沈阳中考二模二零二六数学扣分标准

沈阳二模这道几何题，据说考场上一半孩子都卡脖子了，但其实只要看懂一个隐藏条件，就是送分题。今天咱们不聊虚的，直接拆解上午刚考完的沈阳市二模数学卷，看看哪些题才是真正的分水岭。 先说整体感受，这套卷子满分一百二十分，我把它定义为中档偏上，但坑不多。基础题一到七题，十一到十三题占三十分，基本是送分的，但有个别题需要仔细，真正拉开差距的是第十五题、第二十二题和第二十三题。 这三道题加起来二十八分，是冲高分的必争之地。整张卷子计算量不算变态，但对几何直观和模型识别的要求很高。换句话说，光刷题没用，得会看门道。这套卷子适合多少分的同学做？ 九十分以下重点功课，一到九题，十一到十四题，十六到十八题，先抓基础，九十到一百零五分死磕第十五题。第二十题，几何最值，第二十一题元一百零五分以上 第二十二题，韩餐二次函数平移和第二十三题折叠构造是你拉开差距的核心。这套卷子电子版我已经整理好了，想让孩子练练几何模型思维的家长，敲二模数学，我分享给大家。

想要这次二模数学，如果你的分数没有达到一百零五分的话，最后一个月别丧失信心，咱们一定要针对性的去专项训练，因为我问了好几个数学老师，这次数学卷的难度其实向物理来说，他跟物理就一个天一个地，他没有那么大可 能说他的难度也就是中点偏上，那压轴题跟物理相比，那没配，只不过是他是把几道题型变换的顺序。像这次可能说十八题改成三角函数，十九题考概率，二十二题还是二十四函数的压轴，说白了这不就是位置挪了挪，题型本身考察的难度半点他 没有变的。就这个时候，如果说咱们如果某类题型你总丢分，剩下这一个月的时间你分数还想有所提高，就得专门练对应的专项内容，一个是练二呢，是思路上的一个提升和八高，这个呢，就得有人领着你去弄了。像这两年的试卷，知识点题型基本都是固定的套路，我也让我们数学老师之 整理过一份专项训练，就是把我们辽宁这两年的中考题啊，按照题型，按照知识点拆分归类了，总结出了九大必考的核心专题。咱家长呢，可以根据孩子这次按摩的成绩，孩子说二十一题没做出来呀，那咱就练练圆的专题，方程应用总丢分啊，那就刷刷方程的专题，这个呢，本质上就是我们压轴专项训练里面的一 部分，所以不要去盲目的刷套卷了，接下来专项提分抓紧弄抓紧干，有需要的家长直接评论区冲我要就行，前提你是我的粉丝，第二个，我这些东西不要名，如果有任何冲你要名的，一定是骗子。

按摩毁了我的重高梦啊！你的朋友圈的文案是一个孩子写的。其实今天咱们来理性看待一下这次按摩。首先第一个点，按摩指定是偏难怪，这是毋庸置疑的，不可能按摩简单，一旦按摩简单的情况下，你飘了，你咋 办啊？第二个事是按摩尽可能，为什么要出的偏难怪，因为按摩出的偏难怪，之后中考他就不能出的偏难怪了。而且从出题的策略方向上来看，二零二五年的 中考，其实前头大部分题也是白给的，只是难在压轴题了。拿分是好拿的，但是可能说我拿高分并不是那么特别的好拿，但当然了，我这里说的是大部分， 一少部分的话，仍然是有很高分的，因为该是那个人就是那个人。所以最后这个阶段别上火，别焦虑，你还是正常的复习状态，哪怕咱们没好好，你还有一个月时间，屏幕前所有的孩子也好。我真的，我掏心窝子跟你说一句话，如果说你连最后这个阶段，你连你自己都 不信了，谁能信你？谁能帮你？我信你，有什么需求你找我，我来给你解决，你一定能考上，你得相信自己，你 不相信自己之后，你所有的一切全是在内耗和焦虑，心思放不下，学习上了天天想，哎呀，我咋这么笨呢？哎呀，我考不好怎么办呢？哎呀，我未来上不去高中，我咋整啊？越来越 你好，越来越焦虑之后就导致一个是你身体垮了，这个阶段一旦说头疼，发烧、感冒，或者说比如说我们家长，有的你一激动说点孩子，孩子一激动骨折了，不学了，摆烂了，那这都不可以。最后这个阶段就是放平 心态，得之我幸，失之我命，别管怎么样，别管未来中考好的怎么样，咱们努力过了，咱们奋斗过了，谁说啥？别信你，就信你自己， 你就信我，你一定能考上。五月份还有十天的一个时间，咱该解决哪解决哪，该刷卷刷卷，该提速提速，该解决错题解决错题。六月份五六号开始，咱们就慢慢慢慢调整作息，用一个最全盛的姿态去迎接中考就完事了。二模考的不好，并不代表你中考考的不好，祝你金榜题名！

二六年的话，你会发现咱们辽宁中考数学，它的出题方向其实是特别明确的。就无论说是刚考完的这个二模，还是说咱们之前的各式的这个一模试卷，其实你会发现它的考点都非常的稳定，并没有说像我们所想象的那么没有方向。其实比如说如果咱数学你要是想拿到一百一十分的， 其实并没有那么困难。因为我们去研究一下省统考之后的近两年的数学试卷的话，其实我们就能够发现在知点上边，题型上边的话，他基本上都是已经固定下来的了。比如说你看像十六题，他就会考察这个计算题，然后十七题的话会考察这个方程应用题， 然后十八题的话他会考察这个统计跟概率。十九、二十题这两道题话虽说这两年有点小变动，像去年话他是没有考到三角函数这个大体的，但是的话他依然考到了像一次函数、二次函数这些知识点，然后像二十一题 的话，他还是圆的大体，然后最后两道题的话还是一个几何压轴题，然后还有一个是二次函数的这个压轴题。尤其是咱们这个二模结束之后，咱们其实就只剩下啥呀？一个月的时间。 所以说这个时候咱们如果说再去想做题，去练习题目的话，就一定是专项去进行这个刷题。那像我之前的话就有专门整理过一份专项专练，把咱们近三年的辽宁中考真题，按照题型，按照知识点去给他进行归类的总结出来的九大必 考的核心专题。所以说咱们家长的话，就完全可以根据孩子这次二模的成绩，比如说如果二十一题没做出来，那咱们就可以对应去练啥呀？玩的专题。 对，如果说孩子的方程应用题总丢分，那我是不是就可以专门的去刷一些方程的这些题型，对不对？所以说在这个时候哈，我觉得咱们就没有必要盲目的去刷这个套卷，接下来的话咱们一定是通过做专项题来进行提分的，有需要的家长的话你可以在评论区里边冲我要一下。

沈阳初三全是二模，今天就要考完了，但是这次难易程度呢，有一部分学科哈，是高一中考的，像物理的最后一题哈，那孩子都考崩溃了，融入了情景，但是竟然占用了两年半的试卷哈，这不只是考物理啊，也是考语文呐，那还有数学难度哈，也中等偏上的，压轴题的函数几何更加灵活了， 简单的统计题里边哈，增大了信息量，也容易丢分。那化学难度呢？中等偏上实验题啊，更加综合了，细算题呢，侧重咱们质量守恒定律的应用，参考性哈，非常大，但也更加适合成绩比较不错的孩子啊。 那考试后呢，一定要带着孩子们重点分析试卷，没考完的，考完的话一定要再详细的复盘，需要的哈回复沈阳二模，把所有学科试卷的答案全部发送给你。

