安徽中考几何压轴2024

中考数学几何压轴题，咱家孩子是不是一看见就头疼？其实没那么复杂，记住三句黑话，思路一下就顺了。第一句，求线段长度，看到求长度的这种题，直接想到四个办法， 波古定律、相似三角形等面积法。还有就是三角函数，哪个顺手就用哪个。第二句，看到线段笔，只要题里出现笔这个字， 立刻去找相似三角形，最常见的就是 a 字模型和八字模型，套上去基本没错。第三句，求面积，普通图形就用底乘高除以二，但是如果和二次函数掺和到了一起，就 一定要用千锤法，压轴题也能拿分。这三句黑话让咱家孩子记牢了，几何大题再也不是瞎蒙，是真有方向！

三题，这个题啊，说抛线 l y 是 等于 a x 平方减 c， x 减 c 与直线 y 等于 a， x 减 c 都经过一个点，这个点叫负一 m 让你求呃，告诉你直线和它的 l 的 对称轴的交点叫 b 这么一个题型。那首先在这一小问里面，我们可以把它先进行一个求解，直接把点 a 代入到两个式子里面，一个是 m 等于负一的平方 a， 然后这个地方你带是 a 加四，再加 c， 然后再往一次函数里面带， m 是 等于负 a 减 c 的 两个相加二， m 是 等于四的，正好右边底下掉了 m 等于二。第一小问 m 等于二， 而第二小问说 a 方加 c 方大于四， a 方加 c 方由 m 等于二的话，这个式子还可以得到， a 加 c 就 等于负 m， 也就是负二， a 加 c 是 负二， 然后 a 方加 c 方，可以看成是 a 加 c 的 平方减去一个二 a c 也就是四减二， a， c 它大于四，我只要判断 a 乘 c 的 正负就可以， a 乘 c 正负 a 是 大于零的， a 是 大于零的，那 c 必须得小于零相加，才有可能等于负二，所以它俩乘积为负的 小于零，所以四减二， a， c 大 于零，那第二小问也 pass。 这两个小问比较简单，我们来看一下。第三小问说 a 等于一的时候，当 a 等于一的时候， a 加 c 是 等于负二的，所以 c 就 等于负二减一， c 等于负三。我们直线 l 啊，我们抛物线 l， y 等于 x 平方减四， x 减三，就是抛物线 l， 将抛物线 l 向左平移 n 的 单位 左 n 个单位，得到抛物线 p， p 是 什么？左加右减，所以 x 加 n 的 平方减去四倍的 x 加 n， 再减去一个三， 这是抛物线抛过来的。抛物线 p 和抛物线 l 的 对称轴，它的交点叫 m。 把图像呢？画一个草图画出来 等于什么？ y 等于 x， 平方减四， x 减三，减三在下方，然后这个 a 点经过 a 点，叫负一，逗号 m 负一， m 是 二， 所以 a 点是负一，逗号二经过这个点，那这个图像呢？可以大致地画出来一个形状。 ok， 好一个大致的形状，这个叫抛物线 l， 将它向左平移，左平移？平移。 ing 单位在哪？不知道，反正是 ing 单位 平移的。用虚线来表示一下，这个是抛物线 l， 这是抛物线 p， 然后说抛物线 p 与抛物线 l 的 对称轴，它交于 m 点。抛物线 p 与抛物线 l 的 对称轴。我们挪近一点啊，方便找这个对称轴。在这个地方，我们找一下它的对称轴。 抛线 l 的 对称轴是多少呢？同志们，解析式我是知道的呀。这个解析式是知道的。 y 等于 x 减二的平方再减去一个 七，对不对？嗯， x 减二的平方再减去一个七，所以对称轴是 x 等于二，这条线是 x 等于二。看着不太像，但是不重要， 草图嘛，所以 x 等于二，这是对称轴。说它们交于一个点，这个点叫做 m， m 在 哪呢？在 b 的 下方， b 是 什么？回头看一眼，这个直线，解析式也可以写出来了。 y 等于 x， c 是 负三减负三就是加三这条线与 l 的 对称轴，也就是 x 在 这呢。 x 加三， 这个是 x 加三与这个对称轴，它的交点叫 b， 所以 b 也给它表示出来。在这，这条线叫 y 等于 x 加三。 好， b 和 m 都表示出来了。呃，过 a 点做 x 轴的平行线，交抛物线 p 于 n 点，过 a 点做了这样一个东西， 交抛物线 p 于 n 点，点 n 在 点 a 的 右侧， p 有 两个焦点，这是一个，这是一个，但是右侧这个，我们把它叫 n。 好， 图像描述完了，接下来他让我求出 b m 减 n 的 值， b m 在 哪？先找 b m no， 这条线就是 b m， 想求 b m， 先把它表示出来。这个横坐标是二重坐标，往里带是五，二对号五 m 点， m 点，它这个往里带是二，逗号。呃， m 点在在抛物线地上吧，在这上面，所以 m 点往里带的话，那应该就是 m 点往里带啊，就是 x 等于二， y m， 它就等于 二加 a 的 平方减去四倍的二加 a， 再减三，也就等于四加上 a 方，加上一个 c 减八，减四， a 减三，所以是 a 方，这个抵消掉了。呃，然后 减七， n 方减七。诸位，那 b m 就 好表示了吧。它俩中坐标都知道了，所以用五减去 n 方减七即可。答案是十二减 n 方，这是 b m 的 一个式子， 再看下一个 a n， 这个式子 a n 怎么求呢？先来看它 a 点在这， a n 点在这， a n， 我 们整个这一段，这段是不是跟这一段它是相等的？ 方便你看啊，我把这些多余的先擦掉。你看，我在二这个地方，我截一个长度，跟抛物线 l 交一下，那这个长度，这个长度，这个部分是不能算出来多少？ 这个算出来了。回到这个图上来，那蓝色这部分是不是算出来了？所以我们把它先算一下啊。 先算一下在这个地方，嗯， y 等于二，代入抛物线 l l 解析是知道的， 所以它是二等于 x 平方减四， x 减三，所以 x 平方减四， x 减五等于零， x 减五和 x 加一，它等于零点一下 没问题吧？那应该就是 x 一 等于五， x 二等于负一，也就是说它的焦点横坐标一个是五，一个是负一，也就是说啥，这个长度它就是负一到五，长度为六，那这个长度不也是六吗？ 那同时你注意，这个东西是 l 到 p 是 向左平移了 in 的 单位啊，所以这小段是 in， 那 剩下这小段是多少？ 这小短整个这个长度啊，这个长度它是六，去掉这个 n， 所以 表示一下 a p 的 长度，它是等于六减去一个 n 的。 嗯啊，不是 a p 啊，是 a n。 sorry， a n 的 长度是等于六减去一个小 n 的 分布来看它啊，从而把这个式子可以表示出来了， b m 减去 a n， 它就等于十二减 n 方，再减去一个六减 n， 也就等于十二减 n 方减六加 n 等于负的 n 方 减 n， 我 需要一个四分之一，然后那边的话应该有一个六，再加上一个四分之一，所以拍完之后是负的 n 减二分之一的平方， n 减二分之一的平方，然后加上一个六又四分之一。好，所以 n 等于二分之一的时候，我们取最值。 ok， 应该没问题啊，检验一下，这是一个二次函数偏计算的问题啊，把线段表示完之后，两个线段表示完，分别代入即可。

昨天粉丝催更，我们讲了维达定律的变形形式，想看他在几集合题里怎么杀风。今天我们来讲一下安徽中考风格的二次函数几何综合题， 怎么让伟大定律变成你破题的金钥匙？首先我们看一下题目，说这个是二次函数，交于 ab 两点，这时候你会发现是不是关于 y 轴对称，那么的话， x a 与 x b 是 不是互为相反数的？所以 x a 加上 x b 是 不是等于零的？ 继续读题，他说 p 在 抛物线上，在 x 轴下方 pa 与 pb， 然后交于 e f 两点， p 移动时，让你求证 o e 与 o f 是 否为定值。 前面我们已经说过，怎么去求定值呢？是不是把 o e 和 o f 转化成相同的量，然后 o c， 我 们知道它是不是字母 c， 我 们只需要把 o e 和 o f 给表示出来就行了吧？ o e 和 o f， 你 会发现是不是 pa 和 pb 这两条直线分别与 y 轴的交点？好，这时候我们就可以设 直线 ap 是 不是就等于 y 等于 k x 加上 b？ 这时候你会发现，我如果连立于 y 等于 ax 平方加上 c， 是 不是得到了一个新的一个等量关系式，就是 ax 平方减 k， x 加上的 c 减 b 是 等于零的？ 好，这时候我们知道 x a 乘以 x p 是 等于多少呀？等于 a 分 之 c 减 b。 对， 那我们是不是还可以把 b p 设出来？我们的直线 b p 是 不是就等于 y 等于 mx 加上 n， 是 不是同样的道理？我们连利用二次函数 x 平方加上 c， 这样是不是同样又得到了一个新的一个式子，是 ax 平方减 mx 加上 c 减去 n 等于零的， 所以是 x b 乘以 c 减 n 等于零的，所以等于 a 分 之 c 减 n。 我们求求出来， x a 乘 x p， x b 乘 x b， 有 什么误导呢？这时候你会发现，我们知道 x a 跟 x b 干嘛？是不是互为相反？说的 x b 是 不是等于负的 x a， 所以 我们把它转化一下， 它转化成负的 x， a 乘以 x p 是 不是就等于一个 n 减 c 比成 a 了？你发现它俩相加是不是就相等了？所以它是不是等于一个 a 分 之 c 减 b 是 不是得到一个新的等量关系？ n 减 c 就 等于个 c 减去 b， 所以 n 加 b 就 等于二 c 的。 这时候的 n 和 b 是 不是 e 点和 f 点的坐标？所以是不是 o e 就 加上 o f 等于一个 o， c 比上 o c 是 不是等于一个二， c 比上个 c 等于二？好，这题我们讲完了，我们看一下转化为定值的问题，我们本来是不是要求 e b 点坐标跟 f 点坐标，我们通是不是通过伟大定律的 g 以和的形式，然后把 e 点坐标和 f 点坐标给绕开了呀？好，我们继续来看下一题。他说直线 y 等于 b， x 加上 t 与这个直线交于 m 跟 n 两点，是不是让你去求求什么？又是求定值？ 我们不妨前面已经说过了，我们不妨用前面的思路来看一下。我们看先连立这个方程， y 等于 b， x 加上 t 与 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 又发现它通过相等的话，是不是变成了 a x 平方加上 c 减 t 等于零了？ 你看一下，所以 x m 加 x n 是 不是又等于零了？这是凑巧吗？你以为是，为什么？因为我们知道和的一个等量关系，让我们去找谁去找 g， 对， 非常好。 所以我们看一下，我们设 a， n 等于 y 等于个 k， x 加上 n， a m 就是 y 等于 k 一 x 加上一个 m， 所以 我们通过去连立于二次函数解析式， y 等于 k， x 加上 n， 然后 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 是 不是就等于化简一下 a x 平方加上个 b 减 k 倍的 x， 然后加上 c 减 n 是 等于零的？这个我们是不是也同样的道理， y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 通过化简就得到了 a， x 平方加上个 b 减 k 一 倍的 x 加上个 c 减 m 等于零。所以 x a 乘以 x， n 不 就等于 a 分 之 c 减 n， 这个 x a 乘以 x m 是 不是等于 a 分 之 c 减去 m 的？ 前面告诉你 x m 加上 x n 是 不是互为相反射的？所以是不是得到了 a 分 之 a 减 n 加上 a 分 之 c 减 m 是 等于零的？ 是不是得到 m 加上 n 等于二 c， 所以 就是 d e 比上 cd 是 等于二的， 就证明出来。好来，我们去总结一下，求第一步是干嘛去连利对不对？连利二次函数与一次函数构造 x a 乘以 x b 的 形式。第二步是不是还有一个 x， a 乘以 x c 的 形式？找二者之间的一个关系，去求什么定值对不对？ 那是不是还有个前提？这个前提是什么？前提是 x， a 加上 x， b 是 不是一个等于零 之类的一个等式这样的代入，然后代入替法，绕过坐标就能求出定值。好，同学们，今天这两道题听明白没有？我们来看一下，给大家留了一题作业，后面我会把答案放在评论区里面，不懂的可以私信我。

