西城二模数学函数探究

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！

我初三课程的特点就是确定性，就是从题目的核心特征入手，讲解快速满分的考试方法。哎，我这有一个免费的公益课，你可以加我报名参加，如果你是新初三的同学哎，你可以咨询牛哥的暑假课程哦。好，我们回到这个确定性， 其实确定性方法就是考试多题一解的秒杀大招，比如这道西城二模的解冻，这道题正常做逐步分析，至少十五分钟啊。那么利用确定性呢？利用确定性这个题只需要把图形看明白就能秒，而且我还能给你讲出两种方法来， 就从图形来看就行了。哎，我们看啊，这个图形中有这么几个神奇的角，这个角 r alpha， 这个角 alpha， 然后这个角 alpha， 你 看到了什么？图形里边是不是看到了两种情况，第一，在 c 处有半角模型， 在 c 处有半角模型。第二呢， f 和 c 处有对角互补， 它两个有本质的区别哦，半角模型两侧全等，一次对称，一次旋转，你看确定性哦，确定性就是这个套路，然后对角互补就是手拉手。 好，那么我们就从这两种方式入手呗。哎，我们先做，其实对角互补最简单哦，答案也用的对角互补，那我们就非得先做半角半角模型好，半角模型的话，哎，是不是？你看，就是 c 处一个阿尔法，一个阿尔法，那我就把它， 我就给它，把它，把它呃搞成二倍角，把 a c 沿着 b c 对 称到这个位置上，这个点点点 p 吧，这个点是点 p？ 好， 哎，你看对称过来之后，对称过来之后看角啊，是不是就很容易能够证明三角形 c a d 全等于三角形 c e p 啊， 非常容易证明， ok， 证完了之后，哎，这俩角相等，这俩角相等，这俩角相等的时候，哎，这是多少度啊？这是阿尔法，因为这是阿尔法，所以这是阿尔法， ok， 哎，好巧啊， f 处又是 r， 所以 能进一步做出 a b 平行于平行于 pc 啊，而且是不是 a c p f 是 等腰梯形啊， 等腰体型，哎，所以是不是 a c 等于 p f 啊，然后接下来投边就行了，投边就行了啊， p f 等于 e f 加上 e p e p 是 不是等于 ad 啊？由全等做出来的， ok， a d 是 不是等于 b d 减去减去减去 ab 啊？是不是它等于啊，等于 ac 啊， ab 是 不是又等于 ac 啊？哎，所以你看答案就出来了， e f 加上 b d 等于二倍的 ac， 这个用的是八角模型，还可以用什么？还可以考虑对角互补啊，对角互补更简单，它就是手拉手，对角互补就是手拉手，所以，哎，因为因为对角互补，所以这个地方我就直接连接 cf， 连接 cf 之后把它进行手拉手的旋转，延长 b d 到 q 连接 c q， 所以 这个对角互补啊，所以对角互补就有三角形 c e f 全等于三角形 c d q 啊， ok 吧，全等完了之后，是不是也就 b d 加上加上加上加上，呃， d q 就 成了一加 e f， 然后他两个就贡献了贡献，我们就是不是相加呀？然后再就用看看他和 ac 的 关系精测量，发现他等于二倍的 ac， 这是结论，结论，然后接下来我怎么去证明他呀？哎，你会发现，做完图之后，你就会惊奇的发现，三角形 bc q 是 r t 三角形啊， 那 r 贴三角形的时候证明它就行了。怎么证明？非常简单，因为手拉手，所以啊，所以手拉手之后就有就有角 f c q 等于二 r f c q 等于二 r f 又因为 c f 等于 c q 啊， 所以 q 是 九十减 r 法， b 是 r 法，所以 c 出的角 bc q 是 九十度， bcq 是 九十度 a c 等于 ab， 所以 点 a 是 斜边中线啊。不是，点 a 是 斜边中。点 a， c 是 斜边中线，所以斜边中线等于斜边一半，所以答案就出来了。两种方法， 只要从图形入手，就结束了。这道题。从图形入手，当然这道题我个人认为比比一模题要难了那么一丢丢啊，难了那么一丢丢一模，只要做个对称就结束了。好啊，这个整体不是很难 用。确定性，一切从确定性入手，只要把图形看明白，这个题就没有了。所以确定性。牛哥说的确定性就是考试方法的一种高度总结。

大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂搞会，今天我们来看的是二零二六年这个最新的奥尔摩、昌平和西城的题目，这两道题都是关于函数性质的题目啊，它都是让你先判断基数性，然后再判断增减性。 对于这类题，它其实套路也很固定啊。判断奇偶性，我们前面讲过，只需要掌握它关键的一点，那就是首先一定域对称， 如果他让我们判断的话，一般来说他肯定都对称的，不然他就非极非偶了。第二点，如果说我是不是都把负 x 带进去，如果它等于 f x， 那 它就是偶函数，如果它等于负的 f x， 它就是奇函数。 就是这两点，你只要把这两点掌握了，任何题目你只要把它带进去，你都可以判别出来。我们可以 判别一下，首先认为这个 f x 一， 对吧，那就是 f 负 x， 应该等于一减去一的负 x， 再加上一加上一的负 x， 哎，这是我怎么判断呢？我知道，对于指数函数来说，它是不是一减去一 x 分 之一啊？对于这个来说，它就是一加上一的 x 分 之一。 好，我分子分母同时乘以一 x， 我 是不是就可以变化了？一 x 减一，这里是一 x 加一。 哎，这不是，我原先的函数，是一减一 x， 下面是一加 x 分， 分母不变，分子变成了负的，对吧？那我是不是就变成了， 哎，一的 x 加一，一减去一的 x， 让我发现这不就是我的原函数吗？ f x， 因此我就可以直接等于负的 f x， 我 是不是就得出来这是 g 函数呀？好，对于 这个细长的题目， f x 二，它的 f 负 x 应该等于啥呀？它的 f 负 x， 它这都没有用啊。那这就是 g x， g 负 x 应该等于 f x 减去 f 负 x。 哎，这是不是很简单？都不需要我进行变换了，它不就直接等于负的 f 负 x 减去 f x 吗？此时这个东西变成了我的原函数 f x， 呃， g x 是 吧？所以它就等于负的 g x， 因此它也是 g 函数。那我是不是就把这个 a c、 b、 d 都排除了，是吧？ 好，下一步判断增减性判断增减性有哪些方法呢？我们可以稍微总结来一下。第一个定义法，我是不是任取 x 一小于 x 二，则若 g x 一 小于 g x 二，那它是不是单调递增啊？若 g x 一 大于 g x 二，它就是单调递减，对吧？第二个， 那就是我们的导数法，我们学了导数，那是不就是 g p x 大 于零就单增， g p x 小 于零，我就单减，对吧？第三个，我是不是还有可以 运算法？运算是什么样呢？我可以记下，增一个增函数，加上一个增函数，那么他一定还是增函数，一个减函数加减函数，减函数， 一个减函数。如果减去一个增函数，其实也就是把这个增变成减了，对吧？所以他还是减函数。一个增， 减去一个减函数，那相当于这个减负负得正，对吧？减，那就变成了增函数。减去一个减，那就变成了增，对吧？增就变成了，其实就变成增加增， 这就是我们判断这个增减性基本的一个逻辑。我们来看一下，对于第五题来说， f x 唱第一。第一个第五题啊，这俩都是第五题， f x， 我 是不是可以对它进行一些变形啊？ f x 等于一减一 x， 一 加一 x， 它可以等于啥呀？我是不是尽可能的要把这个 e 的 x 给先提出来一下？ e 加上，我不想让分子分母都有 e x， 不 想让它都有自变量，我就可以把它换一下， 这就变成负一减去 e x， 那 我这成了负一，我要想和这个等式能够成立，我是不是就得再加上二把它补齐啊，这样他才能够成为我的等式，不然的话，你这从左到右不就等于不了了？为什么要这样变呢？我们可以看一下，是不是，哎，这一点 就直接变成了我的一个常数了呀，是不是就变成负一了，再加上一加上一的 x 分 之二，好，哎，我的柿子是不是又变成了这个样子？ 负一加上一加一 x 分 之二，那这个 e 的 x， 它是个增函数，但是由于它在分母上，所以整体这是不是一个减函数啊？所以，尤由于这是一个常数，它不影响单角底单调性，最终结果就是减函数。 这道题也可以用导数做，但是，嗯，不要一下子就给他上来，直接去求导去也能做，但是要尽可能的提高我们的做题效率， 因此这道题就选四 d。 那 我们看下面这道题，下面这道题它是一个抽象函数啊，对，这个抽象函数怎么办呢？我们发现这里是 g x， 应该等于 f 负 x 减去 f x， 哎，他是不是告诉我们一个条件啊，因为 f x 在 r 上，它是一个单调递增的函数，那么 f x 是 咋样啊？ f 负 x， 它会与 f x 是 不就关于 y 轴对正的呀，因此 f 负 x 它是一个减函数，那就利用到了我们的这个性质了，对吧？减，减去一个增函数，其实你也可以再得一步减，负的增，那就是负的，对吧？ 它其实就可以是减加减函数，所以最终还是减函数，对吧？所以我们把 a 排除掉，题选 c。

