都是 b 的 话， 是不是他俩也相等啊？各位， d 相等，高相等，那同样的道理吗？啊？这两个三角形是不是面积也相等？好，那么问题来了，你看看这个三角形， 这个三角形和这个三角形是不是也相等？为什么？因为它们的底都一样，这个大三角形啊，就是两个 a， 你 看两个 a 加个 b， 它是不是等于啊？两个 c 加个 b， 各位 对不对？两个 c 加个 b， 因为它们底相等，所以 b 消掉以后， a 是 不是等于 c 啊？也就是 a 和 c 面积是相等的， 那同样的道理，你看这个大三角形和这个大三角形面积也相等，两个 a 加一个 c， 你 看两个 a 加一个 c， 是 不是等于两个 b 加一个 c 啊？ 把 c 消掉， a 和 b 是 不是也相等啊？ a 和 b 相等， a、 b、 c 是 不是都相等啊？是不是六个面积都相等？而且你看这个固定比例，我也给大家证明一下啊，为什么 这条线是这条线的二分之一？因为这个这个三角形的面积是这个三角形面积的二分之一，这个道理能不能明白？ 这个三角形的面积是这个三角形面积的二分之一，他们的高都一样的，你看都是同顶点高是一样的，所以他们的底就是二分之一关系， 是不是？这个也给大家证明了吧。还有最后一个四，第四个特性就是中线长度可计算啊，中线的长度是可以算出来的。 什么意思？就说给你一个三角形，随便啊，假设这个边长为 a， 这个边长为 b， 这个边长为 c， 让你算这个中线长度 d 能不能算出来角度不知道啊，这角度都不知道啊。这个 d 是 可以算出来的啊，这个 d 等于多少呢？它等于二分之一。根号下二 a 平方加二， b 平方减 c 平方， 这个 d 等于二分之一。两个 a 平方就两个 a 平方加两个 b 平方再减一个 c 平方开方，再出二分之一啊。这个定力 叫中线定律，也叫阿波罗尼奥斯定律啊，肯定是阿波罗尼奥斯发现的。这个定律怎么证明？回头有时间给大家演示一下，现在时间不多了呀各位。

那我们这节课去讲我们斜边中线定律，那么你学这块内容时候，我们主要是要去干嘛？去掌握它的构造以及，哎，我们什么时候能去使用这个东西？好吧来看一下。那我们讲这个定律之前，我们首先给大家介绍一下，哎，他定律的一个内容就是说我们直角三角形斜边上的中线等于我们斜边的一半， 画出来图就是说假如我们现在告诉这有一个直角三角形，那么此时我们取到斜边的中点 m 连接 am 之后，我们是不是就会得到这条中线就等于我们斜边的一半，哎，我们是不是能得到这三个圈线段是相等的， 对吧？那有人会想问的说，为什么我们讲斜边中线定律，哎，作为一个三角形里面的内容为什么要放在我们四边形这里讲？那我们想一下，哎，那这块的话，如果我们想通过四边形的内容去了解他的这个证明过程的话，你觉得我们应该怎么办？ 那首先我们来想一下，假设我们现在在斜边上取到一个中点，对吧？你又看到了一个直角，哎，我们想要结合我们之前学习过的特殊四边形学习那块内容来去证明我们这条斜边中线是等于我们斜边一半的话，你能想到什么？那这个时候，哎，我们是不是可以做我们 a、 c 边的 垂线？哎，我们另这是九十度，然后再过 b 点做我们 ab 边的垂线，这儿有九十度，一个九十度，两个九十度，三个九十度，那这是一个什么东西？我们假设这个点为点 d， 我 们是不是可以得到这个四边形 abdc， 它就是一个矩形，对吧？那有了矩形之后，我们再去观察一下， 那此时 c b 这条边是不是就是我们矩形的一条对角线？ ok， 那 么找到这条对角线之后，我们想一下此时我们如果连接 ad 的 话会发生什么？ 我们连接 ad， 那 么连接完 ad 之后，此时这个点 o 是 不是就是我们对角线的终点，对吧？哎，它是我们对角线的焦点，那么也是我们对角线的终点，那有了这个终点之后，我们知道矩形它的对角线是相等的，对吧？所以我们是不是有 ad 等于 bc， 哎，有这个结论，那同时呢，我们知道平四它的对角线是不是还互相平分？所以我们现在是不是有这个圈等于这个圈，这个圈等于这个圈，哎，那这个时候我们是不是证明了 a o 等于二分之一 a d， 那 么他是不是就等于我们二分之一 bc 了，对不对？哎，我们看我们这里是不是通过我们矩形对角线相等的这个条件，加上我们平行四边形对角线互相平分，我们是不是就证明出了我们直角三角形斜边中线定力的内容啊？ 对吧？ ok， 那 好，那我们现在清楚了他的定力之后，那我们想一下，我们现在要想去玩我们的斜边中线，哎，我们只需要记住他的四种姿势就 ok 了，好吧， 哎，姿势的式是这样写吧，好，四种形态，四种姿势，无所谓啊。 ok， 那 好，那我们首先来想一下，哎，正常情况下我们的斜中它是怎么出现的？是不是说题目会告诉我们，哎，已知 这里有一个直角三角形，对吧？同时又告诉我们，哎，它的斜边中点是 m， 告诉我们斜中 m， 那这个时候我们连接它的斜边中线，哎，连接完 mb 之后，我们是不是就能得到这个圈等于这个圈，等于这个圈，对不对？这是我们连完斜中之后的结论， ok， 那 好，那我们想一下，除了这个结论以外，我们还能得到什么？ 那么除了边呢？是不是就剩下角了？在我们三角形里面，所以我们这个时候是不是还能得到这是阿尔法，那么这个是阿尔法，对吧？这是等腰，那么它俩相等的话，我们还能得到这是贝塔，这是贝塔。 ok， 好， 那我们看这个时候我们根据斜中是不是得到了一组等边，同时呢我们还得到了两组等角。 ok， 那 好，那这是我们学中哎，他出现的一个最普通的情况， ok， 那 我们想一下，那此时假如我们题目，哎，他变一种方式来看，假如此时已知，还是告诉我们这有一个直角三角形 abc， 他 现在这么告诉我们，哎，他说这有一个点 m， 但是他不告诉我们这有等边信息或者是中点信息，他告诉我们这有两个角 r 法相等， 那我们想一下，我们通过这两个等角能不能够判断出来我们 m 是 我们这个斜边 a c 的 中点？来想一下， 那这个时候我们观察，哎，我们有这两个角是阿尔法，那我们想在直角三角形里面我们会出现什么样的情况？哎，是不是会出现大量的互余关系啊？那想，那这个角是阿尔法，我既这不是直角吗？我既跟他互余的这个角我们既为贝塔， 那他俩互余，我们知道阿尔法是不是跟这个角也互余，那所以他是不是也是贝塔？那贝塔等于贝塔，我们是不是得到了这两条边相等，阿尔法等于阿尔法，哎，那这两条边也相等，那么此时我们是不是又得到了我们 m 是 啥？是不是我们的斜边中点， 对吧？我们看在三角形里面，我们除了玩边是不是就去玩角，对不对？那这是我们第二种情况啊， 那我们再看一下第三种情况，那么第三种情况跟我们第二种情况它其实是类似的，还是一样？告诉我们这有一个直角三角形 abc， 它现在不告诉我们等角了，哎，它现在告诉我们等边，告诉我们 mb 等于 mc 说这两条边相等，那我们看一下他告诉这组等边，哎，现在让我们去判断 m， 他 作为斜边 a c 的 终点，怎么判断是不是还是一样的，对吧？我们看这个时候我们有了等边以后，那在三角形中有等边，是不是肯定要去考虑等角？ ok， 那 这个时候我们是不是又能得到这两个角是 r 法，那得到了这俩角是 r 法之后，哎，我们通过这块倒角的内容，我们是不是还能得到这两个角也相等？那么最后，哎，这三条边相等之后， m 是 不是就是我们的斜中了？ ok， 我 们看第二种和第三种的话，是不是都相当？于是告诉我们在我们直角三角形里面，他这样藏了一个什么东西？ 是不是藏了一个等腰三角形啊？ ok， 好， 那接着来看第四种，那我们来看第四种情况，那么第四种情况，哎，他就有区别于我们前面几种了，这个时候他告诉我们，哎，这有一个三角形 abc， 记住啊，他此时并没有告诉我们这有直角，他说也已知三角形 abc 中 告诉我们这有一个点 m， 然后说 m a 等于 mb 等于 mc， 哎，现在问我们说这个 m 点是不是我们这个直角三角形 abc 的 斜边中点？那想一下我们那么我们现在需要干嘛？我们现在是不是要去判断，哎，我们这个三角形 abc 它到底是不是一个直角三角形， 对不对？那现在问题从证明终点哎，却变成我们现在要去证明这是直角，那想一下，那现在既然要去证明直角的话，那我们是不是肯定要去考虑，哎，在我们这个图形中他都存在哪样的角度关系？ ok， 那 好，那我们这个时候看一下，那这两条边相等，那有等边，在我们底下这个三角形中，我们是不是会得到一组等角？ 同样这两条边相等，那么在这个三角形中我们是不是还能够得到一组等角关系？那好，那我们现在观察一下这个阿尔法和贝塔它们之间存在什么样的关系？想一下，我们观察一下在图中我们的阿尔法跟贝塔存在什么样的关系。 哎，那这个时候我们知道三角形他的内角和是不是一百八十度，对不对？那所以我们现在是不是可以得到两个阿尔法加上两个贝塔，他不就是咱三角形的内角和一百八十度吗？对不对？那有了这个结论之后，我们看，那此时我们是不是就可以得到一个阿尔法加一个贝塔就是九十度， 那也就说明我们阿尔法跟贝塔什么关系？是不是互余，那有了互余之后，那我们这个直角是不是就得正了？有了直角，哎，有了我们这个终点，那我们是不是依然可以判断出来，我们 m 是 我们直角三角形 a、 b、 c 的 斜中， ok， 那 么这几个就是我们关于我们直角三角形斜中它的几个 内容啊，记住这四种姿势，对吧？那么除了我们经常哎，他题目告诉我们说这有直角，这有终点，哎，我们肯定可以判断出来这个点 m 是 我们的斜中，我们可以得到等边信息，也可以得到等角信息，那么往往我们题目中他是不会把这种信息是明显的告诉我们， 需要我们自己有意识去主动的去判断出来这个点，它作为我们只要三角形斜边的中点，我们连接完斜边中线之后，我们可以得到等角信息，也可以得到等边信息。那么来看第一题， 他告诉我们说，哎，这有个三角形，这是六，这是八，哎，那我们顺手是不是就可以计算出来 c、 b 这条边是十啊，对吧？勾股定律。然后又说，哎，告诉我们这有个点 d， 说这条边相等，现在让我们求 a d， 求这条边的长度， 你说这是我们刚才讲过那四种姿势中的哪一种？告诉直角，告诉等边。来看，告诉直角，告诉等边，哎，是不是我们刚才讲的这种， 对吧？哎，那有了直角，有了等边以后，我们就记这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法等边，对，等角，那好，那有了直角互余关系，那我们记跟阿尔法互余的角为贝塔，那么这个角也跟阿尔法互余，所以他也是贝塔，哎，那我们是不是又能推出来这三条边相等了？ 那推出来之后 d 是 啥？ d 是 不是就是咱的斜边中点？斜边中线等于斜边的一半，所以我们最后要求的 a、 d 这条边它的长度是不是就是五结束？ ok， 好， 那么这个看完以后，我们再来看下一题 来看，他又告诉我们说，哎，这又有一个直角三角形，这是八，这是十五，哎，那勾股定律我们是不是能计算出来这条边是十七啊？然后又说，哎，他现在告诉啥？告诉一组等角信息，告诉我们这个角和这个角相等， 那我们想一下，这是我们刚才说的哪一种？这是我们刚才说哪一种？是不就是告诉直角三角形，哎，告诉一组等角，对吧？那有了这个信息以后，我们再来看这道题目，那此时我们依然是不是可以通过 导我们直角三角形内部的互余关系得到这俩角也是相等的嘛？对吧？那这个时候这三条边我们是不是又推出来相等了？那 d 作为我们直角三角形的斜边中点，让我们求 a d 不 就是我们斜边 bc 的 一半，所以它是不是就等于我们二分之十七问题结束， ok， 那 这是我们这道题，那再来看下一道题，他这个时候说，哎，告诉我们这有个三角形 a、 b、 c， 他 现在没有告诉直角，哎，他告诉我们这三条边相等， 来想一下，这是不是就是我们刚才讲的最后一种情况？那这个时候他说 ab 的 长度是二倍，根号五，让我们求这个三角形它的一个面积，那求面积的话，我们看这个时候我们斜边知道了，对吧？是六，那想一下，我们这个时候有这三条边，哎，这个信息我们是不是可以推出来？这是直角， 来想一下我们刚才推这个直角的过程是怎么推的？那你看吧，在三角形内部有了边的信息，那这个时候是不是要去考虑角的信息了，对吧？我们三角形无非玩的就是边和角。 ok， 好， 那这个时候有等边，那我们就记这个角是阿尔法，这个角是阿尔法， 那么这儿也有等边，我们记这个角是 beta， 那 么这个角是不是也是 beta？ 那 好，两个 alpha 加两个 beta 是 一百八十度，所以我们是不是推出来一个 alpha 跟一个 beta， 它俩之合就是九十度，也就是互为关系， 那有了互余关系之后，哎，那我们现在看，想要计算我们这个三角形的面积，我们已经判断出来它是直角三角形了，我们现在是不是只需要计算出来 ac 这条边的长度就 ok 了？那 ac 怎么算？是不是勾股定律嘛？对吧？来看，那这个时候我们看 ac 它等于谁？ 它是不是等于根号下 bc 的 平方减去我们 ab 的 平方，就等于根号下三十六，减去二倍根五，它的平方是多少？是不是二十？ 哎，所以我们是不是推出来 ac， 他 就是根号十六，哎，也就是四。那我们现在得到 ac 的 长度之后，我们现在想要计算我们三角形的面积，是不是直接用底乘高就 ok 了？ 