2026青岛中考数学考圆的证明题吗

元神启动，嘿嘿，当然是这个元了，归元的中考八大必考题型，咱们今天一次性讲透初中几何，我们不再丢冤枉，分元的通关秘籍，我们正式开启。在我们元中必考的有垂筋定力和我们的圆周角定力。 当然，在我们元中计算与证明呢，常见的有三种，分别是勾股定律，相似于三角函数，那么偶尔呢，他也会怎么样？给你耍阴招对吧，让你使用等面积法。除此之外呢，很多题可能需要你自己主动构造，辅助圆来进行几何的求解。最后呢，这个圆还有可能跟函数结合。 首先第一个垂径定律，那么首先告诉你， a、 b、 b、 c 呢，是圆的两条弦啊，就在这里，现在 a o 垂直， b c 啊，就是 a o 呢，跟 b c 垂直，那我们知道根据垂径定律呢，你这个 b、 d 一定等于 c、 d 的。 好，我们继续往后， 那告诉你圆的直径数，直径数，那就知道半径是二点五了。好，问题来了， b、 c 等于四， 我们刚刚说你整个 b、 c 被平分，也就是这个边是二，这个边也等于二，对吧？好，现在让我们求 a、 d 整个高等于多少，你这个是二点五嘛，所以我们这要求 o、 d 就 可以了，怎么求呢？ 哎，我们连接 o b， 因为圆的半径是二点五，对吧？所以你会发现，喏，在我们这个直角三角形中织到斜边，织到直角边，你用勾股定律，我们可以求出 o d， 这个边长度等于一点五，所以整个呢？ 哎，相加，我们求出来 a、 d 的 长度为四，选 c， 搞定 好第二个和圆周角定理相关的计算。首先我告诉你 a、 b、 c、 d 呢？啊，内接圆 o， 也就是 a 点 b 点、 c 点、 d 点，四个点在圆上，那圆的内接侧变形，我们知道对角互补啦。好， a、 b 是 圆 o 的 直径啊，你是直径。哎，我们又知道直径所对的圆周角九十度， 好一点在圆上，也就是在这里好像没有什么特殊性。现在我告诉你一个条件，就是我们的角 a、 d、 c、 a、 d、 c 是 哪个角？就是这个角等于一百二十五度，对吧？现在让我们求角 bc， 求哪个角 bc 啊？就是让你求这个小角度数，对吧？这个怎么处理呢？首先我们知道 a、 b、 c、 d， 它是个大大的圆的内接四边形，对吧？所以我们知道对角互补嘛，你这个角一百二十五度，用一百八减去它，所以我们求出这个角呢，一定是五十五度。 那你这个五十五度怎么用的？哎，我们这样连接 a、 e 就 可以了，连接它有什么好处呢？首先你会发现呐，这一段弧 a、 c 所对的圆周角是五十五度，所以你这段弧 a、 c 所对的这个圆周角，它也是五十五度，没有问题吧。那么除此之外，你要知道 a、 b 是 直径，记不记得 a、 b 直径，直径所的圆周角一定是直角哦，整个大角九十度，九十度拿走五十五度，所以我们要求的这个角呢，也就是三十五度啦，搞定哎，所以这里我们选 d 选项，挠 好，来到我们圆中的计算与证明，也就是圆和勾股定律了。首先告诉你，三角形 a、 b、 c 的 顶点在以 a、 b 为直径的半圆上，以 a、 b 为直径画个半圆啊，你会发现 a 点、 b 点、 c 点都在圆上。 好，现在过 c 点的切线哦，过 c 点，咱们画了一条切线，我们立马想到，如果你连接 o、 c， 对 吧？ 哎，根据切线的性质，你这个角一定是直角啊，也就九十度，对不对？好，过 c 点的切线啊，过 c 点发射一条切线，那么根据切线的性质，我们知道连接 o、 c 呢，这个角一定是直角。好，我们继续往后了。好，这条切线干嘛呢？跟这个 ab 的 延长线，它交于 d 点。哎， 好，过 a 点直接做 c、 d 的 垂线，我们过 a 点做整个切线的垂线，垂足呢，是我们的 e 点。好，给你标出来了。好，第五步，让我们求证 ac 平分角 e a d， ac 平分角 e a， d 也是怎么样？求证，这两个角相等，对吧？好，这两个角等不等我不知道。好，在这里面，我首先令，这个角是 ar 法，可以吗？因为你是半径吗？ oc 是 半径， 你也是半径了，所以 a、 o、 c， 你 是个等腰三角形，你这个角 alpha， 所以 我们知道这个角也是 alpha， 对 吧？好，那然后呢，你会发现，这条线它垂直于切线， 这条线它也垂直于切线，因此这两条线是不是平行？平行线能告诉我们，就是内错角相等，你是 alpha， 所以 这个角呢，也是 alpha。 喏，你等于我，我又等于他，所以咱们这两个角相等，因此你会发现 a、 c 平分。 搞定。好，接下来我们看第二问，告诉你 c， d 是 四啊，就这个边是四，然后告诉你 b、 d 呢？也就是这个边等于二。干嘛让我们求 b c， 也就是这条线段的长度，那该怎么处理呢？ 其实这个题的方法超级多，但我们首先能够想到的是， o、 c 这个边是半径， o b 这个边也是半径， 所以因此纽法在 o d c 这个大大的直角三角形中，一条直角边的平方啊，半径的平方，再加上另外一条直角边啊，也就加上四的平方，一定等于什么呢？ 等于整个斜边，也就是半径加上二的平方。那最终我们求出来满足条件的半径等于三，哦，也就是这个边等于三，这个边也等于三。那问题来，你可以用等面积法，你可以用三角函数，都可以，但我们用最常见的比方说呢， 啊，我们的等面积法，我们过 c 点直接往下做垂线好不好？比方说呢，这个垂足是我们的 p 点， 我们可以用等面积法把 c p 求出来。比方说呢，你整个三角形的面积等于二分之一的两条直角边的乘积，也就是三，乘以四， 还等于什么？等于二分之一的，你把整个 o d， 对 吧？当做底边啊，底边数再乘以什么呢？高，也就是我们的 c p， 所以 因此整数我们可以求出 c p 等于几呢？等于五分之十二。 o， 就是 这条线段长度，咱们求出来也就是 二点四，对吧？啊，等于五分之十二的好，因此你会发现，那在我们这个大大的直角三角形中，知道斜边是三，知道直角边是五分之十二，所以我们可以通过勾股定律，你求出剩下这条直角边，也就是等于五分之九，对吧？计算过程我们就省略了。 那最后你会发现，这个 o b 的 长度是三，你拿走五分之九，所以这个边呢，等于五分之六。那最终你会发现， 我们要求 b c， 你 只要在 c p b 这个直角三角形中，用勾股定你了一个直角边五分之六，另外一条直角边五分之十二，所以我们求出整个 b、 c 的 长度呢，等于五分之六倍的根号五，搞定。 当这个题你有相似，用三角函数去做，都非常简单，我们就不再多说了。好，第四个，圆和等面积法。首先在一个三角形中，我告诉你， b， a 等于 bc 啊，就是我们这一条红边 b， a 呢， 等于这条红边 bc， 也就是我们给出一个大大的等腰三角形，对吧？ abc， 好， 现在你以 ab 为直径啊，以等腰三角形的某一条腰为直径，你就画个圆， 你发现这个圆呢？它整个三角形的底边一定会产生一个焦点，这个焦点我可以明确告诉你，干嘛呢？这个焦点一定是整个 a、 c 的 中点，这对于我们之前跟大家提到过，对吧？这个叫做等腰圈的模型啊，就你只要给出一个等腰三角形吧， 以这个等腰三角形的腰为直径，你就画一个圆，比方说差不多长，对，这个圆就现在非常标准，对吧？哎，画个 圆好，这个圆呢，和整个底边的焦点，这个点一定是中点啊，就是你这条线段一定等于这条线段，它的证明方法也不止一种，但我个人觉得最常见最好想的连接顶点和这个点，对吧？因为你要知道你这是什么，这是一条直径呀， 以它为直径，所以直径所的圆中角一定是直角。那我这个等腰三角形，你过顶点往下做垂线，根据三线合一，你既是底边上的高，也是底边的中线、 中线，所以两条线段相等，证明完毕。因此呢，它这个中点，对吧？所以在这里面你要去证明也是一样的。你连接 b、 d 嘛，对不对？哎？连接 b、 d， 你 会发现 呐，直径所对圆珠角一定是九十度。哎，你一个等腰三角形，你给我顶点往对边做垂线，所以一定是底边上的中线，对吧？所以这个边一定等于这个边好不好？ 有没有用的不知道，我们继续往后了。好，现在过 d 点做 d 垂直 bc 好， 过 d 点直接垂直 bc 垂足呢？是我们的 e 点。好，让你求证 d 是 圆的切线， 那证明切线非常简单，对吧？也就是我只要连接 o、 d 嘛，我连一下是不是？我只要证干嘛？我只要证出你这个 o、 d、 e， 也就这个角等于九十度，是不就可以了？ 为了方便大家理解，我首先把这里的干扰条件把它清掉，也就是我要证明 o、 d、 e 这个角等于直角。好，那其实非常简单。为什么呢？我用比较笨的方式去证明，比方说我令这个角是 ar 法好不好？ 那你要知道，我是一个大大的等腰三角形嘛， bc 等于 ab， 你 是 ar 法，所以我这个角一定也是 ar 法，没有问题吧？ 除此之外，你会发现这个边是半径，这个边也是半径，所以 o、 a、 d， 它又是个等腰三角形，因此这个角呢，也是 a、 r 法。然后你会发现这两个角是什么角？ 这两条线被我们第三边所截，它产生了同位角，对吧？同位角相等，所以我们知道两直线平行，两直线平行嘛，对不对？两条红线平行， 你现在你会发现这条线它垂直于地，那和它平行的这条线是不是也垂直地啊？因此这个角是个直角。搞定 好，接下来我们把这个图还原，那我告诉你， a， c 等于八，你整个边等于八，所以我知道这个边等于四，这个边也等于四。好， bc 等于五，就是这个边等于五，对吧？所以你放在这个直角三角形中，我们立马可以求出这个边等于三。接下来让我们求什么？ 求 d 的 长，是不是太简单了？其实我跟大家说一下，你可以用等面积法来处理，但我希望各位同学，你们在考试遇到的时候， 希望你的思路比你的过程更快，那我们知道给出一个直角三角形，对吧？ abc， 如果你过直角顶点向斜边做垂线，那么这条垂线段它的长度等于什么呢？ 啊？就这个垂线段一定等于两条直角边的乘积，怎么样再除以我们这个斜边 啊，这个怎么正呢？等面积法，为什么呢？因为整个直角三角形的面积，它等于二分之一的，把它当做底边，对吧？ c 是 底边，那么高是什么呢？高就是这个 h， 对 吧？你把它当做底 高，不就是你吗？哎，二分之一 c， h， 那 么还等于什么呢？等于二分之一的直角三角形面积，两条直角边乘积的一半吧。 二分之一 ab， 左右两边同时乘以二， c， h 呢？等于 ab， 对 吧？所以 h 等于多少？左右两边同时除以 c， 左边除以 c， 等于它，右边除以 c 呢？不就等于这么多吗？你发现上面是什么？上面 ab 不 就是两条直角边的乘积吗？ 下面 c 是 什么？ c 不 就是斜边吗？ no， 我 们是不是证明完毕了？