几何中考，天津春考考填空

距离中考啊，还有不到一百天的时间，那么今天呢，咱们就来讲一讲中考数学最后十讲这样一个系列课的第一讲选填满分技巧。 那么咱们这个系列工艺课程是有资料的，这个电子版资料的话我会分享在群里头，大家记得跟我要加群方式。然后呢，要这个电子版的资料就可以了，尤其是选择题的最后一道，还有填空题的最后一道，一般考的就是 这样一个几何题，或者说二次函数的多选择问题，多选项问题。那么先来看啊，二五年安徽的第十题吧，那么这个题让你选择错误的是什么？这个题啊，出题人手下留情了， 他直接看到 a 选项判断完了之后呢， a 就是 错的，所以单选择题咱们选 a， 后边 b， c， d 就 不用看了，但是呢，我们平常练习的时候跟考试时候还不太一样，咱们这个 b、 c、 d 都要看。 看好了，他说首先给了两个直角角， a 角 b 都是直角，然后 ab 长度是四， bc 长度是三，然后 ad 长度是一。 另外呢，除了这两个直角和三个长度之外，还有还有什么呀？看好了，他说了点意是动点，其实图中有两个动点啊， 就是你这个 d e 和 d f 虽然都在动，它是怎么回事？它是 d e 绕着点 d 逆时针旋转九十度得到的 d f， 所以 你如果你连接之后的话，这是一个等腰直角三角形，其实也是一个刮斗原理。 什么叫刮豆原理呢？如果主线和从线它的比值是确定的，这道题是一比一，并且夹角，就主线的夹角和谁和从线的夹角，它是一个固定的值，那么此时刮豆原理的前提就满足了， 那结论是什么呢？所以说点 e 和点 f， 它运动轨迹的形状是一样的，哎，它运动轨迹肯定都是一条直线或者一条线段了，点 e 在 ab 这条线段上运动，然后问以下这些结论哪个错误？我们 abcd 都来说， 首先 a 选项是最容易判断的，它是错误的啊，为啥呢？你就想啊，当点 e， 咱们假设 a、 e 长度是 x， 当点 e 向右运动的时候，那 x 的 范围肯定是零到四之间啊，你要包含端点的话，就是零到四，带上等于号呗。随着 x 的 变大， 不用多说，这是一，这是 x， 那 这个就是根号加多少，根号加 x 方加上一，哎，那此时 d， e 也是变大吧。那么写完这个之后的话，我们看另外一个直角三角形，在直角三角形 e、 b、 c 中， 我们这个 c e 或者说 ec 这个长度呢，是等于根号下三的平方，再加上四减 x 的 平方， 其实四减 x 肯定是变小的，这个正数啊，四减 x 变小了，那这个 ec 不 也变小了吗？所以啊，那么现在不就得出来结论了吗？随着 x 的 变大， 这个 ec 怎么样变小？然后呢啊，这个 ed 呢？ ed 变大，一个变小一个变大，但是有个减号啊， 对不对？这不就反过来了吗？所以总的来说它是变小的。所以当 x 最小等于零的时候，此时 ec 减 e、 d 最大，它的最大值等于多少？不用多说了吧，哎，此时 e、 d， 它就是什么线，来，我画一下吧，此时你这个 e、 d 呢？ 点 e 和点 a 是 重合的哎，那就等于多少？它是等于一啊， 然后这个 e、 c 呢？四的平方，三的平方，勾股定律，那当然是五了，五减一应该是等于四，所以它的最大值是四，而不是二倍根号五，清楚了吧，所以 a 呢？就错了，你直接选 a 就 行。那么我们看看一下 b， c、 d， 因为这个题它是有直角的，所以咱们肯定是用间隙的方法，这样最简单，比如说这是这样的，以 a 点为圆点，然后 a、 d 这个方向为 y 轴， a、 b 这个方向为 x 轴，所以图中该有的点都有了。 唯一需要你注意的是什么？唯一需要你注意的，首先点 e 坐标，对吧？动点，你用 x 来表示嘛，那也就是 a， e 的 长度就是 x， 然后继续 a 点坐标没问题，那 d 点坐标零的号一， b 点坐标四的号零，那 c 点坐标呢？哎，四的号三，因为都有长度嘛，唯一需要你确定的就是 f 点， f 点，好判断吗？好判断，其实啊，这个刮的原理，咱们直接根据一线三直角就可以了，哎，你看对不对？这两个直角三角形还用多说吗？不用了吧，咱们只需要过 f 点做一个垂直，做 f， h 垂直于外轴就可以了。 这样的话，根据一线三垂直模型，咱们可以很快得出来， f， h， d 是 全等于三角形 d， a， e 的， 那 d， a， e 的 话，所以我们就得出来了， h， f 和 ad， 它都是等于一啊， 那么 h， d 呢？那 h、 d 的 话和 a、 e 长度，那不就都用 x 来表示吗？那于是这是一吧，这是 x 吧，这又是一吧，那 f 点的坐标就知道了，横坐标就是那个 e， h， f 的 长度，纵坐标就是 x， 加上 e， 你 看所有点的坐标都有了，那么接下来你来判断 b、 c、 d 那 一下就都判断完了。 比如说我们来看 b 选项，对于 b 选项来说，你这个 b f 他 怎么说？两点之间距离公式吗？ f 点有了， b 点有了，横坐标减横坐标，两点之间距离公式，四减一的平方 啊， x 加一，对啊，所以没问题吧？肯定是当 x 等于零的时候， b f 最小，此时等于更好时，你看 b 选项一下就做完了。那么继续来看 c、 d 两个选项，那肯定也是这样嘛。来看 c、 c 是 什么？ c 的 话，那就是 ec 加 ed， 这个属于将军密码问题，我们只需要干嘛呀？哎，只需要 d 点做一个对称点，做一个 d 一 吧，那就变成零的话，负一了，跟 x 轴是对称的，此时清楚了，你这个 ec 加上 e、 d， 我 们根据对称性就变成了。呃， e c 再加上 e、 d 一， 你就告诉我嘛， e c， e、 d 一 什么时候最短？那肯定是三点共线的时候 啊，这个 d， e、 c 最短啊，对不对？这条线是最短的，那么 d， e、 c 什么时候？那根据两点之间距离公式可以了吧？ c 点知道，第一点也知道，那你看 c 点有了，哎，第一点这个零的话，负一也有了，根据这两个点之间的距离公式，四的 平方没问题吧？再加上三减负一，四的平方，那不就是四倍根号二吗？所以最小值就是四倍根号二，你看这是不是特别简单啊？你要间隙的话，所以什么时候间隙呢？当图中直角给的非常多，并且长度都知道的情况下，那肯定间隙，比如说遇到正方形，遇到矩形，你肯定先考虑间隙的方法， 那看一下四 d 啊，对不对？ f c 的 最大值还用多说吗？ f 点有吧， c 点也有吧？那 f c 的 话，那咱们直接根据两点之间距离公式，四减一三的平方 还有什么？还有 x 加一再减三，横坐标减横坐标，纵坐标点纵坐标的平方，那其实算出来就是 x 减二的平方，他问的是四 f 的 最大值其实很好说，因为 x 是 在什么范围内的，它是在零到四之间的， 你带上等于号也行啊。那么 x 减二的话，那不就是在负二到二之间吗？那么 x 减二的平方， 那不就是在零到二的平方四之间吗？所以清楚了最大值，你把这个平方等于四代入，所以清楚了吧。所以 c f 的 最大值等于多少？等于根号下三的平方，再加上 a 四，那不就是根号下十三吗？结束了，所以这道题答案当然是选 a。 那么我们继续来看陕西去年的填空题，他是一个动点问题啊，这道题的话， 他给了个什么？他忽悠你啊，其实这个跟 b、 d 没有任何关系，你不用管这个， b d， a b 等于六， bc 等于八，平行四边形有了，并且是一个特殊的六十度，六十度肯定是很容易联想到正三角形的，这个题其实也跟正三角形，正三角形有关， 怎么说？他说以 m n 为边做这样一个正三角形，并且此时 am 和 a、 n 是 相等的。那行吧，跟 b、 d 没啥关系啊，我就把 b d 擦掉了， 哎，什么时候啊？首先你连接 ap 或者说延长 ap 至 h 点，这个可以吧？我是延长 ap 到 h 点的啊。 那么连接完了之后，首先第一个，请告诉我，这两个红色的三角形全等不全等啊？哎，那一定是全等的，三角形 a m p 全等于三角形 a n p。 为啥呀？看好了，因为是这样的啊， a m 等于谁？ a m 等于 a n， 然后因为是正三角形，对吧？ m n p， 所以 它俩也相等，中间还是一个公共边。哎，那当然了，所以就结束了呀，对不对？所以呢，根据边边边，中间还是个公共边，那当然全等了， 那么全等的话，看好，他让你求的是，当这个 m n p 的 面积最大的时候，这个 d n 的 长度是多少？你看，根据这个全等，我们的 am 实际上是等于多少的，哎。呃，我们这个 am 等于 an 的 话，想一下啊， 延长之后，哦，对了对了，显然当这个点 p 点与 h 点重合的时候， 对吧？当这个 p 点跟 h 点重合的时候，此时三角形 m n p 面积它是最大的，这个应该不用多说什么吧？此时边上最长的，咱们 假设这是一个 p 一 点，哎，你做一个垂直吗？这肯定是垂直的，没问题啊。哎，对，有个问题就是为什么这个地方是垂直的，为什么这个角是垂直的，很好说吗？来来，告诉我这个角是多少度？这个角角一等于角二啊，根据全等，那肯定都等于六十度哦，六十度， 这也是六十度。六十度，那有了六十度的话，继续这个是六十度吧，那根据全等的话，六十度分成这个角三和角四也相等，那所以这个角四呢？也是等于三十度，所以这个是很容易推出来角 amp 和角 anp 都等于九十度的。好，那我直接做垂直呗，所以我这个地方做垂直， a n 一， 这个是 m 一， 这个剩下的应该不用多说了吧。另外我问一个问题啊，请告诉我，这个三角形 b a h 或者说 b a p e， 此时 p e 和 h 是 重合的啊？来，请告诉我，为什么是正四角形啊？刚刚正出来，这有一个六十度，那当然是正四角形了， 那于是我们就得出来， a h 的 长度等于几？它是等于或者说 a p e 的 长度，咱们写 a p e 也行，它等于多少，那当然也等于六了。边长为六的正三角形吧。那于是我接下来找这个 n e 点找这个行了吧，就很好找了。 好了，来吧，确定一下， n 一 点，在这样一个红色的直角三角形中，已经有六十度了，并且这条边等于几？正三角形，它等于六啊。所以说 a n 一， 它是等于二分之一乘六是等于三的， 那于是这种情况下， d n 一 等于多少，那不就等于 a d 减去 a n 一， 那就是八减三等于五吗？所以这道题横线上填五就行了，这个并不是一个难题，咱就过了啊。 行，这个题是五，那么再来看，也是啊，广元的。那这道题的话也是什么？它涉及到一个角平分线定律，为什么？因为它给了一个二，给了一个四，并且这个 o d 和它的长度，那还是多少？哎，一个是 y， 一个就是二 y， 它长度之比也是一比二， 也就是说，根据 a d 比上 ab 等于什么？等于 o， d 比上 ab 都等于二分之一啊。所以我们推出来此时 a o 或者说 ac， 它是角平分线，平分角 d， a b 这角平分线定律的逆定律啊，怎么去证明？这个其实很好说，你只需要关注一下什么？因为有这个 y 和二 y， 是 吧？因为有这个 y 和二 y 的 话，所以它这个面积我可以写成什么？所以它这个面积的话， 我可以写成是。嗯，这个面积可以写成是 s， 然后这个面积可以写成是二 s， 对 吧？ o a、 d 和 obd， 那 另外呢？另外就好说了，你做高呗，这是 m 吧，这是 n 吧，你做完这两个高不就结束了吗？是不是 二分之一多少？这是面积啊，二分之一，以 a、 d 为底乘这个高，那个就 o n 吧。 嗯，二分之一 ab 乘 o m， 它面积之比是一比二吧。你既然面积之比是一比二， 并且这俩不就是一比二吗？这玩意它就是一比二啊。 o， 呃，谁啊？这个 a、 d 比上 ab 就是 一比二啊。那剩下不用多说了吧？所以说 o n 是 等于 o m 的 距离相当，你说是不是角平分线，这是角平分线啊，那有了角平分线，咱剩下的就很好说了啊。 好，其次做垂直看好了啊， o e 是 垂直的， b、 f 也是垂直的，那既然这个角一和角二 等于角二，这角平行线定律的逆定律，那所以说摊着它或者说三角一就等于三 角二，这个没问题啊。那么也就是说 d e 比上 a， d 等于 b， f 比上 ab， 那 于是不就是 d e 比上 b， f 等于几比几等于 a， d 比上 ab 吗？这个是等于一比二的。好。呃，那么继续了。还有另外的三角形 o、 e、 d 是 相似于三角形 o、 f、 b 的， 为什么呢？因为在这两个三角形中，你看对顶角相等，直角等于直角，所以两组内角相等是不是相似？相似的话，我们关注的是相似比，所以说这个 o e 比上谁 o f， 它也是等于相似比谁啊？ d e 比上 b f 的。 哦， 那最后结果，那接下来我们假设不就行了？假设这个 o e 的 长度是 x， 那 o f 的 长度那不就是二 x 吗？那现在又有疑问了？什么疑问呢？请看好点 o 的 话，它说是终点，这还有一个已知条件，你从来没有使用过，你说这个终点有什么作用呢？还是跟这个一比二 还是有关系的？其实咱们可以刚刚根据结论，你看角一等于角二，直角等于直角。还有另外第二个相似吧，也就是三角形 a e d， 它是相似于三角形 a f b 的， 它也是一比二的相似比等于一比二，为什么是一比二呢？哎，这可不用多说了吧，已经说过了吗？它相似比就是一比二，比四就是一比二啊。那么它有什么作用呢？作用就是 此时 a e， 它和 a f 的 比值是一比二的关系。哦，原来点 e 也是个中点啊，那点 e 是 中点的话，此时 a e 和 e f 不 就一样长吗？ 你说等于几呢？哦，这地方是 x， 这地方二 x， 所以 它都等于三 x 啊，原来如此，那么最后还剩下一个什么？最后还剩下一个 c f 还不知道，其实差不多已经知道了。又因为 o 点是终点吧， 那 o 点是中点的话，现在我标一下啊，你看这个是三 x， 然后 a o 是 三 x， 加上 x 就是 四 x o， 所以 说 此时 a c 不 就等于两倍的 a o， 它等于四 x， 二倍等于八 x。 那 任务就很简单，就是你怎么去算这个 x， 对 吧？行了， 接下来这个 x 就 好算了。用哪用这个贪婪的值来算呗。我放不下了啊，看最后一部分，哎，也是最后一个已知条件嘛，就它这个贪婪的值终于有作用了。贪婪的角 a， c、 d 在 哪个？在这样一个直角三角形 c e、 d 中，我们可以得出来， d， e 的 长度比上 c e 的 长度。其实 c e 的 话，也不用多说什么， c e 不 就是多少 c e， 咱可以算出来啊，这个是总八减三，八减三的话，这个长度是五个 x 对， 五 x， 它等于五分之根号三。所以说 d e 等于多少？ 等于根号三倍的 x。 天呐，剩下的都有了谁？这是个根号三 x， 这是个 x， 那 根据这样一个比值的话，一比二比根号三的比值，在这样一个直角三角形中，这就是二 x 吧。所以我们得出来这样一个特殊的角角 d、 o， e 其实是等于六十度的，但它让你算的是谁呢？算的是 a、 c 的 长度， 能算出来吗？能，你别忘了刚才咱们 a e 长度是多少？ a， e 长度是三 x。 你 好，仍然满足啊。根据勾股定离， a d 等于根号下根号三 x 是 吧？然后再加上三 x， 还是一比根号三比二的这样一个比值，它是二倍。根号三 x 等于几？ 二倍？根号三 x， 它算出来是等于二的呀，所以清楚了，所以 x 算出来等于三分之根号三。哎，那 a c 不 就是八倍的 x， 那 不就是三分之八倍的根号三吗？所以就结束了它的长度是三分之八倍的根号三，行了吧。 那么一定要记住这个角平行定律啊，很有作用。那么我们来看最后一道题啊，也是非常经典的抛物线二次函数的多选项问题。四川遂宁这道题，这个题啊，一二三四都是比较容易的，这个五很新鲜啊，可能是在中考里头第一次出现。 那么来看第一个吧，这个已知条件先说一下啊，对称轴开口向下，对称轴是 x 等于一，其中交于四，那就根据对称性的话，四加上几是一啊， 四加上问号，它的中间值是一，那这个问号不就求出来等于负二吗？所以它跟 x 轴抛物线是交于负二的号零和四的号零的。所以这个图不用我多说什么， 我们先来看 a， a 的 话，很简单嘛。呃，就第一个圈一吧， a 小 于零，开口向下， 然后呢？ b 怎么样？ b 大 于零，因为对称轴负 b 除二， a， 它是个正数嘛，没问题。好，然后 c 呢？ c 显然是个正数啊，因为交于外周正半轴，所以 abc 小 于零。圈一是对的吧？好，圈一对了。 那么继续来看啊，它本来是个单选择题的啊，我把它变成一个什么题呢？当成变成一个填空题呗。那么来看第二个，第二个的话 简单，这是负二吧，负三吧，哎，对喽，当 x 等于负三的时候，你这个 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 变成什么了？变成 y 等于九， a 负三， b 加 c， 它应该小于零，所以二是错的，它写的大于零。继续来看第三个， 这个第三个图案看起来有点难啊，你要注意，他题目中给了一个非常重要的已知条件。哪个已知条件呢？我给你画一下啊，就是他给了一个 m 在 二到三之间，其实这个 m 就是 纵，就是跟外国焦点的纵坐标嘛。哎，那知道了，所以这个 m 是 谁啊？ 不就零的号 c 吗？ c 就是 m， m 就是 c a， 所以 它给的条件相当于 c， 是 在二到三之间的，清楚吧？好，这是咱们判断圈三圈四这些啊。那首先负 b 除二， a 等于对称轴一，所以 b 是 等于负二 a 的， 咱们所有的量都用 a 或者都用 c 表示出来吗？行了，接下来已知条件，那不就四的号零吗？或者是负二的号零都行，那咱们就带一下哪个呢？带一下负二的号零，但是负二的号零呢？就是四 a 减二 b 加 c 等于零， 那四 a 的 话，你把负二 b 变成什么？哎，负二 a， 呃，负二 b 吧，负二 b， 那 不就是四 a 吗？ 哦，所以说这个八 a 加上 c 等于零，所以说 c 是 等于多少？ c 是 等于负八 a 的， 也就是说 b 和 c 都可以用小 a 表示出来。行啊，那接下来第三个就简单了， b 等于负二 a， c 等于负八 a， 那 哦， y 的 最大值怎么判断？哎，挺好说的，当 x 等于一的时候嘛，当 x 等于一的时候， a 的 平 a 乘 x， 平方 b 乘 x， 那 么就是这个样子呀，那就变成了 a 减二 a 减八 a 负九 a， 他 问的就是负九 a 的 范围，负九 a 的 范围，这个题知道吗？知道呀，你看 c 的 范围，人家是在什么？是在二到三，二到三之间的，实际上就是负八 a， 它是在这个范围内的。哎呀，每个位置你乘一个什么， 同时乘一个？哦，八分之九不就行了吗？左边乘一个八分之九，那就是四分之九。负八分之九乘八分之九，那不就负九 a 吗？ 哦，三乘负，那就是八分之二十七，对不对啊？对啊，这不就是最大值在四分之九到八分之二十七之间吗？所以说三也是对的。目前来说，一和三都是对的啊。那么来看，四四也不难， 因为第四个的话，他说的是必有两个不相等的实实数根。其实四的话，等价于什么？等价于判别式等于 b 减一的平方，然后呢？再 b 方减 c c， 那 就是减去四 a， 再乘 c 减二大于零，但是有三个字母，毕竟不好判断。哎，没关系，咱们把 b 等于负二 a， c 等于负八 a， 你 再重新代一遍不就行了吗？对，那于是呢，这个判别式 就变成什么样子了？就变成负二 a 减一的平方减去四 a， 然后再来一个多少，再来个负八 a 减二，负负得正啊，我就消掉了。四 a 里头是加上二行，那经过整理之后是三十六 a 方加上十二 a 加一， 怎么样？哎，人家是个完全平方，算六 a 加一的完全平方啊，是大于零吗？嗯，你得看 a 能不能取到六分之一。注意了， 我们之前已经说过了， c 的 范围是二到三，那其实也就是负八 a 的 范围，它也就是二到三。那 a 的 范围不就是好求了吗？负的八分之三到负的八分之二，也就是四分之一之间。什么时候，其实它相当于 a 是 取不到那个负的六分之一啊。 a 取不到负的六分之一，那这个玩意不就不能等于零，只能大于零了吗？所以判别式大于零，判别式大于零就是两个不相等的数数根，你说对不对啊？对啊，所以目前来说，一 三四都对，最麻烦的其实就是这第五个。行了，我们来看最难的这个第五个吧。第五个的话，其实应该说的严谨一些，是存在啊，就是只要成立了就行。所以说这个第五题他呢，最难最难的话，你来看一下吧，咱这样来判断。首先先来 写一下二 n 加一，为什么写它？马上你就知道了啊，一会我会解释的。哎，我不愿意写这个，我就要写二分之。行吧，那咱们就写二分之啊。 好，同样的 x 二加上 x 三，它呢，是在二 n 加三 到二 n 加五之间，我同样的，我不这么写，我就写二分之它的这样一个范围。那同样的还有一个二分之 x 一 加 x 三，因为 x 一 加 x 三，它是在什么范围内？是在二 n 加二 和二 n 加四之间的，所以我这样来写没什么问题。为什么我要写二分之 x 一 加 x 三呢？我现在来说一个问题啊，如果 y 等于 y 三的话，我相信任何一位同学都知道。哎，这个是 x 一， 这个是 x 二，那如果 y 等于 y 三的话，这显然等价于 x 轴，正好是关于对称轴 x 等于一对称的。 但问题是现在变成了小于号，他等价于二分之 x 一 加 x 三小于一。那 现在 x 一 和 x 三看哪个？看这个，他指的是这样一个范围里头，只要存在在二分之二 n 加二到二分之二 n 加四之间，只要存在小于一的这种可能就行。所以咱们让左端点二分之二 n 加二，只要他满足小于一就可以了。这个算出来很简单，不就是 n 小 于零吗？ 好，这是第一个，第二个还有 y 小 于 y 二呢，那 y 小 于 y 二的话，不就是它吗？它相当于二分之 x 一 加 x 二存在小于一的这种可能， 这个范围内从二分之二 n 加一到二分之二 n 加三这个范围内只要存在小于一的这种可能就可以，那不就是二分之二 n 加一小于一吗？对不对？好，那继续写吧。那这个算出来的话，就是 n 是 小于多少？小于二分之一的，那第三种还有谁？还有这个 y 二是大于 y 三的呀？ y 二大于 y 三的话，那么二分之 x 二加 x 三，它得存在大于这种可能，那这个范围内 得存在从二分之二加三到二分之二加五之间，得存在大于一的这种可能。那不就是让谁呀，让最大的那个二分之二加五这个范围内大于一就可，可以了吗？那最终求出来 a， 这个 n 就是 大于负的二分之三。 那你要注意的是，我们这三个范围， n 小 于它， n 小 于二分之一， n 大 于它取的是什么？取的是重合的部分，在数轴上画吗？所以最终范围就是负二分之三到零之间，所以这个题最终结果是一三四五，清楚了吗？ 好了，那么今天咱们就讲到这，应该学会了吧，分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！

