北京东城中考一模数学几何压轴讲解

比划快，待熟稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下初三二模新定义这道题的最后一问，特别有意思，对于阅读能力有点差的同学，或者看到任意存在就晕的同学，你会彻底晕的。首先我们先看看定义，这个定义还是比较简单的，是吧？ 他说给了一个弦是吧？比如说咱们画了这个成色的弦 a b， 他 所对的列弧上，也就是 a b 之间这一部分还包括可以和 a b 重合，这就是一个细节圈，确认可以和 a b 重合，说 是直线 q m q n 与圆 p 相切，这个时候因为 m n 的 轨迹是 a b 之间这段列。根据老谢快速帮大家管找轨迹的极端性原理，我们可以先猜猜什么。先让比如说 m n 和 a b 重合， 先找到这样一个区域，比如说先找到这个点，再看一看这样，比如说给这个点起名叫 k， 对， 那这种情况下我们就会发现 k a b 组成了一个三角形。首先我们知道这个点 q 它肯定在外边，是吧？人家说了在院外。另 另外这个点 k， 你 会发现它和 a b 组成了一个三角形。我们先用极端异形原理猜出来这个以后，我们看一看是不是这一部分的每个点就员外以及三角形 k、 a b 内部它俩的交集部分，看看是不是都满足。那么咱们可以怎么确认？第一个你在里边随便找一个点， 看看他做的切线，他像原做切线是不是一定是在这个裂弧 a b 上，以及你在这个三角形外部找一个点，你看一看他往外做切线，是不是至少有一个切点不在这个 a b 裂弧上？经过我们确认以后发现轨迹没错，如果一个弦确定了他的弦弧切切弧点， 就是以这个弦的两个端点先做切线，得到一个点 k， 得到一个三角形 k a b， 这个三角形内部以及圆外部的这一部分就是切弧点的轨迹，这个找到了对不对？同时注意，因为是切，它是圆外，所以不能在圆弧上，所以还要注意细节，确认最后关键时候能不能取等号。 ok， 在 讲第二问之前，我先给大家讲一个老谢的学生讲过的一个一二三四五模型，圆综合里边经常考，当然你不知道也没关系，但是如果有直接写答案的题，你知道了，你会做的很快，你会发现三四五的直角三角形和一比二比根号五的三角形 和一比三比根号十的三角形，他们之间有非常严重的亲戚关系，你会发现他们是一个家族的。怎么着各位同学，我给你点一下，你自己可以正一正，特别好正。然后你会发现，如果把这个大锐角分成 角平分，找着一个角平分线，你会发现这个长度就是二分之三，你可以算的出来，你可以用角平分线轴对称，可以算设 x， 初二的应该同学就会做，也就是说这个大锐角他的一半就是一比二比根五的这个角，并且有意思的是这个小锐角再来个角平分线，你会发现这个是三分之四， 也就是是一比三比根十这个角，所以你要看到一个角翻了一倍， 他的二倍角其实在直角三角形里边是三四五的那个四所对的角，你如果知道这个模型，这道题的第二问会算的稍微快点。这道题第一问咱们就不讲了，咱们看第二问各位， 因为他是说要找到 a c 的 切弧点。本着老谢四大意识的，第一是剪软柿子捏，我们首先肯定先可以画出来点 a 的 切线对不对？然后呢，发现了他和这个蓝线，也就是这条直线 l 这个焦点，咱们给他起名叫 e， 你 会发现过点 e， 如果做一个 这样的一个切线，这个切点 c， 你 会发现如果 c 在 这里，你就会发现这个圆，这个 l 上就会出现它的切弧点，因为这个点 e 是 可以是切弧点的，因为人家定义上说了，就说它可以和 ab 重合，也就说这个弦的两个端点的切线的交点也可以。好啦，那么这种情况下，我们就会发现点 c 是 可以的，是吧？ 我们会发现，如果这条线再这么转，也就是 c， 如果再往左走，你会发现按照咱们的定义，这个三角形内部圆，外部都可以当切切弧点，这样显然这个蓝线上一直有。 所以这道题咱们只需要找到现在刚才这个点 e 这个层次的起点，你会发现他的横坐标最大最小值是负一，并且不能取等，对不对？因为不能是直径，人家说了，上面你看一看， 这个是可以取等的，咱们就算出来这个时候的横坐标，这个时候横坐标如果你根据一二三四五模型几秒钟就出来，为啥？各位你看，因为点 e 做切线 ec 和切线 ea， 他 们肯定是轴对称的。各位，你会发现有意思的点是什么？这个角就是一比二比根五的小锐角，这个角也是，所以它是两倍。各位，你就会发现是三四五的，所以这个角的它的正弦值就是四比五，对边比斜边等于四比五， 所以我们会发现，你看这个角，咱们给标为叉。大家知道老谢讲严格，基本上就是点叉，这是叉，这个角就是点，点的正切值就是三比五，因为这是垂直，所以这个角又是叉。各位请看这个叉，他的对边是五分之四，对不对长度，因为这个是一是吧，他的邻边是五分之三， 所以他的横坐标就是负的五分之三，所以你会发现 m 只要小于等于负的五分之三，大于负一就可以了。第二个就出来了， 这个一二三四五模型考场上不能直接用，但是做圆综合的时候，你很多时候可以帮你快速看出答案。这道题第二问就搞定了，来，咱们要开第三问了，各位，第三问这道题的难度百分之八十。各位在阅读上，这道题的阅读对阅读的要求太高了，你如果阅读不准的话，这道题累死你可能也做不出来。这道题我慢慢给大家读。 各位，我在这先发出警告，预警这个阅读可能会非常绕。我最后还会给你假设，换一种说法，可能跟你想的一样， 对这道题首先给了个点 d 和点 e， 他 说若存在半径为根号三的原体。这个故事交代了 d 和 e 以后，告诉你存在一个根号三的原体。首先说存在不存在一个原体，那么存在原体这个原体就是确定的，你可以让它的位置不断的变， 但是一旦选好了，这个原体就是固定的了，它的半径是根号三，并且它的位置你可以随便放，但是他总得在某一个位置。这句话能理解吗？存在半径为根号根号三的原体。接下来重点来了， 使得对于三角形 o d e 上任何一点任意一点 s。 各位， o d e 已经画出来了， o d， e 上任意一点 s 都存在。请注意，这个故事得搞清楚对于谁都能什么，比如说对于你来讲，总能找到男朋友或者女朋友， 那就是我们先看你，然后看看你怎么去找去。也就是说，我们是这道题是先找到某一个点 s， 然后再给他去找长度为 t 的 弦。这种题有点绕，也就是说对这个点 s 来讲，他可以找到一个长度为 t 的 弦。如果 s 在 这里，各位，我们还可以再存在，因为他说了，对于 三角形 o d 以上任意点 s。 各位，我在这讲的慢一点，人家这个故事讲的是点 s， 随便找一个点 s， 看看是否存在长度为 t 的 弦。那么如果 s 在 这，咱们就可以找一个长度为 t 的 弦 s 在 这可以找一个长度为 t 的 另外一个弦，只要长度为 t 就 行。 各位，这是这道题的关键，也就说每一个点 s 都能找到一个长度为 t 的 弦。不是说各位，所有的点 s 都找到一个固定的一个同一个弦 f g。 如果你们这么理解，那它对整个三角形 o d e 上的每个点来说，对于整个三角形来说， 存在一个长度为 t 的 弦，能让三角形上每个点都是这个弦的切弧点，他没有说每个点都是这个弦的切弧点。这个故事是先说对于一个 s， 每个 s 都存在，各位每个才每个 s 都存在一个长度为 t 的 弦， 但是没说所有的 s 对 应的都是同一个长度为 t 的 弦， ok， 所以 各位这道题你要得理解到这种程度，那么这种情况下，各位咱们接下来思考。第一个，如果弦长度为 t 固定了，比如说这是 f g， 什么 f g？ 比如说长度为为 t 的 f g， 这个弦固定了， 咱们画出来极端的情况就是以 f 为切点，以 g 为切点，这种情况各位同学你看，那么这个时候这是圆 t 都不是圆 o 啊。别忘了你看一看，你会发现我们能找到所有的 f g 长度为 t 的 弦， 他对应的切弧点的轨迹。首先我们先画出来某一个位置下长度为 t 的 f g 这个弦，然后你会发现他的切弧点的轨迹就是注意中间这个圆，他是虚线，因为切弧点不包括圆 t， 那 么如果 f g， 他 在绕着圆转一圈的过程中，你会发现这个阴影部分是不是也会绕着圆转一圈？ 这样他转完以后是不是就会得到一个外圆？是蓝色的内圆，是吧？是这个橙色的虚线，也就是说你们能理解这个圆环成圆外， 蓝圆上或者蓝圆内，这些点是不是都是切弧点？只不过每个切弧点可能对应的是不同的 f g 的 弦，但是它们长度都是 t， 所以 也就是说 这个三角形它只要能 o d e， 它能在这个圆环里边就行，而不是说这样的，也就是对 f g 固定了，比如说三角形 o d e 必须它上面的每个三角形上，比如说这是 o d e， 它上面的每个点 都要在某一个固定的 f g 的 这个切弧点的轨迹内，不是这样的，所以也就是说只要三角形 o d e 在整个这个圆环里边就行。不是说让你在 f g 固定的情况下，在这样某一个切弧点的轨迹中，这个难度就差别很大。如果明白了这一点以后，咱们就想办法找到这样一个圆的这个外圆环，这个蓝圆的半径的最小值， 因为它肯定越大越好，越大越能装得下 o d e， 对 不对？你会发现，也就是说，如果这个外圆的半径 r 它确定了，咱们可以算一算。各位，因为这是垂直的，这是根号三， 你会发现，如果 r 确定以后， r 直接可以表示出来 f g， 我 们可以表示 f g 的 一半，再乘以二，咋着？你看一看。比如这是根号三，这是 r， 根据勾股定律，这是根号 r 方减去根号三的平方，也就是三， 这个也就是根号 r 方减三。那么咱们可以根据等级法算出来这个等面积法，这个给它起名叫 k， 你 会发现三角形 t f k 的 面积， 他首先可以等于二分之一乘以根号三，乘以这个是吧？一个当底边，一个当钩，还可以让 t k 当底边等于二分之一乘以 r， 再乘以 f g 的 一半，这样的话，二分之一，二分之一消了，你会发现 f g 等于啥？各位，我把 r 和二分之一 r 除过去，二分之一乘过去，那就变成了二倍的根号三， 再乘以根号一，减去 r 方分之三，我把这 r 出过去，直接出到根号里边了，各位，你会发现，如果 r 它越大， r 方越大，因为 r 是 正数，那么 r 方分之三就越小，因为分子越小，再加个符号，它又变大了，加个一也变大了， 再开方也变大，所以你会发现 r 大， 那么 f g 就 大，所以我们想找到 f g 的 最小值，因为 f g 越大对不对？它只要小于根号三就行，小于二倍的根号三就行， 只需要找到它最小值，那么我们只需要找到想找 f g 的 最小值，就找 r 的 最小值。这有一个关联性，前两天我刚讲了一道题，所以我们就找到这个蓝圆半径的最小值。好，这个蓝圆半径它最小值怎么求它？ 各位，咱们可以动手操作一下，稍等，我把这里边都锁定，各位请看。我们随便把这个三角形 o、 d、 e， 各位，他就这么摆着，我们动一动，我们看看什么情况下有可能把这个三角形装进去，我们会发现，至少它这个高，你在别的地方的时候肯定是装不进去， 如果装进去这边都不一定不出去，待会咱们可以再验证，至少得保证这个高加上这个半径，这个是不是理论上的最小值。你告诉我，如果你这个圆这种情况都装不进去，那你告诉我，咱们再往上一点，各位， 你告诉我，这个高，他这么着是不是更装不下去了？所以咱们先锁定一个某一个角度上理论的最小值，也就是说，如果这个三角形， 当他的某一条边和这个橙色的内部的圆 t 相切的时候，你会发现这个边上的高，你会发现加上这个半径是理论上蓝圆的最小值，这种情况下还不一定复合题， 但是你得满足这种情况才有可能。如果说这种情况下各位他能行，那基本上就可以了，因为某种程度上不能再小了，是吧？如果是这么摆着，咱们先考虑三角形他的三条边的某一个边和成员相切的情况， ok， 在 这种情况下，那我们就知道想求这个蓝圆的最小值，蓝圆半径的最小值，这个高要最小。 其实对三角形 o、 d、 e 来讲，各位你告诉我哪个边上的高最小？还是根据等级法，二分之一乘以底乘以高，等于三角形 o、 d、 e 的 面积，三角形 o、 d、 e 的 面积是固定的， 你们告诉我，你要想高最小，是不是底边最大？所以是不是 d、 e 边上的高最小？大家看看 d、 e 边上的高最小是多少？这是一是吧？你会发现，因为这是六十度， 这是二分之根号三，所以各位咱们就可以看一看，当，也就是说我们让再看。往上一点来，各位，也就是说我们让 d、 e 边上的高，这是根号三，这个半径是根号三，这个是二分之根号三。 我们看一看这种情况下，这个蓝圆能不能把整个三角形 o、 d、 e 装下去，装下去以后，唯一的不确定的就是这个点 e 它是在原外还是原内？各位，咱们现在这个蓝圆的半径，目前来看它是二分之三倍的根号三，就根号三加上二分之一倍的根号三， 咱们再算一算，看这种情况下，他的长度是比这个大还是比这个小？比这个大他就装不下，如果比他的小就搞定了，我们经过计算，你可以自己算一算，因为这个长度是二分之三，购物定律算完以后，这个边确实比他小， 所以这种情况下就可以了。这个时候蓝圆的半径就是二分之三倍的根号三。来，咱们根据刚才上面这公式， 因为 f g 等于二倍的根号三，就是 t 乘以这个咱们算一算是多少，我把它复制过来。这种情况下， r 是 二分之三倍的根号三，所以 f g 就 等于二倍的根号三。乘以根号一减去三，比上它的平方是四分之 二十七，那就是乘以二十七分之四，是吧？乘以二十七分之四三，乘以二十七分之四，那就是二十七分之十二。 再除以一个上下，再除以一个三，就是九分之四。九分之四一，减去九分之四九分之五，九分之五是三分之根号五，二分之根号三，乘以三分之根号五， 等于三分之二倍的根号十五，这道题就做出来了，这样 t 的 最小值。注意相切还不行，因为这个点当不了切弧点，因为圆周上的点没法再做切线了， 所以这道题最终的答案就是 t 大 于不能取。等三分之二倍的根号十五，肯定要小于直径二倍的根号三。这道题我认为他出的好，这道题出的真好，我就给了这一个存在，这了一个对于任意这又一个存在，一个长为 t 的 弦。你要想提高自己对这种抽象逻辑的理解能力、驾驭能力，你就好好把这道题做五遍以上。

