安徽省中考数学几何体怎么画辅助线

你是不是看到这种题，明明知道他要构造中位线，但是就是不知道从哪里下手？今天一个视频直接带你吃透构造辅助线的核心思路。题目告诉我们，在 r、 t 三角形 abc 中，角 b 等于九十度，点 m 和点 n 分 别是 d、 e 和 a、 c 边上的中点 已知 a、 d 等于四， c、 e 等于三，求 m、 n 的 长度。大家先观察一下题干给的条件。题目给了我们两条已知长度的线段，还有两个中点， 我们很明显就能判断出这道题需要构造中位线来答题，但这两条已知线段互不相连，彼此之间没有任何交接，所以我们的解析思路就是把它们拆开，单独拿来一条一条去研究。那我们这里就单独看 a、 d 这条边。 既然我们要构造中位线，那思路就很明确了，就是要构造以 a、 d 为底边的中位线，长度才正好是它的一半，我们才能算出实实在在具体的数据， 这才是我们做辅助线的根本目的。现在我们确定了要以 a、 d 为底边来构造中位线，再来看题目给出的中点 m 和中点 n 分 别在对应的边上，我们可以任意挑选一条线段和 a、 d 组合，构成一个三角形。那如果我们挑选 d、 e 这条线段 和 a、 d 一 起构成一个三角形，那两条边固定，哪怕第三条边题目没有画出来，它也是唯一确定的，那就是 a、 e 这条边。所以我们自然而然就要连接 a、 e。 当然，如果你换一条，选择 a、 c 和 a、 d 去组合，那就要连接 c、 d， 思路都是一样的， 我把连接 c、 d 这种辅助线的画法和解体图形都放在评论区了，大家可以自己去看一下就行。咱们这道题主要就讲连接 a、 e 的 方法。你有没有发现，带着清晰的思路，有目的的去连接 a， e 和碰巧连对 a、 e 完全是两回事，收获的东西可是不一样的哦。所以我们主动连接 a、 e 之后，接下来就简单了， 我们只要找到 a、 e 边上的中点 h， 再连接 m h， 那 m h 就是 三角形 a d、 e 的 中位线，所以 m h 就 平行且等于 a d 的 一半，算出来就等于二。接下来我们用同样的思路，再处理另一条已知线段 c、 e。 刚才我们把 a、 d 和 d e 分 成了一组，拼成了三角形， 现在我们就换另一组，用 a、 c 和 c、 e 来拼成三角形。你看它要用的第三条边，正好也是我们刚刚连接好的 a、 e。 终点 h 也已经准备好了，那我们直接连接 n、 h， 这条线段就是三角形 a、 c、 e 的 中位线，所以 h n 就 平行且等于 c、 e 的 一半，也就等于二分之三。这时候我们再回看题目给的关键条件，角 a、 b、 c 是 等于九十度的中位线， m h 平行于 ab， h n 平行于 b、 c， 所以 自然就能得到角 m h， n 就 等于九十度，那三角形 m、 h、 n 就是 一个标准的直角三角形， 两条直角边长度我们全部求出来了。最后直接用勾股定律， m n 等于根号下 m h 的 平方加上 h n 的 平方，也就是根号下二的平方加上一点五的平方，算出 m n 等于二点五，你学会了吗？

今天来讲一下中考要是遇到特殊角的话，我们该怎么做辅助线？好，遇到十五度的话，我们就做他斜边的中垂线，这样一连的话，这个角十五度，这个角也十五度，那这个角就是三十度，三十度的话就是这边就是一个特殊的直角三角形。遇到三十度的角的话，我要怎么做？我们就做他的垂线， 做他顶点的垂线，那这个角三十度，这个角六十度，这是一个直角，这又是一个特殊的三角形。好，一到四十五度的话，我们就两边给他补一个直角，那这边的话是直角，那就四十五度，这个也是四十五度，就是一个特殊的直角三角形。等腰直角三角形。好，一到一百二十度的话，我们就再给也给他补一个直角， 这是九十度，那这边一百二十度，这边就是六十度了，所以这边又是一个特殊的直角三角形。好，遇到等腰三角形的话，我们就做它的中垂线。 u s 等腰三角形，三线合一，所以这两个又是一个都是直角三角形。 遇到中垂线的话，我们就两边分别给它连连起来，这样的话这又是一个等腰三角形。

很多孩子啊，几何题不会做，不是不会算，而是不知道如何添加辅助线。今天老师把初中几何辅助线的添加规律以口诀的形式啊呈现出来，看到什么条件就添什么线，看完就能用。 辅助线如何添？把握定力和概念分析，综合方法连找出规律。凭经验，弧中有角平分线长，向两端做垂线， 线段垂直平分线常常连接两端点三角形，两中点连接变成中位线， 平行第三边等于它一半平行四边形出现对称中心等分点。性质判定三方面，边角对角线， 梯形中做高线平移一腰试试看。平行移动对角线三角形来帮办。 圆的正题不算难，常把半径直径连有弦，常做弦，心距它定。垂直平分弦若有直径，莫忘记。圆周直角立上边，同弧圆周角相等，正题用它最常见。 同弧圆周圆，心角一半关系记心尖。若知线与圆相切，常把圆心切点结。若正线与圆相切，垂直半径过外端。 若是出现相交圆，常常做出公共弦。若是出现相切圆，常常做出公切线辅助线，这样填，转化思想记心尖。

初中几何最可怕的不是题难，而是你盯着图看了十分钟，辅助线一根都想不到。今天费老师告诉你，初中几何其实就三大万能辅 助线，很多压轴题本质上都在套他们。第一种，遇到终点先想倍长，看到终点别发呆，第一反应就是能不能把线段延长一倍，尤其等腰、三角形、中线、角平分线这些题很多隐藏的全等相似，都是倍长中线炸出来的 一道难题，线一拉，结构直接明牌。第二种，遇到圆，先连半径。只要题目里出现圆切线弦，别犹豫，先把半径连 上，因为半径一出来，九十度基本就跟着来了。垂直直角、三角形、勾股相似，全都开始连锁反应，很多人不会圆，不是不会做，是根本没想到先连半径。第三种，遇到最短路径，先做对称将军一马，折线问题动点，问题 核心就一句话，两点之间线断最短，怎么把折线变直线做对称点一翻，对称点一连，答案直接出来。很多题你以为在考计算， 实际上在考转换思维。记住，几何真正拉开差距的从来不是计算，而是你能不能一眼看出该加哪条线。辅助线加对了，压轴题也能像口算一样快！关注费老师，每天带你拆解一个思维广区！

