定西中考数学第20题画图题怎么画

中考倒计时三十天，我发现有的孩子只会做图，还在丢分，这种题明明是套路题，掌握了方法，那五分完全可以全部拿到，你家孩子是不是也是这样呢？单独让画一个角平分线，画一个中垂线，都画的挺好，可以放到大题里，就不知道到底该做哪个了。今天呢，我就把中考必考的五种基本作图全讲一遍， 再教孩子一个倒推法，不知道怎么选的时候，咱们先画草图，倒着推就知道该做哪个了。最后咱们再说说面积相等这类复杂作图，怎么转化成基本作图。 第一步呢，就是五种基本作图，咱们必须闭着眼睛都能画，全国中考指挥作图，翻来覆去就这五种。那第一种呢，就是做一条线段等于已知线段。它的做法，第一步呢，就是画一条射线，然后第二步， 以已知线段长度为半径，在射线上截取。三呢，就是标记端点，然后截弄写线段 a、 b 即为所求。 然后第二个呢，就是做一个角等于一只角。做法呢，第一步，以一只角的顶点为圆心，画弧，交两边与两点。二、以目标位置顶点为圆心，相同半径画弧。三，以刚才两点距离定半径， 在第二条弧上截取，得到焦点。四呢，就是连线，它的核心用途就是做平行线，通过同位角相等可证。然后三呢，就是做一只角的平分线。 做法呢，是，一、以顶点为圆心，画弧，交两边与两点，然后分别与这两点为圆心大于两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点。然后第三步呢，就是连接顶点和这个交点，它的用途就是到角两边距离相等，常用于找内型。 然后第四个呢，就是做已知线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的两弧交于上下的 两个点，然后过这两点的连线就是。那用途呢，就是到两端点距离相等，通常用于找圆心，找对称点，然后解决 pa 等于 pb 的 问题。第五个呢，就是过一点做已知直线的垂线，也就是高线。这里咱们要分两种情况，第一种，点在线上，这时候 先以点为圆心画弧，交直线呢于两点。第二部分，分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点。第三步呢，就是连接点和这个交点。 然后当点在线外的时候，首先呢，我们要以点为圆心，然后大于点到直线，距离为半径画弧，交直线于两点。然后再分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接这个点和焦点就可以了。它的用途呢，通常就是做三角形的高求点到直线的最短距离等。 注意每种作图完成后，必须保留痕迹，并且建议写上一句解弄，比如如图设限 oc 即为所求。虽然有些地区不强制写文字，但写上解弄能帮助孩子理清思路，也防止阅卷时因为没指出解弄而扣分。稳妥做法就是痕迹加一句话，解弄。第二步， 考试不知道选哪个，用倒推法教孩子一个方法，先画草图，再倒推。具体操作，第一步，先假设题目要求的图形已经画出来了，就咱们画个草图 二呢，就是看这个草图里的关键点有什么几何性质，是到角平分线，角两边距离相等，角平分线还是到两端点距离相等，中垂线还是某个角要等于已知角？做平行线还是需要做垂直做高线？ 三、由这个性质在反推，我应该做哪个基本作图？举个例子，题目说在直线 l 上找一点 p， 倒推就是 p a 等于 p b， 说明 p 在 p 到 ab 距离相等，那 p 一定在线段 ab 中垂线上，所以先做 ab 的 中垂线，然后与 l 的 交点就是 p。 第三步呢，就是复杂作图，咱们如何转化成基本作图？以面积相等为例，面积相等的核心原理呢？是同底等高，如果两个三角形同底， 要面积相等，那高必须相等，高相等意味着第三个顶点在一条平行于底边的直线上。怎么做这个平行线呢？做一个角等于一只角，利用同位角相等，两直线平行即可。咱们举一个具体的例子， 已知三角形 abc， 求做一条过点 a 的 直线，将三角形分成 a、 d， 中线呢，就分成两个三角形等底等高 等底同高面积相等，这里需要做中垂线，找到 bc 中点。所以第一步呢，就是做 bc 的 中垂线，找到中点 d， 再连接 a， d 完成。 再比如，求做 ab 边上一点 p 是 三角形 pbc 面积等于三角形 dbc 的 面积，那倒推，如果说 d 不是 ac 的 中点，那么 p 也不是 ab 中点，所以需要过点 d， 做一条平行于 bc 的 直线，这时候高相等，面积也相等，所以就需要做一个角等于一只角来构造平行线，那我们记住一句话，面积相等先想等高等高需要平行，平行需要做角。等于一只角，那如果说等高不平行， 等高不用平行，比如说中线，那么就用中垂线找中点。所以尺规作图呢，咱们先熟记五种基本作图的步骤，再用倒推法从结论反推该做什么，最后把面积相等这类复杂问题转化成 做平行线或者找终点。那冲刺阶段呢？让孩子把这套方法练熟，考场上五到八分就可以稳稳拿到手了。现在呢，我把中考持规作图真体会编以及模拟体会编放在视频的结。需要的呢，可以让孩子在考前过一遍这类套路题，咱们争取不丢分。我是博老师，祝孩子中考顺利，加油！

二模考试之后，我的后台炸了，问的最多的并不是什么选择填空亚洲题，也不是什么二次函数题，他居然是画图题，为什么我家孩子每次做画图题，他就是一做就错，说了无数遍了，他还是错，这是为什么呢？ 那你刷到这条视频，你真的是太有福气了，不管你是哪个省的，哪个地区的，只要你家里边有七年级、八年级、九年级的孩子，考试的时候有画图的题，那赶紧把这条视频看完，后面的动画讲解真的是一下子就刻到他脑子里，我就不信他还能再错， 耽误你不到一分钟的时间，赶紧分享给你身边有需要的人。这个画图的讲解真的是太全了，有需要的赶紧安排上。

离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破分值较高的地方。比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。 第二问，会有五个常考的类型，前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形， 这道题是正切线和扇形面积。前面说了想正切线固定方法之一就是连圆心，所以连接 o、 c。 题目给了角 b、 a、 c， 那 我们就从它入手。 它和角 b、 o、 c 是 同弧所对的周角和新角的关系，所以角 b、 o、 c 等于九十度，而 b、 d 和 c、 e 平行，所以有同旁内角互补得到角 o、 c、 e 也等于九十度。第一问，四分拿下，知道固定方法是不是很简单？ 第二问，求阴影面积，一眼就可以看出阴影部分不规则，所以不能直接求满，就要用割补法转换成梯形面积，减扇形面积。 关于阴影面积怎么求，我在前几期中做了专题，可以去那边再学习强化。回到这道题前面，我们已经知道扇形 b、 o、 c 的 半径和圆心角，接下来就要找到梯形的面积。 梯形面积公式没有忘吧，是不是关键就是这个？下底还不知道，所以目标就出来了，来看看怎么计算。因为平行，所以有同位角，相等 角，一的正切值就等于二，那遇到三角函数，前面在固定套路里面就说了需要结合直角三角形，所以辅助线也就有了过点 b 做 b， f 垂直于 e c。 在直角三角形 e f b 中， b f 等于 r 等于二。再利用正切值得到 e f 的 长度，把线段长和角度带入公式计算。第二问六分拿下。同样是固定方法，在指引解析思路 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。

