2024年沈阳初中一模数学三角函数

嗯，老师，三角函数我记不住，有没有什么好记的方法？你咋又记不住呀？你们现在都记住了吗？ 都没记住啊，想不想听一个三角函数的速记口诀？想，我们一起来看一下我们的三角函数的速记口诀。来，我们一起来读，一二三三二一三九二十七，正二与二，切小三， 分子根号不能删。好，那我们来看一下这个口诀怎么样去用哈。首先第一个正二什么意思呢？如果你遇到正弦值三的时候，此时分母一定是二，非常好，一定全部都是二， 那此时分子部分全部都是一二三，分子根号能不能删？ 不能删，所以此时就记住了吧，记住了吗？好，那接下来我们再来看下一个同样的道理，于二此时对应的分母应该是二二，哎，非常好，分母上我们还是二，此时对应了分子上的结果应该是三二一。大声点哈。 然后最后一定要注意，根号不能删，不能删，不能删。好，最后一个切什么呢？ 切小三，所以正切值此时对应的分母应该是三，哎，非常好，应该是三，那此时分子上应该是三九 三九二十七，分子根号不能删，所以分别是根号，记住了吗？记住了。所有的这个向上函数速记口诀，考试的时候给我写到考卷上，记住了吗？记住了。

今天要讲的是三角函数，那么三角函数是中考里面的一个必考内容，那么我们今天要讲的是如何去巧记我们的三角函数值，那其实呢，就是利用我们的图形，那么在初中阶段呢，直角，在直角三角形中的一个三角函数， 然后呢记呢，只需要记三十度，四十五度和六十度这三个特殊角的三角函数值。好，我们来看一下，三引是指的是对比斜，是吧？这个对边比斜边，当然这个是必须要记得住了，如果你连他是哪边比哪边都不知道，就这个就很麻烦了。然后口三也是零比斜， ctrl 呢是对比零啊， 就是 sine， cosine 和 tangent 的 分别是哪边比哪边好，我们来看一下三十度和六十度我们如何去记，那我们就画出一个直角三角形，那么就画出特殊角是六十度和三十度的 一个直角三角形出来，但其实呢，我们要画的图形呢，就是我们三角板里面的两个三角板的角度啊，那么来看一下，先看三十度， 三十度三引，三十度是指，三引是指对比斜，那有可能会问老师这个，嗯，这些边的数值我都不知道，那怎么去做呢？那我们知道特殊角是不是三十度角所对的边，在直角三角形中， 三十度角所对的边是斜边的一半，那我就假设定三十度所对边是一，这边是二，那么我们再用勾股定力，那我的这条 b c 是 不是就等于根号三，那我们在 像三也三十度是指他的对边比上斜边就是一比上他的斜边二，对吧，那所以他就是二分之一，然后呢我们的 口三也是零比斜，所以他的零边是根号三，然后他的斜边是二，所以是根三比二，就是二分之根号三。然后呢再看参减的三十度，是指他的对边比斜边，也就是一比根三，根三分之一，那我们把它分母由里化，就是三分之 根号三，那么我们看六十度是不是也在这个直角三角形中，所以我们在这个直角三角形中呢？也可以把六十度的顺面我们就写了，你看六十度，我们就看一下它三以六十度是对边比斜边，是不是对边是根三二，所以说二分之 根号三，三以六十度，那口三也就是零比斜，一比二，所以它就是二分之一。然后呢贪间扯，贪间扯六十度呢，应该是 对比零，然后呢就是根三比上一，所以就等于根号三，你看我们就把它记下来了，那么我们四十五度该怎么去记呢？是不是就是画一个等腰直角三角形，那自然另外两个底角就是四十五度了，对不对？ 那么我们看一下，那么这个一样没有数值，那我们就假设他定他的腰根为一，那这边就自然就等于根号二，然后我的三引四十五度就是对比斜，所以根二分之一。同样的分母有理化，那就是二分之 根号二，你看那么口三也是零比斜呢，一比二和他一样，所以就是二分之根号二啊，然后呢 他的摊减的四十五度，摊减的四十五度是对比零，一比一，那最后就是一啊，你看这样子呢，我们就可以把三角函数的三个特殊角的函数值，我们把它记下来了哈，你学会了吗？

今天呀，明明老师就用一张图带你彻底把所有三角函数值我们就学的明明白白的，就不用再死记硬背那些一二三三二一三九二十七，所有根号别忘记了，如果是这么来记三角函数的啊，等我们孩子上了高中的时候呢，三角函数他依旧不会学。 我们先来看一下，想学三角函数是不是得放在直角三角形当中啊？看一下这些特殊的角度，我们知道三十度和六十度是非常常见的特殊角度， 画一个直角三角形，让这个角度呢是三十度，让这个角度呢是六十度，他们三边关系应该是这个短直角边呢是一， 长直角边呢是根号三，斜边就是二。那这个图形一出来，那三十度和六十度的所有三角函数值是不是我们就都搞定了？来散三十度 对边比斜边二分之一，那我们的扣散三十度等于林边比斜边二分之根号三，我们的六十度散六十度对边比斜边二分之一来看成的三十度 对边比邻边一比杠二三一比杠二三化简，就是三分之根号三。 tan 的 六十度就是我们的对边比邻边根号三比一根号三。 那我们的 q tan 的 什么意思啊？ q tan 的 它和 tan 的是互为倒数的意思，互为倒数的意思， tan 的是对边比邻边，那我们 q tan 的 就是邻边比对边，那我直接将三根号三取个倒数，就是根号三分之一， 三分之根号三啊，这个把三十六十的我们就补充完整了。那像其他的一些四十五度啊，十五度啊和七十度怎么画呢？我们可以让这个图形呢给他躺下来横着来一个啊，那这一个长直角边呢，就是根号三， 短直角边呢是一，斜边就是二，这个角度呢是三十度，他这是九十度，你看我们这么画有个什么好处啊？这个斜边为二， 这个斜边为二，这是九十度。如果我要是把这给连接起来的话，你发现他是个什么样三角形了没有？ 既等腰又直角，等腰直角三角形，那这些角度呢，分别就是 四十五度，四十五度，斜边是直角边的根号二倍，他是二倍根号二。来在这一个等腰直里面呢，把我们的四十五度的三角函数我们就写出来了啊，在四十五度，对边比斜边，扣在四十五零边比斜边是一样的，我们填写一下就是 二，比上二倍根号二，算一下是多少根号二分之一，对吧？二分之根号二，这是我们的 四十五度啊，二分之根号二，我们的 cosine 四十五度呢，也是二分之根号二，我们的 tan 四十五度啊，对边比邻边，你看对边比邻边，二比二是等于一的，它们互为倒数，这也是等于一的，那四十五度的我们就搞定了。再来看一下，十五度和七十五度 这个图形当中是否有十五度和七十五度这么一个东西呢？你会发现三十和四十五，它们两个加起来等于七十五，但是这两个呢，它不在一个直角三角形当中，我们采用一种方式把它给它补全成一个啊，哎， 长方形，然后呢，三十度和四十五度，那这个小角是不是能算出来是等于十五度的，对吧？十五度的，而这个呢是等于六十度的，六十和呃，四十五，一百零五，那这样呢，就等于七十五度的，哎， 十五度和七十五度呢，他们也找到了自己所对应的直角三角形，那他的这些边长分别是什么呢？我们来看一下，下面这个也是一加 根号三，那这个呢是等于根号三的，这个呢是等于了一的，所以这个呢就等于根号三减一的， 它的斜边我们知道的是二倍根号二，所以我们十五度和七十五度的所有三角函数值是不是也都知道了？快看一张图，是不是把所有的三角函数值我们就都搞定了？怎么样，你学会了吗？

