初三海淀二模数学新函数

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，给同学们来解析一下刚刚结束的海淀区初三二模的压轴题啊。先来说一下今年的函数压轴题， 坦率讲啊，这个确实是做了一些这个改变啊，那么跟我们往常说那个什么动点跟线段关系问题呢啊，明显的还是不太一样的，但它的本质呢，还是没有变啊。我们其实北京考察二三数的核心就是树形结合， 好，来，我们来看一下。第一个问题，不多说了啊， a 点 b 点在抛物线上不重合啊，那么 a 等于一的时候， m 跟 n 的 大小关系带进去算一下就行了，对吧？带进去算一下啊， 好，第二个，当抛物线在 ab 之间的时候为图形 g， 那 么在抛物线上面的点 p a 加二逗号 t 做直线啊，就是水平线垂直于 y 轴嘛，那么直线 l 如果与图形 g 有 且只有一个公共点，求 a 的 去的范围。 好，那么其实这个题目呢，从本质或者说从逻辑上来讲呢，跟我们前些年非常喜欢考察的比大小的问题呢，非常的像啊，非常的像， 那么它的核心呢，是你做一条水平线要与呃， ab， 就是 这个图形 g， 尤其只有一个公共点，核心是要确定 a b p 在 图像上的位置啊，在图像上的位置， 那么这个是核心，所以竖形结合是最关键的。那么所谓的竖形结合就是当我确定因为 a 不 等于零啊，当我确定了 a 大 于零，就是开口朝上的时候， a b p， 它到底在对称轴的左边呢？右边呢？还是在同侧呢，还是在异侧呢 啊？那么我们这个就需要严格的分类讨论，所以从思路上面来讲，它还是非常清晰的，就是 确定啊，或者说对 a。 分 类讨论，当 a 大 于零的时候，我们判断 a、 b、 p 在 对称轴的左侧或者右侧，谁更高谁更低，是吧？那么当 a 小 于零的时候，同样的道理好，那么只不过这道题目呢，确实讨论的情形呢，稍微繁琐一些啊，我们来看一下， 当 a 大 于零的时候，我们刚刚已经解释过了，这是一个开口方向朝上的二次函数，对称轴是 x 等于 a。 好， 同学们注意，因为 a 点的坐标呢，它是负 a， 所以 a 大 于零的时候，负 a 小 于零，此时 a 点一定在对称轴的左侧啊，一定在对称轴的左侧。 那么呃， p 点呢？ p 点呢？横坐标是这个 a 加二，所以同学们要知道， p 点一定在哪呢？ p 点一定在对称轴的右侧， 这个是 x 等于 a， 对 吧？ a 加二一定大于 a， 但是 b 呢？因为 b 点的横坐标同学们知道是三 a 减六，三 a 减六，我们就并不清楚三 a 减六到底是在对称轴的左边呢还是右边呢？ 不清楚对吧？不知道。而且那如果说他在左边的时候，有没有可能就是因为我们除了确定他的位置之外，还要确定他们的高低就是左右，还有高低就是谁更高谁更低， 那么 b 点有可能还在 a 点的左侧， b 点也有可能在 a 点的右侧，当然 b 点有可能还能越过对称轴，对吧？好，但是点 p 呢？同学们要注意一下， p 点一定在对称轴的右侧。 好，那么接下来我们就需要对 b 的 位置进一步的讨论，讨论什么 b 点如果在 a 的 左侧，那么什么样 p 点在哪的时候，才能确保只有一个公共点呢？对吧？好， p 点在啊， b 点在 a 的 右侧，但是在对称轴左侧以及 b 点跑到对称轴右侧，那么它的位置不同，那么我们所做的图形也不太一样。 好，那么我们先来看按照定向分析啊，所谓的定向分析就是我们假定 b 点从左往右看， 那么 b 点如果是在呃对称轴的左侧，并且还要在 a 点的左侧， 意味着什么呢？意味着，同学们看，保证 b 点的横坐标三 a 减六啊，要小于呃，这个负 a 啊，要小于负 a。 好， 但是注意一下，三 a 减呃，这个三 a 减六，要小于负 a， 那 么这个时候呢，就能确保点 b 在 点 a 的 左侧， 那我要过 p 点，因为 p 点在对称轴的右侧，要能够画一条线，于这一段图像有一个公共点，那么什么情形？ 就是找出 p 点关于对称轴的对称点 p 撇，当然这个很好算啊，它是 a 加二都好提，那么这个呢，对称轴是 a， 所以 就是二， a 减去 a 加二，就是 a 减二，所以 p 撇点的坐标就是 a 减二，都好提， 那么同学们看，只需要满足。如果 b 点在 a 点的左侧的时候，只需要满足 p 点的对称点， p 撇位于 a b 之间，是不就一定可以了？ 好，那么因此大前提是三 a 减六小于负 a 的 时候，当然同学们算一下， a 呢，应该是小于二分之三，当然前提 a 要大于零啊。好，那么只要保证 b 点的横坐标三 a 减六，小于等于 a 减二， a 减二呢？小于等于负 a 啊，当然有人说老师在这边怎么取到等于号了啊， 因为他其实取等的情况呢，并不完全相同啊，所以你稍微解一下好解得这个范围应该是 a 要小于等于一，当然大前提是零到二分之三啊，所以最终呢，是零到一。那么因此 b 点在 a 点的左侧是满足的， 但我们也讲了，也有可能就是 b 点还是在对称轴的左侧，但是 b 点呢，在 a 点的右侧，对吧？也就是说三 a 减六， b 点的横坐标要小于等于 a， 但是它要严格大于负 a 好， a 大 于二分之三，小于等于这个三的时候，那么这个时候要保证，因为 a 到 b 是 递减的啊，所以只要 p 点的对称点屁撇位于这个之间就行了，对吧？相同的式子就是保证对称点屁撇的横坐标。 a 减二要大于等于负， a 小 于等于三， a 减六， 当然算得 a 大 于等于一， a 大 于等于二，同大取大， a 大 于等于二，当然前提小于等于三，所以 a 在 二到三之间也可以好。那么当然第三种情形呢，就是 b 点除了在对称轴左侧，还可能跑到对称轴右侧， 那么在如果 b 点跑到对称轴右侧大，前提就是三 a 减六一定要大于 a。 但是同学们要注意一下，那要是老师在对称轴右侧的话， a 跟 b 谁高谁低呢？ 请注意， a 点一定更高。为什么呢？因为 a 点关于对称轴的对称点呢，是三 a， 逗号 m， 因为 a 点是负 am 嘛，是吧？那么对称点 a 撇就是三 a， 三 a 肯定是大于三 a 减六的啊， 也就是说 a 撇点的横坐标一定在 b 点啊的右侧，就是 a 撇点一定在 b 点的右侧。 好，那么在这种情况下，同学们更要注意了，如果只有一个公共点，那屁点只能在哪？屁点只能在这，是吧？也就是说，屁点要位于 a 撇 b 之间，并且注意，不能与 b 重合， 不能与 b 重合，因为如果你屁点与 b 重合完了，这个地方就有两个焦点了，这地方一定要注意一下，所以保证屁点的横坐标啊，本来就是 a 加二啊，一定要严格大于三， a 减六，注意啊，严格大于三， a 减六啊，不能等啊！ 好，那么并且小于等于三， a， 就是 p 点跟 a 点重合，行不行？行，它只有一个焦点啊，因为我们说了， a 撇点一定在 b 点的上方啊，就是 a 撇点在 b 点的右侧。好，那么当然这种情况算下来呢，是一小于等于 a 啊，要小于四，当然 a 要前提大于三啊，因为它跑到右侧来了，所以三到四， 当然二到三，三到四，把这两个一结合，那就是二到四，对吧？好，那么当然 b 点呢，也有可能呢，继续跑，但是他在 a 点的下方，那有没有可能这种情形啊？ 注意，也就是说， b 点的横坐标如果比 p 点的横坐标来的大，行不行呢？不行啊，此时一定不行。为什么？因为这个时候同学们画出来的线一定就有俩焦点了吗？他就不满足要求了 啊，不满足要求了，对不对？所以如果你 b 点继续往右跑，跑到 p 点上方，这种情形是一定不可以满足要求的啊，一定不能满足要求啊，所以这种情况呢，也就是不成立了，是吧？已经不成立好， 那么当然第二种情况呢，相对好讨论一点，就是 a 小 于零， a 小 于零的时候，开口朝下负 a 大 于零，所以 a 点在对称轴的右侧，三 a 减六呢，一定小于零在对称轴的左侧，并且对称过来之后， a 撇点呢，横坐标呢，是三 a， 那 么我们知道三 a 肯定是大于三 a 减六的，那么 a 撇点还是在点 b 的 上方， 那么当然 p 点是 a 加二， a 加二肯定也在对称轴的右侧，所以你只需要保证对称的 p 撇点位于 a 撇 b 之间，同时还要注意 p 撇不能与 a 重合啊， a 撇重合啊， 因为一重合的话呢，你又能画出两个点了啊。所以，呃，要保证 p 撇点的横呃，横坐标就是 a 减二，严格的小于三， a 大 于等于 当 a 减六啊，当然算一下就是小于等于二或者大于负一，那么当然前提小于零啊，所以最终呢，我们只要算得 a 是 再负一到零好，那么最后我们也就把这问题明确好了 好，所以同学们会发现呢，我们在解决这一类问题的时候呢，海淀区的这个题目，我觉得更加看重的是从本质出发。什么叫本质？就是我们去或者说北京中考所研究的二次函数，我们研究的是什么？无论是这个 呃，前面比大小的问题，还是说这个什么公共点的问题，其实核心就一个，就是明确点在函数图像上面的具体位置， 而位置呢，考虑两个维度，一，在对称轴的左侧还是右侧？二，谁更高谁更低 是吧？那么我们根据定向分析，当 b 点从左往右依次讨论，看看它是否能够满足要求 好，所以这样一来就可以做到不重复不遗漏啊。当然最终把该合并的合并一下啊，所以 a 的 范围在负一到零，零到一以及二到四，注意一下啊，等于号哪些可取哪些不可取啊。 那我想的这道题目应该来说得分率应该比往就往期的题目要来的更低一点啊。确实有一点这个难度啊，讨论什么的难度好啊，所以这道题目呢，我们就给大家分析到这里啊。

