证明勾股定理广东中考怎么做

一个视频带你快速学会勾股定律的六大必考题型，全都是考试里的高频必考点，多学一道，多长五分！在评论区打出我必看完，我们直接开始。先来看我们这里的第一道题目， 他讲的是勾股定律与折叠问题综合到一块来进行考察。我们来读题，他说如图，将长方形 abcd 沿直线 a、 e 折叠，就只要我们做题碰到折叠两个字，你就立马反应出来，他现在考察的是折叠问题。而折叠问题大家只需要记住，折叠的话，他是不是不改变，他的长度、角度都是不变的，对不对？ 长度、角度这些都不变，你可以一边读题，一边把这些多余的解题思路你脑子里要清楚哈。然后再往下读题，他告诉我们顶点 d 恰好落在 bc 边上的点 f 处， 那就是 d 点折完以后，对应到 f 点这里了呗。所以说这里一定是有全等三角形的呀，对不对？折叠它一定会出全等的一个三角形，因为折叠本身折叠前和折叠后它长得是一模一样的，那肯定就是全等的了呗，对不对？ 所以说在这个题目里面，我们来看一下哈，它告诉我们， c、 e 等于三，这块等于三， ab 等于八，这块等于八， 它既然是一个长方形，那么 a、 b 是 不是就等于 c、 d 呢？ c、 d 是 不是也等于八？然后 c、 e 等于三的话，那么 d、 e 是 不是就等于五了呢？对吧？然后你发现 d、 e 它是不是跟折叠有关？它是折过去的呀？它折完以后， d、 e 变成了 e、 f， 对 不对？所以说 e、 f 它的长度呢，也是五， 然后我们再往下看，它要求什么？它要去求边 bc 的 长是多少，那我们来看哈，边 bc 的 话，它对应的是我们这段的距离，对不对？现在我们知道 e f 是 五， c e 是 三，这里是直角，所以 c f 肯定是等于四的， 所以说白了就是求一下我们 b f 的 长度嘛。那 b f 的 长度怎么去求呢？现在利用已知条件能推出来吗？大家来看一下， 我们现在呢还知道什么长度呢？ a d 不知道， a d 不 就是 bc 吗？都不知道， a f 也不知道，就剩下的条件我们都没有办法直接去推了，那这个时候怎么办呢？这个时候我们是不是就可以开始设未知量，我们设 x 来列方程呀？因为你现在没有办法直接推出来，那肯定要列方程嘛， 现在要求 b c 的 长，那就是求一下 b f 的 长嘛。所以说我们可以设 b f 为 x， 如果 b f 是 x 的 话，那么大家来想 b c 的 话就是 x 加四了，那么 ad 呢？不也就是 x 加四了吗？对吧？ 咱们现在设完 x 以后，肯定我们的目的就是尽可能的我们来构造勾股定律啊，对不对？因为我们通过勾股定律就可以得到一个方程了嘛。 现在问题在于如何放到一个直角三角形里面，当你不知道怎么放的时候，你就尽可能的去表示个边的长度就行了。比如说现在我们知道 a d 是 x 加四，然后根据折叠的一个性质，折叠完以后长度不变，所以说它对应的边 af 也是 x 加四，它是等于 ad 的 吗？ 这个时候你看在三角形 a b f 里面，我们是不是就构造了一个直角三角形，可以进行勾股定律了呢，对吧？所以说我们直接列方程，就是八的平方，再加上 x 的 平方就等于 x 加四，括起来的平方 也就是六十四，加 x 方就等于 x 方加八， x 再加十六。大家可以自己去算一下，看一下答案是什么，可以直接打在我们的弹幕里哈。现在这道题的答案选什么？ 我们来给大家计算一下。 x 方和 x 方消掉了，那么八 x 呢？它是不是就等于六十四减去十六呢？我们来化简一下，这个是八，这个是四，就是四十八了呗，然后六八四十八，所以 x 是 等于六的，那这块是六的话，六加四就等于十了呗。 所以说对应的 bc 的 长度是多少呢？那很明显就是十了嘛。所以说我们这道题的答案就是我们的 c 选项对不对？我们就把第一题快速搞定了哈，这是我们第一题对应的一些答题思路，大家看一下自己能不能跟上。 关于第一道题，我们最后给大家总结一下呢，就是大家一定要记住，在折叠问题里面，只要题目里面出现折叠两个字，你就记住他考察的是折叠问题，对应的解析思路就是长度和角度都是不变的，这里会有全等的一个三角形哈。 ok， 我 们继续往下看，再来看第二个题型，第二个题型呢叫做最短路境问题，就是他可能和我们之前学过的一个模型进行结合，比如说在这个图里面，我们来看一下，他说如图，在平面直角坐标系 x o y 中，已知点 a 呢是三零，点 b 呢是零二 过点 b 做 y 轴的垂线 l， 那 这个 l 的 话，他一直就是 y， 等于二了嘛，对不对？ 然后 p 是 直线 l 上的一个动点，它是一个动点，然后连接 po 和 pa， 那 o 和 a 的 话，肯定都是定点了呗，对不对？它让我们去求 po 加 pa 的 最小值，那么这道题大家读完以后，很明显它要求的是 po 加 pa， 就是 求的是线段 和的一个最小嘛，对吧？那么大家来想一下，求线段和的最小，并且这里涉及到的还是两个定点，一个动点，那么他考察的是哪一个模型，他考察的是哪一个题型呢？大家现在能不能想到我们想到的同学可以打在弹幕里哈。 对于两定移动问题，要求线段和的最小，很明显他对应的解题思路是我们之前讲过的将军仪马模型啊，对不对？将军仪马模型，那这个时候 对于将军密码模型，咱们的解析思路呢？也很简单，就是做对称呀，对吧？我们给它对称过去，所以说再往下推，那就是我们现在要做对称，对吧？那这个时候你要么把 o 点对称过去，要么把 a 点对称过去，我们要让这个两个定点，它们在异侧，对吧？ 那假如说我们这里过 a 点做一个对称吧，那大家来想，那对称完以后得到的那个点，比如说这个点是 a 撇的话，那它的坐标是多少呢？大家来看一下，横坐标没有变，还是三对不对？纵坐标呢？ 咱们来想哈，因为 b 点呢，它是零二，所以说这段的距离是二对不对？那对称过去以后，上面这段肯定还是二了呗？然后二加二是等于四的，所以它就是三逗号四嘛，对不对？那对应的 a a 撇，你看 a a 撇的长度就是四，那这一块我们就求出它的长度了嘛， 这个是很好去推的，所以说现在 p o 加 p a 的 最小值，我们可以转换成 p o 加 p a 撇的最小嘛，因为 p a 撇肯定是等于 p a 的， 因为这个直线 l 可以 看成 a a 撇的垂直平分线嘛，对吧？垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以 p a 撇是等于 p a 的， 那对应的 p o 加 pa 的 最小值，我们现在转换成了 p o 加 pa 撇的最小值，这个时候它是一个折线嘛，对吧？那两点之间什么最短呢？大家可以在弹幕里打一下。两点之间什么最短？很明显线段最短，或者说直线最短嘛，对吧？所以说我们应该把我们的这个 o 点和我们这个 a 撇直接连接起来，我们要求的就是什么呢？就是线段 o a 撇的长度，对不对？那线段 o a 撇的长度是多少呢？现在其实这里已经构造直角三角形了呀，所以说怎么做呢？直接勾股定律啊，对吧？ 你看我们通过勾股定律， a 撇等于四，然后 o a 是 等于三的，那么斜边就是五了呗，它是勾股数三四五，所以说我们就可以求出来了。斜边的长度 o a 撇它是等于五的，那么这道题最终的结果也就是等于五了呗。大家来看一下，我们是不是就快速求解出来了呢？所以说继续这道题，给大家总结一下我们这道题。对呢，答题思路就是，哎，我看到他要去求线段和的最小，并且这个线段和呢是两定一动问题， 于是我想到了他考察的是将军一马模型，于是我又想到了他对应的答题思路是做对称，对吧？大家可以发现哈，所有的数学题都是这样的，我们都是通过题目里给的关键条件来猜出他在考什么题型。然后我们再去想这个题型他对应的答题思路是什么哈，所有的数学题都是这样的。 然后我们继续往下看，再来看下一个题型。第三个题型呢，咱们讲的是勾股定律，逆定律的一个应用。我们先来读题，他说已知 abc 是 一个三角形的三条边，并且满足这个式子， 这个式子其实很常见嘛，对吧？那通过这个式子，我们能不能求出 abc 的 值呢？大家来看一下这个式子，它是非常典型的。什么呢？ 我们看到这个式子就应该想到他对应的题型应该叫做零零模型。什么叫零零模型呢？其实就是零加零等于零嘛。比如说在这道题目里面， 他告诉我们这三项加起来是等于零的，对不对？然后我们发现左边这三项呢，绝对值平方以及根号，那这三项都是非负的呀，对不对？他们都是大于等于零的。 那三项大于等于零的数加起来等于零，对应的只有一种情况，就是每一项都是零，对吧？所以说我们就知道 a 减二是等于零的， b 减根号十三是等于零的， c 减三也是等于零的，于是 a 等于二， b 等于根号十三， c 等于三。大家来看一下， 我们是不是就快速求出 abc 的 值了呢？然后他要问，呃，他又问我们这个三角形的面积是多少，那我们是不是得求一下这个三角形长什么样呢？对吧？然后我们现在，呃，我们正在学勾股定律，对吧？那你给你一个三角形，你就算猜也应该往直角三角形上面去猜嘛。所以说我们现在验证一下 a 和 c 这两个稍微小一点，你会发现 a 的 平方加上 c 的 平方，那不正好就是四加九就等于十三吗？那十三的话不正好就是 b 的 平方吗？对吧？所以说我们发现 a 方加 c 方等于 b 方，所以它是一个直角三角形，两条直角边呢？一个是二， 一个是三，斜边是根号十三吗？所以说面积的话就是二分之一乘二，再乘三就等于三了，所以说第三题的答案就是三，大家看一下能不能跟上。 那关于这道题给大家总结一下。首先第一点我们考察了非复性哈，我们考察了零零模型里面的一个非复性，碰到零零模型一定要注意看看是不是每一项都是非复的， 然后我们就能对应的得到每一项的值了。