好，我们接着上一个视频来看第三问啊，那这个图啊，我们图一定要再画，为什么？他的条件不一样了，条件不一样了，所以我一再强调，各位同学画图的时候要注意啊，画出来注意，那么第三问呢？ 如果你第二问会做了，那你第三问也就会了，因为依然是通过角，通过一个角，通过一个角去求，他已经给你了，你看啊，给你了，如果你第二问还不会求的话，你， 你就去看看我之前的视频，我已经讲过了啊，如果你第二问不会求，你看看第三问，它给你提示了啊，也就是说我们这里它用天性角 b、 a、 e 等于 x， 它就是让你用这个三角函数值去表达各个什么， 别人呢，然后去找他们的关系。所以我们来看第三位，他给了一个条件，就说这两个三角形面积之比啊，一比二，那这两个三角形我们来看他什么关系呢？这两个三角形是共底一底， 对吧？共底，当然他们两个边呢， a 一 和 b 一 相等，所以这里有两种做法，那要么我们就共底，第一找高，找两条高，要么呢？因为他们两个的底边相等，我们就去什么分别做他的， 做好垂线啊，这里做一个啊，然后呢，这里延长，这里做一个，那很显然呢，这个，这个做这个高，我们，我们 我们会发现放辅助线就比较多，而我们如果以 d 为底，它线程就有一个高，因为 a 一 垂直于 c， d 啊，它现成有一个高，那我们就只用做一个高过 b 点做 b， h 垂直 c， d 于 h， 那 实际上我们就根据它们面积的关系比，就能知道它们的什么边之比，长度之比，也是一比二， 我们根据第一问的这种啊，第二问的经验，那我们就设一个边为 t， 设一个边为 t， 设谁呢？ 射谁呢？注意，我们无论是倒角还是用射边的方式都射那个关系户最多的啊，因为我们后面的表达就更顺畅。这你就非常容易想到射 a 一 等于 t， 因为 a 一 等于 b 一 啊，对吧？所以这两个都是 t， 然后这里有一个 x 啊，那这样我的 e f 是 不是 用 t x 表示出来了？ af 是 不是同样的啊？上上一位已经讲过了这个技巧 啊，已经讲了这项技巧，也就是说我们用 t 和 x 把所有的边都表示出来，这个问题不就解决了吗？啊，不就解决了吗？对不对？好，那根据面积的 b， 我 们就得到 b h 啊， b h， 嗯，好，那接下来怎么办呢？ 我们能把剩下能表达的继续表达啊，继续表达，那还有什么呢？这里还要想到一组相似 a e f， a， e f 和谁呢？和 b h f 啊，这非常显然的，这个什么八字，而且是什么平行八字，平行八字，对吧？正八字啊，就我们所谓的，那你把它表示出来，对不对？那同样的啊， 我是，我是没有上帝视角，不知道哪条哪左边有，最终对我解体用，把三条三左边全写出来。那怎，那写出来以后怎么把每个都都标记出去？用 t 和 x 把它标标标标记上，那我们这里就能看得出来， h f 就 能写出来了， h f 就 能写出来。哎，注意 af 也可以啊，因为 f 在 这里，所以 b f 也写得出来了，是不是？所以我们的目的就是用 t 和 x 把所有的相关的边表示出来啊。你表示出来，那当然不要，你还有很多边哈。那也不是，不是继续表啊，表示出来，那我们一定是边走边看。那坐到这里以后呢？那我们再去看， 除了这个相似关系还有没有其他的关系，特别是我们已经表达出来的这一边啊？如果有，那我们就动手再做一做啊。那就是这里啊，看这里，这里有一个直角，对不对？直角就勾股定律啊。那我们把这个勾股定律算一下嘛。啊？ h e 的 平方加 b e 的 平方等于 b e 的 平方，好，那我们把它带进去啊，对吧？ h e 呢？等于 h f 加 e f 啊，那所有的带进去，你看， 发现就剩一个 t 就 约掉了，对不对？ t 约掉了，只剩 x 了，最后 x 切出来等于， 哎，三分之杠三啊，三分之杠三，这个写的有点像二了啊。

解三角形啊，题型总结，那第一个我们来讲啥呢？第一个题型来讲三角函数值的范围啊，那三角函数值的范围是什么样类型题呢？是这种，他可能会给你个，比如说 x 倍的散 a 加一个 y 倍的散 b， 也可能是 x 倍的散 a 加 y 倍的 cosine b， 总之吧，等等，就这种组合的问题啊，当然了，也有可能全是啥，全是 cosine 无所谓啊，就是两个角的正与弦合到一起， 求这类范围啊，为什么先讲它呢？它后面可以解决很多问题，所以先把这类题型搞明白啊。啊，那么这类的范围我们怎么去解决它啊？大家先去想一想啊，我们在这里 x y 会给你的，他考试会问你啥呢？说三倍的三 a 加二倍的考三 b 的 范围， 或者三倍的三 a 加二倍三 b 的 范围，会问这种题啊，那么我们在整个这个表达式当中呢，它是有两个未知数，一个是角 a， 一个是啥角 b 求范围，我们最好有几个未知数， 一个啊，你要么都是角 a 的， 要么都是角 b 的， 所以首先我们第一步需要把两角画一角，所以解决这类问题的第一步是首先是将两角画一角，那么有同学可能会问了，说老师怎么两角画一角，就利用我们昨天给大家讲的啊，三 a 等于啥？三 b 加 c， 用它来画，那么你在三角形当中呢，这里有一个角 a， 有 个角 b， 一定会给你角 c， 或者让你自己求出角 c， 所以我们这个题当中角 c 一定是已知的，所以你可以把这个 sin b 换成啥呢？ sin a 加 c， 那 这个角是已知角，那么也就说整个题当中都是关于角 a 的 一个表达式，所以两角画一角，我们用的这个式子就是它 sin a 等于散， b 加 c， 如果你想换拷在的时候，那就是拷在 a 等于负的，拷在 b 加 c， 所以 你第一步一定要明白是未知数统一成一个啊。好，那我们当我们统一完以后呢？接下来就是把它展开展开整理，整理，变形 成这样， y 等于 a 倍的散，也括号，比如说欧米哥啊， a 不 行换个字母 y 等于小 a 乘以小 a， 也是跟有点区啊， x 乘上一括号，欧米哥乘 a 加 f 加 h 的 一个形式，就是你最后要整理成一个，就是我们之前给大家讲的时候， y 等于 a 倍的散，欧米加 f 这样的形式啊。 那么我在这里为什么写成欧米哥乘 a 呢？因为你最后它一定是转化成跟角有关，和角有关啊。具体题可能角是不一样的，有的时候是角 a， 有 的时候是角 b 啊，那么也就说整个求范围问题，你是不是就换成变成求他的范围，那这个范围怎么求？我来说一下，这就是我们前面讲的职业问题，怎么去求他的范围呢？你首先一定要先知道 a 讲的范围，关注海鸥数学无忧。

