陕西大荔二模初三压轴题常考类型数学

之前给你们押题，这一次都灵验了吧，当时有没有在评论区说要跟我打赌的家长呢？啊？我当时跟你们讲了啊，这个材料必考四种对不对？他考的是什么？ 复合材料？玻璃钢嘛，我跟你们讲，这个肯定有人选合成材料或者金属材料，因为他特别像啊，会掉进书院老师的坑。 然后还跟你们讲啊，电路故障分析是不是也必考？我跟你们说了，记住三种模型对吧？这一次他考的是什么？电流表无示数，电压表有示数，那就电压表测谁谁断路呗。那一题答案就小灯泡断路嘛， 对不对？我还给你们说了，我说这个和生活有关的一些数据都给我记住啊。然后呢，我当中讲了一个鸡蛋大概是五十克，他考的是篮球，对吧？你把篮球和鸡蛋去比较一下呗，你不就能得出结果了吗？ 所以还没关注我的家长，赶紧关注，后面还会给你们押题更多啊，而且还会有押题卷，命中率更高，预测的更多。

大家好，看一下本次初三按摩这道画图题，我觉得这道题还是有难度的，之前我们讲过类似的啊，那我看这道题考的是什么？第一个非常简单，角 abc 等于多少度？哎，我们可以把 bc 一 连， 那我们就可以得到，这里是等于九十度啊。第二个过 p 点向右侧则旋动 pm 是 pm 平行 bc， 并且 pm 等于 bc， 这个也是非常简单的啊，那 m 点就在这个位置 来把它一连啊，这个点就是 m 点。 好，下面一个这题是比较难的啊，我们看一下怎么做啊？在 p m 的 上方做 p m n 全等于三角形 p m q， 那 么三角形 p m q 我 们可以找到连起来。 好，这个是 p m q 这个三角形，那么其实这道题想做的事就是过 q 点做 p。 关于直线 p m 那 个对称点，我们可以把 p m 这条直线给它拉长一点， 哎，我们只要做这个对称点就可以了，那做对称点，我们知道啊，肯定要过 q 点做 p m 所在直线的一个垂线，那这个也很好做， 那这里垂线，那剩下的我们假设这里呢？假设交于点 点 d 的 啊，那么我只要在这个这边去截取一个线段等于 q d 的 这样一个长，那么问题点来了，怎么去截取？怎么去截取 啊？截取呢，这里是用无刻度的支持，不能用圆规，也不能用刻度尺，所以说我们要利用格点啊，利用格点，格点图当中，我们要常常利用平行线去截取啊，我们可以过 q 点作 p d 的 一个垂平行线。 好，然后呢，我们这这边呢找一个，这边我们怎么找呢？你看一下哈，这里到这里是四个单位，我们从 p 点到这里也找一个四个单位就在这个位置。 好，也就是从这点， 那么这两个平行线他们的距离是相等的，这里也是非常好正的啊，你看这个地方是四个单位，这个地方也是四个单位，这个角和这个角是相等的，那么这里的垂线段 和这里的垂线段是相等的，那这里是平行线吗？平行这两个三角形全等是不是？那所以说我们要找的这个 这个 n 点就是在这个位置啊，下来我们看一下怎么去求这个长度啊？求这个长度，我们可以去利用来或这里做个垂线， 包括这里也够到一个线段，那这里是四，这里是二，这里也是四。好，那么这个三角形 q d 这个啊，这里没有点哈，我们假设这里是 e 的 哈， q， d， e 这个直角三角形和 b f e 这个三角形它是相似的，并且它直角边的关系是四比六，也就是二比三，我们可以设这个为二 x， 这个为三 x， 然后我们就可以利用勾股定律，四 x 平方加上 九 x 平方等于十六。既然我们是可以求出 x 的， x 求出来之后，而整个 q 点和 n 点之间的长度是四 x， 那 最后就绝了，那最后的答案我们也能算出来了。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。 hello， 各位同学们，大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家讲的是我们初三下人大负二模的这道模拟题啊，这道函数压轴题， 这道题目呢？同学们，做到这个第三问，是不是感觉特别特别烦，对吧？怎么这么多点呀？ b p 对 不对？然后又过它做 c q e f， 天呐， 太多信息了对不对？哎，同学们，这里肖老师要给大家一个认知啊，越是这种让你看起来好像有点烦，需要咱们自己画图的时候，同学们，我告诉你，这正是你弯道超车的好机会，因为大部分同学坐到这都烦， 谁看谁烦，我看我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，我别人烦，我不烦，我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，别的小屁孩做到这块，早就已经烦的不行了，对不对？肯定画图画错了， 只要你，哎，耐心阅读，一句一句的画，哎，一句一句的读，你会发现画图这事有啥难的呀，对不对？只要你不着急，包能画对的。 而且像这样的题，只要你画对了，我告诉大家，后面一定是坦途，一定非常简单。为啥？因为一道题难度是守恒的，他不可能画图也难，计算也难，然后题目还难，对不对？难上加难加难，那不可能， 对不对？所以一道题目难度是守恒的，哎！所以同学们，这道题，只要你给点，给自己点时间，耐心去画图，你会发现，哎，他其实还可以 啊。当然，这里也建立在这道题目呢，也建立在你对这种斜边的关系，应该怎么能转化成这种横平竖直更好算，能更好？表示你对这种转化工具非常熟悉啊，所以总结一下这道题，同学们，他主要考验你两个要点，第一个， 信息量这么大的时候，你能不能够耐心画图，别烦哎，能够清楚的准确的看到你的研究对象。 第二个就是，如果碰到这种斜边的式子的时候，我们应该怎么去给他列式子转化，能转化成好？列式子的形式能好算对不对哎，什么转化工具可以转化成转化斜边？哎，这两个问题肖老师都会给大家进行示范。 好的，那咱们来看一下这道题目啊。首先这个圈二的话就不用多说了啊，这个还是非常简单的，是一个确定的抛物线，然后咱直接令它外得十，然后去求解这个 x 一 x 二就可以写出 m n 的 长度了啊，这个非常简单，大家跟肖老师对对答案就可以。好，重点来看。第三问同学们， 哎，好，开始。首先呢，我们先画一下这个抛物线啊，只要画抛物线，我们就是开州店啊，不确定的确定的直接画上，不确定的咱们就先随便画一种情况是不是？比如说，以这个题为例，目前开口 向上，对吧？画一个开口向上的抛物线对称轴，哎，不确定在哪边是不是？没关系，先随便画一种呗，对不对？图不是为了立马做出来的，而是为了理解提议的好，与外轴交点，零豆一画上。所以向老师嘚儿画这个绿色的抛物线没问题吧？ 好，接着与外轴交于点 b 啊点 b。 这里零豆一啊，点 b 是 一个确定的点啊，零豆一，嗯， 好，过点 p m 逗 y p， 那 就随便个随便放一个屁呗，对不对？哎，过点 p m 逗 y p， 哎，去做一条什么在抛物线上，好，再给这个点上点一个。随便点一个。点哪都行啊，随便点一个好，没有线就随便点。 分别分别过点屁啊，过这个点，注意认真看啊，这就是你容易画错的点来了啊，分别过点屁，做 x 轴和直线 ab 的 垂线啊。 我猜这里肯定有不少同学凭着自己的做题惯性嘚就画了一条竖线，对吧，然后就标上这是 c， 这是 q， 是不是？有没有这样的同学，如果说中，你可以在弹幕上扣个一啊，嗯，是不是？哎，但这题不是，对吧，人家是过点 p 做 x 轴的垂线，对吧？做，哎，过点 p 做 x 轴的垂线，然后交于点 c 啊，做 ab 的 值垂线啊，做这个 ab， 这个线段的垂线交于点 q， 人是往这边做，这个点是点 q， 哎，好， ok， 然后接着 e 是 p q 上一点，并且满足 p q 是 四倍的 pe。 好， 先画图，再玩柿子。好，他说过点 e 啊，做 p q 的 啊， e 是 p q 上一点，那咱们就随便点个 e 啊，并且满足它的一个差不多四倍关系啊， p q 是 四倍的 pe， 哎，差不多就这样式儿，哎，好，这里出现了一个元素，同学们出现了一个边比， 而且这两条边 p q， p e 还是两条斜着的边笔。同学们，回想一下咱们初中几何学过的所有工具，斜着的边笔会让你想到什么？ 斜着的边笔画，你想到什么？哎，同学们非常聪明啊，在我们的坐标系当中，我们非常喜欢横平竖直的线，横平竖直，那多好表示啊，横着的线，对吧？横坐标右减左，竖着的线纵坐标上减下，那多简单呀，斜着的还得勾股大，带个大根号，多烦呀，对不对？ 所以在坐标系的世界当中，所有的斜着的边啊，我们都可以转化成横竖着的，那怎么转呢？哎，你给我笔直了，我可以用什么转？ 我见到笔直了，我可以用什么转？我可以用相似去转，对不对？而且往往就是最简单的 a 字八字啊，非常好构造，对不对？所以其实你看肖老师这个图已经看出来了吧，我就可以瞬间把 pe 比 p q 给它转化成 p f 比 f h， 是 不是也可以转化成 e f 比 q h？ 反正就是这个背后有相似嘛，对吧，对不对？哎，边笔背后肯定有相似 啊，好，接着看啊，一会用哪个相似，咱们一会再聊，接着看。过点 e 做 ef 平行 ab， ok， 做 ef 平行 ab 啊，这个做对了， 交 pc 啊，别交错了啊，这题真的很烦，所以你画的时候耐心点啊，交直线 pc 啊，交直线 pc 于 f， ok， 交这个点于 f， 嗯， 好。然后他给了一个 m 的 范围，让咱们研究对象是谁呢？哎呀，画了这么半天，终于画到，哎，研究对象是我们的 e f， 对 不对？研究对象是我们的 e f 啊，研究对象是咱们的 e f， 好， 那咱们就看看呗。哎，这个 e f 啊， 看看我们的 e f， ok， 研究对象是他，对不对？按照今天肖老师教大家的，画完第一图之后啊，如果能从图上看就看，如果不能从图上看，就开始表示字表一切了，对不对？这个 e f 难表示不，同学们， e f 难不难表示？ 难表示吧。哎， e f 难表示，那怎么办？一定有工具啊，有工具帮你变成好表示的。比如说，这有什么工具有这个相似？你让我研究 e f， 我 非得研究 e f 吗？ 我可以研究谁？因为你告你刚才告诉我了，它比它是一比四，对不对？那你 e f 比 这个 a 字音相似多明显呀，对不对？比这个 q h 是 不是也是一比四啊？对不对？这也是一比四的关系，这也是一比四的关系啊。所以你让我研究 e f， 你 不就等于在让我研究 q h 吗？对不对？那 q h 也难算呀？有同学说， 难道这个题只有这一个相似的工具吗？同学们， q h 在 哪根线上呢？ q h 在 ab 这根线上呢？你有没有意识到，同学们， ab 是 一根定直线，并且这根定直线它是 y 等于 x 加一的这根定直线。所以呢， 它的斜率多少度？倾斜角，它的角度是多少度？ y 等于 x 加一。各位同学， y 等于 x 加一，它 k 得一， k 得一呢？这个直线与 x 轴加角就应该是四十五度，对不对？那我们看在这个直角三角形当中，这个角如果是四十五度，那 这个角就也是四十五度，哎，同学们，所以看到了吗？你让我研究 e f， 我 可以研究 q h， 我 可以转化成研究， 哎， ph 到没到你的舒适区。同学们，再陌生的问题都能转化到咱们舒适区啊！这道题怎么转的？ 利用了直线背后的特殊角，四十五度，对不对？ k 得一，倾斜角是四十五度，哎，第二个，利用了这个相似的边比，对不对？