中考几何模型必刷题500道

费马点旋转六十度，四点共线最短。阿式圆构造相似三角形线段最短， 胡不归垂线段最短。手拉手模型，刮豆原理的模型，将军赢马模型。你看，以上是初中三年级数学必考的几何模型，像燕尾模型啊，手拉手模型啊，将军赢马的模型等等， 每一个模型呢？它具体是怎么证明的？怎么去画辅助线？它这里面全部写的清清楚楚。考试做题的时候呢，可以直接套用对应的模型，就可以轻松的解析了。 那看不懂怎么办？没关系，扫码免费看视频讲解，手把手的教孩子吃透这个模型，并且学会这一整个模型的通用解析方法。这么好的工具书，赶快给孩子背起来吧！

初一下，北师版的同学们注意了，陀螺模型多，模型可是解几何题的隐藏大招，书上没有，学校老师也不教，但是学霸们都在偷偷学，像这道题啊，求证！ p c 等于 p e 的 题很多人压根不会，但如果你听我讲过，陀螺模型多，就真的能在考场上快速拿下。 今天老师用最简单方法教你婆罗摩基多有两大考法。好，我们来看题。首先呢，如图所示，你看到的是第一大考法，给大家标记一下啊，条件呢，就是两个 a， b， c 和 e， a， d 的 等腰直角三角形， 等腰直角三角形， ok， 然后现在呢，我们还有一个已知条件，是知道了这里的 a 点，向我们 b、 d 的 这个线段做这个垂啊，已知垂直， 或者说已知垂线，然后我把它反向延长，交 c e 这个线段于 p 点。我现在要干的事情就是去证明 p 点为 c e 的 中点好，这是他的第一种考法。我们先来讲清楚，这第一种考法也是考的比较多的哈，首先呢，这个题拿到手以后，咱们首先想到什么？对等腰直角这样型，我们想到了三垂值全等模型，来备注一下啊，三垂全等。 那三垂全等呢，有个口诀啊，叫做等腰直角穿心线，这个是穿过了九十度的一条线，对不对？三垂全等来相见。所以呢，我们过四十五度角这个顶点向这边做垂， 好吧，他已经有个天然的垂直了，另外一个辅助线就是延长他。然后呢，过 c 点也是四十五度角顶点向这边做垂。比如说 c m， 我 们可以非常轻松地挣得这个 b a、 f 和我们的 a、 c、 m 是 全等的，我们来标一下条件啊，首先呢，我们知道这个边和这个边是相等的，对吧？其次呢，三垂嘛，一个垂直，两个垂直，我做了三个垂直，对不对？那么你会发现这个点加这个叉是几度？九十度，那这个叉加这个角呢？是不是也是九十， 对吧？所以说这个点和这个点相等，这个九十和这个九十相等，对吧？再加上 ab 等于 ac， 所以 我们可以非常轻松地证得三角形。谁呢？ bfa 全等于三角形，我们的这个 a m c 啊，我们的判定依据呢，就是角直角边，那就是角角边 a a s。 好，那么他这一组全等我们就可以得到什么呀？对应边是相等的，看这个 af 是 不是等于这里的 c m， 对 吧？ af 等于 c m， 所以 说 af 对 应边等于 c m， 这是第一组全等了。 好，那第二组全等呢？也非常的简单啊，对吧？啊，直角顶点穿心线，三垂全等来相见，我这里做一个 e n 垂直。 好，大家继续找。这个边和这个边是不是等？要直角三角形两条边，对吧？然后呢，这里有一个双线角和单线角，是不是互余，对吧？因为下面是九十， 然后呢，这里是九十，那么双线角和这个单线角是不是也是互余？大家去看啊，九十单线角，九十单线角，这个边和这个边是，我们又正了一组三垂全等。好，来第二个全等，我们来写一下啊，第二组全等就是三角形，谁 a f d 全等于三角形， a f d 和我们的这个 e n a， 注意字母对应，写好角角边。好，那我们就可以得到什么呀，我们就可以得到这里的对应边啊，这个 a f， a f 和这个 e n 是 相等的，对吧？好，大家去想啊，都等于 af， 那 所以说 e n 和 c m 是 不是就相等？好，有了这样一组相等，你证明它这个点是我们的中点，怎么证？大家非常清晰，就要证明三角形，谁啊？三角形，我们的 c m p 应该是要全等于我们的 e n p， 好吧，应该我们来看一下条件啊。首先这里面有九十，有九十对顶角又相等，是不是再找组边就行了？而这组边你刚刚已经正过了对吧？是不是因为都等于 a f， 所以 说我们的 c m 和 e n 是 不是相等，对吧？那么就发现啊，这个角直角，这个边也是角角边， 他俩如果全等以后，那么我们的 c p 和 e p， c p 和 e p， 所以 说 c p 等于 e p， 那 么 c p 等于 e p 的 话，是不就是 p 点是终点是就正出来了呢？好，这是婆罗摩极多最常见的第一种考法，难度系数可以说是四颗星。 好，大家感兴趣的同学呢，可以告诉我，婆罗摩羯多的另一种考法，你会做吗？不妨在评论区我想看到你们的答案啊，跟大家说一下。另一种考法就是我已知这里是终点，现在让你求证的东西是条件， 请你帮我证明，我终点这条线往下延长，请问这个地方是不是九十度呢？哎，它变成了问题，感兴趣同学可以把这样一个题再次证明一下，我们下一个作品给大家好好分享。难度系数五颗星哦，评论区告诉我吧！

中考数学，想在两小时内拿下考试一百二十分的题，一定要学会几何模型解析，如果每道题都要现场想，思路破解很难都做完。建议孩子从初一开始学这六十八个几何模型。初一到初三常考的模型都包含了大体有思路，小题套模型。你看将军印马模型、手拉手模型、八字模型、 胡不归模型、阿式圆模型，每个模型都有模型证明和核心母题，母题解析也很详细，每个模型后面都有实战练习题，巩固所学知识，不明白的还可以扫码看视频讲解。掌握了这些解析模型，摸清楚出题规律，数学几何题也就没那么难了，抓紧练习起来吧！

