2026中考几何压轴

好，我们今天再来看一道探求三角形面积最大值的问题。在直角三角形 abc 中， ab 的 长度是六， bc 的 长度是八， d 点是 ac 边的终点， e 点是 bc 边的终点。 将三角形 d、 e、 c 绕着地点顺时针旋转，得到三角形 d、 f g， 然后让这个三角形 d、 f、 g 一 直在这么旋转，那么在这个旋转过程中，三角形 b、 f、 g 面积的最大值是多少？ 好，首先根据这两个终点的条件，我们可以知道三角形 d、 f、 g 它是一个固定的三角形 d、 f 的 长度是三， f g 的 长度是四。 然后它不是让我们探求三角形 b f g 的 面积吗？现在我们已经知道了它 f g 这条边长度是固定的，所以我们有很充分的理由来把 f g 这条边当做底来看， 那这样就需要过 b 点向直线 f g 做一个垂线了，这个时候三角形 b、 f、 g 的 面积就等于二分之一的 f g 乘以 b h， 也就等于二倍的 b h， 所以 说接下来我们只需要研究 b h 的 最大值就行了，这个应该没什么问题吧？ 好，现在请大家注意看三角形 b f h， 它是一个直角三角形。相信大家都知道，在直角三角形中，永远都存在着直角边小于等于斜边这么一个关系，也就是 b h 小 于等于 b f。 好，这里我们需要暂时停一下了，因为有一些同学他可能会不太能理解这个不等式的关系，他会觉得 b f 的 长度他不是定值，所以你怎么能够保证 b f 取到最大值的时候， b h 也一定是最大值呢？ 那接下来兔哥就带大家好好分析一下这个问题。首先 f 点的运动情况大家肯定都能看出来，它在一个圆上，而由于角 d f g 始终是九十度的，所以说 f g 是 这个圆的一条切线。 好，现在我要问大家一个问题了，就是 b f 的 最大值你会求吗？这个大家肯定都会求吧，因为如果我们连接 b d 的 话，那 b f 是 小于等于 b d 加 d f 的， 也就等于八了。当前仅当 b f、 d 三点共线的时候才能取到最大值，那现在我们把图形拉到最大值的位置上。 好，刚才已经说了，因为 g f 是 一条切线，那现在共线之后， b f 和 f g 是 垂直的，而又因为 b h 和 f g 也是垂直的，所以说这个时候 h 点和 f 点是重合的状态， 现在你们能看明白了吗？所以当 b f 取到最大值的时候， b h 也能取到最大值，也就是说 b h 的 最大值也应该是八，那这个时候三角形 b f g 的 面积就等于十六，你学会了吗？

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是陕西一位同学发来的，他们二模的几何压轴题，说实话，难度还是不小的。 题目说菱形 a、 b、 c、 d 的 边长是六角， a、 b、 c 是 六十度的， e 点是 ab 边的终点， p 点在 bc 边上运动 做三角形 c p、 q 和三角形 a p、 e 相似，然后让我们求线段 a、 q 的 最小值。 好，我为什么说这道题很难呢？因为像这种旋转相似求最值的问题，我以前也只在自主招生考试里看到过，常规考试里几乎没怎么见过，所以很多同学一时间不知道该怎么下手。 那首先，像这种共顶点的旋转相似，有一个东西大家一定要牢记了，那就是旋转相似必定一转成双。什么意思呢？ 因为三角形 c p、 q 和三角形 a p、 e 相似，所以 c p 比 a p 等于 q p 比一 p， 然后我们把 a p 和 q p 换个位置，于是就变成了 c p 比 q p 等于 a p 比一 p。 如果我们连接 eq 和 ac 的 话，那么根据这个比例关系，我们可以判定三角形 acp 和三角形 eqp 相似， 所以角 eqp 是 等于六十度的，那这个就是一转成双的意思了，就是一组旋转相似会产生另一组相似。 好，那得到了这个六十度，他有什么用呢？毕竟 e p 他 不是定长是吧？ 那这里呢，就需要一点点的注意力了啊。如果我们截取 bc 边的中点 f， 然后再连接 e f 和 q f 的 话，那这个时候三角形 e、 b、 f 就是 一个等边三角形了，所以角 e、 f、 p 是 六十度的。 不知道你们看出问题了没有啊？现在 e p f q 是 不是四点共圆了呀？ 所以角 p q f 等于角 p e f。 而根据题目给的这组相似，我们可以知道角 p q c 等于角 p e a， 所以 这样就得到了角 f q c 是 一百二十度的， 你们看现在是不是有了定边加定角了呀？影圆出来了吧。那接下来问题是不是就很简单了呀？ 我们以 f c 为底边向下做一个底角，是三十度的等腰三角形，那这个 o 点就是 q 点轨迹圆的圆心了。然后我们连接 o q， 还有 o a， 因为 f c 等于三，所以 o f 和 o c 都等于角三，那 o q 也等于角三。又因为 a c 等于六角， o c， a 是 九十度的，所以 o a 是 等于根号三十九的。 最后因为 a q 是 大于等于 o a 减 o q 的， 也就等于根号三十九减杠三。所以说 a q 的 最小值应该是根号三十九减杠三，你学会了吗？

胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！

二零二六年宁波中考强基考试的最后一道大题的最后一问。当当当当，今天陈老师一定给你讲明白！来看啊，我们回顾一下这道题目呢， 第一个信息呢，就是这个共边相似， a、 b、 d 和 c、 b、 a 是 不是相似啊？于是得到这个阿尔法等于这个阿尔法，那这是第一个相似，然后呢？ 还有什么相似呢？还有 a、 f、 e 和 a、 b、 c 相似，为什么？因为外角等于什么？内对角这个是什么？是不是也是割线定律啊？对，这个是一个斜 a 相似，也叫割线定律。好， 还有什么相似呢？还有这个因为题目条件，这个角等于这个角，这个角等于这个角，这个角呢？又等于这个角，是因为第一个条件得来的，对不对？于是这两个是一个正常的蓝色区域的相似，这在这道题都要用到啊，非常恐怖，对吧？ 还有一个信息，什么呢？就是由第一问的时候可以，第二问的时候倒角可以得到 e、 f 平行于 ab， 于是这里面还有一个什么相似啊？八字相似。在第三问里又多了一个相似，用到了八字相似。好，现在陈老师把它串起来来看啊，他说什么呢？他说这个 b、 d 和 ab 之比是 k， 那 这个是什么呢？ b、 d 和 ab 之比是 k， 是 不是就是这两个蓝色三角形的相似比是 k 啊？那于是我假设什么呢？我假设你是一， a b 是 一，那么 b、 d 是 不是就是 k？ 这非常的好理解，也是我们常规的假设方式，对不对？那于是可以得到什么？因为我们两个是相似的，相似比是 k， 那 于是 bet 的 对边和 bet 的 对边，是不是假设 a f 是 a 的 话，那这个 e d 是 不是可以用 a 表示啊？没错，这个 e d 啊，就用 a 表示了，我们要证明的是你除以你，然后这个用 a 表示了，非常的 ok， 我 用一个颜色把它圈出来啊，解决的问题我们都圈出来。 ok， 这个是搞定了。好，那接着我们再看，有 第一个信息可以得到，可以得到什么？你的平方等于你乘以你，你有了，你有了，那你是不是就有了，对不对？你就有了啊，然后呢，那你呢？是不是 b c 减去 b d 就 等于 c d 啊？有的人说你算 c d 干什么呢？不要着急， 这个也搞定了啊，两个搞定了，接着我们由第一问的结论。我经常说了啊，第一问和第二问的结论是第二问和第三问的必用条件。这是一个合格的压轴题必须遵守的套路，陈老师多次说过了，好，他就要用到第一问的结论。哎，那可以得到什么呢？ 可以得到 a e 就 等于你除以你，对不对？ a e 呢？是干嘛的？ a e 是 这条最终我们要求的 a g 的 重要的载体， a e 是 不是然后和 d e 呢？ d e 在 这里。好，那我们看一看，那这个 a e 怎么求？ a e 就 等于 af 的 平方除以 d e 就是 我们的第一题的结论，直接拿来用，由已知。好， 那这个 af 知道了， d e 呢？刚才蓝色相似，知道了这个对不对？代入就可以得到什么 a e 的 长， a e 的 长。知道了，我们还可以求出什么 a d 的 长，对不对？ a d 的 长是什么？ a e 加上 d e d e 刚才已经求出来了，那最终就得到 a d 的 长好，又一个 a d 的 长求出来，我们的目的是求谁啊？我们的目的是求，看好了，是求 e f， 为什么呢？你接着往下看啊，要求的是 a g 和 d e 之比，那于是呢，这两个之比呢？这条边并不知道 a g 很 难求， 但是我们知道 a e 已经求出来了，那于是在这个平行线的八字相似里边，是不是对应边乘比例就能求出 ag 了？而对应边求比例求出 ag 的 话，那就要知道，相似比，而相似比藏在谁肚子里？没错，藏在 e f 和 a 的 肚子里， 那这个 e f 怎么求呢？哎，那就转回来了，那这个 e f 比上谁呢？当然是比上 c d 了。 公共角的对边比上对边对不对？ e f 比上 c d 等于什么呢？等于 af， af 是 不是小三角形的？呃，一条边啊，比上谁啊？比上大三角形的这条边对不对？而 a d 是 知道的， af 是 知道的，我们是不是就可以求出谁啊？ c d 也是知道的，我们是不是就可以求出 e f 啊？好， e f 也搞定了。既然 e f 搞定了，我也知道，那这个八字相似的相似比，是不是就是你比你啊？那也搞定了，八字相似 之比，是你比你，那是不是就是 a g 比上 g e 也是相似比，那 a g 比上 a e 呢？是不是分子比分母，然后呢？ a g 比上 g e， 那 a g 比上 a e， 是 不是分子比上分子加分母啊？哎，就是你，然后这里就可以得到什么了？终于得到 a g 了， a g 算出来，嘿，然后再比上 d e d e， 刚才是不是就已经算出来了？比一下，哎，最终的答案就 出现了， ok， 这道题在这么短的时间里，三问每一问是不是就已经算出来了？ ok， 这道题要想在考场上做出来，真的是太难了，太难了啊！ 但是呢，我们希望后来的同学能把它深刻的学明白，把每一个细节搞清楚，未来的考试就看你们的了。关注匠人城，更多重磅好题，谢谢大家！