然后这是第一点，第二点呢，就是割股定律，逆定律的一个应用，这个也是考试里面非常常考的哈，大家一定要搞清楚。 ok， 这道题大家看一下能不能跟上，能跟上以后我们继续跟着老师再来看下一道题哈，下一道题呢是勾股定理解三角形，这个在考试里面非常常见，他可能有很多种出题形式，但是核心都是用来让你去解三角形，就是让你求边长呀，求角度呀之类的。比如说我们来看这道题， 它说如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中告诉我们 a、 c 等于 b， c 等于二，然后呢，它这里竟然是直角，两个直角边又是相等的，那这不就是等腰直角三角形吗？对吧？于是我们立马就可以得到 a、 b 的 长度呢，是二倍的根号二， 然后这两个角度呢，都是四十五度，大家来看一下，这些东西是不是我们都可以快速求解出来的呢？ 对不对？然后他又告诉我们点， d 在 ab 的 延长线上，并且 c、 d 等于 ab， 现在我们知道 ab 是 二倍根号二了，那么 cd 也就是二倍根号二了呗。然后现在要让我们去求 b、 d 的 长是多少， 那大家来讲这个时候怎么去求呢？ c、 b、 d 又不是直角三角形，如何求解呢？很明显求解不了呀，对吧？所以说这个时候呢，其实它就涉及到几何里面对应的一个做辅助线的一个解析思路了。我们这里给大家来讲一下哈， 这个辅助线是怎么做出来的呢？你看，因为角 abc 是 四十五度，所以说角 cbd 就是 一百三十五度了，大家来看一下 这个能不能想到角 cbd 是 一百三十五度。而在几何里面，我们碰到特殊角，给大家总结一下哈，我们碰到特殊角，要学会去做辅助线。什么是特殊角呢？ 那常见的三十度、四十五度、六十度肯定是特殊角了，对吧？那除此之外，它们与之对应的补角，比如说一百五十度，一百三十五度以及一百二十度， 这些角度其实都叫做特殊角。比如说我们看到一百三十五度，那我们可以做它的补角呀，因为它的补角是一个四十五度，是一个特殊角呀，对吧？所以说咱们一定要注意这一点哈，所以说这个时候我们可以把 c、 b 进行延长， 因为我们延长以后，你看一百三十五度的补角，不就是四十五度吗？我们肯定想要三十度、四十五度、六十度这种特殊角吗？对吧？那这个时候有了四十五度了，那对应的我们再要去构造直角三角形呀，因为我们要特殊角的目的不就是构造直角三角形吗？对吧？ 这些三十度、四十五度、六十度在直角三角形里面才有用。所以说我们碰到特殊角，第一步呢，就是咱们可以做辅助线吗？然后第二步呢，就是我们要构造直角三角形，所以说我们现在再来做一个辅助线，怎么构造直角三角形呢？在四十五度这里构造，所以说我们可以过点地，你看 我们可以过点地，做一个垂直呀，对不对？垂直 c b 的 延长线与点啊，与点 e 吧。那这个时候我们来看一下哈，咱们可以来进行一下求解， 因为它是一个四十五度的直角三角形，所以说它是一个等腰直角三角形，对吧？那这个时候你直接来设未知量呀，我们就可以设 b、 e 就 等于 e、 d 就 等于 x 呀，对不对？ 那这个时候我们能不能列方程来求解， x 呢？它们在不在直角三角形里面呢？很明显在的呀，这里有一个三角形 c、 e、 d 呀，对不对？所以我们可以在 c、 e、 d 这个三角形里面，我们来列一个勾股定律， 也就是二加 x 扩起来的平方，再加 x 方就等于二倍根号二。扩起来的平方，我们来化解一下，四加二，呃，四加四， x 再加 x 方再加 x 方就等于八， 也就是二 x 方加四， x 减四等于零，也就是 x 方加二， x 减二等于零嘛。 这个时候这个方程怎么解呢？很明显用不了十字相乘法了，那我们直接就上咱们的公式法哈，二 a 分 之负 b 加减根号下 b 方减四， a c 也就是四减去个四 a c 的 话，对应的就是四乘一，再乘个负二嘛，这个一直接省去了， 然后呢？这不就是加八吗，对吧？然后四加八的话是十二呀，根号十二的话，那不就是二倍的根号三吗？对不对？这个步骤老师直接省略了哈，最终化简出来是二倍的根号三，然后我们上下，你看下面分母是个二吗？那我们再化解，那最终得到的不就是负一 再加减个根号三嘛，对不对？然后我们现在求的是 x， 它是一个线段的长度，不可能为负数嘛，所以说最终结果只有负一加根号三这一个解，对吧？但是你千万不要把这个直接写到答案那里哈，那肯定是不对的，因为你要注意一个点，你现在求的是 x， 然后这道题我们要求解的是 b、 d 的 长度，对吧？等腰直角三角形三边之比是一比一比根号二，所以 b、 d 的 长度的话， 它是根号二倍的 x 嘛，对不对？也就是根号二倍的 b， 呃， b e 或者说 e、 d 嘛，所以说就是根号二再乘个根号三减一，最终结果就是根号六，再减根号二了呗，对不对？大家来看一下，我们是不是就快速求解出我们的第四道题了呢？ 所以说这道题的话，给大家总结一下我们对应的一些解析思路呢，就是特殊角要学会做辅助线， 我们做呃，这个特殊角辅助线的目的就是为了通过特殊角来构造直角三角形哈，一定要注意，尤其是一百五十度，一百三十五度，一百二十度，碰到这三个角，要学会去做他们的补角哈，要学会去做他们的补角。 ok， 这是我们第四个题型，大家看一下自己能不能跟上，然后我们继续往下看，再来看我们第五个题型，关于勾股数问题哈， 这道题呢，题干非常长，但是没关系，我们直接来看一下他要求的是什么。他告诉我们，清代扬州数学家罗士林痴迷于勾股定律的研究，推呃，提出了推算勾股数的罗士林法则，法则的提出不仅简化了 这些东西都没有用，他说由此法则写下了几组勾股数，根据以上规律写出第五组勾股数是多少。那其实这道题很明显就是一个找规律问题嘛，对吧？那咱们就找一找规律呗。 第一个是三四五，第二个是五十二十三，第三个是七，二十四二十五，第四个是九四十四十一。那我们就一个一个来看哈。要写第五组勾股数的话，咱们先来看一下第一个呗，三 五七九。我们先看勾股数里面每一组勾股数里面的第一位嘛，我们发现他其实是偶数，他其实是基数呀，对不对？三五七九，那第五组该到几了呢？九后面是十一呀，对不对？他对应的基数是十一， 所以说这道题我们来看一下哈，我们把第一位写出来了，那第二位呢？再来看一下，它是四十二、二十四、四十， 这个呢，大家来想一下哈，四怎么变成十二了呢？乘个三，但是十二乘三的话又不是二十四，这个好像不太对，就我们直接来看的话，你这个四十二、二十四、四十，好像看不出来什么太大的规律，反正我们一眼不太好看出来吗？对吧？那这个时候怎么办呢？ 那你就再来看一下第三位呗，对不对？万一第三位能求出来呢，对吧？那如果第三位能第三位能求出来的话，根据各五定律，我们也能求第二位吗？对吧？第三位的话，一个是五，一个是十三，一个二十五，一个四十一，你能看出来规律吗？ 看起来好像也没有什么太大的规律啊，对不对？大家来看一下，他们每每个数之间好像也不是什么加减乘除的关系，那这个时候怎么办呢？ 那你再把第二位和第三位你放到一块再来看，因为现在是找规律哈，所以就考察你的观察能力了，你看这个四五是二十三、二十四、二十五、四十和四十一，你没有发现 他们的后两位就是第二位和第三位，他们之间相差就是一吗？对不对？当你发现这个规律以后，你就可以来写第五组割股数了，虽然你现在不知道第二位是多少，但是你可以设第二位是 x， 那 么第三位就是 x 加一，大家能理解吗？ 就是我先设出未知量嘛，对吧？然后再利用勾股定律来求解不就行了吗？我们来求解一下，那前两个肯定是小一点的，所以就是十一的平方加 x 方，就等于 x 加一括起来的平方，对不对？这是我们可以求出来的，然后我们来化简一下， 那就是一百二十一加 x 方，就等于 x 方加二 x， 再加个一，左右两边 x 方消掉了，那就是二 x 呢？等于一百二，那 x 不 就等于六十了吗？所以这个勾股数的话，就是十一、六十、六十一， 对不对？大家来看一下，我们找完规律以后，也是可以快速求解出来的，所以说这道题呢，他就不算什么题型了，也没有什么方法可以总结，也没有什么方法可以总结了。你能记住的就是找规律的话，一定要细心哈，一定要细心，尽可能的去找每一组数之间有什么的有什么联系哈。 这是第五题，然后我们再往下看，再来看我们第六题，这个也是非常常考的哈，就是把割股定律和面积进行结合，和正方形的面积的话，大家来想， 你设边长是 a 的 话，那它面积不就是 a 方了吗？对吧？然后一个数的平方在勾股定律里面是不是特别常见？因为勾股定律不就是 a 方加 b 方等于 c 方吗？所以说勾股定律经常和我们正方形的面积进行结合，比如说这道题，大家来看一下 这道题呢，看大家能不能猜出来哈，它告诉我们，在直线 l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是一二三、 一二三，这三个是一二三了呗，对吧？七个正方形对应的不就是一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个，不就是这七个吗？对不对？然后其中斜放置的，你看就是斜着放的这三个面积分别是一、二、三， 然后正放置的这四个正方形呢？它们的面积依次是 s 一、 s 二、 s 三、 s 四在图里面已经标出来了，现在问我们 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四，它的一个面积是多少？ 那么大家来思考一下，这个时候呢，你就尽可能的去推一推条件，比如说我现在知道第一个三角形的面积是一对不对？