我们就轻松的把一根 e f 这么恶心巴拉的线转化到我们的舒适区， 竖线竖线竖线竖线，到底舒适区了吧，同学们，哎，好，来，那接着咱们就快速看一下这个题了，具体的先剩下的步骤了啊。 首先刚才肖老师说的那些就是这里啊，根据这个相似，我们可以把 e f 写成它，是啊， q h 写成是四倍的 e f 是 不是？哎，再根据这个大的等腰值啊，这个三角形啊，这个 这个三角形啊，应该是这个什么？这个我标个 m 吧， m c h 啊，根据 m c h 是 个等腰值，哎，我们就可以写出来这个四十五度是不是？那这个 ph 也是我们的根号二倍的 q h 啊，所以你让我研究 e f， 我 就只需要研究四倍的四分之一的 q h， 那 q h 又可以写成 根号二分之一的 ph， 对 不对？所以这道题研究 ef 就 等于研究 ph 啊，研究 ef 的 增大就等于研究 q ph 的 增大。好，那咱们就接着式子表一切 去表示 ph 吧。哎， ph 这就没难度了，它的点 p 的 横坐标带进解析式啊，把 m 带到这个抛物线解析式，表示一下 y p， 再把 m 带到直线 ab 的 解析式，哎，表示一下 y h 是 不是啊？ ok， 然后就是它减它，哎，就出来了， 哎，得到一个新函数，得到新函数之后，立马对这个新函数进行具象化，哎，画出来的草图，哎，很简单，画出一个 w 图像，然后这个是零，这个是四，对吧，与 s 两个焦点，然后再把它给的范围，哎，它的研究范围 m 的 取之范围，它只研究从零 往右到 a 加二分之一，也就是说他只研究从零开始，一直动到 a 加二分之一，得满足增大而增大， 所以呢，所以非常简单，那不就是 a 加二分之一不能超过这个对称轴二吗？对不对？哎，咱们就只需要满足 a 加二分之一小于等于二，所以 a 小 于二分之三，哎， a 小 于等于二分之三， 好，所以最后综上就是 a 要大于零啊，注意前提，确认 a 要大于零，小于等于二分之三，好，后面都是大家的舒适区啊，主要是前面好。小结一下，同学们，通过肖老师给你讲完这道题，你有没有意识到， 如果今年的中考题他考了一个，也是信息量如此之大，一会 b， 一 会 p， 一 会 q， 一 会 e， 一 会 f 这么多个字母的时候。同学们， 这就是你考验你画图的耐心的时候了啊，他就在考你画图的耐心呢！而且这个时候我告诉大家，大部分同学都是容易画错的，所以只要你能画对，你就赢了啊！所以同学们，记住肖老师说的，只要画图，重音阅读啊，一定要画对了啊，并不难画。 其次，如果这个今年中考给你玩一个这种比较恶心的长相的，这种线段长，你不太会列式子了，同学们，找转化工具，一定有工具能把它转化成横平竖直的，转化到咱们的舒适区，横线竖线的好表示的。比如说这个题的两个转化工具，一个是我们的 斜边笔背后的这个相似，一个是我们这个直线，它的 k 得一， k 得一，意味着它的夹角是四十五度啊，这个特殊角，哎，这两个都是能够轻松帮咱们把斜着的边的问题转化成横着的，或者竖着好玩的这种边的问题的，嗯。

这道题的最后一问特别有意思啊，然后呢，对阅读能力有点差的同学，或者看到任意存在就晕的同学，你会彻底晕的啊，我希望你在听讲第三问之前，你先吃一个眩晕片啊， ok， 好 了啊，首先呢，我们先看看定义，这个定义呢还是比较简单的是吧，他说呢，给了一个弦是吧？比如说咱们画了这个橙色的弦 ab， 他所对的列弧上也就是 ab 之间这一部分是吧？然后呢，大家看，就这一部分还包括啊，可以和 ab 重合，哎，这就是一个细节确认啊，可以和 ab 重合， 然后呢说，哎，使直线 q m q n 啊，与圆 p 相切，这个跟我上节课给咱们初三和啊顶尖班和 top 三的班讲的那道题一样的啊。然后呢，又是玩这种相切， 那么这个时候，因为 m n 的 轨迹是 a b 之间这段裂弧，根据老谢快速帮大家找管啊找轨迹的这个极端性原理，我们可以先猜猜什么呀，先让比如说 m n 和 a b 重合，先找到这样一个区域 啊，比如说先找到这个点，然后我们再看一看，这样的话，比如说给这个点起名叫 k 吧，对，那这种情况下呢，我们就会发现 k a b 组成了一个三角形。首先呢，我们知道这个点 q 呢，它肯定在外边是吧？人家说了在院员外， 另外呢，这个点 k， 你 会发现他和 ab 呢组成了一个三角形。我们先用极端易性原理猜出来这个以后，我们看一看，是不是这一部分的每个点就是员外以及三角形 ab 内部它俩的交叉啊，交集部分，然后呢，看看是不是都满足， 对吧？那么咱们可以怎么确认呢？第一个，你在里边随便找一个点，看看他做的切线， 各位啊，他向圆做切线是不是一定是在这个裂弧 a b 上，以及你在这个三角形外部找一个点，你看一看他往外做切线，是不是至少有一个切点不在这个 a b 裂弧上，各位能理解吗？ 哎，经过我们确认以后，发现轨迹没错，如果一个弦确定了他的弦弧啊切切弧点，就是以这个弦的两个端点先做切线，得到一个点 k 得到一个三角形 kab， 然后呢，这个三角形内部以及圆外部的这一部分就是切弧点的轨迹，这个找到了对不对 啊？同时呢，注意，因为他是切，他是圆弧上啊，所以还要注意细节确认最后呢，关键时候能不能取等号？ ok， 在 讲第二问之前呢，我先给大家讲一个老谢，给啊，老谢的学生讲过的一个一二三四五模型啊，这个圆综合里边经常考啊，当然你不知道也没关系啊，但是如果有直接写答案的题，你知道了，你会做的很快。什么呢？ 你会发现三四五的直角三角形和一比二比根号五的三角形和 一比三比根号十的三角形，他们之间有非常严重的亲戚关系，你会发现他们是一个家族的，怎么着呢，各位同学，我给你点一下，你自己可以正一正啊，特别好正。 然后呢，你会发现，如果把这个大锐角哎分成角平分，找着一个角平分线，你会发现这个长度就是二分之三，你可以算的出来啊，你可以用角平分线轴对称可以算设 x 啊，初二的应该同学就会做，也就是说这个大锐角， 它的一半就是一比二比根五的这个角，并且有意思的是这个小锐角，哎，再来一个角平分线，你会发现这个呢是三分之四，也就是哎是一比三比根十这个角， 所以你要看到一个一比二比根五的三角形，然后呢，如果他哎这个角翻了一倍，他的二倍角，二倍角其实在直角三角里边是三四五的那个四所对的角， 你如果知道这个模型啊，这道题的第二问呢，会算的稍微快点啊，这道题第一问咱们就不讲了，咱们看第二问，第二问，各位，因为他是说要找到 a c 的 切弧点哎，本着老谢四大意识的，第一是剪软柿子捏， 我们首先肯定先可以画出来点 a 的 切线，对不对？过点 a 的 切线啊，然后呢，发现了他和这个蓝线啊，也就是 这条直线 l 这个焦点，咱们给它起名叫 e 啊，然后呢，你会发现，哎，过点 e， 如果做一个这样的一个切线，然后这个切点 c 的 话，你会发现，如果 c 在 这里， 各位啊，你就会发现这个圆，这个 l 上就会出现它的切弧点了啊，因为这个点 e 是 可以是切弧点的啊，因为人家定义上说了，就是说它可以和 ab 重合啊，也就说这个弦的两个端点的切线的交点也可以。 好啦，那么这种情况下，我们就会发现点 c 是 可以的，是吧？然后呢，我们会发现，如果这条线在这么转， 也就是 c， 如果再往左走，你会发现，按照咱们的定义，这个三角形啊，内部圆，外部都可以当切啊，这个切弧点，那么这样的话，显然这个蓝线上一直有，所以呢，这道题咱们只需要找到，现在啊，就是刚才这个点 e 这个层次的这个切点， 你会发现他的横坐标最大啊，最小值是负一，并且不能取等，对不对？因为不能是直径啊，人家说了，上面你看一看，然后呢，这个呢是可以取等的，咱们就算出来这个时候的横坐标，这个时候横坐标，如果你根据一二三四五模型几秒钟就出来，为啥呀？各位，你看啊， 因为点 e 做切线 ec 和切线 e a， 它们肯定是轴对称的，各位，你会发现有意思的点是什么呢？哎，这个角就是一比二比根五的这个小锐角， 这个角也是，所以它是两倍，哎，它是两倍，各位，你就会发现，就是三四五的，所以这个角的它的正弦值就是四比五， 对边啊，比斜边等于四比五，所以我们会发现，那么你看啊，这个角咱们给标为叉，大家知道老谢讲言中何呢？基本上就是点叉，这是叉的话，这个角就是点，点的正切值就是三比五， 那么因为这是垂直，所以这个角又是叉，哎，各位请看这个叉，它的对边是五分之四，对不对？长度，因为这个是一，是吧，然后它的呢，邻边是五分之三，所以它的横坐标就是负的五分之三， 所以你会发现， m 只要小于等于负的五分之三，大于负一就可以了。哎，第二问就出来了，对吧？这个一二三四五模型呢，考场上不能直接用啊，但是做圆综合的时候，你很多时候可以帮你快速看出来答案啊。这道题呢，第二问就搞定了。来，咱们要开第三问了啊，各位， 第三问这道题的难度百分之八十啊，各位，就是在阅读上这道题的，阅读对阅读的要求太高了，你如果阅读不准的话，这道题累死你可能也做不出来 啊。 ok， 这道题呢，我慢慢给大家读。各位啊，我在这先发出警告啊，预警，这个阅读可能会非常绕啊！我呢，最后还会给你假设，换一种说法，可能跟你想的一样。各位，这道题呢，首先给了个点滴和点一， 他说若存在半径为根号三的原题，哎，这个故事交代了 d 和 e 以后，然后告诉你，哎，存在一个根号三的原题。首先说啊，存在不存在一个原题，那么存在原题，这个原题就是确定的 啊，你可以让它的位置不断的变，但是一旦选好了，这个圆 t 就是 固定的了，它的半径是根号三，并且它的位置你可以随便放，但是它总得在某一个位置。这句话能理解吗？存在半径为根号啊，根号三的圆 t。 然后接下来重点来了， 使得对于三角形 o d e 上任何一点任意点 s。 各位， o d e 已经画出来了啊， o d e 上任意一点 s 都存在。请注意，这个故事得搞清楚，对于谁都能什么，比如说，对你来讲啊，对于你来讲，总能找到男朋友或者女朋友，那就是我们先看你，然后看看你怎么去找去。也就是说，我们是这道题是先找到某一个点 s， 然后再给他去找长度为 t 的 弦。各位，这种题有点绕啊，也就是说，对这个点 s 来讲， 它可以找到一个长度为 t 的 弦，如果 s 在 这里，各位，我们还可以再存在，因为他说了，对于三角形 o d 上任意点 s。 各位，我在这讲的慢一点啊，就是说人家这个故事讲的是 找到一个啊点 s， 随便找一个点 s， 然后看看是否存在长度为 t 的 弦， 那么如果 s 在 这，咱们就可以找一个长度为 t 的 弦 s 在 这可以找一个长度为 t 的 另外一个弦，只要长度为 t 就 行。各位，这是这道题的关键 啊，也就说每一个点 s 都能找到一个长度为 t 的 弦，不是说各位所有的点 s 都找到一个固定的一个同一个弦 f g， 各位能理解吗？ 嗯，因为如果是按你的理解那样的话，如果你们这么理解的话，那他就是说对整个三角形 o d 以上的每个点来说 啊，对于整个三角形啊来说，存在一个长度为 t 的 弦，能让三角形上每个点都是这个弦的切弧点， 他没有说每个点都是这个弦的切口点，各位能理解吗？这个故事是先说对于一个 s， 然后，哎，每个 s 都存在，各位，每个才每个 s 都存在一个长度为 t 的 弦，但是没说所有的 s 对 应的都是同一个长度为 t 的 弦， 各位，这能听懂了吗？ ok， 所以呢，各位啊，这道题你要得理解到这种程度啊。 