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我们来看看宜宾二零二四年的这道题,这是宜宾二零二四年的填空的亚洲,填空亚洲。好,来我们来分析下这个题啊,这道题啊,他说什么呢?他说这有两条线段, f d 和 c e 始终相等, 然后呢,这是一个平行四边形,这条边是二,那么这条边也是二,然后呢,这两条边是四,这两个点都在动,动的过程当中保持这两条线段始终相等相等,我就都设为 a。 好, 那么最后呢,当 a e 加 c f, 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候,求 c e, 求这个线段长,求 a 的 长。我们来想一想啊,这道题目前最大的问题,什么?我要求两条线段合最小,一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接,贡献最小,这没问题吧?我要找 a b 两条线段合最小,那我就得让他首尾顺次相接,让他贡献最小。但是呢, 你会发现,目前啊,目前这两条线段是交叉着,这个位置肯定没有用,所以呢,我必须得转化啊,我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置,其实你让哪个换位置都行,比如说我们就让这个短的吧,我要让 转化 c f, 我 就让 c f 换个位置,换位置的目的是为了和什么?是为了让这个 c f 和 a e 首尾顺次相接,这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢? 我现在就是让这个蓝线换位置,那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛,但这个蓝线只能放进哪个三角形,就是放进这个三角形, 那么蓝线放进这个三角形之后,我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等,那么这个 c、 f 就 可以换位置 看,这是我的目标线段,我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等,那么这个目标线段就可以换位置。好,那怎么造呢?我造全等得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a, 那 我就利用 a 等于 a, 这组等量 造全等,对不对?我就利用这个 a 等于 a, 这组等量的造全等。那你会发现,我们来观察一下这个三角形,有一条边是 a, 有 一条边是二,有一个角是 r 法, 那我现在这已经有一个是 a 了,那我只需要怎么样?我只需要把这个 bc 延长出来,这个角是不是就是 r 法了? 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几?我在这条线段上再截取一条线段等于二,这个时候我把它俩一连来观察, 这个 a 等于这个 a, 这个阿尔法等于这个阿尔法,这个二等于这个二,那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了?这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图,看,这是 a, 这是 r 法,这是 b, 这给你一个 a, 我 来一个 r 法,截一个 b, 这两个三角形就全等,这个 c 是 不是转化到这个 c, 对 吧?是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里?什么叫可负用逻辑,这就是可负用逻辑。 好吧,好,来再看感受一下。因为这个 a 等于这个 a, 同时这个角 r 法等于这个角 r 法,所以这个时候连 eg, 这个 eg 就 等于 c f。 好 了,现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接,是不是达成目的了? 到这是不是就达成目的了?现在你会发现,因为 e 是 一个动点,那么这个 a e 加 c f 什么时候最小?是不是就让它直接 a e c 三点共线?那么最小的时候,这个一撇,这个点 一撇,是不是 c e 撇就是我们要求的值?那最后我要求这个 c e 撇怎么求呢?你是不是可以用 a 字相似,也可以用八字相似?因为有平行,有平行想相似吗?平行想相似吗?想相似吗?这有什么相似?你比如说这是不是就是一个?来, 我就看这组 a 字吧。啊?这条线和这一条线是平行的,那这里是不是就构成了一个 a 字?这个 a 字的相似比是多少?是二比 六,是不是就是一比三?那么这条线段是二,这条线段就是几三分之二,所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了。那么这道题最核心的是怎么想?你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做?不是, 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线,有什么模型好去记的?它就是一个最底层的,当我要转化线段,又有等量关系的时候,我就利用等量造一个全等,它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样,但是它的底层逻辑都是 给你等线,要转化线段,那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了,每一步怎么想的,反复去揣摩,如果说这道题一听懂,你就觉得你以后能够想到,那这道题对你毫无意义, 我们要做的是怎么想到,怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了,首先要转化,得换位置。