反比例函数中考真题大全

反比例与几何的结合求比例系数 k 是 一个标准的中档问题，在最终测试里占三到四分，他会因为地区的不同，出现的形式略有区别，比如下面的这四种情况， 黑龙江这道题是已知三角形面积求 k， 云南是已知菱形面积求 k。 广西是给了两个反比例函数和矩形面积求 k。 而福建这道题只给了两个反比例函数和正方形，没有给任何面积让我们来求 k。 虽然题目千变万化，但核心的解析思路却不变。设点法，设反比例图像上的点的坐标。一般来说啊，一条双曲线就设横纵坐标用两个字母表示，两条双斜线就设横坐标，或者纵坐标用一个字母表示。 我们今天看广西这道题怎么用设点法解决问题。这道题 a、 b、 b 都在反比例图像上，那设哪个点的坐标呢？肯定是 a 点坐标。 假设 a 点坐标为 a， 逗 b， 代入解析式，我们就可以得到 b 等于 a 分 之 k， k 就 等于 ab。 因为矩形 a、 b、 c、 d， 所以 ab 的 纵坐标都是 b 带入 y 等于负 x 分 之一，得到 b 点的横坐标是负 b 分 之一。 同理， a、 d 的 横坐标都是 a 带入 y 等于负 x 分 之一，得到 d 点的纵坐标是负 a 分 之一， 进而得到 c 点的坐标是负 b 分 之一到负 a 分 之一。根据点的坐标和比例系数 k 的 几何意义，可以得到 s 二等于 s 四等于一。 又因为 s 二加 s 三加 s 四等于二分之五，所以 s 三等于二分之一。根据点的坐标特征，我们可以得到 s 三的面积等于 b 分 之一，乘 a 分 之一，即是 a， b 等于二， 所以比例系数 k 就 等于二。答案选 c 开头也说了，这类题不一定以什么方式出现， 所以只刷题是没有用的。正确的强化方法是通过一段时间的专题训练，总结方法，培养解题能力和数学素养。而且越是后劲深，就越要知道我们的精力和注意力有限，一定要建立正反馈才能持续下去。

初中阶段，反比例函数与平四边形是两个非常重要的知识点，那有很多题目会把这两个知识点去综合考察一道选择填空的压轴题，那么今天就看一下这道真题如何来处理它，并讲解一下在反比例函数中常见的一种思想方法。如图，在平面状对称中， 坐标原点 o 为矩形 a、 b、 c， d 对 角线 a、 c 的 中点点 e 呢，是 x 树上的一个点，连接 a、 e， b、 e， a、 d 是 平分角 o、 a、 e 的， 也就这里面的这样一个角一等于这个角二， 点 f 是 a、 e 的 中点。反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像经过 a、 f， 已知这样一个三角形 a、 b、 e 的 面积等于二十四，那么来求 k 的 值，那想要求 k 的 值，显然要求出 a 点或者这里的点 f 的 坐标就可以了， 那在这里面给出来这样一个 a、 b、 e 这样一个面积。但是呢，能够发现我们没有办法直接利用 k 的 奇和 e 来表示这样一个 k， 那怎么办呢？那这时候我们回头再观察一下条件，首先 o 是 矩形 abc 的 中点，那肯定也是 b、 d 的 中点，那同时 a、 d 是 平分角 o、 a、 e 的， 也就是角一等于角二。那根据这两个角相等，我们能想到什么呢？因为角二是在这样一个矩形 a、 b、 c、 d 中，那我们显然要想到矩形的性质就是连接这里的 b、 d 啊， b、 o、 d 显然是共线的啊。根据矩形的性质，这样一个角二显然是等于 a、 d、 b， 也就是这样一个角三的角二等于角三。由于条件角一等于角二，所以我们肯定能证出角一是等于角三， 而这个时候我们能够发现，角一和角三显然是 a e 和 b d 形成的内错角，所以这两个角相等，我们就能证出 a、 e 是平行于 b、 d 的。 那如何利用这两个平行线呢？就是我们要想到在题目中还给了 a、 b、 e 的 一个面积，那 a、 b、 e 我 们可以将 a、 b 看成底，那它之间的距离就是 b 到线段 a、 b 之间的距离，那根据两平行线之间的距离是相等的，所以 b 到 a、 e 之间的距离就等于 o 与 a b 之间的距离，所以三角形 a b e 和 a b e， 它就是等底 同高的三角形，那所以这两个三角形面积呢？是相等的，那这个时候我们再回头看一下。在这里还有一个条件就是关于点， f 是 a、 e 的 中点，这时候我们要涉及到反比联函数常用的一个思想方法就是设坐标的方法，我们可以先设出来这里的点， a 的 坐标 为 a， a 分 之 k， f 是 a 的 中点， f 的 纵坐标显然是 a 点纵坐标的一半，所以此时 a f 点的纵坐标也就是二 a 分 之 k， 而且它也在这个反比例函数图像上，所以它的横坐标显然是二。 a 标和 f 点坐标都出来了， f 又是 a、 e 的 中点，所以我们就能表示出来 e 点坐标，横坐标为三， a 纵坐标为零。 那这个时候 a e、 o 的 面积我们就可以用这里的坐标来表示了，它等于二分之一，底是这里的 o e 高是这个 a 点的纵坐标，也就是 y a， 所以等于二分之一 o e。 注意下，因为这里的 a 是 负值，所以 o e 的 长度应该是负三， a 表示 a 分 之， k 等于这里的二十四，此时 a 和 a 就 约掉，我们就能求出 k 的 值等于负十六。 这道题解析的关键就是利用这个角平分线加上矩形的性质得到角相等，然后进而得到 a， e 和 b， d 是 两条平行线，然后将这个 a b， e 的 面积转化成 a e o 的 面积。涉及到的一种重要的思想方法， 涉及到的一种重要的思想方法就是在反比例函数中涉及到两个点。在反比例函数，在反比例函数图像上的时候， 涉及到的一个重要思想方法就是在反比例函数中，我们可以利用设坐标的方式，利用这个点的坐标，利用题目条件中的条件来表示其他点的坐标，进而表示出来这个面积得到对，得到关于 k 的 方程，求出 k 的 值，你学会了吗？

隆冬地区中考的考生们注意了，最近机器老师出的那个调研卷你们做了吗？这个就是其中的一个第八题，好多同学反应有点难，那老师给你一个参考性的视频讲解啊，你来看一下。那第八题我们先读一下题哈。已知一次，函数 y 等于 x， 图像上有 a 点，坐标叫一啊，负一都是负一，咱们来标一下啊，负一都是负一， b 点的坐标在这呢，是一逗号。一反比例函数交 y 等于 x， 分 之 k， 图像上的第一项线上的一个动点啊， p， 也就是它动点，动点在这啊，反比例函数图像上的一个点， ok， 当点 p 在 第一项线双曲线上移动时，总有 pa 减 pa 等于二，则 k 的 值等于多少？ 好，那你看啊，这个条件好多同学没有 get 到，哪呢？ p 是 反比函数图像上一点是不是？那就说明在这之上哪一个点都行，那我们让它取特殊点呗，让 p 正好在一次函数，并且也在反比函数图像上，我们就取这一个特殊点啊，然后其中告诉我们的是， p a 减 p b 等于二。那你观察这个图像， 首先它是正比的函数，我们知道它肯定是 y 等于 x 了，对不对？这个叫做反比函数 y 等于 x， 分 之 k。 好， 那你看啊，但也就说现在整个图形完全一个轴对称图形，对吧？ pa 减 pb， pb 轴对称呢？是不是这一小块也叫做 pb， 对 吧？所以此时的 pa 减 pb 就 变成了哪个线段呢？变成了这个线的长度，它等于二， 它等于二。轴对称图形，我们能知道啊，它等于一，它也等于一，理解吗？哎，它要是等于一的话，这个角为四十五度，那我就往下做一个垂直，这里是一个什么呀？等腰绕行对不对？哎，一比一比根号二，所以直角边的长度就是用一去除以根号二就等于二分之根号， 那我就得到了我们这个 p 点的坐标，就应该是二分之根号二，逗号二分之根号二，那进而横纵坐标相乘，就是咱们的 k 值，二分之根号乘二分之根号就应该等于谁啊？四分之二就等于二负 p， 所以 这道题我们选择的是 c 选项， 明白了吗？哎，这是我们反比例函数的一个题啊，那如果你的反比例函数专项没有合格呢？那你可以看一下陈老师绿皮书里面的这个反比例函数的这个中考专项啊，我们把它拿捏，然后到时候中考我们直接往里套模型就 ok 了。

分享一位同学的思路啊，这是一道反比例函数的题目，难度是比较大的，看一下你是否可以搞定已知点 b， 在 图像上面，点 i 的 坐标是零，五根号二，说明 i、 c 的 长度是五根号二， 三角形 abc 是 直角三角形，将 abc 旋转至 edc， 就是它旋转到这边来，那么就可以得到什么信息啊？ b、 c 和 c、 d 相等，而且 b 和 d 都在反比例函数的图像上，又因为反比例函数的对称性，它是关于 y 等于 x 对 称的，没有问题吧？ 如果说我连接口误延长，我延长 e、 d 交于 x， 点 q 就 可以得到什么信息？全等，没问题吧？也就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它都是全等的关系，那说明 c、 q 也是 五倍根号二，这个 i、 d、 e 的 面积是三，这个怎么思考？ i、 d、 e 的 面积是三，要么直接求，要么去转化，对吧？这位同学是怎么做的？他是过了点 a 做 c、 d 的 垂线，交 c、 d 于点 p， 就可以知道 a、 d、 e 的 面积是不是可以转化到 e、 d、 c 上面来，就可以转化到 d、 p、 q 上面来，没问题吧？所以我需要连接一下 p、 q 这个三角形的面积就是三，那我就可以设了哦。假设 c p 是 x， d q 就是 x， 那 么 p、 d 就是 x， 分 之六吧。做完了。所以 在三角形 c、 d、 q 中， x 的 平方加上 x 加 x， 分 之六的平方等于 c、 q 的 平方，也就是五十， 没问题吧？就可以把 x 给解出来。 x 等于一或者三倍根号二的，你 x 出来之后， k 是 不是出来了？ k 怎么出来了呢？因为这个 c、 d、 d、 q 和 c、 q 都知道，我只需要知道 d 点的坐标就可以把 q 就 可以把 k 给求出来，对吗？所以说这个垂线有射线，你也可以知道这个高是可以求的，而且这个 c c 什么 c h 的 话，也就是点 t 的 横坐标是不是固定也是可以求的，或者利用相似都可以，对吗？所以最后答案是 k 等于二十五分之三八四，或 k 等于五十分之三四三， ok。