二七届单招生老师今天带你从零开始学习三角函数中的角啊。呃，中边在外轴正半轴啊， 外数正半角是不是搁这呢？这是多少度？这是不是九十度啊？那九十度要加上什么？是不是再加上三百六的倍数，对吧？那通常来讲，我们写成二 k pi 的 话， pi 是 不是一百八，所以它就直接干嘛？就是，是不是九十度加上二 k 再乘个一百八，所以最后选择的是 a 选项 啊？然后第二题啊，与角这个负十五度中边相同啊，对于他而言的话呢，依然和这个是一样的，这个是九十度，对吧？那我这现在变成负十五度了， 所以就直接干嘛就负十五度加上二 k 派就可以了，就是二 k 乘上一百八，所以选择的是 a 选项啊。 然后第三题啊，与五十度中边相同，五十度中边相同的话呢，你直接加减多少？ 呃，写着写着就写偏了，加减上三百六的倍数就可以了。那这里边的话呢，五十度跟二百一肯定是跟三百六没关，对吧？呃， 五十度和三百一啊，他俩相加等于三百六，但是绝对不能说是减出来啊。然后用五十度如果减去三百六，是不是正好等于负三百一，所以最后选择是个 c 选项啊？啊？第四题的话呢，我们拿过来四十五度的，这种就直接成谁 幺八零分之派啊，就是，你要记住，就是度数就是乘上幺八零分之派，如果是弧度的话呢，就乘上派分之一百八啊，所以他和他一削，正好是四分之派，所以最后选择的是个 c 啊。然后第五题的话呢，用到我们的公式是什么？ 是不是 l 等于个阿尔法乘个二？当然这里边其实很少涉及到负角，所以直接这么写没问题啊。来，阿尔法是几 阿尔法的话呢？是不是再把这个六十度给老师转换一下？是不是六十乘个幺八零分之派，然后再乘个二啊？前面是不是三分之派，对吧？然后三分之派之后是不是再乘了一个二，也就是三分之二派，所以选择 b 选项啊？ 然后第六题的话，能问你它属于第几象限角，你就怎么去算？非常简单。首先第一个我们拿出来啊，负三分之二十五，对吧？来，把这个分数先给变一变，是不是负的八又三分之一，三百二十四加一正好是三十五，对吧？然后的话呢，你看啊，这个八， 嗯，这个八派他加上个八派就可以了。加八派之后剩几是不是负三分之派啊？那负三分之派几是不是负六十度第四项线啊？没什么问题啊，几道填空题咱们一块也说了啊， 负三百负三百的话呢，老师刚才说了，负三百乘上几是不是幺八零分之派啊？ 来化简一下，零消没了啊，还消一个谁？嗯，还消一个谁，是不是可以消一个六啊？你这消六是不是剩个五，你这是不是剩个三，所以负三分之五派啊？ 然后第二一个的话呢，已知半径是一的扇形面积是它，然后问你它的这个角度是多少？ 这里边 s 是 不是等于二分之一，阿尔法乘个二方啊？然后这边是不是八分之三派等于二分之一乘个阿尔法再乘二方？二方还用乘吗？不用了吧，对吧？你这里边你都有了呀，你是一样，所以来两边是不是同时乘个二 八分之三派？乘二是不等于四分之三派？这个就是我们要的答案啊。然后第最后一题的话呢，刚才还说来着，对吧？角度变成弧度的话呢，是乘上个这个幺八零分之派，弧度变角度五分之七派，乘上个谁，是不是派分之幺八零， 对吧？然后的话呢，你这里边是不是 pi 和 pi 消没之后，一百八和五是不是也可以消一下？一百八除以五是不是等于三十六啊？对吧？然后它的话呢，算出来是几，是不是二百五十二度啊？ 呃，三角函数这一章啊，相对来讲前边的话呢，是还是非常简单的啊，基本上这几个公式刚才老师讲的时候也都跟你说了啊，有什么不懂的话呢，可以在评论区还有私信跟老师说一下。

网上有太多关于一二三四五模型的讲解，但是很少有哪个视频能够真真正正的把它讲透。今天老师用这一道题，一次性的带你把一二三四五模型它的本质吃透，一起看题。矩形 a、 b， c， d 中 a， d 等于八， ab 等于四， b， e 等于二角等于四十五度，求 d， f 的 长。很显然这道题它是一个一二三四五模型，不少同学呢，只知道一二三四五模型的结论，却不知道它是如何推导过来的。 其实这对于我们大家学数学而言呢，困惑就比较大，老师就带着大家一起来了解什么是一二三四五，一二三四五模型，它其实就是指的一系列的数量关系，来我们一起看。在网格内呢，有一等腰直角三角形 a， b， c， 我 们就可以发现这个网格线呢，将这个角 b 哎分成了两部分，上面的这个角角起名叫贝塔，我们就发现了阿尔法的正切值等于一比二， 贝塔的正切值等于一比三，我们还发现什么阿尔法加上贝塔等于四十五度。所以呢，我们就将我们发现的这三个关系式称之为一二三四五模型。三个式子呀，它们之间的关系就是我们可以满足知二求一， 知道两个角的正切值是二分之一和三分之一，所以我们就能推出俩角，和是四十五度，知道两个角的和是四十五度，一个角的正切值是三分之一，那么另一个角它的正切值就是二分之一。好，我们一起来看一下题。题目当中给了是个矩形， 所以我们就得了这个角，角是阿尔法，这个角是 beta alpha 加 beta 四十五度又又已知阿尔法的对比邻，哎，二比四正好是二分之一，所以我们就直接得结论了呗。 tangent beta 就 等于三分之一， 已知 a， d 等于八，所以 df 是 不是就直接出来了？ df 等于三分之八，搞定了吗？