合肥中考的各位家长，各位同学，今天方老师教你一招破局刮豆原理。咱们以这个去年安徽中考的选择题第十题来举例啊。 先看这个题目，他说如图，在这个四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a 等于角， abc 等于九十度， a、 b 等于四， bc 等于三， a、 d 等于一啊， e 点好，动点来了， e 点是线段，就是我们边 a、 b 上的动点。将线段 d、 e 绕点， d 逆时针旋转九十度，得到线段 d、 f 定点也来了，在这里啊，然后 d、 f 和 d、 e 又是相等的，对吧？然后连接 f、 b， f、 c 和 e、 c 项。下列结论错误的是， 那这里面是标准的一个刮豆啊，那这里面刮豆在哪里呢？我们来如何一招破局。 我们先讲一下哪里是刮痘啊？什么情况下叫刮痘原理？那在这里面要想满足刮痘，必须满足三个条件，第一个条件就是一定要看到定点，那在这里面 d 点就是我在这里面的定点，那定角呢？这个角度就是你旋转的角度，是定角九十度，对不对？那第三个是什么呢？就是你旋转的边的比例， 一定要是定边长比例啊，这里面是边长比例是一比一。好，那 这里面直接可以锁定刮豆原理。主动点是谁？主动点是我们的 e 点，从动点呢？从动点就是我的 f 点， 主动点是沿着我们的线段 a、 b 在 运动，对不对？那么从动点 f 的 轨迹也必然是一条固定的直线，那么这个 f 点的运动轨迹 我们都能确定下来的话，剩下的四个最值选项， b 和 d 直接解决。 c 是 标准的将军音嘛， a 选 a 选项其实也可以说是那个，嗯，线段差的最大值，对不对？用三角形三边的关系， 那么都可以解决，那 b 和 c 核心就是 b 和 d， 选项的核心就是 f 点的运动轨迹， 那我们用刮斗去如何确定 f 点具体的运动轨迹呢？我们现在都知道，他虽然是一个线段，对不对？那这个线段具体位置在哪呢？我们来一起看一看啊。 有一个技巧就是你主动点去找这根起始点，就是你这个运动的线段的两个端点， 从而推出 f 点运动线段的两个端点，因为两个点就可以确定一个线段是不是确定一条直线，所以这里面 f 点运动轨迹是如何确定的？在这里各位同学一定要仔细听啊，就是去把 e 点先放到我的线段 a 点这里， 左端点 a 点这里重新去确定我们的 f 点的位置。根据题目说的，这个线段 d e 绕点 d 逆时针旋转九度，得到我们的线段 d f， 是 不是我们去操作一下就可以？好，那现在 d e 在这里就是我们的 d i 重合，那逆时针旋转九十度， d e 是 不是就跑到了这里，对吧？那我们记作 f 一 吧， f 一 撇吧，好，这是 f 一 撇一个点，那它的起点有了，那终点呢？一样的道理，我们先把这个 e 点放到 e 点的这个， 这个所在的这个直线的或者线段的右端点，记作一连撇，连接一下 d 一 连撇。 好，连完之后同样的方法去给它旋转，逆时针旋转九十度。 好，那此时因为是一比一的关系，我们很容易能确定 f 点此时对应的位置啊，我们用 f 两撇来表示，好，那起点有了，终点有了一年， f 点的运动轨迹咱们就确定下来了啊。 f 撇到 f 两撇一年，这个就是我们 f 点的运动轨迹。所以这道题核心就是确定 f 的 运动轨迹。那既然确定运动轨迹之后， b 选项和 d 选项咱们都可以去解决。 我们先看 b 选项 f b f b， 对 吧？那也就是 b 是 定点， f 是 动点，那 f、 b 的 最小值，那很轻轻松就看出来在哪里。 b、 f 的 最小值在哪里取的， 大家想一想，对了，是不是在这里取到的 f 撇，这里取到的， 对吧？你用其他地方肯定明显比我们的 b、 f 撇都大呀，是不是？那此时的这个 f、 b 的 最小值就是我们的 b、 f 撇，对吧？那 b、 f 撇好不好求呢？其实求是好求的啊，这里面，嗯，刚才这里面有一个 三角形 d、 f 撇 f 连撇，对吧？是可以正出来 全等于三角形 d、 a、 b 的。 那用的条件是什么呢？肯定是边角边了， 边是我来读，你们可以听一下啊，边是我们的 a、 d 等于 d、 f 撇，角是 a d 角 a d、 b 等于角 f 撇 d、 f 两撇，以及最后一条边 d、 b 等于 d、 f 两撇，所以正出来的是全等。那在括号里面，不是所有的都是全等啊。那为什么这道题是全等呢？因为我们边的比例是一比一，那在不是一比的时候就是正相似啊，大概的方向是一样的。 那证完全等之后，我们可以推出来 d、 f 撇，此时的长度等于 d、 a 等于一，对吧？而且这里面角 d、 f 撇 f 两撇是等于角 d、 a、 b 等于九十度的，嗯，因为全等退出来，对应边相等，对应角相等，那这里是九十，这里也是九十，我们延长之后，这是不是也是九十？那剩下这个角加上这里是 m 点， 那剩下的这个 f 撇 m a 是 不是也是，就是，对吧？所以可以正出来我们的四边形 a m f 撇， d 是 正方形，那此时的 b f 撇直接勾股定律就可以算了啊。根号下 b m 的 平方加上 m f 的 平方，就等于根号下四减三，四减一是三三的平方加上一的平方，重新写一下， 等于刚好十，对吧？所以 f b 的 最小值就是刚好十， b 选项 b 选项是正确的。好，再看 d 选项， d 选项求 f c， 那 就是 c 点是定点。好，我们其实要抓住定点和动点的位置就确定了。那 f c 就是 求 c f 的 最大值，那 c f 的 最大值怎么求呢？ 嗯，其实要求最小值就更简单，直接 c 往这个，嗯，动点所在的轨迹做垂线，垂线的最短是不是？那最大值不就一定是在这个两个端点处取它吗？啊，这个 c f 撇和 c f 连撇，此时它的长度是一样的，我们可以画一下，简单来正一下，连一下 c f 撇和 c f 连撇 好。嗯，还是刚才的全等啊。所以 f 撇和 f 连撇的长度是等于我们的 ab 长度的，是等于四的，是不是 再根据？嗯，还把这个线延长一下，就是延长 d f 撇， 延长我们的 d f p 交 c b 于点 n 吧。 好，因为是延长，所以也能轻易得出来。嗯，这里还有个矩形的存在，也就是 n b， 它也是等于一的，那上面的 c n 就 等于二， 对吧？那 c 点向我们的 f 撇和 f 两撇这根线段做垂线下来就可以了。做根垂线下来，那我们的假设这个垂足是 h 吧， 那我们的 h f p 是不是也是等于我们的 c n 的， 等于二的，对吧？那同理可以推出来，我们的 h f 连平了，是不是也是四减二等于二？ 好，那也就是此时的 c、 f 撇和我们的 c、 f 两撇都是最大值，都等于我们的根号下， 嗯，这个是二，这个是三，所以是三的平方加二的平方等于根号下 十三，好，那 d 选项最大值整出来也没问题，对不对？那剩下的 a 选项和 c 选项其实跟瓜豆，嗯，关联不是很强，先看 a 选项吧，我们以这个下面这个新的图来讲一下啊， c 选项是 e c 减 e d， 那 明显其实这里面只跟 e 点有关啊，那这里 e c 减 e d 根据三角形两边之差 永远是小于第三边，所以直接能推出来，而这个第三边能不能求呢？可以求的啊， c、 d 就是 这里做一个垂线下来就可以， 我们就用虚线画一下做垂线下来，这是一，这是四，这是三，这是一，这是二。所以 cd 就 直接等于根号下三的平方加上二的平方，等于 根号十三四的平方，四的平方。重新写一下 c、 d， 它是等于根号下这个四的平方加上二的平方，等于 根号二十二倍根号五，嗯，它永远是小于二倍根号五的。那有的同学说能不能等于二倍根号五呀？ 这道题是不可以的，因为这个要想等于二倍根号五，必须就是这个三角形，就是这个三个点， d， e、 c 共线，那不能组成三角形，那这里面在哪里取到呢？我可以把它画出来给大家一起参考一下。 好一点，在这此时你想一想，我们的这个 e c 减 e d 是 不是刚好等于 c d 二倍刚好？是的吧， 但是这个一一一撇的位置明显取不到，都跑到了这个线段 a b 的 外面去了啊，所以 a 选项直接判错，选 a， 那 c 选项， 嗯，双线段之合，那标准的，我们看一下是不是将军一马啊？先把这个擦掉， 好，看一下它是在哪里啊？ ec 加 ed 啊，标准的两地移动，两地移动，而且这个动点运动轨迹是不是一条直线，或者说线段 点定一动。好，那 ec 加 e d， 只需要标准的接法就行了，随便找一个点，比如说我们找 d 点，关于这个动点所在直线的对称点 d 撇，然后直接， 嗯，你说下原理吧，直接连接，先连接我们的 d 撇 e， 那 要想求 ec 加 e d， 可以看成，因为我们做的是对称点，那 e、 d 永远等于我们的 e d 换成我们的 e、 d 撇，对吧？啊，这不就是两边之隔吗？啊，两边之隔永远是大于等于 第三边的，第三边是不是刚好我们的 d 撇 c， 直接连一下 d 撇 c 就 可以了。 那 d p c 怎么求呢？好求啊。嗯，在这里构建一个购物定底就行。 好，这是四，这是一，整个加起来也是四，所以是 四倍根号勾股定力啊。那么 c 选项 c 选项也是对的，只有 a 选项是错的。嗯，那这道题就结束，正确答案是 a 选项。

