2024重庆中考数学几何压轴 讲解

上个视频呢，我们讲了二零二四年重庆市中考数学 a 卷的倒数第二题，这个题目呢，他考察了几何和二次函数的一个综合倒数第二问和第三问是非常难的，大家可以去看一下啊。 那么今天呢，我们来讲一下二零二四年重庆市中考数学 a 卷的最后一道压轴题，这个题目非常的难，超级无敌变态的啊，很难很难，那我们来看一下这个题目到底应该怎么去分析啊？这里面呢有很多知识点我们以后要掌握，就是做题的时候能够给我们提供一些添加辅助性的参考。我们来看一下， 他说在三角形 abc 里面， ab 等于 ac 啊，那说明是等于三角形是吧？点 d 是 bc 边上的一点， 然后呢告诉我们点 d 关于 ab 的 对称点为点 e。 好， 到这里面呢，我需要跟你们讲第一个添加辅助线的 就是方式，就是碰到这种对称，哎，碰到这种对称一定一定要把就是对称的对应的两个点和这个对称轴上的特征的点或者特特征的线给他连起来， 就是不管这个线他连之后有没有用，先连啊，先连就是做辅助线。我讲过几何题里面做辅助线很多时候就是猜， 就是猜测，但是你得有一个大致的方向去猜啊，那么这个线你画了之后可能没用，但是呢它可能会帮助你思考，哎，比如说这个题目啊， 它告诉我们 d e 是 关于 ab 对 称的，是不是也就说啊过 d 点做 ab 的 一个对称点。好，那这时候请问我应该怎么连呢？我肯定要把这个 a e 连起来， 我肯定要把这个 b、 e 连起来，我肯定要把这两列连起来，这时候呢，有一个东西你需要关注一下啊，就是这个角肯定是直角，对吧？你对称嘛，肯定是直角，然后呢？然后就是这个角等于这个角啊，如果这是 r 法的话，这也是 r 法， 如果这个是 beta 的 话，那么这个也是 beta 对 称的情况，一定要这么做，就是不管它有没有用，先这么连啊，先这么连，它可能会给你提供一些帮助，知道吧？所以这是我们讲的对称的一个做辅助性的一个技巧啊，或者说一个方向 啊，它这后面有 r 法，对吧？有 r 法，那我们这里还不能用 r 法，哎，还不能用 r 法啊，我们用个 theta 吧。好吧， c， 他， 嗯，好，他说，呃。在直线 a、 d 上取一点 d 啊，然后 取一点，在直线 a、 d 上取一点 f， 取点 f， 然后呢，使得角 e、 f、 d 等于角 b、 a、 c、 e、 f、 d 等于角 b、 a、 c。 啊，就是这个角等于这个角，是吧？标一下啊， 好，直线 e、 f、 e、 f 与直线 a、 c 交于点记 如图一，如果告诉我们角 b、 a、 c 等于六十度，角 b、 a、 c 等于六十度，已知告诉我们 ab 等于 ac， 那 我们立刻能够知道三角形 abc 是 什么？是等边三角形，对吧？所以所有的边相等，所有角相等都等于六十度， 然后呢？ b、 d 小 于 c d， b d 小 于 c d。 说明什么？说明这个地点肯定是在 b、 c 就是 终点的左侧啊，就是终点，比如说这个点是终点啊，比如说这是 h， 肯定是在 h 的 左侧，对吧？好，这个就不写了啊， 那说明什么？那说明这个中点很重要啊，可能在右侧和左侧不太一样啊，就是我们留个心眼好，然后呢？他说这个角 b、 a、 d 等于 r 法， b a、 d 等于 r。 哦，那我们刚刚标的是对的，对吧？我们刚刚标的是对的。 嗯，角 b、 a、 d 等于 alpha， 那 么这个角就是 alpha 喽，是不是？好，他说让我们求角 a、 c、 e， a c e 是 这个角， 那这个就简单嘛，对吧？你看角 b、 a、 c 等于多少度？哎，题目告诉我们六十度，题目告诉我们这个角 e、 f、 d 等于角 b、 a、 c， 是 不是？那说明它也是六十度， 对不对？那你看啊，那么这个角是不是六十度？就是角 a、 f g 和角 e、 f、 d， 它俩是不是相等啊？对，顶角等于六十度，然后你看啊，这个角 f、 a、 g， 它等于六十度，减 r 法，对不对？是吧？好，那这样子的话，你看这个角 a g、 f， 我说 a g e 啊， a g、 e 是 不是等于你在三角形 a、 f、 g 里面，它是不是等于一百八十度？减去 六十度，对吧？再减去个六十度减二法，对吧？所以应该等于六十度加上二法。好，到这一步， 到这一步之后呢，我想请你们关注一个东西，就是我以前跟你们反复讲的一个东西，什么东西？就是在大体里面 这个角是六十度加上耳法。我跟你们讲过一个东西，就是不知道有人还记不记得啊？就是大体里面所有的中考题里面，大题第一问一定非常重要， 我就没讲过，讲过很多次了啊，在二零二五年全国各地的中考题里面，我们讲的时候讲过很多次，大家可以去看一下。就是中考题啊，包括就是倒数第一题，倒数第二题，大题， 大体里面啊，大体里面第一问一定非常重要，就是你第一问做的东西，如果后面完全没用到，那你可能是在浪费时间啊。有可能是第一问能够给你提供一个很好的帮助，但是你没用到，你可能还要重新再找一些结论， 所以一定要充分的利用好第一问的一个结论。第一问很简单，对吧？那他为什么让你去算这个尔法加六十度呢？ r 法加六十度，就是这个角是六十度加 r 法，你看这个角六十度加 r 法，我立马能知道 a、 e 等于 e、 g。 对， 这个我们是能够知道是不是，但是有没有用不知道，对吧？但是我们先给它写出来啊。 六十度，那说明什么？说明 a、 e 等于 e、 g。 好，这第一个，第二个是什么呢？第二个你看啊，这个角六十度，对不对？ 然后这里面肯定需要倒角，因为他告诉你一个尔法，告诉你一个尔法啊，然后呢？这个北塔是我们自己设的啊，告诉你一个尔法，所以这里面肯定需要倒角。 嗯，把这个六十度和 r 法结合在一起，考虑好，我们再看第二个吧。第二个他说如图一，如果 b、 a、 c 等于六十度啊，这个 b a、 c 还是等于六度啊？ b、 d 小 于 c d， b d 小 于 c、 d 啊，就这个大前提是不变的。他说用等式表示 c、 g 和 d、 e 的 关系，就表示这个和这个的关系。 我在拿这个题目之前，我第一反应是可能用相似，就我可能用相似三角形给他做，给他做一下啊，可能用相似不代表一定是用相似的啊， 可能用相似，因为这里面有很多相似三角形。我给你们举个例子啊，你比如说，你比如说这个角等于六十度，对不对？对吧？这个角是不是等于六十度，对吧？ 你问哪？九三四 c 相似度， 嗯，你看啊，你看啊，这个角是六十度，对不对？这个角，这个角是不是等于这个角加这个角啊？对吧？而这个角是不等于 是不等于六十度。减这个角说明什么？说明角 f a g 等于角，就 f a g 等于角 a， 比如说这个是接一点啊， a j f f a g 等于 a j f， 这能理解吧？好，这个，这个是我第一想法啊，然后呢？我就想啊，再加上一个公共的一个角，就是六十度加 r 法，你看啊，我就可以找到两个相似三角形啊，两个相似三角形就是，呃，三角形 a j g， 嗯，相似三角形 f a g 啊，我，我找这么个相似三角形，对吧？然后我又想看啊，这个 f a g， 这里面它的就它有有有，有没有可能跟这个 c g 在 产生一些联系呢？所以我当时就想，它能不能跟这个 a c d 又产生一些联系呢？啊？它跟 a c d 能不能是相似的呢？ 可以，你看这个角啊，是可以的，对吧？你看角 j a g 是 不是等于六十度，对吧？它等于角 a c d， 对 不对？然后角 c a d 是 不是等于角 a j g 啊？对不对？所以它也是有相似的，所以当时我就想，哎，那这样子的话，是不是能够通过相似量形来做呢？结果我试了一下，发现不行， 就是你们可以去尝试啊，因为做几何题他就，他就是这样，就是你，你需要去尝试啊，他可能能做出来，可能做不出来，所以这个题目他需要尝试到这为止。之后呢，我就发现，哎，可能就是就这两个他也能够突出相似的啊， 就是三角形， a c d 相似三角形，嗯， j a g 啊，就是这么个东西，然后你会发现，呃，那么这三个产品都是相似的啊，就是里面是有相似的啊，但是呢，我发现就做不出来了。