数列极限无穷项相加张宇公式

同学们大家好，今天我们来一块看一下章鱼一千题中竖列极限的第一道题目。 首先我们来一块读一下题，它让我们求当 n 趋无穷时，派分之四乘以个 r 整数 n 除以 n 加一的 n 次方，对不对？相信很多同学啊，看到这个 r 整数 n 除以 n 加一呢， 会直接把它等价成 n 除以 n 加一，那这，那这样的话就错了，那我们得明白啊， act 等价于 x， 前提条件是 x 是 在去几啊？去零的。那显然这个题目中啊， 显然这个题目中，当 n 趋于无穷时， n 比上 n 加一，它是不是趋于几啊？趋向于一的，对吧？ 那这种思思路如果不行的话呢，我们就再就再来换一种思路，对不对？那这个题题啊，它是符合什么 u 的 x 的 g x 方这种形式，那对于这种，对于这种形式的题目呢？ 对于这种形式的题目呢，我们首先要考虑它是不是属于一种最特殊的情况呢？也就是什么一的无穷， 对吧？一的无穷就是一种最特殊的这种这种情况。那我们来一块看一下， n 去无穷时， n 比上个 n 加一是去一的，那 act 一 就等于个四分之派，那四分之派乘以前上的前面的派分之四， 说明它整个底数啊，整个底数就趋于一的，那显然它的指数是趋于无穷的，所以说它就是符合这种形式的， 所以说这个题目就是一的无穷无穷次方这种类型，那当 u 的 x 的 g x 次方啊，它如果是一的无穷无穷这种形式呢？我们可以直接把它写成什么？直接可以可以把它写成 e 的 u x 减一，再乘一个 g x， 这个是重点，那这个式子怎么来的？那我们来看。首先来看常规的吧，那一般情况下，如果说它不是 e 的 无穷次方这种形式，我们来画这个式子的话，把它写成 e 的 g x 乘以个无穷次方这种形式，那 u x 是 不小于 e 的， 那我们再联想一个等价无穷小的知识， loan 一 加 x 是 不等价于 x， 当 x 趋向于零的时候， 那 u x 是 是是趋于一的，那 u x 减一是不就趋零了呢？那我们来把它变一下，就是一的 x， 一 的 j x 乘以个 loan， u x 减一再加一，那这一部分是不去于零， 所以说这个整体呢，它就等价于什么？等价？为了 u 的 x 减一，对不对？ 所以说这个数字就这么来的，最终就可以写成什么？一的 g x 乘一个 u 的 x 减一呗。那对于这个题目而言呢，我们可以把它写成什么？可以把它写成写成 lamb 的 n 曲无穷尺 派分之四乘以个 r， 看成 n 除以 n 加一的减一，再乘一个 n， 对 不对？当然还应该是 e 的 它 e 的 它对不对？那我们来先来看这个指数部分啊，指数部分 我们观察一下啊，前面这个式子啊，它是趋于几的？趋于零零的，对吧？后面是趋无穷的，那对于这种零比无穷形呢？我们把它转换成零比零形，或者是无穷比无穷形，那显然呢，我们把 n 放到分母上去是比较简单的， 那我们就把它转换成了什么？ limit n 趋无穷尺派分之四乘一个 arc ten n 除一个 n 减加一减一，再除一个 n 分 之一，对不对？那么这样的话呢，分子和分母都是去零的， 都是去零的，那么下面就用洛必达法则就可以了，下面用洛必达法则，分母求导，分母求导是不是负一倍的 n 的 负二次方啊？ 分子求导，分子求导是一道 act 求导， act 求导呢？是等于什么？等于个一加 x 方分之一的，那我们明，那我们知道这个式子，我们就可以 对这个分。分子给它求导一下啊。分子给它求导一下，前面系数不变，派分之四乘以个什么？一加 n 除以 n 加一的平方，分之一，对不对？再乘以它内层内层的导数。分子求到乘以分母， 分子求到乘以分母的话，就是 n 加一，对不对？分母求到乘以分子减去分母求到乘以分子就是 n， 对 吧？再除以一个分母的平方呗，就是 n 加一的平方。那我们把这个分子给它化简一下，就是 n 加一的平方。那我们把这个式子给它化简一下，就是 n 加一的平方。那我们把这个式子给它化简一， 它分之四。我们直接就提到给它，提到那个那个 lamb 的 号外面去吧。啊，所以说就这个，现在就相当于让我们求什么呢？就让我们求，就让我们求派分之四 lamb 的 n 趋无穷时， 嗯，一加上个 n 除以 n 加一的平方，分之一， 再乘一个乘一个 n 加一的平方。我们继续把这个式子化简一下， 就是求什么 lamb 的 n 取无穷时，给它化简一下。那么分子可以写成什么？ n 加一的 平方，分之 n 加一的平方，再加上个 n 方呗。再乘一个 n 加一的平方，分之一，对吧？那就可以写到什么 lamb 的 n 去无穷式， 我们把它倒过来，把这个这部分倒过来，就是什么 n 加一的平方加 n 方分之一，是吧？最终就写成这个的，对吧？ 这，这是它的分子啊，这它分子我们加上前面的拍分之四就拍分之四啊，我们把分母给它加上拍分之四乘以把分母加上的话，就是什么 分母是分母，是负 n 的 负二次方，对吧？也就是什么负的 n 方分之一呗。我们把这个符号直接放到外面，也就是负的拍分之四， 然后他除一个 n 方分之一的话，是就是 n 方分之 n 加就 n 方除一个 n 加一的平方加上个 n 方呗，对吧？然后我们再把它分母由理化一下， 嗯，分子分母同时除以 n 的 n 去无穷式，一比乘个 n 加一比 n 的 平方，再加上一，对不对？那就等于什么？等于负的派分之四乘一个 lamb 的 n 趋于无穷时，一加 n 分 之一的平方加一分之一， 对吧？ n 区域同时 n 分 之一是去零的，那后面这个尺子呢？就是等于多少？等于二分之一呗，对吧？我们用二分之一乘上个负四分之派负派分之四乘以二分之一是不等于负的派分之二。 嗯，别忘了，别忘了这是只是它指数指数部分，对吧？它底数还有个 e 呢，那最终，所以说最终加上那个 e 的 话，它的最终答案就是多少 e 的 负的派分之二次方，对吧？ 那这个是呢？这个，这个这道题目呢，其实还挺挺复杂的，主要它的过程比较多点。

通过一道题掌握一类题，这次我们来学求 n 向和竖列的极限。思考三秒，我们直接开始 n 趋向于无穷时，这个竖列的极限是多少？这个竖列它是一个 n 向和构成的竖列。那咱们先归纳一下这一类竖列求极限的计算方法有哪些？ n 向和或者是 n 向积 这种题目的第一件事，先看一下这个 n 向和或者是 g， 你 能不能算出来，就是先合并， 如果能合并，那你就合并完以后再计算极限。 如果它不能先计算和或积，你这时候就得想夹逼定率或者是定积分的定义了。那我应该是想夹逼定率还是定积分呢？如果咱们分子或分母的次数不齐的时候， 咱们用夹逼定率。夹逼定率是怎么计算数这极限的呀？ 比如说咱们要算的是 x n 这个竖列的极限值，那我们让 x n 左右两头放松，往左放出来新竖列，往右也放松出来一个新竖列，并且这两个竖列它的极限都存在，并且还相等。比如说都是 a， 那 我们 x n 的 极限也是 a， 这就是用夹逼定律求竖列的极限。如果说咱们竖列的分子及分母次数都齐的时候，咱们就使用定积分的定义， 那咱再回忆一下如何使用定积分的定义求这个数列的极限。如果我们的函数 f x， 它在 b 区间零到一上是连续的， 那么 f 在 零到一上一定是可积的。对应的几何理解就是在坐标轴上有一个连续函数，比如说这是我们的 f x， 这里是 x n 零，这里是 x n 一 以及 x 轴。 好，它所谓的面积是存在的，也就是说 f x 在 零到一上是可积的，那这个面积值是怎么算的呢？ 我们可以对区间零到一进行 n 等分，那我们的区间就被分成了 n 份，每一份长度都是 n 分 之一。 那么第挨个区间呢？它的左端点就是 n 分 之二，右端点就是 n 分 之二，我们就可以算出来第挨个区间上对应的竖条面积了。 这个竖条面积我们把它近似一个长方形，长方形的宽就是这个 n 分 之一，而长方形的高就是我们区间上任意点的高度。 那我们在 n 分 之 i 减一到 n 分 之 i 这个区间上任找一个点，比如说叫可 c i， 那 么我们就可以用可 c i 的 函数值作为这个竖条的高，那再乘以它的宽度 n 分 之一， 这是一个竖条的面积，那一共有多少个竖条呢？ n 个区间对应 n 个竖条，我们把这 n 个竖条的面积相加，然后让 n 趋向于无穷大，也就是分割的足够小。 那么对于这样一个 n 向和构成的竖列，它的极限值就刚好是我们的面积值，也就是 f 在 零到一上的定积分。 因为这里的可 c 是 区间上任意一点，我们取谁都可以。但是我们考试里通常把可 c i 取成右端点 n 分 之 i， 也可以取成左端点 n 分 之 i 减一。我们二一年的真题还考过区间的终点就是二， n 分 之二， i 减一。 当然咱们真题考的最多的是可 c i， 取右端点 n 分 之 i 的 时候，也就是我们拿的题大部分都是 limit n 趋向于无穷 sigma i 从一到 n f n 分 之 i， n 分 之一，这个就是我们 f 在 零到一上的定积分。 你把整个原理弄清楚以后，咱们自己就可以出题了。比如说我把上面这个式子里的 f x 取成密函数 x 平方， 那么咱们就得到一个竖列，叫做 n 趋向无穷 c 个嘛， i 从一到 n， 这里的 f 是 不是取成 x 方了？那这里是 n 方，分之 i 的 平方旁边再乘以 n 分 之一，那我把 n 分 之一和这个 n 方合并一下，这里不就是一个 n 的 三次方吗？ 那你敢能看得出来这个竖列的极限就是零到一上 x 方的定积分？那我们再来一个，我把函数 f x 取成根号 x 分 之一，那咱们的竖列极限就出成 c 个码， a 从一到 n， 什么分之一？而这个根号下面呢？是 n 分 之 a， 再乘以个 n 分 之一，这就是一个 n 向和竖列求极限的题。当然，咱拿到题，他往往会把这里约分给约掉， 也就是说，咱拿到的题的长相是这个式儿的，你咋能看得出来它是根号 x 在 零到一上的定积分，这种就是最基本的入门考察。那出题人还想考定积分的定义，但是又想增加一下难度，我们可以怎么增加呢？我们可以这样考， liamyta n 趋向无穷大 c 个码 i 从一到 n f 这里还出乘 n 分 之 i， 但是我旁边不再乘 n 分 之一了，而是乘以 n 加长数分之一，这里的 a 是 任意个常数，那这个数里的极限还是这个定积分吗？还是的， 还是我们 f 在 零到一上的定积分？为什么我们 f 在 零到一上的定积分？为什么我们 f 在 它的旁边就乘以 n 分 之一， 我是不是相当于分母上乘了个 n 呀？那我们为了恒等变形，在分子上也乘以 n， 把本来的分母 n 加 a 抄上，那我们的竖列就变成两相相乘求极仙了。 而前面这个的极限可不就是这个定积分吗？后面这个极限可不就是一吗？所以说有四则应用法则。咱知道这个极限仍然是 f 在 零到一上的定积分，这是对我们定积分定义的考察增加难度的一种方式。那除此以外还有吗？ 板数不下了，我整理了一下界面，咱们接着说。对于这个 n 向和竖列求极限，咱们除了用这种方式增加难度，还可以怎么考察来增加难度呢？你们看我能不能将 f 里面的 n 分 之 i 改写成 n 分 之 i 加一。 我们知道 f 这里的 n 分 之 i 我是 可以改成左端点 n 分 之 i 减一的。那我能不能改成 n 分 之 i 加一呢？ n 分 之 i 加一可不在第 i 个区间上了呦，那这时候这个极限还会是 f x 在 零到一上的定积分吗？ 这是不是就有待商鞅了？它有可能可以，也有可能不可以，如果可以，那我们加什么样的条件让它横成力呢？我们探求一下，这个合适跟我们标准的离慢合适有什么区别和联系吗？这个极限符号我先照抄。 h 一 的时候呢，是 f n 分 之二乘以 n 分 之一，再加上 h 二的时候是 f n 分 之三乘以 n 分 之一一直加加，加到 h n 的 时候，这里是 f n 分 之 n 加一，再乘以 n 分 之一，这个 n 项和它写开就长这个色儿的。那你再看一下这个 n 项和写开是什么样子的？ h 一 的时候是 f n 分 之一乘以个 n 分 之一， h 二的时候是 f n 分 之二乘以 n 分 之一。 一直加到 h n 的 时候是 f n 分 之 n 乘以 n 分 之一，这是我们标准的离慢和。那你看这一项相比较，这个标准的项，这里是不是少了一个 f n 分 之一乘以 n 分 之一，就少了这一项嘛？然后又多了这一项，那我就让这个式子里面补上这一项，我把补的这一项再减掉，不就可以了吗？ 进而上面这个式子，咱们就可以转化成下面这一个了。只不过写成下面这一个呢，我还得再去减掉 f n 分 之一乘以 n 分 之一，它多余的这一项呢？我给它抄到一边去。 那咱们就把上面 n 项和竖列求极限转化成下面这个 n 项和竖列求极限，再减去后面的这一项。后面这个项我可以给它调个个，是不是？哎？我给它调个个啊， 也就是 f n 分 之 n 加一乘以 n 分 之一，再减去 f n 分 之一乘以 n 分 之一。我把它们俩看成一个整体。