合肥中考数学几何压轴题24

你中考几何压轴题真不难，就题目里面的每个字都不是废话，出题人已经把方法写在题目里面了，关键是看你能不能听懂他的黑话，只要你能够翻译转化一下思路，你就能够解穿。那今天老凯带你翻译六句核心的几何压轴题的黑话，思路马上清晰。 第一句黑话就是求线段的长度，啥意思？意思就让你赶快用我们的勾股相似等面积，三角函数，那三角形，四边形，圆里面出现九十度，你都可以往勾股上试。你看到平行线，不管是 a 字形、八字形，那肯定都得试一下相似，看到三十四十五、六十一秒，都别犹豫，直接三角函数。 第二句黑话就是看到线段笔，出题人明牌了，考相似，挨个去找有没有 a 字形，八字形，子母型、手拉手，三垂直半角形，只要你找出相似关系，这道题的分直接稳稳到手。 那第三句黑话就是求角度，那在几何题里面，求角度我们统称为倒角，那圆的题型的第一问就爱考这类题，那 平行线就可以转化我们的同一角，内缩角，同旁内角，那直角三角形，利用我们的直角互余换算，那圆里面有我们的圆周角，圆形角，弦切角，再加上半径相等带来的等腰三角形的角度转化。记住一句话，角度是一步一步导出来的，不是用肉眼看出来的， 要把已知角相互转换，等量代换，一步步传递，你肯定能算出你想要的目标角。那第四句黑话就是求面积，那普通的面积题底乘高除以二纯纯送分题。但是一旦他和我们的二次函数和我们的函数结合，核心考点就是牵扯法，同学们不要被复杂的图形给扼住，他的底层逻辑其实就是各补法 画几条平行于坐标轴的辅助线，把不规则图形拆成多个三角形，把它们的面积算出来就行，那这个题就是纸老虎，一点也不难。 那第五句黑话就是求最值问题，那很多同学一看到最值就头疼，其实题型就是固定那几类，那么两线段之隔最小秒，想千军一马，单条线段最短，优先考虑。我们的引援有定边、定角、定点、定长。还有一种就是八年级常做的刮豆原理， 如果实在没思路，你直接建坐标系，转化成二次函数，用解析式求最值，万能好用，百试百灵。 第六句黑话就是询问是否存在点批重题不用纠结了，百分之九十九都是存在的，那出题人不会大费篇幅去出题，就为了告诉你说不存在。你大胆假设批点存在，把几何条件转化成方程，列式计算，能够解出答案，直接得分，轻松拿捏。如果是算不出来，那就没办法了。 所以你千万别被几何压轴题吓到了，说白了，压轴题就是出题人在暗示答案，所有的解析线索都藏在题干里。吃透上面的六句黑话，压轴题轻松拿捏！

要我说呀，合肥中考数学的几何压轴题就是中分题，那些出题人啊，早就把答题方法隐藏在题目里了，只是你没有看懂。合肥考生数学想考一百四十分题以上的几何压轴题，这三个套路你一定要记牢。 第一呢，是求线段的长度。这类题型的解法就三种啊，勾股定律、相似三角形、三角函数。其中啊，圆的大体考的最多，看到直角直接是勾股定律，那看到平行线， a 字八字结构，那直接上相似三角形。如果题目啊，给三十、四十五六十这种特殊角，那直接上三角函数。 那第二呢，求图形的面积，简单的呀，你直接套公式就可以了。那如果碰上呀，跟二次函数相结合面积的大题，你就做辅助线拆分它的图形，其实本质上还是求三角形的面积。 第三呀，求圆。大体的第一问，基本上都是倒角，你要记住，那第一呀，用平行线去倒它的内侧角，同位角，那第二呀，用直角去找它的互余角。第三呀，用圆心角，圆周角，衔接角去互相的转换。第四还有等腰三角形，比角相等。第五啊，角平分线平分两角， 把那些角度的关系理顺就可以了。其实呢，河北中考的几个压轴题啊，都是有规律的，只要把这三点组合呀记牢，想拿高分轻轻松松。

这个问题始终是我们中考当中几何压轴题，今天我们再来通过一个求最小值的问题，带大家求解一个考过的几何压轴。如图， bc 等于四，确定的 ac 等于根号十，这个量等于根号十， 然后 tan 的 角 a， c b， 结果等于三，然后 p d 垂直它， pe 垂直它，这有两个垂直，确定了，然后让你求低一的最小值， 那接下来我们怎么办呢？我们先分析一下啊， bc 等于四， ac 等于二，是 tan 角 a， c， b 等于三，那接下来我们肯定是要放垂才能够利用这个三角函数值过点 a 做 a t 垂于它， 好， a t 谁对它？这个地方 a t 是 不等于三，这量是一，这是三，那这个边长是不是也等于三？好，那这个量求出来这个量等于四十五度，然后 ab 的 长度是不等于四三倍零二，确定吗？ 好，接下来让你求第一的长度，我们通过这一个 tan 呢，以及我们两个边长，可以求出剩下所有的边长。好，那我们要求它的长度。我们接下来如果说你连上我们的 c， 连上我们的 c t， 我们这个地方 p d， c 和 p e， c 是 不是都是九十度，都是直角三角形，那么我们四点 p d， c， e 是 不是就是一个四点共圆问题？好，那接下来就是再取 c p 的 中点，取连接 cp 的 中点 o 是 不是？好，你要想求出我线段 d， e 的 最值，那肯定是要跟这两个边边最值是有关系的， 那你跟 o d 的 对值有关系，是不是跟 c p 的 对值有关系？ c p 的 什么时候会最小值呢？是不是当 c p 垂直 ab 的 时候垂线段最短？ 好，那接下来我们要求 d 一 的最小值的时候，是不是转化成求 c p 的 最小值之后再来进行求解？好，那这个地方的话，也就说我们已经分析出来 d 一 的最小，要推导出来这个地方就是 o 一 最小， 对不对？ o e 最小，是不是推导出来就是我们的 p c 最小，那 p c 什么时间会最小呢？我们通过分析得知，当 p c 垂直 ab 的 时候，我们 p c 是 最小的。 好， p c 最小，那接下来我们是不是通过面积代换 s 三角形 a b c 的 面积是等于二分之一乘以 a t 再乘以 c， b 等于二分之一乘以 c p 再乘以 ab， 好，那这个地方是二分之一乘以四，再乘以三等于二分之一乘以三倍的根号二，再乘以 c p。 好， 那所以说 c p 是 不是可以求出来是等于二倍的根号？ 二倍根号呢？ o 一 是不是就等于根号二？ o 一 的这个 o 一 等于 o d 这个地方变成是不等于根号二？ 好，接下来让你求 d 的 最小值，好，我们还是有一个条件没有用的，这个角等于它的这个地方等于三， 也就换进来讲，我通过这个斜边或者是不是圆的话，我们可以知道我们角 d、 o、 e 是 不是等于二倍的角 a c b。 如果说角 a、 c b 等于六十度，那接下来它角 d、 o、 e 是 不是等于一百二十度？是不是可以求解出来？ 但是你这个地方他给的是三角函数值，不是特殊的角度数，我们接下来依然是可以做出来的。我们的角 d、 o、 e 是 不是就等于二倍的角 a c b。 好，我们要，其实本质上我们 p b、 c， e 是 四点共圆的， d， e 就是 其中这个弦求弦长，肯定是要用垂进定力，垂进定力的话，这个题来讲的话，就过点 o 做 o m 垂直于 d e， 那 这个角是不是二分之一角 d o e， 它是不是也等于这个角等于角 a， c， d 好， 那接下来我们是不是就可以求找出来我们想要的？好？过点 o 做 o， m， c， d， 对 吧？ o， m， c， d， 接下来是不是可以做出来好？摊进的角啊？这个地方是不是推导出来我的角 e， o m 是 不是等于角 a， c， d， 那推导出来是摊进的角 e， o m 是 不是等于摊进的角 a， c， b 是 不是就等于三？好，那这个地方我们设为 x， 这是不是等于三 x， 那 这个量合起来是不是就等于根号？好，接下来就是 o m 的 平方， 这个地方是不是等于 m 一 比上 o m 等于三，我们接下来我们设 o m 等于 x， 则 m 一 等于三 x， 所以 说是 x 的 平方，加上三 x 括号的平方等于根号二括号的平方，所以说 x 等于五分之根号五，是吧？五分之根号五，那接下来我第一 它就等于二倍的 e， m， 它就等于六 x 就 等于五分之六倍的根号五，好，那最终解出，解出来我们第一的长度是五分之六倍的根号五， 好，也就是换进来讲，这个地方要求最值的时候，你首先要先判断出来我的第一是跟哪个线段是有关系的。 你连接 c p e 这个地方 p d， c， e 是 个四点共圆，你线段 d， e 的 最小值肯定是跟半径 o e 有 关系， 而 o e 是 等于二分之一 c p， c p 最小的时候是不可以推导出来 d e 最小。也就说你要能推导出来这么一个基本的几何逻辑关系，那这个题就可以做出来。好，那这道讲到这啊，同学们拜拜啊。

好，同学们，我们今天来看一下去年包和去三毛的二十二题。已知抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加三，对称轴是 x 等于一， 好，而且与 x 轴呢，交于点 a 和点 b， 点 a 坐标给了我们是负一零，与 y 轴会交于点 c。 好， 然后第一小问让我们求抛物线的解析式和定点坐标， 给了两个条件，一个是 x 等于一是对称轴，那其实就是负的二分之 b 等于一，然后又给了一个点的坐标，那把这个点坐标带进去，就可以把这里的 a 和 b 给它解出来了。好，所以大家可以自己去解一下。第一问比较简单，我们求出来解析式应该是 y 等于 负 x 方加二， x 加三，顶点坐标，那就能带进去得到，应该是一四。好，这是第一问，我们看下第二问， 第二问告诉我们，点 p 呢，是抛物线对称轴上的一点，而且给了这个三角形 p c， a 的 面积是四，让我们去求这个点 p 的 坐标，那看下这位应该怎么求 好，这里的话呢，其实我们可以先把这个抛物线给它画一下， 开口是向下，然后呢，对称轴给了我们是对称轴，我们求出来的应该是这个 x 等于一这条线， 这是对称轴 x 等于一。好，然后呢，三角形 p c 的 面积是四，那我们先把这里的 c 点和 a 点标一下，点 a 在 这，这是负一零， 好，然后呢，点 c 在 这，应该是零三，把这个抛呃，把这个截式带进去，好，所以呢，我们现在知道 c 点和 a 点的这个坐标，然后呢，点 p， 我 们随便画一下， 点 p 呢，它是在对称轴上，在 x 等于一这条线上，假如说在这个位置，那么我们要求的这个三角形 pca， 大家就可以给它画出来了。 好，那我们可以得到这个三角形 pca， 那 怎么大家可以想一下，怎么去求这个三角形 pca 的 面积呢？ 他给了我们这个面积是四，那我们现在其实是，哎，大家以前可能是那种，如果我知道三个点的坐标，那我能求面积，现在是反过来已知面积，让你去求点的坐标。大家想想我们已知坐标求面积用过什么方法？ 那常用的方法应该是这个牵垂线法好，所以用牵垂线法的话呢，大家就可以。哎，想一下，这里其实用牵垂线法应该还是比较简单的， 因为点 a 和点 c 坐标我都知道，点 p 坐标虽然我不知道，但是点 p 的 横坐标是固定的，它的它在对准轴上，所以横坐标一定是一纵坐标，不确定好坐标，假如说我们设个 y， 我们换个数字吧，坐标设一个，嗯， t， ok， 那 现在呢？大家看一下，如果我设一下点 p 的 坐标是 e t 的 话，那么我们怎么去求这个三角形面积？ 怎么去求面积？哎，大家可以想一下，我们应该是用牵垂线法的话，大家可以找一下这个 a p 这条线与我们这个 y 轴的交点，假设是 m m 点，好，那现在就可以去求了，我们根据这个铅垂线法的话，应该是二分之一这个 p 点坐标减去 a 点坐标， 然后乘上这个 c 点坐标，减去 m 点的坐标。好，那这个结果我们知道是等于四， 这等于四的好，所以呢，我们就会发现哈，这个 x p 减 x a， 它是固定的 p 点红坐标是一， a 点红坐标是负一，所以这个其实就是二，那我们就可以得到 c 点坐标和 m 点坐标的差就应该是等于 四的。哎，那现在我们就会发现那 m 点的坐标，因为 c 点坐标我知道是三，那 m 点坐标坐标就应该是什么， m 点就应该是零负一了，那注意一下，只能是零负一吗？我现在只能保证 c 点和 m 点的坐标之差是四。那其实 m 点还有一种情况是什么？ 还有可能 m 点是在我们 c 点的上方，那这个时候坐标就应该是零七，大家想想，还有可能这种情况， m 点在这，也就是说 p 点呢，它可能在这个位置稍微靠上一点， 大家可以自己去画一下， p 点可能在上面这个位置，那这个时候呢，我们也可以得到这个三角形 a c p， 也有可能三角形 a c p 的 面积呢？也是这个四。好，所以呢，这里的 m 点应该是有两种情况的，两种情况 好，那求出 m 点坐标之后，大家看一下怎么去求 p 点坐标，那其实这个时候 a p 这条线的解析式我们就能得到了。那第一种情况，假如说 m 一 是零负一， a 点是负一零，那么这条线 a m 这条直线坐标我们就可以得到， 这应该是 y 等于负 x 减一，我把 a 负一零和 m 点这个零负一带进去就可以了，那么 p 点坐标就能求了。 p 点横坐标知道是一，那把 p 点横坐标带进来，纵坐标就应该是 负二。好，这是第一种情况。第二种情况看一下，如果 m 点的坐标是零七， a 点坐标是负一零，那这个时候 am 这条线可以求一下它的解析，就应该是七 x 加七。好，那同样的 p 点坐标，把这个横坐标是一带进来就可以得到，它的纵坐标应该是十四，所以我们就可以得到这个 p 点坐标呢，应该是两种情况，一负二或者是一十四，大家用这个牵垂线法去表示一下这个面积就可以了。好，这是第二位，我们看下第三位， 第三问呢，他说如果这个抛物线上面呢，只存在上面只有一个点， p 点 q， 使得二 x 一 加 y 等于零， 然后让我们告诉我们，这个 m 点 m 呢是大于等于零，小于等于二的，让我们求 n 的 最大值。好，那咱看下这个应该怎么求？ 那首先呢，大家看一下这个抛物线里面 a 和 b 我 们是已知的，根据前面 a 是 负一， b 是 二，所以呢，其实就是在说这个抛物线，它应该是 y 等于负 x 方加上一个二加 m， x 加上一个三加 n。 好，那注意一下。呃，这个 q 点它是在抛物线上的，所以 q 点的这个坐标 x 一 y 应该是符合这个式子，那同时呢，它又满足二 x 一 加 y 一 等于零，就说明这个时候 q 点坐标不仅在这个抛物线上还在什么，还应该在这个 y 等于负二 x 这样一条直线上， 它的这个横坐标是满足 y 等于负二 x， 所以 它应该是同时满足这样两个式子。好，那 q 点坐标同时满足这两个式子。哎，我们就可以去解了，我们就可以把这两个方程呢给它连立起来就能得到，应该是 负 x 方，加上这个四加 m， x 加上三加 n 等于零。 好，那注意一下，满足这个 q 点，满足这个方程，那注意一下，它说只有只存在一个点 q， 同时满足 y 等于负二 x， 然后又满足在抛物线上，那说明这个方程它会有几个解，说明它应该是有两个相同相等的这个实数根， 因为它只只会有一个结，只可能因为最后只存在一个点 q， 那 如果它有两个结的话，说明会有两个点，既满足在抛物线上，又满足在 y 等于 four x 这条线上了。好，那既然有两个相等的十根，我们就能找到这里的 m 和 n 的 一个关系了，也就说明 delta 是 等于零的 多少等于零，那我们再进去算一下，也就是四加 m 的 平方加上四倍的这个三加 n 要等于零，那我们最后要求的是 n 的 最大值，所以大家解一下这个式子，我可以把 n 给它表示出来，那么 n 就 应该是等于负的， 负的这个四分之一乘上这个 m 加四的平方，然后再减去一个三。 好，这个是 n 和 m 的 一个关系式，那现在它要求的是 n 的 最大值，那 n 它其实可以看成什么？看成是一个关于 m 的 二次函数了。你看 n 用 m 表出来了，而 m 的 范围我是知道的，是在零到二，所以就相当于是问你 m 在 零到二的时候， n 什么时候取最大值？ 好，那我看知道 n 和 m 的 这个关系式，那应该是当 m 等于零的时候， n 会取得这个最大值，把 m 等于零带进去就可以了。好，那我们可以带你算一下， n 这个时候就应该是等于 负七，等于负七好，所以最后呢， n 的 最大值就应该是负七，这是第三项。问 大家好，今天讲的这道题呢，考察的是档位问题，某款电火锅可以高、中、低温三档调节内部电路，如图所示，额定电压是二百二十伏，而一而二而三为定值发热电阻丝，其二三等于二倍的二。 该款电火锅通过旋转开关 s 让其和触点一、二、二三或三四接触时，可实现不同档位的转换。图以是该款电火锅在中文档和低温档工作三十分钟内，电流随时间变化的图像。 那我们需要先把档位判断清楚。呃，这里 s 呢？它有三种情况。第一种情况呢，接的是一和二， 那我们来分析电路，这个时候应该是 r 一 和 r 二串联。第二种情况是 s， 接的是二和三，这个时候 r 一 被短路，只有 r 二工作。第三种情况是 s， 接的是三和四， 此时呢，是 r 二和 r 三并连接入电路。那么档位问题的判断公式呢？是 p 等于 u 方除以 r 总电压一定时，总电阻越小，总功率越大，档位就越高。 那 r 一 r 串联时的总电阻应该是最大的，由 p 等于 u 方除以 r 得，此时的总功率是最小的，所以这个时候对应的应该是低温档。 r 单独工作的时候，对应的是中文档。 r 三并列时，总电阻是最小的，那总功率是最大的，档位是最高的，也就是高温档。 然后题目还给了个意图，意图呢，说的是中温档和低温档 工作电流随时间变化的图像。那电压一定时，你中文档的功率肯定是大于低温档的功率嘛，那所以中文档的电流肯定是大于低温档的电流，所以这个两安呢，应该是中文档的电流，这个零点四安呢，应该是低温档的电流。 好，那接下来我们看一下题目问的什么。第一小问呢，问的是中文档正常工作十分钟消耗的 电能，那么中温档呢？咱们已经知道了电流是两安，还知道电压是二百二十伏，那我们可以直接用公式 w 等于 u i t 进行计算，也就等于二百二十伏乘以这个电流是中温档电流，我们写个角标挨中， 然后去乘以就等于二百二十伏乘以两安，再乘以十分钟，换算一下应该是六百秒， 答案是二点六四乘十的五次方交。 再来看第二问，求 r 二的电阻，那我们知道中文档时是 r 二单独接入电路，那咱知道电压二百二十伏，又知道中文档电流是两安，我们就可以直接根据公式 r 等于 u 除以 i 来进行计算了，就等于二百二十伏除以两安等于一百一十欧姆。 第三问呢，求的是高温挡住功率，那高温挡时使耳二与耳三并连接入电路，那么我们可以先把耳三的组织求出来。耳三等于二倍的，耳二等于二百二十欧姆。 那高温档的功率我们可以写成 r 二的功率，加上 r 三的功率。因为是并列嘛，电压都是等于电源电压的， r 二的功率可以写成 u 方除以二， r 三的功率可以写成 u 方除以 r 三。 然后我们代入数据，等于二百二十伏的平方除以一百一十欧，加上二百二十伏的平方除以二百二十欧，最终答案是六百六十瓦。 今天呢，我们来看这样的一道工艺流程题哈。啊，那么今天的这道工艺流程题的话呢，它是会用到大量的置换反应的过程啊，所以对于这个金属和动性呢，大家还是要非常的熟悉哈。 啊，那首先来看一下这个副液里面主要含有硫酸锌，硫酸亚铁 以及硫酸铜啊，那首先第一步我们是往里面加入了过量的 x 啊，它是生成了固体 a 和溶液 b。 好， 然后呢，固体 a 里面再加入过量的 y 溶液，它就是变成了铜和溶液 a， 那 大家就可以大概的猜到哈，这个铜元素呢，大概率是来自于我们原本的这个固体 a 里面。 好，继续往后看一下，溶液 a 加适量的 x， 它就变成了铁和溶液 b 啊，所以呢，这个地方也是一样的，这个溶液 x 呢，跟我们第一步使用的是一样的东西。 呃，然后呢，那这个地方生成的铁元素，那也是大概率来自于这个溶液 a， 呃，然后呢，我们还可以知道这个溶液 b 它最终是变成了硫酸锌晶体，所以呢，我们就可以确定这个溶液 b 呢是硫酸锌溶液。 好，然后我们再来看一下，那这个溶液 a 和适量的 x， 它所对应生成的是铁和硫酸锌。好，那么什么东西反应之后生成铁和硫酸锌，大家看一下。 哎，是否比较熟悉呢？就是典型的置换过程，我们之前的话呢，也就是硫酸亚铁 和锌氮质，那么锌的活泼性呢，要大于铁，所以呢，这两个是可以发生反应的哈。呃，那么这个溶液 a 里面呢，也就是有硫酸亚铁，呃，那我们所用的这个适当的 s 呢，也就是锌 啊，所以第一步的话呢，我们加的也是过量的锌哈，啊，那加入过量的锌的话，大家来看一下，这里面硫酸锌呢，是不会发生变化，所以呢就直接跑到这个溶液 b 啊，那除此之外呢，因为这个锌的活性是要强于铁啊，然后呢是强于这个铜，也是这样的一个强的关系， 那么硫酸亚铁和锌，硫酸铜和锌都可以反映生成这里的铁单质和铜单质， ok， 好， 那反应之后另外一个场合呢，他也是硫酸锌这个溶液哎，都是会跑到这个溶液 b 里面去啊，那么除了铁和铜以外呢，我们加入的还是这个过量的锌哈，所以这里面还有这个锌， ok 啊，那往里面加入这个 y 溶液，继续来看一下，那加入 y 溶液来，首先铜呢，是没有发生变化的哈，那为什么铜没有发生变化，也就是说明哎，这个地方呢，大概利用的是这个酸哎，那加入这个酸的时候，氢离子它的活性呢是 强于铜哎，但是呢弱于这个锌和铁哈，所以呢，这里面铁和锌它都是可以跟酸反应 好，那么就跑到这个溶液 a 里面去，那我们用的是什么酸呢？来看一下，这个溶液 a 里面，它是有硫酸亚铁的，所以呢，你这个硬离子要给它配硫酸根哈，那么这个 y 呢，也就是硫酸 好，所以这里面首先铁的话呢，他就是，呃，没有发生变化就跑出去，哦，不是这铜的话呢，他就是没有发生变化哈，就跑出去了，呃，然后呢，铁和硫酸反应生成硫酸亚铁，锌和硫酸反应生成硫酸锌，以及这里面还有这个过量的 y， y 是 过量的，所以呢，我们还有剩余的硫酸哈。呃，所以这里面我们再往里面加入锌的话，大家看一下硫酸亚铁和锌呢，它是反应生成铁氮质和硫酸锌，硫酸锌呢，它就直接跑出去了就可以。 硫酸和锌呢，哎，它也是可以反应生成硫酸锌，那么剩下的呢，就是这个氢氦，那气体就跑出去了 啊，所以就跑出来的就刚好是这个铁固体和硫酸锌这样的一个溶液。好，那来看一下第一小问步骤一的操作名称，那步骤一的话呢，它是，呃直接分为这个固体和溶液哈，所以呢，也就是过滤的 操作好。第二个物质 y 的 化学式，也就是硫酸，嗯，第三个写出步骤三中生成铁的化学方程式，那生成铁的它的反应物呢，也就是硫酸亚铁和锌，然后呢，反应生成了硫酸锌和铁氮质。 好，第四个步骤三中加入适量的 x 的 目的是？那来看一下哈，新加入进去，它分别是跟谁发生反应的？首先呢，它跟这个硫酸亚铁发生反应，也就是把硫酸亚铁 全部转化为 铁啊，那除此之外呢，它还把这过量的硫酸也全部转化为硫酸锌哈。 哎，这种问题呢，大家只要看它是跟谁进行反应的就可以了。好，第五个，硫酸锌的溶解度受温度影响较大，那么溶解度受温度影响较大，这个呢，我们用的是降温解冻的方法哈。 嗯，然后呢，我们再补充一个，比如说像绿化呢，这种受温度影响，溶解度受温度影响，基本上没什么太大变化的。那这种的话呢，我们用的是蒸发结晶的方法。 好，最后一个请写出一条保护金属资源的有效图形。哎，这个呢就比较多哈，比如说回收利用金属， 回收利用废旧的金属，哈 啊或或者呢防止金属腐蚀，哎，都可以。

