蜀山区中考二模数学试卷评分标准

这是二零二六年合肥舒城区按摩第二十二题，这道题我们就讲最后一个问，今天我就用这个题来讲一讲证明几何题一些常用的方法和技巧。第一呢，我们要根据已知条件，挖掘着更多的内容，为正题创造更多条件。 就拿这题来说，我们知道 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形， e、 c 也是个直角三角形， d 是 斜边 b、 c 的 中点。根据这些条件我们就能知道，令 cd 等于 m， 那 b、 d 也是 m， d， e 也是 m， d、 c、 e 是 个等腰三角形， d、 e、 b 也是个等腰三角形，所以 b、 c 等于二 m， 所以 ab 也等于二 m。 我 们再看看直角三角形 a、 b、 d 这条直角边， b、 d 等于 m， 这个直角边 ab 等于二 m， 所以 我们知道这个 r 法，它的弹力的值是二分之一。当然对于三角形 abd 来说， 他的任意一个角，任意三角函数，我们都能够求出来了，因为 a、 d 边我们可以用根号五 m 来表达。 好，这就是我们挖掘出来的条件。那现在呢？我们再来看看要我们证什么？要我们证明 f 比 c， d、 c、 d， 我 们用 m 表达，那现在我们只要能把 f 用含 m 的 代数式表达出来，那这个题就有解了。 那现在呢，我先讲一个我们常用的方法，过重要节点作平行线。如要求 f 线段长，所以 f 是 个重要节点。 我现在过 f 点作 f h 平行于 b、 c， 那 么我们很容易证明 f、 h、 e 是 个等腰三角形。因为 d、 c、 e 是 个等腰三角形，所以这个很好证明。过后我们可以设 f、 h 这个线段长为 a、 e， 那 h、 e 也等于 a e， 就 因为这个 r， 它的 r 是 等于二分之一 f， h 等于 a e， 所以 h 就 等于二 a， e， 那 么呢， h 呢？就等于根号五 a， e， 这我们都知道了，那现在呢，我们就要把 a， e 和 m 建立联系，我们一看看 a， d 这条线段， a， d 这条线段我们既可以表达为根号五 m， 也可以表达为这个。 大家看一看这个式，大家一看就懂，然后我们就能求出来 a， n 和 m 之间的关系，就是这样的关系，然后 f 等于二， a， c， d 等于 m， 带进去就很方便求出来了， 这是一种方法，现在我们再讲讲第二个方法。我们在做题的时候呢，首先观察一下整个图，我们通过观察我们知道 a， f， e 这个三角形跟 a， e， b 这个三角形很有可能相似， 我们这样确定以后，如果相似，我们就是根据相似推出这个式子。 a， e 我 们知道，就把 a， d 这个线段减掉 d， e 这个线段， a， d 是 跟上五 m， d， e 是 m， 所以 a， e 的 长就等于 就能搞。我们再根据这个比例式，我们能求出来 f 等于 a 一 的平方比， a， b 很 容易求出来这个值，然后 f， b， c， d 也就很容易做出来了。 这两个方法呢，都是比较技巧的，也是常用的，计算量也不大。通过这个题的讲解，大家再琢磨琢磨，我们呢把这个方法在以后的正题中呢加以运用，那就能变成自己的解题方法了，讲解完毕。

hello， 各位出摊的家长，中午好，中考二模的数学试卷我们拿到手了， 呃，整体来看，数学试卷比我们想象的比一模简单啊，这份试卷比较接近我们的这个中考的一个水平 啊，把我们的这个各个题型都考察的非常的全面，所以说，如果说这次数学试卷，如果说你再拿不到高分，那么那我们要重新考虑一下我们自己的一些情况，因为这份试卷比我们一毛都简单啊，接近于我们的一个中考的水平。 从我们出题方向来看，出题人给我们每个孩子都能拿到一定的分值，从第一题，第二题，第三题，第四题，这个第五题啊，到第六题啊这些， 呃，几乎所有的孩子都能是选的对的。第七题和第八题这个问题，有些孩子不一定会了，因为涉及到一个正六边形啊，还有一个圆的这个面积的问题，这个概率都要需要计算。第八个有可能孩子这个就是一个卡壳的题目啊，我们就明说 接下来我们的填空题，第一题是啊，送分的，十送分的啊，十一题也是送分的，十二题也是送分的， 对不对？第十三题反比例函数过图像，对吧？函数表达式，这个时候有一定学生会卡壳，对吧？第十四题是有十六根，十六根是德尔塔大于等于零。昨天晚上我们老师还特别强调了这个十五题是用公式法来计算的。 第十六题啊，这个是可能学生可能有点懵，对吧？你看他的一个扩展，一个延伸，对吧？十七题是一个规律题，十八题这个题呢，又立到了我们的这个，呃，相似啊，对吧？所以说十八题是有点难度的，我们看到我们的这呃，这个解答题， 呃，计算题，呃，都没有多大问题，第二题如果说有人在做错也没办法了，对不对？这个解方程，第一题没有多大问题呃，第二题，呃解不等式啊，这个，这一定要去这个范围的时候一定要注意 我们的大体二十一题，这是我们统计题每年必考的题目啊，这个题目还考的非常的多十分啊，所以说我们还能抓住第二个呢，就是我们的证明题啊，利用一些角线的一个互换来证明，对吧？这没有什么。 然后第二十三题，这个要一定要注意，要要找定我们的这个等量关系，出发的零点二小时，爸爸比他提前了对不对？零点这个二小时你看总共用了多少时间，这个对不对？根据速度的一个等量关系我们列出来，那么二十四题呢，这个是一个证明题啊，第一位和第二位都是相对简单的啊， 二十五题呢，也是我们平时经常考的啊，这些特殊的一些角的一个度数啊，对吧？这是根据我们徐州啊，这个图形啊，还是给我们徐州这个考的啊？啊？到二十六题抛物线题吗？第一题和第二问应该是没有多大问题， 对不对？第三题可能会相对的有一定的难度。第二十七题呢，这个使规作图啊，对吧？这个也没有多大的呢，但是你要进去写啊，你得有一个方式方法，二十八题的一两问，呃，有些学生能根据阿布罗这个定律都是能做的出来的啊。

