山东中考统考几何综合汇总

如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 a c b 等于一个九十度， a c 等于 b， c 等于一个四啊，那说明这是一个等腰直角三角形呗。啊，点 d 为 b， c 边的中点啊，点 d 为 b， c 边的中点。点 p 是 a c 边上的一个动点啊，点 p 是我们 a、 c 边上的一个洞点。呃，现在呢，连接 p d， 以 p d 为边，往下方做了个等边三角形，对吧？ p d q 啊，连接了一下 c q。 题目现在要求 c q 的 最小值。好，跟我们前面那个一样， 每次我们在这呢都会出现啊，定点和动点。有没有发现我们的 c 点现在是一个定点啊，我们的 q 点现在是一个动点，对吧？当然这个 p 点也是一个动点啊， c 点是个定点， q 点是一个动点。 我要研究 c q 的 最小值，我必须得知道 q 点运动的轨迹啊，我怎么来研究 q 点运动轨迹呢？就可以用刮豆原理了，因为我们在这其实是将 啊 p 点绕地点，是不是逆时针方向旋转了个六十度得到我们 q 点。你的 p d q 现在是个等边三角形啊， 等边三角形，那么我们就是将 p 点绕地点啊，逆时针方向旋转一个六十度，得到 q 点，而且这次没有发生放缩，因为是等边，我们的 d p 等于 d q。 答案，这个其实无所谓啊，这无所谓，因为我现在要研究 q 点律动轨迹。嗯， 那么他的操作是，呃，我们其中有一个 q 点已经知道了，对吧？我应该再来一个就行啊，因为你屁点运动的轨迹是个线段，对吧？屁点运动的轨迹，他是我们屁点是说 a c 边上的一个动点， 屁点运动的轨迹是个线段，我们 q 点运动的轨迹也是个线段，那这个线段呢？我们现在可以把它来画出来，你怎么劝一下？那你是不得 研究一下它的起点和终点，对吧？我们在这儿连接一下 d a， 然后呢，你应该以 d a 为边啊，以 d a 为边去构造一个等边三角形吧， 差不多应该在这儿，是吧？以 d a 为边构造一个等边三角形，然后呢，我们就知道了我们这个 q 的 起点了， 以 dc 为边往下构造一个等边三角形，我是不是就知道这个的中点， 对吧？ a 是 起点，所以这个地方应该是我们的 q 一 啊， c 是 个中点啊，我还是构造等边造型啊， d p 当 p 在 c 的 时候啊，我的 d p q， 那 我这地方是不是应该是个 q 二？好， 我有了起点，有了终点，我是不是就知道了这个 q 点运动的轨迹应该是我图中的什么呢？ q 一 q 二这个线段了，对吧？哦，知道了，这个 q 点运动的轨迹是 q 一 q 二，这个线段下边儿干什么呢？我们要求 c q 的 最小值 这么多， c q c q c q c q 当中是不是应该是垂线段最短？它画的这个状态就很像个垂线段，那我干脆就用这个图吧， 当我们的 c q 垂直于我们的 q 一 q 二的时候啊，垂直于我们 q 一 q 二的时候，我们的 c q 此时是最小的，那下边就是要想个办法把这个 c q 的 长度求出来啊。 c q 长度求出来，怎么来求这个的长度呢？嗯， 我看一下啊，我们的这个地方这条线，嗯，首先我们应该把它往下是不是延长一下？好，来，我们在这儿啊，将我们的 a c 延长啊， 将我们的 a c 延长，会跟这个地方产生，跟我们的 q 一 q 二产生一个交点，这个交点是我们的 m 啊， 焦点是我们的 m， 请注意，我们刚刚是不是将这个啊， a c 这个线段，因为 p 点的运动轨迹是 a c 这条线段啊，绕着点 d， 是 不是 逆时针方向旋转六十度？因为 p 点是绕 d 点，逆时针方向旋转六十度得到 q， 所以 q 的 轨迹是由 p 的 轨迹绕点 d 逆时针方向旋转六十度的得来的啊，我们这个 a c 呢，它是一条竖直方向的直线， 那你这个绕着一个数值方向的直线旋转一个六十度，得到我们的 q 一 q 二啊，得到我们的这个 q 一 q 二，它跟数值方向上的夹角是不是应该是个六十度？也就是我图中的这个 蓝色的角，它就是个六十度了，对吧？这是我们的 a c 啊，这是我们直线 a c 是 个数值方向的，我要绕着这个点 d 逆时针方向旋转六十度，所以转出来的啊。我这个 q 一 q 二就是由 a c 逆时针方向旋转六十度，所以图中这个蓝色的角是个六十度， 而我们应该知道这个角它是不是应该是等于一个三十度，因为我们总共是九十度，这边这个角是不是六十度，对吧？总共是个九十度，这边是六十度，这个角就是个三十度，那导致这个角是不是也应该是三十度， 因为这是六十度，你这儿三十度，一个外角等于与它不相邻的两个内角的和六十减三十等于三十，而这儿是个直角，所以我们的这个 c q q 二啊，对于三角形 c q q 二而言， c q q 二而言，它是不是应该是个三十、六十、九十的直角三角形 已经是直角三角形，这个角又是个三十度，所以它是不是应该是一比根号三比二的？我们在这里边知道什么呢？我们知道 q c q 二的长度啊，我们知道 c q 二的长度是不是应该是等于我们的 cd 的， 它是个等边三角形啊？ d 是 什么？ d 是 a c b 的 中点，对吧？点 d 是 bc 边上的中点，而我们的 bc 等于一个四， b c 等于四，那我们的 c d 是 不是应该等于一个二？哎，我们的 c q 二如果等于二，这个角还三十度，那你明白你的 c q 啊，它的最小值 等于多少？就是这一段长度。六，我说这一段等于二，这个角三十度，你马上一秒能求出我们这个长度应该等于几啊？来个互动题呗，三十秒提交答案啊， 好，我们来倒计时啊，三二一，三十秒差不多啊，我们答案是不等于一啊，这要三十度所对的直角边等于斜边的一半啊。三十度所对直角边等于斜边的一半，所以这个长度等于。 确实刮道原理属于我们这种最值问题里边比较复杂的，简单给大家串一下啊。简单给大家串一下，我们在里面旋转中心是地点， p 是 主动点， q 是 从动点 p 点运动的轨迹是线段 a c 啊，所以从动点 q 的 运动轨迹也得是一个线段，并且没有放松，是因为 dp， 它等于 d q， 我将 p 点运动的轨迹绕点 d 啊，逆时针方向旋转一个六十度，得到了 q 啊。 q 点运动的轨迹就是我们 q 一 q 二这么多 c q c q 当中垂线段最短，就是当这桩垂直的时候，我们能得到这是最小值。那下边儿呢？就是要把那个值求出来 啊，发现我们在这啊，旋转了一个六十度，是吧？因此我们 q 一 q 二和数值方向，也就是 a c 所在直线的夹角应该等于六十度， 这方有个三十度，所以这是个三十度，所以这是个三十、六十、九十的直角三角形斜边等于二，那我们的短直角边就等于一了啊。

今年要参加山东省中考统考的同学们，我强烈建议大家好好的刷一下潍坊一模的这套数学卷子。这套题他跟山东其他地势的模拟卷有一个很大的不同点，就是他的这个基础题，门槛明显更高了，难度也明显的要比其他地区大。 反而呢，是后半部分的这个压轴题，不管是几何综合还是二次函数的大题，他考的呢，都是一些很常规很经典的中考题型，没有偏难怪啊， 但是很多同学呢，其实他吃亏就吃在这，就是前面的基础题又绕又有坑，然后你的做题耗时长，你的心态呢，就不稳，然后你就根本没有时间好好做后面的压轴题。那也正是因为这个原因，很多同学这次一模的分数啊，可能比较偏低。好，那我们一起来看一下这套卷子啊。 嗯，选择题的第一道题，开篇就有同学选错概念不清楚啊，然后这个第四题也是有的同学算出来啊，这条边是五之后，立马就选上了这个 a， 没有注意到啊，我们应该标注这个虚线，从第五题开始，这个难度啊，明显就上来了。 就拿这道题来说，你如果用排除法来做，你的速度会非常快，那这也给我们提了一个醒啊，就是你中考做题，千万不要只用一种固定的方法，比如说选择题，你完全可以采用这个排除法，或者是特殊值代入法，哪一个思路简单，哪一个方法快，你就用哪一个，灵活一点啊。 然后这个第七题，我觉得这个图啊，给了很多同学一个很大的迷惑性，再一个就是联系生活实际同学们根本想不出来啊，这个水池底到底是什么样的？ 嗯，第九题呢，你可以像我这样进行一个分类讨论，也可以把它转化成一个易函数，两种方法都可以。第十题，它是一道古典概型啊，需要你把所有的情况都列出来，然后找一找哪种情况是最多的，这个仔细一点就没没问题啊。 选择题的第十三题，一般来说，我们在科学技术法这里啊，从以往的考试情况来看，他不会给你设坑的，就是给你一个数，比如说三八七零零，你直接写成三点八乘十的五次方，这样就 ok。 但这道题它不仅涉及到计算 啊，你把这个三分之一乘十的负十四方算出来之后，你还要再把三分之一化成零点三三，化成零点三三还不够啊，你的这个零点三三还得化成三点三，因为我们必须要保证前面的这个 a 要大于等于一小于十，所以这个题啊，很多同学就在这这个栽了跟头。 第十四题，他考了一个图形的展开与这个最短路径，这种题有很多同学练的比较少，不熟悉。第十五题呢，你需要耐心一点，把题读完，然后读明白之后呢，你就能算出来。那很多同学可能他前面耽误的时间也比较久啊， 到这做题的时候没有耐心，题目也是没做出来。然后十六、十七、十八这三道题呢，他都比较常规啊。第十九题，这里有一些同学，这个第二问求平均数，不会求这个时候，其实我们只需要采取这个阻中值这个方法就可以啊。 嗯，二十题不难，第一问就是找一个相似，第二问就是正切线嘛，正切线这里无非就是正一个九十度，那只需要倒角就可以了啊。 然后二十一题，这个题啊，就有点像我们现在中考物理的那个最后一道题，就是那种综合应用题。首先呢，你得静下心来把它搞清楚啊，它到底是一个什么样的情景。 然后读完之后，你再顺着题目给的这个数量、关系、条件、逻辑，一步一步的往下列式子解析就可以。这个题其实也给我们释放了一个非常关键的中考信号啊，就是在这个中考的命题里，变化永远是常态。现在呢，就是考察大家的这个能力， 谁能从这些句子里抓取到关键信息，理清楚关键信息之间的逻辑，然后你再通过你所学的知识，把这些逻辑变成你的这个数学语言去解析， 而不是考大家会刷多少题啊，会背多少套路。这个就是锻炼你这个透过现象看本质，在千变万化的这个考题里，抓住你永远不变的那个核心。二题呢，其实考察大家的核心思想就一个啊，就是从特殊到一般， 你只需要把这个前两问给整明白，然后你后面的第三问，第四问，你顺着这个逻辑就可以解决。然后二十三题呢，也是一个比较常规的题型，这里考了一个二次函数的平移， 然后完全平方公式的一个变形，这个变形其实和我们二四年同考的最后一题的最后一问是同样的逻辑，大家可以去看一下。 然后第三问呢，就是一个两点坐标公式去求两条线段的长度，也是比较常规的。 总的来说，这套卷子其实就是基础题会难一点，但是压轴题啊，它并不难。然后整套卷子的这个风格我觉得也给我们释放了另外一个信号，就是我们在备考的时候，你千万不能只盯着固定的题型猛练，一定要把视野放的更宽广，提前做好题型变换、命题风格调整的准备。

