甘肃数学中考真题几何模型总结

这道中考压轴题给你答案，你都不一定能看懂，但是只要掌握了两大模型，了解它， 请听题！如图，在三角形 a、 b、 c 中角 a、 b、 c 等于九十度， a、 b 等于六， a、 c 等于二倍的根号减十三点 d 在 三角形 a、 b、 c 右侧一点，且 a、 d 垂直于 b， d 于 d 点 过 b 点做 b、 e 平行于 a、 d， 且 tan 角 b、 d、 e 等于三、 d 二、连接 a、 e， 求 a 的 最大值，按下暂停键，自己去做一下吧！来解析一下。由垂直平行，我们可以得到九十度，也就是角 d， b、 e 是 等于九十度， 由这个 tan 的 值，我们可以找到线段的比，就是 b、 e 比 b、 d 等于三 d 二、 直角三角形两条边，那么可以求出第三条边。那么现在呢，我们已经将题目当中的啊有关信息都用上了，接下来怎么办呢？ 我连接 c、 d 可以 正三角形 a、 b、 e 相似于三角形 c、 b、 d， 从而可以找到 a、 e 与 c 的 比是三比二，那么求 a、 e 的 最大值，那我只需求 c、 d 的 最大值就可以了。接下来呢，我找到 ab 的 中点 f 连接 c、 f， 那 么 c、 d 的 最大值就是 c、 f， 加上二分之一倍的 ab， c、 f 勾股定律可以求出来，那么 c、 d 的 最大值等于八， a、 e 的 最大值就是十二了。 那有同学可能会问了，你怎样想到的连接 cd 呢？嗯，那是因为这里是相似手拉手模型，它的特点，共顶点，顶角相等， 那么等角的两条边是成比例的，所以它就是相似手拉手模型， a、 e 是 其中的一条拉手线，那么 cd 是 另外一条拉手线，所以我就连上 cd 喽， 大手小手拉手线形成的新的三角形是相似的，所以我就连上了 c、 d 了。 那我怎么又想到的要找 a、 b 的 中点呢？这里是定角对定长模型，角 a、 d、 b 始终是九十度， 那么它对的边 ab 是 一个定长，那么定角对定长模型，那必有隐形圆。点 d 就是 在以 ab 为直径的圆弧上运动的。题目当中说点 d 在 三角形 abc 右侧，所以这是 ab 右侧的半圆上运动。 那怎么又想到的连接 c、 f 呢？嗯，这是因为啊，点 c 是 圆外一点，点地是圆上一点， 那么圆外一点到圆上距离的最大值，那就是圆外一点到圆心的距离，再加上半径就可以了， 所以就得出 a、 e 的 最大值了。关于这两个模型，在我主页初中几何模型当中有详细的讲解。

永远考不过一个从初一就开始学几何模型的孩子，因为他清楚地知道数学几何的得分点在哪里，推荐给孩子准备这套初中几何模型大全，包含了初一到初三所有的几何解体模型，例如飞镖模型、八字模型、 将军印马模型、废马点模型等，讲解都很详细。每个模型都有模型结论巧记和模型结论证明过程， 模型套用立体讲解和举一反三练习，遇到不会的扫码观看视频讲解，大体有思路，小题套模型。掌握了这些解析模型之后，做题真的就像抄答案一样简单了。家有初中生的快带一本回去吧！

今天给大家讲两道几何题。两道几何题它在初中数学教材中出现的时间是八年级下册第一张三角形， 但是在中考中，它还是以八年级下册第一张三角形的难度去出的。所以这道题八年级的学生可以看，是中考的学生也可以看啊。先看题目， 嗯，三角形一比 c 为等腰直角三角形啊，为等腰直角三角形，那这个，这个，这一句话给的起是等腰直角三角形，所以这有四十五度，这也有四十五度。然后告诉你的腰长是三 a、 o 的 长度是一 d 为一个洞点，这个地点 它是一个动点，它是一个动点，它在 b、 c 上动。然后我们的 a、 e 是 绕 a 点将 a、 d 旋转的九十度得到的线段。现在让你求 o、 e 的 最小值，就是求我们绿色线段的最小值。 这道题拿到了以后，我要先说一说我们初中数学，初中，尤其是初中几何，它有一个很重要的一个关键点，就是我们的找模型啊，就是我们必须得找模型， 你得清楚我们考，你考什么东西啊？考什么东西。像这道题面，很明显，我们考的模型的名称叫做手拉手 啊。何为手拉手？手拉手的意思是有两个相同的角，并且有共用的顶点。比如像这道题里面，它的手拉手就是拉在 a 点处，因为 b、 a、 c 是 一个直角， du e 也是一个直角。 首先把手拉手的模型找到，找到之后你要清楚手拉手代表的什么东西，手拉手代表的是全等， 为什么全等啊？为什么全等？来，我们从 a 点这个地方分出来了三个角，一个角，两个角，三个角，我们标成角一、角二、角三， 很明显角一加角二是九十度，角二加角三也是九十度，所以我们可以得到的是角一等于角三。 然后又因为 ab 跟 ac 是 相等的， a 得跟 a、 e 是 相等的，所以用我们的 s a s s a s 去正全等，所以手拉手的全等一定是 s a s 去正的。当我们找到全等之后，我们就会发现这道这个图形差一条边，差什么边呢？我们需要去连接我们的 o 点和 e 点， 然后我们的全等三角形就可以出来啊，为大家标记一下是哪个三角形全等， ab 的 这个三角形 和我们 a， e、 c 这两三角形全等啊。当我们把模型找到，然后知道它所代表的意义之后，然后我们继续来看题目啊，他说让你求的是 o e 的 最小值， 在这里面你还要清楚一点，清楚什么东西呢？就是我们在动点。题目里面一定要清楚什么是动点，什么是定点，它既然是求的 o e 的 最小值，所以你要清楚 o 点这个点它是一个定点， e 点它是一个动点啊， e 点它是一个动点，既然是动点，我们就要考虑去找什么东西呢？去找 e 点的轨迹， 去找 e 点的轨迹，然后根据我们全等的模型，角 b 这儿四十五度，所以在这个地方也是四十五度 啊，也是四十五度，这东西是定死的，就是不管你的地点怎么动，这两个角出来都是四十五度相等的角。言下之意是在 c 的 这个地方出现了什么东西呢？出现了一个垂直， 出现了一个垂直，那现在我们 e 点的轨迹就找到了，轨迹在哪里呢？因为这个点垂直，所以 e 点就是在 bc 这条线段过点 c 的 垂线上，过点 c 的 垂线上。我给大家大概画一画啊，就是在这条线上， 就是在这条线上，然后我们来验证一下，你看当我们的 d 点在动的时候， 他就是在这条线上动，对吗？就在这条线上动。所以这道题将两个点之间的最小值转化为点到直线的最小值。那后续大家都应该知道了，我要求 o e 的 最小值，那就是 o 点到 e 点什么时候最小呢？当 o e 垂直于 e c 的 时候，当这个角为我们直角的时候，距离最短，距离最短。然后这道就解决了，因为腰长是三， a o 是 一，所以这个等腰直角三角形的 底是二，所以它的 o e 的 长度最小的时候，答案是刚好，刚好。 这是我们今天要提到的第一题啊，这第一题给大家的启示很明显，就是要找模型，一定要找模型， 因为只要你找到手拉手，手拉手在初中里面一定会考他的全等啊。当然考高起点可能会考到相似，但是总之就是考这个东西啊，就是考这个东西。