中考数学，他的几何压轴题其实是送分题，出题人早早的就把那些解题的方法隐藏在题目里了，关键就是看大家能不能看懂，能不能听懂这六句黑话啊！大家好，我是孙老师，专注中高考题分训练， 家里有中考生的赶紧给我收藏并转发给孩子看！首先第一句，题目让你求线段的长度。这类题型，它的解法是非常固定的，无外乎就三种，勾股定律，相似三角形、三角函数这三大金刚，尤其是圆的大题考的最多，你看到有直角立马上勾股定律，你看到有平行线、 a 字、八字结构，立马往相似三角形上面去想。 如果题目给了三十度、四十度、六十度这种特殊角，那百分之百是三角函数，那么这几种解法呢？要么单独用一种，要么是两种，三种搭配着用，肯定能算出来。第二句，两条线段的比值你不用纠结，说白了就是考相似，没有比相似更适合算比例的了。 你只要能认出来是 a 字相似，八字相似、共角相似，还是手拉手模型的相似，咱对上模型这道题，基本上就八九不离十，稳拿下了。还有第三个求角度圆的大题的第一问，基本上全是倒角，你要记住一些常用的招数，用平行线去倒它的内错角、同位角， 靠直角去找互余角，用圆心角、圆周角、斜切角进行互相的转换。还有就是等幺三角形，底角、相等角、平分线平分两角，来来回回就是不停的去倒角，你把那些角度的关系给他理顺就完事了。 第四个求图形的面积，简单的题目，你直接套公式就行了。那如果碰上跟二次函数相结合的面积的大题，你就用千锤高法 横着竖着做辅助线，拆分它的图形，其实本质还是算三角形的面积，你只是稍微绕了个弯。还有第五句求最值的问题，像最短路径、最大面积、最大角度，通通都属于这一类。那么求最短的路径往哪想呢？ 往将军一马模型上去套啊，对吧？你面积最值用什么呀？那就是二次函数化成顶点式，还有引元的最直线元的最值，全都是固定的套路，咱只要技术，就一定能直接套用 啊。第六句就是问是否存在某一点满足题目的条件，那这类题目不用多想，绝大多数都是存在的，你只要确定存在了，以后呢？ 还是老三样勾股相似三角函数，你把这些几何的关系转化成方程给他罗列出来，那你解出来合理的答案，他就是存在，他的逻辑就这么简单。 所以说呢，其实几何压轴题一点都不选选，你把这几个套路给他记牢，咱一定能轻松拿高分。那如果你是初二初三的学生，数学还找不到方法的后台，赶紧联系孙老师，带你轻松上分。

一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？

中考最后三道压轴题分别是圆二函数体和综合大压轴，如何快速拿下这些题型，稳稳拿到满分？今天我给大家整理了攻克这三道压轴题的使用口诀。首先来讲圆的题型，第一，见到圆，牢记三线一补，看到直径，立刻想到九十度的圆周角， 看到切线，马上连接半径，得到垂直关系。看到弦，第一时间运用垂径定理解题。第二，题目要求求解角度时，优先寻找四点共圆，利用四点共圆对角互补的关系，快速推导角度关系。这是今年的一道北京的一模题，已知 a、 b 是 圆的直径，哎，我们知道直径所对的圆周角是个九十度， c 为半圆，上一点连接 a、 c。 好 了，注意， a、 c 做的是圆的啊！弦看，接下来又说了，过点 o 做 o、 d 垂直于 a、 c， 那 么 o、 d 过圆心了，这不就是径吗？ 又有径又有弦，这就是垂径定理呀！所以我知道了，这儿垂径，那么 a、 d 等于 dc， 这儿是个中点，所以这个三角形它就是一个等腰三角形。继续来看下一个条件，过点 a 做半圆 o 的 切线，只要碰到切连半径得垂直。好，注意这里啊！ 接下来交代位置关系，求证 e、 c 为圆 o 的 什么切线？老师说了，只要碰到切，我们就是连接半径，要得垂直。所以我们是不是就要去证明角 e、 c、 o 是 九十，怎么去正呢？那肯定就是根据题目当中给我们的这三个关系去正了。先来看第一个， a、 b 是 圆 o 直径好得到角， a、 c、 b 是 九十。 第二个，这里有一个垂径，得到了三角形， e、 a、 c 是 一个等腰三角形，所以我们就得了等腰三角形。角一和角二是相等的呀，原半径和原半径相等，所以角三和角四相等。 已知这里有一个切得角 e， a b 是 九十，所以一加三九十等量代换二加四也是九十。好了，这边垂直，所以第一问切线我们就成功搞定了。继续来看一下第二问啊，连接 b d 并延长交于 b f， 若半圆 o 的 直径为十， tangent 角 c， a b 等于零点七五，求 a、 f 的 长。这里老师给大家说一下，一般情况下我们去求长度都可以用什么方法求长度呢？给你三秒钟的时间 求长度，我们用的最多的其实就是勾股定律，还可以用相似，还可以用三角函数。在这里涉及到三角函数了，肯定是要用三角函数的， 是用其中一个方法，还是需要把这三个方法我们都需要用到呢？这是求长度经常常用的方法啊，缺乏解题思路的同学可以自己记一下笔记来看。让我们去求 a f， 已知这里是九十，所以 a f 它在这个大三角形当中， 可是题里头给我们的这个三角函数值给的是什么角 c a b 啊？这个角角它的对边比上邻边，对应的是三分，比四分，所以我知道了，给我估一下， a b 对 应的是五分，已知 a b 等于十，所以这个三条边的长度我们就可以求出来，这条边是六，这条边是十，这条边是八， 那么垂径定律 a d 的 长哎，一半呗， a d 等于 d， c 就 等于四。当你在解决几何问题时，没有思路了，我们一定要记住，在我们中考压轴题的时候，凡是考几何，那么就是考两个知识点， 一个知识点就是相似，哎，这里有了一个知识点是相似，另一个知识点就是三角函数。因为这一道题没有涉及到旋转、平移等，所以我们想办法来凑一下能不能找到一个三角形 a、 b、 f 相似，哎，我们就可以发现这个三角形 b、 h、 b 和 原来的这个三角形 f、 a、 b， 它们不就是相似吗？已知这个角角的 tan 等于三比四，所以我们就可以得到这条边三分，这条边四分，这条边五分，对应的我们就可以求出来 a、 h 的 长度， d、 h 的 长度。好了，整边长 a、 b 等于十，所以 h、 b 的 长度我们也知道了，那么就是十，减去五分之十六等于五分之三十四，从而我们就可以直接得了三角形和三角形相似，那么就可以直接来出了。 af 比上 d、 h 等于 a， b 比 h， b， a、 f 比上五分之十二等于十比上五分之三十四。通过计算 a、 f 等于十七分之六十。接下来是二次函数压轴题。解析核心，记住，一找二表三转化， 一找找准定点、对称轴，还有函数与坐标轴的交点，这些隐藏条件既能够用来求解函数解析式，也可以用来判断函数增减性。求解最值的关键依据。 第二表，把题目当中的关键长度、图形面积全部用坐标差值表示，计算过程记得用绝对值来表示，记得答案为正数。转化，遇到平行四边形等腰三角形，直角三角形，这样存在性，题型全部进行题型转化。巧用终点公式，两点距离公式 突破定律，列出方程，解方程，得出答案。那么一起来看这道题。这是二零二五年四川的一道中考真题，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴分别交于点 a 和点 b 两点与 y 轴交于点 c， 且抛物线的顶点为一等负四。第一问，让我们去求解析式。 这个题很轻松的，我们就是直接根据顶点坐标，所以我们来设顶点式， y 等于 a 倍的 x 减一，方减四。接下来看一下它的第二问， p 是 抛物线上的一点， 点 d 的 坐标是零到一，已知点 d 坐标连接 bc。 ok， 好 了， b 一 问，求完解析式 b 坐标知道， c 坐标知道，只有 p 的 坐标不知道。若三角形 c、 d、 e 与三角形 b、 p、 e 的 面积相等，求 p 的 坐标，那么我们碰到这样子的题就要明白，让我们去求坐标的时候，我们就可以设未知数呗。设未知数其实就是代入系数， 那么我们就可以上来先去设设点 p 的 横坐标为 m， 纵坐标是不是就是我们刚才求的解析式往里面一带？好，那么接下来呢，让我们去研究的是面积问题，我们要进行怎样的转化？哎，你可以发现这两个三角形的面积，哎，你去求左边三角形， 无论你是套面积公式，还是用割补法，还是用牵扯法，都没有办法表示出来呗。同样的右边三角形我也求不出来，那怎么办呢？我们就要去找找这两个三角形面积之间有怎样的关系。哎，我发现了， 将这两个三角形啊，都给它加上我现在蓝笔画的这一块，那么是不是就组成了这样子，左边的这个大三角形和老师右边来画的这个四边形， 左边画的蓝色三角形和这个四边形的面积，它们是相等的，接下来我们只要表达出三角形， o、 b、 c 的 面积可以求出来。还有右边的这个四边形好过屁向 x 轴做上一条垂线 来割成了两个三角形，也可以用含 m 的 式子表达。接下来列等式这道题就解决遇到这样子的存在性问题，我们要做的就是要把问题进行转化，把这两个图形之间的等量关系，你要找到最后一道就是几何综合 e a 轴题， 杨老师提醒大家，几何综合压轴题常考旋转相似以及最值问题，做题一定要熟记基础几何模型，摸清动点运动轨迹，这是答题关键。遇见旋转题型联想全等相似三角形，同步寻找等腰边角关系。遇见相似关系，看到乘积式直接转化为比例式。 遇到最值问题，牢记对应答题方法，将军引马问题，利用轴对称造桥选址问题，借助平移思路进行解答。 员外定点求最值，运用三点共线一箭穿心模型，遇到诡计类最值问题，活用刮豆原理，理清主动点和从动点之间的位置与运动关系。吃透这三类压轴大题，摸清出题人的思路，轻松冲刺，压轴满分，同学们加油备考！