我们接着来看中职数学基础模块上册零基础的讲解，这一节我们来学习第四章三角函数，先来看一下他的知识结构，三角函数这一章内容是比较多的，这一章也是非常重要的一个章节，可以说是我们考试必考的题目， 在很多省份考试的大题中也会出现。这一章我们主要讲解七个内容，第一个内容，角的概念推广，第二个就是弧度值，第三个任意角的三角函数。前三个内容呢就是我们基础的讲解，这里面如果考试出题，基本上都是选择题或者是填空题。 第四个内容，同角三角函数间的基本关系。第五个诱导公式，这个知识点超级重要，可以说是我们考试必考的题目，他不但可以自己出题，还可以和其他题目相结合。 第六个三角函数的图像和性质，这里呢主要就涉及到正弦函数和余弦函数，它的图像以及性质。最后已知三角函数求指定范围内的角，后面这几个内容呢是非常重要的，大家一定要掌握。当然了，学好前面的几个是为后面这几个内容做基础的， 我们来看具体内容的讲解，我们先来看第一个内容，角的概念的推广，第一个内容，任意角，那我们看到这个名字任意角，那么在我们以往的学习过程中，我们所学到的角度大部分都是锐角、直角、钝角、平角、皱角等等， 这些角度呢，它都是在零到三百六十度范围内的，那我们如果遇到超过三百六十度这样的角度，或者是负的角度，比如三百九或者是负的六十度， 这些我们应该如何来表示呢？这里我们就统一做一下规定，如果一条射线绕其端点，按照逆时针的方向旋转形成的角度呢，我们就称为正角。 相反，如果这条射线呢，按照顺时针的方向旋转所成的角度呢，我们称为负角。那我们这里呢，就可以记四个字，逆、正、顺、负。 比如呢，我们就可以看下面两个图片。先来看第一个，如果我们把这条射线围绕起端点，按照逆时针的方向，也就是这样的一个方向进行旋转，得到的角度，我们就称它为正角。比如这个射线围绕着圆点 o， 他 转到这里，那就是这样的一个旋转，这样得到一个角度呢，我们就称它为正角。 同样呢，如果他按照顺时针旋转得到角度，我们就称它为正 负角。如果一条射线没有做任何的旋转，那这里呢，我们也认为它形成了一个角，这个角呢，我们称它为菱角，也没有任何角度。 比如我们在教室里面悬挂的钟表，如果这个钟表按照逆时针的方向旋转两周所形成的角呢，我们称它为正角，那是多少度呢？两周就是七百二十度。比如我们这个下面的图页，它是按照逆时针的方向旋转， 如果按照顺时针的方向旋转两周呢，我们称它为负角，它所形成的角度呢，是负的七百二十度。比如我们可以看到第二个图，它顺时针的方向进行旋转， 这样呢，我们就得到了有七百二十度和负的七百二十度，我们看到它呢，不在零到三百六十度这个范围内，所以呢，我们就把角的概念呢推广到了任意角，接着我们来看一下这角呢应该如何来表示呢？ 那我们通常使用角的顶点，或者是顶点的矢边中边上的字母来表示角，比如我们第一个图，我们就可以表示为角 a、 o、 b， 或者是呢，我们直接可以表示为角 o， 这个同样也是可以表示为角 a、 o、 b， 或者是角 o， 也可以用小写的希腊字母阿法贝纳伽玛来表示，我们直接可以记住角阿法，如果不出现字母混角的情况下呢？哎，我们这个角也可以省略掉，可以直接描述为阿法，那我们就默认为呢，它是角阿法，比如我们阿法呢，它等于三百八十度，或者是贝塔呢，等于负的一百八十度。 那我们在学习的过程中，通常呢都是在平面直角坐标系中来讨论这个角，我们将角的顶点与圆点进行重合，那这个圆点呢？比如我们在直角坐标系中，就是这个圆点 o 角的矢边呢，它是与 x 的 非负半，也是我们 x 的 正半中进行重合，一直在我们 x 轴上面， 那最终角的中边在第几象限，我们就称这个角呢为第几象限角。比如我们下面给的角阿法呢，是等于四百二十度，它呢就是我们这个射线通过 逆时针旋转得到的，我们可以看到他是逆时针到这里，那得到的这个角呢，这个就是四百二十度，我们看到他是在第一相线，那我们就称他为呢第一相线角。再比如背叛了他，等于负的一百三十五度，那我们看到他呢是顺时针到这里， 这里呢他刚好是在第三象限，我们就称他为第三象限角，这里技术比较差的同学大家熟悉下，那这里呢，就是第一象限，第二、第三、 第四象限，这是四个象限。大家有个印象，如果一个角的中边在坐标轴上面，也就是说他可以在 x 轴的正半轴，或者是 x 轴的负半轴， y 的 正半轴， y 的 负半轴。那这个角呢，无论停在这个 x 轴还是 y 轴上面呢？ 我就认为这个角呢，它是不属于任何一个象限，那我们称它为界限角，比如它是零度，那就是 x 轴的正半轴。九十度，那就是在外轴上面一百八十度，那就是 x 轴的负半轴啊，三百六十度呢，就是外轴的负半轴上面， 后面还有很多，那这里界限角 r 呢，我们就可以表示为它是等于 k 乘以九十度的， 这里呢， k 呢，他是属于整数的，这里大家有个印象，这是他的概念，这内容主要还是让大家进行理解。接着我们来通过具体的题目来看一看。先来看例题，四点一判断下列各角是第几向前角。先来看第一个四百九十度是第几向前角。 我们这里呢，首先你要知道它是怎么来的，那我们这里统一让这个角的矢边呢，以 x 轴的正半轴也这里呢，它重合，那我们看到这个四百九十度，如果是四百九十度减去三百六十度的话呢，它还等于一百三十度，对吧？ 这里呢，我们可以看到他是一个正角，正角呢就是逆时针，你说我们这里旋转三百六十度，再到这里一百三十度，大概就是这里，如果我们画出来的话呢就是这样的一个角度，这就是他大概的结果，那他呢是通过逆时针，因为我们到这里，哎， 这里呢我们可以看到他是呢在第二项线，所以呢这个就是第二项线角。接着我们再来看第二个负六百五十度是第几项线角，那么这个负六百五十度呢？他有一个负的三百六和一个负的二百九十度，那么在坐标上来表示 就是顺时针转一圈，这个呢就是三百六，再转两百九，哎大概呢就是到这里，所以呢我们就可以画出来他是在这里，这就是他的一个大概图像，那我们表述出来呢就是哎转一圈他是顺时针的，我们可以看到他呢是在第一象限，所以呢他是一个第一象限角。 接着我们再来看第三个三百二十度是第几象限角，这个呢就比较简单了，我们直接来表示他是逆时针转三百二十度，大概呢就是在这里，那这个角呢大概的也就是这样， 我们如果描述出来的他就是这样哎得到这个角度，那这个角呢他是在第四象限，所以呢他是一个第四象限角。 接着再来看第四个负的一百七十度是第几相交角，那我们描述就是他是顺时针转一百七十度，那我们顺时针转一百七，到这里， 他的大概图像呢就是这样的，我们描述出来他就是这样的一个转一百七十度，那他呢是在第三相沿，所以呢他是一个第三相沿角。那这些题呢是比较基础的，如果我们后面学完中边相同的角，这样做起来会更加简单，接着我们就来看第二个中边相同的角， 首先我们可以先看一下下面那个图片，我们就可以看到三十度角，三百九十度角，负三百三十度角，我们可以看到这几个角的中边呢，哎，都在这里，那我们这里呢就会发现，在平面直角坐标系中，三十度负三百三十度，三百九十度或者是 七百五十度等等，还有很多这一角的中边呢，都是相同的，而且呢，这些角都可以表示为三十度与 k 个三百六十度的和，这 k 呢是属于整数的。比如三十度呢，我们就可以写成三十度加上零乘以三百六十度， 负三百三十度呢，我们就可以三十度负一乘以三百六十度，三百九十度呢，就可以写成三十多加上一乘以三百六十度。如果是七百五十度呢，我们就可以写成三十多加二乘以三百六十度。从上述角的描述形成过程中，我们就可以看出，与三十度角中间相同的角呢，它是有无数多个的， 这一角，他们与三十度角均相差三百六十度的整数倍，因此呢，与三十度角中间相同的所有角，我们就可以表示为比特，它就等于三十度加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的。 这里细心的同学可能就会发现，这个三十度呢是可以替换的，也就是说如果我们把它替换成 r 法，哎，这个就变成了 r 法， 那我们看下面的一般来说与角 r 法中边相同所有的角组成的集合呢，就为 s 的， 大家看到这里呢就变成了 r 法，加上 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，它呢，也就是所有与角 r 法中边相同的角都可以表示为角， r 法与三百六十度整数倍数的和， 这是它的概念。接着我们来看一下具体的题目。先来看第一个 a t 四点二，写出与负九百五十度角中边相同的所有角组成的集合，并且呢，在零到三百六十度范围内找出与其中边相同的角， 这里我们只需要把这个公式记下来就可以了，我们直接套用公式，那它的集合呢，就是 s， 它等于这里就是 beta， beta 呢，等于这个 alpha 呢，就是负九百五十度， 加上 k 乘以三百六十度，其中这里的 k 呢，它是属于整数的，这就是它的集合。接着呢，我们来看一下，在零到三百六十度范围内找出与它中边相同的角，这里呢，它给了一个范围零到三百六十度，也就是说这个贝塔呢，它要大于零度， 小于三百六十度。那我们看到 t 杠里面呢，是负九百五十度，那我们就可以判断出 k 的 大概率呢，它是等于三的，那我们假设令 k 等于三，我们代入一下， 悲叹完就等于负的九百五十度加三乘一个三百六，那这个呢，就是一零八零，就等于负九百五十度加一零八零度，最终结果呢，就是一百三十度，那这个一百三十度呢，刚好是 在这个范围内。所以呢，在零到三百六十度范围内，中间相同的角呢，是一百三十度，这是第一个离体。接着我们再来看第二个离体，写出中间在射线 y 等于 x， 这里面要求了 x 呢是大于等于零的，这个上面他的角所组成的集合。那我们呢，首先给他的图像画一下， 那我们知道 y 等于 x， 它出现的大概就是这样的，我们要求 x 大 于等于零，所以呢，我们只需要取它的第一项线位置就可以了。接着我们直接套入公式就可以， s 呢，它就等于被它， 被它，这里大家就可以发现这个角度呢是四十五度，所以呢它就等于四十五度，加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，这是这题的答案。接着我们再来看例题，四点四写出中间在外轴上的角组成的集合，我们把它图像呢画在右边。 这题呢要求是外轴上面他没有说是正半轴或者是负半轴，那也就是他在我们整个外轴，如果在外的正半轴，那就是九十度，如果在外的负半轴，那就是两百七十度，也就是这样的。 接着我们直接代入公式，那我们分成两种情况，第一种情况呢，就是它是等于九十度的时候，那 s 一 呢，它就等于 贝塔，贝塔等于九十度，加 k 乘以三百六十度， k 呢它是属于 z 的。 第二种情况，两百七十度，那我们把它记为 s 二，它就等于贝塔，贝塔等于两百七十度，加上 k 乘以三百六十度，其中呢 k 它也是属于整数的， 当它等于九十度的时候，也就是我们在外的正半轴，当它等于两百七十度的时候，它在外的负半轴，那我们要的是整个外轴上面的，所以呢，就取一下并集就可以了， 把它们两个合并在一起，这里呢我们可以观察一下，从这个九十度到这个两百七十度，它们中间呢其实就差了一百八十度，那它最终的集合呢，就等于 s 一， 并上 s 二， 那么就直接可以写为这个悲惨了，它是等于九十度加上 n 倍的一百八十度， n 呢，它是属于整数的，那这里有同学可能看到这个答案，哎，这个中间过程怎么来的？或者是就感到有点迷惑，其实呢这里很简单，就是我们这个 九十度，这个大家好理解，那我们这个两百七十度呢，它就等于九十度加上一百八十度， 当那个角在正半轴的时候，那只要他转一百八十度，就来到了一个负半轴，当他在负半轴的时候，只需要转一百八十度，他就回到了正半轴， 所以呢我们就可以统一写为九十度加上 n 倍的一百八十度，最终呢就是他的答案。这是我们第一节的内容，这节内容呢是比较简单的，如果这个视频对你有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，我们下个视频见，拜拜。