这个题是关于双曲线的中考常考的类型题，第一问第二问考察的很基础，是送分的啊，这个同学只做对第一问，第二问不应该错，忽略了一个 x 大 于零，是对这类题掌握的不太熟练。下面我们分析分析这道题 点， a 和 b 在 双曲线上，又在直线上。这类题通常的做法就是把点代入到已知的方程当中，求出这个未知的量。第二问，根据图像求不等式的解集，其实就是比较图像的高低， 这里让求的是 x 分 之 k 大 于负 x 的 加五，也就是这个反比例函数所对应的 函数值要大于一次函数对应的函数值。这一步关键的就是要求出双曲线与直线的交点，然后再观察哪一部分双曲线要高于直线。 通过观察我们看到，在 x 大 于零小于一或者是 x 大 于四的时候，反比例函数的图像高于一次函数的图像，也就是反比例的函数值大于一次函数的函数值，所以 x 大 于零小于一或 x 大 于四，就是这个不等式的解集。 上面那个同学错的原因就是他没有考虑到小于零的时候，反比例函数的图像是在第三象限，函数值是小于零的。这里我们主要看看第三问， 以 oabc 为顶点的四边形是菱形，让求的是点 c 的 坐标。根据第一问第二问，我们把 a、 b 的 两点的坐标已经求了出来， o a o b 明显是相等的，这里即使不给出 b 点的坐标，我们也可以把 b 点求出来，因为 a 和 b 是 关于 y 等于 x 对 称， 就是第一象限的那个角平分线，因为负 x 的 加五，这个直线的斜率为负一，这是根据双曲线的对称性来的哈，这也是一个考点啊，同学们要注意，可能出题的时候会让你求双曲线的对称点的坐标。 o a、 o b， a b 都是用勾股定律来求的啊，也就是两点间的距离公式。高中的两点间的距离公式就是勾股定律得来的啊。这里 o a 和 o b 都是根号十七， ab 等于根号十八， 说明 ab 与 o a、 o b 不 相等，那么 o a 和 o b 只能是菱形的边， ab 只能是菱形的对角线， 这应该很容易理解哈，所以点 c 呢，只能在第一象限。那这样就简单了哈，我们设点 c 的 坐标为 x y， 如果两个线段是平行切相等的哈，可以根据线段两个端点的 水平距离与数值距离相等。我们求出 x 和 y 的 值。什么意思啊？在这里啊，是这样的， 你可以看这个图，如果线段 ab 平行于线段 cd， 他 们的坐标分别会写出来了啊，就这一个关系式， x 二减 x 一 等于 x 四减 x 三， y 二减 y 一 等于 y 四减 y 三。因为 x 二减 x 一 就是 a 和 b 的 水平距离， y 二减 y 一 就是 ab 的 数值距离。 这两个三角形明显是全等的，所以说水平距离与他们的数值距离分别相等，所以有这个关系式，利用这个结论的时候，一定是大的减小的得是正值，因为是距离啊， 这里是针对初中生说的啊，如果是高中生，利用向量啊来解，也就是这个式子。好，回过头看这一题， 这里方法一就是利用刚才的那个结论，方法二呢，是利用菱形的性质，菱形的两条对角线相互垂直且平分，对角线的焦点就是 o、 c， a、 b 的 中点，利用中点坐标公式来求出 x 和 y 的 值。

记老师 math 数学提分干货，天天更跟着练难题秒会，赶紧关注，别错过每一个提分点！ 同学们，欢迎来到今日的每日一题，今天讲的是中考的必考大题，反比例函数与一色函数的结合，这个东西我们怎么做呢？ 其实很简单哈，首先就是第一问，一般来说是求反比例的，或者是一次函数的解析式。我们知道一次函数解析式 y 等于 k， x 加 b， 它需要有，因为有两个需要解出来 k 和 b， 所以 它需要两个点， 如果只有一个的话，就是 k 不知道，或者 b 不知道，就需要一个点就行。反比例函数解析式是 y 等于 x 分 之 k 就 一个未知数，说白了，所以他需要一个点就能解出来他的解析式，这是第一种。然后第二种考的问题是什么？反比例函数大于一次函数或者是小于一次函数，我们来如何去解？画三条线？ 然后第三种就是一个类似于几何类的问题，然后我们一般是多做几个题，把各种方法总结一下，今天来讲一个面积的动点面积类的问题来。首先看第一个题，咱们读一下题啊， 依次，函数是不是告诉你了，所以是不是点在函数上，是不是可以往里面带啊？是不是？所以这个很容易得？第一问是什么？ 因为 a 在， y 等于负， x 减二上 ab 都在，所以是不是带进去 m 等于一个负的负三减去个二是不等于一啊？然后 n 是 不是写错了， 别带错了哈，负三是不是等于一个负的 n， 然后再减去个二，是不是这样也能解出来 n 是 不是也等于个一啊？ 所以 n 等于一，所以 a 点坐标是负三，逗号一， b 点坐标是一，逗号负三。然后第一问，是不是求反比号解析式啊？反比号因为 a 在 y 等于 x 分 之 k 上，所以是不是一带进去啊？就是一等于一个负三分之 k， g， k 等于负三，所以 y 等于 x 分 之负三。好，这就是第一位。 第二问，他是直接让你写出来谁比谁大这种题啊。一共是三步，第一步是要求焦点横坐标， 二画线三读范围， 它是首先交点横坐标，咱们 a 和 b 都求出来，一个是负三，一个是一，第二个是画线，怎么画呢？一共画三条线，第一条线就是过这个 a 点做外轴的平行线， 这个能明白吧？这样画一条出来，然后第二条也是一样的 过 b 点做外轴的平行线。然后还有一条就是外轴这条线，这三条竖直的线呢？把这个分成了三个范围， 这是不是第一个范围？这颜色比看不太清。嗯，拿个蓝色的吧。这是不是第一个范围？这是不是第二个范围？这是不是第三个范围？这是第四个范围？ 我们希望一次函数不大于反比例函数不大于，就是比如一次函数是不是要小于反比例函数，所以就希望一一次函数在下面，反比例函数在上面。 所以你看四段里哪一段一次函数在下面，反比的函数在上，是不是这一段的 x 是 不是以及这一段的 x， 因为它说是不大于，所以是不是有等于等于的时候，就是加上这个焦点，明白吧？加上这个焦点， 所以读一下这个范围，就是 x 要大于等于负三，小于零， 圈二的这个范围加上一个端点或 x 大 于等于一，明白吧？就是圈出的这四个范围，一、二、三四啊，到时候一般来说要不是一三，要不是二四，通过读图就行了， 谁比谁大就是谁比谁高，你看这个这一段是不是在这一段的上方，是不是，明白吧？这就是第二问，明白了吗？就这三步画出线来，分成分成了，画了三条线，分成了四个区域， 然后第三问， e 在 外轴上，此时这有一个点 e， 然后他说 a、 b， e 的 面积是六，让你求动点 e 动点，因为在外轴上是不是零着逗号 a 啊？设一下坐标，这个其实 e 点在 a b 的 中间啊，它是这样来做的，就是对于他们来说这种题， 这样吧，这样 e 点在这吧，这样看着有点共性，它是把它拆解成这个三角形的面积 加上一个，这个三角形的面积就红色加蓝色， 为什么呢？因为这个红色三角形啊，以它为底的话，那么高，是不是这一块 a 的 横坐标的绝对值？ a 是 负三，逗号一，所以这一块是不是负三呢？ 而 b 的 话，以这个为底的话，是不是也是 b 的 横坐标高是一啊，明白吧？他是这么来的，所以此时这个点是个定点，这个点是动点的话，我们只是把它表示出来就行了，但是 e 点除了能在这个点的上方，是不是也可以在这个点的下方？其实 所以咱们设 e 点，坐标是零，逗号 a， 然后 ab 与 y 轴交于 f， 求它的解析式 怎么求？设 ab 交于 f， 这都已经设解析式为 y 等于 k， s 加 b 是 往里带啊， a 点的坐标是负三，逗号 k 加 b， 然后这个是啊， 这是带 b 点的坐标，然后 a 点的坐标带进去的话，是一等于负三， k 加上一个 b， 看没看到一是二是，然后一减二得四 k 是 不等于负四？ k 等于一个负一，然后 b 是 不也能解出来 b 等于一个负二？所以 f 点的坐标是不是两十多号负二？ 所以 ef 的 长应该等于什么？ ef 的 长是不是是不是等于它的纵坐标减去它的纵坐标，但是不知道谁大谁小，所以 是不应该等于一个 y e 减 y f 的 绝对值，所以带进去是 a 减负二，是不是 a 加二，这个能跟上吗？ 然后 s 三角形 e b a， 它等于什么呢？等于二分之一 ef 乘以 x a 的 绝对值，加上二分之一 ef 乘以一个 x b 的 绝对值。整理一下，是不是二分之一 ef 乘以 x， a 加 x， b 的 绝对值 等于一个，这是不是能带出来 f c 是 三，那个是个一，三加一等于四二倍的 e f， 所以 它是不是等于六？所以 e f 的 长是不是应该等于一个三呢？ 所以是不是 a 加二的绝对值等于个三？解得 a 等于负 a 等于一或负五，是吧？所以一点坐标是一逗号零逗号一 或零二逗号负五。其实也很容易咱们求出来，这条边是三的话，是不是这块是三的话，他要不向上为三是不要不向下是不也为三呢？ 是不是这块也为三啊？是不就可以了？一个分类讨论的数学思想， 好的同学们今天的课就上到这里，尤其是第二个这个，直接读这个范围要好好总结。好的，今天课就上到这里，同学们下课。

做题不发懵，解析思路通，我们来看第十二小题。在电压不变的情况下，电流 i 与电阻 r 是 反比例函数关系， 当 r 等于四时， i 等于五，则电流 i 与电阻 r 之间的函数表达式为多少？那这道题题中告诉我们了电流 i 与电阻 r 是 成反比例关系，那这道题其实考察我们的是反比例函数的实际应用， 那我们知道电流 i 与电阻 r 之间的函数表达式为 i 等于 r 分 之 u， 那 我们利用待定系数法，将 r 等于四和 i 等于五带入到这个函数表达式中，那就可以求出来谁啊？求出来 u 等于 二十啊！因为电压是不变的，所以我们再把 u 等于二十代入函数表达式，就可以得到最终的 i 和 r 之间的关系表达式 i 等于二分之二十。你学会了吗？关注我，为分享点赞！

