盐城中考二模数学2026难度怎样

一模、二模、三模哪次最接近中考成绩？一模难度高，一轮复习刚结束，学校为了压一压学生的浮躁的心态，体会出的相对偏难，所以考砸了也不用担心，代表不了什么。 二模难度其实是最接近中考的，大部分同学知识体系已经很完善了，考试的心态也趋于稳定，所以二模的成绩最能反映出中考的真实水平，哪怕成绩不理想，也千万不要放弃。模拟考试只是模拟，主要的作用还是检验我们是否真的做好了查漏补缺。 中考不到最后一刻，不要放弃三模主要为了调节大家的心理状态，所以题目难度呢，不会很高，主要是让学生适应考试的流程，稳定发挥。三次模考的作用其实都不一样， 一模看名次，二模看分数，三模看心态。相信咱家孩子一定会把最好的一次成绩留给中考，考上理想的高中。

盐城二模新变化，中考风向标已改变！盐城初三二模考试结束，本次考试最直观的感受就是物理、化学难度大幅提升，远高于一模。 往年规律都是一模偏难，二模偏易。而从去年起，盐城二模难度就持续反超一模，这也清晰释放出中考改革的新方向， 不再侧重机械背诵记忆、大量情境应用型综合探索类题目占比极高，着重考察逻辑思维、审题能力与知识灵活迁移，同时理科计算量显著加大，格外看重学生基础功底是否扎实牢靠。 以往二模是中考重要参考风向标，如今难度格局已然改变，后续考生只需针对性查漏补缺，稳住心态，从容备考，全力冲刺最终中考即可！记得点赞关注哦！

同学们，这两天后台被问爆了！南京盐城二模卷难不难？值不值得刷？一句话， 有狠题，有坑点，非常贴近考察方向。先整体评价下这套试卷，中档偏难题略多， 基础弱的同学，先保稳再冲高，整体比近两年全国卷略难一丢丢，但方向极准。尤其概率解析几何两道大题，挑三个最值得二刷的题。第八题，椭圆离心率垂直半径加长度比勾三秒杀模型比值范围 b a a b 离心率大于等于勾三分之六，高考高频模型必须会。第十四题，三次函数即指点处 f x x 相等核心即指点。关于 x 勾三对称平移后，其函数部分对称长数项归零， m 等于七对称思维，高考最爱。第十九题，概率递退摸球不放红，轮流摸球期望上界状态只跟剩余红球数有关。递推建模新高考情境题标杆不刷亏了！想要这套的 pdf 和答案，可思，我南京盐城二模发你！

好，我们看一下庭湖盐都的五月二十二号二模的解答二十六题，他说在某个这样的一个场地里面，有这样的一个测试的啊，啊，路线，呃，一个是什么呢？就是这个形状是这样的一个直角， a、 d 是 六， a、 b 是 九， c、 d 是 一啊，两个都是啊，直角。那第一问啊，第一问 他说在这个里面规划一个正方形的路线啊，这个正方形是这样的一个状态啊，两条边是在边上啊，然后这个顶点 f 在 这个 c、 b 上， 然后第一问，他求 bc 的 长度， bc 长度的话可以过 c 点做垂直六啊，这里面是八，他就是十，很好求。然后求塞 b 的 话，刚刚才这个是六，这是十，是五分之三啊，五分之三啊，这两个比较简单。 好，然后方案一当中正方形路线的一个就这个，这个正方形它的边长是多少？那还可以继续用啊， 这个地方 a、 e 是 x， 我 们可以设到 x， e、 f 是 x， 那 这个地方是九减 x， 我 们可以根据这两个边的比，是一个三比四啊，为什么三比四？因为刚才这个角的正弦是三比五，对吧？那它不就是三比四吗？ 所以说 x 比上九减 x， 它就等于三比四，所以四 x 等于二十七，减去三 x， 所以 x 等于七分之二七，所以边长就是七分之二七。好，这是前面的。 然后再看一下这个任务三，他说在方二二当中的 f 是 在这个射线 c、 d 上面，当 c、 f 最大的时候， 请直接写出啊，此时啊，直接写出这个，此时这个叫矩形 a、 e、 f、 g 的 面积是多少？ 那我们肯定要先研究一下这个 cf 最大是什么样的一个状态啊？ cf 或者说 cf 最大是多少啊？