淄博中考数学几何模型

赶紧收藏一个视频带你看完中考几何四十八套模型，收藏起来慢慢看，看完绝对超值！ 中考几何模型一、双中点模型如果 m、 n 分 别为 a、 c 和 b， c 的 中点，不管点 c 如何变化， m n 始终等于二分之一 ab。 因为 m n 等于 mc， mc 是 mc 的 一半， mc 是 mc 的 一半，所以 m n 就 等于 ab 的 一半。中考几何模型二、双角平分线模型 若 o、 m、 o n 分 别为角 a、 o b， 角 p o b 的 平分线，那么角 m o n 始终等于二分之一角 a o b。 当 o p 在 角 a o b 内部的时候，角 m o n 等于角 m o p 加上角 n o b， 而角 m o p 和角 n o b 分 别为角 a o p 和角 p o b 的 一半， 所以角 m o n 相加就等于二分之一。角 a o b 外部的时候，角 m o n 等于角 n o b 减去角 m o p， 角 n o b 等于角 p o b 的 一半，角 m o p 等于角 p o a 的 一半，而 p o b 减去 p o a 正好等于角 a o b， 所以 角 m o n 等于二分之一角 a o b。 中考几何模型三、猪蹄模型若直线 m 平行于直线 n， 则阿尔法加贝塔等于伽马。证明方法非常简单，过点 h 做直线 m 的 平行线。根据平行线的传递性，可证明三条直线互相平行， 此时伽马被分成两个小角，这两个小角分别对应等于阿尔法和贝塔。中考几何模型四、铅笔头模型 模型结论，若直线 m 平行直线 n， 则阿尔法加贝塔再加伽马等于三百六十度。证明如下，过点 h 做直线，与直线 m 互相平行。根据平行线传递性，三条直线彼此平行，再根据两直线平行同旁内角互补， 得到两组互补内角相加总和就是三百六十度。中考几何模型五、鹰嘴模型如图，若直线 m 平行 n， 则角 c 等于角 a、 加角 b。 证明十分简单，只需要延长 a、 c。 根据两直线平行，同位角相等，得到角 b 等于外角，再利用三角形外角定里，外角等于角 a、 加角 b 直接得正。中考几何模型六、八字模型 先看普通版本，角 a、 加角 b 等于一百八十度，减去角 a、 o、 b、 角 c、 加角 d 等于一百八十度，减去角 c o d、 角 a、 o b 和角 c、 o、 d 是 对顶角，角度相等， 所以最终得出角 a、 加角 b 等于角 c、 加角 d。 再看进阶版本，利用普通八字模型结论进行推导即可。中考几何模型七、飞镖模型 普通版结论，角 a、 加角 b、 加角 c 等于外侧大角 d。 证明方法，连接内侧线段并延长外侧大角，分成两个外角，分别套用外角定里即可证明进阶版 就是两个普通飞镖模型叠加，证明思路完全一致。中考几何模型八、 a 字模型一共分为两种，正 a 模型和斜 a 模型。无论哪一种，核心都是三角形相似，对应边长成比例。 正 a 模型上下对应边，依次成比例。斜 a 模型找准对应边角，对应边长同样成比例。 做题务必分清类型，找准对应边，避免出错。中考几何模型九、老鹰抓小鸡模型模型结论，阿尔法加贝塔等于伽马加德尔塔。证明方法，连接内部两点，构造三角形，把阿尔法和贝塔转化为三角形，外角套用外角定理，直接证明 中考几何模型时，夹角高分模型， a、 e 为角平分线， a、 d 为高线，可快速求出两者夹角。当平行线遇见中点，会出现各类经典几何结论， 矩形三折翻折问题，找准线段关系，套用勾股定律即可求解大树折断经典题型， 结合生活场景，求出树木原本高度，蚂蚁爬行最短路径。掌握方法，轻松解题。对角线互相垂直的四边形，中点四边形一定是矩形，对角线相等，中点四边形直接变为菱形正方形。经典结论， e f 垂直 g h 就 一定能推出 e f 等于 g h。 快 速求解线段最值问题，对角互补模型，奔驰模型、飞马点模型全部梳理到位，熟记对应口诀，快速看懂衔接角定理， 一个视频看懂圆密定理全部用法，快速求解线段最直最短距离。中考必考一线三等角相似模型， 三角形相似经过旋转变形衍生各类考题。初中几何所有难题全部来源于各类模型的变形组合。关注我，掌握更多中考几何解析思路！

好孩子们，今天我们利用这个视频来给大家讲解一下 a 字相似模型。那我们在前几个视频中给大家讲过 a 字模型，八字模型啊，那只是角之间的一个转化，而那个角之间的转化为谁服务的呢？就是为相似服务的。 那么对于 a 字相似模型，我们总结了以下三个情况，大家来看一下。第一种叫做 d， e 和 bc 是 平行的， 大家想想看，只要他俩平行，那我们必定会有三角形相似。大家再去写相似三角形的时候，一定要将对应点写对它，三角形 a、 d 相似于三角形 a， b， c， ok， 那 么只要有他们是相似的，那么我们就会有对应边乘比例， a， d 比上 ab， 那 么我们把它先写成比值的形式，等于 a e 比上 e c， a e 比上 a c。 好， a e 比上 a c， 那 么这样子的话，根据它们相似，我们就得到了这样一个关系式。现在呢，我们对它交叉相乘，那么我们一交叉相乘，我们就得到了一个关系式， a， d 乘以 a， c 等于 a， b 乘以 a e。 而正常情况下，我们再去写他们之间关系的时候，或者证明题中经常会让你求证乘积是相等的，大家记住它， ok， 这是正 a 型，那我们来看一下反 a 型。 那如果说我们画了一个三角形，而这个时候的条件是啥呢？变成了角一等于角 b， 角二等于角 c， 那么我们对于三角形相似来说，只要有两个角相等就行了，是不是？那你会发现，此时三角形 a、 d， e， 它就相似于。注意，对应顶点， a 和 a 对 应， d 和 c 对 应， e 和 b 对 应， ok， 既然有相似的话，那我们就会有对应边乘比例，那么大家这个时候再看 a、 d， 此时对应的变成了 a、 c， 注意，我们看前面 a、 d 和 a、 b 对 应的，不是和 a、 c 对 不对？好，那这个地方是和 a、 c 对 应的好， a、 e 和谁对应呢？那就是和 ab 对 应。 大家在看对应的时候，我们一个小口诀，是不是一二对一二，一三对一三，二三对二三，非常好记，好，那么这个时候我们不妨将它俩交叉相乘一下，我们就得到了这样一个式子， a、 d 乘以 a b， 它是等于 a e 乘以 a、 c 的。 那大家仔细观察一下这四个线段， a、 d 和 a b 在 这呢，这是 a d， 这是 a b， 知不知道 a、 e 和 a、 c 在 这呢？这是 a e， 这是 a、 c， 你 会发现这种反 a 型相似，竟然是共线的两个线段，乘积是相等的， 贡献的，是不是？而且只要是反 a 型相似，不管你这个 d、 e 跑到什么位置，比如我来平移啊，平移啊，你只要不平移到这样一个位置，他都行，是不是？那么我们假设他平移到了这个位置，还怎么？ 那么平移到这个位置之后，你会发现此时的 e 是 不是和 c 重合了，那么这个时候我们仍然会有相似， 那这个时候的相似，孩子们就变成了三角形， a、 c、 d 相似于三角形，注意对应顶点， a 和 a 对 应，那有的还说 c 重合了，那是不是他们这对应呢？不是，因为这个角是等于角 b 的， 所以 c 和 b 对 应， d 和 c 对 应， ok， 孩子们，这个时候我们仍然会有比例线段， ac 比上 ab， 它是等于 ad 比上 ac 的， 那么这个时候我们仍然交叉相乘一下， ac 的 平方就等于 ab 乘以 ad。 大家仔细看这个 c d 其实是由 d e 往下平移得到的这个位置，也就是说 e 和 c 是 重合的，而这个地方的 a c 的 平方其实就是 a c 乘 a c， 那 就是 a c 乘 a e 仍然满足，这个就是共线的 乘积，它们是相等的。而大家仔细来看一下这个三角形，这个三角形和这个三角形它们有一条边是公共的 a c， 那 么这个我们在数学上也称为母子相似 啊，母子相似，在后面我们讲到新的模型设定的时候，仍然会涉及到这种形式的样子， 大家根据视频后面给大家准备的练习，看一下能不能把这个知识点给掌握，需要录播课的随时找我。

一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？

中考必考模型，手拉手模型好朋友们，那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目，说如图啊，等边三角形 abc， abc 是 一个正三角形，所以我们知道每个内角应该都是六十度，那么这个角它应该是个六十度，这个角也是一个六十度啊， 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d， 然后三角形 d、 b、 e 也为等边，所以呢，我们看啊，等边三角形都已经共顶点了，一定要想的就是 手拉手模型了啊，那么它也是一个等边三角形，所以这个角还有这个角它都应该是六十度， 这个角啊，它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二，然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长，那么我们先去找到这个大手和小手啊，我们管长边叫大手，从一个顶点引出来四条线段，咱们来看，是不是有啊，两两相等， 那么这个和这个等，这个和这个等，所以我们管长边叫做大手，这就是大手。管短边叫小手，这就是小手。所以一个大手牵一个小手，咔嚓一连连接 a、 e， 它已经给你连好了，另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等，它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形，它应该和谁全等呢？ a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等，为什么呢？这个角六十度，这个角六十度都减掉中间这个叉角，剩下的这两个点角应该是相等的， 所以是一个边角，边的全等，全等永远不是目的，目的是得边等，得角等。所以 a、 e 这条边，它应该和我们 c、 d 这条边是相等的，我可以都设它是 x， 那 么这边长是 x， 这边长是 x， 根据我们的这个 b、 c， 它的边长是二， a、 c 也是二，所以 a、 d 这个长，咱们应该知道它就是二减 x， 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来，咱们可以设它是 y， 那 么这个边长是 y， 这个边长是 y， 所以呢，我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长，咱们怎么去表示呢？是不应该是 x 加上一个二减 x， 然后再加上一个 y， 所以 是不应该就是二加 y， 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值，是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了？那我们这个 d 点啊，它是一个动点， 那么是不是应该是垂线段最短，所以应该是垂直的时候最小，那么我们现在就可以假设他是垂直的，如果这个角是垂直的话，这是六十，这是九十，所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上， 根号三比二，大家不要看错边啊，是三十度对的是一份，然后呢我们六十度对的是根号三份，这个九十度对应的是两份， 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二，所以这就是根号三，这就是一。那么接下来我们看啊，咱们的 y 就是 根号三，所以最后呢，我们来代进去就可以了啊，它就应该等于的是二加上根号三， 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

一个视频，学会将军印马瓜豆原理，阿是园胡不归、废马点逆等线繁衍变幻。初中几何必考的将军印马其实特别简单，总共就两大招，找对称，平移，再找对称，吃透这两招，十三式考试所有将军印马问题都能轻松搞定！ 第一招找对称，第一是两定移动，一侧和最小两个定点在直线两边动点，在直线上直接把两点相连，线段长度就是最小值。 第二是两定移动，同侧和最小两点在直线同一侧，随便做一个点的对称点，再和另一个定点连线交点，这条线就是最小值。第三是两定移动，同侧差最大，同侧两点直接连线延长， 和直线相交两点距离就是最大值。第四是两定一动，一侧差最大，先做对称点，再连线延长， 对应的线段长度就是最大值。第五是一定两动，垂线最短，一个定点两个动点直接过定点做垂线，垂线段最短直接出答案。第六是一定两动对称加垂线，先做定点的对称点， 再做垂线，垂足位置就是最直点。第七到第九式，全部都是双对称套路，分别做出定点，关于两条直线的对称点，两点一连，找到焦点，就能求出线段和周长的最小值。 第二招平移后找对称地势到十三式通用方法，题目出现固定长度的动线段，先平移定点，异侧直接连线，求最值，同侧再补一次对称，最后加上定长，最小值直接算出来。大家记住口诀，异侧直接连 同侧造对称，预定长，先平移，将军印码轻松拿下！想学全将军印码完整模型例题和配套练习题，直接来我的初中数学动画课系统学习。 刮豆原理又叫主从联动模型，核心逻辑很简单，主动点是什么轨迹，从动点就是什么轨迹，二者轨迹形状相似。 注意，刮豆原理必须同时满足三个条件，缺一不可，第一，有一个定点作为旋转缩放的中心。第二，有固定比例，主动点从动点到定点的距离比值始终不变。第三，有固定夹角，两点与定点连线的角度固定。 它的核心口诀是，线生线圆生圆，主动点沿直线运动，从动点轨迹就是直线，主动点沿圆运动，从动点轨迹就是圆线生线。模型中满足定点定比 定角条件时，从动点轨迹为直线，两条轨迹夹角长度比分别对应，定角和定比运动形成的三角形始终相似。圆生圆模型同理，从动点轨迹为圆，两人的半径比、 圆心到定点的距离比都等于固定比例，对应的定点圆心圆上点构成的三角形始终保持相似。刮豆原理通用解析步骤是，一、找准固定中心点。二、区分主动点和从动点。三、找定角与定比。 四、会制轨迹直线取两点定位圆形找圆心和半径。最后牢记一错点刮豆原理至保证轨迹形状相似。想要确定具体位置和大小， 必须依靠题目隐藏的旋转相似变换速记口诀，定角定笔，线生线圆生圆，旋转相似定轨迹。完整的瓜豆原理模型。例题和配套习题在我的初中数学动画课，阿式圆是用来解决一类带有系数的线段最值问题， 它是一个到两个定点 a、 b 的 距离之比等于定值的动点 p 的 轨迹，我们叫它阿波罗尼斯圆，简称阿式圆、 阿式圆。它的核心的方法就是要构造字母相似。比如在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于三， a、 c 等于九， 我们要找一条线段等于三分之一 b、 c 在 a、 c 上取一点 d， 使得 a、 d、 b、 a、 b 等于一比三，这样的话，我们就有了 a、 d、 b， a、 b 等于 a、 b、 b、 a、 c。 又因为角 a 是 公共角，所以三角形 a、 b、 d 和三角形 i、 c、 b 就是 相似的，那 b、 d 就 等于三分之一 b、 c 了。 简单说，阿式圆构造子母相似，本质就是凑出固定比例关系，借用公共角证明相似，轻松把带系数的线段转化成普通线段。阿式圆完整模型 例题和配套练习题在我的初中数学动画课，胡不规模型是专门解决 k 被 pa 加 pb， 带系数线段和最值问题。胡不规与阿式圆极易混淆区分，核心只看动点轨迹， 动点在直线上运动是弧不规动点在圆上运动是 r 十圆，找准动点轨迹就能快速锁定对应模型。弧不规的解析核心是构造角度转化系数线段，把带系数的线段和最值问题转化为垂线段最短的基础。几何模型求解 胡不归通用五不解题法可直接套用。第一步，判定模型。判断题型是求 k 被 pa 加 pb 的 最值问题，且动点轨迹是直线。第二步，转化系数。将待转化线段的系数化为零到一，为构造辅助线做准备。第三步，构造等线段， 利用正弦构造角度与垂线等量替换带系数线段，实现化折为值。第四步，转化最值形式，通过线段转换，将带系数线段和转化为普通线段和最值。问题， 速记口诀，判轨迹，划细数，构垂线，划折为直。来我的初中数学动画课学习完整的胡不规模型，有立体和配套细题。费马点是三角形内到三个顶点距离之合最小的点。所有费马点题目解析核心只有一招，旋转六十度，构造等边三角形， 通过旋转转化线段，把曲折的线段拉直，利用两点之间线段最短，求最小值。掌握这个方法就能解决绝大多数费麻点题型。 做题首先要会判定费麻点的位置，一共两种情况。第一种，三角形，三个内角都小于一百二十度， 他的费麻点在三角形内部，也叫等角中心。这个点有个关键特征，对三条边的章角全部都是一百二十度。第二种， 三角形，只要有一个内角大于一百二十度，不用额外找点，这个钝角顶点就是费麻点，直接用这个点计算距离和最小值即可。如果三角形最大角小于一百二十度，我们可以这样做图， 任选两条边向外做等边三角形连接对应顶点，两条连线的交点就是费麻点。它的解题原理很好理解， 核心就是化折为直，把三角形内部的小三角形绕顶点旋转六十度，旋转前后图形全等，同时形成等边三角形，实现线段等量替换。原本三段折线的距离和转化后，当所有点共线时，折线完全拉直， 这条线段的长度就是最小值。此时费麻点的三个夹角均为一百二十度。逆等线是初中几何高频易错的最值模型，专门解决双动点题型。 只要题目出现两个动点，存在固定相等线段，求两条动线段和的最小值，基本就是逆等线模型。它的定义很好记，两个动点分别在两条不同直线上运动，且到一个定点的距离始终相等， 这足等长线段就是逆等线段。提型固定求线段和最小值，大家一定要分清它和将军印码的区别，将军印码线段首尾相连，靠对称就能转化求减。逆等线的等线段分散不相连，不能用对称，只能构造全等三角形转移线段。 逆等线核心解法就一句话，一边一角造全等，转移线段化折为直。通过全等替换线段，把复杂的双动点最值问题转化为两点之间线段最短的基础问题。 大家直接套用四步解题法即可。第一步，找三角形，用题目中的逆等线段和动线段组成线成三角形。第二步，找定边定角，找出三角形中固定不变的边长和角度， 作为构造全等的依据。第三步，造全等，以定点为中心做等角等长线段，用边角边构造全等，完成线段等量替换。第四步，化折为直转移带求线段，将线段和转为折线 连接端点，利用两点之间线段最短求出最小值。总结来说，逆等线的解析逻辑，固定靠构造全等化解双动点难点， 适配所有同类辨识题。速记口诀。御逆等线段一边一角造拳等线段转移化者为直，两点连线求最值逆等线模型。例题和配套习题在我的初中数学动画课， 繁衍变换是初中几何压轴题的高阶模型，专门搞定最难的双动点轨迹和最值问题。首先咱们搞懂模型定义，先锁定一个定点，再有两个动点，只要两个动点到定点的距离乘积是定值，中间夹角还固定不变， 这就是繁衍变换。很多同学分不清繁衍变换和刮豆原理，记住一句话就够，刮豆是定比加定角， 诡计会变。口诀，剑定笔用刮斗剑定机用繁衍。繁衍变换一共就四种类型，秒杀判断技巧超简单，定点在直线上就是线生线，定点不在直线上就是线生圆定点在圆上就是圆生线 定点不在原上就是原生原。考试遇到繁衍变换题，直接套万能步骤，第一步，看题型，双动点定机定角，直接锁定繁衍变换。第二步， 找准定点，定机定角。第三步，乘积变比例，构造相似三角形，转移线段。第四步，判断轨迹，直角出圆定点定角出直线。第五步，求最直点，圆最直，用圆心距加减半 径最直，找三点共线。记住核心口诀，繁衍变换不用慌，定机定角，造相似线缘互变定轨迹。