木易木易，数学容易，各位同大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六万维黑卷几何压轴题。二十六题模型建立如图，在正方形当中， e、 f 分 别是点，然后 a， e 垂直于 e， f， a e 垂直于 f， a， e 垂直于 f， a， e 垂直于 f。 又告诉你 m， n 是 两个动点， a， m 和 b n 相等，我们需要把这两组相等的去画一下， a， m 在 这， b， n 在 这第二个图里面仍然有 a， m 和 b， n 相等。第三个图有 a， m 和 b n 相等。 ok， 读题第一问， 如图一，当 m n 在 线段 b f 上时，让你猜想 b， m 和 c n 的 关系。我们先看一下这两个线段是哪两个？让你猜想的是，这个 b， m 在 这啊， c， n 在 这里。 那第一个呢？其实特别好做啊，看到有垂直呢，就一定会有这里的互余倒角，这个如果是圈，那么这里因为垂直所以圈差互余，所以下面这个角 n， m， n， b， c 他 也是一个圈，对吧？这个时候要注意一下后面这个 n， 这里可没说垂直，你没有办法说， 但是我们现在其实这两个的关系，是啊，这是相等呗，是吧，所以他的数量关系是相等 啊，怎么正的呢？我们认为是在正方形里面，所以可以把正方形的这个边也画一下， ab 是 等于这里 bc 的 蓝蓝相等，红红相等，再加上圈圈两个锐角相等，所以这里有这个 s， a s 或者你可以叫做 h l 都有 p 的 啊，这里是我们政权等之后相等。 第二个还有位置关系，位置关系，它俩能啥位置关系呢？肯定也是垂直了，对吧？因为全等之后，我们就可以把这个角 b， c， n 也标成叉，然后 b n， c 也是直角了，垂直了。那所以呢，这两个，呃， b n 和 c n 之间的关系呢？ 就是 b m 和 c 垂直， ok， 结束。第二问，当 m 在 a e 的 延长线上的时候，其实这种问题都一模一样，是吧？结论仍然成立吗？肯定成立啊，啥？啥理由？我们现在继续把正方形的边 e 标就好了， ab 和这个 bc 是 相等的， 然后依然会有我们刚标的这个小角和这个小角是相等，对吧？所以我们依然会证明全等，证明全等之后，那它让你证的这个结论也就是 b m 和 c n 自然就相等了。这两个三角形全等 啊，那么他们的位置关系也依然是垂直啊。这个具体的我们就不再去赘述了啊，其实也很简单。第三问，模型迁移。说当 m a n 共线的时候，如果给你个比例有比例呢？我们记得要设啊， cf 是 三分之一 dc， dc 谁？ dc 是 边长呀？ 所以 cf 是 a 的 话，那么整个边长都是多少？三 a？ 三 a 和三 a 再加上三 a， 是 吧？ a， 这里还要注意一点， 因为我们这里有一个垂直，也就是 a n 和 b f 是 垂直的，有垂直的再加上一条边。我们正方形当中，实在模型不就是这个 ab 等于 bc 之后再加上 啊，这里有这个互岛余角吗？这也就是圈吗？这里是圈呢？这里是叉，这里还是圈？所以啊，其实任何正方形里面中间有一条垂直的线，它都有圈呢，哪个圈呢？这个 c n 和 b e 是 相等， 并且啊，那这里的这条，呃，我们画个别的颜色，黄色 a， e， e 和这条 b f 他 天然就相等的啊，这里有一组全等啊，我们是要知道的啊，我们把这整完了， 整完之后再看他现在问的什么情况，他现在却问的是这个 am 和 am 和这个 bn， 我 们知道他是相等，是题目条件啊，然后他现在问的是 am 和这个 bm 这样的关系， bm 我 们有个绿色来表示和这个绿色的边之间的关系， 哎，这里怎么搞呢？我们就要看一下他给的条件到底什么意思了，条件只有一个，一比三。那一比三这是啥呢？我们发现 c f 刚才正完那个十字架全等之后，就和 b e 是 一样的，他也是 a 了， 那这两个是 a， 然后他又找的是 a m 和 b n 的 关系，我们发现 a n b 这里是不是也有个直角，哎，所以两个直角，我们把这个图呢在旁边给大家重新画一下啊，两个直角，这叫什么呀？一二三再加一个这样东西， 哎，有两个直角，这里有直角，这里有直角。你还知道这里是 a， 这里是三 a， 他 一比三知道，那这个题就简单了，因为我们这发现就叫做反 a 相似了， 所以对大正方形来说，那么短值比上长值是一比三，那对于小正方形来说，如果设个 b 的 话，这个是 b， 那 么这条短值，而长值就是三 b， 对 吧？ 然后还有没有条件，还有的，因为这里的 a m 和 b n 还有一个题目中的条件我们就能做了啊。这第三问，我简单给大家在左边写一下过程啊，这第三问写到这里， 我们可以证明啊，这个三角形 a b e 啊，三角形 a b e 全等于三角形，应该是 b e b c f b c f b c f 这两个全都有啥用？所以啊，你的 b e 是 等于 f c 等于三分之一 ab 的， 他俩一比三已经有了，那么我们还可以证明这一个三角形 a， b、 n 相似于三角形 a e， b， 是 吧啊？ a b n 相似于 a e b 这两个相似之后呢，他们就有相似比了，相似比就是 b n 比上短值和长值呢？ b n 比上 a n 就 等于右边的 b e 比上个 ab， 是 吧？都等于一比三。那这个时候怎么办？我们就可以设 b n 了吧，因为最后要求这个 b b n 和 a n 还有 b n 和 am 还有 b m 的 关系吧，是吧？因为你的 am 就是 b n， 所以 我们就不妨就设啊，设这个 b n 为 a， 是 吧？为 a， 所以 这个 am 也等于 b n 也等于 a， 这是题目条件 差，两都等于 a 之后，那这个 f a n 是 多少呀？ a n 是 不是就等于三 a 啊？因为它是一比三的关系啊。当然，这个我题目中的 a 这里写成 a 也是无所谓啊，这题目中是只是一个表示， a n 等于三 a， 那 么 m n 就 等于多少？是等于二三 a 减 a 等于二 a 了吧。哎，现在发现问题没有？我们把这个画一下，就在这个绿色的三角形里面。我现在画这个绿色三角形啊，这个三角形刚好是这样一个情况， bm 我 们不知道，但是 m n 是 二 a， 那 这个 b n 是 a， 我 们这里注意看黑色的啊。哎，是不是我们就求出来， b m 其实就根号五 a 了。哦，那我最后的关系其实就找到了，他俩是根号五倍的关系啊。 好，我们现在接着写啊。呃，这里知道这个关系之后，所以我们就知道这里 b m 就 等于根号五 a 了，是我们勾股算出来的。 最终 b m 和 a n 之间啥关系？我们就可以用 b m 比上个 am 就 等于根号五 a 比上个 a 等于多少根号五，也就是说它们之间关系是 b m 等于根号五倍的 am。 结束关注我，考试再提十分。