几何难，难在哪？难在全等辅助线上。就目前的中考而言，大家彻底想把辅助线弄透，一定要掌握四大境界，分别是第一个叫做基本判定哎，也就是 s s， s 啊， s， a， s 啊五大基本判定定律。第二个境界就叫做常用辅助线 做法，比如说见着中垂线哎，应该连两段角分线呢，一节二垂三长中间中线呢？备长中线，最后接长不断再往下，就叫做常见的模型了。常见模型就是多个条件的固定搭配，这种东西大家要往本质上学，学到本质 只需掌握十五个，你要学不到本质，这玩意要多少有多少，他无穷多个。但是真正全等中最高境界是谁，就是咱们的构造法。那么今天表妹给大家来一个最顶级的构造法，有了这个方法，大家随便给我们一些条件，我们都能把这个辅助线给他创造出来， 一起来看吧。一个直角三菱斜边等于六，然后这块是九度，让我们求 ab， 加上他的三分之根号三倍的最大值，哎，那有同学就头疼了，毕老师怎么研究一个边长的三分之根号三倍啊，大家，这个东西我们就得构造一下了。 其实啊，在特殊直角三角形应用勾股定律的时候，我们都知道说，在一个直角三角形中，三十度所对的直角边，哎，刚好等于斜边的一半，也就说你是一倍，我这就是二倍，那么勾股定律一算，这边自然就是刚好三倍 哦，那就意味着什么？长边现在就是短边的根号三倍，那倒回来，短边就是长边的多少哦，三分之根号三。所以你想构造一个边长的三分之根号三吗？我们只需让它是这里面的什么 长的直角边，哎，那么对应的短的直角边就是它的三分之二三，那就意味着，哎，我们是不是要把 b、 c 装在一个直角三角形里啊？哦，并且我让这个是直角三角形的长的直角边。哎，那接下来 有一个新的问题产生了。新的问题是什么？你是长的直角边没问题啊，那也就是说你一边菱角三十度，一边菱角九十度呗。哎，那我是让三十度在这，九十度在这，还是我让三十度在这边，九十度在这边啊？哦，到底哪个比较好啊？哎， 各位，显然，根据咱们这个题的已知条件上来看，是不是把九十度放这边比较好啊？为什么放这边比较好啊？两个原因，第一个原因，已知条件上，你这九十跟我这九十拼在一起了。哦，所以咱们这三点就 贡献了。第二个更好的在哪？你不是 bc 吗？我不就是三分之根号三倍的 bc 吗？这个三分之根号三倍的 bc 和你要加的 ab， 各位，怎么样？是不是已经加在一起了？哦，所以你要求这个家伙的最小值其实就是这个线段的 最效值。哎，你看，这样构造成一个线段是不是要好得多呀？哦，那新的问题就产生了，那这里面谁动谁不动啊？你看原本的三角形， a， b， c， a， c 边长得六，那我就可以认为 a 点和 c 点它们两个是 固定点。那么接下来我这个是固定点啊，我动点最值，动中找不动，不动是它，那我所有的动点地长在哪呢？ 哎，这就要说到下一个基础知识点了，各位，你这个边长永远得六不变，那我这个角呢？哦，他是三十，这是九十，这是得六十吧，所以他会形成一个叫做边对角不变。 既然边对角不变，那么这样的所有顶点长在哪？毕老师教过大家一个系统的知识哎，就是边对角做辅助圆， 假如说我 a c 已经不变了，那么在平面上给我找到所有的点屁，让什么让角？屁是九十度，哎，那所有的九十度在哪？哦？所有九十我不知道，但是一个九十我可以画吧。画完以后，斜边中线永远等于斜边一半啊， 那你这个 o 点是 a c 的 中点，中点不变，斜边中间又等于斜边一半哦，斜边不变，斜边一半也不变嘛，所以定点定长，这样所有的点 p 长在哪？哦，就长在这样的一个圆上，这就是边对角的特点哦，那么九十度咱会画了，咱这题上画啥呀？ 要画六十度，那有人就要问了，六十度怎么办？各位啊，毕老师先教你们画一个六十度，你肯定会吧？那就画一个等边呗。哦，那跟他共圆的呢？各位，同侧圆周角都相等啊，所以在这个圆上随便连一下，这个角跟他相等是不是都得六十啊？ 当然，上边有等变，底下是不是也有等变呐？跟他共圆的是不是也都是六十度啊？所以六十度最终长在啊一个葫芦上，当然，所有的锐角最终画出来的共圆图形都是葫芦形。当我们学会这个知识点，这道题是不是就结束了？ 哎，我这个边长六永远都不变吧，边对角六十度永远都不变吧。所以这样的点的长在哪？是不是就长在我这个圆上啊？那在我这个圆上这条黄线什么时候最长啊？这条黄线是不是圆中的一条弦？圆中所有的弦什么时候最长？哎， 直径最长，也就是过圆心时，此时就是最长了。那么这个最大值等于几呢？也很简单，我不是知道这个边长已经等于六了吗？啊，那我就把它连上啊。你是直径，直径对九十。不仅如此，你是六十度，我这也是六十度。那么长的直角边得六，短的直角边就是六，除以 根号三，也就是二倍，刚好三。又因为他是六十，他是九十，这是三十度吧。三十度所推直线等于斜边一半，也就是斜边直径刚好是他的两倍。答案就是四倍，刚好三。所以这道动点最值，问题大家轻松拿下。

很多同学呢，做合肥几何题，最头疼的就是辅助线该怎么画，总感觉拼命蒙蒙对呢，我们就做出来了，蒙不对呢就做不出来。今天呢，朱老师用四分钟把合肥中考辅助线的底层逻辑，万能步骤，还有八大必考模型 一次性讲透。听完这节课之后呢，你做几何题的辅助线就不用再瞎画了。首先记住一个核心辅助线不是瞎画的，它是补全模型 转换条件。中考百分之九十的辅助线呢，目的就四个，一、股权权等相似。二、构造直角等腰。三、转移线段角度。四、锁定动点轨迹。那这个主要是在第十题和第二十三题当中出 现，那么接下来有三个万能步骤，任何题目按照这个顺序来，绝对不踩坑。第一步，读题标条件，找残缺的模型。拿到题先别着急，把题目里的线段相等、角相等、终点 平行这些关键信息全部标出来，你一看像哪个模型，立马反应过来。比如第二十二题，正方形里出现的垂直平分线，立马想到等腰平行，四边形里出现线段相等，立马想到要正全等。第二步， 定目的，选方向要正，线段相等，构造全等，算长度和比例关系。找相似有终点呢，像背长中线或者中位线有直角呢，连斜边中线，目标明确，辅 线才不会跑偏。第三步，画完立刻推导。很多同学画完线之后就结束了，大错特错必须跟着写。根据辅助线加已知条件，能推导出哪些新的角，新的线段。没有推导的辅助线，中考直接扣分。再教大家八大必考模型，覆盖安徽中考所有几何 题型？第一，中点模型，遇到中点就三个方向备长，中线构造全等，多个中点连接中位线，直角三角形，斜边上连中线等于斜边一半。第二十二题，二零二四年的平行四边形， a m 等于 c n 那 道题目的话， 核心就是终点加全等这套逻辑。第二，角平分线遇到角平分线呢？做垂线到两边距离相等，过渡到等腰或双层模型。第二十二题，二四年出现角平分线条件，第一反应就是这个方向。第三，等腰等边类，等腰三线合一做高级角平分线等边想旋转六十度可以练二三年中考。第二十二题，旋转那道题目 还有二五年中考正方形，二六年包和二模菱形加等边三角形。第四，直角类遇到直角造矩形，连接斜边中线多个直角三角形， 一线三垂直。第二十题，圆里面直径对应九十度圆周角，第一步就是构造直角，后面的计算全部就跟着出来了。第五，圆，第二十题，每一年都必考，看到直径想九十度圆周角，看到切线连半径得 垂直，看到弦做垂进定，力求角度优先看四点共圆，四点共圆，对角互补，定点定长也可以引圆。那段时间，朱老师整理了我认为比较不错的试卷，里面某些题目给大家标注出来了，需要的评论区打试卷。