各位小伙伴，如果你知道一二三四五模型的话，那遇到这样的压轴题，真的可以几秒钟就看出答案的，但如果你不知道幺二三四五模型的话，你可能会去思考所谓的绊脚模型，画一些辅助线来解决，虽然可以找到答案，但可能会浪费很多的时间， 那么有的小伙伴就不禁要发问了，磊哥哥，什么是幺二三四五模型？哦？好，我们先来个君子约定，记得先点个赞，收藏一下，关注一下，方便随时复习。来看一下，他说在这么一个矩形当中啊， 然后中间这个角是四十五度，这个边是六，这个边是二，这个中间的长边是九，要求的是 d f 的 长度是多少？好，注意看，这是典型的一二三四五模型。我先告诉大家，这个答案，我一眼就能看出来是四点五， 好，为什么呢？你看，在这个直角三角形中，这个对边二比上这个六是一比三，然后在这个直角三角形中注意，由于这个阿尔法角加上这个贝塔角是四十五度，因为中间有个四十五度， 那么在这个直角三角形中的话，那么这个对边比上这个边一定是一比二，我就知道这个地方一定是四点五， 四点五是九的一半。好，有的小伙伴可能听得比较懵，这是什么一二三四五模型呢？好，我来给大家解释一下。首先画一个华丽的分割线，先画上一个三角形，直角三角形，大家看，对边是一，这个直角边是三。好，注意看，这是一比三，然后这里有个贝塔角，我们再来个直角三角形， 大家看，这边呢是一，然后这个边呢是二，这是一比二，中间有个阿尔法角，那这个时候呢，阿尔法和贝塔他加起来一定是四十五度，这就是所谓的一二三四五模行，为啥呢？你看一二三四五称之为一二三四五模型，那我们来对它做一个简单的证明，然后就可以应用到这。 首先我们把前面这个直角三角形拿到这边来，然后我们把后面这个直角三角形也拿到这边来，把它们对在一起，这是一条水平线。接下来呢，我们可以来通过这里面的边关系来证明一下，这个 alpha 加这个 beta， 它是四十五度的，那我们就知道这个比例关系，它确实是这么回事，怎么去证明 alpha 和 beta 是 四十五度呢？ 好，注意看，我们把这个呢补成一个矩形，这个大家应该是有思路的，怎么补矩形呢？从这里画一条线，再从这里沿下来，好，这是典型的矩形，然后把这个线呢也拉一下， 最终怎么去看这个地方的阿尔法和贝塔是四十五度呢？好，我们找一找边关系吗？那这个边是多少是一，这个都知道，是吧？为啥呢？ 因为你这个整个边长是三过来的吗？这个是二，那这个不就是一吗？对吧？好，这个没问题。那么接下来的话，我们看一看，上面这个边长呢是二，这个没问题，是吧？那这个边按照勾股定律，我们就知道是根号五嘛， 这是二的平方加上一的平方，开方是根号五，那这个边呢？是不是也是根号五？那再看这个边呢？这个边是不是应该是这个三的平方加上一的平方合起来的开方是不是根号十啊？ 然后你再看一下这个根号五，加上这个根号五，然后这个是根号十，那这个三角形它是不是满足勾股定律的逆定律？那它也是个什么？它是不是也是个直角？这里是个直角， 而且你要注意是在这个直角三角形中，在这个直角三角形中，这个边还跟这个边相等的，那它就是一个等腰直角三角形，那我们就知道它这个角是多少，是四十五度，就是这个 r 加贝塔，它一定是四十五度，为什么呢？你看这是典型的什么 猪蹄模型，这个阿尔法和这个贝塔是不是等于这个四十五度？如果理解不了的话，你在这中间画一条水平线，那这个阿尔法是不是等于这边呢？这个贝 塔是不是就四十五度？所以阿尔法加贝塔是等于四十五度，我们是可以得正的，所以你回到这边来啊，你看我们这个阿尔法加这个贝塔是四十五度，因为这个中间已经占了四十五度，整个是九十度，所以这个阿尔法加这个贝塔是四十五度，他有个直角三角形是一比三，所以另外一个阿尔法对应的直角三角形，他一定是多少？一定是一比二， 对吧？那你这个地方是九，这个地方肯定就是一半，那他就是四点五，就是这个结果。换句话说，你知道一二三四五模型，是不是一眼就看出来这是九的一半啊？四点五。 这个我想问大家，我的这个证明方式，严格来说他充不充分？大家可以思考一下。高阶的小伙伴可能更加明白，我们的很多证明是要既证明充分性，也要证明必要性的， 我们这里只是证明了某种程度的充分性。必要性怎么证明啊？各位小伙伴可以在评论区里面讨论一下，当然，如果你掌握了这个技巧之后，那真的是可以五秒钟解决这个问题的。下个视频我们接着见，拜拜。

好，欢迎来看老师的全新更新的视频，接下来咱们将开启四十天的打卡挑战，每天吃透一个几何模型，觉得内容实用的话记得点赞、关注加收藏，跟着节奏稳不提升，咱们一起坚持学下去。今天我们要学习鸡爪模型啊，那么我们先简单看一下的鸡爪模型，就是在一个里有一个等腰 线段相等，中间角度是 ar， 那 很像鸡爪，就是再来一根线，短一点的线，这根线在里面或那面都可以。好，再来一根线，那么我们要做的就是将 a 一 也转 ar 角度，也转 ar 角度， 那么接下来就可以有手拉手拳的帮助我们做题啊。当然这个 a 一 在里面也是可以的。呃， ar 角度，如果 a 一 在里面也可以，那么我们继续转 ar 角度，在里面也是符合，那么它也有手拉手拳的，就可以帮助我们做题啊。好，然后我们看这道题， 这个题里面它给了 a、 b 三倍根号二， a、 c 为二，然后 b、 c 和 c、 d 是 一个等腰直角，然后求 a、 d 的 最大值，那么按照我们正我们的做法，我们就可以。哎，就按照我们的鸡爪模型的话，我们将 b、 a 也转九十度， b、 a 也转九十度，那么连起来它就会有手拉手全等。好，这一个也连起来， 这个是一啊，第一步手拉手就是 b、 d、 a 全等， bc 一 全等之后，就会有对应边相等， a、 d 和 e、 c 相等啊，那么接下来我们怎么做？怎么求，求 a、 d 最大，那就是 e、 c 最大，这里转的是九十度，我们用数据三倍根号二，三倍根号二，等腰直角的情况下，这个 a、 e 为六， ac 为二，那么我们要求 e c 的 最大值啊。 e c 有 三角形，它就小于两边之和， 只有当它三点共线的时候才会取到最大值等于号，所以这个最大值就是八。

ok， 那 么咱们今天利用这个视频来给大家讲解一下四十二个模型中的第三十个模型，叫四点共圆模型。 大家看我画了四幅图，那就代表我们研究四点共圆的时候，会涉及到大概这四大类题型。咱们先看第一类， 如果说告诉给了我们这个四边形角 a、 d、 b 和角 a、 c、 b 都等于九十度，那大家会发现是不是和我们前面讲的第二十九个模型有点像，因为它都是九十度， 那它俩既然都是九十度，那么 a、 b、 c、 d 肯定是以 a、 b 为直径的圆上的，它肯定在这样一个圆上。哦，这个四个点它是共圆的，那大家会发现 c 和 dog 它是位于 a、 b 的 同侧的。 同样的，如果说 c 和 dog 位于 a、 b 的 异侧，而且也是九十度，你会发现这四点是不是也是共圆的？ 由此我们可以推出来，只要对角互补，那么四点 b 共圆，而对角互补，我们在前面的模型中也涉及到了专门的对角互补模型，是不是？ ok， 这是九十度，那如果说不是九十度呢？我们只是说 a、 d、 b 这个角和 a、 c、 b 这个角是相等的。 那么根据我们讲的第二十九个模型的特点，你会发现 a、 b、 c、 d 四点也是共圆的，那么共的那个圆是谁？我们可以先去求一，求三个点所在的圆， 那么这三个点所在圆的求法，大家回去看一看。第二十九个模型我给大家讲过了哎，很轻松的就可以算出来。也就是说，当 c 和道格位于 ab 同侧的时候，只要两个角相等，那么它们四点一定共圆。 同样的，如果说 c、 d 位于 ab 的 异侧呢？那将不再是相等而变成什么了，而变成互补了。那 c 和 a 位于 b、 d 的 异侧，只要 a、 c 是 互补的，就相当于角 a 加角 c 等于一百八十度的，那么我们仍然会有一个圆， 那么这个圆你可以去求任意三个点组成的圆，那么任意三个点组成的圆，大家回过去看第二十九个模型，我们也是能够找到， 那么第三十个模型我们就很好地体现出来了四点共圆的特点。在后期我们碰到四个点，满足这样的条件的时候，那么它们四点经常共圆，而我们这个模型会经常和相似三角形结合起来。 大家可以根据视频后面给大家准备的几个练习做一做，有没有掌握这个思想需要录播课的随时找我。

为什么在四十五度角的正方形几何体里总挨考？答案就是今天要讲的半角模型。正方形内给你两条边，让他的夹角固定为四十五度，然后连接 e、 f， 此时四十五度，这个固定的角就是这个九十度角的一半，所以我们把它叫做半角模型。这个模型结论非常之多，今天我们主要讲最常用的两类结论。首先来看 b、 e、 e、 f、 f、 d 这三条线段之间存在什么样的关系。看见半角我们就知道了，中间这个角是四十五度，那么它两边这个角相加也等于四十五度，但它们隔得太远用不上。那怎么才能让它们挨在一起？平移 不行，方向不对，对称也不行，旋转可以吗？哎，这个对了，旋转可以同时保持长度和角度，把一个小角整个搬过去，这就是半角模型中一个核心思路。我们把上方或者下方任意一个三角形进行旋转，那我们这里就把上方三角形顺时针旋转九十度， 让它两个角挨在一起，形成四十五度。因为 a、 d 是 等于 a、 b 的 角， b、 a、 d 等于九十度，所以说旋转后 a、 d 就 和 a、 b 重合，然后这两个角又都是直角，那么角 g、 b、 e 就是 一百八十度。 所以这三点共线当然也可以不用旋转，用构造全等的方法延长 c、 b 至点 g， 使 b、 g 等于 d、 f， 再连接 a、 g， 利用边角边就能证出这两个三角形全等效果，等同于将图形旋转下来， 还省去了三点共线的证明过程，这样就能把分散的角度整合利用起来。两个小角拼接过后，刚好组成四十五度，因为这两个小三角形全等 可得 a、 g 等于 af， 角 g， a、 e 等于角 e， af 等于四十五度，又存在公共边 a、 e， 就 能证明这两个三角形边角、边全等。由此推出 g、 e 等于 ef， 结合 b、 g 等于 d、 f， 便能得出核心线段关系 b、 e 加 d f 等于 e、 f。 这就是四十五度半角模型最关键的结论。我们还能由三角形全等得到这两个对应角相等，说明 a、 e 是 角 g、 e、 f 的 角平分线在 e、 f 上做垂线 a、 h。 根据角平分线性质 a、 h 长度与 a、 h 长度，而 a、 b 等于 a、 h 也等于 a、 d， 再根据角平分线判定，定里又能判定 a、 f 平分角 d、 f、 h。 相关衍生结论太多了，感兴趣的同学可以接着往下推导就行。一般考题不会直接考察你这三条线段的数量关系， 他会换个花样问你，比如说告诉你正方形边长为四，问你三角形 e、 c、 f 的 周长是多少。你看，通过第一个结论我们就知道 e、 f 是 等于 b e 加 d f 的。 所以三角形 e、 c、 f 的 周长就可以转化为 b、 c 和 c、 d 这两条边。那三角形 e、 c、 f 的 周长就等于正方形两条边长之合，也就是正方形周长的一半，算下来周长就是八。这类题型就能快速求解。 这个结论很多同学都会，但考试里真正能拉开差距的是接下来要讲的第二类结论，就是四十五度半角模型里特有的构造相似三角形。先看三角形 a、 b、 e， 在 a、 b 边上取一点 n， 使 b n 等于 b、 e， 这样就能构造出等腰直角三角形。用同样的方式在三角形 a、 d、 f 里也构造等腰直角三角形。 在 a、 d 边上取点 m， 使得 d、 m 等于 d、 f。 此时角 d、 m、 f 是 三角形 a、 m、 f 的 外角， 而且等于四十五度，因此角 d、 a、 f 加角 m、 f 等于四十五度，原本角 d、 a、 f 加角 b、 a、 e 也等于四十五度。 等量代换就能推出角 b、 a、 e 等于角 a、 f、 m， 又能算出角 a、 n、 e 等于一百八十度减四十五度。角 a、 m、 f 同样等于一百八十度减四十五度。两直角分别对应相等，即可判定两个三角形相似。 相似过后，对应边乘比例就能借此列式计算，求出某条线段的长度。考试里大多还会把正方形变成为长方形，或者割成正方形， 特别麻烦，这时候就可以用我们刚才证出的相似三角形来解决。比如告诉你长方形中 a、 b 等于五， a、 d 等于八，已知 b、 e 等于二。求解 d、 f 的 长度。我们把那两个等腰直角三角形先构造出来，通过之前就证出的这两组对应角相等， 得到这两个三角形相似，已知 b、 e 等于 b， n 等于二，进而得到 a、 n 就 等于三。 an、 e 的 长度也能借助勾股定律算出等于二倍。根号二，我们设要求的 d、 f 长度为 x， 那 md 也等于 x， m、 f 的 长度就等于根号二 x， a、 m 就 等于八减 x。 在 这两个相似三角形当中，就有 an 比 m、 f 等于 n， e 比 am。 代入数据得到三比，根号二 x 等于二倍，根号二比八减 x。 化简计算解得 x 等于七分之二十四。这道题的解法有很多种，选择最适合你的方法。

本视频耗时一年，制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。详细的几何模型目录已发到评论区，本次更新十二个几何模型，时长二十八分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们！ 再咱们来看模型十九海盗埋榜模型也叫逆旋转啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形，再来看三角 c b， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转好。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连先来，之后取它中点 f， 一 旦取连 f 中点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相等。之后呢， f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也是四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q， 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个也三角形，是不也是等腰直角三型，也是它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是加左手啊？ e 是 不也是左手？ p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好？那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，先练完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了 pe 等于 d q 也有两个拉手线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢？ f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下 f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二，破罗摸几的模型，也叫破石模型哎，这它是由三个模型 衍生的，咱们来看第一个模型，垂直变中点，什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b， e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转，旋转的话它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个角是直角，那么把 m b 进延长，延长完之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等，第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。诶，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把看这第二个图啊，我只需要把啊 b n 进行延长，延长完之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后大家看，非常关键的一个，那我全等完之后，看一下，我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再将它的垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d q n 和 a p n 是 不是全等？全等完之后，那你 na 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 再看下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个， c e 等于二维的 b n， c e， 你 看一下。哎，我把这个擦掉。 好，他来重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 m e 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ m e 呢？ m e 一 线三垂直， m e 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b q 嘛。 啊， b p 就 能以 b n 减去 np， b q 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍， b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直，还是 a b、 c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转完之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p、 b 进行延长，到这儿肯定垂直。 好，那就看一下这个位怎么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱们把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正，这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造，全等就是构造拼四边形，拼四边形的话，这个角 b、 e、 m 加上这个角 c、 b、 e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a、 b、 d、 a、 b、 d 加上 a、 b、 d 加上这个 c、 b 是 不也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等，哎，这两个直角应该相等。好，就要再看这两个直角相等，那我，哎，我换一个颜色， 那我看一下，我这个 b、 e 是 不和 b、 d 相等，那进来看，这个 m、 e、 m、 e 是 不和 b、 c 相等？刚刚全等，是吧？那 b、 c 呢？又和 b、 a 相等，那所以这个 b、 a 是 不和 m、 e 相等，那我在这儿一封，这儿一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后，好，全等完之后，接下来看非常关键的，全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了，对吧？而这第一个结论就是垂直 好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正了，刚刚我说了，我这个三角形刚刚不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这个也是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，也就是说我这个 ap 等于二，而 a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等。 a、 d 这个三角形和这个三角形刚不正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不就是 b p 的 二倍？所以说，我就证完了。哎，就是二倍啊。好，那接二，再看 最终的破锣磨几个模型，眼下定力，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现，如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形。 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直，那么如果说我其中这儿是垂直的， 这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的坡直定点。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？嗲，这是角一在这呢，角一是不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角一，这个角一是不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角一和同弧 c、 d 所对这个角一是不相等啊。 所以，其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， f m 是 不等于 f a？ f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点。好，看一下，我这个角在哪呢？ 我这个角，哎，是不在这呢？为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不相等。再来看，我这个红角是不在这呢，因为他们同时加上这个角都是九十度吗？ 对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加一角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢。好，那这两个红角是不相等，相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d c f 是 终点，所以我就中完了，好，大家学会了没有？他现在再看第三个 模型，二十一啊，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你的三角形 a， 制药三角 a b c， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 p c 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过屁点做这边一个垂直，哎，因为角偏定里 f d 是 不是挺等于 i， 这个 p d 是 不是挺等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊。好，那见了带一句看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边儿啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不也是 x， 那 它是不就是八减 x 啊？所以你所形成的这个扇形是不叫勾股定律啊？ 勾股定律，然后解除 x 是 不解，出来 x 之后，我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速地解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 tb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊。哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对吧？直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三，对吧？ 咱们继续看模型。二十二，矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二，角三，然后第二个结论，可第三个角咱们看。 当你折叠时候，咱们记住，折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，那这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d e 等于 df， 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应边相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，因发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等，所以说 e a 是 不等于 e c 啊， e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e a， c 等于角， e、 c 也就成立的，也就角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等这一个直角，所以说这个三角形 f、 b、 c 和 a、 f、 e 是 不就全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就已解决，把 a、 d、 f 折到了 a、 e、 f， 这若你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a， c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之 后， a、 d 是 跑到 a e 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a、 d 是 跑到 a、 e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不就等于 a c 减去的？ a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊，所以这个结论成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c、 f 等是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了。这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个 d 点对应点折到了 g， 这个 g 刚好是一百 f 是 它中间那个折。这个时候你要看一下 a g 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边，相等对应边，是不就是 a， d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a、 g， 你 这个时候你发现 a， g 是 不就等于 a、 d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看，哎，这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所对的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽贤图模型赵爽贤图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a、 b、 c、 d 哎，内部，然后在 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e、 h、 g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两条直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 ef 是 不是就等于 f e 也等于 h g， 所以 这个就是个正方形了，所以我就正完了，是吧？这也是详细的一个证明过程。 我再来看二四风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖边好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就是这个地方是三尺。那你还发现哎，这种咱们用勾股定律结建方程。还比如说咱们说折断后的那个 高度是 a x， 也就这一段是 x 比总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎， u 数的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定律，因为它有个直角，对吧？每只 x 方加三方 a 就 等于十减 x 方，然后吹截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹数轴形是勾股定律的一个应用。再看出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型， 什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？就这一段 a b 出水三尺，因为它漏在水面上，三尺嘛， 然后接下来风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢？它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 反向后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x， 值 内发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢？这个 p c 呢？就 x 加三呢？所以直接解的 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看魔像，二十六、三七八和五七八魔像这个非常非常重要，犹如咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛，一个赛型三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到，其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形。为什么呢？咱们可以尝试一下 给，比如说有这么一个三角形等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a d 勾股定律， a d 就是 四根，四倍根三四 b 根三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b d 是 四的话，这儿是三，那这儿是不就是个一，这儿就是个一，所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形这儿是四， b 跟三，这儿是一，所以勾股定律是不直接可以求出 a e 啊， a e， 你 求完之后发现 a e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满，它足够的敏感，它们一旦一拼，就是一个等边三角形 好备好，咱们继续进来看。蚂蚁爬行莫行，哎，这里是勾股定律那块经常会遇到说蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬，爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，这样把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面，翻成平面之后，哎，这边就是个 b， 这边就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和让 b 和 c 沿成一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样了。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀？比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就是 a 一个长方 a b、 c 是 不？他的三个棱长，三个棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m、 n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看，有了之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀？是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高，所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面， a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了，他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就是你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜。这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路上什么最短？哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边儿再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段儿这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的要什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇， 然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就 最短。什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续加 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a 地方， a 地方， a 加上 bc 方，好。第二个结论就是它这个面积 a、 b， c 的 面积就是就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论。第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不二分之一的 b、 d 乘以 a 啊，下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊，我把二分之一 b、 e 提出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a、 c 乘 b、 d 啊？所以我就求完了。 好的，看模型。二十九，叫中点四边形的模型。什么叫中点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m、 n、 p、 q 是 这个任意四边形的一个中点，它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b、 d 的 一半， 然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等， m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形了，对吧？好，第二个，像这种的， 这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行且等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 和这个 n p 是 不是就平行且相等？那所以它是不是还是个平四边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n m n 是 不是平行等于 a c 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 a c 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不就跟 p q 平行其相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么要一必要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个菱形。 哎，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等是不意味着它和它相等啊？本来一个拼四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看，如果对角线垂直且相等的四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个平行四边形，对吧？因为对角线垂直，第二垂直的话，它就垂直了。用对角相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既是矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 好的，来看三十十字架模型，这的正方形那儿会正常出现。说在正方形内部， a 有 这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么尾弦呢？就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f， 只要垂直稳，那么稳，那么 a e 和 b f 它相等。为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的。哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？里丫直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是啊，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以它要全等了，主要加角 b 全等了，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线， a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 都成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的嘛。全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？好，他说这种，哎，例如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要证这个 三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等了。那还有一种是蛮非常极端的，就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是，你只需要正它和它这两个三角形全等，全等完之后，哎，它就又成立了。所以记住， 正是正方形内部如果说有垂直，那叫 b 相等来，如果相等也 b 垂直，所以这两个是互逆的。

