襄阳数学几何题怎么做中考

今天我们用校感二模真题见二十二题来预测中考查漏。同学们好，我是蔡老师，湖北中考即将临近，今天老师要给大家分享的是校感二模试卷里面的二十二题，二次函数的题目。同学们日常练习的比较多的都是关于这个 焦点式，那当突然出现了一个顶点式的时候，有同学甚至连顶点式的解析式都忘记了。所以呢，今天老师要给大家讲就是二十二题函数大题顶点式和一般式的一个几何分析。 审题的时候如果出现了这个明确的出题方向的时候，你要去抓住这个绳子啊，顺着往上去爬，把这道题给他做出来。 尤其是像第三问这种题目，我们一定要去灵活答题。那针对这样的题目，老师又给大家一些具体的答题策略啊，写在这里，一二三四四条。给的是一个跳水运动员在进行跳水训练时的洁面图啊， 给的是个洁面图，也就是一个侧面去看到的一个人，他从 a 点起跳，然后因为板子给了他一个向上的一个力啊，那他先向上运动，然后呢？由于重力的原因，左右向下下坠啊，大概是这样的一个轨迹图，数学里面不需要研究物理这么细，我们只需要把 这个运动员的身体看成是一个点，他在空中是一条抛物线，知道的信息是跳板 ab， 他的长是两米， 题上也就是在给点坐标，好，跳板 a b 的 长是两米，对应的是横着的距离，所以给的是横坐标啊，这个跳板 a b 啊，这个距水面 c、 d 啊，它的距离高是三米，那也是给的是 竖着的距离，也就是纵坐标，所以由这两句话啊组合在一起，我们可以把 a 点的坐标二，逗号三给它列出来， 好，继续训练时跳水的这个曲线。在你起跳点 a 水平距离一米，水平距离是横着的，所以给的是横坐标，说距离水面最大高度是 h 米啊，那是不是就是纵坐标？ 所以我们现在就可以得到这个地方的最高点啊，可以给他列出来横坐标是三，纵坐标就是 h。 好，现在以这个 c、 d 为横轴，以 b、 c 为重轴，建立平面直角坐标系。我们先看第一问，他说画出这个平面直角坐标系之后，当 h 等于四的时候，求抛物线解析。那这个时候啊，我们就要翻译出这个地方顶点就是三，逗号四， 那我们在这里发现有一个顶点和一个点坐标，如果用一般式去表示的话，我们需要是三个点才行，显然这里只有两个点，所以我们这里要反映出用的是顶点式。好，顶点式对应的解释是， y 等于 a 乘以括号 x 减 h 的 平方加上 k， 由于这个抛物线它是开口向下的，所以 a 是 一个负数，你先要它取到最高点，开口向下， a 不 为零， a 一定是一个负数。 x 减 h 的 平方，它是一个非负数，那一个负数乘一个非负数，我们得到的结果一定是一个非正数，它是一个非正数。我要整个式子最大取最大值，那是不是必须它就为零？ 由于 a 不 能为零，所以是不是只能 x 减 h 是 零，不是纯纯的从数学原理的角度去分析的，那这个地方我们就可以翻译出其实 x 就 等于 h， 同理，当这一块全部都是零的时候，我们是不是能得到 y 就是 等于 k 的， 所以啊，当顶点他的坐标， 也就是单逗号四的时候，也就是这里的 y 等于四，同时等于 k， 所以我们有的时候写这个式子会写的非常快，直接写出 y 等于 a 乘以括号 x 减三，收括号的平方加上四啊， 这里的 h 对 应的就是顶点的横坐标，这里的 k 对 应的就是顶点的纵坐标。我们注意这里的 h 是 公式里的 h， 我 们这里给的这个题干里面的 h 对 应的是这个公式里面 k 的 位置啊，把这些小的细节点去明确清楚， 但得到这个解释里面只缺一个参数 a， 所以 我们只需要找一个点就行了。还有这个二逗号三是没有用，你直接给他代入啊，二代入进来，二减三的平方是负，一的平方是一，也就是 a 加上四等于三，所以 a 解出来等于负一， 刚好就对应上了开口式向下啊，所以解出来是没有问题的。解析式就是 y 等于负的括号， x 减三的平方加四。注意，最终结果要写成一般式的形式，那就是负的 x 方加上六， x 减九，加四就是减五。 这是我们第一题啊，他的一个答案，我们再看第二题。好，第二题里面呢，在一的条件下，说明解析式依旧能用，先要求这个运动员落水点与 c 的 距离。那我们在做题的时候，第一问啊，分析这个运动轨迹就是 去求他的一个解析式啊，那第二问，我们就是另 y 的 值去求 x， 在 这里他落水了，落水就是落到了这个 c d 这条线上去的话，那 y 对 应的纵坐标是不就为零，所以啊，第二文就立一个 y 的 值就行了，等于零呢，所以我们直接来求 x 即可。好，那解析式啊，最好在这里大家就直接用这个配完方之后的式子去求，这样是最快的，我们直接令 y 等于零，转换出 x 减三的平方等于四，直接开方法， x 减三等于正负二，所以 x 等于三加减二， x 一 等于一， x 二等于五， 我们发现这个地方人跳水的时候肯定会超过这个二啊，所以这边的一是不能取的，给它舍掉，那我们解出来 x 就 等于五。 好，这是第二问好，那第三问考察的时候就求一些参数的取值范围，也就是和不等式去结合，那函数和不等式去结合，就把它的难度去拔高了啊，也就是我们怎么去拉开差距。那今天老师要给大家分享一个解析策略，就是把这个差距我们通过一个 解析的策略去给他，就是缩短啊，因为我们解析无非就是要算出数值，要么是不等式，要么是等式，那现在我要得到数值的话，就用到逢解，带入这样的一些思维。老师给大家讲解，现在题目说 c e 的 长是五啊，我们给这个一的坐标标出来就是五都和零， c f 的 长度是等于六米，所以 f 的 坐标是六等号零。现在来说，这个跳水运动员在这个区域 e f 内入水时，才能达到线的要求，要直接写出 h 的 取之范围， 也就是在前面里面啊，有些信息是用不了了，也就这个 h 等于四被我们避掉了。好，那我们从开头去探索，哪些是能继续用，哪些用不了？ 好，这个解例式是不是能继续用？它还是以一个这个顶点式的形式，横坐标的三是不继续使用的，只不过说这个纵坐标，它这个四啊，我们用不了了，所以现在把这个四给它擦除掉，从三四换成了三 h。 好， 那我们就可以得到 y 是 等于 a， 乘以括号 x 减三收括号的平方加 h 即可。好，那刚我们第二个步骤是不是把这个二三带入？好，现在依旧是把二三带入啊，那二带入进来得到 a 加上 h 等于三， 现在要求 h 的 取值范围，所以 a 这个位置数是不是要被替换掉？我们就用带入消元的形式把这个 a 去给它换掉啊，那 a 就 等于三减 h， 所以 我们的这个解式就变成 y 等于括号三减 h， 再乘以 x 减三，括起来的平方加上 h。 啊，好，那就是这样一个表达式。好，这时候同学就要想了，哎，老师，你这个地方要去另 y 等于零，向第二问这个思路，另 y 等于零解方程，然后把这个 x 解出来，这样计算量是不是有点大？ 哎，同学们是不是会担心这个点？那我们怎么来把这个问题去突破掉呢？尤其是这里是直接写出答案，所以我们不妨就直接把这个不等式的信息转化成等式的信息。草图是可以随意去画的， 所以我们只需要满足这个五零和六零是不是分别带入到这个结式里面，把这个 h 求出来就行了。那你把这个五零六零带进来的话，这里是不是得到关于 h 的 一个一元一次方程就很简单了啊，当取这个一点的时候，把这个五零带进来 啊，五减三的平方是等于四啊，也就是四倍的括号，三减 h 加上 h 是等于零，好，把它解方程。三四一十二减四， h 加 h， 九减三， h， h 等于四，好。再看这个，当 这个六零的时候，带入进来六减三的平方是九，那就是九乘以括号，三减 h 加上 h 等于零，好，这里是减九， h 加 h， 八 h 等于二十七，所以 h 等于八分之二十七。这样我们比较一下四和八分之二十七的大小，发现什么呀？四它是不是 更加大，那说明我们刚刚这个草图实际上是画错了的，说明他跳的越高，他是不是落的就是越靠近这个一点， 所以我们刚刚只凭感知在画，但是我这个草图是画错了的，并不影响我这个题目选对。八分之二十七是比四要小的，所以 h 大 于八分之二十七小于四，这地方就要拥有一些常识，比方说我起跳起跳的 更高的时候啊，他这个地方就越窄，对不对？好，他越窄的话，变化的就越快，变化的越快。哎，他落下来是落到了这个 e 处， 而如果我起跳啊，起跳的是这个矮一点的时候，他是相对来说更宽的，那更宽的话啊，他是落到了这个 f 处。所以我们刚刚画了这个模拟的草图，其实不对的啊，真正的模拟正确的图应该是绿色图， 当要确定某个量距的数值里面变成了参数的时候啊，我们转换出不等式，而这个不等式不好处理的时候，我们就给他转换成等式啊，用到一个逢解带入的思维， 因为我知道这个点在这个解析式上，所以我就把这个点啊给他去带入，从而把它转换成一元一次方程就实现一个降维啊。那在题目里面我们就可以预判到他的一些考点， 要么就是顶点式和一般式的考察，顶点式公式容易遗忘，大家考前可能要查漏补缺的一个点。再来就是分析题目信息的时候，我们要学会全后去对照啊， 比方说我求出来这个 a， 如果他求出来啊是一个很奇怪的正数的话，那肯定不对啊，你要去给他调整，以及我刚刚在求这个 h 的 过程中发现了这两个啊，和我的模拟草图是不对应的时候，我要把它这个思路调整一下。三个点，题目中如果询问某个特定的值，比方说他问某一个点啊， 它对应的 x 值，或者是它的一个什么距离的话，我们要反映出它到底是要求什么啊？实际上也就是求，比如 x 和 y 取一个特定的数值的时候，或者取零的时候，对应的啊，另外的一个 变量的一个值。那第四个点就是给定的某个量里面含参数，我们怎么样去用一些技巧去转换？老师又给大家在这个啊，中考的名校压轴题上找类似的这样的题啊，我们去做一个预测， 我们考试的时候类似这样的题还是非常有可能出现的，给大家去练一下手啊，按照刚刚老师讲的这个答题策略去把这样的题目去完成。老师今天给大家分享的湖北卷的一个考试要点啊，但按照老师分享的这样的一个答题策略去完成一些啊，对照挑选出来的真题， 然后呢，老师也把对应的题目放到了这个评论区啊，需要同学或者要提前为这个二零二七年中考准备的同学也可以点击链接去购买名校亚洲题，这就是老师今天给大家分享的内容，你学会了吗？

初二和初三即将中考的学生们注意了，如果你对于这种翻折问题总是头疼，见到这种题看到就被吓到了，而且这种类型题呢，还是近几年中考当中的一个常考题型， 为什么翻折问题这么常考呢？因为它太重要了，它里面暗藏玄机。 但是呢，今天你跟李老师一起学这道题的时候，我会告诉你一个口诀，这个口诀就把它整体的这种玄机全部给你展示在面前， 那你都知道它的玄机所在了，那你不就可以应对自如了吗？所以今天李老师要跟你分享的这句口诀就是， 翻折不可怕，全等平分全显化，对应关系无变化，性质分析全拿下。怎么理解这个口诀呢？也就是说，当你遇到翻折这两个字的时候，你就会想到全等图形平分线 对应关系，也就是它的位置关系，还有相应的平行四边形，特殊平行四边形的性质全部都出现了， 也就是说当他出现翻折之后，你应该知道的就是这个折痕其实就是角平分线。 然后呢，翻折之后的这两个图形也是全等图形，那么全等图形的所有性质他全部都具备，那我们在解决这个问题的时候，他的翻折产生在了这个菱形里面，所以菱形的所有性质他也全部都具备。 那么做这种类型题的时候，你把握住这个方向，你就可以分析很多题目当中隐含的条件了。那对于这个类型题呢，我们一起来看一下，他说这里是四，哎，分析来了啊，全等， ok， 这里也是四，他说 d g 是 三， 那你看到三，而且还有一个垂直，你会想到什么？是不是我们说的勾三股四弦五啊？ 对吧？那这样子的话，你会你会发觉这块这块是个直角，缺了一个东西，缺什么呢？缺了一个斜边，那这个斜边怎么办？我把它做出来就可以了呀。怎么做呢？肯定是要做 a d 的 平行线呀， 他让我求 a e 的 值，让我求 a e 的 值， a e 的 值怎么求？那这里面你会发现他用到了勾股定律，只要是用到了勾股定律，我就要知道这条边，而这条边跟这条边相等，也跟这条边相等，这条边又跟 a e 有 关 啊，那这个时候关系其实已经出来了，那我想到关系的时候，我就应该想到方程的思维， 因为他很多量不知道，但是他有关系，记住只要有数量关系，而且还有不知道的量，我们就可以想到方程思维非常重要。 所以这个时候我设谁呢？设 a e 为 x， 所以 这里我们把它定为 h， 这个 d h 这一块也应该是 x 平行四边形，对吧？那这个 h g 就 应该是三减 x， 刚才我们说了菱形这条边应该是四加 x， 那 这条边也应该是四加 x， 那 么这个 e h 也应该是四加 x。 ok， 这个问题我们其实已经解决掉了， 那么我就可以得到四加 x 的 平方，减去三减 x 的 平方，就应该等于四的平方。 解这个方程相信大家都已经会了，所以解出来之后，这个 x 应该等于十四分之九，那么 a e 的 长也就是十四分之九拿下。所以解决这种类型题呢，翻折问题一定要注意全等和平分。 然后他还有一个是对应关系，也就是说我在没翻折之前的这个对应关系和翻折之后的这个对应关系这个夹角啊，还有要是要垂直还是垂直，要平行还是平行，他是不会变的，而且再根据四边形的性质就可以把这种类型题解决掉。这个题唯一难一点的地方是这个辅助线的做法， 而这个辅助线呢，正好有勾三股四，那这个时候又可以把它怎么样？想到这构建这个直角三角形。 ok， 今天我们就讲到这里，你学会了吗？记得给李老师点赞关注哦。记得关注再走。