好了，我们一起来看二零二六年西城二模的第十七题，三角函数的问题。做到三角函数的题，首先有一个原则，你需要将三角函数转化为 a 倍的 sin， omega， x 加上斐的形式。 那如何将题目的已知算式变成你想要的形式呢？我们往往会用到三角函数的化简公式。化简公式一共有三种啊，第一种叫做两角和差公式， 第二种叫做二倍角公式，第三种叫做辅助角公式。大多数的题目，三个方法都会使用到， 那除了这三个以外，还有一个前提的公式叫做诱导公式。所谓的既变偶不变符号看象限，那如果你不记得诱导公式也没关系，因为 所有的诱导公式你都可以通过和差公式来得到。好的，那我们接下来看它的第一问。题目是要求函数的最小正周期，那我们就进行转换， 那首先会发现这里面有二分之派加派，典型的既变偶不变符号，看相线，这是一倍，所以它是基数倍，那正弦就变为弦，而它们的符号刚好一样，所以可以直接转化为 cosine， 那 就写成了 cosine 二 x， cosine phi 加上 cosine 二 x sine phi， 那 屏幕前聪明的你应该能够看出来，这就是一个典型的三 q q 三的形式，两角和差公式的反用，所以可以合并得到 sine 二 x 加上 phi。 那 如果题目问的是什么，它的最小正周期怎么做？还是一个公式周期？它等于二 pi 除以 omega 欧米伽在这里是二，所以二派除以二等于派，那第一问的五分轻松拿到最小正周期为派。好了，那我们接下来看他的第二问。第二问就是我们最近几年典型新高考的问题，题目会给你一二三三个条件，那你要从中进行选择，这里的选就是个大问题了， 如果说的复杂一点，那你会怎么做？你需要去判断一二三，谁对谁不对，当你在判断谁对谁不对的时候，别人都已经做到第十八题、十九题了。所以我们有一些原则， 那是用根据什么来呢？首先三个条件里面肯定有一些你觉得看起来会更简单一些的，那我们第一优先用简单的，那简单如果错了，那非常倒霉，那你可能需要选第二个或者第三个，那这里谁比较简单？一个是直接告诉你相等的两个点， 一个是告诉你性质，还有一个是性质，那毫无疑问，带点肯定是远远比函数的性质要简单，所以这里我们优先选第一个， 那我们选第一个来做做看选条件。一两个函数相等，那就只需要把十二分之 pi 和四分之 pi 给带入就行，那得到的是 sine， 六分之 pi 加 sine， 它就等于 sine， 二分之派加派。那问屏幕前你一个问题，两个正弦想要相等，这两个角要满足什么条件？你可以点一下暂停键，思考十秒钟。 很多人会想到的是，哎，那很简单啊，两个正弦相等，那这两个角就相等，所以写出的他们的第一个算式，六分之派加派等于二分之派加派，那这就是第一个陷阱， 不一定是两个角，因为我们叫做任意角。你还可以相等的，就是上转三百六十度又回来了，所以相等的情况应该在后面加上一个，加三百六，加 kpi， 那 pi 和 pi 底角很明显，左边和右边也不可能相等，所以这种情况他无解。 那除了两个角相等在一起，正弦会相等，有没有另外的情况是？有的，还可以，一个在左边，一个在右边。三十度和一百五十度叫互补，那这时候你就写出了你的第二个想法，叫相加得一百八， 那这个时候同样还是有陷阱，任意角什么，你除了可以是一百八，你还可以继续多一个三百六，多一个三百六，所以后面补上一个二 k 派等于零，那这里我们就会解出对应的派，那解出派等于六分之派加 k 派。 好，是两个角相加互补的，一个角加另外一个角互补。哎，这里应该写派好，那我们最后解出来是六分之派加 k 派， 那得到了这个之后呢？大部分的时候角度都应该是比较小的，有规定是负九十到九十，所以那 far 只有唯一的一个值，所以 far 只能等于六分之派。加上代入元函数，那就得到了原来的函数，就应该是等于 三引啊。二 x 加上六分之派，那接下来题目的问题就会更简单了，他问的是函数的最大值和最小值。分三步走，第一步，看函数它的 x 的 定义域，那定义域是属于零到二分之派的。接下来第二步，你就可以求出整体的范围， 那整体二 x 加六分之派的范围就属于六分之派到六分之七派。那第三步，结合图像出答案， 那画一个图像，你会发现它是一个波浪线，从圆点开始，而我们要的是图像的六分之派到六分之七派这一段，那毫无疑问什么时候最大在一的时候， 什么时候最小在六分之七派的时候，那我们就可以去写算式了。那第三步就是那所以当我们的一个整体等于二分之派的时候，就有最大至一，这个整体等于最小，呃，六分之七派的时候就会最小直角负二分之一。 接下来我们说一下为什么条件二是不能选的？在第一问当中，我们已经得到了周期是派，那周期是派的话呢？就表示我们这个波浪线，它这里就是二分之派，就是在上面，对吧？二分之派就是在下面，或者也可以理解为 它单调递减的这一段就应该是二分之派，单调递增的这一段也是二分之派。而题目给的这个是三分之派到派中间间隔的三分之二派个单位，它是大于二分之派的， 所以肯定是远远超过的一个完整的减区间或者增区间。所以条件二一定是不对的 啊。条件三其实跟条件一差不多，但是很多人可能不认识偶函数，那根据这个条件你就可以得到的是偶函数左右对称，那也就意味着 f x 加六分之 pi， 它就等于 f 负 x 加六分之 pi。 同样的也可以解出对应的 f 也是一样的答案，那最后求出来的最大值最小值也是相同的。 好的，我们最后总结一下，那这道题能够选的是一和三啊，不能选的是二，最终的答案是最大值为一，最小值为负二分之一。 那下次再遇到这种像条件的大题，你要去选择的时候，一定是优先用你认为简单的，这样你能够快速做出来，哪怕他是不对的，你也可以排除掉。那在今年西城二模考试的题目当中呢？你选的是条件几呢？可以在评论区告诉我。那关注我，每天我们学习一个数学知识点。

hello， 大家好呀，我是你们的小伟老师。那今天咱们还是用最通俗易懂的语言解决刚刚出炉的这道西城二门的代数压轴。好，我们一起来看题啊！他说抛物线 y 等于 x 方，加上一减三 a 倍的 x 减三 a， 那 当我拿到这个抛物线的时候，我也发现，哎， 依次项系数一减三 a， 长数项是负三 a， 显然是不是可以十字相乘啊，那我就把 x 方的系数变成一一，然后长数项负三 a， 然后这边是一， 所以这样交叉相乘，再相加，就能够出现一减三 a， 也就中间的这个一次项的系数了。 好，那么我就把抛物线能够写成 y 等于 x 减去三 a， 再乘上 x 加一的这种形式。 那如果说大家拿到这道题之后，没太能反应出来它是能够十字相乘的，那在接下来的这段时间，我建议大家可以重点的去练习这种含餐的十字相乘。 好，那我们继续来看啊，他说与 x 轴交于点 a 和 b， a 点在 b 点的左边，那咱都给他写成这种十字相乘的形式了。那么很显然，这个 a 点的坐标就应该是负一斗零， b 点的坐标呢，就应该是三 a 斗零，因为他说了 a 点在 b 点的左边， a 是 大于零的。好，那他说与 y 轴交于点 d， 那 d 点的坐标把 x 等于零带进去，他就应该零斗负三 a， 也非常的简单。 好，那么到此为止，咱们就已经把 a 点、 b 点和 d 点的坐标表示完了。好，那咱来看第一问啊，他说当 a 等于一的时候，求 ab 的 长。好，那我现在只需要画一个 x 轴就 ok 了啊，因为 a 点和 b 点全都在 x 轴上， 那 a 点的坐标，哎，还是负一斗零，那当 a 等于一的时候，那 b 点这个三 a 斗零，它就是三斗零了，这就是 b 点。 那大家来看 ab 的 长是多少啊？那是不是有手就行， ab 的 长显然就是四嘛。那第一问，轻松加愉快，咱就给它解决了。好，那么咱们的重点啊，放在这个第二问上， 他说过点 e， t 都零做 x 轴的垂线，将该抛物线与点 m。 好， 那我们来看后边的题，是不是他问的还是 m 与点 n 的 距离啊？怎么怎么样？ 所以咱还是按照这个老三样啊。第一样，是不是咱们先把这个 m n 的 坐标用这个含 t 的 代数式，咱给它表示出来？那第二步呢？是不是咱们去表示 m n 的 距离？第三步，咱们画图像，然后最后咱们分析这个图像就 ok 了。 好，那因为它是过 t 斗零的垂线，所以 m 的 横坐标当然就是 t 啦，那纵坐标呢，咱只需要把这个横坐标 t 带到抛物线里就 ok 了，所以就是 t 方加上一个一减三 a 倍的 t， 然后再减去三 a。 好， 那接下来咱们接着往后读啊，它说交直线 b d 于点 n d， 点坐标是零斗负三 a。 那大家如果说想用笨一点的方法呢？咱就可以直接把这个 b d 的 解义式设出来， y 等于 k， x 加 b， 然后呢，把这两个点分别往这里带，把 kb 求出来，再回带到这个直线里边，就是这个直线的方程了。 但是如果说咱们聪明一点的话，可以怎么做啊？这里边老师教一下，大家好好听。咱先画一个平面直角坐标系，那在这个平面直角坐标系当中，咱们标一下 b 点和 d 点的坐标， b 点是这个三 a 斗零， 然后第一点呢是这个零度负三 a。 好， 那咱把这条直线简单的画出来啊，大概是一条这样的直线，那我们会发现，哎，这个距离是三 a， 这个距离也是三 a， 所以 这个三角形它实际上是一个等腰直角三角形。 那等腰直角三角形有啥特点？ a 是 不是咱就能知道这个角是四十五度了，那这个角是四十五度，当然这个角就是四十五度了。 好，那你说老师这四十五度有啥用呢？那咱们记一个小规律，就是当这条直线啊，与 x 轴的加角是四十五度的时候，那么它对应的直线的 k 就 应该是一 啊。那还有一种情况其实是这样的，就是当这种情况下，那这个角如果是四十五度的时候，那么这条直线的 k 就 应该是负一啊。那这个小规律希望大家记住， 所以咱们通过几何的方法推出来了，这条直线与 x 轴加角时四十五度，咱就知道 b d 的 k 就 应该是一了。好，那其实咱们就可以口算出这条直线了，那直线 b d， 它就应该是 y 等于 x， 怎么样，对吧？好，那咱们再把这个 d 点的坐标零都负三 a 往里一带，咱就会发现后边的这个参数应该是负三 a 就 搞定了。好，那么咱们顺势就能写出来 n 点的坐标，那它就当然是 t 都 t 减三 a 了。 好，那么第一步咱就搞定了，把 m 点和 n 点的坐标咱们表示完了，然后接下来呢，我们干嘛？