2026中考模拟几何体北京

思路一模一样，二零二六年海定二模的几何综合与二零二五年海定二模的几何综合是一个思路。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年海定二模的几何综合。 第一问呢，相对来说呢就比较简单，他在这里告诉我们 a e 旋转九十度得到这个 e f， 所以呢我们在这里就可以，呃，假设这个角是阿尔法，那这样的话这个角呢咱们就能得到了，然后呢告诉我们这个点 e 是 中点，所以这个边，这个边，这个边，这个边，甚至这个边这五个边呢都可以标成阿尔法。 好，那这样的话呢，我们就可以通过这个三垂啊，三垂这个全等，然后呢得到这个 c f 是 垂直于 bc 的 第一个呢，咱们就直接快速的跳过，我们来看一下这个第二个， 这个第二个呢让我们去正这个角 b f d 的 一个大小，这个 b f d 的 大小，如果让我们去猜的话，应该是九十度。好，这里边呢大家看一下啊，你这个三角形是一个直角三角形， 这个三角形是一个直角三角形，这个三角形呢是一个要正的直角三角形，他们有一个公共的锐角点 b， 那 我们就可以用我们所说的思路了，就是直接倍长得到 双等腰，然后利用这个双等腰出手拉手来解决这样的一个问题。好，我们来看一下，按照这样的一个逻辑，我们可以把这个 c a 啊给它给加倍延长啊，变到这个位置，假设这个点呢是 m， 这个时候第一个等腰就出来了， 然后呢我们把这个 d f 呢也加倍延长，然后此时就能得到第二个等腰了，假设这个点呢是 n， 这两个等腰画在这，大家也能感受到，他应该是要着手拉手的，所以我们要把这个拉手线给他给画出来。第一个啊，等腰的左手点在这，他的左手点呢在这，所以呢我们就去连立 n c， 这样的话呢，得到的这一个三角形 和第二个等腰三角形的顶角点在这，以及这个顶角点在这，得到的第二个等腰三角形的手拉手，也就是说我们只要证明这两个三角形全等，那咱们这道题就做出来了。好，大家现在来看一下啊，我们在构造出这样的一个情况的时候，你会发现这个点 e， 它呢？这个终点也都被我们中位线给用上了，大家现在可以去复习一下，二零二五年海淀二模的来到几宗，你会发现一模一样，那在这个时候我们的条件用哪些呢？用黑色加粗的笔给大家标一下啊。首先呢是这个， 这个 b m 和这个 bc 啊，它是一个明确的等腰三角形，这是我们拿到的第一个条件。第二个条件是什么呢？我们会发现这个 md 它和这个 a、 e 是 中位线的关系。然后呢，这个 c n 它和这个 e f 也是中位线的关系，所以我就能拿到 md 等于 c n 了，两个边咱们都知道了，那我们接下来就要把所有的精力放在这个角度上了，这个角度好不好正呢啊？其实 通过大家对于咱们这个几何的了解，我们会发现核心就在于倒角了，题目里告诉我们这个角是阿尔法，这个角呢，它也是阿尔法，那我们现在呢，能想到，呃，怎么把这个角度给它给传递过去？这个对于我们来说是很很重要的，这是第一个关键的信息。 第二个呢，他又告诉我们这个地方旋转的是一百八十度减去二倍的阿尔法啊，这里一百八十度减去二倍的阿尔法，好，这个地方我们干嘛呢？我们现在呢，在这里假设这个角是 c 塔角， 那如果这个角是 c， 它角的话，大家看一下，那么这个角就是一百八十度减去二倍的阿尔法，再减 c， 它因为你有中位线，所以这个角它也就是一百八十度减去二倍的阿尔法，减 c， 它 好，第一个角咱们能表示出来，那你这个第二个角讲道理和它应该是一模一样的，对吧？那我们现在能知道是这边这个小角在直角三角形中，所以它应该也是一个九十度减去一个阿尔法，因为你这里边呢是 c， 它角，所以这个角 它是不是应该就是九十度减去阿尔法，再减 c 塔，再配合着咱们的中位线的这样一个逻辑，所以我们就能得到这个角它也是九十度减去阿尔法，再减去一个 c 塔。那你现在把这两个角合在一块，我们就能得到这个大角是一百八十度减去二倍的阿尔法减 c 塔和它相等。至此我们就得到了三角形 m、 b、 d， 他 就全等于三角形 c、 b、 n， 那 他俩全等之后，我们就能进一步的得到，所以 b、 d 就 等于 b、 n。 这样的话呢，我们再根据三线合一的这样的一个性质可以得到 啊， b f 是 垂直于 f d 的， 进而可以推出角 b f d 就 等于九十度。呃，这个题目的思路呢，在我们 二三年中考之后一直在考察啊，在这两年呢，考的也比较多，也是我们所说的三线合一或垂直倍长。海淀二零二五年的二模考的也是这个思路啊，希望这个视频呢可以帮助到大家。

这是一道旋转模型边的题，那这组边一定是全等的对应边，那我们找到四点共圆，外角等于内对角，那我们就找到了对应角，加出弧线， 那有一组边有一个角，那再把第三边连上，那自然而然这就是那全等三角形。 好，在辅助线迅速的时候，我们可以根据条件来选择，这个我们可以找 边角边。

ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们刚刚结束的啊，今天刚结束的这个西城的初三二模这个几何综合，好吧，然后这个题他还是一个手拉手加一个斜面中线啊，整体上来说，整体来说的话，老师认为难度 上壳啊，没有那么难哈。呃，首先这个 abc 是 一个等腰三角形，然后角 b 是 一个阿尔法，对不对？然后你就记住啊，这阿尔法和二阿尔法这种东西的话，一般出现如一般如果同时出现的话，基本上就跟手拉手是挂钩的 对不对？要不然的话，他就需要咱们直接去构造一个以二阿尔法为顶角的两个等腰三角形去构造手拉手，要不然的话，那咱们就得去考虑对不对，比如说这个半角模型，通过半角模型，然后再去推这个手拉手，这样， 好吧，然后第一问咱直接过来啊，然后第二问说这个呃 c d 旋转了， c d 旋转二阿尔法到这对不对？说明这个角是一个二阿尔法，然后这个角也是一个二阿尔法，对不对？