好，那我们看此时三角形 abc， 他的面积是不是等于二分之一乘以四，再乘以个二倍根号五，就等于四倍根号五。 问题结束，来我们一起总结一下，好吧，我们看这几道题，这个还有我们刚才这个他是不是都是没有告诉我们，哎？这块这个点 d 是 我们的斜边中点，对吧？那么他通过直角等边对吧？哎，直角 等角和我们的这组等边，是不是通过这些条件哎，我们判断出了这个点是我们的斜边中点，对吧？那我们看在这几道题过程中，我们还是主要想去带大家 了解一下，哎，我们刚才在这里画的这些图形的它的一个内容，所以说我们要去了解一个东西的时候，我们不能只停留在表面，哎，你就去记住我们三角直角三角形，它的斜边中线定力，就是说，哎，我们这有条 斜边啊，有个中线，对吧？有个中点，有一个直角三角形，那这个时候我知道它等于它的一半，那你想那这种东西你记住以后， 那对于你做题来说，他如果不告诉你这有终点，这有指导三角形，你怎么办，对不对？我们是不是应该从最基础的知识哎去拓展到我们的应用，对吧？那这就是我们有些孩子，他可能说为什么我们的基础知识了解了，但是做题做不会的原因， 就是我们要去发散思维，我们要去看一下他除了这一种用法以外，他还能够怎么样去变，对吧？变来变去，他其实还是在讲的是我们最基础的内容， 那我们基础的讲完了，接下来我们来玩几个进阶一点的题目，那这个时候看它题目告诉我们说，哎，这有一个直角三角形，这有斜边，有个中点，那这个时候你能想到什么？这不就是我们斜边中线吗？对不对？ a、 d 这条边是不是就是我们的斜边中线？ 好，我们把这个先给他画出来，画出来之后来看题目告诉我们说角 b 等于角 a、 c、 e 时，让我们求证这是一个直角，那我们看告诉一组等角，那我们是不是肯定在做题的时候要把它标注出来，对吧？哎，我们记这个角是 r 法，那么这个角是不是也是 r 法？ 好，那这个时候你想一下，题目只告诉了我们一个斜边中线，哎，告诉了一个直角，你看一下这些条件能不能够帮助我们判断出来这是一个直角， 显然不够，对吧？我们想一下直角三角形斜边中线定律，他讲的是啥？他就讲的是这条边，是这条边的一半，那我们想在三角形内部，你除了去考虑边之间的关系，是不是还要去注意一下谁？是不是还要去注意一下我们角之间的关系？哎，那这个小时候想一下，咱们角之间有啥关系？ 那我们知道这三条边现在相等了，那有等边，在三角形内部我们就会有谁，是不是有等角？那好，那这是阿尔法，那我们是不是还能推出来这个角是谁？这个角是不是也是阿尔法？那好，那这两个角都是阿尔法的话，你想一下，我们记这个角为贝塔，阿尔法跟贝塔什么关系？ 是不是九十度？那好，那我们知道阿尔法跟贝塔互余的话，那你观察一下，在这个三角形内部 你能看到啥？它俩互余，那么这个角是不就是直角？那判断出来它是直角之后，我们 c e 垂直于 a d， 我 们是不就证明出来了？ 所以说我们再去使用我们直角三角形斜边中线定律的时候，我们除了要去关注它能告诉我们一组等边，别忘了它是不是还能告诉我们两组等角，哪两组等角？ 看一下这个角和这个角相等，是不是这两条边带给我们的，对吧？那当然这是不是还有一组等边？所以我们是不是能得到这个角是贝塔，那么这个角，哎， 这个角是不是也是贝塔，对吧？哎，这块我们一定要去灵活的使用，那我们接着来看第二问，来看这道题， 他告诉我们说，哎，那这个时候条件变了，他不告诉我们等角了，他告诉咱这两条边现在相等，哎，让我们求证，二倍的角 b 等于角 a c e， 哎，也就是说两倍的这个家伙现在等于这个家伙， 那你想一想，我们现在既然又要去玩角度之间的关系，那是不是肯定要去看一下，在我们这幅图中他都存在哪样的角度关系， 对不对？我们是不是要去在找的过程中，哎，把这个二倍的角 b 给它找出来，对不对？咱是不要把它给它找出来，那好，那还是一样，第一步还是去给我标角，对吧？还是去标角，那这个时候我们知道这是阿尔法，哎，这是阿尔法，好，那这个角是贝塔，那这个角是不是也是贝塔？ 想一下，我们这个时候把角度信息标注完了没有？我们想角度关系有什么？有等有余，有补有外，咱们现在标了啥？ 哎，咱们现在有互鱼关系，哎，还有等角关系，那还有啥？是不是还剩下补角跟外角咱还没标？那这个时候你观察一下咱们这块应该去注意补角还是去注意外角来看，那这个时候你关注一下，这是阿尔法， 这是阿尔法。咱们这块标角的目的是啥？哎？是不是为了把这个二倍的角 b 给他找出来，对不对？那你想一下 我们这个三角形，哎，他作为一个等腰三角形，那等腰三角形顶角的补角是不是就是我们阿尔法， 对吧？这个角作为我们这个三角形，他顶角的一个补角就是外角嘛，对吧？作为这个外角他是不是就等于我们二倍的阿尔法？哎，我们看现在二倍的角 b 是 不是被我们找出来了，对吧？那找出来以后我们再观察一下，那我看这还有一组等边，是不是题目告诉我们的等边？ 那有了这组等边以后，我们想一下我们还有哪个角还可以标，是不是这个角他也是被他？那你现在看一下题目让我们证的是谁？让我们证明这个角等于我换个颜色等于这个角， 那你们想一下我们现在应该怎么去证明？哎，怎么证明这两个角相等，那我们肯定要利用谁？我们看一下在我们这个角小角它所在的三角形中，这个是贝塔，这个是贝塔，对吧？三个角都知道，那我们看这个角它所在的三角形，这个是贝塔，这个是贝塔，我们也知道，那你想这个时候要用啥？ 是不是用我们三角形内角和是一百八十度，对吧？来看，哎，在我们三角形 a、 d、 c 中，两倍的阿尔法加两倍的贝塔，是不是等于一百八十度，对吧？我们来给大家把这个三角形画出来，就是在我们这个三角形 看一下这个角是不是 beta， 这个角是 beta， 这个角是我们的阿尔法，没问题吧？好，那再看我们还有剩下哪个角，是不是去关注这个角，那这个角所在的三角形，我们用绿色的给它描出来， 哎，它在这个三角形里面，那观察一下这个三角形里面，我们知道这个角是 beta， 这个角是 beta， 这个角是不是就是我们的 a c e， 对 不对？所以说在我们三角形 a、 c、 e 中，我们的角 a、 c、 e 加上两倍的 beta， 哎，是不是也等于一百八十度？那你看这两个等式，它能告诉我们什么？ 是不能告诉我们角 a、 c、 e， 哎，它就等于二倍的阿尔法，那二倍的阿尔法不就是我们二倍的角 b， 那 么这个结论是不是就证明出来了？ ok， 我 们看一下这块是不是还是利用了什么？利用了我们直角三角形斜边中间定力提供给我们的这组等边，哎，我们利用了等边去玩了，谁是不是去玩了我们的角， 对吧？哎，所以我们看这两问他主要是干嘛？主要就是提醒我们，除了有边之间的关系以外，我们还要去考虑一下哎角的关系。当然同学们，我们来看一下这道题目中他其实藏起来的那个点在哪？ 来想一下这道题目中他藏起来的那个点在哪？是不是就是让我们去找这个二倍的角 b， 哎，去找这个角的过程对不对？所以说我们看告诉我们这有一个直角三角形，哎，我们连完他的斜边中线之后， 我们除了能得到这组等角，哎，等角关系以外，咱们是不是还能得到二倍角关系， 对不对？来看，那这个时候我们知道这个角他是不是就是阿尔法？那这个角呢？是不是就是阿尔卑的贝塔，对吧？那这种关系是不是也是相当于题目告诉我们的已知角度关系？ ok， 所以 我们以后做题的时候一定要去留意啊，除了有等边 哎，他会对我们的等角，那么有了等角以后，我们有等腰三角形，这个时候还要去注意一下我们的二倍角关系。 我们再来看下一题，来看他这块，告诉我们这有一个直角，这有一个直角，然后又说这有两个终点，哎，现在第一问，让我们去求证这是个直角。 来，朋友们，你现在看到这道题目，你有什么想法？首先看一下，告诉了直角，哎，有直角就会有直角三角形， 又告诉了终点，那你这个时候看一下这个终点能不能去帮助我们干嘛？是不是去连接斜边中线呀？对吧？因为连接完斜边中线，咱们这个时候就会有角度关系，哎，又会有边之间的关系，所以来咱们关注一下，那此时我们看这个直角是不是被我们放进了这个直角三角形里面， 对吧？那你看一下，哎，现在我们连接完 b e 之后会出现什么？那此时 b e 是 不是就等于我们二分之一 a c， 对 吧？哎，那这个时候 b e 等于二分之一 a c， 这是咱们连接完 b e 之后得到的，那再看一下另外一个直角在哪？另外一个直角在这，哎，在这， 那他被我们放进三角形之后，是不是就是这个蓝色的三角形？那你观察一下此时这个点 e， 哎，我们要是连接 e d 了，你又会看到什么？ 那这个 e、 d 是 不是也等于我们二分之一 a c， 对 吧？哎，这个时候得到 e d 也等于二分之一 a c， 那 你看这个时候咱们通过连接斜中，是不是得到了这两条边？啥关系？是不是相等了，对吧？那有了等边之后，你告诉我，咱们现在就能得到啥？ 是不是能得到现在这个三角形 b、 e d 是 个啥？是不是一个等腰，对不对？那有等腰，你再观察一下这个 f 点是啥？是不是它的底边中点？那等腰三角形三线合一，那这个垂直咱们不就挣出来了，对不对？哎，那你看一下第一问， 你想一想咱们是通过什么挣出来的？是不是就是你看到了斜边中点，看到了直角三角形的斜边中点，你要有意识的去给他干嘛？去给他连接他的斜边中线， 对吧？你看到斜边中点，你就要去给他连斜边中线，连完之后是不是利用这些关系？哎，我们最后得到了这座等边去证明了垂直， ok， 这是初中的，初中的。 好，那我们接着看，接着看，这是第一问，第二问，他说，哎，若这个时候告诉我们这儿有个三十度，我们现在把第一问的过程给他简单擦一下， 这个时候告诉我们这儿有一个三十度的角，哎，现在又说这个 a c 这条边它的长度是八，那也就是说这是四，这是四，哎，让我们现在求 b、 d， 求这条边的长度。 同学们来想一下，我们第一问证明了啥？第一问是不是证明了我们 e b 和 e d 相等，哎，证明了他俩相等，那这个时候让咱求 b d， 那 有些同学说了，我现在已经证明出来这是垂直了， 对吧？那你想，那我现在可不可以通过直角三角形勾股定律去求出来我们 b f 哎，再去求出来我们的整个 b、 d 这一段，想一下可以不可以？肯定不可以，为什么？我们想这个时候这条八， 哎，就是 a、 c 这条边跟我们现在这个 e、 b、 d 这个三角形，你能看出来他们之间存在什么样的关系，是不是看不出来啊？对吧？那所以这个时候我们想要去利用勾股定律哎去求解，我们这一问的话，那显然是 有点复杂，对吧？因为我们首先是不是得建立起来已知边跟未知边的关系，建立起来关系之后，再想着通过哎去看他们之间存在什么样的关系，得到我们最后 想要去利用勾股定律来求解问题的时候，得到那两组边，对吧？那你这个时候来看一下题目，除了告诉我们这条边以外，还告诉了一个三十度，你想一下这个三十度这个角度应该怎么用， 你观察一下，那就看一下三十度这个角他是不是等于我们这个阿尔法和这个贝塔的和，哎，你这个时候又关注到有角度信息，又有什么？又有斜边中线，所以这个时候你想要干嘛？ 你想要干嘛？是不是肯定去看一下他们角之间有什么样的关系，那就去给我倒角，对吧？就去倒角，那好，那这个时候来看， 这是阿尔法，那我们根据这条边，等于这条边，等于这条边，又等于这条边，我们可以得到啥？他俩相等，那这是阿尔法，那我们这是不是也是阿尔法，对不对？这是贝塔的话，那我们这个角是不是也是贝塔？ 那好，那我们想一下，除了这两个关系以外，我们刚才说了，在我们斜中这里还存在什么样的关系？是不是还存在我们二倍的角度关系，对吧？那存在二倍的角度关系的话，那你想一下这个时候那个二倍的角度关系藏在哪？哎，是不是在这？ 这个角是多少？是不是二倍的阿尔法？那这个角呢？这个角是不是我们二倍的贝塔，对吧？这个阿尔法是不是关注我们这个直角三角形， 是不是在这个直角三角形中？那么这个阿尔卑塔，那当然就是在我们这个直角三角形中， 对吧？那好，那我这个时候我们发现，哎，这个等腰三角形，它的顶角是谁？是阿尔法加上我们的阿尔法，一个阿尔法加一个贝塔是三十度，那两个阿尔法加两个贝塔，那不就是六十度？ 那有六十度角的等腰三角形是啥？它不就是一个等边吗？那有了等边以后，那你看我们 e、 b 等于 e、 d 等于二分之 a、 c， 是 不是？这是四？这是四，那所以我们最后 b、 d 这条边，它的长度是不是也是四？ ok， 对吧？我们看这个时候，哎，我们通过倒角，我们是不是得到了这个角？ b、 e、 d 等于两倍的 alpha， 加上两倍的 beta 等于六十度，那我们通过这个六十度和我们的等腰， 我们是不是得到了三角形 e、 b、 d， 它是个啥？它是一个等边三角形，对不对？那有了等边之后，哎，我们是不是就可以得到这是四，这就是四了？那咱们就接着下一题 来吧。看这道题，这道题目他告诉我们，哎，这有个直角，这有个直角，然后说 m 是 a、 c 边的终点，告诉我们这是二十八，这是四十八，现在让我们求谁？ e、 m、 f 求这个角的度数， 你观察一下，你现在看到这道题目，你有什么想法？首先我相信大家肯定看到这有直角，这也有直角， 那他们跟这个终点之间的关系应该怎么办？哎，是不是就去讨论什么？