今天和大家分享速科版中考总复习第十一课是反比例函数及其应用。 第一啊，反比例函数形 y 的 s 分 k， k 不 为零，这样的函数叫 y， 是 s 的 半径的函数，其被取出范围 s 不 等于零。解析式便是 s， y 等于乘以 k， s 乘以 y 等于 k， 还有 y 等于 k 乘 s 负一次方，当 k 大 于零时，图像一三象限， k 小 于零，图像二四象限 啊，一三线同号，二四线一号啊啊。增减性，在同一支上 y， x 增大而减小，这开大一零，开小一零。同一支上 y， x 增大而增大。在两支上，第一项线 y 值大于第三项 y 值啊，这是 在两支上第二项线的值大于第四项线啊，对，正，对于，对正，关于直线， y 等于 s 和 y 等于负 s 对 称，关于圆点中心对称。环比的函数图像无限接近坐标，但永远与坐标轴不相交，因为 s 不 等于零， y 也不会等 完美的函数比例系数。你看，这组成这个矩形， s 绝对值乘以 y 绝对值，所以它等于 k 的 绝对值。这个矩形一半二分之 k 绝对值。这个啊， 建议根据滑动啊，把这一点 b 点滑动到这了啊，所以他也是三角形梯形面积一般二分之开角的，建议给它滑动到这啊，进行滑动。这二分之开角的 这个啊，这两个，这个是二分之 k 绝对值。这个啊，通过对称啊，给这振动过来，这也二分之 k 绝对值是吧啊，这等高等底吗？等高吗？这两个面积一样，所以它也是 这一种图形，是 k 的 绝对值，而这个图形呢，是二 k 的 绝对值啊。反面还用解析式确定待定系数法 啊，因为他就一个待定系数 k， 所以 这要找一个点几何法或其中设计面积考虑用 k 的 几何意义。求解。 第四，环比的函数直径应用啊。环比的函数直径应用，常见的等量关系，速度路程除以时间单价总用于除以数量，单个利用总利用除以数量。压强压力除以受力面底面积等于容容易除以高度电等于电压除以电缆等等 啊。第一，下列是反关于 x 的 反比例函数式，只有 c 啊，开始负二分之一。第二，下列反比例函数， 对于反比例函数 y 等于 s 分 之三，下列结论正确的。是啊，这是一三象限与之标志，没有公共点。嗯，在所在象限内增大而减小啊。这个， 这个 a 为一，有什么错误？我们看一看啊，因为这些应该是两点是吧。 a 平方加二， a 减三等于一，等于除了一，还有负三，所以应该是两点，所以只有 c 是 对的。 第三题，这个，这两个一个正比例，一个反比例焦点，有一个焦点是三二，另一个焦点，关于中心对称，负三负二，因为它都关于中心对称，圆点中心对称。第四题 啊，这个 a， b， o， c 矩形面积是三，那这个 k 就是 三。 第五题，某气体充满一定质量的 m 的 气体，当温度不变时，气体内的压强 p 与是体积位的反比例函数啊，能反映？既然是反比例，但一定是 a 呀啊， a 是 a 是 不对，应该是光第一项线的，所以应该选择 b 啊。第一项，因为它取值范围是大于零啊。 考向一反比例函数图像，第一，经过二四四减开小于零，开大于四。第二，该函数啊， 图像每个象限内外差是增大而减小，开得起这样的，增大而减小，那就是四减。开大一点，开小于四。第三，这两个点在这函数图像上，你看它都是负的，都是负的，增大 随着增大而减小，所以 k 四减 k 大 于零啊。此函数图像与它关于 y 轴对称，那 k 它就是关于 y 轴对称，它，这就是四减 k 等于负零，它就是十。第五， x 在 二到四之间时， y 啊在三到六之间。我们注意看一下 bug 图， y 二到四，这个叫三到六， 是吧是吧，把它往里带入啊，看式，嗯，是吧。然后四减开， 那你看，这是二对应六二六一十二，这等于十二 啊，所以 k 等于负八啊，来一下就做出来了，看一下今天 第一， y 等于 s 与 y 等于 x 分 之二减 a， 图像交于 ab 两点，且 a 的 横坐标是一啊， 纵坐标相等，那就是 a x a 乘以一 啊，就是 a， 然后这是二减 a， 那 a 就 出来了。 a 等于一啊，就是 y 等于 x 和 y 等于 s 分 之一，它等于一，那就是一。一坐标 b 点就是负一，负一。好问， b 点坐标负一负一就出来了。 一次函数大于双曲线，一次函数大于双曲线，两块，一个是零到负一，一个是大于一 啊，大于一，零到负一啊，这就求出解一式了。下面第二题，这个你看一看，这两个是正上啊，看小于零， 看一下，这里图像在二四象限， 图像在二四象限啊，这是一三 一三一最小三七四啊，负二负二最大，负二对应最大或者 y 三最大啊， 从 y 三最大， y 二最小就结束了。看一下反比函数的应用，你看这个 形容注意力变化，如图所示，前十分钟注意力从 a 开始增长到四种， 然后十至二十分钟保持在四十五，然后二十到四十五左右开始半径的函数下降。问， a 的 指标是多少？我们看一看这一点坐标，这是半径的函数上的乘以九倍，然后 y 等于 s 分 之九倍， 是吧？那这个，那这点就是二十，那 a 就是 二十啊， a 是 二十，第一个你就出来了，第二个，这时候二十了啊， 然后这个简易式答案就有了，将急需要综合需要十七分钟，如果要不低于三十六，那把三十六带进去，三十六带进。这两个简易式求出时间，然后时间差看看，比七十七小还大啊， 零到十带入，设直线解一式啊，然后把三十六带进去，三十六带进去啊，求出啊， 最后从二十五到五分之三十二一节大于十七，所以啊，经过设的案板，这张重要的注意力指标不低于三十六，可以就出来。 第三，在功 w 在 一定条件下，功率与做功成反比啊。当 t 在 二十五，二十五到四十时， 先求出解析式， p 等于 t 分 之一千二倍，然后把它 往里带入，带入这两个值啊，然后再看他们在什么取值范围内啊，最后求出四十五 啊，这里有个范围，然后这在这中间一指都可以，大家去求一下啊，你看二十五分之一千二百啊，和 是四十分之一千二百，这就是三十啊，大于三十小于多少，这是 四一百四十八，好，然后再 p 在 三十到四十八之间，所以只有四十五，对啊，对，下面 阻力乘阻力倍等于动力乘助力倍啊，现在阻力一千六百牛乘以阻力倍零点五等于动力 f 乘以动力倍 l。 好， 求助解一次 f 等于 f 分 之八倍。 下一题，我商场出售一批进价为两元的贺卡，在市场上发现此贺卡是销售量， 单价为 s 元，一日销售额关系如下，确定 y 实现函数关系式并画出图形啊，用 s 增大 y 啊，减小 什么函数图像呢？我们会发现它的时基是固定值啊，时基是定值，它就是反比函数， 所以画出图像啊。上次卡片是利用 w 求 w、 e、 s 之间的关系，那么 w 等于 s 减二乘以 y 带进去，求出减一式啊。 在此贺卡不赔钱！切记，销售单价最高不超过十元的情况下，请您求出当时销售价定为多少时才能属实负责利润最大，最大利润多少在二到十， w 随着 s 的 增大而增大 啊，所以当 s 等于十时， w 取得最大值，最大值为四十八。当之下重量定为十元时之下重量最大啊，这个大家啊， 是吧， 考向三反比的函数综合题与反比含有 k 有 关的题目啊。第一题啊， b、 d 等于二， a， d 等于二， a d 这个 a 点坐标五零， b 点坐标二六 过 b 点作 b、 c 平行于 s 图，完美的函数啊，于图像经过 d 点 啊，于线段 b、 c 交于 e 点。求这个三角形面积啊！如何来求这个三角形面积呢？ 好，我们需要做垂线，你看，首先求出地点，你看，这是一比二，实际这点还得做垂线，这是二，这是一 啊，这是六，高是六是吧。这个五零，这是五，这是二，按照这个 相似一比，就求出了 d 点，坐标四，二啊，这点你看着简单的，还需要过程，完美的函数经过 d 点， d 点，坐标有了， k 就 有了，因为平行 啊，根据 k 的 几和 e， 这个是二分之 k 的 绝对值，所以这一面积是四 啊，而梯形 o、 a、 b、 c 的 面积等于上底加下底升高除以二啊，是二十一，对吧？ a、 o、 d 的 面积 等于 o， a 乘以 d， i 是 五，所以四边形 o、 d， b、 e 面积等于梯形面积。减去两个三角面积再等于十二，就做出来了啊。第六题，完美的函数 y 的 x 可经过平行四边形的顶点 a、 o、 c 在 s 处上，且这个面积为三， b 点是负一， 三是吧，那这就是高，是三，那这就是一啊，那还不出来吗？这一这一，这就负二 啊，这个六负六啊，开值就是负六。第七题，双曲线 y 等于 s 分 之十二，经过 a、 b 两点连接， o， a、 a、 b 或 b 点做垂直于外轴，垂直为 c， e 为中点， e 为中点，则三角形 a、 b、 e 的 面积啊，怎么去求呢？好，这个我们都要做垂线， 做过垂线，这是中点，对吧？这个开始给了，那这个 a、 o、 m 是 吧？ b、 o、 d 面积全部都是六，就是中点 啊，中点，那 d， e 等于二分之一 m， o， d 等于二分之 o， m 是 吧， 所以 d， e 等于二分之 m 等于四分之 b， d 啊，最后 d， e 等于三分之 b e 啊，三分之 b， e， 所以 o、 d， e 的 面积 就等于四分之一 l， l、 b 的 面积等于一点五，所以 a、 b、 e 的 面积 a、 b、 e 面积就等于三倍的啊。 o、 d 一 面，因为它们高，一样底是三倍，所以最后算出这个题，就是根据啊这中点啊，以及 k 的 几何基来做的下面完美的函数图像，对称对称性，你看，这是 y 等于 s 分 之二 的图像，这是 y 等于 k s y 等于 k 分 之一 s 角 a， o， b 是 四十五度。问，三角形 a、 o、 b 的 面积是吧？这个题怎么求呢啊，是过点作 a、 b 的 垂线啊，巧妙的根据，这是对称轴， 根据对称线啊，这个求出啊，我们设 a 点的横坐标为 a， a 点坐标是 a 分 之二啊， a 点在证明的函数上，所以啊， k 就 等于 a 的 平方分之二。