一个视频，学会将军印马瓜豆原理，阿是园胡不归、废马点逆等线繁衍变幻。初中几何必考的将军印马其实特别简单，总共就两大招，找对称，平移，再找对称，吃透这两招，十三式考试所有将军印马问题都能轻松搞定！ 第一招找对称，第一是两定移动，一侧和最小两个定点在直线两边动点，在直线上直接把两点相连，线段长度就是最小值。 第二是两定移动，同侧和最小两点在直线同一侧，随便做一个点的对称点，再和另一个定点连线交点，这条线就是最小值。第三是两定移动，同侧差最大，同侧两点直接连线延长， 和直线相交两点距离就是最大值。第四是两定一动，一侧差最大，先做对称点，再连线延长， 对应的线段长度就是最大值。第五是一定两动，垂线最短，一个定点两个动点直接过定点做垂线，垂线段最短直接出答案。第六是一定两动对称加垂线，先做定点的对称点， 再做垂线，垂足位置就是最直点。第七到第九式，全部都是双对称套路，分别做出定点，关于两条直线的对称点，两点一连，找到焦点，就能求出线段和周长的最小值。 第二招平移后找对称地势到十三式通用方法，题目出现固定长度的动线段，先平移定点，异侧直接连线，求最值，同侧再补一次对称，最后加上定长，最小值直接算出来。大家记住口诀，异侧直接连 同侧造对称，预定长，先平移，将军印码轻松拿下！想学全将军印码完整模型例题和配套练习题，直接来我的初中数学动画课系统学习。 刮豆原理又叫主从联动模型，核心逻辑很简单，主动点是什么轨迹，从动点就是什么轨迹，二者轨迹形状相似。 注意，刮豆原理必须同时满足三个条件，缺一不可，第一，有一个定点作为旋转缩放的中心。第二，有固定比例，主动点从动点到定点的距离比值始终不变。第三，有固定夹角，两点与定点连线的角度固定。 它的核心口诀是，线生线圆生圆，主动点沿直线运动，从动点轨迹就是直线，主动点沿圆运动，从动点轨迹就是圆线生线。模型中满足定点定比 定角条件时，从动点轨迹为直线，两条轨迹夹角长度比分别对应，定角和定比运动形成的三角形始终相似。圆生圆模型同理，从动点轨迹为圆，两人的半径比、 圆心到定点的距离比都等于固定比例，对应的定点圆心圆上点构成的三角形始终保持相似。刮豆原理通用解析步骤是，一、找准固定中心点。二、区分主动点和从动点。三、找定角与定比。 四、会制轨迹直线取两点定位圆形找圆心和半径。最后牢记一错点刮豆原理至保证轨迹形状相似。想要确定具体位置和大小， 必须依靠题目隐藏的旋转相似变换速记口诀，定角定笔，线生线圆生圆，旋转相似定轨迹。完整的瓜豆原理模型。例题和配套习题在我的初中数学动画课，阿式圆是用来解决一类带有系数的线段最值问题， 它是一个到两个定点 a、 b 的 距离之比等于定值的动点 p 的 轨迹，我们叫它阿波罗尼斯圆，简称阿式圆、 阿式圆。它的核心的方法就是要构造字母相似。比如在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于三， a、 c 等于九， 我们要找一条线段等于三分之一 b、 c 在 a、 c 上取一点 d， 使得 a、 d、 b、 a、 b 等于一比三，这样的话，我们就有了 a、 d、 b， a、 b 等于 a、 b、 b、 a、 c。 又因为角 a 是 公共角，所以三角形 a、 b、 d 和三角形 i、 c、 b 就是 相似的，那 b、 d 就 等于三分之一 b、 c 了。 简单说，阿式圆构造子母相似，本质就是凑出固定比例关系，借用公共角证明相似，轻松把带系数的线段转化成普通线段。阿式圆完整模型 例题和配套练习题在我的初中数学动画课，胡不规模型是专门解决 k 被 pa 加 pb， 带系数线段和最值问题。胡不规与阿式圆极易混淆区分，核心只看动点轨迹， 动点在直线上运动是弧不规动点在圆上运动是 r 十圆，找准动点轨迹就能快速锁定对应模型。弧不规的解析核心是构造角度转化系数线段，把带系数的线段和最值问题转化为垂线段最短的基础。几何模型求解 胡不归通用五不解题法可直接套用。第一步，判定模型。判断题型是求 k 被 pa 加 pb 的 最值问题，且动点轨迹是直线。第二步，转化系数。将待转化线段的系数化为零到一，为构造辅助线做准备。第三步，构造等线段， 利用正弦构造角度与垂线等量替换带系数线段，实现化折为值。第四步，转化最值形式，通过线段转换，将带系数线段和转化为普通线段和最值。问题， 速记口诀，判轨迹，划细数，构垂线，划折为直。来我的初中数学动画课学习完整的胡不规模型，有立体和配套细题。费马点是三角形内到三个顶点距离之合最小的点。所有费马点题目解析核心只有一招，旋转六十度，构造等边三角形， 通过旋转转化线段，把曲折的线段拉直，利用两点之间线段最短，求最小值。掌握这个方法就能解决绝大多数费麻点题型。 做题首先要会判定费麻点的位置，一共两种情况。第一种，三角形，三个内角都小于一百二十度， 他的费麻点在三角形内部，也叫等角中心。这个点有个关键特征，对三条边的章角全部都是一百二十度。第二种， 三角形，只要有一个内角大于一百二十度，不用额外找点，这个钝角顶点就是费麻点，直接用这个点计算距离和最小值即可。如果三角形最大角小于一百二十度，我们可以这样做图， 任选两条边向外做等边三角形连接对应顶点，两条连线的交点就是费麻点。它的解题原理很好理解， 核心就是化折为直，把三角形内部的小三角形绕顶点旋转六十度，旋转前后图形全等，同时形成等边三角形，实现线段等量替换。原本三段折线的距离和转化后，当所有点共线时，折线完全拉直， 这条线段的长度就是最小值。此时费麻点的三个夹角均为一百二十度。逆等线是初中几何高频易错的最值模型，专门解决双动点题型。 只要题目出现两个动点，存在固定相等线段，求两条动线段和的最小值，基本就是逆等线模型。它的定义很好记，两个动点分别在两条不同直线上运动，且到一个定点的距离始终相等， 这足等长线段就是逆等线段。提型固定求线段和最小值，大家一定要分清它和将军印码的区别，将军印码线段首尾相连，靠对称就能转化求减。逆等线的等线段分散不相连，不能用对称，只能构造全等三角形转移线段。 逆等线核心解法就一句话，一边一角造全等，转移线段化折为直。通过全等替换线段，把复杂的双动点最值问题转化为两点之间线段最短的基础问题。 大家直接套用四步解题法即可。第一步，找三角形，用题目中的逆等线段和动线段组成线成三角形。第二步，找定边定角，找出三角形中固定不变的边长和角度， 作为构造全等的依据。第三步，造全等，以定点为中心做等角等长线段，用边角边构造全等，完成线段等量替换。第四步，化折为直转移带求线段，将线段和转为折线 连接端点，利用两点之间线段最短求出最小值。总结来说，逆等线的解析逻辑，固定靠构造全等化解双动点难点， 适配所有同类辨识题。速记口诀。御逆等线段一边一角造拳等线段转移化者为直，两点连线求最值逆等线模型。例题和配套习题在我的初中数学动画课， 繁衍变换是初中几何压轴题的高阶模型，专门搞定最难的双动点轨迹和最值问题。首先咱们搞懂模型定义，先锁定一个定点，再有两个动点，只要两个动点到定点的距离乘积是定值，中间夹角还固定不变， 这就是繁衍变换。很多同学分不清繁衍变换和刮豆原理，记住一句话就够，刮豆是定比加定角， 诡计会变。口诀，剑定笔用刮斗剑定机用繁衍。繁衍变换一共就四种类型，秒杀判断技巧超简单，定点在直线上就是线生线，定点不在直线上就是线生圆定点在圆上就是圆生线 定点不在原上就是原生原。考试遇到繁衍变换题，直接套万能步骤，第一步，看题型，双动点定机定角，直接锁定繁衍变换。第二步， 找准定点，定机定角。第三步，乘积变比例，构造相似三角形，转移线段。第四步，判断轨迹，直角出圆定点定角出直线。第五步，求最直点，圆最直，用圆心距加减半 径最直，找三点共线。记住核心口诀，繁衍变换不用慌，定机定角，造相似线缘互变定轨迹。

刷了一百道题辅助线还是靠蒙？不是你笨，是没有人教透你底层逻辑。今天我只用三分钟时间，带你彻底吃透绝配角的根源原理，学会直接碾压百分之九十九的同学。 这个题目中，他给了直角，却给了这段的线段长，还给了这些线段的长度。所以你猜这个题 我们后续在计算过程中一定会用到的知识是什么？我们在读题干的时候，你就要有一个方向，有的题目肯定是不会涉及到很多计算的，但是有的题目给了你这样的直角信息，往往你就要借助直角去进行计算。所以这道题你一看它给的这些线段关系，勾 股定律，这题大概率要用上。那接下来开始看题干。题干中我们得分析一下，告诉我们 a b 和 a d， 哦，这俩是相等的，那这里相等，我应该可以得到的结论是， 比如说在这和在这，这两个角一定都得是四十五度的角。等腰直角三角形吗？我在读题的时候我可以想到这些。另外题目还告诉你， d e 是 角平分，线 平分角 abc， 这就很尴尬，这块很容易搞乱，因为你会发现这出现了三个角。但是 d e 平分的是我现在标注的两个大红，看一下 大红，两个大红，他俩大小是一样的，被 d e 平分。然后呢，我知道的角是这部分，加上他这个四十五度很难用， 这个四十五度也许还能知道该怎么用一下。好，我们先放在这题目，还给了角 a 等于等于角 c， 然后呢，我们最后要求的是 d e 的 长度。来，咱们可以反向去思考一下这道题归根到底我们要怎么去做？前两天我给大家讲过一个知识点，叫做绝配角，我不知道还有没有同学记得我说， 凡是角的关系，能够满足像这样的关系的角就叫做绝配角。而在这道题目中考察到的又是和绝配角相关的另一种辅助线思路。想把这个题从根上学明白，这个基础你必须得搞明白。 其实绝配角我们最开始研究，它是出现在这样的一个等腰三角形中，在这个角我们假设它是二倍的 r 法，你会发现这个是九十减去 r 法，这个也一定是九十减 减去 r 反，这就是一组绝配角，二倍的 r 反和我们九十减 r 反是一组绝配角。或者我现在说在一个等腰三角形中，咱们就简单一点来， 现在随便给你个三角形，这个角就是 r 角，这两个角都是 beta 角，它们三个的和也一定满足等于八十度。接下来咱们来看一下今天我们拿到的这个题，你应该用什么样的思路把辅助线能做出来。现在咱们假设一下，假设小红呢？它的大小，嗯，用 x 来表示吧。 好，两个小红，它们的大小都是 x， 那 么对应着我们假设两个小绿大小咱们都用 y 来表示，在这里面 x 加上 y 等于多少度？这应该很直接，一眼就能看出来，在一个直角三角形中，老师你是逗我玩的吗？它俩的和一定是九十度啊。由此我应该可以得到的是二倍的 x 加上二倍的 y 等于一百八。我们把这样的一个式子写出来以后，这道题辅助线思路往往就已经能够想到该怎么去做老师，它能带给我的是什么呢？大家来看，这出现的是二倍的 x， 这出现了一个 y， 所以 你可以理解成二 x 和 y 是 构成绝配角的关系的，因为在这个式子中， r 反和 beta 是 构成绝配的关系，所以只要再给他补上一个角，让这个角的大小跟外相等，他就一定是三角形。换句话说，如果我把他直接已知的边全部给他延长出去，嗯，延长 c、 b， 然后再延长 d， a。 大家来看， 现在咱们就这样给他去把延长做出来。在这种情况下，这样出现的这个角，你只要给他补成三角形，借助这个关系，你一定可以知道它的大小是 y。 所以 这道题的关键 完全取决于你能不能想到这个辅助线的连接。现在这个角是外，这个角是外，那么就意味着 c、 d 的 长度和 d、 p 的 长度是完全相等的，整个这段的长度就应该是六倍的根号五。而且你又会发现，下边的这个三角形 b、 a、 p 和上面的这个三角形 d、 a、 e 这俩三角形一定会满足什么关系。因为题目中上来就告诉我们， ab 和 ad 是 相等的直角，直角它们俩也都有，然后我们对应的角，比如说这个角角外，这个角角外也有。由题目给出这些关系，我们可以得到全等的信息，也就是说我们会发现 d、 a、 e 这个三角形和 b、 a、 p 这个三角形一定全等，所以这一段的长度和 a 一 样，这就是二倍的 根号五，那么对应着上边就应该是四倍的根号五，这是二倍根号五，这是四倍根号五。最后我们要求低 是不是就变得非常容易了？这就是我们整个这个题的解析信息，所以这道题的正确答案，你可以求出。借助勾股定律二倍根号五平方，四倍根号五平方之合开根号，结果等于十，这个题我们就求出来了，数学找老钱，进步会很甜。

各位看一下这道题啊，你能不能证明出来啊？说，无论 ab 为何值啊？ ab 啊，无论为何值。 s 一 始终等于 s， 二 就是这个三角形的面积和这个三角形面积使始终相等。这么神奇吗？这是一个正方形，两个正方形啊，两个正方形 ab 不 管等于多少啊？他们的这个三角形和这个三角形面积始终相等，你敢信啊？怎么证明？ 我们来看一下这个面积面积公式多少？是不是底层高除以二。你有没有发现这个边长是 a， 这个边长也是 a， 这个边长是 b， 这个边长也是 b。 这个三角形我能不能找一个同样的底，比如说啊，我以这个为底也可以啊，以这个边长为底也可以，都行啊，咱假设以 a 为底，好吧，那他的高是不是在这啊？ 这个三角形它的高是不是在这啊？对不对？那这个三角形如果以 a 为底的话，那它的高在哪？它的高，这个三角形的高在哪？是不是得延长一下， 然后从这做个高呀？对不对呀？它的高是不是在这呀？是不是这个高？好， 这个三角形的底都是 a， 对 不对？我只要证明这两个高相等不就行了吗？这两个高相等不就行了吗？怎么相等呢？大家有没有发现 这个三角形和这个三角形看起来像是全等啊？像不像全等？这怎么证明他们全等？你看这个边是不是等于这个边？ 这个斜边和这个斜边是不是相等？这是直角啊？这两个斜面相等，那还有什么？这一个直角，这也是直角，我只要再证明一个角度相等就行了，比如说我证明这个角 啊，比如说等于这个角，或者这个角等于这个角就行了吗？啊？对不对？这个角和这个角相等不相等啊？咱证明一下啊，假设这是角一，好吧？这个角等不等于这个角这角二啊，这两个角相等不相等， 这个角二是不等于这两个角之合呀？因为它是外角，外角等于两个内角之合，这个角二是等于它俩相加， 那这个角等不等于这两个角相？这两个角相加啊？ 哎，等不等啊各位，哎，不对，这是不是我公公角角三啊？这是直角，这是直角，这个角二加角三九十度，这个角一加角三是不是也是九十度啊？ 不一定，九十度吧？啊，怎么搞晕乎了啊？啊？这个，这个怎么证明啊？ 哎，这个角是等于这两个角之合，这个角没问题啊。啊，刚才这个思路是对的呀，你看这不是延长线吗？这个是直角，角一加角三是九十度， 角一加角三九十度，这个也是个直角，因为正方形吗？角二加角三也是九十度，那角一是不是等于角二啊？角一等于角二，那这个角是不是也等于这个角？因为这直角吗？三个角度相等，而且还有一个边，你看 这个斜边还等于这个斜边，这两个全等啊，全等的话，他们的高啊，也相等啊，高相等，底相等啊，这两个三角形面积肯定相等啊，这个板数有点乱啊，回头大家自己再好好证明一下，各位。

