斯特瓦尔特定理是极化不等式吗

你听说过斯特瓦尔特定理吗？没有听说过。那你一定听说过斯库顿定理吗？有点印象，但是不多。斯库顿定理是小平分线模型下的另外一个结论，也是斯特瓦尔特定理的一个特殊情况， 中线定力也同样可以由斯特瓦尔特定力推倒出来。本期视频我就带大家证明一下斯特瓦尔特定力，并由他来推倒斯库顿定力。我们首先给出一个三角形， 观察三角形可知角三和角四是互攻角，那么这两个角的于弦之家和威灵利用于弦定理表示出两角于弦指，并将他们相加。啊，那这两个分式的分母并不相同啊。你说的没错，我们不妨变换形式，一是个分子分母同时出 除以 dc， 当时的分子分母同时除以 bd， 那这样两个分式就可以通分了呀。你说的对，把分式通分后，再稍微解放一下，就可以获得斯特瓦尔特定律。 这个定理是一个意外性的结论，任意的三角形都是可以使用的。这个定理好复杂啊。 没有关系，我们不需要记住，只需要明白他是如何推倒出来的就可以了。那斯库顿定理是怎么推倒的呢？ 非常简单，斯库顿定力十四、特瓦尔特定力在角平分线模型下的特殊情况。根据上期所说的角平分线定理，交叉相长后，我们得到一个等式，我们把它带入到斯特瓦尔特定力中， 上面化解一下，就可以得到最终的四库存定理了。今天你有没有听懂吗？关注我，给你带来更多有用的知识！

零可负是几不等式？爸爸你能不能教一下我？ ok， 我 们开始 若 x 加 y 加 z 是 等于八的，且呢 x、 y、 z 都是大于零的，那我们求根号下 x 的 平方加一加，根号下 y 的 平方加四 加根号下 z 的 平方加九的最小值，这其实就是一个民可夫斯基不等式。我们先来一起回顾一下民可夫斯基不等式的基本结构好吗？好， 现在我们就把我们的已知条件的值和我们目标式的式子呢代入到我们这个民可夫斯基不等式当中来。我们来看一下，那就等于根号下 x 方加 e 方， 加上根号下 y 方加二方，加上根号下这方加三方，大于等于我们 a 加 c 加一括号的平方，也就是我们已知条件当中 x 加 y 加 z 括号的平方八八六十四， 然后加上 b 加 d 加 f 括号的平方，也就是我们这里的一、二、三括号的平方，一二、三的话等于六六的平方三十六，然后开一个根号，我们再把它计算一下，六十四加三十六，刚好就是一百一百开根号，也就是大于等于十。 根据我们的民可夫斯基不等式，我们是不是计算出来了，我们要计算的原式呢，他是大于等于十的，那么他的最小值呢，就是等于多少。 好，我们现在呢就来推导一下我们的公式，用竖形结合法来看一下我们的公式是怎么推导出来的好吗？好，那我们现在就把这个过程擦掉，来画个图，我们来画我们第一个三角形， 为了让我们的 x、 y、 z 呢是可以相加的，所以说我们要把 x、 y、 z 呢放在一条直线上，那么把这边命名为 x， 等一下 y 就 可以放在这里，然后这边呢就是我们的一。 此时我们的斜边表达式呢，就是根号下 x 的 平方加一，然后我们再来画一下我们的第二个式子，这边直接沿过来，这一边呢这边呢就是 y， 然后我们再往下画，画一个二， 那这边呢就是二，此时把它连起来，那我们这个斜边的表达式呢，就变成了是根号下 y 的 平方 加二的平方，也就是这里的四。我们再来看一下我们的第三个三角形应该怎么画，如果我把它继续画在右边，那么 x、 y、 z 呢是可以相加，但是它的斜边呢却没有办法相加。现在呢我们就以这个顶点开始画一个三角形，然后把我们的这边呢往上移， 这样的话它的 x、 y、 z 就 在一起了，对吗？那此时这里就是我们的这边，那我们把这边平移一下，那这边就到这里来了。平移之后呢，我们就可以那 x、 y 加 z， 他 们都在同一条直线上，而这里呢就是我们的三，而此时斜边的表达式就变成了 这一方加三的平方，也就是九。