2026辽宁初中数学一模几何答案

沈阳市中考数学一模今天刚刚考完，那这回的一模卷它整体都是偏简单的，一到二十一题百得分不说，二十二二十三的难度也是基本上是低于中考难度的，所以孩子们做起来会比较顺心啊。但是大家要注意，就中考的话，那这回的难度应该是比这回的一模是要难一些的， 但是他这个一模是能反映出一个中考的一个特点，因为咱们中考不是说你一模二模考什么呢？你中考就考什么一模二模，他出题的目的只是为了让你知道你自己哪块是有问题的。其次他是有一个导向的，是指的是这个东西是可考的。 但是如果你会分你分析了各个地区一模和二模的，你就会发现今年辽宁省各地区的几何压轴考的尤其多的是倒角， 倒角加上一边一角构造，再加上解三角形，是这三个东西结合到一起去的，那你就要知道每个东西你都常见的方法是什么。那倒角的话，咱们常见的方法就是设阿尔法这个顶点，设等腰三角形的顶点。其次就像 比较一些复杂的，像二八角的辅助线，然后公顶双等腰，公腰双等腰，还有公腰三等腰这三个倒角的基本型。然后其次就是边角构造，边角构造好多地区一模二模都考了，这个几何压轴跟边角构造有关系的，比如说像这回的沈阳，还有像上次的这个鞍山，都会有边角构造。 那边角构造是非常重要的一个辅助线啊，它的特点就是只要出现角和角的邻边相等，那它特殊的情况就是一边角互余勾选等， 那对于解三角形，咱们常用的就是直角三角形、解三角形，那直角三角形里常用的解三角形的四种情况，两边一角、两角一边啊，一边一角，这种情况你都要知道。其次就是跟求边长有关系的，那解三角形算是一个，还有一个就是勾股方程。 勾股方程咱们应用的频率是非常多的，当你发现出现直角象形，并且你能用未知数表示出边长的时候，那这题大概率就是跟勾股定律方程是有关系的，你要么考虑是单勾股方程，要么考虑双勾股方程， 那除了这个，那也有跟平行相似有关系，因为经常我发现这回的一模、二模好多地区他出了是有涉及到边比例的关系，那同一直线两个边之比， 那咱们一定是构造 a 字这种的 a 字，或者是构造这种的八字相似，那这个就是反映出来的中考数学几何压轴的重点。那咱们接下来详细看一下这里的题啊。一二问比较简单，咱们就不说了，咱们直接只看这个第三问， 我们看这里第三问，第三问。现在说当这个 a、 b、 c 等于一百二，那根据已知条件 a、 b、 c 和 a、 d、 c 互补，所以这个 a、 d、 c 这个角是不是六十，那就说明这个 a、 c、 d 是 不是一个等边，因为已知给的是不是有这个 a、 d 和 d、 c 相等，那现在 a、 c、 d 等边，那这个 c、 d、 f 是 它翻折过来的，所以它是不是也是等边的， 那咱们得到这些边相等。其次我们再看他现在要求这个角 b 之一的度数括号二里，我们是不是倒了一个一边角互相等，那这里咱们通过括号一是不能证出这两个点角是相等的， 那你看这两个点角相等，并且它们俩的一组邻边这个 ac 和 c、 f 是 不相等。这里面就涉及到我刚才说的一边角相等，咱们就让角的另一边相等。所以我只要在 ab 上取一点 m， 使这里的 a、 m 等于 c、 e， 咱是不就能得到三角形 a、 m、 c 全等于三角形 c、 e、 f 全等之后，你是不是就能得到这俩算式是全等对边对角相等的？那你看这里现在 b、 c、 m， 它是不相当于一个等腰了。因为你构造完 a、 m 等于 a、 e 之后，是不就能推出这里的 b、 m 和 bc 相等？ 所以 bme、 bmc 现在是个一百二十等三角形，那这里的角咱是不是就要推一下？所以你发现这个角 a、 m、 c 是 不是就变成了一百五十度？那 a、 m、 c 是 一百五十度，所以它的这个对应的角 c、 e、 f 是 不是也是一百五十度？ 就说明角 c、 e、 f 一 百五，它是一百五，那它的邻补角这个角 b、 e、 g 是 不就变成了三十度？那现在这个角三十，那角 g、 b、 e 是 六十，所以是不就能推出这里的角 b、 g、 e 是 等于九十度？那第一个完事之后得到九十度，你再看第二本，他说 ab 是 八，那现在 ab 是 八，是不就能发现 ab 和 b、 e 都是八？因为题里给的是这两个边相等，那现在 b、 e 也是八，是不就有 b、 g 是 四， g、 e 是 四倍根三这些边都是咱可以求的，那现在想求 b、 c， 你 看想求 b、 c 的 话，这里面你发现这里面这个角 g c f 是 不是给你的是一百五十度，它是一百五十度，那这个角你看啊，我给你画一下角， g c f 一 百五 角 f e c 也是一百五，所以是不出现了一组子母形相似，就三角形 f e c 是 不相似于三角形 f g c 的， 那子母形相似，咱首先一定是用它的那个结论，对吧？重合边的平方等于共线的这两边之积 f e 乘以 f g， 那你能得到这个之后你看但这里哪些边你可以表示？你要求 b c， 那 咱们就把 b c 设成一个 x， 所以 这里的 c e 你 现在是不就知道了？这块 c e， 我 就写这啊， c e 现在是不就是八减 x， 那 c e 是 八点 x， 你 还能表示谁？那这里 b m 是 不是也是 x c m 是 不是就根号三 x？ 那 咱们刚才圈一这个全等 c m 是 不是等于这里的 e f， 所以 e f 是 不是也根号三 x？ 哎，那你就发现此时这个 g f 是 不是就是根号三 x 加四百零三， 那你现在 g f 知道了，那咱们是不是可以往这里带了？所以 f c 方是不是就等于 e f， 那 e f 咱现在是不也表示完了？是根号三 x， 再乘以 f g f g 是 不就根号三 x 再加上四倍根三？ 你发现你能表示出 f c 方，那 f c 是 什么？ f c 是 不是这个等边三角形 a c d 和 f c d 这两个边长？也就是说这个边长是不是等于 a c 方？ 那所以你看啊，在 a c 所在这个三角形 a c b 里面，这三边是不都已经用 x 表示出来了？ 边用 x 表示出来了，这里还有一个特殊角一百二，是不就是咱们说解三角形里的那个情况？所以咱们接下来就是解三角形的思路呗， 做这个特殊角一百二，它的零补角六十，做这个特殊角所对的高，解三角形思路就都是一样的了，肯定是做这个特殊角所对的高做一个 a p 垂直，那所以这里的 b p 是 不是等于二分之一的 a b 是 等于四的， 然后 a p 就是 四倍根三，那你现在你在三角形 a p c 里面说，也能表示出这个斜边 a c 方是等于 a p 方加上 p c 方，那这里 a p 方是四倍根三的平方是四十八，再加上 p c 方就是四加 x 的 平方， 所以这两个 a c 方是不是相等的，也就是说明现在是能得到这个式的根号三 x 等于根号三 x 加四倍根三，然后等于这个四十八，加上四加 x 平方，有这个是不就可以解出 x 的 值了？ 所以你看这里运用了倒角，其次是一边角不等，然后是子母形相似解三角形。

辽宁的初三家长同学们注意了，二零二六年辽宁中考一模即将开始，很多孩子又卡在数学压轴题上，要么第二问不会做，要么第三问直接空着，十几分，说丢就丢。其实辽宁中考的压轴题考来考去就那几个题，行动点、折叠、函数、综合， 只要思路对了，步骤分都能稳稳拿到。我是辽宁杨老师，专注初中数学压轴题十几年，专门研究辽宁本地命题规律。现在我的第八期初中数学压轴题群就是针对一模，针对中考，帮孩子啊，把最难的几道大题吃透， 不丢冤枉分。想让孩子压轴题不再卡壳，数学多拿分的打压轴，杨老师第八期初中数学压轴题带你练！

接下来咱们继续来看一下这个括号二，首先呢，主题杆当中所给的这个角对和这角心相等，咱们在括号二当中依然是可以进行这使用的，而且在括号二当中的一个分体杆当中，它给了这个角 a 对 b 等于这个三十度。 这样的话，咱们在图形当中做一下这个标注啊，这角 c 和这个角度都是这个三十度。接下来咱们看看还给了哪些这个已知条件啊，例如给了两组啊，角，分别也是一个对应相等的角， k、 e、 b 和这角 h、 a、 e 相等， 咱们标注两个叉角 k、 b 和这角 h、 a、 e 也是相等的，那图形当中啊，下方那个角 e、 b、 b 的 话，四边也是一个圈角啊，还是啊，记住括号一当中的这样一个想法，两个三十度相等的话，有一个八指形啊，八指形，一个倒角两个圈角啊，进而的话他俩就相等了。 那接下来啊，咱们继续往下看，还有哪些已知条件啊，还给了这个角 b、 a、 c 等于这个九十度啊，以及这个 b、 c 边长的数量啊，是等这个八的，那咱们会发现 a、 b、 c 的 话，它是一个直角三角形，是不记住这三边比的话， ab 长， a、 c 长，我们都是可以求的。 接下来咱们最后啊看一下问题的一个形式，问题问的是一个单线段 a、 k 的 这样一个最小值问题，其中点 a 的 话是一个定点， 想说 a、 k 的 这样一个最小值的话，咱们只需要搞定啊，动点 k 的 一个啊，动点 k 的 一个运动轨迹啊，就可以解决这样一个问题。而在我们初中的话，动点的运动轨迹一共就两种形式啊，要么是直线型， 借助垂线段最短，要么呢是圆弧形，借助这个点圆最直问题。所以接下来咱们一个核心的这样一个思想，就是搞清楚这个动点 k 它这个轨迹啊到底是怎样的。那接下来想搞定这个动点 k 的 这样一个运动轨迹的话，咱们这个切入点啊，到底在哪呢？ 通过观察这样的图形啊，我们不难发现啊，两个圈相等，两个叉号角相等，这里面的话会有一种相似三角形，那相三角形的话，咱们可以借助相似三角形的性质相三角形对应角相等，对应边成比例啊，这两个单角相等， 而对应边呢？三组对应边啊，对应成比例呗，咱们来书写一下，首先啊，这个 b k 和 a h 是 对应边，它俩相比的话是等于 b e 啊，比上 a， 除此之外的话还等于 k e 比上 e h。 好 啊，这三组边的一个对应比例关系啊，咱们写完了， 这是 e h 啊，那接下来咱们这个思考方向应该是这四组边的话，咱们应该是借助哪两组边啊对应成比例来进行这个解决问题呢，我们会发现借助前两组或者后两组啊，其实都可以解决这样一个问题。 例如咱们先试试前两组呗，正边 b k 啊，和 a h 之间一个比例关系的话，是等于 b e 啊，比乘这个 a e 的， 那其中的话，我们发现啊， k 点的话， 轨迹是我们要寻找的，而 a h 的 话是一个固定的一个线段长啊，我们是可以求来 a h 的 一个线段长的，而右侧啊，这个 b e 比上来 a e 的 话，这一点的话也是不确定的， 不过呢，我会发现 b e 和 a e 这两条线段，它是不是出现在我们一直在说的 a e c 和 b e 对 这样一个反八字形相似当中啊？所以的话，咱们进而可以把 b e 和 a e 它俩之间一个比例关系 继续做这个转化，那 b e 比上这 a e 的 话，它等于 b 段比上 a c 还等于 e， 对 比上这个 c e， 咱们应该用哪一组比例关系呢？肯定是用可以计算出线段长的 a c 这样一组对应边的，所以的话，我们可以把 b e 啊比上 a e 转化成 b e 段比成 a c。 接下来呢，我们就有这个 b k 比成 a h 等于 b 对 比成 a c 了。这四条线段当中啊，我们会发现 a h 和 a c 恰好是一半的这样的关系啊，咱们可以把这样一个比例关系改写成 b k 比成 b 对 等于 a h 比上 a c 等于一比二。咱们观察一下啊， b k 比上 b 对 b k b 对 一比二定比啊，是这样吗？看到这样一个比例关系的话，相信同学们现在已经开始往这个刮动模型啊这样一个方向进行类思考了， 只不过呢，证明我没发现啊，这 b k 和这个 b d 所夹角是两个圈，这样的角度的话，我们不知道，如果这个定比有了这定角还有的话，那接下来咱们就可以根据刮动模型来进行找这样一个动点的轨迹了是不？所以的话，接下来啊，咱们应该思考一下怎么 怎么样啊，才能把这样一个定角这样一个问题做一下这个解决呢，咱们还是可以借助括号一当中这样一个对称啊，这样一个手段啊，来把这样一个定角给它整出来， 这里面啊，我们会发现这两个圈号角相等，那不难发现啊，这 b 对 和这 b k 的 话，所在直线是关于 b c 式的对称的，所以的话，咱们可以把这个 b 对 这样一条线段给它对称到上方， 咱们标一个这个 b 对 儿撇吧。好吧，那现在的话， b 对 儿和 b 对 儿撇相等，你 b k 比上 b 对 儿一比二，那 b k 比上 b 对 儿撇也是一比二，现在定角有了定角的话，是这个零度，现在这个刮道是不是就会出现了？ 而我们会发现啊，由于这个 a e、 c 和这个 b e 对 啊，它俩是一个反八相似，进而咱们有一个四点共圆，会发现这个点对的话，是在圆上通过这个点对的轨迹，咱们来找一下这个点 k 对 应这样一个轨迹啊，咱们先把这个圆给它画出来， 以 b e、 c 啊的中点为圆心，咱们标一个 o 点 b c 的 啊，一半啊为半径，画出这样个圆，稍微再调整一下啊， ok 啊，这就是点对撇啊，或者点对的一个轨迹了。那接下来的话，咱们来找一下这个点 k 的 这样一个轨迹啊，咱们根据刮动模型当中圆弧形的这样一个轨迹，主动点圆心和重点圆心所夹的角的话，等于这个刮动角等于零度，那说明这个 重度点啊， k 点它一个圆心的话，也是在 bo 这条线上的，再根据啊，主动点圆心到定点的距离和重度点圆心啊，到定点的这样一个距离的话，等于这个挂钩笔啊，我们不难发现，重度点圆心的话，应该是 bo 的 这样一个中点，咱们标作 o 撇， 现在圆心有了是不？这半正的话，就是 bo 的 一半或者这个 bo 撇呗，咱们就可以画出来重度点 k 的 这样一个运动轨迹了， 既然这个点 k 的 这样一个轨迹的话，咱们已经找到了。接下来话，解决 ak 的 这样一个坠直问题的话，咱们就转化成这样一个点圆坠直问题了，只需要连接定点 a 和圆心 交圆弧一点的话，就是咱们要找的真正的点 k 的 这样一个位置啊。然后接下来话，我们会发现啊，这 bo 撇的话，等于 bo 的 话，等于 b c 的 四分之一呗， b c 的 长等于八，那 bo 撇等于二， a b 等于四啊，不难算出来，除此之外的话，这个角 a b o 撇的话，还这个六十度是不夹六十度的，两边的话分别是二和四是不？咱们不难反证出来，这个角 a o 撇 b 的 话，是这个九十度 进来的话，我们会发现啊，咱们想算这个 b k 的 话，可以分在 b k o 撇这样一个直角三角形上，圆的半径处处相等， o 撇 d 和 o 撇 k 都是这个二，那斜边 b k 的 话，二比根号 静态化，咱们就可以解决这样一个问题了啊。好，接下来咱们看一下这个方法二啊，我们刚刚说了 这三种比例关系啊，我们接触这前两组或者这个接触后两组，我们都可以解决这样一个问题，那后两组的话，这个 b e 比上这 a e 等于 k， e 比上 e h 啊， 你会发现啊，这样一组比例关系的话，本正来说的话就是这样一个手拉手型相似当中的对应边成比例，而通过这样一组对应边成比例的话，其实咱们也可以反证三角形 b， e， a 和三角形 k， e， h 这两个三角形的话，它这个相三角形，首先的话啊，对应边的话是这个成比例的 b， e 啊，和这个什么呢？ a， e 以及 ke 和这 e， h 啊，是对应边啊成比例，除此之外的话，加个角的话，我发现都是这个叉加上这样一个中间的一个对后角，对吧？所以的话，我们可以借助 s， a， s 来证明这个三角形 b， e， a 和三角形 k， e， h 啊，这两个三角形是这个相三角形， 那通过三角形的话，我们可以得到三角形对应角相等，那这里面谁和谁这个是对应角相等啊？我们会发现这里面有一组特殊角啊，这角 a， b， c 的 话是这个等于六十度，那对应呢，和这角 a， b， c 对 应角的话是 h k 这样一个角也是等于这个六十度，那这样一个六十度的话，咱们应该如何进行这个使用呢？我们可以整合上这样一个已知的终点， h h 的 话是一个终点，我们取 b c 的 终点 o， 这样的话两个终点的话可以构造出中微线连接 h o， 咱们根据中 a 线的这样一个性质啊， o， h 和 ab 它俩平行，并且等于 ab 等于八啊，那这里面其实咱们主要记住的是 o， h 和 ab， 它俩互相平行有角 a， b， c 等于角， h， o， e 等于六十度， 那这里面的话，我们发现啊，两个六十度相等，所以的话，这里面又有一组反八相似 k m h 和 o m e 啊，这两个三角形反八相似啊，镜的话有 k o e h 这四个点的话，也是共圆的， 通过这四个点固原的话，咱们还是记住啊，同弧所对的圆周角相等，弧 o e 所对的角 o h e 和 o k e 这两个蓝色的点号角相等。 我们再根据啊，之前咱们所退出来的两个红色的当角相等等量减等量同时减掉两个蓝色的当角，咱们有 a h o 和角 b k o 这两个角相等，而 a h o 这样一个角呢，我们进入 中位线啊，这两条直线 o h 和 ab 互相平行，两直线平行同旁，内角互补，可以推得这个角 a h o 等于九十度，进而咱们有角 b ko 这样一个角，也是等于 a 九十度的。接下来呢，我们会发现， b o 的 长的话是一个定长啊， b o 等于 b c 的 一半等于四， 而这个角 b ko 的 话，等于一个九十度，是不定弦定角的话，那点 k 他的轨迹也是一个圆弧啊，以 bo 为直径， bo 的 中点， o 撇 为圆心啊，这样一个什么呢？圆弧呗，对不？那接下来的话，咱们既然已经找到这个点 k 啊，属于定的一个运动轨迹啊，是这样一个圆弧了， 往下还是点这一个问题呗，连接圆心 o 撇和这定点 a 交源于 a 点 k 的 话，这个点 k 就是 我们真正的啊，要找到的当 ak 为最小值时， k 的 这样一个位置啊。然后接下来这事和刚刚是一样的啊，还是借助 o 撇 b 啊， ab 的 一个长分别是二和四，所加角的话等于六十度。我们还可以反证出来，角 a o 撇 b 的 话是这个等于九十度，这样的话啊，我们根据 b o 撇以及 ko 撇这两线段长都是等于二，根据这个等式直角三角形三倍比啊，我们就可以算出来 b k 的 长等于二倍根号啊，这个就是方法二来找动点 k 的 这样一个运动轨迹。 好啊，咱们简单做一下这个总结，所有这种单线段最值的这样的问题的话，其实咱们还是要找动点的这样一个运动轨迹啊，常见的找轨迹的这样方法的话，有这个定点定长啊，定弦定角啊，还有这个刮动模型，除此之外的话，咱们还需要整合上已知条件常见的这个八十行刀角啊， 是吧？还有这个什么反八相市啊，对角互补的话，都是属于这种市点公园的这样一个形式啊，以及终点的这样一个相关的一个用法啊。那好啊，本期视频的话就到这里，谢谢同学们的一个观看。

