淮安中考几何建模题

小雅老师教你一种非常歹毒的方法啊，考试时候遇到这种题型，不会你就给我去猜！观察角一和角三等不等，相等，一眼望过去绝对相等， 而角一和角三加起来又是三十度，所以角一就是十五度。跟着小雅老师学数学，打开你的数学思维，小雅老师万万没想到，四年级的孩子居然已经接触到了如此复杂的几何图形题 啊！我们来看看这道题考验孩子们什么能力好。如图，四边形 a、 b、 c、 d， 这是一个正方形，三角形 c、 d、 e 是 一个等边三角形，求角一的度数。 孩子们想，完蛋了，这题什么条件都没有，他让我求度数，居然一个角的度数都没有给我，是这样吗？来，我们来先分析第一句话啊，他说四边形 a、 b、 c、 d 是 一个正方形， 来分析正方形的特征是四条边相等，并且四个角还都是九十度，好三角形 c、 d、 e、 o 等边三角形的特征是什么？ 三边相等，并且三个角还都是六十度。那小姚老师先把条件全部标在图中，现在题目让你求角一的度数，老师之前讲过，让你求一个角的度数，你最好的办法就是把它塞在一个三角形里面，对不对？那角一？此刻在这里， 我又尽可能的想让这个角一啊，和我现在已知的角二和角三牵扯上一些关系。那请问角一可以被我塞在哪个三角形里面呢？ 是不是三角形 a、 d、 e 现在这个角是直角，这是六十度，那这个大角呢？是不是一百五十度啊？那也就说明剩下的角一和角三相加得是三十度。 下面小雅老师教你一种非常歹毒的方法，考试时候遇到这种题型，不会你就给我去猜！观察，角一和角三等不等，相等，一眼望过去绝对相等， 而角一和角三加起来又是三十度，所以角一就是十五度，对不对？好，说到这里，我们还回过头来，正经一点啊，来分析，既然你大胆的猜角一和角三相同，那你肯定得有原因吧？为什么呢？ 好在三角形 a、 d、 e 里面这两个角，既然你猜相等的话，那不就意味着 a、 d、 e 得是一个等腰三角形吗？ 所以意味着你得去证明一下，为什么 a、 d 和 d、 e 相等。下面啊，我们就要去借助一个中间的大好人，那个大好人是谁？来，我们再重新把题再过一遍， 它说 a、 b、 c、 d 是 正方形，说明这四条边都相等，那不就意味着 a、 d 等于 d、 c 吗？对不对？哦，它俩相等好，三角形 c、 d、 e 是 等边三角形，说明三条边相等，那就意味着 d、 e 同时也等于 d、 c 来，大好人是谁？是不是就 d、 c 呀？哦， a、 d 和 d、 e 等不等，那就说明 a、 d 和 d、 e 等不等 也是相等的啊，那既然被老师推出来了 a、 d 等于 d、 e， 我 也有证明的过程，这个时候你才能去说角一等于角三，能理解不？那我们重新再梳理一下这道题啊。首先，你得去分析出来这个大角是多少度， 因为这是一个正方形九十度，这是一个等边三角形六十度，所以它俩加起来啊，是一百五十度。 而在三角形 a、 d、 e 当中，老师刚刚通过等量代换求出来了啊， a、 d 等于 d， c， d e 也等于 d c， 所以 a d 等于 d e。 证明出来，这是一个等腰三角形。 既然等腰三角形的顶角是一百五十度，那其中一个底角怎么求呢？是不就用一百八十度减去一百五十度的叉再除以二啊？所以是十五度。 因此，孩子们看啊，这道题他难。哎，的确，因为他考察你们挖掘信息的能力，而且里面还藏了一个等量待换。 当然了，老师刚刚教的歹毒的方法，考试时候实在不会，你就直接去猜。小学阶段直接用三十除以二没有任何问题啊。但是到了初中就一定需要有证明的过程了。

a b 上的一个点过 o 去做射线 o c， 使得 b o c 等于一百三十五度。现在将一个含有四十五度的直角三角尺，它的一个顶点放在 o 处，然后让我们这个斜边 o m 和 a b 重合，也就说它就这样子摆放在这个位置， 将图中的三角尺绕着 o 点，以每秒二十二点五度的速度，沿着顺时针方向去旋转一周。啊，旋转了一周， 顺时针方向就这个方向呗，对不对啊？旋转一周？问，旋转第几秒的时候， c o m 和 c o n 互补，所以说我们只需要去观察 c o m 和 c o n 它的一个角度变化就行。我们先看一下 o m o m 绕着这个 o 点去旋转一百八十度，旋转三百六十度，对吧？好，我们看一下 c o m 这个角是怎么变的，当他只转一点点， c o m 就是 一个很钝的钝角，对吧？