一分钟学会一个几何模型，为什么同样一道题，你在草稿纸上傻傻的计算，而学霸却能轻松几步口算出答案？那是因为你掌握的方法太少。例如这样一道题，给出一个三角形，角 b 等于两倍的角 c， 让你求线段 a、 c 的 长度。 很多同学看到这道题，马上想到做角平分线，于是能得到两个小角都等于阿尔法，并且分割出两个三角形。不难发现，一号三角形是一个等腰三角形，得到 b、 d 等于 c、 d。 在二号三角形和整个大三角形中，角 a 是 公共角，并且又都有角阿尔法，所以它们是一组子母相似三角形。我们设 a、 d 等于 x， 得出比例式，能得到 b、 d 等于四分之五 x。 因为一号是等腰三角形，所以 c、 d 也是四分之五 x。 再次利用比例关系，能得到这样一个等式，求出 x 即可。 但是你会发现计算量非常大。那学霸会怎么做这道题呢？给出一个等腰三角形，底角都是阿尔法，那这个三角形顶角的外角一定是二倍阿尔法。回到题中，因为你是二倍阿尔法，所以我们把它想象成等腰三角形，顶角的外角向外构造等腰三角形，即可 延长 c、 b 到点 d， 使这两条边相等，并连接 a、 d。 我 们能得到这两个角，也是底角为阿尔法的等腰三角形，所以它们相似。 我们再次大胆引入未知数，设 a、 c 等于 x， 所以 a、 d 也等于 x。 列出比例式，将数值代入，能得到这样一个等式，轻松可得。 x 等于六，答案不就出来了吗？同学们，你学会了吗？

中考最后三道压轴题分别是圆二函数体和综合大压轴，如何快速拿下这些题型，稳稳拿到满分？今天我给大家整理了攻克这三道压轴题的使用口诀。首先来讲圆的题型，第一，见到圆，牢记三线一补，看到直径，立刻想到九十度的圆周角， 看到切线，马上连接半径，得到垂直关系。看到弦，第一时间运用垂径定理解题。第二，题目要求求解角度时，优先寻找四点共圆，利用四点共圆对角互补的关系，快速推导角度关系。这是今年的一道北京的一模题，已知 a、 b 是 圆的直径，哎，我们知道直径所对的圆周角是个九十度， c 为半圆，上一点连接 a、 c。 好 了，注意， a、 c 做的是圆的啊！弦看，接下来又说了，过点 o 做 o、 d 垂直于 a、 c， 那 么 o、 d 过圆心了，这不就是径吗？ 又有径又有弦，这就是垂径定理呀！所以我知道了，这儿垂径，那么 a、 d 等于 dc， 这儿是个中点，所以这个三角形它就是一个等腰三角形。继续来看下一个条件，过点 a 做半圆 o 的 切线，只要碰到切连半径得垂直。好，注意这里啊！ 接下来交代位置关系，求证 e、 c 为圆 o 的 什么切线？老师说了，只要碰到切，我们就是连接半径，要得垂直。所以我们是不是就要去证明角 e、 c、 o 是 九十，怎么去正呢？那肯定就是根据题目当中给我们的这三个关系去正了。先来看第一个， a、 b 是 圆 o 直径好得到角， a、 c、 b 是 九十。 第二个，这里有一个垂径，得到了三角形， e、 a、 c 是 一个等腰三角形，所以我们就得了等腰三角形。角一和角二是相等的呀，原半径和原半径相等，所以角三和角四相等。 已知这里有一个切得角 e， a b 是 九十，所以一加三九十等量代换二加四也是九十。好了，这边垂直，所以第一问切线我们就成功搞定了。继续来看一下第二问啊，连接 b d 并延长交于 b f， 若半圆 o 的 直径为十， tangent 角 c， a b 等于零点七五，求 a、 f 的 长。这里老师给大家说一下，一般情况下我们去求长度都可以用什么方法求长度呢？给你三秒钟的时间 求长度，我们用的最多的其实就是勾股定律，还可以用相似，还可以用三角函数。在这里涉及到三角函数了，肯定是要用三角函数的， 是用其中一个方法，还是需要把这三个方法我们都需要用到呢？这是求长度经常常用的方法啊，缺乏解题思路的同学可以自己记一下笔记来看。让我们去求 a f， 已知这里是九十，所以 a f 它在这个大三角形当中， 可是题里头给我们的这个三角函数值给的是什么角 c a b 啊？这个角角它的对边比上邻边，对应的是三分，比四分，所以我知道了，给我估一下， a b 对 应的是五分，已知 a b 等于十，所以这个三条边的长度我们就可以求出来，这条边是六，这条边是十，这条边是八， 那么垂径定律 a d 的 长哎，一半呗， a d 等于 d， c 就 等于四。当你在解决几何问题时，没有思路了，我们一定要记住，在我们中考压轴题的时候，凡是考几何，那么就是考两个知识点， 一个知识点就是相似，哎，这里有了一个知识点是相似，另一个知识点就是三角函数。因为这一道题没有涉及到旋转、平移等，所以我们想办法来凑一下能不能找到一个三角形 a、 b、 f 相似，哎，我们就可以发现这个三角形 b、 h、 b 和 原来的这个三角形 f、 a、 b， 它们不就是相似吗？已知这个角角的 tan 等于三比四，所以我们就可以得到这条边三分，这条边四分，这条边五分，对应的我们就可以求出来 a、 h 的 长度， d、 h 的 长度。好了，整边长 a、 b 等于十，所以 h、 b 的 长度我们也知道了，那么就是十，减去五分之十六等于五分之三十四，从而我们就可以直接得了三角形和三角形相似，那么就可以直接来出了。 af 比上 d、 h 等于 a， b 比 h， b， a、 f 比上五分之十二等于十比上五分之三十四。通过计算 a、 f 等于十七分之六十。接下来是二次函数压轴题。解析核心，记住，一找二表三转化， 一找找准定点、对称轴，还有函数与坐标轴的交点，这些隐藏条件既能够用来求解函数解析式，也可以用来判断函数增减性。求解最值的关键依据。 第二表，把题目当中的关键长度、图形面积全部用坐标差值表示，计算过程记得用绝对值来表示，记得答案为正数。转化，遇到平行四边形等腰三角形，直角三角形，这样存在性，题型全部进行题型转化。巧用终点公式，两点距离公式 突破定律，列出方程，解方程，得出答案。那么一起来看这道题。这是二零二五年四川的一道中考真题，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴分别交于点 a 和点 b 两点与 y 轴交于点 c， 且抛物线的顶点为一等负四。第一问，让我们去求解析式。 这个题很轻松的，我们就是直接根据顶点坐标，所以我们来设顶点式， y 等于 a 倍的 x 减一，方减四。接下来看一下它的第二问， p 是 抛物线上的一点， 点 d 的 坐标是零到一，已知点 d 坐标连接 bc。 ok， 好 了， b 一 问，求完解析式 b 坐标知道， c 坐标知道，只有 p 的 坐标不知道。若三角形 c、 d、 e 与三角形 b、 p、 e 的 面积相等，求 p 的 坐标，那么我们碰到这样子的题就要明白，让我们去求坐标的时候，我们就可以设未知数呗。设未知数其实就是代入系数， 那么我们就可以上来先去设设点 p 的 横坐标为 m， 纵坐标是不是就是我们刚才求的解析式往里面一带？好，那么接下来呢，让我们去研究的是面积问题，我们要进行怎样的转化？哎，你可以发现这两个三角形的面积，哎，你去求左边三角形， 无论你是套面积公式，还是用割补法，还是用牵扯法，都没有办法表示出来呗。同样的右边三角形我也求不出来，那怎么办呢？我们就要去找找这两个三角形面积之间有怎样的关系。哎，我发现了， 将这两个三角形啊，都给它加上我现在蓝笔画的这一块，那么是不是就组成了这样子，左边的这个大三角形和老师右边来画的这个四边形， 左边画的蓝色三角形和这个四边形的面积，它们是相等的，接下来我们只要表达出三角形， o、 b、 c 的 面积可以求出来。还有右边的这个四边形好过屁向 x 轴做上一条垂线 来割成了两个三角形，也可以用含 m 的 式子表达。接下来列等式这道题就解决遇到这样子的存在性问题，我们要做的就是要把问题进行转化，把这两个图形之间的等量关系，你要找到最后一道就是几何综合 e a 轴题， 杨老师提醒大家，几何综合压轴题常考旋转相似以及最值问题，做题一定要熟记基础几何模型，摸清动点运动轨迹，这是答题关键。遇见旋转题型联想全等相似三角形，同步寻找等腰边角关系。遇见相似关系，看到乘积式直接转化为比例式。 遇到最值问题，牢记对应答题方法，将军引马问题，利用轴对称造桥选址问题，借助平移思路进行解答。 员外定点求最值，运用三点共线一箭穿心模型，遇到诡计类最值问题，活用刮豆原理，理清主动点和从动点之间的位置与运动关系。吃透这三类压轴大题，摸清出题人的思路，轻松冲刺，压轴满分，同学们加油备考！