同学们，我们一起来看一道沈阳市一模的第二十三题。由于篇幅位置有限，老师已经把题目标在黑板上，用相同颜色笔表示相等线段能知道两个底角相等， 再根据题干中小 a、 b、 c 加角 a、 d、 c 等于一百八十度，我能知道单弧角与双弧角的和等于一百八十度角 d、 c、 e 还是单弧角。再根据折纸问题，对应角相等 角 d、 c、 f 也可以用叉角来表示，那么问题中所求证的两个相等角都可以用蓝色单角与红色叉号角的叉来表示，所以第一问搞定。 接着来看第二问，老师已经把第一问一般性得到的结论，两个第二角相等标在图形中，再根据求二的问题知道 a、 c 等于 c、 f。 我猜测多数沈阳同学习惯用一边一角构造旋钮的方式，视频中老师也用这种方法给同学解析，延长 c、 e 至点 p， 使 c、 p 等于 ab， 再连接 p、 f 俯线，自己画出虚线，很显然能知道三角形 a、 b、 c 全等于三角形 c、 p、 f。 在根据已知条件中，角 a、 b、 c 等于九十度。第一个我能知道角 p 等于九十度，以及对应边 bc 等于 p f。 题目中还给线段 b、 e 等于线段 b、 a 等于绿色线段，也就是等于线段 c、 p、 b、 e 和 c、 p 相等，把这两条线段的公共部分线段 c、 e 减去剩余的 b、 c 等于一 p。 接着倒角时，不难发现图中画的单弧角都是四十五度， 所以 b、 c 等于 b、 e。 接着第三问，老师已经把容易得到的结论用相同颜色笔表示图中红色线段都相等，以及知道角 a、 d、 c 等于六十度， 还是用第一问中得到的一般性的结论。这两个对号角相等，我猜测多数沈阳同学还是习惯一边一角过绕权等方式 延长 c、 e 至点 p， 使 c、 p 等于 a、 b 连接 p、 f， 这样还能得到三角形 a， b、 c 全等于三角形 c、 p、 f 全等之后知道对应角相等，角 p 等于角 a、 b、 c 等于一百二十度。 b、 c 和 p、 f 对 应边相等， 和上一问做题的方式一致，根据题干中给 b、 e 乘等于 b， a 还等于 c p。 这样 b、 e 和 c、 p 这两条线段把公共部分 c、 e 减去剩余的线段 b、 c 等于线段 p、 e。 三角形 p、 f 是 等二十度，能知道底角是三十度 角， g、 e、 b 是 三十度角，以及一百二十度的零五角为六十度，所以问题中角 b、 g、 e 等于九十度。 其中缺二做题的方式不唯一，可以利用这个辅线画图的方式。老师简单说方法一， 三十度的零度角是一百五十度，这样能知道三角形 c、 e、 f 相似于三角形 g、 c、 f。 这样的话，得到这组子母形相似时，能根据结论 f、 c 方等于 f e 乘 f、 d 通过求谁射谁的方式射 b、 c 线段为 x， e， p 长为 x， p f 长也为 x， 能表示出 e f 是 杠二三 x 还根据知道 b 一 长等于八， g 一 长，根据三角函数能算出等于四倍杠二三。 这样 f、 e 和 f、 g 都可以用含 x 的 代数式来表示，简单表示一遍， 接着表示 f、 c 的 平方时，可以把 f、 c 放在直角三角形中能想到过点 f 向 c p 方向作垂 设垂足为 h， f， h 与 p h 都可以用含 x 代数式来表示，这样的话，在直角三角形 c、 f、 h 中，勾股定律能列出关于 x 的 一元二方程， 通过解方程最终能算出 x 的 数值。方法一，老师这里简单迅速一遍。接着来看方法二， 首先能知道一个角角 a， c、 g 等于九十度， 周角三百六十度减两个六十度，以及题干中说 f、 c、 g 一 百五十度。这样的话，根据计算 可知角 a、 c、 g 是 九十度。 按之前圈一中求出的三十度角以及角 b、 c、 e 是 直角，能算出 b g 长等于四。所以直角三角形 a、 c、 g 中可以用设内来搞定问题。过点 c 作 c m 垂直 a， g 还是老规矩，求谁射谁吧， 射 b、 c 长为二 x。 这样的话能表示 b m 和 c m， b m 等于 x， c m 等于根号三 x。 接着还需要表示线段 m， g 是四减 x 的 差。在直角三角形 a、 c、 g 中用射人刃里或者说用三角函数写过程时好写一些。 根据这两个圈号角相等，这两个圈号角的正切相等 m g 比 c， m 等于 c， m 比 am。 依次代入 m， g 是 四减 x， c， m 为根号三 x， a， m 为八加 x， 最终交叉项乘得到一个关于 x 的 一元二次方程。 最终解方程算出的正数的根为二分之，根号三十三减一，负数的根舍去，最终能知道 b， c 等于二， x 等于根号三十三减一。本次视频老师就给同学们讲解到这里，下次视频再见！

大家好，今天咱们一起来看一道近期沈阳省会区九间一门的几何压一道题。本题啊主要的考察点是八十乘角，四点公园相似三角形的性质和判定 终点的用法，以及通过轨迹法来求几何对值。那接下来让我们一起来看一下这样一道题，已知条件啊，给了一直角相等 角 a 对 b 和角 a、 c、 b 相等，这两个差角相等。同这两个差角相等的话，我们不难发现这里面有个八字形等角啊，这样的话，我们可以搞定这两个圈号角相等是吧，以及这个三角形 a、 e、 c 和这三角形 b 一 对，它是一个反八字形的这样一个相似啊。 接下来括号一呢说翻折三角形啊，把这个 e、 b 对 啊，翻折到上方， e、 b、 f 翻折前后对应角相等，那么这个角 e、 b、 f 也是这个圈角，这样的话，咱们就可以解决圈一啊这样一个问题了，非常简单。接下来咱们看一下这个圈二 圈的话，想证明这两个角之间一个数量关系啊，一个是这角 b、 f、 c， 另外一个角是这个 b a、 c 啊，单弧和双弧啊，这两个角到底是什么样一个数量关系？ 关于这个角的一个数量关系的话，咱们可以通过先拆小啊，再正等的这样一个方式，通过这两角系度量下这两个角之间一个度数啊，不拿拆车，这两个角是互补的这样一个关系，那想到这个互补的话，咱们会想到零角啊， 两之间平行同旁内角互补啊，以及对角互补的这样一个四边形。那这道题的切入点到底是在哪呢？咱们应该是先想想啊，这两个角的话，能不能做一下这个转化啊？图形当中有没有单弧或者这个双弧相等的这样一个角呢？ 从这个括号一啊主题干当中有这样一个对折啊，翻折对称的这样一个方式，咱们可以啊把这个角 b、 f、 c 对 称到下方 b 点 c 处， 这样的话啊，我们会发现单股角和双股角就在同一个四边形 ab 点 c 当中了，咱们只需要证明啊，它是一个对角互补的这样一个四边形问题就可以解决。 而通过这而通过对这个椅子条件的一个分析的话，我们会发现啊， a e c 和 b e 对 啊，它俩是个反八指数，一个相似，反八相似对角互补的话，我们都可以得到这个四点公园，那这里面的话由 a e c 和 b e 对 啊， 他俩反八相似，进而咱们可以得到 a b 对 c 四点共圆，记住啊，圆内接四边形对角互补的话，我们就可以搞定单数加双数等于一百八，只不过呢，这个四点共圆啊，咱们不可以直接进行利用，咱们得完成这样一个证明。那接下来咱们简单做一下这个证明， 咱们想证明的是这个当角和这个双角相加等于这个一百八十度啊，其中的话，我们会发现啊，这个双角所在的这样一个三角形是 b 或者 c 啊，在三角形当中，咱们借助三角形内角和利用这个圈号角加上这个点号角 再加上这样一个双角也是等于这一百八的，那相当于咱们只需要证明这个当角和圈与点啊相等问题就可以解决了。 通过这图形我们发现当角的右侧啊，已经是这个圈了，那接下来咱们核心问题是搞定这左侧这右角和这点号角相等问题就可以解决。那咱们解决这两个角相等的一个方式，还是借助这样一个反八字形的一个相似， 有反八相似啊，我们不难发现左侧这个三角形 a， b， e 和右侧这三角形 c 对， e 也是这个相三角形呢，是吧？ a， e 和 b， e， c， e 和 e 对 对应边乘比例对顶角还相等。 s， a s 啊，可以搞定，左右两个三角形是相三角形相，三角形对应角相等，所以这个问号角 它和点号角是相等的，这样的话咱们就可以搞定啊，这样一个问题，这个是括号一啊。那接下来我们在下个视频来讲解一下括号二。