从这周开始，我们春季压轴题的打卡就正式开始了，那今天是周一，也就是我们春季压轴题打卡的第一天，我们接下来直接上视频，我们来看春季压轴题打卡第一周啊，这道几宗的手拉手构造， 呃，我们上课的时候呢，讲过四种最常见的手拉手构造的方式，那么其中有两种是含有特殊角的，而这个就是其中之一，就是底角等角的类型， 底角等角的类型。那么接下来呢，我们首先来复习一下啊，什么是等底角等角呢？比如说啊，我这有一个等腰三角形， 它的底角是 alpha， 然后呢，从这个等腰三角形的顶点啊出发了一个角，哎，这个角不管在什么位置啊，我们比如说在这个位置，哎，这个角的度数是多少呢？哎，这个角的度数也是 alpha 啊，我们让它画的， 比如说到这，哎，这个也是阿尔法，那这个时候呢，哎，就符合我们底角等角，哎，也就是说我们有一个跟等腰三角形底角相等的角，那这个时候，我们就可以以这个底角 啊，作为等腰三角形的底角，哎，去再构造一个等腰三角形出来，哎，比如说，我就以这个 r 为底角，对吧？构造一个等腰三角形出来，那这个时候啊，我们就会发现有了两个等腰三角形，对吧？哎，一个是红色的三角形 a、 b、 c， 一个是蓝色的三角形 a、 d、 e， 那 么两个等腰三角形在一起，底角相等，那么这两个等腰三角形的顶角肯定也是相等的，那这个时候呢，我们就能够去构造手拉手全等了 啊，所以那么在这道题当中呢，我们一起来读一下啊。首先，呃，我们就直接这道题去看第二问啊，所以我们直接去看图二，好吧， a c b 等于九十度， abc 等于阿尔法， 然后将线段 a d 逆时针旋转一百八十度减二阿尔法得到 a e， 来，我们找一下图里边 a d 这条边， 旋转到 a e 这条边，旋转了一百八十度减二 r 法，那这个时候呢，大家要特别注意啊， 一百八十度减二 r 法，我们把它看作一个特殊角 啊，也就说这是我们平时在做几宗的时候的一个积累，那么这个特殊角有什么特殊之处呢？来，注意，如果你在题目当中见到了旋转一百八十度减二 r 法，你注意啊，我就可以把它放在一个等腰三角形里边， 那么这个等腰三角形的顶角是一百八十度减二 alpha， 那 它的底角就是 alpha， 也就代表了它告诉你旋转一百八十度减二 alpha， 实际上是告诉我们什么呀？告诉我们底角 其实是 alpha， 而这个时候，哎，你会发现条件当中刚好给了一个角 a b c 等于 alpha， 条件没 是吧？ abc 是 阿尔法，那是不是刚好就符合，哎，有这两个我们就能够看出来，哎，这道题符合我们的等角哎，底角等角的类型， 底角等角的类型啊，所以这道题的提示呢，还是非常明显的，那这样的话呢，我们就可以按照刚才的逻辑去构造手拉手了，对不对？所以你看这个是阿尔法， 那我就以这个阿尔法为等腰三角形，一个底角再构造一个等腰三角形，那很明显我就可以构造在这边来了， 对吧？那这个构造方法呢，还可以从另一个角度来理解，叫做倍长直角边，也就是说你可以理解为是把 这个 bc 倍长到 m 这个位置，然后连接 am 啊，其实画出来的辅助线是一样的啊，只不过我们的这个思考问题的方式呢，还是不太一样的。 而这种等角啊，底角等角，经常会告诉我们，这一个垂直啊，我们就可以通过倍长直角边去理解他，当然你直接去勾在等腰也没有问题。好吧，那这个时候我们就会得到手拉手全等，所以 手拉手全等就出现了哪两个三角形呢？啊，很明显是三角形 a、 m、 d 和三角形 a、 b， 对 吧？啊，这个手拉手全等我就不解释了，直接写结果了啊，三角形 a、 m、 d 全等于三角形 a、 b、 e， 那手拉手全等之后我们要干什么？这个时候我们要特别注意哈，手拉手全等之后，一定要去找的是第三边的数量和夹角关系。什么叫第三边呢啊，就是这两个全等三角形 m、 d 和 b、 e 这两条边哎，因为这两条边都不经过我们这个等腰三角形的顶点 a 啊，我们把它叫做第三边。那么在这个图里题里边，那我们的第三边有什么样的关系呢？首先数量关系，记住。 哎，这个，这个不用记啊，就是相等吧， md 等于 b、 e， 对 吧？那么夹角呢？注意啊，这个夹角说的是这两条线段，这两条第三边所在直线的夹角 所在直线的夹角等于顶角啊，就是等于那个等腰三角形的顶角。等腰三角形顶角不是一百八减二 f 吗？那么你这两条 m d 和 b e 这两条直线的夹角啊，就等于顶角一百八十度减二 f， 好 吧，哎，这个我就不再多解释了啊，那换句话说，其实就是这个小锐角是一百八十度减二 f， 那 这个是二 f， 所以 你就能够知道这个也是二 f， 对吧？哎，当然你通过全等也也行啊，说全等之后，这个是 r 法，哦，对，等幺 a m b 是 等幺，所以这个是 r 法，全等之后这也是 r 法，哎，这样也是可以的 好吧，哎，但是这个啊，是我们在找到手拉手之后务必要找的两个结论啊，就是第三遍的初点和加减关系，好吧，啊，这是我们从条件出发，那么到这，哎，其实就结束了， 对吧？那么接下来我们看结论，也就是问题，问题，让我们去证明什么呢？用等式表示 d f 和 bc 的 数量关系，来，我们看一下这两条边在哪里啊？ d f 在这，那么 bc 呢？在这，那这两条边是什么样的一个关系呢？哎，首先啊，我们可以去量一量啊，或者是猜一猜啊。哎，其实这个结果也是比较容易猜到的，那肯定是什么啊，这个长的 d f 等于两个 bc， 但是我们怎么去证明他呢？哎，注意，那么这两条边有一个特点啊，就是这个 d f 也好啊，这个 b c 也好，都在直线 m f 上，那么像这种共线的正线段的二倍关系，我们一般用射参 导边的方式。什么叫设参导边呢？其实就是设未知数啊，设未知数把我们的这个边给表示出来，比如说啊，在这里边， 你看我设 m d 是 x， 可以 吧？那这个全等之后， b e 是 不是也是 x？ 那这个时候你会发现哦，我这个 b f 好 像无处安放，那怎么办呢？这个时候千万千万要注意你第一问的结论啊，有可能有帮助。那在第一问当中，你会发现你这个 b e 等于 b f， 那 你看看，那这个第一问， 我们叫老话说的好，没有无缘无故的爱与恨，也没有无缘无故的第一小问，那么第一问，他让你证 b e 等于 b f， 其实初一老师是在提醒你。第二问，他俩也有可能是相等的关系，好吧，也就说 b f 也是等于 x 的， 那么至于为什么，哎，其实也比较好证明啊，因为你这，因为我们这有一个平行吗？对不对？哎， ef 平行于 ab， 所以 你这个是 r 发内错角，之后这也是 r 发， 你这个是 r 发平行线的同位角，之后这也是 r 发，那也就是说 bef 这个三角形两个底角相等，那 b e 就 等于 b f。 其实我们第一小问的这个结论呢？哎，就可以直接用上了。 好吧，那这个时候你会发现，那我有 m d 有 b f， 那 用这两个 x， 我 还是没法表示 bc 和 df， 所以 你这个时候千万不要吝啬你的未知数，再射一个，比如说，那我就射谁呢？我射这个 b d， 这段小的是 y， 好 吧，哎，所以我射这个 m d 等于 b f 等于 x。 设 b d 等于 y， 设完未知数之后，那我接下来我不是要求 d f 和 bc 的 数量关系吗？啊？我用 x y 去表示 d f， 那 很明显 d f 就是 d， b 加 b f， 也就是 x 加 y， 那 你这个 b c 呢？看 b c 其实就是 b m 的 一半，能看出来不？ 那 b m 是 不也是 x 加 y 啊？ 那这样的话，哦，这个问题我们最后就解决它了。那你看 d f 是 x 加 y， bc 是 离二分之一的 x 加 y， 所以 d f 等于两个 bc， 那 这道问题就解决了 啊。所以他们通过这道小题，我们要掌握的是什么啊？就是第一个啊，底角等角类型的手拉手构造啊，我们要对这个非常敏感。第二个就是一百八十度减二阿尔法啊，它作为特殊角怎么去运用啊？我们要非常敏感。第三个就是手拉手 全等之后我们要干嘛，我们要非常熟悉。第四个就是我们猜到了结果，如果，哎， 这两条线段是共线的，在同一条直线上，正线段的两倍关系，我们常常用到的是射参导边。好吧，那这道题就说完了。

嗨，来看这道正方形的折叠问题，那如图呢， a， b， c， d 是 一个正方形，然后呢，按照如图的方式，沿着 a e 呢把 a d， e 折叠过来，使得 d 点刚刚好落在外轴上， 现在呢，给到 b 点的坐标零斗一，哎，这个长度是一，然后呢， f 点的坐标呢，是零斗三，所以这个长度呢，是三。 接下来让我们去求异点的坐标，那这道题拿到手啊，咱会发现一个非常重要的信息啊，就这个地点刚刚好落在外轴上，这不是一个巧合，他一定会出幺蛾子的朋友们，不然的话，他为什么不折飞出去呢，对吧， 所以说呢，我们这里观察一下，首先呢，就是这个九十度刚刚好被甩过来了，甩到了这样一个位置， 那把九十度甩过来之后呀，这里会出什么？一个斜的直角哎，然后呢，有一根穿过直角顶点的穿顶线，然后呢，这个直角的另外两头啊，都往上 挂了垂线，所以呢，这里会出一线三垂直的相似，我们通过倒角就可以得到 它俩呢圈角，圈角相等，直角直角相等， a a 相似，因此呢，我们就可以得到它比上它就等于它比上它。哎，较长直角边 a o 比上较长直角边 f m 就等于较短直角边 o f 比上较短直角边 e m。 不 过呢，这里的话，我们只知道 o f 等于三，所以呢，我们所知的信息还是比较的少的，对吧？我只有它是三这个信息，那别的都不知道，那所以要求一点的坐标这段，这段 暂且还是求不出来的，那因此呢，我们就得先想尽办法去求一求，看看有什么信息是可以先给他求出来的？那这里的话呢，要求一点的坐标，那要么就是先知道这短，要么就是先知道这短，两段都不得而知，所以呢，我们要选择设未知数了。 那请问是设 f m 好 呢？还是设 em 好 呢？哎，记住一个非常关键的点啊，在正方形当中，优先先选择把边长相关的长度给它设出来，就像在圆里面，优先会把半径相关的长度给它设出来一样的道理。 这里的话呢，我们设 f m 为 x， 这样的话呢，边长就有了。正方形的边长就是 x 加三，哎，你顺着这件事情往下看，边长是 x 加三，边长就是 x 加三， 边长就是 x 加三，边长就是 x 加三，哎，这边也是 x 加三，这边也是 x 加三。只不过呢，这个 x 加三写出来之后啊，减去一就可以得到 a o 呢，是 x 加二， 这个 x 加三呢，放在这个斜边的位置，然后这个三呢，放在这个直角边，哎呀，刚刚好呀，凑成了一个直角边，哎呀，刚刚好呀，凑成了 x 加三的平方， 就等于 x 加二的平方，再加上三的平方。那这里的话呢，我们就可以整一个勾股定律假动作了，因为有一条直角边是三的话呢，我们就猜想三四五，哎，那他是四的话， x 就是 二，对吧？ 他是五的话呢， x 也是二，所以呢， x 等于二，刚刚好成了。而这个呢，约掉了之后是个一元一次方程，所以就只有唯一的解，所以呢，中间的计算过程可以省略，直接假动作 x 等于二。 好嘞，那么 x 等于二之后呢，你就会发现，这道题啊，无比的通畅啊，无比的通畅。这个长度就是四，这个长度呢，就是二。所以呢，在刚刚的这道题的大框架三垂直的背景下， a o 是 等于四的， 然后呢，这个 f m 呢，是等于二的。哎，知道了三条边的，剩下来那条边的长度就直接得出来了吧。那 em 的 长度呢，就等于二三得六除以四二分之三。 好嘞， em 有 了，然后 f m 也有了，所以呢，一点的坐标负的二分之三，纵坐标呢？逗五。 好的，那么以上呢，就是这道题了，你有没有掌握住精髓呢？也就是说，首先这个折叠把直角甩过来了，出现一个斜直角加穿顶线， 会有三垂。另外呢，就是去设边的长度的时候，正方形当中优先去设跟边长有关的那个边。

