西城初三数学二模答案几综多种方法

这条视频给大家分享北京西城二六年五月份的二模集中。呃，这道题目呢，其实有很多同学在考场上也是不能够快速得出他们之间的数量关系的，那么就来看这道题到底应该怎么去做啊？首先我们来看一下第一问，第一问我觉得对于大家来讲应该没有任何的难度，就是一个倒角推边的过程，对吧？ 那怎么去做呢？首先你看到了这个是 a b 的 a c， 所以 是个等幺，然后有阿尔法，所以就是阿尔法，这阿尔法，所以这二阿尔法，这瞬间能够想到的一个事，对吧？然后呢，他说的是这个点一在 a b 上，让我们证明是终点，那怎么证呢？其实我们来看一下这道题目啊， 这是二阿尔法。然后呢，你还能够得到的一个信息是旋转，对吧？那这个是旋转点，所以说你就能够得出来的是这是旋转的二阿尔法，所以你自然就能得到这是九十度， 没错吧？但是同学们一定要注意啊，这个再说终点的时候呢，其实你还是要再去简单说明一下，就这个是等腰，毋庸置疑。那么你还得说一下，这个角是九十度减阿尔法，所以说 ac 又等于 a d， 好 说清楚了吧？就是，呃，你能得到的是 ab 等于 ac， 已知又知道 a c 等于 a d， 所以 d a 是 b d 终点，这是第一问。好，那么再来看第二问，第二问，这个题目当中让我们去找的是谁？你得先去明确这个线段是 a、 c、 b d 和 b e、 f 之间的关系， 那么这个怎么去正呢？我们先不着急去啊，做什么辅助线啊，这个我做出来是为了节省后边的时间，但是我们在做的时候先不着急做辅助线，为什么我们先去看这题目当中的信息啊？我们来看这是二阿尔法，然后呢？这个角也是二阿尔法， 对吧？那你知道的是不是就是这个角加这个角是等于一百八的，那其实你就知道这几点，应该是这个是一个一个四边形，或者大家经常说的是四点共圆，那你就知道其实这个角应该是和这个角相等的，没有问题吧？这是你最最应该快速去反应的，那么你就知道旋转是 c e 等于 cd， ok， 那么我们来看 e、 f 是 不是这样竖着线怎么办？把它转到这个边上，那怎么转呢？构造全等，所以这个时候的辅助线是什么，我跟你说清楚，是你延长 a d 使得 dm 是 等于 e、 f 的， 能明白吧？这样的话是不是就直接得到了一个全等？为啥 这个边等于这个边，这个角等于这个角都是已知的，你又得到一条线段，是不是把 e、 f 转到了这啊？这是我们做的辅助线， dm 等于 e、 f， 然后同学们，我们搞完这个之后，我们要找的是谁？我们要找的是这个 a、 c、 b、 d 之间的关系，那么我们这个时候是不是得到全等以后能得到啥？能得到就是 我们能知道的，就是，呃，这个 b、 d 我 们已经要在这了，对不对？然后这个 a、 c 就是 ab 的， 对吧？ ok， 没问题， 得到这个之后我们再往往下走啊，我们来看一下这个现在的关系能不能得到，你只是把 e、 f 挡在这，对吧？但是你这个 b、 d 和这个 ab 之间的关系你仍然不清楚，这个时候你不要着急，你看一下这个图，是不是就特别像第一问了？所以我连接了这 连接这之后，是不是就相当于是点 f 位置？是相当于是点 e 的 位置？所以你现在要做的就是要证明的是这是个直角，从而你证明直角的意义是什么？证明这个等于这个等于这个 啊，不是等于这个，对吧？没问题吧？ ok， 那 怎么去正呢？你看啊，你已经得到了什么？你得到的是全的，那你能得到就是 c f 是 等于 c m 的， 没问题吧？那么同时你还能知道什么？就是 通过这个全等，我们能得到的是。给大家说一下啊，通过这全等能得到的是，你知道这红色角是二二法，对吧？那么这个角是不是也是二二法？没问题吧？因为你知道的是这个角和 呃，我们的这个角是相等的，没错吧？所以说你就能得到的是二阿尔法这个角度，你得到二阿尔法之后，是不是跟上面这个第一问是完全一样的？就是一个可以倒直角了，没问题吧？那我就不在这去坠树了啊，我们能得到就是这个角，是这个也是，对吧？来， 是不是这二 r 法，是吧？这二 r 法，所以跟第一问是一样了，那我就知道了，什么就是直角，直角之后就能得到什么？ a 是 终点，所以是 ab 等于 am 等于 ac， 是 吧？那你就知道了，这个 bm 是 等于这个 a 二倍的 ac 的， 没错吧？那它等于什么呢？等于我们要求的 b、 d 再加上什么？再加上我们的 e、 f， 这道题就全部整完了，就这么简单，就是你需要的是你看这个题目你要做什么，而不是这个辅助线我就咔咔咔一顿连，这样的话你是根本不可能做出来的。所以你根据我这个思路啊，好好捋顺一下这个题目的辅助线， 他到底是怎么做的，怎么去思考的，然后怎么跟第一问究竟连接的。那这样的话呢？这个题目的起宗其实你也就能够快速搞定。我说句实话啊，这个起宗的难度并不大，但是能做出来的人又有多少呢？那中考就通过这样的题目，能够让大家产生差距，所以说这个题目值得我们思考。

西城二模今天的原宗考点其实挺标准的，为什么说够标准呢？因为它比较贴合中考的考点啊，必须明确这样说，但是你说它有难度吗？其实难度系数我觉得还没有达到中考的难度。我们接下来来看一下这道题，他说 ab 是 直径，还是要去做条件反射？看到直径想什么？我不多说了，然后告诉我们是过点 c 做直线 e、 f 分 别交 b、 d、 b a 延长线于点 e 和点 f， 且 e、 f 等于 b f， 那 因为 e、 f 等于 b f， 所以 对应两个底角等，这先给它表示出来， c b， e 等于的是四十五度，因为它是一个圆周角，所以我们说过，看到圆周角要看它所对的弧是谁？弧 c d， 那 弧 c、 d 有 没有它所对的圆心角呢？没有，所以构造连 o c 连 o d， 那 这个角就是九十。好，第一问让我们正切线很好，正因为我知道这是九十，又因为 o d 等于 o b， 所以 这两个底角也等，那它们两个等了之后就会出现平行，所以 o d 和 e、 f 平行，这就是九十。所以结束。第一问结束了，很快啊。 好，来看第二问。第二问说做 m n 做好了， m n 垂直于它，那，因为这是垂直，这也是垂直，所以相似，三角形就出来了。谁 f c o 和三角形 f m、 n 这两个三角形形成 a 字相似， 那因为题目当中给了我一个比例关系，所以我可以用设参的方式， a f 等于 a， 那 c、 f 就是 三 a， 那 因为又告诉我 ab 是 四， ab 是 直径，直径是四，所以半径是二，这是二，这也是二。这个直角三角形里面三边长就都有了，而 且是含有未知数 a 的， 那我就可以利用勾股定律求出 a， a 的 长等于二分之一，白求出来。求完了之后， a 的 长是二分之一，所以 m f 的 长就有了。因为 c， m， d， o 这个是一个什么形？正方形，所以 m f， 它的长就是二分之七， 这是二分之七，这是二分之三，所以两个相似三角形的比例关系就有了。所以 m n 的 长也能求出来，等于三分之十四。 m n 出来了，那 d n 就 出来了，等于的是三分之八。好，那 o， d 是 二，这是三分之八，所以 o， n 的 长就出来了。 o， n 等于三分之十，三分之十有了，减去 o b 的 长， o， b 等于的是半径，也就是二，所以它答案是三分之四。结束了， 到了吧，我们只需要识别出来一个 a 字相似，然后利用勾股定律，包括他对应的相似线段成比例就出来了。所以我觉得他考的还挺好的啊，比如说有勾股，有相似，如果你不用相似，你用三角函数也可以，但是他的难度我觉得没有达到。好，那我们就先说这么多，拜拜。

我初三课程的特点就是确定性，就是从题目的核心特征入手，讲解快速满分的考试方法。哎，我这有一个免费的公益课，你可以加我报名参加，如果你是新初三的同学哎，你可以咨询牛哥的暑假课程哦。好，我们回到这个确定性， 其实确定性方法就是考试多题一解的秒杀大招，比如这道西城二模的解冻，这道题正常做逐步分析，至少十五分钟啊。那么利用确定性呢？利用确定性这个题只需要把图形看明白就能秒，而且我还能给你讲出两种方法来， 就从图形来看就行了。哎，我们看啊，这个图形中有这么几个神奇的角，这个角 r alpha， 这个角 alpha， 然后这个角 alpha， 你 看到了什么？图形里边是不是看到了两种情况，第一，在 c 处有半角模型， 在 c 处有半角模型。第二呢， f 和 c 处有对角互补， 它两个有本质的区别哦，半角模型两侧全等，一次对称，一次旋转，你看确定性哦，确定性就是这个套路，然后对角互补就是手拉手。 好，那么我们就从这两种方式入手呗。哎，我们先做，其实对角互补最简单哦，答案也用的对角互补，那我们就非得先做半角半角模型好，半角模型的话，哎，是不是？你看，就是 c 处一个阿尔法，一个阿尔法，那我就把它， 我就给它，把它，把它呃搞成二倍角，把 a c 沿着 b c 对 称到这个位置上，这个点点点 p 吧，这个点是点 p？ 好， 哎，你看对称过来之后，对称过来之后看角啊，是不是就很容易能够证明三角形 c a d 全等于三角形 c e p 啊， 非常容易证明， ok， 证完了之后，哎，这俩角相等，这俩角相等，这俩角相等的时候，哎，这是多少度啊？这是阿尔法，因为这是阿尔法，所以这是阿尔法， ok， 哎，好巧啊， f 处又是 r， 所以 能进一步做出 a b 平行于平行于 pc 啊，而且是不是 a c p f 是 等腰梯形啊， 等腰体型，哎，所以是不是 a c 等于 p f 啊，然后接下来投边就行了，投边就行了啊， p f 等于 e f 加上 e p e p 是 不是等于 ad 啊？由全等做出来的， ok， a d 是 不是等于 b d 减去减去减去 ab 啊？是不是它等于啊，等于 ac 啊， ab 是 不是又等于 ac 啊？哎，所以你看答案就出来了， e f 加上 b d 等于二倍的 ac， 这个用的是八角模型，还可以用什么？还可以考虑对角互补啊，对角互补更简单，它就是手拉手，对角互补就是手拉手，所以，哎，因为因为对角互补，所以这个地方我就直接连接 cf， 连接 cf 之后把它进行手拉手的旋转，延长 b d 到 q 连接 c q， 所以 这个对角互补啊，所以对角互补就有三角形 c e f 全等于三角形 c d q 啊， ok 吧，全等完了之后，是不是也就 b d 加上加上加上加上，呃， d q 就 成了一加 e f， 然后他两个就贡献了贡献，我们就是不是相加呀？然后再就用看看他和 ac 的 关系精测量，发现他等于二倍的 ac， 这是结论，结论，然后接下来我怎么去证明他呀？哎，你会发现，做完图之后，你就会惊奇的发现，三角形 bc q 是 r t 三角形啊， 那 r 贴三角形的时候证明它就行了。怎么证明？非常简单，因为手拉手，所以啊，所以手拉手之后就有就有角 f c q 等于二 r f c q 等于二 r f 又因为 c f 等于 c q 啊， 所以 q 是 九十减 r 法， b 是 r 法，所以 c 出的角 bc q 是 九十度， bcq 是 九十度 a c 等于 ab， 所以 点 a 是 斜边中线啊。不是，点 a 是 斜边中。点 a， c 是 斜边中线，所以斜边中线等于斜边一半，所以答案就出来了。两种方法， 只要从图形入手，就结束了。这道题。从图形入手，当然这道题我个人认为比比一模题要难了那么一丢丢啊，难了那么一丢丢一模，只要做个对称就结束了。好啊，这个整体不是很难 用。确定性，一切从确定性入手，只要把图形看明白，这个题就没有了。所以确定性。牛哥说的确定性就是考试方法的一种高度总结。