ok， 那 么这种情况下，各位，咱们接下来思考第一个啊， 如果弦长度为 t 固定了啊，比如说这是 f g， 什么啊？ f g， 比如长度为啊为 t 的 f g， 这个弦固定了，咱们画出来极端的情况就是以 f 为切点，以 g 为切点，这种情况，哎，各位同学，你看啊，那么这个时候这是圆 t 都不是圆 o 啊，别忘了。然后呢，你看一看， 你会发现我们能找到所有的 f g 长度为 t 的 弦，它对应的切弧点的轨迹 啊。首先，我们先画出来某一个位置下长度为 t 的 f g 这个弦，然后你会发现它的切弧点的轨迹就是这个。注意啊，中间这个圆，它是虚线，因为切弧点不包括这个圆啊，不包括圆 t， 那么如果 f g 他 在绕着圆转一圈的过程中，你会发现这个阴影部分是不是也会绕着圆转一圈？这样的话，他转完以后是不是就会得到一个外圆？是蓝色的内圆是吧？是这个橙色的虚线， 那么也就是说，你们能理解这个圆环呈圆外蓝圆上或者蓝圆内这些点是不是都是切弧点？只不过每个切弧点可能对应的是不同的 f g 的 弦，但是它们长度都是 t， 各位这能理解吗？所以也就是说，这个三角形它只要能啊 o d e， 它能在这个圆环里边就行，而不是说这样的，也就是对 f g 固定了啊。然后呢，比如说啊，三角形 o d e 必须它上面的每个三角形上啊，比如说这是 o d e， 它上面的每个点都要在某一个固定的 f g 的 这个切弧点的轨迹内，不是这样的，各位能理解吗？ 啊，所以呢，也就是说，只要三角形 o d e 在 整个这个圆环里边就行，不是说啊，不是说让你在 f g 固定的情况下，在这样某一个切弧点的轨迹中，这个难度就差别很大了 啊，各位，你可以啊，如果不明白，暂停再看看啊，然后如果明白了这一点以后，咱们就想办法找到这样一个 a 圆的啊，这个外圆环，这个蓝圆的半径的最小值，因为它肯定越大越好，越大越能装得下 o、 d、 e， 对 不对？然后呢，其实我前两天正好讲了一道题，各位，你会发现，也就是说，如果这个外圆的这个半径 r 它确定了， 咱们可以算一算。各位，因为这是垂直的，这是根号三，你会发现，如果 r 确定以后， r 直接可以表示出来 f g 啊，我们可以表出来 f g 的 一半，然后再乘以二。咋着呢？你看一看，比如说这是根号三，这是 r， 根据勾股定律，这是根号 r 方 减去根号三的平方，也就是三，这个也就是根号 r 方减三。那么咱们可以根据等级法算出来这个等面积法啊，这个给它起名叫 k， 你 会发现三角形 t f k 的 啊，面积它首先可以等于二分之一乘以根号三，乘以这个是吧，一个档底边，一个档高， 然后呢，还可以让 t k 当底边啊，等于二分之一乘以 r， 哎，再乘以 f g 的 一半。 大家看，这样的话，二分之一，二分之一消了，你会发现 f g 等于啥？各位， 我把 r 和二分之一啊， r 除过去，二分之一乘过去，那就变成了二倍的根号三，再乘以根号一，减去 r 方分之三，我把这 r 除过去，直接除到根号里边了，各位，哎，各位，你会发现，如果 r 它越大， r 方越大，对不对？因为 r 是 正数，那么 r 方分之三就越小，因为分母越大，分母越小。然后呢，再加个符号呢，它又变大了，加个一呢，也变大了，再开方也变大，所以你会发现 r 大， 那么 f g 就 大， 所以我们想找到 f g 的 最小值，因为 f g 越大越好，对不对？它只要小于根号三就行，小于二倍的根号三就行。然后我们只需要找到它最小值 啊，那么我们只需要找到想找 f g 的 最小值，就找 r 的 最小值。这有一个关联性，前两天我刚讲了一道题啊，然后呢，所以呢，我们就找到这个蓝圆半径的最小值。 好，这个蓝圆半径它最小值怎么求它？各位，咱们呢，可以动手操作一下。各位啊，稍等，我把这里边都锁定， 然后各位请看，我们随便把这个三角形 o、 d、 e， 各位，哎，它就这么摆着，我们动一动，我们看看什么情况下有可能把这个三角形装进去，我们会发现，至少它这个高啊， 大家看看它得怎么着？各位，至少它这个高， 你会发现，你在别的地方的时候肯定是装不进去，如果装进去这边都不一定出奇不出奇，待会咱们可以再验证，至少得保证这个高加上这个半径，这个是不是理论上的最小值。 你告诉我，如果你这个圆这种情况下都装不进去，那你告诉我，咱们再往上一点啊，各位，你告诉我这个高，他这么着是不是更装不下去了？ 所以呢，咱们先锁定一个某一个角度上理论的最小值，也就是说，如果这个三角形，当它的某一条边和这个橙色的内部的圆 t 相切的时候，你会发现这个边上的高 啊，你会发现，加上这个半径是理论上蓝圆的最小值，这种情况下还不一定符合题意，但是你得满足这种情况才有可能啊。如果说这种情况下， 各位他能行的话，那基本上就就可以了，因为某种程度上不能再小了，是吧？如果是这么摆着啊，咱们先考虑三角形他的三条边的某一个边和成员相切的情况， ok， 在 这种情况下呢，那我们就知道想求这个蓝圆的最小值，蓝圆半径的最小值，这个高要最小。其实对三角形 o、 d、 e 来讲，各位，你告诉我哪个边上的高最小啊？还是根据等级法，二分之一乘以底 乘以高，等于三角形 o、 d、 e 的 面积，三角形 o、 d、 e 的 面积是固定的，你们告诉我，你要想高最小，是不是底边最大呀？所以是不是 d、 e 边上的高最小啊？大家看看 d、 e 边上的高最小是多少？嗯，这是一 是吧？你会发现，因为这是六十度，这是二分之根号三，所以各位咱们就可以看一看，当，也就是说我们让再看啊，来往上一点 来，各位，也就是说我们让 d、 e 这个边上的高，这是根号三，这个半径啊，是根号三，这个是二分之根号三。我们看一看这种情况下，这个蓝圆能不能把整个三角形 o、 d、 e 装下去， 装下去以后，唯一的不确定的就是这个点 e 它是在圆外还是圆内 啊？各位，咱们现在这个蓝元的半径，目前来看呢，它是二分之三倍的根号三，就根号三加上二分之一倍的根号三，咱们再算一算看这种情况下，它的长度是比这个大还是比这个小？比这个大它就装不下，如果比它的小，哎，就搞定了。 各位啊，我们经过计算，你可以自己算一算啊，因为这个长度是二分之三，购物定律，算完以后这个边确实比他小，所以这种情况下就可以了。各位啊，这种情况下就可以了，这个时候蓝圆的半径就是二分之三倍的根号三。 来，咱们根据刚才上面这公式，因为 f g 等于二倍的根号三，就是 t 啊，乘以这个咱们算一算是多少呢啊？我把它复制过来， 这种情况下， r 是 二分之三倍的根号三，所以 f 这就等于二倍的根号三。乘以根号一减去三，比上它的平方，它的平方呢？是四分之二十七，是吧？就是三，除以四分之二十七 啊，那就是乘以二十七分之四，是吧？乘以二十七分之四三，乘以二十七分之四啊，那就是二十七分之十二。然后呢，再除以一个的话啊，上下再除以一个三的话，就是九分之四啊，九分之四一减去九分之四是九分之五， 九分之五呢，是三分之根号五，二分之根号三啊，然后乘以三分之根号五， 哎，等于三分之二倍的根号十五，哎，这道题就做出来了，这样的话 t 的 最小值注意，相切的话还不行，因为这个点当不了切弧点啊，因为圆周上的点没法再做切线了，所以这道题最终的答案就是 t 大 于不能取等三分之二倍的根号十五， 肯定要小于直径二倍的根号三。这道题就做好了。各位，这道题我认为他出的好啊，这道题出的真好，我觉得就是给了这样一个存在， 这里一个对于任意，这又一个存在，一个长为 t 的 弦。各位，你要想提高自己对这种抽象逻辑的理解能力、驾驭能力，你就好好把这道题做五遍以上。

hello， 大家好呀，我是你们的小伟老师。那今天咱们还是用最通俗易懂的语言解决刚刚出炉的这道西城二门的代数压轴。好，我们一起来看题啊！他说抛物线 y 等于 x 方，加上一减三 a 倍的 x 减三 a， 那 当我拿到这个抛物线的时候，我也发现，哎， 依次项系数一减三 a， 长数项是负三 a， 显然是不是可以十字相乘啊，那我就把 x 方的系数变成一一，然后长数项负三 a， 然后这边是一， 所以这样交叉相乘，再相加，就能够出现一减三 a， 也就中间的这个一次项的系数了。 好，那么我就把抛物线能够写成 y 等于 x 减去三 a， 再乘上 x 加一的这种形式。 那如果说大家拿到这道题之后，没太能反应出来它是能够十字相乘的，那在接下来的这段时间，我建议大家可以重点的去练习这种含餐的十字相乘。 好，那我们继续来看啊，他说与 x 轴交于点 a 和 b， a 点在 b 点的左边，那咱都给他写成这种十字相乘的形式了。那么很显然，这个 a 点的坐标就应该是负一斗零， b 点的坐标呢，就应该是三 a 斗零，因为他说了 a 点在 b 点的左边， a 是 大于零的。好，那他说与 y 轴交于点 d， 那 d 点的坐标把 x 等于零带进去，他就应该零斗负三 a， 也非常的简单。 好，那么到此为止，咱们就已经把 a 点、 b 点和 d 点的坐标表示完了。好，那咱来看第一问啊，他说当 a 等于一的时候，求 ab 的 长。好，那我现在只需要画一个 x 轴就 ok 了啊，因为 a 点和 b 点全都在 x 轴上， 那 a 点的坐标，哎，还是负一斗零，那当 a 等于一的时候，那 b 点这个三 a 斗零，它就是三斗零了，这就是 b 点。 那大家来看 ab 的 长是多少啊？那是不是有手就行， ab 的 长显然就是四嘛。那第一问，轻松加愉快，咱就给它解决了。好，那么咱们的重点啊，放在这个第二问上， 他说过点 e， t 都零做 x 轴的垂线，将该抛物线与点 m。 好， 那我们来看后边的题，是不是他问的还是 m 与点 n 的 距离啊？怎么怎么样？ 所以咱还是按照这个老三样啊。第一样，是不是咱们先把这个 m n 的 坐标用这个含 t 的 代数式，咱给它表示出来？那第二步呢？是不是咱们去表示 m n 的 距离？第三步，咱们画图像，然后最后咱们分析这个图像就 ok 了。 好，那因为它是过 t 斗零的垂线，所以 m 的 横坐标当然就是 t 啦，那纵坐标呢，咱只需要把这个横坐标 t 带到抛物线里就 ok 了，所以就是 t 方加上一个一减三 a 倍的 t， 然后再减去三 a。 好， 那接下来咱们接着往后读啊，它说交直线 b d 于点 n d， 点坐标是零斗负三 a。 那大家如果说想用笨一点的方法呢？咱就可以直接把这个 b d 的 解义式设出来， y 等于 k， x 加 b， 然后呢，把这两个点分别往这里带，把 kb 求出来，再回带到这个直线里边，就是这个直线的方程了。 但是如果说咱们聪明一点的话，可以怎么做啊？这里边老师教一下，大家好好听。咱先画一个平面直角坐标系，那在这个平面直角坐标系当中，咱们标一下 b 点和 d 点的坐标， b 点是这个三 a 斗零， 然后第一点呢是这个零度负三 a。 好， 那咱把这条直线简单的画出来啊，大概是一条这样的直线，那我们会发现，哎，这个距离是三 a， 这个距离也是三 a， 所以 这个三角形它实际上是一个等腰直角三角形。 那等腰直角三角形有啥特点？ a 是 不是咱就能知道这个角是四十五度了，那这个角是四十五度，当然这个角就是四十五度了。 好，那你说老师这四十五度有啥用呢？那咱们记一个小规律，就是当这条直线啊，与 x 轴的加角是四十五度的时候，那么它对应的直线的 k 就 应该是一 啊。