八下安徽数学北师大版基础训练答案

同学们晚上好。好，今天我们接着看第一张三角形的证明习题，一点一的第二题啊，我们在第一节中学了 一个定理啊，老师，原方不动搬过来啊，简称角角 a， 两个角相等，一个边相等，两个三角形全等。好， 继续推拓展为全等三角形对应边相等，对应角相等，这个都是推导出来要记住的啊，我们就不 详细讲了，我们主要是给大家讲课后题怎么做，检查一下你作业做的对不对。好，我们下面开始读题，如图，三角形 abc 啊，这个三角形和三角形 cda 啊，这个上面这三角形中，其中 ab 平行于 ab 平行于 cd， 我 们边读题边在图上给它标出来， ab 平行于 cd 啊，这两条边相平行，角 b 等于角， d a b 等于三， ab 等于三。让你求什么？求 cd 的 长， cd 的 长啊，就是这个长，怎么做？大家思考一下， 我们从这个图上是不是肉眼可见它其实是 cd 是 等于 ab 的，是不？就你观察出来它应该是等于 ab 的，是不就你要怎么算出来呢？大家想一下。 好，下面我们一起看一下这道题啊，怎么做？不管会不会，我们先把题给它写上， 咱平行。我们说了，课后的练习题，就是用来检测你这节学对了没啊，学会了没啊，你这个定力怎么去用它？所以说老师把这个定力都搬到上面了，你就照着去用它怎么用呢？ 嗯，两个三角形啊，怎么用呢？现在已知条件是两个边平行，两个角相等，要给了一个三角形一个边的长度，让你求另一个三角形一个边长度。 那我们通过定力我们肯定要什么要正，两个三角形怎么样？全等通过什么呀？这不是放这了吗？人家就是要检验你这节课学的这个定理，会不会用角？角边，那我们找吗？角是吧？角 b， 角 d 已经给了一个角 啊，边，哪条边相等呀？中间这条边他们不是重合了吗？公用，所以相等。好 a、 c， 那我们再找一个角相等了，就构成了什么角？角边怎么说？给了个平行，我们这个条件要用起来呀。给了个平行，那我们怎么用？ ab 和 dc 平行是吧？平行两条平行线，什么内错角， 内错角相等是不？那就说因为啊，我们从这给的条件一个一个去给他算，因为 ab 平行于 cd， 得到什么？平行线的 内错角相等就是角 b， a、 c 等于角 a、 c、 d 是 吧？这个条件就相当于间接的给你这两个角相等，又因为又因为什么角 b 啊，你这条件角 b 等于角 d， 且 a、 c 等于 a、 c 啊，老师，板数有点粗糙，能看懂就行。构成了什么？是不是构成了角？角边，所以三角形？ 三角形什么？ a、 b， c、 d 是不全等，所以全等三角形是吗？对应边相等，对应角相等， 所以 c、 d 对 应边， c， d 对 应啥？对应 ab， ab 是 不已知了给多少 ab 等于三， 就这么简单，你做对了吗？好，今天的课就讲到这里，咱们下节课讲第三题啊，检查一下，看你做的对不对，有问题在评论区啊，评论区留言，老师会，如果还有学生不太会，老师会加强去讲的。好，下课 记得点赞关注哦！

hello， 今天给大家讲一道题，这是粉丝同学问的一道题，因为老师的新书还没有到，所以只能把这个题啊抄一遍。好，咱们看一下。先读题， 如图， a、 d、 a、 e 分 别是三角形 a、 b、 c 的 角平分线和高啊。一般边读题的时候，我们把关键词给他画出来，角平分线和高啊，边画，我们就 把已知的一些条件去给他在图上标出来。第一，已知角 b 等于四十度，角 c 等于六十度啊，我们可以在图上给它标出来，角 b 等于四十度，角 c 等于六十度 啊。第一问，让你求什么？求 a、 d、 a、 e 的 度数， d、 a、 e 也就是这个角的度数。我们看第一步。第一问，怎么做呀？ 啊？我们知道课后练习题他的目的是什么？他的目的就是测试你这节课有没有学会。那这节课三角形他的内容这一章第一个定律是什么？三角形内角和定律啊，我们已知角 b 等于四十度，角 c 等于六十度。让你求角 d、 a、 e 啊，我们看角 d、 a、 e 跟哪个角有关呀？看他邻居是不是跟角 b、 a、 c 靠的比较近呀？那我们因为角 b 等于四十度， 角 c 等于六十度，所以什么？三角形内角和一百八十度。所以角 b、 a、 c 等于多少？一百八十度，减去四十度，减去六十度等于多少？八十度吧。然后 又因为什么？又因为 a、 d 啊，又因为 a、 d 是 角。三角形 abc 的 平分线，角平分线，角平分线，顾名思义，平分角嘛，所以它叫角平分线。所以什么呀？所以 角 b、 a、 d 等于角 b、 a、 c 等于多少？等于二分之八十度，等于四十度 是吧？那等于四十度。你就说这个角等于四十度，那我们求那个小的，我们把大的给他剪掉。那大等于多少呀？啊？这个角等于多少度？垂直就相当于这个角是九十度吧？六十度。九十度，这个角等于多少度？ 因为什么？ a， e 垂直于 b c 是 吧？所以角 a， e， c 等于九十度。 所以角 c a， e 等于一百八十度。减九十度，减六十度等于多少？三十度啊，所以这个角等于三十度。 那这个角等于四十度。所以什么？所以角 b a， b 等于角 d， a， c 减去角 c a， b 等于四十度。减三十度等于十度。你听懂了吗？