前面这个极限可不就是 f 在 零到一上的定积分吗？ 所以说这个式子要想成立，得保证它的极限为零哟。那这个极限为零吗？ 这个极限是不是不一定为零呀？比如说我这里举一个例子，我把函数 f 取成个 x 平方分之一， 那我代入上面这个式子啊。 n 分 之 n 加一的函数值，那就是 n 加一分之 n 的 平方，再乘以 n 分 之一，再减去 n 分 之一处的函数值，那可不就是 n 方吗？再乘一个 n 分 之一， 那我们分子上的 n 方和这个 n 分 之一抵消掉一个 n 方和 n 分 之一抵消掉一个，那这里剩个 n， 这里也剩个 n， 然后把这个 n 提出来， 那前面就剩了一个 n 加一的平方分之一，再减去后面的一，那我就减去 n 加一的平方，那分子上就剩下一个一，减去 n 方，减二， n 再减一喽，是不是抵消掉了？分子上是个负 n 方减二 n， 那此时你看分子上最高次是不是 n 的 三次方？分母上最高次是 n 的 二次方哟，分子可是分母的高阶无穷小量哟，在 n 趋向于无穷的时候，这个极限可是无穷大的哟。 老师举这样一个例子，就是为了说明这个的差，它的极限可不一定是零，可不一定是零，我们得让这里的函数 f 满足一定的条件，它才能够趋向于零，也就是说这个式子才成立。 如果我们把 n 分 之一提到外面去，这是不是剩下的两点函数值的差呀？你是不是立马想到拉格朗日中值定里了？ 如果这个题目能够保证我们的 f 在 区间 n 分 之一到 n 分 之 n 加一上满足了拉格朗日终止定理的条件， 那咱们确实是可以使用拉格朗日定义的。咱假装它满足了。好吧，如果它满足的话，咱们这个式子就可以进一步的写成 f 一 撇克 c 乘以区间长度，右端点减去左端点， 是不是刚好是个一，它的区间长度刚好是一，那我们乘以区间长度，这里本身还有一个 n 分 之一， 再乘一个 n 分 之一，注意这里的可 c， 它是介于 n 分 之一到 n 分 之 n 加一的，咱是不是希望这个极限为零呀？在 n 趋向于无穷大的时候，我们知道这可是个无穷小量，如果它有界， 如果他有借无穷小量乘以有借量，可是无穷小量呀，那我们不就可以得到后面这个括号里的极限不就趋向于零了吗？ 所以说，我们可以对这里的函数 f 进行一定的约束，让他的导函数在这个区间上有借就可以了。 这个区间在 n 趋向于无穷大的时候，它是不是从右侧趋向于零，它是不是从右侧趋向一啊？所以说，我们如果能够保证 f x 在 b 区间零到一加的，它 这里的的它就是大零的任意一个数。如果函数在这个区间上可导，并且呢，导函数有界， 有些的表示是这样的吧，导函数的绝对值小于 k， 则咱们就可以得到 n 趋向无穷时， f n 分 之 n 加一，减去个 f n 分 之一乘以个 n 分 之一，它的极限为零了。进而呢，咱就可以得到这个式子是成立的了。 老师把这分析的部分去掉，这种命题方式可以说是我们 n 项和数列求极限用定积分定义考察的比较有难度的一种题了，你把这个背后的原理弄清楚，你就可以把这一类的题都秒杀了。 好，这两个简单的也该掌握住，好回到咱们的这个分析上来啊。咱们现在归纳 n 项和 n 项基的竖界求极限的做题思路，咱是说到了如果分子及分母的次数都齐适用定积分的定义求这类的竖界极限他的一些做题原理。当然了，我们还有一种题目， 你会发现用夹逼定力做不出来，用定积分的定义也做不出来，我们需要让他们俩一起上阵，就是先用夹逼定力，两头放松，而两头的竖列求极限，要用定积分的定义来算。思路清晰以后呢，咱们看回这道题目啊， 对于这个 n 项和竖列，分子上只有 n 自己是一次的，那它是齐的。而分母上 n 方加 a 方加一的平方，这是不是都是二次的，也是齐的呦，分子及分母的次数都是齐的呦！我们用定积分的定义来做本题，那咱们就把上式 写成标准离慢和的形式， c 个嘛， i 从一到 n， 咱们先在旁边提个 n 分 之一，那就相当于在分母上乘了一个 n， 那 咱的分子是不是也得乘以 n 呀？那上面写 n 方，下面是 n 方加上 i 的 平方加一， 我们需要把带 i 的 地方给它凑成一个 n 分 之 i， 那 咱们这个分式分子分母同时除以 n 的 平方，进步的就可以写成， 分子上是一，分，母上是一，加上 n 分 之 i 的 平方，再加上 n 方分之一，再乘一个 n 分 之一。我们按照邻曼和的标准形式进行了转换，但是呢，这里却多了一项 n 方分之一， 那这就意味着咱们需要用夹逼定理把这块给放缩掉，然后再使用定积分的定义来做这道题目。它考察的是我们的第四种情况，我们把 n 向和竖列抄过来， 咱们要往右放松了哟，这里一不变， n 分 之一不变，整体往大了放缩，那就是让分母往小了放缩。分母放小一点， 那咱们可以直接把 n 方分之一放缩成零，也就是一加上 n 分 之 i 的 平方，并且往右放缩出来的这个数列，它是不是刚好符合我们标准离慢合适啊？ 那它的极限是谁？零到一上一加上 x 方分之一 d x， 那 咱们顺手积出来。原函数是阿克泰尼 x 代入上下限积分的结果就是四分之派，这是往右放缩出来的数列，极限也算出来了， 那咱再接着往左放，往左放就是整体上往小了放，那咱们的分子不变， n 分 之一不变，那就是把分母往大了放，整体才会变小。 而且你往左边放缩出来的这个竖列，它的极限是不是最好是这个定积分，你才能用夹逼定力把它做出来？分母怎么往大了放？我可以让本来的分母照抄，再给它多写一项，我再给它加上一项 n 方分之二 i， 为什么这么加？是吗？我想凑完全平方式，也就是这一项， 我可以横等变形成 c 个码。 i 从一到 n 分 母上，就是一加上 n 分 之 i 加一的平方乘以 n 分 之一，我把它转化成了这个形式，那它的极限能写成零到一上一加 x 平方分之一的不定积分吗？ 那可不就是看我们的函数一加 x 方分之一，在我们的零到一加 d， 它这个区间上导函数有界吗？ 它的导函数是谁负的？分母的平方分之分母的导函数二 x， 这个函数在上面这个区间上是不是处处连续的？ b 区间上连续，那么在 b 区间上一定有借的呦，它的导函数有借的呦！那么这个的极限可不就是零到一上 f 的 定积分吗？ 那我们就知道左边的极限算出来就是四分之派，那我们就将这个竖列左右两边放缩出来新的竖列，并且这两个新竖列的极限都是四分之派， 从而由加 b 定律就知道，咱们要求的这个竖列的极限也是四分之派。这道题目可以说是我们定积分定音里面比较有难度的题了， 老师啰里吧嗦说这么多，其实就是想把背后的原理给大家说清楚啊，我相信你以后碰到类似的题，都可以明明白白的把它捋清楚了。 如果你实在觉得老师刚才啰里吧嗦说的太多了，你想要一些秒杀的可以不那么严谨的办法，那当然是有的喽。比如说我们这里的竖列求极限， 咱们的 n 趋向无穷大，这里的 n 会趋向无穷大哟，这是无穷大的平方哟，这里呢，是 a 的 平方，那这一项是不能忽略的，但是这个数字一，无论 n 取多大，这个数字一是不是始终不变？那我们是不是可以考虑将这里的一给忽略掉？ 我们把这里的一忽略掉，那剩下的竖列是不是就可以变形成标准的零慢和的形式了？他的极限值可不就是四分之拍吗？你立马就出来了，你在这道题目的旁边可标注好了啊，这道题目暑假的时候一定要再拿出来做一遍。

上期视频我看大家在评论区有很多讨论关于这个极限的一些内容，那么今天我教大家一个粉卷，学了之后直接秒杀这一类的题。首先看这这种形式，都可以抽象为一个极限， 就是 e 加上 a x b x 都可以抽象为这个形式，对吧？然后这个我先说结论，这个极限在 x 往无穷区的时候，它的答案值是多少？你直接去算它的 a x 乘以 b x， 它分为两种情况吧，一种情况下，直接就等于 e 的 x 无穷的时候， x 乘以 b， x 直接就就等于这个。那么第二种情况就是无值。无值的时候又分为两种情况，一种就是无穷，第二种就是正荡， 正荡自然自然不存在，对吧？自然他的极限不存在，那么无穷的时候你就分类情况讨论就可以了。好，那我们来接着来看题，第道题的话，直接用这个方法相乘等于什么？ x 分 之一， x 往无穷走，他是零，那么他的答案就是一，一的零次方等于一。好，第二题， x 二乘以 x 等于二，那么他答案就是一的二次方。第三道题， 同样二分之 x 分 之一乘以 x， 他的答案是二分之一，那么他答案就是一的二分之一次方。好。第三个题直接用这个方法来算， 等于三， x， 好， 这三 x 你 看到就出现正常情况，那他的极限就不存在，他的极限就处于就不存在。好，看这个，然后接着看第看第四个问题，就是第五个问题，他就是 x 分 之一乘以 x 平方，对吧？你算一下，直接等于 x， 这个时候就是无穷的情况，他无穷无穷的情况，他这个时候到底等价于多少？ e x 乘以 e 的 负二分之一， 我先说结论啊，先说结论，好，第三种情况下，他结束再往上升了一截，这个时候又等于多少呢？同样的，先算这个，那么他就等价于 e 的 x 平方乘以 e 的 x 乘以 e 的 三分之一， 非常的爽快吧。然后来看这个极限，要是你，你知道这个东西好，直接就秒杀了，对吧？直接就秒杀了，上下一约就等于一百根号一分币，直接就秒杀了，好，接下来我来说这个证明过程， 首先看这个极限，你的证明过程，我们来算这个极限，就是先要进行对数处理，对吧？这种形式都是要经过对数处理的，然后再进行泰勒展开，对这一项进行泰勒展开， 我们再对这一项进行泰勒展开， 加上高级无穷小。写到这里的话，你就大致就知道这这一切怎么来的了。比如啊，我以这个为例，我以这，我以这个为例， 默认一加 x， 它的 pad 展开是多少？它的 pad 展开是什么， 对吧？好，我在外面乘一个 x 的 三次方， 你想我乘一个 x 三次方，它是不是里面会剩下 x 二次方，然后减去， 减去二分之一 x 方，再加上三分之一，再加上一个，这里就高级无穷小，对吧？然后这个时候你再把 e 带上来，你再把 e 带上来， 这个又等于什么吗？这个又等于一乘以一的负二分之一，乘以一的三分之一，乘以一的高就微小， 而这个后面有很多项，但是带 x 趋于无穷的时候，这一项是零，那么就是后面都是一等零了，一等零，对吧？都是一，你就只需要看前面这三项。

今天我们来聊一聊竖列极限存在的一个重要准则，单调有界准则。好吧，那我们就直接开始吧。好的，这个准则在竖列极限当中是非常重要的，那我们就直接进入今天的讨论吧。好，我们先来看看 单调有界准则的核心定义，那这个准则到底是怎么说的？单调有界准则说的是，嗯，如果一个竖列是单调的，而且是有界的，那么这个竖列一定有极限。 哦，那这个里面其实有两个非常关键的条件啊，一个就是单调，另外一个就是有界。没错，那能不能再给我们仔细的说一说，数列的单调性有哪几种情况？然后分别的数学表达式是怎么写的？当然可以， 数列的单调性其实有两种，一种呢是单调递增，就是后一项总是不小于前一项。对，数学表达式就是 a 的 n 加一项大于等于 a 的 n 项，然后对所有的正整数 n 都成立。 嗯，那另外一种就是单调递减，就是后一项总是不大于前一项。那它的数学表达式就是 a 的 n 加一项小于等于 a 的 n 项，同样也是对所有的正整数 n 都成立。 那这里面有没有什么容易忽略的细节？有啊，就是这个单调性的判定，它必须要对数列的每一项都成立，不能说前面几项满足就可以了。没错，必须要全部都满足这个大小关系才行。了解了，那有界性呢？数列有界的严格定义是什么？然后它的数学表达式是怎么写的？ 数列有界的定义就是说，呃，存在一个正数 m， 然后使得这个数列的每一项的绝对值都小于等于 m。 好， 对，任意的正整数 n 都成立， 那它的数学表达式就是 a 的 n 项的绝对值小于等于 m， 对， 所有的 n 都成立。所以说有界就是所有的项都落在一个区间里面吗？对，就是所有的项都要被夹在正负 m 之间，不能有任何一项跑出去。是的，必须每一项都满足这个不等式，这个数列才叫有界。 明白了，那这个单调有界准则在实际应用的时候，嗯哼，它会有哪些更具体的结论？嗯， 它会有两个非常实用的结论，第一个是，如果一个竖列是单调递增的，而且它有上界，那么它一定有极限。好，那第二个是，如果一个竖列是单调递减的，而且它有下界，那么它也一定有极限。 那能不能用一个比较形象的比喻来帮我们理解这两个结论？当然可以。嗯，我们可以把单调递增的竖列想象成一个人在不断的上楼，但是他的头顶上有一块天花板，无论他怎么上，他都碰不到天花板，但是他会越来越靠近，那这个最终靠近的位置就是这个竖列的极限。 哦，那单调递减的树列呢？就可以想象成一个人在地下室不断的往下走，但是他的脚下有一块地板，他永远也踩不到地板，但是他会越来越靠近，那他最后靠近的这个位置就是这个树列的极限。 哦，这样一比喻就很直观了。对，然后这其实也说明了为什么我们在判断极限的时候，只需要看单调递增数列有没有上界，或者单调递增数列有没有下界。没错，因为单调递增数列的第一项其实就是他的一个下界，那他再满足有上界，他就是有界的了。 