2025湖南中考数学压轴题标准答案

这是二零二五年长沙中考压轴题。点 o 是 圆心， ab 是 直径， ad 和 bc 都是半圆的切线，且 cd 等于 ad 加 bc。 第一问，求证 cd 也是切线。第二问，半径等于根号令 ad 等于 abc 等于 b， m n 则表示含有 ab 的 两个分式，让我们比较 m n 的 大小。 第三问，点 e 是 在第一问中， c、 d 与圆 o 的 切点半径等于一，连接 a， c 和 b， d 交于点 g， 延长 e， g 交 ab 于点 f， 设 e， g 等于 x， a， e 乘以 b， e 分 之四，加上 f， g 分 之一，加上 c， d 等于 y， 求 y 关于 x 的 函数解析式。 第一问有好多方法。第一种，结长 c、 d 上取点 e， 使 c， e 等于 c， b 就 有 d， e 等于 d， a 两个顶角互补的等腰三角形，可得其底角互余 得到角 a， e， b 等于九十度 o， e 等于 o， a 等于 o， b， 并且角 o， e， a 等于角 o， a， e。 又因为角 d， a， e 等于角 d， e、 a， 所以 角 o， e， d 等于角 o， a， d 等于九十度 o， e 既是半径又垂直 cd， 可这个 cd 是 圆 o 的 切线。第二种，不断连接 co 并延长交 d， a 的 延长线，与点 h 连接 d、 o 可得 a， h 等于 c， b， c， d 等于 d h， c o 等于 h o， d， o 平分角 a， d， c。 利用角平分线的性质即可证明。结论。第三种方法，连接 c、 o 和 d， o， 过点 o 做 o， e 垂直 c， d 与点 e。 利用梯形 a， b， c、 d 的 面积等于三个三角形的面积之和，也可以求出 o， e 等于半径。二，证明切线。 第二问，首先肯定是让我们根据图形找出小 a、 小 b 和半径之间的关系。显然小 a 与小 b 的 和跟半径扯不上关系，那就看它们的成结。 小 a 乘以小 b 等于 a， d 乘以 bc 等于 d， e 乘以 c， e， 并且还有 o， e 垂直 cd 于点 e 是 不是很像摄影定律的某个结论，连接 o， d 和 o c， o d 和 o c 平分互补的角 a， d， c 和角 b， c， d， 所以角 o， d， c 和角 o， c， d 互余角 c， o， d 等于九十度。还有 o e 垂直 c， d 射影定律可得 c， e 乘以 d， e 等于 o， e 的 平方等于二，即小 a 乘以小 b 等于二。 巧妙一点的方法是，把 m 中的二直接换成 ab 就 可以变形得到 n， 得到 m 等于 n。 实在没想到这种技巧也可以老老实实通分，也可以得到 m 等于 n。 第三问和第二问一样，看起来好难，点记是 a、 c 和 b， d 的 交点，而 a、 d 平行于 bc， 所以 d， g 比 b， g 等于 a， d 比 bc 等量代换就等于 d， e 比 c， e， 所以 e、 g 也可以是 ef 平行于 bc， 平行于 ad， ef 也垂直 ab。 然后根据 e， g 比 bc 等于 d， e 比 cd 等于 af 比 ab 等于 f， g 比 bc， 可得 e， g 等于 f 等于二倍的 e， g。 直径 ab 对 直角 ab。 那 么式子的前两部分就都有了。根据三角形 a， b， e 的 面积， a， e 乘以 b， e 等于 e， f 乘以 ab 等于二倍的 e， g 乘以二等于四 x， 所以第一部分是 x 分 之一， f g 等于 e， g， 所以 f、 g 分 之一也等于 x 分 之一。最后还剩 c、 d 和 e、 g 之间的关系。 先找含它们的三角形有没有关系。很明显，三角形 c， e、 g 和三角形 c， d， a 相似， c， e 比 c， d 等于 e， g 比 d， a， e g 乘以 c， d 等于 c， e 乘以 a， d 等于 c， e 乘以 d， e。 第二问中已经证明过 c， e 乘以 d， e 等于半径的平方等于一，所以 c， d 也等于 x 分 之一，所以 y 等于 x 分 之三。

同学们大家晚上好，今天呢，给大家持续更新我们的几何压轴题啊，今天要讲的是长沙市中考真题，二零二五年的几何压轴题。 那么第一题要证明 c 等于半圆象棋，我这里可以用两个办法，那第一个，我们首先可以用我们的几何法啊，哦，这个笔姓发一 啊，几何板，几何板，我们首先可以连接我们的什么嘞？可以连接我们的 c 的 啊，的 o， 还有 o， c， 还有我们可以向这个 c 的 以一条垂线 啊，即为点的，我们可以设 a 的 为小 a， b， c 为小 b。 啊。 好，首先我们可以发现啊，我这样子连接辅助圈之后，我们的整个面，整个这个梯形的面积，我们分成了一部分，两部分啊，三部分，这三个三角形的面积。好，那我们可以这个得到一个结论，这个梯形的面积 啊，这个梯形 a、 b、 c 的 的面积等于这个三角形 a 得 o 的 面积，加上三角形 b、 o， c 的 面积，再加上三角形得 o、 c 的 面积。啊，好， 那我们可以把体积的面积表示出来，二分之一，上底加下底的和乘以高。好，我们可以写出来就是二分之一乘以上底加下底的和乘以高 啊。好，我们的 a、 o 的 面积可以写成二分之一乘以半径，再乘以我们的这个 高啊，然后再加上一个 b、 o， c， b， o， c 的 面积是二分之一，这个一乘以二，再加上一个什么嘞，这个 二分之一乘以高，它的高可以显示小的底是我们的 a 加 b 啊， a 加 b 啊，好，这个题目已经说了啊， c 得等于 a 得加 bc。 好， 好，由这个式子我们可以化简出来啊，化简的过程我就不写了啊，我们可以得到小的是等于 r。 好， 第一问，几何法均匀证明了啊，为什么得到小的等于 r 之后就能证明它是缺陷呢啊？因为我们知道 这个正要正切线有两个，第一个是要什么正垂直，第二个叫正半径啊，你已经正了垂，你已经，我们做垂直已经得到垂直，对吧？所以我们现在证明了半截之后啊，就能得到它是这个什么切线啊？切线， 好，这是第一种针法啊，好，第二种针法，我们再来看一下我们的法二， 法二啊，法二，我们可以用我们什么来政权等啊，首先我们可以在 c 的 上， c 的 上可以截取啊， 截取我们的得 a 等于得 e 啊，这里选一个一点啊，那由此可知，我们得到了得 a 等于得 e， 那 肯定我们什么 c 一， 肯定也是等于什么我们的 c b 的 啊，这个，这是题目的条件啊。好，然后呢， 我们再什么嘞，再连接我们的 a 一 啊，连接我们的 b c 啊，我们可以得到角一啊，这两个角是相等的啊，都是角一。好，这两个角都是角二， 那好，那大家发现在这两个三角形中啊，它们的内角和收角度啊，都是一百八，对吧，所以这两个三角形的折内角和加起来应该是三百六十度。我们又，因为啊，这两条线 a 的 和 b、 c 是 平行的，对吧？嗯，题目说了，这两边都是切线嘛，对不对？切线的话同胞类就互补的，就平行，平行的话，我们就可以得到角的加角碎，应该是等于什么一百八十度的啊，所以我们可以得到角的 那角的加角 c， 再加两倍的角一，再加个两倍的角二，就等于什么三百六十度啊，角的加角 c 等于八十度，所以我们可以得到角一，加角二就等于什么九十度。 好，我们得到角一，加角二等于九十度之后，我们就会得到什么？可以得到角 a 一 b 等于我们什么九十度啊？ a b 等于九十度。好， a、 b 得到九十度之后， 可以得到一个什么结论嘞？