那我们来写一下，既然它的面积是一的话，那这个边长是不是就是一了呢？对不对？ 那对应的第二个它这个边长就是根号二，这个边长就是根号三了呗，对不对？这些我们都是可以快速求解出来的， 那边长有了，然后你发现下面这一堆，你看他这几这一些东西不都是直角三角形吗？所以说我肯定要放到直角三角形来里面啊，放到直角三角形里面通过勾股定律来进行研究呀，对吧？ 你现在学的就是勾股定律，所以说你看到直角三，直角三角形，你肯定往勾股定律上面去想呀。所以说你再来看这两条边之间有什么关系呢？ 那你看这个边的平方加这个边的平方就等于一了呗，这个边的平方加这个边的平方也等于一了呗，对吧？这些都是我们可以快速看出来的。然后大家再来想，那下面这两个小的直角三角形，你不觉得他俩长得很像吗？大家来看一下这两个直角三角形， 你不觉得他长得很像吗？数学就是一个观察的过程，咱们就是要去找那些看起来长得像的，看起来可能是全等的，比如说在这个图里面，我们看起来长得像的，看起来可能是全等的，比如说在这个图里面，它是不是直角三角形呢？ 很明显是的，这个就是我们讲的一线三垂直吗？大家来看，这里有一个垂直，这里有一个垂直，这里有一个垂直。一线三垂直，我们是不是可以得到全等三角形呢？对不对？我们来验证一下，其实也很好去推。首先斜边长度是相等的吗？对不对？然后这个角， 呃，这个角加上这个角等于九十度，然后这个角加这个角也等于九十度。我们给大家放大来看吧，给大家推一下吧， 你看比如说这个是角一，这个是角二，这个是角三的话，角一加角二是不是等于，是不是等于九十度的？然后角二加角三是不是等于九十度的？所以角一是不是就等于角三了？是不是推出一组角是相等的了，对不对？给大家来画一下绿色哈， 这个角和这个角现在就是相等的了，对不对？然后同样的道理，你是不是同样可以推出，呃，这两个角是直角呢？对吧？那，那是不是根据 a a s 我 就可以推出两个三角形全等了呢？对吧？这些都是我们可以快速推出来的哈，这里就不多说了， 所以说我们就可以得到这两个三角形，它是全等的。然后同样的道理，这两个三角形也是全等的，这两个三角形也是全等的，我们大家可以自己去推一下哈，都是很明显的，那对应的，既然每一组三角形都全等，那我可以得到什么呢？我们先来研究第一个， 第一个既然它全等的话，我们设这个边长是 x 一， 哈，代表的是第一个就是 s 一 面积是 s 一 的这个正方形的边长。我们设它边长是 x 一 的话，那我设这个 s 二，它的边长是 x 二， 那对应的根据全等，那这个边就是 x 二了呗，这个边就是 x 一 了呗，对吧？因为你是全等三角形呀，所以说我是不是可以得到这个， 然后基于这两个直角三角形，其实我们都可以得到 x 一 的平方加 x 二的平方是等于一的吗？对吧？这两个小直角三角形，你放到哪个里面都可以，我们都可以得到 x 一 的平方加 x 二的平方等于一，对吧？然后你再来想这道题要求什么？他要去求这几个的面积和 s 一 对呢？是什么？ s 一 它不就是 x 一 的平方吗？对吧？ s 二不就是 x 二的平方吗？对不对？正方形的面积就是边长的平方，所以其实这个对应对应的不就是 s 一 加 s 二等于一吗？ 那你看，问题已经搞定了呀， s 一 和 s 二的面积和有了那么同样的道理，你能不能去求 s 三加 s 四呢？ 肯定是可以的呀，我们放到这个这个两个直角三角形里面不就行了吗？对吧？我们设这个边长是 x 三，这个边长是 x 四的话，那对应的这段就是 x 四，这段就是 x 三了呗。 那同样的 x 三的平方加 x 四的平方就等于他们斜边的平方，现现在斜边是根号三，那不就是他的平方不就是三了吗？对吧？那这个对应的不就是 s 三加 s 四是等于三吗？现在有了呀，一个是一，一个是三，所以说他俩加起来那不就是四吗？所以说这道题我们也就快速搞定了呀，对不对？ 那通过这道题想给大家总结的就是，咱们勾股定律经常会和正方形的面积进行结合，大家以后做题碰到类似这种题型，你思考的时候，你就往面积上面去思考，你一定要注意正方形的面积，你看他不就是边长的平方吗？对吧？往这个思路上去进行思考哈。 ok， 那 通过咱们上面讲的这几道题呢？我们给大家总结一下，你会发现老师讲的每道题，老师不仅讲题背后，还会给你总结他对你的一些解析思路，解析模型，对不对？所以说老师给大家讲的每道题， 最有价值的不是说这一道题你能不能算出正确答案，而是说他背后的这个方法，这个答题思路，你能不能学会，能不能听懂哈？那像比如说，为什么很多同学平时一上课听得懂，但是一到考场拿起笔就蒙了呢？为什么你错过的题反反复复错，稍微换一个包装，你就又不会做了呢？大家来想一下， 根本原因其实不是因为你刷题刷的太少了，更不是因为你脑子笨，而是因为你永远停留在就题解题的一个浅层，你没有建立起举一反三的一个模型库。就像老师我哈，可能很多同学不知道，我以前数学也是一个 不及格的底子，我之所以能一路逆袭到很多次满分，我靠的就是一套极度理性的数学提分系统，因为题海战术救不了低分，但是对的方法可以。 所以如果你觉得自己现在的数学成绩死活卡在瓶颈期，靠自己怎么都突破不了的话，那你就不要再低效死科了。 你可以直接通过这里加我，把你最近刚考完的一张卷子以及成绩发过来，我直接帮你做一次最深度的试卷分析，揪出你提分路上的致命漏洞， 带着你的问题，你可以直接来找我哈！ ok， 那 以上就是我们本期视频的全部内容了，大家千万别忘了三连加关注，我们下期再见！

你敢信？课本上的勾股定律需要你在中考中证明出来。没错，这就是二零二五广东中考。

挑战从零基础到学霸勾股定律，只看这一条视频就够了，从勾股定律的基本公式，勾股定律逆定律折叠问题的具体解析，并且到勾股定律的应用问题，今天一个视频全部讲清，让你不管是期中中考，看到他就 像回家一样，考前帮你抢抢二十分。最后我把勾股定律相关的知识讲解基础练习到我们的题型分析，具体模型一百道不同难度的练习已经放在我们的资料包里了，大家抓紧下载打印，话不多说，我们直接开干。首先我们先来看一下对于勾股定律咱们最基础的定义相关的内容。 如果直角三角形两只角边长分别是 a 和 b， 斜边是 c 的 话，那么 a 方加 b 方等于 c 方，这是我们可以得到的一个基础结论。比如说在这种题目里面，我们可以去解决一些求长度的问题，对吧？比如很简单，如果 a、 b 的 长度分别是三和四，让我们求 c， 哎，勾三股四弦，我们都知道这个结果一定是五。 而在具体做题的时候，非常容易出错的一点是，如果直接给了你一个三角形，有两个边长，分别是三和四，那么我们另一条边可以是谁，可以是五，也可以是谁啊？也可能是如果我们的其中四的这个边他是最长边，是斜边的话，那么我们这个 b 这个边他就应该是其中一个直角边。三 加三的平方，加上谁的平方等于十六，对不对？我们要想三的平方是九九加谁等于十六呢？等于九加七，所以这块我们会发现 b 也可能是等于根号七的，这是在做题的时候一个小小的细节，我们要小心。 那么当然在具体做题的时候，我们要注意到勾股定律它的一个具体边长关系的分类。讨论这种题型，这块我们不再去多说啊，咱们可以拿一个简单的题目去感受一下这种题目，一个是想去强化一点，就是因为我们现在是在整个复习题目复习章节吗？勾股定律这一章节本来可以拆成勾股定律和勾股定律、逆定律以及勾股定律应用的，那么我们今天 定律和逆定律一块去说，比如说像这样的一个题型，下列各组数不能作为直角三边长的事，或者有的题目问我们以下哪一组 间长是可以组成直角三角形三边的，对吧？或者以下哪组数是勾股数？这些都是和勾股定律、勾股定律、逆定律相关的题型。那么我们首先像这种题目，你要读清楚题，他问的是直角三角形的三边，还是问的是勾股数，这个很容易出错啊， 问的是三边还是问的勾股数，因为我们三边和勾股数有一个非常大的区别，勾股数必须得是整数，因为它必须得取整。 那么对于我们任意三边来说，你只要满足 a 方加 b 方等于 c 方就可以了，对吧？这是一个容易出错的地方。那我们可以先来选一下例三这道题的正确答案应该选谁？注意题目问的是不能作为直角三角形的三边 啊，其实这个题很简单，你直接一眼仔细一看就会发现啊，我们熟悉的是三四五，它往往就在三四五里给我们哎 折腾一点小小的变化，对吧？你会发现根号三，根号四，根号五，它们的平方之和还能具有谁的平方加谁的平方等于另一个数的平方关系吗？没有了，所以 a 选项就是我们这个题要选的正确答案。 那么我也非常建议同学们，如果平时在做题的时候，对我们勾股定律，勾股数不够敏感，或者每一次我都去一个数一个数去验的话，你做起来会非常的慢，对吧？除非像偶尔出现像这样带根号的式子， 我也只能去算一下，比较一下之外，我们直接这样做其实真的是非常的不方便。那我们可以去记一些常见的购物数，比如说像三四五， 注意啊，常见的这些能满足购物定的这些购物数呢？你像三四五以及三四五，它的倍数啊，乘以十倍，乘以两倍，乘以三倍，再包括乘以二分之一倍，乘以三分之一倍，对应的这些数应该都依然是满足购物定的关系的 好，那包括像三四五，那像六八十，就刚好是三四五的二倍吗？对不对？还有一些比较简单的，比如说五十二十三，这也是比较常见的购物数，比如说我们的这里面的七二十四、二十五，再比如说我们常见的九 四十四十一，再比如说我们就经常见到的八十五、十七等等等等，很多组这样的勾股数，对吧？那么老师有没有什么方法能够对勾股数这一块，我能有一个像口诀一样快速记忆的方法呢？老师，我就是记不住这么多组数。有的啊，那么在这一块我们可以看到右上角，这里面我已经标注好了我们对应勾股数的一个记忆的方法。 