2025大连中考数学答案带过程

哈喽，同学们好，今天我们来看一道去年大连中山区的期末考试压轴题。这道题主要考察我们对于平行线性质的掌握，最后一个还需要我们利用方程思想以及常见的辅助线去寻找需要的等量关系。好的，我们先一起看下题。 如图，一直线 ab 平行于 c 的 e、 f 平行于 g h， 给了我们两组平行线，又告诉我们 g m 平分角 b g、 h 哎，也就是说这两个角相等，我们把它标为角一和角二。 角一等于角二。让我们看第一小问，角 h g m 等于角 h m g 角 h g m 就是 角二，我们把角 h、 g 标为角三。 那也就是说，第一小问让我们证明角二等于角三，那其实很简单，因为 a b 平行于 c 的， 所以角一和角三这对内错角是相等的。 又因为角一等于角二，那么角二自然是等于角三的。好的，我们接着看第二小问，若角 g m h 啊，角三等于三分之一的角 e、 f、 d。 好， 我们把角 e、 f、 d 标为角四。 好，这个角是角四，它让我们求角 g、 h、 c 的 度数，我们把角 g、 h、 c 标为角五。 那现在我们知道了角三等于三分之一的角四， 好，现在我们要求角五的度数。那角五和角四之间的关系，我们可以很简单地看出来， e、 f 平行于 g h， 那 么角四与角五这对互补的同旁内角，它们的和是一百八十度，角四 加角五等于一百八十度。好，那下一步我们肯定是寻找角三和角五之间有什么关系。 哎，角五它等于角 b、 g、 h， 它们是 a、 b、 c 的 之间的一组内错角。而第一小问中，我们又证明了角一、角二、角三，这三个角它们是相等的，那么角五等于角一加角二等于二倍的角三， 那角五等于二倍的角三，那又因为角四其实等于三倍的角三，那他们加在一起，二倍的角三 加上三倍的角三，等于一百八十度，哎，那我们就可以求出角三的度数了。角三等于三十六度， 那角五等于二倍的角三，自然就是七十二度。角五等于二倍的角三等于七十二度，哎，好，第二小问也很简单，我们过掉看第三小问， 如图二点， p 为线段， e f 延长线上一点连接， p j p h， 若角 p h f 等于角 f p h， 哎，这两个角相等，我们先把它标记一下， 这两个红色角是相等的。然后又给了我们一组等量关系，二倍的角 p g m， 哎，这个角 减去三倍的角 g p h 等于十度，哎， g p h， 啊，是这个角，哎。然后就让我们求角 g p h 的 度数， 哎， g p h 就是 刚才等量关系里的这个角，但是这个等量关系太奇怪了， 他长得这么不美好，那他明显不可能有什么几何意义，我们需要把它作为一个方程来使用。那首先呢，我们把角 g p h 的 度数设为 x， 因为我们要求他 x， 那 g p h 是 x， 我 们就要把这个等量关系里另一个角度数设为 y， 角 p g m 的 度数是 y。 那 现在呢，我们就有了一个关于 x 和 y 的 二元一次方程，就是二 y 减三， x 等于十度。那我们想求 x， 我 们就需要知道另一个关于 x 和 y 的 二元一次方程。 那我们先把题干中的条件再标记一下，除了两组平行线之外， g m 依然平分，角 b， g h， 这里角一等于角二。 好，那接下来我们观察一下 x 和 y 这两个角它有什么特点？ p g， m 和 g p h。 哎，同学们能观察到 p g 是 它们的公共边，其中点 g 在 a b 上，点 p 在 a， b 和 c 的 这组平行线之外， 那像点 p 这样的点，我们把它称为拐点，那我们常见的辅助线就是过拐点做平行。那我们就来尝试一下过点 p 做平行线，看能否找到 x 和 y 之间的关系。 好，我们过点 p 做 a b 的 平行线，交 g h 与点 k。 现在我们就有了一组同行内角，角 b， j， p 加上角 j， p， k 等于一百八十度，那从而我们就可以写出关于 x 和 y 的 一个等量关系了。 我们先把角 h， p k 标为角六， 那么角一加上角 y 就是 y 的 这个度数，然后再加上 x， 再加角六等于一百八十度。哎，我们需要的是关于 x 和 y 的 二元一次方程，那么角一加角六一定是一个定值。 所以我们下一步就是寻找角一和角六的关系。那角一和角六角一附近的已知条件就是角一等于角二，但是角六很明显，它和红色角之间关系密切， 因为 p k 平行于 a， b， a b 平行于 c 的， 所以 p k 也平行于 c 的， 那么角六它就等于角 p h c。 哎，这说明角六和这两个红色角都是相等的， 我们把角六也变成红色。 哎，好了，那现在我们就是要思考一下，角一和角二与这些红色角之间有什么关系？ 哎，角一和角二在右上角，红色角在左下角，那它们想要产生联系，突破口就应该在 h 点这里 点 h， 这里有三条直线， p、 h、 c、 d 和 g h， 其中 p h 与 c d 的 夹角就是红色角，那我们的突破口就一定是 c、 d 和 g h 的 夹角， 其中有 c、 h、 g 和 g h、 d。 那 我们不妨使用第二问中用过的角五，也就是角 j、 h、 c。 角五标出来。 那老师标出角五之后，相信很多同学已经看出角一与角六之间的关系了。 第二分钟，我们证明了角五等于角一加角二，也就是二倍的角一。而在平行线 e、 f 和 g h 之间，角五加上两个红色角，等于一百八十度。也就是说，二倍的角一 再加上二倍的角六等于一百八十度， 那么角一加角六自然就是九十度。好的，我们把这个结论带回到前面这个等量关系，那 y、 x 就 等于一百八十度，减去九十度等于九十度。 我们找到了另一个关于 x 和 y 的 二元依次方程，就是 y 加 x 等于九十度。那下面我们只需要解这个简单的二元依次方程组 哎，就能知道 x 的 值了， x 解出来等于三十四度 啊！这道题啊，它的前两问很简单，就是运用一下平行线的性质。但是最后一问， 需要我们从条件切入，运用方程思想，并且做出常见的辅助线或拐点做平行，然后一步一步地寻找我们需要的等量关系。好了，我们下次再见。

大连二模的数学刚刚考完，我也马上做了一下，来跟朋友们分享三件事。第一个，整体的难度预算量到底怎么样？第二个呢，总结一下这后两道压轴有哪些点命题命的特别好 啊。第三个，还是看一下最后阶段咱们孩子该怎么冲刺啊。首先，难度预算量上，我觉得中规中矩， 从几何题的辅助线分类，到他的方程构造，以及二函数里的分类，包括二函数里最后那两个临界点啊，逻辑深度都不是特别深啊，但是不是特别好算，他植入了复杂运算和函数运算，并且在两个问里边都有比较巧妙的变形， 对大家的准度和速度有一定的要求啊，会拉开差距啊。这个具体来看后两个压轴吧，因为前二十一题真的是比较友好，没有任何难点前置，大家踏踏实实做和复习就行了。 后两道大题，首先几盒编的比较好的几个地方，第一个，这个二级条件就特别好，大家审完题有没有发现这个斜中， 如果你审完题第一反应就看到了学生二级条件挖掘的行，审阅能力还可以啊。第二个，考的好的地方，我们的几何终于，终于植入了什么分类讨论， 这个圆都不是亮点，因为圆没有难度啊，但是他终于考了分类啊，这是之前沈阳在动态几何特别爱考的， 我们大连经常考的都是静态的几何啊，有分类讨论特别好，虽然分类不难，但一定会增加它的运算量和书写量，答的慢的同学仍然会吃亏，准度不够的同学更会吃亏啊。 那在分类的时候，分类之后，这里的辅助线逻辑和思路都是基于什么解三角形，大家看到双比例了吗？ 所以这整体编的特别好的地方就是在思路层仍然用双比例去架构等量关系，基于解三角形提供什么方程，用方程思想解决最后的什么线段长度， 还是那套命题逻辑。辽宁一直都不怎么变啊，挺有本地特色的啊。双比例又出现了，一比一比刚好二和什么，一比三比刚好十，跟我给大家预测的比例基本都一样吧啊，还有一比二比刚好，五和三比四比五仍然可以加进去啊，所以今年中考谨防双比例，谨防啊！ 二函数这块我觉得第一问就出的非常好，会让很多同学稍微愣一下啊，吓人，但不咬人，把胆小的给骗走了是不是？我们第一问第一反应就是把这点带进去，带进去你会得到一个三元二次方程组 啊，吓着了。首先只要思路清晰，你要求的是 m， 那 就削 ab 呗，两式一减， m 的 值就出来了。第一个我觉得第一问编的也很好啊，第三问圈，第二问这个圈二，我觉得是编的最好的地方。 求两根线段的比值，虽然给的是临界面积，虽然给的是一个有铅垂线的三角形啊，但是他要的那两根线段比刚好就是啥？ 那 p e 和 p f 不 刚好就是两根铅垂线吗？所以这里做了一个巧妙的含参运算，这是啥？ 它直接就能整体求出比值，不用设它俩的坐标，不用上边减下边求解一式 去设这个。呃，铅垂线，只要那么做的都绕了很远，所以你看它编题编的非常好，这度就够了啊，这度就够了啊，非常好的中考逻辑， 然后圈三圈三命题，呃，难度不高，这个分类啊，大家只要找到这两个临界位置就行了，对不对？上边一个下边一个，因为他就是一个长度固定的铅垂线段平移的事， 把端点卡在线段和抛线上就 ok 了啊。难度不大，有一定的运算量，因为它的解析式都是分数。第二个呢，我觉得植入了运动分类和待机综合这件事很重要，这是特别好的命题点，我觉得也是今年二六年辽宁中考的热点啊，值得一做， 质量非非常高啊，其他城市的同学都可以算一算。然后我们最后看看自己的冲刺，给大家两个建议吧。第一个，从多项提示来看，复杂运算和韩餐抽象运算一定要做专项的训练， 一定会重视，中考一定会重视啊。第二件事，大家不要揪着某个热点题型去练， 从沈阳九区的区模到市二模，到我们大连的一模、二模，到各地的考试，你都能看出来，考察是很全面的。 函数图像运动有分这个分段，函数有函数，焦点有参数，不等式有参数范围，最大值、最小值，待几综合全都有。所以最后这几十天，大家在冲刺的时候，记住，一定要做题型、方法、逻辑的全面训练，而不是揪着某个点使劲去练。 大家不用想那些热点，什么所谓的这个精准方向啊，或某一个小道消息都不靠谱。中考一定是新体，一定是活体啊，一定是有一定难度的啊。如果你最后阶段说老师我这个复杂预算不会练， 或者你不知道这些压轴该怎么做全面的复习和覆盖，或者你想跟着何老师一起把二函数和几何的瓶颈突破。好，你找我，我告诉你怎么整啊，私信我或者是在评论区直接扣一个一，我告诉你怎么干啊，一起加油，最后冲刺开始了。