好，我们都知道这个 a、 e、 b 等于九十度，我们可以想到一个什么圆周角的米啊，九十度的圆周角所对的弦是什么 直径啊，所以说，我们可以得到这个一点，肯定在什么以 a b 为直径， o 为圆心的半圆上啊，可以得到一点啊，在一 o 为圆心啊，这个 o a 为半径的圆上。 好，这个是我们结论。好，现在呢，相当于我们已证明做吗？因为已经证明的 e o 是 半径，对吧？那就只需要证明什么呢？证明垂直啊，好，所以我们还要做一个辅助线啊，对，个辅助线连接我们的 e o。 好， 连接 e o， 再连接 德 o。 为什么要这么想到嘞？因为我们发现题目中的直角在什么位置啊，我们的德 a o 对 吧？还有我们的 o、 b、 c 啊，所以我们想到可以证明这两个三角形全等。怎么证嘞？应该很简单吧， 我们的三角形 a 得 o 全等于我们的三角形。哎，这个三角形啊，就还是要去掉啊， 三角形，这个 a 得 o， 全，三角形 e 得 o 啊，很明显，结论是什么？叛逆条件是什么？ s s s 啊，好，就证明完毕啊， 好，这是我们的第一问，相对于来说啊，还是比较简单的，方法还是很多啊。好，下面我们来看一下第二问。好，第二问 啊，他说当半径等于根号二的时候， a 的 等于小 a 啊， a 的 等于小 a， b， c 等于小 b， 让我们去证明。 好，实际上我们第一位的条件应该是能用的啊，证明 c 的 等于和半圆相切。好，那我们同样啊，在这里选一个一点啊，这里这个垂直啊，他第一位移是正过了的啊。好， 半 g 等于根号二。好，我们可以连接我们的什么？连接我们的灯啊？连接我们的灯，连接我们的 c o， 我 们可以把 a 转过来，转过来，而这边是小 b 啊，小 b， 哎，同学们应该发现了吧，这里有个什么摄引力对吧？啊，这个应该很明显啊，好，所以我们在 r 七 三角形的 o c 中有摄引力 可得，我们 o 一 的平方是等于什么？等于一的 乘以我们的一 c 的。 好，我们把数据带进去，那又能得到什么？可以得到我们的 a 乘以 b 应该是等于我们的二的二 把，你等于根号二吗？嗯，好， a 乘 b 等于二之后啊，这相当于是我们已经知道的条件了啊，我们现在要证明 m 和 n 的 一个关系，那么里面有个二，大家发现啊，所以我们可以考虑到把二可以带进去试一试。 嗯，其实已经很很明显了这个思路啊，我们两种思路，第一种，我们可以这个得到 a 等于这个二，一分之二啊， b 分 之二，然后把这 a 等于 b 分 之二往 式子里面去带，对吧？我们可以把所有的 a 都换成 b 啊，然后再看一下 m 横的一个关系， 嗯，那这样子都可能比较复杂啊，我们先来试一下，把这个二换成 a 乘 b 啊，看这样子行不行的通啊？好，所以原本就等于我们的二是 a 乘 b， 那 就是 ab 加上我们的 a 分 至 ab， 再加上我们的 ab 啊，加上我们的 b 分 之 a b， 哎，大家可以发现我们可以干嘛？左边可以同时约一个 a， 对 吧？啊，右边可以同时约一个 b， 那， 那就能得到我们的这个 加一分之 b， 再加一个 a 一， 加一分之 a， 好看一下啊，化简完之后，哎，我们可以发现化简完之后的答案和这个 n 是 什么相等的，对吧？啊，那就可以直接等于我们的 小恩，好好第二问就证明完毕了啊。啊，其实用这种方法也是可行的啊，只是说相对来说稍微复杂一点啊，往这里面去带。好，这就是第二问，我们再来看一下第三问啊，第三问第三问肯定有难度啊， 在第一问的条件下，在第一问的条件下啊，也就是说这个一点是缺点吗？ 半径为一，这个半径等于一啊，就半径等于一，半径等于一，若点一为它的缺点， a， c 与 b 都相交于点一，连接 a， e， b， e， g 等于 x， 要我们求 y 关于 x 的 函数关系式。哦，那这个题的思路还是很明显，实际上我们就要解决这三部分，对吧？这三部分都用 x 的 表示其了。首先第一部分是 a 一 乘 b 一， a 一 乘 a 一 啊，这看给了个这个长度 x 啊，那实际上我们可以用什么等面积法去表示，对吧？但是这个 f 七不知道啊，所以我们现要把 f 七给处理出来，我们观察 f 七， f 七实际上和 e 七， 我们肉眼去观察应该是什么相等的，对吧？那怎么去证明呢？嗯， 好，我们可以用相似啊，我们来试一下啊，我们可以在首先是在三角形 c 的 a 中啊，我们由相似是可以得到什么由相似啊， 我们是能够得到，可以得到一级抵上我们的 a 的， 等于，等于。哎，实际上我们可以在这里做一个高， 那可以做个高，那这个是我们的 h 一， 这个是我们的 h 二，对吧？整个长度是我们 h 二啊， 我们得到 a 字模型相似三角形，它的相似啊，对应边支笔应该是等于什么相似笔，同时也等于对应的高支笔啊。所以这里的 a g 比 a 的 应该可以写成 h 一 比 h 二啊，这是误用自己的。 那么同样的道理啊，同理，那我们可以得到在三角形啊，这个 b 的 a 中， b 的 a 中 啊，我们同样的由相似，那可以得到我们的什么嘞？ f 级比上我们的 a 得 啊，是不是也是可以写成 h 一 比 h 二，对吧？因为你看啊，这个 h 一 时间就等于我们的蝙蝠嘛。对， h 二时间就等于我们的 ab 嘛，对吧？哦，同样的，我们可以写成 h 一 比 h 二，哎， 同时都用 h h r 表示了，那么我们可以得到这两个式子里面只有 e g 和 f g 不 同，对吧？那我们就可以得到 e g 等于 f g 等于 x。 好， 我们现在已经解决了这个麻烦了啊。好，都是 x， 那 我先把这一块给擦掉 好，先把它擦掉好，然后要解决 a 一 乘 b 一 a 乘 b， 我 们刚刚已经得到了 e 七是 x， f 七也是 x。 嗯，好，同学们啊，刚才说过了，我们解决这个 a 一 乘 b 一， 可以用等面积法，对吧？因为这个是个直角三角形啊。好，在 r t 三角形 a 一 b 中 啊，有等面积法可得， 这个二分之一的 a， e 乘 b 是 等于二分之一的， 这个 e、 f 乘以我们的 ab 的 啊。好，我们把长度带进去， a e 乘 b， 实际的 a e 乘 b 就 等于我们的 e f 乘以 b， 对 吧？ e f 是 二 x ab 是 二，因为 ab 就 直径嘛，对吧？所以我们可以得到 a 一 乘以 b 一， 实际上就等于我们四 x。 好， 第二个麻烦已解决了。好，第三个麻烦我们看一下 c 得 c 得怎么去处理。 c 得 c 的 貌似也只能用相似啊，我们先来试一下啊，用相似啊，在 r t 啊，在，这个不是二 t 啊，在这个，在三角形 c 的 a 中 有相似可得啊，只有相似才能涉及到 c 的 这个边，对吧？相似可得，我们的 c e 比上我们的 c 的， 实际上应该是等于一 g 啊，比上我们的 a 的 的啊。好，我们第一问已经设了啊，这边长度为 a 啊，那则这个长度也是 a 啊，得，这个长度是 b， 这个长度也是 b， 好， 我们把它带进去，我们带进去可以得到 c 一 是 b， 那 就是 b。 比上我们的 c 得 c 得是 a 加 b 等于 e g， e g 是 x， 比上我们的 a， 得 a 得是我们的小 a 啊，就能得到 a 乘 b 等于 x 乘以 a 加 b。 嗯，好，我们现在要解决的是 a 加 b。 嗯，实际上第一问 a 乘 b 已经证过了吧，对吧？ a 乘 b， 我 们相当于可以用一个什么舍以定你去解决，对吧？ a 乘 b 实际上就半径的平方啊， 我们第一问已知呢，等啊， a 乘 b， a 乘 b 是 等于 r 的 平方，由射影力可得的，所以 a 乘 b 应该就等于什么 a 乘 b， 半径是一啦，对不对啊？半径是一，所以我们 a 乘 b 实际上就等于一。那就是我们的 a 加 b 就 等于什么 a 加 b 其实就等于 x 分 之一啊。好，那我们三部分已解决了啊， a 加 b 也就等于我们的什么 c 的 嘛，对吧？啊？三部可以解决，第一部分 f， g 等于 x。 第二部分 啊，第一部分 e， g 等于 f， g 等于 x 第二部分 a， e 乘 b 等于四 x b 三部分 c 的 等于 s 分 之一。好，我们把东同时把它带进去啊，那最后的答案就是 y 等于 啊，代入去 x 分 之四，那就是 x 分 之一，加上 x 分 之一，再加个 s 分 之一啊，就等于 x 分 之三。好，就解决了啊。