我们现在来看一道立体几何的压轴小题，也就是多选题的最后一道题十一题。那么这道题里边咱们说到的点有三个点，第一个就是求距离之和最小的问题，第二个呢是求结面问题的，我们还有一个是照证明平行， 其实这个相当于说我们选项里边的 d a 选项是证明平行或者垂直的在几何体中，线和面或者说线和线的位置关系的问题。首先我们先来看一下 a 选项，对于一个正方体，边长是棱长是一的正方体 p q 分 别是中点，然后 c e， d e 上存在一点 m， 使得 a m 是 和 b e p q 这个面是平行的， 那对于第一个知识点，咱们要正线和面平行，那我们要知道了，线和面内的一条直线平行，或者是说我们要找到了这条直线所在的平面和已知平面平行的，那么这个时候 就能得到 a m 和这个平面是平行的，那由这个图形中咱们看一下 p q b e 这个平面 p q 是 中点， 我们现在来看一下，他说 m 是 在水上 c d 上，那我们要想过 a 和这个面平行的线，那我们可以想到会连接 ac， 那 这个时候我们就知道了 ac 和 m 脸上，咱不管是在哪一点上，那我们就能看出来 am 不 可能是和这个面是平行的 哦，这是第一个点平行关系的，我们可以直接排除掉了。然后第二个点呢，在水道的是 b e 加上 d e 的 最小值， 那是不是核最小问题？那么呢，咱在立体几何里面出现核最小的问题，通常是把这个界面给它展开到同一条同一个平面内的，那咱们先看一下 b 点，然后是 d 还有 e， 那 咱先看 e 是 在谁上动的呢？在 p q 上动的， 然后 b 一， 那我们先把 b、 d 连上，那 d， e， e 是 在它上动的，然后第二个点我们要求的是 b e、 e， 那 咱先看， 那把这个点也连上。如果我们的 e 不是 在 b d 和 p q 的 交点，也就是不是 p q 中点的情况下的，那这个时候呢，我们涉及到了就是斜线段的问题，那也就相当于说我们把这两个面给它展开成同一个平面内， 这个时候呢，要让 d、 e、 b、 e 在 同一条直线上，那这个时候就是最小值，那这个我们就能知道了。二、 b 选项可以直接来算了，在同一个平面里面来求就行。然后我们再来看 c 选项， c 选项呢，是过一条直线去做一个平面，和已知平面是平行的， 然后我们要求界面面积是多少，那和已知直线平行的这个平面，那我们要找两个平面平行的话，就能得到了。线和面平行，刚才老师说过了，那咱现在看一下 a、 e、 c， e 是 和 p、 q 是 平行的， 嗯，那现在咱们看过它的平面，我就可以再做一个和 p q 平行的，这个直线在 a、 b、 c、 d 这个平面里边，所以我们可以取中点连接，这个点是 m， 这个点有 m 了，咱们设成是 n， 这个点，再设成是 h， 那我们就把 n、 h 连上，然后再把 c、 e、 h 连上。那现在咱们就看到了 a、 e， n 是 和 b、 e、 q 平行的，然后同理我们知道了 b、 e、 p 和 c、 e、 h 是 平行的，所以这两面就平行了， 那这样的话我们就能知道了，这个面里的啊，过这条直线的平面和这平面就平行了，那我要求的就是这个等腰梯形的面积， 那这个呢？大家可以作为结论直接来记，如果我的棱长是 a 的 话，那么这个等腰梯形的面积就是八分之九 a 方，那对于这道题来说， a 是 一，所以答案直接是八分之九，那我们的 c 选项也对了，然后我们再来看四 d 选项， 四 d 选项呢，是用一个过 p q 的 这个平面去截它的外接球，那首先第一个知识点，正方体的外接球的半径，那我们就直接可以写了，应该是体对角线的一半，所以是二分之根号。三，第一个点，然后第二个点呢，咱说过一个 一条直线的平面去截球，那我们要求截面面积的最小值，那咱们这里边就要知道了，它正好是以谁呢？以 p q 的 中点为圆心的小圆， 这个时候它的界面面积是最小的，那实际上我要求的就是球心这个点到谁到 p q 中点的距离，那我们设为是 d， 这个时候我们把 d 解出来了，那小 r 就 变成什么，就是根号下大 r 方，减地方就是小 r 方。 所以对于这道题来说呢，咱们又会设到一个点，因为它是一个正方体，所以这个外接球的球心是特别好找的，我们可以把它连上， 这个球心的点，咱们看到了，正好是体对角线的交点，这就是球心 o， 我 要求的是刚才说了是要求到 p q 中点就是距离 d， 那 我们就可以把这个点，刚才咱说这个点是 e 的 话，我们可以把 o e 连上，那 o e 就是 我们要求的 d， 那 在这里边呢？因为是长方形，然后呢 o 还是中点，这个计算是特别好算的，直接就可以求出 d 来了，那我这个小 r 就 知道了。 所以这道题主要的点就在于什么时候结面面积是最小的，就是过球心做这个弦的垂线，也就是说以 p q 的 中点为圆心的时候，这个时候结面面积最小，所以我们也能算出来四 d 就是 对的。那这道题咱就睡到了 距离最小问题，要把它展开到同一个平面内。第二个结面问题，我们要求结面面积，第三个用结面去结球，什么时候结面面积最小，就是以这个线段的中点为圆心的时候是最小的，那我们这道题就可以算出来了。

学习一百道压轴题，今天学习的是大连一模几何压轴题，大家好，我们来看一下大连一模的几何压轴题。 ab 等于 ac 的 话，那么等边对等角，我的角 b 和角 c 也会是相等的， b 对 等于 c、 e， 那 么他们都加上这个对 e 的 话，就会是 b， e 等于 c 对， 所以不难发现，想证明这两个三角形全等，我们利用的是边角边， 所以括号一非常简单，我们来看一下括号二，那括号二呢？题目当中给了我们两个角之间的数量关系，那我们把这两个角分别表示出来，一个是阿尔法，另一个是比特，所以写下已知条件，应该是阿尔法等于二比特减四十五度，角 a、 e、 d 应该等于二比特。 角 a、 e 对 有没有什么特殊的位置呢？它应该是三角形 a、 c、 e 的 外角，而我们发现呢，由于我们第一位证的全等，那这个角 b， a、 e 应该等于的是角 c， a 对， 他们都减去这个对 a、 e 的 话，那么剩下来的 b， a 对 和 c， a、 e 就 会是相等的关系，所以这个角度也会是 r 法， 那么外角的话，就可以把它写成 r 法加上角 a、 c、 e 了，所以不难表示出来，角 a、 c、 e 应该是二倍，它减 r 法，而 r 法是二倍，它减四十五度啊，所以带入进去，应该角 a、 c、 e 就是 四十五度，底角是四十五度，不难得到顶角就会是九十度了。 然后我们再来看一下去二，那去二呢？说 g 是 b、 f 的 中点，对于中点的运用呢，我们有很多种的形式，那这里面我们挑一个最直接最好用的方法。 由于这个三角形 bcf 呢，是给我们画出来的，这个三角形不需要我们再去做额外的事情了，所以我们去找这个 bcf 的 中位线会很快一些，为什么说它很快呢？因为这个 b c 的 终点我们很好找，等腰直角三角形，我过 a 去做 b c 垂线，由于三线合一的话，这个 h 就 会是 b c 的 终点呢， 所以这时候我们连接 g h 就 会是这个三角形 b、 c、 f 的 中位线了，那么这两个点角就会是相等的关系，而点角和 b 它还能产生联系啊。我的这个角 b、 c、 f 应该是四十五度 减 b 它，那么自然这个角 b、 h、 g 也会是四十五度减 b 它了。 a h b 我 做的垂直嘛，所以它是九十度，所以我的角 a、 h、 g 就会是四十五度加贝特。那我们为什么要去这么找呢？因为题目当中让我们求的是 ag 和 ac 之间的比值，而 ac 呢，还是 a h 的 根号二倍，所以我们尝试着找一找 ag 和 a h 之间有没有什么数量关系。 所以除了这个角 a、 h、 g 我 可以用贝特表示以外，我的上面的这个角 h a、 g 也可以用 bea 表示啊。因为这个是三线合一嘛，所以 b a h 和 c a h 都是四十五度，所以我的角就可以表示成四十五度减 r f， 而 r f 也可以用 bea 表示啊，所以我们用 bea 表示之后，应该是九十度减二 bea。 那么在这个三角形 h a、 g 当中，我就可以利用三角形内角盒把这个角 a、 g、 h 表述出来，那表示完之后也是四十五度加倍它，所以它和角 a、 h、 g 是 相等的关系，那么自然底角相等，那么它的两个 ag 和 ah 就 会是相等的关系了。而刚才的 ac 是 ac 的 根号二倍，所以现在 ac 也会是 ag 的 根号二倍，那我们求的 ag 比 ac 的 值就会是二分之根号二了。 我们最后再来看一下圈三，圈三呢，是在圈二的条件下，又多了一个 bf 等于 cf 的 条件，所以此时我们像刚才一样过 a 去做 bf 的 垂线的话，是正好会经过我们的点 f 的， 然后再把我们的 g h 给连接起来，这是我们上一位所做的辅助线，那现在想要求 a c 的 长度，我其实就可以把它转换成求 ag 的 长度了，所以我尝试着去求一下 ag， 那 由于我的这个 b f 等于 c f， 所以 我又多了一个，这些都是我们刚才所表述出来的点角， 那么我们可以再过 g 做一个中位线，那描述方法就会是过 g 做 g k 垂直 a h， 所以 我的 g k 应该是 b h 的 一半。 而由于这个 b a c 是 一个等腰直角三角形嘛，所以我的 a h 和 b h 是 相等的，自然它就是二分之一 a h 了。而去二我们刚刚证明过 ag 和 a h 还相等，所以它是二分之一 ag 那 九十度，这条直角边是斜边的一半，所以我们不难发现这角是三十度，那其实是需要证明的啊，那这角是三十度。之后，我们来观察一下这个两个底角，也就是 a h g 和 ag h 就 都会是七十五度了， 那么自然这两个点角就会是十五度，所以我的 fgh 就 会是二倍的点角三十度， 那么自然我的 agf 就 会是 agh， 减去 fgh 就 会是四十五度了。 而由于告诉我们 b f 是 二，所以 g 是 终点的话，这两条边都是一，那么在这个 a g f 当中三十度，四十五度一，那么它是一个可解三角形，我们过 f 去做 a g 的 垂线， 这样的话我这个 g m f 就是 一个小的等腰直角三角形，我的 g m 等于 fm 就 会是二分之根号二，那所以三十度。而 af 是 另一个直角边，所以它应该是根号三倍的 m f， 所以 应该是二分之根号六，所以整个 ag 的 长度应该是 g m 加上 am， 也就是 二分之根号二加二分之根号六而去二。我们已经知道了 a c 是 a g 的 根号二倍，所以只需要把它扩大根号二倍就可以，所以最终的答案 a c 应该是一加根号三。啊。那这道题我们就讲解到这。

今年中考的模拟考试呢，到了进行时，关于鞍山试卷，第一道题考了三十图，第二道题考了有理数实数，第三道题考了对称，第四道题考了整式的计算，第五道题考了平面直角坐标系，第七道题考了概率， 第八道题考了方程组，第九道题考了平行四边形，第十道题考了平行四边形，第十道题使规做图和直线。第四函数，十一题考了有理数的运算，十二题考了加权平行数，十三题考了三角形，考了旋转， 十四题考了反比例函数，十五题考了菱形相似。十六题考了二次根式的计算，第二道根式的计算，十七题考了不等式。十八题考统计，考了方差。十九题算是三角函数的应用，二十题 考了函数应用，二十一题考了原，二十二题考了几何证明，二十三题考了二次函数。从这来看，这张卷翻完之后，从卷上考的知识点来看，就是个中规中矩的卷，跟以前的考点没有什么变化。看变化的话，二十二题跟以前沈阳的考试几何变换有区别，跟大连的考试有点相像，不是倾向于沈阳的翻折里面啊。 又考动态几何的问题，可能在这点上跟沈阳是不一样。二十三题二次函数，如果说你能看到的变化，我们要认识到一点，这里面加进了一件事情，和以往不同的就在于，第三问，创建新函数，虽然它不难，如果孩子在平时的学习里面没有过这样的经历积累，那 孩子可能会出现一下子也不太适应。前两周我们还讲了北京京的所有的函数的代宗，几乎必有创建新函数，包括我们今天讲几何的极值，几何最值里面创建函数来研有极值，研究极值的时候，用函数的思想来研有极值。 如果你知道这些，那这张卷基本上属于中规中矩的卷，那么拿到一个卷之后，你要观察他哪些变了，哪些没变， 从这张卷上也不要过多的去想去解读他有什么，考的都是你应知应会的。最关键的是这张卷拿到一道题，当你不会的时候去想一件事怎么能学会。我们有很多人在看一些答案，写的特别特别简单，其实意义不是很大，原因就是人家会做的没有意义，关键是孩子要会做， 关键取决于知道怎么去想他要通过这个试卷，我要有一个什么样思维的过程，而这个思维过程指的不是我会的情况下，我们要把试卷分起，要说的是不会做的孩子应该怎么办？我们重点讲一下十五题，二十二题和二十三题是网上大家都说的十五题 填空的最后一道，千万千万不要把它偏的方向带。这个十五题呢？常规的综合，考了菱形的性质，考了相似，考了勾股定律，这是基础知识，然后考了辅助线的做法，叫基本做法，就是研究同一条线上两条线段的比，那么我们应该想到什么？ 这个知识跟同一条线上两条线段比，相关的知识无非就是平行线，分线段成比例和相似。这里问题常见的辅助线啊，是做平行， 所以做平行构造相似，他就很容易就把这道题做出来，这是一个正常的一个知识的综合，外加上一个基本做法，同一条线上两条线段的比做平行构造相似。所以这道题十五期正常的不能再正常的一道题 给大家讲一下。二十二题我给大家写的解析，我试图去理解这个题是怎么出的，哪来的？真正的对低年级的学生来讲，要有一个认识，经历这个题目的发生发展过程，这是学习的一个正念，就是作为一个几何题来讲，这个图是怎么来的，这个题我怎么能画出来？ 你要想给他画出来，你一定是要遵循着这道题中的不变量去画的，根据等量去画的，那你就会找到这个题目中的等量关系。像第一问，画了一个三角形 a、 b、 c， 当你想画另一条线的时候， 就我们现在很多时候我们没有培养孩子去画图，结合课前先画两三到几个题，有很多种意图和作用。培养同学画图，你在画图的过程中就能够知道，你要想把它画出来，就得找到题目中的等量关系。比如你确定 d 怎么画，怎么能把 c、 d 画出来， 当你把 c、 d 画出来，就会找到这里面的角，等 e， c， f 就 等于角 c， a、 b 在 想我 e 怎么能画出来， f 怎么能画出来？把这些能画出来的过程里面，其实就知道了这个题中有的等量关系，就是人家证明全等的三个条件。第一问你就做完了这个，第二问呢，你画一个等量三角形，孩子为什么不会没有这个思考的过程？ 他应该学着思考，怎么能出现那个 f 呢？怎么能画出来这个角 a、 f d 等于角 b， 这就是这道题。从设计上来讲，只是试着去想出卷人的意图，那么其实就是在 ab 这条射线上任取一点画这条线段的垂直平分线和 ac 相交，他就会找到这个 f 点， 那么这时候这个角 a f d 就 一定等于角 abc， 这时候就会出现一个等腰三角形，紧接着你就去想了，焦点叫 d d e 一定存在，那这时候实际上人家出题 是把它特殊化了，叫做条件强化，特殊化了线段像呢，就是用来构造全等呗。孩子如果学几何，能够多动笔去画图，我觉得这个事是孩子，一个正常孩子训练的过程。第三问呢？实际上是第二问，在一般到特殊的过程，那也就是这个 m 在 哪？我说的那个 m 和 b 重合的时候， 那就做 ab 的 垂直平分线，焦点就在 f 上，就是 f， 那 就出现了。等腰出现了相似，然后你再想 d 怎么画的，在你画的过程中，你自然就会出现相等，然后你再去想那个 e 怎么来的，那你再做两个角等，自然就会想到了全等。这个事情是一步一步综合出来的，任何事情都是综合出来的，然后最后人家给的线段，给角的关系，给边长，求线段长， 我们天天挂在嘴边上。学生都会叫解三角形，那解三角形需要三个条件，他所在那个三角形叫 c d e c d e 中发现 c d 还等于 c e， 解三角形很容易就求出来，只不过是这道题有一点对于中等学生或差生不太友好的现象。五十二、十三，这个勾股数啊，大家都背下来了， 结果给了个十三，那个十三还不是斜边，是直角边，这是计算的问题。 所以你说这证明难不难？对普通孩子来讲，如果你能静下心来，你去画图，去经历，一步一步的这么去思考一个命题，无非这设计的思路就两个，一个是从一般到特殊，一个是从特殊到一般。那第二问中呢？ a、 f、 d 等于 b， a c， 那 个 d 和 b 不 重合，下一问呢？第三问 d 和 b 重合，经过点 b 呗。所以他俩是什么特殊和一般呢？ 不是一般到特殊，就是特殊到一般。这是几何命题设计的套路，就那么两个，本条件强化，条件弱化，从特殊到一般，从一般到特殊。二十三题呢？考察函数的思想天天我们在说一个问题，什么叫函数的思想？函数是研究变化的过程， 这个变化的过程你需要了解什么？你要了解变化的趋势和特殊情况，而变化的趋势用来解释或图像来表示，特殊情况用点。所以拿的一个函数，不用人家告诉你，你就应该知道函数的解释，给了就求点，点给了就求解释。所以 我就画了一个流程图，给你一个解释，给你两个点，你就把参数求出来了，在那系数把参数求出来，参数求出来之后，你就把那个顶点 n 也求出来，把 b 也求出来了，把点 p 也表示出来了。 虽然第一问你都做多了，但是这实际上都是后来必须的。等到第二问的时候呢？其实人家考察了一个方程的思想，所有的特殊情况是方程。如果直播间里有初一的同学，你也许就会明白为什么老师现在在讲平面制药坐标系的时候，我们反复的跟孩子们在讲， 要知道所有的特殊情况，就是方程一个 acp 的 面积等于二十四，求 p 点坐标，那就列个方程就完了， p 点坐标已经表示完了，然后把 acp 的 面积表示出来，然后叫方法。那有人说铅垂高乘以水平宽度啊，再除以二，我觉得这个题我没那么做啊，我觉得那个麻烦。 那么在这整个坐标系里面还有个最特殊的点，那就圆点呢？你可以借助圆点，你可以把三角形 acp 放在四边形里面， 利用四边形的面积表示它，我觉得更简单，但是人家考的思想，方程的思想，第三问考的知识，抛物线的对称线就是 p 和 q 是 对称，那么研究函数，你需要知道点的坐标， p 点坐标表示完了， n 点的坐标已经知道了，要有函数与方程的思想，那什么意思呢？就把 p q 的 平方表示出来，把 n h 表示出来，就很简单，用 t 来表示，然后什么是函数，那就是用 s 来表示 y， y 等于二， t 加二啊，如果没记错的话，括号平方， n h 表示出来，把 t 给它消掉，其实是个消元， 不管是代入还是加减，是个消元的过程，把 t 消掉，得到 y 和 s 的 关系，所以第三问就做完了。所以这套卷如果说二十三题，如果你真的平时在学压轴题的时候，你是知道人家考察什么思想，你可以去问初一的同学，现在是不是第一问速性结合，第二问考察方程的思想，函数的思想，第四问 人家就考了塑形结合和分离讨论的，那么在塑形结合和分离讨论的时候，为什么你孩子看不懂答案？那原因很简单，就是因为我们孩子不会分离讨论，就是我们平时从初一开始是不是没训练。 分离讨论的第一个事情，要找出特殊情况，求出特殊值，划分区间，而所有的极值一定出现在特殊情况，而特殊情况是什么？抛物线上特殊情况就三个呗， 一个是两个端点，还有个顶点。如果说你现在学的不是特别的精细化，就这道题开始一顿算。分类讨论很简单，是周长两种情况极致，三种情况分别进行分类讨论相等。但是这有个问题，因为你没有取之范围，你就不知道将来要不要取舍，所以问题在这。所以我们学分力讨论 就要开始学习找特殊情况，求特殊值，划分区间。分类讨论，那么特殊情况是重合，但点和线重合，点和点重合。当然在这道题中， p 和 q 谁大谁小， 那么又涉及到 p 和 q， 关于对称、轴对称三种特殊情况，就把问题就求出来，当然说起来很容易，但你的计算，你是不是这么去训练的？平时是不是有这么想的， 这不是一句话的事，所以一张卷没有一个考试是简单的，所以这张卷呢？如果从试卷的要求来讲，这张卷我觉得中规中矩，思想人也体现了，方法也体现了，知识点也覆盖了，觉得是很正常的一种 情况。所以拿到这个卷啊，可以练一练，大家千万别去想，这个卷简单还是容易。关于鞍山试卷的解析，初三的家长后呢，就不要问你觉得这个卷难还是容易这样的问题。对于学生来讲，如果你尊重他， 他的劳动成果，没有一个考试是容易的，要培养他一个敬畏之心。没有一个考试是容易的，就是我们面对一个试卷，这一个试题，希望咱们能够从台上走下来，别一张嘴瞄了。我觉得这样对学生来讲是一种误导，对家长来讲是一种折磨，是一种恐慌。记得点赞关注哦！