各位同学们大家好，今天呢，进行了沈阳市二模的数学考试，那么这次考试整体难度不是特别的高啊，但是易错题还是比较多的啊，所以同学们如果要想答高分的话，就必须要认真仔细 好，包括未来的中考也是一样的啊，难度未必会很高，但是同学们要想得高分得满分啊，就必须要仔细读题，认真审题啊。好，那么针对这次考试的易错题以及这个重难点题目啊，咱们录这个视频，给大家进行一个简单的讲解 好了。那么首先呢，看到选择题当中啊，给大家总结了四道题啊，比较容易错，那么首先是第三题，这道题干二零二五年五一劳动节假期啊，他说沈阳市场啊，接待游客超一千零三万人次，这里有这么个数据， 叫二零二四年同期增长百分之二十一点六数据，一零零三用科学计数法可以表示为多少啊？好，那么认真审题，大家就会发现，他让你表示的只是一零零三这个数据， 跟前面一零零三万人次没有什么关系啊。所以这道小题呢，同学们千万不要再把这个万也融入到这个科学计数当中了啊， 他只想让你表示一零零三这个数据啊，所以用科学计数法表示，那就是一点零零三乘以十的三次方就 ok 啊，可别给我加一个四啊，弄个七次方就不好了。这道题第三题答案就是选 b 选项啊，非常单纯的一个小题。 好，第六题，这道题呢，认真审题，你会发现，他并不是要把这个啊，图形绕着终点旋转一百八十度，而是说旋转九十度， 那么旋转九十度能够重合的话，那么很显然答案应该选择 b 选项，对吧？啊？圆怎么转都能重合，那么重点看里面的多边形，那对于这个多边形而言，那这个点绕点 o 转九十度是不是到这个点， 这点绕点 o 转九十度到这个点，这点到绕点 o 转九十度到，这点正好跟他自己完全一样啊，所以第六题答案，哎，也选择 b 选项， 好，第八题呢，这里考察了位四啊，这么一种特殊的相似形啊，他说在这个平面直角坐标系当中，四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 a 撇， b 撇， c 撇 d 撇，位四位四中心是圆点 o 点 a 的 啊，点 a 和点 b 的 对应点分别是 a 撇和 b 撇，让他告诉你 a 撇点的对应的这个坐标啊，注意点 a 的 点 a、 b， a 撇的坐标分别是四到零，那就给他写在这个图像上啊，四， b 的 就零到三 啊，然后 a 撇的话是负二到零，好，那这么一看的话，这个 v 四是不应该是二比一的这么一个关系，对吧？啊？二比一的这么一个关系，而且呢，是关于圆点 o 进行的一个二比一的 v 四， 好，那这样一来的话， a 位四对应是负二的话，那 b 对 应的应该是负二分之三，对吧？这肯定没问题，那最后人家问你 a 撇 b 撇的长度是多少？求这条边长啊。那这个小三角形，我们可以直接进行一个简单的勾股定律，就可以 负二分之三，那这条边是负二分之四呗，二分之三，二分之四，二分之五啊，所以答案就出来了，这道小题呢，就只要大家看清楚他你求的是哪条边啊， a 撇 b 撇这条边，答案就很容易 好。那么第八题的选项啊，也选择 b 选项， ok， 好， 再继续第九题。第九题，他说在矩形 a、 b、 c、 d 当中，点 e 是 a、 d 的 中点， a、 e 等于四 啊。同学们一看，这多简单， a、 e 等于四， e、 d 也等于四，然后 a、 b 让你求 a、 b， 那 a、 b 等于八呗，你看，直接上来就做，但问题这道题还行，他没坑你， 选项里没八，对吧，哈哈哈啊，所以说孩儿们读题审题要认真，这道题目他说了是矩形 a、 b、 c、 d， 这里 ab 和 a、 d 不 一定相等，所以说，不要下意识觉得他好像给你印了个正方形，然后就直接倒八啊。这要是个填空题，估计会撂倒一些人啊，但是毕竟是选择选项里没有八啊，所以说，咱还是得做题。他说了，并且 a、 e 等于四啊，那 e、 d 就 等于四， 那整个 b、 c 就 等于八，哎，这个很好理解，对吧？矩形对边相等没毛病， b、 e 的 垂直平分线刚好经过点 c 啊，垂直平分线，大家需要知道它的特征，垂直平分线上点到线段两端点距离是相等啊，所以说我们连接 c、 e， 它应该和 c、 b 相等，那借而 c、 e 也等于八。那么这种情况下，孩人们把这两条边表示出来，在直角三角形 e、 d、 c 当中，是不可以用勾股定律了 啊，你用六十四减十六开根号就完事啊。或者你直接看这个比例，他俩是一比二，那么一比根号三比二吗？啊，所以这条边 c、 d 四倍，根号三啊！答案应该选择的是 d 选项啊，这是第九题 好选择题，这么四道小题难度都不高，那接下来是填空，填空呢，给大家塞出来三道小题，那么首先第十一题注意审题。我们可能下一次会觉得这道题问的是相反数，对吧？把符号拿掉，写了个五，那就错了，他问的是倒数， 那倒数的话，只需要把这个数倒一下，符号并不改变负的五分之一啊，这就可以了啊，这道小题就是一个考察倒数的小定义。 好，十四题，平面直角坐标系当中，反比例函数 y 等于 x 分 之 k 啊，这图像它说经过这个平行四边形 o、 a、 b、 c 的 顶点 c 点 a 呢，位于 y 的 负半轴上啊， b 点坐标是负三斗一啊，这么个小条件 好，整个平行四边形 o、 a、 b， c 的 面积是三，那么大家通过这个题你也可以知道，由于 b 点的横坐标是负三，那么 b 向 o a 作垂，那这个距离是不就是三，那就说明高是三呢？ 那平行四边形面积咱知道，就底层高嘛。啊，那底 o a 呀，是吧， o a 乘以高三，它结果呢，也等于三，那说明 o a 等于一啊， o a 等于一， c， b 也等于一啊，于是乎点 c 的 坐标应该是负三负二。 好，那 c 点坐标出来了，让你求 k 就 特别容易了，横纵坐标一相乘，负六完活啊，还是注意审题，题干，如果你要激动写成了负的 x 分 之六的话，宝贝你又不得分了啊，人家没问你表达式是多少，就问你 k 的 值啊，所以答负六就可以 好。第十五题，四边形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 平行于 b、 c 啊，上下点平行角 a、 d， c 是 九十度，那下边这角也是九十度， bc 大 于 a 的， 以 a 为圆心，任意长为半径，画弧交两边 m n， 再分别以 m n 为圆心，大于二分之一， m n 为半径，画弧交于点 p， 连接 a p 并延长。那么根据它的这个形容，我们知道做的是角分线呢， 对吧？再加上平行线的话，内错角相等，那的 a e 如果是 r 法，那的 e f c 也是 r 法。 好，那么在这里呢，咱们知道两件事，第一个事，三角形 a e， 对 啊，和三角形 f 是 e， 它俩相似，这个是肯定的了，这第一个，第二个，由于两个底角相等呢， b， a， f 是 阿尔法， f 也是阿尔法，所以 b a 这条边啊，它等于 b、 f， 这么两个非常关键的信息出来了。好，那么接下来就写数吧， a d 是 三， d， e 是 四，那三四的话，顺手 a e 就是 五了，对吧？好，继续。 c， e 是 二，那上下俩三角形相似，比就是二比一啊， 对吧？哎，二比一，那 e f 就 应该是二分之五，直接就出来，所以这样一来，我们就可以知道，整个 a f 这条边长应该是五，加上二分之五啊，二分之五，那就应该等于二分之十五，这是 a f 的 长度， 他让你在这个条件下去求 b f 的 长，那求 b f。 各位，这是一个等腰三角形， b a f， 我知道底边 af 等于的是二分之十五，我还知道这个角阿尔法，他对应的三条边之比是三比四比五，那好办呢， 直接过点 b 向底边做垂啊，对吧？ a 边垂出是 h， 那 三线合一， h 是 af 的 终点，那一半 af 就 应该是二分之十五，再除以二，也就是四分之十五。 好，用一下这个角 alpha 的 cosine， 对 吧，就能把 b f 求出来，那 cosine 不是 三比五吗？五分之三啊，所以这里的 b f 的 长度，哎，就应该是四分之十五，再乘上一个三分之五就可以。 好，约一下啊，这是五四分之二十五出来。好吧，这就是 b f 的 长度，提杆让求 b f 直接出来四分之二十五。 好，那这是填空和选择当中啊，容易出现问题的地方。给大家讲解到这，那么接下来就是大题的部分啊。首先第十七题，这道题比较特殊，他考察了一个分式方程，那么提到分式方程应用题，大家要需要知道啊，我们平时可能手懒， 不愿意写检验啊，但是一定需要注意啊，这个分式方程不检验就废了啊，明明很简单的一道小题，但是不检验可能就错了，所以大家在做题的过程当中，一定需要注意到每一步的这个要求啊。 他说某车间呢，加工一千三百个零件后，采用了新工艺，工艺提升了百分之三十，这样一来呢，同样加工一千三百个零件，就能少用十个小时。问我们采用新工艺后，每小时加工多少个零件？ 那么大家需要知道的是，新工艺是原工艺基础上提升了百分之三十。那么同学们如果求谁设谁直接设新工艺的话，要想表示原工艺，你需要在新工艺 x 基础上除以一加百分之三十， 那这数费劲呢，对吧？啊，除以它肯定没有乘法好看，那于是乎，这道题同学们是可以选择间接设元的啊，间接设，我可以设采用新工艺之前， 采用新工艺之前啊，每小时加工 x 个零件。 好，这个设之前，那之后就是在 x 基础上直接乘以一加百分之三十就可以，对吧？这样表示起来比较容易啊。好，那，那我如果设的是原来的话，那原来一共需要加工一千三百个零件， 一千三百零件，我除以他每小时的这个工作效率， x 就 应该是原来的工作时间，对吧？用工作总量除以工作效率，应该等于工作时间。 好的，继续同样加工一千三百个零件，那么现在的效率是在原来 x 基础上提升了百分之三十一加百分之三十， 这个就是采用新工艺之后的效率，那用工作总量除以采用新工艺之后的这个工作效率的话，等于采用新工艺之后的时间，那他说节省了十个小时，那说明原来的这个数比较大，对吧？啊？减十应该等于之后的这个时间， 好，那这个是咱们列完了就可以直接进行求解了，对吧？这是一个关于 x 的 分式方程，那么同学们一定一定啊，要记得检验好了，那我先去把 x 值算出来来，草稿纸上算，一三零零除以 x， 再减去十等于一三零零除以一点三 x， 那 这个是可以约掉的，他等于一千呢，对吧？等式，两边同时约个 x， 那 同乘 x 呗，那就一三零零减十， x 等于一千， 这数多少算？那说明十 x 等于三百，那 x 就是 三十呗，对吧？啊？ x 等于三十， 好了，那么在答题卡上不要体现这个过程啊，直接给他解得就行。好，那么下一步记住了，不要直接给他算一乘百分之三十一加百分之三十啊，不要算，解完第一时间经检验，经检验 x 等于三十，是分式方程的解 啊，先把这个检验的过程给它写上，然后接下来再去采用新工艺之后啊，那我们就来一个三十啊，乘上一加百分之三十，那一点三乘三十，这数等于三十九啊，对吧？啊，三十九个啊，最后来一个答啊答，采用 新工艺后啊，每小时加工三十九个零件。 好，那这就是第十七题啊，需要大家注意的其实就是这一步呗，经检验啊，经检验， 好，那这八分到手之后，咱们看第十八题啊，那这是一个三角函数应用题啊，同学们还是仔细分析题目，他说某学校航模社团计划制作一架飞机模型啊，下面是制作一片记忆石加装金属条的这么一个研究报告啊。 呃，让我们确定的是飞机模型一片记忆加装金属条的总长度是多少，这是我们的目标。这个是设计图，现在需要在 abbc 对， abbc 对 这三条边加装金属条，固定记忆 好这三条边啊，这是我们的目标。好了，把这三条边求出来就可以。那么根据研究报告当中的相关数据啊，及所学数学知识，通过计算得出四边形边长 a、 b 和 c 的 长度就够了啊，就能求出来了。好，那么相关数据来看一眼，他说 b、 a、 c 这角是三十七度， 三十七度，然后 a、 b、 c 这角是六十度， a、 c、 d 这角是三十六度， b， a、 d 是 一百零九度，那同学们， b、 a、 d 如果是一百零九度的话，去掉三十七度，那还剩七十二度， 对吧？啊，到这，然后 bc 的 长度是十倍根号三啊，所以说你只要求出 ab 和 c 的 长度就可以了，对吧？给了我们参考数据啊，三十七，三十七，三十七，还有根号三约等于点七，让我们求这个总长度。 好，那么对于这道题而言呢，大家左边这个三角形 a， b， c 好 说，对吧？这三角形真好说，那我们过点 c， 直接向 ab 作垂呗，对吧？垂足是 e， 那在直角三角形 c， b， e 当中，是不是就可以去求这个啊？ b、 e 的 长度，对吧？这有特殊角啊，三十度，那这条边 b、 e 就 应该等于的是十倍根号三，乘以三十啊，那应该等于五倍根号三，好，那 c、 e 的 长度在五倍根号上基础上再乘个根号三，那就是十五 好，那么三十七的三条边其实对应的就是三四五的三角形嘛，对吧？零点六，零点八，零点七五，三比四比五的三角形啊，那这样一来的话， c e 如果是十五， a， e 就 应该是二十， ac 就是 二十五， 对吧？哎，这是有数的，所以 ab 的 长度我们可以很容易算出来，二十加五倍杠三就可以了。好，那么算 c 对 可能给大家带来一定的麻烦，大家会说，那 c 对， 那 c 对 三十六，那这这 ac 我 知道，那我要做个垂的话，用口算三十六，但题干也没告诉你口算三十六是多少啊， 于是乎，大家就开始质疑，是不是老师出错题了，这个不是三十六吧，老师打错了吧，是不三十七啊，哈哈哈，是不是可能就会出现这种情况啊？但是其实你仔细想一想，这道题目，各位，他有角度啊，你写一写，这角三十六，这角七十二，他俩加一起一零八， 那意味着这个角对他也是七十二。三角形的话，那 ac 是 二十五，那 c 对 不也是二十五， 这是现成的呀，啊，于是乎，让我们求总的长度，那总长度咱就可以直接加了啊， a b 加上 b， c 啊，再加上一个 c d 啊，来吧，总长度，那就二十，加上五倍根号三，加十倍根号三，再加个二十五， 对吧？好，得数吧啊，这是四十五加上十五倍根号三，好，那么这里需要大家做的就是十五倍根号三这个数啊，根号三约等于点七，那就一点七乘上十五， 对吧？五七三十五进三啊，一五得五加三八啊，一七得七一啊，那就五五，呃，二二五，五点五 啊，他再加上一个四十五，那就应该是七十点五，对吧？应该这么个数啊，他等于七十点五，好，但是如果你要这么写的话，这道题干告诉你了，精确到一厘米啊， 精确到一厘米的话，七十点五是不行的，你得等于七十一啊，单位是厘米，好吧，最后答案的话，就是啊，总长度 为，哎，七十一厘米，好，那么对于这道小题而言，在过程上可能会给大家去进行扣分啊，那你说大家如果要想用到这个直角三角形的话，大家是需要写一定的过程，好吧，所以说前面大家需要在过程上进行完善啊，比如说做 c 啊， 啊，做 c e 垂直于 a b 啊，于 e， 对 吧？啊，然后 r t 三角形 b c e 当中 啊，你用啊， b c e 当中啊，角 b， 它等于六十度啊，角 b， e， c 等于九十度啊， b c 等于十倍根号三啊，好，那你要想求 b e 的 话，那我肯定可以写成 b、 c 啊，乘以口塞六十度啊，那它等于十倍根号三，乘以二分之一，那就是五倍根号三， 对吧？这是 b、 c 啊，然后这个 c、 e 啊，它等于 b、 c 乘以三六十度，这都是已知条件啊，十倍根号三，乘以一个二分之根号三啊，那就等于十五。 你看，就这些，你在写的时候，同学们啊，写的时候是需要把这个具体的某个三角形给他指出来啊，然后用到的是哪个三角函数也给他写出来，好吧，剩下的就是倒角的问题了，就不是什么难题了。好，答案是七十一啊，同学们可以对照一下， 这是十八题。好，十九题，二十题呢，难度不高啊，咱们可以略过二十一题。这道小题呢，呃，他挺不善良啊，哈哈哈，好，这道小题呢，正常来说，我们同学已经做好了第一个问数正切线的准备了，结果这道题没让你正切线啊，挺猝不及防啊，挺猝不及防。他说，如图， 圆 o 呢，是四边形 a、 b、 c、 d 的 外接圆 ab 是 圆 o 的 直径，并且弧 a、 d 等于弧 b、 c， 弧 a、 d 等于弧 bc， 两弧相等，我们可以利用关系定律， 对吧？一旦弧相等了的话，那么同学们一连接 o、 d， 连接 o、 c， 那 这两个弧所对应的圆心角 是不肯定相等，对吧？俩 r 法肯定相等啊。好，那圆心角如果相等的话，那圆周角就应该相等。好了，看图吧，如果我们连接 b 的 的话，那这里的 ab 的 这个角是不应该就是 a、 o 的 一半， 那这是阿尔法，那就二阿尔法呗。啊，二分之二法，对吧？二分之二啊，好，那么第一个小问，让我们求证， ab 平行于 c 的， 那正这两条线平行找内错呗，那这，这就是内错啊， 对吧？这就是内错，而且呢，这个角 b 的 c 正好等于 b、 o、 c 的 一半，对吧？同弧所对圆周角是圆形角的一半，那正好啊，二分之二八和二分之二八相等，那于是乎内错角相当，两直线平行，对吧？哎，思路还是比较清晰的，那么我们就直接来证明啊，证明啊，连接 这里的 o 得啊， c o 给它连上，对吧？然后还有 b 得都给它连上啊，因为弧 a 得，它等于弧 bc， 那 这俩弧相等， 弧相等圆周角啊，圆心角就相等，所以角 a、 o 得啊，它等于角 b、 o、 c 啊， a o、 d 等于角 b、 o、 c 好， 又因为角 a、 b、 d 等于二分之一的角 a、 o、 d， 对 吧？我们这个圆心角的一半嘛，啊，然后角 b、 d、 c， 它等于二分之一的角 b、 o、 c 就 同弧这边所对圆周角是圆心角的一半啊，那大的相等一半，一半也相等，所以角 a、 b、 d 等于角 b 的 c 啊，那就内错角相等呗。所以下结论， a、 b 那 平行于 c 的， 所以第一个小问呢，涉及到一个啊，小关系定律，以及这个圆周角定律啊，用上就行 啊。第二个小问啊，如图二，过点 b 呢，我们做圆 o 的 切线啊，那这里就提到切线了，那就画一下吧。啊，过点 b， 做这么一条切线，交对 c 的 延长线于点 e。 那 我们刚第一个问说完了， a、 b 平行于 c 对， 那说明这角它也是九十度， 能同一角吗？啊，交对 o 的 延长线于点 f， 这么交出来对 f 呢？交圆 o 于点 g， 好， 又有弧了，弧对 c 等于弧 c g， 那弧相等，我们只要连接上 o c， 那 它两个弧所对的圆心角就相等， 对吧？哎，咱们可以直接这么写了，因为啊，这里的这个弧啊， c 段，它等于弧 c g 啊，所以 角的 o c 等于角 g o c， 对 吧？哎，直接俩角相等，好，那么这里好玩就好玩啊，的 o， 它是半径沿出去 o g 啊的 g， 这是个直径， 直径，这是直角啊，直角，那它就等于二分之一的角的 o g， 它等于九十度，对吧？哎，直接就垂直了，这是 好，垂直的话，这个三角形的 o c， 这等腰直啊，这是，对吧？这等腰直了，这四十五度有了 啊，好，他让你求谁呢？他让你求弧 b c 的 长，那求弧 b c 的 长，那我们得知道，整个圆的周长乘以上这个角度对应的这个小线段小弧长，对吧？ 哎，好，那么接下来咱们看一下啊，内错角相等，这角是四十五度，很容易得到，他应该占整个圆的八分之一 啊，没毛病。好，那这个圆半径是多少呢？哎，提肛给了 b e 是 根号二， b e 是 根号二，那么孩儿们，咱是不可以直接转移一下，那我过点 o， 我 嘎巴，我就做个垂，对吧？哎，垂足是点 h 的 话， 那 o h e b， 这不就是个矩形吗？直角，直角，直角，对吧？这是个矩形，那矩形的话，这是根号二，那这也是根号二，那他还是个等腰值，哎呀， 齐活了，对吧？一切的一切都是这么水到渠成啊，那这个是根号二的话，那半径不就二吗？半径出来了，那要想算 b c 的 长，是不可以直接用角度看他占整个圆周长的几分之几， 对吧？啊，好，那么同学们有思路了，咱就可以直接写了啊，做 o h 啊，垂直于，哎，得一啊，可以做一个垂直，对吧？好，因为这里的这个 e、 f 啊，它与圆 o 相切， 所以角 o b e 啊，它等于九十度啊，等于角 e 还等于角 o h e 啊，等于，都等于九十度啊，所以四边形 o h e、 b， 它为矩形啊，三个角是九十度，它就可以下矩形的结论了啊，所以这里的 o h 啊，它应该等于 b 啊，它等于根号二。 ok， 好， 那么刚才呢，我们得到这角是九十度的时候，可以直接下结论，对吧？所以三角形 o、 d、 c 为等腰直角三角形 啊，搁这地方下一个等腰值的小结论。好，那，由于这个 o、 h， 它是等于根号二的，所以说这里的 o、 d 啊，它应该是等于二的 好吧。哎，这里的角 b、 o、 c 等于角 o c、 d， 它等于四十五度，好，那都有了啊，所以说，让你求这个弧 b、 c 的 长啊， b c 的 长，它就等于。 