我，我没有一题看得懂啊，渣男 朋友们好，今天我们来看一下八年级下册的数学北师大版，新版的第一题啊，我们在第一节中学了三角， 三角形，内角和定角讲的是什么啊？就总结为一句话，三角形三个内角的和等于一百八十度啊，内角和定角，顾名思义，那我们来看一下其题一点一的第一题。 好，下面开始读题。在三角形 a、 b、 c 中，已知角 a、 角 b、 角 c 的 度数之比为 四比三比二。让我们求角 a、 角 b、 角 c 的 度数，朋友们思考一下怎么做呢？啊？会不会做我们先先要写一个什么？先要写一个解 啊，关键信息，我们省题的关键信息就是三个角的之比是四三比二，那 就相当于啊，三角，三角形，三角之合总共分了几个呀？分了，四加三加二等于多少？ 四加五等于九份是吧？等于九份。那角 a 等于多少？角 a 是 不是等于三角形的内角和弧是总共一百八十度？角 a 是 九份，中和四份啊，是不是九分之四乘以一百八十 啊？等于多少？二十八十是吧，约等于八十度啊，应该不会了吧，也就说三角形的内角和是一百八十度 啊，就是 abc 三个角相加是一百八十度，那它们占比是四三比二 啊，总共是九份，分了吧？一百八十度分了九份，其中角 a 占了四份，角 b 占了三份啊，角 c 占了两份。 那我们那你能算出来角 b 和角 c 吗？啊，那角 b 是 不是就等于九分之三乘以一百八十度等于多少六十度 啊？九 c 等于九分之二乘以一百八十度等于多少？四十度 对不对？我们看一下四十加六十加八十是不等于？验证一下是不等于一百八十度？好，这道题就是这么简单。 好，今天课就上到这里，关注张老师，张老师持续更新八年级下啊，每节课后面的 c 题，下下节课咱们讲第二题，记得点赞关注哦！

哈喽，大家好，这里是你们的海盐，今天带来的是加练三道题，如图， b、 d 是 等边三角形， a、 b、 c 上的中线， e 呢是直线， b、 d 上的一点连接， a、 e 以 a、 e 为边做了一个等边三角形， a、 e、 f 连接 d f， a、 b 是 等于八的，我们求 d、 f 的 最小值，我们先把所有的条件标出来，如图，我们去审题目。大的三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形，小的三角形 a、 e、 f 也是一个等边三角形。 我们知道等边三角形，就会想到三线合一，三线合一， b、 d 是 a、 c 上的垂直平分， 也就是 d 点是 a、 c 的 中点，也就是有这两条都是等于四的，也是顶点的角平分线。所以呢，我们就把角 abc 这个角大角六十度，平分为两个三十度的小角， 我们这里既有三十度，这里有六十度，我们就会知道这里是一个九十度的角。然后我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形， 我们就会看到两个三角形都重合于点 a， 这会让我们想到什么模型呢？我们思考一下，我们很快就会得出这是一个手拉手模型， a、 e 会等于 a、 f， a、 b 会等于 a、 c 手拉手模型，它肯定是要一个三角形的，没有三角形怎么办呢？我们去创造一个三角形， 我们不妨去连接 cf。 连接完 cf 之后，我们去找条件，我们已经有了 a、 e 等于 af， ab 等于 ac， 已经有了两条边的条件，我们不妨去找一个角或者一条边边怎么找呢？也就是 cfcf， 我 们发现没有任何一个条件能让它成立，那我们就去找角，我们找到了这个角 b、 a、 f 找到这个角 b、 a、 c 会等于六十度， e、 a、 f 也是六十度， 我们这时就会发现它有一个重合的部分，这个重合的部分我们不妨把它们两个拆出来， b、 a、 c 就 会等于 b、 a、 e 加上 e、 a、 c， 也就是说 整个大的角 b、 a、 c 是 等于它们两个结合的角， e、 a、 f 也是等于角 e、 a、 c 加上角 c、 a、 f， 我 们会发现都同时加上了这个公共角，加上了这个公共角，我们把这个公共角减去之后，我们就会得出 b、 a、 e 会等于 c， a、 f， 也就是这个角会等于这个角，我们这时就会有了一一条边，一个角，还有一条边。用我们的 s、 a、 s， 我 们就可以证明这两个三角形全等全等，我们得出什么条件呢？全等我们得出了角 acf 会等于角 a、 b、 e、 a、 b、 e 我 们刚刚算出来了，它是六十六十度平分，所以是三十度，我们这个角也等于三十度。 我们刚看条件，他说要算的是 d、 f 的 最小值， d、 f 什么时候最小呢？看这个图， d、 f 点在这， d 点在这， f 可以 移动， d 点是定点，我们不妨把 f 移到这个下面来， 也就是 f 到了这我们如为什么要画这个图呢？这个图就解释了是垂线段最短，我们连接之后， 连接之后就会发现这里是一个九十度的角，因为垂直在三角形 d、 f、 c 中，角 d、 c、 f 等于三十度。 dc 是 等于四的，那我们的 d、 f 就 会等于二分之一的去乘以我们的 dc， 也就是四，乘以二分之一等于二，我们最后算出来它的最小值就是二了。 我们这个题目主要是用了手拉手模型，还有垂线段最短的这两个知识点来解决的这道题。我们来看一遍完整的过程， 规范一下过程。根据我们刚刚已知的等边三角形中线，我们结合起来就会知道它们三条边相等是根据等边三角形，它的中线呢就会平分它的三个角相等也是根据等边三角形。 又因为三线合一， b、 d 是 中线，所以我们就知道它是一个角的角，平分线也就知道是垂直， 从而推导出它是九十度。我们再接下来看另一个三角形，也是同样的，我们这一步减去的是公共边，所以是得出它们两个相等，最后我们再正全等，就可以正出它们两个是全等的，从而我们推导出了一个角相等 的条件。我们有了角相等还有垂直，我们就知道垂线段最短，垂线段最短，我们就可以求得它是最小值，也就是选 c。 接下来我们来讲第二题，我们先审题。在三角形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 a， d 等于十二， b、 c 等于 dc 角， a 是 等于六十的。减 e 在 a、 d 上连接 b、 d， c、 d 相交于 f， c， e 是 平行于 ab 的。 若 c、 e 等于九，我们要求的是 c、 f。 同样的，我们要做的就是找到图，并且把我们的所有条件都标出来。 我们来审题，把所有条件先标出来， a、 b 等于 a、 d 等于十二，那我们先标 这两条边是相等的，这两条边也是相等的。我们又知道了顶点是六十度。 