终于我们在顶峰相见了啊！同学们中考数学满分到底是一个怎样的水平呢？万里挑一，人中之龙凤，清北复交任你挑， 自信！人生一百年，不管是见过的题型还是没有见过的题型，不管是新定义的还是创新的，还是实际应用的，通通可以搞定， 计算能力非常强悍，快准狠，而且能够简，最简单的一个思路去思考问题，能够站在出题人的立场上去设计这个题目的走向，知道吧？ 他具有庄严的一个精神，可以完全的自主学习，除了思维敏捷，逻辑非常的严谨清晰，他的心思还比较缜密心细，知道吧，所以一小点点的失误都不会出现。 来，我们来看黑板，到底是怎样的题才能配得上学神的回眸一笑呢？ 哎，这个图是一个正方形的图是吧，很简洁的样子啊，好像不那么难呢，真的只有学成才能做吗？ 我们来看题，一为正方形，边长为二的正方形， c d 上的一个洞点，不多说， ec 和 ef 关于 b e 所在的直线对称，其实就是一个对折，对不对？ 没有条件了，没有条件了，哎！第一问，求证， a g 乘以 f g 等于括号， b g 加二乘以 b g 减二， 这种题才能配得上是学生做的知道吧？没见过这种问法，没见过，是不是 它可以看作是这个线段加上边长乘以这个线段减掉一个边长构造的两个新的线段的乘积好像是相似， 也可以把它拆开。 b g 的 平方减四可能是一个共轵定律， b g 的 平方作为一个斜边的平方，减去这里的边长的平方等于另外的一边的平方，另外一边的平方等于它，乘以它也是相似，是吧？总之是要用到相似，这是毋庸置疑的。 但是到底是哪个走向呢？是不是这种题就是没有一个固定的，通过这个问法来反推回去的？他有好多个走向，那么不管是怎样的题，都要怎么样？同已知条件入手， 我们来挖掘。已知条件，当然是这边等于这边了，对不对？折过去的，然后要不了连接 b f 呢？它折过去的，那么这一边就跑到这里来了。所以很多同学问我啊，到底辅助线应该怎么做呀？总结一下， 背一下吗？那网上不是有很多口诀吗？什么什么什么什么的，你觉得我会背吗？我肯定不会背，是不是没有用的？如果真有用的话，数学本来就是思维的训练，怎么能靠记忆去学数学呢？ 它折过去有边之间的关联，这边等于这边，那这边还跑到这来，而且这是个直角啊，这么特殊的角度折过去啊，是不是口诀上面有吗？没有吧，所以辅助线连接 b f， 角相等，边相等，所以这个是直角，是不是这里直角，这里还有直角呢？倒角， 我是这个角为 r， 这个角为 r， 是 不是这个边等于这个边，这才是关键的，因为它和它相等，你看正方形说了多少次了，对不对？一定会用到，当没有出现对角线的时候，一定会用到。零边相等和内角是九十度， 但凡你听进去，我一个视频都已经非常有长进了。这个角毋庸置疑，九十度减二倍的阿尔法， 这是一个等幺三角形，所以这两个底角我是要求一下的，是不是这两个底角相等，一百八减它就是九十加二阿尔法，再除以二就是这个角， 对吧？减去它嘛，一百八减九十就是九十，再加二阿尔法嘛，就变号啊。学生这种计算能力肯定是有的吧。是吧，你还在那里做做，做的时候人家一眼就口算出来了。所以是九十加二，除以二就是四十五度加 f， 这个也是四十五度加 f， 你 看这里中间是九十度，所以这个角就是四十五度减 f， 因为他们俩是互余的， 是不是他们俩加起来把把 f 消掉，不就是九十度吗？没错吧。再看这个，我是为了得到这个角，你看这个角 外角等于两个不相连的内角和，是不是所以是九十度加 r， 这个角是九十度加 r， 漂亮，发现没有？ 这个加这个是一百三十五度啊，你看正 r 和负 r 没有了哇，角记是一个固定角，四十五度，非常漂亮。四十五度啊，四十五度就可以大做文章了， 它是这样翻折过去的，这个四十五度，那么我连接它的话，你看这里就是直角了。 漂亮，这里是直角啊，翻倍嘛，是不是快乐要翻倍哦。这里是九十度有什么用？你不在三角形中是没有用的。九十度，所以想到要连接 a、 c， 看到没有，十分的自然，一切都是十分的自然，对不对？ 连接 ac， ac 是 对角线，也很特殊。为什么特殊？正方形的对角线平分一组对角。我的天呐，是不是所以这个是四十五度， 这里本来是四十五度加 f， 现在这个角是四十五度，所以这个角是 f。 有没有相似？这个东西不就是相似吗？肯定要用的相似，你看这个阿尔法，这个阿尔法这还有个四十五度，这个也是四十五度，所以就是。哦哦，这里边有一个，有一个点啊，这里，这里应该是 m， 十分自然，这个三角形和这个三角形相似， 是不是也和哪个三角形呢？也和这个三角形相似，看到没有哇？我一下子找了两两相似了，你看， 也就是说这个三角形和这个三角形是一个子母形相似。我不知道有没有用，但是我发现了，因为这个是 l 法，你看这个是公共的这个四十五，这个四十五对不对？所以它是一个子母形相似， 子母型相似一定会出现平方的，毋庸置疑吧。是不是？你看这边的平方，刚好是四啊，这个四怎么来的？ b c 的 平方，你看这个边是这个三角形的一个边，也是这个三角形的一个边，而且它是二的，这个四就是这么来的， 设置的非常巧妙。再看一下，我要用到 a g 和 f g， a g 在 这里，所以要用到这个三角形， 是吧？和哪个呢？再看 f g， f g 用不上，但是你要看到是翻译着过去的，这个 f g 应该是 c c g 这边和这边相等，所以可以转换成它，所以就是说我可以用到这个三角形和这个三角形 相似。三角形 a m g 相似于 a 点，对应的是 b 点， b c g 十分自然，十分自然，那么就会有 a g 对 应的是什么？ bg 看到没有？出来了， a g 比 bg， bg 出来了， bg 出来了，等于 这个，那就是 m g 和谁呢？和 c g， 因为 c g 就是 f g， 是 不是肯定就用这个？毋庸置疑， m g 比上一个 c g， c g 就 可以换成 f g。 九点相乘 a g， 我 就把它换成 f g 啊，它们俩相等的啊。折叠就等于 b g 乘以 m g， 怎么去出现 b g 的 平方呢？ 把 m g 换成和 b g 有 关的线段之间的和差。 m g 是 等于 b g 减 b m 漂亮吧？等于啊， b g 乘以 m g， 用 b g 减去 b m 来表示， 这样它的平方的形式就出现了。等于 b g 的 平方减去 b g 乘以 b m， 这里如果等于四，把它展开， b g 的 平方减四，这里等不等于四啊？还有一个子母形相似没有用，是不是？就在这里，就在这里，一切尽在不言中。是不是你看这个三角形和这个三角形相似的，也就是说 b m 比上是这样翻过来的， 翻过来的， b m 比上 b c 等于这个 b c， 这个边比上 b g， 所以 bc 的 平方等于它乘以它，这里是等于四的 b g 的 平方啊， bc 的 平方， bc 的 平方。因为 bc 是 二嘛，所以它等于它乘以它等于四，所以它的平方减四就等于 a g 乘以 f g。 搞定， 漂不漂亮？好不好玩？再看一下第二问，第二问又回到了原来的图形，是吧？若 p 在 b g 上， p 在 这里啊， 不知道在哪里，反正 p 是 在这个地方，并且 a g 等于根号二倍的 b p。 这个数据 刷脑塞啊，这啥意思啊，学神看到了这种数据，马上就有思路了，对数据要非常的敏感。 这个刚才求出来是多少度啊？四十五度，四十五度边之间的关系，一比一比根号二，这里刚好有个根号二，也就说它作为斜边是直角边的根号二倍，讲的什么？所以它在哪里啊？在一个直角三角形中， 它等于根号二倍的直角边，就是说等于根号二倍的高，所以马上想到过 a 点做这里的垂直， 是吧？对数据要非常的敏感，一比一比根号二的关系，这里为 h， 那 么 ag 就 等于根号二倍的 a h 啊，各位，这个思路应该是要有的啊。 然后再看一下，当角 b a p 最大时， b a p 和连接 b a p 最大，也就是这个 p 点是一个动点，为什么是一个动点？因为 ag 是 一个动的，是吧？这个一在这里是动的，导致 ag 是 动的，动的话它的高是动的，那么 b p 的 长也是动的了，是不是 b p 的 长也是动的啊？所以说要搞清楚 p 点的运动轨迹，你才知道，是不是才知道角 b a p 是 什么时候最大。来看一下这里的顾名思义就是等于什么？ 等于根号二倍的 b p， 也就是说告诉你的这个条件，添加的这个条件就是为了告诉你 a h 等于 b p， a h 是 在这个直角三角形中的高，是不是你看一下 b p 是 在这条线段上， 你要构造成一个直角的话，怎么办呢？非常漂亮，看到没有？这里有一个什么？你看在这条线上，这里有一个垂直，这里有个垂直，发现没有？那么这个角一就等于这个角都是 r f， 这个角等于这个角，而且边相等呢？是不是你看这里等于这里一个边 a b 和什么 b c 也相等啊？我的个天呐， 这个边等于这个边，这个边等于这个边，还有夹住的这个角刚好也相等，所以我，所以我连接，连接 c p 就 够了。连接 c p 的 话，但这个 p 点肯定不在这里啊， p 点应该在哪里？这里应该是垂直的， 因为这两个三角形是全等的，边角边全等，所以这个 p 点在这个地方，就是说连接 cp 的 时候，也就是说你看这里始终要保证是一个直角。 定弦定角，这个九十度对的是 bc 这条弦是不是？所以 p 点是什么？以 bc 为直径， 就是说以这里为圆心的一个圆上运动，一个圆上运动 直径所在的圆周角才是九十度嘛。所以 p 点的运动轨迹在这里，在这一段应该是不是一个整圆啊？是一个圆弧， 这一段的一个圆弧，是不是它始终又保证是九十度嘛？那就好说了，你看 a p， 你 看 a p， 在 这里，在这里，在这里，这个角就会慢慢地扩大，扩大，看到没有？从这里走到这里，走到哪里是最大呢？找到这个 a p 和圆相切的时候， 和圆相切的时候是最大的。如果再往这走的话，你看 这条线就跑到这里来，就夹角就会往这边偏了，开始慢慢的扩大，扩大，扩大，这个角慢慢的扩大，扩大，扩大到一个顶峰的时候，就是和下相切的时候到这里，然后再下去的话，就会就会慢慢的又收拢了，是不是是相切的时候最大？搞定了。由于这里是直角，也就是说 ab 和圆相切， ap 也和这个圆相切，所以切记长定律， ab 等于 ap 等于 ap 等于二， 做出来了 a b 就是 二，毫无计算量，是不是啊？找到这个隐藏的信息就发现全等全等之后就知道了，这个角永远是保证一个是九十度啊，全等 这个角等于这个角等于九十度。所以 p 点的运动轨迹就是以 b c 为直径的一个圆上运动，很快的就知道当这个 a p 和圆相切的时候，这个角最大，那么 a p 根据切一场定律等于二十分自然。拜拜 neil b neil b。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