ok， 好， 同学们好哈，然后从今天开始呢，大概会用几天的时间给大家录制一下我们北京中考的几何综合的这个题目啊，也就是咱们倒数第二个压轴题， 这个题目也是咱们北京中考能否上九十分的一个分水岭，基本上这个题出来的话九十分是问题不大的，但是这个题呃如果出不来不能拿满的话，呃得九十分的，嗯，还是比较困难的啊。 呃，所以大家能大家有志于去取得九十分以上这样一个好成绩的，还是要把这个题尽量把它攻克下来的哈。 然后这个题目呢，老师会给大家提供几套方法论吧。好吧，然后就是我，我们先要从底层去梳理一下啊，梳理一下他的一个底层逻辑，他到底是怎么回事啊？然后我们的切入点有哪些 对不对？那老师他也不是神仙对不对？他也不是说我看到这个题我就可以知道这个辅助线，哦，对，这个题辅助线这样做，老师没有透视眼，老师没有办法去透视，呃，标准答案对吧？ 所以老师他也是在不同的这个嗯题目当中慢慢的去摸索啊。然后目前我总结出了三个导向，分别是结论导向啊，模型导向以及条件导向，他也叫三个视角， 就是当你没有思路的时候，你可以从这个三个方向去入手，三个视角去入手，然后去帮助你去打开。呃，集中辅助线的一个思路，相当于是，呃你如果没有这个东西的话，相当于是之前让让你，比如说让你去挖一个坑， 对吧？你没有这个东西的话，你你就相当于让你你，你自己去用手去挖这个坑，但是有了这个东西呢，相当于给了你一个铁锹，然后你用铁锹去挖这个坑，好吧？所以他是一个工具，他是一个工具，他是一个给钟的工具，而且我认为是一个非常好用啊，非常核心的一个工具，好吧？ 呃，首先第一个就是结论导向，呃，所以我们在做几宗的时候，我邀请第三问的时候，他会让咱们去求，比如说两边关系啊、三边关系啊、猜角啊等等这一系列的，就是我们上来第一步一定要猜，必须要猜 啊，必须要猜，猜完之后我们才有方向，对吧？比如说我们猜了两边是二倍关系，那我们要看一下啊，有没有终点啊，对吧？有终点的话我怎么走？没有终点我怎么走，对不对？然后两边如果跟二倍关系，那基本的一个核心思维就是两边归一根号二， 对不对？那咱咱后边都会都会都会具体的去讲到这个东西哈。然后这是从结论导向，就是你要猜，然后模型导向的话，实际上就是咱们非常常见的几个模型啊，啊？没有那么多啊，你们千万不要买那个什么什么 什么中考几何综合，什么几何模型，六十八个，六十八个模型或者四十四十八个模型， 就是你看那个好不好？肯定好，你这东西看了你只要学了就没有白看的，没有白学的你知道吧？但是那个体量太大啊，所以我们重点去记忆几个，实际上就 ok 了，完全够用了， 好吧？无非就是啊，第一个手拉手对不对？一线三角啊，拼一平八对不对？脚拉脚，半角模型，要不？鸡爪，对不对？嗯，那也就最核心的也就这几个了， 对不对？同志们，好吧，所以你不要买那个什么那好好，特别厚的一本书，可能有个二一二百页的那种，对不对？二百来页那种，你没有精力去学他，而且你学完之后你也记不住 啊，所以你就记记那个几个最核心的就 ok 了。好吧，这是模型导向，就是我看到什么样的条件啊？我要想到哪个模型啊？这是我从模型导向，呃，这个呃之下可以得到的东西。然后就是条件导向，就是我们会有一些 非常特别的条件，你比你比如说有终点怎么去做？你比如说终点加直角，我怎么去做？你比如说，呃，同时这个这个点他是终点啊，他还是直角顶点，那同时他还是等腰三角形的一个顶点，那这个时候我们怎么去操作，对不对？这个咱们后续都会说到的。 好吧，那你有三个视角了，对不对？你有三个视角了，你可以从这三个视角出发啊，然后做条件反射，然后后面就是什么，就是你在不同的这个视角下你如何去操作。所以这个的话就是咱们的一个核心思维， 你比如说啊，你比如说啊，你看这个这块，你比如说这个两边如果猜的是二倍，然后这个全挡或者走中卫线， 对不对？这是有终点的情况，那没有终点的情况呢？那没有终点的情况，那我可我们后边可能也会讲到啊，就是，呃，短背长会长结伴，对不对？然后在哪块？ 哎？直接走到这了啊？呃。有终点啊，背长平八，对不对？然后，呃 啊，我这上面没写没写没写吧。好吧。然后如果没有终点的话，我们一般情况下要短背长或者长截半，但是具体选择短背长还是长截半呢？我们要一体而异，好吧。然后你比如说终点，他 既是他这个终点，他既是终点又是一个直角顶点的话，我一般情况下要背长出个平行八字，那同时既是终点又是直角顶点的话，肯定要出一个等腰的吗？对不对？那等腰的话我要奔着手拉手那个方向去走吗？对吧？ 然后就是这样，就是中点加直角加等腰背长平行八字加等腰加手拉手这一串就下来了 啊。然后如果是两边是一个共线的一个状态，然后猜相等，这样的话我们要走这个正中点，正中点的话一般情况下就是有终点的逆过程，所以你有终点你怎么去操作，你正中点怎么去操作，基本上是没有太大问题的 啊。但是你的辅助线的思路要变一下啊，就是你要正重点的话，一般情况下是你要构造八字正圈的，那你有中点不是？ 不是直接倍长然后出平八，呃，然后正圈等吗？对不对？那这个是你要构造一个八字然后去正圈的啊，或者是走中位线逆顶也是 ok 的 好吧，然后只不过到最后这块的话，呃，你如果想严谨一点的话，你可以用相似去正一下，好吧，用相似去导一下这个中位线啊，然后你像这个 四十五度角的，对不对？咱们鸡爪模型对不对？然后构造一千三角。什么时候构造一千三角啊？对不对？然后猜角四十五度，我怎么去操作呀？两边根号二，我怎么通过相似倒啊， 对不对？还有就是我把它称之为一个比较无敌的一个思维，就是去呃，这个， 他构造这个等幺 r t， 但是构造方式的话有两种构造方式啊，好吧，然后这个咱们后续都会比较详细具体的去讲到他啊，老师在这，因为他内容太多，内容太杂，老师在这就不给大家过多的去说了，好吧，但是后续的话咱们都会讲到， 然后这个是老师之前啊，老师的作品里面也有老师之前去写的一个十五条的一个和气思维啊， 这十五条你是必须要会的好吧，但是现在增加了，可能会增加到二十条左右，好吧？啊？你比如说两边不贡献，两边不贡献，猜二倍怎么办啊，对吧？啊？两边贡献猜相等怎么办？然后终点加直角怎么办？ 然后你卡住的时候要看已知和前面的题策，对不对啊？然后，呃，把题策当已知做辅助线，再证明题策等等这一系列的东西对不对？大家可以慢慢去悟，慢慢的去品啊，我觉得这些东西都是老师经过做了很多题目， 呃，总结啊，总结下来的东西还是非常有用的，好吧，然后这给大家简单介绍一下具体的内容的话细讲，包括结合到每一个题目的话，老师在其他视频当中给大家设计，好吧？然后这个视频就给大家说到这， ok。

几何快待熟稳，新定义还能提智商？大家好，我是老谢，这道题还是非常经典的一道新定义，他里边的一些元素大概率今年北京中考会考，你可以好好把这道题研究研究， 这个新定义还是挺好的。各位，然后呢，你要没做过的话，你先做一下，做完以后再听老谢讲。首先呢，这道题是一个有关图形变换，就是做旋转变换类的。然后呢，因为它是一个点绕着另外一个点旋转了九十度， 他会得到一个，一般情况会得到一个斜二八极的直角，所以这道题有可能会用到一千三垂直。另外呢，这种题很有可能会用到个体到整体，说白了就是瓜豆模型。另外呢，这种变换呢，他具备可逆性，然后他过去好研究，他过去，他过来好研究就研究他过来 就是旋转啊，平移啊，对称啊，这都都具备可逆性。另外呢，这道题呢，特别会用到减软式子筋，因为这道题的缺二就开始有一定难度了。另外呢，这道题因为出现了终点，各位同学一定要注意，在任何情况下看到终点，各位同学一定要讲到八中斜三，其实老谢讲高中的立体几何，也会经常讲到八中斜三， ok， 这个定义呢，看上去还是有点乱的，是吧？其实面对很乱的新定义，你只要举一个例子就行了。咱们就拿圈一举个例子来理解定义，点 a 的 坐标是这个，点 c 的 坐标是这个，点 b 的 坐标是这个。然后呢，根据 a、 c、 b 的 顺序，你会发现， a 就 相当于 p， c 呢就相当于这里边的 m， q 呢，就相当于这里边的 b， 所以 咱们如果觉得这个定义读的时候感觉到很乱，你其实就拿着 b 大 问的圈一，然后来理解它点 p， 就是 点 a， 绕着点 m， 就 绕着点 c 逆时针旋转九十度，得到这个，比如得到一个 a 撇， 然后呢，点 n 为线段， m q m q 呢？在这里面第二个点，第三个点就是 bc， 它的终点你会发现就是一对号一，因为这个是一个斜二八极的直角，所以呢，咱们可以构造一个一线三垂直的全等，快速找到 a 撇的坐标，你能意识到这个三角形和这个三角形全等的， 所以这个长度是二，所以这个长度一。然后呢， n 的 坐标是一对号一 p 撇 n， 也就是 a 撇 n， 它的长度一对号一到二对号一，它的距离为一，所以第一文就做完了。第一文做完以后呢，我们也大概了解这咋回事了，比如这个定义 其实就是把一个点绕着另外一个点转一下，转九十度，并且人家规定了是逆时针，规定的很清楚，如果没规定逆时针，顺逆时针，你都得考虑。然后呢，并且找到另外一个的中点， 看上去呢，好像有点乱，但是呢，你只要按照老蝎子剪软十字捏，再加上八中斜三，其实第二问呢，说难也难，说简单也简单，这个第二问呢，出的非常好。然后呢，我给大家讲两种方法，一种是几何的方法，因为这道题呢， c 动起来了，所以这里边 c 也在动， a 撇也在动， n 也在动，特别乱，不好研究。我这少写了个点 c 点 n， 点 a 撇都在动。 首先我告诉大家，先利用老谢的 n 一 万大法，随便在一个地方画一个点 c 旋转了九十度以后得到 a 撇，咱们随便画一下，现在这个点 c 不 一定是零二了，我是随便画了一个， ok。 这种情况下，各位，我们会发现，你要想研究 a 撇 n 的 最小值， 你要想研究 a 撇 n 的 最小值，因为 n 也在动， a 撇也在动，所以这线段的长度，这个线段是一个双动态，两个端点都在动，说实话，这么研究的真的很不好研究。老谢讲高中数学有一个叫三大思想，四大意识， 就是高中学数学学、物理、化学学霸必备的一个思维，理科思维其中一个就叫等价变范。咱们就像这种图，咱们想求 n a 撇的取值范围，你有没有发现，如果我们利用因为 n 是 终点，看到终点就要想到八中斜三，其中就是中 a 线，你有没有意识到，如果我们背长 c a 撇到 a 一 对连一下 b， a 一， 有没有发现？咱们可以把，也就是说 n a 撇，我们可以等价变换为二分之一 a e、 b， 各位能理解不？咱们想求 n a 撇的最小值，咱们可以先求来 a、 e、 b 的 最小值，然后除以二。这就是利用我高中数学三大思想，四大意识的第四意识，也是老谢最喜欢的，因为等价变换能把难题变成简单题。 你有没有发现，如果你研究 na 撇， n 也在动， a 撇也在动，但如果你要研究 a 一 b， 你 会发现 b 是 固定的，只研究 a 一。 一个 a 一 是通过一个点 a 绕着点 c 逆时针旋转六十度，并且距离放大二倍得到的，那所有的 a 一， 说白了就是整个蓝圆，因为我给你们写一下啊，也就是说一个 a 一， 一个 a 一 是由 一个 a 绕着点 c 逆时针旋转九十度放大二倍得到的，那么我们就看一看，那么所有 a 一， 也就是整个 a 一 的轨迹就是蓝色的圆 绕着绕着点 c， 那 么逆时针旋转九十度，放大根号倍得到。而蓝圆它有圆心和半径决定。各位，这其实就是咱们初中学的位置，我希望你们明白，咱们想把整个蓝圆绕着点 c 逆时针旋转九十度，放大二倍，其实就是把圆心绕着 这个点 c 逆时针旋转九十度，放大二倍得到 o 撇，各位体会体会。也就是说旋转以后的这个蓝圆，它的圆心就是点 o， 绕着点 c， 逆时针旋转九十度，放大二倍，大家看一看， 这个半径原来是二，咱们看看这个圆它是变大了多少，因为这个圆是旋转九十度以后，还放大了二倍，那么半径也放大二倍，所以大家看一看这个长度，如果是一，你会发现这个长度就是二，这个长度 我们看一看就是根号五，是吧？它的圆的半径它是原来的多少倍？因为一个点 a 绕着点 c， 它是旋转了二倍，所以大家看一看，这种情况下，我们这个圆它的大小它也是放大了两倍， 当然你确认是放大两倍还是放大根号五倍，我们会发现，因为整个下来都是放大两倍，所以亲爱的同学们，那么他就放大了半径就变成四了，各位各位，你们搜到那么这种情况下，这就是 a 一 的轨迹，我不知道大家能不能理解这个蓝圆的半径就是四，各位，这个绿圆就是 a 一 的这样一个 轨迹，那么其实这时候就变成了一个经典的双截棍模型。你会发现，当 a 一 在这时候，他的 o 的 距离就是最小的， 绿圆的半径是四，四减去这个根号五，四减根号五，你会发现就是 a、 e、 o 的 最小值。同理，你会发现，当 a、 e 在 这的时候，你会发现四加根号五，就是这个半径是四，加上这个根号五就是它的最大值， 当然它还得除以二。大家还记得，因为研究的是 a 撇 n 的 距离，现在求的是 a、 e、 o 它的二倍的距离，所以它的取值范围 d 括号 a、 c、 o 小于等于二分之四加根号五。