哈喽，各位同学们，今天我们来做一道二零二五年山东省济南市的中考真题，这道题目呢，涉及到了一个三角形的内切圆的问题。好，我们一起来看一下这道具体的几何题目。如图是圆，是三角形的 abc 的 一个内切圆啊，就是这个圆， 这个圆 o 好， 与 a、 b， a， b， b， c， c， a， a， b， b， c， c， a 相切于点， d， e、 f 啊，也就是这三个点好，我们观察这个三个点，会发现它们都是由圆 o 连接了啊，这个切点的啊，几条半径，好，那这时候我们就应该意识到啊，一条线和圆相切，那么圆心到这个啊，切点的连线应该是垂直于这条直线啊，垂直于这条直线，所以我们得到了 三个直角，给它标注上，好，那角 d， o， e， d， o， e 等于一百二十度。标注上啊， ef 等于一百五十度，一百五十度， 好啊，这，这是我们得到的啊，条件好，继续，那么我们求三角形的三个内角的大小，我们要求三个内角的大小的话，我们来看一下啊，首先我们看到啊，在这个啊，在这个圆里面，我们发现，首先我们可以求一下角 f、 o、 d 啊，因为一个圆周角是三百六十度，那么它就等于用三百六十度减去我们已知的这两个角啊，也就是减去个一百二十度啊，再减去个一百五十度， 好，那我们可以把它求出来，它最终的话是等于九十度，好，就是说这也是一个直角好，这个时候我们会发现，在这个 a、 f 这个四边形 a、 f、 d、 o 中有三个直角， 有三个直角，好，那么四边形啊，这个 a、 f 啊， o、 d， 它就是一个矩形，并且呢，它还有啊，这个相等的这个边，你看它的零边长度相等 d， o 等于 o、 f 啊，这两个边长度相等，所以它是一个正方形， 好，正方形 a， f、 o， d， 好， 这是我们得到了有利条件，好，那么角 a 的 度数自然就出来了，角 a 的 度数的话，就等于九十度，因为它是一个正方形嘛，对吧？矩形， 好，那它四个角的话，显然都是直角，好，我们来看啊，这是 a 角的度数好，关键是我们要求 b 角和 c 角的度数好在这个四边形啊，在这个四边形 d、 o、 e、 b 中，它的内角和是三百六十度， 那我们知道了，这个是直角，这个也是直角啊，这个是一百二十度，那我们直接去减就可以啊，减一百二十度，减去九十度乘以二，那我们就可以把角 b 的 度数去计算出来，那么啊，就等于 啊，角 b 就 等于三百六十度，减一百二十度，是一百四十度，一百四十度，减啊，二百四十度，二百四十度减去一百八十度，那么就等于六十度，这是角 b 的 度数啊，角 b 等于啊，六十度，好，这是我们求的角 b 的 度数，角 c 的 度数也是一样，角 c 的 度数，这个角 f、 o、 e 有 了，这两边都是直角，同样的啊，也是用三百六十度减去一百五十度，减去九十度乘以二，那么就等于啊， 就等于啊，我们来算一下，一百啊，一百，这是一百五十度，二百一十度啊，二百一十度，减去一百八十度，就等于三十度啊，三十度， 好，这是我们求的角 c 的 度数就等于三十度，好，这 abc 的 度数就求出来，那么第一问我们就解决了啊，三个内角的度数。好，那继续，我们来看，我们也可以把我们求出的条件啊，给它标注在这啊，三十度。好，继续。那圆 o 的 直径是 d 啊，直径是 d， 那 么让你证明 d 等于 ab 加 ac 减 bc。 好， 这个时候我们来看啊， ab 就是 这一条边， a c 就是 这一条边， a c b c 就是 这一条边，也就是说它等于 a b 加啊，这个两个直角边的长度减去斜边的长度。好，我们怎怎么进行证明啊？这是第一问好，我们来看第二问 好，第二问好，那这个时候呢，我们会发现啊，我们去连接一下啊，连接一下这个地方，我来做一条辅助线。好，这个地方我来做一条辅助线。 好，这个时候我会发现啊，从在这条这个 o 呢，同时是在这个 b o 直线和 c o 直线上，并且由 o 出发到 由 o 出发，在这个角 a， b， e 中，由 o 出发到 a b 和 c b 的 距离， d， o 和 e o 是 相等的，这说明这个 o b 是 角 a， b， c 的 平分线，角平分线， 因为在这条直线上，这个点到两点的距离相等，所以它就是它的角平分线。好，所以我们找到了角平分线之后，我们自然而然的就可以得到。哎，这两个角的度数是相等的，所以说角啊， d， b， o 等于角啊， o， b， e 好， 那么 o b 本来就等于 o b。 好， 还有一个相等的角，就是角啊，这个 o d， b 等于角 b， e o 啊，当然我们这个地方啊，我们可以写成 o b o， e b 啊，好，那这个时候我们就满足了， a a s a a s 那 么三角形啊， d， o， b 全等于三角形 e o b， 好， 那这个时候我们就会得到了 d， b 就 等于 b， e， 好， 这个时候 d， b 就 等于 b e， 好， 这条线段被转移到这边来了，对吧？啊，转移到这边来了，好，那继续。那同样的道理，我们也可以证得 这个 f、 c 呢，它也是啊，等于 c， e， 同样的也是 o， c 是 角， f c， e 的 一个角平分线， 那么可以证 f， o， c 和 e o c， 它俩是全等的，它俩全等了之后呢，也是 a a s 两个角啊，两个角和一条边 a s， 那 么 f、 c 就 等于 e c 啊，就是这一条边等于这一条边。好，那这个时候我发现这一边儿， 这两条边啊，都被转移到 b c 刚好 d， b， d， b 加上这个 f c 就 等于 b c 了。好，所以 a， b 加 a， c 减掉 b， c 还剩了 ad 和 af， 这是啊， a， b 加 a， c 的 和它俩减掉了这个啊， b、 c 就 等于还剩下了 ad 和 af， 那 ad 和 af 刚才我们正过了，它是一个正方形，对吧？所以说它四边长度都相等， 四边长度都相等，那么这个 a、 d 就 等于 af， 并且就等于圆的半径，所以 a d 加 af 就 等于两倍的圆的半径，就等于 d， 好， 所以我们正出来了， ab 加 ac 减掉 bc 就 等于 d， 好， 最后我们就把这个第二问给正出来。好，这道几何题目你做会了吗？关注我，我是胖老师，我们一起学好初中数学。

好，同学们，那么我们现在来进行一下闭下区三模这个函数压轴题的一个讲解复盘。首先通过这一次闭下区三模的一个考试，包括我们前几次各区县的一个模拟考试，能够发现 整个这一次的中考的一个命题逻辑啊，相对来说还是比较重基础啊，比较简单的。但是在函数和几何类的压轴题里面啊，我们能看到它的整个的一个命题方向，还是比较注重经典模型和组合创新的一个结合，也就是说基本上考察的这些模型还是我们之前考的一些题型，比方说存在性的问题，面积线段最值率的问题，还有包括角处理的问题。 那这是需要我们在考场上一定要具备一个这样的能力，就是多步逻辑链一个拆解能力，就是我首先看到这个题，判断它是属于一个什么样的题型，然后按照什么样的一个逻辑步骤，一步一步一步的来给它进行拆解。并且我们在想到一个步骤的时候应该注意什么啊？这个是我们接下来冲刺阶段需要重点去提高的一个能力。 那么这个函数的压缩题的话，主要考察的就是一个动点坐标的表示，来我们用它的解析式直接去设动点坐标就可以了。 但是如果我们知道了一条斜线段的长度，假设 e 点是一个动点，我们想要求的 a 点是一个定点，那我们怎么利用这条斜线来表示动点呢？ 同学们应该立马就想到了一个化学为值的思想，也就是说把 a 这条斜线放在一个直角三角形里面，那我们就去做水平和竖直的一个垂直，好，这样的话我们就能够做到一个直角三角形， 那通过三角函数啊，假设这个点这个 h， 通过三角函数，我们就可以把 a h 这条水平为零和 he 这条水平为零来表示出来，这样子我们就可以表示一点的坐标了，那具体怎么做？我们来看一下这个题啊。 好，这个题的第二问。第一小问是让我们做直线 e f， 并且当 e f 与圆四周是一个垂直的位置关系的时候，判断直线 e f 是 否经过点 c， 那很明显这个题就是让我们去干嘛表示出动点 e 和 f 的 横坐标来，那第二步我们就是让他们的横坐标相等来列出方程。最后第三步求出 t， 判 断出来这个 t 和 c 点这个定点顶点的这个横坐标是否是一致，哎，从而达到解决问题啊。那好，接下来我们就来表示动点，那怎么样去表示这个点 e 的 横坐标呢？因为这个题告诉我们呢，点 e 是 从 a 到 b 出发速度是跟五之间，用 t 来表示，所以 a b a e 这条动线段的长度应该是跟 t。 那 我们想要表示，假设 o a 和 e f 记作这个点记作是 h 的 话，那我们想要表示点的坐标，就必须要把它的水平位于 h a 和 数字为 h， e 是 不是求出来就可以了，那我们利用三角函数来解决这个问题就可以了。那首先我们要看定用哪一个角的三角函数，肯定是用角 o a b， 那 么想要求这个角的正弦和余弦值，我们一定要放在一个已知的三角形里面，那么这个图很明显哈有一个坐标，三角形 o a、 b， a 点和 b 点坐标是已知的，那这样子的话，我们就能把 o a、 b 这个三角形的三条边都给它求出来。求完了之后，我们就发现三边的勾股数是一比二比 根号五，那角 o a b 的 余弦值我们就能求出来了。这样子 h a 这个水平的位置，我们就可以利用斜边 a e 等于根号五 t 去乘上这个角的余弦值，我们边的斜边求出，然后再用 a 点的横坐标减去 h a 这块水平位置，就来表示出了 x 点的 e 点的横坐标， 那同理， f 是 从得到 a 至去移动的速度是一，所以它的得 e 的 这个呃长度就是 t， 那 f 点的横坐标就是 t， 这样子的话，我们就把 e 点的坐标，横坐标表示出来了，应该是三减二 t， f 点的横坐标 t 我 们也表示出来了。 然后第二步就是让这两个横坐标相等就可以了。我们列出了一个方程，三减二 t 求出来， t 等于一，正好零点坐标 c 啊，也是在 x 之间， x 等于一上，因此啊，是满足的。 所以这个题的核心就是怎么样去表示点 e 的 横坐标，我们利用三角函数来表示水平为 h a， 然后再用 a 点的横坐标减去 h a 就 可以了。这是这一个题的一个解析。 好，那我们再来看一下 d 最后一问啊，那最后一问，那么我们通过读题很明显的就能判定出来，这是解决一个什么的问题啊？对平行四边形的一个存在性的问题， 那解决这个问题的时候，关键就是对于他进行一个分类讨论，而这个题恰恰不需要分类讨论。这个题相对来说比较简单，因为他说了，当四边形 a、 c， m、 j 是 一个平行四边形的时候，因此 am 一定是一个对角线，所以这个平行四边形我们画出来应该是这个样子， 那点 f 坐标只能是在这里啊。好，下面我们来说一下这个题的一个逻辑，还是在表示动点坐标，那告诉我们这是动点 e 和 f 的 中点，所以说这一点的动点坐标非常好表示，利用中点公式我们就可以表示出来了。 然后我们通过这点再来表示 m 点的动态坐标，这是第一步。第二步的话，我们再利用平行四边形的存在性的问题啊，表示出 m 点的坐标来了之后，我们把 m 点的坐标带入到，告诉我们 m 点是在抛物线的一个动点，所以把它带到抛物线的解析式里 面，就可以求出来具体的 t 的 值啊。然后我们再根据题目中的条件啊，去判断这个题的这个函数，这个 t 的 一个范围啊，从而去去得到它的一个有效级啊。 所以我们来具体来想一想啊。第一步，在表示动点的时候，这个地方我们有什么样的一个技巧啊？首先这点这个地方应该没有什么太大的问题啊，用中点公式就可以表示了，因为 e、 f 我 们在上一个上已经表示出来了， 那这个 m 点该怎么样去表示呢？同样的，我们肯定还是用参数 t 来表示啊，但是我跟大家说过，平行四边形它的对边一定是平行且相等，所以点 a 的 坐标是三度零，点 c 的 坐标是 一到二，那我们只需要看 a 点到 c 点这个是线段，这个点是怎么样去做平移的就可以了。很明显， a 到 c 是 横坐标向左移了两个，然后纵坐标向上移了两个位置单位啊，因此这道 m 应该也是向左移两个，向上移两个。因此我们直接利用 线段的平移点和线段的平移就能够表示出点 m 的 坐标来啊，所以不需要再利用这个中点公式去表示 m 的 坐标啊，表示完了之后，那下一步我们就把 m 点带到抛物线的解析式啊，求出来有两个 t。 好， 最后一步就是根据这个 t 的 范围来判断有效结。 那大家来思考一个问题啊，点 e 是 从 a 到 b 来进行运动的，那 ab 这条线段我们之前应该求出来的是二分之三倍的根号五， 它的速度是跟时间是 t， 所以 我们能够求出它的范围应该是在大于零，小于二分之三这样的一个范围。 通过图像的分析，我们可以直接判断出来啊，因为 f 的 速度是一，然后 h 这个点又在 a 三到零啊，坐标标是三的右侧，因此它一定是比二分之三要大的，所以我们取这个有效的范围一定是在零到二分之三这个范围。 因此刚才我们求出来的两个 t 啊，把负五减二倍的标号七舍掉就可以了啊，这样子我们就能求出来最后的答案 啊。所以在解决这类纯平行于直线的问题的时候哈，我们首先也是要表示重点， a c 两个定点已知，然后这点是 e f 的 终点呢？我们用终点公式来表示，那 m 我 们利用线点和线段的平移来去表示 m 啊，表示完重点之后，第二步我们就 把这个点 m 在 抛物线上，因此我们就把它带到入抛物线的解析式里面，就可以求出 t 的 具体的值。然后第三步，再根据题目中的条件哈，已知 e f 的 点是同时 运动，并且有一个点到达之后啊，整个运动就停止，所以我们去找那个啊最小的范围来，然后去把这个有效减筛选出来就可以了啊。那么以上就是对于这个二次函数压轴题的一个分析。

