武汉中考数学22题二次函数应用题

好，这是滨江二模的这个第二十三题啊，主要考察一个代数思想，还有那个运算能力啊，自己先做一下。第一问啊，比较简单。好， 在求顶点坐标的时候，我们已经求了一下，对称轴是直线， x 等于四，对吧？负二分之 b。 那 第二问，要比较 m n 的 大小，那可以通过比较这两个点到对称轴的距离，对吧？因为 a 大 于零，开口向上 啊，离对称轴距离越近， y 越小，对吧？所以第一个点到对称的距离是 x 一 减四， 第二个距离呢，是 x 二减四，很明显，第一个因为 x 一 的范围和 x 二的范围告诉我们了，对吧，所以很明显，第一个距离小于第二个距离，那离得近啊， y 小， 所以 m 啊，所以 m 小 于 n 就 分析出来。 那第三问啊，就这两个点带进去， m 呢，就等于把 x 一 等于 a 带进去的话，就是 a 的 三次方减八， a 方加七 a 这样的代数式。 那第二个点点带进去的时候呢，可能计算有点麻烦，所以呢，这个也是有一定的计算技巧的，先把它因式分解， a 提出来之后就 x 减一， 还有个 x 减七，因此分解。所以再把啊 x a 加一带进去的话， n 就等于啊，这个是 a 方， a 方乘以 a 减六，所以是 a 的三次方减六 a 方。啊，运算会稍微简单一点，好带到这个式子中，所以这个式子就变形成， a 的三次方减八， a 方加七 a， 然后下面是 a 的 三次方减六， a 方再减二， a 方，也是减八 a 的 平方啊，那这里又是一个，你观察啊， 前面两项可以猜出来，猜成啊，就是 a 的 三次方减八 a 方， a 的 三次方减八 a 方，加上后面那个 a 的 三次方减八 a 方 七 a。 好， 第一个就是一后面的分子分同时出个 a， 就是 a 方减八 a 分 之七， 那要求最大值，你看是不是就是求 a 方减八 a 的 那个啊？呃，在这个范围 a 大 于三小于等于四的那个最小值就行了。好，这个你就带进去自己算一下啊，理解一下。

接下来看第十五题，这道题难度还好啊？不是的，就是就属于很简单了，应该说来 cc 撇的长度为二， 然后呢，这个地方为三，他问你 d、 d 撇的长度，那这个地方，首先大家一一看到这里，你就能想到这俩三角形有没有可能是全等三角形呢？对吧？来，我们把它俩连接起来，把 d 撇， c 连接起来，很明显，这个 d 撇， d c， c 撇 这个直角三角形，它俩是必然全等，对不对？ h l 啊？有一个 dc 等于 d 撇， c 撇，还有一个共用的，这个我画的新的边，所以它俩是一样，一定相等的，那这个地方为二，它就也是二了，是吧？这个白给了一点五分来， 然后它又问你 md 撇的长度来，同学们， md 撇的长度，这个地方你知道它是九十度，你说它能考什么呀？它这个三角形一定是相似啊，考一线三等角吗？对吧？好，我们假如这里为 x 啊，这里就是 五减 x， 对 不对？那这个地方也是五减 x， 你 是不是可以先用勾股定律先把 x 算出来啊？我们通过勾股定律算出来， x 是 等于十分之二十一的啊，然后所以说这个三角形和这个三角形相似，那最后列下相似比，大家就可以算了好吗？这个题我就不再讲了啊，最后的结果应该是七分之二十九，很简单的一个十五题啊，比想象中要简单多了。好，我们继续看十六题。 十六题还是那句话，就是建议什么同学去做呢？就是当你完全把所有的卷子，所有的题目都做完之后，你有时间你再去看这道题啊，这道题的性价比是最低的。好，首先啊，我们看圈一分析， a 乘 b 乘 c， 是 吧？那我们先看一下这个表格， x 等于零的时候， y 等于 m， 也就是说这个时候它这个 c 是 不确定位置的，对吧？ 我先画个图啊， c 是 不确定位置的，但是这里有一个信息叫这个 c 应该是介于分到零之间的，所以说大概长这个样子。 好，这个我先画个草图，然后继续看。 x 等于一和 x 等于三的时候， y 都是等于四，说明对称轴是不是就是 x 等于二？那这样子马上得到第一个条件就是负二， a 分 之 b， 它就等于二，这样子，我们先得到了 b 和 a 的 关系， b 是 等于负四 a 的。 好，好， 这是我们的对称轴啊。接下来你去分析一个问题，因为你的 x 等于一和 x 等于三的时候，你的 y 都是等于四的， 那说明你这个开口不可能向上，是吧？你开口向上，你画不出来这样的图，你的 c 因为它要在负二到零之间，是吧？所以你开口只能是向下的啊，只能是向下的，嗯，就大概长这个样子啊， 嗯，画的有点丑啊，大家先凑合看一下啊，因为你 x 等于一和 x 等于三的位置，它要是四对不对，所以它不能往下走啊。好，继续看，所以圈一啊，我们来分析，你的 a 现在已经知道是，呃，大小小于零的， 你的 a 现在已经知道是小于零的，然后呢，你又知道这个 b 是 等于负四 a， 所以 a 乘 b， 我 们优先能够确定啊， b 应该是大于零的， a 乘 b 应该是小于零的，对吧？然后 c 呢？这里已经告诉你了， c 也是小于零的，所以 a 乘 b 乘 c 应该是大于零的， e 是 正确的。 好，我们再看圈二，二是比较好判断的，抛物线经过负二和七，然后说 y 二大于 y 一， 那你自己想一想吧，你的负二的位置才到哪里啊？你的负二的位置，负二的位置大概才在这里，是不是他锁定的这个 y 一？ 应该是啊，画个草图理解一下啊，但是你远远的，你那个七已经很远了，对不对？ 你想想你的七都到哪里了啊？他们这边相差应该是几格啊？这个相差，这是二，相差是五格，这边相差是四格，所以说我们能够非常清楚的确定，这个 y 二应该是比 y 一 要小的，所以二是错的啊。好，我们继续看圈三， 他说这个方程啊，有两个不相等的实数根，那考的应该跟得它有关，那我们看看这是什么东西吧，你这个式子它不是去找这个焦点的，因为你，你很明显，你原本呢，这是 a x 方加 b x， 你 这里减 b x， 你 的式子都给你变了，对吧？所以我们这里去进行什么处理呢？我们就对这个式子进行化简， 因为你不是已经知道 ab 的 关系了吗？好，那我们接下来去写一写啊， ax 方，把 b 啊换成 a 加上四， ax 好， 加四， b 也换成 a 减十六 a， 然后这里 c， 大家也要换啊，对不对？那 c 怎么换呢？我们是不是知道它经过一和四啊？那大家是不是可以把一四代入啊？ 四等于 a 加 b 加 c， 对 吧？然后呢，你最后再把这个 b 换成 a， 也就是 a 减四， a 加 c， 这样子我们就可以确定出来 c 等于什么了？ c 应该是等于四加三 a 的。 好，那这样子你把 c 也换了啊，加上四加三 a 啊，再减三等于零，那这样的一个方程啊，它有没有根啊，是不是等于零啊？你去分析 der 呀。好，我们这个化简了之后，应该是这个样子的， a x 方加四 a x 减十三， a 加一等于零，然后这个 der 它 我直接给你们省了啊，你们自己去算，等于六十八 a 方减四 a， 那 很明显你这个负四 a 他 是大于零的，对吧？啊，你这个负四 a 很 明显这是大于零的，你的六十八 a 方 啊，他是肯定也是天然大于零的，所以这个就是大于零，那他就是有两个不相等的实数根。明白，好，这是我们的这个第三个啊，咱继续看啊，你看你做这种题多么累啊， 你要分析那么多。好，第四个， s 加 n 啊，分你们 s 加 n 的 这个取值范围啊，那这个 s 加 n 它是什么东西呢？我们看到啊，这个 s 在 这里了， x 等于四的时候是 s， x 等于零的时候是 m， 说明 s 和 m 应该是相等的，对不对？这是我们优先能确定的啊， s 就是 m。 好， 他问我 s 加 n， 那 我 s 加 n， 其实就是 m 加 n， 你 只要算 m 加 n 是 不就可以了？那 m 加 n 怎么算呢？来我们看一下 m 啊， 首先 m 我 们就相当于是把四带进去，是不就可以了？它等于十六 a 加上四 b 加 c 啊，就把 x 等于四带进去就可以了啊。好，然后 n 等于什么呢？ n 它是 x 等于二，给我带入是吧？得的结果应该是四 a 加二， b 加 c。 好， 那这样子我们 m 加 n， 最后整理一下，发现等于的是什么呀？你把它们加起来之后，全给我换成 a， 明白了吗？因为你不是知道 b 还有 c 跟 a 的 关系吗？你全换成 a 得的结果是二 a 加八 来，同学们，你知道本身 c 是 介于负二到零之间的，那这样子是不就能分析出来，因为 c 的 跟 a 的 关系在这里了，对吧？那马上就能推出来这个 a 的 关系了啊，这个过程你们自己去写啊。分析出来， a 的 取值范围应该是介于负二到 负三分之四的啊，这是根据 c 的 范围去确定 a 的 范围啊，那知道 a 的 范围了，那我们就能确定出来这个二 a 加八的范围了，所以这个二 a 加八，其实他刚好就是介于四到三分之十六的，哎，所以四也是正确的啊，这样子，我们已经分析出来三个了，一、三、四，你坐到这里的时候 啊，基本上这个题你就可以不再看了，时间也差不多了，很紧张的。其实啊，考试时间都很紧张的，然后第五个你就不要再去写了，对吧？但是第五个其实也不难，我们来看啊，他说 m 等于负一哦，就告诉我 c 是 确定的了啊，就是说他一定是在这个位置，好，我这里画一条线 啊，他相当于是给我定住了。然后呢，他说 x 是 介于 t 减一到 t 加一的时候， y 的 最大值是负一，你你 x 他 肯定是取到什么呀？肯定是取的这个， 继续往下走，是不是？这种情况下是可能的，最大值应该是负一的，而你的 x 是 介于 t 减一到 t 加一的，那说明他们中间只差一个数，对不对？所以此时第一种情况马上就能推出来， x 应该是介于什么零到 负二的，对不对？这应该是肉眼就可以，就凭感觉就直接能看出来的，对吧？ x 介于零到负二的时候，此时最大值是负一，那还有一种情况，是不是应该是 x 介于四到六的时候，我能够分析出来最大值也是负一啊。 好，那此时你 t 等于多少呢？你，你自己带进去吗？你，你，这很明显， t 加一等于零的时候，这是错的呀， t 应该是等于负一啊，这种情况，这个 t 等于五是对的啊， 这种情况 t 等于五是对的，是吧？你这个 t 加一，你让他等于零，你让他等于六，你不就知道这个 t 等于多少了吗？所以五是错的啊，这是我们十六 t 啊。其实吧，你说他难，他也不难，他就是麻烦，你就不敢，你就不敢，说是去投入太多时间 啊。好，继续十七题，对下答案就可以了啊。这个是 x 大 于负二分之一，这个是 x 小 于等于一。 十八题，三角形 a， b， e 全等于 c， d， f 全等条件，这个边角边就可以了，然后连接 ef， 让你说明一下这个四边形 a、 b， e， f 是 平行四边形，那直接你，你让这个谁等于他让 b， e 等于 ef 就 可以了， 平行减相等就行了，对吧？ e 等于 f。 十九题，补全条形统计图。好，这个十九题你根据这个总共出现的，一共一共是二十名学生，对吧？然后查一下数，发现这边还差四个，对吧？所以说我这边画四就可以了， 在上面记得标出来它的这个具体的数字啊，然后写出来是四。 好，第二题，第一次努力的中位数，来这里教你们个技巧啊，你们看啊，他是二十名学生，是吧？那二十名学生的中位数应该是十到十一，取平均数，对不对？ 十到十一，你很明显，这个扇形统计图，这是一半一半分的，对吧？所以就是七和八的这个平均数啊，明白了吗？因为第十个一定是七分，第十一个一定是八分，你就不要去做额外的没有用的事情了，中位数直接给我写七点五就可以啊。第二个中数，这个直接写 出现的最多的应该是九次，对吧？所以是吧？好，第三问，规定九分及九分以上为优秀，这是优秀，这是优秀啊，一共是相当于是二十分之六的概率，对吧？然后一共二百个人乘二百就可以了。你看这些题，你，你这分，你不，不是，不都是白给的，都是白给的。来，二十题， 求 b、 d 是 圆 o 的 切线啊，就是让你证明这里是九十垂直，那这里很明显应该是考的切线长，对吧？那我们把 c、 o 也给他连接起来， 哎， c o 连接起来，这个时候我们很清楚的可以看到这个地方，这都是半径都是相等的，对吧？然后呢，又因为这个地方题目告诉你了，是九十垂直， 嗯，看着这里说了做 b、 c 的 垂线，对吧？这里是九十垂直的，然后那说明这个等腰三角形三线合一，它还是角平分线，对吧？那这样子的话，我就知道这个 d、 o、 c 和我的 d、 o、 b 应该是全等三角形了。全等三角形，那 这边因为是九十垂直，所以这边也是九十垂直，这是我们的第一问，就，我就不写过程了，就过了啊。呃，都是送分题来。第二问也非常的简单，让你求阴影部分的周长来一步一步拆开来看啊，先把这边都擦掉 啊。我们来看第一个求周长的时候，首先第一种情况，我们先算这个小弧吧，先把这个弧弧 b、 e 先算出来吧，这个 l 等于多少呀？一百八十分之多少，你知道这个地方是多少度啊？你看啊，呃，我们我们先把前提理一理啊， a、 c 等于 a o 等于三，所以这是不等边三角形啊，等边三角形呢？这个地方只能是一百二十度了，一百二十度，刚刚三线合一，我知道这个地方应该是六十，所以这里应该是一百八十分之六十派二， 所以最后结果应该是等于派。好，然后我们继续再看 b、 d 的 长度， b、 d 的 长度，哎，你这个 d c、 b 它也是等边三角形，刚刚我们都都说了，这个地方都是全等的，对吧？好，那 b、 d 其实跟 b、 c 的 长度是完全相等的，然后这里是九十度啊，这里六十 b、 c 的 关系，它就是三倍根号三。 好，这是我们 b、 d 的 长度也有了。那最后这个 d、 e 的 长度，你是不是直接用这个整个这个 d、 o 的 长度去减去一个半径就可以了？哎， d、 o 的 长度会不会算啊？ d、 o 的 长度，这是三倍根号三，这里是三，是不可以用勾股定律先去算 d、 o 的 长度，应该是等于六的。 好，然后我再去减掉这个半径，就是我的第一了，半径是多少？三，所以就等于三，所以最后这个整个周长就是三加，三倍根号三加派。哎，这是我们这个题， 来，继续看格点作图啊，咱们格点作图，按理来说，前段时间练了那么多，这八分应该都是送给我们的了。好，第一问，呃，三角形 a b c 的 中线 c d， 那 直接找这个中点就可以了，找到这个点就可以了， 这就是 d。 第二问，再将 a b 绕 a 点，逆时针转，你这里是横四竖三，那我转一个横三竖四就可以了。这是我们 a 一。 第二问， m 为隔线上一点 c， a 上画一个 f， 使 cf 等于二 b m 好， cf 等于二倍的 b m， 其实这里构造出来的应该就是一个八字相似，对吧？那我想找一个二比一的关系，我直接找 c b 这个长度的二比一的关系，是不是就可以了？ 那 c b 的 长度二比一呢？非常简单呀，你相当于整个竖着一二三四五六，是不？六格啊？那二比一的话，那我就上面取四格，下面取两格，是不就可以了？哎，那说白了就是这个点，对吧？这个点我们只要把 m 跟它连起来 相交的。这个，哎，就是我们要的这个 f， c f 等于二 b m 啊，这里我给你们描出来，但是这线不用画啊，你看看你能不能明白这个平行八字的意思啊？整个这个 c f 啊，这是，这是一整个 c f， 然后这是 b m， 整个这个八字相似。好，继续 换一个颜色，过点 f 做 f， g 垂直于 b c f 点本身现在是个盲点，我们是不能确定的，对不对？好，但是我可以做 a 呀，垂直于 b c 啊，因为你这里是横四竖六的，那我们做横六竖四就可以了。做横六竖四，其实就做横三竖二，对不对？那我做横三竖二，先把这个垂直先做出来吗？ 做完了垂直之后，我的 f 只要跟这是一个保持平行的一个状态，是不是就可以了？哎，你接下来就是做这条蓝色的平行线嘛？好， f 点在这里呢，其实找到这个点先去做，先去连接 好，然后这个时候它们跟中间这条线的交点是不是就平行四边形那个对角线的那个交点啊？好，然后接下来 a 跟它在一连，然后好注意这里连接， 我们画到这个位置要跟这个线是不是会有一个交点，我们这个时候出现的是不是就这个平行四边形啊？你再把 f 跟他连接，就保证他是平行的了啊？你看看我的这些点你能不能看懂啊？要在这里去构造一个平行四边形哈， 好，这是我们的这个。呃，最后你做垂直啊，在这里啊，你最后我们这个 f g 垂直 bc 是 这么画的啊，这是咱们这个点作图 来继续。二十二题也非常简单，二十二题第一问啊，让你求为零啊。大家想一想，你这个火箭发射啊， 首先他肯定是开口向下的，他这个也告诉你了，是负五，对不对？火箭发射的他那个高度轨迹跟时间，他这个高度跟时间的关系能达到一个最大，那后面跌落了是吧？那达到最大的时候就是他对称轴啊，对吧？所以我们优先去想对称轴是等于多少的？ t 等于负二 a 分 之 b 也就是等于负的负十分之为零，对吧？那他要等于多少呀？等于八十吗？啊？不是，这个是我们对称轴吗？啊？我们对称轴要把对称轴带入之后等于八十，是不是就可以求了？把这个对称轴带到这个 h 里面， 八十等于负五乘十分之微零的平方，加上微零乘十分之微零。好，这个时候我们就可以解了，微零最后等于四十秒每秒，这样我们就把我们二次函数的解析式先搞出来了。明白哎， h 等于负五 t 方 加上四十 t， 这个就是我们火箭的关系。好，第二问，已知实验楼的高度为十八点七五米，求火箭离地面高度有两次与实验楼高度，那说明什么意思啊？第一次 上去，第二次跌落，这两次都会跟实验楼有一个相同的高度。直接把这个式子负五 t 方加四十 t 等于多少？十八点七五去解就可以了好吗？ 啊，解方程这个我都跳了啊， t 一 等于零点五， t 二等于七点五。好，注意，人家问的是间隔时间，所以间隔应该是七秒。啊，这是我们的第二个，第三个啊，很多人可能第三个都蒙了，来，我们看一下，什么意思啊？ 他说啊，我们现在有一个无人机，无人机呢，速度是十米每秒，反正就往上升了，无人机不会往下走，他也没有，他不会燃尽，对吧？他跟火箭不一样，那无人机他应该轨迹就是一条什么呀，正比例，对吧？他就这么上去了。 好，那无人机的这个解析式就是 y 等于十七，好，我就这么画一下啊。然后呢，他说无人机啊，飞到火箭上方且不超过三十五米才能拍摄清楚。首先同学们，你们要想，这个火箭肯定是蹿的比无人机快的，你想想第一秒的时候火箭就已经上多少了， 对吧？第一秒的时候火箭就已经到了三十五米了，所以说他是非常非常快的，他是远远在这个之上的。那我们分析的时候就，哎，等一下我们议一下。 好，不管这个图什么意思，你看你能不能理解啊？我们现在保证这个无人机得在火箭上方，所以只能等火箭跌落了，所以火箭跌落的时候，那火箭达到最高的时候，这个八十米的时候，是不是时间是四秒啊？这个是我们这个对称轴吗？你的 v 零不是等于四十吗？你把它带进去，你先把对称轴先确定出来，这个是我们对称轴 啊，四秒的时候，四秒之后我这个才开始跌落。好，那请问它要飞到火箭上方，首先第一瞬间是不是在这个时候？就是当它刚好跌落的时候往下来的时候，然后无人机刚好上去的时候，你是不是得先把这个点给我先求出来？好，那你就让这个十 t 等于什么呀？等于我们这个负五 t 方加四十 t 好 解出来， t 应该是等于六的，也就是在六秒的时候我跟无人机重合了， 这个时候无人机能拍到我，但是不能取六，因为他要保证完全在火箭上方，而不是刚好，明白吗？所以我们的 t 一定是大于六的。好，至于小于多少呢？我们继续想，你的无人机还在往上走， 你这个火箭下来了，你要保证这个叉落叉不能超过三十五米。所以第二个式子我们列的时候是不是列一个相减的式子就可以了？ 我们列一个什么呀？十 t 减去负五， t 方加四十， t 要 小于等于三，哎，小于等于三十五是不是就行了？哎，那这个最后这个解的这个过程啊，就是 t 方减六， t 减七小于等于零。我这个式子解出来直接告诉你们， t 应该是介于一到七之间的，但是我们有前提，你 t 必须得大于四， 对吧？你必须得在这个火箭下落的那个过程中去考考考虑。所以说你这里应该是小于等于七啊，不超过，但是可以取等，所以这边是要取等号的，所以最后的结果应该是这个。哎，你看看你有没有做对啊？

