合肥蜀山区初中数学二模几何压轴题

今天我们来讲一下属山区二模试卷的倒数第二题，也就是几何压轴题。我们已知直角三角形 a、 b、 c， a、 b 等于 b c， a、 d 是 a、 b、 c 的 中线，那么 d 就是 中点， b、 d 等于 c、 d， 而 b、 e、 c 又是九十度，所以这个 e、 d 是 斜中线， e、 d 等于 b， d 等于 dc。 第一小问，若 a、 b 是 四，然后第一个问让我们求 a、 e 的 长度， a、 b 是 四，那么 b、 d、 d， c 是 二， e、 d 也是二，那么这个 a、 d 勾股 d 里可以求出来是二倍根号五，所以这个 a、 e 的 长就是二倍根号五，再减个二。 第二个小问题，求三角形 a、 b、 e 的 面积，那么这个方法有很多。呃，我们看，如果以这个 a、 b、 e 的 作为底的话， 那么高就是过 e 点做个垂线 e、 f， 然后这个 e、 f 怎么去求呢？呃，这里面可以用这个三角形 a、 e、 f 和这个三角形 a、 d、 b 相似，把这个 e、 f 求出来，那么比一下就是 e、 f 比这个 b、 d 是 二，等于 a e， a， e 比 a d， a、 e 我 们刚刚求的是二倍根号五减二，然后 ad 是 二倍根号五，然后这样的话 e、 f 我 们就可以求出来了。 e、 f 等于二减五分之二倍根号五，那么面积 s 就 等于二分之一，乘以底是四，再乘以这个二减五分之二倍根号五，那么答案等于四减五分之四倍根号五。 第二题让我们求的是 a、 f 比 c、 d 的 值，这里面我们已知的就是有两个直角，然后还有个斜中线， 那么角 c、 e、 d 应该是等于角 d、 c、 e 的， 然后也等于这个对顶角角 a、 e、 f， 那 么这里还有一个这个摄影模型，所以这个角 d、 c、 e， 它又等于这个角 a、 b、 e， 那 么这里相似，我们就可以看出来了，有一对母子形相似三角形 a、 e、 f 和三角形 a、 b、 e， 那么比例就是 a e 比 a b 等于 af 比 a e， 然后这里边长呢？题目没给，但是你在做第一题的时候，你发现只要你知道这个三角形的边长，其他的边基本上都可以知道， 那么这种情况下，我们就可以去设一个边长，这里可以设这个 b， d 和 d， c 都是 a， 那 么 ed 也是 a， 所以 这个 ab 就是 二 a， 然后接着这个 ad 的 长是不可以勾股定力，求出来是根号五 a， 然后这个 a、 e， 我 们也知道 它是根号五 a， 再减这个 e、 d 就是 减一个 a， 好， 那么再代入到这个比当中，就是根号五 a 减 a 比二 a 等于 af 比 a， e， 就是 根号五 a 减 a， 求出来这个 a、 f 等于三减，根号五 a， 然后那么 a、 f 比 c、 d 就 等于三减，根号五 a， 再比个 a， 那 么就等于三减，根号五。

这是二零二六年合肥舒城区按摩第二十二题，这道题我们就讲最后一个问，今天我就用这个题来讲一讲证明几何题一些常用的方法和技巧。第一呢，我们要根据已知条件，挖掘着更多的内容，为正题创造更多条件。 就拿这题来说，我们知道 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形， e、 c 也是个直角三角形， d 是 斜边 b、 c 的 中点。根据这些条件我们就能知道，令 cd 等于 m， 那 b、 d 也是 m， d， e 也是 m， d、 c、 e 是 个等腰三角形， d、 e、 b 也是个等腰三角形，所以 b、 c 等于二 m， 所以 ab 也等于二 m。 我 们再看看直角三角形 a、 b、 d 这条直角边， b、 d 等于 m， 这个直角边 ab 等于二 m， 所以 我们知道这个 r 法，它的弹力的值是二分之一。当然对于三角形 abd 来说， 他的任意一个角，任意三角函数，我们都能够求出来了，因为 a、 d 边我们可以用根号五 m 来表达。 好，这就是我们挖掘出来的条件。那现在呢？我们再来看看要我们证什么？要我们证明 f 比 c， d、 c、 d， 我 们用 m 表达，那现在我们只要能把 f 用含 m 的 代数式表达出来，那这个题就有解了。 那现在呢，我先讲一个我们常用的方法，过重要节点作平行线。如要求 f 线段长，所以 f 是 个重要节点。 我现在过 f 点作 f h 平行于 b、 c， 那 么我们很容易证明 f、 h、 e 是 个等腰三角形。因为 d、 c、 e 是 个等腰三角形，所以这个很好证明。过后我们可以设 f、 h 这个线段长为 a、 e， 那 h、 e 也等于 a e， 就 因为这个 r， 它的 r 是 等于二分之一 f， h 等于 a e， 所以 h 就 等于二 a， e， 那 么呢， h 呢？就等于根号五 a， e， 这我们都知道了，那现在呢，我们就要把 a， e 和 m 建立联系，我们一看看 a， d 这条线段， a， d 这条线段我们既可以表达为根号五 m， 也可以表达为这个。 大家看一看这个式，大家一看就懂，然后我们就能求出来 a， n 和 m 之间的关系，就是这样的关系，然后 f 等于二， a， c， d 等于 m， 带进去就很方便求出来了， 这是一种方法，现在我们再讲讲第二个方法。我们在做题的时候呢，首先观察一下整个图，我们通过观察我们知道 a， f， e 这个三角形跟 a， e， b 这个三角形很有可能相似， 我们这样确定以后，如果相似，我们就是根据相似推出这个式子。 a， e 我 们知道，就把 a， d 这个线段减掉 d， e 这个线段， a， d 是 跟上五 m， d， e 是 m， 所以 a， e 的 长就等于 就能搞。我们再根据这个比例式，我们能求出来 f 等于 a 一 的平方比， a， b 很 容易求出来这个值，然后 f， b， c， d 也就很容易做出来了。 这两个方法呢，都是比较技巧的，也是常用的，计算量也不大。通过这个题的讲解，大家再琢磨琢磨，我们呢把这个方法在以后的正题中呢加以运用，那就能变成自己的解题方法了，讲解完毕。

好，我们来看一下我们数三去二模的这道几何压轴题啊，数三去的话，前面的题目呢，还是有点小难的是吧，但是呢，后面的题呢，我感觉难度呢，倒没那么大啊，这两个解答压轴呢 是吧，一个几何压轴，一个函数压轴的难度，实际上，哎，中规中矩吧，大家呢，大概率是可以拿到大部分的分数的好，但是这个题呢，在 r t 三角 a b c 实际上是告诉你一个等腰直角三角形 a b c 是 吧， a d 是 角， a b c 的 中线哎，中点， 那看到中点以后呢，你脑子里呢，自然会出现常见的中点应用，是不是什么斜边中线啊，背长中线啊，中位线呢是吧，三线合一啊，等等啊，你都要熟悉啊。好， b c 等于九十度吗？这个地方也一个直角啊，也一个直角 好，第一个 ab 等于四吧，等下直角三角形的这个，哎，两个直角边是四啊，求 a e 的 长，那这个问题应该问题不大了，同学们，因为这是四，是不是？ 所以呢，这个是中点，所以这个是二啊，所以呢， a d 呢，实际上等于多少呀啊， a d 的 长实际上等于二倍，根号五是吧，十六加四嘛，二倍根号五，现在求的是 a e 的 长， a e 的 长，那我们这不是算一个斜边中线等于斜边的一半呢啊，所以呢， d e 呢，是等于二吧， 所以说呢，你这个 a e 呢等于 a d 啊，减 d e 是 不是等于二倍，根号五减二，所以这个问呢，你说说是不是送分题呢？绝对是送分啊，第二个问呢，依然是送分是吧， a b e 的 面积。第一个问都让你求了 a e 了，还有什么好说的，来做高呗，是吧， a e 当底吗？ 高还不好算吗？是吧，高，这不是 a b c， d， e f 吧。啊，做了 f， 那 不这个相似吗？所以这个小的你和大的相似的啊，所以你这个 b d 啊， 比上这个 a d 啊，是等于什么？等于 b f 啊，比 ab 吧。好，我们要求的是 b f 吧，所以呢， b f 等于什么啊？等于 b d 啊， b d 是 二， a d 呢？ a d 是 根号五， 二倍根号五是吧，咱已经算过了，这里已经算过了。好，然后呢，乘一个 a b 吧。 a b 是 几啊？乘一个四好，约啊，五分之四倍根号五啊，所以你这个 b f 五分之四倍根号五，那这个三角形的面积 二分之一是吧，底乘以高， a e 乘以一个 b f 好， a e 等于多少呢？ a e 等于二倍根号五减二好，乘一个二出来吧，根号五减一， 乘一个五分之四倍根号五啊，二跟一个二约到了啊。好，这这个式子我们可以处理一下啊，五分之四倍根号五乘一个根号五，就是就是四，是吧，减上一个啊，五分之啊， 这四倍根号五的话我们重新写啊，四倍根号五乘五的话是二十吧啊，减上个四倍根号五，下面是五啊，五分之二十减四倍根号五啊。所以第一个问和第二个问，我感觉呢，妥妥的送分题，是不是同学们，所以呢，你不管再怎么前面啊，时间紧张的话，最后两个题在第一个问和第二个还是要看一眼的， 是不是啊，实际上这个题的第二个大问呢，上也难度也不大啊，也难不大。他说求 af 比 cd 啊， af 比 cd 啊，这个啊，比这个是吧，这个题方法比较多啊，朋友们啊，方法比较多啊， 好，那这个题呢，我们用这个中点来做，怎么做呢？我们用备长中线是非常好想的，是吧，因为中点肯定要用起来呀，那备长呗，是吧，备长备长啊，备长中线来做的，我感觉是非常好想的啊，叫做 abcdef g h 吧，是吧？ h 啊，所以呢，你可以轻松的求出啊，这个 a f 和这一个 c d 的 长度啊。我们假设这个等腰四角形的直角边呢，是二 a 吧，二 a 好 算一点啊，那加是 a 是 不是也是 a 啊？好，那这里是不是有个八字相似，同学们啊，这个八字相似啊，八字， 这里有个八字，看到没？是八字啊，这个八字呢，我们来比划比划啊，比划比划。好，刚才我们实际上已经求过了，这个 a e 的 长度呢？等于多少 a e 的 长度，我们放在这个算数里面，它是根号五 a 是 吧，你这个长度是，你这个长度是根号五 a 啊，你这个长度我们画一下啊，这个长度是根号五 a 吧，因为我说它是 l a， 它是 a 吗？它不根号五 a 吗？你减的这个 a， 所以 a e 实际上是 根号五 a 啊，减 a 是 吧，根号五 a 减 a。 好， 那我们这个长度呢，我们刚才说了倍长中线是吧，所以你这个 ad 是 根号五 a， 你 倍长过来以后呢，这个也是根号五 a 嘛，所以说呢，你这个长度实际上是根号五 a 啊，加 a 是 吧，你这个 e h 的 长度 啊，根号五 a 啊，加 a， 是 不是？所以说呢，你那个 a f 啊，比上这个 c h c h 是 不是也是二 a 啊？ c h 是 不是也是二 a 啊？ 好，那我们来看一下啊， c h 等于二 a 的 话，那我们来继续来比划一下啊，那我们这一个 a， 我 们把这个 a e 啊，比上这一个是不等于 a f 比上一个 c h 啊，好，我们比划一下啊，八字 a e 啊，比上一个 e h 等于什么？等于 a f 比上一个 c h 吧。好， a e 我 们已经算过了，根号五 a， 根号五，根号五减 e a 吧。 好， e h 呢？ e h 是 刚好五加 e a 是 吧？好，它等于什么呢？ a f 比 c h a f 呢？我们不知道没有求 a h 吗？好， c h 呢？ c h 可以 看一下啊， c h 呢？实际上它就等于我们这个 ab 的 吧，因为这两个三元全等 对称中线肯定有全等，是不是？这个不是我说了吧啊，你觉得对称中线肯定是有全等的啊，所以呢，这是二 a 啊，所以呢， f 就 出来了吧， a f 等于多少？约一下啊。 好，根号五加一乘一个，根号五加一分之，根号五减一的话就是四分之根号五减一的平方乘一个二。好，左右两边同时乘一个二啊。 嗯，然后的话是根号五减六减二倍，根号五是吧，再乘一个二乘一个二。好，所以呢，这个应该是三减根号五 啊，三减根号五，是吧？ af 出来了，三减根号五 a 吧，这里有个二 a 是 吧？好，三减根号五 a， af 出来了，那求它是 af 比 cd， cd 不 就是 a 吗？是吧，所以 af 比上一个 cd 不 就是三减根号五 a 啊，比上一个 a 等于三减根号五， 是不是就这个题呢？我感觉他没有什么太大的难度啊，就是计算计算，但这个题呢，你怎么做啊？你往上做依然可以啊，往上做依然可以。好啊，那这个题呢？你这个题呢 啊，往上做也是一样的啊，没什么太大问题，是吧？好，那这个题呢，我们就讲到这里啊，这个题当然还有别的方法啊，你直接就用这个做，垂直用这一个问题的条件也是可以的啊。好，那这题我们就讲到这里，同学们啊。