写活快，带树稳新定义还能提智商。哈喽，各位同学们大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲一下我们海淀二模这道函数压轴题啊，这道题目同学们在考场上感觉做的怎么样呀？现在的你心情如何 啊？这道题很容易在考场上让人把把人搞烦是吧？如果我猜中了，你能不能在弹幕上扣个一啊？ 好，首先就是第一个会感觉这个题浓浓的不确定性，是不是点 a 不 确定，横纵坐标都不确定，点 b 横纵坐标都不确定，抛物线也都不确定，开口呀，对称轴呀，好像就只能看到过零零，其他的都不确定， 哎，包括又给我一个点屁，我这 a b 还没搞明白呢，又来了个屁，是不是都是不确定的，浓浓的不确定性啊。所以这个时候有些同学可能就已经不知道该咋办了， 哎，对吧，这是第一了。第二个就是有同学可能知道，哎，不确定，那我就挖确定呗，对不对？再加上我就勇敢的画图对不对？哎，这种同学就已经很棒了啊，哎，那但是坐着坐着会感觉这题好乱呀，怎么分类一定是清晰全面又有序，然后让自己不累的呢？同学们， 是不是我就知道我只要这么分，如果我跟米奇老师答案不一样，一定就是他错了。我希望我的同学们对有序分析能够有分类，讨论这个方面能够有这样的自信啊，等会肖老师都会给你示范啊，我是怎么进行有序分析的。 第三个就是可能感觉这个题需要列的式子好多，是不是算着算着感觉心态崩了，算乱了。其实这个的原因还是因为跟前面一样，你没有进行有你的分类讨论的逻辑是不清楚的。我举个例子，同学们，什么叫有序分析？如果肖老师让你让你背啊，让你背 三点一四一五九二六五七五八，你肯定感觉很烦，为什么？因为无序对不对？你肯定感觉非常累是不是？我背个背个，别说背个五十位了，你背个二十位十位你就累了是不是？但是如果让你数一二三四五六七八九十十一十二十三， 你肯定毫无感觉，你能，你能数到天亮，只要你嗓子不干，是不是？为什么？因为这有序，所以有序才能让人心态不崩不乱。所以函数压轴题，无论是今年的西城二模、朝阳二模、海淀二模，他都透露出一个特点，有序分析的重要性 啊，我相信咱们的新定义题肯定也是这个特征啊，以及最后一点就是取等确认没做对，是吧？好，那肖老师，这道题我着重想给大家就是示范我是怎么确认这个题该怎么分类讨论的，从而让我这个题做起来不累，不重不漏 啊。好，首先同学们，我先进行画图啊，任何函数题都要先画出第一图，这样我才能看懂他在干嘛啊。画抛物线，肖老师早就给你们总结完口诀了，只要画抛物线，那就是开周定 是吧？那开就是我们的开口，那这个题肯定就一个，我先画一个开口向上，因为开口不定，我就先按开口分，对不对？哎，我先画一个开口向上啊， a 大 于零， 然后它的对称轴就是 x 等于 a 是 吧？ x 等于 a 画上， 哎，好。然后接着你就会发现，同学们，此时此刻有没有发现有定的了？ 你本来感觉 a 也不定， b 也不定，那你看现在有没有定的了。我早就跟大家说过，函数题就像多米诺骨牌一道真的出的很好的函数题。海淀这个题就出的非常好，他每个参数之间都有浓浓的关联性啊，一旦发现一个东西定了，就像多米诺骨牌的第一个 块被你推倒了，后面就噼里啪啦的全都定了。所以来，同学们，你们可以告诉我，这道题 a 和 b 谁已经定了吗？ 哎，对， a 点已经定了，此时此刻他一定在轴左，对不对？此时此刻他一定在轴左啊，因为他是因为此刻 a 是 正的，所以负， a 是 负的，所以他一定在轴左，是不是？哎，那就这个点就是点 a， 好， 同学们，那你看一的这个题一共就研究 a b 俩点，定了一个点之后，你是不是感觉无比幸福了？ 是不是？你就把你都已经定了一个点了，您就把 b 再给他动一圈，分几种情况不就一目了然了吗？对不？哎，所以只要把 b 动一圈，同学们，你就会发现情况一目了然，哎！ 第一种，咱们让点 b 涨价，是不是？哎，这是第一种。第二种，咱们继续动动动动动，让点 b 涨价， 对不对？哎！第二种，第三种，继续咚咚咚，咚咚咚，让点 b 涨价，对不对？哎！第四种，继续咚咚咚，让点 b 涨价， 哎，对不对？你可能会想到，哎，那我就可以分四种啊，但是你放心，一般他都不会让你分那么多种的，老师都会给你设计好的啊，如果你这个题哎，你算了一下点 a 关于 x 等于 a 的 对称点，各位同学， 哎，你算一算这个数，你就会发现，因为这个点 a 的 横坐标是负 a 啊，如果你算一下这个对称的话，这个应该是三 a 三 a 三 a。 同学们，点 b 是 多少？是三 a 减六什么意思啊？ 你是三 a， 我是 三 a 减六，什么意思？那意味着点 b 能干到这吗？根本干不到，跑不了那么远，他只能在这嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟，他只能在这跑， 对不对？哎，他只能在这跑那。你可能会说，向老师，那你为什么要分这这这各一种呢？因为我发现他的图形形状变了 啊，只要图形形状变了，我基本上都会给他分，第二两种情况都会给他分一分。你看，因为如果当 b 在 这，他就是一个单减的图像，如果 b 动到这就拐弯了啊。所以通过这样的有序分析，同学们我就非常轻松的 get 到了开口向上这个题，我就分 one two three 是不是？然后我就一个一个做就行了。哎，好，那同学们，如果你学会了这个分类讨论，同学们你也可以先暂停肖老师这个视频，自己去试一试啊。其实这道题主要在于你能不能想到怎么分类讨论啊，当然还有开口向下啊，开口向下，等会肖老师会说一说啊，你已经就学会了这个题的百分之九十九。 嗯，好，那向老师具体给大家示范一下这个题是怎么有序分析的呢？首先就跟刚才向老师跟你们说的是一样的啊，这个题我在做的时候，开口向上，我会分这三种情况，是不是？嘚嘚嘚没问题吧？我会分这三种啊。那接着， 因为只要 ab 这个图像定了，各位同学，只要 ab 这个图像，这已经定了，如果当 b 在 这的时候，它就是这样的一个图像，对吧？那这个时候他说过抛物线上一点 p， a 加二。各位同学， a 加二， a 加二长哪？ 因为对称轴是 a， 所以 a 加二肯定长在轴右，对不对？也就是它的意思就是我要过轴右的一点，然后呢？做一条直线，垂直于外轴啊，也就做一条横线呗， 然后干嘛能跟咱们这个图形 g 只有一个公共点，那同学们，这 so easy 吧？ 要过 y 轴啊，要过对称轴右边的一个点，然后呢，能跟做一条横线，这个横线能跟咱们这个图形 g 只有一个公共点，那是不是 so easy？ 我 们只要让 a 加二，怎么说？如果是，以第一种情况为例，我们是不是只要让 a 加二 在这个在这段上动就行了？这不就刚好是一个一个一个一个，对不对？因为它图像就长这么一轱辘嘛，对不对？哎，所以说白了，就是让那个 a 加二要 落在点 a 的 对称点和点 b 的 对称点之间，有问题不？ 只要让 a 加二落在这个范围之间。同学们，那我过他做横线都能有一个，都能跟图像 g 有 一个公共点，是不是？哎，好，那咱们来写一下过程啊。这种情况呢，其实 任何的分类讨论都应该先写前提条件。同学们，此刻就是点 b 在 a 的 左边，也就是点 b 的 横坐标。三 a 减六要小于负 a， 是 不是要小于负 a 啊？因为他说不能重合，所以三 a 减六要小于负 a， 那这个时候我们能解出一个关于 a 的 前提范围，是不是？哎，前提范围啊，当然，对吧，这个时候我做的是 a 大 于零啊，还有大于零这个前提，然后这个时候咱们只需要让这个 a 加二，同学们，让 a 加二， 它要落在这个点和这个点之间，是不是也就是落在这个三 a 和 负 a 加六之间，对吗？同学们，哎，落在三 a 和负 a 加六，因为我已经算了，这个点的对应点是三 a， 这个点的对应点是负 a 加六啊，我就让它落在三 a 和负 a 加六之间啊，好，然后咱们再做一下取等确认啊，如果咱们这个 a 加二 就落这了。同学们，此时此刻它跟这个图像是不是只有一个公共点呀？是的，对不对？没毛病啊，如果它就落在这了，它跟咱们这个图像是不是也只有一个公共点呀？是的，所以两边都是可以取等的啊，等于三 a 和等于 a 加二也都中啊， 好， ok， 所以 这个呢，我们就解出来这个范围了，然后再和我们的前提取一个公共部分。哎，好，第一种情况就拿捏了， 好，二三都是一模一样的啊。同学们，你可以继续暂停肖老师这个视频，自己再试一试，讨论一下第二种，第三种。 好，来跟我对一下答案。第二种呢，就是当点 b 落在这股落在这的时候啊，继续先写前提， 也就是说当点 b 的 横坐标啊，点 b 的 横坐标，三 a 减六，应该是落在负 a 和 a 之间的时候，对不对？落在这轱辘的时候啊？ ok， 然后解出来 a 的 前提范围，这个时候怎么能符合题意呢？ 还是那个意思，我要让 a 加二，同学们，我要让它外轴对称轴右侧有那么一个点，我只要过这个点做一个横线，哎，都能跟这段图像只有一个公共点。那很简单，说白了就是落在这个点 b 的 对称点和点 a 的 对称点之间，有毛病不？咱们只要让 a 加二落在这两个点之间，同学们，是不是 你过它做横线都能跟咱们此刻的这个图形 g 有 一个公共点啊，跟刚才一样一样的啊，好，所以就是 a 加二要大于等于咱们点 b 的 对称，就应该是这个啊，负 a 加六是不是要小于等于咱们点 a 的 对称三 a 是 不是？哎，这是负 a 加六啊， 要在负 a 加六和三 a 之间啊，让咱们的 a 加二落在这个取等的原因跟刚才一样啊，所以这个再结合我们的前提条件，就能算出第二组答案。 好，第三组同学们，也是一样的啊，当点 b 落在这两个点之间了呢，对不对？落在这轱辘了呢？ 也就是说，当三 a 减六要大于 a 啊，你不用操心，他不会动到这的，对不对？因为他这个是三 a 减六，不可能大于啊，不可能大于三 a 的， 是不是？刚才咱们也说过了，他只要大于 a 就 行了，好，解出一个前提，然后这个时候，同样的，我们这个时候这个 a 加二只能落在哪呢？ 哎，只能落在哪呢？同学们，只能落在这个点和这个点之间，对不对？因为你只有过这两个点之间的任何一个位置，你去做一个横线，才能跟咱们的图形，这也就蓝色这个图像有一个公共点， 如果您落这了，对不对？你一做就几个了，就变成两个了，所以这个题变成两个也能做啊，你们可以自己试试啊，好，对吧？那他只能落在这轱辘，也就是让咱们的 a 加二要落在咱们点 b 啊。这个也就是 啊，三 a 减六和三 a 之间，是不是落在三 a 减六和三 a 之间？这个时候敲黑板，同学们，请一定要认真看取等确认啊！这个题三 a 减六能不能取？ 如果当 a 加二等于三 a 减六了，同学们，这个时候你过他去做横线，你会发现几个？公共点了两个，两个，两个，所以注意哦，这块是不能取等的啊，这块没毛病，是不是？你过这个做横线仍然是一个，是不是？好嘞，这是第三种啊，好，那咱们再看一下，开口向下啊，开口向下， 开口向下，因为对称轴仍然是我们的 a 点， 是吧？因为对称轴是 a， 此刻 a 是 个负数了啊，因为 a 小 于零了，所以此刻 a 是 个负数了，那这个时候负 a 就 应该在轴右点， a 就 定了， 是不是 a 就 长这长这，哎，长长轴右，那我们刚才已经算过对称了，负 a， 关于对称轴的对称是三 a， 那 这个人是三 a 减六，所以肯定在这，对不对？同学们，肯定在三 a 的 更左了呀， 对不对？肯定在三 a 的 更左边了，三 a 剪映应该在这，所以他这个时候的 ab 图像是确定的，不需要分类讨论了。 并且老师还是挺善良的吧，他不敢再让你讨论三种，他怕你骂他啊，所以他一般来讲就是开口向上，开口向下，他不可能都是各玩三种啊，实在是太麻烦了是不是？哎，这个时候就一种情况，已经定了，开口向下就定死，就这一幅图 啊。那这个时候咱们只需要去找这个 a 加二应该长哪呢？同学们，咱们应该过哪去做横线就欧了呀！首先 a 加二还是在轴用啊，那这个时候很明显，它是不是只要落在这个点和点 b 的 对称点之间哎，只要过这个区域内的点做图像做横线，就能跟咱们这个图形 g 有 一个公共点呀， 是不是也就落在这个负 a 和这个负 a 加六之间，是不是？哎，也就是让 a 加二落在负 a 和负 a 加六之间，仍然要注意这个取等确认。家人们 啊，它不能等于负 a， 因为这个时候你看你做图看确认一下，这个时候又变成两个公共点了，是不是？所以这个时候不能取等啊。好，然后再进行一个前提确认，所以这个是最后一个答案， 然后这个可以合并啊。当然这道题如果你有序动完之后，你会发现二三两种，其实合并也行啊，但是我觉得不合并这样更清晰，是不是啊？这个题最后答案应该是三段答案啊。 ok， 好， 其实每种情况都不太复杂对不对？但是这个题说实话确实情况很多啊，我也比较能共情大家啊，确实情况还是比较多的啊，但是每种情况都不复杂， 对不对？越是这样的题，同学们越考验你的耐力啊，这种题拼的就是你会不会有序分析，你在考场上能不能持续告诉自己这题对吧？每种情况只要我耐心算，我都能算。对，每种情况都不复杂 对不对？哎，像这样的有序分析的这种能力和耐力，同学们难道不也是应该咱们修炼的吗？万一今年中考考场考一个这样的题，可能大家都有点思路，那你有没有信心你比别人就能够分的更全更清晰，然后更不烦呢？ 对不对？那如果这样的话，那你不就赢了吗？同学们，所以在最后一个月，这样的耐力也是我们应该去修炼的啊，所以肖老师在这种函数专题课上也会特意给大家选个两三道类似于这样的 比较考验大家有序分析耐力的题目啊。我的目的就是为了让同学们在这个方面也能比别人建立一些优势啊，从而能够让你在考场上发挥的更稳 啊。像肖老师和胡老师，我们在二模之后开的这个这个冲高分的专题课上，我们重点就是帮助大家怎么能够从一个四分的带中选手变成一个六稳稳的啊，在各个方面都稳稳的六分的带中选手 啊。所以同学们，如果大家在这方面你觉得自己还有提升的空间的话，可以跟我们老师咨询我们的课程，嗯。