二零二六安徽中考，今天咱们专门对标安徽中考数学，把今天上午刚考完的核心二模数学试卷，从头到尾一题一题的讲透考点，这套试卷呢，质量很高。首先是选择题，一共十到四十分，是同学们拿分的基础。 第一题倒数送问题，三秒直接选出答案，不要粗心丢分。第二题是三式图，安徽中考年年必考题，一定要记住主式图只看正面轮廓长，对正高平齐，排除弯曲凹陷的干扰选项。第三题是科学计数法， 碰到万亿先换算，保证 a 在 一到十之间，大数指数为正，小数指数为负，数位数别数，错。第四题是整数运算，这里最容易踩坑，记住核心规则，只有同类项能加减，相乘指数相加，乘，方指数相乘，拿特殊值代入验证，永远不会错。第五题是依次函数， x 变大， y 反而变小，说明斜率为负。 x 变大， y 变大，斜率为正，判断 k 的 取值范围直接秒杀。 第六题是等腰三角形几何题，看到一百二十度九十度特殊角，立刻构造直角三角形，结合中点、中线的性质，最后勾股定力收尾。小题不用复杂证明。第七题是概率题， 先筛选有效的条件，再列树状图，算出总情况和符合的情况，比值就是概率，不要搞混先后顺序。八到十题是选择题，压轴难度升级， 平行四边形多考结论题，优先用中点全等，边长相等排除错向。二次函数对称轴焦点问题抓开口方向对称轴公式竖形结合几何压轴。小题找中点背长，中线构造全等快速破题。接下来呢是填空题，四到二十分， 十一题考不等式求解要注意一项变号，非常简单啊！十二题是圆的切线题，切线垂直半径搭配圆内接四边形对角互补解题。十三题考的是反比例函数面积题，记住 k 的 几何意义，面积比 转化边长笔。十四题是新定义题型，先读懂规则，套规则做题，千万不要被新名词给吓住，很简单，我们重点讲解大题，这部分分值呢，占比高，步骤分，特别关键。首先是十五题，实数分数化简计算必考。 每年安徽中考必考的基础题，实数运算一定要牢记，零指数密负整数指数密根式化解特殊角三角函数值，按运算顺序一步步算，不要跳步。如果是分式化简求值，先因式分解，再约分，千万不要一上来就硬通分，既浪费时间，还容易算错。 带入数值前呢，先保证原式分母不为零，避开无意义的取值格式，写完整就能拿满分。第十六题考的是网格作图，几何变换。安徽中考高频的考题没有刻度，尺尺作图， 核心呢，利用格点特点，找平行垂直中点等分点，平移旋转轴对称变换，先找准对应的顶点点，再连线作图，痕迹一定要保留，线条清晰。阅卷呢，一眼就能给分。这例题属于送分题，务必稳稳的拿下。 第十七题，方程方程组应用题经典的题型，标准的三步法，先合理设未知数，优先设小量单一量， 再根据题干等量关系列方程设为方程组。最后解方程检验写答句。这里要提醒大家啊，应用题检验和作答一定不能省，少一步就扣步骤分。 审题要圈出关键词，找准对应的数量关系，不要用复杂的思路，规范书写就能得分。第十八题是解直角三角形，常考羊角、俯角、坡度问题。第一步呢，先根据提议画出标准的几何模型，把实际的场景转化为直角三角形。第二步呢，找准已知角，已知边长，灵活运用正弦、余弦正切公式。 题目给的参数呢，直接代入计算结果呢？按要求保留小数或整数，遇到多个三角形叠加，设未知数，结合勾股定律联合求解。第十九题，统计大题 考点很固定啊，平数、频率总数、中位数、平均数还有用样本估计总体，一定要牢记公式，频率等于平数，除以总数，所有频率相加等于一。 找中位数，先把数据排序，再找中间位置的数，算加权平均数，不要漏各组的数量，最后估算总体时，按比例列式计算就行了。这类题呢，计算简单，如果细心的核对数据呢，基本上就是零失分。第二十题，圆的综合证明与计算，中档拉分题套路很强，证明切线 有切点连半径正垂直，无切点做垂线正半径，这是万能思路。园内解题常用的是圆周角定里直径所对圆周角是直角，切线性质三角形全等或相似。明题呢，逻辑链条要写清楚，计算 结合勾股定律，三角函数求线段长，一步步的推倒，不用钻牛角尖。第二一题呢，是函数的实际应用题，一般考一次函数反比例函数结合不等式，先根据题意求出函数解析式，再结合题干的限制条件列出不等式，求自变量取值范围。 整题呢，重点抓不超过不小于最大、最小这类关键词，分清自变量和因变量取值范围一定要符合实际意义，比如人数长度不能为负数。 第二十二题是几何综合题，折叠四边形试卷的核心中档压轴题常考正方形、矩形、菱形折叠问题。记住核心的结论，折叠前后图形全等，对应边，对应角完全相等。折痕就是对称轴。 求线段的长度呢，优先设未知数，利用勾股定律列方程证明。角度线段关系呢，结合平行全等等腰三角形的性质，遇到多结论问题呢，逐个推倒，排除错误选项。第二十三题呢，是二次函数的压轴题， 是整张试卷的难度天花板，也是拉开分叉的关键。第一问呢，基本上都是求解析式顶点交点坐标代入点的坐标计算，属于必拿分。第二问呢，结合线段面积角度问题，巧用抛物线对称轴 竖形结合，设出动点坐标表示出现段长度再计算。最后一问呢，是分类讨论，比如等腰三角形、直角三角形、相似三角形， 按情况呢，逐一罗列，做到不重不漏。哪怕是最后结果算不完呢，也要把解析式基础公式呢，第一步推倒上去，也能拿不少步骤粉。总体来说，这张试卷的质量非常高啊！关注加点赞，王老师陪着孩子一起复盘！