你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题，这是二零二四年甘肃定西的中考题。下面我们来看题。如图， a、 b 是 圆 o 的 直径，弧 bc， 弧 bc 等于弧 b d 点 e 在 a、 d 的 延长线上，且角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b。 第一问，求证 b 是 圆 r 的 切线。第二问，当半径为二时， b、 c 等于三，求看正极角 a、 e、 b 的 值。 那么下面我们先来看第一问，我们把这个图向上移一下。 好， 那我们看第一问。第一问，让我们证明 b 是 圆 r 的 虚线。同学们要记住， 要证明一条直线是圆的虚线，这是中考 b 考，那么要证明一条直线是圆的虚线。当然我们就要用极限的判定，极限的判定就是 经过半径的外端，并且垂直于这条直线直线并且垂直于这条半径的直线是圆的虚线。满足两个条件，这条直线必须要和半径垂直， 而且还要经过半径的外端。那我们经常用的方法有两个，我们在这块可以总结为圆半径正垂直方法， 那我们可以写一下。我们证明一条直线 使圆的切线的方法有两个，第一个是做垂直 正半径， 做垂直正半径。在这块要注意的就是 如果这条直线和圆没有公共点，那我们就过圆形 o 做这条直线的垂线， 然后再说明圆形 o 和垂足之间的距离是这个圆的半径，那我们就可以说明这条直线是圆的虚线。第二个方法是做半径正垂直， 做半径 正垂直。 做半径正垂直。那么就是如果这条直线和圆有公共点，那我们就要连接圆形和这个公共点，然后再说明 这个圆形和公共点之间的线段是半径，那么再说明这条半径和这条直线垂直，那我们就可以说明这条直线是圆的。奇线 经常用这两个方法。那么如果比如说这个题，我们发现 已经有 o、 b 和 b、 e 之间的关系，那我们就不需要再做辅助线，那我们集合提射条件，看能不能直接证明 o、 b 和 b、 e 垂直。 那么 首先提射条件当中给我们给出来的是 a、 b 是圆 o 的 直径。谈到直径，同学们马上想到直径所对的圆珠角，是啊，直角， 然后弧 bc 又等于弧 b d， 弧 bc 等于弧 b、 d。 那 么从这个图当中我们观察 弧 bc 是 这段弧 弧 bc， 弧 bc 所对的圆周角是这个角， 弧 b 字是这段弧， 弧 b 字所对的圆周角是这个角 啊，这个角和这个角， 那如果我们把这个角看作是角一，而把这个角看作角二， 同弧所对的圆周角相等，所以说角一就等于角二。那么在这块我们发现角一是等于角二的， 角一等于角二。然后又说角 a、 d、 c 等于角 a、 e b。 角 a d c a d c 是 这个角，它等于角 a、 e、 b 这两个角相等，这两个角相等，那我们发现它恰好是 c、 d 和 b、 e 被 ab 所截形成啊，不是被 a、 e 所截形成的同位角啊，是同位角，是被 a、 e 所截形成的同位角。那么 我们根据同位角相等，两只线平行，就可以说明 c、 d 平行， b、 e c 字平行 b、 e。 那 么现在我们要证明 b、 e 是 圆 o 的 切线，那我们只要说明这个角角 o、 b、 e 等于九十度是直角， 那么现在如何来说明它是直角？现在题目当中又告诉我们， ab 是 圆 o 的 直径， 那么直径所对的圆周角是直角，那我发现这个角 a、 c、 b 是 直角，它和正明这个角是直角，好像没有什么关系。 那如果我们连结 b、 d， 它会怎么样？如果连结 b、 d 的 话，同学们发现这个角 它也是直角啊，这个角也是直角，而这个角刚好是 b、 c、 b、 d、 c 这个角如果把它看成角三、角三， 角三加角 a、 d、 c 刚好是九十度，我们发现角三加角 a、 d、 c 就 等于九十度， 角三加角 a、 d、 c 等于九十度。 那现在如果我们把这个点记作是点 f 的 话， 就是 c、 d 和 ab 的 交点记作是点 f， 那 如果我们能说明这个角是直角的话，而我们刚才又知道 c、 d 和 b 平行， 那么我们根据两线平行，同一角相等啊，就可以说明这个角 a、 b、 e 和角 a、 f、 g 相等，刚好等于九十度， 刚好等于九十。那么现在的问题就是如何来证明这个角 a、 f、 d 是 九十度，要证明角 a、 f、 d 是 九十度，只要我们说明角一加角 a、 d、 c 是 九十度， 角一加角 a、 d、 c 是 九十度，那么现在 我们发现这个角三又等于这个角， 把这个角记作角四，也就是 c、 a、 b 记作角四的话，角三和角四也相等，我发现角三也等于角四， 它都是弧 bc 所对的圆周角，一条弧所对的圆周角相等， 那么这时候我们就得到了角一等于角二，角三也等于角四。而题目当中又告诉我们，弧 bc 等于弧 b、 d。 弧 bc 等于弧 b、 d， 所以 说 弧 b、 d 所对的角是角一，而弧 bc 所对的角是角三和角四， 所以说角一就等于角二，还等于角三。角四。角一等于角二，它还等于角三，还等于角四， 这四个角相等。角一等于角二等于角三等于角四 等于角四。那么现在 我们又发现这个角是直角， 角三加角 a、 d、 c。 角三加角 a、 d、 c 是 九十度，而角三又等于角一，在这块换上 角三又等于角一，所以说角一加角 a、 d、 c 就 等于九十度 啊！在这个地方注意等量代换，角一等于角二等于角三等于角四，那么角三加角 a、 d、 c 等于九十度， 所以说角一就加角 a、 d、 c 等于九十度。角一加角 a、 d、 c 等于九十度。那么在三角形 a、 f、 g 中，我们发现角 a、 f、 g 就 等于九十度， 那么角 a、 f、 g 等于九十度。又提问当中又告诉我们， 角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b， 所以 说 c、 d 它和 b、 e 平行。 同位角相等，两直线平行，那么 c、 d 和 b、 e 平行，所以说角 a、 b、 e 就等于角 a、 f、 g 就 等于九十度。 两线平行，又用了平行线的性质，同位角相等，那么这时候我们就证明了角 a、 b、 e 等于九十度， a、 b 等于九十度。说明 o、 b 和 b、 e 垂直 线， o、 b 是 远 o 的 半径， 所以 b、 e 是 远 o 的 切线 啊。在这块同学们要注意的，要证明一条直线是圆的七线，必须要满足两个条件，半径和这条直线垂直，并且这条直线要经过半径的外端，必须把这两个条件写清楚， 比如说这块的 o、 b 垂直， b、 e 写 o， b 是 圆 o 的 半径。有这两个条件就可以证明 b、 e 是 圆 o 的 期限， 这就是第一问啊，对于期限的判定和期限的性质是中考必考。然后整理思路，写出证明过程，我们看 具体的证明过程是证明连接 b、 d。 因为弧 b、 c 等于弧 b、 d， 所以 角 b、 d、 c 等于角 b、 c、 d。 又因为角 b、 c、 d 等于角 b、 a、 d， 所以 角 b、 d、 c 等于角 b、 a、 d。 啊。在这块同学们也可以把所用到的角用角一、角二，角三角四，这样表示出来， 可能比你用三个字母表示角要方便。对于 就是等量代换要看的更清楚，这也是经常做题涉及到的一个方法。 由 ab 是 远凹的直径，所以角 adb 等于九十度，所以角 adf 加角 bdc 等于九十度，所以角 adf 加角 bdc 就 等于九十度，所以角 afd 就 等于九十度。 f 这个点表示的是 f。 又因为角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b， 所以 c、 d 平行 b、 e， 所以 角 a、 b、 e 等于角 a、 f、 d 等于九十度，所以 ab 垂直 b、 e。 且 a、 b 是 远凹的直径，说直径也行，说半径也行，所以说 b、 e 是 远凹的曲线。这就是第一问，然后我们看第二问， 接下来看第二问，当半径是二， b、 c 是 三，让我们求 tanh 角 a、 e、 b 的 值 给我们给出来，半径是二， b、 c 是 三， b、 c 等于三，半径等于二，半径是二，我们就可以知道直径 a、 b、 a、 b 就是 四， a、 b 就是 四。让我们求个探证题，角 a、 e、 b a、 e、 b 求这个的正切值，而角 a、 e、 b 又等于角 a、 d、 c。 已知条件中给我们给出来，又等于角 a、 d、 c 和这个角相等 啊，这个角又等于这个角。我们发现弧 a、 c 所对的圆珠角是角 abc 和角 adc， 所以 说我们发现这块， 我们发现角 abc 等于角 a、 d、 c， 而角 a、 d、 c 又等于 角 a、 d、 c 又等于角 a、 b、 c， 所以 说我们就可以得到角 a、 b、 c 就 等于角 a、 b、 a、 d、 c 就 等于角 a、 e、 b 啊，不是 a 对 a、 b、 c 就 等于角 a、 e、 b， 那 么让我们求的是角 a、 e、 b 的 正切值， 让我们求的是角 a 与 b 的 正切值，那只要我们求出角 a、 b、 c 的 正切值，就可以知道角 a 与 b 的 正切值。在这块同学们要知道就是相等的角的 三角函数值相同，那可能让你求正弦与弦，在这块呢，让我们求的是正切值， 那么角 a、 b、 c 的 正切值看我们能不能求出来，因为 ab 是 圆 o 的 直径，刚才我们知道直径所对的圆周角是直角，那在这个直角三角形 a、 b、 c 中， 那么我们把西边是四， b、 c 是 三，那我们把 a、 c 可以 求出来，所以说因为 ab 是 圆 o 的 直径， 所以说角 a、 c、 b 就等于九十度。那么在二次三角形 a、 c、 b 中， 我们根据勾股定律把 ac 就 可以求出来， ac 就是 根号下的 ab 的 平方，减 bc 的 平方 就等于根号下的四的平方减三的平方，四的平方是十六，三的平方九 九十七，所以说 a、 c 求出来就是根号七， a、 c 求出来根号七，所以说在这个直角三角形 a、 c、 b 中，它整体角 abc 的正切值就是对边比邻边，那么就是 a、 c 比 b、 c 就 等于 a、 c 换上是根号七， b、 c 舍三， 所以说求出来就是三分之更好奇。而角 a、 b、 c 和角 a、 e、 b 又相等，所以说它正极角 a、 e、 b 的 正奇值求出来就是三分之更好奇 啊！这就是我们要求的角 a 一 b 的 正切值啊！在这块同学们要记住，就是求一个角的正切值，要么你就找这个角所在的直角三角形中看它的 三角函数值，看它的三条边，知道吗？如果不知道的话，那你就转化 转换，看能能找到和这个角相等的角。如果你求出跟他相等的角的三角函数值， 那么我们根据相等的角的三角函数值相同。就像刚才的，只要我们求出来角 abc 的 正奇值，那你就可以知道角 a、 e、 b 的 正奇值， 因为角 a、 b、 c 和角 a、 e、 b 相等，相等的角的三角函数值相同啊！这就是第二问。然后我们看一下它的 解析过程，整理思路，写出解析过程， 请看第二问。因为 o、 b 等于二，所以 ab 等于四，又因为 bc 等于三， ab 是 圆 o 的 直径，所以角 abc 等于九十度。那我们在二次三角形 a、 c、 b 中，根据勾股定律， a、 c 就 等于根号下 a、 c、 a、 b 的 平方减 b、 c 的 平方就等于四的平方，减三的平方就等于根号七。所以说它整体角 a、 b、 c 就 等于 a、 c 比 bc 就 等于三分之。根号七。 又因为角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c， 角 a、 d、 c 又等于角 a、 e、 b， 所以 角 a、 b、 c 就 等于角 a、 e、 b， 所以 它正题角 a、 e、 b 就 应该等于它正题角 a、 b、 c 就 等于三分之根号奇。 谢谢 你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习圆综合题，是二零二五年甘肃定西的中考题， 下面我们来看二十五题。如图，四边形 a、 b、 c、 o 的 顶点 a、 b、 c 在 圆 o 上 角 b、 a、 o 等于角 b、 c、 o 直径 b、 e 与弦 a、 c 相交于点 f， 点 g 是 e b。 延长线上一点角 b、 c、 d 等于二分之一的角 a、 o、 b。 第一问，求证 c、 d 是 圆 o 的 虚线， 首先要证明一条直线是圆的期限，当然我们就要用期限的判定，我们学习的期限的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的期限，它满足两个条件，首先要这条直线和 这个圆的半径垂直，而且必须要经过半径的外端， 那我们经常用的两个方法就是做垂直正半径和做半径正垂直。