你很难干过一个从初三就每天练习一道压轴题的孩子，因为他们知道，要想数学稳定，不低于一百一压轴题不能放过，就用叠变的数学压轴题进行训练。这本书可以说包含了中考的压轴题型以及解析大法。哪种题型先用经典例题教你解析方法， 答题步骤也规范，视力例题搞懂以后，再做后面的针对性练习题，把知识巩固进脑子里，难度递进，让孩子在看见这类压轴题不犯错。每道题都有详细的答案，解析题思路和做题方法都展示的清清楚楚，真正做到吃透一道题就会异类题。每天只需要十五分钟，就让孩子在考场得心应手，快给孩子准备起来吧！ 无论是中考备考，还是初一初二，想提升数学水平的这本书啊，都是不错的选择。搞定初中数学压轴题，他是按初一到初三的专题顺序纵向排列的， 每一个呢专题考点都有中考的真题带入讲解，有大量的题型加强练习，不仅直击中考命题新方向，还能掌握读到的解析技能，从而快速的提升数学的成绩。 另外呢，答案呢，是分册装订的，每一道题呀，都有清晰的解析步骤，即使不会做的题，看答案也能掌握。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似多模型综合。今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该 属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字 八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这，给你个比例翻点，这是 a， 这是 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊。自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八，反 a 八，反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a， 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八。反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八，反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似。不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的，好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似，三个直角就可以导互于正相似。阿尔法。贝塔互于，贝塔和他互于，他也是阿尔法，阿尔法和他互于，他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法、贝塔、贝塔相等就相似。 好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似。本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示。那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形。既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己比。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比就等于它的三边比， 这就是用相似的两种方法，而只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 上。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积。 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔 啊，这个也贝塔。好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c。 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s， 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好？表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四，算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为，好，再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了， 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比，哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了，这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示。这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉是不是就是 s 一， 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s 三角形 a 撇 e， f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好，算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一。 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积？它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面要核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意 就是用相似表示线段的方法好来看第二题，第二题能不能看出来它考的是个什么？相似？八字相似，哎，捅八字捅哪个点？统一点，非常好。这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似， 相似比是多少呢？啊？你可以看自己比，他的自己比是六和六，他的自己比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 d f， 我 要求 d f。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在 什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字 相似比是多少？相似比就是一比二嘛，相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以做个答案， d f 就是 四结束。哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间假比例关系，你把它捅出去就造八字。注意， 捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有两个八字，你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束， 这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。好再来好来看看这个题，这个题他说什么？说这两个都是角分线，然后呢，这九十度，这九十度，这是一个梯形啊，把这条线段转过来啊。最后呢，让我们求什么？就是告诉我们这条线段是二 啊，他俩的比是根号五，最后要求 a d 的 长。首先当你看到双角分线的时候，两个角分线为什么要给你双角分线？一般来说，双角分线意味着这里看和差，和差定值，那么双角分线一半啊，两个一半也是定值，你看一下这两个角的和差是不是定值， 一定要去这么想，为什么是这么说呢？因为当出现双角分线的时候，如果原本和差是定值，那么双角分线一半和差也是定值，他就是这么编的。题，当出现了双角分线，那意味着什么？ 意味着可能如果原本的和差是个定的，那么双角分线之后一半的和差也是定的。和差吗？就是加起来吗？来，那么这两个角的和是定的还是差是定的吗？因为这两个同旁内角互补，他俩加起来是一百八， 他俩加起来，也就是说两个阿尔法加两个贝塔等于一百八十度，那么阿尔法加贝塔是不是就等于九十， 对吧？因为同旁内角互补，两个阿尔法加两个贝塔一百八，一个阿尔法加一个贝塔九十，那么这就是九十度。因为这个角加这个角互余，那么这就是九十度，这就是你看到双角分线以后该有的意识。而这个角分线呢？还有第二个玩法，你看啊， 当你看这个角分线上的点，因为我们角分线，你看角分线还有第二个角分线，如果你看到了一边造垂直， 那你是不是一定要去看一看另外一边再造垂直，就会得到权能，对不对？来，你看这条角分线上的点，已经向他的角的一边做了垂直， 那我是不是就应该顺手再由意向谁去做垂线？我是不是应该再由意向 c、 d 去做垂线？ 一旦做完垂线，那你会发现这两条垂线段是不一定是相等的，这两个三角形也一定是全等的。那么同样的道理，这个 e h 不 光等于 e a， 这个 e h 不 光等于 e a， 还等于谁？ e h 等于 e b， 因为这条线也是角平分线，他往这边做了垂直，还往这边做了垂直，这两个垂线段长肯定也相等，还等于 e b， 好， 那么这样的话，我其实得到了 e a 等于 e b 这个点， e 它是一个终点， 这就是角分线做垂直造全等，哎，我就得到了这个等于这个等于这个，这都相等，还等于这个。好，那这个时候既然我们知道这些线段都相等了，我就应该干什么了，哎，我就应该射了吗？那我肯定把它射出来，我就射，这是 a， 那么这也是 a 啊，那这是 a 啊，这还是 a， 对 吧？ a a a a， 然后呢，人家要告诉我们， ab 等于根号五倍的 bf， ab 是 多少？ ab 是 二 a 等于根号五倍的 bf， 所以 这就是二 a， 再除以根号五嘛， 对吧？你看它是它的根号五倍，这是二 a， 这是二 a， 除以根号五，那么 bf 也就表示出来了。 这是一开始我们对条件的解读啊，包括双角分线，包括向两边做垂线，包括呢？这些相等的线段，我把它设出来。好，那么最终这道题要求的是 a d， 要求 a d， 要求 a d， 这显然是放一个三垂直里面去求，没问题吧？ 当你得到这个是九十度的时候，你要求 a d， 显然是放到这个三垂直里去求，这个三垂直太明显了，对吧？为什么一定是放到这个三垂直呢？因为你会发现，你要放上面这个直角三角形，啥条件也没有，所有的条件几乎都集中在下面来，那么这一下呢？我们从哪入手去求呢？大家觉得这里面目前 最关键的三角形是哪个三角形？这个三角形是已知条件目前最多的三角形，那我肯定从这入手了， 锁定这个三角形，那这个三角形是一个等腰三角形，你要想用这个已知条件，你怎么办？三线合一，第三步就是等腰三角形，三线合一，等腰三合一。注意，为什么在这个想到要在这个等腰上去做三合一呢？因为这个这个等腰三角形条件太多了，我一旦做完三合一，哎，那你会发现，这就是根号五分之 a， 这也是根号五分之 a。 好 了，那这个直角三角形，它的三边比就是一比二，比根号五。看斜边和短直角边的比是根号五比一嘛？根号比一，我给你画一下，它其实就是 一比二，比根号五的三角形，它是它的根号五倍，它是它的根号五倍，那这就是根号五分之二 a。 来，再来，我现在知道了这个三角形的三边笔了，然后呢，我就想办法要找跟他相似的三角形，这是九十度，这是九十度。来，看好了，这一个九十，这两个九十，大家能想到啥？再往下，我得到了这个三角形三边笔，我肯定要想办法用它，一个九十，两个九十，大家想到啥？内三垂直，为什么说内三垂直？来，我给你在这画一下，看，这是九十度， 拉了一个条线，这是九十度，哎，那自然，我在这再来个九十度，这是不是就是内三垂直？所以呢，我一定是过哪个点向下做个垂线，过 f， 我 再向下做个垂线，一旦做完垂线，哎，那你会发现这两个绿色的三角形就构成了内三垂直。内三垂直意味着这个三角形的三边比也是一比二，比根号五， 所以他是二， a 除以五，然后他是他的二倍，这就是五分之 四。 a 看，一比二比更好。五，因为这两个三角形相似，用一次自己比，所以第四步是内三垂直，对吧？内三垂直就是这两个绿色三角形相似，他是一比二比更好，五，他也是一比二比更好。五。 好了，到这呢，我们都表示出来这么多线段了，来，能不能带上这个二，来把这个 a 算一算。你这次应该观察了，这么多线段都有了，看一下 能不能列出相似。这又有一个 a 字了，看，这两条线又是平行线，哎，那么这一个平行线就会出现一个 a 字，就是 f h 平行于 e， b 会有一个 a 字。第五步， f h 平行于 e， b 就 会有一个 a 字， 对不对啊？就是这个 a 字，这个 a 字我用 fh 比 e， b 就是 五分之二， a 比 a 就 等于二，比 a 加二，这个 a 字就有二，比 a 加二就等于五分之二。 a 比 a， 来看一下这个比例关系很好算，我可以算出来， a 等于三， a 等于三呢？整个问题都结束了，来，我们来观察一下，最后 a 等于三的话，那这就是二，这就是五分之六。 五分之六，这是二，就是五分之六，可以算出来这条线段是五分之八，这条线段是五分之十二，那么 a 等于三的话，二， a 就 等于六，这都是三，这也是三 好。那么最后再 y 三垂直，这个 y 三垂直，你在那这条边我就可以算出来是四好。最后第六步，第六步就是 y 三垂直，大的三垂直大三垂直就是 a， d 比三就等于三，比四， a d 就 等于四分之九。结束，所以这道题总共有六步，把这道题搞定。来吧，兄弟们，你看我们用了哪六步呢？第一步，我们想到了双角分线，这得九十度，就得大三垂直。这是第一步，双角分线和差定值得九十度。第二步， 看到了角分线，向一边做垂线，我再向另外一边做垂线，那么你会发现这些都是全等的啊，这两个全等，这两个全等导致他和他相等，他和他相等，导致这两条线段的相等得到，这是终点，这是第二步。 第三步，在这个三角形内等腰三合一，这是第三步。好，第四步，内三垂直，内三垂直得线段长。然后呢？第五步， a 字。第六步，大三垂直。来，我来说一下，五分之二是怎么来的？看他是他的根号五倍，你用他除以根号五，就得到他 内三垂直。一般怎么想到？来，我再给你画一下内三垂直。一般怎么想到，当你看到了这有一个直角，这里面拉了一根线，那么这有垂直，那么你可以。你看啊，你这种时候造内三，你可以这么造，这是内三垂直。 你还可以怎么造啊？你还可以这么造，这也是内三垂直。总的来说，你只要有三个直角，可以倒覆于正相似就行。好吧，这就是内三垂直。怎么想的？来，我来说一下啊，就是这道题啊，其实你单看任何一步都不难，都非常简单，但是你把它揉在一起，就需要你对这些东西特别特别的怎么样？ 就像你对，哎，比如说双脚分线啊，脚分线造拳等呀，等腰三线合一啊，内三垂直啊，还有这个平线带来的 a 字啊，还有最后的大三垂直，如果你把它揉在一起，你就需要你对这些东西特别特别的熟，所以这就是基本功的熟练度， 这就是这两年中考的考核方向，他不会考核你什么天马行空，然后特别特别复杂的什么模型，不会的，这两年中考很少考到那些东西。 这两年中考这就是最常见的题型，就是他很复杂，他揉了很多东西，单看任何一个都不难揉在一块考你基本功，我跟你说，你不需要做太多的题，你把这道题给我做十遍，你去感受一下， 把它做十遍，就是你要把题目真的做透，让这些本事长在你的脑子里，而不是你贪刷很多，这不需要刷很多题，真的，我们整个孩子们，你说缺不缺练题？他们题量都太多了，他们是做题太多了。来，我们再来今天最后一道题，二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形， 然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值，这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度， 那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么，这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量。首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b。 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系放在一块。一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立 三垂直，全等，再来等量，等量，你就表示三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己正吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经正过了，他告诉我们 e、 d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m、 n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形的边长，你会发现，那么 e g 就是 三， e g 是 三，那这也是三。大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁，那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这个，因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm， 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm， 等于三分之二了，我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线求国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢，我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二，十六， 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n 你 要注意它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n 想让它只能放到这个三角形，但这个三角形啥也没有，所以呢，我取线就过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造 a 字，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段。所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中充斥着飙射、放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西？看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八，像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样，三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合。我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先这些最基本的模型以及构造你必须得会，这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看，我们昨天讲的是最基本的全等相似，对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说，这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。

这是一道去年中考的填空压轴题，全班几乎全军覆没，其实如果我们用鸡爪模型的话，可以立马瞄见好同学们，我们来看题啊。那么有同学说，老师这个鸡爪模型是什么意思呢？就是我们在一个图形当中，如果能够看到这样的一个图形朋友们，他就是我们的鸡爪模型， 其实他的本质是什么呢？就是我们的手拉手，他会告诉你有两条线段相等，那么你需要去构造出另外一条线段，因为在这个正方形当中，我们知道共端点等线段旋转全等看一看，所以一定会有旋转全等，那么其实手拉手模型的本质也是旋转全等， 那如果我们看一下这样的一个鸡爪模型，让你去构造出一个手拉手的话，我们是不是在做一个相等的线段，就转一个相等的线段吗？所以这个和这个是相等的，如果我们管他叫大手，这个边大手大手拉，小手一连， 所以这个三角形和这个三角形是不应该是全等的，我们一定会有这个夹角相等啊，那剪掉之后呢？所以你这两个角它不就是相等了吗？是不是？所以我们鸡爪模型它的本质就是一个手拉手模型，是一个旋转全等啊？好，那同学们，我们来看， 如果我们在这个图形当中，咱们看到有一点发三线，你发现了吗？ a 点啊，它发出来三条线段，并且有两条线段是相等的，谁呢？就是 ab 这个线段和 ad 这个线段相等， 然后这有一个 pa。 那 么接下来如果我们按照手拉手模型去构造的话，从一个顶点出发，要引出四条线段，两两相等，但是这是三条线段，有两条相等的线段，所以这条线段我们看 ab 这个线段它怎么形成的？是不是应该是这样逆时针转了一个九十度，所以接下来我也可以把 pa 这个线段给它逆时针去旋转九十度。 ok， 那 我们来做一下啊，咱们现在把这个 pa 这个线段给它逆时针转九十度。好，那么这个点啊，咱们就教他于一个屁撇点， 做完之后呢，我发现这个角它就应该是个九十度，这个边长告诉我是一个根号二，那这个边它也是一个根号二，我们把这个 pp 撇给它连上，它就应该是一个等腰直角三角形，所以呢，我们再把这个 p 撇 d 给它连上。 那么连完之后啊，我们能够发现这里边会有一组全等三角形，也就是说三角形 a p b 这个三角形它应该全等于三角形 a p 撇 啊，这是一个边角边的一个全等啊，因为这个角它也是一个直角嘛。然后呢，我们把这个中间这个角减去，剩下这两个点角，如果标点的话，它应该是相等的关系啊。 然后我们看一下吧，现在我们要求这个 p d 的 一个最大值，所以我能够知道的是 p d 它应该小于等于这个 p p 撇二，然后加上我一个 p b 的 长度是一个四，它和 p 撇 d 是 对应边，所以这个边也是四。 所以呢，咱们的这个 p d 它应该小于等于这个 p p 撇，它应该是一比一比二，所以它就是二，所以小于等于二加上一个四，然后就是六。那么什么时候咱们这个 p d 的 值达到一个最大呢？应该是你的 p p 撇，然后 d 这三点共线的时候， 它会达到一个最大值，所以 p d 的 一个最大值它就应该是一个六，所以这个值它应该是六。好，那我们看一下这个题其实本质上就是一道旋转全等的题目，就非常的简单。 那么如果以后在题目当中遇到一点发三线，我们要想到去构造一个手拉手模型，构造一个旋转圈等，好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