怎么样?换位置给你等线,你得想办法造全等,包括这个图都给你画了, 这是 a, 这是二,这是 r 法,这又给你一个 a。 好, 我要现在转化 c f, 怎么转化?来,我给这来一个 r 法,给这截一个二,那么这就是 c f, 我 就是把这幅图给你扔进了这个梯里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了?所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗?强调我不行有什么意义?你要想一想怎么才能行?这就是最底层,最底层的逻辑了。好了,来吧,兄弟们,这是我们用等线去构造全等。


来看第二题,第二题能不能看出来他考的是个什么?相似,八字相似,哎,捅八字,捅哪个点?统一点,非常好,这里面的关键词是哪个?关键词是这个? a d 平行于 bc, 兄弟们, a d 平行于 bc, 你 有平行, 是不是就应该想 a 字八字,这没问题吧?有评价,你是不是应该想 a 八,然后他告诉我们这条线段是六,这条线段是八,那相当于,我知道 ab 就是 十吗?这是直角吗?这 ab 就是 十吗?十减六呢?这条线段是四吗? 对不对?好,我拿到了这条线段是四以后,我拿到这条线段是四以后,最后人家要求这个点 df 这段距离, d f 这段距离,我现在要直接求,显然没法求。那怎么办呢?你还要看到平行线间夹了一个比例关系,四比六,这是不是平行夹比例?这我给你画到这,你这么看,你就更能看得清楚一些。平行线,然后呢?这是一个 四比六啊,然后呢?这你看这四比六怎么用?你是不是显然就把这个捅出来?把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似?这就是平行加比例造相似,平行加比例造八字, 对吧?好了,那我就把一点捅出去,一点捅出去,哎,那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似。 相似比是多少呢?啊?你可以看自基比,他的自基比是六和六,他的自基比就是四和四,所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步,第一步,我造个相似,造个八字相似,得到了 a g 的 长来。第二步,我要求 df, 我 要求 df。 你 观察一下,我们刚才造完以后,除了得到这组相似以外, 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字,就是这个八字,而这个八字现在什么知道?我们知道相似比是二比一,你会发现这是六,这是十二,那么相似比是不是就二比一?所以第二,我们再用一个以 f 为交叉点, f 为焦点的八字。 相似比是多少?相似比就是一比二吗?相似比是一比二,那你会发现,那我设这段线段是 x, 这 d f 就是 二 x, 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六,所以二 x 就 等于四,所以就等于 df, 所以 做个答案, df 就是 四,结束。 哎,这就是干什么?就是首先你有平行,你得想 a 八,然后呢,你再观察一下平行线间夹比例关系,你把它捅出去就造八字。注意,捅出去以后,一般来说你造的可能都不止一个,为什么都不止一个呢?平行线间有几个交叉点,就最少有几个八字, 你现在有两个交叉点,平行线间有两个交叉点,最少有两个八字,这个八字有相似比,先用,用完以后再用个 f 结束,这就是平行加比例造八字,这就是感受一下平行线带来的八字构造。

今天我们学习的是几何变换之对称。今天讲平移对称吗?我们再讲一讲对称的处理。对称怎么玩呢?首先你要知道,我们刚才已经讲了,对称它本质上是给了全等 a、 b、 c。 关于 a、 c 对 称到 a、 b 撇 c 对 称的本质上是给了全等,那么全等,但凡看到全等一定要同步信息。 所以但凡看到对称,我要做的第一件事就是同步信息,比如说这有三,这也有三,这个 r 发角,这个 r 发角,这个求线段 x, 它也是 x, 这是对称的第一步,任何时候看到对称,你就要去同步信息,好,这是第一步啊。好,来。第二, b 和 b 撇是关于 a、 c 对 称的, 那么我连接 b、 b 撇对称点的连线是被折痕垂直平分的啊,是被对称成垂直平分的,所以我连对应点就可以得垂直平分,所以我应该连对应点。 b 和 b 撇是对应的,可以得垂直平分。这个对应点还有什么连法呢?我还可以 对称轴上的点,我去连 p b 和 p b 撇,它也都会相等,得到更多的等线等角,所以这就是连对应点,要么直接连得垂直平分,要么对称轴上的点去连对应点,这是对称的第二个操作连对应点。所以呢,以后啊,但凡看到对称两个字, 第一无脑的去同步信息,第二连对应点。好吧,第一无脑同步信息,第二连对应点。好,来,我们来看题感觉一下吧,看题感觉一下,那么同步信息一定要做好。什么?一定要做好标啊,你相等的量,你要把它标出来,好吧,首先要标啊, 他说这是四,这是六,那标一下对边嘛,这也是四嘛,这也是四。好,再来,沿着 a、 c 去折叠,沿着 a、 c 去折叠,那你要知道这个六,你看一,但凡看到折叠两个字,先同步,但凡看到折叠,养成习惯先同步,同步的动作就是标。信息嘛, 就标嘛,这条线段是六啊,那这条线段它也是六,这条线段是四啊,那这条线段它也是四。