好，我们来看一下西城区初三二模的这个圆中核啊，好久没有讲圆中核了，对吧？我们说做圆中核一定要特别的丝滑，对吧？这个题我在 上周六周日，就是昨天和前天，对吧？给初三的给初三班的学生讲课的时候讲过这个题啊，这个题可以口算， 我觉得大家如果要是考试中能够看出来第二问的这个思路，这题可能是两分钟，但是如果你要是在考场没有看出来，就可能两种情况，第一个就是课上没有认真听，第二个可能听了，然后课下给忘了，在考场上就是没有想起来咱们讲过的东西啊。这题可以瞬秒的啊， 我先把它给连接起来，再把它给连接起来，这是第一问的思路啊，第二问他说的是过点。第一，做一个垂直， 过点 d， 做一个垂直，然后与什么呢？与 ab， 对 吧？往这个地方交于点 n， 这个地方是有一个 m， 呃，然后呢？我们直接开始看第二吧，它说的是 c f 等于三倍的 a f， 所以 说我假设 a f 是 x， 这是一个三 x， 我 们在课上是不是讲过这个二级结论， 对吧？还告诉你们在哪个地方讲的呢？大家来看一下啊，昨天的那个课，我瞅样啊，我把这个讲义给找出来， 就是担心学生在考场上用不到，知道吧，这就比较尴尬，是不是在在这个地方啊？ 初三的一模在这， 我们在课上是讲过这个东西的啊，这不在这快速出思路的是不等于它。所以说这个新城区的模考题的这个圆中，不就是一分钟两分钟吗？直接秒了，对吧？我们可以怎么写 x 乘以 ab 啊？不对， x 乘以 x 加 ab， ab 是 四等于什么？等于个九 x 方，所以 x 加四等于个九 x， 那 么 x 等于二分之一，它等于二分之一，这地方不就是二分之三吗？ 这个地方是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径是 b n， 求得是 b n， 因为这是有一个垂直，所以说我们只需要跳角，这个角一等于角二靠近角一等于个靠近角二靠近角一等于几？是不等于三比五等于二比上一个 o n o n 呢？等于个三分之十，所以 b n 等于个三分之十，减二等于个三分之四。 考场上大概大概就是需要两分钟就可以写出来啊。当然这个二级结论的话是告诉你们快速出思路，因为我们圆轴和是需要快速出思路的，然后你们写一下过程就行。怎么写过程是不连接一下就行了，连接完之后有一个三角形相似。啊，好，这个题我讲到这里。

今天下午刚考完的西城二摩的这道几宗题，依然保持着超高的水准，他的第二小问难度比较大，两步走，第一步是我们一直在讲的旋转口诀，第二步是几宗中的难点倒角。接下来我们详细解读一下这道题。第一小问中啊， 他需要用到的是证明角度相等，因为我们很容易可以看到题目中已给了等腰，又让我们证明点 a 是 中点，那自然只要证明 a、 d 等于 a、 c 即可，所以我们的目标就会聚焦到证明三角形 a、 d、 c 是 个等腰三角形，在这个位置，他已经在向我们暗示第二小问了。 我们经常会讲一句话，没有无缘无故的低小问，在己东这道题中，这句话是非常重要的，那我们不去详细解读低小问的具体过程，我们只在讲，当你做完题之后，你要把这道题目中用到的核心给他提炼出来，一、找 a、 c 等于 a、 d， 找等腰。二、倒角 后面我们在做第二小问的时候，会用到它进入第二小问。第二小问呢，读完题之后，我们知道它给了一个 a、 c 和 c、 e 之间旋转了二阿法这么一个旋转关系，这两个线段不仅是旋转，而且旋转的是一个不确定的角度， 非常符合我们经常讲讲的旋转口诀，也就是旋转线段带全等。什么意思？就是我不仅要让这两个线转，我还要让这两个线带着三角形转，比如，比如啊，我找到了 a、 c 这条线带着的一个三角形 a、 c、 d， 我 让他转过来，转过来之后他就会转成这样， 那这就是其中给我们的一种尝试性的辅助线思路，他靠谱吗？看完之后他并不太靠谱。为什么？因为在旋转线段带全等这个思路下，不止一种可能性， 现在我转的是其中一种可能性，我还可能转别的三角形。那我尝试了某一个旋转，我怎么知道它靠谱还是不靠谱呢？要和题目中的已知和所求相结合。比如这道题明确求的是小 a、 小 b 和小 c 这三条线段的关系。 那你看，我们转完之后，小 a 跑在这个位置，小 b 跑在这个位置，小 c 跑在这个位置。这三条线啊，完全没有关联上，和我们的所求没有任何关联， 而和我们的已知关联度只和旋转有关系。那他不是我们的 u 型选项。那怎么办？我刚刚提示了，不止旋转一个三角形啊，我们再去看还有没有可能带其他的三角形旋转呢？哎，连接 c f， 那 c、 e、 f 不 就变成了一个可以跟着 c e 旋转的三角形吗？我们给它延长， 大家转到这个位置来。当我这么一转的时候，我观察一下我们要找的那三条线产生了什么样的变化。 第一个小 a 所在的位置在这个位置，第二个小 b， 第三个小 c， 很 明显他回到了什么状态呢？我们的第一条纹的状态就是小 a 中已经有一部分是等于小 c 的 了，我们只需证明这是一个等腰三角形即可。 好，思路一下就通了。那么接下来我们要做的是什么呢？先不要着急，要把这个旋转线段带全等这个思路转换成比较标准的写法，就是旋转三角形在我们的这个解题中是不能够直接这么表述的，我们往往采用的是延长啊正全等的方式， 所以本题的表达应该是延长 a d g 使得 d g 等于 e、 f。 接下来我们就要去证明这两个三角形全等。 观察可得，已经有两组条件是明确的，一个是 c d 等于 c e， 一个是我们延长的 d、 g 等于 e、 f。 这两条线相等，中间唯独缺一个东西，就是他们的夹角相等，也就是角 f、 e、 c 等于角 gdc。 我 们还缺这个。分析到这个位置，就进入了本题的第一个难点，导角。本题有两个难的导角，这只是其中之一，我们来看看是怎么推导的。我想证明这两个角相等，会发现其中一个角是四边形的内角，而另外一个角是四边形的外角。角 gdc 加上角 fdc 是 等于一百八十度，我只需要证明角 fdc 加上角 f、 d、 c 也等于一百八十度即可。 f、 e、 c 和 f d、 c 同时转换到了四边形内部这两个角，发现不太容易证明它俩相等，那我就会切换到另外一个视角，看另外一组对角是不是相加等于一百八十度呢？观察可得， 角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 是 等于一百八十度 a， 为什么这两个相加是一百八十度？因为角 d、 f、 e 加上它的补角是 bfe， 而这个 bfe 呢，是本题所给的一个关键条件。二、阿法这个条件我们不用上，肯定是证明不出来本题的，所以这样一来，我们就推导出了 如何去证明这两个角相等。观察和推理的思路是这样一步一步逆着来的，所以写的时候是从下往上写的，本题的第一个难点突破了之后，全等就得以证明，所以三角形 cdf 那第二个点就到哪了呢？就到了，我们如何去证明这个位置是一个大等腰？回顾本题，我们已经得出，哎，这一部分和 这一部分相等了，只要再证明这一部分和这一部分相等，就可以得出 a 加 b 等于二 c 了。所以到这个角 到这个三角形就变成了一个关键了。那我们接下来先看在这个三角形中有什么已知条件呢？哎，看旁边的这个图可以看到这个位置啊，是有一个二倍的阿尔法的，千万不要忽略了它，因为最开始就告诉了我们底边是一个等腰三角形，所以第一步 角 d、 a、 c 等于二倍的 r 法。如果它是个等号三角形，我只要能够证明这两个底角中任何一个等于九十度减 r 法，那另外一个也一定等于九十度减 r 法。所以我要去观察找哪个角去证明它是九十度减 r 法。刚刚的全等就可以帮我们发挥作用， 因为这个全等是一个旋转全等旋转全等意味着什么呢？意味着手拉手模型的出现。 所以本题是两个等腰三角形的旋转啊。一个等腰三角形是这个小的，它的顶角是二倍的阿法。另一个等腰三角形是这个大的，它的顶角也一定是二倍的阿法。所以由此我们可以得出这个角是二倍的阿法。 那这样一来，我就可以得出上面的这个底角是九十度减法。所以他还充分利用了手拉手模型的逆向使用这个关键结论，所以角 f c g 等于二倍打法，角 c g， a 等于九十度减法，把一和二他俩一结合，可以得出 a c 等于 a g， 所以 综上所述，我们就可以得出小 a 加小 b 等于二倍的小 c， 也就是本题的结论就出来了，也就是 b d 加 e f 等于二倍的 a c。 非常好的一道题，值得大家把它认真的记在笔记本上。