所以举个例子，比方说，以后告诉你呐，同学们，如果是选择填空题呐， 过直角，顶点向斜边，最后垂线等于几呢？六八十，对吧？所以把这两条直角边相乘六八四十八再除以它，你立马知道这个边等于多少，等于四点八好不好？那过程我就不再写了。这是一个大大大大直角三角形吗？ 用两条直角边的乘积十二再除以什么？除以整个斜边五，它指的是什么？指的就是这条高，也就是线段 d、 e 的 长度。搞定 好，第五个，圆和相似啊，这个题大概长这个样子？好，首先告诉你， a、 b 是 圆的直径啊，你立马想到直径所对的圆周角一定九十度。 好，现在 c 是 圆上一点啊， c 点在这，对吧？连接 a、 c、 b、 c。 嗯，目前没有什么特殊性。延长 a、 b 到 d 点，延长 a、 b， c、 d 是 哪个角？ b、 b、 c、 d 是 这个角，对吧？ 啊，就这个红角他干嘛？他等于角？ a 也就是等于这个红角啊，两个红角相等，我们把它标出来。好，接下来干嘛呢？让我们求成 c、 d 是 圆 o 的 切线啊，证明他是切线，那你肯定是切点了，说白了，也就是我们连接 o、 c 嘛， 我只要证明什么，证明这个角等于九十度就可以了。在这里量用最笨的方式去呈现出来。比方说，我拎这个红角是 ar 法，那你这个角一定也是 ar 法，因为 o、 c 是 半径， o、 a 也是半径，你是个等腰三角形，所以我可以推出这个角呢，它也是 ar 法。大家不要忘了， ab 是 直径， 直径所对的圆周角，也就是整个角 a、 c、 b 这个角一定多少度？这个角一定是直角九十度，对吧？你在九十度里面拿走 a、 r、 f， 所以 说白了，也就这个角等于多少度呢？这个角我们求出来一定是九十度减去 a、 r、 f， 此时就证明完毕了，你这个角是 a r f， 而我这个角呢，是九十度减 a、 r、 f， 你 会发现这两个角相加，告诉一个直角，也就是九十度，所以 o c 呢？垂直 c d， 因此呢，它是圆的切线。 好，接下来我们看第二问，他告诉你点 e 是 弧 a c 的 中点， e 点是整个弧 a c 的 中点，所以我们知道，也就是这一段弧一定等于这一段弧。好，现在连接 b 啊，把 b 点跟 e 点连接起来，交于 f 点。 好，现在我们过一点，直接做底边的垂线啊，做底边的垂线，垂足之计和圆呢，交圆去点。那么其实我们知道，通过垂进定律，你这条线段一定等于这个线段，对吧？以及你这个角一定等于这个角，根据对称性呢， b 这个边一定等于 b h 这个边。好，我们继续往后了， 现在吭滋吭滋搞半天，告诉你， b d 等于啊，就是这个线段是一，而且 c d 等于二啊，就这个边等于二。让我们求 b f 乘以 b h， b f 是 哪个边？哎，这个边， b h 是 哪个边？ b h 是 这个边，对吧？也就是让我们求这条线段来乘以这条线段二者的乘积。其实你要知道啊，只要让我们求线段乘积的，一定会用到什么？ 会用到相似，为什么呢？我们举个例子吧，其实这个形式就是 b f 比上几等于，呃，谁比上 b h 这种形式嘛，对不对？ 比完之后呢？那我们对角一乘，不就产生了这个东西吗？好，可是问题来了，这里面哪有什么相似呢？好，我们看看通过这个题干，我们可以得出什么条件。比方说我把这个角标做一个蓝角，当然，在这里面，如果你知道我们的共边共角相似模型， 我们做起来会更快一些，但如果你说这样呢？我不知道，没关系，你会发现在 dbc 这个三角形中有蓝角，有红色的 air 板， 以及在整个大三角形中，一样的，我们有蓝角，有红色的阿尔法，所以能看出相似吗？也就是我们的三角形 d b c 对 吧？ d b c 一定相似于我们三角形 d c a 对 吧？哎， d c a， 那 么这两个三角形对边之比呢？你发现这个三角形它的最短边一。哎，你用一比上整个大三角形的最短边呢？它的对边是不是二呀？哦，就是这个三角形的一 和整个大三角形的二，对吧？是对边这两个三角形相似，比是一比二的。好，我们继续往后。那然后呢？ 你想想，如果你用这个小三角形，注意啊，小三角形，你用它红角与蓝角的夹边，用这个二，对吧？ 比上什么呢？比上整个大三角形对应的红角与蓝角的夹边，整个 a d， 对 不对？哎，你这个三角形二，比上整个大三角形的 a d， 哎，你说 a d 可不可以求出来？ 就已经可以求出来，对不对？好，我们继续往后。还等于什么呢？等于用这个小三角形它的 bc 比上什么？比上整个大三角形对边谁？是不是 ac 啊？哦，你发现 bc 比上 ac 对 吧？等于 bc 比上 ac， 所以 在这里面我想问一下，那你对角相乘 ad， 对 角相乘四，所以你这个 ad 等于几呢？我们求出 ad 是 等于四的 啊，你整个边等于四，说明什么？你拿走一吗？也就是我们知道整个直径是三，对吧？好，整个 a b 呢，是等于三的，就是这条蓝边，我把它标出来，可不可以 整个蓝边直径的长度是三？好，接下来，然后我们还可以得到什么呢？举个例子，比方说呐，各位同学们， bc 比 ac 是 不是也是一比二？你这个三角形的 bc 比上整个大三角形，这边 ac 是 多少？一比二的，对吧？所以，如果我令这个边啊，令这条红边，我令你是 x， 其实一比二的直角三角形，它的三边比的关系也是特殊，但不是一比二比刚好三啊。你是 x， 我 这个边一定多少，一定是二 x， 对 吧？ 亮亮，哪有什么直角三角形呢？这是直径吧，所对的圆周角是不一定直角。那我想问一下，可不可以把 x x 求出来，一定可以吗？你的平方加我的平方等于他的平方，对吧？哦，也就是我们可以得到你的平方，我写字吧，加上你的平方 等于什么呢？等于整个斜边三的平方。所以你说我可不可以把 x 求出来，我直接写了啊，等于，哎，五分之三倍的根号五。好吧，计算过程我就省略了。所以整个 bc 啊，整个 ac 我 们就给求出来了。 可是问题呢，你吭哧吭哧求半天，你这个 b f 乘以 b h， 对 吧？这条线段乘以这条线段好像没有任何进展。注意啊，你需要把这两条线段放在不同的三角形中，我们尝试找出一组相似，对吧？可是你会发现，哎，根本没有，对吧？嗯， 这一段弧等于这段弧，两条弧相等，所以它所对应的圆周角，这个角是不一定相等呀。好，接下来，那然后呢？注意，我们求出了 bc， 我们知道 a b， 所以 我能不能把这两条已知的线段放在啊带有等角的三角形中啊，来进行处理呢？比方说，我们连接 e、 c， 哎，我们连一下， 那此时你会发现，弧 bc 所对应的圆周角呢？是这个角，对吧？以及与此同时，弧 bc 所对应的圆周角呢？还是这个角哦，也就是等于这个角了，那 此时你会发现，喏，在我们 c、 e、 b 这个三角形中，我有红角，我有绿角。一，在 f a、 b 这个三角形中，在这个三角形中，一样的，我有红角，我有绿角，所以你会发现，那 这个三角形，对吧？哎，我们可以正中，怎么样呢？下一组箱子我把它清掉啊，就是三角形 c、 e、 b， 哎，这个三角形一定相似于什么呢？ f a， b， 对 吧？哎，相似于三角形 f、 a、 b， 好， 问题，来，那相似，然后你发现，你这个三角形，你用五分之三倍根号五，啊，你用五分之三倍的根号五， 你比上谁呢？这个三角形的 bc 和整个三角形的 b f 是 不对边哦，题干中的 b f， 它不就出来了吗？好，剩下的，那么它等于什么？你想想，你用整个三角形，你的底边 b， 看到没有？整个三角形的底边 b， 你 的底边 b 比上谁呢？比上整个大三角形的底边几，是不是三？哦，比上三。哎，我们可以列出一个比例等式，对吧？你这个 b f 呢？就是我，可是 b h 呢， 你知道 b h 在 哪？ b h 在 遥远的这一边，对吧？我们刚才说了，你过一点做垂线，根据垂线定力这个边，而且我们知道 b、 e 这个边一定等于 b h 这个边，对吧？ 你就等于我的 b， 所以 你说你这个 b、 e， 我 能不能用 b h 去替换它呢？完全没问题，对吧？它就等于 b h， 所以 你把你对角相乘，哎， b f 乘以 b h 不 就是它吗？所以 b f 乘以 b h， 那 么一定等于什么？一定等于 对角相乘，我乘以你，也就是五分之九倍的根号五。搞定 好，接下来我们再来第六题，圆和三角函数一样的，在我们这个四边形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 b、 c、 d 整个大四边形，我告诉你 b、 d 等于 c、 d， 嗯？什么呢？就是 b、 d 这个边，哎，它等于 c、 d 这个边，两条红边相等， 我还告诉你，角 c 等于角 b、 a、 d 角 c 是 哪个角？是这个角，对吧？哎，就这个蓝角等于谁？等于 b a、 d， b、 a、 d 也就是这个角了。哎，其实大家要注意啊，我刚说它是个等腰三角形，对吧？所以你这个蓝角一定等于谁？还等于我们这个角，对不对？哎，等于这个角， 现在以 ab 为直径的圆 o 啊，就是以 ab 为直径的，咱们画个圆。哎，叽咕噜啦说半天，好，第一个让我们求证， bc 是 圆的切线啊，就是 bc 呢，是整个圆的切线。 其实，那我发现我已经连接了圆心和你这个 b 点，对吧？所以也是我只要求证什么？我只要求证这个角等于九十度就可以啊，这个角不是已知的，我只要证明这个角是直角就可以了，怎么证呢？为什么？因为你要知道这是个直径， 直径所对的圆周角一定是九十度，对吧？好，现在呢，如果把这个角标做红角啊，那就结束了，对吧？你会发现，喏，在 a、 b、 d 这个大大的直角三角形中，我这个红角跟你蓝角两角相加九十度，那你这个蓝角跟我相等吗？ 我加你这个蓝角九十度，你说我加你这个蓝角九十度不？那这个角一定是直角啊。所以呢，我们正出来它的切线。搞定 好，我们再来看第二问，我告诉你， a、 d 等于二，也就这个边的长度呢，是二。好，紧接着我告诉你， cosin b a d， b， a d 哪个角？ b、 a、 d 好？ 就这个蓝角，它的余弦值是一比三。 呃，什么意思？就是在这个直角三角形中，对吧？你用这个蓝角所零的直角边，比上整个斜边等于几？等于一比三， 我是二嘛，所以整个底边一定是六，对吧？哎，我们知道，也就是半径是三，半径是三，然后你看吧，在一个直角三角形中，知道直角边上知道整个斜边是六，所以我们通过勾股定律，我们可以求出整个 b、 d 的 长度呢，一定是四倍根号。 好，你这个边呢，一定是四倍的根号。好，接下来问题来了，哎，让我们求 b， 求这条线段的长度，怎么办呢？ 