中考三角函数特殊角的值，年年考，很多同学记混三英三十度和科三英三十度看间梯四十五度等于几？总是犹豫，教你一个方法，两个直角三角形就够了！第一个是三十度负六十度负九十度的直角三角形， 三边之比为，一比根号三比二。三英三十度等于对边比斜边等于二分之根号三。 攀建 t 三十度等于对边比邻边等于根号三分之一等于三分之根号三。三一六十度等于二分之根号三 扣三一六十度等于二分之一攀建 t 六十度等于根号三。第二个是四十五度负四十五度负九十度的等腰直角三角形， 三边之比为，一比一比根号二，三一四十五度等于 q， 三一四十五度等于二分之根号二探间梯四十五度等于一。 再记一个规律，三一三十度等于 q， 三一六十度，三一四十五度，三一六十度等于 q， 三一三十度。互余的两个角，正弦等于余弦。 口诀，三十度对边斜半边四十五度，根二除以二六十度，根三比上交叉线四十五度等于一。不用背，画个三角形就行。关注小何老师，轻松掌握考点！

一个视频搞定一道中考压轴题！点 p 是 抛物线 x 轴下方一个动点，若 tangent 的 角 pcb 等于二分之一，让我们去求点 p 坐标。 当题目里面出现正切的时候，我们需要构造直角三角形，通过直角三角形一线三曲直，尽情解答。 而对于此题，我们需要注意的是，在构造直角三角形的时候，需要过已知点做自垂。那么何为已知点呢？与角 pcb 有 关的点为点 b 和点 p， 很 明显，点 b 坐标我们可以求出来，这个就叫已知点。什么是自垂？ 我们需要把点 b 当成垂足，所以将来我们的做法过点 b 做 bc 的 垂线，同时延长 cp 相交于点 d。 此时我们就可以在直角三角形 b、 c、 d 中表示看见了角 pcb， 它等于 b， d 比 bc 等于一比二。那么考虑到线段比值，我们很容易联想到构造三也伸相似，所以接下来啊，我们过点 d 做 a 轴垂线，此时我们会发现图中出现了一对相似三角形， 为 b、 o、 c 与 d、 e、 b， 它们两个相似，那么三也伸相似，对应边成比例，所以就可以得到这么一串式。 又因为抛物线解析式已知，我们可求得点 c 与点 b 坐标分别为三，零与零、负三。再结合这个比例式，我们可求出 b， e 等于 d， e 等于二分三，所以点 d 坐标二分九，负二分三。 由于点 p 是 直线 cd 与抛物线的交点，点 c 点 d 坐标已知，我们可求出 cd。 解析式为三分之一 x 减三，将它和二次函数解析式连立立， 可求出 x 一 等于三分七， x 二等于零。注意，这个 x 二点零就是点 c 的 横坐标，我们需要把它给舍去，那么也就是说点 p 的 横坐标为三分之七， 将其代入直线解析式，可得点 p 坐标为三分七，负九分之二十。搞定收工 so easy！