同学们好，我是江涛，我们对二零二六山西中考一生一测三几何压轴进行视频分享。考点涉及到通过旋转出现等腰，再结合特殊比例一比二比根号五来确定线段长。 那么一起看一下本分试卷几何证明二、十三题。本题十三分综合于探讨问题情境，如图一，在矩形 a、 d、 c、 d 沿着直线 b、 d 折叠得到三角形 b、 e、 d 点 c 的 对应点为 e， 过点 e 作 e、 f 平行 d、 c 交 b、 d 于点 f。 分 析推理第一问，如图一，连接 c、 f， 判断四边形 c、 d、 e、 f 的 形状，并说明理由。那么目测在图一当中 c、 d、 e、 f 为菱形。先回答问题，开始证明， 那么由于折叠属于全等变换，对应边对应角都是相等的，那本身第一问也是没有难度的。因为折叠，所以 d、 e 等于 d、 c。 当然还有折叠当中最关键的辅助线，折横是角，平分线也是垂直平分线，所以我们得知这个角一等于这个角二。那要注意考试不可以标角一。 然后因为用题上告诉我们说 e、 f 和 c、 d 是 平行的，所以角三和角二是内错的。那么同学们，三等于二，一等于二，所以一三相等等角对等边 e、 f 等于 e、 d， 那这个时候由于 e、 f 等于 e、 d， 从而等于 c、 d， 所以 e、 f 和 c、 d 现在变成了既相等又平行的两条线段，所以它是平次。随便加一组邻边相等得菱形，这是第一问， 那么第二问深入探究要稍微繁琐一点。他说将三角形 d、 e、 f 绕着点 d 逆时针旋转，如图二，当 e、 f 垂直 b、 d 于点 m 的 时候，点 m 在 线段 b、 d 上时延长 d， f 交 b、 c 于点 n， 试判断 b、 n 和 d n 的 数量关系，并说明理由。那么先注意在旋转前先分析图一， 那么旋转的过程当中，首先 e、 f、 d 一定要看清楚，它是 e、 f 和 e、 d 为幺的，等幺它的底角，角三等于角一，它们始终都等于哪个角呢？都等于矩形当中的 b、 d、 c 这个锐角。 如果大家搞清楚这个之后，你再做右边这个图就很容易了，我们看看清楚了。根据图一，我们能知道 e、 f、 d 这个角， e、 f、 d 这个角永远都等于角 b、 d、 c 啊，大家看清楚，我们再对照着图一看一下， e、 f、 d 这个角永远都等于 b、 d、 c 啊，内错角嘛， e、 f、 d 无论怎么旋转都等于 b、 d、 c。 好， 那么分析清楚了这两个角相等之后，那么题上的条件是， 当 e、 f 和 b、 d 垂直的时候，让同学们证明 n、 b 等于 n、 d， 那 也就是我得证明这个角一等于这个角二，那么同学们， 其实我们已经证了，为什么呢？等角的与角相等，我们会发现，由于角 f、 m、 d 是 直角，我们还是写一下，那就意味着角 e、 f、 d 这个锐角加上角二哎，等于九十度。 那么因为矩形 b、 c、 d 是 个直角，所以角 b、 d、 c 加上这个角一等于九十度。 而我们因为在图一当中就分析出来了 e、 f、 d 和 b、 d、 c 是 相等的内错角，所以等角的余角一等于二，等角对等边，所以得出 n、 b 等于 n、 b。 好， 我们来看这个题的第三问，说连接 a、 f， 若 ab 等于一， ab 等于二，当点 a、 e、 f 在 同一条直线上时，直接写出现段 a、 f 的 长， 那么同学们这就是通过旋转出现我们的一二根号五。对于这个考点，是我们二六年山西中考几何专项冲刺第一专题特殊角确定线段长所涉及的考点。 那么老师也提醒大家，这些考点的专题内容全部已经结束，有回放，同学们可以通过后台私信详询获取。那么老师也提醒大家，二六年山西中考最后冲刺也可以报名预约了， 分别在五月三十一号、六月七号和六月十四号上午的十点到十二点线上直播。老师会根据二六年模拟考试当中出现的高频考点，带着同学们进行最后的冲刺学习。 同学们可以通过搜索微信公众号、微信视频号、抖音或小红书、江涛数学，通过首页添加江涛微信，也可以添加江涛个人微信，江涛幺三九零三四加入到我们二六年山西中考的最后冲刺学习中来。 那么回到这个题目当中，题目要求旋转三角形 a、 e、 f 使得 a、 e、 f 贡献，那么要先分析清楚之后再赚。 我们看一下图一，我们把图清理一下，题上告诉我们说 a、 b、 b、 c 分 别为一和二，那就是 dc 为一， dc 为二，那也就意味着这个菱形的边长都是一， 还要知道的是什么呢？ b、 c、 d 这个直角三角形的三边比是一二根号五，哎，因为包含了这个角，而 e、 f、 d 这个等腰要在旋转的过程当中。我们刚刚分析过 e、 f、 d 这个角，哎呦，永远和 b、 d、 c 是 内错角，那也就意味着同学们 e、 f、 d 这个等腰的底角所在直角三分之三边比是一二根号五，那么在旋转前我们先把它求出来，怎么办呢？我们在这个等腰当中选择过顶点 e 向底边 f、 d 做垂线，假设垂足为 k， 那 么刚刚分析了哈，这个角等于 b， d、 c 三边比一二根号五，斜边是一占根号五份，那一份就是一除根号五，五分之根号五，那么哎， d、 f 这个长度就是它的二倍五分之二倍根号五， e、 k 呢？哎，也是五分之二倍根号五，其实这个题当中需要 d、 f 这个长度就够了，以及大家一定要注意， e、 f、 d 是 以 e 为顶点， e、 f、 e、 d 为等腰的 等腰三角形，而且还得知道 e、 f、 d 这个锐角所在三边米是一二根号五，那这个时候就可以开始画图了， a， e、 f 三点共线啊，那这个时候我们不需要画的非常的标准啊我们，但是我们一定要想清楚了啊，谁为顶点，谁为腰？ e、 f、 d 比如说这个样子啊，作图会有一些误差，好，就这样 稍微调整一下， 哎，好的，那么同学们，这是第一种情况，旋转到 e、 f、 a 三点共线，那这是 e， 这是 f， 那 就大家还记得吗？ e、 f、 d 这个底角永远三边比是一二根号五，而且我们在图一当中求出来 d， f 这个长度是五分之二倍的根号五，标上五分之二倍的根号五， 这个锐角三边比一二根号五，而且还已知矩形的长至二，那这个时候要求 a、 f， 而且还已知为一个特殊角，那我要把它放直角三角形中，所以选择过点 d 向 a、 f 做垂线，这太简单了，假设垂足为 h， 那么意味着 d h f 三边比一二，根号五，斜边五分之二倍。根号五份，那么一份 h f 就是 五分之二，那么两份 d， h 就是 五分之四。可是要求 af 呀，那取 a h 直接勾股就好了。 二是五分之十，它是五分之四，那么 a h 我 们来巧算，五分之十可以看成五分之二乘五， 五分之四可以看成五分之二乘二，那么说明斜边也一定是五分之二乘多少对，五和二勾股就好了。根号下五方减二方，那就是五分之二，再乘以二十五减四，二十一，根号二十一。所以同学们， a h 的 长度就是五分之二倍的，根号二十一。 所以在这种共线的情况下， a f 的 长度我们就算出来了。 a f 的 长度是五分之二倍的，根号二十一，再加五分之二，哎，分子也可以写到一起哈，再加一个五分之二。那这这个题的第一种情况，我们来分析。第二种情况，旋转到上方的时候， 哎， a e、 f 三点共线，那么旋转到上方的时候一定要注意啊，应该是 f 要在靠近 a 的 这个点， 哎，我们把这个等腰给它画出来， 哎，这是两条相等的腰，我们把这个顶点设为 e， 然后这个底角设为 f， 不要忘了这个角， e， f， d 永远三分之一二，根号五。而且我们刚刚在图一当中算出来， d， f 的 长度是五分之二倍，根号五， a d 这个长度已知条件是二。这个题是让求 af， 这种情况下，好多孩子选择过 f 做垂线，做不出来，那大家一定要注意关注特殊锐角的三边比这个角，三边比一二根号，那咱们应该把它放直角三角形中，所以选择过点 d 向 e、 f 做垂线。 既然三边比一二，根号五，所以五分之二倍。根号五份，那么一份就是五分之二，所以 f、 h 是 五分之二， d、 h 是 它的二倍，五分之四依然要通过勾股定义算出， a h 再减五分之二，那么刚刚我们已经算过二，可以看成五分之十。 对五分之十和五分之四进行勾股巧算，我们最终能算出来 a、 h 的 长度是五分之二倍的，根号二十一。所以这种情况下， a、 f 的 长度是 五分之二倍的，根号二十一减二啊，你也可以拆开写好，所以同学们这道题目分析到这里啊，这个题也是非常优质的一道题目。

同学们好，我是江涛，我们对二零二六山西中考名校联考三几何压轴进行视频分享，考点涉及到手拉手旋转出特殊角来解线段长。那么一起看一下本份试卷二十三题几何证明本题十三分综合与探讨 问题情境。在数学活动课上，同学们以图形的旋转为主题展开探讨。如图一，在菱形纸片 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c 等于四角， a、 b、 c 等于六十度。菱形纸片 a、 b、 c、 d 沿对角线 a、 c 剪开，得到两个全等的三角形。 将三角形 a、 b、 c 绕点 b 顺时针旋转，旋转角范围零到三百六，得到三角形 a 撇、 b、 c 撇， 才想验证。第一问，如图二，当点 a 撇与点 c 重合时，判断四边形 a、 b、 c 撇、 c 的 形状，并说明理由。那么目测这个图形为菱形，先回答问题，再开始证明。 那么首先我们说这个题非常简单的第一问，原因是本身给了大家菱形四条边相等，那么 b、 a 等于 b、 c 还给定同学们角 abc， 这个锐角是六十度，而且短的对角线已经给大家连接起来了，它会出现两个全等的等边三角形。 那么在第一问特定情形下呢？它又旋转这个等边，并且让这条三角形的对应边 b、 a 落在了 b、 c 上。 也就是说，首先这两个三角形是全等的，而且都是以 bc 为边的等边。所以同学们特别简单，四条边都等于 bc， 所以 四边相等得菱形。这是第一问，非常简单， 深入探索。第二问，如图三，在旋转的过程中，当 r 法等于四十五度的时候，线段 a 撇 b 与线段 a、 c 交于点 o， 求线段 o、 a 的 长， 他们说旋转角是我们的 r 法，四十五度，那这个题目当中 a b a 撇， c b c 撇都是旋转角。题上告诉我们四十五度，我们先把这个条件标上去， 那么题上还让求什么？让求线段 a o 的 长，那么也不要忘了，由于整个题干我们说 a b c， 它始终是个等边，我们第一位也正过，所以得知 b a o 这个锐角是六十度， 那么会发现两个我们非常熟悉的特殊角，双层比例关系。选择过点 o 向 a b 做垂线，那这个考点跟我们二零一九年中考题的填空十五题的做法 f 曲线是一致的。二零一九年山西中考填空十五题 双层比例关系，那么会发现在这个直角三角形中，四十五度的正切 ok 比 bk 一 比一。在这个地方我们说 a ko 当中六十度的正切 ok 比 ak 是 根号三比一。 那这个时候同学们可以借助设未知数，比如说我们设 ak 是 x， 那 么 ok 就是 根号三 x， bk 和 ok 相等，所以它也是根号三 x。 而在直角三角形 a o k 当中，角 a o k 九十减六十，得三十，三十度，所对直角边斜边一半，所以 a k 是 x， a o 是 二 x， 那 么由于题目当中告诉同学们 ab 的 长度是四，那这个时候方程就出现了 x 加根号三 x 等于四，那么解出来 x 之后乘以二，那我 a o 的 结果就出现了。那当然，其实这个题呢，运算也是非常简单的啊，我直接把 a o 算出来 a o 的 长度就是首先四，它被分成了根号三加一份啊，这是我们一份的长度， a o 占了其中的两份，所以再乘二，这是我们最后的结果啊。当然老师说刚刚大家写的时候求解过程一定要去列方程， 解出来 x 之后再乘二，哎，这是我们要书写步骤的过程，那现在老师先把大家直接算出来， 分母有理化，同乘根号三减一，分母就成了二了，对吧？那然后分子呢？哎，就和这个 分子的二其实本上就约了，那么分子本身还有个四，那你要把这个根号三减一要乘上去，所以这个题的正确答案应该是四倍。根号三减四非常的简单，我们来看第三问 拓展延伸，在旋转的过程当中，当直线 a 撇、 c 撇与直线 bc 垂直时，直接写出现段 a 撇 a 的 平方的值， 那么旋转出现手拉手以及出现特殊角，是我们二六年山西中考几何专项冲刺特殊角确定线段长第一个专题以及哎，我们的第十三个专题手拉手相似共线问题，在本周日 上午的十点到十二点现场直播所要讲的内容。那老师要提醒大家，同时我们前面所有的这些专题学习的内容已经有回放，同学们可以通过后台 获取，详询获取。然后呢，老师也提醒大家，二六年山西中考最后的冲刺学习呢，已经开始报名预约了， 分别在五月三十一号，六月七号，六月十四号上午的十点到十二点现场直播。那么老师会根据二六年考试中考前所有模拟考试出现的高频考点，带着同学们进行最后的冲刺学习。 同学们可以通过搜索微信公众号、微信视频号，抖音或小红书江涛数学主页添加江涛微信，也可以添加江涛个人微信江涛幺三九零三四加入到我们二六年山西中考的最后冲刺学习中来。 那么回到我们这个题目当中，它涉及到两个点，一个是构图，一个是求解。那么对于这个题本身构图不是一个难点，它说在旋转的过程当中，要求直线 a 撇 c 撇与直线 b、 c 垂直， 那么同学们本身 a 撇 c 撇 b， 它是一个等边三角形，那如果要求 a 撇 c 撇所在直线跟 b、 c 垂直， 那么本身 bc 就 变成了这个等边三角形的三线合一啊，因为它变成了底边的垂线，所以这个图非常的好画，我们把这个图给大家画出来， a 撇 c 撇就在这个地方。好，我们把这个等边画出来， 因为画图呢，本身会有一些误差，但是我们解决了这个问题就可以了， 哎，要注意字母的顺序，这个才是 a 撇儿，这个才是 c 撇儿。那这个题目当中要求同学们是 a 撇儿， c 撇儿所在直线和 b、 c 垂直。我们刚刚分析过，这是个等边三角形，然后它的边长 a 撇儿 b 始终等于 a， b 等于 b， c 撇儿长度是四， 然后既然垂直三线合一，所以得角平分线，这是三十度，这是三十度，我们可以得出来，这是二哎三十度，所谓直角边斜边一半，那么这个地方设为一个 o 吧，那么 b o 是 二倍，根号三哎是短直角边的根号三倍。 由于这个题目当中让同学们去求 a、 a 撇，我们来分析，其实它就等于谁呢？ c、 c 撇特别的简单，为什么呢？因为这个地方它出现了我们非常熟悉的手拉手的全等，这是为何呢？大家来观察，因为旋转 b a 等于 b a 撇， 那么同理， b c 等于 b c 撇，还有我们的旋转角 a b a 撇等于 c b c 撇，所以边角边手拉手全等得 a a 撇等于 c c 撇， 所以大家现在求 a a 撇，那求 c、 c 撇就好了。那 c、 c 撇怎么求呢？我们会发现其实已经迎刃而解了， 作为等边的边长， bc 是 四，前面求出二倍根号三作差， co 的 长度是四减二倍根号三，那咱们直接勾股就好了哈。有的孩子可能会用到十五度啊，这是七十五度，这十五度可能计算量就会变多，不需要我们直接列方，哎，这个求解勾股就好了。 cc 撇啊， a a 撇的平方啊，它就等于 c、 c 撇的平方，那就等于二的平方，加上一个四减二倍根号三。整体的平方我们来运算，那就是四加十六减二倍，项二乘四再乘二，那就是一个 十六倍的根号三，然后再加一个十二，我们来合并一下，最后的结果就是十六加四是二十，再加十二是三十二，减去十六倍的根号三。好，那就是这个题的第一种情况， 因为题上说旋转的范围是零到三百六，我们也可以让它旋转到另一侧，依然图非常好画，因为我们说，因为 bc 始终要垂直于等边的一条边，那 bc 就是 这个等边的三线合一，所以我们让这个三角形 b a 撇， c 转到这个方向的时候和 bc 垂直， 要注意这个字母的顺序，旋转到这个位置的话，那应该是 a 撇在下方， c 撇在上方。 哎，这个图大致的画出来 是这个样子的。好，我们要注意字母的顺序，下方应该是 a 撇，上方是 c 撇，然后我们依然，既然我们说 b、 c 所在直线和 a 撇 c 撇是垂直的，又作为等边三角形，三线合一，所以得角平分线，这个锐角就是三十度， 作为等边，边长是四三十度，所内直角边是二啊，斜边一半，然后标个 o 长直角边 b、 o 是 二倍，根号三。好，这个时候提倡让同学们去求 a、 a 撇， 那么会发现此时依然伴随了手拉手的全等三角形 b、 a、 a 撇和三角形 b、 c、 c 撇特别简单，我们来再分析一下为什么。 首先，哎，我们说 b、 a 等于的是 b， a 等于的是谁呢？等于的是 b、 a 撇，然后 b、 c 等于的是 b、 c 撇， 然后我们会发现这些边其实都等于等边的边长。有时候我们会发现，哎， b、 c 撇对的是 b、 a 撇， b、 c 对 的是 b a 啊，对应边相等，那么还有 假角，那么说，因为等边这个大角是六十度，这个大角也是六十度，都加一个公共的角 a、 b、 c 撇啊，这个角，那么得出来 a、 b、 a 撇和 c b、 c 撇这两个角是相等的，所以手拉手全等得出 a、 a 撇等于 c、 c 撇， 那求 c、 c 撇，发现 c、 c 撇正好在直角三角形 c、 c 当中，直接勾股就好了。为什么？因为 b、 c 长度四是一致的，所以我们直接求 现在 a、 a 撇的平方等于 c、 c 撇的平方等于 c 撇 o 二的平方加上一个四加二倍根号三的平方。 跟上一种的区别之处就是刚刚是四减二倍根号三，现在变成了四加二倍根号三，所以非常简单，我们去括号四加十六，加十六倍的根号三，再加十二合并一下，最后结果是它俩一加是 三十二加十六倍的根号三。那这个题有两种情况都非常的简单，我们分享到这里。