那还有一种情况其实是这样的，就是当这种情况下，那这个角如果是四十五度的时候，那么这条直线的 k 就 应该是负一啊。那这个小规律希望大家记住， 所以咱们通过几何的方法推出来了，这条直线与 x 轴加角时四十五度，咱就知道 b d 的 k 就 应该是一了。好，那其实咱们就可以口算出这条直线了，那直线 b d， 它就应该是 y 等于 x， 怎么样，对吧？好，那咱们再把这个 d 点的坐标零都负三 a 往里一带，咱就会发现后边的这个参数应该是负三 a 就 搞定了。好，那么咱们顺势就能写出来 n 点的坐标，那它就当然是 t 都 t 减三 a 了。 好，那么第一步咱就搞定了，把 m 点和 n 点的坐标咱们表示完了，然后接下来呢，我们干嘛？他说当点 e 从二到零出发啊，若 b e 的 长度逐渐增大， m 点和 n 点的距离，哎，其实还是距离嘛，那咱们还得表示那 m n 的 距离咋表示来着？是不是就是 m 点和 n 点的纵坐标，咱们作差加绝对值就行了？那也就说咱们用它减去它， 那它减它，咱们会发现，哎，这个一乘上这个 t 和这个 t， 咱就减没了，这个负三 a 和这个负三 a 也减没了。所以其实这个题它减完之后，反而变得更容易了，它就应该是 t 方再减去三 a t 的 绝对值。 好，那到这我们会发现，哎，还能提出来一个 t 啊，所以它就等于 t 乘上 t 减三 a。 好，那接下来我们干嘛还是去画这个 m n 的 图像，那画 m n 的 图像啊，大家注意，在这个平面直角坐标系当中， 那这个横坐标啊，大家注意，它的横坐标就应该是 t 了，因为这个 m n， 它的横坐标就都是 t， 然后表示的这个图像呢，也是这个 m n 和 t 的 关系。图像好，那纵坐标实际上就应该是 m n 的 长度。 好，那这个图像显然因为咱给它写成了 t 乘 t 减三 a 的 这种形式嘛，所以说它肯定过圆点，还会过三 a 逗零这个点 啊，比如说这就是三 a 逗零。好，那咱们画出图像就应该大概长这个样子，但是呢，因为它加了这个绝对值号，所以咱们简单画一个草图啊， 我们看一下草图，他就应该是这样下来，然后呢翻上来的这部分，然后最后 又上升的这部分啊，草图就应该大概长这个样子，然后咱们来看题啊，他说 e 二到零， 它出发沿 x 轴的某个方向运动，它若 b e 的 长度逐渐增大，哎，那我们会发现 b 点的坐标，哎，也是三 a 勾零，对吧？哎，那乎我们会发现 b 点它就在这个位置， 那于是乎是不是这道题它就有两种情况了，就是我这个 e 点它这个二勾零，它到底是在 b 点的左边还是右边？ 如果说他是在 b 点的左边的话，比如说这是这个二斗零，那他说沿 x 轴某个方向运动的时候，若 b 的 长度逐渐增大，那这个 e 点是不是他就只能往这个 x 轴的负半轴走？ 因为他如果总往 x 轴的正半轴走，那他们的距离是不是先慢慢的变小，再慢慢的变大，他就不符合提议了。 所以如果说 e 点他是在 b 点的左侧的时候，哎，他就应该是往左走，如果 e 点在 b 点的右右侧的话，他就应该往右走啊，他其实这道题就说的是一件这个事。 好，那所以咱刚才分析完这道题，我就知道应该怎么讨论了呀，是不是就分为两种情况？那第一种情况呢，就是当这个 e 点他在 b 点的左侧 啊，咱现在指的是这个出式位置。好，那这种情况咱需要先给他做一个限定嘛，那 e 点的坐标是二 b 点坐标是三 a， 也就说当二小于三 a 的 时候，那二小于三 a， 是 不是就是 a 大 于三分之二的时候？ 好，那么这就是这个 e 点了啊，那 e 点需要往 x 轴的负半轴运动。 好，那么咱们来看啊，他精彩的来了，他说 m 点与 n 点的距离， m 点与 n 点的距离是啥呀？是不是就是这个图像上这个点的纵坐标啊？就是这个图像上点的纵坐标，他说随 b、 e 长度的增大，先变小再增大。 哎，那我们现在不妨开始移一下，因为大家可能看到这个题干啊，有点懵，啥叫随 b、 e 长度的增大，先变小再增大呢？来，比如说咱 e 点在这个位置，那对应图像是不是就在这？那么你们看，当这个 e 点它向左运动的时候，哎，我这个 b， 这个 m、 n 的 距离，它是不是就再增大呀？所以它是先增大了，那它就不满足先变小后增大了。 哦，那我就知道了，我怎么样才能满足他的这个纵坐标先变小再增大呢？咱就得让他这个 e 点从这开始动。 如果说过了这个顶点从这一个位置开始动的话，哎，他这个距离是不是就先下降再上升，就满足先变小后增大了？哎，所以咱就能给这个 a 做一个限定，也就是说，咱得需要让这个 e 点啊，他得在这个对称轴的左侧， 从这个位置开始运动，是不是就 ok 了？好，那么咱们就能写出来一个大致的范围，就应该是这个二小于对称轴。那这道题的对称轴是什么？ 哎，它过圆点还过三， a 到零，所以这两个点它相加再除以二，是不是就是对称轴了？那这个对称轴咱也给它标一下吧。这个对称轴就应该是直线 x 等于二分之三 a， 所以我要保证这个一点，是不是他得从对称轴的左侧开始运动，先减小后增大，所以二就应该小于这个对称轴，他就应该在对称轴的左侧。 好，当我们写完了一个不等式之后，我们马上判断他能不能去等，那怎么判断呢？咱还是带进去检验。比如说啊，我这个一点，他就从顶点开始运动，那当然也是先减小再增大了，他就不会在不能在顶点的右侧就行了，因为在顶点的右侧，他就先增大再减小 再等等啊，他就不符合题了，所以从顶点位置也是 ok 的， 那也就说这个位置是可以取等的。那咱们简单的算一下啊，是不是他对应的就应该是 a 大 于等于三分之四， 检查一下在不在咱的大前提里，发现他在这个 a 大 于三分之二里没有问题，这个范围是完全 ok 的。 好，那紧接着咱来看第二种情况了啊。第二种情况就是当 e 在 b 的 右侧 好，那 e 在 b 的 右侧的时候，也也就是说这个 e 点他开始得在这，那所以咱开始需要对他做一个限定，是不是？也就是说当二要大于三 a， 那 也就是说 a 应该小于三分之二的时候？ 好，那因为它说随着 b e 长度的增大嘛，那 e 点在 b 点的右侧，咱只能往右动，这个 b e 才能长度逐渐增大。那咱们会发现，当这个运动的时候，哎， 是不是从这个点开始，我这个图像它都是 y 随 x 增大而增大的，也就是它一直在增大，那它可能先变小再增大吗？孩子们是不是一定不可能了？所以这种情况咱们是不成立的。 好，再说一遍啊，咱们看，当 e 点从 b 点的右边开始运动的时候，随着 b e 的 增大，是不是 m 点和 n 点的距离它是一直在增大的，所以不满足题，那最后咱们做一个小小的总结啊，综上所述， 那么 a 的 取值是不是就只有一个范围，就是 a 大 于等于三分之四，这道题就搞定了。 那如果觉得这一期视频呢？对大家有帮助的话，那感谢大家可以对视频点赞关注，那下期视频再见。

各位同学们，我们来看北塔二模的压轴题。好，那这个题其实大家如果对于我们的模型熟悉的话，它就是正方形当中的一个半角模型，他说如果一在正方形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分 别为 d 和 c 边上的点角 e、 a、 f 等于四十五度啊，这是一个四十五度角， 那么整体的正方形呢，是等于九十度的，那么其实这道题里面啊，人家已经把这个嗯 题干呢给删掉了啊，那人家是怎么证明呢？把这个正方形啊旋转到这来啊，也就到这个位置，其实就是我们的图案旋转过来以后，那么这个三角形和这个三角形全等，由于 a、 b 是 等于 a、 d 的， 所以说这三点，假如说这个 h 点 h、 b、 f 是 三点共线的， 所以说 a、 h、 f 啊，这三点的连线能够组成一个三角形，此时那这条边旋转前等于这条边公共边，然后这个角加这个角的四十五度，那这个角加上这个角也就等于四十五度，所以此时旋转过后的这个三角形和中间的这个 a、 e、 f 三角形是全等的， 所以说 h f 就 等于 ef， 所以 也就得到了一个结论， d、 e 加上 b、 f 是 等于 ef 的。 好，好，所以说那这个题目其实已经给的提示非常非常多了，那我们只需要来看空就可以，请回答在图二中 角 g、 a、 f 的 度数。哎，那我们刚刚已经证明了，这个三角形旋转过来，这两个角是相等的，那这个角 g、 a、 f 也就四十五度。很简单， 我们来看圈一这个括号一，如图三，在直角梯形 a、 b、 c、 d 中，直角梯形 a、 d 呢是大于 bc 的， 然后呢角 d 等于九十度， a， d 平行于 bc， 然后呢， a， d 等 c， d 等于十度，等于十， e 是 c、 d 上的一个点，若告诉我们角 b a， e 是 四十五度， 然后呢， d e 等于四， d e 等于四，则问的是 d， e 等于四啊。在这里 d e 等于四，问的是 b， e 等于几啊？那么我们根据上一期得到的一个结论啊， ef 其实就在这个里面， ef 其实就等于 d e 加上 b f， 也就是这一段加上这一段。 所以那我们就在想，哎，这个直角梯形并不是个正方形，由于你是直角梯形，你在这块只需要 过点 a 做 bc 的 垂线，假如说是交于 h 点，那么交也 bc 延长线于点 h， 那 此时补充一个正方形就简单了呀。我们就知道， d e 加上 h b 就 等于 b e 啊， d e 加上 h b 就 等于 b e， 我 们所求的 b e 就 能找出来。那么此时来看一看整个 a d 等 c d， 那 你又补成一个正方形，所以 h c 也等于十， a， d， d， c h 都等于十，所以 c e 就 等于六。 哎，那你要求 b e 的 话，你得把这个 b h 给算出来。好，那我们就设 b h 为 x， 所以 b e 就 等于 x 加四， 那 b c 呢？整体是十，所以就是十减 x。 所以 在右下角这个直角三角形当中，我们由勾股定律，你就可以得到 b e 的 平方，就等于 c e 方加上 b c 方， 由此你就可以解出这个 x h b 好， h b 解出来以后，你要求的是 b e， 别忘了还要再加上四，加上 d e， 所以 b e 就 应该等于 这个 h b 再加上四，我们求出来这个 b e 应该是等于七分之三十啊，这个 b、 h 是 等于七分之三十 b、 e、 h、 b 再加上 d、 e 的 四，所以最终答案应该是七分之五十八，七分之五十八。 好，这两，这，这是这两位。那么第二二问，他说，椭圆坐标四，在平面直角坐标系 x、 o、 y 中，点 b 是 x 轴上的一个动点，点 a 呢，是负三得二，连接 a、 b 和 a、 o。 然后呢，并以 a、 b 向为边，向上作正方形， a、 b、 c、 d 设点 c 的 坐标为设为 x 的 外则是用 x 的 代数式表示 y， 则 y 应该等于 多少， y 应该等于多少。好，那么，嗯，此时我们就会发现这个正方形，嗯，可能会想到这个正方形的存在性问题，但其实并没有啊，为什么呢？ 因为你只需要你是个正方形的话，点 d 在 哪我都不知道，点 d 其实就是跟着我的 a、 b、 c 在 走，对不对？好，所以我们其实可以把它看成一个等腰直角三角形的一个问题， 我们只需要让 a、 b、 c 组成的三角形是等腰直角三角形，那么点 d， 你 去找到你该在的位置，自然就能够形成一个正方形。