安徽中考22题几何兔

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是安徽 c 二零联盟一模数学的几何压轴大题， 题目给了我们一个等腰直角三角形 a、 b、 c、 d 点在 b、 a 延长线上， e 点在 b、 c 边上，并且 d 一 和 d、 c 是 相等的，所以这个三角形是一个等腰三角形，然后再做 e、 g 垂直 ab， 他的题干就是这么的简洁。不知道大家读完题目之后有什么感想啊？反正我的感想就是，这道题他延续了安徽省前两年中考几何压轴题的特点，一是难度不大，二是不需要辅助线。 好，我们先来看第一小问，他让我们证明 e、 g 和 a、 d 是 相等的，那要证线段相等。我们的第一想法是不是去找全等三角形啊？ 可以看到 e、 g 在 直角三角形第一极中，而 a、 d 也在一个直角三角形中，并且这两个直角三角形的斜边还是相等的，所以说我们要么再找一组相等边， 或是再找一组相等角，要是根据题目条件来看的话，显然是不是倒角要方便一些啊。 可以看到角 e、 d、 g 是 等于 r 法减四十五度的，而这个角 d、 c、 a 它也等于 r 法减四十五度，所以角 e、 d、 g 和角 d、 c、 a 是 相等的，那现在全等条件就够了吧，所以说 e、 g 和 a、 d 确实是相等的。 好，再来看第二小问，题目说若 a、 f 和 c、 f 的 长度都是二，然后让我们求 cd 的 长度， 这答案是不是都写在脸上了呀？因为很显然三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 c、 d 是 相似的，所以 af 比 ad 等于 ad 比 ac， 这样 ad 的 长度就出来了，然后再用勾股定律就能把 c、 d 的 长度算出来了。 好，我们再来看最后一小问题目说若 a d 比 a， b 等于 c， 一 比 b 一 等于 k， 然后让我们把 k 的 值求出来。 就这个问题，怎么说呢？如果你还需要加辅助线的话，那说明你的反应还不够快。因为第一问我们已经证明了 e g 和 a d 是 相等的，又因为三角形 b g 是 等腰直角三角形，所以 b g 和 e g 也是相等的。 那也就是说啊， b 七比 ab 也等于 k， 然后再根据平行线分线段成比例， a 七比 b 七等于 c， 一 比 b 一 等于 k。 发现问题了没有？这个时候 a 七比 b 七等于 b 七比 ab 等于 k。 那 看到这个东西，不知道你们有没有想到黄金分割比啊？ 去年广东中考是不是刚考过啦？所以说这个 k 它是等于二分之根五减一的，你学会了吗？

好，亲爱的同学们好，给大家带来一道二五年安徽中考的几何大题，希望通过这个题目的讲解，给大家一点点思路上的启发。 首先第一小题我们就直接跳过，比较简单，大家可以自行阅读题目的条件进行求解。 主要讲第二小题的一二小题。第二小题的第一题，让我们证明这个 c a、 f 一 撇是一个定角 题目条件给了我们原始条件，大条件给了我们 be 啊，是 a a 一 撇的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，我们不难得到这个 a e 跟 a 撇 e 的 长度是一样的， a 撇 b 跟 b a 的 长度是一样的， 因为这个 b a 是 正方形的边长，所以这个跟 b c 也是一样的。我们在标记的时候可以尽可能的多标记，方便我们的解析，这是我们的基本的标记习惯。 然后题目的目标是让我们证明这是四十五度。我先讲一下这一题的出题背景，这一题出题的背景，我们不妨以 b 为圆心，以 bc 为半径画一个圆，这里面就考了一个隐元的现象， 那么通过这隐元我们可以发现这个不难发现，这个 c a、 p、 f 就是 圆的一个外角，圆的一个外角，而我们圆里面有个重点的知识，就是内接四边形的外角等于内对角，我们在这里随机取一个 b 一 撇， 虽然 b 一 撇的位置取的比较随机，但是它的角度是一个固定的，这个圆心角显然是九十度，那么外角等于内对角就出来了，这也是四十五度。这个题目可以通过画圆去速解的。 虽然我用圆去讲了一下这个出题背景，但是呢，我们真正解题的时候，我们可以用八年级的知识，这这样的话可以节省我们的书写这个时间。用圆的话可能表达语言会这个啰嗦一点， 我们这个四边形它有个特制，就是它有是有两个等腰三角形构成的，并且有个角是九十度。我们不妨假设 b a a 撇是 x， 那 么 b a 撇 a 也是 x， b a 撇 c 是 y， 那 么 b c a 撇也是 y。 然后我们通过四边形的这个内角和是三百六，我们不难列出这个二 x 加上二 y， 这里面有个九十，加上九十度等于三百六十度。 这三个角在一块，正好这两个是 x， 这两个是两个 x， 这两个 y 正好是二 x 加二 y， 所以 二 x 加二 y 代表了这三个人之和。加上九十度等于三百六，那么很容易算出 x 加 y 等于我们的一百三十五， 进而呢，我们就可以证出来这个外角，这角 c a p、 f 就 等于四十五度。 好，接下来我们来解决我们的第二题。第二题这些语言，呃，不给大家解读了，给了一个新的条件，就是我们的 c g 跟 c b 是 一样的。 好，那么说明 c g b 是 一个等腰三角形，然后让我们判断 a 撇 d g 的 这个形状。 我们介绍两种方法啊，主要讲第一种方法，第一种方法比较简单粗暴，首先我们解几何题的思路不一定来自于纯理性，如果出题老师出题的逻辑比较长，我们可以感性的猜一猜 就是。呃，中考的图画的也是比较准确的啊。我们可以看出这个 a 撇记非常像一个等腰直角三角形， 如果这个直角呢？不好去猜，可以用量角去量一下啊，量角去量一下，我们也可以量出来这九十度， 这个时候就是我们猜出这是一个等腰直角三角形，那我们的这个无序的思维就可以进入，进入，进入了第一步就是我们怎么去证明这个是呃，等边，这两个腰是相等， 所以我们最有从最原始的原认知和第一性原理去出发，就是越简单越好啊，越越容易实操。就是我们能否找到两个三角形，也是含有这两个边的，并且大小在视觉上是一样的， 所以这里面我们也比较容易能找到这两个三角形，好像长得是一模一样的。那么我们来幻想一下，假如话我们挣出来的这两个三角形全等，那么是不是这个两个边就一样，他就等于三角形， 然后呢这里面我们第一题挣出来是一百三十五，那么这隔壁呢？如果全等这一百三十五，那这是不是九十就完美的这个映射了我们的这个 想象。所以接下来我们就最原始的思路就是证明这两个三角形全等这个思路就基本找到，接下来我们看看能不能实现它啊。首先这两三角形，呃，这个有一个公共边，有公共边， 并且这个 dc 呢也是正方形边长，那么 dc 呢，肯定是等于 bc， 肯定等于 c g， 那 么现在这个三角形判定只差一个角了， 只差一个角啊，在这个找角的道路上可能比较曲折啊，我自己在做的时候也花了不少时间，这时候我给大家介绍一个这个比较，这个能够这个 第一次就能达成的一个思路，就是我们的几何代数化，比如说我们现在啊，很难找到，很难通过简单的这个题目条件的这个推理，直接找到这两个角相等。 