尺规作图不只是一种画图方法，它连接几何与代数， 同时训练逻辑与直观，对学好初高中数学直观重要。这本中科大出版的尺规作图趣谈，带你领略尺规作图的魅力。 它由数学大家周春丽著编，作者先从几何中的三等分角等问题引出尺规作图的历史发展轨迹，接着具体讲解尺规作图的一些基本方法， 比如诡计交接法、代数解析法、几何变换法等。这里的每种方法都配有详细的立体解析和作图的基本步骤，非常清晰易懂。 这些题目及作图方法也是中考里面的重要题型。同时，作者还带领读者对一些命题具体赏析，培养读者的逻辑思维与空间想象能力。 最后，读者也对尺规作图的一些限制及可能性方面给出判断方法。全书图解详细，不仅能学会尺规作图的方法，还能提升读者的数学素养，不错的一本书推荐！

中考数学尺规做图这道题呢，很多孩子经常丢分，那我在这块的话简单总结一下做题方法， 那我们在做尺规做图的时候呢，一定要用我们的逆向思维，用证明题的一个思路去分析我们的画图，先要看这个画图题它最后要达到什么效果， 我们用逆向思维来推导，那通常情况下会考两类，第一类就是一步作图，第二类就是两步作图。 通常情况下所用到的方法就是做一个线段的垂直平分线，或者是做角平分线，或者是做一个角等于已知角，再或者是做直线外一点做已知直线的垂线，那我们在分析的时候，他就是这些 啊，单独的操作，或者是两个直接操作，大家赶紧行动起来，记住我说的话，一定要用我们的证明题的思路去分析画图题，这样你做起来就特别的轻松，大家赶紧行动吧， 在做的时候呢，有什么问题可以在评论区留言，我都会及时的给大家回答，中考加油！

离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破、分值较高的地方，比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个，圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。第二问会有五个常考的类型， 前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形 这道题要求正切线和三角函数。前面的方法说了，要正切线先连圆心，所以连接 o、 d 得到等腰三角形 a o、 d， 那 角 a 就 等于角 o、 d、 a， 而 abc 也是等腰三角形，所以这个角 a 等于角 c， 那 么 o、 d 就 平行于 bc， 而 d、 e 垂直于 bc， 那 d、 e 也就垂直于 o、 d， 切线就正到了四分拿下。 第二问求三角函数。前面的方法也说了，需要结合直角三角形给的两个已知都在直角三角形 b、 e、 f 中，所以就拿它入手。 b、 e 是 一， b、 f 是 三，所以三 e、 f 就 等于三分之一。角 f 同样也在直角三角形 o、 d、 f 中，所以也就有 o、 d 比上 o、 f 等于三分之一，而 o、 d 是 半径， o、 b 也是半径，所以得到 r 比上 r 加三等于三分之一，就能够求出半径，进而得到 a、 b、 bc 以及 e、 c 的 长度。下一步则需要连接 b、 d。 这个思路是从遇到直径连圆上的点来的，如果想不到，那只要做到上面那一步，这道题也有七分了。好，那我们继续把它完善。连接 b、 d 以后，得到角 b、 d、 a 是 个直角三角形， 由于角 b、 e、 d 也等于九十度，所以三角形 b、 e、 d 相似于三角形 b、 c、 d。 那 b、 d 比上 bc 就 等于 b、 e 比上 b、 d， 由此就可以得到 b、 d 的 长度，算出角 c 的 正弦值。 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。

同学们好，今天继续给大家分享中考题里边不规则图形面积的求法。 我们知道在不规则图形面积的求法当中有两种方法，第一种方法就是整体减部分，用规则的整体减掉规则的部分，剩余的就是我们要求的不规则的图形的面积。这个在初一平面直角坐标系那一章里边经常用到的一个题，一个方法。 第二种方法就是割补法，这个小学里也用过，用的很多。割补法就是割下一个不规则的部分，补到另一个地方去，从而让它构成一个规则的图形进行求解。这个题就是用割补法的一个啊， 观察一个条件，一个扇形 a o b 这个圆形角角 o 是 九十度， c 在 弧 ab 上， d 在 指半径 o， a 上，这个半径是五，这个半径是五。还知道这个 c， a 和 cd 还有 o d， 他 们三个是啊，相等的，他们三个是相等的， 然后过这个点， c 向这个半径做了一个垂直，显然这里垂直，这里垂直，他俩就啊平行了，他俩就平行了。 知道这个扇形的半径是五，就让我们求一求这个图案里边阴影部分的面积是多少，显然这个阴影部分的面积是一个不规则的图案的。你们，哎，我们看一看怎么转化，从而把它转化成一个规则的图形去修剪这个题的突破口在什么地方？突破口在这个三条边相等上， 这三角边相等怎么套用？在初二学等腰三角形的时候，咱们就讲过这个方法对吗？一系列的等腰三角形出现的时候，我们往往要设未知数，借助外角来解决问题，咱们先看 c a 等于 c d， 那 这个角一和这个角二就相等了， 而且 c d 还和 o d 相等，哎， c d 和 o d 相等有什么用，对吗？哎，它的用途就在构造这个等腰三角形上， 我们连接这个 c o， 这个时候这个角三跟这个角四他也是相等的，角三等于角四，他也是相等的。那如果我设这个是 x 度，那显然这个也是 x 度了，而角二这个时候就成了这个等腰三角形 c d o 的 一个什么角呢？这是 角二，就是二 x 度了，那显然角一也是二 x 度了。 再观察这里还有一个大大的等腰三角形 o a 和 o c 也是啊，相等的 o a 等于 o c， 这个角是二 x， 所以 这个角也是二 x 了，也就是三角形 o a、 c 中两个底角都是二 x， 顶角是 x， 这就找到了这个方程了，等于吗？ x 加二 x， 再加二 x， 它就等于一百八十了， 哎，求这个 x 它等于的是啊，三十六，也就是说角三是三十六度，所以这个角就是啊，五十四度了，有什么用？朋友们，这个就是求阴影部分面积要用到的。接下来再来看第二个突破口，朋友们啊，第一个突破口就在这些等腰三角形上啊，这里套着三个等腰三角形，一个 o o c a， 一个 o d c， 还有一个 a c d， 这三个等腰三角形就是借助于等腰三角形的外角解决这个变方程的问题。 出现多个等幺三形套在一块的时候，你们一定要借助设备之数列方程，借助外角来列方程解决问题啊。那么接下来咱们就来看这个垂直了，这里是垂直，他俩是平行的。那朋友们看一看，我连了这条红色的线之后，三角形 c、 d、 e， 三角形 c、 d、 e， 它的面积看一看是什么关系？ 这个 c、 e 和 a、 o 是 平行的对吗？啊？ c、 e 和 a、 o 是 平行的，两直线平行， 平行，线间的距离处处相等，所以三角形 c、 e、 o 和三角形 c、 e、 d 它们俩的面积是啊，同底啊，等高高线都是 o、 e， 底边都是 c、 e， 所以 它们俩的面积啊相等。 所以我们就把三角形 c、 d、 e 的 面积就转化成了这个红色的三角形的面积了。哎，就是这一块了，这一块阴影面积， 它再加上这一块，显然这个阴影部分的面积就转化成了扇形啊， c、 o、 b 的 面积了。哎， s 扇形 c、 o、 b 阴影部分内其实就是扇形 cop 的 面积。扇形的面积公式三百六十分之五十四 pi 乘上一个半径五的平方 三百六十分之 n pi r 八算出来就 ok 了。实际上这个不规则图案的面积就是扇形 cop 的 面积。给你们这个题考察内容，一个是考察了平行线间的距离处处相等，还考察了扇形的面积公式， 还考察了在一系列等幺三角形出现的时候设未知数，借助外角来解决问题，内容也挺丰富的。还考察了这个不规则图案的面积的求法，就是割补法，想办法给它转化进去啊，转化一下就会转化成一个规则的图案进行求解，希望这个题目能够帮到大家。