好，我们来看海淀二模的带宗啊，一道综合性极其强的一道题，我们一起来看一下。 在平面直角坐标系中，点 a 是 负 a 逗 m， 点 b 是 三， a 减六，逗 n 是 抛物线 y 等于 ax 的 平方减二 a 方 x， a 不 等于零，上两个不重合的点。 好，读到这的时候，请你先停一下啊。首先，抛物线的开口并没给我们，所以我们一会需要分类讨论。 第二个就是对称轴呢，它也是一个动的，是 x 等于 a， 对 吧？然后抛物线过定点，零到零，哎，也就是过圆点， 并且在抛物线上的这两个点，一个点的横坐标是负 a， 一个点的横坐标是三 a 减六，那我们说当两个点含同参的时候，他们必有关联，对吧？好，那么我现在解读完前面的题干了，我们往下看， 括号一，当 a 等于一的时候，比较 m 和 n 的 大小，并说明理由。那么在一道复杂的题里面，第一问其实就是给你点分，别让你一分都不得啊。 所以呢，当 a 等于一的时候，我的抛物线的解析式就变成了 y 等于 x 的 平方减二 x。 然后我们把点 a 和点 b 中的 a 呢，也换成一，直接代数算出来， a， m 是 三， n 是 十五，所以 m 是 小于 n 的 啊。第一问非常的轻松，我们主要来看一下第二问， g， 抛物线在 ab 之间的部分，含点 ab 为图形 g， 哎，这又给了我们一个区间的 这一段的函数，是吧？过抛物线上的一点 p 呢？ p 的 坐标是 a 加二斗 t 做直线 l 垂直于 y 轴， 若直线 l 与图形 g， 尤其只有一个公共点，哎，求 a 的 取值范围。 那么这道题呢，给我们出现了，又有图形记，然后呢，又有一个什么点 p， 对 吧？还要做什么？ y 轴的垂线，哎，然后呢，这条直线呢，与图形记还只有一个公共点， 虽然字数不多，但是其实他的这个信息量还是蛮大的。好，那么我们呢，在做抛物线的题的时候啊，我们先把图基本的图先画出来， 因为这道题里面 a 并没有给我们是大于零还是小于零，所以我们需要分类去讨论，那么我们先去看一下 a 大 于零的时候情况啊，我们先画出一个基本的图， a 大 于零，哎，抛物线开口向上， 并且呢，抛物线是过圆点的，对吧？然后抛物线的对称轴是 x 等于 a。 好， 画完基本的抛物线的图的之后，我们就要开始找点了，找谁？找 a 和 b 到底在哪儿？ 但是 a 是 不确定的， b 也是不确定的，那我怎么找啊？不确定中，我们要去找确定，就看 a 和 b 我 到底能画出来谁。我们想一下，抛物线的对称轴是 a， 点 a， 它的横坐标是负 a， 点 b 的 横坐标是三 a 减六，那么到底点 a 和点 b 我 能确定谁呢？ 我是不是能确定点 a 呀？因为咱们的对称轴啊，是 x 等于 a， 并且 a 是 大于零的，那么负 a 一定就是小于零的呗，对不对？也就是说明我的点 a 一定是在轴左的，对不对？ 无论，哎，你是这个点 b 在 哪里？反正我能确定点 a 是 一定在轴左的。那么好，我现在画的蓝色的这条线啊，我就让他，让他与我们这个抛物线的交点就是点 a 啊，那么点 a 就是 在这里。 好，那么接下来我要去画点 b， 那 么点 b 可以 在哪啊？三 a 减六， a 虽然是大于零，但是你知道三 a 减六是大于零还是小于零的吗？ 我是不是不知道啊？不知道我就让 b， 哎，我动一下呗，说明我这个 b 肯定哎，它也是要分很好几种情况的，对不对？那咱的 b 可以 在哪啊？可不可以在 a 的 左边呢？是不是？可以的？ 哎，那可不可以在 a 的 右边呀？不过轴是不是也是一种情况？哎，那么过了轴之后呢？是不是也是有一种情况的，对不对？而且孩子们，我现在想知道，就是当点 b 过了对称轴之后， 哎，他的这个点 b 和这个点 a 的 对称点，哎，他是超过点 a 的 对称点 a 撇还是不超过对称点这个 a 撇啊，就是我的点 b 可以 在 a 撇的下方，还可以在 a 撇的上方， 到底我的点 b 在 轴右的哪里？哎，那么我现在我就看一下啊，点 a 的 横坐标是负 a， 对 不对？哎，那么关于这个对称轴对称之后的对称点是不是就是三 a 啊？ 对吗？哎，那也就是点 a 的 对称点的横坐标是三 a， 但是你点 b 的 横坐标是三 a 减六，说明当你的点 b 在 轴右的时候，你一定是不能超过这个 a 撇的，这能理解吗？ 所以当你的点 b 在 a 撇上方的时候，是不可能的啊，那好，我分析完了之后，我就分成了三种情况啊。好，我们再来看第一种情况。 第一种情况，首先我们的前提就是点 b 在 点 a 的 左侧，对吗？那也就是点 a 的 横坐标是大于点 b 的 横坐标的，那么范围就是，哎，负 a 要大于三， a 减六， 那么此时咱们 a 的 曲值范围是 a 大 于零，小于二分之三，这是作为这一类的，哎，一个范围好范围，我找到了啊，那么接下来我要看这个点 p 了，它在哪啊？ 点 p 是 a 加二啊，孩子们，来，点 p 能在 ab 这边吗？ 咱说 a 加二，哎，还是要回到咱的对称轴去看一下啊。 x 是 等于 a 的， a 是 大于零的， 那么 a 加二的意思是不是我的点 a 向右哎，在移动两个单位啊，对不对？哎，好，那也就是说明我的点 p 一定是在对称轴的右侧， 而且我要过点 p 做一条垂直于 y 轴的垂线啊。假设咱的点 p 随便先找一个点，点 p 就 在这里，那么我这个过点 p 做一个垂直于 y 轴的垂线，哎，就是这样的啊，一条横着的这条黑线， 咱们看这条黑线与我们的图形记，哎，图形记就是什么呀？ ab 之间的部分为图形记，也就是老师画粗线的这一部分。那么点 p 过点 p 的 这条直线和我的图形记 ab 之间的部分有交点吗？ 是不是没有交点呢？对不对？哎，那没有交点，怎么样才能有交点呢？我是不是得往上走了， 哎，我发现了，哎，经过了我这个点 a 的 对称点 a 一 撇，哎，开始就有交点了，对不对？那么我们这一个点是不是就是一个临界呀，对吧？ 因为咱的点 p 啊，只能在 y 轴的右侧，你能拿一个 y 啊，不，只能在对称轴的右侧，你能拿一个对称轴右侧的点和点 a 去比较大小吗？ 是不能的，我们想比较大小，需要同侧去比较，对不对？哎，所以我需要把点 a 对 称过来，哎，得到点 a 一 撇，他的坐标就是三 a 豆 m。 好， 然后我让我的这条垂线，这是我们的第一个临界啊，就是到这开始有交点了，然后继续往上走，还是有一个公共点，对吧？哎，直到走到我点 b 这里， 哎，我是不是就到了我另外一个临界了，而且还是那句话啊，我的点 p 呢，是在对称轴的右侧，不能和你的点 b 去 比较大小，那么我的想去比较大小，我只能求出点 b 的 对称点的坐标，也就是负 a 加六， 说明我的点 p 只能在这一段运动，是与图形记有一个公共点的，对不对？那好，那么这我的点 p 的 横坐标是 a 加二，哎， 他在这两个临界点之间，那我可以去列式了，也就是 a 加二要大于等于三， a 小 于等于负 a 加六，那能不能取等啊？当然可以取，等了过这个点的时候，我的这条直线 就是与我们的图形记有一个公共点啊，注意下取等的情况，那么求出来我的 a 是 小于等于一的，别忘了，我们开始讨论的这个范围是在这里呢，所以要合并一下解集啊，最后得出来， a 是 大于零，小于等于一的， 这就是我第一类啊。接下来我们再继续看点 b， 哎，原来在 a 的 左侧，现在呢，点 b 慢慢的走，哎，走到这了，但是我还没越过对称轴呢，或者是我在对称轴，这也是可以的，对不对？ 哎，那么这 a 点和 b 点之间的部分就叫做图形 g， 好， 找完我的图形 g 之后，我再去找点 p， 对 吧？点 p 一定是在轴右的，对吧？也就是我的点 p 的 位置一定是在这的。 好，那么我现在先随便的去找一个点 p 啊，假设点 p 在 这里，然后我过点 p， 我 做一条垂直于 y 轴的直线， 我让他现在开始动一动啊，他什么时候与我的图形计只有一个公共点呀？我们可以从下啊开始动， 哎，大家看，我往上移动的时候经过点 b 了，是不是我的直线与图形计有了第一个公共点，对吧？那么点 b 就是 我的第一个临界点，别忘了啊， 我的点 p 呢，一定是在这和右的，所以咱不能和点 b 直接比较大小，需要和点 b 的 对称点去比较大小。那么第一个临界的点的横坐标就是负 a 加六。 好，我们继续去移动我们的这条直线，哎，往上走还有一个，一直有一个焦点，对吧？哎，直到我走到 a 这了，再往上走与图形 g 就 没有交点了， 所以 a 是 我们的第二个临界点，哎，求出我们点 a 的 对称点的坐标，哎，也就是三 a 逗 m。 好， 那么我的点 p 就是 在这一段之间运动是满足条件的，那么我们就可以列式了，点 p 的 横坐标是 a 加二，它要大于等于负 a 加六，要小于等于三 a， 求得 a 的 取值范围是 a 大 于等于二。哎，那么在这一这一类的时候，我们的前提的 a 的 范围是什么呀？ 是不是三 a 减六是大于负 a 的 这个点 b 呀？在 a 和对称轴之间， 这个点 b 可以 到对称轴，这，所以前提的一个范围是 a 大 于二分之三小于等于三。再综合我们刚才求的解集，哎，最后的这一类的解集就是 a 大 于等于二，小于等于三。 好，第二类我们也讨论完了，接下来我们看第三类啊，点 b 继续的去运动，他由刚才的这里，哎，现在来到了轴右， 而且我们在最开始的时候已经说了，这个点 b 是 超不过点 a 的 对称点的，对吧？那么此时我点我的 a 的 一个大致的范围就是我的三 a 减六是要大于对称轴 a 的 啊，得到一个前提的范围是 a 大 于三。 好，那么我们现在来看一下啊，我现在找一个点 p 在 轴右，随便的先找一个点 p 啊，然后去做 y 轴的一条垂线， 也就是我做做这样的垂线。好，我让这条直线呢，开始运动一下吧，看看什么时候与图形之间有两个交，有一个交点啊， 来运动到和 a 点，哎， a 点，这，这是不是就开始和图形 g 有 交点了，对不对？那我能一直的去往下运动吗？孩子们，能一直吗？ 我会发现，哎，超过点 b 的 时候，此时啊，我的这条直线是不是与我的图形 g 就 有两个交点了， 对不对？哎，那么也就是说明我的这个点 p 啊，能在哪里运动，是不是只能在这一部分运动啊，对吧？哎，那么我们又可以开始列式了，点 p 的 红坐标是 a 加二啊，它要在 呃三 a 减六和三 a 之间运动，那么得出来 a 是 大于等于一小于四的，再结合一下前提的范围，那么我们求得最终的解集是 a 大 于三小于四， 那么我们 a 大 于零的时候，我们就都讨论完了，对吧？别忘了 a 是 不确定的，我们还要再看一下 a 小 于零的情况啊， 那么 a 小 于零的情况就要比大于零的情况啊要简单的多， a 小 于零的时候，抛物线的开口向下，并且过圆点，对称轴是 a 好， 那么画完抛物线还是要去找点，究竟点 a 能确定还是点 b 能确定呢？ 我们来看一下，因为抛物线的对称轴是 x 等于 a， a 小 于零了， 那负 a 是 不是一定是大于零的呀？对不对？哎，也就是说明我的负 a 啊，一定是在这里的，对不对？哎，好，那么接下来我们再看一下，点 b 在 哪里啊？ 点 b 是 三 a 减六啊，你的 a 是 小于零的，再减去一个六，那是不是更小了呀，对不对？哎，那么我们刚才在第一问的时候就是说了， 如果你想去找 b 点的时候，咱们先看看点 a 的 对称点哎，它落在哪里？那么点 a， 点 b 和点 a 的 对称点，它们比较一下这个位置啊，看看点 b 在 点 a 的 对称点的上方还是下方好不好？ 所以我们还是先找出点 a 的 对称点，点 a 的 对称点，也就是 啊，两倍的对称轴，再减去一个负 a， 那 么也就是三 a 啊，因为点 b 呢，是三 a 减六，所以点 b 必定在点 a 对 称点的下方， 你看这是不是就都找完了，对吧？好，那么点 a 和点 b 之间的这个图像叫做图形 g， 哎，好，那么 我现在图形之一找完了，我就要开始去找点 p 了，点 p 在 哪啊？点 p 是 a 加二 哎， a 加二的意思也就是从对称轴点 a 再向右移动两个单位，对不对？你的 a 加二一定是在轴右的啊，那么我们看看你的 a 加二能在哪里呢？ 假设我的点 p 啊，点 p 在 这里，大家看看符不符合提议？我过点 p 做一条垂直于 y 轴的直线，大家看符合提议吗？点 p 这条直线是否与我们的图形记只有一个公共点？我们发现不对啊，这边有一个点，这边有一个点，所以是不符合提议的，对不对？那好，那我就让这条直线哎，移动一下，我发现，哎， 到点 a 这了，哎，就是一个临界点，对不对？哎，到点 a 这了，那咱能不能等于点 a 呀？咱说能等于吗？ 是不是当我的这条直线来到点 a 这里的时候，我这条直线与抛物线还是有两个交点呢， 所以是不符合的，对吧？哎，当你越过咱说越过你这个点 a 的 时候，哎，我的这条直线与图形记只剩一个交点了，对吧？ 那说明咱们的点 p 是 不是就是在这一部分运动啊？但是不能和点 a 重合，可以和负 a 加六重合，是这个意思吧，对吧？那我就开始列式呗， 也就是，哎，这里我改一下啊，要大于负 a， a 加二是要大于负 a 的， 可以小于等于负 a 加六，那么得出来， 我的这个 a 的 取值范围就是 a 大 于负一，再小于等于二，再结合一下我们的大前提， a 小 于零，那么得出最终的解集，就是 a 大 于负一，小于零。 好，那么最后我们综合一下解析吧。啊，这是我们 a 小 于零的时候的解析，这是 a 大 于零的时候，有三个解析，我们可以合并一下， 想合并的时候呢，你可以画一条竖轴啊，但是画竖轴画完了之后，咱一定要注意是空心点还是实心点好不好？ 那么最终我得到了 a 的 解集，有三段，就是大于负一、小于零，还有大于零、小于等于负一，还有一个大于等于二、小于四。那么这道题我们就求完了， 说实话，这道题确实是很麻烦的，需要同学们非常非常的仔细，而且有耐心。

我们北京初三的家长们，昨天呢说海边二模考完了，整体来说呢，难度接近中考，题型正统， 含金量还是很高的，区分度非常清晰，实战性很强，贴近今年中考的命题方向，一定要让孩子吃透这套卷，才能精准把控中考的考法。 今天张老师带着大家主题拆解一下。首先选择题基础稳，拿分压轴更注重数形结合，前七个都是常规的基础考点三是图，数轴的估算概率科学技术法，平行线，角度尺规作图，还有这个圆的问题， 知识点平稳认真审题，基本能够做到不丢分。压轴的第八题格外的灵活，依次函数与坐标系，包括这个存在性问题，周长与面积的最值综合 重点考存在性的判断。树形结合侧数的范围分析，尤其是用代数式表示图形，这也是张老师课上反复强调的，先定坐标，再定图形，最后再验证临界的条件。 填空题基础为主，压轴考最优的方案。前面几道同样是以基础为主，分式有意义，因式分解，判别式， 概率预估，假命题，反方形对称的面积。十五题呢，整体在解直角三角形，还是在求面积，这里包括计算，今年的难度都有提升，绝对是不白给的，该拿的分一定要拿到。 填空压轴第十六题，以农产品装箱呢为背景，重量限制，求最值，阅读量适中，情境真实，需要孩子耐心审题，有序的猎取，先选高价值的组合，微调方案，心细，逻辑清晰，才能拿到满分。解答题前五道基础 基础必须拿到满分，也是我们的基本盘，整体变化不大，题型非常稳定，一分也不要丢。十七题，实数的混合运算，十八题，解一元一次的不等式组 首题，代数式化简求值，尤其是条件整体代入的意识。二十题，四边形综合， 这里边解直角三角形，整体重规重矩。二十一题，列方程解应用题，整个的叙述比较灵活，难度适中，这部分的分数稳住，才能有高分的保障。中间三到中档的解答题，重规重矩，细心不翻车。 依次函数综合正比例函数与依次函数的焦点问题有一些变化，给了线段长度范围，数值线段的长度求字母的范围，这里边注意数形结合，看清焦点与区间列式要准。 统计综合贫数值方图中位数达达标，估计提出即值，计算依旧是以中位数和平均数为主导，信息多，看图要准，结论必须结合图表描述。 接下来就是圆综合，依旧是解直角三角形，外加平行的八字相似，依旧是解直角三角形，与相似为主。这道题呢，解直角三角形的量不小，外海淀一模的圆综合类似难度不大，但是灵活，步骤写全不丢分。 同时注意今年增大了计算量，尤其重点考察了三角函数，最后三道压轴题是冲高分的关键，全是我们的高频核心考点。 代数综合，今年海淀考察了，比大小可以用数形结合法，也可以用代数法，注意等号是否可取，这也是我们反复练的重点。今年代数综合呢，结合一模二模，整体来说有把新函数最值与对称性比大小的和临界点整合在一起的趋势， 这个非常值得我们关注。几何综合中卫线加三线合一，尤其是在导边，这里加入了多层的等量代换。这个有二零二三年北京中考几何综合，这个题目的审运，导角的顺畅，思路自然能写完整，那自然而然能拿到高分。 最后一道题的压轴新定义依旧是多动态的轨迹问题，阅读量整体比较大，条件相套的比较多，是顶尖学生拉开差距的题。整体来说呢，这份海淀二模考点覆盖全面，题型正统， 难度贴合中考区分度合理，甚阶段，适合孩子检验水平，查漏补缺的一套题目，孩子考完可以好好分析哪些题目是稳拿分的，哪些题目在做的时候思路卡壳了，针对性查漏补缺更重要。 需要这份海淀二模数学试卷的家长瞧，海淀二模，我发给你，一步一个脚印，把错题吃透，各位加油！