同时你会发现,这个角得到这个角,这个角贝塔翻折,得到这个角,贝塔同时不要忘了平四,一定要去标对面啊,这个角也是贝塔,对吧?然后呢,还有什么? 还有他又说 b、 a、 c 等于两倍的角 d、 a、 c, 那 所以这个角是二。 r 法啊,这是 r 法,那这也是 r 法,就是你看,标完了以后,就是这个已知条件已经极度丰富了,标是你开始思考的前提。那么标完了以后呢?那你会发现我首先就看到什么呀?标完以后,那么 这个三角形就和这个三角形相似来,阿尔法角等于阿尔法角,贝塔角等于贝塔角,那么这个相似就可以帮助我们求得谁啊?由三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 d、 c, 我 就可以求得谁啊? b、 e 就 出来了,它就是 ab 比上一个 a、 d 就 等于 b、 e 比上一个 d、 c, 对 吧? ab 比 a、 d 就 等于 b、 e 比 d、 c。 好, 那接下来 ab 是 多少? ab 是 四,比 a、 d 是 六,就等于 b、 e x 比上一个四,所以 x 就 等于多少。六分之十六就等于三分之八,所以 b、 e 就是 我们要求的,所以答案就是三分之八。结束。所以你会发现啊,这道题只要你把这个翻折的条件无脑的给它标全,然后呢,你要求 b、 e, 你 要求的这个线段往三角形里一放,你自己就看出来了,所以翻折同步信息标是多么的重要。 好了,这是我们通过一道题给大家强调一下标的意义来,接下来我们来还是上一道综合一点的题目, 那这个题说啥呢?说这是一个六十度的菱形,六十度的菱形,这都是二,这都是二,然后他把这个三角形翻折,得到这个三角形,哎,把这个三角形翻折,得到这个三角形。 a 落在 e, 刚好是 dc 的 终点,那这两条线都是一了, 对吧?这两条相同,都是一。好了,最后让我们求这个角阿尔法的正切值,那其实也就是求这个角阿尔法的正切值,因为翻折这两个角相等。我们刚才说了,翻折有两件事要干,第一叫同步信息,这里的同步信息,比如说这个六十度,这个六十度,这个阿尔法,这个阿尔法,然后呢, af 和 ef 相等, a、 g 和 g、 e 相等,对吧?这叫同步信息一、同步。二、同步信息完了以后,你会发现有一个最大的问题,现在这个阿尔法角不在什么三角形里,他不在直角三角形里,那这个时候我怎么样才能把这个阿尔法角放进直角三角形?最简单直接的方法就是连 a e, 我 一连 a e, 这就垂直平分,这是中点,这两条线段相等,就得到了直角阿尔法,就进到了直角三角形中,所以一定要连对应点,你看,这就是翻折的基本功。 当你看到了翻折,看到了这样的角度,你想把它放进直角三角形连对应点,那接下来我就是要求嘛,对不对?那我要求,我就比如说我就在这个三角形内,我就是要求这些线段长嘛?要求线段长 有一个很重要的条件,咱得把它用起来,哪个条件就是这个终点,这个终点大家会想到怎么用?结合六十度,你要想好六十度的菱形, 六十度的菱形它本质上是由两个什么三角形拼出来的,两个等边好不好?六十度的菱形,本质上你把 d、 b 一 连,它是两个等边三角形,对不对?好,相当于其实我是给了一个等边三角形的终点,我应该去干什么? 三线合一嘛,对吧?三线合一嘛,所以我一定是连谁,一定是连 b 一, 连 b 一 就会三线合一,你会发现这个九十度,哎,那对面注意啊,平四一定要注意,不要,对面这个是九十度,那么这个也九十度,这两个角都是九十度, 同时这个是一,这是二,那这条线段就是根号三。好,那么现在我再回顾一下,我们要求什么呢?我要求这个角的正切值,我把它放到这个三角形里看,所以其实我是要求什么呢?其实我是要求 a、 h 和 h、 f 的, 而一旦我现在有了,这是根号三了,那么哪条线段其实已经可以求了? a e 已经可以求了, a、 e 是 不可以放到这个大三角形中看,这是九十度,这是根号三,这是二,那么 a e 是 根号期, a e 是 根号期,那么 a h 就是 二分之根号期, 所以 ah 有 了,我现在只需要求 hf, 或者我求 af 都可以,那么 hf 和 af 我 可以求谁呢? af 可以 求,为什么说 af 可以 求?因为 af 翻折得到 afe。 那 我只要设这条线段是 x 等量嘛,你就设嘛这条线段也是 x, 那 么 x 就 可以放进哪个三角形里去求了。因为这全长是二,那么这一段就是二减 x, 那 么这个三角形当中,咱就可以放进哪个三角形里去求 x 了。 就是 rt 三角形 b f e 中,我就可以勾股定截,就是 x 的 平方,就等于二减 x 的 平方,再加根号三的平方,那么 a f 就 出来了,这是硬算的办法。但是这道题其实还有巧算的办法,巧算怎么算呢?你看, 我们求一个求阿尔法的三角函数值,我们说求三角函数值,你可以硬算,也可以怎么样,也可以想办法看一看能不能换角来求,就是换一个更好的角度,去求它更好的位置的角度。 怎么换呢?这里面你观察一下,什么角特别多,直角特别多,这是九十度,这是九十度,这是九十度。这么多的九十度,那么直角多,我就可以看。什么 直角多,我就可以看互余吗?你看,又来了,你看同样的逻辑是不可以用在无数的地方,直角多,我就可以看互余。直角多看互余。怎么看呢?你看这个角是阿尔法,这是九十度,他的余角是贝塔, 对不对?再因为这个是九十度,那么这个角是贝塔,就会导致贝塔的余角是阿尔法,他跟谁互余?放到这个三角形当中, 它和这个角是互余的,所以这个角就是 r 法,这叫换角。我通过导互余,我把这个 r 法就换过来了,我求它的正切值就好了, 而它的正切值是多少,就是二比根号三,所以贪婪它 r 法就等于对边比邻边就等于二比根号三,所以答案就是三分之二倍根号三。