我们可以先假设啊，我们可以先假设这个角度是 x， 看看是否能够推推，通过严密的推导，最后证明出来这个角度也是 x。 接下来我演示一下，呃，其中一个比较顺的思路啊，首先这个是 x， 我 们可以得到它的余角，也就是 a 撇 c， b 是 九十度减 x。 然后呢，呃，我们抓住这个三角形是一个 b， a 一 撇 c 是 个等腰三角形，我们可以得到这个底角也是九十度减 x， g r 得到，嗯，这个角就是我们的 r， x， 根据三角形内角和是一百八。 然后呢，我们在想方设法，我们最终的目标是得到他，其实把隔壁的表示出来，要利用到我们题目的这个条件，我们要把这个底角，这两个底角搞定，是不是顶角就有了，最后他就能得到，但是这个底角呢？还差一个这个角 啊。开心的是这个这两个三角形在第一题我们就可以证明他们全等这两个角是一样的，那么我们换种颜色啊，我们可以得到这个角度，呃，是九十度减二， x 除二，也就是四十五度减 x， 这个角度也是四十五度减 x。 好，因为这个角度是九十度减二， x， 这两个角又相等好，从而我就把这个底角搞定，这个底角我们口算一下，它俩一加，那么正好就是四十五度加 x， 那 我们就转战我们的，呃，跟我们题目第二小题题目条件紧密相关的，这个条件就这这两个边相等 啊，我用紫色的也，这个底角呢，你标出来的就是四十五度加 x， 他 俩是一样的，那么我们就可以成功的得到。根据三角形对角和一百八，这个两个加起来就是九十度加二 x， 那 显然这就九十度减二 x。 好，最终我们顺利的得到了这个角度也是 x。 好 的，那我们我们就可以成功的证明出来这个三角形全等，从而这两个边一样啊，再复习一下，这个角度是一百三十五，这一百三十五， 那么这个就九十，所以我们不写节约时间，不写任何格式。法一的核心思路就是证明 三角形 c a 撇 d 全等于三角形 c a 撇 g。 好， 接着我们来分享一下法二，也就是主流答案的这个思路， 这个简单讲一下，大家可以自己自行搜答案去，呃，放慢脚步去看啊，答案的思路是从一个基本必考的考点出发，呃，想到的第一步 就是说，呃，题目中给了这等腰三角形，我们说安徽中考等腰三角形一般百分之九十的概率会考三线合一，所以我们在这里面做一条垂线，就产生了我们的三线合一， 然后我们进行这个延长，但这里面我就没有去搭建这个整个四四路框架，主要给大家讲一下它的流程是怎么做的啊？然后进行一个延长，产生一个这个呃，焦点称为 m。 这里面，呃，首先呢，能用到我们的这个经，根据我们经验能用到三线合一。其次呢，这里面有十字架啊，这个三角形跟这个三角形构成十字架，所以我们看能不能把这个思路打通啊，大概给大家分享一下，跟答案没什么区别。 首先我们做出这个，呃，这个垂足是 h， b n 是 中点， 然后呢，这个是直角，这个直角就两只线平行，根据根据我们的中位线的这个判定，我过一边中点做一边的平行线，那 m 也必然是我们的中点。 好接，接下，接下来我们通过十字架可以证他俩全等这两个三角形。首先，呃，有两个等边， 然后呢，有两个直角啊，还有同一角，这个简单的标一下啊，这是一，这是二，这是三啊，角一加角二是九十度角，三加角二也是九十度，一跟三是同一角，角都是角二的余角，说明这两个三角形全等。我写一下，第一步，我们可以 非常轻松地挣出来这个三角形，全等，实际下三角形 cbm 全等于三角形 cbm， 我 们对应好啊， cbm b a e， 其实我们非常容易证明这个是中微线啊，刚才在挣圈的之前就可以挣出这中微线了啊，接下来又可挣这个 hm 为中微线。 那么接下来这个，因为这个，呃，两个三角形全等，所以 a e 就 等于 b m。 因为 b m 是 ab 的 一半，那么 a e 肯定是 ad 的 一半，所以这个 a e 啊，就等于 b m 也就等于二分之一 ab 也就等于二分之一 ad。 那 接下来我们得到一个关键的信息，就是 e 是 我们的终点 点， g 呢，又是 a a 撇的中点，中垂直平分线肯定中点，所以我们得到了 e， g 是 中微线啊， e g 是 中微线，那它俩平行，那么同一角相等，这个直角就被我们挣出来了，所以我们 e 正 e g 为中微线。 好，接下来我们再证明一下，这两个边相等，就可以证出来这是等腰直角三角形了。首先是呃，我们的 a g 一 撇正好是 a a 一 撇的一半， 然后呢，这里面又有一个，呃，比较容易发现的这个全等，这两个三角形是全等的，呃，斜边是一样的，直角是一样的。然后同一角 啊，这个四五，这个四五，一加五是九十度，四加五就是同一角，所以我们容易证明这两个三角形全等，全等的话， a 撇 d 就 等于 a g， a g 又等于 a 撇 g 就 完事了啊，这个题目就讲完了。 好，第三步，我们正三角形 a a 一 撇 d 全等于三角形 a g b， 所以这个 a 撇 d 呢，一定就等于我们的 a g 就 等于我们的 a 撇 g， 从而证明出它是等于二直角三角形。所以这里面给大家这个讲完之后，大家可以总结一下我们做题的思路 啊，梳理一下，也就是这个题目一开始我们难以硬猜然得到一个初识的全等，这就是我们解几何的圆论之 啊。有了原认知之后，我们就不用去学很多模型，做很多联想，就是一步一步稳稳的去分析就行了。 第二个方法，这个还是比较难想到的，我们我是根据这个主体是根据这个三线合一进行打第一步，然后想到我们平时的模型，有一点经验，十字架的这个模型，然后慢慢的推动我们这个事情的发展啊，谢谢，谢谢同学们观赏，希望对大家有一点帮助，拜拜。

跟着兔哥学几何，每天进步一小格。今天我们来学这个已知线段 ab 的 长度是八直线 m 到线段 ab 之间的距离是六 p 点在直线 m 上运动， 让我们求 a p 和 b p 比值的最大值。像这种求直线上一动点到两定点距离之比的最值问题，我们就把它叫做双动线段比的最值。 今天我们先来讲动点轨迹是直线的情况，下次再讲动点轨迹是圆弧的情况，所以赶紧关注起来吧，以后就不会迷路了。 好，那像这种问题其实是有通用解法的，今天兔哥就帮大家总结规范了三种方法，大家可以根据个人喜好自由选择。解法一，旋转放缩法 首先我们把三角形 a、 b、 p 绕着 a 点逆时针旋转，然后再把它放缩一下，也就是做三角形 a、 d、 c 和三角形 a、 b p 相似， 所以 a、 c 比 a p 等于 dc 比 b p 等于 ad 比 ab。 根据前两部分可知， a p 比 b p 等于 ac 比 dc， 因为 ac 的 长度是定值，所以我们求出 dc 的 最小值就行了。 接着根据 d 一 和 d 等于 a p 比 ab， 所以三角形 a、 c p 和三角形 a、 d、 b 是 相似的，所以角 a、 d、 b 就是 九十度的，也就是说 d 点在以 ab 为直径的圆上运动， 我们取出 ab 的 中点 o 并连接 o d 和 o c， o d 的 长度就是四， o， c 的 长度就是二倍根十三。 不难看出， c、 d 是 大于等于 o c 减 o， d 的， 也就等于二倍根十三减四。最后把这个最小值代入到上面这个式子里，算出来 a p 比 b p 的 最大值是三分之根十三加二，你学会了吗？ 