我们有这样一个口诀，当你拿出一个数的时候，你就非常快的可以想到和它有关的一组购物数。方法就是基数平方写连续，偶数半方加减一。举个例子啊，什么是基数平方写连续，我们就拿七举例，七， 如果购物数里面三个数的长度有一个长，三个式子，三个线段的长度有一个长度为七的话，那我们想七的平方应该是四十九，对吧？ 四十九我们把它写成连续的两个数之合，那自然应该写成二十四和二十五，只有这两个是连续的两个自然数之合，对不对？所以七二四二五就是一组勾股数， 那好记吧。相对应的，比如说刚我刚写的九四十四十一，四十加四十一，不也是八的平方吗？对吧？那么偶数是什么情况呢？偶数半方加减一，比如说我们取偶数八， 那么如果有一个长度是八的话，半方就是八的一半的平方，八的一半是四四的平方是十六，那么让十六加一减一减一，十五加一十七，八十五十七搞定了。同样你将我们的六八十六，六的一半是三三的平方是九九加一减一，一个八，一个十，对不对？所以你看它是不是也是一组购物数？ 这也是我们购物数的一个比较好记的口诀，我们可以把它记住啊。那么记住的话，我们后面再做一些比较有趣的题目的时候，也可以非常快的搞定这样的问题。 好，那接下来咱们继续往后看，在购物定律我刚说了，我重点是在题型的角度，带着我们同学们去复习一下购物定理会涉及到的考点，所以我们自然说起购物定律，就离不开弦图，离不开赵爽的弦图，也离不开我们对应的啊。周元制政法中的弦图，这两个弦图的区别，一个叫做外弦图，一个叫做内弦图。 如果你实在老师，我记不清这俩图什么时候叫内弦图，什么叫外弦图？来，我们都知道勾三股四弦五对不对？弦是什么意思？ 勾股我们指的是直角三角形的两边弦是什么弦，叫做斜边对不对？所谓外弦图，就是斜边在外边的时候对应的我们这样的一个弦图。 所谓内弦图，就是斜边在内部的时候对应的这样的一个弦图。好，这里我说完了以后，朋友们如果你听懂的话，可以在咱们弹幕上打上一个数字，六，好吧， 这是我们需要注意到的一个细节啊。另外，我们在听的过程中，我们在复习的过程中，也更要去注意所谓的弦图。在购物定义初步学习的时候，我们只是借助它去证明购物定义的成立，我们借助到的是等面积法，你会发现，哎，我们这时候 对于我们外线图的正法，假设这是 c， 假设这是 a， 这是 b， 对 不对？我们可以借助大正方形的面积，也就这块应该等于什么呀？ c 的 平方，它应该是等于 四个小直角三角形的面积之合，再加上内部的这个正方形的面积之合，最终我们可以推导出来， a 方加 b 方等于 c 方。在计算的过程中，我们要反复借助咱们整式乘法里面的对应的公式， 那同样在我们内弦图的证明是一样的道理啊，也是要证明最外面这个大的正方形，只不过此时正方形的面积表示变成了 a 加 b 的 平方了，对吧？它同样应该等于内部的四个直角三角形面积之合，加上正方形面积之合，我们最后得到的 这样一个式子，咱们同样可以推导出来， a 方加 b 方等于 c 方。当然我们还有比较出名的购物定律，有很多正法，几乎都是我们以面积的关系去证明的，对吧？包括美国总统的总统正法，对啊，都是一样的逻辑啊。好，那么也就是我们在做的购物定律的证明这样的一个过程的题目里面，我们需要注意的是借助等面积法解决问题，这个思路要有。 而当然我们到了后续，我们比如说在做题的时候，你会发现到了，我们很多同学应该现在已经学完了咱们四边形正方形了，对不对？在正方形里面我们也会出现像类似这样的，看到没有，这样的，我们之前学过的一线三垂直模型，其实你可以理解成像这样的一线三垂直模型，它是我们正方形中的一部分 啊，之前我们学到的一线三垂直模型，你可以把它整体理解成它相当于把正方形弦图的一部分拿出来这样去分析的好吧？啊，这是其中的一个 和之前知识点的一个联系。好，那接下来咱们继续往后看。在勾股定律里面还有一种非常常见的一个题型，喜欢在选择题、填空题去做考察，尤其是选择题叫做勾股数，对吧？那么这个勾股数我们是可以得到结论，那我们说 这个结论叫做落叶归根，什么意思？这个勾股数，这是跟这两个是他往外演出的这样两个，哎，这是一个直角三角形吗？对不对？以直角三边往外构造正方形，你会发现这两个面积之合一定是等于它的。同样你再往外以它为斜边，继续向外去构造正方形， 继续向外构建正方形，它两边一致和也一定等于它。同理也是这样的一个关系啊，我们把它作为斜边往外去构造，往外去构造也一定是满足这样的关系。这就是我们之前有讲过的勾股术相关的内容。证明的逻辑也很简单啊，我们这块就不再去一个一个去证明了，我们只需要记住， 直角边的叶子面积加上直角边的叶子面积一定等于斜边的根。这个的前提是什么？你比如说我们这个正方形对应的是他俩的面积对不对？如果再往外延伸的话，一定是同层的面积之和，等于上一层的面积之和，等于我们根的面积。 这个不只是在正方形里面去成立的，我们在平时做题的时候，不管证明借助圆的面积分析半圆的面积关系，我们也可以证明， 半圆形这样的购物数， s 三、 s 二之合也一定是等于 s 一 的。包括往外拓展出来的等边三角形的购物数，它俩的面积之合也一定是等于 s 一 的。这个我们可以自己去推一下，如果之前这种题目一直没有做过的朋友，我们可以去把它推一下。好吧，这是我们购物书里面一个小小的结论，今天作为复习不再对它做一个升华的展开了啊。 好，那接下来咱们来看这样一道题目，这是在咱们八阶段，我们遇到勾股定律问题以后，非常爱考的一种题型，我们可以理解成这是一个折叠问题。读一下图啊，他说给我们一个三角形 a、 b、 c 给了一个直角，告诉我们 a、 c、 b， 这是一个直角啊。 接下来告诉我们 ac 是 六条件上图啊。因为这个题目所有条件都在题干里面，图上没有任何信息，所以我们就条件往图上标。六， bc 是 八，然后点 d 在 边 a、 b 上， d 在 边的 ab 上，那么 a、 d 和 a、 c 是 相等的。好，这也是六标上去， a、 e 和 c、 d 是 垂直的关系，这有一个垂直的关系。垂直关系有啥用？不知道，反正先放上了。然后接下来他告诉我们，垂足是点 f 与 bc 交于点 e， 这是一个交点，让我们求 b、 e 的 长度， 这题让我们求的是这段的长度。求谁？我们一般情况下，这种题你要求谁，你就把谁去标注出来。呃，我们想去求解这个问题，你会发现这两个边是相等的，这是直角，然后这是一个垂直的关系。这里说明了什么呀？我们应该能想到，在这个题里面，他的本质是是个什么问题 啊？你最后要求的是 b、 e 的 长度，对吧？好，我来说一下这种题，题目给了这两个垂直，给了这的长度和这的长度相等。本质上我其实可以发现的是，对于我们三角形 a、 c、 e 来说，你如果把它 沿着 a、 e 折叠过来， c 点一定会落到 d 点这块，因为这块有这样的垂直关系，因为这块有边长度的关系， 对不对？所以在这块，因为这给了这个直角以后，你会发现，说白了这两个三角形一定相等的， u、 h、 l 可以 得到，对吧？一个直角边 是共用的，斜边长度相等的，所以 c 点我们沿着我们 a、 e 这条线折叠过来，一定会扣到 d 点的位置上，所以这道题本质上考察的是一个折叠问题。那么解决折叠问题，我们应该怎么做？现在我们要求的是 b、 e 这个长度，那我现在不妨换个颜色，我去把它标注出来，我要求的是 b、 e 长度， 求谁我们就把它设成未知数。在这种问题里面，我们有一个固定的解析思路，有一个固定的解析方法，这个方法叫什么呢？叫做被动先三角。好，这个题我们先放在这，我先往下去展示一下。我们这种题的一个固定方法，是一个非常非常有名的啊， 一位数学老师说的啊，这个数学老师叫沃兹基说的啊，不管是谁，反正不重要。那么我们这个题目我们解决的问题叫做勾股定律中的折叠问题。 勾股定律中的折叠问题，咱们是有固定方法，叫做什么呢？首先涉及到了折叠，你看啊，对于我们三角形 a、 c、 b 来说，咱们就拿这个三角形举个例子啊，好，现在一号三角形折到了二号三角形的位置上，这样做了一个折叠，还有一个三角形是三号三角形， 我们的思路叫做被动心三角，就是我们解题的破题关键，什么叫做被动心三角呢？在勾股定律中，只要是考察的折叠问题，且我们有一个三角形没参与折叠，但是被动生成的，我们就管它叫做被动心三角 啊，来来感受一下啊，我们刚刚说把这个三角形折到这一块对不对？在图中一二三，哪个三角形是没有参与折叠？被动新生成的三角形有没有？有的话我们把它可以在评论区打出来，好吧，哎，你会发现应该是谁啊？应该是 b、 e、 d 这个三角形 啊， b、 e、 d 这个三角形它是一个什么呀？被动生成的一个三角形，所以我们这个题的目标解题关键就在这一块，我们就带着它去研究，往往我们像刚刚这个题要求比例，对吧？我们就把它标出来， 那么接下来我们就要根据题目的信息，有的边长，比如说这个边长题目如果直接给到我的话，我就把它标注出来，如果没给我的话，他肯定会给 b、 c 的 长度，我用含有 x 的 式子把它标注出来，然后这个长度我也给他标注出来，把它的三边给他，怎么样呢？ 知道，那也就是三边得给他表示出来，射出边表示其他边，然后我们借助购物定义列购物方程求解就可以了。 那接下来回过头来，我们再来看刚刚这道题目，是不是这个思路就可以轻松的搞定了呢？我们来试试看。好吧，对于这道题目来说，给了一个三角形 a、 b、 c。 在 三角形 a、 b、 c、 d 中角 a、 c、 b 是 一个九十度的角， a、 c 是 六、 bc、 八，我们刚刚这些都已经标上去了，如果我们现在要求 b 的 长度的话，你看我们要求这段的长度，现在我们相当于把它折叠过来， 折叠过来的话，我如果连接 d、 e， 哎，换一个颜色，直接连上它，连接 d、 e， 你会发现此时我们被动的新三角是哪个三角形？