他说当点 e 从二到零出发啊，若 b e 的 长度逐渐增大， m 点和 n 点的距离，哎，其实还是距离嘛，那咱们还得表示那 m n 的 距离咋表示来着？是不是就是 m 点和 n 点的纵坐标，咱们作差加绝对值就行了？那也就说咱们用它减去它， 那它减它，咱们会发现，哎，这个一乘上这个 t 和这个 t， 咱就减没了，这个负三 a 和这个负三 a 也减没了。所以其实这个题它减完之后，反而变得更容易了，它就应该是 t 方再减去三 a t 的 绝对值。 好，那到这我们会发现，哎，还能提出来一个 t 啊，所以它就等于 t 乘上 t 减三 a。 好，那接下来我们干嘛还是去画这个 m n 的 图像，那画 m n 的 图像啊，大家注意，在这个平面直角坐标系当中， 那这个横坐标啊，大家注意，它的横坐标就应该是 t 了，因为这个 m n， 它的横坐标就都是 t， 然后表示的这个图像呢，也是这个 m n 和 t 的 关系。图像好，那纵坐标实际上就应该是 m n 的 长度。 好，那这个图像显然因为咱给它写成了 t 乘 t 减三 a 的 这种形式嘛，所以说它肯定过圆点，还会过三 a 逗零这个点 啊，比如说这就是三 a 逗零。好，那咱们画出图像就应该大概长这个样子，但是呢，因为它加了这个绝对值号，所以咱们简单画一个草图啊， 我们看一下草图，他就应该是这样下来，然后呢翻上来的这部分，然后最后 又上升的这部分啊，草图就应该大概长这个样子，然后咱们来看题啊，他说 e 二到零， 它出发沿 x 轴的某个方向运动，它若 b e 的 长度逐渐增大，哎，那我们会发现 b 点的坐标，哎，也是三 a 勾零，对吧？哎，那乎我们会发现 b 点它就在这个位置， 那于是乎是不是这道题它就有两种情况了，就是我这个 e 点它这个二勾零，它到底是在 b 点的左边还是右边？ 如果说他是在 b 点的左边的话，比如说这是这个二斗零，那他说沿 x 轴某个方向运动的时候，若 b 的 长度逐渐增大，那这个 e 点是不是他就只能往这个 x 轴的负半轴走？ 因为他如果总往 x 轴的正半轴走，那他们的距离是不是先慢慢的变小，再慢慢的变大，他就不符合提议了。 所以如果说 e 点他是在 b 点的左侧的时候，哎，他就应该是往左走，如果 e 点在 b 点的右右侧的话，他就应该往右走啊，他其实这道题就说的是一件这个事。 好，那所以咱刚才分析完这道题，我就知道应该怎么讨论了呀，是不是就分为两种情况？那第一种情况呢，就是当这个 e 点他在 b 点的左侧 啊，咱现在指的是这个出式位置。好，那这种情况咱需要先给他做一个限定嘛，那 e 点的坐标是二 b 点坐标是三 a， 也就说当二小于三 a 的 时候，那二小于三 a， 是 不是就是 a 大 于三分之二的时候？ 好，那么这就是这个 e 点了啊，那 e 点需要往 x 轴的负半轴运动。 好，那么咱们来看啊，他精彩的来了，他说 m 点与 n 点的距离， m 点与 n 点的距离是啥呀？是不是就是这个图像上这个点的纵坐标啊？就是这个图像上点的纵坐标，他说随 b、 e 长度的增大，先变小再增大。 哎，那我们现在不妨开始移一下，因为大家可能看到这个题干啊，有点懵，啥叫随 b、 e 长度的增大，先变小再增大呢？来，比如说咱 e 点在这个位置，那对应图像是不是就在这？那么你们看，当这个 e 点它向左运动的时候，哎，我这个 b， 这个 m、 n 的 距离，它是不是就再增大呀？所以它是先增大了，那它就不满足先变小后增大了。 哦，那我就知道了，我怎么样才能满足他的这个纵坐标先变小再增大呢？咱就得让他这个 e 点从这开始动。 如果说过了这个顶点从这一个位置开始动的话，哎，他这个距离是不是就先下降再上升，就满足先变小后增大了？哎，所以咱就能给这个 a 做一个限定，也就是说，咱得需要让这个 e 点啊，他得在这个对称轴的左侧， 从这个位置开始运动，是不是就 ok 了？好，那么咱们就能写出来一个大致的范围，就应该是这个二小于对称轴。那这道题的对称轴是什么？ 哎，它过圆点还过三， a 到零，所以这两个点它相加再除以二，是不是就是对称轴了？那这个对称轴咱也给它标一下吧。这个对称轴就应该是直线 x 等于二分之三 a， 所以我要保证这个一点，是不是他得从对称轴的左侧开始运动，先减小后增大，所以二就应该小于这个对称轴，他就应该在对称轴的左侧。 好，当我们写完了一个不等式之后，我们马上判断他能不能去等，那怎么判断呢？咱还是带进去检验。比如说啊，我这个一点，他就从顶点开始运动，那当然也是先减小再增大了，他就不会在不能在顶点的右侧就行了，因为在顶点的右侧，他就先增大再减小 再等等啊，他就不符合题了，所以从顶点位置也是 ok 的， 那也就说这个位置是可以取等的。那咱们简单的算一下啊，是不是他对应的就应该是 a 大 于等于三分之四， 检查一下在不在咱的大前提里，发现他在这个 a 大 于三分之二里没有问题，这个范围是完全 ok 的。 好，那紧接着咱来看第二种情况了啊。第二种情况就是当 e 在 b 的 右侧 好，那 e 在 b 的 右侧的时候，也也就是说这个 e 点他开始得在这，那所以咱开始需要对他做一个限定，是不是？也就是说当二要大于三 a， 那 也就是说 a 应该小于三分之二的时候？ 好，那因为它说随着 b e 长度的增大嘛，那 e 点在 b 点的右侧，咱只能往右动，这个 b e 才能长度逐渐增大。那咱们会发现，当这个运动的时候，哎， 是不是从这个点开始，我这个图像它都是 y 随 x 增大而增大的，也就是它一直在增大，那它可能先变小再增大吗？孩子们是不是一定不可能了？所以这种情况咱们是不成立的。 好，再说一遍啊，咱们看，当 e 点从 b 点的右边开始运动的时候，随着 b e 的 增大，是不是 m 点和 n 点的距离它是一直在增大的，所以不满足题，那最后咱们做一个小小的总结啊，综上所述， 那么 a 的 取值是不是就只有一个范围，就是 a 大 于等于三分之四，这道题就搞定了。 那如果觉得这一期视频呢？对大家有帮助的话，那感谢大家可以对视频点赞关注，那下期视频再见。

看一下这个圆中，这个圆中难度也是不大的，就是我们常考的中规中矩的题型，我相信我的宝贝们应该都没有问题。好，我们来看一下它条件，第一个 a、 b 是 直径，那我们立马就要想到把这个边给他连起来，对不对？好， 然后它 c、 d 都在圆上，且过点 c 作为 e、 f 的 直线，交于 e、 f 两点 o 来了，他告诉我们这条边呢，是等于这条边的等腰三角形，我们干很多事情，比如说边相等，再比如说角相等，对不对？ 好，他又给了我们这个角是四十五度了 a 呀，所以这个时候我们就该去射角传染了，比如说我射这个角是 r 法，那自然而然要正切线。第一问，要证明 e、 f 切线， 我们就要证明这个角是直角，所以就要去感染。那这个角是不是阿尔法？这个角是不是九十度减二法？这个角是不是也是九十度减二法啊？那他有四十五度，咱们是不能得到底角啊，这个角也是四十五度减二法，那么这个角是不是就是多少？ 九十度加 r 法，这是不就是九十度减二 r 法，对吧？好，那么根据我们的外角，这个角是不就是 r 法？所以 r 法加上九十度减 r 法是不就是九十度？对，答案就出来了，那么第一个就非常简单，而且我们把角基本上也传染了，这个角就是九十度减 r 法， 所以在第二问，我们的铺垫也做的很不错的。那么继续他又告诉我们 m n 垂直，那这个时候是让我们自己去做做线。哈，那咱们就做呗。啊，这个垂直，那个垂直刚好跟我们这个线是平行的，对不对啊？然后延长出去 交于他，那这个点假如说他告诉我们了交 n 的 比例关系 什么呢？这个边比上这个边是三比一，那我们就大胆可以射 x 了，这个是三 x， 对 不对？又告诉我们半径是二，因为直径是四，半径是二，很明显的一个勾股定律是不就可以出来了？所以我们的第一步就是用射圆 来进行求边长，即三 x 的 平方加上二的平方，我们算下来 x 是 不是就是二分之一？ 好，那么这个位置是二分之一，这个位置是不是就是二分之三？好，他现在要干什么呢？我们这个边是二，接下来我们要做什么？第一步做出来，第二步是单人节，是传染什么呀？边长吗？ 我们说了 b f， 这是二分之几九，对不对？好，那这边是不是也是二分之九啊？再减去它，所以这边是多少谁知道？是不就是三呐，对不对？ 好，那么这边有了三了以后，我们继续啊，他要求什么？他要求这个位置的 b n， 那 我要求 b n 呢？ 首先他在三角形里面在，但是这个三角形他不是很特殊，所以我们做起来呢，相对没有那么的简单，对吧？所以这个时候我们就要考虑一下把它放在哪里， 那自然而然是把它放在这个大的直角三角形里面，减去我们已经知道的二分之九就好了。说白了我们现在要求什么？ 我们现在是不是要求一下 f n 呐？就是最长的边，对不对？好，那我们要求 f n， 怎么求？就要看他所在的三角形， 那么他在哪个三角形里面自然这个大的。好，那我现在好像还缺点东西。首先我知道这个三角形的三边比值，但是任何一条边我都不清楚，比如说如果我能根据已知条件求出来我想求的 这条边，是吧？那是不是就是最好的了？那怎么求呢？我们说了条件要逐个分析，你目前来看，好像这个四十五度是不是还没有怎么用上？它是一个什么角？它是一个圆 周角，那你应该去找什么角？你是不是应该去找它的圆周角或者圆心角，对不对？所以咱们把这个圆心角给它做出来，那这个角是不是直角？ 那根据这个角也是直角，这个角也是直角，说白了这是个什么？这是个长方形，又根据他这个边跟这个边相等，都是半径都是二，所以他是个什么形？正方形对不对？好，那这个边就是二，那这个边是不是一啊？ 啊？那这个边是一，我们已经得到了，接下来咱们要干嘛？当然是把它放在这个三角形里面去算了。 我们不是说过吗？它的三角形的比值是相等的，或者你可以用 tangent 来算，对不对啊？或者用 sine 去算都可以哈。这个角呢，就等于这个 r r 法，咱们知道啊， hundred， 或者我用什么，我用 sign 吧，我 sign 阿尔法等于刚才的这条边，也就是二分之三比上我们的斜边，也就是二分之五，等于五比三。那同样的，它是不是也可以等于 sign 角 n 呢？ 它是不也就等于我对边二比上这个 o n 啊？就等于三比五呀？所以你这个 o n 是 不是等于三分之十啦？所以你这个 b n 是 不等于三分之十，减去二就等于三分之四啦。 好，所以难度呢？其实没有什么，就是老师说的这三个步骤，大家把你的角你的边想清楚，转化好就没有问题啊。