那这个这当大家看到这个角是二阿尔法，这个角是二阿尔法的时候，应该能够遇上一个事，就是这四个点是一个共圆的， 对不对？因为这个角加这个角是等于一百八十度的，对吧？所以这个圆内接四边形才对角互补嘛，所以这四个点是共圆的，你别管它用的上用不上，但是咱得意识到有这个事，好吧，然后继续呃，说是表示这个 a c 跟 呃 b d 和 e f 的 一个关系，同志们啊，就是这个第一个图啊，咱们之前应该很强调一句话，叫什么呢？叫我卡住的时候一定要去看已知和前面提车，那这个已知包括什么呢？已知和前面提车包括什么呢？第一个包含文字性的信息，第二个包含图像性的信息， 所以第一个图如果这么画，而且这块你知道的是一个直角的话，第二个，第二个，第二个第二题的时候，老师上来啥都没干，直接把这个直角给他做出来了 啊，直接延长之后变成了一个直角，对不对？那我我也不知道这块是不是直角，我就根据我的 d 问的图，第二个我就想这么去干，对不对？这是咱们一个需要干的一个事啊，然后我们接着往下看啊？ 呃，然后我们知道，然后 d 问当中我们可以得到 b、 d 和 a、 c 是 一个二倍关系，对不对？那 a、 c 和 b、 k 我 们看着也像一个二倍关系，对不对？然后 b、 d 是 这个，然后 d、 k 和 e、 e、 f 看着还像相等，那基本上这个结论也就出来了， 对不对？那就是 b、 d 加上个 d、 k 等于二倍的这个 a、 c， 那 也就是这个 b、 d 加上个 e、 f 等于二倍的 a、 c， 对 不对？那基本就这样了。所以到这儿的话，你只要去证明 e、 f 等于 d、 k， 那 e、 f 等于 d、 k 的 话，两边不在一个参数型，那肯定优先去通过全等，全等的话，那我肯定要把 c、 f 连上，对不对？因为这俩参数型看着很，看着很像嘛，对不对？然后连上之后我去正 啊，我去正，这个时候我们还有几种里面有一句话叫什么呢？叫我要改变我的辅助线去输方式，然后让我的辅助线 啊，因为辅助线是给我提供引条件的，然后让辅助线给我提供的这个引条件是我需要的这个条件，那我需要正这个特写，你和这个特写你是全等，对不对？那我直接就去目前我的条件有哪些？有这个边等于这个边， 对不对？其次有这个角等于这个角，为什么呢？因为这个角加这等于一百八，所以这角加这角等于一百八，因为这角加这角一百八，所以这个角等于这个角，对不对？ 然后其次的话，我啊，没有了，那就知道这个角一个边，对不对？那我直接干嘛？我直接延长，延长这个 b d， 对 不对？延长 b d， 然后使 d k 等于 e f， 这样的话，我一个边加一个角，再加一个边 s a s， 这样三角形是不是就全等了， 对不对？然后圈等之后逐过我去再正。这个是直角嘛？这个是直角，然后这仨边相等嘛，对不对？然后很好正啊，很好正啊。这个角是阿尔法，我们是知道的，然后我知道这个三角形和这个三角形是全等的，那这个角 对不对？这个角和这个角应该就是这个，呃，相等的，这个角是二阿尔法，那这个角也是一个二阿尔法，对不对？然后这个边等于这个边，所以这个角是九十度减阿尔法，那这个角是阿尔法，那这个角自动就是九十度了， 对不对？那这个角是九十度减阿尔法，这是二阿尔法，那这个也是九十度减阿尔法，那 a c 就 等于 a k 了，所以我的这个 a 点就是我的阿尔特尔去前面中线了，前面中点了，对不对？那我要正的这个答案它不就出来了吗？ 好吧，这个就是咱们西城啊，西城处在二摩的这个几宗。好吧，整体来说的话也是够到一个手拉手加一个前面中线，他还是非常气，跟咱们中考的这个趋势还是非常像啊，还是非常趋近的啊。

第三问蟹酱，第二问是 连红和白的迷你脸，教你就可以。

好，我们接着来讲海淀初三二波的这个几种题啊，这个几种题的话出的非常好，对吧？猛一看他有点像二三年的北京中考题的一个改编，但这个题的话给大家提供三个方法啊，可能待会会录三个视频， 呃，就看大家考场上能不能反应过来，如果这个题能反应过来被藏的话，其实只要抓一个方向，对吧？这个题就可以迎刃而解啊。好，我们来看一下题目当中说的，他说的是角 b， a， c 是 九十度，我们直接看第二个啊， abc 呢，是等于一个 r， 点 d 呢？在它弦上，然后点 e 是 一个中点，连接 e， a， 把 e a 绕着点 e 转了个一百八减二， f， 就 这个角是一百八减二， f 得到一个线段， e f 连接 b， f 还有 d， f 直接写出它这个大小，它肯定是个九十度，对吧？而且这张是有一个相等的边，我们第一个方法的话就可以想被藏去构造中微线 法一，通过背长去构造一个中卫线，其实这个知识点的话，应该是八年级下册，对吧？你们的几中需要强化一下啊，就是现在学校进度都比较快，都忙不到，就是在讲那个初三的东西，其实中卫线和斜中线这两中应该强化一下啊。 好，我们应该怎么构造呢？就是把它给延长，把它也给延长这个地方， 然后呢？把它给连接起来，把它给连接起来。你这样子的话，好像是有一个手拉手， 对吧？有一个手拉手啊，我把它写成一个 q， 把它写成一个 h， 因为这个边 是等于这个边，对吧？他们两个相等，然后还有一个什么呢？我只需要证明这两个边相等，这个里是不是就迎刃而解了， 对吧？他俩就迎刃而解了啊？那所以我们再来看这个地方是有一个中点吗？对吧？我们背插完了之后，我们刚说要出中微线，所以还需要连接它， 然后呢？还需要连接它，你这样的话是不相当于就构造出来一个中微线，对吗？因为什么呢？因为这个边等于这个边，所以我们是可以得出 h、 c 呢？是等一个 q、 d， 对 吧？把它们连接起来，那这个地方就明显的是有一个，什么有一个手拉手的啊？ 那么手拉手的话，我们要抓什么？要抓夹角，因为这个地方是有一个九十度减二法，这个地方是有一个 b， 它 我们利用外角，对吧？它是一个掰它，我们为什么要用外角啊？因为我们要要去正，这个夹角是和这个夹角相等，而这个夹角等于谁？又等于个它， 那么利用外角的话，这是九十度减 f， 这是掰它，所以说这个角的话应该是九十度减 f 减 b， 它它们俩之间是有一个平行，所以说这个角 也是一个九十度减二法减摆它，因为这张是有一个中微线，然后这个大角总共是一百八减二法再减去它，所以说这个角应该是九十度减二法加摆它和这个角完美的相倒，所以我们再去勾手拉手， 因为这个手拉手的话怎么去正啊？因为这个边等于这个边，这个边等于这个边，它俩平行，所以说这个地方九十度减二法加摆它， 所以我们用这个 s、 a、 s 可以 去证明三角形 q、 b、 d 全等于三角形 c， b、 h， 所以 是不可以得出 h， b 等于个 b、 d 三线合一 叫 b， f、 d 等于九十度，对吧？这题就搞定了啊，这是我们的第一个方法。