你会发现，这个题目告诉蓝角的三角函数是三分之一，而这两个角都是蓝角，并且我是一个等腰三角形，我只要把其中的任何一个角放在直角三角形中，我们依然可以使用这个余弦值。 你说一个等腰直角三角形，我们如何产生直角呢？很简单，我们直接过顶点向对边做垂线，对吧？哎，我们还知道这两个边相等等腰三角形有三线合一的性质吗？ 好，接下来你会发现，喏，比方说在 d b 吧啦，哎，我就放个屁吧，放个红色的屁。嗯，在这个直角三角形中，喏，我的相邻直角边比上斜边等于多少？等于一比三， 就是，我是你的三分之一嘛，你这四倍根号，所以我们知道它是等于三分之四倍的根号，你这个边一样的，也等于三分之四倍的根号，因此你犯整个 b、 c， 也就是整条边的长度等于多少呢？等于三分之八倍的根号。 好，你把整个 b、 c 求出来，那我这个 b 怎么办呢？你可以用相似，但是在正面我直接去倒角， 你会发现，在 d、 a、 b、 e 这个大大的四边形中，它是一个圆的内接四边形。哎，而我们知道圆的内接四边形呢，它的对角是互补的。如果我令这个角是 alpha， 那 我们知道这个角也是 alpha， 圆的内接四边形，对角互补，你是 alpha， 所以 我知道这个角呢，一定是一百八十度减去 alpha， 当我们求出这个角之后，那么它的零补角呢？我们就会表示出来，对吧？我这个角跟你怎么样呢？相加一百八十度，你是一百八减二法，所以我求出这个角呢，它就等于二法了。哦，我也是一个蓝角，那两角相等，所以你会发现 b、 c、 e 呢，它是一个大大的等腰三角形， 我们求出 b、 c 等于这么多，所以我们要求的 b、 e 呢？啊，也等于三分之八倍的根号。搞定 好，接下来我们再看第七个辅助圆。首先我们给出一个正方形啊，告诉你， a、 b 等于 a， d 等于四啊，就这个边等于四，这个边呢也等于四。 好，接下来我们继续往后了，那现在我告诉你一点，是平面内的一点注意，是平面内啊，而不只是整个正方形里面，我可以在这在这在这在这随便都可以，对吧？但是它满足一个什么条件呢？ a、 e 的 平方加 d 的 平方等于 a、 d 的 平方，就是你的平方加我的平方等于谁呢？等于他的平方。那其实我们知道，也就是这个角一定是直角，对吧？啊，就是一点，不管在哪， a、 d 向外所发射的这个角一定是直角。哎，我不知道大家能想到什么好，你一点肯定是个动点嘛，动来动去的啊，比方一点可以在这，对吧？哎，哎，你这有九十度行不行？可以吧？ 一点还可以，怎么样？还可以在这，对吧？挪回回，对吧？我只要保证你这个角是九十度，你会发现 a 一 方加 d 一 方，你的平方加我的平方都等于整个 a、 d 的 平方，对吧？所以一点是整个屏幕动来动去，动来动去，不知道在哪儿 好，那请问在整个运动过程中， b 点跟 e 点啊，两点之间的最大距离最大值是几？其实我们知道整个三年时间里面，辅助圆最常见的有五类，其中非常具有代表性的一类呢，就叫做定边对定角，如果一条边是固定的， 它所对呢？这个角大小也是固定的，那么呢，我们知道一定可以构造辅助圆，怎么构造呢？你把 a、 d、 e 直接把这个定边和定角所在的三角形，直接把它强行放在一个圆里面就可以了。那么你这个一点呢，一定在圆上运动，那为什么呢？那你会发现， 比方说一点在这好不好？那你这条弦所对应的圆周角是九十度，那你这条弦所对应的这个圆周角呢？是不是也是九十度？没问题吧？ 同样，如果一点在这呢，喏，你这一条弦，哎，其实你会发现这九十度吗？对吧？所以你这个键一定是直径，直径所对圆周角呢？他不也是九十度吗？啊，看到了没？所以你会发现，喏，一点，不管在这在这，在这在这，对吧？不管在哪，只要在圆上运动，你会发现 我们直径所对的圆周角呢，永远是九十度，对吧？当我知道他的运动轨迹是圆，那剩下就简单了，比方说在圆外呢，有一个点 b， 在 圆上呢，有一个点 e， 对 吧？ 你说你 b 之间的距离如何是最大的呢？很明显，你只要连接 b 点和圆心，穿行而过就可以， e 点在这里时呢，此时 b 一定是最大的，没有之一。所以因此你把 e 点所在的这个圆的圆心找出来，很明显呢， a 的 直径圆心在这，对吧？我们知道这个边是二，这个边也是二， 此时我们连接 b 点和圆心，并且呢，把它延长，也是当 e 点在这里时呢，此时我们整个 b 一定是最大的。但我们一般情况下，不会直接求 b 点到 e 点的距离， 而是怎么样，而是先求 b 点到圆心的距离，也就是 o b。 那 你要知道，咱们这是一个直角嘛，所以在整个大大大大的直角三角形中，一条直角变四，所以我们求出整条线段长度等于二倍的根号五， 那我们知道圆的半径是二，圆的半径是二，所以你这条边的长度 o e 的 长度也是二，对吧？你的长度是二，所以你会发现，用这条线段，再加上这条线段，就是二倍根号五加二，它就是我们要求的最大值。搞定 第八个函数和圆，那么函数和圆量在这里就没有给出我们比较复杂的什么 r 函数和圆的一些啊，综合大体。因为我个人觉得啊，圆和函数一旦结合，最终跟函数基本就没有关系了，考的基本都是我们圆的内容。 好，在一个平面直角坐标系里面，我们给出一个固定的二次函数，嗯，它的图像呢，与 x 轴交于 ab 两点，其实通过这个函数，我们可以求出 a 点跟 b 点坐标，比方说，我们直接令它怎么样呢？令整个二次函数等于零，对吧？所以四分之一 x 方呢，等于，也是我们令 y 等于零吧。 嗯，那么最终我们求出来怎么样？等于四，也就是 x 方呢，等于十六，我们求出 x 等于正负四， 你干嘛？就是我们知道 a 点的横坐标呢？负四对吧？ b 点的横坐标呢，是四的。现在我告诉你，点 c 的 坐标是零三啊， c 点坐标呢？零三我标一下 啊，既然这么标，我索性就把整个坐标呢写完整好不好？好，现在问题来了，点 p 是 半径为二圆， c 上的动点啊，就是以 c 为圆心画一个圆，圆的半径等于几呢？等于二，而这个 p 点就是圆上的一个动点。 好，我们连接 a p 干嘛取它的中点，那我们知道随着 p 点运动，你这个点一定也跟着运动，对吧？哦，你这个边等于，这个边也是 q 点呢？它是一个中点。好，现在问题来了，干嘛呢？好，让我们求 o q 长的取值范围，也就是 o 点到你这个动点。 很多人可能会想到，我去把 q 点的运动轨迹找出来，可不可以？百分百可以，你用刮的原理一定可以找，但有没有更加简单的方法呢？有，如果求一条线段的最大最小值，或者求它的取值范围，如果你能直接处理，当然最好，如果不能呢？比方说 o q， 你 会发现比较难，对吧？ 你就找到它的相关线段，比方说，有没有一条线段和它呢？啊，有几倍的，你是我的几倍，我是你的几分之几，或者我和你相等，我们处理一下，也就是怎么样呢？利用转化思维， 这里怎么转化呢？你会发现 q 点是 a p 的 中点，根据抛物线的对称性嘛，你会发现 o 点是 ab 的 中点，看到没有？那 o a 等于四， o b 也等于四， 嗯，也就是这两个边呢，也是相等的。那所以你会发现，如果你连接 b p， 能看到吗？哦， o 是 中点， q 是 中点，所以整个 o q 呢，一定是大三角形的中位线，所以我这个边呢，一定等于 b p 的 一半。 哦，也就是我们整个 o q 的 长度，它永远等于什么？永远等于 b p 的 一半，对吧？所以你让我求 o q 的 取值范围，我不，我只要求 b b， 我 只要把它的取值范围求出来就可以。那怎么去求取值范围呢？ b 点是圆外一点 p 是 圆上一点，对吧？那我想问一下，喏，这是圆上的一点 p 对 吧？这是圆外的一点 b， 你 说这条线段它长度满足什么取值范围呢？ 求取值范围，说白了就是把它的最大最小值求出来，可以了吗？那怎么求最大最小值呢？连接 b 点跟圆心，并且延长，对吧？当你屁点在这里的时候，此时呢，我们整个 b p 一定最短。 当你屁点在这里的时候呢，整个 b p 一定最长。好，接下来耶稣干嘛我们连接 b 点跟圆心了啊？连完之后呢？我们并且把它延长，好不好？ 所以你要知道，喏，我们的最小值就在这里，对吧？我们的最大值呢？就在这里。当我们一般情况下，就像我们上题一样，我们不会直接求 b p， 或者直接求 b 点 p 二，对吧？我们干嘛？我们会先求它到原先的距离，这个咋求？你要知道 这个边的长度等于几呢？ c 的 坐标零三，所以这个边是三，整个 b 的 坐标是四零，所以这个边呢？及这个边等于四，对吧？所以因此我们可以勾股定律求出来，整个 b 点到圆心这一段的距离等于几？ 这一段的距离一定是等于五的，对吧？好，接下来剩下就简单了。为什么呢？那你会发现圆的半径过底，圆的半径是二， 我们是在一个半径为二的圆上运动，也就是这条线段的长度呢，它是二，对吧？哎，这个边我标一下是二，所以你会发现，在 整个五里面拿走两个单位，这不就是三吗？哎，你会发现 b p 的 最小值是三，可不可以取到三？可以取到三就在这里，所以你会发现 b p 它的取值范围怎么样？还是大于等于三吧，对吧？那小于等于几呢？一样的，那这个是不是也是半径 二呀？就是这一段对吧？你整个 b c 的 长度几？整个线段的长度你是五个单位，再加上半径二，所以五加二呢？你的最大值是几？最大值五加二七，对吧？啊？ b p r 小 等于七 啊，所以你会发现 b p 是 三到七之间的，而我永远是 b p 你 的一半，所以我们整个 o q 长的取值范围呢？就是你的一半，也就是二分之三。小等于 o q 干嘛呢？小等于二分之七。搞定，跟着亮亮无脑学习。

二零二六年青岛市市南数学一模已经考完了，韦老师呢，第一时间拿到了试卷，也写出了答案和分析，先给大家吃一个定心丸啊，今年青岛中考数学的节奏一点没有变，大家不要担心， 先给大家把这一套卷子的难度 t 度给讲清楚。首先完全是对标青岛中考的分三层，第一层呢，入门送分题，一到五题，十到十二题，十六到十九题， 全都是基础知识，只要你平时认真，这些分能够稳稳拿下，及格线也够保底，那么如果你现在这些题还拿不到，那就是你的基础不过关了，因为这就是青岛中考的一个命题方向，基础分很重要。第二层，中档区分题，六到八题，十三到十四题，二十二、十三题，考的呢是三角函数，基础函数 以及扇形、圆形、角度等等这些稍微有一些难度的点，那么考什么呢？推理、建模能力，对吧？都在这一部分，中等生和优等生的一个分水岭就在这里了，想上一百一这一部分你要全部拿满分。第三层，选拔压轴题， 那么第九题，十五题，二十四，二十五题，动点，二次函数，二次函数多结论，二函数应用以及四边形综合都在这。但是我想说，这一份卷子的二次函数啊，出的还是比较简单的，二次函数选填出了这样子的一个图标题，二次函数的一个应用啊，出了是一个 一函数，二函数的解析式，以及的话就是一个钢架结构题，那么这种题我们都练烂了对吧？设坐标就可以了。只不过这个动点还是挺有新意的，因为这个动点图我们没有见过，而且最后一问突然考了个角等也是不大常见的。但是在这里还可以跟大家说一下， 考法基本上一样，就是画了个图形创新了一下而已，你是完全有能力也一定要有能力去把它学到的。那么这一份试卷啊，知识点覆盖的是很全面的，没有偏题和怪题，计算量的韦老师也认为是中等的，那么几何占比也比较高，基本上就贴合了咱们青岛中考的一个风格。想要这一份卷子以及 这一次二零二六年各区的一模试卷的分析和答案的评论区直接回复韦老师。四，我全部发给。