二模你要是考五百七，算你厉害，你要是考五百八，那你老厉害了。但其实你要是能考上五百六，就已经是普通人天花板了。这次二模和往年比真的很反常，往年都是一模考的不好，二模普遍进步，二模分数整体都比一模高。但是今年这次二模考试，我感觉百分之八十的孩子都比一模分数低，甚至出现了很大的波动，很多家长很焦虑。 葛老师给家长们吃一个定心丸，一、中考肯定比二比二，真正中考的时候大概是八比一，比一 明显会简单的第二。每次考试家长都会犯一个毛病，而且是明知故犯，那就是只看分数，不看排名，尤其是看到网上发高分的多了，就会陷入一种错觉，别人家孩子都是高分五百六，五百七，就你家孩子分数低。但你别忘了，参加二模考试的是五万多人，五百七以上大概是百分之一的比例。中考录取一定是看排名的， 在很多学校，你二模五百多也能考上大三校的，你考五百四十分上下也是能去小三校的，一定要看排名第三。因为这次二模考试的确是难度明显增加，就出现了这样的情况，比如你 和你同学一模成绩相同，二模却被甩开了，你会严重怀疑自己家孩子水平不行。这里咱们要客观的讲，有些孩子是题越难越能得高分，越简单反而考的差。有些孩子是比较稳，比较细致的，突然增加难度，一科没考好，连带着整体就考崩了。别自己吓唬自己，中考一定比二模考的好。