石景山一模的几何中难用好方法真不难，今天给大家介绍一个比较简单的方法，我们一起来看一下二零二零年北京石景山一模的几何综合 题目，告诉我们几个比较关键的信息。第一个在这里边有一个直角三角形，并且告诉我们这个角是阿尔法，这样的话怎么就能得到这个角是九十度减去阿尔法， 然后又告诉我们它里面旋转了一百八十度减去二倍的阿尔法，所以第一问我们就直接秒掉了二倍关系，这里咱们就不做过多的赘述了。好，同理呢，我们在这边也要简单的去说一下 a d 绕着点 a 旋转这样的一个度数，这里边呢有一个直角且是二倍的关系，所以对于手拉手稍微有一点点了解的学生都知道，我们可以在 a 处再去构造一半这样的一个三线合一的状态，也能出一个在 a 处顶角为一百八十度减去二倍阿尔法的一个等三角形， 等腰三角形加等腰三角形就会出手拉手模型，所以对于大家来说，这个三角形和这个三角形全等，那我们都是能快速得到的。好，接下来我们要去证明 p q 和 df 之间的一个关系，大家对于这个关系应该也都能快速简单的猜测出来， df 应该是等于二倍的 p q 的， 在证明的过程当中，我们可以八仙过海，但是这道题有一个更加简单巧妙的方法，也是二零二五年北京中考对于我们方法上的一个提示了，就是对于边的一个 用法，倒边。好，我们来看一下这道题到底该怎么去解决它，我们可以在这里面发现，因为你这条边和这条边是平行的， 然后我们根据手拉手的全等知道这个角是阿尔法，下面这个角也是阿尔法，那进而我们能得到这个地方有一个小等腰三角形，那 既然他有等腰三角形的，我们就以此为突破口，假设这边是 x， 那 这边是 y， 那 这样的话我就能得到这条边应该就是 x， 加上 y， 同理这条边应该也是 x， 加上 y， 又因为是轴对称，所以这个点是中点，那这条边应该就是中位线，所以这条边就是二倍的 x。 这样的话呢，我们还能得到这边应该是二倍的 x， 加上二倍的 y。 至此很多人可能就觉得我们这个导边是不是结束了，其实并没有，我们会发现 中间还有一个特殊图形，特殊图形就是可以辅助我们去导边的，所以这个特殊图形咱们也可以用起来，它是一个矩形，这个矩形的证明非常简单，四个直角直接给了，所以我们就直接设这边是个 z， 这样的话我们就能得到这边应该是 y， 加上一个 z。 好 了，各位，这个点 c 是 中点，咱们千万不能忽略。那至此我们能得到这一条边应该是二倍的 x， 加上一个 y， 再加上一个 z。 好， 同理，那这边和它应该是相等，因为它是一个等腰三角形， 这里边就涉及到了三线合一的用法，所以这边也是二倍的 x， 加上一个 y， 再加上一个 z， 我 们用这个大边再减去这个小边，你会发现这条边应该就是 z， 减去一个 y。 好 了，现在我们来看一下这里边的关系， d f 是 z 减 y 和 z 加 y， 所以 这边应该是二倍的 z， p q 是 z， 所以 它们之间二倍的关系就直接中出来了。 这就是我们所说的这道题比较巧妙的一个方法，极致的导边。在这两年导角和导边都成了咱们几何中的核心内容，大家呢一定要注意借助全等和中点进行设参，利用参数让关系呈现的更加明确，希望这个视频可以帮助到大家。

洒在书桌上，白日的钟声， 听，那钟声在响。白日的 虫， 清晨的光洒在书桌上，白日的钟声一敲响， 听，那钟声在响白日的 虫 清晨的光洒在书桌上，白日的钟声一敲响。

ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们二六年三番中学一点五的这个代数综合。呃，这个题目他最后的落脚点实际上还是落落脚在至少存在或者说存在几个呃 y 值相等的点这样的一个问题上，只不过他把这个表正形式变成了三角形 a o c 的 一个面积， 对不对？那咱们看一下这个题啊。呃，首先面的前面我就不错了啊，整体上来说的话，就是给了你一个抛线，然后对应成 s 等于负二，这样的话，你的抛线里边只有 a， 只有 a 这样的一个未知数， 然后括号二的话，它这里面设到一个平移的问题，对不对？向左平移，那咱们说是左加右减，而且是左右加减的是自变量，对不对？所以我原来急是，比如说是这个 a 倍的括号 x 加二的平方，那么你平移之后呢？就是 a 倍的括号 x 加四括号的平方，对不对？这很简单啊，然后他说， 呃，过抛线上过抛线， p 上一点 a， 然后做 a 轴垂线，对不对？那比如说这是那个，这是那个抛线，对不对？过一个点做垂线，然后垂足为 垂足， b 是 m 零，就是也就说这个点是 b， 对 不对？然后交抛线 q， 这个是抛线 q 向左平行两个单位长度的这个 q， 然后一点 c， 这点是 c， 对 不对？那我们知道 a 点和 c 点他们的这个横坐标肯定是一样的， 那 a c 它就一定是垂直于这个 s 轴的，对不对？然后它让你表示这个 a o c 这个三角形 a o c 的 一个面积，那 a o c 的 面积的话，直接抵乘高呗，对不对？用 a c 乘以个 o m， 对 不对？