在这块同学们要 记住这两个方法，第一个方法是 坐垂直正半径 就是坐垂直 正半径。 第二个方法是做半径正垂直，做半径 正垂直， 那在这块的意思就说，如果有半径的话，那只要你证明这条半径和直线垂直， 那如果没有半径的话，那我们就要做出他的半径，然后再说明半径和这条直线垂直。那么具体的我们看， 对于这个题来说，我们要如何证明 c、 d 是 圆 o 的 虚线？我们首先看奇数条件，奇数条件当中给我们给出来角 b、 a、 o 角 b a、 o 等于角 b、 c、 o。 那 我们来分析一下，他说角 b a、 o b a、 o 是 这个角等于角 b、 c、 o 是 这个角啊，这两个角相等。然后又告诉我们 直径 b、 e 和斜 a、 c 相交于点 f， 那 b、 e 是 圆 o 的 直径，排到直径，首先我们就要想到 圆周角定律里边的一个直径所对的圆周角是直角，那么在这块 b 所对的圆周角我们还找不到， 是不是要做辅助线？过会儿我们再看。然后呢，他又说，角 b、 c、 d。 等于二分之一的角 a、 o、 b。 角 b、 c、 d。 是 这个角， 它等于二分之一的角 a、 o、 b。 是 这个角二分之一角 a、 o、 b。 那么现在呢，我们观察图形发现，只要证明 o、 c 和 c、 d 垂直，那么要证明 o、 c 和 c、 d 垂直，只要我们能说明角 o、 c、 d。 只要我们能 说明这个角 啊，只要我们能说明这个角 o、 c、 d。 是 直角。要说明角 o、 c、 d。 是 直角，只要我们能说明角 o、 c、 d。 等于九十度，那我们看如何来说明这个角 o、 c、 d。 等于九十度。我们观察发现， 只要我们能说明这个角 o、 c、 d。 等于九十度， 那么角 o、 c、 d。 我 们发现刚好是角 b、 c、 d。 和角 b、 c、 o。 的 和。 如果能说明角 b、 c、 d。 加角 b、 c、 o。 等于九十度，而角 b、 c、 o。 刚好又是角 b、 a、 o。 那 能不能说明这两个角的和是九十度，那么角 b、 c、 o。 又是角 b、 a、 o。 然后呢，题目当中又告诉我们 b、 e 是 直径，那我们不妨连接 a、 e。 我 们试一下把 a、 e。 连上。如果连接 a、 e 的 话， 我们观察发现角 a、 e、 b。 我 们发现这个角 a、 e、 b。 它等于二分之一的角 a、 o、 b。 那么角 b、 c、 d。 也等于二分之一的角 a、 o、 b。 那 由这两个式子 我们就可以得到角 b、 c、 d。 等于角 a、 e、 b。 角 b、 c、 d。 等于角 a、 e、 b。 而角 a、 e、 b。 刚好又是这个角角 o、 a、 e。 因为 o， a。 等于 o， e 等边对等角，所以说角 b、 c、 d。 它等于角 o， a， e o， a， e 啊 a、 e、 b。 等于角 o， a、 e。 所以 说角 b、 c、 d。 就 等于角 o、 a、 e。 然后呢，我们又发现 这个角是直角，因为 b、 e。 是 啊，直径，直径所对的圆珠角是直角， 所以说角 b、 a、 e。 它又等于九十度。 而角 b、 a、 e 刚好又是角 b、 a、 o 和角 o， a、 e 的和，所以说角 b、 a、 o。 加角 o， a、 e。 就 等于九十度。而角 b、 a、 o。 刚好又是角 b、 c、 o。 所以 说角 b、 c、 o。 加角，而 o、 a、 e 刚好是 b、 c、 d。 刚才我们证明的，我们换上等量代换，就是加角 b、 c、 d。 等于九十度， 那么角 b、 a、 o。 加角啊！ b c、 d。 角 b c、 d。 加角 b、 c、 o。 我 们确实证明了它等于九十度， 那么它等于九十度的话，所以说我们就可以发现角 b、 a、 o 啊，所以说就是在这个地方，我们证明了 角 b、 c、 o。 加角 b、 c、 d。 等于九十度。而角 b、 c、 o。 加角 b、 c、 d。 刚好是， 刚好是角 o、 c、 d 啊，所以说 我们就可以说明 角 o、 c、 d。 等于九十度，那么角 o、 c、 d。 等于九十度，所以说 o、 c。 它和 c、 d。 垂直，而且 o、 c 又是圆 o 的 半径， 所以我们就可以说明 c、 d。 是 圆 o 的 虚线 啊。要证明一条直线是圆的虚线，必须要满足半径和这条直线垂直，并且说明 某条线段是圆的半径必须要满足这两个条件，就可以说明 c、 d 是 圆 o 的 切线啊。这就是第一问，那我们整理思路，写出第一问的证明过程， 它就是下面的证明。首先我们连结 a、 e， 所以 说角 a、 e、 b 就 等于二分之一角 a、 o、 b 这块用了一条弧所对的圆周，角 是圆形角的一半。那我发现弧 a、 b 所对的圆周角是角 a、 e、 b。 它所对的圆心角是角 a、 o、 b。 所以 说一条弧所对的圆周角是圆形角的一半，所以就是角 a、 e、 b 等于二分之一的角 a、 o、 b。 因为角 a、 e 等于角 a、 e、 b。 半径相等。在圆当中一个引号条件，同学们一定要记清楚，半径相等， 所以说这块的 o a 等于 o e， 所以 说角 o、 e、 a 等于角 o a、 e。 这个角和这个角相等。等。边对等角， 所以说角 a、 e 就 等于二分之一的角 a、 o、 b。 等量代换，把这里边的角 a、 e、 b 用角 a、 o、 e 换上。 又因为角 b、 c、 d 等于二分之一的角 a、 o、 b。 已知条件，所以说有这两个式子，我们就可以得到角， 嗯，有这两个式子，我们就可以得到角 o、 a、 e 等于角 b、 c、 d。 又因为 b 是 圆 r 的 直径，所以说角 b a、 e 等于九十度。直径所对的圆周角是直角 b、 e 所对的圆周角是角 b a、 e。 而这个角 b、 a、 e 又是角 b a、 o 和角 o a、 e 的 和啊，所以说这两个角的和等于九十度，而角 b、 a、 o 刚好是角 b、 c、 o。 已知条件， 所以说角 b、 c、 o 加角 b c、 d 就 等于九十度。 那这样我们就可以得到角 o、 c、 d 就 等于九十度， 所以说 o、 c 就 垂直 c、 d。 且 o、 c 是 圆 o 的 半径。把这两个条件必须要起到一块，所以说 c、 d 是 圆 o 的 期限。有这两个条件就可以推出 c、 d 是 圆 o 的 期限， 这就证明了 c、 d 是 这个圆的极限。第一问，接下来我们看第二问。 第二问说，若四边形 abc 是 平行四边形， g、 f 是 三，求 c、 d 的 长， 那我们分析要让我们求 cd 的 长， cd 是 这条线段 给我们给出来 e、 f 的 长是三，而又说这个四边形 abc， 它说四边形 abc 是 平行四边形， 这个四边形是平行四边形。然后我们又发现 o、 a 等于 o、 c， 半径相等，说明这个四边形 abc 是 菱形， 由 o a 等于 o、 c， 所以 说四边形 a、 b、 c、 o 是 菱形， 那么这个四边形是菱形。我们根据菱形的判定，一组菱边相等的平行四边形是菱形，所以说 a、 b、 c、 o 是 菱形， 那么 a、 b、 c、 o 是 菱形，说明这四条边相等。因为菱形的四条边相等，所以说我们就得到 a 等于 o、 c， 它等于 a， b 还等于 b、 c、 b、 c。 然后呢，又跟我们说 b、 f 等于三， c、 f 等于三，我们发现 e、 f 刚好是 o o f 和 o e 的 和， 所以说就是 o f 加 o e 就 等于三，然后 o、 e 刚好又是 o、 b， 都是半径。刚才我们又证明了这个四边形 abc o 是 a、 b、 c、 o， 它是菱形，那么根据菱形的性质，菱形的四条边相等，并且它的对角线互相平分垂直， 说明这个 f 是 b、 o 的 中点还是 a、 c 的 中点，互相平分垂直，还平分每一次对角。嗯，所以说这块的 o、 f 就 等于 f b， 所以说 o、 f， 它就是二分之一的 b， o， 那 么就是二分之一的 o， b 加 o b 就 等于三， 那我们把 o、 b 就 可以求出来，所以说就是二分之三的 o， b 就 等于三，所以 o、 b 就 等于二， 我们求出来半径是二， o、 b 是 二，那么 o、 c 也是二，而 o、 c 等于 o， b 还等于 b、 c， 说明这个三角形 b、 c、 o 它是等边三角形。然后我们发现， 所以说 o、 b 等于 o、 c， 它还等于 b、 c， 说明这个三角形 b、 c、 o 是 等边三角形， 那这个三角形是等边三角形。等边三角形的每个角都是六十度，所以说角 b、 o、 c 就 等于六十度。 角 b、 o、 c 等于六十度， o、 c 是 二。而由第一问，我们又得到这个角 d、 c、 o 是 直角， 因为 c、 d 是 圆 o 的 切线， o、 c 和 c、 d 垂直，我们根据其线的性质，圆的切线垂直于过起点的半径，所以说这个角 o、 c、 d 是 直角， u、 c、 d 是 圆 o 的 切线。我们第一问中证明的， 所以说 oc 它和 c、 d 垂直， 所以说我们就得到角 oc 等于九十度，所以说这个三角形 oc、 oc 是 x 三角形，所以说在这个 x 三角形中，我们知道角 c、 o、 d 是 六十度， o、 c 是 二，那我们用正七值 就可以把 c、 d 求出来，所以说我们发现就是 tan 值。角 c、 o、 d， 它应该等于对边比邻边 c、 d 比 o、 c， 而角 c、 o、 d 刚好是六十度，所以说就是 tan 值六十度， 就等于 c、 d 比 o、 c 是 二，所以说 c、 d 就 等于二倍的 tan 值六十度。 套数角的三角函数值我们要背下来，而 tan 值六十度是根号三，所以说它就是二乘的根号三就是二倍的根号三 把三十度六十度、四十五度的正弦， 正弦与弦，正弦，同学们都要记清楚特殊角的三角函数值，所以说 c 在 我们求出来就是二倍的根号三这里边。然后我们整理思路，写出它的证明过程。 证明过程就是因为四边形 a、 b， c、 o 是 平行四边形 o， a 等于 o， c， 所以 说四边形 a、 b， c， o 是 菱形，所以 o、 c 等于 o， a 等于 ab 等于 bc， o， f 等于 b， f 等于二分之一的 b， o 等于三，所以二分之一的 b， o 加 b， o 等于三，所以 b、 o 等于二， oc 等于 o， b 等于 bc 等于二，所以说三角形 b、 o、 c 上等边三角形，所以角 bc， b、 o， c 等于六十度。 又因为 c、 d 是 圆 o 的 切线，所以 o、 c 垂直了 c、 d， 所以 说角 o， c、 d 等于九十度。 在 h 三角形 o、 c、 d 中，胎正蹄角 d， o， c 等于 c， d 比 o， c， 所以 胎正蹄六十度就等于 c， d 比二，所以 c、 d 就 等于二倍的胎正蹄六十度等于二倍的根号三 啊。这就是二零二五年甘肃定西的中考题，原综合题二十五题。那我们回过头来再来分析一下。 嗯，在这个题目当中看考到的知识点应该是第一问，他要我们证明 c、 d 是 远奥的期限，当然我们就要用期限的判定， 然后集合已知强近。在整个过程中用到了直径所对的圆周角是直角，一条弧所对的圆周角是圆形角的一半圆形角定力。 再一个就是期限的判定。在第二问当中又用到了期限的性质，并且应用第一问的结论， cd 是 远凹的期限。 然后第二问中要让我们求 cd 的 长。在这个解析过程中，我们发现它用了 第一问的结论， c、 d 是 圆 o 的 期限，从而应用期限的性质，期限的性质是圆的期限垂直于过起点的半径，说明这个三角形 o、 c、 d 是 直角三角形，然后再结合已知条件， 证明了三角形 b， o、 c 是 啊，等边三角形，说明了这个角 c、 o、 b 是 六十度。 在证明的过程中，结合已知条件，运用了嗯，菱形的判定和菱形的性质，用了一组菱边相等的平行四边形是菱形，然后再说明 如果它是菱形，用了它的性质，四条边相等。嗯，对角线互相垂直，平分还平分每一处对角用了菱形的有关判定和性质 啊，然后说明了这个三角形是啊，等边三角形，然后再说明这个三角形 o、 c、 d， 是 啊，直角三角形，然后 要求 c 的 长。我们发现，直到一个角和一条边。在直角三角形中，马上用特殊角的三角函数的概念，也就是应用了嗯，三角函数的正切值， 判正题角 c、 o、 d 等于对边比邻边。再另外，在这块同学们要清楚的就是特殊角的三角函数值和三角函数的概念，同学们一定要记清楚， 特殊角的三角函数值就是三十度、四十五度、六十度的正弦与弦正切一定要记清楚。好，谢谢。