赶紧收藏一个视频带你看完中考几何四十八套模型，收藏起来慢慢看，看完绝对超值！ 中考几何模型一、双中点模型如果 m、 n 分 别为 a、 c 和 b， c 的 中点，不管点 c 如何变化， m n 始终等于二分之一 ab。 因为 m n 等于 mc， mc 是 mc 的 一半， mc 是 mc 的 一半，所以 m n 就 等于 ab 的 一半。中考几何模型二、双角平分线模型 若 o、 m、 o n 分 别为角 a、 o b， 角 p o b 的 平分线，那么角 m o n 始终等于二分之一角 a o b。 当 o p 在 角 a o b 内部的时候，角 m o n 等于角 m o p 加上角 n o b， 而角 m o p 和角 n o b 分 别为角 a o p 和角 p o b 的 一半， 所以角 m o n 相加就等于二分之一。角 a o b 外部的时候，角 m o n 等于角 n o b 减去角 m o p， 角 n o b 等于角 p o b 的 一半，角 m o p 等于角 p o a 的 一半，而 p o b 减去 p o a 正好等于角 a o b， 所以 角 m o n 等于二分之一角 a o b。 中考几何模型三、猪蹄模型若直线 m 平行于直线 n， 则阿尔法加贝塔等于伽马。证明方法非常简单，过点 h 做直线 m 的 平行线。根据平行线的传递性，可证明三条直线互相平行， 此时伽马被分成两个小角，这两个小角分别对应等于阿尔法和贝塔。中考几何模型四、铅笔头模型 模型结论，若直线 m 平行直线 n， 则阿尔法加贝塔再加伽马等于三百六十度。证明如下，过点 h 做直线，与直线 m 互相平行。根据平行线传递性，三条直线彼此平行，再根据两直线平行同旁内角互补， 得到两组互补内角相加总和就是三百六十度。中考几何模型五、鹰嘴模型如图，若直线 m 平行 n， 则角 c 等于角 a、 加角 b。 证明十分简单，只需要延长 a、 c。 根据两直线平行，同位角相等，得到角 b 等于外角，再利用三角形外角定里，外角等于角 a、 加角 b 直接得正。中考几何模型六、八字模型 先看普通版本，角 a、 加角 b 等于一百八十度，减去角 a、 o、 b、 角 c、 加角 d 等于一百八十度，减去角 c o d、 角 a、 o b 和角 c、 o、 d 是 对顶角，角度相等， 所以最终得出角 a、 加角 b 等于角 c、 加角 d。 再看进阶版本，利用普通八字模型结论进行推导即可。中考几何模型七、飞镖模型 普通版结论，角 a、 加角 b、 加角 c 等于外侧大角 d。 证明方法，连接内侧线段并延长外侧大角，分成两个外角，分别套用外角定里即可证明进阶版 就是两个普通飞镖模型叠加，证明思路完全一致。中考几何模型八、 a 字模型一共分为两种，正 a 模型和斜 a 模型。无论哪一种，核心都是三角形相似，对应边长成比例。 正 a 模型上下对应边，依次成比例。斜 a 模型找准对应边角，对应边长同样成比例。 做题务必分清类型，找准对应边，避免出错。中考几何模型九、老鹰抓小鸡模型模型结论，阿尔法加贝塔等于伽马加德尔塔。证明方法，连接内部两点，构造三角形，把阿尔法和贝塔转化为三角形，外角套用外角定理，直接证明 中考几何模型时，夹角高分模型， a、 e 为角平分线， a、 d 为高线，可快速求出两者夹角。当平行线遇见中点，会出现各类经典几何结论， 矩形三折翻折问题，找准线段关系，套用勾股定律即可求解大树折断经典题型， 结合生活场景，求出树木原本高度，蚂蚁爬行最短路径。掌握方法，轻松解题。对角线互相垂直的四边形，中点四边形一定是矩形，对角线相等，中点四边形直接变为菱形正方形。经典结论， e f 垂直 g h 就 一定能推出 e f 等于 g h。 快 速求解线段最值问题，对角互补模型，奔驰模型、飞马点模型全部梳理到位，熟记对应口诀，快速看懂衔接角定理， 一个视频看懂圆密定理全部用法，快速求解线段最直最短距离。中考必考一线三等角相似模型， 三角形相似经过旋转变形衍生各类考题。初中几何所有难题全部来源于各类模型的变形组合。关注我，掌握更多中考几何解析思路！

中考数学几何模型汇总常考十六种模型极例题，一、角平分线的五种模型。二、单中点与双中点模型。三、对角互补的三种模型。 四、半角模型与背角模型五、一线三垂直模型。六、全等三角形的五种模型七、相似三角形的五种模型。

好的，每天打卡一题，中考数学无问题啊，欢迎来到冰城老师中考数学三百六十五道几何问题精讲系列课程啊！那这一题呢，是这个系列的第五十九题，也是我们第三个大专题将军一马模型的啊，第十九题啊，有需要这本练习册的同学可以后台私信冰城老师，每一题都有详细的视频讲解和详细的文字答案啊。 这题考察的是将近一码模型在正方形里面比较经典的一个综合题啊，考察的知识点比较全面啊，是适合我们初三同学去做一个提升的啊。我们一起把题目看一下，那如图，正方形 a， b， c， d 中啊，已知我们的边长啊， ab 等于一连接 a， c 啊，对角线 a， c， d 角， adc 的 角平行线 ad 啊 啊，交 a d 于点 a， d 于点 e 啊，在 ab 上截取 a f 等于 d e 连接 d f 啊， a， f 等于 d e 在 这里，对不对啊？再连接 d、 f， 分 别交 c， e， c 于点 g 点 h 啊，点 p 呢，是线段 g c 上的一个动点， 且满足什么 p q， 它是垂直于 a、 c 的 啊，垂直 a c 在 这里， p q 垂直 a c 在 这里，对吧？连接啊，我们的这个 p h p h。 连接 p h。 好 让我们判断下面四个结论。同学们，这题如果出现在我们考试的题目题中啊，还是要一问一问去看的啊。 按顺序来，首先让我们判断 c 一 是否垂直 df 啊， c 一 垂直 df 应该很好判断吧。 c 一 啊， d f 是 垂直的吧，因为什么？因为他取了 a f 等于 d e， 实际上我们很容易证明三角形啊， c， d， e 对 吧，三角形，直角三角形 c， d e， 它和三角形直角三角形 d a f 啊，是全等的吧？那这样全等一来啊，可以很容易证明它是垂直关系啊，所以第一位是对的啊，那第二位呢？ 他说 d e 加 d c 等于 a c， 我 们看一下 d c 是 边长，然后再加 d e 等于 a c， 也就是说边长再加 d e 等于对角线，我看下是否成立啊？