呃， o b a c 乘以个 o b， 再乘个二分之一，实际上就是我的这个三角形的面积了，对不对？ 然后我再去用我的量分别去表示我的 o b 和 a c， 那 o b 的 话呢？就是 o m 的 长度，对不对？就是 m 的 一个绝对值嘛？然后 a， 呃，然后这个 a c 的 话，那我就得用 y a 减去个 y c， 对 不对？减完之后它大概就是这样的一个东西，对吧？ 呃，呃，减完之后大概就是这样的一个东西，对不对？然后带到这个里面去，然后我加个绝对值嘛？加个绝对值，然后最后就会得到这样的一个， 呃，这样的一个关于三角形 a o c 面积的这样的一个函数表达式，对不对？然后借此去进行画图，对称轴是 x， 对 称轴是 m， 等于这个负的二分之三， 对吧？然后不管实际上不管 a 大 零还是 a 小 零的时候，它这图都是都是一样的嘛？都是这样画的。呃，它说存在三个不同的位置，是三角形 a、 o c 的 面积相等，那这个 a o c 呈现到这个图像当中的话，实际上就是 y 值嘛？就是这个音变量嘛， 对不对？就是音变量就是一个 y 值，所以我要找在 am 在 a 到 a 加三这个范围内这个区间内，然后要找到三个 y 值相等的点，对不对啊？然后 a 大 于零的时候，肯定不成立的，对不对？因为 a 大 于零的时候，你的 a 在 这， a 加三在这，这样的话，你在 a 到 a 加三，它 a 到 a 加三，它是一个单调的， 对不对？所以他肯定不存在相等的这个位置相等的这个 y 值的点，对吧？然后只能是 a 小 于零的时候，然后 a 小 于零的时候，他就会出现两种情况，第一种情况是这样的，第二种情况是这样的， 对不对？第一种情况就是 a 在 这个这块， a 在 这个负三的左侧的时候，那此时我如果说 a 加三在这个位置的话，那我只有两个值， 对不对？对应的这个 y 值是相等的，对不对？但是他说要求有三个，所以 a 加三还得往右走，走到这个位置的时候，对不对？那走到这个位置的时候，比如说 a 加三在这个位置， a 加三对的 y 值在这个 a 对 应的 y 值的上方， 那此时我们说，嗯，那这个 y 值相等点实际上还是有两个，对不对？所以我一方面要保证，当我的 a 加三这个点对应的 y 值的下方的时候，比如说 a 加三在在这块的时候， 那我是不是就会出现这个一二三三个点对应的 y 值是不对的？ y 值相等的，对不对？所以我首先要保证我的第一种情况，要保证我的 a 是 在负三左侧，其次 a 加三放到这一块，对不对？ a 加三放到这一块，那 a 加三放到这个负二分之三和零之间的这个，同时让我的这个 a 加三对应的 y 值要小于这个， 要小于这个 a 对 应的 y 值。注意，不能等，不能取，等啊，不能取，等啊啊。因为你取等的时候，比如说 a 对 应的 y 值跟 a 加三对应的 y 值是一样的，是相等的时候，这样的话你也找不到三个点，你只能找到这样的两个点， 对不对？因为他这个 a 和 a 加三他都是不取等号的吗？对不对？所以你得让你 a 加三对应的 y 值要小于 a 对 应的 y 值，对不对？然后这样的话就是第一个，第一种情况下就是 a 小 于负三，然后 a 加三放到这个之间，就是负二分三和 a 之间， 然后同时把你的 a 和 a 加三对应的 y 值都给它求出来，然后解一个关于它的一个不等式呃，就会得到 a 加三的平方大于零，但实际上大于零的话，那就是 a 不 等于负三嘛，对不对？然后最后可以解出来， a 的 取数范围是大于负的二分之九，小于负三的，对不对？然后第二种情况的话， a 你 还可以在这个位置，对不对？就是两个紫色点嘛？ 那 a 在 这个位置的时候，你的这个 a 加三在这个位置对不对？就跟正好跟他对称的这样的，不是正好跟他外置相等的这样一个状态，那此时他应该是不成立的，对不对？我得让这个 a 加三对应的外置要大 啊，要大一点，这样的话我才会出现这个一二三，这样对应三个点，对应的，让他对应的外置相等，对不对？所以这样的话我只需要去保证，首先我 a 的 话在这一段范围之内，然后 a 加三的话在这一段范围之内，然后同时保证我的这个 啊，同时保证我的这个 a 加三对应的这个 y 值要比 a 对 应的 y 值要大，这回是要大，对不对？然后最后就可以得到我们最后的结果啊，最后的结果，嗯，他俩合并一下第二种范围求爱结果是 a 大 于负三，小于这个 呃，负的这个二分之三，然后他们俩合一块的话，就是这个东西跟呃上边这个 a 上面这个东西合到一块的话，那最后结果就是 a 大 于负的二分之九，小于负的二分之三，且 a 不 等于负三，这个问题就解决掉了。好吧，那实际上整体上来说的话呢，他还是一个 讨论 y 值相等的点的这样的一个个数的一个问题，那可能会可能有三个，可能有四个，对不对？可能有两个，对不对都是有可能的。但是他这个跟咱们以往的题不同的点在于哪？在于他 呃把这个表正形式变成了三角形 a c， a o， c 的 一个面积，所以需要咱们简单的做一个转化。好吧，那这个题老师就给大家讲到这哈，拜拜。