根据我们已学的知识点，有一个角为六十度的等幺三角形是等边三角形，那就已经推出了第一步，角 a、 b、 d 是 等幺三角形， 等边三角形，角 a、 b、 d 三角形。我们接下来就是看我们已知的这个图形，它已经没有什么条件可以让我们求了，我们这要去作图，怎么作图呢？我们不妨假设连接 a、 c， 连接 a、 c 之后，我们就会发现，我们要去证全等的话，就会有角 a、 b、 c、 角 a、 d、 c 这两个三角形，它们的条件是否齐全呢？我们来找条件，这两条边相等， b、 c 等于 cd， 还有一条公共边，我们就可以证出这两个大的三角形 a、 b、 c 和角 a、 d、 c 两个三角形。全等全等给出我们什么 条件呢？全等我们就可以得出角 b、 a、 c 会等于角 d、 a、 c。 又因为这个顶角是等于六十度的，它已经平分了，所以我们就知道两个小角是三十度的小角。 我们把所有的条件先标一下，我们已经知道三十度。在一个等边三角形中， 角平分，线就会垂直平分， b、 d 根据三线合一，也就是这两条边相等。 然后我们别忘了平行这个条件，平行是 c、 e， 平行于 ab， 又根据平行会得出什么？我们换个颜色，根据平行 我们就会得出内错角相等，也就是这个大角会等于这个大角。这个大角是多少度呢？我们刚已经求出来了，这个大角是三十度，所以这个大角肯定也就是三十度，我们现在就会发现三十度和三十度，哎，这是一个等腰三角形， 等腰三角形我们就会根据这里是十二，这里是九，我们就可以推出这一段是多少呢？这一段也就是十二减九等于三， 别忘了我们要算的是 c、 f 这一段。 然后我们再看条件，两条平行，所以呢这个角就会根据两直线平行，同位角相等，这个角就会等于六十度。 同样的道理，两只线平行，同一角相等角 b 呢？角 a、 b、 d 呢？就会移过来成为角 e、 f、 d， 这个角也等于六十度，两个角都是六十度了，剩下一个角毫无疑问也就是六十度， 我们也就会发现这个角这个小的三角形也是一个等边三角形，等边三角形，三角边相等，这条边是三，这下面的也是三，这边也是三。我们根据我们刚刚知道的 c、 e 等于九，我们再带回来看 c、 e 这一整段是九，这一条是三，我们要求的 c、 f， 也就是九减三等于多少呢？最后就等于六。我们来看一个完整的过程， 我们来看这个过程， a、 b 等于十二， 这个就是我们刚刚说的有一个角为六十度的等腰三角形，是等边三角形，然后我们做了图，这里露了一步，要先连接 a、 c， 连接的时候我们要写如图 连接 a、 c， 然后我们就可以根据 s s s 去证它的全等， 设完全等之后呢，再根据三线合一，我们就可以算出来，这里用了一个假设法，根据我们刚刚说的那个方法也是可以的，我们刚说的方法就是用平行去证明这个三角形是一个 等边三角形，然后从而算出来这条 c、 f 是 六，然后我们就可以填一下， 宝宝们也可以暂停看一下这个假设法。假设法是我第一个用的方法，所以过程可能会有点繁杂， 接下来我们来看第三题。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a， b 等于 a， c 等于 a， b 等于 a， c 角 b， a、 c 是 等于六十度的，然后我们主要找关键的条件有这个， a， c 等于 a， e， a、 d 平分角 b， a、 e 做了一个垂线段，然后呢， c， d 是 等于四倍的 e、 f 的， 它给出了我们这个倍数的关系，我们要去找倍数关系。 同样的我们来看图，在这个图形中，我们把题目给我们东西先标出来，题目给的有 a， b 等于 a、 c 角 b， a、 c 是 等于六十度的。 和上一题一样，在一个三角形中，有一个角为六十度的等边，三等腰三角形是等边三角形，所以我们也就会知道这个角也是六十，这个角同样是六十，你先别， 你先别管它有没有用，全部先标注上去就可以了。然后我们再看下一个， a， c 等于 a、 e， 也就是这两条边相等。我们现在我们根据我们标的符号，我们就会得出 a， d 等于 a， e， 根据一个等号代换。然后接下来说了一句， a、 d 平分角 b、 a、 e， 也就是说这两个小角是相等的，它做了一个垂直 d， f， o 垂直于 a、 e， 所以 这里是一个九十度的角， c， d 等于四倍的 e、 f 先放着它不管，也就是这个条件先放着没用，我们就先标出来。 我们根据这个图先分析一下，我们刚分析出来了三角形， a， b， c 是 一个等边三角形， 然后 ab 是 等于 ae 的， 现在有什么用呢？好像什么都没有，那我们不妨去连接所有的点，这里连的是一条 e、 d， 连了 e、 d 之后，我们看一下有没有全等的关系。我们已知有两个角相等，两条边相等，它中间还有一条啥呀？这是公共边吧，那我们就可以轻而易举的去证出它俩全等。 全等我们会有什么条件呢？给我们的是 b、 d 等于 d， e 全等，照出来呢？是这一条等于这一条，他们两个相等， 有什么角度的条件吗？正完全等之后，我们就会有角 a、 e、 d 会等于角 b。 我 们刚说三角形 abc 是 一个等边三角形，所以这个角是六十度，如果它们两个相等的话，这个角也会是多少度呢？也会是六十度， 也会是六十度，那我们就好办了。因为垂直，这里也垂直，所以呢，在这个三角形 d、 f、 e 中，这里是六十，这里是垂直，那这一个角是多少呢？这一个角，这是三十度， 这个角是三十度，我们根据我们三十度角对的直角边， ef 是 斜边的一半，那我们就知道了， ef 呢，是等于二分之一的 d、 e 的 换过来，也就是 d、 e 等于两倍。两倍的 ef 可以 写一下， 我们已知 b、 d 是 等于 d、 e 的， 根据全等，所以呢， b、 d 就 会等于两倍的 e、 f。 这个是等量代换， 我们又已知刚刚我们没用的条件， c、 d 是 等于四倍的 e、 f。 