啊，一直在往后也是钝角，一直达到他和直线 co 共线的时候，此时角 c o m 是 一个平角，然后他跨越这一瞬间的时候， o m 就 应该是左边这个角了，就不再是右边这个角了。所以说他 和直线 co 共线的时候，会是一个讨论的节点，就是 o m 和 oc 共线的时候，是个讨论的节点， 然后慢慢的，你想象一下，此时 o m 慢慢转，慢慢转，一直转到哪呢？转到和 oc 重合，对吧？转到和 oc 重合之前， c o m 是 不都是左侧的这个角？哎，不管是 o m 在 什么位置，都是左侧的这个角。但是当此时的 o m 和 oc 重合之后，你想象一下此时是零度， 再往右的话，是不是 c o m 又变化了，变成了右侧这个小角了，所以说当这个 o m 和直线 c o 共线的时候，也就是当这个 c o m 它等于零度，或者是一百八十度的时候，我们应该会产生分类讨论。那我们再看一下 c n c o n 这个角啊， c o n 这个角，我们就看 o n 的 一个旋转， o n 一 开始和这个 o c 就是 共线的，因为这个是一百三十五度，这个四十五度的三角尺也是四十五度，所以说我们可以去推 c o n 这个角，刚好满足是一百八十度，它是一个平角， 他一开始就是平调，所以当他转一点点之后， c o n 是 不是就在这个位置慢慢的，慢慢的 o n 可以 跟 o c 重合， o n 跟 o c 重合也是零度的时候，是一个讨论的节点，然后当 o n 跨过这一瞬间，是不是就 o n 又跑到右边去了啊？就是另一个情况了。 所以说此时的分类讨论很清晰，我们大致的要分为三种情况， o m 在 到达 o c 之前是一个情况，我们就稍微去把它转一转啊，感受一下，如果 o m 转一点点，对吧？达到一个这样子的一个感觉， o n 呢，也转了一点点， 那此时我们观察他说这两个角要互补，比如这两个角的和要等于一百八，这两个角的和是一百八。 c o m 是 哪个角？是这个钝角， c o n 呢？是这个钝角，你会发现在这个情况之下，是不可能让这两个角互补的吧？钝角 两个钝角相加肯定会大于一百八啊，所以说这个情况就不存在啊，就不存在让他们互补。然后当 o m 跨越 o n 之后，我们可以重新画个图， 当 o m 跨越 o n 之后， o n 比如说到达这个位置， o n 呢？就在他的左侧的位置，是不？这个情况，对吧？此时呢，我们大概在这个情况之下的时候， o m 在 这， o n 在 这，那 c o m 是 这样的一个钝角， c o n 是 这样的一个，看起来也有点像一个钝角啊，所以这个情况可能就也不太像，那我们就继续往前转吧，我们再往前划一点，对吧？当 o m 继续往前转，转成这个感觉的时候， 转成这个感觉的时候，那此时 o n 就 会更小一点了，对吧？达到了这样的一个状态， o m 啊，此时你可以再看， c o m 是 一个钝角， c o n 很 明显是一个锐角了，一个钝角，一个锐角是不就很有可能会互补？所以说其实在这个情况之下，是有可能会有一个情况使得它们互补的，所以我们就去算一下， 在这个情况之下，我们如何去计算时间呢？我们只需要用含有 t 的 式子来表示出它旋转的角度，它是顺时针，旋转速度是二十二点五。时间。假设是一个 t 的 话，它旋转的路程是不就是二十二点五度 t， 那 么 o m 从原来的 o m 到现在的 o m 就是 它旋转的这个路程，它就等于二十二点五度 t， 所以 我们就可以表示出角 c o m 的 度数了。 角 c o m 的 度数，看一下是这个角，这个角可以怎么去表示出来呢？他可以认为是用一个周角，对吧？啊？用一个 三百六十度减去一百三十五，减去二十二点五度 t 是 不就可以了？所以就等于三百六十度，减去一百三十五度，再减去二十二点五度 t， 我 们可以化简一下啊，得到就等于二百二十五度啊，去减去二十二点五度 t， 那我们再看一下角 c o n， 我 们只需要分别去用还有 t 的 式子，把 c o m 和 c o n 表示出来，根据它们两个角度的和等于一百八十度，那我们就可以建立方程啊，这就是我们大致的思路。所以同样道理，看一下 o n 的 旋转，从原来的 o n 到现在的 o n 这个， 那不然这边我们假设这是 n 零，这是 m 零，好了，这样子就不会有误解啊，那你可以看从原来的 o n 到现在的 o n 这个假角是二十二点五度，还是一样的二十二点五度 t， 所以 我们可以表示出角 c o n 这个角，那就刚好可以用一个平角减去二十二点五度 t 是 不就可以了？