泸州中考2025数学二次函数压轴

这道题的第三问，谁做谁死？我说的挑战三十分钟做一道中考压轴题。今天抽到 四川宜宾，果然是四川特色二次函数压轴。来康康宜宾要搞什么花样？第一问依旧是送分的， 第二问也不难，构造相似就能解决。 设一点坐标为 s 到三减 s 构造。这两个三角形相似，表示出地点坐标后，带入解析式， 求出 s 地点坐标就能求出来了。但这里要注意，地点只能在第一象限运动，所以它的横坐标范围是零到三之间。 发现错误又花好几分钟， ok 了。 第三个问看上去挺复杂，如果对双二字函数不熟悉，实际上也不容易想到， 你瞧，他是这样的，这是圆抛物线。在圆抛物线上有个洞点，屁，以这个洞点为顶点坐标，构造一个开口方向大小完全一样的抛物线， 那么这个顶点到圆顶点的距离和到他与圆抛物线对称轴交点的距离始终相等。 要想证明也很简单，我们过 n f 的 中点做对称轴的垂线。如果 p 点纵坐标和 d 点纵坐标一样，那就说明 p 点在这条线上， p d 就 垂直平分 n r f， 那 么 p f 就 总是等于 p n。 来验证一下吧， 看到没，这是 d 点纵坐标，这是 p 点纵坐标，都是一样的。接下来就开始计算吧。 我先求出了新夸误差的解析式，目的是想康康 derta 长啥样。 derta 等于四 n， 那 得判断 n 的 正负性，才能知道它与 x 轴是否有交点。 因为我还判断不了 n 的 正负性，所以干脆默认有两个焦点，算起了这两个焦点的距离。变形后带入维达定律，得到两点间距离是根号四 n 现在关键是要求 n 了， 这里是一百二十度，那这个角是六十度， f 点坐标是一度四，那么 d f 就是 四减 n， 而 d p 是 m 减一， d f 比 d p 等于 tan。 六十度等于根号三，即四减 n， b m 减一等于根号三， 得到 n 等于负，根号三倍 m 减一加四。又因为 p 点在抛物线上， n 是 它的纵坐标，用 m 表示就是 n 等于负 m 的 平方加两倍 m 加三。 连了以后解的 m 等于根号三加一或 m 等于一。如果等于一的话， p f 重合了，所以舍去把 m 的 值带入含 n 的 式子，解出 n 等于一，那么单调大于零。有两个焦点 带进刚才准备好的两点间距离，得到结果为二，但还是超时了五分钟。如果你还有更简单的做法，欢迎评论区交流，关注我，一起做压轴题！

遇到这种满屏字母的二次函数压轴题，是不是看一眼就想跳过？别慌，今天教你一招看图说话，让最难的参数题变成填字游戏。我们将先硬核解析视频，最后会把整个解析思路和思考过程完整复盘给你，请一定要看到最后 看已知条件。抛物线与 x 轴交点关于直线 x 等于一对称，说明对称轴就是 x 等于一。 这道题分三步走，第一步，秒杀解析式。第二步，设出顶点，找出纵坐标的最大值。第三步，也是最难的一步，画出距离的翻折图像，用红线卡出焦点范围。 思路理清，咱们开始动手。第一问，要求解析是我们立刻想到对称轴公是 x 等于负的二， a 分 之 b， 题目里是负一，代入进去得出负的负二分之 b 等于一，一眼就能看出 b 等于二， 又因为与 y 轴交于点， c 零逗号三，说明当 x 等于零时， y 等于三，那常数向 c 肯定就是三了。 第二问，平移后，顶点在直线 y 等于 x 加三上滑动，怎么求清抛物线呢？遇到顶点问题，肯定首选二次函数的顶点式，但别死记硬背， 为什么解析式长这样呢？其实它就是最基础的。 y 等于 a， x 平方，遵循左加右减、上加下减的原则，向右移了 h 向上移了 k 便出来的。 所以既然平移，只改变位置，不改变形状，二次项系数 a 还是负一。我们设新顶点的横坐标 h 为 n， 既然顶点在直线上，纵坐标 k 自然就是 n 加三，把它们带入顶点式。新抛物线解析式，一秒出 y 等于负的 x 减 n 的 平方加 n 加三， 它与 y 轴交点 d 的 纵坐标 y、 d 就是 把 x 等于零带进去负的括号。零减 n 的 平方加 n 加三，算出来就是负。 n 的 平方加 n 加三，对它进行配方，提取负号，凑成负的括号 n 减二分之一的平方加十三分之四，当 n 等于二分之一时，最大值就是十三分之四， 前两位顺利拿下，那让人头疼的 d 随 n 增大而增大，怎么对付 真正的难点在第三问。题目要求线段 c、 d 的 长度 d。 大家看图点 c 的 坐标是零，逗号三，点 d 是 抛物线 l 和外轴的交点，也就是说它们都在外轴上。 既然都在外轴上，横坐标都是零，那它们之间的距离 d 直接用纵坐标相减，再加个绝对值就可以了。刚才我们已经求出， a 是 三， y， d 是 负， n 的 平方加 n 加三，把它们带进去，括号里的三和减三抵消化，减出来 d 就 等于绝对至 n 的 平方减 n。 遇到绝对值不要死算，我们先把里面这个开口向上的抛物线画出来，既然外面套了绝对值，说明距离永远是正数。所以图像落在横轴下方的负数部分，必须趴地一下对称翻折上来变成正的。 你看图上哪几段是在爬坡的？显然是零到二分之一以及大于等于一的这两段。 最后一步，要让抛物线 l 和线段 c、 c 只有一个焦点，这该怎么转化成方程呢？大家观察线段 c、 c 点 c 是 零，逗号三 c 撇是三，逗号三，它们的纵坐标都是三，这就说明线段 c、 c 是 一条水平线段，完完全全平躺在直线 y 等于三上。 既然在这条直线上，我们先把抛物线解析式和 y 等于三连立起来，负的括号 x 减 n 的 平方加 n 加三等于三。 并且由于焦点必须落在线段 c c 上，所以解出来的横坐标 x 必须刚好只有一个落在零到三的范围内，方程两边同时消去，三一向开平方，轻松解出两个根， x 等于 n， 减根号 n 和 x 等于 n 加根号 n。 要只有一个焦点落在零到三之间，我们结合刚才爬坡的范围，当 n 在 零到二分之一时，较小的根肯定是负数在外面，而较大的根刚好落在零到三里面，完美符合。 当 n 大 于等于一时，较小的根在里面，那就要求较大的根必须大于三跑出去，也就是 n 加根号 n 必须大于三解这个不等式得出 n 大 于二分之七减根号十三。解个简单的不等式，就能把 n 的 范围死死卡在这个半开半闭区间里。 我们成功用方程的解卡住了位置，最后把两段范围合并就是最终答案。遇到带绝对值的增减性和线段焦点问题，记住绝对值翻折，看图说话，焦点问题直接卡根！看懂数学，爱上思考！