今天海蒂尔摩这个题，利用牛哥讲的确定性方法，又是直接秒，哎！如果你参加过牛哥的免费的这个公益课，哎，你会发现，看图直接秒这道题，一模一样的题型啊，如果有需要，你可以加我参加，当然，如果是新出单的同学，可以咨询牛哥的课程。 ok， 看一下如何说用确定性方法直接秒，就是从题目的核心特征入手啊。核心特征，哎，这个题里边有 r t 三角形啊，有 r t 三角形 abc 啊，那么它的方向就是对称 或斜边中线，确定性非常确定好，然后他问，最后问这个 bfd 的 大小，直角啊，又是一个 r t 三角形 bfd 啊， 所以接下来先对称， ok， 好， 我们把这个 abc 关于 ab 对 称一下，对称到这来，再把 a 啊， bfd 关于 bf 对 称一下， 对称对称，这来对称到分别是 p q 对 称完了，是不是就出现两个两个圈，呃，两两个手拉手，也就是我们只需要连接一下 p d 和 c q 好， 所以就有了手拉手，嗯， p b d 全等于手拉手， a， 哎， b 啊， c b q 啊 啊，只要整出这个手拉手就结束了。然后因为对称，所以你看中位线呀， e f 平行且等于二分之一的 c q 啊啊， a e 平行平行且等于二分之一的 p d 啊， 中一线啊。然后接下来，因为这个角是一百八减二法，所以倒角就会发现这俩角，哎，角 c 啊，就角 b p d 等于角角 b c q 啊，所以他俩就全等了，就秒了。这道题啊，就是利用牛哥讲的确定性， 确定性方法就是对考试方法的一种高度总结，哎，工艺课里边讲的明明白白，清清楚楚的。好，如果有需要可以加牛哥他家牛哥的这个免费的工艺课。

ok， 这个视频啊，我们一起来看一下二六年咱们海淀二模的这个几宗题啊，它与二五年海淀二模的几宗题要几个问题是一样的，也就第二问，他们的辅助线做法基本上是一致的。 那接下来我们就来看一下这道题目我们应该怎么样去思考呢？首先来看第一问，第一问告诉我们，角 b、 a、 c 是 一个九十度的角，图一啊， 然后 a、 b、 c 是 r 法，但是第一问中 r 法是四十五度，所以角 b 是 四十五度。好，立马就要得到三角形 a， b、 c 是 一个等腰直角三角形 a、 b 等于 a c， 那 接下来他说 e 是 c、 d 的 中点，所以 c e 等于 d， e。 为了让你更好地看清楚关系啊，我们就用小 a 来表示长度，表示它俩相等。 然后接下来连接 e， a， 将 e、 a 绕着点， e 逆时针旋转，一百八减二 r 法。因为 r 法是四十五度，所以一百八减二 r 法肯定是九十度喽，也就是角 a， e、 f 是 一个九十度的角，同时它还是一个等腰，对吧？也就说 e、 a 是 等于 e、 f 的， 这里面出来两个等腰直角三角形，但是他们并不共顶点呀，所以没办法没有直接的手拉手，对不对？我们这个题习惯性的考手拉手吗？好了，接下来还有条件没有读完的哈。 c、 d 还等于 b， c， c、 d 等于 b， c， c、 d 是 两个 a， 就 意味着 b、 c 也是两 a 呗。 二 a 的 长度吗？那接下来这个题目让我们证明的是 c、 f 垂直于 bc， 也就是让我们证明这个角度是九十度，这个蓝色角让我们正的角啊，是九十度。那正常情况下，我们的常规解析思路就是导角，看能不能导出来，通过计算发现它是九十度，但这个题目你发现是没办法直接导角证明它是九十度的。 那就说这个题目呀，我们肯定是要构造，对吧？也就是需要做辅助线了，那这个线段关系就直观重要了。二 a 和 a 你 想干什么？ 对，你肯定是想把二 a 给拆开，对不对？同时这个三角形 a、 b、 c 又是一个等腰直角三角形啊，那我们就更想拆了，三线合一，对吧。所以我们的 辅助线的思路就是通过这个出来的，我们就可以从 a 点向 b c 做个垂，或者说找 b、 c 的 中点都可以哈，我就从 a 点向 b c 做个垂，假设垂足为 g 来，我们的辅助线就出来了哈。做 a g 垂直于 b c， 那 很显然我们就得到什么呀，三线合一对吧？因为 ab 是 等于 ac 的， 所以我们就得到了 b g 肯定等于 c g， 那 b g 等于 c g 肯定都是小 a 了，因为它是二 a 啊，它还等于谁啊？再根据已知条件，它还要继续等。我们的 c e 还要等于 d e 除四之外，它还等于谁？因为三角形 a， b、 c 是 一个等腰直角三角形呀，你这斜边中点都出来了，那斜中定律 a g 是 不是也等于小 a 啊？也等于 a g， 所以 a g 啊，也等于小 a， 这个也长度也是 a。 好， 那接下来我们再继续看哈，看什么呢？你看图中有没有你想你熟悉的东西了呢？ 对，来观察哈。这三角形 a、 e、 f， 我 们可以认为是个等腰直角，对不对？他说直角出发是不是有一线三垂直呀，这里有个直角，这里有个直角，所以这里很显然就出现了一个一线三垂直的模型呀， 对吧？构图是出来了一线三直的模型，那就是 e、 a、 g 这个三角形和 f、 e、 c 这个三角形是不是全等的？如果全等，那这个题目就出来了，对不对？ 所以接下来我们就来看一看三角形 e、 a、 g 是 不是全等于三角形 f、 e、 c。 那 接下来就要找条件了。首先第一个有什么条件？对， e、 a 等于 ef 呀， 这是已知条件对不对？还有吗？对，小 a 相等对不对？ a g 和 e c 相等， a g 是 等于 e、 c 的， 还有吗？嗯，第三条边肯定是没有相等关系了，所以还要找一个角，有两个边，再找一个角，那很显然是要找假角了，这个假角是否对应相等呢？来看一下 这个角是不是等于这个角呢？我就用角一和角二来标注哈，当然你考试的时候，这个角肯定不能用角一标， 就要用 aj 来表示，哎，我们会发现角一和这个角三是什么关系？互余的，角二和角三也是互余的，所以我们就得到了角一等于角二， 那因此这个三角形就是全等的判定，定律是边角边的判定，那他们两个全等了，那很显然对应角相等了。 对应角是谁呀？也就是我们要正的这个角角 e、 g、 a 与要正的这个角 e、 c、 f 是 相等的，九十度，那所以说九十度肯定就垂直搞定了。这是第一问哈，需要构造出我们的一线三垂直全等的模型。 接下来呢，我们来看第二问，第二问的已知呢？变化不是很大，也就是角 a， b， c 不 再是特殊角了，是 r 法，当然 b a， c 啊，依然是一个九十度角，有垂直这个角度是 r 法，然后呢， e a 依然等于 e f， 它的假角是多少呀？一百八减二 r 法哈， e， a 依然是等于 e f 的， 当然这个假角还是一百八减去。二 r 法，就是角 a， e f， 然后接下来呢，我们的 c e 等于 d， e 还是成立的，也就是 e 依然是 c d 的 中点。 第二个是说连接 b f 和 d f， 让我们直接写出 b f d 的 大小，嗯，直接写出，那我们可以测量写出对不对，可以得一分。 当然我们也可以观察得到，这肯定是个特殊角，一看就是个九十度角，所以我们就发现这个题目我们其实要正的就是这个九十度角。你读到这里，如果你刷了去年二摸的题目的话，你就知道这个题目怎么样去构造了哈， 那在这个题目中，我们怎么样去构造呢？根据以往的解决思路啊，我们这一问，通常考察的是手拉手的全等这个图形的构造，那当然在这个题目中有直角， 我们可以通过做对称去构造，等腰三角形去就会出现手拉手，但这个题目还有终点， 那我们可以有终点加直角，是不是可以通过斜中定里来构造呢？哎，也是一种思路，两种思路都可以，那接下来我们就通过第一种，就是常见的利用我们的对称构造手拉手的构图去解决问题去， 对吧？因为我们大部分题不都要回归到手拉手的构图上吗？所以我们不妨直接去构造手拉手去。那怎么样去构造呢？我们刚刚说了，当出现直角的时候，就可以通过做对称构造，那既然 b a 和 b f b a 这个直角是已知的 b f 这个 f 顶点，这个直角是要正的，那是要正的，我们就可以先利用起来嘛， 那就可以以 b 为顶点出发，去构造两个等腰三角形，对不对？通过这样的构图怎么样构造呢？首先因为 b a c 是 个九十度，我们就可以通过倍长 ca 去构造第一个等腰三角形，我就倍长 ca， 就是 延长 ca， 假设到一点 p， 然后连接 b p， 那 这个三角形 b c p 是 不是肯定是一个等腰三角形？那我们的辅助线哈，看清楚，是延长 c a 到 p， 使 ap 等于 ac， 那 很显然这个 b p 也等于 bc 了。 来，这就是个等腰三角形了嘛，所以这个角就是 r 法，那我们可以顺手去标一标哈， c a 等于 a p， 那 这个角就是九十度减 r 法，这个角也是九十度减 r 法，对吧？ b p 还等于 b c。 好， 已知条件，我们可以通过这样的对称就得到这些角度关系以及线段关系。 那接下来还有第二个，就是我们可以从 b f 这个边上去得到这些角度关系。那接下来还有第二个，就是我们可以从 b f， 这第二个就是倍长 d f， 假设到一点 q， 可以 吧？那肯定没问题喽，然后连接 b q。 好， 这一点我们记作 q， 然后连接 b q， 注意哈，是倍长的，它 倍长的 d f。 第二个辅助线是延长 d f 到 q 十 f q 等于 d f， 这两个边相等了，这个还能得到，则 b q 等于 b d 吗？ 当然不可以了，因为这个这个直角是已知的，这个是要正的，你肯定得不出来。那如果我们能够得到 b q 等于 b d 的 话，是不是 b f 肯定垂直于 d q 了？为什么？ 对等幺三零三线合一啊？所以现在我们基本上把构图构造出来，接下来你是不是要找这两个手拉手全等是谁？那根据我们手拉手全等特征，有两个等幺三角形啊。第一个等幺三角形就是 b c p， 第二就是我们构造的这个 b q d， 因为它肯定是个等圆，只是我们需要证明而已。 b q d， 那 我们就来找一找头左左头右右的全等在哪里，对不对？好，来标一下，这个是 b 就是 个头了，公共顶点嘛。那如果我们认为 b q d q 是 左， 那么 b c p 的 左就是 c， 对 不对？这个就是左，所以头左左。第一个三角形就是 b q c， 那 我们需要连上 q c 才能出现头左左嘛？ 那第二个呢？就是头右右，我们既然认为 q 是 左的话，那 d 就是 右了，对吧？对于这个三角形 b q d 来说，那对于 b c p 来说， p 就是 右了，好，头右右，我们需要连上 d p 好， 接下来连上 d p 连上之后呢？接下来我们是不是就是要正这两个三角形全等？如果这两个三角形全等了，那么 b q d 肯定就是一个等腰三角形了， 对不对？所以接下来我们的目标就是正三角形 b q d 投左左全等于三角形 b c p 的 啊，不是 b q b q c 和 b d p 哈， sorry， b q c 投左左和投右右 b d p， ok， 那 接下来我们就要找条件了，首先来看一看有没有边的条件呀？嗯？ b p 等于 b、 c 是 不是已经是一个条件了？所以第一个就是 b c 等于 b p 就是 一个边了，我们把这个条件给画出来， 第一个条件就是 b p 等于 b c， 那 接下来还有没有边的条件呢？ 对，注意，我们连上了 p、 d 和 c q 之后，你还要想什么呢？你已经做出来一个终点了，然后题目中还有已知的终点，对不对？做出来的终点题目中还有已知终点，那就多个终点呀，有多个终点就要想中位线呀。所以我们发现在三角形 c、 c、 d、 p 中， a、 e 是 不是中位线， a、 e 就是 中位线呀？是中位线，那就说明 p、 d 就 等于两个 a、 e， 当然 p、 d 也平行于 a、 e 了。 那当然在下面这个三角形 d、 c、 q 中是不是也有中位线呀？ e 和 f 都是中点，那很显然我们也可以得到 q、 c 应该等于两个 ef， q、 c 还平行于 ef。 来看一看， a、 e 和 ef 是 相等的边， a e 和 e、 f 对 应相等， 那所以 p d 和 q c 是 不是也相等啊？所以第二个边的条件就是 p d 等于 q c， p d 和 q c 是 相等的。 好，又有一组对应边了，我们把这个对应边标出来，是第二个对应边， p d 和 q、 c， 通过中位线把它们两个推导出来相等。 好，那接下来我们要证两个三零全等，已经有两个边了，而第三个边是我们想证的，对不对？如果 b q 和 b d 这第三个对应边相等了，那我们就证出来这个垂直了，利用三线合一。所以接下来我们还要再找一个角去证明这两个三零全等已经知道有两个边了，那肯定找假角是不是对应相等就可以了？好，那接下来我们就开始倒角了， 看能不能导出来这个假角对应相等呢？那接下来就要充分利用我们题目的已知角 r 法去导了，还有这个一百八减二 r 法去导。 那么如果要正这两个三角形全等，要导的角应该是哪两个角对应相等啊？对，是这个角对不对？这个角 d p、 b 是 不是等于角 q c b？ 如果这个角和这个角对应相等，那这个全等我们就挣出来了，那接下来我们核心就是倒角，怎么样去倒呢？为了看的更直观，那如何把这个九十度减 r 法和这个角一百八减二 r 法，还有要证明的两个目标角联系在一起呢？ 有什么没用啊？我们中微线只用了线段的大小关系，还没有用线段的位置关系啊，所以要充分利用线段的位置关系，那肯定是通过这个平行帮助我们把这几个角建立起来。那这个是九十度减 r 法，那我假设这个小角是贝塔，可不可以这个点点是贝塔， 那我们这个角 d p、 b 是 不是就是九十度减 r 法加上这个贝塔，这个角就是九十度减 r 法加上这个贝塔？好，那接下来我们就充分利用这个贝塔，通过平行去转移角去。那既然我们的 pd 和 a、 e 是 平行的，那所以这个小角是不是就是贝塔 同个角相等啊？它的这个角是 beta， 那 这个角是九十度减 alpha， 这个角能不能正出来这个角 a e、 c 这个小角，那肯定可以，这个小角你发现利用外角定律，它其实就是九十度减 alpha， 减 beta。 好，我们刚刚已知条件，这个紫色的 a， e f 是 一百八减二 alpha 了，那所以说这个角，这个叉叉，这个角 c， e f 是 不是就用这个一百八十度减二 alpha， 紫色的这个角减去上面这个点点？ 九十度减 alpha 减去贝塔。好，一整理，你发现它等于九十度减去 alpha 加上贝塔。 哎，是不是跟这个就相等了呀？但是它还不是我们的目标角呀，那平行再继续用啊，这两条线 e、 f 和 c q 是 平行的，所以这个角也是叉叉呀，对不对？所以我们就正出来了，这个角也是九十度减 r 加上倍它， 嗯，通过两边和夹角对应相等，这两个三角形全等边角边的判定，那两个三角形全等了，那必然就得到了我们的第三条对应边 b d 啊， b q， b q 等于 b d。 好， b q 等于 b d 了，再加上一个我们的 df 等于 f q， 三线合一， 三线合一必然可以得到 b f 垂直于 f d， 所以 这个角就是九十度得正了。 好，这是我们通过垂直做对称构造，手拉手的构图去帮助我们证明这个题目去。当然我们一开始说也可以通过斜中定里，是不是也是一种思路呢？那肯定也是一种思路，你可以自己去思考一下哈。