这道题首先呢，他前面说那么多，就是在描述这个，然后他画成了这样一个图像，那其实你只需要去抓一些关键词就可以了。 ab 呢，是四十三， 这是四十三， ab 与躺椅，也就是 bc 的 夹角是一百四十度，这是一百四十度，那你啊，那你看到这个一百四，然后再去看你的参考数据，你就知道你肯定是要做延长的，那这个时候呢，可以过点 b 往右边拉，那我是不是可以做一个垂，做个垂直之后，那么我就直接确定好这个点是 m 点，那么这个角就是四十度，你有四十多。接着题目中他告诉我了，这个得一垂直于啊，他告诉我这边有一百二十度，那你刚才一百四是不是做延长了？那一百二也要延长啊，那这个时候会过点 a 啊，往左边拉，得一往上拉，很容易很容易啊，很容易出这个九十度，因为这边拉九十、九十、九十，你延长完之后九十这个矩形，那搁这边也是一样的形式啊，这这都是矩形，那对边都是相等的，那在这个场景下，他又给了你这个刚说一百二，那就是六十度，那这个角呢？ 这边三十度， a 得是三十， a 得是三十，那三十度所对的直角边，也就是我这边标一个 n a n 就是 十五三十度，我放大了三十度所对的直角边是斜边的一半，那么一比根号三比二，用三角函数，用勾股随便反应，给我出这边十五倍根号三， 然后得益，得益长是十五，这是十五 e f 是 一百零八，整个这段是一百零八，于是上下是通的 十五加四十三，他是五十八，那这是五十八，那这是一百零八，那一百零八减掉五十八是得到了这段是，对，那这段是不是五十？对，然后你出五十之后， 那你出了五十之后，但是没有依据，那我这 c m， 我 要求 c m， 那 c m 是 要放到这个角三角形里面，贪正特四十，他就等于 c m 比上一个那个五十，那这边是约等于零点八四， 那就是五十。嗯，对，边比零边吧，对，边比上零，边是贪正特走这个，所以五十乘上零点八四就等于 c m 啊，那就是八点四，就乘一个五， 嗯，五八四十，四十二点零。啊，那也就是四十二。 c m 呢？是四十二， 那这是，嗯，你也算数四十二了，嗯，你写了吗？写了，你写四十二了，嗯， 发誓我一定有四十二啊。行，那好，那这四十二之后你要去求 cf， 那 cf 等于四十二，加上这团到这团的数字，十五加上十六个后三 十五，加上十五倍根号三，根号三又等于，然后约等于一点七三带进去八十三点零，没写点零还要扣分啊？一定，你算出来是八十三，但实际上你要写成八十三点零。

今年中考的模拟考试呢，到了进行时，关于鞍山试卷，第一道题考了三十图，第二道题考了有理数实数，第三道题考了对称，第四道题考了整式的计算，第五道题考了平面直角坐标系，第七道题考了概率， 第八道题考了方程组，第九道题考了平行四边形，第十道题考了平行四边形，第十道题使规做图和直线。第四函数，十一题考了有理数的运算，十二题考了加权平行数，十三题考了三角形，考了旋转， 十四题考了反比例函数，十五题考了菱形相似。十六题考了二次根式的计算，第二道根式的计算，十七题考了不等式。十八题考统计，考了方差。十九题算是三角函数的应用，二十题 考了函数应用，二十一题考了原，二十二题考了几何证明，二十三题考了二次函数。从这来看，这张卷翻完之后，从卷上考的知识点来看，就是个中规中矩的卷，跟以前的考点没有什么变化。看变化的话，二十二题跟以前沈阳的考试几何变换有区别，跟大连的考试有点相像，不是倾向于沈阳的翻折里面啊。 又考动态几何的问题，可能在这点上跟沈阳是不一样。二十三题二次函数，如果说你能看到的变化，我们要认识到一点，这里面加进了一件事情，和以往不同的就在于，第三问，创建新函数，虽然它不难，如果孩子在平时的学习里面没有过这样的经历积累，那 孩子可能会出现一下子也不太适应。前两周我们还讲了北京京的所有的函数的代宗，几乎必有创建新函数，包括我们今天讲几何的极值，几何最值里面创建函数来研有极值，研究极值的时候，用函数的思想来研有极值。 如果你知道这些，那这张卷基本上属于中规中矩的卷，那么拿到一个卷之后，你要观察他哪些变了，哪些没变， 从这张卷上也不要过多的去想去解读他有什么，考的都是你应知应会的。最关键的是这张卷拿到一道题，当你不会的时候去想一件事怎么能学会。我们有很多人在看一些答案，写的特别特别简单，其实意义不是很大，原因就是人家会做的没有意义，关键是孩子要会做， 关键取决于知道怎么去想他要通过这个试卷，我要有一个什么样思维的过程，而这个思维过程指的不是我会的情况下，我们要把试卷分起，要说的是不会做的孩子应该怎么办？我们重点讲一下十五题，二十二题和二十三题是网上大家都说的十五题 填空的最后一道，千万千万不要把它偏的方向带。这个十五题呢？常规的综合，考了菱形的性质，考了相似，考了勾股定律，这是基础知识，然后考了辅助线的做法，叫基本做法，就是研究同一条线上两条线段的比，那么我们应该想到什么？ 这个知识跟同一条线上两条线段比，相关的知识无非就是平行线，分线段成比例和相似。这里问题常见的辅助线啊，是做平行， 所以做平行构造相似，他就很容易就把这道题做出来，这是一个正常的一个知识的综合，外加上一个基本做法，同一条线上两条线段的比做平行构造相似。所以这道题十五期正常的不能再正常的一道题 给大家讲一下。二十二题我给大家写的解析，我试图去理解这个题是怎么出的，哪来的？真正的对低年级的学生来讲，要有一个认识，经历这个题目的发生发展过程，这是学习的一个正念，就是作为一个几何题来讲，这个图是怎么来的，这个题我怎么能画出来？ 你要想给他画出来，你一定是要遵循着这道题中的不变量去画的，根据等量去画的，那你就会找到这个题目中的等量关系。像第一问，画了一个三角形 a、 b、 c， 当你想画另一条线的时候， 就我们现在很多时候我们没有培养孩子去画图，结合课前先画两三到几个题，有很多种意图和作用。培养同学画图，你在画图的过程中就能够知道，你要想把它画出来，就得找到题目中的等量关系。比如你确定 d 怎么画，怎么能把 c、 d 画出来， 当你把 c、 d 画出来，就会找到这里面的角，等 e， c， f 就 等于角 c， a、 b 在 想我 e 怎么能画出来， f 怎么能画出来？把这些能画出来的过程里面，其实就知道了这个题中有的等量关系，就是人家证明全等的三个条件。第一问你就做完了这个，第二问呢，你画一个等量三角形，孩子为什么不会没有这个思考的过程？ 他应该学着思考，怎么能出现那个 f 呢？怎么能画出来这个角 a、 f d 等于角 b， 这就是这道题。从设计上来讲，只是试着去想出卷人的意图，那么其实就是在 ab 这条射线上任取一点画这条线段的垂直平分线和 ac 相交，他就会找到这个 f 点， 那么这时候这个角 a f d 就 一定等于角 abc， 这时候就会出现一个等腰三角形，紧接着你就去想了，焦点叫 d d e 一定存在，那这时候实际上人家出题 是把它特殊化了，叫做条件强化，特殊化了线段像呢，就是用来构造全等呗。孩子如果学几何，能够多动笔去画图，我觉得这个事是孩子，一个正常孩子训练的过程。第三问呢？实际上是第二问，在一般到特殊的过程，那也就是这个 m 在 哪？我说的那个 m 和 b 重合的时候， 那就做 ab 的 垂直平分线，焦点就在 f 上，就是 f， 那 就出现了。等腰出现了相似，然后你再想 d 怎么画的，在你画的过程中，你自然就会出现相等，然后你再去想那个 e 怎么来的，那你再做两个角等，自然就会想到了全等。这个事情是一步一步综合出来的，任何事情都是综合出来的，然后最后人家给的线段，给角的关系，给边长，求线段长， 我们天天挂在嘴边上。学生都会叫解三角形，那解三角形需要三个条件，他所在那个三角形叫 c d e c d e 中发现 c d 还等于 c e， 解三角形很容易就求出来，只不过是这道题有一点对于中等学生或差生不太友好的现象。五十二、十三，这个勾股数啊，大家都背下来了， 结果给了个十三，那个十三还不是斜边，是直角边，这是计算的问题。 所以你说这证明难不难？对普通孩子来讲，如果你能静下心来，你去画图，去经历，一步一步的这么去思考一个命题，无非这设计的思路就两个，一个是从一般到特殊，一个是从特殊到一般。那第二问中呢？ a、 f、 d 等于 b， a c， 那 个 d 和 b 不 重合，下一问呢？第三问 d 和 b 重合，经过点 b 呗。所以他俩是什么特殊和一般呢？ 不是一般到特殊，就是特殊到一般。这是几何命题设计的套路，就那么两个，本条件强化，条件弱化，从特殊到一般，从一般到特殊。二十三题呢？考察函数的思想天天我们在说一个问题，什么叫函数的思想？函数是研究变化的过程， 这个变化的过程你需要了解什么？你要了解变化的趋势和特殊情况，而变化的趋势用来解释或图像来表示，特殊情况用点。所以拿的一个函数，不用人家告诉你，你就应该知道函数的解释，给了就求点，点给了就求解释。所以 我就画了一个流程图，给你一个解释，给你两个点，你就把参数求出来了，在那系数把参数求出来，参数求出来之后，你就把那个顶点 n 也求出来，把 b 也求出来了，把点 p 也表示出来了。 虽然第一问你都做多了，但是这实际上都是后来必须的。等到第二问的时候呢？其实人家考察了一个方程的思想，所有的特殊情况是方程。如果直播间里有初一的同学，你也许就会明白为什么老师现在在讲平面制药坐标系的时候，我们反复的跟孩子们在讲， 要知道所有的特殊情况，就是方程一个 acp 的 面积等于二十四，求 p 点坐标，那就列个方程就完了， p 点坐标已经表示完了，然后把 acp 的 面积表示出来，然后叫方法。那有人说铅垂高乘以水平宽度啊，再除以二，我觉得这个题我没那么做啊，我觉得那个麻烦。 那么在这整个坐标系里面还有个最特殊的点，那就圆点呢？你可以借助圆点，你可以把三角形 acp 放在四边形里面， 利用四边形的面积表示它，我觉得更简单，但是人家考的思想，方程的思想，第三问考的知识，抛物线的对称线就是 p 和 q 是 对称，那么研究函数，你需要知道点的坐标， p 点坐标表示完了， n 点的坐标已经知道了，要有函数与方程的思想，那什么意思呢？就把 p q 的 平方表示出来，把 n h 表示出来，就很简单，用 t 来表示，然后什么是函数，那就是用 s 来表示 y， y 等于二， t 加二啊，如果没记错的话，括号平方， n h 表示出来，把 t 给它消掉，其实是个消元， 不管是代入还是加减，是个消元的过程，把 t 消掉，得到 y 和 s 的 关系，所以第三问就做完了。所以这套卷如果说二十三题，如果你真的平时在学压轴题的时候，你是知道人家考察什么思想，你可以去问初一的同学，现在是不是第一问速性结合，第二问考察方程的思想，函数的思想，第四问 人家就考了塑形结合和分离讨论的，那么在塑形结合和分离讨论的时候，为什么你孩子看不懂答案？那原因很简单，就是因为我们孩子不会分离讨论，就是我们平时从初一开始是不是没训练。 分离讨论的第一个事情，要找出特殊情况，求出特殊值，划分区间，而所有的极值一定出现在特殊情况，而特殊情况是什么？抛物线上特殊情况就三个呗， 一个是两个端点，还有个顶点。如果说你现在学的不是特别的精细化，就这道题开始一顿算。分类讨论很简单，是周长两种情况极致，三种情况分别进行分类讨论相等。但是这有个问题，因为你没有取之范围，你就不知道将来要不要取舍，所以问题在这。所以我们学分力讨论 就要开始学习找特殊情况，求特殊值，划分区间。分类讨论，那么特殊情况是重合，但点和线重合，点和点重合。当然在这道题中， p 和 q 谁大谁小， 那么又涉及到 p 和 q， 关于对称、轴对称三种特殊情况，就把问题就求出来，当然说起来很容易，但你的计算，你是不是这么去训练的？平时是不是有这么想的， 这不是一句话的事，所以一张卷没有一个考试是简单的，所以这张卷呢？如果从试卷的要求来讲，这张卷我觉得中规中矩，思想人也体现了，方法也体现了，知识点也覆盖了，觉得是很正常的一种 情况。所以拿到这个卷啊，可以练一练，大家千万别去想，这个卷简单还是容易。关于鞍山试卷的解析，初三的家长后呢，就不要问你觉得这个卷难还是容易这样的问题。对于学生来讲，如果你尊重他， 他的劳动成果，没有一个考试是容易的，要培养他一个敬畏之心。没有一个考试是容易的，就是我们面对一个试卷，这一个试题，希望咱们能够从台上走下来，别一张嘴瞄了。我觉得这样对学生来讲是一种误导，对家长来讲是一种折磨，是一种恐慌。记得点赞关注哦！