好吧， 好，那此时呢，我们就在想，哎，图不是给我们了吗？图不是给我们了吗？那我们就直接去做不就行了吗？那我们就要考，做问题的时候一定要多去考虑。由于点 a 的 坐标是固定的，是三斗负三斗二。 好，那么点 b 的 坐标呢？是在 x 轴上设设，它为 a 斗零，那么点 c 的 坐标是不固定的，它是 x 斗 y， 它已经给我们表示出来， 并让我们求他的纵坐标与横坐标之间的一个关系式，也就是 y 等于十。好，那么要想求他的，但是是的话，表示是的话，我们肯定是要用这三个点去找到一些几何关系。那么在平面直角坐标系中，我们所能想到的，一旦有了 等腰直角三角形，我们想到最简单的构造的方法就是去一线三，垂直的全等。好，所以我们过点 a 和点 c 分 别向坐标轴做垂线，交 x 轴于地点于一点，那么这两个三角形 a、 d， b 和 b、 c、 e 一定是全等的 好，第一种情况，我们就三角形 a、 d、 b 一定全等于三角形 b， e、 c 好， 一千三，这是全等，全等以后，那么我就能够得到 a、 d 是 等于 b、 e 的， 以及 d， b 是 等于 c、 e 的 好，那么把线段表示出来，相等的关系找出来以后，我们要一定要去他们的，用他们的坐标去表示出来。好，我们先来看看 a、 d， a、 d 可以 怎么表示呢？ a、 d 就是 点， a 的 纵坐标， a 就是 二， 而它等于 b e， 那 b， e 怎么表示呢？ b， e 不 就是 e 点的横坐标减掉 b 点的横坐标吗？啊，但是呢， e 点的坐标不知道，那我们会发现 e 点的坐标和 c 点的横坐标是一样 啊，那么纵坐标为零，所以说 e、 b 就 等于 e 点的横坐标为 x。 好， 那我们在在这我们会发现，我如果点的坐标不写出来，好像我写着写着就会出现一些问题，所以说我们有时候不要偷懒。在这里我们第一种情况，我们把 e 点的坐标也表示出来为 x 都零， 那同样的 d 点坐标也可以表示出来，它和 a 的 横坐标一样，所以是负三斗力好，所以说那么 a d 等于 b e， 那 么它应该等于 e 点的横坐标减掉 b 点横坐标是 x 减 a， 好， 再来 第二个 d， b 等于多少呢？ d， b 应该是 b 的 横坐标， a 减掉 d 的 横坐标是负三， a 减负三， a 加三等于 c e c e， 那 就是 c 的 重坐标，就是 y， 好， 那么要求 x 与 y 的 关系式，那么我们这里的 a 是 多余的，我们把 a 表示出来， a 就 等于 x 减二，再给他带到这个式子里面，我们就可以得到 y 就 等于 x 减二加三，也就是 x 加 e， 好，此时我们就会想，哎，那这道题我算完了，结束了呀，当然没有结束了，为什么呢？因为他给你的图点 b 是 在 a 的 右侧，我们有没有想过点 b 会有可能跑到 c 的 左侧呢？好，比如说来看啊， c 的 左侧，我们换一个颜色好点。 b， 假如说在这个位置 red 不 清楚，换一个好点。 b， 假如说在这个位置，那么 a， 然后 c 点，此时它就会跑到这个位置 好。 c， 假如说跑到这个位置好，那你的 d 是 不是对应的？你就在上面这个位置，你只需要去呃，正常的去找到你该在的位置，形成一个正方形就可以。所以此时还是一样方法，我们向下给它做垂线， 用个蓝色向下做垂线好，这里做垂线，这里做垂线。假如说交于 m 点和 n 点，同样的一线三垂直啊，一线三垂直以后， 那么 b 点在这个位置好，那么我们第二种情况，你就会得到三角形 c m， b 就 会全等于 三角形 b n a， 好， 这两个三角形全等以后，你一定能得到 c， m 是 等于 b n 的 啊，以及 mb 是 等于 n 的， 好。此时我们就会发现，我是需要 m 点和 n 点的坐标的，写一下， m 点坐标和 c 的 横坐标一样，所以是 x 逗零，那么 n 点的坐标它应该是和 a 的 横坐标一样，所以 n 点坐标就是负三逗 零，好。此时我们只需要去把这两关系式表示出来，也是可以找出来的， c m c m， 那 就是 c 的 纵坐标，哎，就是 y， 然后 b n 呢？ b n 呢？就是 n 的 横坐标，去减掉 b 的 横坐标，哎，就是负三，减掉 b 的 横坐标，哎，减掉 a， 好， 同样我还可以到 mb， mb， 那 就是 b 的 横坐标，去减掉 m 的 横坐标， a 减 x 好， 也就等于 a n a n 呢？是谁呢？就是 a 的 纵坐标就是二。由此我就可以得到 x， 等于把这里的 a 等于 x 加二，哎，我们再把它带到里面，我们就可以得到 y 就 等于负三减 x 再减二，也就是负 x 减五，好。所以说我们点 c 的 x， 点 c 坐标 x 到 y， 它的关系是， y 就 等于 x 加一，或 y 等于负 x 减五，好。那这道题重点在于我们能够 能不能够在最后一问想到一千三除以值，这是第一种，第二就是第一步，第二步的话呢，就是能不能够去进行分类讨论，考虑点 b 在 点 a 的 左侧还是在点 a 的 右侧，一定要多去考虑这个问题， 好，那这就是北塔的我们亚洲题的最后一道题，整体难度的话呢，可以说，嗯，没有特别难啊，因为我们的 除了最后一问，可能和前两位这个绊脚没有太大的关系，他更多的是最后一个去找几何关系构建三，垂直去解决问题。那前两位的话呢？就是单纯的用绊脚模型去解决问题，而且这个证明过程他都给你了，所以说整体难度上是不大的啊。那大家如果还有什么问题 不会的话，欢迎大家在评论区留言，我会给大家及时的去讲解。好，我们下期再。

长沙长郡集团刚刚考完的九年级二模考试数学压轴题的难度怎么样？我来给你专业的分析一下，家长和孩子一定要看完，因为我会给你最专业的分析。 首先，二十四题，二十五题难度是比较大，那么二十四题难在哪里呢？第一个题干比较长，就占了一页纸。第二个，它是一个无图问题，你需要自己去画图。首先我给你吃一颗定心丸，预测一下 中考的数学题干不会说特别长。然后呢，大概率是有图的，所以这两个难点基本上中考不会有， 所以你放心了吧。那么这道题目的这两个难点，能够反映出孩子数学的一个综合能力，所以二十四题啊，把它盯准好。然后呢，没有做出来的也不用担心。 那么二十五题如果你没有拿高分，就要担心一下，因为这个题考的方法和模型是你平时就应该学到的，并且学会的 这道题目的思路不难，所以如果你卡住并且没有得到高分，说明你的亚洲体的实力是比较一般的。那么这个题的难度主要是在哪里呢？这个式子看起来比较复杂， 就是说稍微有一点点计算难度，所以难在这个地方。所以如果你对一些含根号的一些分式比较复杂的一些设置计算能力薄弱的，赶紧去算一算， 因为中考的计算还是有一定难度的，所以最后把计算给他搞一搞。那么如果你对于这种题思路还错不了的话，那么说明你对常规的一些几何模型真的是比较一般，赶紧去把常规的一些相似模型，包括一些常见的结论也给他搞一搞， 所以中考的几何一定要准备好两大块，第一块就是常规的模型以及二级结论，第二块就是你的计算能力， 这样的话你的几何肯定是高分。那么我是长沙指导数学的石老师，原长沙四大集团数学老师，如果你的亚洲体有问题，欢迎跟我沟通交流起来，让我们一起学好数学，加油！

四横错三的家长哈！我们来聊聊本次按摩的数学试卷，整体难度中等，偏易比中考简单，题型常规无偏题，怪题，完全贴合本地备考节奏，考点覆盖全面，选择填空主打基础计算，几何图形源于函数基础， 基础解答题都是送分题型，中档题出题套路固定，亚洲依然是二彩树、正方形、经典模型全是中考高频内容。这次考试十分号大多是计算粗心，答题步骤不规范，公式运用不到位，导致 考完及时，找准不弱点，针对性查漏补缺，备考效率翻倍。我这边已经整理好中考数学高频考点加易错年清单，还有实用中考提分学习技巧，免费分享给大家，想要的朋友可以多多关注，徐老师跟着梳理重点，稳住分数，冲刺中考！

二摸之后啊，就不要再刷题内卷了，因为二摸的难度基本上就是中考的难度了，如果不调整方法，二摸的分数基本上就是中考的分数。另外，试卷分析也很关键，如果你不会做试卷分析，可以把试卷带到校区来，我帮你一对一的进行分析。 第一类，把二摸上打岔的题目按照粗心，这是漏洞，还有压轴题难做好这三大分类， 看上去粗心错的，至少要做五道和这个知识点相关的题目，直到不需要思考完全做对，看上去是粗心错，其实就是基本功不扎实。第二类，知识漏洞的，找老师问也好，找 ai 讲思路也可以彻底搞明白，出不少与这个知识点相关的十道新题，进行专题通关。 第三类呀，压轴题咱只做第一问，其他的可以暂时放一放，因为学霸也不一定能够做的对，只做这两件事，最后这三个星期，又轻松又高效，直接逆袭中考。

题目读也读不懂，算也算不出啊，这是很多同学在昨天考完西城区出现二模之后对于填空压轴题的一个最直观的反馈。 当然我们今天呢也给大家呢来深度的拆解一下这道题目啊。这道题目确实啊有几个难点，首先第一个就是读题上面呢这个信息量太多了啊，有点迷惑人，看一下啊， 他说啊，某商店共有 a 种不同型号的口罩，每种型号的口罩呢都有红白蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格五十，白色的 m， 蓝色的呢 n 哎，这里面已经出现了三个变量了啊。 第一有 a 种不同型号的口罩。哎呀，其实大家理解这个什么叫 a 种不同型号的口罩啊，你就可以理解 a 种不同品牌嘛是吧啊有有什么这种品牌那种品牌啊，我们总共有 a 种不同的品牌，你要理解型号很麻烦的话啊 啊，但是呢呃，这个每一个颜色的价格呢是一样的啊，白色的是五十块啊，然后呃，那个红色的五十块，白色的呢 m 蓝色的呢 n 好， 并且呢 m 跟 n 呢是变量满足哎，六十六到七十四之间 m n m n 都是整数啊， 都是整数。那好，他说甲乙丙三家公司呢各买一包每种型号的口罩，你就想把每个品牌全都买一遍啊， 每个品牌都要买一包，并且对于每种型号的口罩三家公司选择的颜色各不相同啊，你这个甲买了白色，那么一根丙就一个要分红色跟蓝色对吧？好，结账的时候呢，总共花了一千二和一千四 好，第一个呢，我想呢还是相对来说比较容易处理一些啊，但在这里面呢，大家读完了之后，你会发现，从这个提干给我们的信息的角度上来讲，有几个部分的信息啊， 啊，有四个部分信息，第一有 a 种不同型号的口罩， a 是 多少不知道。第二，每种型号不同颜色的单价是多少，我们也不清楚，对吧？呃，然后呢，这个 m 跟 n 具体是多少，那么这两个变量不清楚 好。第三就是我们只知道他们最终结算所花的总的价格，实际上也并不清楚哪一家买了多少种颜色的，什么这种口罩，那种口罩都不清楚，所以呢，大家读完了之后呢，就一个字啊，就一个感觉乱啊，就是信息太多了，搞不清楚在哪里。 好，我们想一下啊，如果你把型号理解成品牌的话呢，就是从第一种品牌总共有 a 种品牌， 它们呢分成了这个红色的，白色的，蓝色的，总共三种，并且每种的单价五十 m n， 对 吧？好，那么大体上呢，我们可以简单的列一个小小的表格，辅助我们来理解一下啊，辅助我们来理解一下，好，并且每一种型号呢，每个人每家对应的颜色呢，可能呢是不一样的， 所以呢，我在这呢提前跟大家说一下，就是如果同学们觉得说老师我对于这种信息量非常大的问题呢，我处理起来我感觉非常的困难，那么咱们呢， 可以简单的呢，画一个表格，辅助同学们来理解啊，我们画一个表格，方便大家来理解啊，大家感受一下啊。 