解法二，繁衍变换法因为我们要求的是 a p 和 b p 的 比值，所以我们可以把它俩构造成一对相似三角形的一组对应边， 也就是在 a p 上取一点 d， 并且令角 a、 d、 b 等于角 a、 p、 b。 这样一来，三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 b、 p 就 相似了，所以 a、 b 比 a p 等于 d， b 比 b p 等于 a， d 比 a、 b。 根据前两部分可知， a p 比 b p 等于 a， b 比 d b。 因为 a、 b 的 长度是定值，所以我们求出 d、 b 的 最小值就行了。 接着再根据第一和第三部分可知， a、 d 乘 a p 等于 ab 的 平方，也就等于六十四，所以说 d 点和 p 点互为繁衍点。接下来我们在 a、 c 的 延长线上取一段 a 一 等于三分之三十二， 这样一来， a、 c 乘 a 一， 也就等于 a、 d 乘 a p 了。所以三角形 a、 d 一 和三角形 a、 c、 p 是 相似的，所以角 a、 d 一 等于九十度， 也就是说 d 点在以 a 一 为直径的圆上运动，我们取出 a 一 的中点 o 并连接 o、 d 和 o b， o、 d 的 长度是三分之十六， o、 b 的 长度是三分之八倍根十三。 不难看出， d、 b 是 大于等于 o， b 减 o、 d 的， 也就等于三分之八倍根十三减十六。 最后我们把这个最小值带入到上面这个式子里，算出来 a p 比 b p 的 最大值也是三分之根十三加二，你学会了吗？解法三，钟锤三编法 这里先解释一下，钟锤的意思就是垂直平分线，三边的意思就是三角形的三边关系。这个钟锤三编法算是我的原创解法吧。 首先我们做出 ab 的 垂直平分线，然后再过 a 点做出 ap 的 垂线，这样一来，三角形 a、 d 一 和三角形 a、 c p 就 相似了，相似比是三分之二，所以 a 一 等于三分之二 ap。 接下来我们连接 b 一， 根据中垂线的基本性质， b 一 等于 a 一 也等于三分之二 ap。 然后我们再连接一 p， 因为三角形 a 一 p 是 直角三角形，所以根据勾股定律可以算出来，一 p 等于三分之根十三倍的 a p 在三角形 e、 b p 中始终有 b p 大 于等于一 p 减 b 一， 也就等于三分之根十三减二倍的 a p， 所以 a p 比 b p 就 小于等于三分之根十三加二。 好，最后简单总结一下吧，我个人觉得第一种接法是最好记的，因为它简单易上手，而且也没有计算量，倒两个相似就行了。然后第二种接法就有点吃操作了，因为这需要你对繁衍变换很熟悉才行。 至于第三种解法吗？你们就姑且把它理解成我个人的炫技行为吧，这个不建议大家去学，因为他不好想不说，而且计算量还很大，你学会了吗？

二零二六年安徽中考数学四道压轴题的考点，速解高分必看！安徽中考数学考生注意了，二零二六年想在压轴题上制胜这四道题考点必须吃透，直接拆解核心。 安徽中考数学共二十三题，四道压轴题是拉分的关键，分别是选择的第十题、填空的十四题。第二小问解答二十二题和二十三题。 选择第十题。往年考多边形的动点函数和几何的综合，二零二五年起呢，侧重分类讨论，需梳理图形存在性、多解性，避免漏解。 填空题第十四题的第二位高频考图形的翻折，结合勾股定律、相似三角形求解，核心是掌握折叠权等的性质。 解答二十二题，几何压轴题难度最高，考相似和全等的综合，需熟练运用八字旋转、将军引马等几何模型，吃透构造逻辑与证明思路。 解答二十三题，函数压轴，从侧重计算转向考察树形，结合，重点理解二次函数的对称性最值的几何意义。 二零二六年这一趋势呢？更明显，很多家长和同学问压轴题，这这么难，到底怎么突破呢？ 其实没有什么捷径，唯有通过长期针对性的训练，才能逐步提升答题思路和能力，把这四道压轴题的考点吃透，针对性的去突破。二零二六年安徽中考数学拿高分肯定是没有问题的。

各位同学大家好，你点赞，来我讲题，今天呢，张老师给大家分享一下二零二零年的信息交流卷爱的这个第爱爱题啊。 我觉得这个爱爱题呢，还是挺好的啊，对于各位同学呢，正好来说呢，还是有有所启发的啊。来，我们一起来看一下，他说 ab 等于 ac， ab 等于 ac a d， 呃，是 cd 就 等于 d， e， 对 吧？说明这个是等腰三角形，对吧？ c， d， e 呢？也是等腰三角形，说明以两个等腰三角形。为什么？背景对不对？来什么来出题啊？背景来出题， 那角 abc 的 角平分线和什么？和 d， e 对 吧？ c， d， e 的 角平分线呢？交点为 f 就 没了。第一个说 b， f 对 吧？垂直于 cd， 说明这个角为多少度？垂直的啊，垂直， ok， 然后让你求 f 的 度数，可简单，我觉得挺简单的，那我们知道看一下， 这个是等幺三角形，是这两个边相等，那这垂直的话，是不是三线合一，并不是三线合一啊？来，继续走，那 c， d， e 对 吧？这两个边是什么？是相等，这个是什么？垂直的，说明这个就是什么三线合一，对不对？高角平分线，中线，对吧？ 所以这个角就是多少度？这个角就是因为角平分线嘛，对不对？这个角就是什么垂直的， ok 啊，来， 我设这个角为 x， 这个角呢？因为角平分线，这是 x， 因为这两个什么是等腰，所以说这两个底角呢，也相当于是 x， 所以呢， x， x 相加等于多少度？等于九十度，对吧？ d 小 问呢，就简单啊， x， x 这边是 x， 那 老师为什么是 x？ 因为 ab 等于 ac 啊，这两个底角一样呀，这他是 x， 说明他也是 x， 对 吧？ ok， 所以呢，在这个三角形中，那一个 x 加两个 x 等于多少？ x 等于三， x 等于几等于九十度，所以 x 等于几等于三十，对不对？ x 等于三十了，那在这个三角形中对吧？这个是三十度，这个是九十度，你说 f 等于几？九十减三十等于几，就等于 六十度，对吧？所以说第一小问比较简单，等于六十度啊，顺利，很非常，什么顺理成章的就能解出来了啊？来，继续第二小问。 第二小问的话，他说在一的基础上对不对？那 e、 h 的 平方等于 ec 乘以什么？ e、 b， 这太简单了，我们知道， 对吧？如果两个三角形相似的话，对不对？比如说这两个对不对？那 a、 b、 c、 d 对 吧？那这个三角形和这个三角形一定是相似，一定存在什么公共边对吧？公共边乘以什么？成语，哎，怎么掉了？ ok， 好， a、 b、 c、 d 对 吧？这个三角形和这个三角形相似，就公共边，就等于说 b、 c 乘以什么？ b、 d， 对 吧？ ab 的 平方就等于 b、 c 乘以 b、 d， 那 是不是类类似于这个？那在这个三角形和这个三角形一定什么相似？因为这出现了这个， 呃，条件对不对？ h、 e 的 平方等于什么？乘以 ec 乘以 e、 b 啊，说明这两个三角形相似，相似的目的给的这个条件的目的是什么呢？说明他们角是一样的，对不对？是不是？那我们这，这是 x 是 等于多少？这是三十，说明这个角也相等，也是三十，对不对？ 