二零二六，青岛中考怎么准备？你现在准备好了吗？你能上一百一十分吗？用一份卷子就可以检验青岛市市南区二十六中的七初数学试卷，这份试卷呢，我学生考了一百零七分，然后是级部第七名，然后也有考一百一十一的， 然后就是级部前五了。那么现在哈韦老师来说，这份试卷为什么能够检验你中考能不能上一百一两个标准？首先第一个，我们来看一下这份试卷呢，完全是按照一个中考标准来出的， 函数多结论题几何多结论阿是圆最小值探讨瓜豆原理最小值动点模型，这些真的是最难的点，那全集中在一份卷子上，真的让这份卷子难度难上加难。 这些知识点的考察范围，题型也全都是按照青岛中考的风格来定的。全卷的大部分也都是山东省最新的中考原题，第二题、第三题、第四题是东营中考原题，第七题是滨州中考原题，第九题是济南中考原题。然后第十五题是东营中考原题，也是填空的押题。 第二十二题呢，是济南常青的一模原题，二十五题是莱西去年的一模真题。所以说想上一百一十分的孩子，你必须要做这样子的一份卷子，这份卷子大家可以领取，回复九八五级可以领取，检验一下你现在的一个水平。 为什么我说必须要做山东省的中考原件呢？因为山东省的题目啊，他比较新，尤其是选填青岛，十分的爱借鉴，现在青岛还是自主命题的个状态，你去做山东省的原件，可以看到最新省内的出题方向， 还有可以领取韦老师最新出的这样子十一份一模押题卷。这十一份一模押题卷我全都是按照最新的山东省题目来出的，也有部分是青岛考过的题目，总之题目的结合我设置了很多巧思，有很多坑， 适合大家练手，需要这份开学考试卷。二十六中开学考试卷回去练手和韦老师出的这一份押题卷的可以回复九八五。

二零二六年青岛中考一模数学全卷一测，整体结构呢，应该不会变，选择、填空加解答，题量呢，依旧是二十四到二十五个题。压轴题集中在几何、综合、函数应用、新定义探究、压轴动点等四大板块。 全卷的侧动点呢，基础题应该会占百分之五十左右，建议回归课本。中档题的话，百分之五重视综合应用，难题的话，百分十五考察思维拓展。压轴题的核心啊，就是奥常识探究和动点。 二函数呢，考两大类，两大类又有十一小类，比如说如果考到图像，那就是高差呀，最值啊，钢架呀，平移等，那么如果考的利润呢，那就是最值，不等式含餐。如果考着探究的话，那大概也得有一个八九类， 如果考着动点的话，那就是八类。当然动点在这里是必考，主要是看是八类中的哪一类。中档题呢，要求稳拿分， 压轴题呢，要求拿到步骤分，结果分咱是先不说，但是比如说动点至少要拿到最后一问的一半的分数，顶多能扣两分，比如说探求，最多也就能扣最后一个空。所以在这里的话，在还没有到一模之前，我们都还有机会进行训练。 韦老师在最后叮嘱，一定要回归到你的错题，不要再专偏题怪题，把握好答题时间，一定要不断的进行全真模拟训练。韦老师这里呢有十一份一模的押题卷，都是最新的全国必考的经典题。压轴题， 每一个板块都有坑，每一个板块都有测重点题目，都是新题，全都是难题。所以在这里推荐大家回复九八五，领取这一份押题卷回去使用。

关于二零二六年青岛中考数学改革，现在主要有两种声音，一派是保守派，装式自身的校内老师，他们认为不管怎么改，中考还会延续前两年的风格，因为去年喊着改革，但考题依然常规，甚至偏简单。另一派呢，就是改革派，声音很大， 但说法比较笼统，无非就是会说难题会变多，题目会变长。这种说法哈，很容易让人焦虑，但其实不必过度担心，如果真的改革，核心可能还会围绕着这两点。第一，缘与相似 缘。在之前的中考题目中啊，题目类型它相对固定，只考选填题，不考大题，选择，考角度填空，考面积， 难度集中在中等级中等偏下，那未来的方向很可能会参照潍坊啊、济南等地区的考法考察，源于三角形四边形结合的证明题，源于中切线的证明题、源于相似结合的综合大题等，难度和复杂度都是偏高的综合大题。 第二个是压轴动点，这题啊，很可能成为真正的压轴题和分水岭。之前动点题的难度相对偏低。 呃，作为压轴题来讲哈，区分度严重不足，导致青岛的中考数学成绩虚高。新中考很可能会参照其他绝大多数 都会考的二次函数动点类题目，考察学生数形结合的思想思维的灵活度，分类讨论、思想思维严谨性和逻辑性 转化，以化思想、化繁为简、动态分析与空间想象力等，这些能力是与高中数学密切相关的，一脉相承的。之前青岛的动点题啊，是学术上的孤岛地带，只有青岛在考， 其他地区几乎不考，而且该题型高中的关联度也不大。青岛即墨区出摊的同学们加油，看看今年杨洁老师能不能再压重题！

二零二六中考数学，想再提个三四十分的，这期视频请你务必看完。老师花三个月的时间梳理了全国各地过往五年的中考真题，总结出了以下七大必考题型，绝大概率就会出现在你今年的中考试卷上。 弹幕里打出你想冲刺的高中学校，我们直接开始先来看我们的第一个题型，关于科学计数法，这个在我们中考里面几乎是必考题型哈，比如说这道题，让我们把这个数据用科学计数法来进行表示。 对于这个题型呢，咱们比较容易出错的点呢，就是这个零数，不清楚他到底有多少个零，比如说他后面又加了一个 e， 那 他那他到底是多少呢？对不对？ 这里给大家教一个小方法哈，就是我们可以把这个亿，咱们可以先写出来，我们先写一下一亿是多少，我们把这个数据可以看成五六一零零零，然后再乘个一亿，那一亿的话我们来写哈，那就是 个十百千万，十万百万千万亿，你看我们这样写出来就不会出错了哈， 然后我们继续给他合并到一块，那直接把这个叉号和这个一消掉吗？你看直接对应的，这是我们最终得到的那个结果，然后我们现在想知道他用科学计数法来进行表示的话，那我们就从末尾，然后往前移， 这里是你看哈，一二三四五六七八九十十一，十二十三，他是不是需要往前挪十三位呢？所以就是五点六一乘十的十三次方，最终结果是什么？大家可以在弹幕里打一下，很明显就是我们的四 d 选项了呗，对不对？ 大家需要注意的哈，就容易出错的点呢，就在于他后面有多少个零，大家要要知道怎么去数哈。然后再往下看，再来看我们的第二题，他说为了打造清洁能源示范城市，某地投入资金用于安装充电桩，已知第一年投入资金是一千两百万， 预计第三年投入的资金是两千七百万，设第二，第三，这两年投入资金的年利率为 x， 那这个不就是典型的增长率问题吗？对吧？增长率问题，然后问我们可以列出的方程是什么？对于增长率问题的话，其实咱们对应的解析思路非常简单，你看就是如果 a 是 出矢量的话，那就是 a 乘个一加 x 括起来的 n 次方等于 b 嘛， 然后这个 n 的 话就是它增长了几次，然后这个 b 的 话就是它增长后的，然后这个 x 的 话就是它的增长率嘛。我们直接套这个公式就行了呀，对不对？现在呢，它告诉我们第三年 最终得到的是二七零零万元，那对应的那前面刚开始是啥呢？刚开始是幺二零零呀，对吧？幺二零零在乘括号里面，一加 x 括起来的 n 次方，现在增长了几次呢？从第一年到第二年，从第二年到第三年，很明显增长了两次呀，所以说这里是一加 x 括起来的平方， 那对应的就是我们的 a 选项了呀，对不对？大家看一下自己能不能做对，所以说大家会发现你看很多题型背后都是有对应的解析思路的，比如说增长率问题，咱们常见的就是用这个公式来进行求解哈，像我们这期视频呢，给大家讲的基本上都是中档题哈，因为你把基础题和中档题都能做对，以后， 即使你就能拿到百分之八十的分数了。比如说满分是一百二的话，即使你拿个九十多分是完全没有问题的哈，所以说大家一定要重视我们的基础题和中档题。 ok， 跟着老师再往下看，再来看我们的第三个题型，关于图像和实际问题。对于这种问题，咱们对应的解析思路非常简单，就是直接去看图像，把这个图像给他读出来。 看图像的时候，关键看什么呢？关键我们要去看拐点，拐点处是很重要的，比如说这道题，我们来看一下，他说小明家食堂，图书馆在一条直线上， 小明从家去食堂吃早餐，接着呢去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程，那我们就把这个过程在这个图上来标一下呗。他先从家去食堂吃早餐， 他这个外呢代表的是小明离家的距离嘛，所以刚开始的时候在这点，呃，在这个零的时候，他是在家，在家的，对不对？然后从家去食堂， 那就是往前走，走走走，走到这里的时候，他应该到了食堂了，因为每一个拐点都是很重要的，他去食堂吃早餐，你看这里的话，距离不变了，那说明这一段他肯定是正在吃早餐呀，对不对？那吃完早餐呢，接着去图书馆读报，所以说从这里开始再往上走， 他走的这一段呢，就是走到了图书馆呀，对不对？他往上走，又走到了图书馆，然后在图书馆，他在进行读报，所以说距离又就不变了，这段呢，他是在进行读报，对吧？读完以后，然后回家，所以说最终这一段他对应的就是在进行回家。 这个就是关于图像问题，咱们对应的一个解析思路，就是把它和实际问题，你看，把这个图像和实际问题结合到一块，把这个图像给给自己梳理清楚哈，然后我们继续往下看，他说，呃，根据图像，下列说法，错误的是哪个？ a 选项，小明吃早餐用了十七分钟， 吃早餐的话，那就是食堂这一段吗？八到二十五，二十五减八，很明显等于十七，没有问题。 b 选项，小明读报用了三十分钟，那图书馆进行读报吗？那图书馆从二十八到五十八，很明显经过了三十吗？对不对？三十分钟也没有问题。 看 c 选项，他说食堂到图书馆的距离是零点二千米，食堂的话，你看你要注意哈，他在这到这这段是从食堂去图书馆，对吧？然后他的你看离家的距离从零点六变成零点八，那很明显走了零点二公里嘛，所以 c 选项也没有问题。 再看四 d， 小 明从图书馆回家就是这段，他的速度是零点八千米每分钟每分钟。那我们来除一下哈，他对应的距离呢？是走了零点八千米，然后时间呢？五十八到六十八走了十分钟呀，所以他应该等于零点零八千米每分钟呀，对吧？