现在我们再把这两个顶点呢用虚线把它连一下， 同时我们把这个三角形二这条边移到最左边，把这个三角形三这条边呢也移到最左边，我们来看一下， 那这里呢就是我们二这条边，这里呢就是我们三这条边。现在我们这条直角边的总长度呢，它就等于六。那下面这条边的总长度是不是就是我们 x、 y、 z 的 总长度，它就等于八。 此时我们的鞋边根据勾股定律六八十，那么我们这条鞋边呢，它就是等于十的。 又因为我们 x、 y、 z 呢，不是一个固定值，而 x、 y 加 z 的 值呢，是等于八的，它是一个固定值。所以说这条黄色的鞋边呢，它永远是固定的。 此时我们三个三角形的斜边之合呢，肯定是大于等于我们这条黄线这条斜边的长度，因为两点之间是线段最短， 这里这三个四指相加呢，就是我们这个三条斜边相加之合，而这边的两个平方和呢，就是我们这条黄线长度的表达式，所以我们这个小三角形的斜边的长度。 那现在我们这个名可夫斯基不等式的证明过程就完成了，你学会了吗？学会了，真的吗？嗯。

好，各位同学，今天我们来学习斯特瓦尔特定理，这个是著名的数学竞赛当中的定理，非常的重要，学会这个以后呢，很多题目就可以了解了，它是什么个意思呢？首先给到一个三角形 d 是 b， c 上随便一点，然后再把 a、 d 连出，那么它的结论就是 a， b 方乘以 c， d， 加上 a， c 方乘以 b， d， 再减去 a， d 方乘以 b， c， 然后呢，就会等于 b、 c 和 b， d 和 c， d 的乘积。好，那这个我们应该怎么样去证明呢？首先还是首先过 a 点去做一条垂线 a， h， 然后呢，我们就在这里就可以得到一个三角形的勾股定理， 那就说 ac 的平方实际上是等于 ad 方加上 cd 方，同时减去二倍的 dc 和 ds 乘积，这实际上是广义勾股定理，这标为一式。那其次呢，在 ab 方实际上是等于 a， d 方加上 b， d 方，再加上二倍的 bd 乘 ph， 这是广义勾股定理，标为二式，他要求的是 ab 方程 cd 和 ac 方程 bd， 所以我们首先说 ac 方程 bd， 就是在 d 式的左右两边同时乘 bd， 然后乘完了以后呢，就会得到这样的式组啊，标为 d 三， 那么一样的 ab 方程 cd 就在两边同时乘以 cd 啊，结果呢，我们标完之后就会得到四式，再把三式和四式同时相加，那左加左，右加右可以得到 ac 方程 bd， 加上 ab 方程 cd， 右边呢就会等于 ad 方，然后中间呢，大家看了把这两个加起来啊，提个公因式， 那后面呢，再加上一个 b 地方乘 c， d， 再加上 c 地方乘以 b， d， 但是中间这两个大家能看来他俩是完全一样的，就消掉了啊，那最终呢，他就又等于 a 地方乘以 bd 加 cd， 实际上是 bc， 再加上 bd 乘以 cd， 提出公因式来，再乘以 bt 加上 cd， 那么 bd 加 cd 实际上是 bc， 所以最终他的结论是 ad 方乘 bc 加上 bd， 再乘以 cd， 再乘以 bc， 这样就可以了 啊。然后最终呢，我们再做一个移项，就可以得到这样的形式。其实已经就震出来这样的结论了，好搞定。

中考数学方程不等式第四节一元二次方程跟的判别式与伟大定律， 这是这近三年中考啊，一元二次方程这一部分各个知识点啊，他的出，他的出题的考试的频率，我们从这可以看出线频率最高呢，就是跟的判别式以及根与系数的关系。 好，根的判别。是啊，对于一二次方程，它的一般形式是 a x 方加 b， x 加 c 等于零，其中 a 不 等于零， 那 d 它呢？就等于 b 方减四 a c 好， 这时候我们要解方程的话，需要根据 d 它的值来判断根的情况。 当等它大于零的时候，有两个不相等的石根，等它等于零的时候，有两个相，有两个相等的石根，当等它小零的时候，就没有石树根了。 注意，当 a 等于零的时候，那这个方程呢，就退化为一元一次方程。