好，我们继续分析，来看一下例子啊，这个还是您不交出来二模卷里面的一道题，他说点 a 在 y 等于 x 分 之一上，点 b 在 y 等于 x 分 之负三上， 然后连接 ab 之后呢，它和 y 等于 x 分 之一，有一个新的交点是点 c， 并且呢， c 是 ab 的 中点，然后让我们求三角形 a、 o、 b 的 面积。 ok， 这个如何思考呢？ 那我们来看啊，那这个嗯和相似，或者是说嗯和 k 之间的关系并不是特别的明确啊，所以我们这个题我们用代数方法来辅助来解决啊。他说点 a 在 y 等于 x 分 之一上，那我就可以把它的横坐标给它设一下， 我们设横坐标是小 a， 中坐标呢，自然就是 a 分 之一，对不对？ 那同理，点 b 在 y 等于 x 分 之负三上，我们把它的横坐标设成小 b， 纵坐标就是负 b 分 之三。 ok， 那 点 c 是 ab 的 中点，我们自然就可以用中点坐标公式来求对不对？那就是两头的相加除以二，二分之一加 b， 对不对？然后两头的相加除以二，那就重坐标二 a 分 之一减去二 b 分 之三，那这个就是点 c 的 一个 坐标。那怎么去求出 a 和 b 的 关系呢？我们来看，说了点 c， 他 也是在 y 等于 x 分 之一上的，那就说明他的横坐标乘以重坐标依然是等于一的，对不对？那就点 c 的 横坐标二分之 a 加 b 乘以点 c 的 纵坐标二， a 分 之一减去二 b 分 之三是等于一的。好，我们稍微做一下整理啊，那这个二分之一加 b， 我 们放在这，我们把括号里边进行通分，那就是通分成二 ab， 对 吧？那分子就会变成了 b 减三 a， 是 不是等于一？好，我们把这个分母四 ab 乘到左边，那就变成了 a 加 b 乘以 b 减三 a 是 等于四 ab 的 左边括号我们去掉，那就变成了 ab 减三 a 方加 b 方减三 ab 是 等于四 ab 的。 ok， 好， 我们合并同类项，那就是变成了这是 ab， 这是减三 ab， 那 就变成负二 ab。 ok， 移到右边，我们统一移到右边啊，那就变成了六 ab， 对吧？负三 a b， 我 们也移到右边，变成了加三啊。负三 a 方啊，我们移到右边变成加三 a 方。同理，你这个加 b 方移过去就变成了减 b 方，是不是等于零？ 对不对？ ok， 我 们把它写成，嗯，看成以 a 为未知数的一个一元二次方程，那就三 a 方加六 b 乘以 a 减 b 方等于零。那这个时候 a 和 b 之间的一个关系，实际上我们是可以求出来的， 那我们也可以选择不求啊。我们来看一下题目中最终让我们求的是什么哦，是三角形 aob 的 面积，那我们知道三角形 aob 的 面积，我们可以用二分之一 x 一 乘以 y 二减去 x 二乘以 y 一 的绝对值来求啊。那这个公式有些小朋友可能说，老师我们没有讲过的啊，那我来讲一下这个公式是什么意思？那这种三角形什么三角形呢？其中一个点 是圆点，而另外两个点呢？一个是 a， 一个是 b， 那 这个 a 和 b 呢？在第几项线都不影响， 那它的坐标，我们分别写成 x 一 y 一 以及 x 二 y， 那 像这种三角形的面积呢？我们可以用二分之一 x 一 乘 y 二减去 x 二乘 y 一 的绝对值来求，那怎么去推的？我们就不推了啊，那大家可以把它记住。嗯，直接来用。 好，我们来看。那回到我们题目中三角形 a、 o b 的 面积，我就应该用二分之一乘以，那就用点 a 的 横坐标乘以点 b 的 纵坐标，是不是？那就变成了负的 b 分 之三 a。 好 嘞，再减去点 b 的 横坐标，乘以点 a 的 纵坐标，减去 a 分 之 b 的 绝对值。好了，那我们看绝对值号里边是不是有负号，所以我们索性，哎，给它变成正的。 好，我们再把绝对值号里边的啊，给它进行通分，那就变成了 ab 分 之三 a 方加 b 方，对还是不对？ ok， 好， 我们来看三， a 方加 b 方是几呢？ 嗯，那这里好像是看不太出来是不是？那所以我们就把我们刚刚的啊，这个式子，我们用主元法 把 a 和 b 的 关系给它推出来，就是我们刚刚说的，我可以把 a 看成未知数，把 b 看成长数项，对吧？用求根公式我就可以推出来，未知数 a 应该等于求根公式是二 a 分 之负 b 加减根号下 b 方， b 方减 c c。 我 们打个草稿啊，得是它等于 b 方 b 就是 六 b， 对 吧？减去四乘 a， 再乘 c， 就 变成三十六 b 方加上十二 b 方，是不等于四十八 b 方，对吧？我们开出来呢， 四十八是四倍的根号三，所以他就四倍的根号三，对吧？那 b 是 正的还是负的？很明显， b 应该是负的啊，那这个有前面有正负呢，也倒不影响，所以我们直接把 b 写在外边啊。那我们这里稍微的调整一下， 好，这个是根号三 b， 对 不对？好，我们分子分母同时除以哦。 哎，同时除以二，那就变成了三分之负三 b 加减二倍的更好。三 b 啊， ok， 大家再把这个 a 和 b 的 关系带回来，就可以得到我们想要的。 好，那有同学说，老师，这个方法啊，太复杂了，对不对？这个计算量也有点大，那我们有没有更好的方法，或者是说我们能不能在这个方法的基础上把它再优化一下呢？ 好，我们就回到我们刚刚的这个，嗯，得到的关于 a 和 b 的 一个关系式啊，我们把这里擦掉啊，我们不去求出 a 和 b 之间关系， 而是利用一个整体的思想来求，那什么意思呢？好，我们观察我们要求的式子里边。小朋友啊，看啊，有同学老师，哎，你看，这个式子里边既有 a 分 之 b， 也有 b 分 之 a， 它们之间是什么关系啊？ 哎，是互为相反数的关系，对不对？所以我们这里如果我令 a 分 之 b 是 等于 x， 那 我们要求的就变成了二分之一乘以，那你这是 b 分 之 a， 那 不就是 x 分 之一吗？对吧？那 b 分 之三， a 不 就是 x 分 之三吗？ 再加上 a 分 之 b， 不 就是 x 吗？是不是？所以我只要想办法把 x 求出来，那 x 怎么求呢？我们就要借助于刚刚得到的左边这个 a 和 b 的 关系式，是不是？那我们要求 a 分 之 b 是 几？所以我们把左边这个式子同时除以 a 方， 同时除以 a 方，第一个就变成了六乘以 b 除以 a， 对 吧？同时除以 a 方，这个就是三。同时除以 a 方，这个就变成了 a， b 分 之啊， a 分 之 b 的 平方是等于零的， 对不对？那你不是我们刚刚说了 a 分 之 b 是 等于 x 吗？那就变成了六， x 加三减去 x 平方是等于零，对吧？好，那就变成了 x 平方减六， x 减三等于零，对不对？那我们能不能把 x 求出来？ 当然是可以的，这个会比较好求啊，我们可以配方 x 减三的平方，对吧？那就是应该是等于十二， 所以 x 一 呢，等于二，根号三加三， x 二呢，等于负二根号三加三，那到底是哪一个呢？我们来看一下 x 是 等于什么？ a 分 之 b 的， 对不对？好嘞，那我们知道这个 a 是 正的，而这个 b 是 负的，所以 a 分 之 b 应该是一个负的，那所以你 x 一 很明显是不符合题的， 第二， x 二才是符合题的，是不是？所以 x 就 应该是负二根号三加三，我们再带回到我们刚刚要求的式子里边，可不可以求啊？ 哎，那就可以求出答案啊，那就三除以 x， x 是 三减二，根号三，对吧？再加上 x 是 三减二，根号三， ok， 大家把它稍微做一下整理，最后出来就是二倍的根号三，所以这道题我们应该是选择 c， 那这道题中的难度啊，那其实整个分析过程并没有很复杂，那就是把点 a 和点 b 的 坐标设一下，也就是我们常说的什么方法。哎，代数方法啊，把坐标去设出来，然后呢，用我们所设的未知数把其他点的坐标也表示出来， 对吧？那就是难，就是难。在那最后的这个计算上，可能有些小朋友说，老师我是的都可以列出来，但是我最后答案没有求出来，对吧？所以这个对大家的一个计算的要求，那其实也是比较高的。 ok， 那 就是我们丽思的一个分析。