各位，今天跟大家讲一道几何题啊，就是已知这个三角形的话，角 c 的是角 b 的 两倍啊，角度是两倍，然后已知 a、 b 等于六啊， b a、 c 是 等于四的，求这个，求这个 bc 啊。我们 看到这种两倍关系的一个角度的话，我们首先可以做两啊，做辅助线啊，首先我们可能会首先想到的就是把这边平分好，那这里跟这里是相等的，这里是六，但是好像这样子我们求不出来什么，所以说我们还是要换种方式，比如说我们再换一种，把这个扩大， 那这里是二 s， 这里也是二 s， 那 这条边等于这条边。好，那这个的话好像也求不出来，那我们还有一种什么方式呢？我们可以看这个哈，首先我们把这个延长 啊，延长刚好等于这边，为什么延长？大家等一下就知道了哈。连起来这个是 d 啊，这个角度是不是等于这个角度？这个角度等于多少呢？这个，这个是二 x， 这个是不是 x？ 好， 这里已经有这个，那我们好很容易就可以观察到， 这个也是一个 x， 这个也是 x， 这大的一个三角形跟这小的三角形是不是相似的？那么尝试这个角度啊，这个这两个角度相等，那这个角肯定也是等于这个角的，是不是？好，那我们就是得到三角形 a、 c、 d 相似于三角形 b、 a、 d 好， 那么很容易就可以得到 cd 比上 ad， 等于 ad， 这条边比上这条边 bc 加上 cd。 好， 那我们就啊有这个什么四，这个是六，这个是 bc， 加上 c、 d， 很 容易就可以得到，这里是，这里是四哈，这里是四，那我们就可以得到 b， c 是 等于五的，当然还有一种方法的话，面积面积相等啊，把这个高做出来，然后去修剪，这样子的话可能会相对麻烦一点。大家看哪一种方式更适合自己，感谢大家的点赞关注，谢。

这是一种特殊的辅助线构造方法。 因为角 b a、 c 等于四十五度，所以构造三角形 a、 b、 c 外接圆 b、 c 所对的圆心角， 从而得到角 o， b、 c 等于四十五度， o b 等于 o， c 等于二分之五倍根号二连接 o a 同理也等于二分之五倍根号二或点 o 做 b d 的 垂线交于点 f 在 r t 三角形 o b f b f， 所以 d f 等于 b d 减 b f。 在 r t 三角形 a、 o、 g 中可求得 a g 等于二分之七，所以 a、 d 等于 a g 加 d g 等于六。

十秒掌握中考几何大题答题诀窍，背熟这套口诀，辅助线画法不再泛难等腰连中点，巧用三线合一中垂连两点线段延长造等量角分半平行 快速识别等腰图形，中线做倍长，顺利构造全等图形线段和差问题，截长补短，理清逻辑。一线三等角补齐角度找突破口，手拉手模型连线拆解思路。 角度难题，借助旋转求证权等两并移动题型对称法求解最短距离。掌握技巧，套路，几何难题轻松攻破。

初中四边形几何总卡壳，辅助线瞎画白费劲，记住这几个秒杀技巧，考试直接秒解题！记住万能画法！ 一、普通四边形连对角线，立马折成两个三角形。二、平行四边形连对角线做高线，全等角度直接用 三梯形题型，平移腰延长两腰做双高，一秒变常规图形。四、有中点，中位线直接连中位线，平行加一半长度。 五菱形矩形正方形连对角线，边长角度关系全出来。四边形难题根本不用死磕，就按这几条划辅助线，考场做题又快又准！

通过这道题，我们来学三种辅助线，巩固六个知识点。题目当中给出了一个直角三角形斜边的长度和一个锐角十五度，让我们求直角三角形的面积，既然他已经给出了斜边的长度，那么我们求出斜边上的高不就可以了吗？ 如何来求这个斜边上的高呢？很简单，我们要用好这个直角和这个十五度，在直角三角形当中，斜边上的中线 就等于斜边的一半。通过这个知识点呢，我们可以做出弧线，我们取 a、 c 的 中点， e 点连接 b， e。 斜边上的中线等于斜边的一半，很显然 b 的 长度就等于四厘米， e、 c 的 长度也等于四厘米等边对等角，那么这个角呢，就是十五度，这个外角就等于这两个角相交，自然就等于三十度。 这个时候再来求这个 b 的 长度，我们可以放到直角三角形 b、 d 当中来求三十度角，手对着直角边就等于斜边的一半，很显然它就等于两厘米斜边上的高。 b、 d 求出来，那么底乘以高除以二，轻松搞定。三十度、 四十五度，六十度是三个常用的特殊角，那么这个十五度的角，我们只需要再做一个十五度的角， 两个十五度就构造出了三十度延长。 ab 与这条边相交于地点 进来看一下这个三角形 abc 和 dbc 是 什么关系，这两个角呢？直角相等一条公共的边，两个十五度的角相等角边角，很显然这两个三角形呢是全等的关系。 既然全等，那么他们的面积呢，自然也是相等的，我们只需要求出整个三角形 a、 d、 c 的 面积再除以二就可以了，这个角是三十度，那么我们过 d 点做 a、 c 的 垂线， 三十度的角所在直角边等于斜边的一半，那么 d 的 长度呢，就等于 d、 c 的 一半。 d、 c 和 a、 c 是 相等的，都等于八厘米，那么 d 呢，就等于四厘米， d 的 长度求出来了， d 乘以高除以二，就可以求出整个三角形 a、 b、 c 的 面积，你用全等再除以二就可以了。可以看得出来，这个三角的角所列的直角边等于斜边的一半，也是一个非常有用的知识点。 由十五度构造三角的角，我们可以通过这种方式来构造，有没有其他方法呢？当然有，我们可以运用等腰三角形的外角， 我们只需要过 a 点做一个十五度的角出来就可以了。十五度，十五度，很显然，这个三角形 a、 d、 c 呢，它是一个等腰三角形，那么这个外角等于这两个角相加，自然就等于三十度。 三十度角所对的直角边等于斜边的一半，那么在这个三角形 a、 b、 d 当中， ab 的 长度就等于 a、 d 的 一半。我们可以设 ab 的 长度为 x， 那 么 a、 d 呢，就等于二 x， dc 呢，也等于二 x， 这个 b、 d 的 长度呢，可以运用勾股定律，就等于根号三 x， 这个时候我们用一下勾股定力，并结合一下方程，就可以求出 x。 在 这个直角三角形当中， a、 b 的 平方，也就是 x 的 平方加上一个 b、 c 的 平方， 根号三 x 加二 x 的 平方，就等于 ab 的 平方。八八六十四。通过这个方程把 x 求出来，两个直角边的长度都有了，那么这个直角三角形的面积呢？轻松求出来。