哈喽，各位同学们大家好啊，今天我们接着讲一些这个压轴题，拆解系列的题啊，我们话不多说，来讲这个，讲今天讲的这个题 啊，他说这个，这个是一个零下的呃，改编题啊，其实难度我感觉一般，但是他的思维方式啊，有有很多种，我给同学们多讲几种啊，这里讲个三到四种思维方式啊，就三到四种方法好，第一问，他说这个抛物线 y 等于 a， x 平方减去二分之三， x 减二这个玩意儿，大家同学看一下，这个几个位置数啊，是不是只有一个，只有 a 四，这个待定穴只有 a， 他 是咱是不知道的，是吧？ 好，我们看一下，我说过一个位一个位置数，是不是只需要一个点，一点一方程，同学们还记得吗？一个点需要一个，一个点能搞定一个方程啊，特殊的点，比如零点，他能搞搞定两个方程啊，来看这个，把这个点带进去是不是抛物线的解析式就搞定了？第一问，这种都是送分题哈， 大家把它算准一点啊，他说你看 y 轴，把这个 a 点带进去啊，他都很 x， 就 带 x 这个，这个代表 y 是 吧？ y 就 等于零， x 等于负一，带进去就等到这个 好， a 加二分之三，把 a 算出来是零，二分之一好，把 d 问算出来的抛物线解析是，我们先不看第二问，当你看到 任何的题，当你把这个解析式算出来的同时啊，同学们，他与这个抛物线的横中坐标是不是搞定了？就抛物线上的交点，比如说 a 点， b 点， c 点的坐标是不是都能秒出，像 c 点是不是零，都好。负二，他这个 a 点的坐标是以给了，对吧？ 哎，有有，有些同学他，他会这样，像这样，像这样去做，就是把它带进等于零，没必要用根与系数，对吧？ 用根与 c 数据做 x 加 x 等于哪？什么？负的 a 分 之 b 是 多少？负的 a 分 之 b 二分之一 分之，负的二分之三是多少，对吧？是不是三是吧？ x 一 是不是题干给他是负一，那什么，那 x 二是不是就填等于十了？没必要，没必要像他这样去算啊，这样算影响你的速度哈。好，来，我们来，我们接着讲啊。好，当 有了以后，看见所有的假当解析式出来的时候，横中坐标的焦点，立刻把它写出来，肯定是有用的，在分析问题啊。我们来看一下，他说如图， p 四第四项线上的抛物线就是这个点，这里 这个 p 是 我用荧光笔给大家看一下，就在这个，对吧？他就这个 p 点在这个上面，第四线线运动，他说勾点 p 做 pd 垂直 x， 哈， 这个当看到这个垂直于 x 的， 你看这个 d 点， e 点， p 点，它是一条垂直于 x 轴的线，我说过，当你看见垂直于 x 轴的时候，它是不是天然和 y 轴平行，因为 x 轴和 y 轴是天然垂直的，还记得吗？当你当这个垂直的时候，我想问一下同学们， d、 e、 p 三点的横坐标是不是都应该相等？他说交 bc， 这个交 bc 点 e， 他 说 d 点的横坐标是为 m， 他 中坐标是不是也是 m， 一 点的横横坐标是不是也是 m， 是 吧？ p 点同理也是啊，对吧， 我就不多说，对吧？ p 点也是啊，我刚才说了， a、 c、 b 三点都有了，这个一点是 bc 和这个 dp， 他的焦点，对吧？你看题干给了，这个是题眼， p e 等于 p e 的 长等于二分之五，加上五倍的 b e， p e 是 不是什么竖直线还记得吗？同学们，竖直线 对吧？竖直线等于 b e， 哈，这个题很多同学首先方法一啊，就第一种思维方式的同学，他是，他是怎么想的？我，我来给同学们理一理他这个题 好发一的方法，我，我只讲十五思维方式，然后拿一个题给大家演算一下哪一种方法。发一的同学，是不是他说，哎呀，老师，你前面讲过竖直线 p e 对 吧？ p e 的 长度其实大家都一样，是不是都会算，就一点的一点的，呃，动作标减去 p 点的动作标，是吧？这个能搞定 好，这个是能，能行的吗？为什么呢？好，我们分析一下一点和 p 点的坐标标能不能求 p 点是不是在这个抛物线上，是不是在这个上面，这个上面是不是带进去能一样就 p 点的，呃呃呃，这个重坐标是不是二分之一 m 的 平方带入那个体感减去二分之三 m 再减二， 同理， e 点的作，呃，这个，呃，重坐标也是能呢？为什么这个 e 点在 b c 上， c 点和 b 点的作两个点的坐标有，两个点的坐标有，那这条直线就能确定，而横坐标为 m， 这两这个 b b 点的横坐标刚刚算的是， 呃，这个，这个 b 点的坐标是四对号零， c 点坐标是零对号，那这个一点的坐标，这个点我们肯定能算出来啊，对吧？这，因为这个直线有了这个横坐标，要带进这个这个重，这个重坐标有了哈，所以说 y 一 和 y p 它能算出来是一个含 m 的 值，我们要求到 c m， 对 吧？要，要一个方程。 然后这个 b e， 是 不是很多同学是这样说的，两点零距离公式可以 b e， 大 部分同学就用两点，就是 b 点的横坐标对吧？啊？ b 点的横坐标减去一点的横坐标的平方，再加上呃， b 点的 这个重坐标减去一点的这个重坐标的平方啊，没问题，肯定肯定可以，因为一点有， b 点有，只是可能这有时候这个题卷量还好啊，有些时候卷量比较大。这个方法一我就不讲了，方法一，这个百分之八九十的人可能都是这样算的哈， 我，我觉得这种思维方式是可以的，但是在这做题速度时候，你会慢于别人哈。来，我讲第二种方法，看同学们能不能思考，我多讲，我多讲，来，认真看哈，我用黄色的看来。法二，我写旁边。 好，我们来转换一下，是吧？因为这个 e 点和 y e 这个 p e 嘛， e 点和 p 点这两个相对来说，它的长度就 p 的 长度相对来说好的，只是 b e 的 长度要难算一点。好，我们来分析一个东西，我说过这个垂直，这就是思维方式对比，当你想到垂直的时候， p d 是 不是垂直？ x 轴， 他给的 x 和 y 轴是不是天然垂直？垂直的时候，这，那是不是 y 轴是不是应该平行于这个 p d？ 当看到平行的时候，平行线的时候，我，我是不是在前面讲过，是不是要想到一个东西叫做 相似，还记得吗？同学们，相似，那是不是可以利用这个东西来看看我，荧光笔 d e， b 和三角形 a， 这个 o c， b 是 不是相似？ 相似是不是就对应编程比例对吧？ c 点的长度是不就 o c 的 长度？是不是有的同学们，同学们跟上我的跟上，跟上我的速度， o c 的 长度是不是就是这个 c 点的工作标长度是不是就是三？这个 d e， d e 的 长度是不是就是一点？就这个一点 d 点和一点的 这个啊？ x 就是 d e 的 长度，帮我写一下吧。 d e 的 长度是不是就是 d 点 d 点的重坐标， d 点的重坐标，它不是零吗？减去一点的 一点的重坐标，就这个这个点，这个我们能搞定的。因为 bc 这条直线，我刚才说了， bc 这条直线能搞定。设的 m， 它这个重坐标是一个含 m 的 值哈，那也就是说 d e 有 了 d e 比上 ac 是不是应该等于等于什么？同学们，哈，是不是应该等于 b e 比上 b c， b c 是 不是能搞定的？ b c 不 就是勾股定律 o c a 的 平方加上 o b 的 平方吗？是吧？都，都可以口算的对吧？是不是根号四的平方加二的平方，根号二十二，根号二十二倍，根号五，这个都能口算出来的哈，你看那，那是不是说 这个 b e 和这个这个 d e 之间就就有一个 m 值的转化？那 b e 是 不是最后也能写成一个含有 m 的 一个式子？那是不是也能利用这个题把这个题做出来？好，这个是法二，听懂了吧？哈，我稍微讲，讲的有点快了，同学们可以慢慢听哈， 我感觉我因为方法很多，我多讲几种，然后把这个擦掉，好，反而有了。来来来，我们那那有了，有种这个这个不同思维方式带来的题啊，同学们认真听，那有不？还有没有其他的方式的？肯定是有的，对吧？脑子灵活，你想一下，想想用黑笔写了这是， 嗯，相适用了是吧？用，可不用角啊，你看这个玩意是不是一个，这个垂直是不是一个直角？这个 p e b， 这个是个直角对吧？又正切正弦等等的一些问题，这个，这个用什么呢？首先正切可不可以肯定是可以的，怎么说呢？这，比如说这个，哎， 嗯，地点的横坐标是 m 到零，那这个 d b 的 长度是不是四减 m， 对吧？那这个，哎，这个是应该是属于正切的话，也就这个角嘛，这个角是不是能算出来？这个就是角 abc， 这个角，这个角它是不是能算出来？是不是应该等于 o c？ o c 如果比上这个 d b， 是 不是应该等于 d e？ 比上这个 d b？ 对 啊，这个和那个相似，一样啊，我们换种方法，我们用角来算，来，我们用角算，这样算的话还是和刚才那个方法有点类似啊，但是思维方式不同，我们可以用用算算正余弦的角，因为这三角形 abc 这三三条边都知道了，他的随便你看。这这条边是不是在斜边就用于弦吗？那不是 o oc 比上这个 o c， 大家看，注意看啊， o c 比上这个斜边 bc 是 什么？是不是余弦 cosine cosine 角 abc 吧，是不是应该等于这这条 d e 比上 b e？ 哎呀， b e 是 吧，咱们自己看是吧？要把这里插掉是吧？是不是这个角对吧？鱼弦没问题吧？ o c 能搞定吗？ b c 长度是一个，都是一个，具体的值 d e。 哎，鱼弦。哦，鱼弦用我用的正弦了，不好意思，这里不是 d， 应该是 d b 写错了，可恶了。 d b 啊，应该是 d b。 鱼弦呢？我，我用的，我用的正弦啊，鱼弦我用到正弦了，没睡醒。这个写正弦嘛，正弦也行啊，正弦鱼弦都可以。 好，是不用鱼弦更好。为什么这个 d b 它是直接就是四点 m 用鱼弦嘛，鱼弦也行，正弦也可以，好像 正弦那个他要用那个 d 和 e 的 剪子没有这个方便。一样都一样啊，我把这个擦掉啊，对，不好意思啊，同学们啊，我这个喜喜欢哈，就正弦这个余弦嘛，余弦， 那余弦也行，余弦嘛，就是这个这个这条边就这条边嘛，余弦就这个这条边是 ob 科三角 abc 是 等于 ob 比上 bc 好， 也等于这个余弦。这 d b 比上这个 b e 是 吧，这个 b e 就 能这个这，因为这两个都是确定的值。这个 d b 我 说了是四点 m， 那 最后这个 b e 也是一个含有 m 的 值，也能换成一个，换成一个 m 换成 m 的 值，然后用这个题啊，方法就就这么多啊。方法是比较多思维方式的，你呃的比较多啊，都要想一想，把这个擦掉哈。 好，我我就用最后一种吧，我提干给了最后一种，我把这都擦掉。认真听啊，我刚讲那几种方式大家都听一听啊，然后我大家用，随便用其中一款，大家理一下。好，刚说这个东西用红笔，不好意思， 是低温算出来的，他说用他这个这样去算，我说这样算很慢哈，因为我刚才根根与系数不用去解方程啊，更快。 b 点和 c 点有 bc 的 长度是不是有？我再说一遍 这个 d， e， b， d 点的坐标，我先应该正确一下 d 点坐标是不是有 p 点坐标是吧？为什么 b， c， b、 c 的 长度啊？ b， b、 c 的 解析式是用 b 点和 c 点把它求出来，而他顺带把 b、 c 的 长求出来了，可以哈，把 b、 c 的 长度求到二位杠五 b 点和 c 点， 但是我就不在这里解 b、 c 的 解析式，为什么这么求了这个两个点啊，你我说的用斜率器算更快啊。啊，这个算的是 d， v， e 啊，他用的啊，这个就是用的那个了，用的就是啊，余弦啊，余弦用刚才这个把它带进去。 d 点有， p 点有， m 点有，对吧？ pe 对 吧？ pe， 我 再说一点，就是竖直线，就是说 p 就 应该是一点的。呃，的重作表减去 p 点的作表，这里他就没写的很详细了哈，这里两个相等啊。把 m 算出来啊， m 算出来的时候他这个算出来两个字，一个二分之五，一个等于四，为什么不等于四？同学们想的明白吧。 d 点的坐标呀，为什么不能意思是吧，他说要在 d 这里啊，在排污线的 d， d 这个抛物线内啊，形成一点，他如果在这，他 b 点，嗯嗯，坐标不是速度上来，跑到这里来了肯定不死不行啊，他靠，这个重合了，他不在 d 四线，他是坐标走上啊。 这个题就讲的那样，主要是把那几种思维方式搞明白啊，我觉得还是不难的。

二零二六年安徽中考数学压轴题第十十四、二十二和二十三题的题型预测结合近期啊，就是合肥市的一模、二模试卷来看，二零二六年的安徽中考的压轴题啊，有第十题、十四题、二十二点二十三题，他的题型轮廓已经非常清晰了， 整体呈现出墙体和重叠错考思维的趋势。压轴题更侧重于跨学科背景和综合探求能力。那么具体的题型啊，预测如下。 第十题啊，是我们单选的压轴，大概率是动态几何图形变化下的多结论的判断。重点关注待缩几何混合分析、图形折叠问题。核心方法，用设三法分析动点的轨迹，注意利用特殊位置来排除选项。 第十四题填空压轴题主要考察待缩式的恒等变换，先定义运算或含餐待缩综合 通常是两小问梯度得分，注意根据两式相减对条件进行转化、降次或直接带入特殊值进行验证。第二十二题是解答题的中档压轴， 强调几何基础模型在真实情景下的应用，重点关注相似三角形解直角三角形与化学科的情境。第二十三题就是我们的解答题的中局压轴， 聚焦代数综合下的几何探讨与定值问题。常见题型包括二次函数背景下的定点焦点问题， 以及几何综合与时间探讨。你比如方案设计，比如相关的阅读理解。二次函数题型，熟悉运用字母参数法处理含参计算几何体家族与动点，先分析连接位置。