也就等于一百八十度，减去二十二点五度 t， 然后现在因为题干给到了两个是互补的关系，所以两个角加起来等于一百八十度，我们建立方程，建立好这个方程之后，最后我们计算一下就行了，二十二点五度，两个二十二点五就是四十五度，二百二十五除以四十五刚好等于五，所以算出来此时的这个时间呢，就是五秒。 那除了这个情况之外，因为他转一个周角，所以我们刚刚说到了这几个讨论节点，没讨论完，接下来就是 o n 和 o c 重合零度的时候，对吧？ 然后 o n 跨越 o c 之后是一个情况，我们再画一下，如果 o n 跨越了 o c， 那 o n 就 到这，然后 o m 还没有到， o c 是 不形成了这样的一个构图， 那大概是这样的一个感觉，那这个感觉的时候，这是 n， 就是 m， 此时 c o n 和 c o m 很 明显是两个锐角，而且这两角是和刚好等于四十五度，不可能是互补的，所以这个情况我们也排除，那就是最后一个情况了，当 o m 和 o c 重合之后， o m 和 o c 重合之后，就跑到右边去了， 就这个样子了，对吧？然后呢，我们把这个图再画一画，这个是 m， 这个是 n， 那 此时的 c o m 就是 这个角， c o n 呢？是这个角，很明显啊，如果我再往下转一点点， c o n 就 更钝一点嘛，这样子可能更符合要求啊。但是很明显，这个情况我们是可以使得它们互补的，对吧？是有可能互补的，所以我们还是跟刚才一样， 分别去用含有 t 的 式子表示如此时的 o m 和 o n 这两个角度啊， c o m 和 c o n， 然后它们的和呢，等于一百八十度间距方程就可以了。那我们还是一样，先去看一下它的旋转， 从原来的 o m 到现在的 o m 是 转了这么大一个角，对吧？它是二十二点五度 t， 所以 此时的第二个情况，我们可以看到 角 c o m 又该等于多少呢？ c o m 这个角是这个角哦，它应该等于观察 这个角，怎么看呢？总共这个大角是二十二点五度 t， 对 吧？啊？然后它去减去下方这个四十五度，减去这个平角，是不是就还剩下我们的 c o m 了， 也就是这个大角减去一个四十五度，减去这个平角啊，就等于上面这个角，也就是 cm， 你 可以这样子去计算，当然也可以再次用周角去计算啊，应该都没有什么问题。他就等于二十二点五度 t 减去四十五度，去，减去一个一百八十度， 也就等于二十二点五度 t 减去二百二十五度。好，我们再看一下角 c o n， c o n， 同样道理，从原来的 o n 到现在的 o n， 旋转的是从这到这这个角，对吧？它应该等于二十二点五度 t， 所以我们看一下新的这个 c o n 怎么做呢？看一下蓝色的部分是不还是一样的，用这个蓝色的部分减去一个平角啊，就剩下了我们的 c o n 了，所以说直接是二十二点五度 t 减去一百八， 最后它们两个还是一样的，因为角 c o m 加上角 c o n， 它应该等于一百八十度，互补嘛，所以说我们直接把它们全部加起来， 加上二十二点五度 t， 减去一百八等于一百八， 所以说求出此时的 t 等于十三。也就说这个题的两个情况，两个答案就有了。实际上我们应该讨论四种情况，但是呢，这个题目两人情况是不存在的，对吧？不可能让他互补，所以说最终能求出答案的就这么两种情况。

数学题有多难，几何画板下的数学让数学更加直观，十五题没有做对，但是，但是二十三题人家竟然全部做对，非常棒一个孩子。下面我们十五题，我们怎样来画图， 下面呢，我把这道题呢做成了几何画板，我们来看看，通过旋转的 e， 我 们看看 f 点的变化，能发现根据跨度原理，这个 f 点呢也是在一个圆上运动， 我们跟踪一下 f 点，看看 f 点的运动轨迹是啥，大家看它是在这样的一个圆上运动， 那么问题来了，这个圆的圆心在哪呢？ 所以呢，找圆心才是这道题的做题关键，现在呢，我们知道它已经是一个圆了，根据画的原理，它是一个圆了，但是圆心在哪呢？ 