北京西城区高三二模数学试卷呃，今天用一个长一点的视频，把它的选择填空题放在一个视频里面讲完 第一小题集合，这个注意，这个集合，我们看这是一三五七 b， 而这个是多少呢？四 k 加一，四 k 加一，是 是多少？我们写一下。呃，当 k 等于一的时候，它是五，当等于二的时候，它是九，呃，等于零的时候，它就是一。我们看，显然 a 是 b 的 子集， 他是 a 是 b 的 子集，那么这个是错误的。哎，这个也是错误的。哎，他两个相交等于 a 才对，这也是错误的。这个呢，你看这两个相， b 不 等于 a， a 是 子集，所以这个是对的。 我们第二个，第二个呢，是求 z， 这就像解一元一次方程只是一个含有虚数的，我们看，先把二移过去写一下吧。 i z 等于二减三减二 二 i， 然后两边都乘以负 i， 为什么乘负 i 呢？因为 i 方等于负一，这样的左边就只有 z 了，那么乘以负 i 之后，我们看二负 i， 哎，就是负一负二， 这个负 i 就 等于负三 i， 哎，这个正确。第三题，双曲线，他的右顶点到准线的距离，右顶点是什么呢？哎，右顶点就是这个是一， 就是顶点，是吧？一到零，这是右顶点。那么间接线，我们把间接线写出来，间接线呢，就是 y 等于，我们写其中的一条就行了，根号三 x， 那 么我们可以用点到直线的距离， d 等于根号下 a 方加 b 方， a 等于根三， b 等于一，这样的话呢，就是二。那么到顶点的距离上面是 ax 零， ax 零，那就等于根三， 所以二分之根三，这个是正确的。第四题，在平面坐标系中，阿尔法以 o x 为矢边， 哎，其中 p 负一的逗二在中点上，则它的 r 法，因为我们知道它的 r 法等于什么呢？它的 r 法就等于 y 比 x， 那 么 y 比 x 就 等于负二，我们用对角公式把它写出来。呃，它的二 r 法 就等于二倍的 tangent 阿尔法，哎，一减 tangent 阿尔法的平方，那么就等于什么呢？二倍的平方就负四负四，下面一减二，二得四， 哎，应该等于三分之四，三分之四， a 是 正确的。第五题， f x 单调递增。呃， g x 函数是一个单调性，一个极偶性，我们首先看极偶性，极偶性呢？呃， g 负 x， g 负 x 等于什么呢？哎，就等于 f x， 这个呢？减去 f 负 x， 那 么它等于什么？就等于负的 g x， 这个呢，是一个 g 函数， g 函数啊，这两个就错了。那么再去看单调性，单调性，我们知道啊， f x 单调递增， f x 是 单增的，那么 f 负的 f x， 那显然是单调递减的。那么 f 负 x 是 怎么样呢？当 x， 这是一个复合函数， 复合函数呢？同增异减，那么这个是减函数。同增异减，那么它也减函数，两个减函数相加，是减函数，所以呃， c 是 正确的，那么这个呢？就错误了。 呃，在长方形 a， b， c， d 中， a， d 等于四， a， b 等于一， e 是 b， c 边上一点，则 e， a 加 e， d 的 最小值。这是一个像这样题，我们看画一下。 好，那我们看大概意思啊，呃， a， b 等于一，那么这个是 a b c d 这个 e， e 在 b c， d 边上， e 在 b c 边上。呃， b， a 加 b d， b， a 加 b d， 我 们看它这个向呃上的分量，这两个不变化，不管一一点怎么移动，向上的分量不会变化。然后呢？呃，这个 x 轴上它会有变化， 要想最小，那中点这两个 x 轴呢？就是呃消掉了，那这样呢？呃，只有在 y 轴上，两个一加起来是二，绝对只就是二， b 正确。 第七题，第七题不等式小于零，这是两个函数相乘，两个函数相乘小于零，那就这两个呢？要一正一负，要一正一负。 呃，就是啊，小于零是结，是为空，那就要大于零，这个是要大于等于零，这要大于等于零， 那么大于等于零呢？就是同为正或同为负，或者，那当然有一个什么呢？呃，同为零点，哎，这个很重要，就是同时等于零，这个非常重要。 为什么？如果不同时为零的话，呃，他不可以同为正，同为负，那同为零，那得到一个什么呢？ x 等于 a 和这个是 对数，是 x 加 b 等于一， x 加 b， x 加 b 等于，就 x 等于什么呢？一减 b， 那 么我们在这里得到一个什么，得到 a 加 b 等于一， a 加 b 等于一，那么这两个都去掉了，都不可以，那这两个有了这个之后，别的不需要了，这个够了。我们看，呃，在基本不等式当中，有个 a 加 b， 二分之 a 加 b， 它是大于等于根号 ab， 这个没有用，那么我们说这是基本不等式，在他的拓展中，那么这里边还有一个什么呢？有一个，呃，根号向 a 方加 b 方的一半， 他是大于他的，那么现在呢？我们看，呃，求出 a 方加 b 方，我们这两边两边平方，把 a 加 b 等于一代入，那么就得到 a 方加 b 方，是大于等于二分之一，所以这个是正确的。 第八题，已知正方体 w 和平面阿尔法则正方体 w 的 八个顶点中存在六个平面。到平面阿尔法的距离相等，是平面阿尔法将正方体 w 分 成体积相等的两部分，我们看，要将 平面分成相等的两部分，只要这个阿尔法平面经过正方体的体中心就可以了。 经过体中心，要想存在有六个点距离相等，那么它应该怎么样呢？它应该是做一个与 对角线垂直平分的平面，呃，就可以了。我们画一下，我们看这个正六边形是经过 d、 b 一 撇这条直线的垂直平分平面，它经过 o 点，经过 d、 b 一 撇，中点 o， 那 么这样的平面呢？呃， 它是可以呃平分正方体的呢，并且呢，它与哪个平面是平行的呢？与 b、 c 一 撇， a 一 撇这个平面平行的。所以呢， b、 c 一 撇， a 一 撇到平面距离相等，同样的，对面的另一面的三个点， a、 c、 d 一 撇，它与距离也相等， 呃， d、 b 一 撇是另外的，那么这样的话呢，呃，他就做到了 正方体八个顶点中六个平面的二角距离相等，并且呢，呃将体积分成两部分，那么反过来说，呃，这就说充分性没有问题。如果这个平面就这个红色的 正六边形，平面还是经过 o 点，他只要是倾斜一点， 那么倾斜一点嘞，呃，就是不与刚才这个平面平行了，那么呃， b、 c 一 撇， a 一 撇，到平面距离就不相等了，他照样可以平分，所以这个题是充分，不必要， a 是 正确的。我们看第九题，那么第九题呢，次数有点多，我们仔细读一下，就是说二零二三，他有个十年规划，十年规划呢，每年平均增长这么多，呃，十年，这是十年， 呃，翻四倍，如果是 a， 翻四倍就是四 a， 由于超预期增长， 二零零五年的产值恰好是二零零六年的计划，那么我们看，那么这个增长值不再是 x 了，应该我们叫它叫百分之五 i， 增长值就是实现的。 呃，具体增长超出预期，我们假设它等于百分之五 i， 从二零零六年， 未来八年含二六年，那么他的年平均增长率是前两年实际平转相同，所以就这十年中他有相同的增长率都是百分之百。好，我们看第一个条件，第一个条件呢，就是二零二三 到二零零二零二六，二零零五到二，工厂恰好达到了这个二零零六，二零零三到二零五，两年，两年就是一加 百分之尾的二次方，就等于原计划一加 x 的 三次方。好，这是一个好，我们先放这里，那么实际上怎么样呢？实际上呢，就是让我们求的是 十年之后生产的值为多少，也就是一加 y 百分之 y 的 十年，它等于原来的多少倍， 那么我们这里都加上一个 a 吧，在 a 的 基础上，它要实现多少？实际上这个就是很好算了，把这个这个等于它只是把指数呃不断的调整，把十算出来， a 在 这里四倍转变成十，呃，这个再算进去，就变成一加 x， 百分之 x 的， 呃，十倍， 十倍呢，就把五乘以再乘二，把三拿出来，把三拿出来 二， 而这个呢，就等于这块等于四，这块等于四就等于多少呢？ a 四的二分之三，那么就等于八 a 八 a 是 哪一个呢？八 a 就是 b， b 是 正确的。这个转化有点绕啊，本身没有很难，有点绕，我们看第十题， 第十题，呃，我们后面再讲，单独讲第十题有点难看。第十一题， 呃 a， b， c 三个角，最大角的余弦值大边对大角，大边 对应的是大角，这个我们大家都知道哎，这个就求出余弦定角就等于 c 方 啊， c 方在后面写一遍吧。 a 方加 b 方减 c 方除以二， a， b 被个公式代入数据，等于 a 方二十五，呃， b 方呃六六三十六，减去一个八八六十四，呃，除以二 乘五乘以六，这个等于多少？大家算一下啊。二十五，六十一，六十一，负三，呃负三，呃，约掉个三二 二十等于负的二十分之一。第十二题，展开式，这个只要会公式就可以了，这个呢，就是 t， r 加一等于 c， 对 本题来说，四 r 呃 x 的 三，四减二， 然后呢，负二的 r 呃 x 负四，这边再来个 x 的 负，这个三四十二减四， r， r 等于三， r 等于三，把 r 等于三带进去。