这个时候有人说，老师点 c 还得动呢，你可以动一动点 c， 你 会发现你在动点 c 的 时候，点 c 不 管在任何位置， a、 e、 o 的 这个取值范围是不受影响，因为你会发现到最后你会发现点 c 原来是个假动点，其实点 c 不 管在哪个位置，它都不影响 a、 e、 o 的 这样一个取值范围。所以这道题就做完了。这道题还是非常经典的一道新定义，它里边的一些元素大概率今年北京中考突破函数综合突破填空压轴， 可以来双题找老谢。如果你想在高中学特别厉害的高中学霸的理科的思维，高中这个暑假我教你自学以及高中理科的思维，我经常讲的以动治静，加个体到整体，咱们看一看你可以怎么看待这个 a 一 产生的过程。各位，你有没有发现你可以把 a 一 看成什么？虽然一开始题目说的是 c， 但是 c 本身就在动，所以它不是个软柿子，因为我们喜欢研究静态的更好研究，所以是软柿子。所以你可以把 a 一 看成 a， a 点绕着 c 点逆时针旋转九十度，并且放大根号二，放大两倍，你可以把 a 一 看成这个，其实你还可以换一个视角，换一个视角是什么呢？你可以把 a 一 看成点 c， 绕着点 a， 顺时针旋转一个 r 法，其实这个 r 法的角度大小是定值，它的单调 r 法等于二，这个 r 法呢，它是一个固定的角，大小固定， 它就它的正切就是它的对边。 c， a 一 除以 c， a 等于二，所以就说我们可以把一个 a 一 可以是看成一个点 c， a 一 除以 c， a 等于二，所以就说我们可以把一个 a 一 可以看成一个点 a 一 可以放大根号五倍。 因为你会发现本来这个长度，如果是小 m， 你 会发现这个长度是二倍的 m a， a， e 的 长度就根号五 m， 所以 我们可以把一个 a e 看成一个点 c， 绕着点 a 顺时针旋转 alpha， alpha 的 大小在这摆着，并且放大根号五倍，那这样所有的 a， e 就是 有，所有的点 c 就是 外轴，因为点 c 是 外轴上的点，所以我们接下来把外轴 绕着点 a， 顺时针旋转 alpha， 然后并且放大根号五倍。有人说，老师这咋画？老师再教你一个决定性思维，你能意识到外轴绕着一个点 a 转，转完以后放大根号五倍，你告诉我转完以后仍然是不是一条直线，所以而一条直线有两个点决定，所以咱们只需要找两个特殊点，第一个你比如说就像咱们第一问一样，点 c， 在 这的时候 你会发现绕着它转就九十度，再倍长，你会发现你可以算的出来，这个时候 a 一 的这个点正好是四的位置。你也可以按刚才 t 的 意思 就是说 a 绕着点 c 逆时针转九十度， a a 撇 a 撇，再放大 c， a 撇再背长到 a 一， 你会发现找到了两个点的 a 一， 这个 a 一 的轨迹就找到了，比如说这条绿线就是 a 一 的轨迹。 而到这同学们就会恍然大悟了，那你告诉我 b a 一 什么情况最短？是不是点到直线之间垂线段最短，所以你会发现 a 一 在这的时候， b a 一 是不是就最小？我们不难发现，这个时候就用到看看。根据老谢讲，圆轴和的点差九度，这是点，这是叉，这是点。各位，我们不难发现，这个点所对的边是斜边的 五分之根号五倍，这个斜边呢，这时候正好是二，所以二乘以五分之根号五，也就是五分之二倍的根号五，就是 b a 一 的长，就是这个最小的时候，也就是 a e b 的 最小值，它再除以二，你会发现 n a 撇的最小值就是五分之根号五。 ok， 这个方法各位理解了吗？说实话，这个第二个不算简单，用到了等价变换 中点系列背后的中微线这个工具进行转化。另外，咱们没有按命题老师给我们的说法，我们要按照一个新的说法，我们本来是绕着点 c 转，但是在第二根的时候，点 c 是 动点了，我们就可以把它看成绕着点 a 转，再加上个体到整体，也就是刮度模型的这样一个思维就会得到 a e 的 一个轨迹。这道题还挺有意思的吧。 这道题之所以哎相对简单的能做出来，是用到了老谢高中三大思想，四大意识的第四意识，等价变换，把一个双动态变换成单动态，用的工具就是重点系列的中微线。好，这是第一个方法，第二个方法更是高中常用的方法，就是解析法。老谢给大家说一点，在高中 几乎所有的数学题都是代数题，虽然高中有个东西叫立体几何，但是也可以通过间隙去做。还有一个叫解析几何，解析几何的意思就是用解析法，说白了就是代数法来研究几何题。你要想在高中学好数学，你一定要成为一个代数高手，因为某种程度上，所有的高中数学题都是代数题，你可以这么理解，有几何也把它转换成代数了。 这道题老谢在这就不给大家讲详细过程了，我跟你们说一个什么意思，你就可以设点 c 的 坐标是零多少 t， 你 通过一线三垂直，你会发现 a 撇的这个坐标，因为这个长度是一，这个是 t， 所以 a 撇的横坐标是 t， 它的纵坐标是 t 减一。 根据钟点公式， b 的 坐标是二逗号零点 n， 他的坐标应该是一逗号二分之 t。 各位，你知道两点之间距离公式吗？也就是说 n a 撇他的距离等于根号 t 减一的平方，就这个红坐标减去这个红坐标的平方，加上这个纵坐标减去这个纵坐标的平方就是 t 减一，再减二分之 t 括号的平方求他的最小值，你只需要用二次函数求最小值就行了。这是第二个方法解析法，你待会可以算一算，或者暂停算一算，你看答案是不是五分之根号五。 ok， 我 们接下来重点要讲最后一问，大家看，果然是老谢说的北京新地百分之百考多动派。大家看这道题点 a， 因为它告诉你 o a 等于二，那么显然点 a 就是 这样一个蓝圆，蓝圆的半径是二，它上面一个动点，点 c 也是一个动点，因为它只是说它到 o 的 距离是一在红圆上， 这样的话，包括那个点 n 也在动。所以这道题标准的就是一个多动态，一定要注意，北京市新津 e 中考新津 e 百分之百考多动态。而你只要学会我的分拆复杂情况，就分拆里边的分部。分拆第一步称之为叫 any one 大 法。啥意思？就是先随便 any one， 任意在红圆上找一个点 c， 任意在蓝圆上找个点 a， 然后根据定义把 a 撇画出来，把点 n 画出来，这就是一个 a 内弯打法。我告诉你，如果真的学会了 a 内弯打法，你门你就不怕多动态了。来，听，我给你用我的分拆 a 内弯打法给大家讲一讲。首先我们先把它随便定住，以后根据定义，点 a 绕着点 c 逆时针旋转到九十度， o c 的 中点是 n， 这个点是 n。 咱们受上一问的启发， a 撇是个双动态，不好研究，咱们还是倍长 c， a 撇连一下 o a 一， 咱们要求 a 撇 n 的 取值范围，是不是求 a e o 的 取值范围，然后除以二啊？所以这道题又是跟上一问一样，我们把双动态点 n 也在动，点 a 撇也在动，转化成单动态 o a e， 我 们只需要研究 a e 的 轨迹。其实再用一遍这种个题到整体 a e 咋来的？ a e 是 一个点 a， 绕着点 c 逆时针旋转九十度，并且距离放大二倍，大家看了吗？本来 a 到它的距离变成原来的二倍了，所以一个点 a。

我们来看二零二四年北京市东城区中考一模数学试题第二十七题几何综合。在 rt 三角形 abc 中，角 abc 等于九十度， ab 等于 ac， 这个三角形是等腰直角三角形，点 d、 e 是 b、 c 边上的点 d、 e 等于二分之一 b、 c 连接 a、 d 过 d 做 a、 d 的垂线，过 e 做 b、 c 的垂线， 两回线交于点 f 连接 a、 f 交 b、 c 于点 g。 括号一、如图，当点 d 和点 b 重合的时候， 直接写出 d、 a、 f 和 b、 a、 c 的数量关系， 就是这个角和 b、 a、 c 的数量关系，这个直接就能看出来，当他重合的时候，这个三角形也是等腰直角三角形，所以这个角四十五度就等于角 b、 a、 c 的二分之一。有同学就会有疑问， 这么简单的题为什么要出？实际上他是为我们后面奠定 一个数量的基础，也就是说，你在解决后面问题的时候，要关注到角 d、 a、 f， 它是等于二分之一倍的角 b、 a、 c 的括号二， 如图，当点 d 和与点 b 不重合，点 d 在点 e 的左侧的时候补全图形。好，我们来补全一下。图形连接 a、 d 过点 d 做 a、 d 的垂线，过点 e 做 b、 c 的垂线，两垂线交于点 f， 连接 a、 f 交 b、 c 于 g， 图形我们就不全了。 我们看第二问，角 d、 a、 f 和 b、 a、 c 在一当中的数量关系成立吗？如果成立，请证明不成立，请说明理由。也就是说，我们刚才的数量关系是 d、 a、 f 等于角 b、 a、 c 的一半二分之一倍的它，那也就是说这个角 d、 a、 f 是一个 四十五度的角 a、 d 和 d、 f 垂直，也就是说三角形 a、 d、 f 也是一个等腰直角三角形，我们怎么证明呢？我们过点 a 做 b、 c 的垂线， 垂足尾 p， 我们就构造一对，使得 a、 d 和 d、 f 他们所在的三角形全等。我们来证明一下，三角形 a、 d、 p 和三角形 d、 f、 e 是否全等？ 因为我们做垂线了过后， d、 e 和 a、 p 都等于二分之一 b、 c， 因为 a、 p 嘛，它是等于直角三角形斜边中线，所以它等于斜边一半。 这个第一呢，是已知条件，等于二分之一 bc， 所以这两个直角三角形一边相等，还有一个直角，这也直角，这两个角加起来九十度，他们两个加起来也九十度，所以 同角的与角相等，所以这两个角就相等了。这两个三角形呢，就全等了。全等了过后，我们就可以得到 这里的 a、 d 等于 d、 f， 所以这个叫 d， a、 f 仍然等于四十五度，也就是他仍然等于 二分之一倍的角 d、 a、 c。 那这个又为我们的第三问奠定什么样的证明基础呢？我们再来看一看， 在二的条件下，直接用等式表示 b、 d、 d、 g、 c、 g 的数量关系， b、 d、 d、 g 击碎他们在同一条直线上，要找出他们的数量关系，我们怎么处理？有同学看起来相等吗？是这样吗？不一定。所以呢，我们看上一问括号二对，我们有什么样的 提示呢？我们想要找出这三条线段的数量关系， 我们就来看一看 b、 d、 d、 g、 c、 g 他们是否能够转化到同一个三角形或者是直角三角形当中去。我们转化一下， 由于三角形 a、 b、 c 它是一个等腰直角三角形，而我们要转化的过程当中呢，需要哪些几何变换？平移、对称旋转？而此题 这个 a、 b 等于 a、 c， 给我们的旋转创造了条件，所以也就是我们把 a、 b 旋转到了 a、 c 这个位置，那么同时 a、 d 呢，也跟着旋转九十度，再连接 c， 这时我们就可以证明 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 h 全等，这个全等呢有什么作用啊？第一，我们把 b、 d 转化到了这个位置，我们把这个 角 b 转化到这个位置，由于角 b 等于四十五度，角 a、 c、 b 也等于四十五度，所以我们又得到了一个直角，也就是 s、 c、 g 是一个直角，我们要考察的这个数量关系，这个 c、 g 呢，在这个位置， 如果我们在连接 g、 h 的话，那如果 g、 h 等于 d、 g 的话，这个三角形的三边就是 d、 d， c、 g 和 d、 g 围成的一个直角三角形，那么他们就存在一个勾股关系。现在的问题是， 那么到底第一季和 g、 h 相等吗？好，我们一起来成品一下，我们在这里写的是主要的步骤，详细的步骤呢，你们自己去写一下，这个是我们做图的过程， 这两个三角形全等， a、 c、 h 全等于三角形 a、 d、 b， 于是呢我们就有 h、 c 就等于 b、 d 了，那这个三角形 a、 c、 h 和 b、 a、 d 都等于四十五度，所以 h、 c、 g 呢，就是一个直角三角形，那此时的 h、 c 就等于 b、 d， 我们的 c、 g 呢，就是在这个位置不动我们的 d、 g， 它和 h、 g 如果相等的话，他们三个关系就明确了。刚才括号二的时候，我们证明了 a、 d、 p 和 d、 e、 f 是全等的， 也就是说这个 a， d 和 d， f 相等，也就是这个角 d， a， f 呢，就等于四十五度， 也就是说这两个角加起来也等于四十五度。由于它是旋转过去的，所以我们就可以得到 g， g， a， 所以这两个角呢，都等于四十五度。又由于这两边相等，再加上公共边，所以这两 点的三角形就全等了。他们全等了过后，就有 d， g 等于 s， g， 所以我们把 b， d， d， g， c， g 都分别转化给了三角形 c， h， c， g 这一个三角形的三边，所以它们三边就存在一个勾股关系，也就是 d， g 的平方等于 b， d 的平方加 c， g 的平方，你会了吗？