好，刚刚我们分析的第七题，那现在我们来看一下第二十一题，这道题一样的，给大家一点时间先自己思考啊。 好，我们一起来看一下二十一题。那第一想问，他说若小 a 等于一，让我们求二三式的图像以及与 x 的 交点作表啊，那这个解析式， 我们只要把 a 等于二分之一带进去，就可以得到， y 等于二分之一， x 平方加二， x 加一，对吧？那么它与 x 轴的交点很明显。另外等于零，大家就会得到这么一个 一与二次方程，二分之一， x 平方加二， x 加一是等于零，那大家自己去求出来啊，那与 x 轴的交点，一个是负二加根号二零， 一个是负二减去根号二零，这一小问比较基础，我们不不做过多的解释啊。那看第二问，他说做二次函数的图像，顶点坐标为 s t， 让我们求证 t 等于 s 加一。 好了，那二次函数的顶点我们是有公式的，对吧？那就横坐标 s 是 等于负的二， a 分 之 b 的 啊，那就负的二 a， a 呢？就是 ab 呢？在我们题目中，实际上是一次相切，说是二，所以 s 它就等于负 a 分 之一，对不对？ 而纵坐标 t 呢？我们是不是也有公式叫四 a 分 之四， a c 减 b 方对不对？好，我们往里带四 a， 那就是 a 四 a c， c 是 一，对不对？那减 b 方减去二的平方是不是减去四？ ok， 我 们同时除以四，那就是变成了 a 分 之 a 减一，对不对？那实际上我们把它整理成 a 分 之 a 减去 a 分 之一，对吧？那就是一减去 a 分 之一，对不对？ 那很明显， t 呢，等于一减 a 分 之一，而我们知道负 a 分 之一呢，它就是 s， 那 就是 t 等于一加 s， 那 我们第二小问就可以证出来， ok， 好， 我们再来看第三问， 他说若 a 小 于零，那这地方 a 小 于零，我们可以得到什么？是不？开口方向一定是向下的，对吧？当自卑量 x 满足 x 大 于等于零，小于等于 m 的 时候， y 是 大于等于负二，小于等于二的，让我们求 m 的 值，那这个如何思考呢？ 那首先，你这个是有函数的最大值和最小值。哎，开口向下，那肯定是说对称轴的时候可以取得最大值，那我们自然就会想到，先求一下函数的对称轴，对不对？好，我们依然也是一样，先求对称轴， 刚刚已经求过了，对称轴为直线， x 等于负的 a 分 之一，对不对？ 那这里有说了， a 是 小于零的，那么负 a 分 之一呢？很明显，它必定是大于零的，对吧？那我们就可以大概的画一个图像啊，感受一下它的一个增减性，开口向下，对称轴是正的，对不啦？而与 y 轴的交点是零一， ok， 我 们大概画一下它的图像，对称轴是平行， x 等于负 a 分 之一，对不对？与 y 轴的交点是零一， ok， 好， 我们来看，那这里说了，它的 x 的 范围是大于等于零，小于等于 m 的， 对吧？函数值是负二到二的，这如何思考呢？ x 大 于等于零，那我知道它的图像呢，肯定是从这个地方开始往右取，对不对？ 那如果说 m 只是比零大了一点点，那么会发现你的 y 的 范围并不是大于等于负二，小于等于二的，对吧？为什么呢？因为你看我们看图像，咦， 好，为什么呢？因为我们观察图像，对吧？我们就会得到 你这个地方 y 的 最小值不可能是等于负二呀。那什么时候才是会等于负二呢？那最起码，那我们关于对称轴轴对称过来。哎，我的 m 取到这个位置的时候，是不是取到这个位置的时候，你函数的最小值呢？是不？它依然还是 等于一，不会是等于负二的，对吧？但是你说函数的最大值是二，那二是哪里来的呢？ 那很明显，这个二应该是顶点的纵坐标，对不对？所以我们就会得到顶点的纵坐标是等于二，也就我们刚刚求的一减去 a 分 之一顶点纵坐标，对吧？一减一分之一是等于二的，对吧？也就可以求出 a 实际上是等于负一的， a 等于负一，那这个解析式我们是不是就已经有了？ y 就 等于负 x 平方加二， x 加一，对不对？ ok， 那 什么时候函数值会等于负二呢？很明显，你 m 需要继续变大，对不对？一直到什么时候？到这里的时候，对吧？它的函数值既然自然就是等于这个的横坐标， 对不对？所以我们需要把 y 等于负二代入到这个解析式里边，那就变成了负二等于负 x 平方加二， x 加一， ok， 我 就可以去说，第一个值是等于三，第二个值是等于负一，那 m 呢？很明显它是正的，所以负一舍掉，所以 m 是 等于三的。