初中数学七大技术第一术，暴力见习法！这是无数懒学生的最爱，一旦学会，不管是多难的几何压轴，动点问题、最值问题、角度问题、长度问题，都可以暴力间隙计算， 从此几何变代数，正零变强算。原来要画七八条辅助线，现在解个方程救出答案！间隙连接大脑 坐标代替思考考试再也不怕辅助线想不到，妈妈再也不用担心你几何不及格了。首先我们先来说一下间隙法在什么题型能用。我们会遇到特殊使用场景，比如当我们图形中出现正方形、 矩形、直角、三角形圆，或者出现了明确的垂直及平行关系的时候，我们可以想到间隙法。那么往往在求解某些线段的长度或某些角的角度，以及最值问题和动点轨迹的问题的时候，我们会想到间隙法。 那么如果我们想用间隙法，大题能不能用呢？首先我先给你一个结论，大题在合适的情况下可以使用，但是你必须要写清楚， 以谁为圆点，以谁为 x 轴，谁为 y 轴建立平面直角坐标系。你要明确我们 x 轴 y 轴正方向的一个位置，把它在图中标出来， 并且你要标注出。你如果想求某一个值，那么我们这个过程中使用到的所有点坐标必须标出来，以及我们各个目标线段它的距离等等等等，这些都需要标注。而且在关键计算的时候，我们步骤不要跳步， 这个环节我一会会说清楚。再一个，什么时候我们慎用。当拿到一个任意的普通三角形，没有特殊角，没有特殊度数，没有垂直关系，你需要自己构造垂直，自己构造平行，且你不太确定它的位置时候。 再一个就是计算量实在过于庞大的时候，我们就不要再使用间隙法了。那么接下来什么样的同学可以用间隙法，什么样的同学咱们最好不用？ 间隙法本质上是通过你的计算能力去弥补我们在一些特殊题型，我在图形的几何模型或者分析环节的不足。 也就是说老师我的计算能力很强，也许我的几何分析能力也非常强，但是呢，我就是计算能力强，我看到这个题，我觉得间隙比几何的做题固步骤要快的多好。那么二话不说，我直接间隙没有问题，但是它是建立在你的强计算能力之上的，如果你没有这样的计算能力，那 那么我们就不妨还是把几何相关的功底去拿出来，我们用咱们的模型去解决问题啊。换句话说， 在初中数学，间歇法相当于是用你庞大的计算能力去弥补。在部分题目中，部分题型中，我可能对它不够熟悉，对这个几何模型不够熟悉，少知道一些结论，所以我用计算去弥补这个环节，别人把时间花在思考上，我把时间花在计算上， 殊途同归，拿出结果就完事。那接下来咱们来看一下，对于间隙法，我们到底能不能用？刚刚有同学一定会说，老师，我们这说了不能用 好，到底能用不能用？首先如果你所在的地区，老师明确的说，你用一次，我扣你一次分，我就不允许你们使用。好，那我告诉你，你听你们老师的，但是为什么我说可以使用？因为我们是直接从咱们的课表里面拿出了依据。 首先我们先来看一下二零二二年制定的新课标的标准，因为我们二四年新教材，它是基于二二年的新课标标准我们出现的。 那么在这个课程标准里面，你会发现关于平面直角坐标系的一个概数。在第四学段七到九年段里面，你会发现它出现了两次比较明确的表述， 认识平面直角坐标系，并且能够通过平面直角坐标系描述图形的位置与运动，形成推理能力、发展空间观念和几何直观。这个环节就很重要，这是他的一个方向。 另外我们这个图他只是其中的一张，你说老师这说的不够明确，没关系，我把它拿走，咱们再来看这张图啊，看二二年版的课程标准，我们直接拿出来咱们来看，在这里面他怎么说的。 首先关于图形的位置与坐标，在平面直角坐标系章节我们要理解概念，对吧？接下来在实际问题中，这一句很重要，实际问题就是你继续答题的过程中 建立适当的平面直角坐标系。什么叫做适当的？就是在特殊题目明确告诉你有直角出现，有垂直出现的时候，我可以去描述。 另外对给定的正方形，专门在正方形，这里面有强调，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标体会可以用坐标表达简单图形在平面上运用方位角刻画物体的相对位置。 所以这是在我们具体的啊，咱们的书上啊，咱们的课程标准里面给到了我们关于平面制表系他的一个使用场景，这也是他的一个很关键的一个信息。另外我们可以看一下在我们教育局出台的相关文件里面，在考试的阅阅阅卷管理制度，这里面明确的有说出什么呀？ 关于我们建立主观性试题，什么是主观性试题？就是我们的大体解答题，一题多频制度、抽查复合制度。在这个环节里面，说白了就是你只要解析方法对，而且是在初中的学习范围内，平面直角坐标系是我们初中学的对吧？又不是让你建立一个空间的 直角坐标系，所以在这个解析过程中，它是属于我们初中的知识，并没有超纲，那么你用这个方法做没有问题。但前提有一个 我们要注意，他在这个的评分依据里面，往往判决人，他会根据我们的答案去进行评分，所以如果答案给出的往往他不会是平面制表系的，这个方法 我们会给步骤分，但是你的平面制表系就会在部分地区有风险，就是我最后看你答案，你平面制表系做对了， ok， 这个整个分给你了。但是如果你的结果错了，判卷老师会不会逐步去找你到底在哪块建立坐标系的过程中做错了，还是设点坐标做错了，还是利用距离公式求线段长，你求错了这一块出题老师会不会去看这个就是一个问号了。 所以如果你选择用平面直角坐标系的方法做，选择填空对吧？你不写步骤，反而最后对了，错了的，你只要 结果算对了，这没有什么问题，但是如果在大题里，你用到平面直角坐标系，一旦你的步骤里面出现了计算错误，导致答案做错了，能不能给你分呢？这就成一个问号了，这就取决于你的运气，看老师愿不愿帮你找分了，大概率不会 啊，也就是你可能就失去了这个题目啊，在每一步拿到分数的过程中，老师去给你找步骤分的环节。那接下来咱们拿一道题目来感受一下，对于平面直角坐标系，我们在 正方形或者在一些标准的几何图形中，咱们解析能给我们带来的是什么？比如说拿到这道题目，这是二零二六西城的一道校级题目，那 那么给到我们一个正方形，他给我们边长的信息了，告诉我们角 b a、 e 等于十五度，让我们连接 c e， 连接 c e 并延长至点 f， 使得 b f 和 bc 长度一样。所以在这个题目中就属于一个什么呀？给我们具体线段长度关系非常明确，且非常多的一道题，那么你想去做这个题就变得比较容易了，对吧？如果这个题我就想建立平面直角坐标系，能做吗？完全没有问题，咱们一块来看一下。 那么在这里间隙的环节，你可以选择很多，比如我喜欢，我就喜欢以 c 点为圆点建立，行吗？行， 我就喜欢以 b 点为圆点建立，行吗？行，或者我选择在 f 点这一块，我往下做垂线去建立也可以，但是在做垂线之前，我们需要稍稍分析一下，你比如说我现在想表示所有点坐标，你把 b 点这个位置，对吧？建立圆点以后， a、 b、 c、 d 这四个点的坐标没问题了，对吧？但是比如说这里面的 f 点、 h 点、 e 点这一块，我们该怎么解决？这就成了一个下一个问题点。所以我们不妨先来看一下题目给的信息。有一个十五度角，这是我们需要格外关注的，这个角是十五度， 它是十五度，说明还有一个角，也就是它一定是十五度，对不对？ a、 c 是 关于 b、 d 上随便的一个点，我们直接对角线截取的一个点嘛， 所以在这儿我们会发现这是十五度，这个角也是十五度。又因为题目中给出我们是延长出去的，所以 b、 f 和 b、 c 这两个边的长度相等，也就意味着这个角一定也是十五度。 图中标注的三个小红角大小一样，看到十五度，你应该想的角度立马应该就是三十度，对不对？所以这刚好还是有这样一个十五度，十五度这样一个等腰三角形。于是我们的辅助线其实做起来非常快，你直接延长我们 c、 b， 哎，没有做上。再来一次，你直接延长我们的 c、 b 延长过来。好，接下来。然后呢，我们过 f 点向下做垂线，我们构造出一个直角三角形， 假设这个点是一个 p 点，好，当我这个垂线做出来以后，你会发现这个角一定是一个三十度的角， 对吧？所以在这个题的做题环节中，你会发现我们正方形的边长是一，我往这带带带，这里是 e， 这里是 e， 这里也是 e， 所以 我们 f、 p 的 长度就应该对应的是一的一半，二分之一，对不对？这是二分之一，这是二分之根号三。 其实在这个题有一个小小的技巧，如果结果是让你求某个线段的长，比如说让你求结果的 a h 的 长度，求线段长度好，那题目给的数你都得用，对吧？但是 如果在这个题求的是一个比例关系，你发现你在计算长度的过程中都出现二分之几、二分之几了，那我们不妨怎么样呢？题目他说边长是一，我边长为二， 对应解出来的 h 点，对于 a h 和 b h 长度关系来说不会有影响吧，对不对？所以在这道题你可以有一个小小的技巧，就是我把边长给它扩个倍，我给它边长为二，反正最后你求的是比例，又不是哪个线段 啊，这个细节我们可以用上，所以在这块我在做的时候，我们会选择一个小小的技巧，因为最后不是求某线段的长，我就把这个比例给它扩个倍，我假设 b c 的 长度为二，我们假设， 也就是说我们假设正方形的边长为二，换句话说，这道题边长为几，对你的结果都不会有影响，因为你求的是一个比例，你想要的只是一个 a h 比 b h 的 固定比 好，那在这我如果假设 bc 是 二的话，那么 ab 的 长度对应也是二，对吧？那么 b 的 长度对应也是二，而且我们现在会发现，此时 f p 的 长度就应该变成了一，这的长度 b p 的 长度就应该变成了 根号三，对吧？那么此时我们把这个平面直角坐标系完整的建立出来，既然我们想建，咱们不妨就在 b 点这一块去建立上啊。如果你说老师我做题我特别不喜欢带着符号做，那你说你这个题就在在哪块去解析呢？ 如果你特别不喜欢带着符号做题，你建立平面这条坐标系，肯定要是在 p 点去做了，对不对？把 p 点当圆点，其他点坐标就都出来了。这个题我觉得完全可以在 b 点去做，因为没有那么复杂，我现在把这个坐标系画出来，好吧，然后这再来一条，它，以 b a 啊，以 b a， 我 再建立一条，好，这就是我们的 y 轴，这就是我们 x 轴，这就是我们的原点，以 b 点为原点。如果这题是一个解答题，你就要说清楚，以 b 为原点，以 bc 为 x 的 正半轴，以 b a 方向为 y 的 正半轴，建立平面直角坐标系啊。然后接下来你这里面要用的的所有点坐标，你就得一个、两个、三个、四个全部给它点出来了，在这你需要用到谁？ 你会发现，我要求 a， h 的 长度，要求 h， b 的 长度，可能 b 点坐标， a 点坐标，你得写出来，对不对？对应着 a 点坐标就应该是零二，对吧？你在具体做题步骤里面，就要给它标注出来，这个 b 点坐标就是零零，而且你还需要谁啊？你需要 h 点坐标， h 点，你现在是要求的， 怎么求呢？你会立马反应过来， c 点坐标，横坐标为二，纵坐标为零，所以就是二零点。而我们的 f 点呢？刚刚已经算出来，这段的长度是根号三，这是一，所以 f 点它是第二项线的点， 横坐标为负，根号三，纵坐标为 e， 直接搞定了。所以 f 点以及 c 点这两个点的坐标，我们现在是知道的情况下，咱们直接在这两点间去连立，我们依次函数表达式就完事了。设 y 等于 k， x 加 b， 然后开始往里去带， 这个点带一次啊，当 y 等于一的时候，此时是负根号三倍的 k 加上 b， 对 吧？还有一个点是二，那就是 y 等于零的时候，此时我们 二 k 加上 b， 由此我们可以去解出谁的值，我们是不是可以去把 b 的 值给它解出来，而你只要能够把 b 的 值解出来，这个题 b 就是 我们这个一函数和 y 轴的交点， 对吧？然后我们剩下这段的长度，这段长度我们直接让他一比就搞定了，所以这道题咱们来算一下。呃，很明显在这个题你先算 k 好 算，对吧？所以我们把 b 消去，我们会发现 k 的 值应该是等于上面和下面做减法，或者下面和上面做减法无所谓，你会发现最后应该是负一 比上啊，二减根号三。 好，然后我们对应的结果分子分母同时乘以二加根号三，你会得到上面是根号三减去二，这就是我们这个式子求出来的最后的一个结果。那接下来咱们想去求出这个式子最终的一个结果的话，怎么去求啊？咱们要 停一下，所以在这块 k 的 值你是负一比上二减去根号三，我们让下式减去上式啊，就凭二加根号三是吧？二加根号三，对对对对， 在这截一下，好，那么连立这个式子，我们可以求出对应的 k 值， k 值可以先求出来二式减去一式，咱们可以求出来是多少？ 呃，负一比上二加根号三，分子分母同时乘以二减根号三。我把这个步骤稍微写一下了啊，二减根号三，一块来算一下，那么这块对应的也是乘以二减根号三。好， 现在此时分母就是数字一了啊，分子就是根号三减去二，这是我们 k 可以 求出来的。 好，当我们把 k 求出来，是等于根号三减二，那么 b 的 值呢？你把 k 代入，就可以去对应解除 b 的 值了， b 应该等于多少？等于负二倍的 k， 所以 b 就 等于 负二倍的根号三减二，也就是我直接写结果了啊，负二倍的根号三加上四。好，这就是我们的 b 的 值，那么 b 的 值知道了， b 的 值对应的就是 h 点的 纵坐标， h 点的横坐标就是零，纵坐标就是四减去二倍高三，或者负二倍高三加四，那么这段的长度现在我们知道了，对不对？我们是不是拿二整个的这个长度不是二吗？减去这一段， 减去这一段，我们是不是就可以求出 a h 了，对不对？所以 b 这段的长度，它就对应的是我们的 b h 这段的长度，然后呢，我们的 a h 就用二减去，它，也就等于二减去，这个式子求出来，结果应该是二倍根号三，再减去二啊，用二减去我们小 b 的 这个值，咱们就可以求出来的。 好，那么所以最后我们要求的 a h 比上 h b， 那 不就是他和他做比值来，我写到这了啊，所以就是二倍根号三减去二，比上 四减二倍根号三。首先在做比值之前，我发现分子分母可以先去给他约去一个数字二，去，那我们把这个二先约一下啊，约一下，约完以后，你会得到这个式子，最终 a h 比上 b h 应该就对应的是 根号三减一，比上二减根号三，分子分母同时乘以二减根号三，那么你会发现分母就成一了，对吧？分子呢？就成了啊，根号三减一乘以二加 根号三，此时分母就已经是四减去三吗？所以最终这个题我们求出来结果，二倍根号三减二加上三，再减根号三 减二加三，有理数部分是一，后面呢，二倍根号三减根号三，结果剩根号三。所以这题最终的结果一加根号三，我们就相当于是强算给他算出来的。 看着柿子裂的很多啊。这个题唯一的难受点就是这出现一个根号三的比例关系，所以你在记计算的时候，给你带来了一丢丢难度。如果这个题数全都是整数的话，其实算起来会非常的快，而且甚至你可以口算，这就是你如果用间歇法是完全可以做的， 对于填空题来说，更无所谓步骤不步骤的事了，对吧？你就直接做，做完以后结果只要写对这个题就没什么问题了。但是如果这个题是个大题，还是要强调步骤，千万要注意这个步骤这个细节。好吧，嗯，这是我们的整个这道题目 连着计算，我也带大家去算了一下，所以还是那句话，平面制要坐标系去解决我们的几何题目，尤其是在初三，解决几何大题行不行呢？可以选择填空，随便用大题。我们第一 先听你们老师，你们所在地区老师的要求，另外就是如果老师没有说过，那这个就是完全可以用的，在课标里面是跟我们说清楚的，但是你用的话，你如果没有强大的计算能力，我也不建议你去使用，用了可能也没有能给你带来对应的收益，反而让你算的很痛苦。 我们不妨还是要把几何的基础以及几何的常见模型学明白，这样你在做题的时候可以用一些固定的结论快速搞定选择填空题，也不一定会比咱们的间隙法慢，但是他可以说是你在 实在没有办法的时候救你最后一命的救命稻草了。这个方法平时还是要适当练一下，强化自己的计算能力， 不然你到考试第一次使用，你一定很难去找到我在哪去间隙我的每一个步骤。这个平时不用，你要考试第一次用的话，第一你会算的非常慢，而且还会总出错，这是我们需要注意的。好的，那本视频咱们到这结束，数学找老钱，进步会很甜。