好，我们继续来学习二五年武汉市中考试题第二十二题好，给的是某校数学小组开展羽毛球飞行路线的一个综合实践活动。然后羽毛球飞行的路线啊，所在的这样的一个平面与我们的球网是垂直的，这个地方是有一个视意图的， 某次羽毛球飞行的高度 y 与距离这个发球点的水平距离 x 之间的一个对应值是如下表所示的。啊，那这里面给的这样的一些数据啊，提供的是对应的一些图像上的一些点根据点，我们是可以去求对应的函数解析式。 数学小组借助计算机软件啊，建立的这样的一个平面直角坐标系通过瞄点连线形成的。这个啊图像发现啊，它的飞行路线是抛物线的一部分。首先第一个的话，求 y x 的 函数解析式， 那求解析式是用点来求解析式的，解析式要求的时候就是求解析式里面的 a 和 b 这样的两个常量。 好，那通过点来求解析式。第一个零一点一实际上已经有了，那这个点就不能用了，那接下来剩下的这样的四个点里面任意选两个点即可。 大家注意来观察一下，这样的一些点的数据实际上是有信息的啊，比如说横坐标 x 等于二的时候，对应的函数值外是二点三，横坐标为六的时候，函数的值也是二点三， 包括三和五对应的函数值都是二点六，所以实际上提供的是有一个对称性，也就是能够得到它的一个对称轴。好，根据目前的这样的一个数据分析啊，我们是能够得到它的一个对称轴 好，对称轴应该是直线 x 等于四的，当然我们的对称轴根据我们的这个对称轴的这样一个表达式的公式啊，也就是得到的是负二， a 分 之 b 应该是等于四的好，从而得到 b 就 应该是等于负八倍的 a， 那 我们的这个解析式，它就可以表示为 y 是 等于 ax 的 平方，然后呢，减去八， ax 加上一点一， 那接下来找一个点代入即可。除了第一个这个零一点一这个点以外的这四个点面任意选一个代入即可。 比如说我们把横坐标为二，纵坐标为二点三代入啊，那就是二点三应该是等于呃 a 乘以二的平方，然后呢，减去八， a 乘以二，再加上一点一 好，从而计算得到 a 的 值应该是等于负的零点一，进而也就得到函数的解析式， y 就 等于负的零点一， x 的 平方加上零点八， x 加上一点一 啊，这是我们的函数解析式，那这个解析式是由体干条件提供的啊，所以接下来是在以下的问题中，它都是成立的啊，这是我们的第一小题，去求函数解析式 好，接着第二小题，他说的是羽毛球在此次飞行的过程中，飞行的高度能否达到二点八米啊？那高度能否达到二点八米？在做的时候两种思路啊，第一个就是呃， 求这个函数的一个最值啊，也就是求它的一个最大值啊。根据我们前面得到的这样一个函数解析式，那就是它的对称轴是 x 以四，然后呢，这个开口负零点五，它是小于零的，开口是向下的， 所以对呢，是在对准轴的位置是取最大值，所以当 x 等于四的时候，我们可以求出来函数值外的它的一个最大值啊，把四代入，得到对应的函数值外，应该是等于二点八啊，二点七啊， 而二点七它应该是小于二点八的，从而得到啊，这个高度应该是不能达到二点八米的。 好，这是一种理解方式啊。啊，那另外一种理解方式的话，就是直接是另外是等于二点八的 啊，另外等于二点八的话，得到的是这个方程，它是无实数根，等下它小零，或者是说它有时数根，但是是呃，小零，那也是不符合要求的，所以可以从解方程的这个角度来判断高度能否达到二点八 啊，这个地方啊，就可以去计算它的变量是小于零的，所以方程是无数数根的，也就得到啊，这个最终是不能达到二点八米的。好，接着我们来看下面的第二小题， 好，他说的是保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变。好，这里面他说的是形状不变，那对于二次函数抛物线而言的话啊，图像的形状不变，对应的是呃， a 是 不变的，也就是 a 是 相等的， 而我们前面的解析式求得的 a 是 等于零点一的，所以这样的话，根据题意可以得到啊。啊，后面的这个新的解析式，对的 a 也仍然是等于负的零点一。 好，改变发球的方式，使其解析式变为 a 倍的 x 的 平方。呃， y 等于 a 倍的 x 的 平方，加上 k， x 加上一点一。好，因为形状是不变的，所以这个 a 是 负零点一，从而得到解析式应该是负的零点一， x 的 平方。 好，加上 k， x 再加上一点一啊，这是改变方改变发球方式之后的新的解析式。 好，接下来他说的是发球点与球网的水平距离是五米啊，那这个 o 点，这个啊，呃，上方的这个位置是他的发球点啊，也就是啊，发球点的横坐标是零， 那跟我们的球网的水平距离为五啊，那这个时候的就是找到距离为五的大概这样的一个位置啊，这是球网的位置。 好，那这个时候注意到他是提供的是球网位置，对应的横坐标应该是五，羽毛球飞过球网的正上方的时候，他的飞行高度要超过二点一米。 好，超过指的就是大于二点一。好，那这个时候，对呢，就是自变量 x 取五的时候，对应的函数值大于二点一啊，是这样的意思啊，好，所以接下来的话就是令自变量 x 等于五 啊，念自变量 x 等于五，那代入就可以得到的是负的零点一，然后呢，乘以五的平方， 然后呢加上五倍的 k， 再加上一点一，这是自变量 x 取五的时候对应的函数值高度超过二点一，那么这个函数值它就应该是大于二点一的，得到的这样一个不等式 啊，并且球的落地点啊，球的落地点与我们的这个球网的水平距离。好，这是与我们的这个球网的水平距离啊， 好，球网是在目前我们刚刚画出来的这样一个位置啊，然后呢，这个水平距离的话，他说的是小于六 啊，也就是我们把这个图像啊，继续把它补充完整的话，跟我们的这个水平 x 型的这个交点，他说的这个距离要小于六啊，那这样的话，我们加六的话就是十一，那么十一应该是在这个交点的相对右侧的位置啊，这样的话就保证这个距离是小于六的 好，那如何保证这个距离小于六啊？那首先大部分同学能够想到的就是求这个焦点，那如何求这个焦点就是另外等于零啊，那如果说这个地方我们选择是另外等于零的话， 好，另外得零的话，那就得到的是负的零点一 x 的 平方加上 k， x 加上一点一啊，令它得零，我们得到啊，对应的这样的一个焦点，也就是 x 的 值，它应该是要小于十一的 好，但是这个地方的话，它得到的 x 啊，这个关于 x 的 这样一个二次方程是带参数的，所以这个地方在计算的时候，理论上来讲是可行的，我们可以用求根公式 二 a 分 之负 b 正负根号底下，然后呢小于，呃，而且是取较大的那一个右侧的这个角量，因为左侧这个肯定是有一个负的这个值的啊， 所以右侧的啊，这个是正数的这个根它要小于十一，但是得到的就是一个带根号的一个不等式啊，就是一个无理式啊，这样的一个不等式，所以相对而言这个计算量会大一些 好，另外一种理解方式的话，这个地方是已知函数值 y 等于零，求自变量 x 的 范围，那另外一个我们也可以找自变量 x， 也就是零 x 以十一， 要保证这个交点在我们的这个十一零这个点的左侧，那我们当令自变量 x 取十一的时候，那么对应的这个函数值它只要保证小于零就可以了。好，当然这个它实际不会说出现这个。呃，自变量 x 十一的时候的对应的函数值 啊，这个函数值，这个因为到这个啊， x 轴上的时候就结束了啊，啊，所以这个地方就是令自变量 x 等于十一的时候啊，得到对应的函数值就是负的零点一乘以十一的平方，然后呢是加上十一 k 啊，然后呢是再加上一点一，那这个时候的函数值它是要小于零啊，小于零啊，如果说大于零的话，那这样的话就到右侧来的，那这个时候它这个距离我们的球网的距离就会大于六的。 好，所以这个地方啊，就是这边的 x 去十一的时候，对的函数值小于零即可。好，那接下来就是得到的这样的两个啊，关于 k 的 不等式，得到 k 是 大于零点七， 解，第二个不等式得到 k 是 小于一的，所以最后得到这个 k 的 取值范围是大于零点七，然后呢，小于一，好，注意两边都是不能带等的， 因为第一个不等式它是超过二点一，是要大于二点一，第二个距离要小于六，所以最后得到的是这个小于零，对应的函数只是小于零的，所以两边都是不能带等的啊。