距离北京中考还有三十二天的时间，这条视频呢，我给大家传递焦虑啊，我还是来给大家分享干货，今天给大家分享的是这个选择压轴，在前边的视频当中呢，其实我已经提到了，关于今年的选择压轴，一定会是以这个反比例函数综合为主，而且这个题目难度一定会增大， 那么同学们需要做的就是在平时当中的，呃，在平时的练习当中，一定要去把这个一些固有的一些结论可以去记住，然后去运用就可以了。好，我们来看这道题啊， 这个题目第三道题，这个题是海淀西城、东城啊，各大学校都已经考过的一道题，这个题目呢，我觉得，呃，可以去挖掘点还是非常多的，那我们就来看这道题啊，他说的是这个反比函数，然后过了一些条件等等之类的，对吧？然后给出结论，那我们来看下第一个结论， 看到比例，我相信百分之九十九的学生都会去想到一个点叫什么叫相似，但是我们在整个的比例当中，你不仅仅是要想到一个点叫什么叫相似，但是我们在整个的比例 除了要想到的是相似之外，还有一个是什么是交叉相乘，好，交叉相乘， 我们来看这个题目当中，你如果说第一个思路是找相似， ok， 那 就是 f g 是 这，然后呢？ f b 是 这，大部分同学都会觉得是这个八字相似，但是有一个问题，你找不出任何的相似的判定，所以说这样我们就不能够沿着这条路走了，只能干嘛，只能转化，干嘛去找这个乘积，对吧？也就是说 f g 乘以 a g， f g 乘以 a g 是 这个三角形的面积，那么呃，是不是它面积吧？是它的面积的一半，然后呢？是它面积的二倍啊？说错了，然后这个 e g 乘以 b， 这个 b g， 那应该是这个，呃， e b 这面积的二倍。那么我们再去想一件事，所有的反比例我已经说过了，在遇到的时候，我们百分之九十五以上的情况，在选填当中一定会想到的是它的面积，它的几何意义，对不对？那这道题也是一样的，那么我们可以怎么着？过点 a 向外轴做垂直， 好，过点 b 向这做垂直， ok， 这是 m， 这是 n， 那 么我们现在能得到的是这个的面积和这个的面积相等，为什么？因为这个的面积等于这个的面积中间交错了一块这个面积， 所以就能得到的是这个矩形和这个矩形面积相等啊，这第一个结论就已经瞬间正完了， 没问题吧？很简单啊，说的比较多，那么第一个对了，第二个就一定错了，为什么？你把比例关系列出来，你就知道了， f g 这个时候是比上的是谁？是比上的是 e g， 所以 一定是错误的，你可以写出来自己验证一下。 做到这的时候，其实这道题已经完成了啊，我讲用了三分钟，但是你做的话一定会非常快啊，这个第二个是错的，所以一三四答案就直接选择 d 选项了， ok， 因为我们现在不是在考场上，所以我们现在必须得明白，就是我们的这个三和四到底为什么是对的，是吧？好，我们来看下这个第三个 面积。好，也就是说这个 a、 f、 b 的 面积，这个三角形的面积和 a、 e、 b 的 面积相等，为什么啊？一定是这个面积和这个面积相等，再加中间这个 a、 g、 b 的 面积，是不是自然就有两个大的相等了？没错吧？所以第三个也自然就成立了。那第四个呢？我给同学们讲啊，我们现在无论是就是这样的一个图形，呃， 给大家呃，写一下，就是无论是，比如说这个反比例啊，他是这样的，对吧？和这个交点，然后组成这个啊，这两部分面积相等还是什么样的情况啊？那么我们都会去想到跟面积相关，是吧？那这个时候也是一样的，你看啊， a、 d 等于 bc 吗？等于，也就是说这个三角形和这三角形一定是全等的啊，只要这组成了一个矩形，无论什么情况下它都是全等的啊。为什么？我给大家说一下，刚刚已经证明了什么面积相等，那就过这个做垂直，好过这个做垂直。 因为两个三角形的面积相等底是一样的，所以高就相等，高相等，我们知道的是，就是这个是和这个相等的，并且是平行的，那我就直接干嘛连接这 是吧？为什么？因为平行线间的距离相等，也就这个和这个是平行的。这个结论我们可以直接用，就是我刚刚所总结的，只要 中间是一个矩形，你就可以用这和这是平行，能明白吧？好，那你就自然知道了，这个和，呃，就这个和这个是相等的，因为是个平四嘛，是吧？好，那同样的这个和这个是不是也是平行的？ 没错吧？好，也是个平四，这是个平四，这是个平四， ok， 所以 自然就得出来了。第四个是对的，那上下这两个三角形的面三角形是不是也是全等的 也就得出来了。所以说这些结论呢，我们需要在平时多去总结，多去归类呢，这个三老师都会带着我所有的中考冲刺班同学们一定要把它总结好，然后我们在考场上就可以非常快速的选出这正确答案，我们这个题目能够稳稳拿下这二分。 所以说我跟大家讲，我们整个的讲解内容一定是有重点的，在最后这个阶段，大家也是一定要分成你能够够得着的，能够去拿下的这个板块先去解决，这样的话呢，一步一步的能够把 把你所之前不会的全部功课之后，你的分数再就能够提升啊。所以说我们下一周啊，基本上像海淀，像这个朝阳都要进行这个二模了，那么还有像我这个通州，对吧？大部分地区都要进行二模了，所以一定要在这个这个周六日一定要做好复习，这样的话呢才能够拿下二模的高分。

今天我们来一起学习 二零二六年省实验中学中考三模数学试卷分析， 大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们再来分享一个啊，河南省实验中学的一个三模数学试卷的一个压轴题啊，这个试卷的话，其实呢，很多题都是非常类似的题啊，我只分享一道这个第十五题啊，那有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享大家啊。 好，第十五期比较有意思啊，但是如果说我们学会分析的话，其实这个题都变得非常简单了啊，很多题都是老题啊。好，话不多说，让我们再看这个第十五期啊， 这个期其实是一道隐形元的一道题啊，如图，在三角形， a、 b、 c 角 a、 c， b 等于九十度，角 b 等于三十度，这是一个三十度，六十度一个这样三线 a、 c 是 一个四的话，那么这边就是四的一个三，这边就是一个八了，对吧？ 好， e 是 a、 c 中点，这是一个定点。好定点啊，定点，其中很多点都是动点啊， d 的 d 是 动点， o 是 动点，然后呢， m 和 n 都是动点啊。好，他说现在以 c、 d 为直径做出来圆 o， 好， 记着啊，看见直径啊，那这个时候我们就要想到直径所对的圆周角是不是九十度呢？ 哎，非常好，那就说明了这边是一个九十度。又说无论什么呢？无论，无论这个点地用到什么地方，那么这个时候始终和地垂直，比如我可以再换一种情况，比如说点地用到这个地方，那这个时候的话，那就相当于是这边是不是一个垂直呢， 对不对？如果说点地用到这个地方的话，那这边我们再去拉一下，对吧？