然后我们再看一下第二问，现在第一问已经知道这个，哎呀，这画的这个埋汰。第一问现在已经知道这个 c 得和 b 得它俩是相等的了， 然后还有想证啥呢？想告诉咱的是，角 a 一 得等于角 c， b 得 a e 得这个角等于角 c b 得等于这个角，嗯，这俩角相等，那我们通过这句话我们能得到啥？这个角等于什么？角？这个标角一这嘎达标，角二这个角 都一， a 是 不等于角一加角二， 它等于角的 bc， 那 这旮我再标个角三是不是等于角二加角三？那角一加角二等于角二加角三，所以角一是不等于角三，这个角一和角三分别是哪个角？重新标一下啊， 这个角和这个角吧，对吧？能得到的是这两个角相等，然后其中还给出 ab 是 四，直径是四， bc 是 根号十五，那这直径所对圆周角九十度，角 a c b 九十度各有定理， a、 c 的 长度是不是就是一啊？ 然后最后我们想求的是这个 b、 e 的 长度，那现在已知条件，还有一个条件刚才擦掉了，哎， c 得，那还知道 c 得等于 b 得， c 得现在等于 b 得，然后还知道角一等于角三， 还能得到啥呢？想，然后想求 b e 的 长，那我们看这个阴影部分三角形，把这个 a 对 一连接和这个三角形有什么特点？它俩能不能全等？它俩假如是全等的情况下， 那这个 a、 c 是 一的话，那 b、 e 是 不是就直接出来了？就得一，那它俩能不能中出全等呢？咱现在知道一个边相等，就这个 a 根和 b 根边相等，角呢？是这个角和这个角相等，那这个角把这一连弧 a、 c 所对的圆周角，这个角和这个角是不是也相等，对吧？这个角这个标，个角四， 是不是它这俩角也相等？头又划断了？把这个连接之后，这个角和这个角是不是相等？这个角和这个角相等，这三角相相等。然后还知道一组边， 这个边 c 得和这个边 b 得相等。知道一个边一个角，那还差一个条件，差一个条件哪个条件？ 那肯定是这个角和这个角啊。这同弧随对的圆周角相等，对不对？同弧随对圆周角相等，所以这个是角边角角边角，这俩三角形是不就全等了？全等之后，这个 b、 e 是 不就等于 a、 c 是 不就正回来了？等于一 好，然后我们写下步骤，清楚一下。 第一步， 连接 a、 c， 因为角 a、 e 得，等于角 a、 b 得，加上角 e 得 b， 角 c、 b 得，等于角 abc 加上角 a、 b 得，所以角 a、 e 得，等于角 c、 b 得， 所以角 e 的 b 等于角 a、 b、 c， 因为角 a 的 c 等于角 a、 b、 c， 所以角 a 得 c 等于角 e 得 b。 把这连接这个角等于这个角等于这个角，然后这个角和这个角相等。还有一组边，这个边和这个边相等 啊。因为 c 得等于 b 得，角 a、 c 得，等于角 e、 d 得，所以三角形得 a、 c 全等。三角形得 e、 b 用的全等条件呢？是等边角，所以 a、 c 等于 b e。 在 r、 t 三角形 a、 c、 b 中，角 a、 c、 b 等于九十度。因为有购物定底 求勾定离得 a、 c 等于根号下 a、 b 方减去 b、 c 方就等于一。哎呀， 所以 b、 e 等于 a、 c 等于一。这就中出来了。