好，那么在这里面呢，就是第一种型号的，第二种型号的，一直到第 a 种型号的。好，那么并且呢，呃，每一种型号呢，都具有红呃， 白和蓝三种不同的颜色。好，我们假定这个呢就是红色的啊， 然后呢，这个就是白色的，然后呢，这个呢就是蓝色的，并且每一种单价是不一样的啊，红色的五十，白色的 m， 对 吧？红色的是五十啊，白色的是 m， 蓝色的呢是 n。 好， 大概呢就是这样的一张表格，可以辅助我们去理解，但当然 最终剪辑的时候不一定要用的到它，但是我们自己呢要清楚啊。好，现在呢，呃，我们并不清。呃，然后呢三家公司呢？就对于同一种型号颜色各不相同， 比如说啊，我们就对于甲，呃，甲而言，假如说甲在一号一第一种型号的口罩当中他选择了红色，那么乙跟丙啊，就不可能选红色，对吧？假如说这是假的，但是你也可以画出乙和丙的啊，无所谓啊， 那么也就是说在这里面呢，我们也可以通过勾啊圈啊来表示，但大家也知道，我这么每举呢，主要是为了方便同学们理解，并不是只是为了解题啊。好，那么接下来我们来看一下具体的问题啊。第一个问题， 他说如果 m 等于六十九， n 等于七十一，这个我们太清楚了，对吧？啊，对于第一种型号的口罩，肯定有一个人买嘛，有一家公司买嘛，谁买无所谓啊，那么他问 a 等于多少 啊，就是总共有多少种不同型号的口罩，那我们知道每一种型号的口罩总共被买了几次啊？三次，因为它有三种颜色嘛， 对吧？第一种型号的口罩其实被买了三次，因为就是甲乙丙，那可能各有一个啊，各有一种对不对？比如说甲买了它，那乙买它，丙就买它好，所以你会发现在这个表格当中就是甲乙丙随便排啊，随便排 好。那么因此我们对于第一个问题呢，就很简单了，我们知道每一种型号的口罩的总价就是 这么多，是吧？那么每个都被买了三次啊，就是总价就是这么多。然后呢，有 a 种啊，那么最终要等于多少呢？因为他们总共花费是一千二乘以二，再加上一千四好，所以这个呢，算一下啊，这个很好算，是吧？ a 呢，应该等于二十 好。第一个空呢，我相信呢，大家呢都没什么问题。第二个空啊，同学们也知道，其实这东西是干嘛呢？其实这个东西呢，你可以理解成啊，就是一个不定方程，为什么？大家感受一下，他说现在啊，丙购买的口罩包含有三种颜色， 那丙购买的口罩包含三种颜色，就是红、白、蓝，他反正他都买了，那么他说丙用于购买白色跟蓝色口罩，最多一共花多少钱？咱就说如果你在考场上，当然大概率啊，同学们在考场上完全来解这个题目，其实挺麻烦的啊，不太好处理 啊，不太好处理，但是如果你只想猜答案，你说没招了，没招了，那你肯定想嘛，最多最多就多少？一千三百五， 要说为啥啊，因为饼总共花了一千四百元，是吧？饼总共花了一千四百元， 而其中呢，呃，每种颜色都有，所以我们就想你要舍得白色跟口罩啊，白色跟蓝色用的费用最多啊，那我就另白色的什么那个红色的什么最少呗？红色最少要有一个，因为红色口罩的价格是五十万，对不对？红色最少要有一个， 所以那最多就说就是一千三百五，这就是我们讲的叫什么叫理论上的最大值啊。但是呢，理论归理论吗？就考场上你没招了，你就填一个这个啊，当然了，咱们不能没招了是吧，但也得有招啊，所以我们现在只考虑什么呢？只考虑饼， 只考虑饼，那我们知道饼啊，他要购买三种颜色，那我们就假定白色还有呢？蓝色还有呢？这个红色 啊，因为我们知道红色的单价是定的是五十啊，但是白色的单价呢？跟蓝色的单价呢？不知道这是第一个。第二个的话呢，就是我们其实也不清楚到底 a 在 第二问当中等于多少， 大家能理解吗？因为你第一问当中 m 跟 n 定了，所以我知道 a 是 多少，但在第二问当中你知道 a 是 多少吗？啊？这是第一个难点，就是 a 等于多少，并不清楚 第二个。如果我们知道了 a 等于多少，接下来怎么处理呢？啊？那你想一下，就是总共有多少种不同的型号，我们还得处理一下，要使得最多花费多少钱，我们在这里面 m 跟 n 还是不定的。不定方程有什么方法？唯一方法？什么方法 没举法啊？不定方程的整数解问题，唯一方法就是没举法。好，我们先来解释一下，那么 a 呢？其实恒定等于二十，为什么？大家感受啊？ 通过 d 我 们知道我们不管呃，这个最终呃， m 跟 n 是 多少，那么每一种型号的口罩 它都需要啊，呃，花费多少钱呢？就是五十加 m 加 n， 就是 每一种型号的口罩，对吧？当然现在有 a 种型号的口罩，总共呢，还是一千二乘以二，再加上一千四，那么这个数字什么意思？ 反正每一种型号的口罩，呃，所用的总花费就是五十加 m 加 n 啊，并且呢，这个，呃，这个 a 呢，是个整数， m 跟 n 呢，也都是整数，其中它告诉你 m 它是有范围的啊，六十六到七十四之间， 大于等于六十六，小于 n 小 于等于七十四，所以其实 m 加 n 这个值的去除范围就有了，对吧？哎，应该是严格的，大于多少？一百三十二， 就是 m 跟 n， 即使都取到六十六，那他就是一百三十二，当然不能都取到啊。好，那么这个呢，小于多少呢？一百四十八，好注意啊，整数啊，我们刚刚就跟大家强调过了，这是一个非常典型的不定方程的问题啊， 是吧，未知数的个数比方程的个数来的多好，但是呢，是不定方程的整数解问题啊，不定方程的整数解问题，所以方法就是什么媒局法 啊，没举法，咱们在初一的时候其实就讲过这种类型的问题了。好，那么当然 m 跟 n 都是整数，所以其实这里的 m 加 n 再加五十啊，其实他就只有限定的范围，对吧？当然我们说这个范围呢，应该在一百 八十二到一百九十八之间，理论上来说， m 加 n 呢，加五十呢，这个值呢，它能取到一百八十三呢，一百八十四啊，噔噔噔噔，一直到一百九十七， 但别忘了啊，因为后面这个值呢，恒定等于多少呢？三千八，后面这个值恒定等于三千八。所以同学们想一下，看看你这里的 m 加 n 加五十 能取到一百八十三吗？啊，不能啊，因为如果你取到一百八十三，他能被三千八整除吗？不能啊，因为这个是整的， a 也是整的啊，所以其实大家算一下就知道了，这个里面呢， m 加 n 加五十啊，他其实只有唯一的值多少啊？一百九， 只有这个数值可取啊， a 呢，只能等于二十，他只能取到这个数值，他取不到其他的情形了。理由呢，也很简单，就是我们说的他是整数解问题，我们说了整数解问题，你没有什么别的技巧啊，唯一的技巧呢？就是 啊，不断的每取好，只不过呢，这些数字相对比较好看，你比方说你能被三千八整除，对吧？那你还你不能取个一百八十三，一百九十七吧，是吧？那这个有点离谱了啊，有点离谱了 好，现在呢， a 呢，等于二十，我们就知道了，也就是说跟第一问一样，还是有二十种不同的型号。那么现在的问题是，我们要使得花费白蓝的钱最多，接下来怎么样呢？还得枚举，因为你知道白色有多少个啊， 不知道，蓝色买了多少个也不知道，红色买了多少个也不知道，对吧？好，所以我们接下来继续每句，就是如果我们要使得啊，白蓝，他的总价 最高啊，或者说最多，则我们要说的白蓝最多，那么就是红的怎么样呢？红色一定要最少 啊，红色的一定要最少，当然最少为几呢？为一，那我们在这边多说一下啊，红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一， 并不是说你到这就结束了，因为你红色为一，你需要检验一下这种情形是否成立啊，这种情形是否成立啊，同学们能理解这意思吧，你要检验一下这种情形是否成立， 因为你，你虽然算出来了 a 等于二十，但是红色为一的情况是成立的吗？能够满足 m 跟 n 取到某些整数，然后呢，白色跟蓝色也能取到某些整数，刚好使得饼花了一千四百块吗？ 啊，所以在这里面呢，很多同学可能算出 a 等于二十之后啊，非常的欣喜说，嗨，太好了，总数二十，红色为一，所以白色跟蓝色总共就是十九啊，然后呢？巴拉巴拉啊，就是，所以呢，一千三百五就拿一千四减掉五十就可以了。好， 这种想法呢，只能说啊，出题上还是算是稍微仁慈了一点啊，那他令这种情形刚好是成立的，那万一不成立呢，是吧？好，我们接下来就要解释一下，理论上来讲，这就是理论上白色跟蓝色能够花费总价最多的情形 啊，对吧？花费最多的情形。好，那我们继续可以令，白色有 x 个，则蓝色 有十九减 x 个有，总数二十啊。好，其实这些部分呢，都是检验，因为你前面算出来 a 的 总数是二十，理论上面来，下面就是， 这叫检验，理论上面来讲呢，就是，呃，总价最高就是一千三百五啊，就是一千三百五，但是这个是理论，我们要检验一下这个理论是否正确啊，接下来的核心是什么？那核心还有什么呢？ 继续列呗，是不是他不告诉你白色的价格是多少 m 吗？是吧？蓝色的价格呢？是这个 n 吗？所以就是 m 个 x 加上 n 个啊，十九减 x， 然后加上五十等于一千四， 就是我们要检验这种情形， m， n， x 是 否都有整数解啊？要检验 m， n、 x 都为 正整数，我们要检验的就是这个事情，就是他们是不是都是有正整数解的好，当然这个还是一个什么方程不定方程问题， 是吧，在这里面呢，你会发现，嗯，这个看起来也很讨厌，为什么呢？ x 是 一个变量，就是我不知道白色有多少个啊，然后呢，这个 n 跟 m 呢，也是变量，但是别忘了哦， m 加 n 是 个定值哦，多少啊？ 呃，一百四对不对？好，我们继续在后面写一下啊， m 加 n 等于多少呢？等于一百四 啊， m 加 n 等于一百四。好，那么在这边呢，我们在旁边啊，给大家呢，稍微来解释一下，因为前面呢，我们算出来了， m 加 n 加五十只能取一百九，也就是 m 加 n 等于一百四。但我们进一步的想要说明一下， m 加 n 等于一百四，看起来呢，是两个变量，但是同学们也要知道， m 跟 n 是 正整数，并且具有大小关系， m 小 于 n 啊，小于等于七十四，它大于等于六十六。好，所以其实在这里面啊，这个本身 m 加 n 等于一百四，本身就是一个不定方程，当然这个不定方程，我们知道它一定是有有限个整数解的 理解吧，就是 m 最小最小取六十六， n 呢就取七十四， m 取六十七，他呢七十三， m 取六十八，他呢取七十二， m 取六十九啊， n 呢取七十一， 它呢取七十一。当然还能继续吗？不能啊，因为你要保证 m 怎么样啊， m 是 小于 n 的 啊，因为你再往下就是什么了，七十七十了，这种情形肯定就不满足了嘛，是吧，七十七十就不满足了啊。 ok， 好， 所以我们知道，其实呢， m 加 n 等于一百四啊，这本身也是一个不定方程，所以呢，它还是没举，那么最终没举完了呢， m 跟 n 呢？只有这些数值对吧？ 好，那么当然我们在这进一步的就可以把它变成为 m 倍的 x， 加上 n 是 多少呢？一百四十，呃，减去 m 倍的十九，减 x 等于一千三百五。好，这还是什么？ 两个变量，那我还是要什么整数解问题，当然在这呢，就可以开始 依次枚举了啊，就可以开始依次枚举了，比如说，因为你在这里面呢，我们就把它变成了单个变量，就是，呃，这个 m 跟 x 啊，所以呢， m 的 值呢，我们只要令啊，接下来继续检验，如果令 m 等于六十六的时候，那么上面的数字变成什么了呢？