所以呢，这个方向啊，大概你考虑了下之后就可以去放弃了。那放弃了，那怎么办呢？然后我就看是看看能不能倒脚啊？进一步倒脚， 有这个角，我们倒到这之后，那说明做做不出来，我们就能继续倒倒其他角啊，我们还把这个标一下， 好，这个是垂直，这个是阿尔法，这个是贝塔，贝塔，好，这个角呢是刚刚算的六十度加上阿尔法。 好，嗯那，那我当时是在想什么呢？你看啊，他让我们求这个六十度加 r 法，一定是很重要的一个角，要不然不可能莫名其妙就让你求这么个角。所以我当时就想，你看啊，六十度加 r 法，这个角，它正好是 跟这个六十度，我们其实可以把它联系起来。怎么联系呢？我就是可以过这个，呃，把这个 c b 延长，你看啊，如果我把 c b 延长， 然后呢，我再把这个记忆延长， 它的交一点，比如说这个是 e f e f g h， 这是 h 点，然后你会发现啊，你看这个角是六十度加阿尔法的，就是我是尝试的，因为我就跟刚刚那个相思暂停一样，我也是尝试的，因为我相思暂停，我做出来的话，我就没想其他办法是不是？而且我就在想这个第一问，让我们求到六十度加阿尔法， 它一定是有作用的，它不可能让你莫名其妙去求一个角的啊。那你看啊，这个是六十度加阿尔法，这个是六十度，那说明这个角是多少度？是阿尔法， 有没有问题？没有问题，这个是六十度啊，这个是阿尔法。然后我就发现一个东西，你看啊， 这个贝塔角是多少度啊？贝塔角是不是六十度？因为你是等边三角形嘛，对吧？ ab 等于 ac 了，又告诉我们角 bc 等于六十度，那说明它是等边三角形，那说明贝塔等于六十度。那么贝塔等于六十度的话， 二北大等于一百二十度，那说明这个角角 e、 b、 h 等于六十度，对吧？一百八十度减去二乘以二乘以六十度等于一百八十度减一百二十度等于六十度，对不对？那么这个六十度它是不是等于北大？说明什么？说明这个角也等于北大。好，然后我就发现了啊，那你看啊， 角 r 法等于角 r 法，对不对？角贝塔等于角，贝塔都等于六十度，加上一个公共的边 e b， 那 说明什么？我把它写写清楚了啊，你看角 e h、 b 等于角 e a b， 对 吧？角 e b、 h 等于角 e b a 等于六十度，对吧？再加上一个公共边 e、 b 等于 e b， 是 不是？那我就通过什么？ 通过？呃， a a s a a s 啊，我就能说明三角形 e h b e a e h b 全等于三角形 e a、 b， 有没有问题？到这问题都没有动到这都没有问题吧？然后你看啊，我刚刚是不是已经证明了这个角是六十度加 r 法， 对吧？然后我，我发现什么？你看，我刚刚不是讲了吗？这个也是六十度，对不对？这个也是 alpha， 说明什么？说明 e a 和 eg 它是相等的，就是 e a 等于 eg 啊。 啊，我这样讲能够能够理解吧， e a 其实等于 e g 的， 那这样子的话， e a 等于 e g， 那 么 e a 是 不是等于 h 啊？你看 e a 是 不是等于 h， 对 不对？ e a 等于 h， 而且这个 e h 还等于 ad 啊，只是我们暂时没有用到，对吧？ e a 等于 h， 又等于 eg， 好，然后你会发现，你看啊，这个是北塔，这个是六十度，说明什么？说明 e b 是 不是平行于 g c 啊，对吧？它俩是同位角嘛？说明 e b 平行 g c 有没有问题？没有好，没有，那就是 e b 平行 g c， 而且 e 点，你看这个 e h 是 不是等于 eg 啊？说明 e 点是不是 h g 终点啊？ e 为 h g 终点，那说明 b 点是不是 h c 的 终点， 说明 b 点是不是 h c。 重点就是中位线嘛，对不对？好，接下来你看啊，那中位线的话，那这题目就搞定了。你看啊，我假如设这个 e b e b 长是 a 啊，因为你要让我们表达这个 c g c g 和 d e 之间的关系啊，那么这样子，你看啊，我设这个， 我设这个 e b 是 a 啊，可以吧？ e b 是 a， 或者说我设 b d 等于 a 一 样的，因为它等于三角形嘛。 b d 等于 e b， 因为你是对称的嘛，完全对称的嘛，所以 b d 等于 e b 啊， 那这样子的话，这个 c d 场是不是二 a， 因为你是中线？好，这样子的话，你看 e b、 d 这个角，它是不是个等腰三角形啊？ 而且这个顶角是多少度啊？顶角是一百二十度， 对不对？相当于这个是 a， 这个是 a， 这个是一百二十度。那你说这下面长是多少？一比一比根号三，对吧？这个你要记住啊，根号三 a， 那 说明这个 e、 d 长是多少啊？ e d 长等于根号三 a 是 吧？这个 g c 长呢？等于二 a， 那它俩数量关系是什么？哎。 e d 比上 g c 等于二分之根号三。看到这位置我们就做做出来了啊， 这是第二本，这是第二本，你看是不是还是挺难的？挺难的，我是怎么想到的？我想到的第一个方式是因为你是对称，对称的话，不论你这个辅助线有没有用啊，一定要把对称点， 对称点和这个线上啊特征的点连起来啊。特征点连起来，其实这里面还可以连什么？还可以连这个，哎， 还可以连这个，哎。你 keep 它是连起来，就是它有没有用？不知道不知道，先连起来，然后第二个是什么呢？第二个是你要去尝试一些。 呃，方法，就比如说我尝试的是相似三角形，对吧？一开始想尝试是相似，而且我也找到了三个相似啊，三个相似，但是呢，发现都做不出来， 然后我就得换思路了。我换思路，我会怎么考虑的呢？我考虑的是他让我求的这个角一定是有特殊用力的。 就这个角啊，为什么让我们求？呃，六十度加尔法他一定是有特殊用意的，他不可能随便就让你求的。中考题里面就是这样，他不是竞赛题，竞赛题的话他可能把最后一本直接甩出来啊，他不会让你求第一本，那你做起来可能就费劲了啊，可能就比较麻烦啊，因为第一本没有提示， 所以他有提示之后呢，我就在想，这个六十度加尔法怎么给它转出去呢？啊？这里面有个很特殊角，六十度，那我就把六十度加尔法把它变成一个外角，那不就可以了吗？然后这里面，这里面有一个六十度加尔法， 哎，我就想了，可能是这样做的啊，所以一做就出来了，所以这题目呢，很难，难在你可能没有思路，难在你可能一开始没有一个好的想法。 好，这是第一个。那我们接下来呢，会讲一些专题了，就跟你们讲一下这个几何图形的辅助线到底应该怎么去做。他有一些固定的， 固定的思路在里面，就是你不一定能够做出来，就是不一定能够完全能做出来，不可能完全做出来的啊，包括我也是，我在碰到很多题目的时候，很难很难的时候，我也做，我也做不出来， 但是呢，你可以有一些思路往这方面去想，去靠，大概，嗯，见多了，你就会有这么个想法在里面，而且能够快速反应哪些是错的。好，这第二题啊，我们还有第三问，没错没，没错啊，我们看一下啊， 第三问，第三问，就跟第一问，第二问就没有什么关系啊。第三问，他说如图二， b， a、 c 等于六，等于九十度啊，前面是六十度，这是九十度，那我标一下啊， 然后呢？这个点 d 啊，从这个 b 移动到 c 啊，在此过程中连接 a、 e 啊，这个 e 点还是 d 点？关于 a、 b 的 一个对称点，对吧？你看他现在就把 a e 给你连起来了啊。当这个 a e g 为等腰三角形的时候，请直接写出此时 c g 比上 a g 的 值。 好，我先不管这个 c g 比 a g， 我 先问你，你觉得 a e g 为等腰三角形的时候，这个题目是不是只 有一种情况？不可能。为什么？因为题目问你们，当它是等腰三角形的时候，它可以直接说 a e 等于 a g 啊， 是不是这题目一看就是 a 等于 g， 因为这是钝角嘛，对吧？一个钝角三角形，那肯定是钝角的，两个边才能围成一个，一个一个啊，相等的一个边啊，他不可能是底角啊， 啊？不可能是底边啊，不可能是底边。所以他要是要是等腰三角形，那一定是 a e 等于 a g， 是不是他题目可以直接讲啊？他为什么要要模糊的去讲这个？他是等腰三角形的时候呢？