就去考虑我们的斜边中线对不对？来看这个时候我们观察这个直角三角形， 那么此时我们 m 是 不是就是我们这个直角三角形斜边的终点？那有了斜边终点之后， f、 m 是 不是就是我们找到的第一条斜边中线，对吧？哎，我们这幅图全用红色的话， 对吧？那有了斜边中线之后，又是干嘛？知道角度去求角度？哎？知角求角， 那你告诉我我们要去干嘛？是不是就去倒角，对不对？你除了倒角你还能干嘛？肯定啥也干不了，对不对？再看，那我们知道这个现在是四十八度，那得到这个角是四十八度之后，你看一下我们还有哪个角，知道 这条边等于这条边等于这条边，那么这是四十八，我们这个角是多少？是不是也是四十八？哎，别忘记我们除了有等角关系以外还有什么？是不是还有我们的二倍角关系，对不对？所以说，哎，此时，那么这个角他是不是就是九十六度？ ok， 好， 那这是我们刚才看的这个直角，那你再关注一下这个直角他在哪？哎，首先去看他在哪个三角形里面，对不对？哎，咱们一定要这个习惯啊，看到直角的话，你就找一下这个直角他在哪个三角形里面， 我们看到，那此时有了这个直角三角形以后，你发现这个 m 又是这个直角三角形的斜边中点，那么我们是不是又得到了第二条斜边中线， 对吧？那有了这条斜边中线之后，还是一样，干嘛？先看这条边等于这条边，等于这条边，然后去倒角，对不对？那好，那我们看这个角是二十八度，我们能得到哪个角？那么这个角是不是也是二十八度？ 还有谁？还有谁？是不是还有咱们这个角，对吧？那这个角他是不是就是，哎？五十六度？ ok， 那 你好，你现在看一下咱们现在未知角在这个位置，哎，他被我们两个已知角夹在中间，你告诉我他是多少度？ 那你看，那这个时候目标角他是不是就等于一百八十度？减去九十六度，再减五十六度，等于一百八十度，减去一个多少？ 一百五十二度，那他不就等于二十八度吗？问题结束，好吧，来看一下这道题目的话，我们是不是还是去玩的？谁？还是去玩的？我们角度之间的关系，所以说，同学们，我们 直角三角形斜边中线定律，他虽然是告诉我们之间边的关系，对吧？他这个定律他是描述一种边的关系，哎，告诉我们这个斜边中线等于斜边的一半，但是我们看往往在做题中我们利用的是什么？是不是利用的是他的角度关系， 对吧？所以这块我们一定要去记住啊，在我们看到斜边中线的时候，你除了要去考虑边，还要去考虑角啊，还要去考虑角，来看这道题， 这道题目他告诉我们说，哎，在三角形 abc 中，这有一个六十度，说 d 是 我们 bc 边的中点，这有一个垂直，这有一个垂直，然后现在让我们证明里面这个小家伙他是一个等边三角形， 那好，那咱们现在先看，告诉我们这么多条件，对吧？那咱们先去梳理一下条件，对吧？先不要去管他让我们干嘛，咱们先去梳理一下条件，看我们能梳理出来什么东西，对不对？那还是一样， 干嘛先去找直角，哎，有直角了以后咱们就知道就会有什么，是不是就会有直角三角形吗？对不对？好，那这个时候，哎，咱找到了两个直角，那你想一想下一步该干嘛，就去看他在哪一个三角形里面，对不对？哎，在这个三角形里面，在这个三角形，现在观察一下，告诉我们这个终点是个啥东西， 是不就是我们直角三角形斜边中点，对吧？有了斜中之后，哎，那这个时候我们得到 e d 这条边，是不是等于我们 b d 又等于 dc， 对 吧？哎，那这个时候来看一下我们现在要证明的这个小东西，它的一条边，哎，我们现在得到它等于二分之一 bc， 对 吧？那再去看一下另外一个直角在哪？另外一个直角在这， fc 又在这， 哎，你观察这个点 d， 哎，又是我们这个蓝色直角三角形，它的斜边中点，那有了斜边中点之后，那我们看 f d 这条边是不是也等于我们 b d 和 dc， 对 不对？我们又得到了 f d 等于二分之一 bc， 哎，那这个时候咱们得到了 这个小家伙的两条边，我们现在证明出来他俩是什么关系，是不是相等的了？那现在，哎，我们两个思路，第一个我们证明第三条边 e f 跟我们这两条边相等，那这个时候通过三边相等，我们是不是就能得到等边三角形了？ 还有另外一个思路，就是说我们现在已经得到了一个等腰，对吧？咱们把这个结论写一下，咱们现在已经得到了一个等腰，那想证明一个等腰是我们的等边的话，我们缺个啥？是不是缺一个六十度的内角？ 那同学们，你们想一下，我们这道题是证明这三条边相等呀？还是去证明我们等腰里面有一个六十度？那这个时候咱们来看一下， 你如果选择做三边相等的话，那你这个时候首先你是不是要去考虑我们 e f 这条边，他能跟我们已知条件建立起来什么样关联，对吧？那你看到，哎，那这有个六十度， 那这个六十度他能干嘛呢？那六十度有特殊角，无非就是把它放进直角三角形，我们可以得到这是 a， 这条边是二 a， a 这条边是根号三 a， 你 还能得到啥？啥也得不到。那你看 e f 这条边，我们现在围绕最多的边是谁？是不就是咱的 bc？ 那 你看 e f 跟咱的 bc 能扯上关系吗？是不是也扯不上？所以这个时候你要选择从三边相等这条路去走的话，是不是会发现这个过程比较挫折， 对吧？哎，那想一下，那既然咱这条路走不通，那就想一下，那该干啥？那就去证明一个六十度是不就完事了？那要证明六十度的话，你观察 咱现在有这个角是六十度，我们刚说了六十度这个特殊角，哎，他除了能放进直角三角形以外，我们能得到边之间的关系，那你想一下这个六十度还能怎么用？哎，这是一个问题啊，我们想一下这个六十度他还能怎么用？在一个三角形中， 哎，告诉我们这有个六十度，你想一下他能怎么用？他是不是相当于告诉我们，哎，在这个三角形中，我们另外两个内角的和是多少度？ 是不是一百二十度，对不对？他就只能这么告诉他，还能怎么告诉？那好，那这个时候是不是又到啥了？又到了角度上的关系了？同志们又到了角度上的关系了，那所以还是一样去干嘛？去标角。好，那这个时候咱假设这个角， 哎，我们记为阿尔法，对吧？我们首先去看还有六十度角的这个三角形，它的两个内角是谁？那这个角，哎，我们记为贝塔， 我们现在知道阿尔法加贝塔是多少度，是不是一百二十度？好，那这个时候再去干嘛？再去找看谁跟我们阿尔法跟贝塔有关系，是不就完事了，对吧？那你观察一下，我们现在在我们红色这个直角三角形，它的一个内角，它等于谁？ 它是不是等于这个角，哎，它是阿尔法，同时呢，我们是不是还能得到这个角？ 是我们的阿尔法，没问题吧？好，那这个时候阿尔法看完了，再看贝塔，贝塔是在我们这个蓝色的直角三角形里面，没毛病吧？好，那这个时候它是贝塔，那我们看这个大角是不是也是贝塔？ 同时呢？还有哪个角？是不是还有我们这个角，哎，这个角它也是阿尔卑的贝塔， 那好，那你这个时候观察一下咱们现在得到是啥？是阿尔法跟贝塔，他的一个和，我们是知道， 那和知道了以后我们看咋样能把他们放一块，那就只能去关注中间这块，对吧？那我们知道了角度和，我们现在是不是清楚现在这块我们得到啥？两倍的贝塔加两倍的阿尔法，他是等于二百四十度，那我们想一下他还等于谁？ 它是不是还等于我们这个平角 b、 d、 c， 也就是一百八十度，加上哪个角？是不是加上我们这个？ 加上我们这个角，对不对？是不是相当于我们一百八十度？哎？这一百八十度加上我们这个角，就是我们两个阿尔法加两个贝塔的和，没问题吧？好，那这个时候咱们继续再加上我们的问号， 哎，我们发现此时这个问号是谁？是不就是我们现在想要证的这个等边三角形，它的一个内角，那你看一下这个问号是多少度，他不就可以推出来我们问号是多少？是不？六十度，那这个时候我们通过证明了一个等腰三角形，它的一个内角等于六十度， 咱是不是证明出来他是啥？他是不是就是我们的等边三角形？ ok， 那 好，那我们来观察一下这道题目，你觉得这道题目我们在哪一步？哎？容易出问题。首先第一步他是不是告诉了一个咱，啥，哎？这有两个直角三角形，是不是共用了一条斜边， 对吧？共用了一条斜边之后，我们看此时我们发现这两个三角直角三角形，它的斜边中线是不是都等于我们这条底下这条边的一半，对吧？哎，我们通过它第一步，通过它得到了一个等腰， 第二步呢？第二步还是一样去干嘛？去关注我们的角度信息，哎，去关注我们的角度信息，我们看这个几道题里面，我们是不是都利用了啥？ 都利用了我们等边提供给我们的等角，那有了等角之后，我们是不是还要去关注它的二倍角关系？那来看一下这幅图，我们再去给大家画一下啊，再去给大家画一下。就说，哎，在直角三角形中，我们如果连接了斜边中线之后， 我们能得到阿尔法，阿尔法这样的等角，我们还能得到，这是不是还存在一个二倍角关系， 对吧？二倍角关系，那来看这道题目是不是就主要玩了我们这两幅图形，对吧？所以说你在做完一道题之后，哎，你不要就是，哎，我这道题会了我就过了，你要去总结，对吧？就像这样总结出来，你觉得这道题目你是通过什么样的方法，你看到了什么样的图形？你要去有意识的自己去总结这些东西， 而不是说老师告诉你，哎，这有个模型啊，你要去记住，那他们两个直角三角形共用一条斜边的话，他们的斜边中线相等啊，这个结论你记住啊，你记住，在我们直角三角形中，你看到斜边中线，你要记住，这儿法，这儿法，这儿法，你这样去记没有用的，你这样去记的话，你想每道题你都可以去总结出来一个结论，对吧？那你这样记，你记到猴年马月也记不完， 对不对？所以我们要自己去善于去总结，去发现。 ok， 来看这道题，这道题目他告诉我们说这有个直角三角形，哎，这六，这是八，然后说这是十， 那有终点，我们知道这是五，这是五，对不对？好，接着看。然后他说，哎， m n 是 我们这终点， m 是 我们 d e 的 终点，然后 他说现在让我们求这个 m n 这段他的一个最小值，哎，去求最小值了。那你想一下，那你现在告诉我，你在途中看到了哪些特殊信息？ 朋友们看到了哪些特殊信息？是不是就是咱这个啥直角有了直角，哎，他又有终点，你告诉我，你看到了这几个条件，你想要干嘛？ 你想要干嘛？你是不是非常的想连 c m 和 n f n c， 对 吧？你是不是非常迫切的想连出来这两条边，为什么？因为你知道连接完这两条边之后，你就会得到我们 mc 这条边，它的长度是二， 那么我们 c n 这条边，它的长度就是五，对吧？那你看，这个时候我们想要求 n m 这条边的最小值，你发现此时它是不是被我们放进了一个什么？是不是放进了一个两边已知的三角形中， 那这个时候想去求它的最值，简不简单？是不是利用三角形三边关系就 ok 了，对吧？那大家看，此时我们要求 n m， 它的最小值，它大于等于谁？大于等于 n c 减去我们的 mc， 哎，就等于五减二，等于三，问题结束， 对吧？这块我们看这块我们甚至连他告诉我们这是谁，呃， d e， 对 吧？是两个洞点都不用去研究这俩洞点，对吧？这两个洞点摆在这，它就是混淆你视线的，你用去管这俩洞点吗？你都不用去管，对不对？直接通过题目告诉我们这块标志性的特殊条件，什么？直角、斜 边、中点，对吧？连接完斜边中线，我们看这道题目是不是就一目了然？ ok。

那么开始讲斜边中线定律之前，你就要想一想，哎，斜边中线，直角三角形，斜边中线定律为啥不在三角形边讲，为啥要放在四边形这个板块来讲呢？来，我们今天带着这样的一个问题，我们就开始讲解内容，好吧，来， 首先呢，你要知道啥是直角三角形斜边中线呢？它等于斜边的一半，也就说给到这样的一个直角三角形，哎，我取一个中点 m， 那我连接 am 之后呢，我能够得到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，也就说这三个圈线段都是相等的。 ok， 直角三角形斜边中线定律说的是这三条圈线段是相等的，说的是这个事，那我知道这个定律之后，我还要去考虑一下咋来的怎么正？ 那么就回到我们最开始的这个问题，直角三角形斜边中线定律为什么要放在四边形板块来讲呢？那其实这里的证明呢，是可以通过我们前面讲的一种特殊四边形来证明的，来想一下是哪一种，哪个特殊的四边形， 那它就是矩形吗？它就是矩形吗？你看到直角，哎，看到直角，我可以把它补成一个矩形来， 我把它补成一个矩形，那么得到矩形 a、 b、 c、 d 之后来矩形它有啥特别的？我们知道矩形呢，它的对角线什么关系啊？它的对角线是啊，相等的，所以说我肯定要想着把 a、 d 一 连好， 连完 a、 d 之后， m 呢是两条对角线的交点，也是终点。首先呢，我们知道它是矩形的话，那么 a、 d 呢？它是等于 bc 的。 紧接着呢， 又因为矩形两条对角线是相等的，所以说得到什么？哎， m 又是中点，两条对角线相等，这是圈的话，这也是圈呗。 标到这里来，正完了没？标到这里，直接正完了，我就能够得到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，哎，通过矩形就正完了，当然 当然也可以通过三角形方法来正，那三角形怎么正？三角形的话，中点放在这，我可以去背长来证明，这种证明我们今天不在这块来讲了下来，有问题的话，大家可以听一下前面讲这个中点的处理方式，然后下来自己试着正一下， ok， 这块没有问题之后，那我们还要去想一下，哎，直角三角形斜边上的斜边一半，这三条现象等等线还会带来啥 来？