就变成六十六倍的 x 加上七十四倍的十九，减 x 等于一千三百五。哎，这个时候是不是就变成单变量了，对不对？ 好了，那么因此呢，我们可以稍微算一下，就是六十六倍的 x 加上七十四倍的十九减去 x， 所以 这里面的 x 的 取值呢，可以算一下，是吧，大家就变成了，六十六七十四乘以十九 四九三十六，进三七九六十三，六十六，呃，进六一四七六零一千多少呃，一千四百零六，一千四百零六，减去一千三百五等于六五十六，五十六，前面是八，所以 x 等于七，当然 n 呢，等于七十四。哎，这种情形他就满足要求了，对不对？ 它就满足要求了。当然了，你可以再令 m 等于六十七的时候，行不行呢？好，它就变成了六十七倍的 x， 加上七十三倍的十九，减 x 等于一千三百 五十。好，同学们可以算一下，它没有整数解啊，依次类推， m 等于六十九的时候呢，它呢也是不成立的。 好，所以你会发现，在这种情况下呢，我们至少可以找到满足要求的整数解，即有七个白的，当然了，十二个蓝的，一个红的，使得当 m 等于六十六， n 等于七十四的时候，它是可以满足要求的。 因此，我们的理论最小呃，最大值一千三百五是完全可以成立的啊， 答案呢，就一千三百五。当然，实际上，如果这道题目更严谨一点来说啊，还需要再去论证一下，当你 m 等于六十六， n 等于七十四， x 等于这个七 啊，然后这个呃，蓝色的就是十二红色的一的时候，那么是不是还可以保证 啊，就是甲根乙也能凑出一千二啊，也能凑出一千二。但是说实话啊，就是，其实到这为止呢，我们就没有必要再继续算下去了，因为我们算丙的，这种临界情形呢，已经能够论正，我们把这几个整数解都能找出来了，对吧？其实你没有必要继续论正了。 当然，如果你要严谨一点来讲，还要再论一下甲根乙是否也能满足要求啊，但是这道题目到字为止已经很复杂了，同学们真心讲，已经很复杂了，你还要再继续往下论真，我的天呐，那得论真到什么时候呢，是吧？ 当然这道题目我们说了啊，就如果你要大胆猜想，你说，哎，第二空咱也不会啊，没招了，就猜一个多少，一千三百五啊。 那么多说一句，这道题目呢，跟去年朝阳区初三二模还是一模呀，一个那个排队问题，什么有男生女生跟老师排成了一个什么正方形，其实也是不定方程， 所以我们在这里面呢，核心呢，只想跟大家强调一下，第一个，对于多个信息量的问题呢，同学们可以通过表格辅助自己理解。 那么第二个呢，就是我们对于这种不定方程的问题呢，要不定方程的整数解问题呢？没有什么别的技巧啊，就是不断的去枚举。 那么多个变量呢，我们的核心呢，就是消元，对吧？所以总的来讲就是三个核心的要素，第一，多变多信息量的问题，通过数据表格来辅助理解。第二，不定方程的整数解问题，我们可以通过枚举法。第三， 就是对于多变量的问题，什么 m， n 呐， x， y 啊这种啊，多变量的问题的核心呢，是消原， 找到两个量之间的等量关系，然后呢进行啊，这个消原是吧，那么最终变成单变量求解就可以了啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家呢解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！

大家好，今天分享滨海线和建湖线初三统考二模数学试卷填空压轴题，这是一道行程相遇问题，考察初二上册一次函数的实际应用，难度中等，偏简单，请同学们认真思考后留下正确答案。

几何快，代数稳心定，还能提智商。哈喽，各位同学们大家好，我是讲韩式的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师啊，精讲的是我们初三下双提二模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，可以说是非常综合一道题目了啊，这一道题真的可以顶好几道题，它既考验了咱们同学们，首先从能力上，你具不具备我们的定一动，一种有序动 哎，以及就是你具不具备构造新函数这种式子表一切的能力，包括函数题要想做的快，最重要的就是你能不能够挖确定啊，在不确定当中挖出确定， 哎，这几项能力，各位同学其实就等于中考会考察到的全部的带宗的解析能力了啊，再加上这个题的考点，同学们这种公共点问题的处理方法，这种哎，增减性问题最值问题的处理方法，各位同学，哎，这两个考点你是不是掌全面掌控， 所以这道题真的能很好的检验咱们同学们在带宗这块的一个基本功的扎实程度啊。好，如果这道题做的不好，同学来认真听，向老师给你们讲一讲啊，我手把手再教教大家都是怎么操作的。 好，首先来看一下啊，这个呢，首先过二斗夫三 a 啊，这个对称轴还是非常好算的是吧，往里一带能算出这个对称轴是一啊。并且同学们像这种解析式，因为他的 a、 b、 c 都含有同一个字母 a， 那 这个式子我能看出来它是可以因式分解的，是不是你可以另一个 a a 变成 x 方 减二， x 减三，然后在这里就可以进行一个十字相乘，是吧？变成 x 加一乘， x 减三，所以能很轻松地看出它与 x 轴的交点应该是负一零和三零 啊。并且这个其实就是肖老师给大家总结过的我们的跳绳模型，是不是因为它的与 x 轴交点是确定的，然后它的顶点是不确定的，那说白了就是它可以啊，让顶点沿着这个对称轴从上往下跳，对不对？比如说它可能会长成 这样，也可能会长成这样，是不是？哎，这种跳绳结构啊，跳绳模型好， ok， 等会如果需要有序动这个抛物线的时候，同学们就可以去看看这个就可以用跳绳模型啊。 接着来看第二问，已知点 a n 逗四啊，我们永远要善于只关注确定的 n 逗四，这个是 n 加六逗四，哎，纵坐标确定。所以说白了，这个 ab 两个点呀，它就是 在外等于四这根线上动，是不是？哎，在外等于四这根线上动，小老师画一下啊，大概这个意思，是不是在外等四根线上动？嗯， 好。并且呢，他们两个人虽然横坐标是不确定的，但是他们俩的横坐标的宽度是定的，是不是就是六个格？所以他其实说白了就是一个宽度为六的一条横线，有毛病吗？同学们， 哎，就是宽度为六的一条横线，然后在这个 y 等于四上，然后这个点就是咱的点 a 点 b， 然后从左往右动呢，是不是？同学们，是吧？哎，这就是点 a 点 b， 然后他再从左往右这样式， 再咚咚咚咚咚咚咚咚咚，哎，咚咚咚，是吧？ ok， 好， 他说，若使得，若存在 n 啊，若存在 n， 使得抛物线和线段 a b 有 两个不同的焦点，注意，他找的是两个焦点，让咱们直接写出 a 的 范围。 好，这道题我们来看一看啊！同学们，来，这种公共点问题啊！同学们基本就都是动图啊，因为咱们知道，肖老师给大家讲过， 做函数题第一步是画出第一图，一定要先把图给画出来，画完图之后，要么可能是玩图，要么可能是玩士子。那大家记住，这种公共点问题，这种焦点问题， 我们都是干嘛都是玩图啊，就是对这个图进行有序动。 好， ok， 那 咱们就开始干。那怎么动呢？有同学说，老师，这个抛物线也动，这个线段也动，太烦了， 定一动一啊，对不对？抛物线也动，线段也动，那当然没法做了，所以咱可以先把抛物线给定住，对不对？哎，定住这个抛物线，你就动这根线段不就行了吗？是不是？那你就跟肖老师动啊，比如说，同学们，如果这个线段长这， 请告诉我，这个抛物线和线段有两个公共点吗？ no， no， no， 继续动动动动动，哎，有了吗？没有，还是只有一个，是不是？继续动动动动动动动，直到动到泪 b， 干嘛从右边出去，对不对？现在才满足存在，两个两个两个两个两个两个，对不对？哎，现在我们就看懂了啊，长成这个造型就是存在， 是不是？哎，明白了吧，这种就是，你看，继续往右动，又没有，没有又不行，不行不行不行不行不行，是吧？是哎，只有长成这个造型才是存在，是不是？好，那这个时候你就再看看他，那他长成这个造型就一直存在吗？各位同学， 那你这个时候可以动动抛物线呀，是不是？同学们，比如说肖老师把这个抛物线画小一点， 哎，我把这个抛物线画小一点，哎，你会发现这个时候行不行呀？这个时候也是行的，是不是？哎，那如果向老师再把这个抛物线整大一点呢？同学们， 哎，哎，这个时候呢？哎，这个时候你会发现也刚刚好是行的，是不是？那如果我再整大一点呢？ 你会发现这个时候是不是就不存在了，对吧？你不管这个 a b 动到哪，它都不存在了，有发现吗？ 你动动动，你甭管这个 a b 动到哪，它都跟这个绿色的不可能有两个公点了，是不是因为这个绿的太胖了，所以临界，大家看见了吗？临界就是黄色，这个是不是？临界就是黄色这个情况？因为这个是最极限的胖， 对吧？这个是最极限的胖，如果再胖，你甭管他动到哪，他都不行了，所以绿色黄色这个是最极限的胖， 是不是？哎，所以同学们，我们就把握住了这个临界情况，就是长成这根，那咱们就算呗，因为这个宽度总共是六，然后这个对称轴是一，所以左边是三个格，所以这个此时他的横坐标就是负二， 对不对？也对吧？横坐标就是负二，也就是他过负二斗四的时候，哎，那我们就把负二斗四带到抛物线，就可以算出来，此刻 a 等于五分之四，然后咱们再进行让范围确认，哎，对吧？开口得变大变小能行啊？同学们，这个是最临界的胖了，所以开口得变 小，对不对？得变成紫色这样才行吧，对不对？得变成紫色这种情况才行啊， ok， 对 吧？这样的话才能才能存在，对吧？所以这开口变小，那就是 a 变大，所以 a 大 于等于五分之四啊，就是开口向上， 好，那咱们再看开口向下。各位同学，开口向下呢？咱们先画画啊，首先他既然得满足有两个造型。同学们，咱们先画画啊，首先他既然得满足这个造型，同学们，能行吗？ 那肯定不能行，对不对？至少他俩得先挨着，对不对？得先挨着，哎，那再确认一下，哎，那我先画一个挨着的啊，是不是？至少他也先长成这样，哎，那再跨，只要挨着都行吗？那我再有序动一下这个抛物线啊，只要挨着都行吗？各位同学，来，肖老师画一下粉色，这个行不？ 肯定是存在的，大家有没有发现因为什么？因为此刻这个抛物线呀，他在这个位置才宽四个格，他这儿肯定特瘦，能懂不？他这儿肯定特瘦，所以你拿一个 y 等于那个宽度为六的一个线去跟他 肯定有两交点，肯定存在有两交点，大家能理解这个道理吧，对不对？你拿一个宽为六的去跟这种开口向下的抛物线进行找找，两个公共点指定有 对不对？指定是有的，因为他这这才宽四个格，对不对？你上面要拿一个宽六个格的，肯定肯定是嘎一下穿过去的，是不是？哎？所以这个开口向下，只要他能跟 ab 这条横线啊，能跟这条横线过去，对不对？只要他能长成这个造型，对吧？只要能，他能有俩焦点，他就一定能符合题，是不是？好？所以说白了就是我们只需要满足一对的这个外值，一对的这个外值要大于等于四 就行，是不是就能穿过去了？哎，有俩就有公共撵就行啊。所以咱们就把 x 等于一带到抛物线解一式算出来是大于四啊， ok， 就 能解出 a 小 于负一了。所以综上这个题答案就这两个答案，好吧，哎，这就是我们的第二问， 来，那我们再看一下第三问啊，各位同学，第三问呢，又是我们非常熟悉的这种新函数问题了是不是？那同学们首先画出第一幅图 哎，然后他让咱们去研究谁呢？研究 m n 的 距离，那咱们就视字表一切去表示 m n， 是 不是 m n 表示完这个啊？然后第三步， 只要表示完新函数，那咱们就画出新函数图像，就长这德行是不是？