今天我们通过两道襄阳真题，预测湖北中考填空压轴题考点。同学们好，我是蔡老师，昨天给大家分享了关于函数和几何结合的题目，今天我们通过两道 五月份襄阳的真题卷来看一下，碰到这样的题，我们该怎么去操作，以及如何去用我们的几何和函数知识点来解决问题。我们现在读题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 的 长是三倍的根号二。 接着呢，有一个题目信息是 bc 的 长等于 n 厘米。好，我们会不会发现这个 n 是 等会带球的信息。再来看，这里有一个特殊的角，四十五度，角 b， a、 c 是 四十五度。 我们从题目里面给了一个特殊的数据，是带根号二的数据，又给了特殊角，所以我们紧接着就会想到里面是存在等腰角三角形。在这里我们就可以根据 ab 的 线段，长是三倍的根号二，以角 b， a、 c 是 四十五度，把辅助线做出来，过 b 点做一个 f， 垂直于 a、 c。 从题目信息我们可以得到 b、 f 的 长度也是三。从题目信息我们可以得到 b、 f 的 长度是三， af 的 长度也是三。好，大家看这个动点 p， 它从 a 出发，沿着 a、 c 以一厘米每秒的速度向 c 匀速运动，也就是我们知道它的速度啊， 那对应的时间乘以速度，也就是它的路程。好，将 p 出发后，以 a、 p 为边做正方形， a p d。 现在呢，使这个 d 和 b 始终在 a、 c 的 同侧。 那我们大概去分析一下啊，当这个正方形以 a、 b 为边的话，它不断去放大这个地点，它始终都是在 a、 b 所在的这个直线上去运动的，那所以 b 和 d 是 确实会在 a、 c 的 同侧，不会被影响我们的音变量。 s 代表的是什么呢？是这个正方形 a、 p、 d、 e 和三角形 abc 重叠的部分图形 的面积。那我们来看一下这个函数图像上有哪些重要的点是我们需要去使用的。首先第一个就是这个三逗号 m， 第二个是个五逗号九，好，三逗号 m 对 应的是 af 啊，运动对应的 三动和 m 对 应的就是当 p 运动到 f 的 位置，也就是在这个橙色的这个正方形呈现的这个形态里面，我们这里要求的这个 m， 它就对应的是 s， 三角形 a、 b、 f 的 面积啊， 那这个面积就可以转换成底乘高，也就是二分之一乘以 a， f 乘以 b f 等于四点五。 我们再来看第二小问，当这个地方啊他运动到了五的时候，也就我们再来看第二小问，要求这个 n。 好， 我们看在题目里面， n 代表的是个 b、 c 的 长啊，这里是 n， 也就是还有哪个信息没用，是不是这个五逗号九没用？好，我们把这个五逗号九对应的形态就给他做出来， 这个红色的正方形代表的就是五逗号九所处的这个状态。那我们来看一下现在这个面积啊，指的是什么？是不是一个三， 这个时候就是 s， 三角形 a、 b、 f， 再加上啊这一块这个梯形的面积，也就是这个绿色的梯形啊，就是我们带球的信息。好，我们来看一下这个梯形，现在知道它的上底下底和高吗？ 好，我们的下底知道是三，上底数不知道啊，标个问号，所以我们可以设这个上底是 x， 下底是三，再来看它的高高，当这个运动到五的时候，那这个高是不是就等于五？减三等于二，所以乘以高除以二等于它的这个面积啊， 这个梯形的面积是等于整个的面积九，减去这一块刚刚求过的面积，刚刚求了这一块是等于四点五，所以我们这个就等于四点五，梯形的面积就等于四点五。乘二除二约掉了啊，得到 x 是 等于一点五 好， x 等于一点五。哎，有同学反应很快，可以想到中位线对不对？这个啊，上底和这个下底它们是一比二的关系，所以我们会发现这个地方啊，也是一个中点，那 c、 f 的 长就等于两倍的二，也就是四好 三四斜边是不是等于五？用勾股定力就可以把这道题解决掉。我们再来看一题，依旧是这个动态分析和面积结合。现在在平面内放置一个直角三角形 a、 b、 c、 d， eg 和 ab 在 同一条直线上， f 啊，是在这个 c、 b 的 延长线上。现在将三角形 e、 f、 g 以一个单位为秒的速度，沿着 bc 的 方向 像点 c 运动，当这个积点和点 c 重合时，停止运动，运动时间是 t 秒。设矩形和这个三角形 e、 f、 g 重合的部分为的面积为 s， s 和 t 的 函数图像如图所示。好，这里的图像就比我们刚刚要复杂一些，我们从这个 图像上面啊，会看出有什么样的端倪。我们先来想一下，首先当五的时候是怎么样了， 也就是重合，谁跟谁重合， g 和 c 重合，也就是 g 运动到 c， 说明 bc 这一段是不是就等于五呀？ 是吧？好，那我们就可以根据题目的信息把它是五去翻译出来，我们会发现就是 p， 这里标了一个点， q 标了一个点， m 标了一个点，它说是由线段 o p、 q m 还有曲线 p q 三部分组成。我们这道题目里面，它的深意在于这一段啊，怎么去解读？它说线段 o p， 所以 说明 o p 这一段是不是一个依次的一个 形态，而 q m 啊，也是一个线段，它是面积没变的好，也就是说在三到五秒的时候，这个三角形和这个 矩形它重叠的面积是没变的。曲线 p q， 说明它是一个开口向下的一个函数，所以说明这个面积和时间之间成 存在一个二次函数的关系。这里因为已经处理出 bc 是 五，那我们就可以把它分成五个相等的单位长度，我们让这个三角形往右边去挪五格，分别把它出现的形态去给它画出来。好，这是第一秒钟的时候， 再来第二秒钟，第三秒钟，第四秒钟，第五秒钟。哎，我们会看到啊，这里给出了六个三角形，那我们来看一下啊，刚开始往右边一一个单位的时候，我们对应的是个一啊，也是这个 p 点， 我们会发现重叠的部分是个橙色的三角形和我们的这个矩形啊，它中间重叠的情况，叠的部分是一个矩形，当这个高是确定的啊，这个时间是 在变化的时候，他们面积确实是一个依次函数的关系。再来看，当橙色的三角形运动到绿色三角形的时候，既有增又有减，也就是这个矩形的面积在增加，但是这个三角形面积在扣除啊， 好，继续绿色的运动到蓝色的里面来的时候，我们达到一个临界点是什么呢？当绿绿色的三角形运动到蓝色的三角形，也就第二秒到第三秒的时候，它出现一个什么情况，这里刚好啊，我们就卡到了这个地方来，所以我们会 看到啊，实际上这个 f b 它的长度是不是就是三呢？好，然后再来啊，从三到紫色，再从紫色到这个深蓝色， 三秒到四秒到五秒的时候，从这个蓝色到了紫色，从紫色又到深蓝色，发现这个重叠部分的面积啊，一直是保持一致的， 也就刚好符合我们这个图像的表述，所以按照我们刚刚这个平均分的一个思维去卡这个时间段的话，刚好就能把这道题的一个思路去转换出来啊。好，那我们这个题目第一空要求 a d 的 长， 从这个啊最终时间取五的时候对应的重合点，所以我们知道 a 的 长就是五，再来看这个 a 的 值啊，题目要求第二秒的时候对应的这个 面积的重叠部分，所以我们来看一下，当第二秒的时候，也就是绿色的这个三角形去取的时候，我们重叠的部分是不是这一块？ 好，那在这里有哪些几何要点呢？我们从题目可以发现，这个上面是一，下面也是一个单位，这个地方是不是一个中点，所以我们只需要把什么求出来，是不是把这个 c d 啊， 也就是这个矩形的宽去求出来，我们知道矩形的长要求矩形的宽，看什么时候是很多目标都知道的点，是不是当五的时候， 也就是这个 m 点啊？五，逗号八，我们运动到最后这一瞬间的时候，它的长，它的面积啊，它现在是一个梯形啊，所以依旧是上底加下底乘以高去除以二 好，那我们来看上底对应的是什么？这里是一个单位啊，这是一格好，下面呢，它是我们刚刚已经得到了这个下底啊，就是这个三角形 e、 f、 b 啊，它的底就是三， 一加三乘以这个高，不知道啊，我们设为 h， 然后除以二刚好等于八好，一加三是四啊，那这个 h 啊，就是四，也就是这个这个梯形的高，也就是我们这个矩形的宽， 所以 c、 d 啊，它就等于二好，它等于二，这个一，这里是一格，这下面也是一格，所以这里是中点啊，你们知道这个地方就是二 好，那要求这个啊，这个不规则图形，他的一个面积，我们就用这个矩形减去这里的三角形， 矩形是二乘以四等于八，三角形是一乘以二分之一除以二是等于一，所以他的面积就是八减一等于七，好，这样的值就是七。当我们在处理这两道题的时候，会发现他有一个共同点，就是信息 不是直接给的，他是通过函数去给的，所以在这里要锻炼我们的一个去识别函数，并且就是去 获取函数里面信息的一个能力。再来就是几何问题，怎么去翻译和面积结合，怎么样去把它的临界值找到。那我们在这个动态的过程中，可以多尝试多画一下图形，然后多去找他的一个特征点，去感受这个图形的变化，也就是 在这个解题的过程中锻炼我们竖形结合的能力。好，这就今天给大家分享的内容，你听懂了吗？

今天我们通过两道题来讲模型辅助线里面非常容易忽略的三线合一。大家好，我是蔡老师，我们今天以一个专题的形式来讲一下等腰三角形，在题目里面识别出来之后，如何去把三线合一这个知识点就给它利用起来。 我们先来读题，在一个菱形 a、 b、 c、 d 中边长告诉了等于二，告诉了一个特殊角是六十度，所以在这个菱形里面，它其实是由两个等边三角形构成的。 现在 e 和 f 分 别是 a、 d 和 c， d 上的动点，我们现在将三角形 d， ef 沿着 ef 进行翻折，翻折之后，由于这个对称性，我们可以得到 d， e 和这个 e、 g 是 相等的。 再来这个地点呢，落在了这个 b、 c 边上的中点 g 处，这个地方是一个中点，那我们可以知道，就是在这个背景里面是一个菱形，所以对于这个菱形来说，我们连一个对角线可以得到，它是两个等边三角形组合在一起。 那现在在这个等边三角形 a、 b、 c 里面告诉了一个底边的中点 g 是 一个中点，所以在这个地方我们就可以进一步的去连接 a， g 啊，这就是隐藏了一个 等腰在里面，所以我们去连接它的三线合一。那这个角 a、 g、 c 是 一个九十度，由于菱形平行，所以我们可以得到这个角 g， a， e 也是九十度。为什么要这么去操作呢？因为我们题目要求的是个 d e， 这个 d， e 在 这个地方啊，它是我们不知道的一个信息，所以我们一般来说问什么射什么球，心的长，要么用勾股定律，要么用相似啊，它是一个比较 好的一些思路，我们这个地方都衍生出来了直角，大概率是用勾股定力去解决问题。现在我们把 d 一 设一个 x， 那 这个 g 一 也是 x， 由题目信息编成是二， eg 是 一，所以 a g 等于根号三，那这个 a e 啊，我们可以表示为二减 x， 所以 就可以得到。在 r t 三角形 a， e， g 中，我们有的是 a g 的 平方，加上 a e 的 平方，是等于 e g 的 平方。好， a g 啊，它是根号三，它的平方是三， a e， 它是二减 x 的 平方， 而 e 记啊，它是 x 方，你把这个方程给它解出来就行了，刚好它是一个假的二次方程啊，那我们得到 x 方减四， x 加四乘以三等于 x 方等于四， x 等于七， x 等于四分之七。 这样我们就可以把这道题目去求出来。用到的知识点其实比较清晰，那就是当题目告诉了这个菱形的背景，又加上六十度的时候，我们就可以拆解成两个等边三角形， 再来又告诉了中点，触发了三线合一里面的这个中线，那我们连接这个三线合一，得到垂直同了从， 从而通过这个菱形对边平行转换出一个新的直角。所以我们的这个线段啊，是通过这个翻折同步信息过来，放到直角三角形里面，用勾股定力去解决问题。 我们再来看一下这一道题，这道题呢，它的一个解题策略是在矩形 a、 b， c， d 中， e 和 f 分 别是 b、 c 上的三等分点。 题目有告诉这个 ab 和 bc 的 长，所以我们要用到它的这个数量关系。在这个地方，我们优先去处理它的一些数据，所以要用到一个标注信息的习惯，那我们给它的这个 标上信息， ab 是 八， dc 也是八好，然后 bc 是 十二，那这边是三等分点就是四四四 好，上面是十二。那我们从这个题目信息是不是可以转换出三角形 a、 b、 f 和三角形 c、 d、 e 都是两个等腰直角三角形，哎，这些角啊，它都是四十五度角， 以及这两个角也是四十五度角，所以我们题目会比较的清晰。再来这里要翻译的是一个贪停角， g、 c、 f 在 这里啊，贪停角，所以我们去构造一个 直角三角形啊，放在个直角三角形里面，把这个角 gcf 给它标示出来， 现在要求这个角的摊顶值，就需要把它放到一个直角三角形中，那我们基于这个等腰的一个属性，那 我们直接过 g 点往 b c 上做垂取一个 h 点，也就是题目的信息又转化成了 g h 比上 d h， 而 d h 可以 快速通过三线合一转换，整个长度是四，所以一半就是二，四加二，它等于六。再来看这个 g h 等腰直角三角形，所以 g h 也是二， 它顶角就等于三分之一。这两个题目都是和等腰三角形的处理结合，我们等腰三角形考的两个性质，一个是等边对等角等边，一个就是三线合一，在考试的时候经常可以把这两个性质 在考试的时候，通常来说三线合一是我们做辅助线的一个突破口，而性质一可以通过一些倒角的思路帮助我们去得到这个等腰三角形，那我们正线段的等量关系可以用到性质一 等角对等边去倒角实现。那在题目里面一些稍微复杂的信息，如果和直角结合，或者是和求其的长的勾股定力结合，我们就要用到这个三线合一的属性。这就是今天给大家分享的内容，你学会了吗？

家里有中考生的家长一定要看完这个视频，大家好，我是学而思赵老师。今天呢，我们一起来梳理一类中考常考的几何题型，针对这类题型，大家只要掌握好这个解决思路，遇到同类型的题目就能轻松应对。像这种题目的话呢，其实大多数围绕的还是基础图形的一个组合式展开的。像题干的话呢，可能会给出这个边长、角度、线段关系等已知条件， 这样我们去推导角度的大小，线段的长度或者图形的面积。像很多同学呢，可能看到这个图形复杂，就不知道从哪去下手，其实大家只要能够搞对这个切入点，一步步去拆解，就会变得很简单。 像我们拿到题目的第一步呢，大家一定是先认真梳理这个题干给出的所有条件，在图形上做好这个简单标注，把这个已知信息一定要直观的能够呈呈现出来。现在就回你对应的图形性质、基础定律判断。这道题它主要是需要用到哪些知识点？ 如果说题目它涉及到边角计算，优先利用图层自带的角度关系、边长等量进行推导。如果说遇到需要计算面积的问题，那大家可以观察这个图形的结构。呃，选择整体计算，分割求解或说补全图形的一个方式， 避开复杂的预算。在解题过程中啊，大家不要说是只追求这个最终结果，而且步骤一定一定要完整规范，按照逻辑顺序一步一步去推导，这样的话就能减少你的一个呃思考的一个思路，也能保证你到达的一个完整。还有就是像这个做完题之后也不要说就此翻篇了，简单总结一下这道题的一个出题形式，还有思考方，思考方向，对吧？把这一类题型的通读解法应该记下来， 这样后期你再遇到这个相似的考法，你就能快速找到这个解题的方向。它其实始终还是围绕科类的一个基础知识， 所以只要你多去总结，多梳理，能够不断的掌握这个解决思路，那你在考场上肯定都能够非常轻松的去把这个题拿出来。大家每天目睹一例经典题型，日积月累，那你做题的话会越来越顺畅，对吧？觉得这个内容有用的大家点赞收藏，可以给我点点关注。