碰到变态的几何难题就一个字，放！可不是放屁啊，把已知和所求放入同一个直角三角形，第一个辅助线连接两个终点得平行，接下来平行加终点捅出去得全等。要求 f g， 只要求出 h g， 就 把所求线段 h g 放入直角三角形，那么这条灵魂的垂线 h n 应运而生。这是一道练习几何辅助线思维的绝佳的题目，好好去通透吧，不明白的打在评论区。

终极挑战，让选填压轴题也能十秒有思路！今天我们看的这道题目呢，是陕西西安某校的九模中考真题啊， 作为填空题最后一道题，百分之九十九的同学都望而生为了。那今天曾曾老师就带着你手把手的去拆解一下这道题目，让你通过这道题目彻底学会什么叫做条件集中原则，又怎么一步一步的把我的辅助 线给找出来，再配合曾曾老师为你精心整理的中考满分冲刺必答题，里面囊括了全国近五年来各个地方的好题、优题、压轴题，认真练习，一定能够快速突破中考数学难关！这道题目给到你这是一个菱形， 菱形四条边都相等，再加上题目当中给到你角 a 等于六十度，所以你自然而然想到如果把另外一条对角线连起来，这里会出现什么图形啊 等边三角形对不对？所以我们不妨连接 b、 d。 由于这道题目给到你 a、 m 和 d、 n 是 相等的，所以这里有一组对应边相等。如果对这种题目比较熟悉的同学，应该一眼就看到这里出现了一组全等三角形了，还没有看到的同学，也没有关系，我帮你捋一捋啊！ 其实这组全等值看起来别扭，但是它出现的频次多了，你眼熟了自然。而这边呢， a、 m 对 n， a、 b 和这里的 a、 d 又是对应相等的，所以你的眼睛如果只看其中一个小三角形的话，那么三角形 a、 d、 m 当中有黄边，有蓝边，它们的夹角应该是六十度。而原来的菱形带给我 a、 b、 d 是 一个等边三角形，所以这边也出现了一个六十度， 并且 b、 d 的 长度也是一条小蓝边，所以这边有黄边，有蓝边，假角又成了一个六十度。两个三角形一定全等，全等的依据是什么呀？ s、 a、 s。 其实找到这里的对应边角之后呢，你可以尝试把这里的小蓝旋转一个角度，然后再进行平移，它与黄色三角形呢，是可以完全重合的。那这里我偷偷问一个小问题啊， 旋转了多少度你知道吗？你观察啊，这里的 a、 d 和这里的 b、 d 呢，应该是两个三角形的对应边，对应边夹角六十度，说明剩下的对应边形成的夹角也应该是六十度。 比如这里的 n、 d、 a、 m， 虽然它们现在没有相交，但是延长 d、 n 下来，它们是不是夹了一个六十度呀？那我问问你最后一组，我的 b、 n， 还有这里对应的 d、 m， 它们之间的夹角是多少度？当然还是六十度啦。如果你采用旋转的方式无法理解这个结论的话，其实你也可以去倒角，证明 这边出现了一个六十度角，所以拆成两部分，一个阿尔法，一个白塔，加起来应该是六十。而全等三角形对应角相等角 a、 d、 m 对 应着这里的角 d、 b、 n， 所以 这个角是阿尔法的话，这边也一定是阿尔法， 阿尔法加白塔为六十，这边阿尔法加白塔等于六十，外角定力直接就出了。哎，为什么要正这个六十度呀？你看啊，你要求的是 c、 d、 p、 b 这个四边形的面积，四边形在这儿，这个六十度呢，应该作为四边形的一个外角，你把它往里倒一倒，这边呢，应该得到一个一百二十度， 而由于菱形对角相等，这边呢，应该也是一个六十，观察有六十有一百二，这是一个什么四边形？ 对角互补四边形对不对？所以有的同学到这就开始往圆的方向去想了，哎，圆可以用来倒角，但这道题呢，我们求的是面积，用圆来倒好像没那么好求。来再思考一个对角互补的四边形，它的图形没有那么的规则，但我又想要把它变规则，从而去求面积，我可以怎么办 啊？对角都互补了嘛，你们俩互补，说明剩下的两个小角是不是也互补呀？既然如此，我把 n b 延长出来这里，那得到的这个外角与它一定就是相等的喽。 那一组相等的角已经有了，再来菱形带来一组相等的边，我只要再找最后一个条件，这里的三角形我就可以导出去了。哪个三角形呢？小直角和 c、 d 边所在的三角形 c、 d、 p， 所以 我应该截取 b q 和谁相等应该很清楚了吧？ 让它等于这里的 d p 连接 c、 q， 两三角形一定全等。那正这个全等又有什么用呢？观察整个四边形 c、 d、 p、 b， 其中有一半我已经通过这样的构造全等去给它转出来， 剩下的一半在这儿。那么此时二者组成的图形是不是就变成了一个三角形？并且这是一个什么三角形？ 等边三角形？理由，全等三角形对应角相等，圈加叉是六十度，所以这边圈加叉六十度，再加上这里的 c、 p、 c q 对 应边相等，含六十度的等腰一定为等边，已知的是 c p 为四，那等边三角形的面积还不好求吗？所以四分之根号三倍 边长的平方去乘上一个四平方十六。答案，四倍根三这道题要定啦！初中数学哪家强？青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

应粉丝要求，今天我来给大家讲一道我们中考几何压轴真题，我们来看一下这道题目，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a、 b、 c 与角 a、 d、 c 外角三等分线交于 p， 角 a、 b、 c 等于三倍的角 a、 d、 p， 角 a、 d、 p， 请写出角 a、 角 c 和角 b 的 关系，并且证明 好。读完这道题目的话，首先我们这里先来强调一点，就是我们对于这一类题目，我们一定要在上面先留出一行，因为他让我们先写出关系，然后再证明，下面我们再来写证明，到结束后再转移到这上面行，不然的话会有格式错误扣分，那这一点是需要注意的，那我们现在来正式解来解一下这道题目， 我们来看一下。首先呢，对于本道题目，我们推荐使用的就是方程法，用方程思想来解决，那在本道题目当中的话，我们可以把角 a、 b、 p 设为 r 法，然后再把角 a、 d、 p 设为微塔，那由于题目中告诉我们说角 a、 b、 c 等于三倍的角 a、 b、 p， 角 a、 d、 e 等于三倍的角 a、 d、 p， 那 我们是不是就能进而得到这个角它是二 r 法，这个角它是二倍塔，那我们这样子就来先写一下， 那我们就可以得到角 b、 p、 b、 c 等于二而法角 p、 d、 e 等于二倍它，好，那由这几个结论的话，我们就可以进而得到这是角，也就是角 a、 d、 c， 它应该是等于一百八十度减去三倍它的，那我们这里在图上标一下， 好，那算到这里的话，我们花发现，如果只凭这几个未知数来解下这道题目的话，那我们是不可能直接求出说啊，角 a、 角 c 和角 b 的 关系是什么样的， 那我要怎么做呢？这里的话，我来给大家讲一下我们一个在几个题型中经常用到的一个模型。八个模型， 那这是一个隐藏条件，如果我们没用这个条件的话，那我们就很难做出这道题目。那这里的话，我们来说一下八字模型的一个结论。 那八字模型的一个结论也很简单，我们这边在图上标出了四个角，左边的话是角 a 和角 b， 右边是角 c 和角 d， 那 它的一个结论呢？就是角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 那其实原理很简单，因为我们知道三角形它内角和是一百八十度，并且对顶角相等，也就是这两只角它是相等的， 所以说我这用三角形内角和一百八十度同时减去两个对顶角，那剩余的这两只角的话，他们的和是不是就都相等了？所以我就可以得到角 a 加角 b 等于角 c 加角 d， 这是结论。好，我们来看一下， 那由这八字模型的结论，我们就可以得到，在本道题目当中，这边 a、 b、 p、 d 是 不是就是一个八字模型就可以得到角 a 加尔法等于角屁加贝塔。好，那在我们得到这个结论完以后呢，我们再来回到本道题目当中， 我们接下来就要去找到更多的等式，然后去看一下角 a、 角 c 和角 b， 还有一个角 c 还没出现， 那我们接下来要怎么做呢？我们发现角 c 它是不是出现在 a、 b、 c、 d 这个四边形里面，对吧？这是角，那我们这里的话，就可以考虑用四边形的内角和来解下本道题目， 那由四边形内角和为三百六十度，我们就可以得到角 c， 它是等于三百六十度减去角 a， 减去三阿尔法减去一百八十度，再加上三维塔，那接下来我们合并同类项一下就可以得到 角 c 等于一百八十度减去角 a， 再减去三倍的阿尔法减维塔的差。好，那这我们发现它突然出现一个阿尔法减维塔， 那我们能不能用这三个角中的任意几个角来表示一下这个等式呢？当然是可以的，因为我们刚才由八字模型的结论得到了角 a 加 r 法等于角屁加飞塔，那由这个结论我们可以得到什么呢？我们这边一向一下就可以得到 r 法减去飞塔，它是等于角屁减角 a 的， 那我们直接把角屁减角 a 给它带入进去， 那代入过之后就可以得到角 c 等于一百八十度减角 a 减去三倍的角 b 减角 a 的 差。 那这样一来，我们在一项合并同类项一下就可以得到最终答案，就是角 c 加三倍的角 b， 减去二倍的角 a 等于一百八十度，那么它的这是关系，我们是不是就求出来了，再把它写到我们一开始当中， 那这样一来，我们这道题目是不是就完美解决了？所以本道题目的难点就在于这两个隐藏条件中，一个就是八个模型，还有一个就是我们四边形内角和为三百六十度。那我们设未知数的目的就是用代数式呢，来表示一下其中的几个角的 角度和是多少度，然后再去消掉这种未知数，那这样一来，我们问题是不是就迎刃而解了？怎么样，这道题目你学会了吗？