因为 f 呢是第一的终点，所以呢一个终点呢是办不成事的，我们再来建设一个终点， 大家知道 b d 呢是个固定的点，现在呢我把 b d 之间呢连上一条线好，然后呢我把它的外观呢弄成虚线， 好，那建设一下虚线的终点好几点来了，这个终点呢是固定点，现在我们连接 g f 啊，也把它虚线一下好，这时我们发现 g f 呢就是三角形 b d e 的 中位线，因为 b e 等于二，所以 g f 呢就等于一， 这时我们就可以看作是 f 点，在以 g 点为圆心的圆上，我们再来跟踪一下， 好，我们转动一点看看，大家看这样的看的非常清楚了，是不是非常清楚 点多成成线，线多成面，就这道理，大家看这时候是不是非常的清楚了， 那么现在最短和最长的点已经找到了，大家看就在这个位置，最短的 f 点呢，就在这上面，最长的就在这下面， 这个题呢迎刃而解，勾股定一理，一下算出 a 一 的长，然后减去个半径是最短，加上个半径呢，是最长。一道题有多难，我们来看看你学会了吗？

再看一个翻折类的一个动角问题啊，前面的题呢，我们快速看一下，他就是相当于沿着第一给这个翻折 比较难的点在于他的位置，翻折后的位置是抽象的，所以通过第一题和第二小问呢，让你对这个翻折过程熟悉一点。那我们看一下三角形纸片，也就是我们的三角板喽，三十度六十度角的一个三角板，折叠角 a 是 a， 对 应点是 a 撇，然后假设 d、 e 和角 a 的 和 d， a 的 夹角是阿尔法。那么第一问，爱动民的，爱动脑筋的小明发现折叠三角形时使得 a 撇和 b 重合，他有些字母不太清楚啊，根据轴对称性质， d、 e 所在直线是线段， ab 的 什么线啊？那我 翻折经过你的中点，才能让 a 点和 b 点对应重合同时是不是还要和你垂直，所以是它的一个垂直平分线。 所以第一题的圈一圈一呢？我们填完垂直平分线之后，是不是非常开心，在图二只要画它的一个什么， 哎，画 ab 的 一个垂直平分线就行了。这题同学们都会画，我就不讲了，简单就是以 a 和 b 为圆，心大于二分之一半径画弧。 那第二题呢？在图一中，如果 b、 c 等于四，那我们标一下数据， ac 整体等于七，那我们 b、 c、 d 的 周长，那我们看 b、 c、 d 是 不是包含了 c、 d 还有 b、 d 一 部分，那因为四已经知道了，那这两条边呢？因为 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，所以 b、 d 和 a、 d 是 一样的哦，那你这两条 b、 d 加上一个 c、 d， 它是不是就等于咱们的 c、 d 加上一个 a， d， 所以 就是七，那就周长就是四加七等于十一，不用代单位。 第二题，小明继续研究，发现折叠角 a 时的 a 点对应是 a 撇，如果像图三一样， a 撇 d 和咱们的 ab 垂直了，那它是也是可以完成的，对不对？所以呢，此时 我们需要利用它呢，把这个图给它给画出来。那同学们想给你确定的地点，我们怎么把这图画出来呢？因为已经有一个特殊的垂直关系了，所以我们第一步先画垂直，如何过一个点，做一条线的垂线，是不是我们以地为圆心，任意半径画弧，然后再做这个线段的一个垂直平分线是不就可以了？ 好，那我因为这个不太好画，所以我就先把垂线画出来，然后再画弧了。然后接下来呢？因为 d e 呢，它正好是两边翻折，前后对应角相等， d， e 是 不是正好是这个蓝色角的一个角平分线，所以再画一个角平分线就 ok， 那 我们换个颜色， d 为圆心，任意半径画弧，然后以两个焦点为圆心大于二分之一半径画弧。哦，所以这个焦点就是咱们的 e 点。那这个具体过程呢？即为所求什么的我就不写了。然后圈二 跟利用图求出阿尔法的值，那这个求出阿尔法值呢？也比较简单，因为角 a 是 三十度，上面这个是垂直，是已知的。那我们在 d 点处的角呢？一共是六十，那一共是六十，每个小角都是三十，所以阿尔法就等于 三十度。好，我们来看一下第三问分类讨论题啊，这题其实上一个社团出过类似的题啊，当 a 撇点落在直线 a、 c 上方时，注意它的条件啊，如果不在上方，那我们分类讨论的数量就太多了。在翻折过程中，当三角形的一边，你看到这个就有点头皮发麻了，因为你不知道是哪条边要分类讨论和三角形的 a、 b、 c 平直平行，那就和三角形 a、 b、 c 哪条边平行呢？ 那我们一点点来分析啊。首先同学们要注意的点就是，比如说像这个 d e 啊，我们随便来一个点，比如说这个 d p a 吧， 它不可能在翻折过程中不可能和谁平行呢？同学们想，它这条线是经过地点的，地点在 a c 上， 你是不是无论翻到哪你都会经过地点，那你经过地点，两条直线有一个焦点是不可能平行的，对不对？