好，各位同学们大家好啊，今天何老师再分享一道这个蜀山区二模的第二十二题，这道题告诉我们，在 r t 三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 是 相等的， ad 呢，是 a、 b、 c 的 中线，那同学们，既然是中线的话啊，就有等线段标记一下，那你可以直接设为 x x 二 x 啊。然后呢，在 a、 d 上去一点 e 连接，使得角 b， e、 c 等于九十度，这里边同学们你要正推快一点啊，九十度加斜边中点，直接就是斜边中线的使用，所以 d e 的 话直接标 x。 第一问的话，如果说 ab 等于四，求 a 的 长，那么你接下来只需要把标记做好就行了是吧？我们这个就是把 ab 换二， x 换成四就行，所以我们把设原改一下就行了。那应该是这个是四 二二二是吧？所以第一问求 a 的 长，直接搞个勾股厘米去减就行了。那第一问老师讲快点啊， a 就 应该等于呃，利用这个三角形的勾股厘米二四算一下，二倍根号五，我们把这个二减掉就行了。所以第一问二倍根号五减二 啊。第二个的话，求 a、 b、 e 的 面积，方法很多， a、 b、 e 的 面积的话，三角形的面积莫不过于个底层高，所以我们以四为底，高的话就是过点 e 做垂直就可以了啊。假设是 k， 我 们只需要把 e k 长求出来就行了，而 e k 怎么求呢？朋友们，你就可以利用第一问的结论， e k 的 话，因为它和 b、 d 是 平行的，我们利用这样的一个平行 a 字 就可以把这个问题轻松的搞定。利用这个平行 a 字，因为 e k 比 b d 应该等于 a e 比上 a d 是 吧？上比权等于上比权啊，所以快速把 e k 算出来，那直接底乘高除以二面积就出来了，而不再多说。我们重点来讲一讲第二个题。这个题啊， 这里告诉我们，延长 c e 交于点 f 哦，这时候 ab 等于四没有了，那咱们把它 x x 兑换一下 x x， 这是 x 啊，这个 ab 呢，是咱的二 x 啊，其他的不知道啊。那这个 a e 其实也可以标一下 a e 的 话，应该是根号五减一倍的 x。 好， 那求 af 比 c d 的 值。那同学们在这里，其实 c d 我 已经设圆了，就是咱的 x， 所以 我的核心在于求出 af 这个线段，把 af 表示出来就可以了。那怎么表示 af 呢？ 这个题的话，同学们其实有若干个做法啊。若干做法，接下来和老师来分享两种。第一种的话，同学们就是角的发现啊。第一种老师讲的是边角转换， 边角转换我们在这里头已经得到了根号五减一是吧？比二啊，这个数据其实已经有点意思了啊，我们不光要去发现边，而且要发现一些特殊的角啊。什么角呢？同学们，跟老师一块标一标在这里。同学们，我们知道你这里边有对顶角，又有斜边中线带来的 e， d 等于 c， d 的 等角，又有三垂直的相似啊，就而不是三垂，这是双垂直或者射影定力带来等角，所以跟着老师一起射源，这纯正推了啊，熟练度阿尔法， 阿尔法对顶角是吧？斜边中线带来的阿尔法，还有射影定力带来的阿尔法。所以这里边朋友们是可以发现反 a 相似的， 是可以发现翻译相似的啊，所以我会发现阿尔法，阿尔法。你在这里头你会发现 aef 是 等于 abe 的， 又有公共角，是吧？所以第一个做法的话，朋友们，我们可以用三角形 aef 相似于三角形 abe， 这样是可以的 啊，是可以的，所以我就会得到了。你这个利用乘积式，利用什么呢？都可以啊，都可以，你利用比例式吧，还是老实一点。那所以我会得到 a f 比 ae 应该等于 ae 比 ab， 而在这里同学们， af 只有 af， 不知道 aeb 全都知道是吧？你可以把它这个乘积画笔算一算就可以了，最终算得 af 的 话，应该等于三减根号五倍的 x 啊，那所以这个比值就出来了，三减根号五好，这是法一啊，法一第二个做法。同学们，这个啊，其实也是老师之前学的是什么呢？同学们是利用补形来的。 补形来的啊，就是有一些同学哈，他对于这个我们的这个叫什么正方形中的十字架是比较敏感的，在这里他们就是补形，怎么去学，怎么去思考呢？就是我们的等腰直角三角形啊， 等腰直角三角形就是咱们正方形中的一半，所以我们的方法就是把这个正方形啊，给他补出来， 给它补出来，因为在这里存在 b e 和 c f 的 垂直， b e 和 c f 的 垂直，这不是咱正方形中的十字架模型吗？如果有垂直，它必然相等。所以我们的辅助线是延长 b e 产生一个焦点，延长 b e 啊，就延长就行了， 产生一个焦点，假设这个焦点把它记为 k， 是 吧？那所以在这里我会得到三角形的全等，所以我会得到 c、 b、 f 这个三角形 和 b a、 k 这个三角形是全等的，你可以去证，是一定可以证出来的，倒角就行了， a s， a s c 都可以，那怎么去利用这个全等？同学们，你这个全等的话，我是不是就可以得到 a k 啊？ a k 和 b b k， b f 是 相等的是吧？我们再结合我们的射源，二 x x x x 刚好五减一 x， 所以 我只需要把 a k 求出来就可以了，因为 a k 等于 b f， 而那 a f 的 话就等于二减去这个 b f 就 可以了。 那 a k 怎么求呢？啊？这题考察的是什么呢？我们可以利用倒角就可以了啊，倒角也非常简单啊，非常简单，我们来一块标一标。朋友们，如果还是这一样设，这个是阿尔法 还是考隐藏角的啊？那所以的话，朋友们，这个角也是阿尔法，咱们刚才讲的对顶阿尔法是吧？你会发现角 a e f a e k 这个角，这个角啊， a e、 k 这个角，它是九十度减 r 法。九十度减 r 法，那这个角呢？同学们， a k、 b 呢？它是等于角 c、 f、 b 的， 和这个角是等角，而标蓝色这两个角等角，是吧？它们俩也都是九十度减，它也是九十度减 r 法。这因为这个角是九十度减 r 法嘛， 对吧？所以这个时候同学们，它是等腰的，所以 ak 直接就出来了，就等于根号五减一倍的 x， 那 知道了 ak， 那 所以 af 也就知道了，就拿二减去根号五减一倍的 x 就 行了，也等于三减根号五倍的 x， 所以 a f 的 话就是三减根号五倍的 x 啊， 好，那就是这个题就做出来了两种做法啊。这个题的话朋友们其实是前几年考过的啊？考，当时考的是一道选择题，要不你哪个是正确的，是吧？整体来说有点炒冷饭的嫌疑啊。这个题他们大家自己总结一下，看你这个边角转换有没有发现的目光，有没有对于根号五减一比较敏感就可以了。

安徽合肥蜀山区二模呀，近期他的这个几何压轴题，最后一个问考了我们黑板这样的一个题目，这个题目呢，如果在考试这个短时间内啊，对于学生的要求还是比较高的，比较磨人啊。那么今天呢，我们分享一个比较简单的思路，来做一下这道题目。 这里面给的是一个等腰直角三角形 a， c， b 啊，这个角 b 呢，是九十度，它是垂直的关系， ab 和 bc 相等，现在又取我们 bc 边上的中点 d 点把 ab 连接起来， 现在呢，这个上面又有一个 e 点满足 b， e 和 c， e 呢，它是互相垂直的，再把 c， e 延长一下，和我们的 ab 呢交于这样的 b 点，那么它呢，求着呢，就是我们 af 和 cd 的 比值， af 在 这个位置， cd 呢，在这样的位置，它俩看上去好像没有直接的关系吧， 对吧？那么这道题里面你唯一知道的一个数据是什么呢？就是 d 点是 bc 的 一个中点，那也就说明了 b d 呢，实际上是 bc 的 一半， 对吧？ bc 又等于 ab， 那 就说明了 bd 是 ab 的 一半， bd 和 ab 的 一个比值 和 ab 的 一个比值，不就是我们这里面天津的怎么样？假如这个角是阿尔法，是不是天津的阿尔法的一个正切值呀？对吧？那么我们下面呢，就是围绕这样的一个数据来解决，它就等于多少一比二， 对吧？那你要算其他的一些边的长度，你肯定要把这一比二给它用上，那怎样去用呢？你再来看一下，这个地点是直角三角形 b， e、 c 的 斜边上的一条中线，那我一定能得到什么呢？这条边和这条边呢，它其实是对应相等的， 对吧？那我后面怎么办？后面你如果想把这个二分之一给它用上，我们可以怎么办呀？我们可以直接做一条垂线上去， 这条垂线有一个好处，下这地方有个 h 点，这个角度呢，其实就是阿尔法， 对吧？那你看一下，如果他是阿尔法的话，这条边 d h 和 b h 的 比值一定是一比二，所以我可以假设这条边是一，这条边就是几，就是二。那么整个 b、 d 长度多少？根号五？ 他如果是根号五的话，你看一下我们的 d、 e 呢，实际上也是根号五，因为它俩相等，所以这个地方呢，这个角这条边呀， e、 h 的 长度应该是根号五减一， 他是根号五减一，他是二，所以这个角度，我们假设用贝塔表示，那么贝塔角的一个正切值呢？我们是不是也就给他算出来了多少二分之？根号五减一， 是不是？那么这道题呢，无形当中我们这个三角形其实就给他解出来了。那么下面有同学说，老师你要找 a、 f 和 c、 d 的 关系，你怎么去找呢？ 这里面一定要注意这个贝塔角，你找到以后呢，你在题目中看看哪个角也是贝塔角，这个贝塔和我们的这个角正好是互余的关系，对吧？而我们的这个角和他呢，也互余，所以这个角刚好是贝塔。而我们的 d、 e 呢，和我们的 dc 也相等，所以当他是贝塔的时候呢，这个角其实也是贝塔吧， 对吧？所以贝塔角的一个正切值是根号五减一比二，也就是我们的 b、 f 和 bc 的 比值是根号五减一比二。 有同学说，老师这个时候你假如他是根号五，他也是根号五，然后我再去根据他和他的比值去算，这样的就显得麻烦了，对吧？既然我知道根号，哎，既然知道我们背他角的一个正确值是根号五减一比二，那我就假设这条边是根号五减一， 因为题目没有限定这个这个边的长度呀，对吧？我在这个位置我又给他变一下，如果他是根号五减一的话，这条边就是几就是一，这条边呢也是一嘛， 这样的话不就满足根号五减一比二吗？所以这个时候你要算 af 和 c、 d 的 比值， c d 等于一啊，其实你只要把 af 算出来就行了， af 应该等于几？ af 就 等于 ab 减去 b f， ab 等于 bc 等于几等于二，所以这条边的长度呢，应该是二减去什么根号五，再加上一个一等于多少？三减根号五，所以最终呢，我们 af 和 c、 d 的 比值呢，就是多少三减根号五。 其实你把这些东西想通以后，这种题目呢，还是可以做到快速解决的。那么前提条件你一定是对于我们这个象限型，它的一个灵活的应用程度，以及和我们三角函数相结合的这种关系要理得非常的清楚，好吧？