我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！

ok， 这个视频跟着红姐我们一起来看一下二六年咱们西城二模的这道集中题。这道题目的难度不是很大，辅助线思路也非常的明显，那接下来我们就一问一问的来看。 先来看第一问，告诉我们 a、 b 等于 a、 c 等腰三角形，角 b 是 r 法。那很显然角 a、 c、 b 这个角也是 r 法，等边对等角，对吧？那接下来 d 是 b、 a 延长线上的一点连接 c、 d 将 c、 d 照着点 c 逆时针旋转二 r 法得到 c、 e， 所以 c、 d、 e 又是一个等腰三角形， 他说一点呢，是在 a、 b 上。第一问，让我们证明 a 是 b、 d 的 中点。那第一问，一般情况下，我们首先先不要想着去做辅助线，我们先进行倒角，倒边看看，试一试。那接下来我们就把能表示的角都表示出来。 那首先，根据三角形 a、 b、 c 是 个等腰三角形，两个底角是二 r 法的话，那当然顶角肯定就是一百八，减去二 r 法，当然这个角就是二 r 法了。其次，三角形 c、 d、 e 是 个等腰三角形，我们也要充分利用它的角度。顶角是二 r 法，两个底角是不是也可求啊？比如说角 d 是 多少呀？ 对，九十度减去 r 法。嗯，那这个时候你就要有一种充分的感知哈，当二 r 法和九十度减 r 法在同一个三角形的时候，这个三角形肯定是等腰三角形了。 哪个三角形？ a、 c、 d。 你 可以利用三角形内角和去求一下这个角 a、 c、 d， 它也是九十度减去 r 法，因为这两个角都表出来了，那很显然它就表示出来了。 好，那现在我们就证明出来了哈，通过倒角是能够证明出来 a、 c、 d 是 个等腰三角形，并且 a、 d 是 等于 a、 c 的， 那 a、 c 又等于 ab 呀？所以我们就正反了。第一问，我们就是通过等腰三角形充分的倒角得到了 a、 d 等于 a、 c， 那 进而等于 ab 了，那 ad 等于 ab 呢？肯定 a 就是 b、 d 的 终点了。这是我们的第一问，接下来我们来看第二问。第二问的核心条件没有发生变化， abc 依然是等腰三角形，所以该标的角依然还存在， c、 d 还是转到了 c、 e 的 位置， d， c、 e 还是二倍的 r 法，只是这个时候 e 点他跑到了 b、 c 的 下方，然后接下来他说 f 在 ab 上， b f、 e 这个角是二 r 法， 让我们用等式表示 a、 c、 b、 d 和 e、 f 之间的数量关系。那很显然，这个题目三条线段离得比较远，我们肯定是需要做辅助线的。怎么样做辅助线呢？当然要从已知条件出发，发现应该哪些题眼，去做什么样的辅助线，你发现了什么样的题眼呀？ 对，我们课上讲过，这里面有一个非常显著的体验，就是绊脚模型它的特征。绊脚模型的特征在红姐的课上讲过，是由共端点的等线段看，以 c 为顶点， cd 是 不是等于 c、 e， 还有共顶点的背半角。从 c 点出发，是不是有一个半角关系？有角， a， c、 b 等于二分之一角， d， c、 e 在 图中都是 r 法。 那有了绊脚模型的特征之后，我们要知道，这个题目的辅助线思路就已经非常明确了，就是绕着顶点转一转，两腰重合关系线。什么意思呢？我们以 c、 e 为边的三角形转到以 c、 d 为边的三角形位置， 或者说是只要以 c、 d 为边的三角形，逆时针转到以 c、 e 为边的三角形位置，这个题目两种转法都是可以的，那不妨我们将就将以 c、 e 为边的三角形转到以 c、 d 为边的三角形，是不是只能是 c、 e、 f 呀？在途中， 好，那我们就是将三角形 c、 e、 f 绕着点 c、 d 加上 g 的 位置吧， 好，转到 c、 d、 g 这个位置。那转完之后，我们首先要想这个 a、 d、 g 共线嘛， 这也是在半角模型出现在四边形中我们常考的一个点呀。那你就看题目中有没有对角互补呀。因为你将这个三角转到这个位置，那就说明角 e 和这个角对应相等啊。那角 e 如果和这个角是互补的，那么它俩肯定就是共线了，对不对？ ok， 那 这个二 r 法就用上了哈，这个条件就用上了。因为这个角都是二 r 法，所以它的邻补角这个角是不是一百八减去二 r 法？哎， 在四边形 d、 c、 e、 f 中，这个 d、 c、 e 是 二 r 法， d、 f、 e 是 一百八减二 r 法，它们俩是不是互补呀？那所以说这个角 a、 d、 c 我们记作角 e， 它这个角 e 以及角三角 a、 d、 c 这个角 e 和角 e 是 不是就是对角？所以在这个四边形四边形 d、 c、 e、 f 中， 我们的两组对角都是互补的，对不对？ d、 c、 e、 f 中，我们得到了角 e 加上角 e， 它是等于角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 的， 都等于一百八十度。所以说这个题目呢，很显然 a、 d、 g 就是 共线的了。那因此这个题的辅助线做法呀，我们除了去描述成将这个三角形 c、 e、 f 绕着点 c 顺时针旋转到 c d g 的 位置之外呢，我们还可以有另外一种表述方式，就是利用截长补短的表述， 也是我们常用的表述哈。所以这个题目我用截长不等的表述就是延长 a d 到点 g， 使 d g 等于 f 一， 所以我们的辅助线就是延长 d g 到，呃，延长 a d 哈， sorry， 延长 a d 到点 g， 使 d g 等于 e f。 当然这个时候再连上 c g 和 c f， 连 c g 和 c f， 那 我们必然可以得到三角形 c、 e、 f 是 全等于三角形 c、 d g 的 判定，定里肯定是 s s， 我 们来找一找哈。首先第一个就是因为角移和角 e 是 互补的，那我们必然可以得到什么呀？ 角移和角三也是互补的呀，所以我们是可以推出来角 e 和角三是对应相等的， 所以这个角 e 和角三对应上的一组对应角相等了，对不对？然后 c d 等于 c e， 这是一组对应边了，再加上我们辅助线做出来的这个，所以这两个三角形全等，那这两个三角形全等，我们必然可以得到第三条边对应相等和另外两组角也是对应相等的，对不对？好，那第三条边是谁呀？ 第三条边是不是就是 c g 和 c f 是 对应相等的哎，是不是出等腰了？ c f g 是 个等腰哎，这个时候你看一看，它是不是就像我们的第一问了， c f g 等腰。来，我们来观察一下，是不是很像啊？ c d、 e 等腰，这里还有个等腰很像第一问，所以它就回归到第一问了，相当于。好，那我们继续来看哈， 那它是等腰的话，接下来这两个角也是对应相等的，这个角和这个角是对应相等的，我们标上哈，那当然，我们因为 c f 等于 c j， 所以 这个角是不是也是叉叉呀？那因此我们是可以判断出来两个叉叉是多少度呀？ 因为 a f 是 a f e 是 一百八减二 r 法，所以一个叉叉，那就是九十度减 r 法， 这个也是九十度减 r 法，没问题不？嗯，它既然回归到第一问了，同学们，那这个角是多少度？在第一问，这个角是不是二 r 法？是三角形 a b c 的 顶角的外角，那再利用三角形 a c g， 它内角和我们是不是也可以快速求出来这个角多少度？哎，这个角也是叉叉，也是九十度减 r 法， 那所以三角形 a c g， 它就是一个等腰三角形，所以我们正完全等之后，接下来就是进行一波导角，这一波导角我们可以得到什么呢？角 g 等于角， a f c 等于角， b f c 还等于啊，这个当然等于九十度减去 r 法，对不对？可以写成二分之一哈， 稍微减，粗略写一下过程，二分之一角 a f、 e 就 等于九十度减去 r 法。然后再利用三角形 a c g 的 内角和， 我们可以求出来角 a c g 也等于九十度减 r 法。好，那现在我们就证明出来什么呢？证明出来我们的 a c 是 等于 a g 的， 那当然也等于 ab 了， 那在这个题目中，还有 e f 是 等于 d j 的， 所以接下来我们就把相等的边在图中标一标，然后帮助我们去找关系好不好？好，我就用绿色来标一标了哈。 来相等的边是谁啊？这个 e、 f， 那 我假设设为是 a 吧，那所以这个 d、 j 就是 a， 那 接下来我如果是 b， a， a、 c 和 a、 g 都是 b， 因为它们三个相等嘛， a， c 也是 b， a， b 也是 b， ok， 那 接下来我们来看看我们要表出的三个线段分别怎么样用 a 和 b 来表出来。首先 a、 c 是 什么？ a， c 就是 b， d， b， d 是 不是就是 b， g 减去 d， g 就是 二 b 减去 a， e、 f 呢？ e， f 就是 a？ ok， 那这个时候我们就得到结论了，也就是 b、 d 应该等于两倍的 a， c 减去 e、 f， 对 不对？ 你看 b， d 等于二， b 减 a 来写一下哈， b， d 等于二， b 减 ab 是 谁？ b 就是 ac 嘛，减去 a， a 是 谁？ a 就是 e、 f， 所以 我们这个结论，或者你写成 b、 d， b、 d 加上 e、 f 等于两倍的 a、 c 也可以。这样我们就把这个题目证明出来了。你看，我们再回过头来想一下这个题目的思路是什么？ 发现绊脚模型的特征，直接利用绊脚模型的常用辅助线做法去帮助我们去解析去。当然里面有一个非常核心的条件，就是这个对角互补的条件，帮助我们去把图形构造出来。接下来就变成我们第一问了。 好在开始的时候红姐也说过，我们也可以向下旋转，当然你也可以尝试将三角形 c、 d， a 旋转到 c、 e 什么的位置，看看能不能解决这个题目呢？也是可以的，那你自己去思考一下吧。