代宗又变题了，其实我们在上课的时候就和大家重点强调过，代宗主要就是研究两个东西，第一个部分函数它的状态，第二个参与数之间的分类讨论的内容。这次海淀区考察的核心就是这个 啊，也是和我们上课时候讲的代宗的内容几乎一致。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年海淀按摩的一个代数综合。呃，读完题目之后呢，有几个小点大家一定要注意，第一个就是他说是不重合的两个点，所以说我们一定要把 a 的 这个限制范例给他写出来，也许对于我们最后的答案有很大的影响。 第二个我们要知道这道题的对称轴是 x 等于 a， 然后呢，通过对称轴呀，我们会发现，你问这个三 a 减六到底怎么冒出来的呢？哎，我们发现对称轴等于 a 的 时候， a 点的对称点 a 撇，他就是三 a， 这个三 a 和这个三 a 减六，他们俩之间就会有一个相对的位置关系，这一点大家要注意好。那接下来呢，我们来看一下。第一题，让我们 比较 m 和 n 的 大小，此时 a 等于一，让我们就比较这个大小，这个非常简单，我们可以通过画个草图直接得到 n 呢，是大于 m 的， 这个呢，我们就在这里不做过多的赘述了，我们主要看一下第二题。第二题说抛物线 a b 两点之间的部分为图像 g， 你 看 区间函数，它这个图像一直在动，我们的脑海里要呈现出它的特点，对吧？过点 p 做一条垂直于八轴的线， 这个 r o 呢？和这个图像这只有一个交点，什么意思？就是现在有条水平的线，你现在 ab 的 这个图像呀，你不论怎么画，对吧？不论你怎么画，还是这样怎么画，咱们只能有一个交点，那也就是说你这个图像它的对称点和这个点两个点只能选择其一，这就是这道题最重要的一个内容， 对吧？这是第一个。第二个就是我们在做题的时候，你会发现它里面都是参数，那我们要干嘛？我们要去进行分类讨论。好，那我们来看一下。因为开口不知道，所以我们假设 a 大 于零或 a 小 于零这样两种大情况。 第一种情况，当 a 大 于零的时候，我们画出草图，这个零斗零和二 a 斗零都能画出来，对称轴呢是 x 等于 a， 这个呢也都知道。好，那接下来我们来看一下啊，我在这里边可以干嘛直接先画出来这样的一条线， 这条线就是我们所说的这条 l， 也就是这个 y p， 对 吧？那也就是说我现在呢， a b 两点之间的部分，要和他只有一个焦点，那怎么办？ 你这个点 a 啊，点 a， 他 要么在这条线的上方，要么在这条线的下方点 b， 同样的，对吧？那我们现在呢，要在这里边进行分类讨论，那这个时候你就要去思考这两种情况了。所以第一种情况，我就假设点 a 在 这上方，如果点 a 在 这上方，我要是想保证和他有一个焦点的话，那么点 b 必须在运动到 a 减二的右侧，所以你会发现点 b 的 红坐标一定要大于 a 减二，对吧？那你这个点 b 在 a 减的右侧都行吗？我一直运动，一直运动，一直运动，运动到这也行吗？那肯定不行，对吧？所以说点 b 的 红坐标还要保证在 a 加二的左边，所以要小于 a 加二这个地方不能去等了。那此时我们算出来， a 呢是大于 等于二，小于四的，第一个答案就出来了，第二个答案，点 a 呢，是大于等于二，小于四的地方。好，那三一减六在哪呢？ 大家一定要注意喽，这就是我们讲的，你看它的对称性就发挥了作用了，对吧？你这个地方是不是三 a 三 a 减六，是不是一定在它左边？如果你这个在这一侧，你会发现你和上面这个红色线有没有交点就没有了，所以点 b 只能通过点 a 往左边跑，这个时候你会发现它的限制条件只要越过了 a 减二就行， 所以说三 a 减六呢，应该是小于等于 a 减二，那这样的话，咱们和这条线是不是就有一个焦点了，对吧？那这个时候呢，我们会发现，你这里边算出来是 a 小 于等于二，那我们大前提是什么？大前提是 a 小 等于一，所以这道题的答案是 a 大 于零小， 这是两种情况，注意，你看，从 a 开始往这个方向跑啊，从 a 开始往这个方向跑，那为什么我们在这里面没有加等号？一开始大家一定要注意，我们在这里面加了等号，所以说在这里面的加这两者呢，大家一定要稍微的把它给弄清楚，就是你你在哪个地方加，如果他俩都都在这呢，就重合了，对吧？就是这个好。第二个，当 a 开口向下的时候 啊， a 小 于零，开口向下，嗯，开口向下，我们同样画这个草图，同时我们先把这条线给他画出来，这条线画出来 a 有 可能在这条线的上方，有可能在这条线的下方，依旧是这两种情况 啊，这两种情况呢，就会分出来两种小前提，对吧？这个大家一定要弄清楚。好，我当我们把这种情况捋清楚了之后，第一个我们就假设这个 a 呢，他在这个这条线的上方，如果 a 在 这条线的上方，那这个 b 他 应该在他的左边，那我们就跑跑跑跑跑跑 跑跑跑跑跑，一直跑到这个位置啊，一直跑到这条线的下方，是不是才能有答案？这个时候我们就得到了这个点 b 三 a 减六，他一定要小于这个 a 减二才行，当然能不能去等呢？可以，因为我们上面这里我们没有把它放一个等号， 那你在里面去等一就没有问题，所以算出来 a 呢是大于负一小于零，此时就有一个答案了，那这个时候大家可能会有一个疑问，说我点 a 在 这里，那我点 b 往这个方向走行不行？ a， 这里大家又需要注意了，我们这边的一个对称性，你这一个点是三 a， 三 a 减六是不一定要在 a 撇点的 a 撇点的左边，所以说 a 点一旦在这个这条线的上方的话，点 b 只能往这个方向走，它只要保证在这个点的下方就好了，这是这种情况。 好，最后那我们假设这个点 a 在 这条线的下方，如果点 a 在 这条线的下方，这一点呢是三 a， 那 你你这个往上一走，这是不是有一个焦点了，然后三 a 要在 a 撇点的下方，这边是不是又有一个焦点了？它是不是有两个焦点了？ 其实此时咱们都不需要去求，这种情况是直接不存在的。那最后呢，我们会发现一个答案是他，一个答案是他，一个答案是他，我们把这两个答案呢合在一块，对吧？ 所以 a 就是 大于等于二，小于四，或者呢是 a 大 于负一小于等于一，且 a 不 等于零，这就是我们这道题的最终答案，难度呢其实是非常大的，尤其考察大家的耐心以及分类讨论的能力和我们对于图像分析的能力。

