济宁数学中考试题技巧

济宁初三的家长你们好！孩子数学题不会算，不用硬算，教他两个方法，五秒就能出答案。第一，让我们来看排除法 济宁中考数学十道选择题占分三十分，排除法让我们先把明显错误的选项排除掉，这样即便您的孩子还是不会算 他蒙题，正确率也会大大提升，单单这一项就可提高十分左右的分差。第二，让我们来看特殊值代入法。 特殊值代入法让我们把零一负一代入到选项中，哪个符合选哪个，不用列公式，也不用解方程，孩子一学就会。 我是专做济宁中考技巧提分的，如果各位家长对数学全套技巧提分有需要请评论区扣一，我免费发给大家！

济宁中考一模数学前八道选择题必须拿满分！这八道选择题都是基础题型，考的都是济宁年年会出的固定搭配， 学会这些公式直接秒出答案。我已经给大家整理好放在评论区了，有需要的同学跟家长直接拿。

来看一道关于圆的中考题目，这道题目有三分，那么应该也是比较耗时的，而对于圆的部分，同学的感受是什么？学的非常快，练习的非常少，遇到圆的题目，他得空扭很长时间， 那像这种题我们得多去研究，多去做，经常去练习，那么这种题目还是比较轻松的。那这个题 a b c 是 圆 o 的 内接三角形，它有反折了，也就说它俩是对称，那么这就是直角，那这也是直角， 而且它翻折下来之后，那么这也是直角，它也是垂直的，这是我们能得到一些信息。然后点 d 在 圆 o 上 连接 cd， 交 ab 与点 e 延长啊过点 a， 它做了一个圆 o 的 切线，是 g a， 也就是说这个也是直角，那第一个求证 a g 平行 cd， 这应该是比较简单的哈， a g 平行 cd， 那 么我们可以通过这几个直角 啊，角之间的关系应该就能轻松的解决了。比方说这个是角一，这个是角二，这个是角三，那么从图中我们能轻松的得到什么呢？这个角一加二是九十，而角二加角三也是九十，所以角一是角三，所以 ag 是 平行 c d 的 比较简单。那么第二呢是你一看到这个这种，那么它大概率用的是什么？相似， 只要是谁的平方等于谁乘以谁，那么大概率是用相似去解决的，可能里边会有一个线段的转化， p a 方等于 p g 乘 p b， 我 们可以写成比例的形式，你可以写成 p a 比上 p g， 就 等于 p b 比上 p a， 那 你会发现这个 p a g 和 p a b， 你 看这 p a g 是 p a b， 那 么这两个三角形如果全等，那么就实现了，对不对？那么这两个三角形是否相似？不是全等相似， 那么这两个三角形相似，那么是我们就实现了 p 一 方等于 p g 乘 b b， 那 怎么证明这个 p a g， 这个 p a g 和 p b a 这两个三角形是相似三角形呢？ 我们知道它有一个公共角角 p， 我 们只需要再找到另一个角就可以了，其实这个最简单的是用这个弦切角定义就证这个，但是我们没有学过弦切角定义，这一个角，这一个角假设为角四，那么这一个角假设为角五， 那么由第一问，我们得到 a g 平行 cd， 所以 这个角四和角五是相等的，那我又知道翻折，翻折过来之后，这个角三和角五是不是相等的，那么所以角三就等于角四，而角三和正角是什么关系呢？你会发现 这个角加这个角是九十，而这个角二加上这个角六也是九十，那么所以角三和角六相等，那么也就是我们说的角四等于角六了，那么所以这两三角形就相似了，那么相似的话就会有这个结论，应该是比较简单的。然后第三呢，三角 a p d 等于三分之一三角 a a p d 这个角，那么我又知道这是一个直角，所以 a d 比上 p a 是 不是应该是三分之一，然后 p g 呢？等于六，而我们求摊着它角 a g b， 摊着它角 a g b 求这个角， 那么这个角等于谁？我们首先知道要求摊着它角 a g b， 它在一个直角三角形当中，在这个 a g d 这个直角三角形当中，而这个 b a g 也是一个直角三角形，摄影定律是吧？ 我们要求它的角 a、 g、 b， 要求出 d g 来，再求出这个 a、 a、 d 来，但是 d g 好 像不太好求 a、 d 的 话，它跟这个三有关系，是吧？ 那么然后我们怎么根据 p g 与三这个角求出它们之间的关系来？第二位我们有相似，那么应该可以使用到第三位当中，我们怎么去解决？ 摊着的角 a、 g、 b， 我 知道这个摊着的角 a、 g、 b 就 等于这个，哎，是不是因为它俩平行，是不是这个角和这个角相等，那这一个角还等于这个角加这个角九十，这个角还等于角二，那么也就是说摊着角 a、 g、 b 就 等于啊。摊着角二， 那么这个 d、 g、 d、 e 你 可能不太好求，但是你如果能求出 b、 d 来，是不是就比较轻松了？因为这个三角形 a、 b、 g 啊，当中是一个直角三角形，有一个 a、 d 垂直 b、 g， 那 么它是一个比较特殊的直角三角形，然后这个三角形当中又做了一个垂直，那么我们会得到这个角一等于角六， 角四等于角六，它角六还等于角一， 那么所以角一和角四是相等的，角一和角四相等，那么也就是说他是一个角平分线，而角平分线这里边还有一个垂直，那么我们应该立马想到 角平分线上的点到角的两边的距离相等，那么所以我做一个垂直，好，我过点 g 做 p a 的 一个垂直交于点 m， 那 么就会得到这个 d g 和 g m 相等的，这是角平分线性质，那这个这是不是还没有用啊？三角 a、 p、 d 是 不是还没有用？ 那现在这个 a p g 是 六，我是不是就可以直接用了？那因为三角 a p d 等于什么呢？三角 a p d， 那 它就等于这个 g m 是 不是比上 p g， 而 p g 呢？是六， 它等于三分之一，那 p g 是 六，那么 g m 是 不是我立马就能求出来？那么 g m 应该是二，这个 d g 是 不是也是二？ 