讲一下西城区初三的这个二模题啊，这个几种题。这个几种题的话，就是猛一看有点眼熟，因为他好像是二二年西城区模考的一个题的一个改编啊，但这个题的话我没有在直播课里面讲，我在录播课里面是讲过这种体型，就是录播课里边的这个题。 二零二二年西城区二摩的这个题和这个题的思路基本上是一样的啊，只不过这个题的话就是他出的是一个死图，没有二法，然后西城二摩这个题呢，出的是一个二法的，就带二法的题，而且西城二摩题是把这个题给把这个图给倒了一下啊。好，我们来看一下西城区这个题 怎么说。 ab 等于 ac， 角 b 等于 alpha， 我 们直接看第二吧。啊，第二个就不讲了。呃，然后人家说的是把 cd 绕着点 c 转了一个 alpha， 所以 说中间是有一个 alpha， 这就是一个半角模型啊，这就是半角模型。 对啊，半角模型一般来说在初二出题频率比较高，还有一个是去年初二的出题率比较高，然后去年好像是大兴区的一模吧，好像是一模还是二模？我忘了啊，还有前年东城的一模吧，好像忘了啊， 这个是去年二五年的，这是二四年的，有兴趣的同学可以练一下这三个题啊，练下这三个题。 好，我们来看一下这个题，他说的是把这个 cd 绕着点 c， 逆时针旋转二二法，得到一个 c e， 点 e 在 他的一个下方啊，然后大家说的是角 b f e 等于二二法，这个角是二二法，然后让你求的是 a c， 还有一个是 b d， 还有一个是 e f， 求它们三个线段之间的关系啊，我们说它这个半角模型，半角模型我们要转吗？对吧？因为这个和这个相加是等于 r， 所以 我们可以把上面这个图给它转下来， 对吧？你给他构造一个三角形全等，当然人家题目当中已经明确告诉你是有一个什么，有一个对角互补，大家能看到不？就这个角和这个角相等，它是有一个对角互补，所以这个角一是等于这个角二的，所以说我们只需要延长 延长这个 f e 到 q， 使得什么呢？使得这个 e q 等于 a d 就 可以了，然后连接什么？连接 c q， 所以 三角形 d a c 全等于三角形 c e q 啊，应该是 d a c 应该是 e q a e q c 这题就结束了啊，到这就结束了，因为我们会发现你这两个小角相加是等于二法，然后呢，把它转到下边，这个角也是二法，所以说这两个线之间是个平行关系啊，它俩之间是个平行，而且我们还能够得到什么？ 它俩之间平行完之后，是不是可以得出这个角是一个 r f， 这个角也是一个 r f， 它是个等腰梯形啊，对不对？它是一个等腰梯形啊，是不是可以得出这个 f a c q 为等腰梯形？ 这题一下子就结束了，所以，对吧，我们能够得出什么呢？ f q 等于 a c， 对 吧？ f q 等于什么？ f q 是 等于 fe 加上一个 e q， 这个 e q 等于什么？ e q 是 等于个 ad， ad 等于什么？ ad 是 等于 b d 减 ac， 因为 ac 等于 ab 嘛，这题就秒了啊，就它是一个 fe 加上一个 b d 减去 ac 等于 ac， 所以 最后的答案就出来了， 对吧？这个题就很快就秒掉了啊。因为它是 alpha， 它也是 alpha， 所以 说它俩平行，然后呢？这个地角是 alpha， 这个地角也是 alpha， 所以 它是一个什么？它这个点上提醒啊，就瞬秒了。好，这个题我讲到这里。

看一下这个圆中，这个圆中难度也是不大的，就是我们常考的中规中矩的题型，我相信我的宝贝们应该都没有问题。好，我们来看一下它条件，第一个 a、 b 是 直径，那我们立马就要想到把这个边给他连起来，对不对？好， 然后它 c、 d 都在圆上，且过点 c 作为 e、 f 的 直线，交于 e、 f 两点 o 来了，他告诉我们这条边呢，是等于这条边的等腰三角形，我们干很多事情，比如说边相等，再比如说角相等，对不对？ 好，他又给了我们这个角是四十五度了 a 呀，所以这个时候我们就该去射角传染了，比如说我射这个角是 r 法，那自然而然要正切线。第一问，要证明 e、 f 切线， 我们就要证明这个角是直角，所以就要去感染。那这个角是不是阿尔法？这个角是不是九十度减二法？这个角是不是也是九十度减二法啊？那他有四十五度，咱们是不能得到底角啊，这个角也是四十五度减二法，那么这个角是不是就是多少？ 九十度加 r 法，这是不就是九十度减二 r 法，对吧？好，那么根据我们的外角，这个角是不就是 r 法？所以 r 法加上九十度减 r 法是不就是九十度？对，答案就出来了，那么第一个就非常简单，而且我们把角基本上也传染了，这个角就是九十度减 r 法， 所以在第二问，我们的铺垫也做的很不错的。那么继续他又告诉我们 m n 垂直，那这个时候是让我们自己去做做线。哈，那咱们就做呗。啊，这个垂直，那个垂直刚好跟我们这个线是平行的，对不对啊？然后延长出去 交于他，那这个点假如说他告诉我们了交 n 的 比例关系 什么呢？这个边比上这个边是三比一，那我们就大胆可以射 x 了，这个是三 x， 对 不对？又告诉我们半径是二，因为直径是四，半径是二，很明显的一个勾股定律是不就可以出来了？所以我们的第一步就是用射圆 来进行求边长，即三 x 的 平方加上二的平方，我们算下来 x 是 不是就是二分之一？ 好，那么这个位置是二分之一，这个位置是不是就是二分之三？好，他现在要干什么呢？我们这个边是二，接下来我们要做什么？第一步做出来，第二步是单人节，是传染什么呀？边长吗？ 我们说了 b f， 这是二分之几九，对不对？好，那这边是不是也是二分之九啊？再减去它，所以这边是多少谁知道？是不就是三呐，对不对？ 好，那么这边有了三了以后，我们继续啊，他要求什么？他要求这个位置的 b n， 那 我要求 b n 呢？ 首先他在三角形里面在，但是这个三角形他不是很特殊，所以我们做起来呢，相对没有那么的简单，对吧？所以这个时候我们就要考虑一下把它放在哪里， 那自然而然是把它放在这个大的直角三角形里面，减去我们已经知道的二分之九就好了。说白了我们现在要求什么？ 我们现在是不是要求一下 f n 呐？就是最长的边，对不对？好，那我们要求 f n， 怎么求？就要看他所在的三角形， 那么他在哪个三角形里面自然这个大的。好，那我现在好像还缺点东西。首先我知道这个三角形的三边比值，但是任何一条边我都不清楚，比如说如果我能根据已知条件求出来我想求的 这条边，是吧？那是不是就是最好的了？那怎么求呢？我们说了条件要逐个分析，你目前来看，好像这个四十五度是不是还没有怎么用上？它是一个什么角？它是一个圆 周角，那你应该去找什么角？你是不是应该去找它的圆周角或者圆心角，对不对？所以咱们把这个圆心角给它做出来，那这个角是不是直角？ 那根据这个角也是直角，这个角也是直角，说白了这是个什么？这是个长方形，又根据他这个边跟这个边相等，都是半径都是二，所以他是个什么形？正方形对不对？好，那这个边就是二，那这个边是不是一啊？ 啊？那这个边是一，我们已经得到了，接下来咱们要干嘛？当然是把它放在这个三角形里面去算了。 我们不是说过吗？它的三角形的比值是相等的，或者你可以用 tangent 来算，对不对啊？或者用 sine 去算都可以哈。这个角呢，就等于这个 r r 法，咱们知道啊， hundred， 或者我用什么，我用 sign 吧，我 sign 阿尔法等于刚才的这条边，也就是二分之三比上我们的斜边，也就是二分之五，等于五比三。那同样的，它是不是也可以等于 sign 角 n 呢？ 它是不也就等于我对边二比上这个 o n 啊？就等于三比五呀？所以你这个 o n 是 不是等于三分之十啦？所以你这个 b n 是 不等于三分之十，减去二就等于三分之四啦。 好，所以难度呢？其实没有什么，就是老师说的这三个步骤，大家把你的角你的边想清楚，转化好就没有问题啊。