我们知道这个定力呢，能够给我带来三条圈，线段相等，除了等线之外还会带来什么？等线能带来等角，来标一下呗，来， 圈和圈相等，这是阿尔法的话，这也是阿尔法， ok， 它俩也相等，那这是贝塔的话，这也是贝塔， ok， 也就说直角三角形斜边中线定律到底说了个啥事？首先呢，能够给我带来等线，紧接着呢，等线又带来等角， ok， 还是带来了一堆的等量，等量的处理嘛，但是呢，这个定力还是比较容易得到的。 ok， 你 看到直角三角形斜边中点就能够得到三条圈线段相等，紧接着呢，还能得到两组等角，那么它考察的再综合一些，难度再大一些，它会怎么考呢？ 他会把这个终点藏起来，也就说此时呢，这个终点的条件，他会以别的条件给到你，让你自行的去判断，也就说隐藏的鞋中， ok， 那 我们今天来看一下这个隐藏的鞋中到底会如何隐藏？来仔细看。那么首先呢，第一种，第一种，他最最基本的 基础款，给到一个直角三角形，然后他说呢， m 是 斜边上的中点，连完之后我必能够得到三条圈，线段是相等的。 ok， 基础款的时候，也就说此时已知的是， 已知的是直角三角形，已知的是 m 呢，是斜中，在这个条件的基础上，我就能够推出来三条圈线段是相等的， ok， 这是第一款，这是最最基础的，那么紧接着他隐藏的话，会如何隐藏呢？来仔细看啊。第二种， 哎，同样的，还是给到一个直角三角形，此时呢 m 点呢？它没有说重点啊，没有说重点， m 点呢，它是一个普通的点，但是呢，对 m 有 限制，它说 这两条圈线段相等，这两条圈线段相等，也就说此时呢，我已知的是直角三角形， 已知的是圈等于圈。那么在这个条件的基础上能够推出来什么？给了等线，等线会带来啥？那么等线会带来等角吗？还是标吧。来仔细看啊，等线会带来等角，圈和圈相等的话，这是阿尔法，那他也是阿尔法。 ok， 紧接着呢，紧接着这是一个直角三角形，直角三角形的话，哎，我可以去干嘛？我可以导导互余，这是阿尔法的话，我说阿尔法，我是阿尔法，和贝塔是互余的话，来还能飙谁？ 那我接下来是不是可以得到 alpha 和这个角也是互余的，能够得到这个角也是 beta， 那 么标到这里呢？哎， beta， beta 相等， alpha， alpha 相等，我是不是又能够得到这三条圈，线段是相等的，紧接着推出来 m 是 终点的条件， 此时呢，给的什么？此时呢？给了直角三角形，给了这两个圈线段相等，给了等线，我可以去标等角，标完等角之后，又利用互余的条件得到这两个角也相等，它俩相等，圈和圈相等。推出来 m 是 什么？已知 直角三角形和圈等于圈的条件下，我能够推出来 i m 呢，它是斜中， ok， 也就是说，也就是说隐藏到斜中，咋隐藏？给到这样的条件，你就要反应过来，其实给的是斜边中点的条件，给到的是斜边中点的条件。好，这是第二种。来，再来，再来， 同样的，还是给一个直角三角形，那么 m 呢？是任意的一点，但是呢，此时他说这两个角是相等的，是不是和第二种一模一样？此时呢，已知的是直角三角形， 已知的是直角三角形，还已知什么？已知两个 r 法角相等，推导思路和前面一个是不是一模一样？给了等角，那我能带来等线吧。 那么进一步呢？进一步呢？直角三角形，我也可以看看。互喻， ok， 我是 阿尔法的，余角是贝塔， 阿尔法和贝塔互喻，哎，阿尔法又和这个角互喻，所以说他也是贝塔，他是贝塔的话，圈，他也是圈，哎，也就说，此时给了直角三角形，给了阿尔法角相等的条件下，我仍然能够推出来 m 是 斜中的条件， 也就是说，当给到直角三角形，给了一组等线，或者说，直角三角形给了一组等角，你要立马反应过来，其实给了什么终点的条件，把终点的条件给你藏起来了，你要立马能够分辨出来。 ok， 这是前三种来，紧接着最后一种再来。 此时呢，仔细看啊，此时呢，给了一个普通的三角形 a、 b、 c， 那 么他说 m 呢，这时候却是个终点，他带来这三条圈线段相等，已知，此时已知的是三角形 a、 b、 c 中 三个圈线段相等。来，这种条件下，能够推出来什么？就看嘛，给了啥？给了三条等线，给了三个圈线段相等，等线带来什么？等角标摆圈和圈相等。我设他是阿尔法，那他也是阿尔法。 ok， 圈和圈相等，我设他是贝塔，他也是贝塔。哎，得到了两组等角，得到了两组等角，还看到啥了？两组等角，你发现，哎，阿尔法，阿尔法，贝塔，贝塔 把三角形的三个内角给他表示出来了，也就说，通过这个三角形表示完之后，我能够得到阿尔法，加上二贝塔是等于一百八的。 能不能得到这三个角的？和是三角形的内角，和得到阿尔法加二贝塔是一百八，那么进一步就能够推出来阿尔法加贝塔呢，就是九十， 也就说阿尔法加贝塔是九十，也就说，哎，得到这个角是直角。 ok， 也就说当你看到三角形这三条圈线段相等的时候，我其实能够推出来直角的条件。我再来串一下这个思路啊，再来串一下这个思路。首先呢，对于直角三角形斜边中线定律，我们应该是 非常熟了。 ok， 看到斜边上的中点连完之后，得等线，得等角，那么他再进一步考察的更深一点，更综合点。咋考呢？他把中点的条件藏起来， 以其他的条件形式给出来，比如说给到直角三角形，给了两个圈圈的相等，其实给的是终点的条件，进一步给了等角的条件，也是给了终点。 那么最后呢？哎，给了三条等线，我其实能够推出来什么？能够推出来直角的条件，那当然每一种怎么推的，一定要自己能够梳理出来。这块你想明白之后来快速做个题。首先呢，给了一个直角三角形，他说这是六，这是八呢，他是十呗。 紧接着呢，他说这两条绿色线段相等来直角三角形，给了两条等线，相当于给了什么？相当于给了终点的条件嘛，我们快速再走一遍。好吧，他俩相等呢，带来等角， 阿尔法，阿尔法。紧接着呢，阿尔法和贝塔互余的话，那阿尔法还和这个角互余，所以说他也是贝塔，他是贝塔的话，哎，圈圈相等，阿尔法，阿尔法圈， 也就说这三条圈线段相等， d 呢，是斜边上的中点，那么 a d 呢？它等于斜边的一半圈，就等于五结束。 也就说，当我们看到直角三角形还给了等线的情况下，一定要想到它其实给的什么，其实给的是终点的条件，来，一起啊。 又给了一个直角三角形，给了两条直角边，八十五来，斜边是多少？斜边是我们常用的勾股数，前面总结过啊，八十五，那么斜边是个十七，我先给他标上。紧接着呢，他说角， c 这个角和 c a d 这个角， 给了一组等角，给了一组等角，其实给的什么？一模一样呗。直角三角形的基础上，给了一组等角，它其实给的是斜边终点的条件。快速推一下啊，快速再推一下来，它俩相等是题目给出来的。那么进一步呢？ 根据互余，阿尔法呢？和这个贝塔互余的话，阿尔法又和这个角互余，所以说它也是贝塔 阿尔法，阿尔法带来这个圈圈相等， beta， beta， 那 它也等于圈，也就是说要求的什么要求的 a d 呢？就是这个直角三角形斜边上的中线， 它等于斜边的一半，等于二分之十七。也就说当看到直角三角形还给了一组等角的情况下，其实给的是它是斜边中点，给了斜中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。然后结束来这个题。 三角形里面一个三角形里面给了这三条，这三条边都是三，这三条边相等，其实给的什么条件？其实这里给的是直角的条件，直角的条件，把这个标志一定要看清楚啊，咋推呢？ 是一模一样。给了等线，我标等角，给了等角，我去标，等线过来过去这些给了等线，那我标标等角吧。来，我说他是阿尔法，那他也是贝塔， ok， 标到这里看到啥了？标到这里你会发现，哎，三角形 abc， 它的三个内角我都表示出来了，也就说它们三的和我就能够整出来，也就说阿尔法加上阿尔卑塔就等于一百八呗。进一步，阿尔法加贝塔就等于九十。 ok， 阿尔法加贝塔是九十，那么能够得到，这就是一个直角，它是直角的话，要求啥？ 求的是面积，要求面积已知一条直角边，还知道斜边这条边能不能算出来，我写一下吧。在这个直角三角形 a、 c、 b 中，我能够得到 a c 呢？就等于根号下六的平方减去二倍，根号五的平方， 三十六减几，三十六减二十，是吧？然后十六最后就是四， a、 c 是 四，它是四，它是二倍，根号五面积呢就是四倍，根号五。这里呢，也就说看到一个三角形，一个三角形里面三条边，这三条边， 这三条边都相等，那我必然能够推导出来，这有个直角，他有直角的话，那么这些线就可都可以标了，把这个的标志一定要理清楚啊。看到普通三角形这三条边相等，一定要立马反应过来，其实给的是直角的条件。 ok， 隐藏了一个直角，把直角一定要理出来，来看一下， 给了一个直角，三角形直角，然后 d 是 斜边上的中点，给了斜中呢，你就要想到这三条圈线段一定都是相等的。 ok， 这三条圈线段一定都是相等的。好，进一步呢，他又说角 b 等于角 a c e， 角 b， a， c， e， a， c e 和这个角相等，最后呢，让我去正， c， e 和 a d 垂直，也就说让我去正，这个角是直角， 怎么处理？要正直角，我得倒角了呀，倒角的话从哪里开始倒？三条等线都摆这了，我肯定要去，干嘛肯定要去标等角呀？来，他俩相等的话，那他是阿尔法，他也是阿尔法呗。 ok， 紧接着呢，圈圈又带来一组等角，我设这是贝塔的话，那么他也是一个贝塔来标到这里，结束了，没 标到这里呢？我们能够得到阿尔法，阿尔法和贝塔他俩是什么关系？他俩是互余的，那么阿尔法和贝塔互余的话，直接推出来，这是一个直角结束。理下这个思路啊，理下这个思路，仔细听。首先呢，拿到题之后，看到直角三角形斜边上的终点，立马反应过来，有三条 等线要正直角，我要去啊，标角倒角了。 标角倒角从何标起呢？等线带来了等角，从这开始标呗，标着标着发现，哎，他俩互余，那么他俩也互余，直角直接出。首先呢，这里他给了啥？又给了斜边中点，我先把这三条等线标出来， 这三条等线是相等的，然后他说这两条绿色线也是相等的，让我去证二倍的角 b 等于二倍的 ace， 我 说它是 r 法， ace， ace， ace， 让我去证他是二阿尔法。那我标到这里又要去干嘛？又要去标角倒角了？标呗，他是阿尔法，那么这也是阿尔法，他俩相等，阿尔法，阿尔法相等。紧接着呢，紧接着，这两条黄色的线也能带来等角。标呗，来，我说他是贝塔， 那他也是贝塔， ok， 来，标到这里，还有没能标的阿尔法？阿尔法还有没能标的？ 那 r alpha 我 也能够整出来呗，这个角就是 r alpha， 哎，题目里面让我正的是什么？题目里面让我正的是这个角等于 r alpha。 来，这个红色角等于 r alpha， 咋整？比如说，我设这个红色角是 theta， 还没有能标的。绿色的这两条边相等的话，它是 beta， 它也是 beta。 紧接着这是 theta， 这是 beta， 那 我能够得到这个角就是多少，这个角就是 beta 减 theta 呗，先给它标到这， ok， 走到这一步，我才是把能标的角都给它标出来了。标到这里， 我要去找 theta 和 r alpha 的 关系，这是 beta 减 theta， 我 要去找 theta 和二 alpha 的 关系来。 theta 和二 alpha 的 关系，这是二 alpha， 这个角是 beta 减 theta， 用什么？我可以用外角吗？我可以用外角吗？在哪个三角形的外角？我就去看这个三角形的外角。 在这个红色的三角形里面，它的外角是 beta， 这是二 alpha， 这是 c， 它我要把它俩往一起凑，才能得到它俩的关系。那么根据外角的条件呢，我就能够得到 beta 呢？它就等于它俩的核，等于二 alpha， 加上 beta 减 c， 它来结束了，没 标到这里， beta beta 消了，然后 c， 它呢？就等于二 alpha 直接结束。这里倒角的思路比较灵活，前提是你一定要给它标全。 ok， 导角思路非常灵活，前提一定是给他标全。导角这块的话，如果说整个导角思路你还不太明确呢，主页有一个导角的视频，你可以看一下。主页有一个专门讲导角的视频，可以看一下。导角呢，我也不是随便的，我不是说看谁能标先标上， 一定是有逻辑的，根据什么就根据等于补 y， 根据等于补 y 来标来列。看一下。给了两个直角，然后呢，他说 e 点和 f 点的都是中点，让我们去证 e， f 是 垂直于 b、 d 的。 来，我先不看，我要证啥，给了两个直角，还给了一个中点，看到啥了？ 那么斜中是非常明显的，那我们一个一个看，首先呢，这个直角在这个直角三角形里头来，在黄色的这个直角三角形里头，看到斜边上的中点，你就要想到连斜中嘛，连完之后得到这三个圈都是相等的。好，那么再来，这还有个直角， 这个直角放到蓝色的这个三角形里头，同样的，看到直角三角形斜边上的中点，你要想着干嘛？连完， 连完之后，直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，那它也是个圈呗，标到这里看到啥了？这是一个圈这是一个圈。看到啥了？这是个圈，这是个圈。看到一个等腰了， ok， 也就说， 也就说这个绿色的三角形呢？它是一个等腰三角形来，垂直结束了没？ 垂直出来了没？你看到等腰了。然后他说 f 是 什么？ f 呢？他说 e f 是 垂直于 b d， e f 呢？是底边上的垂线。看到啥了？ 