各位小伙伴给大家分享一道二次函数的应用题，二次函数在出街中通常以压轴题的形式出现，很重要的啊，来看一下这道真题，记得先点个赞，收藏一下，关注一下，方便随时复习。 他说如图，壮壮同学投掷实心球，出手处是在点 p， 也是在这个点处开始投人，他是有一段高度的嘛，所以从这个点开始往外扔， o p 的 高度是四分之七，这一段是四分之七，我已经标记了。然后出手后，实心球是沿着这个抛物线一直运行到 m 点， 然后他告诉了到最高点的时候水平距离是五米，然后呢，纵高是四米，现在问实心球落地的 m 点处的话， o m 的 距离是多少，就是问这段长度是多少。这是一道典型的抛物线的应用题型， 那怎么解决呢？好遇到这种题型的话呢？第一步很多小伙伴都非常清楚吧，你是不是要做间隙的操作呀， 对吧？那第二步呢，你要找到抛物线的解析式，你只要把这个解析式找出来，你就有办法通过数形结合去解决问题。那么现在这里的关键就在于，当我们写出了心爱的解之后，他这个抛物线的解析式是多少呢？ 各位小伙伴有没有注意到，人家其实已经把这个抛物线的顶点坐标告诉你了，这个顶点坐标是不是就是横坐标五，纵坐标四，就是五和四啊？我知道了一个顶点坐标，而且我还知道 p 点的坐标是多少，是不是零四分之七，那求解析是怎么办呢？知道的小伙伴可以在评论区里面写一下， 你知道顶点的话，你设置坐标肯定是用顶点式比较好啊，顶点式是多少啊？它是不是就是 y 等于 a 倍的？由于顶点我知道是五，那就是 x 减五的平方加上四，这样我们就把顶点利用起来了， 但这个 a 这个系数不知道怎么办？它还过一个 p 点吗？喔，太好了，来，我们把 p 点零四分之七带入到这个里面去。你看零带进去不就是二十五， a 加四不就等于四分之七吗？ 接下来你去计算一下。这个计算我就不说了，你可以把 a 解答出来，是负的一百分之九，你再把 a 带到这个解析式里去，不就能够得到完整的抛物线的解析式是这个形式吗？ a 是 负的一百分之九，接下来它要求的是这个 m 点处 o m 的 距离。 o m 是 啥呀？ 它是不是就是这个抛物线与 x 轴的一个焦点？这个焦点你是不是直接令它的纵坐标等于零去求方程就能找出 m 点，它应该是个正根，那怎么办？那你直接令 y 等于零，往这里面一带，你不就得到了这么一个式子等于零，那这个式子呢？大家把它拆开，你去解一下方程，你就能够求得它有一个 x 的 值是负三分之五，这个要舍去。为什么呢？它是指这个抛物线与 x 作半轴，这个交点明显是一个负值， 这不是我们要求的。然后你还能够算出来，它有一个正值，是三分之三十五，也就是 m 点的这个坐标值是三分之三十五。那这样的话，我 o m 的 距离不就是三分之三十五吗？搞定，听明白的小伙伴记得点个免费的关注下个视频，我们接着见，拜拜。