嗯，同理，单调递减数列的第一项就是他的一个上界，那他再满足有下界，他也就有界了。这样我们用这个准则去判断极限就方便多了。 好的，那如果一个竖列只满足单调，或者只满足有界，那这个竖列会有极限吗？其实这两种情况都有可能没有极限 哦。比如说，一个竖列他是单调递增的，但是他没有上界，那他就会一直往正无穷大去，那肯定就没有一个确定的极限了。嗯，同理，如果一个竖列是单调递减的，但是他没有下界，那他就会一直往负无穷大去，那也不存在极限。如果是有界但是不单调呢？ 有界但不单调也不一定有极限。比如说这个数列它是负一的 n 次方，那这个数列就是一会是一，一会是负一。 嗯，它是在这两个数之间不断地跳动，虽然它的绝对值是小于等于一的，但是它没有一个确定的趋势，所以它也是没有极限的。所以说， 单调和有界这两个条件是必须要同时满足这个树列才能够有极限，对吗？这两个条件是缺一不可的，必须是既单调又有界的树列，才能够保证它有极限。好的， 那在使用单调有界准则来判定数列极限的时候，一般都有哪些步骤？其实步骤是非常清晰的。第一步你要先看这个数列是不是单调的，是递增还是递减的。嗯，第二步就是根据它的单调性来确定它的界。比如说它是递增的，那你就要看它有没有上界 啊。如果它是递减的，你就要看它有没有下界。第三步就是如果这个数列既满足单调，又满足有相应的界，那么你就可以下结论说这个数列是有极限的。 那在判断界的时候，最容易出错的地方是什么？最常犯的错误就是把界的方向搞反。比如说你看到一个竖列是单调递增的，你觉得只要他有下界，就可以有极限了。嗯，或者你看到一个竖列是单调递减的，你觉得只要他有上界就够了。 但其实刚好相反，递增的竖列你要找上界，递减的竖列你要找下界，这两个条件一定要配套。是的，否则整个判断就全错了。明白了，那我们现在来看几个具体的例子。嗯，比如说这个竖列 a 的 n 项等于一减 n 分 之一，那怎么用这个单调有界准则来判断它有没有极限？ 首先我们还是按照步骤来。第一步我们要判断它的单调性，那就用 a 的 n 加一项，减去 a 的 n 项， 然后把它的表达式带进去，就是一减去 n 加一分之一，再减去括号，一减 n 分 之一。然后我们通分整理一下，就会得到它等于 n 乘以 n 加一分之一，那因为 n 是 正整数，所以这个结果一定是大于零的。 嗯，所以这个竖列是单调递增的。好的，那怎么判断它有没有界呢？然后我们再来看它的有界性，因为 a 的 n 向等于一减 n 分 之一，它是始终小于一的哦，所以它有上界。那根据单调有界准则，我们就可以下结论，这个竖列是存在极限的，而且它的极限就是一。 我大概掌握了，那能不能再举一个稍微有点不一样的例子？行，比如说这个竖列 a 的 n 向等于一加二的 n 次方分之一。同样的，我们先做叉，用 a 的 n 加一项，减去 a 的 n 向， 然后把它的表达式带进去，就是一加二的 n 加一次方分之一，再减去括号一加二的 n 次方分之一。然后我们通分整理一下，就会得到它等于负的二的 n 次方分之一。然后我们通分整理一下，就会得到它等于负的二的 n 次方分之一。那这个结果一，这个竖列是单调递减的， 那他的界怎么看呢？这个竖列的每一项都大于一，所以他是有下界的。嗯，那根据单调有劲准则，我们就可以下结论，这个竖列是存在极限的，而且他的极限就是一。好的，通过这两道题，其实我们就可以看到，只要严格按照这个单调有界准则的步骤来，然后注意这个界的方向，不要搞反， 其实这种题目还是很容易拿分的。对，没错，那今天的内容咱们就到这里了，然后谢谢大家的收听，咱们下期再见，拜拜拜拜拜。

咪咪爱咪咪，老了就来找我 玩。飞飞就飞，就跑， happy 蹦蹦蹦蹦蹦。

hello， 大家好啊，这里是智力成为卷王这个视频，我们继续讲函数极限的解析方法啊，那么我们现在要讲的是这个十四、十五、十六，而十四、十五、十六呢，都是跟无穷小量的阶有关的，比如说十四是求无穷小量的阶，十五是无穷小量 阶，比大小嘛，比高低。好，第十六是考察无穷小量的运算法子啊。好，我们看到思维导图这一遍，当复习一下啊。 好，首先求无穷小量的阶是什么意思呢？就说给你一个表达式，给你一个函数，让你去求，或者说给你一个无穷小量，让你去求这个无穷小量的阶的数是多少，对吧？比如说是一阶的无穷小量还是二阶的无穷小量。好，他的方法有法一、法二、 法三、法四啊。好，首先第一种方法就是你就是给你一个无穷小量啊，给你一个无穷小量，让你去求它的阶数的话，那你就去凑成就是让你，那你就去算这样子一个式子， 那么 f x 除以这个 x 减 a， 这个 a 也可以是零嘛，对吧？就是就是 x 的 k 次方嘛。然后这个是 k 次方，如果它等于一个常数，而这个常数呢？不等于 零啊， c 表示常数，但这个常数又不等零，那么我们就说这个无穷小量啊，是 k 减，是 x 减 a 的 k 无穷小，这个是 k， 对 吧？这个 k 其实就是它的次数，你也可以把奇数理解为次数。好，第二种方法叫做可以用泰勒公式来确定， 泰勒公式呢，又分成两点，第一点，如果说 f x 在 x 等于零处有泰勒公式，那么 f x 可以 算出来，它等于这个，它的系数是 a， 它的那个 x 的 次方是就是 a 的 x 的 n 次方，然后再往后面就是一个高阶无穷小了， 那么当 a 不 等于零的时候，也就说我们算到这里为止，我们算到这里为止，当 x 去零时， x 就是 f， x 就是 x 的 n g 无穷小量。那么我们这里有个立体啊，我们简单看一下，就是立三点二七， 哎，立三点二七呢啊，在这里啊，立三点二七。 好，大家可以尝试做一下，当 x 去零时，三 x 减去四三 x 加上三 x， 括号三 x 是 x 的 几节无穷小，大家可以去试一下，等会我展示一下答案啊，那么可以用泰勒公式来求解。好，我们看一下它是怎么做的呢？ 他说用泰勒公式来求解。首先把这个上 x 的 泰勒公式写出来，然后再把这个上上 cosine 的 这个泰勒公式写出来，对吧？最后面我们也还是用回了刚刚那一个方法，就说它除以这个 x 的 五次方的话，它等于个常数，那么我们就说它是一个五阶无穷小。 好，我们再来看第二个，当 f x 在 x 等于零处有 n 阶可导， n 阶可可导，而且呢，前面的 n 阶 n 减一阶导数，它都等于零啊，那么 d n 阶导数不等于零，那么我们就说这个 f x 在 x 区域零的时候，它是 x 的 n 阶无穷小量啊。 好，第三种方法，据说如果 f x 是 他的 n 阶无穷小，那么如果他对他进行一个积分，对这个 f x 进行一个积分，他的这个变上限是一个 x 的 话，那么他就是 n 加 e 阶的无穷小，说明什么？说明他这个阶数增加了 e 阶，对吧？增加了 e 阶，好。第四个，如果还是刚刚那样子的形式，但是他这个变上限啊，变成了 g x， 而是一个 x 的 函数，那么他的阶数是什么呢？我们可以看啊。 首先，如果 f x 是 a 是 x 的 a 接，而 g 又是 x 的 b 接，那么是，那么要就，那么就要分成两步啊，一个就是 这个积分会让这一个接数增加一。第二个，你还要把这一个 g x 的 接数相乘，所以它的接数数，它的接数是 a 加一乘以 b 接，对吧？ a 加一乘以 b 接。 好。第十五个题型叫做无穷小量的笔尖。那么设 f x 与 g x 均为同一个极限过程， x 趋于某一点时的无穷小量，也就说 f x 和 g x 是 同一个过程的无穷小量，那么 而且他在这个空心领域内均不为零啊，那么我们怎么去比？直接让他们消除，然后取这个极限，对吧？消除取极限，如果他们的值等于一，我们就说他是等价无穷小量。如果等于零的话， 如果等于零的话，我们就说 f x 是 高阶的无穷小量，也就说它在分子上它起的作用更明显，对吧？所以 f x 是 比 g x 更高阶的，如果它是趋于无穷的话，说明 g x 起主导作用，说明我们我们就说 g x 是 f x 的 高阶，那么反过来 f x 就是 g x 的 低阶无穷小量了。好，如果它是等于一个 l， l 是 一个不等于零，不等于一不等于无穷的一个常数，就算我把前面的三个 的情况都去掉的话，它只是一个普通的常数，那么我们就说 f x 是 f x 与 g x 是 同阶的不等价的无穷小量。 好，我们再来看一下考察无穷小量的运算法则。当 x 去零的时候，我们用这一个来表示比 x 高阶的无穷小量，这个是比 x 高阶的无穷小量，对吧？好，当 m 大 于 n 的 时候，也就是说意思是什么呢？这个是高阶的，对吧？ 这个是更高阶的无穷小量。一个高阶的无穷小量加减一个低阶的无穷小量，它等于它等于低阶的无穷小量啊！等于这个低阶的无穷小量。好，如果 这个 m 小 于 a， 也就说这是一个低阶的无穷小量，对吧？这是一个低阶的无穷小量。一样的啊，一个高阶的无穷小量加一个低阶的无穷小量，还是等于一个低阶的无穷小量，对吧？好，如果一个无穷小量加上这样就是同阶的无穷小量的 k 倍， 一个无穷小量加上同阶的同阶无穷小量的 k 倍，他们，那它的阶数还是不变啊，它的阶数还是不变，还是一个 n 阶的无穷小量，也就说它这个系数并不影响它的阶数。 好。当 k 为常数的时候，这个 k 不 为零啊。如果你这个 k 乘以 x， 那 么它也不影响阶数，对吧？它这里是一阶的，那么这个还是一阶好。 当，这个 x 是 n 结的，你在外面再乘一个 x 的 m 次方，那么这个时候它的结数就会变，变成什么呢？变成一个 n 加 m 结的一个无穷小量好。当 far x 是 有界的，那么 你对 n 结无穷小量乘以一个有界函数，不影响它的无穷小量的结数啊。这个无穷小量乘一个有 n 阶的无穷小量，乘一个有界函数，还是 n 阶的无穷小量好， m 阶的无穷小量乘以个 n 阶的无穷小量，等于 m 加 n 的 和这样子一个数的无穷小量啊。那么无穷小量的阶呢？其实是比较简单的，它 就是比较简单的，所以这边就不讲那么多了，那么这个视频就先到这里啊，拜拜。

同学你好，我们来看一下一千题中第四章的第十二题，这道题呢，它给出的是一个乘极与一个极限的形式，让我们求在零处的一页导函数，它为什么是一个乘极跟极限的结合形式呢？我们来看 cosine t 乘以 n 区间无穷的时候， n 加 t 比上 n 减 t 括号的 n 次方，它这部分极限是不是与 t 是 无关的？对，所以呢， cosine t 它在这里其实是一个常数， 也就是说与 n 无关的一个变量，乘以与 n 有 关的一个极限的形式。 而像这一类极限加上求导题型的通用解体步骤呢，我们要先求出这个极限，得到函数的表达式，这样的话我们才可以对这个函数表达式进行求导。 而这种极限的求解方法呢，我们首先是要观察极限的形式，常用的技巧呢，它会涉及到重要极限，等价无穷小以及罗伯达法则。 那我们来看一下它这道题应该怎么做呢？ f t 是 等于 cos 乘以 n 去定义无穷的时候， n 加 t 比上 n 减 t 的 n 次方，它括号里这一部分能够变形成什么呢？如果联想到重要极限的话，是不是就要把它分子分母 变形提取出来一个一啊，那就是 n 减 t 加上二 t 比上 n 减 t 括号的 n 次方， 也就是等于扣三 t 乘以 n 取进无穷一加上 n 减 t 分 之二 t 的 n 次方，它这里呢，可以有两种解决方法。首先第一种解解决方法呢，我们就严格按照 状极线的定义，也就是 n 去尽无穷 一加上二， t 逼上 n 减 t， 然后乘以谁呢？是不是二 t 分 成 n 减 t 啊，刚才已经说了，它这里 t 是 与 n 无关的，因此呢，我们可以把它当做一个常数， 那这里二 t 逼上 n 减 t， n 是 趋近无穷的无穷分之一，就算再乘以一个有界长数的有限的一个长数的话，是不是仍然是无穷分之一啊？所以它是不是是一个无穷小？那无穷小的话， 这里它是要趋近于无穷大的，对不对？也就是 n 减 t 逼上二 t， 整体是什么呢？整体是不是就是 e？ 后面呢？我们要保持它原极限不变，是不是就要再乘以 n 减 t 分 成二 t， 然后再乘以它原来的 n， 也就是等于 e 的 n 趋近无穷二 t， n 比上 n 减 t， 它这个极限是什么呢？无穷比无穷型的。对于无穷比无穷型跟零比零型的话，要用什么呢？最大法则对不对？也就是分子分母同时求导，那是不是就是二 t 比上谁呢？二 t 比上 e， 那 是不是就是 e 的 二 t 次方呀？ 第二种解决方法呢？我们来看一下它是不是一个一的无穷型极限，对不对？像一的无穷型极限，前面视频我们有讲到，是不是要把它画成对数形式，也就是什么呢？是不是我们先把原来的十字写上 e 加上二 t 比上 n 减 t 框的 n 次方，它就是等于 e 的 n 乘以谁呢？烂 e 加二 t 比上 n 减 t， 对 不对？但是呢，极限我们要把它写上 极限，因为极限是与 n 有 关的，所以我们极限可以放在上面，也就是 n 乘以 line 一 加上二 t 比上 n 减 t， 刚才我们说了，跨这一部分，它是趋近于零的，那趋近于零的话，我们要联想到一个知识点，它是不是就是 line？ 