成功靠的不是奇迹，而是你每一天一点一滴的努力。不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是你不够成功，而是你不够努力，所以人都是一样的。

好，来，兄弟们，咱们一起来看一下湖南中考的这道函数压轴题啊，这是他最后一题的最后一问。看题以前，咱们先一块梳理一下这道题所需的计算技巧。 比如说现在有这样的一个问题，点 e 点 f， 他 们的坐标已经用一个已知参数 t 表示出来了啊，然后呢，这里面限定了 t 不 等于零， 然后现在呢，我们需要用这个小 t 去表示 ef 与 y 轴交点大 p 的 坐标。好，那这时候常规的思路是啥呢？常规的思路呢，是 ef 可以 当做已知点，所以 ef 直线的表达式可以待定系数法算出来 啊，算出来以后呢，他们与 y 轴交点的坐标你自然就搞定了啊。这个方法在这道题里面可用，包括后面咱们讲的最后一题，最后一问也是可以用的。 但是这个方法有个缺点，就是算起来比较麻烦， ef 都是含参点参数的，形式也比较复杂。然后你待定系数法解方程组的时候呢，方程组肯定形式也复杂，所以算起来会比较费劲。那这时候胖叔推荐大家用一个简化计算的技巧，这个技巧就是共线 k 相等。 啥意思呢？我们知道一个直线的 k， 它就是纵坐标差，除以横坐标差两个点坐标就能算一个直线的 k， 那这里我要表示 p 点坐标，我可以设它坐标。哎，那这时候你会发现，我用 pe 坐标，用 e f 坐标，或者用 p f 坐标，它们三个点两两组合都可以算出这个直线的斜率。 那么因为这三点是共线，所以呢，你算出来的这三个斜率一定是相等的。哎，我这时候就可以利用斜率相等得到关于 y p 的 方程，然后呢，把它表示出来了。 好，这就是咱们简化计算的一个技巧啊，具体实操怎么操作呢？咱们看一下。 那这里面任意两点组合， p f e f p e 都能代公式算一个斜率，这些斜率一定相等，对吧？所以这时候我就可以得方程了，这里呢，胖叔选择用这两个相等去列方程。当然呢，你选任意两个都能列啊，最后解出来结果也都一样，任意两个都行。 那胖叔选这两个呢，是有原因的啊，那我要解的话，我肯定得带上未知数 y p， 带未知数 y p 的 话，那我就在第一个第三个里面选，那显然第三个形式复杂，所以我就选了第一个， 然后再接下来呢，我要在第二个第三个里面再选一个。为啥选择第二个呢？因为第二个里面不含所求的 y p， 相当于它里面的 t， 都是相当已知量去用的，相当于这是一个已知的斜率。那 我让他俩相等解的话，那就只有未知数一个啊，一个未知数呢，方程解完了以后，直接就得结果了，但如果我选了一和三啊，那两个未知数还得合并同类项，再除一下就会麻烦一丢丢啊。所以呢，一般胖叔会选择这俩，当然，你自己做的时候，你随便去算两个斜率相等，最终一定都能解出来 啊。所以呢，最后胖叔列出的方程就是这个，我就表示出 vip 的 表达式了。好，这是这个三点共线斜率箱的简化计算的一个思路。好，这个思路大家清楚了以后，咱们就可以下来一块做一下这道题了， 这道题题干比较长，胖叔带大家从头到尾梳理一遍。他呢，首先已知了一个二次函数， 说二次函数上有一个点 a， 然后呢，在 o a 之间的这段抛物线上， o a 之间的抛物线上， 依次给了 r、 p、 q 三个点啊，他说这是 x 一， 这个横坐标是 x 二，这个横坐标是 x 三啊，他要满足零小于 x 三小于 x 一， 小于 x 二小于二。 其实说白了就是给你强调三个点，是按照 r p q 的 顺序在 o a 这段抛物线上放着的。好，这个明白以后呢，他说过，屁，做了一个 y 轴的平行线啊，其实说白了就是这给了一个 x 轴垂线。 然后呢，接下来直接看第三问，第三问呢，给了更精确的限定啊，他告诉我们说，这里的 x 二等于二分之三 x 一， r 的 横坐标 x 三等于二分之一 x 一 啊，二分之一 x 一， 说白了就是这里面的 r q 两个点呢，也都可以用点 p 横坐标表示出来的。 然后接下来呢，他说给了一个角相等， p a o 啊，这个角和 n m t 这个角相等。然后呢，同时 m n 还要保证长度等于二倍，根号二。 然后呢，在这些限定下，他让我们去求一个 t 等于 r e， q 一 减去 o n， r 一 q 一 减去 o n 啊， r 一 q 一 咋来的？ r 一 q 一 是连接 tr 与 y 轴的交点，连接 q， t 与 y 轴的交点啊， tr 与 y 轴交于 r 一， q， t 与 y 轴交于 q 一 啊，得到了 q 一 r 一， 然后现在让你去表示这个式子。 然后呢，求啥呢？求 x 一， 为何值时 t 有 最大值，求出最大值。那其实咱们做函数题多了以后呢，读题读到这，你心里面就应该有谱了。他说 x 一 等于几的时候，这个获取最大，那就说明这个 t， 哎，大概率可以用 x 一 给表示出来， 可以用 x 一 给表示出来，那这时候我就可以把这些点的坐标都用 x 一 表示一下了 啊，那这里面点 p 坐标 x 一 带进去有了，点 q 坐标二分之三， x 一 带进去也有了点 r， 同样的道理带进去也有了，然后同时呢， p t， p 垂直于 x 轴 t 点的横坐标 x 一 也有了。 好接下来的想法呢，就是利用这些点坐标，我去表示 r， e， q， e， n 的 坐标，问题就解决了。那咱们要表示点 n 坐标，那我就看这里面有什么相关条件，他知道了 m， n 的 长度二倍根号二，知道了这两个角相等， 肯定得从这两个条件入手。那么通常，哎，这种角和边的条件呢，咱们会优先看角啊。 看角的话，坐标系里面两个角相等，要么看三角函数相等列方程，要么是倒角得平行垂直，呃，等腰对称等等的角关系，然后呢，特殊的角关系，然后呢，你用这些特殊关系去列方程，但是呢，你会往这道题里面两种常规思路都走不通。 首先三角函数，三角函数的话叫做言所能见的不好用啊，就是 p 点坐标，你会发现是带参数的， 然后呢， m 点， n 点坐标呢，也都是带参数的。然后呢，你会发现，这时候如果你想用三角函数去表示这两个角的大小，那表示出来一定是会有一堆参数的啊，至少这里面 m n 的 坐标你是完全不知道的，你得重新设， 那就会导致设完了以后一堆未知数啊，未知数太多了，你列出来一个等式你也没啥用啊，而且还很复杂，那所以就导致三角函数 pass， 再接下来倒脚，倒脚呢，你会发现也没有什么前景啊。然后呢，这两个阿尔法呢，条件都给的很孤立，然后呢，我找不到他们跟其他周围的 角度的联系。然后呢，顶多有一个想法，就是我可以去看一看跟他们有关的已知角，然后发现了这里面 o a 是 一个一向线平分线，有两个四十五度，但是这两个四十五度呢，也给我们提供不了什么帮助。你把这两四十五度一标呢？你跟阿尔法的联系还是建立不太起来 好。那也就是说角的条件呢，暂时就用不起来了啊。那我只能先去看线段，看线段的话，常规的思路也不行。 