我们今天来看一道有意思的题目，作为一个填空压轴题，它的条件不算多，但是题目还是需要思考一下的， 它是一个三角形 a、 b、 c， 然后第一个条件告诉我们， ab 是 等于 ac 的， 也就说是一个等腰三角形。第二个条件是 o 是 它的外心，那我们就可以知道啊， 它这三个点都在它的外接圆上，然后 o 是 它的圆心，我们可以把这个原先画出来。好，接下来给了两个长度。第三个条件， o b 等于五啊，实际上这也就是半径，外接圆的半径为五，那么 a o 连起来也是五啊，这个连起来也是五 啊。第四个条件， o d 等于三。接着让我们求角 a 的 余弦值， 我们一般来说求余弦值啊，求一个角的余弦值，我们是需要做个垂线的啊，因为它等于零边，除以斜边，但是在这里我们看线已经很多了，如果我们要做垂线的话， 那就比较乱，那有没有别的方便一点的方法啊？我们来看这个角 a， 在 这个外接圆里面，它属于弧 bc 的 一个 圆周角，那同弧所对的圆周角是相等的，我们可以换一个圆周角啊，它的大小也是角 a 的 大小，那怎么样既换这个圆周角，又能让这个垂直出现？ 我们就最好的办法就是利用它已经有的线，这条线我们可以清楚看到它是一条直径啊，把它延长过来到一点，这是条直径，那么直径所对的圆周角，这里是九十度， 那这个角 e， 它也是弧 bc 所对的圆周角，所以我们就可以得到角 a 等于角 e， 这是利用它现在已知的线段，我们来做的辅助线， 所以问题就变成了求 cosine e 的 大小，因为角 e 和角 e 是 一样的，那这里既然有直角，我们可以直接写啊，它就等于零边 c e 除以斜边 b e。 好，既然这里是三，我们知道半径是五，那第一的长度就是二。好，最后我们发现还有第一个条件没有用啊，用到这里其实已经做不出来了，但是有一个条件没用，把它用上，我们就会发现啊，这个 a o 是 垂直于 bc 的， 为什么就是垂直它？因为这两条边是相等的，也就是说啊，这两段弧相等，这两个角相等，角平分线，三线合一， 那既然出现两个垂直，这两个就是平行的，平行出来了一组 x 形的相似，它们的比例是三比二，所以这条边 o a 是 五，那我们这条应该是三分之十，所以得到 cos a 就 等于 三分之十，除以 b e 是 十，等于三分之一。