好，我们刚刚看完的第九题啊，那我们现在来看一下第十五题，这道题有几题啊？大家可以暂停一下，先进行思考。 好，我们先来分析一下第十五题啊，已知， x 函数 y 等于二， x 平方加 b， x 加 c， 当 x 是 一的时候， y 是 零，那就说明它是经过一零，当 x 是 三的时候， y 是 零，那就说明它经过三零。那第一小问让我们求 b 和 c 的 值，那和刚刚那道题类似啊，我们可以有两个方法，然后第一个呢，就是我们把 x 是 一的时候， y 是 零带入， 以及 x 是 三的时候， y 是 零带入，那我们就可以得到关于 b 和 c 的 二元一次方程组。那具体的解解答下来就是 x 是 一，那就是二加 b 加 c 是 等于零，那 x 是 三的时候， y 是 零，那就是 十八加三， b 加 c 是 等于零，然后解这个二元一次方程组就可以求出 b 和 c 的 值来， 那我们求得 b 是 等于负八， c 是 等于六的，那这是第一个方法啊，那第二个方法是说，老师，那这两个点啊，一零和三零，它是 二次函数与 x 轴的交点，那么这个解析式我们也可以借助于交点式来求，那就是 y 等于 a 倍的括号， x 减 x 一 乘以 x 减 x 二，对吧？那 a 是 什么呢？ a 是 二次相吸数，在我们这个解析式中，它就是二，那乘以 x 减去 x 一， 那就是 与 x 轴的交点横坐标，那在这个题目中就是一乘以 x 减去 x 三，好，大家把它折叠出来，那就二倍的 x 平方减四， x 加三， ok， 括号去掉二， x 平方减八， x 加六，那大家观察 b 和 c 也可以得到， b 是 负八， c 是 等于六， ok， 那 这两方法都可以啊，比较基础。咱们看第二小问，当 x 取和值时， y 大 于等于负二分之三，小于等于六，那第二小题呢，其实考察的就是一个竖形结合的思想，大家可以把这个函数的图像去画出来。 那要准确地画出图像，我们就要知道开口方向与 x 轴的交点，与 y 轴的交点啊，那刚刚说与 x 轴交点，一个是一零，一个是三零， ok， 开口方向呢？也是向上的，对吧？那么它与 y 轴的交点呢？是零六， ok， 那 大概的图像我们就可以画出来， 而我们知道当 x 取和值时， y 是 大于等于负二分之三， 小于等于六的，那我就要找到和时 y 等于负二分之三，以及和时 y 等于六， 那对于 y 等于六来说，这个比较好找，因为我们知道它有 y 轴的交点，有一个是零六， ok， 那 根据对称轴，我们知道它是直线， x 等于二，那对称过来呢？这边就是 x 等于 四，所以它是过零六以及四六的，对吧？那如何使 y 等于负二分之三呢？ 好，那我们可以把 y 等于负二分之三带入到我们的解析式里边去求一求它的 x 的 值啊，那就当 y 等于负二分之三时， 那二 x 平方减八， x 加六就是等于它的啊，我们就可以对应的求 x 的 值，那这个呢，留给大家自己去求啊。那我求出来，第一个是二分之三，第二个是 x 二等于二分之五，对不对？那我们的要求是 y 要大于等于负二分之三， 小于等于六。那根据图像我就可以知道，它应该是取得我们紫色的这两部分啊， 对不对？而它呢，这个函数值是二分之三啊， x 的 值是二分之三，那右边这个是二分之五，所以这个就很容易求的， x 是 大于等于 零，小于等于二分之三，或者是 x 大 于等于二分之五，小于等于四，那前两小问都比较基础啊，相信大部分小朋友坐下来没有什么问题，咱们重点看第三小问，他说抛物线上有两个点， 那第一个点横坐标是 a 减一，纵坐标是 m， 第二个点横坐标是三减二， a 纵坐标是 n， 它说当 m 小 于 n 的 时候，让我们求出 a 的 一个曲值范围。 ok， 那 我们来看，对于这个函数来说，开口方向是向上，我们知道， 那它的呃，对称轴我们实际上是可以求出来的哦，解析式 好，我们来看一下这个地方的第三角问啊，二次函数图像上有两个点，一个横坐标是 a 减一，纵坐标是 m， 一个是横坐标三减二， a 纵坐标是 n， 它说当 m 小 于 n 的 时候，让我们写出 a 的 取值范围。 ok， 那 对于这个二次函数来说，我们解析是已经求出来了，对吧？它开口方向是向上的，对称轴是直线， x 等于二， 那我们知道 x 离对称轴越近，函数值就应该是越小，对 吧？那现在 m 和 n 比较是不？ m 的 函数值要更小一些，所以我们就就知道 a 减一啊，它应该离对称轴要更近一些，那就是 a 减一，减去对称轴是直线， x 等于二，那么这就是它到对称轴的一个距离， 那他要小于另外一个点，三减二， a， 他 到对称值的距离，那就是减去二的绝对值，那大家把这个解出来就可以答啊， 那我们稍微整理一下，这个怎么去减呢？那就是 a 减三的绝对值小于一减二 a 的 绝对式，那对于这个含有绝对值的不等式，最简单的方法呢？我们实际上就是两边同时平方，这是第一个方法，如何来求同时平方？ ok， 左边平方，那就 a 方减六， a 加九，右边平方一减四， a 加上四 a 方， ok， 那 大家都可以同时移到右边，就变成了三 a 方，然后加二， a 减八是大于零的， ok， 那 如何去求它呢？我们可以 把它看成一个关于 a 的 二次函数，并且是开口方向是向上的，对的，那么求一下它与 x 的 交点，那就是求三 a 方加上二 a 减去八等于零时， 那这个如何去求呢？我们可以把它十字相乘，三 a 和 a 看一下能不能凑出来啊。一个是 哦，这个二和负四啊，是刚刚好的啊，所以我就可以得到三 a 减四乘以 a 加二是等于零的，所以 a 一 是等于三分之四， a 二呢是等于负二，所以它是过负二零以及三分之四零的啊，那开口方向就是向上， 对吧？那要求我们是要大于零，那很明显，什么时候大于零啊？哎，这里是大于零的啊。 ok， 所以 我就可以求出 a 是 小于负二，或者是 a 是 大于 三分之四的，那这是我们第一个方法来求啊。 ok， 那 第二个方法呢？我们就可以根据 a 的 一个取值去把绝对值去掉啊，那这个方法要比第一个方法要更复杂，我们具体的就不讲了， 那这就是我们第十题的一个解答。