然后再去求这个矩形的这个面积啊？ 那我们看一下这个 e 点呢？你看这个 f 和 e 点，他都是在一条线上，对吧？都是在条线上，你想想一个直角顶在一条线上，很容易让我们想到的是这个一线三等角，对不对啊？你可以去过 g 点做垂直，做垂直 构造，这样的一个相似啊，也可以过过 a 点做这边垂线，过 f 点做这个 c、 b 延长线。垂线啊，但这个不太好画，我们可以这样去画啊，过 e 点做这个 ab 的 垂线，我把这个图画到这边， 画的稍微大一点。好，这 d 点，这 c 点好，这个 e 点呢？大概在这个地方啊，大概是这样， 然后这是 a 点，这是 b 点啊，然后矩形的全貌，我就不画了啊，不画了，好， f 在 这啊。然后我们可以过 e 点啊，做这样的一个垂线， 好交这个 d， c 延长线与点 q， 然后这边垂直，这边是 h， 对 吧？然后你看一下这个三角形 f q， e 和这个 e a， h， 它是相似的一线三等角，这很很简单，对吧？这很简单，那我们可以去看一下那 cf 它是要求最大值啊，通常求一个东西的最大值，求线段最大值在几何当中啊？ 求坠值问题啊啊，有一个比较普遍的就是 cf 如果说你能用代数式形式给它表达出来的话，那它是可以去研究转化成什么，研究这个代数式的一个坠值问题啊，通常都是二次，对吧？通常都是二次，所以我们把 cf 的 这个坠值啊给它表达出来， 那就用这样的一个啊，这个相似啊，就用这个相似。好，这里面需要考虑到的就是前面这个角币的这个正弦值呢，是我们可以继续用的啊，不要忘了角币，而且这个 qce 它也是这个啊，角币跟角币一样大。 好，那我们可以去射啊，我们射啊，假如我们射这个 qe 的 长度，就是啊，三 m 好，三 m， 为什么射三 m 而不是射 m 呢？因为这个角它的正切值是四分之三，所以你射 q e 是 三 m 的 话，那么 q e c q 啊， c q 它就是四 m， 四 m 好， 这三 m， 然后刚才这个 q h 这个它是跟 d a 相等的，所以说 e h 呢，就是六减三 m， 对吧？六减三 m， 而且 h b h b 它也是可以表示出来的， h b， 对 吧？三比四，所以说你这个除三再乘四，那就是八减四 m， 然后会发现 a h 也可以表出来是一加 c m 啊，九减去啊，括号八减 c m， 对 吧？好了，那你要表达 cf 的 函数形式的话，你看 cf 它是什么，它不知不清楚，对吧？我这个 f q 它也是不知道的啊， f q 不 清楚，那这个时候 cf 我 们先不着急，我们先把 fc 先写着。 那根据刚才这个相似关系啊，对应关系啊， f c 加上四 m 比上这个三 m， 它是不是等于六减三 m 比上四 m 加一啊， 对吧？好，我们可以把乘过去啊， f c 加上四 m， 它就等于六减三 m， 乘以三 m 除以四 m 加一。好，那四 m 移过去啊， f c 就 等于减去四 m， 对 吧？ f c 等于这个东西 啊，好，现在看一下， f c 现在表达式已经出来了啊，我们把这个稍微通分一下啊，稍微通分一下，通分一下，这边就是一个，呃，十八，上面就是十八 m 减去九 m 方， 然后啊，这边是四 m 加一啊，减去四 m 加一分之，这个给通分完之后是十六 m 加上 cm 加上 cm。 好，把它减一下，减一下，那十八 m 减去九 m 方，减去十六 m 方，减去四 m 啊，减去四 m 整理一下啊，就是四 m 加一分之负二十五 m 方，加上十四 m， 好，它就等于 f c， 好， 为了方便理解，为了方便理解，我把这个式子稍微的改一下，也就这个 m 的 这个曲， m 的 这个字母字母 m 啊，我给它换成 x。 为什么要这样子换呢？有些人他可能看不明白啊，换掉 换了之后呢？我把 f c 啊换成小 a， 我 现在就要求 a 的 一个取值范围啊，取值范围。好，来看一下。