结束。首先我给你讲第一种硬算的方法你是一定要会的, 而第二种方法你也不要觉得那么厉害多少。第二种方法最核心的就是你理解了很多底层的逻辑,当你看到很多九十度的时候,三个九十度的时候,你能够从之前学的知识当中迁移过来 很多垂直我就看乎于得等角,你把这个底层逻辑掌握清楚了,他不但可以帮助你解决三角函数,他甚至还可以在这帮助你求三角函数,这就是底层逻辑理解以后的价值, 而不是你背一个什么矩形十字架,几 b 几。你看,通过两道题,马哥都是有一些设计在里面的啊,这道题重点跟你讲什么?就是这道题重点就跟你讲同步, 你翻折叫同步信息,你同步信息,然后你把它标好了,这道题就结束了。这是比较简单基础的翻折问题,但是比较上难度的翻折问题,就需要你主动的去 连对应。通过两道题给你感受一下什么叫同步信息,什么叫连对应,现在对,这就是翻折的基本操作,而翻折是中考最最最最最最常考的几何压轴题,都快没有之一了好吧。而这两个操作是翻折的为二的两个操作,这个不光是做多, 关键是你在意什么,如果你学每个模型的时候,你都是在意它的结论,你做的再多也没有用, 如果你在意的是底层逻辑,你才能很好的去成长。所以千万不要觉得我刷很多题我是不是就能成长?不是这样的,很多小伙伴刷再多题都没有用,因为他在意的东西不对,就是关键你在意什么? 你在意的东西错了一定是事倍功半。马哥是不是在反复在让你去感受为什么要重底层逻辑,为什么要重推导?为什么不要去在意结论?

中考必考模型,手拉手模型好朋友们,那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目,说如图啊,等边三角形 abc, abc 是 一个正三角形,所以我们知道每个内角应该都是六十度,那么这个角它应该是个六十度,这个角也是一个六十度啊, 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d, 然后三角形 d、 b、 e 也为等边,所以呢,我们看啊,等边三角形都已经共顶点了,一定要想的就是 手拉手模型了啊,那么它也是一个等边三角形,所以这个角还有这个角它都应该是六十度, 这个角啊,它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二,然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长,那么我们先去找到这个大手和小手啊,我们管长边叫大手,从一个顶点引出来四条线段,咱们来看,是不是有啊,两两相等, 那么这个和这个等,这个和这个等,所以我们管长边叫做大手,这就是大手。管短边叫小手,这就是小手。所以一个大手牵一个小手,咔嚓一连连接 a、 e, 它已经给你连好了,另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等,它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形,它应该和谁全等呢? a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等,为什么呢?这个角六十度,这个角六十度都减掉中间这个叉角,剩下的这两个点角应该是相等的, 所以是一个边角,边的全等,全等永远不是目的,目的是得边等,得角等。所以 a、 e 这条边,它应该和我们 c、 d 这条边是相等的,我可以都设它是 x, 那 么这边长是 x, 这边长是 x, 根据我们的这个 b、 c, 它的边长是二, a、 c 也是二,所以 a、 d 这个长,咱们应该知道它就是二减 x, 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来,咱们可以设它是 y, 那 么这个边长是 y, 这个边长是 y, 所以呢,我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长,咱们怎么去表示呢?是不应该是 x 加上一个二减 x, 然后再加上一个 y, 所以 是不应该就是二加 y, 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值,是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了?那我们这个 d 点啊,它是一个动点, 那么是不是应该是垂线段最短,所以应该是垂直的时候最小,那么我们现在就可以假设他是垂直的,如果这个角是垂直的话,这是六十,这是九十,所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上, 根号三比二,大家不要看错边啊,是三十度对的是一份,然后呢我们六十度对的是根号三份,这个九十度对应的是两份, 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二,所以这就是根号三,这就是一。那么接下来我们看啊,咱们的 y 就是 根号三,所以最后呢,我们来代进去就可以了啊,它就应该等于的是二加上根号三, 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们,你学会了吗?记得点赞关注哦!


洒在书桌上,白日的钟声, 听,那钟声在响。白日的 虫, 清晨的光洒在书桌上,白日的钟声一敲响, 听,那钟声在响白日的 虫 清晨的光洒在书桌上,白日的钟声一敲响。

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