好，各位同学们，今天呢，何老师再分享一下这个蜀山区二模第十四题。这道题的话，其实我们在平时训练的已经足够到位了啊，只要你把平时的习惯做好，做出来完全没有问题。我们来读题啊，他说在矩形 abc 中， a b 呢，等于二倍根号二，咱们做好标记，二倍根号二啊，然后的话，在 a、 d 边上取一点 e， 哎，将 a b， e 进行沿着 b e 进行一个折叠，得到 f b e， 那 折叠的话同学们都不都知道吗？折叠这不也是二倍根号二吗？ a e 和 e f 相等，具体怎么用还不知道，说 b f 呢，平分角 cbd 好， b f 平分角 cbd 设 c， b f 为 f。 老师直接标了啊， f f 求角 e b 极短。那第一问的话就是一个非常基础的倒角了是吧？找关系就行了， 你的你所谓的 e、 b、 g 的 话，它是拿部分与整体之间的关系，我们只需要把 e、 b， f 和 r 减掉就行了。而 e、 b、 f 呢，又等于 e b a， 而 e b、 a 呢，又等于我们这两个相等，就等于九十度减 r 除以二是吧？所以这个第一位的话，老师稍微讲快一点啊，这个角 e， b， g 应该等于，呃，我们九十度减 r 除以二，就是咱们的 e、 b， f 的 这个角，再减去一个 r 法就可以了，所以第一位的话应该是四十五度减二分之三， r 法搞快点啊！好！ 第二位同学们，他说 ef 和 b d 相交于点 g， 且 g e 等于 g f， 在 这里他们我已经忍不了了，你存在等线段，而且折叠前后又有相等，所以直接开始设元 x x a e 的 话，折叠二 x 利用条件，则 a d 的 长度多少？ a d 的 话才差一个 e d 是 吧？我们把 x 解出来，把 e d 标出来是最好的。那这个题到底应该怎么思考？同学们 啊，在这里同学们，第二本还是我们平时的习惯，两个，两个重点，两句话其实就说完了。第一个的话，同学们要把握住题目中的重要条件，在这有什么重要条件呢 啊？比较重要的是你会发现有一个角平分，而在这里面又有一个垂直哦，所以这里边有一个冲动，我们可以延长 e f， 因为它是又有角平分又有垂直，这是典型的三线合一的特征，所以我们延长 e f 与 bc 产生一个交点假设，即为 k 点。 好吧，那所以这个时候朋友们，我们利用三线合一的话，我就会发现 g f 是 等于 f， k 的 就等于 x， 直接做标记就可以了。 那接下来朋友们还会发现诸多的东西啊，你要去发现一些新玩意出来，就是老师讲的折叠。首先的话，在这里我会发现这里有一个平行的八字，这个八字的上比下是一比二，是吧？另外的话，朋友们，还有一个就是我们这个搅平这个折叠问题的一个非常经典爱考的一个知识点是什么呢？就是 对应边，对应角和对应点的连线，这个题考察就是对应角，因为四边形折叠啊，对，八年级同学也在说我们四边形，我们知道会有折叠的话，会有前后的等角 啊，老师标蓝色这两个角是折叠前后的等角，而平行啊，四边形啊，会进行一个角的转移，所以我就会知道你这个蓝色角它可以内错下来，是老师标蓝色的角啊，所以的话，朋友们我们就能发现这边角平分线加平行出等腰，我就可以得到 k e 啊， 是等于 k b 的 角平分加平行数等幺，所以 k e 是 三 x， b k 也是三 x。 接下来同学们发挥 你的等量啊，你的平行八字大胆去设圆标记就可以做出来了，我们来一块标记一下，这里面我们还知道 b g 也是三 x， 因为等幺啊，因为这个三线合一，三线合一三 x， 然后呢，利用上比下的话，是这个呃一比二的关系，所以这就是二分之三 x， d e 的 话也是二分之三 x， 所以 这个搞定之后，他们直直接就可以勾股利你的把 x 求出来就完事了啊。所以我们就列的就是二倍根号二的平方，加上呃二 x 加二分之三，二分之七 x 的 平方应该等于二分之九 x 的平方啊，在这个三角形中啊，在这个三角形中用勾股定就可以了，对吧？所以的话我们就可以算出来， x 的 话应该是等于一的，咱自己算一算，所以 a d 的 长就应该是二分之七 x， 答案是二分之七。好，这个题呃难度比较低，但是同学们你要把这个 标记射源利用条件的正推以及角平分线加平行出等腰在折叠中的经典用法有一个系统的复习，所以这个题同学们老师就先分享到这。

各位同学好，我们来看一下二零二六年蜀山区二模的第二十二题啊，二十二题，呃，给这一题考了三角形， 直角三角形啊，但其实你补全其实还是正方形啊，它在 r、 t 三角形 abc 里面， ab 等于 bc， 四十五、四十五、九十吗？ a、 d 是 abc 的 中线，在 a、 d 上来取一个点， e 连接 b， e、 c、 e， 而且这个 b、 e、 c 是 九十，下面地点是一个终点啊。 你不管怎么样，各位，在一开始这个条件你一定要知道，这一题，在 r、 t 三角形 b、 e、 c 当中，你的这个地点作为一个终点存 存在，那么这个斜中线在这一题肯定会贯穿你三道题。第一小题，如果说 a、 b 为四啊，求 a、 e 的 长，那你求第一小题还好啊，你要求这个 a、 e 的 长，是不是可以直接来勾顶你？ 呃，这个是四的话，这里是不是二呀？然后这里不也是二吗？那所以，呃，放在 r、 t 三角形 a、 b、 d 里面勾固定点 a、 d， 可以 先求 a、 d 应该是二倍，根号五，对不对？ 然后我刚刚是不是跟你讲，在一开始就跟你讲了，而 t 三角形的 bc 当中啊，那么这个地点是一个中点，所以 e、 d 作为一个斜中线存在，它会等于 b、 d 也会等于 c、 d 的 长，而且它都等于二，那所以我们的 d、 e 的 长不也是二吗？ 那就导致 a、 e 的 长就出来了， a、 e 的 长应该拿大减小，那应该是二倍，根号五减去个二啊。 好，来，第二小题，求 a、 b、 e 的 面积，那我们求 a、 b、 e 的 面积，这里面我们可以用到大减小吗？拿这个大的 a、 b、 d 减去这里的这个 b、 d、 e 的 面积， 当然 b、 d、 e 的 面积你你也要就是，呃，会去算啊。你比如说有同学坐高这样子坐，你这样坐，你没有发现你这个等腰这里坐高压根一点用都没有吗？有些同学这样坐高，但这样坐高 也比较困难，你最简单的高怎么做？从 b 点往你的 e、 d 这里来做，一个高，这里交了一个 h 点，那你的 b、 h 就是 直角三角形斜面上的高 a， 对 吧？那所以第一小题的第二，第一大题的第二小题啊。那首先我们，呃，我先给大家总思路啊，我要算的 s 三角形 a、 b、 e， 我应该拿整一个 s 三角形 a、 b、 d 再减去一个 s 三角形的 b、 d， e、 b、 d、 e 是 以二为底，以 b、 h 为高嘛？ a、 b、 d 是 不是二乘二分之一乘四直接就出来了，应该是四啊，而这个 b、 d、 e 呢？我们应该是二分之一，以二为底。我为什么要说这个等级？因为我想去要求 b、 h。 你这样做辅助线的好处在于， b、 h 直接用等积法就可以出来了，它是不是三角形 a、 b、 d 斜边上的高呀？所以我拿直角边相乘，不是四乘二，再除斜边是不是二倍跟二五，所以我能够得到这里应该是五分之四倍跟二五啊。 好，那所以前面的我再往下啊，那我可以得到应该是四减去五分之四倍跟二五。 所以有很多同学写的一个答案是五分之二十减四倍根号五。这个答案是对的啊， 你也可以写四减五分之四倍根号五都 ok 啊。好。然后有同学第二道大题没有做第二道大题，其实这道几何题如果跟以往的模考题比起来，你会发现几何在偏向简单的。呃，没有以往的很多几何题就纯粹的难。你在这一题当中 不用做辅助线，目前还好。你看啊，我一个等腰直角三角形啊，我现在要一个长度都没有给你。我下面还有个斜中线，我要求 a、 f 比 c、 d 的 值。我是不是反复给你们强调？最后一道题经常性涉及到比例， 比例你要么是交叉型比例做平行构造，八字形相似，要么像这样的 a、 f 比 c、 d， 我 一点关系都找不到的。你就是用含同一个未知数的式子表示两个线段呀，那现在 关键这一题一个长度都没有给你，不妨大胆地设单位一嘛。你设单位一的时候要有技巧，条件越多越好。我们一般是设这个正方形的边，或者是说这个有终点，不就设这个嘛，恰好下面 c、 d 是 你的这个中点中线当中其中一段，那所以设 c、 d 为单位一啊，那它是一， b， d 不 就是一 d， e 不 就是一吗？这三个一你都出来了， ab 不 就是二吗？我现在关键还差一个 a f 的 长，我来设 a f 为 x 二，那 b f 是 不是直接是二减 x？ 你要想 af， 这个 x 怎么就能跟我们的这一块挂钩？你在以前正方形，其实这一题还是正方形里面那个图。你在以前正方形的时候，这里面说我们有这个十字架的弦图吗？然后当时就有这种东西，这个斜中线下面一结合它，其实角度就可以推了。 你在这里你看啊，怎么跟 x 挂钩？你看你的 a fe 这个三角形吗？ 你的斜中线目前难道只有边吗？来，这个角为 r 法，角 e， c， d 为 r。 那 么我们说你的 b， e、 c， 各位是直角三角形啊，那所以这个角 e， b、 c 这个角是不是九十度减 r 法？ 好，然后我们拿整个直角减去它旁边，这个角不就是 r 法吗？哦，哎，我要这个角有什么用？哎，对，顶角也是 r， 你 有没有发现这里出现了一组相似啊， 这不就是一个母子型相似吗？你这个母子型相似导致你看，你这里是二减二减 x， 哎，和你的这个 x， 你 看，你看，你看，是有关系的，这里是二，是可以把 x 求出来的。 所以第二小题啊，根据我给你写的就是这个角度啊，我给你写一下啊，因为我们的角我这里给你标。呃，我直接写 d， e， c 等于这个角 e， c， d， 这是由等腰而来，而 e， c， d 等于这个角 a， b， e， 我 们是等量代换而来， 然后等于角 a、 e、 f， 这是对零角相等，所以这两个就有母子形的 a、 e、 f， 它是相似于三角形的 a、 b、 e 呗， 那我这个相似我能得到什么信息啊？好， a f 是 我想要的，是不是 x 啊？你看它的对应边刚刚好是 a e， 然后还有呢？那我等于什么呢？我在这里面 a e 我是 可以表示的。 a， e 的 对应边是不是 ab a e 怎么表示啊？因为你这里不都是二合一了吗？ a d 直接个位是不是根五啊？那所以我们的 a、 e 直接可以表示为根五减一。 af 是 我想要的啊， a， e 是 根号五减一啊，这个照写， 那 a b 是 多少？ a b 不是。 呃，这里不是二吗？比上一个二好，你看这个 a f 就 可以出来了呀，它应该是等于二分之根号五减一的平方，那么我给你。 嗯，我给你这个交，我给你。这个去括号啊，应该是首平方是尾。呃，尾平方是一，然后再减去个二倍根号五，交叉相乘啊这一步，所以是六减二，根五除二。答案是三减根号五。 那 af 出来了，那 af 比上这个 cd 不 就出来了吗？你 cd 都已经设过单位一喽，那 af 比 cd 直接不就是 af 的 长三点零五吗？好，那这个是二十二题的最后一题啊，那用到的是我们的这个母子型相似。