好，我们刚刚分析的四道题呢，实际上是对应到我们刚刚说过的知识点。一，就是比较大小的问题啊，那分别对应这 前边常考的两个方法，我们分别做了不同的例题的解答。好，我们来看一下关于第二个知识点啊， 就是函数过定点问题，或者是说它的顶点在某条直线或曲线上，那或者是说函数的焦点问题呢？那这里我先给大家稍微的解释一下是什么意思啊？咱们先看第一个，就是我们函数过定点问题， 对吧？那实际上我们这个题型呢，重学一次函数的时候就已经遇到过，比如说 y 等于 a， x 加二， a 减三，那如果 a 是 不等于零的，那很明显它是一个一次函数，那我们就说不管 a 取何值，那这个一次函数一定会经过哪个定点， 对吧？那就是我们之前说过的题型，那怎么办呢？他说了无论 a 取何值，那这个函数一定会过哪个定点，那我们就把所有含 a 的 整理到一起，那就 a x 加二， a， 我 们把它写成 x 加二倍的 a 减三，对不对？ 那既然说无论 a 取何值，那就说明这个最后的定点和 a 是 没有关系的，那么只要让 a 前面的系数等于零，也就是 x 加二 等于零，也就是 g， x 等几啊，哎，等于负二，那么就会发现 x 是 负二的时候呢？函数之外是不是永远是等于负三的，所以它过的这个定点就是负二负三， 那我们一次函数里边有这种题型，那我们二次函数里边实际上依然会有这种题型，那比如说 y 等于 a， x 平方 减二， a x 减三， a 减四，那其中呢？ a 还是不等于零呢啊？他说这个函数呢，它一定会经过哪个定点？ 那我们的方法和刚才是一样的啊，我们依然是把所有含 a 的 写到一起，那观察实际上就是前三项，那就变成了 x 平方减二， x 减三，乘以 a 是 不再减去四。好了，我们依然可以十字相乘法， x 减三， x 加一，对吧？ 再乘以 a 减去四，我们就会发现，当 x 是 三的时候， y 是 负四，当 x 是 负一的时候， y 依然还是负四，所以这个二次函数无论 a 取何值，它一定会过这两个定点。 ok， 那 这是我们说的第一个题型过定点问题啊， 那第二个它的顶点在某条直线或者是曲线上啊，那我们是把函数化成顶点坐标之后，再来用消参法，那这个等下我们会用力七 以及例二十一来做分析和解答啊。那第三个是函数的焦点问题，那这个要看清楚我们是函数还是二次函数，那这里是有区别的啊，二次函数，我们二次项系数不等于零的，如果是函数，那实际上它是可以为零的， 对吧？好嘞，所以，而且我们要看清楚它这个焦点是与 x 轴还是与坐标轴的焦点等等。那结合具体的题目，我们来具体分析，那这里等一下我们会有配套的例一、例二和例三来进行解答啊。好，我们现在先来看一下我们的例七，这道题 好，依然是老规矩啊，给大家一点时间自己先做思考。 好，我们一起来分析啊！说第七题解析式 y 等于 x 平方加 b， x 加 c， 那 实际上它已经十二次函数了啊，第一个说小 c 等于负一， 那并且又过一二，这个点，让我们求他的表达适合顶点坐标，那这个非常简单，我们就不再做解答了啊，我把答案答案给大家说一下，那这个是 y 点 x 平方加二， x 减一，那它的顶点的坐标是负一负二。 好，我们看第二个，若函数图像的顶点为小 m 和小 k， 并且经过另外一个点 k， m， 让我们求 m 减 k 的 值。 ok， 那 这个如何思考呢？那他既然已经告诉我们是顶点坐标了，那解析式我们是不可以写成顶点式， 那顶点式是什么呢？我们回顾一下啊，那就是 y 等于 a 倍的括号 x 减去 m 的 平方加上 k， 对 不对？那它的顶点坐标就是 m k。 好 了，那回到我们的题目中呢， 我们可以把它的解析式写成顶点式， y 等于 a 倍的 a 就是 二次项系数，在我们这里呢，二次项系数是一，那所以小 a 就是 一，那乘以括号 x 减去什么呢？哦，顶点坐标刚好是 m， k， 那 就是减去 m 的 平方，再加上 k， 他说的这个函数还要经过另外一个点是 km， 那 就是当 x 是 k 的 时候， y 是 等于 m。 好， 我们带进去 m 等于 k 减 m 的 平方，再加 k。 ok， 好， 我们把它整理一下，那我们把这个小 k 移到左边，那就是 m 减 k 等于 k 减 m 的 平方，那 k 和 m 相不相等呢？很明显， 他们并不相等。为什么并不相等呢？因为他这里说的是另外一个点，那就说明这两个点的横坐标肯定是不相等的啊，对吧？那纵坐标自然也是不相等，所以 m 不 等于 k。 对 的，所以这里要写，因为 m 是 不等于 k 的， 也就是 m 减 k 呢，是不等于零的。那我两边就同时除以 m 减 k， 那 就可以得到左边变成了一，右边呢？那就变成了 m 减 k， 所以 我们可以得到 m 减 k 是 等于一的。这是第二小问，它比较简单。 好，我们看第三小问，他说，若函数图像经过点 a、 点 b 和点 c 是 三个是不同的点，并且既大 m 是 y 二减 y 一， 大 n 是 y 三减 y 二，让我们求证大 m 小 于大 n。 那 这个如何思考呢？这个题其实可以参照我们前边比较 y 一 和 y 二大小， 我们用什么方法？我们可以用作差法啊？你让我求证 m 大 m 是 小于大 n 的， 那我就把大 n 减去大 m 表示出来，最后只要证明大 n 减去大 m 是 大于零的就可以了啊。 那大 n 减去大 m 好， 我们分别带进去，大 n 是 什么呢？ y 三减 y 二，大 m 是 什么呢？ y 二减 y 一。 ok， 我 们整理一下，它实际上是 y 三 加上 y 一 减去二倍的 y 二，对吧？那你说老师，这个 y 一 y 二、 y 三分别是什么呢？那实际上我们只能带进去，对不对？那 y 三是当 x 等于 x 一 减去二 t 的 时候的函数值。 好，我们把它带回去是什么呢？那就变成了 x 一 减去二 t 的 平方加上 b 乘上 x 一 减去二 t， 然后再加 c， 那 y 一 呢？就是把 x 一 带进去啊， x 一 的平方加 b， x 一 加上 c。 好 嘞，减去两倍的 y 二，那 y 二又是什么呢？ y 二是当 x 等于 x 一 减去 t 时的函数值。那我这里加个中括号啊，加上 b 乘上 x 一， 减去 t， 再加上 c， ok， 好， 我们稍作整理啊。 