今天我们来看一下合肥包河的二模数学试卷，我们主要来看一下最后一道大题，然后这次的试题顺序呢？有点改变，他最后一题放的是几何题，倒数第二题是这个函数题， 那我们来看题目，角 a、 c、 b 等于角 d， b、 c， 那 么这里是等腰三角形 f、 b 等于这个 fc， 那 又是等腰三角形，所以角 d， a、 c 等于角 a、 d、 c 第一小题，他又说 c、 e 垂直 b、 d 角 d， c、 e 是 这个三十度，然后 c、 d 等于两倍的 b、 d。 第一小问，证明 af 等于 ef， 要证的是 af 等于 ef。 我 们刚才读题的时候已经知道 f、 b 它是等于这个 fc 的， 所以只要我们能证出 a、 c 它等于 b、 e 的 话，那 a、 c 减掉 f， c 就是 af， 然后 b、 e 减掉 b， f 就是 ef， 那 接下来我们看怎么证。 a、 c 等于 b、 e， 我 们知道的是 a、 c 它等于呃 cd， 然后 c、 d 题目给了什么条件？ c、 d 它是等于两倍的 b、 d， 而 c、 d 它又是一个直角三角形 c、 d、 e 的 斜边含三十度的直角三角形，那这样我们就知道 c、 d 它等于两倍的 d、 e， 那 么就相当于 b、 d 等于 d、 e 呗。那这样的话，这个 b、 d 加上这个 d、 e， 它不就等于这个 c、 d 了吗？ b、 d 加 d， e 等于 c、 d， 而 b、 d 加 d， e 就是 b e， 那 就是 b， e 等于 c、 d， 然后 c、 d 它是等于 ac 的， 这样这个 b、 e 等于 ac 就 挣出来了，所以这个嗯 a、 f 等于 e、 f 然后我们看下第二问，第二问求证的是 a、 d 乘以这个 bc， 然后等于这个 c， d 乘以这个 d、 e， 那也就是要证明这个三角形相似，那这四条边在图上一画，它显然构成了哪两个三角形啊？一个是三角形 b、 d、 c， 然后还有一个是这个三角形，把 a、 e 连起来，这个 a、 d、 e， 那 只要证明这两个三角形相似就可以了， 因为这里要正的是边乘比例，那么一般正相似的话，应该是用角来正，也就是角 d、 b、 c 等于角 a、 c、 b， 然后等于角 a、 e、 f， 然后也等于角 e、 a、 f。 那 我们刚才说的要证明的两个三角形相似的话，已经有一个角了，角 a、 e、 d 等于角 d、 b、 c， 然后接下来再找一个角，因为这个图形中呢，相等的角以及相关的角太多了，所以你在找角度的时候不好找的话，我们可以借助一个未知数，那比如说我们设这个角 d、 b、 c 是 阿尔法， 那么这个角 a、 c、 b， 它也是 r 法，那么角 e、 f、 c， 这个角它可以看成是下面这个三角形 f、 b、 c 的 外角，所以它就是两倍的 r 法，那么这个角 e、 c、 f， 它就是九十度 减这个阿尔法，然后这里还有个三十度，对吧？那么角 a、 c、 d 呢？它就等于这个三十度减去这个九十度减阿尔法，也就是阿尔法减六十度。 而这个三角形 a、 c、 d， 它也是一个等腰三角形，顶角是二阿法减六十度的话，那两个底角也就知道了。那么角 a、 d、 c 就是 一百八十度减这个顶角二阿法减六十度，然后再除以二，等于一百二十度减阿法， 然后这个角 e、 d、 c 呢？它是六十度的，所以这个角 a、 d、 e， 我 们就知道了，用这个一百二十度减 alpha， 然后再减个六十，就等于六十度减这个 alpha， 然后这个角 a、 d、 e， 它应该是等于这个角 b、 c、 d 的 吧？这个角 b、 c、 d， 我 们看看是多少角 b、 c、 d 呢？它这个三角形的外角不是六十吗？然后有一个角是 r 法，所以这个角 b、 c、 d 就是 六十度减 r 法。那么这个角 b、 c、 d， 它和角 a、 d、 e 就是 相等的，那么这里就正出了三角形 e、 a、 d、 e， 它是相似于三角形 b、 d、 c 的， 然后这个比例写一下，就可以得到这个第二小题的结论了。第二题我们看一下已知角 b、 d、 c 是 九十度， a、 g 垂直 b、 c、 h 是 d、 c 的 中点。然后这里不要忘了，这个题目前面还有两个条件，角 a、 c、 b， 它等于这个角 d、 b、 c。 那 这样不就是推出了这两个直角三角形是相似的吗？啊？各有一个直角，以及这个一个锐角相等，我们写一下就是三角形 a、 g、 c 相似于三角形 c、 d、 b， 然后还有这个 a、 c， 它是等于这个 c、 d 的， 那这个 c、 d 刚才是被平分了，那我们假设设这个 d、 h 是 a、 h， c 是 a， 这个 a、 c 就是 二 a， 我们这里知道这个 d、 h 是 等于 h c， 然后等于这个 a、 c 的 一半的，那要求 a、 h 比 d、 h 的 比值的话，其实你只要找到 a、 h 跟这个 a、 c 或者是 h、 c、 d、 h 中的任意一条边的关系都可以，那就是找一下跟这些边有关的相似吗？ 那刚才我们是已经推出了一个三角形 a、 g、 c 和这个 c、 d、 b 相似，但是要跟这个要求的比值应该没有什么关系， 但是这个相似呢？你仔细去推敲一下，发现又推出了这两个小的这个锐角是相等的，那这样我们就得出了第二对相似，这个 g h c 这个三角形，它和这个 a g c 是 相似的 比例，我们来写一下，是 g c 比，这个 g a 等于 g c， 然后等于 呃 h c 比上一个 ac， 然后 h c 是 这个 a， 然后 ac 是 二 a， 所以 就是一比二。 那这里其实跟我们昨天讲的那道题就很类似了，知道的是这个相似比，那我们讲根据这个相似比，你可以再去设边长。我们知道这个 g h 比 g c 是 一比二，那我们设 g h 是 x， g c 就是 二 x， 然后 g c 是 二 x 的 话，那这个 g a 就是 四 x， 那么这个 a h 就是 三 x， 那 我们现在要求的不就是 a h 比 d h 就 相当于是三 x 比 a 的 值吗？那只要找到这个 x 和 a 之间的关系，这个比值就知道了。那显然这个地方有一个什么直角三角形 h g c， 那 在这个直角三角形 h g c 中呢？我们勾股定律 x 方加二 x 的 方等于 a 的 平方，那么就是五 x 方等于 a 方， a 就 等于根号五的 x， 然后再代入到上面的这个值当中，就是三 x 比上一个 根号五 x， x 和 x 约掉，那答案就是五分之三倍，根号五。那么这道题其实跟我们昨天讲的那道例子呢，非常的相似， 考察的就是这个母子型相似，然后知道的是相似比，根据这个相似比设了边长，然后再根据勾股定律列方程。啊，这个解题套路是一模一样的。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似处理、等量和比例。前两讲呢，我们讲的是非常基础，也是非常核心的内容。比如说今天我们会讲全等相似对于等量和比例的处理。全等相似它最核心、最核心的价值 就是给我们提供了当你在几何问题当中遇到了等量关系，遇到了线段的比，应该怎么去处理，对吧？我给大家举个例子啊，大家现在拿出来一个本子或者一张纸，你跟我一起画图来感觉一下，比如说， 哎，这有一个三角形，这有一条线段 a， 这有一条线段 b， 这个加角是 r 法，然后这条线段是 c。 好 了，那现在呢？我给了你一组等量，我这又有一个线段也是 a， 好，这有一个 a， 这有一个 a。 那 么题目当中呢，相当于你就看到了一组等量关系，一组等线，那么这组等线怎么样才能用起来呢？他如果在同一个三角形当中，那等线对等角，你就把它用起来了，对吧？但是他们俩离得这么远，你唯一能够想的是去干什么？兄弟们来想一想，现在 两条等线不挨着，离得这么远，他们不可能放到同一个三角形去处理，那只能放到不同三角形去处理了啊。那么不同三角形哎，离得这么远，你会有什么想法？你只能把它放进全等三角形了。怎么放进全等三角形呢？那我们观察一下，因为这给了一个角度而法， 所以呢，我给这也来一个角而法，并且在这条射线上，我截取一条线段等于多少？ 我再截一个线段等于 b。 好 了，那这个时候你观察一下，这是 a， 这是 a， 这是阿尔法，这是阿尔法，这是 b， 这是 b， 那 么这两个三角形就怎么样了？是不是就全等了？ 全等以后呢？我可以拿来干什么？我就可以同步信息了。你比如说这条线段是 c， 我 就可以得到这条线段也是 c， 同时这个角是 beta 呢，这个角也是 beta， 这个角 c， 它这个角也 c， 它。你会发现，我就由原本的一组等量， 通过构造全等三角形，就得到了一堆的等量关系，我还把这个已知量 c 挪了位置，这就是通过全等去用起来等线，这叫全等对等量的处理， 这是最底层，最底层的我如何用好全等？当你看到了等线怎么办？想办法把它放进三角形，放进全等三角形构造全等。好，这是第一个逻辑，这是处理等量啊，那假设我这有一个 a a， 那 么这有一个线段二 a， 哎，你看，我这有一个 a， 这有一个二 a， 我 给了你一个一比二的比例。线段看给了你比例，那这个比例我又应该怎么样才能把它用起来呢？我刚才说了，有等量我就可以造全等，那如果有比例呢？我就造相似，并且我还知道我造出来的一定是相似比为多少的相似 相似比为一比二的相似，那同样呢，这有一个角 r 发，我给这也来一个角 r 发，那么并且呢，这次我在这条射线上应该截取一个线段等于多少二 b 嘛？对不对？我截一个二 b 出来好了，这下观察， 我把这一条这两个端点一连，你会发现这是 a， 这是二 a， 这是 r 发，这是 b， 这是 b， 两边成比例加角相等，那么这两个三角形它就是什么？它就是相似的关系， 对不对？那么同时呢，我可以得到这个是 c， 这个就是二 c， 哎，我通过造一个相似，我就把这个 c 挪到这，并且还给它乘了二，同时呢，依然可以得到贝塔等于贝塔， c 塔等于 c 塔，得到了等角，得到了乘比例的线段，这就是 通过构造相似去处理什么比例关系，处理线段的比，这就是我全等相似对等量对比例的最基础的使用逻辑，非常非常的底层了。就你其实造所有的相似，比如说未来我们会用模型来造相似，它的逻辑其实是一样的。比如说，哎，我这看到了一个， 这是 a， 这是二 a， 这是 r 发角，这是 r 发角，那这时候怎么办呢？这个 a 和二 a， 我 也得想办法 把它放进一比二的相似里，怎么放？只不过这次这已经有等角了，我只需要再把它捅出来，这是，这是 c， 它，这也是 c， 它，那么这两个三角形就相似，我就可以得到这是 b， 这是二 b， 这是 c， 这是二 c， 这就是八字相似的构造。 哎，虽然他是用模型思想，我去就直接解决了，没有那么多分析了，但是他的底层逻辑还是，当你看到了比例线段，我得想办法把他扔进相似三角形当中，这个逻辑可以解决解释一切的相似构造。什么是底层？就一个逻辑，越底层，他能够帮助你解释的问题就越多， 对吧？像这个你就不能仅仅记一个，我把他捅出去，你更重要的是什么？去理解他为什么能这么干？因为你一旦把他捅出去，等角和比例关系就进到三角形就会有相似，这是我们处理了，这叫什么？等线？ 从他到他叫处理等线，从他到他叫处理比例线段。那么还有一种啊，就是纯粹看到了等量，除了等线还还会有什么？还会有等角吗？比如说，哎，我这有一个 r 发角，并且我知道这是一，这是二，这是根号五。哎，我在这看到了这样的一个三角形，同时呢， 我在这这也有一个 r 发角，那这次呢？怎么利用这组角相等？大家想一想， 处理等角离得这么远的两个等角，我怎么样才能把它用起来？我就做垂线吗？你想，已经有一组等角了，这有一个直角，那我给这也凑一个直角，我给这也凑一个直角，那么这个阿尔法和这个阿尔法，这个九十度和这个九十度，是不是就造成了这两个三角形相似？ 那么这个三角形的比例关系是不是就完全可以复制出来？我就知道这是 x， 这是二 x， 这就是根号五 x， 你会发现这就是对等角的处理。我看到了两个角度相等了，离得这么远，我只能想办法把它干什么？放进带有等另外一组等角的三角形就造成了相似，所以这叫等角造相似。好，你看我们讲了哪些东西？ 等线造全等比例线段造相似，如果只有等角，离得又很远，等角离得很远能干嘛吗？ 放进三角形内造相似吗？哎，怎么放进三角形内？再给他凑一组等角，这就是全等相似。对等量和比例关系等线等角比例线段的处理，最底层，最底层的全等相似的使用逻辑，就是我们平常所说的什么逆等线问题啊，这那那这那些看起来花里胡哨的东西，它的底层逻辑全部都在这里。 你理解了这个底层逻辑，你就不需要去背一个什么题型，背一个什么模型，而是你知道他原理是什么，怎么想到的去那么干。那如果把这些听懂了，哎，那核心就是一个什么 核心，其实标设放列的里面的哪个字在这里特别特别的重要，放我们平常所说的四字习惯里面的放就非常非常的关键了， 你看，你就是要把给你的等线，给你的等角往三角形里放，放进合适的三角形，造全等相造相似。你看你把这个阿尔法放进这个三角形，把这个阿尔法放进一个带有直角的三角形，放 是核心，就是当你看到了一堆等线等角怎么办？怎么组合，把它们往三角形里去放。好，自己一定要动手画啊，自己一定要动手画，自己画好啊，觉得没问题了啊，我们接下来通过四道题目， 咱们来感受一下啊，如何真正的在题目里面如何去构造的，好了，来，我们来看题好了，来吧，我们来看看这道题，感受一下啊。首先它告诉我们 a、 d 是 等于 c、 d 的 这两条绿线相等， 然后呢，角 b 和这个角相等，那我就都设为 r 法，这两个 r 法角相等。最后呢，让我们证明 c、 e 等于 ab， 要正这两个圈线段相等，要正这两个圈线段相等，已经有 r 发角， r 发角相等，绿线和绿线相等， 大家想一想，我最终证明这两个圈线又离得这么远，他不像。如果是在同一个三角形内，我要正两个圈线段相等，我是不是正等角就行了，但是这两个线段又离得这么远，我想要证明这两个线段相等，我就只能去想什么思路，他一定是正全等， 对吧？方向就是这样，它离得这么远，你不正全等，你怎么证明这两条线段相等对不对？而且全等也有了很多等量关系，我已经有 r 法角等于 r 法角，绿线等于绿线好了，正全等。 但是你会发现呢？如果我想直接正全等这两个，哎，你会发现，目前这个圈线段只能放进这个三角形，这个圈线段你只能放进上面或者下面这两个三角形。考虑到 r 法角，你其实只能往这个圈三角形里放， 而这两个三角形显然怎么样？不全等。为什么说显然不全等？一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，这两个三角形肯定不会全等的，所以我们得造全等，而造全等的过程就一定得想着我得利用好什么？利用好 r 发角和 r 发角， 我得把圈 r 发角还有这个绿色线段是不是往一起凑？来，我再说一遍啊，你看这个逻辑，圈 r 发角和绿色线段，我得把这些等量关系往三角形内放，等量放进三角形 对不对？而你会问，这个圈，这个阿尔法，这个绿色线段已经在底下这个三角形了，那这个绿色线段，这个圈，这个阿尔法感觉也在一个三角形，但是这两个不全能，那怎么办呢？我得调整一下位置。怎么调整？哎，我现在阿尔法角肯定得用上，这个圈和阿尔法圈和阿尔法我肯定得用上， 对吧？但是这个绿线呢？好像不太美，目前人家题目直接给的三角形不全能，那怎么办？连接 b， 你 看如果你连接 b e， 如果你连接 b e， 你 是不是把这个等角就拆掉了？ 你肯定不能干这事嘛？你肯定不能把 r 法拆掉嘛，对不对？你 r 法要完整的保留，那怎么办，对吧？连接 b e 肯定不行，我能不能在这上面截取一个啊？比如说 b g 这个叉等于这个叉，然后呢，我再把这条线段连接起来，正这两个三角形全等。 哎，我截取一个叉等于叉，我只要能够证明这两个三角形全等就 ok。 哎，这个思路有点意思，而且我们造出来的三角形是不是看起来它就一定是全等的？ 这个思路有点意思，但是你会发现这个思路有个问题。这个思路有啥问题？它最大的问题是 a d 等于 c d， a d 等于 c d 这个条件 用得上不？兄弟们，你这个条件用不上，有没有发现？这个条件用不上，你会发现，那这两个三角形你要想正全等正不了，为什么你只有个叉等于叉， r 等于 r， 你 缺条件。为啥缺条件？这个条件没用上，这个条件没用上，你就弄不出来。 那怎么办？旋转等线，其实旋转不旋转都无所谓，你既然他和他没有办法构成一个全等三角形，而这他和他又相等，那怎么办呢？我在这直接做一个 a f 等于 ad， 这可以做吧？我肯定可以在这找到一个 a f 等于 ad， 做 a f 等于 ad， 哎，这样的话，绿线和绿线相等了， r 法角和 r 法角相等了，哎，这次等量关系我就用上了，对吧？原本的这个等于这个，现在我造他等于他，所以这三条线呢，都相等，等量关系用上了，现在呢？最终我要证明这个圈等于圈，就是证明这两个三角形要全等。 我现在要证明这两个三角形全等，已经有绿线等于绿线了，阿尔法等于阿尔法了，还缺一组条件，能不能看到补角相等，因为我给这儿造了一个等幺，那你会发现这个 beta 等于这个 beta， 那 就会导致这个 c 塔等于这个 c 塔。好了， c 塔等于 c 塔，阿尔法等于阿尔法， 绿线等于绿线，这两个三角形全等，最终我就可以得到 a， b 等于 c e。 结束好，整个的思路是什么？整个的思路就是当题目给等量，要我们正等量，我就得把这些等量关系放三角形 造全灯，得到这个灯亮，这就是它的底层逻辑。我们刚才的试错，我们刚才的分析，我直接做它等于它的这些，这些尝试都是非常非常有价值的。 最终我们通过探索，我发现我就是要尽可能的利用好题目，给我们的等量关系，把它们扔进同一个三角形，让它们去得到全能。你看原本这条线和这条线没办法扔，怎么办？我把它转过来这条线、这个角，这条线、这个角，最后再结合等腰出一组等角， 等量关系放进三角形造全等，这就是全等对等量的使用。以后什么时候会这么想问题呢？给等量，正等量，那我肯定要把想办法把等量往三角形里放去，造全等，这才是核心啊，这才是核心。 怎么想到的？就是这么想到的。好，来下一个。在讲这个题之前呢，因为这里出现了一个二倍角的处理。二倍角的处理，首先我们要明确啊， 二倍角是没有用的，二倍角和二倍的比例线段还不一样，二倍的比例线段我还可以造相似，二倍角没有用，二倍角在任何地方都没有用。我拿到二倍角唯一的想法就是通过二倍角导出什么东西。等角只有等角才有用。兄弟们，无论是等角在同一个三角形就会出现等腰，还是在不同三角形的等角就可以造相似， 只有等角才有用，二倍角没有用。那如果我在一个角是阿尔法，这个角是二阿尔法， 我怎么样把二倍角转化成等角呢？你可以非常简单粗暴的来，我直接做这个二倍角的。什么？我直接做二倍角的角分线， 一旦做了二倍角的角分线，那么你会发现这两个角都是 r 法，这是不就出现等角了？底下这组等角构成等腰三角形，上面这组等角我还可以去找相似，你看， 等角才有用。二倍角是没有用的，所以第一种方法就是直接造角分线，做二倍角的角分线。哎，这个是最简单粗暴的，这是一种方法，那我还可以怎么做呢？那我还可以直接给这个 r 法给他怎么样？给他对称下来， 那么这个角是不是就是阿尔法了？这个角阿尔法和原本的这个角阿尔法是不是就构成等角了？那么这两个等角我是不是也可以想办法去阿尔法等于我造一个阿尔法等于阿尔法是不是也可以搞事情了？所以第二种情况，我直接 阿尔法去做对称，哎，这都是非常粗暴的方法，哎，我直接阿尔法做个对称，这是两个，要么我凑阿尔法和阿尔法相等，要么凑阿尔法和阿尔法相等。 好了，那么还有一种第三种就是等腰处理二倍角，这是一个相对来说比较巧妙的办法。为什么等腰可以处理二倍角？来，我们来看一下啊。 等腰三角形两个底角是 r 法，那么二倍角会出现在哪里？外角就是二倍角，你随便沿一个顶角的外角出来，这个角是这两个角和，这就是二 r 法。 所以等腰三角形内天然包含着一个二倍角关系，我们就可以利用这个二倍角关系去处理这种二倍角问题。那怎么具体怎么处理呢？你看，我还是给你画一幅这个图，假设他给了你一个 r 法角，给了你一个二 r 法角，那我就造等腰就行了。 看好了，这个等腰怎么造？这个等腰怎么造？这是 a， 这是 b 啊，这是 c， 我 怎么造？ 造个等腰处理二倍角怎么造？第一种想法，我延长 bc， 延长 bc， 我 以 ab 为腰，造一个等腰三角形， 看，这是圈，这是圈，我来一个 b m 等于 b a 这上，这样是不是就造出来一个等腰三角形？一旦造出来等腰三角形之后，那你会发现这两个角都是什么？都是几个 r 法，哎，我就做 b m 等于 b a， 这两个角是不都是一个阿尔法？好了，那你会发现原本阿尔法和阿尔法没有用，但是现在这个阿尔法和这个阿尔法，这俩这俩你就可以看出反应相似了，这个阿尔法和这个阿尔法就构成。哎，这两条线段也等腰了， 神奇不神奇？我拿了一堆等角，你看，原本是一个阿尔法二倍关系，但是由于造等腰，我还是这幅图，咱们来画一下，我还是这幅图， 这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 r 法，这是二 r 法。我刚不是把这个 ab 往外往外挪，挪到外面去，我可以造个等腰，我还可以在里面来一个等腰。看好了，我来一个 ab 片等于 ab， ab 片等于 ab， 这两条线段相等，就是做 ab 片等于 ab。 好，这样的话呢，那你会问，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法？首先这有一个等腰三角形，同时这个角是阿尔法，看这个三角形，这是阿尔法，那这个角是什么？这个是不是就是阿尔法减阿尔法，那它也是阿尔法， 好嘛，你会发现，我通过做一个 ab 片等于 ab， 这出现一个等腰三角形，出现了一个二 r 法，等于二 r， 同时呢，因为它是这个三角形的外角，二 r 法减 r 法得到它是 r 法，又得到了这两个圈相等，你看，我就得到了两组等角，最终还是把一个二倍角关系转化成了两组等角关系。 哎，也就是说，这个等腰三角形，我可以以 ab 为腰，往内做，都是 ok 的， 都可以利用等腰三角形出现二倍角关系。 那么到这呢，我们就盘点清楚了，其实初中阶段你想要处理二倍角，基本上也就是这三个方法了，要么做角分线，要么做对称，要么通过等腰的二倍角去处理。好吧， 来吧，兄弟们，咱们来看题了，来看看这个题，这下你再看看这个应该怎么去处理。当你看到这个题以后呢？你第一个要处理的条件肯定是什么？二倍角换等角。来，我们来看一下 b， d 比 c， d 是 一比三， b， d 比 c， d 一 比三，那我设这条线段是 a， 这条线段是三 a， 这是基础习惯啊，基础习惯有比例，你就设 d、 f、 b、 ac 一 比六，那我就设 d， f 是 x， ac 就是 六个 x， 这一小节是 x， 这一小节就是六个 x。 好 吧，然后呢？又有一个二倍角，阿尔法等于阿尔法啊，好，又有一个垂直。最后问我们什么的 a、 d 和 d、 f 的 比，也就是说我最终就是要表示线段 a、 d， 用 x 表示一下线段 a、 d 就 结束了。 那你会发现，我们刚才已经说了，比例线段你还有可能直接用，但是背角关系你是没有办法直接用的。由于背角关系没办法直接用，所以我上来第一步一定是先处理这个背角，那么这个背角关系我的处理，我刚才说了，我要么给他做对称， 要么我给他做角分线，要么我利用等腰来处理。大家想一想，我是做对称做角分线，还是利用等腰来处理？好，我们来分析一下啊，这个分析几度重要啊？我们来想第一件事，我做角分线，你看美不美？ 为啥不美？能不能说出来？为啥不美？因为你把这个比例关系三 a 干掉了嘛？干完了以后你还得不到这两边，左右两边到底是几比几，能理解吧？已知条件是不是割了两段肯定不美嘛，对不对？好，来，角分线废掉了，那我做对称，我给这再来一个 r 角，你看美不美？比如说我把这个弄出来， 我给这再来一个阿尔法角，造成这两个阿尔法相等，你看美不美？好像也不美。为啥不美？这边是把条件干废了，你，你往这边做，与人家所有的条件都没有建立起联系，有没有发现你唯一就搞了个阿尔法，我做一条辅助线， 我说要尽可能跟这些已知的已知的关系建立联系，没有用。哎，为什么没有用呢？就是他把我已知条件没有调动起来。好了。来，既然前两个都不美，那我就造等腰，我以谁为要造个等腰就把这个阿尔法处理掉了， 我是不是以这个六 x 为等腰？我给上面我把这条线延长出去，延长出去后，我给这再来一个六 x， 那 么这一下，这是不是就出现了一个等腰三角形，这下美不美？ 这种做法至少相对于前两种做法，我是不是一边处理了？这个角是 r 法，这个角是 r 法，我是不是一边造出了一个 r 法角？同时呢，这个六 x 我 已有的条件也被我盘活了， 他是不是调动了更多的已知条件？所以在这三个方法里面，肯定这个方法相对来说是最美的，这个美了。接下来呢，你看嘛，我，那我造出来等角，我就得有用啊，我这个 r 法角和这个 r 法角相等， 咋个用法？咋用呢？刚才咋说的？等角是不是就只能造全等或者相思嘛？对不对？那你看 这个 r 法角造全等相似的核心是你要把这些 r 法角是不是放进三角形？你看这个 r 法角可以放进哪个三角形最美？放进这，人家这不是还有个直角呢吗？对吧？你让这个 r 法角和这个直角组合一下，它是不是就进入到了一个直角三角形内，对吧？看这是不是就有了一个直角三角形？ 好了？来，这有一个阿尔法，这有一个直角，这有一个阿尔法。我如果想让这两个阿尔法进入到相似三角形，那很简单了，我只需要 b 往这再做一个垂线，我是不是就造成了这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似？ 哎，那这组阿尔法是不是就造成了相似？我通过这个阿尔法等于阿尔法。哎，我造 直角三角形相似好，那么相似以后最好要有什么才能有用？我现在红的、蓝的相似，以后最好要有什么这个相似才能有用相似比。但是目前这两个这个红的和这个蓝的有没有相似比，他是不是既没有自己比，也没有相似比， 对吧？哎，所以我在观察啊，目前没有比的关系，我在观察，你会发现这一个直角，这有一个直角，这底下是不是又出现了一个八字相似， 而这个八字相似，它是不是有相似比的，它相似比是不是一比三？所以同时你不但造了一个直角三角形相似，你还有一个八字相似， 这个相似比是一比三相似比是一比三。来，由于这个相似比一比三，那么 d h 这一段是不是首先可以表示了？ d h 这一段就是三分之 x 相似比一比三吗？看这一比三，这是一比三，这是三分之 x， 同时我通过这组相似还可以得到谁和谁的比， b h 和 c f 的 比， b h 和 c f 的 比是不是也是一比三？这个时候我就可以设它是 b， 那 么它就是三 b， 一 旦它是 b， 它是三 b 什么就出来了。原本的这两个直角三角形的相似比，是不是就是 b 比三 b 这个直角三角形的相似比就是一比三。 那我们利用这个一比三可以拿来干什么呢？你会发现，我最终要 a d 和 d f 的 比，现在是不是就差一个 a h， 而 a h 是 不是既可以放到这个红色三角形，又可以跟这个蓝色三角形建立联系？所以我用这个相似比就已经可以列比例关系了，列哪两条线段的比来一比三，就等于哪两条线段比 a h e f。 看 a h， a h 是 不是就是我们要最终要求的那条线段了？ ef 是 不是这一段里面既包含 a h， 剩下都用 x 表示了？那我就来就等于 a h 比 ef， 而 a h 又等于多少呢？ a h 就是 a h， 对 吧？ ef 是 什么呢？ a h 比 ef， ef 是 六 x， 再加 a h， 再加三分之四 x， 一比三就等于 a h 比上一个，这是六 x， 再加上这三分之二十二 x， 再加 a h， 这 a h 不 就解出来了吗？就是三倍的 a h 就 等于三分之二十二 x， 再加 a h， 那 么两个 a h 就 等于三分之二十二 x， a h 就 等于三分之十一 x， 对吧？好了，这一段是三分之十一 x， 那 到这问题已经结束了，那我最后要的是 df 比 ad， 那 么 df 不 就是 x 吗？它就等于 x 比上一个 a d， a d 是 三分之十一 x， 再加三分之 x。 好 了，那么三分之十一 x， 再加三分之 x 就是 四， x 就是 x 比四 x 就是 一比四。结束 到这整个问题结束，来吧，兄弟们，其实没有那么复杂，每一步都是非常强的逻辑啊，难度不小，但是每一步都是讲道理的，没有任何一步天马行空的，这里面没有神来之笔啊，没有任何一点点的神来之笔。我们重新再盘一遍，这里面最精髓的是什么呢？来重新盘一遍啊！ 最精髓的是来一开始先盘条件，盘条件，他说这个是 a， 这个是三 a， 这个是 x， 这个是六 x， 这是 r 法，这是二 r 法。 让我们求 ad 比 df， 那 就是用 ad， 用 x 表示 ad。 好 吧，那么一开始呢，我们去想了想，就是条件有哪些条件？有两类 条件，第一类条件是比例线段，第二类条件是二倍角。那我们要知道比例线段是可以直接用的，为啥说比例线段是可以直接用的？比例线段可以直接用，因为比例线段放到相似就行了，但是二倍角是必须先处理， 而二倍角在处理的过程当中，我们有什么想法呢？我们选择了一下二倍角的处理，刚才已经讲了，要么做角分线，要么做对称，要么做等腰。我们会发现角分线或者对称没有办法盘活其他的移植条件，所以我就用等腰处理了二倍角。为什么说等腰处理二倍角呢？因为等腰处理二倍角， 处理了二倍角的同时，这个六 x 也被我们换了位置，这是第一步，前面的分析极度重要，就是你看马哥在给你讲什么，马哥在给你讲你拿到这些条件，你的底层思维是什么，对吧？我并不是说给你这讲，这道题有什么大招，有什么秒杀没有的， 讲的是最底层的逻辑，这就是这两年中考最常见的趋势，绝对没有任何飘逸的操作，它都是很常规的操作，但是呢， 你要知道拿到条件应该怎么去想。好了，这是第一等腰处理二倍角，第二等腰处理二倍角，就是为了得到等角，当我得到了，我现在有阿尔法，等于阿尔法，怎么去用造相似？ 造相似的核心是要放进合适的三角形，这个时候我观察一下这个阿尔法和这个九十度，已经可以放进这个大的直角三角形了， 那么这个阿尔法我只需要再做一个垂线，就可以造成这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似，对吧？阿尔法造相似，造了一个直角三角形的相似，这就是等角。怎么用等角造相似？你看这个东西就是我们之前讲的什么东西， 是不是就是我在这给你画的这个图来感受一下，是不是就是这个？看，这有一个阿尔法，这有一个九十度，当这也有一个阿尔法，我再做一个九十度，造成这两个三角形相似，是不是就是这个图给你扔进了那个梯里？我造完这个相似以后，我发现没有相似笔，这相似我就要找相似笔，但是没有相似笔，没有相似笔怎么办？这个时候去观察 你在这做垂线的同时，这底下又有一个新的八字。第三，用八字，这个八字帮我们得到什么呢？首先这个是 x， 那 么这一段就变成了三分之 x， 因为它的相似比已知。 再来这个是 b， 这个是三 b， 这样我就得到了这个三角形，这个三角形直角三角形的相似比，就是红色和蓝色直角三角形相似比，一比三。 而通过这个一比三，我就可以干什么？就可以列比例了吗？我相造出来相似就是为了列比例，这个时候我观察一下，我最终要的就是 a h， 那 么 a h 和谁，和这个 e f 的 比 就等于一比三。好， a h 是 多少？ a h 是 我们要求的，而 e f 就是 a h， 再加六 x， 再加三分之四 x， 就等于一比三。通过这里我就求得了 a h 就 等于三分之十一 x， 你 把这个 a h 求完带进去就可以得到答案，一比四。所以核心点就是三个。第一个一定要想到二倍角，必须先处理二倍角，不先处理你角度没有用。 接下来呢？等角我想办法造相似，没有比例关系，再观察，这还有八字，得到比例关系。最后列比例式，这里面大家想一想，有没有任何一步是神来之笔，天马行空，没有的，非常讲逻辑的， 对吧？这些逻辑都是可以拆解，可以附用到其他题目里面的客复用逻辑，没有任何套路。这道题是特别符合这两年中考的命题方向的，他没有什么模型，没有什么套路，没有说是你背个什么东西，没背个什么大招能解决，考的都是非常底层的操作，看的就是你的几何基本功， 这基本上放一道中考填空压轴没有一点问题啊，或者放一个大题压轴的第二问也没有一点问题啊。好了，来，我们来看看宜宾二零二四年的这道题，这是宜宾二零二四年的填空的压轴，填空压轴。好，来，我们来分析下这个题啊， 这道题啊，他说什么呢？他说这有两条线段， f、 d 和 c e 始终相等，然后呢，这是一个平行四边形，这条边是二，那么这条边也是二，然后呢，这两条边是四，这两个点都在动，动的过程当中保持这两条线段始终相等，相等，我就都设为 a。 好， 那么最后呢，当 a e 加 c f， 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候，求 c e， 求这个线段长，求 a 的 长。我们来想一想啊，这道题目前最大的问题，什么？我要求两条线段合最小，一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接，共线最小， 这没问题吧？我要找 a b 两条线段合最小，那我就得让它首尾顺次相接，让它共线最小。但是呢，你会发现，目前啊， 目前这两条线段是交叉着，这个位置肯定没有用，所以呢，我必须得转化啊，我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置，其实你让哪个换位置都行，比如说我们就让这个短的吧，我要让 转化 cf， 我 就让 cf 换个位置，换位置的目的是为了和什么？是为了让这个 cf 和 ae 首尾顺次相接，这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢？ 我现在就是让这个蓝线换位置，那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛，但这个蓝线只能放进哪个三角形，就是放进这个三角形， 那么蓝线放进这个三角形之后，我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等，那么这个 c、 f 就 可以换位置 看，这是我的目标线段，我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等，那么这个目标线段就可以换位置。好，那怎么造呢？我造全等，得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a， 那 我就利用 a 等于 a， 这组等量 造全等，对不对？我就利用这个 a 等于 a， 这组等量的造全等。那你会发现，我们来观察一下这个三角形，有一条边是 a， 有 一条边是二，有一个角是 r 法， 那我现在这已经有一个是 a 了，那我只需要怎么样？我只需要把这个 bc 延长出来，这个角是不是就是 r 法了？ 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几，我在这条线段上再截取一条线段等于二，这个时候我把它俩一连来观察， 这个 a 等于这个 a， 这个阿尔法等于这个阿尔法，这个二等于这个二，那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了？这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图，看，这是 a， 这是 b， 这两个三角形就全等，这个 c 是 不是转化到这个 c， 是吧？是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里？什么叫可负用逻辑？这就是可负用逻辑。 好吧，好，来再感感受一下。因为这个 a 等于这个 a， 所以 要把它延长出来，延长出来这个二等于这个二，同时这个角阿尔法等于这个角阿尔法，所以这个时候连 eg， 这个 eg 就 等于 c f。 好 了，现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接，是不是达成目的了？ 到这是不是就达成目的了？现在你会发现，因为 e 是 一个动点，那么这个 a e 加 c f 什么时候最小？是不是就让它直接 a e c 三点共线？那么最小的时候这个一撇，这个点 一撇，是不是 c 一 撇就是我们要求的值？那最后我要求这个 c 一 撇怎么求呢？你是不是可以用 a 字相似，也可以用八字相似，因为有平行，有平行想相似吗？求 c 一 撇，有平行想相似吗？平行想相似吗？想相似吗？这有什么相似？你比如说 这是不是就是一个来，我就看这组 a 字吧。啊？这条线和这一条线是平行的，那这里是不是就构成了一个 a 字？这个 a 字的相似比是多少？是二比 六，是不是就是一比三？那么这条线段是二，这条线段就是几三分之二，所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了，那么这道题最核心的是怎么想？你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做？不是， 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线，有什么模型好去记的？它就是一个最底层的，当我要转化线段，又有等量关系的时候，我就利用等量造一个全等，它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样，但是它的底层逻辑都是 给你等线，要转化线段，那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了，每一步怎么想的，反复去揣摩。如果说这道题一听懂，你就觉得你以后能够想到，那这道题对你毫无意义。 我们要做的是怎么想到，怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了，首先要转化，得换位置，怎么样换位置给你等线，你得想办法造全等，包括这个图都给你画了， 这是 a， 这是 r， 这是 r 法，这又给你一个 a。 好， 我要现在转化 c、 f， 怎么转化？来，我给这来一个 r 法，给这截一个 r， 那 么这就是 c f， 我 就是把这幅图给你扔进了这个题里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了？所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗？强调我不行有什么意义？你要想一想怎么才能行？这就是最底层，最底层的逻辑。好了，来吧，兄弟们， 这是我们用等线去构造全等，这是二零二四年的一遍的题。来，我们再看一道。哎，如果是比例线短的来， 人家要两倍的 cd， 那 这次得造什么了？要两倍的 cd， 咱这次是不得造相似了。来，这道题的底层逻辑跟刚才那道题还是一模一样。好了，我们来感受一下。首先它要 b e 加两倍的 cd， 加两倍的 cd， 那 我是不是得让 b e 和两倍的 cd 首尾顺次相接，所以我得造 相似去得一个二 c、 d 与 b e 首尾相接没问题吧？这道题肯定就是个目的，我的核心目的就是造一个相似，得一个二倍的 c、 d 与 b、 e 首尾相接。最关键最关键的是，为什么这道题我可以非常确认它一定是造相似呢？因为人家还给了一个，这是 a， 这是二 a， 那么怎么去造这个相似？利用一比二的这个比例关系，人家给了你比例线段，是不是就利用这个比例线段去造相似？那我要造一个三角形，和哪个三角形相似呢？造相似。第一个问题，和谁相似？造三角形与谁相似？ 造哪个三角形的相似？三角形，我一定是造 a、 c、 d 的 三角，因为我要造二倍的 c、 d 吗？那就是 cd 放三角形里吗？ 看 cd 放三角形， cd 肯定是结合这个 a， 哎，那我肯定是放进这个三角形，那我就是要造一个三角形，与这个紫色三角形相似，这就是目标。好，那这个造相似其实也很简单了，我给你往出画一下，你会发现这个 cd， 这个 cd 在 一个什么样的三角形内，这是直角， 然后呢，这是 c、 d 啊？这是 a， 这是四。好，现在我又有一个二 a， 我 又有一个二 a， 又有一个二 a， 二 a， 那 我这边肯定得是几得是八吧，对吧？然后呢，这，这，这就是二 c、 d 就 出来了。来，这就是造相似的基础图，只不过我要把这个基础图塞回去啊，这是二 a 啊，不是二啊。二 a， 好，那咱就造就行了吗？来，那我是不是首先得过这个点？ c， 来一个直角吧，来一个直角吧。然后呢，我让这条边等于几，我让这条边等于八，是不是就出来了， 对不对？看二 a 直角八，二 a， 直角八就出来了，所以我给这来一个八，给这来一个垂直。好了，这个时候我连接 ef， 那 你会发现这两个三角形就相似。相似比就是 a 比二 a 就是 一比二，那么这个是 c、 d， 这就是二 c、 d e、 f 就是 二 c、 d， 这就是这道题最关键一步，这个这一步完成了，就结束了，这是二 c、 d， 这是 b e， 对 不对？好了，那接下来我要找 b e 加二 c、 d 的 最小值连谁结束？我是不是连个 b、 f 就 结束了吗？我让这两条线段共线，是不是连 b、 f 就 结束了，对吧？所以这个 b、 e 加二 c、 d 的 最小值就是 b、 f， 那 么这道题让我们求这个最小值，求就是求 b、 f， 你可以自己画一下试试。你最终要让蓝线和黄线首尾顺次相接，如果你过这做垂直，你这个黄线跑这了，就跟他没有首尾顺次相接了，明白了吗？你给自己一画你就知道了。好了， 那最后一步，那我如果想求这个 b、 f 怎么办呢？我怎么样才能求这个 b、 f 呢？勾股定律怎么勾股定律？那我是不得想到用到这个二，用到这个八，还得用到这个四，怎么办？我过谁做个谁的垂线就行了，我延长 f c， 我 延长 f c 过 b 做一个垂线是不就欧了， 对吧？过臂做一个垂线，那你会发现这个线段是二，那因为这都是九十度，这是一个矩形，这是四，这是四，这是二，这是二。好了，你在这个大三角形 b、 h、 f 当中，这是四，这条边是十，你就可以求出来二五根号下二十九，这就是二倍根号下二十九。结束，所以最后答案就等于二倍根号下二十九。 好，那么这道题最关键的想法，我们来复盘一下，还是一样的，我要这个 b e 加二 c、 d， 那 我最终就要 b e 加二 c d， b e 和二 c、 d 首尾数字相接，所以我得照相似得到二 c、 d 与 b e 首尾相接。 怎么造相似？利用人家给的这个一比二关系，利用这个一比二关系，我把这个 c、 d 放进这个三角形，一条边是 a， 一 条边是四直角，那么这是二 a， 这条边是八直角，这就是二 c d。 二 c、 d 一 旦出来，后面就没有难度了。你看，马哥讲了四道完全不一样的题，但是用的底层逻辑，你现在品一品 用的底层逻辑有没有超出一开始给你画的这一啊？你现在再回过头来再看，是不是都没有？ 所以呢，其实我们就是最用最基本的给你等线，你就想办法造全等啊。给你比例关系，你需要比例关系，你就造相似。如果单纯给你等角呢？单纯给你等角，你再找等角，把它们结合在一起，放进三角形内，这就是最基础的相似和全等的底层应用思想。 就是你不需要你。比如说像我们刚才讲到倒数第二道题，有的地方叫逆等线，倒数第一道题叫做什么？加权逆等线。我嘞个娘呀，你要是那么去学，你不疯掉了？来一个结论，你就得背一个题型，那你得背多少题型？你学数学是靠背题型出来的吗？不是这样的，我们要理解怎么得到的那些做法，而不是去记，去背那些做法， 这就是我们学习数学的追求。好吧，行了，那我们今天就讲到这了啊，今天我们讲了什么呢？我们讲了如何利用全等相似去处理等量和比例，这是最核心、最核心、最底层、最底层的逻辑，后面所有的全等相似的东西都是由这个东西来的，好吧？