看线段的常规思路呢，就是设坐标表示线段长，但还是那个原因， m n 坐标都不知道，长度表示出来也是一堆未知数，那这时候怎么办呢？ 好，那这时候胖叔就想你说，这里面 m n 两个点都是未知点，他把这个线段就撂在这，告诉你是二倍根号二，那这个二倍根号二的长度肯定得有点什么特点， 肯定得是包含了什么隐含信息的，否则的话，这个长度撂在这你又表示不了，那就没招了。所以呢，他肯定得有什么隐含信息啊，搞不好就是他跟这个图里面的哪个线段是相等的。 哎，有了这个想法以后呢，我去观察呢，发现题目中就只有一个已知点，哎，你要想算点长度呢，只能看它那 a 点坐标呢？是二二，哎，那我就发现，哎， a o 的 长度是不是就出来了呀？二二， a o 的 长度就是二倍根号二，哎，那这时候我还就真找到了一个跟 m n 相等的线段， 而你找到这条线段以后呢，你注意去看图，你会发现这两条线段看起来似乎不只是相等这么一个简单的关系，他俩看着还很像什么呀？看着还很像平行， 哎，所以这时候呢，我就提出了一个很美好的愿望，如果他俩平行，哎，那是不是就可以搞定这个题了？ 哎，我们来感受一下，如果他俩平行的话，这两线段就是平行且相等。平行且相等的线段会带来什么呀？平行且相等，那是不是会带来一个平色，或者说会带来一组全等啊？这有一个八字，全等， 如果平行且相等得了这组全等了，你会发现这个问题就直接搞定了，因为这时候 t 就是 o n 的 中点 t 坐标， o 坐标都知道，那么 n 点坐标我就可以直接推出来，也就是说，只要我这个愿望能达成，这个 n 的 坐标我就搞定了。 哎，那接下来我就有了积极性了，我就想着去正一正这个平行线，正一正这个平行线，好，那我要正平行，怎么正呢？那正平行就是看角相等嘛，你会发现他给的条件阿尔法角呢，正好是平行的这个内错角之一， 所以接下来呢，我只要证明这个角也是阿尔法，他俩就平行了。 而证明这个角是 alpha 的 话，那你继续看吧，你会发现它旁边就是另一个 alpha， 所以 是不是问题变成了正它俩相等， 而正它俩相等，正它俩相等怎么正呢？正它俩相等，怎么正呢？我们观察一下它们周围的条件啊，我要正它俩相等，那你会发现，这个问号呢，是不是就放到了这个阴影三角形里，它里面呢，有 a o 这条边有一个四十五度， 而这个阿尔法呢，也挨着 a o 这条边， a o 这边呢，也有一个四十五度。哎，那这时候你会发现，这里面是不是就有了全等的基础了？有公共边，有等角，我要正等角。那所以我的家里想法是不是就是把阿尔法和四十五度，还有 a o 也往一个三角形里放？ 好，怎么放？延长 a p 就 好了？延长 a p 以后呢，我得到了这个红色阴影三角形，而在这两个三角形里，这个三角形里面呢，它有四十五度，有公共边 o a， 然后呢，跟紫色三角形相比，有四十五度，有公共边 o a， 哎，它俩呢，其实已经几乎就可以得全的了。 当然了，我们要正这两个角相等的，我全等，缺的条件我肯定不补角，那接下来我应该补啥呢？这是角边，这是角边，你要正全等，你会发现，是不是只要再补一个线段相等就可以了？红线等于红线，那就是边角边的全等。 好，那这两个线相等怎么正呢？那你会发现，这里面 t 一 t 的 坐标都知道了，这个 o t 是 x 一， 那所以接下来我是不是求一下 o p e 的 长度，也就是求一下 p e 的 坐标就可以了，而 p e 的 坐标你看看能不能求呢？ a 点坐标知道 p 点坐标知道 ap 延长线是与 y 轴交点 p e 的， 那么你会发现，根据咱们刚刚的方法， p e 坐标就可以求 p e 求出来了。然后呢，我就能政权的有了，权的就有了角相等，有了角相等就有了平行，有了平行且相等，那么我就能得到 t 是 终点， n 的 坐标就有了。 所以，哎，你会发现，顺着这个愿望一步一步的逆推下去，哎，我好像就真找到了一个可以去走的路。 好，那接下来咱们就想着去求一下这个 p， 求一下 p e， 那 求 p e 其实就比较简单了，求 p e 呢，就是咱们刚刚讲过的方法 p e 怎么来的？ ap 延长得到的，所以呢，很明显 ap pe 三点贡献， 那三点贡献我怎么去求 pe 呢？那很简单，我只要设个 pe 的 坐标零小 p， 那 这时候我是不是可以用这里面任意两个点的坐标零小 p， 那 这时候我是不是可以用这里面任意两个点的斜率， 那我只要选两种表示出来列方程就行了。比如说咱们就选择了 k a p 和 k a p 一 相等， 我斜率公式分别一代，然后呢，就得到方程了，方程有了，然后呢解一下 p 就 表示出来了，就是 x 一。 因为这里的计算咱们前面细细讲过了，所以这就不赘述了啊，你照着前面的方法，按着这个思路列方程，肯定能算出这样的结果， 好，算出这样的结果以后呢，你会发现，哎，这个题就解决了，我现在解出来 p 是 x 一， 那就是这节线段长等于 x 一， 它呢，是不是就等于了咱们的 o t 的 长？ 那么这时候边角边，边角边那么两个阴影三角形全等了，全等了以后，这个是 r 法就有了， r 法有了，那么绿线平行就有了， 绿线平行且相等，那么我发现这两个阴影三角形全等就得了，所以 t 是 中点，然后 n 就 可以直接推出来，是二 x 一 零，这个 n 的 坐标就搞定了。 这里面的核心呢，就是咱们提出的那个愿望，以及接下来的一系列的逆向思维。我看到相等了，希望他俩平行，因为平行就能解决问题。 那我正平行怎么想呢？我就想正平行需要角相等，所以正角正角相等需要这里全等，所以正全等。正全等需要求 p e 坐标，所以求 p e， 然后 p e 搞定，一系列问题全部解决 好，这是求这个点 n 坐标点 n 坐标搞定以后呢，其实 o n 的 长度咱们就搞定了，是二 x 一。 好，接下来呢，就是继续去表示 r e q e 的 长度。 r e q e 的 长度怎么表示呢？咱刚说了嘛，其实就是看这两个点的坐标，而这两个点呢，其实跟刚刚求 p e 的 操作是一模一样的。 因为题目说 t r 延长线和 y 轴交于 r e， 所以 r e r t 三点什么关系？共线，那三点共线是不是又可以斜率相等列方程？那我就设 r e 的 坐标，然后呢，这三个点任意两个表示一下斜率， 呃，然后呢，斜率相等列个方程啊，这里面我选的是 tr 的 斜率和 tr 一 的斜率啊，原则前面也说过的啊，就是尽量让这个斜率的表达式简单，而且表示出来两个斜率，最好就一个是未知参数， 就是这个 r 啊，只用只用一次 r， 接起来会比较容易，那这个带进去表示完了以后，就可以得到 r 呢，等于这个式子，然后呢，接下来同样的方法，你这个 q t 延长交 y 轴于 q 一， 所以 q t q 一 贡献贡献就可以斜率相等 列方程啊，斜率相等列方程以后，解出来 q 的 表达式就是那个式子啊，这些呢，大家用刚刚的方法自己去算，然后这些算完了以后呢， r 一 q 一 的长度呢，就是直接纵坐标做差就行了，然后得到 r 一 q 一 的表达式。 好，有了这个表达式以后呢，你会发现咱们第二步完成了，那么 t 的 表达式我就能给他写出来了，是这两个的差。 