找出 c、 d 在 哪， c、 d 在 这，我们又知道了，这里是两倍的 b， a、 e、 f 这一大段是四倍，我们加起来是六倍。六倍的话，他说求的是 e、 f 比上 a， e， a， e 在 这儿， e、 f 比上 ab， ab 在 这儿， ab 是 等于 a， c 的， ab 等于 ac， 也会有 ab 等于 bc， 我 们已知 bc 是 六 f 加起来，所以呢， ab 六 e f， 它说的是什么呢？它让我们求的是 ef 比上 ab， 也就是 ef 比上六倍的 e f， 我 们除去一下，这里是一乘，所以呢就会有六分之一，最后的比值就是六分之一。我们来看一下详细的过程。 在三角形中，根据在一个等腰三角形中，有一个顶角或者有一个别的角是六十度， 这个三角形就是等边三角形，然后我们就可以推导出来这两个三角形。全等全等之后呢，我们就会有思路地去找数量关系， 这里运用的是三十度角直角三角形的性质， 从而推导出来我们这里比值是六分之一。 宝宝们可以暂停看一下完整的过程，如果这个直角三角形的性质不会的话，可以去看我主页，手拉手模型我主页也有。谢谢宝宝们辛苦观看到这里，希望下周还能跟你们继续相见，拜拜！

好，嗯，接着讲一下今天的第四题。第四题说三角形 a、 b、 c 中 a、 b 等于 a、 c， 所以呢，会有这两条边相等。好，那这两条边相等我们可以推出什么呢？ ab 等于 ac， 说明他是一个等腰三角形，对不对？说明可以得到两个底角相等，也就是角 abc 和角 a、 c、 b 是 相等，这两个大角相等。 然后题目说这两个小角相等，也就是我在这里标出来的这两个小角相等。大小角又相等，那我们是不是可以得到 大的减小的也会相等呢？也就是这两个角相等，这两个角相等。来，看到第一问啊，他让我们证明 ob 和 oc 相等。 先看到 ob， oc 所在的这个三角形中，刚刚我们得到了角一和角二相等。有，在一个三角形中有两个角相等，等角对等边，所以得到了 ob 和 oc 是 相等的。好，思路有了以后，我们现在来写一下过程啊。减， 先证明大的角相等，也就是因为第一题，因为 ab 等于 ac， 所以 我们得到角 abc 等于角 a、 c、 b。 好， 然后因为小的角相等，因为角 abd 等于角 a、 c、 e， 所以 大的减小的 大的 abc abc， 然后减去这个角 a、 b、 d， 它就等于另一个大的角减去另一个小的角 a、 c、 e。 好，那我们就得到了 o、 b、 c 和这个角 o、 c、 b 是 相等的，这两个蓝色的小角相等啊，因为两个蓝色的小角相等，所以得到对应的边相等，等角对等边。第一题我们就做完了，看到第二题， 在第二题中，他让我们证明的是，呃， b、 e 和 c、 d 相等。好看题目啊，首先在第一题呢，我们证明了 o、 b 和 o、 c 相等，对不对？ o b 和 o c 相等啊，等一下啊，不要写在这里，写另一边， 我们知道了 o b 等于 o c， 然后又知道角 a， b， d 等于角 a， c， e， 也就是这两个小角相等。好，这两个是对顶角，对不对？那我们有这个 b， o， e 等于角 c， o， d 角边角。我是不是可以证明这两个小三角形全等啊？全等的过程怎么写呢？先让我们写一下过程啊。首先这个是不需要证明的， o、 b 等于 o、 c， 要说一句，读一得 o， b 等于 o c， 然后对顶角也是可以直接用的，但是我们要把它写出来，那我们就写，因为角 abd， 这个是题目给的。 然后这个是对零角， o， b， e 等于角 d， o， c 条件角边角有了，那就可以得到这两个小三角形全等。注意一一对应啊， b， o， e 就 会全等于三角形 d， o， c 啊，不对， e 对 应，刚出换 e 对 应，我就写错了啊，它等于三，全等于三角形。 b 对 的是 c， 然后 o， d 啊， c， o， d。 理由呢？要写上，理由是 a， a， s 啊，不对，理由是今天怎么老犯错？理由是 a s a a s a 脚边角吗？脚边角。嗯， ok， 好， 全等。所以得到了题目要证明的 b， e 等于 c， d， ok， 这是今天的第四题， 今天还写了一道题，是第，看一下是第几题啊？写了一道题，是第六题，刚刚第四题已经讲完了，看到第六题 第六题，先来看题目，题目说的是要证明 e， g， h， 也就是这个角要比角 a， d， e 要大。然后题目有一个条件，说的是平行， d， e 两条红色的线平行，自然就会有角相等，我们可以把这个 a、 d、 e， 也就是题目提到的这一个角，把它转移出去， 利用两直线平行同位角相等，我们可以得到这个蓝色的角和这个角臂是相等的。然后再去考虑这个题目涉及到的这个大角。紫色的这个大角， 它和蓝色的角有什么关系呢？那我们可以用三角形的外角来判定啊，这个紫色的大角，他是向老师画的紫色三角形的外角对不对？ 三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，所以我们是可以知道这个角 e、 g、 h， 它是等于角 b 加上上面这个角的，也就是角 b f、 g。 它既然等于它，那必然有 e、 g、 h 是 大于角 b 的。 而因为平行，我们可以得到角 b 等于角 a、 d、 e， 但角 e、 g、 h 大 于角 b， 所以 角 e、 d e、 g、 h 同样也会大于角 a、 d、 e 好，所以我们就有了角 e、 g、 h 大 于角 a、 d、 e。 思路有了，重点是格式怎么写，我们来写一下。首先第六题解， 因为先表达这个大角，它等于角 b 加。呃，三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和，那我们就写，因为角 e、 g、 h， 它等于角 b 加上角 b 距 b、 f 距就等于这两个紫色的角相加，所以呢，我们就有角 e、 g、 h 就 大于角 b。 再说这个角 b 和题目说的角 a、 d、 e 它相等，那就是因为一 d e 平行于 bc， 所以 角 d 等于角 a d、 e 好，所以有 e、 g、 h 大 于这个角 a、 d、 e。 嗯，这道题就做完了， ok。