那么我们再利用第二问的一个结论也能求出来，因为 pa 的 平方等于 pg 乘 pppa 方就等于 pg 乘 pb， 那 么这个 pa 我 们首先要求出来是多少？ 这个 pd 知道了，而这个三角 a pd 等于三分之一，在这直角三角形 a pd 当中，那么就可以求出 pa 的 长来，因为三角 a pd 还等于谁呢？还等于 ad 比上 pa， 对 吧？ ad 比上 pa 是 一比三， 那一比三，如果我设这个 a d 为 x 的 话，设 a d 为 x， 那 么它这个 pa 是 不是三 x， 那 么在 r t 三角形 a p d 中，这个 a d 呢？是 x， p a 是 三 x， p d 是 六，那么我们是不是可以用固定理就能求出这个 x 的 值了？我们求出 x 等于多少呢？求出 x 等于二倍的根号二，那么这个 p a 的 长我是不是就求出来了？那 p a 的 话就等于六倍的根号， p a 就 等于六倍的根号，那么这个是六倍根号二， 这个是八，那么 a d 是 不是就能求出来了？我们就可以求出 a d 上来？那么然后我们再联想到第二个的一个结论，那 p a 方等于 p g 乘 p b， p a 方是不是六倍？根号二的平方就等于 p g， p g 是 六，然后乘 p b， p b 呢？是八加 b d， 那 么我们是不是可以求出 b、 d 了？求出 b、 d 是 几？求出 b d 等于四。现在我们再回到这个摊着角 a g b 摊着角 a g b 等于摊着角二， 那它这个角二呢？也就是说等于 b d 比上 a d 等于 b d 比上 a d， 而 b d 呢是四， a d 呢是二倍的根号二，那么所以约分完之后应该是根号二，所以这个题就求出了。 这个题不是难，是比较麻烦，要联系各问之间的一个关系，你要求第二问，利用第一问可能帮助你去解决第二问的题目，所以它们的关联性比较强。

那接下来我们就来看一下，我们基于刚刚给大家总结好的这些方法，我们是否能够把今年一模各个省份城市只要一模考试当中出现了这种二函数最值和取值范围问题的题，我们到底能否全部拿下？ 如果他变，他会怎么变？我们先来看一下第一种类型，其实你根本就不需要去记什么定轴定区间也好，定轴动区间也好，动轴定区间或者动轴定区间，你根本就不需要去记这个名字， 我们只需要去看这道题的题干，是不是出现了我们刚刚在前面给大家总结出来的那个特征，只要这道题目里面给了我一个 x 的 不等式，让我去研究这个二次函数的什么最大值，最小值，它就属于这类问题。你像这个是辽宁大连的中考题对吧？我们来看一下， 哎，出现了这个特征没有？出现了，给我一个范围，让我去研究二次函数的最大值吗？那我怎么办呀？这一类题的第一步 求对称轴，第二步画草图，第三步看范围和对称轴之间的相对位置关系，看需要怎么样分类讨论。所以我们的第一步，先把这个二函数的对称轴算出来，是不是套对称轴公式， x 等于负的 二 a， a 现在是一，所以二乘以一分之 b， b 对 应的是这个负二，对吧？所以我们可以直接算出来对称轴是多少，是不是就负的二分之负二，这样算出来是等于一 对称轴算出来了。我们的第二步把参数草图画出来，它是开口上，我们说画草图只需要开口方向加一个对称轴就可以了，坐标系都不用画的，对吧？所以我们发现它的一个开口向上的抛物线，对称轴正好是 x 等于一。 那接下来我们再来看一下这个范围和对称轴之间的关系，我们怎么去比较呢？你就一边一边去比较零是在一的左边还是右边呀？对吧？我们只是把坐标系省掉了，但你要知道往右肯定越大吗？我们发现零是在一的左边，所以我们来看一下零在一的左边， 三在一的右边到三在一的右边。那我现在问一下大家， x 大 于等于零，小于等于三十，现在问我 y 函数的最大值是多少？我们把它图像画出来，大于等于零这个实心点小于等于三也是一个实心点，你说大于等于零，小于等于三， 它的最大值到底是在零处取到还是在三处取到呀？你去比较一下相对位置。我们刚刚才讲过，离对称轴越远，开口向上的抛物线，你如果这个点离对称轴越远，它所对应的函数值就越大。所以说零和三 谁离对准轴更远呢？我发现零和一之间所对应的距离只有一，三和一之间的距离有二，所以说明三这个点离对准轴距离是更远的，所以说明这个点的位置是更高的。所以你现在问我他的最大值是多少我就知道了。图像我都画出来了， 那最大值是不是就在三 x 等于三的时候取到？所以我把 x 等于三直接带进来，是不是三的平方九，再减去二乘以，是不可以直接算成等于二。 那你如果说我说这道题的最小值是多少呀？最小值是在什么时候出？渠道是不是正好在他最低点的时候渠道，而不是在零处渠道，对吧？在 x 等于一的时候，渠道最小值。所以大连的这道中考题是送分题，因为它不涉及到任何参数，我们从一道简单的题慢慢开始变了哈。 我们现在来看一下山东济宁的这道一模题，他给我一个二次函数，他明确说了是二次函数，那说明这个 a 肯定是不等于零的，对吧？你如果 a 等于零的话，那就不是二次函数了。但是如果我在这方说的是已知函数， 我没有说他是什么函数，那有可能这个 a 是 等于零的，对吧？好，接下来我们再往再往上看，他现在给我 x 大 于等于二，小于等于五十，他现在给我最大值是三， 现在反过来问我这个 a 的 值是多少？那怎么办呀？是不是又出现这样的特征？反正我拿到一道题，只要这道题出现了类似这种描述形式，给我一个范围，让我去研究最大值的最小值问题，我就知道它属于最值和取的范围问题。这一类题的第一步，我们说固定的，第一步求对称轴， 就我们先把这个二次函数的对称轴你先求解出来，我们就算一下它的对称轴 x 等于负的二 a 分， 它现在平方向前面的系数正好就是 a， 所以 负的二 a 分 之 b， b 是 多少， b 就是 依次向前面的系数，要带上符号的是负六 a。 