二次函数多结论有一套人机操作系统，今天这个视频教会我们，今天我们要来讲一下二零二四年武汉的中考真题十六题二次函数多结论。 像这样的题目我们是有一些操作流程的，但凡是遇到这种二次函数多结论，我们都有一些固定的考法。第一个就是考察里面的系数 abc， 它的一些取值范围。第二个就是考察对称轴，比方说给了负的二 a 分 之 b， 他的一个具体的数值，那我们就可以推演出 a 和 b 之间的一个等量关系。好再来就是告诉了这个题目的特征根，比方说一个具体的数值， x 一 y 一， 那我们可以把 x 一 和 y 一 带到函数里面去得到一个 abc， 他 们三者之间的关系，所以就会有一些第二个信息和第三个信息有可能会进行一些整合，从而得到一些等量关系。 那或者是说告诉了一些特征点，它的一个取值范围，比方说 y 一 它是大于零的话，那我们可以得到一个关于 abc 它们的一个不等关系，再来和第二条结合，得到一些 abc 它们的一些不等式的取值。 第四个就是和 dota 结合，反映出是否有交点的问题，也可以和 dota 去结合。那最后一个啊，就是考察它的一个对称性， 开口向下均匀，对称轴越远，他就越小。开口向上均匀，对称轴越远，他就越大。好，那我们来看题，第一题考的是一个 b 大 于零啊，那这个时候我们就要想了题目的信息，去 推演一下是不是 a 小 于零，有一个 a 的 曲值，所以我们会可以用到对称轴的一个左同右异思想。如果我们把对称轴的曲值范围确定下来了，那就可以把 b 它的一个正负去确定下来。从题目的信息告诉了， m 是 大于零小于一， 所以我们可以得到 m 减一，它是大于负一小于零。为什么要得到这个 m 减一呢？因为这两个点啊，他们是纵坐标相等，所以他们的横坐标的平均数也就是二分之 m 减一，就是这个对称轴的公式， 那对准轴就等于二分之 m 减一， m 减一大于负一小于零，所以二分之 m 减一大于负的二分之一小于零，这个是它的对准轴，对准轴小于零，所以用左同啊， b 和 a 同号，所以这个 第一个不对啊，它应该是小于零。我们再看第二个，若零小于 x 小 于一，问这个 a x 减一的平方加上 b 倍的 x 减一，加 c 大 于一。好，我们把刚的这个草图就给它简单地画一下，开口向下。 这两个点不知道，但是我们知道有一个负一逗号一和一个 m 逗号一，那这个 m 它的取值是大于零小于一的。所以我们会发现啊，这样的一个取值范围内，当 x 大 于负一小于零的时候，它肯定是啊，它的 y 值是大于一的，那介于这个点，我们这个给的是个 y 值，是不是就是整体的 y 值是大于一，但是这里的 x 减一，我们把它换元换成个整体，令 t 等于 x 减一， 所以 t 它的取值范围是大于负一小于零，是不是刚好在这个取值范围内，它是大于一的，所以第二个是对的。 我们再来看第三个。第三个问的是，当 a 等于负一，一个具体的数值，碰到这种具体的数值，我们就要去想了，肯定是和这个特征根这个点结合啊，那我们就要翻译一下题干里面的具体数值，这里有一个负一一啊，它是个具体的数值，所以我们可以把这个 a 等于负一以及负一带到这个方程里面去，或者带到这个抛物线里面去。我们得到 y 是 等于 负 x 方加上 b， x 加 c， 现在将这个负一一给它带进来，负一带进来，这里是负一， 减去 b 加 c 等于一，所以得到 c 等于 b 加上二，好。所以啊，这个一元二次方程，我们可以转换成负 x 方 加上 b， x 加上 b 加二等于二，好。这方程左右两边二和二给它化简，所以得到 x 方减去 b， x 减去 b 等于零。 我们现在是要这个式子啊，它没有实数解，就翻译出 delta 等于 b 的 平方减去 c， a， c 就是 加上四， b 要小于零，好，这个式子啊，我们来转换一下题公式， b 乘以 b 加四，好，小于零。 在前面的这个第一问里面是不是有一个铺垫，这里的 b 啊，它是小于零的，那我们再来看一下它这个 b 的 取值，负的二， a 分 之 b 是 不是就是大于负的二分之一小于零。我们把这个 a 等于负一带进来， 乘进来，那就是二分之 b 是 大于负的二分之一小于零。所以 b 啊，它是大于负一小于零， b 大 于负一小于零， b 加四是不是就是一个正数，而 b 是 个负数，负数乘正数是不是小于零？所以这个啊，它也是对的。第三条也是对的，我们再来看最后一条啊，给了 a 点，它是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二， 那我们在这个地方哎，给了一些取之范围啊， x 一 加 x 二大于负二分之一，什么 x 一 大于 x 二，总有 y 二，那这个地方是不是就应对到了我们的这个最后一条 开口向下对准轴 x 对 称轴距离对称轴越远，他就越小。好，我们从题目的信息来看一下啊，这里给的是 x 一 加 x 二是大于负的二分之一，由这两个点，他们在抛物线上，他们之间自带一个啊 对称的一个格式出来了，所以我们先翻译出这个对称的形式，转换出二分之 x 一 加 x 二是大于负的四分之一。 同学们可以得到，如果说是以这个 x 等于负的四分之一为一个对称轴的话，我们抽象成一个函数的一个形态，就可以翻译出二分之 x 一 加 x 二是大于负的四分之一。如果说以负四分之一为对称轴的话，这个 x 一 它就是要比这个 x 二啊，距离这个对称轴要远，我们才能实现他们俩的和除以二是比这个负四分之一要大啊，就这样的一个形式。 那再来题目又说了， x 一 大于 x 二时，总有 y 一 是小于 y 二，也就是说这个地方开口向下，那我们的这个 x 一， 它是不是要距离这个对称轴越远，它才能实现这个式子？好，那我们再来看一下对称轴它有一个什么样的曲值？ 对称轴它是在这个大于负二分之一小于零之间，我们发现这个负四分之一是不是刚好在这个对称轴的曲轴范围之间，那我们如果啊再来建一个模型，那就是 x 等于负四分之一是这个位置，而我们的对称轴是不是在它的左右两边啊？这样去卡住它。好，那我们现在需要转换出来的就是这个 x 一 始终要比 x 二距离对称轴要远， x 一 显然啊，是在这个左侧，而 x 二是在这个右侧啊。好，那你要它距离它远，说明我们的对称轴是不是要尽量的去往这边靠，也就是往左边靠啊，偏 偏心一点，我们要偏这个往左边偏，所以那这个 x 对 称轴它就是要大于负二分之一，小于负四分之一。哎，这个时候我们可以跟答案对比一下，这里 右边取了一个等号，所以我们要看一下这个等号能不能取到啊，也就这个临界值。哎，题目里面的刚才这个题干，是不是当它这个是二分之 x 一 加 x 大 于负四分之一的时候，这里取到这个负四分之一的时候啊，它是可行的， 因为它可行，所以我们在这个地方是可以取等号，取等号，那他们俩到这个负四分之一的距离是可以满足， x 一 离对角是更远的，那 也就这个 a 点离对应轴是和 b 点离对应轴距离的是更远的，所以这个当对应轴取到负四分之一的时候，这个题是成立的， 我们如果说它是成立的，那现在来转换一下，就是这个负二分之一小于 x 对， 小于等于负四分之一，我们只需要把这个对应轴的式子翻译出来，那就是二分之 m 减一大于负二分之一，两边同时乘以二，得到 m 减一大于 负一小于等于负的二分之一。一项 m 大 于零，小于等于二分之一，所以这个第四个也是对的。我们从这个题目中得到啊，二三四都是对的，只有一是错的。这道题容易选出正确选项，但是我们每一个选项它的逻辑还有解析策略需要去明确清楚。 这就是今天给大家分享的第十六题的解析策略，你学会了吗？

兄弟，这题二是函数的十二种题型，很简单的喽。首先第一个观察这个图像，它的开口是向上的，就说明 s 平方前面系数 a 呢，它是大于零的，对不对？ 接着第二步看到对称轴嘛，对称轴呢，在 y 轴的左边，根据左同右异， a， a 是 大于零，这个呢，也是大于零喽，为什么？因为对称轴呢， x 呢，等于负的二， a 分 之一啊， 因为它是在 y 角的左边，说明呢，它是小于零的。李总，分析一下，这个分数要小于零， a 呢，它是大于零的，整体要小于零，那么这一块就要大于零喽，对不对？ b 这个 s 轴呢？只要这两点， 那么对称轴是不是会算出来了？就是负三，加上一，再除以二喽，等于多少？等于负一啊，对不对？那么现在看下第一个， a 乘以 b 乘以 c 大 于零。首先， c 它是大于零呢，还是小于零啊？你看它和 y 角的交点嘛，和 y 角的负半角有交点，说明呢， c 呢，它是小于零的，对不对？为什么呢？最快先是 x 呢，等于零嘛，你把它带进去 y 是 不是等于 c 了？所以呢，它就小于零喽。举手，这三个相乘，你看这块为正的乘一个小于零的数，很明显呢，它是小于零的喽，所以呢，它是错的。那么这种情况怎么搞啊？ 这块 x 是 x 呢，等于负一数，你把它带进去 y 呢，就等于这个 a 减去 b 加上 c 了。举手，看图像哦， x 等于负一，对应的 y 呢，它是小于零的，对不对？ 所以呢，它是错的，知道没有？这个呢，很明显就对了，这个呢，就是对的。为什么呢？首先对向轴， x 等于负的二， a 分 之 b， 它是等于负一的， 那我就来移现一下，这个呢，是不是等于二 a 了，对不对？那么现在 x 呢，等于异数，你把它带进去，是不是得到 y 呢？是不是等于 a 加上 b 再加上 c 呢？因为呢，它是等于二 a 的， 就把它带进去，哎，是不得到三 a 加上 c 啦， x 等于一，对应的 y 呢，是等于零的，是不是？然后呢，你就移向过去， c 呢，就等于负三 a 了。记住， a 加 c 不 就是 a 呢，减去三 a 了。 那么现在等于多少等于负二 a 了？因为 a 呢，它是大于零的，所以呢，负二乘以个大于零数，最后结果呢，就小于零，你看它是对的，没毛病喽，兄弟，你学会了吗？