今天我们看这个共幺双等幺的倒角，好多朋友都没听过这个名啊，倒角是咱们几何里的核心，然后有同学就说，老师我都没听过这玩意，那个这玩意能考吗？咱们记住一点啊，初二的考试一定是以初三为导向的，那你初三中考的内容核心重点是什么？你初二能跟他沾边的肯定是要考的。 那这次初三就是辽宁省各个地区的一亩，有好多地方能有一半左右的地区吧，都出现了一个倒角的问题，那倒角里面基本都会涉及到这些，什么二倍角啊，绝配角，然后双等幺的这些。那咱们今天就说这个双等幺的倒角，咱们八下的 那个四边形以及三角形勾股里面都会涉及到倒角这个问题。我们先看啊，这公幺双等幺是什么东西？公幺双等幺指的是两个等幺三角形，他们的幺是共线的时候。比如说你像我下面这两个图里画的 这俩图都是 a、 b、 c 是 等腰，然后 a、 b、 d 也是等腰。比如说第一个图里，你看 a、 b、 c 这个等腰三角形和 a、 b、 d 这个等腰三角形， 这两个等腰，它们是不是有一组腰？ ab 是 公共边，不是说腰必须是公共的，只要有两个腰是在同一直线就可以。 那这俩等腰三角形腰 ab 是 不是在同一直线上呢？那这时候就属于共腰双等腰，那比如说稍微变陷形，你看第二种，那这个三角形的 e、 f 这个和这个三角形 abc 这俩等腰，它俩的 腰。其中你看的 e 和 ab 是 不是就是在同一直线上呢？那在同一直线的两个腰，那咱们就可以说成是共腰、双等腰， 那这里的结论啊，就是公弦乘等腰里指的是这两个等腰三角形，两个底边所夹的角与不共线的两个腰所夹的角是二倍的关系。你比如说第一个图里面， 第一个图里面，你就像这里看两个底边，那是不就是 bc 和 ad？ 它俩所夹的角是不就这个角 f 延长之后夹的角，这角 f 角 f 就 等于补共线的这两个幺夹角的一半，那补共线的两个幺是不就是 b 的 和 a、 c， 那 就等于这里 bc 的 一半，那咱们就是设未知数倒角就可以。那怎么倒？涉及到等幺三角形，咱倒角的时候，通常常用的方式就是设 顶角为阿尔法，那比如说咱们这里设这个 b， a、 c 是 阿尔法，然后设这里的 ab 的是二倍它，那你看啊，那首先这个角 bc 是 不就等于二阿尔法加上二倍它， 然后那这个角 a、 d、 b 是 不就等于九十减倍它，然后其中这个角，这个等腰三角 a、 b、 c 里的底角，这是不是九十减阿尔法？那所以这个小角是不是九十减阿尔法，再减去二倍它，那利用外角，你看这个角 它是不是等于点和叉之合的？就外角等于不小于两个点合，所以角 f 是 不就等于这个外角九十减 beta， 再减去这个内角九十加上 alpha 加上二 beta 约掉，是不就变成了 beta 加上 alpha， 所以 这个角是 alpha 加 beta， 你 看它是不是等于这个 b、 c 的 一半，就设为数导角，它其实一点不复杂啊，就是图你要知道什么时候你需要去导角就可以了。 然后我们看那共幺双等幺的话，它常考的一个特殊情况，就常考的是一个特殊情况，就是当这共幺双等幺，它不共线的两个幺是共是垂直的时候。比如说你像我下面画这个图里当出现，比如说这里 ab 等于 a、 c， 然后 b 等于 b， 你 看这里面，那咱如果设这个 角 a 是 二法，那所以角 c 是 不是九十减二法？然后这个角 abc 是 不是也是九十减二法？ 然后其中因为这里面他说 b、 e 垂直 a、 c， 你 看是不就是不共线的这两个幺？这里不共线的两个幺是不就是 b、 e 和 a、 c 它俩垂直的时候，那你是不是能发现这个小角 e、 b、 c， 它就是 alpha， 那 这时候咱们没说它是为什么，说它是一边一角互余构成等。此时你看啊，看这个角 a、 b、 c， 它是不等于九十减 alpha， 然后角 e、 b、 c 是 不是等于 r 方，那这两个角是不是互余？那互余的这两个角他们是不是有一组边，是有一组邻边相等，就是 b 的 和 b、 e 是 不是相等的？ 所以是不是就出现了两个互余的角，他们邻边相等，那咱们就是构造直角方程，全等就行。那就以这两个相等的边为斜边做直角方程，过 d 向下做垂， 过 e 向下做垂，就是我右面这个图里画的。那做完垂之后，你看啊，那这个角是九十减 r 法，所以它的顶角 b、 d、 f 是 不是就是 r 法？那刚才咱们推完这个 e、 b、 c， 这也是 r 法，所以这俩三角形 d、 b、 f 是 不是全等于三角形 e、 b、 g。 这个就是 当两个腰垂直的时候，这个双等腰的一个常见的思路是一边一角互余勾全等。然后我们看下来，看一下接下来的实际例题。 先看这里的第一题啊，比如说他在这个三角形 a、 b、 c 里面，他首先给的是过 b， 做的是 b、 e 垂直这个边。然后我们看他第一问说 a、 b 平行平分 a、 c、 b、 e 的 时候， a、 b 平分，这俩角是不是相等？那这又有垂直 e， 这垂直啊？所以咱是不是首先想到的是 角分线，双垂那个辅助线，所以过 a 做个 m， 那 我们再看后面条件，他说 a 等于 b 是 三十，这个角三十，然后 a、 e 是 三， a、 e 是 三，那这里 am 是 不是也是三？所以 a、 d 是 不是六？然后再看他又给了一个 a、 c 是 七，那我们首先勾股定力，在这个三角形 a、 dm 里，是不是勾股定力能求 d m？ 然后再三角形 a、 c、 m 里勾股定力是不是能求 c、 m 它俩一减，是不是这里的 c、 d 的 长？所以这一问很简单啊。然后咱们看下面这一位，下面这个我们看， 此时他说 a、 b 等于 a、 c， 我 用红色笔把这俩边标下，这俩边相等， a、 b 等于 a、 c， 然后又给了这个角 a、 d、 b 是 四十五度，你看 a、 d、 b 四十五，那要求证这个东西，那我们这里面他啥条件也没有，这还有一个直角，你是不肯定推不出来，所以我们想你先去挡角， 那这里面 a、 b、 c 既然是等腰，那我是不是可以设这个底角是 alpha？ 或者你设这个顶角是 alpha 也行啊？因为这个 b、 a、 d 这个顶角，它里面有两个小角，一个是 b a、 d， 一个是 c a、 d， 所以你要设这个顶点 b、 a、 c 是 r、 r， 它可能不太好求，那咱们就设这个等腰的底角是 r、 r， 那 此时你看这个角 d、 a、 c 是 不就是四十五减 r r， 那 它的对顶角是不也是四十五减 r r， 所以 角 f 在 ab、 a、 e、 f 这个直角三角里，是不就能推出这个角是四十五加 r r， 然后我们再看啊，那这个角，此时这个角 f a、 b f a、 b， 这个角你看 它，我把上面擦掉 f、 a、 b， 它作为外角，是不是等于角 a、 d、 b 这个四十五再加上角 a、 b、 d， 所以 f、 a、 d 是 不也是四十五加 r？ 哎，你发现是不就有此时这个 b、 a、 f 等于角 f 了， 那就说明 b、 a 是 不等于 b、 f， 说明它是个等腰三角形，那你看啊， b、 a 等于 b、 f， 它是个等腰，然后这时候是属于共腰相等，两个腰是共线的， 那这时候我们再继续推，那这时候咱们能得到啥？你会发现此时它的两个不共线的那俩腰 a、 c 和 b、 f 是 不是垂直的？那所以不共线，两腰垂直，咱是不是可以考虑去一边一角互余勾全等，那咱们怎么勾？你看一下 此时这个角，这个顶角，我们看一下这个角 a、 b、 f， 那 在这个等腰三角形 a、 b、 f， 它两个底角都是四十五加 r 法，所以你用内角和一百八减去二倍的四十五加上 r 法，咱是不是能求出它的顶角是九十减二 r， 那这个顶角九十减阿尔法，所以这个角 fbc 是 不就等于九十减阿尔法？同时角 a、 b、 c 是 不等于阿尔法？你发现这两个角互余，他俩的邻边 b、 f 和 ab 还相等，所以咱们就一边角互余过全等，直接过 f 和 a 向下缩水 做两个垂之后，这是 m， 这是 n， 那 我们是不就能推出三角形 f b m 全等于三角形 b a n。 那 我们看此时你要求的这个 b c 等于根号二十倍的 f， 那 b c 是 谁？ b c 是 不是就是二倍的 b n， 对 吧？那 b n 是 不是等于 f m， 所以 就等于二倍的 f m， 那 其中 f d m 它是不是一个等腰直角三角形？因为 d 这块是死数度的， 那所以这个 f m 是 不就等于斜边的二分之根号二倍？也就说二落下来， f m 是 不等于二分之根号二倍的 d f。 因为等腰直角三角形，斜边是直角边，根号二倍吗？那这两个二数约没了，所以就剩 b c 等于根号二倍的 d f。 当然这块啊，你就是等腰直斜边是直角边，根号二倍，咱需要用勾股因子去推一下，这大家都会推，我就不说了。然后咱们再来看这第二题。 第二题，现在在这个等腰三角形 a b c 里面，角 a c b 等于九十，那等腰直角三角形，它的顶角是九十，所以底角是不是都四十五？然后再看给了一个 c q 等于 cp， 那 有 c q 等于 cp， 这俩边相等，你是不是就发现 a c 它是垂直平分，平分 p q 了？那遇到垂直平分线，咱们是不是基本都是要连 a q 了，对吧？你可以先连上，然后他又给了一个 q h 垂直。那我们接下来先说 p a c 是 r 法 p a c alpha， 那 我们倒角呗，要求是 am q， 那 这个角 p a c alpha 设这个外，那这个 p a b 是 不是就变成了四十五减 alpha， 那 角 b 四十五，所以这个角 a p c 是 不是就九十减 alpha？ 那 这里我们还能知道谁？你看，如果设这是 m， 哎，有 m 设这是 n 啊，这焦点是 n， 此时你看这个 a n h 和 q n c 这两直角方形儿， 是不是有一组直角，还有一组对零角相等，所以在另外一组角是不肯定也是相等，也就说这个角 n q c 是 不是就是 alpha？ 这个角是 alpha， 那 我们现在这个 am q 是 不是就利用外角就能知道了？是四十五加 alpha， 这个都很简单啊。然后我们再继续推，那这个角 q a c 是 不是就等于 a p， 那 这个角 q a c 是 不是也是 alpha？ 然后我们再来看，它要求这个 mb 和 p q 顺过一些。那我们先看这里的题啊，此时你看看咱们都能推出什么？你发现这个，这里面你看到一个角没？你如果直接根据已知条件去证呢？你很难证，但是你看啊，这里是不是有一个这个角？ 你看角 m a q， 它是不是等于四十五减 r， 再加 r 是 不等于四十五加 r， 那这四十五加二分是谁？你发现它是不是正好等于 a m q 啊？所以是不就能得到这个 q a 等于 q m， 那 有 q a 等于 q m， 是 不就说明 q a m 是 个等腰？我把这相等边红色的边标一下， 那 q a 等于 q m 之后，它是等腰。那还有什么？你咱们刚才最开始做的辅助线，这连接 a q 是 不也有这个 a q 等于 ap， 所以你发现这个 a p q 是 不是也是一个等腰？哎，那你现在就看这两三角形啊， a q m 和三角形 a p q 是 不是两个等腰？然后一组腰 a q 共线的，另一组腰是垂直的，那一两个腰垂直，咱是不就还是一边一角互余勾全等？ 这里面你就发现这个角 m q p m q b 吧，它是不等于 r 法？然后这个角 a q c 角 a q c， 它是不等于九十减二法，那这两个角互余，同时它俩在邻边 q m 和 q a 是 不相等的，所以以这个相等的边为斜边做直角三角形，直接过 m 向下做个垂，做一个 m e 吧。做完垂之后，咱是不是就有这俩三角形 a q c 全等于三角形 m q e， 对 吧？那全等之后我们再看它要求这个 b q 和呃 mb 和 p q 是 什么关系？那我们就先找大的，从大的开始， p q 是 不等于二倍的 c q p q 等于二倍的 c q， 那 这个 c q 是 谁？ c q 是 不是等于 m e， 也就说等于二倍的 m e 呗。那 m e b 是 不是一个等腰？直角三分之 m e 是 不是还是等于二分之根号二倍的 mb？ 所以 是不就有 p q 就 等于根号二倍的 mb？ 这个就完事了。 然后我们再来看这个第三题，第三题是前几天大年初三一模的这个几何压轴题得分率非常低啊，但是这里面咱们能用八年级的知识去解决，所以咱们八年级就可以去做这个题。我们来看一下， 首先这里面 ab 等于 ac， 有 ab 等于 ac， 它是个等腰，然后又有 b d 等于 c e， 那 第一问，这俩全等 a b e 和 a c d 很好证， 就这俩全等，那边这俩小的 a b d 和 a c e 是 不是也是全等，这个都很好正啊。然后咱们再来看第二问，第二问的话咱们就需要把这个图给放大了，我把这个图放大一下，咱们看， 我们看第二问，他给的条件，他给了这组角，那给角咱们肯定是需要倒角，对不对？所以那就设这里的这个已知条件，这里的小角 acf 设他是 alpha， 所以 这个 b a、 d 是 不是就变成了二 alpha 减四十五，那边这个 e、 a、 c 是 不是也是二 alpha 减四十五？ 然后那又有了这个 a 一 对等于二倍的 acf， 那 a 一 对是不是就是二 alpha？ 那 咱们利用外角，你是不是就能推出这个二 alpha 减去这个角 e a、 c 是 不是就等于 a c b？ 所以 a、 c、 b 咱是不就能发现它四十五度， a c b 四十五度，那它的这个底角 角 f c b， 这是不就是四十五减 r 法？然后我们再看啊，然后它第一位要求这个 b a、 c 九十，那我们看，那刚才既然我们也能证这俩小的 a、 b、 d 和 a c、 e 全等，是不就有 a d 和 a e 是 相等，它俩相等，所以这个 a d a d、 e 这个角是不就是 r r？ 那这个等腰的顶角是不是一百八减四阿尔法？然后此时你发现这三个角之隔，这三个角就是阿尔法减四十五，再加上一百八减减去四阿尔法，再加上阿尔法减四十五，是不是正好等于九十？所以就说明这里的 b a、 c 是 个九度，得到它九十之后我们再来看下面， 下面他又说，呃，当 g 是 第二本，他说当 g 是 b f 终点的时候给终点，咱们前面终点专题讲过，就终点是特别特别重要的一个专题，在加州题里出现的频率非常高。那跟终点有关系的，咱们是不是等腰三角形，三线合一，直角三角形、斜边中线，还有三线还有一个， 呃，中线背长和中位线，对吧？那我们想这里你该用哪个？首先 g 所在的，它所在的是 b、 f 的 中间，那肯定不是直角三角形，所以三那个这个三角形合一，那你先放弃，然后也没有直角三角形，所以直角三角形先分中线也不行。那接下来就中线、中位线和中线背长呗。如果你把这里的 a、 g 背长过了，你发现 你是能中间被伤，但跟你要求的东西一点关系没有，是吧？所以咱们就考虑构造中微线。那构造中微线的话，咱们说中微线的核心死角是不是有俩？一是你再取一个中点，构造中微线就是什么意思？这样啊，比如说 a、 b、 c 里，然后有一个点， d 是 中点，咱是不是可以再取一个中点 e， 这样你就能连上它，就是中微线。 第二个方式是 abc， 就是 已知这个，比如说 d 是 终点。那现在比如说把这 a、 d 点上，已知 d 是 终点啊，那咱们是不是就可以你在这里找一个点，把这个点当成终点，然后把线段背长。什么意思？就是你可以把这里的 a， 把 a 当成一个兄弟，那你是不是可以把这个 b a 背长，背长之后使这里的 am 等于 ab， 那 咱们再把这个 c、 m 连上，你发现这个 ad 是 不是有中位线了，对吧？那什么时候用第二个呢？第二个的时候好多时候它是有一个基本图的啊，就是这样。嗯，我给大家画一下，比如说是这种的， 有一条线，这种就长得像一个棋一样， a、 b、 c、 d 就 出现这种，就说 d 是 终点，那咱们就可以把 a、 b 背长，你这样去构造一个 中微线的相似，那这里面是不是就是把 b 当成终点？所以中微线的构造核心思路就俩，一是取终点，第二个是你找一个点当成终点，然后把经过这个点的线给背长，然后呢我们看这里，那如果咱们要是再取个终点的话，你想啊， 你既是在 b f 这个线段上的，所以你要找 b f 所所在三角形是不就 b f、 c， 那 你再取一个中点，你取谁？取的是 f c 中点还是 b c 中点？ b c 是 不是作为等腰三角形 abc 底边呢？底边呢？所以咱们是不肯定要取这个底边中，因为你取完之后，那你把 am 点上，是不是也能有等腰三角形三角和一， 所以咱们是连取 b、 c 中点 m， 然后再连接 g m， 此时那是不就有这个 g m 是 平行且等于二分之一 f c 有 平行，所以这个小角 b m g 这块是不就是等于这个角 b、 c、 f 就 平行，同内同位角相等，所以 b、 m、 g 是 不也是四十五减二法？那等幺三角形三角形和一是不有角 a m b 是 等于九十的，那你下面这个小角 b m、 g 是 四十五减二法，所以上面这个角 a、 m、 g 是 不就是四十五加上二法？ 那原来咱们你这样做完之后，这个角 b a、 m 是 不就四十五了？所以减去边上的这个 b a、 d 里面这个小角 d a、 m 是 不就知道了，就变成了九十 减二法吧。那你看九十减二法和四数加二法能组成全配角，它俩一定是能构成等腰三角形的，所以你就推角，推这个角 a m、 g， 那 角盒一推，你发现它也是四数加二法， 哎，你发现了，那现在是不是就有 am 等于 ag， 它是个等腰三角形，你看 am 等于 ag 是 个等腰，然后 am 等于 bm， 这个是不是也是一个等腰， abm 也是等腰，那这俩等腰是不是出现了咱们刚才前面说的共腰双等腰啊？那此时你看啊，你要求 ag 比 ac， 接下来就简单了， ag 比上 a c， 那 ag 是 不是等于 am， 就 变成 am 比 ac， 那 amc 是 不是一个等效值？所以是不就比变成一比根号，最后答案就是二分之根号，这个角是。然后我们再来看这里的第三问啊。 第三问，咱们还是先把这角标上，这些角都一致的，此时它的特殊情况就在于它还是这个终点，对吧？所以咱们还是跟刚才括号一样的。直线，那现在有一个 b f 等于 c f， 那有 b f 等于 c f， 那 是不说明 f 已经在 b、 c 的 垂直平线上，这时候是不就说明 a、 f、 m 这三点一定是共线的，对不对？ 然后我们再看啊，他说 a 求 a、 c 的 长，你先分析已知条件，他给了一个 b f 等于 c f， 那 指着这三边是不是都是一？然后所以这个 f c 是 不就是二？那你看现在这个三角形 b m、 f 是 不是一个直角三角形， 对吧？那这个直角三角形 g 是 斜边中点，所以是不就有直角三角形？斜边中线能斜边一半，那 g m 是 不是也是一？那得到这个之后没有啥用啊？ 你要求 ac， 咱们刚才挣完了 ac 是 不等于根号二倍的 ag 的， 所以你只要求 ag 就 行，那你想求 ag， 只要求这个 am 是 不也可以？那咱们是不是还有这里的 ag 等于 am， am 是 不还等于 bm， 也等于 mc？ 大家都找一下， 那你只要求这几个边里的任意一个是不就可以？那我们看刚才咱们是不是说了，三角形 a m g 是 等腰三角形，这里的 a m b 是 不是也是等腰？这俩等腰是不是属于共腰双等腰？它这个顶点咱刚才求完是九十减二二法，那这个共腰双等腰你有什么用呢？ 你看啊，这组公交车的腰里，其中 g 是 不是中点？所以你过 g 向 a m 做垂，就咱们再继续勾到一个中点 n， 你 可以取一个 f m 中点啊 n， 那 此时这个 g n 是 不是就三角形 f b m 的 中位线，它是不是平行线？等于二分之一的 b m， 它平行线等于二分之一 b m， 所以 n， 这是不是就直角？同时那 g n 等于二分之一 b m， 你 就能得到啥了？ g n， 它和这个 b m 和前面这几个边 a g， a m， m， c 是 不都是相等？所以你发现 g n 等于二分之一 a m， 看不出来什么，对吧？但是 g n 是 不是还等于二分之一的 a g 呢？你发现什么了？ 在这是不是发现这个直角三角形是斜边一半的，所以这里的 g n 是 不就等于二分之一 a c， 那直角边是斜边一半是不就能得到它是一个三十度这个顶点？当然这里顶点三十度你不能直接用啊，你需要去正一下，咱们八年级正法的时候，你可以是再取一个中点，勾到等边都可以， 然后这里面咱得到这个角 g a n 是 三十之后，你看那 g a n 是 不九十减阿尔法，所以这个阿尔法是不就是三十？那现在角 a g n 是 不就是六十度的同时，那这个角 角 f b m， 它是不是等于四十五？减 alpha 就 剩十五度了，那它这个小角 f g n 它的同位角是不是也是十五？那刚才说 a g n 是 六十，所以你就发现这里的 a、 g f 是 不是就是四十五？ 那 alpha 是 三十的话，那这个顶角 g a f 就是 三十，然后同时 f g 是 等于一，那咱们回到最舒适的问题，你需要求 a g 啊，对不对？ 那你看你要求 a g， 此时你在这个三角形 a f g 里面是不已知两个角三十和四十五，以及一个边 g f 两角一边，是不就可以去解三角形了？那解三角形就就做这个特殊角所在的高呗，所以过 f 向它做垂做个 p， 那这里面 f p 是 不就二分之根二， gp 也是二分之根二，那 ap 就是 二分之六呗。所以这里的 ag 是 不就是二分之根二加上二分之六，那这里 a c 等于根号二倍的 ag 是 不就能求出最后的值了？ 所以这里面一定要注重一个倒角啊。然后我们再来看这里第四题。第四题现在说，首先他给了一个四边形 a b c d， 然后 a c 等于 b， c 等于 b d， 咱标一下，画一下 a c 在 这，然后 b c 在 这， 然后还有一个 b d， 哎，你发现他此时是不是也是一个共腰双等腰 b、 d、 c 是 个等腰， abc 是 不也是等腰？ 然后我们再看那 a、 c 垂直 b、 d， 那 这组共幺乘法幺里面已经给了另一组幺不共线的两幺 a、 c 和 b、 d 垂直，对吧？那你再看，它给 ab 是 根号五在第一位，要求这个角是二倍的关系，那我们就设未知数倒角呗。因为设 这个等幺的顶角 b、 d、 b、 c， 这个角是不是九十减二法？它两个底角这时候就是 r 法，这个小角 a、 c、 b 是 不是就变成了九十减二 r 法？ 然后那我们看它是九十减二十法之后你还能求谁？它要求这个 a、 c、 b 是 等于二倍的 a、 b、 d， 那 a、 c、 b 是 九十减二二法，你只要导出这个 a、 b、 d 的 度数来是不就行？ 那这里面是不是有 c、 a 等于 c、 b， 它是个等幺，这个等幺的顶角 a、 c、 b 是 等于九十减二二法，那它的底角角 abc 是 不就等于一百八减九十加上二，再除以二，就剩下四十五加上二法， 那这个角是四十五加 r 法 abc， 那 所以 abd 是 不是就是四十五加 r 法，再减去 r 法就变成了四十五减 r 法？那现在角 abd， 你 看等于四十五减 r 法，角 a、 c、 b 是 等于九十减 r， 所以 是不是就是一个二倍的关系？ 然后我们再继续看看第二个，它要求这个面积，那我们求这个。嗯，那刚才同学们都看出来，这个本身 abc 就是 个等腰，然后 a、 d、 b、 d、 c 也是个等腰，他俩是不是已经符合了共腰、双等腰，然后另一组腰是垂直的，那有朋友说，那我直接就就去做垂直不行，那行啊，这给你看啊，这个角 角 a、 c、 d， 他 是不是等于阿尔法，他的邻边是 a、 c， 还有一个角是 b、 c、 d， 他的角是九十减阿尔法，他的邻边是 b、 c， 这俩边是不就以这俩相等的边为斜边去做直角三角？ 所以你可以过 b 向 c、 d 做个垂，做个 m， 再过 a 向 a、 c 做个垂，做个 n。 好， 你做完之后看看能推出啥来，那是不就有三角形 b、 m、 c 全等于三角形 c、 a、 d？ 那 全等之后跟你要求这个面积有关系吗？你是不是发现没有关系？所以这里面你直接做这公弦数、母弦数，啥也挣不出来， 那啥也挣不出来，咱们先去分析些条件，看看该怎么去做的。我们刚才推完角之后，你看啊，那这里面的话，我们可以导出什么关系来？此时你看这个角 a、 b、 c 是 不等于四十五加二， 然后角 a、 b、 d 是 不等于四十五减二，这组角是互余的，同时 a、 b、 c 的 邻边是 b、 d， 然后 a 啊， abc 的 邻边是 bc， 那 abd 的 邻边是不是 bd？ 那 现在是不是也是满足一组角不余？另一，然后这角的邻边相等，所以咱们以这里的 bc 和 bd 为斜边去做直角三角。所以是不是可以过点 c 向 ab 做个垂， 做个垂之后这是 m， 然后再过点 d 向 a、 b 做个垂，是不还是一边一角互余勾全等？那这时候是不就有三角形 b、 c、 m 全等于三角形 b、 d？ 哎，我没写到对应点上 点 b， 对 应的是点 d， 那 就是 d、 b、 n， 它俩是不全等？全等之后咱是不是能得到这里的 b、 m 是 等于 b， m 是 不等于二分之一， ab 就等于二分之根号五。所以 d、 n 是 不就是二分之根号五？那你看，此时你要求这个 a、 b、 d 的 面积是不直接是二分之一？ 底再乘以高就等于二分之一。 ab 是 根号五，再乘以 d， n 是 二分之根，是不直接就能求出它的面积是四分之五。

