2026山西中考尺规作图技巧

好，我们再来看一道尺规作图，深度思考的有难度的题目，依然是绕不开我们前一节课讲过的尺规作图五大类考点，暂停屏幕先读题。例三这道题依然是太原市教员市给老师们出的一个思考题，大家思考一下， 已知三角形 a、 b、 c 很 任意，他说要求用尺规在 b、 c 上面找一点地点，使得地点到 a、 b 的 距离，这是不是叫点到直线的距离？那必须是垂线段 点 d 到 ab 的 距离与点 d 到 c 的 距离相等，让这两段线段相等，用尺规的方式给我找到这个地点。好的，那我之前咱们是不是就无数次的讲过，你一定看到尺规动作的题目，不知道尺规该怎么做的时候，请先干嘛？请先画出来草图，就用你的笔 先给我画出来，满足题的情况。就像我刚才说的，我读完题之后，哦，你让我在 b、 c 上找一个点 d， 你 看我是不是先把 d 找出来了，然后要求 d 到 a、 b 的 距离，比如说这叫 d e 啊，垂线段的长度等于 d， c 的 长度， 说明 d、 e 等于 d、 c， 这两个相当成相等。所以你说这东西是不是叫我先画出来的草图，你得保证草图先符合了题，你才能知道这个，呃，尺规作图标准的该怎么画呢？对吧？好，那我们想一想，哎呀，这个东西叫点 到某些线段或者到某个点的距离相等。那你回忆一下，你曾经学过的乘法图里头有没有点到哪的距离相等？是不是有两个，一个叫做中垂线，中垂线上的点到线段两段的距离相等。第二个叫角平分线，叫做角平分线上的点到角两边距离相等， 好用哪个呢？你觉得你是能找到 c e 这条线段做他的角平分线，能找到地点呢？ 我们观察一下，如果你过 c 点，要想找到这个 c e 这条线段的话，请问 e 在 哪？ c 是 不是固定的？ e 是 不固定的呀， e 的 位置千变万化，你能锁定 c e 吗？所以我现在通过 c e 想找中垂线是比较困难的。那我们再把思路挪到角平分线上去， 我们看一看挪到角平分线上如何理解？也就是说此时的地点要想到角的一边距离相等，那这个角的一边肯定就是 ab， 那 另一边应该是跟 c 有 关， c 肯定在这个角平分线角的另一边，对不对？那你想一想， 这个角是 a c 吗？不可能是 a c 啊，那如果是 a c 的 话，到角两边距离相等，他应该是过 d 点做 a c 的 垂线才对啊，他居然是过 d 点到 c 的 距离，那你想一想，要想把 o 这个，要想把 d c 这一条边倒成 理解成到角的一边的距离，你想想这个 dc 是 不是就应该是个垂线段？那现在 dc 的 线段位置和方向有了， c 点的位置是固定死的，你能不能找到一个角的一边和 dc 相互垂直，让 dc 去当它的垂线段？能吧，太简单了吧。怎么办？是不是直接过点 c 做一个 bc 的 垂线？看，同学们，你这时候你的 dc 不 就是这条虚线的垂线段的距离吗？对不对？就是点 d 到这条虚线的距离，所以我找到了这一条 bc 的 垂线过 c 点啊， c 是 垂足，那此时我在延长 b a， 同学们，你们看 举个例子，比如说这交于了 h 点，那你说现在的 d e 和 d c 是 不是就是到角 b h 跟 c h 两边的距离啊？对不对？所以当你通过画草图分析出来了这个结果以后，那现在咱们吃亏做徒该咋办？是不是两层套路，第一层叫做 过 c 做 b c 的 垂线，看这是不是咱们的第五层要求那五种尺规作图里面的第五层，过直线外一点，或者叫过直线上的一点，做该直线的垂线。 第二个就是做你一会要交出来的那个角 h 的 平分线。看 就把我们的这个题目转化成了我们尺规做图五种做图方式里头的具体要求。好的，过 c 点做 b c 的 垂线，这叫做过直线上的点，做已知直线的垂线，我们需要稍微的延长一下 b c 这个直尺就可以做到。然后过 c 点，以 c 为圆心， 任意长为半径左右，画弧交于。比如说 m n 点，然后再以 m n 为圆心去做线段 m n 的 垂直平分线，上下画弧，上下画弧 a， 这个垂直平分线与 c e 将相交，这是不是就是垂直的？那这时候干嘛再延长 b a 啊？辅助线都用虚线啊，与刚才的这根 m n 的 垂直平分线交于 h 点。 好，我们只需要再做角 h 的 角平分线，与 bc 交的这个点一定是满足题义的 d 点看是不是就这意思，角平分线的点到角里面去相的现在太清晰了。好的，那我们现在开始做， 以 h 点为圆心，任意长为半径画弧，做他的角平分线。然后再以这两个点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于一点，比如说这个点叫 p 点吧，连接 hp 并延长，这时候与 b c 交于点 d， 点 d 即为所求。此时的点 d 到 b h 的 距离和到 c 点的距离，你想想是不是应该完全一样？ 好的，这些辅助线的痕迹都是要保留的，然后告诉人家，如图所示，谁谁谁即为所求，即可搞定。

书接上文我们五种耻归作图的中考必考点，来一道耻归作图题目的深度思考题。我们看一下这道题依然是教研室老师给我们所有老师们出的一道思考题，大家试试看来，暂停屏幕，先读题 好。读完题之后，他说 aob 一个任意角 d 点夹在这个角的内部。他说，请做一个等腰三角形 c o e， 使得 c e 分 别在 o、 a、 o b 边上，并且使得等腰三角形的底边 c e 经过点滴。我上节课跟你们讲过一个技巧是什么？ 如果要考你使规作图，请你一定要先拿你的笔画出此时此刻满足题意的草图来。 一定记住这一个做题顺序，先画出草图来，你自然知道你该怎么做了，起码我们能有较大的概率把它做出来。比如说根据他的要求， c o e 即是等腰，而且底边 c e 要过点 d 来。我们画一下， 这是 c 在 o a 上，这是 e 在 o b 上。你保持这个底边 c e 过了点 d， 并且 o c 等于 o e， 不就满足题了吗？好，这是我们用手里的笔先画出来的草图，对不对？那请问这种状态下如何用尺规作图，找到这样子满足题的 c e 两点呢？我们思考一下， 我们做出这个图之后观察，既然是等腰三角形，你觉得有一个什么东西你是不可或缺的？而且人家这这不还有一个任意角，有确定的角，是不是这个等腰三角形最重要的一个东西叫做三线合一。比如说我做了个 o h， 它是不是这个 oce 等于三角形的三线？那这时候你想一想，三线 o h 是 不是必然是 c e 线段的垂线？ 这个 c e 的 底边还要过地点？那是不是我可以认为什么这句话底边 c e 过地点，直接就可以翻译成 d h 必须垂直于三线 o h 呀？ 所以这套尺规作图的考点考的是什么？是不是就是两个层面，第一个层面叫做先做我们的角 a、 o b 的 三线，或者叫做做已知角的角平分线 o h。 第二个就是过什么过地点，做已知线段 o h 的 垂线，做 d h 垂直 o 位置。你看这样子，你通过先画草图进行分析，是不是就把我们的尺规作图非常抽象，非常不知道该从哪下手的知识，转化成了我们前一节所说过的 五种尺规作图的必考点了？好的，明白了这个事之后，我们就可以开始着手画图了。先做 a、 o b 的 角平分线，以 o 为圆心，任意长为半径画弧。然后再以这两个焦点为圆心， 任意长为半径画弧。当然这个弧画的大一点啊，比如说这叫 h 连接 o h， 这个半径 连接 o h， 角平分线是不是就出来了？出来了角平分线以后，再过地点向 o h 做垂线。是不是上节课咱们讲过的第五种作图方式，叫做过直线外一点做已知直线的垂线段。咋做呢？很简单，以 d 为圆心 大于 d 到直线的垂线段距离为半径，比如说这两段是大于它的半径 画弧，再以这两个焦点为圆心，上下画弧。好，这时候我们过 d 点做的角平分线的垂线是不是就做出来了？那这根黑色的与 o a、 o b 相交于两点，这两点是不是就是咱们要找的 c 呀？因为啥呢？因为你这根 o h 是 这个角的角平分线，且你过地点做了角平分线的垂线，就意味着 o h 这根线，它既是角平分线，又是整个三角形 c o e 的 高线。那两线合一，咱是不是可以通过全等正三线合一，正必然等腰呀？好的，所以那 肯定 o c 也自然就等于 o e 了吧。保留作图痕迹，你需要保留的就是一个刚才的角平分线的痕迹，角平分线的痕迹以及过地点做角平分线两个交点的痕迹，以及过这两个交点为圆心，再做上下两个八叉 垂线的痕迹，这些痕迹都要保留。最后给一个结论，如图所示，谁谁谁即为所求即可。听明白了吗？