来，我们讲一下这道题啊。嗯，先从第一问讲起，所以首先他在一个直角三角形 abc 里啊，那个角 abc 是 九十度，而且告诉你了，这个 ab 等于六， bc 等于八，那么实际上我比较好求的就是这个 ac 吧， 所以你就可以直接写了，对吧？因为在直角三角形 abc 中， 那么角 abc 等于九十度，然后这个 ab 等于六， bc 等于八，对吧？所以我这个 ac 就 等于六的平方加上八的平方，再开始算数，平方根等于十吧。 好，这样写上，然后继续往后，他说 p 呢，是写边 ac 上的一个动点，所以 p 是 动的， 对吧？而且在 a c 上动，现在他以这个 b p 为直径做圆 o， 那 么这个时候又可以写了，因为 b p， 他 是圆 o 的 直径， 对吧？所以，那么我这个 e 点在这的话，那这个角是多少度啊？九十吧，对不对啊？这个角也是九十吧，是不是？所以角这个 b d p 等于角， b e p 等于九十度， 是不是啊？所以已经有两个直角三角形了，而且斜边是公共边。然后我们继续往下走，他现在呃，第一问，他说因为 p 为弧 d e 的 中点，好了，根据咱们的定理，你能不能得到？所以 p d 是 不是等于 p e 啊？好了，来，在直角三角形，这是 b d p 和 b e p 中， 斜边是 b p， 有 一条直角边，对应相等斜边直角边，这俩三角形全等吧，是不是？好，万事俱备了？那我们先来写一下在这边吧。 好，我们来写啊。那么在直角三角形，这个是 b d p 和直角 直角三角形 b e p 中， 对吧？因为写边 b p 等于 b p， 直角边 p d 等于 p e， 对 吧？所以直角三角形 b d p 全等于直角三角形 b e p h l， 对 吧？那么所以我这个 b d 是 不是等于 b e？ 而我现在要求 b d 的 长，实际上就求 b e 就 行了吧，对吧？那么刚才我们已经求出了 a c， 那 么在直角三角形， 那么因为在直角三角形 a b c 中， 对吧？然后二分之一的 ab 乘以 bc 等于二分之一的 ac 乘以 b e 的 面积法，是不是啊？那么所以这个时候 b e 就 等于 ab 乘以 bc， 再出一个 ac 带进去， ab 等于多少六吧？ bc 等于八， ac 求出来等于十，所以 b e 等于四点八，那么所以 b d 就 等于 b e 就 等于四点八。这就是第一问啊。 好，咱们来走第二问，那么我们实际上知道 p 在 c e 上移动，它是一个动点，所以这个时候他就问你，当 c p 的 长为和值的时候，这个三角形 b d、 e 是 等腰三角形，那么只要提到等腰三角形，实际上我们就要想到分类讨论， 因为这一问里来说的话，你并不知道到底谁是腰，谁是底边，所以这个时候我们就需要分类讨论，按情况一二三来走了，来，我们写写啊。所以第一个我们肯定是用我们第一问搭桥的情况。情况一，因为刚才我们已经证明了，实际上我这个，嗯，在这个等腰 三角形 b d、 e 中，第一种情况是 b d 等于 b e 吧，对吧？这是第一问，刚才已经做出来，实际上，呃，但是那个 是用了它这个特殊条件的，是不是？那我现在我就直接，我就告诉你，我这等腰三角形 b d e 里边 b d 等于 b e， 这是不是第一种情况，对吧？好了，那么现在我们来求一下，我们要求的是 cp， 那么刚才 b e， 我 把这些条件都写下啊，因为 ab 等于六， bc 等于八，来照旧 ac 我 求出来是十，这个 b e 也是好求的，你不管有没有条件，这垂直他这个 b、 e 肯定都是这么求的，是四点八吧， 对吧？先把这些条件都写出来，然后这个时候我又知道我这个 b d 和 b e 相等，所以这个 b、 d 是 不是也等于四点八， 对吧？那么既然 b、 d 等于四点八，那么你看 b、 c 是 八，然后所以那这个 c、 d 等于多少？是这个八减四点八等于三点二吧，是不是？我为啥用 c d 啊？来，你仔细的观察一下 我这个三角形 c、 d、 p， 换句话说，这个角是垂直的，对吧？那么这个就是 九十度的话，和这个角是不是相等的？所以这样来说的话，因为这个三角形 c、 d、 p 是 不是相似于三角形 c b、 a 是 不是啊？那么所以来用比，所以 c d 比上这个 c b 是 不是等于 c p 比上 c p 是 我要求的 c a 是 十， 对不对？所以 cp 就 等于多少等于四吧。好了，第一种情况出来了，来，我们现在来讲第二种情况，你看情况二。 第二种情况是，若这个三角形 b、 d、 e 是 等腰三角形，刚才是以 b 作为顶角的顶点，那么我现在换一个，我现在以 d 作为顶角的顶点，然后我这个图画出来了，就是这个 啊，实际上这道题啊，这个图一出来，这个题就出来了啊，自己要动手画一画，然后所以情况二就是当这个 d e 等于 d b 时， 对吧？那么你来想一下，当我 d e 和 d b 相等，它是个等腰三角形的时候，我现在我过 b， 我 能不能做这个 b f 垂直于 b e 于 f 没问题吧？而且根据等腰三角形底边上三线合一我就知道了，所以我这个 f b 是 不是实际上等于 f e， 对 吧？这些都是很好求的，对不对？所以他就等于什么二分之一的 b e 吧。那么根据刚才我求实际求出来的 b e、 b e 是 四点八吧，对吧？所以是二分之一乘以四点八等于二点四吧， 对吧？那么这个是二点四了。然后又因为我这个仔细的来观察一下，那么你想这个 b f 和这个 b e 实际上是不是一比二， 对不对？而且我刚才做的是垂直吧，对吧？我还能得到，所以是不是 df 实际上它也平行于这个 c e？ 那 既然平行，那么所以三角形 bdf 是 不是相似于三角形 bce， 对吧？那么所以你想我这个 b d 比上 bc， 是 不是等于 b f 比上 b e？ 那 b f 比上 b e 是 不是一比二，对吧？所以我这个 b d 等于多少？二分之一 bc 吧，是不是？所以二分之一乘以和 bc， 还是吧？等于四吧， 对吧？那 b d 等于四，那 c d、 c d 是 不也等于四？好了吧？数据位还是它， 那么还是刚才说的，只要我 b d 是 直径，它所对的这个圆周角就是九十度，这就是九十度，它这也是九十度，是不是 d p 和 b a 平行，对吧？所以这样来说的话，我是不是还是三角形 c d p 相似于三角形 c b a， 是不是啊？那么所以我还是 c d 比上 c b， 是 不是等于 c p 比上 c a 啊？来带进去 c d 的 话等于四， c b 的 话等于八，等于 c p， 对 吧？ c a 还是十， 那么所以 c p 在 这种情况里等于多少啊？等于五。第二种情况结束，来，我们现在走第三种情况，情况三， 刚才我们已经讨论了，我们已经完成了我们的第一种情况，我这写一下，是 b d 等于这个 b e 的 情况，对吧？第二种情况，我们完成了这个 d， e 等于 d b 的 情况吧，是不是？所以分别我们以 b 和 d 做过这个等腰三角形顶角的顶点了吧，那现在轮到 e 了吧？所以第三种情况是 e d 等于 e b 吧， 对不对啊？所以这样来说的话，那么我还是照旧我过 e， 我 还是做 e f 垂直于 b c 于 f， 对 不对啊？所以实际上啊，那么咱们都应该知道我这个 e f 它也过点 o， 这个是好震的啊，你只要连接 d o， 你 就会发现，那么 d o 和 b o 相等等幺三角形，是不是？所以这样来说的话，实际上这个 o 点也在这个 e f 上的啊？那么我们现在来仔细的观察一下，当然实际上我们用不上这个 o 啊， 那么你看一下这个三角形，我在旁边写一下三角形 b e f 和这个三角形 b c e 什么关系啊？ 相似吧，是不是？为什么？因为你看这是公共角吗？对吧？那么角这个，嗯， f b e 和角 e b c 相等，公共角，对吧？而且这边是垂直，那这个角也是垂直的吗？只要我 b p 是 直径，那么他所对的圆周角就是直角，对吧？所以这样来说的话，因为三角形 b e f 相似于三角形 b c e， 是不是啊？所以我们就能用我们的笔了吧？来，所以 b e 是 不是还是照旧？比 bc 等于什么呢？等于 b f 比上 b e， 而 b e 没有变化，还是四点八， 所以这样来说的话，四点八除以八，等于 b f 除以四点八，对不对？所以我能不能求出我这个 b f 啊？ b f 最后等于二点八八， 那么 b f 实际上等于是不是二分之一的 b d 啊？那么所以是不是 b d 等于，这样来说的话，是二点八八乘以二吧，是不是二百一十六， 五点七六，对吧？那么这个时候，所以 c d 等于啥？等于 b c 减 b d 嘛？等于八减五点七六，等于 二点二四吧，是不是？那么还是照旧，对吧？因为三角形 c d p 相似于三角形 c b a， 那 么来 c d， 哎呦， 来，我们继续学啊。所以这样来说的话， c d 对 吧？比上 c b 是 不是等于 c p 比上 c a， 那么带进去 cd 是 二点二四，对吧？然后 cb 是， 呃，还是八吧，对吧？等于 cp， 然后 c 还是十，那么所以这个 cp 就 等于二点八，你看，这就是我们的这一道题的三种情况，对吧？啊？

今天给大家介绍一下十七题的练习，之前的作品里边也说过啊，对于咱们九夏的中考备战来说，中考数学里边的第十七题，填空道第二题是咱们县级段一个比较难缠的拦路虎，因为它特别容易影响心情 啊，如果你这个题思路没处理好啊，没做对，很容易影响后面做解答题的情绪，所以这道题来说，我们要立正了，给它做清楚了。这块练习呢，建议大家也是多做， 尤其之前呢，可能有些学生有些老师喜欢间隙，但是二零二五年的中考题，那道题是做不了间隙的，所以大家还是尽量从几何步骤出发。 几何步骤里边呢，重点还是什么呢？还是终点的模型，比如说背长中线，中尾线啊，甚至斜纹中线三合一，都是可以进行利用的。 之前每一年的模拟卷啊，都会有出现很多经典的题目啊，建议大家找出来好好练习一下。这里边其实就是可以看出啊，很多题目做间隙是非常不方便的啊，比如这套里边后边和平了那个 题目，难看的题目都是如此啊，你用一些几何方法啊，弦图啊，四点共圆啊，其实处理起来更得心应手，有些东西他跟你根本不给你编长，而且坐标了他的视角，给的也不是不正的啊，所以间隙是非常麻烦的， 尽量去用几何方法去处理啊，多练多领会，立正把这部分呢，就是能够手到擒来。而且呢，从四月 七号开始啊，各区新的一模二模式都出现了啊，也好好把控一下自己在考场上做这道题的一个心得，立正啊，就是读完题就有一些好的切入点，能够完成题目的作答。好好加油这道题啊。

今天这招直接帮你秒掉天津中考几何辅助线！像十七题、二十四题、压轴题咱们都能用的上！我是综合大数学王老师带过的学生，数学平均分稳拿一百一十四分。首先咱们得先明确，天津中考他不是竞赛，哪怕是他的压轴题出题，老师都已经给你留好了。解析的线索 像是第二问第三问，大概率要用第一问的结论。就连辅助线都和前一问的图形强强相关。这可不是巧合，是咱们老师明晃晃给你的提示啊！所以千万别跳过小题，读懂他们的暗示，很多辅助线直接就能秒出来。那没有前问提示的咱们应该怎么办呢？咱们先搭建框架，再去画辅助线。 很多同学啊，都是先瞎凑辅助线，再去想写题方法，这完全弄反了，学霸都是先明确要啥条件再去想写题的核心就是熟练这些模型，咱们得练透母题， 拿到题咱们就先套熟练的模型，练他个十道题，思路自然就快了。我已经把常见的模型整理好了，人手一份，拿去吃透。练习辅助线这关，咱们就直接拿下。