好， 第二问，介于我们第一问的这个垂直关系啊，垂直关系在这里垂直，那么因为这个角是角平分线啊，所以我们是不是也很容易证明啊？三角形 c g h 啊，它是全等于三角形 c d c g d 的， 对吧？啊，所以我们这个 cd 啊，它是等于 c h， 没毛病，对吧？现在只要判断我们的 d e 是 否等于 af 就 行了吧？那同学们， d e 是 不是等于 af 啊？ d e 是 不是等于 a h 啊？ 能不能判断？当然能判断啊。啊，因为有什么？因为我们可以看到啊，这个角啊，等于这个角吧，对应角吗？对吧？又因为这个角它等于这个角，我们刚才在这里面判断了 cd 等于 c h 啊，所以啊， 是吗？这个是，如果说这个是角一的话，这个这个是角一吧，那这个角一，这个角一，所以我们的三角形 a h f 是 等下三角形会有 af 等于 a h 吧，那 af 呢，它实际上又等于 d e， 对 吧？所以啊，我们就判断出了 a h 是 等于 d e 的， c d 等于 c h， a h 等于 d e， 是 不是就是满足了我们第二个呀，对吧？ 好，第三问，关于边长的一个关系啊，关于边长关系，结果我们这边只要设啊，我们这个 a h 等于 a， 对 吧？那请问同学们，我的边长 a b 等于一，我整个 a c 啊啊？比如说第三问，我设 a h 等于 a 的 话， 那我的 h c 是 不是等于 a c 再减掉 a h 啊，对吧？ a c 根据边长是一，它的根号二吧，根号二再减掉 a 吧，对不对？ h c 我 们刚才说了，是不是等于什么 d c 啊？ d c 我 们知道等于 b 等于一，实际上就满足了。根号二减 a 等于一吧，那 a 实际上等于根号二减一，对不对？好，我们来看一下啊，现在是 e a 对 吧？让我们看 e a 等于多少，因为我们的 a 求出来了，那 e a 是 不是比较好求啊？ e a 它等于边长，它就等于二减，根号二，没毛病吧，然后我们 e a 求出来了，然后你看这个，再判断下 a h 多少？ a h 刚才说了， a h 就是 a 吧，是不是 a h 就是 a 吧，那 a h 啊，它等于 根号二减一，对吧？那现在 e a 等于这个啊，我们可以进行一个除法。第三问啊，它是不成立的，好，第四个啊，我们看一下啊，第四个， 让我们求 p h 和 p q 的 最小值。同学们，我看我们分析一下 p 点是什么点？ p 点是线段 c g 上的动点，对吧？那 h 点跟 这个 h 点，因为 h 点是定点吧， q 点也是跟着 p 点去随着 p 点而动的动点，对不对？所以我们这会啊，两个动点，一个定点啊，就两动一定啊，我们也是要做一个对称吧，所以我们不妨过 c e 啊，向另外一侧做 q 的 对称点，叫 p q 撇点，对吧？因为这两个角啊，它是角相等的，角平分嘛，所以 q 撇点必定是落在我们的 c d 上，好吧，那这时候我们连接一下我们的 q 撇，那再连接一下我们的 h q 吧，对吧？我们的最小值 p h 加 我们的 p q 就 转换成了我们的 p h 加上 p q 撇点吧，对吧？两根据三角形的三边关系，它是大于等于 h q 撇吧，对吧？ h q 撇等于 h q， 那 什么时候取得呢？三点共线的时候取得吧。那什么时候三点共线呢？垂直的时候能取得啊，对吧？所以 m n 它最小值啊。 h q 啊，我们是要向底边做垂线， 嗯，这个 q， 对 吧？这个 q 点啊，才是它的最小值吧。 h q 点 h q 就是 三线合一的时候 h q， 根据啊，我们这个直角三角形啊，可以求出来啊，它等于二分之根号二，对不对？ 所以啊，我们这边正确的是我们的一二四吧。啊，一二四，好，同学们，那做到这里呢，有什么需要我们总结的吗？ 啊，我觉得这边第一个呢，就是对于这种综合问题啊，我们要善于利用我们学过的全等学过的平行线啊，以及我们学过的这个呃， 将军密码模型啊等等一系列的这个做法啊，去综合才能把题目解的出来。好吧，这是个综合题啊，同学们，我觉得还是有一点提升提升能力的这个效果的啊，这一题啊，希望同学们去收藏，好吧。

胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！

好的，每天打卡一题，中考数学无人敌啊！欢迎来到冰城老师中考数学三百六十五道结合模题精讲系列课程，这一题属于这个系列的第五十八题，也是我们第三个大专题，将近一万模型的第十八题啊。首先我们一起来把题目看一下，如图，三角形 abc 是 等边三角形的边长， ab 等于六， n 是 ab 上的中点，那 a、 d 是 b、 c 边上的中线。我们知道等边三角形的三线合一吧，它既是中线，也是高线，对吧？ 也是角平分线，那点 m 是 a、 d 上的一个动点，连接 b m m n， 让我们求 b m 加 m n 的 最小值。好，求 b m 加 m n 的 最小值。那现在 b 跟 n 都是定点， m 点是什么？ m 点是动点吧，也是 两定一动的情况啊。我们还是按照将军一马模型要做对称吧，我们将 b 点沿着 a、 d 做对称过来，因为这个是垂直平分线啊，也是高线啊，也是角平分线啊，所以它的对称点肯定在 c 点，对吧？ b 点的对称点啊，第一步啊，所以做 b 点。关于啊， a、 d 对 称， 那它在 c 点吧，那我们连两点之间啊，线段最短，现在 n 点和 c 点就都是定点。所以啊， 所以什么？所以？原则上求 b m 加 m n， 我 转化成求什么 m c 再加什么 mm 吧。那在三角形 m n c 里面，这是两条边， 那两边之合肯定大于第三边吧。什么样情况可以取等于啊，三线，三点共线的时候吧。什么情况下三点共线？也就是说当 c 点向底边做垂直的时候啊，三点共线对不对 啊？那这时候可以取等于，所以啊， b m 加 m n 的 它的一个最小值啊，它实际上就是等于 nc 吧，因为 n 点是中点吗？