木易木易数学荣誉，各位同好，我是米老师，今天给大家带来二零二六九拳按摩几何压轴题。二十六题，模型建立在 r、 t 三角形 abc 和 r、 t 三角形 a、 d、 e 当中， d 是 b， c、 d， a、 e 都等于九十度， 又告诉你 ab 等于 ac， ad 等于 ae。 我 们把这些呢，在图上去反映出来，就会发现这些条件，就告诉你的是 bda 和 c、 e， a 全等。 既然有全等，我们就需要把 b、 d 和 c、 e 是 同一个边反应出来。看看题目问你什么问的是用等式直接写出 c、 d、 b、 d 和 a、 d 的 关系， c、 d 在 这，然后 b、 d 又是 ec， 然后呢， a、 d 是 谁呢？ a、 d 七十，他的根号二倍就是 d、 e， 所以 这里呢，就告诉你一个勾股的关系是吧。我们第一问呢，就很简单，直接写答案， 这里的数量关系就是 c、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方等于二倍， a、 d 的 平方。为什么是二倍？因为 b、 d、 e 就是 根号二 b 的 a、 d， 它的平方就是二倍 a、 d 方。第二问，在三角形 a、 b、 c 中， c、 a、 b 是 九十度，标注一下，又告诉你 ab 等于 ac， 同样也标注出来。这两边呢，我们标成红色啊， ab 等于 ac， 又告诉你一个四十五度 eaf 这种模型呢，叫做什么？叫做半角模型啊，中间一个角是四十五度，边上两个圈和叉加起来也是四十五度，我们只需要把其中一边旋转到另外一边， 这里呢，我们选择把 a、 e 逆时针旋转九十度，他就会到，大概在这样一个位置啊，这个我们就叫做一撇吧，现在我们只需要连接一撇 c， 发现它又有全等了，其实就是这里的 a、 c 一 撇和 a、 b、 e， 也就是第一问当中有的这个全等， 有了这个全等之后呢，我们看看还能知道什么？因为刚才已经说了，半角模型的核心就是圈叉四十五，所以把圈旋转到这里，所以这个一撇 a、 f 也是四十五，两个四十五就会有新的全等。 我们这里还是写一下吧，三角形 a、 e、 f 会全等于三角形 a、 e 撇 f， 那 既然有全等，第三边我们就需要标注 e、 f 这条边，就是 e、 f 这条边。现在看题目问你什么 问的是 e、 f， 也就是这个 e f， e、 f 呢？就是这个 e 撇 c 和 c、 f 的 关系啊。这里啊，其实又构成一个什么？又构成一个直角三角形呀，所以它们的关系还是勾股的关系哦， e、 f 的 方就等于 b e 的 方，加上 c、 f 的 方， 前两问都还比较简单。第三问，模型迁移在三角形 a、 b、 c 当中， c a b c 直角 a b c 四十五，所以这是一个什么？等腰直角三角形，我们依然需要把 ab 和 ac 都进行一个相等的标注。接下来他问你，平面内一点 c、 d 垂直于 b d， 既然 c、 d 垂直于 b、 d， 那 么这个垂足就是 d d 呢？有几种答案，其实这里有四种， 我们简单看一下，如果他出现在 b 点左边了，他大概这个图长这样，长这样之后，后面一个条件说 a、 d 是 四倍根号二，然后 c、 d 是 二，你发现他是不可能的，因为 c、 d 明显要长一些， 所以我们退回去啊， d 点在 b 点的下方行不行呢？其实也不行，因为他仍然存在一个问题啊，我们开始给大家去简单画一下，如果他出现在这里， 哎，这个角是 d 点的话啊，这个点是 d 点，那么 a、 d 和 c、 d 很 显然还是这个 a、 d 和 c、 d 的 长度呢，你没有办法去确定，对吧？ 那不如呢，我们就把它放到这个 c 点呃的下方，也就是不要把它的这个垂足呢， b、 d 放到左边了，把它放到右边可能会去更合适一些啊，因为明显 c、 d 是 比 ad 要短的啊，我们看放成这样，大概就是呃，这样一个图形啊， c、 d， 哎，垂直于 b、 d， 我 们把 b、 d 也标一下，这样呢，我们把图画出来，再把 ad 去连上， 哎，这里好像符合要求了哎， a、 d 是 四倍根号二， c、 d 是 二，这里符合要求之后，看他求什么，他求 abc 的 面积，也就是这个等腰直角三角形的一个面积，等腰直角三角形直到其中一条边就能把它面积求出来， 所以我们现在要看看怎么去求这个面积啊。前两问都进行了旋转，我们看到这个 a、 d、 c， 我 如果把它顺时针旋转九十度，那么就只需要把 a、 d 旋转九十度， 这里呢，大概就旋转成了一个这个样子啊，这样子，我们把这个点呢当做一个 d 撇吧， d 撇， ok， 我 们接着需要用这个紫色去连接一下 d 撇 b， 发现这个 a、 d 撇 b 和 a、 c、 d 这个三角形依然是全等的，所以这里 d 撇 b 的 长度就是这个 c、 d 的 长度就是二。 又因为 a、 d 撇 d 是 一个等腰值， a、 d 是 四倍根号二，所以这里的 d 撇 d 就是 四倍根号二，乘以根号二就是八， 那我们就会得到 b、 d 的 长度，哎， b、 d 的 长度是几？ b 的 长度就是六了。所以在这个绿色三角形 b、 d、 c 当中，两直角边知道算斜边， c、 d 的 平方就等于呃， c、 b 的 平方， c、 b 的 平方就等于 c、 d 的 方加上 b、 d 的 方，所以我们口算一下， c、 b 就 等于根号，下面二方加六方是根号四十二倍，根号十， 所以 a、 b 等于 a、 c 就 会等于二倍，根号五除以根号二就行。那么 s 三角形 a、 b、 c 就 等于二分之一， a、 b 乘以二分之一。最终答案一个多少？应该是十，对吧？ 再算一下啊，看看还有没有另外一种可能性，因为我们刚才算了，在 b 点的左右两边啊，或者是上下两边呢，它都是感觉好像这个 c、 d 的 长度会比 a、 d 巨长。 那么另外一种情况呢，其实就是把 d 点放到 c 点的上方，我们依然先把这个 abc 给你的条件画出来啊。 abc 它是一个等腰直角三角形， 标注一下， a 点在这， b 点在这， c 点在这，有九十有四十五。刚刚我们就说了， d 点在下方有可能，上方也有可能呀，所以这个时候呢，大概图画出来应该是一个，呃，这样一个感觉啊， 我们把另外一边移画，哎，好了，这里的直角在这 d 点就在这里，依然去连接一下 a、 d， a、 d 是 四倍，根号二， c、 d 是 二， 他怎么做呢？我们依然会使用旋转的方法，把 a、 d 顺时针旋转九十度，大概回到这里去。这个点我们叫做 d 撇吧， d 撇。 所以呢，你又拥有了红色和蓝色两个等腰值，那就会有全等 dc， 就 会等于这里的 d 撇 b 吧，是吧？这两个紫色的就会相等，我们换一下， ok， 他 就是几，他就是二，又因为 a、 d、 d 撇他是一个等腰值，所以这里 d、 d 撇就是四倍，根号二的根号二倍就是八。 那最终呢？我们在这样一个直角三角形里面，也就是 b、 d、 c 里面，能够把 b、 c 去算出来，是吧？我们知道 b、 c 的 方就等于 b、 d 的 方，加上 c、 d 的 方，这种情况下 c、 d 还是二，所以右边是四，那么 b、 d 就 变成几了。二加八等于十了十的平方了， 他俩加起来应该是一百零四，所以 bc 就 等于根号一百零四，那么算一下就是二倍根号二十六，是吧？二倍根号二十六， 那么这里的 ab 就 等于 ac， 就 等于二倍根号二十六，除以根号二二倍，根号十三，所以这个时候三角形 abc 的 面积就等于 还是二分之一。 ab 乘以 a、 c， 那 么这个时候又变成二分之一乘以二倍根号十三，再乘以二倍根号十三，所以算下来答案应该是二十六。 最终呢，这里的面积就有两个答案，一个是十，一个是二十六。结束关注我考试再提十分。

木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二六庆阳一模几何压轴题二十六题，如图一，在正方形边 a、 b 上取了一个点， e 作 e， f 垂直于 a、 b， 这个时候呢，我们看到 f 在 b、 d 对 角线上，所以这里会有四十五度，那这个三角形呢，其实就是一个等值三角形，我们需要把它的 e、 b 和 f e 相等，我们标注出来，又告诉你这个既是 f d 的 终点， g 是 中点，然后那 f g 和 d g 就 相等。现在第一个问你什么？问你 eg 和 c g 的 关系连接 eg 和 c g， 它俩的数量关系能怎么样？只能相等了，位置关系呢？猜一猜，可能垂直吧。那怎么证明这里用到中点用法之一的平行线加中点， 平行线加中点呢？有的时候呢，又被叫做什么？被长中线也是一个意思啊，我们只需要把 e g 给被长，或者说我们不需要去被长，我们直接去延长，延长他到底什么地方到与 a、 d 的 延长线 有一个交点的地方，交到哪里交这个点呢？就叫做 h 吧。这个时候呢，因为是平行的，所以呢会有很多的角相等， 再加上一个对顶角，其实三个角形相等了，再加上其中一条边，那就是 f g 等于 d g， 很 容易证明这两个红色的三角形是全等的。我们先写第一问啊，先正 三角形， e， f、 g 全等于三角形 h， d g 正完这个之后，我们看怎么去正 e g 和 c g 的 关系，连接 ec 和这里的 h c。 连接完之后呢，我们就可以从第一问正出的一组全等里面得到一个 d h 是 等于 e f 的， 那 e f 又等于 b e， 对 吧？ 所以呢，这在正方形当中呢，其实再加上一个边长，我们就可以用 h l 去证明这个新的三角形，也就我们把它标成黑色啊，黑色的这个三角形呢，是这两个三角形，全等， 这俩圈能有什么用，我们就能知道。哎，本身这两个黄色线之间是九十度，然后呢，这个黑色的点和这个黑色点是一样的，所以这两个绿色的线其实也是九十度，对吧？我们可以等量代换一下，那我们就写第二步的过程啊，那么在这 三角形 e b c 全等于三角形 h d c 这里用了 h l， 那 么所以 ec 就 垂直于 h c 它俩之间九十度。 然后呢，又因为啊，这个 g 是 终点啊，并且啊，这个 e e c 还是和 h c 相等的啊，等于 h c 又垂直又相等，所以三角形 e c h 就是 一个等值，是吧？等值三角形， 那又告诉你， g 其实是 e h 的 终点，对吧？为什么终点？因为第一步呢？全呢，已经证明了啊，又因为 eg 等于 h g， 那 么所以 啊，这就是一个直角三角形，斜边上的中点就等于斜边的一半，所以这个 c g 就 等于二分之一， e h 就 等于 e g， 那 么同时呢，这里因为等值了，所以呢，这个 c g 还垂直于 e g， 是 吧？第一问结束了， 第二问，其实我们可以先把题干的条件标一下，题干的条件就是这个三角形还没变，他说了旋转，但这个三角形呢，他本身还是一个等腰直角三角形，对吧？所以这个 e f 和 e b 仍然相等。 接下来还有一个终点，条件也是通用的，那就是 g 是 f d 的 终点， f g 等于 d g， 这你怎么办？他还问你的是这个 e g 和 c g 的 数量关系和位置关系，只不过没让你直接写，没让你做，让你写，对吧？ 那看看和左边图有什么区别？没区别，我们仍然是延长 e g， 这次呢，我们就需要延到了 c d 延长线的位置啊，这个位置呢，我们仍然叫做 h。 其实呢，他和第一问的证明方法就一样，先证明这两全等 啊，然后再去证第二组全等。这道题呢，第一问反而比第二问还麻烦，因为第二问发现这里需不需要证全等？不需要啦，只需要证明第一组全等，我们就能证这个。也就是啊，这个 ec 和 hc 这两条边相等，对吧？ 都是加上一个紫色边，都是由我们的正方形边长这个黄色边加上了一段紫色边，这样去正的，那正完了这个全等的，那我们不就说明这个 e g 和 c g 还是垂直的，并且 e g 也等于 c g 了，是吧？所以第二个呢，显得比第一个还要简单一点。 第三问，他又把这个三角形转了一下，我们直接把这个 e b e 和这个 f e 标一下，接下来呢，再把这个 f g 和 d g 也标一下。 ok， 发现啊，我们还是要让你去找 e g 和 c g 的 关系啊， e g 和 c g 的 关系咋办呢？那继续延长呗，延长 e g， 这个时候我们直接交 a d 与 h 就 行，所以我们依然能证明这两个红色三角形全等。 好，第三，我们就不写过程了，然后接着呢，证完红色，我们就证另外一个三角形，另外一个三角形就是以其中的一边， 然后再加上这个 h c 和。呃，这里连的是 h c 和什么？应该和 e c， 对 吧？这两个三角形呢？哎，这两个黑色三角形依然是全等的啊。 全等之后，那我们其实就能写出呃，这个所谓 c g 和 e g 的 关系了，它俩其实 c g 依然是等于一 g， 并且 c g 是 垂直于一 g 的， 对吧？好的， ok， 这就是这道题。关注我，考试再提，十分。