那这个 直线解析式就是 y 等于二分之 a 平方 x 啊，这是 y 等于 a 平方分之二 x 啊，这个再令， 这是 s 分 之二，求焦点坐标，这是求焦点坐标啊。结果得到 x 等于 a 分 之二或 x 等于负 a 分 之二，所以 y 等于 a 啊， b 点坐标就是 a 分 之二 a， a 分 之二 a， 实际这就是对称性啊，这两个全等啊，要对称性就非常简单了啊，从而这个全等。又因为这是四十五度啊，所以 o i m 这两个又全等，这两个全等啊， 所以最后三角形 o a b o， a， b 的 面积就等于二倍的三角形 o a m 的 面积，所以最后等于二。好利用反面的函数图像呢，双对称性轴，对称性中心的转化坐标和线段关系。第八， a、 b， c， d 是 反面函数的任意四点。下列结论， 任意四点啊， a， b， c， e 可以 组成平行四边形，可以，主要是可以啊，可以是 菱形啊。我们知道 你看 y 等于 s 分 之 k 和 y 等于任意四点，它是平分， 对吧，它一定是平行四边形，对吧？它这之间不能垂直，所以不可能是菱形 啊，可能是矩形，它这可以相等，可以是矩形 啊，不能是正方形，因为对角线不能对折，所以不能是二，也就不能是四啊。好，这一点大家注意啊！第九，已知反比的函数 y 等于 x 分 之二， 以 o a 为边作一等腰直角。三角形啊， a o 等于 ab 啊，折现到 o b 的 最小值。 首先，这题我们要作垂线构造，这一对全等， 对吧？你看，等腰直角啊，当 o a， 这是等腰直角。根据勾股定律，要求 o b 最小， o b 最小，就要 o a 最小，那 o a 什么时候最小呢？过至啊， y a s 是 最小， 对吧？这一点最小好，从而 o i 最小， o i 最小值。 是啊，你看，这是 o b， o b 最小， o b 最小值为二倍， o i 最小值为二 啊，因为这是根号二，根号二，根号二，所以 o i 最小值是二，那所以这是二倍根号二 啊，这是用勾股定律来想的。这个呢，我刚刚这个常规辅助线，这些用不着啊，没有拿啊。 一次函数与一次函数几何图形结合，一次函数 y 等于二， s 加 y 等于 s 加四，与 s 轴交于点 a， 那 就是负二零，这点是零四啊。与环比函数交于 c， 过 b 点作平行线，那这一点纵坐标就是四 啊。横坐标不知道啊，这个 ab 坐标已经出来了，如果三角形 b、 c、 d 是 以 b、 d 为底的等腰，三角形减等腰，我们做垂线， 这是两面相等啊，求开值啊。两个坐标出来了，其他单位等腰，所以要做高，做高以后， c b 等于 cd， 这是垂直，这又中点啊，这又是平行，所以 d 点中的标是四， 纵坐标是四是吧？呃，另，也就是 y 为四，那就是横坐标就是四分之开，横坐标四分之开，那 b 等于 d， 这就是八分之开，是吧？然后 在这反面意义当中， x 是 八分之， k 再带进去，总的标是八啊。然后 c 又在一次函数上不带进去，求出 k 值十六啊。 第十题，反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 一 与一次函数 y 等于 k， 二， x 加 b 交于这 两点，所以你看开一是负六，然后把这个是负一，再把这两点代入，求出一次函数解析式 啊，求出一次函数解析式是吧，这是负六，这是负一是吧？啊，然后第二位 什么时候直线就给它移过来， k s 加 b 大 于 s 分 之 k 一， 就是直线大于是这一段在负六和负一之间啊， 好，大于等于号对，都带等号。第三，问过直线 ab 上的点 c 作 cd， 平行于 s 轴交反比例函数于点， d 作 c， 点的横坐标为负四，代入。刚才解析式求出重坐标 啊，先求出啊，负四三，那 d 点的纵坐标就是三，再代入进去环环密的函数 d 点坐标就负二三。好，我们要求三角形 b、 o、 d 的 面积。好，我们要过做垂线做垂线， 对吧？这个就是梯形面积加三角形面积， 然后减这个三角形面积，最后代入计算，等于八就出来了啊。 下一题，反面的函数基本图形探救反面的函数以相似焦点坐标求三角形 ab 的 面积，用 ab 两点坐标表示。好，我们这个要求面积，你看做垂线 梯形面积加一个三角形，减一个三角形面积啊， ab 面积等于梯形加三角形减三角形，最后啊， 它就等于梯形 a， e， f， b 面积往里代入，最后就出来啊。 本题也可以用割补法求解，函数表达式已知，也可以用图三来求解。你看，割补 长方形，矩形面积减三个三角形面积，这个呢，三角形 a， o， b 的 面积等于 b， o， c 的 面积 减去 a， o， c 的 面积啊，都可以啊，用割补画探柚啊。如图，反比两组把，一点是不是开过 p 点，上面有一点 p 做垂直， k o 为该函数图像，不以 p 重合的。另一点， k， o， c 垂直于 y 轴延长。第一求证 e k， o， e， k o 比 c， k o 等于 e， p 比 ap 啊，要求比例对吧。我们这一题呢，采用的是面积法啊，有可能有人会想相似，因为这个不好相似 啊，我们采用的是面积法，由 t e 可得是吧。 p， o， a 和 c， o， d 都是二分之开连接后 e 的， 这是矩形， 这为矩形，三个直角的矩形，所以 e， o， a， e， o， c 面积相等，同减两个三角形面积，所以这两个三角形面积相等 啊，所以我们拿它们之比利用等高面积比啊，就是它俩比等于它比它，它俩比等于它比它，它俩面积相等它俩面积，所以最后求出结束啊，利用面积思想 连接 p， q 连接 a， c， 它们的关系啊，我们是平行的 啊，要证明很简单，就是刚才它比它等于它比它公共角相等，然后相似相似，对应角相等，所以平行啊，证明平行。 tan 九三 在 tan 九二的减减下，过 p， k， o 做直线，分别交 s 除以 m， a 啊，请判断 pm， k， y， n 的 关系啊，它是相等的，并说明理由 啊， p m 跟 k， y， n 是 相等，理由如下，刚才的结论啊， e， q 比 c， q 等于 ep 比 a， p 啊，可以得到 e， k， o 比 c， e 啊，等于它比它啊。然后两个三角形相似，证明平行，证明平行啊，这个 c， e 平行于 a 啊，所以这个四边形是平行四边形，平行四边形对边相等啊， a， c 等于 p， i 同理，下边这一节平行四边形 a， c 等于 q， m， 然后这两段相等，同减 q， p 相等啊，做出来 巩固练习反比的函数啊。 上有两点， a， c 过 a 点做外柱出现，这做，这都是二，二分之 k 的 绝对值啊。连接三角形 a、 o， c 面积是四，求啊！ c， d 比 ob 一 比三，这是一， 这是三 m 一 比三，求开值啊。那这题怎么去思考是吧？怎么去思考？首先根据杠杆，我们给它扩充为长方形， 扩成为长方形以后， c、 d 比它是我们。刚才你看这连接是平行，这是一比三，那就这，这是一比三，那就一比二，那这也一比二， 是吧。所以我们设 a 点纵坐标为三， a， c 点纵坐标就为 a。 带进去啊， c 点的横坐标 a 点横坐标 o， d 长， a、 b 长都可以表示出来了。最后环比的函数经过 a、 c 两点， 所以三角形 d， o， c 的 面积和 ab 面积都等于二分负二分之 k。 又因为它们是矩形啊， 这是矩形对边相等，所以我们 a， e， c 的 面积就等于二分之 a， e 乘 c， e， 矩形 o， b， o， b， e， d 的 面积也表达出来，又因为三角形 a， c， e 面积等于四，最后叠方程求出 k 等于负三，要去解出来啊。 第二题，正方形 a、 b， c、 d 和正方形 a， e， f， g 啊，公共顶点 a。 在反比例函数图像上，直线 d， g 与 s 轴 y 轴交于 m a， 如果这个这两个正方形面积之和等于二分之十五，且 m d， 哎，给哪了？ m d 等于四 g， a 则 k 的 值。那这题你要是说没思考过的话，根本就没有办法去做是吧？ 就这个要把这图放上去，不然没有放上去思考 是吧？好，然后我们看看怎么思考 a j， t。 因为这两个都是正方形，所以我们设啊，这个小正方形边长为 a， 大 正方形边长为 b 啊，你看这个啊，边长都不知道这是边长 a， 这边长为 b 啊。根据提议的， a 平方 二分之十五拿来的好，面积之合对，二分之十五是面积之合好，这是面积之合等于二分之十五 啊。公共定点 a， 这三个都平行，所以三角形 o o 啊， f 啊， f g 和 dcm 和 dcm。 对 了，不是 o， f， g 写错了，是这个小这平行这个小三角形跟这大三角形相似， 相似对应面乘比例，就根据刚才四 g 带进去，这个相似比是一比四，从而带进去对应面乘比例 a， a， f 就 等于四分之一 b 啊。 又由于 i n f g 跟 i n e， b 为 i n e， d 也相似，这个跟这个也相似，再对一面代入算出 b 平方等于四 a 平方 啊，这里用两 c 相似，最后求出啊， a 平方，当 a 大 于零时， a 等于二分之二六，带进去 b 就 出来了，当 a 如果小于零 啊， a 只能大于零啊，这就是 a 不 可能小于零啊。方法二，算出 a 平方等于二分之三，再代入求出也可以啊。第三题，已知矩形 a b， c， d 啊， o b a c o b a c 啊，如图所示，半径的函数啊，且 o e o e 等于二， a e 且矩形且四边形 o d o d， a e 面积为二。好，我们这 d 还是得。您看，这是二分之 k 绝对值，这是二分之 k， 然后这矩形对角线相等，所以这两个面积相等，最后用表达式等于二来列方程， 你看做垂线相似啊，这是二比三相似，比二比三，所以 o c 长等于二分之三， a a c 长等于二分之三乘以 a 分 之 k， 设一点坐标是 a， a 分 之 k 代入，最后矩形面积等于三，然后列方程最后等于看五分之八，这就我们今天。