你要求 a 的 取值的话，它有一个坠值问题，那说明这个这个东西等于它，它是有解的， 它是有解的，有解就可以转化成一个，怎么呢？可以转化成，因为你把这个下面乘过去之后啊， 它等于四 a， x 加 a， 然后你给它移过来负二十五 x 方， 加上十四减四 a 的 x 减 a 等于零，它不就得到一个关于 x 的 一个二次方程吗？那既然你这个能解得出来，那说明这个二次方程关于 x 的 二次方程，它是有解的，有解就不就表示第二它大于等于零吗？ 所以十四减去四 a 的 平方，减去四倍的负二十五乘以负 a， 好， 整理一下，就是减去一百 a， 好， 大于等于零，好，把这个地方啊，我们把它乘乘下来啊，就是十六 a 方减去这个， 哎，一百一十二 n 加上十六 n 方，哦，这边就是加过了，对吧？那减去加上一个十四的平方啊，一百九十六减去一百，那就是二百二二百一十二 大于等于零啊，大于等于零。好，把这个稍微整理一下，两边同出四啊，就四 a 平方，减去这个五十三 a 加上除以四就是四十九啊，大于等于零。好 好，做到这个地方之后呢？好，这边有一个问题，就是这个问题怎么去做啊？好，怎么去求这样的一个不等式？我没学过，没学过这一元不等式啊，元二次这样的一个不等式怎么去做呢？我们可以用图像去理解，那我们把它看成是一个 啊，啊，这样的一个二次函数，二次函数，二次函数整体要大于等于零，对吧？函数只要大于等于零，我们把图像画出来，我们可以对它进行一个因式分解，这边是 a， 这是 a， 这个地方可以，因为这边是负号，这边就负四十九和负一 啊，所以发现这样正好能够凑出负五十三 a， 所以 它分解完之后就是四 a 减去四十九，乘以 a 减一大于等于零。好了，这个图像怎么去画呢？它是一个经过一零和这个四分之四十九开口向上， 然后它要保证它是大于等于零的，所以说这个 a 的 范围就是 a 小 于等于一或 a 大 于大于等于四分之四十九 啊，打一点四分九。好了，现在就有个问题，就是这个 a 它要求什么？求它的一个最大值，那这很明显的话，你 a 小 一点一啊，那最大值就是一啊，最大值就是一啊， 所以就相当于什么？而题目当中这个 c d 恰好是一，所以就相当于 f 点运动到 d 点，这个时候啊，运动到 d 点，这个时候，此时这个 cf 是 最大的啊，此时这个 cf 是 最大的啊。 啊，有人问了，为什么不是这个四分之四十九啊？你想一想，你这个东西四分之四十九的话，这个 e 点他得在哪边 啊？他的是状态不太对啊。啊，他这个地方 e 点要保证在 c e b 上面，你还要做垂直的话，交于这个 f 点，这个 f c 是 四分之九，是不太可能的啊，不可能的啊，所以这边就舍掉了。 好，那么现在 a 最大值就是 e 呢？也就 f 在 低一点处的时候啊，他的这个 c f 是 最大的，那现现在要去干嘛？求此时的这个 fe 和这个 e a 的 这个他的一个长度啊，长度。好，那现在把图稍微改一改啊。 这个地方可以，呃，就直接写吧，这个 f c 就是 一嘛，一嘛，对吧？好，这个时候我们可以把这个 m 给它解出来啊。 m 给解出来，那还是一样这个道理啊。 m 四 m 加一比上三 m 等于六，减三 m 比上四 m 加一。好，两边平方就是十六 m 方，哎，就对角相乘吧，十六 m 加上八 m 加上一，等于这个十八 m 减去九 m 方，二十五 m 方减十 m 加一等于零。哎，恰好是一个完全平方， 所以 m 等于五分之一啊，五分之一啊，好，这个是五分之一的话，看一下五分之一，那这个长度就出来了， 这长度五分之一，那就是五分之九。好，这里就是五分之三。好，购物典礼啊，这是一比三比二十的，所以它是五分之三跟二十，那同理的话，那这个地方也是一比三嘛，对不对？也是一比三好。 m 是 五分之一带进去啊， 六减去五分之三啊，五分之二七，五分之二七啊，那他就是五分之九啊，五分之九，那他就是五分之九跟二十。所以说这个时候他的矩形面积就是五分之九跟二十乘以五分之三跟二十。 好，底下就二十，五分之二十七乘以十，那就是五分之五十四，所以他的面积此时是五分之五十四。