那么最后呢，就是一个呃 c， 四一负二的 三次方，那就负的啊，四八三十二，这个负的三十二。 第十三题，已知向量 a 等于这个向量， e 是 单位向量，向量 b 满足 b 减 a 等于一，则 b 一 的一个取值为多少？我们把它画出来， 我们看，哎，首先， a 等于负一跟三，我们画一个坐标轴， 负一跟三，负一跟二，三在这里， 这是 a， 这是 a。 然后呢，呃 b 减 a 等于一，那么就是以 a 为圆心，以 e 为半径的一个圆， b 在 这个，一个在一个单位上，圆上 啊，画的有点不太好啊，哎，这就是 b， 这就是 b， 然后呢，哎，这是 o o b， 那 么 b 乘以 e， b 乘以，也就是说，呃， b 在 e 上的投影， 这是一 b 在 一上投影， b 在 一上投影，是是在哪里呢？这对应的是零，这边呢，对应的是负二负二，所以呢，它是负二到零在这个范围，这是包括的，包含的， 包含的，那么取一个值，取一个值，我们取负一吧。呃，都可以，都可以啊，这里面的，这是答案不为一 二零二六西乘二模式卷第十四题，这是一个分段函数， 我们看这是对数，这是一个直线。呃，这个主要是什么呢？集合 m 是 什么呢？是 x， x 又是什么呢？是 f， x 等于 m 的 中的符合条件的 x。 按说若 m 中有三个元素，则 m 的 取值范围。若集合 m 中共有四个元素，则这四个元素乘积的最小值是多少？ 首先我们分段函数一般都要画个图像比较好解决问题，利用数形结合方法来解决。 哎，对数函数绝对值翻上来是直线，打 x 等于六的时候，它是零点，也翻上去。 那么这样的话，我们看，打 x 等于二的时候，对应的是一减一等于零，打 x 等于四的时候，这是二减一，这个等于一。 然后呢，打 x 等于六的时候，这个等于零啊，这个图像我们看完了，这个时候我们看画了两条线，那么打 x， m 等于三，三个焦点，三个焦点呢？是这个范围内是有三个焦点的，这个范围内是三个焦点， 也就是说 m 是 一到二之间就是可以的。那这样的 m 有 三个焦点，就是一到二，呃，一是可以取得到的，因为一在哪里呢？呃，在就是 x 等于四，是可以取到的，这一点是能取到，那么 x 等于二呢？ 这一点怎么取到呢？哎，这一点应该取不到，也就是说，呃， x 等于四，在这里面是取不到的，这个是空的。 那这样的 m 呢？就是一到二，一到二，一是可以的，二是不可以的。 我们再看这四个元素，首先我们看画了这条直线之后，那么我们说这个焦点，这个角 x 一， 这个角 x 二，这个角 x 三，这个是 x 四， 我们首先看 x 一 x 二，那么 x 一 x 二，我们知道。呃， log x 一 加 log x 二，它是等于零的，这个我们就不再细分，那么关键它现在是这样的，它有个减一， 我们把它并到一起去，并到一起去是什么呢？就是 log 以二为底，呃，二分之 x 一 加上劳格以二为底，二分之 x 二，他就等于两个对数相加去真数相乘，劳格以二为底，四分之 x 一 乘以 x 二，那么它等于零，是正好等于一，这个等于零，也就是说 x 一 乘以 x 二等于四，这个是固定不变的，这个横成立的。 好，下面我们看一下 x 三与 x 四，那么 x 三与 x 四呢？它是这样的，它关于 x 等于六对称， 也就是说 x 三加 x 四，它是等于呃，二倍的这个六，也就是说十二，这个 这两个相加等于它是不变的。那么问相乘相乘，我们用均值不等式，我们知道 a 加 b 二分之一，它是大于等于根号下 ab 的， 这是均值不等式的式子。我们稍微给他变一下看看。 x 一 乘 x， x 三乘 x 四，那么这里面就是 x 三乘 x 四，它是小于等于二分之一 x 三加 x 四的平方，那么这两个等于十二，就是等于三十六，那么这是它的小于等于， 应该它是最大值。那么什么是最小呢？在这里是最大，那反过来在这里就最小，这边是最小 啊，四个值，四个值在这里，在这里的时候只能去到这里，那么这个值对应的是五，这个值六，这个是七，对应的是七，那么也就是说，呃， x 三乘 x 四，它的最大，呃，最小值 它等于什么呢？哎，等于五乘以七等于三十五。好，那么 这样的话就四个根相乘 x， 一 乘 x， 二乘 x 三， x 四，它是最小值， 我们说它是这样的最小值，就是等于四乘 三十五，四乘三十五等于一百四，这个就是一百四十。

好，我们来看一下西城区初三二模的这个圆中核啊，好久没有讲圆中核了，对吧？我们说做圆中核一定要特别的丝滑，对吧？这个题我在 上周六周日，就是昨天和前天，对吧？给初三的给初三班的学生讲课的时候讲过这个题啊，这个题可以口算， 我觉得大家如果要是考试中能够看出来第二问的这个思路，这题可能是两分钟，但是如果你要是在考场没有看出来，就可能两种情况，第一个就是课上没有认真听，第二个可能听了，然后课下给忘了，在考场上就是没有想起来咱们讲过的东西啊。这题可以瞬秒的啊， 我先把它给连接起来，再把它给连接起来，这是第一问的思路啊，第二问他说的是过点。第一，做一个垂直， 过点 d， 做一个垂直，然后与什么呢？与 ab， 对 吧？往这个地方交于点 n， 这个地方是有一个 m， 呃，然后呢？我们直接开始看第二吧，它说的是 c f 等于三倍的 a f， 所以 说我假设 a f 是 x， 这是一个三 x， 我 们在课上是不是讲过这个二级结论， 对吧？还告诉你们在哪个地方讲的呢？大家来看一下啊，昨天的那个课，我瞅样啊，我把这个讲义给找出来， 就是担心学生在考场上用不到，知道吧，这就比较尴尬，是不是在在这个地方啊？ 初三的一模在这， 我们在课上是讲过这个东西的啊，这不在这快速出思路的是不等于它。所以说这个新城区的模考题的这个圆中，不就是一分钟两分钟吗？直接秒了，对吧？我们可以怎么写 x 乘以 ab 啊？不对， x 乘以 x 加 ab， ab 是 四等于什么？等于个九 x 方，所以 x 加四等于个九 x， 那 么 x 等于二分之一，它等于二分之一，这地方不就是二分之三吗？ 这个地方是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径是 b n， 求得是 b n， 因为这是有一个垂直，所以说我们只需要跳角，这个角一等于角二靠近角一等于个靠近角二靠近角一等于几？是不等于三比五等于二比上一个 o n o n 呢？等于个三分之十，所以 b n 等于个三分之十，减二等于个三分之四。 考场上大概大概就是需要两分钟就可以写出来啊。当然这个二级结论的话是告诉你们快速出思路，因为我们圆轴和是需要快速出思路的，然后你们写一下过程就行。怎么写过程是不连接一下就行了，连接完之后有一个三角形相似。啊，好，这个题我讲到这里。

火急火燎的给大家录出来了西城二模的带宗考察点啊。我先说一下这道带宗题，完全印证了我们之前猜测的中考的考试趋势和考试方向，也是很多学生也好，家长也好，老师也好，大家都明确的就是新函数题型，那这道题目其实他并没有什么难度， 我必须先说这句话啊，他就是很标准的考察新函数的处理方式。那你看过程你也大概能知道，我比之前写的更详细了啊，那我们来详细说一说这种类型的题目怎么做。首先先看到这样一个抛物线，这个抛物线他给了我们一个解析式， 告诉我 a 大 于零。我们之前说过，做代宗要先写三步，第一步，开口方向，第二步，对称轴，第三个横过点的坐标，这个横过点坐标我们可以把它进行因式分解，交叉相乘之后，就可以得到我们的负一逗零和三 a 逗零，所以 a 点和 b 点的坐标就出来了， 然后 y 轴交于点 d， 所以 点 d 的 坐标也能出来。那也就意味着在你读完题之后，不仅能出来这样的三个信息，同时 a、 b、 d 这三个点的坐标就能表示出来了。那第一问说，当 a 等于一的时候，那 ab 的 坐标就更明确了， ab 长的距离也就可以把它求出来了，所以这个是我们所做的第一步。 接下来我们再来看第二问，第二问就告诉我们，有一个点 t 斗零做 x 轴的垂线交抛物线与点 m 交直线 b， d 与点 n。 在 这个时候你需要三个东西，第一个点 m 的 坐标，第二个点 n 的 坐标，第三个 b、 d 的 解析式。对， 好，那我们就把他们都表示出来就好了。第一个 b、 d 的 解析式比较好找，因为点 d 的 坐标有，点 b 的 坐标有，所以你可以找到它的解析式。在这我必须承认我跳步了啊，要不然我写不下了，这个中间的这些过程你们自己去写。好，那接下来我们就可以根据直线解析式去进行设坐标了。 m 的 横坐标是 t， 所以 纵坐标表示出来 n 的 横坐标是 t， 所以 纵坐标表示出来 m， n 的 距离，也就是新函数的解析式就可以把它写出来了，是一个这种类型的绝对值。好，那写出来了之后，接下来你要做的是什么？画新函数图像画完新函数图像，首先我们可以知道它是一个开口向上的， 对吧？因为加了绝对值的这样一个关系嘛。好，我们可以知道它是一个开口方向向上的这样一个抛物线，然后它和坐标轴的交点，一个是零，一个是三 a。 三 a 这个点你写完之后，你必须条件反射，跟上面的 b 是 什么关系一样的，所以点 b 就 在这个位置好，把它写好，接下来对称轴就是二分之三 a， 把它先画好，把 x 轴下方的进行向上翻折就出来了。这样一个图像 出来之后，接下来我们看一下他的要求，他说点 e 是 从二斗零开始出发，那你现在就想二斗零可以存在哪几个位置？有三个，第一个就是在零到对称轴之间，第二个在对称轴到三 a 之间，第三个三 a 的 右侧， 对吧？他不可能是在零的左侧吧，因为二都零嘛。