一加上二 t 比上 n 减 t， 它是取进等价于什么呢？是不是等价于二 t 比上 n 减 t， 因为我们用到的知识，它这个样子的一加上一个方框，那一加方框如果是这个方框取进零的话，它是等价于这个方框的。 因此呢，我们是不是就可以直接写成 e 的 n 趋近无穷的时候， n 乘以 n 减 t 分 之二 t， 是 不是就跟这里是一样的？那我们上面已经计算过了，就知道它是 e 的 二 t 次方， 所以呢，原式 f t 它就等于什么呢？ cos 乘以 e 的 二 t 次方对不对？那它求导的话，是不是就根据成绩的求导公式，前导后不导，也就是负三 t 乘以 e 的 二 t 次方，然后再加上前不导，后导 乘以 e 的 二 t 次方，然后再乘以二 t 的 导函数，也就是二。那 f 撇零等于什么呢？ 零代入三 t 是 等于零，零乘以任何数都是零，所以这部分是零，那是不是就剩后面了？扣三零的话是一，一的零次方也是一也，所以呢， f 撇零是等于二的。 再看一下十三题，十三题是跟前面是同类型的题目，所以呢，我们就根据前面总结的 解析步骤，就知道这个题应该是怎么做的。我们就直接写了 f x 是 等于 x 乘以 t 去尽无穷的时候，一加 t 分 之一乘以一加 t 分 之一的 t 乘以三 x 次方。 我们看后面这个极限是不是就可以直接写了 t 分 之一在 t 去无穷的时候是去去近于零的吧？所以呢，它是不是一个 e 的 无穷性极限，也就是 e 的 t 乘以三 x 啊，这里极限忘漏写了，也就是 t 去无穷的时候， t 乘以三 t， 然后乘以 line 一 加 t 分 之一。 我们已经说过了， line 一 加上方框，在方框取进零的时候，它是等价于这个方框的，所以呢，它后面是不是直接等价于 t 分 之一的，也就是等于 x 乘以 e 的 t 取进无穷的时候， t 乘以三 t， 再乘以 t 分 之一，那结果是什么呢？是不是 x 乘以 e 的 三 t 四方， 那 f 撇 x 求导前导，后导， x 求导是一 e 的 三 t 次方加上 x 不 变，乘以 e 的 三 t 次方，是不是再乘以三 t 的 导函数，也就是 cosine， 那 这是不是 就是一加上 x 乘以 cosine 括号的 e 的 cosine 次方？ 那再看一下下面这题十四题。十四题的话， f x 是 等于 x 跟 x 平分的最大值，但是 x 的 范围呢，它是零到二的，让求 f x 的 导函数。像这一题的话，如果我们画出一个图形的话，是特别好解决的，我们来看一下它这个图形应该怎么画呢？ 首先画出 y 等于 x 的 图形，我们知道它是平分 d d 象限的， 再画 y 等于 x 平方，它的交点呢？我们知道交点是一对不对，因为 x 平方等于 x 的 时候，就能够解出 x 是 等一的，所以交点是一。但是呢，我们的我们的 x 的 区间是不是零到二啊？ 我们大致划一下，它应该是在后面，一到后面，那我们可以看出在零到一内比较大的是什么呢？是不是 y 等于 x 在 上面， 而在一到二的话，两个函数的最大值是不是就是 x 的 平方，所以呢，可以看出 f x 它是一个分段函数，也就是分成 x， 在 x 大 于零小于一的时候，它是等于 x 的， 在 x 大 于一小于二的时候，它是等于 x 平方的。对于分段函数求导的话，我们这前面已经强调过很多次了，分段函数求导在分段点的时候，是必须用到导数的定义的。 看一下，它在分段处的也就是一，这个点，它的函数值是什么呢？是不是一啊？因此呢，我们来看它在一处的诱导数是什么呢？也就是 x 趋近于一正的时候， f x 减去 f 一 比上 x 减一。 在一处的诱导数的话，它大致的函数表达式是什么呢？是不是 x 平方，也就是 x 平方减去一比上 x 减一，那 x 平方减一，它是什么呢？是不是 x 加一乘以 x 减一？ 这是中学时候的知识，也就是 x 去进一正的时候， x 加一的极限。那这个函数是什么呢？它是不是一个连续函数啊？ 对于连续函数，根据连续的定义，它在某点处的极限值是等于在某点处的函数值，对不对？所以呢，我们一是不是就可以直接代入，也就是等于二？再来看，在一处的左导数 还仍然是导数的定义，但这里的 f x 是 什么呢？是不是就是 x， 所以是 x 减一比上 x 减一，那很明显它是等于一的，所以就是说它在一处的左导数是不等于在一处的右导数的。 那这样的话，是不是就可以知道它在在 x 等于处导函数不存在，也就是 f 一 是不存在的， 也就是说 f 一 的导函数不存在。我们严谨一点，因此呢， f x 是 等于 f x 的 导函数是等于什么呢？ 它在 x 大 于零小于一的时候， x 求导是一，它在 x 大 于一小于二的时候， x 平方求导是二 x。 但是呢，在 x 等于除导函数是不存在的。因此呢，最终的答案是这个。 再看一下第十五题，第十五题呢，它是要求在对应 t 等于零处的切线方程。前面有一个第八题，我们当时是怎么做的呢？它也是要求求切线方程，当时它是给出一个极限， 然后我们根据这个极限去求出它的切线斜率， 当时应该是 f 撇零吧，然后再求出它的切线方程，根据点斜式来求的。那这题呢，它没有给出一是一个极限，而是给出一个 参数方程，那参数方程的话，去求切线方程是不是仍然要求它的切线斜率？而切线斜率是什么呢？是不是就是 dy 比乘 d x 在 t 等于零处的 值对不对？然后再代入 t 等于零时的 x y， 它的点根据点斜式是不是就能够求出它的前方程？所以关键解题技巧是什么呢？要对参数方程求导， 那是不是就是前面我们应该是昨天还是前天的视频中有关参数方程的求导呀？ 现在写一个几，我们现在已经知道它要求的是 d y 比上 d x， 那 d y 比 d x。 根据函数方程求导公式的话，我们知道它是先对 y 中的 t 求导，然后再比上 d x 比 dt 呢， 所以分别就是求 dy 比 dt 跟 dx 比 dt。 我 们先来看一下 dy 比 dt 是 什么呢？是不是就是 d e 的 t 次方乘以 q 三 t 比 dt， 也就是说对 e 的 t 次方乘以 q， 三 t 求到 那前倒后不倒，是不就是 e 的 第四方乘以 cos 三 t， 再加上 e 的 第四方乘以负的三 t， 整理一下，是不就是 e 的 第四方，然后是 cos 三 t 减去三 t， 再看一下 dx 比 dt 是 什么呢？ dx 比 dt， 那 我们就不写这个过程了，直接求导。那是不是就是一的 t 次方乘以三，二 t 加上 cos 二 t， 然后再对二 t 求导上二乘以一的 t 次方 e 的 梯次方提取出来就是三二 t 加上二倍的 cosine 二 t dy 比 dx 呢？是就等于 dy 比 dt 除以 d x 比 dt， 也就是也就是是什么呢？是不就是 cosine t 减去三 t 比上 三二 t 加上二倍的扣三二 t， e 的 t 次方去哪了？ e 的 t 次方是不是就是分子分母同时约去了要求在 t 等于零处点的线方程， 那先求它的切线斜率，也就是 d y 比上 d x 在 t 等于零处，它的切线斜率是什么呢？零代入对不对？零代入我们观察一下它的分母，三二 t 是 零，没有了，那后面呢？ cos 二 t 是 cos 零，也就是二倍的 cos 三零，也就是二，那分子呢？分子是不是就剩一个一？所以呢，切线斜率是二分之一。 现在要求在 t 等于零处，它过的点是什么呢？在 t 等于零处， x 等于什么呢？ x 是 等于一的 t 次方乘以三，而 t， 那 x 是 不是就等于零？ y 呢？是，代入是等于一，所以它的切线方乘 是不是就为 y 减去一等于二分之一倍的 x 减零，也就是二分之一 x， 也就是 y 等于二分之一 x 加一的？那这个视频就讲解到这里，感谢你的使用，如果觉得这个视频对你有帮助的话，请给我点个有用。

通过一道题，掌握一类题，这次我们来学求 n 项和竖列的极限。思考三秒，我们直接开始 n 趋向于无穷时，这个竖列的极限是多少？ 这个竖列的分子是个 n 项和分母也是一个 n 项和，那咱们就往 n 项和竖列求极限的思路上去想喽。 对于 n 向和数列求极限，我们优先看一下这个和能不能运算出来，如果能算出来，咱们就直接先算出和，然后再求极限。那你看本题里的根号一，加根号二，一直加到根号 n， 你 会算吗？ 不会。那放弃这个思路，立马开始想夹逼定律和定积分的定义。那什么时候使用夹逼定律，什么时候又使用定积分的定义呢？我们有一个口诀，你需要记一下， 分子或分母的次数不齐时，用夹逼定律。如果分子及分母的次数都齐， 咱们就用定积分的定义。我简写成定定。什么意思呢？我举个例子，比如说我们的 sigma 求和 i， 从一到 n， 咱分子上就是 i， 而分母上呢，是 n 方加上 i 的 平方。你看分子上只有 i 自己，它是不是依次的？ 那只有他自己，那他肯定是齐的。对于分母上呢， n 方， i 方是不是都是二次的，那分母也是齐的，那分子和分母都齐。哦，我们优先考虑定积分的定义。那如果我在分母上给他加上一个 i， 这里是二次的，这里是二次的，结果这里是一次的，那分母不齐了， 这时候我们就考虑使用夹逼定律。当然，我们有些题，他既需要用到夹逼定律，又需要用到定积分的定义。 那咱看这道题，这道题目里，分子上的这个求和形式，他没有分母，当然 你也可以给他补一个分母，你可以认为他分母上是有一个一的，那站在分子的视角上，他是二分之一次方，他是奇的，分母是一，那他也是奇的。所以说我优先考虑使用定积分的定义。同理，分母上的这个 n 向求和也是如此。那这道题分子分母都考虑使用定积分的定义， 只不过我们需要对分子分母进行一个变形。怎么变形呢？往标准离曼和的形式上转化。我们回忆一下， 标准的离曼和说的是 sigma i 从一到 n， 如果函数内部里是 n 分 之 i 旁边再乘以 n 分 之一 limit， 它的极限就是 f 在 零到一上的定积分， 所以说我们优先在旁边给它凑出来一个 n 分 之一。那，那这里没有哟，这里也没有哟。我们分子分母可以同时给它乘以 n 分 之一，这就写成了 n 分 之一倍的 sigma k 从一到 n 根号下 k 下面呢，也写成 n 分 之一 c 个码 k 从一到 n， 根号下 n 加 k。 我 们标准零贰里面除了有这个 n 分 之一，还需要把所有的 i 下面都除一个 n， 那 我需要把这个 k 下面除一个 n， 那， 那我就直接除了啊，我把这里的根号 k 下面直接除一个 n， 咱们是不是相当于在分子上除了一个根号 n 呀？那我们对分母也除以根号 n， 从而就可以变形成根号下一加上 n 分 之 k， 此时我们分子上它就是标准离慢和的形式了。分母上也是， 那我们分子的极限就是根号 x 在 零到一上的定积分，而分母上的极限是根号下一加 x， 在 零到一上的定积分 极限咱就算完了。只不过呢，这道题目我们还需要把分子和分母的定积分给算出来。分子上根号 x 的 原函数就是 x 的 二分之三，前面再乘以三分之二带入上下限。而分母上的原函数呢，也是二分之三次方，前面乘以三分之二带入上下限， 那咱们的三分之二和三分之二就约掉了。分子代入上限是一，代入下限是零。分母代入上限是二的二分之三次方，那就是二倍根号二分母代入下限是一，那结果就是二倍根号二减一分之一喽。 这道题目就是在考察 n 项和数列求极限里的第二种思路，定积分的定义。只不过呢，我们需要变形转化成标准形式才能够做出来，整体上还是属于基础题的，大家基础阶段就把它掌握住。