好，同学们，今天我们来看一下瑶海区的二模的一道解析几何二十二题 啊，题呢还是有一定难度的啊，来看一下这道题，如图点 e 是 这个平行四边形上面的一个点，然后呢我们连接 f a， f d 以及 b e 这些使得角 a f e a f， 也就是这个角等于角 b c f b c f 这个角， 然后他说 dc 等于 df， 这条边等于这条边，这是一个等腰三角形，因为他说求证 这个三角形 a， b， e 全等于三角形 f d a a b e， 是 这个三角形全等于 f d a f d a 啊，这个三角形和这个三角形全等，那么我们根据啊 b 干给我们条件，首先它是一个平行四边形， 那么平行四边形的我知道对边相等，对角也相等，对边相等，那这条边和这条边是肯定相等的，这条边又等于这条边，那么这条边和这条边就相等这一个条件。还有因为你看了啊，他给了我们 a f e a f e 这个角等于这个角， 那么又因为平行四边形啊，对边是平行的，那么这个角就相等，那么这两个角相等之后，那这条边和这条边怎么样？ 也就相等第二条线，那么等两条边，那么他我们在正这个待选圈的判定定点当中，再找一个这两边夹角或者是第三条边就行了，那么显然两边夹角更容易找啊。来看下这个角和这个角，看能不能相等。我们知道这个角和这个角怎么样是对角相等的， 那么对角，因为这个角和这个角是相等的，那说明这个角和这个角就是相等的， 那么他两个就相等了，那么假讲就找到了边角边，证明完毕，全等再看第二题。如图二，连接 ac， 连接 ac， 我 们把 ac 连接一下， 连接 ac 之后交 b 以点 g， 也就这条这个点叫 g 点，然后 他说，如果 a f 等于 b g， a f 等于 b g， 哦，这条线段等于这条线段走正 c f， 这条线平分角 a c d 平分角 a c d， 也就是说这条线是这个角的角的角平分线，这该怎么证明呢？那么首先根据这个题干的信息 以及给的条件，标边等于这个边，因为我们会发现这个角和这个角是相等的， 那么这个角和这个角相等之后怎么办呢？这个角和这个角也就相等。相等之后，那么这条线段和这条线段怎么样？就平行了，加上给的条件相等，那么我们就可以下意识的去连接 f g 了。 为什么要连接 f g？ 因为我们发现 a f 和 b g 是 平行且相等的关系，那么这个三这个呃， a f g b 是 平行且相等的关系，那么这个三这个呃， a f g b 平行于 f g f g 肯定也就平行 c d 了呀，它平行于它又相等于它，那说明 f g c d 也是一个平行四边形， 那么又因为主题干说了 d c 等于 d f， 那 么也就是说这这个平行四边形的邻边是相等的，那么根据我们之前学到的平行四边形证明为菱形，那么就是证它邻边相等就可以了， 那么就可以得出 f g c d 为菱形，那么根据菱形的这个性质得出对角线互相平分，那么就成为它的角平分线了。第二个呢？第一小问，我们证明完毕了，看啊，最难的。最后一问，如果 ac 平行 df， ac 平行 df， 那么 ac 比上 dm， ac 比上 dm 的 值是多少？这个又是线段之间比值问题，那么这道题型就非常爱考这类啊，大家一定要会，那么这种题型通常是怎么做呢？往往蕴涵着相似比线段的转移与转化，或者就是转化之后 利用这个方程的思想啊，去写出这个线段之间的比值啊。这个题啊，从头到尾都没有给你这个线段的具体数值，那么让你求线段之间比例呢？很有可能就我们通常这个解法呢，是啊，设未知数 啊，利用未知数呢，看能不能构造这个就是根据相似型的这比例，线段互相转化，然后呢构造成一个方程，然后点这个方程，把这个未知数啊求出来。那么我们看一下，跟我们今年的这个和去二模这个一道题，解析几何了，这个也是的，就设未知数 啊，求这个线段比值啊，是利用相似，那我们来看一下，首先啊，他题干说了 a c 平行 d， f， 那 很显然这是一个八四模型， b 相似，那么相似 a， c 比上 d， f 这个线段，我们就能对它进行转化，转化成它两之间的比，就等于 a， e 比上 e， d， a， e 比上 e， d， 又等于于这个 c， e 比上 e， f。 来写一下吧，先啊，这写吧，首先我们知道这个 a、 c， e 这个三角形， a， c， e 这三角形相似于哪个 a 对 应的是谁啊？对应的应该是这个 d， 那 么 d 这个 f， 那 他俩相似之后，你会发现 a， c 比上 df 实际上就等于谁啊？ a e 比上这个 d e 就 等于什么？这个 ec 或者说 c e 比上了 f e， 大家都知道平行的成比 e， 而且相等会发现 这条边比上这条边，为什么这条边比上这条边，大家又会发现什么呢？三角形 bc， 就是 这个碎的，碎倒的这个等腰三角形跟这个等腰三角形怎么样也是相似的，相似于 三角形 a e f， 那 么这里面他们有公共的这个线段，那么也有什么这个 e 或者说 c e 吧，比上 ef， 它是等于谁的？它是等于这个 bc 比上 a e， 那 么我们从这边是不是就可以就像接龙一样，把它接完划过来，对不对？那么我们就可以得到什么？ 这个等于，因为我们知道 bc 啊，它跟 a d 怎么样是相等的，那么就等于 a d 比上 a e， 那 么 a d 比上 a e， 再看这个地方， a d 比上 a e 等于 a e 比上 d e 比上 d e， 我 们把这些所有的相似性呢，全部浓缩在了这一条直线上， 就是 a e 比上 d e 等于 a， d 比上 a e 乘以，就跟成语接龙一样，对不对？把它转化，一直转化，转化转化，转化到这来，它们俩相等，跑到一条线上面的几条线段之间的比例，然后怎么办呢？不让求 ac 比上 df 吗？ 那不就等于求它吗？那么会发现我交叉相乘的话， a 一 方等于 a， d 乘以 d e， a 一 方等于 a， d 乘以 d e， 这个时候如果我要设 a e 为 x， d e 是 y， 那 么就是 x 方等于 x 加上 y， 括号乘以 y， 那 么他不让我们求谁啊？ c 比上 d f 嘛？我们通过转化得出它就等于 a d 比上 a e 就 等于 a， d 比上 a e， a d 比上 a e 等于 a， e 比上 d e， a e 比上 d e 就 等于 x 比上 y， 我 们最终要求出它就行，求出它，你看 而怎么样通过这个方程变化出这个这种形式呢？我们等式两边同时除以 y 平方，但是 x y， 那 么除 y 平方，消掉一个 y， 就 y 分 之 x， y 方除以外方加上，一看到没 就出现了。那这里面我再换圆的思想，把它换成 t， 那 么如果是 t 的 话，就是 t 方等于 t 加一，一项 t 方减， t 减一等于。这里面可以用求根公式得了，等于 b 平方一减 c， c 加四等于五，那么这个 t 就 等于 二， a 分 之负， b 加减根号得了。这里面很明显这个减啊舍得，因为这个长度是相当之间比不能为负的，那么直接 t 就 等于二分之一加根号， 那么 t 是 二分之一加根号，因为我们 t 就是 y 分 之 x， 所以 它就等于二分之一加根号，证明完毕了，它的比值就是二分之一加根号。 那么这个整整个这个题目啊，这个难度是层层递进的，而且这个最后一问，这个思想线段比值啊，相似三角形啊，结合转化的思想啊，都非常好的一道题，大家可以点赞收藏啊，你的时间可以去多去。