所以对于 d 撇 d a 撇来说呢，我只要研究它和 bc 平行，还有一个和谁呢？和咱们的 ab 平行就可以了，所以这样可以帮助我们减少分类讨论的 一个范围。那其实最特殊的是哪条线呢？是 d e 这条线它既在斜边上，又在 a、 c 上，所以这条线我只要考虑和 b、 c 就 行了。所以我们首先从特殊到一般讲就是 d、 e， 如果平行，咱们的 b、 c， 这是不是唯一的情况？但画完之后呢，发现唯一的情况呢？它也是不存在的。 好比如说这个三角形里面，为了让 d e 平行 bc， 那 d e 和咱们的 abc 的 bc 是 不应该是和 ac， 应该也是垂直的，对不对？好，我把这个图给它给复制一下， 那么在这里面呢，我们第一个图对完之后发现呢，它是不可能成立的，因为这个垂直折过来也垂直，那我的 a 撇这个 e 点， a 撇点 d e， 那 你发现 a 撇就在 a c 上，它就不在上方了，所以这种情况呢，咱们直接舍掉。好，那我们就来研究第二条线段，这还有哪个比较特殊呢？其实 e a 撇和 d a， d a 撇差不多，那我们就来看一下 d a 撇， d a 撇在 d 上面，它是不可能和咱们的 a c 平行的，刚刚说过了，所以它要么和 bc， 要么和 ab， 只有两种情况，因为它只在上方，不然的话就四种情况了。好，那这个图呢，我复制一下，叫做 d a 撇平行咱们的一个 bc， 那 这个平行 bc 是 比较好想的，因为它是不是就是一个垂直的一个状态？所以呢，我们比如说假设 d 点在这， e 点在这，有的人说 d e 究竟在哪呢？其实这无所谓，我们也不知道在哪，只不过我们折完之后呢，才知道在哪。那你看 d a 撇在这儿， a 撇和它的一个平行，那这个垂直，这个也垂直，我们把 d e 的 位置确定一下， d e 呢？正好是 a a 撇这个对应点连线的一个什么垂直平分线。所以呢， 这个图是不是就应该直接画了一个垂直平分线，或者说角平分线是不是就可以了？根据我们第一第二问。哦，那接下来求这个角吧，这个角是不是就是一点在这这个 r 法，这 r 法多少度？很明显看到整个 a， d a 撇是九十，那它一半角平分线， r 法是四十五。直接写了。 好，这是 d a 撇的第一种情况， d a 撇是不是还有可能和咱们的 ab 它是平行的，所以呢，我们先把那个给它给画出来。 好，那 d a 撇和 ab 平行呢？我们先想一下， d a 撇和 d a 的 长度是一样的，同时呢，它要平行，那我的位置是不是应该大概这么画？所以你要知道每道题的图大概是怎么画的， 那连接 a a 撇做它的一个垂线，或者直接做这个角的角平分线，这是不是就是 d， 这是不是就是 e？ 那 我们把情况写一下，第三种情况， d a 撇 平行 a b。 好， 那这个平行之后呢？我们还是来求角度，那这个是阿尔法，标一下，这个角呢，也是阿尔法， 那他是阿尔法，他是阿尔法的情况下，我们因为平行这个阿尔法和角 a 这个三十度是不应该同旁内角互补和为一百八哦，所以这样就找到等量关系，可以类方程了，阿尔法等于七十五度。哎，这是咱们的第三种情况，那第四种情况呢？ 我们就要来研究谁啊？哎，研究这个 e a 撇，那 e a 撇呢？首先和 bc 平行好，那 e a 撇和咱们的一个 bc 平行的话，那它就是一个竖着的状态，对不对？我们直接随便画一条线，因为 e a 撇和 e a 长度一样，它是一条竖直的状态，比如说 a 撇在这， e 点在这，那我是不是得通过 e 点给确定一下 d 点的位置？还是老规矩啊， d e 在 a a 撇的垂直平分线上， 所以呢， d 点是不是就在这哦，所以把它连起来，你发现我们的翻折过程是不是这个是阿尔法，这个是阿尔法。然后那我们怎么求这个阿尔法角呢？那么首先利用咱们的一个平行角 b 是 六十度， 因为平行内错角，这个角也是多少，哎，也是六十度，所以呢，我们在这个 e 点啊，研究一下这几个角，因为翻折我们一些相等的角，比如说角 a、 e、 d， 它是等于角 a 撇 e d 了。那我们就列个方程，假设它是贝塔，那因为上面这个小角是六十度，所以这个点出的角呢，是不是应该是贝塔减六十度，叫做角 b e d 等于贝塔减六十度。为什么要求这个呢？因为我要求贝塔呀，这个角贝塔减六十，下面这个角是贝塔，他俩相加正好是个平角一百八，所以呢，贝塔加上贝塔减六十度等于一百八十度， 那二贝塔等于二百四，贝塔等于一百二，哦，贝塔等于一百二，所以这一个角它就是一百二。