天津的孩子看过来啊，初三必会啊，因为咱们天津中考第十七题呢，填空题的压轴题啊，必然涉及特殊三角形，特殊四边形的构造啊， 考的比较巧，我们来看看这道题怎么做啊，这个正方形 abcd， 对 角线上一点 p 啊， 在这个对角线上啊，连 c p 做 p q 和这个 c p 垂直啊，告诉你， o p 等于根二，求 b q 的 长度。这道题呢，有多种解法，咱们天津的孩子一定得会通法，因为他是托底的打法，他得会特殊解法啊， 比较巧啊！另外呢，你得学会基本的构造啊，下面我们逐一来拆解一下。 那么首先我来分享一下这个特殊打法啊，因为特殊打法在考场中，他比较巧啊，节约很多宝贵的时间。那么这道题他的特在哪里呢啊， 特自觉啊，啊，两把金钥匙之一啊，特自觉啊！这道题，他给了我们一个最特殊的图形啊，正方形啊，正方形，他是轴对称图形，对不对？轴对称图形啊，而且他还是中心对称图形，这都给我们提供很多思考的方向。 这道题呢，他有个难点啊，他给了一个关键点，屁啊，屁在对角线上，可是屁高不成低不就，他不在特殊位置绊下腰啊，我们如何去使用是个难点啊， 正因为 p 点的位置不特殊，导致 p q 和 pc 是 斜的啊，斜的我们不好用，因为我们还注意到这道题的一个特殊之处呢，它给了一个唯一的一个长度 o p 啊，但是没有告诉我们这个正方形有多大，就让我们去求 b q， 也就是说 b q 的 得数啊， 不因正方形多大多小而改变，这就给我们试着去把这个正方形缩小或者放大啊， 缩小或者放大哎，让他到一个特殊的位置啊，然后再看 o p 和 b q 有 什么关联，只不过我们在说放这个正方形的时候呢，除了这个 b 点不动以外，其他的所有的点都在动，这对我们的探索造成了一个障碍， 那么我们这个时候一定要去变通啊，我们不妨去翻过来，去思考，也就说你给了一个跟着这个长度，但是跟着这个长度有多长呢？ 没说啊，没说，那我这个根是不是可以这么长，也可以这么长，也就是 p 点，我可以让它动动动我，那我让它 p 点动在一个特殊位置，比方说我让这个 p 点就在这个 d 点的位置啊，让这个 o d 就是 根二， 那么这个 p d 重合，也就是说 p c 就是 d c， 哎，那么这个 p q 也就是 d a 了，哎， 这么个情况，那么这个时候 b q 不 就是 b a 吗？那么 o d 是 根二，那你说 ab 是 多少？ ab 也就是 ab 啊，正好在一个等腰直角三点零里面啊，直角边是根二，那你说边长是多少呢？ 不就是二吗？啊，这就是特殊打法啊，连计算量都省了，直接分析得到答案， 可以说是秒减啊，所以说对这个选择题或者填空题啊，因为我们不需要具体的过程。哎，那么这种特殊打法，孩子们一定要去多练多学啊，把它练到 感觉上。接下来我们分享一下这个纯几何打法构造法啊，你想想看，已经到了这个压轴题的位置了，哎，那他一定得添加辅助线，只不过辅助线在哪里添加呢啊？很多孩子这个时候有点懵，哎，那我们的思考方向在哪里呢？ 技术，初中的几何，它是特殊几何特殊在哪里呢？特殊在对称上，要么是旋转型对称，要么是轴对称，哎，那么看看对角线，它就是轴对称呀。哎，那你可以从这个角度去思考的时候，你 cp 的 这面，我照镜子就在上面找到它的镜像，那我们就去做 cp 的 镜像啊， ap 啊。当这个 a p 出来以后呢？哎，我们就去运用图感，哎，去看一下，感受一下这个图形有什么变化，哎，我们会发现这个 a p q 好 像是一个等腰三角形，你感觉它像等腰三角形，你就去正等腰三角形，等腰三角形，你要证明的话，例如是说，哎，去正直角相等，例如是说，你再把它的那个三线合一的那个关键线做出来，去正它上下去全 就 ok 了啊。当然我们也可以不这样去思考，我们还可以怎么去思考呢？画斜为直啊，因为这道题的难点在于这个 p q 和 pc 的 位置是斜的，我们把它画斜为直啊，这是，这也是一个通法啊，孩子们一定要有 强大的意识啊。那我们就把这个 p q 画斜为直，哎，把这个 pc 也画斜为直。当你完成画斜为直以后呢，你去看是不是又出现这两个三角形， 感觉它像全等，然后你去证明它一定全等，因为毕竟是对角线，也就是对正轴，那么这条线和这条线它就互为镜像，哎，它必然相等，然后这个阴影三角形和这个阴影三角形， 你就很容易能证出来它是全等的，哎，我们得到 p q 等于 p c， 哎，到这个时候呢，孩子们一定要敏感， 当我们得到一个直角，他的两个边相等的时候，要么你去考虑等腰直啊，要么哎，你要去考虑旋转九十度啊，还有呢，一线三垂直啊，这个方向不能忘啊， 那么我们如果考虑一线三垂直的时候呢，那个线在哪里呢？一种是这个线可以在这条线上啊，那么这个三角形和这个三角形它是全等的啊。还有呢，我们可以考虑这个线是那个线哎，那我们给他这个斜线上做垂线啊， 这个上面，哎，这已经有垂线了，哎，那么这个扇形和这个扇形全等啊，那么根二，这也就是根二，哎，这又出现一个等腰值，根二，根二，那这就是二什么啊？ 也就是得出来了。那么我们如果考虑这个一线三垂直的时候呢，我们得到这个三角形和这个三角形，它是全等的，那么我们继续同步信息啊，我们短直角边等于短直角边，我们设它为 n， 长直角边我们设为 m 啊，那么这边对应下来也是 m 啊， 这是 m， 那 这个这个也是 m 啊，那这个就是 m 减 n 了，对吧？那么我们如何去给格外建立关联呢？哎，我们别忘了初中的几何，他是一个特殊几何，特殊在哪里呢？特殊在对称上，旋转性对称或者是轴对称啊，我们别忘了这个是个轴对称，你这个是 a， 那 么他照 镜子照过来，这也是 n 啊，这是 n a， 这一个等腰值，哎，这也是 n 哦，那么也就是说这总长是 m， 这是 n， 这一块也是 m 减 n， 也就是 m 减到这 m 减 n 哦， m 减 n 又放到这个等腰值里面去了，也就是这个 b q 是 这个等腰值，叫三角形的斜边长 正二的斜边不就是二吗？啊，右得斜。好，到此为止呢，我们已经有好几种解法了啊，但是我觉得还意犹未尽啊啊，我们再重新再来梳理一下，还有没有其他的妙解啊，一定要一题多解啊，多挑战，孩子们才能成为真学神啊！ 我把这个图重新补一下啊啊，对角线，对角线互相垂直平分且相等，这是正方形的特殊之数啊。 然后呢，来一个 p 点啊， p c 用 p c， 然后呢做他的垂线啊， p k 啊， p p。 那么我们还有什么打法呢啊？刚才我们说了这个初中几何是特殊几何，那么旋转型对称啊，就是它的特殊之处， 旋转型对称就是一种特殊型打法啊，等腰直角三角形的思考方式就是由径转动，也就说我们把这个边旋转九十度到这个边上啊，哎，你看，我们刚才说了 p q 和这个 p c， 我 感觉它相等， 感觉它相等啊，就是这个时候，你还不知道它相等啊，哎，你感觉它相等的时候呢，哎，你不妨把它旋转过来 哎，旋转边的时候呢，你不能光旋转一条边，你要旋转整个形啊，我们几何的思考基本单元是形，哎，我们就把这个整个形进行一个旋转啊，旋转的九十度，旋转过来 啊，旋转过来之后呢，这个旋转到这边，这条边旋转到这个位置啊，然后你这个旋转了九十度，也就是说 b q 也旋转了九十度，那它 b q 就 一定到这条线上了啊，也就旋转这个位置，也就是这个三角形，一定跟这三角形就全等了， 全等之后呢，也就 b q 一定到这个位置了啊， b q 的 长度如何去求呢？哎，怎么跟这个 p o 去建立关联呢？哎， 这个位置，这个位置，我们怎么办呢？哎，我们一定去做这个垂直啊，这里面出现一个矩形啊，这里面又再出现了一个等腰值啊，跟二，那么这个斜边就是二了，也就是 b q 就是 二了，对不对？ 当时呢，有些孩子可能担心这个三角形旋转过来是不是一定是三点共线的啊，他可能会犹豫， 那你可以去转换一下，变通一下自己的思维。我做辅助线的时候呢，我可以不去真真正正去旋转他，哎，我这个图形大概在这个位置，于是我就把这个 b c 去延长，然后呢，我过 p 点去做一个垂线啊，做一个垂线 啊，做过来这个三角形，我去去证明他跟这个三角形全等也是 ok 的 啊，大家不妨去下面探索一下。 接下来我要分享一个更重要的思维，也就是此类题的通法，哎，他是托底打法，当孩子们不知道辅助线如何去做的时候呢，哎，你要想到这种方法，哎，这种方法也就是数形结合思想，也就是用代数的方法去解 结合的问题啊，那么竖形结合自然就是间隙喽。那么这道题间隙有两种啊，一种是以 b 点为圆点啊，以这个正方形的两条边啊为轴啊，去间隙，还有一个呢，以这个 o 点为圆点去间隙啊，以这个对角线为轴啊，呃 呃，不过这道题呢，可能是，呃这间系，呃更容易一些啊。你建完系之后呢？哎，你把 qpc 他的坐标分别标出来哎，因为他们都是关键点啊，只不过你要设位置数啊。设完位置数之后呢？哎，算一下， 通过这个三角形去求这个斜边和通过这个三角形去求斜边他就可以建立联系了啊，孩子们下去试一下啊。我的分享到此结束啊，孩子们大胆的去探索探索，一题多解啊，争取当学神。好，加油啊。

天津中考几何十七题啊，关于终点问题，就这么四个考点，第一个就是背长中线，第二个就是中位线，第三个就是中垂线， 第四个呢，就是直角三角形的斜边中线。除此之外，我们还可以去通过借隙的方式去处理某些问题。

天津中考二十四题几何综合，这道题里面主要考察的是平移翻折的一个应用，玄折也会考，只不过概率比较低。这道题里面重点考察的知识点一个是全等，一个是相似， 并且呢，在这里面我们需要用到勾股定律和三角函数两个非常重要的知识点来求边和求角度。有了这些知识之后呢，我们就可以去解决线段长度以及重合面积的问题。 在这个基础上，我们再去注意自变量的一个取值范围能不能取等号，如果你想拿到满分，那么你必须锻炼出对于重合面积变大变小的一个理解， 并且呢，能够迅速找出在哪个地方取得最大的面积，哪个地方取得最小的面积。 而且偷偷告诉你，一般最大最小面积都是在二次函数当中取到，那么另一个面积呢，一般是在一开始和最后。