如果题目明确给了一元二次方程，那我们一定要保证 a 不 等于零，那根与稀数的关系啊，就是伟大定律啊， x 一 x 二是这个方程的根，那么就会有 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 这前提一定要得儿，它要大于等于零。 我们看伟大定律啊，在我们实际中的应用应用一，已知一根，让你求另一个根，那所用的方法呢？就是我们直接使用伟大定律 好，这一个例题说已知方程二， x 方程五， x 加 c 等于零的一个根是二，让我们求另一根及 c 的 值， 那这个方程 a b 都已经知道了，现在只有 c 不知道。然后呢，还有另外一个根也知道了， 那我们知道 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， a 和 b 都知道了，然后呢， x 一 和 x 二我们又知道了一个，所以我们利用伟大定律 设另一根 x 二，那 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b 二分之五能够推出把另一个根带进去。二，加 x 二等于二分之五，能得出 x 二等于二分之一，然后呢，用 另伟大定律的另一个式子， x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 然后得出 c 的 值来， 然后解出值之后，我们一定要去辨别一下根的情况，然后呢，再再带入的它里边的它等于二十五，减 十六等于九大于零，是满足一元二次方程的条件。好，我们看第二个应用，我们求对称的式的值。 我们常见的一些变形的公式呢，有 x 一 加 x 二的平方，那我就转换成 x 一 加 x 二平方，减二 x 一 x 二， 然后 x 一 减 x 二的绝对值，那我就把它放根号下边，等于根号下 x 一 加 x 二的平方，减去四倍的 x 一 x 二， 还有 x 一 分之一加 x 二分之一啊，它等于通分 x 一 x 二分之 x 一 加 x 二， x 一 的平方加 x 二的平方，那也是通分，然后在分子上，然后再 分子上，再分子上，再再带入这一个式子啊，就得到了啊， x 一 加 x 二除以 x 一 乘以 x 二的平方， 那个立体不解方程，让求 x 方减三， x 加一等于零两根的平方和，那就 x 一 平方加 x 二的平方，对吧？然后呢，用它定力，是不是直接带入这个十字就可以了？ 应用三，我们要判断根的符号和性质，然后不解方程，要判断二 x 方加三 x 加四的根的情况，那直接就是用的它，对吧？啊的，它等于 b 方九减四， a， c 减四乘二乘四，那等于负二十三，那就是没有实根，那就是没有实根。 已知两根，我们求方程啊，我们要构造出 x 方减去 s， x 加 p 等于零的这样一种形式。已知两根，分别是三和负二，求这个一元二次方程， 那两个根已经知道了两 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， a 等于一， b 等于负 s， 负的一人， b 负的一分之 b 就是 s， 所以 s 等于三加负二等于一， p 呢，等于 a 分 之 c 啊， x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 哎， a 等于一，所以 x 一 乘以 x 二等于 p 啊，这就等于负六。然后呢，再就是解方程， 把两个值带进去，得 x 方减 x 减六等于零，得 x 等于三， x 等于负二。 转化二次方程和和积的问题。第五个应用呢，是和和积的问题， 假设两个数之和为五，积为六，让求这两个数，那根据这个已知条件，我们直接构造一个一元二次方程是不是就可以了？ t 方减五， t 加六等于零，然后分解 t 减二， t 减三等于零， 所以这两个数分别为二和三。然后第六个应用是构造新的方程，已知方程，它的两个根为 x 一 和 x 二， 就我们求一个新的方程啊，其两根为 x 一 分之一和 x 二分之一。那有这有这个式子你会答？定律，我们得出 x 一 加 x 二等于负二， x 一 乘以 x 二等于负三， 然后是心缝成的两根，分别是 x 一 分之一， x 二分之一。那我们也要构造出 x 一 分之一加 x 二分之一，它能够等于 x 一， x 二分之， x 一 加 x 二，那把上面的两个式带进去就得负三分之，负二等于三分之二。两根的乘积 x 一 分之一乘以 x 二分之一，就等于 负三分之一。所以那新的方程就是 x 方减去三分之二， x 减去三分之一等于零，然后再整理即可。 应用题呢，是解特殊的方程组，已知这个方程组 x 加 y 等于五， x y 等于六。有伟大定律的逆定律，那 x y 就是 方程 t 方减五， t 加六的两个根。 然后呢，解方程得 t 等于二或者等于三，那这样方程组的解就为， x 等于二， y 等于三，或者是 x 等于三， y 等于二。

我们同学经常会在考试的时候，遇到有一些完全无从下手的题，你会觉得特别的难，为什么是这样子呢？讲清楚。第一点，条件越少，很多的时候呢，出题的角度就越刁钻，越不太容易搞定。第二点就是有些题他真的就是用来筛选的，说白了，你用教材上的知识能不能做呢？勉勉强强做，那 是极少数的顶尖学霸他们才能做的了的题，就是很难。但是我说他是用来筛选的，他并不是只用来筛，把知识学到了最极端的最顶级的那个程度，那些孩子他也用来筛。咱们同学，是不是你平时学的东西这个 范围够，知识面够广？所以你比如说像这道题为例，他其实就是筛女孩子的知识面。如果你用常规的方法，比如说这道题用点什么？旋转，能不能做到能做，但是会非常难。 这道题如果你学过一个东西，叫菠萝蜜定律，菠萝蜜不等式的话，你再来看这个题，其实会变得非常简单，而且想告诉大家，在中考的选择最后一道，填空最后一道，甚至是压轴题的最后一道题的最后小问，经常都是不要求写过手，直接写答案，所以这道题就是典型的这种题，求 p c 的 最大值。但是这里面有一个隐含条件，就是 a b c d， 它的是一个正方形， 那这个题如果你会菠萝蜜不等式的话，它是一个正方形，那这个题如果你会菠萝蜜不等式。是这样的啊，对于任意一个四边形来说， 我随便画一个啊，那他的结论是什么呢？对角线之积小于等于对边乘积的和我举个例子吧，假设这个是 a、 b、 c、 d， 这个是 e， 这个是 f， 结论就是这样啊，叫对角线的乘积小于等于对边乘积的和小于等于 a、 c 加上 b、 d， 它就是这样的结论。有了这样的结论，我们来处理这个题呢，就会变得非常的简单，你看他让你求 p， c 的 最小值对不对？那我们就可以把这个连接一下，我们把它连接一下。 好，我要想求它的最小值，最好是它跟我们这个或者 b 不 等式有关系，它的出现个四边形，那显然在这里，你看 a p 我 得用上， p d 我 得用上， c， d 我 得用上，然后 c p 得用上，那是不是还差一条边，对吧？那差谁呢？是不是我就应该把这个 a、 c 也给它连接上？ 连接完了之后，有没有发现在这里就出现了个四边形，叫 a、 c、 d、 p， 对 不对？我得用这个四边形的边，我得用这个四边形的对角线。好在这里呢，又会遇到一个小的困难，这个困难我觉得大家很好解决，因为这道题告诉你， a、 b、 c、 d 是 正方形，那我们想每个边都用好，我们可以设一下，正方形的边上是 x 啊，那这是 x， 这个是 x， 这个边就应该是根号二 x， 然后呢？ p c 不知道，那没关系，我就照抄了。这接下来对角线的乘积是不是就是 p c 乘一个 x， 它乘以它小于等于对边乘积的和它俩乘积是不是就是二 x， 它俩乘积是不是就是三倍根号二 x？ 