数学六年级下册北师大基础性作业答案

同学们大家好，我是清华大学附属小学的数学老师玄老师。今天我们上第一单元圆柱与圆锥的练习课， 通过圆柱与圆锥这一单元的学习，你有哪些收获呢？通过圆柱与圆锥这一单元的学习，我们从面的旋转的角度认识了圆柱与圆锥，研究了圆柱与圆锥各部分的特征。 我们还探求了圆柱的表面积公式、体积公式和圆锥的体积公式，并运用这些知识解决了生活中的一些问题。 在解决圆柱与圆锥的问题时，我发现首先要用准圆柱的表面积公式、圆柱、圆锥的体积公式，而且计算要准确。其次还要注意审题，读懂题目信息，判断应该求哪些面的面积，哪个部分的体积。 感谢你的分享！这位同学是用画思维导图的方式对单元知识进行了知识的梳理。同学们，你们有没有做这样的梳理呢？ 看来大家都养成了进行单元梳理的好习惯，为你们点赞！现在我们把问题聚焦到关于圆柱表面积的实际问题， 同学们请看，在解决这些问题的时候，我们应该注意什么呢？我们应该怎么解决这些问题？ 我发现这三个问题都是关于圆柱的表面积的问题。我们一般是求一个完整的圆柱的表面积，就像第一个问题，但是第二、第三个问题就不一样，他们是求不完整的圆柱的表面积。 第二个问题是需要求一个底面积加上一个侧面积，第三个问题是需要求一个侧面积。这时候我们需要注意，不能盲目照搬公式解决问题。 第一个问题需要求一个完整的圆柱的表面积，我们可以直接使用圆柱表面积，公式二， pi r 的 平方加 pi d h， 结果约是二点四五平方米。 第二个问题，需要计算的是一个底面积加上一个侧面积，所以这个问题应该列示为 pi 的 平方加 pi dh， 结果约是九十八点一三平方分米。 第三个问题，需要计算的是一个侧面积，可以直接使用圆柱侧面积公式 pi dh， 结果约是四十三点九六平方厘米。 通过解决这三个问题，我发现在解决圆柱的表面积问题时， 我们首先要注意审题，再通过观察空间想象准确判断应该求哪些面的面积。 谢谢你的分享，并给大家提出了宝贵的建议。现在请同学们想一想，在现实生活当中还有哪些类似的问题呢？ 我们做无盖的圆柱形玻璃鱼缸时，要注意表面积只有一个底面积和一个侧面积。再比如圆柱形帽子、圆柱形无盖笔筒等， 也要注意其中的一个底面是通透的，不能算进去。还有像这种管道需要注意只考虑侧面积，两个底面都是通透的，不能算进去。 感谢你的分享，你有一双善于发现问题的眼睛。我们小节一下，在解决关于圆柱的表面积的实际问题的时候，我们首先要通过观察发现并空间想象我们应该求哪些面的面积， 并根据实际情况解决问题。好，现在请同学们再想一想，关于圆柱的表面积，我们还可以提出什么样的问题呢？ 关于圆柱的表面积，我们还可以研究圆柱的表面积增加了多少或者减少了多少这样的问题。这个问题提的特别好，同学们请看， 当一个圆柱的底面直径是四厘米，高是五厘米，若高增加三厘米的时候，圆柱的表面积增加了多少呢？增加的圆柱表面积与原来的圆柱表面积之间又有什么样的关系呢？我们听一听这位同学的思考过程。 我是这样解决这个问题，我先求出高增加后现在的圆柱表面积，得出结果是四十派，再求出原来的圆柱表面积，得出结果是二十八派。 然后现在的圆柱表面积减去原来的圆柱表面积，得出圆柱的表面积约增加了三十七点六八平方厘米。 在计算过程中，我发现还可以这样计算，当现在的圆柱表面积减去原来的圆柱表面积时，表面积中的底面积之和可以互相抵消，就等于现在的圆柱侧面积减去原来的圆柱侧面积。利用乘法分配率， 我还发现，现在的圆柱侧面积减去原来的圆柱侧面积，就是四派乘三，也就是底面周长乘上增加的高。这是为什么呢？ 是呀，怎么算着算着圆柱的表面积增加的部分是底面周长乘上增加的高了呢？ 我们画图看一看，当一个圆柱的底面积不变高增加的时候，同学们请看，实际上这个圆柱的底面积是没有变化的，变化的是圆柱的侧面积， 而且是增加了这一部分的圆柱的侧面积。我们再把这一部分圆柱的侧面积展开成这样的长方形的时候，我们知道圆柱的底面周长就是这个长方形的长， 圆柱增加的这一部分高就是长方形的宽。所以当一个圆柱底面积不变高，增加的时候，增加的表面积就是增加的侧面积， 而这个增加的侧面积就是这个长方形的面积，就是底面周长乘上增加的高，所以我们可以直接列示为 pi 乘直径，再乘增加的高， 我们就可以得出圆柱的底面积约增加了三十七点六八平方厘米。 我们现在再想一想，除了高的变化引起圆柱的表面积的变化之外，还有什么样的情况能引起圆柱的表面积的变化呢？ 我想到了，当我们把圆柱像这样切开时，表面积会增加。首先把一个圆柱沿着底面平行着切开时，增加的表面积是这样的两个底面积。 如果把一个圆柱像这样沿着底面直径垂直切割时，增加的表面积是这样的两个长方形面的面积。这个长方形的一条边是圆柱的底面直径，另一条边是圆柱的高，所以增加的表面积是二乘直径乘高。 谢谢你的分享，我们小结一下，在我们解决圆柱表面积的变化类的这样的问题时，我们一定要会画图，通过画图的方式直观呈现出哪些面增加了，哪些面减少了。 