完美加重吸虫二模的结合综合。在本周六咱们在讲解几宗的时候呢，和学生讲了一个共顶点同线段对角互补有旋转的这样的一个例题。 在题目当中呢，我们知道这个角是九十度，这个角呢是九十度，这条边等于这条边，那么我们就可以把这个三角形啊旋转到这样的一个位置。这是我们周六讲的一个例题， 没想到在这一次西城的二模他也考到了这样的一个内容，这一条边等于这一条边，这个角是二倍的阿尔法，这个角呢是一百八十度减去二倍的阿尔法，那我们就可以把这一个三角形给他给旋转到此处，然后来解决此题， 真的是非常开心啊！好，各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二零年西一城二模的几何综合这道题呢，从我们的角度上来看，第一问可能也会让很多学生，嗯出现一些卡顿的现象啊， 我们根据条件标下角这个地方是阿尔法，这个地方是阿尔法，所以这里呢是二倍的阿尔法。题目里又告诉我们这个地方呢，旋转的是二倍的阿尔法，那我们该怎么入手呢？先找等腰啊，那这个时候我们会知道 dc 是 等于 ec 的， 那你会发现这个角 d 就是 九十度减去一个阿尔法。 好了，大家要注意啊，如果说这个角是九十度减阿尔法，这个角是阿尔法，那此时这个三角形应该就是直角三角形，这个点呢，大家一定要注意。 然后呢，这个思路为什么这么设置，对于第二个有什么样的一个提示和引导，也是咱们需要注意的好，除此之外，我们会发现你这个角是 r 法，这二倍的 r 法，这个角是九十度减 r 法，那么你这个角它也是九十度减去一个 r 法， 至此我们会发现这个三角形，它也是一个等腰三角形，所以 a、 d 等于 ac 等于 ab， 这是我们所说的第一问，第一问理解了清楚之后，那第二问呢？我们就直接用模型就可以把它给秒掉了。为什么叫做共顶点等线段对角互补 有旋转呢？我们会发现你这个角是二倍的阿尔法，那隔壁的角应该是一百八十度减去二倍的阿尔法，此时这个在这个四边形当中啊，就出现了两边相等对角互补的状态，这个对角互补呢，能给我们免费的提供一个角度信息，比如说这个是一 贝塔，这个角就是一百八十度减贝塔，那么我们把 b、 d 这条线给它给延长，隔壁的这个角也就它零补角一定是贝塔。好了，我们此时呢，把这个 c、 f 连接起来之后，大家会发现 在此时这个角是贝塔，这一条边等于这一条边，我们干嘛？我们只要把这个 e、 f 这条边，在这个 b、 d 的 延长线上把它给截取出来，那么这道题咱们就解决了。假设这个点是 k 好， 你就可以直接得到啊，三角形 k、 d、 c 全等于三角形 f b、 c 啊， k d， c 全等于三角形 f、 e、 c 共顶点等线段对角互补有旋转，那么这两个相同了之后，我们怎么进一步的去解决问题？这里边呢？大家要稍微注意一下啊，我们在这里边考察的依旧是角度的信息，哎，你会发现呢，这个时候这个角应该是等于这个角的， 然后呢，这条边应该又等于这条边，我们在里边呢，用绿色的荧光笔给大家呈现一下，那此时这个角应该也是个点角，我们就把这个所有的点角都设为 c， 它这个小黑角是 c， 它这个小黑角也是 c， 它这个小黑角也是 c， 它。 好，你在这个角的附近呀，你能得到什么？二倍的阿尔法，加上二倍的 c， 它等于一百八十度。题目里呢，告诉我们，这个角 b 是 阿尔法呀， 所以你会发现这个角是 cta， 这个角是阿尔法，所以 cta 加阿尔法应该是等于九十度，那么这个三角形 kbc 就是 我们所谓的直角三角形，对吧？所以我们就能得到，根据这个推出来角 kcb 就 等于九十度。好，至此，这道题呢，咱们就可以把它给全部种出来了， 它如果是等于九十度的话，我们又知道什么？我们又知道这个边 a c 这条边它是等于这的这两个边相等， 这个角呢，它应该也等于 c， 它就等于它，对吧？所以我们会发现，就是二倍的 a c 呀，它就会等于我们所谓的 b k， 那 么 b k 呢，是等于这个 b d 加上这个 d k 的 啊，我们 b d 和 啊，我们的 a c 都是需要的，那我们这个 d k 直接替换成 e f 就 行了，它就等于 b d 加上一个 e f， 至此我们就能得到二倍的 a c 等于 b d 加上 e f。 这道题就中出来了啊，非常的开心啊，在考试之前呢，正好讲到了这样的一个思路，也希望能帮助到咱们班的学生啊，能快速解决到这道题。

这个代数综合，我认为他有创新，但创新力度不高。还行啊。好，那其实我们在一模的时候有做过类似的场景，我希望大家把它作为一个重点复习的对象。 首先我们根据题目去分析，我们能够得到开口是向上的，且一式分解一下，这个二次函数得到的是 x 减三， a 乘以 x 加一，那么他的两个与 x 中的交点是不是分别就是他和他？ 好，那么有 y 轴的焦点是不就是它？也就是个点 d， 对 不对？好，那么现在它告诉我们 a 在 b 的 左边，那么我们就要知道谁在左谁在右，那就只需要判断负一和三 a 谁大谁小， 告诉我们了， a 是 大于零的嘛，那 a 等于三 a 是 正的，它是负的，对不对？所以我们的点 a 的 坐标就是 负一等号零，点 b 的 坐标就是三 a， 等号零。好，行， ok， 我 们到这第一问，我不做啊，大家去做一下，很简单。好，那么第二个过点 e 做垂线，那我们就能够得到 m 的 坐标，自然跟点 e 的 横坐标相等的纵坐标给它带进去， 带到这个式子里面去就好了啊。好，那么与直线 b、 d 交于 n， 那 我们先要知道直线 b、 d 对 不对？那我们 b 的 坐标是三 e， 逗号零， d 的 坐标是零，逗号三 a， 那 我们直线 b、 d 的 方程或者说解析式是不就有了 y 等于 x 减三 a 嘛？ 好，那么它继续，它交于点 n， 所以 我们的 n 的 坐标就有喽。读一句话，分析一句话啊。好，那么 t 逗号 t 减三 a， n 的 坐标就出来了。好，那他现在又告诉我们， 已知点 e 从二零开始往某个方向沿 x 轴运动，那它到底是沿 x 轴这样运动还是这样运动，我们是不是不是很清楚啊？ 那你是不是就要分两种情况讨论，比如说它是往右运动的，说明我们 t 的 范围就是 t 大 于零。二，如果它是往左运动的，那我们 t 的 范围就是 t 小 于等于二。这两种情况我们都不是很清楚啊，那就分类讨论吧。他说此时还要满足 b e 的 长度逐渐增大， 那 b e 的 长度逐渐增大，同志们，你们想一想，你觉得是哪种情况？比如说 我们来看一下这种情况啊？这是二三 a 在 这里还是在这里？我们也不知道对不对？如果在这里，我们是不是可以是这么走的， 那他是不是在逐渐增大的？不是吧？那么如果是这样的话，三 a 在 这边的话，那他是不是逐渐增大的？哎，目前来看有可能 啊，有可能是逐渐增大的，所以我们要结合下一问来进行讨论。好且满足 m 的 距离。所以我们先要把 m n 给写出来， m n 写出来，目前因式分解一下，就是这个样子，把它的图像画一下，就是这样的。 满足什么要求呢？随着 b e 的 增大，先变大后变小。注意哦，不是随着 m 呦，是随着 b、 e 的 增大而增大 或者增大而减小。也就说我们要看一下 b 是 不是在增大的。比如说，假如我们现在不知道 a 在 哪里，二在哪里，对不对？我们就讨论。首先零在这里，那肯定是在右边嘛。这三种情况讨论一下，好吧，比如说 a 二有没有可能在这里？ 如果二在这里的话，他往这个方向走，你觉得可能会增大而减，先减小再增大吗？不可能吧，所以这种情况就被我们排除了对不对？ 好，那么接下来就看这个位置了啊，如果是这样的话，那他往这边走，所以他就往右边走，对不对？那他是不是先变大后变小？ a 说明我们谁是符合的？说明我们 m 是 符合的，但是 这个 b e 符合吗？ b e 不 符合吧？ b e 的 距离是不是先减小小到重合了零再开始增大，是不不符合了， 所以这个位置就不错的，所以我们只能考虑在左边的情况下，我们来验证一下是否成立哈。如果他是往二的这边运动的话，是不是先减小再变大？太符合了？没问题，而且 b 的 长度确实是随着往这边走在变大的，也没有问题。 好，所以我们就只有唯一的一种情况，就是说这个对称轴和这个二是对称轴大而二小的情况，最终算下来就是 a 大 于等于三分之四。 所以这道题呢，其实相对来说也没有那么困难，无非就是你讨论一下判断是否都符合题意就可以了。我相信大家应该能做到倒数第二步，那么倒数第一步 还是那句话，有序移动就行了啊。好，那么我们的二十六和二十七就到此为止。

好，昨天的西城二模是刚刚考完数学啊，然后何老师正在录视频的这个档口呢，正在考海淀的二模的数学啊，然后何老师也是抽空看了一下西城的那张卷子，整体卷子难度呢，比较平稳哎，但是有几道题是比较特色的，我们值得重点说一下。 在中考中有四道数学题是比较决定整个试卷的分数的，分别是第一道原宗啊，第二道就是代宗，第三段己宗，第四道新定义。 ok， 这四道题应该是我们比较有区分度的四道题目。今年的西城二部的这个原宗是比较难的，很多家长反馈这道题目是比较非常规的， 后来刚刚看了一眼，确实是，这道题是往年中应该算是历届考了以来比较难的一道原宗的题目，我们明天专门出一个解析来讲讲这道题。 好，然后还有那个题是比较常规的呢，那就是他的这个代宗和几宗考的都是我们刚刚所讲过的这个中考短期班所讲的原模原样的题型。我们拿这个几宗为例啊，考的还是一个三个线段，然后比较关系啊，比较他们的长度关系，这样一个题目， 用我们短期班中所讲的这个特殊情况秒杀法，可以直接秒出来答案，可以通过这个答案呢，去反推他的辅助线，从而做出这个题的证明过程啊。那可以看到下面这个图啊，这个图大概写了一下如何突出答案，以及用它来推导辅助线，最后得到哎，得到答案的这样的一个结果。好，那关于这个我们的最后一轮中华短截班啊，我们还有最后一轮的机会啊。 呃，是在我们的这个校区线下和线上同步直播的，家长们如果有需要的孩子们，如果想在最后突击一下原宗带宗己宗新定义数学这四道题，物理的最后两个压轴题啊。如果有这样的需求的话，可以联系我们的这个视频号啊，我们在后台呢，可以帮你完成报名， 无论是线下还是线上都是九十九元一科啊。欢迎家长们来到现场来考察一下我们的校区以及我们教学质量，也欢迎家长来旁听我们的课程。