呃，四十五，除以三百六十，看一看，这个角度所占整个周角的几分之几，他就占整个周长的几分之几啊，再乘以二派二，二就是二，对吧？哎，周长二派二 好，整理算，算完，这是八分之四派，那就是二分之一派啊。题干呢，没有要求你说保留几位小数，那么派我们保留形式就行了。那最后答一个去啊，答，哎， bc， 这个弧的长 为二分之派，好，他也没有单位什么的，对吧？所以直接保留这个形式就可以了。好，这个是二十一题结束。 好，那么接下来呢，就是二十二题，二十三题，两个小压轴啊，那二十二题呢，其实也没啥难度啊，这道题相对来讲还比较 比较贴贴心的啊。平面直角坐标系当中已知二次函数 a， x 方减 x 加 c， 它的图像与 x 轴交于 a， 这个点负一到零，还有 b 的 两个点与 y 轴交于点 c， c 点坐标是零到负二分之三啊，那我把这两个点带进去，是可以求解的， 对吧？啊，所以说，咱们第一个小问，直接把 a 负一到零，还有 c 啊，零到负二分之三给它带入 啊，代入，代入吧。啊，把它带进去，那就是 a 加一加 c， 它等于零啊。呃， c 等于负二分之三啊，其实这么一看的话，那就是 a 等于二分之一呗， 对吧？啊？ c 等于负二分之三啊，所以表达式已经出来了， y 应该等于的是二分之一 x 平方减 x 减二分之三。好，那这个是表达式啊，表达式 好，那么接下来呢，咱们看第二个小问，缺啥咱们写啥啊？这里的 a 点坐标是负一到零， b 点坐标不知道呢， c 点坐标是零到负二分之三，好，那么这里呢，其实是可以求 b 的， 对吧？可以求 b， 那 求 b 的 话，你有两种方法，第一种方法是表达式都给你了，那我们的对称轴是不是直线 x 应该等于负二， a 分 之， b 负一分之一，那就一呗。 好，那这么一来的话， a 点的坐标，那他俩之间距离是二，他俩之间距离也是二，所以 b 点坐标是不是应该是三到零啊？当然，咱也可以选择直接令 y 等于零去求这个解，对吧？解得一个是负一，一个是三啊，也行，好吧， b 点坐标能求出来， 好，再继续。他说点 p 是 这个二次函数，它图像上一点，并且在对称轴的右侧，在直线 b c 的 上方啊，在这儿点的是点 b， 关于 y 轴的对称点，那点 b 是 三斗零，关于 y 轴对称那点的应该是负三斗零， 那叫点的 p 的 呢？交二次函数 y 等于 a x 方减 x 加 c 的 图像， 对称轴与点 e。 啊，角对称轴与点 e， 并且 p e 等于 d e， 那 p e 它如果等于 d e， 说明 e 应该是这个 p d 的 中点，对吧？啊，那我们可以直接设 p 点横坐标 为 p 啊，我直接设 p 点，横坐标为小 p。 好， 那么根据这个终点公式，那我们可以知道，那横坐标之和除以二应该对称轴嘛，对吧？所以 p 加负三的 p 减三除以二，应该等于对称轴一， 那这数好算，那 p 不 直接等于五了吗？对吧？哎嘿， p 直接等于五了啊，那 p 等于五的话，让你求 p 点坐标，那就把 p 等于五给它带入到这个方程当中。 二分之二十五减五，减二分之三啊，整理一下，二分之二十五减二分之十，再减个三，那就二分之十二呗，二分之十二是不就六啊？哎，所以 p 点坐标五到六，这是第二个小问。 好，第二个小问没有给你难到，那就说明第三个问他要给你上难度了啊。好，那么接下来他说了，把这个二次函数啊，沿着射线 b c 的 方向进行平移，注意 b c 这个方向，那我们知道 b 点坐标是三到零， c 点坐标是零到负二分之三， 那对于 b c 这条射线而言，那它的倾角是应该是这个阿尔法的弹进的是一比二， 对吧？一比二，所以他如果往右往左平移，呃， m 个单位，就得往下平移二分之 m 个单位， 对不对？这么一个移才叫沿着射线 b、 c 方向去移啊，所以大家需要知道这个特征啊，要是想沿着 b、 c 方向移，那你往左只要往下平移一个单位，就得往左平移两个单位。一比二嘛，对吧？啊？二分之三和三一比二的一个关系，好吧，有这么个事啊？ 好，这是沿着射线 bc 方向平移，平移后的二次函数图像与 x 轴的两个交点当中，右边那个交点是 f。 啊，右边那个是 f。 好，连接 a c 和 c f， a a 点坐标是负一零啊， c 在 这 f a c f 这个三角形，他说设平移后的二次函数对称轴是 x 轴，并且 f 不 跟 a 点重合。这个三角形 a、 c， f 的 面积小于二分之三， 让我们直接写出 m 的 曲值范围是多少？好，那么对于这个三角形 a、 f、 c 而言，各位，它的高不就是 o c 是 二分之三吗？ 所以它说面积如果小于二分之三，是不说明这个底 a f， 我 们是可以求范围的，对吧？啊，这个三角形面积它等于二分之一乘以 a f， 但注意，由于 f 是 在 a 的 右侧，因为它再往左移，是不是有可能跑到 a 的 左侧来？ 这块不知道的话，可以加一个绝对值啊。二分之一 a f 乘上这个高二分之三，它小于二分之三，那小于二分之三，那这么一来的话，说明我们知道 a、 f 的 距离它应该是小于。呃，小于二的， 对吧？二分之一和二约调啊，这边是二分之三好，那 a f 如果距离小于二的话，那么孩儿们咱就可以知道 f 点的这个范围了，对吧？它在负一的右侧的话，那就二一呗， 一呗，啊，那如果是左侧的话，那这边二，那就是负三呗啊，所以对于 f 点的横坐标而言，他应该是大于负三小于一的，对吧？应该是这么两边 好，那 m 就 应该在这两边那什么动呗，对吧？啊，求求这范围啊，在这两个端点之间，而且他说与 a 点不重合，那与 a 点不重合的话，那就说明这个 f 的 横坐标，哎，他不等于负一 啊，有这么事，所以接下来咱就可以去求一下这个 f 了，对吧？ f 是 平移之后的抛物线与圆周的交点，那么需要同学们去把平移之后的抛物线表达式去求一下 好，那么平移之前呢，是 y 等于二分之一， x 平方减去 x 减二分之三，想表示平移之后，而且他给你对乘轴是 x 等于 m， 那 这种情况下非常建议大家去呃，用顶点式好吧，用顶点式可能会比较合适啊，来，咱们看看顶点啊，顶点 好，那么顶点的顶顶点的形式的话，首先这个 a 值肯定是不变，因为他开口方向和大小都不变，所以平移完之后啊，完之后应该还是二分之一， 那么顶点的对称轴是 x 等于 m， 那 顶点横坐标肯定就是 m 了啊，这没什么，说了好，那么加上他的这个顶点重坐标， 那纵坐标是多少呢？这个咱们现在还不知道啊，咱们分析一下啊，原来这个对称轴是 x 等于一，现在对称轴变成 x 等于 m 了，那说明他向左平移了一减 m 个单位， 对吧？哎，这段距离应该是一减 m， 好， 那么要想沿着射线 bc 方向平移，他向左移了这些，那就得向下移二分之一减 m 这些。 所以要想表示新函数的顶点，那我得在原函数顶点的基础上向左向下，对吧？那你得把原函数顶点求一下啊。那原函数顶点咱们得配方求一下，里面是 x 平方减二 x， 那 就加一呗。 啊，加一不能白加点减一啊，然后最后减二分之三。好，整理一下，二分之一里面是 x 减一的平方减二。好，那这点坐标就应该是一，一到负二， 对吧？这是原函数好，那新函数需要在这个基础上再减一个二分之一减 m 啊，所以它相当于加上一个，呃，负二 减去二分之一减 m， 好， 算数吧，它等于的是负四，对吧？啊，减一加 m 啊，那就应该是二分之负五加 m， 对 吧？给他放在这，那就是二分之 m 减五呗。负五加 m 就是 m 减五。 好，那这个就是完平移完之后的一个表达式。那我要想让你求它与这个 x 的 交点，那就直接求了，那客气啥呀，对吧？直接令 y 等于零就行。令 y 二啊，这个 y 等于零， 它就二吧。啊，别写完了。好了，那它等于零的话，咱算数，那就是二分之一的里面 x 减 m， 括号的平方加上二分之 m 减五，它得等于零。 好，整理一下，两边二可以弄掉，那也就是 x 减 m 的 平方应该等于五减 m 啊，等于这么个数。 好了，那么我就可以得到 x 的 值应该等于，呃， m 加上根号下五减 m， 哎，或者是 m 减去根号下五减 m， 对 吧？哎，得到这么两个减 好，那么这么两个解才有意思呢。他说右边这个是 f， 那 尽管我不知道这俩数哪个哪哪个是右边，但是他大的肯定是右边，对吧？你加上一个数肯定比减去一个数大呀，所以他大，所以 f 点的横坐标其实就是 m 加上根号下五减 m， 哎，这就是 f 点的坐标。好了，那要想算两边的话，那我就把两边这两个值分别带进去呗。比如说，第一种情况，我让他等于负三 m 加上根号下五减 m， 如果他等于负三 啊，相当于这边二的话， f 的 这，这，这边左边二算数，那就是根号下五减 m， 他 应该等于负三减，那减，这个式子平方一下就行啊。五减 m 应该等于九加六， m 加 m 平方， 那也就是 m 平方加七个， m 加四，呃，得零， 好，那这数的话，好像不太能直接因式分解出来，对吧？咱就公式吧， m 应该等于二 a 分 之负 b 啊，负七加减，根号下 b 方四十九减四， a c 十六啊，那就是四十九减十六啊，那是三十三，对吧？得到两个数 好，一个是二分之负七加根号下三十三，还有一个是二分之负七减根号下啊，三十三。 好，那么我们看一下这两个数的这个呃，留还是舍的这么一个情况啊，咱们可以简单分析一下啊。 好，那么首先呢，这个，哎，这个 f 点他需要在 a 的 左侧，对吧？那必须得 a 的 左侧哎，哎，左侧不少呢，对吧？ f 离挺远的啊，也是负三的 啊，好，那么此时这个对称轴啊，他肯定得比负三小小很多，对吧？啊，小很多的话，那这里显然这数不太行，对吧？这数比负三大，你负三点五加上一个，刚才三十三，那肯定比负三大，那这个得是，那我们留下边这个，这是第一种情况。 好，那第二种情况的话，那就是让这个 f 点在 a 的 右边二呗。啊， a 的 右边二就一嘛，对吧？啊，所以就是 m 加上根号下五减 m， 哎，我让它得一。 好，那解，这个就会是根号下五减 m 应该等于一减 m， 那 直接就，呃，来一波勾股啊，那就是五减 m 应该等于一减二， m 加 m 平方。好整理， m 平方减 m 减四得零。 好，这数呢，还是不能一直分解，咱直接算， m 应该等于二， a 分 之负， b 加减根号下 b 方一四 a c 十七啊，十六加在一起十七。好，那么又出来两个解，一个是二分之一加根号十七，一个是二分之一减根号十七， 那么很显然你加根号十七，这都正数了，对吧？那肯定不行，对准轴得在这个在这边啊，才能行啊。所以说这里呢，它它直接舍了 啊，这是对的。好，那么你说 f 的 范围有了的话，那对应的 m 的 范围是不应该在它俩之间啊，也就是 m 的 范围大于二分之负七减根号加三十三，小于二分之一减根号十七。啊，这是范围 好，但不要忘了，这个 f 还不能等于负一呢，对吧？啊，所以说我还得让他把这个结给他刨了来，那就是，哎， m 加上根号下五减 m， 我 先让他等于负一看看 啊，等于负一看看这个 m 的 值，咱们直接给他否了不就完了吗？啊，好，整理的话，那就是根号下五减 m 等于负， m 减一平方五减 m 等于 m 方加二， m 加一， 那就是 m 平方加三， m 减四得零。那这个简单， m 一 应该等于，呃，负四， m 二应该等于一，对吧？啊，这不 m 加四乘 m 减一吗？嗯，好，那么这两个解显然一不用寻思了，他肯定不在了，对吧？那负四刨了，负四刨了就行。减 m 不 等于 f 四， 好吧，哎，这个是 f 和 a 重合的情况，咱们给他排了啊，当然，解的时候给他带不等号解更明显了啊，不等于负一，不，哎，不等于负四不等于一，好，那么最终的范围就出来了啊，就是这么个结果， 这是第二十二题。 好，接下来是最后一道小题，二十三题啊，那这道题你标一标，你会发现这道题它特别的，嗯， 亲热啊，特别的好啊，好，如图，四边形 a、 b、 c、 d 当中 ab 大 于 bc 大 于，咱们写不了啥， a， d 等于 c、 d 这两条边相等，那顺手就把两个底角相等给他标了， 对吧？这俩都标阿尔法的话，那角 a、 d， c 就是 一百八十减二。阿尔法啊，咱可以写 好 a， b， c 加 a， d， c 等于一百八， a， b， c 加 a， d， c 等于一百八的话，那 a、 b、 c 是 不是就二 r 发二 r 发加一百八十减二 r 发，这是一百八 啊。连接 a、 c， 将 a、 d， c 沿着 c、 d 给它进行对称，好的，对称过来，它也是一百八十减二二法啊，这是 r 法，把它对称过来，延长 c 啊， bc 到点 e， 使得 ab 等于 b， e 啊，这两条边还相等， 连接 e、 f。 第一个问让你求证， b， a， c 等于角， e， c， f， b， a， c 啊，等于角 e、 c、 f。 各位，这角是二二发，这角也是二二发，这不一线三等角吗？ 对吧？哎，比如这角是角一，这角是角二，这角是角三，咱列式啊，角一加角二加二，二发是不一百八， 对吧？那角和吗？好，继续角三加角二加二，二发，那角三加角二加二发，是不是平角他也一百八？你就看这俩式子吧，那都有角二，都有二二发，所以角一等于角三， 对吧？就这么容易啊。所以角 b、 a、 c 不 就等于角 e、 c、 f 了吗？所以第一个小问，他就直接用一个一线三等角的一个证明逻辑就可以了。 好，第二个小问，他说当 a、 b、 c 是 九十度的时候，哎呀，挺好，它如果是九十度，那这个 a、 d、 c 就是 九十度，它俩相等相加一百八呀。啊，好，这俩角还是四四十五度，这都现成的，四十五可以标来给它对称过来，它也是四十五。四十五。 让我们求证 b g 等于 b e， 那 我只要求证 b g， 它等于 a b 也行，或者我直接在九十度以上，正一个四十五度角，这都行。 好，那这道小题各位简单吧。那刚才这是阿尔法，阿尔法，这叫一线三等角，那你这九十九十，那我过 f， 我 再做个垂，这玩意是不？一线三垂直啊，这玩意， 对吧？哎，比如说你做一个小 h 啊，好，那这样一来，做个垂的话，这个三角形 a、 b、 c 是 不坐地就全等于三角形 c、 h、 f， 对 吧？这不三垂直全等吗？ 好的，这两三角形如果全等的话， ab， 它就等于 c h， 对 吧？ ab 等于 c h。 好， bc 它就等于 f h 啊，对吧？ bc 等于 f h 啊， ab 等于 c h， 这咱都知道。好，又因为 ab 它等于 be， 这不题干给印的吗？ 对吧？你 a b 等于 b e 啊，所以 b e， 它就等于 c h 呗。所以 b e 等于 c h。 好， 看图，那如果 b e 等于 c h， 同时去掉 c e 的 部分，所以那 b c 是 不就等于 e h， 对吧？刚说完 bc， 它等于 f h， 那 说明 f h 等于 h 呗。那 f h 如果等于 h， 这还是直角的四十五度角，对吧？对，顶，四十五度角，哎，所以直接啊，所以这里的角 f e h 等于角 b e g 啊，它都等于四十五度， 对顶吗？好，那这个三角形 b e g 就 等于这个 b g 呗。 啊，所以第二个小问，我们是可以直接挣这么一个啊，三垂直的啊。当然，对于这道题而言，如果咱们要可三垂直霍霍的话，还是比较简单的啊，就一直用三垂直也行啊。比如说第三个小问， 第三个小问他给了，他说角 abc 是 一百二十度，那这角一百二，那这这这俩就六十， 对吧？那等边这也六十对吧？啊，好，把它翻过来，这还六十，这六十六十，这不又是三等角的一部分吗？对吧？一百二，六十六十啊，好了，那按照三等角的构造的话，那我是不是需要在这边我照一个一百二十度出来， 对吧？哎，比如说这个是 h 啊，就仿照刚才嘛，那直角直角，我就照个直角，这回一百二，一百二，咱照个一百二啊，照出来。好，那这样一来，三角形 a b c， 它不照样全等于三角形啊， c h f 吗？照样全等， 对吧？哎，全等的话，对应边啊，对应角啊啥的，咱都可以进行推导啊，并且呢，咱就直接从边上这个逻辑来啊，那你 ab 这条边是不就等于 c h， 对 吧？ ab 等于 c h， 那 ab 还等于 b e 呢？ 所以 c h 就 等于 b e， 那 c h 如果等于 b e， 那 同时去掉公共的 c e， 那 剩余的 bc 和 e h 是 不是相等？ 哎， bc 等于 h 啊，这两条边相等好，那 bc 不 等于 f h 吗？那全等啊， bc 等于 h f， 对 吧？哎，所以 e h 呢？它就等于 h f， 那 好办了， e h 等于 h f 三十，三十，这不都有了吗？度数就出来了啊，对，顶也是三十，就感觉一切好像跟刚才都没什么太大区别，可以分析啊。好的，第一个小问，让你求这里的 b g e 的 度数，那 b g 完事了， 这一百二，隔壁六十，这三十，那 b g e 不 九十吗？对吧？啊，所以你看三等角坐到这了，应该问题都不大。那么圈一讲 b g e， 它直接就九十度 啊，就是一下三等角导出来的一个小结论啊。好，那么它等于九十度，接下来咱就可以算数了， ab 等于八，来写上 ab 是 八， ab 是 八， b e 就是 八， 对吧？ b e 就是 八。好， b e 如果是八，这还三十，六十九十，那 b g 就是 四啊，这边 g e 就是 四倍，根号三有没有用再说，对吧？咱先写着 好，角 f c g 是 一百五十度， f c g 是 一百五十度啊，那看上边这俩角是六十，那就是一百二，一百二加一百五，那是二百七，那也就是 ac g 这个大 u 角应该是二百七十度，那说明 ac g 是 九十度啊， 对吧？角 a c g， 咱是可以推导出来，它等于九十度，那这道题离勾股定律就不远了，对吧？啊，你斜边 a c 你 是知道的，那离勾股定律就不远了。好，他让你求谁呢？求 b c 的 长，求 b c， 那就设 b c 是 x 呗。那咱可以设呀。啊，好， b c 如果是 x， 这边 c e 就是 八，减 x 有 没有用不知道啊，这边是四，那我要想在三角形 a c g 当中用勾股定律，那就是 a c 方加 c g 方应该等于 a g 方， 对吧？啊，那其中 a c 方的话，咱可以这么做，那这不就出来了吗？这是八，这六十度，那这是四，这是四倍根号三，对吧？哎，所以你看， rt， 三角形 a c g 当中啊，咱们来勾股， a c 方加上 c g 方应该等于 a g 方啊，好， a c 方就是四倍根号三的平方，再加上一个四加 x 的 平方， 那这不， a c 方加上 c g 方这条边，这条边有点说道，对吧？ c g 方好像直接表示不太费，不太好动，那这里有六十度，对吧？那咱可以做个垂 啊过，这就是谁，这是四，呃，这是二，二倍根号三，这边是 x 减二，对吧？这不 c g 方不就出来了吗？啊，所以就加上二倍根号三的平方，哎，再加上一个 x 减二的平方，就 c g 方等于 a g 方呢？ a g 方好说，八加四的平方， 好，直接解方程就行，对吧？啊，好，十六乘三，这是四十八加上十六加八个 x 加 x 平方加十二加 x 平方减四， x 加四应该等于十二的平方。幺四四， 整理一下，两个 x 平方加上四个 x 四十八加十二是六十，再加二十是八十，它挪过来减六十四啊，应该等于零，就 x 平方加二， x 减三十二得零， 好解，这个式子的话，咱用这个啊，配方， x 平方加二， x 加一呗，就是 x 加一的平方应该等于三十三啊，好，那这么一来的话， x 加一就应该等于正负啊，根号下三十三，对吧？ x 一 就等于负一，加根号下三十三， x 二应该等于负一，减，根号下三十三，好，那由于 x 是 边长，它大于零，对吧？它小于零啊，那这个就舍了， 好，那就保留上面这个结果就可以。好，那这么一来的话，我们就可以知道 b、 c 的 长度，应该就是啊，写的好看一点。根号下三十三，哎，减一，好不？哎，就这么道题啊，它就可以全程用这个，呃，一线三等角去进行解决， 这是第二十三题啊，好，当然除了一线三等角以外，这道题还可以用这个三垂直，哎，不说错了啊，不是三垂直，那个手拉手也行啊，手拉手也行，你像比如说这道题，让你证明第二个问，他说 b g 等于这个 b、 e 的 时候，这这两条边相等还是正角呗。 哎，你看，看到三角形 a、 c、 f， 这是一个，呃，等腰值，那 a、 b、 e 不 也是等腰值吗？对吧？那我把 a、 e 连上这个三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 f， 那 他俩肯定全都相似，对吧？他俩就相似，好像似的话，这角九十，那这角就九十，对不？哎，这就出来了，好，这角是四十五，那他绝对也是四十五，对不？ 你会发现手拉手也能做啊，这道小题啊，都行，好吧，大家各显神通就完事了。好，那么以上呢，就是咱们二模当中啊，比较这个重要的题目啊，就给大家讲解到这里。