中考马上就要到了，今天的话呢，我们来给大家分享一道非常经典的也是中考的热门考题，在四月调考里面，他已经考察到了第九题，也就是园里面的线段和差的坠子问题。 那么今天这道题呢，是武昌区的五月调考的选择题，第九题也是一道非常非常经典的题目，今天我们就好好的分析一下，像这种关于园里面的线段和差的坠子到底应该怎么分析好。我们来看一下这道题目， 它告诉我们摊进角 a 是 等于二的，然后呢角 a c b 是 九十度，同时呢还给了我们 a c e 等于根号五，那我们就可以立马的求出来， bc 应该是等于两倍根号五，也就是半径呢就为根号五， 此时的 a b 这条斜边那就是根号五，两倍的根号，所以它就等于五好，然后的话呢，题目中说这个地点呢是在圆上的一个洞点过，这个点 d 呢做 a b 的 垂线垂足为点一，题目中让我们求 d 一 减 a 一 的最大值， 那么这道题是一个比较典型的线段和差的最值问题。从我们正常的角度来说，我们会想到的是将军印码，但是这个地方你要注意了，它是一两条垂直的线段的和差，所以将军印码在这个地方肯定用不了。 那么这个时候我们到底该怎么办呢？我们可以回归到最常规的思路，那就是你不要求两条线段的差值吗？那我就把它减一下嘛， 什么意思呢？当我们遇到线段和差问题的时候，我们最容易想到的是不是截长补短的方式， 所以我们可以在第一上去截取一段 a 一 的这段长度，就可以把这个两条线段的相减的结果那个线段表示出来，所以呢，我们选择在第一上截取一个点 f， 让这个地方呢 e f 等于 a 一， 那么再结合这里有个九十度，所以很明显你会选择把 a 点和 f 点连接起来，这样的话呢，就相当于你构造了一个等腰直角三角形。好，那么接下来你会发现 d 一 减 a 一， 这个时候呢就变成了 d f， 也就是说我要求两条线段差的最大值转换成为求一条线段的最大值。 好，那么这条线段这是怎么求呢？我们分析一下这个 d f 这两个点呢，它到底是怎么动的？ 首先我们知道 d 点是在原唱运动的，那么这个 f 点是怎么动的呢？对吧？如果说你找不到 f 点的运动的话，你只知道 d 点的运动，对于一个双动点问题而言，我们求解起来就非常麻烦了， 所以呢，我们还是优先考虑能不能确定一下 f 点的运动轨迹，我们来看一下，首先你构造这个等腰直角三角形肯定是有用的啊，那这个时候你构造等腰直角，说明这个地方 和这个地方都应该是四十五度了，那么你就会发现这个四十五度角的这个地方有个点 a， 这个点 a 是 不动的吧，同时呢，这个 a b 呢也是固定的， 所以你会发现 af 呀，在 f 点运动的过程中，始终保持与 ab 乘四十五度的夹角，它就属于一个定角了， 那就说明我们将这个 af 呢可以做一个延长或者啊变短都可以，也就是说点 f 就 应该在这条直线上运动，这个直线它始终与 ab 的 夹角为四十五度。好，那么现在 f 点的运动轨迹确定好了，是一条直线， 而这个低一点的运动呢，是一个圆弧，所以这个时候你要求它的垂直的话呢，还是一样道理，还是有困难，所以这道题的含金量非常非常高，综合度也非常高。好，那么现在那怎么办呢？我怎么求 d f 呢？ 还是不好求吧。那么现在你会发现 f 点这个地方呢，也有一个四十五度，我们就可以借助这个四十五度将目标 d f 再错一次转换。怎么转换呢？我们过点 d 做这个 a f 的 垂线，假如这里叫做 m 点， 那么这个时候呢，就构造了一个小的等腰直角三角形了，那么此时的 d f 进一步的转换成为根号二倍的 d m 了。 好，那么这个时候你再来看一下 dm 的 最大值，你会想这个地点在运动的过程中，然后向 a f 这条固定的直线做垂线，让这条垂线段最大就可以了。 那你想 d 点在运动的过程中向它做垂线，向它做垂线明显是不断增大的，那么什么时候才能达到最大呢？这个时候我们可以将点到直线的距离转换成为两条平行线之间的距离， 也就是说我们此时可以过点 d 做一条平行于 a f 的 一条线，那么 当地点在运动过程中，意味着这条线在移动，那么这蓝色和黄色线之间的距离就是我们这个 dm 的 距离。那么现在什么时候最大呢？我们就让这个蓝色的线越来越远离黄色的线， 但是始终得保证与原有交点吗？因为我们是过原上一点做的这个 a f 的 平行线呢， 所以当这个蓝色的线运到什么？运动到什么程度呢啊？运动到和圆相切的时候，那么这个地点就到达了极限位置了，如果你再往外一点就脱离了圆， 所以说当这条蓝色的线和圆相切的时候，就可以让两条平行线之间的距离达到最大，也就是这个地方的 dm 达到最大， 那么此时呢，我们就连接圆心和地点就可以了，那么这里是垂直的，平行的话呢？这里也是垂直的，所以当 m 点运动到这一个位置来的时候，此时的 dm 就 达到最大了， 那么到这里来，我们这个最大值的位置终于给它分析清楚了。那么接下来还有最后一个难点就是怎么样去计算 dm 的 长度呢？ 那我们来看看要求 dm 的 长度，我们知道这个 o d 是 一个半径对不对？我们只需要用半径来减去 o m 的 长度就可以了，所以要进一步的转换，也就等于根号二倍的半径，半径是多少？半径是根号五呀， 对吧？用根号五再来减去 o m 的 长度。所以接下来教给我们的就是如何去求 o m 这段长度了， 那这个时候怎么求呢啊？我们还是要借助圆和图形的特征来进行长度计算。长度计算我们用到的方法往往就是勾股相似和面积法，对吧？这就是我们初中在中考里面最常见的关于圆里面计算的核心思路。 那怎么办呢？我们来看一下啊，这个求这个长度，我们最容易想到的就是这很像一个垂径定力的长度，但这个地方并不是弦，没关系，有垂直我就可以想到勾五，对吧？所以你第一想法可能就是连接 o a， 这样的话呢，你就可以构造出一个直角三角形 a o m， 对 吧？然后你看看，在这个直角三角形中， o a 的 长度是可算的吧，因为这里是根号五，根号五吧，所以说 o a 的 长度就可以算出来等于根号十。 好，那你怎么去求 o m 呢？或者说怎么求 a m 呢？你这个时候又卡住了，对不对？因为在这里用勾股的运算呢，还是很复杂的啊，长度都是未知的， 对不对？那接下来我们要进一步的借助题目中仅有的条件，就是有一个摊顶为二的直角三角形，那我们来观察一下这两个这个三角形和我们要求的这个东西有什么关系没有呢？我们来看一下， 首先你连接 o a 以后啊，就已经构造出来了一个等腰直角 a o c 了，对不对？那么这里是一个等腰直角 a o c 的 话，那我们就知道此时的话呢，这个地方它是题目我们前面做了垂直的 四十五度吧，那么这个地方的话呢，这个角也就是四十五度。好，我们来看一看有什么特点，你会发现这一个角加它是等于四十五度了，然后这个角加上角臂外角也等于四十五度， 所以你会发现此时的角 o a m 是 等于角 b 的， 对吧？这个角 b 就是 我们题目条件的这个直角三角形，所以我们得到三角形 a o m 这个直角三角形，它是相似于三角形 a、 b、 c 的， 所以这个计算也是有一定的思维难度的。好，那么这两个相似以后就很简单了吧，我们用 o m 的 长度短直角边比上 a c 的 根号五，就等于斜边的根号十 来比上 ab 的 这个长度五，这样的话呢，我们就可以把 o m 的 长度最终算出来了呀，对吧？那么这地方一乘的话呢，就应该等于根号二了嘛， 是不等于根号二了啊，所以这个时候我们再把它带进去，接下来我们最终的答案就是根号二倍的 根号五减根号二，也就是等于根号十减去二，所以这一道题的含金量还是非常非常高的， 他既考察了圆里面的最值问题的处理，又考察了直线与圆的相切的极限位置最值， 同时也考察了圆里面关于长度计算的本质就三大方法，勾股、相似和面积法。所以这道题呢，是非常值得大家去好好的深入的研究一下的题目你学会了吗？

我们今天接着来看另一道题，它也是可以用托勒密定律解决的，它的题目呢，是说圆 o 呢，是这个三角形 a b c 的 外接圆，然后呢， a b 是 直径很明显这个角的九十度，对吧？然后呢，它说 d 呢是弧 bc 的 终点，那自然就会有 c d 等于 b d 了，对吧？然后他说 d 一 呢是垂直于 a c 的， 这是 a c 延长之后， d 做一个垂直，这里做一个点 e。 然后呢，前面要问的比较简单的，直接跳过，他说探求二倍的 c d 的 平方与 ab 的 平方减去 ab 乘以 ac 的 大小。我们来看看这道题目能不能 用通透密定力解决，所以你看这是个圆的内接四边形，那很明显是可以的，对吧？那这里首先应该会有这样的关系式， a、 d 依然是对角相乘， a d 乘以 b c， 它应该是等于 对折，对折的相乘， a b 乘以 c d， 再加上依然是对折， a c 乘以 b d。 在 这个式子里面呢，我们有 c d 是 等于 b d 的 嘛？所以这里可以和写一下，写成 c d 括号 a b 加 a c， 那这样一个式子，那我们上来看它探九呢，是 ab 的 平方减去 ab 乘以 a c。 对 这个式子很明显可以提出 ab 出来了，提个 ab 出来，里面变成了 ab 减 a c。 那 我们看这两个式子， 一边是 ab 加 a c， 一 边是 ab 减 a c， 好 像不是特别有关系的，但是你想他们两个是相乘之类的，怎么又得到了平方差公式吗？那我们来试一下， a b 乘以 a b 减 a c， 我 们可以把它用呃变成 a b 的 平方减去 a c 的 平方除以 a b 加 a c， 对 吧？那么 a、 b 加 a c 呢，又可以从这个式子里面得到它应该是等于 它应该是等于这里的 a、 b 的 平方减去 a、 c 的 平方，就会得到 b， c 的 平方，对吧？下面是 a， b 加 a c， a， b 加 a c 呢，可以从这个式子里面代换，就是 a、 d 乘以 b， c 除以 c， d 嘛，然后它又再分母，那么所以 c、 d 是 不应该在上面，下面应该是 a、 d 乘以 b， c， 这里 b， c 跟 b， c 可以 约掉一个，就可以得到 a， b 乘以 b， c 乘以 c， d 除以 a、 d。 题目呢，是要探讨它跟两倍的 c、 d 的 平方之间的关系吗？那我们来看一下这个式子可以 到这一步呢，其实也不是特别好看，抓它们之间的关系，那我们只能回去给他这个图里面找一下角落的关系 啊。首先 d 呢？ c 呢，是这个圆弧上一个动点， d 呢，是伴随着 c 在 动的一个动点，因为 d 呢，是剩下这一段弧的中点嘛，对吧？啊，它是中点，那所以说这个角 e， a、 d 跟这个角 d， a、 b 是 不是应该相等？这两个角应该相等。然后呢啊，它们对的是同一段弧， 这个角这一段弧 b、 d 是 不是同时对的？这个角 d， a、 b 跟这个角 d， c、 d， 所以 说这两个角是不是也应该相等？ 然后这时候呢，你连接 o、 d 是 不是应该会得到这个角九十度啊？因为 d、 b 是 弧 bc 的 中点嘛，那我们就可以得到啊，设这个角的 c， 它角的话就可以得到 bc， 是 不是应该会等于两倍的 cd 乘以口上 c 塔，这其实是在这个三角形，然后这个角的 h、 c、 d， h 里面做操作，这个角是 c， 它角，那么 c h 就 应该会等于口上 c 乘以 c d 嘛，那所以说 bc 就 应该是两倍的 c， d 乘以口上 c 塔， 然后再看 ab 跟 ad 之间的关系， ab 是 这一段， ad 是 这一段， ab 是 不是直接就应该等于 ab 乘以口上 c 塔？我们看看这个式子，带进去就会得到 ab 乘以两倍的 cd 的 平方。口上 c 塔分母呢，是 ad， 它是等于 ab 乘以口算 c， 它一元分，它就等于两倍的 c d 的 平方。所以这题就这样子解完了。但是呢，这个拖到约定里，有些情况下呢，可能 不太会给分。我们来看一下有没有常规一点的方法。常规一点方法其实也很快就是在这个三角形 c d h 里面做文章啊，我们注意一下它的那个有什么哪些关系呢？比方说 这个 c h 呢，是不是应该等于二分之一啊？把这个三角形 c、 d h 拿出来， c d h， c h 呢，是应该等于 二分之一 b c， 对 吧？它是二分之一 b c d h 呢？暂时还不知道，我们看一下，如果我们是半径为小 r 的 话，那么 d h 是 不是应该是 r 减去 o h 啊？ o h 是 什么呢？肯定这九十度，九十度它是终点，所以说 o d 是 应该是， o h 是 应该是中位线的，中位线的话，那 o h 的 长度应该等于二分之 a c， 对 吧？所以说它这里应该是半径减去二分之 a c。 那我们来看一下，在这个三角形里面， b c 呢，是可以写成 ab 的 平方减去 c a 的 平方再开根号嘛，但是题目它最终要比较二 cd 的 平方，那我们就暂时可以这样子表， cd 的 平方呢，是等于 c h 的 平方，是四分之一 bc 的 平方，加上这里括号 r 减去二分之一 a， c 的 平方四分之一。再换一下 bc 的 平方呢，是等于 ab 的 平方，减去 ac 的 平方，这应该是 四 r 的 平方，减去 ac 的 平方， 再加上这边，就应该是 r 的 平方。减 r 乘以 a， c， 加上四分之一 a， c 的 平方， 这就得到 r 的 平方，这边呢，就减去四分之一 a、 c 的 平方。后面呢，是加 r 的 平方，减去 r 乘以 a、 c， 再加上四分之一 a， c 的 平方， 这里四分之一 a、 c 平方。约掉之后，两个 r 的 平方再得到二 r 的 平方，减去 a， c 乘以 r， 然后二 c， d 的 平方就会等于四倍的 r 的 平方。减去二 a， c 乘以 r， r 就是 ab 嘛，就得到了。