本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完八年级数学所有几何模型，先点赞收藏再细品吧！孩子们，接下来继续 看十一个模型 k 子模型 k 子模型讲究一线三垂直，就一根线上有一个垂直，两个垂直，三个垂直，并且它告诉你了， ab 等于 ad， a b 等于 a d， 然后你又发现这个角一加上这个角三是不九十度，角一加角二又又是九十度，所以发现角二是不顶就等于角三好，角二等于角三的话，那你这两个三角形是不就全等了？ 全等完之后好，接下来全等完之后，你就会发现这个 a e 是 不就等于 bc 好，这个 a c 是 就等于 d e， 所以 我的 c e 是 不就等于 d e 加 b c 了，也就一个红的加一个紫的好。还有，如果说是这种一线三垂直的话，哎，那么它结果什么呢？还是你主要的就是正，这两个三角形它是全等的 好，全等完之后，所以就会发现 a e 是 不就等于 bc， 然后呢， d e 是 就等于 a c， 所以 c e 等于 a c 减 a e， 那 a c 等于 d e， a e 等于 bc， 然后就证完了。好，接下来看 哎！第十二个手拉手模型手拉手模型的结论非常多，咱们一一讲解。什么叫手拉手模型呢？第一个，它的条件是 c a 等于 c b c d 等于 c e， 并且两个的顶角相等，那么这种模型都叫手拉手模型。好看一下，那它怎么去证明呢？ 好看，首先第一个它全等，你会发现这个 b c 是 不是跟 a c 相等？ 哎，还有呢，这个 c d a 是 不是和 c e 相等，再加上这两个大角，它是不是相等？所以你会发现，我把这个 b d 一 封，然后我把 a 一 封，这个红的算型跟这个紫的算型是不就全等？好，全等完之后， d 给郑华拉第二个。 好，他说这两个这角 o， 欸，这个角 o 肯定等于它那个顶角度数，又等于这个角 bca， 为什么呢？欸，这又发现你这个角四是不等于角五用钢中全等了呢？ 然后呢，这个对顶角值不白相等，所以你又发现这个八字模型，欸，这个八字模型当中的这个角 o 是 不是跟这个角 bca 就 绝对相等了呀？是吧，这个非常的简单呐。然后接下来咱们继续这个就正完了。 o c 是 不是平分角 b o e？ 好， 还记得吗？刚刚咱们说的这个三角形 a c e 和这个三角形 b c d， 它是全等的呀。好，全等完之后，你会发现我做对应边的高，也就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高角相等了，对应边高相等的胎角对在角平面线上了，为什么呀？因为一个点到两边的距离相等念那，所以这个点 b 在 角平面线上，所以我就正完第三个了。好，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，你会发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么呢？就这两个角是不都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不跟 c f 就 相等了，我就完事了。好，所以我第四位证完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个他说这个角是等边三行，那肯定的，因为 c j 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它也等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b e 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲。模型是三倍长中线，模型也倍长中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，哎，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d， 哎，背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e， 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 啊，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看，这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d， a 倍长，我是不是形成这么一个八字结构？ 然后呢？我把 e、 d 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？然后我把 em 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？哎，然后我就可以看到这个倍长中线的作用了。好，接下来继续咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢？中间出现了一个中点，就 e f 之中点 o， 然后有中点有平行，那么轻轻延长就能行。好，你只要延长，你就跟 n、 q、 o、 q 相等吗？所以我是不是又形成这么一个八字结构？ 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接，咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如，如果 a、 p 是 这个角 b、 a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了，也就是这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b o 和 a d o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d o 全等嘛。 哎，签单完之后让 a、 b 就 等于 a d 了，同时 o， b， e、 d 就 等于 o d 了，因为它是个中线嘛。哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型， 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 d f 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说你把这个 a、 d、 f 呀，把它旋转，哎，旋转到 a、 b、 g， 好，你又翻 a、 b 和 a、 d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角，你是不是就转这来了？ 哎，然后呢，这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不就四十五？哎，这个是不四十五， 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a、 e、 f 和这个 a g、 e 是 不就全等了？去吧。啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的，全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e、 f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了嘛，是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看。第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c、 f 的 周长，你翻这个 e、 f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d， 把它分成这两个线段了？ a， 再加上本身就有个 c e 和 c f， 那 所以 a， 这个 c、 e、 f 的 周长是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了， 好，家人们继续来看 a， 说第二个结论，说这个第二个，然后 a e 平分角 b e f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不是等于角二？那所以角一等，角一等于角二等完呢？那我这个 e a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能正相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a？ 所以 我就把它记住就行了呀，还继续继续第四个， 第四个来，这个 a h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a、 b 相等了呀。啊，这儿咱们当看上一上一个模型啊， 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？相等全等完之后，它对应边是不是也相等 啊？对应边就是，哎，比如 e f 对 应边上的高，那跟这个 a b 对 应边上的高，跟这个这个 a b 这个高是不是相等？那所以 a b 和这个 a h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a b 和 a h 是 不是就相等了？那我就挣完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a、 b、 d a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么挣啊？ 来，我还是我把这个，呃，这个三角形 a、 d、 n 转过来，转到 a、 b g， 因为 a b 和 a d 相等，嘴肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，欸，刚刚这个红的欸，加上这个紫的是不是四十五度？而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 an 的 等于 ag， 所以 所形成的这个啊， agm 和这个 an m， 它是不是圈，等圈等完之后，你这 m n 转哪去了呀？ m n 是 不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n 转哪去了？ d n d n 是 不是转这儿来了啊？转这儿来了，所以再加上这个是四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b g b 方就肯定等于 g m 方嘛， 哎，然后呢？哎，我，所以我就挣完了嘛。说啊，这就想起了一个证明过程。好，家人们看第十七个模型叫斜适应定律。什么叫斜适应定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你，角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易地得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c？ 然后呢？这个 b p 定的谁？ bp 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个奇面。这个斜式影定律就是，如果说两个三角形相似，并且共边，共谁啊？共 b a 共 b a， 共谁是一平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢， l 上有一个动点。屁，那让你去求 p a 加上 p b 的 最小值，这种叫将军引马问题。好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与热核相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在核的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题。 p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值？好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值 y， 你 发现 p m 的 周长是不就是 p m 加上 p n 再加 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m？ 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了。好，再加上 m n， 你 会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有，还是一个角，其用 m n 两个定点，其用 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的， 而周长最小值，你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的，它是不是 m n a 加上一个 pm， 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的 pm 是 不是可以有？把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那是不就是 pm 撇儿了？ 好，再加上你 q n q n， 你 是不是可以把 n 关于 o b 对 称到 n 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿， 再加上 a p q 被这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就说这三个相加 a p 撇， m a 加 p q 再加 q n 撇是不是最小？是不直接相连？最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。好，接下来咱们来看 m n， 看一下模型五。模型五呢，是形容 a p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m n 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？类似于 pm 加 m n 是 不等于 p 撇 m 加 m n 了。 那 p p m 加上 m n 是 不就直接相连？那 p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p p n， 你 犯 p p n 的 线段很多碳去求最小值，最小值是不就让 p p r n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p p n 垂直的时候它最小。好看。模型六，模型六它就变了，变了一个花样了。 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p 加上 p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。河宽。什么叫河宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的，这个是不就都平次边形了？哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 了，对吧？我 a 撇 q p q 可以 念，这个是不能变的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就是这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按求求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题。 这什么最小？这个时候是一样的了，你把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 是 不等于 a p 啊？ 那你 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这，这儿，这儿， a 撇 p 加上 p， q 加上 q b 问题了，这跟他们刚刚讲的没啥区别。它怎么做呢？它只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 一 撇儿 p， a 一 撇儿 p， 是 不是就变成了 a 一 撇儿 q， a 撇儿 q， a 撇儿 q 加上 q b， 再这样 p q 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇儿跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值是不是就 a 撇撇儿 b， a 加上一个 p q 啊？ 哎，咱们要学会类比。接着再看将军与马，还有一种不止和的最小值问题，他就说让你去求差的最小值问题啊，这个更简单， 哎，比如说 a 和 b， a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点，第一个让你去求 p， a 减 p， b 什么最小？嗯，最小？那就是零呗。哎，零的时候就让我让 p a 等于 p b 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二、模型九， a 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点 p 呢，是合上一个动点 p， a 减 p， b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b， 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候，刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 我 就搞定了。 好，再来看。哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点， a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了，小 e 等于什么呀？小 e 等于 ab 撇， 哎，那有 p 在 哪？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军马模型讲完了，你学会了没有？ 好，接下来咱们来看模型十九海盗埋榜模型，也叫逆旋转相似来看下这种模型特点。第一个，它形容的是两个等腰直角三角形再进行旋转，比如说三角形 a d c， 这个是个等腰直角三角。再来看三角 c b e， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转啊。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连下来之后，取它终点 f， 一 旦取点 f 终点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相挨之后呢？ f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也只四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个 a 三角形是不也是等腰直角三型？也是它垂直的？好，你看一下这个红的和这个紫的，是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是叫左手啊？ e 数也是左手， p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好，那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，相等完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了， pe 等于 d q 也有两个拉数线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢， f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下， f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二坡罗墨迹的模型，也叫坡式模型，哎，这它是由三个模型 衍生的。咱们来看第一个模型，垂直垫中点什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b、 e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b、 c 和 d b、 e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转。旋转的话，它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个要是直角，那么把 m b 进延长，延长了之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b， a b d 边相等。第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。哎，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把啊 b n 它进行延长，延长了之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后，大家看一下我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再这样它都垂直，那所以所形成的这两个三角形小的三角形 d、 q， n 和 a p n 是 不全等。全等完之后，那你 n、 a 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 大家看一下，这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是？咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个 c、 e 等于二位的 b、 n、 c、 e， 你 看一下，给我把这个擦掉。 