三线合一结束了， ok， 三线合一结束了，也就说首先这里第一个点，你看到直角三角形斜边上的中线，就要想到它等于斜边的一半，自己主动去练， 连完之后，哎，得到了等腰，等腰呢？看到底边上的中线，看到底边上的垂线，三线合一直接结束，他给了中线，那么垂直就三线合一直接结束。 所以说首先第一步呢，看到什么？斜边中线，他等于斜边的一半。那么第二步呢？得到等腰之后，三线合一直接出了，三线合一直接出了， ok， 再来啊，再来。那么第二个呢？他说这个角是三十度， 这个角是三十，紧接着呢， a c 等于八的话，那圈就都等于四呗，我给它标上这是四，这也是四，这也是个四。好，最后让我去求 b、 d 的 长来。什么想法？那我 要求 b、 d 的 话，我的思路也是非常明显的，我肯定要去正什么？肯定要去正绿色三角形，它是一个等边三角形，我要正等边，哎，我要整个六十度出来，等腰都摆正了，只需要再正其中的一个角是六十度就完事了，六十度咋整？标角到角呗。 ok， 标角到角呗。来， 从哪里开始标？三十度都摆正了，那我肯定要和它扯上关系来，我，我就说他是阿尔法，他是阿尔法的话，那这个角也是阿尔法， ok， 它是阿尔法的话，还有没有能标的？首先呢，给了这些条件，给了一个三十度，给了斜边是个八，我就能够得到这几条圈呢，就都是四。最后让我去求 b、 d 的 长度，其实方向比较明显。 ok， 方向比较明显，我只需要正绿色，这个三角形是一个等边就完事了，要正等边的话，他已经是个等腰了，我只需要再来个六十度，再倒个六十度出来，我要去标角，倒角从哪里开始标？我肯定要和已知扯上关系呗。阿尔法在这的话，这他是阿尔法，那他也是阿尔法，因为圈和圈相等， 标到这里，哎，这个角就是一个 r alpha， 这是一个外角。 b、 e 呢？是黄色 abc， 黄色 abc， 这个三角形斜边上的中线，它等于斜边的一半， e 是 中点的话，圈圈它也是个圈。那么同理，在蓝色三角形 a、 c、 d 里面，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以说它俩是相等的。 ok， 来，再来，那我标角倒角的话，它是 r alpha， 他是贝塔，那这个角也是贝塔，紧接着贝塔，贝塔这个角就是二贝塔。来，标到这里，有啥想法？我肯定还是要从已知出发吗？已知的话，你会发现，哎，这个角我能够表示出来就是二 r 法，加上二贝塔，这个角 d， e， d， ok， 标到这里，我肯定要和已知扯上关系。已知看到啥了？已知给了个三十度，哎，我能够得到 alpha 和 beta， 它俩的和是三十度 来， alpha 加 beta， 它俩的和是三十度。标到这里结束了，没标到这里，直接三十度，我能够推出来这个角就是六十， ok， 它是六十的话，等腰三角形加六十度。绿色三角形，它是等边，它是等边的话，那 b d 也等于四结束，快速再过一下。 首先呢，第一问，你看到直角三角形斜边上的中线，你就要想到会有等线，会有等线，给它一标，标完之后呢，得到绿色三角形，它是一个等腰，等腰，哎，还给了底边上的中线。那么三线合一，第一问结束了。 第二问呢，让我去求 b d 方向其实比较明显，让我去求 b d， 只需要正绿色三角形，它是个等边，正等边的话，它已经是等腰了，我只需要再来个六十度。六十度咋来呢？倒角呗，从哪开始倒？从已知开始倒三十度，哎，我就设它啥二法， 那么标角倒角，发现把这个角能够表示出来就是二阿尔法加二贝塔，我要从已知出发，看一下这个三十度咋用。阿尔法加贝塔正好是三十度往里面一带，六十度出来了，那么等腰加六十等边， 然后 b d 结束，来理一下啊，理一下，给了直角三角形，还给了斜边上的中线。同时呢，让我去干嘛？让我去求角度，肯定还是标脚倒角呗，肯定还是标脚倒角。来仔细看啊，仔细看，一个一个看吧。好吧，一个一个看来。首先 这个在这个黄色的直角三角形里头， m 呢是斜边上的中点，也就说 m e 呢是斜边上的中线。 ok， 斜边上的中线三条，这三条线段都是相等的，紧接着还能标谁？我还能标角呗，等线带来等角，这是二十八，那它也是二十八， 二十八，二十八，还有谁能标这个角？就是五十六百， ok， 它就是五十六百。来，再来啊，再来，再来看第二个，来这个蓝色的直角三角形，那么 m、 f 呢，是它 斜边上的中线，这三条都是相等的。紧接着呢，这是四十八，我是不再冷标了，这是四十八，那它也是四十八。 紧接着呢，这就是一个多少？九十六百九十六，五十六，一百五十二，一百五十二，这块就是多少二十吧。再来理一下这个思路。首先呢，给了直角三角形，斜边上的中线，还让我们去求角的度数，接下来肯定要标角呗， 利用这些等线和已知，我去标角倒角呗，一个个看。首先先看黄色的直角三角形，那么三条线相等，二十八，二十八，五十六线标。紧接着的再来看蓝色三角形，一个一个看，一定不能标，标标乱了， ok， 一个一个的看。紧接着呢，四十八，四十八，九十六，标完结束， 那这块呢，就是一个字，就是标，就是标。来看一下，他说这个三角形里面给了一个角是六十度，然后 d 呢，是这条边的中点，又给了两个直角，看到啥了？给了直角，还给了斜边上的中点，那必然有斜中出现，所以说我还是一个个看吧。来，首先看这个 一个直角，一个直角处理啊。来，先来看这个直角，这个黄色的直角三角形里面， d 呢是它斜边上的中点，那我能够得到这三条圈都是相等的。好，来，再来，那同理， 在这个蓝色的直角三角形里头呢？ d f 呢？是它斜边上的中线，它也等于斜边的一半，所以说它也是个圈。 ok， 那 么标到这里呢？我要正绿色三角形，它是个等边， 那等腰就出来了，我只需要再来。什么？我只需要再来一个六十度就结束了。好，那你来看一下，六十度的话，这三个角肯定只要正哪个角就行，我要正，他是等边。那现在呢？我把已知梳理完之后，等腰已经出来了，我要正等边，只需要来个六十度。 ok， 来，等腰加任意一个角是六十度，我就能够推出来等边。那么任意一个角，这三个角来。这三个角肯定选择谁？我肯定选择这个角， 因为这个角它能够和斜中扯上关系，而剩下的两个角完全搭不上边。 ok， 我 肯定选择去正，这个角是六十度，那我来标嘛？来， 从已知出发来。它是六十的话，谁就知道了。它是六十的话，一个三角形里面已知一个内角是六十度，能够得到什么？ 题目里面唯一的一只角是六十度，那这个六十到底咋用呢？一个三角形里面给了一个内角是六十度，我就能够得到什么？一个三角形给了一个内角是六十度，我就能够得到另外两个内角的和。知道一个角，我就能够得到另外两个内角的和。来标呗，我就能够得到阿尔法 和贝塔，我能够得到阿尔法加贝塔是等于一百二十度的。我现在要去标角倒角了。我从哪里开始标？我从已知出发呗，已知它是六十度的话，谁就知道了。 一个三角形里面已知一个内角是六十度，我就能够得到另外两个内角的和是一百二。 ok， 这个六十咋用？六十给它用长，那我再标呗。来，他是阿尔法的话，那这个角也是阿尔法， 因为这两个圈是相等的。 ok， 圈圈的话，那么得到这个角就是一个 r r 法，这是贝塔的话，这是贝塔的话，那我是不是能够得到这两个圈圈线段相等，这个角也是一个贝塔， 这是贝塔，因为这两个圈线段是相等的。根据什么？根据直角三角形斜边中线定力，能够得到这几个圈线段都是相等的，等线带来等角，等线带来等角， 那么 beta beta 的 话，我就能够得到这个外角，这个外角也是一个二倍它，那么标到这里呢？哎，我要求的是这个角， 我要求的是这个角，我还知道阿尔法和贝塔的是一百二十度，那标到这是不是可以表示了标到这里呢？也就说二阿尔法加上二倍，它等于多少？ r alpha 加 r beta， 你 会发现它们它们中间多加了一个 e、 d、 f， 也就说它加它呢，就等于平角加上一个 e、 d、 f， 那 么标到这里， alpha 加 beta 是 一百二十度，那么这块呢，就是二百四十度吧， 就等于一百八，加上角 e、 d、 f， 那 我就能够得到这个角， 就是六十结束了。等腰加六十度，等边结束，我们再从头来标一遍。首先呢，拿到题目之后，给了一个六十度，给了两个直角，还给了一个中点，让我去正绿色三角形的，他是一个等边，让我正，他是一个等边，那我就先标呗。 首先呢，给了直角三角形斜边上的中线，那我必然能够再得等线，来一个个看啊。首先， 在这个黄色的直角三角形里面， d、 e 呢，是它斜边上的中线，斜边上的中线等于斜边的一半，这三条圈线段就是相等的。 ok， 来，再来。紧接着呢，这还有个直角， 这还有个直角。蓝色的直角三角形里面， d、 f 呢，是它斜边上的中线，它等于斜边的一半，也就说这一段也是个圈。 ok， 标到这里，我能够推出来。绿色三角形的，它是一个等腰。哎，我要从等腰，我去正等边，只需要正什么？我要从等腰去正等边，只需要正什么？那显然直接去正这条边也等于圈，是不太好正的。 ok， 我 只需要这什么，我只需要再来个六十度。我只需要再来一个六十度，那我就能够证明他是等边。那六十度的话，这三个角其实都行。那到底选谁呢？那就看一下已知呗。你看一下已知，这是六十度。哎，这两个角，这两个角，你会发现呢？我肯定选谁，我肯定选他。为啥？ 因为这个角能够和斜中带来的等线扯上关系，另外两个角完全不沾边。 ok， 所以 说我的方向就是去正，他是六十度。那咋来呢？从头推呗，已知他是六十，谁就知道了。一个三角形里面，已知一个内角是六十度，我就能够得到什么，我就能够得到另外两个内角的和吗？来，我就能够得到 这个阿尔法和这个贝塔，我就能够得到阿尔法加贝塔，等于一百二十度。一个三角形，已知一个内角，另外两个内角的和能够整出来。好，那我再标吧，它是阿尔法，圈和圈相等，它也是阿尔法， 那么紧接着这个角就是二 r 吧。 ok， 同样的，这是贝塔，那它也是贝塔，因为这两个圈相呢？贝塔，贝塔外角又可以表示出来了，这个外角就是二贝塔。 ok， 这个外角就是二倍塔，那么标到这里，哎，阿尔法二倍塔重叠部分正好是我要求的这个角，那我就可以表示出来，阿尔法加上二倍塔等于多少？就等于一个平角加上重叠的部分吧。 ok， r alpha 加上二倍，它减去一个重叠部分就等于平角，所以说 r alpha 加二倍，它就等于平角，就等于一百八加它。那么标到这里，它俩的和我是知道的，也就说这边呢就等于二百四，这边呢等于一百八加它 结束了，直接能够推出来角， e， a， f 就 等于六十，哎，等幺加六十，等边结束。 整个题目的方法是比较多的，大家下来可以多去试一下。那么题目放在这里呢，还是想让大家去练习一下斜中的思路。又给了一个直角三角形，他说这是六，这是八，那么斜边就是个十万， 然后呢？他说什么？然后呢？他说 d， e 是 等于四，这两个点都是中点，让我去求 m n 的 最小值，标到这里，我肯定要去连 c n， 我 肯定要连 c n， 连完 c n 之后，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以说这一段是个五呗。 ok， 这一段是个五，那么再接一步，看到啥了？再进一步， m 点呢，是小的这个三角形的斜中来，看出来没？我瞄一下啊，是小的这个直角三角形 m 点呢，是蓝色直角三角形斜边上的中点肯定要连，所以说我连 c m， 连完之后， c m 是 几？ c m 呢，它也等于斜边的一半，所以说这段是个二。 ok， 标到这里，我要求 m n 的 最值， 就是吗？这一段是二，这一段是五，我要求 m n 的 最值的话，我肯定希望把所求放到一个什么两边已知的三角形里面，看谁啊？那毫无疑问，我肯定是放这个三角形里边，肯定是放到这个三角形里边吧， 在这个三角形边两边已知要求第三边的最小值，直接用三角形的三边关系。所以说最小值直接是几？最小值就是三呗， 最小值就是三，贡献时取得最小值，贡献时取得最小值，取得最值时，三角形是不存在的。来，都问到这了，我说一下吧。仔细看啊，仔细看，我说一下。三边关系这块有这样的一个三角形， a 点和 b 点呢，都是定点，而 c 点呢，是平面内的一个动点，他动的时候必须保持他是三，他是四。 让我去求 a c 的 最大值和 a c 的 最小值。仔细听啊，那我要求 a c 的 最大值和最小值，我肯定要看谁？我肯定要看动点嘛，看一下动点是咋动的？ 动点呢，它在平面内动，但是动的过程中呢，要保持这一段是个四，你能不能想来 c 点的轨迹长啥样子？首先呢， ab 是 平面内的定点， c 点呢，是平面内的个动点，它动的时候要保持这一段是个四。让我去求这一段的最大值，最小值，我要求它的最值。 a 是 定点，我肯定要看 c 点吧， c 点动的时候要保持这一段是个定值，是个四，那肯定能够得到 c 点的轨迹呢？其实就是个圆。 ok， 来，我画一下， c 点的轨迹呢，就这个圆。那么你想一下， c 点在这个绿色的圆上走，它走到哪里离 a 点最近，走到延长线上，也就说走到 b a 的 延长线上，走到这里， 走到这里是离 a 点最近的，而我知道半径是个四，这一段是个三，所以说 a c， 它就等于一，也就说最小值呢，就等于一。好，那再来再来。你再想一下，它就在这个圆上走， 走到哪里离 a 点最远， c 点在这个圆上走，那它走到这里，走到 a b 的 延长线上，走到这里， 走到 c 二处，是离 a 点最远的，那我知道半径是个四，那这一段是三，所以说最远呢？就是七，这就是三边关系求最值的最最底层的逻辑。也就是说， 取得最值时一定是贡献的，贡献时三角形不存在。 ok， 贡献时三角形不存在。 也就是说，我们平时用三边关系求最值的时候，只要题目里面没有明确要求说这个三角形必须存在，你就放心大胆的用。再来理一下，也就是说取得最值的时候一定是贡献的状态，贡献的时候三角形是不存在的。 ok， 所以如果题目里面没有明确在题干里面要求说这个三角形必须存在，那么三边关系求最值，就大胆的用它， 这是最底层逻辑。我在这里说吧，在这里说吧。我要求 m n 的 最值，我得把它放到一个两边已知的三角形里面，就用三角形，三边关系两边之和是大于第三边，也就是说 c n 加上 c m， 它是大于等于 m n 的， 然后两边之差呢？它又小于第三边，三边关系 ok， 可以 取到等号，取到等号的时候三角形就不存在。