然后接下来呢，那也很简单，你会发现它就是一个关于 x 一 的二次函数，我求这个二次函数的最值就行了，但是在最后求最值的时候呢，注意一下，这里面有一个小细节啊，这个是需要留意的，但是在这道题目中可能没什么影响啊，但是咱们以后做题要注意，随我提一嘴， 就是你会发现咱们去求一个二次函数最值的时候呢，其实往往是需要注意这个自变量的范围的， 就一般的二次函数最值呢，他可能不会给你限定啊，他会告诉你这个 r 是 可以取全体实数的啊，这个自变量是可以取全体实数的，然后呢，你不用去操心他，但是你发现在这道题目中， x 一 其实有范围，只要 x 有 范围呢，你一定要注意关注一下范围， 题目刚刚说了，这里面 p r q 三个点的坐标呢，是要大于零小于二的啊，横坐标要大于零小于二，那么其实就会导致这里面二分之 x 一， 二分之一， x 一 和 x 一 它都有一个不等式啊，都有一个不等式，那么这时候解这个不等式呢，我们可以得到 x 的 一个范围，你要满足零小于 x 三小于 x 一， 小于 x 二小于二啊，然后呢， x 三是二分之 x 一， x 二是二分之三 x 一， 你把它们带进去呢，其实是可以得到 x 一 的一个范围的， 在求这个最值的时候，注意要去看一下这个范围啊，然后发现这个范围以后呢，最后就是配方求最值，配完了以后呢，会发现顶点横坐标是五分之六， 得注意看五分之六在不在这个范围里面，在这个范围里面你这个函数的最大值才能取到，顶点不在的话，那，那就取不到，所以注意这个细节。好，那当然最后呢，好在是没有问题的，得到当 x 一 等于五分之六的时候，提取最大值，整个问题就结束 了。好，这就是整道题啊，整道题其实就是三个环节，最难的就是表示这个点 n 啊，然后呢，前面这块咱们也讲的最细啊，然后 再注数了，然后接下来呢，表示 r 一 q 一， 就是按照咱们讲的那个三点共线斜率相等的基本计算就可以搞定，然后最后求 t 最大值的时候，注意一下 x 有 限定，然后呢，注意去看一眼 x 的 范围，整个题就结束了。

好，那接下来呢，我们来看一下长沙中考数学二零二五年的压轴题第二十四题，那这一道题呢，是非常典型的压轴题难度的函数综合题， 它无论是考察的知识点还是方法，以及背后的思路和数学思想方法都非常的到位。那我们可以看一下，从这道题里面我们可以学到什么。我们一起来先读一下题目， 题目说呀，我们约定，当 x 一 y 一 x 二 y 二满足两个的平方，加上一个平方等于零，且 x 一 加 y 一 呢，不等于零，称点 x 一 y 一 x 二 y 二呢，为一对对偶点， 若某函数图像上至少存在一对对偶点，就称该函数为对偶函数，请根据该约定回答问题。 那这个呢，涉及到了我们的新利益，对吧？那遇到这些新利益啊，大家不要慌张啊，一点一点的，一层一层的把它拨开，然后呢和后面需要解决的问题去理解就可以，待会会详细说。 然后后面的这些问题呢，我们看一下，一共有一问，两问，三问，其中第一问呢，主要是问了三个不一样的函数，一个是反比例函数， 一个是一次函数，一个是二次函数，他们的存在对偶点的一个情况以及是否是对函数。那第二问呢，好像也是一个类似的一次函数的问题，只不过是参数化了。 第三问呢，是一个二次函数的啊，带一个参数，总之呢一共是五个函数，然后呢都围绕着这个对偶点对的这个新定义来进行，那我们就一起来看一下，把对偶点搞定，那这个题目呢就搞定了。 好，大家把题目熟悉下之后呢，接下来呢，我们来看这个题目的这个解答啊，首先呢，第一个我们来看一下题干哈，写一个解字， 看一下题干，他说呀，当满足这个平方和为零，那这个是非常典型的非负数的平方和为零，他的每一个象的值都为零，所以这边可以非常轻松的呢，得到两组关于 x y 的 等式关系啊， x 一 加 y 等于零和 x 二加 y 一 等于零，然后呢，后面还有一个条件叫做 x 一 加 y 一 不等于零。 好，那面对这里一共有四个变量，然后呢，其中有两个非常轻松简单的方程，那我们首先要去削圆，对吧？ 那怎么去削掉这个圆呢？方法其实很简单哈，我们要看一下怎样表达这个式子对我们的物理意义的理解或数学意义的理解是最有利的， 那显然这边的 x 一 y 一 x 二 y 是 点，对吧？所以呢，我们尝试着把另外一个点用前一个点来表达，也就是啊，我们把这个 y 二呢，把它写成是负的 x 一， 然后呢，这个 x 二呢，我们把它写成是负的 y 一， 那这样子呢，我们这边所得到的所谓的两个点啊，那就变成了 x 一 y 一， 这个是自由的，然后呢，他另外跟他相关点呢，就变成了负的 y 一， 然后负的 x 一。 哎，这个呢，就完完整整的用上了题目中间的这个条件啊，把等式呢也用完了啊，就不需要再看了， 那接下来呢， x 一 加 y 一 不等零哈，那这个事情呢，就变成了 x 一 呢，要不等于负的这个 y 一 好，有了这个条件之后呢，那接下来我们就可以分析一下这个东西它的实际的含义是什么了啊？题目，把它这个东西两个点对，叫做一个对偶点， 互为对偶点，那实际上这个东西呢，我们可以从几何的层面去理解一下。那第一个层面呢，从 x 一 y 一 到负的这个 y 一， 负 x 一， 我们可以把它呢看作是中间呢，还有一层 啊，首先呢，把它变成 x y 一 和逗号 x 一， 然后呢再变成它， 那 x y 一 变成 y e x 一， 这个是什么？这个是关于函数 y 等于 x 的 一个对称点，对吧？ 然后再加上 y e x c 到负的两个，加上这个什么？这个是关于原点的对称点，所以如果我们从图像上来理解呢？那这个所谓的对偶点，它们之间的关系呢，应该长成这个样子。 首先呢，我们假设有一个点 a， 它要关于 y 等于 x 对 称，然后对应的点呢，得到的是 b 点，然后呢它还要关于什么圆点中心对称， 然后呢把这个 b 点关于圆点中心对称的对下来之后呢，得到这个 c， 那 这个 a 和 c 的 关系啊，才是我们最后的 x y 一 和这个负 y 一 负 x c 之间的关系。大家通过观察可以发现哈，这个 a 和 c 啊，看起来应该就是关于 y 等于 负的 x 这根直线对称的，那这个是关于对偶点的几何意义上的一个理解啊，帮助我们找准这个代数计算的这个方向。好， 同时这个 x 一 要不等于负 y， 这个表什么意思？表示我的这个点不能够在 y 等于负 x 上，对吧？如果上的话呢，他们两个点就重合了，那这个呢，是我们提设的这个基本含义，那另外呢， 除了这个对偶点的定义之外呢，所谓的对偶函数啊，它是这么规定的，图像上要至少存在一对对偶点。什么意思？ 就是你给我一个自由的 x c、 y、 e， 我 构造一个这样的对称点，这个就构成对偶了，是吧？它只要不在这个线上，同时这两个点是不是都得在我的 某一条函数上？也就是说满足这个函数所对应的方程，然后他得有解吧，对吧？解出来至少得有一对，那这个时候呢，我们就称为他是一个对函数，如果两对三对，那更是对函数了，对吧？包括他对数会可会可以更多。那实际上呢，那这个事情呢，就变成了一个 方程，方程组有没有解的问题？所以接下来呢，我们就一个一个看他的每一个小问号。 首先第一个小问题，这边它说的是 y 等于这个 k 除以 x， 那 我们知道呢，这个是一个反比例函数，那我们一个一个的把这个两个点带到这个反比例函数中间去看一下。 首先呢，第一个等代数呢，是 x 一， y 呢，这需要等于 k， 那 第二个式子代数呢，是负 y 乘以负 x 一 呢等于 k， 负 y 乘以负 x 一 等于 k。 但是大家可以发现啊，这两个东西符号抵消了，所以呢，它就等于 x 一 y， 也就是说本来是要两个方程组成方程组，它们两个方程呢是一模一样的， 也就是说只要这个 x y 一 啊，它们不在这个 y 的 函数上，那随便你给我一个 x y， 我 都可以找到一个 y， y 与之对应在这个图像上，然后呢，它们所有点都 构成什么啊？对偶点，对吧？所以说呢，对偶点，对哈，所以说呢，这个所谓的反比例函数呢，它是存在无数对偶点啊，所以这一条呢，是对的。那接下来我们来看第二个 y 等于这个负二， x 加一，说一定不是对偶函数，那我们同样的来解一下这个方程啊，把两个点带进去叫做 y 一 啊，等于负的二， x 一 加一，然后呢，这个是负 x 一 要等于负的什么？两倍， 什么负 y 一 加一。