离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破、分值较高的地方，比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个，圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。第二问会有五个常考的类型， 前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形 这道题要求正切线和三角函数。前面的方法说了，要正切线先连圆心，所以连接 o、 d 得到等腰三角形 a o、 d， 那 角 a 就 等于角 o、 d、 a， 而 abc 也是等腰三角形，所以这个角 a 等于角 c， 那 么 o、 d 就 平行于 bc， 而 d、 e 垂直于 bc， 那 d、 e 也就垂直于 o、 d， 切线就正到了四分拿下。 第二问求三角函数。前面的方法也说了，需要结合直角三角形给的两个已知都在直角三角形 b、 e、 f 中，所以就拿它入手。 b、 e 是 一， b、 f 是 三，所以三 e、 f 就 等于三分之一。角 f 同样也在直角三角形 o、 d、 f 中，所以也就有 o、 d 比上 o、 f 等于三分之一，而 o、 d 是 半径， o、 b 也是半径，所以得到 r 比上 r 加三等于三分之一，就能够求出半径，进而得到 a、 b、 bc 以及 e、 c 的 长度。下一步则需要连接 b、 d。 这个思路是从遇到直径连圆上的点来的，如果想不到，那只要做到上面那一步，这道题也有七分了。好，那我们继续把它完善。连接 b、 d 以后，得到角 b、 d、 a 是 个直角三角形， 由于角 b、 e、 d 也等于九十度，所以三角形 b、 e、 d 相似于三角形 b、 c、 d。 那 b、 d 比上 bc 就 等于 b、 e 比上 b、 d， 由此就可以得到 b、 d 的 长度，算出角 c 的 正弦值。 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。

好孩子们，今天我们利用这个视频来给大家讲一讲四十二个模型的第二十七个模型，我们称为梯子模型，那咱们首先来看一下它的条件是什么？首先呢，我们 a、 b 两个点在坐标轴上运动， 其中角 abc 等于九十度，让我们去求求的什么呢？ o c 的 最大值。那么这类问题我们在后期做题的过程中，你会发现它会以直角三角形的条件告诉给我们，或者是矩形的条件告诉给我们。 那我们在解决这种问题的最大值和最小值的时候，那么正常情况下我们要去找 c 点的轨迹，但是这个 c 点的轨迹有一点点难找，因为我们这个地方 a、 b、 c 三个点都在动，那么他都在动的过程中，我们似乎不太容易找 好。那么我们解决这一类问题有两个方法，那么今天我们给大家讲一讲梯子模型的方法。我们这个时候不妨取 ab 的 中点到格连接 o d 连接 c d。 大家会发现根据直角三角形的斜中定里，我们发现如果说 ab 的 长度是定的，那么 o d 的 长度就是定的。 那如果说 ab 和 bc 的 长度都是定的，那么这个时候 cd 的 长度由勾股定律可知，它也是定的，那由此可以断定，原来 o c 的 长度它一定是小于等于 o d 加上 cd 的。 根据三角形的两边之和大于第三边，那么这样子的话，我们就可以研究出来，原来 o c 的 最大值一定是 o d c 三点共线的时候取得最大，那么此时它的最大值就是 o d 加 c d， 而 o d 加 c d 的 值，我们通过 a b 和 b c 的 长度可以解决， 那么这是非常经典的梯子模型。那我刚给大家说了，我们还可以用另外一种方式，我假设让 ab 不 动，让平面直角坐标系在转动，那你会发现 o 点的轨迹就是以 ab 为直径的一个圆，而我们要算的就是圆上的点到 c 点距离的最大值， 那我们就可以算算 c 到圆心的距离加半径，我们仍然可以得到这个结论，那这两个方法都可以解决这个问题，那么大家可以根据我们视频后面给大家准备的几个题来感受一下，是不是已经掌握了，需要卢布克的随时找我。

正方形几何题，三秒直接秒解！咱们用这道题，花一分钟吃透正方形十字架模型来看题图大正方形里有半圆和直角扇形，求过切点的线段 a、 b 长度。 同学们可以先暂停，自己动笔想一想，看能不能快速算出答案。好，我们一起来分析，只要掌握十字架模型，这道题不用复杂运算，三秒就能出结果。十字架模型记住核心结论，正方形内两条互相垂直的线段长度必然相等。 证明思路很简单，构造两个直角三角形正全等就能得出结论，初中同学一定要掌握。回到这道题，怎么构造十字架模型呢？我们把两个圆心相连，这条连线一定经过切点，根据切线性质，圆心连线和 ab 互相垂直，刚好符合十字架模型条件。 圆形连线长度八加五等于十三，所以线段 a、 b 的 长度就是十三。十字架一出，几何秒通透，关注老师学更多解题妙招！

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是梅老师，今天给大家带来二零二五九拳按摩几何压轴题二十六题综合实践，在等腰 abc 当中， ab 等于 ac， 所以 我们把这里的 abac， abac， abac 全部画出来，又告诉你 abac 等于 r 法，那这个角就是 r 法，对吧？ r 法， 接下来说 d 是 一个动点，并且让你连接 ad， 我 们这里也把 ad 给它连接起来，绕 a 逆时针旋转，而法到 ap， 那 ad 到 ap 最后呢？只有 ad， 我 们也画出来。问题发现，如图一，若而法等于六十度，而法等于六十，那么角 b 就是 六十角， acb 也是六十，那旋转了六十度之后，哎，其实呢，就相当于把 啊这个三角形啊 a、 b、 d 给它旋转了六十度吧，是吧？旋转六十度了，那么角度是不变的，所以这个 a、 c、 p 其实就是六十度，它等于角 b 线段 a、 c、 c、 d、 c、 p 之间的数量关系，因为已经知道是旋转过来的，哎，所以这里的 c、 p 啊， cp 这条线段其实就是 b、 d 这条线段，然后 ac 这条线段呢，也刚好又是 bc 这条线段，因为它是等边吧啊，所以它们的数量关系就非常简单了， ac 等于 cp， 加上 cd， 是 吧？ 第二问，类比探求，如图二，阿尔法如果等于九十度，阿尔法如果等于九十度的话， 那这个 a、 c、 p 是 多少度呢？我们只需要看到，哎，它仍然是由这个 a、 b、 d 旋转过去的，对吧？那个这个角 b 有 多少角？ b 是 四十五吧，因为这里旋转九十度是等腰直角三角形了，所以这个角呢，还是四十五度。 ok， 所以 这一问呢，第一个 a、 c、 p 的 度数四十五度 线段 a、 d、 b、 d 和 c、 d 之间关系，因为这里 a、 c、 p 四十五度，然后 abc 又是等值，所以 a、 c、 b 也是四十五度，两个四十五度，它就会有直角出现，有了直角，我们在这个三角形 d、 p、 c 里面就会有勾股的关系了，那这里勾股的关系就是 d、 p 的 方等于 d、 c 的 方，加上，呃，这里是 pc 的 方，是吧？又因为 pc 就是 b、 d 啊，我们这里体现一下， b、 d 是 旋转过来倒成 pc 的， 所以我们就可以写成是 d、 p 的 平方等于 d、 c 的， 我们写 c、 d 吧， c、 d 的 方加上 b、 d 的 方，然后看到这个 b、 d 和我们题目里面的 a、 d 啥关系啊？啊，那就是在 啊这样一个等腰直角当中啊，我们 ap 和 a、 d 是 直角边， d、 p 呢？是斜边，所以我们可以把 d、 p 其实写成是根号二倍的 a、 d 平方，之后就是啊，根号二倍的 a、 d 的 平方，那就等于二 a、 d 方了， 所以他们数量关系就是两倍 a、 d 的 方等于 c、 d 的 方加上 b、 d 的 方。 ok， 看这三问 这三问，说一个四边形，然后这里四十五，这里四十五， a、 d、 c 还是四十五，那我们看到前两个都是旋转某一个三角形，对吧？那旋转哪个三角形呢？肯定是这个 a、 c、 d 三角形了， 那我们会把它顺时针旋转九十度旋转回来，那旋转回来到什么位置呢？这个就是到这样一个位置吧，对吧？这里也要九十度， 然后 ad 和这个 ap 它是相等的，那么 ab 和 ac 又是旋转对应线段，所以我们会找到这个 cd 其实和我们现在的这个 bp 就是 对应线段， 这两个三角形是旋转前后得来的，那么它的角度一样， b p a 也是四十五度，和角 d 一 样。 接下来呢，我们就看还有什么条件啊，哎，发现这个 p a、 d 是 九十， a d、 c 是 四十五，所以如果我们延长这里的 dc 啊，一直延长到了 p 点，那么它应该也是一个四十五度，并且这里应该是共线的，为什么共线？因为等值本身就四十五，加上右边四十五，所以说明这个 a p、 d 肯定是个等腰直角三角形， 然后又因为这个 a、 d、 c 和 a p b 都是四十五，所以就得到了这样一个直角三角形。在哪个直角三角形呢？就是在这个 b、 d、 p 这个直角三角形里面，我们看怎么去算后面东西啊？ b、 d 等于三，那么也就意味着这个 b、 d 这里是斜边，是三， c、 d 是 一， 又因为它旋转，所以 b p 就是 一，所以我们就在 r t 三角形 b p、 d 中，然后这个 p、 d 就 等于根号下面 b p 方 啊，应该是 b 地方，是吧？ b 地方减去 b p 方，就等于根号下面三，减一是二倍，根号二。那么又因为在等值 a、 p、 d 中，是吧？这个 a、 d 的 方加上 a、 p 的 方， 就等于 p、 d 的 方，它是等值啊，所以 a p 和 a、 d 是 一样，所以算出 a、 d 就 等于几，其实就等于二，对吧？好的，结束关注我，考试再提十分。