我们来看一下 c 乘二模的几宗啊，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 两条红色的线段是相等的 角， b 等于 r 发，马上标一下角度，哎，等边对等角，那我也是 r 发，顺带我要把哎能标的角我尽量的都标出来啊， 那么这一个角是不就是一百八十度减二 r 发呀，那这个外角哎，就等于二 r 发？好，我把第一个三角形都已经处理完了，我继续往下看， d 呢，为 bc 延长线上 b， a 延长线上的一点连接 cd， 并且将线段 cd 绕点 c 旋转，二 r 发，得到 cd。 好， 那么我们得到了一个旋转的角度， 就是二 r 发，并且还能得到两条相等的线段，就是 c、 d 等于 c、 e。 我 们来看括号一，如图一， 当点 e 在 线在 a、 b 上时，求证点 a 是 b、 d 的 终点，哎，想求点 a 是 b、 d 的 终点， 说白了，我就是要求证 ab 等于 ad， 对 不对？好，那么接下来我们来观察一下点 a 啊，因为点 a 是 主角嘛，对吧，我先看一下它，哎，点和点 a 相关的有两条线段，一条是 ab， 一 条是 ac， 它们两个已经是相等的了。那好，如果我要是证明这个 a、 c 呢，还等于 a、 d 的 话，那我的点 a 是 不是就是 b、 d 的 中点，对吧？ 想要求证 a、 c 等于 a、 d， 说白了，我就是要去证明三角形 a、 c、 d 是 一个等腰三角形，对不对？哎，或者有的同学说，老师，我看这里很像九十度啊，那能不能去用斜边中线呢？ 无论你用什么，说白了，第一问，是不是都是倒角啊，对不对？哎，那么我们就去倒一下角呗，好不好？ 好，我们来看一下啊，因为啊，咱们的，呃，这里是二 r 发，对吧？ 呃，然后呢，我们的旋转角度是二 r 发好，那么说明我的这两个底角是相等的，因为 c d 等于 c e 嘛，所以每一个底角的度数都是九十度减 r 发， 这里也是九十度减 r 法啊。接下来我们来关注三角形 a c、 d， 因为这里是 r 法，这里是九十度减 r 法，所以我想求得这个角的角度的时候，我就用一百八十度减 去它，再减去它，那么我也得出来这个角的度数是九十度减二而发等角对等边，所以 a d 就 等于 a c 了，对吧？哎，你的 a d 等于 a c， 你 的 b a b 也等于 a c， 所以 我的 a b 就 等于 a d 了。那第一问，点 a 是 b d 的 终点，我们就非常 easy 的 就求出 好，我们来看第二个问，如图二，当点 e 在 b d 的 下方的时候，点 f 在 ab 上，若角 b f e 等于二 r 发。好，这里是二 r 发，用等式去表示 a， c， b， d 还有 e、 f 之间的数量关系，并证明。那么我们这三条线段的数量关系啊，通常是两短等于一长，对吧？ 那么这道题我用肉眼也知道啊，我肯定是两条短的，是要大于一条长的，对不对？哎，那到底它们之间有什么样的数量关系呢？我现在有点猜不出来，猜不出来的时候，请你再整理一下题干的信息， 把该标的去标出来啊，看看题干能给我什么。首先， ab 等于 ac 角 b 是 等于 r 发的，那说明我这个角也是等于 r 发的。 然后 c d 又等于 c e 两条蓝色的边相等，并且 c d 和 c e 之间的角度是二 r 发，哎，坐到这的时候，请你停一下吧， 关注一下，中间的这个小角是 r 发哎，外面的整个的大角是二 r 发，你会发现，哎，这不是一半的关系吗？也就是我们所谓的绊脚模型，对不对？哎，遇到绊脚模型的时候，那我应该怎么去做辅助线呢？ 因为我们北京的中考是必须要求这个三角形的全等的，对不对？那给了一个绊脚模型，我们应该怎么去做全等三角形呢？来，老师把这个绊脚模型拆到这里啊，来，大家一起看看， 我两条红色线段之间的夹角是 r 发，两条蓝色线段中间的夹角是二 r 发， 你会发现，哎，这是我们的 r 发，等于二 r 发的一半，所以叫做半角模型，并且这个二 r 发被拆开了，中间占了一个 r 发，剩余的 r 发被拆成了两个部分，对不对？ 好，那么我们令其中的一个小角为点角，另一个小角为叉角，那么我们应该怎么去构造全等呢？孩子们， 半角模型其实就是在提醒我们去做旋转呢，什么意思哎，我这里有一个完整的 r 发，如果我把这个点角和这个叉角，他俩也等于 r 发，把他们两个合到一起， 我是不是我这两个角就相等了，对不对？哎，那我应该怎么去合呢？孩子们，也就是我要把上面的这个三角形哎旋转到下方来，对不对？这样我就能构成全等三角形了。那我们来看一下怎么去旋转。 首先这有一条蓝边哎，那么我让这条蓝边这样逆时针的旋转，和这一条蓝边重合，嗯，然后呢，我让 这个三角形啊里的这条红边呢，也这样逆时针的旋转啊，然后来到了这里， 大家看一下啊，我让他，哎来到了这里，好，然后我再去连接这两条线段的端点， 我们来看看这两个三角形是不是就是完全全等的了，而且这里，哎，这里的叉角现在已经转化到这里了， 那么点角加叉角是不是等于 r 发呀？对吧？那么我的这个 r 发角就做出来了，并且 我我第一个啊，是让点角和叉角合成了一个整个 r 发，而且我做出了两个全等的三角形，这就是我绊脚模型的一个做法啊，那好，回到这个题，我也是这样啊，假设这里就是一个 点角，好吧，那我用别的颜色去画啊，这里是一个点角，这里是一个叉角， 整个为二 r 发，中间为 r 发，那说明，哎，我的点和叉加起来等于 r 发，对不对？好，那么我现在遇到绊脚模型，我的想法就是让我的点角和我的叉角 是要组合在一起的，形成另外一个 r 发酵，对吗？那我应该怎么去做辅助线呢？因为我要旋转呢，我要使得这两个三角形是全等的呀，对不对？哎，那么所以我做辅助线，我可以延长 f e 之 k， 使我的 e k 是 等于 a d 的， 对不对？好，那么我的这一条蓝边 c d 是 不是已经旋转到 c e 的 这个位置了？ 好，那么现在在这两个三角形中，有两条边是相等的，一组蓝边，一组 a a d 和 e k， 现在还缺一个角，所以接下来我就是要进行倒角了，对不对？好，那么我把能标的角我现在都标出来，好不好， 我们来看一下啊，因为它等于 r 发，它也等于 r 发，所以作为外角的这个角，它是等于二 r 发的，对不对？好，那你这个角呢？是 r 发，这个角是二 r 发，那么我们的这个角第三个角 是不是就等于一百八十度减三 r 发，对吧？对，顶过来这个角也是一百八十度减三 r 发。好，那么这一个角我应该怎么去求呢？这一个角是不是整体为 二 r 发呀？对吧？哎，你要减去中间的这个 r 发，还要减去点角，那也就变成了 r 发减去一个点角。 好，那我们来看一下啊，这一个角，哎，这一个角是不是一，他是他等于一百八十度减三 r 发，再减去啊，再加上 r 发减点角，对不对？ 所以他得出来的是一百八十度减去二 r 发，再减去一个点角， 好，我把这写在外面吧。啊，这个角度等于一百八十度减去二二发减去点角，那么我们这个角呢？大家看看，你这里呢？是二二发，对不对？这里是点角，所以这个角也等于一百八十度减二二二发，再减去一个点角， 所以，哎，我们的这两个角也相等了，那两组边相等，两组角相等，所以 a s， a s 这两个三角形全等了，对不对？好，那么这两个三角形全等了之后，我把没必要的辅助线给它擦一下， 这两个三角形全等了之后，咱们就能得，哎，这个点角是不是等于这个点角，对不对？哎，那刚才这里是叉角吧，对不对？你的叉加点是不是 r 发呀？ 然后这里是提利给我的 r 发，所以我整个的这个大角就是 r r 发啊，整个的大角就是二 r 发， 我再重新画一遍，啊，整个大角是二 r 发。好了，那么因为刚才全等，说明我的这个角和我的这个角也是相等的，对吗？你刚才的这个角，它不是等于 r 发加上 r 发吗？对不对？它等于二 r 发，那么这个角也是二 r 发。好，现在同学们关注一下啊， 你等于二二发，我也等于二二发。并且孩子们，刚才啊，这里是二二发，这里也是二发，二二发。所以我们出来了两条线段是平行的， 对不对？哎，两条线段平行，并且我们这个角也是二二发，哎，两个底角还相等，这是不是出现了一个等腰梯形啊，对不对？哎，等腰梯形的底角相等，并且两条腰是相等的，那也就是说明我的 f k， 我把它重新描一下啊，我的 f k 就是 等于 ac 的 啊，我的 f k 是 等于 ac 的。 那有的同学说，老师啊， 我这这老师能用吗？我也没学过这等腰梯形，这这两条边相等，我不知道能不能用。那如果你觉得不能的话，咱保险一点啊，咱可以这样去做， 我做两条垂线啊，也就是从点 f 出发，哎，向这里向 c k 做一条垂线，从点 a 出发，哎，向我的 c k 去做一条垂线， 那么我们来看，这里是垂直，这里是垂直，并且呢，我的 b d 还平行于 k c， 说明上面的角也是相等的，对不对？ 那也就得出了中间的这个四边形是一个矩形，对吗？矩形我们可以得到的就是边是相等的，对不对？哎，矩形的对边是相等的。好，我把这里面给他标上字母， 也就是能得出我的 f m 是 等于 a n 的 啊， f m 是 等于 a n 的， 并且我这里有一个二 r 发，这里也有一个二 r 发，还有直角，那么我的这两个三角形也就是全等了啊，也就是咱的 f k m， 哎，也就全等于 n c a n c 了啊，这两个三角形全等，那你看是不是就解决了刚才咱们的疑问，就是 f k 和 ac， 如果我不能用等腰梯形去说明他俩是相等的，那么我是不是可以用全等三角形就能得出来这两条边是相等的了，也就是 f k a 就 等于 ac， 那所有该证的我都证完了，接下来我就可以干什么了，开始去导边了呗，对不对？我们来看，因为结论边里有 b d， 那 么我们先来看一下 b d 等于什么？ b d 是 不是等于 ab 加上 ab 啊，对不对？哎，好， ab 又等于谁呢？往结论边上去看啊，结论边里有 ac， 所以我赶紧把 a b 给它换成 a c， 对 不对？那么此时我的 b d 是 不是就等于 a c 再加上 a d 了，对吧？但是我的结论边里并没有 a d 是 有 ef 的， 那所以我需要把 ad 换成和 ef 有 关的，对不对？好，因为刚才三角形全等，我们能得出来 ad 是 等于 e k 的， 没问题吧？所以第一步我先把 ad 换成 e k， 那 么 e k 又等于谁呢？ e k 是 不是等于 f k 再减去 ef 啊，对不对？哎，也就是这里是 f k 啊， f k 减去 ef， 嗯，好，那么 f k 又和谁相等呢？我们第二次全等，是不是证明了 f k 是 等于 a c 的 呀？ a c 正好是结论边需要的哎，所以我把 f k 又换成了 a c， 那 么此时我的 e k 就 变成了 a c 减去 e f， 对 吧？那么接下来我就把所有的最后的导边的结果写出来， b d 也就等于 a c 再加上 a c 再减去 ef， 那 最后的结论是不是 b d 就 等于二倍的 a c 减去减去 ef？ 那 么这道题我们就做。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