hello， 大家好啊，这里是致力于成为卷王，那么我们之前讲的这一个讲的七种方法，我们这一个视频讲第八种啊，叫做含有有界变量因子，含有有界变量因子啊， 那么含有有界变量因子我们怎么去处理呢？其实最常用的一个公式就叫什么叫做有界函数乘以无穷小量等于无穷小量，对吧？这一个的话大家都知道啊， 我们用的其实就这一个方法。那么首先啊，常见的有界变量因子有哪些呢？比如说有上引 x 啊， cosine x 啊， arc tangent x 啊，为什么呢？因为比如说上引 x， 它是在负一到一之间波动的，对吧？负一到一之间波动的，那么 cosine x 也是负一到一之间， arc tangent 也是负一到一之间，所以你这里面的这个 x， 你 不论它怎么变，它都是怎么样，都是被这一个三角函数 cosine x 被 包含的，对吧？比如说这个是被包含的，这个是被包含的，这个是被包含的，所以这样子的函数它依然是在负一到一之间浮动，对吧？在负一到一之间浮动，那么它就是有什么，有上界也有下界，那么这个就叫做有界变量因子啊，有界变量因子， 那么它的方法就是有界函数乘以无穷小量还是等于无穷小量。好，第二个注， 第二个注意，他说如果求有理函数与有界变量乘积的极限，则先用等价、无穷小代换等方法将有界函数化为有理函数，再去求解，这是什么意思呢？这个其实还是一个统一的思想，比如说我举个例子 啊，我随便写个例子啊，这个例子不一定能算出来的，我随便写。但是我只是说想说明，首先什么是有理函数啊？什么是有理函数？有理函数是不是比如说二 x 平方加三， x 加四 除以一个二， x 的 平方加四，这个是不是就是一个有理函数，对吧？有理函数，那么他说乘以与一个有界变量的乘积，那我就乘以一个三嘛，三我就乱写，就写一加 x 平方分子 x 吧。比如说 这样子的一个式子去求极限，我不知道求不求出，我乱写的，我只是想说明这个方法，或者说明这个注意事项， 因为你这个是有有理函数，你这里一个又是一个三元的，那么他们肯定是不统一的，有时候就不好去处理了。那么我们通常用什么？通常用什么等价无穷小去代换，我们把这个东西给置换出来，对吧？比如说当 x 趋于无穷的时候，对，当 x 趋于无穷的时候，你这里面是不是趋于零啊？ 是不是小于零？那他整一个是不是一个无穷小量啊？那么他这整一个是不是等价于这个 x 除以一加 x 的 平方啊？他就是这么一个思想啊，叫做统一的思想， 统一的思想。好，我们看一下这个有含有有界变量因子的这个极限的两道例题啊，一个是三点一八，一个是三点一九啊， 那么三点一八、三点一九，都是一些很都是很简单的例子，只是让大家体会一下这个有机变量因子的一个用法啊。好，首先三点一八， 三点一八，它是一个早年真题啊，但是它是一个很简单的题目。呃，首先我们来分析一下， x 趋向于无穷的时候， x 趋向于无穷的时候，那么你这个是这个 x， 这个 x 是 不是趋向无穷？如果你这个极限要存在的话，那你后面这一个一定是什么？一定得是趋向于零的，这个是我们提前预判，对吧？一定是趋向于零的，那它是不是趋向于零呢？我们可以观察，我们可以分析一下， 当 x 趋向于无穷的时候，它的分母是趋向于无穷的，对吧？那么它的分子也是趋向于无穷的，但是呢，它的分母是 x 的 平方，是二阶的，那么也就说它的分母远远大于分子，那么也就说它这里面是等于零的， 趋向于零的，对吧？也就说他这整一个是趋向于零的，也就是这一个是一个等价无穷小量。等价无穷小量，那么他既然是等价无穷小量的话，那他，那我是不是可以用等价无穷小来代换呢？那他的等价无穷小代换成什么？是不是代换成二， x 除以 x 平方加一，二， x 除以 x 平方加一，所以它的第一步应该是等价代换。好，等价代换完了之后啊，等价代换完了之后，你外面是不是还有个 x？ 那 你是不是相当于这里再乘一个 x， 对 吧？ 那么我们进，那么它就是一个什么？这个是 x， x 趋向于无穷，那它就是一个什么？它上面它的上，它的分子是无穷，它这里也是无穷，它就是一个什么？它就是一个无穷比无穷形，那么无穷比无穷形，我们就怎么样？ 我们就上下同时除以 x 平方，那么就是二，这里就是一，加上 x 平方分之一，因为 x 是 小于零，那么它答案是什么？是等于二，对吧？等于二， 哎，其实这一道题我们有没有发现这道题就是我刚刚说的法二的那个思想，为什么呢？因为你看这个 x， 它是不是一个有理函数？它就是一个最简单的有理函数吗？ 这里有理函数，它就是一个最简单的有理函数，如果你要复杂一点，它就这样子嘛。好，有理函数乘以一个这个有界变量因子，那么我们是不是要先把它进行一个等价代换，这样子的话，后面才好处理啊？好，我们看一下参考答案啊。 好，他答案是二。好，我们看一下三点一九，三点一九是这样的题目啊，其实这这题目一看，其实就是只是说为了去说明方法编的一个题目啊， 他并不是，因为因为你会发现他有什么，他上下的 x 其实是重复的，我上下都可以除以 x， 对 吧？ 那么这道题其实也就是你上下同时除以 x 嘛。当然我们一步一步来分析，还是按之前说的，当 x 去无穷的时候，这个是无穷，那么减去后面这一堆怎么样？ 那么他整一个分子就是无穷的，这个应该不用解释了吧？他的分子是无穷的，他的分母呢？他这里区域无穷，这一个是有界的，这个又是无穷的，那他分母也是什么？他的分母也是无穷的，他是无穷比无穷型，他是无穷比无穷型的话，他的我们的处理方法就是上下同时除以 那个接数最高的那个项嘛，或者说对，所以那个项嘛，那就是什么？就除以 x 平方，就除以 x 平方，那么它就会等于什么呢？就等于 limit x 趋向于无穷 e 减去 sine x 除以啊， sine x 除以 x， 然后再除以这个 e 加上 sine 的 x 分 之一，除以 x 分 之一，对吧？到这里的话，后面就不用说了，其实答案已经出来了，等于什么？答案等于一啊？答案等于一。 好，我们把答案弄出来看一下。好，这一个方法其实很简单，那么我们这里就不要讲那么多时间了，我们就这个视频呢，就先到这里，拜拜。

哥，你好，我们来看这道题，让我们求 x 去影无穷的时候， e x 次方加上四倍的 e 负 x 次方，比上三倍 e x 加上二倍的 e 负 x， 求它键值。那我们来念所设计的知识点， 那是不是考察 x 去影无穷时， 指数函数 它的极限计算？ 首先呢，当 x 趋于正无穷的时候， e x 它是趋近于正无穷， e 负 x 它是趋近于零的。 那 x 趋于负无穷的时候， e x 次方是趋近于零， e 的 负 x 次方呢，又趋近于正无穷的。所以呢，我们来看一下这道题应该怎么解， 如果我们分子分，嗯，除以 e x 次方，那我们看 是不是就变成了 e 加上四倍的 e 负二 x 次方，比上三加一的负二 x 次方， 这里要分情况讨论。当 x 趋于正无穷的时候， e 的 负二 x 等于 e 的 二 x 分 之一等于零呢，所呢，所以呢，原式它是就等于三分之一。那当 x 趋近负无穷的时候， e 的 负 x， 那 原式是不是就等于 x 趋近于负无穷的时候？一二 x 加四，比上三比一，二 x 加二，右手得二。所以呢，左右极限不相等，极限不存在， 所以答案选 a。 那我们来总结下这道题，解这个题的关键呢，一个就知道指数函数它的极限计算方法，另外一个就是 在解题过程中要学会找主导项分母的同时，除以主导项， 把其余项转化为零的形式，只要将这个名词如果觉得是对牛帮助的情况下，没有用。

好，下面我们进入数列这部分啊， 这个数列这个内容呢，在考研数学里，它也是非常重要的研究对象啊，我们这个零基础啊，是在给大家做好这个衔接，是吧？啊，做好，后面我们讲数列的极限的问题， 在这之前呢，我们要把这个竖列东西，我们给大家整理一下，好吧，哎，这个很重要啊，这个很重要，当然我这里特别强调了一点啊，就是竖列，以及来讨论这个竖列有没有单调性的啊这样的问题。 好，第一个我们先看竖列的概念，对于每一个正整数啊，然后我们这里呢，大家就说，我们现在定义呢，就从 x 一 开始了， 有没有 x 零呢？有的时候他的手相有可能也下标写成 x 零，哎，这个不打紧啊，这个没有什么实质性的区别，好吧，哎， 好了，那么如果按照某一法则，我们对应着每一个这个下标 n 呢？小 n， 我 们都有一个实数 x n 啊，和他对应 啊，那么这些实数的这个下标呢，就从小到大这样排出来的一个序列，我们把这就叫做数列啊，记号呢，就是简记为就是 x n， 写一个花括号，哎，这个呢就是我们叫做数列， 实际上数列呢，呃，也是一种整标函数，什么叫整标函数呢？就是看作自变量为正整数 n 的 函数， 对吧？哎，像这整标函数啊，这也是这个称呼，就是 x n 呢，可以看作是 n 的 函数 啊，这个大家也是理解的，因为你给我一个小 n， 那 么我就对应着一个确定的 x n 的 这个实数值，是吧？你换一个小 n， 我 就对应着另外一个 x n 的 实数值啊，所以这个呢，就是一个，也是个对应法则 f 是 吧？ 好，那么这个我们得到这个树列呢啊，再强调一句啊，我们讲的这个呢，一定是无穷项啊， 这个我们树列的个数呢，是无穷个哎，就是说这个是个，我们这个树列呢，不是有现象啊，一定是无穷多项， 这点咱搞清楚啊，不是有限个啊，是无穷多个组成的这样的个数列啊，所以当然大家知道后面我们才会有一个什么概念呢，后面才会有一个叫做 x n 是 吧？然后呢， limit 啊， n 趋无穷大， 对吧？你要 n 无穷大，那当然就是这个 n 是 无穷个，明白了吗？啊，这样他才会讨论他的极限的问题啊，所以呢，这是我们讲的竖列，都是无穷竖列啊，这一点大家要搞清楚啊，这是无穷竖列， 好了，这是基本概念啊。第二个就是大家非常熟悉的等差竖列啊，首项 a 一 啊，公差是 d 啊， d 不 等于零，那么这样的数量呢，就是首先是 a 一， 然后下一项就是 a 一 加上 d， 然后是 a 加上二 d， 是 吧？到通向 x n 的 时候呢，就是 a 一 加上 n 减一 d 啊，这样一直取下去，我们称之为叫做等差数量啊，通向公式呢，当然就是这个了， a 一 加上 n 减一，乘上我们公差 好，那么前项和呢，这个也很简单，就是从 a 一 一是加到什么，这个 a 一 加 n 减一 d， 对 吧？啊，那大家这个实际上很清楚它是什么呢？就是你看 a 一 有多少个，那么 n 个吗？ 对不对？所以就是 n， a 一 的实际上就是 n a 一， 是吧？然后呢，接下来就是很简单，这个 d 呢，就是相当于是从零加上 d 加上二 d， 一 直加到 n 减一 d， 那 么大家知道这个 d 前面的系数呢？相当于就是一加上二加加加到 n 减一， 是吧？所以他就等于什么呢？就是首项加上末项是吧？然后呢，再乘以他的个数再除以二，这个个数是多少呢？再 n 减一个了是吧？再乘上 n 减一， 哎，就这个，那么这样一做，这个就是 n 乘 n 减一了，是吧？因为这块是 n 乘 n 减一除以二。好，所以呢，我们总的这个 s n 呢，它实际上就是 n 倍的 a 一 再加上二分之，这是 n 乘 n 减一 d 啊，这就是我们这个 这个等差竖列的前一项和。那么你要是把这个二分之 n 提出来呢，就变成了二一加上 n 减一 d 啊，这个都没有关系啊，或者写成二分之 n， 然后首项加上 a n 好 了，这个呢是等差竖列的前一项和下面一个等比竖列，这个等比竖列更重要 啊，这个等比数列更重要啊，这主要可能也是因为我们后面啊，就是会涉及到呃，这个 问题，什么问题呢？就是我们有时候讲的一个收敛问题啊，经常会用到等比数列啊，这个等比数列也是我们在实际问题当中建立模型的啊，数学模型的时候呢，而经常会归到这类研究对象上去啊，所以这个这个更为重要， 首项 a 一 公比 q 啊，那么这样的这个竖列呢，就是第一项是 a 一 首项啊，然后第二项是 a 乘 q， 对 吧？然后呢是 a 乘 q 方，一直到第 n 项呢，是 a 一 乘 q 的 n 减一次方啊，一直下去，哎，我们把这个熟练称为等比，熟练它的公比呢，就是这个 q 就是后向比前向吗？那他是等于 q 的 好了，那么通用公式在这是吧？这里面的这个前一项和呀，呃，这个不需要背啊，你不需要记，你考的时候你就用一下，你这写一步就出来了，是吧？哎，那么这个呢，大家是要记一记的， 好吧，这个才记一记的啊，我们来说一下啊，就是如果这个公比是一，那么公比是一的话呢，意味着这个数列呢，是常数数列，也就是说他时间每一项都是 a 一， 对吧，他每一项都是 a 一， 那么这样的一个呢？他的前一项和当然就是 n 倍的 a 一 啊，这个没问题，是吧？那么如果这个 q 不 等一，那么大家知道这个结果呢，就是 s n， 它是等于就是一减公比分之首项乘上一减公比的 n 次方 啊，这个呢，是他的乾象和，这个是怎么算出来的啊？我临时想起来，我就说一下，这记呢，实际上是可以直接记的，那么他是怎么算出来 的，是吧？啊，我想这样是不是应该这样， s n 呢？他是等于 a 一 加上 a e q 是 吧，然后呢，再加上 a e q 方， 加，加到 a e q n 减一次方，你要求这个和是吧，那么我们有一个基本的办法了，是吧？大家就是在这个 s n 这个左两边吧，都在乘 q 是 吧？ 我如果这个乘上 q q s n， 它算等于什么呢？等于 a e q 加上 a e q 方是吧？加加加，加到 a e q n 减一次方，加到 a e q n 次方，能看懂我意思吧。啊，那你就说两边这边成 q， 到这边都成 q 了，所以这样的话，你就发现什么就是 s n 的 这个后面的 n 减一项，跟 q s n 的 前面的 n 减一项是不完全一样的 啊，大家方法有了，是吧？这是一式，这是二式啊，我们就这样，这样相当于错位相减了，是吧？啊？错位相减，那么就是比如说吧，一减去二， 我们就可以知道，那就是 s n 减去 q s n， 是 吧？他就等于 a 一， 那么这一块跟这块就全余掉了，是吧？哎，然后呢，再减去 a 一 q n q 的 次方，是吧？所以这样你整理就出来了，所以这个提出来就是一减 q s n 等于首项提出来一减 q 的 次方，所以你把它除过来，因为 q 不 等一吗？所以就是一减公比分之一减公比的次方， 是吧？我又说了啊，这个过程性是吧？其实你去研究数列的时候，你经常会发现啊，有的时候他用什么呢？