第一个演员叫做定点定长，这个我们前面作曲的时候，波哥也反复给你们讲过啊，定点定长什么意思？那比如说这个 a 是 个定点， a， p 是 个动点， p 在 动的过程中， pa 这条线段的长度始终保持是一个定长三，当然也可以是定长四，也可以是定长五，也可以是定长六，不管是定长几，但是一定要是定长， ok， 那 只要 a 是 个定点， pa 在 动的过程中保持 pa 是 一个定长，则 p 点的运动轨迹就应该是以 a 为圆心， p a 为半径的圆就是一个引圆。那底层逻辑就是因为圆的半径处处相等，对不对？你看，只要 p 到这里 对不对？ p 到这里 p 两撇， p 到这里，无论这个 p 怎么运动， 只要是在这个圆上，它的半径永远相等，对不对？好，这个叫定点定长，出现引圆，或者说动点走圆，非常非常条件反射。看出来啊，如果是在做题的时候，好双。如图，矩形 a， b， c， d 中 a， b 等于四，这符号是四， 那说明 d， c 也是四喽。再来， b， c 是 七，说明 a， d 也是七喽。 p、 q 分 别是 a、 c 和 ab 上的两个洞点， a 说明 p 是 洞点，对不对？说明 q 也是洞点。再来， a 等于一，你这个货是一 将三角形 a， e， q 沿着 e q 翻折形成，形成 f， e q， 哎，这两个翻过来，说明 e f 和 a e 相等于一，对不对？好，读到这里，咱们应该总结出一些规律了啊，他又在给给这个 e、 f 的 边长，他会怎么给？ 通过翻折来给，对不对？好，我给大家总结一下啊，翻折 它来给变长。那你这里读完以后， e、 f 是 个定长 e 对 不对？ e 又是个定点，很明显 f 点的轨迹就应该在引元上，对吧？定点 e 定长 e f 定点定长，引圆没有任何问题。那咱画出来 f 点，就应该在这个引圆上好，再来连接 p f p d 连接 p f p d， 则 p f p f 这个圈加上 p d 这个叉的和的最小值。好，这回这个题变了，一点点啊，现在变成了两条线段，和的最小值还很明显，有经验小伙伴应该应该反应过来，这是一个将军印码，对不对？ 好，你看折线的和的最小值，很明显要做对称，对不对？这个地点是个定点， 根据前面那个专题，波哥讲将军一马那个专题，如果学过以后，你应该反应过来，此时此刻，我做对胜， 我要么做 d 关于 p 点的运动轨迹 p c 的 对胜，要么做 f 点关于 p 的 运动轨迹 p c 的 对胜，对不对？两种情况，到底是做 d 点好一些还是 f 点好一些？为什么？当然是 d 了，因为 d 是 个定点，对不对？而且这个 f 你 看他多复杂，还在圆上动，你去做对胜，不把自己对 对称对，对蒙了嘛，对，成呆瓜了嘛，对不对？好，咱也直接做 d 关于 p c 的 关于 b c 的 对称点对称下来，那 p d 这个叉就转化为要求 p d 一 撇这个叉了。好，给大家写一下啊 思路，第一个做对称 d 关于 b c 对 称到 d 一 撇，对不对？好，这个时候 p d 一 撇，就等于 p d 喽， 对不对？那么 p f 加上 p d 就 等于 p f 加上 p d 一 撇喽，对不对？那 p f 加上 p d 一 撇，现在求这个圈加这个叉，它们的和的最小值。好了啊，这个时候蒙了呀， 这个圈加这个叉合到最小时，好像没办法进行了，对吧？好在观察还是一样，这个 f 点是在这个圆上动，这个 p 点也是个动点，对不对？ 好观察啊！ e f 是 个定长， e f 居然是个定长，咱们就相当于求求 p 第一撇加上 p f 再加上这个 e f 不 就好了吗？好，我给大家写一下啊，那 咱要求它的最小值，对不对？就相当于求 p f 加上 p d 一 撇，那 p p f 加上 p d 一 撇，再加这个 f e f e 是 个定长 e， 那 加上 f e 减去 e 就 ok 了嘛？这个货的最小值， 那求它的最小值减去于就 ok 了，因为 ef 这个是个定长移，不会变，对不对？ 好，你再观察。求这个圈加这个叉，加这个 ef 的 三条线段和了最小值，好不好？求，太好求了呀！因为 e 是 个定点吗？ d d 一 撇也是定点吗？这这三条线段和了最小值，两点之间线段最短对不对？直接连接 e 一 撇结束了呀，没毛病吧？ 好，接下来咱们就需要求 d 一 撇 e， 这怎么求？这太好求了，你看 a， e 是 一对不对？ a， d 是 七，那么 e， d 就 应该是六了，对不对？ d， c 是 四， 对称下来， d 撇 c 也是四，那说明 d d 一 撇是八，对不对？六八十红色应该是十， ok， 一 第一撇是十，最后结果就应该是他是最小是十，十十减去一，对吧，等于九结束了啊，想明白这个细节啊，结论就是九， 那这个思路唯一变的一个地方就是把引元和将军印码综合起来了，咱要求这两条线段合的最小值， 直接写求不出来，因为这个 f 点在圆上动，对不对？我索性就把这个半径给加上了，对吧？加上以后相当于求这三条线段合着最小值、 最小值。求了以后再把这个 e f 减掉就 ok 了。因为 e f 是 个定长，加一个减一个不会影响，不重要了，对不对？好，把思路搞明白啊，往下走了。