我们再来看一下包河区二模的第十题，那么这道几何压轴题，我们看是怎么个理解法啊？怎么做的？他说啊，一个三角形 a、 b、 c， 然后呢，有一个地点啊，随机有个地点，分别做这个两条平行线啊，也就是说这个四边形是个平行四边形啊。 现在呢，他做一个 g 点，一比二的比例啊，然后在这呢又做一个 h 点，也是一比二的这个比例啊。他说啊，这个三角形 c g h c g h， 这个三角形，他说这个面积是一个定值， 他问以下选项面积也是定值式，所以这题其实条件呢，就比较杂啊，比较乱。然后问题呢，这个三角形也是比较杂，比较乱，所以这题难点是出在这个地方， 所以我们这道题突破点是什么呢？我们可以从选项入手，因为他题目当中这个 c、 g、 h， 对 吧？这三个点构成三角形是个定式，所以我们可以啊，从选项当中找找哪一个值跟我们这个条件是比较接近的，对吧？比较接近的我们好去讨论。所以我们发现 b 选项 h， c e 是 不是共有一个 h 跟 c， 对 吧？ h c e h c e， 就 这个三角形，是不是 b 选项是这个三角形啊？所以只有 b 选项跟我们题目的条件是最接近，因为有两个点是共用点， 是这样吧。好，所以我们不妨可以从 b 选项去反推。那么 b 选项 c、 e、 h 如果是定制的话，那么根据这个一比二的关系，那这个三角形实际上应该也是定制，对吧？那么这个三角形应该也是定制， 哎，就是这个意思，所以我们抓住这个三角形是个定值啊，这个三角形如果是定值的话，大家看啊，题目给的是这个三角形 啊，那么如果这个三角形也是定值，或者说，如果说这个 g 跟 d 这两个点跟 c h 如果是平行的话，我们可以理解为同底等高， 他不就是相等的吗？他面积不就是都定值吗？能不能理解，对吧？这是题目的条件，已知定值，然后可以把这个 g 点换成 d 点，如果也能证明他是个定值，哎，这个式子不就成立吗？这个 b 选项不就正确了吗？所以我们只需要证明 g d 平行于 h c 啊，好，我们整个大方向，我们这个基调我们鉴定了，我们要证明这个基地啊，平行于 h c， ok， 我 们看啊，呃，这个大的这个图形构架里面，这两条是两两平行的，是不是啊？所以这个三角形啊，和这个三角形 如果能相似，那就太美妙了吗？对不对啊？两边平行对吧？分别平行，我们只能知道夹角一样，所以我们只需要证明他的边，两边对应边成比例是不就 ok 了啊？所以在这呢，我就设了一些字母啊，这个是 m， 这是二 m， 这是 n， 这是二 n 啊，所以这两个三角形，这两条边的比啊， m 比 n， 对 不对？如果相似的话，边长比就 m 比 n， 那 么这两条边的比，当然这个假角已经确定了啊，假角是相同的，那如果这两条边的比也是 m 比 n 的 话，我就正完了呀，对吧？假角相同，两边对应成比例是不是？所以我们最终目的是为了证明这两条边也是 m 比 n， 所以 大家其实还是可以在这平行线上找关系啊，这个平行，这个平行，对吧？平行他平行他。所以大家有没有发现这两个三角形本身就是相似的， 是不是相似的吧？那么如果相似的话， ok 啊，相似，这是三 m， 这是三 n， 所以 相似比是不是也是 m 比 n， 能理解吧？所以这两条边的比自然就是 m 比 n， 所以 我就整完了。所以啊，再总结一遍，这两个三角形相似，我们得到相似比是 m 比 n， 然后再放到这两个小三角形当中 啊，公共角相同，然后两边对应成比，都是 m 比上 n， 所以 最终这两个三角形相似吧，那么相似的话，我们可以得到，对吧？这两个直线平行，能理解吧？相似啊，对吧？相似，我们可以知道角相等吗？对吧？两直线平行 好，平行了之后呢，我们根据同底等高，这个作为底，对吧？这两个作为高，所以 h、 c、 d 这个面积和 h、 c， g 这个面积当然是一模一样喽。 啊，所以题目说这个是定值，对不对啊？那所以就是 c、 h、 d 是 个定值， c、 h 是 定值的话，那么 c、 e、 h 就是 定值啊，因为它们的面积比是一比二啊，一比二，所以答案选的是 b 啊。