中考必考模型，手拉手模型好朋友们，那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目，说如图啊，等边三角形 abc， abc 是 一个正三角形，所以我们知道每个内角应该都是六十度，那么这个角它应该是个六十度，这个角也是一个六十度啊， 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d， 然后三角形 d、 b、 e 也为等边，所以呢，我们看啊，等边三角形都已经共顶点了，一定要想的就是 手拉手模型了啊，那么它也是一个等边三角形，所以这个角还有这个角它都应该是六十度， 这个角啊，它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二，然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长，那么我们先去找到这个大手和小手啊，我们管长边叫大手，从一个顶点引出来四条线段，咱们来看，是不是有啊，两两相等， 那么这个和这个等，这个和这个等，所以我们管长边叫做大手，这就是大手。管短边叫小手，这就是小手。所以一个大手牵一个小手，咔嚓一连连接 a、 e， 它已经给你连好了，另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等，它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形，它应该和谁全等呢？ a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等，为什么呢？这个角六十度，这个角六十度都减掉中间这个叉角，剩下的这两个点角应该是相等的， 所以是一个边角，边的全等，全等永远不是目的，目的是得边等，得角等。所以 a、 e 这条边，它应该和我们 c、 d 这条边是相等的，我可以都设它是 x， 那 么这边长是 x， 这边长是 x， 根据我们的这个 b、 c， 它的边长是二， a、 c 也是二，所以 a、 d 这个长，咱们应该知道它就是二减 x， 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来，咱们可以设它是 y， 那 么这个边长是 y， 这个边长是 y， 所以呢，我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长，咱们怎么去表示呢？是不应该是 x 加上一个二减 x， 然后再加上一个 y， 所以 是不应该就是二加 y， 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值，是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了？那我们这个 d 点啊，它是一个动点， 那么是不是应该是垂线段最短，所以应该是垂直的时候最小，那么我们现在就可以假设他是垂直的，如果这个角是垂直的话，这是六十，这是九十，所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上， 根号三比二，大家不要看错边啊，是三十度对的是一份，然后呢我们六十度对的是根号三份，这个九十度对应的是两份， 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二，所以这就是根号三，这就是一。那么接下来我们看啊，咱们的 y 就是 根号三，所以最后呢，我们来代进去就可以了啊，它就应该等于的是二加上根号三， 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

中考数学画图题不会做？怎么可能呢？中考的数学画图题只有三种情况，第一种画角的角平分线，第二种画线段的垂直平分线，第三种画等角，就这三种。你到时候去研究一下这个题，想要让你画啥就可以了呗。

姐妹们，这一看到几何就用塑形结合嘛，这种塑形结合你就会发现它就是典型的木明银马 问题中的题目。但这位姐妹又说欧德良这个题都没有看懂他说了啥，那我们来看一下题目，他说等腰三角形 a、 b、 c 中等腰三角形 a、 b、 c 中，说明三条边相等，而且三个角是多少啊？六十度 点， e 是 中点，所以点 p 是 三角形 a、 b、 c 的 什么中线？ a、 d 上的动点。记清楚两种情况， 哪两种呢？ e 点是定点，定点对，你看 e p 加 c p， e p 加 p c 就是 最终的话，一点对应的是 c 点是定点，看一点对应的 c 点是定点，它 记清楚，定点对，定点是两点之间线段最短，定点对动点的话就是垂线段最短。那我们来看一下这一道题的话，又接着它是怎么说呢？那 我一点是定点， c 点是定点，只有 p 点是什么？动点那一点对应的 c 点就是定点对，定点就是两点之间线段对的。那我们来看一下整边三角形，这个 p 点刚好在 ap 这一个什么 对称边这里，对称轴这里，所以 c 点的对应点是谁啊？ b 点，所以我们就干嘛连线， 连线的话，其实这点 p 一 这个就是我们找的 p 点，动点就固定在这里了，来我们看一下，那所以我们直接就相当于求的是什么内容呢？ 这一个其实我们就相当于求的是一 p 一 撇加上什么，因为这一条边垂直平分线上的点到两边的距离，干嘛先等对称点，这条边重合跟这条边重合，所以 p 一 撇 c 就 相当于求的是 b b 一 撇，那这两个组合在一起的就变成了什么？ b e 又因为等边三角形是 a， d 是 六，所以不管它的 本面三角形他具有什么三项合一，不管他怎么画，因为他的边都是一样的，所以这个也是等于六，所以答案选 c， 你 明白了吗？是不是？那么现在他说了啥了？麻烦你认真看。

中考数学几何题不会画辅助线，那我们今天就讲三个套路，百分之八十的中考几何题考的就是这三个套路，终点，角平分线，垂直或者平行。好，第一个，见到题上有终点，一定要联系题上的其他条件，比如说题上有平行，像平四边形、菱形、长方形，那我们就想到构造倍长中线，也就是八字形全等。 第二个，如果题上有两个终点，就要想到中位线，特别是在圆里面，圆心是直径的终点，这是一个隐含条件。第三个，如果出现等腰三角形，我们就要想到连中线三线合一。第二个，角平分线两步。第一步，看到角平分线，那我们就必须要做的两件事情，就是第一个，向两边做垂线或者直接镜像做对称， 那么一眼就能看出边长比例秒出答案。第三个，看到垂直或者 a 字形，八字形相似， 计算线段的长度或者角度，我们就可以用勾股或者相似去计算。这三招足够我们解决中考百分之八十的辅助线陷阱。从现在开始，按照这个方法，每天刷三道题，练到可以十秒破思路为止。