二零二六沈阳中考数学二模新鲜出炉，这张卷就是中考风向标，选择填空全是高频考点，大题全是中考必考题型。我跟你们说，第一题正负数意义送分题必拿科学计算中心对称整式运算全是基础坑位次矩形折叠五文方程年年考次次错 填空倒数第二题反比例函数一步出答案，最后两道几何加二次函数直接压住中考题型。我告诉你们一个真相，二模分数约等于中考分数，现在刷会这张卷，中考直接多拿二十分！想要完整版答案加主体解析的口令二模。

二模都考完了，下周出成绩。出成绩之后，各学校就陆续集中开家长会，开完家长会就让大家填写志愿申请表，志愿申请表填好上交学校确认，学校可能会让你有一个适当的修改，确认好就是入系统正式填报大概是六月中上旬截止，最终的指标数量得六月初才能正式发布。大概就是这样的一个流 程，家长们比较关心的签约，你就积极主动的去找你的目标学校，能谈的大概有小三校、四中、一中。 而且大规模公开的签约没有了，但小范围的君子协议还是存在的。你和你的目标学校说清楚你过往的成绩， 人家学校要是觉得你的成绩够了，自然会和你继续讲政策待遇，如果你成绩不够啊，也就没有然后了。有些家长说，二模可能没有排名啊，大家记住，排名肯定有，但是否公布每个学校的情况不同，如果学校不直接公布，也会给你一个参考范围，或者干脆你就私底下问问老师。 至于全市排名，大概率是没有的，但毕竟是一张卷，横向对比起来还是很容易的。这次二模考试有一个很大的特点，难的科目没考好，简单的科目还是没考好。家长蒙了，我家孩子到底什么水平？我志愿填报到底参照哪次成绩？ 三种方式啊，第一，零模、一模、二模看最好的那次。第二，零模、一模、二模三次取平均数。第三，如果你家孩子一次比一次进步，状态很好，那就再报高一点。新来的家长别忘了加关注，中考志愿填报详细教程持续更新中！

这次是二模的数学，如果说没有考到一百零八分，必须要抓紧时间针对性的去刷专项题进行突破了。这次试卷难度并不算大，无论他是前面的基础题，还是说后边的这个压轴题，都没有说像物理那样去出难题刁难人，只不过说把一些题型的顺序换了一下十八题这次考的是三角函数， 十九题考察的是概率。把二十二题和二十三题换了一下顺序，先考的是二次函数压轴，再考的是几何，压轴 题型本身跟他考察的难度是半点没有发生改变。那所以说咱家孩子如果说他总是在某一类题型上边去丢分，那么在剩下的这一个月的时间里边，如果说孩子分数还想有所提升呢，必须得专门的去练一下对应的专项内容。这两年的话，你会发现试卷上知识点也好，题型也好， 基本上是已经固定下来了，那像我之前就会有整理出一份对应的专项专练，把咱们辽宁近三年的中考真题，我把它按照题型和知识点去进行了归类，总结出来了九大核心 必考的专题。那所以说咱们家长完全可以说根据孩子这次二模的成绩去进行针对性的刷题。比如说像二十一题咱没有做出来，可以去专门去做一下圆的专题，方程应用题总是会出错，那你就必须得去做一下这个方程的一个专项专列了。所以接下来的话，咱们不是在那盲目的去刷套卷， 而是一定要针对性的去做专项专列进行提分。那所以说有需要的家长您可以在评论区里边冲我要一下。

如果说中考的话，就是你一模的成绩怎么也能至少再提三十到八十分，五十分左右是没问题的啊。八十分应该是穿出去的，最高的穿过一百分，但是也有不提反降的，什么样的都有。嗯，就是因人而异，就看你自己 通过这个区模啊。嗯，市模啊，这个考完试之后还有学校考的是每一次考试，这个卷面上错的东西就是回到教材里头。嗯，然后从教材里头把这些知识点拉出来搞明白，然后再去做题， 这样不就是把这个过程思路里清了吗？嗯，哎，所以说有的孩子就是通过这么复习就觉得，哎呀，中考这东西不难，实际他是会的。嗯，相对觉得简单一些，但实际真正中考出题的时候可能现在这个方向也不能出的太难，但他肯定里面有八高平台。

只要二模数学没考好，或者考不到一百零八分的孩子，我应该怎么办呢？接下来就剩最后一个月了，我还想让数学分数有所提高，我觉得做好一件事就够了，因为这次试卷整体难度不算那么大，如果你只是压轴部分，丢个十多分，分数一百零五左右，最后一个月 专项干压轴。但是我说的这个问题，不是说你撇开了学校系统，你学校该刷卷刷卷，这个你是不能丢的，因为你对于题的感觉你要把控住，而剩下的就是漏洞，专项提升。如果说你现在低于一百零五分， 必须针对哪个题型有问题，就专项练这个题型，因为咱辽宁省这两年数学卷啊，出题方向也特别明确。论说现在说刚考完的这个二模，还是之前各式的这些模拟考点，其实来说挺稳定，你要想拿到一百一左右 是啥难事？因为知识点、题型基本上都是那些固定的套路。能说这两年虽说有小的改动或变动，比如去年没考三角函数这大题，但是他考的依旧是一次函数和二次函数应用这些东西吗？不外乎就是函数的压轴或者是 几何的压轴。所以我们家长这次根据我们孩子的二模的程序做针对性的提升和训练，好不好？你别慌，好的好，咱也看看漏洞在哪。考完了就是考完了，他不是中考，你还有机会，你不是没有机会了。像去年我们有几个家长在考前两三天看了我们几个压轴视频讲解，那不也是 吸收和进步吗？只要你想学，什么时候都不晚，你像二十一题要没做出来练练圆的专题，方程应用丢分，那咱就刷刷方程的专题。之前呢，我让我们数学老师专门整 一项专项训练，本质上是给我们正式研一周学员才开放的。今天既然说讲到这了，我给大家安排一份，就是把我们辽宁省这几年的中考整体按题型按知识点拆分归类了，有九大必考的核心专题。最后一个月的时间便盲目的去刷套卷，因为学校的体量差不多够用，把漏洞赶紧补 上来，有需要家长直接评论区冲我要就行。但是有个前提，你是我的粉丝。第二个，我发这些东西我不准备要名是公益性的，如果有任何一家冲你要名，绝对不是我们家的。

咱们辽宁二模大部分城市也都考完了，金老师呢，也汇总了各个城市的卷，总结一下啊，沈阳这一次的卷可以说是最难的，适合咱们孩子进行八高，尤其是这个数学的大题啊，二次函数，还有几何综合 朝阳的卷呢，咱们孩子也可以做一做。如果说咱孩子需要查缺补漏，那你可以做做偏基础的，像本溪卷啊，葫芦岛卷啊，铁岭卷。如果孩子计算问题比较多，那你就做一下鞍山卷，因为他比较重计算。这一次二模啊，可以说辽宁每个城市出的题都很有代表性，我也都会总了， 很适合咱们各个阶段孩子去做，可以看一看其他城市都是怎么出的题。如果说啊，咱们家长需要回复二模全部试卷发送给大家。