在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八点一，在 ab 边上点 f 在 对角线 ac 上，并且 e f 和 b d 是 平行的， 点 g 在 bc 边上，并且 g f 和 e f 是 垂直的。然后让我们求线段 e、 g 的 最小值是多少？ 好，这道题是一位山东的同学发来的，他说他们二魔全军覆没了。那今天兔哥就带大家来拆解一下这道题， 可以看到他的条件还是非常简单的，只有一个平行加一个垂直。那我们就要思考了，平行会产生什么样的结果呢？ 是不是可以知道角 b、 e、 f 是 一个定角啊？很简单，因为它和角 a、 b、 d 是 互补的，而角 a、 b、 d 是 一个定角，所以它也就是一个定角了。 好，那垂直又会产生什么样的结果呢？是不是可以知道 b e、 f、 g 和角 e、 b g 是 对角互补的嘛？ 好，那现在外界圆已经画出来了，再来求一奇的最小值，是不是就变成了一个求圆内弦长最小值的问题啊？那这个问题我是不是跟你们讲过呀？我们通常会把它转换成求半径的最小值， 所以我们取出一奇的中点 o， 然后再连接 obf 还有 bf， 这个时候一奇是等于二倍 of 的。 好。接着，因为角 b g、 f 和角 b e、 f 是 对角互补的，所以角 b g、 f 也等于二法，它也是一个定角，那么它的圆心角 bo f 是 不是也是一个定角啊？ 而又因为这一个三角形是一个等腰三角形，现在它的顶角又是一个定角，所以求半径最小值的问题又可以转换成求 b、 f 的 最小值了。 我知道这一步肯定有同学理解不了，不要着急，我们过 o 点向 b f 做一个垂线就行了， 然后根据等腰三线合一，或者你用垂进定力也可以，反正这两个小角都是等于 r 法的，并且 h 点是 b f 的 中点， 那这个时候二倍的 o f 就 等于二倍的 f h 除以三眼法了，而二倍的 f h 又是等于 b f 的， 所以现在你们看明白了吗？ 好，那接下来是不是就没什么大问题了呀？自然是当 b f 和 a c 垂直的时候才能取到最小值了， 这个时候 b f 的 长度我们可以用等面积法来求，而塞耳法的值我们也是知道的。最后把它们俩带入计算就行了，算出来一级的最小值应该是六，你学会了吗？