哈喽，同学们，我们接下来接着讲一下二十一题名校联考题的这个材料阅读题啊。呃，有同学今天考完这个就问我这个画的对不对啊？这是一道材料阅读跟尺规作图结合的一个题啊，我们一起来看一下啊。定义了一个东西叫双对称多边形，你看完它定义，你就会发现它其实 第一个就要满足中心对称，第二个满足轴对称，那这样的就叫双对称多边形，既有中心对称的性质，又有轴对称的所有性质。那第一个题，那很明显选什么？选四 d， 这个就不用多说啊，因为 a 正三角形，它只具有轴对称，不具有中心对称。 平行四边形，只具有中心对称，不轴对称。正五边形，轴对称，不轴对称。 d 既中心对称又轴对称，所以选四 d 啊。第二题， 线段 a、 b 啊，已知直线 l 是 a、 b 的 垂直平分线，以 a、 b 为一边，画一个凸四边形，并且要满足这个凸四边形是以 o 为对称中心的。呃，多边形，那大概啊，画完之后你应该是这个样子的， 这个 o 画完之后，这个 a、 b、 c、 d 是 什么？应该是个矩形，这个 o 应该是矩形的对角线，这个 o 应该是矩形的对角线。能听懂我意思吗？所以这个东西其实很好画，很好画，不用画的那么复杂，因为我看的有同学是怎么画的啊，有同学这么画的这个， 这先在 b 这里通过尺规作图啊，画一个垂线啊，画一个垂线啊，然后再连接 a、 o， 这是个直角三角形，再通过 a 这里画一个这个垂线啊，再连接这个，然后画出这个 a、 b、 c、 d 实际上没有这么麻烦啊， 我怎么确定这个 c 点和 d 点的位置呢？其实很简单啊，很简单，我只要第一连接 a、 o 并延长， 我只要让这个 abc， 这个 c 点啊， c 点，让这个 c 点的 这个位置怎么确定？让这个 o、 c 的 长跟 o a 一 样长就可以了。因为平行四边形的对角线是互相平分的，所以你只需要在这里做一个 o、 a 一 样长的就可以了。 能理解我意思啊，那同理，在这边延长 o、 b， 在 这里做一个跟 o、 b 一 样长的就行了。当然，这个东西你还可以变成什么，因为这个时候你会发现 o、 a、 o、 b、 o、 c、 o、 d 一 样长，你可以用尺规作图，在这里画一个圆，以 o 为圆心，以 ab 的 长为半径的一个圆 啊，这样的话也行，其实跟刚刚说的一样的，其实刚刚就是简化了，只有这一段和这段弧，而这个是画了个圆来确定了这个 c 点和 d 点的位置，然后把它一连 啊，吃亏做主就结束。你不画圆，只保留两个短的弧也可以啊，只保留两个短的弧也行 啊，这就是我们的 a、 b、 c、 d， 写个 a、 b、 c、 d， 既为所求就行。如果你没有这个圆啊，没有这个圆，那你就得有这里有个弧啊，这里有得有个弧。好吧，这里得有个弧啊，就这个意思，要保留作图痕迹来。第三题，第三题，我觉得这个提出的 啊，不是很严谨啊，不是很严谨，怎么说呢啊，我们先来读遍题，我来说啊，他告诉你， a、 b、 b、 c、 c、 d 是 二，这个是二，这个是二，这个是二，这个是一百二十度，所以不用想啊，这个长度肯定是几啊？ 肯定是四啊，你往这里做垂直，做垂直，应该可以算出来，这个是二，这个是一，这个是二，这个是一，这个长度是四。告诉你，这是个平行的，说明它是个等腰梯形啊。等腰梯形让你借助 abcd 构造一个双对称多边形啊，什么叫双对称多边形呢 啊？首先你既要这个画出这个图形，既要中心对称，又要轴对称，其实它是多边形，三角形以上都叫多边形，是不是？ ok， 那 这个题怎么做呢？有同学说，老师我画的是这个六边形，行不行啊？这个六边形 啊，六边形。老师，我为什么想到的这个六边形呢？因为前面第一题他说了六边形可以，所以我给他补成这个这样的六边形， 觉得行不行啊？是不是也可以啊？是不也可以，没问题吧？啊？但是哈，如因为他没有说尺规作图，没有说尺规作图，那就是改的松，就是就是按照题目人的意思啊，没有说尺规作图，那这个方法理论上应该也是 可以的啊，可以的。但是啊，我总觉得他不说尺规作矩，咱徒手画啊，怪怪的啊，怪怪的。那实际上呢，我有种就是如果啊，如果你说这个 六边形可以的话，那就很多很多，那就都可以了，很多很多都可以了。好吧，很多很多，那就都可以了。你那个可以的话，那我在这里切一个 啊，长方形能不能行呢？他说借助四边形 a、 b、 c、 d 吗？ 能理解这意思吧，他只说借助它，又没有说一定要把它完全用上，只是借助它， 所以我觉得这个，呃，不是很严谨啊，你做这个六边形，我觉得可以直接求这个六边形的面积啊。六边形的面积直接梯形，上底加下底乘以高除以二，再乘个二就行。上底是二，下底是四，高是几？高是根号三， 上底二加下底四，上底加下底乘以高，根号三再除以二。因为上下两个梯形全等再乘以二啊，就这个 ok， 但是有个同学是这么说的，你觉得行不行啊？同学们请看啊，它延长 a、 b， 延长 a、 c， 只用一个直尺做啊，延长 a、 b， 延长 a、 c， 交于点 q， 那 a、 d、 q 是 不是又是一个等边三角形啊？等边三角形，这个没问题吧？等边三角形啊，连接 a、 c， 连接 b、 d， 交于这个 o 啊，交于这个 o， 然后连接 q、 o， 连接 q、 o， 交于这个 h， 让这个 h 变成 a、 d 的 中点，那如果是 a、 d 的 中点，他说这个形状他是个菱形， 菱形他也既是中心对称，也是轴对称，你觉得行不行啊？我觉得是可以的。好吧，就这块给大家推这个，这个说一下，如果你换成这个，我觉得是可以的啊，他说借助四边形 a、 b、 c、 d 构造的这个多边形， 没有说这个多边形是 a、 b、 c、 d， 什么什么什么什么，所以我觉得这个也可以好吗？啊？标准答案给的是六边形的那个啊，但是我觉得这个也可以啊，因为它没有说的严谨，那这个就可以，好吗？

各位山西的同学们，马上就要上中考考场了，最后关头拼的不是难题攻克，而是细节不丢分。答题有方法，会做的题拿满分，不会做的题抢不走分。今天老师把咱们山西中考数学 从十六题计算题到二十三题集合压轴题，每一道题的答题技巧和避坑细节全部给大家梳理明白。十六题计算题记住核心，千万千万，千万不要跳步，一步一步，老老实实解，不要心算，解结果越想快，越容易出错。 符号、乘方、分母根号，每一步都要仔细算，算完回头快速验证一遍。这道题是一道送分题，必须拿满分。跳步就是纠纷的根源，切记不要偷懒。十七、十八、十九、基础中档题考察的知识点在于元数据统计还有应用题。 应用题考察的范围在一次函数二元，一次方程组不等式，还有分式方程。上面。这几道题都是基础的得分题，大家要看清楚题目的要求，书写要规范，步骤要完整， 尤其是分式方程、应用题，不要忘记检验。大家千万不要觉得简单就马虎大意，步骤不全，单位写错，答题不规范都会被扣分。基础题一定要稳扎稳打，把该拿的分全部拿上。 二十题三角函数应用题这道题的核心在于精确度问题，什么时候该写约等号，什么时候该写等号，很多同学就是胡写啊，在这里白白丢分。牢记唯一的规则，只有两个地方可以用约等号。 第一就是带入三角函数值的时候，比方说大家算出来一个答案是三一五十度，题中往往会告诉你，三一五十度约等于零点几几几几，这里大家是可以写约等号的。 第二个地方是在写最终答案的时候，题中会让你精确到一一，或者精确到零点一，或者精确到零点零一，这里也可以写约等号，其余中间所有的计算步骤全部写等号，绝对不能随便约等 计算的结果要严格保留小数的位数，遵循题目的精确度要求，一步一算，千万不要着急，格式不要出错。 二十一题，材料阅读题这道题大概率是考几何的两个关键点，第一题目的做法就藏在材料里面，不用自己瞎想，我们课上怎么学几何的，考场上就怎么做，无非就是研究这个几何图形的定义，性质，判定，还有它的应用。 第二点，在第三问考尺规作图的时候，我们分两步走，第一步，先画出来草稿、示意图。第二步，想尽一切办法往咱们学的五种基本的尺规作图上靠作图痕迹一定要清晰。 二十二题，二次函数压轴题，重中之重在于这道题第一问的解析式一定一定一定要算对，反复验正确认，这是整道题的根本。解析式算错你后面所有的问题，哪怕写的再完美，步骤再多，全军覆没，一分没有。 二十三题，几何综合压轴题，这道题的第一问一般很简单，大家都能做出来。第二问，大家如果不会做的话，可以看一下第一问的解析思路，辅助线是怎么做的，推导过程是什么样子的， 顺着往前套就能找到解题的突破口，因为整道题是一个递进的关系，从特殊到一般，它不是并列的。 最后叮嘱大家一句话，中考数学，细节决定成败，规范赢得分数。基础题不粗心，中党题不马虎，难题不要放弃， 主体，按照技巧答题，会做的题一分不丢，不会做的题尽量抢分。希望所有的山西初三学子中考从容应战，数学考出高分！记得点赞关注哦！

来，有人点菜了啊，上次讲过的初中学业水平测试二，有的同学好奇里面的那个十五题，二十三题之余，还问了一下，呃，尺规作图该怎么做？ 我们今天来看一下这个二十一题的尺规作图。二十一题它主要是阅读思考题啊，也就是我们说的材料阅读。来暂停屏幕先读题。这个里边说了个垂等四边形，意思就是这个四边形对角线互相垂直，且对角线相等，那么它就叫垂等四边形。来，前面的几问，你们分别看一看， 看完之后我们直接看第三问，他说智慧小组研究了如何画圆的内接垂等四边形，如图示，在圆 o 中已知 ab 是 弦 o a o b 是 半径，求作圆 o 的 内接垂等四边形。也就是说，他现在要求你在里边画一个四边形， 对角线既互相垂直，又必须得相等。就这意思好，很多同学根本不知道该怎么下手做。那前边你不要忘记人家第一问，第二问是会给你提示的。同学们，我们看问题二，他说给了你一个四边形 abcd， 上底和下底是平行的，对角线是互相垂直的，那我们现在是只需要证明对角线互相相等，他就是垂等，他说求证四边形是垂等，那只需要正相等就行了呀。然后他这里面还给了个条件，说这是四十五度。那看这做的辅助线，你就知道，原来是要把这个 ac 边咔平移到 跟一点共顶角，这是不是就变成了刚才垂直的状况了？我们只需要正一下，它是个平行四边形哎，这条边 a c 和 d e 就 既平行又相等， d e 就 可以替代 a、 c 去充当对边平行且相等的任务，然后 b、 d 跟 d、 e 这形成了一个等腰 r、 t 三角形， 就能转化回 a、 c 也跟 b、 d 垂直且相等。这是第二问的思路，大体永远不要忘记第一问、第二问，你的提醒好看，这 我们之前说过，你在尺规做图的时候，你不可能凭空就有灵感知道这个尺规该从哪下手，抓住谁以谁为半径，你根本想象不出来。所以我们首先要用你的笔随便画一个符合题意的图形，然后再去寻找尺规怎么能做出来这个图形，这是正常的思维连贯性 来。我们看，先画出一个四边形，有的同学可能是没什么想法，那就先随便画，哪怕你画的很不准也没关系。比如说我这就画了一个 dc， a、 b， c， d 啊 b、 d 我 一连接， a、 c 我 一连接，哎，对角线又要相等，又要垂直，你这一看来，同学们他为啥要放在圆里头？对角线是不是两条圆的弦 对吧？弦如果要想相等，那是不是它所对折的圆周角，它就得相等，也就意味着角 d、 a、 b 就 得等于角 c、 b、 a 这两个角一起也要相等。同志们，你的思路立刻就会上一个新的台阶。为啥呀？这两个角都要相等啊？那如果把 ab 当底来说的话，那这个图形它不就应该是一个 两底角相等且轴对称的等腰梯形吗？对不对？是不是就有点像上面这个第二问的这个原始图形了？好，有了这个思路，你赶紧把你开始随便乱画的这个擦掉，然后咱们重新画的精细一点，这是 d， 这是 c， 让它成为一个等腰梯形，这时候两个底角是不是一定就相等？这时候你在连接对角线 b、 d 根 ac， 他 这两条弦才相等，这两条弦已经相等了，以后如何做他这垂直呢？同学们，由，刚才咱已经把这个对称图形画出来了，你是不是就应该想到，哎，对称， 哎呀，这还垂直，那不就说明这个 ab， 我 管焦点叫 h abh， 这个三角形是一个等幺二 t 三角形吗？是不是跟刚才的这种思路，四十五度对你的提醒应该都是一致的？哦，原来说白了这道题就是啥让你在 圆中以 a、 b 为斜边去尺规作图，做一个等腰 r t 三角形 a、 b、 h， 然后把 a、 h、 b、 h 顺势延长出去，你自然就找到了 c、 d， 然后连接 a、 b、 c、 d 四个点， 他是不是就是一个完整的垂等四边形？好，捋清楚这个思路之后，你就把你乱画的擦掉。这时候我们开始规范的用尺规找点。那有的同学，哎呀，老师，你刚才竟然是要做一个 a h b 的 等腰直角三角形，那我，这我也不会做呀，你想一想，你真的不会做吗？这个角是不是四十五度 相当于是不是就是让你在圆里边找个四十五度？有的同学说，老师，我找不到四十五度，圆里找不到四十五度，你还找不到九十度吗？ 这是不是就是九十度？哎，有同学一看，哇，想到了圆周角定律里面的一个推论，叫做直径所对的圆周角是直角，所以你要想让角 a 这个点当做直角点，那我们只有怎么办？是不是只有把 o b 或者叫 b o 进行延长， 先与圆交于 d 点。哎，不能叫 d 点交于 e 点，连接 a e 直角是不是自然出来了？出来直角你会不会长四十五度？是不只需要做它的角平分线即可？好的，同样的道理， 这边延长 a o 交于 f， 连接 b f， 这是不是也是直角？你只需要做这两个直角的角平分线就行了呀。好 做角平分线，角平分线的痕迹一定要让人家看到啊。哎呀，我这徒手画的太准，凑合看啊。连接 a 和这个点 顺势延长与圆 o 交于的点，是不是就是 c 点？同理过 b 再做它的角 b 直角的角平分线 连接并延长这两个角平分线。你想形成的这个图形是不是就两四十五度为底角？那刚才这个 h 不 就是直角点吗？顺势延长出去的这两个点，是不是一个就是 d， 一个就是 c？ 此时连接 dc， 连接 ad， 连接 bc， 我 们现在画出的 abcd 是 不是就是一个标标准准的 回等四边形，保证了对角线既通过对称相等，又通过四十五度垂直？所以给人家最后来一句话叫做如图所示啊，四边形 a b c， d 即为所求就行了，搞定。