那这个角为三十，这个角为三十，这个角多少是六十，那这个角为多少也为三十，那三十的话，说明这个角一定是什么？一定是等幺三角形，所以呢，这两个边是相等的，对不对？好，现在就问题转化，对吧？有同学问老师 这个题，他没有给你什么，没有给你这个线段的长度，你这笔直哪来的呢？那我们就有什么，就有这个线段，就转化成什么在角，有笔直，想到什么三角 函数里面来求，对不对？很明显的哈，这里面有要已经吗？ 笔直转成什么三角，这是解决的思想，你看一下他问的是什么？ c e 比上 bc， 我 们刚已经证明了这两这个三角形，为什么？这个是多少三十度，这个是多少为为三十度。那老师为什么是三十度？我刚已经讲过了呀， 这个三角形和这个三角形干嘛呢？相似对不对？所以这个是三十度，所以说这个角也是三十度，说明这个角就是三十度，对吧？内角和吗？外角对不对？这是外角，这两个内角，对吧？是不是？ 所以我们这这是三十度，这是三十度，说明这个 h c 和 c e 就 什么就相等呀，对吧？所以就我就可以转化了呀。对，所以说嘛，所以就能转化成 c e， 对 吧？然后呢？比上什么 bc 就 等于什么？就等于它就等于它就等于 h c， 对 不对？ h c 比上什么？比上 bc 不 就行了吗？那 h c 比上 bc 不 就等于多少度？ h c 比上 bc 不 就等于多少 三 a 三十度吗？对不对？就等于多少三 a 的 等于三 a， 三十度就等于几二分之一，所以，对吧？ c e 比上什么 b c 就 等于多少二分之一，很简单，就等于二分之一，轻轻松松吧，对吧？要会转化啊，就是有笔直的关系，想到什么三角函数啊，来进行什么转化？因为这题目里面没有给你变长对吧？你要进行什么？有笔直转成角啊，来进行笔直， 这个角是在哪里面呢？想到什么要在阿奇三角形来转化啊？ ok， 第二小问结束了，接着看第三小问， 第三小问的话，他说 f g 与什么？与 d 什么相同对不对？这两个啊，与 d g 相等的话， 让你证明这个。首先笔直的形式我们经常会写成什么？哎，不是乘积的形式也写成笔直形式，那这个什么 f h， 这是什么？ b h， 对 吧？它有一个公共的地方对吧？给它转换一下对吧？ h f h 变成什么？ 憋屈啊，不好意思啊，有点咳嗽啊。然后 d e 比上什么？ d e a 一 a c 对 不对？是不是他比过来，然后 a e a c 呢？比过来，要想求出他，我们来肯定要构造什么相似三角形对不对？我们看一下 f h 比上 b h， 哦，我之前说过对不对？在一个直线上对吧？一分为二对吧？要么想到什么，要么做平行构造。平行对不对？平行线对吧？构造什么？构造的是相似性对吧？要学会构造啊，用平行这是什么型？八字形或者是什么？或者是 构造什么再写平行构造什么？这是 a 字型对不对？那我，那我能想到什么？那这个对吧？我能想到什么？构造八字型，我这样一构造对吧？出现八字型，但是这个长度我不知道对不对？是不是？那我再来想能不能构造什么？能不能构造 a 字型？这是平，这是什么？这是什么？一，呃， 这是平分一半对不对？那不是一半啊。嗯，就是分段，那我连接他，连接他的话， a 就 像不像？ a 字型像不像？有点像，对吧？好，那我们来证明一下行不行？我好连接他。人家说嘛，这一边 和这边是相等的，然后呢？这条因为这是什么？等等幺三角形对不对？等幺三角角平分线，说明存在什么？三线合一，对吧？所以说这条边和这条边也相等，这条边和这条边相等一个对顶角对不对？是不是说明这个三角形和这个三角形干嘛呢？ 全懂，全懂过后呢？这个角和这个角相同，那这个角和这个角相等了？内错角相等两只线干嘛？就平行，能听懂吗？能不能？那一平行过后存在平行线的话，你说这个三角形和这个三角形干嘛？ 相似吧？什么形？ a 字型对不对？ ok， a 字型，那问题就转化了呀，对吧？然后 a 字型的话又是在啊，在三角形，在三角形， 嗯，三角形啊，不是阿迪三角形，在三角形，对吧？ b h c 和三角形对不对？然后 f b e 中对不对？这两个三角形什么相似啊？相似， 那相似的话存在什么相似？比对不对？也就是什么 f h 比上什么，比上 b h 就 转化成了，对吧？这个啊，注意看啊， h f 比上 b h 就 等于说 c e 比上 bc， 对 不对？就等于 c e， 对 吧？比上什么 bc 对 吧？ ok， 好， 那 c e 比上 bc， 我 要这边和这边是一样的，我要出现这边对不对？那怎么办呢？贵同学，对吧？你这个 c e 比上它对吧？你这什么 a 字型吗？对吧？ ok， 我 们知道，你看 他要他要想出现什么，这个对不对？ d e 比上什么 a c， 我 想能不能证明这两个三角形相似？肯定相似，为什么？因为这个角和这个角是对顶角相等，因为又又为什么？ ab 和 bc 是 相等的，所以说这两个底一样，对不对？是不是？那这个角呢？ 说也什么等腰，说明这三这三个角都是都是多少 y y y y 对 不对？那有两个角分别相等的话，你说这两个三相相不相似？明显相似对不对？那相似的话也存在相似比啊，对不对？所以什么 c e 比上 bc 就 等于什么呢？ 就等于啊， c e c e 比上 bc 就 等于什么？就等于 c d 比上什么 ac 对 不对？ ok， 就 等于 c d 比上什么 ac， ok， 好， 我们看目前这个比较对应这个，比较对应这个没有对应，没有对应这个呢？ ac 对 应， ok， 好， 那么我们又知道三角形，这个三角形为什么？ 所以等幺三角形对不对？ c d 又等于什么？又等于 d e 对 不对？ ok 啊，那这不就出来了吗？对不对？你 c d 对 吧？等于 d e 的 话，你就把 c d 改为 d e 不 就行了吗？ ok， ok， 好， 你看一下，环环相扣，这两不就求求出来了吗？它 比上它，就这这两个就相等了，能听懂吗？所以说就迎刃而解了呀，对吧？ h b 比上嘛， b h 就 等于什么 d， e 比上什么 a c 对 不对？然后交叉相乘不就出来了吗？ ok， 所以 说嘛， 所以 b h 乘以什么 a c 对 吧？就等于什么 b h 乘以什么 d e 啊， 大家不就能求出来了吗？一模一样，好吧，好在复盘呀，就是什么就显得什么。呃， h f 比上什么 b b h 对 不对？就转换成什么 a 字形，对吧？ a 字形啊，就等于什么 c e 比上 bc， 那 c、 e 比上 bc 的 话，因为这两个三角形干嘛呢？是相似的话，就等于什么 c d 比上 ac， 对 不对？因为 ac 就 等于什么 d e， 对 吧？就转成什么 d， e 比上什么 ac。 大家不就求出来了吗？就这么简单。给张老师点点赞，点点关注，带着你们冲刺中考啊，拜拜。