二六年大连中考英语二模刚刚考完，我们中教国研的老师发现，二十五年大连一模第四十题 二六年大连中考二模第三十九题括号内所给词是 great， 根据语篇语境，应该用所给词最高级 答案给的 the greatest。 我 们宗教国研的老师们认为，此题在命题时应该把定冠词的放在空前，让学生直接填写 greatest 的 形式， 否则空中出现了两种词性的词，不是用所给词的适当形式填空了。高考真题也曾经考过类似知识点，都在所给空前面加上了物主代词或定冠词，让考生填写最高级形式即可。 可见这是题在命题时存在一定瑕疵。辽宁的家长们，我们宗教国研的老师们一直致力于研究国内英语中考高考研究和剑桥系列英语考试研究。宗教国研一直走在英语教育教研的路上。

二零二五年辽宁省的中考考试题，那实验题的最后一道，那老师今天为什么要讲这道题呢？是因为这道题的考点代表了我们现在考试的一个热点，就是你看这个题总共放起来有这么长，但是实际上我们在考试的时候只需要去挖它的关键信息就可以了。 那有的同学可能是，哎，这个字他都不认识，露露，对吧？他不认识，但是不要紧，不影响你做题，咱们前三行只需要知道他考的是杠杆的平衡条件就可以了。 那既然是杠杆的平衡条件，咱们第一个空直接就写了，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂， 咱们不需要去算，我不需要用这个一呀，再乘以四，然后等于这个二乘以二，对吧？我们不需要浪费这个时间去分析去算哈。那么继续我们看，说实验中每 四均使 m n 在 水平位置静止，那么细线应该怎么样？ m n 在 水平位置静止，这个细线我们肉眼可见的，它一定是要垂直，我们直接从这个图里去读，去信息就可以了。那目的是为了测量什么呢？这个其实就是咱们同学的一个知识积累。 你看我们这里要测量的东西无非是四个，动力、动力臂、阻力和阻力臂。至于力，它是可以通过勾码它的个数来得到的。另外的，我们需要测量的就是 利弊。第七个说古人之所以把井绳缠在小轮上，是因为这样做咱们同学们不需要去分析，对吧？咱们中华文化博大精深，五千年的历史，它一定是省力。好，下面说把小轮和大轮半径之比变，怎么样 才能达到更省力的一个目的？我们杠杆的平衡条件是这道题的原理，那么杠杆的平衡条件是什么呢？是 f 动 乘以 l 动，等于 f 组成以 l 组。那我们要知道小轮和大轮的这个半径到底哪个是阻力，哪个是动力， 我就需要上前面去找了，不然的话，你看如果他没问这个，那前面给的这些信息，我们其实都不需要太过于去关注。他怎么说的呢？他说 规定能使原版顺时针转的力为动力，这个叫顺时针，也就是这个叫动力。让他能够逆时针转的这个力呢？叫阻力，也就是这个叫阻力。 阻力对应的是什么呢？对应的是咱们小轮，也就是小轮半径。与大轮半径之比，对应的就是一个是咱们的阻力，一个是咱们的动力，也就是 l 阻。比上 l 动，就是小轮和大轮半径之比， 等于什么呢？等于 f 动比上 f 阻，说达到更省力更省力，就是动力要减小，也就是这个比值要变小 就可以了。下面说两个动力下杠杆的平衡条件，这个我们没有学过，但是我们可以从表格当中获取信息， 他给了两组动力，给了一组阻力，那我们既然说动力乘以动力币，等于阻力乘以阻力币，我先算，比如说这个阻力乘以阻力币，二点五乘以零点二，是不是零点五呀？这都是零点五，零点五很快速算出来，动力乘以动力币零点二， 动力乘以动力 b 零点三。我们现在其实就可以看出来，零点二加零点三等于零点五，也就是大概率 f 三 l 三等于 f 一 l 一， 加上 f 二 l 二。但是咱说物理是很严谨的一个学科，我们再验证一下来，一乘以零点三，零点三，一乘以零点二是零点二， 哎，果然还是零点三，加零点二等于零点五，那我们就得到准确的结果了，这个整个的题咱们就做完了。

三十秒钟学会因式分解。因式分解就是课代表收作业，把相同的乘数收上来， x 的 平方可以写成 x 乘以 x， x 可以 写成 x 乘以一，它们有相同的乘数 x， 那 就是 x。 这个课代表来收作业，课代表站在前面，然后 谁交作业谁没交作业，得区分开啊。然后课代表在旁边画个圈，交了作业的站到圈里来， x 乘以 x， 交完一个 x 作业之后，剩下一写下来，三分到手。

大家好，我是罗汉果。呃，这两天呢，因为考虑到中考只有一个月了，所以呢，我突击 呃编了一本书，然后让考生在最后一个月精准高效的复习啊，这是简单的续言，我念一遍 啊，在离中考只剩最后二十九天的时候，我们的学生更要精准高效的复习，才能大幅度提升数学分数。 我将二零一二一年至二零二五年的中考常考考点的专题呢分板块进行了汇总，并同时配上了类似考察方法的全真模拟题，以帮助学生在最后一个月针对薄热环节给予加强。 如有不足之处呢，还不忘还忘，不念之症就是五月二十九，今天二十九号，刚好离中考还有二十九天，然后他的目录呢，我挑了一些板块出来， 总共分成八个板块，其实七和八是一样的啊，第一个板块就是时速的混合运算，那这个就是年年都考的。第二个就是分式的化简求值，然后去年考的是不等式，但偶尔的年份考的是分式方程。所以的话呢， 啊，我把从二五年到二一年的这个考察的真题放在上面，然后加上自己的模拟题。然后第三个板块就是三角函数的实际应用啊，比如说在二五年，就二一年到二五年这五年里边呢，考了四次实际应用 啊，我把真题四道真题放在这里，同时也加上了五道模拟题，然后就是反比例函数。过去的五年 其实不止五年了，过去十年每一年都考了反比例函数，把二五年到二一年的正题放上，同时加了五道类似的，还有一些有心意的反比例函数，一题难度都是差不多。然后就是 第五个板块，最后说啊，第六个板块，圆的综合，圆的综合就是把过去这些年的真题放在这里，然后呢，一般第一问考的是切线，第二问考圆的综合计算， 然后就是第七几何综合，那就是一般都是指选填的压轴，其实主要就是指填空的压轴，它基本上就是翻折啊，旋转啊，然后一些特殊的 常见的模型的灵活运用，然后加上了三条函数，然后几何综合大题呢，其实和这个 第七个其实考法也差不多，只是会更复杂。然后第五个板块，二次函数呢？要特别说一下，二次函数是以前中考的重要板块，但是随着越往后二次函数的考察，它就变成了 以前的考察，变成了现在的创新体，新定义。所以的话呢，呃，整体只是给我们 拓展一下事业啊，我们并不能预测到精准的预测到他会考察什么样的类型，因为他新定义肯定是有创新。所以的话，二函数主要是用来 啊，考察基础知识点的掌握，当如果你基础知识点掌握好了，那灵活应对新题型，那应该也是更有把握。我们简单的往后拖一下，比如说你看这个 实数综合，然后这里有以前考的正题啊，一个零次密，一个绝对值，然后一个三角函数，有的是有一个负指数， 那这里你看零次逆向函数根号负指数，基本上年年都是这样子。然后呢，我就啊，我这个是变式，变式就是模拟题，然后这个不等式啊，然后分数分式的化简求值。这里呢？ 嗯，解答题我都会放一道题的步骤在这里给学生做参考，然后还有三样函数的实际应用， 这里呢是小题，所以呢，就没有放答案。他是二五年有考， 二四年有考，二三年有考，二二年没有考，二一年有考，所以呢，基本上在横竖的实际应用都是会考的。然后反比例函数，那就不用说了，二五二四二三，二二二一都考了。然后呢，这里加入了一些模拟真题 啊，几何综合，然后这是翻折啊，这也是翻折，这也是翻折。那我们看一下年份，这二五年有翻折，二三年翻折，二一年也是翻折啊，这个二五年，这题放在最后，因为它是旋转， 然后这是二二年，这里呢，没有旋转和翻折。但其实呢，这里考察的是一个特殊的构造手拉手模型，然后这里加入了一些模拟正题 啊，这是一个反折，这有些模拟题是学校考的，这个是， 然后就是这个大题的综合啊，这是真题，这是二五年的真题，这个就比较简单。然后二四年这个步骤比较多啊，然后二四年就涉及到了画图。 二三年的中考题我没有拿过来，因为二三年的中考压轴是这些年里面最难的。嗯，可能代表了意义不太强，所以我把它删除了， 然后后面配有答案。但是我在印成书的时候呢，啊，将不会把答案印出来啊？看一下，总共有六十页，六十页大概五乘八，四十，八十道题不到，可能七十多道题 做最后的冲刺，比如说哪个板块要加强，比如说反比例，我需要加强，那我就加强反比例，那圆的中和，我就加强圆的中和，时速混合运算我没问题，我就不写这样子。好简单的介绍到这里，谢谢大家。