为什么在四十五度角的正方形几何体里总挨考？答案就是今天要讲的半角模型。正方形内给你两条边，让他的夹角固定为四十五度，然后连接 e、 f， 此时四十五度，这个固定的角就是这个九十度角的一半，所以我们把它叫做半角模型。这个模型结论非常之多，今天我们主要讲最常用的两类结论。首先来看 b、 e、 e、 f、 f、 d 这三条线段之间存在什么样的关系。看见半角我们就知道了，中间这个角是四十五度，那么它两边这个角相加也等于四十五度，但它们隔得太远用不上。那怎么才能让它们挨在一起？平移 不行，方向不对，对称也不行，旋转可以吗？哎，这个对了，旋转可以同时保持长度和角度，把一个小角整个搬过去，这就是半角模型中一个核心思路。我们把上方或者下方任意一个三角形进行旋转，那我们这里就把上方三角形顺时针旋转九十度， 让它两个角挨在一起，形成四十五度。因为 a、 d 是 等于 a、 b 的 角， b、 a、 d 等于九十度，所以说旋转后 a、 d 就 和 a、 b 重合，然后这两个角又都是直角，那么角 g、 b、 e 就是 一百八十度。 所以这三点共线当然也可以不用旋转，用构造全等的方法延长 c、 b 至点 g， 使 b、 g 等于 d、 f， 再连接 a、 g， 利用边角边就能证出这两个三角形全等效果，等同于将图形旋转下来， 还省去了三点共线的证明过程，这样就能把分散的角度整合利用起来。两个小角拼接过后，刚好组成四十五度，因为这两个小三角形全等 可得 a、 g 等于 af， 角 g， a、 e 等于角 e， af 等于四十五度，又存在公共边 a、 e， 就 能证明这两个三角形边角、边全等。由此推出 g、 e 等于 ef， 结合 b、 g 等于 d、 f， 便能得出核心线段关系 b、 e 加 d f 等于 e、 f。 这就是四十五度半角模型最关键的结论。我们还能由三角形全等得到这两个对应角相等，说明 a、 e 是 角 g、 e、 f 的 角平分线在 e、 f 上做垂线 a、 h。 根据角平分线性质 a、 h 长度与 a、 h 长度，而 a、 b 等于 a、 h 也等于 a、 d， 再根据角平分线判定，定里又能判定 a、 f 平分角 d、 f、 h。 相关衍生结论太多了，感兴趣的同学可以接着往下推导就行。一般考题不会直接考察你这三条线段的数量关系， 他会换个花样问你，比如说告诉你正方形边长为四，问你三角形 e、 c、 f 的 周长是多少。你看，通过第一个结论我们就知道 e、 f 是 等于 b e 加 d f 的。 所以三角形 e、 c、 f 的 周长就可以转化为 b、 c 和 c、 d 这两条边。那三角形 e、 c、 f 的 周长就等于正方形两条边长之合，也就是正方形周长的一半，算下来周长就是八。这类题型就能快速求解。 这个结论很多同学都会，但考试里真正能拉开差距的是接下来要讲的第二类结论，就是四十五度半角模型里特有的构造相似三角形。先看三角形 a、 b、 e， 在 a、 b 边上取一点 n， 使 b n 等于 b、 e， 这样就能构造出等腰直角三角形。用同样的方式在三角形 a、 d、 f 里也构造等腰直角三角形。 在 a、 d 边上取点 m， 使得 d、 m 等于 d、 f。 此时角 d、 m、 f 是 三角形 a、 m、 f 的 外角， 而且等于四十五度，因此角 d、 a、 f 加角 m、 f 等于四十五度，原本角 d、 a、 f 加角 b、 a、 e 也等于四十五度。 等量代换就能推出角 b、 a、 e 等于角 a、 f、 m， 又能算出角 a、 n、 e 等于一百八十度减四十五度。角 a、 m、 f 同样等于一百八十度减四十五度。两直角分别对应相等，即可判定两个三角形相似。 相似过后，对应边乘比例就能借此列式计算，求出某条线段的长度。考试里大多还会把正方形变成为长方形，或者割成正方形， 特别麻烦，这时候就可以用我们刚才证出的相似三角形来解决。比如告诉你长方形中 a、 b 等于五， a、 d 等于八，已知 b、 e 等于二。求解 d、 f 的 长度。我们把那两个等腰直角三角形先构造出来，通过之前就证出的这两组对应角相等， 得到这两个三角形相似，已知 b、 e 等于 b， n 等于二，进而得到 a、 n 就 等于三。 an、 e 的 长度也能借助勾股定律算出等于二倍。根号二，我们设要求的 d、 f 长度为 x， 那 md 也等于 x， m、 f 的 长度就等于根号二 x， a、 m 就 等于八减 x。 在 这两个相似三角形当中，就有 an 比 m、 f 等于 n， e 比 am。 代入数据得到三比，根号二 x 等于二倍，根号二比八减 x。 化简计算解得 x 等于七分之二十四。这道题的解法有很多种，选择最适合你的方法。