所以这个高线肯定是他的最小值好，边长等于六，那他的一半 b 也等于三，那这个 nc 他 肯定等于三倍根号三吧。啊，所以最小值是三倍根号三 好，这一题啊，跟前面做过的题目都一样啊，是两个定点一个痛点做垂直啊，然后利用三角形的三边关系啊，我们解除最小值啊，是三倍根号三。好吧，同学们。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似多模型综合。今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该 属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字 八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这，给你个比例翻点，这是 a， 这是 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊。自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八，反 a 八，反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a， 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八。反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八，反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似。不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的，好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似，三个直角就可以导互于正相似。阿尔法。贝塔互于，贝塔和他互于，他也是阿尔法，阿尔法和他互于，他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法、贝塔、贝塔相等就相似。 好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似。本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示。那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形。既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己比。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比就等于它的三边比， 这就是用相似的两种方法，而只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 上。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积。 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔 啊，这个也贝塔。好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c。 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s， 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好？表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四，算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为，好，再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了， 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比，哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了，这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示。这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉是不是就是 s 一， 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s 三角形 a 撇 e， f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好，算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一。 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积？它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面要核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意 就是用相似表示线段的方法好来看第二题，第二题能不能看出来它考的是个什么？相似？八字相似，哎，捅八字捅哪个点？统一点，非常好。这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似， 相似比是多少呢？啊？