好朋友们，今天我们来看一下这个按摩的第二十二道题，二道题呢啊，难度中等偏上，适合，非常适合大家呢，回到就藏起来啊，和他去啊，看就琢磨来看下题目。读一，在矩形 a， b， c， d 中对角线 a， c， b， d 相交于点 o 点， c， e 是 角平分线，然后 d f 垂直于 c e 啊，是 f， d f 垂直 c e， 然后呢？这第一位让你求证， c h g c h g 啊，这个角等于角， c f g c f 等于这个角，那跟这两个角相等，那么很显然看，这是直角了，这是公共边了，这是角平分线了， 那很明显在两个三角形里面全等啊，那全等的话，两个角不就肯定相等了？第一个很简单，第二个求证， o h 等于二分之一的 bc， o h 这个长度等于二分之一的 bc， 怎么证呢？嗯， o h 在 这， c 在 这， o h 是 b f 的 一半，怎么证？我先乍一看，你看他俩也没有什么关联的呀，对吧？他俩也不也没有一个，联系非常少，这个我们到底怎么求？知道 o h 等于一半的 b f， 那 么就是说我能不能找出一个点，就是他俩的联系不大的话，我们转换一下。 转换什么？就是找一条线段跟 o h 一 样，但是那条线段呢？ o f 的 终点，那么也就是 o h 是 b f 的 终点吧。那找哪条线段呢？你看，既然它是终点，你看我如果在这里取个终点的话，终点叫 m 点啊，这个终点叫 m 点，那我连接 o m， 你 看，如果我要能挣 o h 和 m f 相等， 哎，那是不就可以证明 o h 是 b f 的 二分之一了，对不对？那么怎么去证？你看，刚才第一，我们已经证了这两个角相等，我们又说了这个是中点，这个 o 点也是中点， 那么这个 o m 就是 三角形 b、 d、 f 的 中位线，那么一定跟 d f 平行， 那平行什么？这个角，而这条边等于这条边，那平行的话， o、 h 就 等于 m f 了呀，这两条线段相等了， m 就是 中点， m f 肯定等于一半的 m f 啊，对，等于一半的 b f 呀，那么 o、 h 不 就等于一半的 b f 了吗？ 是不是啊？这道题做这一条辅助线就可以破题了。好看，主要看第二个，如图啊，平行 abcd 中 a、 d 又是角平分线，不好意思啊， e 啊， a、 e 又是角平分线啊，两个角两个角的角平分线， b、 h 垂直， a c， b h 垂直， c 垂点在这。 然后他说，如果 ab 比上 b、 c 等于四比七， ab 比上 b、 c 等于四比七，求 f b 和 f g、 f b、 g 的 这个比值，这两条线段 比值。哎，那这个怎么求呢？哎，也就只给了这两条线段四比七，那么四比一通常给的线段比啊，通常设这个线段，设个未知数出来，四 x 七 x， 对 吧？来表示这个线段长，这四 x， 这是七 x， 那 这也是矩形吗？这也是七 x， 这也就四 x 了。那他又讲了平分线和垂足，这里面你会发现这个三角形 就是 a、 g、 h， b、 g、 h 和哪个算相等？ a、 d、 c 相等，又和 a、 g、 b 相等。呃，相似啊， a、 g、 h 跟 a、 d、 c 相似， 跟 a、 g、 b 这个直角也相似，那么跟 a、 b、 c 这个直角也相似，因为很多的直角都相似。 好了，那么这相似能得出什么呢？这就是就是我们之前学的很经典的这个叫线段比值问题啊，我们经常都什么通过，并不是直接去求它，都是把这两个线段比啊，转化成别的两个线段进行对比啊，不断地转换比例，线段转化，转化、转化，然后得出一个值啊，大部分情况都不是正面去求它， 那么我们怎么转换呢？ f b， f g 这两个线段，那么我们想知道能不能求出以这个找出以 f b 和 f g 为边的这个三角形，然后我们正这两个三角形相似，把这两条边一比，转化成另外两组对边的比，行不行？ 那怎么去找呢？这个边去找这个相似三角形的话，有这个 a、 f b， 你 这个边呢？找个像三角形出来，首先找出是 a a g f， 那 么很显然 a g f 跟它是它都不不相似的，你没有用，那除了还有啥？没了我们怎么办？我们可以做一个来， 我们过 g 点做 ab 平行线的话，交于点这个 q 点啊，写 q 点 q 点过 g 做 ab 平行线交 a 与点 q 点，那么这样的话，你看这是一个非常典型的八字模型，而且八字模型怎么样？ b 相似，这个又是啊， 角平分线内错角相等，又跟这两个角相等，那么 g q 就 等于 g a， 我 们要求 f b 比上 f g， 那 么就把它转化成了 a b 和 g q， 那 就 g q 又转化成了 a g， 那 就转化了 a b 比上 a g 了， 看到没？那就是说 f b 啊，等于 f 比上 f g 是 等于 c 啊，我们就把它转化到了 ab 比上 ag， b 比上 ag， 那 ag 是 四 x， 那 ag 是 多少呢？你会发现来，刚才我们说 ag h 这个三角形直角也相似，那么这个直角三角形大的 ag 比上 ag， 也等于 ab 比上 ac， 为什么？ 因为我们可以得到三角形 a、 b、 g 是 相似于三角形 a、 b、 g 相似于谁啊？那个 a c b a b g 来公共角，这有九十度，这也有个九十度，那么它们肯定相似啊。那么相似的话，你看 a g 比上 ab， 是不是就等于 ab 比上 ac 啊？看是不是就到了我们这一步了，我们又把它转化到这一步来了，那么 ab 比 ac， 这不就好求了吗？ ab 比 ac， ab 四 x 啊， ac 七 x 勾股定，你 ac 应该就能求出来了，也是用 x 表示，那么两个一比， x 和 x 不 就消掉了吗？ 固定你 ac 应该是等于根号六十五 x， 那 么这边就等于 ab 是， ab 是 四 x 就 等于四分之根号六十五啊，题就做出来了， 那么这道题我们回顾一下。首先第一步你要看懂这个 f、 b 比 f、 g 啊，懂典型经典的线段比值这类题的解决方法，通常我们说都是转化， 转化比例线段，那么你转化比例线段，前提就要找相似，找以 f、 b、 f、 g 为边的三角形，看有没有相似，能不能做出相似三角形出来。如果没有，我们就要做辅助线构造相似三角形，把这两条线段的比转换成其他两组线段，它比它或者它比它看有没有线索。 我转换出来之后发现 ab 比上它，又之后把它比上它，之后，因为 ag 是 等于 g q 的， 所以又转换成 ab 比上 ag， 然后发现 ab 比上 ag， 它又等于 ab 比上 ac。 因为我说刚才说了嘛，这个句型里面有太多太多的这个相似三角形越多，那么你线段这个比例转化的也就越多， 然后你解析可能就会越方便啊，说最后我们根据购物链接求助 a c， 然后一比一下 x 就 消除了，答案就出来了啊，方法非常的经典啊，有很多孩子很多同学都不会做啊，就说没有思路啊。现在各个区的按摩 考察这个鼻涕线呢，非常非常的高频啊，大家可以去查查，包括去按摩啊，去按摩蜀山区按摩啊，以及这个四十五中的这个按摩，二十二中的按摩是非常的经典的，都是考察的这个线条笔直问题啊，那么可以把这都整理一下，收集一下，好好的去做一下，复盘一下。