同学们大家好啊，老师讲解一下沈阳市的二模的二十二题啊。那么题中说这个二次函数是 y 等于 a， x 方减 x 加 c， 所以 b 知道是负一， 然后和 x 轴交于呃， a 点负一到零，还有和 y 轴交于这个零到负二分之三啊，就是网络上流行的这个符号和分数线有点像挨在一起了，但其实我们看图像，它这个是负的，因为它交在 y 轴负半轴了啊， 所以它一定是负的二分之三。那么把这两个点代入求表达式，就是 y 等于二分之一， x 方减 x 减去二分之三啊，就这样的。 然后第二个它说 p 点是二次函数， y 等于啊， a， x 方减 a 加 c， 图像上一点，且在对称轴的右侧，在直线 b， c 上方的是 b 点。关于 y 轴对称点，那我们看一下 b 点啊， b 点呢？我们需要先解一下这个 b 点坐标，那就让这个 y 的 零解出 x， 一 是负一， x 二是正三， 所以负一就应该是 a 点的啊，这是 a 点坐标，负一逗零，然后它就应该是三逗零。那么关于 y 轴对称，所以得点就应该是负三逗零啊。这块好，再往下往下。题中说这个连接 p 的 交二次函数图相对应轴一点， e， p， e 和得 e 相等， 那我们看一下啊， p e， p， e 和得 e 相等，它俩相等，它俩相等。那我过 p 点向下做垂线，根据平行线分线段成比例是不是？呃， 这个点咱们放个字母 m， 这放个垂足是 q， 对 吧？那是不是得 m 和 m q 也相等，那得 m 长度负三到一四个单位，所以 m 点到 q 是 不也是四个单位？那么 q 点坐标就应该是五到零， 那 p 点横坐标就应该是五，对吧？横坐标是五往里边带就可以求纵坐标，求完之后， p 点坐标就应该是五，逗号六。 这是第二题，还是比较简单的啊。第三个题它说的是将这个二次函数图像沿着射线 bc 方向平移， b 点坐标是三斗零， c 点坐标是负的 啊，啊，零度二分之三啊，零度负二分之三，所以第三个问啊，第三个问， bc 直线是可求的， y 等于 二分之一， x 减去二分之三，对吧？这是可以提出来的。然后它沿着 bc 这个方向平移的话，平移后的二次函数与 x 轴有两个交点，右边的是 f 连接 ac 和 c， f 之后求平移之后对称轴是 m， 然后说面积啊， a、 c、 f 的 面积是小于二分之三的时候，然后他问的是 m 的 取值范围啊。那我们先看一下整个这个图来说， a、 c、 f 是 这个三角形的啊，对吧？ a 点个字， a、 c、 f 的 面积 o、 c 长度是知道的， 所以其实三角形 a、 c、 f 的 面积我们要算的话，应该是二分之一乘以 a， f 乘以 o， c 底乘高，对吧？那这个数就应该是二分之一， o、 c 是 二分之三， a、 f 是 不知道的，所以这个数它是小于 给的面小于二分之三的，这呢？啊，小于二分之三，那这个时候我们去解 af 的 范围，那 af 就 应该是小于二的，对吧？ af 小 于二作为线段长度， af 小 于二，那说明 f 点在 a 点左侧的话，那就是 f 点横坐标重写啊， f 点横坐标 在左侧就应该大于负一，嗯，不对，它是负一，对吧？那就是负三 在右侧就应该是小于一对吧，题中右数它不重合，所以 f 点横坐标，且 横坐标还不能等于负一，那这就是 f 点横坐标的范围，那接下来他说要求以此来求出 m 的 区域范围啊。那这块呢，我们可以用一下小道具，老师给你说一下啊，看这，我们把这个透明纸啊给它贴，这圆函数呢，是这样式的 圆函数，然后对称轴，这是对称轴，那平移之后，这个就是直线 i 等于 m， 那 假如说我平移到这个位置，你看啊，我平移到这个位置 搁这，那如果 f 点在这对称轴必然是有一个位置的，对不对？所以 f 点的位置跟对称轴的位置是一 一对一的，就一个 f 能确定一个 m， 那 f 点你看它从负一开始啊，我就画一下啊。假如说我只看横坐标啊， f 点从这个一开始到负三，那你 f 点从这开始，然后你每次你从一到三的时候， m 点是不依次向左去，所以对应着 m 也有个范围。那这道题就是分别将这个 f 点坐标 一斗零啊，不是 f 点坐标取不到一斗零啊，就一斗零和这个负三斗零带到这个表达式当中去。然后我们去求一下，还要算一下 负一斗零所对应的 m 值，然后这个 m 值是舍掉的啊，这舍掉的，那现在的问题是啊， b 是 什么样的？你在平移过程当中， a 是 不变的，对吧？ a 不 变，那对应轴会发生变化，然后 c 也不知道是这样吗？ 但是我们知道啥呢？这道题中说它是沿着 b、 c 这个射线方向平移的，那么是不是，是不是所有点都沿着 b、 c 这个方向平移，包括这个顶点，对吧？所以咱们先求出原函数的顶点，原函数的顶点应该是是一到二， 然后因为它平移的方向跟 b、 c 是 一样的，所以这条直线应该也是 y 等于二分之一， x 啊， k 也是二分之一，然后加上一个 b， 把这个点带进去， 就可以求这幺减幺，这是 y 等于二分之一 x 减五了啊，减二分之五啊，减二分之五。所以这个抛物线你平移之后，它的顶点它对称轴是 m 啊，这啊对称轴是 m， 所以 顶点横坐标就是 m， 然后再带到这个 直线里边，就应该是纵坐标就应该是二分之一 m 减去二分之五，对吧？ 所以新的函数 y 撇啊，他就应该等型顶点式是二分之一倍的，然后括号 x 减去 m 的 平方，再加上二分之一 m 减去二分之五，是不？这个然后再把刚才说的三个点都带进去，就可以求了啊。来，我们算一下， 刚才那三个点是一斗零，负三斗零，然后往里边带负一斗零，是舍掉那个 m 值。抛物线表达式，咱们生成这样的啊。那我们来算一下， 第一个把这个一斗零带进去，那是不就应该有二分之一倍的一减去 m 的 平方，加上二分之一 m 减去二分之五等于零， 应该是这样的，然后这个方程咱们化减啊，化减之后应该是 m 方减去 m 减四等于零，所以减完两个值求根公式就行，一个是二分之一，减去根号十七，另外一个是二分之一，加上根号十七，那么要哪个呢？这里边 f 的 边界那个点是一斗零，对吧？然后你这个 m 值比一斗零这个点还要，又还要靠右说这边了，那不符合提议了，因为提供说 f 点是右边的那个焦点，对吧？所以 m 应该在这个位置，那应该选它啊。所以此时对应的 m 值就应该是 二分之一，减去根号十七，然后同样把负三逗零也带进去啊，那带入负三逗零，就应该是二分之一倍的负三减 m 的 平方 加上二分之一 m， 减去二分之五等于零啊。这个一般是化简，是 m 方加上 m 方加上七 m， 然后加上四的零，也是两个值，一个是二分之负七，加上根号三十三，另外一个是二分之负七，减去根号三十三，那道理一样，这个是舍掉的啊， 要的是这个值，所以此时 m 的 范围就应该大于二分之负负七 减去根号三十三，然后这边是小于二分之一，减去根号十七啊，这是负七。是这样的，那还差一个点呢，就是你把这个点带进去，把负一逗零带进去，带入负一逗零，就是负一二分之一倍的负一减去 m 的 平方， 然后再加上二分之 m， 减去二分之五等于零啊。解这个，解完这 m 也两个值，一个 m， 是 啊，正一和负四， 然后这个舍掉了啊，这个舍掉了，要这个，所以最后就应该是且 m 不 等于负四啊，应该这个就是答案了，这就答案了啊，明白了吗？拜拜。

沈阳初三家长同学们注意！二零二六沈阳中考二模刚结束，很多同学初考场就吐槽题太灵活，根本做不完。这次二模数学完全贴合大考命题风格，含金量超高。 试卷基础题很友好，基础扎实的同学，这部分属于拉满了，真正拉开分叉的。关键是中档题题型改变了原有的套路，结合生活场景和几何综合应用，考验的就是灵活答题思维。答题方式不够灵活的同学很容易在这里大量扣分， 压轴题更是完美对标中考难度。函数、动点、圆珠盒、四边形折叠三大高频题型，答题步骤较多，也是与尖子上拉开距离的核心题型。试卷已经给大家整理好了，想挑战的可以试一试。口令一。

