重庆中考大题的几何图讲解

重庆八中二十六届九项定时奇几何大题。

几何压轴，几何证明的技巧。大家好，今天这个视频是这个系列的第二个视频，我们今天将要分享的是今年一中初三下学期的期中考试题， 我们一起来看一下。说 a、 b 等于 a、 c， a、 b 等于 a、 c， 我 们直接看第二问，第一问我们不看，第一问一般比较久。 然后 d、 e 呢？在三角形 a、 b、 c 所在的平面内角 d、 a、 e 就是 这个角等于角 b、 a、 c 的 二分之一。 好来看，要问他说角 d、 a、 e 等于六十度，那这个角是六十度，那就意味着 b、 a、 c 是 等于一百二十度的，那所以等腰三角形 b、 a、 c， 它的底角应该就是三十度。 再来他又说 a、 c、 b 加角，这个 a、 d、 b 等于九十度，那是不是就意味着是让这个 a、 d、 b 啊，实际上是六十度？ ok， 让我们去猜想 a、 e、 a、 d 和 b、 d 之间的关系。 好，看过我第一个视频的同学应该就知道，我们有三种思考的方向来进行相互的交叉印证。首先第一个就是最基础的，大家应该都能掌握到的。 通过测量我们可以得到 a、 e， 它大概是零点七， a、 d 呢是一点八五，而这个 b、 d 呢，是零点四左右。 那么如果我们只依赖于测量，能不能从这三组数当中凑出它们之间的关系呢？这个实际上不太保险，是有错误的可能性，因为这个测量是有误差的，他不可能精确的推到上，所以你仅仅依赖于测量的话，是有可能会犯错的， 因为二倍和根号三倍，你没有办法啊，很精准的区分，因为你测量是误差的，那么二分之三，根，根号二倍呢？这两个是不是也很， 所以呢，我们还需要其他的方法来交叉的印证，那么我们所介绍的第二个方法就是看特殊的角，对吧？这个题当中你看出现了 d、 a、 e， 它是六十度， 那六十度的话，它可能会出现根号三倍，对不对？根号三，那会不会是 a、 e 乘上根号三，再加上 b、 d 啊？加起来好像差不多是一点八五，会不会是这个样子的呢？我们不能这么快的去下决定， 因为有特殊角，只是说它可能是那个特殊的对称关系，但是无法确保，所以我们还需要三个思考的话，那就是特殊点。 我们可以看到 a、 b、 c 这个等腰三角形是固定的确定的，而这个 d 点呢，它是个动点，那么现在我就让 d 点处在特殊的位置，比如说 d 点就在 d 点处，我们把这个图画到这边， 现在 d 点就在 d 点，而 d、 a、 e 等于六十度，那是不是意味着其实这个 e 点呢，又是 b、 c 的 空点，就是垂直？好，这个时候你再来看，呃， a、 e 相当于 是有长度的， a、 d 呢是有长度的， b、 d 呢？等于零了，现在只剩下 a、 e 和 a、 d， 那 很明显它们是两倍的关系，对不对？它们是两倍的关系 好，那如果地点不在特殊位置呢？就比如说我们刚才测量出来的这个时候， a、 e 是 零点七， a、 d 是 一点八五， b、 d 大 概是零点四，好，那你想二乘零点七就是一点四了吗？ 对不对？它加上这个 b、 d 的 零点四是一点八，跟这个 a、 d 就 非常接近了，对不好？所以我们就猜测出来它们之间的关系应该是 b、 d 加上两倍， a、 e 等于 a d， 并且我采用三种方式啊，我去交叉印证，确保这一定是正确的。 我们写一下 e、 d 加上两，并且我们发现这个题，你看它出现了特殊的角度六十度，但是没有出现根号三，看到了吧？这就是个例外啊，这就是个例外，我们要防止这种例外，就要用三种方式进行相互验证，才能保证你的结果。 那现在咱们就要证明这个关系式，我们怎么去证？从哪里入手呢？入线我们怎么去做？我们来看一下啊，我们可以这么来思考，这个三角形 b， a、 c 是 一个等幺三角形，它的顶角是一百二十度，对不对？ 我们是不是可以去尝试想一想，因为手拉手当中两个相似的就是三角形，对不对？ 我们去构造手拉手，而这个 d， a、 e 是 等于六十度的，它恰好是不就是一百二十度的一半？所以呢，我们可以基于 a、 d 这条边去构造手拉手啊，去构造另外一个等腰三角形，菱角是一百二十度的等腰， a、 d 是 其中一个幺，那另一个幺是不是应该在这边？大概是这个样子的， 我们把这个点叫做什么点？ 我们把它叫做 m 好。 d， a， m 呢？是等腰三角形，并且顶角是一百二，我们把这个底边 连起来好，而这个 d， a、 e 它是不是六十度？所以 a、 e， 它肯定是三线合一，它是高啊，我们把它延长出去啊，顺便就延长出去到底边上会叫作 倒来看一下，我们做出 d， a， m 是 一百二十度，并且 a、 d 等于 a m， 所以 我们就有手拉手， b， a、 b 和 m， a、 c 是 相等的，所以这个时候 b、 d， b、 d 就是 b m 的， 我就把 b、 d 转过来了。好，然后我们还可以发现什么呢？就是在直角三角形 a、 n、 d 当中啊，这个肯定是 谁知道这个 a、 d 和 a n 它天然就有两。换句话说，我们可以把 a、 n 转化成二分之一，它的二分之一倍就变成了 ad， 转化成它的二分之一倍就变成了 a n。 也就是说我们可以把这个表达式转一转，把它都除以二来变成二分之一 b、 d 加上 a e 等于二分之一 a d， 而这个二分之一 a、 d， 它就可以变成 a n。 好， 也就是说我们要证明这个二分之一 b、 d 加上 a e， a， e 是 a n 上面的等于 a n， 对 吧？那是不是其实就是要去证什么？其实就是要去证明这个 a、 e 等于二分之一。我们来看一下 a、 e 等不等于二分之一。 前面我们得到 a、 d， b 和 a m， c 是 全等的啊，全等的话是除了边相等，是不是还有角相等？所以这是 六十度，而这个角是三十度，我们得到 c， m， n 是 九十度。所以 mc 和 a n 是 平行的，并且 n 点是 md 的 中点，所以 ne 就是 中位线， ne 就 平行且等于二分之一， mc， 我 们就挣到这二分之一关系了，这就搞定了这道题。 好，我们具体的来写一下辅助线写详细一些，证明过程写简单一些。哎，我们过 a， 过 d m， 连接 md， d， m 延长， 这就是出现。然后根据手拉手，我们可以证明三角形 a、 d， b 全等于 b m、 c， 这个可以用 s d， s 正好了以后，好，然后我们去证明 m c n e 的 m c 平行于好，然后我们可以得到 m c 二分之 m c 平行，且等 a e a e 是 同一线，所以我们就可以得到这个 a e 呀，等于 就是这个二分之一 a d 等于 a n， 对 吧？ a n 呢？等于 a e 加上 a e 好， 就等于 a e 加上二分之一 m c， 而 m c 等于 b d， 也就得到 a e 二分之一。这道题我们就证明好了。那对于这道题的话，我们首先猜测关系，我们结合了三种，一个是测量，一个是特殊角，一个是特殊点。定下这个关系，我发现虽然出现了六十度，但是没有出现根号三倍， 这个题特别要注意，没有。然后第二个就是证明的这个思路构造， 这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