几何快带书文，心里还能提智商。大家好，我是老谢。我接下来给大家剖析一下我们二零二五年朝阳初三一模的填空压轴，这个朝阳一模出了好多好题对不对？ 这道题是里边的特别经典的一道题，我接下来用我高中理科学霸必备的三大思想，四大意识。其中一个第三思想就是目的性思维。这道题看上去有点乱，同学们，第二个空即使得了答案，也不敢说自己的答案是百分之百对的。但如果你把握好你的精准的目的， 然后再利用我给高中新定义经常用的一个叫逐步调整法，你会发现这道题的第二问还是非常清晰的，能做出来。 ok， 首先大家，我相信通过读题，包括做第一问， 你们应该知道这道题的目的是为了让七天生产最多的生产这个产品，两个零件都要生产的尽可能多，并且尽可能平衡。啥意思？如果 a 零件生产了这么多， b 零件生产这么多，你告诉我他们是不是只能用这些？因为他们是一比一，对不对各一个组装而成。 所以如果你一开始 a 零件生产的多，你就得把 a 零件其中一部分停产，把那生产线用来生产 b 零件，让 b 零件多一点，尽可能它们一样多的时候。所以咱们的目的是要让两个零件生产的足够多，并且尽可能平衡，你光想平衡不行。各位同学，千万不要思维太狭隘，如果你只觉着只要他们一比一，只要别浪费就行。 我告诉你，其中有一个方案，就是四个生产线，四天全部生产 a 零件，三天生产 b 零件，你得的答案会是一千二，他会正好的，因为四个流水线一天生产所有的 a 零件正好三百个 b， 在 这个四个流水线生产 b 零件，正好四百个， 你用三百乘以四跟四百乘以三，七天正好分成这两部分，对不对？你会发现光平衡不行，你的目的要足够的精准，你的题目的答案才会足够准确， 所以咱们的目的是要让他们两个零件都生产的足够多，并且尽可能平衡。好了，咱们用逐步调整法，咱们可以先进行一个状态，从这个状态开始，基于目的不断的调整，我们只要确保每一步都能够满足咱们这个目的，那么最后的答案就能得到这个目的，各位能理解吗？ 那么我给大家讲一下这道题的过程。首先我们这个起始状态，我们可以先假设七天都是生产 a， 有 的人说那不行，没关系，咱们还调整了，我们调整的目的是什么？大家看我再画一下， 如果这是 a 零件，这是生产的 b 零件，那么我们如果想减少一些 a 零件的生产，我们每减少一个 a 零件的生产，我们如果能让 b 零件生产的尽可能多，你告诉我这个 b 零件它增长的是不是就快， a 零件降低的还慢？因为他一开始如果是全部生产 a 零件，所有都是 a 零件，咱们要减少一些 a 零件， 让 a 减少的慢，让 b 增加的多，你告诉我他俩的总和是不是也增加的多，并且他俩尽快的平衡，能理解这一点吗？只需要把握好这一点，那么咱们先起始状态，先假设七天所有的生产线都生产 a， 生产两千一百个。好，接下来我们要调整 b 了，那么我们要调整 b， 你 告诉我，我们为了让 b 增长的更快，是不是？咱们看看哪条生产线，他每减少生产一个 a， 他 b 增加的尽可能多呀？这个时候我们不难发现啊，因为如果减少八十个 a， 它 b 增加的尽可能多呀。这个时候我们不难发现啊，因为如果减少八十个 a， 它 b 增加的尽可能多。那么也就是说白了， 每减少一个 a 就 一百，除以八十，每减少一个 a， 他 就会生产四分之五个 b。 同理，每减少流水线二，每减少一个 a， 他 会生产三分之四个 b。 流水线三，每减少一个 a， 他 就会生产七分之十一个 b， 这个流水线四，每减少一个 a， 他 就会生产六分之七个 b。 好，你告诉我，只要你上过小学，你就知道。显然七分之十一在这里边是最大的，对不对？好，那咱们就先让流水线三他所有生产 a 的 全换成生产 b， 因为我们大概能估算出来，即使这样他也不平衡，所以这样我们会发现，流水线三他如果七天 a 全部不生产了，那么他就减少了七七四百九十个，对不对？ 那么流水线 b 七天生产了，那么增加了七百七十个七天生产 b， 各位划算，挺划算的，减少了四百九十个，增加了七百七，这个时候我们会发现，他剪完以后，这是一千六百一，这个是七百七。 这个时候你再看还要调整哪个流水线。我们知道在四分之五、三分之四和六分之七里边，这三分之四，这个数是不是最大？也就流水线二，剩下的这三条流水线二，每减少一个 a， 会增加一点三、三个 b， 对 不对？这个只能增加一点二、五个 b， 这个只能增加一几个 b， 是 吧？那么这个时候咱们怎么样能快速让它平衡呢？我相信同学们小学就做过这个，你会发现流水线二九十， 看啊，他每减少一个 a 是 减九十，这边是增加一百二，一减一加是不是就差了二百一？命题老师，这个数设计的还是挺巧的，这个时候我们不难发现，一千六百一减去七百七就正好等于八百四，每调整一天，把一天的 a 换成 b， 那 么他们就差了二百一，八百四正好差四天，所以这个时候我们再减去四九三百六四天不生产 a 了，用来生产 b， 那 加上四百八，你会发现这个一千二百五十的答案是不一定是准确的。 为什么？两个原因？第一个原因，用老谢高中理科学霸的总结的这个三大思想，四大意识，第三思想，目的性思维。我们的目的特别明确，我相信各位同学都明确，别管是第一问还是第二问，我们想生产更多，我们一定是让两个零件生产的都足够多，这个一千二显是不行的，因为他不够多，并且还要尽可能平衡两个条件，两个目的都要达到。第二个，我们在每一步调整的时候，做的是不是都是最划算的买卖？ 我们是不是每一步各位都是让我们这个生产的尽可能多，并且还尽可能平衡了，对不对？ 各位同学，希望大家通过这道题好好的提问，什么叫目的性思维？在中考之前，如果你目的明确，或者你上了高中以后你目的明确，你都可以快速的实现你的目的，并且因为咱们数学里边有个叫两点之间线段最短，目的越明确你会发现你走的弯路越少。

几何快带竖纹新定义，还能提智商？ hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二五二中初三一模的几何压轴题，那这道几何压轴题呢，我们主要是用两种方法来讲一下。第二问， 在讲的过程中呢，主要给同学们来推荐条件，提供工具，结论引导方向。这两句话主要呢帮同学们来解决一个困境，就是我们猜出来答案了，但是不知道怎么正，该怎么办？ 来，我们做任何一道几何题啊，都是用这两句话，条件提供工具，结论引导方向。 条件呢，第一个条件是等腰值，只要看到等腰值，那我们就是标哎，边相等，角相等，对吧？同时想到这里面呢，是这个结构共端等长，他应该是提醒我们，哎，旋转全等的， 然后那面条师紧跟着就给了一个 a、 d 垂直 bc， 那 在等腰三角形里，你做一个垂直，那我们就知道这是三线合一， 哎，那这就有垂直，那这个角呢，就被平分成两个四十五度哦，在等腰直里边的三线合一，他就构造了一个，哎，构造另外这两个也是小等腰值。 而且呢，那你等腰直的三线合一和斜边中线它是一回事，是不是啊？我们可以很明显的可以得到 a、 d， 它接着就是斜边 b、 c 的 中点，哎，中点，中点，背后四个工具再挖出来， 哎，咱们这里呢，就是人家明显给的终点，你要去关注，人家隐藏着给你的终点你也要关注，只要看到终点，别管怎么给的。我必须想到终点背后四个工具，八中斜三八字全等，中位线、斜边中线，三线合一，先摆在这一会呢，可结合结论看看要用哪 一个好。接着呢，继续读，看看还给我们提供什么工具了啊？点 m， n， 分 别是 a， b 和 a c 上的动，点 啊， m 在 这个 ab 上动， n 在 ac 上动，然后满足 am 等于 an， 哎，给边等，那我们知道给边等，就提醒全等，哎，那这里面没有三角形，那我们呢？哎，就可能会在第二位啊，最后一位用到，所以要关注它， 同时要学会等量代换啊。本来是 ab 等于 ac， 现在人家告诉我这俩黄的相等，所以我们得到什么呀？ 哎，我们得到 b m 等于 c n， 哎，又一个边等，是不是？ ok， 接着呢，下一个，他说过点 m 做一个 m f 垂直 b n， m f 垂直 b n， 哎，垂足是 h， 那 有垂直，只要看到垂直，我们就标点叉，哎，勾股倒边，那在这里我们可以标，这个是点，那这个角就是叉， 那在直角三角形 b a n 中，这是点，这是直角，这个呢，我也可以标个叉哎，点加叉九十度。 好，那现在我们发现，哎，谁和谁相等还挺清楚的，是不是接着来围绕结论啊，我们的结论是啥呢？他说让我们用等式来表示线段 d e 和 b f 的 数量关系，来给他找到 d e 和 b f， 而且是用等式表示并证明，所以我们先表示出来，给一分嘛来，那怎么弄呢？求两边的数量关系，我们就先猜后正，哎，非常好猜，因为常考的就四种相等，二倍，根二倍和根三倍。那我们呢，通过测量或者观察，很容易发现这几倍啊， 哎，二倍对不对？就二倍的 d e 等于 b f。 好， 那猜出来了，然后赶紧证明。证明，怎么证呢？那你得先把要求的表示出来呀。现在这个题目中有 b f， 有 d e， 哎，那二倍的 d e 有 没有啊？ 哎，没有，所以我们的思路，那就得先把二倍的 d 给它表示出来，哎，正好 d 这个地方是终点。那同学们想想，当一个当有终点的时候，你怎么表示二倍的 e d 啊？ 哎，有同学想到了，是吧？中位线可以表示啊，八字圈等倍长也可以啊，是吧？哎，所以我们可以先优先用这两个呀。 好，那假如说我们用中位线的方法，对吧？哎，中位线的话呢，可以出二倍的 e d， 那 我们，哎，看看怎么做哈。首先， d 是 终点，我们要做二倍的 e d， 我 就需要让 e 也是个终点，从而才能用中位线，那怎么能让 e 是 个终点呢？ 哎，对啊，就倍长 b a b e， 对 不对？倍长 b e 到 q， 哎，使我们的 e q 等于 b e， 那 e 就是 b q 的 终点。好，此时我们连接谁就可以出中微线了。 哎，连接 c q 就 可以知道 c q 和 d e 它们俩就是平行的，而且呢， d e 是 等于 c q 的 一半，这个就是二倍的 d e， 对 不对？ 好，那我们来，别，别着急啊，先把这个造的工具传染了啊，你造了平行，赶紧要倒角，这个垂直，那这个呢？也是垂直，那这个角，哎，是四十五度，那这个也是四十五度。 好，然后呢，这边这个对，顶角这个叉也赶紧过来，对吧？好，接着围绕目的，我们的目的是要证明二 d e 等于 b f， 现在呢，二倍的 d e 就是 c q， 所以 我们就证 c q 和 b f 相等， 哎，要证 c q 等于 b f， 同学们要证边等，首选全等 b f 所在三角形和 c q 所在三角形，看看能不能全等呀。哎，我们发现这道题有点简单了，是吧，这已经现成的三角形已经来了，而且全等的条件够不够啊？ 哎，做完了，够了，是不是？你有四十五，你也有四十五，你有叉角，你也有叉角，这边中间加个 c n， 这个中间加个 b m， 而且 b m 和 c n 还相等。 哎，所以我们很容易可以得到这个三角形啊，它是和这个三角形是全等的， 那全等式工具，工具立马就导交到边，我们就可以得到 b f 就 等于 c q， c q 就是 二倍的 e d 就 完了，对不对 啊？所以呢，如果在考场上我们看到二倍的谁是谁，那我先把二倍的谁表示出来，对吧？表示出来之后，我们呢再去正边等，正边等呢，就首选全等，当你一开始读题的时候，就读一句，标一句，那么全等条件你会发现的非常快， 所以同学们做几何压轴题啊，一定要先按照最正确的姿势，就是读一句，标一句，读一句，挖一句，然后呢，再从结论引导方向，这样的话呢，你就能快速搞定了。 好，那我们呢，再给大家示范一个方法啊，就是八字全等加找猫画猫的，因为呢，我们已经猜出来了，是二倍的 d e 等于 b f， 那 么我们就知道，要么把二倍的 d e 表示出来， 要么呢，我给它变成 d e 等于二分之一 b f， 把 b f 的 一半给它表示出来。哎，你就看哪一个好表示，因为我们这个题目中是 d 这边有个终点，那显然被长它最简单，是不是啊？被长它简单，或者做它中位线简单，所以我们就用这个角度 啊，那 b f 的 话呢？他在这，哎，我们做一个他的一半的话，现在不知道用啥工具，是吧？所以呢，我就不选择做 b f 的 一半这个方法了啊，他有个中点，我就先选择倍长这个方法，或者是做中微线这个方法啊，一定要用上这个中点。 好，那我们，哎，基于这个中点，我想到我只要倍长 e d， 哎，就不仅可以出二倍的 e d， 而且可以出个八全等，所以呢，我们就来做一做， 来倍长 e d 到 h， 使 d h 等于 e d， 然后我们连接一个 c h， 那 么这个时候我们就可以直接用边角边得到这个三角形和这个三角形八字全等，是不是？ 好，那八字全等呢，就可以倒角倒边，哎，我们来盖进去倒一倒啊，比如说这个角它就嘚儿一下，就等于这个， 哎，内错角相等，两直线平行，哎，八字全等除平行倒角必用平行线啊，赶紧来倒一倒。因为平行线，所以我们这个叉脚，哎嘚，这个叉脚，对吧？哎，这还变成大叉了呢。好，然后呢，我们看看还有没有别的呢？ 哎，目前来看，这个角呢，我们平行线，哎，一直的角是倒，明白了。好， 接下来呢，我们再基于目的，我们的目的呢，是要证明二倍的 d e， 也就是 e h 和 b f 相等，要正边等，它离这么大老远，那肯定是得上全等啊，你上不着等腰是吧？