各位同学大家好，今天咱们一起来看一道沈阳一模的这样一个大数压轴题啊，本题主要考察点的低温啊，待定系数法，求抛线的一个解释。第二问，平行线啊，分线段成比例，然后坐标转化成线段长已知横坐标，去求一个定点，对应一个重坐标。第三问呢， 主要考察的是平移之后的这样一个抛线啊，对你的解释如何进行表示，以及如何去求参数的这样一个曲范围啊，这样一个问题。那接下来的话，咱们一起来看一下这样一道题啊。 首先已知条件给了这个点 a 啊，包括这个点 c 对 应的坐标两个坐标，已知条件当中两个参数啊，分别是这个小 a 和这小 c 啊，把 a 点和 c 点对应的坐标带入到抛线解释当中，咱们就可以取出来这样一个抛线的一个解释啊。第一问，非常简单，经过计算， y 等于二分之一倍的 s， 平方减 s 减去二分之三。进来咱们看一下这个第二问啊。第二问的话，给了我们对应的这样一个图形啊，包括所对应的一个点的位置的话，都是这个偏规啊，偏这个固定的啊。例如这里面的话，他说这个点 p 的 话，是这样一个抛物线 在对称轴右侧，并且呢还得是在直线 b c 的 这样一个上风啊，在对称轴的右侧，还得是在直线 b、 c 的 这样一个上风，那对应的话，是不是只能在这样一段啊，对吧？ 接下来的话，他说这个对点是 b 点啊，关于 y 轴的这样一个对称点，已知这样一个炮线的一个解释，那对应点 b 的 一个坐标的话，咱们不难求出来啊，经过计算的话，点 b 的 坐标三到零，那对应点对和点 b 关于 y 轴啊，进行了一个对称点对的一个坐标负三到零， 然后接下来啊说这个连接这个 p 对 啊，交这样一个抛物线与交这个抛物线的一个对射轴啊，与这个点 e， 并且给了这个 p e 啊 和这个对 e， 它俩之间一个线段长是相等的，那通过这两个斜向的这样一个线段长相等，咱们可以进入平行分线段，成比例把这种斜向的线段转化成直的啊，水平的或者牵垂的这样一个线段，咱们只需要过点 p 啊，做一个垂线， 垂轴的话，比如说这个 g 点，呃，其中这个对称轴交 i 轴 e 点的话，咱们比如说这个 f 点啊，咱们只需要进入平行分线的成比例，这里面 p 一 比上对一，一比一，那对应的 度 f 和 f g 这两线段长，对应之比也是，这个一比一相当于是度 f 和这 f g 相等，对不？其中这个对数轴的话，咱们不难求出来啊。 s 等于一的，那对应左侧度 f 一个线段长相当于是 x f 减去 s 度吧，一减负三等于四，那对应右侧这个线段 f g 也是等于四， 其中这左侧啊，相当于是对称轴，距离原点的距离的话等于一。对应的话，我们可以算出来 o g 这样一个线段等于五，而 o g 的 一个线段的话，恰好可以充当点 p 的 这样一个横坐标啊，那相当于点 p 的 横坐标的话等于五。咱们想求对应点 p 的 这样一个坐标的话，只需要把 s 等于五带入到对应炮线的一个解释当中对应我们就可以出来点 p 的 一个重指标啊，经过计算啊，重指标的话是等于六，所以点 p 的 坐标五到六。 接下来的话，咱们看一下这个第三问啊，第三问的话，可能会有一些这个方法的话，是通过这个解这个比较哦带绝对值的，而且是内部还有这个根号的啊，这样一个不懂事啊，但是这样一个 关于不等式的解法的话，他所对应的一个方法啊，已经超过了我们这个初中的这样一口缸。包括的话，有一些这个高中老师的话，使用根的一个分布的一个方法来解决这样一个问题啊。首先呢第一个啊，这个方法可以解决这个问题，但是呢还是这样一个问题， 他什么呢？对应一个方法超纲了，那接下来老师给大家分享一个这方法，首先啊，第一个他不超纲，第二个同学们更加方便啊，来理解这道题，如何通过这样一个不同关系啊来解决里面对应参数 m 的 这样一个数值， 而且老师可以告诉大家所有的关于这初中的求参数的这样一个取数范围，我们去找这种临界位置去算对应一个临界值，这种方法是偏万能的一个方法，那接下来的话咱们来看一下啊， 首先给了这样一个抛线的一个解释啊，通过这个第一问的话，我们已经可以算出来这样一个抛线的解释是 y 等于二分之一倍的 x 平方，减 x 啊，减去这二分之三 说这样一个图像啊，是沿着这个色线啊， b c 的 这样一个方向来进行这个平移的，我们常规把一个这个抛线进行这个平移的话，其实咱们主要来看的是这个顶点啊，它是怎么进行这移动的， 那对应的话，我会发现这道题这顶点的话，也不在这个 b c 所在的这条直线上啊，那怎么办呢？我们可以取平移之前的这样一个抛线对应一个顶点，接下来呢，过这个顶点做他所平移这个方向啊， b c 这条直线的一个平行线，那这里的话， 平行之前抛物线的一个顶点坐标不难求出来啊，是这个一度负二，除此之外呢，这 b 点坐标 c 点坐标的话，我们通过之前的这些条件也是可以求出来的。所以的话，我们发现 b c 这条直线的解是啊，不难求出来，经过计算的话， b c 直线的解是 y 等于二分之一， s 减去二分之三。 那我们知道啊，我是过这个顶点 m 做 b 线的一个平行线，两条直线如果互相平行的话，这两条直线的斜率啊是相等的，那对应我可以设出来 m n 这条直线的一个指数是 y 等于二分之一 s 加上一个 呃， b 撇吧。然后接下来把这个 m 点对应的坐标一到负二带进去，我们就可以数来 m n 这样一条直线的一个指数。 经济学说啊， m n 这条直线的一个几何体是 y 等于二分之一 s 减去二分之五，那等价。于是说抛线沿着 b c 方向进行 a 平移，也可以理解成这样一个抛线的顶点 是沿着 m n 方向进行这个平移的啊，说清楚没有？可以吧？那接下来就会涉及到一个问题，如果抛线进行平移之后，那这样一个动的这样一个抛线啊，咱们应该如何用拆数来进行这个表示？这里面他给出了这样一个平移后抛线的一个对称轴， 锁定一个直线是 s 等于 m， 那 咱们知道对称轴和对应顶点的一个横坐标是相同的，都是这个 m， 所以 的话，我们会发现平移之后啊，这样一个动态的一个抛线当中，顶点的一个坐标横坐标是这个 m， 而这个重坐标的话，我们可以带入到 y 等于二分之一， s 减去二分之五当中啊，相对于顶点啊，平移过程当中顶点的坐标是 m 到二分之一， m 减去二分之五。 然后接下来的话，我们还会知道平移前后这样一个抛线的一个开口方向，包括开口的大小是一个不变的，所以接下来的话，咱们就可以借助这个顶点式把平移过程当中的这样一个抛线的一个解释啊，用差数 m 来进行表示， y 等于 a 倍的 a 是 不变的啊，二分之一倍的 s 减 h， 括号平方加 k， 这样啊，运动过程当中的一个炮线的解释的话，我们就可以表出来了啊。然后接下来我们一个关键解决，就是在于如何去解决这样一个不等关系啊， 这样一个三角形， a c f 的 一个面积啊，小于二分之三，我们通过观察的话会发现啊， a f 这条边啊，它这个平行于这个坐标轴落在坐标轴上的水平的啊，点 c 的 话是这个在 y 轴上的话是负一到零啊，点 c 的 坐标的话， 零到负的二分之三，这些通过这一之前的这一个条件啊，都是非常简单就可以求出来的，所以好多同学的一个解决问题的方法是什么呢？我令这样一个 y 等于零，然后接下来呢？用拆数 m 来表示零的 x， 接下来呢？ a f， 我 用 f s f f 啊，减去 s a 的 绝对值来表示这样一个三角形的底，二分之一底乘上这个高 o c 的 话，就是二分之三吧，然后小于这个二分之三， 你可以列出来这样一个不等式，但你发现这样一个不等式是绝对值内幕啊，既含有一次的，又还有这种根号的。 关于 m 的 这样一个代数式啊，小于对应一个数，这样一个不等式的话，你不会解，所以的话，这样一个方法的话，老师就不推荐给大家了。那这里面的话之前老师和大家说过啊，凡是求这个插入一个取的范围的话，我们都可以通过找邻居的一个办法来进行列求解，那这里面这个邻居状态的话，到底是怎样的呢？ 我们通过啊，这样一个三角形面积的话，小于这个二分之三，这样一个三角形面积的话，就是二分之一乘上 a f 乘上一个 o c 嘛，其中这个 o c 的 一个长度的话，我们是知道的啊，相当于就是 y c 的 一个绝对值，相对于是二分之一乘上 a f 乘上二分之三嘛， 小于二分之三，那接下来的话，我们发现它等价于什么呢？ a f 小 于二呗，是这样的， 那什么是一个临界状态呢？ a f 等于二的时候，这不是我们的临界状态吗？可以吗？那这里面那个点 a 所对应的坐标的话是负一斗零？在整个运动过程当中，想让 a f 的 一个长度等于二的话，如果点 f 在 a 的 右侧，那点 f 对 应的一个坐标的话， 距离点 a 两单位长度，那点 f 的 坐标的话是不是负三斗零？ 而这两个点的话都是落在抛线上的，我们可以分别把一到零和负三到零带入到我们对应啊之前所表示的这样一个动态的一个抛线解释当中，这样的话我们就可以求出对应 m 一个数值了， 接下来我们只需要找到这两解两种临界状态对应差数 m 到底取多少在他俩之间呗，知道吗？这个就是我们通过找临界值来算差数一个取范围整体的这样一个解析思路啊。 那接下来的话，为了让同学们更加方便啊来理解这样一种说法的话，老师啊，手戳这样一个几何板，方便同学们啊来理解这个点 f 对 应里面参数 m 的 取范围到底应该是从什么样的时刻啊走向另外一个时刻， 我们可以发现啊，这样一个炮线，他锁定的顶点应该是沿着红色这条直线啊 m n 进行运动的，那当这条蓝色的线沿着 m n 进行运动过程当中，是吧，我们可以发现这样一个蓝色线，其中右侧啊与挨着焦点的一个右侧，是吧，再逐渐靠近 a 其中呢？当这样一个蓝色线恰好和这个原本抛线的对称轴与二的焦点重合的时候，此时此刻 d f 一个坐标的话，应该是恰好使得一对零是吧？此时此刻 a f 的 长度应该是等于二，那随着 我这样一个蓝色的破线，沿着红色线啊 m n 继续往下这个移动的过程当中，这样一个三角形的底 a f 呢，在逐渐减小是不？只要这个三角形的高不变啊，一直是 o c 吗？二分之三底再减小的话，他的面积就会变小，就会小于这个二分之三，是不。接下来老师继续 往下移动，继续往下移动，继续移动，移动是吧？接下来继续移动是不？当点 f 越过这点 a 的 时候，这个三角形的底 a f 啊， 这 i af 又在逐渐的变大，是不，但是它最大，最大，它得保证 af 的 话要小二，所以话咱们需要找到另外一个临界点的话，应该是在什么三斗零的这样的位置，那你看，在整个运动过程当中，是不从点 f 对 应一个坐标一斗零开始， 接下来呢，这个顶点沿着红的线逐渐往下运动过程当中，这样一个三角形的面积都是小于二分之三的，都是保证这样一个三角的底 a f 小 于二的是吧？而且我们发现整个过程它是一个连续的，所以咱们只需要找到这两个临界值啊就可以了。 那接下来呢，咱们分别把这一斗零啊和这负三斗零带入到我们刚商所表示的这样一个动态，一个抛线的形式当中，其中呢，我们通过这 f 一 带入的话，可以求出来 m 所定的一个两分之啊 m 等于二分之一加减根加了一个死期，那这两数的话，你还是要哪一个呢？ 我们会发现啊，当这样一个炮线右手的这样一个交点 f 啊，恰好过来一斗零这样一个点的话，难道只有这样一个时刻吗？啊？或者换而言之啊，当这样一个炮线恰好经过一斗零这样一个点的话，应该只有这样一个一个时刻吗？ 不是的啊，你看老师再复制一个，你这样一个炮线的顶点也是在红色线进行的运动的，当这样一个炮线左侧这个点啊，左侧与 l 的 交点 e 经过这一斗零的话，是不是也是满足这个提议的？但是的话，其实我们知道这两种情况，咱们应该是选主还是得选右？刚动态过程当中已经已经演示完了，应该是选主设嘛。那这两种情况的一个区别在于什么呢？ 他俩的位置啊，左侧这样一个蓝色的抛线的一个对称轴更小一些，而右侧这样一个抛线的一个对称轴呢，更大一些。而这里面的话，我们说出来两数应该取谁呢？取小的呗，所以这里面脱颖而出的是二分之一减去勾压死气， 右侧啊，应该得数掉。那同理的话，你这样一个抛线经过这负三斗零这样一个位置的话，只有这一个图呢？不啊，他也有两个位置是吧？一个是 啊，现在我所表示的这样一个位置，另外呢，应该是相当于炮线左侧与挨着的焦点经过这什么负三斗零呢？大致是这样一个位置， 对不？而我们题目当中要求的话，得是右侧这样一个点啊，与挨着右侧的一个焦点的话，经过什么呢？对应负三斗零这样一个位置，所以这两种情况我们应该选左侧的，他俩之间对比呢，我们会发现，对称轴咱们应该是选左侧的对应，所说来 m 值的话，咱们应该挑小的，是这意思，不 说的话咱们把这个 f 二啊对应负三到零带到这个抛物线起始当中，我们常规来说也可以算出来 m 的 两个值，一个是什么呢？二分之 二经过计算是二分之负七加减根号加三十三，我们应该取较小的，那应该是选负的那个吧， 所以另外一个 m 咱们应该是选负的，二分之七加上根号下三十三啊，相对是二分之负七减去根号下三十三，老师把这符号提起来了，对不？那对应的话，我们所说的一个 m 一个取的范围应该是在这两个数之间吗？是不？我们进行一个大致的这样一个固顺，我们发现 这 m 的 话应该是更小一些， m 撇的话应该是啊， m 的 话应该是更大一些， m 撇的话应该是更小一些，所以 m 的 话应该是在这两个数值之间，对吧？但是啊，我们不要忽略这样一个已知条件，哪个已知条件呢？ f 啊，不与这个点 a 进行类重合。其实我们发现所有动态的这样一个问题的话，我们在心目当中或者是拿一个透明变量给它描画出来之后，我们自己手戳一个这样一个动态，一个几何板， 在整个动态演示过程当中的话，其实刚刚我们会出现这样一件事，什么呢？当点 f 和这点 a 重合的话，这样一个三角形 a， f c 就 没有了， 是不？哪怕它不说 d， f 与 a 点重合的话，我们也应该把这样一个死克给它进行舍掉，其实死克啊，这样一个舍出的死克是什么样一个死克呢？像的是点 i 的 坐标恰好是负一斗零呗，对不？所以的话，咱们应该是把对应啊， 重点啊，把对应点 f 和 a 点重合，负一到零这样一个死克带入到这样一个炮线解释当中，所求的 m 值应该给它锁掉。嗯，那我们把负一到零带到这个炮线解释当中，经过计算啊， m 是 等于这个负四， 所以的话咱们应该是在这个区间内啊，并且呢，把 m 等于负四这样一个数给它进行锁掉，所以最终啊， m 一个取值范围应该是 m 大 于负的二分之七，加上根号下三三小于二分之一，减去根号下十七，切， m 不 等于负四，可以吧，能盖住。嗯，那好啊，那本期的话，这样一个沈阳一门题咱们就讲到这里了，总体来说其实难度不勒特别大啊， 大家只需要记住一件事啊，所有插入一个曲范围，按照我们初中的这样一个解法，要去找临界状态。好，那本期讲解就到这里。