嗯，括号去掉 x 一 的平方，减去四倍的 x 一 t， 再加四 t 方。好，括号去掉，加 b x 一 减二 b t 加 c 加 x 一 的平方，加 b x 一 加 c， ok， 好 嘞，减去两倍的。好，我们依然括号去掉，减去二 x 一 的平方，加上四倍的 t 乘 x 一， 那这里括号里边本来是加 t 方， ok， 减去二 t 方，好，再来减去二 b x 一， 好，再来加上 二倍的 b 乘 t， ok， 再来减去二 c， 好， 我们下一步合并同类项，先找 x 一 的平方，这里有，这里有，这里有。 ok， 那 减完之后，我们会发现他们直接就抵消。好，再找关于 t 方的啊，那这里有四 t 方， 这里有减二 t 方，那么它们合并完之后，应该会有一个二 t 方。好，我们再来找关于 x 一 乘以 t 的 啊，那这里有一个减去四倍的 x 一 乘 t， 哦，后边有一个加上四倍的啊， t 乘 x 一， 是不？这个地方也会抵消掉？好，我们再来继续找关于 b 乘 x 一 的，这里有一个， 这里有一个，那就是加上两倍的，哎，后边刚好有一个减去两倍的，也抵消掉啊。好，再来看关于 b 乘 t 的， 那这里有一个 减去二 b t， 这里有一个加上二 b t 是 不是也会抵消掉？那再来看 c 的， 加 c 加 c 减二 c o， 这里也刚好抵消掉。所以它们化简完之后就是二 t 方， 对吧？那 t 到底是不是等于零呢？它也不等于零，为什么？因为题目中说了是三个不同的点，那就意味着 abc 它们的横坐标是，哦，不一样的啊，那这里大家要稍微说明一下，因为 x 一 减去 t 不等于 x， e 减去二 t， 所以 t 是 不等于零的，所以二 t 方呢，必定是大于零的，所以大 n 是 大于大 m 的 二。那这是第七题这道题的解答。

第三章函数课题十四反比例函数综合题 这节课我们来学习二零二五年甘肃的中考题。第二十五题，这个题是十分如图， 以此函数 y 等于 x 加四的图像交 x 轴于点 a， 交反比的函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像于点 b， b 点的坐标是负一 a， 将以此函数 y 等于 x 加四的图像向下平移 m 个单位， m 是 大于零的，所得到的图像交 x 轴于点 c， 求反比利函数的表达式。对于反比利函数综合题，在中考当中每年必考，是中考高频， 那下面我们看第一问，如何来求反比利函数的表达式。 我们知道，要求一个函数的表达时，我们就要在这个函数的图像上找到已知点。 同学们观察发现反比了函数的图像是双曲线，那么在这个双曲线上， 我们发现 b 点，它在双曲线上， 而 b 点坐标其实条件当中给我们给出来是负 e a， 那如果我们知道 a 的 值，然后把 a 点的坐标代入反比了函数的表达式，然后确定开的值，这样我们就可以求出这个反比了函数的表达式。 那么现在的问题就是 b 点的坐标我们不确定。然后在题目当中又告诉我们，依次，函数 y 等于 x 加四，它的图像 交 x 轴于点 a， 它与反比的函数的图像交于点 b， 说明这条直线它的解析式是 y 等于 x 加四， 而 b 点又在直线 y 等于 x 加四上，所以说 b 点的坐标满足这个直线的函数解析式 y 等于 x 加四，所以说我们把 b 点的坐标代入 y 等于 x 加四，那也就是当 x 等于负一的时候， y 等于 a， 那 也就是 a 就 应该等于负一加四 就等于三，所以说 b 点的坐标 就是负一三，那 b 点坐标是负一三，而 b 点又在反比例函数的图像上，所以说我们把 b 点的坐标代入 y 等于 x， 分 之 k， 你就是当 x 等于负一的时候， y 等于三，你就是三，就等于负一分之 k， 所以 说 k 就 等于负三， k 等于负三。所以说这个反比的函数的表达式，我们求出来就是 y 等于 x， 分 之负三。这也是第一问，我们求出来反比的函数的表达式。 具体的解集过程就是解，因为 b 负一， a 在 依次函数 的图像， y 等于 x 加四上，所以 b 点坐标满足已知函数的表达式。我们把 b 点坐标代入，求出来 a 的 值是三，所以说 b 点的坐标是负一三， 又因为 b 点的坐标，它又满足反比例函数的表达式， 所以说当 x 等于负一的时候， y 就 等于三，所以我们求出来 k 就 等于负三，然后再把 k 代入反比了函数的表达式，所以说反比了函数的表达式求出来就是 y 等于 x， 分 之负三。 接下来我们看第二问， 当三角形 a、 b、 c 的 面积为三时，求 m 的 值， 三角形 a、 b、 c， 它的面积给我们给出来是三。爬到三角形的面积，那我们对于这个三角形就要观察， 找到它的底边和底边上的高，如果非特殊的话，我们就要采用胳膊的办法。那么在这块我们看三角形 abc， 我 们把 ac 如果看作是它的底边 a c， 如，如果看作是底边的话，那么 b 到 x 轴的距离，我们过点 b 可以 做 x 轴的垂线， 如果垂足为 h， 那 么 b h 它就是 a c 边上的高， 那也就是 b 点它到 x 轴的距离。在第一问中，我们求出来 b 点的坐标， b 点坐标是负一三， b 点坐标是负一三，所以说 b 到 x 轴的距离， b h b h 就 等于三，那么 a c a c 的 乘刚好是 c 点的坐标减去 a 点的坐标，那么这时候我们就要把 a 点的坐标和 c 点的坐标表示出来。因为直线 ab 的 函数解析式我们知道是 y 等于 x 加四， 所以说我们把 a 点坐标求出来。