各位小宝们大家好，这里是盘盘老师小课堂，今天呢，跟各位小宝们一起解读一下二零二五年的这道几何压轴题 啊。这题呢，它题目告诉我们 a、 a 撇是 b、 e 的 垂直平分线，那么我们很容易根据垂直平分线的性质呢，就得到 a 撇 e 是 等于 a、 e 的， 并且得到呢， ab 呢，是等于 a 一 撇 b 啊，这两条线段是相等的，那么再根据这个 b 是 公共边，所以 s s 能得到三角形 a 撇 b， e 和三角形 a， b， e 呢，是全等的，全等之后，正方形呢，这是直角，所以这个是直角。 正方形的，这个它的性质呢， b， d 呢，是角平分线，这是四十五度，所以三角形 d， a、 e 撇是个等腰直角，三角形 a， e 是 一，那么这条边是一。那么根据勾股定律以及等腰直角三角形的性质，我们得到 d， e 是 根号二，所以我们就能得出 a， d 呢，它的长度呢，就是根号二加一。而正方形的 a、 d 呢，它是等于 ab 的， 所以第一题呢，就这么轻松的啊给它解决了， 下面我们来一起看第二题。第二题，网络上和答案上面呢，会出现很多种方法，在这里给小宝们提供 嗯，相对比较简单的三三种方法，供大家去参考啊啊，第一种方法呢，是因为题目呢告诉我们这个 b， e 是 a， a 撇的垂直平分线，所以呢，呃，我们就得到 ab 等于 a 撇 b， 这个是我们人教版二零一二年版的这个老教材。第啊，十三章的内容，垂直平分线上点到线段，两段的距离相等啊，所以呢，这两个角呢，就是相等的，等边对等角等幺三角形嘛，对吧？我们设它为阿法，阿法， 然后呢？嗯，这个 ab 呢，它又等于 bc 呢，又构成了个等幺三角形，所以这两个角呢，我们就设为贝塔和贝塔。 好，那么在四边形 a 撇 a 和 b c 当中，那么四边形的内角和，我们大家都知道是三百六十度啊，所以就得到两倍的阿尔法加两倍的贝塔，再加上这个角啊，四边形的另外一个角，这个是九十度， 那就等于三百六十度，那这时候我们就可以轻松的得到 alpha 和 beta 呢，应该是等于二百七十度的啊，两倍的 alpha 和 beta 啊，是二百七十度，那 alpha 和 beta 呢，就是一百三十五度，那么这时候呢，它的零不角，也就是我们要求的 c a 撇 f 呢，就应该等于四十五度了啊，这是第一种方法， 第二种方法呢，最近小宝们呢，很多都初三的小宝们都刚学完了圆啊，对这个四点共圆的这个知识呢啊，非常的热衷啊。辅助圆，在这里说一下，嗯，我们安徽省中考呢，我们阅卷老师认可四点共圆的知识的，这一点在答卷中大家， 呃，尽可放心，其实很好理解嘛，啊，辅助圆，他也是辅助线的一种，平常我们填辅助线的时候，他是只限辅助圆，只是辅助器械而已啊，只要你规范表达就可以了。 你比如说这道题目呢啊，我们刚才得到 a 撇 b 和 ab 啊，是一个等腰三角形，那么这个呢，是它的直角啊，这个是垂直的呃， a 撇 b 呢，是等于 bc， 因此我们在这儿做一条垂线啊，也给它做好啊，当然它也是三线合一。 呃，因为这个点我们叫做 m 啊，这个点叫做 i 啊， m 和 i 所在的这个角一和角二，哎，它应该是一个相加等于一百八十度的 啊，那么对角互补呢，我们就可以说 a 撇 m b a 呢？啊，四点顺序共圆或者四点共圆就可以了。那既然共圆的话呢，那这个那圆啊，我们我们大概的虚拟的把它画出来啊，让小宝们更加清楚的有所感知。 这个圆画出来，圆画出来以后，这个角啊，就应该等于哪个角呢？比如圆的内接四边形，对吧？它的外角是等于它的内对角的，应该是等于这个角， 对吧？啊，这是圆内接四边形的性质。那么刚才我们说了这个，嗯， m 呢，是 a a 撇的三线合一吗？是中点，那也实际上也是角平分线， 所以呢，这两个角相等，我们就设为 x x 啊，同样道理呢，这两个角呢，也是三线合一，我们设为 y y， 那 二 x 加二 y 呢，就是等于啊，嗯，九十度的，所以 x 加 y 呢，就应该等于四十五， 哎，也就是说，我们要求的这个角 m b a， 它是等于四十五度的，而 m b a 呢，正好就等于它的这个外角，等于它的内对角，就是我们要求的这个角啊， f， i 一 撇 c 就是 c， 一 撇 f 倒过来写四十五度，这是运用辅圆的知识去做，这是第二个方法。那第三个方法呢，我们还可以用这样的四点共圆的知识，因为这道题呢， ab 呢，是等于 a 撇 b， 它就等于 bc 的， 所以我们在这呢就是，呃，延长 ab 啊，延长 ab 到这个啊，使得 bh 呢也和它们相等。 那么这时候 ab a 撇 b， cb 和 h b 这个 a 点， a 撇点， c 点和 h 点 到圆上呢啊，到这个 b 点的距离都相等，到定点的距离等于定长，这就是圆的静态知识哈，静态的定义，那么这四个点都在同一个圆上， 我们把 c、 h 连起来，因为这个是正方形嘛，它的零角角是九十度，而 c b 等于 b h 是 我自己做的啊，我做的 b h 等于 bc， 所以 很清楚的大家都知道，这个 b、 c、 h 是 个等腰直角三角形，这是四十五度，那这个四十五度呢？作为圆的内接四边形， a 撇 a、 h、 c， 它就应该等于哪个角呢？就应该等于我们的这个，哎，外角，哎，这也是圆的外角，等于它的内圆的内切四边形，外角等于内对角的，这个知识等于四十五度啊，轻松搞定。这是第二题啊， 下面我们一起来看一下这个第三题。第三题，这道题，呃，题目说了，他说，呃，又给了一个条件。给了个什么条件呢？给了一个 c g 等于 c b 的 这个条件。要我们判断 a 撇 d、 g 的 形状，大家很容易判断，它实际上是一个等腰直角三角形啊。 在这里呢，跟各位小宝们分享两个方法。第一个方法呢，我们就是用倒角的方法啊，嗯，其实第二题我们也用了很多的倒角的方法，我们就设这个角，设小角啊，为 r 法，设这个角，为 r 法，因为这个垂直，对吧，所以这个地方呢，是九十度减 r 法。 因为题目告诉我 c g 等于 c b， 所以 这个角呢，它也等于九十度减 r 法，能听懂吧。 那么这个角作为等腰三角形的顶角，他就应该是二阿法啊，一百八十度减去这个角，再减去这个角，小宝们试一试，正好是二阿法。接下去我们到哪个角呢？我们就到三角形 a 撇 c g 啊，小宝们找到目标角，就这个角， 这个角是等于多少度呢？别忘了第二个问，我们算出来这个角是多少度？是四十五度哎，所以这个角呢，就应该是作为外角，它是不等于 alpha 加这个角，四十五度是不等于 alpha 加这个角，那么这个角呢，就应该是四十五减 alpha。 好， 那么下面我们再逼一下这个角啊，这个角一，那角一呢，它应该等于九十度减去这个蓝色的角四十五减 r 法，对吧？再减去这个红色的角，减 r r 法，我们把它括号打开以后，我们会发现它算出来答案啊，也是 啊，这是减法啊，四十五度减二法，那就得到了这个角一啊，就这个角一啊，角一是等于隔壁的角 a 撇 c g 的 啊， a 撇 c g 这两个角相等，这两个蓝角是相等的，而题目告诉我， c g 是 等于 bc 的 啊， c b c b 又等于 c d 正方形嘛，所以就得到 c g 和 c d 相等，再加上还有个公共边， c a 撇等于 c a 撇，所以呢，我们就得到三角形 c 到 a 撇是全等于三角形 c g a 撇的啊，是用 s i s 正的， 那正出来以后，我们就得到两个条件，第一个条件就是 c a 撇到等于角， c a 一 撇 g。 第二个，我们得到 a 撇到等于 a g 啊，那这个等腰三角形，等腰，直角三角形，等腰，我们正出来了，那直角怎么正呢？ c a 撇 g 啊，小宝们看到他应该是等于一百八十度减四十五度，他应该等于一百三十五度的，对不对？ 好了，那么这时候因为他们两个是全等啊，所以这个角是一百三十五度，那这个角他不也是一百三十五度吗？两个一百三十五度啊，就是二百七，那剩下的这个角三百六减二百七呢，就应该是九十度啊，等腰直角三角形就这么正出来了。 那么再接下去的方法呢？啊，我们看一下，就是刚才啊，我们不是正出这个角是四十五度吗？ 其实我讲了三种方法，现在小宝们其实也可以用刚才的三种方法类比的去在这儿试一下，其实这个角也是四十五度 啊，如果有小宝不会整的话，我们就提供一种啊，你比如说刚才我们这个得到 c d 是 等于 c g， c g 是 等于 c b 的， 对吧？那这个角是阿尔法， 这个角呢？啊，是阿法，这个角是贝塔，这个角是贝塔，然后这里呢是九十度，阿，阿法加阿贝塔等于 三百六减九十等于二百七，那么阿法加贝塔就等于一百三十五度，就是跟刚才的那个第二个方法一模一样。第二题不教了三种方法吗？你可以一一来试一下，检验一下第二题会不会 那意思就得到这个角是四十五度啊，小宝们看好，那这个角是四十五度啊，我们看一下那隔壁的这个角呢啊，这个角四十五度算出来了啊，因为这个地方呢是直角，就是 a 撇 t e 是 直角，是个直角， 所以这个角就是四十五度，所以我们已经把这个角是四十五度给他算出来了。那现在我只要有本事算出这个角是九十度，哎，是不是就 ok 了啊？是九十度就 ok 了，倒过来推一会推推的话呢，因为这个角是九十度啊，我即将正中这个角九十度，那这个角也是九十度， 那这两个就是平行的是吧？就是如果我能正出 e g 和 a 撇 d 平行的话，那就好了，我们就能推出来九十度，对吧？等腰直角三角形，有个四十五度，有个九十度不就正出来了吗？那我怎么证明 e g 平行于 a 撇 d 一 撇呢？我们发现这个 g 啊， 它是 a 撇 a 的 中点，对吧？那如果我们能正出来 e 是 a 撇 a 的 中点的话， 那各位小伙伴们看，那 e g 是 不是三角形 a 撇到 a 的 中位线，那中位线是不是就能挣出来它了？我们就一步一步的倒过来推，对吧？那如果我要挣出 e 是 a d 的 中点的话，那实际上就是要证明 a e 等于 e 到，对不对？好，我们再往上看啊，那 a e 跟 e 到， a e e 到跟哪条线段是相等的呢？各位小宝们，注意我们这道题目啊，实际上有个正方形的十字模型，大家明白吗？你这个 b e 和这个 a f 啊，是互相垂直的， 你看到没，垂直的，所以应该很轻松地正。求三角形 a 到 f 和三角形啊！ b a e 十字模型，它俩是全等的，能明白吧？你看角一和角二啊，都和角三互余 a 到等于 ab， 再将它俩都是本身都是直角三角形，所以这两三角形就全等啊。全等之后呢，我们就得到了这个 a e 这条边啊，是等于到 f 的。 现在如果我有本事证出倒 f 等于倒 e， 那 么以倒 e 啊，这个嗯为桥梁，我们就证出来了 e， 那 就应该是 a 到了重点，然后倒过来推就可以了。那么现在我们的目标呢，就是想办法证明倒 e 等于倒 f， 方法很多啊， 嗯，我讲一个四点共圆的方法，因为这道题目呢，是九十度，对吧？这是九十度，然后这个地方呢，也是九十度，对吧？所以呢，我们看一下整个这个是不是四点共圆的，我们大概画一个虚拟的圆出来啊，给小宝们做个感受。 那么这时候，你看刚才我们正出来这个角是多少度？还记得不是四十五度，对吧？这个角也是四十五度，这两个角都是四十五度，那么因此他们对的弧 d e 是不是等于弧 d f 的？ 而 d e 等于 d f 就 得到了弧 d e 等于弧 d f， 那 么 d e 就 等于 d f， 那 d e 等于 d f， 又因为刚才三角形 a 到 f 和三角形啊，这个 b a e 全等，我们又得到 a， e 等于到 f， 对 吧？那这时候我们就得到呢，到 e 就 等于啊 a e， 那 e 呢就是终点啊， e 呢是终点， e 是 a 到终点， 而 g 呢，又是 a a 撇的中点，对吧？所以 eg 呢，它就应该是平行，等于二分之一 a 一 撇到中位线嘛， 那这个是直角，那这个角就一定是直角，再加上刚才我们正出来角二和角一都是四十五度，所以到 a 撇 g 呢，就是一个等腰直角三角形。小宝们，你们听懂了吗？

各位同学大家好，如何把四二零异模的啊压轴题，关于几何题给他做对呢？好，你要达到张老师这种高度来看待这些问题的话，就觉得什么相对来说还是比较简单的， ok 啊，那首先大家都知道几何是考察是相似三角形，你要知道相三有哪些模型，我们最常见最考的什么是 a 字形， 或者是什么反 s 型，对吧？而且最最最最常见的话就是什么叫子母型。子母型他有个特点叫做什么呢？比如说随便画一个什么有一个共角，有一个什么共边，对吧？比如适应定力，他也是属于什么子母型的一类， 对吧？比如说这是垂直的，对不对？这是垂直，那他有什么公共角？还有一个共边也要这个三角形，对吧？和这个三角形干嘛呢？相似 对吧？是不是你要知道这些小小的模型，你吃透的话，这就什么迎刃而解了啊？好，给大家分享一下第十题和二十二题压轴题啊，来，大家一起来看一下。好吧， 那他说阿力三角形 abc 对 不对？ abc， 这是阿力三角形，说明这个角为多少度？九十度，对吧？ ok 啊，这个角为九十度，然后呢， 嗯， b， a， c 是 九十度，没问题，这个是直径，我们要看到直径所定的圆周角一定是多少度，一定是九十度，对吧？标一下， 然后呢， o a 是 几？ o a 是 等于几，对吧？这是半径吗？对不对？这是半径，这是一，这是一，这也是一，对吧？这都是半径啊， o a， o b， o d， 对 吧？ 然后呢， o e 是 几？ a， e 是 几？是三，对不对？这是三， ok 啊，我们把所有的结论来写，这是垂直的，这是一，这是三构定理，所以说这是几，这是根号几？ 三的平方加上一就等于几，就等于根号十吧。所以说什么？所以说 o e o 啊， e o 就 等于几，就等于根号十，那这个是 o， e 是 一的话，那 e d 是 多少？ e d 就 等于根号十，干嘛减一？ ok 啊，这些结论， 那首先他说让你证明什么角 b 角 b 等于什么？ c a d， 这太简单了呀，跟我学的，大家都知道要进行什么，要进行倒角，倒角最常用的方法，看到九十度，用什么 x 加 y 等于多少？等于九十度来进行倒，这是我姐姐的思想， 对吧？我设什么？我设这什么？这是 x， 对 吧？这个呢？这是 y， x 加 y 等于多少度？等于九十度，那这也是九十度，那这个是 y 的 话呢？说明这多少？这又是 x， 那 这是 x， 这是 x， 所以 这两个角可相等，就相等了呀。进行倒角啊。设这个角为 y， a， 这个角为 x， 对 不对？ x 加 y 等于多少度？等于九十度，对吧？ x 加 y 等于九十度，那在这个三角形里面呢？这个是九十度，这个是 y， 对 不对？那这个呢？是多少？ x， 对 不对？对吧？所以说这个角也是 x， 那 这个角角 b 也是 x 角，什么 cad 也是 x， 所以 这两个角第一题很简单，特别简单，轻轻松松，对吧？