我 们算一下它的对称轴是等于多少，是不正好等于三。 所以我的第一步把对称轴算出来了，我们的第二步是不要画二次函数的草图，这是固定的流程。那我们说画二次函数的草图，只需要去关注他的开口方向以及对称轴就可以了。那你说这个二次函数的开口方向朝哪呢？ 他题干现在有说吗？他有说这个 a 是 大于零还是小于零吗？他没说，没说，因为这什么有可能开口向上，有可能开口向下，所以我要分类讨论。那我就知道了我的第一种情况，如果这个 a 是 大于零的， 也就是说这个二次函数是一个开口向上的抛物线。好，我们把它草图画出来，开口向上的抛物线，我们就把对称轴标注，标记上是不是 x 等于三十二的对称轴，对吧？ 好，再接下来我们再来看下这个范围和对称轴之间的相对位置关系。我们发现二二是在三的左边， 五五是在三的右边，而且五很明显离三更远嘛，所以我就知道了，大于等于二，小于等于五十，它的所对应的图像对应的是这这样的一个形状，对吧？那你说这个时候它的最大值，对于这个二次，在这个范围内，它的最大值在什么时候处取得？ 是不是很明显在 x 等于五处取得，所以我就知道了呀。这个二次函数它的最大值是在 x 等于五的时候取到，那我们把 x 等于五带进来，算出来它的最大值等于多少。什么呀？五的平方也就是二十五 a， 再减去五六六 a 乘以五，是不是减去三十 a， 然后再加上六 a， 我 们算出来正好是等于 a。 那现在处理人说什么呢？说这个函数的最大值是等于三，而我算出来了，在 a 大 于零这个范围内，它的图像就是长这个样子的。在 x 大 于等于二，小于等于五，所对应的图像就是这样，这段的最大值就是在 x 等于五。出渠道我算出来了，它的最大值就是 a， 你 现在告诉我最大值是三，那不就是在告诉我这个 a 等于三吗？ 所以我就解出来 a 等于三，但是你解出来的值一定能取吗？不一定，你要去看一下它到底满不满足题干的大条件。三是不是大于零的？是，所以说明它符合题，可以取。所以第一种情况我们就讨论完了，接下来我们再讨论第二种情况。那如果这个 a 是 小于零的话呢？ 但因为我一开始并不知道它开口向哪，因为我按照我们的固定分析流程，只要遇到这种题，第一步求对称轴，我的第二步根据开口方向，它的开口向上还是开口向下？然后我把它的草图画出来，如果不确定，不确定，我就分类讨论。 但是我们发现开口向上情况讨论，我们接下来再去讨论开口向下的情况。如果它是开口向下， a 小 于零，开口向下，这个时候对称轴依然是。第一步算出来这个对称轴是 x 等于三。好，接下来我们再把这个范围和对称轴之间的位置关系，我们再去比较一下。二是在三的左边， 离三间隔只有一五，五是在三的右边，而且五跟三之间间隔了两个单位，所以五离得更远。那你说大于等于二，小于等于五，他所对应的图像是不就是这一段，对吧？好，我现在问一下我们直播间的各位中考的大宝贝们了哈， 他现在让我研究的是最大值，我问一下，在这个范围内，最大值是在什么时候取到最大值啊？ 是二啊？还是三还是五啊？很简单，送分的，我们先从基础题开始，我们不要急，我们一点一点变到那种难的题上啊，什么时候三的时候取到不是二的时候？我就知道有的同学会说，二， 他是抛物线呀，他的最高点是在对称的，在这个范围内的最高点是在 x 等于三处渠道，你不能光盯着二和五这两个端点呀，你还要再去关注一下他的最高点，抛物线的顶点呀。 所以我们发现了它其实在 x 等于三处取得最大值。也就说在 a 小 日历的前提条件下，我发现这个函数的最大值是在 x 等于三处取得最大值。 no， 把 x 等于三带进来，是不就是九 a 减去三乘以六 a， 也就减去十八 a 再加上六 a， 我 们是不是可以直接算出来等于负三 a？ 好， 你现在就告诉我它的最大值是三，那这样的话是可以直接解出来 a 等于负一。 那你说负一到底能不能取呢？负一是不是小于零的？是，那就说明负一也是符合题的，所以这道题最终 a 的 值是多少？两个值负一或者三都可以取，对吧？所以我们继续往下。这个地方大家应该能理解易错点是在什么地方，虽然是一道小题送分题， 比较易错的点就是在研究最低点或者最最大值或者最小值的，一定要去关注一下抛物线的顶点，你不能光盯着两边的端点，你还要再关注一下抛物线的顶点。好，我们继续往下，我们再来看一下安徽六安的这一道题， 又变了一下，他现在涉及到两个变，其实你看，你去看一下题干里面涉及到多少个变量，四个未知数，他给我 a 大 于等于零， b 大 于等于零， 后面他们两个都是非负数，然后又给了我二 a 加 b 等于二，给了我一个等式关系， a 和 b 现在反正满足一个等式关系， a 和 b 到底是多少我也不知道，但是我告诉你，二 a 加 b 现在就是等于二的， 我现在给你二 a 方减四倍的最小值是 m， 最大值是 n， 我 现在问你 m 加 n 等于多少？那怎么办？我们看到这个条件还是有那么一点点眼熟的。为什么呀？又感觉研究最大值，又研究最大值，又研究最小值，这种好像我们在最值和取值范围问题这种题里面，我们经常遇到的 它是。这种题一般都是跟二次函数有关的呀。但是你现在研究的这个函数，它不是二次函数呀，因为这里面是，它就是一个代数式，而且它里面涉及到两个变量，那这又怎么办呀？ 我们需要的二次函数是只含有一个变量，对吧？因为你现在研究的这个东西的最大值和最小。什么？我现在把二 a 方减四 b， 我 现在把它记作 y， 那说白了就研究这个函数的最大值和最小值吗？那这里面涉及到两个变量，我们怎么办？我们二次函数需要的是只有一个变量，那你就把另外一个变量替换一下不就可以了吗？你现在不是告诉我二 a 加 b 等于二吗？那说明 b 是 什么东西？ b 其实是二减二 a， 所以 我就把它带进来，也就说 b 其实就是二减二 a， 那我们把它替换成只跟 a 有 关的一个式子，这个时候大家是不是很眼熟了哦，你让我去研究这个东西的最最小值。最大值其实就是研究这个以 a 为自变量的这样的一个二次函数的最大值和最小值。我们把它展开一下，是不是二 a 方加上八 a 再减八， 是不是就直接转化成了去研究这个函数的最大值和最小值？好，我现在问一下大家，我们接下来怎么样去研究这个二次函数的最大值和最小值呢？ 我们说这一类题的分析流程。第一步，求对称轴，对吧？好，我们现在把它的对称轴求出来，我们去求一下它的对称轴是多少呀？ 套公式， x 等于负的二 a， 二乘以 a 指的就是这个平方向前面的系数啊，对吧？你不能光乘一个 a 啊，我们说的 a 指的是什么呀？ 是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 这样的一个二函数，平二次向前面的系数啊，所以二次向前面的系数现在是二，那我就知道了，这个地方就是二乘以二分之负二又等于 b， b 指的是一次向前面的系数，带符号的是八，对吧？所以我们算传应该是多少负二， 所以我们先算出来了 a 这个二函数对称轴已经知道了。那第二步我去画这个二函数的草图，它是开口向上还是开口向下？以 a 为自变量，它是一个开口向上，因为它的平方向系数大于零，所以我们把它的草图画出来，对称轴现在是 x 等于负二。 好，第三步，我们现在去看一下乞丐所给的这个 a 的 范围是多少？我要问一下我们直播间的各位宝宝们， a 的 范围是多少？ a 的 范围是多少？乞丐说 a 是 大于等于零，那我们接下来去研究它的最大值和最小值是不是在 a 大 于等于零的范围内去研究呢？ 那如果这个 a 的 范围现在就是大于等于零的话，那你看零，零是在什么地方？对称轴是负二，零肯定是在负二的右边嘛，对吧？ 所以我就知道了，那零肯定是在负二的右边呀。那如果是按照 a 大 于等于零来看的话，那大于等于零所对应的图像是这一段，这一段往上无限延伸，如果往上无限延伸的话，那它的最小值我是知道的，是在零处取到， 对吧？一个，当 x 等于零的时候，我带进来一个，当 a 等于零的时候，这个地方还不能写 x， 因为它的字变量现在是 a， 对 吧？我们这地方应该用 a 来表示哈， 但我至少知道，如果是按照大于等于零去看到它的最小值，我是知道的。在 a 等于零的时候，我把 a 等于零带进来，是不是算出来了最小值是负八，也就说这个 m 是 等于负八，我现在最小值算出来了， 但是如果你 a 的 范围是大于等于零的话，它根本就没有最大，它最大，最大值是无穷大， 那难道说这个 n 是 无穷大吗？那如果 n 是 无穷大的话，根本就 m 加根，根本就无解呀。那说明什么？ a 的 范围错了？错在什么样的地方？你不能光考虑 a 这一个东西，你 b 和 a 本身是有一个约束在里边的， 因为 a 和 b 不 管它怎么变，它始终要满足二 a 加 b 等于二这个固定的等式关系。你光考虑 a 大 于等于零了，你乞丐现在还要求 b 也要大于等于零啊。我现在要去求 a 的 范围， 我不需要 b， 那 怎么办呢？你 a 和 b 现在又有一个约束，那我不需要 b， 我 就把 b 替换掉。 b 是 等于什么东西呢？是不是可以直接得到 b 其实等于二减二 a， 那你用 b 的 范围是不是大于等于零？那不就是在告诉我 b 就是 等于二减二 a， 那 不就是在告诉我二减二？ a 是 大于等于零， 那我是不是可以直接把 a 的 范围解出来了？把负 a 挪到右边去，是不是可以直接得到二？ a 小 于等于二，也就解出来 a 小 于等于一，所以我如果只考虑 a 的 范围，那是大于等于零。我如果再把 b 大 于等于零这个东西考虑进来，我就把 b 用 a t 换掉， 我又解出来了， a 小 于等于一，所以合到一块去，我发现其实 a 的 范围应该是大于等于零，小于等于一，我们是在这个范围内 去研究这个二次函数的最值的，所以这个时候我就知道了呀， a 的 范围就是从零变化到 e， 那 零是在负二对称轴的右边，对吧？ e 又是在零的右边， 所以大于等于零，小于等于一，它所对应的图像就是这一段。那我就知道了，这一段图像的最小值是在什么时候取到？在 a 等于零的时候带进来，算出来是负八， 那最大值是不是在 a 等于一的时候，我们带进来就算一下这个 n 是 不是它的最大值？我们带进来把 a 等于一带进来，是不是二加八再减八是不是算出来等于二？ 那这样的话我们是不是可以直接算出来？你问我什么 m 加 n 是 多少，那不就直接负八加二，是不是就直接就出来了？那你说安徽六安的这道题相比前面的题他变了，他确实变了， 那他变在什么地方了？他变在题干里面其实融合了很多的未知数进来，而且这种题就是最近这两年很多省份中考都比较喜欢考的。就是他会需要我们去做代数式的等量代换， 他给我一个 a 和 b 的 等式关系，然后又给我另外一个代数式，或者给我另外一个不等式，那这个时候我们怎么办？他涉及到两个变量，我们可以把其中的一个变量用另外一个变量替换掉，你再带到这个代数式里边，你会发现你直接就转化成二次函数的问题了。 然后出题的一般埋的那个坑，这个坑位埋在什么地方呢？就是在这个地方的范围上， 特别喜欢挖坑，你不能光盯着前面给了 a 大 于等于零，你就当 a 大 于等于零往下去进行计算，你还要再考虑 b 的 范围，因为 a 和 b 满足一个等式关系， a 和 b 之间隐隐的是存在一种关联 的，是有一个约束在里边的。那这我们怎么样把 a 的 精准范围算出来呢？你先把 a 的 第一个不等式先列出来，然后 b， b， 我 不需要 b， 我 现在需要去求 a 的 范围，那我不需要 b， 我 怎么办呢？我就把 b 用 a 替换掉。那有这个等式我就知道了， b 用 a 替换掉，是不是替换掉了二减二 a， 那 b 大 于等于零，就直接转化成二减二， a 大 于零，所以两个不等式同时满足解出来的 a 的 范围才是精确的。在这个范围内， 你再按照二参数的最值和取值范围去进行求解就可以了。那是安徽六安的题对吧？他的题干条件稍微变了一下，基于最值和取值范围，又融合了代数式的等量替换以及求精准求参数范围，对吧？这个把不等式的知识也融合进来了。