那我们在三角形内，是不是用内角和一百八十度就可以解了角三角形 a e、 d 中， 咱们的阿尔法等于一百八十度，减去角 a 的 三十度，减去北塔的一百二十度是三十度，那跟前面没有重合的，所以这种情况也是成立的。好，那这个第一撇呢，还有一种情况， e a 撇呢？还有一种情况，但是这里面呢，你需要分析一下它第五种情况叫 e a 撇， 它是平行咱们的一个 a c 的 好，同学们看，那它这个东西平行 a c 的 时候，我们的图是怎么画的呢？你想一下，我们刚开始正常的思维是你这个 e a 撇平行是朝左朝右呢，比如说我就确定一点，在这，你看 正常的思维是不是应该是一 a 撇？哦， a 撇在这，他们两个是平行的，那我画他的垂直平分线。哦，你发现出问题了，我的地点要在延长线上，但题目明确的要求了什么？他这个地点是在线段上面，在边上面，所以这种情况同学们就不要考虑了，那既然朝右边不行，我就朝哪， 哎，我就朝左边呗。所以呢，我们还有一种情况，或者说只有这一种情况，就是 a 撇是朝左边的， 那我们连接他的，照他的垂直平分线做他的一个角平分线，所以这是咱们的地点，那我连接 d a 撇。 哦，那这个角是不是就是我们的阿尔法？好朋友们，这个阿尔法怎么求呢？他其实相对来说要更好求一点，因为我们根据上一问的思想，是不是他把北塔求出来之后，利用三角形内角和求的， 那这个也是一样的，我上面这个角也可以求，但因为平行的原因，这个北塔就角好求很多了，叫做角 a e a 撇儿是等于多少度啊？因为平行同旁内角互补，它是一百八十度，减去角 a 等于三十度，也就是一百五十度的。那因为平分，所以角 a、 e、 d 呢，是等于七十五度的， 那它是七十五度呢？我们在三角形 a、 d、 e 中，而法是一百八十度，减去一个 三十度，减去一个七十五度，算一下正好还是七十五。这个不知道同学们有没有熟悉一下。这个东西我们其实前面求过的就是在第三种情况下，也就是说当 alpha 等于七十五的时候，它不仅仅咱们的 d a 撇和咱们的 b a 平行，我们的 a 撇 e 和底边 a c 也是平行的。所以最后如果我们写答案的话呢，就是如果是填空题，只有这几个答案，但这题需要你画图，你需要把这四个图都是给它画出来。好，同学们可以整理一下啊。

大家好，我是你们小鱼老师，紧接着我们昨天的全党模型中的一线三等奖，今天赛鱼老师给大家分享的是一个全党模型中另外一个中央的模型叫备长中线。呃， 我们具体来看题，如图， a、 d 四边 bc 的 中线加四中线，那就说明 b、 d 和 c、 d 是 相等的， ab 等于六， ad 等于四。让我们来求 a、 c 的 取值范围，取值范围我们只有占，怎么样啊？ 一个三角形能知道两个边的长，求第三边的曲子范围，两边之合大于第三边，两边之差小于第三边。只有在这里有一个范围的，其他的没有。那我们要怎么求？ 我们说了，看到中线该全等中，只要看到终点，基本上都是用被长中线的方法。来我们这道题来看看用拔中线什么叫被长中线？有的同学他不明白，就是拔中线延长以倍， 运用这种方法添加辅助性的方法来构造全等，以至于结出这道题好，把中线延长以倍，就把它称为角倍长中线来，我们思思看啊，看它行不行，把 a、 d 给它延长中线，假设到一连 我连尖 c， e， 嗯，使倍长中线呢？把 a、 d 延长到 d， e 是 d， e 等于 a， d 呢？那说明 d， e 也是多少也是次啊，比 d 和 c， d 等呢？ a， d 有 和 d、 e 的 呢？这两个还是对顶角，我假设这个角为一，这个角为二，它还是一个对顶角。 大家看，那我们这个题是不是用能用什么样的方法就可以做出来了？你看 a、 e， 我 已经知道了，我只要利用全等证明三角形 a、 d， b 和三角形 e， d、 c 全等，这样一来的话，只要这两个三角形全等，我是不是就可以证明出 c、 e 和 ab 等呢？那 c、 e 就是 六嘞？ 在 a 一、 四、 b 这个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 a、 c 的 长的范围是不就可以求出来了？好，下面我们来看呀！过程应该如何写来解， 在几何的证明中需要添加辅助线呢？我们刚开始一开始就要把它写下来，延长， a、 d 指 e 是 d， e 等于 a， d 连肩 c、 e。 