啊啊。

在上一个视频，我们讲的是反比例函数图像与性质，就是他自己自己的一些图像与性质。那么今天呢？啊，这个视频呢，我们来讲一下，就是反比例函数与几何图形相结合，然后让你去求一些坐标呀，或者是开值呀，怎么样子的？ 来看一下具体是怎么考的，比如一九年的这道题，点 d 是 矩形 a， o b， c 的 对称中心，那对称中心呢？也就意味着点 d 怎么样？它是 o c， 如果我把这个 o c 去给它相连，我可以得到 点 d 是 o c 的 中点，对吧？ d 为 o c 的 什么点？中点？ 这个我们要是得到的，那么 a、 b 两个点告诉你了，我们来标一下这个 a 是 零四，然后 b 呢？是六零，那既然接着知道它是一个矩形的 c， 点是不是就出来了？也就是六四？ ok， 若一个反比例函数图像经过点 d， d， 点 d 点，说了吗？是 o c 的 中点，那既然点 c 的 坐标是六四，那 d 点的坐标是不也就出来了？也就横纵坐标都除二，也就是三二好交于 a， c 于点 m 好， 点 m， 点 m 我 什么不知道，是不是横坐标不知道，我用 m 来表示，但是 它的纵坐标知道吗？知道呀，它 a， m， c 在 同一水平线上，所以纵坐标我知道。那问你 m 的 坐标，那 m 的 坐标我知道，改个 x 吧，改个 x 就 x 四，这是它的坐标，那现在要求 求 x， 是 不是要知道什么呀？我们要知道 k 的 值，那 k 出来，它们的纵坐标是四，我知道，那 m 就 出来，那关键 k 怎么弄？是不是点 d 在 图像上， 在函数图像上看点 d， 那 这个 k 值是不是就是我点 d 给它写了，知道吧？也就是三二，那点 d 键在图像上，那 k 值是不就三乘二，它等于六， 明白吧？那 k 值知道它是等于六，那代入 m 点 m 不是 要求 x， 那 就变成了 k 除 y， 对 吧？那 k 是 等于六， y 等于四，那就是二分之三， 二分之三，那问的是坐标啊，不要一股脑的写个二分之三坐标，坐标有横坐标以及纵坐标呢。横坐标它是等于二分之三，那纵坐标它是等于四三。 好，这就是一九年的真真题，那我们来看一下一九年的这道负题吧。 负题看看。如图，在平面直角坐标系中，正方形 o a、 b， c 的 面积为四，然后作 o a， 然后 o c 边 x 轴分别在 x 轴以及 y 轴上一个反比例函数图像经过点 b， 好 在呃呃，若干函数图像上的点 p 到达 y 轴的距离是这个正方形边长看边长的一半。那我们现在是不是得把这个正方形的边长给求出来？那既然这个正方形的面积，你看 o， a、 b、 c， 我 们在考点里面是不是讲过什么在反比例函数图像上的一个点，我在这画一下， 我只给一只，比如这是一个点 a， 然后那过这个点做分别做 x 与 y 轴的垂线，那构成的这个矩形的面积，它就是什么？就是绝对值 k， 对 不对？因为这道题它这是什么？我直接能够判断出 k 是 大于零的， 所以呢，绝不绝对值它都是没有影响的，你写吧。但是在其余的情况下，我们一定要加一个绝对值，道题名 没有影响，那 k 大 于零，这也就意味着我这道题里面这个反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 是 等于几，你看 o a、 b、 c 的 面积为几为四，那所以直接就是四，那就出来了， 你看吧，这是我们从其他角度得到的知识点。那好，那现在这个正方，正方形边长的一半，这个面积为四，那它边长为几，边长为二， 边长为二，与 y 轴的距离，也就是 y p 绝对值， y p 等于正方形边长边长等于二的一半，是也就是二乘二分之一，它是等于一，那我们刚刚是不得到了。 y 等于 x 分 之 k， 它等于 x 分 之 四，那既然 y p 绝对值 y p 它是等于一，那这种情况是不分两种。第一种就是 y p， 它是等于一，那直接带进去，那 x 它是不是就等于 的？是不是等于四？那第二种情况就是 y p， 它是等于负一，那我们带到带到哪？带到这个字里面即可嘛，我们外置是知道的嘛， y p 等于负一，那 x 它就等于负四，那所以这个点 p 的 坐标呢？那跟针对第一种情况呢，就是四 一对吧？那第二个点呢？比如说 p 一， 那 p 二是不就等于负四，然后一负四，负一，那就是负四负一，那这个答案就出来就是这两个点， 哎，明白了吧？这个考的就这个东西哦，我给大家在那个题里面整理了很多种情况啊，很多很多这种情况，大家要自己再去多看一下，多画一下，你多画几遍，你自己就能知道了。一看这个图，哦，原来是这样做的， 就很容易了，我们来看一下二零年的这个负题吧，在 r t 三角形当中，哎，这个角给你了， o a b， 这是个九十度垂直，那就 o a 等于六，标一下，然后 a b， 它是等于四，那现在点 o a 在 x 轴上，若双曲线哎，过边上 d， 点 d， 点是，我们来标一下四 m， 然后则问你点 e 点 e 呢？我是知道什么的，是不是知道它的横坐标？横坐标是六，但是这个我又不知道，那如果要知道这个问号，也就是这个的话，我是不是必须把这个反比例函数的这个 k 要知道， 那这里的 k 要知道，对于已知的东西里面，好像只有与这个点是不是有关系？与点 d 有 关系，那与点 d 有 关系，是不是？我又得求出什么呀？ m 对 不对？我要知道 m 为多少，那 m 为多少？我好像现在都要回到这了，因为只给了六和四，那看一下六和四点 d， 我 的什么知道来着？看横坐标知道的，那这为四。哎， 我好像把这个一做出来，怎么样？是不是有感觉了？也就是我可以知道三角形 d o， 我 把这标为 f， 那 d o f 是 不是相似于三角形 b o a， 那 是不是就有？应该是 d f d f， 呃， d f 比上 o f， 它就等于 b a 比上 o a， 你 看 b a， 我 知道 ab 等于四吗？ o a o a， 它等于六， ok， 那 是不是就得到了？相当于得到什么 df？ 我 要求的就是 df， 因为 df 绝对值，它就等于 m， 而且它这个图像在 d 上写的 d f， 它就等于 m 啊，对不对？那这个 o f 它不等于四，然后这是四等于六，那所以这个 df 的 长度我就知道了，它就等于六分之六分之多少？ 六分之十六 看六分之十六，那就是三分之八，那 d f 等于知道三分之八，那所以这个 m 是 不就知道？ 我们来看一下，那这个 m 知道，那它的坐标就是三分之八四，三分之八五，那开 一下子就出来了，四乘以三分之八，对吧？那就三分之四八，三十二， ok， 那 k 就 知道了，那我一点的什么？知道是不是它的横坐标，那纵坐标 是不就可以表示出来了？就是 y 等于 k 去除 x， 那 就是三分之三十二去除六。嗯，这样一算，然后这个算出来是九分之十六啊，这就是最终的一个。 当然他问的是什么坐标？看啊，坐标，那我的横坐标是六，那它的纵坐标就是九分之十六。 好，继续二三年的，二三年的。这个你看如图，再矩形啊，再矩形 o， a， b， c 啊，和正方形。你看这是个矩形，这是一个正方形，也就是这个 c f 看 c， 这个是个正方形。正方形一定要它的什么？这肯定会用边长，它是一模一样的，对吧？四边是相等的，那点 a 在 正方形上，点 f 均在什么什么上？点 d 在 什么上？然后给了你这个关系， bc 等于二倍的 cd， 这个要弄清楚。 bc 等于二倍的 cd 这里，那就意味着如果点 b 表示出来，点 d 是 不是也就可以表示出来啊？对，那你看一下， ab 等于三好， ab 等于三，那也就意味着 oc 它是等于三， 那点 b、 e 在 同一个反比例函数图像上，然后则这个反比例函数的表达式为，那既然要表达式，那主要就是要求这个 k 值，对吧？那 k 值与什么有关系？我们那会说的是和 面积有关系，那这道题可就他给的这些都是面积嘛，对吧？那好，那我们思路是什么呢？还记不记得我们在讲那个考点的时候， 在讲考点的时候有一道题，嗯，我翻一下啊，可能好多同学都忘了， 就是给大家的一个一个方法，就是这种，你看射点，看到没 设点，那所以我们这个也用同样的办法去给它设点即可。那具体怎么设，一般找的话，就设它在反比例函数图像上的这个即可。比如说点 b， 点 b， 对点 f， 肯点 e， 你 肯定说不出来嘛，因为点 e 一 次性说不出来，那只有点 b 了嘛，只有 b 和 e 在 反比里函数图像上，那么点 b 的 什么知道横坐标知道呢？所以我们就设是不是三，那我们直接弄出来三多少呢？是不是三分之 k？ 你这样弄的，那一般的式子就是 y 等于 x 分 之 k， 那 既然你看横坐标是三，那 y 值 n 就 表示出三分之 k， 那 既然 b 点是三分之 k， 我 写的这 b 点是三，三分之 k， 它有这样的关系，看 b， c 等于二倍的 c d， 那 我的点 d 能不能表示出来？是不是横坐标不变，那纵坐标是会变为二，原来的一半，也就是二分之一，对吧？它变成六分之 k， 那 我们再来看一下啊。 好，那也就意味着 c、 d 的 长度是多少？六分之 k， 既然六分之 k， 他 又告诉你这个是个什么形状？正方形，那也就意味着这里是多少六分之 k， 那 点一的纵点一的坐标能表示出来吧？能嘛， 那红坐标是不是原来的 o c 的 长度三，再加上 c f 长度是六分之开，那它的红坐标就变成了三加上六分之开纵坐标，它纵坐标是不是与点 d 的 纵坐标在一在一个水平线上，那点 d 的 纵坐标是六分之开，那它也就是六分之开， 对吧？那好， b 和 e 我 都出来了，它俩都在这同一条反比例函数表达式，那是不是我们用开相等就可以了？那就是三乘三分之开， 它就等于多少六分之开，去乘三加六分之开，然后去解一下 就可以，然后这个解出来呢？一个算出来 k 等于零，然后或者 k 等于十八，那当然这个是不行的，对吧？那所以就是这个，那就直接出来了， 但是不要粗心啊，不要。哗，一算十八，我就写在这儿，人家问的是什么表达式，那所以就是 y 等于 x 分 之十八， ok， 你 看 理解吧，这就是设点的一个优势，就是当你不知道很多情况下就是有好多未知的，那就设点。然后这个点呢，就是尽量去找， 尽量去找，在反比例函数，就是在反比例函数图像上的， 尽量去找，这样的就可以。嗯，好，这是二三年的，那我们来继续 二四年来二四年的 二四年，他说当然这是负体啊，他说 a， a 啊三，嗯，三 m， 来看一下 三 m， 对 吧？然后点 b 呢？就是负五，然后 n， 然后在同一个反比例函数图像上，然后 a、 c 分 别垂直，然后啊，这个面积得到了，它是三十二， 对吧？三十二，那这个面积我们就用底乘高，比如说把这个看成底，这个看成高，那么 bc 的 长度是多少？ bc 的 长度啊，一定是三，怎么样？加五 八，你看这个是几是三，这个长度是几是五？五，你看负五嘛，负五，那就五，那那关键就是这个 ac ac 的 长度，你看这个 m 的 值， 是不是这一个？这个它等于 m， 那 它本来就是大于零，那就 m， 那 下面这一段呢？这一段它表示的纵坐标是 n， 那 我们是不是可以用负 n 来表示？长度？就是负 n， 对吧？那这个就是 m 减 n， 好， 那 a c 是 这样，它们的面积是三十二，那就是二分之一去乘八，去乘 m 减 n， 它是等于三十二，所以我们得到了 m 减 n， 它是等于八的， m 减 n 等于八，对吧？ m 减 n 等于八，好，进。 m 和 n 和谁有关系？哎，问的就是 k， 那 是不是和 k 有 关系啊？那这个你看这个怎么表示？那这个 m 是 不是就等于？呃，三分之 k， 那 这个是不是就是负五分之 k， 对吧？那这个 m 带进去吗？三分之 k， 然后 n， 它就是负五 k， 然后等于八。把这个式子最后解出来的话，就是 k 等于十五， 嗯，那解出来 k 等于十五，好，这五道题呢，都是它与几何结合到一起的，与啊，什么面积啊，对吧？大部分都是和面积结合到一起的，那关于面积的话，就是我那个考点里面，大家再看一下就可以。 那具体怎么求？是不是有设点，然后根据它具体的题我们去分析即可。那么还有题型三，因为题型三考的啊，不是 真题不多，我们就放到一个视频里面讲，它这个是反比例函数与依次函数相结合的，我们来看二年的这道题，已知点 a 在 一个反比例函数图像上，你看 a 撇与 a， 关于 y 轴对称。 还记得这种布布啊，给了你这个，那既然 a 点我已经出来了， a 撇点，我从这就可以表示出来。关于 y 轴对称，是不是 横坐标变为原来相反数，纵坐标不变，那就是二 m a 撇点。你看，若 a 撇点又在这个正比例函数图像上，那正比例函数图像 a 撇，既然我知道了是二 m， 它又在 y 等于二分之一 x 上，那是不是直接带进去，那这个 m 就 出来了？ m 是不等于二分之一去乘二，它就等于一，那所以 a 撇点，它就是二一，那 a 点是不是负二一呀？ 那负二一这个是在什么上？反比例函数图像上，那这个 k 值是不是就是负二乘一，它就等于负二，那所以这个反比例函数上表达式就是 y 等于 x 分 之负二， 看到没？就是相对来说没有那么复杂，就根据题一步一步走，你看二二年的，你看将函数 y 等于负二分之一 x， x 的 图像沿 y 轴向上平移六个单位，是不？关于一函数平移，这是我们讲过的啊，那个如果忘的话，就大家再去看一下那个视频，那就是向上平移，向上 左加右减，上加下减，加到哪？是不是直接是 y 与 y 有 关系，对吧？你就直接追到这个 b 的 后边，这里 b 是 不是等于零吗？ 就是加零，对吧？你就直接加六，那平移后的式子是这样，与反比例函数的一个交点为 a 是 n 三，我们要求 k 是 不是必须把这个坐标 n 就 给知道，那 n 怎么求它？既然在是这两个的交点，看是这个一次函数与它的一个交点，那是不是既在反比例函数图像上，又在这个一次函数图像上，那我们带到这个一次函数上不就可以了？那这个 n， 那 这里面是不是相当于啊？ y 等于三，那二分，这应该是二分之一， n 加六，然后这个得出来，它 n， 它等于六， n 等于六，那所以我这个 a 点是不是就出来了？等于点坐标是三六，那这个开值就是六乘三等于十八， ok， 十八，那这个是表达式啊，这样好，我们还有二五年的， 二五年的这个也是如图，过原点的直线与反比例函数 y 等于 x 分 之，看着图像交于这两个点，过原点的一条直线，那既然反比例函数图像是关于原点怎么样子的 对称啊？那所以 a 与 b 就是 关于原点对称的点呀？ 关于原点对称的点，对吧？关于原点对称。那么横纵坐标互为相反数，那是不是就有负 m， 它是等于 m， 那 它的相反数就是负 m， 那 n 的 相反数就是负 n， 那 负 m 是 不是就等于 b 的 横坐标 m 减六，那这里的负 n 就 等于 n 减六，所以我们依次解出来，那这个 m 等于三，然后这里的 n 它也等于三，然后最终， 那既然 a 点呢，是出来的开值就是三乘三，它等于九 啊，还是很容易的啊。那么这就是，呃，反比例函数的。近几年的陕西省的一些真题以及复题，它的考点怎么考？大家把这几道题要好好去琢磨一下，尤其是哪一块，你像这种还是相对简单，比如说二五年的这种，对吧？ 二，你像这种就是关于图像的这几个，你看这个对吧？这个副题他是不是也考到什么相似这一块，你看这个 这个，那为什么会想到这些点？从哪些入方向入手？根据题的哪一句话我们去入手，那这个大家都要去好好去看一下，再把这些题多次去练习，反复练习，你就把反比例函数的一些图像与性质，它的应用以及与面积的包括， 那包括这一块，哎，我们拿上来看一下，上次你看包括这一块不等式，对吧？但是他考的时候他没有全考，那万一考出来了，而且这都是其他省份特别容易爱考的， 这些都得有这个不等式，对吧？还有就是给大家说这几个面积设点的方法，尤其是这个第七个，你看第七个以及前面的应该还有，嗯， 哎六，你看这都是常考的，就是很经典的问题。好，那反比例函数就大概讲这些。好，拜拜。