几何压轴几何证明的技巧。大家好，今天这个视频是这个系列的第四个视频，我们今天将要分享的是今年南开初三下学期的月考题。在正式讲解之前，我们先来看一个动点问题，这个是比较常规的一个动点问题， p 点是直线 l 上的一个动点， a 点是一个固定点，连接 ap， 将 ap 绕着 p 点顺时针旋转九十度， 就得到了 p q。 问，这个 q 点的轨迹是什么？根据瓜豆原理，主从相似， p 是 主动点，直线，它的轨迹是直线， q 点是从动点，所以往往它的轨迹跟主动点的轨迹是相似的，也是直线，那我们如何去证明呢？ 啊？我们做第三问的时候，如果这个动点问题出现在第三问，我们是不需要证明的，只需要用结论啊，那我们如何去证明 q 点的轨迹是一条确定的直线呢？在这里我们可以这么来思考，我们连接 a q 好， 然后 p 点，在运动的过程当中，我们发现直角三角形 a p q， 它是在绕着 a 点在旋转，并且有缩放，对吧？ 好，那如果说你看到旋转跟缩放，那我们可以去尝试想一想能不能够造手拉手，因为我们在第一个视频当中讲过手拉手，他从图形变换的角度来看，他就是旋转和缩放，对吧？为了构造手拉手，我们需要去确定一个特殊的动点 啊，这个动点 p 点，我们可以确定一个它的特殊的点，比如说我们就找它在这里的时候，这个 p 点 恰好是这个 b 点啊，这个 b 点呢，是过直线 a 做 l 的 一个垂线段的一个垂足。好，那这个时候如果我们把 b a 绕着 b 点顺时针旋转九十度，这个 a 点就跑到了这个地方。 好，我们把它叫做 c 点，我们是不是就有了一个直角三角形 a、 b、 c。 好， 然后你来看一看直角三角形 a、 b、 c 和 a、 p、 q， 它是不是就是相似的，并且是绕着一个公共的点 a 点旋转的啊？所以它是旋转说法 啊，可以构造手拉手，可以构造手拉手，那么我们就能够得到这个三角形 a、 b、 p 和这个三角形 a、 c、 q， 我 们把它涂一下， 它是相似的啊，三角形 a、 b、 p 相似于三角形 a、 c、 q。 好，然后呢，我们就可以得到这个角度是九十度。好，因为 a、 c、 b 是 四十五度， a、 c、 q 又是九十度，所以这个角它自然就是四十五度，并且 c 点是一个确定的点，是一个固定的点 啊。 b、 c 就 等于 ab 吗？ ab 是 固定的，是确定的，所以 c 点是一个确定点啊。 q 点呢？是不是刚好就在 c、 q 这条直线上？ 所以你看，我们就证明了 c q 这条直线，它是过一个固定点的，倾斜角度是四十五度的一条直线，是一条确定的直线，所以 q 点的轨迹就是一条确定的直线，就是 c q 这条直线，我们就证明好了啊。好，那我为什么要讲这一个很简单的模型呢？ 因为我们在这个题当中，我们证明第二问的时候要用的，我们来看一下 好，这道难开的题。直角三角形 a、 b、 c b， a、 c 等于九十度，这个是九十度，我们第一问，我看啊，我们直接看第二问的证明。 好，他说将 a、 c 绕着 a 点顺时针旋转九十度得到。呃，将 a、 c 绕着 c 点，逆时针旋转四十五度，得到 c、 f， 然后和 a、 b 延长线相交于 f， 对 吧？那就意味着这个 a、 c、 f 这样是一个横腰直角三角形。好， b 点呢，是 b 点在这啊，然后把 c、 b 绕着 b 点，逆时针旋转九十度得到 b、 d， 啊，得到 b、 d， 那 这两条线段就是相等的，这个也是九十度。 好，让我们去证明什么呀？二分之根号二倍 c、 e 加上 ab 等于 ac， 我 们来看一下这条线段 啊，很明显 a、 c 和 af 是 相等的，所以呢，我可以把这个 a、 b 一个向移到右边来，用 a、 c 减 ab， 那 首先就是 af 减 ab 等于 f b。 好， 我们就要证明这个 f、 b 等于二分之根号二倍 ce。 现在我们就转化了，我们只需要证明 f、 b 等于二分之根号二倍 ce 就可以了。那我们我们怎么去证明呢？我们来看一下。哎，如果说你换一个角度来看待这个图形的话，你就会豁然开朗。首先 a、 c、 f， 我 们认为它是一个确定的横腰直角三角形 啊，而这个 a、 c、 d， 大家看一下这个角度，它等于 r 法，我们是不是就可以认为其实这个 b 点它是 a、 f 上的一个动点？ 好，然后呢，把 c、 b 绕至 b 点，逆时针旋转九十度，得到了 b、 d， 我 就得到了另一个洞点 b、 d 点是由 b 点来生成的啊，如果你这样子看待的话，这个是不是就变成了一个 洞点？问题，这个 d 点的轨迹肯定是一条确定的直线，但问题是现在我们做的是第二位，不是第三位，我们需要去证明它的轨迹是一条确定的直线，需要证明这么一件事情的，对不对啊？ 好，那我们是不是就要用之前讲的那怎么去证明呢？构造手拉手，对不对？构造手拉手啊，假设我们这个动点 b 点，我就放在一个特殊的点 f 点这个地方，放在 f 点这个地方 啊，好，那么我把这个 c f 绕着 f 点逆时针旋转九十度，是不是会得到这个？我换一下，逆时针旋转九十度，那这样 好，我们叫这一个点呢，是 m。 好， 那你看一下，现在这个 c f m 是 不是等于二直角三角形，然后 c b、 d 呢？我们把它连起来啊， c d 连起来也是等于二直角三角形，是不是就是手拉手的模型了啊？然后很明显我们就可以得到 c f b 和 c m e， 这是相似的，并且相似比是根号二倍，所以这个 f b 就 等于根号根号二倍的 f b， f b 就 等于 dm 啊， dm 就 等于根号二倍的 f b。 而我们要正的是什么呢？我们要正的其实是根号二倍 f b 等于 c e， 你 看这里它是不是可以化成根号二倍 f b 等于 c e， 对 吧？现在根号二 b， f b 等于 dm， 所以 我们要去证明 dm 等于 c e 就 可以了，对不对啊？根据刚才的相似，我们可以得到这个角度和这个角度相等，所以是四十五度啊，而这个角度呢， 是四十五度，所以这个 dm 和 cf 是 平行的啊。好，我们怎么来证明 c e 和 dm 相等啊？因为 c e 和 dm 平行，那是不是很明显了？现在就要证明这两个八字形的三角形是全等的， 这个很好证明啊，因为 c e 和 d m 平行，并且 a 点是 c m 的 中点。