好，那重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 me 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ me 呢？ me 一 线三垂直， me 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b two 嘛。 啊？ b p 就 等于 b n 减去 np， b two 等于呢？ b n 加上 q n 这两个相加一定等于二倍 b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直还是 a b c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转了之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿是垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p b 径延长到这儿，肯定垂直。 好，那看一下，这个为什么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造全等，就是构造平行四边形。平行四边形的话，这个角 b e m 加上这个角 c b e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a b d a b d 加上 a b d 加上这个 c b 是 不是也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等， a 这两个直角应该相等。好，这样再看这两个直角相等，那我给我换一个颜色， 那我看一下我这个 b e、 m e 是 不和 bc 相等？刚刚全等，是吧？ 那 bc 呢？又和 b a 相等，那所以这个 b a 是 不是和 m e 相等？那我在这一封，这一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？ 好，我就证完了。全等完之后。好，全等完之后，接下来看非常关键的。全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一 a， 这角二吧，用刚 b 二，角二，这儿是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，那个角二加角三，这也也是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了， 对吧？而这第一个结论就是垂直好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好，正吧，刚刚我说了，我这个三角形钢刀不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这里是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，哎，就是说我这个 a p 等于二二， a d 等于二倍的 b p a d， 咱们刚输了，全等， a d 这个三角形和这个三角形刚，不是正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不是就是 b p 的 二倍？所以说我就证完了，哎，就是二倍啊。好，那接下再看 最终的破罗模型的模型，演下定例，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形， 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直。那么如果说我其中这儿是垂直的，这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的颇治定力。好，咱们来正一下，为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？对啊，这是角 e 在 这儿呢，角 e 是 不是在这儿呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角 e， 这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是相等啊？ 所以其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等，相等完之后， f m 是 不等于 f a， f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点，好，看一下，我这个角在哪呢？我这个角 a 是 不在这儿呢？ 为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不是相等？再来看，我这个红角是不是在这呢？因为他们同时加上这个角，都是九十度吗？对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加周角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢？ 好，那这两个红角是不是相等？相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d， 那 c f 是 终点，所以我就正完了，好，大家学会了没有？趴下再看第三个 模型，二十一，哎，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你个三角形 a， 制药伞形 abc， 角 c 九十度 a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 pc 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过 p 点做这边一个垂直，哎，因为角平分定里 f d 是 不是等于 i， 这个 p d 是 不是等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊，好，那见了带锯看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不是也是 x， 那 它是不是就是八减 x 啊？所以你所形成的这个算式是不是叫勾股定律啊？ 勾股定律以后解出 x 是 不？解出 x 之后我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速的解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 pb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊，哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对啊，直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三对吧。来，咱们继续看模型。二十二， 矩形翻折模型好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二、角三，然后第二个结论和第三个角，咱们看。 当你折叠时候，咱们记住折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，但这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d、 e 等于 df。 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e、 b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应变相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种，这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，应发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等。所以说 e、 a 是 不等于 e c 啊？ e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e， a， c 等于角， e c 也就成立的只有角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等，这儿有个直角，所以说这个三角形 f b c 和 a f e 是 不是又全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a c 上，然后就以结语把 a、 d， f 折到了 a， e f， 这如你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c e 等于 a c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a d 数跑到 a e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不都等于 a c 减去个 a e 也等于 a c 减去 a d 啊？所以这个决定成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c f 的是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c， d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了，这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠说像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个地点对应点折掉了 g， 这个 g 刚好是 ef， 是 它中间那个折痕。这个时候你要看一下 a j 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边相等对应边，是不就是 a d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a j， 你 这个时候你发现 a， j 是 不就等于 a， d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看被这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a， e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所在的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折对对角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽衔图模型赵爽衔图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型好，进来看一下，说在正方形 a、 b， c、 d， 哎，内部，然后在 a、 b， b， c， d， d， a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e， h， g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c， f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两个直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样？它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 e f 是 不是就等于 g， f 啊？同理也等于 f， e 也等于 h g， 所以 这个就成个正方形了，所以我就正完了，是吧？这是详细的一个证明过程。我再来看二四 风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖给好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就这个地方是三尺， 那你一看发现，哎，这种咱们用勾股定力结建方程，比如说咱们说折断后的那个高度是 a x， 也就这一段是 x， a 总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎，由竖的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定力，用它有个直角，对吧？你这 x 方加三方， a 就 等于十减 x 方，然后追截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹竖轴形是勾股定力的一个应用。再看 出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型，什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？你就这一段 a b 出水三尺，用它漏在水面上三尺嘛？ 然后接下来一风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢，它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 晚上后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。哎，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x 值， 那发现 p b 是 不等于 p c， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a， 它是不是加上 a c 方就等于 p c 方，是吧？ p a 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢这个 p c 呢？就是 x 加三呢？所以直接解得 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看，我想二十六、三七八和五七八模型，这个非常非常重要。有时候咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛？一个赛线三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形，为什么呢？咱们可以尝试一下， 诶，比如说有这么一个三角形，等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a、 d 勾股定律， a、 d 就是 四根，四倍根，三四 b 跟三。好，你再看 e、 d 这个 b、 d 是 不是四？ b、 d 是 四的话，这是三，那这是不就是个一，这就是个一。所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形，这是四 b 跟三，这是一，所以勾股定律是不是直接可以求出 a e 啊？ a e， 你 求完之后发现 a、 e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满炭足够的敏感，它们一旦一拼就是一个等变三角形。 好备好，咱们继续进来看蚂蚁爬行模型，哎，这也是勾股定律，那块经常会导出蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，去把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面儿，翻成平面儿之后，诶，这边儿就是个 b， 这边儿就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方就是这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖儿这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和 s， 让 b 和 c 也延长一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样的。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀，比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就 a 一个长方， a 一个长的棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看有的之后呢，他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀，是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆的周长？圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面 a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话，也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去行了？他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就说你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜，这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路程最短，哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形，就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值，该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的一叫什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型 好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇，然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就是 最短，什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b。 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续讲 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a、 d、 c、 d 面积就就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方？ a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论，第二个结论，它的面积 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不是二分之一的 b d 乘以 a 啊？下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊？我把二分之一 b e 提出出来， a 加 c， 那 是不就二分子力的 a c 乘 b d 啊？所以我就求完了。 好，咱们继续看模型二十九，叫终点四边形的模型。什么叫终点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m n， p q 是 这个任意四边形的一个中点， 它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，哎，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b d 的 一半，然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等？ m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形啊，对吧？好，第二个，像这种的，这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行界等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 科，这个 n p 是 不是就平行且且相等？那所以它是不是还是个平次边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n， m n 是 不是平行等于 ac 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 ac 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不是就跟 p q 平行且相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么叫以要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了。 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形就是个菱形 耶，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等，是不意味着它和它相等啊？本来一个平四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看。如果对角线垂直且相等四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个拼四边形，对吧？因为对角线垂直，对二垂直的话，它就垂直了。用对角线相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了。所以说它既是矩形，又是菱形，那么它就是个正方形了。 大家看，凡是十字架模型，这在正方形那儿会正常出现，说在正方形内部，哎，有这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么我也结论就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f 只要垂直，文中 b e 和 b f 它相等，为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b、 e， 它是全等的，哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？俩直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 上再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以跳全等了，是吧？加角 b 全等，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线 a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 动成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的吗？全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？ 好，他说这种，哎，比如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要正这个三角形和这边的三角形全等就行，对吧？还是全等，全等就仍然相等嘛？那还有一种是吗？非常极端的就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是你只需要正它 和他这两个三角形全等，全等完之后，哎，他就又成立了。所以记住，正是正方仪内部，如果说有垂直，那叫必相等，俩如果相等也必垂直，所以这两个是互逆的。好，朋友们，好，咱们看一下模型三十一，梯子模型。什么叫梯子模型呢？就形容在这么一个墙上，他跟地面是垂直的那么一个墙。 哎，然后呢， a 和 b 在 墙上滑动，也就是 a 和 b 是 动点，那么啊，让你求，首先 o q a a b 有 个中点 q， 然后让你去求 o c 什么时候最大， o c 什么最大？好，咱们结论就是当 o q c 它共线的时候， o c 最大。好，咱们求一下为什么这样吧，首先看一下，在三角形 a o b 当中，因为 a o b 是 直角，那所以说咱们由斜边中线理论， a q 是 中点，所以 o q 是 中线，由斜边中线理论可以得到 o q 直接是二分之一 a b 好 几下再看，那你在三角形 b q c 这个 之中，然后由勾股定律可以得到 c， q 是 不等于 q， b 方加上 c， b 方开根。好，那么 q b 是 不就等于二分之一的 a b 啊？所以就二分之一的 a b 扣入平方，加上 c， b 方开根。 也就说，哎，你把谁呢？哎，你把 q c 也求出来了。好，接下来看一下最关键的一步，最关键的一步，咱们在三角形 o q c 当中是不有个三边关系啊？什么三边关系呢？ o q 加上 q c 是 不是大于 o c 啊？两边之隔大于第三边，它没有说 o q c 必须三角形，所以说可以是等于圆，等于就知道了。那这个 o q 是 不就是二分之一的 a b？ 那你的 q c 呢？ q c 是 不就刚我求的这个根号 a， 你 加上这个，那 c 是 不是大于等于 o c？ 所以 o c 是 不是小于等于它啊？也就是说那 o c 最大值小于等于它， o c 最大值是不是就 o c 等于 a b， 再加上后边这串， 哎，也就是说 o q c 贡献的时候， o c 最大值就是这个后边这一串。好，那么咱们接下来继续 看模型。三十二，对角互补模型。什么叫对角互补模型呢？首先他形容的是对角是互补的，比如说，哎，九十度，九十度，这两个九十度，那么对角是不互补啊，相应的，我这两个角是不是也互补啊？这两个角是不也互补啊？好，互补之后和进来的，咱们看一下。 那么 a d 等于 a c 啊，它结论就是第一、第二、第三。好，咱们证明一下。哎，为什么这三个结论成立？首先咱们要进行旋转，怎么旋转呢？你把这个 a、 b、 d， 把 a、 b、 d 旋转到 d、 c、 e， 它为什么能够完全旋转过来呢？首先第一个就是因为 d、 a 等于 d， c， a， d、 a 等于 d、 c。 第二个，因为咱们杠出的这个角 a 和这边这个角 c 又互补的，所以你这个角 a 转到这完全是个平角，所以转过来之后没有任何的问题。好，那我们看一下，转完之后，那咱们就好多了。那第一个，他说 结论， bc 加上 ab， 你 这个 bc 加上 ab， 此时 ab 是 不就是 ce 啊？所以 bc 加上 ab 是 不就是 be 啊？是吧？就是 be， 你 这个 be 看一下，因为它是一个直角，那 be 是 不就等于根号二倍的 bd 啊？ 所以第一个结论我就证完了，好，看一下。哎，这是详细了一个证明过程。好，咱们看第二个结论，说 a、 b、 c、 d 的 面积被求下 a、 b、 c、 d 的 面积，它为什么就等于二分之一的 b、 d 方呢？好，那当然，接下来咱们继续， 你会发现所谓的他说的这 a、 b、 c、 d 面积，因为我已经把 a、 b、 d 转到了 d、 c、 e 了，所以 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 a、 b、 d、 e 的 面积？我 b、 d、 e 的 面积，我这是九十度。好，我在求的时候，你想一下，因为 d、 b 是 不等于 d、 e 啊？因为 d、 b 转到了 d、 e， 是 吧？这两个边是相等的，所以说这个象形的面积就是二分之一的 a、 d、 b 是 不乘以 d、 e 啊。 然后呢，你这个 d、 e、 u 等于 d、 b， 那 是不就二分之一的 b 地方啊？好，我就挣完了呀，对吧？那接下来咱们继续，咱们继续看第三个结论， 也就说 b、 d 是 角平分线，这更简单了， b、 d 为什么角平分线呢？我说了，你把 a、 b、 d 已经转到了谁呢？转到了 d、 c、 e 啊，这两个角平行相等啊， 这两角相等，因为什么呢？因为 a 这个是个直角， d、 b 等于 d、 e， 所以 是等腰直角。这个红的是不等于这个紫的呀？那所以这个红的是不跟这个紫的也相等，所以说它就是角平行线了， b、 d 就是 角平行线了，所以第三个这轮位就正完了啊，这就是详细的证明过程。好，继续 对角互补。还有一种就是六十度和一百二十度，也就是他是六十度，他是一百二十度，他们是互补的。那所以你别忘了这个角互补，是不？这两个角也互补啊，好，互补之后再来看他。还有个就是 a、 d， a、 d 等于 d、 c， 跟刚了填一样，那所以说 a 第一个结论，第二个结论，第三个结论，咱们接着开始整，它的道理都是差不多的。好，首先咱们还是咱们把 abd 进行旋转，你用反欧把 a、 b、 d 旋转，是不是完全能够转到 d、 c、 e 啊？是吧？为什么能够转到呢？第一个，你的 d、 a 是 不等于 d、 c？ 第二个，你它和它是不互补， 他和他互补的话，那你想一下，那我这个这个角不就转到这儿了吗？这两个不也是互补吗？所以说他就是大平角，所以转过来完全没有任何问题哈，是不跟刚刚那个没有什么区别，对吧？转过来之后，接着咱们开去正，那第一个结论， bc 加上 ab， bc 加上 ab， 是 不就 bc 加上 ce 啊？ 那么 b c 加上 a b 是 不就是 b e 啊？ b e、 b e， 你 会发现咱说它是六十度，它这个转完之后，给这个角加上这个角是不是一百二？那所以这个角加对角是不是也是一百二？那咱们就输了，那也就是说我现在， 哎，现在也就是说我这个三角形，是不是这是一百二十度的一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说一百二十度等腰三角形，那我这个 b、 e 这个边就等于多少三倍的 b、 d， 所以 证完了第一个结论，对吧？第二个结论， a、 b、 c、 d 的 面积，咱们说 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？对吧？因为转过来了嘛， b、 d、 e 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 b、 e 是 不是乘以个高？那高谁呢？你可以做一下做这个这个高嘛，因为它等二直角上面是一百二，这是不是就是三十三十度三九，这是 dm 吧？那三十度化，所以 dm 是 不等于二分之一的 b、 d， 所以， 哎，二分之一的 b e 乘以 dm 就 等于二分之一的 b e， 你 算 dm 是 不等于二分之一的 b d 啊？ b d 是 吧？那所以你看一下接下来二分之一，这个 b、 e 是 不是等于咱说等于根号三倍的 b、 d， 对 吧？等于根号三倍的 b、 d 再乘以二分之一的 b、 d， 你 就发现了，这俩相乘不就是四分之根三吗？这个 b、 d 乘 b、 d 不 就 b、 d 平方吗？所以我就挣完了。好，这就是第二个结论， 这都是详细的一些证明过程啊，大家一会可以看，接下来咱们看，我把这擦掉，咱们继续，咱们继续来证第三个结论。第三个结论就是说明，哎，为什么这个 b、 d 就 又是角平分线了呢？那这个肯定难了，单说，因为只有两个角相等，对吧？ 然后呢，这个角是由谁转来的？这个角是不由他转过来的呀，所以说，哎，这三个小赤背都相等了，所以第三位就正完了，对吧？好，咱们接下来继续 一百八十度转对角互补的模型，还有一个，也就是这样，一百二在这儿，六十在这儿，是不是也互补啊？这样的话，它也是，你道理是一样的啊，它是把这个三角形，然后呢转到这个三角形， 嘿，转完之后咱们解要去说明一下啊。首先第一个 o d 加上 o e 是 不是在这儿呢？所以 o d 加 o e 是 不是就是 o b 啊？这儿是不是就是 o b？ 为什么 o b 等于 o c 呢？很简单呀，因为你这个上面是六十度啊，上面六十度的话，你又意味着我这儿是不是六十度？这儿六度的话，你撞了之后， a， 我 这个 c、 o 和这个 c 比，是不就全部相等六十度，所以它是个等边呢？那等边的话，那我 o b 就 等于 o c 了，我第一给撞完了，哎。第二个， a、 b、 c、 d 的 面积， a、 b、 c、 d 的 面积，是不是就是三角形 c、 o、 f 的 面积，对吧？哎，就是三角形 c、 o、 f 的 面积，也就是，哎，咱们刚刚说的这个 c、 o、 f， 哎，这个三角形的一个面积，反而等边塞形的面积，公式是四分之根三倍的 边长平方也就是四分之根三倍的边长，边长不就是什么呀？ b、 d 边长不就是 b， 在 这儿应错了，而是 b o， b o， 边长不就是 b o 吗？所以就是 a、 b、 o 的 平方。 好，那所以绕角面积也就正满了。第三个角点， c、 d 等于 c e， c、 d 等于 c e， 而 c、 d 为什么等于 c、 e 呢？这个咱们看一下，也很简单， a、 c、 d， 咱们刚输了， 我这个三角形，哎，是不是撞到了这个三角形，那你会发现 c、 d 跟谁相等啊？ c、 d 是 不是就在 c、 e 呢？ 验 c、 d 撞到了 c、 e、 z、 i， 我 就结束了，对吧？好，接下来，好，咱们来看第四个，哎，咱们杠住，对角互补，哎，都是九十加九十，六，十加一百二，这儿来一个更普通的阿尔法，加上一百八减阿尔法 是它操作是一样的，也是把这个 a、 b、 d， 然后进行旋转，旋转到什么呀？旋转到 d， c、 e， 咱们刚刚都这么操作的，对吧？旋转完之后，所以第一个结论，第二个结论，第三个结论全部成立啊，这儿就不再讲了，因为下边有详细的一个结论，大家可以看一看。 好，接下来咱们看一下模型三十三，奔驰模型。为什么要奔驰模型啊？你看这个图形像不像个奔驰？它对不起啊？对啊，所以跟姓名叫奔驰模型好，奔驰模型，它有些什么定律呢？它就其实形容在三角形 a、 b、 c 还是个等边三角形 a、 b、 c 当中，如果告诉你 p、 h 是 三， 而 p b 呢，是四啊， p c 呢是五，然后呢？ a、 p、 b 就 这个角，它等于一百五十度，一百五十度好，但去正啊，它是结论，结论是它一百五十度。第二个结论就什么呀？就 a、 b、 c 的 面积等于四分之根，三倍的 ab 平方，等于这个 等于它，哎，为什么呢？好，记着，咱们挨个去正，旋转。第一个就是正，这个 a、 p、 b 是 一百五十度的问题，这个怎么正呢？哎，记住，旋转，旋转，怎么旋转呢？我们可以这么着旋转，你把 a、 p、 c， 把 a、 p、 c 来进行转， a、 p、 c 转到哪呢？逆时针转来，转到这个地方，装这个地方。为什么这儿能完全转过来？因为 a、 c 等于 ab 嘛，等边在行，完全贴合嘛，对吧？所以在转的过程当中，还转到 a、 p 是 不是就等于 a、 d 啊？ a、 p 等于 a、 d。 好， 接下来看啊，见证奇迹的时刻，你在转的过程当中，这个红角是不是转这来啊？ 好，接下来再看。我这有个直角，这个红角加这个直角是不是六十？那所以这个红角加这个角是不是也是六十度？所以这个角是不是六十度啊？ d 角六度，所以你会发现，本来 a、 d 是 等于 ap 的， 这个是六十度，那所以这个呢？这个是不是什么三角形啊？这是个等边三角形，非常的漂亮。对，它就是个等边，等边的话，三三，那这是不也是个三呢？这是三，咱们刚说了，这是个四，对吧？ p、 c 是 个五，这五转哪去了？五转这来了，所以三、四、五，太棒了，这就是九十度，这是六十度，六十度加九十度，多少啊？一百五十度啊， 对吧？所以我就挣完了，哎，又挣完了，好，咱们在这再清晰的表示一下，哎，就说这个角，咱们刚挣出来是六十度，这个角是九十度，所以是一百五十度。那第一个教练就结束了。 好，第二个结论， a、 b、 c 的 面积， a、 b、 c 面积，它是个等边三型，然后等边三面积公式等于四分之根三倍的 a、 b 平方，也就是现在你要求出什么呀？求出 a、 b 的 平方，给我表示出来就行了。好，咱们刚说了，这是一百五十度，这是一百五十度，这是多少？这是不是三十度？三十度，这是不是四，这是四的话，这是几， 这是几？哎，一半啊，三十度，这不就是二吗？这呢二倍根三呢？二倍根三，所以这是三，那所以整个这一条是不是三？加上一个二倍根三，这是二，然后这是做的垂直勾股定律，直接求入 ab 是 吧？好，直接求取 ab， 然后这是具体的证明过程， ab 的 平方最终就求出来了，它是这个东西，那所以算形 abc 面积等于四分之三 ab 平方，然后把它一带入，就是它啊，这是一个详细证明过程，大家可以再详细的看一看。 好，接下来。哎，咱们发现刚刚旋转的时候，咱们旋转是不是 a、 p、 c 转到 a、 d、 b 啊？那其实这种奔驰模型有好多种转法，有好多种转法。哎，比如说，你说我就想把它转，我就想转它，行不行？ 行啊？它怎么转啊？你把它转的时候，转到你把 b、 d 是 不是转这来了呀？那是就转成这个样子了吧， 它直接转是转这儿，这也能解决问题啊，咱这儿用了一个非常好的技巧，就是等边向量的面积公式，等于四分之根三倍的边角平方，那这个怎么正呢？很简单，等边向量 a， 如果边上是 a 的 话，这儿是不值个三十度， 这儿三十度，这个呢？哎，这个是六十度，所以这儿是 a 的 话，这儿是不是就二分之根三 a， 那 面积等于二分之根三二分之一，哎，底儿乘以高，二分之根三 a， 所以 一乘是不是四分之根三 a 方，这个是需要记住的啊。四等边赛一面进攻是等于四分之根三倍的，哎，边上平方。

ok， 那 么我们今天利用这个视频来给大家讲讲一下，呃，四十二个模型的第三十三个模型，八字相思模型。那么其实我们在之前讲到模型的时候提到过八字模型，那个只是导角的一个转化， 那么这个导角的过程就是为了引入八字相思的特点。那么八字相思呢？我也给大家引入了三大类，大家先看第一类， 那么它的条件是 d， e 和 bc 平行，就是当我们看到这样一组平行的时候，我们立马可以得到一组三角形相似，三角形 a、 b， d 相似于三角形 a 和 a 对 应 b 和 e 对 应 d。 哎，三角形 a、 b、 c， 那 么 c 和 d 对 应，大家仔细来观察一下， 因为平行，所以说内错角相等，内错角相等对应顶点一定是交错着对应，那么正是因为有它们相似，我们立马会有一段比例线段， ab 和 a、 e 的 比， 它是等于 ac 和 ad 的 比的，这个比值关系有点像我们前一个视频给大家讲的 a 字相似，它的特点对不对？ ok， 这个呢，比较容易啊，大家看到平行之后会特别好想到这种形式。 好，那么接下来大家再看这个图，那么这个图呢，我们称为 y 八相似啊，它的这个八字好像有点歪，是不是？那它的条件是什么呢？角 d 等于角 b， 角 e 等于角 c， 那 么如果说有这样一组角相等，那么我们立马可以得到三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a、 d、 e。 哦，它们两个三角形相似，那么它们两个三角形一相似之后，孩子们我们得到的比例线段就和这个有一点点不一样了，我们得到谁和谁的比值呢？ a、 b 和 a、 d 的 比值，它是等于 a、 c 和 a、 e 的 比值的， 我们仔细看这个图， a、 b 和 a、 d 在 这呢，对不对？ a、 c 和 a、 e 在 这呢，同侧了，相当于位于 a 点同侧的比值和位于 a 点同侧的比值，它们是相， 那么这个有什么端倪呢？大家仔细看啊，如果说这两个角是相等，这两个角是相等，根据我们讲的前几个模型中涉及到的四点共圆，我们发现这四个点是共圆的， 而孩子们只要这四个点是共圆的，我就可以画一个圆，把这四个点都包含进来了，那大家会发现 b、 e 和 c、 d 把这四个点都包含进来了，那大家会发现 b、 e 和 c、 d 是 不是两个相交的弦， 而这两个相交的弦是随便的，无所谓是什么样子的。那么这两个相交的弦被交点分别分成了两部分，而这两部分的 乘积啊，咱们把它交叉相乘一下，那就是 ab 乘以 a， c 等于 ab 乘以 a 一， 哦， ab 乘以 a 一 等于 ab 乘以 a、 e， 那就相当于这两条弦被交点分割成两部分之后，他们的成绩是相等的哦。在圆里面，我们还称这个东西叫做相交弦定里。 好，等到后期我们讲到新的模型的时候，会给大家继续说好，那么再来看一下第三种模型，那如果说告诉给我们的角 a 是 等于角 c 的， 那大家会发现有一个公共角 e， 那 我们就会有一组有两组三角形相似，第一组三角形相似， a 到个 e 相似于三角形，因为 a 和 c 对 应，是不是啊？ dog 和 boy 对 应， e 是 公共点哎，它俩是相似的， 那么大家找到它俩相似之后，千万不要忘了这两个三角形也相似，而这两个三角形相似就是这个图形，你会发现它是个 y 八字，对不对？那我又得到了一个新的三角形相似， a boy f 相似于三角形， a 和 c 对 应， boy 和 dog 对 应， f 和 f 对 应， 哎，我们就得到了这样一组。那么我给大家讲这个东西，重点是告诉给大家，看到这样的模型，或者看到这样的图形之后，我们要想到谁和谁相思，想到比例线段，想到线段的成绩， 大家根据视频后面给大家准备的几个练习，看一看能不能掌握这个模型，需要路过课的随时找我。