下面因为 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 中线， 所以 b、 d 等于 c、 d 条件已经够了吧，哎，占三角形 a、 d、 b 和三角形 e、 d、 c 中， 哎，大家写的时候一定要注意要对应啊，前面这三角形条件就写在前面， a、 d 等于 d， e 角一等于角二，泰勒美啊，对，顶角对吧？相等的 b、 d 等于 c、 d， 所以 三角形 a、 d、 b 全等于三角形 e、 d、 c 用的是边角边的方法来证明，所以， 所以 a、 b 等于 e、 c 条件中已经告诉我们了。那接下来我们应该如何地去写呢？大家看应该如何写？ 那它也是六了。在这个三角形中到 a、 c 的 取值范围 a、 c 应该小于什么？三角形中两边之和是大于第三边，这个 a、 e 加起来长，是不是就是这样啊？八吧，这个呢，加起来就是这样， 嗯，六， a、 b 条件中已经告诉我们的 a、 b 等于六，那 e、 c 是 不是也等于六？嗯，那么 a、 c 就 应该是小于这样啊，六加上八，八大于这样啊，八减六，所以 a、 c 的 取取值范围就占十四 到二之间。大家看一下 做这个题目，在证明的时候，特别是延长添加辅助线，这里延长 a d 值 e 使 d e 等于 a d。 很多同学都回笼错了啊， 我在课堂上经常会给孩子们这样讲，这里的 d e 是 使 d e 等于 a d 呢？还是使 a d 等于 d e 呢？我举这样的一个例子，说这家的孩子啊，跟他爸爸长得好像啊。这个就是我这道题的思路， 永远说，嗯，这个爸爸跟他们儿子长特别像，有没有说爸爸像儿子的，只有说儿子想爸爸了。 所以我们延长出来的线像原来的线，这里的 a d 就 像爸爸一样，这里的 d e 是 在 a d 的 基础上延伸出来的，下一代就像儿子一样。所以就不要搞乱了啊，把 d e 弦的弦死 d e 等于 a d 这样说会比较好啊。 哎，这种这个题目最主要就是这个地方题答辅退，你这里好，很容易做错。还有一个，证明的时候， 就用什么样的方法证明，特别是出靴全等证明的证明方法一定要写书本上的立体也有哦，我们以书本立体为枕。这地方要写第三个容易出处的点，就是这里 三角形，两边之和大于第三边，两面之差小于第三边。这地方很多同学证明了权的以后，下面不知道该怎么办呢？这道题求的是 a c 的 曲子范围，当然是要把 a 四的范围给取出来喽，你说是不是？嗯， 在权党的模型中，哎，被场中线是一个非常重要的模型，你还知道哪些？权党的模型？你还知道哪些权党的模型？你还知道哪些？

这个菱形中的距离计算问题，我们用一招直接秒杀。我们先画出菱形 a、 b、 c、 d 标记，对角线交点为 o， 图中显示边长 a、 b 为四倍，根号五对角线 b、 d 为十六。 根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，因此 a、 c 垂直于 b、 d， 且 b、 o 和 o、 d 都等于八。 在直角三角形 a、 o、 b 中，由勾股定律可得 a、 o 等于根号下 ab 的 平方减去 b、 o 的 平方，即根号下八十减六十四， 结果是四。为了计算 e、 f 的 距离，我们建立平面直角坐标系，以对角线交点 o 为圆点， b、 d 所在直线为 x 轴， 由此确定各点坐标 a 在 蛙轴正半轴为零到四的开区间。 b 在 x 轴、负半轴为负八到零的开区间 d 在 x 轴正半轴为八到零的开区间。 e 使 a、 d 的 中点坐标为四到二的开区间 f 在 b、 d 上，且 b、 f 等于三。由 b 的 坐标八向右移动三个单位，得到 f 的 坐标为负五到零的开区间。 运用两点间距离公式， e、 f 等于根号下横坐标四减负五的平方，加上纵坐标二减零的平方，即根号下八十一加四，最终结果为根号八十五。

中考第六道答题，几何压轴也可以称为，哎，动态几何，一般考点的话就是动点最直，旋转折叠， 哎，会出现线段最直，面积最直。特殊三角形存在性问题，平行四边形存在性问题。 解决这类题的方法呢，有三步，第一步，画图，把动态化为静态。第二步，分类讨论，不要漏情况。第三步，用相似 勾股或者说是函数建模去叠方程。第一问呢，一定是很简单哎，前两问最好都去拿分啊，之后的话就能写多少咱就写多少啊。