好，那所以我们可以证明这两个全等啊，用 a， a， s 就 可以证明他们全等，我就得到了 c， e 就 等于 d， m， 那 这个问题不就中完了吗？对吧？好，我们简单的来写一下， 或 f 或 f m 平行于 c， f， 交 c， a 延长线于 m 连接啊 c， d， e， m。 首先我们根据手拉手，我们去证明三角形 c， f， e 相似于三角形 c， m， d。 啊，好，并且得到相似比是根号二，所以我们可以得到这个 e， m 等于根号二倍 f， b， 对 不好？然后呢，我们还能够证明 c， e 是 平行于 d m 的， 所以呢，那个八字形全等就很容易出来，三角形 a， c， e 就 全等于三角形 a， m， d， 这个可以用 a， e， s 来整好，然后我们就可以得到这个 c， e 就 等于 dm 就 等于根号二倍 f， b 就 等于根号二倍，那 f， b 呢？就是 a c 减 ab。 好， 你把这个根号除过去，你就挣到了最后的结果，这就是这个题的证明。 我们来理一下他是怎么想到这个思路的，他是要就是什么，就是转换一下你看的这个图形的视角，比如说，你把 a， c， f 看成是一个确定的等腰三角形 b 点看成是动点，但 d 点呢，就是另外一个由 b 点生成的动点，把它看成是动点问题， 然后你就想到要构造一个手拉手啊。 ok， 这就是这一道题目，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

重庆育才中学二十六届九校二争几何大题。

重庆西湖二十六盖九下二针几何大题。

正在做作业的同学，赶紧把你的作业撕了，把笔扔了，马上听我讲一个重要的试卷，如果你是下个月就要面临中考的学生，今天这期视频肯定对你有所帮助。今天讲的这个试卷是前段时间吸附的一套视题，我把其中的第九题、第十题、第十五题，以及第二十四、二十五题 全挑出来了，拆解的非常非常的详细，讲给你听。视频会分成上下两集，同学们关注、点赞、收藏，然后慢慢的仔细的去听。好了，话不多说，现在开练，让我们来看一下这个题。今讲一个习大附中的九下的一个训练题，大概是四五月考的， 今着重讲后面两个题，二十四和二十五这两个题。第二十四题啊，首先他说这是个抛物线，抛物线他给了一些信心，然后呢？ 呃，对称轴啊什么的，什么又过点，那这，这不重要，因为这个东西其实就是说能把他的解析式给求出来啊。解析式我直接给到你了，就这个这个的解析式，第一题的解析式就是它比较简单。 好，我们来观察一下他要求什么？首先观察这条直线方程， c b 的 直线方程，这明显是一二根号五的三角形，所以说又过零到二，他的直线方程马上就可以写出来了，应该没问题吧？你要听压轴题的话，这个东西应该是自己能够秒杀出来的，我不跟你讲细节了哈，这个直线方程好。这个直线方程出来了之后呢，我们来看一下他主要干嘛，他说第一个事，呃，这里做了一个 p q p q， 做了个垂，然后做了个平行，那么很明显这个三角形和下面这个三角形是处于相似状态，所以这个三角形就是上面这个 d q， m 也是一二根号五的三角形， 所以这个地方我们要把它进行转换一下。他说求 pm 加根号五 p q， 根号五 p q， 刚才我跟你说过了，这是一二根号五的三角形，那么根号五 p q 刚好就是 pm， 所以 说这个的最大值其实就是求二倍 pm， 就是 求二倍 pm， 那么求二倍 pm 的 话，我们只需要把 m 点的坐标表示出来， p 点的坐标也表示出来，这两个点的 m 和 p 的 坐标表示出来，进行作差，作差的时候，求最值就完事了。好，我们可以开始表示哈。呃，这是那个二次函数的那个解析式， p 点表示为 m。 逗，这个信息写在这儿， m 陡这个形形， m 点这个地方呢，我们要注意一下， m 点和 p 点它是外值相同，那么你外值相同的话，你把这个外值整体带入到这个直线方程的外值里面，然后从而把 x 给解出来。计算的细节我就不跟你说了，就把这坨 替换到这个位置，然后呢把 x 就 解出来了， m 的 值就解出来了， m 的 x 值就是它。好，我给你放小一点，你看一下 m 的 x 外外相同嘛。好， p 点出来了， m 的 也出来了，我们对它进行一个作差，我们用 p 点 减去 m 点右减左右减左，得到这个好，然后对它进行配方，就得到这么一个式子。那么刚才说过， pm 加根号五 p q 恰好等于二倍的 pm， 那 你对它整体乘个二就好了。 但至于乘不成二，其实这都一样的，因为我们知道 p 点的最值一定是 m 等于二十，好，当 p 点呢？ m 等于二了，就是它横坐标等于二了，你再带回原来这个方程，因为 p 点是在抛物线上面嘛， 所以 p 点等于二了，你带回这个方程，从而把它的外值给算出来。于是此时的 p 点二到三，我们就把它算出来啊， p 点是二到三，好，我们给他标注一下， a 点是二到三。完了，这个题目没有完哈，题目它说的什么呢？它说连接 na， 然后使得 na 减 p n， 也就是这段减去这段，它要求它绝对值的最大值。 好，这种做差的最大值，我们一般怎么求呢？我们把它对称过来，把它放到直线的同一侧，然后构造一个三角形，因为你构造出来之后，你会发现，无论这个 n 点怎么动，这两个点其实它是固定不变的， 始终固定不变。那么我们就把 a 点是负一零给对称过去，他怎么可以口算出来对称点的坐标？我们观察这里，看着，我给你画一下，其实你会发现，他怎么能够通过 a 点负一零算出它的对称点。关于这个直线哈， c b 直线的对称点一到四呢？我给你画一下，你观察一下这里 画一个三角形，其实这其实一个相似的 a 字模型，因为这是终点吗？好，这段长度就是可以算的一二根号五，这也是根号五，但不是不重要，因为它是终点之后，你会发现，当这是负一的时候，那么这里的横坐标肯定是一。好，当这段的长度是二的时候，是不是二吗？那么上面这个长度也一定是二。所以总体来说， 如果我这么进行操作，我就会知道 a 一 点，这是对称的，这是一，这是高度，因为这是二，所以这个是四。于是 a 一 点的坐标，我们就通过瞪眼法给它瞪出来。 ok， 好。 a 一 点出来了之后， p 点出来之后，我们把两点给连接起来， 求 a e p 的 一个两点间距离就出来了。这个题就带两点间距离公式，一会我给你看一下怎么做的。好，下次遇到这种题注意一下，就是当求两段差值绝对值的最值，那么你想办法把它挪到同一条直线的同侧去，好，然后这个时候你再对它进行连接， ok， 好， 所以第二问的话，就是你两点间距离就是根号二，这个我就不解释两点间距离公式，如果你这个都不会的话，我觉得你下去还得背一背两点间距离公式。好了，我们来看一下第三问。第三问他说这个 把这个线向左平移，平移之后呢？