北京中考数学的选择压轴题很看重技巧，因为从二零二三年开始，这道题型就改成了从一系列结论中选出正确结论序号的这种形式，这种形式就有很强的推理技巧存在。 出题老师在出题的过程中也会考虑到学生可以使用技巧，因此有些选项故意设置的比较难，而我们可以绕开它。如果你没有使用技巧，很容易产生浪费时间的现象。以西城二模的这道选择压轴题为例，我们看一看。首先第一个 结论是比较容易判断的，我们通过观察 m 点，从 a 点运动到 b 点，再运动到这个外轴上交点，这个过程中间这条线 o b 最长，也就是 m 和 b 重合，此时比较容易算出来它是长度为二，因此第一个结论正确。此时我们要结合选项了，这是我们讲的常用技巧， e 优先结合选项。因为通过观察选项，我们发现一和三、一和四是搭配的，没有和二进行搭配， 二不用看就知道 b 错，然后三和四不要着急，从三开始，我们经常讲你要去选那个比较容易下手的选项开始观察可得。三是反比例函数问题。大部分同学对于反比例函数，它的熟悉度不如纯几何，因此我们可以优先从四 入手观察四这个选项。第一个 d 大 于 b， 说明啊 m 点不可能在这一段，否则它的坐标就比 n 高好，那因此 o m 和 o n 都只能在 a b 上， o m 又等于 o n， 说明什么？找到对称轴，一个是 o n， 一个是 o m， 他 俩必然对称，只有这样才能够满足他俩相等。由此我们就可以得出这两个点他俩的纵坐标相加 等于中间的这个点 p 的 纵坐标二倍，他俩的横坐标相加等于中间这个点 p 的 横坐标的二倍，而这个 p 点的坐标很容易判断， 它的横坐标是二分之三，因此 m 和 n 的 横坐标之合就是三四是对的。由此我们快速选出本题答案为 b。 这就是我们常讲的常用技巧，一是优先选择易判断的结论，二是结合选项进行判断。 类似的技巧在我们的元东带东、几东新定义中都大量出现，大家只有把这些技巧掌握了，在考试中才能更好更快的做出这些题。