你发现这道题做完了，原因是不等号的两边全部都是有 x 的， 而且 x 显然是一个正数，因为它是个边长嘛，所以我两边可以同出 x， 答案就是 p c 小 于等于二加三倍根号二，我要求的就是 p c 的 最大值，它小于等于它，那这个东西是不是就是 p c 的 最大？ 所以如果你已经是一个成绩比较好的孩子，你要在中考当中要真正建立起这种领先优势，大家不要把你的目光只局限在你的教材上的内容， 你的课后练习题的浏览内容，你一定要做一些适当的拓展，那这个环节呢，也是理所当然，我们通过大专题的方式不断给大家拓展的地方，你比如像在这给大家拓展不等式，然后呢？像在语文给大家去拓展什么形，形点定义啊，切克线定义，根线定义，这些都是如果你想让孩子 考到顶尖的分数，奔着满分考，甚至是上了高中之后依然有领先优势的话，给这个所有的家长孩子大家一定要注意，我刚才讲的这个环节就是向外拓展这些，有些家长都在大专题里带着孩子们去做，如果各位家长和孩子们也想学这个评论区回复大问题。

发现一本非常棒的高中书籍，高中数学培优手技，他是知乎两大知名数学博主一起编写的书， 适合高中想考高分，想走强击和竞赛的同学去看。我们看第一章不等式，他拓展了科西不等式、绝对值不等式、最值不等式，还有伯努利不等式，这些我们课内都没有，学不到。 第二章解三角形扩展了万能公式、三角恒等式、梅涅劳斯定律、塞瓦定律。 第三张向量扩展了定比、分、点等和线及划横等式，还有负数与向量机运算，后面还有圆锥曲线、竖列函数与导数。函数和导数这里还拓展了三次，函数都扩展了非常多，有些内容还是比较深的。 他这里面重点收入了二零二三至二零二五年间具有代表性的高考真题、精选模拟题以及强击计划测试题，并且补充了部分经典的地方卷考题。所以准备高考冲高分，准备强击和竞赛的同学，这本好书真的可以入手。

初中数学几何题，不要怕，考来考去就是这七十种模型，弄懂了其实一点也不难。初中数学开窍，哪种方法最靠谱？ 家长自己教推荐指数一颗星方法太老旧，孩子听不懂，亲妈记成后妈破坏亲子关系。练习册、测试卷学练题，推荐指数两颗星， 实则就是刷题，题目一遍就不会容易有厌学情绪。报大几万的一对一推荐指数三颗星，老实讲，孩子听依赖性变强，自己从不主动思考。一个月挑战数学一百一十加， 具体怎么做，试试这个吧！基本上没有，但是中考一定会考到的二级公式，很多孩子不知道就很吃亏。像这样的二级公式，在这本书里还有七十五个，如果你能把它们都掌握了，你会发现初中数学学起来有多轻松。 比如等腰三角形中的距离公式，只要在等腰三角形内有三个垂直，则可以马上得出三条线段的关系。学会了这个二级公式，在面对这类三垂直的题型时，就可以省去做辅助线和计算面积的功夫，直接利用公式三秒得出答案。 像常考的五大角度模型、三大最值模型、瓜豆阿是圆模型，这些快速解题的公式，你要是学会了，考试真的就跟翻书抄答案一样简单， 而且步骤越少，正确率也会更高。每个二级公式的推导、演变过程都十分详细，孩子有不懂的地方也可以观看视频讲解，家长就不用费心去教了，一定要给孩子准备起来。

哎呀，我给你买，我给你买还不行吗？中考这么关键，你为什么不早点给我抢到初中数学二级公式，别的同学用它提分又快又高效，就我还在天天熬夜， 妈，你快给我买一套吧，晚了就断货了。我见过最笨的父母就是孩子，都初二下学期了，还没给他准备这本二级公式，快捷！你们要知道，中考数学就算再难，不管谁出题，不管怎么考，就这七十五个二级公式，你把它们都吃透了！初中数学就像翻书抄答案一样简单，比如初中的高频 好点等幺三角形，已知角 a 等于六十度，角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 的 平分线交于点 p， 求角 b、 p、 c。 普通解法会用大量时间推理计算，但如果学了海伦公式，你就会知道，角 p 等于九十度，加二分之一的角 a， 就 能用这个公式快速解出角 b、 p、 c 等于一百二十度。 这本书包括三十二个必考主题，七十五个二级公式，以及四百二十个重点难点，每一页都有知识点讲解以及例题分析。每个二级公式都有推导演变过程，让孩子理解的更加透彻。把这套书吃透， 初中数学根本不用去报班，初一到初三都可以用，而且还是全国通用版本，家有初中生的家长赶紧准备起来吧！