家有初中生，尤其是马上中考的孩子，一定点赞收藏！很多同学啊，几何压轴题总是丢分，其实出题人每道题啊都藏了，解析暗示， 看懂规律，轻松拿满分。今天呢，一次性把中考几何所有必考题型和解析思路分享给大家。 第一类，求线段长度，全程啊，只有三个方法，勾股定律，相似三角函数，尤其考的最多的圆的题型，记住万能口诀原理，出直角，直接用勾股出现平行线，立马找相似题，干给三十度，四十五度，六十度特殊角优先选择用三角函数， 所有线段题单独用两两结合，三者结合一定能够算出答案。第二类，求两条线段比值，记住一句话，求比值必考相似，不用瞎琢磨，只需要快速判断模型， a 字八字共角，母子型，手拉手模型，找准关系直接解题。 第三类求角度问题，大多数出现圆的，第一问核心呢，只有一个倒角，用平行线找同位角，内错角，用直角三角形找互余角，利用圆心角、圆周角、弦切角换算关系， 再结合等腰三角形角平分线的等角性质，轻松搞定所有角度问题。 第四类求图形面积基础题型，三角形，平行四边形，梯形，直接套用公式即可。最难的二次函数结合面积题，认准千锤高法，适当的做横纵辅助线，万变不离其宗，本质都是三角形的面积换算。 第五类求最值问题，最短路径，直接套用将军印码模型，面积最直，把三角函数化成顶点式求解。还有高频考点，隐形圆最直，线圆最直，掌握模型直接得分。 第六类，是否存在类动点问题？题概问是否存在点屁，满足条件大概率都是成立的。解析思路超简单，用勾股相似三角函数把几何关系转化成方程，能解出数值就是存在，无解就是不存在。 中考几何压轴题，考来考去啊！就这些套路，还有哪类题型不会？评论区留言，我来帮你针对性解答！

hello 的 宝宝们，我们来看到第五十四题关于四点共圆的题目，这个题啊，不仅考察到了呃，四点共圆，还有手拉手，它是综合在一块考察的，我们一块看一下。首先，呃，有这么一个结论， 嗯，对角互补的四边形一定是共圆的啊。比如说 啊，这个啊，随便画一个四边形，假如这个角和这个角互补，那么这四个点 一定在一个圆上。好吧，这是结论，可以用啊，那现在呢？嗯，小明同学提出了一个新的问题，他说在线段 a c 的 同侧 有 b 的 两点，这是的，这是 b 啊，如果角 b 等于角的的话啊，那么这四个点呢，也在一个圆上。现在呀，我们要证明这个东西成立，那这个同学是怎么证的呢？我们来看 啊，如图二。图二在哪啊？啊，在这啊，经过啊，做经过点 a 点 c 点的圆 o 来看一下， a c 的 确实做了个圆 o 啊，然后在列或 a c 上呢，取一个点 e 连接了 a e c e， 嗯，比方点 e 在 这吧， 连接 a e c e， 那 则角 a e c 加角的是一百八的。角 a e c 加角的，那为啥一百八呀？ 因为这四个点是共圆的，共圆的四边形对角不是互补五吗？对不对？那别忘了，我们的已知条件是，角的等于角 b， 既然角 a e c 加角的等于一百八十度，那么角 a e c 加上我把角的换成角 b， 是 不是也行啊？哎，那我是不是就得到这个式子了？ 哎，所以这个空啊，又因为角 b 等于角的，所以这一行填的应该是角 a e c 加上角 b 等于一百八十度啊，那既然 这个角和这个角都互补了，那这个四边形不就是有一组对角互补了吗？那他不就是四边共圆了吗？啊，后面，这就是 后面这两行啊，就是这个意思啊。从而我们就证明出，当这两个角在 a、 c 的 同侧并且相等时，那么这四个点是共圆的，就证明出了这个结论啊。这是第一问来看，第二问第二复杂一点。 如图三，在二梯三角形 a、 c， b 中角 a c b 啊，是九十度哦， a c 等于 b c， a c 等于 b c 哦，这是个等腰直角三角形， 对不对？他说什么呢？将三角形 abc 绕点 a 逆时针，这样逆时针转啊，转到了 a n m 的 位置， a n m 啊，连接了 c m， 连接了 c m 交 b n 与点的啊，它是把 b n 和 c m 连接起来了。其实读到这，不知道你有没有发现，手拉手呢？是有的吧，谁是头啊？头是谁？ 是 a？ 大 第一组手是 a， c 和 ab， 另外一组手是谁呀？ am 和 an， ok， 那 拉手线是谁呢？我们顺便拉起来是 c m 还有 b n 的， ok， 那 这是啊，我能证出哪两个三角形相似或全等的关系呢？应该是三角形 a、 c、 m 相似于三角形 a、 b、 n 吧，就这个三角形和这个大的三角形是几 b 几呢？ 就是 a c 比上 ab 呗，那不就是一比二吗？因为三角形 a、 b、 c 是 个等角直角三角形啊，就读到这，你要能发现这东西啊，能得到这两个三角形相似以及拉手线的比例关系是多少啊？也就是 c m 比上 b n 是 一比上根二吧，因为它们就等于 a c m 啊，就等于 ac 比 ab 嘛，等于一比根二好吧，以及拉手线的夹角，也就是拉手线，就是 c m 和 b n 嘛，夹角是在这个位置的，这个角一一定是等于四十五度的，因为我能找到一个 八字， ok 啊，这是读到这你最好能反应过来的东西啊。我们再往后读题， 他说连接了 b m m， 是 啊，连接了 b m 和 a d 啊，小明发现，在旋转过程中，角 a、 c、 d b 始终等于四十五度， c d、 b 是 这个角啊，他确就是我们刚刚说的角 e 吧，他确实永远等于四十五度。这是两条拿手线的夹角啊。那第一问，根据这个角是四点共圆的，四点共圆的四象证明 得 n 等于得 b， 得 n 等于得 b 啊，也就是让我证明得是线段 n b 的 中点呗。嗯，怎么证呢？ 哎，你会发现三角这个 a a b 和 a n 什么数量关系啊？是相等的，如果 n 是 嗯 b n 中点的话，说明 a 的 就是这个等腰三角形。 a b n 的 什么线呢？中线？ 那你想到了什么？是不是三线合一？因为 ab 等于 a n， 你 要想证明 n 为 b， n 中点的话，我只要证明 a、 n a 的是另外三线中的另外两条线中的一条即可。你要么证明它是高线， 你要么证明他是顶角的角平分线啊，你就看哪个好正呗。如果要正高线的话，我就证明 a 的 垂直于 b n 即可。也就是证明 角一加角二等于九十度。也由于角一已经是四十五度四十五度了吧。也就说我只要证明角二是四十五度就可以了。而角二是不是四十五度呢？很好证啊，因为，哎，它为什么是四十五度啊？ 角二，那你这个角三是不是四十五度？比如说，我只要证明出角二等于角三就可以了，角三铁定四十五吧，对不对？那角二怎么证明等于角三呢？哎，角和角三是不是都是在 a、 c 先对 a、 c 同侧的两个角， 你看出来了没有？哎，这，这特别像四点共圆吧。比如说，我只要证明，嗯，角三，角角二等于角三了呢。 啊，有时候我应该先证明四点共圆，然后我发现角二和角三正好都是 a、 c 所对的圆周角啊，对吧？怎么正呢？ 我就证明，嗯，别的角呗。我发现角一和角四是不是相等的啊？角一等角四不对。我应该先说啊，证明 a、 c、 e、 d 四点共圆。 要证四点共圆，我发现啊，角一和角四可以利用，角一等于角四， ok， 那 角一等于角四很好证吧，角四一定是四十五度， ok， 所以 我们把过程写一写啊，我们圈一，因为角次等于角一等于四十五度， 所以 a、 c、 b、 d 四点共圆， 所以角二等于角三也等于四十五度了，所以角一加角二等于九十度，所以 a 得垂直于 n， b 又因为 ab 等于 a， n 所以 得 n 等于 得比啊。第一问就整完了， ok， 嗯，就这一问，他就考察了四点共圆的判定和性质。 你首先要利用一和四相等证明出四点共圆来，再利用啊，都共圆了，所以同乎所对的圆周角相等，证明角等于角三，这是第二第一问。嗯，大家看到第二问， 当角 b 的 m 是 直角三角形时，嗯，在这个三角形中有三个角， 你说它是直角三角形，那哪一个角是直角？我是不是得？呃，分类讨论一下。嗯，角一不是，不，它一定是四十五度，角一不可能是直角了，所以 可能等于九十度的角，分别是这个角就角的 m b 和角的 b m 这两个角没有，我们要分别讨论一下 啊。那先，那就这个图而言，这个 m 特别像九十度，是吧？我们就用这个图吧。先考虑当 m 为，当 m 为直角顶点时， 当角得 m b 等于九十度时，等，他说 b n 等于四，求 bc 的 长 b n 一 共长四，那么 b 得长二了，它又是个等腰直角三角形，三边之比满足一比一比根二，所以斜边既然为二，那我就能求出两条直角边了，都是根号二， 那么求 bc 呢？求 bc， 我 先想勾股定律， m 这个位置竟然是九十度，而这条，这是一条 笔直的线啊，所以旁边这个角五一定是一百八十度减九十度吧。所以角五啊，一定是九十度。那 角五九十，我我可以把 bc 撞到三角形。 mbc 里面， bc 是 斜边，所以 bc 的 平方等于 mb 的 平方加 mc 的 平方，那 mb 我 们刚刚已经借助这个直角三角形求出来了，所以 只要再求出 mc 的 长度即可，而 mc 恰恰是手拉手里面的拉手线，所以 mc 的 对应边是 nb。 那 m， 由于两个三角形相似相似比，我们是不是知道就是 a c 比上 ab 啊，是一比根二，所以 mc 比上 nb 呢，也是一比根二，而这个 nb 一 共长四，所以 mc 是 可以求出来的。 所以我们要先求 m c 啊，怎么求呢？很有意思啊，因为在啊，这个三角形相似，大家 z 正啊，我就直接往后说了，因为三角形 a c m 相似于三角形 a b n， 所以 c m 比上 b， n 等于 a， c， b 上 ab 等于一比根二，所以 c m 可求等于根二分之 b， n 等于根二分之四，等于二倍的根号二。嗯， c m 求出来了，怎么求 bc 呢？然后，也所所以在二 t 三角形 bcm 中，角 bmc 等于九十度 啊。 bc 呢，就等于根号下 bm 的 平方加上 cm 的 平方等于根号下 bm 是 根号二的平方， cm 呢，是二，根二的平方等于根号下 八。呃，等于根号十啊。对啊，这是第一种情况，还有没有别的情况呢？ 那肯定有吧，什么情况？就是这个三角形 bm 多是直角三角形，我们刚刚考虑的是谁当直角顶点啊？ m， 但还有可能是谁当直角顶点呢？就是 b 呀。 ok， 就是 这个角。不对，不对，这这个角有可能当当九十度啊。我们再画个图，这这个题的难点可能就是画图啊，你得，你得把它画画好才行。 这是这个，这是 m， 这个点是 m， a c 呢？转到了 am 的 位置，那 ab 呢？也要往上转，转到 an 的 位置 在这了， 并且得还得是 abn 的 中点。 嗯，这么这么画吧。那第二种情况呢？情况二， 当角得 b m 等于九十度时，嗯，我们再来标一下条件，那 c m 还是 c m 是 跟刚刚是一样的还是等于几呢？ 二倍的根号二的 b， n 还是等于四，所以 b 的 还是等于二。那 b 要求 b c 的 话，我还是想撞到直角三角形中，但这里面 b 这个角是九十度了， 嗯，这个角四十五度，怎么求？这个 p c 不 在直角三角形中吧。所以啊，我想到了构造。嗯，怎么构造呢？因为这个三角形是等腰直角，所以我过点 b， 往这往 b 蹲， m 做垂交于点 p， 那么就可以把 bc 装到这个直角三角形中了，你看另外两条直角边好不好求呢？你要我只要再求出 b p 和 mp 就 可以了。那请问三角形 b m p 是 个什么三角形啊？ 是不是等腰直角哎，斜边你知不知道啊？知道的， b m 等于二，所以另外两条直角边你可以求吧，是分别度是根号二啊。 啊，所以第二种情况，这个 b c 呢，就等于根号下 b p 的 平方加上 p c 的 平方， b p 呢，就等于根号二括号起来的平方啊。这根号大家自己求求吧，比较简单啊，这个 p c 呢，就是 pm 加上 m c 括号起来平方吧，等于根号二。 m 四呢，是二根二，也就是三根二 二加上三根二的平方是十八，结果等于根号二十，也就是二倍的根号五啊，所以综上， bc 等于二根五或者是根号十。嗯，所以这个题答案跳出来再捋一下，他考察到了哪些知识点呢？ 第一个是手拉手的，呃，模特征，你要会认出来。结论，你要知道这个拉手线长比例你得知道啊。第二个就是四点共圆啊，性质以及判定你要会啊，这是这个题的思路，你看能不能理解呢？