哈喽，各位宝宝们好呀，我们今天呢来讲解一下这个押题卷的第一套的第十题和这个第十五题。好，首先呢，我们先看一下这个第十题， 第十题大家找一下这个关键词就行，因为通常来讲三角函数它给的题干偏长，我们只需要找一些对我们有用的一些关键信息就行。比如说呢，它这里面说 a d 行走一百五十六米， 那就证明这个 a d 呢应该是一百五十六。好，它这个 e 到这个 c 的 阳角是五十九度。好，它也给我们标出来这是五十九度，从这个 c 呢往下是四十五度。好，这块是四十五度， 那么它这里面问我们的是这个 bc 的 高度约为是多少？好， bc， 这是我们要求的， 那么它首先呢，我们这块有个信息，这块呢是这个坡度比是十二比五，那么这个十二比五应该啊，一比十二分五分之十二，那么这个坡度比它应该是什么呢？它其实就是我们这个夹角的 tangent， 也就是对比邻， 所以说这个对边我们过点 d 做个垂，那么这个垂足为 f， d f 比上 fa 是 五比十二，那大家知道这块 d f 呢就是五份，这个 a f 呢就是十二份啊。好，那么大家立马就能反应出来，它这个三角形应该符合的勾股数是五十二十三， 所以说一百五十六，它占十三份，那么我们除一下就知道一份是多少了， 一份应该是十二啊，那么自然而然这个 d f 占五份，所以说 d f 应该是五乘以十二六十，这个 a f 呢是占十二份，那就是一百四十四。 当然啊，大家如果是在这个大题里面啊，你们还是最好写一下这个 t n t c t 等于这个十二分之五，大家把这个好好的写一下啊， 好，我们另外呢，看这道题呢，问我们的是 bc 的 高度，所以呢，我现在呢，过点 e 做垂啊，垂足为 j， 那 也就是 e j 垂直于这个 c b， 我 们把这个大三角形分割成两个规则的直角三角形好了，那么现在呢， 这一块也是六十啊，六十，好，那么他是六十，我们再看还能得到什么信息呢？四十五度角，对吧？四十五度角，大家自然而然知道是一比一比根号二啊，那么现在我们这个 j e 也知道了，是六十， 好，知道 j e 想求 c j 啊，知道这个邻边想求对边，很明显用到的是摊着它啊，所以 c j 比上 j e， 哎，这底下肯定会给我们写这个 c j 比上 j e 是 摊着它五十九度是一点六六， 那就是，呃，摊着它五十九度等于 c j 比上 j e 等于一点六六。 好， c j 就 应该是比上这个六十等于一点六六，我们把这个 c j 求一下，一点六六乘六十，结果应该是九十九点六。我们再把整个 c b 求一下 c b 啊， c b 就 应该是 c j 加上这个 j b， 对 吧？好了，那么它这个题应该等于什么呢？应该等于九十九点六，再加上六十， 再加上六十，结果应该是一百五十九点六。注意，好，这样的题呢，我们啊，一般来讲都会有这个四舍五入，大家看一下，他说精确到一米啊，精确到一米，很明显这道题应该选择的是四 d， 没有问题啊， 好，我们再往后看一下这个十五题，这个十五题，这个十五题呢，首先呢，就是我要说这道题呢，他考的非常的妙，因为他这道题考了个角平分线定理，角平分线定理呢，我在旁边写一下啊， 角平分线定理， 小平原理呢，它是这是一个高中的一个知识点，但是呢，通常来讲，我们初衷在做一些小题的时候，是可以用到这个定理的啊，但是大家在做大题的时候啊，就尽可能的要避免这个 啊，尽可能避免这个知识点，有的初中老师他会讲，然后呢，有的就是上高中的时候呢，他要是你要是不会这个定力呢？你的高中老师还会说，哎呀，你怎么初中老师没有讲，他就会把这个锅甩到你们的初中老师的身上啊，所以说我们还是稍微了解一下这个事情啊。在一个三角形 a、 b、 c 中 一个角平分线 d， 那 么此时呢，如果这个角平分线它是平分这个三角形 b、 a、 c， 那 么我们会出现一定的比例关系，比如说 a、 b 比上 a， c 等于 b， d 比上 d， c 同 同理，它也是什么呢？它是 a， b 比上 b， d 等于 a， c 比上 d， c， 这个定理还是挺好记的啊，大家可以怎么记呢？左比右等于左比右， 当然你可以记左比左等于右比右啊，你想怎么记都可以啊，一会我们就要用到这个角平分线定里。好，我们来看一下题 题，这里面说的是这个 bc 呢，与圆 o 相切于点 b， 然后呢角 a、 c、 b 的 平分线，然后呢交 ab 于点 d， 嗯，在这里面 a、 d 等于五分之十六。大家一看到我们这样的，呃，这样的三角形啊，直径所对的一个三角形，立刻去把它给我连起来，这样我们就会出现一个什么九十度的一个三角形，对我们来说非常有用，那么大家一看到， 哎，这是一个九十度三角形，立刻想到相似，对吧？好了，我们把这个相似写一下啊，那么是三角形 a、 d、 b 相似于三角形 a、 c， b 啊，各比各的啊好，斜边比斜边 a， b 比上 a、 c， 然后呢，直角边比直角边等于 a， d 比上啊，直角边 ab 等于的是这个 b， d 比上的是 c b。 好， 我们接着来看一下啊，就是在前两个式子中呢，我们发现啊，这是 a、 b 比上 a， c 等于 a， d 比上 ab， 所以我呢，我们能写出一个关于 ab 的 式子，那就是 ab 方等于 ab 乘 ac， 对 吧？好了，那么大家来注意一下啊，这里面出现了 ab 方，什么地方还能出现 ab 方呢？很明显是勾股定律，所以呢，在这个 r t 三角形这个 呃 abc 当中呢，那么是不是 ac 方，斜边的平方等于直角边的平方和，对吧？好，我们来写一下， ac 方呢，等于 ab 方，再加上 b， c 方。好， ab 往里代代入一下啊，是 ad 乘以 ac 再加上 bc 方，那么现在所有的这个知识我们都知道，所以我们可以把 a 啊， 这个 ac 求出来啊，把 ac 求出来， ac 应该等的是五，把 ac 求出来之后呢，然后呢，又因为在这个式子里面之中啊，我们 ab 还有关于 ac， 那 么大家也可以把 ab 求出来啊， ab 求出来，它应该是四，所以说，哎，总长是四，那么半径就是二，对吧？ 好，我们继续来看啊，这个时候我们就角平分线定里出现啊，角平分线 这个定已知线， ap 比上 bp 等于 ac 比上 bc， 那 么在这里面我们也知道啊，这个 ac 是 五，呃， bc 还是三是已知的， 所以我们发现这个 ap 比上这个 bp 是 这个五比三，又知道这个 ap 加上 bp 呢？它是总共是四， 所以在这里面呢，你是设方程也好啊，你可以把这个 a p 设为这个五 k， 然后呢这个 b p 设为这个三 k， 那 么就是五 k 加上三 k， 总总共等于四，那么 k 等于的是二分之一，这里面我们想求的是 b p， 呃， b p， 刚才我们把 b p 设为的是三 k， 所以 三乘二分之一等于二分之三，你学会了吗？

二零二六年鞍山市数学一模试卷分析来了啊，来说说这些试卷跟二零二五年一模比，难度上差不太多，但是代数亚洲题的计算量比他更大一点，情况也比较多。去年一模题很多孩子做的也不好。做过的学生应该都知道，鞍山的一模题有的时候比沈阳的题都 难。去年几何压轴题呢，考的是旋转全等，最后一份计算量比较大。今年考的也是一样的，虽然他想法不好想，但前两份一直在引导你利用各种方法去正全等，要考验孩子的观察能力，还有几何推理能力，说白了，几何推理就是 倒角的能力。代数亚洲呢？去年的题里，前两问比较好做，最后一问比较难，计算量比较大。今年的代数亚洲题，首先从题量上就比去年多，由三个问变成了四个问，最后一问的情况也比较多，容易把自己绕进去。现在第二问和第三问，如果你方法没找好，计算量会变得非常大，很容易做错。今天上课上跟我学生们说， 如果我要你们，我怎么做这道题呢？二十二题我会只做第一问，第一问做完就开始做二十三题，因为二十三题它是代数题，计算占比会更大一点，而且每一部分都有对应的得分点， 只要你有时间算十三分的题，你拿个五分八分都很容易。最后你再拿出个十五分钟、二十分钟去做一做二十二题。几何压轴题要在有限的时间里去多拿分，拿高分，你就要有策略的进行取舍。