再去做个垂直，但能看出什么不呢？看出来了对不对？看出来了，直径对直角 对吧？也就是说 c e 这一段是固定不断的固定不变，那么他说对的直角对吧？说对的直角，说对直角。那这个时候我能不能说点 f 的 运动轨迹其实就是一个以 c e 为直径的一个圆上呢？这点非常关键啊， 这点非常关键对不对？当你能发现这一点的话，那么这个题就变得比较简单了啊，不会受其他的干扰。好， 我们继续读题啊，这个时候让我们求什么呢？ fm 加 m n， 嗯，好， fm 加 m n， 这个时候还要运用到将军以马的思想来，我们先把这个动点运动轨迹先画出来， f 的 运动轨迹就是一个这么一个在这个半圆上，但是它可能并不是一个半圆啊，但是，但是呢，一定是这个圆的一部分啊，但是并不影响我们求这个对值。 好，又是点 f 的 一种轨迹啊，直径对直角，那接下来我们如何求？比如说圆上一点，然后与这个边的一个夹角，与这个边上一点，还有这个边上一点，那这个怎么做呢？我们可以利用将军印码的一种思想啊，这边做出来一个对称，对吧？ 做出来一个对称啊，做出来对称，那就意味着这个角等于这个角，所以说我就可以把上面这个线段转换成这一段线段，对不对？你看其中要求的是这个蓝色线，再加这个蓝色线，那我就可以转换成是不？下面这个蓝色线呢，对不对？就这一段我再加这一段就可以了啊？ 好，那么画成最最本质的话，那是不是就我要找原上域点，然后呢再到这个下面蓝色线的一个距离呢？这个数其实就是一个线圆问题啊，线圆 线有问题的话，你就直接过这个圆心啊，做这个线的一条垂线啊，来，直接拉下来，直接做垂直啊，直接做垂直能看懂吗？直接做垂直啊，当我们做出垂直之后的话，那这个时候就确定了 f 就 来这个点，而 m 在 这个点， n 在 哪呢？ n 这个时候我们可以再往这边再去做垂直就可以了，能理解吧， 因为这个线段始终等于这个线段。好，接下来就是要求解，那接下来我要求的就是这部分长是不是就开人了？好，观察一下这个题中的要告诉我们的信息， a c 是 一个四啊，并且一是终点，那就是下面这个上面也是这段是一，这段也是一啊，于是现在这边是不是一个等边的样型呢？ 为什么呢？因为这个角是直角，这个角是三十度啊，那么这个角就是六十度，对零角这个角也是六十，再加上其中原来这个角也是六十，所以说现在这边这个三角形就是一个等边三角形啊，这个边是一个三，那么这个边也应该是三，或者这一段就是一个二，对不对？这一段成是一个二啊？ 好，接下来我们继续看啊，这个边是四，那么原来这个大这样的斜边就是一个八，那么斜边是八的话，这边是三，所以这一段是不是就要边斜边一半，那么这一段就是二分之五啊，所以这个答案 是不是有二分之五再加个二呢？对不对？所以答案就是二分之九啊，好，比较简单啊，有需要这个实验的朋友可以私信下我，这个实验我就分享这么多，如果说觉得分享你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心下来观看我们下个视频，不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

二六年北京中考数学几宗将以什么样的题型出现在前面的视频当中呢？其实我给大家分享过二六年北京中考的几宗，会有一些调整，不会再考手拉手再加终点了，而是会以终点为重点去考察。那么今天这条视频呢，我就给大家来分享一下这个第十九题，看一看当遇到终点的时候， 我们能够想到的究竟有什么。首先我们来看这道题啊，这个题呢，是一个旋转题目，我就不再带大家去读了，就是一个旋转的一个过程。 那么我们来看第一问，让我们判断的是阿尔法和 beta 的 数量关系，我们知道的是这是阿尔法。然后呢，这个角是 beta， 那 么它们明显是一个跟这个 cbd， 也就是说这个角是互补的关系，那这个 cbd 是 多少呢？是不是一百八十度减去 beta 除以二对不对？那也就是说是九十度减去二分之一 beta， alpha， 呃，减去二分之一的 beta 是 不是等于九十度？ ok， 这是第一问的结论就出来了，很简单啊，大家，这个应该没有任何问题。我们来看第二题，他说 alpha 等于二分之三 beta 的 时候，你能想到啥？是不就直接知道 beta 是 九十度是吧？也就是说我们知道的是，这是九十，这是四十五，这是四十五啊。然后再说取 a c 的 中点 f， 当谈到 a c 中点 f 的 时候，我们会想到的是等腰三角形的三线合一，因为这个 ab 和 bc 是 一，呃，这个相等的对吧？然后他说 f b 等于 f g， ok， 让我们来判断是 e g 和 b 的 关系。 e g？ 我 连接一下啊， 应该是这段和这个 b d 关系完全不搭，尬，那怎么办？是不是就要找他们这种关系？那我们怎么找的？据我们现在所有的这个知识点，我们能想到的是因为这有垂直，我们先去做垂直，然后有终点，就会想到的是斜中，我们先去想啊，这些有终点相关的，这个 基础模型应该是连接，对吧？好，那我就知道了，这应该是一个 e、 f 等于 a， f 等于 f、 c 没有问题吧？那么你看这个三角形 b、 c、 d 还是一个什么是一个等腰，所以我们可以利用什么叫做三线合一做垂直， 对吧？好，看，一看，能通过我们已有的这个知识，能不能去解决我们所有的这个这个集中的这个问题啊？ ok， 这是 m， 那 么当我做完之后是不是就知道了，这是共斜边所， 所以呢？和哪共斜边？这是直角，这是直角，所以是不是 e、 a、 m、 c 四点共圆，对吧？这是多少度？因为这九十，这四十五，所以这就是九十度啊，这个应该是这啊，这应该就是九十度，对不对？ ok， 好 了， 这儿九十，那我们就能得到啥，我们就能得到三角形的全等，因为你想一件事啊，我们现在要求的是它和它的关系完全不搭嘎，是不是得转换边之间的关系才能得到相信啊？