一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？

接下来我们看一下二模试卷数学的最后一题，几何压轴给出已知条件，三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形， a、 b 等于 a、 c， 它是等腰三角形， 沿沿着 p c 进行折叠，沿着 p b 进行折叠，得到三角形 p b、 d， 那 也就是啊，这里面有一个折叠的动作，根据折叠的性质对应角相等，对应边相等。 好注意，第一个问，他说 p d 平行于 bc 时，去猜想四边形 b、 c、 p d 的 形状， 根据折叠的性质对应边相等，所以 p c 是 等于 p d， bc 是 等于 b、 d， 那 接下来它是是一个什么样的四边形？我们还要结合这个平行的条件， p d 平行于 bc， 那 我们知道， 因为折叠，所以 p b 是 折痕， p b 是 折痕，那角 d p b 就是 等于角 c p b， 那 又因为这两条直线平行，所以 d、 p b 同时又等于角 p b、 c。 那 通过等量代换，我们可以得知角 c、 p b 是 等于角 p b、 c 的， 那这两个角相等，等角对等边，所以 pc 等于 bc。 我 们刚刚已经说说明， pc 是 等于 pd， 而 bc 是 等于 bd。 我 们通过做相同的符号，发现 这四个边都相等，那根据菱形的定义，四边相等的四边形是平行四边形，所以第一问我们就解出来了， 这里面要注意，其实他牵扯到一个模型，什么模型呢？他给出一个两直线平行，有平行，有翻折，那翻折必然会产生折痕，而折痕就是啊，对应角的什么呢？ 角平分线，那也就是平平等的模型啊，这个平可以代表是平行，这个平是代表什么呢？角平分线等是代表什么呢？等幺三角形。哦，这里面因为这两个角相等，从而我们可以得出 p、 c 等于 bc。 这一题就迎刃而解。第二小题， 它是说当同样 a、 b 等于 a、 c 三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形，沿着 p、 b、 d， 那 么我们得到一个新的三角形 p p、 b、 d， 那 它给出一个新的已知条件， a、 p 是 等于三分三分之一 a、 c， 那 也就是说 a、 p 比上 a， p 比上 a、 c 等于一比三。 第一，想问，他说角 a 是 等于六十度， bc 是 等于六。问 be 的 长度这题我们要明确一点， 本身是一个等腰三角形，又给出角 a 是 六十度，所以三角形 abc 是 一个等边三角形， bc 的 长度是六。所以接下来我们可以得到很多线段的长度，比如说 ab 等于 bc 等于 ac 等于六，又因为 ap 比上 ac 等于一比三，所以 a、 p 是 等于三分之一， a、 c 等于二， pc 是 等于六，减二等于四。而因为折叠，所以 b、 d 等于 bc 是 等于六。好，接下来我们要去求 b、 e 的 长度，我们应该怎么样去做呢？ 有折叠，我们可以知道角 c 是 等于角 d 的， 那角 a 和角 c 是 什么关系啊？不要看，不要忘记这个特殊的条件啊，角 a 是 六十度，一个内角是一个角，是六十度的等腰三角形，它是个等边三角形， 角 c 是 六十度，角 a 是 六十度，角 d 是 六十度。所以这两个三角形 a、 e、 p 三角形 a、 e、 p 和三角形 d、 e、 b 是 什么相似？是成什么呢？八字形相似啊，八字形相似 好，为什么？因为角 d 等于角 c， 角 c 又等于角 a， 所以 角 d 等于角 a， 这个八字形相似，还有一个对顶角相等，角 a e p 是 等于角 d e b， 所以 角角相似，这两个三形相似，而且我们通过刚才的分析，我们知道这两个三形相似的相似比是几比几， 六比二，也就是三比一。也就是说啊，注意这里面对应边不要弄错啊。 d e 对 应的边是 a e b e 的 对应边是 e p， 也就说相似比。刚才我们说的是三比一，也就说 d e 是 a e 的 三倍， b e 是 e p 的 三倍。题目问的是 b e 的 长度，那我们就可以设 b e 的 长度为 x， 设 b e 的 长度为 x， 那 么 a e 就是 多少， 是不是这个长度六减去这个 x， 也就是 a e 就是 六减 x 啊。六减 x， 那 因为 d e 是 a e 的 三倍，那所以 a e 是 六减 x， 所以 d e 是 三倍的 a e 也就是三倍的。括号，六减 x ep， b e 是 x， b e 是 pe 的 三倍， b e 是 x， 所以 pe 是 多少？三分之一 x， 那 我们又知道 p d 的 长度是等于由折叠， p d 的 长度是等于 pc 的 长度等于四，所以 两者之合等于四。从而我们得到一个关于 x 的 方程，我们可以把 x 解出来， x 等于四分之二十一。最后一题， 这个条件不变， a p 等于三分之 a c， a p 等于三分之 a c， 也就说 a p 比上 a c 等于一比三。在此情况下，另外还有一个条件， p d 垂直于 a b 啊。这里面一定要把题目已知选项标出来，标出个垂直符号去求证 b e 等于 d e 加上两倍的 a e 哦，这题我们需要做辅助线，辅助线的思路是什么呢？嗯，考虑到这里面有一个垂直 p d 垂直于 ab 啊，这垂直关系，那这里面而且还给出 ap 比上 ac 等于一比三，所以我这里面考虑构造一个什么呢？构造平行线 得相似，我们过点 c 做 c， f o 垂直于 ab 交于点 f o， 那 因为这是垂直的关系，那这也是垂直的关系，那我们知道垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的，也就是 pe 平行于 c f o， a p 比上 p c， 所以 两个三平行处相似，所以三角形 a， e p 平行于三啊，相似于三角形 afc， 因为 a p 比上 ac 是 等于一比三，所以 a e 比上 af 也是等于一比三，这个一比三，这个这种感觉要，嗯有要非常敏感。一比三啊，三减一等于二，正好是等于两倍的 a e， 所以 接下来我们考虑将进行什么呢？等它代换。 题目说了 b 让我们去证明 b e 等于什么，那我们通过构造这一个直角做 垂线，那构造出了一个直角三角形，我们观察可以发现这两个三角形应该是相似的，为什么呢？因为根据折叠， bc 是 b， d 是 等于 bc 的， 那九 c 是 等于九 d。 因为三角形 a， b， c 是 等腰三角形，所以角 a， b， c 是 等于角 c， 所以 的话角，我们可以得到角 f， b， c 是 等于角 d。 同时 bc 是 等于 b d， 那 还有一个直角，所以这两个三角形，这两个直角三角形是 a a s a a s a a s 全等，所以 b f o 是 等于 d e。 题目让我们去证明 b e d e a e 之间的关系，那其实这里面 d e 已经转化成 b f o。 接下来我们只要证明出什么呢？ e f o 是 等于两倍的 a e， 这这个题目就搞定了。那 b f e f o 为什么是等于两倍的 a e？ 其实刚开始已经说明了，因为 a p 这两个三角形相似， 而且 a p 比上 p c 是 一比三，所以 a e 比上 ef 也是一比三，这个是一份，那一共是三份，那剩下的是两份，两份正好是一份的两倍，所以这题我们就证明出来了。那 关于这一点，我们还可以这样去理解，设 a e 为 x， 所以 a f 是 三 x 减 x 二 x 二 x 是 x 的 两倍啊。我这边用具体的式子 去做了， a f 等于三倍的 a e， 而 a f 是 等于 a e 加上 e f o， 所以 这两个等式一结合，我们可以得出， e f o 是 等于两倍的 a e。 最后一步，我们先写基本式时， be 被通过做辅助线的方式被人为的分割成 b f o 加上 e f o， 而 b f o 通过全等证明 可以得到 d e 是 等于 b f 的 啊，所以 b f 等于 b f 和对应的是 d e， 另外一个是 e f， 对 应的是什么呢？两倍的 a e 得正好。总结一下，二十三题的第一问，是考察的是 啊，对这个模型啊，有没有一定的认知？平平等平行线等腰三角形，从而另外考察了菱形的 判定。第二题的第一问，这里面考察了折叠的性质，还有 相似。最后一问，嗯嗯，难处在于什么呢？构造怎么样？从已知条线出发，构造出辅助线，它同样考察了三角形的相似以及全等。

蜀山数学二模几何压轴题，好朋友们，今天我们来看一下啊，山区二模的一道解析几何题，难度还是的偏上，经典的一道题目，来看一下。图一， 在这个 r t 三角形，就这个直角三角形当中， ab 等于 bc， 那 么这个就是一个直角三角形，然后 d 是 这个边上的一条中线，然后一点 e 连接，构造出一个 e c 这个直角三角形， 那么他第一位说，当 ab 等于四的时候，求 a e 的 长，那么这个就比较简单， ab 是 四，那么求 a、 e， 那 么我们知道它是等腰直角三角形， ab 是 四，那么 b、 c 就是 四，这个是终点，那么这个是二，这个是四，这个是二，那么这个斜边怎么样？我们勾股定律把它给求出来， 那么求出来之后， e 是 不是就等于整个长度减去 e、 d 啊？我们知道 e、 d 是 这个直角三角形斜边上的中线呢？它跟它是一样，那么它应该也是二，那么整条斜边长度减去这个 a、 e 的 长度就出来了。好简单， 看第二个求 a、 b、 e 的 面积， a、 b、 e 的 面积，那么 a、 b、 e 的 面积，那么我们知道三角形面积通到底层高嘛？二分之一，那么底是这个是四。好，那么高怎么办？我们可以过一点做一条高， 一条高，那么这个高是多高多长呢？会发现这个三角形和这个三角形怎么样？像是一个 a 字模型，那么它肯定是相似的，那么相似比呢？这个斜边长度知道 a、 e 刚才也求出来了，那么相似比，就这两条线段比，那么通过线段比，它比上，它构成了这个比的线段，能够把这条高给比出来，然后 再用面积公式，这个面积就出来了啊，那还是比较常规的啊，常规难度，那我们看第二本啊，说延长 c e， 交 a b 一 点 f， 那 么正面把这个延长一下，延长 c e 好 到一点 f 呢？这个就是 f 点，求 af 的 值，那么就是这个比上 c d 的 值， 又是线段之间的比的比值问题啊。同学们可以看一下，今年的这个是手残去按摩，还是咱们的前段之间的比的比值问题啊？同学们可以看一下今年的这个是手残去按摩啊，或去按摩，对等等 都。最后在这个解析集合这块考察的都是线段比值，这知识点，他们用的思想，核心思想都是大同小异，那非常接近的思想啊，之前在课堂当中重点强调的一道解析方法，我们来看一下这题该具体怎么做。首先 让求 a f 比上 c d， 这个时候 ab 等于四，这个条件就不能用了，直接看这个主题干啊，在读一遍，看有没有什么啊，相等的等腰直角，这是中线， 这是一个直角没了，那就这么点条件怎么去求这个线段比例呢？一个具体的线段数字都没给我们，一个都没有，那么这个时候通常我们通常可以把这些线段用未知数来表示出来，比如说他不让我们求 a f 吗？我假如我设 a f 为 x， 那 长度是 x 啊， c d， 我 设它为 y， 那 么它比它的值，那么就是 x 比 y 的 值是多少？对，好了，那么根据它是 y x， 那 么你看好了，它是 y， 这是终点，那么这个肯定也是 y 啊， 这个是 y 了，那这条边应该也是 y， 对 不对？好了，那么这边是 y 了，整条长度就是二 y， 那 么这条边也就是二 y， a d 是 二 y， 那 么这时候我们通过勾股定律的 a d， 咱们是不是出来了 a d 应该是根号 y， 对 不对？好了，那么这些线段把它表示出来之后，你看 e d， 也就是 y， 这整个长度是根号 y， 那 这个是 y， 那 这个 a e 长度多少？应该是根号五减一倍的 y a e 长度该表示的咱们都给表示出来，然后再看怎么样去表示归表示，但这个 x 比 y 还是不知道怎么求啊，想这就是用了，看看能不能出现一些通过求相似三角形，哎，用比例线段看能不能构成形成一个这个方程，对不对？然后呢？变形出这个式 y 分 之 x， 那么找相似，那谁和谁相似呢？对不对？那找哪两种相似三角形比呢？对不对？那这个是难点，也是考察我们同学的一个图形观察能力和分析能力，那么有很多同学就会盯着这个东西来看这个东西就是我们啊学了一个非常重要的定律，叫什么摄影定律， 他觉得这个是两个背靠背的直角三角形加一个大的直角三角形，很有可能考察出了摄影定律好，那么他会有很多同学对这个摄影定律知道什么是共边的平方等于非共边的乘积，对不对？ 那这里面你会用我发现啊，也不出来啊，构成不了方程的思想啊，构成不了方程，那么就求不出它，那么你会看那能不能换一组相似三角形去求呢？我们跳出这个摄影定力，看有没有其他的相似三角形啊，同学就发现了啊，这两个三角形 a e f 和三角形谁啊？ a b 和 e 相似啊， a e f a b d， 那 么 a e f a b d， 你 看好了， 怎么去正相似？有很多同学正不出来，他感觉看着他是相似，但正不出来。我们来看，首先这是一个公共角，那么其次你会看到这个角和这个角怎么样？是对顶角， 那么这个角呢？这个角是相等的，因为这是个等腰三角形，那这个角和这个角就相等。我们知道射线当中这两个直角的背靠背是肯定相似，那么这个角和这个角是吧？就相等， 那么这个角和这个角通过传递性是不是相等了？两组角都找到了，那么 b 相似，那么相似。就用我们之前学的相似三角形非常高频的一个定义，就叫做同角共线模型，那么同角共线模型的它的结论也是公共边平方等于非公共边的乘积。那这里面这两个相似三角形，公共边 a e 啊， b 是 公共边，那么结论就是 a 一 方等于非公共边乘积，就是半公共边乘积啊，是不是非公共边啊？这叫半公共边乘积，那么就是 a f 乘以这个 a b a e， 我 们刚才是不是表示出来，那么它就是根号五减一，括号平方等于 a f， 我 们刚用 x a b 呢，二 y 呀，对， 好，这个等式传出来，这不就是一个方程吗？那么怎么样才能出现这个 y 分 之 x 呢？我们两边同除 y 方，根号五减一，括号等于 y 方分之二 x y 月份之后就是这边应该是加啊，五加一是六，六减去二倍，根号五 等于多少？ y？ y 一 约就是 y 分 之二 x， 那 么我要知道 y 分 之 x， 但是 y 分 之二，我两边通出二不就行了吗？那么就是三减根号五等于 y 分 之 x， y 分 之 x 就 出来了， y 分 之 x 求出来了，那么这个值就出来。 思想非常重要，今年各个大区的模大模考察都这个事情啊，线段笔直啊，用一些高频的相似型的一些模型啊，这种从这个角度去考出发，很多孩子呢，这些相似型的一些模型啊，敏感 图形观察能力比较弱，他就看不出题眼在哪里啊。所以说这样呢，可以把这些啊，几个大区的模考卷这一道题都给朗定出来，自己多琢磨琢磨好。