所以四 d 是 错误的。这道题的答案就是四 d 选项了， 是咱们的第三个题型哈。然后我们继续往下看，再来看第四个题型，关于折叠问题，像这种折叠问题呢，他一般就是考察几何问题吗？对不对？这个在中考里面是非常重要的， 我们来给大家讲一下，对于折叠问题，他对应的答题思路非常简单，就是折叠前后边不变，角也不变，你必须要把这六个字记清楚哈。我们通过这道题来给大家讲一下， 它说如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为二，那我们来标一下呗，它的边长为二点， e 是 b、 c 的 一个中点，那对应的就是 b， e 就 等于 c、 e 了呗。一边读题一定要把条件标上哈，然后它连接了 d， e， 就是 你看把这条线连接起来， 将三角形 d， c、 e 沿着直线 d、 e 翻折到正方形 a、 b、 c、 c， d， c、 d 所在的平面内，也就是你看把 d、 c、 c、 c、 d， 你 看这个三角形，它翻折以后得到的三角形是 d、 f、 e 吗？ 那它既然是进行了翻折，进行了折叠嘛？所以说我们就利用咱们的解析思路，边不变，角不变，我们立马可以得到 d、 f 是 等于二的，对吧？就是一边读题，要把这些条件全部标上哈， 然后我们还知道什么呢？我们还知道 c、 e 等于一，那对应的 e、 f 也等于一啊，对不对？我们全部来给大家标一下吧，这个时候 b， e 等于 c， e 等于 e， f 等于一，所以说这个时候你会发现一个新的条件，就是这个 e、 f 和这个 b、 e 竟然是相等的， 这里说不定后面可能会会用到哈，所以说咱们这里可以额外注意一下。然后现在边的话，我们说的差不多了，再来看角角的话，因为 c 这里是直角，所以说对应的 f 这里也是垂直的嘛，对不对？然后对应的上上面这两个角相等，下面这两个角也相等，我们先把这些条件标出来哈， 然后再往下看，他说延长 d f 交 a b 于点 g， 你 看这里有一个 g 点，他说角 a d j 和角 d a j 相交于点 h d h 的 话，是这条线，那对应的这两个小角是相等的嘛，对吧？我们标成蓝色吧，对应的这两个小角是相等的， 然后呢， a h 在 这里，那对应的这两个小角也是相等的，这里的 a h 和这个 d h 它是角平分线，这个条件也非常特殊，我们先把这里圈出来，我们一会再来讲这个条件应该怎么去用哈，因为你像涉及到两个角平分线了，那我们肯定要去想角平分线有什么性质嘛？对不对？ 咱们现在先不管哈，我们先按照前面推的这些边长，我们来看一下，它现在要求的是角 dgh 的 面积，那你看 dgh 在 这里， dgh 要求这个三角形面积的话，那我们现在肯定想求一下边的长度嘛，或者说尽可能的把边的长度求解出来，那这个时候我们来看一下哈， 在这个三角形里面，我们知道 d f 是 二，但是我们不知道 d j 的 长度呀，所以说现在问题在于如何去求这个 j f 的 长度呢？我们可以设它为 x 呀，对不对？咱们来求一下这个边长嘛，那这个时候 j f 是 x 的 话，对应的我们还可以得到什么条件呢？那你就来想， 你有没有发现这个 b e 和 e f 是 相等的，然后这个 j f 和这个 g b 看起来也也有点相等呢， 因为你看这个东西，它看起来是不是长得很像一个风筝，它看起来是非常对称的呀，对不对？大家来看一下这个图形长得是不是特别对称？对于那种特别对称的类似，你看类似这种图形，咱们对应的解析思路非常简单， 就是我们把这种不规则的多边形，我们可以通过连辅助线给它变成两个三角形，然后我们利用全等三角形来进行求解呀， 这是几何里面常见的一个解体思路，大家刚才没有想到的，你可以去记一下哈。就是我们看到对称图形的话，给大家来写一下，就是我们看到对称图形的话，我们可以通过，怎么呢？我们可以通过 给他做对称轴，把对称轴做出来嘛，对称对称轴做出来以后，左右两边肯定是完全一样的嘛，所以说我就可以得到全等的一个图形了，然后大概率得到的这个全等呢？还是全等三角形。比如说这个时候，你看我们把这一连接起来，这一很明显是它的对称轴呀，对不对？ 这个是我们肉眼看出来的，我们觉得他应该这样对称。然后接下来我们来给大家验证一下，首先我们这个时候知道 be 是 等于 ef 的， 对不对？然后呢，我们还知道 j e 是 等于 j e 的， 然后除此之外，我们还知道角 b 这里一定是直角，然后 f 这里也一定是直角， 因为 d f e 是 九十度，所以 g f e 肯定也就是九十度了嘛，对吧？然后角 b 这里的话就是正方形的一个角嘛，所以肯定是九十度，所以说再来一个角 b 等于角 f， 这不就是 h l 定律嘛，对不对？根据 h l 定律，我们就可以推出全等了，那得到全等以后，我们就得到 g b 也是等于 x 的， 大家能理解吗？ 这个是非常关键的一个条件哈，我们再来给大家总结一下，这一步是怎么想到的，就是我们看到对称图形以后，我们就可以通过做做对称轴，然后得到全能的图形，这个思路大家一定要去记一下哈，在几何里面非常重要。 然后我们再往下看，知道 g b 是 x 以后，那么 aj 就是 二减 x 了，对吧？然后这个 a d 正好是二，然后这个 d j 呢？是二加 x， 哎，很明显这里可以进行勾股定律啊，因为我们设 x 的 目的。给大家来总结一下， 我们设 x 的 目的不就是为了得到方程吗？对不对？通过方程来求解 x 呀，那一般怎么列方程呢？如果说一道题目里面直角比较多，那么我们大概率是通过勾股定律来列方程的，所以说在这道题目里面，很明显我们可以放到直角三角形 d a j 里面吗？对吧？那这个时候我们来给大家求解一下哈， 我们列勾股定律就可以得到二的平方呢？是四再加上二减 x 括起来的平方，就等于二加 x 括起来的平方。我们来化解一下，四加四再减四 x， 再加 x 方，就等于四加四 x 再加 x 方嘛。 左右两边 x 方消掉了，然后四和四消掉了，就可以得到四等于八 x， 所以 x 等于二分之一。 那既然 x 等于二分之一，那对应的我是不是就可以求出 d j 的 长度了呢？对吧？ d j 的 长度就是二加二分之一，就是二分之五，然后 a j 的 长度我也就能求出来了，二减二分之一呢，就是二分之三，然后 a d 这里就是二，对吧？现在我想求三角形 d j、 h 的 面积，那我需要知道高是多少，对吧？ 那我们这个时候给大家再来做一个高，你看过底 h 往这里做一条垂线，是是呃，是有一条高的，对吧？那这个时候这个高怎么去求呢？大家来想一下，我们如何去求这个高 h 的 长度呢？ 那你就看一下，在这道题目里面什么条件没有用上呢？什么条件没有用上？很明显角平分线没有用上呀，对不对？那角平分线有什么性质呢？大家来想看到角平分线，我们就要去想角平分线模型，这个是跟大家讲过的哈。 角平分线模型是啥呢？大家有没有学过角平分线，这里有一个模型叫做垂两边， 大家还记不记得有有一个模型叫做垂两边，也就是比如说现在这里有一个角 a d j， 然后 d h 是 角平分线，那么过点 h 向两个边做垂线，得到的垂线是相等的，大家来看一下是不是可以得到这个条件？所以说这个三角形 a、 d h， 它的高也是小 h， 跟我们做的这个三角形 d h、 j 的 高是相等的，对吧？然后我们现在知道 a h 也是角平分线，那我是不是同样可以过点 h 向这里做一条垂线呢？它是不是也等于这个高小 h 呢？对吧？ 所以说你会发现我们把这个三角形 d、 a、 j 分 成的三个小三角形， a、 h、 d、 a、 h、 j 以及 d h、 j， 这三个小三角形的高是相等的，并且它们的底边我们都知道，然后这个大三角形 a、 d、 j 的 面积我们也能求，所以说你能不能求出高的长度是多少？很明显是可以去求的呀，对不对？我们这个时候就利用加减法，我们用加法， 你看哈，大三角形的面积就是三个小三角形的面积和我们来写一下 s， 三角形 a、 d、 j 的 面积是不是就等于三角形 a、 h、 d 的 面积，再加上三角形 a、 h、 j 的 面积，再加上三角形 d、 h、 j 的 面积呢？对吧？那这个大三角形的面积呢？就是， 呃，二乘二分之三，再乘二分之一，那直接就是二分之三了嘛，它就等于二分之一，乘底边是二，再乘高 h， 再加上 a、 h、 j 的 话，就是二分之一，乘二分之三，再乘 h， 再加上二分之一，乘二分之五，再乘 h， 这个时候我们把二分之一 h 提出来，剩下的就是二加二分之三，再加二分之五，我们继续化简，它就等于二分之一 h， 再乘个二分之八十四嘛，然后二加四是六呀，所以它就等于三 h。 现在呢， 三 h 等于二分之三，所以 h 等于啥呢？ h 就 等于二分之三，再除个三就等于二分之一啊。那你看，我们把 h 求解出来了，然后再来求面积，二分之一乘底边二分之五，再乘高二分之一，那最终结果不就是八分之五了吗？答案选什么？很明显就是我们的 a 选项了吗？ 所以说基于这道题，我们来给大家总结一下，你会发现这道题他考察了很多个知识点，我们最后再来给大家总结一下哈。首先第一个点就是我们看到对称图形以后，我们要想到你去做对称轴，这样可以得到全等的图形，这是大家需要注意的第一个点。 然后第二个点呢，就是我们设 x 以后，我们的目的是列方程，那怎么列方程？如果一个图形里面直角比较多，那你就可以试着去用一下勾股哈， 这个是常见的解析思路。然后第三个点就是碰到角平分线的时候，就要去想我们讲过的角平分线模型，然后最经典的就是垂两边这个模型，也就是角平分线上的点到线段两端的距离相等， 这大家需要注意的啊。然后最后再补充一个，就是这个折叠问题吗？折叠问题的话，咱们对应的解析思路就是边不变角不变。所以说你看简单的一道题，我们给大家总结出了四个模型，四个解析思路，这个是非常重要的哈， 所以说大家会发现一个点，就是所有数学题的本质都是解析模型以及解析思路，所以说你学数学，你想提分的话，就应该对着解析模型和解析思路去学。但是为什么现在很多同学你上课听懂了，但是一道做题就没思路了， 又或者说这道错题你明明也改正了，但是下次换个形式，换个条件你又就不会做了呢？本质就是因为没有人去给你总结这些解析模型以及解析方法。你 像去年我在中考前提了三四十分的那个同学，他就是有一本笔记，里面记的就是密密麻麻的解析模型和解析思路，那大家如果说你现在还是成绩总是提不上去，并且你想在中考前再提个三四十分的话，你可以通过这里加我 老师，我来教你如何去按题型学习，如何去总结不同题型。