几何快，代数稳心定，还能提智商。哈喽，各位同学们大家好，我是讲韩式的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师啊，精讲的是我们初三下双提二模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，可以说是非常综合一道题目了啊，这一道题真的可以顶好几道题，它既考验了咱们同学们，首先从能力上，你具不具备我们的定一动，一种有序动 哎，以及就是你具不具备构造新函数这种式子表一切的能力，包括函数题要想做的快，最重要的就是你能不能够挖确定啊，在不确定当中挖出确定， 哎，这几项能力，各位同学其实就等于中考会考察到的全部的带宗的解析能力了啊，再加上这个题的考点，同学们这种公共点问题的处理方法，这种哎，增减性问题最值问题的处理方法，各位同学，哎，这两个考点你是不是掌全面掌控， 所以这道题真的能很好的检验咱们同学们在带宗这块的一个基本功的扎实程度啊。好，如果这道题做的不好，同学来认真听，向老师给你们讲一讲啊，我手把手再教教大家都是怎么操作的。 好，首先来看一下啊，这个呢，首先过二斗夫三 a 啊，这个对称轴还是非常好算的是吧，往里一带能算出这个对称轴是一啊。并且同学们像这种解析式，因为他的 a、 b、 c 都含有同一个字母 a， 那 这个式子我能看出来它是可以因式分解的，是不是你可以另一个 a a 变成 x 方 减二， x 减三，然后在这里就可以进行一个十字相乘，是吧？变成 x 加一乘， x 减三，所以能很轻松地看出它与 x 轴的交点应该是负一零和三零 啊。并且这个其实就是肖老师给大家总结过的我们的跳绳模型，是不是因为它的与 x 轴交点是确定的，然后它的顶点是不确定的，那说白了就是它可以啊，让顶点沿着这个对称轴从上往下跳，对不对？比如说它可能会长成 这样，也可能会长成这样，是不是？哎，这种跳绳结构啊，跳绳模型好， ok， 等会如果需要有序动这个抛物线的时候，同学们就可以去看看这个就可以用跳绳模型啊。 接着来看第二问，已知点 a n 逗四啊，我们永远要善于只关注确定的 n 逗四，这个是 n 加六逗四，哎，纵坐标确定。所以说白了，这个 ab 两个点呀，它就是 在外等于四这根线上动，是不是？哎，在外等于四这根线上动，小老师画一下啊，大概这个意思，是不是在外等四根线上动？嗯， 好。并且呢，他们两个人虽然横坐标是不确定的，但是他们俩的横坐标的宽度是定的，是不是就是六个格？所以他其实说白了就是一个宽度为六的一条横线，有毛病吗？同学们， 哎，就是宽度为六的一条横线，然后在这个 y 等于四上，然后这个点就是咱的点 a 点 b， 然后从左往右动呢，是不是？同学们，是吧？哎，这就是点 a 点 b， 然后他再从左往右这样式， 再咚咚咚咚咚咚咚咚咚，哎，咚咚咚，是吧？ ok， 好， 他说，若使得，若存在 n 啊，若存在 n， 使得抛物线和线段 a b 有 两个不同的焦点，注意，他找的是两个焦点，让咱们直接写出 a 的 范围。 好，这道题我们来看一看啊！同学们，来，这种公共点问题啊！同学们基本就都是动图啊，因为咱们知道，肖老师给大家讲过， 做函数题第一步是画出第一图，一定要先把图给画出来，画完图之后，要么可能是玩图，要么可能是玩士子。那大家记住，这种公共点问题，这种焦点问题， 我们都是干嘛都是玩图啊，就是对这个图进行有序动。 好， ok， 那 咱们就开始干。那怎么动呢？有同学说，老师，这个抛物线也动，这个线段也动，太烦了， 定一动一啊，对不对？抛物线也动，线段也动，那当然没法做了，所以咱可以先把抛物线给定住，对不对？哎，定住这个抛物线，你就动这根线段不就行了吗？是不是？那你就跟肖老师动啊，比如说，同学们，如果这个线段长这， 请告诉我，这个抛物线和线段有两个公共点吗？ no， no， no， 继续动动动动动，哎，有了吗？没有，还是只有一个，是不是？继续动动动动动动动，直到动到泪 b， 干嘛从右边出去，对不对？现在才满足存在，两个两个两个两个两个两个，对不对？哎，现在我们就看懂了啊，长成这个造型就是存在， 是不是？哎，明白了吧，这种就是，你看，继续往右动，又没有，没有又不行，不行不行不行不行不行，是吧？是哎，只有长成这个造型才是存在，是不是？好，那这个时候你就再看看他，那他长成这个造型就一直存在吗？各位同学， 那你这个时候可以动动抛物线呀，是不是？同学们，比如说肖老师把这个抛物线画小一点， 哎，我把这个抛物线画小一点，哎，你会发现这个时候行不行呀？这个时候也是行的，是不是？哎，那如果向老师再把这个抛物线整大一点呢？同学们， 哎，哎，这个时候呢？哎，这个时候你会发现也刚刚好是行的，是不是？那如果我再整大一点呢？ 你会发现这个时候是不是就不存在了，对吧？你不管这个 a b 动到哪，它都不存在了，有发现吗？ 你动动动，你甭管这个 a b 动到哪，它都跟这个绿色的不可能有两个公点了，是不是因为这个绿的太胖了，所以临界，大家看见了吗？临界就是黄色，这个是不是？临界就是黄色这个情况？因为这个是最极限的胖， 对吧？这个是最极限的胖，如果再胖，你甭管他动到哪，他都不行了，所以绿色黄色这个是最极限的胖， 是不是？哎，所以同学们，我们就把握住了这个临界情况，就是长成这根，那咱们就算呗，因为这个宽度总共是六，然后这个对称轴是一，所以左边是三个格，所以这个此时他的横坐标就是负二， 对不对？也对吧？横坐标就是负二，也就是他过负二斗四的时候，哎，那我们就把负二斗四带到抛物线，就可以算出来，此刻 a 等于五分之四，然后咱们再进行让范围确认，哎，对吧？开口得变大变小能行啊？同学们，这个是最临界的胖了，所以开口得变 小，对不对？得变成紫色这样才行吧，对不对？得变成紫色这种情况才行啊， ok， 对 吧？这样的话才能才能存在，对吧？所以这开口变小，那就是 a 变大，所以 a 大 于等于五分之四啊，就是开口向上， 好，那咱们再看开口向下。各位同学，开口向下呢？咱们先画画啊，首先他既然得满足有两个造型。同学们，咱们先画画啊，首先他既然得满足这个造型，同学们，能行吗？ 那肯定不能行，对不对？至少他俩得先挨着，对不对？得先挨着，哎，那再确认一下，哎，那我先画一个挨着的啊，是不是？至少他也先长成这样，哎，那再跨，只要挨着都行吗？那我再有序动一下这个抛物线啊，只要挨着都行吗？各位同学，来，肖老师画一下粉色，这个行不？ 肯定是存在的，大家有没有发现因为什么？因为此刻这个抛物线呀，他在这个位置才宽四个格，他这儿肯定特瘦，能懂不？他这儿肯定特瘦，所以你拿一个 y 等于那个宽度为六的一个线去跟他 肯定有两交点，肯定存在有两交点，大家能理解这个道理吧，对不对？你拿一个宽为六的去跟这种开口向下的抛物线进行找找，两个公共点指定有 对不对？指定是有的，因为他这这才宽四个格，对不对？你上面要拿一个宽六个格的，肯定肯定是嘎一下穿过去的，是不是？哎？所以这个开口向下，只要他能跟 ab 这条横线啊，能跟这条横线过去，对不对？只要他能长成这个造型，对吧？只要能，他能有俩焦点，他就一定能符合题，是不是？好？所以说白了就是我们只需要满足一对的这个外值，一对的这个外值要大于等于四 就行，是不是就能穿过去了？哎，有俩就有公共撵就行啊。所以咱们就把 x 等于一带到抛物线解一式算出来是大于四啊， ok， 就 能解出 a 小 于负一了。所以综上这个题答案就这两个答案，好吧，哎，这就是我们的第二问， 来，那我们再看一下第三问啊，各位同学，第三问呢，又是我们非常熟悉的这种新函数问题了是不是？那同学们首先画出第一幅图 哎，然后他让咱们去研究谁呢？研究 m n 的 距离，那咱们就视字表一切去表示 m n， 是 不是 m n 表示完这个啊？然后第三步， 只要表示完新函数，那咱们就画出新函数图像，就长这德行是不是？第四步，把它的范围标在图上，注意提醒同学们，只要标范围，同学们一定要 看清这个等号，等号的情况，所以你会发现他左边是可以取等的，右边是不取等的哦，所以六啊，这个六肯定讲价啊，他是个空心。那咱们就看 a 加一讲哪吧！同学们， 哎，有同学是不是分了好几种情况啊？这个题最易错的点，最麻烦的点来了啊，有同学是不是分 a 加一讲价， a 加一讲价，一个一个看的呀？ no no no no no， 麻烦了，同学们，如果你真的非常善于关注精读，非常善于去挖确定，各位同学，只要你善于挖确定，你就能比别人做得快，别人讨论四种，你一种拿下 怎么说？首先各位同学，肖老师反复给大家讲过，强调过，只要看到这种范围当中带字母的同学们一定要注意什么？只要看到范围当中带字母的，要有前提确认，也就是 a 加一得小于六啊。 a 小 于五 好，再加上同学们，这些地儿真的都需要咱讨论吗？嘎，家人们，大家想想，如果你真的精读了它，要满足始终都得满足大于等于五 a 是 吧？不小于五 a 不 就是大于等于五 a 吗？ 它的距离始终都得大于等于五 a， 同学们，始终处处。所以你琢磨琢磨，如果这个线长这儿， 他在这个范围上还真的能满足处处大于五 a 吗？那不是瞎说八道吗？因为这个地已经是零了 对不对？所以不可能满足，包括他在这，如果动到这，各位同学，也不行吧，对不对？ a 加一如果动到这是不是也不行呀？他在这块也不能满足处处吧，也是包含零的呀，对不对？所以这就意味着家人们 a 加一必须大于四， 他只能在这一块才有可能满足始始终大于五 a， 家人们，大于等于五 a 是 不是最必须 a 加一得大于 四啊？也就是说 a 得大于三才有才有的商量啊。 ok， 那 接着他要满足处处都大于五 a 大 于等于五 a， 那 是不是就找这个最低最低的？ 只要最低的大于等于五 a 就 都大于了？所以咱们就把 a 加一带到这个抛物线解析式啊，那这个时候，因为它肯定是个正的，所以咱们不用加绝对值也行了，把一加一带到解析式，让它大于等于五 a 啊，然后把这个解一下方程，就能解出这个 a 的 取值范围啊，再结合咱们的前提确认， 我们就可以把这个负二给灭了啊，就是 a 大 于等于四，哎，所以最终答案就是 a 大 于等于四小于五啊，这个前提确认 好。第三问，同学们有没有发现肖老师做的 so easy， 为什么？因为我太善于精读，太善于挖确定了，所以同学们一定要看清他给的这个，只要看到范围当中带字母，一定要做前提确认啊，始终， 哎，始终，那就意味着你需要满足，处处都怎么怎么着，那你就会发现这些都不可能啊。排除掉那些情况，会发现只有一种情况，根本就不用分类讨论，那就嘎嘎一顿算就好了。 好吧，哎，刚才肖老师说了，这道题呢，难度还是有的啊，并且综合性还是挺强的，非常值得同学们在中考之前再反复刷两遍。把肖老师刚才说的这种精读呀，范围确认呀，包括这种有序动啊，包括这种跳绳模型呀，哎， 这种一定一动有序分析啊，这种能，这种能力和意识一定要再强化一下啊，这些都是我们中考必考的一些能力。

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来啦来啦来啦！海淀二模几何综合几何来咱们一块看。在三角形 a、 b、 c 中角 b， a， c 等于九十度角 b， a， c 等于九十度 角 a， b、 c 等于阿尔法。嗯，角 a， b、 c 这个角等于阿尔法，对吧？点 d 在 b、 c 的 延长线上，点 d 在 b、 c 的 延长线上， e 是 cd 的 终点， e 是 cd 的 终点。非常好的一个点， 有终点。我们要想到什么呀？什么斜边中线了，什么背长中线了，还什么中位线了，脑海里面都过一遍好吗？接着往后看，连接 e a 啊，它给我们连好了。连接 e， a， 将线段 e， a 绕点 e， 将线段 e， a 绕点 e 绕点 e 逆时针旋转一百八十度减，阿尔法一百八十度减，阿尔法 得到线段 e、 f 嗯，它旋转的是线段，所以它们俩就是相等的。如图一， alpha 等于四十五度， alpha 等于四十五度，那这个角就是四十五度喽？ c， d 等于 b c， c d， c， d 这个边啊，还等于我们的一个 b c 啊。然后点 c 就是 重点喽。连接 c f 连接 c， f。 求证 c， f 垂直于 bc， 求证 c f 垂直 bc 怎么正？同学们怎么正？首先，我们从头看 这个题的辅助线都有哪些，你觉得我们应该怎么做？辅助线做几宗？一般情况下，他会让我们去正全等，对吧？画这么一个辅助线，然后证明出来他是全等三角形，通过这个全等，然后最后去解题，对吧？嗯， 那这个全都怎么找？全等怎么找就找等边。哪些等边呀？ ab 等于 ac 啊， ac a e， 然后还等于 ef， 对 吗？主要就是 a e 等于一个 ef， 我 们是不是可以看到 abc 是 一个等腰值？那我过点 a 做一个垂线， 常规的辅助线，哈，常规的辅助线，如果没有思路，那就做等腰三角形的，什么等腰三角形的三线合一，就这么个垂线把它给做出来，做出来之后，肉眼可见的 三角形 a、 k、 e 是 不是跟三角形 f、 c、 e 应该是全等的吧？那我们就正一下喽，对吗？怎么正啊？那这个角加这个角是不是等于九十啊， 对吧？啊，然后这个角，然后他加他啊，是不是也也等于？就是，那我们是不是出来，哎，这个角是不是等于这个角了？哎，两个角相等了，是不是还有一条边，哎，这个边是不是也相等一条边一个角了？一条边一个角，要么找 a k， 然后等于一个 c、 e， 哎，咱们看一下， ak 好 像还真就等于 c e， 为什么呀？因为 ak 等于 kc， 对 吗？然后 cd 等于谁啊？ cd 等于 bc， 那所以 k、 c， 那 不就等于 c、 e 了吗？然后它就等于 ak 喽。那第一问，三角形 a、 k、 e 全等于三角形 e、 c、 f， 那 所以，所以 c、 f 就 垂直于 bc 喽，对吧？那这就做完喽，这就做完喽。第一问，然后第二问， 如图二，连接 b， f， d， f 连接 b， f， d， f 已经给我们连好了，直接写出角 b、 f、 d 的 大小，同学们， 直接写出角 b、 f 的 大小数分体，对吧？多少度啊？九十度，对吧？九十度非常好，九十度看着像就写， 然后他让我们去证明，难的呀，就是这个证明，让我们证明啊，我们从头读一遍题，好吧，角 b， a、 c 等于九十度。角 b， a、 c 这个角等于九十度。 角 abc 等于阿尔法角 abc， 这个角等于阿尔法。点 d 在 bc 的 延长线上，点 d 在 bc 的 延长线上， e 是 c d 的 终点， e 是 c d 中间这个边，然后等于这个边 连接 e a， 将线段 e a， 将线段 e a 绕点 e， 逆时针旋转，一百八十度减二、阿尔法。同学们，这个是非常重要的一个东西啊，把它给标出来， 一百八十度减去个阿尔法，一百八十度减阿尔法，他减的是阿尔法。那这个角是不是这个角是不是等于阿尔法呀？对吗？如果有两个这个角，我是不是把它减去，就是这个角呀？倒角会用它脑子里面过一遍， 然后得到了线段 e f， 哎，好像没有了，他现在让我们正的是谁？让我们正的就是他的这个角等于九十度。角等于九十度，那我们这个辅助线应该怎么做呢？同学们，正九十度，咱们一般怎么去正啊？ 什么斜边中线，勾股定里，对吗？还有一个非常常用的是什么？就是给咱给他背长，然后做一个等腰三角形，看他如果是等腰三角形，那么他是不是就是我们要求的这个直角啊？三角合一，对吧？好，怎么做？ 怎么做？ 将我们的 d f 倍长，嗯，好了，倍长之后，我们是不是再连接上？连接上这个，连接上这个边，嗯， 假如这个角是 k， 嗯，好了，延长 d f 到点 k 是 f k， 然后等于 d f， 对 吧？现在我只需要证明 b k 等于 b d 就 可以喽。嗯， b k 等于 b d 就 可以。那我们怎么去证呢？ 怎么去证？咱们这个题里面是不是还有一个条件是 角 b、 a、 c 也等于九十度，对吗？那咱们要不不妨给角 b、 a、 c 也给他做一个等腰，可以吗？那如果给他做一个等腰，是不是就出现那个传说中的手拉手了，是吧？哎，手拉手，那就好说了。来，我们做完之后，这个角是点 q， 这个角是点 q， 然后三角形，现在三角形扣 bc， 是 一个等腰三角形，对吧？然后这个角是 r 法，还有那这个角是不是也是一个 r 法？那这个角也是一个 r 法？ 然后是不是如果，假如角，假如三角形 k b 还有 d 是 一个等腰三角形的话， 那么他俩就是一个手拉手喽。那手拉手我们是不是可以反着去证一下？如果全等，那他就是等腰三角形，对吗？那谁跟谁拉手啊？ 谁跟谁拉手？是不是我得连接 kc 呀？ 还得连接谁啊？还得连接 d q， 对 吧？嗯，还得连接 d q。 现在我们需要去证谁？现在我们需要去证明三角形 bkc， bkc 全等于三角形 b d q。 那如果他俩全等，如果他俩全等，然后 b k 就 等于 b d 喽，这个题就做完喽，对吗？那咱们怎么正呢？咱们怎么正？咱们正全等，先看有没有相等的边相等的角，哪些边相等呢？ 现在只有一个 bc 等于 b q， 对 吧？ bc 等于个 b q。 嗯，好了，咱们接着看其他的，先不要钻进角尖，咱们先看一下我们这个辅助线做出来有什么用哈。哎，刚才我做了个辅助线，呃，怎么做的来着？ 是不是这个边等于这个边？那所以 ef 是 不是等于 ef 等于谁啊？ e f 就 等于二分之一的谁，二分之一的 k c 喽。嗯， e f 等于二分之一的 k c。 哎，那 e a 呢？这是不是也是这个是不是也是终点？这个也是终点，那所以呢？所以 e a 等于二分之一的 d q， 哎，等于二分之一的 d q， 那 现在是不是 k c 就 等于个 d q 了啊？又有一个边了，是吧？哪个边？这个边跟我们的这个大边相等了， 对吧？这两个边相等，这两个边，呃，相等。这两个边相等。还有就是哪两条边相等，是不是 b c， 呃，跟我们的一个 b 口相等啊？好了，两条边相等。现在我要证的是谁？现在我要证的是。 现在我要证的是 b d 等于 b k， 所以 说边边边是不能用的，边边边是不能用的。那现在只有倒角的一个问题，对吧？倒角的一个问题，我要倒哪个角等于哪个角啊？我现在是不是就需要去证明这个角，然后等于我们的这个角？ 好了？倒角问题，倒角问题。刚才我们是不是挣了一个 c f 平行于 c k， 对 吧？他们是平行的，那平行的话，我先这个角是等于这个角是不是等于一百八十度减二法呀？那我可以假设这个角是背他喽。 是吗？那如果他是贝塔的话，那这个角等于多少度啊？一百八十度减二 f， 然后再减去一个贝塔，对吧？嗯，然后我还能知道哪些角的度数啊？这个角是不是二？ f， 这个角是二。我现在只需要证明这个角等于一百八十度， 一百八十度减二法减倍它就可以喽，对吧？那这个角是，这个角是贝塔，这个角是贝塔， 然后这个角是不是也是贝塔？为啥？因为 a e 跟这个边是平行的，两直线平行同位角相等，对吗？那所以这个角不就等于一百八十度减去一个阿尔法减倍它吗？ 那这个题不就做完了吗？所以哪两个角相等？所以角 b q d 然后就等于角 b c k b c k 那 所以三角形 b k c 全等于三角形 b d q 啊，那所以，所以哪两条边线呢？然后，所以 b d 就 等于一个 b k 那 所以 b f 就 垂直于 k d 喽。好了，非常非常完美。 做完了，手拉手反着推了一下，对吧？做了两条中位线，然后用利用三角形的内角和倒了这么一个角好了。