家里有书科八下的娃，如果全等学的不扎实，那么不要错过这道来自我们课堂的全等叠加面积的好题。考试一般会安排在解答题部分保存，晚上喊娃试试看这道题，如果娃看不出我们常考的全等模型， 可能就就是十分的差距。掌握的一招中等，娃也可以秒懂，一招秒杀。如果平时娃遇到压轴题丢分多，娃又肯学，可以加入我的方法。课堂需要了解，回复需要 好几天的坠子啊，今天我们来分享一道面积的问题啊，那我们把这个题目呢条件问题来看一下啊，有一个等值 abc， d 点是 a、 c 边上的中点。好的，那么读到这里的话，你想到了什么？辅助线啊，可以在评论区打出来啊，肯定是要连接 b 一 道过的，为什么斜边中线等于斜边一半嘛？ 以及等于二怎么样？三线合一嘛？所以这个 b、 d 怎么样肯定是要连起来了，而连接了 b、 d 之后呢？好， ab 呢，是一个四， b、 c 怎么样也是一个是 a、 c 怎么样？四根杠二、主角登场， e、 f 呢，分别是为我们 a、 b、 b、 c 怎么样延长线上的两个动点，且我们这个 e、 d、 f 这个角怎么样是一个九十度哎，这个角怎么样也是一个九十度， 于是同角的余角，这两个角怎么样就相等了吧。那这两个角相等呢？我们这个 b 道格跟我们这个 d、 c 怎么样也相等， 这个角是一百三十五，我们 e、 b、 dog 呢，也是一百三十五。所以读到这里，我们怎么样就挖掘出了 d、 b、 e 呢？这个是要与这个 d、 c、 f 怎么样？肯定是全等的呦，全等 啊，接下来我们这边继续读题啊，求的是三角形底 e、 f 与三角形比 e、 f 面积的怎么样？差啊？好，为了好表示的话，我们可以这样来设呀，我们可以设这个小三角形为怎么样？ s 一， 这个小三角形怎么样？为 s 二， 因为全等对吧？所以 d、 c、 f 怎么样啊？就是 s、 c 怎么样啊？加上 s 啊，这一块我们设为一个 s 三，下面这个大块设为怎么样？ s 四。那接下来非常简单啊，我们怎么样表示一下啊？ 三角形 d、 e、 f 的 面积减去三角形怎么样？ b、 e、 f 的 面积我们把它带进去，有少带 好，我们可以把它带进去哦，那就是 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四，减去 b、 f， 那 不就减 s 一 减 s 四吗？ 怎么样啊？杠掉杠掉，杠掉，就是 s 二加上 s 三 s 二 s 三，不就是怎么样？三角形那 d、 b、 c 的 面积，那 d、 b、 c 怎么样？不就是我们二分之一的三角形怎么样？ a、 b、 c 的 面积吗？这是几啊？四啊，对不对？那这是几啊？这也是四啊， 所以我们 a、 b、 c 的 面积呢？就是一个八呀，八了一半，几啊四啊。结束最后我们总结一下啊，这道题呢，首先你看到 d 点是一个中点的话，你要想到连接 b、 d， 接下来挖出这个全等，全等之后呢，我们怎么样啊？就可以用我们的 s s s s 表示这两个面积作差，最后解决问题。而这道题呢，其实还是不错的，值得我们中等娃去念一下啊。 那么你和孩子听懂了吗？如果孩子呢，平时在遇到压轴题，没有思路，没有方法可以呢？加入我的方法，提优课需要了解的回复一个需要。最后祝娃天天好运，苏科提优找大侠。

一个模型搞定环七下数学期中压轴题将军赢马模型是我们环七下压轴题常考的知识点， 它属于我们七下轴对称章节里的内容，解决最短路径问题的经典模型，常见六大变形，同时还是我们环七下几何丢分的重灾区。 很多孩子在看到求线段和最小值、线段差最大值或者说面积最大或最小值的时候，就没有思路了。 要清楚，将军赢马模型它不是一道题，而是一整套比较重要的解析思路。从现在开始到初二、初三甚至到中考阶段，将军赢马这一部分的内容都是我们初中几何最值问题的核心地基。 将军银马六大变形包括两定一动、一定两动、两定两动、三动点将军架桥模型。将军六马模型不管包含多少种变化或者题目怎么变形，其核心思想都是利用轴对称和平移变化， 将折线路径转化为直线路径，从而依据两点之间线段最短或者垂线段最短的 原理求简。所以这六种变形其实他的核心思路是一模一样的，也是经常会考的。而且这部分内容对于我们后面初二初三求几何最值问题也是很关键的。在一份试卷上经常会出现十几二十分的占比， 有针对性的高校复习，孩子才能轻松备考，我们还得家长也可以说一下咱家孩子薄弱的知识点有哪些哦。