划到这个点，挪到这个点去，因为他说平移之后经过了 c 点，所以说我们在平移的过程中，沿着这个平移过来之后，刚好过 c 点就行。他说新抛物线上是否存在一个 q 点，使得 b a q b a q 那 么一个值和 o c q o c q 这个 c 它互补，若存在，写出坐标不存在，说明你这个题一般都存在。不存在，怎么可能不存在哈，好，你这个时候 你要让这个角和它互补，和这个 c c 它互补啊。你要注意下 c， 它这个地方刚好是一个一二根号五的三角形，你要让它互补，其实就是这个三角形和这个三角形加起来一百八十度，对吧？所以这个角就是等于 c， 它，那么我们可以得到这么一个三角形，和这个三角形 它是相似，但是不用这么麻烦去计算啊，如果你发现它既然是相似的，那么这条直线的斜率和这条直线斜率应该是一样的，也就是它们两个平行，对吧？而且 a 一 点我们也知道 a 一 点是负一到零呗。那么你说有没有一种可能，我可以直接把它直线方程给算出来了，直接把这个 o q 一写下，这是 o q 一 吧，我这边还有个点 o q 二，我们直接可以把 o q 一 的直线方程给算出来。有斜率有点好，算出来了之后，直接与这个抛物线进行相交，我就可以把 q 一 点的坐标给算出来了。同样的道理，当它向下的时候，这个角是 c， 它那么这个角是 c， 它的时候，前面这个角它的斜率是 负二分之一，就是这个是负二分之一，那么这呢，就变成正二分之一呗，它的斜率好。然后呢，这个直线方程是不是也出来了？因为有点嘛，出来之后跟这个抛物线连力连力之后就把 q 一 和 q 二全算出来。 好，纯计算较简单，待会你下去算一下啊，答案给你放这。 ok， 好， 整个题的过程就是这样的，你自己画图，画标准一点，一眼就看出来了。这个，这是平移后的抛物线，我给你写到这了，这给你放大看一眼，平移后的抛物线，平移后的抛物线和两个直线方程进行连力，直接解，解出来之后取这两个点就出来了， 这个点，剩下全是计算过程，如果你有计算不会的，你可以私信我一下，你说林老师这个计算我不会，你能不能下次我录的时候给你讲详细一点，那么这个题给你暂停一下，就说到这了， 比较简单。这次考试整体比较简单，因为一般从一模之后，一模是相对难一点点，那不一定全是哈，比如这次九龙坡考的比较简单，一模之后考完之后他的难度都有有所下降，他要给你中考增加信心嘛，然后你就尽量的去把它做对。我觉得吧， 就现在这个难度，你考个一百四十五，只要你仔细一点，没有什么太大的难度哈。这个二十五题哈，二十五题。我先带着你们看一下题目，他说在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，这个地方是直角 c、 d 伟大的角，平分线两个四十五度。好，我们来看后面的第二文的信息，如图二，他说将 b、 d 绕点 b 顺时针旋转九十度，这样双转过来九十度， 得到 b、 e 点， f 是 其中一点，可以说是哪个点，且 c、 f 等于 c d， c、 f 等于 c、 d 这两段绿色的相等。 ok， 连接 e、 f 啊，这给连上。当 c、 e、 f 等于 c、 b、 e 的 时候，我们来看一下 c、 e、 f 这个角是 m 角吧，等于 c、 b、 e 的 时候，这个角也是 m 角，请判断 a、 c、 c、 d、 e、 c 的 关系。好，这个题的话，相对来说是这次考试中相对难一点点的题，它难在哪啊？主要是难在这个图不标准。图不标准，我怎么不标准啊？我跟你说，你敢相信吗？这个 a、 c、 d 和 c、 f、 e 是 全等的， 看着都不像全等，你让我怎么弄嘛？对不对？其实核心问题是你看到这种图，因为他说了，当他相等的时候，但是你明显看这两个角都不相等，所以说你需要重新画图， 你才能判断出它的一个信息。当我做这个题，我把它重新画了一个图之后，发现，哦，原来是这样的，一眼就看出来，好，其实你能看到这个角和这个角相等，其实它还是一个很明显的一个反 a 模型，很明显的一个反 a 模型。而且吧，我给你连一条线，你观察一下哈，如果把这连连了之后，你还记得吗？刚才这个地方这个角也是四十五度，对吧？ 四十五度，好，然后这里是一个等幺 r、 t， 这个角也是四十五度，这个角就是 b、 e、 b 也是四十五度， 那么你会发现这个三角形和这个三角形居然是相似的，左边这个 c、 d、 f 和右边这个 e、 f、 b， 那 么它相似，是这种八字相似，能说明什么问题？马上我能想到四点公园，马上想到四点公园。所以你看到这个信息之后，我重新把图给你画一下，你就豁然开朗了，信息在这，这个四点公园，这个四点公园。 ok， 刚才说的就是这。而且我把信息给你补一下，这里是四十五度， 这里也是四十五度， ok， 这两段相等。然后呢？这个红色的跟红色的相等， ok， 我是 怎么操作的哈？因为他其实说到这么一个问题，他说到 c、 e、 f 这个角，他其实等于 c、 b、 e 的， 那么我为了要把这两个角给他画精准，他其实相当于这条线， 也就是 c、 r 这条线应该和 c、 e 是 相等的，你可以理解为这是一个等腰三角形，这样他们两条弦所对的圆周角 才能相等好，然后这个地方连出来是对角线，对角线其实也就是直径，因为这是一个直角。刚才我们说了，这两个相似之后，就必定有四点公园，四点公园之后我再把 r 点给引出来，其实目的就是找到 c r 弦和 c e 弦相等，你才能确定这个 r 这个北塔和这个北塔是相等的。好，我们来说一下这个做题的思路。第一个正，他四点公园， c、 d、 e 四点共圆，刚才我跟你说了正这两个相似，这两个相似就是可以出来的。好过程你自己写啊，细节就不给你写了。这两个相似了之后再来看，这里有一个反 a 模型，这比较标准的。那第二个正到了它相似，到了它的一个反 a 相似之后，才得到一个相似的关系， 也就是 c e 比上 c f， 看到吗？小三角形的这个比，这个等于 c b， 这段比上 c e， 看着吗？相似，那么我们就来进行加减相乘，得到 c e 的 平方等于 c f 乘以 c b 加减相乘得到的信息。好，先扔这儿。 嗯，正好。第三步，我刚才告诉你了，这个 c a、 d 和 c f、 e 是 全等的，我们现在来观察哈，由于我前面这画的是一个标准的四点公园，四点公园之后有从这画了一条线过来，使得 b a、 b 等于 b a， 而且题目中说了， c a、 b 是 四十五度，画出来之后你才会发现 c a、 d 这个三角形和 c f、 e 这个三角形才有全等的可能性。 好，怎么圈等呢？第一个，他说了这条线和这条线相等，他是旋转过去的吗？取得 c d 等于 c f， 这是第一个，第二个，我们观察这个角其实是和这个贝塔角相等的，为什么呢？