这道题是一个典型的二次函数作为背景下的待几综合，它的特点就是中性非常的强，考察到了 二次函数，考察到了几何关系，比如说几何模型中的第二个马将军印，马平移型，也考察到了三角形相似以及平行四边形。还有动点问题，虽然非常的综合，而且有一定的计算量，但没有特别复杂的条件转化 啊，有条件转化在里面，但是呢，是非常明显的，所以这道题他非常考察我们的基本功，如果你的基本功很扎实， 这道题你会做的非常的顺利啊，只是计算稍微复杂一点。平面直角坐标系中，给出一个抛物线，给出了对称轴，还给出了一个定点，给出了两个条件，要求两个参数 b 和 c。 这是很容易求的啊，第一问我就不再赘述了，直接写答案， y 等于 x， 平方减五， x 减六。好，我们来看第二问。第二问呢，看起来描述是比较复杂的，首先有一个动点 p 在 抛物线的 b c 啊，就是这一段抛物线的 b c 直线下方， 无论 p 点运动到何处，把 o p 给连起来，然后呢，和 b c 就 有一个交点 q 点，问的是当 p q 比上 o q 取最大时，然后有一个固定长度的线段 d e， 求这个固定长度线段 d e 的 两个端点到两个定点 b p 距离和的最小值啊，你看啊，有动点 p， 有 线段的比值，有最大值，还有最小值，而且这个最小值呢，是多条线段之合啊，看起来很复杂，其实啊，这个第二问它的思路是很顺的，为什么呢？我们可以这样捋一下， 首先把动点 p 满足两个比例线段最大值的位置给求出来， p 点就由动点变成了定点， p 点求出来了之后，你看要求 p 点求出来的 p 点， b 点也是定点，就变成了一个固定长的线段。 d e 到两个定点距离和的最小值，是不是就是将军印马，哎，将军 硬码。所以这道题的关键呢，就是把屁点的位置给求出来。好，那刚才是思路，我们把顺序捋一下，先分析和动点屁有关线段比值的最大值，这是第一步。然后 求出屁点的坐标，这是第二步。有了屁点的坐标之后，就能够通过将军印码求线段的最小值，这是第三步。好，我们一步一步来算，先算第一步。第一步中 q 点和 p 点是两个关键点吧，因为线段，因为比例线段就是 o p， q 嘛， o 点是定点，那也就是说要把 q 点通过 p 点来表示出来，可不可以啊？可以吧，因为 p 点一旦设出来了啊，我们令 p 点为 m 和 m 平方减五， m 减六， p 点一旦定下来，那 o p 的 直线也就知道了，而 b c 的 直线又是一个知道的，所以 q 点呢，也能用 p 点来表示了，那于是这两条线段的比例啊，也能表示了，对吧？好，那总之呢，我们先把这些直线给表示出来。首先 b c 直线的解析式， y 等于 x 减六， p 点的坐标我们设出来了， p 点是 m， m 平方减五， m 减六，再求 o p 直线，就这个直线的解析式，很容易求啊， y 等于 m 减五，减去六，比上 m 倍的 x。 好，接下来我们就回到我们的目标了，要求这两个线段的比值，你可以通过勾股定律直接把这两个线段给求出来，但是会非常的麻烦。于是我们做一次转化，过 p 点做一个平行线，过 q 点做一个平行线，都是平行于 x 轴的，我们很容易发现啊， 这段目标 p q 和 o q 之比，它是不是在两个相似三角形中啊？哎，那我们就可以把它变成横坐标的一些关系比了吧。好， p q 比上 o q 是 不是等于 p 点的横坐标减去 q 点的横坐标比上 q 点的横坐标啊？啊，关于这个呢，就是利用 a 字形的相似啊，做了一个转化，你直接求的话会比较麻烦。当然这种转化呢，也是一个非常常规的思路了，没有什么技巧可言， 好进而可以化简嘛。这块是一嘛，就是 p 点的横坐标比上 q 点的横坐标减一。那要这段线段之比为最大值，其实就是 p 点的横坐标比上 q 点的横坐标为最大值吧。 那 p 点的横坐标 p x 是 等于 m 的， 关键就是 q x 等于多少？那 q 点的横坐标是不是可以通过直线的连力啊？ q 点的坐标，它其实就是 y 等于 x 减六， l b c 这个直线和 l o p 这个直线方程的解吧， y 等于 m 减五减六，比上 m 倍的 x， 你 解这样的一个方程，这个方程也会说很复杂，但是我们要注意的是，我们不需要知道 q 点的重坐标，我们只需要知道 q 点的横坐标。于是呢，这个方程中，我们消掉 y， 留下 x 就 可以了吧。那你就把这个 带入到下面的 y 里面，最后就变成 x 减六，等于 m 减五减去六，比上 m 倍的 x。 好， 你很容易解出 q x 等于 六比上六减 m 加上六比上 m。 哎，有朋友说，看起来很复杂，都开始怀疑自己了。不用怀疑啊，你接着再做就迎刃而解了。接下来我们就回到我们的最值了啊， p x 比上 q， 两点横坐标之比。你看， p 点的横坐标是 m 比上 q 点的横坐标。在这里，六比上六减 m 加上六比 m 化简得到 负 m 平方加上六， m 加六除以六。好，要求两个线段的比值最大值就是求两个坐标横坐标的两个点横坐标的最大值，那就是求这个分子的最大值，这个分子是一个开口向下的二次函数，所以 m 等于三的时候，就是对称轴的时候。就这个函数的对称轴啊，哎，好，有最大值。那 m 等于三满不满足条件呢？我们题目的已知条件是， p 点是一个动点，它是在 b c 下方， b c 下方也就意味着 m 是 大于零小于六的吧。我们很容易得到 b 点的坐标，因为已知条件告诉我们是六， a 点的坐标是负一嘛，因为对称轴是二分之五，这些都是已知条件啊。其实 好， m 等于三是在 m 零到六之间这个范围，所以 m 等于三是成立的，也就说 p 点这个位置是存在的。好，那第一步是不是就最大值表示出来了？ p 点的坐标是不是也求出来了？哎，所以 p 点的坐标就是 m， 横坐标等于三重坐标负十二。 好，那接着我们刚才这个前面的最值问题中， p 点现在最值条件成立之后， p 点是不是变成了一个定点了？哎，好，我们就写上了 d 点的坐标是三和负十二，那现在接着我们再来解决最后一步了，要求这个固定长的线段， 两个端点 d e 到 b p， 这两个定点距离的最小值。那不就是将军印嘛，那我们把这个图画在右边去，我直接解了啊。首先 b 点是一个定点，这是六， p 点呢，也是一个定点，三和负十二， 同时有 d e， d 点和 e 点固定长等于四，那 d e 的 位置该如何确定？这是一个 平移型的将军密码，你做任意一个点，关于这个对称轴，也就是 d e 轨迹的对称点吧，你做 p 点可不可以？是可以的，但是比较麻烦，因为 b 点的对称点是 a 点，这是给我们的吧，我们就用 a 点好，然后 过 a 点往下做一个平行于外轴的线，这个点呢，记作 n 点，让 a n 长等于 d e 长啊，也就是这一段是四，然后我把这个线给叉掉了，然后 n 点和 p 点连起来， 和对称轴的交点就是我们的 e 点，然后反方向回去往上，这一段长是四，那上面这个点就是 d 点，现在 d 点和 e 点的位置我们都找到了，这是 e 点，这是 d 点。那接下来只要把 d 点和 e 点的坐标给求出来，那 e p 长和 d b 长是不是也就都求出来了？ 好，那有同学问为什么是这样做的？我在往期课程讲过，网课用户我可以发给你，这是一个平移型的将军印码，无论是百题闯关还是其他的课程中都有涉及。 好，那接下来呢？我们来看啊。首先 e 点的坐标好不好求？好求，因为 n 点的坐标是不是负一和负四啊？ n 点的坐标是不是好求啊？ l np 直线 y 等于负二， x 减六，那这个直线和对称轴的交点 e 点是不是就求出来了？所以 e 点的坐标是二分之五和负十一， e 点的坐标知道了， d 点的坐标是不是往上数四个单位啊？所以 d 点的坐标也是横坐标二分之五，重坐标负七 好， e 点和 d 点都知道， b 点和 p 点也知道，那求这两个线段的长是不是很容易求啊？用两点的距离公式， d b 等于二分之七倍根号五， e p 等于二分之根号五，那加在一起呢，就等于四倍根号五 最小值啊，四倍根号五。好，这道题的第二问我们就做完了，其实难度并不大，因为我们的具体思路是通过 a 字形的变换，把两个比例线段的最值问题转化成了横坐标之比，从而求出最值点 p 的 位置。 p 一 旦知道了，再解一个平移型的将军印码啊，一步一步做就可以了。接着我们来看最后这一问，最后这一问呢，其实难度也不大，只是说我们需要做处理一些转化问题和计算，不要出错。在第二问的条件下， 那也就是说这第二个条件也就意味着 p 点的位置是一个定点了吧。哎， p 点是三和负十二，这个点 好，然后将抛物线平移，然后呢？ p 点的对应点是 m， 然后呢，在平移后的抛物线上有一个动点是 n， 那 么要满足角度关系，要写出所有在平移后指抛物线上的动点的坐标。好，那我们先把这些给擦掉， 肯定需要画图。首先 p 点刚才说了是一个定点，同时这个抛物线平移了， 它的平移方向是沿 b、 c 射线的方向。大家看啊，这是一个非常重要的条件，是沿射线 b、 c， 那 也就是说是从 b 到 c， 从上往下这样平移的吧。我们知道 b、 c、 b、 c 这个角啊，这个，这个肯定是四十五度的角，因为这段长是等于这段长，是很容易求的，我这就不再赘述了。 那也就是说往下平移的是二倍根号二，也就意味着往左平移了二，往下也平移了二，是不就是意味着往这边平移了，斜下平移了二倍根号二。根据勾股定律，把四十五度角的等腰直角三角形，所以我们第一个平移呢，就变成了圆抛物线， 向左两个单位，同时向下两个单位，那圆抛物线在这里吧，我们做一个配方， y 加四分之四十九，等于 x 减二分之五的平方，这是原抛物线方程。配方之后，配方之后我们平移，根据上负下正左正右负嘛。那么向下平移两个单位，那针对 y 的 原来是 y 加四十九，现在还要加一个二。 再来看，针对 x 的 向左左是正的，左正右负是加二的平方，这就是平移后的抛物线，我们把它展开 展开得 y 次等于 x 平方，减 x 减一十四。好，这就是平移后的抛物线。我们首先处理了平移问题，把沿直线方向的平移分解成分别沿 x、 y 轴的方向。 那我们把平移后的这个抛物线呢，也给画出来，大概就是首先它的对称轴是二分之一，我画一个二分之一，这条蓝色的线，同时顶点是不是向下平移了？对，斜下二倍根号二个嘛，所以顶点在这里， 大概就是这样一个抛物线。好，蓝色的原来的 p 点现在变成了 m 点， p 点是不是也是随着抛物线平移啊？向左和向下， 那平移后的 p 点就是 m 点， m 点的位置呢？就是一和负十四嘛，向左三向左平移嘛，负十二，再向下平移嘛。接着再来看，在新的抛物线上有一个动点， n n 点是在蓝色的抛物线上，要满足 n a b， 假如 n a b 就是 这个角，绿色的这个角 n a b 要等于 opm， 我 们来看一下红色的 opm， 这个是 o o p m 在 这里，这个红色的角减去四十五度，那要求 n 点的位置。好，这最后这一问，第三问的转化就在这里了，你直接求肯定不行嘛。 在平面直角坐标系中，两个一次函数，他们的假角，这是高中的内容，对吧？所以我们肯定要想办法去转化这个条件。 转化这个条件，我们发现啊，大家看 pm 平移的方向，其实是斜下平移四十五度吧，也就这个角是四十五度嘛，因为我们沿着是这个方向 b c 方向平移的嘛。那其实我们过 p 点做一个平行于 x 轴的线，很容易得到这个夹角，红色这个夹角是四十五度，那 原来的这个 o p m 减去四十五等号右边的我会写上 o p m 角减去四十五度，是不是就变成了角 o p。 我 们把这个平行于 x 轴的直线呢？这条直线 l l 和这个抛物线的交点呢？我们记住 s 了， 等于 o p s 这个角啊，大家看 o p m 这个角减去它的一部分四十五，是不是剩下的是这个角啊？那也就意味着我们其实要求的就是或者是说要寻找的就是角 n a b 要等于角 o p s 是 不是就可以了？ 好，我们就把这个四十五度的角给去掉了。那现在接下来我们来看啊， n a b 这个绿色的角要等于 o p s 下面这个红色的角，这一下也看不出来，对不对啊？但是我们知道刚才做了 l 是 平行于 x 轴吧，那也就是说这个角 o p s 上面 等于角 b o p， 那 换句话来讲，现在我们只需要去寻找 n a b 等于角 b o p 就 可以了。大家看 n a b 和 b o p 这两个角，它们有个共同的特点是两个角的顶点 a 点和 o 点是在 x 轴上的，对不对啊？ 而且还有两个，还有它们对应的一条边， a b 这条边和 o b 这条边。你看 a b 这条边和 o b 这条边，它们是在一条直线上的， 在直线上，那也就意味着我们只需要让 na 平行于 o p 不 就行了？哎，你看，我把这个 n 点给去掉了，画一个准确的 n 点的位置了， 在蓝色的抛物线这个地方，把 a n 给连起来，只要让这条绿色的线和 o p 这个红色的线平行平行后，这个角是不是就等于这个角了？ 这个时候如果你用高中的方法，用斜率相等，就很容易做，为什么呢？因为 o p 这个直线，它的斜率是很好求的，而 an n 点在这里啊，而 an 的 斜率和 o p 是 一样的， a 点又是个定点，所以 an 这个直线也很容易写。然后它和蓝色的平移后的二次函数的交点就是我们的 n 点所求了嘛。 但假如啊，我们现在没有学学斜率这个斜率的方法呢？用在小题是可以的，大题的话你不好写过程，我在函数揭秘也是讲过的，假如我们没有学过斜率的话，那该怎么办呢？ n 点，在这里， 我们可以构造平行四边形，因为平行四边形的对边是平行且相等很明显啊。我们把 o p 给延长，你可以构造一个平行四边形，这个焦点呢，是 q 点，然后令 n q， 它肯定是平行且等于 a o 的 吧。那么 可以构造方程，把 n 点的坐标给求出来啊。还有一个方法也比较简单，我也可以推荐一下，就是因为这两条线是平行的，所以这两个角，哎，这两个角是相等的，也就是我们的目标角嘛， b o p 和 n a b， 而 b o p 这个角，它的三个点都是定点吧，我们很容易求出 角 b o p 的 正切是等于十二比三，也就是四，这没什么问题吧。你这个角的正切，你不会求的话，那没办法了。好，那也就意味着角 n a b 的 正切也等于四。我们就定 n 点的横坐标为 n， 重坐标是 n 的 平方，减 n 减一十四，再根据正切等于四，那不就是 n 点的重坐标的绝对值？我们写作 n y 比上 n 点的横坐标，减去 a 点的横坐标的绝对值，是等于这个正切四的吧。好， 我们如图所示， n 点肯定是在 x 轴的正半轴，而 n 的 重坐标呢，是一个负数，所以我们把绝对值可以去掉负 n 的 平方，加 n 加一十四，比上 n 加一等于四。好，我们构造出了一个 n 的 方程，然后解这个方程很容易解得啊，我们可以做一个简单的变形吧，负 n 的 平方 减三倍的 n 加十等于零，解得 n 等于二，或者 n 等于负五，就不满足条件嘛。 n 等于负五，再再 x 读到负半轴去了，那么 n 等于负五就舍掉了，就只留下 n 等于二， 那 n 等于二都求出来了， n 点的坐标是不是求出来了？所以 n 点的坐标二和负十二，那这道题中很明显 n 点不止这一个位置，所以我们叫 n 一， 因为要满足 这个角等于这个角啊，就是图中这这个角和这两个角相等的话， n 点的位置在抛物线的上方还有一个 n 点 n 点，我用绿色画一下，假如 n 点在这里啊，这是 n 点，把其他的给擦掉， n a b， 只要满足这个 n a b 这个角也等于下面这个 n a b 的 角，是不是就可以啦？哎，那上面肯定还有一个 n 点的位置啦，那其方法和思路是一模一样的。接下来我们再来求 n 二，这是求 n 一 的，那要求 n 二，也就是我们另一个点是 n 二吧，这个点叫 n 二， n 二的正切啊。 n 二 a b 的 正切也是等于四的吧。绝对值的 n 二 y 比上绝对值的 n 二， x 减去 ax 等于四。 n 二点的位置，我们也可以根据刚才的方法，一样叫 n 二， n 二的平方减去 n 二，减一十四。好了，那此时呢？这是一个正数吧，是在外轴的正半轴啦， 此时这个 y 坐标肯定是一个正数吧，因为是在第一象限，所以这个绝对值我们就可以化减啊， n 的 平方减 n 二的平方减去 n 二减一十四，比上 n 点的横坐标肯定也是大于零的吧。减去 a 点的横坐标啊，就是 n 加一了吗？ a 点的横坐标是负一减负一就是加一等于四。好了，我们再解这样一个关于 n 的 方程吧， n 二平方减去五倍的 n 二 减一十八等于零，很容易解得， n 二等于两个答案，二分之五加根号九十七和二分之五减根号九十七。所以这第二种情况就舍掉了，只剩下第一种情况，那 n 二求出来了， 也就是 n 二点的横坐标求出来了吧。所以 n 二点的整个坐标横坐标是二分之五加根号九十七。你代入到 解析式中去，很容易求得重。坐标是一十四加二倍，根号九十七。好，这道题就做完了。问下这道题啊，是比较综合的，但难度呢，并不大啊，我们做了一些简单的小转化就可以了。呃， 题目的条件是比较复杂，我们需要一个一个的啊，把每一个条件呢，做一些简单的变换。所以这道题终究啊，还是考察基本功，没有特别难，特别偏的思维和方法，一切都是非常传统，非常典型的，但是综合性很强，而且呢，计算的时候也不要出错啊，大家好好体会一下 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