因为 a 点它刚好是直线 ab 与 x 轴的交点，所以说它的 纵坐标为零，也就是函数解析式里边的 y 等于零，那么也就是当 y 等于零的时候，求出 x 的 值， 所以说零就等于 x 加四，那 x 我 们求出来就是负四，把四移过去就是负四，所以说 a 点坐标我们求出来就是负四零， 而 c 点它是这条直线 与 x 轴的交点，而这条直线刚好是直线 y 等于 x 加四向下平移 m 个单位而得到的，那我们根据平移就是上下平移 给 y 点，也就是上加下减，而 y 等于 x 加四，所以说这条直线的函数解析式就是 y 等于 x 加四减 m， x 加四减 m， 上加下减，左加右减啊，所以说就是 y 等于 x 加四减 m， 所以 说 c 点坐标我们可以把它求出来，那就是当 y 等于零的时候， x 的 值那就是零，就应该等于 x 加四减 m， 所以 x 就 等于 m 减四，所以 c 点坐标我们求出来就是 m 减四零， c 点坐标是 m 减四零，所以说 a c 的 长 就是 m 减四减去负四就是 c 点的横坐标，减去 a 点的横坐标 a c 的 长，两点之间的距离，那么算出来就是 m 减四加四就是 m， a c 的 长是 m， 所以 说三角形的面积， 三角形 a b c 的 面积就是几乘高，除以二就是二分之一的几边， a c 几乘高，高是三啊三， 这三角形面积，所以说它就应该等于三，而三角形的面积给我们给出来是三，所以说就是二分之一倍的 a c 乘三就等于三，所以说 a c 就是二分之三， a c 就 等于三，所以 a c 左右两边同时除以二分之三，也就是乘以三分之二就是三。乘三分之二 就是二， ac 就是 二，所以说 m 就 等于二，这样我们求出来 m 的 值就是二，这就是第二了。 具体的我们看一下解决过程。因为将 y 等于 x 加四，向下平移 m 个单位，得到函数， y 等于 x 加四减 m， 所以 x 加四减 m 就 等于零， x 就 等于 m 减四，所以 c 点坐标就是 m 减四零， 因为 x 加四等于零，所以 x 就 等于负四，所以 a 点的坐标是负四零，所以 a c 跟刚才我们求出来一样的，就是 m 减四减负四就等于 m， 所以说我们求出来 b m， 那 就是过点 b 做 b， m 垂直于 x 轴与 m， 刚才我们是 h 一 样的啊，所以说 b 点到 x 轴的距离就是三， b m 的 长就是三，所以说这个三角形的面积就是二分之一乘几边， a c 再乘高 b， m 就 等于二分之一乘 a c， 我 们求出来是 m， 换上高是三，乘三就等于三， 所以我们求出来 m 就是 三乘三分之二就等于二，谢谢。

今天我们来看看二次函数里的弧不规模型。 p 为对称轴上一动点，先连接相关线段，求出 a 和 b 的 坐标， 得到等边三角形和三十度角三点共线时可得最小值，最后利用三角函数求出最小值。谢谢您的点赞、关注和评论！

好，我们刚刚分析过了第十五题，那现在我们看一下第二十题，这道题，它们也是同类型的题目啊。那老规矩，大家可以先暂停视频进行独立思考。 好，我们看一下这道题，那数二次， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 那第一项，我们说已知 a 等于一，那我们知道解析式就可以变成 y 等于 x 平方加 b， x 加 c， 对 不对？ 那第一项，我们说函数图像经过零三和负一零这两个点，让我们求函数的表达式，那这个比较简单啊，大家自己带进去求函数表达式， y 点 x 平方加四， x 加三， ok， 那 我们看第二问说，若将函数图像向下平移两个单位之后，与 x 轴恰好有一个交点，让我们求 b 加 c 的 一个最小值。好，我们来思考，那对于之前这个二次函数来说呢？它开口方向是向上的，对不对？ ok， 我 们大概画一个图像来理解啊，他说把这个函数图像向下平两个单位之后呢，与 x 轴有一个交点。哎，我们通过画图就可以知道，那实际上 平移之后的这个图像与 x 的 交点，那肯定是指它的一个顶点，对不对？那这个顶点是不是由之前的顶点向下平移两个单位之后得到的？那这样子的话，我们就可以知道，以原来的这个二函数啊， 它的顶点的纵坐标呀，就应该是二，对不对？我们知道顶点的纵坐标是不是四 a 分 之四， a c 减 b 方啊， 那就是四 a， 那 a 就是 一嘛，那四 a c， 那 就四乘一乘 c， 再减去 b 方， ok， 那 就是等于二。 好，由这个式子我们就可以求出 b 和 c 的 一个关系式啊，那我们慢慢化简，先把四乘过去四， c 减 b 方是等于八， 那我就可以推出 c 是 等于八加 b 方，再除以四的，那就是二加上四分之一 b 方，那你让我求的是 b 加 c 的 一个最小值，那我们这里是不是就可以把其中的 c 用刚刚的式子来进行替换，那就变成了 b 加上二，再加上四分之一 b 方，那就等于四分之一 b 方加 b 再加二。那实际上我们这个地方我们的思想是什么呢？ 削圆对不对？你让我求 b 加 c 的 最小值，这里有两个未知数，那我们是不会处理的啊。那大家也会发现，实际上我们 b 加 c， 最后只用小 b 就 可以表示出来，对不对？那这是关于 b 的 一个二次三项式取最值的问题，那这个思想呢？怎么去求？我们可以用二次函数取最值，我们也可以用配方法，那这里我们用一下配方法，那就变成了四分之一 乘以 b 方，那应该是加四 b， 那 加二呢？我写到外边啊。 ok， 那 括号里边 b 方加四 b， 我 们知道应该他需要一个加四来进行配方，那加了四之后，我们需要再减去四，相当于没加 没减。 ok， 那 前三项就变成了四分之一乘以 b 加二的平方，对不对？那是不是再减一，再加二是不是就变成了加一？好嘞，那这里我就知道，当 b 等于负二时， b 加 c 就 会取一个最什么值啊？那开口向上，那肯定是最小值，为几呢？ 是不是为一啊？ ok， 那 这些小问也比较基础的啊。