在这个基础上，我们在研究这些面与原来的圆柱之间的关系，解决这样的问题。现在我们看一看这样的问题， 当把一个圆锥这样切割的时候，圆锥的表面积增加了多少？我们应该怎么解决这个问题呢？ 我们可以课后继续探讨思考这样的问题，现在请同学们再想一想。我们在研究圆柱的体积公式的时候，是把圆柱转化成了近似的长方体， 这时候长方与圆柱之间又有什么样的关系？我们又能提出什么样的问题呢？同学们请看。 一个圆柱高十厘米，把它切开拼成一个近似长方体，这时表面积增加了八十平方厘米，这个圆柱的体积是多少呢？能解决吗？ 有些同学摇摇头说，老师，我们都不知道这个圆柱的底面半径，能求出这个体积吗？我们试一试。 当把一个圆柱切开拼成近似长方形的时候，我们知道长方体的高就是圆柱的高，长方形的宽就是圆柱的底面半径，长方体的底面积就是圆柱的底面积。 并且长方体的体积和圆柱的体积之间是相等的关系，所以我们可以用长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 那么长方体和圆柱之间除了体积相等，除了这些一一对应的关系之外，表面积之间又有什么样的关系呢？ 同学们请看，我们已经知道了，圆柱的两个底面积实际上就是长方体的上面和下面的面积。那么圆柱的侧面积呢？请同学们空间想象一下。 是的，圆柱的侧面积实际上就是长方体的正面和我们现在看不到的后面。 所以，当把一个圆柱拼成近似的长方形的时候，圆柱的两个底面积没有变化，它转化成了长方形的上面和下面的面积之合。而圆锥的侧圆柱的侧面积也没有发生变化， 它转化成了长方体的正面和后面的面积。哎，长方体的左面和右面呢？ 同学们发现了，原来这两个面就是圆柱拼成长方形的时候增加的两个面，也就是增加的表面积。 我们看一下图，两个面的面积是相等的，其中一个面我们可以用半径乘高来求出它的面积， 所以圆柱的增加的表面积，我们可以列式为二乘半径乘高。 回应一下刚刚的问题，我们不知道圆柱的底面半径啊，现在我们就可以求出来了，半径就是增加的表面积除以二，再除以高，得出半径是四厘米， 那么再根据圆柱的体积公式，我们就可以得出圆柱的体积约是五百零二点四立方厘米了。同学们，我们接着想这样的问题， 刚刚我们研究的是什么呀？我们研究的是圆柱和长方体之间相互转化的时候的问题。那么圆柱与圆锥之间又有什么样的关系？我们又可以提出什么样的问题呢？同学们请看。 有一个圆柱形和圆锥形的容器，它们的底面直径相等，圆柱的高是圆锥的三倍，如果用圆锥形的容器给圆柱形的容器装水，至少需要多少次呢？这个问题怎么解决呀？ 这个问题现在不知道圆柱和圆锥的底面直径，也不知道它们的高，能解决吗？ 有些同学就说，老师不知道，没有关系，我们可以设数呀，设数还真是一个好方法，同学们请看。根据提议，我们知道圆柱的底面积和圆柱的底面积是相等的，我们可以设为三平方厘米， 圆柱的高是圆锥的三倍。设圆柱的高为三厘米，圆锥的高为一厘米，那么通过圆柱和圆锥的体积公式，我们就可以算出圆柱是九立方厘米的体积，圆锥的体积是一立方厘米， 那么圆柱的体积是圆锥的九倍，所以我们可以得出至少需要九次才能装满这个圆柱形的容器。看来射术真是一个好的方法，那么如果不射术，我们还能解决这个问题吗？ 我用了公式推导的方法，圆柱的体积公式是圆柱的底面积乘高，其中圆柱的高是圆锥的三倍，所以把公式中的圆柱高替换成三乘圆锥高，所以圆柱的体积等于圆柱的底面积乘上三倍的圆锥高。 圆锥的体积公式是三分之一，乘上圆锥的底面积，再乘上高。观察圆锥圆柱的公式，发现，圆柱圆锥的底面积是相等的，高也是相等的，都是圆锥的高。 所以圆柱的体积比圆锥的体积时，底面积和高都会相互抵消，只剩下三和三分之一，所以圆柱的体积比圆锥的体积是三比三分之一，也就是九比一， 所以圆柱体积是圆锥的九倍，至少需要九次才能装满这个圆柱形容器。还有没有其他的方法呢？ 我还想到了用柱锥关系推导的方法，我们知道等底等高时，圆柱的体积是圆锥的三倍，在这个问题中，圆柱的高是圆锥的三倍，所以我把这个圆柱像这样平均分成三份， 这时候每份小圆柱与圆锥就是等底等高的关系，所以用等底等高的圆锥装满每份小圆柱时，需要三次才能装满。 那么圆柱形容器相当于是三份小圆柱，每份小圆柱需要三次才能装满，所以一共需要三乘三等于九次才能装满这个圆柱形容器。 感谢你的分享，我们现在小结一下，在解决圆柱与圆锥的关系这类问题的时候，我们可以记，我们可以计算或者灵活的用设数的方法具体算出圆柱与圆锥的关系， 我们也可以用公式或者等底等高时的注对关系来推导出圆柱与圆锥有什么样的关系。好，这堂课马上要结束了，我们进行这堂课的总结。 在解决圆柱与圆锥这类问题的时候，我们可以用如下的这些策略和方法解决具体的圆柱与圆锥的问题。 在这些方法和策略背后，实际上就是在不断的运用我们数学中的转化思想，把曲面的问题转化成平面的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把未知的问题转化成已知的问题。好，这堂课我们上到这。