今天刚刚考完的南京盐城一模到底难不难？尤其是数学试卷，基本可以代表江苏命题的最高水平。创新的程度非常高，难度很大，计算量是 super 大。 大学数学的背景也非常丰富，所以整体来看，中档题多，计算量大。倒数第二题抛物线计算量非常大，大部分学生是算不动的。最后一题将我们圆锥曲线和竖列结合一起考，属于一种创新意境的设置， 涉及到点的构造、三角形面积的处理，对于学生的理解、分析、变形能力都有极高的要求。如果说你家孩子高中数学没有经过系统强化训练，会感到无从下手， 所以这次数学试卷区分度非常高。那么现在的高考学科在高考选拔人才方向是拉开差距的一个总担当。 国家鼓励学理科，所以数理化、物理的难度，江苏省自己出试卷没有很难，化学是负分，只有数学全国统一卷，稳妥妥的拉开差距。考一百四十分以上实在是太难了，考一百三十分以上也算是高手了。那么 语文试卷稳中有神啊，基础题还是比较注重学生的思辨能力，作文是井底之蛙， 比较好写，但是哪一个高分是比较困难的？英语科目比较平稳，阅读题比较难，所以整体呢，是超越高考的物理学科，学生反馈也是非常难，尤其是很多实验题和综合题，很多学生反应都没写完。 那历史呢？文科科目相对还中规中矩，那对于化学、生物、政治、地理这些选科科目难度呢？是比较适合的啊，偏重基础和规范，人体比高考要稍微难一点点， 所以总之呢，这次一模呢，是属于艺能复习的一个验收卷，不以难一点，查漏补缺，所以这次分数呢，应该普遍比高考要低个二十到四十分。 那今天考完，明天后天应该属于一个阅卷和统分的状态。三三十号到四月一号应该陆续就会公布成绩了。是的，划线也会陆续出来。 c 九线、九八五线、二幺线，特殊类型招生线，本科线。那么最多三到五天吧， 下周一应该就是可以查分的。你家孩子分数出来，我来帮你家规划你家四月底的综合评价的填报 规划。这次艺考考试成绩可以对标哪些大学？冲一冲，稳一稳，保一保，垫一垫，目前的分数对标哪些大学？ 网上稳冲个十分，二十分，又能对标什么样的学校？关注韩老师，关注高一高二综合素质评价材料的填报。关注高三综合评价的报名。关注高考志愿填报。

一模数学比较难，二模数学也不容易，但是相对来说的话，二模数学的正面确确实实还是蛮基础的。所以说打好基础的话，你正面的分的话应该是没问题的。反面文字题比较多，读题啊，从题中所起，信息啊 都比较艰难，很多孩子做不完。特别是最后两题，都是四问呐，很多孩子可能做了一两问没有时间做。所以说整体来讲的话，数学按摩也不容易啊。那中考数学会不会也这么难呢？

二零二六年日照二模即将接近尾声，今天也考完了我们的数学，那本次数学二模试卷的难度是什么样子的呢？本次二模考试的难度是中等偏上的，比港中一模的时候的题要难，比北中要简单一点， 与新颖跟田家炳当时的一模的难度其实是相仿的，那题目出的也很规范，也很标准。整套题目里边，相对来讲，有一些难度的题目是填空题最后一道啊，逆等线模型，还有就是最后一道大题旋转问题， 很多孩子可能会觉得比较难，那二模也出现了一件非常难平的事情啊，想必很多人都已经知道了，就是数学试卷当中啊，第十七题一模的时候， 好几个学校已经考过了，几乎是原题。那第十九题去年新迎一模的原题应该很多孩子也做过了，所以说这次考试按理说你从难度上来讲，一百零八分以上应该算是高分段了吧，但是又出现过考出现了这种考过的原题， 那很多孩子都已经做过了，那我就不知道该怎么评价了。从年份上来对比了，今年的二模要比去年的要难一些啊，所以会不会也暗示着今年的中考数学可能不会像我们去年那么简单？今年虽然说是省统一命题省统考， 但因为今年也是偶数年，所以要有数学会有难度的这种心理准备啊各位。但是不管怎样啊，不管是哪个学段的 啊，孩子目前最重要的就是稳下心态来，稳住心态啊，稳下来，不要浮躁，能学多少算多少，同时尽可能的把自己会的都得到分就做过的题，你得真的会呀，下次考你得还你得，会不会再出错，你肯定能赢。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