好多题目总是想分享给大家，这道蜀山二魔的二十二题也是一个非常精彩的题目，如果说仅仅是想着把题目做对的话，当然并不是很难对不对？我们更应该是好好分析一下这个题目当中所蕴涵的知识点，以及蕴涵的常见几何结构。接下来呢，我们一起来梳理一下。 题干已经告诉我， abc 是 一个等腰直角三角形，点， d 是 bc 中点。到这里我们要想到什么呀？ 角 b、 a、 d 正切值是一比二，那么角 c、 a、 d 正切值应该是一比三，对不对？这是可以想到的啊，也叫想到，只不过他这个地方没考而已。再往后， b、 e、 c 是 一个直角三角形点， d 又是斜边中点，所以到此可以出现斜边中线的知识点， d、 e、 d、 c、 d、 b 相等，两组锐角相等，这些都是为后续证明提供条件的。 第一小问不是很复杂，给了 a、 b 的 长度，让我求 a、 e 的 长，非常简单。第二小问好好看一看啊，求的是 a、 b、 e 的 面积。 求面积一个方式是直接求，我们既可以以 a、 b 为底边，过点 e 向 a、 b 做垂线，这里可以构造一个什么呀？ a 字形的相似，这个相似之前中考也考过的 好不好。这第一个方式。第二个方式，以 a、 e 为底边，过点 b 向 a、 e 边所在直线做垂线。那我如何求出这个垂线的长度呢？可以用等面积法好不好？等面积法也是一个常见的构造关系的方式，再往后， 除了直接求之外，还可以去用比值转化三角形 a、 e、 b 和 b、 d、 e 面积比等于底边之比。 好吧，三个方式都可以尝试啊，再往后第三位呢，可以说是重头戏了，让我求的是 af 和 cd 的 比值，比值怎么求呢？两个方向，第一个方向把长度用某一个参数表示出来，第二个方向 用比值转换，对不对？好呃，这里呢，我们可以直接去通过倒角呀，证明三角形 a e、 f 相似于 a b e， 这不是一个呃，难发现的一个结构啊，咱们可以去试这个方式当然是最好的，也是我们最容易想到的，他不需要勾到辅助线对不对？当然了，我们也可以把这个题目呢，再再给他做的稍微麻烦一点点啊， 把结构经过简化之后，发现这就是一个经典的梅内老师定律结构。这种结构最常见的辅助方式就是做平行线，借助点 d 是 b c 中点做平行线，无论是 dm 平行于 ab 还是 dm 平行于 c、 f 都是可以的，又或者是 cm 平行于这个 ab 边都是可以的，都是借助中点做平行线，构造全等或相似的一个方式好不好？ 后面几个方法呢？他都是什么呀？都是我发现 f 点已经是线段 a、 b 边的黄金分割点了，接下来我去证明 f 是 黄金分割点不就可以了吗？对不对？这也是一个方式啊。 首先我们发现，哎，这里面有一个什么呀？等腰直角三角形里面有一个非常经典的十字模型，这个模型可以帮我们构造一组一线三垂直的全等结构，也就是说 am 和 a e 呢，也是相等的，这是一个方式，又或者是 借助点 d 是 bc 中点做垂线。注意啊，做垂线既能出现全等三角形，也能够出现咱们刚才讲的一比二、一比三的结构， 那还一个方式，就是过点 i 做 i m 平行 bc， 这都是在已知 f 是 黄金分割点的基础之上想到的结构，好不好咱们可以自己看一看。

我们一起来看一下我们蜀山区啊，本次二模的这道第七题啊，这道题呢，很多同学呢，哎，跟我讲这个题我都没有做出来，我当时我就猜出的这个结果，那这个题该怎么来处理呢？同学们， 哎，这个题实际上我感觉呢，他放在地气的位置呢，他实际上并不是一个难题，是不是？只是呢，你没有掌握他怎么处理这个问题啊？这个题呢，我们怎么来处理最方便呢？哎，我给你 解释一下啊，好，这个题呢，它放在一个矩形里面，是不是？他问你这个阴影部分的面积，如果你想求这个阴影部分的面积，他需要知道谁的面积。好，那这个东西呢？我们来设吧啊，我们来设啊，我们假设设这个大的长方形的边长是 a 和 b， 行吧， 那这时候你会发现这个阴影部分的面积是什么东西啊？实际上阴影部分的面积就是这一个，你可以把这两个三角形啊，这两个三角形是吧，分别都以 e g 为底，然后第一个高是谁呢？是 b f 是 不是？然后那第二个右边这个阴影部分的三角形的高是谁啊？ 它实际上是我们这个 c f， 是 不是？所以呢，这个阴影部分面积实际上它就等于二分之一，什么 e g 乘一个，两个高相加上就是 b c， 是 不是？也就是图上的什么 m a g 是 吧？ e g 设 x 吧。好，我再设一个这个 b f 为 y 啊，因为等一下，我要用到啊，我要用到。好吧， 好，那这时候实际上就是什么二分之一 g 是 x 吧，二分之一 x 乘以一个 bc， bc 就是 b， 是 吧？就这里的 b 啊，我说 bc 总长是 b， 好， 所以呢，只需要求出 b x 的 值就行了，那 b x 怎么求呢？那这地方我们自然要用到相似来处理吗？你想一下，你跟这个这个 eg 是 不是 a 字相似啊？你 eg 啊，比上一个 cd 等于什么？ 是不是等于 a e 比 ad 啊？ a e 比 ad 是 不是 a e 啊？比 ad 啊， a e 比 ad 好， 那我们把我们说的这些数据带进去啊， eg 是 什么？ x 吧， cd 呢？哎， cd 是 a 等于什么？ 等于 a e， a e 是 y， 我 刚也说过了，是吧，我说 b f 要用啊， b f 就是 a e 嘛， ad 是 b 吧，哎，你会发现交叉相等一下 x， b 等于 a y， 你 现在要求的不就是 x 乘以 b 吗？ 如果你知道 a 乘以 y 的 大小，那这个结果不就出来了吗？ a 乘以 y 是 谁，你可以看一下啊， a 是 aby 是 bf， 二分之一 xb 就 等于二分之一 a y， 所以 a 乘以 y 实际上就是矩形 abfe 的 面积吧，所以这个题答案是不是就直接得出来了，所以这里就考了一个 a 字相似。同学们 啊，你感觉他有多深奥吗？啊，所以就你首先要会表示你这个三角形阴影部分的面积是不是这样啊？当然有的同学他说他这个利用特殊值把这个动点呢移到一个特殊的位置，看看他这个值的大小，但是我感觉呢，这种方法呢，嗯，可能你能做出来吧，但是我感觉他并不是一个 非常好的方法啊，所以说呢，我们用这种相似啊来比例的形式呢，做出来，我感觉呢，哎，你看，非常的严谨是不是？好，那这篇呢，我们就讲到这里啊。

今天我们来看一下合肥市四十五中二模数学的倒数第二题，也就是几何压轴题。主要来讲一下第二问和第三问。 我们已知在这个正方形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 与 b d 交于点 o， 那 么这个 a、 c 和 b d 应该是垂直的， e 点是 bc 上的一个点。然后第二问说角 b a， e 是 阿尔法 角 c， o e 是 四十五度加阿尔法，求证 o e 乘 b， e 等于 c， e 乘 e f， 那 么显然是证明相似。我们先来看一下这四条边能组成哪两个三角形 o e 乘 b， e 等于 c， e 乘 e f， 那 么显然是三角形 c o、 e 和三角形 b f、 e。 我们来找一下条件，这里面最容易看出来的应该是角 o、 c、 b， 它等于四十五度，角 o、 b， c 也等于四十五度，那么就已经有一个角了，然后还有个角呢？这里面题目提示了是这个角 c o、 e， 它是四十五度加尔法， 而这个 alpha 呢，它是角 b a、 e， 那 么这里我们发现角 a、 b、 f， 它也是四十五度的，所以说角 b、 f、 e 就是 四十五度加 alpha， 那 这样角角就能正相似了。 第三问，在二的条件下， o e 等于四，求 af 的 长度，这里说的是在二的条件下。那么第二小题呢，我们是推出了一对相似，那是不是用这个相似能去求这个 af 的 长呢？我们可以把这个比例先写一下 好，那么写出来之后呢，我们发现只有一个 o e 长是知道的，其他都不知道，条件太少了， 但是求长度常用的方法还是相似和勾股，那这时候我们就要去图中看看是不是还有其他的相似能够应用跟这个 o e 相关的，那么 o e 呢？除了在这个三角形里面，那么它还在这个 o e f， 或者是在这个 o b e 这个三角形中， 然后如果是看这个三角形的话，那么这里面有一个角我们应该是知道的，这个角 e o f， 它应该是九十度减这个四十五度加 r 法是四十五度减 r 法， 那么它就跟这个角是相等的角 oaf， 它也是用这个四十五度减这个 alpha， 所以 这时候我们就发现了三角形 oef 和这个三角形 ae o 这里是一对母子形相似， 然后比例我们来写一下，就是 e f 比 o e 等于 o e 比 a e 等于 o f 比 a o， 写出比例之后呢，那么 o e 是 四，然后这个 o e 也是四，但其他边呢？还是算不出来， 但这时候你要记得就是题目说的是在二的条件下，所以这个比例我们也是可以用的，我们可以来看一下这两个比例之间可以有什么联系。那观察一下发现啊，上面有 e f 比 o e， 下面也有 e f 比 o e， 所以 这六对 比都是相等的。然后继续来找关联，我们发现这个分母是 c o， 这个分母是 a o c o 和 a o 是 相等的，所以我们就推出了 b f 等于 o f， 然后接下来回到这个图中，我们看一下这个 b f 等于 o f 有 什么用？相当于这个 f 点是 b o 的 中点，那么 o f 它就是 o b 的 一半，那么 o f 不 就是 o a 的 一半吗？ 所以这里的 o f 比 a o 我 们不就知道了是一比二吗？那么接下来是不就能求出这个 a e 了， a e 就 等于八，然后，呃， 这个继续用，那这个 e f 不 就是二了吗？所以这个 a f 长就是 a e 减 e f 就是 六。好，那么这道题我们就讲到这。