这是我们济宁任城二模数学卷的几何压轴题目，那这道题目呢，比较长，我把它放在这上面了，比较小。那第一个比较简单，我们也简单说一下吧，这是一个矩形，然后向这两边做了一个垂直，那么所以这个 a e、 f g 呢，也是一个矩形。 还告诉我们 a d 比上 c d 一 比三，那么也就说 a g 比上 f g 也是一比三。那么在这个直角三角形当中呢，我们可以这样去理解，这是一，这是三分，那么这个就是根号十分，那么同理可得这个也是一样的，那么所以最后我们得到这个 c f 就 刚好是 d g 的 根号十位，那我们看第二位， 他说经过旋转，这个四边形 a e、 f g 经过旋转呢，出现了这种图形。问，在旋转的过程当中，这个 c f 与 d g 的 数量关系是否仍然成立？我们通过观察发现 这个 a g 与 c f 的 一个比呢？其实就在这两个相似三角形当中，他跟第一问一样，因为他的相似比啊，没有改变，所以呢这个是始终成立的，是根号 十倍的关系。那么我们主要看第三问，那第三问呢，可能会涉及到两种可能，他有一个备用图，而且他说的这个 e 点呢，是在直线 cd， 那 么也就是说他有可能在 cd 之间，也有可能在 cd 的 右侧，他不太不可能在 cd 的 右侧。因为 d 是 二，那么所以我们把这两个图呢都给补全了呢。 现在让我们求 d g 的 长，我们知道呢，已知我也标出了正方形的边长是四，然后 e 点呢是 cd 的 中点，那么也就说这是二，这是二， 然后让我们求第一的长，单纯这样看图形，求第一的长是没有思路的，那么我们解决问题的方法呢？可能要根据前两问，他告诉你的一个解析的方向和思路去思考。 那么第一问呢，它是一个相似的问题，这个三角形和这个三角形相似，那么这里头有没有会出现这个旋转相似呢？因为这个是旋转了，这也是旋转了，那有没有这个旋转相似的这个三角形呢？我们观察发现呢，这是二，这是二，我们要怎么去应用它？而且还告诉我们 h 点呢？ 是一个中心，是正方对角线的一个交点，那么对角线的交点我们又没有连接上呢？我们最好是给它连接上，那么我们看一下图，现在我把这个 a、 a、 f 呢给连接上了，然后 ac 呢？也是一条对角线，我又把 ac 又给连接上了，那么我连接完了之后，这两个对角线他 所组成的三角形，这个 a、 c、 e、 a、 c、 e 刚好 c e 又是二，然后他们的比值又是边长，与对角线的比是一米二，那么所以 a d 所在的三角形就是这个。 有没有发现 a d、 h 和 a c、 e 啊？刚好就是我们说的 a d 比上 a c 是 一百克二，然后这个 a 再比上 a e， 因为这是一个正方形， a f、 e、 g， 它是垂直的，那么这个是正方形，所以这个也是直角，那么所以这个 a h 比上 a e 也是固定的一比二，一比二，那是不是呢？我们知道 d e 是 二， a d 呢是四， a d 是 四，那么所以 a e 呢？就是二倍的根号五， a e 是 二倍的根号五，然后 a、 h、 e， 这是一个等腰直角三角形， 那么我们能得到这个 a h 是 根号十，我们得到这个根号十，根号十，比上二倍的根号五，也是一比根号二的关系。所以我们再看这一个角加上这个角是四十五度， 而这个角加上这个角也是四十五度，所以呃，两边对应成比例，然后再加上一个公共角，所以这两个三角形是相似的，那么相似之后对应线段成比例，那么所以我们可以得到 a d 比上 a c 就 等于 d h 比上 c e， 那么所以我们发现这个 a d 我 们已经知道是四，然后 ac 呢？是四倍的根号二，四倍的根号二，这是一个正方形四四四倍的根号，然后就等于 d h 比上 c e， c e 是 二，那么所以我们立马就能求出来 d h 等于根号二，这是第一种可能，那么第二种可能在这个图当中， 呃，也就是说这个 e 点在 d 点的右侧，然后 d e 的 长度是二，肯定也跟第一种方法是比较接近的，我们要连接 ac， 这个对角线， 我直接用直接手绘吧，那么我们应该还是用这个第一种方法，这个证明三角形相似应该就 ok 了。我们观察发现 a， c， e 和 a d h， 哎，这个 a， d， h 还没连接呢， a c， e， a， d h 这两个三角形是否相似呢？ 那么正常来说它是相似的，然后我们呢，这个用不同的方法去做一下验证，那我可以在这里呢做一个垂直，然后在这里呢做一个垂直，那假设这个为 m 啊，这个为 n， 那 么你就会发现这个三角形 a h m 和三角形 e、 h、 n 这两三角形是全等的，为什么？因为 a、 f、 e、 g 都是对角线，应该都是根号十，跟这个是一样，都是根号十，然后再加上一个直角，再加上一个公共角，加上这一个角是九十度。为啥呢？因为你在这里做一个垂直，在这里做一个垂直，这又是个直角，那么所以这是一个矩形， 也就说这个是九十度，那么这一个角 m、 h、 e 再加上这个角，就等于这个 m、 h、 e， 再加上这个角也是九十。因为这个 a、 h 和 e、 h 是 垂直的，那么所以这两个三角形就存在等了， 那全等以后，也就是说这个 m、 d、 n、 h， 它是一个正方形，那么我就设这个，它为 x， 那 么这块长度应该就是四减 x， 这里也是 x， 那 么所以 d、 h 就是 四减 x， 那又知道他是一个正方形，那么所以四减 x 就 等于二加 x， 所以 我们求出 x 等于一来，求出 x 等于一来，那么也就说 d、 n 它是三，那么这个也是三，那所以 d、 h 也就是我们说的三倍的根二。当然我们也很有相似去证明，你可以去试一试。更多关于数学学习问题的，你可以关注我后台我。

我们来看下第十五题，在三角形 a、 b、 c 中，点 d 是 a、 c 这条边上的一个动点，而点 p 从点 a 出发，沿着什么沿 a、 b、 bc 的 方向运动，到 c 的 时候停止？ 点 p 运动的路程为 x d， p 的 长为 y， 外观与 x 的 函数图像如图所示。最后让我们求什么？求 a、 d 的 长度和什么点 n 的 正坐标好呃，这类题啊， 几何最小值，几何最值的几何最值与二次函数同向缝隙结合在一块。 那这类题我们在这两年的中考跟我们模拟考里面考的比较多，要解决这类题该怎么去解决？今天我把方法教给大家。 那么第一个就是这个点，既然是一个什么？是一个洞点，那么我们就要去分析清楚这一个洞点它的轨迹是什么样子的， 它的轨迹是什么？从 a 到 b 再到谁呀？到 c， 最后在 c 的 时候怎么样？在 c 的 时候停止，对吧？它是一个做匀速直线运动的， 这是第一个我们得知道它的轨迹，第二个我们得知道什么？这个函数图像里面它的 x 和 y 分 别表示的是什么？我们来看 x 表示的是什么？表示的是它的运动什么路程，对吧？ 那么既然是运动路程，我们看点 p 在 a、 b 上跟在 b、 c 上运动的运动的时候， a p 表示的量一样吗？是不是不一样？当点 p 在 什么 a、 b 上的时候 来， a p 就是 什么？ a p 是 不是就是运动，就是它运的路程对不对？这个时候 x 就 等于 p 呀，就等于 a p 的 长，对不对？但是当当这个减 p 在 了，当这个减 p 运动到 b、 c 上的时候，我们来 假设这个地方是 p， 我 们来看它的漏水是不是？这一半加这一半，对不对？这个时候 x 等于什么？ x 是 不是应该等于 ab 加什么？ ab 加 bp 对 不对？这是 x， 那 么 y 表示的是什么？ y 表示的 是谁呀？是不是 p d 的 长度啊？对不对？表示的 p d 长度？好，那我们来看看 p d 长度可能会有什么变化， 因为减 p 是 从 a 到 b 再到 c 的 运动，对不对？我们分两段，在 a b 上，我们来看它最开始 p 在 这的时候， p d 的 长， y 是 不是这一段就是 a d 啊？对不对？随着点 p 往上运动， p d 怎么样？ p d 是 不是在逐渐减小啊？逐渐减小小到什么时候？它会有一个什么？ 是不是？当垂直度会有一个最小值？到了最小值之后怎么样再开始增大，对吧？最终运到什么？运动到这个点？ b 到了这个位置， 到了这个位置之后，我们来看它会怎么样？是不是这时候减七往这边运动，往这边运动，我们来看 d 七就是表示的 y， 它会怎么样？是不是还是逐渐的？什么逐渐减小啊？ 在减小的时候还会减小的一个什么？是不是还会有一个最小值，对不对？因为点到直线之间什么垂线段最短，对吧？所以还会有个最小值， 过了最小值之后，怎么样？又开始慢慢慢慢增大，对不对？增大到什么时候？是不是当点 p 运动到这个地方的时候，运动到 c 点处，它停止了，对不对？停止时候这个时候 d p 是 不是表示的是 d c 的 长啊？ 所以我们先把 b 这个 p d 也就是 y 的 变化，我们先给分析一遍，那么这是第二个点，我们得知 x y 表示的量是什么？ 这个量有什么变化，这是第二点，那么第三点也是最重要的，也是解决问题的核心是什么？ 来第三点，我们要结合什么？结合函数图像，我们要看函数图像的什么拐点啊？拐点我们也叫做什么？也叫做临界点， 我们来把这个函数图像上的每一个点，它表示的意思却要分析清楚。来，我们来看，首先我们来看这个二十，这个二十它对应的横坐标是几啊？ 是零，也就是 x 为零， x 为零的时候，正坐标是二十，也就是说当 x 等于零的时候， y 等于多少？二十， y 表示的是谁呀？ 是不是 p d 呀？对不对？来，也就是说怎么样 f 的 等于零，说 p 处在这运动都成为零，它 p d 的 长是二十，这时候 p d 表示的是谁？是不是表示的 a d 的 长呀？所以这个地方解决了吗？ a d 等于多少？ a d 是 不是应该等于二十？ 那么我们再来看，再继续往后看电梯，继续往后往上运动，是不是会 p t 越来越小，越来越小，对不对？当小到最小值的时候，是谁？ 最小值？是不是 m 呀？这个时候最小，那么我们来看什么时候最小，就是我们给它做什么？ 是不是做垂线，当点 p 运动到这个时候它最小，对不对？来，我们把这个点就标，为什么？