大家好，我们一起来看一下二零二六年春沈阳市和平区九街一模的几何压轴题。 这道题的基础图形呢，乍一看是非常简单的，就是两个紧密相连的正方形。但实际在做题的过程中，很多同学发现括号二的圈一倒角就出现了问题，是因为大家没有找到隐藏的非常深的手拉手模型。那我们就来看一看这道题是如何发现手拉手相似的。 首先第一个问号比较基础，我们来标一下条件，已知条件中给出这个大的正方形边长是三倍根号五。 接下来啊，又给出点 e 呢，是 c 的 中点。第一个问号是具有特殊性的啊，这个是中点，所以我们就可以知道 c e 和 d e 都应该等于二分之三倍根号五。 接下来它把这个 a f 连上了以后，求线段 a f 的 长。第一个问号，辅助线非常好，想求这条斜向线段的长，我们应该把它放到直角三角形中，用勾股定律去求解。所以辅助线就是延长 f e 交 a b 于点 n 啊，那么延长出去之后，我们不难得到啊，这个呃 f n 呢，它就是垂直于 a b 的， 因为是延长出去的嘛。啊， 那接下来我们就可以借助 r t 三角形 a n f 啊，它的这个两边 a n a n 的 长度和对意相等都是二分之三倍根号五。 然后这个呃 f n， 它的长度呢，就应该是大正方形的边长，再加上小正方形的边长，应该是这个呃二分之九倍根号五啊。 那么 a f 就 可以利用勾股定律求得等于二分之十五倍根号二啊，实际上它应该是一个一比三比根号十的直角三角形。 接下来我们看一下主要的难点问号。第二个问啊，第二个问号呢，首先它的线连的非常的多，非常的乱啊。 呃，他把这个 a、 c 和 b 的 连上以后，相交于点 o 了啊，那接着把 af 也连上了啊， af 上一个问号也连上了啊，但是他没有与这个线形成这么多交点，与 b 的 呢，交于点 h， 然后又把 b、 e 连连接并延长，和刚才的 af 交于了点 p。 圈一呢，求，求的是角 a、 p、 b 的 度数。这个问号角，很多同学看到求角度啊，就着急去倒角，在这个途中倒各种三角形的内角和和外角都没有成功啊。那不成功的原因是，如果我们只凭单纯的倒角，根本是无法算出角 a、 p、 b 的 度数的。 括号二当中隐藏着一个关键的模型，那如果导不出来角度的同学，你不妨静下心来去想一想，这个角 a、 p、 b 到底是怎么形成的呢？问号角啊，在这里 它是延长了 b、 e 与 a、 f 交于点 p b e、 a、 f 这四个点很关键，它们是正方形的顶点， 顶点连线之后延长相交。让我们不得不想到一个经典的模型，手拉手模型。 手拉手模型的经典结论就有一个胳膊的夹角，那这个胳膊是什么？就是基础图形顶点之间的连线。所以第二个问号的圈一，他所求的问题完全贴合了我们这个手拉手模型的问题，那我们就要找到图中隐藏的手拉手相似 啊，那这个为什么说是相似呢？因为全等，大家可以找一下啊，这里的全等你肯定得是借助正方形或者是正方形的一半，你找到全等以后，也无法导出角 a、 p、 b 的 度数，所以我们的关键点应该是找到一组手拉手相似， 或者刚开始我们不知道是全等还是相似也没关系，我们顺着这个问题来进行分析。刚才说到点 p 是 怎么来的，是 b、 e 和 a、 f 所交出来的，那我们就看啊， c 点呢，肯定是两个基础图形公共的点了，因为正方形 a、 b、 c、 d 和正方形 c、 e、 f、 g 它们就有这么一个公共顶点是 c 点啊，那这就是我们手拉手模型中的顶头点，它是需要用到的点。那左半部分我们要用到哪两个点？我们肯定是要用到 b 和 a 啊，没有用到这个的，我们就可以忽略不计，倒角时忽略不计，于是我们就锁定了第一个等腰值 a、 b、 c。 好， 那同样的方法，我们也可以锁定右侧的等腰值是谁呢？就是 ef 两个点用上 c、 e、 f。 当我们把 ef 连上以后，大家就会发现，等腰直角三角形 a、 b、 c 和等腰直角三角形 f、 e、 c， 它们的四十五度角顶点是重合的， 于是就会产生一组经典的手拉手相似三角形 b、 c、 e 相似于三角形 a、 c、 f。 当我们分析出这两个基本图形以后，相信所有的同学都会找到这样的一组相似判定定律还是 s、 a、 s 啊，因为我们可以知道角 a、 c、 f 也是直角， 角 b、 c、 e 呢，也是直角，并且夹着这个直角边的两边，它的比例关系是一致的啊，因为这 b、 c 比 a、 c 呢，它恰好就等于 c， e 比 c、 f 都等于一比根号二啊，那这个相似肯定是成立的，相似以后相当于还是去求那个老结论，胳膊的夹角 由相似，我们可以得角一等于角二，然后再找到一个 p 所在的八字形 a p b c， 在 这样的一个八字形中，角 a p b 等于角 a c b 等于四十五度， 所以我们括号的圈一就借助这样的一个经典手拉手相似，完成了角度的证明。我们来看圈二好，圈二当中呢，给出现段之间的这个分数关系，我们看看先根据已知我们能推得什么更深层次的结论。 p f 我 们设为 x， 则 a h 为五 x 啊，那接下来我们想要推出更深层次的结论，就要结合上括号二主题干中哪些条件没用上。 我们会发现，刚才在圈一，我们倒角时只用上了手拉手相似，好像和出题者给的这个 o 点并没有关系， 那作为一道几何压轴题来讲，出题者不可能给我们没用的条件。所以当我们圈想推出进一步的结论时，我们一定要把目光聚焦到这个 o 点上啊，那能推出什么结论？刚才我们连完 c f 以后啊，这个 a c f 呢，是一个直角三角形， 那大家会发现 o 点是 a c 与 b 对 的交点，所以点 o 处也有垂直，那大家就能找到一组平行线，根据平行线分线段成比例定里点 h， 同时也是 af 的 中点，所以啊，我们就可以得到这个 p h 呢，应该是四 x， 这个线段的分数很关键。好，那找到这里，我们这个分数关系已经推的差不多了啊，那出现这种同一条线段上的分数关系，大家会想到什么？定比分点？对了啊，这里的点 p 和点 h 都应该是整条长线段 a、 f 的 定比分点， 所以我们要借助定比分点来构造平行。从中出现的八字形相似，或者是 a 字形相似，那这个平行线已经锁定了，因为线段的端点 a 和 f 它是自带平行的， 谁和谁平行呢？ a、 b 和 f、 g 平行，只不过这个平行线可能不够长，那我们在构造相似时需要将其延长出去，所以大家就会发现过定比分点 p， 其实我们可以构造正八相似，延长 b p 与 g f 相交于点 m。 好，那首先呢，我们看到的是左右的这组正八相似，此时 m f 比 a b 就 应该等于 f p 比上 a p 等于一比九，而我们还知道 a、 b 的 长度是三倍根号五，所以根据这组正八相似，我们可以求得 m、 f 的 长， 它应该是等于三分之根号五的。好，那左右的正八相似我们就用完了。接着我们就可以结合上问题来再找相似了，问题求的是四边形啊，这个正方形 c、 e、 f、 g 的 面积，我们肯定是要求正方形的边长 和正方形的边长有关，还和我们刚刚求出的 m、 f 有 关，大家就会发现上下的这组正 a 相似，所以此时 m f 比 m、 g， 它就应该等于这个 e f 比 b g 好。 在列这组等量关系时，我们发现缺少的就是正方形 c、 e、 f、 g 的 边长，我们不妨设边长为 a， 那 这个方程我们就可以列出来了，应该是三分之根号五比上，三分之 根号五加 a， 经过计算，我们就可以解除 a 方啊。这里其实都不用求 a， 因为他求的是面积，交叉相乘后，我们即可解除 a 方的值等于五。 第二个问号就搞定了。这个圈二呢，还是相对来讲比较好想的，因为知道线段之间的比例关系，我们就可以定比分点构造平行线，构造正八或正 a 相似。

大家好，我们来看一下大连音母的几何压轴题。 ab 等于 ac 的 话，那么等边对等角，我的角 b 和角 c 也会是相等的。 b 对 等于 c e， 那 么他们都加上这个对 e 的 话，就会是 b e 等于 c 对， 所以不难发现，想证明这两次角形全等，我们利用的是边角边， 所以括号一非常简单，我们来看一下括号二，那括号二呢？题目当中给了我们两个角之间的数量关系，那我们把这两个角分别表示出来，一个是阿尔法，另一个是比特，所以斜下已知条件应该是阿尔法等于二比特减四十五度，角 a e， d 应该等于二比特。 角 a e 对 有没有什么特殊的位置呢？它应该是三角形 a c e 的 外角。而我们发现呢，由于我们第一问证的全等，那这个角 b a、 e 应该等于的是角 c a 对， 他们都减去这个对 a e 的 话，那么剩下来的 b a 对 和 c a e 就 会是相等的关系，所以这个角度也会是阿尔法， 那么外角的话，就可以把它写成 r alpha 加上角 a c e 了，所以不难表示出来，角 a c e 应该是二倍，它减 r alpha， 而 r alpha 是 二倍，它减四十五度啊，所以带入进去，应该角 a c， e 就是 四十五度，底角是四十五度，不难得到顶角就会是九十度了。 然后我们再来看一下 q r， 那 q r 呢？说 g 是 b f 的 运用呢？我们有很多种的形式，那这里面我们挑一个最直接最好用的方法。 由于这个三角形 bcf 呢，是给我们画出来的，这个三角形不需要我们再去做额外的事情了，所以我们去找这个 bcf 的 中位线会很快一些，为什么说它很快呢？因为这个 b、 c 的 终点我们很好找，等腰直角三角形，我过 a 去做 b c 垂线，由于三线合一的话，这个 h 就 会是 b c 的 终点呢， 所以这时候我们连接 g h 就 会是这个三角形 b、 c、 f 的 中位线了，那么这两个点角就会是相等的关系，而点角和 b 它还能产生联系啊。我的这个角 b、 c、 f 应该是四十五度 减 b 它，那么自然这个角 b、 h、 g 也会是四十五度减 b 它了。 a、 h b 我 做的垂直嘛，所以它是九十度，所以我的角 a、 h、 g 就会是四十五度加倍它。那我们为什么要去这么找呢？因为题目当中让我们求的是 a g 和 a c 之间的比值，而 a c 呢？还是 a h 的 根号二倍，所以我们尝试着找一找 a g 和 a h 之间有没有什么数量关系， 所以除了这个角 a、 h、 g 我 可以用 b 它表示以外，我的上面的这个角 h a、 g 也可以用 be 表示啊，因为这个是三线合一嘛，所以 b a h 和 c a h 都是四十五度，所以我的角就可以表示成四十五度减 r f， 而 r f 也可以用 be 表示啊，所以我们用 be 表示之后，应该是九十度减二 be 它。 那么在这个三角形 h a、 g 当中，我就可以利用三角形内角盒把这个角 a、 g、 h 表述出来，那表示完之后也是四十五度加倍它，所以它和角 a、 h、 g 是 相等的关系，那么自然底角相等，那么它的两个 ag 和 ah 就 会是相等的关系了。而刚才的 ac 是 ac 的 根号二倍，所以现在 ac 也会是 ag 的 根号二倍，那我们求的 ag 比 ac 的 值就会是二分之根号二了。 我们最后再来看一下圈三，圈三呢，是在圈二的条件下，又多了一个 b f 等于 c f 的 条件。所以此时我们像刚才一样过 a 去做 b c 的 垂线的话，是正好会经过我们的点 f 的， 然后再把我们的 g h 给连接起来，这是我们上一位所做的辅助线。那现在想要求 a c 的 长度，我其实就可以把它转换成求 a g 的 长度了，所以我尝试着去求一下 a g， 那 由于我的这个 b f 等于 c f， 所以 我又多了一个，这些都是我们刚才所表述出来的点角， 那么我们可以再过 g 做一个中位线，那描述方法就会是过 g 做 g k 垂直 a h， 所以 我的 g k 应该是 b h 的 一半。 而由于这个 b a c 是 一个等腰直角三角形啊，所以我的 a h 和 b h 是 相等的，自然它就是二分之一 a h 了。而去二我们刚刚证明过 a g 和 a h 还相等，所以它是二分之一 a g 那 九十度，这条直角边是斜边的一半，所以我们不难发现这角是三十度，那其实是需要证明的啊，那这角是三十度。之后，我们来观察一下这个两个底角，也就是 a h g 和 a g h 就 都会是七十五度了， 那么自然这两个点角就会是十五度，所以我的 f g h 就 会是二倍的点角三十度， 那么自然我的 a g f 就 会是 a g h， 减去 f g h 就 会是四十五度了。 而由于告诉我们 b f 是 二，所以 g 是 终点的话，这两条边都是一，那么在这个 a g f 当中三十度四十五度一，那么它是一个可解三角形，我们过 f 去做 a g 的 垂线， 这样的话我这个 g m f 就是 一个小的等腰直角三角形，我的 g m 等于 f m 就 会是二分之根号二，那所以三十度。而 af 是 另一个直角边，所以它应该是根号三倍的 m f， 所以 应该是二分之根号六，所以整个 ag 的 长度应该是 g m 加上 am， 也就是 二分之根号二加二分之根号六。而去二。我们已经知道了 a c 是 a g 的 根号二倍，所以只需要把它扩大根号二倍就可以，所以最终的答案 a c 应该是一加根号三。啊，那这道题我们就讲解到这。

好，二零二六年海门英模真题来了，备考的同学要注意了， 我们来看一下题目，这里面有三个正方形，哎，这个上面这个和这个斜着的，那我现在条件很少，只有什么呢？只有一个啊， s 三角形 e m h 比 s 三角形 d m i 等于九分之十六，那我们看这里是哪两个三角形，这个三角形和这个三角形它们的面积之比是十六比九。 好，那我们观察一下这两个三角形它们是什么三角形，它们是相似三角形啊，直角，直角对零角，所以这两个三角形相似， 那么相似三角形的面积比等于九分之十六，那我可以知道相似三角形的什么 边长比应该是多少，是不是就应该等于九分之十六？开根号啊，我们看一下这里一 h 比上 id 就 等于根号下九分之十六 等于三分之四。好，也就是说他是四分，他是三分。好，那我们可以设他为四 k， 这个就是三 k， 他 是四 k， 他是三 k。 好， 那接下来这个四 k 他 是不是在一个正方形里面？我可以知道这个正方形他所有的边长都是四 k， 我 还可以得到什么，哎，这个大正方形 abcd， 他的边长是不相当于七 k。 好，那我们看一下他让我们求什么东西？求 turn 角 gdc， 哎， gdc 在 哪？是不是在这里？ 那这个角我要求他的一个正确值，我们看一下我们是不是知道这个斜着的他是不是也是一个正方形？ 我要求这个角的正切相当于，求哪个角的正切，是不就这个角，为什么这两角相等？因为我们同角的与角相等。 好，这个角的正切等于谁比谁，是不就等于 e a 比上 a， d， e， a 是 多少， 是不是四 k， a， d 是 多少？是不是七 k？ 所以 我们它念它角 g， d， c 等于它念它角 e， d， a 就 应该等于我们的七分之四。关注我，了解更多真题。