你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题。这节课是二零二三年甘肃定西市的中考题， 原综合中考必考。下面我们来看题。如图，三角形 abc 内接于圆 o， ab 是 圆 o 的 直径， d 是 圆 o 上一点 c o 平分角 b c d， c o。 那 我们边看图来分析一下， c o 平分角 b c d， 那 也就是这个角等于这个角就是角 o， c， d 等于角 o， c b， c e 垂直 a d， c， e 和 a d 垂直就是角 e 等于九十度垂足为 e a， b 与 c d 相交于点 f， a， b 和 c d 相交于点 f。 第一问，求证 c， e 是 远凹的曲线，让我们证明 c、 e 是 远凹的曲线。 要证明一条直线是圆的期限，中考必考。经常是圆当中的第一问，那也就是期限的判定和期限的性质。中考必考， 下面我们来分析。要证明一条直线是圆的期限，当然我们就要用期限的判定，期限的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的期限。把这个判定同学们一定要记清楚， 那也就是要证明一条直线是圆的曲线，必须要满足两个条件，只要我们能说明这条直线和这个圆的半径垂直，并且它经过半径的外端， 那如果没有半径，那我们就 一般用两个，两个办法，也就是圆半径正垂直。那么这块所说的就是，如果这条直线和圆有一个公共点，那我们只要连接圆形和这个公共点，再次证明 这条直线和半径垂直。第二种方法就是做垂直正半径，那也就是如果， 嗯一条直线和圆没有公共点，那我们就要过圆形 o 做这条直线的垂线，这个垂足其实就是起点，那么我们只要证明 圆形和这个垂足之间的距离刚好是这个圆的半径，那么我们就可以说明这条直线是圆的切线， 那么如果不需要我们做辅助线的话，那只要我们能说明半径和这条直线垂直，在此说明这条直线它经过半径的外端， 那么下面我们看具体的这块让我们证明的 c e 是 远凹的曲线，那么只要我们证明 oc 和 c e 垂直，要说明 oc 和 c e 垂直，只要我们能说明角 oc， 这个角等于九十度，那么只要说明这个角是九十度，我们就可以说明 c e 是 远 o 的 极限。 下面我们分析题设条件，看如何来证明这个角 o c e 等于九十度。题目当中告诉我们 ab 是 远 o 的 直径， a b 是 圆 o 的 直径，然后 c o c o 平分角 b c d c o 平分角 b c d， 那 也就是角 o c d。 我 们把角 o c d 看作角一，把角 o c b 看作角二。 在分析圆这样的总和题的时候，同学们把某些角可以用角一、角二，角三、角四等等的这样表示，对你姐姐有帮助。 然后 c e 垂直 a g， 那 也就是角 e 是 一个直角，等于九十度， 那么现在我们看能不能说明这个角 o c e 等于九十度，那么下面我们发现角 e 等于角二， 而在圆当中半径相等，所以说 o c 等于 o b， 这是一个隐含条件，同学们要记着一定要能用的就用。我们把这个角看成角三，那就是角二等于角三， 因为 o c 等于 o b， 因为 o c， 那 我发现就是 因为 o c 等于 o b， 所以 说角二等于角三，而 o c 平分角 b c d 平分角 b c d， o c 平分角 b c d。 所以 说角一就等于角二， 角一就等于角二，所以说就是角一等于角二就等于角三，所以说角一等于角二就等于角三。 然后我们观察，我又发现这块的弧 a c 弧 a c 所对的圆周角是这个角角质， 这个角角质和角三，也就是角质，它又等于角三。 角质等于角三，而角三又等于角一，还等于角二。所以说我们发现等量代换，也就是角质，它就应该等于角一， 所以说我们发现这个角质等于角一，而角质和角一刚好又是 第日和 c o b c d 所结形成的内错角，那我们根据内错角相等，两直线平行，所以说我们就得到第日 平行。 oc 第日和 oc 平行，那我们 又发现这个角 e 等于九十度， 而 g e 和 o c 平行，而这个角 e 和角 o c e 又是同旁内角 o c e 是 同旁内角，那我们根据两线平行，同旁内角互补， 所以说我们就得到角 o c， e 就 等于九十度 啊。这块是一百八十度开过来同旁内角互补，角 e 加角 o c， e 等于一百八十度，两线平行，同旁内角互补， 而角 e 是 九十度，所以说角 o c e 就 等于九十度，那角 o c e 等于九十度，所以说 o c 垂直， c e 垂足为 c， 垂足为 c， o c 是 圆 o 的 半径， 所以说 c 日 是圆 o 的 切线 啊。这又是第一问，那我们根据刚才分析，我们说要证明一条直线是圆的虚线，只要我们证明这条直线和半径垂直，并且经过半径的外端， 那么就刚才这个题，我们刚好证明了 oc 和 c 垂直，而且 c 刚好经过半径 oc 的 外端 c， 那么要说明它垂直，只要我们说明角 o、 c、 e 等于九十度，那通过前面的分析，我们发现这个 o、 c 和 e、 d 平行，因为我们又发现 角一等于角二，角二又等于角三，而角 d 又等于角三，从而就可以证明角 d 等于角一。那我们根据内错角相等，两只线平行，所以说 d 就 和 o、 c 平行， 那么再根据两线平行，同旁内角互补，发现这块的角一和角 o、 c 一 刚好是同旁内角， 而角 e 又等于九十度，所以说就可以证明角 o、 c、 e 就 等于九十度，所以就可以证明 o、 c 垂直 c、 e， 从而就可以说明 c、 e 是 与 o 的 平行。 这就是第一问。然后整理思路，述数证明过程 看证明第一问，因为 c、 e 垂直 a、 d， 所以 角 e 等于九十度。因为 c、 o 平分角 b c、 d， 所以 角 o c b 等于角 o c d。 因为 o b 等于 o c， 所以 角 b 等于角 b c o 等于角 d， 所以 角 d 等于角 o c d， 所以 o c 平行 d e， 所以 角 o c、 e 等于角 e 等于九十度，所以 c e， 所以 c e 垂直 o c， 因为 o c 是 远 o 的 半径，所以 c、 e 是 远 o 的 极限。 下面我们看第二问，第二问说当圆 o 的 半径为五三，以角 b 等于五分之三，求 c 日的长， c 日的长， 我们给出来半径等于五，所以说它的直径就是十，半径等于五，所以说因为 ab 是 圆 r 的 直径，所以说 ab 就 等于十， ab 就 等于十三。引角 b 等于五分之三， a、 b 是 直径，那我们根据直径所对的圆周角是直角， 所以说角 a、 c、 b 就 等于九十度。在这块我们来分析一下，因为 ab 是 圆 r 的 直径， 所以 ab 就 等于十 啊，半径是五给我们给出来，所以直径 a、 b 等于十角， a、 c、 b 就 等于九十度。直径所对的圆周角是直角。而用 知道三角 b 等于五分之三， 那我们在直角三角形 a、 c、 b 中就可以得到三角 b， 就 等于对边比西边，也就是 a、 c 比 ab， 所以说我们就可以得到五分之三。换上下角 b 是 五分之三，就等于 a、 c 比十， 所以我们把 a、 c 就 可以求出来， a、 c 就是 六， a、 c 是 六， a、 b 是 十，我们根据勾股数，勾股定律 b、 c 就 可以知道是八，勾股数六八十、 六八十， 那么要让我们求 c 一 c、 e。 刚才我们的在第一问已经证明 c、 e 上有凹的缺陷， c 是 圆 o 的 曲线，说明这个角它是弦七角。同学们知道弦七角这个概念，弦七角， 弦七角在课本当中没有出现，但是考试经常考弦七角就是 七线和一条弦 七线和在它一条弦所夹的角，弦七角。弦七角有这样一个性 质，弦七角就是弦七角，就等于它所夹的弧所对的圆周角， 那么弦起角所夹的弧就是弧 a、 c 这个弦起角角 a、 c 所夹的弧就是弧 a、 c 所对的圆珠角 a、 c 弧所对圆珠角就是角 b 角 b。 所以 说我们根据弦起角的性质，我们发现这个角 a、 c、 e 又等于角 b， 所以 说角 b 的 正弦值，它就等于角 a、 c、 e 的 正弦值， 角 e 等于九十度，因为告诉我们 c、 e 和 e d 垂直角 e 等于九十度，所以说在直角三角形 a、 e、 c 中， 三角 a、 c、 e 就 等于 a e 比 a c， 而三角 a、 c、 e 又等于三角 b 又等于三角 b。 相等的角的正弦指向同，而三角 b 是 五分之三，所以说它就等于五分之三， 而 a、 c 是 六，所以说就是 a、 e 比六就等于五分之三，所以 a、 e 就 等于五分之十八。 把六乘过来就是五分之十八，那么 a e 是 五分之十八，那么 c e 所以 说就是 c e。 再用勾股定律，就是根号下的 a、 c 的 平方减 a、 e 的 平方， 就是根号下的 a、 c 是 六六的平方减， 这块算对了没？ a、 e， 我 们再看一下，就是上一角 a、 c、 e 就 等于 a e 比 a c 就等于五分之三，所以说 a、 e 比 a c 是 六，就等于五分之三，所以说 a、 e 就是 五分之十八，合适，所以说就是根号下六的平方，减五分之十八的平方。 你在这块是不是算的不合适了啊？你这块就是五分之十八，就是三点六，所以说就是等于根号下的 a、 c 十六。 a 一 是五分之十八，就是三点六，就是六的平方减三点六的平方，平方， 平方以后就是四点八。在这块同学们下来自己算一下， 下面我们看一下具体的解体过程。解，因为 ab 是 圆 o 的 直径，所以角 a、 c、 b 等于九十度。因为三角 b 等于三角 d 等于五分之三，所以 ac 等于五分之三乘十等于六， 因为角 o、 c、 e 等于角 a， c、 o 加角 o， c， b 还等于角 a， c、 o 加角 a， c， e 等于九十度，所以角 a， c、 e 等于角 o， c， b 等于九十等于角 b， 所以三角 a， c， e 等于三角 o， c， b 还等于三角 b。 相等的角的三角函数之相同等于五分之三，所以 a、 e 比 a， c 等于五分之三， 所以 a、 e 等于五分之三。乘 a， c 就 等于五分之十八， 所以 c 一 就等于根号下 a、 c 的 平方减 a， e 的 平方就等于根号下六的平方减五分之十八。十三点六，十三点六的平方开方以后就剩四点八。谢谢。

中考数学在做完画图题以后，要写那个无图所示什么什么即为所求。 那什么什么那个怎么写？如果他让你求作点屁，那你就是点屁，即为所求。如果他让你求作的是角 a o p， 那 你就是角 a o p， 即为所求。