大家好，这里是大头老师今天给大家带来的是初三一线三等角的两种基本类型，这跟通常会结合到全等或者相似，在中考中他经常考的就是相似了， 那这两种基本类型其实指的是位置，也就是直线同侧和直线两侧。那不管是哪一种，我们都可以把那三等角分为三类，也就是锐角、直角以及钝角。那么对直角来说，这个同学们是最熟悉的，也就是称一线三垂直， 那么如果一个直角，两个直角，三个直角，他们的直角顶点像图式这样子都在一根线上，那我们就把这个称为一线三垂直模型，那非常简单就可以证明出左右两个蓝黄两色三角形，他们是相似的，当他们的对应边相等，则他们就是 全等，那么也非常好判断，用同角的与角相等即可。那么我们还要注意到它的一些特点，也就是中间的这个角， 它的这两条边，其实它是一个对应边来的，则 c p 与 p d 它们的比值也就是这两个三角形的相似比。那么到了锐角，这也是一样，中间这个锐角， 它的这两条边分别是左右两个三角形的对应边，所以它们的比值也是相似比 钝角三角形也一样，一个两个三个相等的钝角折，左右两个三角形相似，并且中间这个角的两条边也是对应边。那现在我们来简单去证明一下为什么他们相似。拿锐角三角形来说，比如角一、角二、角三角四 以及角五，那么我们需要写的也就是两个一百八。第一个就是左侧这个三角形，他的一个内角和即角一加角三加角四 等于一百八十度。好了，那我们再来中间的这个平角，他也有一个一百八，也就是角二 加角五加角四也等于一百八。那么我们这个一线三等角，它的前提条件嘛，也就是这个角一等于角二等于角 b， 这三个角相等，所以我们角一等于角二，并且这里有个大家公共的角四，所以我们能推出的是角三等于角五。 当我们知道了角三等于角五的时候，则我们两个三角形的相似判断就已经足够了，用的就是 a a 刚刚所说的角三等角五，一组角相等，并且我们一线三等角的角 a 等角 b， 所以 两个角相等相似就正出来了，那么 这三个的证明方法都是一样的。有一点点不一样的是，当三等角分居直线两侧的时候，那同学们现在是可以先暂停一下，自己先想一想，那老师就先往下说了。那么如果三等角分居直线两侧，证明方法也类似，那我们只需要举 一个例子就行。那么比如说我们举这个锐角的例子，现在三等角分别是角一，以及这里有个角二，以及这里有一个角 d p、 c 这三个角相等，那要证明这两个三角形相似，首先角一角二两个角相等，则我们可以得到 与它们的零补角也是相等的。说这两绿色的钝角是相等，那么我们再找一直角即可。那这接着我们可以简单的找一个角一等于角 c 加角 a、 p c， 咱们可以写一写角一等于角 c， 加角 a、 p c， 这用的是外角定力，再来一个角 d p c， 它这里等于角 d p a， 再加上一个角 a p c， 那 么我们的三等角角一和角 d p c， 它们两个是已经相等的了，那么这里有一个公共角 a p c， 所以 我们推出角 c 等于角 d p a， 那 么对于这两个三角形来说，我们的两个角也足够一组角相等，两组角相等， 所以这两个三角形相似就能够证的出来了。那么同学们，你们证对了吗？而且证明方法不止这一种，你们找其他的角也是可以的。那现在我们基于这个三等角的模型，我们先看一道比较常考的例题，三垂直模型。 好，我们来仔细分析一下题目，一个 a o b 等于九十直角符号打上 有一个反比例函数，经过了点 a， 点 a， 这里有个小 a 没求出来，但是反比例函数已经知道了，所以我们可以立马写出小 a 的 值，把负一带进去即可。好，那么反比例函数它还经过 点 b， 另一个新的反比例函数，且 ab 平行于 x o， 那 么 ab 平行 x o， 咱们也可以养成这个，一边画题目条件，一边去思考， ab 平行 x o， 则 b 点的纵坐标不就已知了吗？ 纵坐标与 a 相等是四，先在这写一写过 b 点，还做了一个 m n 平行于 o a， 不 过他这个图画的不是很好， 看起来就没有很平行，这两段是平行的，他说这个 m n 交 x 轴与 m y 轴交双曲线。另一点，那我们知道了，这另一点只是点 c 求 o b c 的 面积，那么我们有一个大体的思路先，如果我们得求 o b c 面积，我们是必须得求出 bc 坐标， 没坐标求啥面积，是不是他这个又不符合反比例函数 k 的 几个意义，所以一定得求坐标的， 那么求 b c 坐标我们来看一下。首先这里有个垂直，垂直在平面直角坐标系里面， 你们一定要记得里面的直角，通常来说都会用三垂直，所以我们就过 a 点做根垂线下来，过 b 点也做根垂线下来，则左右的两个直角三角形立马就相似， 根据一线三垂直，非常快的能。正因为 a 点的坐标是已知的，所以他的两条边的长度也是可以知道的，那么 b 点的重坐标已经知道了，所以他这两条边我们只需要列个相似，就可以把 右边这个三角形剩下的这一条边给它求出来。那我们的简单的写一写左边三角形两条边分别是一跟四， b 点这条短，这条边是四，所以根据相似过程咱就不写了。那我们可以简单的写一下比值， 比如说这个是 p 点，则这边的一比上 b p 就 等于左边三角形这个长值表 边四比上右边的长直角边 o p， 那 么 b p 的 长度我们知道是四，所以我们代入的是可以把 o p 快 速的求出来的。求出 o p 等于十六，那么 b 点的坐标也就知道了。 好了，那么 b 点坐标知道了，在咱们这一个反比例函数顺便就可以求出来了，也就是 y 等于 x 分 之十六乘以四，得到六十四。接下来我们说想求 c 点的坐标，因为 c 点的坐标它是直线与反比例函数的交点，所以就得连立直线才行， 咱们的直线已知是平行，那平行 k 相等，所以我们可以通过 o a 的 k 求出这根直线的 k， 那 么这个 k 也非常的简单，咱们写一下直线 o a 把负一四带进去，那就得到 y 等于负四 x， 那 么从而我们就可以推出直线 m n， 它的 k 也是负四，那么究竟加多少，那我们就可以把这一个 b 点的坐标给他带进去，十六四带进去之后，我们就可以口算一下，把那个 b 算出来十六，那么就六十四， 负六四得加个六十八给他，所以 l m n 立马就出来了。之后我们要求 c 点，那就连立方程求焦点都是这个方法，所以这题的思路是很清晰的， y 等于 x 分 之六十四，咱们给他解一解，变成四 x 方减六十八， x 再加个六十四， 还可以再化简下，除以四都除得进啊。那么这个方程你们熟悉十字相乘法的话，可以一下子给它解出来。如果你们遇到一些复杂一点的方程，觉得十字相乘法很难解，你们不妨看一看，因为 b 点的坐标是已经知道的，所以就相当于这个方程 它的有一个解为 b 点的横坐标十六，因为这个方程它求的是直线与反比例函数交点的横坐标，你一个点已知的情况下，那么也就是意味着一个解已知，那么在这你也可以快速的去利用韦达定律去求解。其实 x 一 乘 s 二直接等于 a 分 之 c 十六，那么有一个解是十六，那我们就可以推出 c 点的坐标呢，就是一带进去得到六四， c 点坐标有了之后，它现在求的 o b、 c 的 面积， o b、 c 的 面积，这个是常见的一种 反比例函数中的三角形面积类型，主要是通过 b、 c 这两点。在这儿，由于呢我们是求出了 n n 这条直线的解析式的，所以我们可以快速地使用一个割补法啊去求出来。我们先看第一种，就是我们所做的割补法， 那么三角形 o、 b、 c 的 面积，它也可以有大的 m、 o、 n 的 面积，减去三角形 n、 o、 c 的 面积，再减去三角形 b、 o、 m 的 面积。 由于直线知道，那比如说 m 点跟 n 点的这两个点的坐标是非常清楚的，一下子就能够求出来，比如说 m 点的坐标，那么咱们只需要令 y 等于零，然后 x 就 可以出来了，那么 m 点的坐标就是 十七零 n 点的坐标呢，就是跟 b 相关零六八。那么这个时候这个三角形面积就非常简单了，那这个咱们就不展开对数了。好，再来看一下。第二个方法呢，是一个形状转变的，在反比例函数里面求 o、 b、 c 面积，如果我们不知道这一根直线， 那我们就可以用这个方法再省略一下下步骤，那么也就是这个三角形的面积，实际上它是等于 这个直角梯形的面积。我把这个直角梯形用紫色的笔给你们画出来这个直角梯形， 要证明他们两个面积相等也非常的简单，同学们思路跟紧一些些。首先根据反比例函数 k 的 几何意义，这里有个 c 点，那么这个三角形的面积， 他就会等于这个直角三角形的面积，那咱们会发现这两个直角三角形，他在这会有个公共部分一个小小的直角三角形，所以两个面积相等的三角形减去这一块三角形之后，则剩下来的面积就会相等，也就是这一块面积 等于这一块面积，那现在我们再把这个三角形中的这一块的面积给他转移到这里来，转移到刚我们说面积相等的来，那现在的面积就相当于这一块加上这一块了，那么也就变成了 这个直角梯形的面积。所以当我们如果咱们只知道 bc 两个点的坐标的情况下呢，我们可以用这个方法快速求出来，就不用再去求直线 mn 的 解析式了。方法二就是三角形 o、 b、 c 的 面积，它会等于梯形的面积， 那么梯形的面积也就是我们的上底加下底的合成，以高取二，那上底跟下底分别就是 b 跟 c 的 重坐标啊，也就是四加上 c 点的中坐标六十四在场上高高的话就是他们横坐标之差，那么也就是十六减一，就是十五再除以二，那咱们就可以快速的去求出梯形的面积了。好了，那么这个题咱们就讲到这，我们再回顾一下整体的思路。 第一个如果说平面直角 c 里头如果出现了九十度像这样子的，那我们注意就一定要想到一线三垂直模型， 如果这个直角顶点他不是刚刚好在坐标轴上的，那么同学们也要想起这个一线三垂直，比如我现在任意的画一个直角三角形，那么咱们就想到 过直角顶点得有一根线，那么这根线最好跟坐标轴是平行或者垂直的，那你们就可以自己做一根线，过两边的点，做这根线的垂线段，马上左右两个三垂直模型，他是我们的突破口。 好了，那么下一节课我们会讲一线三垂直里面的三锐角，那同学们可以看一看下面一个视频。哦，好了，这节课我们就到这，我是大头老师。