你可以看自己比，他的自己比是六和六，他的自己比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 d f， 我 要求 d f。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在 什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字 相似比是多少？相似比就是一比二嘛，相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以做个答案， d f 就是 四结束。哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间假比例关系，你把它捅出去就造八字。注意， 捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有两个八字，你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束， 这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。好再来好来看看这个题，这个题他说什么？说这两个都是角分线，然后呢，这九十度，这九十度，这是一个梯形啊，把这条线段转过来啊。最后呢，让我们求什么？就是告诉我们这条线段是二 啊，他俩的比是根号五，最后要求 a d 的 长。首先当你看到双角分线的时候，两个角分线为什么要给你双角分线？一般来说，双角分线意味着这里看和差，和差定值，那么双角分线一半啊，两个一半也是定值，你看一下这两个角的和差是不是定值， 一定要去这么想，为什么是这么说呢？因为当出现双角分线的时候，如果原本和差是定值，那么双角分线一半和差也是定值，他就是这么编的。题，当出现了双角分线，那意味着什么？ 意味着可能如果原本的和差是个定的，那么双角分线之后一半的和差也是定的。和差吗？就是加起来吗？来，那么这两个角的和是定的还是差是定的吗？因为这两个同旁内角互补，他俩加起来是一百八， 他俩加起来，也就是说两个阿尔法加两个贝塔等于一百八十度，那么阿尔法加贝塔是不是就等于九十， 对吧？因为同旁内角互补，两个阿尔法加两个贝塔一百八，一个阿尔法加一个贝塔九十，那么这就是九十度。因为这个角加这个角互余，那么这就是九十度，这就是你看到双角分线以后该有的意识。而这个角分线呢？还有第二个玩法，你看啊， 当你看这个角分线上的点，因为我们角分线，你看角分线还有第二个角分线，如果你看到了一边造垂直， 那你是不是一定要去看一看另外一边再造垂直，就会得到权能，对不对？来，你看这条角分线上的点，已经向他的角的一边做了垂直， 那我是不是就应该顺手再由意向谁去做垂线？我是不是应该再由意向 c、 d 去做垂线？ 一旦做完垂线，那你会发现这两条垂线段是不一定是相等的，这两个三角形也一定是全等的。那么同样的道理，这个 e h 不 光等于 e a， 这个 e h 不 光等于 e a， 还等于谁？ e h 等于 e b， 因为这条线也是角平分线，他往这边做了垂直，还往这边做了垂直，这两个垂线段长肯定也相等，还等于 e b， 好， 那么这样的话，我其实得到了 e a 等于 e b 这个点， e 它是一个终点， 这就是角分线做垂直造全等，哎，我就得到了这个等于这个等于这个，这都相等，还等于这个。好，那这个时候既然我们知道这些线段都相等了，我就应该干什么了，哎，我就应该射了吗？那我肯定把它射出来，我就射，这是 a， 那么这也是 a 啊，那这是 a 啊，这还是 a， 对 吧？ a a a a， 然后呢，人家要告诉我们， ab 等于根号五倍的 bf， ab 是 多少？ ab 是 二 a 等于根号五倍的 bf， 所以 这就是二 a， 再除以根号五嘛， 对吧？你看它是它的根号五倍，这是二 a， 这是二 a， 除以根号五，那么 bf 也就表示出来了。 这是一开始我们对条件的解读啊，包括双角分线，包括向两边做垂线，包括呢？这些相等的线段，我把它设出来。好，那么最终这道题要求的是 a d， 要求 a d， 要求 a d， 这显然是放一个三垂直里面去求，没问题吧？ 当你得到这个是九十度的时候，你要求 a d， 显然是放到这个三垂直里去求，这个三垂直太明显了，对吧？为什么一定是放到这个三垂直呢？因为你会发现，你要放上面这个直角三角形，啥条件也没有，所有的条件几乎都集中在下面来，那么这一下呢？我们从哪入手去求呢？大家觉得这里面目前 最关键的三角形是哪个三角形？这个三角形是已知条件目前最多的三角形，那我肯定从这入手了， 锁定这个三角形，那这个三角形是一个等腰三角形，你要想用这个已知条件，你怎么办？三线合一，第三步就是等腰三角形，三线合一，等腰三合一。注意，为什么在这个想到要在这个等腰上去做三合一呢？因为这个这个等腰三角形条件太多了，我一旦做完三合一，哎，那你会发现，这就是根号五分之 a， 这也是根号五分之 a。 好 了，那这个直角三角形，它的三边比就是一比二，比根号五。看斜边和短直角边的比是根号五比一嘛？根号比一，我给你画一下，它其实就是 一比二，比根号五的三角形，它是它的根号五倍，它是它的根号五倍，那这就是根号五分之二 a。 来，再来，我现在知道了这个三角形的三边笔了，然后呢，我就想办法要找跟他相似的三角形，这是九十度，这是九十度。来，看好了，这一个九十，这两个九十，大家能想到啥？再往下，我得到了这个三角形三边笔，我肯定要想办法用它，一个九十，两个九十，大家想到啥？内三垂直，为什么说内三垂直？来，我给你在这画一下，看，这是九十度， 拉了一个条线，这是九十度，哎，那自然，我在这再来个九十度，这是不是就是内三垂直？所以呢，我一定是过哪个点向下做个垂线，过 f， 我 再向下做个垂线，一旦做完垂线，哎，那你会发现这两个绿色的三角形就构成了内三垂直。