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六定西二木函数加周期。已知抛物线与直线交于 a、 c 两点，又与外周交于点 n， 顶点是 d， d。 问，求抛物线和直线的函数解析式，我们直接写答案。 这里的抛物线是 y 等于负 x 方加二， x 加三，直线是 y 等于 x 加一。 第二问，若 p 是 抛物线上位于直线上方的一个动点，求 a、 p、 c 的 面积最大。那么这种问题呢，都是比较经典的，我们需要过 p 做垂线交于 m， 所以呢，这里的 p 点的横坐标就可以设为 m， 轴号负 m 方加二， m 加一了， 所以说 pm 的 距离就等于负 m 方，应该是加 m 再加二。 那么 s 三角形 a， p c 就 等于 s 三角形 a， p m 加上 s 三角形 cpm， 那 apm 呢？和 cpm 都有共同的底，就是 pm 高，把他们加起来就是 xc 减 xa， 那 么 xc 是 二， xa 是 负一，所以这里就是二分之三。 pm 进一步的写，就等于负二分之三， m 方加上二分之三， m 加二。 所以呢，当 m 等于负二， a 分 之 b， 也就是口算一下等于二分之一时，这个 s 三角形 a， p、 c 最大 就是，呃，我们这里就不计算了，就等于应该是八分之二十七啊。 ok， 我 们看第二问啊，第三问，第三问呢，是说抛物线对称轴与直线交于点 b， 所以 我们这里第三问的 b 点就是 对称轴，应该是 x 一， 我们刚才口算一下啊，所以呢，这个 b 点的坐标横坐标是啊一，纵坐标就是二。 那么接下来看， e 是 直线上的任意点，所以设 e 为横坐标， e 纵坐标 e 加一。又说过 e 做 e f 平行 b m 啊， b b d， b d 是 谁呢？我们找一下啊， b d 在 这里啊，所以如果我们做这样一个线段，差不多就是应该这样一个感觉啊。好了，那么上面的就是所谓的，下面的所谓的 e， 上面所谓的 f， 那 么既然是 b d， 那 么 b d 少， b d 是 对称轴呀，所以啊，我们知道这个 e f 他 俩也是平行于对称轴，也就是说平行于外轴的。所以啊，这个 f 点的横坐标也可以设为 e， 抛物线的就是负一方加二， e 再加三。那么剩下的还有一点，还有一点在哪？还有一点是地点，地点是它的顶点，我们可以把顶点直接写出来，横坐标还是一，纵坐标是四， 那么这里呢，因为 ef 已经平行于 b d 了，所以说当 ef 等于 b d 时，这东西是个平行四边形，是吧？所以我们现在就写一下 ef 的 距离， e f 的 距离。写的时候注意啊，你不知道 f 的 上面还是 f 的 下面，因为它有可能变成下面。这我左边画的这种情况，所以你干脆直接给他写个绝对值，绝对值符号负一方。呃，本来是加二 e， 现在要 减去一个 e 呢，就是加 e， 然后又加二，绝对值应该等于 b d， b d 的 距离，就是应该是什么？应该是二，对吧？ 所以也就是说，负一方加一，再加二等于二，或者是负一方加一，加二等于负二， 左边等于二。比较简单，我们就可以把这个二两边约掉，约掉之后呢，就是把它移到右边去啊，一方减一等于零，一乘以一，减一等于零，看都行不行啊，一等于一的时候， 哎，他刚好和 b 点重合了，所以说一的这个位置要舍掉。那么第二个情况，负一方加一，加二等于负二，都记到右边去，一方减一再减四等于零 也分解不了，我们直接求根。公式上，二 a 分 之负 b 负一就是一加减根号，下 b 的 平方一减 c， c 加十六， 那么一就等于二分之一加根号十七的号二分之，或者是啊，二分之一减根号十七，对吧？这两个答案我们看他有没有要求，好像也没有说具体的要求，是吧，对不对？所以呢，这两个答案都行啊，所以最终综上， 那这里的 e 点的坐标要么是零零圆点，要么是二分之一加根号十七啊，总坐标不对，应该是不是圆点啊，应该是零一，对吧？我们要求的是 e 的 坐标， 那么逗号二分之呃，三加根号十七，或者是二分之一减根号十七，逗号二分之三减根号十七。完事关注我考试再提十分。

你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题，是二零二二年甘肃定西的中考题。 元综合题中考必考十二、十六题。如图，三角形 a、 b、 c 内积于圆 o、 a、 b、 c、 d 是 远凹的直径， e 是 g、 b 延长线上一点，且角 d、 c 等于 角 abc， 角 d、 c 等于角 abc 啊角 d、 c 等于角 a、 b、 c。 让我们证明 c、 e 是 圆凹的曲线。 要证明一条直线是圆的曲线，就要用期限的判定，期限的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的曲线。那么我们证明的时候，只要满足两个条件，首先直线和半径垂直， 并且这条直线要经过半径的外端，那么这样就可以说明这条直线是圆的曲线。那比如说，对于这块的二十六题，要证明 c、 e 是 圆 o 的 曲线， 那么只要我们证明 c、 e 和 o、 c 垂直，那么如果说明 o、 c 和 c、 e 垂直，只要我们能说明这个角 o、 c、 e 是 直角，那么结合题设条件，看我们能不能证明这个角 o、 c、 e 是 直角。 在题目当中告诉我们 abcd 是 圆 o 的 直径， 那我们根据圆周角定律，直径所对的圆周角是直径，所以说 ab 这条直径所对的圆周角是这个角， 说明这个角是直角，这个角是直角，那么 说明角 a 加角 b 就 等于九十度。那我们发现，因为 ab 是圆 o 的 直 径， ab 是 圆 o 的 直径，所以说角 a、 c、 b 就 等于九十度， a、 c、 b 等于九十度。直角三角形两个锐角互余，所以说角 a 加角 abc 就等于九十度。又因为弧 bc 所对的圆周角是角 a 和角质同弧或等弧。在同圆或等圆中， 同弧或等弧相所对的圆周角相等。又因为角 a 等于角质， 角 a 和角 d 相等，而已知条件当中又告诉我们角 d、 c。 角 d、 c 等于角 abc， 那 我们把角 a 用角记换上，所以说我们就得到角 d 加角 d、 c 就 等于九十度。 角 d 加角角 d 是 这个角，加角 d 日 c 是 这个角， 角 d 加角 d、 c 等于九十度。那么在三角形 d、 c 日中，根据三角形的内角和，所以说我们就得到角 d、 c。 日就等于九十度， 那么角 d、 c、 e 等于九十度，所以说我们就可以得到 o、 c 垂直 c、 e。 且 o、 c 又是远凹的半径， 所以说 c、 e 是 远凹的切线， 这又是第一网。所以说同学们要证明一条直线是圆的期限，我们经常用的是期限的判定，只要我们能说明半径和这条直线垂直，那只要你能说明半径和这条直线 的夹角等于九十度。比如说这块，只要你能说明角 o、 c、 e 等于九十度，那我们就要结合已知条件来说明这个角 o、 c、 e 是 九十度，从而就可以证明 c、 e 是 圆 o 的 虚线。 这就是第一问。我们看证明过程整理思路，写出证明过程证明一、因为 ab 是 圆 o 的 直径，所以角 a、 c、 b 等于九十度，所以角 a 加角 a、 b、 c 等于九十度。 又因为 bc 这块是等于 bc， 弧 bc 这块是弧 bc， 弧 bc 等于弧 b、 d。 所以 说角 a 等于角 d。 同弧或等弧。在同圆或等弧所对的同弧或等弧所对的圆周角相等， 又因为角 d、 e、 c 等于角 a、 b、 c， 所以 角 g 加角 d、 e、 c 等于九十度，所以角 d， c、 e 等于九十度，所以 c、 d 垂直 c、 e 又因为 o， c 是 与 o 的 半径，有这两个条件我们就可以说明， 根据期限的判定，就可以说明 c、 e 是 远 o 的 期限。接下来我们看第二问，第二问，若 d e 等于四倍的根号五 d e， d， e 等于四倍的根号 a， c 等于二倍的 b c、 a、 c 和 b、 c 存在一个二倍的关系，让我们求线段 c、 e 的 长， 求线段 c、 e 的 长。那么 通过下面我们的分析，我们发现这个角 a、 c、 b 等于九十度，而角 c、 c、 e 也等于九十度。说明三角形 a、 c、 b 和 c、 c、 e 都是直角三角形，都是直角三角形， 那在直角三角形中， 角 a 的 真切值就是 b c、 b a、 c， 而角 a 又和角 d 相等， 所以说角 a 的 正切值就是角 d 的 正切值。从而我们把 c、 e 和 c、 d 之间的关系可以找出来，也是一比二。那么这样我们 再根据勾股定律，我们就可以找到 c、 e 的 一个方程，然后把 c、 e 就 可以求出来。 那么现在我们来看一下，在提折条件当中，我们给出来，因为 ab 是 圆 o 的 直径， 所以说角 a、 c、 b 就 等于九十度。 所以说在二次三角形 a、 c、 b 中判正题角 a 三角函数的概念就等于对边比邻边就是 bc 比 ac， 而 ac 又是二倍的 bc 就 等于一比二。 因为弧 bc 等于弧 bc， 所以 说角 d 就 等于角 a。 而在 d 问中，我们已经证明 c、 e 是 圆 o 的 切线， 所以说 o、 c 垂直 c、 e， 所以 角 d、 c、 e 就 等于九十度。 那么在二次三角形 d、 c、 e 中 角 g 的 正切值 tan 角 g 就 等于 c、 e 比 c g， 而 tan 角 g 它还等于 tan 角 a 相等的角的正切值相同，所以说就是 c、 e 比 c、 d 就 等于一比二， c、 e 比 c、 d 等于一比二，所以说就是 c、 d 就 等于二倍的 c、 e 交叉实际相乘 c、 d 就 等于二倍的 c、 e。 那 么在 而 t 三角形 d、 c、 e 中，我们根据勾股定律 就是 c、 d 的 平方加 c、 e 的 平方就等于 d、 e 的 平方。换上 c、 d 是 二倍的 c、 e， 所以说就是二倍的 c 一 的平方加 c 一 的平方，就等于 g 的 平方，就是四倍的根号五 括号的平方，所以说这块就是五倍的 c、 e 的 平方就等于这块是十六乘五八十， 十六乘五是不是八十、十六乘五、八十， 所以说 c、 e 的 平方， c 一 的平方就是八十，除以五就是十六， 所以 c 一 就等于四。因为线段的长肯定是正的，正负四负四应该舍去，所以说 c 一 就是四，所以线段 c 一 的长，我们求出来就是四。 那么在第二问中用到了三角函数的概念，然后整理思路，写出证明过程。 请看由一至 c、 d 垂直 c、 e。 因为 c、 d 是 圆 o 的 曲线，所以说在二次三角形 a、 b、 c 和二次三角形 d、 e、 c 中角 a 等于角 g， a、 c 等于二倍的 c、 b、 c。 所以 说钛正 t a 等于钛正 t b， 所以 b、 c 比 a， c 就 等于 c d， c、 e 比 c、 d 就 等于一比二， 所以 c、 d 就 等于二倍的 c 日。那么在而三角形 c、 d 日中，根据勾股定律， c、 d 的 平方加 c 日的平方就等于 d 的 平方， 然后 g 日等于四倍的根号五换上就到当二 b 的 c 日括号的平方加 c 日的平方就等于四倍的根号五括号的平方解出来 c 日等于四。所以说线段 c 日的长就舍四，谢谢。