抖友们好，我是物理赵老师，今天给大家分享一下做图题的第五个类型，画最小动力， 那么最小动力怎么画？我们汉字按以下几个步骤，第一，找支点。 第二，找最大动力臂。 那么最大动力臂怎么找？一般情况下啊，一般情况下支点到杠杆末端的距离为最大动力臂 啊。一般情况下，支点到杠杆末端的距离为最大动力臂啊，我们一般用虚线 啊，虚线画。第三， 过杠杆末端的作用点，做力臂的垂线， 这个我们一般是实现啊，实现 且标垂直符号。 第四，根据实际情况判断力的方向。 你比如说我们这有一个杠杆，我想把这个钉子给撬出来，让我们做出最小动力。 第一，找支点，那么这个杠杆呢？撬这个钉子的时候，我们以 o 点为转动点，所以 o 点为支点 啊， o 点支点。第二，找最大的动力臂。一般情况是支点到杠杆末端的距离，这是杠杆，我们的末端，这是支点，所以我们把它连接起来，用虚线这一段就表示我们的最大力臂。 第三，过杠杆的末端作用点做力臂的垂线啊，这是我们杠杆的末端，作用点做力臂的垂线， 且标垂直符号。 第四步，根据实际情况判断力的方向看。我们要把这个钉子给翘起来，那么左翘起来这个钉子，我们的力应该是向下按， 所以把不要的我们给去掉，这就是我们做出了最小动力，同时我们还得用大扩弧将我们的力臂来扩起来，标出对应的力臂， 这就是我们做最小动力的四个步骤。

中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。

我们先来看一下第十九题，如图 b、 d 是 矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线，利用词归做三角形 b、 e、 d、 b、 d， 它是与三角形 b、 c、 d 关于直线 b、 d 呈轴对称的。 那第一项文此规作图，我们这里简单的提供两种思路来求作，其中一个是 b 力和 b、 c、 d 关于直线 b、 d 成轴对称，那么它们一定是全等的，那我们直接以点 d 为圆心， d、 c 长为半径画弧， 这一点 b 为圆心， b、 c 长为半径画弧，那两弧交于一点，这一点就是 e， 然后 b、 e、 d、 e 连接起来三角形 b、 e、 d 就是 我们要求做的三角形。那第二种思路呢？我们就是做点 c 关于 b、 d 的 一个对称点，然后再连接对称点和 b、 d 两点。那怎么做呢？以点 c 为 为圆心，我们直接这里直接不以适当长为半径，直接以 c、 d 长为半径画弧，那其中一点就是 d 点和 b 的 交点，其中一点是 d 点，另一点就大概在这个地方。 然后我们再分别以点 d 和这一点，假设这点为为 e 点， e 为圆心， c、 d 长为半径画弧，然后交于 e 点这个点。哎，这里不能是 e 点，我们因为 e 是 我们要用的，所以这里我们假设它是 f 点， 以点 d， f 为圆形， c、 d 长为半径，然后做弧，然后交于 e 点，这点就是我们要求哪 e 点，这时候 c 点和 e 点关于直线 b、 d 对 称，然后连接 b、 e 和 d e， 那 么 b、 e、 d 就是 我们要求做的三角形，这就是我们提供的两种作图思路。 好，接着大家再思考一下。第二问，我们求 a、 f 的 长，它为多少呢？

哈喽，各位同学，大家好，我是吴老师，今天呢给大家讲一个使规作图，这个呢，大家可能不太会，就是过圆外的一个点做圆的切线，你比如说我这个地方有一个圆 o 圆外面的任意的地方 有一个点，屁，我让你过这个点，要做这个圆的切线，来稍微给点时间，你想一想，你可以暂停想一下怎么样过这个点，画它的切线呢？ 我们过圆外的一个点使规做图，画圆的切线容易，记住容易学会的方法有两种。第一个利用的知识点叫直径所对的圆周角是九十度。 你看你，我现在过这个点，我要画的它切线，那切线不就是刚好跟圆相交有一个交点，这个点呢，我们是不是叫切点？那我把这个切点和圆心一连，这个时候我形成的夹角是不是一定是个九十度？ 从这个九十度呢，我开始去思考，怎么样会出现一个九十度呢？那画的是圆，我就想想圆的知识，那跟圆 相关的九十度呢？就是直径所对的圆周角是九十度吗？所以我想办法让这个 o p 是 某个圆的直径，那这样的话，它所对的圆周角不就是九十度吗？ 这样的话跟我要画的这个圆，他不就相切了吗？那我如果 o p 呢是某个圆的直径，那他的圆心在哪？是不是就 o p 的 终点的地方， 那他的半径呢？就是终点到任何一端的距离嘛？所以我们这个时候去画他的切线的时候，大家可以这个样子去画。第一步，我们先用我们的直尺 把这个点 p 和这个圆心 o 连起来。第二步呢，我要去找它的终点，找它的终点呢，我可以采用最简单的就是我们都会的这个垂直平分线的画法，拿出我们的圆规，扎到任意的一边， 然后呢大于 o p 的 二分之一，上面画一个弧，这个时候呢，下面是不是也要画一个弧 来，我这个上面不是太好画，痕迹得多一点好。然后呢再挪到这边来，还是这个张开的大小，哎，稍微有点歪 好，稍微歪了一点点，还挪不过去，那就这样吧，再画，我再挪到这边痕迹有点短，等一下我们把多的擦掉来，把我放到这边去好， 然后这边再来一下，这就可以了，上下有两个焦点，这两个焦点呢，在线段 o p 的 垂直平分线上，我们只要连就可以了，我们把这些多的比较杂乱的呢，稍微擦一擦 好，这就可以了。这个时候呢，我们把上下这两个焦点做一个连接，用我们的指示把它连起来。 好嘞，连起来以后呢，它呢就是我们线段 o p 的 垂直平分线，那么跟它的交点呢就是什么？就是线段 o p 的 中点，我们以它为圆心去画就可以了。这个时候我们拿出我们的圆规， 把它呢扎到这个地方，以它到原先 o 或者 p 的 距离呢为半径，画一个圆， 画出这个心的圆呢，跟我们原先的这个圆呢，是不有两个焦点，这两个焦点呢，其实正好都是什么切点，其实都是切点， 那这个时候呢，他不是让你画切线吗？画切线我们只要连一下就可以了，拿出我们的直尺， 这个地方呢，我就直接连线了啊，因为连线更快一点，拿出你的直尺，把点 p 和这个切点连接并延长就可以了。 来，这条线呢，就是它的切线。同样的道理，下面这一边呢，如果你想连，连完以后呢，也是它的切线， 这个地方连起来以后呢，我们一定是不是会得到一个九十度，这个地方为什么是个九十度呢？这个角， 因为他是我们新画的这个圆，直径 o p 所对的圆周角，直径 o p 所对的圆周角，所以是九十度。那跟我原先的圆呢？正好是什么垂直相切的状态， 所以他所利用的知识点呢，叫做直径所对圆周角是九十度。 好，接下来呢，我们再看第二种方法。第二种方法呢，就是我们可以利用等腰三角形的三线合一去画，这是我们的圆心 o， 外面随便找一个地方是我们的点 p， 你 比如说我找到这吧，这是我们的点 p。 那这个时候我们第一步先怎么画呢？用你的直尺把这个点屁和圆心 o 连接并延长，跟圆的另外一边要有一个交点，这个交点呢，我们等一下有大用。好，这是第一步。第二步呢，拿出你的圆规， 扎到这个地方，以它为圆心 p o 的 长为半径去画弧就可以了。 好，画完弧以后呢，我想形成等腰三角形，对吧？因为我这个时候我要用的知识点叫等腰三角形，三角合一。那么你只要在这条弧上的任何一个地方到这个 p 的 距离，它的长度都是谁啊？ 半径对着没，那么和我们 o p 的 长度是不都相等，所以你只要把这个地方一连接， 那么它一定会形成一个什么三角形，等腰三角形，你想用三线合一跟圆相切，那跟圆的这个交点得是这个等腰三角形的这条边上的中点， 他如果是终点，这一连三线合一垂直，不就相切了吗？所以你现在的问题是，怎么样能让这个焦点恰好就是终点呢？问题在这吗？ 圆上的一个点到圆心的距离是半径，那如果是终点外面也是半径，所以我这条虚线的长度呢？得是直径吗？ 那我怎么样搞定直径呢？用我们的圆规去截取就可以了。来拿出你的圆规，根据圆这边的焦点扎到这，然后另外一边呢放到这个地方来。 好，这样的话，我的圆规的两个角之间的长度和直径的长度是不一模一样，然后我们保留作图痕迹。 哎，这样的话，我就告诉阅卷老师，你看我用我的圆规截取了一下，谁啊？直径的长度这边呢？我，对吧？防止你看不来，我再描一下不就行了？ 这个时候我们把圆规干什么？扎到圆心 o 的 地方，然后以它，哎，好像有点走了，走这了 好，扎到 o p 的， 这以这个长度呢为半径去画弧就可以了。 画完以后跟我刚刚的弧是不是有一个交点？那这个交点呢？你看我把这个交点跟我们的圆心 o 做一个连接， 我给你变个颜色，变成红的。好，那这个线段的长度，红的这个长度呢？是不是就直径？ 它是直径的话，你看，那你跟圆的这个焦点，圆上的任何一个点到圆心的距离叫什么半径？那外面呢？肯定也是个半径半径，所以跟圆的焦点恰好就是这个线段的中点。 ok， 那 这个时候你看你想形成等腰三角形不 so easy 吗？把这个焦点呢，跟它连起来就可以了， ok 吗？这个呢，我还是改成蓝的吧，这就可以了。这个长度，嗯， 好。这个长度呢，跟 o p 的 长度一定会怎么样相等，因为它都在以 p 为圆心， p o 长为半径，画的这个弧上面嘛，上面任何一个点到圆心的距离不就是半径吗？所以它是一个等腰三角形， 而这个点呢，是等腰三角形底边上的中点，根据三线合一，中线一定是高线，所以你想画切线连接延长出去就可以了。 那形成的这个夹角一定是多少度？九十度，九十度不就相切吗？所以他所利用的知识点呢，叫做等腰三角形的三线合一。 好，这是使规作图过圆外一个点画圆的切线。非常好理解，好掌握的两种方法，大家可以听一听， 听完以后一定要去记，去学，防止呢中考，中考出来以后呢，自己不会。好的，拜拜。