你得上全等， 那上全等的话呢，我们现在发现这个边他不在一个三角形里边，是不是？但这个边呢，在一个三角形里边啊，所以呢，我们就可以很知道，很容易清楚的可以知道，我把这个三角形当成主角三角形，哎，在这块构造一个和他全等三角形就行了， 对不对啊？当然，有同学可能会说，老师，我为什么不做他的全等呢？哎，因为他的条件少啊， 哎，上题干给我们的提醒是 b m 等于 c n， 你 看，但是这个三角形啥信息都没有，是吧，所以我们选择 b f 所在三角形，选择条件多的啊，选择这个 好，那接下来我们就要模仿着他去造全等，那这个方法就叫照猫画猫，照猫画猫的方法就是一一找猫，先找主角三角形就是他主角三角形就是含结论边的和工具边的三角形啊，工具边就是相等的边，哎，结论边就是要要求的边， 你看这四十五度，这是叉。这个主角三角形的条件也不少，好选择他之后呢，接着看他长啥样，有一个绿的，有个四十五度，有个叉， 哎，自己长这样，是吧？那长看研究出来之后呢，我们呀，就重点看，哎，我在哪画他的全等， 因为我要正的是这个黄边，等于这个黄边，所以呢，哎，我知道，我要在这一块造一个他的全等，怎么造呢？哎，缺啥画啥， 你看这边呢，哎，有一个什么，有一个四十五度，我这边没四十五度，这边有个叉角，我这边也没叉角，所以我最好呢是要画一个四十五度，画个叉角，并且画个绿边。那同学们，你看我在这怎么画个绿边呀， 对吧，我在这怎么画个绿边呢？哎，对，当你卡了之后啊，你马上去看，哎，你还有啥条件，啥工具没用上呀， 对吧？只要卡了，你就这么干啊？尤其是先看你自己造的，你自己造了个八全，等八全等出平行，哎，平行可以用啊，对吧？我们可以用来干嘛呢？我们可以用它来造一个平行四边形，我们过点 e 做一个 e q 平行 n c， 因为他俩已经平行了，所以我们又做一个平行的话呢，那 e q c n 就是 一个平行四边形，那只要有平行四边形，我们就可以知道。哎，那 eq 和 n c 他 俩就相等了，哎，他就等于 b m 了， 好一个边等了，同时因为是平行，可以倒角，那这个叉就嘚一下就过来了，哎，然后这个四十五度嘟，哎也过来了， 所以我们很容易可以发现。哎，三角形 n e q， 它现在呢？哎，这个 h e q， 哈，三角形 h e q， 这个三角形 h e q 和我们的这个三角形 f b m f b m， 它们俩就是全等的，是不是啊？因为都有四十五度，都有差角，并且中间加了个，哎， eq 和 b m 相等。 好，那他们全等了，那我们就可以得到。哎，咱们的 b f 等于 e h e h 呢？就是二倍的 e d 就 结束了。 好，那复盘一下啊，我们怎么着能快速做出来几何压轴啊？就一开始一定要读一句，标一句，把信息一目了然。标图上啊，你看，当我们标图上之后呢，我们就很容易找到。哎，找到主页三行之后，我们很容易找到谁和谁相等， 他就算不相等，我们也很容易看到。我要想在这做四十五度做个叉，那四十五度和叉都在这，你看你就得上平行嘛，对吧？只有上平行才能把四十五度叉都往这边怼吧，哎，这样的话呢，我们的工具就比较容易了。 好，那咱们呢照猫画猫这个方法啊，他呢是信号比较粗，比较粗矿的，就只要是有边等和角等的信号，你都可以照猫画猫。所以呢，在考试的过程中，哎，如果我们看到很明显的终点呀，共端等长呀，我们就可以上旋转， 但是如果说你看其他的工具都不好用，你就可以用这个啊，因为这里一个它的信号就是给边等，给角等就可以用，它是比较它的应用场景是比较广泛的，大家只要是找到主键差行，不知道怎么做全等都可以用，这个方法就是纯粹是模仿着这个主键差行去造全等就行了。 好，那同学们呢，如果说现在看到几何压轴啊，做着做着呢容易卡，或者呢不知道该怎么着去造全等， 或者不知道该怎么去找主页上行等等的，哎，都可以跟彩虹老师来继续学习，彩虹老师呢也是给大家开了几何专题课，我们如果有想学习的话，可以联系我们的老师进行报名。

北京初三的同学，大家好，离我们的一模还有一个月的时间，接下来我会推出几个重要的总结性视频，帮助大家盘点北京近三年中考模考题中的一些关键题型，他的考点难度，尽可能的帮助同学们精准备考，高校提升。今天我们要讲的是几个综合。 我们先来看近三年北京中考原题，他的考点啊，围绕着手拉手模型加终点模型展开，基本上这两个考点都会在同一道题中出现，如果这两者的结合你掌握的还不太好，你可以重点从以下的这些模考题中去选出，纯粹考这两个考点呢，比如说像去年的海淀西城的模考题，丰台石景山的模考题， 都是单纯的围绕这两个考点去展开。当然我们也看到二零二三年甚至是二零二五年北京中考的原题呢，还涉及到了半角模型， 其实他的本质和手拉手的考察的底层是一致的，就是旋转，旋转全能，只是不同的同学同不同的条件去切入，有的是从手拉手的模型切入，有的是从半角模型切入，因此半角模型也是一个比较重要的。那有一些题啊，像这些他就涉及到了 比较明确的半角模型，值得大家注意。除了以上这三个，在我们近三年中考没考，但是在模考中反复出现，很有可能在 新的中考中出现的是什么呢？就是对称、全等这个关键的考点。那我们刚刚讲了，手拉手啊，半角模型啊，它的核心是什么？是旋转终点里面它的核心多数是对称。那还有一个什么 涉及到的对称多呢？就是角分线，角分线占据了对称全等模型中最多的分子。如果你看到一个几宗题，他描述了角分线，你却无从下手去做辅助线，往往说明这种题型你掌握的不太好， 因此我们这标注对身全等的。哎，这些题型是你重点可以去做一下的。那以上这些是特别特别重要的，是你必须要掌握的。如果除了以上这些，你掌握的已经很好了，依然学有余力，那我建议你可以做一做。哎，他并不是那么常见， 但是可以值得我们关注一下的，类似于之二勾一出全等三锤模型这些在模考中出现频率较高的一些题。以上就是从考点维度给到他的建议， 那我们再从难度的角度来看啊，几中啊，在魔考中的跨度还是比较大的，在中考中相对稳定，都是在四星到五星难度，但在魔考中有不少区的几中他出的是比较简单的，如果你的几中一 整体的得分率比较低，二，你的目标值也没有特别高，你可以优先做我这列出的三星题。哎，如果你的几中掌握的还不错了，想冲击满分，冲击高分，那你就优先去做四星和五星题， 这样一来你就不需要大量的盲目的去刷题。我想你把有限的时间用在你最精准的，需要去提升的地方，才是最好的策略。

梯形边上有移动点， p 旋转九十度得到 p q 连接，求运动过程中黄色线段 d q 的 最小值。暂停思考 线段旋转九十度必得等腰直角三角形辅助线思路，构建手拉手等量代换绿色三角形，绕 a 点运动， p 看作左手， q 为右手，需要构建一个新的等腰值， d 为右手， 且 a d 与 a q 为对应边儿，做出辅助线，连接两三角形的左手端手拉手必有相似。观察蓝色、黄色两三角形亦得角一角二相等 对应边。 ap 比上 a q 等于二分之根号， af 比上 ad 也为二分之根号对应边乘比例，且夹角相等正，得黄色、蓝色两三角形相似。由相似比得到黄色线段是蓝色线段的根号二倍， 其比例横乘力转化为求 p f 的 最小值点到直线垂线段最短，此时蓝色线段垂直，底边儿 延长， p f 亦得 pm 长度为六， m f 等于 m d 长度为四，则蓝色线段长度为二。黄色 d q 最小值二倍，根号二下课。

北京中考几中最热的题型一定是手拉手加终点，那手拉手加终点其实几句话就能解释明白，那么今天呢，就以我们这个压轴题打卡语音当中的这道打卡题来给大家详细说明一下。春季压轴题打卡第二周，我们这周的主题是终点， 一起来看。说三角形 a， b， c 当中， ab 等于 a， c， b， a， c 是 alpha， 那 么这道题呢，我们第一问不做，只做括号二，所以我们就直接去看图二就好了啊， ab 等于 a、 c， b， a， c， alpha， d 呢，是三角形内一点连接 dc， 然后呢把 dc 绕点 d， 逆时针旋转了一百八十度减 r 法去得到线段，第一 条件就结束了，所以我们在读完题之后呢，首先分析一下我们的条件哈，条件当中呢，首先我们有一个等腰 啊，也就是我们所说的共端等长，对吧啊，共端等长就有旋转的可能， 那么接下来呢，我们有一个 r 法和一百八十度减 r 法这两个角度来，这两个角度我们能得到什么呢？那么在这个几种题里边啊，经常会用到对角互补 进行倒角，就比如说在这道题当中，那阿尔法和一百八十度减阿尔法所在的 这个四边形， a， f， d， c， 哎，这个四边形其实就是一个对角互补的四边形， 那么对角互补的四边形会有什么样的结论呢？叫做外角等于内对角，什么意思呢？我们一起来看啊，比如说啊，我这是一个对角互补的四边形， a， f， d， c， 好 吧，那么这个四边形哎，这个角我给他叫角一啊，这就是我们的外角，这个对角互补四边形的外角， 那么它等于谁呢？等于它相邻内角的对角， 对角，所以叫外角等于内对角啊，所以应该是角一等于角三。 所以在这个题当中，当我们看到这个 alpha 和一百八十度减 alpha 的 时候，我们要反映出来哦，我得到的是什么呢？我得到的是这个角和这个角是相等的关系。好吧，这是我们对条件的一个基本分析。那么接下来呢，我们继续来看括号二， 括号二，他说如果点 e 在 三角形 a， b， c 的 内部，在 d e 的 延长线跟 ab 交于点 f， 取了一个中点 来取中点点屁，然后让我们去写出 a p d 这个角的大小， a p d 是 这个角啊，很明显的就是让我们去正九十度，对吧？所以接下来呢啊，我们把这个第三个中点这个条件也简单分析一下，那么在几中当中去考虑叫做八中斜三 啊，这个我们上课的时候也讲过，八字拳的中位线，斜边中线，还有三线合一，对吧？至于这道题当中用哪个，那不能确定啊，有可能不止用一个。好吧，那么接下来呢，我们再来分析问题， 问题是让我们去求角 a p， d 的 大小，其实我们能够猜出来啊，肯定是九十度， 那么接下来，哎，我们就去想了，那我要想正九十度，我有什么样的思路呢？我们最常用的方法呢？一般来讲有两个，第一个叫做三线合一， 第二个呢，哎，就是斜中半，这是我们在几何当中正九十度角经常用到的啊，就比如说我先正，他是一个等腰三角形，然后再取一个斜边中点，然后一连三线合一，这就是九十度。 再比如说斜中半啊，我先取一个三角形，然后取斜边中点，连起来之后，如果这三条线段相等啊，我也能得到这个位置是九十度， 好吧，那么至于用哪个，那我们就可以去尝试了。好了，那么到此为止，我们一边读题一边分析啊，这个过程就结束了，那么接下来啊，就是我们去尝试的过程。这道题是一个非常非常非常经典的题啊， 也是我们近几年在这个中考几中，北京中考几中当中考察比较多的啊，就是手拉手 和终点的一个融合。那么从问题的角度出发啊，比如说我想想用三线合一，正这是九十度的话，那么我就要以这个屁作为三线合一啊，就是等腰三角形斜边的终点， 所以那我就可以把它背长出去，能感能感觉到吧啊，我延长 d p 到 m， 让 pm 等于 pd， 那 么 dm 作为等腰三角形的斜边，我连接 d m 啊，这个 am 和 ad， 是 不是？接下来我只要能够证明 am 和 ad 相等，那么它就是等腰三角形， p 是 被长啊，我们被长到 dm， p 就是 dm 的 终点，是不就有了三线合一，对吧？哎，所以我从问题出发，我就可以去尝试三线合一了。那么接下来问题来了，那我如何去证明他是等腰呢？ 哎，这个时候你会发现，假设 amd 是 一个等腰，那你会发现这个等腰三角形的顶点 a 这个位置刚好又有一个等腰三角形 abc 在 等着我们， 发现没有，也就说 abc 是 一个等腰，那如果 amd 也是等腰，是不是就会有手拉手拳的？ 那反过来是不就代表着我只要能够证明这两个三角形是全等的，加上这个是等腰，那么这是不也就是等腰了， 对不对？哎，所以这个时候你看我们的思路就打通了，我们只需要想办法正这两个三角形全等就可以了。好了，那么接下来 我们就一起来看一看，那如何正他是全等呢？那你肯定不能假设他是等腰去正全等，对不对？哎，这个时候我们来写一下啊， 在正他是全等的过程当中呢，我们需要用到什么？哎，首先啊，我们第一步啊，就是背长中线， 哎，你看我们这个辅助线的构造第一步干了什么呢？哎，就是延长 d p 到 m， 让 pm 等于 pd， 对 吧？所以那么被长中线，我们首先会有一个八字全等，也就是三角形 m b p 和 d p 这俩三角形全等， m b p 全等于三角形 d e p， 那么当它俩全等之后又有什么用呢？哎，我们上课讲了，背长中线得八字全等，八字全等，我们要从三个角度去找它的结论，一个叫对边相等 啊，也就是说这个八字当中的对边平行啊， mb 和 ed 也是平行的。 第三个啊，就是终点啊，也就是说你背长中线之后，那我们这个 p 不 仅是 b 的 终点啊， p 也是 md 的 终点， 对吧？