今天我们来讲一下属山区二模试卷的倒数第二题，也就是几何压轴题。我们已知直角三角形 a、 b、 c， a、 b 等于 b c， a、 d 是 a、 b、 c 的 中线，那么 d 就是 中点， b、 d 等于 c、 d， 而 b、 e、 c 又是九十度，所以这个 e、 d 是 斜中线， e、 d 等于 b， d 等于 dc。 第一小问，若 a、 b 是 四，然后第一个问让我们求 a、 e 的 长度， a、 b 是 四，那么 b、 d、 d， c 是 二， e、 d 也是二，那么这个 a、 d 勾股 d 里可以求出来是二倍根号五，所以这个 a、 e 的 长就是二倍根号五，再减个二。 第二个小问题，求三角形 a、 b、 e 的 面积，那么这个方法有很多。呃，我们看，如果以这个 a、 b、 e 的 作为底的话， 那么高就是过 e 点做个垂线 e、 f， 然后这个 e、 f 怎么去求呢？呃，这里面可以用这个三角形 a、 e、 f 和这个三角形 a、 d、 b 相似，把这个 e、 f 求出来，那么比一下就是 e、 f 比这个 b、 d 是 二，等于 a e， a， e 比 a d， a、 e 我 们刚刚求的是二倍根号五减二，然后 ad 是 二倍根号五，然后这样的话 e、 f 我 们就可以求出来了。 e、 f 等于二减五分之二倍根号五，那么面积 s 就 等于二分之一，乘以底是四，再乘以这个二减五分之二倍根号五，那么答案等于四减五分之四倍根号五。 第二题让我们求的是 a、 f 比 c、 d 的 值，这里面我们已知的就是有两个直角，然后还有个斜中线， 那么角 c、 e、 d 应该是等于角 d、 c、 e 的， 然后也等于这个对顶角角 a、 e、 f， 那 么这里还有一个这个摄影模型，所以这个角 d、 c、 e， 它又等于这个角 a、 b、 e， 那 么这里相似，我们就可以看出来了，有一对母子形相似三角形 a、 e、 f 和三角形 a、 b、 e， 那么比例就是 a e 比 a b 等于 af 比 a e， 然后这里边长呢？题目没给，但是你在做第一题的时候，你发现只要你知道这个三角形的边长，其他的边基本上都可以知道， 那么这种情况下，我们就可以去设一个边长，这里可以设这个 b， d 和 d， c 都是 a， 那 么 ed 也是 a， 所以 这个 ab 就是 二 a， 然后接着这个 ad 的 长是不可以勾股定力，求出来是根号五 a， 然后这个 a、 e， 我 们也知道 它是根号五 a， 再减这个 e、 d 就是 减一个 a， 好， 那么再代入到这个比当中，就是根号五 a 减 a 比二 a 等于 af 比 a， e， 就是 根号五 a 减 a， 求出来这个 a、 f 等于三减，根号五 a， 然后那么 a、 f 比 c、 d 就 等于三减，根号五 a， 再比个 a， 那 么就等于三减，根号五。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之面积，我们说全等相似或者几何变换，它最主要的东西，最主要的作用都是帮助我们去换位置，完成这个线段和角的转化的。那么面积转化常见的方法有哪些呢？啊？我们说面积转化常见的方法， 呃，大家只需要记住三个，就是从最基础的面积转化的题目到压轴题，其实你会这三个就够了。第一就是底边笔，哎，底边笔，比如说这有一个三角形 a、 b、 c， 哎，那么过这个点 a， 切一刀下来，如果底边比，比如说是二 a 三 a， 如果底边比是二比三，那么这两个三角形的面积别，这是二 s， 这一定是三 s， 为什么呢？因为这两个三角形什么是相同的？ 这两个三角形是等高三角形，所以底边比就是面积比。好吧，这是最经典的图了。你比如说我只需要找出什么，比如说这是 a、 b、 c， 我 这么切一刀，假设这是这一，这是三，这个 s 等于四，这个 s 等于几？底边比是一比三，面积比也是一比三啊，所以这是十二 啊。那再比如说，其实底边比等于面积比的核心它是等高嘛？啊？它是等高嘛？那我们再这么来想，比如说这是一个平行四边形， 来，我假设这个面积是六，那么平行四边形的面积是多少？这个东西怎么来想呢？其实核心还是等高，你看这个 s 一， 这个 s 二和这个六，这三个三角形是等高的，那么这个是 a， 这个是 b， 这个 a 加 b， 你会发现 s 一 s 二和这个六，它们等高，它们的底的和又相同，那么面积和自然相同，所以底边比等于面积比的核心还是你要抓住等高这个事，就是要抓住等高这个事。在等高三角形当中，底边比都等于面积比，那么它的最经典的图就是这幅图。 好了，这是第一个转化面积的方式底边比啊。第二，我们来看平行线，平行很很好理解，因为平行线间的距离相等，那么他们如果三角形的底不变底都是以 ab 为底，那么 abpe 一， a b p 二， a b p 三，哎，这些面积都怎么样都相等，因为平行线间的距离相等，这就会使得什么呢？会使得只要有平行线，那么你会发现这个 p 可以 在这条直线上随便的滑动，比如说来到 p 一 撇，哎，它还等于 a b p 撇， 他们的面积全都相等，哎，这就会使得一旦看到了平行线，我想让这个点去哪就去哪。面积不变底边比平行线底边比是进行面积的比例转化的，平行线其实是进行面积的等量转化的。在整个初中阶段，还有一个面积的比例转化的方式是什么？相似比的平方等于面积比。 注意，相似比的平方等于面积比，你首先得看到相似三角形啊，你不要上来，你比如说这，这是底边比就等于面积比了，他就不用平方了，别这个地方也平方是吧？相似比比例的平方等于面积比，他一定是建立在相似的基础上。 好了，这就是整个图层阶段需要我们掌握的面积转化的三种方法。底边比，平行线相似转化三角形面积怎么办呢？四边形一般都是割补成三角形，然后再用三角形面积转化，就是我们 整个初中研究几何，基本上都是把所有的图形最终都整成三角形，你把它哪怕最后研究圆，圆也是最后圆，研究圆里面的三角形啊，也不是直接研究那个圆。在大题里面，你可以说因为这两个三角形等高，所以底边 b 是 多少面积， b 是 多少， 在大题里面你就直接说等高就行了。好，来看题啊，他说在平行四边形当中， c p 平分角， b c d 啊，这是角分线，哎，这里有个角分线，这又是一个平行四边形， 哎，大家会想到什么？有角分线，有平行四边形，大家会想到什么？有角分线，有平行，你看，那你这个角是 r 法，这个角是不是也 r 法？ 哎，那这个角如果也 r 法，那么这两个 r 法相等，那这等腰，这两条线段相等，对吧？这就是第一个点角分线，平行线与角分线要得等腰的啊，这是一个基本意思啊。 好，再接下来又告诉我们， c d 等于 c p， c d 又等于 c p 好 吗？那这是个什么东西？那这就是一个等边三角形，他其实给我们这放了一个等边三角形，并且他告诉我们这条边是八，那这条边也是八，这条边还是八，这还是八，哎，那么也就是说这是一个边长为八的等边三角形。 最后让我们求谁的面积？求 a、 p、 f 的 面积，求这个面积，你要求这个面积，你有没有发现哪个面积其实是已知的？就是这个等边三角形的面积是已知的，这个面积是已知的，我现在要求这个面积， 那我是不是就需要找这两部分面积的关系啊？我现在唯一的任务是不要找这个问号，问号和这个对勾的面积的关系来明确一下，咱现在就是要找 s 问号和 s 对 勾的关系，我只要能够找到这俩关系啊，我就可以把这个问号求出来。为啥我不直接求呢？这个问号啥条件都没有，底高啥条件都没有。这个肯定不是直接求的，是需要我们进行面积转化来。那接下来怎么转呢？那你会发现，无论怎么转， 你如果要这个问号的面积，这个平行四边形，这是八，这是八，这是八，我都肯定绕不开哪条线段，我要进行这个面积转化，我肯定绕不开哪条线段，我必然绕不开 ap 就是 平行四边形的另外一条边，这个平行四边形其实也就缺这一条边了，我就设这是 a 啊，那这就是 a 加八，我肯定得把这条线段设出来， 那么一旦我把这条线段设出来了，你会发现哪两个三角形面积之间关系就有了，这两个三角形之间面积关系就有了。 我就设这个是八个 s， 那 么这就是 a 个 s， 因为底边比 a 比八，面积比 a 比八，这叫由底边比设。为什么要设？首先这两个三角形的底边比出来了， 同时是什么呢？同时是这个是一个啊，我们已知面积，所以我找它和已知面积之间的关系好再来。现在我要由它得到它，由它到它，我就需要哪两条线段比， 我最终要表示这个问号的面积，我已经有了它的面积，那我就考虑它俩之间的关系，由它到它需要哪两条线段比？你看 由它到它是不是这切了一刀，是不是需要这个圈和这个叉的比？哎，也就是说我需要 b p 比 p f， 我 需要这个线段比，而 b p 比 p f 在 哪个里面看你需要这组线段比， 在哪个里面看。这是不是有一个八字呀？因为你平行四边形，是不是要注意这是平行线啊？这平行线，那这里是不是出现一个八字？ 你既然出现了一个八字来，这个圈比差其实就是几倍镜，这就是 a 比八嘛。因为你看这里是 a 比八，这又是一个，哎，红色的八字，那这也是 a 比八， 它两个的比也是 a 比八，这两条线段比也是 a 比八。好，那结束了呗。这两条线段比是 a 比八，那这是 a s， 这是多少？ b s 结束了吗？这是 b s， 这是 b s， 说明这两个三角形面积 s 问号和 s 对 勾相等，就是 s 三角形 a p f 就 等于三角形 pbd， 而 pbd 是 一个等边三角形，等边三角形的面积是四分之根号三乘以边长的平方，哎，就等于十六倍根号三结束， 所以这两部分面积相等结束。再跟马哥来感受一下。首先我得到了这个是八，这个是八，这个是八，我就知道这个面积是已知的，就是三角形 pcd 的 面积是十六倍根号三，这是已知的等边三角形面积啊，这个你是肯定自己会算， 那么既然已知了，又要求这个已知，这个求这个，那我就需要找他俩之间的关系，但是他俩之间关系没法直接找，那我要在这里面进行面积转化，我会发现最缺的线段就是它，我设它为 a， 那 么这两个三角形面积就有关系了。这两个三角形面积底边比 a 比八等高，面积比 a 比八，这是八 s， 这是 a s， 对吧？好，现在我就是要他俩关系，他俩关系就需要这个圈和这个叉的比，这个圈比叉，这不是有平行线吗？圈比叉显然在一个八字里，所以这个圈比叉就是 a 比八， 这个圈比叉是 a 比八，那么底边比 a 比八，面积比 a 比八，这是 a s， 这是八 s， 这是八 s， 这是八 s， 所以 这两个三角形面积相等，所以 s 阴影就等于十六倍根号三， 只要把握住等高三角形，等高三角形，再结合一个求比例，想到相似就结束了，想不想换个想法，再想想这道题，我们不用抵边比了，重新来认识一下。首先这个面积是十六倍根号三，这个是没有问题的，我们不再说了，这是八八八，这个面积十六倍根号三， 那我怎么来想这个事呢？我看到了平行线，平行线，我就想到什么平行线间啊，共底三角形啊，面积都相等。平行线是可以转化面积的， 但是你会发现这个平行的转化面积，这个阴影部分的面积是转不了了，但是我可以让这个，比如说我要求的是 s 一， 我可以让这个阴影部分呢？跟谁合在一起去转化？ 这个 s 一 和 s 二合在一起可以去转化。哎，那你会发现整个这个三角形，这是在平行线间夹着的三角形，那我就可以把这个 f 换到哪去？我把这个 f 就 可以直接换到 c 了， 你会发现，因为共叠这个 a、 f、 c 的 面积就等于 a、 b、 c 的 面积，所以这个 s 一 加 s 二的面积就是三角形 a、 b、 c 的 面积。这是利用什么平行线转化面积？ 平行，再观察这个 a、 b、 c 的 面积，这个 a、 b、 c 这个三角形，它和 s 二和十六倍根号三什么关系？首先， a、 b、 c 和 s 二和十六倍根号三，这三个面积是不是都等高呀？然后呢，这个底是八，这个底是 a， 这个是八加 a。 有没有发现，这个 abc 的 面积就等于 s 二加十六倍刚好三，这是我们刚才讲的那个内容，对吧？这个红色三角形和 s 二和十六倍刚好三，它是等高的，这两个的底的和就是它的底，那自然面积和相等。好，那不结束了吗？来， s 一 加 s 二等于 s， 二加十六倍刚好三，所以 s 一 就等于十六倍，刚好三。 所以你看这道题只用了一次转化啊，就是用一次平线转化，再用一次考虑。你看红色三角形 s 二和这个三角形，它们等高底的和相等面积和相等 结束。那你看这道题，我们既用了平行线啊，也用了底边，别啊，来转化面积，所以这些东西用起来都是非常灵活的方法，听起来极度简单，但是你要不断的上手，自己去实操。好吧。啊，这道题过了啊，对称中心，对角线交点嘛， 然后下来说什么呢？说这个 d、 e 比 a， e 是 一比四，那我就设这是 a， 这是四 a， 注意平四一定要标谁，我设了这两条线段以后，一定要注意去标谁，标对面嘛啊，这是五 a， 然后呢，连接 ec 交 b 等于 f， p 是 ab， 上一点要使得 bpo 等于三倍的 oef， bpo 等于三倍的 oef， 哎，也就是说这个是 s， 这个是三个 s， 使得这两个面积满足这样的关系。最后求的是 ap 比 ab 来感受一下，这个是其实底边比等于面积比的反用了， 这是 s， 这是三 s， 那 我只要能够表示出哪个三角形的面积，这两个底边比就能出来，我只要能够表示这个问号的面积，那么这个问号的面积有了，这个三角形和这个三角形的底边比就出来了， 这叫底边比等于面积比的反用来举个例子，假设这是 s， 这是二 s， 那 么就可以得到这是 a， 这是二 a， 这叫有底边比，也可以反推面积比。 好了，那接下来我们就走嘛，那我们就要想，哎，那如何用这些比例关系结合这些已有的表示的面积去搞到它呢？那我就是需要更多的比例关系嘛，对吧？我看一下能够推出哪些三角形的更多的线段比，你要直接想推这个 s 和这个三 s 都走不了， 我必须要要有这些三角形的底边笔吗？那我可以用什么？这有 a， 这四 a， 这是为我是不是可以先看个八字相似吧，哎，这上下，这有平行线，这有 f 为焦点，你看我如果想转化这个面积，那我最好有能够有这些线段笔啊，或者这些线段笔 是不是都可以，对吧？好了，而这又有一比五，那我是不是来先看一个八字相似，这个相似笔就是一比五，那这是 m， 哎，这是不是就是五 m， 对吧？好相似，比一比五，这是 m， 这是五 m， 但是我需要这一条线段和它的比，那再看什么 o 是 什么点？中点，所以来 b o 是 几个 m， b o 就是 三个 m， b o 是 三个 m， 那 么五 m 减三 m， 这就多少二个 m。 好， 一旦有了这个二 m 了，那么这是 s， 哪个三角形面积就可以表示了？ e、 f、 d 就 可以表示了。看底边比是二比一，那么面积比就是二比一，这个面积就是二分之 s。 我一旦有了这个面积是二分之 s， 这个面积是 s， 那 么哪个三角形又可以表示了？观察一下，哎，也就说整个这个红色三角形就是多少，就是 二分之三 s， 整个红色三角形二分之三 s， 谁就出来了， a、 o、 e 就 出来了。因为这个底边比是一比四，那么这个面积就是二分之三 s， 乘以四，就等于六 s 来。那我一旦有了这些面积，哪个三角形的面积就出来了？这是二分之 s， 这是 s， 这是六 s， 哪个三角形？是我这个整个这个绿色三角形也就有了。整个绿色三角形应该是二分之三 s 加六 s 就是 二分之十五 s， 整个这个绿色三角形面积有了，这是二分之十五 s， 谁就出来了。 a、 o、 d 是 二分之十五 s， 谁就出来了。 a、 b o 不 就有了吗？那 a、 b o 和 a o、 d 来， a o 是 什么线？ o 是 中点， a o 是 中线，中线是不是也等分面积？所以这是二分之十五 s， 那 这个三角形面积，它也是二分之十五 s， 这是二分之十五 s。 减掉三 s， 减掉三 s， 是 不是减到二分之六 s， 这就是二分之九 s 来。目标出现， 最终我们发现这个三角形的面积是二分之九 s 好， 那我们最后要的 ap 和 ab 的 比，不就是这两个三角形的面积比吗？所以 ap 比 ab 就 等于三角形 apo 比三角形 abo， 对 吧？就等于多少呢？就是二分之九 s 比上二分之十五 s 好， 就等于三比五 结束好。所以这道题你看，就在反复的用什么，首先用相似求得一个底边笔，然后反复的用底边笔，不断的去找什么样的图， 不断的去找这样的图，反复的用底边笔去推导面积饼。好吧，看看这个题啊，这个题还挺有意思啊，什么叫中心对称？就是绕着它旋转一百八十度啊，旋转一百八十度，所以这其实只是做了一个中心对称，他说把这个三角形 a、 b、 c 啊，绕着这个 o 转了一百八十度， 转了一百八十度，意味着 b、 c 转一百八十度，转到 b 撇 c 撇好，旋转一百八十度之后，这两条绿色线段什么关系啊？相等且平行，因为转一百八十度嘛， 转一百八十度肯定是啊，平行的嘛啊，同时还怎么样相等？所以他一定是平行且相等。好吧，那同样的，你会发现，绕着 o 旋转，那么这个蓝色线段照样一百八十度转到这个蓝色啊，也是平行且相等。还有最后这个红色线段，转一百八十度，转到这个红色也是平行且相等。 他们都是平行且相等的，所以在里面围出来的这个阴影是一个平行四边形，他现在告诉我们这个阴影部分的面积是什么？ s 阴影， 也就是说 s 小 的平行四边形等于四分之一，而三角形 abc 的 面积是等于 一的，然后又告诉我们 bc 是 等于二的，让我们求什么？求 a 撇 c 的 长，求 a 撇 c 的 长，咱就干啥求 a 撇 c 的 长呢？我就设，我就设它为 x， 那 这边是不是就二减 x？ 好， 那我现在其实就是要找到这些线段和这些面积之间的关系 x 二减 x， 就要找到 x 和这些面积的关系。好，那么现在我要找关系，这又有这么多的平行线，我们可以想什么？相似吗？对吧？有平行咱就可以想相似。你观察一下这个小三角形和这个大三角形是不是一个 a 字相似， 同时是不是还和这个三角形相似，而这三角形来，我假设这个面积是 s 一， 这个面积是 s 二，然后整个大的面积是三角形 a、 b、 c 的 面积， 对不对？那我现在一定可以用这些线段结合什么，有了这些线段，其实这三个三角形的相似比就都有了，那我就可以用相似比来表示面积了。好，来，那你看，那么我们来观察一下，首先我看这两个，首先我来看这两个三角形， 这两个三角形它的相似比多少？相似比就是 x 比二减 x， 这两个三角形的相似比就是 x 比二减 x， 那 么这个我说这个是 s 一， 这个是 s 二，那么 s 一 比 s 二，就应该等于 x 方比二减 x 方， 那我就可以射了，那我就直接射这里面的这个小面积是多少？看好了，那我就直接利用比例来射，这个射的操作非常重要，利用比例来射，我就射这个是 x 方倍的 s， 二减 x 方倍的 s， 二减 x 方倍的 s， 这两个的比是 x 方，比二减 x 方，这就是二减 x 方 s。 好， 来再看，因为这个小三角形和大三角形也相似， 小三角形和大三角形也相似，既然小的和大的也相似，那么小的是 x 方 s， 哎，那么小的和大的就是 s。 三角形 c、 d、 a 撇和三角形 c、 a、 b 的 比 是不是也是相似？比就等于 x 方，比几来，能不能写出来啊？ c p、 a 撇啊，这是 c p c p a 撇和 c、 a、 b 相似，比是多少？ x 方比四。所以当我设了这个小的面积是 x 方以后，那么最大的这个三角形面积是多少？ 就是三角形 a、 b、 c 的 面积就等于四 s， 这用相似比来表示面积小的和大的相似，比是 x 方。比四，面积比就是 x 方 s 和四 s。 那 么到这你会发现，我们要表示的面积已经有了，这个三角形 a、 b、 c， 面积是一，它就等于几个 s， 就 等于四个 s， 而这个阴影部分能不能表示呢？这个阴影部分其实就是大的面积，把这两个减掉，就等于四 s 减 x 方 s， 再减二减 x 方 s， 这个平方在外面啊，没问题了吧？好，那么到这其实方程已经出来了，观察一下，到，这是不是方程已经出来了？这是一，这是四分之一，那它就是它的四倍，所以方程就出来了， 方程就是什么呢？最后我们找等量列方程嘛，就是四个 s， 四 s 是 等于一的，就等于四倍的四 s 减 x 方 s， 再减二减 x 方 s， 它等于四倍的，它因为这是一，这是四四分之一。好了，那这个时候你会发现，你这里面虽然看起来有两个未知数，但是谁就被约掉了， s 就 被约掉了， 对吧？ s 就 被消掉了，这是 s， 这是 s， 这是 s， s 就 消掉了， s 消掉了，然后这是四，这是四也消掉了，也消掉以后呢？其实左边就剩了一个一了，右边就是四减 x 方减 二减 x 方。啊，没问题，那就是一就等于四减 x 方减，这是四加 x 方，再减四 x， 对吧？一就等于四减 x 方减，四减 x 方再加四 x， 这四和四也减掉了，四和四也减掉了，那最后就是二 x 方，二 x 方减四 x 再加一就等于零， 二 x 方减四， x 加一等于零。好，那最后解一下直接代公式吧。 x 就 等于二， a 分 之就是四分之负 b 四加减根号下 b 平方十六减四 a， c 十六减八十八， 对吧？它就应该等于个二分之二加减根号二就求出来。所以 a 撇四的长就是二分之二加减根号二。所以这道题呢，就是一个纯粹的用相似比去找面积关系的， 你最后要的是这两个之间的关系，你要求 x 的 嘛，所以其实它是一，它是四分之一给的，本质上就是一个比例关系，它是它的四倍。 好了，那所以这道题呢，其实你得大胆的设，大胆的去表示，你要一开始头脑清晰，它就给了一个阴影部分的面积，给了一个大三角形的面积，最后让我们求这条线段长，那我就是要用这条线段长去找到什么，找到这些面积关系，其实很容易找。这个小三角形和大三角形有一个面积比，设它是 x 往 s， 它就出来了。 这个小三角形和最大的这个三角形也有一个面积比，那么它是 x 方 s 大 的面积也出来了。好，那最后那你会发现大的面积出来了，一就等于四 s， 对 吧？阴影部分面积就是大的面积，减掉这两个面积啊，那就也出来了。好，最后得到这两个式子。怎么去想呢？它是它的四倍，直接列出方程，结束 两个结果，你看一下都合不合理嘛？二分之二加减根号肯定是合理的嘛，就是这个 x 可以 是长的那段，也可以是短的那段。所以我们最后来回顾一下今天这些题都用到了哪些知识。看，讲了三道题， 别看只讲了三道题来，第一题用到了，是不是用到了平行线转化面积，还用到了等高三角形底和高的笔啊？用到了底边笔，用到了平行线。第一道题用到了底边笔用到了平行线。这是第一题，去感受底边笔和平行线的使用。第二道题是一个纯纯的底边笔的使用， 纯纯的底边比的使用。而第三道题的面积转化又是一个什么呢？因为有了平线，第三道题的面积转化纯纯的相似，纯纯的相似，从小的到他从小的到最大的纯纯的相似。 所以呢，去感受马哥所讲的底边比平行线相似，真正是如何转化面积的。这就是我们今天的主题，所以看起来只讲了三道题，你听懂了根本不算啊。下来通过自己动手反复去感受底边比 平行线相似的使用。你比如说这道题，其实也可以用底边笔来做，你可以下来自己试一下，今天就讲到这儿。