如果把 d 连上以后，你这不是折叠吗？对吧？这个三角形经过折叠折叠到这，所以被动三角形就是我现在的这个三角形 b、 e、 d， 啊，三角形 b、 e、 d， 这就是我们的被动心三角，那现在我要解决的就是这个三角形目标角求谁射，谁求 b 就 射他，那剩下这两边我是不是得给他表示出来或算出来？哎！首先我知道整个这个三角形是一个直角三角形，这是六，这是八，所以整个 ab 边的长度你是不是应该知道的 应该是多少？应该是十，对不对？所以这是十，这是六的话，所以我们 b、 d 的 长度就应该是四，那么 e、 d 的 长度是多少呢？这一段的长度我们知道吗？ 这段的长度我是不是可以借助这个直角三角形，我们整个这条边是 bc 的， 长度是八，这是 x 的 话，那这就应该是八减 x， 对 不对？那这个直角三角形的 e、 d 这个边应该和谁是相等呢？是不是我们折叠过来以后， c 点落在了 d 点上，也就是 c、 e 应该和谁是相等的？应该和我们的 d、 e 是 相等的，所以这个边的长度就对应的是八减 x。 看到没有？被动型态解中三个边的长度我们都给它表示出来了，咱们只需要利用咱们的方程四的平方加上八减 x 的 平方 等于斜边，平方，斜边我们现在设置就是 b， e 就是 x， 对 吧？我们现在只需要列出这个式子，然后我们进行计算就可以了。来，这就是一步很简单的计算了，这一步计算里面并不涉及到任何的这个二一二的方程，因为平方最后会给它消去啊，所以这块就是加上 八的平方是六十四，再减去十六倍的 x， 再加上 x 的 平方等于 x 的 平方，你看在这个式子里面， x 方 x 方是不是两边直接给它消去了，对不对？那左边还剩下一个十六倍的 x 挪过来，左边还剩下一个八十 十六倍的 x 等于八十，所以 x 的 值就等于五，这个题我们就顺利的搞定了，这就是这道题我们一个解析思路的由来。好吧，那么在这个题涉及到的被动心三角的这个解析逻辑我们要非常清晰啊，这是一个比较容易考到的一个点，我们的固定方法也非常的直接。好，这是被动心三角。 那么接下来咱们再来看在折叠问题里面，如果折叠的不是一个三角形里面，我们折叠的是一个长方形，是沿着长方形某一个边五去折出一个直角三角形的话，这种题目有什么需要我们注意的？ 首先我们先来看第一个图，第一个图里面其实没有什么特殊的，我们把 b 点折到了它的对角线的 b 撇这个位置，把它折上来，此时这两个三角形应该是都是直角三角形，对吧？哎，那我现在可以问一下，如果我们还是要解决像这样的折叠问题的话，对于我们现在这个题目来说，我标上一号、二号、三号， 请问这三个三角形哪个属于我们刚说到的被动心三角，可以在评论区给老师打出来，也可以在弹幕上打出来，好吧，好，我们这个题是一个三，这个 这个直角三角形就是没有参与折叠被动生成的直角三角形了，对不对？我们在做题的时候，往往也要借助圈三去解决问题。咱们再来看这个，只要在在在，在我们第二个图中， 第二图是我们把这个长方形给它折叠出去了，那么这样折叠出去的话，相当于参与折叠的三角形是 abc 和 ab 撇 c 这两个三角形从它折过来了。那么被动心三角你觉得可以是哪个三角形呢？比如说这是一号，这是二号，这是三号， 你会发现一折叠到二三号，这个三角形是被动新生成的，我们往往会在这个三角形里面去进行求解，对吧？当然不完全有的时候也会在二号这样三角形中，其中的这个小的这样三角形 a、 b、 撇 e 中去进行求解，因为这俩三角形其实它我们我们都是被动新生成的嘛，对不对？这是一个需要我们注意到的细节。 另外还有一个很关键的信息，咱们需要注意到，在这个题目中，在这个图中还有一个关系，你会发现只要你把长方形折叠出去了一部分，在这 折叠过来的三角形和圆长方形的重合部分，它是一个非常特殊的三角形，我们可以思考一下啊，折叠过来的部分和圆长方形重合的这一块，你不是把它折叠过来了吗？黄色这个三角形和我们圆长方形重合的这个三角形 a、 e、 c 是 一个特殊三角形。 什么三角形呢？它是一个等腰三角形，一定的，只要折出去，它一定是等腰三角行，为啥呢？因为我们因为是折叠嘛，对吧？所以折叠前后两个角对应的在三角是全等，两角一定相等，对吧？又因为是长方形，所以内错角相等， 对不对？所以我现在不管下面这个角了，你会发现这两角一定相等，由等角对等边可得，这个三角形一定是等腰三角形。这是我们在做题的时候需要注意到，需要注意到的一个细节，那 包括像我们后面这个图也是如此，对吧？你把它折过来，我们重点关注被动心三角的话，我们可以看到它，可以看到它在这个题目中有没有出现等腰三角形呢？也有 a、 m、 n 这个三角形，它也是一个等腰三角形，对吧？因为是折叠，所以这两个角相等，又因为长方形，所以这俩角相等，也就是你会发现这个边和这个边在我们这个题目中一定是相等的啊，一定相等的关系的。这是我们刚刚在分析题目的时候出现的，也就是等腰三角形。等腰三角形这个结论，你要注意到 折出去才会出现折出去以后又重合的部分，它是一个等腰三角形啊。好的，那接下来咱们来看另五道题目，看这道题目是一个怎么样的考法啊？ 题目给了我们这样的一个矩形，告诉我们在矩形 a、 b、 c、 d 中， b、 c 的 长度是六条件，上图往上标啊，然后呢？将三，这个 c、 d 的 长度是三，我也标一下，这是三，折出去了，这也是三，好吧，翻折了嘛。然后点 c 落在了 c 撇的地方， dc 撇交 a d 于点 e， 问线段 d e 的 长度。好，这个题要求的是它的长度，这个题我们要怎么去做？首先我先问第一个问题，矩形加折叠，你会看到一个等腰三角形，谁你一定会看到一个等腰三角形，谁是不是一定会看到一个等腰三角形？ e b d， 这是我们在做题的时候，你要非常快反应过来的，折出去了重合的部分，这一部分就是一个等腰三角形，而且你要会正，对吧？其实就是一个倒角的关系啊，有一组相等的角，有一组平行而出的角，所以这俩角相等，这两个边相等就搞定了。 好，那接下来我们最后要求的是 d e， 要求的是 d e 的 话，因为我们刚说了折叠问题，我们要重点关注被动形三角，你折出去以后，你可以列成这个小三角形和这个小三角形，这俩三角形都是被动形三角，对吧？那么而且我们还刚刚知道了，要求 d e 就是 求 b e， 所以 在这个题里面，哪个三角形的关系更好找呢？其实很明显，我们要求 b e 的 话，不妨要求 b e， 就 就是求 b e， 不 妨把 b e 设成 x， 那么其实求谁都简单，因为我们整个 bc 的 长度是六，对吧？然后我们现在 cd 的 长度和 c 块 d 长度一样，都是三，所以这段的长度也对应的就是三，那只需要我们能把这个长度表示出来就搞定了，能表示吗？太能表示了， bc 是 六，这是和它相等的都是 x 嘛，所以这块就是六减 x。 所以 在我们目标的 只要三角形 a、 e、 b 中，你是不是又可以列出我们个五方程了，对不对？所以这块我可以得到，三的平方加上六减 x， 括号的平方应该是等于 x 的 平方的，我们直接去求解这个式子，结果就对应可以求出来了。在这我会算，算出来，九加上三十六，减去十二， 再加上 x 的 平方等于 x 的 平方。好，那你看一下，在这里面减少少一个 x 啊，减十二倍的 x， 那 么在这块你会发现，九加上三十六，他应该结果是多少？应该结果是四十五，对吧？所以就是十二倍的 x 等于四十五， x 就 等于两边同时同时除以十二，约取一个三 分子是十五，分母是四，所以 x 等于四分之十五。这个题我们就一步一步就算出来了啊。这种题目也喜欢在选择题里面去考察，这种题一旦出现以后，不要觉得它特别难。有的同学总是在做这种题的时候，没有一个大的方向啊，一看折叠，我整个人都乱了，所有的边乱去标。 当你有了一个方法指引你的时候，一想到折叠问题，我立马想，哦，要借助哪个三角形解决问题？这就是我们解析的一个逻辑和方向。好吧， 好，那接下来咱们来看例六的这道题。这道题目同样是一个和购物定律和实际问题相关的一个题型，越是这种题目，他的题干越长，说明难度越小。你一定要有这样的一个大的方向啊，就是题干越长，难度一定是越小的。为什么？ 为什么说题干越长难度越小？因为我们在做题的时候，题干长你一定会把更多的精力读在放在这个阅读理解上，那对应着我们在分析题目的时候， 他用的这个时间，题目本身的难度肯定就会相对相对降低。一道题目在出庭试题的时候，这道题大概一个学生做多长时间，他都是想好的啊。所以不要害怕读题。你看这个题读起来其实很简单，就一个河，河的一侧有个村，对不对？然后接下来告诉我们有两个取水点， a 点 b 点好，这是两个取水点，现在告诉我们的是 ab 和 ac 相等。注意注意， a、 b 和 a、 c 相等，不是 a、 c 和 b， c 相等啊， a、 b 和 a、 c 相等，这两个边是相等的。然后问我们说现在从 c 到 a 不 通了，然后为了方便村民取水，我新建一个 h， 让 a、 h、 b 这三个点在同一条直线上。然后呢， 修一条新路， c、 h 已知 c b 是 多少， c h 多少， h， b 是 多少，给了我们对应的长度，给长度我们就往上标， c， b 是 根号五， c h 这的长度是二， h b 的 长度这块是一好吧。嗯，然后呢，他说 c、 h 是 否是从村庄 c 到河边最近的路？ 