哎，所以只要用被长中线，那我得八，一定会得八字全等，得了八字全等，一定要找这三个结论，那么这三个结论当中的某一些结论就对我们后续的过程就有推进的作用啊，不然的话你就卡住了。好吧，那么接下来你看 来找一下啊，这个和这个相等条件当中，你会发现我们这个 d c 转到了哪，转到了 d e， 所以 d e 跟谁相等，跟 d c 也相等， 是不就代表着，哦，我用八字的对边相等，就转移到它，等于它 看出来没啊？所以那我就知道了，这个 b m 和 d e 相等，也跟 d c 相等，而 b m b m 等于 d c 就是 我们这两个黄色三角形全等的第一个挑低相等的边， 而第二组相等的边非常好找，就是 ab 等于 ac， 对 吧？那么接下来两边相等找夹角，我是不是接下来只需要正这俩角相等就可以了，对吧？哎，所以你看，接下来我们正手拉手全等的时候，两个条件很好找哎，再加上 ab 等于 ac， 我们只需要去想办法正这俩角相等，而正这俩角相等，哦，就用到了我们这个平行对边平行，哎，你看他俩是平行的， 对吧？那平行之后，那我怎么把这个角转移到这来呢？我们一起来看看啊。首先这个角 按照我们刚刚外角等于内对角，还记不等于这个角， 而这个角，哎，因为平行线的关系，发现没有内错角，刚好就到这了啊。所以那么我们角 a c d 等于角 d f b， 这个是因为什么呢？因为对角互补的四边形倒角，然后 d f b 又等于角 abm， 这个是为什么呢？就是因为我们前面的平行， 对不对？所以你看这个时候啊，我们是不是就能够得到两个黄色的三角形 abm 全等于三角形 adc 了， 那这就是我们的手拉手全等，好吧，圈一是背长，哎，就是终点，圈二呢？哎，这就是我们的手拉手的逆运用，对不对？那么接下来我们这个问题就能够解决了， 是吧？啊，他俩全等之后啊，所以 am 等于 ad 啊，再加上谁呢？屁，是 d m 中点，所以三线合一啊， ap 就 垂直于 md， 所以 我这个角 apd 呢， 就等于九十度，那这道我们就解决了，好吧，嗯，这道题说完了，那么接下来呢？哎，除了这种思路，哎，你还可以去尝试一种思路，哎，你看， 我们要想正照是九十度，对吧？我除了可以以这条直角边哎作为等腰三角形的底边，这样去构造一个等腰以外 来，我们能不能以另外一条边，以另外一条直角边为边去构造一个等腰三角形出来？ 比如说，啊，我这样倍长出去，能感觉到吗？啊，然后我去证明，这个 d a 和 d n 相等，是不也是三线合一，对吧？那这个时候跟刚才一样，你会发现哦，要正的等腰三角形 d a 和 d n， 那么这个顶点 d， 这是不是也有一个等腰三角形 d e c 啊？因为 d c 转到了 d e， 对 吧？啊，所以接下来我们只要证谁和谁全等呢？ 哎，就是这个三角形跟这个三角形全等全等之后，跟刚才一样，那我们的 d a 和 d n 相等，再加上 p 是 中点，三线合一也能得，这是九十度， 那至于这两个三角形又如何全等呢？嗯，跟刚才的思路是一样的啊，就是这个，首先八字全等 啊，因为你是背长中线的，所以一定有八字全等，八字全等之后是不就代表了 a b 等于这个 e n， 而 ab 又等于 ac， 所以 来看黄色的两个三角形，第一组边是不就是这两条长的第二组边是不就是 d， e 等于 d c， 对 吧？啊？也就是 d， e 等于 d c， a， c 等于 e n， 然后我们只需要正这俩角相等，跟刚才一样，这个角根据对角互补，是不是转到这了？ 平行啊，就是八字全等对边平行，那这个角跟这个角是不同位角，所以它等于它又等于它，这俩角就是相等的， 对吧？角 a， c， d 等于角 n， e， d， 那 这样的话呢，也是黄色的全等，全等之后呢？ d， a 等于 d， n， 然后三线合一，然后啊，我们这个角 a， p， d 啊，也是九十度， 哎，发现他俩其实是一样的啊。所以以后再遇到这种正九十度的问题的时候，各位，那我们就可以直接去使用什么了。哎，三线合一这种方法你学会了吗？

同学们，今天呢，我们来看一道动点与函数图像的中考题，这是中考中非常典型的几何动态问题，也是我们在选择题当中的压轴常客。 那么我们先来看一下这个题目说在等腰三角形，等腰直角三角形 a b c 当中角 b a c 的 度数，这个角呢为九十度，然后呢， ab 等于十二，也就是等腰三角形的腰为十二，两个腰都为十二。 动点 e f 分 别从 a 出发， e 从 a 出发，然后呢， f 是 从这个也是从 a 出发，然后说速度大小相同， 当 e 停止运动时， f 也停止运动，那那那那他们两个肯定是一样的连接 e f， 然后呢，以 e f 为边，向下做正方形 e f g h， 那 么我们可以看出，那当以 e f 为边的话，那这条边的话，我们是可以用 a 一 或者说是 a f 来表示的。然后题目当中说了设点一的运动路程为 x， 那 么我们来看一下，设点一的运动路程为 x， 也就是我们说的 a 一 这一段为 x， 那么当 a e 为 x， af 呢？也为 x， af 呢，也是为 x 的 啊，然后说，哎，他们重合的面积为 y， 然后呢说下面的图像能判断 y 和 e f 之间的函数关系是哪个，那么我们呢，我们如果说在做做题的时候，首先马上来看一下， 嗯， a 一， 我们来看一下啊， a 一 的话， a 一 等于 af， 它是等于 x 的， 那么所以 ef 怎么求呢？那么我们这个三角形 a f 其实是 rt 三角形 af， 所以呢，我们可以用勾股定律，哎，那么 ef 的 它其实就等于根号 a 一 的平方，加上 af 的 平方，那么其实是等于根号二 x 的， 所以我们 这个正方形 e、 f、 h、 g 的 面积，它其实是等于二 x 的 平方的，这是在 这个 h、 g 和 bc 重合之前，它的面积是这样的。所以呢，我们通过这个，那它是一个二次函数，它可以看成是一个开口向上的一个二次函数，开口向上的一个二次函数，大概是这样子的， 然后我们来从题目中选项，那么这是一条直线，这是条直线，哎，这个是可以的，这个呢也是可以的。那么所以呢，我们直接排除了 c、 d 两个选，然后再看 a 和 b， 那么 a 和 b 的 话，他们的区别就在于什么呢？哎， a 的 话，他是一个二次函数，开口向下的二次函数，而我们的 b 选项呢，他是一个这个，呃，直线，那么他是直线呢？还是这个二次函数呢？那我们再来看一下啊，他如果说重合之后， 我们画一个等腰直角三角形，画一个等腰直角三角形，大概是这样的，那么重合之后的话，那它的样子大概是这样的啊，正方形，正方形， 哎，比如说就是这样。那么此时，哎，这是这一段还是根号二 x， 那 么这一段，那其实，哎，我们要要要，要这个 y 的 话，其实这一段，那这一段的话呢，它是 x， 它呢也是这个，它是十二减 x。 这一段和这一段其实也是包含着也是某某 x， 也是某某 x， 所以呢，这个阴影部分的面积可以表示成什么呢？哎，还是根号二 x 乘上 我们的这一段，这一段我们可以用某某 x 表示，也就是找打个比方， a x 吧，那其实是根号二 x 乘 x 的 平方，那么此时它还是一个二次函数，它还是一个二次函数，只不过前面的这个 a x， 哎，我们 根据这个题目当中可看出，哎，那他还是一个二次函数的话，那他肯定是选择我们的 a 选项的。那么像这种题目的话，我们在考试的时候，可以通过 它是二次函数还是一次函数来快速的判断出这个它到底是哪个选项。那么我们在做题目的时候，嗯，我们现在呢就来详细做一下，因为我们刚刚是快速对答案，然后呢，我们现在来详细做一下，看怎么样才能把它给做出来。 好，现在呢，我们把我们的已知条件啊，嗯，几乎都已经要删掉了， 好，接下来呢，我们开始正经的来做一道这个题目，那么首先呢，我们还是画一个函数图像吧，在这简单表示一下，这个画的画的不好，再画一个， 画一个等腰直角三角形，这样等腰直角三，那么在他的第一个情况呢是这个正方形还没有超过，哎，还比方啊，还是这样，还是这样，嗯， 再打点， 就这样吧。此时，嗯，这是 x， 这是 x， 然后呢这是 a， 然后这是 e f， 这是第一种情况，这是第一种情况，也就是我们的 h g 和 b c， h g 呢，和 b c 重合之前， h g 与 b c 重合 之前是这样子的，那么这是他们，这是我们的 y， 那 么 y 的 话，它其实就是这个正方形，那么所以呢，我们只需要把 e f 求成就行了，那么 e f 的 话，它其实是等于我们根号下 a e 的 平方，加上 a f 的 平方，我们已经算过了啊，等于根号二 x， 那 所以我们的整个面积呢，是等于 a、 e、 f 的 平方，所以呢，我们 y 是 等于二 x 的 平方的。 好，那么这是我们这个第一个一次函数，那么他的这个为什么是四呢？我们简单看一下，为什么能取到四，那么我们就，呃，那么四这里呢，他是一个这个零件值，所以呢，我们假设， 假设什么呢？假设他这个正方形，哎，这个正方形，哎，移，移，移到这里来呢啊，这是第二个哟，假设这个正方形移到这里来呢，把它再扩展一下 啊，这是第一种情况，我们把它复制一份，复制一份，哎，这样好，变成这样，变成这样就变成这样吧。 二，这是正方形，已经重合，已经重合，这个他们两个重合了，那么所以这一块， 呃，所以这这里呢还是根号二 x 啊，这还是根号二 x， 这根号二 x， 那 么所以下面也是根号二 x， 因为呢它是一个等腰直角三角形，这是四十五度，这是垂直的这四十五度啊，然后这呢也四十五度，所以呢下面这一个也是根号二 x， 这面呢也是根号二 x， 所以 下面一共是三个根号二 x， 那 么我们怎么把这个根号二 x x 求出来呢？那么题目当中有告诉我们 abac， 它是一个边长为十二的等腰直角三角形，所以呢， 他的斜边 bc， 那 就是十二的平方加上十二的平方，那他其实是等于我们十二倍的根号 x 的， 所以我们 x 解出来呢，是等于四的，所以在题目当中的这个有个这个转折点，那么就是四，这就是在四这， 所以呢，我们在四这的曲线，哎，就可以画成是取不到圆圈的这一段，我们把它画出来 是这一段，这一段是正确的这一段。然后呢，哎，是这一段，那么取不到，那么接下来呢，是要开始第三个，第这个第三段路程的，第三段路程是什么呢？也就是，嗯，他还是一个等腰直角三角形， 这还是一个等腰折算进。然后第三段路程呢，是它已经这个穿过了我们这个，这个 bc 呢？ bc 这一段呢，我们来看，但是这样子的， 嗯，对，这这样子可以第三段路程，这是好，我们把这边呢先缩小一点， 小点放上面去。 好，我们来把它标上字母，这是 a a， 然后 bc， 然后这是 e f h g， 好， 现在我们还要注意它重合的呢，它要我们求的是这个的面积啊，那么此时我们的 e f 还是等于根号二 x 的， 然后呢，我们下面要求的是，好，我们把这里编成字母 m n m n， 我 们下面要求的是我们的这个，呃， e m 的 长， e m 的 长，那么因为我们 s 面积吗？它是等于 e f 乘以我们的这个 e m， e f， 我 们是知道的，那然后这 e m 呢？ e m 怎么求呢？ 嗯，我们在这个直角三角形里面， a 呢是 x， 所以呢我们的 b 一 呢是能够求出来的， b 一 是我们十二减 x， b 一 是十二减 x， 而我们的 b e m 是 一个等腰直角三角形，这个等腰直角三角形，所以呢，我们就能够把 b m 和 e m 给求出来，那么所以呢，我们在这里简单写一下，在 r t 三角形 b e m 中， b m 中，然后呢， b e 的 平方，它是等于我们 b m 的 平方加上 e m 的 平方，那么 b m 的 平方呢？它是十二减 x 的 平方，然后呢， e m 和 e f， 我 们在这里暂且是给它设一个吧，设为这个 y 吧，设为 y， 因为它们俩相等的，所以呢，二 y 的 平方，我们现在要求 y 啊， 哦，或或者不用求外径也行。因为 b m 和 e m 相等，所以我们直接写成二倍的 e m 的 平方，二倍的 e m 的 平方，所以呢， e m 的 平方，它其实是等于二分之十二减 x 的 平方的，然后我们对它进行简单的化简，所以呢， e m 上下都开根号吧，左右两边都开根号，上一根课，那下面就等于根号二分之根号二倍的十二减 x， 其实呢，它等于多少呢？等于六倍根号二减去二分之根号二 x 也可以，这个也，这个，这个都无所谓，都可以不化减的啊， 这不化简的可以啊。所以呢，现在我们就把 e m 给求出来了，那么 e m 求出来之后，那么哎，这个 s 就 能够好求了， s 就 好求了，小大点，所以呢， s 或者说 y 啊，或者 y 啊， y 的 话，就等于一 f 乘一 m， 那 一 f 等于根号二 x e f 呢？是我们等于这个，这个啊，直接算这个等于二分之根号二，然后乘上十二减 x 为，那所以呢， 根号二，根号二，根号二约等于，所以呢，直接等于我们的十二 x 减 x 的 平方，十二 x x 平方， 那他很显然也是一个二次函数啊，那么所以呢，我们在这里，那怎么样他，他是个什么样的二次函数呢？