大家好，我是三智学校的康老师，今天给大家讲解一下天津中考考试题型第二十五题。 这道题主要的知识点啊，就是二次函数，然后结合着平面直角坐标系里，他会划出来几何图形，然后我们分析这个几何图形，一个综合型的一道题， 然后这道题每年也是十分难度的话，是属于难题。像第一问的话是比较简单的啊，第二问，如果我们啊加强训练的话，前两问应该是问题不大。 然后第三问的话，呃就得看情况了啊，因为他模型啊什么的比较多，然后涉及的知识点比较多，可能你复习到啊，就考上他不是说固定的考点啊，可能今年考这个题型，明年考那个啊，题型啊，所以说这个啊，想要把第三问也做出来的情况下， 嗯，我们就得对这种几何的呃模型啊了解，然后熟练。再有他这个呃计算量也比较大啊，这个比较考察这个计算能力 啊。首先我们来看一下啊，这个，首先我们来看一下这道题啊，这道题是 二五年的一道真题，第一问就像我刚才说的，非常简单啊，他直接告诉咱们这个 abc 了，让咱们求一个顶点的坐标，只要我们九年级上学期认真学习这个二次函数的话啊，这道题就是送分题啊， 那我们直接把这个 abc 代入解析式直接出来了，不用我们去求，也就是 y 等于负 x 方加二， x 加三， 它让求顶点的坐标。这个我们有两个方法啊，第一个我们就是把它转换成顶点式 啊，转换成顶点式的话，那我们就得怎么样配方啊？配方的话，这道题我们首先二次的这个系数我们得画一，是不是我们提一个负一出来，也就是 y 等于负的 x 方， 那提个符号出来是不就是减二 x 括号，然后我们这个加三没有提，那我们就还是这样啊，那如果我想给它变成一个完全平方的式子，那是不是我这个一次项系数除以二啊？ 然后再加上它的平方，是不是也就是 y 等于负的 x 方减二， x， 我 是不是得加一啊？ 是不是这正好凑成一个 x 减一的完全平方，但是我们这个数不能变，是不是我加完一个一，我是不是还要再减一个一啊？好，我们再加三。 好，那我们主要是用这一个啊，用这一个，那我是不是要把负一还要再提出来啊？那是不是就是 y 等于负的 x 方减二 x 加一括号，我把这个负一提出来就变成了正一，也就是加一加三， 那这个时候前面他就是一个完全平方了，那我们直接写成 y 等于负的 x 减一的平方，后面我们就是加四啊，这个就是我们一个标准的一个顶点式了 啊，那这个顶点式我们怎么看顶点啊？我们先说一下顶点式是什么呀？他就是 y 等于 a 倍的括号， x 减 h 的 平方加 k 啊，这个顶点的坐标直接就是 h k， 好， 那我们看第一个式子和第二个式子 啊， h 是 多少？是不是这个 h 就是 在这里就是一啊，所以说这个横坐标就是一 k 呢？ k 是 不是就是四啊？ 啊？那就是四，所以说这个顶点直接就是一四就出来了啊？还有第二种方法啊，第二种方法就是我们有一个公式，是不是我们背一下啊？顶点的坐标公式就是负的二 a 分 之 b， 然后纵坐标是四， a 分 之四， a c 减 b 方好， a、 b、 c 分 别都给你了，我们是不是算一下就行了？负的二， a 分 之 b 是 负的二乘负一分之二，那是不是就是一啊？ 啊？那同理，那四 a 分 之四， a c 减 b 方，那算出来就是刚才我们算的就是四啊，这个我们可以自己代入去算一下，或者说我们只知道把这个，我只知道这个 对称轴，也就是这个横坐标啊，我把这个横坐标求出来一，我再代入这个解析式啊，求出来这个 y 也是一样的，也就是当 x 等于这个一的时候，他有个最值嘛，像这个开口向下，他就有个最大值，那就是四，就是这个意思啊，第一问非常简单啊， 我们就过了，然后第二问第二个我们得看一下，哎，首先抛物线这个上面的大条件还是这些， 然后这有个关键的， a 小 于零， b 大 于零啊，我们看到这种我们得稍微的敏感一些啊，跟 ab 相关的知识点，那是不是就是什么呀？左同右异，他给出这个符号了。左同右异是什么意思啊？ 也就是说这个对称轴如果在外轴的左侧，那 ab 是 同号的，要不都是正，要不就都是负啊，如果这个两个异号证明这个对称轴在外轴的右侧，也就是说这个我们先 不看题的话，我们就知道这个对称轴肯定是在这里的，在外轴的右侧啊，通过这个 a 小 于零， b 大 于零分析出来的， 然后这道题他给了 a 的 坐标是负一零，我们做这种二次函数的题，最重要的点就是什么呀？哎，消元，因为他从第二题开始啊，他不会把所有的像第一题这么简单，把所有的 abc 都告诉你了 啊，那我们最重要的啊，就是消元通过 a 点，哎，负一零，那我们代入式子啊，是不是可以得到，也就是 a 减 b 加 c 等于零 啊？通过这个式子啊，虽然我求不出来 abc， 但是我可以用，哎，比如说用 a 来表示这个 c 啊，或者 b 来表示这个 c 啊，我就可以实现这个消元的效果啊。然后我们再看 d 小 问，他给了 a 等于负二了 啊，也就是这个意思， y 等于负二， x 方加 b， x 然后加 c 啊。同样的，我们再利用刚才这个，是不是也就是负二减 b 加 c 等于零了，那 c 我 是不是可以表示出来了？ 哎，是不是 c 我 削圆之后，我用 b 来表示，是不是就可以得到 c 等于 b 加二啊？所以我们这个解析式，现在 a 已经给到了， a 已经给了，是负二了，然后又有一个这个负一零，那是不是我可以削圆啊？ 哎，这个解析式本来是 y 等于负二， x 方加 b， x 加 c， 有 两个未知数，通过这个我是不是就可以写成负二 x 方 加 b， x 加 b 加二，是不是我消掉一个未知数了？哎，未知数越少，对我们解析越有帮助。然后为什么我们选择这个用 b 来代替这个 c 啊？ 啊？有一个好处是什么？因为他给了 b 的 这个取值范围了，也就是说这个 c 点啊，肯定是在外轴的正半轴，因为一个正数加上一个二，那肯定还是正数啊，也就是我们可以打出一个大概的图像啊，比如说 c 点在这， a 点在这 啊， b 点也就是跟这个负一是一个对称的一个点啊，我稍微的画个大概啊，也就是 b 肯定是在这边啊， 然后我们再读题，他说点的在抛物线上啊，我们先画一个大概的图像啊，肯定也就是这样的啊，因为做这种二次函数的题啊，咱们这个必须得会画这个图，因为他没有给图，那我们就 想着要画图。我在这里啊，我说一下，咱们一般画图怎么去找啊？一个是我们就是已知的这些点啊，主要是什么开口方向啊，对称轴 啊，什么与 y 轴交点，与 x 轴的交点，对吧？或者顶点啊，像这种我们知道的越多，画的也就越详细。像这题啊，他给了 a、 b、 c 我 们大概的位置啊，画一下就可以了，然后顶点的话在这是 p。 再有我们就是根据读题，哎，他有一些点哎，我们怎么画？我们根据这个题目的线索，只要画出来就行。他说点 d 在 抛物线上，那点 d 在 抛物线上，我也不知道在哪，随便点一个呗，比如说点 d 在 这对不对啊？他说 c、 a、 d 是 九十度，好， cad 九十度，它 c 和 a 它是固定的呀，那是不是我连一下 ca 的 话就是这样的啊？我想要 cad 是 九十度，我是不是只能这样画呀？ 我只能这样画个九十度，那这样的话，交点交到这，他应该就是 d 点，是不是？然后我们看一看还有没有其他条件啊？他说 ac 等于 ad 啊，然后 ac 等于 ad 啊，这画的不是太相等，说明我们这个图啊，稍微有点偏差，是吧，我们可以重新再画一下，还是我们画一个平面直角坐标系，因为我们考试的时候也是这样，大概的画一个草图，然后自己再慢慢稍微修修改改就可以了。 哎，比如说 a 点还是在这啊？ c 点在这啊，我连接 a c 的 话，刚才我们说了，这个 a d 得在抛物线上，也就大概 d 点，如果在这个位置是不可以啊，那我们就大概的画个这个图像， 是不是大概这个这个意思就可以了，是不？这样的画着就看着舒服多了。这个是垂直的，然后 a c 等于 a d， 然后这个是点 b， 然后他让求 d 点的坐标啊， d 点的坐标我们怎么去求？那我们肯定得分析啊， 那给了我们这个条件，他到底怎么去用呢啊？首先这个 a 点坐标是已知的，是负一零 c 点的坐标啊，也就是零 c， 刚才我们算了， y 等于 负二， x 方加 b， x 加什么呀？ b 加二，也就是说这个 c 点的坐标也就是零逗号 b 加二 啊，为什么呀？因为 c 是 与 y 轴的交点，与 y 轴交点，也就是 y 上的所有坐标都是零逗号多少多少，零逗号多少多少啊，也就是说当 x 等于零的时候， 哎，满足他在抛物线上，那是不是我就可以直接代入啊？当 x 等于零的时候，那 y 就 等于 b 加二啊，他要求点 d 的 坐标，哎，这还有未知数，我们怎么去求给出来？ ac 等于 ad， 然后这又有个九十度， 哎，这个我们怎么去操作一下，对吧？好多同学坐到这就没有思路了啊，这个就还是一个基本功的问题啊，像初二的话，我们学的啊，这个全等三角形里啊， 他有一个非常常见的，如果你是初二的情况下，你看到他肯定就敏感了，但是你初三复习的时候可能就会遇到这种哎 蒙的情况，哎，把这个知识点忘了啊，也就说在我们初二的时候做题，做全等的题的时候，是不是经常考这种题型啊？这两条线垂直的话，这两条线又相等，然后还有个这个 分别做垂直啊，垂直，这什么呀？一线三垂直是不是可以构造出全等？ 为什么呀？因为这角一和角二相加是九十度，那角二加角三是不是也相加九十度啊？ 我们可以证出来，角一是等于角三的啊，有一个对应的角相等，又有一个直角相等，题目中还给了这两条边也互相相等，那我们能得到什么呀？这两个三角形是不是全等啊？ 那是不是对应边跟对应边就相等了啊？对应边和对应边相等。 这个第二问啊，这道题也是根据这个意思啊，是不是我们如果要是侧过来去看，是不是就跟这个图形是一样的了？是有一个垂直，然后有一个 两条边相等，这是题目中给的。也就是说，如果在题目中我们看到这种啊，优先想这种一线三垂直，而且是在坐标系里，我想求一个点的坐标，对吧？比如说求这个 d 的 这个坐标，哎，我把这个图稍微画一下，应该就能看出来了。比如说我做一个平行于 y 轴的一条线，然后横坐标就是 a 点的横坐标负一，比如说 x 等于负一啊，我 c 点往这边做一个垂直， 我 d 点往这边也做一个垂直，哎，那是不是我就构成了我们这个模型啊，一线三垂直的一个模型 啊，如果你想让一个刚这个初二啊，咱训练好的，咱考试什么的，哎，练题练过之后啊，对这种就非常敏感，可能他看到就能想到， 但是我们可能初三了在复习，可能有些地方没复习到啊，对这种不太熟悉，考试的时候，哎，因为这二十五题他本来就有一个压迫感，可能看到这也不会太往后想，再有这个图形跟平常咱这个是倒着的，可能同学们就想不出来， 哎，所以说我们这种啊，基本上也是多练。再有就是初二的知识点复习复习啊，一般都能看出来啊，有一个垂直，有个线相等，我们一线三垂直出来了，那我们想要求地点的坐标， 那实际上是不是就是这个的距离啊，还有这一段的距离啊，对吧？通过几何上的这个全等，我是不是知道这条边是一啊？ 哎，这条边是不是一，那所以说我能得到什么呀？那这条边是不是也是一啊？也就是说地点的纵坐标那肯定是负一， 这是不能确定下来啊，虽然这个距离是一，但是它在外的负半轴啊，所以说这个纵坐标肯定是负一， 那这个这条线的长是多少？这条线是不是和这条整个的就是相等的，因为它是对应边相等啊，这条是不是就是 b 加二啊？所以说这条长是不是也是 b 加二，那这条线又是一， 那所以这个小线段的这个长是不是就是 b 加二？减掉一，也就是 b 加一， 因为这是距离，我们得看一下正负问题，这个 d 在 这个正半轴上，所以说啊，它的坐标就是 b 加一 啊，如果我们这个 d 在 这个横坐标在负半轴上的话，那是不是就是负 b 减一啊？哎，因为 b 加一代表的是一个距离啊，然后我们怎么去求这个地点的坐标，我们来看一下是不是地点的 地点的坐标，我们用这个小 b 都表示出来了，然后刚才我们是不是把这个解析式也求出来了，是不是解析式是它呀？ 哎， d 有 一个什么关键的点，他说点 d 在 抛物线上，哎，在抛物线上，是不是我就满足这个函数解析式啊？那是不是我把点直接代入， 我们来看一下 x 里只有 b， 然后 y 就是 一个数，是不是我要把这 x y 代入的话，你看这个系数里也只有 b， 那 是不是只有一个未知数了？我只需要把这个 b 求出来是不就可以了？ 好，我们来求一下啊，那我们把这个 b 加一负一代入进去，是不是就是负二倍的 b 加一的完全平方，加上 b 乘以 b 加一，再加上 b 加二，就等于负一 啊。这道题啊，看着稍微有点复杂啊，但是我们看了它都有 b 加一的话，一般我们可能提个公因式或者因式分解，应该是能求出来啊，因为这都有 b 加一，应该是有减变算法，那我们可以试一下，对吧？我们可以把 b 加一看成一个整体， 这样的话，音式分解它一降次的话，它会好算一些，你看这有 b 加一，这有 b 加一，这是不是也是 b 加一啊？哎，我把这个看成 b 加一加一，是不是也有个 b 加一，我把这个一是不是可以挪过来啊？ 因为这题啊，一个是考验这个几何思维的一个能力啊，再有就是这个计算啊，同学们这个计算也是得多练，然后看到这种，哎，都有 b 加一的，是不是我们可以试着求一下。 那我们提一个 b 加一出来，那是不是这边里面就是什么呀？负二乘以 b 加一，加上 b 再加上一就等于什么呀？负二 啊？这个中括号，那是不是这个 b 加一括出来之后，里面我里面就好算了，对吧？你要像刚才这种，我们还得算一个什么完全平方之类的，是吧？这个里面我们再算一下吧，是不是就是负二？ b 减二加 b 加一等于负二， 那也就是 b 加一乘以什么呀？负 b 减一是不是合并同类项？负二， b 加 b 等于负 b， 负二加一等于负一，然后等于负二， 那这个实际上就是什么呀？负的把这个符号是不可以提出来负的， b 加一的完全平方就等于负二，那 b 加一的完全平方就等于二 啊，那 b 加一是不是就等于正负根号二啊？那 b 一 我们等于什么呀？根号二减一， b 二等于负的根号二减一， 刚才我们说了 b 它是大于零的，那是不是这个负数的我们得舍掉啊，也就是 b 一 等于根号二减一就可以了，那 d 点的坐标是不是就求出来了？也就是说当 b 加一等于根号二的时候 啊，满足刚才我们说这个九十度这个情况，是不是我 d 点的坐标就自然就求出来了？ 那地点的坐标就是什么呀？根号二负一啊？第二问我们就做出来了， 然后由于时长问题，这个第三问啊，我们再做一个视频，我是再给详细的讲解一下。哎，这种题我们怎么去思考啊？有哪些知识点？

这是一道中考几何最值压轴题，这道题考的还是不错的，我们先看看这道题它的一个基本的条件，三角形 a、 b、 c 中角 a， 这里是一百二十度， b、 c 的 长是十倍 啊，根号三， d、 e、 f 是 三角形三条边上的三个洞点满足三角形 d、 e、 f， 它是一个等边三角形， 我们的问题就是来求这个等边三角形它面积的一个最大值。那么通过读完题，我们应该感受得到这个图当中的这六个点， 只有 b、 c 两点可以看作定点，其他的这四个点， a 点、 d 点， e 点、 f 点，它其实是四个动点，那么我们如何在这四个动点当中来转化判断得到三角形等边三角形 d、 e、 f， 它面积的一个最大值呢？ 要解决这个问题，首先我们要解决要拆解两个基本的信息。第一个信息，由于我们的问题是要来求三角形 d、 e、 f 这个等边三角形它面积的这样子，那么等边三的面积它是可以关联到这个边长的，也就是等边三角形 d、 e、 f， 它的面积是等于四分之，根号三倍，边长边长。这里我们用一个 d、 e 来表示 d、 e 的 平方， 这就是任何一个等边三角形它面积的一个公式，它应该是等于边长平方的四分之根号三倍。这里我就不再来进一个细讲了，因为这个比较的简单，那么这是第一步，你要去求面积的最大值，最终要回到去求它边长的一个最大值上来啊，这是第一个基本的信息。 第二个基本的星期，我们看条件里面的这个角度以及数据角 a， 它是一个一百二十度，那么 d、 e、 f， 它是一个等边三角形，那么角 e、 d、 f 这里它就是一个六十度， 所以这里有一个对角互补模型，所以说四点 a、 e、 d、 f 它肯定是共圆的，这里我就不画圆了，因为非常的明显，直接连接这个 a、 d， 连起来之后可以得到一个与 a、 d 有 关的一个角度，那就是角 e、 a、 d， 它应该是一个六十度， 对不对？因为同弧所对的圆周角是相等的，所以这个地方可以得到第二个信息，角 e、 a、 d 等于六十度，其实也就是啊 a、 d， 它始终是啊平分角 a 的 好，这是我们通过审题之后得到的这两个基本的信息，接下来我们要通过这个基本信息来进一个逐步拆解，来找到啊这个面积的最大值和这个边长他的一个关联，应该在哪个地方可以让这个边长取得最大，然而这个地方你也可以看得出来， 这个看得出来什么呢？这个 d、 e 和 a、 d 他的一个关系，我们可以看得出来，这个角啊 a、 e、 d 啊，它里面，这里它是一个六十度，对不对？它肯定是大于角啊 e、 a、 d 的， 这个等于六十度，左边这个角 a、 e、 d， 它是大于六十度的，对不对？这个是非常的明显的，那么我们根据大角对大边，在三角形 a、 e、 d 当中肯定满足这个 d、 e 对不对？它应该是小于这个 a、 d 的， 它也可以等于这个 a、 d 等于 a、 d， 它就可以取得 d、 e 它的一个最大值，所以基于这一点，我们就可以把我们这个问题就来进行一个简单的转化，也就是三角形 d、 e、 f， 它的面积等于四分之根号三倍 d 的 平方，根据这个边长 d、 e， 它小于等于四分之根号三倍 a、 d 它的一个平方， 也就是我们通过这样的一个简单转化，把最终的问题的面积的最大值转化为求 d 的 最大值，那么 d 的 最大值又转化为求 a、 d 它的一个最大值，那么 a、 d 转换到这个位置来就非常的有利，为什么呢？因为这个 a 点它的运动轨迹，我们接下来可以来研究得到，它的轨迹是非常的明显的。好，我们接下来研究一下 点 a 的 轨迹，以及如何来求此时 a、 d 的 一个最大值。好， 这里我们简单的把基本的信息在写的这个地方，那个角 a， 它是一个一百二十度啊， bc 的 长它是十倍 啊，根号三，这个 a、 d 我 们刚刚已经研究了，它始终是平分角 b、 a、 c 的， 它左右两边是两个六十度，那么接下来我们要来研究 a、 d 在 什么地方它取得一个最大值，当然第一点这个位置呢？ a、 d 这条线呢？它是一个平分线，研究它的最大值离不开去关注 a 点它的运动轨迹是什么，对不对？由于角 a， 它是一百二十度啊，对边这个 a、 b、 c 的 长，它是一个定长十倍光色坐这里就是一个定角以及定长的问题，我们就可以把 a、 b、 c 这个三角形它的外接圆直接做出来， 做出来之后圆形这里我们可以标一个 o 点，连接 o、 b、 o、 c 这两条半径来进研究它的半径长度。根据原理的知识，我们可以简单的推到这个角 b、 o、 c， 它是一个 啊，一百二十度，由于 b、 c 的 长，它是十倍高三， o、 b 比上 b、 c 就是 一比高三，所以此时半径的长 o、 b， 它肯定等于这个十， 对不对？然后再来我们，我们怎么来？接下来我们来研究一下这个 a、 d， 它是平分角 b、 a、 c 的， 也就是 a、 d 的 左右啊。在三角形 b、 a、 c 当中， a、 d 的 左右，它平分的话就是两个六十度。那么这两个六十度在圆里面如何来进一个体现它的一个运动呢？ 这里方便来进一个找那个角平分线它是怎么运动的？我们可以在 b、 c 的 下方做一个等边三角形 啊，六十度，这里我们可以标一个 h 点啊，这里做一个六十度的啊，等边三角形，也就是 b、 c、 h 是 一个等边三角形。做等边三的目的我们就是来构造啊，同弧所对的圆周角是六十度，来找到 a、 d， 他 是如何运动的？这里我们直接连接 a、 h， 连接起来之后，很明显这个 a、 d、 h 这三点他肯定是贡献的，为什么贡献？因为 a 点这里他本来就是平分六十度， 然而你根据连接起来之后，同弧所对的圆锥角也是六十度，对不对？因为下边是一个 b、 c、 h， 它是个等边三角形，所以这里就可以来了解到 a、 d、 h 它肯定是共线的，并且可以看得出来这个 h 点它是一个定点， a 点的运动轨迹就是在 b、 c 的 这个烈火上运动，那么 d 点的轨迹就是 a、 h 的 连线与 b、 c 的 一个交点，对不对？那这个地方就非常的直观和形象，明白了，对不对？我们要来求 a d， 它的最大值应该在哪个地方来取得最大呢？为了方便来进一个观察，我们把 啊那个 o h 啊，半径以及直径给它做出来啊，上方这里我们可以标一个 q 点，对不对？好，因为什么呢？ 因为这个 a d 它应该是等于这个 a h 啊，减去这个 d h 的， 对不对？我们要求 a d 它的一个最大值，就来就来找 a h 减去 d h 它的一个最大值， 也就是要找 a h 的 最大， d h 的 最小，那么 a h 要取最大， d h 要取最小，很明显就是这两个要同时满足的话，也就是当 a h 成为 啊这个 q h 直径的时候就可以了，对不对？就非常的明显，对不对？在这个地方我们可以标一个 m 点，对不对？也就是此时这个 a d 等于 a h 减 d h， 它应该是小于等于这里的 q q m 的 非常的明显，也就是 a 点和 q 点重合， a h 成为直径的时候， a h 就是 最大， d h 它就等于 m h， 它就是最小，对不对？因为这里它 m d h 下方它是一个直角三角形，这里非常的明显，对不对？ 所以接下来我们只需要求啊 a d 它的最大值，也就是 q m 它的一个值就可以了，对不对？由于半径等于十， b c 的 长是十倍高三，那么这个 b m 的 长就是五倍高三，很明显，根据边的关系可以看得出来，此时啊， 我们就可以求得出来，这个 o m 的 长就是五嘛，对不对？上方 m q 的 长也就是一个五，对不对？所以 a d 它的最大值，它就等于啊等于五，对不对？所以根据前面的推理啊，三角形 啊， a、 d、 e、 f 它的面积，它应该是等于四分之根号三倍啊，这个 d 的 平方，它小于等于四分之根号三倍 a、 d 的 平方，那么这个 a、 d 平方，它又小于等于啊，四分之根号三 乘以啊，这个五的平方拿进来等于四分之二十五倍啊，根号三。 好，这个四分之二十五倍根号三，就是我们这个题当中啊，动态等变三角形 d、 e、 f 它面积的一个最大值， 所以这道题相对来说综合性还是有点强的，它不是让你直接来求它面积的一个最大值，在什么地方，它是需要有一定的 转化的，就是面积要转化到这个边长边长，再来转化到和 a、 d 的 一个关系，那么 a、 d 这个地方的最大值又来找到通过 a 点的轨迹这个圆来确定 a、 d 它的一个最大值的一个位置，所以这道题相对来说 还是有些难度，在转化上这个地方还是有些难度的。好的，这个题的方法就是这样，大家也可以参考一下。