利用什么 x 加 y 等于多少？等于九十度来进行什么 倒脚， ok 啊，倒脚轻轻松松上大学， ok， 来继续走。选的 b、 b 选项的话，明显是错的，很多同学由于直觉说啊，老师 c 感觉，感觉什么是 a e 的 终点，感觉 ac 就 等于什么 c e， 但是你要列出来呀，对不对？你不能凭感觉呀。好，那必想如何来证明呢？大家看，你看到这个三角形和这个三角形，什么形？有一个什么公共角？有一个什么公共边？共角，共边是什么形？什么形？子母形，对吧？子母形，来我们这， 嗯，给大家稍微举个例子啊。 ok 啊，好，子母型，其实射影定律也是子母型，对吧？我这是垂直的，对不对？这个呢，也是垂直，对吧？那这个是不是公共角， 对吧？在这个三角形中和这个三角形是什么公共角？还有一个什么公共边，对不对？那我们知道这个是什么？ a 对 不对？这个是 b， 这个呢？这个是 c？ ok 啊，如果这样写吧，这样写吧，这是 a b， 对 吧？ c d， 那 ab 的 平方一定等于多少呢？ ab 的 平方一定等于和 b 有 关啊。 b、 d 和什么？和 bc 对 不对？就等于什么 b、 d 乘以什么 bc， 这叫摄影定律，对吧？这叫公共部分啊，公共部分等于什么？他们只写相乘，所以这是一个结论啊，对不对？那你知道这个结论是什么？有一个共接啊，一个什么共边， 所以说共边是什么？是 e、 d 的 平方就等于什么？和 e 有 关的是什么？ ec 和什么？和 e a 对 不对？等于什么？等于 ec 乘以什么？ e a 对 不对？ e d 是 多少？等于根号十减去一的平方。 ec 是 我们要求的 e， a 是 几？是等于三，对吧？ ok， e a 是 等于三， 那仅减不小于等于多少？等于十，减去多少？二倍根号十加一就等于几，就等于一，就等于几，就等于三。然后这等于十一减去多少？二倍根号十，这除以几，除以三就等于几？ e c， 你 e、 c 等于多少？三分之 十一减去多少二倍根号十。如果说你这一个什么 e 是 他们的终点，说明你这应该是多少二分之三是他一半，但是你是多少三分之 十减去二倍根号十了，是不是他的终点了？明显的不是，对吧？是不是因为你这个不是多少二分之三呀？如果你是二分之三了，才是他的什么终点，对不对？明显错误，对吧？ ok 啊，好，继续分析。好， 来看，选择 c、 c 选项的话，对不对呢？应该是对的啊，来看一下，他说 a、 d 比上什么 b， d， 还有呢？还有 e、 d 比什么？比上 a、 e 这明显的。 如果说这两个存在比，是明显存在什么这两个三角形或这两个三角形相似，可相似明显不相似，为什么？因为这是垂直的，这里面三角形有没有垂直？没有垂直，要进行什么？要进行？ a 与 b 什么相似？那 b 与 c 呢？相似，所以 a 与 c 呢？ 啊？ a 与 c 呢？就相似，要连续证明什么？两个三角形干嘛相似？要连续证明什么？两个三角形？ 那我们知道刚刚已经求出来，对吧？这个三角形和这个三角形相似，相似的话，说明对不对？说明你看 e、 d 比上 a， e、 e、 d 这个三角形的什么？斜边和这个三角形的斜边，是不是 a、 e 对 不对？所以啊，在什么 r t 啊？不是 r、 t 三角形在三角形是吗？是 e、 c、 d 正相似于三角形。嗯， a， d， a， d， e 正，对不对？两个三角相似，然后 e、 d， 对 吧？比上什么？比上 a、 e 就 等于 e、 d 比上 a、 e， 就 等于说这个三角形的最小边比上什么？这个三角形的什么 大？三角形的最小边 a、 d 对 不对？就等于什么 c、 d 比什么？ a、 d 对 不对？ ok 啊，各位同学，再看下一个，那如果说作为这个，这个是作为一个桥梁的话，对吧？ 那这个三角形和这个三角形一定什么也是什么相似的，什么形？明显的什么子母形，对不对？是不是？ ok 啊？或者说因为这是直角，这也是直角，你可以用什么？ 你可以相等的角，就用弹琴，对不对？你 ab 比上什么？你这个弹琴 x， 对 吧？你弹琴 x 的 话，就等于 a、 d 比上什么？比上 b、 d， 对 不对？你这也是什么 x 弹琴也等于什么，也等于什么，也等于 c、 d 比上什么？比上 ad， 对 吧？你可以连续使用弹琴，也可以啊，另外一种方法。那我不用弹琴，我又用什么？两个三角形相似的话，哪两个三角形相似呢？就是三角形。 嗯， a、 d、 c 相似于三角形，对吧？ a、 a、 d、 b 对 吧？这两个三角形相似，对吧？这两个三角形相似，这两个三角形相似的话，你找对应比啊。那他比上他就等于什么？就等于他比上他，对不对？所以啊， c、 d cd 比上什么 ad 就 等于 ad 比上什么？比上 bd， ok？ 好， 各位同学看一下，那这一个有一个桥梁了，对不对？这两个是什么？是相等？有一个公共部分，所以这两个看什么呢？相等吧，对不对？所以 ed 比上什么 ae 就 等于什么呢？ 就等于 a、 d 比上什么？ b、 d 看符不符合 c 选项，对吧？ a、 d 比上 b、 d 是 这个对不对？然后 d、 e 比上 a、 e 是 它的，对不对？明显的对啊，就是连续证明什么它与 b 相等，那 b 与 b 与什么 c 相似啊，相似啊，相似，所以中间有一个公部分相当于什么桥梁，对不对？桥梁？然后呢？ a 与 c 就 出来了啊，你要站在一定高度来思考这个问题的话，就特别特别简单，对吧？那 d 选项的话更简单，特别简单啊， d 选项，因为角 b 之前跟我上过的，大家都知道啊，我说相等的角，他们的仨也对不对？ x， 对吧？然后 cos x， 贪停 x， 只要角相等，那他们的余弦正，正弦和正切都相等，那这个是角 b 是 x， 对 不对？那这个也是 x， 所以， 那这个呢？贪停是不是你要请角 b 的 贪停是不是？他比他对不对？ 是不是你这个 x 是 不是一样的呀？所以说 cd 比上什么 ad 对 不对？ cd 比上 ad 就 等于什么？就等于 ed 比上什么？比上什么 a、 e 能听懂吗？能不能再来啊？ a， 你 这个贪听啊，来，继续啊，贪听角 b 就 等于什么？就等于 a、 d 比上什么 b， d 对 不对？对吧？ a、 d 比上什么 a、 d 对 不对？就等于什么 c、 d 比上什么 a、 d 对 不对？又以为 c、 d 比上 a、 d 就 等于什么 d， e 比上什么 a e 对 不对？就等于，对吧？ e、 d 比上什么 a e 对 不对？ ok， 就 等于 e、 d 是 多少？是等于 根号十什么减一变减变三，慢，慢慢走，满足吧，轻轻松松跌下来， ok 啊，连续使用啊，相等的角，他们定的与弦指是相等的啊啊，正切指是相等的， ok， 来，今天看第七题。好，第七题，二十二题，二十 二题的话也比较简单，轻轻松松， ok 啊，来，快速讲一下思想啊，他说等幺三等幺等幺等幺等幺， 对吧？你要知道看到两个等腰在一起组合考察几何的话，答，一定要什么存在，什么三线合一啊，对不对？对吧？三个。呃，什么？两个边相等啊？两个角啊，对不对？ ok， 那 这垂直的话，那这垂直的话，嗯，第一，和他这个是等腰啊，看到没？这两个边是相等，这是多少？ 