中考二次函数面积最值大题平行切线解题法，三步直接搞定二次函数开口向下凸向交， x 轴于 a、 b 两点交， y 轴交于点 c。 先快速求出各个交点坐标，随手画出简易草图，快速理清题干条件。记住核心结论，当直线与抛物线相切的瞬间，三角形面积就能取到最大值。 把几何相切转换成代数计算。记住两个关键要点，第一，做 b、 c 的 平行线与抛物线连力，列出方程。第二，利用判别式等于零判定唯一相切交点。这里分享一个考场秒杀技巧，动点 p 的 横坐标刚好就是线段 b、 c 两端横坐标的终点。 接下来用上经典铅垂法，从 p 点数值向下做竖直线，和线段 b、 c 相交于 d 点，看似难算的斜三角形 p、 b、 c 立马拆分，变成两个小三角形， 以铅垂线段 p、 d 为公共底边水平距离，当作高叠加求和，就能算出面积。这套方法巧妙避开两点间距、斜线垂直等复杂运算步骤，精简，计算省心，考场做题效率直接拉满！点赞关注更新不迷路！

今天我们学习的是几何变换之对称。今天讲平移对称吗？我们再讲一讲对称的处理。对称怎么玩呢？首先你要知道，我们刚才已经讲了，对称它本质上是给了全等 a、 b、 c。 关于 a、 c 对 称到 a、 b 撇 c 对 称的本质上是给了全等，那么全等，但凡看到全等一定要同步信息。 所以但凡看到对称，我要做的第一件事就是同步信息，比如说这有三，这也有三，这个 r 发角，这个 r 发角，这个求线段 x， 它也是 x， 这是对称的第一步，任何时候看到对称，你就要去同步信息，好，这是第一步啊。好，来。第二， b 和 b 撇是关于 a、 c 对 称的， 那么我连接 b、 b 撇对称点的连线是被折痕垂直平分的啊，是被对称成垂直平分的，所以我连对应点就可以得垂直平分，所以我应该连对应点。 b 和 b 撇是对应的，可以得垂直平分。这个对应点还有什么连法呢？我还可以 对称轴上的点，我去连 p b 和 p b 撇，它也都会相等，得到更多的等线等角，所以这就是连对应点，要么直接连得垂直平分，要么对称轴上的点去连对应点，这是对称的第二个操作连对应点。所以呢，以后啊，但凡看到对称两个字， 第一无脑的去同步信息，第二连对应点。好吧，第一无脑同步信息，第二连对应点。好，来，我们来看题感觉一下吧，看题感觉一下，那么同步信息一定要做好。什么？一定要做好标啊，你相等的量，你要把它标出来，好吧，首先要标啊， 他说这是四，这是六，那标一下对边嘛，这也是四嘛，这也是四。好，再来，沿着 a、 c 去折叠，沿着 a、 c 去折叠，那你要知道这个六，你看一，但凡看到折叠两个字，先同步，但凡看到折叠，养成习惯先同步，同步的动作就是标。信息嘛， 就标嘛，这条线段是六啊，那这条线段它也是六，这条线段是四啊，那这条线段它也是四。同时你会发现，这个角得到这个角，这个角贝塔翻折，得到这个角，贝塔同时不要忘了平四，一定要去标对面啊，这个角也是贝塔，对吧？然后呢，还有什么？ 还有他又说 b、 a、 c 等于两倍的角 d、 a、 c， 那 所以这个角是二。 r 法啊，这是 r 法，那这也是 r 法，就是你看，标完了以后，就是这个已知条件已经极度丰富了，标是你开始思考的前提。那么标完了以后呢？那你会发现我首先就看到什么呀？标完以后，那么 这个三角形就和这个三角形相似来，阿尔法角等于阿尔法角，贝塔角等于贝塔角，那么这个相似就可以帮助我们求得谁啊？由三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 d、 c， 我 就可以求得谁啊？ b、 e 就 出来了，它就是 ab 比上一个 a、 d 就 等于 b、 e 比上一个 d、 c， 对 吧？ ab 比 a、 d 就 等于 b、 e 比 d、 c。 好， 那接下来 ab 是 多少？ ab 是 四，比 a、 d 是 六，就等于 b、 e x 比上一个四，所以 x 就 等于多少。六分之十六就等于三分之八，所以 b、 e 就是 我们要求的，所以答案就是三分之八。结束。所以你会发现啊，这道题只要你把这个翻折的条件无脑的给它标全，然后呢，你要求 b、 e， 你 要求的这个线段往三角形里一放，你自己就看出来了，所以翻折同步信息标是多么的重要。 好了，这是我们通过一道题给大家强调一下标的意义来，接下来我们来还是上一道综合一点的题目， 那这个题说啥呢？说这是一个六十度的菱形，六十度的菱形，这都是二，这都是二，然后他把这个三角形翻折，得到这个三角形，哎，把这个三角形翻折，得到这个三角形。 a 落在 e， 刚好是 dc 的 终点，那这两条线都是一了， 对吧？这两条相同，都是一。好了，最后让我们求这个角阿尔法的正切值，那其实也就是求这个角阿尔法的正切值，因为翻折这两个角相等。我们刚才说了，翻折有两件事要干，第一叫同步信息，这里的同步信息，比如说这个六十度，这个六十度，这个阿尔法，这个阿尔法，然后呢， af 和 ef 相等， a、 g 和 g、 e 相等，对吧？这叫同步信息一、同步。二、同步信息完了以后，你会发现有一个最大的问题，现在这个阿尔法角不在什么三角形里，他不在直角三角形里，那这个时候我怎么样才能把这个阿尔法角放进直角三角形？最简单直接的方法就是连 a e， 我 一连 a e， 这就垂直平分，这是中点，这两条线段相等，就得到了直角阿尔法，就进到了直角三角形中，所以一定要连对应点，你看，这就是翻折的基本功。 当你看到了翻折，看到了这样的角度，你想把它放进直角三角形连对应点，那接下来我就是要求嘛，对不对？那我要求，我就比如说我就在这个三角形内，我就是要求这些线段长嘛？