朋友们，恭喜你，数学又要进步了，听完这道题，数学考试能够多拿六分。好，我们一起来看，在等腰直角三角形 a、 b、 c 当中啊，那很多朋友一看到斜边中点，可能就想到了背长中线法，想通过背长中线法来解题，那我们先一起来看一下，能不能通过背长中线法来解这道题。 那倍长中线，倍长中线嘛，通常是延长一倍，那在这个的题当中呢，按照有些朋友的思路呢，可以延长 e， d 或者延长 f， d， 那 我们随便延长其中一个吧，那就延长 f， d 到 g， 让 d， g 等于 d， f， 然后再连接 b， g， 对 吧，我们延长了，也出现了全等三角形了，三角形 b， g、 d 全等于三角形 c， f、 d， 那 这两个三角形全等就有对应边相等，还有面积相等，我们是不是没有办法通过背长中线来解这道题，所以呢，我们把背长中线法就要放弃了。好，我们就要想其他方法， 因为 d 是 等腰直角三角形斜边的中点，那等腰直角三角形，等腰三角形呢，具有三线合一的性质， 斜边中点、斜边中线和底斜边上的高以及顶角角平分线三线合一，所以我们可以连接 a， d， a， d 等于 b， d 等于 c、 d。 那 现在呢，就会出现一对全等三角形，三角形 a， e， d 和三角形 c， f、 d 这两个三角形全等的 a、 s， a， 就 可以证明这两个三角形全等了。那三角形全等呢，就有对应边相等，我们就能够得到 a， e 等于 c， f 等于五， e， d 等于 f， d， e， d 等于 f， d， 我 们就能够得到 d， e， f 是 一个等腰直角三角形 d、 e、 f 是 等腰直角三角形，我们要求面积，可以 求直角边，也可以把斜边求出来，我们在这道题当中求斜边是不是比较容易啊？在三角形 aef 当中，我们可以把斜边 ef 求出来，那 ef 就 等于根号下 ae 平方加上 ef 平方，那 a、 e 刚才出来了五的平方， ef 呢？等于十二 大平方，等于十三等腰直角三角形 d、 e、 f 的 面积就比较容易了，那就等于二分之一几， e、 f 是 十三斜边上的高，等于斜边的一半。等腰直角三角形三线合一的性质吗？那再乘以二分之十三，这个面积呢？就等于四分之一百六十九。好，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论，看看你有没有更好更简明的方法。