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，一线三等角。好同学们，看这道题。在一条直线上有三个点， a、 p、 b， 其中 p 夹在 a 和 b 之间， 直线同侧，还有两个点， c 和 d， 分 别和直线上的点连成两个三角形，三角形 apc 和三角形 bdp。 这就是我们要研究的两个三角形。一栏一乘，我们的目标是证明他们完全全等。看条件，第一个角角一就是 a 点处的角 c， a、 p 用黄色弧标出来。 第二个角，角二在 p 点处，夹在 c、 p、 d 之间，两个三角形之间那个角。 第三个角角三在 b 点处。好，三个角分别在 a、 p、 b 三个顶点，而且它们相等，这就是三等角。还有一个已知条件， a、 p 等于 b、 d， 这就是一线三等角里的有边。等条件齐了， 分析开始，因为 a、 p、 b 三点共线，在 p 点这里，三个角拼成了一条直线，角 a、 p、 c 加角二，加角 d、 p、 b 等于一百八十度。 再看左边三角形 a、 p、 c 内角和等于一百八十度角 a、 p、 c 加角一，加角 c 等于一百八十度。 右边三角形 b、 d、 p 也一样，内角和一百八十度角 d 加角三，加角 d、 p、 b 等于一百八十度。关键推倒来了，因为角一等于角二把直线式和三角形 a、 p、 c 的 式子连立，就推出角 d、 p、 b 等于角 c。 第一对对应角找到了。 同样因为角二等于角三连立，直线式和三角形 b、 d、 p 的 式子推出角 a、 p、 c 等于角。第二对对应角也来了。 现在凑齐了，两对角相等，再加上 ap 等于 b、 d。 用 a、 a、 s 角角边定里，三角形 a、 p， c 和三角形 b， d， p 完全全等。 全等之后，对应边对应角全都相等。解题时需要哪条边哪个角，直接用这个对应关系就能写出来。来总结这个模型，一条线上三个点，三个角分别在三个顶点且相等，再加一组边相等，就能推出两三角形全等。 记住口诀，三个顶点共直线有边等，通过倒角政权等，这就是经典的一线三等角模型，中考必考。见到三角相等的图形要第一个想起它。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似多模型综合。今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该 属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字 八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这，给你个比例翻点，这是 a， 这是 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊。自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八，反 a 八，反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a， 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八。反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八，反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似。不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的，好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似，三个直角就可以导互于正相似。阿尔法。贝塔互于，贝塔和他互于，他也是阿尔法，阿尔法和他互于，他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法、贝塔、贝塔相等就相似。 好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似。本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示。那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形。既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己比。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比就等于它的三边比， 这就是用相似的两种方法，而只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 上。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积。 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔 啊，这个也贝塔。好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c。 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s， 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好？表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四，算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为，好，再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了， 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比，哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了，这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示。这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉是不是就是 s 一， 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s 三角形 a 撇 e， f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好，算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一。 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积？它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面要核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意 就是用相似表示线段的方法好来看第二题，第二题能不能看出来它考的是个什么？相似？八字相似，哎，捅八字捅哪个点？统一点，非常好。这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似， 相似比是多少呢？啊？你可以看自己比，他的自己比是六和六，他的自己比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 d f， 我 要求 d f。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在 什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字 相似比是多少？相似比就是一比二嘛，相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以做个答案， d f 就是 四结束。哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间假比例关系，你把它捅出去就造八字。注意， 捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有两个八字，你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束， 这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。好再来好来看看这个题，这个题他说什么？说这两个都是角分线，然后呢，这九十度，这九十度，这是一个梯形啊，把这条线段转过来啊。最后呢，让我们求什么？就是告诉我们这条线段是二 啊，他俩的比是根号五，最后要求 a d 的 长。首先当你看到双角分线的时候，两个角分线为什么要给你双角分线？一般来说，双角分线意味着这里看和差，和差定值，那么双角分线一半啊，两个一半也是定值，你看一下这两个角的和差是不是定值， 一定要去这么想，为什么是这么说呢？因为当出现双角分线的时候，如果原本和差是定值，那么双角分线一半和差也是定值，他就是这么编的。题，当出现了双角分线，那意味着什么？ 意味着可能如果原本的和差是个定的，那么双角分线之后一半的和差也是定的。和差吗？就是加起来吗？来，那么这两个角的和是定的还是差是定的吗？因为这两个同旁内角互补，他俩加起来是一百八， 他俩加起来，也就是说两个阿尔法加两个贝塔等于一百八十度，那么阿尔法加贝塔是不是就等于九十， 对吧？因为同旁内角互补，两个阿尔法加两个贝塔一百八，一个阿尔法加一个贝塔九十，那么这就是九十度。因为这个角加这个角互余，那么这就是九十度，这就是你看到双角分线以后该有的意识。而这个角分线呢？还有第二个玩法，你看啊， 当你看这个角分线上的点，因为我们角分线，你看角分线还有第二个角分线，如果你看到了一边造垂直， 那你是不是一定要去看一看另外一边再造垂直，就会得到权能，对不对？来，你看这条角分线上的点，已经向他的角的一边做了垂直， 那我是不是就应该顺手再由意向谁去做垂线？我是不是应该再由意向 c、 d 去做垂线？ 一旦做完垂线，那你会发现这两条垂线段是不一定是相等的，这两个三角形也一定是全等的。那么同样的道理，这个 e h 不 光等于 e a， 这个 e h 不 光等于 e a， 还等于谁？ e h 等于 e b， 因为这条线也是角平分线，他往这边做了垂直，还往这边做了垂直，这两个垂线段长肯定也相等，还等于 e b， 好， 那么这样的话，我其实得到了 e a 等于 e b 这个点， e 它是一个终点， 这就是角分线做垂直造全等，哎，我就得到了这个等于这个等于这个，这都相等，还等于这个。好，那这个时候既然我们知道这些线段都相等了，我就应该干什么了，哎，我就应该射了吗？那我肯定把它射出来，我就射，这是 a， 那么这也是 a 啊，那这是 a 啊，这还是 a， 对 吧？ a a a a， 然后呢，人家要告诉我们， ab 等于根号五倍的 bf， ab 是 多少？ ab 是 二 a 等于根号五倍的 bf， 所以 这就是二 a， 再除以根号五嘛， 对吧？你看它是它的根号五倍，这是二 a， 这是二 a， 除以根号五，那么 bf 也就表示出来了。 这是一开始我们对条件的解读啊，包括双角分线，包括向两边做垂线，包括呢？这些相等的线段，我把它设出来。好，那么最终这道题要求的是 a d， 要求 a d， 要求 a d， 这显然是放一个三垂直里面去求，没问题吧？ 当你得到这个是九十度的时候，你要求 a d， 显然是放到这个三垂直里去求，这个三垂直太明显了，对吧？为什么一定是放到这个三垂直呢？因为你会发现，你要放上面这个直角三角形，啥条件也没有，所有的条件几乎都集中在下面来，那么这一下呢？我们从哪入手去求呢？大家觉得这里面目前 最关键的三角形是哪个三角形？这个三角形是已知条件目前最多的三角形，那我肯定从这入手了， 锁定这个三角形，那这个三角形是一个等腰三角形，你要想用这个已知条件，你怎么办？三线合一，第三步就是等腰三角形，三线合一，等腰三合一。注意，为什么在这个想到要在这个等腰上去做三合一呢？因为这个这个等腰三角形条件太多了，我一旦做完三合一，哎，那你会发现，这就是根号五分之 a， 这也是根号五分之 a。 好 了，那这个直角三角形，它的三边比就是一比二，比根号五。看斜边和短直角边的比是根号五比一嘛？根号比一，我给你画一下，它其实就是 一比二，比根号五的三角形，它是它的根号五倍，它是它的根号五倍，那这就是根号五分之二 a。 来，再来，我现在知道了这个三角形的三边笔了，然后呢，我就想办法要找跟他相似的三角形，这是九十度，这是九十度。来，看好了，这一个九十，这两个九十，大家能想到啥？再往下，我得到了这个三角形三边笔，我肯定要想办法用它，一个九十，两个九十，大家想到啥？内三垂直，为什么说内三垂直？来，我给你在这画一下，看，这是九十度， 拉了一个条线，这是九十度，哎，那自然，我在这再来个九十度，这是不是就是内三垂直？所以呢，我一定是过哪个点向下做个垂线，过 f， 我 再向下做个垂线，一旦做完垂线，哎，那你会发现这两个绿色的三角形就构成了内三垂直。内三垂直意味着这个三角形的三边比也是一比二，比根号五， 所以他是二， a 除以五，然后他是他的二倍，这就是五分之 四。 a 看，一比二比更好。五，因为这两个三角形相似，用一次自己比，所以第四步是内三垂直，对吧？内三垂直就是这两个绿色三角形相似，他是一比二比更好，五，他也是一比二比更好。五。 好了，到这呢，我们都表示出来这么多线段了，来，能不能带上这个二，来把这个 a 算一算。你这次应该观察了，这么多线段都有了，看一下 能不能列出相似。这又有一个 a 字了，看，这两条线又是平行线，哎，那么这一个平行线就会出现一个 a 字，就是 f h 平行于 e， b 会有一个 a 字。第五步， f h 平行于 e， b 就 会有一个 a 字， 对不对啊？就是这个 a 字，这个 a 字我用 fh 比 e， b 就是 五分之二， a 比 a 就 等于二，比 a 加二，这个 a 字就有二，比 a 加二就等于五分之二。 a 比 a， 来看一下这个比例关系很好算，我可以算出来， a 等于三， a 等于三呢？整个问题都结束了，来，我们来观察一下，最后 a 等于三的话，那这就是二，这就是五分之六。 五分之六，这是二，就是五分之六，可以算出来这条线段是五分之八，这条线段是五分之十二，那么 a 等于三的话，二， a 就 等于六，这都是三，这也是三 好。那么最后再 y 三垂直，这个 y 三垂直，你在那这条边我就可以算出来是四好。最后第六步，第六步就是 y 三垂直，大的三垂直大三垂直就是 a， d 比三就等于三，比四， a d 就 等于四分之九。结束，所以这道题总共有六步，把这道题搞定。来吧，兄弟们，你看我们用了哪六步呢？第一步，我们想到了双角分线，这得九十度，就得大三垂直。这是第一步，双角分线和差定值得九十度。第二步， 看到了角分线，向一边做垂线，我再向另外一边做垂线，那么你会发现这些都是全等的啊，这两个全等，这两个全等导致他和他相等，他和他相等，导致这两条线段的相等得到，这是终点，这是第二步。 第三步，在这个三角形内等腰三合一，这是第三步。好，第四步，内三垂直，内三垂直得线段长。然后呢？第五步， a 字。第六步，大三垂直。来，我来说一下，五分之二是怎么来的？看他是他的根号五倍，你用他除以根号五，就得到他 内三垂直。一般怎么想到？来，我再给你画一下内三垂直。一般怎么想到，当你看到了这有一个直角，这里面拉了一根线，那么这有垂直，那么你可以。你看啊，你这种时候造内三，你可以这么造，这是内三垂直。 你还可以怎么造啊？你还可以这么造，这也是内三垂直。总的来说，你只要有三个直角，可以倒覆于正相似就行。好吧，这就是内三垂直。怎么想的？来，我来说一下啊，就是这道题啊，其实你单看任何一步都不难，都非常简单，但是你把它揉在一起，就需要你对这些东西特别特别的怎么样？ 就像你对，哎，比如说双脚分线啊，脚分线造拳等呀，等腰三线合一啊，内三垂直啊，还有这个平线带来的 a 字啊，还有最后的大三垂直，如果你把它揉在一起，你就需要你对这些东西特别特别的熟，所以这就是基本功的熟练度， 这就是这两年中考的考核方向，他不会考核你什么天马行空，然后特别特别复杂的什么模型，不会的，这两年中考很少考到那些东西。 这两年中考这就是最常见的题型，就是他很复杂，他揉了很多东西，单看任何一个都不难揉在一块考你基本功，我跟你说，你不需要做太多的题，你把这道题给我做十遍，你去感受一下， 把它做十遍，就是你要把题目真的做透，让这些本事长在你的脑子里，而不是你贪刷很多，这不需要刷很多题，真的，我们整个孩子们，你说缺不缺练题？他们题量都太多了，他们是做题太多了。来，我们再来今天最后一道题，二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形， 然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值，这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度， 那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么，这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量。首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b。 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系放在一块。一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立 三垂直，全等，再来等量，等量，你就表示三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己正吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经正过了，他告诉我们 e、 d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m、 n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形的边长，你会发现，那么 e g 就是 三， e g 是 三，那这也是三。大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁，那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这个，因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm， 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm， 等于三分之二了，我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线求国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢，我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二，十六， 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n 你 要注意它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n 想让它只能放到这个三角形，但这个三角形啥也没有，所以呢，我取线就过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造 a 字，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段。所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中充斥着飙射、放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西？看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八，像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样，三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合。我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先这些最基本的模型以及构造你必须得会，这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看，我们昨天讲的是最基本的全等相似，对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说，这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。