今天我们通过一道湖北几何压轴题分析湖北卷几何解析策略。大家好，我是蔡老师，我们今天继续来进行湖北中考几何策略分析。那今天给到的这个题是在一个正方形的背景下， 下一个信息点 e、 f、 g 分 别在边 a、 b， 边 a、 d， 还有边 c、 d 上，接下来有一个垂直的信息，也就是在这个边 a、 d 上有一个直角落在这条直线上，那我们同学可以快速反映出这是一个一线三垂直模型。所以题目第一小问需要去证明三角形 a， e、 f 和三角形 d、 f、 g 是 相似的，我们就可以快速通过 a、 a 形 去证明。那再来看第二问，延长 e、 f， 也就是把这个 e、 f 延长之后，我们看一下前后问的信息，基于这个角 e、 f、 g 是 直角，所以 它的零补角和它互补角 g、 f、 m 也是直角。我们接着题干里面有一些等量关系，还有具体的线段长，要求一个线段长，那求线段长，我们 勾股定律或者是相似啊，是手推的方法。好，那现在题目里面有这个 e、 f 和 f、 g 相等，说明是不是从这个 一般到特殊加了一组边的相似转换成全等这两个三角形，它们是全等的。好，再来题目告诉了 ab 的 长是六， dm 的 长是一，因为 这里有一个一线三垂直行的全等，然后知道这两个直角边，他们的和是等于这个具体的正方形的边长是六，所以我们可以直接设这个 a， f 是 a， 那 这个 d、 f 是 不就是六减 a， 由于全等，所以 d， g 也是 a。 那 在这里啊，有一个非常清晰的摄影定律，我们就可以直接根据这个摄影定律的结论啊，去推演出 f d 的 平方是等于 dm 乘以 d g 啊， 这样一个速度来的是非常快的，我们快速算一下，也就是六减 a 括起来的平方是等于一乘以 a， 那 得到三十六减十二， a 加 a 方是等于 a， a 方减十三， a 加三十六等于零。这里肯定是用十字相乘三十六啊，想一下是不是有四九三十六，那 a 减四和 a 减九等于零， a 一 等于四，可以取 a， 二等于九，它比六都要大，所以舍掉 af 的 长就是四，那低 g 就是 四。我们题目要求的是 f m， 是 不是再去放到一个 r t 三角形 f d m 中，用这个勾股定律去求好，那 d m 的 长是等于一， f d， 它的长是等于六减四等于二，所以 f m 等于根号五。这就要先预判啊，再去分析。我们先预判到求线段长会用勾股定律和相似，那就根据题目的信息看哪里变了，哪里没变。 我们这个地方新加了一个信息，是一个等量关系，所以从相似变全等再来这个地方给了一些具体的线段长，所以我们就要用这个全等。正全等是为了用全等啊，这是一个很重要的一个集合策略。 再来看第三问，看一下哪里变了，哪里没变。前面这个 e f 等于 f g 这个信息在这一问是不是没有？所以啊，这里的全等是不存在的，但是它的相似是依旧存在的。下一个信息， b n 等于 e m， 也就是这里两个红色的线段，他们俩是相等的。 再来下一个信息， a f 等于 df。 好， a f 和 df 说明这个 f 点它是一个中点，我们标注一下，那前面这个正方形，它的边长等于六，是不是用不了？ 所以啊，我们在这里只能是巧妙的去设未知数，转换题目的信息。也就是题目要求的是 a e 比上 b e， 那 我们的一个策略就是把 a e 求出来，以及把这个 b e 求出来，是不是一个策略，或者直接设 a e 比上 b e 是 一个具体的值。那我们在这个里面就会发现啊， 在这里，因为 f 是 中点，所以对应有这样一组全等。那我们从前面啊，第二位里面用到了摄影定理，所以呢，再加上啊，在第二位里面又用了勾股定理，所以题目里面是指引我们把 a e 和 b e 分 别求出来，再去转换信息。就和我们昨天分析的那道题思路是不一样的， 那我们来把这个信息啊，去给他标注一下，我们在这里啊，因为有终点，所以优先去把这个信息设出来。我们设这个 a， f 是 a， 在 这里未知数肯定比较多，所以我们就 去引入 a b 这样的未知数的设法。好，那 f d 啊，也给他设一个 a 正方形的边长，我们就知道啊，正方形的边长等于这个 a， 把这个中点用完了，现在这个 b n 等于 e m， 是 不是另外一个等价关系是已知的，所以肯定是要把这个 b n 和 e m 用这些位置数去表示啊。好，因为这是中点，所以有一个八字形的全等，所以我们就不妨设 a e 等于 b， dm 等于 b。 好， 它这里是 a， f， d 是 a， d， m 是 b。 通过刚摄影定义的结论，我们可以直接得到它这个 d g 啊，就等于 a 方除以 b， 那这个 c g 啊，我们就可以翻译一下，它是不是就是这个正方形的边长减去这个 d g， 那 就是二 a 减去 b 分 之 a 方好，那 d g， c g 都出来了， f d 也知道这个 c n 是 不能求 bc 的， 长也是二 a， 那 我们这个 b n 啊，就可以用线段和差去转换出来 b n 是 等于 b c 加上 c n 好， 等会要求 c n 再来看这个 e m e m， 它是等于两倍的 e f e f 两个直角边都知道，还是用勾股定力去求， 所以 em 啊，它就是等于两倍的 ef， 我 们把 ef 求出来就行了。好，那我们在旁边就进行这两个小线段的一个求解。求 c n 还是用相似啊，上下平行线之间， c n 和 f d 平行， 然后我们的 fn 和 c d 交叉，所以夹了一个八字形的一个相似，那就可以得到一个相似比例关系。因为三角形 g， d， f 是 相似于三角形 g， c n， 所以 我们可以得到啊。在这里还是老师先告诉大家的技巧，要求什么，就把谁放在分子的部分。 c n 比上 c g 是等于这里的横比数，等于这上面的横比数，也就是 f d 比上 d g 好， 那 c n 就 等于 f d 比上 d g 乘以 c g 好， 把信息给它带进来。 f d 对 应的是 a d， g 对 应的是 b 分 之 a 方好乘以这个 c g 对 应的是括号。二 a 减 b 分 之 a 方。那把这个式子去化简一下啊，把这个分母给它乘上去，那这个式子就变成了 a 分 之 b， 那 a 分 之 b 再和后面这个式子去相乘， a 分 之 b 乘以二 a， a 和 a 约分，那就是二 b， 好， 后面这个 a 分 之 b 和 b 分 之 a 方相乘， b 和 b 约分了， a 和 a 约分了，这是二 b 减 a， 好， 所以 c n 这个信息应该是比较清楚的。 bc， 我 们是二 a， 然后呢， c， n 是 加上二 b 减 a， 就 等于二 b 加 a， 好， 这里是 b n 的 表示。再来看这个 e、 f 的 表示， e f 在 这个地方啊，是等于根号下 a 方加 b 方，所以 e m 就是 两倍的根号下 a 方加 b 方， 好，这两个式子是相等开方，我们怎么去去？是不是就把它左右两边同时平方，所以把左右两边啊同时去平方操作一下，那我们可以得到 二 b 加 a 扩起来的平方是等于四倍的 a 方加 b 方，好，这里是四 b 方。加上 四倍的 a， b 加上 a 方，是等于四 a 方加上四 b 方， 好，那这个四 b 方和四 b 方消掉了， a 方和四 a 方一向过来就是三倍的 a 方。那再来啊，这个 a 和 a 给它化解一个，我们可以得到三倍的 a 是 等于四倍的 b， a， e 等于 b 是 不可以把它求出来。 b 就是 等于四分之三倍的 a 啊，这个 b， e 啊，我们来看一下 b， e， 它是等于二 a 减 b 就 等于二 a 减四分之三倍的 a， 通分四分之八，减去四分之三，四分之五倍的 a。 那 我们在这个地方就用到了一个适而不求的思维， a， e 比上 b， e 是 等于 四分之三，比上四分之五，也就等于五比三，好，今天这道题和昨天那道题我们可以对照来看，今天的题目呢，他是他求线段的比值，我们要把两个线段分别求出来，而昨天的那道题复杂度会更高，我们 直接是设的这个比例关系，直接等于 k 得到一个关于 k 的 方程。题目的信息给的不一样，我们的策略是不一样的。 湖北卷的一些几何压轴题，他通常都是较为直观、较为清晰的一些方法考察的，以勾股定律和相似啊去求线段长的一个几率是非常大的。这就是我们今天给大家分享的内容，你学会了吗？

这道题我不会，但我又想把分数拿下来，有没有办法？有，今天咱们的初中数学流氓解法来到了几何和圆的混合专题，辅助圆 亮带你揭开引圆的面纱，只取手机，拿下分数。那么这个就是我们今年最新的中考模拟题。那么给出一个矩形，它的对角线的交于 o 点，好过 o 点做 o e 垂直， b d 垂直。哎，也如我们知道这个角是直角。好，现在连接 b， 把 b 连接起来，我告诉你，角 a、 b 这个角等于二十度。 好，现在让我们求什么呢？求角 a、 o、 e， 也就是这个角的度数。那这个用普通方法怎么做呢？没有任何思路，但是我们知道矩形这个角也是直角。大家注意啊， 如果一个四边形，它的对角互补，你是九十度，我是九十度，我们相加一百八十度，那么整个四边形的四个顶点，也就 a、 b、 o、 e， 它一定在同一个圆上。我就过 a 点， b 点， o 点、 e 点，我就画个圆。每次到这里都会有同学说，亮亮，那这个圆心怎么找？你找圆心干嘛呢？ 答案直接出来了，这一段弧，我所对的圆周角是二十度。那这一段弧所对的这个圆周角呢？它不也是二十度吗？而这个角就是我们题目中我们的 a、 o、 e， 所以 这个题呢，我们选 c， 搞定。这个题也是我们去年中考的一个模拟真题，同样的，我们又给出一个大大大大的长方形， 好，现在我告诉你， a、 b 是 三， bc 是 五啊，就这个边是三，这个边是五，对吧？好，你这个 e 点呢？在对角线上面，但是 我们永远怎么样呢？构造一个九十度直角 e 点在这啊，咔嚓呢， f 点在这里，好，现在呢？让我们求 e、 f 比上 b 啊，就是求这条垂线段比上这个垂线段。嗯，这个题怎么处理呢？一样的，你发现矩形，它这个内角是直角，在 e、 b、 c、 f 整个大大大大的四边形中，哎，我的对角互补了 两个九十度相加一百八嘛，所以我们知道 b、 c、 f、 e， 它一定在同一个圆上，所以我们直接构造一个，嘿嘿， 回，对吧？哎，哎，差不多哎，这个圆还蛮标准的啊，嘿嘿，好，那画一个圆有什么好处呢？注意听清楚啊。你让我求 e、 f 比上 b， 对 吧？如果我把 b、 f 连接起来，你会发现啊，为什么会想到连接 b、 f 呢？你想想，一个直角， 我去，求两条直角边之笔，那不就在一个直角三角形中去求它的三角函数吗？哎，说白了，怎么样就是你会发现这个锐角，对吧？ 就求这个锐角所在直角三角形，用它的较长直角边比上较短直角边，对吧。而我们知道这一段弧它所对的圆周角是它， 而这一段弧所对的圆周角呢？是不？它，哦，也是这两个角相等。我们刚才说，求什么，你这个边比这个边，不就是我所在直角三角形较长直角边比斜边吗？那我只要求和它相等的这个角 所在的直角三角形 a、 b、 c， 对 吧？我用我较长直角边比上斜边，五比三，所以这个题 选 b 搞定。是不是觉得辅助员超级好用？其实我们辅助员的构造我们之前跟大家讲过五种，如果你想学习更多辅助员的方法，可以一步这条视频来进行学习观看。那么练习题目呢？拿去练习吧！下一期想听什么？打在弹幕里，亮亮火速更新，跟着亮亮无脑学习。