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！ hello， 各位同学，今天我们继续来看一下百校联考三的二十三题，这道小题的折叠压轴，嗯，非常非常的不错啊，同志们 来，首先包括它的前两小问，哎，都特别特别的有意思啊，也是有一定难度的。当然了，如果你熟悉折叠，就会发现这些挑战都在情理之中。一个矩形点 e 是 射线 a d 上的一点， 很明显，将来一定在某个地方要考我一个分类讨论啊，连接 b e， 然后将三角形 a b e 沿着 b e 进行折叠。就这样一个常规的操作， a 点对应的是 f 点， 那么第一个小题说，在图二当中，你看它开始给你整这种特殊情况了，当点 c 恰好在线段 e f 上的时候，主要就这个恰好。同学们， 你看，我折过来永远都会有 e f， 大家想想对不对？只要我线这么一折，永远都有 e f， 但是点 c 和 e f 共线却不常有，我们需要搞清楚里面存在的一些特殊关系， 它让我们判断 d e 和 c f， 那 我肯定猜它俩是相等的。至于为什么呢？首先老师是这么想的啊，这个 d e 跟哪条线段有关呢？你可以说它是 a e 的 一部分。嗯，然后呢，这 c f 跟哪条线段有关呢？你可以说它是 e f 的 一部分。而同学们， a e 和 f e 刚刚好就相等。 哎，那么这话说回来了，你说老师，那相等的话呢？我想想，这 a e 减去一个 d， e 是 谁呢？剩下的就是 a d。 好， 同样道理， e f 减去一个 c， f 是 谁呢？剩下的就是 c e。 所以 啊，如果我们想证明这两条线段长度相等，我们就有一个大胆的推测，能不能证明 a、 d 等于 c， e， a d 和 c e， 这能扯到一起吗？注意， a、 d 是 矩形的长，那 b、 c 不 也就等于 a、 d 了吗？同志们，哎， b、 c 就 等于 a、 d， 那 这样一来，就说我们能不能证明 b、 c 等于 e、 c 呢？完全可以折叠呀，两平行线 内错角相等，再加上折叠前后对应角相等，平行加角，平分线出等腰，在这就用到了。就这个，第一题出的本来就很不错啊。第二小题说，看图三，让我们证明四边形 e g， c、 d 的 形状。 这一题啊，初看你感觉好像很简单，但是仔细一琢磨，不对，这属于压轴题的第二题的第一个， 哎，这个题的话呢，不会很简单，哎，你说老师，那不对啊，他本身就已经有两个直角了，就是像这样的题目，才害怕同学们，你发现你这里想倒角呀，你通过第三个，你想倒出第三个直角来，根本就不可能，这时候别慌，注意转化思路， 有现成的直角，我想想，能不能证明你是个平行四边形呢？如果能证明的话，也 ok 啊，一个角是直角的，平行四边形是矩形呀。 所以在这里，同志们，我们有天然的条件， e、 d 是 平行于 c g 的， 这是天然的优势，但是咱们得注意， e、 g 是 不是等于 c g 啊， e、 d 是 不是等于 c g， 我 们需要证明， 那么在这里看它的说法，由 d f 延长之后交于点记，而恰好点 e 是 终点。怎么把这个条件给用好？同志们，老师这边教大家两种办法啊。第一种办法， 那就是如果你在这里啊，同学们，你把这个角记为阿尔法，这个角记为阿尔法。那同志们，所以 d、 e、 f 等于 e d。 老师说这两个角也是阿尔法，大家想想这个逻辑能不能搞清楚？我把这个角记为北塔二，阿尔法加北塔等于一百八。所以这样一来，你发现没，这 b、 e、 f 和 d、 f、 e 它俩是内错角， 内错角相等，两直线平行， b、 e 就 平行于 d、 g。 就 得到一个关键的信息啊，这四边形 b、 g、 d、 e 是 一个平行四边形， 那所以这样一来的话，同学们， e、 d 的 长度就等于 b、 g 的 长度，而正好就等于 a、 d 的 一半。因为啥呢？ e、 d 等于 a、 d 的 一半呀，那说明 b、 g 也等于 b、 c 的 一半，这 g 点可不就又是 b、 c 的 中点了吗？所以 b、 g 也等于 c g， 这样一来，一捣腾， c， g 呀， 就等于 e、 d 啊，你看，一组对边平行且相等，这个四边形就是个平行四边形，这没问题。当然，同志们，你还可以怎么做？在这里啊，也有一个细节， 我们用的什么呢？用的是斜边中线定律的逆定律，在这里有一个共顶点 e 的 三线段相等，这都是技巧，连接 a、 f。 那 这样一来，同志们， a、 f 和 b、 e 是 垂直的， 那，那再来呢？哎，由这个逆定律我们可以推出来，你看，哎，这是阿尔法， a、 e 等于 f 一， 这个角也是阿尔法，这是贝塔，这个角也是贝塔。哎，所以咱们熟悉的同学都明白咋回事了啊，角 a、 f、 d 是 个九十度，这里没标，我给它标一下， 等于角， a、 h、 e 等于九十度，你看，后续的效果也是一样的，我们能证明 b、 e 平行于 d g， 从而证明有一个平行四边形。 b g d e 啊，有这样一个四边形。好吧，那其次呢，就继续能够进一步的证明， e d i 经过导边，它就是等于几 c 的， 这就好说了啊。那么咱们接下来的话呢，我们注意一下第三小问啊，注意下第三小问， 第三小问的话，这里要小心啊！第二小题说，呃，当这个 ab 等于四， bc 等于六的时候， 哎，给了你长度关系了同志们，四和六。然后呢，又说当地 g 等于二倍的 f g， 我 们现在来感受一下 g 点怎么来的呢？延长 d f 和 bc 交于点 g， 他 这么来的， 直接写出线段 c g 的 长。这个题不一般，同学们，他竟然没有 特殊角，一般来说，这是在这种题当中，我们都得有特殊角的呀，对吧？利用三角函数去做题，这个题难道就特殊吗？大家想想如何把终点的这个条件给用好。如果在图一当中， d g 等于二倍的 f g， 那 f 就是 d g 的 终点。所以同学们利用好终点， 我们说可以背长中线，构造全等，忘了吗？如果延长 e f 和 b c 交于点 h， 这个图可能不太标准，但不影响咱们做题。同志们，你想想这两个三角形怎么着 全等啊，全等背长中线的效果嘛？由于 d f 等于 g f， 再加上什么内错角啦，对，顶角这两个图形全等全等，这就好说了啊。那么我们在这里要求的是 c g 的 长度，大家想想， 这是个直角，这也是个直角。有没有发现同学们这三个直角三角形呀，他们全等， 这特殊角不就来了吗？所以这是四，这三个角每个角都是三十度来，有点难算，同志们啊，四除以根号三，这是三分之四倍根号三，那么 b e 的 长度就等于三分之八倍 根号三，好，同样道理，这 b h 的 长度也就等于三分之八倍根号三。好，同学们注意， g h 的 长度等于第一的长度等于六，减去一个三分之四倍根号三， 我们先求谁啊？我们可以先把 b g 求出来啊， b g 就 等于 b h， 减去一个 g h 也就等于。 哎，你这个好好算一算，它就等于四倍根号三减六，三分之八加上一个三分之四，正好就是，呃，三分之十二嘛啊，四倍根号三减六，所以 c g 的 长度等于六，再减去一个四倍根号三减六的差，最后的结果，十二减四倍根号三，它是这么来的， 好。至于这里的第二种情况，同学们，其实咱们可以借助图二啊，如果你不嫌弃的话啊，其实第二种情况的话呢，那肯定点 c 就 不一定经过 ef 点了啊，不一定在 ef 上了，大家一定要注意，点 c 就 不一定在 ef 上了。 接这个图咱们还是怎么做呢？连接 d f 交 bc 于点 g， 由于你说 d g 等于二倍的 g， f 写上这是两份，这是一份，那同学们，这是四， 所以你过点 f 做一条垂线的话，根据比例关系，三角形相似，这就是二。 b f 的 长度等于四，四二，我们也能推出来啊，这是个三十度，不过已经不重要了， b g 的 长度就是二倍根号三。 那接下来你说啊，老师，这里个点记为点 h， c h 的 长度是多少呢？六减二倍根号三，而我要的 c g， 同学们， 一比二，一比二，别忘记了，这是一份，这是两份，所以六减二倍，根号三乘以三分之二。那最后的结果呢？ 这个你来好好算一算啊，约分一下就是一个，你看四减去一个三分之四倍，根号三，这就是最后的两个答案，你听懂了吗？拜了个拜，下期视频不见不散。