你观察 c a、 b 这个角，这个角和 c b、 a 这个角， 他们俩是互余的，那这是直角吗？是不是互余的？而这个角和这个角和贝塔加起来等于九十度，所以这个角就是贝塔，所以这个角就是贝塔。 ok， 好， 再说一次啊，角 a 和角 c b a 呈互余状态，因为这是九十 c b a 这个角和 c b e 这两角也是互余状态， 所以这两个角相等，标注贝塔这一个贝塔了，这一个贝塔了，对吧？那我们是不是再找一个它就可以齐全呢？你想想看，再找哪个角，它们就完全可以全等了，这里观察一下哈，这里刚才说的是不是是直径？ 因为这是这个九十度嘛，所以这个地方他也是一个九十度的，这是九十度，既然这是九十度，这是四十五度的话，那么这也是四十五度。 好，现在我们就知道了，这有一个，这有一个，是不是一组角，一个贝塔，一个贝塔，两组角加上一个边角，角边，那么我们是不是就可以挣全等了？挣了全等之后，我们就得到了 c a 等于 c e。 证了全等之后，就得到 c a 等于 c e。 我 们来观察一下， c a 等于 c e， 是 不是就 c e 的 平方就等于 a c 的 平方了？它转化到这好， c f 呢？ 它可以转化到哪了？ c f c f 是 不是可以转化到 c d c f 转化到 c d c b 等于 c b， 那 么我们就得到他们的关系， a c 的 平方等于 c b 乘以 c d。 好， 总共这个题一共三个步骤，第一个你要把图给画出来，画出来之后正这四个四点共圆， 四点五元，挣出来之后呢，你再来挣这个反 a 相似，从而得到他们的一个基础关系。基础关系之后，你第三个再挣这个全等 挣了全等之后呢，再把所有的边角给倒过来。整体这个题来说的话，难度有没有，有需要你去认真观察一下。但是你把这个题哈，你下来之后，把这个题过程一步一步的写一下，这原题在这个群里有在群里有，在群里说一声，然后过程挨着写一下， 确保每一个步骤你都能自己给他想出来，推出来。 ok， 你 才是真正的把这几个题给搞懂了。这一共讲了五个题哈，其他的简单题我就不讲了，你自己做吧，做了之后你再对着答案这里有答案，然后把它批改一下。好吧，好，今就说到这了，再见。

大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！

哈喽，大家好，这里是 zhao 老师，今天 zhao 老师要分享一个大招啊，也就是我们重庆中考这会儿啊，就像这种啊，第九题，以往我们是不是都需要啊？相似啊，三角形，三角形相似，然后再根据一些特殊的三角函数关系，然后来解决这个题啊，一般情况下，这个题解出来是非常之复杂。 哎，老师，那既然他对几何功底要求这么高，我几何又不是很好，有没有简单又强势的方法？我不需要思考，我就直接可以把这个题做出来，两分钟我们就可以把这个题做出来，并且把分拿到手啊，那这样的方法你学还是不学？ 遇事不决，可问间隙是吧？来，那这个间隙法其实特别简单，因为我们九第九题啊，百分之八十，百分之九十的情况下，都是一个正方形，那正方形它有特殊性哎，那正方形那四边都是相等的，对不对？而且还有直角，那我们就可以考虑怎么样呀？以 b 这个点啊，为圆点啊，上下直接建个 x y 轴。好，那此时你面对的还是一个几何题吗？不，它是个代数题。哎，老师，为啥它是个代数题？来，咱们往下看就知道了啊，正方形的边长是六，对不对？好，那这里都是六六六六六六六，没有任何问题。 然后他又说 e 是 一个三等分点，是吧？ e 是 三等分点呢，这就是二呗，那然后继续，他说这是一个翻折的啊，这这这，这也是二啊，没问题。然后继续，但他又说啥呀？他又说点 g 为 b， c 上一点， c g 等于 b e 啊， c g 也等于二。 好，那这个数据就比较多了，是吧？来，但是不着急，我们继续往下看，然后他说 h 为 df 的 终点啊， h 又给了一个终点 区域，还有吗？啊？没啥了，然后他说让我们求 hbn 啊，这个三角形啊，这个三角形特别小的，这个三角形的面积，对吧？那我们知道求面积，你需要底和高，对吧？那你现在想一下，你用谁为底谁为高啊？ 那你以 h a 为为底的话，那这边你高的话，好像要往这边做一个垂，特别小一搓，那你肯定不能选 h n 了，那 h m 感觉也很怪，那所以说你只能选 m n 为底 这条垂线 h x 啊， h x， 你 只能选 h x 为高，对不对啊？ h n 这个 m n 为底， 那现在我们要求两个线段的长度，哎，一个是 m n， 哎，一个是 h x， 对 吧？哎，老师，你刚才不说不用思考吗？那咱们这道题可不能思考啊。啊，对，咱们这道题就不思考啊。咱们首先我们来想一下，我们如果把它变成一个代数体， 那现在我只需要知道，其实需要的知道的东西特别简单， m 点的坐标， n 点的坐标两点之间距离公式， h 点的坐标， x 点的坐标，两点之间距离公式就可以了。那好，那我们先从 m n 来入手， 那首先 m， 我 们看一下 m 是 不是 c e 和 d g 的 交点啊？这个咱们有眼就能看出来，对不对啊？那你很明显了，你 c e 和 d g， 你 这两条直线形式能不能求？那肯定可以求啊，你 e 点坐标是不是就零度二 啊？你这个 c 点坐标是不是就六度零？ ok， 那 你 c e 解析式是不是很轻松的，你就可以写出来，它是一个 y， 等于负三分之一 x 加二，对吧？那这个解析式你能特别简单的写出来啊？这个是不是也可以特别简单写出来啊？这个就是三 x 啊，你可能还要需要代入一下啊。啊？代入，代入计数法，然后把这两个解析式求一下，求一个焦点，那 m 点是不是就求出来了？ 那非常简单，那这个 m 点就出来了。哎，老师，那 n 点咋办呢？ n 点，你好像你是 c f 和 d g 的 焦点，你 c f 你 只知道一个点呢啊？ ok， 那 这个是咱们唯一啊，唯一一点点需要思考的点啊。这直接咱们套上我们的一二三四五模型，其实也很简单啊，比较简单 或者放大一下啊，那这个角也是个 b t 角啊，那这也是个 b t 角，那这就是所谓的二 b t， 那 这就是九十减， 这是九十减贝塔，这个角也是九十减贝塔，因为它是翻折的嘛，对不对啊？九十减贝塔，九十减贝塔，那这个角就是一百八十 减掉这两个角，那一百八十减掉这两个角，那很明显了，一百八十减掉这两个角呢？这个角就是二贝塔嘛，对不对啊？我们之前就讲过一二三四五模型的时候，我们就讲过二三四五模型。来，大家看一下，一二三四五模型的时候，我们就讲过二贝塔，对的，是三比四比五，只要给他做个直角三角形，那就有三比四比五。 那咱们回到这道题上的话，那你这么我老师把这个擦一擦，我现在又知道我这是二倍特了，对吧？