说明他一定不止一种情况需要讨论，我们已经见过很多了，是不是？好，那讨论，那怎么讨论的？他有什么变化的情况吗？有啊， d 点从 b 点运动到 c 点，这就是变化的情况 是不是？你看提问，我前面刚跟你们讲了，有一个东西叫 b d 小 于 c d， b d 小 于 c d， 它就确保这个地点啊，在这个 b c 终点的左侧， 那说明什么？那说明这个地点如果在右侧的时候，前面这个东西就不对，就图一啊，就做不出来。我这样讲能够理解吗？就如果这个地点跑到终点就是 b c 终点的右侧了，那图一这个图就不是这样画的， 说明他要想这样画，就确保这个地点在左侧，那就问题就来了，那么右侧这个图呢？我们是不是应该给画一下？我们先确定一下中间这个地方吧。好吧，如果在中间这个地方啊，你看啊，如果地点在中间这个地方，你比如说地点在这， 如果 d 点在这啊，那你要肯定要做这个 a b 的 垂线，是吧？大概就这样， 那么 e 点在什么地方， e 点就肯定在这， e 点就肯定在这啊，就在这。为什么我要刚刚画 a e 水平呢？是因为你看啊， 这个角九十度，这个角四十五度，因为 ab 等于 ac 吗？对吧？所以他等于四十五度，那么他等于四十五度，他等于四十五度，他才能垂直吗？是不是？那就是什么？那就是，呃，这个等于这个喽，对吧？而且你整个都是 四四方方的，所以这个 a d b e 他 应该是一个等，他应该是个正方形，对吧？这时候 你还要做什么？你还要做 e f 垂直 ad 啊，对吧？因为角 e f d e f d 等于角 b a c b a c 等于九十度啊，所以 e f d 得 等于九十度啊，所以你得做 e f 垂直 ad 啊。那么 e f 垂直 ad 的 话，这种情况还能做 e f 垂直 ad 吗？那你这个 f 点是不是就是 a 点了， 对吧？ f 点就是 a 点了呀，所以你这 f 点就是 a 点了，那么 g 点在什么？ g 点也在这了，所以 f g 两点就在 a 点了，所以这个三角形 a e g 还能是个三角形吗？不是了，所以这题目就错，就求不出来了，所以这种情况就不用考虑了， 那接下来就要考虑另外一种情况，就是 d 点在右侧， d 点在右侧的话，那比如说，我举个例子啊， 比如说在这 地点在这，是吧？那么地点在这的话，右侧那做垂直呗， 好，那么这个是 e 点了，对不对？这 e 点了，好，哎，不对，这个画的还不够精细啊， 这个就是 e 点了，没问题吧？然后你要做什么？你要做 ef 垂直 a d， 这里面题题目中告诉我们的，你看直线 a d， 它有没有说线线那个线段啊？没有说，说明你可以延长的，对不对？然后直线 e f 直线 ab， 说明你可以延长的啊，那我做 a d 的 垂线嘛，对吧？ 好，就这样。好，那我 e e f 垂直 a d， 大 概就这样， 是吧？ ef 垂直 a d， 然后呢？ ef 还要和 ac 这个直线相交，交于 g 点，那我们再把这个 ac 延长， 是吧？ 嗯， ef 和 ac 相交于点，比如说这是点击， 对吧？他说什么？他说的是 a e g 是 等腰三角形，那么这个角肯定是个钝角，所以你要是相，你要是个等腰三角形的话，一定是 a g 等于 a e， 一定是这两个边相等， 对不对？一定是这两边相等，那我们先求这个情况，好不好？我们然后再求这个地点在左侧的啊，这个图我们画了半天了，我们先求这个啊， 好，那我们就，那我们就来分析一下，这个题目肯定是要倒角啊，肯定是要倒倒角，你不倒角的话，这题目是做不出来的，他肯定这个 c g 啊，肯定是利用 a c 等于 ab， 你 肯定要把这个 a g 给他求，哎，这里面就不在这， a g c g 应该在这啊，这 c g 啊，肯定是 g a 和 ac 的 关系，你肯定要把 g a 和 ac 的 关系给他求出来 啊，然后呢？还有这个 a g， 哎，对，你看你只要把 c g 和，你只要把 c g， c g 和 ag 的 关系，嗯，就把 c g 和 ac 的 关系，你的关键是什么？你看 c g， 还有一个 ag， ag 等于什么？ ag， a g， a g 就是 a g 啊，然后这个，这里面你不要看错了啊，看我这红色的线标的地方啊，那就应该是什么？ a g 好 像是短的，对吧？ c g 长， c g 长呢？它就可以转化成 c a 加 a g， c a 加上 ag， 对 吧？你要问我们 cg 和 ag 的 一个比例关系，那我是不是只要知道 ca 和 ag 的 关系就可以了？ ca 和 ag 的 关系就可以了，哎，对不对？好，那我们来算一下啊，那你看， 这里面肯定要，肯定要倒，肯定要倒角啊，因为你，因为你说是等腰三角形嘛，所以 ag 等于，所以 ga 等于 g e， 这没有问题吧？那么等腰三角形告诉你两下呢，那我肯定要尝试去倒角，怎么倒呢？ 这个角是 r 法，我们设它为 r 法，这个角就是 r 法了，对不对？因为你 g e 等于 ga 嘛，所以两个地方呢？等于 r 法。那请问这个角等于多少？它的补角吗？啊？它它的一个外角吗？等于 r， r 法，对不对？好，我请问啊，你看啊， 这个角等于多少？这个角是不是也等于 f 啊？为什么？你看啊，这个 a， 这个 e， a， d， 它是不是 ab 折叠过去的？折叠过去的话，这个角是九十度， 对吧？折叠过去的，然后这角等于九十度，说明这个角等于这个角，没有问题吧？就是这个角啊，就是角角 e， a b 等于角 d， d， a b 等于 d， a b 等于九十度。减二法，这没有问题吧？因为你是完全折叠过去的嘛。 好，你九十度减阿尔法的话，你这个角 b， a， c 是 不是也九十度啊？是不是？那么这个角 d， a， c 是 不是等于九十度？减去九十度减阿尔法，哎，正好就是阿尔法，说明这个角是阿尔法。 哎呦，这个角 e， a， d 啊，其实就是关于这个平角对称了啊。其实啊，那么它是 r 法的话，你看它是 r 法，这个角是不是也是 r 法？正好对顶角，对吧？对，顶角，所以你看啊，在三角形 a， g， f 里面 r t 三角形 a， g， f 中，因为它，因为这是垂直吗？对吧？题目中要要求我们做 e， f， d 等于角 b， a， c 吗？等于九十度吗？好，那你看啊，这个角 f， g， a 是 不是等于二 f？ 刚说的是不是那角 g， a， f 是 不是等于 r 法？那么它俩一加是不是等于三 r 法？而三 r 法是不是正好等于九十度啊？对不对？它是九十度吗？那么剩下两个角之合不应该是九十度吗？对吧？所以，所以能做出得出什么 r 法等于三十度啊， 那这个 r 法角我们就算出来了， r 法角等于三十度，那很多问题就解决了。那你看啊， r 发角等于三十度，那我是肯定要设最短的那个边，我设 g f， g f 等于 a， 可不可以？ g f 等于 a 的 话，那么 g， 那 么 ga 呢？ ga 等于二 a， 有 没有问题？没有问题啊，好，好， 那你看啊，那么 a， f 长呢？ af 长等于多少啊？ af 长， af 长等于根号三 a， 是 不是 af 长等于根号三 a， 那 能不能算出别的？那么 a， e 长呢？ a， e 长是不是二倍，根号三 a， 对 吧？ a， e 长等于二倍，根号三 a e 长是不是等于 ad 长？那么 a e 长等于二，等于二倍，根号三 a， 那 么 af 长等于多少？那么这不是 f 了，这是应该是 h h 就是 ed 和这个 ab 交于 h 点啊啊，那么 a e 长，这个是 g f 的 a， 这个是根号三 a， 这是二倍，根号三 a 二倍，根号三 a， 那 么 a， 那 么 a h 长呢？ a h 长，是不是再除以二， 他是三，他是六，他是。对了啊， a e 除以二等于根号三 a 啊，说明 af 等于 a h 嘛，对吧？那么 a h 等于根号三 a， a h 等于根号三 a， a h 等于刚才，那么 h d 呢？ h d， 因为它也是六十度嘛，对吧？它是三十度嘛？ h d a h 等于高三 a， 那 么 h d 就 应该等于三 a， 没有没有问题吧？等于三 a， 说明 b f 长也等于三 a， 因为你这是四十五度啊，四十五度的话，你这个 h d 等于 h b 吗？有没有问题？ h d 等于 h b 好， 那你看啊，我要知道，我刚刚讲了，我要知道 ac ac 和 g f 的 关系 啊，你要算什么？你要算 c g 和 ag 的 关系，对吧？ c g 我 已经表示出来了啊，那就是 ag 的 啊， c g 不知道 ag 已经表示出来了，我说反了啊， a g 和 c g， a g 我 已经表示出来了，在这，对吧？那我就要算 c g c g 呢？它就等于 a g 加上 a c 啊，这个位置知道，那我就取 a c a c 的 话就是 ab， 对 吧？ ab 的 话 ab 是 不是等于 a h 加上 h b 啊？ a h 等于根号三 a h b 呢？等于三 a， 是 不是？所以就等于三，加上根号三 a， 这是 ab 的 长度啊，那么再加上一个 ag 呢？ ag 长度是二 a， 对 吧？所以 c g 比上 ag 应该等于 c g 长度 就等于 a g， a g 就是 二 a 加上 a c a c 就是 ab， 就是 三，加上根号三倍的 a， 再除以一个 a g， a g 等于二 a， 对 吧？所以这个就是二分之 五加杠三，是吧？这是其中一个结果啊，这是其中一个结果。好，那么再看另外个结果，就是地点在左侧的时候，那我们就把这个全都删了啊， 你看这个东西就很很有意思。这个题目啊，如果地点在左侧的话，就是这个图了啊，那你就是还是一样这垂直， 这个也是垂直，对吧？你告诉我们 e a g 这个三角形是等三角形，那我们就判断啊，你看，这是 r 法啊，不能设它是 r 法了啊。 b a d， 这是随它啊，这是随它，这是随它的话，这也是随它了，对不对？ 那么这样子的话，嗯，我不这样。是啊，不知道，题目已经告诉我们一个 r 法了，我们就直接用 r 法，你看，嗯，这个是 r 法，对吧？ 没问题吧？这个也是 r 法，因为你 e a d 是 完全关它，关关，关于这个 ab 来对称的嘛，完全一样嘛，所以它也是 r 法。 这九十度，对吧？好，那么这个角多少度啊？这个角是不是九十度减阿尔法，这个角度也是九十度减阿尔法。 嗯，能不能再考虑一下啊？ 我看看啊，这肯定还是要倒倒角，这个是阿尔法，这是阿尔法。这个角度 a e a e g a e g 是 等腰三角形 阿尔法。这个 b a d b a d 是 阿尔法，他是阿尔法，他是阿尔法， 这个是九十度减而法 啊，那这个角就是而法，这也是而法。哦，那你看啊，你看，看出来了啊，这个题目还有有点复杂啊，就是倒角，你看，你看，这个角是而法和而法，对吧？没问题吧？这个角呢， 这个角是不是 b a c 是 九十度吗？所以他应该是九十度减 r 法，对吧？那么因为你又垂直，对不对？所以这个角应该就是 r 法喽？ 他是 r 法，他是 r 法的话，那么因为你 e a 等于 ag 吗？题目告诉我们他是等于三角形吗？所以这个角也是 r 法，对吧？那那，那你看啊，这个角， 那你看啊，那么这就是三 r 法了，因为你角 a f e 角 a f e 等于九十度，对不对？说明剩下的三个角就是三 r 法应该等于多少？应该等于九十度，哎，你看 r 法还是三十度？ r 法三十度之后一切都搞定了啊，就很简单了，你看啊， 嗯，三十，哎，我把它，我把它，这，哎， 我把这个删了啊，因为标太乱就不太好啊。这个删了， alpha 等于三十度啊，就是算出来 alpha 等于三十度，那你要求什么？求 c g 和 a g 的 值。 那我只需要知道什么？我只需要知道 ag 和 ac 的 关系，或者是。呃啊， ag 和 ac 的 关系，或者是 cg 和 ac 的 关系，那这里面很明显是知道 ag 啊，和 ac 的 关系要可能要更好一点，对吧？那我们看一下啊， ag 等于 ag 嘛， 我们设什么呢？我们设 af 长， af 等于 a， 为什么呢？因为这里面有一个知道三角形，而且这个，而且这个 af 是 最短的那个边， af 长是最短那个边，对吧？所以我们设 af 等于 a， 设 a f 等于 a f 等于 a 的 话，那么 a e 长等于多少？ a e 长是不等于二 a 啊，对吧？ a e 长就等于 a g 喽，是不是？所以 a g 我 们马上就知道了，那接下来应该表示什么？应该表示 ab 啊， ab 或者是 ac ab 或者是 ac， 那 么这个角也是直角，对不对？好，那我们应该表示什么？ 那我们需要把 a e 给表出来，对吧？ a e， 呃， a e 已经算出来 a e 是 二 a a e 是 二 a 的 话，那么这个，比如说这个是 h 啊，这个点，嗯，前面已经用 h 了，这个点用 i 吧。那么 e i 长度等于多少？ a e 是 二 a e i 长就是 e， i 场等于 i， d 场应该等于 a， 有 没有问题？因为它是三十度嘛角 e a d 是 三十度嘛？ a e 场是二 l af 是 a， 那 么 a 一 长就是二 a 它是二 a 的 话，那么 e i 长度应该也是 a， 对 吧？ i d 长也是 a， 好， 那这个是 a i d 长是 a i d 长是 a， 这个角是四十五度，所以 b i i d 等于 b i 哎 bi 等于 a 是 不是？好，那接下来你要求 ab 吗？你要求 ab， 那 么 ab 的 话就是 bi 加上 ai， 那 么你求求 ai， 那 么 ai 等于多少？ a i 是 不是等于 e i 乘以根号三啊？ e i 长是 a， 那 就是根号三倍的 a， 所以 你看啊，所以这个 ab 长等于多少？ ab 长就等于 a i 加上 b i， 对吧？ a i 长就是根号三，根号三 a 加上 b i 哎， b i 长度 b i 就是 id 了啊，就是 a， 所以 等于根号三，加上一倍的 a， 这是 ab 长啊，那你要求的是 c g 啊？ c g 比上 a g c g， 那 我不知道，但是 a g 我 知道 a g 是 等于多少？ a g 等于二 a c g 呢？那就是 ab 减去 ag， 对 吧？ ab 减去 ag， ab 长呢？ ab 长呢？就是根号三加一，是不是？ ag 长呢？就是二 a g 场就是二，对吧？所以就这么个东西，再出一个二 a a g 场二 a， 所以 就等于二分之根号三减一。 你看这题目还是很难的啊，他这是第二种情况，那第一种情况呢？其实我两两种情况应该写反了，应该先考虑这种情况，就是 d 在 左侧，这个情况，我只是为了方便我因为那个第二种情况已经把图画好了，对吧？所以呢，还有种情况就是 d 在 终点的右侧， 想一下我们怎么做的啊？首先我们因为你是对称，所以我肯定要把对称点还有对称轴上的点连起来，然后呢，对应边相等 读你脚上的，然后呢，你第一问肯定比较简单，六十五加尔法这个角呢，算出来一定有用啊，你记得你一定要记住啊，这个中考题他不是竞赛题，竞赛题的话他不会给你这么多条件的啊，就给一些零散的条，零散的条件让你去挣，这就很难。 中考题他是为了选拔啊，他需要设置梯度，他有的人呢，能够跟住第一问啊，能够找到第二问的一个思路，所以他设的第一问一定是有价值的，所以你就看好了。他为什么让你算这个六数加 r 吧， 所以我当时一开始我是用相似的，因为这里面有很多相似三角形，我已经给你们找了三组，对不对？但是发现相似做做不出来，你们你们也可以去试一下，你们可能用其他方法能做出来啊？我没做出来， 然后我就在想他可能是用的其他方法，所以呢，我就想到了，因为有六十度了，然后还有一个六十度加耳法，我就想着能不能把它变成一个外角，哎，然后就做出来了啊，这是第一个。第三题呢是， 那你要分情况讨论这个 d 点呢，他肯定是从 b 点运动到 c 点。题目中已经告诉我们了， b、 d 小 于 c d， 那 说明在 b d 小 于 c d 的 时候，图一才成立， 也就说 b、 d 如果大于 c d， 图位就不成立。哎，也就是说这个地点如果在 b、 c 的 右侧，这个图会是另外一种图，那么可能是另外一种情况。 题目就告诉我们，三角形 a、 e、 g， 它是个等腰三角形，那说明它没有直接明说，它没有直接跟你讲 a、 e 等于 a g， 没有直接说这一种情况，说明大概率是要讨论的。所以呢，我们就把 d 点哎往外划一小部分， 就是在终点的右侧，把这个图形给它画出来。其实终点这个情况你还要讨论一下，哎呦，讨论完之后，发现 f g 两点重合，这个 a f a e g， 它就够不成一个三角形了，就不满足提议了，说明这个地点一定在终点的右侧， 明白我意思吧，那么这样一连串一算，哎，就算出来了啊，所以这个题目呢，非常难，但是呢，还是有迹可循的啊，非常好的一个道， 一道题目。好，这个题目呢，我们就讲到这，如果大家觉得还不错的话，可以分享给你的朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子，那我们下个视频再见。拜拜。