今天我们来讲中考几何模型中的绊脚模型， 今天我们来讲一下绊脚模型，绊脚模型是在我们初四的这个现在的第二十题，第二十四题、二十六题和二十七题 这四道题中用到比较多的，那里面用到最多的呢？其实就是绊脚中的九十度，中间包含一个四十五度这样的一个模型图， 那我们来探究一下它里面具有一些什么样的结论。一般会让我们去探究三个线段之间的关系，也就是这里面的 e f 线段， b e 线段和 d f 线段它们三之间的关系。 那这三个线段其实我们可以看出来是有两个较短的线段和一个啥较长的线段，那这种短加短等于长的形式，我们一般都会通过截长波短来证明。 那在这道题里边呢，其实我们就可以先干什么呢？先去构造一个旋转型的全等，因为我们要记住六个字，这是半角模型辅助线构造的核心思想叫做先旋转后翻折， 先旋转后翻折，顾名思义就是啥意思呢？先旋转构造一个旋转型的全等，那转谁呢？我们去把两个较短边的这两个啥三角形转到一块去， 其实我们这里边就可以先去旋转三角形 a、 d、 f， 但在我们数学的辅助线构造里面是不可以说旋转的， 所以我们可以通过一个延长来进行一个等量代换，所以这里边我们可以将这个 c b 往左进行延长，延长至一点 g， 然后去打造出一个 b g 的 长度和这个 d f 的 长度是相等的，然后去连接这个 a g， 那这样的话我们可以看出三角形 a、 b、 j 和三角形 a、 d、 f 其实是全等。三角形全等的依据就是正方形嘛，所以边长 a、 d 和 ab 是 相等的，还有角 d， 它和角 ab、 j 都是九十度。还有我们构造的这个线段 d、 f 和 b、 j 是 相等的，所以可以通过边角边来构造全等。所以我们先去证明这个三角形 ab、 j， 它全等于三角形 a、 d、 f 通过的是边角边，它俩全等之后，那对应边对应角随之都相等了。我们为了方便可以标注几个角，角一、 角二、角三全等之后，角一和角三是相等的。那我们知道在这个直角的位置上，角一加角二是等于四十五度的，那么等量代换之后，角二加角三也等于四十五度，那合在一起，这个角 g、 a、 b 就是 一个四十五度的角， 它和这个已知的角 e、 a、 f 就 相等了。还有就是全等之后的对应边儿 a、 f， 边儿和这个 a、 e、 g 边儿是相等的。 所以我们可以看出来，这个三角形 a、 e、 g 和这个三角形 a、 e、 f 其实也是全等的，通过的依旧是边边相等四十五度，四十五度的夹角相等以及公共边 a、 e 也是相等的，还是边角边。三角形 a、 e、 g， 它是全等于三角形 a、 e、 f 的 s、 a s。 所以这就是刚才我们说的六个字叫先旋转后翻折，先去自己构造一个旋转型的全等，再去证明一个像蝴蝶翅膀一样的翻折型。全等判定的依据都是边角边， 那通过这个全等之后，对应边 e、 j， 它和 e、 f 就 相等了。所以我们可以证明出 e f 它等于的是 e g， 而 e j 又是由两部分构成的，它等于的是 b e 加上 b j。 我们在构造辅助线的时候，构造的是 b j 和 d f 的 等量关系，所以继经等待再换，我们就可以保留 b e 之后，将这个谁 b j 转变成这个 d f， 进而你看结论就证明出来了， ef 这个线段长等于 b e 加上 d f， 所以这就是我们半角模型的结论。并且全等之后，这个角标一个角四吧，它和这个角角五也是相等的。角 g 呢？因为这个旋转型全等它和角六是相等的。 根据三角形的全等，角 g 和角七是相等的，所以我们可以证明出两边是啥呀？角分线，也就是角四等于角五，角六等于角七，那么 e a， 它其实平分了角 b e f， 同时 fa 平分了这个角 d f e， 这就是我们半角模型的几个结论。下一个啊，这是第一个结论， 第二个结论通过全等之后得出角四等于角五，角六等于角七，这就是今天一会做题我们需要用到的一个结论。