今天我们给大家带来一套在我们大连市的中考和校考当中出现频率非常高的一道数学题，这道题呢，其实本质上是很简单的，但是呢，很多的同学在这里头就犯错踩坑，最主要的就是忽略了一个小小的零啊。我们来看一下这道题， 题目本身是若 x 的 绝对值等于负 x 啊，那么则 x 满足的条件是什么啊？它的绝对值等于它的相反数， 那么这里头它重点考察的是什么？就是绝对值的一个很重要的特性叫做非非负型啊，那所以我们来看呢，就是当它的绝对值等于它的相反数，那么一定是符合两个条件，第一个大家都知道就是 x 本身是负数小于零，对吧？那么 但是这是不够的。还有第二个条件是什么？就是 x 等于零啊，那很多人就忽略了，所以它的正确答案应该是 d 啊， x 小 于等于零。 像这样的题目其实是非常简单的纯概念题，很多的孩子还在丢分，真的是非常非常的可惜啊，所以我们也希望大家不要在类似的题目上再丢分啊， 所以我们就给大家把所有跟绝对值相关的一些高频题目和易错题给大家做了一个总结，形成一个提及啊，它的提价码是二四二八啊，那么呃，感兴趣的家人我们马上给你安排。

呃，简单聊一下这次大连这二模数学，但是呢，因为他这个目前市面上网上流传的这个版本，他的清晰度有点低，就只能简略聊一聊啊。然后前面这个选择填空吧，我觉得都还好，尤其这个九十也没有遇到这种选择 压轴难题吧，就还好啊。然后这个这也不算填空压轴难题吧，都没考那种圆啊弧啊角平分线对吧，就考了一个区间对值，这个我觉得 就是大家如果好好学的话，这个选填肯定是白送你的。当然了，呃，考试如果出现小气的错误也是能理解的，毕竟考试嘛，总可总会有一些意想不到的失误，这个都可以理解。 然后往下来看一下这个这统计还好吧？这个还好吧，放那个一道选择题里面一个 a b、 c、 d 选项，我觉得都能做，对吧？然后十九题也还好，但这个这个括号对吧，解集就可以画哪边哪边，看图像就能直接说，所以他说直接写嘛，大家要掌握这种函数的意识。 然后这个二十题，这个二十题的话，嗯，就还好吧。也这就没啥聊的。看上去能做圆，我没看，我也没做，但是圆大家一定得会，无非就用了两个，一个叫勾定理，一个叫 对勾定你啊，然后呢，那个就是说白了就解三角形，在圆里面解三角形用圆的一些知识，对吧？这个都还好。然后这个这个几何吧，就是我跟他聊了个方法，但是我稍微呃就是说一下，大家在考场中肯定不能用间歇法去处理，因为间歇一定扣分， 虽然说间隙对于等下这条三角形，这条三角形正方形，凡是带直角的，现在关系好求都能正反。同时你要间隙的话，这个东西，这是角分线，这是终点，不然你要是在考场中没发现这个间隙也失败。 当然间隙归间隙，我们间隙不是说为了就是用间隙的方法把这个题解决出来，而是想着我，间隙，我是想求哪条线段， 因为大家做这个题，我随便给大家看一下。呃，这周之前吧，哪个来着？我看看啊。对，就这道题，这是一个应该是八十中的孩子问的，我一道题 就是他说他们班就是求了个 c f 平方，然后半天大家还都没求出来，不知道怎么处理。也就是条件，其实题目都一堆，什么九啊四啊，六十，然后旋转。大家最关键的就是说，哎，这条件我都标了，我也不知道怎么用啊。间隙就是帮你干这个活的， 也就是说，只要你在拼这道题中知道坐标怎么求，知道坐标视察长度，就会求。同样道理，我如果把这道坐标引去了，就那个坐标系引去了，你看这个图就会很萌，所以不妨把坐标系加上，他是帮你求长度的， 而没有别的意思。当你把这些点那个坐标表示完之后，你再回来看这道题，你会发现啊，原来也没那么难， 对吧？就是你接完线之后，你就知道你要干嘛，你要求点多标，点多标怎么着？去找线这样去处理。当然了，不是所有的几何题都可以用间隙法解决，一方面是求实，另一方面是我 开始说那些条件如果没有直角硬造的话，没有特殊角度，没有直角硬造的话非常吃亏的，大家还是要灵活好吧，但间隙法我觉得不得不学，是一个， 在你走投无路的时候，可能这个工具会启发你点东西，没招了可以用， 但用完之后你再回头把几何过程补一补，我觉得也是挺好的。然后这题刚才有家人问我这题怎么做，我也不知道怎么做呀，这我都看不清是啥，但这个题的圈二，这一圈二问这个笔直。那天我给孩子们做了一道，这是这是，这是物理啊。 然后我看大家看一眼这个数学，数学应该是这个吗？不对，这也是物理，这是物理的每日一题。这个，这个里面吗？不对，那应该是哪个呢？我搜一下，应该是五点，五点多少？五点二六，差不多。 不对，那我找下我这个文件啊。呃，对，五点二六到五点二九，不对，这个是物理的每日一题。哦，对，在这，在这在这，然后简单看一下什么呢？这个题应该就是这里面的，有一道几何，有一道有一道函数题，大概是哪个在哪啊？在后面吗？好像在后面。对对对 啊对，就这个题也是同样的，对吧？这也是哪的题？我忘了再给大家挪一下。你看这道题对比一下，虽然我看不清模模糊糊的这个面积，他跟我说等于他了，我这个面积就能求出来是一个带二次的，他说他最大，然后求这个值，然后人家是说白了你这个题 就是求 n 的 值吗？就转化成了交点，就这个题做的时候，画图转化成两条斜线段的比，这个题就问了，你两条斜线段的比多少，这两条斜线段跟他就长得非常像，一定有些关系的，然后利用来利用这个什么那个那个那个，就对，直来求一下就完事了。 好吧，这样就是。所以这种题他凡是按函数题他考的东西全是相通的，你只要明白函数是什么，怎么用，点，怎么用坐标，怎么去把这个 关系表示明白，这题就结束了。所以我现在练练初二的孩子，就包括初一有些他想上的。我都说你写函数题规规矩矩的，就按我这个格式来。什么格式呢？当然我这个格式在考场中一定扣分，因为你你省略了一堆步骤，但是你得会这么写。这个是张斌老师的方法 啊，就张明老师，我一直很敬重的一位老师，就是左边写点头标，右边写线，就特别特别清晰，你就相当于这个计算机左边输入，然后这是中间的输出某一部分，最后你要通过输入和怎么处理，然后最后把这个输出打出来，对吧？当你的输入很清晰很规整的时候， 哪不会哪忘了，你就往前看呗，对吧？这个书写格式在平常做题的时候可以处理，但考试老老实实的 点都不要带入，然后求那个那个那个实线啥的，求那个二弹出都可以，然后那个框三。我也看，我也看不懂啊，太难了，这这清晰度，太难了，我只能简单聊一下啊。这不就构造平行四边形吗？这初二现在学构造平行四边形，然后内部，然后葱的刀又下降。我记得嘉惠是九九上的， 嘉慧是应该上学期吧，他们好像期中就考了这么个题。但是这题历史也一点都不悠久啊。大连的之前那个模拟哪都有，说白了这 那个他定或者动无所谓，抛线动不定无所谓，反正这俩一定一动或者俩都动，然后让这里面左下什么下降上升，对吧，就考虑对称轴和这个关系呗。 按函数我反而觉得就是大家练到一定境界时候一定不难，几何在考场中一定是难的，就看你怎么去处理这个题目。当然几何的话，实力是一方面，考场中一定会 还要有一些运气成分在，所以二模不管考的什么样，大家也别太所以说，哎呀，这个我这几何完了就会不好好练几何函数坏，这题算错了，然后之后二模就找老师练函数，没有这个必要。大家这次二模音模什么考试 都是检验自己阶段性学习的这个成果，同时查漏发现一些新的问题，二模之后可能就大概二十来天，对吧，好好调整，心态一定要好。中考最后考的好的孩子，心态一定是好的， 心态加实力两方面都 ok， 你 在中考一定会超常发挥。好吧，不管怎么着，心态要好，家长的心态要好，孩子心态也要好。 顺顺利利的把这二十多天查缺不漏的时光过去，给这个初三的这个学习生活呀画上一个圆满的句号。好吧，大家加油，明天的考试加油。我希望这个视频啊，我家长应该能看到这我希望这个视频大家别给孩子看，考一科忘一科，一定要考一科忘一科，老老实实让孩子 去复习复习理化英语啊，正史啊，别看这东西，等考完了你要想给孩子看看也行。好吧，加油！