三角形 a、 b、 c 为直角。三角形直角边长分别为六和八。在外部做一点 d， 点 d 与点 a 的 距离恒等于二，可以理解为在 a 为圆心，半径为二的圆上移动连接 d， b 做 d， b 的 中点为点 p， 再连接 c p， 求 c p 的 最小值。题目有些难，先暂停思考几秒，时间到这里告诉大家一个简单的解法。逗瓜模型画一点 o 做线段 a 和 b， 当点 o 位置不变 且 ab 长度的比值不变时，二条线中一个端点移动，另一条线端点会按同样轨迹形状移动。 此外，两条线段并不需要重叠，只要它们的夹角固定，轨迹同样呈比例相同。种瓜得瓜，种豆得到，这就是瓜豆模型。回到题目，因为 p 为中点， d p 等于 p， b 斜底 b 和 p b 重合，符合瓜豆模型作业。 b 中点为点， o 同样为一半长度 o 就是 p 运动轨迹的原型。点线之间垂线的最短，当 d、 b 以 c p 垂直时， c、 p 最短，由此可得等比。代入 o， p 为 d 等于 p， b 比 d、 b 等于一，比二可得 o， p 等于一。 由三角形勾股定底可知， ab 的 平方等于八的平方，加六的平方可得 ab 等于十。 o 点为中点。三角形 a、 b、 c 为直角。三角形中点与直角连线的长度为斜边的一半， c、 p 长度为五减一，答案为四。

六年级必须要掌握的小学生奥数题，五年级的也可以试下。如何利用割补法来求圆弧的面积？思考一下。 直接开始过底边中点做垂线，分别连接这几个点，将图形进行分割旋转补齐。未缺大半圆的面积就为三个平方乘派乘二分之一得十，四点一三。 内三角形的面积就为六乘三乘一二得九。最后要求的黄色弧形面积就为五点一三。

今天咱们来聊一个所有重庆初二学生都头疼的问题，就是怎么攻破几何压轴题。升到初二之后，大家明显的感觉到几何压轴题的难度陡然提升，要么看着题目毫无思路，要么想法脑袋也划不出关键的辅助线， 总觉得这类题全靠运气，根本没办法刻意练习。在死磕这类题之前，咱们必须扳正一个误区， 数学考试，尤其是几何压轴，考察的核心是知识熟练度，根本不是临场的小聪明，绝大多数同学都把这点给搞反了。考试从来不是让你考场上从零摸索，一步步硬推辅助线和答案， 而是把平时熟练的知识快速调用，高效解题。在这里，林老师给大家把几何逻辑给拆解透。一道几何题往往藏着五层逻辑推理，想要拿到满分，只需要完成最后一层的临场推导就可以。 也就是说，前四层的知识点、模型、结论都要变成你刻在脑子里的储备，不用现场去思考，不用慢慢推演，张口就来，提笔就会。但大部分学生的问题恰恰出现在这， 拿到题就从第一层的基础知识点开始，现场推导，磨磨蹭蹭的推到第四层，考试时间已经耗掉了大半，心态也崩了， 根本没有精力去推最后一步的关键步骤，自然做不出压轴题来。这就是大家觉得几何压轴题难，没法练的核心原因，关键是在于平时没有做好模型的储备，把压轴题当成无迹可循的难题， 考场上只能寸步难行。接下来我用初二几何必考的绊脚模型，也就是正方形等腰直角、三角形的绊脚举例拆解四层的能力，要求大家对照看一看，看看自己有没有攻克压轴题的硬实力。首先，第一层模型在记， 不需要翻课本看笔记，能不能独立画出标准的绊脚，比如正方形内的含四十五度的绊脚 等。腰直角三角形内含四十五度的瓣角，能精准地画出图形，才算迈过压轴级的七柱门槛，连模型都画不出来，那肯定就无从下手。第二层，辅助线的构造 你能不能快速的想到瓣角模型的核心辅助线的做法，比如截长补短，比如旋转法，能不能说清楚构造辅助线的原理，以及构造后哪些能形成全等关系， 哪些线段能形成等量关系。而这一步是解题的关键，也是拉开分数的核心能力。第三层能力结论推导 常规的绊脚模型有四到五个核心结论，比如线段和和差的关系，角的等量关系，三角形的全等推导等等。你能不能不看答案，把所有的核心结论完整说出来，如果连结论的数量都说不清楚，说明考场上还要从零去推导，时间绝对不够用。第四层， 灵活运用，你能不能看懂绊脚模型的变形考法，比如非标准图形的绊脚隐藏 结合动点最直的绊脚延伸，能不能快速的剥离题干干扰，找到核心模型的原题，这一步是冲刺高分，拉开差距的关键。好，最后给大家总结几何压轴题终极的突破方法， 那就是平时积累几何知识，千万不能浅尝则止，不管是模型结论还是辅助线的做法，都要学透、学牢、练熟， 搭建属于自己的结构化知识库。几何压轴题的本质考的就是知识调用和信息处理的能力，大脑里边得有充足的储备，才能快速拆解题目，找到突破口。 现在考试命题越来越灵活，原题照搬几乎不可能，但核心几何模型永远不会变，只有把基础模型练到条件反射的程度，前四层储备烂熟于心，考场上的推导 在最后一步才不会掉链子。但如果平时不积累，考场上从第一层开始硬推，再简单的压轴题你也做不出来。建议大家把初二常用的几何模型挨个理解透彻，从模型特征、辅助线构造、核心结论，到各类变性考法、易错陷阱，全都梳理清楚。 坚持这样做，你会发现几何压轴题根本就不是难题，反而成为你拉开分数、冲刺高分的杀手锏。

初中几何就是这样，你的基础比别人的基础好，你能做出来的题就越多，你能做出来的题越多，你见的题型越多，你的分数自然而然的比别人的分数就要高。 如图，在三角形 a、 b、 c 中， a 对 垂直于 b c， a 对 等于 b c， a 对 等于 b c， p 为直线 b c 上方的一个洞点，然后三角形 p d、 c 的 面积等于三角形 a、 b、 c 面积的一半。 求当 p b 加 p c 最小值的时候，角 p b、 c 的 度数来 p b 加 p c 最小值。我们想到什么？将军印码，但将军印码之前，我们是不是还要处理一下这个面积的问题 来，我们看 p b、 c 的 面积是不是应该等于二分之一比一乘以一个高，然后 a day 垂直于 b c， 那 么三角形 a、 b、 c 的 面积是不是应该等于二分之一 b c 乘以 a day 啊？ p b、 c 的 面积是它的一半，那么我是不是很容易就推出 h 等于二分之一 a day？ 那我们过 p 点就随便做一个高呗，随便做一个高下来，那这个高。假如说是 p e， 那 p e 是 不就等于二分之一 a day？ 那 么 p 是 一个动点，那所有的 p 都在什么上运动呢？在哪个图像上运动呢？我们是不是很容易想到所有的点 p 都是距离直线 b、 c 为二分之一 a d 的 一条直线上运动啊？来，此时我们说这是 m n， m n 一定平行于 b c 吧。为什么我们说我们在学平行线的时候，我们是不是有一个性质，说平行线之间的距离 处处都相等，所以说当 t e 等于二分之一 h 的 时候，那 p 点就在平行于 b c 的 一条直线上，并且这条直线 m n 距离 b c 的 距离就是二分之一 a day 来这个时候 我们要讲一个知识点，这个知识点学校老师几乎不讲，这个叫拉窗帘。什么叫拉窗帘呢？