中考数学，他的几何压轴题其实是送分题，出题人早早的就把那些解题的方法隐藏在题目里了，关键就是看大家能不能看懂，能不能听懂这六句黑话啊！大家好，我是孙老师，专注中高考题分训练， 家里有中考生的赶紧给我收藏并转发给孩子看！首先第一句，题目让你求线段的长度。这类题型，它的解法是非常固定的，无外乎就三种，勾股定律，相似三角形、三角函数这三大金刚，尤其是圆的大题考的最多，你看到有直角立马上勾股定律，你看到有平行线、 a 字、八字结构，立马往相似三角形上面去想。 如果题目给了三十度、四十度、六十度这种特殊角，那百分之百是三角函数，那么这几种解法呢？要么单独用一种，要么是两种，三种搭配着用，肯定能算出来。第二句，两条线段的比值你不用纠结，说白了就是考相似，没有比相似更适合算比例的了。 你只要能认出来是 a 字相似，八字相似、共角相似，还是手拉手模型的相似，咱对上模型这道题，基本上就八九不离十，稳拿下了。还有第三个求角度圆的大题的第一问，基本上全是倒角，你要记住一些常用的招数，用平行线去倒它的内错角、同位角， 靠直角去找互余角，用圆心角、圆周角、斜切角进行互相的转换。还有就是等幺三角形，底角、相等角、平分线平分两角，来来回回就是不停的去倒角，你把那些角度的关系给他理顺就完事了。 第四个求图形的面积，简单的题目，你直接套公式就行了。那如果碰上跟二次函数相结合的面积的大题，你就用千锤高法 横着竖着做辅助线，拆分它的图形，其实本质还是算三角形的面积，你只是稍微绕了个弯。还有第五句求最值的问题，像最短路径、最大面积、最大角度，通通都属于这一类。那么求最短的路径往哪想呢？ 往将军一马模型上去套啊，对吧？你面积最值用什么呀？那就是二次函数化成顶点式，还有引元的最直线元的最值，全都是固定的套路，咱只要技术，就一定能直接套用 啊。第六句就是问是否存在某一点满足题目的条件，那这类题目不用多想，绝大多数都是存在的，你只要确定存在了，以后呢？ 还是老三样勾股相似三角函数，你把这些几何的关系转化成方程给他罗列出来，那你解出来合理的答案，他就是存在，他的逻辑就这么简单。 所以说呢，其实几何压轴题一点都不选选，你把这几个套路给他记牢，咱一定能轻松拿高分。那如果你是初二初三的学生，数学还找不到方法的后台，赶紧联系孙老师，带你轻松上分。

一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？

中考却在眼前，后进生家长们要注意，要让孩子把时间精力放在容易突破分值较高的地方，比如几何这种一定会出现的大体，他的前两问难度都不太大，还有固定的套路，非常适合后进生。总结，突破出现频率最高的就是圆和四边形。 拿四边形来说，第一问一般是证明题，就只涉及这四种情况。第二问不是求线段长，就是添加条件判断新的四边形，它翻来覆去就这么几种情况，所以我会让学生记住这张图，然后再进行专题训练，来看具体的应用吧。 第一问，要证四边形。如果你仔细看了前面那张关系图，就能发现，不论要证明这是个怎样的四边形，都要先证明他是平行四边形。那首先你得知道平行四边形的判定条件是什么吧？所以后继生们第一步就是要记住他的基本判定方法。 在 b、 c、 o 中， b、 c 等于二分之一， a、 c、 p、 c 等于二分之一， b、 d 都是边长的关系，所以大概率就是用两组对边分别相等来证明平行四边形。题干还给了平行四边形 a、 b、 c、 d， 那 o、 c 就 等于二分之一 a、 c、 o、 b 就 等于二分之一 b、 d， 所以 我们就得到了 b、 c 是 等于 o、 c 的， o、 b 是 等于 p、 c 的， 所以它是一个平行四边形。 再来看第二讲问，要想把 b、 p、 c、 o 变成正方形，那就要思考一下，平行四边形加上怎样的条件可以得到正方形呢？来看这张图，直角 加邻边相等，所以条件也就出来了，需要 o、 c 垂直且等于 o、 b， 所以平行四边形的对角线也就要垂直且相等。家长一定要知道，比完成一道题更重要的是怎么解决一类题。是不是这道题两个问的解决方法都在这张图里？ 像这样容易突破分值较高的点，我还总结了九个，后进生就应该把最后的时间花在这里。如果你家娃也有只刷题不见效这种让人头疼的问题，我是老严关注我，让后进生的数学不再拖后腿。