盐城初三二模化学这三处坑踩了直接掉到五十五，速看避坑！ 刚考完的盐城二模化学出来了，整体真的不难，基础扎实，冲六十加很稳，五十五分以下的同学一定要紧盯丢分点。前十四题全是常规考法环境题、航天化学侯德榜、徐光宪这类科学家， 溶解度曲线都是平时炼烂的送分题，唯一卡人的就是第十五题。碱式碳酸镁计算， 抓元素守恒，看清楚碱、石灰吸收水和二氧化碳的质量，别算错。氧化镁比例 x 比 y 比 z 算对就拿分。十八题金属流程最后一空是一扣分点，问碳酸亚铁怎么算？洗干净记住标准打法， 取最后一次洗涤液滴加绿化，被溶液无白色沉淀生成，少一个关键词都扣分。十九题最后的计算也不难，先根据 ph 曲线判定谁是硒酸盐，再用百分之十的溶解质质量 算绿化，那步骤写全就不会丢分。这次没到五十五分的同学别慌，赶紧对着卷子找漏洞，是化学式写错了还是实验描述不规范？针对性补中考还能追，记得点赞关注哦！

二零二六年湖南四大名校之附中集团初三二模加轴这个题最后一问，很多同学反映，一看完题直接丢灰弃甲，赶紧跑路了啊！ 好，我们以倒数第二问走手开始讲。如图一，这个图 a、 b 是 圆 o 的 直径， a 在 圆上，要不要连接 a、 c， 你 觉得呢？是不是角 d， a， b 等于九十度，然后 d， a 等于 d、 c。 怎么用圆外一点引圆的两条线， 一条是切线，另外一条线和它相等，什么定律？切线长定律的逆定律，知道吧？所以要不要连接 o、 c， 你 自己看着办。 若 b、 c 等于二倍， c、 d， 这里两份，这里是一份，这里也是一份，是吧？我不妨设这里为二 a， 如果填空题的话，我直接设它为二了，这里是 a， 这是 a， 是 吧？连接 a、 c 直径所在的圆周角是九十度，这就是我为什么要连接 a、 c， 我为什么要连接 o、 c 切线长定律，因为它和它相等，是吧？只要你把那些定律非常熟练的掌握了，这些都是很自然的啊。 求弹性角臂的平方，这个角的正切值的平方得值。 好，我们来看一下，由于它和它相等，这里肯定也是垂直的，怎么正连接 d、 o？ 因为这是半径，它和它相等，连接 d、 o 的 话，公共边，所以这两个三角形全等，对吧？这也是九十度，毋庸置疑。 那么我连接 d、 o 的 话，会得到什么结论呢？这是一个等腰三角形，刚才我正全等的时候，角一是等于角二的，所以这里也是垂直的。 等腰三角形，三线合一，十分自然，这里垂直，这里垂直，说明这两条线怎么样？哎，平行了，平行了有什么用呢？它是中点 是不是？你看这是两分的关系，我可以转过来，那么这里为 h 吧， o h 也是 a， 他 比他一比二，是不是？他比他也是一比二，这里是 a， 这里也是 a， 做完没有？ 这是双垂直模型，是不是但凡你犹豫一下，你都是没掌握的熟练啊？双垂直模型非常非常重要啊，非常非常重要， 这里垂直，这里垂直，双垂直，所以这里三个三角形两两相似，可以用射影定律求出任何一边，或者是等面积吧。勾股定律也可以，你看它的平方等于它乘以整个是吧？它的平方等于它乘以整个。这射影定律的一个， 你可以说由于它垂直，它垂直，由射影定律可知，它的平方等于它乘以它直接这么自然的就可以过渡啊。那么我为什么要求出这个呢？你看这个角 b 等于这个角， 它加它九十，它加它九十，是吧？这个为角三，那么这个角角三等于角四啊， 等于角 b， 我 只要求出这个来了，凭什么？老师你凭什么来仔细给你拆解啊，它为什么设置一个平方，看到没有，这里三个角都是相等的，那么这个角的正切的平方，你看 可以用 dh 比上 h 是 吧？