标为 m， 对 不对？这个时候 m 的 纵坐标是多少？是不是十二？也就说 p d 等于十，也就是谁呀？ m d 等于几？ 我们给它写上是不是十二，对吧？来， a d 是 多少呀？ a d 是 二十， 我们再继续往后看，继续过了最小值之后，是不是会继续变大呀？对不对？大到什么地方来？我们来看 过了这点是不是继续往上移点 c 会怎么样？会到达点 b 对 不对？过了点 b 又怎么样？又开始变小，所以这个点对应的点就是谁，这个点是不是对应的点 b， 所以我们才连起来，这个时候我们来看他对应的数值是几，是不是十五？正坐标是十五，也就说这个时候 p d 等于几啊？十五，那在三角形中提出来就是谁，是不是就是 b， d 等于十五呀？对不对？那么我们来看过了点 b 继续变小，小到最小值 o o 是 什么情况？是不是就应该同样的是应该什么 垂直的时候最小？所以这是 n， 它让求 n 的 正坐标， n 的 正坐标表示的是谁，就是当它在最小值的时候，谁 p d 的 长度 对不对？这个时候在我们图中 p d 就 等于谁？是不是七十？就是让我们求谁呀？ d， n 的 长呀？ d， n 的 长是不是就是什么？这个 点 n 的 正坐标对不对？继续过了点 n 之后怎么样？是不是又陆续逐渐增大呀？ 到最终的终点是谁？是不是运动的点 c 停止，那么在点 c 的 时候，正坐标是八，那么运动到这的时候正坐标是八，也就是说 cd 等于几，也就是 cd 等于几啊？ 是不是就是 c， d 等于八呀？好，那我把这个地方， 这个地方 c， d 是 等于八的。好，那么我们把这个轨迹跟图分析清楚了，我们来算一下子，看看 d， n 能算吗？好，来，我们先看第一种方法， 这个地方是多少？这是垂直对吧？在 r、 t 三角形中，我们来看 r、 t 三角形。首先我们先看 am， amd， 在 amd 中，我们来看 a、 d 是 二十 dm， dm 是 多少？是不是十二？ 所以勾股定律，我们可以把 am 算出来， am 算出来应该是多少，是不是应该是十六啊？对不对？那 dm 知道， b、 d 也知道，所以我们在 r 去三角形谁 b、 m、 d 中，我们可以怎么办？我们是不是可以把谁呀？把 b、 m 算出来， b、 m 算出来等于多少？ bm 算算是不是应该等于九吧？既然 bm 等于九来，所以 ab 等于多少？ ab 是 不是十六加九是多少？二十五，对不对？ ok， 好， 我们现在来看这个三角形。 三角形 abd 是 个什么三角形？同学们， abd 是 个什么呢？ a、 b、 d 是 不是应该是 r、 t 三角形呢？为什么来 a、 b 的 平方，二十五的平方是多少？ a、 b 的 平方是多少？ 是不是就是二十五的平方？六二五呀，等于多少？四百加上多少？二二五，是不是就是二十的平方加十五的平方，对不对？二十平方加十五平方来 a 底二十， b 底多少？十五，所以它是不是 r 七三角形？ 既然是 r 七三角形，那现在让求 d、 o 能求了吗？来，我们来看看啊，我们来看看 c、 d， 我 们继续在 r 七三角形， r 七三角形谁呀？ b、 c、 d 住， 我们是不是还是有购物定义可以算出来 bc， bc 应该是多少？算出来是 bc 等于几？ bc 等于七。那现在让求 d、 o 运什么？ 是不是可以用什么面积法呀？对不对？ s 三角形 a、 c、 d 等于多少？二分之一的 a、 d 乘以 dc 也等于二分之一的 d， n 乘以谁乘以 bc 啊？啊，这个地方啊，写错了啊，是 b c、 d 啊？ f 三角形 b， c、 d 啊，等于二分之一的 b、 d 乘以谁呀？乘以 c、 d。 所以 我们这个题到这，是不是可以用面积法去把 d n 给它算出来应该是多少？ 是不是七分之一百二啊？散开是七分之一百二？好，那么在这个地方我们是直接运的公定，直接运公定，那么还有没有其他？还有没有其他？来？同学们，我们来看，我们来看这个地方是几？ 哎，这个地方，我们刚才的 am 是 多少呢啊？ am 是 不是？ am 是 不是十六啊？对不对？我们来看啊，我们来看第二种方法， 来我们来看 m d 比上谁？ m d 比上 am 对 于 g b 几？ g b 几？ m d 比 am 对 于 g b 几？十二比十六，是不是应该等于三比四呀？对不对？而 b m 呢？ b m 比上 m d 等于多少？来这我们算的是，是不是九九比十，是不是也是三比四？ 说明什么？是不是说明 m d 比上 am 和 b m 比上 m d 是 什么关系啊？是不是比例比值相等，对不对？那么我们可以得到三角形谁 m a d 是 不是应该相似于谁？ m a d 是 不是应该相似于来 m a、 d 应该相乘多少？ m 什么？是不是应该是 m d b 呀？ m d b， 既然他俩相似，来我们来看这个角加这个角， 这个角跟这个角是不是应该是相等的，对不对？既然他俩相照，来，这个角加这个角是多少度？是不是九十度？所以这个角加这个角是多少度，是不是也是九十度？所以我们也可以得到谁角 a、 d、 b 等于多少度，也可以得到角 a、 d、 b 等于九十度，从而我们也可以得到什么， 也可以得到这个是什么？垂直，从而再去运面积法却可以解决掉。好，那啊，两种方法啊，那在这个题里面，这个计算涉及的计算会比较多，那在这个地方我就不得不说一点 啊，我们数学课我们要求的你必须要熟记的一串数字是什么？勾股数啊，勾股数，你对勾股数比较熟练的情况下，这几个数字往一起一放，你就应该知道它是什么，它是 r 七三角形。 如果你对勾股数不熟啊，再大一点的你不熟，那怎么办？我们就用相似两个直角边的比都是多少？三比四， 所以这两三角形是相似差，也可以得出这个地方是什么，是垂直。好，那这道题我们就讲到这里啊，这道题我们讲到这里，我们讲了这类题的 解决，解决的方法，解决的步骤啊，找轨迹，找到 x、 y 表示的什么意义， 并且去分析出他的变化特征啊。最后呢，再结合头像上的这样的一些拐点，我们去解决问题。好，我们讲到这，接下来整理这道题。

我们把特殊平行四边形这一张所有的考点过一遍。 考点一，菱形的性质与判定。第一个就是性质，菱形它是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质。但下面我们只讲它三个特有的性质，第一个，四条边相等， 第二个对角线垂直。第三个，每一条对角线平分一组对角其实就是这四个角，一二三四相等， 五六七八相等，这样记简单一些。第二个就是它的判定定律，第一个对角线垂直的平行四边形是菱形。第二个有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 一共就这三个，必须被熟练。第三个就是它的面积，我们知道平行四边形的面积是底乘高，但是菱形它有一个特殊的算面积的方式，就是二分之一对角线相乘， 在这里边他有可能会考一个等积分，去求一下这个菱形的菱形的高是多少。第四个就是它的对称性，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 考点二，矩形的性质以判定。第一个矩形的性质，矩形也是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质。下面我们只讲三个它特有的性质，第一个，四个角都是直角。 第二个，对角线相等， a、 c 等于 b、 d。 第三个，这四条线段相等， o、 a、 o、 b、 o， c、 o、 d 都相等。 第二个它的判定定例一共三个。第一个对角线相等的平行四边形是矩形。第二个有一个角是直角的平行四边形是矩形。第三个有三个角是直角的四边形是矩形，一共这三个。 第三个是矩形性质的推论就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 我们看一下，在直角三角形 a、 b、 c 中角 b 等于九十度点， d 是 a、 c 的 中点，说明 b、 d 就是 斜边 a、 c 的 中线。有什么结论呢？那就是 b、 d 会等于二分之一倍的 a、 c， 也就相当于这三条线段相等 好。第四个，对称性矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 最后一个考点三、正方形的性质已判定。第一个正方形的性质，正方形既是平行四边形，又是菱形，又是矩形，它具有它们三个所有的性质。下面我们只讲两个它特有的性质，第一个， 这八个点，一二三、四、五六七、八都是四十五度，这个东西可以直接用。第二个，这四个三角形，一、二、三、四都是等腰直角三角形，而且全部全等， 这两个性质都可以直接用。我举个例子，比如说你想知道角四是四十五度，你就这样写，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以这个角就是四十五度。再比如说，你想知道 三角形 a、 o、 d 是 等腰直角三角形，你就这样写，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以三角形 a、 o、 d 是 等腰直角三角形，直接用就行，你能想到的所有性质，它都具有正方形。第二个正方形的判定一共有四个， 前两个是先正它是菱形，然后加一个条件。后两个是先正，它是矩形，然后加一个条件，证明它是正方形。 所以我说证明一个四边形是正方形，一共就两条路，要么先正，它是菱形，要么它先正，它是矩形，然后再加一个条件就可以了。 好，我们看第一个对角线相等的菱形是正方形。第二个有一个角是直角的菱形是正方形。第三个对角线垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形。一共就这四个，未熟练。 第三个对称性正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形。好，这就是这一张，所有的考点同学们务必掌握熟练。

今天咱们拿这套山东省二零二六年纵横中考模拟数学 a 卷，对标咱们山东本地中考啊，给大家深度拆点一下，就这套试卷，到底考什么？难点在哪？ 哪些题最能看出咱们孩子中考的短板？首先啊，咱们整体说一下，这套卷子完全贴合咱们山东中考命题风格，题型结构、分值分布、考点侧重和咱们泰安、山东各地市中考是高度一致的。基础题、中档题、亚洲题，梯度特别清晰， 尤其是侧重思维能力、实际应用、新情景创新，特别适合用来对标中考查漏补缺。整套卷啊，一百二十分钟，十道选择题，五道填空题，八道大题，和中考一模一样， 基础题占百分之七十左右，只要计算稳，基础牢，大部分孩子哈都能拿分。那真正拉开差距的哈，就是我今天重点讲的这两道特色中考对标题。 那第一题呢，就是咱们这个第九题哈，流程统计、时间问题。这道题就是山东中考近两年超级爱考的新情境创新题，不是死记硬背的公式啊，考的是孩子逻辑规划、统计思维。 你像四类物资两道工序是吧？必须按顺序分拣质检，同一时间只能干一件事，求最短时间，那很多孩子上来就硬算，直接算错了。但是中考考的是什么呢？就是你能不能理清工序先后，时间重叠，避开坑点。 这道题就是完全对标咱们中考里边的生活实际应用题。现在中考越来越爱考这类贴近生活、考思维，不考死刷题的题型了，所以孩子啊，如果不会统计规划这种题，就直接丢分了。第二道压轴的对标题啊，就是第十题二次函数跟直线焦点问题， 那这道是妥妥中考压轴的选择啊，难度直接拉满，也是咱们山东省中考必考的二次函数高频考点。 题目给了二次函数过两个纵坐标相同的点，那先找对称轴求最小值，再结合直线 y 等于 m 和图像的焦点范围，求 m 的 取值。 很多孩子可能第一步就卡住了哈，找不到对称轴，不会利用函数最值，不会竖形结合看焦点，那中考二次函数最爱考竖形结合取值范围最值问题，那这道题完美复刻了中考的考法，只要这道题吃透，中考二次函数选择压轴直接拿捏。 除了这两道卷子，还有无人机测楼高的解直角，三角形，圆的切线，证明统计概率，全都是咱们山东中考必考的核心考点。给家长提个醒啊，就是现在山东中考数学死，刷题是没用的，拼的是思维，是，审题是，就像我一直常说的，你每天十五分钟啃一道难题， 练大脑的思维，比咱刷一百道简单题都有用。那这套卷子哈，大家一定要让孩子现实的完整做一遍对标，中考找短板，咱中考的题分方向直接就清晰了。 这套题唯一一个小缺点啊，就是乳教版五四制的。呃，咱们这个地区只考中考六科，那他是七科核定本，多了一科历史，如果你不介意的话，你就可以直接下单了。