中考数学当中尺规做图题一共就考三种，第一种做角的角平分线，第二种画线段的垂直平分线，第三种就是画等角。如果不会的同学，课下一定要多加练习。

哈喽各位，前几天呢，我们更新了河南中考数学二一年到二五年关于尺规做图的题目的考察的一个讲解啊。这个视频更新完之后呢，就有很多家长跟学生来问我，我们在做尺规做图的时候呢，经常是通过死记硬背，然后进行一个做图，但是呢，这里头关于什么角平分线，垂直平分线以及垂线，这些尺规做图经常容易做乱 记混，不太能够理解，他为什么要这样去做尺规做图，他为什么这样做出来的图，他就是符合他垂直平分线的要求呢？ 所以呢，我们数学是不太推崇大家去死记硬背的。那么既然大家有这样的问题，我们就专门出一期尺规做图的一个视频，来讲一讲关于尺规做图的一些做图的步骤，它的原理是什么？对它进行一个详细的拆解啊。我们先来看一下初中的五种尺规做图啊，那既然说尺规做图了， 所以我们先把它的工具，你用什么工具在做图呢？先把它的工具了解一下，取规做图用什么呢？顾名思义，直尺和圆规，但是这个直尺呢，跟我们平时用的尺子不一样，有啥不一样点呢？它是一个无刻度的直尺， 那你想这个直尺啊，它没有刻度，所以它不能干嘛？不能测量长度，它只能干啥呢？只能画线，所以这个无刻度的直尺，它就是用来画直线，或者说画射线。 那圆规呢，既然尺尺不能来测量了，所以呢，给他搭配了一个好搭档，圆规，圆规呢，他的任务就是来测量长度，或者说取相等，取长度啊，取个相等的长度，所以他们两个进行一个搭配，一个是画线，一个是取长度， 就可以把我们五种基本指标做图全部给做出来了。那这五种基本指标做图是啥呢？分别都在我们七年级和八年级进行一个学习啊，八年级上册基本上就已经学完了。首先第一个就是做一条线段等于已知线段，这是在七年级学的，对吧？ 第二个呢，是做一个角等于已知角，这是在八年级全等的时候学的，我说我说的年级的版本是人教的版本啊，以人教为主。然后下面呢，这几个其实都是在八年级学的， 他是在全等学的。角平分线呢，也是在全等的时候学的。垂直平分线和垂线呢，他俩是一块学的，都是在我们的轴对称这一张学习的也是八年级上册， 所以我们八年级上册都已经把五种基本指标做图做完了，学完了。然后呢，我们中考的时候，这个是一个必考点，所有的省市的中考卷都在考啊， 所以他一定是一个我们百分百要去学会学透的一个点。那么我们来看一下啊，做一条线段等于一只线段是最简单的一个了，做一个角等于一只角，就是做一个等角，上面是等线段，下面是等角，这两个呢是指归做图的基础， 然后下面是角平分线，那这俩呢，是在全等的时候进行学习的，为什么放在全等呢？一会讲到它的原理的时候你就明白了啊。然后下面两个是垂直平分线和垂线是在我们轴对称的时候学的，因为垂直平分线画的是线段，那么线段它的对称轴就是它的垂直平分线，所以是在这个位置学的。那为什么同时学到了垂线呢？ 你想垂直平分，垂直平分，你画出来垂直平分线，是不是也就意味着你画出来了垂线？是的，所以呢，学完垂直平分线之后，你就知道了垂线怎么画了啊？但是呢，垂线不太一样的是，它是过直线画的垂线段， 过一点做直线的垂线。那这一点在什么位置呢？也就有我们的两种情况了，这个点呢，可以是在线上，也可以是在线外，你可以过直线外一点做这条直线的一个垂线，对吧？ 不管是上一点还是外一点，它的尺规作图的过程完全一模一样啊，我们一会来看一下就知道了。 我们先来看第一种，做一条线段等于已知线段。我们做一条线段 a 撇 b 撇等于已知线段 a b， 所以 先给了我们一个线段 a b。 那 怎么做呢？它的工具就两个，一个直尺，一个圆规。 指尺没有刻度，只能画线。圆规是测量长度的，所以既既然要做线段相等，所以我们需要取相等的长度。取相等这个任务就交给了圆规了。那你取相等的前提，你是不是得先画出来一条线呢？ 那画线这个任务交给谁了呢？交给无刻度的指尺了。所以呢，我们第一步应该是先有了这条线，然后再去这条线上取一个相等的线段，对吧？所以第一步就出来了啊，先做一条射线， 我们先用我们的直尺，虽然它有刻度，但是这个刻度我们也不能用，先用直尺画出来一条射线， 这个射线呢称之为 a 撇 c， 画出来之后呢，就是取长度了啊，我们把圆规取长度用的是圆规，对吧？我们把圆规的两个角呢放到了点 a 和点 b 这里，那么这两个角之间的距离就是 a b 这条线段的长度了，然后把它不动移过来，两个角之间的距离不动啊，移过来，移过来之后， 它一个端一个端点，再点 a， 着另外一个端点呢，进行一个画圆弧。 画圆弧，那它的圆弧的半径是谁啊？是不是就是我们 ab 的 长度？所以呢，第二步是啥？以 a 撇为圆心，谁的长度为半径？ ab 的 长度为半径画圆弧，那么跟我们所画的射线的交点就是我们的点 b 撇，那么此时的 a 撇 b 撇就是等于 ab 的 长度了。 所以我们的第二步就是在射线 a 撇 b 撇上截取 a 撇 b 撇等于 a b， 怎么截呢？用圆规截取就可以了，这就是我们的第一个指规，做图做一条线等于已知线段，用直尺画射线，用圆规取长度， 非常简单啊，只有这两步。然后是第二个就是画相等的角了，等角和等线段是最基础的啊，但是等角呢会稍微麻烦一些，你看他左边的步骤，他虽然麻烦，但是其实过程理解上来说也是很简单的，而且他的原理一会跟你说了之后，你就知道为什么他要这样去做了啊。 我们先来看一下，还是同样的，你既然要做一个角， a 撇 o 撇 b 撇，这是一个 b 撇， a 撇 b 撇等于 aob， 那这个角由谁构成呢？由两条边构成，对吧？两条边张开一定的角度就构成了一个角， 那这两条边的话，我们要去画一个角，首先我们是不是得先确定它一条边的一个位置，然后根据它的一个角度去看它另外一条边在哪里，对吧？所以呢，我们还是第一步先去干啥？画线，先把它其中一条边给它画出来，然后再去确定另外一条边的位置，那么我们第一步也是做一条射线， o 撇 a 撇， 我们来做一条射线 o 撇 a 撇，然后呢就是确定另外一条边的长度了，那另外一条边人家这个假角这么大，那我们是这样画呢？还是这样画呢？还是这样画呢？怎么画呢？我们来一步一步看啊。 第二步呢，是以点 o 为圆心，以它原来的角为顶点为圆心，然后呢任意长或者说适当长为半径做一个弧，那么我们还是用我们的圆规 适当长为半径啊，适当长为半径画一个弧，那么这个弧呢，跟我们的这个角它就会有两个焦点，那这两个焦点分别命名为点 c 和点 d， 然后呢同样的再以我们画的这条射线的 o 撇，这个端点为圆心，相等的长度为半径，其实就是全部就是模仿嘛，相等的长度为半径， 那我们得看一下人家刚刚的长度是多长，对吧？所以还是把圆规放到这，先取一个 o d 的 长度，然后呢把它移过来一个端点，再 o 撇另外一个端点呢，画一个圆弧， 那么这个圆弧呢，就跟我们的 o 撇 a 有 了一个交点，这个交点呢，我们称之为点 c 撇，称之为点 c 撇。 然后呢我们继续，因为你画了这个之后呢，你的另外一条边是这样的还是这样的？还是确定不下来，那怎么办呢？怎么确定是这样还是这样呀？是不是就是 c、 d 这个长度你就可以确定下来了？其实就是这条弦的长度嘛，你这个角相当于是一个圆心角了，你这个圆心角所定的这条弦，它有多长？是不是固定的？ 所以呢，我们下一步是干嘛呢？以 c 撇为圆心，谁的长度为半径？ cd cd 啊， cd cd 的 长度为半径，然后做弧，与我们刚刚的这条弧会有一个交点，所以呢，我们还是用圆规来啊， 用我们的圆规放到了 c 撇儿，放到了 c d 上，放到 c d 上之后呢，再把它移过来，移到 c 撇儿这里，然后进行一个画圆弧， 那么这个圆弧跟我们上一个圆弧呢，就会有一个焦点，这个焦点呢，我们命名为 d 撇儿，然后连接一下 o 撇、 d 撇。 连接完了之后呢，我们的角 连接完了之后呢，这条射线我们命名为 o 撇、 b 撇，然后我们的 a 撇、 o 撇、 b 撇就出现了，对吧？那这里头字母的顺序你都可以自己随意的改变啊， a、 b 颠倒也可以， c、 d 颠倒也可以，只要你的弧画对了就行， 所以它其实就是画了三个圆弧。第一步，先画一条线，打基础射线， o 撇、 a 撇，画完了之后呢，在原来的角上再画一个弧，画一个弧 c、 d， 把这个弧呢移到 你所画的射线上面，就形成了 c 撇、 d 撇。那你这个 c 撇、 d 撇知道了之后，这是第二个弧了，那这个角的张开的角度怎么去确定呢？ 其实就是我们 c、 d 之间的一个距离了，所以呢，我们再以点儿 c 撇为圆心， c、 d 的 长为半径，再做一个弧，那这个弧与我们上一个弧呢，有一个交点，这个交点连接我们的 这个角的顶点就形成了另外一条射线，这另外一条射线就是我们这个角的另外一边了，所以它是这样一个做图的过程啊。那这里头为什么画出来的这个角， a 撇， o 撇 b 撇，就等于这个角了呢？这个字母给你反一下吧，看着怪别扭的， 那它为啥就等于它了呢？这里头呢，需要连接一下 c、 d 和 c 撇 d 撇啊，因为毕竟是以人家的长度为半径做的弧嘛，所以根据我们三次做弧，你看一下左边这个角和右边这个角，这里头两个三角形的关系。 通过我们的第一个做弧，是弧，以 o 为圆心，任意长为半径，换了 c、 d 这个弧，然后呢，同样的以 o 撇为圆心，相等的长度为半径，所以这个长度和这个长度是不是一样的？ o、 c 等于 o、 d， 因为都是半径， o d 撇也是半径， o d 和 o d 撇呢，是相等的，因为这两个弧的半径是相等的，所以根据前两个弧，我们可以得到 o c 等于 o c 撇， o d 撇，其实这四条线段都相等，对吧？ 然后呢，最后一个弧，第三个弧是以谁为半径的？ c、 d 为半径，所以你看一下，那么 c、 d 和 c、 d 撇什么关系啊？也是相等的呀，以 c、 d 为半径，产生了 c、 d 撇， 所以它也是相等的。那既然这三条边都相等，也就可以得出来啥了，哪两个三角形什么关系？全等，对吧？三角形 c、 o d 全等于三角形 c 撇 o d， 它的全等的判定方法就是 s s， 所以它为什么画这么多弧呀？因为画弧就会产生半径，半径什么关系呢？半径是相等的，半径相等呢，也就意味着边相等， 所以边相等呢，就可以得到等边，从而证明了全等。所以它的原理就是通过你做图的过程，我得到了线段相等，从而证明出来了全等，所以这两个角相等，这就是它的原理。 然后因为我们只归作图，通常括号里头都会给你写一个什么保留作图痕迹，不写做法，对吧？所以这里头保留作图痕迹的话，保留的是哪一部分呢？给大家看一下啊。这是彩色的线的部分，这个粉色和这个绿色，这个绿色你可以不画，粉色是一定要画的粉色，也就是我们刚刚画的三个弧， 这就是保留这一部分就可以了，因为你画的是弧，不需要画整个圆，其实保留的部分就是你所需要用到的这些弧所形成的焦点， 因为你需要靠焦点去连线啊。这是我们第二个做一个角等于已知角，就是画了三个弧，通过全等证明出来了角相等，这是它的一个原理。然后下面一个呢，是做一个角的平分线，也就是说把这个角呀一分为二，在这个角的内部呢，再画一条射线，让这俩角相等，对吧？那我们来看一下它的步骤是什么呢？ 首先第一步是以点 o 为圆心，因为它做角平分线的话，就是在它本身的图上面去做，不需要另外做图了，所以我们的第一步就不去，不需要再去另外的画线了，对吧？那我们先以点 o 为圆心， 那我们先以点 o 为圆心，然后呢，以适当长为半径进行一个画弧， 那么这个弧呢，就跟我们的这个角的两条边会有一个交点，这个交点呢， o a 的 交点命名为点 m， o b 的 交点命名为点 n， 然后再分别以 m n 为圆心，大于 m 二分之一 m n 的 长为半径做弧。这里头有一个特殊的大于二分之一 m n， 那 你想为什么呢？为什么要这样做弧呀？它上一步做弧的时候，以适当长为半径做弧，然后我们 我们刚刚做一个角等于已知角的时候，是以 c d 的 长为半径做弧。人家的， 那到这呢，出了一个要求，就是以大于二分之一 m n， 你 想想为什么？因为啥它这两个弧啊，要在角的内部交于点 c， 如果说你这一个点，两个点，以这两个点为圆心，它的圆半径非常小，那这两个弧有交点吗？没有， 如果它的半径等于它俩之间的一半呢？相切了大于一半呢，就有相交了两个点了，对吧？所以这就是为什么是以大于二分之一 m n 的 长为半径，就是因为呢，它要有交点，是让这两个弧相交啊，所以我们再来画一下， 我们可以先以 m 为圆心，然后呢，以大于二分之一，大于的话大概在这吧，大于二分之一 m 的 长呢，为半径画一个弧。 然后同样的，我们再来以点 n 为圆心，相等的长度为半径进行一个画弧。 那么画完之后，这个弧呢，它通常会有两个焦点，对吧？其实这两个焦点我们取一个就可以了，因为它还要跟我们的顶点相连接，因为一条线嘛，两点确定一条线，三点当然也没有问题，所以我们把它进行一个连接，它的第三步就是作射线 oc， 它的焦点这个点和这个点你取一个就行。比如说我们取的是这个点，是点 c， 然后我们连接一下 oc， 它是在一条线上的，连接这个点也行，连接这个点也行，都是在一条线上的。那连接完 oc 之后，那这个射线 oc 就是 我们角 a b a o b 的 一个平分线了。那这里头的作图原理又是啥呢？同样的，它也画了三个弧，所以呢，它跟上一个异曲同工之妙， 有弧就有什么半径，就有什么半径相等。所以我们来看一下啊，根据第一个弧 m n 这个弧， 我们可以得到什么 o m 等于 o n， 再根据第二个弧和第三个弧，它要有一个焦点，第二个弧和第三个弧呢？分别以 m n 啊，这里头应该加个逗号，分别以点 m、 点 n 为圆心了，它们的半径呢，是相等的。所以呢，我们可以连接一下 c m 和 c n， 也就是说 c m 和 c n 是 什么关系啊？相等的，因为 c m 和 c n 都是它的半径，以大于二分之一 m n 的 长为半径画弧， c m 和 c n 是 这两个弧的半径，所以它俩也是相等的。那同样的再加上一个啥 o m m c， 还有一个什么 o c 是 个啥？公共边，所以呢，这里头还是用什么来判定的？全等，对吧？所以根据 o m 等于 o n， c m 等于 c n， 这是根据我们作图过程当中的半径相等得到的，然后再根据 o c 等于 o c 这个公共边可以判定谁和谁全等呢？ 三角形 c o、 m 全等于三角形 c o、 n， 所以呢，根据全等的性质对应角相等，所以角 c o m 等于角 c o n 这俩角相等，那不就是平角平分线吗？对吧？ 所以他也是通过我们全等去证明的。所以也就是为什么这两个作图他是放到了我们八年级人教八年级上册的全等这一张去学习，因为他的作图原理是全等，这是我们的作角。那同样的作角呢？你在考试的过程当中也是保留作图痕迹的话，他应该是这个样子的啊，往上移一下，他应该是这样一个样子的， 就是这些彩色的线是我们画出来的线，其实你的这两个弧是可以连在一起的，连不连都可以，中间可以断开，也可以连着啊， 你看一下它所保留的这些弧，其实都是我们过程当中所必要的一些交点点 m 点 n 是 不是留下了，以及最后的交点 c， 这都是一些交点，交点处的弧都会留下来。那后面呢，我们还剩下一个中垂线和垂线，对吧？这俩就简单了，超级简单。 来看一下垂直平分线，也叫做中垂线做线段 a、 b 的 垂直平分线 c、 d 怎么做呢？ 首先呢，第一步是分别以 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 的 长为半径，这里头这次大于，为什么跟上一个是一样的，为啥大于呢？因为两弧啊，要相交，所以呢要大于二分之一。那我们来画一下， 首先以点 a 为圆心，大于二分之一 a、 b 的 话，在这吧 好画了一个弧，然后呢，我们再把它放到点 b 这里，以相同的半径进行一个做弧，哎呀，那个弧刚刚画的有点小了，把那个弧给它补一下吧。 好，补完之后呢，看一下这两个弧呢，会有两个焦点，两个焦点分别是 c 和 d， 那 么两点确定一条直线，所以做直线 ab 啊，做直线 cd 就 会得到我们的垂直平分线了， 连接 cd， 那 么 cd 这条直线就是我们线段 a、 b 的 垂直平分线了。这种作图方法，它的原理是什么呢？为什么这样做了两个弧之后，有两个焦点，一连线就垂直平分 a、 b 了呢？ 它的原理呢，有很多种解释啊，我们先来一个最正规的，就是教材上是怎么解释的呢？教材上说的是根据我们线段的垂直平分线的一个判定， 也就是与线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。所以呢，我找到这样的两个点，因为两点确定一条直线， 我找到了点 c 到 a 和 b 的 距离相等，点 d 呢，到 a 和 b 的 距离呢也相等，所以点 c 和点 d 都在 ab 的 垂直平分线上，那么 cd 这条直线就是 ab 的 垂直平分线了，对吧？这就是它的一个原理啊。 那比较斜修的一个方法呢？斜修的原理是啥呢？我们刚刚说角平分线以及做等角的时候，我们连接了半径，根据半径得到的，对吧？那我们这里头也连接一下 a、 c、 b、 c 以及 a、 d、 b、 d， 根据我们的作图过程，半径相等，也就是 a c 等于 a d， b c 等于 b、 d， 同时呢， a、 c 和 b、 d 相等，因为它的这两个弧，它的半径都是以大于二分之一 a、 b 为长度，它是以相等的长度为半径做的两个弧进行了两个交点， 所以呢，根据它的作图过程，我们就得到了 a、 c 等于 b、 c 等于 ad， 等于 b、 d 四条边相等，所以 ad、 bc 是 一个什么四边形？菱形。 所以呢，我们画出来的这个四边形 ad、 bc， 它就是一个菱形了，那菱形的话， ab 是 它的什么对角线？ cd 呢？也是对角线，菱形的对角线什么性质呢？不就是互相垂直且互相平分吗？ 平分垂直，这就是它对角线的性质呀。所以呢，我们也可以用这种斜修的方法来进行一个解释，来进行一个理解啊。当然，最正统的方法还是从人家垂直平分线的一个判定来的，就是与 到线段两个段点距离相等的点在垂直平分线上，所以这两个点到它的距离都相等，那么这两个点都在这条线上，两点确定，一条直线一连接，就是它的垂直平分线了。那你画出来这一条线啊，能顶好几条线，非常厉害。这条线 很多功能，首先它是垂直，你做出来这条线，它是一个高，对吧？是一个垂线，对吧？而且呢，它还平分，也就是说你这个焦点是啥呀？是终点呀， 是终点。所以呢，如果考试的时候让你去画线段 a、 b 的 中点，让你去找到 a、 b 的 中点，你画什么？画垂直平分线？然后呢，让你去做 ab 的 一个垂线，你做什么？