很多同学呢，做合肥几何题，最头疼的就是辅助线该怎么画，总感觉拼命蒙蒙对呢，我们就做出来了，蒙不对呢就做不出来。今天呢，朱老师用四分钟把合肥中考辅助线的底层逻辑，万能步骤，还有八大必考模型 一次性讲透。听完这节课之后呢，你做几何题的辅助线就不用再瞎画了。首先记住一个核心辅助线不是瞎画的，它是补全模型 转换条件。中考百分之九十的辅助线呢，目的就四个，一、股权权等相似。二、构造直角等腰。三、转移线段角度。四、锁定动点轨迹。那这个主要是在第十题和第二十三题当中出 现，那么接下来有三个万能步骤，任何题目按照这个顺序来，绝对不踩坑。第一步，读题标条件，找残缺的模型。拿到题先别着急，把题目里的线段相等、角相等、终点 平行这些关键信息全部标出来，你一看像哪个模型，立马反应过来。比如第二十二题，正方形里出现的垂直平分线，立马想到等腰平行，四边形里出现线段相等，立马想到要正全等。第二步， 定目的，选方向要正，线段相等，构造全等，算长度和比例关系。找相似有终点呢，像背长中线或者中位线有直角呢，连斜边中线，目标明确，辅 线才不会跑偏。第三步，画完立刻推导。很多同学画完线之后就结束了，大错特错必须跟着写。根据辅助线加已知条件，能推导出哪些新的角，新的线段。没有推导的辅助线，中考直接扣分。再教大家八大必考模型，覆盖安徽中考所有几何 题型？第一，中点模型，遇到中点就三个方向备长，中线构造全等，多个中点连接中位线，直角三角形，斜边上连中线等于斜边一半。第二十二题，二零二四年的平行四边形， a m 等于 c n 那 道题目的话， 核心就是终点加全等这套逻辑。第二，角平分线遇到角平分线呢？做垂线到两边距离相等，过渡到等腰或双层模型。第二十二题，二四年出现角平分线条件，第一反应就是这个方向。第三，等腰等边类，等腰三线合一做高级角平分线等边想旋转六十度可以练二三年中考。第二十二题，旋转那道题目 还有二五年中考正方形，二六年包和二模菱形加等边三角形。第四，直角类遇到直角造矩形，连接斜边中线多个直角三角形， 一线三垂直。第二十题，圆里面直径对应九十度圆周角，第一步就是构造直角，后面的计算全部就跟着出来了。第五，圆，第二十题，每一年都必考，看到直径想九十度圆周角，看到切线连半径得 垂直，看到弦做垂进定，力求角度优先看四点共圆，四点共圆，对角互补，定点定长也可以引圆。那段时间，朱老师整理了我认为比较不错的试卷，里面某些题目给大家标注出来了，需要的评论区打试卷。

安徽中考的数学压轴题只有三种题型，分别是代数综合、代几综合和圆的综合，尤其是圆的综合，近五年都考到了，而且考的是特别特别刁钻，百分之九十的孩子问题都出在了不会画辅助线上， 那只要是线画的不对，几乎都是一分拿不到的。所以我特地请我们的老师把八十二种常用的几何辅助线都做了汇总，都是安徽中考数学的高频考点和难题啊！ 吃透了压轴题就再也不会害怕了，记得一定要回去下载打印，好好的做一做！那如果有需要的，点个关注评论区，扣中考数学私信找我来要一下！

要我说合肥的中考数学，他的几何压轴题其实就是送分题，那些出题人早早就把解题的方法隐藏在题目当中了。合肥中考数学，想冲刺到一百四十分以上几何压轴题，就考这三个套路。 第一，题目让你求线段的长度。这类题型的解法不外乎就三种，勾股定律、相似三角形、三角函数，尤其是圆的大题， 好的最多。你看见有直角，立马上勾股定力，你看见有平行线、 a 字、八字结构，就立马向相似三角形上面去想。如果题目给到三十、四十五、六十度这些特殊的角，百分之百是三角函数， 这几种解法呢，要么单独用一种，要么两种，三种搭配着用，肯定能算出来。第二，求角度圆的大题，第一问基本上都是倒角。你记住以下这几个套路，一、用平行线去倒它的同位角、内错角。二、靠直角去找互余角。 三、用圆心角、圆周角、衔接角进行它们相互的互换。四、还有等腰三角形与角相等，五角平分线平分两角，你把那些角度的关系给他理顺就完事了。第三问，是否存在某一点满足题目的条件。 这例题大多数都是存在的，只要确定存在，还是老三样共谱相似三角函数，把这些几何的问题转化为方程，给他罗列出来，解出合理的答案，他就是存在的。如果你解不出来，那就是不存在。 所以说，合肥中考数学的几何压轴题都是有规律的，只要咱们把这三点组合牢牢记住，咱们就一定能答高分。

安徽中考数学亚洲题我不会做，如何拿满分，而且杰哥要求大家一分钟就要拿满分。我们来看一下这道亚洲题如何，我不会的情况下秒掉它。先看题啊，这一道马鞍山的模拟， 首先在三角形 a、 b、 c 内接于整个圆里面，并且告诉我了这里 ab 和 bc 也是垂直的，我们这个时候连接 oc 连起来，很明显一个垂精定律出来了嘛。 那我们继续来读题，这里面告诉我 a、 d、 c、 d 和 b， c 的 长，告诉我之后呢？让我去求 o， f 是 多少。我们先看问题，这道题看了半天不会写，看问题，问题求线段长，记住，在安徽中考十道求线段长的题，七道用相似。 可能有同学说，杰哥，我知道用相似，老子就是找不到相似啊，你说咋办？杰哥教大家一个逆向递推法。首先先看我们找相似，列相似，比列方程， a 比 b 等于 c 比 d。 大家想一想，是不是两个三角形，每人给我提供两条边啊，一个提供两条，另外一个提供两条，我就可以把方程列出来。所以我们最喜欢什么三角形啊，要么你给我含两条已知边， 要么你给我含两条含 x 的 边，方便我列方程。这个时候我们标已知啊，这是一， 这是三，我太喜欢这个三角形了，含两条一和三已知边。我们再看这里， c f 是 二分之五， bc 是 五嘛？ c f 占一半，二分之五哎， o f 是 要求的，假设是 x， 这个三角形你喜欢不喜欢？我们太喜欢了，因为含 x 含已知，我们同样喜欢。这个时候最后一步看 这两个赛尔星就是我最喜欢的，它俩长得像不像？都是直角，长得还挺像。长得像它俩就相似。因为它们包含了两条我要找的已知边或者含 x 边，所以直接列相似。比 x 比上一 就等于二分之五，比上三那 x 就 出来了，等于六分之五。我不会写，轻轻松松拿捏。想要了解更多的秒杀题目技巧，后台私信杰哥，杰哥帮大家总结好！

二零二六年安徽中考的数学压轴题，出题方向可能会有些新的变化，咱们家长可以先了解一下第十题、十四题、二十二题、二十三题。这四道题大概率会围绕着强几何、重袋数考思维来出。 简单的来说，几何更加灵活，代数更综合，还有可能会结合生活情境。比如第十题，大概率会考察动态几何图形下的多结论判断。我们可以用设三法，从特殊位置入手，排除选项，不要死算。第十四题， 代数式恒等变换及新定义的预算含有参数，建议孩子先用两式相减做转化，再带入特殊式进行验证。第二十二题，相似三角形和直角三角形的实际应用，可以多练一些情境类的题目。 第二十三题，二次函数背景下的定点问题，关键方法是字母参数法，含参数的计算要多熟悉一下。咱们现在也不用太着急，可以帮孩子重点做以下三件事情，一、练练含餐的新定义题。 二、掌握涉贪法、特殊执法这些技巧。三、多读有实际背景的几何题，培养孩子的阅读和耐心。想让孩子的压轴题更文一些，欢迎在评论区打出中考数学，我把整理好的安徽中考压轴题的专项练习清单发给你，也记得点赞转发，和更多的家长一起陪孩子备考。