同学们晚上好。好，今天我们接着看第一张三角形的证明习题，一点一的第二题啊，我们在第一节中学了 一个定理啊，老师，原方不动搬过来啊，简称角角 a， 两个角相等，一个边相等，两个三角形全等。好， 继续推拓展为全等三角形对应边相等，对应角相等，这个都是推导出来要记住的啊，我们就不 详细讲了，我们主要是给大家讲课后题怎么做，检查一下你作业做的对不对。好，我们下面开始读题，如图，三角形 abc 啊，这个三角形和三角形 cda 啊，这个上面这三角形中，其中 ab 平行于 ab 平行于 cd， 我 们边读题边在图上给它标出来， ab 平行于 cd 啊，这两条边相平行，角 b 等于角， d， ab 等于三， ab 等于三。让你求什么？求 cd 的 长， cd 的 长啊，就是这个长，怎么做？大家思考一下， 我们从这个图上是不是肉眼可见它其实是 cd 是 等于 ab 的，是不？就你观察出来它应该是等于 ab 的，是不就你要怎么算出来呢？大家想一下。 好，下面我们一起看一下这道题啊，怎么做？不管会不会，我们先把题给它写上， 咱平行。我们说了，课后的练习题，就是用来检测你这节学对了没啊，学会了没啊，你这个定力怎么去用它？所以说老师把这个定力都搬到上面了，你就照着去用它怎么用呢？ 嗯，两个三角形啊，怎么用呢？现在已知条件是两个边平行，两个角相等，要给了一个三角形一个边的长度，让你求另一个三角形一个边长度。 那么通过定力，我们肯定要什么要正，两个三角形怎么样？全等通过什么呀？这不是放这了吗？人家就是要检验你这节课学的这个定理，会不会用角角边，那我们找吗？角是吧？角 b， 角 d 已经给了一个角 啊，边，哪条边相等呀？中间这条边他们不是重合了吗？公用，所以相等。好 a、 c， 那我们再找一个角相等了，就构成了什么角？角边怎么说？给了个平行，我们这个条件要用起来呀。给了个平行，那我们怎么用？ ab 和 dc 平行是吧？平行两条平行线，什么内错角， 内错角相等是不？那就说因为啊，我们从这给的条件一个一个去给他算，因为 ab 平行于 cd， 得到什么？平行线的 内错角相等就是角 b， a， c 等于角 a、 c、 d 是 吧？这个条件就相当于间接的给你这两个角相等，又因为又因为什么角 b 啊，你这条件角 b 等于角 d， 且 a、 c 等于 a、 c 啊，老师，板数有点粗糙，能看懂就行。构成了什么？是不是构成了角角边，所以三角形？ 三角形什么？ a、 b， c、 d 是不全等，所以全等三角形是吗？对应边相等，对应角相等， 所以 c、 d 对 应边 c， d 对 应啥？对应 ab， ab 是 不已知了给多少 ab 等于三， 就这么简单，你做对了吗？好，今天的课就讲到这里，咱们下节课讲第三题啊，检查一下，看你做的对不对，有问题在评论区啊，评论区留言，老师会，如果还有学生不太会，老师会加强去讲的。好，下课 记得点赞关注哦！

接下来我们看一下第四页啊，我说三角形的外角第一个需要绘画，然后第二个呢？我需要了解一下外角有什么特点啊？我说三角形的外角指的是什么？我说 这是一角啊，那我说角的一边延长，然后和另一边的什么加角，那这个就是三角形的一个外角啊， 那我说外角有什么特点？好，标记出来，这个我们记成角二，这是角一，然后角三，这个什么角四。我说三角形内角和是多少？一百八十度，所以我说角一加角二加角三等于多少？是不是一百八十度？ 那好，我说角二和角四属于什么角？是不是零补角啊？所以我说角二加角四等于多少？一百八十度。好，我相等的画出来一百八和一百八怎么样相等，然后角二和角二相等，所以角四是等于什么？角一和角三之合啊，所以我说角四等于什么？角一加角三。 那好，我得到这个结论，问，我在看图中是什么样子？我说这角四，这是角一和角三，也就是这两个角之合等于它。 我这句话怎么说？就是三角形的一个外角等于与之怎么样？不相邻啊，注意是不相邻，这个是属于什么相邻，不相邻是这两个角之合啊。好，我们一句话写到这一个三角形的外角等于与之不相邻的与之不相邻， 两个内角之合啊。我解析了，然后接下来我再看下面的题就可以了，我们来看一下第一题，那我说是外角的，是，首先我说这是一个角，对吧？角的一边延长和另一边的什么夹角，那我说一不是啊， 那我来看一下 b 选项，我一样，这是一个角，我说一边延长和另一边的什么加角，这个才是外角啊，所以我说 b 也不对啊，然后 c 更不用说了啊，我说这是这个角，我需要延长一边和另一边角的另一边的加角啊，所以我说 c 不是， 而 d 呢？我说延长 然后一边的加角，所以没问题啊，那这个题选就是 d 啊，这里面需要掌握两个点啊，第一个点就是我说 需要会画外角，那其次呢，我说外角定义一定要会啊，就是我们刚才的这一句话啊。接下来我们看一下第二题，我们说象形外角是什么？ d， a， c， 一 百度。好，我找一下 d， a， c， 这是多少？一百度，然后角 b 是 多少？六十度。我们说外角等于与之不相邻的两个内角之和 d， a， c， 好， 我写到这 等于什么？是不是等于角 b 加角 c 啊？好，那接下来我就带进去就可以了，所以一百度等于多少？是不是等于六十度，然后加上一个角 c， 所以 我说角 c 等于多少度？四十度啊，那这个题选 d 就 可以了。 接下来我们看一下第三题啊，如图，我说 c， o， d， c， o， d， 我是 七十度，找一下有没有对顶角，对顶角就是这两个角，就是两条直线交起来之后，这两个角除以对顶角， 其次这两个角也属于什么对顶角啊，这个是七十，所以上面这个角也是多少？七十。