注意了哈，我们是把这两个点带进去，带到这个方子里面去，它里面带的符号，包括交换位置全部都要体现， 那这个东西大家可以很轻松的去判断哈，这是作为一个非常普通的二元一次的方程组啊，他只要他的这个斜率啊，或者是说他的这个这个比值啊，不完全相同。他一般来讲呢，都会只有唯一的一组解啊，我们把它解出来之后呢，会发现呢，它的解呢， 是这个 x 一 要等于一，然后 y 一 呢等于负一，哎，非常糟糕啊，刚好呢，就在这个 y 等于负 x 所上，所以这个点呢，压根就不是对偶点， 他唯一的一组解都不满足这个条件，有点像增根的感觉哈，所以说呢，这个呢，不成立哈，这个不成立，他呢 不是对偶函数啊，所以原来这个答案呢，应该是对的哈，这个判断是对的，这是第二个问题， 接下来我们来看第三个问题，他说呀，函数 y 等于 x， 平方加 x 减一，图像上至少要存在两对对偶点，那到底有几对呢？ 方法和思路跟前面是一模一样的，同样的我们需要解这个方程啊， y 一 呢，等于 x 一 的平方，加上 x 一， 然后呢再减一，同样的把它换位置，这个是负 x 一， 等于 这个是负 y 一 的平方，减去 y 一， 再减去一，好解，这个方程呢，相比加于前面啊，就会更加麻烦一点点啊， 因为这个是我们在课本里面应该是没有学过的一个方程，因为如果从类型上看呢，它应该是一个二元二次的方程组，对吧？那都愿面对一个没有学过的问题，我们第一个要想呢，就是要转化成已知的问题，那当然就是要消元，变成 这个一元的这个方程组方程才行，对吧？那这个怎么消元呢？我们可以看一下，很简单的事呢，这里有一个 y 一， 然后呢可以带到这个里面去算，那么你会发现呢，这里有一个 y 一 的平方，带上去之后呢，就会出现 x 一 的四次方啊，那对于一个四次的这个方程来说，虽然它只有一元啊，但是我们也没有把握去解啊，所以大家在算的时候呢，就要提前去判断啊，有可能算不出来的， 这是一个，那有没有别的方法能够帮帮助我们快速的消原或得到一些简单一点的柿子呢啊？是有的哈， 大家注意观察一下，这两个柿子是怎么来的，他们是高度对称的同样一个形式代换进来的，所以说啊，他们的结构非常具有对称性，那么这样的柿子呢，一般呢你把它做一下两式的相加两相减，往往呢会得到一些非常好的能够化解的柿子， 那么呢，我们把这个叫一式啊，这个叫二式，我们用这个一式减去二式，我们看看可以得到什么东西。 这边是 y 一 加上 x 一， 这边两个负一没有了，这边什么 y x 一 加上 y 一 吧，符号变正号啊，所以这两个全部取消掉了，最后只剩了什么？只剩下了 x 一 平方减 y a 一的平方等于零啊，所以就得到 x 一 减，呃，减这个 y 一， 然后呢，乘以 x 一 加上 y 一 啊，这个东西呢要等于零。好，同样的，我们之前呢有这个前提条件哈，这个 x 一 呢，是不等于这个 y 一 的，也就是说 你要求的这个方阵组的这个解啊，如果要满足我们的队友点对了条件呢，这个是等于零，是无效的哈，所以这个东西呢，是不等于零的，所以呢，只有这一项等于零，所以呢，我们可以得出什么条件？得出这个 x 一 啊，是等于 y 一 的。 好，那既然 x 一 等于 y 一 了，我们就可以把这个条件啊带回这个一式或者二式啊，因为两个结构是一样的， 所以它们实际上呢，应该是一个等价的关系，带回去之后呢，这根这个就消掉了，就只剩下 x 一 的平方等于一啊，所以呢，这个最后解出来呢，这个 x 一 啊，应该是等于正负一， 然后把 x 一 的结果带回到这个式子里面去，可以算 y 一 哈，那这个 y 一 呢，算出来呢，它也是这个对应的 正负一啊，正负一。好，那这个时候有同学呃，就会犯一个迷糊了，那这里不是有两组解吗？那是不是有两组这个队友点对呢？啊，其实不是的啊，大家要要把这个解啊， 带回到原来队友点对的这个性质中去看啊，到底符不符合，满不满足？因为这里啊，是这个第一个点对叫做一一嘛，那他对应的这个队友点呢？ 根据刚才的啊，换一下位置加符号，那应该是负一负一，而你另外这一组解负一负一，那是不是他的队友点对又是一一啊？所以看到没有， 他们虽然有两组解，但是两组解对应的是同一个队友点对里面的内容，因此呢，他们对应的其实只有有效的只有一个队友点对而已啊。所以说他这个题干说这个函数至少存在两对队友点啊，这个说法呢，是错误的啊，说法是错误的， 这个呢是第一题的第三小问啊。好，那接下来呢，我们再来看第二 小问啊，再来看第二小问，那看起来这个问题往后走啊，这个题目应该是变得更难，对吧，但是其实呢，一点都没有，为什么呢？我们来看一下，因为有前面的这个关于对偶点对的这个基本的理解啊，后面的东西啊，其实都是几乎一模一样的。 那什么呢？第二题他这样说的哈，他说关于 x 的 一次函数， y 等于 k 一， x 加 b 一， y 等于 k 二， x 加 b 二，那这个呢，就是一个普通的这个一次函数啊，或者是说，如果 k 等于零的话呢，它就是个普通的这个直线啊。 然后两个东西呢，是同样结构的啊，看其中一个就可以了，然后 b 一 b 二是常数，然后 b 乘以 b 二小于零，均是对偶函数。那我处理完一个，另外一个就知道了啊。 然后呢，角质两个函数图像分别与两个坐标围成了平面图形的面积之和。好，那我们先把这个所谓的是对函数这个条件给用上啊，根据之前的说法啊，你要是对函数，那我就必须得找到一个可行的解出来，那什么的解呢？ 你这个是一个任意的直线啊，那我就照着写叫做什么呢？叫做这个 y 一 啊，它呢等于 这个 k 一 倍的 x 一 加上 b 一， 然后呢，另外一个倒过来叫做负 x 一 等于什么？ k 一 倍的负 y 一 加上 b 一。 好，那如法剖制哈，这同样的是一个结构高度对称的式子，我们同样的 可以用这个一式和二式进行相减啊，那我们来看一下得到什么东西？一式减二式之后呢，这个 y 一 加上 x 一， 这个是 k 一 倍的， 怎么样？ y 一 加上 x 一 吧，然后到最后这个 b 就 没有了，所以呢，它会等于呢，这个 x 一 加上这个 y 一， 然后呢，这边呢是 k 一 倍的 x 一 加上 y 一 啊，这里有一个非常好的一个事情啊，就是这个 x 加 y 一 啊， 如果你必须是我的队友点的对的话呢，他加起来是不能为零的，所以刚好这里能够约掉，注意哈，只有他不为零才能约掉。那么约完之后呢，就可以推出啊， k 等于一，注意了哈，这个地方的 k 等于一是只是一个必要条件而已啊，不够充分。那么 就是说如果 k 不 等于这个事一定不对，但是 k 等于一呢，也不代表一定对，所以我们这时候一定要把这个 k 等于带回到这个圆方程中间去，带完之后呢，你会发现的第一个方程和第二个方程呢，都把它化成了，什么叫做 y 等于这个，呃， x 加上这个 b， 对 吧？它的方程就长这个样子。 好，那你看一下这个东西满不满足？我们之前说的这个对偶的这个问题啊，刚好是满足的，因为就是这个东西，他在 k 一 等于一单去的时候呢，你的这个 x 一 和 y 一 的这个结论会变成什么东西呢？会变成就是 y 一 吧，等于这个 x 一 加上这个 b e， 也就是说怎么样，你给我一个 x e， 我 能给一个 y e， 给我给一个 y e 给你，然后呢？这个是不是就无穷多多解啊？所以肯定就可以，对吧？所以说呢，只要 k 一 等于一，哎，它有无穷多组对偶点，所以它肯定是对偶函数了。而且如果 k 一 不等于一，怎么样就肯定不行，那由此而来呢， k 一 等于一呢，就成了它的一个必须要满足这个条件。好，那既然 k 一 等于一了，那这个方程呢，就变成 y 一 等于什么？ y 等于 x 加上 b 了吧，这个是什么？