朝阳二模的这道代沟题，如果你看完答案或者听老师讲完之后，好像懂了，一点用都没有，因为那是老师他自己理解之后喂给你的，你必须掌握一个方法，能够自己在考场上理解他，你才有可能下次做出这种题型来。 这道题的第二小问明显就是偏向新定义，所以我们把新定义的主干备注法在这个地方讲一下，用一下，大家会发现非常好用，而且这个方法也是可以明确尝试，掌握的时候也会去讲这种方法，练这种方法。 什么方法呢？非常简单，就是找主干添备注，因为他给的这个体干非常的复杂，我们读完之后完全不明白他的重点在哪里，无从下手。那这个时候我们就要去找到主干，主干在哪里啊？你读完之后，你会发现最关键的就是这个结论， t 随 m 的 增大而增大，我把它写在下面这个位置了啊。然后我再去找题目中它是怎么描述这个 t 的， 怎么描述这个 m 的？ t 是 什么呢？ t 是 m n 的 最大值，其中呢？ m 呢？它有一个大于零的条件， 还有一个大于 m 零的条件。当我读到这个地方的时候，我就有点晕了，一个最大值还要随着增大而增大，怎么会和什么 m 零扯上关系呢？那就不要着急，我们要分布去理解，我们先找到这个位置，也就是去观察一个最简单的情况啊，来了一个 m n， 看右图， 这个 m n 如果只能取到这个位置，只能取到这么远，什么时候最大啊？很显然就是我现在画的这个蓝色位置最大，如果我能给他往右再取一点，那很显然就是紫色的位置最大，如果我能给他往右再取一点，那这个时候就不好说了，到底是紫色更长还是红色更长呢？这时候我们发现，我们需要知道， 在这样一个所夹的范围内，什么时候取得最大值，我才能继续往下去分析。这个地方是大家都会很擅长的，也很好，算是拿一次函数到这个 x 减去二次函数的这个值，我们就可以 得出一个关于 m n 长度的什么一个式子啊？这个式子呢，就比较容易算出来，当 x 等于一的时候， m n 取得最大值，二，也就是我标的 m 撇 n。 好 了，有了这个东西之后，我们可以继续往下分析了。我又画了一条黑色的线， 哎，那这条黑色的线很显然在变小，那变小的过程中，请问什么时候取得最大值呢？那还是 m 撇 n 撇，那这个最大值有没有继续增大呢？没有说明啊，他就不符合我们说的继续增大而增大了，哎，这时候不要着急再往下去想继续变小， 对吧？继续变小，一直到零，然后变大，哎，停，再去想从零开始。跑跑跑跑跑跑跑，一直跑到这个位置，此时最大值在什么位置？在 m 撇 n 撇最大值有发生变化吗？还是停留着一直跑到什么位置呢？一直跑到 这有一个 m 撇撇 n 撇撇，此时长度也是二。如果继续往右跑，比如说来到了绿色的这条线，那我们会发现这个最大值进一步的变大了，也就是从零一直跑跑跑，跑到这个绿色的这个位置， 那他这个最大值就会比刚开始的要继续变大，所以他又出现了增大而增大的情况，这一条绿色的线再往后呢， 一样继续增大。这我就理解到了，整个不考虑 m 零的情况下，这个最大值会出现先变大， 然后不变，一直到这个 m 撇撇， n 撇撇的位置依然不变，然后继续变大的过程，再往后都一直变大。好了，那我们再来看 m 零，他说存在 m 大 于 m 零，使得这个 t 一 直变大，就是我得让 t 一 直变大，也就是说，我刚刚其实取到某一个位置，那就是什么卡到了某一个位置，而题目问的是什么？从某一个位置开始，我让他 往右跑好了。哎，那我来想一想啊，假如我在这个位置取一条蓝色的，我让他从蓝色的位置开始跑，他能够一直变大吗？不能。 哎，你这时候就能理解了，从什么开始，从这个 m 撇撇、 n 撇撇开始，他才能够一直变大，就不会经历中间这个不变的过程了。 所以我们要求的就是 n 撇撇的横坐标就出来了。那 n 撇撇的长横坐标怎么求啊？那就是利用 m 撇撇、 n 撇撇，它的值也是二即可，所以就是二次函数的高度减去一次函数的高度等于二，于是我们就可以达到 x 方减 x 减去 x， 它等于二。哎，这样一解呢？解出来两个值，一个是一减根号二，一个是 一加根号二，为什么还会出现一减根号二？因为你算的是长度等于二，这个位置其实也会出现一个长度等于二，那很显然它不符合我们题目的要求，所以我们把这个舍掉，这个保留。所以 m 从什么时候开始， m 就 从 m 零就从这个位置开始 啊，因此 m 零的最小值就是一加根号二。好了，本期就结束了，我们用到了新函数嘛，其实不需要我一直在强调啊，这种数形结合的方法才是中考更想考察你的本质。 而我们在这个过程中用到的主干备注法其实是最后一道压轴题。新定义中非常常用的一种方法，尤其是对于那种新定义本身给的比较复杂，不太好理解，我们需要用的。

那我们接着来说一下海淀这个几宗的这种问题，这次海淀的二模我觉得正常发挥它应有的水平， 这个几宗呢，是有一点难度的啊，我觉得比那个西城的几宗要难一点。带宗呢，还行，只要你正常的分析啊，不漏掉任何一种情况，难度的话也能够理解， 然后其他的难度就还一般。好，我们重点来说一下这个几宗的这道题啊， 我们先看条件，他说角 b a c 等于九十度，那就是说白了，我们这个角等于九十度，对不对？ 嗯，好，这个角是阿尔法，那我们简单的传染一下，这个角就是九十度减阿尔法啊。好，他现在告诉我们点 e 是 中点，我们知道了这个一般情况下中点是干什么用的？背长中线，中位线，对不对？都可以用啊。 又告诉咱们线段叶 a 绕着点 e 逆时针旋转到这个位置来，这个角度是一百八十度减二而法。好，我们现在知道了点 e 是 中点， 那你考虑一下有相等还有终点啊，我们就是旋转圈等，再加上终点模型啊，基本操作。第一问呢，老师就先不说了，我们主要来看一下第二问，他让你求的是这个角度是多少度啊？那很显然吧，他就是一个九十度， 但问题是怎么证明呢？好，我们首先来观察一下题目中所给的信息啊。首先像这种有直角的情况，老师之前有说过啊，上课的时候有说过，我们就直接给他进行一个倍长构造一个什么 等幺，对不对啊？这是我们之前说过的方法哦，同志们啊，上过课的应该都知道啊，行，然后呢？干嘛？我是不是得到了这个十二法？ 那你我是不是就构造出来，或者说其实我是能够干嘛？我是能够证明出来这是一个，呃，或者我去做延长线吧，我做延长线都行，或者说让点 a 是 终点都可以啊，然后接下来干嘛？点 a 是 终点，点 e 是 终点，我是不是这样一连呀？同志们，我是为了干什么？ 我是为了得到中位线呐，这是不是就是这条线的一半啊？相当于，我干嘛？ 我是不是又得到了一个终点？中位线，对不对？嗯，好，那他是他的一半，同理，他是他的一半，那我是不是也可以让这个 f 也是个终点呀， 对不对？那这个时候我要干什么？我是不是还是给他去做延长线？其实就是我上面这个图像啊，老师，把这个图像先擦掉，这就是老师上面这个图像， 呃，是这个图像啊，相当于是给它延长一下，到这来，到这来了以后，我的 f 是 终点，我的这个点 e 是 换个颜色啊，我这个点 e 是 终点，对不对？我这个点 f 是 终点，那是不是就还是一个中位线？它是不是等于它的一半记菱形？而我们刚才说了，这两个都相等，绿色的边都相等， 那是不是说他们的二倍也相等啊？也就是这两个蓝色的边都相等，对不对？好，那么我们已经有一个边相等了，然后呢，接下来题目当中又给到我们这两个，这是咱们自己作的，对不对？嗯， 终点加加延长嘛？啊？那这条线是不是就是，呃，阿尔法，对吧？好，行，那么这两个边相等了，我们现在三角形里面一个蓝色的边，一个粉色的边，那是不就只要让他们的加角相等就好了？也就是说这两个 紫色的角相等是不就可以了？那么我题目中只给了一个阿尔法，那我说是个贝塔，其实设谁都可以啊， 比如说你设这个角是贝塔，那么根据中位线，这个角是不是就是贝塔？ 好，那么根据外角是九十度减，而法，那么这个内角是不就可以等于九十度减去，而法这个角再减去，这个角就是九十度减，而法再减去贝塔就是黑色的角，对不对？ 好，那么我现在已经有这个角是九十度减二法再减贝塔了，那根据这个大角是一百八十度减二二法，我一减是不得到这个角就是九十度减二法加贝塔， 那么根据中位线对不对啊？中位线啊，那么这个角是不就是九十度减二法加贝塔，所以我是不是正出来了？粉色和蓝色中间的加角和粉色和蓝色中间的加角是不都是九十度减二法加贝塔？所以我这两个三角形就全等了。哪两个三角形全等呢？ 就是这两个三角形全等了啊，你这两个三角形全等了以后，你肯定是为了得到边相等，对不对？比如说我是不是就能够得到这条边等于这条边吧，对应边相等啊，这个紫色的边是不等于这个紫色的边啊？ 这两个边相等，我还自己做了一个中点，所以意味着什么呀？这儿是不就是垂直啊，单线和一嘛，所以我的这个垂直关系是不是就做出来了？都是利用中位线和旋转权等得到的？ 好，那么有没有别的方法？其实也可以有啊，就是斜边中线等于斜边一半，再加备上中线就可以。比如说这个图里面，我们本身是没有斜边中线的， 因为呢，这个图它在这儿，是吧？这是 r 法啊，那我要保留这个 r 法角的话，而且我还想要什么啊？保证这个斜边是完整的，也就是 b、 d 是 完整的，所以我是不是给它把这儿构造出来这个直角三角形啊？ 好，那么他也要证明他是个直角三角形，说白了，共用斜边的两个直角三角形，那是不是就斜边中线等于斜边一半？我是不是就可以连接一下这个终点，我令他是终点 q， 我 是不是只要能够证明这条边等于这条边的，他是不是就是直角了， 对吧？写中半码啊？好，那我怎么证明呢？我是发现我这个点 e 的 终点我还没有用过，所以呢，哎，我干脆一不做二不休，我直接就给他做一个延长八字全等，看见没有啊，这两个八字全等 好，注意，我是做延长啊，说白了就是让点 e 是 ak 的 中点好。延长了以后，这三个边是不是就相等了这两个三角形八字圈的，首先这两个对顶角相等对不对？ 又因为呢，这条线和这条线是平行的啊，为什么呢？因为他们都是直角嘛，所以这两条线是平行的，那平行是不是就有什么 相等角度内错角对不对？这个大的钝角和这个大的钝角是不根据内错角相等了，然后再加上题目中给的 c、 e 等于 e、 d 这两个八字就全等了啊， 这两个八字三角形全等了以后，我们再根据题目当中的终点是不是斜边中线连斜边一半，这三条紫色的边相等了吧？这三条紫色的边相等了，你想想它不是跟它还相等吗？ 他和他这四条边是不是都相等了？那这四条边都相等了以后，我们要做什么？ 我们是不是正全等就好了？也就是说这个边等于这个边，然后呢？我们还有一个公共边，对不对？所以是不是只要证明这两个夹角相等就行了啊？那我现在怎么证明这两个夹角相等？是不是还是去射角啊？你说老师我射谁真的很随便啊，就射这个小角为背，他 这个小角是贝塔，这个角外角是九十度减尔法，那么这个角就是九十度减尔法，再减去一个贝塔，根据对顶角相等，这个角也等于九十度减尔法，再减去个贝塔，那么这个 角角因为它加起来不是一百八十度减阿尔法吗？是不是啊？好，所以减掉它就是它九十度减尔法加贝塔，好，所以这个角 加上这个角就是九十度减尔法减贝塔，加上二贝塔，就是九十度减尔法加贝塔。跟下面这个角九十度减尔法加贝塔相等， s a s 就 全倒了，全倒了以后这个角是九十度，那这个角不也是九十度吗？对，答案就出来了， 好，这两个方法都行啊，都是用到我们斜中半再加背上中线啊，这个全等就是一个八字全等，我们这手拉手是被削弱的，非常简单的一个对称的啊。全等啊， 好，这是我们的几宗做法，两个方法都可以教给大家，一个就是看到垂足呢去补全等腰，一个就是又遇到斜中半加背上中线啊这两个方法。

几何快，代数稳，新定义还能提值上？大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的海淀新定义，这道题还是挺有意思的啊。 然后呢，首先这个定义同学们给了你， theta 给了你，这些东西看上去很乱是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提一天焦虑， theta 和 k 会有的，面包会有的啊。然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认， 因为它会涉及到有些啊，要是虚线的缘。另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a p b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a p b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致静，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一个一般化的一个东西啊，以动致静，加个体到整体啊。第二个开始就用了啊。第三个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以原为背景的新意，只要研究一种情况，因为从原心看，哪个角度都是正方向。 好，第一问的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，命题老师这个设计的就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p， a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形。并且你会发现，如果 p 离得远一点， 这个成色的这个六十度的角就和圆就没交点了。所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二问，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度， 并且 pa 等于 pb 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九好。那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算，这个 o， p 的 长度不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动之境。啥意思啊？ 就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双提的讲吸引力的方法，这叫埃涅湾大法，我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a， 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了， 所以你会发现一个点 p， 就是 一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍，得到的那么一个点 p 是 这么得到的，那么所有点 p 呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆，也就是整个圆 o 绕点 b， 按顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三倍得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这个时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，也就是咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里，半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀？各位，这是点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点 p 到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o e b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三分之六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个的答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问打底，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二问是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二问一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到 t 撇，各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题给你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好啦，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面系统去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下全面吸的有序中啊。然后呢，一开始因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧？就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下。各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢？我刚才让邵老师给大家算了一下啊各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这个数算的太那什么了啊，然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然临界情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊， ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环，这，这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这个就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是他的半径是他根号七倍啊，是他绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离嘛，因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径嘛，是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的， 哎，后边啊，临界三、临界四对应的这数，然后呢，这是我们刚才临界一、临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，反正这道题的思路呢，就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。