已知两条直线平行在一条直线上，有一个固定的线段 b c 点 a 在 直线 l 一 上运动， b c 在 l 二上，那么点 a 无论在直线 l e 的 任何一个位置，三角形 abc 的 面积都不变， 怎么理解？我们说平行线之间的距离处处都相等，那点 a 在 这的时候， l 一 l 二之间的距离是不是 h？ 那 点 a 在 这的时候，点 a 到 l 二的距离是不是还是 h？ 能理解吧。所以说 底边固定了零点，在平行于底边的一条直线上运动，无论 a 点在 l e 的 任何位置，三角形 a， b c 的 面积都等于二分之一， b c 乘以这个高，这就是我们说的拉窗帘。 来回到这道题当中，我们说我们现在知道 p 点在 m n 上运动， m n 平行于 b c， 且 m n 到 b c 的 距离就是二分之一 a。 对， 那好，两定一动，要求出 p b 加 p c 的 最小值。这是什么题型？将军印马呀，那么我过 c 点做 m 做关于 m n 的 对称点 c 撇，那此时 m n 是 不是就是 线段 c c 撇的垂直平分线呢？那线段垂直平分线上的点到这个线段两端的距离相等，那么此时 p c 是 不就等于 p c 撇？那我们要求 p d 加 p c 的 最小值是不是就是 p b 加 p c 撇的最小值？ 那 p d 加 p c 撇的最小值是多少呢？来 a d 等于 b c， 我 们还没用，我们说我们做的是 c 点。关于 m n 的 对称点， c c 撇，那么这个位置一定是垂直的， 它如果是垂直的，因为 m n 平行于 b c， 那 这个角一定也是直角，因为是对称。 c n 等于 c c 撇 n， 那 么 c c 撇是不就等于 a day？ a day 等于 b c， 那 么 c c 撇是不就等于 b c， 那 么此时 b p 加 p pc 撇， b p 加 pc 撇的最小值。我们看点 c 是 定点，点 c 撇一定是定点， b 是 固定不动的来，这就是两定一动，求线段最小值。两定一动，我们说定点之间线段最短。 那么此时 b p 加 p c 撇的最小值是不是就是 p c 啊？这个角是直角。 c c 撇等于 b c， 那 么三角形 b c c 撇是不是就是等腰直角三角形了？那此时 p b c 是 不是就等于四十五度？这个 p 就是 这个点，当点 p 在 这个位置的时候， d c 撇之间的连线交 m n 的 这个点就是我们要求的 p 点，那此时 p d c 是 不是就等于四十五度了？好，这节课就上到这，更多精彩内容，我们下节课见。

哇，你也太厉害了吧，这么难的瓜豆都被你刷到了，那我们一起通过一道题来走进瓜豆原理。那首先啊，在这道题里面，这里有一条直线， y 等于负的二分之 x 加二， 哎，然后接下来呢，他说这个 p 点是一斗零， q 呢，是直线上的一个动点， 并且呢， p q 撇和 p q 呢，既是垂直的，也是相等的。现在让我们去看 o q 撇的最小值， 这道题呢，我们要去求 o q 撇的最小值，所以呢， o 点和 q 撇点的身份很重要，那这里 o 点是一个定点， q 撇点呢，肯定是个动点了，对吧，那它到底在哪里动呢？哎，我们得去研究清楚，那这里它就完全符合瓜豆原理的条件，所以呢，哎，我们把这个 q 点啊看作是一个主动点， 主动点呢，在线上动的话，那么这个 q 撇点作为它的从动点呢，也就得在线上动，这就叫做种瓜得瓜。那如果主动点在圆上动的话呢，从动点的 q 撇也就在圆上动了，这就叫做种豆得豆。 好的，那么瓜豆原理的条件是什么呢？哎，就三个三定，分别叫做定点、定笔和定角。哎，那在这里的话呢，我们看啊，这个 q 点呢，相当于绕着 p 点，然后呢顺时针旋转了九十度， 所以呢，这里满足了定点，找到定点就是 p 点，对吧，然后定角呢，就是这个九十度，并且呢，这里的这个 p q 和 p q 撇的长度刚刚好就是相等的，所以呢，满足定比是一比一，哎，当然有的时候呢，还会缩放， 比如说这里转过来之后呢，哎，变成它的二倍了，哎，它也是符合刮豆原理的。好的，那我们来看一下啊，定点满足是定点 p 定比呢？满足一比一定角呢，就是九十度。 ok， 好 的，那么它既然是刮痘的话呢，我们就可以用刮痘的方法来解它了，那这里 q 点啊，我们可以找到它其中一个特殊的位置状态，比如说 q 点，在这个直线与 x 轴的交点 a 处的时候，哎，这个位置比较特殊，对吧？你可以叫它是 q 的 起点了，也可以叫它是终点了，哎，其实无所谓，对吧，它就是一个特殊的点， 随便抓一个，比如说你抓这个点也行，他也很特殊，对吧？那我抓这个，这个靠的近一点，好，那么此时呢，我们要找到，哎，他对应的那个 a 撇点在哪里， 哎，那我们知道这里呢，是绕着 p 点，然后呢顺时针旋转了九十度，对吧？长度不变， a 撇点就在这个位置吧。好的，那么接下来要干一件非常重要的事情，就是把这个 a 撇点呢，跟这个 q 撇点啊，给他连接起来， 那么两点，确定一条直线，我知道 q 撇是在直线上运动的了，对吧？那么所以呢，有了 a 撇，有了 q 撇，那么 它 q 撇点的运动轨迹就是这样一条直线，因为呢， p a 撇 q 和 p a q 啊，这两个三角形是全等的，所以呢，这一条直线啊，它一定是一个确定的直线， 它是与水平方向呈固定角度的这样一个直线，只不过呢，我只知道这个角度它的摊进的值是一比二，对吧？是一比二而已。 好的，那么问题回到这里，哎，定点到动点的距离的最小值，哎，定点呢，在这动点呢，在线上运动， 所以点到线的距离什么最短？垂线段最短吧，所以呢，把这个垂线段给它做一，做过 o， 点做一个 a q 撇这条直线上的垂线段。哎，然后呢，我们叫它长度叫 h。 好，现在呢，我们只要把这个 h 求出来，那最小值就有了，那这个 h 该怎么求呢？见于这里啊，这么多垂直，对吧，我们不妨来倒一倒角，这个也是垂直的，所以呢，这个角和它互余， 然后这边呢，有一个垂直的，所以呢，这个角和它也互余。因此呢，我们只要把这段的长度给求出来就行了，也就是把 o b 求出来， 而 o p 呢，是一，所以呢，只需要把 p b 给求出来就行了。那 p b 是 多少呢？哎，我知道 a 撇 p 的 长度就能把 p b 求出来了，所以呢，首先要求 a 撇 p， a 撇 p 的 长度跟 a p 的 长度是相等的，而 a p 的 长度呢， a p 就是 三，因此 a p p 也是三， a 撇 p 是 三的话呢，这个 p b 就 应该是 a 撇 p 的 二分之一吧，因为它的摊进的值是一比二嘛，所以呢，这就是二分之三，那它有了，所以 o b 就 有了， o b 就是 一，加上二分之三，也就是二分之五。 最后一步，因为这个角的 tangent 的 值是一，比上二，所以呢，它的 cosine 值，也就是 h 比上 o b， 就 应该是等于二，比上根号五的 h 呢，就等于根号五。那通过这道难题，你有没有彻底认识清楚瓜豆原理呢？

大家好，今天我们直接给大家来上干货，我们来讲解一下我们中考比较容易考的一个关于终点的辅助线， 在一个几何题当中，只要看到了终点，就应该想到四种辅助线，第一种就是我们的备场中线， 二种就是我们的三线合一，第三种就是我们的中卫线，第四种就是我们的斜中棒。这四种辅助线我们在这个黑板上已经全部画出来了，待会我会把这个图截在我们我的视频后面，大家可以看一下， 如果大家感兴趣的话，我们后面的直播课或者是我会录视频给大家每一个模型，具体的讲怎么去做题，用力气给大家讲，如果大家感兴趣的话，在评论区里面扣想听。