村庄我们可以理解成一个点，把它抽象成一个点，那河边我们可以抽象成一条线，问我们 c、 h 是 否是 c 到河边最近的路，是不是就在问我们 c、 h 是 不是垂直于我们这条河边的这个线？ 他说白了，是不是让我们去正垂直的，对不对？那么通过计算加以证明，这个题考的是什么呀？考的是勾股定律逆定律，让你去证明垂直， 你只要能说明他的平方加他的平方等于他的平方，这个直角就证明出来了，他是直角三角形，所以变到直线垂直线段最短，这个题是不是就直接搞定了，对吧？所以在这块你会发现，一的平方加上二的平方刚好等于根号五的平方，所以第一问非常轻松就得到了。我们在做题的时候，同学一定要注意，不管在什么样的考试，除非是最后一道题， 就算是最后一道题第一问，你也一定能有一点能力把它啃下来一口的，对吧？所以不要看到题干太长，我就不愿意去读了。这种题如果考试剩的时间不多的时候，你这道题很轻松就可以把分数拿到手，对不对？所以我们由它可以得到三角形 c h b 一定是一个直角三角形对不对？这就是由勾股定律的逆令里我可以得到的，所以我们可以说白了，这儿是直角 d， 那 么我们由垂线段最短可以得到 c h， 就是 从 c 到河边最近的路就完事了。 接下来我们来看这个题的第二问啊，他说求新路 c h 比原路 c a 少多少千米呀？这个怎么办？那你现在说白了是我 c h 的 长度是已知的，对不对？我要能求出 c a 的 长度，我就能知道少多少千米了。有这个题的目标，我们要求 c a 求谁，我们的逻辑在构造定律里面，你求谁就可以去射谁，射它就是 x， 可以 吧？ 好，那么因为题干中上来给过我们一个 ab 和 ac 相等的这样一个信息，所以我会发现 ab 的 总长度这块的总长度它也是 x。 又因为我们刚刚在 h b 这里面是不是给了我们一个信息， h b 的 长度是多少？它的长度是一，所以这段的长度是不是就是 x 减一？你看又是一个看起来很复杂，但其实非常简单的问题，我们只需要去列个五方程就行了，二的平方加上 x 减一，括号的平方就应该等于谁啊？ x 的 平方去计算，我们就可以求出最硬，最后对应的咱们这里面 x 的 值了。我们不妨简单算一下啊，这块是四，加上 x 方减二， x 再加上一等于 x 的 平方，所以我们会求出 x 的 值对应是多少， 这里面我们 x 方 x 方两边没了，这边剩下二 x 二， x 等于五， x 是 等于二分之五的，对吧？然后这块的长度是二，所以你自然可以得到 c h 比原路少多少千米啊？那你是不是就是让 x 减去二，也就二分之五， 减去二等于二分之一，也就是新路比原来的路要少二分之一千米？这个题就完事了，注意结果，我们要写答案，要带单位，这个细节搞定。

同学们好，我是胡老师。今天我们来看这道二零二五年广东中考数学压轴题，从九张算数中的勾股数出发，让我们补全表格，发现规律，并用代数式表示，最后计算实际重化问题。这是一道典型的数学文化应用题，既考察观察规划能力，又考察几何建模。 下面我们分三步逐一解决。第一问，补全勾股数。表格中有一行十二十六，已知十和二十六，求中间数。由勾股定律十平方加 x 平方等于六百七十六， x 等于二十四，因此填二十四。 第二问，用韩字母的代数式表示所有勾股数，并证明。观察表格发现，每组勾股数都可以写成 m 平方减 n 平方，二 m n m 平方加 n 平方的形式，其中 m 大 约为正整数。 例如，三、四五取 m 等于二， n 等于一，得三四五五十二十三。 m 等于三， n 等于两，得五十二十三七二十四、二十五。 m 等于四， n 等于三，得七二十四、二十五、八十五十七。 m 等于四， n 等于一，得十五八十七，顺序可调。九十二十五。 m 等于四， n 等于三，得七二十四，二十五。不对，九十二十五是三倍，三四五及 m 等于二， n 等于一的三倍。 实际上，所有勾股数都可以表示为， k， m 平方减 n 平方，二 m， m 平方加 n 平方，其中 k 为正整数， m 大 圆或交换 a、 b 证明直接验证 a 平方加 b 平方等于 k 平方， m 平方减 n 平方平方加四 m 平方， n 平方等于 k 平方， m 加两平方米， n 平方加 n 等于 k 平方， m 平方加 n 平方平方等于 c 平方，符合勾股定律，且 b、 c 均为正整数。第三问，种花最少需要多少株？ 每个三角形最短边种二十一株花，即该边长等于二十米，因为二十一株花有二十个间隔。设三角形，三边为 a 等于二十， bcc 为斜边，且 a、 b、 c 为勾股数。要种花最少应选边长尽量小，即取 b 等于二十一， c 等于二十九，二十二十一、二十九是勾股数。 四个三角形拼成一个边长为 c 的 大正方形，中间一个小正方形，边长为 b。 呃，等于一。所有花的种在三角形的边上，间距一米，总花数等于图形中所有线段三角形边的总长度，加上所有顶点个数。因为每段两段有花计算的大正方形周长四乘二十九等于一百一十六米，内部小正方形周长四乘一等于四米，总边长一百二十米， 顶点共八个，大正方形四个，小正方形四个。所以总花数等于一百二十，加八等于一百二十八珠，因此最少需要一百二十八珠。这道题告诉我们，一、勾股数通解公式是初中数学的重要结论，记住形式并能证明。二、实际应用问题要转化为几何模型，利用边长关系求解 三种花问题中花数等于边长之合加顶点数，注意重叠部分不重复计数。我是胡老师，关注我，压轴题不再难，下期见！后续是详细解析和完整过程，同学们好好看看！

一道题，看看你的思维在什么层面？说，到了初二以后，我们会学一个知识点，叫做勾股定律，于是乎，我们就一定会做过这样的一个题 啊，说，直角三角形周长等于十六，那么斜边呢？这个家伙等于七啊，紧接着问，这个直角三角形的面积等于多少？那么大多数同学学完勾股定律这题应该怎么办？ 哎，我们的方法是不是设其中一个边长是 x 啊，然后整个周长不是十六吗？减掉这个七，还剩九，哎，再减掉这个 x 啊，那就是九减 x， 对 吧？于是乎，根据勾股定律， 我们就能得到斜边的平方，七的平方等于两直角边的平方和，也就是 x 方加上九减 x 括号的平方，然后再解 y 二次方程，那么这个问题自然就能解决了。哎，紧接着就会出现一个有人说，老师，我刚上初二，我还没学过初三的 y 二次方程，那这道题还能做吗？ 接下来毕老师给大家讲一个新奇的方法。大家在我们学勾股定律之前，我们会学一个勾股定律的证明， 怎么证明呢？用其中一个方法就是照创前途，所以我们不妨在这边再做出来三个一模一样的。哎，这个直角三角形出来， 这样的话，跟原来那个是不是整个大的就能拼成一个正方形啊？并且我们还能知道中间这个小的也是一个正方形，对吗？好嘞，那现在大家来看 说，既然你周长等于十六，这个边长等于七，那就意味着 a 加 b 等于多少？是不是等于九啊？哦，一个 a 加 b 得九，那这个 a 加 b 呢？还是九？同样的，这个 a 加 b 是 九，这个 a 加 b 还是九， 所以整个大正方形的这个周长，所以整个大正方形的这个周长，那就应该是，哦，四倍的 a 加 b， 对 吗？每一个 a 加 b 都得九，所以四九 三十六，那就意味着我们这其中一个边长其实也是 a 加 b， 对 吧？所以大正方形的一个边长，那就是九哦，于是乎啊，说，我这个 大正方形的面积就是九的平方，减去小正方形的面积，也就是七的平方，然后再除以什么四，因为你们四个刚好都全等一下子就解出来，根本不需要一元二次方程。 相信讲到这，有些同学就会感慨了，表示这个几何方法真的是好巧妙啊，豁然开朗，是吧？大家，你有这个感觉的时候，你比别人的水平就会更高一些，但是请你更上一层楼。 各位说，这个想法真的很难想吗？啊？真的就那么神奇吗？我代数的方法难道就没有巧妙的吗？一样有。大家，其实这个家伙，这个方法本质上是怎么来的？就是根据代数中伟大定义求对式。什么意思？你一起来看 说，我是不是已知 a 加 b 现在等于九，然后我们又已知勾股定理哈？啊， a 方加 b 方等于多少呢？哦，等于七的平方，也就是四十九， 是这道理吧，那我现在想求什么呢？其实我们代数上想求的是不是就是二分之 a 乘 b 得几啊？那 a 乘 b 怎么来啊？哦，已知 a 加 b， 还知道 a 方加 b 方，是不是用我们的完全平方公式啊？我只要把一式两边完全平方，对 吗？啊？左边展开，那就是 a 方加 b 方加二 a b， 所以 左边相减呢，多了一个二 a b， 右边呢，九的平方减七的平方哦，所以二倍的 a b 等于九的平方，减七的平方，那么二分之 a b 呢？那就是四分之一倍的九的平方，减七的平方跟你几何方法列出来这个 一模一样哈。所以讲到这，大家真的把数学学通了吗？所以老师给大家总结一下啊，就是有很多同学老是觉着，哎，我必须做很多很多特别难的题，才能打通我的数学思维，真的不是各位 简单的题，往往我们也能学出来不同的效果，这真正学透是更重要的。那接下来毕老师就给大家分享一下。在老毕讲课中，经常会跟同学讨论什么叫做学会，学会一共有四重境界，第一重境界就是你知道了 一个东西叫勾股定律，你知道了你就能把这个列出来，但是这个东西能不能解，那还要看你是否知道。另外一个知识点，叫做一元二次方程，对吗？啊，所以知道只是一个层次， 第二个层次叫又快又准，又快又准，其实也就是说这个知识你已经熟练掌握了，对吧？比如说二元一次方程组拿一个你就能解，你已经熟练掌握了，就能到这个层次。第三个 你已经学会了举一反三了，举一反三的时候你就会见识更多的题型，这一个勾股定律的各种各样的考法你都见识过，但是， 哎，这样的话，你就会把书读的越来越厚，见识越来越多，彻底打开自己的思维了。但是真正厉害的叫做大彻大悟， 大彻大悟是把一个厚的书给他读薄，因为所有这些东西在本质上往往是相通的，所以一道简单的购物定律，大家你真的学会了吗？