各位有同学啊，非让我证明一下这个中线定律，它是怎么来的？好，我今天就给大家证明一下啊，这个中线定律说的是什么？一个三角形 abc 啊，三个边长都知道，让你求这个中线的长度 啊，直接套这个公式就出来了啊，这个中线长度等于多少呢？二分之一，两倍的 a 平方加两倍的 b 平方加两倍的它平方，再减它的平方再开方啊。 那么出题的时候他会给你出什么？比如说这个边长是四，这个边长是六，这个边长是七，让你求这个中间长度怎么求？各位，这个公式咱没学过呀，老师不教呀！这个公式呢，其实可以不用背啊，我最讨厌背公式了，咱们只要把这个方法学会就行了， 学方法比学公式，比记公式有用，知道吧？那么这个公式怎么来的？给大家演示一下啊，如果让你求中线长度，你记住做辅助线怎么做啊？做垂线怎么做垂线注意看啊，通过这个点做这个中线的垂线， 是不是形成一个什么直角三角形，然后再通过他的延长线再做垂线，你看是不是又形成一个直角三角形，而且这两个直角三角形，你会发现是全等的， 为什么全等？这个边等于这个边，这个角等于这个角都直角，这个角等于这个角，对不对？这两个是全等的，这条边等于这条边。好， 那么下一步怎么办呢？下一步我们就得到几个直角三角形，你看一下，这是一个直角三角形，小的这还有一个啊，半大的还有一个什么？还有这么大的一个直角三角形， 对不对？我们可以得到这么多直角三角形，直接啊，用勾股定律不就解出来了吗？咱假设啊，咱假设这一小段是 x， 好吧，一小段，那假设这一段啊，这一段高是 y， 好 吧，那这一段呢？也是 x， 对 不对？那这一段呢？是 y， 好， 咱们要求的是 d， 对 不对？这个长度？好，咱们开始用勾股定律了啊，从这个小三角形开始啊，这个小三角形， x 平方加 y 平方等于多少？等于它的平方，这是二分之 c， 对 不对？这是二分之 c， 这是二分之 c， 这终点嘛，对不对？ 好，第一个是咋？ x 平方加 y 平方等于二分之 c 的 平方，对不对？这是这个小三角形， 对吧？看看这个三角形，这个直角三角形啊， y 的 平方加这个，这个这个平方啊， y 的 平方加，这是谁啊？这个长度是多少？是不是 d 减 x， d 吗？ d 减 x 不是 它吗？对不对？加上 d 减 x 的 平方 等于 c 的 平方等于 b 的 平方，对不对？这个小三角形好，再看看这个大三角形， 这个平方加它的平方就是 y 的 平方啊。同样是 y 的 平方加上这个平方，这个平方是多少？这个不是 d 吗？ d 加 x， 是 不是？这个长度是 d 加 x， 你 看 d 加 x 化解平方等于多少？等于 a 的 平方。 你看这这三个式子有啥？有啥特点，注意观察，你看把这个式子展开，它会变成什么样？ 这个式子给它展开，它会变成 y 平方加 d 平方，再加 x 平方减二 d， x 等于 b 平方， 对不对？这个式子好，那这个式子咋看呢？是 y 平方加 d 平方加 x 平方减二 d， x 等于 a 平方， 对不对？你看这是不是长得一模一样？ y 平方 d 平方 x 平方，这是减，这是这，这个是加啊，挑认真啊，这个是加啊，一个减一个加，如果上下这两个式子一相加，你会发现，嗯？你会发现啥？ 发现这个给消掉了吗？这个是减，这个是加，是不是消掉了？左边变成什么了？ 左边是不是变成两倍的来在这写啊。两倍的 x 平方加两倍的 y 平方，什么？浪费笔，再加两倍的 d 平方，是不是两个两个的再等于 a 平方加加 b 平方啊，各位啊， 对不对啊？两个 x 平方，两个 y 平方，两个 d 平方等于 a 平方加 b 平方。好，你看一下 x 平方加 y 平方等于多少？它是不是等于四分之 c 平方啊， 对不对？那这两个 x 平方加两个 y 平方等于多少？是不是两个它平方加它平方等于四分之 c 平方，这是两个的话，是不是二分之 c 平方？也就说这么一大坨啊，是二分之 c 平方。 好了，到了这一步，你看剩下的是不是 a b、 c、 d？ 这不就 d 等于多少啊， d 等于多少？都给移过去啊。 a 平方加 b 平方， 这个二 d 平方啊。做题，那这样这这这板数有点乱。二 d 平方等于 a 平方加 b 平方，这一平方加平方减二分之 c 平方，这一步能不能看明白啊？ 那 d 等于多少呢？那 d 平方等于把这个 r 移过去，是不是二分之 a 平方加二分之 b 平方减四分之 c 平方， 对不对？那 d 等于多少呢？再开方，他开方他开方，他开方的话，把四分之一提出来啊，把这个四分之一提出来，然后开到外边变成二分之一， 这题个四分之一，这是不是变成二 a 平方了呀？加二 b 平方减 c 平方， 这不就正出来了吗？啊，这个中线定律，但是出题的时候没这么麻烦啊，出题的时候这些都是数字啊，这些数，你只要把这个辅助线做出来，这两个辅助线做出来啊，垂线，这道题很容易解答啊，回头大家自己再好好演示一下，各位。

初二期末必考的压轴题一定有用三角形的中线性质求面积题型，我们一起来看下这道题。三角形的三条中线 a、 d、 b、 e、 c、 f 相交于点记，已知大三角形的面积求阴影部分的面积是多少。 这道题考的就是三角形的中线评分面积问题，百分之九十九的同学都会丢分。听完这道题，再把我整理的初二期末考试复习押题卷包含了全国十二大版本，给孩子练习期末考试冲高冲满。 这道题可以用两种方法来进行解决。第一种方法就是用咱们三角形的中线平分面积的方法。 我们说如果这是三角形的中线，那他把底边平分了。高是同一条高，底是相等的，那所以左右两个三角形的面积是相等的。那么于是乎我们将 g、 f 先看成三角形 a、 b、 g 的 中线，那所以说上面的这个面积和底下 b、 f、 g 的 面积是相等的，那么此时我再将 g、 e 看成三角形 a、 g、 c 的 中线，那么此时上面的三角形和底下 g、 e、 c 的 面积 也相等，那接下来我再将 g、 d 看成三角形 b、 g、 c 的 中线，那左边和右边也相等，那现在我 我们要求的其实是 x 加 y 等于多少阴影部分的面积，那接下来我们就应该去建立等式，去求解这些未知数。那我们除了每一个小三角形中有中线之外， 实你会发现 a、 d 还是咱们大三角形的中线，那我们可以列的就是两个 x 加 z， 左边的面积等于右边两个 y 加 z 的 面积，那么此时会发现 x 就 和 y 是 相等的，那同样发现 b、 e 是 咱们三角形 a， b， c， a、 c 边上的中线， 那所以说我们上面两个 x 加 y， 就 等于下面两个 z 加 y， 那 此时又可以得到 x 等于 z 这个关系式，那么 x 等于 y， x 等于 z， 是不是咱们就可以得到了 x 等于 y 等于 z， 那 你会发现里面的每一块面积都是相等的，而整个大的面积是二十四，那我们一共有六块，所以它们都等于二十四。除以六等于四平方厘米，那于是 x 加 y 就 等于八平 平方厘米，那就是我们第一种方法，用中线的性质来进行计算。那第二种方法，其实我们会发现三角形的三条中线的交点叫做我们三角形的重心， 那重心有一个非常重要的性质，就是它可以将每一条中线都分成二比一两个部分，所以我可以得到 a、 g 比上 d， g 是 等于二比一， c， g 比上 g， f 也是等于二比一。那么我们就会发现，如果这是一份，这是两份的话， 那本来 c、 b、 e 就是 咱们大三角形的一半，它的面积为十二，而我们的 c、 g、 e 其实就是三分之一乘十二，那么也可以轻松算出来，这边等于四，那同理左边的面积也可以被算出来，你听懂了吗？

c 中 ab 和 ac 相等，这就说明了三角形 abc 是 一个什么三角形？等腰三角形是吧，那就满足了等腰三角形的三线合一。哪三线下面也已经出现了啊。 b、 d 垂直于 bc， b、 d 垂直于 a， d 垂直于 bc 啊，等腰三角形中 ab 是 等腰三角形的。 什么叫叫什么线？高线，那三线合一里边满足高线也和叫平分线，也和中线重合是吧？所以通过 ab 等于 ac， 通过 ad 垂直于 bc， 直接可以得到 b， d 等于 cd， 这是三线合一的用法，你看你的 好的同学用这么一遍圈的使出了一身汗，最后这个 b、 d 等于 c、 d， 哎，不会用呢，把它给到这里， ok 啊，这个 b、 d 等于 c、 d 跟前面的 b、 c 等于六合在一起，我就直接在这写出来啊。对，二分之 b， c 等于三，所以第一个 c、 d 等于三，那就求完了。 好，下边第一的求法有两种，有的同学用的这个叫什么来着？中立线是吧？有的同学用的直角三角形，斜边上的中线，中线大家都会用斜边上中线怎么去用啊？这里边是不是已经有 a、 d 垂直于 b、 c 啊？好，下面直接写上 e 为 e 为 a， c 的 中点， 他俩一结合，所以得到 d， e 等于二分之一， a， c 就 等于 c， 一 就等于五， 那 c、 d、 e 的 周长就出来了啊，周长不用写那么长的汉字，同学们这样表示就行。 c 三角形 d， e， c 这个是五，这个是五，所以五加五加三等于十三就可以了啊。这个题。

我陪你一起预习八年级数学下册课本的二十四页纸。直角三角形，直角三角形的有关内容呢，我们以前都学过了啊，我们在这里就简单提一遍， 首先我们看到直角三角形的性质。直角三角形的性质首先我们知道一个直角三角形，它有一个角是直角啊，这定义是第一条性质， 直角三，有一个角直角，那么直角三角的两个锐角是互余的，因为三角的内角和得一百八十度，有一个角是直角，另外两个锐角加起来等于九十度啊，这是性质呢？是先知道直角三角形，后知道两个锐角互余。 当然我们在以前我们也学过直角三角形，两只角边的平方和都是斜边的平方。 对于直角三角形的性质，我们说，呃，第一个两有一个角是直角，那么然后呢？有两个锐角互余，然后呢？有两只角边的平方和则是斜边的平方。 实际上，像直角三角形中三十度角所对的直角边的斜边的半也是直角三角的性质。但后面我们还要讲直角三角形，斜边的中线就是斜边的半啊，还要讲其他的一些重要性质，后面我们再往上补啊， 这里是学过了的。那我们看到这一句话，有两个角互余的三角形是直角三角形，这属于直角三角形的判定，因为都是以前学过了的啊，这里我们就不多说。 判断一个三角形是直角三角形的，我们首先根据定义，有一个角是直角的三角形，是直角三角形。 然后我们可以根据有两个锐角互余的三角形，两个锐角互余代表着第三个角，那就是一百八十度截两个角的和截九十度还等于九十度，那么它是直角三角形。 当然我们这里我们现在来看，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形也是直角三角形，这个呢是勾股定律的逆定律，我们现在来看一下这个定律怎么证明。 好，我们看到这里啊，如果三角形两边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 呃，那就是说已知在三角形中有两边的平方和等于第三面的平方，求证，这个三角形是直角三角形， 那么现在我们看到这个图形啊，如果说 ab 的 平方加 ac 的 平方等于 bc 的 平方，那么这是不是直角三角形呢？哎呀，这种证明我们现在觉得有点难， 呃，在这地方我们怎么去想呢？因为时间的关系，没办法跟大家慢慢引导啊。呃，在这里我们要证明这个三角直角三角形的，我们就通过三角形切等，我们先怎么想呢？我们先来找一个直角， 看到，我们先找一个角， a 一 撇等于角 a 啊，我们来证明这两个三角形是切等的。 好，我们看到做一个角等于角一，然后在角一的两边截取 a 一 撇， b 一 撇等于 ab， a 一 撇， c 一 撇等于 ac， 那 我们看到做这个等于这个，这里等于这里，那由于这里直角，所以那我们就有了之后 b 一 撇 c 一 撇，它就等于什么东西呢？嗯，它的平方 对吧？它的平方就等于 a 一 撇 b 一 撇的平方，加上 b 一 撇 c 一 撇的啊，加上这个 a 一 撇 c 一 撇的 平方，而已知 b c 的 平方等于 a， b 的 平方，加 a c 的 平方， 那我们看到刚才这 a 一 撇 b 一 撇等于 ab， a 一 撇， c 一 撇等于 a c， 所以 那我们就有 b c 的 平方等于 b 一 撇 c 一 撇的平方。当然这里我打了括号，我们书本上，呃，不一定要打括号啊，就是符号，看清楚就行了。 那么本来两个数的平方，现在两个数呢？是不一定相等，他们是相等或者或异相反数啊。那么在这里呢，我们说因为线段取正值 啊，大家注意这句话，线段取正值。哎，我们看到这里书本上没有这句话 啊，没有这句话，应该说两个数的平方相等，这两个数可能是相等，比如 x 平方等于 y 的 平方，则推出 x 等于 y， 或者是 x 等于负 y， 那么这个平方等于这平方，这两个相等吗？因为这里是线段，所以他们不存在会相反数。作为理解的同，我觉得加一个线段去正值就更好，所以 b c 就 等于 b 一 撇 c 一 撇，然后我们就有了 三边对应相等的两个三角形，等好这里过程就不再一一的去写了。 好，那么这样呢，我们就两个三角形的之后，我们就得到这个角 a 啊，是角 a 一 撇，角 a 一 撇是九十度，所以角 a 是 九十度，那么从而我们就得到了 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。注意啊，这个判定定律，我们最后得到直角三角，所以我们在前面这么多名词当中，我们不能出现有直角的字样，有斜边的字样 啊，所以我们只能说两边的平方和等于第三边平方，而不能说直角边的平方和等于第三边平方。好，牢牢的把这个这个背熟，后面我们还要继续讲， 当然了，在下一节我们会要讲互逆定律啊，那就说这里的条件和结论互逆啊，我们下一讲再说，记得点赞关注哦！