这是一道压轴王级别的题，很多同学一度怀疑这道题目出错了。好，我们来看一看这道题， 题目告诉我们， ab 等于 cd 等于四，这两条边相等，等于四角， a 等于角， c 等于十五度，角， b 等于一百零五度，一眼看过去，好像没有什么特别能用，这个感觉可以操作一下，但是这两个十五度和一百零五度好像都不是特殊的角，感觉用不了， 对不对？所以可操作的区间好像只在这个位置。 ab 等于 cd， 两条线段相等，我们一眼看过去，既不全等，也没有什么特别有关系的地方。这道题 思考到这里就已经没有思路了，所以很多同学来到这里就思考不下去了，不知道这道题该怎么做好。我问大家，看到这两个相等，我问你，两条线段相等，你能想到哪些知识点？第一个， 全等，如果两个三角形刚好哎，对应的全等没问题对不对？他俩全等，对应边还有呢？ 第二个，等腰三角形，这是我们初中阶段用的比较多的，两条线段相等好，这种情况是两条边不相接，这两条两条线段呢，相接触， 并且顶点在一起。而第三种，也就是我们今天这道题考察的一种形式，两条线段相交不在顶点上，对不对？是不是这个问题？那这个问题他考察的到底是什么知识点呢？其实他考察的就是这个知识点， 对不对？两条相交的线很简单呀，这两条线段我只需要进行一段平移，比如说把这个给它平移一下，是不是就变成了一个等腰三角形，对不对？考察的就是这个知识点。好，我们来看这道题，实战操作一下， abcd 相等，我们随便找一个平移，比如说平移 cd， 我 们把 cd 进行平移， 那么这是一个什么？连接一下，这是不是一个平行四边形？一条线段平行减减等，它是平行四边形对不对啊？ ab 等于 cd 等于四，这是四，这是四，那我们平移的这里也是四，题目要求的是 e、 c， 假如说 x 是 不是要求这个未知数 x 对 不对？我们刚才讲了平移的目的是什么？构造等腰三角形，那我们找这里面有没有等腰？肯定有啊，连接 b、 e， 这是不是一个等腰三角形？有同学细心的发现，他不仅等腰，他还干嘛？他还等边，哪里看出来的 平移过来，他是一个平行线，一零五十五内，错啊，同旁内角互补一零五十五，还差六十度，所以这个是一个六十度的等腰三角形，那这是不是一个等边三角形？那是不是告诉我们这条边也等于四，对不对？ 好，依旧看不出来 x 等于多少？那你想再回想一下，在初中阶段求一条边的长度问题， 勾股定律，相似一般还是这两种对不对？那这道题应该不涉及相似，大概就是勾股定律。勾股定律我们要干嘛？找直角，找不到直角，构造直角，那这道题有没有直角？有，这个角刚好是直角，为什么？同学们， 因为这个是十五度对不对？那这个角是多少度啊？这个角是多少度？一零五，这是一个平行四边形，这里是不是七十五？七十五加十五是不是刚好九十度？那这样的话，这道题是不是就很简单了？ 这个边不知道，这个边知道。只要再求出 c b， 这道题是不是就解决了啊？题目中告诉我们 c b 没，没有。那 c b 等于多少呢？求不出来，求不出来 c b。 那 还有一种可能， 三角形 bc 是 一个特殊的三角形，比如说等腰直角，那我就不要求它了，对不对？我们观察，是不是 哦？这个角是多少度？我们算一算，六十六十，那这里是多少？这里是七十五度，七十五度要加上这个要变成一百八，这个应该是一百零五，一百零五六十，哎，刚好四十五度。那这个角不也是四十五度吗？ 是不是正好是一个等腰直角？三角形斜边等于四，那直角边呢？等于多少？十六除以二八八开根号二倍的 概念。这就是这道题的思路。一定要记得两条相交且相等的线。那一定要记得平移构造出什么等腰三角形。好，学会了没？

二零二五年安徽中考数学真题主体讲解压轴选择，各位同学大家好啊，今天呢，我们接着讲安徽这个二五年中考的选择压轴，我们的第十题，选择题啊，好，我们来看题目 如图，在四边形 a、 b、 c， d 中，角 a 等于角， abc 等于九十度，并且 ab 等于四， bc 等于三， ab 等于 e 啊，点 e 为动点，然后将线段 d e 绕着点 d 逆时针旋转，九十度啊，得到线段 d f， 那 这个其实也就告诉我们 d e 始终是等于 d f 啊，然后连接这三条线段，则下列结论错误的是， 好，我们首先看 a 选项， a 选项叫我们求 ec 减去 e、 d 啊，它的最大值是多少？那如果说我们同学能够判断出它，这就是一个啊刮漏的模型， 那么 a 后面 a、 b， d 啊，都好判断。但是如果说我们这个同学啊，呃，不能够判断是挂钩，那我们先讲，如果你不能够判断它是挂钩模型的时候，那我这里我个人觉得啊，这个题目出题人他其实是希望我们大部分中档以上的同学去做对的，因为为什么？那我们假设这个 e 点在图示的位置往左移动，移动到一撇点的位置，那我们同学看一下啊，这个时候这个 e 一 撇， c 明显是大于 e c， 也就是说我们这个 e c 它是在怎么样逐渐增大，那么这个 e、 d 呢？在这个点的时候， e 撇 d， 它应该是比我们刚才的这个 e、 d 在 小，对吧？所以小于 e、 d， 那 也就说 e、 d 在 减小，那么它们的差值肯定是在逐渐增大，那么增大到什么时候它是最大的？那很显然它没有讲我们这个 e 点 不能和这个端点重合，那就是那，那也就是说它可以重合的，那重合以后，那我们看啊，它应该是当我们 e 点运动到 a 点的时候， 这个时候的 ec 再减去，这个时候 e、 d， 它应该是最大值，那我们来看这个它的长度应该是等于多少啊？这是四，这是三啊，所以我们这个 ec 应该是勾三股四弦五，对吧？它是等于五， 然后这个时候 a d 应该是等于 e、 d 等于一，所以这俩差值 ec 减去 e d 啊，它应该最大值应该是为四， 所以我们同学如果说在能够判断出 a 选项啊，那这个 a 选项直接就错了，那这题我们就是选 a 了啊，直接选 a 了，好，那这个是我们 a 选项的一个讲解，然后接着我们把 b 选项和 d 选项啊放到一起去讲解， b 选项，它是叫我们求 f， b 的 最小值是多少， d 选项是叫我们求 f c 的 最大值是多少。我们首先看 b 选项 f b 的 啊，这个图呢，我们首先跟大家解释一下啊， 这个 e 点，当我们 e 点运动到 a 点的时候，我们这个 f 点会运动到 f 一 点啊，然后当我们的 e 点运动到 b 点的时候，那我们的 f 点会运动到 f 二点，那也就是说我们 f 的 轨迹 应该就是 f 一 f 二这个线段啊，就这个线段啊，那么怎么去求 f b 的 最值呢？那我们看一下 f b 的 最值，也很显然应该是我们连接 f b， 这个时候应该是最小的啊，这个最小怎么去求？ 那这个长度是一，这个长度四减一等于三，所以这个最小值应该是很好求的啊，那就是 f 一 b 应该是等于根号下三的平方加上一的平方啊，等于根号十。好，我们来看一下 b 选项最小值根号十，所以 b 选项是对的啊， d 选项让我们求 f c 的 最大值， f c 的 最大值，同样是这两个临界情况啊，那我们现在需要解决的问题是什么？我们要比较一下，这两种临界情况下，到底哪一个是两种临界情况下，到底哪一个长度啊？会更大，或者哪个程度会更小一点啊？ 好，我们来把它画出来， f 一 c f 二 c 是 这个长度， f 一 c 这个长度，那现在我们的问题是什么比较 f 一 c 的 长度和 f 二 c 的 长度， 到底哪个是最大的啊？那其实我告诉大家结论，这两个长度是相等的啊，为什么？我们来计算一下。首先我们看很很容易看出一个全等啊，就是我们讲这个三角形啊，我们是个三角形 d， f e、 f 二和这个三角形 a、 b d 啊，它应该它俩是个三角形，是 全等的，那也就是说由这两个三角形全等，我们一定可以得出， f 一 f 二应该是等于 ab 的 长度啊，等于四。好，既然这个 f 一 f 二长度我们求出来之后呢？这个数值的这个全线段啊，这个全段，我们假设垂直为 g， 那 也就是说我们会得到 f 二 g 应该等于四加一等于五啊，等于五啊，然后接着我们做一个什么操作呢？ 我们过 c 点向它做一个垂线啊，假设这个垂足为 h 点， 那这个长度 h g 跟我们的这个 bc 长度应该是相等的啊，所以我们得到 f 二 h 啊，它应该是我们全线段，这个五减去这个长度三啊，所以它应该长度是等于二，也就是说这个长度它是二 啊，这个长度等于多少呢？这个长度很显然，它应该是我们这个三减去一也是等于二，一条线垂直，它又平分它，也就是说我们这个 c h， 它应该是我们的，怎么样？ 中垂线啊，叫中垂线，既然是中垂线，这两条线段肯定是相等的，那这个线段相当，我们只需要把它长度给它求出来了啊，那就是 f 一， c 等于 f 二， c 应该等于根号下，哎，这是三，这是二，那就是三的平方加上二的平方，应该等于根号九加四， 等于根号十三，所以我们这个 d 选项呢，也是正确的，我们回过头看啊，根号十三，那么 c 选项应该是我们这里面最容易判断的啊， e c 加上 e d 的 最小值，那这个我们一看，两个点都在我们一条线的同侧，只有一个动点啊，两个定点，那很显然是我们的，怎么样？将军印码啊，我们的将军印码，我们这个图也给大家画出来了啊，这就是我们典型的一个 将军印码模型啊，将军印码模型，它的这个要点就是我们过 d 点做这条河水的啊，对称点，那这个点得到 d 撇，然后把 d 撇直接和它连接起来， 然后我们看这个 d 撇， c 的 长度啊，应该等于多少呢？那这个长度是四，那这个长度是三，这个是一，它也是四，对吧？所以 d c 应该等于根号二倍的 d p m 啊，所以它应该是四倍。根号二，很简单啊，就可以判断出来。好，那我们看一下这个选项啊， 最小值四倍根号二啊，所以这题应该是选我们的这个 a 选项啊。所以这个题我还是呃觉得啊，出题人啊，是希望我们能够给他做对的啊，做对的啊。那这个题目那我们就讲到这里啊，再见。

安徽中考数学押题卷啊主体押啊，还有谁没刷？好多学霸家长都买回去了，本来想送其他的，他物理能考快满分了，六十七了，所以我把它换成这个正式给他也是可以的啊，我们有买有送的，大家加油临门一脚给孩子提高二三十分。学霸家长都在刷啊。