有的时候他用这种错位的相减 啊，你就通过核能变形吧，制造出来相同的象，你把它减掉，当然大家知道还有一个是什么，我们常用的，还有一个就是列象相消， 是吧？啊，这个也是常用的东西啊，这些呢？基本东西呢？你，你考试也好，数学问题，他本来就是说，呃，这些经典的方法的，不断反复的考察嘛， 好，这个就有了啊，这是乾元相合，然后这个呢，当然更为重要啊，更为重要就是如果我们现在是，呃，首项为一， 所以我一直是 a 没有了，是吧？所以这个呢，他就变成一减 q 分 之一减 q 的 n 次方，这个大家要重视啊，这个我们后面是非常常用的一个就是等比数列啊，呃，他的通项公式啊，他的强项和啊，这个大家把它掌握好 好。第四一个我们谈到这个单调性啊，因为后面讲到树列的这个问题的极限问题的时候呢，我们不得不提到什么呢？就是一个树列的单调性啊，这个是非常重要的性质， 所以在零基础里面给大家提前先做一个这个布置啊铺垫是吧？哎，你后面的学起来的话，那就接受他就顺理成章了。什么叫单调竖列呢？就是对于所有的正整数 n， 如果我们都有 a n 加一大于等于 a n 啊，我们就称这个竖列呢，是单调不减的啊，单调不增的 啊。如果你换成严格大于号，那么我们想讲这个竖列叫单调递增啊，他指定是严格递增的是吧？如果换成严格小于号，那么就是说这个竖列呢，是严格单调减的啊，是递减竖列，也可以称之为叫递减竖列 啊，所以不管一个竖列是单调增啊，还是单调减，是吧？统称为叫做单调竖列啊，单调竖列， 其实大家知道啊，我们在研究考试里面呢，对大家的这个要求呢，呃，实际上对竖列要求还是比较基本的，是吧？那你单调竖列你完全可以画出来， 对吧？你既然说是整标函数，那也就是说在一这个位置，二这个位置，三这个位置一直一直往上取 n 这个位置是吧？那你就比如说，我是讲一个说单调 a n 加一大于等于 a 是 吧？那就后面的不比前面的小，那你就是一对应的 a， 一 这个数，这个实数是小于等于下面一个的啊，小于等于下面一个的，小于等于下面一个的，对吧？就是说大家就这样，哎，小于等于它，这就叫，这就叫单调增， 对吧？哎，你反过来呢，从上这个点一直这个有向下的趋势，这个叫单调减，这个大家搞清就行了。好吧，我们先说到这里啊，先说到这里，好，下面我们来看题目啊， 概念上来讲不难，是吧？就涉及到说，呃，我们就是这个竖列的基本概念，然后等差竖列，等比竖列，是吧？尤其等比竖列，大家掌握好它是吧？啊？前一项和是不是？呃，然后呢，就是单调性，知道什么单调性， 但是竖列的题目呢，他这个实际上是很精彩啊，也很有区分度，主要原因是什么呢？ 可能就是我们这个零基础啊，就要给大家提个醒了啊，这个很重要的就是很多同学后面的这个树列的极限问题处理不好，甚至到无穷极数里面处理不好，其实主要还是说我们这树列的这个处理的手段啊， 那我们我简单写个注吧。啊，这讲题之前简单写一下，就是处理这个树列 n 的 这个方法或者手段呢，我想大家要有一些总结。第一个呢，就是你首先要注意啊，这个 s n 与 n 的 关系， 对吧？前向和与通向的关系，大家知道有一个最基本的最朴素的关系，那就是我们说 a n 是 等于 s n 减去 s n 减一的，是吧？这个式子要用好它，哎，你就是第 n 项和啊，前 n 项和减去前 n 项和，那当然就是第 n 项的值 啊，你像这种最基本的关系式，大家要用得想得起来，好吧？哎，这是一个，第二一个呢，就是比如说一些个变形的方法，变形的这个手段， 这个要掌握，要多做总结的。你比如说我们前面讲的那个，实际上那个那个就是错位相减 的，是吧？错位相减的呢？我们可以因为我这个就是相消啊，你可以叫做这个错位相消法，对吧？比如说我们有一个错位相消法， 所谓相交啊，就相互抵消的，是吧？就你记得前面那个 s n， 然后是 q 倍的 s n， 大家记得啊，那我这个除了第一项 a e， 我 们后面的 a e q 一 直加到 a e q 的 n 减一之方， 那么这些个项就跟我 q s n 的 这个 a e q 的 n 减一，跟他这个前面的 n 减一项， 那么这个一剪按的就整个就全约掉了，对吧？我们可以错位相交。第二个呢，我们还有这个列向相交，是吧？列向相交，这个大家，呃，这个非常常见的啊， 列项，想想吧，待会我们会讲到的，是吧？你把一项给它拆了，是吧？哎，你比如说我这个 n 乘上 n 加一分之一了，是吧？你要把它拆掉，拆开它就变成什么，那么变成 n 分 之一减去 n 加一分之一，是这个吧？ 啊？那你变成这个之后呢？你要去求这个以他为通向的前前一项和，那不就变成了什么，他的 s n 就 等于什么？那么第一项是一了，就是一减去二分之一，那么加上二分之一，减三分之一， 一次加加加加到 n 分 之一，减 n 加一分之一，对吧？那么这样的话就是列向相交，就这个约掉，这个都约掉了，是吧？啊？就是后向前向约掉嘛，所以就剩第一项和最后一项了啊，像这种叫列向相交，第三个呢？还有就是乘除相交， 乘除相消法，那么这个乘除消法是什么意思呢？就是说，你比如说吧，这个 a n 啊，你要是个 a n 怎么办呢？他是 a n 就是 a n， 但是如果题目里面有什么条件呢？比如说题目里面有这个就是 a n 比上 a n 减一啊，它是有一个什么样的一个已知条件了？那么这样呢？我们就是有时候可以写的 a n 除上 a n 减一， 是吧？那你除一个不行，你得给人乘一个，乘一个之后呢？因为这个可以处理了，有可能 a n 比 n 减一等于一个已知的量，比如说你等比基数吗？是吧？哎，但是那你乘一个之后，除以一个，乘一个多了怎么办呢？你再除以 n 减二是吧？再乘以 n 减二， 懂了是吧？然后再除以 n 减三，乘上 n 减三，等等吧，一直除到什么呢？比如说呢？就是，呃，我们到这个 a 三， a 二了， a 二比上 a 一 了， 行吧，就是这除以 a 二乘以 a 二，对吧？你到 a 三了吗？然后除以 a 二，乘以 a， 再乘以 a 一。 哎，你这样的话，这些个项 实际上就相当于是能消的吗？是吧？但是我们这个程度相消呢，有时候是反着用的，对吧？这样的话，你就可以得到 a n 和 a e 的 关系了， a e 当然往往也是已知的啊，那么这样的话，也可以就是等啊，这个不止这些啊，啊，这是一些典型的手段吗？ 哎，那么接下来呢，我们就来看一看啊，具体的问题，你比方说这个边手段里面，他往往有些综合的 啊，加一些综合的，比如说烙印的这个，这个事情，是吧？你见到烙印的话，那么我们将烙印 a 比 b， 记得吧？哎，烙印 n， 这个 a 比 b 的 话呢，它是等于烙印 a 减去烙印 b 的 啊，这样这个也会出现列像嘛， 是不是？那么这个也有可能出现列项相像，你比方说我这个烙印 n 比上一加 n， 对 吧？那我有可能就写的什么烙印 n 减去烙印一加 n， 你 看是吧？大家，那你这样也可以有了。你比如说 s n， 那 从第一项开始，烙印一是零了 啊，减去这个是烙印是吧？一是烙印二了，是吧？然后再加上什么啊？那不就是烙印二 剪去落雨山了，再加上往后，你看是不是又开始削了，是吧？哎，就是这种意思，他有时候一些综合的一些知识，哎，弄这个你要， 所以主要是我们在处理 a 的 时候呢，一些基本方法呢？我们在零基础阶段呢，就给大家做好这样的一个过渡吧，是吧？好，我们看题六十二题， 已知数 n 的 前项和为 s n， a 等于一， s n 等于二， a n 加一，这 s n 等于多少？分析 你像这种问题呢，他问的是 s n 是 吧？那我的研究对象呢？我就盯着 s n 了，由于基本关系就是这个，这个像 s n 和 n 的 基本关系呢，大家是很容易就搞清楚的，那就是说我这个 s n 啊， 它是等于二倍的 n 加一，是吧？那你现在是不用犹豫，它等于什么，就是 n 加一等于什么？ n 加一，它就是 s， n 加一减去 s n， 是 吧？哎，你这样的话，就是 n 加一向减前， n 加一向减去前，一向就刚好是 n 加一了，那么这样呢，是二倍的它，所以就很容易建立起来 s n 的 一个这个关系式了，所以这样呢，你把它 二乘进去挪过来，所以是三倍的 s n 等于二倍的 s n 加一， 那么于是呢，我说了啊，你现在求的是 s n， 是 吧？而且你看着选项，你显然知道这个 s n 呢，是个等比 竖列的这样一个通向了，是吧？啊？你把 s n 当做一个这个竖列来看了，那么这个关系已经在这了，对吧？所以呢，我们就说 s n 加一是等于什么呢？ s n 加等于把它读过来，就是二分之三乘上 s n， 对 了吧？啊？二分之三 s n， 那 你像这个就写出来了，它就等于，那你就是 s n 加一，它小一小一号，那付出的代价是前面乘二分之三， 那你要写成 s n 减一呢？那前面就是 s n 就 写成了二分之三， s n 减一，对吧？然后你这前面还有二分之三，那就是二次方了， 好，一直写下去，那么就写到这个 s 一 了，是不是啊？ s 一 呢，前面是二分之三的多少次方？这很好看。这个二加 n 减一，正好是 n 加一，那么这是一的时候呢，那么这个就是 n， 对 吧？因为 s 一 呢，就是 a e 了， 对吧？大家这前第一项和，那就是第一项啊， a 是 一，所以呢，你就可以得到 s n 加 e， 就是 二分之三的 n 次方，所以我们的 s n 呢，就等于二分之三的 n 减一次方， 对吧？这个答案选的是 b 啊，答案选的 b 好， 这是第一个题目， 下面看第二个题，六十三题，在竖列 n 中， a 一 等于二啊， n 加一等于 n 加这个，哎，你看，烙印出来了吧，这不就是你看出来了，则 n 等于多少啊？那么这个题的这个研究对象是 n 了，是吧？我们来看一下分析， 那么我盯着这看啊，这个比较容易的啊， a n 加一减去 a n， 把它挪过来，是不等于烙印，那么就是一加上 n 分 之一，是这个吧？ 哎，那么你见到这个，我就给大家通分一下喽，因为一旦通分 n 分 之 n 加一，我这就可以怎么样把它写成烙印 n 加一减烙印了， 听到没有？那么你现在求什么？求 a n， 大家想想看，我这个是用，应该用列项相消法吧？列项相消法，呃，反着用啊， 乘除相消法反着用，这就是看题目具体的给的是什么，他现在给的我是叉，看到没有？是叉等于他，所以呢，你说 a n 等于什么？ a n 不 就等于 a n 减去 a n 减一了， 再加上 n 减一，减去 n 减二了，对不对？大家，哎，然后一直加，那加到这个，那么你就相当于是减一个，加一个，那你这就变到多少了，那就是加上什么？ 加上，就是你减个 a 二，加个 a 二，看到没有？你到这应该就是你减一下加一下，减一下，减，减一下加一下，是吧？然后呢，我们再减去 a 一， 再加上 a 一， 你这样你就发现了吧，这个可以画个括号，这个可以画个括号，这个可以画个括号，是不是到这了，对了吧？哎，那么你现在因为我这个通式是都有的啊，这个呢，就是 long n 加一减 long n， 是吧，所以呢，你这个 n 就 等于，哎，那么这个像是 n 加一减 n， 这是 n 减 n 减一，所以这个整个这里面要 n 减一，是吧？所以呢，就是烙印这个 n 加一，写成烙印 n 减去烙印 n 减一，看到没有？ 然后再加上呢？整个再小一号，就是加上呢，是烙印 n 减一，再减去烙印 n 减二， 对吧？好，一字写下去，那么加到，那么我们现在就是 a 二减 a 一 啊， a 二减 a 一 呢，就相当于是 n 取一了， n 取一的话呢，就是烙印二减去烙印一， 看到没有？就是这个整体啊，是这个了，那这个整体是这个表达式，这个整体这个表达式看到意思没有？最后加 a 一， a 一 是二加上二， 看到了啊，所以呢，这个这个跟这个抵消掉了，这个这个抵消好，就抵消掉了，你刚好这个减，这个孬一呢，还刚好是零，所以就没有了，所以只剩头一尾，对吧？所以呢，他就等于孬， n 是 不是加上二， 是吧？这个答案选 a 啊，答案选 a， 答案选 a， 像这种题呢，就是非常呃，这个经典了啊，就是靠的我们现在考题这个就非常近了。 六十四、设 s n 是 竖列， n 的 前项和 s 一 是负一， s n 加一等于 s n 乘 s n 加一，这个也是很这个，这个怎么说？那很经典的这种问题了， 我们还是这个啊，你就往这个上面去考虑就行了，对吧？啊？基本上第一个还是先看一下，因为有 n 和 s n 的 时候，我们一般还是把 n 和 s n 的 基本关系把它带进来的啊， 你看这种题，他没有 s n 的 事，那么我就想到我怎么样去通过变形呢？制造出来，用已知条件把它用上，然后去消掉，是吧？相应的象，或者说把这相应的象呢？反着用啊，来带进去我们能用的条件。那么这个呢，显然就是 n 加一， 他本身是等于 s n 加一减去 s n 的，是吧？然后呢，题目告诉我们呢，他又等于 s n 乘上 s n 加一，所以大家看到我现在去研究 s n， 以 s n 做研究对象，那我身上就不看他了，是不是他等于他了， 对吧？