六月份哈，我们马上就要报考了哈，那么我们需要参考四次成绩哈，然后我们分别是九上零模，一模、 二模，那么有的同学哈一模二模成绩差距比较大，那我建议呢，如果咱二模成绩考的好，大家多参考二模，因为二模的难度呢，跟中考很接近，二模的成绩呢，也会跟中考的成绩很接近， 但是如果说咱一模二模考试，二模成绩相差比较远，或者是没有一模考的好的前提下，大家尽量哈多参考这个一模的成绩。所以说，总之哈，我们就是六月一号以后哈，我们要下指标，然后我们要开家长会， 然后我们要进行中考的添报，那么一系列的流程呢，我们等待相关的通知哈就可以了，我们先等待好下指标。所以说你的一模成绩和二模成绩相比起来，哪一次考试考的更好一些呢？留在评论区。

预测一下二模的成绩有没有一模好？哈哈哈，没有一模好，没有一模好，没有一模好的话，他们就白学了，二模的试卷比一模要简单多了。是的，二模试卷比一模确实简单。现在让我们来分析一下二模的试卷 选择题啊，基本上这次正确率还是很高的，是吧？对，你也感觉是吧？嗯，好，基本上错一个，对，基本上错一个，好多同学应该都能全对。然后你看一下十一题，十二题和十三题都是上一次我们考过的那个信阳市二模的那个，你看一下，对，拿不到九分的都是，哈哈哈，拿不到九分，而且他那个计算题也很类似，你看了吧？嗯， 所以就是我感觉咱们这个，咱们县里的这个二模考试好像是类比着市里的二模考试出的题很像，然后大题，你看那第二十题，前一天我们去听公开课的时候，那个老师还讲了 二十题。啊，好像讲了这个呀，这个二十题，咱按摩试卷这个二十题，这个两个相似。那讲了讲了，讲了，对吧？我就因为我就听他的公开课，我看他讲了，然后我回去我讲了，你讲了没？讲了，我专门考前前一天还在他们练了。你也是考前一天练的？对，我也是练了，然后他这次做的好像还好，比比不练强一些。