好，所以呢，这是我们所说的先去分析他的三个位置，那再来。我们会发现他说要想让 b e 的 长度逐渐增大，那现在你要去找的点在哪看好了啊？他说沿 x 轴某个方向运动，如果点 e 是 在这个位置零到对称轴之间的话， 他要想让 b e 的 距离逐渐增大，他就只能向左运动。能理解好，那他在向左运动的过程当中就会出现先减小后增大这样一个趋势，那题目当中并且要求的就是随 b e 的 长度 增大，先变小后变大，所以这是符合提议的好，那接下来我们再看，如果点 e 是 在这，也就是对称轴到三 a 之间，那要想让 b e 的 距离逐渐变大，他还是只能向左运动。 好，那这个时候我们会发现，他在向左运动的过程当中，是先有一个变大的趋势到对称轴，然后再有一个减小的趋势到，这 是不是这个意思？然后再有一个变大的趋势，看到了吧？是不是有这样一个关系？所以他符合题目当中的要求，先变小后增大吗？不符合，因为他是先增大的好，所以这个就不符合了。那再来，如果他是在三 a 的 右侧， 三 a 的 右侧的话，我们会发现他要想让 b e 逐渐增大会怎么样？只能是向右运动，那在向右运动的过程当中，他就完全是一个单调递增的函数，也就是所谓的 随 t 的 增大而增大的函数，他就只会越越来越大，而不会出现先变小后变大的这样一个过程。好，所以他也是不符合题意的，那分析下来之后发现只有在这个位置符合题意。 好，过程我都给大家写的很清楚了啊，他分成这样的三段。好，那这个为什么我也写出来？因为很多同学一定会考虑到这，他在做题的时候就把二到零这个点给忽视了，他会写出来，但你一定要注意的是， t 根本不存在这个点， 能理解吧？他是可以往这边运动，但是他不能上来就取到这个点，也就是点 e 的 位置不符合这边。好，那这个你知道之后，我们就可以找到符合条件的范围，就是在这，如果点 e 是 在零到对称轴之间的话，那我们是不是要找极值了，对吧？要符合他先变小后变大的过程，所以也就意味着二斗零这个点，他最大的时候是能符合这的 对称轴的位置的，如果他是在对称轴这个位置，他向左运动过程当中就是先变小后变大，能理解吗？所以最大是在这的，那也就意味着二分之三， a 要大于等于二。好，那大于等于二解出来 a 的 值是大于等于三分之四的，就结束了， ok 吧。所以还是我们强调的那几步，第一步，写新函数的解析式，第二步，画新函数图像，然后去分析他的增减性，最后解不等式，求出结论。好，就给大家说这么多了，然后我们就专注于后面的考试了啊，拜拜。

西城二妹的新定义有点意思，定义里面竟然带核，比划快，带出稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的西城二妹的新定义。 这道新定义有点意思，为啥呢？因为他的定义里面竟然带核。好在啊，老谢在二零一九年中考以后，专门为带核的新定义写了一句诗，叫定义带核找锤足 啊！如果你找垂足，你会发现这道题会非常简单了啊。另外呢，这道题第二个的时候一定要注意前提确认，以及全面细致有序动。还有就是线段如果遇上圆环必有坑，一定要全面细致有序动 啊。另外呢，以圆为背景的题目，其实找轨迹呢，有一个快捷方式，咱们第三个会讲啊，包括一定要全面细致有序动。好，首先呢，我们先看一下定义啊，各位， 咱们随便画了一个 ab 这个弧，他说等腰三角形，那咱们就以 a 为圆心是吧？画个圆，以 b 为圆心，画个圆，画两个蓝圆， 那么蓝圆上的这些点只要连一下 a， 他 就能组成一个。哎，等腰三角形当然还要注意别是三点共线啊，但是这道题基本上用不上啊。那么另外，怎么叫定一带弧找垂足呢？各位，因为他要求这个三角形要把整个裂弧全包上， 你啊，如果听了我的定一带弧找垂足，各位同学，你就直接让点 a 当垂足，啥概念呢？让点 a 当垂足，画一个切线。 各位啊，咱们先看看其中一个圆吧啊，这个圆别在这捣乱了，然后同理，你再让点 b 当垂足，画一个切线。 各位，你会发现，首先因为等腰三角形，所以点 p 一定得在这个蓝圆上，但是在蓝圆上都行吗？你比如，如果蓝圆上在这呢， 你会发现这样的话，连一下这个三角形，这个绿色三角形，哎，他就不能把整个裂弧 a b 全包在里边了。 嗯，所以大家看啊，这时候你会发现，我教给你的这两个垂足，让点 a 当垂足做两条切线就起作用了。什么作用呢？你会发现这个点就是个临界点， 哎，你会发现，如果它连一下点 a 点 b， 你 会发现当点 p， 在 这时候，这个三角形，这个裂弧 a b 正好在三角形 p a b 里边， 包括在这时候，你会发现也没问题，哎，各位看了吗？然后呢，在这的时候也没问题，但是如果在这，你会发现点 p， 如果在这，你会发现这段裂弧又包不进去了，又跑到三角形外边了。所以各位，你有没有发现， 因为等于三角形，我们马上画个圆，当然还有一个以 b 为圆心的圆啊。然后呢，再一个就是，如果你学会了老习的这个经验，定义带弧找垂足，你马上以 a 当垂足做个切线，以 b 当垂足做个切线，你会发现点 p 的 轨迹就是这对，哎，这个定义咱们就大概明白了 啊。 ok， 那 是所有的这个弦都有这一段吗？哎，我们看一个特殊情况，各位，如果，哎，这个弦这么长， 你做了这两个垂足以后，你会发现正好就这个点啊，有一种临界情况，你会发现，除了这个点，别的地方都不行 啊。你比如，如果在这这样的话，如果点屁啊，这是点 b， 如果点屁在这里，你会发现这一段又没有在三角形里边了，对不对？所以你会发现，哎，当这个时候这种情况下是一个什么情况呢？你会很容易发现这种情况，这个紫色的是一个等边三角形， 这是六十度，这是九十度，这就是一百二十度，所以当这个弦的圆心角是一百二十度的时候，正好有一个点 啊，如果它超过一百二十度，各位请看，你们可以暂停一下啊，你会发现啊，在这个圆上，在这个蓝圆上，你会发现没有一个点可以了 啊，也就是当这个弦超过一百二十度就不行了， ok， 这对定义的解读啊，然后呢，正好命题老师挺善良，他怕你看不出来一百二十度，他还提醒你啊，其实这道题最后也没怎么用上一百二十度啊，然后提醒你什么呢？你会发现 df， 这个它正好是一个圆心角一百二十度的 啊，所以 df 是 正好可以， e 就 不可以了啊。 ok， 这是第一问， 第二问呢，哎，也有点意思。各位，按照我刚才讲的，你们如果把一个根号二的弦随便画出来，各位，你看，咱们画的一个红色的这个啊，就是根号二的一个弦，然后你用我刚才的那个方法，然后呢， 把比如说，呃，这个点 a 画出来啊，然后点 b， 在 这里咱们随便点一个点啊，有人说，老师，这个弦 a b， 你 怎么画那么巧啊？各位啊，我想告诉大家，以圆为背景的轨迹， 其实从圆心往哪个方向看，都是正方向，你只需要画了一种情况。然后呢，你看啊，根据咱们刚才定义的解读，是不是就是以 a 为圆心的时候，就是这个等腰三角形以 a 为顶点的时候，你有没有发现这段弧 它就是可以是点 p 的 轨迹啊。那么同时呢，你会发现，在 a b 这个弦跟着转的时候， a b 这个弦可以不在这里，在跟着转的时候，你会发现这个紫色的圆也会跟着转，但是这个紫色的圆离圆心最近的距离， 各位你可以算一算啊，你会发现这个长度是一，因为这个 a b 的 啊，这个长度是根号二，所以这个以 a 为圆心这个半径啊，这个圆半径也是根号二，所以你会发现，哎，这正好是根号三， 所以它离圆心最近的距离是根号三。你算一算，你会发现这个最近的距离啊，最远的距离是根号五。所以当 ab 在 转的过程中，你会发现，这个点它到圆心的距离永远是根号三，而这个点到圆心的距离永远是根号五。所以各位你会发现，其实 如果让这个弦 a b 转一圈啊，各位，我换个颜色啊看看，哎，你会发现，就是这段弧啊，就是这段弧，这段弧它的轨迹就是这样一个圆环 啊。 ok， 轨迹明白了，咱们再看，这是一条什么线呢？首先必要大于零，其实这道题大于零啊，明天老师给你降低难度了，毕竟是第二问。另外它它的斜率是一，咱们让它全面吸了去动，但是请注意是线段 g h， 我 告诉大家啊，线段遇上圆环必有坑，你一定要全面吸了去动。 大家，哎，从上到下全面吸水运动，在这种情况下，各位你会发现就是一个临界情况，然后这个时候呢，因为这个绿圆，它的半径是根号五，所以这个点的动作标就是根号十，所以 b 是 小于等于根号十。 然后请注意，别以为小于等于根号十，大于零就行了啊。你再走走走，走到这的时候，你会发现，各位，咱们问的是线段啊，各位，人家问的是线段 g， 所以你会发现这是线段 g h， 你 在这个这个线再往下一点，请问这个线段 g h 和这个圆环还有交点吗？没有交点，这种情况下，哎，因为这个成色的圆，它的半径是根号三，所以大于等于根号三。各位，这就是第二问的答案啊，你可以再回顾回顾，我们接下来要讲第三问了，各位， 第三问。首先，第三问这句话可能有歧义，有的人说，尤且仅有两个弦 m n 的 关联点，这是两个弦 m n 还是两个关联点呢？有的同学可能在考场就会有歧义了，按照老谢啊，一个很重要的技术叫视角分析法， 哎，我们站在主角的视角，你看这道题，什么是主角呢？他说， m n 是 圆 o 的 一条弦，就是整个第三文。这个故事是站在 m n 先有个 m n， 人家说，哎，这道题啊，我跟你们说啊，有一个弦 m n， 它的长度是一，所以这个弦 m n 就是 某一条弦。 然后这个故事从 m n 的 视角开始的， m n 确定了，然后再看看这个时候，哎，这个 y 等于一条蓝线上有没有 m n 的 两个关联点，各位能理解吗？ 所以呢，是两个关联点，而不是两个弦啊。 ok， 按照我刚才对定义的解读，各位同学，你们能画出来这种情况吗？