也可以等于 a， h 比上 h o 是不是？那么这个的平方有点意思吧， 把一个看作它，一个看作它，它们俩相乘抵消了啊，约掉了，其实就是什么 d h 比上 h o 十分自然，嘿嘿。 h o 是 a， 所以 我只要求出 d h 给毛刚才说了，由射影定律 a 方等于我设这里为 x 吧，让你们好看一点啊。 x 乘以一个 x 加 a， 十分自然，那么 x 平方是一个一元一二次方程。要把 a 看成已知数你才可以去解啊， 很多人这里又不适应了啊，说计算了很久，不知道怎么办。公式法呀， x 等于二， a 分 之负 b 呀， 加减根号减肯定不行，是负的，我直接用加 b 方减四 a， c 就是 a 方，加四 a 方就是五， a 方就是根号五 a， a 是 正的啊， 十分自然，就是这个，那么用它去除以 h、 o， 约掉 a 就 可以了，所以这个东西的平方就等于根号五减一除以二。这什么东西？ 黄金分割比，这个也不能忽视啊。好，我们来看一下最后一问。好，最后一问。如图二，角 a， b， c 等于角 c， d， b 等于九十度。 在我的很多视频里就讲过，如果出现两个九十度的话，那需要倒角了，是不是他加他，哎，互余，他与他互余，嗯，就会有隐藏的角之间的关系。还有 a、 b， c， e 是 在圆上 角， a， b、 c 是 什么角？回答我，圆珠角，圆珠角所对的弦是直径吧，所以连接 a、 c， a、 c 就是 直径，哦， 对不对？还有圆的内接四边形，怎么样？对角互补，这个角是九十度，那么这里是不是九十度啊，你挖掘出来了？没有啊， 你看，这里是直角，这里是直角，它们对的是 a、 c， 这叫直径， 是不是啊？那么也就是会得到 a、 b 的 平方加 b， c 的 平方等于 a 一 的平方加上 e、 c 的 平窗哦， 是不是？而且这里告诉你边际的关联哦，是不是？所以我们等下又用到什么？所以你觉得难是因为你对已知条件不敏感啊，不知道往哪方面走，但是我们看到已知条件都应该产生这样的联想， 如果没有怎么办？没有，那你就不用做了啊，不要把时间浪费在无用功上面。好，紧接着它告诉你了面积之间的关系。 a、 b、 d， 这个面积和这个面积之间的一个 m 倍的关系，这个 a、 d、 e 的 面积和这个的之间的一个关系。 难道是考你底层高除以二吗？是不是啊？刚才我说了，如果出现好多直角的话又怎么样？要倒角，倒角会怎么样？ 就会有隐藏的角相等，有隐藏的角相等会怎么样？哎，会相似，会相似和面积之间的关联是不是出来了？相似比的平方等于面积之比呀， 这些不就是面积之比吗？它比它就是 m 啊。看到没有，它只是没有写成一个比例式，它是一个倍速关系，所以来吧，倒角，这个角 加他九十，他加他九十，所以我把它标为角一啊，不然很乱。嗯，你看这两个角相等，再来， 他加他九十，他加他九十，所以这两个角相等，这个角和这个角相等，这个角和这个角相等。 它们之间的面积之比。 a、 b、 d。 先不管，那我是不是要构造出一个直角就可以有相似了， 所以怎么办？一箭双雕的辅助线的做法，我往这里做一个垂线，那么这个三角形和这个三角形就会相似了，从而这个三角形和这个三角形也是一样的，是吧？ 要不要做辅助线？这个辅助线不做，你还等什么呢？是吧？过点 a 做 b、 e 的 垂线，垂足为 h， 自然而然的会得到这个三角形和这个三角形相似，这个三角形和这个三角形相似，你看有一对角，又有一个直角，看到没有，所以就会相似了啊。那么也就是三角形 a、 b、 h 相似于三角形 b、 c、 d。 三角形 a、 e、 h 相似于三角形 c、 e、 d 十分自然。好，那么就是相似比，我要用什么边去比呢？这里要告诉一个诀窍，使用最多的边，越平凡的边就给它用上。 比如 a、 h、 c、 d 是 不是又用上了？