说到这里，大部分同学已经明白了，应该是这个三角形和这个三角形是全等的，也就是说 f、 g 和 b、 m 是 相等的， 所以是不是就等于二分之一的 b、 d， ok， 这个题就解决了啊，这就是这道题，其实你会发现这个几何类的问题，包括终点类的问题啊，它的难度呢？ 不大，但是你就是做不出来，哎，就是要这种感觉，你看像今年西城一模的这个题目也是一样的，你感觉它并不难，但是你就做不出来，你就想不到这个点，所以说这也是中考的一个新的方向啊。就是你原来看这个图非常熟悉，你现在看这个图也非常熟悉，但是你原来用的是什么？手拉手加终点，现在就不是了， 所以说你要多去总结，多去归纳。那么对于我们这类题目呢，其实在我们今年新初三的状元班我也会去讲，所以说如果说你的孩子今年之后啊，要上初三的，那么也可以啊，抓紧时间来去找我，如果真的想听的话，可以抓紧时间来找我，我们会 真正的去以中考为导向来帮助每个孩子提升。大家千万不要一直等着，为什么？因为你一直等着，你会发现你的时间非常紧张，你的提升非常有限，但如果说你提前规划，提前布局，我们就能把所有的这个知识点训练在平时，在明年中考当中，你就能够拿下中考的高分。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

昌平二模的几宗也在考察边与角构造全等，大家在做题的时候不知道是否有导出我们的核心角度。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年昌平二模的几何综合题目里告诉我们这个边旋转 r 法度得到这个边，然后让我们去求这个角，这是一个老生常谈的问题了， 旋转三等幺，我们会发现呢，在这道题当中，它是一个等腰三角形，这个呢是一个等腰三角形，这个呢也是一个等腰三角形，尤其是后面这两个等腰三角形有一套壳的形式，我们用这个大的等腰三角形的底角，减去小的等腰三角形的底角，就能求出咱们的已知角。所以说第一题相对来说呢是比较简单的，我们快速的说一下这个结论。好在等腰三角形 a、 d、 b 中，我们可以求出角 a、 d、 b， 它应该是等于呃六十度，减去二分之二法。第二，在等腰 三角形 a、 d、 c 中，我们可以发现角 a、 d、 c 等于九十度，减去二分之二法，所以角 c、 d、 b， 它应该就等于三十度。 好了各位，我们算出来这个角是三十度，这个时候我们心里就应该要想到这个三十度，它很特殊呀，它对于我们来说应该是比较重要的，在我们做的第二题当中，应该要用得上这道题的思路，有点类似于咱们东城一模的思路，我们来看一下第二本，第二本呢告诉我们就是 a、 e、 c 和 d、 b 三边的关系。 我们首先呢可以去猜测下这个结论，发现呢不是很简单的那种 a 加 b 等于 c 的 模式，那接下来我们要去思考这三个边到底怎么才能把它给联系起来，然后呢还能配上这个角度， 当然我们在这个地方呢，还有一个等号三角形，它就到了这个三线合一，对吧？这个时候你会发现 e c， 它应该就等于 d 的， 那对于很多学生而言，我们在这种情况下可能就会想到，你要往通过点 c 往这边做了一个垂直，这样的话呢，你会发现这条边和这条边它的关系就建立起来了，那我们只要再去证明这一边和这边的关系，我们这个思路 也相对来说比较清晰啊，这是我们所说的叫做 plus 版的截长补短模型。好，那我们如果要是从另另外的个角度来看啊，这里边大家要注意，你现在会发现你拿到这个信息啊，其实可以把它更加的全面一点，尤其是角度信息， 在圆综和几何当中隐藏的会比较多。我们会发现这个角它是六十度减去二分之 r 法，那这个角它也是六十度减去一个二分之 r 法，这个角就应该是二倍的 r 法。好，那这样的话呢，我们再来看一下啊，题目中还有哪些角是我们所说的二倍的 r 法呢？它连了一个，它做了一个 a e， 你会发现旋转的原本是阿尔法，你又是一个等腰有一个三线合一，所以这个角也是二分之阿尔法。好了，各位，这个边和这个边是相等的，这个角和这个角是相等的，你在这里做了一个垂直，那很明显我能快速的想到什么，我也去做一个垂直，对吧？找葫芦画瓢，我们在这个 c 处做一个垂直， 这个时候你会发现两者的思路就完全联系起来了，此时你就能得到什么呢？我们就能得到三角形 c h b， 它就一定是全等于三角形 呃， d a e 的 啊，进而我们能得到这样的两个信息啊，第一个是 c h， 应该等于 d e， 等于这个 e c 的 好。第二个呢，我们还能得到这个 a e， 应该是等于 h b 的 好，这是在这个图形当中。然后呢，我们在 r t 三角形 c， d h 中啊， c d h 中，我们又会发现角 c， d h 又等于三十度，所以这条边它应该就等于这边的根三倍，对吧？那这样的话呢，我们就能得到什么叫做 d h， 它应该等于根三倍的 c h， 那 就等于根三倍的 c e， 把这里面的这个东西呢还给往这个边条啊。这个时候呢，我们就能得到这样的一个信息了，用蓝色的笔让大家看的更清楚一点，把它给放过来，对吧？然后呢，我们又知道的是 a e 啊，他又等于这个 h b， 所以 这道题的最终的结果就是 d b， 他 就等于一个 h b， 加上一个 d h， 就 等于 a e， 再加上一个根三倍的 e c， 那 这样的话呢，咱们这道题就做出来了，总体上来说呢，思路还是比较清晰的，根据边与角去构造全等。 但是在考试的过程当中有两个问题，第一个问题，大家可能依旧是模型思想，导致自己思路受阻卡住。第二个 他在这里边，在第一问当中，虽然说给了三十度我们能想到要用，但是呢，第一个问题当中能给我们带来的角度信息并不多，可能很多学生没有进一步的去导出一些隐藏的角度，导致自己的思路受阻。 大家以后要注意了，在做几宗问题的时候一定要注意角度它的重要性啊。如果说你的思路受阻了，你可以去尝试着倒角，看看有没有等量关系辅助我们解决问题。