就是我们还是先随便画了一个这个红色的这个弦 m n 等于一， 并且我们发现特别巧，按照我刚才定义的解读，哎，各位，你会发现这个时候呢？哎，它的关联点就是这个橙色的弧和这个橙色的， 这个时候你会发现，哎，正好在外等一上，有这两个点，这种情况是可以的啊，这种情况是可以的， 然后呢，各位，我给你们画个动图啊，然后也就是说咱们干那种情况可以，然后在 m n 转的过程中，他对应的关联点，你看啊，就是这两个紫色的叉子，你就知道他什么情况，和这个红线 y 等于一， 有两个焦点，有两个焦点就符合 t。 各位啊，另外请注意，像暂停的这种情况下，有一个焦点也不行，所以一定要全面、细致、有序动。 ok， 各位，这是一种情况，我们知道他在转的过程中， 然后呢？哎，他是有复合题的，然后呢？但是转到正好过这一个点的时候，要排除这个点，咋回事呢？各位，你有没有发现这个粉色是一个菱形啊， 因为以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，它是个菱形，菱形。这个时候的点 k， 他正好是这个蓝色的啊，这个线段的中点，而这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，所以中点的纵坐标就是二分之一，所以这二分之一要 pass 啊，然后最后转到这种情况，有时候老师，这种情况怎么一下子找到呢？各位还记得一开始的起始状态吗？一开始的起始状态，这个绿线 它就过 n 的 切线，过 n 的 切线，这个时候正好它和哎这个关联点的轨迹正好有俩交点，只不过我们转到绿线正好就变成 y 等一了，也就是点 n 正好是这个切点了。 各位，这个时候你可以算一算，很好算啊，因为这个时候 omn 是 一个等边三角形，所以呢，这个角是三十度 啊。各位，你会发现，或者说这个时候点 m， 它的纵坐标是二分之一，这个点是一个中位线，所以这个长度也是四分之一，所以 k 是 四分之三。所以这道题的答案就是 k 啊，大于等于咱们刚才一开始的答案。一个是四分之根号三啊， k 呢，大于等于四分之根号三，小于二分之一或啊，哎， k 大 于二分之一，小于等于四分之三。 对啊，这道题你体会体会看看。通过这道题跟老谢对心地一吐诗啊，我这个心地一吐诗可以解决所有的心地的题，通过这道题可以好好体会体会这四句诗怎么帮你解这道题了。

跟着辅导走数学不用愁，今天我们来讲一下二零二六年北京西城高校二模数学题的第八题。这题考察的是关于充分条件、必要条件相关的问题。我们来看一下题干。已知正方体 w 和平面阿尔法。正方体 w 的 八个顶点当中存在六个到平面阿尔法的距离相等， 是平面阿尔法将正方体 w 分 成体积相等两部分的。什么条件？先画一个正方体， 咱们先看前面能不能推出后边来，就是有六个顶点到平面阿尔法的距离相等， 能不能推出来这个平面 r 法把体积分成两部分呢？不能。来举个例子，取中点、中点、中点、中点， 这四个中点分别是 h 一、 h 二、 h 三、 h 四，这个是平面 r 法。 那到平面阿尔法距离相等的点有六个，六个是谁呢？一个、两个、三个、四个、五个、六个。但这平面阿尔法是不是没有把正方体分成体积相等两个部分？所以这样的话，前边是推不出后边的，再看后边能不能推出前面呢？ 举个例子呗，既然他说平面阿尔法将 w 分 成体积相等两部分，那我就取谁呢？ 取这个平面 这个平面的话，到这个平面距离相等点有几个啊？ 一个、两个、三个、四个，是不是后边也推不出前面来啊？所以这样的话，这题应该是四 d 选项，既不充分也不标，这题就 ok 了，一定要透过现象看本质。

西城二模几何的是半角模型，所有准备了手拉手和中点模型的同学，你是不是忽视了这个考点呢？我们今天用一个视频来给大家去说一说，关于西城二模的这个半角模型，我们有什么样的多解思路。首先我们来先读题，他说在三角形 abc 当中， ab 等于 ac 角 b 等于 ar 法，那么就标呗， ab 等于 ac ar 法， ar 法，所以这就是二 ar 法。先都给他标好，然后告诉我们连接 cd， 并且将 cd 绕点 c 逆时针旋转，二 ar 法得到 c e， 这就是二阿尔法，没问题。好，那得到的是谁？是 c e， 所以 你看我这图一里面标好了所有的角，我能知道的啊。然后以及我能得到的线段，第一问让我们去求证点 a 是 b， d 的 终点，那我们会发现看这个图，而且让我证的是点 a 是 终点，是不是也就意味着我可以去证明一下什么 斜边中线这个东西，对吧？好，所以那我接下来怎么用？这是二阿尔法。在一个等腰三角形当中，顶角是阿尔法，所以底角就是九十度减阿尔法，这是阿尔法，所以他们俩相加是九十，那这就是直角，这如果是直角的话，这是阿尔法，这就是九十减阿尔法。所以那我们接下来就可以知道 a， c 等于 a， d 又等于 ab， 所以 点 a 是 中点。结束 能明白，这是我们的第一问，比较简单啊，但是第一问一般情况下来说都会给我们，第二问的话会比较好做。我们来看照这个图， 这个图第二遍说的是什么？告诉我们角 bfe 等于二阿尔法， bfe， 这是二阿尔法，其他条件都不变，然后让我们去证明三条线段之间的关系，分别是 a cef 和 b d， 看起来毫不相关的对不对？那我们能够想到的是什么？证明三条线段关系能够想到的其实就是截长补短的方式， 所以我会想到的是，呃， b d， 对 吧？ e f 和 a c， b d 明显是最长的，但是它又不等于这两条线段相加，肉眼可见，所以呢，这个时候就从我们的猜测结论来说是不符合提议的，没办法去做的。那这个时候我们可以从哪入手？从条件入手，因为我们知道这个角是二阿尔法， 然后这个角是阿尔法，所以他就得到这个角和这个角相加等于阿尔法，看到了吗？所以呢，我能够想到的就是半角模型的思路。半角模型思路是什么？说把它旋转过去好，那这个时候就会出现两个疑问，第一个疑问就是如果这两个角相加等于阿尔法的话，我到底是把下面这个三角形给它旋转上去，还是我把上面的三角形给它旋转下来 好？所以你这个时候就会发现我用的法一就是把上面这个三角形旋转下来的好，那这个时候我还是那个思路啊，我可以把它旋转下来，那他就会变成我法一的位置，我还可以怎么样利用我第一问的思路？第一问思路是找点 a 是 终点，构造一个直角三角形，所以那这个时候我能够想到的就是我把它延长出去， 然后做一个 cp， 让这也是九十度的直角。那接下来就会有一个问题，什么问题呢？我知道辅助线如果借助第一问的条件来说是这样做，但是做完之后我们会发现这个三角形很明显跟这个三角形不全等，所以我要去找构造全等的方式。那怎么找呢？看这个图， c e 等于 cd， 这是二阿尔法， 所以我是不是这个地方也能够找到一个二阿尔法？那我就去连接了 c f。 连接 c f 之后，我要去证明的就是这个三角形和这个三角形全等，如果能够证明，那是不是就会出现这样的结论？好，那现在我讲清楚了所有的方法对不对？好，那我们接下来来看一下条件有哪些？第一个，一条边等于另外一条边，这是一条边等。 其次，第二个，我们可以通过倒角来，怎么倒角这个二阿尔法还没有用呢？这是阿尔法，这是二阿尔法，所以这个角就是一百八减三阿尔法，那这边就也是一百八减三阿尔法。如果我设为这个角是 beta， 那 这就是三阿尔法减 beta。 好， 那接下来我要去看的是这个角，这个角怎么来的？这个角它是不是就应该等于外角，也就是这 和阿尔法相加得来的，那这是多少呢？这是二阿尔法减贝塔，那再加一个阿尔法，所以这就是三阿尔法减贝塔倒角的能力啊。好，那现在一个角等一条边等，如果我想证明全等，最好用的方式是什么？ 给它构造一条边出来，能理解怎么构造？你看我是不是现在就缺一个 e f 等于 d p， 那 我就让 e f 等于 d p， 所以 我辅助线说的是延长 b d 到点 p， 使 dp 等于 e f。 好， 那这样的话，边角边是不是两个手，两个三角形就形成全等了？手拉手，对吧？两个三角形一旦全等了之后，我就连接一下 cp， 我 接下来只需要证明这是九十就好了。好，那怎么去证呢？我们会发现，当我这样做完之后，因为他们两个全等，所以 cf 等于 cp， 这个是没问题的啊。 cf 等于 cp， 好， 那接下来我又可以知道的是这个角的度数，对吧？那这个角的度数可以怎么去表示出来？那这个角也比较好表示，为什么呢？ cf 等于 cp， 所以 两个底角等， 那这两个底角等，我们又因为全等知道 c fe 等于角屁，所以这三个角都对应相等，那这个大角是一百八减二阿尔法，被平分之后，就是九十度减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法，看到了吧？这是九十减阿尔法，这是阿尔法，这不就九十度出来了吗？能理解了啊。好，那接下来我们这了有了一个九十度之后，我们就会发现 b p 是 不是就等于我们的 b d 加上 e f， 它等于二倍的 a c？ 为什么？因为点 a 是 中点就出来了，就延续了第一问的过程，所以呢，我们就会出现 b p， 也就是所谓的 b d 加 e f 等于二倍 a c。 结束了。 好，那刚刚我还说了一个什么半角模型，另外一种旋转方式，那我们去把这种方式也讲一讲啊，这种方式是什么样子的？就是我把这个三角形给它旋转过来，那因为旋转过来，所以这个角就被转移到这来了， 那整个大角二阿尔法就会得到这个角是二阿尔法，那因为上面是阿尔法，所以下面就也是阿尔法。好，这是我第一步倒角。好，那倒完角之后，接下来我要找的是什么？我找他们三个之间的关系，对不对？那这个时候其实比较邪修啊，这个方法为什么这样去说？