来看这道题，已知二次函数 y 等于二， x 方加 b， x 加 c， 顶点的横坐标为二分之根号二， 且与 x 轴交点坐标为 x 一 零和 x 二小于 x 二，与 y 轴交于点零负六。那从这里我们是不是就能知道它这个值就是负六呀？好，我们来写一下。因为与 y 轴 交于点零负六，所以 c 等于负六，那顶点的横坐标就是 负的二乘二分之， b 等于二分之根号二，我们就能知道 b 等于负的二倍根号二， 那 b 和 c 的 值我们再把它写出来。所以 b 等于负的二倍，根号二， c 等于负六。好，第一问就求完了，我们再来看第二问，求这个式子的值，那 x 一 x 二既然是与 x 轴的交点，我们先把这个解析式哈求出来的代入， y 等于二， x 方减二倍，根号二， x 减六，与 x 轴的交点是不是 y 等于零，也就是二 x 方减二倍，根号二， x 减六等于零？那我化简一下，这个式子就是 x 方减根号二， x 减三 等于零。从这里哈，因为这里出现了 x 一 乘 x 二，它们之间的关系。是不是我想到了用根与系数的关系，那我在这里就先把哎两根之合和两根之积写出来。 x 一 加 x 二等于负的， a 分 之， b 等于根号二，两根之积 等于 a 分 之， c 好， 等于负三。那再观察这个式子，除了可以写出根与系数的关系之外，我是不是还能两边同除以 x 得到 x 减去 x 分 之三等于根号二这个关系，那出现这种一个数与它倒数的形式的这种关系。我们是不是还有常见的几种算法，我可以算出平方和 x 方加上 x 方分之九 等于 x 减 x 分 之三的平方加上。哎，它俩乘积的两倍，那这个就等于根号二的平方加上二乘 三啊，就等于八。好，我再算这个的平方， x 的 四次方加 x 的 四次方分之八十一，它就是 x 方加 x 方分之九的完全平方，再减去这两项乘积的两倍， 好，那这个就是六十四减去二乘九，算出来等于四十六。 x 一 的八次方， x 二的平方加 x 的 四， x 一 的四次方， x 二的四次方 减五十二倍 x 一 的四次方， x 二的二次方加九倍， x 一 的四次方加八十一倍， x 二的平方啊，分之 x 一 的四次方， x 二的四次方减去 x 一 的六次方， x 二的二次方。那我把这个分子分母提个共音式出来， 好，分子上哈。呃，是不是比较明显，它的共音式就是 x 一 的四次方， x 二的二次方。我把这个共音式提出来之后，它还剩了什么？第一项就剩了 x 二的平方减去 x 一 的平方。好，分母上我也提出相同的共因式， 好，第一项就剩了 x 一 的四次方加 x 二的二次方减去五十二， 加上，那这个提了 x 一 的四次方， x 二的平方出去， x 二的平方是不是就在分母上了？ x 二的平方分之九加上 x 一 的四次方分之。哎，八十一 分子分母相同的因素，我们把它约掉，是不是这一项就没有了？那这个我们再把已知条件代入哈，这一项和，这一项的和 是不是就是四十六？它俩的和是八，减去五十二，那分子上就是平方差。公式，我们把它展开， x 二减 x 一 乘 x 二加 x 一。 好，我们已经知道了两根之和，那两根之差是多少呢？我们在这里再巧用完全平方公式的关系来算一下， 好， x 二减 x 一 的平方就等于 x 二加 x 一 的平方，减去四倍的 x 一， x 二。好，因为这个等于根号二，所以这里就是二减四乘 负三等于十四，那 x 二减 x 一 就等于 根号下十四。那我们把这个式子代入回原来的这个计算过程里面，他就是根号十四乘以根号二是二好，化简之后是不就等于根号七。

中考数学二次函数必考题型，对数的问题你是否学会？今天一个视频带你吃透了解。首先看 y 等于 x， 方减四， x 加三，我们可以很轻松的求出对数轴是 x 等于二， 那么他问我们求 n 的 值，我们就要分情况讨论。第一种情况，当 n 小 于等于二十，也就是说 n 减二跟 n 这个区间在对数轴左侧时，那 y 的 值是由 x 增大而减小的。我们可以得到 y 大 于 y， n 小于 y， n 减二，我们就可以和三 n 减三，三 n 加五连立起来，由此求出 n 的 值。第二种情况， 当 n 减二大于等于二十，也就是说整体区间都在垂直轴右边时，那么 y 值是随 x 增大而增大，我们可以写出 y 大 于 y， n 减二小于 y， n， 由此可以连立求出 n 的 值。那最后一种情况就是，当 二在 n 减二跟 n 之间时，我们可以知道最小值就是零点值。当 x 等于负二时，我们把最小值求出来，再用三 n 减三，我们就可以求出 n 的 值，从此再进行取舍。我是数学思维刘老师，关注我，带你中考数学冲刺满分！

这道题是高一数学第一次月考、期中、期末考试的必考题，题目给了你一个含参的二次函数，让你求在一个 p 区间内函数的最值问题。 这类题有固定的解析套路，只要你跟着我把这道题吃透，以后再遇到同类型的题，保证你百分百拿满分。在正式解题之前，我们先花一分钟回顾一下二次函数的核心性质，这是我们解题的武器库。 对于任意一个二次函数， f x 等于 a， x 的 平方加 b， x 加 c， a 不 等于零，它的开口方向是由 x 的 平方前面的系数 a 决定。 当 a 大 于零时，它的开口向上，当 a 小 于零时，它的开口向下。 函数的对称轴都是在直线 x 等于负二 a 分 之 b 时取得，这是二次函数的生命线。所有的最值问题都是围绕它展开，然后我们来看它的最值规律。 对于一个开口向上的抛物线，它在顶点时取得最小值。也就是当 x 等于负二， a 分 之 b 时，离这个对称轴越远，越往两端，它的函数值越大。 然后是对于一个开口向下的抛物线，则与刚才的情况相反，整个图像是在顶点处取得最大值，也就是 x a 负二 a 分 之 b 时，越远离对称轴，越往两端，它的函数值越来越小。 一个二次函数在 b 区间上的最值，要么就是在顶点取得，要么就是在端点取得。好知识点回顾完了，我们现在来解决第一问。拿到任何一个二次函数，第一步永远是将它配成顶点式， 这样对称轴和顶点就会一目了然。我们先对 f x 等于 x 的 平方减二， a， x 加四进行配方， f， x 等于 x 的 平方减二 a， x 加上 a 方，然后再减去一个 a 方，再加上四，也就是等于 x 减 a 的 平方， 再加上四减去 a 方。所以这个函数它的二次项系数，也就是 x 的 平方前面的系数是一，一是大于零的。也就是说函数是一个开口向上的图像， 对称轴就是在 x 等于 a 时取得。注意这里的 a 是 参数，所以说对称轴是可以左右移动的，这就是动轴的由来。然后我们再来看它的顶点坐标， 也就是当 x 轴取对称轴 a 时，对的函数标是 a， 它的纵坐标就是四减去 a 方。第二步我们来讨论对称轴与固定区间的位置关系。 我们固定的区间是 x 属于负二到二，而对称轴 x 等于 a， 它是可以动的。那么对称轴和这个区间的位置关系一共只有三种情况，没有第四种，这就是我们分类讨论的依据。我画一个草图一看就明白了。 我们先来看第一种情况，也就是对称轴在区间的左边，也就是 a 小 于等于负二的时候，开口向上了抛物线。 对称轴 x 等于 a， 在 x 等于负二的左边区间。负二到二是在对称轴的右边。我们即便将函数的图像，它的对称轴移到了 x 等于负二这个位置，在这个区间之内，整个函数都是单调递增的， 既然它是单调递增的，那么肯定 x 值越小，那么取得对应的 f x 值，也就是最小的，也就是说它是在左端点 f 等于负二时取得最小值。那我们就可以把 x 等于负二代入圆函数，计算它的最小值， g a 就 等于 f， 负二 就等于负二的平方减去二 a 乘以负二，再加上四就等于四。好好负，负得正，也就是加上四 a， 最后再加上四就等于八加四 a。 我们接下来看第二种情况，也就是对数轴在区间的内部，即 a 大 于负二小于二时，然后我们将这个函数图像它往这个区间里面移，也就是负二到二这个区间内， 然后会发现它无论移到哪一个位置，它都是在这个对数轴时，也就是顶点处，它会取得最小值， 这个时候我们将顶点的横坐标带进去就可以了，也就是 g a 等于 fa 等于四，减去 a 方。 然后我们来看第三种情况，对称轴在区间的右边，也就是当 a 大 于等于二时，也就是将对称轴移到 x 等于二的右侧， 整个区间负二到二都是在对称轴的左侧，然后观察区间内这段函数图像很明显就是一个单调递减的函数图像，那么 x 越大，它对应的曲值就是越小， 那么它最小值也就是在右端点 x 取二时，取得 g a 就 等于 f 二 等于二的平方减去二乘以 a， 再乘以二，再加上四，化解后就是等于八减去四 a。 三种情况我们全部都讨论完了，接下来我们整合一下，结果写出分段函数 g a， 当 a 小 于等于二十，也就是 g a 取八加四 a， 当 a 大 于负二小于二十，那么 g a 就 取四减 a 方，然后当 a 大 于等于二十，那么 g a 就 取八减四 a， 这就是最后的 g a 的 分段函数，然后这里的边界点 a， 它等于负二，或者说是 a 等于二，它应该归到哪一边其实都可以，也就是说你把这个 a 等于二啊，或者是 a 等于负二， 你无论带到这三个函数中的哪一个，它都可以取等，也就是说你这个等号，你想放中，想放下面，想放上面放中间都可以， 这个等号都可以的。因为你把这些负二， a 等于负二和二这个值，无论它的这三个函数中哪一个它都可以，它们三个值都是相等的，带进去之后都是等于零。 所以这个边界点归归属到任何一边，都不会影响最终的答案。我们接下来看这道题的第二问。 求分段函数的最大值。我们永远都是分段求最值，然后再取最大的值。我们一样先来看第一种情况， 也就是当 a 小 于等于负二的时候，对应的函数解析式为八加四， a 这个函数很显然是一个一次函数， 然后 a 前面的系数还是四，那么它肯定是一个这样的单调递增的函数。对于一个单调递增的函数，那么它的 a 肯定是在取负二时，函数有最大值，然后把 g 等于负二带进去，也就是 g 负二 代完之后，你会发现等于零。然后我们来看第二种情况，也就是当 a 大 于负二小于二时， g， a 等于四减 a 方，四减 a 方很显然是一个开口向下的二次函数， 它的对称轴在 a 等于零时取得， a 等于零，在负二到二这个区间之内，然后我们将 a 等于零代入即可，就有 g 零等于四。然后我们来看最后一种情况，就是当 a 大 于等于二时， g， a 等于八减四 a， 而这很显然是一个单调递减的依次函数，那么它最大值肯定是在左单点取得，那也就是当 a 取二十，那么它有最大值，代入的 g 二等于零，然后你会发现只有第二种情况， g 取零时，然后它有最大值四，那么综上， g 的 最大值就是在四十取得。 这个第二问还有一种解法，你可以直接将它的函数图像画出来，让它图像画出来之后，去观察它的最大值是在什么时候取得。这三个函数的图像都不难画，然后你根据这个区间来画就行了。 这也是留给大家的一个小作业，自己动手试试看能不能用这个方法把这个题写出来。如果题目把第一问的最小值改成最大值， 或者说是把这个开口方向它改成向下了，方法都是完全一样的，只是最值点换了。 你只需要记住一点，开口向上时，最小值是在顶点或者近端点取得，开口向下时，最大值是在顶点或者近端点取得。对于所有函数二次函数 b 曲线最值问题， 我们都可以套用这个模板，不管它是动轴定区间还是定轴动区间。 第一步先看它的开口是向上还是向下，然后再画出它的对称轴。第二步就是分类讨论，分别是在区间的左侧，中间还有右侧，然后就是结合它的单调性来求出最值。 最后我们来整合分段函数，再分段去求分段数的最值。 这道题是导出大题的基础，后面你们会遇到含成立问题、存在性问题，本质都是转化为求二次函数的最值，所以这道题必须拿满分，丢一分都对不起自己。