深挖底层逻辑，渗透数学思维。今天玩一下无锡市中考数学这个第九题，这个反比例函数，这个小题，这个题我们能不能快速秒杀呢？来，一起来感受一下这个题怎么做。那么已知啊，这是个平面直角坐标系啊，然后这是一个直角， 然后啊，巴拉巴拉巴，点 c 呢，是 a， o 的 中点啊，中点 c， e 呢？与这个 x o 垂直啊，垂直。所以第一步啊，我们会想到什么？中位线啊，中位线，因为 o、 c 与 a、 c 相等， c， e 呢？与 ab 平行啊，所以我们通过中位线 啊，可以得出这个 o， e 啊，其实和 b， e 啊也相等啊，平行加中点，那么点 e 是 o b， 中点 c， e 和 ab 是 一个二分之一，关系好。第二步， 题目告诉我， b、 d， e 的 面积好等于四分之五啊，让我求 k 值啊，怎么办？好这个题，三秒钟时间思考，也没有快速的方法。好， 时间到，我们看一下。第三步，求面积，往往会考察 k 的 几何意义，对吧？那么如果在双曲线上啊，这个点 哎，做垂直连起来，这个三角形的面积等于什么？二分之一 k 的 绝对值，所以已知面积求 k， 我 们利用 k 集合 e， 那 么由于这个面积告诉我四分之五， 所以我连接 o， d 啊，连接 o， d， 哎，做完了，那么因为 o， e 和 b， e 相等，三角形 o， e， d 和三角形 d， e， b 是 不是四个字啊，等底 同高面积相等了，那么于是乎，这个三角形 o、 b， d 的 面积等于二乘以四分之五啊，等于二分之五。那么利用 k 的 几个意义 啊，等于二倍三角形面积等于二乘二分之五等于五。好，注意，绝对值很重要啊，因为这个题比较简单，第一项信，如果在二四项信，注意 k 是 取负的，那此题 k 是 取正的， 所以选的是 c， 打完收工。此题背后考察两个支点，第一个是中点平行中位线得到 o e 等于 b e。 第二个啊，是考察这个等底同高面积相等。第三个就是 k 的 几何意义，你学会了吗？

应粉丝要求，今天出一期反比例函数相关知识点和中考真题讲解。 hello 朋友们！今天要讲的是九年级下册的反比例函数。首先呢，我们可以看它的定义是形，如 y 等于 x， 分 之 k， 且 k 为常数， k 不 等于零。 如果 k 等于零的话，那么我们把它带进去之后， y 等于零了，它就不是反比例函数，所以 k 不 能等于零，而 x y 呢，也均不为零， x 不 为零，因为分母不能为零，所以 y 也不为零， 我们可以将它变形变行为 x， y 等于 k。 然后呢，就是反比例函数的图像，它图像是一个双曲线，并且无无限靠近坐标轴，但是不与坐标轴相交。然后呢，就是一个比较重要的知识点，就是它的增减性。首先呢，我们可以看，当 k 大 于零时， 它在这个双曲线在一三象限，并且 x y 随 x 增大而减小。 当 k 小 于零时，这个双曲线在二次象限，并且 y 随 x 的 增大而增大。但是啊，我们要注意，这个 y 随 x 增大而减小， y 随 x 增大而增大。前面一定要有一个限定词，叫做在每个象限内， 这个是一定要有的，一般平时练的练习册上的题会给大家挖这个坑。 然后呢，就是 k 的 几何 e 反比例函数图像上任意一点到坐标轴的垂线与坐标轴为成的矩形面积横为 k， 这是什么意思呢？就是反比例图像中任意一个点，我们比如说取这个点，我们向坐标轴的 呃，向 s 轴做垂线，向 y 轴做垂线，最后我们会得到一个矩形，而 s 轴上这个点就是它所对应的 x 值， y 轴上这个点就是它所对应的 y 值，而 s 乘 y 就 等于他们的这个 k 值，我们由这个变形可以得到。 然后呢，我们可以将这个矩形，将它沿对角线连接，可以看到，我们会分成两个三角形，而其中一个三角形呢，就是它的面积就是二分之一 k 的 绝对值。 我们来看第一题，已知反比例函数 y 等于 x， 分 之 b 的 图像，如图所示，则一次函数 y 等于 c， x 加 a 和二次函数 y 等于 ax 方加 b， x 加 c， 在 同一直角坐标系中的图像可能是。 我们先来观察一下这个反比例函数图像，可以看到这个双曲线，它是在二次象限，所以因此我们可以判断出 b 小 于零， 所以呢，我们就一个选项，一个选项来排除。首先我们来看 a 选项，由图像可知，这个二次函数抛物线开口向上，所以呢，我们就可以判断出它的 a 是 大于零的。一次函数图像呢，它是在一三象限，所以 c 也大于零。 但是一次函数图像是 y 等于 x 加 a， 那 个加 a， 它应该是 a 大 于零，对，它整个函数图像应该是在一二三象限，而它 a 选项是在一、三四象限，所以我们可以排除 a 选项。 我们来看 b 选项，二次函数抛物线开口向下，所以 a 小 于零啊。一次函数它数，它是在一三象限，所以 c 大 于零。 然后呢，我们来判断一下，由于 b 是 小于零，根据左同右异可以判断出对称轴应该在 y 轴左边，所以 b 排除。 我们来看 c 选项，由图可知，抛二次函数抛物线开口向下，所以 a 小 于零啊，一次函数在二次相切，所以 c 小 于零。 由于 c x 加 a， a 小 于零，所以整个一次函数图像应该在二、三、四象限，而题中的图像是在一、二、四象限，所以故 c 选项是错误。我们来看 d 选项， 二次函数抛物线开口向上，所以 a 大 于零。一次函数在二、四象限，所以 c 小 于零。 我们来先来检查一下一次函数 y 等于 c 加 a， a 大 于零，所以图像应该在一、二、四象限是对的。再来检查一下二次函数，我们可以看到这这个对称轴是在 y 轴的右侧，然后 b 小 于零， a 大 于零，左同右异。所以啊，这个二次函数图像也是正确的，所以此题选四 d。 接下来我们来看第二道题，如图，在平面直角坐标系中，点 a， b。 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k， x 大 于零的图像上，点 a 的 坐标为 m 勾二连接 o， a， o， b， a， b。 若 o， a 等于 ab， 角 o， a， b 等于九十度，则 k 的 值为。 我们首先来看一下已知条件， a 是 m 勾二 o， a， b 等于九十度。 我们先来做一条辅助线，首先过点 a 做 a， c 垂直于 y 轴于点 c。 然后呢，再延长 c， a 过点 b 做 b， d 垂直于 a， c 于点 d， 我 们就可以构成一个，我们就可以构成三个直角三角形。我们注意观察三角形 a， o， c 和三角形 a， b， d 里面都有一个九十度的直角， 然后 o， a 等于 ab， 也就是说，我们再找一个角，就可以使这两个三角形全等。那么大家请看，角 c， a， o 加上角 d， a， b 等于九十度，而角 c a， o 加上角 c， o， a 等于九十度，所以角 c， o， a 等于角 d a b， 所以 这两个角相等。根据 as， 我 们可以判断这两个三角形全等。我来给大家画上这两个图，黑的三角形全等。 根据我们刚才这个点 a 的 坐标为 m 二，可以判断出 a， c， 它的长是 m， 然后 o， c 的 长是二，然后它们两个还全等，所以 b、 d 的 长是 m， ad 的 长是二， 所以我们点 b 的 坐标就可以表示为 m 加二到 m 二减 m。 根据 k 的 几何意义，反比例函数图像上的任意一点，它的横坐标之积为 k， 也就是说，不管是点 a 还是点 b， 它们的 s 轴和 y 轴的积都是一个数。所以 我们先用点 a 来乘 m 乘二，等于点 b 的 横坐标之积 m 加二乘二减 m， 最后我们解得 m 一 等于负一，加根号五， m 二等于负一，减根号五，而负一减根号五需要舍去，因为我们可以观察到这个函数图像，它是在第一象限， 而这个解是一个负数，所以我们应该舍去这个解，而留下第一个解。所以点 a 的 坐标我们就可以求出来了。将 m 带进去，等于负一加根号五。逗二。所以我们要求 k 值的话，就用点 a 坐标之积就可以了，也就是最后的二倍，根号五减二。