好，我们重点看一下这道题的第二大问，他说若函数图像经过负二 m， 负三 n 以及 x 零 z， 并且 c 小 于 n 小 于 m， 让我们求 x 零的一个取值范围， ok， 这个如何去思考呢？ 好，那我们知道这是第二问啊，那第一问里边的小 a 等于一也是不可以用的，所以我们这个函数，它的解析式里边有三个未知数， a、 b、 c 我 们都不知道， 对吧？那你这个题目中第二问是知道了这三个函数值的大小关系，那我们就要知道，你开口方向向上还向下，我们知道吗？ 还不确定的，那我就要干嘛？分类讨论是不是好？第一种情况，当 a 大 于零时，我们知道开口方向应该是向上的，那这个时候应该是对称轴的时候，取得一个最什么值啊？ 哎，是最小值是不是？那是不是谁离对称轴越近，谁的函数值就会越小？好，我们现在看谁的函数值最小？哦，那是 x 零的时候是最小，对还是不对？ ok， 那 x 零它应该是离对称轴最近的，其次呢是负三，最远的呢？是负二对不对？那问题是，这个对称轴我们也还没有求过呀， 那如何去求对称轴呢？有同学发现，哎，老师，你这个二次函数本身是经过零 c 这个点的，现在你又过 x 零 c 这个点，那对称轴我不就可以求出来了吗？ 是不是这两个横坐标相加，除以二对答案，那对称轴为直线 x 等于拿两个红坐标，哎，一个是零，一个是 x 零，哦，那就是二分之 x 零，对还是不对？那对称轴知道了，就变得简单了。刚刚我们说过了， x 零，它的函数值最小，那就说明它离对称轴最近，那就是 x 零减去二分之 x 零的绝对值， 对吧？它是最小的。小于什么呢？小于 x 是 负三的时候啊，那负三到对数轴的距离，负三减去二分之 x 零的绝对值 小于谁？哎，负二的对称轴的一个距离，对不对？大家把这个不等式去求出来就可以了啊，那我们稍微整理一下，第一个就是二分之 x 零的绝对值，小于什么呢？啊？这是负三减去二分之 x 零的绝对值， 那我们写成二分之 x 零加三的绝对值，那同理。后边呢？我们写成二分之 x 零加二的绝对值。有同学说，老师你这个怎么去求呢？ 那我们可以用绝对值的几何意义啊？那这个可以看成二分之 x 零到零的距离，小于二分之 x 零到负三的距离，这个是二分之 x 零到负二的距离， 对不对？好，大家思考一下怎么去思考。好，我们可以画一个竖轴，一个是到零，一个是负三，一个是负二。好，把零往右边画一点啊， 一个是负三，一个是负二，一个是零。 ok， 咱们一个一个去解决。那给大家拆开一下， 凡先生，这里帮我剪掉。 从哪里剪呢？我把这里擦掉，从头写 好，从这里开始啊。好，我们把上面这个不等式呢稍微整理一下啊， x 零减去二分之 x 零，那就是二分之 x 零的绝对值。 这个地方呢，负三减二分之 x 零，我们给他同时乘负一，那就变成二分之 x 零加三的绝对值。 ok， 小 于上面同样的道理，我们同时乘负一，那就是二分之 x 零加二的绝对值啊。有同学对于这个不等式是不太会求的，那他是如何去思考呢？我们把它拆分开，我们拆成二分之 x 零的绝对值， 小于二分之 x 零加三的绝对值，以及二分之 x 零加三的绝对值， 小于二分之 x 零加二的绝对值。 ok， 那 我们慢慢思考。那第一个二分之 x 零的绝对值小于二分之 x 零加三的绝对值呢？那可以借助于绝对值的几何意义？ 那二分之 x 零的绝对值，它表示的就是二分之 x 零到谁？哎，到圆点的距离啊。 而二分之 x 零加三的绝对值，它表示的是二分之 x 零到负三的距离，对不对？那这个呢，就可以理解为二分之 x 零到负三的距离，对吧？ 那它如果是等的时候呢？如果这两个距离相等，那很明显，二分之 x 零应该是负二分之三，对吧？但是现在它到负三的距离要大，那就说明二分之 x 零它是 大于负二分之三的二，所以我可以推出这里是二分之 x 零大于负二分之三， 也就是 x 零是大于负三的。同样的啊，那下边呢？ 下边这个就是二分之 x 零到负三的距离，对不对？小于二分之 x 零到负二的距离。同样的，我们去等等的时候呢，就是等于负二分之五，对不对？那？但是现在它要求到负三的距离要更 小一些，所以二分之 x 零应该是小于负二分之五，也就是 x 零是小于负五的。好嘞， x 零大于负三， x 零小于负五，有没有解？ 哎，它没有公共部分啊，没有办法同时成立，所以这个不等式它是无解的。好，那这是我们讨论的， 当 a 大 于零开口向上的时候，对不对？那我们同样的还要再考虑 a 小 于零开口向下时，对吧？那前面呢？是一样的，那只是这个符号反一反啊，对称轴还是 二分之 x 零，对不对？那你开 a 小 于零开口向下，那么知道应该对称轴的时候取一个最什么值啊？ 最大值对不对？那现在谁离对称轴近，谁的函数值就应该大，那这样的话是不和刚刚的大小刚好，反过来应该是负二 离对称轴是最近的，对不对？那就是负二减去二分之 x 零的绝对值，要大于 负三减二分之 x， 零的绝对值，要大于 x 零减去二分之 x 零的绝对值，对吧？那这样子的话我就可以推出和刚刚的减法是一样的啊，大家自己去求。那 x 应该是负五到负三之间的一个数。 ok， 所以 综上 x 零的范围就是大于负五小于负三。