今天做一个二次函数图像和性质相关的题目，这是二次函数的表达式， y 等于 a， s 平方加 b， x 加 c 与 x 轴有两个交点，一个是负三零，一个是一零，根据这两个点，我们就可以把它的对称轴求出来，就是负三加一，除以二， 开口向上，所以 a 大 于零，与 y 轴交于负半轴，所以 c 小 于零， 所以 a、 b、 c 这个通过对称之后就可以得到 b 等于二， a， a 大 于零，所以 b 也大于零。 a、 b、 c 的 符号都可以判断出来，所以 a 乘 b 乘 c， 两正一，负是负的，所以第一个是错误的，第三个是正确的。 然后代入特殊值， x 等于负一， x 等于负一的时候，对应的这个 y 的 值是负的，小于零，所以第二个是错误的。 再代入特殊值， x 等于一，这个时候就是与 x 轴在另一个交点 一零， a 加 b 加 c 就 等于零，而 b 等于二， a， 所以 a 加 c 就 等于负。 b， b 是 大于零的，所以 负 b 就是 小于零的，所以 a 加 c 小 于零，所以第四个是正确的，这个里面三和四就是正确的。这道题目就是这样的，关注我，我们一起在题海中勾炮。

中考数学最难的二次函数压轴题全部掌握，考试我拿前三、二次函数十三大压轴题拆分突破！一、二次函数与线段长竖线、横线、斜线。二、二次函数与等线段。 三、二次函数与位置关系。四、二次函数与面积计算。五、二次函数与面积转化。六、二次函数与特殊角等角完整版八、二九六领取！

大家好，距离湖北中考还有二十天呢，我们来压一下题，万一压中了喽！在上一个视频当中，我们用列表法解决了一次函数的实际应用问题。 在这个视频，我们将用列表法继续解决二次函数的实际应用问题。比如说这个题， 他说学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动，收集信息如下， 星期一，客运公司有 a、 b 两种型号的客车可供租用。在每辆车满员情况下，三辆 a 型车载客人数和两辆 b 型客载客人数相同，两辆 a 型车和三辆 b 型车共载两百六十人。 这是第一个星期。第二个星期， a 型客车租车费用固定为每辆一千二百元， b 型客车租一辆车的费用为两千一百五十元，每多坐一辆车， b 型客车租用的单价减少五十元。 星期三，学校参加实践活动的师生共有九百五十人，租用 a、 b 两型 客车共二十辆，其中 a 型车不少于九辆。第一问，求 a、 b 两种型号每辆车满员时的载客人数。咦， 这个第一问和我们上个视频的第一问是不是类似？你会发现它的问题很简单， 需不需要用到上面的星期一，星期二三个都一起用，好像不需要。他要求的是满员时的载客人数。这时候大家一定要一个意识，在这种座位和人数出现的题目里面，满员时你的座位 数才等于人数， 如果没有坐满，你的座位数是一定不等于人数的。我们来再看条件， 哪些条件能帮我们把第一问解决了？你会发现，在星期一当中，他说了三辆 a 型车载客人数和两辆 a 型车载客人数相同，那我们如果去设的话，如我的 a 型车 如果可以做 x 人， b 行车 可以做外人，那第一个关系是不是出来了？那就应该是三 x 等于二 y。 好， 再看第二句话，他说两辆 a 型车和三辆 b 型车共载客两百六十人， 那不就是第二个条件就出来了吗？两辆 a 型车，一辆 a 型车 x， 两辆 a 型车不就是二 s 吗？三辆 b 型车，每辆 b 型车 y 就是 加三 y 应该等于两百六十。 好，正手连立。我们把这个方程组解出来，第一问就出来了。好，那我们首先就用 把三除过去，那 x 就 应该等于三分之二外，让我们直接带入这个式子，就是二乘以三分之二外加上三外 应该等于两百六十，那这时候你就会发现这是三分之四，也就是三分之四外 加上三万等于两百六十。通分就应该是三分之四万， 加上三分之九万就等于两百六十。好，四万加九万不就是十三万了吗？十三万除以三就等于两百六十，把十三约掉，哎，就是三分之外就应该等于 二十， y 就 应该等于六十，你 y 等于六十， x 就 应该它的三分之二份就应该等于四十。好，这就是第一问好，我们再看第二问， 他说设租用 b 型客车 x 量，本次实践活动的租车总费用是 w 元，求 w 与 x 的 函数关系。租车总费用等于租用 a 型客车的费用，加上租用 b 型客车的费用。 这里有一个很关键的条件，就在信息二里面，因为信息二里面它告诉我们 a 车的固定费用是 a 车的租车费用是一千两百元，我们列一个表， 那这个一千两百就相当于单价了，单位是表。然后 b 型车呢？ 这个是你的明白 b 型车，他告诉我们是每多租一辆 b 型客车，单价减少五十元，那也就是说你的第一辆 的租价是二一五零元，但第二辆车应该是在这个二一五零的基础上减少五十元。写一下，第一辆 是两千一百五十元，那第二辆 那应该是两千一百五十，减去一个五十。好，当你开始第三辆的时候了，那它的租用车费用应该是二一五零， 减去五十乘以二，是这样一个关系，那你就想，如果 b 型车是 x 辆， 那你最后的单价应该是多少？你是 x 量的话，那是不是得减去？你看两辆的是一个五十，三辆是两个五十，那就意味着你是 x 量，应该减去的是 x， 减一个五十，这才是 x 量的单价。这个时候我们可以写上，当你 b 辆车是 x 量，这是数量。 当你 b 辆车是 x 量的时候，它对应的单价应该是两千一百五十，减去五十乘以 x 减一，就是二一五零，应该减去五十。 x 减一，这是最关键的一个条件的运用，再看 它要求的是总的费用，那么我还得知道 a 辆车出了多少辆啊？那在你看星期三里面，它说 珠 a、 b 两辆先后共二十辆，那你的这个表格的继续去完善，那也就是 a 对 应的数量应该是二十减 s， 和刚才上个视频的一样，你也得把它这个表格补完善情况下，那就意味着它对应的应该这是 总价，对于 a 来说，它的总价应该是幺二零零乘以二十减 x， 而对于 b 来说，应该是整个二一五零减去五十乘以 x 减一，再总的乘以 x， 那 它再把它们两个加起来就是总共的费用。那在这里这应该是合计了， 那他加他就应该等于这个里面的东西，也就是说这才是真正的 w 了，那我们就能写出 w 的 表达式， w 就 应该等于 一千两百二十减 x， 加上二一五零减去五十 x 减一。好，然后我们化简就会得到 w 应该等于 负五十 x 的 平方加一千 x 加二四零零零。好，不要认为到这一步就完成了，实际上它是有范围的，这就是二次函数 最重要的一个考点。当你把表达式写出来之后，要明白，你的 x 不是 取所有的十字范围，它有范围的， 那它的范围是多少了？最少我们应该明白，你的这个 x 是 代表着 b 型客车，而总的客车的数量是 二十辆。另外一个你要想到的是，前面已经提醒过，只有座位数等于人数是在满员的情况下， 当你已经租了这么多， a 租了这么多车， b 租了这么多车的时候，是一定能坐下九百五十人的，那你的这个座位和这个人数是什么关系了？这就是实际应用题里面埋的坑呐。你一定要明白，你去坐车的时候， 客车的座位数必须是大于等于实际人数的呀，那你才能坐的下，对不对？不可能有站票的，所以 你的总共的这个数必须大于九百五十人。那总共的数是怎么计算的喽？那你 a 型车这个时候是有二十减 x， 他 可以坐四十人， 而 b 型车有 x， 他 可以坐六十人。当你这个租用的车所有的座位在没坐满的情况下，是必须大于等于九百五十人的呀。 当你把这个不等式算出来之后，得到的那个范围才是我们需要了最后的标准答案。最后算出来， x 应该是小于等于七点五， 小于等于十一。在这里要注意的话，你的 x 是 车辆的数量，它不可能取到七点五，你也可以写成 是 x 在 十一和八之间，这时候一定要注明 x 必须是整数， 那这个和这一串就是第二位的标准答案。 不知道大家听懂第二问没有？好，我们再来看第三问。第三问说设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由。 我们通过第二问已经知道了这个二次函数的表达式是这样的，他现在要费用最少，这时候你会发现 a 是 负十负十，他的开口应该是向下呀， 开口向下怎么会有最少了？一般的情况下不是最大吗？假如对称轴在这里， 对称轴所对的这个顶点应该是最大值啊，为什么是最少了？如果这时候我们先把对称轴写出来，对称轴应该是 x 等于负二 a， 那 就是负五十乘以二， 上面是一些应该等于十，那也就是说当 x 等于十时， w 应该有最大值啊，那它的现在为什么有最小值？别忘记一个最重要的条件，它有一个范围，就是八到十一之间。 如果对称轴在这里是 x 等于十，那意味着十一应该在这里， 那么这是九，这就是八了。好，这是八，这是十一，你会明显的感觉到，在这个范围内， 八到十一这个范围内，那不就应该是八距离这个对称轴最远，比十一比他要远呢？他是最远的，最远不就意味着他对应着一个最小值吗？那就意味着当 x 等于八十， w 才有最小值啊。那我们把八带进去算，那就是 w 应该等于负五十乘以八的平方，加上一千 乘以八，再加上二四零零零，最后算出来应该是二八八零零，这个时候就是他的总费用最少了。那我们要怎么去说明呢？ 就把它转述成文字就行了，这是一个开口向下的跑线，当 在八到十一之间的时候，十 x 等于十取的是最大值，只有当 x 等于八十取的最小值，而这个最小值算出来就是二八零零 元，这个时候就是标准答案了。我们来复盘一下这种类型的题，一般情况下，第一小问基本上通过前面的很少的答案，基本上送分，第一问送分题必须拿到。 第二问，一般情况下，他一定是要你根据上面的条件得出二次函数的表达式，这个时候一定要注意，他会和实际情况联系起来，意味着一定有范围， 这个范围不能出错。第三问，一定是在这个范围的基础上去算最大值，最小值。但是问题是他一定要你求的是，比如说开口向下的要你求的是最小值，开口向上的反而要你求的是 最大值，那怎么去取这种相反的值了？一定是跟范围有关。好，不知道大家听明白没有，就到这里。