对的，这些模型老师全部总结出来了，老师来教你不同板块应该如何去学哈。所有想跟着老师去学这些解析模型以及解析思路，你想在中考前快速提分的话， 那你就抓紧去添加老师就可以了哈，因为现在离中考时间真的不多了。 ok， 那 我们继续往下看，再来看我们第五个题型，关于一元二次方程的实数根。这道题看起来非常简单，但是呢，非常易错， 大家可以先在弹幕里打一下你的答案是什么？这道题就是一道典型的易错题，老师放到这里就是为了提醒大家，你们中考一定会出易错题，现在遇到现在跟着老师做一下这道题，中考的时候就千万不要再出错了哈，你错一道题，你扣个三四三四分或者扣个五分，那也太亏了吧。 我们来看一下这道题，他说如果关于 x 的 这个一元二次方程有两个不相等的时数根，问我们 k 的 取值范围是多少？ 那看到两个不相等的实数根，那我们自然快速就可以想到，单调应该大于零呀，对不对？是不是应该限制这个条件，但是只限制这个条件够吗？大家可以在弹幕里打一下，除了限制单调大于零，我还需要限制别的条件吗？ 大家可以打出来哈，很明显是需要限制的，为啥呢？因为这道题典型的你看二次向，这里含参呀， 它是一元二次方程，它已经跟你规定好了，那你既然是一元二次方程，那你必须让这一项的系数不为零呀，所以说我需要限制。一减 k 不 等于零，这是这道题的一个易错点哈，所以说我们来求解一下， 等于它大于零呢，就可以得到二十五，再减去四乘个一减 k， 再乘个五十大于零的，也就是二十五减去二十，再加二十， k 大 于零， 也就是五加二十 k 大 于零，二十 k 大 于负，五 k 大 于负四分之一。然后这个求解出来呢，是 k 不 等于一，所以说这个取值范围呢，就是 k 大 于负四分之一，并且 k 不 等于一。这是我们第五题的一个答案， 大家看一下刚才自己有没有踩坑呢？ ok， 我 们再往下看，再来看第六个题型，统计问题，考试中考里面的必考大题。关于统计，我们通过这道题来给大家总结一下他对应的答题思路是什么哈？像统计问题的话，我们必须拿到满分哈，因为这个是比较简单的。 这道题是这么说的，他说某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了这个什么什么相结合的教学方式，这些都没啥用嘛。然后一段时间后，为了检验学生对此教学模式的反馈情况， 教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就你最喜欢的化学实验是什么进行了问卷调查， 选项为常考的五个实验。咱们不需要关注这个实验是什么，我们只需要知道有 a、 b、 c、 d、 e 五个条件就可以了，每个学生只能选一项调查结果，绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图。这道题核心它就在考这两个图。我们来给大家讲一下， 对于条形统计图和扇形统计图，他们俩应该如何结合到一块去进行，求解一些数据哈，那这个时候问题已经很清晰了，就是调查一下你最喜欢哪个实验嘛，对吧？那我们直接来看统计图，条形是这样子的，扇形是这样子的，那我们先不看这道题考什么，我们先来求解一下， 在这个图里面大家来看哈，我们，我们知道这里的 a 是 不知道的，然后右边这里呢？ b 这里给了一个百分之三十，那么这道题的解题关键一定在百分之三十这里， 因为条形统计图和扇形统计图他们之间是有关联的，他这里对应的是六十人，然后他占的比例是百分之三十。通过这两个数据，我们就可以求出总人数了，因为总人数乘什么呢？乘他占的比例就等于 某一项他的一个人数。比如说在这道题目里面，我们设总人数是 m 吧，那你看 m 乘个百分之三十就等于六十除以三十吗？对吧？ 所以说他之间是有这样的一个逻辑的哈，那就是六十除个零点三，那就是六百除三就等于二百了吗？所以现在知道总人数是两百人了。第一小问，让我们去求 a 的 值是多少，那你就用两百减去二十，减去六十，减去三十，再减去四十不就行了吗？求出是五十， 然后让我们去求 e 所对的扇形圆心角的度数是多少，那我肯定需要知道 e 它占的比例是百分之几嘛，对不对？怎么去求呢？那就用四十你看，因为 e 的 人数是四十哈，那就用四十除总人数两百，然后呢，等于五分之一啊， 所以说我们知道它占的比例是五分之一了嘛，然后所有你看，总共圆周角是三百六十度，所以说这里填的，呃，这个空填的就是七十二了。 然后再来看第二小问，让我们根据调查结果，估计该校九年级八百名学生中有多少人最喜欢的实验室这个四 d， 那 我们来看一下哈，四 d 的 话，他是三十人，那我们要求一下比例呀，那就是三十除以两百了呗，对吧？这个就是喜欢四 d 这个选项的大概的一个比例，然后他现在说一共有八百名学生，那你再乘个八百不就行了吗？对吧？ 然后这里算出来呢，是等于一百二十人的，所以说有一百二十人最喜欢的实验室这个 st 哈，这大家需要注意的统计问题的话，就妥妥的送分题，大家能理解清楚条形统计图和扇形统计图它们之间的一个对应关系就可以了哈。 ok， 最后呢，我们再来看一道第七题，圆综合问题，也是大题里面的必考题型，我们来看一下它说如图，已知圆 o 的 直径为 ab 值，直径在这里。 读到这里以后，你应该立马想到这个角 c， 这里是直角哈，因为直径所对的圆周角是九十度。我们应该一边读题一边往外推条件，然后点 c 在 圆周上， a、 d 呢，是垂直于 c、 d 的， a、 c 是 角 d、 a、 b 的 一个平分线，就是这两个角相等， 那这个时候根据我们推出的条件，大家可以得到什么？你看角 d 等于角 c， 角 d， a、 c 等于角 c、 a、 b， 那 不立马可以得到相似吗？对吧？也就是三角形 d a、 c， 它是相似于三角形 c、 a、 b 的， 这个条件我们应该立马想到哈，数学题就是一边读题一边往外推条件的一个过程，就跟解谜一样，特别有意思哈。 然后第一小问呢，他让我们求证直线 c、 d 是 圆 o 的 切线，证明切线问题。咱们对应的解析思路非常固定，就是连切点，然后呢，正垂直对不对？你看 键切线，我们就要连切点，然后就要正正垂直哈，如果说他直接告诉你是切，直接告诉你是切线的话，那你可以直接得垂直，但是这道题呢，因为他是让让你求正切线的嘛，所以说我们这里写的是正垂直哈，那对应的我们肯定是把 c、 o 连接起来，连接起来以后，我们需要证明这个角 d、 c、 o 是 等于九十度的，怎么去证呢？大家来想一下，利用我们已知条件来推一推，我现在是不是知道这个角加这个角等于九十度，把这个标成点，把这个标成叉的话，我现在是不是可以知道点加叉是等于九十度的，对吧？然后你再去利用题里给的条件呀， a、 c 是 角平分线呀，所以说这个角，你看角 c、 a、 o 是 不是就等于角 d、 a、 c 呢？对不对？然后 o、 a 是 不是又等于 o、 c 呢？ 因为它是一个等腰三角形呀，半径相等呀，所以这个角是不是也可以变成一个点呢？对不对？那你看这个角 d、 c、 u 不 就变成点加叉了吗？然后点加叉一定是等于九十度的呀，因为这个在这个三角形 d、 a、 c 里面，你看点加叉等于九十度呀，对不对？这里老师是通过一个 你看形象的点和叉来带大家梳理它们不同角之间的关系哈，大家要自己去写过程，你就转转一下它们之间的一个相等的一个关系就可以了。然后我们再来看第二小问，他说如果 c、 d 等于三， a、 d 等于五，让我们去求圆 o 的 直径，求 ab 的 长度吗？ 那这个时候也很简单，我们可以先把 a、 c 求解出来，它就等于根号下二十五加九，那不就是根号下三十四吗？ 对吧？然后我们又知道它是相似的，那我们直接来列呗，对不对？你看 a、 d 比上 a、 c， 是 不是就等于 a、 c 比上 a、 b 呢？所以对应的五比根号三十四，是不是就等于根号三十四比上 a、 b 呢？所以 a、 b 它就等于三十四除以五呀，五分之三十四，我们就快速求解出来了， 就是我们第二小问对应的最终的一个结果，大家看一下自己有没有算对？ ok， 那 以上就是咱们这期视频的全部内容了，那跟着老师学会这几个题型呢？其实只是你中考前提分的第一步， 因为咱们数学本质说白了就是一个又一个的题型，以及一个又一个的模型呀，对不对？咱们现在光跟着老师学的这七个题型肯定是远远不够的哈。如果说你想在中考前快速再提个三四十分的话，你本质应该快速的把你的方法改进过来， 你应该用学题型的思路去学数学，那大家如果说你现在想在中考前快速提个三四十分，但是你的方法一直不知道怎么改进，不知道怎么学才能快速提分的话， 那么你可以通过这里加我，大家加到老师以后呢，你也可以把你的成绩发给我，老师也可以帮大家在中考前做一次成绩分析，老师来帮你拆解一下，你现在到底是因为什么卡着你提不了分，因为老师我自己是从不及格提到很多次满分的，所以说老师对于数学的提分是非常有经验的哈。 老师往年代的学生呢，大家都在中考前都是可以很快速的提个几十分是没有太大问题的，那如果说你也想复课，像这些同学的一些提分奇迹的话，那你们尽快去添加老师就可以了， 当然老师的时间也是有限的，所以说如果你不是迫切的想提分的话，你就不要来添加老师了哈，把老师的时间留给那些真的想在中考前再冲刺一把，再提个三四十分的同学哈。 ok， 那 以上就是我们这期视频的全部内容了，老师接下来呢，会给大家继续更新我们中考必考的一些高频题型以及对应的解析思路哈，大家千万别忘了三连加关注，我们下期再见，大家拜拜！