然后我说 a、 b、 e， 好， 我找一下 a、 b、 e， 是 不是可以理解为这个象形的什么外角是多少？一百三十度啊， 等于什么？不相邻的两个内角合，所以等于这两个角合是多少？一百三十度，这个角是七十度减七十度，等于多少？六十度啊？好，我直接写这个角是什么？就是角 o a、 b 啊。那问的是什么？是不是问的是 b a o 就是 吗？ o a b 啊，所以是多少六十度啊？那这个题选就是 b 啊。 接下来我们看一下第四题啊。我说平行可以得到同位角，怎么样？相等？内错角也是什么相等啊？所以我出现两组角相等，然后正什么？我说 e j h e j h 在 这个位置，我说了平行是不是这个角画到这了，所以需要正是什么？我说 e、 j、 h， 然后大于什么？角 b？ 我 说可不可以得到？可以啊，我刚才说了，我说 x 型的外角等于与之不相邻的两个内角之和，所以我说这个角一定大于它，也大于它啊。所以我说它成立吗？成立。所以它成立吗？成立啊。 然后接下来我们写一下这个证明过程，看一下啊。我说平行同位角相等 a、 d， e 和它同位角是什么？是不是角 b？ 所以 我说这个信号代表是什么？角 b？ 然后又因为我说 e、 j、 h 大 于什么 a 大 于它不相邻的任意一个内角，也就是说我说这个角大于它，同样这个角也大于它啊。 所以我写到是不是大于什么角 b 啊？我是不是得到大于角 b 啊？角 b 就 什么 a， d， e， 所以 我说它大于角 a、 d、 e 没有问题啊。那我们看一下判断正确的是 a 选项，我们说心和三角内容相同吗？相同，所以 a 选项错了， 角 b 选项，我说它代表的是什么？来看一下刚才说过了是什么角 b 啊，所以不是 a、 c、 b 啊，错了。然后 c 呢？我说圈代表是内错角，你看啊，这两个角属于什么角？我刚才说了，这两个角属于什么同位角啊， 所以我说圈他不对啊，是同微角相等啊，那 c 也错了，我来看一下 d， 我 说这个代表是什么？我说三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，没有问题啊，刚才解释过了，那这个题选就是 d 啊。 接下来我们看一下第五题，角 a 四十度。好，我直接标记啊，然后平行，我去找一下有没有相等的角啊？ d、 f 平行什么 ab， 所以 我说这两个角什么关系相等啊？ 角 d 是 多少七十，所以这个角也是多少？七十。那我们发现这个角有什么特点？是不是三角形 a、 c 的 什么外角，那等于什么？与之不相邻的两个内角合，所以它等于这两个角合， 那这个角七十，这个角是四十，所以这个角可以算吗？可以啊，是多少三十度啊。这个题问是什么 a、 c、 d， 那 我就结束了啊， 好，我们简单列一下思路啊，平行就是 ab， 平行于什么 d， f 是 不是可以得到？我说角 c、 b 等于什么角 d 等于多少？是不是七十度？我说他是什么外角，所以我说角 c、 b 是 不是等于什么角？ a、 c、 d， 然后加上一个角什么 a、 c、 d， 然后这个是七十，然后这个角是四十，所以我说这个角是多少三十啊？嗯，这个题就讲解完了，我说用的是什么外角，然后加什么平行的性质啊， 一定要会啊，相对来说难度系数不高，掌握啊，就属于基础题。接下来我们看一下第六题，我说平分，所以我说这两个角什么关系相等啊？角 b 是 多少？三十二度，然后角 e 是 多少？三十六度？ a 可以 算哪个角？我说 x 是 外角，对吧？ 你看这个造型中这两内角是不是知道，所以这个也是外角？可以啊，然后角 e、 c、 d， 然后等于什么角 b 加上一个什么角 e 啊，所以等于多少？是不是等于这两个角之和是多少？六十八度啊？好，我写到这，这是六十八，所以这个角也是多少六十八，所以我就会得到这个大角。我写出来啊，就是我说角 a、 c、 d 是 不是等于一百三十六度啊？我们说 a、 c、 d 这个大角呢？是不是三角形 a、 b、 c 的 外角？是啊，所以我说它还等于什么？是不是等于角 b 加上一个角什么 b、 a、 c 啊， 那所以我说角 b 是 多少？三十二度？我说 b、 a、 c， 可以 说吧？可以啊，所以我说角 b、 a、 c 等于一百三十六度，然后减去三十二度等于多少？一百零四度啊， 那我说这个题到问什么，我说 b、 a、 c、 a 是 不是就结束了？这是我说的第一问啊，接下来我写一下过程啊，减，好，我先写第一问啊，需要这个六十八度先出现啊。好，我用是什么外角，我直接写，因为角 b 等于什么三十二度， 然后角 e 等于多少？三十六度啊，所以我得到角 e、 c、 d， 然后等于什么？角 b 加角 e 啊，所以等于多少？是不是等于六十八度啊？接下来是不是我需要选这个大角了，对吧？用角平分线，先用一下，我说先得到这个角是六十八度啊，所以用一下角平分线啊，因为什么 c、 e 平分角什么 a、 c、 d， 这是不是跟我说原话术不一样？那为了我说保持一致，我可以把这句话写下来。没有问题啊，就是替换这个部分，那这个部分我就不再写了啊，平分。所以我是不是得到角 a、 c、 e， 然后等于什么角 e、 c、 d 啊？等于多少？是不是等于六十八度？所以我是不是可以得到我说这个大角 a、 c、 d 啊，所以我说 a、 c、 d 等于什么角 a、 c、 e， 然后加上一个角什么 e、 c、 d 啊，所以等于多少？一百三十六度啊，也就这个角出现了， 然后接下来是不要用外角了，就是我说三角形，哪个角形？这个角要用三角形 abc 的 外角啊， 又因为我说角 a、 c、 d， 然后等于什么角 b， 然后加上一个角 b、 a、 c 啊，那我说角 b， 度数知道吧？知道三十二度，好换个颜色，角 b 三十二。然后我说 a、 c、 d， 知道吧？知道，所以我说 b、 a、 c 可以 算吧？