天津中考二十五题，二次函数几何综合这道题做不出来最大的问题，函数占一小部分，最大的还是站在你的几何没有学好。 第一问啊，基本上就是求解析式和顶点啊，非常简单，不说了。第二问一定是关于线段和面积之间的一个问题，那我们可以采用斜线画直线或者牵垂法的问题去求面积， 这里面我们还要熟练的掌握两点间的距离公式和终点公式。第三问也是最难的一问，我们必须要熟练的掌握像一线三垂直、内等线 啊，将军印码等等的变形知识，把你的几何知识弄好，知道如何进行平移、旋转、翻折的变换，你才能把这道题完完全全的搞定。

这一期的视频非常的硬核，主要来讲一讲中考的二十四题翻折题对应的翻折的话呢，有这么几种类型的题目，同学们只要吃透了，在中考的考场上，那么拿下这道题的概率还是非常高的。第一种类型的题目，直角三角形的翻折，那么对于来讲的话呢，天津中考的话，他特别喜欢考这样一个直角三角形的翻折，叫三六九， 对应的三个角分别是三十度、六十度、九十度。在考试的时候，他往往要么沿三十度做一个翻折，要么沿六十度角做一个翻折，图形的构成长成这个样子，大家能够看到这这个地方有一个直角三角形 a、 o b， 呃，三个角分别是三十度、六十度、九十度，最开始的时候呢，会在角 o 这里做一个翻折，那么这样一打的话呢，这个三角形他就应该是一个等边三角形，折痕为 p q 翻过来以后， 那整个图形的话和 o a b 应该是完全重合，因此这个时候重叠部分的图形应该是一个等边三角形。找临界情况，这个 p q 再往前跑的时候，同学们就能够发现一个很神奇的事情，它会有一个临界情况， 当我的折痕跑到某一个时刻的时候，正好能够保证我们的 o e 撇点恰好跑在我们的直角边上面， 那么这样一来，这样一个蓝色的等边三角形的话，就是我们最后一次出现等边，那 p q 再往前跑的时候呢，此时的重叠它就会出现四边形，因此这个是一个连接。 再往前跑的时候，同学们要跟着我的这个节奏啊，去思考一下整个翻折的过程， 这样一个三六九圆图形不变，依旧是 a o b， 屁股再往前跑的时候，大家就能够发现一个很神奇的事情，我们这个时候来讲的话，翻折过来以后的等边三角形 与 a o b 的 重叠，它会形成一个四边形 啊，这个区域显然是重叠的，那么这里的话有两个细节同学们一定要把握得住，就是这个重叠部分的 p q n m， 它的面积怎么去计算，肯定是使用注意了三角形 o e 撇 p q 的 面积，它是等边三角形，面积公式是四分之根号三乘以边长的平方 啊，一般来讲的话，就是把这里的 o q 设为 t 啊，常规操作。那这样一来，有两个细节一定要注意，也是一个小的三六九，这里 也是一个小的三六九，因此的话，我们整个重叠部分的面积肯定是用 o 一 撇 p q 减去这两个绿色的三六九，那么这个时候的话，比如说 o a 的 长度是二，那很容易就能够表示 a q 的 长度就应该是二，减去 t， 根据三六九的三边比例关系是一比根号三比二。我们已知一边以后，那么另外两个边就很容易能够表示出来，那这样的这两个六十三角形的话，它的面积就很容易写出来了，因此这个重叠部分的面积是可以表示的。那么随着这个时间的推移，当我们的 p q 再往前跑的时候，又会有一个临界情况， 这里一定要注意， 就当我们的 q 点和这里的 a 点正好重合的时候，这是一个极其特殊的位置，那这样一打，在这个时刻，我们的重叠部分的形状又再一次发生了变化，他再一次回到了三角形， 那么这个三角形的面积是固定的啊，是固定的，同学们要注意，从这个时候开始，我们 p q 再往前跑的时候，他的图形的这个重叠又会再一次发生变化，那么从这个零件开始再往前跑， 再往前跑的时候，此时我们的 q 点就会跑到 a 的 右侧来，这种图形的想象力是天津中考的核心考察。那么这样一来，我们的三角形 o p q 翻折过来以后，同学们一定要注意，这个时候很神奇，我们的重叠就是这个蓝色区域， 那么他的形状一定要把握的住，就是这个重叠部分的形状，他依旧是一个三六九，那我们只需要表示任何一边以后，那么这个重叠部分的面积就很容易表示出来，那么这里的难度其实并不大啊，可以去倒边倒边。比如说举个例子， o q 的 长度是 t， o a 的 长度是二，那咱们的 a q 长就应该是 t 减二。这里我讲一下我们天津中考的话呢，求图形的面积啊，大家注意了，求面积就是求线段长，求线段长跟我们小时候玩的一个游戏啊，叫贪吃蛇，其实很相似， 什么意思？就是根据他给我的这个线段长设为 t 以后，你要尽可能多的表示一切，你能够表示的线段就是由 t 由二来吃掉第一条线段 a q， 那 么由 a q 得到以后，那么这条线段就也有了，他有了以后，其他所有的线段就都会求出来，叫贪吃蛇，先吃掉一个，再吃掉一个，再吃掉所有，那么这个地方你所有你需要表示的线段就都能够被你表示出来。那么再往前跑，同学们可以感受一下子我们的重叠， 他的形状其实并没有发生很明显的改变，很明显的改变，再往前跑的过程当中， 他的重叠依旧是这个小的三六九，那么这样一来，我们就能够很清楚的发现整个图形的重叠啊，他的形状应该是这个样子的，先完全重叠， 他是一个三角形，再变成四边形，再变成三角形。那大家注意了，根据对称的这个叫做过程当中，大家就能够发现，我们整个图形的面积变化过程应该是先不断的变大， 再不断的变小。那么天津中考的话，肯定会有这样一种类型的题，比如告诉我们，当 t 大于等于二，小于等于五的时候，求 s 的 范围，那这样大家应该能够发现，在二到五这个区域里面，他一定是先变大再变小，所以最小值要么在二处取，要么在五处取，那么我只需要算这个两个特殊的理解情况，我们就能求出来 s 的 最小值， 那么最大值怎么求呢？先变大再变小，那么最大值一定是在四边形处取的，因此我们只需要算出来这个 四边形的面积表达式，对他求最值就可以了。这里讲一个小的技巧，同学们注意了，他既然能够求出来最大值，因此这个四边形的 s 表达式，他的二次项系数一定为负数， 就是说白了，这个 s 的 表达式一定是一个二次函数，开口向下他会取得最大值，那么这种类型的题同学们应该就能够把握住了。也是我们天天中考比较喜欢考虑一种叫三六九的翻折，那么这里有的时候呢，会改变一下子，我们是围绕， 围绕什么，围绕这个地方的角， o 就是 六十度角做一个翻折。很多题目的话，稍微改变一下子，也可以围绕这个三十度角去做一个翻折，整个解题的思路是完全一样的，这里的话我就不再赘述。那么只要三角形的翻折，基本上就来自于 我在这里讲的这一幅图的这个整个情况，就是从第一幅图到第六个图，同学们整个来理解一下子，那么三六九的翻折基本上就不会有特别大的问题。好。第二种类型的题，天天中考他特别喜欢以矩形 为背景的翻折，矩形为背景的翻折，那么这种类型的题的话呢，其实相对来讲的话呢，他的这个难度啊，要比直角三角形的要大一点，但他的核心逻辑也是一样的。 我们做翻折题啊，经常会遇到这样的一个图形，这里给到我们一个矩形， a o c b 一 开始翻折的时候呢，对吧？比较拘谨一点，还是一样的，在这里有一个折痕， p q 告诉你，这个角为三十度，因此他还是三十度，六十度、九十度。那整个翻过来以后，同学们应该就能够发现他的重叠 再次跟以前一样，叫做完全重叠，那这个时候 o p q 为多大，重叠部分的面积就为多大。随着我们时间的推移， p q 再往前跑的时候，我们就能够理解 它和我们三六九的翻折逻辑其实差不多，会再一次出现什么一个临界情况，就是当我们改变折痕 p q 位置的时候， 我们会发现我们这里的 o 一 撇点可能恰好就跑到了 aocb 上，那么我们这是最后一次 o p q 为多大重叠就有多大的情况。再往前跑的时候，我们的重叠就发生了一个很神奇的改变 开始了，同学们发挥你们的想象力，当我们的 p q 再往前跑的时候，整个的重叠就会出现一个事情，我们这里 对应点 o 一 撇，他可能会跑到 ab 的 右侧来，那这个时候的重叠就由三角形变为了四边形，这里是很考察你们的想象力的， 那么同学们也是一样的原理，这个四边形是一个不规则四边形，它的面积的算法怎么算？这个角为三二度，这个角为六十度，那这个角也为六十度，他就是三二度，他也为三二度，因此在这个地方很小的啊， 这个小空白红色的小空白三角形，他再一次变成了一个三六九。因此我们的重叠部分面积一定是怎么算？ s 应该是用 p q o 一 撇减去 s 三角形 m n o 一 撇，那么这两个面积都很容易表示，于是我们就能够表示出来这个地方重叠部分的面积。那再往前跑的时候，朋友们要发挥你们想象力了， 再往前跑的时候会有下一次连接情况，就是当我们的 q 点和 a 点重合的时候啊，所有的平移和翻折体都是一样的，要把握住连接，把握住连接，那么你在求第二位的时候，你那个地方的 t 的 范围就不会求错，再往前跑的时候，就是我们的 q 点正好和咱们的 a 点怎么样重叠了，那这个时候我们的对应点 o 一 撇还是在外面。这里有一个我们常讲的口诀，矩形的翻折，里面很细节的一个问题，这里我们特殊备注一下子，很细节，这个折横， 他可以从两个不同的视角来看。第一个折痕可以理解为是角分线，角分线这个大家都知道啊，角一和角二相等，因此的话折痕 p q 肯定可以看作是角分线，还有一个折痕可以看作是中垂线，这个是很多小孩的盲区。 翻折有一个性质叫对应点的连线会被折横垂直且平分，因此这里我们没有操作啊。如果我们连接 o o 一 撇的话呢？那这个时候 o o 一 撇和 a p 应该是互相垂直的关系，那么 a p 将会变为线段 o o 一 撇的中垂线， 中垂线，那么这个时候来讲的话，有角分线矩形的天然性质，两个边既互相平行又相等，那么 ab 和 oc 平行且相等完以后，这里的角一和角三就会相等，那么角二和角三也会相等。因此神奇点来了，我们这里的三角形 a、 c、 n 将会是一个等腰三角形，这叫做角分线，加上平行线等于幺三角形 b 成线啊，那么这个时候来说的话，角一为三二度，角三和角二也将会都是三二度，所以这个地方的重叠 q p、 n 的 面积将会变得特别好算，因为它是一个三二度，三二度、一百二十度等腰三角形，它的三边比例关系是一比一，比根号三啊。从这个理解开始，我们的 q 将会跑到 a 的 右侧来，一旦跑到 a 的 右侧，那整个重叠部分的面积会发生什么样的改变呢？ 啊？你需要数形结合，发挥你的想象力。一旦我们的 q 点跑到 a 的 右侧来， 那这个时候我们的翻折过来的形状将会变成什么样子？ 这个是我们的 o e 撇点，那么整个重叠部分的形状应该就会变成这个样子。 好，这里会有个难点，朋友们要注意了，三角形 p m n 的 面积咱们怎么算最快？一定要把握得住啊！这样一来的话， p m n， 我 们就是以 m n 为底， 以 a o 为高。一般来讲，矩形的长和宽都是已知的，比如说 o a 长是二，那么这个重叠三角形的高就是二，那 m n 怎么表示？大家要注意了，天津中考最大的特色，喜欢考三六九和等腰词，这里是一个三六九， 对吧？那这个时候 a n 就 很容易表示，那 am 也很容易表示，那么这里的 m n 是 可以求的，因此这个地方的重叠 s 三角形 p m n， 你 只需要记住，我们以 m n 为底， 就渴求了啊，渴求啊，这都是一些细节的问题。那么再往前跑的时候，他其实就没有发生根本性的变化，因此这个地方的重叠部分的形状也是一样的，从三角形到四边形，再回到三角形，他整个面积的变化过程依旧是先不断的变大，再不断的变小 啊，那么肯定是在两头某一处取得最小值，在中间这个四边形处取得最大值啊，这个是以矩形为背景的翻折，也是中考非常喜欢的考察方向。第三点来讲的话，中考他特别喜欢以菱形 或者是平视为背景进行翻折，这个是很多同学比较陌生的， 我们一起来看一下这种题应该如何处理。给了我们一个平行四边形以后或者菱形以后，通常来讲啊，都会告诉我们 a、 o c、 b 这个角为六十度啊，告诉我们六十度。那么一开始呢，还是一样的，他可能会会有两种翻折，第一种翻折， 翻出一个等边出来，第二种翻折翻出一个三六九出来。这两个解题思路其实整体上来讲的话差不多，比如说我们就以翻出来三六九举例，那么一开始我们的折痕是 p q， 那 么翻过来以后应该是完全重叠 啊，完全重叠，也就是说 o p q 有 多大，那 o 一 撇 p q 将会也是多大，那么这个 s 三角形应该是最好求的。找临界情况，同学们思考一下，我们的临界情况应该是 q 点和 c 点发生了重叠，那么这样一来这个位置要特殊，小心，一下子 翻过来以后 啊，他依旧是一个三九九，那么再往前跑的时候，当这里的 p 在 这个位置，我们的 q 和 c 重叠完以后，再往前跑， 重叠部分的形状就开始发生改变了啊，就是找到临界情况，那下一个时刻他的重叠部分的形状一定会发生改变，同学们要注意，这里会有一个 a o c b， 我 们再往前跑的时候，他的重叠 将会变成一个四边形， 这个图画的不是很好，我们重新画一下， 把它画的标准一点，那这样一代，因为一开始它就是一个四边形，那么整个翻过来以后，它将会还是一个四边形， 重叠部分就是这个就是蓝色区域的，那么他怎么算？一样的原理就是一个非常常规的上底加下底乘以高再除以二，对这个重叠部分的面积可求 可求。再往前跑的时候，下一个理解情况就是还是翻过来是一个 直角题型，那么这个时候我们的对应点 o 一 撇将会和 a 重叠啊，那么跟前面是一样的，一旦我们的 o 一 撇跑到 a 的 右侧来，那么此时的形状就会发生改变，它就会发生改变， 那么整个题目在这个地方将会考到最难， a o c b， 同学们感受一下子，我们这样做翻折以后，这个是 p 点，这个是 q 点，整个翻过来以后，我们的 o e 撇点跑到了 a 的 右侧来，那么这个时候的重叠部分的形状 会变，为什么图形呢？会变为一个五边形，那么它的面积怎么求？应该是最复杂的，同学们一定要小心了，这里我想讲一下这个重叠部分的五边形形状怎么去求？五边形肯定是规则减规则，所以它的求法一定是用梯形 s t 型 p m o 一 撇 q 减去三角形 a o 一 撇 n。 那大家注意了，因为你这个角为六十度，那这角也会为六十度，翻过来这个角也为六十度，他也为六十度，因此 a o 一 撇 n 这个三角形，它是一个等边三角形，所以等边三角形的话，我们是有面积公式的，叫做四分之根号三乘以边长的平方。 好，一般都会把翻折的距离 o q 设为 t， 那 我们的 o o 一 撇就应该是二 t， 通常来讲 o a 长都是已知的，所以 a o 一 撇就可以表示出来， 那么这个时候 a o e 撇 n 的 面积就很容易表示了，那么这样一来，这个五边形的面积就能够被被你给表示出来。那么再往后跑的时候，大家会发现，你不需要再把这个图画出来了，再往前跑的时候又会回到什么图形，又会回到四边形， 从四边形又会回到三角形。因此大家可能会发现啊，在做对称题和平移题的时候，这里会有一个数学的美，叫做对称美， 你会发现在这个地方，他重叠部分的面积形状应该是从三角形开始变成四边形，再变成五边形，再变成四边形，再变为三角形， 那么他的 s 的 变化过程一定是先变大再变小。比如说告诉我 t 大 于等于一，小于等于七， 那么我们 s 的 最小值要么在一处取得，要么在七处取得。所以我们只需要算一下，为一时候的情况，为七时候的情况，这两个人去比大小，哪一个小取哪一个。所以最后第一问，最后一问呢，我们去求这个叫做 s 范围的时候， s 的 最小值，它非常容易求， 那最大值呢？大家注意，最大值一定是在中间处取得我们最大值，因此在求面积最大值的时候，我们根本就不需要算三角形、四边形、四边形、三角形，我们只需要算出来这个五边形 s 的 表达式， 它一定是一个二次函数，二次项的系数一定为负数，开口向下确实会取得最大值，因此我们就能够得到一个非常重要的信息， s 的 最大值会在中间处， 就是重叠的中间处取得最大值，那这样一来我们就能够很快求解完中考的二次题的对称题。这里我讲一下子中考基本来讲的话，现在是 平移对称挨着考，去年考的是平移，那么今年大概率就是考对称。同学们只要吃透我们这一个对称的图形三个基础模型，那么在中考的考场上以及你未来刷题的过程当中，你就会发现基本上所有的题都来自于我们这一讲所分析的翻折模型， 以及我们这里面积的算法的求学技巧都是完全一样的。这期的视频就讲到这里，天津中考学子们一起学起来吧！