这道题来自于八十中学九上的期末考试题目，也是今年一月份刚刚考的题目。说了角 a、 b、 c 等于九十度， 比如说这是一个直角，然后说角 c 等于三十度， 角 c 等于三十度，那么角 b、 a、 c 是 不是自然而然就等于六十度？角 b、 a、 c 就 等于六十度。 点 e 在 c、 b 延长线上， f 在 a、 e 上连接 d， f 即是中点。说到中点，我们就想到很容易想到被长中线， 或者说我们想到中位线，这是我们经常用到的。 然后呢说，嗯， a、 e 等于 ad 等于 cd， a， e 等于 ad 等于 cd， 那 因此 ad 等于 cd， 那 这这个角就是三十度， 那自然而然 a 大 一，这这就是六十度。又因为 ad 等于 a 一， 那这这个角是不是也是六十度啊？也是六十度？ 好，那所以说我们是不是就可以得到三角形？ a 大 于为等边三角形， 是不是它是一个等边三角形？好，再来它说 e、 h、 a 加 g， a、 d 等于六十度。这里角 e、 h、 a 这个角加 g， a、 d 等于六十度。加角 g、 a、 d 等于六十度。又是 一个不相干的角，加上 g、 a、 d 等于六十度。而在我们 g、 a、 d 加上这这个角也是为六十度，也是这个角 g、 a、 d 其实加上它这个零边的这个角，加角 e、 a、 g 也等于六十度，也等于六十度。 所以说我们就可以填平这一个，我们就可以得到退出一个条件，角 e、 h、 a 就 等于角 e、 h、 a 就 等于角 e、 a、 g 这个角和这这个角相等，这是在这里的。然后它又让我们求 h g 和 a g 的 关系，数量关系， h、 g 和 a g 从我们直观看过来啊，这是六十六十度，我很有可能来猜 啊， h g 的 长度是 a g 的 根号三倍， a g 的 根号三倍，或者说，并且我也能够知道 h g 应该跟这个 a g 应该存在这个位置关系，是垂直。 那我们来看，是不是这样一回事情 啊？是不是这样一回事情啊？我们来看一下，这里，你看，嗯，还有角相等，又是这个，因为这个 a d 是 六十度，角 e h a 加上角 h a e 是 等于六十度的，是等于六十度，这个角加这个角是六十度，而我们的这个角 e h a 加上 加上这个 g a d 是 等于六十度，加上角 g a d 是 等于六十度，所以说这个 h a e 也会等于 g a d h a e， 所以 说角 h a e 等于角 g a d 这是凭借这儿这个六十度，我们推出了两个角才相等啊，一个是 e h a h a 等于 g a d， 还有一个是 h a e h a e 等于这个 e a g h 等于 g a d， 好， 嗯，这里是一个中点，我们中点时候经常用到的一种，是被长动线，所以我们可以对 g 延长 a g， 比如说我们至点 q， 那我们可以连接 q d 连接 q d， 那 我们第一个全等是不是就产生了？所以说三角形，一个简单形的 f a g 就 全等于三角形 g d q g d q， 好，我们这里延长，要说明一个条件才可以，就是延长延长， a g 使 a g 等于 g q 使 a g 等于 g q， 当然我们要连接啊， q d 连接 q d， 这样就是他们边角边全等，全等了之后，我们就会得到一些条件，那是不是这里的，嗯， e a g e a g 是 不是就可以等于 e a g 就 可以等于这个 a q d e g 等于 q d， 而 e g 是 等于 e h a 的， 所以说我们就可以得到角 e h a 等于角 a q d。 好， 你看 观察，有一个角在相等，哦，有一个角在相等，还有，我们刚刚证过了啊，在这里的角 h a e h a e h a e 是 等于这里的角 g a d 的 这个角是和这个角是相等的，然后 a e 又是跟 a d 是 相等的， a e 又是跟 a d 是 相等的， 那是不是自然而然有一组全等诞生了，就是三角线 h e a 就 全等于三角线 a d q， 那 是不是就是边那角角边是不就全等了？ 好，全等了之后，嗯，那全等了之后，那我们这一个，嗯，全等了之后，是不是 a h 就 等于 a q 是 不是 a q 就 等于 a q？ 并且，哦，你看嘛，这个 h a e 等于 g a d 等于 g a d， 而这一个，而这个 e a g 加 d a g a d 是 六十度 e a g 加 g a d 是 六十度，那是不是 e a g 加这个 e a h 就是 e a g 加上这个角 e a h， 它也会等于六十度啊，也会等于六十度啊，也会等于六十度。因为这个啊，因为这个 g a d， 它是等于这个 g a d 是 等于 e a h 的，是等于 e h 又等于六十度，那所以说就等于这一个角 h a q， 所以 说就等于叫 h a q， 这个 h a q 是 不是等于六十度？你看这个 h a q 是 等于六十度，而 h 又等于 a q， 那 所以说三角形 h a q 是 等边三角形，等边三角形， 等边三角形，那等边三角形积累又是一个 a q 的 中点，那所以说 a 等边三角形，三角形，所以 h g 要垂直于 a g， 好， 那这个高将会是，这是六十度，那这这个角就是三十度，那自然而然 h g 就 等于 a g 的 根号三倍，就证明了 这个题在考察了我们一个倍长中线和一个角的转化问题。

哈喽呀宝子们，不知道有没有同学是深受这种几何综合题的迫害的哈，哎，今天跟着李老师短时间找到思路沉静时啊，看看李老师一步一步是怎么找出来的。好，我们来看它。如图一，在正方形 abcd 中 点 m 是 对角线， bd 上一点连接 ap， 连接 cm 交于点好。 如图二，连接 c p。 图一是一个基础图形哈，我们来看图二，那么这些点肯定跟他做图是一样的。第一问，让我们求证， a p 等于 c p 好， a p 和 c p 分 布在两个三角形当中，并且是什么样图形啊？它是正方形，所以两个三角形全等，自然就 a p 等于 c p 好， 三角形全等最基础图形，老师不多说，看第二问和第三问，是这道题老师想讲的重点哈。 第二，他说，如图三，连接 m p 入 m p 等于 a p， 求角 pm c 的 度数。好，老师提问， 看到 m p 等于 a p， 想到什么？是不是等腰三角形？那么有等腰三角形肯定就有什么，肯定就会有三线合一这些，但是题当中能不能用，用得上，我们再往后看 好它，让我们求的是 pmc 的 度数。在这里好，我们看第一问，与它的图差在哪？差在一个 c p， 所以 我们先将 c p 连上， 那么连完这条线了之后，由第一问的已知第一问结论，我们可以知道 a p 与 c p 相等好， a p 等于 c p 好， 又告诉我们 m p 等于 a p， m p 等于 a p， 那 么现在 a p， m p c 三条线段是相等的， 那么角 p m c， 它就在一个等腰三角形当中好，大家这个时候有没有幻想啊，那如果这个角要是一个直角，那就是一个等腰直角三角形非常好，底角就是四十五度，是吧？那么它能不能实现呢？我们来看 好，我们现在已经知道了，这三条线都是相等的，是吧？好，我们看刚才也说了，在等腰三角形当中最愿意有什么三线合一，我们过点 p 做一个垂线， 如果垂这点是 h 的 话。好，我们想找角吗？那么我们就看已经知道了什么角，如果我把这个角设为 r 的 话，那么在图当中还有没有别的角也是 r 发， 这个是 r 发，因为全等，是吧？这是垂直，老师，这又做的垂直，所以这个也是 r 发，又因为三线合一，所以这个小角是不也是 r 发？好了，所有跟 r 发相等的角已经标注出来了，那我们看，那你说这个小角是多少度呢？ 这个小角是怎么来的呀？是不是由这个外角减去这两个角来的？那这，这个外角等于多少度？这个外角是不是等于 r 发加四十五度？因为外角等于它不相邻，两个内角和好这个大角。哈，老师画一下， 这个大角就是多少？就是四十五度加 r 法，那减去这两个 r 法呢？所以中间这个小角就是四十五度减 r 法，是吧？好，这个大角是四十五加 r 法，那你说这个大角是多少？它们两个相等的吗？所以它就是四十五加 r， 四十五减二发，四十五加二发，所以我们想要等腰直角三角形的愿望实现没？实现了，好，这是九十度等腰直角三角形，所以 pmc 是 四十五度，是吧？并没有过多的去做辅助线，每一条辅助线都是我们刚好用到的，所以 这一问出来了哈，好，我们再看第三问，他说如图，四过点 p 做 m q 好， 垂直 ab。 