这个是一个斜率为这个一的这个 这个直线，然后呢，它和这个坐标轴的这个交点呢，是四十五度，然后另外呢还有条线啊，它同样的知道 y 呢等于 x 加上 b 二，它们呢只有斜率不相同而已。所以大家如果画一个图呢，就非常一目了然了哈，这个 x， 然后这个是 y， 这个是圆点， 然后呢一条直线长这样，然后呢？另外一个他说了 b 乘 b 二小于零哈，所以一个长这样，那所谓的他要求的这个什么面积啊？就是围成的图形呢，就是这个三角形和这个三角形的面积之和，所以呢，他要求了这个 s 呢，就等于哎，上下的这个等腰直角三角形啊，它的边长是 b 一， 这是二分之一的 b 一 的平方，加上另外一个是二分之一的 b 二的平方。好，这个呢，就是我们的第二问，所以看起来还挺唬人的啊，实际上就是这么一个判断而已啊。那讲到这里呢，大家肯定有同学啊， 哎，会问他，我们这里讲的都是代数方法啊，就给大家留一个这个小作业哈，大家可以回去呢，自己看一下这些，包括前面三问的这些题目里面所涉及的这些函数，他到底是怎么找到这些对称关系的？尤其是第三个，画起来有点难度， 那像这一个啊，大家可以直观的可以看到啊，如果一个直线，它是一个呃， y， 等于这个 k， 这个 x 加 b， 它这个上面的时候，你随便找两个点，你看 a 和 c 是 不是都很容易的满足我们前面所分析的这个几何对称性啊？这个是我们的第二小问， 接下来我们看第三小问哈，那没什么难度了哈，他这次呢，给了一个二次函数，里面带了一个参数 a， 对 吧？然后他说这个是一个对函数，那我们完全是一模一样的处理哈。然后呢，把这个式子写出来， y 一 呢，要等于二 a 倍的 x 一 的平方减一，倒过来负 x 一 等 等于二 a 倍的负 y 一 的平方减一。好，同样的哈，因为他这个式子呢，就是队友过去得到的，所以高度的对称性，我们还是拿这个一式啊去减去这个二式啊，可以得到什么东西呢？我们来看一下哈， 这边的是 y 一 加上 x 一， 这两个负一没有了，所以这边呢，是 x 二 a 倍的 x 一 平方，减这个什么 y 平方吧，然后呢，把 x 一 加 y 给它约掉，所以说是一等于二 a 倍的那个东西，所以是一除以二， a 等于什么？等于 x 一 减去 y 一， 没错吧？ 好，那又非常好的得到了一个关于 x y 一 的什么他的一个意思表达式，那就可以非常方便的消元了。好，于是呢，我们可以分别把这个 x 一 等 等于 y 一 加上二 a 分 之一，或者 y 一 等于 x 一 减去二分之一，带回这两个式子啊，注意，一定要带回去啊，因为这是一个这个必要条件而已啊，带回去之后呢，我们就可以得到两个方程，一个方程呢，叫做二 a 倍的 x 一 的平方，减去 x 一， 加上二 a 分 之一，减一等于零，然后呢，这是带到它里面，如果反过来得到它呢，那反过来可以得到二 a 倍的 y 一 的平方， 减去这加上这个 y 一， 然后加上二 a 分 之一，减一的等于零。好，这个时候大家会发现一个秘密哈，这两个数字长得非常的像啊，我们不妨呢 反过来配一下哈，我们把这个地方呢加上一个符号啊，这个地方呢，应该不影响啊，因为它是一个平方啊，这是第一个事情，第二个事情呢，你这里加 y 一 啊，为了跟上面减相对啊，我们这写成减，然后减去负 y 一 啊，这发生什么事情？这两个式子呢，它的形式呢，是一模一样的，那 x 一 和负 y 一 呢，就是这个形式所对应的这个什么一元二次方程的梁根啊，所以说呢，他们实际上的对应的呢，这个 x 一 啊，这个负 y 一 啊，是 r a 倍的 x 平方减去 x 加上 r a 分 之一减 x 等于零，是这样一个方程，什么它的两个根吧，而且刚刚好哈， x 一 和负 y 一 是不相等的，是它的两个什么 不等时根吧，好，也就是说我们这个方程得必须有两个不等时根才行，所以说这个地方的 delta 呢，是要大于零哈，不能够， 不能够等于零啊，不能够等于零等于零的话，它们两个等根，它们就会怎么样？它们的这个交点会在这个 y 的 因子上啊，这个是不算数的，那最后解出来之后呢，这个 a 呢，是要大于这个八分之三啊，八分之三。 好，那这个呢，就是这个题目的全部的内容啊，我们可以回顾一下，从一开始呢，考察这个 呃平方和等于零的知识点，然后呢加上这样一条，然后呢加上这个对偶点，这个新定义的考察啊，它本质上呢，是一个关于什么点之间的一个 y 等于 x， y 等于 x 的 一个对称轴对称，再加上一个圆点的对称啊，把它画出来之后呢，可以理解成是关于两条这个 y 等于负 x 的 一个对称，这是一个几何意义。 那么从这个呃代数上去理解呢，那么所谓的对偶函数呢？按照它的说法啊，就是呢，我们这两个点哈，都得满足我们的函数关系式，那而且呢，它如果有解 有多少解？那么他的解超过一组哎，而且是满足这个条件哈，那他就会存在对偶点，于是呢，剩下对偶点所有的判断呢，都转化成了方程组，有没有根的问题 啊？这里分别考察了这个反比例函数，一次函数和这个二次函数啊，包括后面两位啊，也是一次函数，二次函数的考察，只不过带了这个参数哈，那么在求解的过程中间呢，就涉及到一个小小的技巧，那就是这种对偶的式子啊，我们如果消元的时候 生发现了这个生次，导致解不了啊，我们需要呢把这个式子呢，做一下两式相加和两式相减这样的一个化简， 得到一个比较好消元的这样一个式子的一个形式啊，然后呢再带回去啊，去求出来他对应的这个根的一个情况来去判断。然后这个地方呢，注意啊，这个对 o 点呢，是一对一的存在，所以这两个根呢，对应的是一个梗 啊，所以呢，整个这个问题啊，其实，呃，从知识点的考察，然后呢到这个全面的这个知识点背后，它所涉及的像这个解方程组啊， 然后它对这个定义的一个逻辑的一个理解啊，然后呢，你需要找准这个思路啊，去解这个方程啊，我觉得这些方面呢，对于这个中考级别的这个能力的考察还是非常到位的啊。 好，那这个题呢，我就讲到这里啊，谢谢大家。

长沙中考数学压轴题压题来了，年年压，年年重，分别是代数综合、代解综合和圆子综合。那为什么我敢这么肯定呢？是因为无论是近两年的中考，还是集团的一模、二模七中，都是考察这几类，尤其是代解综合，五年三考， 所以想上一百一十分的孩子一定要在考前练会了。但是每道题的题型和方法都是有规律的，所以我和我们团队老师啊，专门从一百道题里面各精选了二十道，题目类型、答案都是有规律的。所以我和我们团队老师啊，专门从一百道题的方法都是有规律的。给你。

今天是三月三十一日，距离长沙中考还有七十九天。今天我们聊一聊二零二五年长沙中考到底难在哪里？第一，新定义不给铺垫，直接上难度。历年这道亚洲题题干中会举几个例子，然后再用第一问的特例来判断对错，来验证新定义，来理解新定义。 二零二五年只给了新定义中两个点之间的关系。很多孩子就是少了动手的习惯，不能随手去画几对这样的点来验证位置关系，想靠眼睛看是看不出来的。这也是我们大部分同学的一个毛病，手里面没有直尺和圆规就不会画图。 一道很简单的题，他也要用三到五分钟去画一个标准的图，结果发现图画完题就做完了。我们真正的画图，标准的图是留给亚洲题最后疑问去用的，所以前面要节省时间为主，随手画图的能力非常重要。第二，关于回归定义。这也是函数最基本的性质， 所有图像上的点都满足方程，所有满足方程的点都在图像上，孩子们经常用到，但是不知道原理是什么，所以很难灵活应对变化。那么拿着一对有关系的点，就一定能得到方程组。整整齐齐的方程组便于我们消元，这也是平时我们书写格式规范的要求， 于是校园就是基本的和差关系。但很显然，我们在教材上面学的方程组的知识，很难应对中考的难度。最后也是刷题的问题，我们刷了大量的题，积累了各种各样的模型，但是发现中考没有模型，又回归到了叛变式的应用，孩子们根本就不知道怎么做，所以我们既要刷题，又要刷原理，要懂思维，加油吧！