第四步，把它的范围标在图上，注意提醒同学们，只要标范围，同学们一定要 看清这个等号，等号的情况，所以你会发现他左边是可以取等的，右边是不取等的哦，所以六啊，这个六肯定讲价啊，他是个空心。那咱们就看 a 加一讲哪吧！同学们， 哎，有同学是不是分了好几种情况啊？这个题最易错的点，最麻烦的点来了啊，有同学是不是分 a 加一讲价， a 加一讲价，一个一个看的呀？ no no no no no， 麻烦了，同学们，如果你真的非常善于关注精读，非常善于去挖确定，各位同学，只要你善于挖确定，你就能比别人做得快，别人讨论四种，你一种拿下 怎么说？首先各位同学，肖老师反复给大家讲过，强调过，只要看到这种范围当中带字母的同学们一定要注意什么？只要看到范围当中带字母的，要有前提确认，也就是 a 加一得小于六啊。 a 小 于五 好，再加上同学们，这些地儿真的都需要咱讨论吗？嘎，家人们，大家想想，如果你真的精读了它，要满足始终都得满足大于等于五 a 是 吧？不小于五 a 不 就是大于等于五 a 吗？ 它的距离始终都得大于等于五 a， 同学们，始终处处。所以你琢磨琢磨，如果这个线长这儿， 他在这个范围上还真的能满足处处大于五 a 吗？那不是瞎说八道吗？因为这个地已经是零了 对不对？所以不可能满足，包括他在这，如果动到这，各位同学，也不行吧，对不对？ a 加一如果动到这是不是也不行呀？他在这块也不能满足处处吧，也是包含零的呀，对不对？所以这就意味着家人们 a 加一必须大于四， 他只能在这一块才有可能满足始始终大于五 a， 家人们，大于等于五 a 是 不是最必须 a 加一得大于 四啊？也就是说 a 得大于三才有才有的商量啊。 ok， 那 接着他要满足处处都大于五 a 大 于等于五 a， 那 是不是就找这个最低最低的？ 只要最低的大于等于五 a 就 都大于了？所以咱们就把 a 加一带到这个抛物线解析式啊，那这个时候，因为它肯定是个正的，所以咱们不用加绝对值也行了，把一加一带到解析式，让它大于等于五 a 啊，然后把这个解一下方程，就能解出这个 a 的 取值范围啊，再结合咱们的前提确认， 我们就可以把这个负二给灭了啊，就是 a 大 于等于四，哎，所以最终答案就是 a 大 于等于四小于五啊，这个前提确认 好。第三问，同学们有没有发现肖老师做的 so easy， 为什么？因为我太善于精读，太善于挖确定了，所以同学们一定要看清他给的这个，只要看到范围当中带字母，一定要做前提确认啊，始终， 哎，始终，那就意味着你需要满足，处处都怎么怎么着，那你就会发现这些都不可能啊。排除掉那些情况，会发现只有一种情况，根本就不用分类讨论，那就嘎嘎一顿算就好了。 好吧，哎，刚才肖老师说了，这道题呢，难度还是有的啊，并且综合性还是挺强的，非常值得同学们在中考之前再反复刷两遍。把肖老师刚才说的这种精读呀，范围确认呀，包括这种有序动啊，包括这种跳绳模型呀，哎， 这种一定一动有序分析啊，这种能，这种能力和意识一定要再强化一下啊，这些都是我们中考必考的一些能力。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

你和派代数吻心力还能提智商？大家好，我是新一位老师啊，今天我们一起来看一下哎，密云部分学校而摸这道函数压轴题，那这道题首先呢，这个括号一，它说当点 a 一到负一在抛线上求 a 的 值，再往里一带，就能算出来 a 得一，对吧？这个时候抛线就是确定的解一式 y 等于 x 方减二 x 啊，咱把它画出来，对吧？对，轴是一过零零过二零，对不对？是不是长这样开始向上， 他说呢，过点 p 零逗 t， 哎，这是不是 y 轴上一点呀，对不对？这是 y 轴上随便一点 p， 对 吧？然后呢，且与 y 轴垂直的直线，那是不就对吧，这是与 y 轴垂直的直线， 他说和抛线交于 e f 两点啊，且点 e 是 p f 的 终点。那同学们，大家有没有发现，我随便这么画了一个点 p 之后，你看它 和这交于点 e 和这交于点 f， 假如说，对吧，那这个点 e 不 可能是 p f 的 终点，不管这个是这是点 e 还是这是点 e， 对 不对？这都不可能，对吧？哎，那这对吧，这俩一个在 p 的 左边，一个在 p 的 右边，怎么可能能是它们的终点呢？ 所以我们对它来一次权威，系统去动，你会发现，动到哪的时候符合 t e 呢，对吧？哎，只有动到这的时候符合 t e， 大家看，大概在这个位置看，是不是？同学们， 对吧？哎，这个是外周焦点，那一点 p， 对 吧？然后呢，哎，这个焦点是那个 f， 对 不对？这个焦点是那个 e， 这个时候 e 有 可能是 p f 的 终点，是不是， 对吧？他让我求 t 的 值，那这个时候 t 的 值咋求呢？哎，那你看，因为点 p 是 吧？它 e 是 p f 的 值，咋求呢？哎，那你看因为点 p 是 吧？它 e 是 p f 的 值，咋求呢？哎，那你看，因为三个的横坐标之间是有关系的，对吧？ 比如说 x e 怎么样？它应该是等于零，加上 x f 除以二的，是不是， 对吧？也就是它是等于二分之 x f 的， 对吧？哎，而点 e 和点 f 又在抛物线上，它又是抛物线上的对称点，对不对？所以 x e 加上 x f 对 吧？相加应该是二倍的对称轴，应该是二，对吧？ 哎，那这样的话，你把它一替换，也就是说二分之 x f 加上 x f 应该是得二的，对不对？对吧？那是不是意味着就是二分之三倍的 x f 就 应该得二，那 x f 应该就等于这个什么呀？ 三分之四是不是？那么 t 是 几啊？我们把三分之四往这个解析式里一带是不行的，对吧？这个 t 是 不是等于三分之四的平方减去二乘以三分之四，对不对？ 算完应该是负的九分之八，哎，对吧？这个括号括号一的圈咱们就算完了啊。 哎，这个还是比较简单的，大家呢，只要画出第一图，对不对？你把他符合题的这个图画出来，围绕着他的坐标去列式子就可以了啊。

沈阳市初三试模的卷数学卷我刚做完，做了一下，十五题，还有二十二题，二十三题还有二十一题，然后这道题做了，然后像是前面那个三角函数题，我简单看了一眼，嗯，就是正常，我们知道一边去导边题都不需要去设方程，这还是比较简单的，主要说一下十五题、二十二题和二十三题。 十五题这里头孩子只要能找出一个一维相似，二维平线之间出现了角平面线，那么他一定会出现，等到三角形这题就完事了啊，勾股一列，这就 ok， 很 简单。那我之前说吧， 以后我们这种正经八百大考里，十五题他不会给你出难的，因为现在一个这两年趋势就是这样。然后是二十二题和二十三题，看到二十二题的时候，其实我心里有数，这道题一定不会难，为什么？ 因为他在二十三题的时候，他的难度都没有说特别特别大，那种就任何的大型考试都算上，那么把他这道题挪到了二十二题，难度他也会再降低那么一点点。 二十二题前两问非常简单，就正常，你是上课能听课，然后我们对于咱们一轮复习也好，或者是数学学习稍微认真一点，这题前两问就必须得拿分的题， 你说要是基础不好时，第二问费点劲，那可能会出现这种情况啊。然后括号三，面积问题呀，那看到这题都得乐开花了啊，面积问题，多少年没有这么去考过了呀？放到最后一题，那给了 a、 c、 f 的 面积小于二分之三，直接确定 f 点位置，但这里头仍然有个坑， 他考察的是抛物线的平移问题，平移表达解析式的问题，这是我压轴课第一节课我就讲的内容，也是我一轮复习当中重点讲的内容，表示 解析式，但是在表示解析式的过程当中，它出现一点 b c 的 解析式是什么？沿着 b c 走，但是不按这个来要求出顶点的解析式，这样的话就能表示出来了，然后把这个点一确定，咔往里一带，人家说不与 a 重合，然后把 a 那 个点咔砍掉，两个范围一取完事。 二十二题还是挺简单的啊，然后我本来是怀着很忐忑的心做了二十三题。二十三题第一问，还可以啊，做的挺顺利。第二问，哎，也还行，这里头会出现了一个手拉手，构造相似， 整个手拉手相似才能做出来，一下就整出来，整出来之后括号三圈一能也能算出来，它跟那个括号二是一样的，但是到圈二时候可能会稍微费劲一点， 因为这里头会用到这个。另外一个相似的问题，我没研究还有没有什么其他的方法啊，反正我是用相似去做，用相似去做反正不是特别的难，但是这个相似在考试有限的时间之内，这可能稍微费劲一点， 所以在这一次考试当中，我总结一下啊，有关于拔高同学啊，二十二题的第三问和二十三题的第三问，二十三题的缺二，我觉得你要是在有限时间没答上来的话，有情可原吧，但是这是能答上来的题。然后对于二十二题的括号三，如果你连第一个 f 点的位置都没找到的话， 那这学习绝对是不到位不过关的啊。然后如果你都没有表示出平移之后的二次函数表达式，那学习也是不过关的。这种正常老师肯定都会讲，而且我的课堂当中讲了不止一次了啊。其他题就是正常题，包括语文那道题我也做了，很简单，比之前做的题要简单很多。 我们沈阳市这次出题啊，手下留情了。然后这套卷呢，也是非常值得大家做的一套卷的评论区留言，一个数学卷，让孩子练一练。

好，各位，今天我们来看一下二零二零年周口市川汇区中招考试第二次模拟的化学压轴题，也就是说我们的第十四题。好，我们来看一下这道题呢，它是让我们像盛有五克的三氧化二铁和氧化铜的混合物里边加入一定的谁呢？加入一定量的稀硫酸， 恰好完全反应好。读到这道题的时候，我们应该可以分析出来，我们恰好完全反应会生成谁？硫酸铁和硫酸铜， 对吧？这两个物质所得溶液中的溶质的质量一共为十一克，此时我们的溶质是谁呢？溶质就是我们的硫酸铁和硫酸铜原混合溶液中氧元素的质量。这里边一共需要三步，哪三步呢？首先第一步，我们需要分析出来氧化铁和氧化铜与稀硫酸反应生成的溶质是谁。 好吧，我们要判断出来溶质的成分。第二步呢，我们得去想办法根据关系式求出来氧化铁和氧化铜的质量。很多同学是卡在了第二步 来，那我们看一下第二部该题怎么写。我们可以先去设三，氧化铁和氧化铜的质量分别为 x 和五减 x。 那 溶质中的质量是多少呢？我们现在不知道好不好，那我们先把这个方程列出来，列出来了之后， 我们可以根据告诉我们相对分子质量以及它们的质量来，哎，一百六 x 四百和 a 八八十五减 x， 然后一百六和剩下一个。但是此时我们并不知道硫酸铁和硫酸铜的质量，那我们可以给他先设一个 a 和 b。 有 的同学在这个时候会问，我现在有三个未知数，该怎么去解？其实往下算我们不难发现，在这道题里边，我们没有必要解出来 a 和 b 的 值， 我们只需要用含有 x 的 方程式来表示出来 a 和 b 就 好了。通过计算了之后，我们可以表示出来 a 是 等于个二分之五 x， 而 b 呢，等于个十减二 x。 因为题里边告诉我们啥了呢？它是不是告诉我们了，硫酸铁和硫酸的质量一共为十一克，所以说在这个地方我们 a 加 b 的 质量就是等于个十一 好不好？ a 加 b 的 质量等于十一。然后我们分别再把 a 与 b 的 值带入到这个式子里边，我们可以截出来 x 等于二，此时 x 是 谁的值呢？ x 就是 我们氧化铁的值。 好吧，氧化铁的质量为两克，氧化铜的质量为三克，那这样我们再去利用他们氧元素中的质量分数，分别能够求出来三、氧化二铁中氧元素的质量分数为零点六克，氧化铜里边氧元素的质量分数也为零点六克，二者一相加就得出来，我们最终答案一点二克了。