今天我们来看这道题，遇到反比例函数当中垂线，我们要学会做垂线勾到相似三角形。 这道题当中 o、 d 垂直， c， d， o， d 等于二 c， d 要求 o， d 分 之 a， d 的 值， 我们可以想到把这个比例进行转化，利用相似三角形把它进行转化。设想，如果我们过地点做 x 轴的垂线垂直为 f， 那么 a、 d 和 o d 的 比值会不会等于 d， f 和 o f 的 比值呢？当然是因为三角形 d、 f 与三角形 a、 o、 d 相似， 到后面我们会把它写出来的，那除此以外，我们想要构造相似三角形，我们要利用这个垂直的条件， 我们还可以构造一线三垂直线的相似，往往上围成这样一个模型，把这个垂足标为 e， 辅助线的语言我就不写了， 我们开始解答这道题。 我们可以设地点的坐标 为 a， 撇 a 分 之 k， 反比例函数都要去先设点的坐标才能解决题目。 现在我们要利用其中一个相似，我们先利用一线三垂直线来相似， 我简单写，因为三角形 d、 o、 f 与三角形 c、 d、 e 相似，所以我们就可以得到线段的比例关系。因为 o、 d 等于二 c、 d， 所以 对应下来 o， f 也等于二 d， e， 并且 d、 f 也会等于二 c、 e， 因为这里 o， f 和 d， f 的 长度我们都知道的，它们的长度分别等于地点的横坐标和纵坐标，所以就得到 d， e 的 长度应该是 d 点横坐标的一半，也就是二分之 a， 那 c， e 也就是它重坐标的一半。 十二 a 分 之 k， 这样子我们就可以得到 c 点的坐标了， c 点的坐标就是 d 点的横坐标，往回扣得到 c 点的横坐标，所以 c 点的横坐标应该要是 d 点的横坐标减去 c、 e 的 长度， d 点的横坐标是 a， c 点的横坐标就应该要是这样一个式子， 那这样子写，我们还漏了个重坐标，那重坐标应该怎么计算呢？ 计算重坐标，我们应该用原来递减的重坐标，再加上 d、 e 的 长度得到， 也就是 a 分 之 k 加上二分之 a， 那这个式子还未进行通分。我们接下来的思路是根据 c 点的横纵坐标乘积等于 k， 因为 c 也在这个反比例函数的图像上。 我们到最后需要把 c 点的横纵坐标乘起来，为了方便把它们乘起来，我们需要对它们进行通分， 通风后我们会得到 c 点的坐标 长，这样 做，数学代数题目都是这样的，算到一个地方可能就不敢算了，但是如果继续算下去，一定会有发现， 所以我们就要把 c 点的横纵坐标相乘， 因为 c 点的横坐标之 g 等于 k， 所以 把它们相乘，我们会得到这么一长串的式子，它们的结果等于 k。 这个式子的计算过程我就不写了，就是分子、分母分别相乘， 最后等于 k。 现在我们需要去解这一个方程， 如果我们能够求出 a 与 k 之间的关系，那么我们就解决了这道题。为什么呢？ 我们到后面就会知道 a、 d 与 o、 d 的 比值如果转化为一个分式，那么这个分式里面含有的未知数就是 a 和 k 刚刚好可以解决。 我们把它拆开， 大家稍等一下，我要把它拆开， 然后呢把分母乘到后面去， 现在我们发现前面这个式子当中有一项三 k a 平方，后面的结果当中是四 k a 平方，这就是一个同类项，我们可以对它进行合并， 但是现在这个方程看起来还是很棘手，为什么呢？因为它有四次啊。我们遇到这种高次方程，我们就要把平方设为参数， 把未知数的平方设为参数，对它进行降次。我们就要设我们想要解出的， 比如说是字母 a 的 平方为 p， 随便一个字母都可以，因为这里 a 的 次数更高， k 的 次数更低，我们要设的是 a 的 平方，而不是 k 的 平方，这样才有利于降四， 我们就会得到二 p 平方减 k， p 减二， k 平方等于零， 这个时候我们可以把它看成一个关于字母 p 的 二元一元二次方程，说错了，是一元二次方程。然后我们用求根公式对它进行解下， 就会解出 p 等于根号十七加一倍的 k 除以四， 那得到 p 有 什么用呢？ p 就是 a 的 平方，因为我们前面有提到三角形 a、 o、 d 与三角形 d、 o、 f 是 相似的，所以 ad 与 o、 d 的 比值 对应下来，就应该要等于 d、 f 与 o、 f 的 比值，也就是地点的纵坐标与横坐标之比， 纵坐标是 a 分 之 k， 横坐标是 a， 纵坐标除以横坐标就是 a 平方分之 k。 因为我们把 a 平方设为 p 的， 所以 ad 与 o、 d 的 比值就是 p， 分 之 k， 我们把它代入，代入的过程，计算的过程就先不展示了，代入之后 我们就得到 a、 d 与 o、 d 的 比值是四分之，根号是七减一， 这样我们就把这道题解决了。总结一下，遇到反比例函数的压轴题， 一般会涉及垂直和线段比例，我们要利用垂直构造一线三垂直线的相似，再利用线段比例去找到各个线段之间的比例关系， 然后表示出各个点的坐标，最后再利用这个垂直构造一个子母形的相似，把我们所要求的比例进行一个转化。就像在这里把 a d 与 o d 的 比值通过相似三角形子母形的相似转化为了 d f 与 o f 的 比值， 这就是我们所设点的纵坐标与横坐标的比值，解决起来就会轻松很多。今天的讲解就到这里。

今天我们来讲啊，繁体函数，一个繁体函数，我们要把着重的方法，要解决问题的方法，一个是竖形结合啊，叫什么叫竖形结合，第二个我们叫什么是没构造， 就是我们解决繁体函数这类啊，这类题型啊，这类题型的方法啊，我们看这个题目，如图， 已知菱形 o， a， b， c 点 c， 在 x 轴上，直线 y 等于三分之根号三 x 经过 a 点，菱形 o， a， b， c 的 面积啊，是二，若反比例函数经过点 b， 就 我们求反比例函数这个表达式， 看这个题目呢，看到这个题目，我们首先看这个直线 y 等于三分之根号三 x， 好 一看到前面的 k 的 值啊，三分之根号三，我们知道这我们 它与这条直线与 x 的 夹角啊，在我们目前要看到啊，就说要想到它是三十度啊，是三十度的角啊，这是我们从一直线出发的，到高中我们要学的是斜率啊，斜率啊，要知道就说 角 a、 o、 c 等于三十度啊，这是我们出现的一个特殊角。再看一下我们要告诉我们的一条线是菱形的面积， a、 o， c， b 啊，这个菱形的面积，我们知道菱形的面积经常是底乘以高啊，就是我们所谓的平行四边形的面积， 还有什么菱形的特殊性，就说可以等于什么菱形的面积等于对角线积的二分之一，但是我们从这个句话 去想，肯定是啊，底乘以高啊，底乘以高啊，就说我们要知道 o、 c， 如果能知道菱形的面积的边长在求出高，那么哎， 对应的菱形的面积肯定这个是要去用的好经过点的好，我们出，我们知道菱形啊，刚才我们什么从一个条件已经得到了吗？这个角是特殊角，那我们肯定要过 a 点做啊，过 a 点做 s 垂线， 如果是 a m 垂直于 x 中，那同样道理，过 b 做 b， a 垂直于 o c， 我 们显然得知三角形 a， o m 和三角形 b c a 这两个三角形啊，全等的 啊，全等以后，那我们可以来设菱形的边长为 a 的 话啊，知道一个特殊角，那三十度，那所以 a n l， a， m 就 等于二分之 a， 二分之 a， 那 o m 呢？ 就等于什么？二分之根号三 a， 那 刚才说了三角形 a， o m 和 b c， a 是 全等的，那所以这个高就出来了，就等于二分之 a， 二分之 a。 好， 我们知道刚才说了 b 点是在反比例函数上的，那我们通过好，我们要求肯定要把求 k 的 表达式对不对？求反比例，我们要求 k， 那 我们首先通过面积，菱形的面积啊，菱形的面积来求出 b 点的横坐标啊，这样菱形的面积是二，那我们底是几呢？这就是 二分之 a 对 应相等，那所以这个买不买赢也等于二分之根号三 a 的 啊，根号二分之根号三 a， 那 所以这个 菱形的边长是 a， 那 我们可以菱形的面积就等于底，乘以高就等于 a， 乘以二分之 a 等于二，等于二，那所以 a 的 平方就等于四，所以 a 等于正负二负号啊，负的要舍掉， 那所以 o m 的 啊， o m 的 长就等于二分之根号三啊，又等于什么？就等于 o c 加上 c， a 就 等于 a 加上二分之根号三 a。 刚才我们已经算出来了啊， a 是 等于二的啊，等于二加上二分之 k 上三乘以二好，也就等于二加 k 上三好。那所以 b 点的坐标， b 点的坐标就等于 b 点的坐标，就等于横坐标是二加根号三。纵坐标是二分之 a， a 等于二的，那所以纵坐标是一。所以 k 代入反比例函数啊，代入反比例函数，那就等于 y 等于 x 分 之 k。 啊， y 等于 x 分 之 k 带进去， y 就 等于一， x 就 等于二加根号三分之 k， 所以 k 就 等于二加根号三。 所以反比例函数解一次为 x 等于 x 分 之二加根号三好，你学会了吗？