今天我们来看一下省实验三摸的二十三题，这个题呢也融合了很多的考点，那么它是一个新定义。我们来看一下说如果四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，而且这条对角线必须是等腰三角形的腰， 我们就称这个四边形为腰分相等四边形。那么第一题他给了图一， 在四边形 a、 b、 c、 d 中给了角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d 是 九十度，然后呢点 e 是 b、 d 的 中点， 两个条件俩九十度，一个中点，然后圈一，让我们判断四边形 a、 b、 c、 e 是 不是腰分双等四边形，而我们的 b、 e 是 对角线。 那么根据直角三角形斜中线定里，我们看 a、 e 是 直角三角形 b、 a 的 斜中线，所以我们就得到 a、 e 等于 b、 e， 而我们 e、 c 是 直角三角形 b、 c、 d 的 斜中线，那么 c、 e 就 等于 b、 e， 所以 对角线把四边形分成了两个等腰三角形，而且对角线是幺， 所以我们圈一是腰分双等四边形。接着我们再来看圈二，这个圈二呢，给我们说了角 a、 e、 c 是 九十度，让我们求角 a 的 c， 那 么这里边呢，考察了一个四点共圆的问题，我们看 直角三角形 ab 的 和直角三角形 bc 的是直角三角形，而且共用一个斜边， 我们知道直径对直角，实际上我们就隐藏了一个圆，这个图形结构我们概括为异侧共斜边，四点共圆，那咱们的圆心就是斜边的中点，异半径呢，就是 斜边的一半，我们用虚线把这个圆画出来，那我们看一下角 a、 e、 c 就是 圆心角，而角 a 得 c 是 同弧所对的圆周角，根据圆周角定律，那我们的角 a 得 c 就 等于 圆心角 a、 e、 c 的 一半就等于四十五度。好，这是他让我们求的第一个角。第二个角呢，是让我们求角 abc。 我 们看一下 四边形 abc 的 为圆，内接四边形，而角 a 的 c 和角 abc 它们是对角互补，所以角 abc 就 等于一百八十度，减去四十五度等于一百三十五度， 整个前三个空是六分。接着我们来看第二问，第二问是说正方形 abc 的 边长为六，而 f 呢，是内部一点四边形， abc 的 是幺分双等次边形，而且强调这两个三角形都不是等边，三角形过点得做 b、 f 的 垂线，然后 c、 e 的 长度是二，我们的目标是求三角形 a、 b、 f 的 面积。那么我们来看一下 第一个思路。一般来说，我们二十三题类比探究是有内在联系的， 我们看一下这个幺分双等式变形和咱们图一当中的幺分双等式变形，它的结构是一模一样的，那么因此我们也可以得到这个角 b、 f、 d 是 一百三十五度。 那到底怎么证明呢？我们又用了一个，那么到底怎么证明呢？我们又用了一个共圆。问题，这个共圆是什么共圆呢？是定点定长共圆。 因为 ab 等于 a、 f 等于 a 的， 所以 b、 f 的是在以点 a 为圆心，六为半径的这样一个红色的圆上。 那么我们看一下，在圆周上点一点 m， 而我们角 m 就 和咱们的角 b、 a 的是同弧所对的圆形角和圆周角关系， 角 m 就是 四十五度，而我们的角 m 和角 b、 f 的 就是对角互补，所以角 b、 f 的 就是一百三十五度，这是我们从图一能够继承过来的结论。 那么我们再来看一下，咱们 c、 e 等于二是在这边，而我们的目标三角形 a、 b、 f 是 在这。我们知道三角形 a、 b、 f 是 等腰三角形，而咱们等腰三角形最经常的考点是什么？ 最经常的考点是三线合一，所以我们过点 a 做底边上的垂线， 那么焦点呢？我们设为 m， 要想求我们三角形 a、 b、 f 的 面积，我们只要知道了 b、 f 这个底边长，我们是不是就可以求出高？ 怎么去求 b、 f 的 长度呢？好，我们把所有的条件给它汇总到一块，看看结论之间的组合有什么内在的关联。咱们前面是不是得到了角 b、 f 的是一百三十五度，那么它的邻补角就是四十五度，那么也就是说这个二 t 三角形 f 得一是等腰直角三角形， 那么在正方形当中，我们也非常容易出现等腰直角三角形，那么此时我们去连接 b 的， 连接 b 的 之后，咱们是不是就出现了两个等腰直角三角形，另外一个等腰直角三角形是三角形 b 的 c， 两个等腰三角形共顶点四条边，手拉手，实际上他就考察了一个手拉手的相似。我们来证明一下，在直角三角形 f 得 e 中， 我们角 f 得 e 等于四十五度，而我们的斜边得 f 比上得 e 就是 斜边，比上直角边就是刚好二比一，红色的直角三角形当中， 我们的角 b 的 c 等于四十五度，斜边 b 的 比上 的 c 就 等于根号二比一，这边这个蓝色的三角形和这边这个红色的三角形要想相似，差一个夹角相等 角一和角二。咱们知道手拉手的顶角，要么是等角减同角，要么是等角加同角，那么我们这个呢，就是等角，角 f 得一，减去角 f 得 c 就 等于角 b 得 c， 也减去角 f 得 c， 那 么实际上就是角一等于角二。我们来看一下， 两组对边分别对应成比例，且角相等，我们是不是就得到了红色的三角形和蓝色的三角形相似？三角形 b 得 f 相似于三角形 c 得一， 我们就得到了 b， f 比上 c， e 就 等于 b 的 比上 c， e 等于根号二。比一，因为咱们 c、 e 的 长度是二，所以 b、 f 就 等于根号二倍的 c、 e 就 等于二倍的根号二，那么 b、 f 是 二倍的根号二。根据三线合一，我们 b、 l 就 等于二分之一， b、 f 就 等于 根号二。根据勾股定律，咱们就求出来，高 a、 l 就 等于根号下六的平方，减去根号二的平方，就等于根号三是四，所以我们三角形 a、 b、 f 的 面积就等于二分之一，底乘以高 就等于二倍的根号十七。我们来接着看第三问，这个第三问呢，是在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 等于五，然后 e 是 内部一点， f 是 边， c、 d 上一点。 那么我们来看，要求四边形 a、 e、 f 的是腰分双等四边形而得 e 呢，是腰线且得 e 等于 a 的， 我们知道是两个等腰三角形， 那我们来看一下，得 e 是 幺，要求得 e 等于 a 得这个等于幺三角形是固定的，不用再分离讨论了。那我们看一下，如果这个也是等于幺三角形，那么我们就要分离讨论，那么这个时候得 e 就 等于 e、 f， 那我们来看一下条件啊，他说角 e、 f、 g 是 九十度，它念的角 c f g 等于三比四，那我们不妨设 c g 是 三 k， c f 是 四 k。 我 们知道 等腰三角形很多时候是考察他的三线合一，而我们这这个九十度，这这个九十度又考一线三垂直，那么两者综合起来，我们只有过点 e 去做的 f 的 垂线 h i， 因为 a 的是五，得一也是五，又因为得一等于 e f， 那 所以我们 e f 也是五。由于一线三垂直的相似，那么三角形 c、 g、 f 的 三边之比是三比四比五，那么所以我们就得到 h f 是 三， h e 是 四，那么的 h 呢？也是三等腰三角形三相合一，那么此时我们 h i 的 长度，也就是这个红色虚线线段的长度是五，那么 i e 就是 一， 然后我们的 h 呢？就是三。由于它让我们求 b g 的 长度， 那我们来看一下，我们只能用 a 字形相似三角形 a e i 和三角形 a g， b a 字形相似，那么咱们 b g 的 长度就是五，减去三 k， 而我们 ab 的 长度就是等于 c 的 长度是六，加上四 k。 好， 那么根据对应边之比，我们就得到了一比上五减去三 k 就 等于三比上六加上四 k， 那 么这个时候我们算出来 k 是 等于多少呢？ k 就 等于十三分之九， 因为我们要线段 b g 的 长度，所以 b g 的 长度就等于五，减去三乘以十三分之九，就等于十三分之三十八。那么接着我们来看一下第二种情况，也就是幺得 e 等于得 f 这种情况， 那么 a 得就等于得 e 等于 f 等于五。我们知道基本上二十三题最后一问，分类讨论的时候，第一种情况用什么方法，什么知识点？第二种情况也用什么方法，什么知识点。 然后我们第一种情况做了底边上高，那么咱们现在也过点得做 h 垂直于 e、 f。 然后第一种情况过这个点 e 做了垂线段，我们第二种情况也过点 e 做垂线段。好，第一种情况呢，我们用了相似，那么接着我们看这个三角形 e、 c、 f、 g 和三角形 h 的 f 相似，那么因为的 f 就是 三，根据三线合一， e、 h 就是 三。 然后接着呢，我们又用了一个一线三垂直的这么一个相似，也就是 c、 f、 g 和咱们的 i、 e、 f 也相似，那么我们就得到了 i f， 也就是这个线段就等于六乘以五分之三，就是五分之十八。然后我们又得到了 i e 就 等于六，乘以五分之四，就是五分之二十四。 因为 i e 是 五分之二十四，所以我们的 e、 g 就是 五，减去五分之二十四，就是五分之一。然后呢， 我们这个的爱就是五减去五分之十八，也就是五分之七。那么第一问，我们用了 a、 e、 g 三角形 a， e、 g 和三角形 a、 g、 b、 a 字形相似，那么咱们第二种情况也是用这个相似， 两边之比是一比七，那么看一下，咱们 b、 g 仍然是五减三 k， 而我们此时 a、 b 的 长度就变成了五加四 k， 那 所以我们一比七，两条直角边之比就是五减三 k， 比上五加上四 k， 就 等于五分之六， k 是 五分之六，我们的 b g 就是 五，减去三乘以五分之六，也就是等于五分之七。