这是一道中考的填空压轴题，百分之九十五的孩子啊，都不太会做，但是如果你会鸡爪模型的话，我们可以立马秒减。好，同学们，我们来看题啊，他说在这样的一个正方形 a、 b、 c、 d 内有一点 p， 然后告诉我 p a 的 长是一，然后 p b 的 长是二， p c 的 长是三，让我去计算这个正方形的面积，那么如果你想要去求这个正方形的边长，只要我求出边长的话，那我们的面积自然是可以求出来的。 那什么是鸡爪模型呢？我们在之前给大家讲解过，如果你见到一个题目当中有一点发三线，并且有两条线段的是相等的，其实就是共端点等线段，那么下一句话叫什么呢？叫旋转全等看一看， 所以它的本质上是构造一个旋转全等，那么因为已经有一点发三线了，你只需要再找到另外一条线段就可以了，实际上就是构造一个手拉手模型。那我们来看一下，在这个题目当中有一点发三线，比如说我们现在就选择这个 b 点， 从这个 b 点它发出来三条线段， b、 a、 b、 p 以及 bc， 并且有 bc 这个线段和 ab 这个线段相等，我们可以看一下这个三角形 a、 b、 p， 也可以看一下这个三角形 b、 p、 c。 所以 接下来呢，你到底去转哪个三角形呢？我们其实这两个转哪个都可以，假如说我选择这个小的三角形，我们知道条件提供给我的 ab 这个边叫做工具边。 接下来呢，我们在做旋转全等的时候，我们可以看工具边怎么转能重合。同学们， ab 边怎么转能重合呢？是不应该是绕着 b 点，咱们就绕着这个方向来转，所以应该是什么呀？这应该是顺时针转，对不对？咱们把顺时针转九十度， ok， 那 么顺时针转九十度之后，就和 b c 这条边它应该是重合了。接下来啊，第二个我们怎么去转呢？第二个就是看谁和工具边 ab 共旋转中心这个 b。 所以呢，接下来你一咋转，二就咋转，所以 b p， 我 们要绕着 b， 也是给它顺时针，给它转一个九十度啊。朋友们，咱们就把它给它转过来，所以我现在要转的是 b p 这个点， 然后绕着这个 b 啊， b p 这个边，咱们现在绕着 b 点，顺时针转九十度，因为一咋转，咱们二就咋转。刚才我们已经顺时针转九十度了，所以接下来你看啊，咱们顺时针转一个九十度，比如说这个点是 q 点， 接下来我们已经构造出这个四条线段有两两相等了。朋友们，你看一下，从一个顶点出发，引出四条线段，两两相等，那就是我们的手拉手模型管长边叫做大手， 所以呢，这个长边叫大手，管短边叫小手，这个边叫小手。一个大手牵一个小手连 ap。 接下来一个大手牵一个小手连 c q， 所以我们现在把 c q 这条边啊，咱们给它连上。同学们，那么 c q 连完之后呢，我们发现这里边就有手拉手模型的旋转全等了，所以这个蓝色的和这个黄色的应该是全等的。 也就是说，我们能够得出第一个结论，应该是三角形 a b p， 它应该全等于咱们的三角形 c b q， 所以我们的判定方法应该是边角边的全等，为什么呢？因为这个是直角，咱们这个转过来这个角它也是一个直角， 都减掉中间这个叉角，剩下的这个勾角和这个勾角相等，边角边全等。那么接下来他让我求的是这个正方形的面积，那我肯定要知道边长，所以呢，我们现在选择把这个 p q 给它连上。 朋友们，当我们这个 p q 连完之后，能够发现什么呢？ p q 这个线段连完之后呢？这是一个等腰直角三角形，你的 b p 是 二，所以你的 b q 也是二，所以咱们现在能够知道的是 b p 它应该和 b q 相等，都应该是二啊。 ok， 那 p q 咱们是不是就知道了它是一个等腰直角三角形吗？所以咱们的这个 p q 的 长度，它是不是应该等于的是二倍根号二，那么根据全等三角形对应边相等， ap 这个边和 c q 这个边相等，所以 c q 这个边长，它其实也是一， 所以我发现一个事情，就是二倍根号二的平方加上一的平方，它正好等于三的平方。那么通过这个我发现一个事情，就是二倍根号二的平方加上一的平方，它正好等于三的平方。那么通过这个角 p q c， 它应该等于九十度，也就说它是这样的一个直角三角形。好朋友们，现在这个角就是直角九十度，然后呢等腰直角三角形 b p q， 所以 这个角就是四十五度， 那么我们就发现一百三十五度了。如果我们以后在体干当中遇到一百三十五度角，我们就立刻延长做垂直就可以了，想它的补角啊，所以我们把 c q 给它延长，接下来过 b 点向这个 c q 的 延长线去做一个垂线。好，那这个垂直 做完之后啊，咱们来看一下这个 b q 这个边长是二嘛？然后你这是一百三十五度，所以这个角度它就是四十五度啊，你假装它是一个等腰值啊，不太像啊。那这个边长是二的话，那这个边长是不应该是根号二？这个边长比如说交于点 m， 这个边长也是根号二，也就是说 b m 等于 m q， 它应该等于的是根号二，这个角应该是角 b m c， 它应该等于九十度，所以它应该是一个直角三角形，所以两直角边平方和等于斜边平方，斜边就是谁啊？就正方形面积嘛，正方形面积是不应该等于的，就是 b c 的 平方， 那 bc 的 平方它应该等于什么呢？是不应该等于根号二的平方，然后加上一个，这个是根号二，加上一的平方，这就是它面积，所以根二的平方它应该等于什么呢？就是二，然后加上一个这个是根号二的平方，然后加一个二倍根号二， 然后再加个一，所以咱们来算一下，这就是二加二，加上二倍根号，然后加一，所以之后啊，我们知道它应该等于的是五，加上二倍根号二。 好，同学们，那么这个正方形的面积啊，就是五加上 二倍根号二，我们来看一下啊。对于这道题啊，如果你要想做对的话，我们还是要掌握手拉手模型的本质，其实就是旋转全等、共端点等线段旋转全等看一看， 或者你也可以。怎么记呢？鸡爪模型出现，咱们这个一定会有旋转全等好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！