要求线段长 有一个很重要的条件，咱得把它用起来，哪个条件就是这个终点，这个终点大家会想到怎么用？结合六十度，你要想好六十度的菱形， 六十度的菱形它本质上是由两个什么三角形拼出来的，两个等边好不好？六十度的菱形，本质上你把 d、 b 一 连，它是两个等边三角形，对不对？好，相当于其实我是给了一个等边三角形的终点，我应该去干什么？ 三线合一嘛，对吧？三线合一嘛，所以我一定是连谁，一定是连 b 一， 连 b 一 就会三线合一，你会发现这个九十度，哎，那对面注意啊，平四一定要注意，不要，对面这个是九十度，那么这个也九十度，这两个角都是九十度， 同时这个是一，这是二，那这条线段就是根号三。好，那么现在我再回顾一下，我们要求什么呢？我要求这个角的正切值，我把它放到这个三角形里看，所以其实我是要求什么呢？其实我是要求 a、 h 和 h、 f 的， 而一旦我现在有了，这是根号三了，那么哪条线段其实已经可以求了？ a e 已经可以求了， a、 e 是 不可以放到这个大三角形中看，这是九十度，这是根号三，这是二，那么 a e 是 根号期， a e 是 根号期，那么 a h 就是 二分之根号期， 所以 ah 有 了，我现在只需要求 hf， 或者我求 af 都可以，那么 hf 和 af 我 可以求谁呢？ af 可以 求，为什么说 af 可以 求？因为 af 翻折得到 afe。 那 我只要设这条线段是 x 等量嘛，你就设嘛这条线段也是 x， 那 么 x 就 可以放进哪个三角形里去求了。因为这全长是二，那么这一段就是二减 x， 那 么这个三角形当中，咱就可以放进哪个三角形里去求 x 了。 就是 rt 三角形 b f e 中，我就可以勾股定截，就是 x 的 平方，就等于二减 x 的 平方，再加根号三的平方，那么 a f 就 出来了，这是硬算的办法。但是这道题其实还有巧算的办法，巧算怎么算呢？你看， 我们求一个求阿尔法的三角函数值，我们说求三角函数值，你可以硬算，也可以怎么样，也可以想办法看一看能不能换角来求，就是换一个更好的角度，去求它更好的位置的角度。 怎么换呢？这里面你观察一下，什么角特别多，直角特别多，这是九十度，这是九十度，这是九十度。这么多的九十度，那么直角多，我就可以看。什么 直角多，我就可以看互余吗？你看，又来了，你看同样的逻辑是不可以用在无数的地方，直角多，我就可以看互余。直角多看互余。怎么看呢？你看这个角是阿尔法，这是九十度，他的余角是贝塔， 对不对？再因为这个是九十度，那么这个角是贝塔，就会导致贝塔的余角是阿尔法，他跟谁互余？放到这个三角形当中， 它和这个角是互余的，所以这个角就是 r 法，这叫换角。我通过导互余，我把这个 r 法就换过来了，我求它的正切值就好了， 而它的正切值是多少，就是二比根号三，所以贪婪它 r 法就等于对边比邻边就等于二比根号三，所以答案就是三分之二倍根号三。结束。首先我给你讲第一种硬算的方法你是一定要会的， 而第二种方法你也不要觉得那么厉害多少。第二种方法最核心的就是你理解了很多底层的逻辑，当你看到很多九十度的时候，三个九十度的时候，你能够从之前学的知识当中迁移过来 很多垂直我就看乎于得等角，你把这个底层逻辑掌握清楚了，他不但可以帮助你解决三角函数，他甚至还可以在这帮助你求三角函数，这就是底层逻辑理解以后的价值， 而不是你背一个什么矩形十字架，几 b 几。你看，通过两道题，马哥都是有一些设计在里面的啊，这道题重点跟你讲什么？就是这道题重点就跟你讲同步， 你翻折叫同步信息，你同步信息，然后你把它标好了，这道题就结束了。这是比较简单基础的翻折问题，但是比较上难度的翻折问题，就需要你主动的去 连对应。通过两道题给你感受一下什么叫同步信息，什么叫连对应，现在对，这就是翻折的基本操作，而翻折是中考最最最最最最常考的几何压轴题，都快没有之一了好吧。而这两个操作是翻折的为二的两个操作，这个不光是做多， 关键是你在意什么，如果你学每个模型的时候，你都是在意它的结论，你做的再多也没有用， 如果你在意的是底层逻辑，你才能很好的去成长。所以千万不要觉得我刷很多题我是不是就能成长？不是这样的，很多小伙伴刷再多题都没有用，因为他在意的东西不对，就是关键你在意什么？ 你在意的东西错了一定是事倍功半。马哥是不是在反复在让你去感受为什么要重底层逻辑，为什么要重推导？为什么不要去在意结论？

中考考场上，数学遇到不会做的题该怎么办呢？你只要记住三个托分技巧，那就算是不会，咱们也能够稳稳拿分，每一年呢，都有学生啊，用这些方法超常发挥，多拿十几分，现在呢，知道的人还不多，家里面呀，有中考生的 赶紧点赞收藏，以免咱们以后呢找不到啊。第一，遇到三角函数的题，让你算角度，如果你不会，你就直接用量角器去直接量，基本上呢，都是正确答案。同样啊， 如果图中呢，让你求线段的长度，那直接上直尺也是正确答案，因为中考试卷呢，它所有的数值啊，它都是标准的。第二个， 解决最值问题呢，那基本上正确答案啊，就在 b 和 c 中间，如果让你选最大的，直接呢，从 b c 当中选一个最大的，如果让你选一个最小的呢，那你就在 b c 当中啊，选一个最小的。第三个选择题啊， 如果是选择题当中呢，有根号二，根号三，根号五这个题呢，那你如果说真的不知道，那大概率呢，咱们就选根号二。第四个，如果说遇到填空题不会，那么直接呢，就去蒙这三个数 零正负一。最后一个数学大题的第二问呢，要是不会，那你直接可以把第一问的答案呢直接用上，记住了吗？赶紧转发给中考的孩子们看一看，也预祝咱们孩子二零二六年中考必胜，金榜题名！