来看一下我们蜀山区本次二模的最后一个题啊，也就是我们这个函数压轴题啊，这个题的难度呢，实际上它并不是特别大啊，我感觉你只要数会数形结合的话，这个题做起来啊，非常的 easy。 我 感觉啊， 是吧，数形结合啊，同学们，所以呢，函数的这个章呢，对数形结合的要求非常高啊，简单的图画一下看看好不好啊，看一下啊，好，第一个问和第二个问，我感觉都是送分题啊，都是送分题啊， 好，大家抛物线的顶点坐标啊，顶点坐标，要么你用负二负的二分之 b， 要么把它画成顶点式，都没有问题是吧？那这个题呢，我们后面要用到顶点式，那我们把它画成顶点式好不好？好， y 等于什么？ y 等于我们把 m 提到外面来啊，这是一个 完全平方是不是？是 x 方减二， x 加一就是 x 减一的平方减四，这不是顶点式吗？对不对？顶点就是负啊，就是一四是吧？一负四 这条顶点啊，当然你用负的二 a 分 之 b， 把横轴做，把 x 轴对准轴求出来以后呢？然后再带去求外是不也可以啊，都没什么问题啊，一负四 啊，所以这是一个妥妥的分分题是不是好第二个题呢？他把平移放到里面去了是吧？函数的平移呢？大家要记住个口诀是吧？左加右减，上加下减是吧？左加右减，自变量上加下减长竖向，那左加右减，既然向左边平移三个单位，这个题实际上你画图也能看出来它 啊，过哪个点是吧，画图也能看出来啊。好，那既然他平移了，那我们就按照上面这个平移向左平移。好，然后呢，他们都经过一个点，是吧？然后呢，我们把他们俩啊，把两个解一式呢连立起来解一下，是不是就可以啊？啊，就可以吧？ 好，那我们来看一下啊，嗯，向左平移的话，那向左平移的话， y 左加右减是吧？ x 减一加三是吧？ x 这前面还有个 m 啊，减一加三的平方减四，是不是？这向左平移，那就是 m 倍的 x 加二的平方，是吧？减四。 好，那接下来我们来看一下第二个向右平移的话， y 是 x 减一减二 啊，平方减四是吧？ m 倍的啊， x 减三的平方减四，是吧？这是我们向左和向右都进过同一个点，说明呢，当 a， 当横坐标是 a 的 时候，它们俩 y 相同吧，对吧？所以 x 换成 a 就 行了，是吧？好，所以呢， m 倍的 a 加二的平方 减四等于 m 倍的啊， a 减三的平方减四，是不是？所以四跟四约掉了， m 跟 m 约掉了，那就是 a 减二的 a 加二的平方啊，等于 a 减三的平方，那 a 方 加四， a 啊，加四等于 a 方减六， a 加九，是吧？好，约掉约掉，那就是十， a 等于五， a 等于二分之一，是吧？ 所以说呢， a 的 值啊，就轻松的求出来了，你说这个问，你能说他难吗？他不就考一个平移吗？是不是这样？同学们，好，那这题第三个问，实际上我感觉也是夹子嗖嗖啊，也是马马虎虎啊，不算特别难，你只要把图画出来，基本上就差不多了。 好，当然呢，你要知道 x 一 减 x 二怎么来求出这个 m 值，这个很关键啊，那抛物线与 x 轴交点，两个点的距离是二倍根二 过 p 点呢？ t 零啊， t 零的话说明这个点呢，在 x 轴上是吧？ y 等于零嘛？做 x 的 垂线交抛物线于点 m 交直线， y 的 x 于点 n， 且 m 点 n 不 重合，且 p。 在 x 轴运动过程中， m n 的 长度随 t 的 增大而增大 t 的 垂直方向。那先画个图吧，这个题目。题目是 m 大 于零，开口是向上的，是不是对称轴又是 x 等于一，所以这个图像呢，大约能画出来啊， 是吧。这假设 x 等于一，它的东边是负四，差不多这么一个图像呗，是不是这样啊，好这么一个图像啊， 这个地方他说了呢。哎。抛物线与 x 这两个点交点的距离是二倍根号二，那假如这个点是 x 一 吧，这个点是 x 二，那不就是 x 二减 x 一 等于二倍根号二吗？是不是我假设 x 二大啊， x 二减 x 一 等于二倍根号。那我们能不能推出这里的这个 m 呢？这里还隐藏了有一个条件是什么啊？隐藏了有一个条件是什么呢？你这个题呢，你可以把 x 一 二解出来 啊，要么你用维达利利做也行啊。维达利利怎么做？ x 二减 x 一 的平方是不是等于 x 一 加 x 二的平方？这是我们七年级的完全平方的一种变形形式吧。减四倍的 x x 二是不是？那这个式子你数吧，是吧， x 一 加 x 二等于什么？是不是维达利啊？所以呢，它这个 也就是呢这么一个。嗯啊，把这个方程写一下啊，写成一般式， y 等于 就是 m x 方减二 m x m x 方减二 m x， 然后呢，看一下加 m 减四吧。加 m 减四是吧。当然呢，你这个题完全可以把 x 减二解出来啊，这个是没什么问题的。好，那 x 一 加 x 等于负的 a 分 之 b 呗， 是吧，当它与 x 的 焦点不是等于零的时候吗？实际上就解这个方程的两个根吧。 x x 等于负的 a 分 之 b， 负的 a 分 之 b 就 等于二呗，是吧？ x 一 乘 x 二呢， 等于 a 分 之 c 位 a， m 减四啊， m 分 之 m 减四呗，就是这么一个两个吧。好， x c 加 l， 是 不是四减上一个四倍的啊？ m 减四是吧？ m 分 之 m 减四，它等于几啊？ x 二减 x， c 等于方等于八吧，它等于八。 好，所以呢，一下象啊，所以呢， m 减四比上一个 m 呢，就等于一吧。啊，等于一啊。 嗯，这个我看一下是不是一等于负一负一吧，负一是不是啊？他负一好，所以呢？二 m 等于四， m 等于二吧， m 等于二，所以这个 m 求出来了啊， m 求出来，这个函数呢，就非常好表示了。那 y 等于什么？ 是不对二， x 方减四， x 减二吧。二 x 方减四， x 减二，那么一个函数，它与 y 等于 x 加一。我随便画一下啊，这么这么一个图吧， y 等于 x 加一吧，好，这么一个函数图像，它说呢？嗯， t 是 吧？ p 啊， p 点是 t 零做 x 的 垂线交抛物线，点， m 交直线， y 等于 x 加于点 n， 且 m 点 n 的 不重合。什么个意思呢？就是这么个东西啊，假如这个 p 点在这里，是吧？ p 点在这里，这是 m 交抛物线，这是 m 是 吧？这是 n， 所以 这个 m n 的 长度啊，它在变大运动， m 的 长度随 t 的 运动而增大， 是不是啊？让你去求一下 t 的 范围。那我同学们，我们从看这个焦点来看啊，我们从左边来看啊，左边，如果在这个左边的话，他往右边跑的过程中啊，在 x 运动过程中，是不是他往右边跑的过程中，他是不是越来越小？越来越小？是不是？这不可能的， 是吧？他往右边运动过程越来越小，他过了这个点以后是不是越来越大，你会发现能看出来吧？这个，这个距离 m 是 不是越来越大？越来越大，越来越大。在哪里最大最大值呢？那我们这个长度最大值，我们是不是经常运用这种方法，是吧？以前我们用那个铅垂法做最大值的时候，是不是经常求啊？跟铅垂法差不多吧。 所以呢，好，所以你先需要把这两个点焦点找出来啊，在这个范围内啊，在这个范围的运动的时候，你看什么时候都知道，那过了这个点以后，你会发现他是不是也是越来越大了？因为你这个二次函数增长趋势比这个一次函数增长趋势要快很多，其实这个距离会越来越大的啊， 到后面是越来越大的，朋友们能不能看明白？所以说呢，你只需要考虑，是吧？这两个交点之间啊，这两个交点之间的情况，然后交完之后的肯定是满足的。交点之间的时候，在这个交点之间的时候，你看在哪个距离最大？那交点后面的时候肯定是越来越大的啊，肯定是越来越大的啊。 好，那我们来看一下啊，我们先解一下这两个，这两个连立起来啊，我们连立起来解一下啊，他们就是二 x 方，是吧？减四， x 减二，他应该跟 x 加一，哎，他两个焦点坐标算一下啊，好，二 x 方是吧，减五， x 减三等于零，那这个式子能不能用十的乘法码呢？看一下。二 x x 好，当然是可以的啊，负三啊，一是吧，二 x 加一啊，二 x 加一，乘上一个什么？ x 减三吧，等于零， x 两个减啊， x 一 等于负的二分之一， x 二呢，是等于三的啊，在这个点呢，是负的二分之一啊， 是吧？负的二分之一到二分之一这个点呢，是吧？这个上面有个点啊，肯定还有个焦点是吧？这有个焦点啊，应该是写的是三啊，三四吧，啊，三四啊，写这个焦点，所以说呢，你在三到四之间呢， 我们刚才分析过了，是吧，我们在负二分之一的左边是不可能遇见大的啊，是越来越小啊，所以不会随着 t 的 增大而增大的好，所以呢，你只能考虑第一种情况。是什么情况呢？哎，这个 t 啊，大于负二分之一，大于等于负二分之一吧，小于等于这个三的时候，那这个时候呢，我们就设这个，这个 n 点的坐标是多少呀？ n 点的坐标是不是横坐标是 t 吧，纵坐标，因为你这个是 p 嘛， p 点的坐标是 t， 零嘛，是吧，所以它的横坐标是 t， 纵坐标就是 t 加一吧啊， t 加一好，你这个 m 点的坐标呢？横坐标也是 t 吧，纵坐标是不是 二 m 方啊，二 t 方，二 t 方减四 t 啊，减二，是不是？所以说呢，你这个 m 的 长度等于什么？ 是不是等于 n 的 坐标？减 m 的 坐标好，也就是什么呢？也就是负二地方好， t 减，然后呢？ t 减加加五 t 是 吧，然后一减加三啊，加三。好，那这个数字你在什么时候取最大 的是吧？他是不是要取他的时候找他最大值？是他开口向下，他这个开口向下是不在对应角位置取对的值啊。对应角是多少呢？对应角是负的二分之二分之 b 是 四啊，四分之五吧， 四分之五的时候呢，它取最大值，所以呢，你在负的二分之一呢到四分之五呢？这个叫 t 等于。嗯，负的二分之 b 等于四分之五时，是吧？啊？ m 最大 是吧？所以到四分之五的位置 m 到达最大值，那后面是不是就变小了啊？所以说你应该在什么时候到大？就应该是当啊， t 大 于等于负的二分之一，是吧？好， t 大 于等于负的二分之一。 嗯，这个地方能不能等于 f 零呢？我看这个条件啊，屁零啊，超线交 x， 六点交直线 y 点 n， 且 点 m n 不 重合啊，且点 m n 不 重合，那不重合的话，那就不能等于，是吧？这个点是等于的啊，这个点是等于的，所以呢，不能等啊。所以呢，这个地方我们这个地方不能等于这个 不能等啊，焦点的时候不能等啊，所以不能等。在这个地方一定要注意啊。好，一定要看清题目的意思啊。所以呢， t 呢？应该是大于负二分之一，是吧？小于四分之五的时候，那它是 越来越大的啊。大于四分之五以后呢，他就变小了啊，变小了啊。这是在这个焦点在两个焦点之间的时候，是吧？是不是在这两个焦点之间的时候啊？他两个焦点吗？焦点之间的时候。那刚才讲超过这个焦点以后他是不是肯定是越来越大的，是吧？为什么超过两个焦点之后？以后这种情况的话，好，我们看一下啊，这时候 t 是 大于三的吧， t 大 于三的时候，他这个 m 的 长度换了，他是不是有把 m m 这首 m 在 上面了，你想一下啊，是吧？这个交的时候呢，这个 m 是 这个点啊，是二，二二次函数的交点是 m， 一 次函数交点是 n 吧，是吧？ m 减 n 呢，是吧？ m 减纵轴标，减 n 点的纵轴标，是不是这样？ 好，所以呢，我们来看一下啊， m 减 n 的 话，就是二 t 方减五 t， 然后呢减三是吧，这个你看一下，它的对准轴是负的二分之 b 是 四分之五， 是吧？它大于四分之五的时候，就是越来越大，越来越大了，那你这个是大于三，大于三肯定可以啊，所以 t 大 于三十是吧？啊，这个 m 是 越来越大吧，啊，越来越大， 这个大家应该能理解吧，是不是？所以我们用数形结合来做非常的方便啊，这个题呢，等他考试的时候你过时你写的，你详细一点啊，我是给大家写一下这个思路好不好啊，所以这个题呢，你用数形结合来分析一下啊， 非常的方便啊。所以呢，这个结果最后应该是 t 应该是大于负的二分之一吧，小于四分之五啊，或者是吧， t 大 于三十啊，这下不能取等啊，因为他说不能重合啊，不能重合是不是？ 好啊，那这个地方啊，这个四分之五是可以取到的啊，因为这个小于等于四分之五，这个四分之五是对准轴位取最大值是可以取到的啊，你这个临界的位置啊，这个负的二分之一和这个取取最大值是取到的啊，所以这个地方加个等号。好吧，结果应该就这样 啊，就这么一个结果啊，要分析清楚啊，用竖形结构来分析是非常方便的啊。好，这个题呢，我感觉整体难度也不算特别大啊，最后两个题的难度都不大，他前面的题呢？稍微有一点难啊，所以这个题我们就讲这里，同学们啊。