hello， 大家好，这节课咱们来学习第一章三角形证明及其应用的第三节直角三角形。第一课时， 我们这节课学习的目标呢有，首先我们要掌握勾股定力还有它的力，定力，并且能应用定力来解决跟直角三角形有关的问题， 并且要能够证明直角三角形的性质，定律，还有它的判定定律。结合具体例子来了解逆定律的这个概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立这个理论。依据 我们来看这样的一个情境哈，在古埃及的时候啊，人们经常会用这个方法来画直角，把一根长绳打上等距离的十三个结。 然后呢，按照如图所示的方法，用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角，你知道其中的道理吗？ 咱们来看一下，右侧一共是打了十三个结，通过右侧的这个直角，这个三角形咱们能够看得出来有两条短边的长度，分别是三和四，斜边的长度呢是五 哎，刚好满足我们上学期所学的勾股定律。他的那个推论也就是如何证明一个三角形是直角三角形的方法，两条短边的平方和 等于长边的平方，所以咱们是不就能说明这是个直角三角形啊， 那么这呢也成为了我们证明直角三角形非常重要的一个条件了。这里边对我们进行了一个提问，我们曾经探索过直角三角形哪些性质还有判定方法，下面呢我们就一起来总结一下。 首先先看第一个探求直角三角形的性质和它的判定直角三角形，两个锐角有怎么样的关系？为什么我们知道直角三角形，它有一个直角等于九十度， 根据三角形内角和是一百八十度，所以另外两个锐角的和一定是九十度，那么它们的关系我们也可以说是互余，也可以说相加等于九十度。来咱们看一下啊，在这个直角三角形 abc 当中，角 c 是 直角， 由三角形内角和能知道三个角一百八，所以呢，另外两个锐角的和相加一定是 九十度，也可以说他们的关系就叫做互余。哎，另外两个角是互余，这样的话，我们今后在求其中一个锐角的时候，就不用上来用一百八减什么什么了。如果有一个九十 是直角三角形了，那么咱们直接就用九十度减去其中一个锐角了，就不用把式子写的比较长了啊。 下面再来看第二个问题，如果一个三角形中有两个锐角互余，反过来问我们，那么这个三角形是否为直角三角形？根据刚才我们的理解， 有俩角互余，说明这两个角相加等于九十度，再根据内角和一百八，我们是不是就能求出最后一个角，也就是九十度啊？那九十度了，就说明这是直角三角形。来我们看一下， 如果告诉角 a 加角 b 得九十，那么根据三角形内角和，咱们就能知道角 c 也等于九十度，就能下结论，这就是一个直角三角形了。 由此呢，咱们就进行一个总结，这就变成了我们能够证明一个三角形是直角三角形的一个定律了。那么前边的那个前提条件， 在直角三角形当中，两个锐角的关系是互余的，他自然就应该是我们所使用的一个性质定律，他是直角三角形，锐角就互余，这叫性质。如果锐角互余， 那么这就是一个直角三角形，这个就是判定。 咱们来看一道练习题，具备下列条件的三角形中不是直角三角形的是。我们依次看一下 a 选项，如果角 a 加角 b 等于角 c 啊，这个没有分开这个的话，我们勾股定力的时候就接触到很多了，对不对？再根据 内角和定里，角 a 加角 b 加角 c 得一百八，将角 a 加角 b 整体用角 c 替换，咱们就能得到两个角 c 等于 一百八，一个角 c 等于九十度啊。所以 a 选项可以 b 选项角 a 减角 b 等于角 c。 其实 ab 写法不同，求解方法一样，咱们把角 b 移到右侧来，就相当于告诉咱们角 b 加角 c 等于角 a 吗？证明方法完全相同啊。 c 选项，角 a 比角 b 比角 c 等于一比二、比三。我们一直强调，当出现比的时候，我们怎么做呀？要设未知数，咱们就设角 a 等于一个 x， 角 b 得两 x， 角 c 得三 x， 那 么根据内角和定理， x 加二 x 加三 x 等于一百八，六个 x 的 一百八 x 应该等于三十度，所以角 a 就是 一个三十度，角 b 是 二乘三十度六十度，角 c 是 三乘三十度九十度也是直角三角形。 d 选项，角 a 得角 b 等于三倍的角 c， 这个怎么办呢？我们说过，当出现比呀，倍数啊，最好的方法就是设方程，所以对于 d 选项，我们也可以设角 c 是 x， 那 角 a 跟角 b 都是三 x 呗， 根据内角和定律，三 x 加三 x， 再加 x 等于一百八，七个 x 的 一百八，咱们最终算出来九十度啊，这就是我们证明直角三角形的一种小方法啊。 下面我们再来看第二个探求勾股定律及其逆定律的证明。 我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定律。勾股定律咱们说是一个实验性得到的一个定律啊，实际上呢，利用基本事实跟已有定律，我们能够证明勾股定律。证明勾股定律的话，我们上学期也证了，用的是不是就割补法呀？ 正方形中间割成了很多直角三角形，还有小正方形之类的，对不对？ 我们把勾股定律的内容呢，再回顾一下直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方， 西方又叫必达格拉斯定律。几何语言呢？ a 方加 b 方等于 c 方，这个我们就复习回顾一下就行，这是我们上学期的一个内容，勾股定律的内容， 下面有一个尝试交流在一个三角形当中，哎，前提是三角形，当两边的平方和等于第三面的平方的时候，我们曾经用测量的方法得到了这个三角形是 直角三角形这个结论，并且呢，我们也利用了这个结论去做了很多求面积等等的题型。 那么你能用基本事实和已有定力来证明这一结论吗？跟同伴进行一个交流，这个之前呢，我们倒真没有做一个这类似方面的一个证明，下面呢，我们简单的对它做一个 证明啊，看如图所示，在三角形 abc 中， ab 方加 ac 方等于 bc 方，这是已知条件。 相当于告诉我们，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，让我们来证明这是一个直角三角形， 我们来分析一下哈。咱们要想证明它是一个直角三角形，一般的情况下，我们需要证明有个直角，那么这里的已知条件都是与角有关的有利条件。 由此呢，我们就想到，那么借助边的关系，我们来构造直角三角形， 使它和 a、 b、 c 这个三角形全等，那只要全等了，它就是直角三角形了。也就是说呢，我们再画一个 和他长得一样的直角三角形，证明他的全等，这个是我们证明这种题的一个基本思路啊，但是大家放心，今后在我们正常做题的时候，不可能去让你证明这个定理， 我们证明定理的作用呢，是为了让你使用的时候对他的认识更加清晰啊。来，我们看一下具体怎么操作的 证明，如图二所示，我做一个直角三角形， a 撇 b 撇 c 撇，这回你做的时候要做出来它就是个直角三角形，然后去证明全等就 ok 了，让角 a 撇等于九十度， 然后呢，让它的两个直角边 a 撇、 b 撇和 a b， c 撇和 a c 相等， 那么根据勾股定律，咱们就能得到三边的这个关系，具有一个平方和的关系，所以 啊，因为上边这个也是成立的。哎，上边这是已知条件嘛， a 方加 ab 方加 e， c 方等于 bc 方，它们两个对照下来，咱们就能得到 b， c 方就等于 b 撇 c 撇方， 他们的平方相等了，因为都是正数，所以这两条边就相等，那咱们是不是就能用边边边来证明这两个三角形全等了呀？他俩全等，我的目标直指九十度，所以角 a 等于角一撇得九十度， 所以呢，咱们就能够证明这是一个直角三角形了。正完之后呢，我们就能把它当成定律来进行使用了，这个定律呢，我们把它叫做勾股定律的逆定律。 我们来表述一下这个定力的内容啊，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 几何语言怎么来写？如果三角形的三边是 abc， 满足 a 方加 b 方得 c 方，那么这个三角形就是直角三角形。 同时需要特别说明的是勾股定律的逆定律，它是直角三角形的判定定律，就是证明直角三角形的定律， 也就是已知三角形的三边长，满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，就可以判断这是一个直角三角形，最长边对的是直角。 咱们勾股定律的时候，是不是通常还要写出来逗号角，谁等于九十度啊？就这个意思。下面呢，我们针对于勾股定律的逆定律来做一个小题。 下列线段 a 比 b 比 c 的 值，就能够判断这是个直角三角形的是 a、 b、 c、 d， 其实我们一眼就能看出来，选 b 五十二十三，因为它是个勾股数嘛，对不对？ 勾股数自然就满足两个小数的平方和等于大数的平方。其实正常解我们是要设未知数啊，如果是大题，你肯定不能用啊，因为三方加四方等于五方，所以咱们得设未知数， 比如说 b 选项设五 x 十二 x 十三 x， 发现五 x 方加十二 x 方等于十三 x 方，所以这是一个直角三角形。一定要这么去做啊， 下面我们再来做第三个，探究互逆命题与互逆定律。 什么意思呢？观察本节第一个定律和第二个定律，他们的条件跟结论之间有什么样的关系。而第三和第四个呢？跟同伴进行交流一下 第一个定律和第二个定律啊。第一个定律呢，咱们说的是在直角三角形当中，两个锐角是互余的，也就是说，如果一个三角形是直角三角形，这是条件，那么这个三角形的两个锐角互余。 然后第二个定律是反过来了，是证明直角三角形的。如果在一个三角形中有两个角互与，那么这个三角形就是直角三角形。哎，我们发现哈，第一个定律跟第二个定律，他们的条件跟结论刚好是换位置了， 也就说第一个定律的条件成为了第二个定律的结论，而第一个定律的结论作为了第二个定律的条件。同样，第三个和第四个定律是不是也具有相同的一个呃，写法啊？哎， 那你看第一个定律的条件跟第二个定律的结论互换位置了，条件跟结论互换位置了。 那么具有这样的一个条件的两个定律呢？咱们就管它叫做互逆定律。那如果是命题呢，咱们就管它叫做互逆命题。哎，就是把条件跟结论换位置了。 我们再来观察一下下面三组命题。一个，如果两个角对顶角，那么它们相等，如果两个角相等，那么它们对顶角，咱们且先不管它们的正确与否啊。首先来说，它们一定是命题。哎，一定是命题，因为对一件事情进行了判断吗？ 只是说像第一、第一个第一组第一个命题是真命题，第二个命题是假命题罢了，但它们的条件结论相反，咱们就把它们叫做互逆命题。 第二个，如果 a 得 b 方的 b 方，呃，下边这个，如果 a 方得 b 方，那么 a 等于 b 仍然是条件结论互换。第三个也是条件结论互换。上面每组中两个命题的条件结论有类似的关系， 同同伴进行交流都是一样的，对不对？就是把这个呃条件跟结论进行了一个互换，我们就把 这种情况叫做互逆命题啊。两个命题中条件跟结论的互换叫做互逆命题。 两个命题当中，如果第一个命题的条件成为了第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题就叫做互逆命题啊，就叫互逆命题。 如果把其中的一个命题叫原命题，那另一个命题就叫做它的逆命题。哎，原命题和逆命题，你把谁叫原命题都可以啊， 你能写出命题如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题吗？ 写逆命题，我们主要是找到原命题的条件和结论，所以我们可以先尝试着把原命题写成如果那么的形式，这里边已经有了，那咱就不需要写。 