做垂直平分线，或者说给了你一个三角形 abc， 让你去做 bc 边上的中线，中线是啥呀？中线不就是确定一个中点吗？ 确定了，中点一连接就是中线了，所以它的关键点还是在中点这里，所以让你画中线，你做的也是垂直平分线，垂直平分线之后，这个焦点就是中点一连接就得到了中线了，所以垂直平分线呀，它真的功能相当多， 让你做中线也是做它，找终点也是做它，做垂线还是做它非常忙碌的一个线，对吧？那我们来看一下，既然做垂线也是做它了，那看一下，那做垂线它是做了一个直线的垂线，并不是做一个线断的垂线，对吧？ 所以呢，这里头跟做垂直平分线有一点点的区别，多了一步就多了一个第一步，下面的两步都是一模一样的啊。我们来看一下做已知直线的垂线，我们刚刚说了，它分成两种，过线外一点还是过线上一点，所以呢，这两种我们也都给大家去画一下。 首先呢，是过线外一点，我们先来看线外一点这种情况啊，过线外一点 c 做直线 ab 的 垂线，因为它现在这个直线 ab 它不是一个线段了，所以你没有办法去确定它的两个端点，然后以这两个端点为圆心做两个弧，对吧？它没有给我们这俩端点，那我们就没有了吗？我们也可以自己画呀， 所以呢，他的第一步来确定这两个端点，以点 c 为圆心，适当长为半径做弧，这个弧呢，跟 a、 b 这条直线交于了点 d 和点 e， 点 d 和点 e 就是 我们刚刚做垂直平分线的点 a 和点 b， 你 就可以把它想象成我做 d、 e 的 一个垂直平分线，来，我们先来做一下啊， 以 c 为圆心，适当长，那这个适当长，因为它要跟 a、 b 有 交点，所以呢，适当长也是有一点点要求的，它起码得大于它到 a、 b 这条线的距离吧，那就在这吧。 好，画完了之后呢，它跟这个圆啊，不，它跟 a、 b 这条线交于了点 d 和点 e， 那 有了这两个焦点之后，你看一下，其实就是做 d、 e 的 一个中垂线吧，是吧？做 d、 e 的 一个中垂线， 然后呢，下面步骤就是做中垂线呀，怎么做呀？以 d 和 e 分 别以点 d 和点 e 为圆心大于二分之一的长度为半径，画两个弧，这两个弧呢，有两个交点，那么我们先把这两个弧画出来，先以点 d 为圆心大于二分之一的 e， 那 就在这吧， 好，这是他的一个画长一点吧，防止刚刚的那种情况再出现。两个弧还没交点呢，画完了之后呢，我们再以点 e 为圆心，以相等的长度为半径画一个弧， 那么这两个弧呢，就会有这两个交点，我们换个颜色啊，有这两个交点，那这两个交点呢？我们使用其中一个就可以了，因为我们还有一个点 c 呢，毕竟人家是要过点 c 做一个垂线，两点确定一条线，所以我们点 c 和另外其中一个交点就可以， 比如说我们点 c 跟这个交点吧，这个点是 f， 然后我们去连接一下 c、 f， 它就是我们所要做的一个垂线了， f 在 这， c 在 这，那么此时的 c、 f 就 垂直于我们的直线 ab， 这是一个直角，那其实也就是我们的 c、 f， 那 其实也就是我们的直线 c、 f 怎么样？是我们 d、 e 的 垂直平分线，对吧？ 所以它跟我们垂直平分线的区别在哪里呢？就是第一步不一样，我们垂直平分线是它是线段的垂直平分线，它是有线段的两个端点的，然后做它的垂直平分线，但是它呢，它是一条直线，所以我们得先去确定两个端点 d 和 e， 所以 是以 c 为圆心，适当长为半径，跟这条直线有两个交点，那么我们做这两个交点所形成的这条线段的垂直平分线，就可以得到这个垂线了，然后这里头呢，需要说的一条线段的垂直平分线就可以得到这个垂线了。然后这里头呢需要说的一下 c、 d 啊， c d 和 c、 e， 为什么他做了 d、 e 的 垂直平分线，他就一定经过点 c 呢？我们知道他做了垂直平分线一定是垂直的，但是为啥他一定经过点 c 呢？因为啊，我们最开始第一步做的这个圆弧导致 c、 d 和 c、 e 是 什么关系呢？相等的，也就是说我们的三角形 c、 d、 e 是 什么三角形呢？ 等腰，对吧？它是一个等腰三角形，有啥性质呀？三线合一呀， 三线合一啊，那你既然做了这个等腰三角形底边上的垂线了，那根据三线合一，他肯定经过他的顶点呀，他是一个中垂线呀，肯定经过他的顶点，对吧？所以这就是他的一个原理啊， 根据一个等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的一个作图，这就是做垂线，那同样的，这是过线外一点，做垂线线上一点呢？一样的道理啊，过线上一点，我们还是需要去确定这条直线上的两个端点，过这两个端点呢，做他的一个垂直平分线，对吧？所以步骤一模一样啊， 一模一样，第一步还是以点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。 点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。那么这个弧呢，就跟我们的直线 a、 b 会有两个交点， 那这个交点呢？还是一个点 d， 一个是点 e， 点 d 和点 e， 之后呢，再去画 d e 的 一个垂直平分线就可以了，那就是分别以 d e 为圆心，换一个颜色， 分别以 d e 为圆心，大于二分之一， d e 的 长为半径画弧。 然后我们 那么这两个弧呢，它就会有两个焦点，那这两个焦点同样呢，我们也是取其中的一个焦点就可以，比如我们用上面这个焦点把它命名为点 f， 然后连接一下 c f， 连接完了之后呢，这个 c f 这条直线就是我们所做的一个垂线了， 所以此时的 c f 还是我们的 d e 的 啥垂直平分线？ 那刚刚说了，刚刚为什么能够确定它所做的垂直平分线一定经过点 d 呢？我们说了它用了一个等腰三角形三线合一的性质，那在这里呢，是不是也是同样的 在这里呢，我们可以去连接一下 a f 和 e f， 那 f 呢？是这两个蓝色的圆弧的交点，那这两个蓝色的圆弧它是以相等的长度为半径画的，所以 a f 和 e f 还是相等的，那同样的还是三线合一，对吧？既然做了中垂线了， 垂直还是中点，所以他就满足他经过了点 c， 他 经过了点 c 啊，那么这是我们五种尺规作图以及他的作图原理，作图步骤。除此之外呢，在我们的数学的初中课标当中，还有另外的一些尺规作图，就是我们所谓的做三角形，做平行线，做等腰，做直角， 那这些尺规作图，它的本质都是我们五种基本尺规作图，那我们来对号入座一下啊。第一个呢是已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边做一个三角形， 这是在学全等的时候，尺规作图做三角形，因为我们全等三边不就是全等的 s s s 吗？然后是 s a s s， 然后是 a s a， 那 这里头无论是边还是角，是不是都是做的相等，做等边，做等角，对吧？所以它的原理是啥呢？ 就是这俩圈，第一种和第二种持规作图，做等线段和做等角是我们做三角形的本质原理。 然后第二个呢是做平行线，你想你做出来的这条线怎么得到它是平行线呢？怎么判定它是平行线呢？也就是说我们平行线的判定是啥呀？有啥 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同班内角互补，两直线平行，对吧？所以就是说我们如果做出来相等的同位角，或者是相等的内错角，那么我们是不是就可以做出来平行线了？所以平行线呢，它的一个本质是我们的作角相等， 做角相等，做等角、做相等的同位角，做相等的内错角，都可以做出来我们的平行线。然后下面呢是做等腰三角形和直角三角形。等腰三角形的条件是什么呢？知道了底边以及底边上的高，那你想你要做等腰三角形，底边上的高有啥性质呀？ 等腰三角形有啥性质？三线合一，这个性质非常重要啊，一定要记得。所以呢，你既然是做高，他还是啥？还是我们底边的中点，那既然有高，也就是有垂直，又有中点，所以呢他需要做什么？线？有垂直，有终点，也就是我们的，哎，垂直平分线也叫做中垂线， 所以呢，我们做等腰三角形，它的本质是啥？做我们底边的什么垂直平分线？ 你先用做一条线段，等于已知线段，这个把底边做出来，做完底边之后呢，再做底边的垂直平分线，然后在这个垂直平分线上去取跟高线相等的部分，然后连接另外两条边，就会得到我们的等腰三角形了，对吧？ 这是我们等腰三角形啊，然后下面呢还有一个直角三角形，它的所给的条件是一个直角边和一条斜边，让你去做直角三角形。直角三角形最大的特征是什么呢？它有啥直角？ 它有直角，所以直角是什么？垂直，那它的本质呢，就是做垂线，给了你一个直角边和斜边，我们先呢画出来这条直角边。直角边画出来之后呢，以直角边的一个顶点 过直角边的一个顶点，做这个直角边的一个垂线，这是不是就是我们过线上一点做这条线的一个垂线了？ 做完之后呢，我们就得到了它这个垂直，然后呢再去做斜边。斜边怎么做呢？以直角边的另外一个顶点为圆心，斜边的长为半径，画一个圆弧，那么这个圆弧呢，跟我们这条直角边的交点 就是我们另外一个顶点了，然后连接一下，它就是我们的直角三角形，所以它的本质是做垂线， 这是我们通过五种基本指标作图，进行了一些延伸的指标作图的一些内容。啊，做三角形的平行线，那么我们还是以这五种为主，他就是我们的地基，把地基打牢了之后，你往上面盖房子，你盖三角形的房子还是盖平行线的房子，都可以，都没有问题了，就啊。