今天同学们跟着我来一起做一下这道二零二五年一中九下一模的几何压轴题。第二问，首先读题目，角 b、 a、 c 等于九十度，已经有一个九十度，然后呢？ a、 b 等于 a、 c， 说明这是一个等腰值，那么可以把两个四十五度给标出来。好，然后下边有一个条件， g、 h 垂直于 b g， g、 h 垂直于 b、 g。 现在这个垂直是不是在这个 b、 a、 c 这个垂直直角三角形的斜边上，那么肯定可以再进行一次倒角。角一是等于角，二的 g、 i 垂直于 b d， g， i 垂直于 b、 d， 那 么这个直角三角形的斜边上好有一个 直角是角 b、 g、 h， 那 么我们这儿肯定也可以进行一次倒角，但是具体怎么倒呢？它需要借助其他的角，它不能直接倒。 b、 c 平分 d、 b、 g， 那 么这两个角我们都可以设为 x， b、 g 等于 a、 d， 我 们把这两条线给标出来。这两条线是我们做题的突破口，同线入手肯定比同角入手要简单一些 好。那么看到这两条线，我们会先想到挨着这两条线的三角形，可能会有全等。有些同学可能会这样子做， 他说我把 g、 d 连起来，对吧？那么我这个 b、 a、 c、 b、 a、 g 和这个 a、 h、 d 有 可能就全等。但是我们看一下这个 b、 g 是 三角形 b、 a、 c 的 斜边， a、 d 是 三角形 a、 h、 d 的 直角边，那肯定这两个三角形全等不了， 我们把它撤销掉。 那怎么办呢？我们看一下有没有其他办法。 b、 g 既然是三角形 b、 a、 g 的 斜边，那我们可不可以这样子做呢？我们把 a、 d 也作为一条直角三角形的斜边 这样做下来，但是这样做下来的话，会有一个问题，我们边有了，直角也有了，是不是还缺一个角？那如果我们这样做可以证明 a b g 全等于 d q a 的 话，那我们是不是还差一个角？ 还差一个角？我们可以从我们之前这两个 x 来进行推导，试一下角二的话等于四十五减 x， 角一肯定也是四十五减 x。 继续推导这个二 x 过来，我们刚刚说了，这边的 g 这个部分的直角肯定有到角，这里是四十五减二， x 上边是四十五加啊，这个应该是九十减二， x 上面是四十五加 x， 所以 这里呢肯定就是四十五 加 x， 因为我们用相加等于一百八数字部分相加等于一百八字母部分相加会被抵掉，然后这个角肯定就是四十五减 x。 好，这里有个四十五减 x， 然后这里也有个四十五减 x， 那 么这个全等是成立的，对不对？ 这两个三角形已经全等了，然后我们再继续接着看， 我们要证明的是 b i 与 a h 之间的关系，把这两条边我们给它涂出来， 所以说我们现在应该想办法把这个 a h 和 bi 产生一些联系。 我们刚才正的全等好像用不了这两条红色的边 bi 还能用一下，但是 a h 完全不在我们正的那个全等里面， 所以这个时候我们要想一下怎么把 a h 给移下来。 a h 所在的三角形是不只有这一个，这一个的话我们可以考虑它和旁边这一个是全等，因为如果它们全等的话， 这个 a h 就 可以直接移动到 b q 这儿，移动到 b i 上面来，我们会先去猜，先猜了之后我们再用我们的已知条件去尝试正一下，大家看这有点像个什么模型， 一线三垂直，我们来看一下，一线三垂直的话，我们需要正 a q 等于 a g， a q 等于 a g， 好，是我们之前已经给正出来了的，是用的我们那个全等。然后在已知一条边的情况下，我们一线三垂，只需要知道三个角，分别是这三个角，我们看一下这三个角能不能给正出来。 角 a b q 已经是知道的，等于四十五加 x， 角 q a d， 这里我们刚做的垂直可不可以等于角 i g d， 这两个角是相等的，对吧？那它等于多少度呢？ i g d， 我 们刚刚说的是四十五加 x， ok， 那 一线三垂直应该没有问题，只是我们接下来缺一个角 h， 角 h 的 话， 这儿不是有个四十五减 x 吗？所以说它也等于四十五加 x， 所以 说这个全等是可以成立的，全等成立了之后，我们就可以得到 a h 等于 b q， a h 等于 b q， 但是我们要找的是 a h 与 bi 之间的关系，这个时候我们会去猜这个 b q 和 bi 可能会是什么关系呢？可能会是两倍的关系，如果它为两倍的关系， 这两条线又是平行的，我们可以考虑去挣 q 是 中点，挣中点我们可以用被长中线的推论，也可以用中位线，那我们接下来看能不能挣出来这个 w 是 中点 w 如果是中点的话，它是不是在 b a g 三角形的斜边上？我们可以用斜中半相关理论来证明这个是四十五加 x， 这也是四十五加 x， 那 么这儿是四十五减 x 角 a b， g 肯定也设四十五减 x， 那 么这个 w 是 中点已经成立，所以 q 也是 bi 的 中点，用中位线可以证出结论， bi 等于两倍的 b， q 也就等于两倍的 a h。 好， 我们再来一遍，把思路理出来。我们的第一步， 第一步证明三角形 abc 全等于三角形 a， q， d。 这个顺序有些乱哈，我要把写标准一点，我们把对上号 a， b， c 全等于三角形 q， a， d。 好， 第二步证的是一线三垂直，得到的是三角形 a， b， q 全等于三角形 g h a。 然后第三步，我们证的是 w 为 b g 中点，然后再用中位线 最终挣出来我们最后的这个关系。

今天是大连一模考试的第二天，我们先来浏览一下整个试卷的试题难易程度，以及呃，部分大题后面两个压轴题的分值分布情况。先简单浏览一下试卷，我看了一下啊， 呃，一到十呢，考的还是比较简单的。那第七题，这里出现了方差，他没有在后面的概率题中出现，而是一个简单的选择题的形式出现，所以说对大家来说挺友好的，挺简单。那第十题呢，出现了一个几何动点，这也是大连常考的一种动态分析问题。嗯，是需要根据 图二这个二次函数的图像去分析正方形 a、 b， c， d 这个边长的长度，对吧？好，那根据图像呢，我们就能得到， 呃， a e 是 x， 那 么 ab 是 一，因为 x 等于零的时候，这个面积为零嘛，对不对？那就是一减 x， 根据这些条件再去进行做题即可，还是挺简单的。 再来看一下十五题，十五题考得也相对来说比较简单。第一，他没有涉及到动情况分析问题分情况讨论，而是求一个固定长度的线段的问题，对不对？所以在这里给大家列举一下，他是使规作图和相似进行了相结合，进行了考察。 那么十六题的计算也相对来说比较简单。十七题也还不错，考到了二次函数的增长率问题啊，一元二次方程的增长率。看一下第十九题。第十九题呢，这里可能会出现部分细节扣分问题，也就是第二问 出现的函数表达式。注意，一定是 s 与 t 的 表达式，就不会得分了啊，这个一定要注意。 那二十题呢，考察的第一问和第二问其实都是考察了一个圆周角相等，那他们对应的同乎也是相等的，其实这一个圆周角的考察在鞍山一模也会涉及到，在第一问倒角的时候， 后续呢，我们会把这个图给贴出来。鞍山一模也是考察了圆周角相等，嗯，很多同学就是卡在了圆周角，不知道去没看出来，所以导致那道题二十 一题的这个圆的题就卡住了。然后我们再来看一下二十一题，二十一题是反比例函数的实际应用啊，的一个相结合，那这里呢，也是存在一点扣分的点，也就是第一问 注意一定写的是小 f 与 l 之间的表达式，而不是 x 与 y， 所以 简单的来看这张试卷的一到二十一题的基础，但是细节点部分扣分的点也是挺多的，有很多的坑，比如 s 与 t 的 这个关系式， f 与 l 的 函数表达式，一定要注意 看清题目所求，那我们再来看一下后面的二十二十三题。二十二十三题，尽管是大连的一模考试，给他调换了位置，二十二题考察的这个二次函数的计算，二十三题考察的几何，但是无伤大雅。我们先来看二十二题， 二十二题呢，首先我们打眼一看，其实没有涉及到新定义，也没有分情况讨论问题，只是第一问还是很简单，涉及到计算。第二问呢，那么就是要把 d e 这个解析式表达出来，通过这个题目所给条件， d e 等于二分之一 b， d 啊，那这样去把这个 d e 的 这个解析式求出来，再去判断 a 是 否在这个直线上，一定要注意写清，当 x 等于负三时，哎，代入 y， 哎， y 等于通过计算啊，把你这个 d e 的 这个解析式算出来之后，把负三带进去看看 y 是 否等于零，然后再去说明啊， a 点这个点的纵坐标和算出来的这个纵坐标是不是相等，所以点 a 在 直线 d， e 上。第三题呢，这里占五分的分值， 这个也是比较简单的一个横平竖直的线段嘛，对吧？好，那我们在这简单标一下， m 其实是在这， p 点是在这，这是 q n g m p 和 q n g， 它其实是两条平行于 y 轴的线段，所以就是把它们的横坐标，纵坐标表示出来，嗯， pm 就是 它们的横纵坐标之差， q， n 这条线段其实就是它们的纵坐标之差。 e g 这条小线段呢，我们是通过勾股定律去把它表示出来， 所以对于大部分同学来说，嗯，计算情况较好的，那我们能够得到的是 x 一 与 x 二的这个数量关系是完全没有问题的，可能会在这个十二分里面会扣一到两分，嗯，就也就是关于这个 x 一 的取值范围。