关于十七题，大家最关心的两个问题，最常用的辅助线造中卫线，或者根据中卫线造底边，其他的辅助线肯定不是灵光一闪，他是根据解析的情境来决定的。一个屡试不爽的方法， 把重要条件放入三角形水里面非常高的一道题膜去通透它，你对终点辅助线的把握能提升百分之八十。详细的思维过程，包括一些细节的把握，我会以视频的形式发到公众群，大家关注我，进群去学习吧。

咱们一节课带你学会天津市中考十七题的终点的解析方法，时间非常长啊，如果想让你的孩子把它学透啊，希望大家点赞，收藏好看。正方形 abcd 的 边长为三倍，根号二， 边长呢是三倍的根号，对角线相交啊， o e 是 五，整个 o e 的 长度呢是五。接下来他说连接求线段 a e 的 一个长度啊，求线段 a e 的 一个长度。第一问非常的简单，我们知道正方形的对角线 是相等且互相平分，而且呢这还是垂直的，那么这边呢，就形成了一个四十五，四十五、九十的一个等腰直角三角形，根据比例，我们知道 这个对角线就都被分成了三，而整个是五呢，减掉三，这边就是二。第一问非常的简单，我们看第二本，他说 f 为 d， e 的 中点好，这边出现了一个中点，那我们先教方法。一， 第一种方法呢，叫背长中线，什么意思？如果在一个三角形 a， b， c 当中啊， b c 这个边呢，有一个中点 d， 那 么连接 a d， a d 就 叫做三角形的中线。 那这个时候呢，我们可以进行怎么样的转化呢？我们可以把这个 a d 给背长出来到 k， 使得 d k 呢等于 a d， 从而构造一个 x 形，从而构造一个 x 形。 那这个时候呢，我们再去连接 c k 或者是 b k， 就 可以构造出全等的三角形。我们看边和边相等，边和边相等， 并且再加上角度阿尔法，边角边就全等了，从而实现了边的转化，这个边就可以转化到这，这个角呢 是不是就可以转化到这里啊？实现一个空间位置上的转化，一定要注意，这个 x 非常的重要，那我们先看这种方法在这个题目里怎么去运用， 注意看我们把边啊都标好， f 是 中点，它让你求 af， 那 你会发现这个 x 是 不是已经呼之欲出了？那我们仅仅需要把这个线给背长出去，使得 af 等于 f k 即可， 那接下来你会发现你求 af 是 不是就转化成了求 ak 了？ 那怎么求这个 ak 呢？我们用勾股定力就行，但是你要注意， x 型构造出来之后，我们还要连接 kd 或者是 ek 来构造全等的三角形，那我们比方说连接 kd， 那如果你想求 ak 的 话，肯定还要做直角三角形，比如说我们往这边做一个，做到 h 啊，做到 h， 那 你想求 ak 的 平方，是不是只需要求出 k h 的 平方和 a h 的 平方？ 好了，搞定他们。那你注意，三角形全等之后呢，你就发现这个阿尔法和这边的阿尔法是内错角相等，那么这两条线就是平行的，而你要注意 正方形的对角线是互相垂直的，那么这个地方它也是垂直，那么咱们的 k、 h、 o、 d 就是 一个矩形，而且呢 e、 a 是 二， k d 也是二，那么咱们的 h、 o 呢，就也是二啊，就也是二，那它是二了呢？你会发现 a h 就是 一啊，就是一，那 k、 h 呢？由于这边是矩形，它应该跟 d、 o 一 样长，那么是不是就是三的平方，所以 a k 方呢，等于的是十，那 a k 呢？就等于的是根号十， 那么一半呢就是二分之根号十，这是背长中线的思路。好，咱们下一个方法，中位线，如果在三角形中 a、 b、 c 当中 出现了终点 d， 那 我们可以在另外两个边去找到终点，比如说 k 啊，比如说 e， 当你连接上你就会发现 d， k 呢？ 等于二分之一的 bc， 如果不会证明的话，老师另外再出一期，教大家去证明中位线，当然你也可以连接 d、 e， 那是不是就等于二分之一的 a、 c， 所以 确定一个点之后，我们首先要找到这个中点所在直线的三角形，然后在另外两个边上去找到中点，从而构造内部的 中位线。我们来看这个题，还是一样边都标好， 那我们看 e 是 f， 是 e、 d 的 中点，那么 a 在 这，我们看一下 f、 d、 e、 d 啊，在哪个三角形里，它是不是在这个三角形里， 它也在？是不是这个三角形里，它也在这个三角形里？ 那我到底在哪个里做，肯定要看哪个信息更多，那比方说我们在 e、 o、 d 当中啊，因为它的线段长度是比较多的，那我们仅仅需要在另外这两个边上去找到中点就可以了，你可以向这边做，也可以向这边做，但是你要注意 往这边做，是不是正好构造出了直角，跟这形成了勾股定律，所以 我们不往右边做，我们直接往下面去做，比如说到 h， 我 们做一个垂直，而你要知道这边也是垂直的，那么这两条线平行，再加上一个中点，那么这个就是中位线，所以你就会发现 f、 h 应该等于的是三的一半啊，三的一半，好，现在你要搞定的是 a、 h， 那 你要注意了， h 是 终点五，被分成了两半，都是二分之五，那么二分之五再减掉上面的二呢？那 a、 h 就是 二分之一，直接搞定了咱们的 af， 那 么 af 方 是不是就等于二分之三的平方加上二分之一的平方，所以呢，你会发现你的 a、 f 是 不是就应该等于二分之根号十？ 好，咱们再看，咱们再看下一个方法，如何在外部做中位线，比方说咱们一个三角形 a， b， c、 d， 如果是终点的话，他让我们求 dc， 那 么这个时候你会发现它是终点，但是 c 不是， 那么我们就可以 延长出去到 k， 使得 c 成为这条线的终点，然后再连接上 bk， 我 们就构造出了三角形 abk 的 中位线，这是我们可以向外部做中位线的方法。 咱们来看这个题，题目中说 f 是 e、 d 的 终点，但是 a 可不是，那这个时候怎么办呢？我们可以想象 你可以延长 d， a， 或者是延长 e， a 是 不是都可以？那我们看这个边是二啊，这个边这些边都是三，我们看我们把 e、 a 延长出去，比如说延长到 k， 使得 ak 呢也是二，那么再加上这个中点，我们就构造出了中位线，使得 a 成为了 e、 k 的 中点，那这个时候不用说了，肯定是连接 d、 k， 那 你看整个是五，减掉四，那这就是一， 那么一的平方加上三的平方 k， d 呢？就是根号十，那么咱们的 fa 呢？就是二分之根号十，这是向外做中位线。好， 那么其实呢，我们也可以向这个外部去做中位线， 我们只需要把三倍根号二延长出来，比如说到 k， ak 呢，也是三倍的根号二，连接上 k、 e 即可，你就会发现 af 等于一 k 的 一半， 等于一 k 的 一半，那这个时候怎么求它呢？肯定做垂线，做勾股定律就可以了，这个由于它是四十五度，这边也是四十五，这边非常的简单，是一个等腰直角三角形， 那么这个边是二，这两个边呢就都是根号二，三倍根号二，减掉根号二，这边就是二倍的根号二， 你看勾股定律是不是就出来了，所以上面这个边用勾股定律求完了，是根号十，那么咱们下面这个边呢，是不是就是二分之根号十？ ok， 好， 那接下来呢最后一种方法，间隙法， 间隙法呢？咱们先说两个比较重要的东西，第一个叫钟点公式， 如果大家想知道钟点公式怎么推，咱们单独再说好。如果在平面直角坐标系当中出现了点 a、 点 b， 那 么连接上 ab 之后，它们的钟点 c 的 坐标是多少呢？一定要记住，横坐标相加除以二，纵坐标相加除以二， 分别作为 c 的 横纵坐标，这个要注意。然后接下来如果你想求出 ab 的 长度，那么我们可以构造勾股定律，你会发现这条线的长度是 c 减 a， 这条线的长度呢是 d 减 b， 那 么你就会发现 ab 方应该等于横坐标减横坐标的平方加上纵坐标减去纵坐标的平方， 减反了也不重要，因为一平方就都变正了，所以 ab 呢，就等于根号下横坐标减横坐标的平方加上纵坐标减纵坐标的平方，这就叫两点间的公式。 有了它之后呢，我们看一下怎么去进行一个操作，把这个图啊，我们放在这边进行放大， 做一个平面直角坐标系为什么可以做？因为这是一个正方形，非常的规矩，那接下来呢，我们做纵轴，纵轴呢，其实可以在这边做，当然我们也可以在这 好建立完了之后呢，我们要知道题目当中的一些长度啊，一些长度，并且呢这个是二，我们现在要求的是 af 的 长度，那我们可以转化成求 af 的 坐标， a 的 坐标，注意长度，这个是三倍根号二，所以呢 a 的 坐标是零，三倍根号二， 那么 f 是 e、 d 的 中点，你会发现 f 不好求，但是呢我们可以求 e、 d 的 坐标， d 的 坐标，横坐标三倍根号二，纵坐标三倍根号二， 那么 e、 d 的 坐标呢，你会发现我得知道它横着多长，是不是竖着多长，那横着多长呢？我可以往上面看一看， 是不是就是这条线，那这是二呢？这个长度应该是根号二，那么这个这比如说叫 h 吧，这个 e h 是 不是也是根号二，再加上下面这个三倍根号二， 所以你会发现一点的坐标，横着是负根号二，纵着是四倍根号二， 那么 f 点的坐标，这个 e 点的坐标啊，我们就找齐了，那么 f 呢是他俩的中点，所以 f 点的坐标呢，应该是横坐标相加除以二，加完了之后呢，是二倍根号二，再除以二呢，就是根号二， 重坐标相加是七倍根号二，再除以二呢，也是二分之七倍的根号二。有了 f 的 坐标之后呢，就可以用这个 f 啊坐标和 a 点的坐标进行一个两点间的公式，那 a f 呢，应该等于根号下横坐标减横坐标的平方，根号二减零的平方 加上纵坐标减纵坐标的平方就是二分之七倍根号二减去三倍根号二括号的平方， 那么 a f 呢，就应该等于的是根号下二加上二分之一，结果呢，也一样是二分之根号式。感谢大家的观看。