我知道这是二倍特， 好，那我现在我又知道这个距离是二，那我往这边做垂来，我往这边做垂的话，那你想一下，我这个边是二，这是五那条边，这个边是四那条边， ok， f 点的坐标昭然若揭，对吧？你这是三那条边，这是五那条边 f 点的坐标，你还能求不出来吗？ 啊，你这是二，那你这就是二乘个五分之三，横坐标就是二乘五分之三，那也就是五分之六啊，重坐标就是重坐标，这一段距离，这段距离就是二乘五分之四，再加上二，就它的重坐标， f 点的坐标求出来了， d 点的坐标又有，对吧？ 啊，不， f 点的坐标求出来了， c 点的坐标，两点之间距离公式求出 m n， 非常之简单，对吧？啊，那然后 那就剩 h 点和 x 点了， f 点都求出来了， d 点你也知道 d 点不就六对六吗？啊，那你两点之间终点公式嘛，横坐标加横坐标除以二，纵坐标加纵坐标除以二，那就是它的终点公式，对吧？那终点公式 x 一 加 x 二 啊，比除以二嘛。那逗上 y 一 加 y 二除以二嘛？那这个题，哎呀，那非常非常简单了。老师，那最后还有个 x 点的坐标呢？你 h x 和人家 d g 不是 相互垂直的吗？两条直线相互垂直， k 一 乘 k 二等于负一的嘛。嗯，那所以 你又知道 h 点的坐标，你又知道它的斜率啊？一个点一个未知量， h x 求出来了，和 d g 连力啊，那这个 x 点也直接求出来了。所以说，我们直接通过一个 excel 的 方法，直接把这个题就给完美的做出来了，那所以说我们会发现这个题难不难呀？其实根本也不难嘛。哦， 如果觉得 rock 老师讲的不错啊，可以给 rock 老师点赞评论加关注啊，你们的支持就是 rock 老师最大的动力啊，我们下期再见！

大家好，有同学投稿，希望能讲一下巴数初二下本期考试的这一道第九题，我们来看一下，在正方形 a、 b， c、 d 中， e 和 f 都是中点，然后 a、 f 和 d， e 的 交点是 g， 然后呢， o 是 a， c 的 中点，然后告诉我们 o， h 等于一， 然后让我们去求正方形的边长。那既然 h 和 o 它都是 中点，是不是马上就会有中微线，所以 o， h 呢？它就是三角形 a， c、 g 的 中微线，我们把 c、 g 连起来，很自然，这个 c， g 就 等于二。 那接下来我们就要基于这个 c， g 等于二去求正方形的边长。在这里呢，我介绍两种方法，一种是几何的方法，从三角函数去进行考虑， 我们可以发现这个角度阿尔法，它是一个确定的角，它按键的阿尔法正切是等于二分之一的。那我们呃， c、 h 的 话，是不是可以在 c， g， d 这个三角形当中去看啊？这个 c、 h 阿尔法这个角是确定的，是已知的。如果我们能够把 d， g 和 d， c 表示出来，那是不是可以用余弦定力把 c、 g 表示出来，我们就得到一个方程，这样子我们就可以把边长求出来啊。 好，为了方便求解，我们从最小的线段开始去设啊，在这里呢，我们可以设 g， f 这条线段是 a， 那 么很明显 d， g 就是 两 a， d， f 是 根号五 a， c， f 也是根号五 a。 好，那我们接着是不是就可以用余弦定力啊？用余弦定力， c， g 的 平方好，也就是等于四，它应该等于 eg 的 平方，也就是两 a 的 平方加上 dc 的 平方，也就是两倍，根号五 a 的 平方减去 两倍 e， g， 也就是二乘二 a， 再乘上 d、 c 两倍，根号为好，再乘上扩散阿尔法，根据探见的阿尔法等于二分之一，我们可以画一个阿尔法的三角形 像这样，那么扩散阿尔法就是根号五分之二，所以最后再乘上根号五分之二。 好，这个等式的右边我们合并同类项可以得到，它就是八 a 方，所以四等于八 a 方， a 就 等于二分之根号二。那么这个正方形的边长，它是不是两倍，根号五 a 呀？ 把数据带进来，我们就可以得到，它是根号十，所以这个答案它就选 a。 这是我们讲的第一个方法， 是从几何从三角函数去进行求解。那么第二个方法我们来看一下。 第二个方法，很明显它就是间隙法，像此类几何问题，它无非就是两种方法， 几何法，也就是三角函数法以及间隙法，间隙法就是纯代数方法啊。好，我们可以以 c 点为圆点，像这样建一个坐标系。 然后呢，我们可以设这个边长为两 m， 为什么是两 m 呢？那因为设它为两 m， 那 么 e 点和 f 点，它的这个坐标啊，就不会出现分数啊，就会好一些 啊，所以我们设边长为两 m， 对 吧？好，那很明显 e 的 坐标就是负 m 零嘛啊，所以呢，我们可以写出直线 e 的 表达式，那就是 y 等于二 x 加上 二 m， 对 吧？然后呢，还可以写出直线 a f 的 表达式， 那就是 y 等于负二分之一 x， 因为它和 d e 是 垂直的，所以它的这个呃斜率是二的，负倒数是负二分之一。好，再加上我们 好把它们两个方程连立起来，是不是就得到交点 g 的 坐标了？好，所以我们连立求解就得到 g 的 坐标，这个连理求解很简单，就得到负五分之二 m， 这是横坐标，纵坐标是五分之六 m。 好， 然后 c g 是 不是等于二的？所以呢，接着我们就用点到圆点的这个距离公式，我们就得到 负五分之二 m 的 平方，加上五分之六 m 的 平方，等于二的平方。好，然后我们就可以把这个 m 很 简单的就能把它解出来，是根号十分之五。 好，那这个正方形的边长是不是两倍 m 呢？所以两倍 m 把数据都带进来就可以得到，仍然是根号式，这就是这道正方形的题目，我们采用了两种方法去求解，希望大家两种方法都要掌握的非常熟练。 好，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

两个三角形共用一条底边，其中角 a 和角 e 为直角， a、 b 与 b、 c 长度相等，角一角二角度相等， c 长度为十，求 b、 d 长度。给你五秒钟时间，试着自己思考一下。 时间到，这道题用到了角平分线垂直模型。角 a、 b、 c 和 a、 d、 b 为四十五度 角，一角二各是四十五度的一半。已知三角形 b、 e、 c 中角 e 为九十度，三角形内角和为一百八十度角 e、 c 内就是剩下的九十度。减去角二和角 a、 c、 b 也等于二十二点五度 延长 b、 a 和 c 引出弧度线。较于 d、 f， 三角形 b、 f 与 bc 都有直角，两对角相同又有异相同变，这两个三角形就是全等三角形。 因此 c、 e 和 f、 e 相等都事实。之前我们已经得出了角与 d、 c、 e 相等，题目中已经给出了边相等，还有一对直角相等。因此三角形 a、 a、 b、 d 和三角形 f、 a、 c 全等， b、 d 长度就等于 s、 c 长度。答案为二十，你学会了吗？

重庆八中二十六盖九下强化四季和大题。