好，孩子们，今天咱们就利用这个视频来给大家讲解一下一个全新的模型啊，我们称为费马点模型， 那么这个费马点模型啊，是一个很厉害的学家，费马啊，他所研究出来的，那么我们这个费马点模型的原理是啥呢？就是要将 y 型的线段转化成 z 字形的线段，或者是闪电型的线段， 因为只有这样我们才能够求出他的最大值和最小值的问题。什么意思呢？比如说孩子们，我有一个点在这呢， 有一个点在这呢，问你这两个点之间的距离肯定是线段最短，但是有的时候我们旋转完之后发现他的头像是这样子的，是不是啊？那一定是直接连接开来，他俩是得到了最小值。 好，我们首先来看条件，他说对于三角形 a、 b、 c， 每个内角都小于一百二十度，为什么会有这个条件？大家可以课后去思考一下。 dog 呢？在它的内部 让我们求的是这三段合的最小值，大家仔细观察一下这三段是不是 y 型，那么我们的首要任务就是要将 y 型转化成 v 字形或者是旋转型，那么这个就用到了我们刚刚给大家讲过的二十五个模型， 奔驰定律的样子，差不多，对不对？好，那么接下来咱们来旋转一下看，那么我们这个在旋转的过程中，你旋转哪个三角形他都行，但是我们这个旋转和奔驰的旋转有点不一样，大家一定要注意，这个旋转一定要是向外旋转， 什么叫做向外旋转？就我在旋转一个三角形的过程中，不要让它经过三角形 abc 的 内部，比如说我要旋转 abc， 那 你就要逆时针旋转， 如果说你顺时针旋转，是不是 ac 这一条线就扫过了 ab 啊？这是不行的，那你比如说我旋转 bdc， 那 就要顺时针旋转，对不对？孩子们，好，为了能够让大家更清晰一点啊，为了能让这个图更清晰一点，我们假设旋转 bdc， 我们将 b、 d、 c 这个三角形绕着 b 点顺时针旋转六十度，那它就变成了这样一个图。 我在旋转的过程中，或者大家在旋转的过程中，一定要先旋转这个已知的线段啊，它是比较好描述的。好，那么接下来 b、 d 就 旋转到了这个位置。 第一， ok， 我 们把它们连起来，大家会发现，因为是旋转，那么所以说这个三角形和这个三角形它就是全等的，只要这两个三角形一全等，而且旋转的又是六十度，所以说第一， d、 b 这个三角形，那就是等边三角形，那让我们求的 a、 d 加 b、 d 加 c、 d， 那 就转化成了 a、 d 加 b 一， b、 d 一， 那是不是就等于加 d、 d 一 啊？再加 c、 d， 那 么 c、 d 是 不是 c、 d 一？ 大家会发现，如果说这个三角形 a、 b、 c 是 定死的，那就代表 c 一 是定死的， a 也是定的，那就相当于求这段加这段加这一段的最小值，那是不是直接连接它俩就是最小值了？孩子们， 那这就是我们将外形转化成了一个闪电型的形式，求出来的它的最小值。 ok， 孩子们，那么当出现这个最小值的时候，那么屁点一定是在这条直线上的，也就是当 a、 c、 p 三点共线的时候，它最小， 那么三点共线的时候最小，那么你会发现根据 b、 d、 d、 e 是 个等边三角形，六十度，那我们就可以得到了，原来角 b、 d、 c 是 等于一百二十度的， 根据对称性我们还可以旋转这个和这个同样的也可以得到，它还等于 a、 d、 c 还等于 a、 d、 b， 它们都等于一百二十度，这就是费马模型，费马点模型最最重要的一个结论，一百二十度模型，那么大家一定要搞清楚什么时候最小， 等我们熟练之后，你会发现我们只要将 b、 c 这一条边旋转过来连接就是它的最小值，同理我可以将 a、 c 这条边旋转过去，那么 b、 c、 e 就是 最小值。 大家可以根据我们视频后面给大家准备的几个题来感受一下，需要录播课的随时找我。

熟练运用定里，面对难题也能找到思路。如图所示，三角形 a、 b、 c 中平行于 f， 且为 b、 a、 c 的 角平分线， b 和 e、 c 的 长度相等，已知 a、 b 长度为七， a、 c 长度为十五，求 a、 f 长度。先试着自己思考一下，五秒钟后公布答案 时间到。这道题可以用到角平分线定理。先给介绍下角平分线定理 还是三角形 a、 b、 c id 为角， a 的 角平分线，将边长分别标记 a 一 到 d 做 a、 d 的 平行线， e、 c 设角 b、 a、 d 和 d， a、 c 的 角度为，因为 a、 d 和 e、 c 平行，因此角一和 se 分 别是这两角的内错角和同位角，二者角度同弯，因此 a、 c 与 a 为等腰，长度都为 b 平行线，分线断成比例，因此就能得到 a、 b、 b 等于 c 平行线断成比例。回到题目这里， a、 b、 b 为角平分线，可以直接套用角平分线定理， 可得 b、 d 比 c、 d 为七比十五，设得 b， d 等于七 x， 那 么 dc 就是 十五 x。 题目已给出 b， a 等于 e， c、 d 就是 b， d 加 d、 e 计算，可得 d 为四 x， c 为十一 x。 又因为平行线分线段成比例，所以 a、 f、 e、 c 的 比和 d 与 d、 c 的 比相同。已知 a、 c 的 长度就能求出 a、 f 长度。答案为四，你学会了吗？