刚拿到海淀二模试卷，整体试卷看了一下，难度确实依然在啊。我们这个视频来说一下几宗的考察。首先先说一下他很有水平，他跟二五年海淀的那个模考题大差不差。好，那首先我们来看一下应该是怎么做的。他 告诉我们说，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b， a、 c 等于九十， a， b， c 等于阿尔法。点 d 在 bc 的 延长线上， e 是 c， d 中点好，那看到九十度就去标角就好了， a、 b、 c 等于阿尔法，又看到有一个 e， a 旋转一百八十度减二，阿尔法得到 e、 f， 所以题目当中有的信息都给它标好。第一问告诉我们说阿尔法等于四十五，我们把它写出来。好，这个角是四十五度，那这也是四十五度，所以它就会是一个等腰值好，等腰值出来了之后， c、 d 又等于 bc， 所以 这就是 终点，对吧？点 c 的 位置会是一个终点的位置。接下来告诉我们说，求证 c、 f 垂直 bc， 这个时候我们要注意的是，阿尔法是四十五度，那一百八十度减二，阿尔法就可以得到九十。当你看到在一条线上出现了一个角，这个角刚好是九十度的时候，并且这个角的两条边相等，那你手想的一定是三垂， 所以我做的辅助线就是过 a 点做 am 垂直 bc， 为什么我要往这个方向去做？因为我 c 这个位置是不是要让我去正垂直的？好，那接下来我就去证明这两个三角形全等就好了，怎么去正倒角？可以得到的是这个角 m， a， e 等于我们的角 c， e、 f 一个角等。其次第二个一条边等， 再来第三个，我们又可以根据终点得到 am， 是 不是等于我们的 bm 等于 mc， 所以 am 就 应该等于 bc 的 一半，而 c e 呢，等于 cd 的 一半，所以等量代换 c e 就 等于 am。 那 现在一组边等，一个角等，另外一组边又等，所以这两个三角形全等，一旦全等了就会出现，这是九十，所以第一问考察到的是三垂模型。 好，那接下来我们来看第二问。第二问就看图二了啊，因为这比较小，所以我单独画了一个，他说直接写出我们的角 b、 f、 d 的 大小看好了。首先第一步，即使你正不出来，你是不是也得把它的大小先写出来，肉眼可见，它应该是一个什么 九十度啊，所以你要先写出它等于九十度，那接下来怎么去证明？还记不记得我们之前就不断反复的跟大家去说过，看到题目当中有阿尔法有一百八十度减二阿尔法，就要想什么 想互补的关系，什么意思？就是阿尔法和一百八十度减二阿尔法什么关系？没关系对不对？但是一百八十度减二阿尔法和二阿尔法是不是互补的，对吧？所以我的辅助线就一定得去想他们之间怎么能构造相关的点，这是第一个思路。其次，第二个，我接下来要想的就是点 e 是 终点，他为什么要给我这件事？ 当我们看到题目当中有终点的时候，我们那几个终点模型就可以去使用了。所以呢，现在我们来去看，结合刚刚我所说的这两点，一个点 e 是 终点模型就可以去使用了。所以呢，现在我们来去看，结合刚刚我所说的这两点，一个看到阿尔法变成二阿尔法，就 和一百八十度减二阿尔法可以去结合。好，那怎么去做阿尔法？在这怎么变成两个阿尔法？是不是最好用的方式是什么？做对称，所以我去延长 c a 到点 m 是 am， 等于 ac 连接 bm， 那 这个时候是不是这就有一个二阿尔法了？ 好，那在我做完这个之后结束了吗？并没有，你会发现，当我把它加倍延长出去之后， a 点就是终点， a 点是终点， e 点是终点，所以 a e 就 可以构成中位线，那我再去连接 md 就 好了， m d 等于二倍的 a e， 这是第一个，那接下来我们会发现 a e 这条边就被我转移到 m d 上去了，那我能不能把 e f 也给它转移掉呢？那怎么去转移？还是一样的思路， e 点是中点，那我除了做这边的中位线之外，我还可以做这边的，所以我去延长 d f 到点 n 时， f n 等于 d f。 好， 那接下来连接 c n 连上之后， c n 这条线段就等于二倍的 e f 也是中位线，所以现在 m d 和 c n 就是 对应相等的，这是一组边等。 其次第二个 b m 等于 bc， 这是两组边等看到了这两组边对应相等，找加角就够了吧，找出来加角之后，就能证明这两个三角形是手拉手了。 好，那怎么去找加角？倒角就用上了。首先我们可以看到的是这个一百八减二阿尔法暂时还没有用，对吧？好，那我接下来就可以去把我已知的角都标上，这是九十减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法。好，那接下来我们又可以根据这一个角，比如说我说这是贝特， 好，如果这是 beta 的 话，那是不是也就意味着这个角就是九十度减阿尔法减 beta？ 用外角的定律。好，那这个角就是九十度减阿尔法减 beta， 所以 这整个大角就是一百八十度减二，阿尔法减 beta， 看到了吗？一百八十度减二阿尔法减 beta， 一 百八十度减二，阿尔法在哪来着？在这， 对吧？好，那它减掉一个 beta， 是 不是就是这边的这个角 c e f 这个角，那 c e f 因为平行的关系就等于我们的 b c n， 所以 这也是一百八十度减二，阿尔法减 beta。 那 现在是不是就出现了边角边两个三角形全等，一旦全等了，结论是什么？ b n 就 等于我们的 b d， ok， b n 如果等于 b d， 说明 b n d 是 一个等腰三角形，等腰三角形底边有一个中点，所以它就会构成三线合一，那这就是直角九十就结束了， ok 吧，这个思路跟我们去年的思路是完全一致的啊。那今天因为时间的关系，就没有给大家去录多解，后面有时间的话可以给大家去多讲一讲关于我们几种的辅助线的思路构成。好，那我们就先说到这，拜拜。

好，我们来看一下海淀初三七初三二波的这个带中题啊，这个带中题的话，猛一看就是公共点的问题，对吧？ 但是呢，他考察的核心依然是我们春季课讲过的一道题，哪个题呢？给大家看一下啊，是我们春季课后边补充的带中里面的这个八一的联轴题，就是过他做外周的垂线 l 图像记，他这个函数段最高点和最低点分别位于 l 的 上方和下方， 基本上和这个题的思路是一样的啊，只不过海淀的二模体这是需要分析。分析什么？分析 a， 所以 说我觉得我们的课程是能够覆盖就现在的考试个体型， 所以说大家就是不要盲目的去做新题啊，更多都是把讲过的题给理解透，因为万变不离其宗啊。好，我们废话不多说，直接看一下这个海淀的二模题，我们接下来看第二吧。啊，抛线在 ab 之间的部分为图形记，对吧？这是一个函数段的问题啊， 抛线到一个点，做垂直于外周的垂线 l 与图形记有一个公分点，那不就是最高点和最低点一个在上一个在下吗？ 对吧？但是它有一个东西可以怎么了？可以重合，对吧？相当于是有一个东西可以重合到，这也可以。好，我们在做这个点的时候，第一步先分析对称轴 负的二 a 分 之 b 等于个 a， 所以 这个 a 的 话，加括号里边说的是 a 不 等于零，我们要分两种情况啊，第一种，也就是说如果是当 a 大 于零， 它是一个开口向上，这样子，对吧？我们把它都画出来啊，放到这个地方，好，然后呢，这是一个 x 等于 a， 我们要学会定位，对吧？这个 a 的 话，一定是在左侧这种，比如说来一个负 a 多少？一个 a 有 一个什么？有一个 a 加二， a 加二的话，我假设在这个地方，我们给它来一个对称， 对吧？人家说的是直线 l 与平行 g 有 一个公共点嘛？我们先把整个图给它分析一下啊，逐步分析，对吧？这张是有一个 a 减二。好，大家想一个问题啊，也就说整个图是在这个地方，这是什么？这是咱们的 y 等一个 t， 对吧？它是个 y 等于 t 啊，然后呢？ ab 之间，对吧？ ab 之间的图形为一个 g， 而且人家说的与它有一个共点，所以我们先勾图在这，这就是我们的 b 点，它的横轴是几？横轴是一个三， a 减六， 所以我们有一个限定，有一个图不等式一写不就出来了吗？对吧？不等式应该怎么写？负 a 小 于等于 a 减二， 对吧？小于等于三， a 减六，三 a 减六怎么了？小于 a 加二，他不能等于 a 加二啊，如果他要等于 a 加二的话，这地方应该是两个交点了，对吧？只要这个头和他不接触，他都有一个交点， 那么我们来解一下这个不等式，这地方是二， a 大 于等于二， a 大 于等于一，第二个的话是二， a 小 于八， a 小 于个四，所以二小于等于 a 小 于四， 这是我们的第一种情况啊。好，我们继续调整，把这个图继续往右走，准确来说应该是往左边啊， 对吧？把这个图像继续往左边走，怎么样走呢？大家看好啊，这是我们的负 a， 对 吧？他是一个负 a 啊， 往这边挪一下，然后我们刚刚什么，刚刚是让这个三 a 减六在右边，那么三 a 减六，它能不能在左侧呢？ 当然可以，这是 a， 这是 b， 这是我们的图形 g 与什么呢？与这个 t 有 一个交点，就是这是 y 等于 t， 这是一个 a 加二，这个地方应该是一个 a 减二， 对吧？它也有一个交点，所以说这种图的话，应该是三 a 减六小于等于 a 减二小于等于负 a， 对吧？然后咱们一项二， a 小 于等于四， a 小 于等于二，二 a 小 于等于二， a 小 于等于一，因为 a 是 大于嘛？这个零小于 a 小 于等于一，好到这完了吗？没有，我们还有第三种， 对吧？第三个应该怎么了？开口向下嘛，对吧？如果它的开口向下的话，我们这个图它应该怎么处理呢？这是有一个对准轴，这个对准轴的话是一个 a， 对 吧？ 这是个 x 等于 a， 这地方呢有一个负 a， 这个时候负 a 应该是在右侧啊，负 a 在 右侧，好，然后我们要去区分什么呢？区分一个 a 加二，对吧？我第一种情况啊，我把这个 a 加二呢，放到这 左边，有个有一个是 a 减二，对吧？然后人家说的是在 a b 之间的图形为一个 g， 所以 它现在有个什么？有一个是三 a 减六，三 a 减六，肯定是一个负的，对吧？ 它肯定是一个负的啊，负的，我们可以来算一下，先把这个图给它补一下啊，你说这是一个题， 这个三 a 减六，应该是这样子，对吧？这是一个 a 点，这是个 b 点， 所以它的不等式也就出来了， a 减二小于三， a 减六小于等于 a 加二小于等于负 a， 对吧？ a 加二小于等于负 a， 好， 我们来算一下啊，这段应该是四小于二 a a 大 于二，这就一定舍掉了，因为这个不等式主，它的解集与咱们的 a 小 于零是不符的啊。好，我们继续再来分析第四种情况 往这走。呃，然后有一个什么呢？有一个是负 a， 它肯定是在右边，对吧？这是有一个负 a， 或者说我往左边划一下， 这是个 a， 对 吧？我们刚刚说这个负 a 的 话，是比 a 加二大啊？它有没有可能 a 加二跑到这呢？当然有可能， 对吧？这是一个 a 点，这是一个 a 加二，左边这是一个 a， 减二，对吧？那么这个时候我们只需要什么？我们只需要这个 b 的 话，是在哪个地方？在下边是不就可以了？这样， 这是一个，这是一个比，它的横坐标是一个三 a 减六，对吧？这是个三 a 减六，所以不等式也就出来了嘛，我们只需要让这个三 a 减六小于等于 a 减二， 让这个负 a， 对 吧？小于谁？小于个 a 加二， 对不对？他要小于一个 a 加二啊？但呢，他们俩能不能相等？大家想一个问题， 如果他要跑到这的话，对吧？他如果要跑到这的话，和咱们的左边他就两个焦点了啊，这就不符合了，对吧？所以说我们在解这个不等式主，解这个不等式主的话，他应该是一个，呃，上边应该是 a 二， a 小 于等于二， a 小 于等于一，左边的话，应该是 a 大 于个负一， 所以说它是 a 小 于零，大于负一，小于零。所以这个题的答案应该是有三个啊， 中上负一小于 a 小 于零，或者是零小于 a 小 于等于一，或者是二小于等于 a 小 于四。好，这是这个题的一个思路解析。啊，好，这个题我讲到这里。

新鲜出炉的海淀新概念，看上去很乱是吧？别提天焦虑，面包会有的， c 的 和 k 会有的，这道题还是挺有意思的。然后呢，首先这个定义，同学们给了你 c 的， 给了你这些东西看上去很乱，是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提天焦虑， c 的 和 k 会有的，面包会有的啊。 然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外，圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认，因为它会涉及到有些啊，要是虚线的圆。 另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a、 p、 b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a、 p、 b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致敬，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一般化的一个东西啊，以动致敬，加个体到整体啊。第二个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以圆为背景的心力，只要研究一种情况，因为从圆心看，哪个角度都是正方向。好，第一个的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，米奇老师这个设计的 就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形，并且你会发现，如果 p 离的远一点， 这个六十度的角就和圆就没交点了，所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二个，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度，并且 p a 等于 p b 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九 好，那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算那个 o， p 的 长度，不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动致静，啥意思啊？就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双题的讲吸引力的方法，这叫埃涅万达法， 我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了。 所以你会发现一个点屁，就是一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍得到的。那么所有点屁呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆， 也就是整个圆 o 绕点 b， 哎，顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三被得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，因为咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀各位，这时候点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点屁到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o、 e、 b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现，点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问答理，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二个是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二个一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三，比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到。屁撇。各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值，就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离，最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢，各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题跟你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好了，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面细致去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下，全面细致有序动啊。然后呢，一开始，因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧，就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下，各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢，我刚才让邵老师给大家算了一下啊，各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这数算的太那什么了啊。然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然零件情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊。 ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环就这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是它的半径是它根号七倍啊，是它绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离吗？因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径吗？是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的 哎，后边啊，临界三，临界四对应的数，然后呢，这是我们刚才临界一，临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，发现这道题的思路呢？就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。