咱山东数学的中考试卷，它里边分三种题，大概有好多人都知道哈，就是基础题，中等题，还有压轴题这三部分，但是它里边是有一个科学的比例的哈，按照咱山东数学这个硬性的标准， 它是按照七比二比一的一个标准来的，也就说基础题呢，占到百分之七十，中等题呢，占到百分之二十， 后边最后的亚洲题只占到百分之十。如果咱按照一百五十分的标准来说的话，基础题占到百分之七十，就是一百零五分，中等题呢，占到百分之二十就是三十分，最后的亚洲题只占了百分之十，就是十五分。 咱这个百分之七十的基础题是完全按照课本上的知识点基础公式来的，所以说咱家孩子想要考试的时候，能够考到一百分以上，就完全的把课本上的知识吃透了，就完全就够了。 剩余的你想再提高一下成绩的话，你就可以呢再单独的去研究一下平时不会的这些中档题，这个时候考到一百二就会就没有什么问题了。至于后边这些压轴题，他拼的是孩子的一个数学天赋，真的不是所有的孩子靠学就能学来的。 所以说咱了解了这一点之后呢，想让孩子能够考出一个稳稳定定的好成绩的，你只要让孩子把书本上的知识全部的都吃透了之后，一百分以上没有任何的问题啊。

你们好，聊城二零二六年初三中考一模后，数学只会吃鱼不会打鱼，只会打鱼不会收网的孩子最吃亏，看见别人二级公式和各种大招做题又对又快，咱们的孩子还在那里苦苦审题搞题海战术，效率很低，时间还紧张，每一位老师都在说查缺补漏，那么到底 我们从哪里开始查？拿什么做抓手？每一学科又析分很多章节，每一章节又延伸出很多的题型和考点，那每个错题具体要区分是基础的原因还是思维能力？ 那么这套这个资料包呢，包括了我们数学呃，每个单元考点的基础知识点，拔高培优以及各章节压轴题型的技巧，突破哈，重点呢，夯实基础，并且呢，拓展到了这个技巧和大 招的突破哈，那么核心能力的训练哈，都给大家准备好了，王老师这一套资料解决中考数学所有的痛点哈， 所以呢，这个一模考试已经过去一周了，经历了一模咱们不能行而上的人云亦云的去总结，来找我拿具体的执行方案吧，结束，原地踏步，我是王老师，做我的朋友，不用破费，啥都有！

中考最后一道压轴题几何综合怎么拿满分？哎，先说旋转，想到旋转你想到了啥？是不是有圆的知识哎，有可能也有等腰三角形的知识哎，也有可能有相似的知识， 大概率是圆的，只是多一点啊。最直问题最让人头疼了。咱们河北省怎么考？通常是考线段的转化，他有一个动点到某个地方的距离 最短，他不这样直接考你，他考另一条线段，他如果这条线段的时候你根本看不出来， 然后你通过相似转化到这，通过全等， 从这转化到这来，点到一个直线的最短，那不就是垂线段吗？将军印马，河北省考的非常简单啊，这个就不太考虑啊。还有刮豆原理， 河北省考的也非常简单。河北省这边就不叫刮斗，他通过全等，通过相似去得到那个图形。刮斗原理的本质也就是主动点，从动点得到全等或者得到相似阿。是园，河北不考 哎。如果你搞竞赛的话，你可以都学学啊，使劲学学，但是如果你要是就参加中考高考这些，我感觉就不学也罢。最后说一下二五年咱们河北新出的一个引援引援，因为新出的相对来说不会出太难定场， 加上定角，是不是他的轨迹就是圆，你需要找到圆心，然后比如说这个点到这最短吗？一箭穿心， 你找到圆心之后就能找到最短。咱们河北省引援就考两个啊，一个是直径对应的 这个轨迹里边就考两个定长定角，哎，这个是非直角，这个是直角啊，哎，直径所对应的圆周角是九十度啊，所以翻过来他的九十度这个顶点轨迹是一个圆， 你找到圆心之后，如果这有个点的话，一箭穿心，这就是最短距离吧？这个几何综合就说到这啊，祝大家中考使使劲，能得满分。

最后时刻压轴大题篇巅峰出世几何辅助线没思路，三秒教会你如何想到！这期是上海考生的福利哦，赶快收藏起来，二模前看一遍，多拿十分，是二五年上海的最后一道几何压轴。 那么读题平四面形 a b c d e f 为 b c c d 上两点 d 问，当 e 是 bc 的 终点时， e 是 bc 终点啊，然后第一个如图一啊，图一是在这里 啊，连接 e f， 如果连接 e f a e 等于 e f， 求证角比 a 一， 求证这个角一等于角 c f， 求证角一等于角二。好，那么它的一个证明呢？就是我们证明角相等。那么回到我们的知识点，或者说我们总结的一些方法技巧，这里面大家呃，不要愣着，赶紧截图，有这道题中总结出来的证明角相等的方法。 首先我们边看图边依次介绍第一个 s a s 型全等，那么根据它的中点，我们是有 比 e 等于 c e 的， 那么就能想到，哎，会不会可能这个三角形全等呢？证明角一点角二呢？那你发现它的加角完全不相等的，这个图里，它这个图是画的很准的，它角都不相等，证明不是一种方法。 那么第二个我们就可以想到什么呢？它既然不是图里面有的这个三角形全的，那么有可能就是第二种构造全的，那么我们再看到这种 s a s 型的就是什么叫 s a s 型呢？就是说 已经出现了在同一个顶点，这个 e 这个点这里卡出了什么呢？两组相等的边， a e f 比 e c e， 那 么一开始你以 s a s 形去看的时候，他们加角形，那么这个时候我们还有个方法，就是在一些题目里，我们就会分开来叉开来看，比如说这两条一起看，这两条一起看，也就是说比 e 和 e f 去连起来， a e 和 c e 去连起来，这样子就形成一种叫手拉手，还是叫这个脚拉脚的这种圈的。 那么你会发现啊，这个题目也不是这么去做啊，因为没什么用。但是呢，这种方法或者这种经验，这种我们要积累下来的模型，你要知道看到这个图你要有反应，你不能大脑一片空白，好吧，那么第三个就是倒角，也就是你在一开始想圆间图形中的权的 挣不出来，没有权的。第二种就是根据这个图形特征，我们想到构造这种叉开型的手拉手，类似这种权的也没有，那第三个我们就不想权的，我们看下有没有什么倒角的，为什么呢？因为他给了我们 a e 点 e f 这么个条件，那么我们就有 等腰，这个角是 c 它角，这个角是 c 它角，哎，一旦有 c 塔，你就发现这个平行四边形吧，那么此时我们就要研究 c 塔一二的关系了，你发现他们是一个什么同行，内角互补，也就是我们有角一加上角二加上二， c 塔它等于一百八十度， 然后你得到这个条件中，你就发现什么都干不了，因为你不能继续研究下去，而且有这个 c 塔， c 塔也不知道多少度，而你要的是什么呢？你要的一个表达是什么呢？你要证明的表达是角一等于角二， 那你发现现在这个表达是有一百八十度，有 c 卡，你又得不到角一和角二的与 c 卡的关系，不能消圆，是吧？会非常麻烦。所以你这个时候你只能先把这个方程，这个角的这个方程啊，这个角的这个方程先放在这里，先不着急，你就放在这，我们就接着用第四个方法。那么很多同学就会说，那我这样一个一个方法试， 考试的时候不是很浪费时间吗？啊，是是这样的，因为如果你练的少的话，你只能这样一个方法考试，或者说根据你自己这个题目的一个判断，你跳着，哎，有可能你用完第一个，你发现不是你瞬间想到是第四个，但有些人做的题目啊，做的多的自然而想到能够用第四个背长中线 或者说截长不短，那那怎么看到呢？因为你全面的方法都失败了。你根据这个之前啊，我也总结过的在几何模型里面的一些方法，也就是背长中线。什么意思？ 上行里面出中点出中线，和平型四边形的四边形里面出中线，特别容易考到。就四边形里面啊，特别容易考到被长中线，或者说你可以理解为一个内被长中线，因为它不是三角形的中线 啊，当然你也可以理解为它就是三角形的中线，为什么呢？ a e 他 不就可以把这个 a c 连起来吗？ a c 连起来他不就是 a e 不 就是中线吗？对吧？那你不连起来呢？你就可以理解为是一个内中线。内被长中线什么意思？我们为什么要内变成中线？因为我们这名角一点角二他们隔得太远了，也就是延长 a e 这里用红色的角一点角二，他们隔得太远了，也就是延长 a e 至点 t， 你要辅助线描述就是延长 a e 至点 t， 使得 e t e t 这条线啊，使得 e t 等于 a e， 然后呢，你再描述连接 tc。 好， 那么接下来你就，你要接，怎么写呢？我们就有，因为你是延长的嘛，那 b c 和这个 a e 本质是相交，你一旦延长 e 了，那这个就有个对顶角阿法，阿法角是相等的，然后呢，我们就有边相等，然后比 e 等于 c， 那 我们就有三角形啊，你就可以写三角形旋转，也就是三角形 a e b 全等于三角形，是吧？ a e b 三角形 t e c， 那 么理由是 s a s 全等是吧？一旦有了这个全等，我们的角一不就转到这里来了。好，那这时候有些人就很着急啊，说，因为 这有个易错点啊，因为 e t 啊，等于这个什么啊？你看这个图吗？这个一个点等，一个点 e t 等于一个 e f， 所以 角一就等角二，你别那么快。为什么呢？因为被抢东西的结算部分，经常就要证明一个三点共线的问题，也就是说你连接这个 tc 的 时候， 你要证明这个是互补的，因为你你不能保证它延长过来，你这个 tc 连起来和这个 cf 它们是同一条线，也就是说你可以以为我延长过来，我点 t 可能在这。那你这样子和 tc 连起来，这个 cf 是 平的吗？不是平的呀，这是两条线段，它不是共线的，所以你要去证明一百八十度。那怎么证明啊？很简单， 这个角 b 啊，它这个转到这个角 e c t 来，我们就为角三，那么角三和这个这右边这个角角四是一百八十度是吧？因为从内错角移过来，或者说 不是内错角啊，这里不是内错角啊，各位，为什么呢？因为我们还没贡献呢，我没贡献我们就用不了平行线，能理解吗？我们还没证明出 t c 和 c f 是 同一条线，所以我们不能用平行四面形的平行条线，所以我们这里只能用全的倒角角三等于角臂，而角臂加角四是一百八十度。所以呢，我们应该先说因为角三应该这么写啊，因为角臂 加角三等于啊，不是角三，我也写错了，应该说角四，角币加角四等于角币连角三，因为全等加角四连到多角币加角四是多少多？你应该在前面先写啊。呃， 我给他写好一点啊，很多基础的基础，大家基础话都不太懂了。因为角币加角四等于一百八十度吧。角币加角四等于一百八十度， 又因为全等，你可以说啊，因为这个全等，也就说你喜欢这个全等之后你要说所以角 b 等于角三，然后再说因为角 b 加角等于一百八十六，所以啊，这里直接所以了，所以角三加角四等于一百八十六。所以什么呢？所以 tc f 三点 贡献，所以干嘛？所以 tc f 一 旦成点贡献了，说明 tf 本身就是一条线段。那么这里你就可以说因为 这个 e t 等于什么呢？ e f 啊， e f 等于幺嘛，所以你说它是等幺造型，所以你说角一点角二， 我们就整完了，这是第一问，我们这个步骤啊，比较充分一点，是吧？那么后面我就讲的比较不会不会给他写那么长的过程啊，给他简约一点讲，主要重，重点是讲思路。好吧，那么最重要的还是这个，这个这个技巧，大家一定要把它截图啊，不要愣着啊，截图或者自己做做笔记，给它记住了怎么分析？