内三垂直意味着这个三角形的三边比也是一比二，比根号五， 所以他是二， a 除以五，然后他是他的二倍，这就是五分之 四。 a 看，一比二比更好。五，因为这两个三角形相似，用一次自己比，所以第四步是内三垂直，对吧？内三垂直就是这两个绿色三角形相似，他是一比二比更好，五，他也是一比二比更好。五。 好了，到这呢，我们都表示出来这么多线段了，来，能不能带上这个二，来把这个 a 算一算。你这次应该观察了，这么多线段都有了，看一下 能不能列出相似。这又有一个 a 字了，看，这两条线又是平行线，哎，那么这一个平行线就会出现一个 a 字，就是 f h 平行于 e， b 会有一个 a 字。第五步， f h 平行于 e， b 就 会有一个 a 字， 对不对啊？就是这个 a 字，这个 a 字我用 fh 比 e， b 就是 五分之二， a 比 a 就 等于二，比 a 加二，这个 a 字就有二，比 a 加二就等于五分之二。 a 比 a， 来看一下这个比例关系很好算，我可以算出来， a 等于三， a 等于三呢？整个问题都结束了，来，我们来观察一下，最后 a 等于三的话，那这就是二，这就是五分之六。 五分之六，这是二，就是五分之六，可以算出来这条线段是五分之八，这条线段是五分之十二，那么 a 等于三的话，二， a 就 等于六，这都是三，这也是三 好。那么最后再 y 三垂直，这个 y 三垂直，你在那这条边我就可以算出来是四好。最后第六步，第六步就是 y 三垂直，大的三垂直大三垂直就是 a， d 比三就等于三，比四， a d 就 等于四分之九。结束，所以这道题总共有六步，把这道题搞定。来吧，兄弟们，你看我们用了哪六步呢？第一步，我们想到了双角分线，这得九十度，就得大三垂直。这是第一步，双角分线和差定值得九十度。第二步， 看到了角分线，向一边做垂线，我再向另外一边做垂线，那么你会发现这些都是全等的啊，这两个全等，这两个全等导致他和他相等，他和他相等，导致这两条线段的相等得到，这是终点，这是第二步。 第三步，在这个三角形内等腰三合一，这是第三步。好，第四步，内三垂直，内三垂直得线段长。然后呢？第五步， a 字。第六步，大三垂直。来，我来说一下，五分之二是怎么来的？看他是他的根号五倍，你用他除以根号五，就得到他 内三垂直。一般怎么想到？来，我再给你画一下内三垂直。一般怎么想到，当你看到了这有一个直角，这里面拉了一根线，那么这有垂直，那么你可以。你看啊，你这种时候造内三，你可以这么造，这是内三垂直。 你还可以怎么造啊？你还可以这么造，这也是内三垂直。总的来说，你只要有三个直角，可以倒覆于正相似就行。好吧，这就是内三垂直。怎么想的？来，我来说一下啊，就是这道题啊，其实你单看任何一步都不难，都非常简单，但是你把它揉在一起，就需要你对这些东西特别特别的怎么样？ 就像你对，哎，比如说双脚分线啊，脚分线造拳等呀，等腰三线合一啊，内三垂直啊，还有这个平线带来的 a 字啊，还有最后的大三垂直，如果你把它揉在一起，你就需要你对这些东西特别特别的熟，所以这就是基本功的熟练度， 这就是这两年中考的考核方向，他不会考核你什么天马行空，然后特别特别复杂的什么模型，不会的，这两年中考很少考到那些东西。 这两年中考这就是最常见的题型，就是他很复杂，他揉了很多东西，单看任何一个都不难揉在一块考你基本功，我跟你说，你不需要做太多的题，你把这道题给我做十遍，你去感受一下， 把它做十遍，就是你要把题目真的做透，让这些本事长在你的脑子里，而不是你贪刷很多，这不需要刷很多题，真的，我们整个孩子们，你说缺不缺练题？他们题量都太多了，他们是做题太多了。来，我们再来今天最后一道题，二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形， 然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值，这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度， 那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么，这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量。首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b。 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系放在一块。一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立 三垂直，全等，再来等量，等量，你就表示三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己正吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经正过了，他告诉我们 e、 d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m、 n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形的边长，你会发现，那么 e g 就是 三， e g 是 三，那这也是三。