来，朋友们，李老师带你主体拆解二零二四年的中考真题。今天咱们先来分析选填题。第一题考的是绝对值负五，绝对值应该是等于它的相反数，也就是等于 a 的， 这题是必会的。第二题考的是科学基础法。 呃，当时在讲二五年卷的时候呢，已经说过了，当你碰到这种带 y 的 单位的时候呢，已经说过了，当你碰到这种带 y 的 单位的时候呢，已经说过了，当你碰到九百四十四乘以十的四进行分析， 他可以写成九点四四乘以十的二次方，对不对？然后再乘个十的四次方呢，就是六次方了，所以应该选择 b 选项的。第三题考的是三式图，这里呢，注意区分啊， 他这个俯视图是一个圆，里面加一个点，对不对？所以这个 a 和 b 肯定是不对的呀，而这个 c 呢， c 的 话上面是一个楞锥，他的话俯视图应该是一个就是正方形这个样子的好吧，他肯定不是一个圆的啊， d 选项是可以的好吧。 第四题考的是密度匀算， a 肯定是不对的，对吧？然后我们重点看 d 啊，这个 d 咱们在二五年卷里面也说过了，他考的是二次根式的性质，根号下 a 的 平方既可能等于 a， 也可能是等于负 a 的， 懂吧？到底等于谁，取决于 a 的 正负性。如果 a 是 一个负数，化简之后是 a 的 相反数负 a。 如果 a 是 一个非负数，化简之后是 a 本身的好吗？这个 d 需要注意啊。 第五题考的是弧长，这里呢，我们不要求你记住弧长公式，只要你会算比例就可以了。我举个例子啊，比如说画一个圆，如果让你求一下 这个弧 a、 b 的 长度，对不对？这个时候呢，你背公式当然没有问题啊，还一个方式，我们可以按比例来算。什么意思？如果说我知道了这个角 a b 的 度数阿尔法，那么这个阿尔法占整个圆周角的三百六十度， 这是不是这一小部分占整个全长的比例啊，对不对？这个时候你再乘以一个圆的周长二倍 r， 不就是等于弧 a b 的 长度了吗？明白不？无论是弧长还是面积，都可以这样算，先求比例，再乘以周长，这是求弧长的，如果是求面积呢？先求比例，再乘以平方，那这样的话，你就不需要去死记公式了， 然后经过计算呢，我们发现是选 c 的 啊，这是一个小的方法。第六题考的是反比例函数和一次函数交点，无论是什么图像的交点，既然是交点，说明什么呀？说明这个点 横坐标为三的，这个点既在一次函数上，也在反比函数上。既然是点在图像上，就可以把点的横纵坐标代入解析式。 把三代入一次函数，可以得出 y 是 等于负一的，对不对？所以三负一呢？应该也在 y 等于 x 分 之 k 上，把点代入，可以求出 k 的是等于负三的好吧，只要是点在图像上，都可以把点坐标带入解析式。 第七题，这个题呢，考的也挺好的。首先 abc 是 一个直角三角形，这里就要想到等腰的三线合一， 过点 c 向 ab 边做垂线，假设垂足是 e 点，此时点 e 应该是 ab 的 中点，再结合 c、 i 和 cd 的 长度，那么 ab 的 长度应该是能求的， ab 是 二倍根号二，因为点 e 本身是 ab 的 中点了，那么 b、 e 呢，就是等于根号二的，是不是再往后 他说 cd 等于 ab， 刚才说了 cd 是 啊， ab 是 二倍根号二，那么 cd 呢？应该也是二倍根号二。注意了， c、 e 是 根号二， cd 是 二倍根号二。我们发现在三角形 c、 e、 d 这个直角三角形里面，短斜边是短直角边是斜边的一半，那是不是意味着这个角度应该是三十度啊，对不对？三十度所对应的直角边是斜边的一半啊？ 那这样的话，我们就可以通过勾股定律啊，求出这个 d 的 长度是等于根号六的啊。这里可以用三角函数，也可以用勾股定律，都是可以的。 d， e 是 根号六，刚才求出来 b， e 是 根号二，一减 b、 d 不 就知道了吗？ 对不对？所以这个题考的是什么？第一个考的是等腰的三线合一，第二个考的是勾股定律，求长度。 第八题、第八题呢，主要考的是消元思想。注意啊，无论是 a 选项还是 b 选项， 让我求某一个参数的范围，我需要想办法把另一个参数给消掉。比如说让我求 a 的 范围，那我就需要把这两个设置当中的 b 这个参数给消掉，怎么消呢？这个 b 我 们可以给它写成 a 加一的形式。 看到没有一项啊，把 b 写成 a 加 a 加一，说明什么？说明只要碰到 b， 全都能给他换成 a 加一。所以说，把后面这个不等式里面的 b 选项，这个 b 参数换成 a 加一之后，就是二 a 加二，二 a 加二，大零小一解不等式就可以求 a 的 范围了。 同理，要想求 b 的 范围，把上面这个等式当中的 b 啊不对，求 b 的 范围，把 a 削掉， a 可以 写成 b 减一，对不对？ a 可以 写成 b 减一，那么我们就把这个式子里面的 a 换成 b 减一就可以了，也就是二 b 大 于等于小于一啊，由此可以求出 a 的 范围和 b 的 范围。那接下来，无论是求二 a 加四 b， 还是求四 a 加二 b， 都可以求了。比如说 c 选项， c 选项求的是二 a 加四 b 的 范围，先算二 a， 再算四 b， 一 加不就行了吗？ 对不对？同理，后面的先算四 a， 再算二 b， 那 么 d 的 范围不也就知道了吗？好不好。这个第八题主要考的是消元的思想啊，还有就是解不等式。 第九题呢，主要是考察的是全等三角形。注意，我来画一个图像啊，他说 ab 等于 a， e， b， c 等于 d， e。 好， 我简单画一下啊，指 a、 b、 e、 c、 d， 这样画是能够满足要求的。那接下来呢，我们看选项 啊，还有一个点， f 是 c， d 边的中点， f 是 中点了啊。第一个角 abc 等于角 a、 e， d， abc 在 这， a、 e、 d 在 这。如果这两个角相等的话，我只需要把 a、 c 和 a、 d 一 连。 首先证明三角形 a、 b、 c 全等。三角形 a、 e、 d 条件非常充分， a、 b 和 a、 e 相等， b、 c 和 d、 e 相等，再结合已知的这个角度，边角边正，全等全等之后， a、 c 和 a、 d 就是 什么呀，等腰三角形了， f 点是 c、 d 边的中点，那么我连接 a、 d 不 就是等腰的三线合一吗？所以 a、 f 就 垂直 c、 d 了，是不是 a 肯定是没问题的啊，好， b 选项角 b， i、 f 等于角 e、 i、 f， 我 们把这个擦掉， 连接 a f， b i、 f 和 e i、 f 是 相等的，这个时候没有三角形对不对？注意看，我把 b、 f 和 e、 f 连起来，先证明三角形 a、 b、 f 全等。三角形 a、 e、 f 这个条件也是够的。为什么？ a、 b 和 a、 e 相等一组边， 已知的这两个小角相等，一组角再加上公共的斜边 a、 a、 f 边角变成全等，全等之后的话， b、 f 和 e、 f 对 应边相等了，对不对？再结合 b、 c 等于 d， e、 c、 f 对 应边相等了，对不对？再结合 bc 等于 d， f 对 应 d、 f， 三边 对应相等，也可以证明这两个小三角形全等的。全等之后，那么这个角度， 你看这两组小角不就都相等了吗？对不对？这一组角相等，下面这一组角呢，也相等，两组角都相等，那你说这个地方垂直不垂直啊？当然是垂直的好不好？再看 c 选项 c 的 话，他说角 bcf 等于角 e、 d、 f， 你 看这里是一样的啊，注意，这样一连，先证明这个小的 b、 c、 f 和 edf 是 全等的好不好？先这两个小的啊，然后 圈等之后。哎，我把这个 a、 f 一 连， b、 f 和 e、 f 一 组边相等， a、 e 和 a、 d 两组边相等，加上中间的公共边三边相等，正全等，跟刚才 b 是 差不多的，也是推导出这两个小角相等， 是不是？那这样的话，这个 a、 f 和 c、 d 也是垂直的，那至于 d 的 话呢，就不太行了啊，为什么？因为 d 选项添加之后啊，是没有办法得出全等的。我来画一下，他说角 a、 b、 d 等于角 a、 e、 c， 那 我这样一连的话，哪一组全等呢？对不对？ abd， 我 把 abd 连起来啊。 abd 相等的话，就是说一个是三角形 abd， 一个是三角形 a、 e、 c， a、 b 和 a、 e 相等，一组边角 a、 b、 d 等于角， a、 e、 c 相等，一组角一，一个边一个角，能正全等吗？很明显不行啊，少条件对不对？所以说 d 选项是不行的啊。 好，再看第十题。第十题呢？嗯，看似是求的，所谓的 y 和 x 的 关系，本质上是让你嗯，正相似。还有就是求面积的啊，这里我们讲一下它的一个 思路。首先让我求的是谁啊？ d， b， e、 f 的 面积对不对？我们可以把这个 d、 e、 f 啊分成两部分，一部分是三角形 d、 e、 b， 一 部分是三角形 d， b、 f。 可不可以把大的转化成两个小的？这是第一步转换第二步，接下来的目标是求第一 b。 第一 b 的 话用底乘高，底是 b， e， 高是这个。呃，这段 d、 m 对 不对？同理呢， d、 f、 b 底边是 b， f， 高的话是 d n， 我们需要去求底。求高底的话，已知 a、 e 是 x， 那 么 b、 e 是 四减 x， 也就是说在 b、 d、 e 当中，底边可以表示的。那这个高是多少呢？注意啊，这个结构是一个非常常见的双垂直的射线定律结构， abc 是 一个直角三角形 bd 和 ac 垂直。首先用等面积法， ab 乘 bc 等于 ac 乘 bd， 等面积法先求出 bd 的 这个长度。这第一步先求 bd， 然后再通过勾股定律求出 ab 的 长度， 可不可以是可以的， a、 d 是 等于五分之八倍，根号五的。接下来注意看三角形 a、 d、 m 和三角形 a、 c、 b 应该是相似的对不对？通过这组相似，既能够求出 dm 的 长度，也能够求出 am 的 长度， a、 m 知道之后，那 b， m 和 d， n 也就知道了好不好？这是第二次啊，用相似分别去求 dm 和 d， n， 那 这样的话高不就知道了吗？接下来是不是还差一个 b f 啊？ b f 怎么求呢？注意了，这里有一个 旋转型的相似三角形 d， m， e 和三角形 d， n， f 是 相似的，那通过相似是不是可以把 n、 f 的 长度表示一下？ n， f 表示完之后，那 b， f 不 就可以表示了吗？ 对不对？经过这样一系列操作之后，第一步，等面积法，第二步，相两，呃，两个相似对不对？ b， e 的 长度可以表示， b， f 可以 表示 dm 和 d， n 都是定值，那么你一算这个 y 和 x 的 关系不就知道了吗？好不好？这个地方刘老师就不就不写出来了，咱们答案都有的啊。 好，再往下看第十一题。第十一题主要考的是分式，有意义的条件，分母不为零，比较简单啊。第十二题呢，主要是考的是五位数的大小的判断，这里我们需要用平方根号，十是一个五位数， 我们需要把它平方一下，平方之后是十，对不对？然后七分之二十二也平方，平方之后是四十九分之四百八十四，那我很那我发现很明显，四十九分之四百八十四是小于四十九分之四百九十的，而他呢，是等于十的 好不好？十三题，这个题也不算很难啊，分两步，他不让你取两个球吗？对不对？第一个球，你看第一个球可能有四个情况，这里呢，我分别把他们用 abc 表示了，黄球是 a， 白球是 b， 红球是 c， 红球是两个。用 c 一 和 c 二表示 好不好？这样写起来更加的简洁，第一个球可能是 a， 可能是 b， 也可能是 c 一 或 c 二，都是有可能的。然后在取第二个球的时候，要考虑到第一次的情况，如果说第一次取的时候就只能是 b 或者是 c 一 c 二了， 对不对？同理，如果说你第一次取的是 b 球呢？那么下面要么是 a， 要么是 c 一 c 二 好不好？所以说两次选球的结果一共是三乘十二个可能性，其中两次都是红球的概率 只有 c 一 c 二和 c 二 c 一 两个情况。这里我没有把图画完，咱们自己画好不好？一共是十二个情况，满足要求的是两个情况，也就是十二分之二，六分之一， 这个题也不是很难对不对？也就是说，到目前为止，你看咱们的选择题，呃，只有第十题是比较难的对不对？前面九题都可以得分，而填空题呢，前面三题都可以得分，也就是第十题比较麻烦一点点。 十四题里面第一小问也能得分好不好？咱们看题目啊，他说，呃，这是一个翻折问题啊，翻折问题？看我这个图像，这画的有啊，这里呢，本身是一个一线三垂直的全等结构， 呃， m n 和这个 e f 是 垂直的啊， m n 和 e f 垂直过点 m 向 c d 边做个垂线，假设这个垂直是 h 点，很明显，这个 m n h 和 e b f 啊，是相似的好不好？相似之后，他是不是让我表示， c p n m 啊， 这是 c p， 这是 n， 这是 m， 就 会这个角吗？这个角和这个角相等，因为他是翻折前后的对应角，而这个小角呢，又能够和这个小角相等 是不是？这个小角是不是九十度减二十八呀？然后就可以推理了好不好？这个不算难啊，最难的应该是数第二小问。第二小问，你需要会标这个参数，首先他说 h e、 f g 是 一个正方形，那既然是正方形，这里面就会出现多组一线三垂直的全等结构，这四个全是全等的对不对？既然全等，我就可以把线段长度表示一下，比如说这几个线段长度全是等于四的， 剩下的这几个线段长度全是等于八的，这是第一步好不好？根据 h e、 f g 是 正方形，得出全等结构，接下来我们再看。嗯，他现在还告诉我什么呀？嗯， 就没有说了，没说之后咱们再接着标。注意啊，这里面在这一块会有一个什么呀？等腰三角形，我不知道你能不能看的呢？我来标记一下啊，这个小角 和这个小角是不是相等的呀？因为他不是翻折前后对应角吗？相等的。而且题目是不是告诉我们 h g 和这个线段平行，然后呢， m、 n 和 fe 是 垂直的，所以这个地方是不是也是垂直的呀？ 那这里不就是有一个三线合一的逆向推论吗？既有角度相等，又存在垂直，所以说这个三角形应该是一个等腰三角形，对不对？我们不妨假设他们的边长是 x， 好， 再来看啊，现在他不是翻折吗？从 n c 翻折到 n c 撇，那你的 n g 已经是等于这段，假设这是 k 吧好不好？ n g 已经等于 n k 了，所以说剩下的 g c 和这个 k c 撇这一块和这一块相等不相等，那这个不也就是四了吗？ 好，接下来再看啊，再看看什么呢？ d g 是 怎么翻折的呀？ d g 是 不是沿着 h g 翻折到 d 撇 g 了呀，对不对？而 d g 和 d 撇 g 长度是八，然后他特地告诉我，这个地方是垂直的，有没有说呀？后面是不是补充了一个条件啊？ 我记得好像是的啊，补充了个信息，嗯，反正应该是垂直的，这个地方应该是垂直的，嗯，就这啊。啊，是垂直，为什么呢？因为这是直角三角形啊，这是直角，这个地方不也是直角吗？ 是不是垂直？注意看，这个地方也垂直，因为这是直角，翻折之后这也是直角，所以说 c 撇 n 和这个 d g 啊，是平行的， 这一小段是四，这一小段是八，那这不就是一个中位线吗，对不对？所以 c 撇是不是 h d 撇的中点呀？而 h d 撇又是等于 h d 的， 所以说这两小段长度都是等于二。通过勾股定律可以求出， h k 长度应该是二倍根号五的，而 k g 长度应该也是二倍根号五的，因为在这里面使用勾股定律啊，对不对？刚才咱们又说了 啊，说什么呀，这是一个等腰三角形，那这个点是不是 k g 边的中点，所以这段长度应该也是等于根号五的，是不是？那么 h p 撇的长度不就等于三倍根号五了吗？ 明白吧？把这个题目咱们再重新梳理一下。首先，第一个，根据 h e f g 是 一个正方形，推导出这么几组一线三垂直的全等，进而标出现的长度，这是第一步。第二步利用第一次翻折啊，注意， 利用第一次翻折推导出这个三角形，是一个等腰三角形，然后去设参数表示线段。第二次 再根据 d， g， g d 撇相等， c g c 撇 k 相等结合两次垂直推导出 k 点是 h g 的 终点， c 撇是 h d 撇的终点 好不好，这中规线啊。然后接下来就是呃，各固定里求长度以及三线合一推导出这个屁撇是 k g 的 中点就可以了好不好，本身不是特别难，但是在考试的时候呢，因为时间有限，所以可能就想不太到了啊。