几何压轴，几何证明的技巧。大家好，今天这个视频是这个系列的第三个视频，我们今天将要分享的是今年八中初三下的二模题， 我们来看一下，它说过线段 a、 b 的 端点比做了射线六， 觉得这个 l 和 ab 是 垂直的角 b 像是直角，然后呢， a 是 一个动点，他说将 a、 c 转过一个角度，阿尔法变成了 a、 d， 我 们第一问 看，第二问，阿尔法等于六十度啊，这是六十度，那是不是其实就告诉你 a、 c、 d 啊，是一个边三角形对吧？我们可以先把它连起来，就等边三角形， 我们可以先连一下好，然后 c、 f 呢？等于两倍的 b c， 若角 a、 c、 g 加六十度等于角 b， 角 a、 c、 g 是 它 加六十度等于角 d， 对 吧？现在角 a、 b、 c， 它本身就是六十度，那就意味着角 a、 c、 g 这个角一相距等于这个角 c、 d、 f， 角二，角一和角二相等，然后让我们去证明 a、 g 等于 b、 g 加根号三倍 bc， 这个第二问，它好一些的地方在哪里呢？这个数量关系，它告诉你了，实际上证明没有，让你去猜，对吧？ 这个呢，我们的工作量就会少一些，我们来看具体怎么证明，那它的关键是不是就要想办法把这个根号三倍 b、 c 给它构造出来，并且啊要和 b、 g 能够结成，不断能够拼起来， 拼起来，那怎么去构造呢？出现了根号三倍，我们是不是往往要去构造一个三六九的直角三角形，并且构造出来的这个根号三倍 b、 c 这条边要和 b、 g 怎么样连接起来，那么可以这么去这样 这个点， 那么 b m 是 不是就等于根号三倍 b c 了？这个 c m 呢，就是两倍的 b c， 所以 这个 c f 现在 b g 加上根号三倍 b c 实际上就是 m g， 所以呢，我们要去证明 m g 是 等于 a g 的， m g 是 等于 a g 的， 那实际上就是证明这个 g 点是 a m 的 终点。看到终点的话，我们是不是就要去想，我们能不能中线被长啊？对不对？这是呃，最常规的一种思维方式，对吧？所以呢，我们就想想，我们去中线被长，把这个 c g 啊被长一下， 这个假设叫做根点 啊，你可以被乘 c g， 你 也可以做 a n 平行于 m c， 对 吧？好，假设我们这里做 a n 平行于 m c， 接下来我们的任务就是要去证明这两个三角形， a n g 和 m c g 等， 很明显角度有两个，一个对顶角平行平行线呢，它会自己到那个角， 所以现在去编，现在去编，比如说我们去找 mc 和 a n 有 没有可能相等呢？怎么去找到 mc 和 a n， 因为这个 mc 它等于 c f 了嘛？所以呢，我们要去找这个 c f 和 a n， 看怎么样 能够相等。到目前为止，我们是不是还有一个条件还没有用起来，那就是 a c d 等边三角形，以及角一等于角二。你就想想看，如果我要去证 c f 等于 a n， 我 们怎么去找全的好，那其实还是比较容易发现，是不是就是这个三角形， 这个三角形啊，它们应该全等我们看，我们去证明，首先角一等于角二，有了角度啊，有了一对角，然后呢啊，这个 a c 和 c d 是 相等的， 是相当于现在沿着一条边，或者说一对角啊，我们先来导一下角，先导一下角，咱们看，比如说我找这个角，这个角看能不能导出啊？这个维 角三，看能不能导出，它等于 c a n 呢？如果能导出这个拳头，我们就正好了，我们去导一下角，嗯，根据我们做的， a n 是 平行 cm 的， 这是三十，所以这个角是 我。如果我设这个角，它是 x， 这个 c a n， 它就是 x， 加三十度，那这个角三它等于多少？我们是不是先可以表示 a c f， 把 a， c， f 先表示出来， a， c， f， 它是一个外角，根据外角定律，它就是九十度 加 x， 是 不是再减去 a， c， d 的 这个六十度是六十度，把它减掉，我就得到角三，发现它是 x， 那是不是应该就等于角 a， n 呢？所以角度我们导出来了，那么我画蓝色的两个阴影的全等， 正好他们两个全等了以后，那么 a n 就 等于 c f 就 等于 mc 好， 所以 a n g 和 mc g 全等就有了，就有这个结果。我们来写一下这个弧线， a 左 六十度， 过 a 过 a n， 平行于 m n c， 角 c g 好， 然后我们通过导角可以证明三角形 a c n a c n 的 话， 这个是 a s a 密好了以后，然后 a n 就 等于 c f 就 等于 m c， 那 接下来我们去证明那个八字形的三角形 a n g 好， 这个可以用 a a s 好， 全等于 g m， 所以呢，到时候我们就得到 e g 就 等于 g b， 加上 根号三倍 c， 我 们就证明好了。这道题呢，它是比较常规的一道截长、截长、补短的问题。 好，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学加州题！

平时想把这些题给做对，一个是肯定是得反复练，你是初二的话，你就现在开始练这种大体，你是初三的话，你就科死了一类题型怎么叫刷呢？好，说一下西服二十五题第二问，首先我们看一下，他说三角形 abc 中 abc 是 九十度， 它是指，这个好，我们来标注一下，这样垂直。好，然后 d 在 bc 边上，这个没什么说的。第二问，角 c 是 三十度， 好，给标注上。 ok， e 点在 c、 b 的 延长线上，这些都不用管它这什么在上面好，注意，这既是 d， f 的 终点。好，这就有说法了，它是终点，我建议你们就这样，你画一条线，那中间呢？给它标黑，表示这是一个终点，两边都是相等的。 然后呢，这还有一个信息是 a， e， a， e 在 这， a， d 在 这，然后 c， d 相等。好，你们也可以给他标一下，我跟你说一下，你做这种几何题的时候，你最好去买一种那种多色的圆珠笔， 然后你看见这种相等的线段或者是终点线段，你给他标一下，标一下之后，你下次就看着这个图，你不用去看题目了，我一看这个三个颜色相等，我知道它是相等的 好，然后这不是有个相等的吗？你把三十度也给划过来，三十度划过来，好，三十度划了，我们知道这是个六十度，标在这吧，反正这是相等的，这是六十度。 ok， 那 信息应该完了，这还有个信息， e， h， a 是 这个角，我们给他一个名称，比如说角 c， t， o， k 加上 g， a， d 加上 j， d， 哦，把抄在这的 g， a， d， g， a， d 这个小的这个角等于六十度，等于六十度。 ok， 他 说求 h g 和 a g 的 关系，其实就第一眼看着这个， 其实能感受出来这是个直角，那么这个直角无非就是它到底是一二根号三的关系，还是说是一二根号五的关系，无非就这两种情况，我们来仔细一个一个的操作啊。