初中几何总丢分？三角形辅助线不会画，今天一招秒杀！学会直接拿满分！记住这五个万能套路，考试看到直接画 遇中点就被长中线构造全等遇角平分线就做两边垂线距离相等，遇等腰三角形立马做高三线合一直接用正线段和插用截长补短，百试百灵。遇折线拐角 过拐点做平行线，角度立马出答案！三角形几何不用死刷题，把这几句记牢，考场做题快人一步！

上海中考几何题辅助线怎么加？很多孩子啊，就下试，其实你把它拆开就考五个东西。第一个，中点，看到中点想什么？中位线、中线、背长中线，就这三个方向条 件里出现中点，你就往这三个方向试。第二个，角平分线，角平分线有什么性质？到角两边所在直线的距离相等，看到它你就往两边做垂线段，看到平行，你就先想这两条路。第四个，对称， 对称就是找对应对称轴两边全等，对应边相等，对应角相等。第五个，旋转，旋转也是全等变换旋转角相等，旋转前后的图形全等。 几何题啊，不是乱试，是按模型走的，终点模型、角平分线模型、平行模型、对称模型、旋转模型，五个专题你一个一个的啃下来，辅助线的思路自然就清晰了。我是吴老师，专注数学思维的培养，点个关注，咱们下期接着聊。