初三同学请注意，这类题必须要会圆切线证明相关问题，同学们先暂停一下视频，审一下题目， 那么这道题是证明切线，那么证明切线有两种方法，第一个有交点连半径正垂直，我们的方式是倒角。第二个无交点做垂直正半径，那么方法是全等，或者是用角平分的线性质去证明。我们来看一下第一问，求证 a、 c 是 圆 o 的 切线， 那我们看一下它到底是有焦点还是没有焦点呢？它这个地点就是焦点，它给出来了，所以我们利用连半径正垂直的方法， 先连接 o、 d 好， 连接上之后我们采取的是倒角。那我们看一下题目中给的条件，角 a、 d、 e 等于角 d、 b、 e 啊，这个角和角 d、 b 相等，角 d、 b、 e 标成角二，角 o， d、 e 标成角三，那么在这里大家一定可以看出来了，那么角一和角二是相等的 啊，因为它是等腰三角形，角一等于角二，角一又等于角 a、 d、 e 对 不对？所以我是不是可以等啊？代换角二等于角 a、 d、 e， 这样的话我就可以得出来一组角相等了。那么因为 b、 e 是 直径，直径所对的圆周角是九十度，所以角角二加上个角三等于九十度，这样我们就可以等量代换得出来，角三加上角 a、 d、 e 等于九十度 a， 我 们就挣出来这个垂直了，所以 o、 d 是 垂直于 d、 a 的 啊， o， d 又是半径，所以我们这 a、 c 是 它圆 o 的 切线啊，所以第一问就迎刃而解了。第二问，我们来看一下 c、 d 等于三， c、 f 等于一，让你求圆 o 的 半径，那么在这里老师要给你分享一个方法，如如果在圆的几何图形当中，它出现了两个直角三角形，并且又告诉你 c d 等于三， c f 等于一。那么这类题我们采用矩形法， 采用矩形法的方式去求这个半径，怎么做矩形呢？就通过点 o 做 b e 的 b f 的 垂线，我们垂足标个 m， 你 们用这个虚线去连接啊。那么利用垂直逆理我们可以得到 b m 等于 m f 啊， o d 是 第一个链接的，那这样我们就可以发现，那么 m c， m c 等于 o d， 它是不是等于半径 r 对 不对？然后我是不是就可以得出来 m f 其实就是等于二减一，因为这是一，这是三， 这样的话我是不是就可以得出来 b m 它等于二减一啊？然后 o m 它是一个三，因为这个 o d 四边形 o d c m 它是一个矩形， o m 和 c 等于三，那么 o b 又是 r， 我 们可以利用勾股定律 r 在 r 的 三角形 b m o 中， r 减一的平方加上三的平方等于 r 的 平方，这样的话我们就可以列出来 r 的 方程， 而解出来 r 等于五，这道题我们就迎刃而解了，想要必考题型清单的同学们，评论区请扣一。

中考数学员的证明题，不太会的一定要注意一下了。第一问就是疯狂倒角，不管他证明的是什么，基本上都是各种倒角。 第二问呢？求线段的长度或直径，半径的长度就是相似，相似的话要同角呃，八字 a 字， 然后完了。还有三角函数，三角函数和直角三角形，包括勾股定律都得放到直角三角形里边去，要么做垂线，要么在已知的情，已知有垂直的情况下去求结。

预测一下今年的数学的命题方向，以及我们容易踩到坑，那么结合近几年的命题规律，帮大家做一个精准的预判，尤其是拆解一下最后压轴题，二十五题动点题的考法，以及那些我们特别容易丢分的丢分陷阱，大家有用的话可以点个赞收藏一下，咱直接进入正题， 这个三道压轴题，以及二十二题，二十三题这两道特殊的丢分题，大家一定要注意，今天我们就做精准的预测动点压轴题全卷的最难关卡。 首先说大家对半处的二十五题作为压轴大题，预测今年仍然会延续。几何图形的运动的核心风格，大概率双动点问题，那么背景呢？一般是做围绕着矩形的运动的核心风格，大概率双动点问题，那么背景呢，一般是做围绕着矩形的折叠展开， 那么考法一般是三问，具体第一问一般是比较基础，那么给平行或者垂直的条件，让大家求一下终点的时间， t 的 时间。那么第一个考点一定是非常简单的一个小知识点，如果你做错了，觉得挺难的，请马上调整方向， 他一定是考一个点。第二要求函数的关系表示是一般考面底，面底呢就是求高坐高，勇敢的去坐高，把高一坐问题，一般这个栏路虎就搞定了。 那么第三位一般是特殊图形的存在性，那么也可能是特殊的存在性，比如说平行了，搅拌线了，中垂线了，那么这是特殊时刻，那一般结合着折叠旋转来做，那么这里边有三个特别容易踩的坑，一定要记牢。 第一， t 的 定义， t 的 定义值领域，很多同学上来就练方程，他一般要忽略动点的运动范围，那么点 p 和点 q 是 不是无限运动，那么到终点是回反还是 前进还是停止？那么定义域一旦错了，各位，这个问题就白搭了，没法分类，而且呢会多解少解，一定会出问题。第二个是 分类讨论存在性的问题，直角三角形，两条三角形是吧？三三两两相等，这一定要全面，不要漏解。各位， 咱呢，这个坐标的表达有错误，用 t 表示线段时，特别是要注意涉及到翻折符号，很容易搞反，所以他建议一下，不管题目多么简单，都要用勾股定律或者相似来验证一遍，相互验证一下。 好，各位，我们再看一下这个第二十五题的一个进阶，那比如说是对值和模型的一个缩减，那么除了存在性的问题，第二十五题的第三外，还特别喜欢考对值，比如说对小值最短路径， 我们要立刻联想到两个模型，第一是将军野马模型，两点一线的最短路径，找对天点，各位垂直截取相等。第二呢就是胡不归模型， 那么如果出现系数的线段，譬如说是 pa 等于 pa 加上零点五 pb， 那 么基本上就是互补位的问题啊， 把系数转正转化为正中选值构造，这个直角就可以解决。各位好，另外如果动点在圆弧上运动，那么就是引圆问题。各位，这个省考一般喜欢这门考题，但是我们听到考的少，那么看到定弦定角，立刻想到圆， 对直往往出现在直径或者特殊的位置上。各位，这个一般的命题方向有要求，命题的标准也有要求。再看一下第三部分，我们讲一下这个选填题的压轴题，一般第十题了或者十五题了，那么这压轴题细节决定成败。 那么谈完了这个大题，选填题的压轴题还有两座小山。第九题啊压轴题，我们第十五题填空的压轴题，这两道题一样是九分的重灾区，那么如果是有难度或者是特别费时间怎么办？ 那么今天这个考核的方向，第九题，各位，选择压轴题，极大概率还是要考二次函数图像与系数 abc 的 关系， 那么题目一定会给一堆式子，譬如说是二 a 加 b 大 于零了，什么 a 加 c 小 于零了，什么 a b c 大 于零小于零了。各位应对技巧呢？各位，别硬算，看开口方向，对称轴的位置与 y 轴的交点叫注意哈，注意， 那么各位，我们解析关键的要式就是对称轴打开二次函数的要上，大家注意。第十五题前空一压轴题，我们听到卷，咱们一般考的是几何多解问题，给一个放大正方形或者三角形的一个图，判断四到五个小问号，各位 在各位，大家要避坑别硬推，用特殊指法或者极限思想，那么脑子里一定要有一个运动的图像，不要每一个题都要去解， 特别要注意前边的结论，一定是后边的条件要特别，如果你没有方向，如果是三到五四分钟没有方向，把这个题做一个标记，有可能这个题冷如虎，不要破坏了我们答题的情绪，要注意有做趋势，尤其是对一些 中考生或者是偏僻的学生一定要注意趋势，各位，那么还有一部分就是中档题的隐形限定，除了三道压轴题，那么一般是第二十二题，二十三题这两个中档题也隐藏着暗雷，那么第二十二题一般要注意这面的取之范围。利润问题里， 涨价不能让售价为负，销量不能为负，那么要注意这些生活的常识决定了这个取之范围定义的范围， 那么再看这个二十三题，几何证明的计算，那么重点关注浮线的添加，尤其要注重圆的综合题，今年要注意圆的综合题，我估计今年圆会出大题。各位天象堂判境经理，那么连半径什么隐藏的，这个纯境经理要注意啊各位， 那么再就是里边相关的，求这个是吧，求这个不规则图形的面积，为什么他不规则是因为他有弧，把这个圆的弧归水管的问题找出来就没有问题啊。各位好，各位，给大家三个考场的实景建立，讲多大家也听不明白，听不也记不住。第一个，时间分配， 前边的三道题，如果是你觉得特别费你的时间，那么这个地方要果断去设，做好标记，好，做好标记， 那么要注意这个该拿的分一定要拿到，这个不入分解析技巧，现在批卷阅卷跟以前不一样，以前是看答案，答案不对的话基本上要崩盘，要揪好多分，现在不了，现在是不不得分，要注意啊各位， 那么这重点题也是严格的按步骤来统分，要注意这个步骤的区分性。第三呢，心态要调整，各位，那么遇见一些新定义的题，那也不要慌，比如说是一些不大会的题也不要慌，那么题目长不代表难，审题的难度你得要有耐心读完你一定会做。 各位，今天的干货就到这里，大家记一下，这个口诀讲太多了各位，重点要看范围存在性要分类，填空要种，结果计算呢，要细心。好各位，大家要避开陷阱，拿下高分。好，加油！

青岛市二零二六年数学不参加统考还是自主命题官方发布啊？青岛市二零二六年沿用二零二五年中考的做法，只对道德与法治，也就是道法这一类选择省统一命题的一个形式， 其他学科呢，由青岛自主命题。从青岛市中考数学题命题来看，青岛市和山东省其他地区相比呢，有很明显的青岛特色。 市题呢，和山东省其他城市的中考数学以及省级的统一命题的那一份题目有很大的差异， 比如说青岛重视动点，青岛重重视函数，和几何相似。但是其他地区呢，比如说重视反比例函数，重视探究，重视二次函数的动点，那青岛的话在这些题型上和省统一命题还是差距很大的。所以对于青岛的考生来说，有两大复习建议。 第一就是以青岛本土的一模卷、二模卷中考卷为一托，以三年的一模卷、二模卷中考卷作为一个个体， 把这些卷子练熟练透，适应中考的一个命题趋势。第二就是把山东省其他地区的选择题以及反比例题和三角函数题拿过来可以借鉴参考。因为山东省其他地区的选填以及反比例还有 三角函数和青岛这里还是有很大的一个相似性的，而且的话他们出的相对来说比较新颖，比较好，是我们提升思路，提升思维的一个关键。还有的话就是可以领取我们这样子十一套 中考一模押题卷回去写。这样十一套卷子呢，是最新的青岛的一模二模，山东省以及其他北师大版本地区出的新题， 李老师呢，把它整合成了这样子的十一套卷子，每一份卷子都有坑，每一份卷子都有可圈可点的一个地方。这样子把十一份卷子领取回去，结合上真题，那这样子适应青岛中考没有什么问题。冲刺一模，冲刺中考，回复九八五即可领取。

二零二六中考预测二零二六一个关键词就是旋转，请问一下我在干什么？我在旋转。旋转能得到什么？以我为圆心画圆，他可以得到隐形圆。旋转还可以得到什么？旋转可以得到 两个三角形，旋转前后全等全等意味着对应角相等，对应边相等。旋转还有哪些模型呢？旋转有手拉手模型，手拉手有手拉手全等，有手拉手相似，手拉手全等是在共顶点处两腰相等，等腰三角形或等边三角形的旋转得到手拉手全等。 如果是不等腰的，是手拉手相似，还可以得到什么？他也有可能会考飞马点模型，但是这个概率很低，但是你要去看一下哦。