同学们好，今天继续给大家分享二次函数的压轴题。看已知条件里面已知一个二次函数， 二次项系数是 a， 一 次项系数是负二， a 方长数项负三长数项是已知的第一位。就让我们求抛物线的对去轴，用含 a 的 代数式表示就可以 直接套用公式， x 等于负的二， a 分 之 b 负二， a 方约分 x 等于 a， 这就是抛物线的对称轴， 这个是用 a 表示的第二根。若 a 等于一， a 等于一了，那抛物线解析式就出来了， y 就 等于 x， 方减二， x 减三，有解析式了。根据这个取值范围，让我们求一下 y 的 取值范围，求一下 y 的 取值范围。 怎么求？同学们，求一下 y 的 曲率范围。那有的同学说了，我就把 x 等于负二带进去求一，求 y 等于负二，四加四，减三等于五，然后我再把 x 等于三带进去，再求 y， 三带你三三得九，九减六，再减三等于一个零，所以 y 的 曲率范围就大于零，小于五就 ok 了，对不对呢？这样做，朋友们，这样做对不对？观察一下 x， y 大 于零小于五，把端点上的两个数值带进去，求出这个 y 的 数值来，那 y 的 取值范围就出来了，这样做行不行呢？看一看有没有漏洞。既然我这样问，你同学肯定知道他肯定是有漏洞的，这样做是不对的。同学啊，那么同学们，你观察一下他，这里不说了吗？ a 等于一啊，以内的横坐标是一啊， x 等于一，在不在这个取值范围之内的，所以说还得继续算， x 等于一的时候， y 又等于什么？ 一一得一，一减二减三，他等于是负四。来，同学们观察，在这三个里边找一找，最大的是几，最小的又是几，显然最大的是五，最小的是负四，其实范围是 y 大 于等于负四小于五啊。 所以说这个题他跟以往的一次函数的内容区间求取值范围的问题，他是不一样的，因为一次函数它增减是单一的，而二次函数它既有增而增，又有增而减。它顶点的横坐标如果不在这个取值范围之内，你就可以按刚才那个方式算，就没问题了。 如果顶点的横坐标在这个区域范围之内，你得你得再多加一组数值，在这三组数值里边找 y 的 最大值和最小值，或者你直接套用看草图， a 大 于 a 等于一大于零了，开口向上了，对称轴是一开口向上，那就是一个这样子的， 你比远近，那你观察 x 等于负二的时候，假如是这里对应的 y 在 这里，那 x 等于三的时候，负二离着一是三个格，三离着对称轴是两个格，那这里是三。假如说他离着对称轴近，他离着对称轴 啊，对，他离着对称轴远，他离着对称轴近，这里是三到对称轴的距离，显然这个时候图像就是这个样子的，哎！二负三到这里， 在这个图像上，你找一找，最大值显然就是最高点，显然就是负二的时候，最低点显然就是顶点的重坐标了，看图像也是 ok 的， 要是看图像看不了，咱们就把顶点的横坐标也要带进去，那如果顶点的横坐标不在这个取值范围之内，哎，你就把他俩带入解歧式，求出来，那个 y 的 取值范围就是他们俩了， 这一位是属于白送分的同学们啊，但是也仍然有同学会把它送掉。再来看第三位，咱们主要来讲第三位同学们啊，第三位是关键，这个时候第二位已经没有关系了， a 等于一已经不能用了，对称轴仍然是 a 啊，对称轴仍然是 a， 那么已知三个点。在这个抛物线上，还知道这么一个不等式，也就是 y 一、 y 二、 y 三的关系。有这样一个不等式，就根据这个不等式，让我们求一下 a 的 取值范围，求一下 a 的 取值范围。那这个题看这里，前面顶点的横坐标是 a， x 等于的恰好是这里的 y 二，这就说明 y 二肯定在里面充当了一个最值，因为这是抛物线， 他肯定充当了一个最值，这是顶点的纵坐标。横坐标是 a 吗？顶点的横坐标是 a， 所以 说 y 二要么充当的是最大值，要么充当的是最小值。突破点就在这个不等式上面。既然他俩的 g 大 于零，那说明这两个括号里边的符号是同号还是异号？ 哎，很显然他们是同号的，那咱就分情况来探讨。先来看第一种情况，朋友们，如果 y 一 减 y 三大于零， y 三减 y 二也得啊，大于零，这是一种情况。第二种情况， 如果 y 一 减 y 三小于零，那 y 三减 y 二也是小于零的。整理这两个不等式组，朋友们第一个整理出来的就是 y 一 大于 y 三， y 三又大于 y 二， 这个不能说的，就是 y 一 小于 y 三， y 三又小于 y 二，一向就会出来，对吗？显然在这里， y 二充当的是啊，最小值，既然他充当的是最小值，那就说明这个抛物线开口啊，向上还是向下，对吗？ 哎，显然开口向上的才有最小值，这个时候的 a， 他 肯定是啊大于零的。这是第一种情况，大家看这里，这里 y 二乘，显然充当的是最啊大值。既然有最大值，那就说明这个抛物线开口啊，向下，这个时候就是 a 啊小于零的。这种情况一共分这么两种情况，咱们去探讨，对吗？咱们去探讨， 咱先看第一种情况，开口向上的时候，那开口向上对称轴在这一侧， 显然这里是 a 的 时候，对应的 y 二就在这里了，对应的 y 二就在这里。接下来 y 一 大于 y 三大于 y 二都在他的上边，那咱找一找。假如说这里是 y 一， 不行， y 一 大于 y 三， y 三，这是 y 三，这里是 y 三，这里是 y 一， 咱们就让他们的大小关系这样摆一下就可以了啊， 这是 y 三，这是 y 一， 这就是 y 一 大于 y 三大于 y 二了。显然咱们再比一下离着对伸轴的远近。同学们啊， y 三的时候，这里对应的是 a 加二， 这里是 a 加二。 y 一 的时候，这里对应的是二 a 减一。同学们看一看，显然二 a 减一离着 a 近，而 a 加二离着对伸轴远一点，近一点。 那二 a 减一到 a 的 距离，我们就可以表示成二 a 减一减 a 的 绝对啊值。因为我们不知道这个二 a 减一在左侧还是在右侧，他有可能轴对称轴到这边来， 哎，他到对称轴的距离就可以用啊，他俩的横左边相减，那么这个这个这个点到对称轴的距离就可以表示成 a 加二减 a 的 距离，他们俩之间画大于号， 解这个不等式就 ok 了。同学们啊，咱们看一下啊，合并同类项，这就是 a 减一的绝对值，大于二的绝对值，那就是二了。 a 减一的绝对值大于二，那就说明 a 减一大于二，或者是 a 减一小于负二，就这两个不等式，那这个就是 a 大 于三，或者是 a 小 于负一了。这两个解集。那同学们再来看，这是 a 大 于零的时候， 显然这个就得去掉了，这个就是 a 大 于三。我们要保留的就是 a 大 于三了，这是其一。 离对称这个远近，它又怎么表示？就把这两个点的横坐标相减，不知道谁左谁右，你就直接加绝对值符号，知道谁左谁右，你就用右边的减左边的就可以了。 既然这个不知道谁是在左边，是在右边，咱们就得加绝对值符号，让两个点的横坐标相减，表示的就是这两个点的距离，这是二。 a 减一到对数的距离，这是 a 加二到对数的距离，显然他离着对心轴远。二 a 加二， a 减一，离着对心轴远，而 a 加二离着对心轴近。所以说， 就根据这个不等式，咱们就找到了 a 的 起值范围。这是开口向下的这个啊，开口向下的这种 对平轴啊，显然就应该跑到左侧来了，那就是个这样子的了。哎，这里就是那个 y 二了。接下来 y 一 小于 y 三小于 y 二，哎， y 二比 y 三大，咱们继续找 y 三， 这里就是 y 三。接下来再找一个 y 二， y 一， 这就是 y 一。 老铁们，再来看 y 一， 这里对应的那就是二 a 啊，减一了， y 一 y 一 对应的，这就是二， a 减一了，而 y 三呢，对应的这里就是这个 a 加二了。那同学们再来看他俩，谁离着对中轴近，谁离着对中轴远。显然二 a 减一离着对中轴啊远， y 一 小， y 一 最小， y 三其次，然后 y 二最大， y 二大于 y 三大于 a 没有错，那么这个时候二 a 减一到对应的距离还是二， a 减一再减 a 的 绝对值， 它还是比 a 加二离着对称轴的距离要大，大于 a 加二的 a 加二再减 a 的 绝对值。哎， a 加二，这是 a 同学啊， a 加二到对称轴的距离就它俩相减二， a 减一到它俩还是它俩相减，这个距离大于这个距离。继续来解这个不等式，二 a 减 a 合并同类项，还是 a 减一的绝对值大于一个，二的绝对值大于二，跟上边一样。你们发现了吗？跟这里的解析是一样的，只不过这个解析解出来还是他们两个，还是他们两个。只不过这个时候我们是 a 小 于零的时候， 既然 a 小 于零，那么我们保留的就是这一部分，这一部分就得啊，去掉了，跟上边一模一样。所以说这个解集，一个是 a 大 于三，一个是 a 小 于二负一， a 大 于零的时候就是这一部分， a 小 于零的就是这一部分。解集是一模一样的求出来的，只不过前提不一样，所以最终决定这两个解集就是 a 大 于三， a 小 于二负一了， 在竖轴上分不清左右。就是 a 大 于三， a 小 于二负一了，在竖轴上分不清左右。怎么表示两个点的对称轴的远近？ 二 a 减一到对数的距离，那就是二。 a 减一减 a 的 绝对值， a 加二到对数的距离，那就是 a 加二减 a 的 绝对值。谁近谁就小，谁远谁就大。希望这个题目能够帮到大家。

同学们大家好，今天呢，我们来做一道二次函数的综合题，二次函数在中考里面是必考点，必考点，一定要记住，是必考点。我们的先来复习一下知识点。第一个， y 等于 a， x 方加上 b， x 加 c， a 不 等于零，这是什么？二次函数的一般式？还有一个， y 等于 a 倍的 x 减 h 加上 k， 这是什么平方，这是它的顶点式， 这是一般式。好，这里面它的对称轴都是什么？ 顶点又都是什么？增减性又都如何？一定要滚瓜烂熟自己脑海子，脑海里面应该是有这个图像的啊。 来，我们看题。第一题，已知抛物线 y 等于 ax 方减二， ax 加上三， a 不 等于零，与 x 轴有两个交点， a b 给出来了 b 的 坐标。第一问，让我们求表达式和对称轴， 哎，对称轴怎么求？对称轴是负的， x 等于负的，二 a 分 之 b， 这个是自己记住的，不用往这写啊，等于啥？负的二 a 二乘 a 还是 ab 是 负，二 a 等于一，所以对称轴就是一啦。然后我们把点 b 三零带进来，零等于什么？ 三三得九，九， a 减去六， a 加三推出来，三 a 等于三，三 a 等于负，三 a 等于负一，所以它的表达式就是， y 等于负的 x 方加上二， x 加一， 这就是它的表达式了。第二问，若大 m 大 n 是 抛物线上的两点，且小 m 大 于 n， 求 c 的 取值范围，这里有一个八， 那我们画二次函数它的草图出来。第一个，它的对称轴是等于一等于一的时候，它的最高点是多少来着？负一加二加三等于个四， 一个点是三零，这是一二三。好，这样平滑的下来啦，另外一个对称点呢？三负一 这样上去啦，然后这样又下来啦，这边也下来啦，我们的八肯定是在这边的，对吧？八 n， 然后若大 m 的小 m 大 于这个 n， 所以 我们这边求出来另外一个横坐标。关于 x 等于一对称，谁呀？负六， 这个是负六，这边就是小 m。 假如啊，这还不能用，不能用小 m， 我 们给他用个 y 吧。 这样一个值，小 m 大 于 n， 小 m 是 不是得在这一块？所以我们这个 c 的 取值范围是啥？大于六，小于几？小于八，这个就是画草图就能得出来啦。 第三问，已知当 x 大 于等于负一，小于等于 q 时，抛物线对应函数的最大值，最小值的叉是五，叉是五，这才是几，这才是四呀。所以我们这个 q 的 值是在这边， q 的 值是多少？ q 的 值。这里面第三问的 y 是 等于个负一，把 y 等于负一 带进来就得出来， x 是 有两个值， x 一 是等于个一减根号五 x， 二是等于个一加根号五，这个要舍去。为什么？因为 x 由去值范围， 所以我们 q 的 值就是一加根号五。这个题不难，这个题不难，要拿满分啊。 用不用带着你们整理一下做题步骤？不用吧，这题多简单，划出来就好了啊。做个预告，我们五月十七号就要直播，播什么？播中档题？ 中档题啊，我们不播压轴题，我们只播中档题。中档题最容易拿分了，有基础，稍微练一练就能够把分给拿到了。压轴题现在去练呢，也来不及了，所以我们不做压轴题了。 另外就是我们的黑白卷马上就要到了，黑白卷免费分享，一定要点个关注私信我，我给你们发啊，或者在评论区里面艾特我都可以。好，今天的内容就到此结束了，大家明天见喽。 啊不对，明天没有了，我们这个系列的高频考点已经更完了，我们后面就给你们更一些易错的点。好，依然是明天见。

我永远相信，只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。 要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。 要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走还得靠你自己。加油，牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走还得靠你自己。加油，牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油！牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信，只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来，既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。要。