我说实话啊，我想说这个题别说你，就是我自己做，我也读了很长时间才把题目理解透，我觉得可以堪称是天才的坟墓。这道题目他表面上看没有二次函数，没有圆，没有相似有关的东西，但是很恶心的一件事情，就 给了很多角度的关系，边长的关系，还给了一个读题都得读十分钟才能理解的一个土，跟蜘蛛网似的。前面第一问，第二问都还好，但是到了第三问，一共连出来了多少条辅助线呢？不多，一共才七条，出一条，他们到底想干什么？ 太难了。你只要能够在这七条辅助线的使用过程中，轻松的驾驭像一二三四五这样的模型，绝配角，特殊位置的角，找他的二倍找他等三角函数值，如果这些你全部都能搞定，那这个题对你来说可能就 没有那么难了。如果能够把这道题我们在考场里面规定时间内一分不扣，那绝对是天才中的天才。如果你想拿到一百分或一百一十分，第一问，第二问搞定，第三问，你看一看，发现五分钟看不懂完事了。但是如果老师我就是想进入重点高中，我就想去冲刺满分，我未来就是想冲一个好的大学，那么这个第三问你一定要把它搞懂。来，咱们来看一下这道题吧，因为我们都知道，每一年 全国各地的卷子里面，尤其像北方，就是哈尔滨，哈尔滨的模拟题也好，中考题也好，他的最后一题难度都是极具特色且极具挑战性，那同学们想挑战难题的同学直接上。好吧，来，咱们来看一下这道题，这道题的前两问跟最后一问完全就不是一个维度的， 第一问我都不想说了，第一问我们直接写结果吧，好吧，看到 ab 两点坐标，我们可以直接可以写出来， y 等于好，对应的我们的 k 值四比三，对不对啊？在这块你可以直接确定是正的，直接三分之四倍的 x 加上八。第一问不说了，直接过第二问， 第二问给出我们 c 是 线段 ab 上的一个点，过点 c 做 ab 的 垂线，现在我做出一个垂直于 ab 的 线，然后呢告诉我们交正半轴于点 d， 设 a， c 的 长为 t， 好， a， c 这段的长是 t， 好， 然后呢告诉我们点 d 的 横坐标为 d， 告诉我们了这段的长度为 d， 横坐标嘛，正的正半轴嘛，对不对？好，那接下来他说求 d 关于 t 的 函数关系式，我们要求他关于他的函数关系式。这种题目，题目说不用写出自变量的范围，那我们就正常做就行了，怎么求呢？ 已经给出了我们 a 点坐标， b 点坐标，说白了，在这块你又做了一个垂线，你会发现三角形 a、 b、 o 和三角形在这块出现了一个三角形，这个 d， a、 c 这俩三角形，它是有个共用角的，对不对？他们共用了这个角，那我就借这个角说事吧，这个角的三角函数中我们是都知道，对吧？这一个长度为八，这一个长度为六，所以我们就来看一下题目，现在给我们目标是 a、 c 啊，注意看一下。哎，怎么画出两条线呢？来给出我们这里面的 a、 c， 它是 t， 我 们要找 t 和 d 它们之间的一个函数关系式，说白了你用 t， 用含有 t 的 式子把 d 表示出来就完事了。那此时 三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，我知道了 a、 c 这个直角边的长度， a、 d 这个斜边的长度，我是不是也知道？这是六吗？对不对？油坐标我可以知道，所以在这块咱们直接用含三角函数关系就可以了。这个角的 cosine 值，它是应该等于 a c 比上我们的 ad 的， 那么同样这个角的 cosine 值还可以用我们原始三角形 a、 o、 b 里面，这儿是六，这儿是八，这儿是十，对吧？所以六比十就是三比五，用它可以来表示 ac 比 a、 d， 其实就是 t 比上 d 加六，所以在这块我可以把这个式子直接啊 t 比上 d 加六， 我们直接把它写出来，最后我们那重开去计算，三 d 加上十八等于五。 t 我 们要用 d 关，用求 d 关于 t 的 函数，关于式，所以我们可以得到 d， 就 应该是等于 三分之五， t 减去六，搞定了，直接得到这样一个式子。好，第二问也很容易。所以这种题目你看到第三问跟个蜘蛛网似的，你至少要知道一件事情，我前面能做的分，我要拿到手，对吧？这个题十分，我高低拿两分拿到手去，而且到了第三问，到了第三问，你也不是说并非完全不能做，但几乎你不能做。 好吧，咱只能这么说，几乎你什么都干不出来。为啥呢？因为你读题没有个五分钟，十分钟，你甚至都没有读懂这个题到底在说什么，到底想考什么，你想通过我们常规的什么几何模型去分析，你可能只能做出一件事情，这个我觉得至少你要敢于去做啊，因为这个图既然长成这个样子了，不怕它再乱一点了。 我们在讲解过程中，我会把这个图分为三层，一步一步拨开它。好吧，首先咱们第一步啊，先来看一下题目给了 f 点，在第三象限隔这有一个点，然后呢，连接 f b， 连接 f b。 好， 连上了 f d， f d 我 也连上了啊， b 点地点，那地点位置也不知道，对吧？我们在第二问，只知道了地点，它对应的什么呀？对应的到我们 o 的 这个距离，也就是对应的这个 b 的 值啊，它是表示的是 地点的横坐标。然后呢，题目又给我们说了， f b 等于 f d。 你 如果说有习惯，平时做题有一个好习惯，老师，我习我习惯在题上把一些条件标上去，那这个题你这个习惯放上去以后，你会很乱，不信我们试一下 f b 等于 f d。 好， 这两个边相等，我们描一下啊，这两个边相等，我甚至还可以用不同的颜色帮你描一下，防止你后面理解起来太混乱。没关系，换个颜色继续。他说过，点 b 做 b， e 垂直于 f d， 过点 b 做 b e b e 在 哪呢？这呢？ b e 垂直于 f d。 好 家伙，搁这垂了一个， 做了个垂线。然后呢，他说， g 是 线段 b 上的一个点 g 点在这儿延长 f g 到点 h， 使得 f g 等于 g h， 也就是现在我们要出的，换个颜色，把这个线稍微加点曲线，让你分清楚一点，这两个线它们长度是相等的，好吧。嗯。然后呢，他又说， g h 交 c d 与点 a， 延长 c d 至点 m 时的 i d 等于 dm， 好 家伙，什么鬼？ i d 等于 dm， 咱们再换个色啊你，你考试时候首先你换不了这么多色啊，但是我现在就帮你把它颜色换上了。来，这个线和这段线，这两个线段又是相等的， 首先你一般做题都是看到等线段，我们一般会想到可能会让我们挣全等，对不对啊？这个题确实也让你挣全等了，但是至少， 但是，至少你在做题的时候你是看不出来在哪挣全等的，对吧？这红的红的在这呢？蓝的蓝的在这，绿的绿的在这呢？是咋挣的？不知道，继续往后读吧。连接 连接 d j， 连接 h m， 出现了一个这个关系，同学们，如果我们对于绝配角这个知识点有 知识有了解过的话，你会对他比较敏感，但是如果之前从来没有了解过的话，没关系，后面我会专门出一期这样的讲解，咱们也去了解一下。这种题目我们一般怎么考，或者我们一般怎么去用啊，这主要涉及到的就是一个对倒角或者对角度位置的一个关系的分析。所以在这我们会发现角 e b f e b f， 这他说了啊，来看一下，他给我们说，这个角我先不往上画了，画的很乱，这个角加上二倍的角 g d e g d e 在 哪？在这哦，他加上二倍的这个角是和等于九十度， 放着吧，一会再说。然后呢，给了我们 n 是 线段上一点 gi 等于根号二倍的 n d， gi 在 这， n d 在 这。不管怎么样，我们至少在我们已有的数学经验里面遇到一个线段是另一个线段的根号二倍。你一定会想，哎，这个线段是这个线段的啊， 这段的根号二倍，那你会想到我做垂线对吧？出现四十五度，让这个边和这个边对应相等，肯定会想到一个四十五度，对吧？这是我们在做题的时候可能会用到的一个经验啊。好，那接下来咱们继续来看，所以这里面暗含一个四十五度，我们先标在这， 然后连接 m n， 连接一下 m 点和 n 点，把这连上了，又给了一个当我们的角， c d g。 好 家伙， c d g 是 哪？ c d g 是 这个小角加上二倍的角 g d o， 这个角加上二倍的它等于角 h m n 的 时候， 我们要求 b g 等于 f e 时， b g 是 哪？这和 f e 它和它相等的时候，对应 t 的 值， 求 t 怎么求？如果你还记得我们上一问干了啥的话，你就懂这个题最终让你求的是什么了。上一问，我们是不是知道了 d 和 t 的 关系了，对不对？所以想求 t， 你 只需要知道 对应的我们的 d 的 值是多少？ d 是 谁啊？ d 是 我们对应 d 点的横坐标啊，在我们正半轴上的 d 点，它的横坐标的值。说白了，最后我们目标你的转化就是想求 t， 求 o d 啊，想求 t， 你 得把 o d 求出来。哎呀，首先我们先来说一下考场上遇到这种情况怎么办？你做到这个题已经没有什么时间，或者说我勉强把题目读懂了，我也分析出来了，要想求 t 就 要求 o d， 那 你至少可以先去蒙一下， 猜一下。就这种题，你把答案答出来，高低有一分两分的，你先拿到手里，你比如说这里面 o b， o d， 你 看 o d 等于多少，你盲猜 o d 等于多少？如果你发现老师我感觉 o d 和 o d 长度接近，我盲猜它是一个等于八， 或者我敢于把 b d 连上，以后我盲猜这个角是四十五度。好，恭喜你，这两份就抢到手里了啊。别人哼哧哼哧写了那么多的东西，无非就比你多拿四五分嘛， 能差多少呢，对不对？所以这时候你在最后一题的时候，真没招的时候，我大概目测一下，或者中考卷一般也比较标准，掏出你的尺子量一下，总也有招解决好吧。嗯，像这道题目，你如果想完整的做对它，就不再局限于某一章的知识了， 他至少你对所有的像这样的几何倒角问题，几何图形问题，你要很熟悉，并且你要能够有这个能力，在我们这样的一个平面直角坐标系里面，对角度，对三角函数值，对我们的线段关系能够非常快的去识别和求解，这里面融合了非常多的。呃，辅助线的补行思路，来，咱们步伐来看一下。 首先咱们来看在这问的环节里面，你至少我们在第一问的辅助线，咱先把这些已知信息擦掉了，这个信息放在这，你也不知道该干什么，咱们不妨一步一步分析上来。题目给了 f b 等于 f d 来看一下，这是 f b 描出来啊， 我这里面用的笔就相对细一点了啊，一旦写错了这个一二写不了几个字。另外，我在写的过程中，最终呈现的步骤就是一个大概的解析思路的步骤，具体的证明我会给你讲清楚，但是需要你自己来完成，好吧？ 然后证明过一步以后，为了防止这一步会影响到你后面的判断，多余的辅助线我就会把它擦掉，好吧，嗯，好，那接下来在这个环节里，你们会发现 b f 和 f d 这两个边长度相等，所以如果我在这块想到等腰三角形的话，你一定会选择。老师，我在这想去把 b d 连上，没毛病，你把它连上，思路是非常清晰的， 连上它以后，此时你肯定还要再连上一条线，连上谁呢？因为你连接 b d， 它并不会产生什么实质性的东西。在这个题目中，至少你现在前半部信息你用到了一个相等，还用到了什么呀？用到了这里面有一个垂直，所以相当于出现了一个等腰三角形， 然后呢，没有给你做出底边，做了一个腰往另一边的垂线，在图中相当于就这个关系， b e 就是 这个腰，这个这个底角的顶点向另一个腰这样的一个垂线， 对吧？坐着往腰上的一个垂线出来，所以我们的思路要把底边补出来，并且把什么呀，三线合一的这条线给它补出来，这是你的辅助线的一个步行思路，所以我在这块第二步连上 b d 以后，第二步我取 b d 中点连接 f 到这个中点对应的 连线，假设这个点我们就是一个 p 点啊。这个题还有一个细节，就是你在里面连辅助线去找点的环节，你得看清楚，因为已有的点太多了，你别 往这整个 n 点做着做着发现毁了，人家原来题目里有一个 n 点，你后面一下全乱了，对不对？好，那接下来咱们要进行分析了，在这个图中，题目给出来了一个什么样的信息，我们能用上的是一个什么样的信息？ 按照这个大概的逻辑，咱们把图形补出来了，接下来咱们就需要思考了，看一下啊，右边这个图我先暂暂时在这放着，一会我们可以帮着咱们自己去分析一下，咱们先来去看一下咱们图内其他的信息，我们该如何去使用。哎呦，重新再来一下， 那么我们看一下，在题目中，我们把这个图一旦补出来了， p 点是中点，如果我能够想到把 p e 连上的话，那自然是更好的，因为你会发现 p 点是 b d 的 中点， b e 是 垂直于 e d 的， 就相当于是我们往这做的这条垂线呢，这个点是斜边的中点，这有一个直角三角形，所以连上它以后，你会发现他他他这三个边的长度会出现一个相等的关系，对吧？这是我们在做题的时候，咱们可以自行给它去做上补充的。好，那我们来看， 不妨我现在就把这个辅助线咱也给他补出来啊，辅助线我也连细一点吧，省的一会看乱了来，那接下来接下来咱们来看在我们这个图中，哎，连细一点看着好像会清晰一点，我们把这些线都稍微给它描细一点啊，大概知道这里有一条线就可以了，好吧。嗯， 好，那么接下来咱们需要干什么事情？我们找到这个屁点之后，我们要根据角度信息往下去推导题目中给出了什么， 这里面给出了一个后面有着什么 f g 啊，等于 g e 这两个边相等，在我们目前的这个图中用不到。所以说你还有一个很重要的信息，就是哪个东西能在这个题目能用到哪个东西现在在这个环节用不到，我们就得放一放，咱们现在用上的，我们可以先给他标上，对吧？这里用到了，这里用到了，这个没用，然后再往后读，读 到使 id 啊， id 等于 dm， 你 在这个环节很明显它也出了你这个三角形外面了，所以也用不上。那最关键的一个信息出现了，这个 角 e b f 等于二倍的角 g d e。 看一下，角 e b f， 这个角是我们的角 e b f， 它是不是本来就出现在某一个直角三角形中了？ 没错吧？是的，这个角就在这个直角三角形里面，它加上一个二倍的角 g d e 等于九十度。那你能不能找到某一个角就应该等于二倍的角 g d e。 谁呀？你是不是发现这个角加上角 bfe 刚好是九十度，所以我们在推导的环节就分析出来，角 gde 应该是等于角 bfe 的， 那 g 啊角二倍的角 gde 是 等于角 bfe 的， gde 在 哪？这是 gde。 来，咱们把现在假设它是阿尔法角，这个角，我们假设它是一个阿尔法的角， 此时这个角是而法，所以你会发现整个这个大角就是而法，所以我们角 d f p。 注意啊，红色的，也就是我补出来这个辅助线，这个角的大小和左边也就上面这个角，这两个角对应的都是而法，这是我们可以分析出来的， 对吧？那么对应的这是而法，这是而法。好，那么我们的角 f b e 这个角就应该是九十度减去二倍的而法， 对吧？这个角就是九十度减去二倍的 r 法。好，另外我们还可以发现的是，在这个题目中， 刚刚我们是不是补了辅助线，这是九十度减去二倍 r 法，这是一个 r 法，那么这个角呢？对应的是不应该也是 r 法角了 啊？我们在这个推导的过程中，因为这有一个垂直，在这个垂直里面， r 法加上九减 r 法，再加上 r 法，它们之合应该等于九十，对不对？又因为刚刚我们连接了 p e， 所以 此时这是 r 法角，这个角也是 r 法角 等腰三角形，而对应的此时我们角 p、 e、 d， 剩下的这个角，它就应该对应的是一个九十度减去 r 法了 啊。此处这个角是九十度减去 r 法。那么咱们再来看整个角 b、 d、 e， 整个这个角 b、 d、 e 是 多少？哎，它是不是应该对应的就是一个九十度减去 r 的 角？那因为我们下面这已经有一个 r 法了，所以上边剩下的这部分角，它是不是应该是一个九十度 减去二倍的耳法？此处这个角应该是一个九十度减去二倍耳法的角。哎呀，分析了一大圈，分析的都晕了， 哎！有的人说，老师，那分析这些角我们能得到什么呢？目前我们看到能去找到的，能去分析出来角，咱们都给他去标出来，包括你会发现这个角是一个九十度减去耳法，你看整个这个角和整个这个角，这俩角应该都是九十减耳法，对不对？这个角对应的九十减二法。当然你说老师我不写出来，我就想，我就知道他 左边两左右两个角，这两个角的总和都是九十度减而法也可以啊，但是我至少要知道这个小角它应该对应九十度减去而法。然后我们再去看， 在这个题目中，我们这个角度推导的这一块，大概已经能推导的推导到了。当然你也可以去发现一些其他的信息，比如说这儿是九十减而法，这儿是九十减而法，那么此处这里剩下的角应该就是一个二倍而法角，对吧？所以你会发现这个角和它它们两个来我标双线， 这两个角应该都对应的是我们刚写出来的九十度减去二倍的二法，对吧？整个是直角减去二倍二法，它是九十减二法，它呢也对应了九十度减去二法。 其实在这个的推导环节里面，你可以完全像我刚刚一样，把它放在外面的一个等腰三角形中，在这个图形里面对它完成推导。好，那我推导到这以后，这个图已经看起来很吓人了，对吧？但是我们还并只是找到一些角度关系，并没有得到什么实质性的进展。我们可以继续往下看看哪些条件能用得上。 g i 等于根号二倍的 n d， g i 和 n d 在 这个图中我目前我是用不上的，对吧？包括我们这组角度关系，它的位置也非常偏，并没有在我们这个等腰三角形内产生联系，我也用不上，但是题目给出了一个关键信息，他说 b g 和 f e 是 相等， 嗯，看一下咱们现在用另外的颜色去标注一下 b g 和 fe 相等，你会得到什么？来看 b g 是 在这里的，我们把它的颜色更换啊。 b g 是 在这里的， fe 呢是在这里的， 所以我们会发现在这出现了关系了。 b g f e 相等，这个角是 r 反，这个角也是 r 反，这个角是九十度减 r 反，这个角也是九十度减 r 反，所以在这出现了第一组的全等关系。这个全等关系长什么样？我大概给你草图描一下，这有一个三角形， 然后呢？这也有一个三角形，这两个三角形他们是全等的关系。好，我撤销了啊，不然留着太乱了。好，所以在这块我可以得到一个三角形 b g、 d 是 全等于三角形 f e p 的 这个的判定依据。我们用到的是 a a s 一个角，两个角，还有一个边角角边。 那么由这两个三角形我们得到的第一次全等关系，我们终于顺利的找到了一些边长的等量关系。除了途中两个蓝色线段对应相等之外，我们还应该可以得到的是谁啊？咱们会发现此时 e p 和 g d 相等，这两个线段你相等你也用不上，但是我可以用的是 f， 对 不对？你会发现这个三角形和这个三角形全等，所以 f p 与我们的 b、 d 是 什么关系？ 所以 b d 和 f p 是 一定是相等的，也就是我这补充的这一条辅助线和这一条辅助线，这两条线的长度是永远满足相等关系的。好，那由这个相等关系我们可以去进行哪一步的推导呢？ 哎，这里面咱们可以得到他们这块有什么样的关系？他和他是相等的，那是不是就说明了，因为屁点刚好是 b 的 中点，所以这块刚好是我们 f p 长度的一半，对不对？这条线和这条线相等，所以这和他的关系就是一个一半关系。由此你会发现，我们的贪听的耳法 就应该等于 p d 比上 f p， 这是它的一半，这是它的一个整个。所以一啊，这个二分之一比上一刚好，你会发现贪心的阿尔法等于二分之一，我们在这得到了一个贪心的阿尔法的大小。 好，那老师我得到它又有什么用呢？那因为这个图中有非常多的阿尔法角，所以这比上这是一比二，同样我们也会发现，因为这是阿尔法，所以 e d 比上整个 b e 也是有一比二的关系出现， 对吧？那么此时我可以去找到谁，包括你在这这还有 g e 比上 e d， 他 这也是一个一比二，因为我们原始设的反反就是这个角嘛，对不对？在这个三角形中也会出现一比二、一比二、一比二 啊，还有我们刚刚的一比二，对不对？它的反反都会出现啊。那接下来我这个题要往下怎么去做好？那么我们会想到 这里出现这样的关系以后，因为我们还刚刚在全等的时候，是不是用上了 b g 和 f e 这俩的长度是永远什么关系啊？是永远会相等的关系，对吧？那我们现在不妨咱们假设好现在这个图，我就要把它一部分擦掉了，不然会有一点乱。没关系，我现在稍微给你去演示一下啊，咱们假设 g e 的 长度， 我先把内部的一些线擦去吧，这个线留着会有点乱啊。咱们现在把内部的一些线擦去重新写一下，因为角度的信息，我们推导推导这些角度是为了我们去政权等吗？对吧？现在咱们把这个图没有用的一些点，我们现在就不看它了，好吧，咱们直接把这个图去给它补成一个 能帮助我们去进一步分析的图。这也就是你在做辅助线的时候，这个题我们的辅助线可能需要画几次啊？因为你画一次以后有点乱了以后，这个图就要去停止重新修改，这个确实还是挺复杂的一个图啊。好，现在我们先去还是连上我们刚刚这条线，刚刚我们知道的角，来看一下咱们是不是连上了 f 点到这个线的中点，连出了这里，对不对？好，我现在把它也去，大概能看清位置就可以了。接下来你会知道的是这个角 以及我们的这个红色的这个标和它标出来这个角啊，这是 p 点，以及我们刚刚最开始设的这个角，他是阿尔法，他是阿尔法，他也是阿尔法， 对吧？嗯，好，包括你说这个角也是阿尔法，对吧？