好，我们下一个。 如果 c f 等于 e f， 也就是 f 是 中点连接 a， e 连接 b， f 交 a 与点 g， 求三角形 b e， g， 也就这个蓝色的比上三角形 a， e， f， 也就这个黄色的这个大两个长方形的比值，面积比值。好，那么首先我们来给大家总结一下，出现面积比值我们能有哪些思路？ 第一个就是面积比，我们通过这两个三角形正处相似，转成相似比的平方，这是最常见的，或者说是最方便的，考的比较多的简单题里面特别多，之前都是这么考。那么第二种方法啊，那这道题你能不能用呢？大家可以自己想一想啊。 ok， 其实是不能用的，你不能直接证明这两个相似，或者说这两个压根就不相似，因为它们最大的角都不相等， 是吧，你可以自己来计算啊，非常简单。那么第二个方法依次乘 s 一、 s 二，能算吗？算不了，你去算数也非常麻烦啊，因为我自己也去算了一下啊。第三种方法就转换成 s 三，就是转换成第三个面积，就说用第三个面积的一个表达式去替换他们两个，然后最后呢的比值呢，就能或者说引入一个未知数的意思， 比如说他等于多少多少 s， 那 么那么的 s 比上这个下面是什么？下面是 k 倍的 s， 那 s s 消掉就等于两个什么呢？两个长整数的比值，那不就是出来了结果，但是你发现 你如果去射这些东西的话，你们在最后像我这样的结果啊，也是不行的，因为这个小的呢，没办法去转换，是吧？未知数太多了。第一，然后还有一个方法，就转换成他的这个长度的笔直，什么意思？也就是通过观察割补啊，同时他有还有这两种方法呢，有可能结合起来 就是相当于三角形 a e f， 你 给它拆成 a g f 和 e g f， 这样子，他们就是两个三角形，你会发现他们是同高不同底，对吧？那这个时候 这个上写 a f 的 表达式，他不就可以写出来了吗？你，你可以写成什么呢？你就可以设成这个，这个单独一个高是 h 三，它的面积可以是 ag 加上 eg， 然后二分之一乘以底，然后乘以他们的高 h 三，对吧？ h 三拿出来，你可以是这么写，你可以是上面这种写法，也就是我，我画出两个高，我画出两个高，这下面的 h 一 是为了和 b g e， 然后呢产生一个关联，他们就可以在下面的就是二分之一的。什么呢？ 下面的 e f， 它就是呃 h 一 h 二就是通过 g f 来当同底但是不同高的这个三角形，那么去表达，那下面呢就是 b g 乘以一个 h 一 啊，这样子我们就可以转成两个线段的比，也就是 这个转换成第一比第二，这个意思就是说我们去算面积啊，通过面积二分之一底层高啊，同时有时候借助一下割补进行一个切割，把三角形进行切割，然后呢去换一种方式，算面积二分之一，底层高，转换成别的线段，目的就是什么呢？原先的三角形不相似，我们转成别的线段的比。之后呢，我们去看别的线段 的相似三角形，或者说是再去构造相似三角形啊，但是你发现这所有的方法都不行，对照的时候方法都行，那怎么做呢？他就在接近第一问， 第一道题，他这个图的一个非我们刚才讲的那道题的方法，那么刚才我们第一问是非常中线去做啊，相对来说麻烦一点，但是呢也是一个方法，我希望大家能知道，也是我自己做题的方法。那么这题还有个更快的方法，也就是延长借助平行线，什么意思？也就是说他这里 e 是 终点是吧？那么可以他已经把 a e 连起来是吧？那我就延长 a e， 延长这个 f c， 听清楚，我这延长，一旦延长，我们这里比如说产生一个 t 点，那我是延长过来的，那我内侧角是相等的呀，那我这个角一等于这个角一是吧？啊，这是角二，角一点角一，然后呢，对零角是相等的呀，然后一点，我们由于是延长，那么它一定有 线段相等，那么就一定有 a a s 型全等，一旦全等，那么的角一啊，不对角一啊，一旦全等，我们的什么 a e 这个勾就等于 e t 这个勾，那么 a e 它题目给了是等于 ef 的，是等于这个勾的，而由于是我们延长了我们形成的三角形，什么呢？我们形成 b， 形成一个三角形 e f t 的， 所以有这两个勾相等的，我们就推出它是等腰，我们角一就等于角二了，就正好了。同理的， 我们可以延长 e， 我 们也可以延长 e f 啊，我们也可以延长 e f， 延长 e， 因为因为什么呢？这里 f 它不是特殊点， a 点不是特殊点，就是说 a 点是顶点，我们去延长的话，它这个特殊性可能会比较特殊一点，能理解为什么 f 线还不是终点吗？当然它去延长也是一样的，有权的，因为你去延长，因为你只要是和 e 点连连接的一个线段延长过去，它必有这个 b， e 等于 e， 那 么它就 一定会有什么由于同时你延长，然后呢？你 b 位和平行四边形另外一主线它延长，另一个另外一主线延长，刚好 f 就 在这里， f 就 在这条线上，那它就有平行，一定有内错角，就有 a a s， 刚才是同理的， 它刚才是同理。大家感悟一下，一样的，都是过一延长，那么就有线段相等，同时他们就从一侧到另一侧，然后另外一条平行的边也延长，那么你一定有平行线内错角相等，能理解意思吗？所以它一定还同理有这个权的啊。角二 那么一样的道理，还是 a a s 全的，对，顶角一旦全的了，那么这个这个勾就跑到这来了，那同理还是一个三角形的，等腰角一点角二是吧？这就是第一问给我们的思路。而我们在做这种综合大题，特别是难的题目里的时候，他 这种在同一个小问里，或者说第一个问，或者说同一个小问里的第一个问，他们的一些服务性思路是差不多的，就可以相互借鉴了。所以当你第二问，你 在做第二问的时候，你的策略就是应该首选用什么的？第一道题，你做这个题的时候，你的辅助线思路你去尝试做，第二问，做不出来，再去想刚才的那那么那么些思路啊，那么这些思路怎么来？你说你考试时候没想到怎么来，那你就现在看这视频，把它总结下来，把它截图截下来，不要愣着。好吧， 都是这样的，结合题就是这么玩，结合题就是这么去多做题，多总结，因为不是所有人都能想到辅助线的，等你多去做题，多去看图，多去感悟啊。 那么在你要敢，你要学会揣摩出题的意图。他第一问是呢， e 是 终点，然后我们是延长 e 的 一个线段，那第一问他给了我们 f 的 终点，那么很显然我们第二问，你应该首选的就是去延长跟 f 有 关的线段，那么 我们还是依旧找顶点跟 f 相连的线段，它这个图形会比较好看一些啊，性质会比较特殊一些。所以这个时候我们就是干嘛呢？谁跟 f 连 a？ f 有 b， f 有 在这里呢？我们延连续延长什么 b f， 为什么？因为它这里产生了一个新的上行 b g 啊。而如果我们延长 b f， 它出来的一些图形肯定跟 b 这个顶点，以及跟这个 e g 有 有可能有关系， 专门延长变幅，那么接下来我们自然而照 b 对 应的这个边，它一定要延长产生三角形，哎，重画一下，好， 那么我们把这个图给它转一转，这个是 m 点，好，那接下来我们要干嘛呢？我们延长处有什么有相似，一直中点，我们就可以说这个是 k， 这是 k， 我 们上面呢？对，这个是对边。 ok， 好， 那么我们可以观察到， 首先我们延长过去，我们是有一个全等的，什么全等？三角形全等哪里？同样的呀？我们根据左边有全等，右边一定有全等，你延长，你只要去一个点和 m 点延长过去，然后对边平行的那个线段延长过去，一定有全等，同样还是 a s， a s 型全等， a s 型全等也就是三角形，这里是相等的，然后对零角， 然后那错角 a s 全等，那么此时这个 ok 就 能转上去了，是吗？ ok， 这里是 ok， 这是 k， 这是 ok， 这是四 k， 那 你发现你得到这个 ok 之后，上面是有四 k， 然后呢，这个时候就是你对图形的把握能力了，你发现这里刚才的全等是一个什么八字形的 全等，接下来就会读什么呢？八字形的相似，要学会在平行四边形中找，多找这种八字形的相似，多去构造，多去延长。平行四边形的一些做体习惯，就是多去延长，特别是一些中点线段。好吧，好的，是一个经验的问题，你怎么去观察到八字形在哪里呢？我们看图在这里，我这上面这个 我就不写了，只检验一下。所以通过这个八字形相似我们可以知道什么呢？ k 比相乘四， k 是 一比四，等于其他线段的比，等于什么？等于 b， g 比乘什么呢？ g 比乘什么呢？ g， 哎，你看 a g 比 g 这个东西是什么东西啊？我瞬间反应到，这是 a、 e、 f 这个三角形里面的两个三角形的分别的一个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 a、 e、 f 这三角形里面的两个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 b g 比，这面是没错的，这里面倒倒过来啊，是 g e 比上一个 a g， 所以 这里是四分，这里是一分。哎，你这里就瞬间翻译了，这是四分之一分，你再观察上行 a f 他 们的底 啊，不对，他们高是相同的。那好，这是经典的上行里面切割出来的两个长形，也就我刚才说的这个长形可以通过割补切成两个长形，同时他们他们是干嘛的？同高的，那么我们就根据求他们底底的比例，我们就可以用一个未知数去表示它们的面积， 也就是说这是一个 s， 那 么根据底的一个比例，双面积它就是四 s， 所以 此时三角形 a、 e、 f， 它就是五个 s， 所以 我们只要知道 b g 它是几个 s 就 行了，那么 b g 是 几个 s， 我 们反过来想，哎，一开始 s 哪来的？不就通过这个线段比例来的吗？而线段比例关键的就是这两个线段，所以我们就看一下这个这个三角形 b g 有 哪些线段和这个 g e、 a g 有 关系。那你看 离他挨得最近的是不是这个三角形？这样 g e f 上面那个 a g f 虽然说有一种八字形的感觉，但它们是不相似的，所以我们找 g e f， 同时 g f 还跟这个 b g 又在同一个三角形里面啊，这三角形 b e f， b f， 然后通过 e g 这条线段拆成了两个方形，同时它们又是同高的，和刚才一个情况是一样的。所以我们今天只要求求什么呢？你的目标就知道了呀，你就知道我们的需求，我们只要知道 b g 比上 g f 它是多少，这个比例我们知道了，那么这个 b g 那 么同高，那么根据底的比例， b g e 这个长形的 s 多少 s 我 们也知道了，我们的目标就是求 b g 比 g f， 而当你观察到我们要求 b g 这个线段比 g f 这个线段的时候，你就知道弧线是啥，这也是一个 一个固定的一个套路，一个图，或者说你不知道这个图，那你就去想，我们刚才做出辅助线，得到我们的有效条件，这个辅助线是跟 f 这个终点有关的，是延长，那这一次依旧和 f 有 关啊，然后你就可以去奇思妙想，看能不能想到辅助线，那么辅助线是什么？那我觉得你按到第一个想是最容易想到辅助线的，也就是 那么辅助线就是过点 f 去做 a e 的 平行线，那么我们是可以做到这么个辅助线的，过直线外一点做已知直线的平行线是可以做到的。然后交 a d 于点 t， 交 b c 的 延长线于点 n， 那 么这个时候 我们就可以得到全等啊，同理的还是有全等，为什么呢？相等，相等，然后呢？内错角还是平行？内错角 a s 和 a s a 都行， 一旦全等了，我们就有啥呢？我们就有这一段是相等的，也就是 f 还是这个 t n 的 中点。那我们的目的是什么呢？我们刚才得到了，这是四份，这个是一份你你可以把它理解，为什么呢？我们就可以设一下啊，这是四 d， 这是一个 d， 那 总共这个 a e 就是 五个 d， 那 你会分成 t、 n 呢？ 我们说这是平行线，那么上面是不是也是一组平行线？那他们就是一个平行四面形吗？所以这是五 d， 五 d 的 话呢？它是终点，那这个就是二点五 d。 