大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁，那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这个，因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm， 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm， 等于三分之二了，我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线求国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢，我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二，十六， 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n 你 要注意它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n 想让它只能放到这个三角形，但这个三角形啥也没有，所以呢，我取线就过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造 a 字，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段。所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中充斥着飙射、放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西？看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八，像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样，三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合。我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先这些最基本的模型以及构造你必须得会，这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看，我们昨天讲的是最基本的全等相似，对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说，这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。

一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？

中考必考模型，手拉手模型好朋友们，那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目，说如图啊，等边三角形 abc， abc 是 一个正三角形，所以我们知道每个内角应该都是六十度，那么这个角它应该是个六十度，这个角也是一个六十度啊， 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d， 然后三角形 d、 b、 e 也为等边，所以呢，我们看啊，等边三角形都已经共顶点了，一定要想的就是 手拉手模型了啊，那么它也是一个等边三角形，所以这个角还有这个角它都应该是六十度， 这个角啊，它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二，然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长，那么我们先去找到这个大手和小手啊，我们管长边叫大手，从一个顶点引出来四条线段，咱们来看，是不是有啊，两两相等， 那么这个和这个等，这个和这个等，所以我们管长边叫做大手，这就是大手。管短边叫小手，这就是小手。所以一个大手牵一个小手，咔嚓一连连接 a、 e， 它已经给你连好了，另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等，它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形，它应该和谁全等呢？ a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等，为什么呢？这个角六十度，这个角六十度都减掉中间这个叉角，剩下的这两个点角应该是相等的， 所以是一个边角，边的全等，全等永远不是目的，目的是得边等，得角等。所以 a、 e 这条边，它应该和我们 c、 d 这条边是相等的，我可以都设它是 x， 那 么这边长是 x， 这边长是 x， 根据我们的这个 b、 c， 它的边长是二， a、 c 也是二，所以 a、 d 这个长，咱们应该知道它就是二减 x， 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来，咱们可以设它是 y， 那 么这个边长是 y， 这个边长是 y， 所以呢，我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长，咱们怎么去表示呢？是不应该是 x 加上一个二减 x， 然后再加上一个 y， 所以 是不应该就是二加 y， 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值，是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了？那我们这个 d 点啊，它是一个动点， 那么是不是应该是垂线段最短，所以应该是垂直的时候最小，那么我们现在就可以假设他是垂直的，如果这个角是垂直的话，这是六十，这是九十，所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上， 根号三比二，大家不要看错边啊，是三十度对的是一份，然后呢我们六十度对的是根号三份，这个九十度对应的是两份， 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二，所以这就是根号三，这就是一。那么接下来我们看啊，咱们的 y 就是 根号三，所以最后呢，我们来代进去就可以了啊，它就应该等于的是二加上根号三， 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