今天来瑞评一下主播忽视二模成绩，先看总分，可以看到主播的总分达到了四百七十五分，是主播初中三年来的最高分，全市大概第四名，给到一个夯爆了。语文九十一分，对联直接掉，花开自美我爱你一辈子给到一个夯， 数学达到了九十八分的一个分数，给到一个人上人吧。英语一条方框填词直接看错选项任务阅读痛失两分，只能频道拉完了。物理五十九，中规中矩 依旧眼瞎，电路表还能错，只能当人上人了。化学四十这个分数其实极具抽象艺术，给到一个憨爆了。政治四十五，也是拉完了，依旧选择始终错一道。历史四十七点五，给到顶级，遗憾就是错了一道选择。总体来说，这次二模给道憨吧！

联合体和情怀的二模成绩都出来了，你家孩子考的怎么样呢？这一次二模整体难度会比一模略高一些。两个区都是这样的，如果说孩子的均分能够稳定在五百五十分以上，那基本可以稳六大了。如果孩子的均分能在五百六十分以上，稳一稳四大也是可以的，一中中华都是很好的选择。 如果孩子的分数能稳在五百七十分以上，那就是妥妥的傅金二舅的苗子。至于咱们很多家长说的要减分来看，这个我觉得其实不用减，两个区的卷子都是比较趋近于中考难度的，而且孩子距离中考还有一段时间，还是可以再提提分的，稳住状态，这个分数保持住不成问题。 如果还不清楚孩子的分数可以对应哪些高中，可以来现场找我聊一聊。咱们现场也会有很多的学校老师，大家可以来现场去问一问。如果到不了现场的话呢，大家可以直接进直播间把孩子的分数打出来，把你的目标选项打出来，我帮你来问一问。

咱们西宁这次二模的这个数学试卷难度是要比一模略高一点点的，那具体我们来看一下题型啊，像这个选择题 中等往上的学生，他只要细心一点，基本上都能全对。那么从这两次模考的难度上，主要是来预测一下咱们这次中考选择的压轴题，应该也不会太难。咱们初三的学生唯一要注意的就是你慢慢做，不要跳读， 防止自己去漏掉一些信息。再来我们看一下这个填空题啊，填空题这一次二模的这个计算量是要比一模大一些的。那周老师觉得最值得大家去关注的就是这一次这个填空题的这个压轴题， 这道题我觉得非常值得咱们初三的学生再拿出来去做一遍。为什么呢？因为这道题他考的很多技巧是可以在我们二次函数的直角、三角形、矩形等腰三角形的存在性问题中是可以用到的。你弄懂弄透这一道题，说不定他在中考上他就用上了。 再来我们看下这个大体啊，大体这一次的整体的结构呢，他还是回到了我们往年的这种考法结构里面，比如说这个二十一题和这个二十五题，我本来以为今年中考他会有一些题型的创新， 那这一次二模卷呢，又告诉我我又回去了。所以给咱们有些比较焦虑的家长和学生也说一下，这次中考试卷不会有太大的一个变化，按照我们正常的节奏去复习就行了，不用专门去找一些你没见过的题去刷。而且从这两次模考卷来看，最后三道大题也真的不难， 你像圆的这一道题，他考的也不是很复杂，如果你还不能做出来这个第三问，那你就再读一遍题，第一看你有没有什么条件没有用过。第二看前一问的结论，他能给你带来什么帮助， 如果不能，那你先假设结论成立，看看你还缺什么条件，这样的话你就思路清晰了。再来看一下这个二次函数这一道题，二次函数这一道题他最后一问，他虽然是在考平行四边形的存在性的问题，但其实他和去年相比起来，难度也是基本上降了一半， 只要你会求这个线段最值的问题，那这道题基本上也没有太大难度，只取决于你能不能做对。所以我觉得今年出题人他真的是有点善良，包括最后一道题也是， 他居然在这还有给你这个过程步骤的引导，所以咱们今年中考的学生真的是很幸运，那还有最后二十来天，重点去复盘，你做过的错题还能再上几分。

潍坊二模的这次试卷非常具有代表性，他各个题目并没有出一些偏题、怪题或者是特别难的题，他实际上就是把我们常规题、常考题以及经典题进行了一次考核。也就是说我们的孩子在过去这几个月的复习中，这些题型他都做过， 因此这个成绩就代表了他的水平。剩下的两个周的时间，就应该把这些错题单独列出来，每天反复的去重复做，尤其是中档题阶段，其实孩子们都已经练劈他了，我们家长其实要做的事是鼓励他们 也不要去带他去做难题、偏题和怪题。还有两个多周就要中考了，现在你要帮孩子要做的事情是稳定心态，让他自己去巩固基础，稳拿中档，不要让他的弦在这个时候给断掉。

分析内黄线二模成绩，数学单科第一名，一百二十分满分，牛！ 一百一十五分到一百二十分之间的呢，有五十四人。一百一十分到一百一十五分之间的二百二十人，一百分到一百一十分之间的是一千零九十七人。超过一百分的人员是一千三百七十二人。一百一十分以上的人员呢？二百七十五人， 前两百名。一百一十点五分，前五百名。一百零六分，前一千名。一百零一分，前一千五百名。九十八分，前两千名。九十四分，前两千五百名，九十二分，前两千九百名呢？八十九分 数学九十分及以上的同学进重点，这叫不拉分，九十分及九十分以上叫合格，一百分及以上叫优秀，一百一十分及以上卓越，棒棒的啊！ 如果说咱有进培训班的打算，那你就到一百一十分以上啊！如果说咱们要是想上重点高中的九十分及以上，这是你一门二门所对应的成绩的一个分析。 关注大图中，考考升学，不迷路，加油！