我们会发现的是，你可以怎么做这个辅助线？ 这个辅助线很多同学可能会选择的方式是，我把 f e 延长到点 p， 是 e p 等于 a d。 好， 那现在一条边等一条边等，一条边等一条边等，我怎么去找角，对吧？我怎么去找它对应的这个角和这个角是对应相等的。 好，我现在找这个二 r r f 有 用吗？其实没有用，对吧？因为边边角不能正全等，所以你要去做倒角啊，这是第一种。第二种你会发现我用的是平行的思路，我过点 c 做了一个 c p 平行于他，那因为这是二 r r f， 所以 这两个角就对应相等了。好，那这是第一个对应相等的。 再来第二个是什么？我们是不是可以根据这样的一个条件得到这条边等于这条边？这题目当中给的已知，对吧？现在一个角一个边了，所以我要么再去证明一下谁 cp 等于 ac， 要么再去找一个角相等就好了。但是我很明显会发现，我没办法用 cp 等于 ac， 因为这是我的结论。对，我只是做做了一个平行。好，所以呢？我最好用的方式是什么？找角， 那怎么去找角？因为我做的是平行呀，所以这如果是二阿尔法的话，这是阿尔法，所以这是不是就也是阿尔法？ 能理解吗？好，这如果是二阿尔法，他加他等于阿尔法，因为他加他等于阿尔法，所以这两个角对应相等。等了，再换一下。好，那现在一个角一条边，一个二阿尔法，一个角一条边，一个二阿尔法，所以这两个三角形角角边形成全等，全等之后就会出现 a d 等于 e p。 好，那接下来因为它们平行，对吧？平行之后这是 r r 发，这也是 r r 发，所以它就是一个等腰梯形。为什么说？很邪修，对吧？我们是不是很久没在几何体当中遇到过等腰梯形了？等腰梯形就说明腰相等，所以 f p 等于 ac 好， 那 f p 又等于谁呢？等于 e f 加 e p 好， 那现在是不是 e f 边我就找到它的关系了，它和 a、 c 的 关系了，对吧？就是 a c 减去 e p 就 等于 e f， 那 e p 又等于谁？等于 ad， 所以 a c 减 ad 等于 ef， b d 呢？ b d 等于 a， b 加 a d， 所以 我们得到的是 b d 等于 a c 加 a d， e f 等于 a c 减 a d。 因为我要保留的是 b d， e f 和 a c 的 关系，不要 a d， 所以 我这两个怎么样？相加？ 相加之后 a、 d 就 消掉了，所以 b d 加 e f 等于二倍， a c 也能做好，但这个证明过程你要给它写清楚啊。好，那这是我们所说的半角模型的思路。除此之外，在证明它的时候，有同学可能会说，老说倒角，倒不明白怎么办？倒不明白怎么办的话，你如果能够知道它们是二倍关系，还有另外一种思路是什么？找终点呀，我让 a 是 终点， c 也是终点，然后我去进行 构造中位线，能理解吧？好，那在我去找完它是终点，它是终点，它们俩是不是平行关系？所以这是阿尔法，这是阿尔法，那是不是 b、 p 和 p、 q 就是 相等的？这是不是等腰三角形？ b p 当中是不是有 b、 d？ 它又等于，它又等于二倍的 a、 c？ 是 不是这个道理？所以我要去证明的就是 d、 p 等于 e、 f 就 好了。那这个时候我再去构造这两个三角形，全等就可以了。那它的证明方式其实和它的证明方式是不太一样的，能理解吧？那这个方法我不讲了啊，因为这个方法可能就是你真的实在没有思路，证不出来的时候，你往我们学过的终点模式当中去靠的这样一个思路。好，那我就先给大家去说这么多。

大家好，那今天来看一下二六年西城高三下二模的导数的压轴题啊。嗯，那这道题我们给他的分类呢？还是原函数和复合函数 这种就是以原函数作为一个变量的一种复合函数的导数啊，那么这个函数给的是 f x 等于 a 分 之一加浪引 x， 然后给了一个 a 大 于零。 第一位是 a 等于一的时候，求函数在一到 f 一 处的切线方程，那我们应该是求一下 f 撇， f 撇就 a 等于一的时候， f x 还有 f 一， 那么求完之后 f 一 的话，应该是 x 分 之一加 y， x 一 带入就是一，然后 f 撇 x 是 x 方分之负的 y x， 我 们在求的时候就会发现它上面两个项它有一项会抵消掉啊，呃，然后它的呃带一的地方呢？导数是零的切线就是 y 等于零。 第二问就是 x 大 于零的情况，就它对应于里面要讨论 f x 与 f x 分 之一的大小， 那么 f x 和 x 分 之一他们两个肯定是，就是当 x 比如说等于三的时候， x 分 之一等于三分之一，那么 x 等于三分之一的时候， x 分 之一会等于三，就是他们两个是可以互相进行一个转化的， 那么转化的临界点就是 x 等于一的时候，当 x 等于一的时候， x 和 f x 分 之一是相等的。然后在大于一和小于一的时候，我们就需要对它进行一下分析。 这里呢，我们是比较建议把这个 f x 给它先进行一下求导的，对 f x 增减性进行一下理解，或者可以直接去求一下 f x 减去 f x 分 之一。 那我们先求一下 f x 导数，让我们求 f x 分 之一的导数的时候，可以用复合函数求导的时候，就直接求出 x 分 之一的时候的导数。那么求完 f x 方分之负的向量 x， 因为 a 是 大于零的情况，所以下面这个 a x 方，那就肯定是大于零的。然后 x 大 于一的时候， f x 会是小于零的，是个减函数， x 大 于零小于一的时候，会是个增函数，也就是说 f 一 就是 f x 的 一个最大值， 那么这个也可以在第三问的时候再求啊。那么求完 f x 之后，我们可以直接把这个 x 换成 x 分 之一，再乘一个 x 分 之一的导数，就会求出一个 f x 分 之一。那么去分析 f x 与 f x 分 之一的大小的时候，我们发现 呃一是它的临界点，所以其实我们只需要知道零到一的时候， f x 和 f x 分 之一的大小就可以，因为当 x 大 于一的时候，它其实就相当于是 x 分 之一大于一的时候，所以这个只需要讨论零到一的部分就可以，等于一的时候，他们两个肯定是相等的。 然后我们刚才去算 f x 导数的时候，会发现 f 一 就是它的最大值，所以正好临界点也是在一的位置，也就是说当 x 大 于零小于一的时候，它小于 f 一， 也就是 a 分 之一，然后当它大于一的时候，也小于 f 一， 也就是 a 分 之一。 啊，那这样子呢，想要去比较他们两个大小的时候，最好就把他们俩减一下，看一下他这 x 增大的时候， f x 减去 f x 分 之一，他和零的一个关系。另外呢，我们可以单独去发现呢，就是 x 等于一分之一的时候，这 f x 是 等于零的，也就是 x 大 于 e 或者是 x 小 于一分之一的时候， 它的大小关系是肯定能够确定的。但是一分之一到一的时候，我们还是需要进行求导，然后判断一下。那么如果我们是 f x 减去 f x 分 之一，它的导数的话呢，我们就可以求出来，它是 ax 的 平方，然后上面是 x 方减一倍的 l x， 那么 a x 方肯定是大于零的， x 方减一倍的小于 x， 可以 发现临界点还是等于一，就是 x 等于一的时候，这个导数是等于零的。然后当 x 大 于一的时候，这 x 方减一大于零，小于 x 也大于零，然后 x 大 于零小于零，小于 x 也小于零， 所以这个 f f 撇 x， 它就是大于等于零，那它就是一个增函数，增函数的话呢，我们就可以判断一下它的大小了。 那么最后的关系呢，就是如果 x 在 零到一的时候， f x 它是比 x 分 之一要小的啊，然后等于一的时候， f x 等于 f x 分 之一，然后大于一的时候， f x 就 大于 f x 分 之一。 那接着我们看一下第三问，第三问是不给 a 限制了范围，之前是 a 是 大于零，现在 a 是 大于零小于一，然后证明 f x 等于一，存在两个根， x 一 和 x 二。那我们之前如果求了 f x 的 导数的时候，会发现 f x 它在 x 等于一的时候取到的是极大值点，而这个极大值点是 a 分 之一，这个 a 分 之一。因为 a 大 于零小于一，它就肯定大于一。 x 等于一分之一的时候，这个 f x 等于零，所以就零到一的时候，肯定有一个 x 一， 那么一到无穷大的时候，我们还需要找到一个 x 二， 那么这个 x 二如果要严格证明的话，还是比较麻烦的，我们可以直接简单说一下，就呃，当 x 二趋近于无穷大，当 x 趋近于无穷大的时候，这 f x 趋近于零，然后直接说明这个 x 二存在就可以了。 那么根据 f x 的 单调性还有这两个零点存在定理，我们可以确定它是有两个根，并且也只有两个根。 那现在我们还需要证明这个 x 一 乘以 x 二是大于一的，那么这个就用到第二问的一个结论，因为我们能够知道的是呢， f x 一 是大于零，小于一的，它应该是小于 f x 一 分之一的， 那么 x 一 乘以 x 一 分之一，它就等于一，所以我们就可以根据这个点还有它的增减性来判断一下 x 二和 x 一 分之一的关系，就可以证明出这个结论来了。接着我们补一下过程啊， 那我们去把这个过程补一下之后呢？嗯，这个 f x 二它应该是小于 f x 一 分之一的， 因为 f x 二是等于 f x 一， 然后 f x 一 分之一大于 f x 一， 那么这个 x 二呃和 x 二，呃和 x 一 分之一都在一到无穷大上，然后就可以发现 x 二最后应该是大于 x 一 分之一的，然后把它带入进去之后， x 一 乘以 x 二，它就应该是大于一的。

这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。