马上就一门考试了，然后呢做一下中考压轴题的一个分享，来看这道中考必刷题。那么这道题目呢，是二零二四年齐齐哈尔的一道中考压轴题目，题目出的非常好，包含了等幺三型的存在性问题 和将军马的问题。那么这道题目呢，比较长，因为比较简单，就说这是一个一函数，它与这个二函数有两个焦点，一个是 a 点，一个是 c 点，我们可以直接通过这个一函数求出 a 点和 c 点，我们可以直接通过这个一函数求出 a 点，坐标是零二， 又告诉我们有一个点， b 点是负一到零，也就是这个点负一到零，那么所以我们可以通过这三点用焦点式，或者是你直接代入 a， x 加 b 加 b， x 加 c， 直接就可以求出这个抛物线的表达式了。我们求出来抛物线的表达式呢是 y 等于二分之一， x 方减二分之三， x 减二， 看第二份点， d 是 x 的 时候任意一点，然后以 a、 c 为腰的等腰三角形呢，我们知道他应该是会有这个分类讨论的可能性， 而且告诉我们是以 a c 为幺，那么可能也有两种，那么假设 c d 点在这，我连接 cd 要求 d 点坐标，我们就设 d 点坐标吧，我们通常设为 m 六零， 那么我们就可以通过勾股定力这个轻松的解决了基本上这个等三角形的三角形的三角形问题啊，通过勾股定力基本上就能解决，或者说通过相似。那么我们先分类讨论，那分哪几种情况呢？我们看它以 a、 c 为幺，那么因为你不知道这个三角形 a、 c、 d 谁是底边？你是不是要分类讨论，那么 它必须 a c 是 幺，那么应该是 a c 等于 a、 d， 这是一种情况，那么第二种情况呢？是 a、 c 等于 cd， 那 么就这两种情况，因为你不能以 a、 c 为底，那么这两种情况呢？我们通过谷物理表示出这个 a、 c 的 场， a、 d 的 场和 cd 的 场，那么令它们相等，我们即可解得这个必然坐标了。 那么我们怎么表示 a c， a d 和 c、 d 的 长度呢？从图中我们能看得到，这个 a、 c 的 长度应该是比较简单的，因为 c 点是零的负二，所以 o c 的 长是二，然后 o a 呢？是四，那么所以 a c 的 长我们最好是用平方来表示，因为它还有根号了，对吧？ 那么所以我直接写成就是 a c 的 平方，它应该就等于二的平方加四的平方是二十，然后 ad 呢？ ad， 从这上面我们看的话， ad 的 长是 a 点的横坐标减去 d 点的横坐标， 但是我们说 d 点任意一点，那么 d 点有可能在这里， d 点有可能在那里，所以我们要加上绝对值，或者说我们直接平方就完全解决这个问题了，那我们平方来解决吧，就是说 ad 应该是四减 m， 那 么 ad 的 平方就应该等于啊 四减 m 括号的平方，那么直接就两种可能，我们都包含在内个，然后是 c、 d， 那 么 c、 d 我 们用平方来表示的话，是不是也很简单？因为 o a 方加上 o d 方就是 c d 方，所以是 m 方 加上二的平方加四，那么我们直接令它们相等就可以了。 ac 等于 a， c 等于 a、 d， 你 也可以平方令它们相等，那么具体的算法呢？我就不细讲了，那我们换下图吧，这个太矮了。 好，我们看这个第三位呢，是当 e、 f 的 a、 c 的 时候，让我们求 p 的 坐标，那 p 呢？是在这里，它是平行 x 轴，垂直外轴， 而且它在第一次向线，在抛物线的第一次向线，然后让我们求 p 的 坐标，那求 p 的 坐标，我知道 p 在 二次函数上面，因为第一我们已经求出来抛物线的表达式了，是 y 等于二分之一， x 方 减二分之三， x 减二，那么 p 点在这个抛物线上面，我可以设 p 点，它的横坐标为 t， 那 它的动作标就是二分之一， t 方减二分之三， t 再减二， 那么因为它是垂直 x 轴的，然后 f 点呢？就在这条线上，那么 f 点的横坐标也是 t， 我 们知道 f 点是在 e 函数上面，那 e 函数表达式是 y 等于二分之一， x 减二，那么所以当 x 为 t 的 时候，它的动作标呢，就是二分之一 t 减二， 那么哎，应该我们就是能表达出这个 p f 的 长来，对不对？告诉我们 e、 f 等于 a、 c 有 什么用呢？我们观察一下这个图，红色的线和蓝色的线是相等的， 而这两条线相等的话，虽然从这感觉上它不相等，但实际上是相等的。那么我们就根据这个红色线段和蓝色线段它所在的三角形，你会发现它有什么特征呢？哎，这个 a c 加上 o， 那那么这个直角三角形，然后 e、 f p， 那 么这个直角三角形，那么这两个直角三角形存在全等的关系，那因为你看这是直角，这也是直角，然后这个平行啊， s 轴和这个 pe 是 平行的，那么这个角和这个角，它的内缩角是相等的，所以我们可以用角角边证明这两个三角形相等， 那么证明这两个单位全等呢？就有等量关系，相等啊，那么也就是说 o c 等于 p f， 或者说 o a 等于 p e 都可以。我们其实用一个来表述这个它们的等量关系，就能求出 p 点的坐标了，那么哪一个简单一些呢？我们观察说 o c 呢，你看是二，那么 p f 你 可以表示出来， 那么 p f 的 线段长怎么表示呢？