初中最后三个月，重点抓四科，中考不下六百五十家，学长给大家普及一下，从三月八日开始努力需要做到哪些？如果你没有计划，跟着学长这样布局学会，你就是最强黑马！一、英语背完形填空固定搭配一定要背，背下来英语吻上 one hundred thirty plus。 二、语文四十首古诗词默写，还有阅读理解，答题公式，反反复复就考这些。三、数学不等式题型整理好了，一定要全部吃透，搭配二十四个常用定律，吃透考试不用愁。四、 物理就背一百个易错点和九十四个核心考点，三年精华都在这里了，中考起飞就在最后这三个月， 让孩子背过这一百二十五个高频考点。你们要知道，二六年中考，就算再难，不管谁出题，不管怎么考，语数音物化就这一百二十五个高频考点， 只要考前把他们掌握牢了，中考就像翻书抄答案一样简单。有远见的家长早早的就给孩子准备好了这本中考抢分攻略，他把语数音物化这五科必考的一百二十五个高频考点哈，全都给孩子为难好了。孩子哪里不会，对照目录就能快速找到对应考点。 比如物理，三年考了二百八十九次的加强，是很多孩子丢分的重灾区。你就翻到对应的页码，先跟着表格梳理重点和考点，再用口诀妙记快速理解记忆，就算基础差，孩子也能轻松搞懂。关键他还把解析技巧和高频易错点呢， 搭配上母题讲解，手把手教孩子学会举一反三，以后考试不管怎么变，都能文文踩准得分点，遇到不会的呢？扫码还有视频讲解，不用担心孩子学不会。一本包含语、数、英、物、化五大科目，不管是平时复习还是中考冲刺都很合适。趁现在有时间，左下角给孩子安排上一次搞定五个科目，中考直接笑着走出考场。

这视频咱们来讲解一下斯特瓦尔特定理，那么题目当中一旦涉及到这个定理的话，那么这道题肯定是有难度的，所以说这个视频咱要把这个定理给它推导一下。在三角形 a、 b、 c 当中， d 是 b、 c 边上的任意点，现在让咱们证明， a、 b 方乘以 c、 d 这一段加 a、 c 方乘以 b、 d， 减去 a、 d 方乘以 b、 c， 就 等于 b、 d、 c、 d、 b、 c 三者的乘积，其实记起来也是相当好记的。你看这个地方，咱们画了一个减一的图， 把这几条线段分别标为 a、 b、 c、 d、 e。 咱们写下这个 a、 b 方其实就是 a 方， a 方程的是它的，这个对着的这个乘积 a 方程的是谁啊？ c 加 d 方程的是所对的这个 b， 再减去中间的 a 地方，它是 e 方，乘的是整个底边。 b、 c 就是 小 b， 加小 c 就 等于小 b 乘以小 c， 再乘以小 b 加小 c。 哎，可以这样记， 通过这个可以给它记一下，记起来还是比较简单的。那么这个是怎么证明出来的？咱们看，首先在三角形 a、 d、 c 当中，由于 a、 d、 c 咱们看成一个锐角三角形，所以说咱们根据这个 勾股定律它的推广，咱们可以得到一个式子，得到一个 a、 c 的 方，我们用不同元侧的比例，它斜加就用得到 a、 c 的 方，就等于 a 地方加 c 地方， 因为它是锐角三角形，所以说减去一个二倍的这个 d、 c， 再乘以 d、 e， 那 我为啥会用这个式子？