沈阳二模试卷分析来了，今天大家刚考完沈阳市二模的那个物理是吧？啊，今天我就带大家分析分析这个卷子的难度，因为我从下午开始就陆陆续续的收到我学生给我发的微信， 可谓说是听雪哀声一片，哈哈哈，然后那功夫我也简单看了一下这个卷， 现在我也没做呢，我就以做题人的视角来分析分析这套卷子，因为这样式的话也更能贴近学生的心理一点是吧？然后啊，在这之前我还有件事要说啊，最近我这个私信有好多人私信我，就是 想找我去上家教一对一嘛。啊，我在这统一回复一下啊，因为现在呃毕业季嘛， 课排的比较多，所以说现在目前来讲是分不出来精力去给大家上，然后大家比如说初二的或者是高一高二的那种学生，可以在啊中考之后然后私信我， 我到时候给大家安排时间。像是有想找其他科老师的那样式的同学啊，初三的还有高三的，目前我也帮不上大家的忙了，因为马上就要那啥了，大家现在的老师时间都很满。好， 咱们进入正题分析下这套卷子，我给它放大一点哈，先看这个选择题哈，第一题，下列现象属于机械运动的，是送分题对吧？第二题， 生现象送分题。第三题，光现象，送分题。第四题，舞台变化也是送分题。第五题， 不太常见啊，大家来，我带大家读一读哈。将纸剪成小鸭子形状，他们的脚用胶水粘在桌面上，用毛皮摩擦过的橡胶棒。首先咱们得知道毛皮摩擦过的橡胶棒带负电 靠近小鸭子头部，看见小鸭子们站起来，如图所示下来说正确的是， a 毛皮摩擦过橡胶棒因为得到电子而带正电， 咱们得知道电子带什么电，电子带的是负电啊，所以说他得到电子，他得带负电。然后 b 构成物质的分子直径通常用十的负十四方米为单位来度量啊。很多同学可能对于这个分子直径的概念有点忘了，到底是多多大的一个数量级忘了，那没关系，咱们往下看，鸭子的脚能粘在桌面上，是因为分子间存在翅里，你都翅了，还能粘吗？对吧？ 对，小鸭子被橡胶棒吸引是因为他们带有同种电核啊，这更不用说了啊，所以说排除法能把这个 b 啊给排出来。 前五道选择我看是没有什么问题的啊！第六题，弹簧。然后大家一看 a 选项弹性势能，咱们大家做基能这块的题，其实更多考的是什么呀？ 动能和重力势能，对吧？然后这个冷不丁考个弹性势能，可能是有点忘了，咱们弹性势能大小跟什么因素有关呢？跟物体的形变量还有它的材料有关，对吧？ 然后 b 考的什么压力啊？然后 c 考的是惯性啊，然后 d 考的是什么机性能总和变不变的问题。所以说这个第六题也不是难的。第七题，安全用电更不用说了啊！第八题， 大家一看碳纤维，咱哪知道碳纤维干嘛的，为了减重的。为什么减重啊？它的密度小，硬度大啊，所以说用它等材料做什么东西， 选项也都不难啊。总体而言，前八道选择都没有难的。第九题，第九题， 正常来讲他大概率考的是呃动态电路的题，但是这回考的什么福利这一块的，他不仅考福利这一块，他还考的是表达式的啊。先说这个图像哈，这一个对于咱们福利那一块的基本功要求还是很很高的啊。这 四个图像你得知道福利等于重力，然后整体法知道福利等于他们总重力什么之类的，光是图像就得 out 一 批了。再说这个代数式 啊，反正以我目前带的学生看，对于代数式好的学生不多啊。不多，因为他们平时也接触不太上这个代数式的。萌萌你都能强强联合，而且更相对而言，咱们这个 啊，动态电路咱们好歹 a b 选项有数啥的，咱们还能跟着蒙一蒙，这代入式你蒙你都不好往上蒙。所以说这个第九题算是挺难的了啊。 那总体来讲，这个选择只有这一道是难的。然后看填空，第一个简单，第二个简单，第三个简单， 第四个受力分析啊，很多同学平时因为也做不太上受力分析的题，因为他现在咱们刷的都是模拟卷，受力分析这一块出的很少，而且他这个出的是什么？两个物体的受力分析， 两个物体中间还拿根绳连着的受力分析啊，主要是看你会不会什么整体法隔离法之类的。反正我没太仔细看这个题啊，但对于这种模型来说就是整体法隔离法这种做法， 我估计这个填空题会舍一部分学生，然后十四一个动滑轮，还不是滑轮组。所以说这个很简单。十五题啊，这个电路题了，我看一看啊 啊， v 二并列在哪个间数上？这第一个空还是比较简单的， 第二个空需要算一算了，很多同学可能看一看给这么多数就开始蒙了，对吧啊，你要是有耐心把它算的，在这个第二题，你电路那块学的还可以情况下，并且有耐心算的话，他可以算出来，但是啊，前提是你看见这些数不打错的情况下。 总体而言，这个填空哈，受力分析的这一个会使得一部分学生啊。第十五题也算是有一点难度的题哈，因为他首先他阅读量就在那了，给的数也很多，计算量在那了，他也可以算是一个难的题。这个填空 啊，男的占比要比选择的占比高一点哈。再说这个作图，一个平面镜图像，一个画立地画重力，这个两个作图题还是非常简单的哈， 然后热血实验，热血实验我看一看啊，送分送分送分送分送分， 前五个空都是送出来的，这个我估计前五个空错的同学很少，应该主要是这第四个空。这第四个空我看一看啊啊， 用油加热这个东西会产生油渣，然后使用这个仪器啊，为什么会，就是怎么样能把油渣给分离出来，就是下边放水，上面放油，这个我感觉烤的是生活常识多一点 啊，密度小的液体飘在上面，然后油渣进入到水里啊，油大进入到水里往下沉 啊，但是我估计这个也可能会丢一部分啊，有一部分学生丢分。首先他这个不是咱们常规做热学实验能遇到的空啊，是属于遇到一个啊，见一个长一个见识的这种空啊。 嗯，这个空可能会丢，丢一分，但是总体而言，这个电学实验不是热学实验啊，是比较简单的。然后电学实验我看一下，这电学实验放第二个来了， 送分啊，电路故障分析送分，读数送分， 然后求平直方法是为了这个。我在上上个视频里边有说过啊，咱们实验一共分为两类，一个是探究类实验，一个是测量类实验，然后他们多次什么测量求平直对应的这个好处啊，是什么我都有说过，大家可以看一下那个视频啊。 然后第六个空有一点点难度， 嗯，我看看啊，电压的波形通过不允许拆线电路，然后再连接一下，干点，这个首先你得知道干电池一节干电池是多少伏，一点五伏，这个你得知道啊。然后电源实验，总体而言，前 五个是属于送分的，最后一个空有点难，丢一分无所谓了啊。然后 摩擦力，这个摩擦力跟咱们之前做的有点不太一样，对，不看见摩擦力大小。这个实验，首先你看这个图啊，拉木板，然后拉力传感器，然后这还有鞋面，是吧？首先看这个图，跟咱们平时做的不太一样啊，但是也不能就这么说，咱们往下看一看 这个空啊，送分的空二里平衡的知识，然后给你一个表，给你几个图像啊，很多看见图像蒙的同学看见他可能会挡住啊，但是 这主要考验你数学功底了，你能否看出他是成正比的还是成什么样的啊？比例 a， d 极乐里边选一个啊，但这个空肯定不算是难的空。 然后又一个表，你给这么多表，可能同学看上去就打怵了，不说他这个题难不难，他会在学生的心理上边给他一定压力。 哎呀，说到压力，问了压力怎么样，对鞋面的压力啊，大鱼还是小鱼？这个有点常识都知道。常识都知道啊，在平面上的压力肯定是要大于鞋面上的压力的啊。对于鞋面的压力，因为他那个是 重力的分力压到鞋面上啊，这我估计我的同学应该啊，我教的学生应该不会错，然后滑动摩擦力大小为啊，上表里找，然后 用摩擦力还有 f 一 f 二表达表达式，这个空还主要是考什么呢？ 数学功底，你数学好的同学，这个空用表达式的方式表达出来。但是有那种纯物理好的学生 啊，怎么说呢，就是因为咱们物理是理解性的学科嘛，对吧，很多同学可能数学不太好，但是物理计算量也没有那么大，他啊，靠理解也能拿到比较不错的分数 啊。所以说这这种我称之为纯物理好的学生，他这个可能会差一点，但是大部分还都是数学和物理，毕竟还是理科嘛，息息相关的啊。数学好的学生，这个问题不大啊。总体而言，这个摩擦力， 这个实验难度不是特别大，主要是看你这个心态啊。你这个心态放平啊，仔细去阅读了啊，去尝试理解这个题了，这个空都不是难的空啊，但是你这个阅读量实在是有点太大了。接着往下来， 我一看见这个时候两眼就黑。望远镜，怎么说这个望远镜呢，我给大家打个比方哈，因为我 就是一直跟着我的学生吧，我是从初三上学期我就带他们把初三全运册的内容都学完了直接进入一轮复习了。直接啊就初三上学期我一轮复习带他们完事假期开始我直接带他们刷那个模拟卷。直接带他们刷中考卷了 啊我带他们先刷的。是啊有一个这么练习册叫四十二套卷。四十二套卷他是有二十套大卷啊。也就是啊往年的中考真题还有模拟卷二十套大卷还有二十二套小卷这么一个练习 册其中二十套模拟卷里边这个望远镜只出现了一次啊所以说这个考频 非常低了。那你就寻思吧他只出现一次那我会讲几次呢我顶多也就讲一到两次呗。我可能想到凸凸镜带他们就是某一个知识点谈到凸凸镜的时候我可能啊会带他们捋一下这个望远镜和显微镜这个成像规律 但是这个望远镜啊可能很多同学一看到望远镜完了蒙了啊然后但是啊不要信咱们看看空啊首先第一个空中心大致在同一高度处这是送分的啊叮当配再往下来 来回光移动光屏比较像的什么你就喜欢的比较什么对吧。呃 圈二有什么物距和焦距的关系满足什么条件时相的高度相的高度大于啊大于高度的一半往这表里找一下这也是送分的。 就看你看不看数啊你别看见望远镜你一蒙着啊完了望远镜我不会，这题我不会然后你就直接往下就不好好做了你要好好做的情况下你这个课肯定能弄出来啊。 这个求相距范围。首先你看看啊，物距是二十三厘米时，咱们得上这里面找去。物距二十三厘米时，相是多大呀 啊，咱们雾是多大？往上看一下，雾是三厘米，然后象的时候二点几厘米。首先咱们知道什么成的是缩小的象，缩小的象倒立缩小的象。什么应用照相机，照相机什么规律啊？雾距大于二倍焦距相距呢？大于一倍焦距，小于二倍焦距 啊，你就去算吧，根据根据这里边你去看焦距的范围呀。啊，算倒是不难算， 但是呢，很多学生不懂事那一块学的可能差一点啊。都是啊，因为我很多同学对于这个啊，脱口秀杨规律，他可能背的非常非常好啊。什么这个啊，一背交集分，二背交集分大小什么把那个表能给你写的明明白白明明白白的，但是到算的这一步他就不行了啊，这 找数学老师去啊，把不懂事好好看一看。你得大胆的往上练你得大胆的去，他大于多少，他大于多少小于多少往上练。你这个空可以拿下的啊，我估计这个空会谁也不能学着。 然后以凸透镜作为望远镜的。什么镜你得知道望远镜有一个木镜有一个物镜，这个空跟望远镜有点关系，但其他空呢？你说实话关系不算特别大啊，然后为了更亮一点，选择直径更什么的凸透镜，你 这个常识的东西了，你哪怕你学生物你也得知道了，你想要观察这个雾，那个更亮一点，你那个显微镜应该选择直径更什么的凸透镜啊，对吧， 那总体而言，这个你只要没被这个图一下给吓到，你这个实验题还是能拿到更多的分的啊。也就这一个空，不太好去算，其他的空我觉得都还可以哈。 这个计算我一看见时候我都笑了。这个计算可以说是啊，非常贴近去年中考计算的难度的，都是一刀出。我刚想说这个计算我哪个学生要是给我丢分了，我就 你别说，今天下午真有一个学生跟我说了，老师我计算题一题扣分了，我说咋扣了？ 他把括号一括号二括号三怎么算都跟我说了，他说括号一，根据 p 等一方比 r， r 等于一方比 p， 求它的电阻，括号二 w 等于 y t 求它那个电容，括号三 q 等于 c， m t 减 t 零，求它这个升高这个温度。 我说没问题啊，我说那你怎么算呢？他说我算电阻得一，我说你电阻怎么得的，一 r 等于 u 方比 p， 你 u 方是多少？四八四零零准当告诉我四八四零零 p， 这刚明白写着四百，我不知道他写的什么数，四八四零零除以一个不知道什么数，导致它电阻得一了，这给我呸， 那你说你括号一，你电阻得一，你后边你怎么对你怎么对你咋。 他能拿多少分我不知道，因为没看见答题卡，我也没看见他那个做题那个那个痕迹啊，只是他给我口述的一个， 但是这个两个计算题纯送分的，纯送分，这两个太不带太不应该丢分了啊。虽然说前边出的有恶心的地方多了一点，但是计算这一块，那不啊，安慰你一下，然后重头戏来了， 从现在开始是材料题， 我一看见材料题时候我都笑了，你说你正常材料题你出多少合适啊，你就出这一张一面，你就完事了呗，这家伙整多些两页半 你。我真的没有时间跟你闹了你，你考语文阅读呢？你语文阅读才多些啊，你也就一面半，然后算上题两页呗，对吧？你语文阅读你七分你七分，你 整这老大阅读量你干啥呀你不仅阅读量大，你我看看有没有计算量啊啊，也有计算量，这括号二的计算量就给你安排上了，这老长又代数式的又压力系数你谁给你算呢？我还得读我还得算 你不是你看空前空后你就能拿分的那种材料题你太不友好了，而且还有我还看见哪个空啊。 如果嘚一小于嘚二，他应该顺时针转九十度还是逆时针转九十度？你真的得去看图并且去阅读。这个东西谁看呐？你前边你前面，恶心地方恶心人地方已经那么多了，谁给你读这个东西谁给你读 啊？不好意思啊，太激动了，谁给你读啊，你怎么读啊，你读的过来吗？反正这个材料题我不做评价了，就大家看 这个。我刚才哈那功夫我也读了一下。我不做评价，我只说一下我的感受啊，我读完第一自然段读第二自然段，我读到第三自然段的时候我忘了一二自然段说的是啥了。你左一个数右一个数，你左一个值右一个值的， 我忘了他们之间啥关系了，我得反复去读。还得啊，记不太住。不知道啊，但总体而言这个卷子哈， 不评价了不评价了。我说一下去年的中网券，去年中网券也有恶心人的地方，他出在哪呢？出在了填空题的福利的那道啊，福利高度差的那道， 两分啊，他的计算量非常非常大，但是他只有两分这一个，我认为这套卷子想要过期时不是一件简单的事，苦就苦了哪些同学呢？苦了平时分数在六十五到七十五之间，这些同学 他没有那种中等偏上的难度的题给你去拉分，要么就贼简单，要么就贼难啊，贼恶心。就是贼不常见 啊，好在哪，好在你平时四五六十分的学生，你该拿分的地方你照样可以拿分，并且这个计算题送分啊。所以说 啊，只能说是苦了平时偏上的那些学生吧。啊，所以说这回要是没考好的话，不用气馁啊，他确实是 可以丢分。我我我认为啊，我我我个人认为可以丢分的地方比较多啊比较多，所以说这回你哪怕平时七十出头那种学生你就可以考个六十几分啊，无上大雅啊，没事啊，不用担心，没事的没事的啊，主要你是得看排名吧啊，对吧啊， 所以说我为什么不评价这套卷呢，因为我肯定没有人家出题老师专业，我只是发表我自己做这套卷的见解， 我没有什么很深的资历去评价这个出题什么啊，这个题应该出百分之多少，那个题出百分之多少我没有资格去评价啊，我只是说一下我做这套卷我的看法和我对我学生的期许啊，所以说 啊，哎，这看我学生又给我发微信呢这滴了，隆隆的看一下，我现在带大家听一下啊， 这听不见是吧，我那个转一下文字老师，这沈阳市二模也太难了，最后一题我都没读懂。哈哈， 那我也太牛逼了，我没有减少任何损失，我写个防止热热损失。还有那什么啊，那个直径不说大吗，我写个直径长。 还有什么玩意，我最后那个画图两根线我忘了连了哈哈哈。啊，又是在吐槽的啊啊，就一个小插曲啊，我刚才说到哪了，反正就是 中等的学生，你们这套卷子有福了，你该拿的分你还是可以拿到啊，并且这个计算题送你分了啊，中等偏上的，平时七十多比较好的这些学生如果说这回没考好。不用气馁，这套卷子确实阅读量和计算量有点大，我个人认为 啊，所以说哪怕你没算出来呀，或者是心态有一点存在一点问题之后，然后导致后边的题做着没有那么顺手了。也不用怕啊，没事的没事的啊。好，咱们下期见。

初三二模能考五百分，相当于中考多少分？一模、二模、三模到底哪次成绩更接近中考呢？很多家长都在纠结，但是你把心放在肚子里， 一模考试不用太放在心上，因为一模考试大部分出题都比较难。而二模考试呢，就像咱们鄂尔多斯昨天刚结束的二模一般，在这个时间节点较严时，也都精准把握了中考的命题趋势。二模考试的含金量是比较接近中考难易程度的， 所以二模成绩具有一定的代表性。就拿昨天咱们这的二模来说，题整体不难，但偏基础。 但今天孩子们过来纷纷反映说没有考好，一问原因呢？大多都是因为粗心。可是你细想，这看似是粗心，其实不是真的粗心，说到底是孩子做题习惯不够好，还有就是概念没有记牢，答题步骤不熟练，像是跳步骤了，数字算错了，这些细节性的扣分都是基础不牢的体现。 但是我想跟咱们鄂尔多斯的初三学生说一句真心话，距离中考还有一个月的时间不到，中考你就有逆风翻盘的机会。不管这次二模考的怎么样，好也罢，坏也罢， 咱们接下来就把基础分该拿的都拿到，会的东西保证不出错。先把一张试卷里所有会的基础分都稳稳的拿到手，然后再去攻克那些难题，尝试着去突破。所有家长要在评论区打出我家孩子中考一定能考出三年里最好的成绩，加油！

哈喽，大家好，我是在沈阳教了十五年初中数学的王老师，今天呢是我们沈阳市二模，这个中考二模这个已经考完了，那个卷纸拿到手了，看了一下 整体，我觉得各位孩子应该考的还都不错，因为二模的这个难度还是循规蹈矩的，要比一模要简单。 这个二模他的第十五题，可以说非常简单的一道题，他是结合了的等腰，直角梯形、八字形相似、勾股定律、 平分、平行等腰这样的一个共存的这样的一些关系，包括一些基本算法，这个题就可以做出来，基本上是没有什么太大的阻力。 二十二题和二十三题，二十二题呢，它是一个函数，常规的我们会把函数放到二十三题，它这个互换的一个位置，但是在本质上这个无所谓，反正二十三数这个题我早晚都得答，对吧？先答后答其实没有多大的影响。 这个函数这一块也非常简单基本的考法，函数的这个解析式图像的平移，包括要找那个焦点 f 它的这个范围，进而讨论出来它平移之后的抛物线，它的对称轴的一个曲线范围。 二十三题，解数综合题，这题呢，可以说也是很简单的，在我们沈阳本地的这个模型经常会被称之为叫胖瘦模型，其实呢就是一个四边形 对角互补，有一种连线的，我们进行旋转来得到我们想要的一些东西。纵观整个这套卷纸，我觉得和二四年还有二五年 咱们辽宁中考的真题还是非常相像的。其实呢，也给我们释放了一个信息，大家呢一定要回归教材，要抓住这个基础和重大题，不会太难。最后比的是谁食物少，谁更注重细节，加油！