它是在第四象限，我们应该是用 f 点的动作标减去 p 点的动作标，就能表示 p f 的 这个线段长度了。那我写一下， p f 的 线段长就等于二分之一 t 减二，再减去二分之一 t 方，这个地方最好你加上括号，或者说直接去括号，就是加上二分之三 t， 然后再加二，那么我们整理完应该是负二分之一 t 方加二 t， 那么这是 p f 的 长，那么 p f 的 长和谁相等呢？和 o c 相等， o c 是 二，那么所以这个就是等于二，应该比较轻松就能求出这个 t 来了。求出 t 呢等于二，然后我们再把这个 t 等于二，带入这个它的纵坐标，那么 我们会求出 p 点的坐标呢，是二度负三，而它符合第四象限的一个标准，所以这个 p 点的坐标呢，是二度负三。那我们再看最后一问，我们需要提前补下图。 好，我们看最后一个，他说在三的条件下，那么我们第三万的求出 p 点坐标是二度负三，他说在三条件下，也就是说 p 点坐标我们是已经知道 的，是二度负三。 n 点是外轴上的一个动点，过这个点做抛物线对称轴，那么他的对称轴呢？我们可以通过这个可以求出他的对称轴是 x， 等于一点五或者二分之三，然后对称轴做一个垂直交一点 m， 让我们求 n a 加 m p 的 最小值，那么我们求这个两线段的最小值，通常用的是将军一马，但是将军一马是什么情况呢？是 p a 啊，加 p b 这样的形式，也就说它们有公共点 p 点，然后是首尾相连的这种线段，你才可以高推称，求出它的最值来。但是 n a 和 m p， 它这个最小值呢？没有公共端点， 没法做对称，那怎么办呢？我们发现这个 n 点和 m 点呢？它都属于动点，然后你想实现这个 pa 加 pb 的 这种形式，那么我们就需要转化，我们应该用到了线段的平移，因为 n 点和 m 点它是动点，我可不可以想办法把它俩进行一个重合呢？我可以平移线段的 na， 也可以平移线段的 pm， 你 比方说我把这个 pm 平移到这边来， 是不也可以啊？或者说我把这个 n a 平移到这边来，平移到这边来是不也可以啊？就是说这样只要实现首尾相连了，就比较简单了。那么这样吧，我们平移线段 n a， 让它与 m 重合， 那么有 p a 加 p b 的 这种形式出现。我们画一下，假设这个为 a 一 点，那么我们线段 a 呢？整体向右平移了这个 n m 的 一个长度，其实我们 n m 的 长度是非常清楚的，因为这是外轴，这是对称轴一点五，那么所以应该是平移了一点五个单位长度，那么所以这个 a 一 点的坐标应该是五点五， 五点五都零，哎，你会发现现在你要求的这个线段 na 加 mp， 现在已经被我转化成了 m a 一， 再加上 mp， 那 么它是不是就跟这种形式是一样的了？又设为相连的线段了，对不对？那么现在要求的是 pm 加 m a 一， 那么要求它的最小值。我们通常的方法是做对称，那怎么做对称呢？因为两个动点 n 点和 m 点重合了，然后 m 点所在的直线是这个对称轴， 那么所以我应该是做动点所在直线对称轴。关于屁或者是 a 一 的这个对称点，那我做哪个呢？我们通常在这个 x 轴上或者 y 轴上去做这个对称，比较简单一点。那么这个 a 一 在 x 轴上，我通常呢是做 a 一 的对称点，那么我对称过去，我首先得知道这一个点 到 a 一 的长度是多少，因为这是一点五五，那么应该是四个单位长度，所以我要做对称的话，他到这边应该也是四个单位长度，而这个地方是从一点五到 负一到 b 点是二点五个单位长度，还差多少呢？一点五个单位长度，那么我应该再向左移动一点五单位长度，这是负一，你再往左移动一点五单位长度，说负二点五，那么假设在这块为 a 二， 那么 a 一 的对称点，关于对称轴对称到这边的话，那它应该就是负二点五到零，做完对称之后，应该是连接这个定点与对称点的连线，所以最后我要求的最小值，实际上就是去求 p a 二的最小值， 比较简单，我们可以直接用两点之间的公式去进行计算，你也可以通过这个直角三角形去进行计算，比方说这个 p 这个点 v h， 你 可以用直角三角形，用勾股定律就可以求出 p a 二的这个值来。我们求出来是根号下四分之一百一十七，化简之后呢，是二分之三倍的根号十三， 那么整体来说这道题的这个难度的话不大，但是呢是二分之三倍的根号十三。那么整体来说这道题的这道题的难度的话不大，但是呢是考察了这个等量三倍的根号十三，那么整体来说这道题的这个问题。

各位，学数学啊，学的是方法，就像这道题，三种方法你随便会一种啊，轻轻松松解决，不？相信我们来看一下，说已知 abc 等于一啊， abc 相乘是等于一的，则啊，这么一大坨啊，求它的值。各位， 如果啊是填空题第一种方法，最简单的方法，你假设它 abc 等于一，那我能不能？我假设 a 就是 一， b 也是一， c 也是一，我就假设它都等于一，直接带进去，你会发现等于多少？ 一加一加一，三分之一，一加一加一，三分之一，一加一加一，三分之一是不是等于一啊？各位，这是第一种方法啊，填空题如果是问答题呢？那你写步骤呢？第二个方法， 你假设 abc 是 一，那这个一就能给它换成 abc， 这个道理能不能明白啊？ 你把 abc 等于一的话，这个一我能不能给换成 abc 这一，我全部给他换成 abc， 然后你带进去啊，给他消消圆，都给他消掉，答案也是一，还有第三种方法。第三种方法，什么方法呢？各位， abc 等于一的话， 你想一下， abc 等于一，我能不能假设 a 等于 x 比 y， b 呢？ b 呢？等于 y 比 z， c 呢？ 它俩相乘，你看是不是等于 x， z 分 之 x， 那 我 c， 我 可以设成 x 分 之 z， 我 只要保证 a 乘 b 乘 c 啊， 相乘等于一就行了，你看它们三个相乘，是不是 y 和 y 消了， x 和 z 消了，你把这三个啊 都给他带回去，你会发现削完圆还是一。所以说方法很重要啊。最后给大家推荐一套书啊， 这套书呢叫初中数学压轴题，里面有几何的有函数的啊，都是中考常见的题型啊，难度比较大，但是会的方法也很简单，所以说这些方法一定要多学啊哥。