好，我们一起来看一下这个地方的第六题啊，那重点是在第三小问。好，给大家一点时间先自己思考。 我们看第一问啊，第一小问比较简单哦，那就说小 b 等于二，小 c 等于三，那么我们把它带进去，就可以把解析式求出来，负 x 平方加二， x 加三，那点点坐标要很好求，求出来是一四。 ok， 看第二问啊，他说二次的顶点坐标是 m n， 并且说这个图像经过一负三的时候，让我们求 n 关于 m 的 函数表达式。好，咱们先观察二次函数解析式，它有几个未知数啊？ 那是不有两个是小 b 和小 c， 对 不？哎，但是他告诉我是经过一负三的呀，那我带进去之后，是不是这两个未知数就可以减少为只有一个啊？ 对吧？ ok， 那 我们先把这一步给大家操作一下啊，那就是把一负三带进去， x 是 一的时候， y 是 负三，那就变成了负一加 b 加 c， 也就是 b 加 c 呢？是等于负二的，对不对？ ok， 那 解析式里边我们说了，尽量未知数减少，那我就可以把这个地方的 c 写成负二减 b， 那 么解析式就是 y 等于负 x 平方加 b， x 再加 c， 那 就是减去二再减 b。 ok， 它说顶点的 坐标是 m n。 好， 我们知道二三数顶点横坐标小 m 是 负的二 a 分 之 b， 那 a 是 负一， b 就是 b， 那 实际上就是二分之 b， 对 不对？而小 n 呢，它是等于四 a 分 之 c， c 减 b 方， a 是 负一，对不对？四 a c 呢？ 那就是四乘负一，再乘 c 减 b 方， ok， 那 就变成了负四分之负，四 c 减 b 方， 对吧？那我们就可以把它化成负四分之负四 c， 对 吧？加减去负四分之 b 方，那实际上就是 c 加上四分之 b 方，对不对？ ok， 而我们刚刚知道的 c 实际上是负二 减 b， 那 就变成了负二减 b 加上四分之 b 方，那最终要求的是 n 关于 m 的 函数表达式。哎，那我们知道，上面这个式子里边，我们的 m 等于二分之 b， 也就是 b 呢，是等于二乘 m 的， 对吧？整理完之后，再往下边这个式子往里一带啊，我们就会发现， 这个地方的 b 就 会被我们削掉，那就变成了负二减去 b， b 是 二 m， 那 就减二 m， 再加上四分之 b 的 平方，那就二 m 的 平方是四 m 平方。 ok， 整理完是 m 方，减二 m 再减二，那这就是第二小分比较基础啊。 那我们重点要分析的是第三小问，第三小问已知 b 是 等于二 c 加一的， 哎，那是不是和我们这个第二问思路有点像？那首先我们要干嘛？哎，解析式里边的未知数越少越好。所以呢，你既然告诉我 b 等于二 c 加一，那我们很自然的就会想到要带进去喽， 那就是 y 等于负 x 平方加上二 c 加一倍的 x， 再加上 c， 对 不对？好嘞，那对于这个二函数来说，开口方向是向下的， 如果我们 x 是 可以取全体实数，那么它应该会有一个最大值，对不对？哦？那我们第三项问说，确实函数是有一个最大值，但是 x 是 有要求的， x 是 大于等于零，小于等于二， 那我们就要思考，如果对称轴确实是在 x 取值范围内， 那么就应该是对称轴的时候，函数取得最大值对不对？那你的对称轴到底是什么呢？我们不知道，所以我们就要先求一下这个二函数的对称轴。 对称轴为直线 x 等于负的二 a， 也就是负一分之 b， b 是 二， c 加一，那就变成了 c 加二分之一，对不对？ 好嘞，那它在不在 x 取值范围内呢？不确定，那我们可以先从最熟悉的来讨论啊，就是当对称轴 c 加二分之一，它就是大于等于零，小于等于二的时候， 那就是 c 的 范围呢？我们可以顺手求出来，记住， c 大 于等于负二分之一，小于等于二分之三十，对不对？大家思考，什么时候函数取得最大值呢？ 很明显，函数的最大值就是当 x 等于 c 加二分之一的时候取的，对不对？好嘞，大家可以带进去求啊，那就是变成了负的 c 加二分之一的平方， 加上二， c 加一，再乘以 c 加二分之一，再加上 c， 那 它的最大值是等几啊？等于八，大家求出 关于 c 的 这个式子来，就可以把 c 的 值给它求出来啊，那这个地方我我们就不在课上求了，大家自己可以求一求。那我这里求了一个 c， 一 是等于负一，加上二分之根号三十五， 那 c 二呢？是等于负一，减去二分之根号三十五，那是不是两个都可以取，或者是都不能取呢？那我们要看前边小朋友 c 的 范围啊，在这里大于等于负二分之一，小于等于二分之三的， 那很明显这两个值都不在这个范围内，所以它都要舍去。 ok， 那 第二种情况，如果对称轴不在零到二之间呢？那它是不是有可能小于零，也有可能大于二了？所以第二种情况，当 c 加二分之一小于零，也就是 c 是 小于负二分之一时， 对不对？那第三种情况是不就是变成了 c 加二分之一大于二，也就是 c 是 大于二分之三十？好嘞，大家可以思考，此时什么时候外取的最大呢？ 如果实在想不出，我们就可以竖线结合画图像啊，那第二种情况，我给大家画在左边， 只要画出增减线就可以的啊。那我们这个二次函数开口方向是向下的，对不对？那对称轴呢？是小于零的， ok， 那 比如说图像长这样， 然后呢？ x 的 范围呢？又是零到二，零到二，那很明显 x 是 零到二，对不对 哦？此时什么时候取得最小最大值呢？很明显，当 x 是 零的时候， y 取最大，所以 y 的 最大值就是 x 等于零的时候，对不对？那就是等于 c 是 不等于八， 那这个 c 的 值能不能取呢？还是我们说的要参照前边 c 的 范围， c 是 要小于负二分之一哦，那 c 等于八能行吗？很明显不行也是要舍掉的啊。那就剩下最后一种情况，大家可以思考，此时什么时候 函数取得最大值呢？好，我们依然可以画一个图案帮助大家来理解。对称轴呢？是大于二的，开口方向是向下的， 对不对？ ok， 那 五 x 的 值呢？是零到二之间，那假设这里是零，你对称轴是大于二，二是在对称轴左边。哎，我们大概图像是不是取这样，什么时候 y 取最大？ 很明显是当 x 等于二的时候取最大啊？那我就带进去，把 x 等于二带进去，那就负四 加上二倍的二， c 加一，再加上 c 是 等于最大值是八。 好，我们就可以把 c 的 值去求出来。那这个地方我求出来 c 是 等于二，那这个能不能取呢？还是我说的要参照这个范围？ c 是 大于二分之三，很明显 c 等于二是可以取的， 所以我们中上 c 等几啊？ c 是 等于二的二， ok。