我们现在需要对他进行一个画个点点，把它画上，一般是吧，画成点点是吧，那么我们现在开始来配方哦， y 等于好提一个负 x， 那 变成 x 平方，加 哦，减十二 x， 那 配方的话，我们就配依次向系数一半的平方就行了，那加上 六的平方，减去六的平方，减去六的平方，然后啊，然后大括号，然后，所以呢等于负的 x 减六的平方，然后加上我们的三十六，加上我们三十六，哎，是不是哪里算错了呀？ 加上三十六，它的最大值是取了三十二，没，没，没错没错，但是它它它它在四这取了三十二，没错， 所以呢，我们就画成了这样的，画成了外的这个，这个超过了这个四之后，他的这个取值范围啊，是这个函数图像，他是这个函数图像，那这个函数图像呢？他大致画成什么样子呢？他大致画啊，我们在这大致画一下， 首先开口是向上的，然后呢在六这里取了最大值，最大值为多少呢？最大值为三十六，所以呢 我们来看一下啊。其次再根据这个题目的意思啊，因为他这个 x x 整个整个长呢，为这个这个这个这个十二，所以呢这个 x 最大，最大能取到十二。这么长。 我们现现在呢，现在，现在，现在，现在把它画到图当中，那么因为呀，他这个从这个四，这四，从 x 等于四之后啊，从 x 等于四之后，从这里啊， 从 x 等于四之后，它是重合的，它是这个重合的，和它重合的，所以呢，它在四这里是刚好，它在四这里是擦掉，擦掉， 它在四这里呢，是刚好和这个和重合的时候取一样的，然后呢，它慢慢的随着 x 呢慢慢上升，一直往下，一直到 x 等于十二，那么所以呢，此时呢，在这里最大值是三十六， 在这呢能取得的是六，所以呢，我们这个题目呢，选择我们的 a 选项，那么其实对于这种类型的题目的话， 嗯，动态几何内的问题，我哈讲实话也是一个难点，但是呢，我们通过我们的一些小聪明或者说是排除法，通过我们几个选项之间的差别，其实也是能够在考试当中把这个题目拿下来的。 嗯，所以呢，我们在平时练习的过程当中，就要多多对这种类型的，哎，你要你要看他在每一个阶段为什么会呈现这样的图形，然后呢，你需要结合图形去进行一个简单的思考， 然后呢，这个题目当中你还需要注意的一点就是，嗯，说的是正方形和 a、 b、 c 两个重合的面积为外，这个呢在题目当中你也是需要注意的，它不是正方形的面积，不是正方形的面积，所以呢，在这里你需要格外的注意。 那么对于这类动态函数的几何问题呢，其实我们之前也遇到过，那么像什么时候会是一次函数呢？比如说像这种是一只像，像这里有一条路啊，这是这个 s 啊，这，这是一百，这是，这是个五百米吧， 那这是五百米，然后呢，哎，有个 a 从这里往这边出发，它的速度呢是三米每秒，是三米每秒，问 t 秒，问他 t 秒当中 t 秒后走的路程与路程外 的关系啊，运动成外的关系，也就是我们问这段时间它函数关系，那其实外的话，它是等于三 t 的， 外是等于三 t 的， 那这段的话，它其实就等于五百减三 t， 好 像这种匀速运动的都是 一次函数，或者说是这个正比的函数，那么它在这个基础上反比这个二次函数，它怎么来的呢？它是在我们可以说啊，它是在我们一次函数的基础之上过来的， 他会给你怎么说？他说 a g 从这里这么走边走的时候啊，他还这个拿着一个旗杆啊，拿着一个旗杆板啊，或者说拿着一个什么东西，或者说是从 a 啊往这做了一条这个，嗯，或者说是这个呃 a， 然后呢 b a 从这 a 从假地往这边走的时候， a b 他 们两个和这互相垂直的，然后呢告诉你呢，这里有一个角度，告诉你一个角度，然后呢让你去求这个的面积是多少，那么此时呢，它其实就是一个 三，这个二次函数，二次函数，那么我们这里简单说一下啊，那么它和它其实是这个对边和这个邻边的关系，所以呢我们只需要知道摊进它这个是多少度就行了，那摊进多少度，那就是这个 那个 ab 比上 a o， 那 这个度数呢？我们是知道的，所以呢我们能够把 ab 给求出来， ab 其实就等于摊进它阿尔法乘以我们的 a o 这个度数呢，所以呢我们的 s 的 面积呢，其实就等于我们的这个， 如果说这个 o v 的 长， o v 的 长为这个三 t 的 话，那么三 t 乘上我们的贪婪塔阿尔法三 t， 那 么它其实最后等于某某某某 t 的 平方，那么它其实呢就是一个二次函数，二次函数。所以呢我们在做的时候是需要 分析一下他这个题目当中这些图像有什么样的特点？他是一次函数还是二次函数？主要还是从这个图选项当中的 a、 b、 c 去选项当中 a、 b、 c 的 这个图像啊，来 判断这个他和这个题目当中意思是否是一样的，去从题干当中来预测他是一次函数还是二次函数。然后呢？嗯，我们在考试时候还需要注意这些拐点的时候，拐点看他题目当中标的是否正确。 这个题目的话还是稍稍有点难度的，大家下去呢，需要对这种题目多多揣摩。

学一模会编几何综合解答题。六、防山区在三角形 a， b， c。 中角 b， a， c。 等于九十度 a， b。 等于 a， c。 等腰 d 是 ab 上的一点 d 是 ab 上的点 e 是 bc 的 中点，斜边的中点，三线合一，斜边上的中线 等于斜边的一半 e 发射了三条线的 a， e。 等于 b， e。 等于 c e。 将 d 点 d， c， d， c。 然后 d 点顺时针旋转九十度顺时针，这样是顺时针得到 d， f。 连接 af， 若点 n 是 af 的 终点，连接 n d 和 n e。 猜想线段 n， d， n， e 的 数量关系和位置关系，并证明。 你看第一个啊，画图第二个连接 a， e 并延长 a， e 到点 g， a， e 到点 g， 使得 e， g 的 a， e， e， g。 就 这一段 等于这一段延长 f 点 d 到点 h， 使 d h。 等于 f d， d， h。 这一段等于 f， d。 这一段 连接这几条线段。三角形 c， c， d， h。 是 d h。 三角形 e， g， c。 都是等腰直角三角形 h c， a。 等于四十五度 h， c， a。 是 哪个角啊？ 就这个小角等于四十五度，减去角 a， c， d。 因为角 b a， c， b， a， c。 是 哪个角呢？直角 ab。 等于 ac， 所以 acb。 等于四十五度 a， c、 b。 也是等腰直角三角角 d， c， b。 这个角是负五角，减去角 a， c， d。 所以 角 h c， a。 等于角 d， c， b。 将线段 d， c。 沿点 d。 顺时针旋转九十度 d， c。 顺时针旋转到 d， f。 所以 角 c， d， f。 这个角等于九十度 c， d。 等于 c f。 角 d， c， f。 这个角也等于四十五度角四 d， c， b 呢？等于四十五度，减去 b， c， f， f c， g。 呢？等于四度，减去 b， c， f。 所以 d c， b 的 f c， g d c， b。 这个角 d， c， b。 等于角 f c， g 这个角啊 f c g 角 h c a 等于 f c g h c a 这个角等于 f c g c h c h 等于 c f ac ac a c 等于谁呢？等于 g c 所以 三角形 h c a h c a c f g 全等 h a 等于 f g 又因为这三点分别是中点，所以 n d， n d 是 中位线， n e 也是中位线 n d 呢？等于二分之一 h a n e 等于二分之一 f g h a n e 等于谁啊？ f g 所以 n d 呢？等于 n e 第二个我们看一看。延长 h a h a f g 交点 i 我 们看一看啊，看一看啊！延长 h a h a 交 f g 于点 i。 因为 h d c f d c h d c f d c 都是等腰直角三角形，所以角 h c d h c d 这个角等于 f c d 等于四十五度。 两个四次函数相加， h c， f 等于多少度啊？九十度 c， f 等于 c h 又等于 c f 所以 c h 等于 c f h c a h c a 和 f c g 全等。我们看一看 c h a c f g 也是 r f h i f h i h f 这个角呢？等于四十五度减 r f i f h 这个角等于四十五度加阿尔法内角和相等得到 h i f 这个角等于多少度？九十度 h i 垂直于 f i 又因为 n d， n， e 分 别是中位线， 所以 n d 呢？ n d 平行于 h i n d n d 平行于 h i n e 呢？也平行于 f i 就 这个角，所以这个角也是垂直 n d 垂直于 a e。

哇，你也太厉害了吧，这么难的瓜豆都被你刷到了，那我们一起通过一道题来走进瓜豆原理。那首先啊，在这道题里面，这里有一条直线， y 等于负的二分之 x 加二， 哎，然后接下来呢，他说这个 p 点是一斗零， q 呢，是直线上的一个动点， 并且呢， p q 撇和 p q 呢，既是垂直的，也是相等的。现在让我们去看 o q 撇的最小值， 这道题呢，我们要去求 o q 撇的最小值，所以呢， o 点和 q 撇点的身份很重要，那这里 o 点是一个定点， q 撇点呢，肯定是个动点了，对吧，那它到底在哪里动呢？哎，我们得去研究清楚，那这里它就完全符合瓜豆原理的条件，所以呢，哎，我们把这个 q 点啊看作是一个主动点， 主动点呢，在线上动的话，那么这个 q 撇点作为它的从动点呢，也就得在线上动，这就叫做种瓜得瓜。那如果主动点在圆上动的话呢，从动点的 q 撇也就在圆上动了，这就叫做种豆得豆。 好的，那么瓜豆原理的条件是什么呢？哎，就三个三定，分别叫做定点、定笔和定角。哎，那在这里的话呢，我们看啊，这个 q 点呢，相当于绕着 p 点，然后呢顺时针旋转了九十度， 所以呢，这里满足了定点，找到定点就是 p 点，对吧，然后定角呢，就是这个九十度，并且呢，这里的这个 p q 和 p q 撇的长度刚刚好就是相等的，所以呢，满足定比是一比一，哎，当然有的时候呢，还会缩放， 比如说这里转过来之后呢，哎，变成它的二倍了，哎，它也是符合刮豆原理的。好的，那我们来看一下啊，定点满足是定点 p 定比呢？满足一比一定角呢，就是九十度。 ok， 好 的，那么它既然是刮痘的话呢，我们就可以用刮痘的方法来解它了，那这里 q 点啊，我们可以找到它其中一个特殊的位置状态，比如说 q 点，在这个直线与 x 轴的交点 a 处的时候，哎，这个位置比较特殊，对吧？你可以叫它是 q 的 起点了，也可以叫它是终点了，哎，其实无所谓，对吧，它就是一个特殊的点， 随便抓一个，比如说你抓这个点也行，他也很特殊，对吧？那我抓这个，这个靠的近一点，好，那么此时呢，我们要找到，哎，他对应的那个 a 撇点在哪里， 哎，那我们知道这里呢，是绕着 p 点，然后呢顺时针旋转了九十度，对吧？长度不变， a 撇点就在这个位置吧。好的，那么接下来要干一件非常重要的事情，就是把这个 a 撇点呢，跟这个 q 撇点啊，给他连接起来， 那么两点，确定一条直线，我知道 q 撇是在直线上运动的了，对吧？那么所以呢，有了 a 撇，有了 q 撇，那么 它 q 撇点的运动轨迹就是这样一条直线，因为呢， p a 撇 q 和 p a q 啊，这两个三角形是全等的，所以呢，这一条直线啊，它一定是一个确定的直线， 它是与水平方向呈固定角度的这样一个直线，只不过呢，我只知道这个角度它的摊进的值是一比二，对吧？是一比二而已。 好的，那么问题回到这里，哎，定点到动点的距离的最小值，哎，定点呢，在这动点呢，在线上运动， 所以点到线的距离什么最短？垂线段最短吧，所以呢，把这个垂线段给它做一，做过 o， 点做一个 a q 撇这条直线上的垂线段。哎，然后呢，我们叫它长度叫 h。 好，现在呢，我们只要把这个 h 求出来，那最小值就有了，那这个 h 该怎么求呢？见于这里啊，这么多垂直，对吧，我们不妨来倒一倒角，这个也是垂直的，所以呢，这个角和它互余， 然后这边呢，有一个垂直的，所以呢，这个角和它也互余。因此呢，我们只要把这段的长度给求出来就行了，也就是把 o b 求出来， 而 o p 呢，是一，所以呢，只需要把 p b 给求出来就行了。那 p b 是 多少呢？哎，我知道 a 撇 p 的 长度就能把 p b 求出来了，所以呢，首先要求 a 撇 p， a 撇 p 的 长度跟 a p 的 长度是相等的，而 a p 的 长度呢， a p 就是 三，因此 a p p 也是三， a 撇 p 是 三的话呢，这个 p b 就 应该是 a 撇 p 的 二分之一吧，因为它的摊进的值是一比二嘛，所以呢，这就是二分之三，那它有了，所以 o b 就 有了， o b 就是 一，加上二分之三，也就是二分之五。 最后一步，因为这个角的 tangent 的 值是一，比上二，所以呢，它的 cosine 值，也就是 h 比上 o b， 就 应该是等于二，比上根号五的 h 呢，就等于根号五。那通过这道难题，你有没有彻底认识清楚瓜豆原理呢？