这些这些角我们都有这样的信息，所以你会发现，如果我假设这一这段的长度，我们假设它是 a 的 话，你会发现这是 a， 那 么这对应的就是二倍的小 a， 这里是二倍小 a， 因为一比二的这个判定值的一个关系，所以这是二 a， 这整个就应该是四倍的 a， 所以 上边的这一段 b g 的 这段就应该是三倍的 a， b g 这段是三倍的 a， 因为我们的 b g 和 f e 是 相等的，所以 f e， 这就会出现一个三倍的小 a， 没错吧？在原题中我们这个线是怎么来的？是垂直出来的，所以你会发现 a 比上三倍的小 a， 也就是我在 r 下面这块有一个，我换个颜色啊， 红色配一个蓝色吧，有一个蓝色的小角在这里，也就是我们的角 g f e， 这个 g f e 这个小角，你看到我们刚刚标的这个 r f e 角是角 p f e 对 不对？那你的 g f e 这个小角是不是刚好在我现在描出的这个直角三角形中，对吧？它的对边比上邻边是多少？ 一比三对不对？所以在这你会发现，哎，老师， g f e 这个角出现了一个一比三的判定值，角 g f e 等于一比三，你想到了什么？ 你想到了什么？在这出现二分之一，出现三分之一，你想到了什么？在这你可以稍稍作推倒，这个推倒过程我们就不在这个大题里写了，是不是一二三四五？所以我们会知道这个 r 角加上这个小兰，它俩之合一定是等于四十五度的。 而这个四十五度，你只要能想出来，那你就知道和我们的目标至少是更进一步了，因为你的目标就是要冲着根号，根号会出现四十五度的关系，你是在向着你的目标进发， 对不对？这是我们在做题里面你意识到的一件事情，而当你意识到这以后，其实我们就可以导出有一个角的度数，哪个角呢？角 d g h 这个角的度数你就已经得到了， 哎，他的度数我是怎么得到的呢？为啥我说我就可以直接得到这个角度数呢？因为你会发现，在这个图里面，角 g d h 他 是不是应该等于来看我写一下啊？角 g d h， 他 是不是应该等于我们的这个小兰，也就是刚刚我们标出这个角加上，而法对不对？小兰加上而法 刚，我们师傅说了碳点值三分之一，碳点值二分之一，这两个角质合应该是四十五度，所以由此我可以推出这个角角 g d h 等于四十五度。搞定了，这出现了一个四十五度的角， 那这个题我们的第一个环节就非常清楚的得到了目标四十五度出现，当我们这出现一个四十五度的时候，我现在可以怎么解决问题呢？你遇到四十五度，我们肯定想去构造垂线，对不对？所以如果此时我可以过地点向我们的 d h 做出这个垂线， 假设垂足到这，我们把垂线给它做出来，这个垂线我们只要一做，注意此时这是一个直角，我把颜色换回来，这是一个直角，那么你会发现，假设咱们这个点， 怎么假设是 q 点吧？啊？好，咱们假设它是 q 点的话，此时这一我们到这到这个线已经做出是第四条辅助线了，一条两条，以及刚我们分析的时候还连过 pe， 对 不对？好，现在把地点向我们的 f g 做出这个垂线段 到 q 点，那么你会发现这种情况下我们的 g q 和永远会和 q d 长度是相等的，对不对？因为这是二 a， 这是 a， 所以 这就应该是根号五倍的 a， 所以 g d 是 根号五，所以这里面呢应该都是二分之根号五除以根号应该是二分之根号十倍的 a， 所以 这里也是二分之根号十倍的 a， 那 么这两个都是二分之根号十倍的 a， 我 们这一条线段的长度我能不能知道 f、 g 的 长度能不能知道 a？ 三 a， 这应该是根号十倍的 a， 对 不对？那我们知道这些有什么用呢？这是根号十倍的 a， 这是二分之根号十倍的 a， 我 能想到什么？ 我会想到这个题目我们现在至今为止用到了一个、两个、三个信息，对吧？还有什么没用？有的好多呢，一个边，两个边，这还有一个根号二，这还有一个角的关系呢，对不对？你会发现题目是不是给了 f g 和 g h 这两段长度是相等的关系， 意味着这是根号十 a 的 话，这里一定是根号十 a， 又因为我们的 g q 是 二分之根号十 a， 所以 q h 一定也是二分之根号十倍的 a， 所以 这两段的长度对应的就是相等的关系。那么由此你就可以得到 我们 d q 垂直于 j h， 而且 q 点是 j、 h 的 终点。我们经过刚刚这些导角的计算，你最终的目标是推导出来什么？最终我们的目标是推导出来，此时我们只需要连接 h d， 这里就可以出现什么呀？就可以出现四十五度角。 好，那我们这个环节咱们推导到这一步，我们已经可以把题目里面其他信息咱们再去清理一遍了，不然这个图咱们又没法看了，好吧，我们把题目里面的这些写出来的这些信息，我们可以去擦一下，一会再具体做到哪一位的时候，我们再来去看。所以当你做到这一步以后，我们需要知道的是， 首先我们刚刚在做的辅助线的过程里面来，我重新把辅助线补一遍，啊，这样以防我们看的不太清晰。 这是我们的第一条辅助线，这是我们的又一条辅助线。 然后我们刚刚在做的过程中，我们通过在倒角的这个环节里面，咱们发现了这个角是一个四十五度的角，我们还做了一条垂线段，由我们的地点向 gh 做出了一条垂线段， 这是我们的 q 点，这个点呢，对应的是我们的 p 点。好，我们把刚刚做的点都还原回来，这儿是四十五度，我们推导出它和它相等，还和它相等，所以只要我们连接上 h、 d， 第五条辅助线出现了啊，只要我们连接上 h、 d， 那 么这时候会出现，这里是四十五度，这儿有一个垂直， 这也有一个四十五度。四十五度，我现在标注的这个角也是四十五度，这有一个垂直关系，包括我们的角 g、 d、 q 和 q、 d、 h 也全部都是有四十五度的关系。 哇，题目做到这块，感觉这个题目的信息好多啊，四十五度，四十五度。哎，那我是不是就知道了一个事，此时他四十五，他四十五，那不就说明了 d、 h 和 d、 j 是 垂直的吗？ 哎，我往下写吧， 也就是这步，我们坐到这，发现这出现了一个直角啊，它是这样一个垂直的关系，那当我们这个题做到这，我们会想什么？ 哇，这个题做到这一步已经黑已经非常困难了，对不对？五条辅助线都补完了，那我们要想到题目还有什么信息没有？ 截止到刚刚，我们连这个信息也用上了，还差哪个信息没用？根号二倍，目前为止这个根号二我依然看不出什么使用的办法。 i g 是 我们根号二倍的 n d， 目前是没有什么好的办法能把它凑到一块的，对不对？但是如果你想到了 d 点，它是 i m 的 终点的话，也就是你看到这个信息的话，我们应该能想出下一条辅助线的思路。在这我们用到了一条新的辅助线，这个逻辑叫做什么呀？背长中线，只不过在这它并不是一个真正的中线，它是一个类中线。你会发现，因为 id 和 d m 相等，我不妨我延长 g d 下一条辅助线延长 g d， 比如说到我目测一下，怎么准啊？大概是这个样子，大概是这么长吧。延长 g d 到点 s， 假设这个点是 s 点，使得 g d 和 d s 它们的长度是相等的，那我们只需要再去连出我们的 m s 哈，又一条辅助线，对吧？连完以后，我们把 m s 也去做连接 好，此时你会构造出来了一个全等关系，对不对？只要我们现在倍长啊，这块我主要是写思路了啊。咱们如果完成的是倍长 g d 到 s 的 话，那么我们可以得到的信息是什么？这两段的长度是一个永远相等的关系，那么我们构造出来的是一个三角形的全等，对吧？背长中线得到的一个全等关系， g i d 和我们的呃， s， m d 这两个三角形全等， 也就是 g i 就 等于 ms， 当我说出 g i 等于 ms 的 时候，你就应该立马意识到一件事情。好，这个题目有一个小小的细节出现了， 它我直接这有一个四十五度，直接做出来不好做，你在把它做过来的过程中，首先因为全等，对吧？我们是被长中线构成构造的全等，所以这块的一个全等一句，我把它写出来吧。在这个环节里面，由此你得到的是三角形 g i d 全等于三角形 s m d， 那 么 m s 和 gi 永远相等的情况下，而且这个角一定也和它一样是四十五度，对不对？所以此时我们只需要过 m 向咱们的 g s 把垂线做出来， 又一条垂线，又一条辅助线，这条辅助线做出来的目的是什么呢？目的是把我们的根号二倍利用上， 这我们就可以得到。因为四十五度，我这个垂线一做，此时不管垂足，假设垂足是还有没有，哪个点没有用，假设垂足是 t 点，你会此时发现 st 这个线段长度永远是等于 nd 的， 对不对？这个垂线一做 st 立马就等于 nd， 我 们顺利的把 nd 和 st 的 关系得到了一个转移，所以在这一步我们能得到什么呢？你会发现 nd 等于 st 的 话，所以 又因为我们整个 g d 和 d s 长度是相等的，所以我们的 nt 的 长度，它是等于 g d 的， 也是等于 d s 的， 对不对？这段 nt 这段的长度是等于 g d 也是等于 s t， 所以 由它我们可以推出这样的关系， g d 等于 s d， 这是本来的全等我得到的关系，并且还等于 nt， 在这我找到 n t 和他们相等，我想干什么呢？我想通过在这块得到一个什么关系呢？没错，咱们还想再去得到一个新的全等，去 又在这个环节，我的目标最终目标会落到，我还想再拿到一个全等的关系去了。因为你看，给出 g、 d， s， d， n、 t 其实还有一条线的长度跟他们的长度也是一样，谁呢？你会发现 g、 d 的 长度 和我们 d s 的 长度和我们 n、 t 的 长度，以及刚刚这儿是不是有个四十五度，这儿四十五度，这儿四十五度。所以我们的 h、 d 的 长度是不是也是知道的，它是和它们一样的啊，也就是 h d 的 长度跟它们也是相等的。那么在这儿你可以看到 h d 就 应该和我们的 n t 啊， h d 这个边和 n t 这个边是相等的关系。而且呢，我们 n、 d 这个边和 t 谁啊？ pm 这个边也是相等的，所以只需要我们再连出一条辅助线，连出 h n， 好， 咱们把它连上，稍微细一点啊，连上以后，你会发现，此时三角形 h， n、 d 一定是全等于三角形 n、 m、 t 这里面全等关系就是 s、 a， s， 对 吧？在这里面，直角我们是知道的，这个边、这个边分别是相等的关系，所以由此我们可以推得的什么？由这个三角形全等的关系，你可以得到我连出的 h n 和 n m， 所以 可以得到 h n 和 n m 这两个线段，它们一定是相等的。来关注一下，这个边和这个边相等，你能得到什么？ 我还应该可以得到的是，因为三角形有全等关系，这儿是一个直角，这儿也有直角出现，所以你可以推得此处出现的 h， n、 d 这个角，加上 m、 n、 d 这个角，也就是我现在在途中我给你描出来的。来，我给你描出来的这个角，它一定是可以全等的。呃，可以等于九十度的，对不对？你由全等关系， 他加他是九十度，他加他一定也是九十度。所以这是直角，两个边相等，出现了什么哦？ n h 和 n m 是 相等的，这还出现了直角，所以在这你可以得到，这出现了一个四十五度， 我们就画下面就行了啊，因为你上面画出来也很乱，再一个对你最终推导出来结果没有什么帮助。你只需要知道我们 h n m h m n 它的大小是一个四十五度啊，这出现了一个四十五度的角， 那知道这个角四十五度就怎么样呢？我们纵观整个题目的所有条件，你发现还有唯一一个条件没有用上谁呢？在这里 角 c d g 加上二倍的角， g d o 等于 h m n， 也就是它的值是等于四十五度的。这个题我们最后把信息转移到了前面，是等于四十五度的，那么在这这个图又有一点点其他的线会干扰到你了，那我们现在把它去那擦掉，好吧，我们现在把它去擦掉。 在这个图中你会发现这个线连上没有问题。你最终想求的角，我们可以瞄一下咱们 c d j 是 哪个角，这个角 这个角加上谁？加上二倍的他是等于四十五度的角，你一定不希望加上二倍的他，那你希望的是什么呢？你看我们最终还是说白了，归根结底，你要是确定地点，他所在的位置，就我目标想确定这个位置的。如果我们把 b d 连出来的这条线， 连出的这个线和我们 x 轴的加角，也就是 b d o 这个角，咱们要能把他搞出来是一个四十五度，大功告成。那我们来看现在卡点是哪块， 看我们现在这个这个环节，咱们的卡点在哪？我们现在知道的是这一个角加上下面这个角的二倍，两个这个角加起来等于四十五度。如果我能想办法去证明出来角 p、 d、 c 这个角 p d， c， 它是等于角 g、 d、 o 的， 也就等于这个 如果我能证明出来它这个题我们就直接顺利搞定了。但是现在因为这样的话，我们这个二倍的它就可以转移成这两个角了吗？此时我们就变成小角，加上中间角，再加下面角，这三个角之合刚好是等于我们目标角四十五度。 但是现在不够，这个题目的信息并没有给你，这些我们需要自己想办法，想尽办法去证明出来。我现在标注出来的目标这两个角，它们两个得是相等的关系，能正吗？你直接去正上面的和下面这两个小角，其实不好正，没关系，我教你一招，你可以带上别的一起去正，带上谁呢？我把它带上， 想正它俩相等。说白了是不是我只需要证明角谁呢？ p d， g 让它能够想办法挣出来，是等于我们下面的这个角，你看 p、 d， g 这个角和我们下面的整个 c、 d、 o 这个角， 只要能证明它们两个相等，这个题你就可以说明我们刚刚上面目标的角 p d， c 和我们的角 g、 d、 o 相等。那么这块相等通了以后，我们可以得到前面两个角之合，就是 p d， c 加 g， d， o， 再加上中间的 i、 d， g 三个角之合就是我们的目标角 b、 d、 o 四十五度了， 对吧？所以那现在这一步我们怎么能够证明这两个角是相等的呢？这又涉及到了我们最开始最原始的导角过程了。首先我们知道 角 c、 d、 o 这个角它我们是可以知道它的信息的，为啥呢？来看 c、 d、 o 就是 角 c、 d、 a。 在 我们上一问的时候，我们就已经研究过，你看角 c、 d、 a， 它的大小应该永远会和角 a、 b、 o 大 小是一样的， 对不对？你看 a、 b、 o 这是垂直关系吗？所以 c、 d、 a 这个大小永远会和角我们的 a、 b、 o 是 永远保持相等的关系，这可以通过八字模型去正，都 ok， 很 很好正。那么我们角 a、 b、 o， 它的摊定的值是不是固定的？ 对边比上邻边这块的这块 a 点的坐标，我们在上一问之前是知道的，这是六，这是八，所以这块对应的就是四比三，也就是角 c、 d、 o 它的摊定的值 判定的角 c、 d、 o 是 等于四分之三的，如果我能说明这个角它对应的判定值也是 三分之四啊，也也是四分之三，就是三比四，我们就可以搞定这个题，整个这个题的逻辑就通了。那么这个角的判定的值我能不能求呢？那你就要看一看我们现在所有的目标，将全部转移回我们现在描出的图中这个角来。我们现在在这里边说的这个角 p 啊，也就我们现在在这说的这个角 p d g p d g 这个角，我们刚刚在哪说过呢？在最开始证明我们三角形里面，在全等这个信息证明的过程中，我们在倒角里有研究过它 最开始我们设的阿尔法角是不是就是角谁啊？角 g、 d、 e， 我 们开始设的它是阿尔法，对不对？所以我现在拿过来它是阿尔法， 那我没有记错的话，刚刚我们是不是连接了 pe 来着？所以我们在证明的过程中，咱们是知道这个角是 r 反，这个角也是 r 反啊，整个角 p、 f、 d 也是 r 反，这个角也是 r 反，然后对应着我们连接 pe 以后，你会得到这个小角也是 r 反，对不对？那由此我们可以推得什么？ 这个角我们在刚刚教他的叫做九十度减去二倍的耳法，而他是九十度减耳法，对应着我们这个角，你看在三角形 f、 b、 p 中，这是直角耳法，耳法他是不是一个多少呢？他是不是对应的也是九十度， 九十度减去二倍的耳法？所以你会发现这个角永远和我们的角 f、 b、 e 是 相等的，他是永远等于角 f、 b、 e 的。 那么你会发现角 f、 b、 e， 它的探令值我是可求的，怎么可以求呢？刚刚在找线段关系的时候，我们是不是说 咱们求出来了 f 角的探令值，对吧？我们刚怎么求的呢？假设这是 r 法啊，假设这是 a， 所以 这应该对应的是二 a， 所以 我们知道整个 b、 e 的 长度是多少，是四倍的 a， 对 吧？然后我们还推导出 f、 e， 因为和 b、 j 相等， b、 j 是 三 a， 所以 这也是三 a， 所以 这的长度是三倍的 a， 这里是对应的是三倍的 a， 而我们在这里 ab 的 这个，这个 f、 b 的 长度应该和它的长度应该是对应什么关系啊？你这是四 a， 这是三 a， 这是四 a， 这是五 a， 对 不对啊？这是三 a， 这是四 a， 这是五 a， 对 不对？所以此时我们想求这个角的 它那个值，这儿是四 a， 这儿是三 a， 这儿是垂直，你是不是同样可以得到角 f、 b， 它的摊定的值同样也是等于四分之三？所以在这个环节里面，我们通过摊定的值证明了摊定的角 f、 b、 e 等于摊定的角 t、 d、 j， 且等于它的角 c、 d、 o， 也就是你会得到这两个角是相等的关系。所以你发现，哇，这个图画的真是上头了，对不对？最后你会发现，这个角和我们在这描的这个角，这两个角它们大小是相等的关系。我把其他辅助线擦掉了啊，最终我们在图的最后一步分析出来的是 你通过我们的 b 点连接 d 点，咱们连出的这一条辅助线。哎，扬眉吐气一下，因为这个题我们做出来了，咱们直接把图画粗一点啊。好，我们把这条线连出来，你会发现咱们正出来的是 角 b、 d、 g 和角 c、 d、 a， 这两个角永远相等，那你说由这两个大角永远相等，是不是可以扣掉中间部分？我得到上下两个角相等，也就是 p、 d、 c 和 g、 d、 o 是 相等的，所以在这里面你就可以证明，它加它应该等于四十五度， 也就是角 b、 d、 o。 由它等于四十五度，你得到的是角 b、 d、 o 等于四十五度，那么这个角 b、 d、 o 是 四十五度，那是不是说明 b、 o 和 d、 o 是 相等的？ d、 o 我 们可以得到，在这最终得到啊 d、 o 的 值，最终可以得到 d、 o 的 值是等于八的啊，它应该是等于我们 ob 的 长度 d o 等于八。我们还记不记得在上一问，咱们推导出来那个关系式啊？咱们可以看一下，在上一问，我们得到的关系式， 不是这个上一本，在上一本，我们在这一步得到的关系，是不是得到一个关于 d， 关于 t 的 一个函数关系，对吧？在上一页我们是有求出来的，所以在这块我们把它直接代入，你会求得最终 t 的 值是等于五分之四十二，直接搞定了。这就是这样一道题目， 整个这个题目前前后后，我们如果想把它完整做出来，你至少得有三或四个原图，去在每一个计算环节里面，把辅助线对应的画上，把对应的关系逐逐步求解出来。你比如说我们其实可以把它分成这么几层，第一步，我们是三角形的全等证明。 另外在第二步，我们这涉及到了一个一二三四五这样的一个角的证明。当然这个结论我们需要简单的一个证明正出来，我们这个角 g， 呃，这个 d g h， 它是一个四十五度，我们需要一个证明的环节证明出来，它是一个四十五度，二分之一，三分之一。由此可以借助外角去证明啊，这个角和这个角，这是阿尔法，这是我们另一个角直接证明出来。好，然后我们还需要借助什么呀？由 d h 垂直于 d j， 我 们通过倍长，在倍长的这个环节，我们又得到了一个结论， 在被常这里面我们说，说白了，这是两个全等的证明，第一份全等在这里去挣出来，下一个的全等在这个环节挣出来，那么然后我们到了最后还需要涉及到的，你最终把所有的目标转移到了这些角的关系上，我是不是要想办法把这个角的信息，通过题目中 目标角的转移以及三角函数值，你发现他们的摊定的值是一致的，所以我可以求出对应角大小是相等关系， 这是整个这个题目具体的步骤，同学我可以展示出来啊，咱们其实各个渠道搜也能搜到，但是这个题的思路确实是非常重要的一个思路，他给到我们的是你在每道题目一层一层从外往内抽丝剥茧的过程，同样这个过程也非常难， 如果在这道题目我确实没有能力做出来，建议我们可以选择选择性的去蒙他一手。 就像我刚刚在讲这个题说的，你这道题从前往后，前前后后做出的辅助线，七八条辅助线，每条辅助线都是要根据题目的信息，尤其我们围绕着等腰三角形，我们就做了三四条，对吧？涉及到了倒角和全等证明，后面我又围绕着四十五度，我又反复做辅助线 去通过全等导边的关系，也是导角的关系，而且由我们在这出现了一个中点，我想到的是你看 i d 等于 dm， 这是 d 点，是一个中点，所以我直接延长 g d 到点 s 出现了一个倍长中线这样的一个倍长内中线的辅助线思路。通过这样我们把咱们刚刚不好处理的 g i 转移到了 sm 这里面， 同时再去做垂线构造新的全等，实现对你目标角这个 h m n 的 求解，求出它以后，最后一步去分析 g， d， o 这个角和我们刚刚上面这里面的 p， d， c 这个角，或者说是 b， d， c 这个角的一个关系，最终得到你最终就是四十五度的角 啊，所以就是这道题一个非常复杂的一个推导过程，我们可以去感受一下这道题。我也非常建议如果你没有读懂这个题，先不要听我现在的讲解，一定要至少把这个题反复读懂，听懂理解这个题目他要考什么以后，你自己做到我无计可施的时候，你再来去听老师讲的这个内容，在很多细节你会茅塞顿开， 而这个题目中，它对我们这里面角 e， b， f 加上二倍的角 g， d， e 等于九十度这样类似绝配角的考察，也是我们需要在平时做题过程中把它作为单独模型去反复锤炼的一个细节。好，那我们本视频咱们到这结束跟我学，考前带你疯狂逆袭。