我说实话啊，我想说这个题别说你，就是我自己做，我也读了很长时间才把题目理解透，我觉得可以堪称是天才的坟墓。这道题目他表面上看没有二次函数，没有圆，没有相似有关的东西，但是很恶心的一件事情，就 给了很多角度的关系，边长的关系，还给了一个读题都得读十分钟才能理解的一个土，跟蜘蛛网似的。前面第一问，第二问都还好，但是到了第三问，一共连出来了多少条辅助线呢？不多，一共才七条，出一条，他们到底想干什么？ 太难了。你只要能够在这七条辅助线的使用过程中，轻松的驾驭像一二三四五这样的模型，绝配角，特殊位置的角，找他的二倍找他等三角函数值，如果这些你全部都能搞定，那这个题对你来说可能就 没有那么难了。如果能够把这道题我们在考场里面规定时间内一分不扣，那绝对是天才中的天才。如果你想拿到一百分或一百一十分，第一问，第二问搞定，第三问，你看一看，发现五分钟看不懂完事了。但是如果老师我就是想进入重点高中，我就想去冲刺满分，我未来就是想冲一个好的大学，那么这个第三问你一定要把它搞懂。来，咱们来看一下这道题吧，因为我们都知道，每一年 全国各地的卷子里面，尤其像北方，就是哈尔滨，哈尔滨的模拟题也好，中考题也好，他的最后一题难度都是极具特色且极具挑战性，那同学们想挑战难题的同学直接上。好吧，来，咱们来看一下这道题，这道题的前两问跟最后一问完全就不是一个维度的， 第一问我都不想说了，第一问我们直接写结果吧，好吧，看到 ab 两点坐标，我们可以直接可以写出来， y 等于好，对应的我们的 k 值四比三，对不对啊？在这块你可以直接确定是正的，直接三分之四倍的 x 加上八。第一问不说了，直接过第二问， 第二问给出我们 c 是 线段 ab 上的一个点，过点 c 做 ab 的 垂线，现在我做出一个垂直于 ab 的 线，然后呢告诉我们交正半轴于点 d， 设 a， c 的 长为 t， 好， a， c 这段的长是 t， 好， 然后呢告诉我们点 d 的 横坐标为 d， 告诉我们了这段的长度为 d， 横坐标嘛，正的正半轴嘛，对不对？好，那接下来他说求 d 关于 t 的 函数关系式，我们要求他关于他的函数关系式。这种题目，题目说不用写出自变量的范围，那我们就正常做就行了，怎么求呢？ 已经给出了我们 a 点坐标， b 点坐标，说白了，在这块你又做了一个垂线，你会发现三角形 a、 b、 o 和三角形在这块出现了一个三角形，这个 d， a、 c 这俩三角形，它是有个共用角的，对不对？他们共用了这个角，那我就借这个角说事吧，这个角的三角函数中我们是都知道，对吧？这一个长度为八，这一个长度为六，所以我们就来看一下题目，现在给我们目标是 a、 c 啊，注意看一下。哎，怎么画出两条线呢？来给出我们这里面的 a、 c， 它是 t， 我 们要找 t 和 d 它们之间的一个函数关系式，说白了你用 t， 用含有 t 的 式子把 d 表示出来就完事了。那此时 三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，我知道了 a、 c 这个直角边的长度， a、 d 这个斜边的长度，我是不是也知道？这是六吗？对不对？油坐标我可以知道，所以在这块咱们直接用含三角函数关系就可以了。这个角的 cosine 值，它是应该等于 a c 比上我们的 ad 的， 那么同样这个角的 cosine 值还可以用我们原始三角形 a、 o、 b 里面，这儿是六，这儿是八，这儿是十，对吧？所以六比十就是三比五，用它可以来表示 ac 比 a、 d， 其实就是 t 比上 d 加六，所以在这块我可以把这个式子直接啊 t 比上 d 加六， 我们直接把它写出来，最后我们那重开去计算，三 d 加上十八等于五。 t 我 们要用 d 关，用求 d 关于 t 的 函数，关于式，所以我们可以得到 d， 就 应该是等于 三分之五， t 减去六，搞定了，直接得到这样一个式子。好，第二问也很容易。所以这种题目你看到第三问跟个蜘蛛网似的，你至少要知道一件事情，我前面能做的分，我要拿到手，对吧？这个题十分，我高低拿两分拿到手去，而且到了第三问，到了第三问，你也不是说并非完全不能做，但几乎你不能做。 好吧，咱只能这么说，几乎你什么都干不出来。为啥呢？因为你读题没有个五分钟，十分钟，你甚至都没有读懂这个题到底在说什么，到底想考什么，你想通过我们常规的什么几何模型去分析，你可能只能做出一件事情，这个我觉得至少你要敢于去做啊，因为这个图既然长成这个样子了，不怕它再乱一点了。 我们在讲解过程中，我会把这个图分为三层，一步一步拨开它。好吧，首先咱们第一步啊，先来看一下题目给了 f 点，在第三象限隔这有一个点，然后呢，连接 f b， 连接 f b。 好， 连上了 f d， f d 我 也连上了啊， b 点地点，那地点位置也不知道，对吧？我们在第二问，只知道了地点，它对应的什么呀？对应的到我们 o 的 这个距离，也就是对应的这个 b 的 值啊，它是表示的是 地点的横坐标。然后呢，题目又给我们说了， f b 等于 f d。 你 如果说有习惯，平时做题有一个好习惯，老师，我习我习惯在题上把一些条件标上去，那这个题你这个习惯放上去以后，你会很乱，不信我们试一下 f b 等于 f d。 好， 这两个边相等，我们描一下啊，这两个边相等，我甚至还可以用不同的颜色帮你描一下，防止你后面理解起来太混乱。没关系，换个颜色继续。他说过，点 b 做 b， e 垂直于 f d， 过点 b 做 b e b e 在 哪呢？这呢？ b e 垂直于 f d。 好 家伙，搁这垂了一个， 做了个垂线。然后呢，他说， g 是 线段 b 上的一个点 g 点在这儿延长 f g 到点 h， 使得 f g 等于 g h， 也就是现在我们要出的，换个颜色，把这个线稍微加点曲线，让你分清楚一点，这两个线它们长度是相等的，好吧。嗯。然后呢，他又说， g h 交 c d 与点 a， 延长 c d 至点 m 时的 i d 等于 dm， 好 家伙，什么鬼？ i d 等于 dm， 咱们再换个色啊你，你考试时候首先你换不了这么多色啊，但是我现在就帮你把它颜色换上了。来，这个线和这段线，这两个线段又是相等的， 首先你一般做题都是看到等线段，我们一般会想到可能会让我们挣全等，对不对啊？这个题确实也让你挣全等了，但是至少， 但是，至少你在做题的时候你是看不出来在哪挣全等的，对吧？这红的红的在这呢？蓝的蓝的在这，绿的绿的在这呢？是咋挣的？不知道，继续往后读吧。连接 连接 d j， 连接 h m， 出现了一个这个关系，同学们，如果我们对于绝配角这个知识点有 知识有了解过的话，你会对他比较敏感，但是如果之前从来没有了解过的话，没关系，后面我会专门出一期这样的讲解，咱们也去了解一下。这种题目我们一般怎么考，或者我们一般怎么去用啊，这主要涉及到的就是一个对倒角或者对角度位置的一个关系的分析。所以在这我们会发现角 e b f e b f， 这他说了啊，来看一下，他给我们说，这个角我先不往上画了，画的很乱，这个角加上二倍的角 g d e g d e 在 哪？在这哦，他加上二倍的这个角是和等于九十度， 放着吧，一会再说。然后呢，给了我们 n 是 线段上一点 gi 等于根号二倍的 n d， gi 在 这， n d 在 这。不管怎么样，我们至少在我们已有的数学经验里面遇到一个线段是另一个线段的根号二倍。你一定会想，哎，这个线段是这个线段的啊， 这段的根号二倍，那你会想到我做垂线对吧？出现四十五度，让这个边和这个边对应相等，肯定会想到一个四十五度，对吧？这是我们在做题的时候可能会用到的一个经验啊。好，那接下来咱们继续来看，所以这里面暗含一个四十五度，我们先标在这， 然后连接 m n， 连接一下 m 点和 n 点，把这连上了，又给了一个当我们的角， c d g。 好 家伙， c d g 是 哪？ c d g 是 这个小角加上二倍的角 g d o， 这个角加上二倍的它等于角 h m n 的 时候， 我们要求 b g 等于 f e 时， b g 是 哪？这和 f e 它和它相等的时候，对应 t 的 值， 求 t 怎么求？如果你还记得我们上一问干了啥的话，你就懂这个题最终让你求的是什么了。上一问，我们是不是知道了 d 和 t 的 关系了，对不对？所以想求 t， 你 只需要知道 对应的我们的 d 的 值是多少？ d 是 谁啊？ d 是 我们对应 d 点的横坐标啊，在我们正半轴上的 d 点，它的横坐标的值。说白了，最后我们目标你的转化就是想求 t， 求 o d 啊，想求 t， 你 得把 o d 求出来。哎呀，首先我们先来说一下考场上遇到这种情况怎么办？你做到这个题已经没有什么时间，或者说我勉强把题目读懂了，我也分析出来了，要想求 t 就 要求 o d， 那 你至少可以先去蒙一下， 猜一下。就这种题，你把答案答出来，高低有一分两分的，你先拿到手里，你比如说这里面 o b， o d， 你 看 o d 等于多少，你盲猜 o d 等于多少？如果你发现老师我感觉 o d 和 o d 长度接近，我盲猜它是一个等于八， 或者我敢于把 b d 连上，以后我盲猜这个角是四十五度。好，恭喜你，这两份就抢到手里了啊。别人哼哧哼哧写了那么多的东西，无非就比你多拿四五分嘛， 能差多少呢，对不对？所以这时候你在最后一题的时候，真没招的时候，我大概目测一下，或者中考卷一般也比较标准，掏出你的尺子量一下，总也有招解决好吧。嗯，像这道题目，你如果想完整的做对它，就不再局限于某一章的知识了， 他至少你对所有的像这样的几何倒角问题，几何图形问题，你要很熟悉，并且你要能够有这个能力，在我们这样的一个平面直角坐标系里面，对角度，对三角函数值，对我们的线段关系能够非常快的去识别和求解，这里面融合了非常多的。呃，辅助线的补行思路，来，咱们步伐来看一下。 首先咱们来看在这问的环节里面，你至少我们在第一问的辅助线，咱先把这些已知信息擦掉了，这个信息放在这，你也不知道该干什么，咱们不妨一步一步分析上来。题目给了 f b 等于 f d 来看一下，这是 f b 描出来啊， 我这里面用的笔就相对细一点了啊，一旦写错了这个一二写不了几个字。另外，我在写的过程中，最终呈现的步骤就是一个大概的解析思路的步骤，具体的证明我会给你讲清楚，但是需要你自己来完成，好吧？ 然后证明过一步以后，为了防止这一步会影响到你后面的判断，多余的辅助线我就会把它擦掉，好吧，嗯，好，那接下来在这个环节里，你们会发现 b f 和 f d 这两个边长度相等，所以如果我在这块想到等腰三角形的话，你一定会选择。老师，我在这想去把 b d 连上，没毛病，你把它连上，思路是非常清晰的， 连上它以后，此时你肯定还要再连上一条线，连上谁呢？因为你连接 b d， 它并不会产生什么实质性的东西。在这个题目中，至少你现在前半部信息你用到了一个相等，还用到了什么呀？用到了这里面有一个垂直，所以相当于出现了一个等腰三角形， 然后呢，没有给你做出底边，做了一个腰往另一边的垂线，在图中相当于就这个关系， b e 就是 这个腰，这个这个底角的顶点向另一个腰这样的一个垂线， 对吧？坐着往腰上的一个垂线出来，所以我们的思路要把底边补出来，并且把什么呀，三线合一的这条线给它补出来，这是你的辅助线的一个步行思路，所以我在这块第二步连上 b d 以后，第二步我取 b d 中点连接 f 到这个中点对应的 连线，假设这个点我们就是一个 p 点啊。这个题还有一个细节，就是你在里面连辅助线去找点的环节，你得看清楚，因为已有的点太多了，你别 往这整个 n 点做着做着发现毁了，人家原来题目里有一个 n 点，你后面一下全乱了，对不对？好，那接下来咱们要进行分析了，在这个图中，题目给出来了一个什么样的信息，我们能用上的是一个什么样的信息？ 按照这个大概的逻辑，咱们把图形补出来了，接下来咱们就需要思考了，看一下啊，右边这个图我先暂暂时在这放着，一会我们可以帮着咱们自己去分析一下，咱们先来去看一下咱们图内其他的信息，我们该如何去使用。哎呦，重新再来一下， 那么我们看一下，在题目中，我们把这个图一旦补出来了， p 点是中点，如果我能够想到把 p e 连上的话，那自然是更好的，因为你会发现 p 点是 b d 的 中点， b e 是 垂直于 e d 的， 就相当于是我们往这做的这条垂线呢，这个点是斜边的中点，这有一个直角三角形，所以连上它以后，你会发现他他他这三个边的长度会出现一个相等的关系，对吧？这是我们在做题的时候，咱们可以自行给它去做上补充的。好，那我们来看， 不妨我现在就把这个辅助线咱也给他补出来啊，辅助线我也连细一点吧，省的一会看乱了来，那接下来接下来咱们来看在我们这个图中，哎，连细一点看着好像会清晰一点，我们把这些线都稍微给它描细一点啊，大概知道这里有一条线就可以了，好吧。嗯， 好，那么接下来咱们需要干什么事情？我们找到这个屁点之后，我们要根据角度信息往下去推导题目中给出了什么， 这里面给出了一个后面有着什么 f g 啊，等于 g e 这两个边相等，在我们目前的这个图中用不到。所以说你还有一个很重要的信息，就是哪个东西能在这个题目能用到哪个东西现在在这个环节用不到，我们就得放一放，咱们现在用上的，我们可以先给他标上，对吧？这里用到了，这里用到了，这个没用，然后再往后读，读 到使 id 啊， id 等于 dm， 你 在这个环节很明显它也出了你这个三角形外面了，所以也用不上。那最关键的一个信息出现了，这个 角 e b f 等于二倍的角 g d e。 看一下，角 e b f， 这个角是我们的角 e b f， 它是不是本来就出现在某一个直角三角形中了？ 没错吧？是的，这个角就在这个直角三角形里面，它加上一个二倍的角 g d e 等于九十度。那你能不能找到某一个角就应该等于二倍的角 g d e。 谁呀？你是不是发现这个角加上角 bfe 刚好是九十度，所以我们在推导的环节就分析出来，角 gde 应该是等于角 bfe 的， 那 g 啊角二倍的角 gde 是 等于角 bfe 的， gde 在 哪？这是 gde。 来，咱们把现在假设它是阿尔法角，这个角，我们假设它是一个阿尔法的角， 此时这个角是而法，所以你会发现整个这个大角就是而法，所以我们角 d f p。 注意啊，红色的，也就是我补出来这个辅助线，这个角的大小和左边也就上面这个角，这两个角对应的都是而法，这是我们可以分析出来的， 对吧？那么对应的这是而法，这是而法。好，那么我们的角 f b e 这个角就应该是九十度减去二倍的而法， 对吧？这个角就是九十度减去二倍的 r 法。好，另外我们还可以发现的是，在这个题目中， 刚刚我们是不是补了辅助线，这是九十度减去二倍 r 法，这是一个 r 法，那么这个角呢？对应的是不应该也是 r 法角了 啊？我们在这个推导的过程中，因为这有一个垂直，在这个垂直里面， r 法加上九减 r 法，再加上 r 法，它们之合应该等于九十，对不对？又因为刚刚我们连接了 p e， 所以 此时这是 r 法角，这个角也是 r 法角 等腰三角形，而对应的此时我们角 p、 e、 d， 剩下的这个角，它就应该对应的是一个九十度减去 r 法了 啊。此处这个角是九十度减去 r 法。那么咱们再来看整个角 b、 d、 e， 整个这个角 b、 d、 e 是 多少？哎，它是不是应该对应的就是一个九十度减去 r 的 角？那因为我们下面这已经有一个 r 法了，所以上边剩下的这部分角，它是不是应该是一个九十度 减去二倍的耳法？此处这个角应该是一个九十度减去二倍耳法的角。哎呀，分析了一大圈，分析的都晕了， 哎！有的人说，老师，那分析这些角我们能得到什么呢？目前我们看到能去找到的，能去分析出来角，咱们都给他去标出来，包括你会发现这个角是一个九十度减去耳法，你看整个这个角和整个这个角，这俩角应该都是九十减耳法，对不对？这个角对应的九十减二法。当然你说老师我不写出来，我就想，我就知道他 左边两左右两个角，这两个角的总和都是九十度减而法也可以啊，但是我至少要知道这个小角它应该对应九十度减去而法。然后我们再去看， 在这个题目中，我们这个角度推导的这一块，大概已经能推导的推导到了。当然你也可以去发现一些其他的信息，比如说这儿是九十减而法，这儿是九十减而法，那么此处这里剩下的角应该就是一个二倍而法角，对吧？所以你会发现这个角和它它们两个来我标双线， 这两个角应该都对应的是我们刚写出来的九十度减去二倍的二法，对吧？整个是直角减去二倍二法，它是九十减二法，它呢也对应了九十度减去二法。 其实在这个的推导环节里面，你可以完全像我刚刚一样，把它放在外面的一个等腰三角形中，在这个图形里面对它完成推导。好，那我推导到这以后，这个图已经看起来很吓人了，对吧？但是我们还并只是找到一些角度关系，并没有得到什么实质性的进展。我们可以继续往下看看哪些条件能用得上。 g i 等于根号二倍的 n d， g i 和 n d 在 这个图中我目前我是用不上的，对吧？包括我们这组角度关系，它的位置也非常偏，并没有在我们这个等腰三角形内产生联系，我也用不上，但是题目给出了一个关键信息，他说 b g 和 f e 是 相等， 嗯，看一下咱们现在用另外的颜色去标注一下 b g 和 fe 相等，你会得到什么？来看 b g 是 在这里的，我们把它的颜色更换啊。 b g 是 在这里的， fe 呢是在这里的， 所以我们会发现在这出现了关系了。 b g f e 相等，这个角是 r 反，这个角也是 r 反，这个角是九十度减 r 反，这个角也是九十度减 r 反，所以在这出现了第一组的全等关系。这个全等关系长什么样？我大概给你草图描一下，这有一个三角形， 然后呢？这也有一个三角形，这两个三角形他们是全等的关系。好，我撤销了啊，不然留着太乱了。好，所以在这块我可以得到一个三角形 b g、 d 是 全等于三角形 f e p 的 这个的判定依据。我们用到的是 a a s 一个角，两个角，还有一个边角角边。 那么由这两个三角形我们得到的第一次全等关系，我们终于顺利的找到了一些边长的等量关系。除了途中两个蓝色线段对应相等之外，我们还应该可以得到的是谁啊？咱们会发现此时 e p 和 g d 相等，这两个线段你相等你也用不上，但是我可以用的是 f， 对 不对？你会发现这个三角形和这个三角形全等，所以 f p 与我们的 b、 d 是 什么关系？ 所以 b d 和 f p 是 一定是相等的，也就是我这补充的这一条辅助线和这一条辅助线，这两条线的长度是永远满足相等关系的。好，那由这个相等关系我们可以去进行哪一步的推导呢？ 哎，这里面咱们可以得到他们这块有什么样的关系？他和他是相等的，那是不是就说明了，因为屁点刚好是 b 的 中点，所以这块刚好是我们 f p 长度的一半，对不对？这条线和这条线相等，所以这和他的关系就是一个一半关系。由此你会发现，我们的贪听的耳法 就应该等于 p d 比上 f p， 这是它的一半，这是它的一个整个。所以一啊，这个二分之一比上一刚好，你会发现贪心的阿尔法等于二分之一，我们在这得到了一个贪心的阿尔法的大小。 好，那老师我得到它又有什么用呢？那因为这个图中有非常多的阿尔法角，所以这比上这是一比二，同样我们也会发现，因为这是阿尔法，所以 e d 比上整个 b e 也是有一比二的关系出现， 对吧？那么此时我可以去找到谁，包括你在这这还有 g e 比上 e d， 他 这也是一个一比二，因为我们原始设的反反就是这个角嘛，对不对？在这个三角形中也会出现一比二、一比二、一比二 啊，还有我们刚刚的一比二，对不对？它的反反都会出现啊。那接下来我这个题要往下怎么去做好？那么我们会想到 这里出现这样的关系以后，因为我们还刚刚在全等的时候，是不是用上了 b g 和 f e 这俩的长度是永远什么关系啊？是永远会相等的关系，对吧？那我们现在不妨咱们假设好现在这个图，我就要把它一部分擦掉了，不然会有一点乱。没关系，我现在稍微给你去演示一下啊，咱们假设 g e 的 长度， 我先把内部的一些线擦去吧，这个线留着会有点乱啊。咱们现在把内部的一些线擦去重新写一下，因为角度的信息，我们推导推导这些角度是为了我们去政权等吗？对吧？现在咱们把这个图没有用的一些点，我们现在就不看它了，好吧，咱们直接把这个图去给它补成一个 能帮助我们去进一步分析的图。这也就是你在做辅助线的时候，这个题我们的辅助线可能需要画几次啊？因为你画一次以后有点乱了以后，这个图就要去停止重新修改，这个确实还是挺复杂的一个图啊。好，现在我们先去还是连上我们刚刚这条线，刚刚我们知道的角，来看一下咱们是不是连上了 f 点到这个线的中点，连出了这里，对不对？好，我现在把它也去，大概能看清位置就可以了。接下来你会知道的是这个角 以及我们的这个红色的这个标和它标出来这个角啊，这是 p 点，以及我们刚刚最开始设的这个角，他是阿尔法，他是阿尔法，他也是阿尔法， 对吧？嗯，好，包括你说这个角也是阿尔法，对吧？这些这些角我们都有这样的信息，所以你会发现，如果我假设这一这段的长度，我们假设它是 a 的 话，你会发现这是 a， 那 么这对应的就是二倍的小 a， 这里是二倍小 a， 因为一比二的这个判定值的一个关系，所以这是二 a， 这整个就应该是四倍的 a， 所以 上边的这一段 b g 的 这段就应该是三倍的 a， b g 这段是三倍的 a， 因为我们的 b g 和 f e 是 相等的，所以 f e， 这就会出现一个三倍的小 a， 没错吧？在原题中我们这个线是怎么来的？是垂直出来的，所以你会发现 a 比上三倍的小 a， 也就是我在 r 下面这块有一个，我换个颜色啊， 红色配一个蓝色吧，有一个蓝色的小角在这里，也就是我们的角 g f e， 这个 g f e 这个小角，你看到我们刚刚标的这个 r f e 角是角 p f e 对 不对？那你的 g f e 这个小角是不是刚好在我现在描出的这个直角三角形中，对吧？它的对边比上邻边是多少？ 一比三对不对？所以在这你会发现，哎，老师， g f e 这个角出现了一个一比三的判定值，角 g f e 等于一比三，你想到了什么？ 你想到了什么？在这出现二分之一，出现三分之一，你想到了什么？在这你可以稍稍作推倒，这个推倒过程我们就不在这个大题里写了，是不是一二三四五？所以我们会知道这个 r 角加上这个小兰，它俩之合一定是等于四十五度的。 而这个四十五度，你只要能想出来，那你就知道和我们的目标至少是更进一步了，因为你的目标就是要冲着根号，根号会出现四十五度的关系，你是在向着你的目标进发， 对不对？这是我们在做题里面你意识到的一件事情，而当你意识到这以后，其实我们就可以导出有一个角的度数，哪个角呢？角 d g h 这个角的度数你就已经得到了， 哎，他的度数我是怎么得到的呢？为啥我说我就可以直接得到这个角度数呢？因为你会发现，在这个图里面，角 g d h 他 是不是应该等于来看我写一下啊？角 g d h， 他 是不是应该等于我们的这个小兰，也就是刚刚我们标出这个角加上，而法对不对？小兰加上而法 刚，我们师傅说了碳点值三分之一，碳点值二分之一，这两个角质合应该是四十五度，所以由此我可以推出这个角角 g d h 等于四十五度。搞定了，这出现了一个四十五度的角， 那这个题我们的第一个环节就非常清楚的得到了目标四十五度出现，当我们这出现一个四十五度的时候，我现在可以怎么解决问题呢？你遇到四十五度，我们肯定想去构造垂线，对不对？所以如果此时我可以过地点向我们的 d h 做出这个垂线， 假设垂足到这，我们把垂线给它做出来，这个垂线我们只要一做，注意此时这是一个直角，我把颜色换回来，这是一个直角，那么你会发现，假设咱们这个点， 怎么假设是 q 点吧？啊？好，咱们假设它是 q 点的话，此时这一我们到这到这个线已经做出是第四条辅助线了，一条两条，以及刚我们分析的时候还连过 pe， 对 不对？好，现在把地点向我们的 f g 做出这个垂线段 到 q 点，那么你会发现这种情况下我们的 g q 和永远会和 q d 长度是相等的，对不对？因为这是二 a， 这是 a， 所以 这就应该是根号五倍的 a， 所以 g d 是 根号五，所以这里面呢应该都是二分之根号五除以根号应该是二分之根号十倍的 a， 所以 这里也是二分之根号十倍的 a， 那 么这两个都是二分之根号十倍的 a， 我 们这一条线段的长度我能不能知道 f、 g 的 长度能不能知道 a？ 三 a， 这应该是根号十倍的 a， 对 不对？那我们知道这些有什么用呢？这是根号十倍的 a， 这是二分之根号十倍的 a， 我 能想到什么？ 我会想到这个题目我们现在至今为止用到了一个、两个、三个信息，对吧？还有什么没用？有的好多呢，一个边，两个边，这还有一个根号二，这还有一个角的关系呢，对不对？你会发现题目是不是给了 f g 和 g h 这两段长度是相等的关系， 意味着这是根号十 a 的 话，这里一定是根号十 a， 又因为我们的 g q 是 二分之根号十 a， 所以 q h 一定也是二分之根号十倍的 a， 所以 这两段的长度对应的就是相等的关系。那么由此你就可以得到 我们 d q 垂直于 j h， 而且 q 点是 j、 h 的 终点。我们经过刚刚这些导角的计算，你最终的目标是推导出来什么？最终我们的目标是推导出来，此时我们只需要连接 h d， 这里就可以出现什么呀？就可以出现四十五度角。 好，那我们这个环节咱们推导到这一步，我们已经可以把题目里面其他信息咱们再去清理一遍了，不然这个图咱们又没法看了，好吧，我们把题目里面的这些写出来的这些信息，我们可以去擦一下，一会再具体做到哪一位的时候，我们再来去看。所以当你做到这一步以后，我们需要知道的是， 首先我们刚刚在做的辅助线的过程里面来，我重新把辅助线补一遍，啊，这样以防我们看的不太清晰。 这是我们的第一条辅助线，这是我们的又一条辅助线。 然后我们刚刚在做的过程中，我们通过在倒角的这个环节里面，咱们发现了这个角是一个四十五度的角，我们还做了一条垂线段，由我们的地点向 gh 做出了一条垂线段， 这是我们的 q 点，这个点呢，对应的是我们的 p 点。好，我们把刚刚做的点都还原回来，这儿是四十五度，我们推导出它和它相等，还和它相等，所以只要我们连接上 h、 d， 第五条辅助线出现了啊，只要我们连接上 h、 d， 那 么这时候会出现，这里是四十五度，这儿有一个垂直， 这也有一个四十五度。四十五度，我现在标注的这个角也是四十五度，这有一个垂直关系，包括我们的角 g、 d、 q 和 q、 d、 h 也全部都是有四十五度的关系。 哇，题目做到这块，感觉这个题目的信息好多啊，四十五度，四十五度。哎，那我是不是就知道了一个事，此时他四十五，他四十五，那不就说明了 d、 h 和 d、 j 是 垂直的吗？ 哎，我往下写吧， 也就是这步，我们坐到这，发现这出现了一个直角啊，它是这样一个垂直的关系，那当我们这个题做到这，我们会想什么？ 哇，这个题做到这一步已经黑已经非常困难了，对不对？五条辅助线都补完了，那我们要想到题目还有什么信息没有？ 截止到刚刚，我们连这个信息也用上了，还差哪个信息没用？根号二倍，目前为止这个根号二我依然看不出什么使用的办法。 i g 是 我们根号二倍的 n d， 目前是没有什么好的办法能把它凑到一块的，对不对？但是如果你想到了 d 点，它是 i m 的 终点的话，也就是你看到这个信息的话，我们应该能想出下一条辅助线的思路。在这我们用到了一条新的辅助线，这个逻辑叫做什么呀？背长中线，只不过在这它并不是一个真正的中线，它是一个类中线。你会发现，因为 id 和 d m 相等，我不妨我延长 g d 下一条辅助线延长 g d， 比如说到我目测一下，怎么准啊？大概是这个样子，大概是这么长吧。延长 g d 到点 s， 假设这个点是 s 点，使得 g d 和 d s 它们的长度是相等的，那我们只需要再去连出我们的 m s 哈，又一条辅助线，对吧？连完以后，我们把 m s 也去做连接 好，此时你会构造出来了一个全等关系，对不对？只要我们现在倍长啊，这块我主要是写思路了啊。咱们如果完成的是倍长 g d 到 s 的 话，那么我们可以得到的信息是什么？这两段的长度是一个永远相等的关系，那么我们构造出来的是一个三角形的全等，对吧？背长中线得到的一个全等关系， g i d 和我们的呃， s， m d 这两个三角形全等， 也就是 g i 就 等于 ms， 当我说出 g i 等于 ms 的 时候，你就应该立马意识到一件事情。好，这个题目有一个小小的细节出现了， 它我直接这有一个四十五度，直接做出来不好做，你在把它做过来的过程中，首先因为全等，对吧？我们是被长中线构成构造的全等，所以这块的一个全等一句，我把它写出来吧。在这个环节里面，由此你得到的是三角形 g i d 全等于三角形 s m d， 那 么 m s 和 gi 永远相等的情况下，而且这个角一定也和它一样是四十五度，对不对？所以此时我们只需要过 m 向咱们的 g s 把垂线做出来， 又一条垂线，又一条辅助线，这条辅助线做出来的目的是什么呢？目的是把我们的根号二倍利用上， 这我们就可以得到。因为四十五度，我这个垂线一做，此时不管垂足，假设垂足是还有没有，哪个点没有用，假设垂足是 t 点，你会此时发现 st 这个线段长度永远是等于 nd 的， 对不对？这个垂线一做 st 立马就等于 nd， 我 们顺利的把 nd 和 st 的 关系得到了一个转移，所以在这一步我们能得到什么呢？你会发现 nd 等于 st 的 话，所以 又因为我们整个 g d 和 d s 长度是相等的，所以我们的 nt 的 长度，它是等于 g d 的， 也是等于 d s 的， 对不对？这段 nt 这段的长度是等于 g d 也是等于 s t， 所以 由它我们可以推出这样的关系， g d 等于 s d， 这是本来的全等我得到的关系，并且还等于 nt， 在这我找到 n t 和他们相等，我想干什么呢？我想通过在这块得到一个什么关系呢？没错，咱们还想再去得到一个新的全等，去 又在这个环节，我的目标最终目标会落到，我还想再拿到一个全等的关系去了。因为你看，给出 g、 d， s， d， n、 t 其实还有一条线的长度跟他们的长度也是一样，谁呢？你会发现 g、 d 的 长度 和我们 d s 的 长度和我们 n、 t 的 长度，以及刚刚这儿是不是有个四十五度，这儿四十五度，这儿四十五度。所以我们的 h、 d 的 长度是不是也是知道的，它是和它们一样的啊，也就是 h d 的 长度跟它们也是相等的。那么在这儿你可以看到 h d 就 应该和我们的 n t 啊， h d 这个边和 n t 这个边是相等的关系。而且呢，我们 n、 d 这个边和 t 谁啊？ pm 这个边也是相等的，所以只需要我们再连出一条辅助线，连出 h n， 好， 咱们把它连上，稍微细一点啊，连上以后，你会发现，此时三角形 h， n、 d 一定是全等于三角形 n、 m、 t 这里面全等关系就是 s、 a， s， 对 吧？在这里面，直角我们是知道的，这个边、这个边分别是相等的关系，所以由此我们可以推得的什么？由这个三角形全等的关系，你可以得到我连出的 h n 和 n m， 所以 可以得到 h n 和 n m 这两个线段，它们一定是相等的。来关注一下，这个边和这个边相等，你能得到什么？ 我还应该可以得到的是，因为三角形有全等关系，这儿是一个直角，这儿也有直角出现，所以你可以推得此处出现的 h， n、 d 这个角，加上 m、 n、 d 这个角，也就是我现在在途中我给你描出来的。来，我给你描出来的这个角，它一定是可以全等的。呃，可以等于九十度的，对不对？你由全等关系， 他加他是九十度，他加他一定也是九十度。所以这是直角，两个边相等，出现了什么哦？ n h 和 n m 是 相等的，这还出现了直角，所以在这你可以得到，这出现了一个四十五度， 我们就画下面就行了啊，因为你上面画出来也很乱，再一个对你最终推导出来结果没有什么帮助。你只需要知道我们 h n m h m n 它的大小是一个四十五度啊，这出现了一个四十五度的角， 那知道这个角四十五度就怎么样呢？我们纵观整个题目的所有条件，你发现还有唯一一个条件没有用上谁呢？在这里 角 c d g 加上二倍的角， g d o 等于 h m n， 也就是它的值是等于四十五度的。这个题我们最后把信息转移到了前面，是等于四十五度的，那么在这这个图又有一点点其他的线会干扰到你了，那我们现在把它去那擦掉，好吧，我们现在把它去擦掉。 在这个图中你会发现这个线连上没有问题。你最终想求的角，我们可以瞄一下咱们 c d j 是 哪个角，这个角 这个角加上谁？加上二倍的他是等于四十五度的角，你一定不希望加上二倍的他，那你希望的是什么呢？你看我们最终还是说白了，归根结底，你要是确定地点，他所在的位置，就我目标想确定这个位置的。如果我们把 b d 连出来的这条线， 连出的这个线和我们 x 轴的加角，也就是 b d o 这个角，咱们要能把他搞出来是一个四十五度，大功告成。那我们来看现在卡点是哪块， 看我们现在这个这个环节，咱们的卡点在哪？我们现在知道的是这一个角加上下面这个角的二倍，两个这个角加起来等于四十五度。如果我能想办法去证明出来角 p、 d、 c 这个角 p d， c， 它是等于角 g、 d、 o 的， 也就等于这个 如果我能证明出来它这个题我们就直接顺利搞定了。但是现在因为这样的话，我们这个二倍的它就可以转移成这两个角了吗？此时我们就变成小角，加上中间角，再加下面角，这三个角之合刚好是等于我们目标角四十五度。 但是现在不够，这个题目的信息并没有给你，这些我们需要自己想办法，想尽办法去证明出来。我现在标注出来的目标这两个角，它们两个得是相等的关系，能正吗？你直接去正上面的和下面这两个小角，其实不好正，没关系，我教你一招，你可以带上别的一起去正，带上谁呢？我把它带上， 想正它俩相等。说白了是不是我只需要证明角谁呢？ p d， g 让它能够想办法挣出来，是等于我们下面的这个角，你看 p、 d， g 这个角和我们下面的整个 c、 d、 o 这个角， 只要能证明它们两个相等，这个题你就可以说明我们刚刚上面目标的角 p d， c 和我们的角 g、 d、 o 相等。那么这块相等通了以后，我们可以得到前面两个角之合，就是 p d， c 加 g， d， o， 再加上中间的 i、 d， g 三个角之合就是我们的目标角 b、 d、 o 四十五度了， 对吧？所以那现在这一步我们怎么能够证明这两个角是相等的呢？这又涉及到了我们最开始最原始的导角过程了。首先我们知道 角 c、 d、 o 这个角它我们是可以知道它的信息的，为啥呢？来看 c、 d、 o 就是 角 c、 d、 a。 在 我们上一问的时候，我们就已经研究过，你看角 c、 d、 a， 它的大小应该永远会和角 a、 b、 o 大 小是一样的， 对不对？你看 a、 b、 o 这是垂直关系吗？所以 c、 d、 a 这个大小永远会和角我们的 a、 b、 o 是 永远保持相等的关系，这可以通过八字模型去正，都 ok， 很 很好正。那么我们角 a、 b、 o， 它的摊定的值是不是固定的？ 对边比上邻边这块的这块 a 点的坐标，我们在上一问之前是知道的，这是六，这是八，所以这块对应的就是四比三，也就是角 c、 d、 o 它的摊定的值 判定的角 c、 d、 o 是 等于四分之三的，如果我能说明这个角它对应的判定值也是 三分之四啊，也也是四分之三，就是三比四，我们就可以搞定这个题，整个这个题的逻辑就通了。那么这个角的判定的值我能不能求呢？那你就要看一看我们现在所有的目标，将全部转移回我们现在描出的图中这个角来。我们现在在这里边说的这个角 p 啊，也就我们现在在这说的这个角 p d g p d g 这个角，我们刚刚在哪说过呢？在最开始证明我们三角形里面，在全等这个信息证明的过程中，我们在倒角里有研究过它 最开始我们设的阿尔法角是不是就是角谁啊？角 g、 d、 e， 我 们开始设的它是阿尔法，对不对？所以我现在拿过来它是阿尔法， 那我没有记错的话，刚刚我们是不是连接了 pe 来着？所以我们在证明的过程中，咱们是知道这个角是 r 反，这个角也是 r 反啊，整个角 p、 f、 d 也是 r 反，这个角也是 r 反，然后对应着我们连接 pe 以后，你会得到这个小角也是 r 反，对不对？那由此我们可以推得什么？ 这个角我们在刚刚教他的叫做九十度减去二倍的耳法，而他是九十度减耳法，对应着我们这个角，你看在三角形 f、 b、 p 中，这是直角耳法，耳法他是不是一个多少呢？他是不是对应的也是九十度， 九十度减去二倍的耳法？所以你会发现这个角永远和我们的角 f、 b、 e 是 相等的，他是永远等于角 f、 b、 e 的。 那么你会发现角 f、 b、 e， 它的探令值我是可求的，怎么可以求呢？刚刚在找线段关系的时候，我们是不是说 咱们求出来了 f 角的探令值，对吧？我们刚怎么求的呢？假设这是 r 法啊，假设这是 a， 所以 这应该对应的是二 a， 所以 我们知道整个 b、 e 的 长度是多少，是四倍的 a， 对 吧？然后我们还推导出 f、 e， 因为和 b、 j 相等， b、 j 是 三 a， 所以 这也是三 a， 所以 这的长度是三倍的 a， 这里是对应的是三倍的 a， 而我们在这里 ab 的 这个，这个 f、 b 的 长度应该和它的长度应该是对应什么关系啊？你这是四 a， 这是三 a， 这是四 a， 这是五 a， 对 不对啊？这是三 a， 这是四 a， 这是五 a， 对 不对？所以此时我们想求这个角的 它那个值，这儿是四 a， 这儿是三 a， 这儿是垂直，你是不是同样可以得到角 f、 b， 它的摊定的值同样也是等于四分之三？所以在这个环节里面，我们通过摊定的值证明了摊定的角 f、 b、 e 等于摊定的角 t、 d、 j， 且等于它的角 c、 d、 o， 也就是你会得到这两个角是相等的关系。所以你发现，哇，这个图画的真是上头了，对不对？最后你会发现，这个角和我们在这描的这个角，这两个角它们大小是相等的关系。我把其他辅助线擦掉了啊，最终我们在图的最后一步分析出来的是 你通过我们的 b 点连接 d 点，咱们连出的这一条辅助线。哎，扬眉吐气一下，因为这个题我们做出来了，咱们直接把图画粗一点啊。好，我们把这条线连出来，你会发现咱们正出来的是 角 b、 d、 g 和角 c、 d、 a， 这两个角永远相等，那你说由这两个大角永远相等，是不是可以扣掉中间部分？我得到上下两个角相等，也就是 p、 d、 c 和 g、 d、 o 是 相等的，所以在这里面你就可以证明，它加它应该等于四十五度， 也就是角 b、 d、 o。 由它等于四十五度，你得到的是角 b、 d、 o 等于四十五度，那么这个角 b、 d、 o 是 四十五度，那是不是说明 b、 o 和 d、 o 是 相等的？ d、 o 我 们可以得到，在这最终得到啊 d、 o 的 值，最终可以得到 d、 o 的 值是等于八的啊，它应该是等于我们 ob 的 长度 d o 等于八。我们还记不记得在上一问，咱们推导出来那个关系式啊？咱们可以看一下，在上一问，我们得到的关系式， 不是这个上一本，在上一本，我们在这一步得到的关系，是不是得到一个关于 d， 关于 t 的 一个函数关系，对吧？在上一页我们是有求出来的，所以在这块我们把它直接代入，你会求得最终 t 的 值是等于五分之四十二，直接搞定了。这就是这样一道题目， 整个这个题目前前后后，我们如果想把它完整做出来，你至少得有三或四个原图，去在每一个计算环节里面，把辅助线对应的画上，把对应的关系逐逐步求解出来。你比如说我们其实可以把它分成这么几层，第一步，我们是三角形的全等证明。 另外在第二步，我们这涉及到了一个一二三四五这样的一个角的证明。当然这个结论我们需要简单的一个证明正出来，我们这个角 g， 呃，这个 d g h， 它是一个四十五度，我们需要一个证明的环节证明出来，它是一个四十五度，二分之一，三分之一。由此可以借助外角去证明啊，这个角和这个角，这是阿尔法，这是我们另一个角直接证明出来。好，然后我们还需要借助什么呀？由 d h 垂直于 d j， 我 们通过倍长，在倍长的这个环节，我们又得到了一个结论， 在被常这里面我们说，说白了，这是两个全等的证明，第一份全等在这里去挣出来，下一个的全等在这个环节挣出来，那么然后我们到了最后还需要涉及到的，你最终把所有的目标转移到了这些角的关系上，我是不是要想办法把这个角的信息，通过题目中 目标角的转移以及三角函数值，你发现他们的摊定的值是一致的，所以我可以求出对应角大小是相等关系， 这是整个这个题目具体的步骤，同学我可以展示出来啊，咱们其实各个渠道搜也能搜到，但是这个题的思路确实是非常重要的一个思路，他给到我们的是你在每道题目一层一层从外往内抽丝剥茧的过程，同样这个过程也非常难， 如果在这道题目我确实没有能力做出来，建议我们可以选择选择性的去蒙他一手。 就像我刚刚在讲这个题说的，你这道题从前往后，前前后后做出的辅助线，七八条辅助线，每条辅助线都是要根据题目的信息，尤其我们围绕着等腰三角形，我们就做了三四条，对吧？涉及到了倒角和全等证明，后面我又围绕着四十五度，我又反复做辅助线 去通过全等导边的关系，也是导角的关系，而且由我们在这出现了一个中点，我想到的是你看 i d 等于 dm， 这是 d 点，是一个中点，所以我直接延长 g d 到点 s 出现了一个倍长中线这样的一个倍长内中线的辅助线思路。通过这样我们把咱们刚刚不好处理的 g i 转移到了 sm 这里面， 同时再去做垂线构造新的全等，实现对你目标角这个 h m n 的 求解，求出它以后，最后一步去分析 g， d， o 这个角和我们刚刚上面这里面的 p， d， c 这个角，或者说是 b， d， c 这个角的一个关系，最终得到你最终就是四十五度的角 啊，所以就是这道题一个非常复杂的一个推导过程，我们可以去感受一下这道题。我也非常建议如果你没有读懂这个题，先不要听我现在的讲解，一定要至少把这个题反复读懂，听懂理解这个题目他要考什么以后，你自己做到我无计可施的时候，你再来去听老师讲的这个内容，在很多细节你会茅塞顿开， 而这个题目中，它对我们这里面角 e， b， f 加上二倍的角 g， d， e 等于九十度这样类似绝配角的考察，也是我们需要在平时做题过程中把它作为单独模型去反复锤炼的一个细节。好，那我们本视频咱们到这结束跟我学，考前带你疯狂逆袭。