几何是初中数学的分水岭，很多孩子提起几何就头疼，辅助线画不对，模型认不出，大题总卡壳。同学们不要再死磕难题了。初中几何考来考去就四十九个模型，都总结在这本书里了。初中几何模型秘籍 四十九个，核心模型全覆盖，初一到初三通用全国教材，全高清视频，专业的老师主题精讲， 不用再去报补习班了，例题加练习，双倍道学，一个会议类，举一反三，精选中考名校的真题，有易到难，稳不提分。这本书的链接我放在左下角了，链接里面有详细的介绍，还有完整的目录。

好朋友们，那么今天我们利用这个视频来给大家讲一讲四十二个模型中的第三十九个模型，叫胡不归模型，那么陈老师也叫它为外卖模型，啥意思呢？我们在直线 l 上 有一个定点 a， 在 直线 l 外有一个定点 b， 那 么 p 点在 l 上动，那么它在动的过程中，让我们求的是 ap 和 bp 的 最大值和最小值的关系。 它如果说直接让我们求 ap 加上 bp 的 最大值和最小值，那直接就是连接 p 点在这的时候就行了，是不是？ 好了，那他肯定不会这么去求他为什么叫胡不归呢？他是这样说的，一个人从 a 点要想回家，他发现如果说我直接从 a 点到家的话，这个速度太慢了，比如说这个速度是 b， 而他又发现我要是在这条路上走，速度会快一点，假设是二 b， 假设是二米，那么这个时候他发现我可以先走一段，再这样去走，可以比较节省时间的到到达闭眼，虽然路程有点遥远，是不是？但时间比较短， 那我们如何表示时间呢？孩子们，那么表示时间的话，这一段是不是 a p 除以二 b， 这段是不是 b p 除以 v， 我 们把 v 提出去之后，它就变成了二分之一的 a p 加上 b p 的 最小值， ok， 孩子们，如果说这个地方不是二分不是二，而是三，该怎么处理呢？我们先看二哦，大家仔细观察一下这个地方，让我们求的是二分之一的 a p 加上 b p 的 最小值。 我们再去算线段和的最小值的时候，从来不会涉及到系数不一样的，如果说系数不一样，我也得把它转化成系数一样的形式， 而转化二分之一，屁，那我们的方法太多了，那么这个时候我们用的是三六九三角形，孩子们听好，我们过 a 点在直线 l 的 下方做一条直线，使射线使得这个角啊等于三十度， 并且过 p 点做这条射线的垂线。假设垂足是 c， 孩子们，这个时候二分之一的 a p 是 不是就等于 p c 啊？那就相当于让我们算的是 p c 加上 p b 的 最小值， 而这个永远是垂直的。现在让我们算它的最小值，是不是等价于过 b 点做这条线的垂线，那么永远会满足 p c 加 p b 大 于等于 p c e 的。 那么当 p 点在这的时候，它就取到了最小值，而且 p 点在这的时候，你会发现二分之一的 a p 还是还是等于 c p 一 撇的， 对不对？那么这样子的话，我们就把二分之一 a p 给转化成了一个线段，把它给算出来了，那么这个我们就认为弧不规模型，或者称为外卖模型。那有的孩子说了，如果说不是二分之一呢？是三分之一呢？ 好孩子们如果说他是三分之一，那么我们仍然是在下方做一个射线，但是这个角是多少度我不知道了，但是我必须得使得这个角它的正弦值 是等于 c p 比上 a p 必须得等于三分之一的。 也就是说我们去研究这个模型的时候，这个系数是几，我画的这个角的正弦值就得等于几， 那这样子的话，你会发现我就可以将它转化成这样一段子，这是第一个，第二个，我们去研究这个活不规模型的时候， ip 的 系数必须得是比一小的， 那也就是说我们准确的来说研究的是 k 倍的 a p 加上 b p 的 最小值，其中 k 一定属于零到一的， 那么这样子的话，我们研究它的过程中就可以用弧不规在直线的下方做一个角就可以研究出来了。 这个弧不规模型对于我们来说很重要啊，大家要找清楚它的方法，我们经常会和菱形、矩形、正方形还有平行四边形结合起来一起去研究 啊。大家搞清楚这个胡不龟或者是卖外卖模型的特点，根据我们视频后面给大家准备的几道题，大家去感受一下，然后需要录播课的随时找我。

七年级开始学习几何，到了八年级难度逐渐上升，有经验的家长都会把常考察的这些模型整理给孩子，没有时间的也可以直接安排作业，帮这本初中几何模型大全一本书搞定，重考几何的百分之四十的分数覆盖了八十一个模型， 零基础的孩子也可以学会。仅一个将军印马模型就讲了六大类，每个模型扫码可以听讲解，从精讲到推展，再到对应的习题练习，讲练结合。扫码可以听视频反复听，直到学会为止。全国通用版推荐给初中生。

好，我们一起来看这一道题，因式分解，这一个，这是两个这样的多项式的乘积，然后再减这一个，那么这种类型啊，我们是先展开，然后再合并啊，在最后再因式分解。 但是我们仔细发现啊，这两个多项式里面呢，是不是有一个相同的公共部分啊？ 那我们把这个公共部分呢看作为一个整体，哎，然后就简单一点，是不是不熟练的话呢，我们就可以用换圆的方法，我们令 x 平方减四， x 等于 t， 所以 我们这个圆式啊，它就等于 t 加一，乘以 t 加二，然后再减去一十二，对吧？你看，这里就是 t 平方加三， t 加二减十二，那么就是减十就可以了。到了这里的话，是不是因十字交叉相乘法因式分解啊？ t t 二五，那么这里合起来是三，那么这个是负的，所以就是 t 减二乘以 t 加五， 哎，再把 t 还原回去就好了嘛。所以就是 x 平方减四， x 减二， 这个呢， x 平方减四， x 加五， 哎，这样子就可以了，这个呢，也不能继续分了，这个呢，也不能继续分了，所以最后的结果呢，就是这个样子的。好的。