在讲这个第三问之前，啊啊，带大家复习一下相关的一个知识点啊，再有他这个涉及到哪些知识点，我说明一下啊？ 啊，这道题里他给了一个二倍角的一个情况啊，也就是什么意思呢？比如说这个是角一， 这就是两倍的角一，然后给到这种三角形这种题型，那我们怎么去思考啊？ 我们常用的方法就是构造等腰三角形，因为我们构造出等腰三角形之后啊，他就会有边的相等，角的相等啊，对我们解体会有帮助， 那我们怎么去构造啊？比如说这是二倍角一，这是角一，那我是不是可以构造一个跟他角一样的一个角啊？比如说我让他也等于两个角一， 可以吗？如果他是两个角一的话，根据这是外角三角形的一个外角，那是不是这个也是角一啊？他就会形成什么呀？两个等腰三角形， 哎，这么做的好处是什么呀？他会有边相等，哎，也会有角度的相等，哎，角度的相等对我们解题有帮助啊，当然我们还能怎么做呢 啊？同样这是角一，这是两个角一啊，构造等腰怎么去构造？我们是不是可以在这边再拉出一条线来，让这个角也等于角一，这就是一个大的等腰三角形啊？ 又因为这个两倍角一是一个外角的关系，那是不是这个我们求出来也是角一？ 一样一样有两个等腰三角形，首先是这个大的边相等，是不还有这个小的呀，小的边相等啊，给出来一个等量关系了啊，那我们怎么去想啊？因为等腰三角形实际上我们学的时候是不是也就是 对称啊？对吧？等腰三角形也有什么三线合一的这个情况啊，也就是说我们可以做一个垂直， 让这个点，关于这条线，我们做对称对称过来一连 啊，这个角跟这个角是不是都相等了？这跟这是不是都相等了？按照我刚才说法，或者说这个点，我们关于这个高线啊，做一个对称啊，对称过来一个点， 那是不是最后我们得到的还是这个呀？啊，也就是说这两个方法我们得知道啊，也就是最终的目的，我们就是为了构造等腰三角形，找出相关的边相等，然后角相等啊，有利于我们做题。 还有一个什么知识点，将军印嘛，啊，这个考的就比较多了啊，而且这个初二的话学的也比较多啊， 这个是我们轴对称当时学的一个知识点，对吧？哎，怎么找到最短路径的问题？比如说有一个 a 点，一个 b 点，哎，对吧？我 a 到 b 这个距离，哎，也就是说我这条线上有个屁点是动点，我要求的是什么呀？就是 a p 加 b p 的 最小值啊，大家都已经非常熟悉了，做对称对不对？做出一个 a 点的对称点，比如说 a 撇啊， 然后我们连接 a 撇 p， 此时我不管我这个屁点怎么移动， 根据对称啊这个轴对称的这个知识点，我 a p 是 不是一直等于是 a 撇 p 啊？因为这个对称轴相当于一个中垂线，对不对？ 点到两端点距离是相等的，那么我们就把这个 a p 加 b p 转化成了什么呀？ a p 加 b p 是不是求它的最小值啊？那我们怎么去求它的最小值啊？哎，是不是让它们两条线共线就可以了？怎么才能共线呢？是不是直接连接 a 撇 b 就 可以了？两点间线段 最短啊，此时交于一点，这个 p 移动到这个位置的时候，此时 ap 加 bp， 它就有最小值 啊，就这么一个简单知识点，将军印马的一个情况。然后这道题还涉及到一个平行四边形的问题啊，平行四边形存在性的问题，在平面直角坐标系里，如果给你了，他说有平行四边形的存在啊，给你点了 ab、 c、 d， 这个，我们怎么利用它这个这个平行四边形这个存在性的问题啊？首先我们先分析一下平行四边形它有什么性质， 哎，对边平行且相等，是吧？还有什么呀？有一条比较重要啊，对角线相互平分，而且相交于一点，我们比如说 m 点，那 m 点 也就是 a、 c 中点，是不是也就是 b、 d 中点？然后我们二次函数这道题又在平面直角坐标系里啊，一般我们会知道它的点坐标啊，那我们就知道了一个什么关系啊 啊，通过两点间的终点的坐标公式，那是不是我们就可以得到一个等量关系了？比如说啊， a 的 坐标是 x 一 y 一， b 的 坐标是 x 二 y 二， c 的 坐标 x 三 y 三， d， x 四 y 四。好，那 m 点的横坐标实际上就是 x 一 加上 x 三 除以二，是不是 m 点的横坐标同样也等于什么呀？是不是 x 二加 x 四除以二， 是不是这个等量关系构造出来了？如果这四个未知数里，我们知道三个，那是不是我们可以求其他的呀？同理，纵坐标是不是就是 y 一 加 y 三 除以二，同样也是 y 二加 y 四除以二，这是通过这个两点间终点的坐标公式我们得来的 啊。讲到这，我们再复习一下啊，两点间的距离公式和两点间的终点公式啊。这几年的话也是比较常考的啊。 举个例子，比如说 ab 两点啊，在坐标系里有 ab 两点，比如说 a 在 这， b 在 这啊，有 ab 两点 啊， a 是 x 一 y 一， b 是 x 二 y 二，那 ab 等于多少？也就是说 ab 这条线距离等于多少？它是等于根号下 x 减 x 二的平方，加上 y 一 减 y 二的平方 啊。当然啊，这个 x 二减 x 一， 或者 x 一 减 x 二，谁在前谁在后都无所谓，因为我们都有一个平方，所以说都是相等的啊。这个也比较好理解，其实它就是勾股定律来的啊，比如说 a x 一 y 一 b x 二 y 二，哎，我是不是可以做垂直啊？我往这边做个垂直， 我往这边做个垂直，是不是这会构造出一个直角三角形啊？那这个直角三角形的这个直角边是不是我，我都可以分别求一下，那这条边的距离是不是也就是 x 二减掉 x 一 得到的它呀？ 同理，那这个是不是就是 y 一 减掉 y 二得到的这条边？那它们分别平方一下 啊？是不是就等于这个 ab 的 平方再开个根号，其实就是勾股定力得来的啊？再有就是 ab 之间有一个中点 c 点， 哎，那 c 是 终点啊，那终点 c 的 坐标公式其实就是什么呀？刚才这个我们也提到过了，是不是就是二分之一 x 一 加 x 二， 然后二分之 x 二分之 y， 一 加 y 二，也就是横纵坐标相加除以二，这是纵坐标，纵坐标相加除以二啊，这个就是终点的这个坐标公式 啊，像平行四边形这个存在性问题，就是根据它得来的，它既是 a、 c 的 中点，又是 b、 d 的 中点，那 x 一 加 x 三除以二，也就等于 x 二加 x 四除以二啊，就是这么得来的。有了这个关系啊，那我们就可以啊，求一些坐标问题 啊，这个知识点复习完了，那我们来看一下题目啊，大标题刚才我们已经说过了啊， a 小 于零， b 大 于零，这我们知道对称轴是在 右侧的左同右异啊，也就是这是对称轴。好，他给了 b 点 m 零 啊， a 点是负一零，我们还继续标上 a 点负一零， b 点呢，肯定在对称轴的右边了，因为左边有一个了，对吧？它们俩是对称的啊， 再稍微往这边画一画啊啊，比如说 b 点在这吧，这是 m 零，然后 c 点， c 点的话啊，我们先画一个大概的图像出来啊， 啊，如果我想跟这个 x 轴，如果有两个焦点，那 c 肯定也是大于零的，对吧？因为开口向下嘛，稍微画一下啊，就画一个草图啊，然后我们大概图形画出来了，我们根据这个条件 啊，根据这个条件，我们先分析一下这个条件，首先角 c a b c a b c 等于二倍的角 abc， 也就是说这个就是刚才我们说的两个角一，这是不是这一个角一， 是不是？按照刚才我们讲的可以这么理解，然后以 a、 c 为边的平行四边形 a、 c、 e、 f 啊，那根据这个我们提示 a c e f， 是 不是我们可以做一个平行四边形，大概的一个情况啊？他说 f 在 这个对称轴上啊，也就是这个点是 f 点啊，这点是 e 点，大概的我们画一个这个情况，然后说当 c e ce 加 cf 取得最小值为二倍，根号六十，求点 e 的 坐标啊，我们目的是为了求点 e 的 坐标。 好，那我们通过这一一句话，这一大段话，那我们能分析来分析出来几个点啊？就是刚才我们讲的几个点，第一个二倍角的一个关系， 二倍角模型，刚才我讲的那个模型，第二个平行四边形存在性问题， 平行四边形，哎，第三个，哎，有个 c e 加 c f 的 最小值问题， 哎，这个一分析是不是就有将军印马啊，最小值问题啊？我们来看一下啊，这一般我们看到这三个题里，我们先从哪个去分析啊？是不是我们大概率是从这个去分析啊？因为他要求的就是点 e 的 坐标，而这里包括 点 e， 而且他有了最小值是二倍根号六，那一般我们做这种题，我们优先的先把这个 哎给的条件我们先分析一下，那我们来看一下啊，那 c e 加上 cf 的 最小值，我们怎么去转换一下？那 c e 是 不是应该等于 af 呀？ 因为他说有一个平行四边形的问题啊，所以这个把 c e 加上 cf 最小值的问题， 那 af 加上 cf， 是 不是我们就是一个简单的将军印码问题了？我把这个对称轴我横过来，是不？这就是 a 点，这就是 c 点，那是不是这跟刚才我们 讲的将军印码是一样的，那我们是不是就可以做一个对称对称过来连接 这个 a 撇 c 是 不是就是最小值啊？那好，那 a 点是不是我可以做一个 a 点的对称点啊？那 a 点的对称点在哪？ a 点对称点是不是就是 b 点啊？ 对吧？啊？那此时的话，那我 b f 加上 c f 最小值，是不是又转换成 b f 加 c f 的 最小值，那是不是就是共线问题了？当这两条线共线的情况下，是不是就是最小了 啊？那怎么才贡献啊？怎么才最小啊？是不是两点间，两点之间线段最短？我连接 c b 的 话，此时与这个对称轴的交点就是 f 点， 也就是说当我 f 点落在这的时候，哎， bc 有 最小值，是不是在这个基础情况下，我再往前分析，就是我要求 e 点的那个 他标定的一个范围啊，也就是说当这个取得最小值的时候，求顶点 e， 哎，也就是说我先得实现他最小值的时候，我再找这个 e 点，是不是这意思？那是不是我们求得什么呀？ bc 就 等于二倍根号六吧， bc 等于二倍根号六，哎，那我们看一下，如果 bc 我 们求出来是二倍根号六的情况，那通过它我们能想到什么东西啊？ 哎， bc 是 不是它在一个直角三角形里啊？哎， c 点坐标啊，零， c 点坐标 m 零，我是不是可以找出来 c 和 m 的 一个关系啊？ 对吧？他们都在正半轴上啊，也就是说这条边是等于 c 的 啊，这条边是等于 m 的， 哎，通过勾股定律，我们是不是可以找到一个关系，也就是说 c 的 平方加上 m 的 平方，它应该等于 二倍根号六的平方啊，做到这我们已经列出一个等式了。好，那我们考试当中写到这了，那是不是我们就得知道我这里面两个未知数啊？那两个未知数的话， 那我要想求出来的话，是不是还得再知道一组式子啊？一组等量关系啊，对吧？因为光凭这一个式子，我解不出来 c， 也解不出来 m， 那 怎么去找其他式子？是不是其他两个条件我们还没看啊？啊？ 像这个一点，它要求一点的坐标，我们大概率是什么呀？用这个平行四边形，把这个 c、 a、 f 我 们求出来之后 啊，求出来之后，然后用刚才我们说的那个平行四边形存在性的问题去说啊，目标基本上已经确定了，但是这个基本上也就最后用了啊，那我们就要看一下这个二倍角，是不我们还没分析啊， 我们优先再分析一下这个二倍角的一个情况，哎，怎么去用到，对吧？哎，我是不是这有个垂直啊？我是不是可以做 a 点的对称点啊？做过来之后有一个等腰三角形， 哎，比如说做个对称点，是不是有个等腰三角形？我这是角一，那这也是角一，这是二倍的角一，对吧？然后是不是就有相应的关系啊？对吧？或者说我把这个 b 点往这边做一个对称做过来啊？ 那这道题里啊，那这个我们优先怎么去做啊？刚才我们说了，这边也可以做，然后做这个 b 点的对称也可以做，那我们优先做哪个？其实都一样啊，但是我推荐啊，做这个 b 点的对称点，为什么呀？如果你再把图画在这个里面，它就会显得特别的乱 啊，影响我们做题。可能你的思路是对，或者怎么样你做的都对，但是太乱的话，可能是不是我们就会增加这个错误的概率啊？ 啊？那我们可以完全就是做一个 b 点的对称点啊， b 点对称点，比如说做过来 b 撇，那是不就可以是负 m 零，然后这个二倍角我们做出来，哎，这个等腰三角形之后，哎，我们的目的是为了什么呀？ 哎，目的是不是为了找 c 和 m 的 这个方程啊？因为我这边做出来一个，那我是不是还需要一个呀？ 啊？那我怎么去找啊？那我们就做完这个等腰之后，我们先把相对应的等量关系，是不是可以标一标啊？像这个负 m， 我 是不是标完了，那是不是这是一个等腰三角形啊？也就是说 c a b 撇 a， 这是一个等腰三角形，对吧？刚才说过了，这是角一，这过来也是角一，那他还是角一说，说明这是一个等腰三角形啊， 那这个点，这个 b 到 o 的 这个距离是 m 啊， a 到 o 的 距离是一，那实际上 b 撇 a 的 距离就是 m 减一， 那是不是我也可以得到什么呀？ a c 也等于 m 减一 啊？那 m 和 c 的 关系我们怎么去找啊？是不是这个 a o c， 它是一个直角三角形啊？是不是还可以用勾股定底啊？ 啊？直角三角形啊，这条边是一啊，这条边是 c 啊，这又是 m 减一，是不是我们又可以列出一个方程，也就是说一的平方加上 c 的 平方，等于 m 减一的平方， 哎，是不是这个关系我们就找到了啊？那我们这边削圆啊，解一下方程是不就可以了？ 然后这两个式子啊，我们代入消元啊，加减消元都可以了啊，是不是我们这个 c 方哎，我们都可以转换成 c 方等于多少多少形式呗， 比如说 c 方等于啊，二倍，根号六的平方就是二十四，二十四减 m 方，那这边 c 方是不就等于 啊， m 方减二， m 加一，然后这个一挪过去就减一，实际上它就等于 m 方减二 m 啊，把这个等式连立一下，也就是二四减 m 方等于 m 方减二 m 啊，这就变成了一个什么呀，二次方程了吧。二次方程我们解一下就可以了，也就是二 m 方减 二， m 减二十四等于零啊，这边两边再同时除以个二，也就是 m 方减 m 减十二等于零啊。我们因式分解一下，十字相乘 m m， 然后负四三，应该是这样啊，交叉相乘一下，也就是三 m 减四， m 等于负 m， 那 成立啊，成立的话，也就是 m 减四，乘以 m 加三就等于 零。解得解得我们 m 一 就等于四， m 二就等于负三。 首先这个 m 肯定是个正的，为什么呀？对称轴在外轴右侧，然后 a 点是负一零，它所对应的点肯定对着这个对称轴对 对过来，是不是？那也就说 b 肯定是在正半轴上，所以说这个 m 的 坐标我们就求出来了， m 点坐标就是四啊，这个负三的就舍掉啊，做到这 c 也求出来了啊， c， 我 来看一下啊，我们把这个四代入啊 啊，比如说这个 c 方是不是就等于这个二十四减掉这个十六啊，二十四减十六，这个等于八啊，那 c 的 话就等于什么呀？根号八也就等于二倍根号二 啊，那现在的话， c 点的坐标求出来了， b 点的坐标也求出来了啊，那是不是 f 点我就能确定了，是不是我们通过这个 c b 两点啊？ 也就说我们现在已知 c 点的话是零二倍根号二，然后 b 点的坐标是四零，通过这个我们是不是可以把这个 bc 的 解析式求出来啊？ 求出来之后，我们再求一下与这个对称轴的交点啊，我再求一下这个对称轴的交点是不是就可以了 啊？因为这个时长问题啊，我就再快速的说一下啊，哎，这个 f 点怎么去求啊？因为 a 点求出来了，那我们 b 点是四零，那对称轴是不是就是负一加 四除以二就可以了，也就是二分之三。哎，为什么？中点的公式吗？刚才我们说过了， x 一 加上 x 二除以二，就是这个啊，也就是负一加四 啊，等于三三除以二，二分之三，也就是说把 bc 的 这个解析式求出来，求出来之后，让让他跟 x y 也就出来了，也就是 f 点一个是二分之三 啊，另一个是四分之五倍根号二啊，这个我就直接说答案了啊，求出来之后，那 e 点的坐标是不是就求出来了？因为 c 点有了 啊， a 点有了， f 点有了，剩下的是不是就是这个平行四边形？这个我们没用啊，通过存在性的问题啊， 那是不是我们就可以得到啊？ c 点横坐标加上 f 点横坐标除以二， 就等于什么呀？等于 a 点的横坐标加上 e 点的横坐标除以二，是不是这里面只有，比如说这是 x 一 y， 那 是不是只有 x 一 这个位置数一解就可以了啊？我稍微的写一下啊，也就是零加二分之三 除以二，也就等于什么呀？ x 一 加负一除以二，实际上也就是零加二分之三等于 x 一 加负一，那 x 一 是不是就能求出来了？ 那 x 一 就等于什么呀？二分之五呗，对吧？同理啊，这个纵坐标也是一样，然后我们求得这个纵坐标就是四分之十三倍根号二 啊。所以这个点 e 的 坐标啊，通过这几个方法，我们一导啊，点 e 的 坐标就求出来了啊， e 点的坐标就是二分之五 啊，四分之十三倍根号二啊。然后这个二五年这道题我们十分就到手了。