一个视频带你搞定加权费马力。 p 是 三角形内部一点求 p， c 加 pb 加根三、 pa 的 最小值。当线段前面的系数不为一的时候，这类问题叫做加权费马力。它的解决思路与普通费马力一致，依然是旋转。 不过我们要确定旋转中心与旋转角度。旋转中心的确定，我们只需要找一下三条线段谁前面的系数不等于一即可。我们看到 pa 前面系数为根号三，那么也就意味着点 a 为旋转中心， 而三条线段前面的系数之比分别为一比一、比根号三。我们很容易联想到顶角为一百二十度的等幺三角线，也就说我们的旋转角度为一百二十度。 确定了以上两点，接下来我们来确定一下与点 a 有 关的三角形。红色与绿色，我们二选 c、 e 即可。比方说我们可以将红色三角形 a、 c、 p 绕点 a 向外旋转一百二十度， 此时轻松可得两个三角形全等，那么也就意味着 p c 等于 p 撇 c。 接下来我们选择连接 pp 撇，由于旋转了一百二十度，我们可以得到绿色三角形，为顶角一百二十度的等腰三角形。那么根据特殊三角形边长关系，我们可以得到 pp 撇等于根三倍的 p a。 此时问题即转化为求这三条线段和的最小值。我们知道 b 和 c 撇都是定点，现在求它们三条线段和的最小值，两点之间线段最短。当前仅当 b、 p、 p、 撇四点共线的时候，此时这三条线段和取得最小值。那么这个最小值应该如何进行计算呢？我们只需要在下方构造直角三角形， 由于 a、 c 等于 a、 c， 撇等于二倍根号三，这里又有一个三十度的角，所以我们可求出另外两条直角边为根三和二。 在三角形 a、 b、 c 处依然是 a、 c 为二倍根号三角 c， a、 b 等于三十度，所以我们可得 bc 与 ab 分 别是二和四。最后一步，在蓝色的直角三角形中，我们已知直角边分别为根三和六，所以利用勾股定律可求出 bc 撇为根号三十九次梯得结，你学会了吗？

济宁附中这次期末要考到一元一的方程，然后我们看一下我们要准备的第四类题型啊，就是判断方程解的情况啊，这有一个例题，这个例题呢，我们可以当成未来解其他的一些没给你这个条件的一个依据，因为可以相当于说是一个新知识 啊，我们看一下这个例子到底怎么说的啊？关于 x 的 方程， ax 加 b 等于零，解的情况如下，当 a 不 等零时，方程有唯一的解， x 等于负 a 的 b， 那什么意思呢？那也就是 a x 加 b 等于零，对吧？我把 b 移向 a， x 等于负 b， x 等于负 a 分 之 b， 因为 a 不 等于零，这个解它是存在的，所以说这叫有唯一的解，对吧？然后呢，当 a 等于零， b 不 等于零时，它方程无解，那 a 等于零的时候，这 a x 加 b 等于零，它是不是就变成了零加 b 等于零了， 那么这里边 b 又不等于零，是不是这个方程是横不成立的呀？所以说这个情况下叫无解啊。那如果说，哎，当 a 等于零， b 等于零，方程有无数解，什么意思呢啊？还是 a x 加 b 等于零，然后呢， a 等于零呢？就是零加零等于零，这是不是变成一个横等式了呀？所以说在这种情况下，它就有无数的解 啊，这个要有无数的解，那有无数的解，那这个这三个依据可以作为我们本题的解题依据，其实你也可以当成未来去解这种有一个解，有无数个解和无解的这种依据啊。我们先看下这道题 啊，若关于 x 的 方程， f x 加三个代等于三个 n 减 x 有 无数个解，这 m 加 n 的 值，为什么？那么这个题看一下，哎，题目给了我们是 a x 加 b， 这里面变成这个了，那应该怎么办呢？各位，我们知道我们的方程，我们在解方程的时候，我们要做 简化，要做变形，对吧？所以说呢，这种题我们要做的一个思路 就叫什么呢？就叫同构，什么叫同构？我们看题目里面这个是 a， x 加 b 等于零， 我们看一下，在这一个方程里面，它是关于 x 的 这么一个一元方程， x 的 它的角是什么呢？它就是个圆，就是个未知数，那么 a 它代表着什么呢？它代表着这个 x 的 系数，也就是一次项的系数，那个 b 代表什么呢啊？ b 代表常数项，你要知道它的值呢？我们就可以去做同步了。那给到我们的题目是 m x 加上三分之二等于三分之 a 减 x， 我 们要把它变成一种什么呢？哦，一次项加长，数项等于零的形式，我们知道我们在学方程的解方程的时候，我们有哎一项有合并同类项，这些步骤，对不对？我们就根据这个形式我们来做啊，我们把右边的所有的都挪到左边来， m x 加三分之二 减三分之 a 加 x 等于零，那么你看一次项，是不是这两个是一次项啊？我们 m x 加上 x 长的项是这俩加上三分之二减三分之 a 等于零， 那么我们在合并同类项，就 m 加一和 x 加上三分之二减三分之 a 等于零，那么这一个方程它是什么？有无数个解，我们看有无数个解的情况是 a 等于零，那在这里面我说 a 是 一次项的系数， b 是， 那么在这里面是不是 m 加一，它就是这中间的 a 啊？也就 m 加一，它是等于零的，然后呢？三分之二 减去三分之 a 等于零，那么解的 m 等于负一， a 等于二， m 加 a 等于一。哎，这种题你只要在以前我们学多项式的时候，我们理解系数的概念，这个同构法就会让你把这种题做的游刃有余。