hello 同学们，我是杨老师，今天给大家讲解一下昨天刚刚考完的大量二模几何压轴二十二题。好，咱们看这道题啊， a、 b 等于 a， c 都是三， 然后呢？对，在圆上，以 a 对 等于一，以 a 为圆心， a 对 长为半径画圆点 e 也在圆上角斜 e 角 c、 e 加上角 b， a、 c 等于一百八十度，然后第一步延长 b， a 与圆相切于点 e， 那 么这个位置应该是直角， 对吧？相切直角啊，然后找到一个点 e 的 位置呢？连接 c、 e， 进一步发现呢， c、 e 跟这个圆是相切的，可以求出 b、 c 长，那么咱们现在看三角形， 在 r、 t 三角形 a、 e、 c 中，对吧？ c 是 能求出来的啊。 c、 e 应该等于根号下三方减一方，等于二倍，根号二，然后再看 r、 t 三角形 b， c、 e， 对 吧？这个 b、 c、 e 啊，就可以把 b、 c 求出来。 b、 c 等于根号下 四方加八，对吧？二倍，根号平方，所以答案应该是二倍，根号六。这是第一问，然后第二问，第二问呢？ b、 a、 c 等于九十度，那么这个位置得九十度的话，看题干啊， 它是九十，说明角 c， e 也是九十 c， a， e 是 九十，然后 e 是 圆上一点，所以 e 应该有两种情况，对吧？ c、 a、 e 有 可能在上方，或可能在 a、 b 线上线段上啊，所以咱们先把这种情况画出来 研究。 e 在 a、 c 延长线上，然后连接 b。 对， 然后这上面 b、 c 上有点坠啊，使 b、 a、 g 这个角等于角 ab 对， 嗯，它俩相等， 然后找到符合点的条件点 e， 然后并作 c 直线。 c， e 与 a、 g 交于点 h， 所以 连接 c、 e， 然后延长一点与 a 锥延长线， a 锥延长线交于点 h。 好，这啊，共线的啊，然后咱们看看这个条件啊，这个条件，首先这个 c e 这块直角，那么大家发现没，这是一，这是一。然后题干啊，最上方 a b 等于 a， c 等于三，所以这个里面有一个全等， 对吧？三角形 a、 b 的 全等于，三角形 a、 e、 c 它俩全等，全等完以后呢，咱就可以把这个题干给的特殊角二发倒过去，这就是二发全等可得。然后再去看看，什么呢？ 这个里面呢，除了全等以后呢，还有特殊角，这个角 a b c 和角 a c b， 它俩都是四十五度， 对吧？然后你还会发现，如果这个角四十五度的话，这个角 a、 g、 c 应该是四十五，也是加二发，会发现有个全等，这里面的 h g 就 等于 h c， ok， 然后再看他最后要求的就是这个 h g 啊，那咱们开始从这个已知边出发啊， ab 等于三，然后你再观察啊，这里面弹进的二发， 注意观察啊，弹性的二发等于 a， d 比 ab 等于一比三，所以相当于。最后你会发现什么呢？三角形 a b g 可解，三条线可解，咱们可以把 a g 给求出来，对吧？所以咱辅助线应该是过 g 做一个垂，你可以设这个 b q 等于 g， q 就是 x， 然后弹性的二发是一比三，所以相当于 a， q 是 三， x 相当于四， x 就 等于 三，所以 x 应该等于四分之三。然后这个 a g 这个图里面的 a g 啊，一三刚好十，它应该等于四分之三倍，根号十是 a g 长，这个应该是四分之三倍，根号十。求出来了， 然后咱再去看啊，要求的是 g h， 那 么 ag 咱解出来了，还差 a h， 对 吧？然后看 a h 这三角形，再仔细观察啊， 这个位置对顶过来也是二发，对吧？那这时候呢，二发一和二发二相等，你会发现有一个字母形相似， 对吧？那字母形相似的话，咱肯定会想，那他的那个结论是是啥呢？是 a h 方等于 h e 乘 h c， ok 吧？然后这里面呢，你还会知道什么呢？这个 c e 长是根号十， 然后 a 最长呢？刚求完四分之三倍刚好时，那咱啊，咱解释一下啊，设 h e 是 x， 那 么 h e 要是 x 的 话， 这里面的 h c 等于 h g 都是 x 加根号十，然后你刚才导的 a g 是 四分之三倍根号十，所以这个 a h 应该是 x 加上四分之三倍根号十，减去 x 加根号十啊，应该是 x 加根号十， x 加根号十减到四分之三倍根号十，应该是 x 加四分之根号十， 这是 a h， 然后就可以把到把它带到这个堆积形式里面，所以 x 加上四分之根号十的平方等于 x 乘上 x 加根号十，一元一次方程啊，解得呢， x 应该等于八分之根号十， 所以最后这个里面的答案，这个最 h 等于 h c 应该等于根号十加八分之根号十，应该是八分之九倍根号十，这是第一种情况，然后看第二种情况，第二种情况是这个图一点应该在这， 对吧？然后呢，连接 c e 交 a g 于点 h， 所以 这个位置是点 h， 然后同理可得，方法跟刚才是一模一样。咱把这个倒这个角标上啊，也有全等，但是这个全等呢？在里面，三角形 a b d， 对 吧？三角形 a、 b、 d 跟三角形 a、 c、 e 它俩交叉全等，所以这时候二发是它，对吧？然后你会发现个什么呢？有个摄影定律，有个直角，这个位置有直角， 对吧？倒下直角。那倒完直角以后你还有结论呢？ a h 方应该等于 e h 乘 h c， 对 吧？所以咱是能把 a h 用什么方法呢？最基本的面积法对吧？一乘三除以十，底乘高 等于底乘高等于十分之三倍，刚好使。这是 a h。 那 最后 求的是 h g 啊，那也没用到圣经里，那直接咱就 g h 就 可以啊。直接求 g h， 就是 拿刚才求完的 a g 四分之三倍根号十减掉十分之三倍根号十，应该等于二十分之 九倍根号十。好，这两答案啊，那个答案是另外一个答案啊。所以中上这道题的 g h 应该等于二十分之九倍根号十，或者是 八分之九倍根号十。

是关中王来了。

马上要中考了，听说你有点焦虑，不知道接下来该怎么复习，逐逐拆解二零二五年中考真题，对比二十六年一模真题，帮九十分左右徘徊的孩子们找准冲刺方向。 制校版的初三孩子和家长们，大家好，今天呢，我们带来的是二五年制校版的一个中考真题的一个知识点分析。那二五年的制校版的这个中考已经过去那么久了，为什么我有没有反过来拿它来去分析一下呢？ 主要是通过今年咱们的这个一模齐发啊，他们基本都是延续了我们二五年中考的一个考法啊，包括，呃，选择填空那些压轴啊，一些考试的一些呃， 重点啊，难点啊，考试的方向基本都是一致的，所以说，我觉得只要把二五年的这个中考啊，这个这个分析到位了啊，方向基本是有的，然后我们二六年的这个备考方向就明确了啊 啊，同时呢，通过这个数学分析还会给我们啊，这个在九十分左右啊徘徊的孩子一些简单的备考建议啊，让我们一起来看。首先分值的话是一百二十分啊，这一直都是一百二十分，然后它的难度系数是零点七五，这个难度系数，它其实就是它的一个得分比，平均分的一个得分比 啊，一个得分占比，也就是说去年的平均分是一百二十乘以百分之七十五啊，大概是在九十分左右，但是实际 实际实测出来的这个难度系数是在百分之七十二到百分之七十四的建议就是差不多在八十多分，这是平均分啊，好，然后，呃，他的一个总体的一个分析啊，一个这个主观客观，还有选择填空及答题的一个占比啊，大概是这样的， 大家简单的看一下就可以都知道啊，然后的话就看一下这个试卷的难易程度，这个难易程度的话，主要是根据当届学生他的一个嗯得分率啊，来去判定的啊，不是说这个题看起来是简单的啊，不是这样，是根据得分率啊，有些题目呢，看起来简单，但是得分率比较比较 比较差啊，那这个时候他算到中，算到其他的这个类型啊，就不是一个非常非常简单的一个题目了啊。如果这个题就是相对于来说看着是难的，但是得分率相对高啊，那这个时候我们就可以 判断的紧张题的位置上去，那么整体的这个简单题占到差不多百分之五十七，也就是说你如果基础题没问题的话，七十分是没有问题的。然后中档和难题，那肯定就是我们基础，我们的一般孩子啊，需要啊，需要点点脚能够着的，或者需要努力的方向， 那就像这中档题，基本上我们我学基础没太大问题的话，通过一定的总结啊，通过一定的训练，他是能够拿下的。然后难题的话，那就 他就是一个选拔性的一个一个题目了啊，主要是选拔出了一些啊，这个有点数学天赋的孩子啊啊，这是拉分的，拉开分的。 好，那咱们现在来具体看一下这个具体的知识点啊，知识点的话基本都是差不多的啊，前前几道大家可以简单看一下啊，那重点说一下我们的九题和十题，九题和十题的话， 嗯，那么考到的就是去年考到的是一个角三奇变中线的这样一个小的模型，我觉得今年可能也还是一个小的几何模型，大概率几何模型会变啊，比如说变成一个一线三，一线三角值啊、正定力啊等等啊这些，大家要把平常的一些这个基础的几何模型要做好储备。然后这个第十题的话，他考的是一个函数， 呃，于几何动点啊，就是给了女孩图像了啊，你通过女孩图像来反分析我们图像，呃，几何图像的性质啊、角啊、边啊那些关系等等啊啊。然后再来就是我们的十填空题，十一到十四基本没太大问题啊，非常简单，非常基础一些题目。 然后第十五集的话，这个是数字找规律的啊，那你一定要有些储备，比如说你可以看一看我们的出货衔接里面一些数列的题目啊，等比呀，等他这些有这些储备之后，找规律题问题不大的啊。好。然后还有就是这里的第十六集，十六集的话这个难度大，而且它相对综合啊，一般我们会建议你放弃，除非你有足够的时间来去研究它， 然后再往下就是我们的，呃，这个解答大题，解答大题的前四道问题也都不大，然后就从二十一题，二十一的话，这个题去年考的是一个实际应用，它是给了一个我们新的方法啊，新的，呃，这个也算是定义，也算是新的方法吧，反正就是比葫芦画的就能够解决的一个题目啊，叫做算法物理数的大小。 我觉得这个题在二六年考试中应该会啊，应该会保留啊，就是还是一个新的一只，不过不换，换成别的了。然后，呃，还有就现在性质，这个圆的题它真的很简单啊，所以把它放到 e 的 位置 就还可以，就不难啊，他是考了最基础的原则性的，但这个圆我觉得有可能难度会加大一点，因为今年的预谋期里面，我们的圆好多地区他都放到了最后一期啊，他和圆和奇变型进行了一个大的综合啊，难度还会有所上升。然后这个二次函数的二三题的话，这个题 他也是有套路的。我觉得啊，他就是您就是没有不习惯啊，就觉得，哎，这个题怎么带怎么弄啊，你要多多画图啊，初中不会考太难的啊，然后你只要习惯他的做数学方式，我觉得这个题也是我们可以努力的方向啊。好，所以最后总体下来的话，我们九十分左右的孩子要想冲刺一百分， 那你要从这些题目下手。首先就是选择题第九题啊，选择题第九题结束了，就是一个简单几何模型，这些几何模型你可以总结总结，多储备一些啊，这个题三分是能拿下的。然后还有就是第十题，它是一个函数重点，其实这种题也没啥难度啊，你做真的是做好分析，做好翻译啊，多做做一些题目，知道这种题目做题套路，这个三分也能拿下。还有就是十五题，我说了啊，你只要做好储备 啊，比如说，呃，这个又这个出高阶的一些啊，数列题啊，是一些数列的找规律，嗯，也是可以拿下的。然后十六题的这个圆圆的话，那它的 综合题也说了比较大，他可能圆就和几何结合在一起，辅助线你要想不到，几何你也想不到，那这个题做起来比较费劲啊，大家可以选择现在放弃。好，然后二十二题是一个圆或者心心一，如果心心一，我觉得这个题啊，就就基本能拿下的啊，基本能拿下的，以后的话就可以了啊。好，然后还有就是二十三题刚才也说了，二十三题的话，他是有套路的啊，我觉得你多 基本上见见我们的今年一模一样的考法都是一样的，你多做做个五六道，你就发现可以了啊，这题加五分是没有问题的啊，甚至加更多啊。然后呢，二十四题的话，它一个几何综合变化啊，就是今年考的，去年考的是一个对称变化，那就我觉得今年可能考一个旋转变化呀，可能考一个平移变化都是有可能的啊，这个题再加四分是没有问题的，因为你基本上 如果现在的话，你可能得个九十分，也基本就是这二十三，二十四就得个两分了。然后二十四题的话，我觉得你可以努力挑战一下第二问，第二问他，你最起码能不一定能得到具体的结果吧，你最起码可以把节目中的信息做好一个很好的整合。 哎，题目中说对称了，旋转了，你跟你题目中的因为他对称啊，什么什么相等，你再结合题目的信息稍微进行一下整合，能写的都写上，我觉得加四分是完全没问题的。好，就是我们啊，这个九十分左右，孩子们啊，你们要在这些题目上加功夫。数学藏着时间，你藏着无限的可能，愿孩子们考试进步。