马哥讲基础目前就是整个初中三年的课本知识，几乎是已经全部讲完了，所有的重点章节、难点章节全部讲过了。所以呢，如果你的基础有问题，我说的基础有问题，就是百分之七十以下，如果一百分考不了七十分啊，比如说考五六十分，那我建议啊，这里面的哪一张你觉得有问题，你就仔仔细细把哪一张听一下， 基本上你听哪一张就解决你哪一张的问题，而且是你可以反复听嘛，对吧？就比如说实数与二次根式啊，你比如说你实数可能没有问题，但是二次根式的运算有问题，这里面讲的非常透彻，你把它反复听，肯定能搞定的。所以呢，整个的马哥讲基础系列的视频啊，视频就在主页，进到主页上面有三个合集，初一合集，初二合集，初三合集， 三大合集。把这东西全部讲完了，是免费的，奖益也是免费的啊，你只要需要啊，你大大方方，痛痛快快，你直接来找我领就行了，这没有任何的套路啊。马哥，免费就是免费的啊，是收费的，马哥有付费课，马哥要吃饭，对不对？但是呢，这些免费内容就是帮助你解决技术问题的要领这个奖益，你就点头像留言或者加粉丝群。

大年初三，家长沈阳大东区一模填空压轴题目，这道题目出的非常的妙，做垂时，我们用三角和勾股利理求边长，然后再用面积法求线段和，出的非常的妙， 三步环环相扣。我们来看一下这道题目。在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b 的 长度等于六，那么 c、 d 就是 六， b， c 的 长度等于五角， a 等于六十度 点 e 在 边 a、 b 上， a， e 的 长度等于二，它连接 d， e， 将线段 d， e 绕着 d 点 逆时针旋转六十度，那么这个角就是六十度，又因为它是旋转的，所以 d、 e 它应该是等于 df， 那 么三角形 d、 e、 f 它是一个等腰，并且它含了一个六十度的角，所以三角形 d、 e、 f 它应该是等边三角形，它连接 e、 f 交对角线 b、 d 于点 g， 然后过 g、 m 分 别作 g， m 垂直 d， e， g， n 垂直 d， f 让我们求 g， m 加上 g、 n 的 和。那么这种题你是不是很容易想到用面积法， 如果我们能把三角形 d， ef 的 面积如果能求出来，那么这个 d， ef 的 面积，它是不是也是等于二分之一？ d， e 乘以 m， g 加上二分之一， d， f 乘以 g n， 又因为 d， e 等于 d f， 那么这个三角形的面积是不是等于二分之一的？ d， e 乘以 mg 加上 g n， 那 么这个 mg 加上 g、 n， 它的和不就可以出来吗？所以说这个题目的关键点，我们就是要求这个等边三角形的边长， 这个边长出来了，那么这个等腰三角形的面积不就出来了吗？然后我们再用面积法就可以求出 g， m 加上 g、 n 的 和。这个题目看起来是不很复杂，其实就是为了求等边三角形的边长， 那么这个等边三角形的边长其实方法很多啊，那么今天的话啊，我重点讲一种方法，然后第二种方法我再提醒一下大家，辅助线大家下去再做，因为角 d、 a、 b 等于六十度， 我们要去求 d、 e 的 长度，那我们是不是很容易想到过 d 点向 ab 做垂线，你看看这个垂线 做了之后有什么好处呢？因为这个 a、 d 的 长度等于五，那么三角形 d、 a、 h 这个三角形肯定可以解出来，那么 d、 h 的 长度可以求 a、 h 的 长度，可以求 a、 e 的 长度，知道，进而我们可以求出 e、 h 的 长度。然后在三角形 d、 e、 h 当中，我们用一下勾股定力，不就可以把 d、 e 的 长度求出来吗？你看这个方法是不是很简单很好，想看到六十度嘛？你肯定要想到做垂直， 你要把这个六十度用上，那么 d、 h， 它应该是等于 a、 d 再乘以三英六十度， 所以我们可以得到五乘以二分之根号，三，就是二分之五倍的根号三 a、 h， 它应该是等于二分之五吧。这个角是三十度，三十度所在的直角边都是斜边的一半， 所以它应该是等于二分之五，所以我们就可以得出 e、 h 应该是等于二分之五，减去二就是二分之一。 然后我们再用勾股定律，我们可以把 d、 e 勾出来，它应该是等根号下 d、 h 的 平方加上 e、 h 的 平方就是二分之五倍的根号三括号的平方再加上四分之一，这个分母 都有一个四，我把这个四开出来，就是二分之根号下五倍的根号三的平方就是七十五，七十五加上一就是七十六， 所以 d， e 它等于根号十九。那么接下来我们用面积法，先把 d、 e、 f 的 面积我们求出来，它是一个等边三角形，这个等边三角形的面积公式应该是四分之根号三倍的 a 的 平方，这个 a 就是 边长嘛。 四分之根号三倍的根号十九的平方就是十九，所以它应该是等于四分之十九倍的根号。三、 三角形 d， e、 f 的 面积，它应该是等于二分之一的 d， e 再乘以 m， g， 加上二分之一 d， f， 再乘以 g， n。 因为这两个边长是一样子的，所以我们可以得到二分之一的 d， e， 再乘以 g， m， 加上 g， n， 我 们代入数据， 这样我们可以得到 g， m 加上 g， n， 它应该是等于二倍的面积。二分之十九倍的根号三，再除以 d， e， d， e 的 长度是根号十九，所以它应该是等于二分之根号下五十七。 所以说最终的答案应该是二分之根号五十七，这是其中一种方法。我刚刚不是说的吗？这个 d、 e 的 求法，我们还有其他的方法，我再提醒一下大家啊，大家下去之后可以用这种方法再做一下，因为这个角 a 是 等于六十度，那我们要充分用这个角，那我们是不是可以过一点向 a、 d 做垂线，因为 a、 e 的 长度知道等于二，这个角 a 等于六十度，那么 a， k 和 e、 k 我 们都可以求垂。 又因为 a、 d 的 长度知道，所以我们可以求出 d， k 的 长度， d， k， k， e 都知道我们用勾股定力勾一下是不可以求出 d e 的 长度，你看这样也可以吗？对不对？就大家一定要抓住食指， 就它有一个特殊角，那我们做垂线的时候要把这个特殊角用上，你看这么做的话思路是不是非常非常清晰？ 那么这个题是一道非常好的题吗？虽然他看起来很复杂，只是他就是让我们求等边三角形的边长，然后我们用面积法去做就行了。那么大家如果想要沈阳大东区中考一模试卷的，可以在评论区打沈阳，点赞关注我们，下期视频见！

都藏着掖着是不是？今天呢，我就要把这个三角函数的口诀交给初中生，以后呢，再碰到三角函数的计算题，就全部轻松搞定了。家长们点赞保存，说不定什么时候呢，视频就下架了， 一二三三二一三九二十七，所有根号别忘记啊，三是二扣三是二，看着呢，写三放分母化简写成最终值，学会了吗？我等你们今年回来报喜！