但是你要保证正确率啊，你正确率达不到，你速度再快也没用，所以要求孩子哈。这个啊，严超纸的版书非常重要，自己家的孩子如果有这样的问题，一定要改正，从小把它改正过来。你看那些学霸型的孩子，他们的严超纸是非常工整的 啊。严超纸工整还有点好处是什么？你考试的时候啊，你比如说哪个地方你也检验的时候算错了，你可以回过来去找自己哪一步做错了 啊？嗯，如果说他言朝志写的特别的乱，东边一个，西边一个，横着写一个，竖着写一个，那他到时候他找都找不到，而且那个字特别差，字特别差的时候他自己都不知道写的是什么了。啊？那个二啊，二和三看不出来， 嗯，然后，嗯，六和八看不出来，特别多哈，就是他自己都看不出来了。因为我经常给孩子这一个改计算的时候啊，我说你把验钞纸来拿过来，老师看看，你哪里做错了，他自己都不知道他刚才这个题在哪里做的，就这个题的解析过程。

针对期末考试的，针对复中的期末考试，一元一个方程的问题，我们看一下，哎，题型二，哎，一元一个方程的错解问题啊，昨天给大家讲过了啊，这个错解问题，它的原则叫将错就错啊，将错就错， 那具体怎么将它就错呢？我们看一下。例二，小乐在解方程啊，这个方程 x 未知数时，误将负 x 看成了正 x， 得到方程的解为 x 等于一，求圆方程的解。那么这句话我们翻译过来就是他抄错题了，他抄错的题是什么呢？把负 x 抄成正 x 了啊，把减 x 抄成了加 x 了啊，那就变成了这么一个玩意啊， 对吧？也就是这是他抄错的方程，但是呢，他虽然抄错了，但是他抄错这个题呢？哦，他解出来了，他解的什么？哦？ x 等于一啊，这是他解出来的，那么也意味着翻译过来，这个 x 等于一，是不是就是这个方程的解啊， 对吧？那么我们把 x 等于一，就可以顺势就把它带进去，也就是五 a 加上一，比上六减去一等于零，对吧？哎，我们可以解出这个 a 来，五 a 加一，哎，六分之五加一等于一，哎，五 a 加一等于六，哎，我们得数 a 等于一，对吧？ 那 a 等于一得出来以后，那么我们这个求的是 a 吗？我们求的是圆方程的几，那现在 a 出来了，是不是就是五乘以一，也就是五减 x 比六减一等于零，哎，这个是不是圆方程？它原来的这个 a， 是 吧？是未知的结果，就把它 变成一只了，是不是就变成一个正常的方程了，这次没抄错，在这种情况下，我们要正确的去解答，对吧？看一下，先一项等于一，然后呢？两边同乘以六，然后 x 等于负一，哎，这个就是它正确的解。所以说像这种问题的话， 不要着急，顺着他的路把他抄错的这个方程给他写下来，把他的这个错的方程呢带进去，第一个抄错的方程 解下来，然后第二个，哎，带入他的解，然后第三个求出他中间的一个那个参数 a， 然后再写出正确的方程， 然后再解方程，你只要按照这五步走，你这类题一辈子都不会错。

各位，一道填空压轴题啊，难倒了很多学生啊，其实会的方法很简单的啊，不相信我们来看一下说求角一、加角二、加角三等于多少？这正方形啊，三个正方形， 角一加角二，这不角一加角二加角三吗？这三个角加起来等于多少度啊？这怎么求？有同学说，哎，这个是不是四十五度啊？这不正方形吗？正方形的对角线，这边长都是一，对不对？这边长都是一啊， 那这个角等于多少度？不知道呀，但是我知道摊角二啊，摊角二是多少度？就是这个边比这个边 对不对？这个边是二，那不一比二吗？角三等于多少度？不知道呀，但是我知道摊角角三等于多少度啊，摊角三等于多少度？就是它比上这个长度大三角形对不对？那就是一比三吗？ 不是特殊角呀，这角二角三都不是特殊角呀，一个是二分之一，一个三分之一，他俩相加多少度？有同学说，咱能不能转移一下，这个角二和这个角是不是相等？你看平行线吗？这个角二，这个是不是也是角二？这个大角对不对？那这个角三呢？ 是不是能转移到这，那有什么用呢？就是这个角是角三，对不对啊？这个大角是角二，那有什么用呢？ 角一是四十五度，他俩相加了多少度？不知道呀，但是你要是会了方格题的做题技巧很简单啊，方格题他有个技巧就是什么来，你就画方格啊，你就画方格， 画方格，你会发现啊，这不都一格一格的吗？你会发现这个角三，你看和这个角是不是也相等？各位，这是不是也是角三？ 因为完全复制的呀？这个是不是角三？这个是不是角二？角二加角三，其实就是这个角加这个角呀，这个道理能不能明白 啊？那就是求这个大角的角度，就这这个大角的角度求出来不就行了吗？他俩相加啊，多少度啊？这个边长是多少？这个边长是一，这个边长三。一的平方加三的平方再开方，这不跟二十呀， 这个平方多少？一的平方加二的平方，一的平方加二的平方，是不是根号五呀？那有什么用呢？连成这连成三角形啊。这个是根号五，这个是根号十，这个是多少 啊？一的平方加二的平方，这不是二吗？一的平方加他也是根号五，他是根号五，他是根号十，他的平方加他的平方再开方，这不正好九十度吗？ 啊？这个是不是四十五度啊？九十度的等腰直角三角形，这是四十五度，这个是不是也是四十五度啊？他俩角二加角三是四十五，加上这个四十五，是不是九十度啊？所以说会的方法也不难啊，各位。

新学期开始，初一的孩子们呢，学习了一元一的方程的部分，而一元一的方程的部分是这个下册的第二章。那为什么要先学习一元一的方程的部分呢？你纵观初一下册的内容，期中考试前的内容呢，是一元一的方程，基本平行图形，再加上相相平行线，那么一元一的方程它是属于代数的部分， 然后剩下的两张是几何的部分，那么你先学完代数的部分，再去进行几何的部分的话，这个可能就显得比较这个比较统一。几何是几何，代数是代数，那么这一块 一元一方程的部分呢？附中系统他们是年前就已经进行了，年后现在开始他学的会比较快，其他学校呢，可能进行的速度稍微慢一点。 那么要想在短时间内把这一块掌握好的话，那么我们需要最好是总结一下题型，你把题型总结透彻了，刷的题型比较多了，那么遇到这一章节的题目呢，应该是比较轻松就能解决的， 所以我们要学会怎么把题型总结好。这个应用方程的题型呢？这个我也有所总结，不要说有需要了，嗯，你懂。