中考却在眼前，后进生家长们要注意，要让孩子把时间精力放在容易突破分值较高的地方，比如几何这种一定会出现的大题，他的前两问难度都不太大，还有固定的套路，非常适合后进生。总结，突破 出现频率最高的就是圆和四边形。拿四边形来说，第一问一般是证明题，就只涉及这四种情况。 第二问不是求线段长，就是添加条件判断新的四边形，它翻来覆去就这么几种情况，所以我会让学生记住这张图，然后再进行专题训练，来看具体的应用吧。这道题的第一问要正平行四边形，那首先你要知道它的判定条件吧， 所以后进生们第一步就是要记住它的基本判定方法。题目已经说了， a、 b、 d、 f 中有一组对边平行， 所以只需要再证明它们相等或者另一组对边平行即可。从图上很明显能看出，只要这两个三角形全等，就可以得到边相等。 而旗杆给了 a、 c 是 等于 e、 f 的 以及直角，所以我们只需要再找一个角或者一条边，就能证到它们全等。而另一个条件给的是平分线， 所以就有角 c， a、 b 等于 b、 a、 f， 而平行就有同位角 b、 a、 f 等于 d、 f、 e， 所以 这两个三角形全等，进而得到 a、 b 等于 d、 f， 正得平行四边形。 第二问有两次递进，注意看它是怎么一步步证明出来的，这里的逻辑性非常美。先按照要求我们把辅助线做出来，要说明 b、 g、 e、 d 的 形状，先要正得平行四边形 由 b、 g 是 垂直于 a、 e 以及角 e 等于九十度，我们可以得到 b g 平行于 d， e 由第一位平行四边形得到 b、 d 是 平行于 g、 e 的， 所以这是平行四边形。 b g、 e、 d 加上九十度角，它就变成了矩形。再由角平分线，我们可以得到 c， b 是 等于 b g 的， 而 c b 等于 af， 也就等于 b d， 那我们就得到了 b g 是 等于 b d 的， 所以它就变成了正方形。这题也就拿下了。家长一定要知道，比完成一道题更重要的是怎么解决一类题，是不是这道题两个问的解决方法都在这张图里？ 像这样容易突破分值较高的点，我还总结了九个，后晋升就应该把最后的时间花在这里。如果你家娃也有只刷题不见效这种让人头疼的问题，我可以帮你梳理一下原因，我是老严，关注我，让后晋升的数学不再拖后腿！