聪明人都知道，我要干嘛呢？这是干嘛？平行线分线到成比例定，或者说是我们的平行型 a 字型相似了， 有了这个相似，我们 b g、 b g、 f 就 可以转一下了吗？也就是说我们最终的目的就是为了得到 b g、 b g、 f， 而他处于这么个图形里面，我们就想到了，我们去做做这个 g、 e 的 平行线，那就做他的一个平行线吗？ 然后呢？我们这个时候做平线，我们这个长度是不知道的，所以我们延长，延长刚好平是平行，他等于五 d， 哎，这个是中点，全等二点五 d， 把这个比例就知道了，就这么巧，就这么神奇，这是辅助线呢，我们给大家一个好的思路，能想到的，而不说死记硬背，当然大家把这个土背下来也是有必要的，所以我们就有了 这个相似的比啊，相似比是多少？一比二点五，所以我们这个比上这个是一比二点五，那就相当于说一份二点五份，那这个是几分？这个是一点五分，这是一份，所以他们的比值就知道了，是一比一点五， 也就是十比十五，那个二比三。好，那 b g、 b g、 f 二比三，那么 s 就 知道了，也就是 b g 那 个三角形，三角形 b e g 比上三角形 g、 e、 f， 它的面积比是二比三，那么我们的 b e、 g 就 等于什么呢？这个 g、 e、 f 我 们设成了 s 对 不对？上面那个是四 s， 没问题吧？所以呢，我们移过去就是三分之二 s， 这两个一比 s s 一 约，对吧？就是三分之二比上一个五，所以就等于十十五分之二啊，就是二比十五。这一问就结束了，那么这个总结我教大家把这个好好总结，好好的收藏，这期视频含金量贼高。第三问，求 a f 长度。这一问的话，我一开始是 自己想了一个创新方法，然后失败了，可以贴出来给他看一下我的做的过程啊，是失败的啊，所以这种总结出来就是说这种几何综合的很多问的他基本上辅助线都是一样的，或者说出类旁通的，为什么这么说呢？我们先读一下题目， 他说连接 aef， 那 么这里的话就是说一点 f 点是一般的点了，没有具有上两问的一个终点性质了，所以是非常一般的，所以你发现从上往下是由特殊到一般的一个终点性质了，所以是非常一般的。你看如果 a 点五，给你平行四边的长度了， a 点三， 然后专门给你什么的 c f 等于一，那你解这个是二，哎，这个比例是知道的。三等三等分点，然后给你角相等。好的，三个一线三等角啊，我一开始想一线三等角，这个是角相等啊，我们就画成圈圈，好吧， a f e 啊，这个圈啊，这个弧吧，嗯， a e b 等于 a f e 等于 e f c， 哎，你看到这个的话，这个 e f 是 不是像角分线了？那你就想到角平分线的各种弧线思路， 那现在大家可以自己记一下，角平分线到角两边距离是相等的，如果说出现了一个垂直，那我们立马做另外一个垂直过去，是吧？还有另外一种，第二种的话，就是角平分线上出现了一个什么呢？垂直于角平分线的线，我们就给他延长，是吧？出等腰啊，出旋转， 然后第三种的话，就是角平分线定律往这边延长延长，那么我们这个比乘这个等于这个比这个啊，当然刚才我就是用角平分线定律做的，然后呢？失败了，但我还没去找一下，大家可以帮我看一下哪里出了问题，是吧？来帮我看一下。然后那这一个呢？还有第四种啊，就是也就是我们这道题考察的什么呢？ 角平分线在平行四边形里出现，或者平行线很多的时候出现平行线的一个背景题目里，我们就一定首选 g， 干嘛构造怎样？三角形怎么构造呢？ 你有这么个思路，你想到了去干嘛？把这个延长一下，把这个延长，把这个延长，那这个时候我们这个弧是不是等于这个弧，它这里不就出等腰了吗？我们可以说这个是 p， 那 么 a f， 我 们求 a f 的 长度是不是等于 ap 这个长度啊？因为求 f 的 长度，是吧？我们转成求 ap 了， 哎，就转换了一下，是不是角平分线出平行线构造等腰，这是你能想到的思路，我们总结下来，那么如果你没有这个思路，我们怎么做的？第一问，我们是怎么做的？第一问，当他说 e 是 终点的时候，我们可以这么去延长，是吧？然后呢？ 构造一个全等，然后呢？同样道理，得到等腰对不对？得到它这个角形的是不是？那第二问，他是干嘛呢？第二问他就给了多给了个 f 之终点，那我们就是延长什么呢？我们就是延长，往 f 这个方向去延长，往 f 这个方向去延长，然后呢？再延长这边，是吧？去构造全等，所以 这一次我们同样的，不仅仅左边我们要去构造，右边也构造，因为什么呢？因为这里一次 e f 都不是重点，它的性质非常不特殊，所以我们同时去延长啊，这个 e f 往下延长，构造一个长形，然后这个 e f 再往上延长，再构造一个长形，这样我们就 把特殊性质拉满了，就非常的特殊，这样子的话，我们就有更大的概率能做出题目，你就可以这么去想，好吧，你可以把这个图给记下来，嗯，我，我是习惯的去，就是记这种思路，记这种尝试的思路， 这样子你做几何题呢？就可以。呃，挨个去试，至少你有思路，不会说一片空白，不知道辅助线是什么，或者说你不会知道，你会说我没有，没有，没有什么思路没有，就考场上我什么都下不了笔。所以我再说一遍，页幅往下延长，不仅仅是说出等腰，更是为了接见。第一问往上延长，不仅接见第二问，更是为了 把这个一比二的比例利用的利用起来啊。他为什么给你 c f 一 啊？我专门给你这个条件，在这里有个二，为什么给这个条件就是一比二，为了测出 e c 点 x 是 二 x 题目条件呢？每一个条件他都是我们要发挥到淋漓尽致，把它们都用到位了，题目才能做出来，我们接着看。 那么我们接下来长度条件我们分析完了，接下来我们看角度条件，首先这两个角线的是角，平分线的一个条件，没问题，但是这个角线的你一定要去得到东西啊， 如果没有到东西，你这题也是做不下去的，那是什么呢？很关键的一步叫外角定力，你是这个大角是不等于里面这个弧加上这个点，但是这里也是弧，说明里面这个这个点是等于这个点，能理解吗？ 外角定力啊，这个初一就学了，我就不太多说，很简单，所以这个点是等于这个点，哇哇哇，使劲点好，就这样，这个点，这个点， 而且你还你还发现啊，上面这个什么呢？ a 字型，我们也要把这个给它拎上去，这个我们先换成 x， 内扣角，这个是 x， 然后呢？这个是这个圆圆的啊，然后这个弧， ok， 然后上面这个 a、 e、 f， 你 会发现和下面这个是一模一样了，所以它这个角也是 x 啊，这个角也是 x， 咱们就用这个叉在这，那么你会发现下面其实也会有这个叉，然后这个这个圆啊，这个弧，是吧？所以你们的这图里面有很多的这种这个弧 圈叉的这种三角形是相似的，三个角都现在相似吗？所以里面会有一些特殊的一些三角形相似，那么这里首选的，大家在考试里首选的去找什么呢？反 a 字形相似， 也就是这样的切过来，然后呢？这是公共角，然后这两个角是相等的啊，这是 r 法，这个是 r 法， ok， 我 们在这道题里面呢，是谁呢啊？就是我们的三角形观察这个图形啊，三角形， 我换这个，这个点，三角形 e a f 相似于 e a f 相似于 e a f 的 话，你看是不是？呃，这个 e t 为 就这个一一个圈圈叉，圈叉，是吧？这就是反义词相似吗？那这个相似，那就这个相似，我们又可以得到什么呢？那个比例是，也就是我们，呃，再自己整理一下吧。最后的答案就是，我就写，快点， a 一 方等于 e f 乘以 e q， 而我们的 e q 呢？它可以写成三倍的 e f， 这就等于三 e f 方，所以我们就可以得到 a e 是 等于根号三倍的 e f， 好 家伙， a e 等于根号三倍的 e f， 我 们设为 x， 什么设为 t， 这是二 t， a e 等于三倍的 e f， 根号三倍的 e f 等于根号三倍的 t， 好 家伙，这样的三角形，我们该说这样的三角形，这个弧圈叉，这种三角形，他们的什么呢？就是这个这个圈圈，它左右两条边的比例是一比。根号三， 好家伙，那你瞬间反应到有长度的有没有弧线叉，有长度的上下？有啊，那你瞬间就可以得到长度了，这样 e c e c 是 什么呢？一比二三，那这个长的不就是直接根号三吗？ e c 直接知道了，那上面不就二倍根号三吗？我，天呐，那就基基本就要做出来了，那现在还欠你一个什么呢？那么我们的目标是什么呢？我们目标是求 a f， 而 a f 已经通过一个 平行出等腰转成这个什么 ap 了，说明就观察 ap 的 三角形有没有相似啊。答案是有的，那我们这里就要结合看一个大范围的什么呢？结合这个二倍杠三，这样求出来了，也就是刚才求出来的二倍杠三，结合这个五，也就是有 a q 这个长度，然后 ap 这个长度，然后形成了一个大三角形，和哪个三角形相似呢？ 我们的三角形 b， e， p 啊，这个一个什么呢？平行形的啊，这个平行线你可以理解为平行线，分线段成比例定理，你也可以理解为是我们的这个叫 a 字相似，是吧？ a 字型相似，所以 出现相似的时候有有选啊，优先找反 a 字型，反 a 字型，然后呢，这个八字形，还有我们的平行线分线段成比例定理的这种 a 字型啊，啊，都有很多，就这三大类好吧， a 字一类， 八字型一类，平行线一类，总共三类，然后每一类 a 字型和八字型都有对应一个反反反 a 反八，然后平行线平行线的话就基本上就是一个这种类型，好吧，比较多。 ok， 我 们就给大家总结好了， 通过这几个字，希望大家也是收获满满，好吧，然后呢，呃，仔细品味，放在收藏夹里，时不时拿出来看一下，扣签收获的确是很多的，说不定就给你遇到了这种平行平行平行四边形的那种几何，你就哎多拿了几分，对吧，好好收藏，收藏起来好好看啊，没看完，好好看。 这样的相似之后，我们就可以写出相似方程，也就直接写了，我们直接写比翼比向什么呢？下面的那个 a q 等于在哪里等于什么呢？我们要求的是 ap 呢，那就用比翼比向 ap。 那 么接下来我们看一下啊，直接就带进来了啊，直接带进来了，比翼减多少呢？比翼不就是上面是五，这里是刚好三，所以是五减刚好三，是吧？比上 a q 呢？ a q 是 五，加根号三，等于什么呢？比屁，比屁是什么？比屁我们可以转成 a p， 有 没有 a p 要求吗？所以上面这个是什么？这个长度是三，所以它可以等于 a p 减去三，比上我们的 a f。 好， 那 a p 就是 我们要选的 a f 嘛，对不对？所以我们就可以把它设为一个 x 直接求了，或者说啊，我们就直接写了啊，就这个移过去五减根号三倍的 a f， 等于五加根号三倍的 f， 减去一个三倍的五加 高三，然后这个移过来五减五，约了加一个括号三，所以这里是二倍根号三 a f。 哎，不对啊，不对，不对，出问题了，这上面是二倍根号三，上面二倍根号三，这是二倍根号三，这里是二倍根号三，所以这里是三倍根号三，所以接下来三三一约。把这个根号三除过去，这 a f 的 长度就直接知道了。 a f 的 长度应该同时乘以根号三，应该是三分之五倍根号三，加上。 好家伙，这里又是一个计算的一个错误啊，这我们今年只改一个数据啊，还有一个数据没改呢，这减三，这边乘过来，应该是减去什么的。三乘五，加二倍根号三，所以这也是二，所以这里也是二，所以这里同时除以根号三，过去三分之五倍根号三，加上。上面的话是六。 我差点我脑子又不好使了。那你就可以写成三分之五倍根号三加二。 ok， 正确答案就这个啊，所以呢，你蒙是蒙不到的，数填填空题也是蒙蒙出来的。好，那么这期视频呢？三三个问，我希望大家可以分别由上到下分别去看，循序渐进的看你感悟这种 连续的，这种几何中和他的一个辅助线思路是差不多的，助类旁通。我希望大家可以好好的学习，好好总结起来，平行的平行，四边形的 a 字型，八字型，还有这种相似的魅力， 这期视频真的是非常的干货，大家考前一定要拿出来再看一遍，特别是我们这个上海的考生啊，上海考生。好吧，那么我们这个下一期视频不见不散，我是修树。