好了，看一下广东省二五年的二十二题，这道题呢，是一个关于勾股数的题，第一问是送分的，但是第二问个人认为就出的比较有问题了。第二问是让你去找出勾股数的规律，这个其实超出了咱们中考对勾股数的要求， 中考需要你掌握常见的勾股数，并且呢，会利用他们的倍数进行勾股定律的快速计算， 你会到这个程度就 ok 了。从来没有要求过你掌握勾股数背后的规律，这个就属于是课本上也几乎没题，学校老师呢也不会带大家练，平时呢更是很少遇到，但是突然就考了一道这样的中考题， 那我觉得这种题就没有太大意义了。这个规律呢，前人确实有正过，最早的完整证明呢是几何原本里面欧几里德正过， 但是你在没有见过这个结论的前提下，你想在考场上直接把它挣出来几乎是不可能的。 你哪怕给个数学老师，他不知道这个结论情况下，你让他现挣，他也挣不出来。而且这个题的描述还很不清楚，他就只说用含字母的代数式表示 abc 用几个字母也没有说清楚。这种题在中考范围内考的极少， 所以呢，你想用这个题的做题经验指导你去做别的题，也没有太大意。所以我的建议就是，如果是为了背靠中考， 那么这道题直接 pass 出的太偏了，你看一眼的价值都没有。但如果你是说你现在学的已经挺好了，想出于兴趣去了解一下，那你可以去看一看。自己在平台上搜索这道题，已经有很多老师讲过了，接下来干啥呢？我们把第三问讲一下啊。第三我觉得还挺有意思， 第三问告诉我们说有四个全等的直角三角形，现在呢，要在这些三角形的边上种花。种花的时候呢，有两个要求，第一个， 每个顶点处种一朵花。第二个，相邻两周花之间的距离是一米。来，我们来先感受一下啊。 首先四个三角形都全等的话，那我研究其中一个就 ok 了，对吧？因为剩下的跟它都一样。那研究其中一个的时候，如果三角形的顶点都要种上花， 中间种花的时候呢，间隔又一定是一米，那我们会发现，其实它隐藏的一个信息就是直角三角形的边长一定是什么？间隔永远是一米， 花的数量是整数嘛，对吧？那间隔永远都是一米的，这个边的长度就一定是整数，那每条边都是这样的，每条边都是整数，同时又是直角三角形，那说明啥呢？说明这个三角形的三边是要满足勾股数的，勾股数就是满足勾股定律里全是整数的数字组合嘛。 哎，所以呢，你会发现他这两句话里是包含了这么一个引申，意思，就跟咱们前两问的内容产生联系了。然后接下来呢，他告诉我们说，四个全等的三角形，最短边都种二十一株花， 问你全部种完最少需要多少株花？问花的最小值。那咱们研究一个几何图形的问题， 我们只研究过什么最值呢？研究过线段的最值，角的最值，延伸一下周长的最值，面积的最值，但是从来没有研究过 上面种几朵花花的最值，花的最值不会研究，所以你得把这个花的最值转化成你熟悉的问题啊，那这个其实很容易转化，你会发现花的数量 其实跟这个线段的长度是有固定关系啊，这个有的小伙伴小学奥数学过，叫什么指数问题，对吧？那这里呢，我们把这个规律简单的复习一下，比如说这有一条线段，我举个例子啊，在它的上面呢，我们种了六束花， 每株花之间间隔都是一米，那你会发现这个线段的长度就是几米呢？线段的长度就是五米。其实这时候你已经能看出规律啊，应该就是花的数量减一等于线段的长度。但是不放心的话，你再看一个例子，你看在这个线段上的一二三四五六七八。哎，我种了八株花， 同样是间隔一米，相当于是全长是个七米。我随便举两个例子去一看这个花的数量跟线段长度的关系就知道了。总结一下就是，如果线段上有 n 珠花，那么对应的长度就是 n 减一米。 这个规律知道了以后，那二十一珠花其实就对应二十米，它是这个直角三角形的最短边。那接下来我就根据这些条件，想办法求三角形周长的最小直角形了， 周长最小值有了中多少注画你也就知道。那当然了，这里呢，因为四个三角形都是全等的，所以我只研究其中一个就好了，只研究其中一个就好了。而你会发现，我们刚刚说了，他的每条边都是整数的话，那他肯定要满足什么呀？ 肯定要满足勾股数嘛，而且呢，最短边锁定了是二十，所以接下来我要去看他满足哪些勾股数，那我肯定找跟二十有关的，而且是最短边是二十的。那回到那张表，我们来看一下啊，常见的勾股数里面跟二十有关的，哎，首先直接看到了一个单二十的 最短边二十，另外两边二一二九。然后呢，接下来再继续看，哎，好像没有别的最短边是二十的了，但是有跟二十相关的，比如说这里的这两组勾股数，他的最短边是五，你给他的每条边都乘个四，依然是勾股数，那么最短边就是二十了， 这个呢，十乘二，每条边都乘二，那他也是一个最短边是二十的勾股数。但是人家题目要求的是最后你周长要最短，所以你稍微去算一下，你会发现，这三组里面想要周长最短，最终你还是得选这个。哎，于是呢，我就知道了，在满足勾股数的情况下， 最短边如果是二十的话，他的另外两条边就是二十一和二十九，哎，我就相当于把长度给他弄明白了。而长度有了以后，我们要研究的是花的数量，那花的数量呢，我们来看一看啊，二十米，咱们刚刚知道是种二十一株花， 相当于是长度加一是花的数量，那二十一米的话就是二十二株花，二十九米的话就是三十株花。 哎，所以呢，简单的一算就是二十，一加二十，二加三十是七十三株花乘个四，答案出来了，对不对？哎，注意，这里是有问题的啊，因为你看啊，我们在计算这个花的数量的时候呢，是看的每一条线段， 那你会发现这条线段上算出来二十一株花，其实是考虑了上下两个端点的，那么接下来长直角边的二十二株花，你会发现 也考虑了线段的两个端点，但是左边这个端点跟刚刚的相当于就重复了。所以呢，算这条边的时候呢，你得注意给他减个一 八的数量，要减个一。然后接下来呢，算这个三十株的边的时候呢，你会发现他的两个端点在前面都已经算过了，那这个三十株里面相当于多了个二，所以他得减二，整个最后相当于整体减个三啊，算出来一个三角形最少是用七十柱，换成个四就是二百八十柱。 好，这个题就结束了，这个题相当于是把一个小学奥数里面的值数问题跟咱们的勾股数去做了一个结合。这第三问出的我觉得还挺有趣的，但是第二问实在是太拉了 啊，考的偏不说啊。然后呢，这个东西在考场上也很难在没有提前储备的情况下现推出来，那这个题就是为了中考，以中考为目的，就没有任何研究的价值了。好了，就说到这。

什么都胡说，根本不用算，也不用死记硬背，全程只需要记住一句口诀，七数平方写连续欧数，方方加减一。这话到底是什么意思？举两个例子带你吃头。先看七数，五五的平方等于二十五，拆成两个连续自然数就是十二和十。

这道题堪称勾股定律的天花板，能做对的同学屈指可数。那学校也学过 a 方加 b 方等于 c 方，但是很多同学发现没法用，是吧？好，那今天彭老师教你一招，一垂直两勾股，直接就能搞定。他说，如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，角 c 是 九十度， a、 b 等于根号六十一， a、 d 等于根号三十四， b、 d 等于三，要求 a、 c 的 长。好，那你仔细观察，你发现这里有一个直角角 c， 那 么直角角 c 就 产生了直角三角形 a、 b、 c。 同时你还发现还有一个直角三角形，就是三角形 a、 d、 c， 所以 一个垂直产生了两个直角三角形， ok， 那 这两个直角三角形有一个公共边 a、 c， 那 我就可以利用 a、 c 不 变列个关系就能搞定。那这个呢，叫一垂直两勾股，就是利用一个垂直，那用两个直角三角形，用勾股定律直接表示 a、 c 就 能搞定。来，咱试一下，那你要表示 a、 c 的 话， 那 a、 c 的 平方在这个大的直角三角形里面，是不等于 ab 的 平方减去 bc 的 平方。 但是呢，这个 b、 c 的 平方啊，只知道这一段是三，不知道这一段怎么办呢？你就可以假设这一段是 m， 可以 吧。 那在这个大的直角三角形里面，那么 a、 c 的 平方，它是等于什么呢？是不等于这条边根号六十一括号的平方减去这条边是 m 加三括号的平方， ok， 那在这个小的直角三角形里面，你也可以把 a、 c 的 平方表示出来，它就等于什么呢？根号三十四的平方减去 m 的 平方， ok， 那 就是根号三十四括号的平方减去 m 的 平方。 那好办了， a c 的 平方等于它， a c 的 平方也等于它，那马上就能得到这两个式子相等吧。好，那上面这个式子我把它展开哈，那就是六十一减去 m 的 平方，减去六 m， 再减九， 等于他俩相减，那就是三十四减去 m 的 平方。 ok， 那 左边的负 m 方和右边的负 m 方刚好能抵消，那就能得到负六 m 移过去就是六 m 等于六十一减九。把三十四移过去，减三十四。好的，那算出六 m 等于左边是十八，那 m 就 等于三。 ok， 那 算出这条边是三。 但这题没做完，人家还要算 a c 的 长度，那怎么办呢？我把 m 等于三，带到这里面去吧。那这个就等于三十四减去三的平方九， 那三四减九等于二十五，那也就说 a c 的 平方等于二十五，那你说 a c 等于几？二十五就行了。好，所以大家以后看到一个直角， 然后呢？构成了两个直角三角形，那我们就可以用这个方法，一垂直，两勾股，把 a、 c 的 平方在两个直角三角形中把它表示出来，然后列个关系就搞定了，你听懂了吗？下课。