这有垂直的话，一定要想到什么，可能就会有很多平行或者相似，因为它是正方形，正方形四个角都是九十度的 点， p 是 p， 是 d q 的 中点，且满足 a p 比 m n 等于二倍根号二，求这个的比值。好，这道题哈，我们是怎么样去梳理思路的？首先我们看它给的是 a p 与 a p 与 m n 看似是八竿打不着的两条线段，是吧？所以老师在做这道题的时候，想的就是，我要把我们能用得上的已知条件全部往一起凑，越集中越好。那好，我们知道，看看前面这些问都是怎么样了，都是导出来很多条件。 那如果这道题我同样的连接 p c， 哈，这个时候再连接 p m， 连接 p c 的 话，那么 a p 与 p c 是 相等的，那么连接 pm 的 话，之前我们都是怎么样的？是已知了 m p 跟 a p 的 关系，那如果不已知，我们能不能挣出来啊？同样 好过 p 作 p g 垂直于 ar。 好， 我这一垂直的话，垂直是不是就有平行， 对吧？因为这也是垂直的三条线，平行这个是终点，那么自然点 g 也是终点，他又是终点又垂直，所以 ap 是 不是就与 pm 相等了？好，这个结论我们已经解决完了，这个时候我们看怎么样转换。我现在是不是已经把 ap 好写在这儿，能不能看到已经把 a p b m n 等于二倍根号二转化为了什么？ a p 我 已经变到了 m p mp 比 m n 就 等于二倍根号二，是吧？那我们再往下看，看看还能不能接着再转换 pm 在 这里， pm， 它在什么三角形里？等腰直角三角形里，所以直角边与斜边是不是有比例关系？那么这个 pm 我 可以换成什么 pm？ 它是不是就是二分之根号二的 m c 比上 m n 就 等于二倍根号二， 对不对？等腰直角三角形，斜边与直角边的关系好，通过这个式子我们能不能整理一下？整理出来了之后我们就知道了，什么是 m c 就 等于四倍的 m n。 好， 这个时候我们回图来看， m c 与 m n 什么关系？在一条线上， m c 是 四倍的 m n， 那 么 n c 与 m n 的 关系是不是就一比三？所以它是一份，它是三份？ 好看，垂直这个小三角形跟这个三角形什么关系？相似？相似，比一比三，那么 m q 与 b c 的 比就是一比三是吧？ 这也是，这是三题里面让我们求的是谁呀？是 b m 与 a m 的 比， a m 是 不是就是边？所以边现在是它的三倍， b m 不是 与 m q 是 相等的吗？所以 b m 怎么样？与它的比就是一比几，一比三好，那么看好比的是谁？ b m 比的是 a m 吗？它已经占了一份了， 正方形边长是三份，所以它就是两份，是吧？那么 b m 与 a m 比值是多少？是不就是二分之一是吧？ 全部梳理下来了之后，是不有没有发现这种题型找思路也很快呀，老师会持续更新这种帮助大家找思路的题哈，希望大家跟着老师一起去探索。好，拜拜。

初中几何难题学生始终做不出来，根本原因到底是什么呢？我是大兴老师，在重庆教了六年数学，今天我们花两分钟的时间来彻底的拆解一下这个问题。首先啊，咱们抛出结论， 这是因为学生对于知识体系，逻辑思维还有整理规范的核心缺失。 第一点，学生啊，缺乏完整的知识体系，他们看完题目最经常做的事情是什么呢？哎，三个字，标条件。 这个习惯很好，但下一步往往是缺失的。很多人把条件一标就一直卡在那里，这是因为咱们的知识结构呈高度碎片化的一个结构，因此，一个条件有的时候可能会 响应着两到三个定律，甚至更多。而我们的性质又刚好是和条件相关的，所以很多学生可能只记得一部分。因此啊，他在做题的时候，他做的这个题目可能刚好就是他记不住的这个结论。 第二呢，很多同学缺乏逻辑思维的训练，比如啊，他看到某两条边相等，他可能想到这两条边连接起来，就会构成一个等腰三角形。构成等腰三角形之后呢，我们肯定会想到三线合一，那我是不是就可以做出对应的辅助线了，得到某个结论呢？ 那这就是一种建立某个定律，再从某个定律到某个结论的这样的逻辑。而这种连贯的逻辑，我们就称之为传统的数学思维。 如果孩子的知识体系越不完整，那么他就越可能体会不到这种思维上的逻辑性。而大体啊，思路还有逻辑往往又偏长，所以长此以往，他逐渐形成一个不好的循环。到了初二和初三的时候呢，你要知道， 很多老师啊，他也没了耐心，直接劝孩子，你们啊，放弃这道答题啊，反正看了也不会啊，不如直接放弃。而我们要知道，要形成完整的知识体系，进一步提升咱们的一个思维逻辑，这一切都来源于一个最最基本的习惯，整理。 没错，我就想告诉大家，学不会整理你的复习资料，直接变成韩本，你的上限都被别人砍掉一截，那还怎么比？ 而搞不明白归纳，你记了再多的笔记也是没有用的，大习老师在这里手把手教大家怎么去做收纳。每个科目准备两个文件袋， 试卷放一个，自己的新的体会放另外一个。每次周考月考的卷子可以按照时间和章句顺序来做整理，每次考完记得写上日期放下来，这样下次你要找，就可以又快又准。 每次考完，或者你遇到之前无从下手的题目，其心得体会啊，往往就是你规范的重要步骤。为什么要写？你要知道，无论以前还是现在，牛逼的人啊，都是在靠源源不断的输出来强化自己的认识，要么写下来，要么对别人说一遍。 而你读经典作品，很多时候可能就只是读了一遍，不知道别人写下来就是在整理思路。就像一堂课结束之后，收获最大的往往不是学生，而是老师。厉害的人呢，就是懂得用输出来强化自己的认识。其实几何学习啊，一半是做题，而另外一半是在悟道。 与其盲目刷题，不如适当的停下来，先把知识、思维以及收纳习惯这三个板块给他补上。

综合性大题，特别是圆综合，由于条件众多，思维线较长，很多同学就会被搞得头脑混乱，不知从何处下手。但是如果你有逆向思维，懂得双向推理法，那结果就完全不一样了。 今天咱们就用逆向思维和双性推理法来拆解一下这题，你会发现其实并没有想象的那么难。先来看题，说 a、 b 是 圆 o 的 直径 线段， p c 是 圆的切线， p a 是 圆的一条割线，与圆交于 a、 d 两点，这两条绿色线段交于点 e， 这两条黄色线段交于点 f， 这两段是相等的，让我们证明 p d 等于二倍的 c、 f。 首先，不管啥题，梳理条件肯定是第一步，由这两条线段相等，我们连接 c、 d， 可知这个红色三角形，那么我们可知这个角是九十度， 又因为 pc 式切线，那么这个角也是九十度，也就是说这两个角也都为九十度，所以我们很容易发现这四点是共圆的条件。分析到这里，咱们就可以暂时告一段落了， 因为综合性大题的条件本来就很多，如果每一个条件都往深里挖，会推出一大堆中间结论和新条件，反而把思路搅乱，让人眼花缭乱，最后不知道该用哪一个。 这时候啊，我们就应该拿出双向推理法的第一原则，从问题入手，反向去推导我们真正需要的条件。题目要我们证明 p d 等于两倍的 c、 f， 那 我们运用一下逆向思维，那是不是就说明 p d 就 一定是等于二倍 c、 f 的？ 这里又有一个等幺三角形，如果我们把 c、 f 按长一倍，使 f g 等于 c f， 然后我们再连接 p g， 已知这个大的绿色三角形也应该是一个等腰三角形，也就是说这两个角应该相等， 并且这两条线应该是平行的，那么这两个角也应该等于非他，所以就应该有外角等于内对角，说明红色四边形是圆，内接四边形。 几点 g 在 圆 q 上，到这里问题就转化成了，我们要证明 g 点在圆 q 上，如果 g 在 圆 q 上，我们不难看出这两条蓝色线段就该是垂直的，就是说 alpha 加 beta 等于九十度， 因为在这个红色直角三角形中， gamma 加 beta 等于九十度，也就是说 alpha 应该是等于 gamma 的。 所以最终问题转化成了，证明 alpha 等于 gamma， 到这里反推就结束了，我们反推的结论就是要证明 alpha 等于 gamma。 那 么接下来问题就是倒角了，这里是对顶角相等，这里是等腰三角形，这里是同弧所对圆周角。 再来一次同弧所对圆周角相等。问题得正，听懂了就去整理一下吧。下面是解要整理过程。