中考数学的尺规作图那么简单，五分拿不下，这就是因为我们那五种作图的内容都已经忘记了， 做一条线段等于已知线段。第一种这是初一学的，第二种是做一个角等于已知角，也是初一学的，忘记了。第三个呢，就是做一条线段的垂直平分线。 第三个呢，做一个角的角平分线，这是初二学的。第四个啊。那第五个最后一个，那就是过直线外一点，做这条直线的垂线段。那这个都是基本的尺规作图有初一初二的， 基本上就是初一初二的喽。那到初三的时候我们在总复习呢，竟然忘记了我每次考试都有吗？对不对？ 所以持规做图还是要先分析清楚他到底是让我们做什么，然后再去做。相当于是我们先要解一个简单的几何题，然后再去着手去画图而已嘛。啊，加油啊，一定要找到呃，这个内容再去做。好，拜拜。

这个视频张老师带着孩子们做一下十月附限时作业二里面的材料题二十一题，这道题他的背景其实就是一个对角互补模型，这是初一下学期学全等三角形等模型的时候模型之一。 通过这道题的讲解，希望孩子们能够回忆起来这个对角互模型，他的条件以及结论，以及每一个结论的这个正法是如何得出来的，以及通过这个第三文的这个耻辱作图，希望孩子们进一步的去巩固耻辱作图，它整体的一个思路， 画草图，然后做翻译，把所有的这个画法翻译成五种基本的车作图，我们一起来看一下这道题目。等零对读四边形，例比平行四边形的这个研究，按照概念性质判定作图这样一个路径去研究，如果对于考试我们读一下就 ok， 但是平时学习的时候， 对于材料题的话，这些的话其实才是我们更应该关心和关注的。他就告诉我们这种题怎么去做，或者说我们平时学习一个知识，学习一个几何的知识，我们整体的这个研究的思路和方向到底是什么样的，他张老师认为是最重要的， 由特殊到一般的一个研究，这些话都说的非常的漂亮，研究方法是观察、猜测、推理、证明、实践做图。包括下面这个题，就像一个无声的老师一样，他一遍遍的去教我们这种题怎么去做。 ok， 我 们继续往后看，一般概念有一组零边相等且对角互补的四边形，叫做等零对补四边形， 我们学习的正方形就是等零对补四边形。为了解释这个概念，又给我们举了个例子，如图一，这个四边形 a、 b、 c、 d 中，如果 a、 d 的 长是等于 c、 d 的 长，并且顶点 d 虚这个角，他和顶点 b 虚这个角，他俩是互补的，那么这个四边形叫做等零对补四边形。 在这孩子们，其实这个是初一学科的全等里面的一个模型，叫做对角互补模型，或者叫互补角对转模型。特立研究，根据等零对补四边形的定义，对等零对补四边形做如下的研究，如图二，有一个四边形，然后 a、 d 是 等于 c、 d 的， 然后顶点 d 处的角是等于顶点 b 处的角。探索这个性质，根据定义，这个对于对角来说的话，等零对补四边形的对角，那就是互补呗。 一个四边形内角和是三百六，一对内角已经互补了，那另一对内角必然互补。好了，第一问，圈一处填的应该是互补 b、 a 和 a、 d 是 垂直的，也就是顶点 a 处是九十度， 那么顶点 c 处的角必然等于九十度，这是一个特例的研究。第二么，单次小组对等零四边形 abcd 进一步探救，如图三， a、 d 是 等于 c、 d 的 顶点 d 是 这个大角，等于顶点 b 是 这个大角，发现 b、 d 正好是这个角。 abc 的 角平分线，它的做法是做了个垂线段。 当然讲到这，孩子们如果不知道这个对角互补模型，张老师在这个地方正好给大家提救一下。对角模型核心永远是三个要素，一个叫角分线，一个叫等线段，还有一个叫对角互补，这三个要素叫支二求一。 通常我们的这个思路是什么？如果角缝线是已知条件的做法，大概就是做垂线段就可以。如果角缝线是背正的，那通常是要做一个旋转。而这道题给我们给出的是等线段和对角互补。但是提杆的意思是做了个垂线段，那我们就根据提杆的意思继续往后写就行了。 它如果地点分别向这个 bc 和 b 做两条垂线段，那么这些角应该是九十度。这个四边形 d、 e、 b、 f， 它又变成一个对角互补的四边形，因为顶点 e 处和顶点 f 处都是九十度，也就是说这个角 e、 d、 f 角 e、 d、 f， 它呢又和顶点 b 是 个大角，就互补了。换句话说，图中的这个角 e、 d、 f 和圆图中的角 c、 d、 a， 它俩应该是啊 相等的话就是个套角模型，所以这个小小的角一和这个角二它俩就是相等的。那所以得出图中红色的两个三角形应该是啊全等的。 全等之后，我们会发现这个 d、 e 这一段和 d、 f 它俩是相等的。那么用角平分线的判定内里就可以说明了，一个点在一个角的内部，并且到角两边的距离相等，那么这个点一定在角的角平分线上。所以这道题第二，我们可以按照原题中的这个思路，可以这么去处理或者 对角互补模型。它通常其实要做一个旋转，我们可以认为把这个 d、 e 和 d、 f 给它去掉。接下来顶点 d 数的大角和顶点 b 数的大角是互补的，说明图中的这个角一和顶点 a 数这个角二它俩依然是互补的。 所以我们需要把这个一号三角形给它做一个旋转，因为 dc 和 dy 相等，是等线段，是旋转平移它的一个标志。我们把 b、 a 给它延长出来到这个 c 撇这个点，让 ac 撇这一段和 bc 它俩相等，再把 dc 撇给它连起来， 那么此时角二的零不交角三其实就等于角一了。然后 bc 的 乘是等于 ac 撇的。 题目也说了 dc 等于 da， 所以 一号三角形和二号三角形就是边角边的全等。那全等之后，我们就可以得出来，图中的这个角四，它就跑到了顶点 c 撇处，这个角五，也就是角四和角五是相等的。而且全等之后，我们会发现 b、 d 这两个圈圈是转移到了 d、 c 撇这两个圈圈，所以三角形 b、 d、 c 撇它永远是个等腰三角形，那么角五和这个角六它就是等边对等，角 是相等的，那所以角四和角六就相等了。这样也可以证明 b、 d 是 角 abc 的 一个角平分线。 不管是什么办法，这个模型其实孩子们需要掌握模型学的位置，应该是在初一下册学全等三角形的时候里面的模型之一。我们再来看第三个，在图四中做一个等零对补的四边形， e、 f、 m、 n 内接于这个圆，使得顶点溢出，这个角是四十五度。 好了，这就是典型的使鬼作图。第一步是画草图，接下来通过草图我们找到这个草图里面的关键的特征，或者说这个图形的性质，然后把它想尽一切办法把它翻译， 或者叫做转化成我们的五种基本尺寸图。这是所有二十一题材料题最后用尺寸图的一个整体的思路，第一步一定要画草图，第二步要做一个翻译或者转化。根据这个思路来画一个目标的一个四边形， 顶点一处是四十五度，那比方说我们随便整这个是一点，再画一个四边形，这是 f， 这是 m， 这是 n。 那题目的意思就是顶点溢出是四十五度，以及两条边相等，比方说这两条边是相等，这么画完之后你会发现顶点溢出这个角叫做圆周角 角 e 等于四十五度，就相当于让我们找一个角 f o n 等于九十度即可。铜弧所在的圆周角永远等于圆形角的一半，这么一画就能找到一个圆形角是九十度，就找到了角溢是四十五度，这是第一个特征， 第二个特征，所谓的这个 e f 要等于 e n， 那 e f 的 e n 其实就是让我们找 fn 的 中垂线，所以我们把它转化完之后，核心就做一个垂直，再做一个中垂线，这就翻译成了五种基本的几何作图之一，或者这道题应该是之二。 有了这样的这个思考之后，我们接下来就画图了，怎么就找到那个九十度的圆心角？那接下来我们随便画一条直径，这是一条直径，画这条直径的中垂线，其实就是相当于过圆心，再画一条直径所在的这个直线即可。当然是做图的话，要留下这个痕迹，上面画一下那顶点 o 处这个角，比如说它是九十度， 那么我们就找到了这个点，应该是 f 点，这个点就是 n 点， e 点其实就在 u 弧、 fn 这样一个位置上， 还要保证 e、 f 和 e、 n 是 相等呢。所以接下来我们把 fn 给它连起来，再做 fn 的 中垂线这个的画法来这边画一下，因为这个 o 点已经肯定是在它的中垂线上，所以其实只要在一侧画一下，把这个焦点和圆心给它 连起来并延长，那么找到这个点就是 e、 n 和 e、 f 分 别给它连起来之后， 此时相当已经保证了顶点 e 处这个角就是等于四十五度，以及 e、 f 这一组零边和 e、 n 是 相等的， 对于圆内角四边形来说，它对角永远是互补的，所以接下来这个 m 点不许我们过分的花费力气去找，在弧 fn 上随便点一个点表示 m 点，那么把 f m 以及 n m 给它连起来，那目标四边形就出现了。 这道题张老师认为难度中等，但是他非常具有代表性，我讲这道题的目的是让孩子们整个把这个做图的思路给大家去搞清楚。 好，最后一项相当于一个应用，如图五在等零对补四边形 a、 b、 c、 d 这样一个四边形中， ab 是 等于 ad 的， 我们给它标注出来角 e， ad 的角平分线是 a、 f 与 c、 d 的 延长线交于 f 点，并且 c、 d 的 长给我们给出了等于二， a、 f 等于十，让我们求 d、 f， 我 们先把这个图放大一点条件标注出来， a、 f 的 长应该是十， c、 d 的 长是二。现在让我们求的是 d、 f 这段的长 四边形 a、 b、 c、 d 是 个等零对补的四边形。那么接下来应用的时候就要用前面的这个结论了。前面的结论告诉我，首先顶点 a 处的这个角和顶点 c 处的这个角，它俩是互补的，那等价于顶点 b 处和顶点 d 处的角也是互补的。还有一个特殊的结论就是如果我们把这个 a、 c 给它连起来， 这个 c、 a 其实就是一个角的角平分线。我们假设顶点 a 处的角 b、 a、 d， 它是 r， 那 么顶点 c 处的角 b、 c、 d， 它应该是一百八十度减去 r， 它又是个角分线。所以图中的这个角一 角一，应该是等于一百八十度减 r 除以个二，结果等于九十度减二分之一 r。 然后顶点 a 处又画了个外角的角分线，顶点 a 处的角是 r， 那 外角的角分线分出的这两个小角角二和这个角三依然都是等于 一百八十度减 r 法除以二，也就等于九十度减二分之一 r 法。也就是说这个图里面角二、角三和角一是相等的。那接下来这个做法就明确了， 图中就是有一对反 a 型的相似三角形，或者叫做母子形相似三角形，三角形 f、 a、 d， 它是相似于三角形 f、 c、 a 的 这两个三角形。顶点 f 的 这个角是公共角，角三和这个角一是相等的，所以它就是个母子形的一个相似。如果这道题直接写出答案的话，那么它的结论其实就是这个公共边的平方就是十的平方，永远等于 短的、长长的。这求的 d f， 假设 d f 是 x， 就 等于 x 倍的 x 加二展开，所以得到 x 平方加二， x 应该减一百，是等于零的，判别式应该是等于四。 加上一个四百，结果等于四百零四，那所以根号线判别式应该是四乘一个幺零幺，所以是二倍根号幺零幺， 所以 x 一 逗号二应该等于二， a 分 之负 b 加减根号下判别式，我们算完之后，一个应该是负一加根号幺零幺，一个是负一减，那么减的去掉，所以最终结果应该就是根号幺零幺减一到十月份的现实作业题 二十一题，张老师认为出的比较好，所以给孩子们做一个分享。通过做这道题，我们把对角互补模型做了一个复习，以及尺子作图到底如何去做？以第三文为例，给大家做了个系统的讲解。

呃，今天我们讲无刻度支持在中考做图当中的基本考点，那么在网格当中做做图呢？呃，一般情况下只限于利用格点来做。第一种做中线， 做中线呢，主要是找到这个线段的中点，所以我们利用隔点这个长方形啊，这个长方形 用对角线的焦点是中点，这样就能够找到 a、 b 的 中点或中点连线，那么呃，中线就做好。 第二，我们讲做垂线，如果要过点 c 做 ab 的 垂线呢，我们就先查 ab 所在的这个，呃，长方形呢，是 横一竖一二三四五，横一竖的对角线，所以我们过点西跟他做相反的长方形就可以了，就横五竖一连对角线就可以了， 那么这个横五竖一在这，那么这个连对这个点和点斜连线，那么这样 ab 的 垂线就做好了。 第三，我们讲做角平分线，嗯，呃，做一个角的平分线呢，我们可以借助等腰 等腰三线合一来完成啊。由于 ab 所在的这个边，我们看它正好是 三四五，所以 ab 得五，那么 ab 得五呢，我们从点 b 向右叉五格 啊，然后和这个点 a 连上，那么这样这个三角形就是等腰了，也就是说这个 ab 和这个边都得五。 接下来我们找到这个对角 b 对 边的中点就可以了，那么很明显呢，是这个焦点的位置 啊，也可以利用刚才找中点的方法啊，做矩形连另一个对角线 啊，也能找到，这样过点 b 和这个点连线，这样就是角平分线了。这个是利用等腰的三角一。 第四，做中垂线 啊，中垂线我们想象一下，首先是过中点这个位置，它有一个垂直啊，过中点这个位置， 那么垂直呢，应该是中垂线上所有的点到 a、 b 的 距离都是相等啊，到相等，所以我们再找一个点就可以了。另外一个点呢，那我们可以借助 呃，正方形的对角线呢，是中心来完成。也就是说跟刚才做垂线的方法一样，我们先看 a、 b 所在的格点，是 呃，横以竖四的对角线，我们利用这种格点呢，先做一个正方形，然后把对角线连上， 这样我们就过这个对角线，做这个 ab 的 垂线就可以了。 那我们先先找到 ab 的 中点，因为 ab 所在的是横一竖四的长方形，所以把另一条线连上，就是中点，这样过这两点做个直线就可以了。 也可以呢，呃，只做一个 ab 的 垂线，然后把这两个点连上， 然后分别利用矩形法来找这两个边的终点，一个是找这个边的终点 啊，找这个边的终点找到了。第二也是刚才那个 矩形，把这样的对角线连上，这样啊，过这个这两点也可以。 好，接下来我们讲比例分割。呃，比例分割呢，假如说要把 a、 b 分 成一个二比三的线段， 那么我们可以借助相似来完成。 由于上下平行啊，这两个八字形相似，相似比呢，正好是二比三，这样这两个边的交点 就是分成二比三的点。 那最后我们讲对称点啊，对称点呢，我们可以想象一下， 如果做点 a， 关于 b 起的对称点在这个位置，那么这里点 a 和对称点的连线就是一定垂直 啊，所以我们先画垂直。由于 b、 c 经历的对角线是横五竖一对角线，这样我们从点 a 向下叉五， 横着叉一格啊，这就是做垂线的方法。 垂线画完之后呢，我们在这个上截取相等的线段，就是 a 撇在这个位置，那怎么截取这个相等呢？我们可以利用 平行线间的距离处处相等来完成，也就是说我们首先呢过点 a 画 b， c 的 平行线，是 呃经历的格一样，就可以横五竖一，那就这样，那么 点 a 到点 b 是 向左一，左一下二，所以我们从点 b 向左插一格，向下插两格，就是在这个位置， 点 c 向左插一格，向下插两格，就在这个位置，这样我们这三个线， 这三个线平行，并且它们之间的距离处处相等，这样这两个线的交点啊，就是这个点的位置，就是点 a 对 称点的位置， 所以我们今天一共讲六种类型，所以大家记住在 网格当中作图呢，主要就是利用格点查格来完成，嗯，建议大家呢点赞收藏。