沈阳的模拟题可以说对于我们整个辽宁中考来说都具有一定的导向性。 沈阳二模已经考完了，我们通过对沈阳二模亚洲棋的特点分析，不难发现，它更加注重了我们对于知识点理解的深度 呃和图形的演绎推理能力的考察。我们来拆分这道题，平行四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 等于 c、 d 等幺三角形 角 a、 b、 c 加角 a、 d、 c 等一百八十度对角，这两个角是互补的，连接 a、 c 将三角形 a、 d、 c 沿 c、 d 折叠，那这里这里，这里，仍然是相等的两个等腰三角形 啊。延长 b、 c 至点 e， 令 b， e 等于 a， b 连接 e、 f， 得到 e、 f， 如图一求证角 b， a、 c 等于角 e、 c、 f 让我们证的是这个角等于这个角。 显然一问考察的就是我们一个导角，特别常规的一个导角，那么我们在导角的时候不妨设未知数。设未知数导角更加的直观， 比如说在分析的时候，我们发现 x、 x 等腰三角形 x 度，所以翻过来就是 x 度，就是 x 度， 那么我们要正的其实是其实是这个角等于这个角。那既然倒角了，我们不妨把能知道的角或者说能表达的角都表达出来， 那么我们就知道这个角是一百八十减二 x 度。三角形的角和因为其中给了一个互补，所以这个角就是二 x 度， 那么我们不妨设这个角是 y 度。接下来我们要导这两个角相等，只需要导出来它也是 y 就 可以了。所以那这个角， 这个角是多少呢？那这个角就是一百八十减二 x， 再减一个 y， 那 么在左侧三角形 a、 b、 c 中，三角形内角和又是一百八十度， 又是一百八十度，所以这个角必定是 y 度，那么我们的疑问就轻松地搞定了。 或者说你刚才在导角的时候设 x， 设 x， 设这里是 y， 也可以设这里是 y， 它俩在表达的时候也很容易表达出来。我们在导角或者是导线段数量关系的时候， 大胆的去设位置数，设出多个位置数也无所谓，只要最后他们表达的形式是一样的，那么这两个点就相等。从一问我们能我们能感悟出什么呢？总结出什么呢？很多同学 发现了什么对角互补，临淄相等，他就考虑去旋转了，这也就是对于这一个模型的死记硬背，你会发现这个时候就失效了，所以对于模型的死记硬背的时代已经过去了。 好，那接着我们分析看二问，二问说角 a、 b、 c 等于九十度的时候，这里呢？九十度还是翻过去？翻过去，那这里是九十，再翻过去九十，所以 都是等腰直角三角形，也就是 a、 d， c 和 c， d、 f 都是等腰直角三角形，仍然有 a、 b， a， b 等于 b e， 让我们求证， b g 等于 b e 就是 b g 也等于 be， 我 们通过分析不难发现，这个是等于这个的，有这两个边相等，然后我们要证的是 be 等于 b g， 其实这个 b e 等于 b g 不 重要，重要的是如果没有下面这个图形，我们对于上面的这个图形 能得到一个什么样的结论？ 其实这也是我们比较熟悉的一个题型，从你初二的时候就开始开始练这个题型了， 这里有九十这个边等于这个边，这显然是你的一线三垂直模型，或者一叫做一线三等角，那么我们做下来垂直， 做垂直之后，必然有这两个阴影三角形全等，那么这两个阴影三角形全等，这条线段就等于的是这条线段， 这两条线段相等，以及这条线段等于这条线段。 而刚才它又有一个 b e 是 等于 a b 的， b e 等于 a b， 那 所以你就得到了一个 标一下字母，这是 c 点啊， c 点， e 点 m 点， 所以我们就能得到呃 b 点。 b c 等于 m f 以及 ab 等于 c m 等于 b e。 已知条件， 那也就是 c。 呃 b e 等于 c m， 那 b e 等于 c m， 所以 等量减，等量减，中间的减中间的 c e， 我 们就能得到的是 bc， 等于 em， 再结合上面的就等于 m f， 那我其实我们这里就得到了 e m 等于 m f， 那 么这里就得到了三角形。 e m f 是 等腰直角三角形。等腰二梯三角形，那这里是等腰二梯三角形， 我们就得到了。这里是四十五度，我们坐到原图上来，那这里就是四十五度，通过这里是四十五度，我们就对零角四十五度，那这个是九十，这个是四十五度，所以就得到了 b g 等于 b e， b g 等于 b e。 我们对于二问，除了掌握这种方法，其实是还需要掌握其他的方法的，我们来看一下，为什么要掌握其他的方法呢？如果他条件给的不一样，我们的这个一线三垂直会失效。我给你举个例子， 这里有等腰直角三角形，这也是我们做过的练习题，等腰直角三角形 a b， e， c 是 这上面任意一点连接 a c， 过点 c 做垂直的一条线， 然后呢，我们接下来在这做一个四十五度， 这个点是四十五度，这点是四十五度，和它交于点 f 吧。然后让我们探求 a c 与 c f 的 数量关系， 是学全等哪里的？练习题，你会发现其实就在考察我们对于全等判定的理解，那此时如果我们还是这样，这有垂直是吗？你想做一线三垂直， 想证这两个三角形全等，你会发现你是失效的。为什么证明三角形全等必须有边相等存在？你的全等的判定，不管哪一条，必须有边相等存在才可以，而这里就没有边相等了。 没有边相等，虽然你这里是四十五度，你做出来它是等于它的，那也没有用啊，这个时候你只有这个角等这个角，这个直角等这个直角，你就缺少了一个条件，所以那在这种情况下， 我们不是缺一个边吗？那么我们就需要构造出一个边相等，然后正出它俩全等了。那么我们怎么做呢？ 做辅助线实现一一箭双雕的办法，截取 b m 等于 b c 连接 m c， b m 等， b c 连接 m c， 所以 显然第一个一箭双雕第一雕，我们就得到了二七三角形 b m c， 那这里就是一个四十五度这个角，所以这个角就是一个一百三十五，而刚才这里是四十五，所以同样的这个角也是个一百三十五，而刚才我们得到了 bc， 等于 bm 做曲线做的等量减等量，两段红色的就相等， 所以再结合你倒角倒的这个小角等于这个小角，那么以及这个一百三十五等于一百三十五，所以就是角边角就挣得了这两个三角形圈等，也就是黑色阴影的两个三角形圈等。 是不是直接考察了我们对于全等判定的理解。你在做辅助线的时候， 然后你在做垂直线的时候要实现，要实现你对于全等所需条件的提供。 当然了，那这里在做垂直线的时候，我们也可以直接这个坐四十五度上来，反正这里就是一个等二直角三角形，其实也可以这样，我刚才不是截取 b m 等 bc 吗？你也可以截取 a m 等于 c e， a m 得 c e， 先全等，然后等量减等量，等量减等量，你 b m c 后正出来，它是等腰直角三角形。 其实你会发现，我们中考题在做辅助线的时候，很多时候它这是一个典型题，做辅助线目的是一个特殊三角形，我在之前的好多视频里都讲加上一对全等。 好，那么对于我们的二问，我们就解析完毕，看我们的最后一问， 最后一问他又给了条件说角 a、 b、 c 的 一百二十度的时候，那这里是个一百二十度， 那这里是一百二十度的话，它不是有一个这个互补吗？所以这个角就是六十，然后又有 a d 的 c d， a d 的 c d， 那 这里就是等边，那么角 c、 f、 d 也是等边，这就是两个等边的三角形。 然后呢，它还要求的是 ab 的 b e， ab 的 b e， 然后让我们求角 b 圈一，让我们求角 b 记一的度数，这个记点是咋出来的？还是延长 f e， 延长 a、 b 交于这个点，那么这一问 反而是要比我们的括号二要简单一些，我感觉那你想这是一百二十度，你延长出来这是多少度呢？六十。 而通过刚才我们的分析，就是通过我对圈括号二的讲解，如果你做辅助线这样做的话，我感觉会更容易 勾到特殊等腰三角形，勾到等腰三角形 c、 m、 d 以及一对全等全等三角形 a、 m、 c 与三角形 c、 e、 f， 它俩全等的话，你这里是一百二，所以等腰三角形底角三十，所以这里就是一个， 呃，一百五，所以这个角就是一百五正弦能得的，所以延长出来这个角就是三十，所以三角形内角和这里就是个九十度。 呃，那么我们对于圈一就分析完毕了。 圈二他说 a、 b 得八，那 a、 b 得八，还是在这个前提下一百二十度，前提下它是八，那么 b、 g、 b、 e 就是 一个八， b、 e 就是 八，还有一个角， f、 c、 g 的 一百五， f、 c、 g 这个角是一百五十度，这个角是一百五十度，然后求 bc 的 长，求 bc 这个的长度， 我们不妨画一个大一点的图，然后 a、 b 的 八，那么我们知道 a、 b 的 八的情况下，我们都能知道什么呢？先把数据该知道的标上，那 b、 e 也是一个八， 呃，那这里三十度角，六十度角，所以这里就是个四， 以及 f、 c、 g 等一百五十度，这个一百五十度是必须要分析透的，如果你分析不透这个条件，其实那这个后续就可以不用做了，你不用上这个条件，不可能把题做出来。 那么我们先分析一下，说这里是六十等幺，这里是六十，这是个一百五，所以二百七十度，三百六十度，所以这里是个九十度的，我们能分析出来啊，这里是九十度， 然后这里是一个八，这里是个四，最后让我们求一个 bc 的 长度，求一下 bc 的 长度， 那么要求 b c， 我 们就直接设 b c 的 长度是 x， 设未知数，然后还要进行去表达一会儿，一般的时候我们是要构造关于 x 的 方程， 之前也讲过构造关于 x 的 方程的时候，就那么几种办法，勾股定底，相似三角函数 最常见的。好，那么我们来看这里是 x， 我 们如果想要尽量的去表达的话，能知道一些什么东西呢？ 如果想要表达的话，是这样还是那条谱子片做出来，所以这里就是个 x， 所以这里是一百二啊，这里是一个三十，这里是个三十，那这里是一个多少呢？就是根号三 x， 如果你熟悉的话，那就是一百二十度的等腰三角形，底边是幺的根号三倍，它是根号三 x 啊。在这个情况下，我们一会想要构造的是关于 x 的 方程， 要构造关于 x 的 方程，如果你表达这里了，其实我们的思路就，呃，有点像难的思路上去去考虑了，我最开始做的时候，第一种思路也是这么做的， 那么这个时候根号三 x， 我 自然能知道的是，它不是有全等吗？这个就是根号三 x， 这个是根号三 x， 然后我说了 bc 是 x， 那 这里就是一个八减 x， 呃，然后呢？这个时候是你想到了这里是直角构造方程的时候，你最开始就预想到了要勾股定力，也是也就是利用二七三角形 a c g 来勾股定力，那你就得想办法来表达 c g 以及想办法来表达 a c， 那么我们观察，也就是我也是我们比较熟悉考的一个题型，观察这个三角形 c e 啊 c e f 和三角形 c g 啊， f c g f， 这两个三角形是子母形相似， 子母形相似，那就有 f e 比 f c 等于就是 f e f e， 这里以 f c 就 等于 c e 比 c g 等于 c f 比 g f， 而这里 g f 其实我们也是知道的，在这个三角形 b g e 中是三十度，特殊向量上这里是四，所以这个长度是一个四倍，根号三啊，那其实按照这个思路想，理论上是应该能做出来的。我们往里代值一会去表达 f e 是 谁呢？ f e 是 根号三 x f c 是 不知道的， f c 等于 f c 比 g f g f 是 知道的，那也就是根号三 x 加四倍根号三，所以 f c 是 能表达的， f c 能表达，然后不还等于这个 c e 比 c g 吗？ c e c e 是 八减 x 等于的是一个八减 x 比 c g c g 是 不知道的，你 f c 表达出来了，那 c g 也表达出来， 那么就相当于 c f f c 表达出来了，就相当于 a c 表达出来，然后就相当于这个 c g 表达出来了，而这块是个十二，所以固定里构造方程，构造 y x 方程，那我在做这个的时候，其实我没有往下去算，因为这里一定是非常不好算的，正常情况下，这个如果在考场上想到这个办法，你就把这个表达出来列上，呃， 理论上来说他是对的，然后解的时候没有时间就不用解了，放在这就行。那我们在平时做的时候肯定是马上想，他一定是有简单办法，那他的简单办法同样的还是需要在九十这里面做文章的呀， 那在九十这里做文章，其实我们回到这个图上来，这里不有直角吗？你最常见的就是双垂，双垂型有相似， 所以做辅助线的时候就是考虑到过点 c 向下做垂直， 你过点 c 向下做垂直，还是设 b， c 是 x， 那 么这里就是啊，已知的八，这，这里是 n 的 话， 那你的 e n 就 等于，这里是是有个六十度的外角啊，补角是有个六十度的，这里是六十度，所以 e n 就 等于是 呃二分之一 x。 当然了，到这里你考虑到如果是感觉分数不好算，你马上就给它改一下，设 b c 等于二 x 就 好了，那么所以 b n 就 等于 x， 所以 c n 就 等于根号三 x， 就 少少带一个分数的事儿，然后那就接着往下来 有双垂形，那其实就是利用相似，或者是利用三角函数构造方程。 c n 是 根号三 x， 然后既然有双垂形了，你马上就能反应过来，还是一个倒角的事，这个角是等于这个角的尔尔，这个 这里是 b g 是 个四的，所以 c n， 所以 g n 就 等于是四减，根号三 x， 那 么角双垂形啊，双垂形相似，倒的这两个角相等，一定要观察到啊，写一下，那又又又有角 n a c 等于角 n c g， 所以 摊进它角 n a c 等于摊进它角 n c g， 所以 就有，那这个角的正切就是根号三 x 比，这里是八加二分之一啊，八加 x 等于，那这个角的正七，或者你用相似也是一样的，也就是我们刚才得到四减根号三 x 以上根号三 x x， 那 这个方程你就感觉解起来简单多了，用这个办法构造方程，那 x 求出来也就是我们要求的。