中考必考模型，手拉手模型好朋友们，那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目，说如图啊，等边三角形 abc， abc 是 一个正三角形，所以我们知道每个内角应该都是六十度，那么这个角它应该是个六十度，这个角也是一个六十度啊， 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d， 然后三角形 d、 b、 e 也为等边，所以呢，我们看啊，等边三角形都已经共顶点了，一定要想的就是 手拉手模型了啊，那么它也是一个等边三角形，所以这个角还有这个角它都应该是六十度， 这个角啊，它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二，然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长，那么我们先去找到这个大手和小手啊，我们管长边叫大手，从一个顶点引出来四条线段，咱们来看，是不是有啊，两两相等， 那么这个和这个等，这个和这个等，所以我们管长边叫做大手，这就是大手。管短边叫小手，这就是小手。所以一个大手牵一个小手，咔嚓一连连接 a、 e， 它已经给你连好了，另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等，它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形，它应该和谁全等呢？ a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等，为什么呢？这个角六十度，这个角六十度都减掉中间这个叉角，剩下的这两个点角应该是相等的， 所以是一个边角，边的全等，全等永远不是目的，目的是得边等，得角等。所以 a、 e 这条边，它应该和我们 c、 d 这条边是相等的，我可以都设它是 x， 那 么这边长是 x， 这边长是 x， 根据我们的这个 b、 c， 它的边长是二， a、 c 也是二，所以 a、 d 这个长，咱们应该知道它就是二减 x， 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来，咱们可以设它是 y， 那 么这个边长是 y， 这个边长是 y， 所以呢，我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长，咱们怎么去表示呢？是不应该是 x 加上一个二减 x， 然后再加上一个 y， 所以 是不应该就是二加 y， 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值，是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了？那我们这个 d 点啊，它是一个动点， 那么是不是应该是垂线段最短，所以应该是垂直的时候最小，那么我们现在就可以假设他是垂直的，如果这个角是垂直的话，这是六十，这是九十，所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上， 根号三比二，大家不要看错边啊，是三十度对的是一份，然后呢我们六十度对的是根号三份，这个九十度对应的是两份， 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二，所以这就是根号三，这就是一。那么接下来我们看啊，咱们的 y 就是 根号三，所以最后呢，我们来代进去就可以了啊，它就应该等于的是二加上根号三， 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！