因为他要等于他，那么身上这个就好处理了，是吧？呃，好处理之后就说你在等式两边都除以谁除以 s n 乘 s n 加一，对吧？ 这样的话，我们就可以得到 s n 加一，除以 s n 乘 s n 加一呢，就是，呃， s n 分 之一减去 s n 除以它，那就是 s n 加一分之一，是不等于一，是吧？ 是吧？哎，等于一，哎，等于一。好，那你写到这啊，就没问题啊，就是这样，你写到这啊，我书上写的是它减它等于负一啊，是一个意思啊，一个意思。 那么为什么说写成它减它等于负一呢？因为我们就是用后项减前项，那么这个写起来就是说等差竖列出来了，是吧？所以就是 s n 加一分之一减去 s n 分 之一，那么我就等于什么等于负一， 所以大家就知道呢，以它作为什么？以它作为这个竖列的研究对象，它的通向啊，就是以它作为通向的话呢？后项减前项是个常数， 这不就是等差数列吗？对吧？所以是，呃，可以这样来思考了。那么就是说我们则 s n 分 之一啊，是 以谁为首项啊？那么首项呢？那显然就是说我用什么 s 二分之一减去 s 一 分之一的，是吧？呃， s 二分之一， 哎，那么 s 二分之一减去 s 一 分之一，我们算一下啊， s 二分之一减去 s 一 分之一等于负一，那么 a 一 就是 s 一 啊，所以 s 一 等于 a 一 等于负一，那么这样的话，就意味着加一等于负一了，是吧？那么就是负二啊，所以它的负二 为啊，我看啊， s 二 s 二分之一哦，首项就是负一呢，就是这个正首项啊，首项，那么他的首项就是负一，以负一为啊，首项， 然后是公差为负一，这不公差嘛，都负一了，是吧？公差为负一，那么这样的话呢，我们的等差数量 啊，等它处理，所以呢，我们就可以得到 g s n 分 之一，那它是等于，那你这个通项把它写出来了，通项就是说是 a 一， 那 a 一 就是负一了， 负一加上 n 减一倍的 d， 对 吧？ d 呢，就是负一了啊，所以这样算起来呢，就是负一减去 n 再加上一，这负 n 啊，所以由这你可以得到 s n 呢，就是负的 n 分 之一，对吧？负 n 分 之一， 这不就有了吗？对吧？哎，这个不要想太多啊，就是你这个找 s 一 就行了啊， s 一 分之一就行了啊，这个不需要做差，整体考虑。这不是整体考虑，就是这个后项减前项等于负一，这公差就出来了，然后呢，他首项呢是 s 一 分之一， s 一 分之一呢，就是负一啊，这就可以了， 这个是六十四题。好，六十五题，这个大家可以当作业做了啊，那么我做一个提示吧啊，做一个提示，这个题也是很经典的啊， 还是这种是吧？啊，套路子了， s n 和 n 的 关系，然后呢，你让你求 a n， 我们现在就是比较清楚一点是说你如果是求 s n， 那 我就通过呢基本关系，因为我这个 a n 呢，是等于 s n 减去 s n 减一， 对吧？你给我的关系呢，是 s n 和 n 的 关系，那么我要求 a n， 我 就要把 s 们转化到 n 上去， 明白吧？那么这里如果求 s n， 那 么你就把 an 转化到 s n 上去，总之你求谁，你就建立呃谁的关系式，明白，是吧？这个思路上就很清楚了，所以呢，这样 我们就是说我这个 a n 加一，它就等于这个 s n 加一减去 s n 了， 是吧？哎，你还是 n 加一是什么呢？是三分之 n 加一加二，是 n 加三，那么 a n 加一减去三分之 n 加二 a n， 对吧？你就建立起了这个关系。我再说一遍啊，你求谁？你建立的这个等式呢？就应该是关于谁的，关于这个小 a n 的，是吧？你如果求 sn， 那 我肯定不能写这个公式，我就要把 s 们怎么样，就把 a n 转化成 sn s 什么区，是吧？哎，这样思考 好了，有这个呢，把它移向过来，所以这样呢，你会得到 a n 加一比上什么 a n， 它就等于你把这一项减过来，减过来之后呢？然后呢，就是把这个除过来，是吧？然后把它的系数给它除过去啊，就是负的三分之 n 加二除以， 那么这个就是一减去三分之 n 加三，是吧？这个很简单的，我草稿纸当草稿纸写了啊，你一通分 三减去 n 减去三，是吧？这个约掉了，哎，那么这个符号符号三三约掉，看到没有？哎，这不叫 n 加二比上 n 啊，对吧？好，你得到这个，得到这个之后怎么办？ 哎，你要求谁？ a n 吗？这应该是用什么？用乘除的相消法，是吧？ n 等于什么呢？等于 a n 比上，因为你这个 n 加一，比 n 这个表达式，这个是已知的了，哎，所以我们就转换成这样的式子了， 那么 a n 减一，对吧？再乘上 a n 减一，除以 a n 减二，能看懂吧？哎，你除一项乘一项，除一项乘一项，对吧？再乘上 a n 减二，比上 a n 减三 啊，就写到这啊，一直乘下去，那么比如说接下来除以什么 a 三啊，然后乘上 a 三， 除以 a 二，乘上 a 二，除以 a 一， 乘上 a 一， 这不就行了吗？对吧？哎，然后你接下来就是说，你就把这个什么，你就把这个表达式给它往里带进去，就行了，对吧？带进去以后呢，那么这一项就变成什么？ 这个，这个，因为这个是 n 加一，比 n 加一呢，这个 n 里面就去掉一了，是 n 加一，比上 n 减一， 那么这一项呢？那显然就是，嗯， n 比上 n 减二，是吧？然后你再乘一项呢？再少一个 n 减一，比上 n 减三，你总的你上下差个二嘛，对吧？上下差个二，那么一直到多少？一直到这个 a 三， a 三的话，就是这个 n 取二嘛，是吧？ 那就是四比上二啊，这乘以呢，就是你接下来就是 a 二啊， a 二的话呢？就是这个就到什么？ 嗯？ a 三，那你就是说除以 a 三乘以三，是吧？ a 三比 a 二，那么就剩个四比二了，然后接下来呢， a 二比 a 一， 我们看一下有没有啊？ a 是 一，是吧？啊？ a 是 一，实际上这个就没有了，对吧？ a 一 就没有了，那你身上就剩个 a 二了，是吧？那么 a 二等于什么？ a 二等于什么？我们简单算一下就知道了。我这个 啊， a 一 是等一的啊，所以 s 一 呢，是等一，没错吧？然后呢，我这个 a 二呢？大家看这个就行啊，就是 a 二呢，是这个等于， 呃， n 取几啊？ n 取一，那么就是三分之四， a 二减去三分之，这个 n 取一，是吧？那就就减去 a 了 三分之三， a 一， a 一 是一了，就是一，所以你减去的就是一，所以呢，这样你可以得到我的 a 二，就等于你把它减过来，一减三分之四，让我说负三分之一，把它乘过来除过来，就是这，这个 a 二是几啊？这个 a 二算出来是这个， 哦，你搁搁到这写就行，是吧？ a 二就等于那么 a 一 乘上啊，就看这个就行了，是吧？那么这个就是说，呃，这个是 a 二，这是一了，这是三等于三嘛，对吧？所以这个位置乘上个三就行了。 乘个三吧，看到没有，哎，乘个三啊，就可以了，哎，你倒置就行，这样倒置就行，你需要，你要用 a 一 的话，你就三比一嘛，再乘乘一是吧？啊哈哈，对啊，也很简单啊，你要就是除以 a 一， 再除以一，再乘一， 是吧？好，那么到这呢，实际上这个问题就解决了，很多人可能看不出来这个是吧？看不出来这个怎么消的，那怎么消呢？那你就你举个例子，比如说，你比如说 n， 我 比如说取这个八，是吧？假如说 n 取八， 那么第一项就是九，你看着啊，这是九八七六五四三，看到没有？这是九八七六 啊，五四三能看到是吧？你这除的是什么？他就都差个二吗？是吧？谁要是错两位，对吧？那这个就是七，那么这个是，呃，就是你就拿它减二就行啊，六五四 三，那这个是二，这是一是吧？那你这样的话就不是这个，你看这一块跟这一块就是约掉了吧，对吧？约掉了，所以他身上剩的什么？他身上只剩啊？前两项就是上面这个前两项， 因为你从这一项就开始约了，看到没有？一直到二，是吧？就这一块跟哪一块呢？跟这块实际上就约掉了，看到什么呀？约掉了，所以剩下的就是这两项，就这两项，然后呢再除以二啊，所以这个结果呢是二分之 n 加一乘上 n， 答案选 c 吧，答案选 c。 这个方法呢你用一下就是说有时候你看这个看不懂或者看不清楚的时候呢，你取些特殊值，然后呢你就可以把它这个关系捋清楚了， 这个当作业做一下，大家，好吧。啊？当作业做一下，这是我们说的六十五以上这些题啊。呃，我觉得是非常好的这样几个训练的素材啊，我希望大家在零基础阶段啊， 你要把这些给我处理好了，好吧，你这样的话后面就会发现学起来就是其实很轻松了，是吧？ 好，我们再来看一些个这个。呃，有一些新隐性的问题，但这些题就不是传统上的这些问题，他没有那么难啊，但是比较新啊。六十六 定义在负无穷到零并零到正无穷的函数 f x， 那 就是这个函数不取零，是吧？不等零了。 如果对于任意给定的等比数列 a n f a n 这个数列依然是等比数列，我们这称 f x 为保等比数列函数。大家想想看，你这个就是说他新的信息告诉你了，是吧？ 你不必要担心这个，不要害怕。你说告诉我一个什么宝等比数列，还说没有学过，这个不需要你学过，你这个学习这个东西呢？他实际上就是这样的一个道理， 我告诉你一个定义，那这个你不用管我学过没学过，那我接下来的问题我就往这个定义上去套，是吧？他的定义无非就是说只要 a 是 等比数列，那么 f n 一 旦是等比数列，不就这个意思吗？啊？那么这个对大家的基本概念考察就是什么呢？ 分析，那你基本概念考察就是我如果 n 加一比剩 n， 这个 n 等比出来，它就一定等于 q 的， 对吧？我这个这不就是我的这个条件吗？你要推出什么？你要推出 f n 加一 b 上 f a， n 等于什么？你可别说是等 q 啊，我们没有讲它公比还是一样的，是吧？但是那你这个应该是个什么？哎，应该 p， 这应该是个常数不就行了吗？ 对吧？你只要这个是个非零常数，这不就可以了吗？我们讲等比数列的定义的时候，大家知道就是我不管你的表达式是什么， 这个，所以我说这个题目，呃，这个好就好在什么呢？你看到我们等比数列的定义，他就是讲说后项比前项，只要比出来的是一个非零的常数，他就叫做等比数列。 那么对于我们现在这个题目来说呢，已知他比，他是一个非零常数，那么你又能推出他的函数的这种比法也是一个非零常数，那么他不就叫保等比数列函数， 是吧？是，很简单，你比如说第一个，这个 f x 如果是 x 平方啊，我们知道 n 加一比 n 是 q， 那 么自然就会有 f n 加一呢，那么显然就平方吗？就是 n 加一的比上 an 的 平方了，那他就等于 q 方了， 是吧？由于 q 不 等零， q 方肯定不等零，那么这是个常数，所以一是对的，这个就是叫做保等比数的函数，对吧？然后第二个呢？ 第二个是什么呢？第二个是说二的 x 次方，是吧？二的 x 次方，那你就写了，呃，二的 a n 加一比上二的 a n， 此方是吧？那么他这个等于什么呢？那么你这个就是二的 a 次方比上二的 b 次方，我们这这个实际上是这指数函数了。那么除法的话呢？大家知道我们前面讲的这个运算性质了，那就做减就行了，二的 n 加一减去 n 次方吧， 大家看到没有啊？由于你现在是等比数列，所以你这个做叉，嗯，那这个不知道， 对吧？那我就没办法说你是这个是个不变的常数了，是吧？哎，那你也没说你这等差数列，是不是？所以他做减法呢？不一定得到常数，所以这个二的整个的次方，他就不一定是常数了，所以这个二就不能选了， 对吧？第三个，嗯，根号 x 绝对值，根号绝对值开根号， 那么再比上 a n 绝对值开根号，是吧？大家，那你这个选项是什么？是 q 的 绝对值开根号， 由于 q 不 等零，所以它加上绝对值呢？那你就是大于零了，你大于零开，哦，是根号是可以的。嗯，这是个常数啊，这是个非零常数，所以三是可以的，对吧？所以大家选 c 了，那么这个第四个烙印，那像就是烙印这个 a n 加一对绝对值的比上烙印 a n 绝对值，这个你没有这个结论啊，就是题目当中没有信息来说明他是否是常数，那这个也不行啊。 好，这样呢，我们就把这个六十六啊，把它解决了。像这种题呢，我也建议大家啊，这个就是一种学习的方法，所谓的新颖， 他这个心意不代表说是难，是吧？呃，这个像现在的这个数学考试啊，呃，对于选拔人才，因为大家知道你这个考研究生，他这个 实际上啊，大家知道，虽然说这个现在这个这个研究生教育啊，他这个也是一个扩大的一个过程，但是大家知道，毕竟现在考研的录取率还是非常低的啊，那远远低于这个高考的录取率了。 哎，那你这种心理的问题如果出现了啊，大家不要说，我就说我不看，哎，他给你严格按定义来办事啊，按他的指导的信息来办事，我觉得这个呢应该是没什么问题的，是吧？ 六十七题，呃，这个题呢不难啊，呃，这是一个像这种题一般出选择题了，是吧？我们看看啊，就是我给你一个这个地推表达式，这是等式 手相是零，是吧？然后证明 x n 如果单调递减，那么他的冲要条件是 c 小 于零啊。我们讲基本逻辑的时候呢，是给大家讲过的啊，什么叫冲要条件呢？就是 a 可以 推 b， b 可以 推回 a， 是 吧？