各位同学好，我们来看一下二零二六年蜀山区二模卷的第二十三题啊，抛物线二十三题。呃，首先这个抛物线含餐对吧？带了一个 m， 第一小题会比较简单啊，求顶点坐标，你可以把 m 提出来，然后给他配方，你也可以说就是利用那个 顶点坐标公式，顺便复习一下顶点坐标公式啊，负的 a 分 之 b 是 对称轴，你把对称轴往里面带不也行吗？那顶点的纵坐标是四， a 分 之 c， a c 减 b 方啊。 好，来第二小题，那第二小题说抛物线向左移三个单位，或者是向右移两个单位都经过平面内一个同一个点，坐标 a， 轴号三，求 a 的 值。那第二小题不就典型的考到了平移吗？ 我们说在抛物线的平移里面啊，它是两步走 好。抛物线里面第一步呢，我们一般来说习惯性的给它化成顶点式，因为化成顶点式方便你的 x 那 个变化啊， 因为画整顶点式的话，你看你是不是矮个子，只会含有一个，就你的计算量不会那么复杂。第二步呢，那平移的这个口诀叫做左加右减次变量，上加右减次变量，上加下减常数项啊。 好， 那我们再来看啊，那现在呢，你的顶点是把 m 提出来的话啊，里面不就是，呃，一逗号负四，那就是顶点是 m 倍的括号加 x 减一的平方减四吗？ 左加右减自变量，那所以向左平移三个单位长度就是在 x 的 基础上加了一个三，那我加三，还有个减一，是不是整体应该是加二呀？ 好，然后 m x 加二的平方减四，经过 a 三，那你就把这个点坐标往里带呗，三等于 m 倍的括号加 a， 把 x 换成 a， a 加二的平方减四， 一样的道理啊，那我向右平移两个单位长度呢？左加右减字变量吗？那所以这个 x 基础上减了一个二，然后再减一，不就是 m 倍 x 减三的平方减四吗？把 a 到三往里面带，那我可以得到一个新的式子， 我都是等于三的，那就说明我这两个式子应该是相等的呗。好，所以我给他们另等另等。得到了我下面这个式子啊。好，首先负四负四，我们是不是可以消掉呀？这就没了。然后，因为呢，这里面 m 是 不是告诉你， 大于零的就是我的 m 是 不可能等于零的，所以你 m 和 m 是 不是也可以直销啊？ 那现在就变成了 a 加二方等于 a 减三方，就这样的式子。那你直接完全平方公式呗，那就是 a 方首平方尾平方两倍乘积放中央啊。好，那你会发现 a 方 a 方又消了，那实际上十 a 等于五呗，那 a 就 等于二分之一啊。 好，那接下来我们再来看一下最后一道题啊，那最后一道题呢？就，嗯二十三的这个抛物线的小压轴啊， 那他说抛物线和 x 轴交点之间的距离为二倍，根号二。我们在之前的小题里面，各位同学给大家回忆一下，如果说告诉你了， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 我们说与 x 轴两个焦点之间之间的距离。我之前用伟大定律给大家推过， x 一 和 x 二指的是距离，指的是差，那么它可以套一个公式，叫 a 的 绝对值，分子根号的它。 那我都跟你讲了，伟大定律推的，那所以在大题里面我们要用伟大定律去写啊。好，这个式子是 y 等于 m x 的 平方再减去一个二倍的 m x 再加 m 减四啊， 不要忘了，第一步你要用尾答定理之前你是不是又是一元二次方程呀？所以当 y 等于零的时候，必须要写这一步，包括你看到那种大题让你证明与 x 轴什么，呃，一定有两个焦点对吧？这种都要先令它为零啊。 啊，那根据尾答定理，我们说两根之和是不是 a 分 之 c 啊？ 好，那所以我们，呃，再往下来看一下你的这个式子啊，那么我们 x 一 减 x 二应该是等于 x 一 加 x 二。 好， x 一 乘 x 二应该是等于 a 分 之 c 啊啊，那么我们要的距离啊， x 一 减 x 二，这个距离你注意。呃，我们平方在内是绝对值，它是由根号而来的， 那它应该怎么算？它是不是应该是 x 一 减加上一个 x 二的平方，然后再减四倍的 x x 二？这是之前我们用伟大定律那一块写的啊？啊，在这里来我们推一下啊， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 所以 你可以算出来应该是刚刚好等于二，而 x 一 乘 x 二呢？那我可以得到是不是 m 分 之 m 减四啊？ 那么 x 一 减 x 二的绝对值对吧？哦，它不是等于题目告诉你是二根二吗？ 那我们可以用平方啊，导致 x 一 减 x 二，整体的平方是不是等于八呀？而它又等于什么呀？它是不是说完全平方公式等于 x 一 加 x 二的平方减去一个四倍的 x 一 x 二。 其实你用伟大定律推出来这个东西，你用那个，呃，就是两根之合二分之负 b 正负根奥德尔塔。其实你最后可以推出这个式子，这是这是小题里面 非常快速算与 x 中交点的距离啊，但是大题你得写过程啊，那么在这里面再往下算啊，八等于两根之合的平方，那不是四吗？然后再减去四倍的 x 一 x 二，那是不是 m 分 之四 m 减十六这个意思， 所以你是可以把 m 给它算出来的啊，这里可以交叉相乘。嗯，左边这里是八减四，是不是得四啊？ 四等于。好，我把这个负的放到上面去啊， m 分 之十六减四 m 就是 把这个负的拎到上面去，这个变成一个整体，那这里十六减四， m 不是 等于四 m 吗？那么你一个项 m 就 出来了， m 等于二。 好， m 一 旦等于二的话，其实你的抛物线这个解析式就已经出来了，这个抛物线你直接可以写成是 y 等于。 我们来套一下啊， m x 的 平方不就二 x 的 平方吗？减去四 x 再加上二减四，是不是减去一个二呀？我们说这种抛物线的题是按点踩分，包括你中考也是一样的，一定要写过程，按点踩分啊。好，那现在说，呃，那我们 它现在呢？再往下走啊，这个抛物线出来了，呃，过点 p t 零做 x 轴的垂线啊，交了两个点， 那我这个抛物线好开口向上啊，经过了一个零分啊，对称轴是什么？对称轴是直线， x 等于 负的四分之负四，对不对？应该直接 x 等于一，所以大致是这样的啊，好，那么这个东西和什么呢？和 y 等于 x 减 x 加一，有两个交点，对吧？那么交抛物线于点 m， 交叉于点 n。 好，那就相当于就是我们现在还要画一个 y 等于，这个是 far y 等于 x 加一的一个图，那不应该是向上吗？ 好，这大致啊。 啊，那他现在说呢？说什么啊？我们现在说，呃，过这个，过这个 p 点来做了一条垂线。哎，这个问题就来了啊，这个垂线你知不知道是在哪？ 目前是不知道的，对不对？他说，呃，与上面交了一个，与抛物线交 m 点，然后呢？和 e 函数交于 n 点， p 点在 x 轴运动的过程， m n 的 长随着 t 的 增大而增大啊。问你，我们的这个 t 的 曲值范围，其实这不就典型的上点下问题吗？ 那么这个上减下的问题，我们呃得来看一下到底是怎么个分类法？这条线我给你画长一点啊， 可以这样画好。怎么个分类法？那各位是不是首先我们的上减下是要分类讨论的，比如说你在这样的一个地方， 你在这样的一个地方啊，哎，你会发现上减下是抛物线减去一次函数，在这是一次函数减抛物线，在这中间是一次函数不减抛物线。所以由谁去决的？是不是由这两个焦点去决的？所以你得先把这两个焦点的横坐标算出来。那我们说焦点及连立方程组吗？ 那么在这一题当中又涉及到了这种，呃，第二个大的啊，第一个大点先求出 m 等于二，那么用到了这个 x 轴的距离。第二个交焦点及连理方程组，那么你得先把这个焦点求出来，那他肯定是占分了。好，那这个抛物线呢？是 y 等于 二， x 的 平方减去一个四， x 减二，好，以此类数呢？是 y 等于 x 加一，那我们是可以解除它的横坐标，横坐标 x 应该刚刚好是。对，其实我们只要横坐标就可以了啊， 那我的纵坐标 y 就 不要了。那所以在这里面我们就直接列一个。呃，等式，就不要列方程组了， 一等式我们直接把这个横坐标解出来就可以了啊。啊，那根据这个式子呢，我们可以解的 x 有 两个值，呃， x 一 呢，是负二分之一， x 二等于三，各位同学要自己算一下啊。 那就说明什么？那就说明与这个焦点一个横坐标是不是负的二分之一啊？而这个的横坐标是不是应该是三？ 那到这步你就可以分类讨论了。呃，那我们的这个 t 是 不是 p 点的 t？ 我 有三种情况，那我给你分三种颜色来分别给你算啊。好，来，第一种情况，我们如果说这个 t 呢，是在负二分之一到 三的时候，就在中间啊，我们先把最简单的这种情况给你写了，那就在中间的情况，那我用蓝色笔给你直接画啊。啊， p 点是这样的，上面交了，与抛物线交于 m 点，与你的这个一次函数交于 n 点。好，第一种情况，用蓝色笔哦，当我们的 t p 点不是在这吗？这个是 t 逗号零啊，它是不是相当于是在我们的中间，在这转悠呢？就是在这这，这 x 轴这个中间啊，在这转悠那。所以呢，当这个 t 是 大于负二分之一小于三的时候， 那我们是不是典型的设点法呀？好，那我此时我们来把 m 点和 n 点坐标， 因为 m 点始终和抛物线的交点， n 点始终和一次函数的交点在一开始就可以设了。 m 点的横坐标和 p 点横坐标一样，然后纵坐标是二 t 的 平方减去一个四， t 再减二，而这个 n 点的横坐标不也是小 t 吗？那纵坐标是不是一次函数的 t 加一啊？ 好，那所以这种情况下， m n 是 不是上减下？那上减下应该是等于 n 点的纵坐标减去 m 点的纵坐标。 好，那就应该是 t 加一，减去一个二 t 的 平方减去一个四， t 再减二啊，那这个式子你可以算出来，应该是负的二 t 的 平方，然后再加上一个五 t 再加三 哦，因为 p 点它是在 x 轴上运动，而且此时这种情况，它说了要求我们的 m n 的 长，就这个整体的式子随着 t 的 增大而增大。哎呀，那不就是画图的问题了吗？我这个抛物线是不是开口向下呀？ 我的对称轴为直线， t 等于负的 a 分 之 b， 也就是四分之五啊。那这种情况下，什么叫 t 随着它增大而增大啊？就说明我 t 在 对称轴左侧的时候，我始终是呃整体随着它增大而增大呗。 所以当 t 小 于等于这个四分之五的时候啊， 那此时我们说 m a 随着 t 的 增大而增大， m a 就是 y 吗？那么它会随着 t 的 增大而增大。我在这里就给你简写了，打箭头了啊，你们要写中文 好，但是没有结束，这个范围是要和一开始的范围，就他的范围和这个一开始范围。你要限定一下，这里是不是叫从小取小，所以第一个范围就出来了， t 呢，大于负二分之一的同时我还要小于等于四分之五。 好，另外一种情况我来给你换颜色啊，我给你换成紫色的啊。另外一种情况就是这样的，当你的这个 t 在 二的左，负二的左侧啊，和在我们三的右侧，哎，你会发现上减下都是同样的，谁减谁啊？ 抛物线减去一个一次函数对不对？所以第二种情况一样的啊，那我们的范围是当 t 小 于负二或者是负二分之一啊，这个横坐标是负二分之一，或者是当 t 大 于三的时候 等号没有取等号，等号可以在这可以一块取啊，就是你可以在上面取，也可以在下面取啊。 啊那哦你要注意这里不能取得啊，是因为这里大家画一下这里是不是有个 m 点和 n 点不能重合， 所以 m 点和 n 点是不能重合的话，说明你的负二分之一这个端点和三这个端点是取不到的。那么所以为什么这一题的范围负二分之一和三都没有取，就是因为它说不能重合？ 好，那这种情况下我们来看一下 m n 等于什么？ m n 等于上减下的话是不是拿 m 减去一个 n 点啊？ m 的 纵坐标是二 t 的 平方再减去一个四， t 减二好减去一个以此来数的是不是 t 加一啊？ 那这个式子呢，你可以得到应该是等于呃，二 t 的 平方减去一个五， t 减三。好，一样的道理啊。哎，我开口向上， 然后呢我的对称轴是不是可以算出来负的二 a 分 之 b 哦，你可以得到还是四分之五？那当什么叫增大而增大呀，是不是这样子的递增啊？所以当 t 呢，是大于等于四分之五的时候， 大于等于四分之五的时候啊。好，那此时呢，我们的 m、 n 呢，会随着这个 t 的 增大而增大， 但是没有结束。我们说了，你是不是要看一下原始的这个心灵条件，你 t 要小于负二分之一，小于负二分之一是不可能大于等于四分之五的，所以它大于三的时候要大于等于四分之五。哦，这两个合并一下。各位， 这两个合并一下是不同大取大，所以这种情况下，我们可以得到 t 呢，应该是大于三。好，综上所述，这一题答案有几个范围啊？两个范围， t 大 于负二分之一，小于等于四分之五，或者是 t 大 于三，中间用或连接啊， 因为你是分类讨论，我给你下个结论啊。综上，那么这个负二分之一是小于 t 小 于等于四分之五，或者是 t 大 于三啊。好，那这个是我们包河区啊，这个是蜀山区二模的最后一道二十三的抛物线啊。