可以啊，所以我说角 b、 a、 c 等于角 a、 c、 d， 然后减去一个角 b 啊，接下来就带角度就可以了，这个一百三十二度，所以等于多少？一百零四度啊， 那我第一问就讲解到这，接下来我们看一下第二问啊，我说 b、 a、 c， 角 b 和角 e。 首先我需要明确 b、 a、 c 等于什么，是不是用三角形的外角 b、 a、 c 是 不是等于？我说这个大角减去它啊？ 是不是等于角 a、 c、 d， 然后减去一个什么角 b 啊？那我说 a、 c、 d 怎么表示？这个角是不是等于这两个角之和？因为角平分线嘛，所以等于二倍的它没有问题吧？等于什么？ a、 c、 d 是 不是等于二倍的角 e、 c、 d 啊？ 然后这个部分没有动啊，所以我直接写下来就可以了。然后接下来我说 ecd 是 什么？好，我再看啊，我说 ecd 是 这个三角形的什么外角，所以我说 ecd 等于这两个角之合啊， 我说角 ecd 等于什么？是不是角 b 加角 e 啊？那我可以怎么样带进去啊？好，我带进去可以得到什么？是不是得到二倍的角 b 加角 e 这个部分就和他怎么样一样？那这个部分不变，给他移下来，然后整理一下展开啊。所以二倍的角 b， 然后加二倍的角 e， 然后减去一个角 b 啊，那我再整理一下，那这个部分合起来是角 b， 加上一个什么二倍的角一啊，这个就是什么结论啊？我就结束了，接下来我写一下证明过程啊，我说先写什么？我是不是需要这个大角？是这两个角之合也等于他的二倍啊？所以我需要把这一步先写出来。先用什么角平分线啊？因为 c、 e 是 三角形 a、 b、 c 外角的什么角平分线？我先写了，所以我是不是得到 a、 c、 e 等于什么角 e、 c、 d 啊？所以我是不是可以得到角 a、 c、 d 这个大角等于这两个角？之后我先写出来 a、 c、 e， 然后加上一个角 e、 c、 d 等于什么？是不是这个角的二倍啊？所以等于二倍的角 e、 c、 d 啊？那我说这一步就结束了，然后接下来我是不是这个角等于什么？是不是也是这个角形的外角啊？好，我直接写，因为角 e、 c、 d 是 三角形 b、 c、 e 的 什么外角？所以我说角 e、 c、 d 是 不是等于角 b 加角 e 啊？ 那我是不是可以把它怎么样带进去啊？所以我是不是得到角 a、 c、 d 等于什么？二倍的角 e、 c、 d 就 等于二倍的角 b 加角 e 啊，那我就放着就可以了。那我说 a、 c、 d 表示出来了吗？表示出来了，那我说 a、 c、 d 还是什么？是不是三角形 abc 的 外角啊？好，我再写一下， 因为角 a、 c、 d 是 三角形 abc 的 外角，所以我是不是可以得到角 a、 c、 d 等于什么？是不是等于角 b， 然后加上一个角什么 b、 a、 c 啊？ 所以我是不是可以得到角 b、 a、 c 啊？ b、 a、 c 等于什么？是不是等于角 a、 c、 d， 然后减去一个什么角 b？ 我 说 a、 c、 d 是 不是有它，所以我是不是可以带进去啊？等于什么？ 是不是等于二倍的什么角 b， 然后加角 e 减去一个什么角 b 啊？那我再整理一下，所以是什么二倍的角 b， 然后加二倍的角 e 减角 b 啊，所以整理我是不是角 b 加上什么二倍的角 e 啊？那这个题我就讲解到这， 接下来我们看一下第七题啊，我们说角一、角二、角三是什么外角？我们为什么角一加角二的度数。好，我来看一下这个图中可以知道什么， 你注意啊，我说这个角可以看出来吗？可以啊，这是十二、十、三、十、四十，所以这个角是多少？ 这个对应是什么？四十五，所以我说角三是等于多少？四十五啊，我们把它记成什么？角四，然后角五，所以我说角三是四十五度，它是什么外角？所以我是不是得到角四加角五等于多少？是不是等于 四十五度？二？那为什么我说角一加角二？那好，我说角二，则表示我说角二等于什么？一百八十度，然后减去一个角四，又什么零补角二？ 那角一呢？是不是等于一百八十度？减去一个什么角五？那角一加角二。好，我加起来等于什么？全部加起来，这两个一加是多少？三百六十度，然后减去一个角四减角五。好，我减号是不是可以提出来等于多少？三百六十度，然后减去括号里面什么角四加角五啊？ 那角四加角五是多少？四十五度？好，我们直接带进去啊。所以等于三百六十度。减去四十五度，所以等于多少？三百一十五度啊。那这个题我们选 d 就 结束了啊。

图一杠四在证明三角形内角和定理式。小明的想法是，把三个内角和凑到点 a 处，故点 a 做直线 p q 使 p q 平行于 bc， 他的想法可行吗？如果有可行，能写出证明过程吗？ 或者可行证明。嗯，因为 p q 平行于 bc， 嗯，所以角 b， 所以 角 b 等于角 p a、 b， 嗯，这两个相等。若角 c 等于角 q a、 c 这两个相等。 因为角 p a、 b 加上角 b， a、 c 加二角 q， a， c 等于八十度，所以，所以角 b 再加上角 b， a、 c 再加上角 c 等于一百二十度。 嗯，对于三角和内角的定义，你还有其他证明方法吗？嗯，可以用折叠法把角 a 折到这里。呃， 大概也是大概是这里，然后把角 b 折到这里，把角 c 折到这里。还可以用减拼法。嗯，嗯，好 读。图，在 abc 中，角 a 等于六十度， 角 c 的 以七十度，点 d， i， i， i 点 d， e 分 别在边 a、 b， a、 c 上，且 d、 e 平行于 bc 啊。求这角 a、 d、 e 等于五十度 啊。角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度。因为角 a 等于六十度，角 c 等于七十度， 所以角 b 就 等于一百八十度。减六十度，减七十度就等于五十度啊！因为 d， e， p 弦 e bc， 所以 角 a 抵 e 等于五十度。然后两人因为两直线与 d 形同一角相等。 嗯，在 a、 b、 c 中已知角 a 等于五十度。 