其实这是勾股定律它的推广，锐角三角形当中，这个地方是减，钝角三角形当中，这个地方一定是加，比如说 a、 b、 d 这个三角形当中，咱们就用加， 所以说这个在三角形 a、 b、 d 当中， a、 d、 a、 b 的 方就等于 a、 d 方加 b、 d 给它加上一个二倍的 b、 d 乘以这个 d、 e。 这两个式子是怎么得到的？这两个式子是这个勾股定律， 它的推广， 后面咱们会证明这个。那么现在得到这个之后，现在看一下，人家需要证明的是 a、 b 方乘的是 c、 d， 所以 说 第二是给它左右两边同乘以 c、 d， 而 a、 c 方乘的是 b、 d， 所以 说一是给它乘以 b、 d 标上一式，这是二式。首先 ab 方乘以 cd， 那 么 ab 方乘以 cd， 就 等于 cd 乘以 a 地方加 cd 乘以 b 地方 加二倍的 cd 乘以 b、 d 乘以 d 以，相当于把这个 cd 给它分配给你。 再看 b、 d 乘的是 a、 c 方，所以说把这个 b、 d 给它分配一年，那么这边就是 a、 c 方乘以 b、 d， 就等于 b、 d 给它乘进去 b、 d 乘以 a 地方加 b、 d 乘以 c 地方，再减去二倍的 b、 d、 d、 e 再乘以 d、 c。 现在咱们可以把变形的这两个式子给它相加，这是三式，这是四式。给它加起来之后，我们这边就是 a、 b 方乘以 c、 d 加 a、 c 方乘以 b、 d， 就 等于， 那么这边是二 c、 d、 b、 d、 d、 e， 它也是二 c、 d、 b、 d、 d、 e 一 正一负就消掉了后面两项。前面的话可以给它提一个 a、 d 方，就是 a、 d 方倍的 b、 d 加 c、 d， b、 d 跟 c、 d 加起来刚好是这个 b、 c， 所以 说前面就是 a、 d 方 乘以这个括号， b、 d 加 d、 c， 后面给它照成 c、 d 乘以 b 地方加 b、 d 乘以 c 地方 啊，这两个给它起到这地方，后面这两下是消掉了，先让咱们再进行化解。前面还是 a， b 方乘以 c， d 加 a， c 方乘以 b， d 就 等于 a， 地方乘以 b， d 加 d， c。 从这儿看， b、 d 跟 d、 c 相加，刚好是 b， c 乘以 b， c 加后面两项可以看 t 一个谁啊？公历是十 c， d， b， d， c、 d 乘以 b、 d， 那 么就是 b、 d 加上一个 d， c， 那 b、 d 加 d， c 刚好是 b、 c。 所以 说现在通过一项这个结论，怎么就证出来了？ a、 b 方乘以 c， d 加 a， c 方乘以 b， d 给它减去一个 a， d 方 乘以 b， c 就 等于 b， d， d， c， 还有一个 b、 c， 它的乘积， 这个结论咱们就挣住了。所以说咱们把这个结论就把它叫做斯特瓦尔特定，并跟这个结论看 正弦是一样的。 ab 方乘以 c， d 加 ac 方乘以 b， d 减去 a， d 方乘以 bc， 就 等于 b、 d， dc， bc， 它的乘积。至于说怎么记忆看这地方哦，这个定律怎么就证明到这个地方？

我听说你们解三角形水平很高，那这七个解三角形偷分定律，你一定会吧？不会也别着急，我再讲一遍你必须掌握的定律。第一个是什么？正弦定律，余弦定律，高考必考的内容，一定会考大题的。第二个就是摄影定律， 全国卷特别喜欢考，只是我不是特别建议考大题的时候直接套用，需要去证明一下，当然是需要备注的啊，考小题你就可以直接秒杀掉了。第三个当然是非常有名的角平分线定律，二零二三年假卷第十六题，考到了 圆锥曲线当中，这个定律也是非常有名，二零一五年全国二。第一道大题，直接让你证明角平分线定律，所以大家必须得会啊。当然第四个呢，就叫张角定律，这个套路怎么去证明的，你需要记忆下来，只要是他告诉你了这个三角形，告诉你这两个顶角了，这 两个角二法贝塔，我们就喜欢来一个等面积法， s 一 加 s， 二等于 s， 这个 s 是 整个的三角形， a b， c s 一， 当然就应该是二分之一， ab 乘一个， a， d 乘一个甚二法，加上一个二分之一， a， d 乘一个， a， c 乘一个甚贝塔，它是不是就应该等于整个的三角形的面积？