哈喽，大家好，我是范范老师，今天老师给大家分享的是一道经典的中考真题，它是关于反比例函数里边 k 的 几何 e 的 一道题目，大家请看题。直接看这个图啊，老师给大家解释一下，这个图实际上就是两条反比例曲线，以及这个点 a、 b、 c、 d 以及这个 点所构成的一个矩形，并且这个矩形分成了四部分， s 一 二三四，并且给了我们一个式子 s 二三四加起来是二分之五，就这么一个题， 那我们来看一下它要求什么啊？求 k 的 值。好，我们从第一个角度啊，我们知道这个题里面它既有 k 又有面积，实际上我们就很容易去想到它是用到的是反比例里边 k 的 几何意义，所以我们有了这个之后呢，我们再来看啊，这个点 b 和点 d， 它是在确定的曲线 x 分 之 负一上的，所以我们这个 s 二和 s 四，我们就能知道 s 二等于 s 四等于负一的绝对值等于一。 再结合它所给的这个式子，我们就能推出来 s 三实际上是等于二分之五，减一减一等于二分之一，那 s 三有了。我们再来想啊，如果我能用含 k 的 表达式去表示出来 s 三，那我们这个题就可以顺利解决。 所以接下来我们的第二个思路就是大胆设点设，而不求我们从哪个点出发呢？来看到这个点 a， 我 们可以设作 m 到 m 分 之 k， 因为它在这条曲线上，请大家观察啊， 这个 b 和这个点 a 是 在同一条水平线上的，所以点 b 的 纵坐标和点 a 应该是相同的，所以点 b 的 纵坐标是 m 分 之 k， 毋庸置疑，那横坐标实际上就是我们把这个外值带到它的这个函数表达式里面，我们就可以有它的横坐标， 所以点 b 的 横坐标我们可以求得它是负 k 分 之 m。 大家请看这个点 d， 点 d 和点 a， 它是在同一条竖直线上，所以点 d 的 横坐标和点 a 是 相同的，是 m 兜，那 m 兜什么呢？同样也是带到这个位置 m 兜负 m 分 之 一。那此时呢，大家请看点 c 我 们就出来了，因为点 c 它刚好是 b， d 两个点十字架刚好给它架出来，所以点 c 我 们就可以直接读出来它是负 k 分 之 m 到负 m 分 之一， 那我们的目标是不是就达到了？所以我们这个 s 三，我就可以表示成两个横纵坐标相乘的绝对值，所以这里就可以负 k 分 之 m 乘以负 m 分 之一，再带绝对值， a 分 之一等于二分之一，所以我们就可以得到 k 等于二。那这个题我们是不是就结束啦？选 c。

同学们好，现在讲解九年级中考数学模拟套题里边，呃，反比例函数与一次函数相结合的题型， 呃，那么当然这个题表面看是纯函数题，实际上中途还会有跟几何相结合的，比如说正比例函数的几何是已知，反比例函数的几何是未知，但是它俩交于点 a， m 都二，那么就证明点 a 既符合正比例，又符合反比例函数。咱们做题的特点，干净利索，见点就带 啊，见点就带，所以说就把这个 a 点 m 度二带入这个解析式里边，就可以求出这个 m 是 等于四的，也就是说 a 点坐标是四度二， 那 a 点坐标是四度二，带入反比例函数，这个 y 二就可以得到 x 四分之八。但这个题我不详细给大家去解答了啊。就是，呃，我把这题的思路给大家说一下，呃，接下来看第二问， 他说把 y 一 等于二分之一， x 向上平移三个单位之后，呃，那么他的解析式就可以变为 y 一 等于 y 一 撇吧，等于二分之一， x 加三了。比如说咱们假设他跟 y 轴的交点是 c 吧，那我就可以知道 c 点坐标是零度三。 呃，这个反比例函数，通过第一问，咱们已经求出是 x 分 之八了，他让你咱们求 a o b 的 面积。那么在这里边说到一些个细节问题，咱们再讲，每道题都要讲这个题的考点，那么这个题第一个考点就是见点就待啊，这个大家都理解， 见点就待，在数学语言里边叫待定系数法，待定系数。那么第二个知识点呢？大家讲到平移前后， 这里边暗藏着平行，也就是说 bc 平行于 o a， 那 么第三个知识点就考了平行线间距离相等这个事，所以说就有一些个面积是相等的，大家注意，比如说 o a b c， 我 可以得到 s 三角形 o a b 等于 s 三角形 o a c， 这是两平行线间距离相等嘛，所以说他俩只要等底的话，高也相同，这俩面积就相等。 那么也就是说这个题第二问就用到了这样的一个知识点，既然让我求 aob 的 面积，那 s 三角形 aob 不 就等于 s 三角形 aoc 吗？这样比较简单呀。说，为什么这样求简单呢？那你看 s 三角形 aoc， 我 连上 a c， 它不就可以等于二分之一 o c 乘以 x a 吗？就是 a 的 绝对值，因为它的第一项线加不加绝对值都无所谓。那 o c 的 长度咱刚才也知道是等于三的 a 点的坐标，咱第一问也求出来了，横坐标 m 是 四，所以说乘以四这个题最后面积等于六就求出来了， 就是看四讲起来是云淡风轻的，但是真正涉及到知识点，咱必须是一步一步的去给看好。 呃，这样题也是有难度的，他考了咱们函数的知识点，考了几何的知识点，而且考了他们的数形结合。呃，这个题比较好，大家如果有不理解的地方，或者有什么疑问，可以随时联系我。

好，看这道题，嗯，反比例函数，嗯，要求是，呃，这个图像要将矩形 a、 b、 c、 d 内部的这个横轴的标作为整数的点， 嗯，也就常称为，这叫整点，对吧？整，横动目标都是整数，那把里边的这样的点分成数量相等的两部分，嗯，那不含边界啊，不含边界，那咱们看看里边属于那个整点的有几个？ 从 a， 二到二到五到二，这有一个三到二和四到二，对吧？三到二，四到二，然后从 b 到 c， 这竖着分，嗯，上边有从五到二，从二到七呗，二到七有三、四、 五、六啊。那里边的整点，那咱们画一画啊。横动目标都是整数，咱们把这格一画，这整点也就出来了，哎。然后竖着两道， 好，哎，那里边的整点，一个，两个，三、四、五、六、七、八，好，这是里边八个整点， 嗯，要分成，嗯，数量相等的两部分，那好，咱们看，要分的话，咱们肯定中间那穿过去，这样能实现两边数量相等啊，这样中间穿过去，嗯，这里边涉及到一个知识点，就是 k 的， k 的 绝对值越大 啊， k 的 绝对值越大，这个图像离坐标轴越远啊。图像离坐标轴越远，那对应的，咱们看这些点，坐标 大概应该在中间的部分，再把中间的点子坐标数出来，找出来，那个就可以了啊，就能看出 k 到底是应该从哪穿过去，能让他数量均等， 嗯，这，这个点，这是三到，嗯，三到四，对吧？这是三到四，然后这呢？这是三到五，这，这个点是三到五，那他的 k 值如果过这的话， k 值应该是十五，嗯，这个点呢？ 这个点，这是四到。嗯，四到四，对吧？四到四，这，这要过这个点的话应该是，嗯， k 值十六， 那他应该离得更远一点呢？这是十五，这个点 k 值十五，这个点 k 值十六。那要穿过的话应该是这样， 哎，从这过去，哎，从那下边这穿回来，这样的话就能实现这边有一边有四个，对吧？一个、两个、三个、四个。然后这边呢？一个、两个、三个、四个， 哎，这样实现一边是四个啊？嗯，这是十五，这个是十六，从十五的上边十六的下边这样穿过来，那所以这个 k 值应该是大于十五，小于十六。

我们北京初三的家长们，反比例函数是中考数学独特的存在，看似不难，却总在细节上挖坑。比如 k 的 几何意义记错了 和一次函数焦点算错符号。张老师整理了反比例综合五类必考的题型，帮孩子把这些坑都填上，每类题目抓准核心考法。 第一个， k 的 几何意义，过图像上的一个点做做 x 轴， y 轴的垂线围成的矩形面积是 k 的 绝对值，三角形是二分之 k 的 绝对值，千万别漏了绝对值，这是高频的易错点。第二个焦点问题，重点在一次函数与反比例函数，求焦点比大小，看图说话， 结合图像，谁在上边谁就大。第三个，不规则的三角形面积，用割补法，通常用坐标轴进行切割。注意依次函数与坐标轴的交点问题。 第四个比大小问题，看图说话，注意用坐标表示，出现段长度。第五个与相似的结合，出现线段的倍数关系，有意识过交点做与 p， 有意识过焦点坐与坐标轴平行的平行线，同时注意分类讨论，结合 a 字相似或者八字相似平行来进行求解。第六个整点问题，注意精准作图，注意上一问的基础，找好这些参照物，看图说话。 第七个存在性问题，尤其是等腰三角形的存在性问题，两元一线是基础，注意分类讨论，做到不重不漏。八个与依次函数的焦点问题，连立方程，求焦点坐标，注意解的符号，尤其是 k 的 正负。 与依次函数的焦点连立方程，求焦点坐标，注意解的符号，尤其是 k 的 正负不同时，焦点所在的象限要对应。每个题目都很经典，需要的家长找张老师来领取，孩子按照题型来分类， 让孩子按照题型练习，练完对着解析，查漏补缺。同时对孩子数学当下存在的问题有疑惑的家长进张老师的咨询群，张老师帮你解答，各位加油！