这就是互为冲要条件， 那我们现在就来看了，是吧？啊，那假设说这个是单调减的啊，那么就是说，那么他的必要条件是 c 小 于零，也就是说他是不是他的充分条件呢？好，那我们就这样先走这一步了， 假设 x n 是 单调减少的啊，那么单调减少呢？那大家看到这个表达是则 我就有什么呢？呃，因为 x 一 是零啊，对吧？那么单调减少的话呢？呃，单调递减，那么我现在就是说我的 x 二，那你越往后的话呢，他就越不大，就是小，是吧？小，那么我们写一下了，这个 x 二，由于 x 二是等于负的 x 一 的平方加上 x 一 加上 c 的， 那我肯定要找简单一点的啊，大家你不要找复杂的，是吧？能看到吧？是这样吧，那么有这个东西的话呢，大家就可以知道什么，那么我这个 x， 你 可以这样来思考， x 二减去 x 一 啊，那么就是小于 x 二减去 x 一， 大家看啊，你把它减过来，那么它是不是等于负的 x 一 方加上 c， 看懂没？哎，因为你现在要一定要用什么？一定要用这个，呃，定义是吧？ 他是单调递减数列，那么显然就是说他这个单调递减呢，就是我们讲的严格单减的意思了，所以这样的话呢，这个东西是小于零的，对吧？所以由此呢，你就可以得到这个 c 啊，是小于 x 一 方的，这个是零，所以 c 小 于零， 对吧？啊？说这样可以，当然更简单一点的是说你写到这一步了，这就出来了，为什么？因为他就等于，因为这两个是这零啊，是吧？所以 x 二严格小于零啊，你单调递减， 他不是说单调不增啊，单调递减，那么就 x 二小于 x 一， 那 x 二小于 x 一， 那这个 c 不 就小于零吗？啊，这个也更简单，是吧？啊，更简单，这个这样说都可以啊。哎， 第二个反过来说，如果 c 小 于零，那么你立即那这个用它减它了啊，你就制造单调减少 的这个作差吗？对吧？由于它是等于那么负的 x n 方，加上 c， 同学们知道这个 x n 方啊，这个是非负的，对吧？那么你添个负号， 那就是非正，所以这个是小于等于零的， c 是 严格小于零的，所以他俩加起来一定小于零整完了，所以 x 呢，是单调减少的，然后是同样调节。 好，这是我们说的六十七，六十八，这种题都很精彩啊。这个以后你会发现，你要想把后面的数列极限搞清楚，你的这个功夫基本都在前面了，基本都在前面的， 这个其实可以当个作业的啊。啊，可以当个作业的，我们看一下啊，已知 x 减三， x 在 零到一上是增函数 啊，当大家看得到啊，我写这个题明显是在降低难度，因为从这个基本的问题上来说，这是个已知函数，已知函数在一个区间上，是增函数还是减函数，还是不增不减等等吧。 啊，或者没有单调性，这个得，这个是你自己来判断的，对吧？但是我说了啊，零基础，我没有提什么要求， 我就告诉你他增函数了啊，哎，你别看你说，老师你怎么具体函数你还告诉我。嗯，这个以后不会告诉你了。 那么竖列 n 满足什么呢？就是首项是零到一之间的 n 加一等于 f n 证明。大家看这个啊，这个就很漂亮了，是吧？那么这个 n 加一小于 n， 就 意味着这又往后越小，是吧？这单调减啊，并且呢，上下界都有这下界，这上界 啊，你以后会知道，就单调语阶准则，那就这个树立一定是呃，收敛的，但这不啰嗦啊，不多说其他的，我们现在先来证明这个啊，这个题目先就干这个事，是吧？ 好，首先基本逻辑用上好吧，基本逻辑用上什么基本逻辑啊？数学归类法是吧？因为我已经验证了一条，因为你要证明 a n 是 在零到一里头的，是吧？我们先证明他有界的，那么就是第一个验验证，那已经给你了， a 一 是大零小一的， 第二是，那么假设 a n 是 大零小一的三正， 那么证什么呢？那叫证 a n 加一也是大零小一的，是吧？所以现在就用这个式子了。那么由于 a n 加一呢，是等于 f a n f a n， 你 把这个 x 换成 a 了，它就等于 a n 减去三 a n， 是 吧？大家 你看啊，我的这个，我的这个什么？这个 x 是 在零到一里头的，是吧？ 我现在这 a n 是 不是也在零到一里头？这是验设证，是吧？你已经是 a n 在 零到一里头了，所以它的这个规律呢，就是 x 减三， x 在 零到一上的规律。什么规律啊？它是真函数，是吧？真函数的意思是告诉我们，大家看啊， f 零 是不等零减零啊，是 f 零是不等于零，是吧？那么你现在是真函数的话，那就一直零点，函数值是零，那么我真函数是不是上去了，看到没有，哎，那么 f 一 呢？ f 一 它是等于一减去三一的，这个是大于零的， 是吧？但是你已经很清楚，我现在要证的是 n 加一是不是大于零，小于一是吧？好，那么由于 f 零等于零，那么意味着 a n 减去三个 a n， 你 注意啊，你这个 a n 呢，是在零到一里头的，是吧？所以他一定是大于零的， 看到没有，这不正确了吗？就他一定是大于零的，且一定是小于一减三一的，对吧？这是零，这个函数值是一减三一，能听懂意思吧？那么一减三一当然小于了，这是个正数啊，那当然小于了，好，正，完了， n 加一大于零小于一， 看到没有？我告诉你啊，像这种零基础的知识，其实你到了这个考研当天啊，就是大家很多同学，大部分同学是不会做这个东西的 啊，呃，所以零基础这意义啊，就是就在这啊，这个数据规划法啊，用好它，所以我们证明了什么？有借，是吧？证明了这个，这个就证了他的这个有借了。 哎，那么其实呢，你接下来这个就是比较简单的一件事情呢，你就是这个，实际上 n 加一小于 n 实际上也就有了啊，怎么说呢，哎，因为你现在已经证明了 这个 a n 是 有界的，是吧？啊，那这样写吧，就是 a n 呢，是在零到一里头的了，是吧？这时候呢，当 a n 在 零到一里头时候，大家看这个式子就行了，由于 n 加一是等于 a n 减去三引 a n 的， 也就是说 a n 加一减去 a n 等于负的三引 a n 的， 对吧？因为 n 在 零到一里头，那么三引 a n 呢，肯定是正的， 那天赋号他一定小于零的。由此呢，我们就可以得到 n 加一是小于 n 的 就整完了，是单着减少的啊，单着减少的合起来就是他。我虽然说是作业啊，我给大家还是做了一个完整的一个证明了啊， 六十九题啊，这种题也是很漂亮啊，对吧？有的时候思考性强一些，就是很容易就把它解决了，哎！ 由 n 加一等于 f a n 得到的数列 n 满足 n 加一大于 a n， 那 么这个 f 的 图像可能是什么？ 所以这个对大家提出的要求呢？就是你要这个数学概念清晰啊，看图说话，我们知道啊，既然你现在讲的是 n 加一等于 f a n， 对 吧？你又给了 a n 加一是大于 a n， 所以我想这两个一连利啊，你就马上就看到什么，那就是给我们就是 f a n 是 不是大于 a， 是 吧，那个意思不就很清楚了吗？是吧？ f x 图像可能是什么？对于任给的 a 一 在零到一里头，那么那你现在就零到一里头了，是吧？在零到一里头， 那么我们就是由这个得到这个就满足的是 f， 就 这边呢，在零到一里头，那么 f x 是 大于 x 的， 因为你变成连续变的 x 了吗？对不对？那么就是可能是什么呢？那实际上这个就是 y 等于 f x 是 不是大于 x， 那么就是 y 大 于 x 了，你 y 大 于 x， 也就意味着这个曲线一定在 y 等于 x 那 个斜直线的什么左上方了，是吧？能听懂是吧？那么左上方吗？那你只能是这个了， 只有这个全在左上方吗？是吧？答案选 a 了你，否则你其他，你这个这个全在右下方是吧？你这个左上右下都有了啊，你这个也是左上右下都有了，看到没有？嗯，你这个基本概念就搞清楚，就是很快的就解决了，对吧？嗯， 好看，七十啊，第七十题，这个呢，我们就是给大家一个启发性的一个例子吧。 啊？启发性的例子，呃，这个因为极限啊，我们还没讲到啊，但是作为零基础啊，到基础的一个过渡啊，我想这个安排这么一个题目呢，是给大家做一个介绍啊， 分析，呃，讲一个洞点是吧，那么这个洞点的话呢，就是说从原点出发 啊，沿着 x 轴的正向那么先走移动距离 a， 这移动距离 a 是 吧？啊，这个到 p 一， 这个长度是 a， 然后呢到这点之后沿着 y 轴正向那往上走啊，那么这个走的是二分之 a 啊，到 p 二，然后呢再走什么？四分之 a， 就 二的平方分之 a， 那 就到 p 三，再走这个二的三次方分之八分之 a， 十六分之 a， 三十二分之 a， 六十四分之 a， 一 直这样下去，看到没有？越来越短，越来越短，越来越短，是吧？哈哈，那么现在就问你第一个总长度对吧？他呢？这个已经写了啊，桥洞点 p 行进路线总长的极限， 因为按道理说你这个永远走不完了是吧？无限进行下去，每次每转一次距离缩小一半，如果没有极限概念，那么大家就知道这个就是，呃，这个日取其半啊，万事不竭 是吧？啊，这个就那就你永远取不完了啊，这就是一些悖论呐。啊，大家知道这个知诺悖论经常就有这种， 对吧？一段路程零到一，他明显明明是有一个这个确定性长度的，对吧？所以我怎么走呢？我先走整个距离的一半，再走剩下距离的一半，再走剩下距离的一半。 那你按照这个办法，你永远走不到头。但事实上呢，我们确实可以有限时间内就走的到，匀速运动就走的到，零到一，这肯定走的到头 啊，那就没有极限思想不行的，那是什么意思呢？第一个，你的总的 s 呢？呃，你先要研究 s n， 对 吧？ s n 等于什么？他的首项是 a 了，对吧？那么第二项呢？就是二分之 a， 第三项，二的平方分之 a， 一 直写下去啊，你加到二的 n， 减一次方分之 a， 怎么样？不能，这是 s n 啊，但是这不够，为什么你不能只走到前一项， 是吧？我还得一直走下去啊。所以这个时候呢，实际上是有个极限的啊。我们说 s n 等于什么呢？你把它算出来，它等于，那就是一键去公比，公比是二分之一了，分子手相乘一键公比的 n 次方。 现在的问题就在这啊，这问题就是我们就出在这个位置上了，这个就是我们极限的思想了。什么思想呢？大家知道二分之一，他的 infinities， 他的无穷次方，实际上就是趋零的了， 对吧？这就是我们后面要讲的极限。为什么？因为大家想二分之一是吧，再乘二分之一是吧，再乘二分之一，一直乘下去 啊，那么越来越小，越来越小，他最终呢，是充分靠近零的，那这就后面这个极限的概念，是吧？所以这样你就有了我这个 s 呢，他这样是等于 s n 不 够的，而是让 limit， 让这个 n 要趋无穷的， 就是无限进行下去啊，那么这个时候呢，就是总长度了，所以也就是说你这个路线的总长啊，是前 n 向和的一个极限，是吧？那么这样的话呢，你算出来这个结果呢，就是这个 这块趋于零了啊，那么这就变成一减二分之一分之 a， 所以呢，这个结果正好是二 a 啊，所以说总长的这个值啊，是二 a， 所以这个启发性的例子呢，就先说这么多啊，大家感受一下，好吧。哎呦，后面会有严格的讲到第一讲里面，我们就会啊，或者到第一讲，第二讲之后，这个极限概念，各位这个也得慢慢理理解的啊，不是那么简单的啊，是吧？啊？你现在先有感受啊，第二个， 那么就问 p 跟坐标平面上的哪个点是吧？是无限接近的 是吧？嗯，以后你也会知道，像这样的极限点一定是唯一的啊，他靠的哪个点最近啊？就无限接近，那他就离其他任何其他点是吧？那都不可能有这个点性，以后你知道极限值是具有唯一性的， 那么你看 x 坐标，那么我这个 x 呢？他同样是道理啊，我就直接写了啊，这个 x 呢，相当于是 x n 就是 前 n 向的水平方向的路程，然后再怎么样，那就等于 x n 取极限， n 取无穷大，对吧？好，我们看 x n 是 x， n 是 什么呢？它水平方向的这个路路路长，它走的这个长度，这是 a， 但是这段就是四分之 a 了，是吧？就是二的平方分之 a 了， 那么所以大家知道这个就二的四次方分之 a 了，所以他这个公比是多少？因为你把这个铅垂走的这个这个抹掉了，所以他实际上是，呃， a 乘上就是一减公比分之 一减公比分之首项乘以一减公比的 n 次方，是这样的，然后呢？让厘米 t n 去无穷大，是吧？那么这时候四分之一的 n 次方跟他一样是去零的，所以这个是变成四 a， 是吧？啊？三分之四，这是一减四分之一，是四分之三，翻上去四，四分之三分之四 a， 对 的，然后呢？ y 呢？ y 是 同样的道理，他等于厘米特 n 去无穷大 y n， 那 么他的手相呢？大家知道 y， n 是 什么手相？是二分之 a， 是 吧？所以是一减公比分之手相 乘以一减公比的 n 次方，对吧？说这一项还是曲线这个小于零吗？这还是小于一的啊，所以 limit n 去无穷大呢，它就变成了这个四分之三，再翻上去是三分之四，但乘的是二分之 a， 所以 是三分之二 a， 对 吧？所以它无限靠近哪个点呢？那么这个点显然就是这个 x， y 呢？它实际上就是三分之四 a， 三分之二 a， 那 他是跟这个点呢？这个靠近的啊，而且这个无限靠近这个点以后大家我们会有一个结论的，这是就唯一啊，就唯一。好了，那么整个第五个大的部分呢？就给大家讲到这里。