是不是你看这个边就会比这个边？ a、 h 比上，对应的是 b、 d， 这个 c、 d 又用上，那就是 b、 h 比 c、 d 十分自然。这里是不是也用 a、 h？ 是 不是 a、 h 比 d， e 看到没有？ a、 h 比 d、 e。 刚才我是不是写写错了啊？ a、 e、 h 应该是这样放的是吧？所以应该是什么？ e、 c、 d 是 吧？ e、 c、 d 啊，是 e、 c、 d 放错了，我写香字笔的时候才发现，是吧？你看应该是 a、 h 比上什么？这是 d、 e 的， 是不是？你看 a、 h 比上 d、 e 的 啊？ a、 h 比上 d、 e 就 等于 h， e 比上 d、 c 都是直角边的笔，是不是好？为了得到相同的东西，你看一下，看到没有？ a、 h 乘以 c、 d 看到没有？这里 a、 h 乘以 c、 d。 你 看使用越频繁的，用了之后你会发现，哎， 这里交叉相乘之后，会有两个相相同的东西，所以我把它写出来， a、 h 乘以 c、 d 就 等于 b， d 乘以 b、 h， 是 吧？等于什么？等于 e， d 乘以 h 漂亮，以它作为桥梁，得到这两组关系， b、 d 乘以 b h， b， d 乘以 b h， e， d 乘以 e h， b、 h 用了 d， e 用了，但是这里用的是这一段，这里用的是这一段。这一段和这一段， 这个刚才用了，只有这里是公共的地方，我能不能把它拆开看一下，有什么逻辑关系？这是这个里面这道题里面最难的一个点啊，你不知道如何操作，可能要想很久，你试探了很多次之后，你才会回到这个想法上面来。我也是试探了很久 来，我把 b、 d 拆成 b h 加 h d， 是 吧？这里的 h e 拆成 d， h 乘以 d e， 看有什么效果对不对？好的， 那么就是 b h 加上 h， d 乘以 b h 就 等于 e h 拆成 h， d 加上 d e， 也就是 d e 加上 h， d 再乘以 e， d， 这个是 e h 啊，拆开来的，再乘以 e， d。 展开之后来看一下 d h 平方加上 d h 乘以 h， d 等于 d， e 的 平方加上 e， d， d， e 乘以 h d。 这个东西啊，这么多字母，我该怎么操作啊？我去，你看一下啊， 这里把它移过来就是一个平方差是不是？好，再看这一块啊，形式一样的东西，它们有一个公共的 h d， 把它移过来，这里就变成了 b h 减去 e， d。 哦， 提取一个 h， d 是 b h 减去一 d， 而这里一个平方，它我是不是可以化成 a 加 b， a 乘以 a 减 b， 是 不是就会有一个公因式，而全部移到左边来的话，右边是等于零的，就会有一个分解因式，之后某数乘以某数等于零的一个结果， 就会有一个隐藏的线段相等。是不是 bh 平方减去 d 一 的平方加上。你看这里直接移过来啊，你看 我提取一个 h， d 等于啊，乘以 b h 减去 e， d 好， 等于零，接下来把它也用平方差公式给它分解一下，就是 b h 减去 d h 啊， d e 乘以 b h 加上 d e， 是 不是再加上 h d b h 减去一 d， 接下来我要干嘛？那就是提取公英式对不对？它这里 和这里是一样的，所以提取 b h 减去 d e， 那 么 b h 加上 d e， 括号等于零， 十分自然。由于这一块是不可能等于零的，都是正的，所以要使得整个式子等于零，那么只有 b h 等于 d e 漂亮。关键的一个条件， b h 等于 d e 难不难啊？就问你难不难？这题很刁钻啊，这一块等于这一块，由于刚才我们用的是这个三角形， 和这个三角形相似，是不是？而我们给到的面积之比是什么？它不是这个哟， 它是这个，但是有了这个东西之后，哎，心想事成了。 它等于它，那么 b d 就 会等于 h e， 是 不是？这是公共的地方，它加它，那不就等于它加它吗？是不是 b d 等于 h e 啊？ b d 等于 h e， 这样带来什么好处呢？你看这个三角形的面积是以这里为底这个高，这个三角形的面积呢？是以这里为底还是这个高？所以这个的面积哇， 转化成了 a h e 的 面积，它等于 s 三角形 a h e 啊， 这不有了吗？也就是说这个三角形现在和这个三角形是有一个面积的比例关系，但而且我们刚才是证明了它们相似的，那么我们马上转化成什么？相似？比的平方等于 m， 同样的这个也是一样的，是不是？你看这个的面积和这个的面积的比，就可以转换成这个的面积和这个的面积的比？为什么？因为这里的底跑到这里来了。高，这个三角形的高还是 a、 h？ 我慢一点啊，你看这个三角形的面积是以低一为底，高是 a、 h， 这个三角形的面积是以 b、 h 为底，高还是 a、 h？ 由于它们两个是相等的，所以这里的面积就转化成了 s 三角形 a、 b、 h 的 面积， 它们两之间的面积的比例关系。相似比的平方 看到没有啊？我就把这里推导过程全部拆掉啊，换成相似比的平方，也就是说这个的面积比上它就等于 m， s 三角形 a、 b、 d 的 面积比上 s 三角形 d， c、 e 的 面积等于 m， 等于什么？相似比的平方用谁注意到我们这里还没有出来，这个东西还没有用，而且刚开始的时候 这里是直角，是不是啊？我现在连接 a、 c 你 就知道了啊，我要用谁啊？我应该是用到 b、 c， 用到 c、 e 啊，给涂掉了，用到 c、 e 是 吧？这些线段去比参与相似比，是不是引入这个条件 对不对？还有我们刚才说的是吧，他的平方加他的平方等于 a、 c 的 平方啊，他的平方加他的平方也等于 a、 c 的 平方啊。也有一个，又有一个条件，会把两个关系式合到一起来，就会得到 m 和 n 之间的一个关联。好，接下来我们叫做操作了啊，他比他 用谁？就是用 a、 e 的 平方比上 e、 c 的 平方，是不是 a、 e 的 平方比上 a、 e、 c 的 平方，我要参与把 e、 c 给参与进来嘛。 这个三角形 a、 a、 b、 d 的 面积啊，就是 a、 h、 e 的 面积啊，就是 a、 h、 e 的 面积。看到没有？这里转换成它了啊， 先用它比它啊，然后把它又转换成它去和它比，得到一个相对比的平方，十分自然。也就是说 a 一 的平方等于 m 倍的 a， e c 平方。同样的，是不是 这个比这个 s 三角形 a， d， e 比上 s 三角形 b， d， c 等于 n 等于什么？等于用它的平方比上它的平方，是吧？对应边的比的平方，那就是 ab 的 平方 比上 bc 的 平方。哎呀我去，是不是有点热啊？那么同样的得到 ab 的 平方等于 n 倍的 bc 的 平方， 十分自然。那么 m 和 n 怎么建立关系式呢？ ab 的 平方加 bc 的 平方等于 a 一 的平方加 ec 的 平方，是吧？把这些都带进去，就会得到一个关系式 好。 ab 的 平方加上 bc 的 平方，很快了啊， a 一 的平方见证奇迹的时刻要到了。 ab 的 平方换成它自然而然，是吧。 n 倍的 bc 的 平方加上 bc 的 平方，等于把 a 的 平方换成它就是 m 倍的 ec 的 平方加上 ec 的 平方。这里把 n 加一 提出来。啊，等于 bc 的 平方，是不是啊？把 bc 的 平方提出来等于这个，这里呢？把 e、 c 的 平方提出来，乘以 m 加 e， 由于它们俩是这样的一个关系，所以 bc 的 平方就等于四倍的，对吧？四倍的 bc 平方，这里是四倍的 bc 平方。 啊，不是，这里这里。搞错搞错搞错，它的平方等于四倍的 e c 平方。四倍的 e， c 的 平方。把 e， c 的 平方给它砍掉，得到四倍的 n， 四倍的 n 加四 等于 m 加一。哎呀我去，是吧，所以 m 就 等于四， n 加三。行云流水，一气呵成，十分的自然。拜拜，牛逼牛逼！