然后将他的条件变成另外一个结论，将他的结论变成另外一个条件，这个就是逆命题了。判断真假，如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，很显然是不对的。如果这两个有理数互为相反数，是不就不成立了 一个命题，如果它是真命题，那它的逆命题不一定是真命题，有可能是真命题，也有可能是假命题。所以我们判断逆命题真假的时候，不能通过原命题的真假来进行判断。 再来看互逆定理，如果一个定理的逆命题经过证明它是一个真命题，那么它就是一个定理， 这个定律称为互逆定律，其中一个定律称为另一个定律的逆定律。也就是在命题的基础上它是真命题，咱们就能说明它是一个定律，那么互逆命题就转化成了互逆定律了。 呃，比如说本节学的第一个定力跟第二个定力，也就是通过锐角来证明直锐角互补于证明直角三角形。还有三四个定力，第三个和第四个定力 也都就是勾股定力跟它的逆定力，那么它们都是一对互逆定力。 注意逆命题，互逆命题不一定是真命题，但是逆定理、互逆定理一定是真命题，因为他已经叫定理了，就必须是真的了。注意二，不是所有的定理都有逆定理，这块要注意啊，有些定理写不出他的逆定理， 下面我们对应着看一道练习下来，说法中正确的是，我们依次看一下。 a， 每个命题都有逆命题。哎，对于命题来说，咱们说他一定要逆命题，一定有逆命题啊，所以选 a 选项，咱们看一下其他几个啊。 b， 假命题的逆命题一定是假命题，咱们说了逆命题不能通过原命题的真假来进行判断啊，不一定 c， 每个定律都有逆定律，刚才是不是才说过不一定哎， 真命题的逆命题一定是真命题哎，不能够通过原命题来进行判断啊！下面我们再对应着来看两道例题， 如图所示，点 d 呢？在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 d、 c 等于九十度，它是九十度，就说明三角形 b、 d、 c 是 个直角三角形，我们就可以运用勾股定律 c、 d 的 长是三， b、 d 是 四，那么根据勾股定律，咱们就能算出 b、 c 是 五了呗。 ac 十二 ab 十三。一个三角形为什么会给你三条边的长度呢？我们首先想到的就是要尝试一下是否满足两条边的平方和等于第三边的平方，发现刚好五方加十二方等于十三方， 所以咱们就能说明三角形 abc 也是个直角三角形。第一问，求 bc 的 长是不是直接勾股定律啊？第二问，求阴影部分的面积。其实这道题就是完全我们勾股定律的时候就学习过的一个内容哎，所以我们就不再过多的去解释它了啊。来，我们一起看一下过程 解，因为角 b、 d、 c 等于九十度，并且这两条边三和四，由勾股定律咱们就能知道 b、 c 等于根号下，最后算出是五，答一下， b、 c 长是五，没单位就不写单位。第二问，求阴影部分的面积， 因为它们三边长是五十二十三，所以呢，满足它方加它方等于它方就能下结论，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，并且一定要带出来哪个角是直角， 然后我们再用割补法，大直角三角形的面积减去小直角三角形的面积，那么最终算出来是二十四。 下面我们再来看第二道例题，关于命题的，写出下列各命题的匿命题。这是第一步，先写匿命题，判断匿命题是真命题还是假命题。所以咱们这里边一共是有两步啊。来看。第一个， 两直线平行，同旁内角互补。有些命题大家在写的时候说，老师我找不到他的逆命题怎么办？那你就先把原命题用如果那么的形式写出来，这样写的目的是为了寻找他的条件和结论。 第一个，如果两直线平行，那么同旁内角互补，他的逆命题反过来就行了，对不对？哎，所以他的逆命题就是，如果同旁内角互补，那么两直线平行，他没有如果，那么你也把它舍离就行了。 这个是我们平行线的一个判定条件，所以它是真命题。第二个，在同一平面内垂直于同一直线 的，两直线平行，那么我们反过来就可以说，在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线会垂直于同一条直线。 如果都平行了，他们产生的同一角之类的一定是相等的，有俩九十度，所以肯定会垂直于同一条直线的。哎，你只要一条直线，一条平行线中的一条垂直于某条直线，那另一条肯定也垂直于这条 直线。第三个，相等的角是内错角，咱们把它写成如果那么的形式吧。如果两个角是相等的角，那么这两个角是内错角，那么咱们把它的匿名题写出来，条件跟结论互换。 内错角相等的话，如果两个角是内错角，那么这两个角就相等，简称为内错角相等。 这个肯定是假命题了，因为咱们学内错角，同一角，同往内角，是在三线八角图当中学习的，并不代表着只要是内错角就相等，前提条件是两直线要平行。第四个，有一个角是六十度的三角形，是等边三角形， 那么他的逆命题就应该是等边三角形，有一个角是六十度，这个原命题倒是不对，但是他的秘密题却是正确的，只要是等边三角形，那就一定有一个六十度。 好，这就是我们这节课所学习的直角三角形的判定的第一个部分。 直角三角形的性质及其判定讲了两个定律，哎，一个是性质定律，是直角三角形锐角互余，一个是判定定律， 两个锐角互余，那么这就是一个直角三角形，还有勾股定律及其逆定律。哎，这个是我们上学期就学过的。还有一个互逆命题，还有一个互逆定律，主要就是条件结论互换。只是说互逆定律的话，这两个无论是圆定律还是逆定律 都是真命题，哎，都是真命题，并且呢，呃，定力不一定有逆定力，主要是记住这几个概念。好，后面对应着一些习题，大家对应着做一下啊。 好了，这节课呢，我们就上到这里。

八年级必考压轴题全等三角形的判定性质用于证明线段相等直角三角形斜边中线定义，即斜边中线等于斜边的一半图形旋转中的不变性探求。

今天咱们来讲一道应用三角函数来解决一道三角形的一道题目。如图， a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 高， a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 高，所以这里边上角符号 的高线垂足为点。 d、 d、 e 是 三角形 a、 c、 d 的 中线， 他说 d、 e、 d、 e 这三角形 a、 c、 d 的 中线，那也就是说这条边等于这条边呗。 然后 bc 等于 ad 等于十二， bc 等于 ad 等于十二，都标上十二， tangent b 等于四， c、 d。 第一问，求 b、 d 的 值， b、 d 的 长，求 b、 d 的 长，他说了 tangent b 这个角， tangent 这个角是 tangent b， 那 么 tangent b 它是不是两个直角边？是对边，比， 比上直角边，也就是这条边这条边，所以摊上 b 等于四，也就是 a、 d 比上 b、 d 就 等于四。 a、 d 题中说了是等于十二的，那咱们把它 a、 d 带进去，就可以知道 b、 d 是 等于三的。 好，第一本就解出来了， b、 e 等于三，再看第二本，求 cos 角 c、 d、 e 的 值， cos 角 c、 d、 e 的 值，就是这个角，对吧？ 咱们知道三角函数，它是不是一般用于在直角三角形中？他只说了这里这条 d、 e， 它只是一个直角，这里是不是一个直角， 咱们也是不知道，所以看到这个不知道的角， c、 d、 e 不知道，咱们肯定是利用要把它转换一下，把转换成在直角三角形内的一个角，比如说咱们这里 a、 d、 c， 它就是一个直角三角形， 那咱们可以转换成另一个角就可以了。好，那咱们继续看，首先其中已经给我们上，也不是其中，是咱们刚才解出来 b、 d 等于三，对吧？然后，所以 dc、 b、 e 这是不是三？然后这里的 bc 是 不是一共它是十二？所以咱们就可以解出 cd， 它是不是等于九呀？也就是十二减十三就等于九， ad 给出， ad 给出是十二， 然后这里 dc 有 了九，那这样是不是就可以利用勾股定律了？求出 a、 c 这条边勾股定律，是不是这条边的平方加上这条边的平方，等于这条边的平方？要求 a、 c 肯定要带根号，也就是等于根号下十二平方，再加上九个平方， 而这里是一百四十四，一百四十四加八十一号，他们两个加出来变成了十五。 这里咱们知道是不是题中也也说了， d， e 是 三角形 a， d、 c 的 一个中线呀？ 中线等于是不是它，这里是一条中线，也就是 e、 c 等于 e、 d， 这是一条中线 e， e， c 等于 e、 d， 那 这是 e、 c 等于 e、 d， 它是什么？ 他是不是一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说是这个角，那他是不是还要等于这个角？角 e、 c、 d， 对 吧？也就是角 c， d， e， c， d， e 等于角 e、 c、 d， 对 吧？ 好，那咱们要求扩散 c、 d、 e 的 值，现在咱们把这个 c、 d、 e， 它是不是相等于 ec、 d， 那 它咱们也是转换，转换了，变成了这个角，转换成这个角，也就是扩散，要求扩散角 c、 d， e 也就变成了扩 扩散角 e、 c、 d， 它是等于什么？就是这条边 a、 c 比上 dc， 它其实是 bc 比上个 ac， 对 吧？所以 cos 角 e、 c， e， e、 c、 d。 就是 这个角，就等于与 dc 比上 ac， dc 咱们刚才求出来是等于九 ac， dc， 它是九 ac， 咱们刚用勾股底移解出，它是等于十五十五，所以 这个 cosine 角 e、 c、 d 就 等于十九比十五，然后化简一下就变成了三比五了。

同学们大家好，好久不见啊，最近有点小忙，后续会持续更新的啊。今天我们来看一下正方形与全等的一个综合题啊，对于初三的一个娃这类题型的话也比较熟知啊。 好，这么一个正方形 a、 b、 c、 d 当中啊，注意，正方形四边相等，四个角都是九十度。好，注意看一下 b、 f 在 这两条边上啊， a、 e 等于 b、 f 这条边相等啊，这里 正方形有边相等，还有九十度，还有这两段是相等的，能不能快速得到什么样的一个结论呢？ 是不是发现有全等的就是我们的三角形 b a、 e 和我们的三角形，这个啊， a、 d、 f 能够快速反应吗？ 边角边，边角边，就边角边的一个关系啊。 好，这个东西在这个正方形当中能够去构造，这个全等是最常规的啊，也要能够快速反应好。同时呢，我们再来看一下 等会需不需要用到它啊。我们再来看一下后面这个 h 是 b f 的 一个中点啊， h 为 b f 的 中点， 求的呢，是我们的 g h， 好 像要直接求，不太好求，对不对？因为这个三角形是什么样子的一个三角形没有告知啊。好，那么求 g h 的 话， 现在这个是中点，如果说我们在初论阶段能够去判断这个三角形 b g h 啊， 如果能碰到三角形 b g、 f， 如果是 r t 三角形的话，那就好办啦，就变成一个 r t 三角形，斜边上的中线等于斜边的一半， 就等于 b f 的 一半，对不对？因为这个 b f 是 很好求的，这个正方形的边长是五啊，好，这个已知的这个 a e 等于 d， f 等于二，这个边长也是五的，所以这个 c f 呢？也是知道的，对不对？所以求这个 b f 的 话，是不是法 就很简单的呀？那么这已经是需要去证明它这个九是不是九十度，对不对？如果能证明它是九十度，也就是看 这边是否为九十度啊，那么也就是证明这一个角一加上这一个角二是否相加等于九十度，对不对？ 好，那么这里你看一下，我们知道这个角二加这个角三是不是等于九十度的正方形九十度啊，那么也就是需要证明角一和角三是否相等就 ok 了，对不对？好，那么看一下刚刚说这个 b a、 e 和 a d f 它是全等的呀， 那么看一下角一等于角三，不能看得出来吧？这个角 a、 b、 e 是 不是证明这个全等的话，角 a、 b e 是 不会等于我们的角 d i f 啊？就是我们这个图中的角一是等于角三的啊？几 角一等于角三，那么因为角二加角三是九十度，角一又等于角三，所以角一加角二是不是九十度啊，就证明了这个角是九十度，所以它也是九十度，也就是证明这个三角形 b e f 就是 一个 r t 三角形， 那么斜边上的中线等于斜边的一半，就是我们的 d， 呃， g h 等于二分之一倍的 b f， 那 b f 就 好办了，这个直角 b 都知道了，用勾股定律对不对？ 就是两条直角边的平方和开根号啊，五五二十五加九三四，随它等于呢二分之根号三十四啊，这样子就转变为求这个 g h 答案是二分之根号的三十四啊。 所以你看看这道题目里面，遇到正方形、边相等，九角都是九十度，而且遇到边相等，或者在告知你一个角的情况下，立马能得全等啊，这是最基本的操作。 另外如果要去求一个三角形当中有出现中点的这么一个条件啊，就去看判断一下是否它是一个 r t 三角形，如果是的话，那么这个边长 球的话，就可以转变为球弦边上的长度啊，那么这个九十度的话，就是利用在前面的全等里面去正角等于九十度就 ok 了啊。好感谢大家的一个收听啊，记得多学习。