大家好，今天上午刚刚考完的沈阳初三二模数学哈，我是刘德老师带大家一起看一下这套卷啊，这套卷的话和大连这个一模哈，有一点点相似之处，就是什么，它的这个二十二题是二次函数，二十三题是什么？几何哈， 然后其余的题，我觉得整体的卷的难度还是不错的哈，还是可以的。让我们来一起看一下前面题就比较正常哈，我把这张卷做了一下， 我们来看一下这个第呃，十五题哈，从第十五题我挑一些题讲，大家可以自己划这个进度条啊。十五题的话，这个是一个什么？ 是一个四边形， a， b， c， d， 哎，角 a， b， c 等于九十度，然后 b， c 是 大于 a、 d 的， 然后他在做什么？他这个什么做出来，做的是角，平分线，加角相等又平行，平行加角平分线就会出现，什么就会出现等腰哈， 哎，然后这两个平行，这两个三角形是相似的啊，这是四，这是二，这是三，这是二分之三。勾股定力三四五，这个就能知道它是二分之五，总长就知道。这有两种方法，第一种看见等到三角形，我可以怎么办？我可以做垂直， 对不对？哎，做垂直那总长是五加二分之五，是不是二分之十五？哎，你一半是不是二，二分之十五，再除以二四分之十五。在这个三角形里面，你这个角和这个小的里边是不是都是一样的？三四五吗？ 他这个点点对应的边就是四，哎，这就是三，这就是五分，那你就可以是他除以三乘以五，哎，这是第一种方法啊。 第二种方法的话，我可以用勾股定律，我可以过点 a 往下做垂直，对不对？我就设这个长是 x， 那 这个长是不是也是 x？ 这个是三，这是二分之三，这是不是二分之九？所以说这小段就是 x 减二分之九，在这里面用个勾股定律，它方等于它方，加它方就可以把 x 解出来了哈，这个也可以哎，四分之二十五，哈，这是第十五题。 然后，哎，这个十七题考了一个我觉得还不错的啊，考了一个什么，哎，分式方程的应用应用啊，这里边你解完之后一定要什么？一定要检验，哎，很多同学总也想不起来检验啊，一定要检验啊。 然后十八题考了一个这个三角函数啊，我们一模没有考三角函数，他考了个三角函数，这个的话就正常做规范书写，还要再约哈。然后十九题，这个也比较常规一些啊。 然后二十题，哎，二十题的话就正常做就行了。他求周长的最小值，哎，我们以前求周长的最小值，经常会用到什么长度最小值，或者周长最大值，或者什么最大值，一般都是二次求最值，问题对不对？哎，这道题里边其实 出了一个什么，出了一个一次函数求对式周长。你通过把直线解式表示出来，直线解式表示出来， d 点就不要设出来，然后 d 和 e 等高，说明它的弯相同，把它的横度要设出来，把 d 长度表示出来，把 d 这长度表示出来，它还加一起乘以二，就是它的周长，哎，你算到最后你会发现它是一个关于 n 的 一次函数， 关于 n 的 一次函数的话，如果它前面系数是大一点呢，是 y x s 增大而增大，哎，然后 y x s 增大而减小，如果是系数要小一点，你看这块是二啊，对不对？而 n 给了范围， n 是 不是大一点，负一，小一点一的，所以这里边那就是 c 随 n 的 增大而增大，他让你求最小值，那我就把负一带回去，所以周长是六哈，然后二十一题，哎，这道题的话，嗯， 跟我们以前烤那块一样，这种切线不太一样哈，和我们那个，你看他给的弧长相等，哎，那弧等是不能推相对在同圆或等圆中相等的弧能推圆周角相等，那直接是不是内侧角相等，这两条直线就平行了？ 而第二个，哎，这道题我觉得出的也还不错哈，也不是很难。现在这个圆哈，好像都没有像以前出的那么特别难了啊。他说这个 d c 弧和这个 c g 弧相等，那你可以把它连上，那同弧所对的什么是相等的呀？ 哎，同时对的。首先圆周角是相等的，对不对？这俩圆周角相等，那这块是直角，是不是说明它是等腰直啊？你一连上这个 o 又是中点，这块是不是直角？这是四十五，这是四十五，两根之间平行，这是不是四十五？这块是九十。其实你只需要求出它是四十五就可以了， 因为他让你求的是什么？哎，求的是 bc 弧啊，那是不是要求它求的圆心角是多少度？那我要求半径啊。这个长是什么？根号二，这是垂直，垂直，垂直，这是不是矩形了？那这个就是根号二，这个是不是应该是个等腰直 o h c 啊？那这个就是二弧长公式一百八十分之 n pi r 就 可以了哈，求出来是二分之 pi。 然后我们来二十二题，二十三题，呃，稍微详细的讲一讲啊。二十二题，第一个问，正常把两点带进去，就可以求出它的紧式哈，一定要紧式，要求准确，求完之后一定要把这个点再带回去，看他成不成立哈，这要成立才行，你这紧式都求的是错的，后面全错了哈。 然后第二个他说什么？如图一啊，这个点 p 是 它上一个点哎，点 p 在 外面右边，然后 e 是 它的什么终点呢？ e 是 不是它的对称轴，对称轴是不是直线 x 等于一啊？ 哎，那这里边的话，这个是负三到零，这是它。如果我能知道终点公式，可以直接用哈。嗯，但是我们也可以用全的，或者用相似来正一下啊。 你看这个一点的横坐标是一，哎，这是负三的零，是不是他俩的横坐标加一起除以二就是一点的横坐标，他俩的纵坐标加一起除以二就是一点的纵坐标吧，对不对？你只需要知道它的对称轴是一，那是不是 t 减三，然后你再除以二，就应该等于一吧，你就能解出来 t 等于几？ t 等于五啊， t 等于五，把它带过去，你的 p 点的纵坐标是不是就可求了？如果不用中点坐标公式的话，你可以用全等来求，你也可以用相似来求，怎么求都行啊。 这是框二，框二也还可以，框三是稍微费点劲的啊。我们来看一下框三，读一下题，他说将二次函数它的图像沿着射线来，你要把射线圈上啊， b c 的 方向平移，平移后的二次函数图像与 x 轴的两个交点中， 右边这个点是 f， 按连接 a c， c， f 射平以后到二次函数，它的对称轴为直线， x 等于 m， 当你 f 不 与它重合的时候，这也是要画重点，这肯定是有范围要求的，对不对？说这个三角形的面积小于二分之三，让你直接写出 m 的 平方， a 直接写出， 就喜欢直接写出，不用有过程，对不对？哎，那来看一下你第一个二次函数的解析，知道你另外等于零，是不是可以把 a 点 b 点的坐标解出来了？ a 点的坐标你解出来应该是什么？负一到零，哎， b 点的坐标解出来是多少？三到零啊，对不对？那对式中也知道 c 点坐标是不是也可以求出来 c 点是不是就令 x 为零，你就能解出来它应该是多少？零到负的二分之三？哈， a 点 c 点知道 afc， 那 这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个是多少？ af 是 不是就是二分之三？ 哎，二分之三，二分之三约掉，说明 a f 就 要小于二，且你这个 f 和 a 不 重合， a f 是 不是不等于零了？他 不等于零，哎，那 a 点的坐标是负一到零，那他俩之间的距离你可以加个绝对值的，是不就说明你可以射，是不是 x f 减去负一就是加上一，他是不是小于二？绝对值小于二是不是说明他在负二到二之间？哎，你再加再减去这个一，是不是在负三和这个一之间？ 哎，可以的哈。所以你最后就能解出来什么，我的 f 点的横坐标是在负三到一，且不等于负一，那这三个是不是都是借点？ 负三是借点，一是借点，负一是借点。那我们就把这个抛物线移动后的这个抛物线解释给它搞出来，是不是就可以了？哎，然后你把这借点带出去，带回去是不是能求出那个小 m 了？哎，那我们来看一下怎么去求？你不是沿着它往左边移吗？对不对？哎，你去看啊，这条直线， 这条直线这个点的坐标是 o， 哈，这个点是那个 c， 你 看你这个是 b， ob 长是不是应该是三， oc 长是不是应该是二分之三？说明这个小角的弹性值是不是一比二？哎，然后你往下平移啊，它零点坐标是不是也相当于是沿着这条直线方向进行平移？ 它的角是不是应该都是一样的？你看这个小角啊，应该是一样的。那往左移这块，假设这块给个什么呢？给个 p q 吧，这个顶点就当没给啊。假设这是 p， 这是 q， 哎， p q 之间的长度 是不就应该是从一到 m， 因为他说往左移，哎，那一到 m 移动多少？是不是一减 m 的 单位长度？ 然后这不弹性的值不是一比二吗？那说明这个也就是 ph， 这个 h 是 新的抛物线的顶点坐标，哦，那 ph 长是不是二分之一， 二分之一减 m 长，哎，那这个 h 点的坐标横坐标是 m， 纵坐标是不是在负二的基础上再往下走二分之一减 m， 你 就用它减去它，是不是就可以求出来了？哎，就会发现它是二分之 m 减五，那这个抛物线的解释我就可以大概给它写出来喽，就长成这样， 然后我就把那几个界点带进去哈，把一到零带进去解出来，还有两个。把负三到零带进去，你解出来也有两个，那你说我要哪个？哎，正常情况下，你想啊，过这个一到零是不是左边有一个，右边有一个，你是往左滑呀， 对不对？你是不是沿着射线往左边走嘛，对不对？所以他一定要取得那个负的两个负的那个哈， 然后你要再把那个负一到零给我带进去，就不等的那个点，你带完之后，一个是 m 不 等于负四，一个是 m 等于负四，一个是 m 等于一，哎，一就是最原始的那个，那一定是要把这个扣掉，把负四这个扣掉哈， 所以说你去看他俩谁大谁小，哎，肯定是从最小的到最大的，然后把这个负四扣掉，你看负四在不在这里边，在这里边就给他扣掉，哎，这个就是二十二题，二十四题啊， 这个题我觉得出的也挺好的啊，前两个相对来说简单，第三个呢，还是有一定难度的啊，尤其是求这个，第一步你要先会求平移之后这个抛物线，哎，它的解析你要通过顶点来求它的开口大小没有变，所以说它的那个 a 二分之一是没有变的啊， 这是二十二题哎，我们来看一下二十三题。注意到题啊，这是一道几何题啊，这道几何题我觉得出的也还挺好的啊， 也不是那么特别特别难。括号三的圈二是有一定难度的啊，第一个问正常倒角就行了， 哎，记住哈，这个几何题哈，他都是给你，就是给你搭梯子。第一个问求出来的肯定第二个问有用，第二个问求出来一般可能第三个问有用，对不对？你要一点点的，他如果直接让你求这个，那可能稍微有点费劲，对不对？那我们来看一下这里边，嗯，给了说他俩 是那个互补，对不对？这俩又相等，那我就是阿尔法，阿尔法，这是一百八十减二阿尔法，这是不是阿尔法？给它翻折过来，这是不是阿尔法？哎，这三个蓝色的边都相等啊，那你看这个是阿尔法呀，这是不是也阿尔法？哎，那他俩加在一起是不是一百八十减阿尔法，他俩加一起是不是也是一百八十减？阿尔法？ 哎，同角和五角相等，这俩角是不相等，所以说括号一是不就出来了？那这两个角相等在之后的题中都可以应用了啊。那我们来看一下括号二，括号二，他说角 abc， 这个角是九十度， 他如果是九十度，互补吗？这个角是不是九十度了？哎，旁边这角就是九十度了，这俩又相等，说明这小的是等腰值，等腰值，这个大的是不是也是等腰值啊？也就是我的 c a， c f 是 不是应该是相等的？哎，可以的。然后他现在想让你求证， bc 等于 b e bc 啊， bg 等于 b e， 这是 bg， 这是 b e 啊。这块你知道是直角了，你想证明它俩相等，是不是证明有一个角是四十五度就行了，就能证出来它是等腰直了啊？哎，那我去观察这里怎么看？我看到刚才这个 acf 是 等腰直，我可能就会想到什么， 想到一线三垂直，哎，因为这块是直角，这块也是直角啊，我就不点 f 往下做垂线交 bc 的 延长线，一点 h， 你 就会发现这个三角形和这个三角形它俩是全等的， 它俩一乘等的话，你看这个绿色的边和这个绿色边相等，本身它告诉你了 a、 b 和 e 是 相等的，哎，它等于它。那剩下那俩小段是不是相等了？这一段和这一段是不是相等了？这俩算成乘等，我这 bc 和我这 f、 h 是 不是相等了？ 哎，所以这个小的 h、 e， 它就应该是什么等腰值了？它是等腰值，这点是不是四十五度？对顶过来是不是四十五度？我都是延长的，它是四十五，它是九十，这个是不是应该是等腰值了？ 哎，所以我就能得到 b、 g 和 b、 e 相等这道题，我这么做也可以，当然我还可以选择第二种方法，我就是在这块截一截，这不相当于一边一角了吗？我知道我的 c、 a 和 c、 f 是 相等的，我可以在 a、 b 上截取个 a、 h 和我这个 c、 e 相等，然后你一连接 h、 c， 那 这两个小细条的三角形是不是就全等了？ 当然全等，哎，那我就有什么对应的角相等，这个角和这个角肯定是相等的，哎，这两个红色的边相等，那 b、 h 和 bc 是 不是相等了？ 所以 b、 h、 c 是 不是应该是等腰直角三角形，这是直角这四十五，这一百三十五，这是一百三十五，这是不是四十五了？它如果是四十五，这块又是等腰直了，我这个 b、 g 和 b、 e 是 不是又可以证出来它俩相等了，哎，可以的啊，这个是 第二个问哈，也可以用两种方法来做。然后我们来看第三种第三题哈，科二三，科二三，他说当他是一百二十度，这个题我觉得考的很好哈，就是我觉得很有梯度，你看你这个科二一、科二，其实科二都在考初二的内容，这个全等对不对？而科二三的圈三就设就涉及到了相似， 哎，就把这难度往上提了一下哈，而且计算量也是有的。这里边他让你求角 b g、 e， 他的度数哦，给了什么条件？给了这个角 abc 是 一百二十度，他是一百二十度，他是不是六十度， 这两边相等呀？这是六十、六十、六十，这都是六十，这是一百二十度，哎，这不是又是那个类似于一线三三等角吗？对不对？之前一线三等角都是等腰直，这个是一百二十度，一百二十度。当然这个题你也可以用刚才那两种方法，一种是什么？你可以做一个，就是做个大的， 就再做一个大的全等。另外一种你可以做个什么？可以截一个，截一个，一边一角正全等，哎，我们一个，我第一个， 你可以怎么办？你可以我延长 c e 至 h， 使我这个 c h 啊，和我这个是相等的，那这俩三角形是不是边角边全等了？全等，你这角是一百二十度，这角是不是一百二十度？ 哎，可以的呀，然后你去抖边的关系哦，这个 ab 等于 c h 等于我的什么？等于我的 b e， 哎，那这两个小绿边是不是相等了？ 本身这俩三角形全等呀，这俩三角形全等，你这个 b、 c 和我这 f h 是 不是相等？所以说就可以导出这两个绿边相等，这俩绿边相等，那是不是等于三角形？一百二十度，三十度，三十度，他是三十度，这是三十度，这是一百二，这边是不是六十、 三十、六十，那这个角是不是九十度？他不让你证明这个角是多少度吗？哎，证出来了，九十度，三十、六十，还是个特殊的三角形，一定有点用哈，可以这么做，也可以 在这上结就结， a、 h 等于我的 c、 e 长连接，证明俩小三角形全等呀，对不对？小三角形全等。你看这个 ab 等于 b、 e 这俩小边相等，那我的 b、 h 和 bc 是 不是相等？一百二十度的等腰是不是三十？三十？一百五，一百五，这是不是三十，这是不是六十？这不又回来了， 都可以哈，都可以。然后，哎，他是九十度，那我来看最后一个问哈，圈二，他若 ab 等于八角 f， c g 等于一百五十度，让你求 bc 的 长，哎， a 这是八， 然后呢？这个角 g c f， 哎，是一百五十度，哎，这跟我们刚才有个一百五十度是不是很像啊？你看刚才这个角，我是不是得出的是一百五十度了？ 所以如果我用这个方法的话，然后这个题当然也是两种方法啊，就是我去看，哎，一百五十度，这个角也是一百五十度，这一看就有个反应相似了， 对不对？但是你也得仔细去观察你才能看出来啊，不可能一眼就看出来。那我们来看一下他让求谁长，他让求 bc 长啊，我们一般求什么射什么，对不对？我就求 bc， 我 就射的是小 a， 这就是小 a 一 百二十度的等腰三 a， 哎，这个也是刚好三 a， 哎。然后你去看这个长是多长，这个长是八呀，对不对？哎，这长是八， ab 是 八，那 b e 是 不就是八？ 哎？ b e 如果是八的话，这不三十对角随的边西边一半，这是四，这是不是四倍刚刚三。我的 g c 长是不是四倍刚刚三？ 哎，那我来看一下，这里边我三角形，我的这个 f c e 和我这个 f g c 反 a 相似，对不对？哎，这个是刚好三 a， 那 你这个 f g 是 刚好三 a， 再加四倍，刚好三。如果我能把 c f 用含 a 的 式子写出来，这是不是就可以列列个方程了？ 函数的方程，我这小 a 是 就可以解了，这道题就出来了，那我就想怎么去呢？这又是一个解三角形啊，什么叫解三角形？在三角形里边可能给你一个角，给你两个边，哎，让你去求其他的条件，其他边，其他角，或者给你什么那个几个边，然后让你去求角，一般可能会什么， 给你一个角，两个边，让你去求其他的边哈。哎，那我来看一下，我把这个给它拿出来，我把这个 abc 给它拿出来啊， abc 给它拿出来了， ab 长是八呀， bc 长是不应该是小 a 吧， 对不对？哎，那在三十个在这个直角三角形中，三十根弦的边形的一半，这是二分之 a， 这是二分之二三 a， 那 你看在这个直角三角形 a m c 中，是不是 a c 的 平方，应该等于 am 的 平方加 m c 的 平方啊， 而 am 是 不是八，加二分之一的平方加上二分之二、三的平方，你可以把它打开整理哈，它可以化简合并到这块，就是 a 方加八 a 加上六十四。 哎，那由于这个三角形和这个三角形它俩反义相似啊。反义相似我是不是能得到谁啊？我能得到我的 c f 的 平方就等于我的 f e 乘以 f g。 哎， c f 的 平方不就是 ac 方吗？而我的 ac 方是多少？我的 ac 方不就是刚才写的这个吗？ 你直接给他带进去，让它等于根号三 a 乘以它，把它打开整理化简合并就能得到关于 a 的 一元二次方程。你可以解出 a 有 两个，一个是根号三十三减一，一个是负根号三十三减一。这肯定舍了。哎，留它啊，这种可以上面这个一样的呀， 对不对？没有什么区别啊，也得利用这个 a c a， c 方也是这个啊，就是一样的。 所以说整体看一下这个卷哈，我觉得，哎，还是挺好的，就是让适合自己能力的孩子得到自己适合的分数哈。一定要严谨一些，拜拜。关注刘老师，再见。