辽宁中考各市的一模基本都已经结束了，那么我们今天看一下这个各个市的一模一共透漏出来的哪些中考的信息，以及接下来大家学习需要注意的这个重点的方向。我们今天主要说三部分内容。 第一个是辽宁省各市一模的这个整体分析，那因为中考一模的话，而且中考主要是以大连和沈阳为主，所以咱们重点看的是这两个城市一模透露出来的方向。第二个就是要重点说一下各个压轴题的重点类型，你需要接下去练哪些东西， 因为现在离中考已时间已经比较近了，你不可能在所有题型都要练，需要有针对性的重点的去练几个重点的压轴题。那我们第三部分说的是各个分时段接下来你的学习的一些建议。 中考一模以沈阳和大连为主，所以咱们先重点看一下沈阳和大连这两个城市一模特的特点，以及整体的这个命题的趋势。 我们首先看这次全省的各个一模特的一些共同点。首先第一个就是这个难度是适中的，都是考察的基础，就是基本上没有是特别偏难怪的题，个别地区除外啊，就个别趋势除外的， 那这个难度适中回归基础，这该怎么去理解？就是我们会发现啊，一到二十一题就基本上都是属于百得分的题，就不会出特别难的那种。你像以前的十五题填空压轴可能会出比较难，但是现在十五题填空压轴也不会出太难的， 因为全省命题他要需要考虑一个教育强势和普通式的这个区别，而且他要考虑教育资源的一个区别，所以如果他卷出的难，会导致其他的城市学生得分率会比较低，所以为了保证各个城市的得分率， 那像一些前面基础的部分，一到二十一题他一定不会出难。一到二十一题，只要你做的稳，基础好，那基本上一到二十一就是能拿满分的。那这满分是不是指的就是九十五分，所以最少你是差不多能拿九十五分的。然后后面压轴题你再做一点， 就是二十二、二十三，你在第一问全做出来，然后第二问再做一点，基本拿个十分左右，问题也不大，所以中考的话，你过一百零五就是基本上是属于你的一个最低要求了。 那我们再看最后就是他的这个压轴题，他是可能是有区分度的，二十二、二十三的最后疑问，他一定会稍微有一些难度，但不会说难度是特别特别大的那种的。比如说以大连举例，他就算现在中考的二十二十三，最后稍微有难度， 但是也永远回不到以前大连自己考试的时候，你像一八一九二零年这几年回不到那个考试的难度了， 那所以他这个难主要是体现在计算量和这个动态图像分析上，所以中考的计算量一定会比较大的，所以大家这个是要注意的。 然后最后就是这个命题方向，那命题方向其实已经很明显就一定是回归基础的，强调通用的这个通法，就是不会让你去套模型， 比如说像以前考试经常出类型，你只要看中这个是什么东西，比如这手拉手，你就顺着手拉手往下做，你就能做出来，他是要避免这种套模型的方式，那现在一直所谓的去模型化，去模型化指的就是这个东西， 那去模型化不是说你不再考模型，不考任何辅助线，其实模型的本质就是各个辅助线的总结归纳，对吧？那他不考辅助线呢？他能考什么？几何？ 所以他一定还是会考模型和辅助线的，只不过是不考以前那种僵硬的直接往里套的形式了，他说是会变得更灵活。 所以去模型化大家要正确理解，直的不是不考，而是考的更灵活，考察你对这个东西掌握的本质。咱们以手拉手举例子，手拉手大家一定是最熟悉的一个模型，那他中考时候可能不直接考你这个手拉手了， 他可能是通过旋转的角度去考你，然后你需要通过去条件去构造，手拉手自己去构造，所以这也是一个考试方向。 然后我们看沈阳一模的情况，沈阳一模啊，基本上大部分的区考的都是特别简单啊，就是会出的很简单，包括那个压轴题，出的也是没有难度的，但是部分区就有的区，他出的还是会有一些难度的。那像这回沈阳的，沈阳的前面一到二十一题，基本都是符合这中考的难度的， 很简单。然后二十二题，二十三题，压轴题，大部分区，我感觉他出的是要比中考的难度是要简单的。所以大部分的沈阳的孩子，你在练的时候一定要注意你这个压轴题，他的难度可能不像你一模这回这么简单，他会稍微再难一点，难一些，但不是会说，不是说会难的，突破天际的那种难度。 然后第二个部分就是部分区，他设置的有一些是比较难的，你比如说像审核，审核的二十二题的最后一问，他就设置了一个很高的难度，但是这个题他只有两分啊，他这个我感觉他设置这个的目的就是为了控制学生的满分，因为他其他的部分内容太简单了，所以他会 稍微把这个某一问变难，变难之后就不让学生，不让那么多学生去打满分。 然后这个我感觉也是一个中考这个趋势，就中考的话他不代表说几何，你像审核区他这个透露出这个考试方向是什么，他不是说中考的时候会考这个最值，会考这个几何最值，会给整咔特别难的几何最值不是这个意思啊， 他的透露出来的方向就是整体卷的难度是比较低的压轴题第一问第二问难度可能也都不会很高，但是他在最后一问一定是有区分度的，这个是他的方向，而不是说他要考的是具体的某一个题型， 大家记着啊，一模、二模，他透漏出来这个方向不代表你考试是要考哪个重点题型， 比如说你像沈阳的大部分区可能出的二十三题，那个二次函数带几综合，但不代表他就是要考带几综合，他考这个目的是要注意大家，哎，他这个东西都是有可能考的，告诉你都是在考试的范围之内的，大家是要注意。 然后最后就是压轴题的题型是比较稳定的啊，就是你像沈阳的一些特色的问题，比如说在省考之前，省通考之前， 沈阳一直特别爱考的就是几何最值，像什么演员啊，瓜豆原理啊，然后二十元、胡不归啊，就这些东西。那现在同考之后，像这些几何的最值类问题， 几乎不会出现在几何压轴题的问题上了。所以对于这种几何压轴最值，大家不用过度去研究啊，你平时可能碰到几个不会的就，哎呀，那我这不会，我得赶紧去练，要不中考废了， 没有必要啊，就是不用去过分去研究这东西，它中考压轴题考这几何最值的可能性基本为零。然后我们再来看这个大脸一模的特点，大脸一模的话就是属于高度契合一个中考的方向， 它这里面体现的就是几何能力要求是很高的。你像这里二次函数，它这个二次函数说难度比较低，但是它这个二次函数整体计算量是稍微大一些的，所以这个也是现在的非常重要的一个考试方向，就是难度更低，但计算量给你，给你变大是， 就是加大与高中内容的这个联系，然后加大与高中内容联系指的不是要考高中的内容啊，是要加大你的计算量，因为很多高中老师他在整体调研的时候，他会反映现在初中上人的孩子，他这个计算量太差了，所以现在中考的时候，他也是在加大这个计算量， 然后像大连这个一模，就前二十二题的难度都是非常低的，他是把这个二十二题，把这个二次函数放在了二十二题上，他这个难度都很低，基本上没有难的， 只有这个二十二题的最后一问，有可能取值范围会扣个一两分，那问题不大，那是这个二十二题十二分啊， 十二分的话，你基本拿个十分，问题是不大的，对吧？所以他这个题前二十二题的难度是会会很低。但是大家要注意啊，在中考的时候，这个二次函数的难度，我感觉是大概率会比大连的这个二次函数的亚洲难度是要大一些的。所以大家你不要觉得这个这回的二次函数很简单，中考也属实不简单， 不是的，就有可能计算量比现在这个大，难度再稍微比这个大一点。然后我们再看这个几何，那这回把几何放在了二十三题的压轴题上，那几何压轴这回丢分呢？是属于一个丢分的重灾区， 很多很多学生基本都是最后的这个圈二圈三这两位没没整出来，这两位大概占一个八九分，所以很多孩子基本就是这个几何压轴扣了八九分，你像平时很多一百一左右的孩子，他这俩也没做出来， 所以你就算这回他扣分比较严重，大家也不用过于在意啊。就这回大连一模的分数并没有特别高，咱们大胆预测一下。因为大连一模特点就是 一模，他会整把二十二或二十三弄一个特别难的，然后二模也是会弄一个特别难的，就比如说像这回一模，他几何压轴弄的特别难，那二次函数压轴就会变得相对简单。那二模的时候，我感觉大概率会把二次函数整的特别难，然后几何就会变得简单一些， 所以他你出现特别难的东西，大家分数低这是很正常的，你比如说你现在孩子有说，哎，我这回数学只考了一百零五，那我该怎么报啊？都说一模准，但一模这个准指的不是你的分数准啊，大家要注意是指的你的排名，因为现在主要升学都是抢这个指标， 所以你只需要考虑你同学校都是抢这个指标，所以你只需要考虑你同学校都是抢这个分， 你就算这回你考了一百分，我指的是数学啊，但就算你数学考了一百分，属于很低了，对吧？但是你那整体排名很高，那也没有关系，你你就按这个整体排名看就可以了。然后第三个就是大连的这个一模 几何压轴反映出来的特点是什么？倒边倒角是核心，大家要注意，因为现在的中考数学一定是以沈阳和大连为主，至于谁占的比例更多一点， 那大连出题的特点就是导边导角，当然你在中考里的时候，他出的导边导角肯定不会像这回这么难或者是更难，就他会比这回的稍微简单一些就是，但是也是要运用导边导角的这个核心思路了。所以至于导边导角接下来该怎么练，我们一会后续的时候，讲压轴题的专题的时候，那咱们会说你该去练哪些？ 然后最后就是这里的命题思路，其实大连这个命题还是非常好的啊，就是他的思路啊，结构以及难度，然后具体这个分值的对学生的分值把控以及他的区分度都是很好的，大家可以去认真的研究一下 啊。至于像这次一模里面各个城市出的一模题哪些比较好的，我感觉鞍山的卷，鞍山的卷其实出的挺好的，鞍山这回的你像十五题、二十二题、二十三题出的都很好。 然后那咱们可以看出来，整体一模看的话就是特点，就是一定是杜绝偏，难怪题就不会出现那种特别偏，特别离谱，就大家没见过的题型了。 然后现在网上有很多说什么现在中考要以大连出题为主啊，或者以沈阳出题为主啊，然后出题人都已经确定了所有的这些信息都是假的啊，因为出题现在出题人现在都已经都还没定呢。 出题人大概的话是在会五一之后，他们开会的时候他们直接去定，所以现在出题人都没定，至于说以谁为主，那就更那就更假的了，现在所有流传出来的出题人的名单全是去年那种，大家这个不要信啊。 然后第四个就是我们备考时候是要以辽宁考的这些题型为主的，至于其他外省的有没有参考性，有啊， 因为中考它是互通的，就是咱们的命题也是在参考其他城市，所以你不是说要完全看只看本地的，或者是多看外省的不一样，你就看咱们辽宁这些 各个一模以及重点练的题型里面，它常出现的是哪些？你要重点练的是这些，那像比较复杂的，就像南方那些新颖的新题型的话，只要不是咱们辽宁各个地区基本都出过的，那肯定不会考这种的，就绝对不会考一个以前 包括现在就一模二模咱们辽宁省都没出过，然后中考突然给你整个新的型，绝对不会有这种形式的啊。那他会考察你像比如像复杂的代数推理这种的，你像之前大连甘井子区，他考了好几回这个代数推理，所以现在有很多人在练这代数推理。 但是你像那种复杂的什么定点定线段的这种代数推理考的可能性就基本是为零了，但不是说代数推理你是一点不学，这里面你要注意有一些计算技巧，计算的技巧你要知道的，他可以在别的其他题型里用，但至于像什么定点 定线段定长，就是这种的代数，纯代数推理的就复杂式的计算呢，就这种是基本不太会考的。那我指的是代数推理的那种定长呢，不是说那个带几综合里的那种定长呢，大家要注意区分啊。 第二块我们就说一下，就是大家是比较关心的，你重点的压轴题，二十二和二十三，几何和二十三压轴，你该重点去练哪些专题？因为现在时间比较紧了，你想全练一遍不太那不太限制，是没有时间的，所以很多孩子现在就想缩小一些范围，他要重点去练那些。 我感觉二次函数基本就是四大类。那第一个就是公共点的问题，那公共点的问题也是考的比较多的，就是问函数和图像啊，或者说和线段是否有几个公共点呢？就这种是比较重要。再一个区间对值， 区间对值去年已经考过了，所以今年能不能再考，这个不太好说，我感觉考的可能性并没有那么大啊，那至少我感觉不会放在这个压轴题最后一问上，但是区间对值他有可能放在十五题上吧，有可能放在这个二次函数压轴倒数第二个，这都是有可能的，所以这个区间对值也是比较重要的。 然后再有一个就是动态图像的分析问题，比如说图形动啊，比如说在图二次函数平移啊这种的平移旋转翻折这种图 动态图像分析的问题，你核心要考虑参数变化的时候，这个图像怎么动这种的也是很重要的。然后最后就是这些待几综合的问题，待几综合的问题的话，你像不管是出在二十二、二十三，他都不会说特别难，只要在二次函数里出现待几综合，就是常规的那些的思路方法大家都知道的， 比如说线段或直线的这个平行关系的处理问题，就是是否存在平行啊，还有一个就是等线段长，就是长度相等啊，或者存在倍数关系这种的。再一个就是面积计算和角度计算这几类是属于常规的代替综合问题，大家是要熟悉的，这些方法 可以挑重点的这几类题型，二次函数列，然后几何压轴的核心不是说咱们就你不会倒边，倒角就废了，那不至于啊，就倒边倒角的难度主要体现在这个最后一份，前两份他都不会说特别难倒边倒角。当然如果你的分数是想冲一百一十五往上头或者更高，那像倒边倒角这些东西你是要熟悉的， 那这里面几何压轴里面咱们常见的或者重要的题型是有哪些？你像图形的旋转、 翻折，像图形的变换，这种的一定是终点的。再一个就是解三角形，解三角形肯定是近几年的中考的一个热门大的方向 就是在三角形里面求变长中解三角形是特别特别重要的，那像接下来一些常见的相似，你比如说像子母形相似，这些大家是要很重要的，就子母形还有平行相似， 还有就是终点问题，涉及到终点呢，有关的一些的问题都是非常重要的。然后再有就是注意倒边 和倒角这俩问题的，注意倒边和倒角，我们哪些东西是倒边？倒角你像平行相似，这就属于倒边的，然后或者是字母形相似，这也都属于倒边的。那倒边的一个进阶的东西是什么？就是没仕图， 也叫全程，也叫梅涅劳斯定律，那这东西的话是你如果分数特别高，一百一十以上，你想冲高分，你需要拓展一下你的做题的思路和技巧，你可以去研究这个美事图，但如果是一百一以下的，我就不建议你去研究这个美事图了。那倒角的技巧都包括什么？倒角你像共顶三等腰， 共腰双等腰，还有共底双等腰这些，以及二倍角，绝配角，射餐法这些，这些就是倒角的这些思路。 那你像什么东西提的时候，你遇到需要倒角，比如说提里提盖里给你很多角的数量关系，你像这那个，这回大连的几何压轴， 他会给你很多角的数量关系，那咱肯定需要倒角的射参去倒角，其次就是出现像二倍角啊，这种呢你是需要去射参倒角的， 那比如说图里出现了一些基本的导角的模型，你像共顶三等幺、共幺三等幺，共底三等幺，那出现这些东西的时候你就知道啊，这题我大概率是需要导角的，它是这里是存在角的特殊关系的，你导完之后是能存在像二倍啊互补这些关系的。 那再一个就像这种终点性的问题，终点的话也是非常非常非常重要的，那像终点常见的四个方法，大家知不知道？像中线未长，三线合一，前面中线，然后以及中线的过道，那基本就是这四个，那这四个你什么情况？该用哪个？大家都是都需要知道，到终点去整理一下。 针对中考压轴的这个专题课我已经录好了，然后有需要购买的可以评论区留言。最后也是最近很多家长问我的，就是你各个分数段的孩子，你接下来该如何去学习，如何保证当前分数的基础下能再进一步的有一个好的提升。我简单说一共就是分为三种，就是一百分以下的， 还有一百到一十分的，还有一百一十分以上的，那一百分以下的基本就是保基础，你只要基础不错，你肯定是能过一百的。那咱们在练的时候，你就确保你在刷套卷，比如说你一周刷个两到三套的模拟卷， 你一百分以下的孩子，你不用去计时做，因为现在都说那个考试时间紧，你需要掐点，不需要啊，因为一百分以下你根本不考虑二十、二十三的最后一问，你这两问的话，正常的话你需要做最少是四十分钟左右，所以你不考虑这个，你就比别人多出来 那个三四十分钟，所以你的考试时间是绝对够的，你只要保证你的准确率，准确率就行，你慢一点没有关系。那大家在做这个， 每周最少你做个两到三套的模拟卷，大家在做的时候，你做完之后，你要对答案，你要看你的错题里哪些东西是真的计算失误的，哪些东西是方法或知识点不太清楚的，凡是涉及到方法或知识点不太清楚的，赶紧去问老师，让老师去给你把这东西 那个讲完。所以你做这个卷的目的就是查缺漏，大家一定要记住这一点啊，不是说你做完之后对个答案，然后就拉倒了，重点呢就是在后面的整理复盘这个方向， 然后接下来是一百到一百一之间，一百到一百一之间呢，基本就是像前面没有啥问题，一到二十一题主要就是卡在这个二十二、二十三压轴题最后的这个倒数第二问上。 你像他们基本也是不太考虑这个最后一问的，因为最后一问对于他们来说就是能做出来的时候是比较少的，大部分时候会卡在这个第二问上。那所以咱们接下来在重点练的时候，你就把这个第二问你要重点去练一下， 那第二问的话，因为他难度没有那么高，所以相对来说还能好练一点。那所以像几何压轴和二次函数压轴的一些常见的，我前面刚才说那些 题型重点的方法，你要练一个正常难度，就不用练那个压轴题，难度就稍微简单一点难度就可以，这个就足够应对你第二个了。 你把这些整明白，然后接下来除了正常的每周刷模拟卷，保证你的一个做题的感觉。第二个就是你练这个压轴题的第二本，你去按分， 按专题去按类去练的，或者说刷那模拟卷来练都可以，但是你必须要拿出时间去练，重点还是你要做完之后，你要去整理复盘一下这题考的是什么方法，那这个方法为什么在这里用？通过什么东西判断的这个方法？那你接下来这个方法你可以拓展到哪些其他的类型的问题里面去， 这个大家是一定要复盘去总结的，这个它是非常非常重要的。然后最后一个就是一百一十分以上的，一百一十分以上 主要就是二次函数和几何压轴的最后一问，那他们要首先保证的是前面基础绝对一分不要丢，对于一百分以上的，你差一分就会差很多，你像一百一以上的，基本上做题的准确率都是非常高的，你想 你跟比其他人都一样前也人家前面一到二十一题一分不错，你扣，你错一道题，你错一道题扣三分， 这三分那那那就是差多少，对吧？所以你前面的一到二十一题绝对绝对不要错，这你就正常刷套卷去练。然后大家要注意，不管这几类的哪个学生，你哪个分数段计算一定是要用草纸的， 基本上你就看所有计算不好的孩子都是要么不用草纸，要么就草纸写的特别乱，要么就口算， 一定是存在这草纸这个问题，所以你想把这个计算给练好，因为计算主要是一个学习习惯，你去让别人去教你方法呢？没有意义，是教不出来的，你只能通过自己的习惯去改，那最大的习惯之一就是你的草纸应用的形式， 然后继续说这个一百一以上的啊，你想充满分的话，你一百一以上，你就必须要把我刚才说的那些二次函数的常规压轴，以及几何里面的倒边倒角这些东西方法你是必须会，你想冲高分，充满分，一百一十五以上，你这些东西你就必须会， 你除了常考这些东西，你像更难一点的，比如说一百一十五以上的，你像这个没事图你是不是也是需要去了解的？你只有是了解的足够多，你的方法拓展的足够足够大， 那你遇到考试新题型的时候，你才不会去火考试任何一个人都是你考试，你突然拿到一个你从来没见过的东西， 你根本判断不出来他是考的是啥东西，那你肯定慌，你一慌你考试肯定心态不稳，你的分就肯定会没有正常那么高，对吧？ 所以大家要把自己的思路和眼界给拓展，你要尽可能多的知道更多的题型的方法和类别，你见过了，你知道了，你考试的时候能遇到这种没见过的概率他就越低，你的考试发挥稳定性他越越高的。 今天说了这么多，简单几句话就说第一个，不要信，信在网上任何的中考的消息，什么押题班啥的，这都是扯淡，只能说有什么那个重点的一些专题，你重点需要练的，这个是可以的，但是要说压住中考题，或者说包括有一些卖那个中考的资料， 说这个是中考透露出的出题人，什么往年的家园出的，这都是扯淡，不要谢，一定都是假的。然后第二个就是这个专项，就大家如果有需要想了解这个专项的就可以那个评论区留言。最后就是希望大家中考能获得一个非常好的成绩，我是大连数学张老师，愿与各位考生和家长携手共同迎战中考挑战！