现在有这个信息之后，我们来观察，他说这个 theta 加上这个 beta， 他是等于六十度的，是这么一个信息，然后我们刚才在这三边相等的信息中得到了，哎，这是六十度，那么这是六十度的话，这也肯定是六十度，那么这就是一个等边三角形，好，我们给他画出来等边三角形， 哎，表示这几段红色的都是相等的，然后这地方有个黑色的，来区分一下这段，这段、这段，这段全相等，所以我知道什么呀？所以我知道这是个六十度，哎，这是个六十度的话，那么这是 c， 嘣，把这个东西 c 它给弄进来，对吧？ 我们画一下，把 c 它给它弄进来， ok， 好， c 它进来之后，仔细观察一下这个终点，想到终点我能想到什么呀？想到终点无非就两种，要么是中线被长，要么就是中位线。 然后我观察下，假设中线被长，我发现这个 theta 可以 移到这来，再加上这有个 theta， 这有个红色线，这有个红色线，我马上就知道原来是要让我挣这两个圈的。 ok， 我 对他做一个中线被缠，先把这个被缠出来，被缠到这，好，做一个到这，好，到 m 点。 ok， 好， 那么我们观察一下这中线被缠了之后肯定有个八字圈，等八字圈，对，他直接跑到这来，我们把标志上这是个 c 档，好，来观察一下基本信息，这条是红色的， 这条是红色的，这也是红色的。这条我不用红色啊，免得引起误会，我换个黑色的， ok， 这是红色的，这是红色的。灯边的这是 c t， 这是 c t。 再找一个就行了，随便找一个就可以了。来想一下，怎么找到另外一个信息呢？因为我们知道刚才这个地方是不是，哎？知道了， c t 加上 b t 是 不是六十度的？ 那么你观察这是不是有一个外角，这是一个六十度的外角，这是 c t， 那 么这个地方指定就是 b t 了， 所以这个地方是贝塔。好，这是不是就齐了？齐了之后我们就得到这个三角形和这个三角形也能全等。好，我把前面的两步跟你说一下，首先第一步被乘 a g 至 m 点，使得 a g 等于 g m。 明白，好，然后呢？连接 md 吧，连接 md 了之后， e 正，正什么呢？正，这个八字全等，正，这个八字全等。正完，八字全等了之后就正，刚才我们构造出来这个，这个三角形和这个三角形全等。刚才我提到过了，有这个边 还有一个 theta， 再加上刚才新找的一个 beta， 这个三个相等的，所以说这两三角形是全等的。好，全等之后呢，我们现在的核心问题就是要正，能不能正到？这个是一个直角三角形，为什么要正它呢？你观察这里是一个 h g， 这里是 a g， 对吧？这是 h g， 是 a g， 如果他能够是一个直角，这边本身已经是个六十度了，说明这个问题是不是就解决了？那他怎么才能是个直角？这又是个中点，我想到他有没有可能是三线合一的地方？好，于是我想把这边连一下，看一下能不能正出来， 比如说我正出来他是个等边是不就可以了？还记得刚才我们正那个全等吗？这个和这个全等，这个蓝色线就可以把它划到这来， 这也是蓝色线，那么这也是蓝色线，这也是蓝色线。这个地方 c 它加 b， 它一直都是六十度，说明这是一个等边三角形。既然它是个等边三角形的话，那么我们第四步正 a h m 是 等边三角形，这就搞定了。搞定之后， 一开始是不是说了，这是背长出去的 g 点就是中点，那么这个地方就是他的三线合一，三线合一就是他的高，这就是直角。直角的话，那么 a g 和 h g 的 比值就刚好是刚好三， a g 等于 h g。 我 跟你们说一下，你要平时想把这些题给做对，一个是肯定是得反复练，你得把所有比如说七龙珠的题把 他全部弄出来。每周你刷个四个题，五个题，你说四题五题，多了三个题，怎么叫刷呢？就是如果你一开始不会，你就慢慢的看一下答案，把他的所有思路按照自己的一种方式把它写出来，每一个步骤你要能看懂，哎，这个步骤，哦，是这样整，这个是这样整，这个是这样整，每一步都要从你脑子里去过一下。 然后题的话，你其实很好找，比如说你找一下，比如你找林老师要也可以，或者直接你去市面上买也行，把所有期中出的这种大几何题找一下，最后几天你还来得及。如果你是初二哈，你是初二的话，你就现在开始练这种大题， 那种二次全等、三次全等才能出来的一种大几何。你是初三的话，你就磕死了一类题，比如说你说中线备长，我不是很会，那你就练四点公园， 就确保了把一类题给练透。你不要去想着我什么题都来一点了，因为在这个时候的最后几天了吧，你得堵方向了。比如说你就把四点公园的题型练会，万一考试就考这个，我就把这个背长，中线或者中位线的练会，总有一个方向是 你能够把它练熟的。这是我刚才要跟你说的，最后几天怎么去练这个几何，还提的一个事啊，就说如果这种几何，比如说你找到一个老师，你听他讲了一遍之后，最后把它录下来，比如今儿我把这个课程录下来， 录下来之后回头，哎，我学生过来，他说老师，这个题上次我没听懂，没听懂对吧？我再去讲一遍的话是不是很费神？或者三个、五个同学没听懂，哎，那我怎么办呢？我由于上次是录下来了的，我把这个视频再给他，你再听一遍，再把细节给扣到位，反正我们每节课都会录的，录过录了之后都放在我们小程序里边。好了，最后几天了，你们也加油吧，今就说这么多。

关于中考试卷的第九题，大多为正方形几何题，今天我们来看一道正方形里的经典难题。 先看已知条件，题目说正方形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分 别在 c、 d、 b、 c 上， b、 c 等于四倍的 c、 f 角 e， a、 f 是 四十五度，求 e、 f 比 c、 f 的 值。 首先我们可以设 c f 等于 x， 那 b、 c 就是 四 x， 所以 b、 f 就是 三 x。 遇到这种正方形的有四十五度角的题，我们一定要用旋转法把三角形 a、 d、 e 绕点 a 旋转九十度，让 a、 d 和 ab 重合，得到三角形 a、 b、 f。 这样一来，角 g、 a、 f 也等于四十五度，而且三角形 a、 g、 f 和三角形 a、 e、 f 全等， 所以 ef 就 等于 gf， 也就是 de 加 bf。 然后这里没有告诉 de 的 值，那我们就设 de 等于 y， 你 要相信最后一定是能解出来的，如果解不出来，那就是证明你算错了。所以 ef 就 等于 y 加三 x， e c 就是 四 x 减 y。 在 直角三角形 e、 c、 f 里，用勾股定律 e、 f 的 平方等于 e c 平方加 c f 平方代入后就能算出 y 等于七分之四 x， 接着 e、 f 等于七分之四 x 加三 x 就 等于七分之二十五 x， 所以 e f 比 c、 f 就是 七分之二十五。 这道题的关键就是利用半角模型的旋转构造权等，把分散的线段集中到一起，再用勾股定的计算。关注我，了解更多数学知识！