我们来看一下高薪三模的填充压轴，如图，在矩形 a b c d 中， a b 等于六， a d 等于九， ef 分 别是 b c 和 b d 上的两个动点，且满足 b e 等于 d f 动线段，但是这两个动线段相等。 然后让我们求当 a e 加 a f 取最小值的时候， cosine 角 e a f 的 值是多少？首先动线段相等且和最小问题是我们之前说过的逆等线问题， 那么逆等线我们的处理方式是构造全等，转移线段进而得到和最小。 那么这个构造全等的方式大家如果能一眼看出来，怎么构造也可以，如果看不出来的话，其实给大家推荐一直都是分析法。好，这道题可以在 a e 的 上侧，因为是动点相连嘛，给它拼一个呃，在在 a f 的 上侧给它拼一个 a e， 或者在 a e 的 右边给它拼个 af 啊，其实都可以啊。好，假设这道题我们选择。 嗯，第一种方式吧，我在 a f 的 这边要给它拼个 a e。 好， 那我们来分析一下，假设这个点 g 给它支棱到这，这个长就是 a e， 那 它就等于这个 a e， 对 吧？然后动线段这个 d f 等于 b e 是 相等的， 那么两条边都相等了，所以我连接 d j j 第三条边一定和这边的第三条边相等，因此 d j 的 长等于六没问题吧？那光有六的话，我还是没有办法确定 j， 我 还要找定角，那在三角形 a e b 中，随着 e 的 运动，它的定角就是这个 b 这个顶点还有个九十度， 那么 b 这个顶点是六和动线段的加的这个顶点，那么在我们所构造的全能里面，也就是 d j 和动线段 d f 所加的这个顶点 d， 这个地方就是九十度 啊，所以我就可以唯一的画出 j， 也就是过 d 做 d j 垂直于 d f， 并且让这个长等于六就出来了，所以我们过 d 做垂线，然后并且让这个长度等于六 垂直，然后连接 j f， 此时这两个三角形是全等的，我把这个全等三角形就构造出来了，真的推荐大家用分析法去做啊。好，那接下来我要求的 a f 加 a e 的 最小值就转变成了 a f 加 j f 的 最小值，也就是 a j 的 长好连接 a j， 那么当它取到最小值的时候，没有让你求长啊，求长的话直接勾股求 a j 就 好了，它求的是此时 cosine 角 e a f， 那 么焦点的话，此时就是 f 撇，就是 f 的 位置，那我们如何找 e 呢？哎，动线段相等吧，所以 d f 撇等于 b e， 这个时候 b e 也上去了，在 e 撇的位置。好，我们连接一下， 这个时候我要求的是 cosine 角 e a f， 也就是这个角叉的 cosine 值，你要把这个角放在直角三角形中再求 cosine 值，对我们来说太难了，搞不定。所以这道题我们的方式是找跟它相等的角， 相等角的 cosine 值也是相等的，那么跟这个角叉会发现它旁边有两个角，阿尔法跟贝塔。 角叉加 alpha 加贝塔是九十度，那么因为全等这个 alpha 是 动线段所对的这个角对吧？那么在这个三角形中，动线段所对的角，也就是角 d j f 撇就是 alpha， 好，他也是阿尔法。然后我们把目光放到了这个三角形 dga 中，你会发现下面的角是贝塔，上面这个角是阿尔法，而中间还有个九十度角，所以说我把这个角就被伽玛，那么有一个九十度，那说明这里的阿尔法加贝塔加伽玛是不等于九十度， 对吧？在这个三角形用内角和啊三角形 a d j 中，那么同理，再往下看，阿尔法加贝塔加上我们要求的角 e a f 是 不也等于九十度啊？那说明什么？说明角 e a f 就 等于伽马， 对吧？好，角 e a f 等于伽马的话，也就等于角 a d b， 那 么我们要求 cosine 角 e a f， 也就是 cosine 角 ab， 那么 cosine 值，它有现成的直角三角形对吗？它的直角边是六和九，那同时除以三的话就是二比三， 那二比三的话，它的斜边是根号十三，所以它的 cosine 值就是三比根号十三，三比根号十三。因此这道题答案就是十三分之三倍的根号十三。结束。

中考几何的压轴题，他每个字都不是废话，出题人他在那个每个题里面都已经给你喊了用什么方法去做，但就看你的耳朵能不能看懂，你的眼睛能不能听懂。我今天一条视频给你把所有的几何压轴题的技巧和黑话总结完了， 你看完这次中考肯定是满分。第一种求线段长度，说了很多遍了，要么勾股，要么相似，要么三角函数，就这几种。比如说咱们最近考圆圆这个题考的比较多， 圆就里面有到直角之后吗？就干啥？勾股定律，如果有平行线，什么八字平行也好啊，一字平行也好啊，干啥就相似吗？那如果告诉你了，三十度、四十度、六十度像啥，那就是三角函数。 你这几种方法翻来覆去的求倒，要么是一种方法，要么是两种方法结合，要么三种方法结合，总能算出来。第二种问法就是求两条线段的比值，比值是干啥？不就是相似吗？ 还有什么比相似更能体现笔直的吗？他就告诉你了，就是相似，就这么明显啊，笔直就是相似。所以你只需要确定他是 a 字还是八字，还是共角，还是母子，还是手拉手，就这四个类型里面去找就行了。第三种就求某个角度，那圆的第一问是不是求巧度？我之前说过，用各种方法去导 平行线内错角，同位角去倒，用垂直，垂直就是直角。三角形里面用鱼角去倒，用弦切角去倒，用圆周角和圆形角的关系去倒，用等腰三角形的两 d 角相等去倒，用角平分线的两个角相等去倒，最主要的就是这个倒角，想尽一切办法，就跟你说的这几个方法七七八八的，就这些方法肯定能倒出来。第四种就求面积， 看到求面积的时候，那正常三角形的面积会求吧，二分之一底乘高对不对？四边形的面积也都会求吧，这最简单的求面积的题，但是有的时候他会跟二次函数结合求面积，这种时候就要用铅垂高法，那就是横平竖直的做辅助线了，但本质还是三角形求面积问题。 第五种，求最值的最短路径，最大面积，最大角度啊，看到最短将军引马面积问题，那就二次函数的最值转化为那个顶点式，或者就是啊，隐形圆，点圆，最直线圆，最值，就这些东西。 第六个就是是否存在点屁，使得什么什么什么成立，只要这么问，百分之百存在，不然这道题他就不存在了，这道题问你让你干嘛呀？所以存在之后就一个思路，用相似勾股三角函数，把几何翻译成方程，然后解，解出来就存在，解不出来就不存在，就这么回事。 所以很多人他就是不会规划总结，你就这么几个类型的题，你怎么可能压轴题拿不满分呢？然后包括数学，物理、化学，所有的这个压轴题我都给你们总结全了，如果到现在这个答题模板呀，包括这个思路还没领清楚的，赶紧在评论区留下技巧两个字，进群来找我。

我们来看看宜宾二零二四年的这道题，这是宜宾二零二四年的填空的亚洲，填空亚洲。好，来我们来分析下这个题啊，这道题啊，他说什么呢？他说这有两条线段， f d 和 c e 始终相等， 然后呢，这是一个平行四边形，这条边是二，那么这条边也是二，然后呢，这两条边是四，这两个点都在动，动的过程当中保持这两条线段始终相等相等，我就都设为 a。 好， 那么最后呢，当 a e 加 c f， 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候，求 c e， 求这个线段长，求 a 的 长。我们来想一想啊，这道题目前最大的问题，什么？我要求两条线段合最小，一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接，贡献最小，这没问题吧？我要找 a b 两条线段合最小，那我就得让他首尾顺次相接，让他贡献最小。但是呢， 你会发现，目前啊，目前这两条线段是交叉着，这个位置肯定没有用，所以呢，我必须得转化啊，我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置，其实你让哪个换位置都行，比如说我们就让这个短的吧，我要让 转化 c f， 我 就让 c f 换个位置，换位置的目的是为了和什么？是为了让这个 c f 和 a e 首尾顺次相接，这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢？ 我现在就是让这个蓝线换位置，那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛，但这个蓝线只能放进哪个三角形，就是放进这个三角形， 那么蓝线放进这个三角形之后，我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等，那么这个 c、 f 就 可以换位置 看，这是我的目标线段，我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等，那么这个目标线段就可以换位置。好，那怎么造呢？我造全等得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a， 那 我就利用 a 等于 a， 这组等量 造全等，对不对？我就利用这个 a 等于 a， 这组等量的造全等。那你会发现，我们来观察一下这个三角形，有一条边是 a， 有 一条边是二，有一个角是 r 法， 那我现在这已经有一个是 a 了，那我只需要怎么样？我只需要把这个 bc 延长出来，这个角是不是就是 r 法了？ 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几？我在这条线段上再截取一条线段等于二，这个时候我把它俩一连来观察， 这个 a 等于这个 a， 这个阿尔法等于这个阿尔法，这个二等于这个二，那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了？这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图，看，这是 a， 这是 r 法，这是 b， 这给你一个 a， 我 来一个 r 法，截一个 b， 这两个三角形就全等，这个 c 是 不是转化到这个 c， 对 吧？是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里？什么叫可负用逻辑，这就是可负用逻辑。 好吧，好，来再看感受一下。因为这个 a 等于这个 a， 同时这个角 r 法等于这个角 r 法，所以这个时候连 eg， 这个 eg 就 等于 c f。 好 了，现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接，是不是达成目的了？ 到这是不是就达成目的了？现在你会发现，因为 e 是 一个动点，那么这个 a e 加 c f 什么时候最小？是不是就让它直接 a e c 三点共线？那么最小的时候，这个一撇，这个点 一撇，是不是 c e 撇就是我们要求的值？那最后我要求这个 c e 撇怎么求呢？你是不是可以用 a 字相似，也可以用八字相似？因为有平行，有平行想相似吗？平行想相似吗？想相似吗？这有什么相似？你比如说这是不是就是一个？来， 我就看这组 a 字吧。啊？这条线和这一条线是平行的，那这里是不是就构成了一个 a 字？这个 a 字的相似比是多少？是二比 六，是不是就是一比三？那么这条线段是二，这条线段就是几三分之二，所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了。那么这道题最核心的是怎么想？你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做？不是， 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线，有什么模型好去记的？它就是一个最底层的，当我要转化线段，又有等量关系的时候，我就利用等量造一个全等，它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样，但是它的底层逻辑都是 给你等线，要转化线段，那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了，每一步怎么想的，反复去揣摩，如果说这道题一听懂，你就觉得你以后能够想到，那这道题对你毫无意义， 我们要做的是怎么想到，怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了，首先要转化，得换位置。怎么样？换位置给你等线，你得想办法造全等，包括这个图都给你画了， 这是 a， 这是二，这是 r 法，这又给你一个 a。 好， 我要现在转化 c f， 怎么转化？来，我给这来一个 r 法，给这截一个二，那么这就是 c f， 我 就是把这幅图给你扔进了这个梯里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了？所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗？强调我不行有什么意义？你要想一想怎么才能行？这就是最底层，最底层的逻辑了。好了，来吧，兄弟们，这是我们用等线去构造全等。