辅助线作为全等三角形最麻烦的点之一，怎么画一直是个难题，我花费心血把这十几年常见类型全部集合下来，跟着我搞定它。今天学习连接两点， 好，我们来看这一道题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 等于 ab， dc 等于 bc 等于 b， c、 b 等于一百二十度， e 是 a， d 上一点， f 是 a、 p 延长线上一点，且 d、 e 等于 b、 f 啊，求证， c 一 等于 cf。 好， 既然要证明两个边相等，我们第一个想法是什么？证明两个三角形全等啊，我们定近一看，哎，这个 c、 d 一， 三角形 c、 d 和三角形 c、 b、 f 是 不是看起来就很像啊？那我们再从题目中找条件看一下是不是真正相关啊？题目中告诉我们 d 一 和 b、 f 相等啊，然后 c、 d 和 bc 相的，哎，那我们一看三角全等三角形的三个条件，它已经满足两个了，我们只需要在满足其中一个条件啊。三，全等三角形中 两条边还有另外一个条件是能有什么的？是不是一个两条边中间的夹角或者说另外一条边啊？这道题中另外一条边肯定是不现实的，因为我们要证明的就是另外一条边，所以说我们只需要证明角，嗯， c、 d 等于角 c、 b、 f 就 可以了，哎，对不对？那我们来看一下怎么去正啊？我们看一下，在四边形 a、 b、 c、 d 中，哎， 角 a 是 不是等于六十度，然后角 d、 c、 b 等于一百二十度啊？那他剩余中的另外两个角的和，是不是就是三百六十度减六十度，减一百二十度就等于一百八十，一百八十度了啊？那是哪两个角呢？那就是角 a、 d， c 加角 c， b， a， abc 等于一百八十度了，对不对？那我再看，在直线 af 中啊，它是一个平角，那我角 c、 b、 f 加角 abc 是 不是也等于一百八十度，对不对？那我们是不是就能列出来一个等式啊？三角形 c、 d、 e 与三角形 c、 b、 f 中 好 d， b、 f 啊，那么然后角 a、 d c 啊， a， d， c 我 们也可以写成 e、 d， c， 这个都不影响的。等于角 c、 b、 f 啊，还有个边就是 c、 d 等于 c、 b 啊，那这两个三角形全等了， 好，到全本之后， c、 e 和 c f 我 们就横可以挣出来了，随便挣。 嗯，好，第一问我们就解决掉了，我们重点来看一下第二问啊，第二问还是很麻烦的一道题目啊，他并不是说，嗯计算有多麻烦，他只是说，嗯，图太小，然后给大家画图的空间也太小，会导致自己做的辅助线，或者说导致标的角会让自己有点看不清楚 啊，我们就来好好看一下好吧啊，若 g 在 a、 b 上，且角 c， e， c， g 等于六十度，猜想 d 啊，我们先标出来 d 一 e g e g 啊，就是这里还有 b、 g 之间的关系。 好，我们第一问是不是证明了，呃，三点两个三角形是全等的，所以说第一是不是等于 b、 f 啊？题目中得告诉我们了，我们是不是 证明三条线真正的关系，最好的方法就是把两条线能合并成一条直线，再去看他跟第三条线的关系是什么，这样是最方便的。所以说我们先把第一换到这里了，就是换到 b f 这里了啊，那第一 加 b g 是 不是等于 g f 了，那么是证明 g f 和这个 e g 的 关系就可以了，对不对？好，那我们定金再乍一看，是不是 e c g 和， 呃，三角形 c g f 又有点像全等三角形呢？那这个时候我们是不是只要证明他们两个三角形全等，就能证明 e g 啊？等于第一加 b g， 也就是第一加 b g 啊，为什么？ 呃，跟大家说一个东西，其实在数学当中，只要题目说看着差不多很像啊，再加上题目中给到差不多的条件，那这个方向一定是往这方面走的，对不对？好，那我们来看一下这题怎么做？我想证明他们两个三角形圈，等， 我想证明他们两个三角形的，我们看一下现在有已知的什么条件啊？我们已知的条件是，嗯， 公共的一个边啊，然后还有什么 e c 啊，这个边和 c b， 因为第一问正过了吗？他们两个三角形是全等的，所以说我们还需要去正一个什么？ 哦，不对不对，不对，这个 b c 划错了，是，这里是 c f c 和 c f 是 相等的啊， d 问我们正出来，那我们还差一个什么？是不是跟 d 问一样，只要把这个夹角求出来， 只要保证他们两个假角是相等的，我们是不是就能求出来这两个三角形是全等的？这道题是不是就迎刃而解了？好，那我们来看一下怎么样去证明他们两个角相等。哎，我直接证明的话，可以证明吗？是不是证明不了？ 那这个时候题目中还有个条件，大家一定一定不要忽略了啊， d a b 就 这个角啊，和 d c b 啊，这个角一百二十度啊，那这个时候我们是不是可以连接一下这两个点？两个点就是 a 点和 c 点。好，我们来连接一下。 好，我们这个时候已经给它连接上来了。哎， 我们这一步啊，先要证明什么？那我们再把这个辅助线做完一看，哎，这个三角形和这个三角形是不是又有点看起来很像？那我们何为何不去证明他一个全等呢？证明他一个全等，我们是不是又能往这方面上面靠，对不对？ 好，那我们来看一下是怎么去证明他一个全等。首先他全等呢，有一个已知的很大的条件，就是 c、 d 啊，等于 bc 啊，然后公共的一个边再需要证明一个什么，就是甲角相等就 ok 了啊， 或者说一个假角，或者再证明一个边相等就 ok 了。好，这里的话我们需要用到的是假角，所以说必定不可能去证明这个假角是多少，那我们就肯定是先去证明这个边是等于多少了。好，那我们来看一下 a、 d 等于 a、 b 啊，对不对？那这些三个边就完事了呀，我们三个边就直接就 s s s 这个定则给他拿下了，对不对？哎，老师刚刚还想麻烦了，这里看这里还有呢，就说我们第二问就可以直接写出来嘛。嗯，我们好的列出来吧，连接 a、 c， 连接 a、 c， 然后在三角形 a、 c、 d 与三角形 a、 c、 b 中啊，然后列等式啊， a、 c 等于 a， c， c， d 等于 c， b， a、 d 等于 ab， 所以 三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 c、 b 啊，用了什么原则？ s、 s， s 也是最简单的三边原则。那他们两个三角形圈内我们得到一个什么条件？我们需要证明的是不是 这两个角，这两个角相等的，但是我们现在证明的什么？这两个角老是换一个颜色的笔给大家，免得大家那证明我们现在看到的是这两个角相等，对不对？好，那我们就先把它写出来嘛， 所以角 a、 c、 d 等于角 a、 c、 b， 对 不对？我先把这里擦一下，有点混乱了， 嗯，好，那我们再来看啊， a、 c、 d 等于角 a、 c、 b 啊，这个能让我们挣出来什么东西呢？首先啊，我们不同的颜色画出来这个角 加这个角是不等于六十度，因为它们两个是全等三角形， a、 c、 d 和 a、 c、 b 是 全等三角形，所以说 a、 c 是 它的一个，相当于是一个角平分线，叫 a、 c、 d 等于角 a、 c、 b 等于多少？我把这里写上吧，等于六十度， 这里可以写上，然后角 dc 加角 ac 等于六十度，然后角 gca 加角 ac 等于六十度，因为这里题目条件给我们的 ecg 等于六十度。好，那么我们就可以读出来一个什么角 dc 一 等于角 g、 c、 a 了，对不对？好，我们用不同颜色的笔给它标出来啊，以便大家搞混了。好，是不是 d、 c、 e 就是 这里 好， g， c， a 是 不是这里好，那我们再用同样的方法去证明。第二个条件。 好，角 a、 c、 g 加角 b， c、 g 是 不是等于六十度？ 角平分线嘛，两个三角形全等，然后角 b、 c、 d 等于一百二十度， d， c、 b 等于二百二十度，然后角 ac、 g 加角 ac， e 等于六十度。那么角 b、 c、 g 就 等于角 a、 c、 e 了，对不对 啊？老师？再换个颜色的笔给它标出来 a， c、 e 和 b c g 啊，它就等于六十度了。那我们有第一问中啊，这个公式就是三角形 c， d e， 因为三角形 c， d、 e 全等于三角形 c， b、 f， 那 么所以角 d， c、 e 等于角 b， c、 f。 好， 那么我们能证明出来一个什么东西，角 b， c、 f 加角啊， b， c g 就 等于六十度了啊，为什么？因为我 b， c g 等于角 a， c e， 然后我角 d， c、 e 等于角 bcf 啊，我说这证明它是六十度了。好， 那所以说就是角 f， c、 g 等于六十度。好，这个时候我就用黑笔给它标出来啊，这是这个角，那么求出来了，这个角等于六十度，我们再求另外一个角等于六十度，是不是就 ok 了？题目也告诉了我们， e， c、 g 等于六十度，那么角它是不是相等啦？好，那我们这个时候就可以列出来，在三角形啊 e， c、 g 与三角形 f， c g 中啊，开列对不对？ c 等于 c f 角 f， c g 等于角 e， c g 还有 c g 等于 c g 共同的边好，所以三角形 e， c、 g 全等于三角形 f， c g 用了我们什么一个原理啊？是不是 a s a 角边角的原理好，那么所以的话， e g 是不是要等于 g f 了？ g f 要等于什么呢？是不是要等于 g b 啊？也就是 b g 加上一个 b f， 然后我们前面要说到 b f 要是等于 d e 的， 因为三角形 c、 e、 d 和三角形 c， f， b 是 全等的啊，所以说它是相等的， b， f 等于 d e， 那 么 e g 就等于 b g 加上一个 d 了啊，我们正出来 d e g b g 之间的关系了。 这道题确实是很麻烦，但是如果说，嗯，大家多去细心的观察一下啊。这道题只是说图形复杂，其实算数的过程也没有很复杂，好吧？