太原市二零二六年中考二模第二十一题这道题是一道尺规作图题。那首先我们做图的时候一定要看清楚它的第一问是如何去做图，它做了一个点 a， 关于 a 撇， 点 a 与 a 撇关于圆点 o 对 称，且 p q 为圆 o 的 直径。让我们请根据上述的 条件说明， a 撇 q 等于 b q 时， a p 等于 b q。 好， 那么我们通过第一问，然后让我们去第二问进行作图，我们第二问，所有的作图仿照第一问就可以了。同学，你的思维真的不用太太发散， 那第二问如何去做呢？好，老师来教你如何照葫芦画瓢。首先点 a 做点 a， 关于点 o 的 一个对称点 a 撇，那么你也这样去做就可以了。 好，那这个我们首先画一条射线啊，然后这个长度的话，我们需要用圆规去截取。同学们注意了，你必须让 a 撇到圆心的距离跟 a 到圆心的距离是相同的，所以需要拿圆规去截一下 啊，那么这个地方老师画的长度是差不多的啊，如果你画的长度啊，是长很多的，一定要把它截成一样的， a o 的 长必须等于 a 撇 o 的 长。见下一步，下一步要做什么呢？下一步呀，你就是要做 ap 等于 b q 的 前提。注意啊，问题也是我们的思路呀，你要证明的是一条直径到 a 的 距离与到 b 的 距离，直径的一端到 a， p 到 a 的 距离和直径的另一端 q 到 b 的 距离 是相等的。那如何是相，如何能够让它们相等呢？那么题干当中给到我们的我们看这里啊，就是你只要做 q a 撇等于 q b 撇就行了。好了，那这个问题不就解决了吗？这个时候我们需要连接一下 a 撇 b， 直接做 a 撇 b 的 垂直平分线就可以找到 q 了。好，垂直平分线的做法同学们都会吗？ 好，我简单来说一下，垂直平分线以大于二分之一 a 撇 b 撇的长为半径，在上方和下方都画弧啊，因为我这里没有圆规，所以的话我给同学们手动操作一下我们具体画图的过程即可。 好，下方也画弧啊，整个就是一个垂直平分线的做法。然后我们连接 m n 两点， 做好了 m n 之后呢，我们再确定一下，因为的话，原上的这个点必须是在这条垂直平分线上，所以我们可以确定点 q 的 位置就在这里， 点 q 就是 这条垂直平分线和圆 o 的 交点，那 q 出来了，我们直接把这个直径给它连出来，就是我们 q 点的位。呃， p 点的位置啊，那么 p q 两点就都做出来了。 好，这个尺度尺规作图问题我们就解决了。接着我们来看第三问，第三问是类似的。同学们，首先我们也是做点 p， 关于这个正方形的对称点，有同学就说了点屁，关于正方形的对称点，我不会呀， 但是同学们你知道吗？正，正方形它是不是本质上是一个轴对称图形？它本质上它是可以做一个内接圆的，也就是说正方形它的四个顶点到它的中心的距离相等，我们可以先把它的中心找出来。中心在哪里呢？不就是两条对角线的 焦点吗？好，把中心 o 先点出来，紧接着我们做点 p， 关于这个正方形的中心 o 的 对称点， 接着我们做点 p， 关于中心 o 的 对称点。 好，这个时候我们去做的时候也是要拿圆规去截取一下啊，截取一下，屁撇的长必须等于 o p 撇的长必须等于 o p 的 长。 好，这就是屁撇的位置 m n 啊， m n 的 这个 n 点， 呃， m n 当中的这个 n 点， n 点到 q 的 距离和到屁撇的距离必须是一模一样长的，因此的话，我们要做 q 和屁撇的垂直平分线， 那我们先连接 q p 撇，然后以大于二分之一 q p 撇的长为半径画弧，上下都画啊， 然后连接这两个点。好，紧接着那么这个焦点的位置， 那么这个焦点的位置就是我们要找的 n 点，那它对面就是我们要找的 m 点 啊。题干当中让我们做出 m n 即可。好，同学们，这道题你学会了吗？好，做制作长视频真的很不容易，希望同学们听懂了之后能够点赞加转发，转给需要的同学。 好，能在评论区告诉我你们二模这道题做对了吗？你们的二模成绩是多少呢？

哈喽，我们接下来把二十一题给大家讲一下。二十一题实际上它的第一小问，第二小问都不难，第三小问它也没有很难，但是它比较新颖啊，它把 这个我们的材料题跟我们的尺规作图结合到一起了。好吧，主要讲一下我们的第三小问。呃，他说了啥呢？他就说了一个菱形的特征比，什么叫特征比呢？用他的对角线，短的比长的就叫特殊比。 好吧，就这么简单啊。第一个，当角是九十度的时候，九十度，它不就是一个特殊的菱形，是正方形吗？正方形的对角线，它得相等呀，所以特征比是一。第二个， 注意看啊，这个在第二小问只归作图里面也有用啊。当特征比是根号三比三的时候，那其实很简单啊， a、 c 是 a、 o 的 两倍， b、 d 是 b o 的 两倍，也就是 a、 o 比上， b、 o 是 根号三比三，然后简单结束了。这个三角形里面一比根号三比二， 所以我要求的这个东西三十度，当然你要写过程哈，在哪个三角形里面？ a、 b、 o 里面，它是一比，根号三比二，所以三十度。或者你用三角函数在这个三角形里面摊减的，它等于 a、 o 比 b、 d 等于根号三比三，所以三十度啊，这个自己去写啊，主要讲一下第二小问， 注意啊，所有同学要听哈，当你发现这个指标做图题啊，你脑子里不是很熟悉的时候，或者你想象不出来的时候，怎么办？各位，画一个简图，画一个简图，好吧，再去确定这个简图的位置 啊，比如说 a、 b、 m、 n 是 菱形，菱形要求以 a、 b 为边，其次要求特征比是三比四。那直接给他画一个简单的菱形的草图出来 啊。这个稍微有点不像啊。那无所谓，反正我们是草图，拿铅笔画个草图，对吧？ a、 b、 m、 n， 它要是菱形，没问题啊，你只要让 a、 b、 m、 n 每条边都相等就可以了。它还要求特征比三比四，也就是它对角线的比，要是 三比四，也就是它对角线分成的。跟刚刚那小微也一样啊，分成的这四个直角三角形，它都是三比四比五的三角形。 这个能不能听懂啊？能不能听懂？那这样的话啊，这样的话啊，注意，我现在画的是 b， n 是 短的， am 是 长的，也就是说这个是三分，这个是四分，那这个就是三比四比五的小锐角，这个就是三比四比五的 大锐角。这个时候你会发现 abc， 它就是三比四比五呀，各位， abc 就是 三比四比五呀。啊，没问题吧？那这个时候 a、 b、 o 也得是三比四比五，说明什么？说明 b o 跟 bc 是 哎。重合的吗？ 是不是重合的，这个能听懂吗？重合的， ok， 那 怎么确定 m 点和 n 点的位置呢？那很简单啊，注意，我把这个再严谨一点啊，那就是这个样子的 m n， 怎么确定 m 和 n 点的位置呢啊？简单点的方法可以先确定 n， 为什么呢？因为 n 点记在 b c 上， n 点离 a 点的距离又是几？又是 ab 的 长度， 又是 ab 的 长度啊，能看懂吧？那这个 n 点怎么办呀？哎，做圆不就可以弄出来吗？对吧？以 a 为圆心，以 a 为圆心，以 ab 的 长度为半径，画个圆 啊，所以交余的这个点就叫 n 点，当然，你实际画图的话，只需要这么一个小小的弧就行了，我这因为没有圆规啊，这个是这个只能做整个圆啊，你自己只需要保留这一端弧就行了，这个就是 n 点，那 m 点呢？那 m 点也简单呀， m 点到 b 点和 n 点的距离相等，对吧？在哪里啊？在垂直平分线上是吧？啊，但是不需要啊，直接以 b 和 n 为圆心啊，以 ab 的 长度为半径，画一个这样的就行了。这里有个弧这里有个弧嘛，画圆啊， 大概画啊，你大概画怎么画？这里有个弧，这里有个弧啊，分别以 n、 b 为圆心，以 ab 的 长度为半径去画弧，这个就是我们的 m 点，然后给它连起来 啊。我觉得这就是最简单的一种尺规作图的方法啊，然后这个时候你只需要有三个弧啊，一个，两个三个弧就可以确定 m 和 n 的 位置就行了 啊，当然方法不为一，有的同学是先确定谁呢？有的同学是先确定这个对角线的焦点啊，这是把一二最简单的，比如说有的同学是这么做的，我先做垂直 确定这个 o， ok， 怎么确定啊？ o 用做高来确定嘛，大家应该都知道，对吧。先以以这个 a 为圆心，以 ab 的 长度为半径画弧。 哎，我这个画不了弧啊，我又忘了，我得画整个圆 啊，然后再分别以 分别以它和它为圆心啊，在这里找个焦点，做出这个中垂线，确定这个 o 啊，确定这个 o， 然后再找这个点，这两段得相等吗？菱形的对角线互相平分吗？怎么找这个呢啊？以它为圆心，在这画个弧，其实这个时候已经重复了。为什么？因为我知道啊，我知道，注意 这俩相等，这个垂直，那这俩肯定相等，所以这个焦点一定跟这个焦点是重合的。好吧，然后这边怎么办呢？ o a 跟 o m 相等，在这画个弧啊，也可以也可以啊，当然还有同学开始画的草图是这个样子的 啊，开始画的草图是这个样子的，比心 啊，画完之后对角线一画，他发现这个角要跟这个小绿角相等，然后去做角相等啊，也可以，没问题啊，也没问题啊，或者说是做这个角等于这个角的 两倍，我觉得也没问题啊，也没问题。能听懂吗？甚至还有往下面画的，往下面画小图 a、 b、 m、 n， 那 这个角得跟谁相等呀？这个角如果是三比四的话，这个角是小绿角啊，整个这个角就是它的两倍啊。做个二倍角嘛，二倍角只归做足。做二倍角，这个能理解吧？都是可以的，只不过我刚刚给你讲的那个方法应该是最简单的一个方法 啊，怎么做二倍角，给他展示一下吧。好吧，比如说我要做一个角，是他的两倍啊，这个是 r 法，我要做一个 r r， 怎么办呢啊？ 先以 c 为圆心啊，画个弧啊，画个弧，再以 b 为圆心啊，画个弧啊。同样的长度为半径画弧啊，同样的长度为半径画弧。然后这里以它为圆心，截这么一段长啊，再以它为圆心截一段， 以它为圆心，在这截一段长，以它为圆心截一段，截两段。能不能听懂我的意思啊？截两段，它大概就是这个样子的啊，当然，我因为是直接手画的，所以它不是很严谨啊。截一段，哎，截两段，所以一画画到这里 说这个角就是 r f， 好 吧，然后再去截， a b 一 样长，截个 a b 一 样长，再再截一个啊，截个 a b 一 样长，那这个时候这个就是我们的 m， 再分别以 a m 为，哎，圆心，以 ab 的 长度为半径，在另一边画一个， 对吧？然后一连，这就是我们的菱形啊，为什么这个菱形它的对角线它也是三比四呢？因为你一连对角线，这个阿尔法就变成阿尔法和阿尔法， 对吧？阿尔法的三角函数值是三比四的，这样也可以相当于是做二倍角，也没问题啊。也没问题，言之有理，这个图即可，但是一定要保留你的作图痕迹好吗？ 啊，这个题我们讲到这，当然，如果你有更好的方法，或者你有方，你做了，那你不知道，对，还错，你把你的答案发在评论区，哎，徐老师给你看。

为何你我做了 你的？为何你我做了你。