整个的三角形的面积就应该等于二分之一， a b 乘一个， a， c 乘一个甚二法加贝塔啊，这叫张角定律，这公式就是定律了。好，当然我们只是需要化简一下， 大家可以看一下，二分之一约掉了，这时候我们两边同除一个啊， a d 或者是 ab 乘 ac， 大家可以看，我先把 a d 除到右端去，然后再同除以，一步一步来吧。 ab 乘以一个甚二法，然后呢？再加上一个 a、 c， 乘一个什么呢？乘一个甚贝塔， 看清楚了吗？它就应该等于个什么呢？ a、 b 乘一个 a、 c， 除以一个 a、 d， 分 之肾二法加贝塔，然后我们两边再同除以 a、 b 乘 a、 c， 从而就是肾二法比上一个 a、 c， 再加上一个肾贝塔比上一个 ab， 它就应该等于个肾 二法加上一个贝塔比上一个 a、 d， 这个公式就叫做脏角定律。那么第五个斯特瓦尔特定理，当然我们在高考当中会考什么呢？它会考地点呢？是一个三等分点或者是中点。我们喜欢 假设这个角是二法，这个角是派减二法，来两个余弦定律相加等零，我给大家推导一下啊，这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，在 bc 上有一点 d 啊，它的极等分点不重要，所以我们这时候在这个三角形当中，比如它是个三等分线吧，我们特别我们有三种方法啊，第一个是什么呢？ 我们假设这个角是二法，这个角呢是派减二法，那么二法和派减二法当然是互补的，那么他们的余弦值一定是相反数，所以我们给大家写出来，你看啊，推倒了啊，考试二法等于什么呢？等于 a、 d 的 平方 加上一个 b、 d 的 平方，然后减去 a、 b 的 平方比上两倍的 a、 d 乘一个 b、 d， 问题吧，然后在右边这个三角形考生派减二法等什么呢？他就应该等个邻边的平方和，也就说 a、 d 的 平方再加上一个 d、 c 的 平方，然后减去 a、 c 的 平方比上两倍的邻边之积， a、 d 乘一个 d， c， ok， 那 么大家想一想，是不是这两个三角形，他们的余弦值相加就应该等于零啊？所以这样的话，我们就能够推出， ok， 他 俩相加等于零，他俩相加等于零的话，左端，当然我得通分，我直接写了，啊，相加等于零的话就应该是，嗯， 对吧？啊，分母不太一样，我们就通分，这个地方乘一个 d、 c， 对 不对？这个地方乘一个 b、 d， 然后整个的式子相加等于零，听明白了吧？这个套路，这个思路就叫斯特瓦尔特定律。第六个中线长定律，就第五个的特别地就是当 d 点为中点的时候，那么这就是赫赫有名的中线长定律。那这就说明 a、 d 肯定是相同的， b、 d 和 d、 c 肯定是一样的，所以它俩的分子相加就等于零了。两倍的 a、 d 方再加上一个 b， d 方，再加上一个 d， c 方，再减去个 ab 方， 再减去个 a、 c 方，听明白了吗？等于零，那么当然 b、 d 呢？它就应该等于 d、 c， 所以 这是两倍的 b 地方，所以中线长定力就出来了。 ab 方再加上一个 a、 c 方，它就应该等于两倍的 a 地方。好，我说明白了吧，中线长定力是什么呢？就应该是它方加它方，等于两倍的 a 地方加 b 地方。 好，听明白了没有？这叫中线长定里。第七个叫陀螺密定里，他就应该是 ab 乘以 c、 d， 再加上一个 a， d 乘一个 bc， 等于个 a， c 乘一个 b、 d， 利用三角形相似，当然第七个我认为高考是考不到的，前六个必须都会研究呦！解，三角形的十大题型，我们都给大家总结出来了，总共五十页 pdf 已经准备好，赶紧下载打印学习吧！