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瑞评一下新乡辉县二模数学试卷啊，看看究竟哪里难好来！第六题，韩餐不等式啊，我们上个视频已经说过，很有可能加强对不等式的考察。第七题，是一个呃，平行四边形面积以及相似的一个综合应用，有难度的哦。 第九题，圆我们一般在选择题考圆的时候，经常会考圆心角，圆周角的角度的计算，这是考弦长对圆的综合知识用的非常非常综合啊好，这几道题整体都难一些啊 啊！第十四题，基于一线三垂直的相似模型，这个倒还好。第十五题，正方形直角三角形的综合应用啊，情况还算是比较好分析，但有种情况要舍去啊，大家要注意 好，从第十八题开始，这个大题开始上强度了，两种尺规作图，你要先判断对错，再去进行证明。好， 对于尺规作图考察到极致了啊，纯尺规作图，然后啊，再加上四边形的判定啊好！第十九题啊，这道题的第二问啊，我们一般的第二问，不等式的考察式，比如说总数量三十个，我设一个是 m， 另一个就三十减 m， 未知数好设。 但对这个就不一样了，人家说总花费是多少，总花费是多少，那我设的时候未知数很多同学就设不出来，已经属于这里边比较复杂的设法了。 二十题，好函数的心，函数的应用型的题啊，前面倒还好，最后一个周长，这个周长的取值范围我觉得是有点超啊 啊，因为这个周长表示出来 m 应该等于 x 加上 x 分 之四。那这个的话，如果我是教高中的，我会用啊，这个基本不等式，或者用对勾函数都可以啊。呃，这个，但是对于初中来说这个应该怎么处理呢？ 应该是理解为长和宽越接近越趋近于周。这个正方形周长越大吗？我觉得这个有待考究的 啊。二十一题第二问，这个垂筋，这个，这个球弦长啊，这个倒还好啊，就是还是比较容易发现等角比较容易找到相似啊，然后用一层垂筋定力就好啊。这个题我觉得是中档题，偏上一点点啊。 好，二十二题很有强度了。二十二题的第二问，他作为一个常规的面积，在这个面积里面要算两次面积，而且第二次面积就已经开始要用各部的思想了，算完面积之后要再求一次这个正切值。他给我的感觉就是每一道题都要往深处，往深处，往深处再挖一点点。 那第三问，将军一马，又是一个将军一马，还让你求范围的一个题啊，就是右手伸出，伸出再伸出啊，然后第二十三题，这第二十三题，大家先来看看这个压迫感啊，一问，两问，三问四问三问，里面还圈一圈， 就是好像，好像出题人就告诉你，我有浑身的本领来收拾你，就这种感觉啊，就是我有很多想考察的，我有浑身的本领来收拾你，就这种。就是 啊，但这道题其实不难啊啊，只是比较有压迫感好吧。好好好好好啊，这个试卷我们会在群里分享，有需要的话可以加群领取啊，首页粉丝群。

九年级的各位家长你们好，我是数学周老师，昨天老一中跟双塘中学九年级学生进行了这个按摩考试， 那距离中考十六天，那今天周老师结合这张按摩考试试卷，然后分析一下今年中考考哪些题目，包括现在成绩在中等偏下的同学，如何在中考利用这十六天时间 考到自己理想的分数。下面我们一起看一下这张试卷，那这张试卷的话，就是昨天脑一中跟双塘中学这个按摩考试试卷，那试卷的话，无论是现在是什么试卷对吧？难度无论是难还是简单， 对吧？我们中等生来说都不需要考虑，我们只要把我们会做的题目做好就可以了。那选择题一共是个 十题，那前五题的话都比较基础的，前四题都考的比较固定，把比较数的大小科学记数法，三式图密的计算。第五题是维达定律的考察，那今天中考的命题方向也是重点考维达定律，那选择题的话，这个六七八三题 中等题，那我们想考到你自己这个一百一十分以上，那一定要把这三题做好。那九十两题，第九题的话考的是二次函数， 然后第十题的话考个动点问题，那正题我们中等上来说做不好，对我们整体影响不大，我们选择题对吧？保底的三十二分， 如果说你状态好一点，后面两题都选做对一题就是三十六分。填空题的话，十一、十二、十三都属于基础家中等题， 我们必须做对。十四题的话呢，我们把第一小问做好，第二问会做与否都不要去做，因为可能会浪费大量时间。十五题无非是分式方程 y 四方程，然后分式的化解，包括这个计算，对吧？还有十六这个画图 v 四变换旋转，然后平移， 然后这个对称。第十七题，一个简单的应用题，解直角三角形，然后第十八题，对吧？这十八题的话是考的是一次函数和反比例函数综合，那今年几年中考都没有考了，今年有可能会考一个简单的一个基础题的，这四个就是三十二分，你拿到。 然后这个十九题正常的话应该是解直角三角形，二十题是一个圆，这两题二十分，对吧？我们不说都得到，对吧？你圆的话，第二问做不好扣四分，你加个十六分， 然后这个是二十一题的话，现在的话主要的话是两个方向，一个是新定义，或者是一个你不理解的知识点，他以迅速的形式帮你讲明白，让你照葫芦画瓢去做。然后这道题的话，主要考大家的这个阅读量加理解能力方面的考察。二十二题二次函数肯定考双动点 加动，直线加四边形存在问题，也几年没考了。二十三题的话，这个相似的话可能是跟矩形综合，那 我们把这道题得十二分，那最后两题如果记住不会的同学，一道题得六分，一道题得六分，是吧？那这里算下来，包括这个是十七分，对吧？你在大概一百二十分上下， 那无论我们现在处于什么基础，哪怕你是在六七十分，这十六天时间，你结合这个每个题目相应的知识点，争取中考考到自己理想的分数。

包河的按摩到底有多难呢？四十八中六百六十三分，你能排在八十五名，但是四十八中去年中考八十五名，六百九十分， 六百二十分，这次按摩在四十八中你能排到二百九十七名，但是二五年中考二百九十七，在四十八中六百六十五分，就是说这次按摩平均分加三十分，你家这次考了多少分呢？可以打在评论区。