这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。

题目读也读不懂，算也算不出啊，这是很多同学在昨天考完西城区出现二模之后对于填空压轴题的一个最直观的反馈。 当然我们今天呢也给大家呢来深度的拆解一下这道题目啊。这道题目确实啊有几个难点，首先第一个就是读题上面呢这个信息量太多了啊，有点迷惑人，看一下啊， 他说啊，某商店共有 a 种不同型号的口罩，每种型号的口罩呢都有红白蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格五十，白色的 m， 蓝色的呢 n 哎，这里面已经出现了三个变量了啊。 第一有 a 种不同型号的口罩。哎呀，其实大家理解这个什么叫 a 种不同型号的口罩啊，你就可以理解 a 种不同品牌嘛是吧啊有有什么这种品牌那种品牌啊，我们总共有 a 种不同的品牌，你要理解型号很麻烦的话啊 啊，但是呢呃，这个每一个颜色的价格呢是一样的啊，白色的是五十块啊，然后呃，那个红色的五十块，白色的呢 m 蓝色的呢 n 好， 并且呢 m 跟 n 呢是变量满足哎，六十六到七十四之间 m n m n 都是整数啊， 都是整数。那好，他说甲乙丙三家公司呢各买一包每种型号的口罩，你就想把每个品牌全都买一遍啊， 每个品牌都要买一包，并且对于每种型号的口罩三家公司选择的颜色各不相同啊，你这个甲买了白色，那么一根丙就一个要分红色跟蓝色对吧？好，结账的时候呢，总共花了一千二和一千四 好，第一个呢，我想呢还是相对来说比较容易处理一些啊，但在这里面呢，大家读完了之后，你会发现，从这个提干给我们的信息的角度上来讲，有几个部分的信息啊， 啊，有四个部分信息，第一有 a 种不同型号的口罩， a 是 多少不知道。第二，每种型号不同颜色的单价是多少，我们也不清楚，对吧？呃，然后呢，这个 m 跟 n 具体是多少，那么这两个变量不清楚 好。第三就是我们只知道他们最终结算所花的总的价格，实际上也并不清楚哪一家买了多少种颜色的，什么这种口罩，那种口罩都不清楚，所以呢，大家读完了之后呢，就一个字啊，就一个感觉乱啊，就是信息太多了，搞不清楚在哪里。 好，我们想一下啊，如果你把型号理解成品牌的话呢，就是从第一种品牌总共有 a 种品牌， 它们呢分成了这个红色的，白色的，蓝色的，总共三种，并且每种的单价五十 m n， 对 吧？好，那么大体上呢，我们可以简单的列一个小小的表格，辅助我们来理解一下啊，辅助我们来理解一下，好，并且每一种型号呢，每个人每家对应的颜色呢，可能呢是不一样的， 所以呢，我在这呢提前跟大家说一下，就是如果同学们觉得说老师我对于这种信息量非常大的问题呢，我处理起来我感觉非常的困难，那么咱们呢， 可以简单的呢，画一个表格，辅助同学们来理解啊，我们画一个表格，方便大家来理解啊，大家感受一下啊。 好，那么在这里面呢，就是第一种型号的，第二种型号的，一直到第 a 种型号的。好，那么并且呢，呃，每一种型号呢，都具有红呃， 白和蓝三种不同的颜色。好，我们假定这个呢就是红色的啊， 然后呢，这个就是白色的，然后呢，这个呢就是蓝色的，并且每一种单价是不一样的啊，红色的五十，白色的 m， 对 吧？红色的是五十啊，白色的是 m， 蓝色的呢是 n。 好， 大概呢就是这样的一张表格，可以辅助我们去理解，但当然 最终剪辑的时候不一定要用的到它，但是我们自己呢要清楚啊。好，现在呢，呃，我们并不清。呃，然后呢三家公司呢？就对于同一种型号颜色各不相同， 比如说啊，我们就对于甲，呃，甲而言，假如说甲在一号一第一种型号的口罩当中他选择了红色，那么乙跟丙啊，就不可能选红色，对吧？假如说这是假的，但是你也可以画出乙和丙的啊，无所谓啊， 那么也就是说在这里面呢，我们也可以通过勾啊圈啊来表示，但大家也知道，我这么每举呢，主要是为了方便同学们理解，并不是只是为了解题啊。好，那么接下来我们来看一下具体的问题啊。第一个问题， 他说如果 m 等于六十九， n 等于七十一，这个我们太清楚了，对吧？啊，对于第一种型号的口罩，肯定有一个人买嘛，有一家公司买嘛，谁买无所谓啊，那么他问 a 等于多少 啊，就是总共有多少种不同型号的口罩，那我们知道每一种型号的口罩总共被买了几次啊？三次，因为它有三种颜色嘛， 对吧？第一种型号的口罩其实被买了三次，因为就是甲乙丙，那可能各有一个啊，各有一种对不对？比如说甲买了它，那乙买它，丙就买它好，所以你会发现在这个表格当中就是甲乙丙随便排啊，随便排 好。那么因此我们对于第一个问题呢，就很简单了，我们知道每一种型号的口罩的总价就是 这么多，是吧？那么每个都被买了三次啊，就是总价就是这么多。然后呢，有 a 种啊，那么最终要等于多少呢？因为他们总共花费是一千二乘以二，再加上一千四好，所以这个呢，算一下啊，这个很好算，是吧？ a 呢，应该等于二十 好。第一个空呢，我相信呢，大家呢都没什么问题。第二个空啊，同学们也知道，其实这东西是干嘛呢？其实这个东西呢，你可以理解成啊，就是一个不定方程，为什么？大家感受一下，他说现在啊，丙购买的口罩包含有三种颜色， 那丙购买的口罩包含三种颜色，就是红、白、蓝，他反正他都买了，那么他说丙用于购买白色跟蓝色口罩，最多一共花多少钱？咱就说如果你在考场上，当然大概率啊，同学们在考场上完全来解这个题目，其实挺麻烦的啊，不太好处理 啊，不太好处理，但是如果你只想猜答案，你说没招了，没招了，那你肯定想嘛，最多最多就多少？一千三百五， 要说为啥啊，因为饼总共花了一千四百元，是吧？饼总共花了一千四百元， 而其中呢，呃，每种颜色都有，所以我们就想你要舍得白色跟口罩啊，白色跟蓝色用的费用最多啊，那我就另白色的什么那个红色的什么最少呗？红色最少要有一个，因为红色口罩的价格是五十万，对不对？红色最少要有一个， 所以那最多就说就是一千三百五，这就是我们讲的叫什么叫理论上的最大值啊。但是呢，理论归理论吗？就考场上你没招了，你就填一个这个啊，当然了，咱们不能没招了是吧，但也得有招啊，所以我们现在只考虑什么呢？只考虑饼， 只考虑饼，那我们知道饼啊，他要购买三种颜色，那我们就假定白色还有呢？蓝色还有呢？这个红色 啊，因为我们知道红色的单价是定的是五十啊，但是白色的单价呢？跟蓝色的单价呢？不知道这是第一个。第二个的话呢，就是我们其实也不清楚到底 a 在 第二问当中等于多少， 大家能理解吗？因为你第一问当中 m 跟 n 定了，所以我知道 a 是 多少，但在第二问当中你知道 a 是 多少吗？啊？这是第一个难点，就是 a 等于多少，并不清楚 第二个。如果我们知道了 a 等于多少，接下来怎么处理呢？啊？那你想一下，就是总共有多少种不同的型号，我们还得处理一下，要使得最多花费多少钱，我们在这里面 m 跟 n 还是不定的。不定方程有什么方法？唯一方法？什么方法 没举法啊？不定方程的整数解问题，唯一方法就是没举法。好，我们先来解释一下，那么 a 呢？其实恒定等于二十，为什么？大家感受啊？ 通过 d 我 们知道我们不管呃，这个最终呃， m 跟 n 是 多少，那么每一种型号的口罩 它都需要啊，呃，花费多少钱呢？就是五十加 m 加 n， 就是 每一种型号的口罩，对吧？当然现在有 a 种型号的口罩，总共呢，还是一千二乘以二，再加上一千四，那么这个数字什么意思？ 反正每一种型号的口罩，呃，所用的总花费就是五十加 m 加 n 啊，并且呢，这个，呃，这个 a 呢，是个整数， m 跟 n 呢，也都是整数，其中它告诉你 m 它是有范围的啊，六十六到七十四之间， 大于等于六十六，小于 n 小 于等于七十四，所以其实 m 加 n 这个值的去除范围就有了，对吧？哎，应该是严格的，大于多少？一百三十二， 就是 m 跟 n， 即使都取到六十六，那他就是一百三十二，当然不能都取到啊。好，那么这个呢，小于多少呢？一百四十八，好注意啊，整数啊，我们刚刚就跟大家强调过了，这是一个非常典型的不定方程的问题啊， 是吧，未知数的个数比方程的个数来的多好，但是呢，是不定方程的整数解问题啊，不定方程的整数解问题，所以方法就是什么媒局法 啊，没举法，咱们在初一的时候其实就讲过这种类型的问题了。好，那么当然 m 跟 n 都是整数，所以其实这里的 m 加 n 再加五十啊，其实他就只有限定的范围，对吧？当然我们说这个范围呢，应该在一百 八十二到一百九十八之间，理论上来说， m 加 n 呢，加五十呢，这个值呢，它能取到一百八十三呢，一百八十四啊，噔噔噔噔，一直到一百九十七， 但别忘了啊，因为后面这个值呢，恒定等于多少呢？三千八，后面这个值恒定等于三千八。所以同学们想一下，看看你这里的 m 加 n 加五十 能取到一百八十三吗？啊，不能啊，因为如果你取到一百八十三，他能被三千八整除吗？不能啊，因为这个是整的， a 也是整的啊，所以其实大家算一下就知道了，这个里面呢， m 加 n 加五十啊，他其实只有唯一的值多少啊？一百九， 只有这个数值可取啊， a 呢，只能等于二十，他只能取到这个数值，他取不到其他的情形了。理由呢，也很简单，就是我们说的他是整数解问题，我们说了整数解问题，你没有什么别的技巧啊，唯一的技巧呢？就是 啊，不断的每取好，只不过呢，这些数字相对比较好看，你比方说你能被三千八整除，对吧？那你还你不能取个一百八十三，一百九十七吧，是吧？那这个有点离谱了啊，有点离谱了 好，现在呢， a 呢，等于二十，我们就知道了，也就是说跟第一问一样，还是有二十种不同的型号。那么现在的问题是，我们要使得花费白蓝的钱最多，接下来怎么样呢？还得枚举，因为你知道白色有多少个啊， 不知道，蓝色买了多少个也不知道，红色买了多少个也不知道，对吧？好，所以我们接下来继续每句，就是如果我们要使得啊，白蓝，他的总价 最高啊，或者说最多，则我们要说的白蓝最多，那么就是红的怎么样呢？红色一定要最少 啊，红色的一定要最少，当然最少为几呢？为一，那我们在这边多说一下啊，红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一， 并不是说你到这就结束了，因为你红色为一，你需要检验一下这种情形是否成立啊，这种情形是否成立啊，同学们能理解这意思吧，你要检验一下这种情形是否成立， 因为你，你虽然算出来了 a 等于二十，但是红色为一的情况是成立的吗？能够满足 m 跟 n 取到某些整数，然后呢，白色跟蓝色也能取到某些整数，刚好使得饼花了一千四百块吗？ 啊，所以在这里面呢，很多同学可能算出 a 等于二十之后啊，非常的欣喜说，嗨，太好了，总数二十，红色为一，所以白色跟蓝色总共就是十九啊，然后呢？巴拉巴拉啊，就是，所以呢，一千三百五就拿一千四减掉五十就可以了。好， 这种想法呢，只能说啊，出题上还是算是稍微仁慈了一点啊，那他令这种情形刚好是成立的，那万一不成立呢，是吧？好，我们接下来就要解释一下，理论上来讲，这就是理论上白色跟蓝色能够花费总价最多的情形 啊，对吧？花费最多的情形。好，那我们继续可以令，白色有 x 个，则蓝色 有十九减 x 个有，总数二十啊。好，其实这些部分呢，都是检验，因为你前面算出来 a 的 总数是二十，理论上面来，下面就是， 这叫检验，理论上面来讲呢，就是，呃，总价最高就是一千三百五啊，就是一千三百五，但是这个是理论，我们要检验一下这个理论是否正确啊，接下来的核心是什么？那核心还有什么呢？ 继续列呗，是不是他不告诉你白色的价格是多少 m 吗？是吧？蓝色的价格呢？是这个 n 吗？所以就是 m 个 x 加上 n 个啊，十九减 x， 然后加上五十等于一千四， 就是我们要检验这种情形， m， n， x 是 否都有整数解啊？要检验 m， n、 x 都为 正整数，我们要检验的就是这个事情，就是他们是不是都是有正整数解的好，当然这个还是一个什么方程不定方程问题， 是吧，在这里面呢，你会发现，嗯，这个看起来也很讨厌，为什么呢？ x 是 一个变量，就是我不知道白色有多少个啊，然后呢，这个 n 跟 m 呢，也是变量，但是别忘了哦， m 加 n 是 个定值哦，多少啊？ 呃，一百四对不对？好，我们继续在后面写一下啊， m 加 n 等于多少呢？等于一百四 啊， m 加 n 等于一百四。好，那么在这边呢，我们在旁边啊，给大家呢，稍微来解释一下，因为前面呢，我们算出来了， m 加 n 加五十只能取一百九，也就是 m 加 n 等于一百四。但我们进一步的想要说明一下， m 加 n 等于一百四，看起来呢，是两个变量，但是同学们也要知道， m 跟 n 是 正整数，并且具有大小关系， m 小 于 n 啊，小于等于七十四，它大于等于六十六。好，所以其实在这里面啊，这个本身 m 加 n 等于一百四，本身就是一个不定方程，当然这个不定方程，我们知道它一定是有有限个整数解的 理解吧，就是 m 最小最小取六十六， n 呢就取七十四， m 取六十七，他呢七十三， m 取六十八，他呢取七十二， m 取六十九啊， n 呢取七十一， 它呢取七十一。当然还能继续吗？不能啊，因为你要保证 m 怎么样啊， m 是 小于 n 的 啊，因为你再往下就是什么了，七十七十了，这种情形肯定就不满足了嘛，是吧，七十七十就不满足了啊。 ok， 好， 所以我们知道，其实呢， m 加 n 等于一百四啊，这本身也是一个不定方程，所以呢，它还是没举，那么最终没举完了呢， m 跟 n 呢？只有这些数值对吧？ 好，那么当然我们在这进一步的就可以把它变成为 m 倍的 x， 加上 n 是 多少呢？一百四十，呃，减去 m 倍的十九，减 x 等于一千三百五。好，这还是什么？ 两个变量，那我还是要什么整数解问题，当然在这呢，就可以开始 依次枚举了啊，就可以开始依次枚举了，比如说，因为你在这里面呢，我们就把它变成了单个变量，就是，呃，这个 m 跟 x 啊，所以呢， m 的 值呢，我们只要令啊，接下来继续检验，如果令 m 等于六十六的时候，那么上面的数字变成什么了呢？就变成六十六倍的 x 加上七十四倍的十九，减 x 等于一千三百五。哎，这个时候是不是就变成单变量了，对不对？ 好了，那么因此呢，我们可以稍微算一下，就是六十六倍的 x 加上七十四倍的十九减去 x， 所以 这里面的 x 的 取值呢，可以算一下，是吧，大家就变成了，六十六七十四乘以十九 四九三十六，进三七九六十三，六十六，呃，进六一四七六零一千多少呃，一千四百零六，一千四百零六，减去一千三百五等于六五十六，五十六，前面是八，所以 x 等于七，当然 n 呢，等于七十四。哎，这种情形他就满足要求了，对不对？ 它就满足要求了。当然了，你可以再令 m 等于六十七的时候，行不行呢？好，它就变成了六十七倍的 x， 加上七十三倍的十九，减 x 等于一千三百 五十。好，同学们可以算一下，它没有整数解啊，依次类推， m 等于六十九的时候呢，它呢也是不成立的。 好，所以你会发现，在这种情况下呢，我们至少可以找到满足要求的整数解，即有七个白的，当然了，十二个蓝的，一个红的，使得当 m 等于六十六， n 等于七十四的时候，它是可以满足要求的。 因此，我们的理论最小呃，最大值一千三百五是完全可以成立的啊， 答案呢，就一千三百五。当然，实际上，如果这道题目更严谨一点来说啊，还需要再去论证一下，当你 m 等于六十六， n 等于七十四， x 等于这个七 啊，然后这个呃，蓝色的就是十二红色的一的时候，那么是不是还可以保证 啊，就是甲根乙也能凑出一千二啊，也能凑出一千二。但是说实话啊，就是，其实到这为止呢，我们就没有必要再继续算下去了，因为我们算丙的，这种临界情形呢，已经能够论正，我们把这几个整数解都能找出来了，对吧？其实你没有必要继续论正了。 当然，如果你要严谨一点来讲，还要再论一下甲根乙是否也能满足要求啊，但是这道题目到字为止已经很复杂了，同学们真心讲，已经很复杂了，你还要再继续往下论真，我的天呐，那得论真到什么时候呢，是吧？ 当然这道题目我们说了啊，就如果你要大胆猜想，你说，哎，第二空咱也不会啊，没招了，就猜一个多少，一千三百五啊。 那么多说一句，这道题目呢，跟去年朝阳区初三二模还是一模呀，一个那个排队问题，什么有男生女生跟老师排成了一个什么正方形，其实也是不定方程， 所以我们在这里面呢，核心呢，只想跟大家强调一下，第一个，对于多个信息量的问题呢，同学们可以通过表格辅助自己理解。 那么第二个呢，就是我们对于这种不定方程的问题呢，要不定方程的整数解问题呢？没有什么别的技巧啊，就是不断的去枚举。 那么多个变量呢，我们的核心呢，就是消元，对吧？所以总的来讲就是三个核心的要素，第一，多变多信息量的问题，通过数据表格来辅助理解。第二，不定方程的整数解问题，我们可以通过枚举法。第三， 就是对于多变量的问题，什么 m， n 呐， x， y 啊这种啊，多变量的问题的核心呢，是消原， 找到两个量之间的等量关系，然后呢进行啊，这个消原是吧，那么最终变成单变量求解就可以了啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家呢解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！