好，我们看一下这道题来自于合肥二零二六年中考二模倒数第二个大题的最后一问， 你可以先看一下题啊，试一下做出来需要多久？好，自然，哥给你一个非常自然的一个方法啊， a、 b 等于 bc 角， a、 b、 c 等于九十度。哇，等腰直角角形， b、 d 等于 d、 c。 好 的，这里和这里相等，紧接着又说了 c、 e、 b 是 九十度，嗯，中线定律吧，是不是 让你求 a、 f 比 c、 d 看起来好像是一个相似比， 是不是？好像是构造两个三角形什么的，这还有这两个边的三角形相似，用一个相似的笔。你可能是这样想的，但是不管是怎么想，我们首先要怎么样挖掘已知条件，而且要充分挖掘，是不是答案就在已知条件里面啊。 首先，这边等于这边这个九十度等腰直角三角形有没有用呢？我觉得不是这样做的，因为这个四十五度他破坏掉了，你看到没有？这里是吧？ 破坏掉了，这个四十五度应该不是这样考等腰直角三角形的，也就说他可能是用到这边等于这边还有这个九十度，对不对？然后又告诉你这个九十度，那应该是中线定律了，是吧？边相等，角相等， 也就是这一段等于这一段等于这一段，这是自然然的吧，是不是？既然告诉你这个是直角，这个也是直角， 那应该倒角啊，马上要中考了，这些基本的逻辑啊，自己要熟练。可能是还有两两个直角的话，可能还有一些存在的一些隐藏的角相等，你看 这个角一是不是等于这个角，你看这里是不是你又始终又联系到这个三角形中去吗？是不是？你看这些地方都是角一了，而且这里是直角的话，那么角一加这个角是九十度，哎，他加他也是九十度，哎，这个角也是角一， 漂亮。还有这边等于这边等于这边，而且整个和整个相等，我把它设为一份，那这就是两份，一份两份，这里就是根号五份，看到没有？这个直角存在的意义，这里也是一份，那么 a e 是 已知的， a e 是 已知的，是不是他是一个比例，哎，可以不用构造相似，也就是说我设 c d 为一个基本量，就设 c d 等于一， 或者设他为 a 也可以啊，我为了好讲一点，我就设他为一，也可以这样啊，本身就可以这样做，因为没有一个具体的数据，你就可以设他为一，那么这里就是一，这就是一，那么 ab 就是 二，是不是？那我只要求出这里是多少， 让他比上一个一，其实就是求 af 的 长是不是？你看 ad 是 几？一比二比根号五， ad 等于根号五的，你看 a 一 也知道了，是根号五减一，我为什么要表示 a 一， 你发现没有？这里角一，这里角一 子母型相似哦，哎， a 一 是知道的，是不是 ab 也是知道，你看一下 af 比 a 一 就等于 a 一 比 ab， 哦，看到没有？做完了，我的个天呐， a 一 等于根号五减一，十分，自然 来，这个三角形和这个三角形相似，看到没有？有一个角一对应角，这里有个公共角， 这个角是公共角，两个角相等，那么相似了，那么也就是说三角形 a f 一 啊，这是死母形相似，相似于 a e b 是 吧？然后 a f 比上 a e， 就 等于 a e 比上 ab。 也就是说 a e 的 平方等于 a f 乘以 ab， a 一 的平方等于 a f 乘以 ab， 十分自然。 a 一 是什么？根号五减一 的平方等于 a f 是 我们要求的，然后 ab 是 二二倍 a f 了。所以 a f 等于什么呢？等于它的平方除以二，它的平方说时迟那时快，是不是 十分自然？除以二，六减二倍，根号五除以二，那就是三减根号五，三减根号五除以一。所以答案就是三减根号五，十分自然。拜拜，牛逼牛逼。

各位同学好，我们来看一下二零二六年蜀山区二模的第二十题，圆啊，很多同学这个圆的第二小题觉得有点难， 嗯，我们呢，在这里面一开始给的一个圆的内接四边形，圆的内接四边形不就两个吗？一个是对角互补，一个是外角等于其内对角啊，好，它现在呢， a、 o a、 o、 e 这个角，它是等于我们的角 b、 c、 d 的， 我给你标了两个阿尔法啊。 啊，这个阿尔法，阿尔法，他第一小题让你证明两个荧光的这个三角形是全等的。那我们来看一下什么依据啊？首先 a、 d 等于 o、 e 是 题目告诉你的一个边，然后还有角一等于角二，我给你标了啊，那么这两个角应该是同弧所对的圆周角是不是相等呀？ 啊，那还有一个是不是用大角，因为这个大角圆的内角内接四边形，对角互补吗？那这个大角可以表示为一百八十度减阿尔法啊， 好，那所以第一小题全等的依据是 a、 a、 s。 来第二小题，第二小题呢？他说若连接这个 b、 e， b e 垂直于 c、 d， 而且 a、 d 为二根三，这个为二根三的话，我们的 o、 e 是 不是也是二根三？这两个是全等的啊？求我们圆 o 的 半径啊。 来，在这里面其实隐含的一个条件， oc 和 oa 就是 半径，是我想要的东西，永远没有无缘无故的上一问啊，你的 oc 为 r 的 话， ab 是 不是也是 r？ 其实你有没有发现，在 abc 这个三角形当中，我既是一个直角三角形，我这一段又是小 r， 我 ac 又是 r， 其实是完全可以得到一个角度的，因为直角三十度所对的直角边为斜边的一半吗？ 那所以是不是可以得到这个角为三十？那它一旦是三十好，上面的这个角是不是？呃，这里啊， c、 a、 b 这个角是不是就能得到是六十啊？ 你要注意同弧所对的圆周角相等哎，你上面的这个 c、 d、 a 是 不是 c、 d、 b 就 能得到是六十，而 c、 d、 a 是 直径所对的圆周角为九十哦，所以我们的 ad b 可以 出来是三十。 那上一问的全等这个角不也可以出来是一个三十度的角吗？对不对啊？那有什么？呃，有什么用啊？来第二步， 第二步是推出我们的这个角 b、 a、 c 这个角，它会等于我们上面这个角 b、 d、 c， 那 这个角两个角都是六十啊，所以又推出的角 a、 d、 b 会等于全等的 o、 e、 c， 那 么等于三十 啊。那你要想啊，我们求半径这种东西，是不是以前经常讲可以用到什么呢？可以用垂筋定律。呃，你从这里不是有个二根三吗？你的三十度。这里，各位，你要想我是不是可以做垂线，做垂线就会有的，这个，这个我给你擦掉啊， 做垂线的话，我就可以和三十度挂钩，而且你这么做垂线是不是会出现一个垂筋定律？这个做垂线比如说是 h 点啊， o e 不是 二倍根号三吗？所以来我们现在要用含耳的式子去表示我们这个垂径定律，一个是 d h， 一个是 c h 就 可以了。那我们再来看啊。第三步，我，我做一个 o h 是 垂直于这个 c、 d 的 垂径定律。 那首先放在 r、 t 三角形的 e、 h、 o 里面啊，那我是不是可以得到我们的 e h？ 应该是等于。呃，先算 o h 啊？ 因为三十度锁定直角边斜边的一半，所以 o h 你 可以先得是根号三，那 e h 就 出来了。 e h 是 不是应该刚刚好是等于这个？呃，三，因为长值为短值的根号三倍嘛。那这个出来之后，那我们再来看还有什么东西是可以出来的？ 呃，这里面，这里面，这个 d e 目前我们也不知道是多少，其实你把 c h 求出来勾股定，你 o c 不 就出来了吗？ 啊，这个 d e 我 目前不知道是多少啊，我们可以设一个 x， 对 不对啊？你看啊，这个 d h 我 已经表述出来了，因为整个 e h 刚刚你不是算了三吗？那所以这个 d h 是 不是 x 加三啊？ 嗯，那还有什么呢？还有什么？呃，可以去表示我们的这个 c h 吗？ 我们再来看，还有什么可以表示的啊？好，再来看这个 c h， 各位，我能不能是拿大减小呀？你的这个 c e， 各位，我们应该是可以出来的。这个 c e， 这个 c e 是 因为。呃，是因为 ce 是 不是全等呀？各位，这个 ce 是 不是和上面这个 b d 应该是相等的？哎，你有没有发现这里又是一个三六九啊？如果说我们去设这个 d e 为 x 的 话啊，我给你写一下啊， 设这个 d e 为 x 的 话，其实这个 b d 可以 出来，因为三十度所对直角边为斜边的一半，它是二 x， 根据全等呢，我又可以和 c e 挂钩， c e 也是二 x， 所以 cx 就 能表示了。 cx 应该是拿大的二 x 减三， 那最终因为垂进定律嘛，那我们的这个 d h 它应该是等于 c h 的， 也就意味着这个三加 x， 它会等于这个二 x 减三，那我们可以推出这个 x 应该等于六 x， 一 旦等于六，这个半径就可以出来的。你的，嗯， c h 怎么表示啊？ c h 是 不是应该是二六于十，二十二减三得九，那这个是九，那 oc， 各位勾股定力不就行了吗？所以最后我们来放在 rt 三角形 o h c 里面来勾股定力 往上挪一下啊，啊，放在这个 r t 三角形的 o c h 里面啊，来勾五厘米啊，那 o c 不 就等于根号下九的平方八十一吗？再加这个根三的平方是不是八十四啊？ 所以是九方加根三方，那么根号八十四是四倍，根号二十一。呃，二倍，根号二十一。因为根四乘根二一啊，所以这一题答案是二倍，根号二十一。