勾股定律，这呢有八大必考题型，其中有一类呢，就是勾股定律的折叠问题，这道题呢，百分之八十的同学没做出来，咱们一起来看一下这道题。输入图在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于八，这是八， 那么 b、 c 等于四。将矩形沿着 a、 c 折叠，使得点 b 落在 b 撇处，那么求重叠的部分三角形 a、 f、 c 的 面积。 好，你看啊，那这个三角形的面积怎么求？就是二分之一的底乘高，那它底是谁呀？它的底就是 c、 f 嘛，那它高呢？就是 a、 d 嘛。 所以三角形 a、 f、 c 的 面积就是二分之一，乘以 c f 再乘以 ad 好 了，那么 bc 是 四的话，那 ad 也是四吗？所以它的面积就是二分之一，乘以 c、 f 再乘以四吗？就是二倍的 c f。 也就是说，我要求这个三角形的面积，我只需要求出 c f 就 行。好，那么要求 c、 f， 我 就设 c f 为 x 好 了。你看啊， c、 d 和 ab 平行，两直线平行内错角相等，那么这个角的内错角 是他，对吧？所以这两个角相等。那题目又告诉我们说，这个三角形翻折之后，是不是到了这个位置，那么翻折前后的两个角是相等的，所以这两个角 也是相等的。好，你看，如果我把这个记作角一，那么角一等于角二、角三，所以角一和角三相等， 那也就是说这个三角形 a、 f、 c， 它是一个等腰三角形，所以这是 x 的 话， a、 f 也是 x， 那 么 ab 是 八的话， cd 也是八，所以 df 就是 八减 x 好了，你看啊，这是一个直角，那么在直角三角形 a、 d、 f 中，根据勾股定律，我是不是可以列一个方程，就是四的平方加上八减 x 的 平方等于 x 的 平方， 所以十六加上一个六，十四减十六， x 再加 x 的 平方等于 x 平方，那么左右两边的平方是不是给消掉了？所以十六 x 等于八十，那么 x 等于五， x 等于五，也就是 c f 是 五，所以这个三角形的面积就是十。那今天的这道题目大家听懂了吗？ 听懂的话，再把我整理的这套勾股定律必刷八大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题。

七种方式证明勾股定理。我们可以从一个直角三角形开始设，它的三边长分别为 abc。 接着我们可以画出一个边长为 a 加 b 的正方形。可以看出，将画出的三角形旋转放入正方形中， 未覆盖面积就会形成一个边长为 c 的正方形，也就是说，中间正方形的面积就是 c 的平方。我们还可以通过移动和旋转三角形，将同色三角形组合成两个不同的 a 乘 b 的角形。 现在正方形中的未覆盖面积由两个边长分别为 ab 的正方形组成，因此未覆盖面积是 a 的平方加 b 的平方。综上所述，我们可以得到一个等式，这个等式是数学中非常重要的一个定理，他描述了直角三角形中三边之间的关系，他就是 功定。 先做出直角三角形，设定边长为 abc， 以直角三角形三边作为边长，绘制正方形，正方形面积分别为 a 的平方、 b 的平方、 c 的平方。我们要证明勾股定理，只需证明大正方形面积等于两个小正方形面积相加之和即可。 将中间直角三角形向上平移，正方形地一分为二，将剩余部分用七巧板拼图的方式拼接， 如此我们便能从图像中看到面积相等的关系。证明勾股定理。 我们先绘制一个边长分别为 abc 的直角三角形，然后把个边分别乘以 c 绘制图像，再把小三角形边长分别乘以 ad， 绘制出来图的直角三角形。我们再想三个直角三角形拼在一起， 也可以得出以下公式，证明勾股定理， 画出一个直角三角形，复制得到第二个完全相等的三角形，连接形成一个梯形组合体，证明梯形面积等于三个三角形相加的面积。化解公式可以得到勾股定理的表达式。 这种证明需要用到圆的切割线定位。首先画出圆圆的中线和由切线做出的直角三角形。 由切割线定理可得出线段长度相等化简得出勾股定理表达式。 此方法我们要用到托勒密定理来证明勾股定理。首先我们要了解托勒密定理的内容。绘制出圆及其内接四边形可以得到以下结论，由此我们在圆内绘制出一个直径约为斜边长的直角三角形，并将其布置在圆内，形成与圆相接的四边形。由托勒密定理可证明勾股定理。 先绘制长方形纸板，在纸板上绘制出边长分别为 a、 b 的正方形。按照图形连接个点 沿边将纸板剪成两个对称的形状，上下翻转，右边图形合并后中间形成新的图像，由此可以变出以下图形，化简正德勾股定理。

勾股定律，这呢有一类必考的题型就是勾股数，这棵树呢，有一个非常重要的结论，掌握这个结论的话，那么选择填空里面碰到这类题目可以直接出答案， 那今天的视频呢，李老师就教下大家这个结论怎么来证明。来，咱们看题，如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， 已知 s 一 等于一， s 二等于四， s 三等于三， s 四等于十二，那么求 s 等多少？好，同学们，那我们来观察一下这个图形，你看它的最下面是一个正方形， 对吧？那么这个正方形呢，我是不是可以看成是一棵树的树干，然后呢，它可以向上无限的再去叠加正方形，那么叠加的这些正方形是不是可以看成是树枝， 所以这样的图形呢，我们就称为毕达格拉斯树，又称勾股树。 那么勾股数有一个什么样的结论呢？就是勾股数上每一层的正方形面积之和，等于它下面一层的正方形面积之和。好，那假如说我现在把这个记为 s 五 和 s 六，那么你看它最上面的一层是 s 一 加 s， 二加 s 三加 s 四，对吧？那么它下面的一层呢，就是 s 五 加 s 六。好，那它下面的一层是 s， 所以 s 五加 s 六还等于 s， 那么这个结论是怎么证明的呢？咱们来看这个图，你看 s 一 等于，也就是说这个正方形的面积是一，那么面积是一的话，它的边长 也是一。好， s 二等于四，也就说这个正方形它的面积是四，面积是四的话，那它的边长呢？就是二， 对吧？好，那假如说我把这个正方形把它的面积记作 a 好 了，那你来看一下， 这是一个直角，对吧？这是一个直角的话，那根据勾股定律，是不是有 a 方就等于一的平方，加上一个二的平方，就等于一加四。 好，那么 a 方是谁呀？就是这个正方形的面积，也就是 s 五，那么一加四是谁呀？就是 s 一 加 s 二，所以 s 五等于 s 一 加 s 二。 好，那我们再来看这，你看 s 三等于三，也就说这个正方形面积是三，那么它的边长就是根号三。 s 四是十二，也就说这个正方形的面积是十二，那么边长就是 根号十二。好，那在这呢，为了方便大家去理解，那这个根号十二呢？我就不化简了。那假如说我把这个正方形的边长，我用一个 b 来表示， 你看这也是一个直角三角形，对吧？那么根据勾股定律，就有 b 平方等于根号三的平方，加上根号十二的平方，也就是三加十二。那 b 平方是谁呀？就是 s 六吗？ 那么三加十二的话，就是 s 三加 s 四， s 六等于 s 三加 s 四， 所以 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四就等于 s 五加 s 六。好，那么同样的方法，哎，我还可以证明， s 五加 s 六就等于 s， 你 看 这个结论是不是就出来了？那我们现在要求 s s 就 等于一加四加三加十二，就是二十。 那今天的勾股数大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套勾股定律必刷八大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题。

今天呢，我们来聊一个史上最简单的个股定理的证明，简单到什么程度呢？比如我们拿到这个直角三角形，我们只需要做一个 d e 垂直于 ab 作为辅助线，就已经完成了证明。感兴趣同学啊，可以点一下展厅想想为什么。那么咱们在证明之前呢，咱们看一下必达格拉斯他老人家是怎么做的， 他呢就是在三角形的三边外呢，做了三个外接的正方形，然后呢通过一系列几何变换，他发现一个横等式就是有 s 一加 s 二等于 s 三， 第一呢是等地方，第二呢等地方还是三等等。那么今天呢，咱们不关注他几何变换的这些细节，我们关注的是他这个方法能不能做一些拓展，比如说呢，咱们外接一个其他的图形，能不能用来证明个五定里呢？比如说咱们外接一个等边三角形， 这时候呢他们分别的面积公式呢，变成了 s 一等于二分之一乘以底乘以高，咱们化解下四分之根号三倍那种，二三呢等于四分之高，三倍的 b， 二三呢等于四分之根号三倍的 c 方。这时候我们如果也能通过几何变换发现 s 一加 s 二等于 s 三的话，就有四分之个好三倍的地方，加四分之个好三倍的地方等于四分之个好三倍的地方。据说咱们的系数是可以消掉的，消掉系数之后呢，就剩下了咱们的勾股定理，也就是说呀，咱们卖街这个三角形也是可以用来证明勾股定理的。 那么同理呢，咱们更复杂的图形其实也是可以的，比如说变成半圆，比如说变成多变形，他区别只是系数发生了变化，并不影响最后等式的成立。有了这样的认识呢，咱们自然会想，哎，既然你在借什么图 都可以，你当时外接这个正方形是不是最好的办法？所以呢，咱们想到，哎， 直角三角形有一种特殊的性质，他呢做一条斜边上的高线，会把三角形啊分成三个互相相似的直角三角形。这时候呢，咱们把他们三个做一下对外的翻折，你就会发现他们三个是可以充当外接的这种图形的。 这时候咱们的问题就变成了老问题，你能不能证明 s 一加 s 二等于 s 三？如果你能证明个股经理就得到了证明，这图形本身结构当中就已经蕴含了 s 一加 s 二等于 s 三这个事。因为什么呢？因为切割成了这两个小三角形呢，正好填充了大三角形。

你敢相信广东中考最后的大题居然是人人都背过的勾股定律，你还记得怎么证明吗？