垂直，说明这个多少度？四十五度，对不对？这个呢？是四十五度，对不对？ ok， 因为这个，那么 d e 和这两个相同，说明这两个角相等，那这两个角相等的话，我说什么？这是 x， 可以 吗？这个大角也是 x， 对 不对？ ok， 那 这个角加上这个角是等于多少？是等于 x， 那这四十五加上这个角也等于 x， 所以 这个角和这角呢？是相等，对不对？所以说这是什么 y， 这是什么 y， 对 吧？你看四十五加 y 等于 x， 那 这个呢？四十五加 y 也等于 x， 所以 说这个是 y， 这也是 y， 能听懂吗？ ok 啊，大概的结论就在这啊。好，来，继续走。 e g 垂直于 a c 啊， e g 垂直于 a c， 说明这个角有多少度也是垂直的，对不对？垂直的对吧？说明这个角是多少？也是四十五度， ok， 所以 这个边和这个边干嘛相等？第一小问，让你证明什么？让你证明的是， 嗯， e g 和这个什么相等，那证明这两个边相等的话，我首先证明什么？这两个三角形干嘛？全等不就行了吗？来，满不满足啊？ 满足到这个角为九十度，这个角为九十度，对不对？是不是？九十度的话，然后这个是边定的，是这个边对不对？那这个边的话是定的这个三角形对不对？因为这是什么？等腰，对吧？所以说两个边相等， 那有一个腰，有，有一个角，有个角了，有个边，有个边了，还有什么？这个角是多少度挖一下，这个角，多少度挖一下，对吧？所以说什么角角边，这个呢？是什么角？ 角边对不对？所以说就满足了呀，所以说这个三角形和这三行吗？就全懂了，全懂了就什么用的，什么角角边，就证明全懂三角形。嗯， d、 g、 e， 对 吧？全等于三角形。嗯， d、 c、 b 全等过后是 a、 a， s 啊，所以说对应边相等，所以 e、 g、 e 就 等于几，就等于 c、 d， ok， 比较简单，第一小问呢，就能求出来了啊？ ok， 轻轻松松。然后第二小问的话，你求什么？ d、 b， d、 b 的 话， 我们知道这是九十度对不对？嗯， c、 f 是 i， b， f 是 i， 对 不对？我们知道这是 i， 这是 i 的 话，我们这个是九十度。我想的是用勾定理的话，就能求出来什么 b、 d 对 不对？是不是 b、 d， 那 知道了 c、 b 的 话，只要能求出什么 a、 d 不 就行了吗？ 大家同，大家能同意吗？同不同意对吧？明显的这是什么形？说，这是什么形？子母形对不对？为什么有一个公共角都是九十度？还有一个什么公共边，叫什么？叫子母形对不对？大家一定要知道啊，子母形有一个什么公共 贡边对不对？还有一个什么叫贡边啊？叫贡边，什么贡角就什么子母形。那子母形的话，大家都知道这个 c、 d 的 平方一定等于什么，等于它对不对？所以说什么？所以 c、 d 的 平方一定等于什么？ c、 f 乘以什么？乘以 c、 b 对 不对？所以 c、 d 不 就能求出来了吗？等于多少？ i 乘以几？ i 乘以四，所以 c、 d 就 等于几，等于 i 被杠上 i 对 不对？ c、 d 等于 i 分 之杠 i 了。那勾股定律的话能不能求出来？那所以说在什么？ 在 r、 t 三角形哪里面？在 r t 三角形对吧？ d c、 b 中对不对？所以 c、 d 的 平方加上什么？加上 c、 b 的 平方就等于什么 d、 b 的 平方，对不对？ 是不是？ ok？ c 的 平方等于多少？二倍根号二的平方加上 c、 b 的 平方等于几？等于四的平方就等于什么 b、 d 的 平方，所以 b、 d 不 就能求出来等于多少？这边是八，八加八加八加十六 等于二十四对不对？对，根号二十四等于几？等于二倍根号六，对吧？所以底下答案就等于几？ b、 d 就 等于几？二倍根号六，轻轻松松 对吧？ ok， 艾比根号六。哎，鼻子不下啊，艾比根号六， ok 啊，轻轻松松就能求出来了啊，再复盘一下啊，再复盘一下，就是证明这两个三角形干嘛呢？全等对吧？全等？全等后。 不是啊，这，这第一小问，第二小问的话就是我们这两个三角形干嘛？相似对不对？相似的话共角共边，用子母形。把什么 c、 d 求出来了？ c、 b 知道了， c、 d 求出来了，那勾股定律就能把什么 b、 d 求出来了啊，轻轻松松就能求出来啊， ok， 第三章文的话，很多同学不会第三章文也比较简单啊。来，根据什么？就这个这个备用图啊，来，嗯，他说我设啊。 c、 d 比上 c、 a 就 等于几，就等于看比一对吧。那 c、 a 就 等于几，就等于几，行不行？好吧，来，继续走。嗯， c a 等于几？ c d 等于几，就等于 k， 对 吧？我们这有 d 小 问的话，你这个等于 k， 这个呢，也等于几，也等于 k， 对 吧？刚刚说了，这个是垂直，这是四十五，四十五说明这个边也就多少，也是等于 k， 对 不对？ ok， 所以呢？这个呢？这个垂直的说明这多少？勾股定律， a 等于几，等于根号 i k， 对 不对？勾股定律啊，就等于根号 i k， 对 吧？ ok， 好， a c 的 a a a a 对吧？ ac 啊，等于几等于一，那 c d 呢？也等于几，也等于一，对不对？ ok 啊， c d 也是等于一，那这是一，这是一，说明这是几？ ab 等于几，等于根号 i， 对 不对？ ab 等于根号 i 的 话，所以说 ab 的 平方减去 ae 等于几，就等于。所以说这个 b e e b 就 等于根号 i 减去根号 i k， 对 不对？ ok， 好， 大家看一下。这个是垂直的，这个是垂直的，说明什么？ 那这个斯坦宁和这三个你干嘛相似对不对？相似通过呢？ a 字型对不对？也能把什么？也能把这个 e b 求出来， e b 求出来， e b 求出来，太简单了。还有这不就来了吗？对不对？那 e b 比上什么 e a 就 等于几，就等于 k？ ok， 我 把一笔已经表示出来了，就等于几，就等于看啊，根号 i 减去根号 i， k 比上多少？比上一等于几，等于根号 i k 就 等于几，就等于 k， 你 减这个方程不就行了吗？对不对？那根号 i 跟 i 约掉就等于多少？就等于一减去。 嗯，看这边的根号二约掉。看乘过来等于几？看乘过来就等于看的平方，所以看的平方，对吧？加上看减一等于几？等于零，对吧？这是解的是什么？解的是一元二次 方程啊，所以看啊，拿上来啊，看就等于看，就等于 a 分 之负， b 加减，根号下带他，对不对？所以往里面带就等于几， 就等于二分之，对吧？负一对吧，加上多少跟二加二等于几？加上根号五，对不对？还问你是多少？ k 一 k 二就等于多少，那负一减去多少根号五比上什么？因为这是一定是负的，负的一定舍去，为什么？因为现在不可能为负的，对吧？是不是？其实是就是吗？这 k 不 就出来了吗？对不对？就等于几？二分之根五减一，这个就是什么叫做黄 金，对吧？黄金啊，叫分割比，对不对？黄金比对吧，二分之什么？根五减一。 ok， 好， 今天呢就给大家分享一下这两题啊，就是什么？一个是用的什么字母型，常用的还有什么 a 字型啊，答案呢？还有摄影，摄影定律，你站在一定的高度呢，也在思考这个问题的话，还是比较简单的啊，记得给张老师点点赞，点点关注，带着大家正式中考。