同学们好，今天给大家分享一道中考题里边圆的综合型题目。首先看已知条件里面，已知一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后一个圆 o 经过平行四边形的三个顶点 a、 b、 c， 那 然后这个和这个平行四边形的这个 c、 d 这条边产生一个焦点 e， 也就是说这个圆 o 经过 a、 b、 c、 e 这四个点。 第一问就让我们求证 a、 d 等于 a、 e。 很 显然 a、 d 和 a、 e 在 同一个三角形中， 那么我们就要去根据等角啊对等边来解决这个问题。如果让我们求证的那两条线段不在同一个三角形中，那么我们就要用去全等解决这个问题。 在同一个三角形中，我们就要用等角对等边解决这个问题，显然就是让我们来证明角 d 等于角 a、 e、 d 的 问题， 那可以再来观察。提到了平行四边形，而我们要证明的角 d 恰恰是平行四边形的一个内角，所以说我们就要想平行四边形的角的性质。 平行四边形的角对角是相等，邻角是互补，所以说要正这两角相等，肯定要转化，那角 d 写了就等于这个角了，写了就等于这个角了。那同学们再来观察，这个角和这个角他肯定应该是相等的， 那再观察这两个角，他又和谁会有联系？第一问，其实很简单的一个最关键的一个定律， 圆的内接四边形 a、 b、 c、 e 恰恰是这个圆 o 的 一个内接四边形，圆的内接四边形，对角互补。 哎，这个角加这个角，是啊，一百八十度，这是圆的内接四边形对角的性质，对吗？啊，它加它也是一百啊八十度，所以它就等于啊它了，而它又等于啊角 b 平行四边形的对角相等， 很简单就完事了。这个第一问就考察了一个圆的内接四边形对角互补，但是往往这个定义被同学们忽略掉，所以说一出现圆的内接四边形对应首先要想到的就是圆的内接四边形对角互补。这是第一问。第二问， a d 为圆 o 的 切线， a d 为圆 o 的 切线。那么一提切线，我们马上就要想到连接圆心和切点，当然这个图上已经给我们连出来了，显然这里就是垂直的， 这个问题的关键点，明白吗？解决这个问题的突破点就在这个垂直上，如果这个垂直用不上你第二问，这两小问，你一问也做不出来， 那你垂直了，连 a o 并延长，交 b e 于点 j， 交 b e 于点 j， 显然这里是垂直的。朋友们啊，第一问就让我们求证，角 abg 角 abg 这个角，角一 等于二倍的角 b a j b a j 等于这个角二的二倍。哎，求证，角一等于二倍的角二。转换成这个问题，换成数字好看一点，那么如果这个垂直你用不上他们这个角你是永远也挣不出来的， 那么这个垂直有什么用？悬在这里显然是没用，对吧？看这里，看这里，是看，看不出来有什么作用，这是一个平行四边形的，不要忽略了这个大前提，这是一个平行四边形，那就是在告诉我们这个两组对边，它是啊平行的。 那么要想找这两个角的关系，你可以给你平行转化一下，角一显然就等于这里的角三，角一等于这里角三，而 a、 d 和 bc 他 也是平行的，那你这个垂直你用不上，你继续给他延长，这不就用上了吗？显然这里就垂直了呀， 两直线平行，内错点相等，所以说这个垂直在这里是用不上的，对面你要借助于平行给它转化到这边来，过圆心了，垂直于弦了，那这个时候这个问题就解决了， 那么再来看，对吧？啊？垂直这个弦之后，实际上它也平分这个弧过圆心了，垂直弦它也平分这个弧 bc， 那 刚才我们已经证明了， a、 e 和 bc 是 相等的呀， 那这两段弦相等，那这两段弦对的弧也就相等了，也就是弧 bc， 它等于的是弧 a、 e。 为什么相等啊？因为这两段弦相等，弦 bc 跟弦 a、 e 是 相等的，因为 bc 和 ad 是 相等的， 弦相等，那弧相等，弧相等，那这两根弧对的圆周角，它不就相等了吗？弧 bc 对 的圆周角，显然这里连起来， 弧 bc 对 的圆周角显然就是角啊， b、 a、 c 了，而弧 a 一 对的呢，恰恰是我们要找的那个角一啊。那同学们看一看，这个角 b、 a、 c， 角 b a c 等于不等于角二的二倍呀， 显然这就是垂径定律，这里垂直了，也平分了，所以 ab 和 ac 是 啊，相等的呀，等腰三角形三线合一，这是垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离啊，相等的，你们这里垂直了，平分了，垂径定律，所以 ab 等于 ac， 那么等幺三角形三线合一，所以这个角四吧，角四和角二就相等了，显然角 b、 a、 c， 它就等于二倍的角二了。哎，它等于二倍的角二，那就等于角一，所以这个答案就出来了， 那同学们，有的同学会转化成这个角， b， e、 c 也可以， b， e， c 和这个角还是相等的，同弧所对的圆周角相等就可以了。 哎，关键是这里你要用到这个垂径啊，定力同弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半，这里没用到啊，这里这个弧，这个弧， 关键是要用这个弧啊，这里垂直这个弦了，那平分这个弦了，也平分这个弧了，所以这个弧对的角二，跟这个整个的弧对的这个角，他也是二倍的关系。这是第一问，同学们啊，这是第一小问， 这个接下来主要是来讲这个第二小问给你们啊。第二小问是最有深意的一一问，如果咱们把里边没用的线先给它擦掉啊。 如果 b j 比上一个 e j 等于二比三，那么显然这是一个分点给你们， b j 比上一个 j， e 等于二比三。出现这样的比值的时候，我们必然就要想到什么相似性啊，肯定要用的相似， 那么出现中间一个分点，上面这个线段比下面这个线段之笔出现这样的笔直的时候，我们肯定要想的就是构造相似啊，八字形，而且这里出现了平行的同学们，嗯，所以说接下来我们就要去构造 b g 和 g e 所在的那个八字形，而且要借助于这个平行， 很显然我们就要想到要延长，这里延长之后延长 a j 和 dc 交于点 m， 哎，这就产生了一个 相似八字形，看出来了吗？相似八字形，那 b j 比上一个 e j 等于二比三，那 a j 比上 j m 也是二比三， ab 比这个 ab 比 m e 也是一个二比三的关系了， 那肯定我们要要求的是扣三以内的同学们啊，离着这个结论还远着呢。接下来咱们就研究这个八字形的同学们啊，刚才咱们做了垂连接 a o 并延长这里垂直之后，这里显然这就成中点了。其实这里你延长了这个还构造出了一个全等啊八字形，你看 n 是 中点， n 是 中点， 怎么这么不像啊？哎哎，你是重点，那三角形 a、 b、 n 和三角形 m、 c、 n， 它俩又成了一个全等八字形，也就是我们这样延长之后，构造出一对相似的八字形，还构造出一对全等的八字形， 哎，正好还把这个二比三转化到了这个相似的八字形里边。那如果我设这个是二 x 的 话，那这个 e、 m 写的就应该是啊三 x 了， 因为他俩之比等于他俩之比，是二比三吗？那么这是二 x， 这是三 x， 那 么根据这个 a、 n、 b 和 m n c 他 俩全等，他是二 x， 那 么他也是二 x， 显然这个就成了一个 x 了， 这个 c、 e 就 成 x 了，这是二 x， 这是 x， 加起来是三 x， 那 他是 x。 你 再来看 ab 和 cd 是 什么关系啊？ a、 b 和 c、 d 也相等啊，他也是二 x， 既然这个是 x， 显然这个也是 x 了，所以整个的线段 dm 的 长度就出来了，一个 x， 一个 x， 两个 x， 他 就等于四 x 了， dm 的 长度四 x。 而且我们这样延长之后的你有没有发现，这样延长之后，我们恰恰把角的放到了这个最大的直角三角形中来了，恰恰放到了这个最大的直角三角形中来了，所以说求 cos， 你 得首先要把角的放到直角三角形中去， 那在这里边显然要求 cosine d， 你 得找找这个邻边比啊。斜边邻边 a d 还不知道斜边知道是四 x 了，也就是我们要用含 x 的 代数式去表示一下 a d 或者是 a e， 那么这里我就用到了这个相似三角形这个摄影定律的形式。兄弟们啊，过点 a 做垂直，为什么做垂直？因为我不刚才正了吗？这是等腰三角形做了垂直之后，这个是二分之一 x， 这边这个也是二分之一 x 了， 这里标上一个字母 q 吧。哎，这个是二分之一 x， 这也是二分之一啊 x， 那 最后再来观察，这是二分之一啊，这是二分之一。那如果这个角 d 放到这个直角三角形扣三，他邻边比斜边也能解决这个问题，那接下来这就是摄影定律的形式。同学们， 那大家观察这个角 d 和角 d， 它是相等的，那个角 a q d， 它等于角 d a m 都等于九十度，也就是说最小的这个小三角形和最大的整个的这个三角形，它就是一对相似啊三角形了。 他俩相似之后，斜边 a d 比上斜边四 x， 这是小三角形的斜边，这是大三角。斜边就等于小三角形的短直角边二分之一 x 比上这个大三角形的短直角边 a d 了。 如果你知道摄影定律的话，可能这个一下就出来了，所以 a d 的 平方就等于四 x 乘以二分之一 x， 也就是二 x 啊方了。四 x 乘以二分之一 x， 也就是二 x 的 方了，所以 a d 等于的是根号二 x， 那 a d 出来了，扣三以 d 就 出来了，扣三以 d。 你 可以在这个小直角三角形求，也可以在整个的大直角三角形求， 那扣三 a， d， 我 们在大直角三 a， d 求，那就是 a、 d 比上一个邻边比上斜边 d， m 了，也就是根号下根号二 x 比上一个四 x 约分就等于四分之根号二就 ok 了。 这里关键是这个辅助线的做法。朋友们啊，这个 b、 g 和 g、 e 一 出现，你要想到借助于平行四边形的对边平行去构造这个相似啊八字形， 而且这里恰恰出了终点，你这样一眼连接，又出现了一个全等八字形，设一个字母 x 表示所有的里边想表示的线段的长度。 这里为什么要想着做垂直，我们要求 a， d， 你 光一个斜边显然解决不了，所以我就在这想到了摄影啊，定做了一个垂直，恰恰把这个二这个 x， d， e 给它平分了，等腰三角形三心合一。 所以说这就出现 a、 d 的 平方就等于 d， k、 o 比上一个 b， m 了。这就是摄影地理的内容，正一个相似角角就 ok 了。哎，这个题是套路比较深，希望能够帮到大家。

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。

中考数学要拿高分，圆一定不能出错。方老师总结了二十一题圆的几种考法。第一问，通常都是正切线， 常见正法是利用角度的代换。注意，如果出现弧的中点，那么连完半径之后，半径会垂直平分弦常利用平行来正切线。第二问，常见有三种考法，第一种是直接求半径，这是二五年中考题。 第二种是求弧长，这是二四年中考题，切记弧长公式要牢记。第三种，求阴影部分的面积， 常见做法是用扇形的面积减去三角形的面积或者梯形的面积。这三类的辅助线是直接连半径或者连完半径之后做垂线构造直角三角形或矩形结合勾股定律或者相似来求半径。圆形角。 注意，圆的性质很多，考前一定要牢记，强加复习。方老师预测今年考阴影部分面积的概率很大。