我们来看一下第三十题说菱形啊，我们在这边这几个题都是二十二题啊，菱形 a、 b、 c、 d 角 d 呢？是等于六十度的， ab 是 等于四的，六十度的菱形，诸位，六十度的菱形，特别菱的菱形，对不对？ 因为六十度菱形，所以你把这个对角线一连接，这是等边三角形啊，这等边三角形啊，所以这些边都是四，他四，他四他四都是四，而且 ef 在 边上，并且有 a、 e 等于 df， a、 e 在 这样的小 a， d、 f 等于小 a， 那 另一个就是四减 a 喽，我写小 b 吧，等于小 b， a 加 b 是 等于四的。第一想问，他让我求证说这个 b、 e、 c 这个三角形 和 a、 f、 c 这个三角形正，它俩全等，因为小 b 等于小 b。 先有了， 因为是等边三角形，这个角是六十度，这个角是六十度，也有了，因为是等边三角形，这条边是四，这条边也是四，所以三组条件结束， s、 a、 s 全等。 ok， 由这个全等，我们还得到了这个角， 这是一个等边三角形，为什么呢？因为这条边与这条边是对应边相等，然后这个角 alpha 和这个角 alpha 对 应相等，这个角是六十度，所以这个角是六十度，易得 等边三角形 c、 f、 e， 我 们要求 ef 的 最值，那不就是求 c、 e 的 最值吗？ c e 何时取最值？ c、 e 垂直取最值。那就是找等边三角形的高，它是四，它是二，它是二倍，根号三，所以最小值二倍高三。 这小问也算是送分题了啊。好，第三个，第三个呢？说线段 ef 啊，它的终点叫 o， 哎，请来看， ef 的 终点是 o， 这是一个等边三角形，没毛病，对吧？然后告诉我啊，没了就连接让我求 o、 b、 c、 d 的 面积， o， b、 c、 d， 我 们来瞄一下啊， o、 b、 c、 d 在 这样子， o， b、 c、 d， 那 这个面积，这个面积。想求面积的话，你看边长为四，边长为四，它又不是平四，所以我们是不是连接某一条线， 把它切割成两个图形，一个是这个三角形，分成两个三角形，我们分别求底，我们先确定好了，现在求高，高是谁呢？往下做一个垂直， 这就是高。高是往下做一个垂直，这个叫 m， 这个叫 n， 我 们把高表示出来就可以。那整个的大的高 就是等边三角形的高就是二倍杠三吧。刚求过，对不对？二倍杠三，那我要求他，我能不能把这一小段先求出来呢？ 用二倍根号三减去 o m 一 撇是不就可以了？先求 o m 等于二倍根号三减， o m 一 撇，那同理啊， o n 是 也是，它等于二倍根号三减去 o n 一 撇， o n 一 撇，往上做垂直，我们接着做。我们先把 o m 一 撇，算出来， o 点是东中点干嘛的？ 它是中点，把它往外做一个延伸，因为它是一个特殊的这样子，呃，这个三角形六十度， 六十度做一个垂直，这是一百二嘛？所以它六十度。这一条边我设为 x， 啊，不对，刚刚设过了，叫 b 啊，叫 a， 这条边叫 a， 这条边叫 a， 对 吧？啊？这条边叫 b， 这一条边叫 a， 这条边叫 b。 那 么在这地方我就可以把它做一个表示， a 六十度，这是二分之 a， 这是二分之根号三 a。 同志们，在这个位置，二分之根号三 a， 它与它是不是中位线啊？因为 o 是 中点， 所以 o m 一 撇就可以用 a 表示出来了。 o m 一 撇在这等于二分之一个 e t 中位线，所以等于四分之根号三 a， 因为它是二分之根号三 a 一 半四分之根号三 a， 所以 它就可以表示为二倍根号三，减去一个四分之根号三 a。 各位，我说同理可得，我不想算了啊，我直接写同理可得，它应该等于二倍根号三，应该减多少？四分之根号三是 b 啊。 ok， 当然你也可以再算一遍啊， as you like。 因为它整个是一个 a 一个 b 嘛，正好是对称的， 所以在这地方面积表示 s 四边形面积等于两个三角形，一个叫 o b c， 一个叫 o c d， 它就等于二分之一 o b c 是四，高是 o m， 加上二分之一底是四，高是 o n， 也就两倍的 o m 和两倍的 o n。 把它俩加一下，也就等于它是四倍根号三，减去四分之根号三 a 减去四分之根号三 b。 整理一下，也就是八倍的根号三，减去二分之根号三个 a 加 b， a 加 b。 刚，我们知道是几啊？ a 加 b 是 等于四的，所以换掉八倍根号三，减二分之根号三，再乘一个四，就是二倍根号三，所以答案是六倍根号三， 这是我们第三十遍 over。