二零二九年合肥中考二模小压轴。这个题可是有点不一样啊，在三角形 a、 b、 c 中，这个角是九十度， ab 等于八， ac 等于十， ac 平行于 l。 讲到什么？ 本来这里九十度，他们俩平行，那这里也是九十度，对不对？还有，如果我过 c 做一个垂直的话，它就是一个矩形啊，很容易就会得到一个矩形，看有没有必要，一切都在掌控中。 d 为 l 上的一个动点啊，在 b 点的右方 角， a、 d、 e 等于九十度，漂亮，在这条线上出现了这个直角， a 这里还有一个直角， 还差一个直角，就是一线三垂直了。紧接着他告诉你 d 和 a、 d 的 比漂亮，那肯定是一线三垂直了。 刚才我还有点犹豫对不对？现在还告诉你比例了，因为我做一个垂直下去的话，就是一线三垂直，就是相似，这个三角形和这个三角形相似，你看角一加它九十度，它加它，由于它是九十度吗？也是互余的，所以角一等于角二同角的与角相等， 所以相似。相似。比都告诉你了，你觉得是不是这样做的嘛？肯定是的嘛，毋庸置疑对不对？所以就会得到它比它对应边之比等于相似比一比三，所以这里就是三分之八， 他比他也是一比三，这是横向的水平宽度，这里是数值高度，非常特别的两个东西， 当 c 一 最短时， c 一 在这里， c 点是固定点， e 点是动点，那 e 点运动到什么的时候才是最短呢？你可能在考虑这个问题， e 点的运动轨迹是什么样子的呢？你还在考虑这个问题，哎，这个题不是这样做的，根据我们前面的已知条件， 是不是 c 点是固定的，你看这里三分之八，我要求的是 b、 d， 我 干脆设这里为 x， 那 么这里的数值高度就是三分之一 x， 没毛病吧？所以 e 点的横向长度、水平长度和那个竖向长度 就是纵坐标，是不是？你看横的竖的都知道，而且 c 点能不能知道它的坐标是不是？能啊，你看横的是十，竖的是八， 一点用 x 来表示它的坐标， c 点的横动坐标都知道两点之间的距离。公式，得到一个关于 x 的 二次函数，开口向上不就有最小值吗？ 原来是往什么代数方面去转化了啊，一个几何和代数的一个转变。好，你可以建立直角坐标系， 对吧？以这里为 x 轴，这里为 y 轴，建立直角坐标系，从而表示出一点坐标和 c 点坐标，十分自然的可以表示出来啊。你看一点坐标是 x 加三十八横坐标， 纵坐标就是三分之一，十分自然。 c 点横坐标是十，纵坐标是八，十分自然。两点之间的距离公式你知不知道？不知道没有关系，构建一个直角三角形，这里是十减它，是吧？整个是十，十减它， 所以这里的平方啊， e、 c 的 平方就等于十十减，它的平方就是十，就是三分之三，十减它就三分之二，十二减 x 的 平方加上这里的平方，八减三分之一， x 八减三分之一 x 的 平方，很明显会得到一个二次项，是正的 s 函数 态度向上了，对不对？我要求的是 x 啊，不是说他的最短是多少，不是说 c 一 最短是多少，我要求的是这个 x 的 值，所以我只要掌握出这个二次项里面的这个配方的 这个东西就可以了，而不是看他屁股后面的顶点的动作表是多少，我只要知道横坐标是多少就可以了。你可以用对称轴是吧？ s 函数对称轴就可以做了。我先展开吧， x 平方减去三分之四十四， x 加上这个是什么东西？其实无所谓啊，因为我不，我们不是要求它的值，知道吧？这里九分之一啊，是不是三分之一啊？是九分之一 x 平方减去三分之十六， x 加上六十四，我要的是这些东西。 九分之十 x 平方减去四十四加十六，六十除以三二十 后面是一个黑咕隆咚的什么东西，不用管它是不是，我要对它进行配方就行了。九分之十 x 平方是多少啊？二十除以九分之十乘以十分之九就是十八。 很明显，这里要配一个一次性系数一半的平方，配一个九的平方就可以了，是吧？这就是玩具平方式。后面是一个什么黑咕隆咚的都不用管了，一堆狗屎啊， 等于九分之十什么的。 x 减去九的平方，黑咕隆咚一堆狗屎不用管。所以 x 等于九的时候，反正就是能够取到一个最小值，这个最小值就是它不知道什么东西。 b、 d 等于九，就这么个意思，请你坐到这里，直接用用我们的对称轴的公式，负二分之 b 对 不对？那更快是不是？ 是不是？所以说等于什么呢？你看，就是二十除以九分之二十等于九，用对称轴来做，因为对称轴就是顶点的横坐标嘛，十分自然。各位牛逼牛逼。

蜀山数学二模几何压轴题，好朋友们，今天我们来看一下啊，山区二模的一道解析几何题，难度还是的偏上，经典的一道题目，来看一下。图一， 在这个 r t 三角形，就这个直角三角形当中， ab 等于 bc， 那 么这个就是一个直角三角形，然后 d 是 这个边上的一条中线，然后一点 e 连接，构造出一个 e c 这个直角三角形， 那么他第一位说，当 ab 等于四的时候，求 a e 的 长，那么这个就比较简单， ab 是 四，那么求 a、 e， 那 么我们知道它是等腰直角三角形， ab 是 四，那么 b、 c 就是 四，这个是终点，那么这个是二，这个是四，这个是二，那么这个斜边怎么样？我们勾股定律把它给求出来， 那么求出来之后， e 是 不是就等于整个长度减去 e、 d 啊？我们知道 e、 d 是 这个直角三角形斜边上的中线呢？它跟它是一样，那么它应该也是二，那么整条斜边长度减去这个 a、 e 的 长度就出来了。好简单， 看第二个求 a、 b、 e 的 面积， a、 b、 e 的 面积，那么 a、 b、 e 的 面积，那么我们知道三角形面积通到底层高嘛？二分之一，那么底是这个是四。好，那么高怎么办？我们可以过一点做一条高， 一条高，那么这个高是多高多长呢？会发现这个三角形和这个三角形怎么样？像是一个 a 字模型，那么它肯定是相似的，那么相似比呢？这个斜边长度知道 a、 e 刚才也求出来了，那么相似比，就这两条线段比，那么通过线段比，它比上，它构成了这个比的线段，能够把这条高给比出来，然后 再用面积公式，这个面积就出来了啊，那还是比较常规的啊，常规难度，那我们看第二本啊，说延长 c e， 交 a b 一 点 f， 那 么正面把这个延长一下，延长 c e 好 到一点 f 呢？这个就是 f 点，求 af 的 值，那么就是这个比上 c d 的 值， 又是线段之间的比的比值问题啊。同学们可以看一下，今年的这个是手残去按摩，还是咱们的前段之间的比的比值问题啊？同学们可以看一下今年的这个是手残去按摩啊，或去按摩，对等等 都。最后在这个解析集合这块考察的都是线段比值，这知识点，他们用的思想，核心思想都是大同小异，那非常接近的思想啊，之前在课堂当中重点强调的一道解析方法，我们来看一下这题该具体怎么做。首先 让求 a f 比上 c d， 这个时候 ab 等于四，这个条件就不能用了，直接看这个主题干啊，在读一遍，看有没有什么啊，相等的等腰直角，这是中线， 这是一个直角没了，那就这么点条件怎么去求这个线段比例呢？一个具体的线段数字都没给我们，一个都没有，那么这个时候通常我们通常可以把这些线段用未知数来表示出来，比如说他不让我们求 a f 吗？我假如我设 a f 为 x， 那 长度是 x 啊， c d， 我 设它为 y， 那 么它比它的值，那么就是 x 比 y 的 值是多少？对，好了，那么根据它是 y x， 那 么你看好了，它是 y， 这是终点，那么这个肯定也是 y 啊， 这个是 y 了，那这条边应该也是 y， 对 不对？好了，那么这边是 y 了，整条长度就是二 y， 那 么这条边也就是二 y， a d 是 二 y， 那 么这时候我们通过勾股定律的 a d， 咱们是不是出来了 a d 应该是根号 y， 对 不对？好了，那么这些线段把它表示出来之后，你看 e d， 也就是 y， 这整个长度是根号 y， 那 这个是 y， 那 这个 a e 长度多少？应该是根号五减一倍的 y a e 长度该表示的咱们都给表示出来，然后再看怎么样去表示归表示，但这个 x 比 y 还是不知道怎么求啊，想这就是用了，看看能不能出现一些通过求相似三角形，哎，用比例线段看能不能构成形成一个这个方程，对不对？然后呢？变形出这个式 y 分 之 x， 那么找相似，那谁和谁相似呢？对不对？那找哪两种相似三角形比呢？对不对？那这个是难点，也是考察我们同学的一个图形观察能力和分析能力，那么有很多同学就会盯着这个东西来看这个东西就是我们啊学了一个非常重要的定律，叫什么摄影定律， 他觉得这个是两个背靠背的直角三角形加一个大的直角三角形，很有可能考察出了摄影定律好，那么他会有很多同学对这个摄影定律知道什么是共边的平方等于非共边的乘积，对不对？ 那这里面你会用我发现啊，也不出来啊，构成不了方程的思想啊，构成不了方程，那么就求不出它，那么你会看那能不能换一组相似三角形去求呢？我们跳出这个摄影定力，看有没有其他的相似三角形啊，同学就发现了啊，这两个三角形 a e f 和三角形谁啊？ a b 和 e 相似啊， a e f a b d， 那 么 a e f a b d， 你 看好了， 怎么去正相似？有很多同学正不出来，他感觉看着他是相似，但正不出来。我们来看，首先这是一个公共角，那么其次你会看到这个角和这个角怎么样？是对顶角， 那么这个角呢？这个角是相等的，因为这是个等腰三角形，那这个角和这个角就相等。我们知道射线当中这两个直角的背靠背是肯定相似，那么这个角和这个角是吧？就相等， 那么这个角和这个角通过传递性是不是相等了？两组角都找到了，那么 b 相似，那么相似。就用我们之前学的相似三角形非常高频的一个定义，就叫做同角共线模型，那么同角共线模型的它的结论也是公共边平方等于非公共边的乘积。那这里面这两个相似三角形，公共边 a e 啊， b 是 公共边，那么结论就是 a 一 方等于非公共边乘积，就是半公共边乘积啊，是不是非公共边啊？这叫半公共边乘积，那么就是 a f 乘以这个 a b a e， 我 们刚才是不是表示出来，那么它就是根号五减一，括号平方等于 a f， 我 们刚用 x a b 呢，二 y 呀，对， 好，这个等式传出来，这不就是一个方程吗？那么怎么样才能出现这个 y 分 之 x 呢？我们两边同除 y 方，根号五减一，括号等于 y 方分之二 x y 月份之后就是这边应该是加啊，五加一是六，六减去二倍，根号五 等于多少？ y？ y 一 约就是 y 分 之二 x， 那 么我要知道 y 分 之 x， 但是 y 分 之二，我两边通出二不就行了吗？那么就是三减根号五等于 y 分 之 x， y 分 之 x 就 出来了， y 分 之 x 求出来了，那么这个值就出来。 思想非常重要，今年各个大区的模大模考察都这个事情啊，线段笔直啊，用一些高频的相似型的一些模型啊，这种从这个角度去考出发，很多孩子呢，这些相似型的一些模型啊，敏感 图形观察能力比较弱，他就看不出题眼在哪里啊。所以说这样呢，可以把这些啊，几个大区的模考卷这一道题都给朗定出来，自己多琢磨琢磨好。

咱们安徽的中考生做圆的计算题需要掌握哪些知识点呢？蜀山二魔的二十二题基本上已经告诉我们了。首先第一个圆周角定律是必会的，而且也是必考的，同弧所对应的圆周角相等，同弧所对应的圆心角是圆周角的二倍，直径对应的圆周角是九十度，这三个必会。 然后圆内接四边形也能提供角度关系，对角互补，外角等于内对角，这是两个了，对不对？然后非常非常重要的垂径定律，这个定律它的延伸，它的拓展可以说是非常多的， 它可以产生垂直啊，有垂直会有直角三角形，有直角三角形就会有勾股定律，有勾股定律就能够求长度了， 对不对？然后这一定里还能够产生弧中点，有弧中点可以进而产生角分线，有角分线可能会有相似，但是呢，呃，咱们安徽的员啊，很少考相似，如果考的话，这个难度就会提升一点点了，放在十九题、二十题呢，就不太合适了 好不好？再然后，你需要再掌握一些，比如说新鲜的判定，新鲜的性质，还有什么新鲜的定理，把这些知识掌握，再掌握一些基本的倒角能力，圆这一块基本上你就可以了。好吧，不需要做太难啊，不需要做太难的，咱们安徽中考。