二零二五中考最难的几何压轴，你觉得此题够格了吗？

我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第十一道。 好了，那接下来呢？我们看完第一问以后，接着来看第二问，这个题的第二问难度有，但是不是非常大，所以说，嗯，基础一班的同学也是能够努力一下功课的啊。我们来看一下，如果说圆 o 的 半径等于六， a 得等于九，我们在图里面标上 a 得等于九， a c 等于十二，求的是 ef 的 长度， ef 在 中间求的是中间这条线的长度。我们还知道半径等于六，对吧？那题目中知道的是直径吗？ ab 那 条直径，那半径等于六，直径是不就等于十二了？直径就是十二， 这有问题吧？好，那这里你看，刚才你看，我们先来分析已知条件啊。刚才第一问的时候，我们是不是得到了，这里有个直角，这里有个直角，这里有个直角，这有个直角，它的与角这边肯定也是直角，也就是说三角形 b、 c、 a 与三角形 b 得 a， 全部都是直角三角形， 对吧？那你看直角三角形，知道两直角边是不分别，都能算出斜边，哎，那 c、 b 的 长度就是十二倍根二，对吧？一比一比根二嘛，等腰直角三角形，这个很明显吧。然后呢，这边直角三角形九十二是不十五，勾股定律，所以说 b 的 长度是十五，那我们还知道什么？ 来看一下，继续来看一下这个直角三角形，对吧？这个直角三角形好像没有什么作用，他只知道斜边是十二，但是两个直角边都不知道。下面这个直角三角形也是只知道斜边是九，两个直角边也不知道是多少， 对吧？那呢， ab 是 直径，这边有个九十度，那直径所对的圆周角都是九十度，右边是九十度，左边肯定也有一个九十度，但是呢，他没有连接 ae， 所以 说这边的九十度暂时还没有什么作用， 那我们就来分析一下啊，如果要求 e f 的 话，得怎么求？来看一下这个 e f e f 可以 看到它是分为两段的 e o 和 o f， 或者说我们可以直接求 e f 这个整体，那首先 e f 这个整体它不位于一个特殊三角形里面， d e f 只是一个一般的三角形，没有特殊角，没有特殊长度，对吧？ 所以说 e f 整体暂时求不出来，那我们想一下，如果能不能把它分开呢？分别去求 e o 和 e f， e o 和 o f， 那 e o e o 也不再特殊三角形啊，对不？如果你说什么相似呀，怎么样的 e o 也不平行呀，是吧？ o f 是 不也不好求？ 那算了，还是合起来吧，对不？ e f， 那 合起来的话，它只位于三角形 b e f 中，那 b e f 这个三角形有什么作用呢？哎，它只是我们能看到一个大三角形，它是大三角形上面的一个小三角形，那是不是能看到？是不是相？嗯，我们相似里面学过一一种相似的这个模型，就就是这个样子， 类似于 a 字型的一个相似，对吧？但是 e f 和 c 的 明显是不平行的，对吧？所以我们如果，嗯，如果说不平行的话，那他肯定不是对应的这个角，直接同位角相等的，那肯定是什么？哎，肯定是这个角等于这个角，然后这个角等于这个角，肯定是交叉相等的，这能明白吧？ 那我们来看一下啊，怎么样相等？哎，我们现在说如果要求相似就得角相等，那你看他那有一个公共角已经相等了，这个就不用管了，所以说我们只用找到一组角相等就行了，还稍微简单一点，比数比分开简单啊，合起来。 所以说，现在来看，第一问恰巧求的就是角相等。哎，那第一问会不会给第二问有一些帮助呢？来看一下第一问。第一问是角 b a、 f， 这个角等于角 c 的 b 等于下面这个底角。哦，我们现在不要他吗？我们现在要的是这个底角等于角 b e、 f 等于角 b e、 f 等于这个角啊，你说他等于他，我现在要的是他等于他，那你俩相等不 来，现在问题落下来，角 b e f， 哎，角 b e f 等于角 b a、 f 吗？ 相等吗？如果它俩相等的话，第一问的角 b、 a、 f 是 不是就可以转换成角 b e、 f， 然后它也等于这个 d， 角 c 得 b， 那 这两三角形是不是相似了 啊？那，那这样相当不来看一下。哎，你看，你发现这两个角两边是由谁构成的？ b e 和 f e， 那 它的两边呢？这个角的两边 b a 和 f a。 哦，好像发现它俩是 b f。 这个弧所对的圆周角，也就是同弧所对的圆周角， 对吧？同弧所对的圆周角是相等的，这个没问题了，这也是圆里面非常重要的一个知识点啊。同弧或等弧所对的圆周角相等，所以说好，不要问号了，相等的对的好，那相似就出来了，相似出来了之后，那边 e f 对 应的边， e f 所对应的边是不就是 c d 呀？ c d 是 已知的二十一吗？对吧？那它还等于等于那个谁比谁，我们是不还得知道一个边，那你能看到大三角形的三条边都是知道的， 二十一，十二倍根二十五是不全是知道的。哎，那现在就得看小三角形了。小三角形刚才我们分析了一半啊， b f 这个边，我们说他没有在特殊三角形里面，而且两这两个边也不知道，所以说很难确定，对吧？这边不好求，那看 b e 好 求不？ b e 刚才分析了啊，说 ab 这个直径所对的 圆周角是直角，刚才我没有把它做出来，现在做出来，好吧，所对的圆周角是直角。好了，那这个 b e 还是位于直角三角形里啊，那你呢？ 也也没什么特殊的呀，都是直角三角形，是不是？那再来看一下刚才我们说这个十二十二十二倍根二，他是不是一个特殊的直角三角形？除了直角以外，还知道另外的度数四十五度，他因为他是等腰直角三角形好了，那这边也是四十五度，那他是四十五度，这里又一个直角了，那这边是不是也是四十五度？好了，那三角形 b e a 也是一个等腰直角三角形， 对吧？三角形 b e a 也是等腰直角三角形。哦，那等腰直角三角形的斜边是十二，那直角边是多少？我们来算一下 b e 的 长度，你看 a e 和 b e 是 不是相等对等腰直角三角形嘛。所以 a e 等于 b e 等于二分之根二 ab 这个一比一比根二吗？现在根二变成十二了，所以说给他们乘过去，对吧？所以说他算出来之后等于六倍根二。好了，那 e f 是 小三角形的斜边，对应大三角形的斜边，那我们说小三角形的 b e 边对应的是大三角形的 b d 边。好，我们得到等式 e f 比上二十一，对吧？等于 b e 六倍根二，比上一个 b d 是 十五 好，现在交叉相乘十五倍的 e f 是 不等于二十一乘以六倍根二，然后把 e f 就 解出来了，最后 e f 解出来的结果等于五分之四十二倍根二， 这就是第二问。第二问其实不难来去，利用了一个直角三角形里面的边角关系，然后还有一个很明显的一个大相似，然后就把它弄出来了， e f 甚至都不用拆分成两段，在同一段里面就给他做出来了。 那下面呢，我来给大家把这个第二问的嗯解析过程整理一下，然后大家看一看 好了，同学们大家可以浏览一下，这是第二问的这个过程，过程有点长，然后听懂的同学呢，仔细把过程看一下啊，直径，然后下来，这里是等腰直角三角形，把它的长度算出来，然后就是因为同弧所对的圆周角相等，然后就正相似了，相似正出来以后列出一个等式，然后十字交叉解 写出 e f 的 值五分之四十二倍根二。好了，那第二问的话，可能对于有些同学来说是有些挑战的啊，然后如果说你能把过程写一点是一点，这个我们在中考的过程中建议大家啊，如果说你能，你看像这些已知条件，你可以列出来吧，然后能推到哪一步算哪一步。如果这里相似，比如说你实在算不出来，或者说你只能求出一个相似，你把脚 把边算不出来也无所谓，做一半得一半的分，能做多少做多少。好吧，那这道题呢，就给大家先加四分就好了啊。嗯，接着接着这个第一问，然后加上四分，也就是我们现在累积得到了九十五分。那下一个视频呢？我们来看二次函数这道题，我们还能得一些分，可能就上一百分喽。好了，朋友们再见。

各位同学好，我们来看一下二三年大连中考真题，一式分解 x 平方减二十五。那这个题呢？主要考的是平方差公式，所以我们直接去找平方相减等于 和乘差，所以直接答案就是 x 加五，乘以 x 减五，你会了吗？