嗯， d 比 d 与 c， e 是 角 a、 b、 c 的 勾点， o 是 它们的焦点。求角 a、 b、 d 和角 c、 o、 d 的 度数。 角，嗯， a、 b、 d， 嗯，因为这个 b、 d、 c 等于九十度，所以这也是九十度。然后他题目中说了，角 a 等于五十度，就可以算出来这个是四十度，其，所以角 e、 b、 d 等于四十度。角 c、 o、 d， 嗯，因为 这里他输了是九十多，所以 e、 c 也是九十多。因为 b、 d、 c 是 九十多，所以 a、 d、 a、 d、 b 也是九十多，那也输了是五十多，嗯，有四边形，四边形的那样和可以得出 三百六十度减九十度，减九十度，减五十度，呃，就能算出来是一百三十度。因为这个音调是一百八十度，所以这里的 d、 o、 c 就是 一百八十度，减一百三十度就等于五十度。

嗯，这个推论还有 立梯啊，自己看一眼就行啊。哎，这个随堂练习，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于四十五度， 外角 d、 c、 a 等于一百度， 求角 b 和角 a、 c、 b 的 度数。 首先，嗯，因为角 d、 c、 a 等于嗯，角 a 加角 b， 所以 角 b 就 等于 角 d、 c、 e。 减角 a， 也就是一百度减四十五度，求出来角 b 等于五十五度。 因为角 a、 c、 b 加上角 d、 c、 e 等于八十度，所以角 a、 c、 b 等于一百八十度，减 z 一 角 d、 c、 e 就是 一百八十度减一百度。最后算出来这个是八十度。 无图，角一、角二、角三是三角形阴鼻子的三个外角。那么角一、角二、角三的和是多少度 啊？因为角一等于角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b。 角二呢，等于角 b、 a、 c。 加上角 b、 c、 a。 角三等于角 c、 b、 a。 加角 c、 e、 b。 嗯，最后就会发现，角一加角二加角一加角二加角三，就是两倍的角 a、 b、 c。 加角 b、 c、 a 加角 c、 a、 b， 最后算出来是三百六十度。 哼，怎么设法求出五个内角的和？嗯，可以直接测量，也可以通过加五边形分拨为若干个三角形后再算，就像这两个图一样。 嗯，小亮、小明分别利用图一杠十一和图一杠十二求出了五边形五个内角的和，它们是怎样做的？ 嗯，就是通过把五边形给分成几个三角形的方法。 按照图一杠十一的方法，六边形能分成多少个三角形啊？由计算可以得出， n 边形能分成 n 减二个三角形， n、 b 形的内角和为 n 减二乘以一百八十，乘以一百八十度。

负十的平方根下负十的平方是负十的平方等于一百，那根号一百的话，相当于求一百的算数，平方根等于十三的括号平方，这个公式我们要学过，遇到什么根号 a 的 括号平方这种呢？一定等于这样 a， 所以 说这个等于括号三的平方等于谁呀？一减配的绝对值，一减配的绝对值，那我们想一下，一减配的绝对值是大一点小零呢？ 嗯，大一点，小一点应该是小一点的，小一点的话，那就等于一下配减一，那所以说根号下减减三的括号，依据这个公式，我们就可以写成等一下配减三， 根号外面乘，根号外面三乘四等于十二，根号里面根号里面相乘二乘六等于十二，那就可以写十二倍根号十二，那写完，写完之后，这根号十二明显是还可以再开，可以写成二倍根号三，然后写成二和十二乘二。十倍根号三 啊，你可以再直接乘根号下四乘八，四八三十二，根号三十二，根号三十二的话，想想根号三十二应该等于十六乘以二十六乘以二十四，十六，那可以开出等于四倍的根号二二次根四，那说明这个 x 减二要等于零，对不对？然后呢？分母在这里分母 x 减一，那说明 x 减一 要不能等于零这两个条件，所以说 x 要大于等于二，所以说 x 要大于等于负二。好，这是加法啊， x 大 于等于负二，且 x 不 等于一，根号下 x 减二的， x 的 取值放里求，这个也是一样，我们写根号二， x 减二应该大于等于零， x 要大于等于二就行了。被开方数，你看被开方数，我们课堂讲过，被开方数是相反数。像这样的，那 x 就 怎么等于谁啊？只能等于十三， 它俩只能都是零，所以 a 等于十三，那现在 a 等于十三的话，那你看这个 a 等于十三的话，那这一部分是零，这一部分零， y 就 等于几啊？ y 就 可以走了， y 一定等于五就行了，这个等于五。 第二个求 x 平方等于 y 的 平方根，那 x 等于十三， y 等于五，那我们在算的时候要注意，等于十三的平方减去 y 的 平方，那我们在算的时候要注意，等于十三的平方减去 c 啊，减去五的平方 等于一百四十四，当一百四十，你算什么？算它的平方根？算平方根，那说明算要算一百四十的平方根。一百四十四的平方根怎么表示？ 平方根用正负号，正负根号下一百四十四。等一下，正负根号下一百四十等于正负十二。好，可以了，当 x 大 于一小于二十，你发现 x 减一是 大于零的，然后呢？ x 减二是小于零的，那大于零的话，那得结果应该是可以等它的本身，如果它是小于零的，那你应该得结果是它的相反数，然后把它化简的时候，就可以写成 x 减一，加上这样， a 二减 x 等于一，这平方四十八应该等于十六乘以三啊，十六可以开出四等于四倍乘以三， 这根号，这根号下五分之三行分母有理化，同时分子分母同乘以根号五，那就是五分之根号三乘五等于十五，根号十五，这里根号六分之三。那你可以进行分母有理化，那根号六乘以根号六，那三乘根号六，那这个零六分之三倍的根号六以化简，可以写成二分之根号六。 看这个 b 开方数是 a 减三，三减 a 是 互为相反数的，所以说他俩又应该是等于这样， a 应该等于这样， a 应该等于三， a 应该等于三，那其实他这个写的话，呃，应该是什么？应该是 a 减三大于等于零， a 减三减 a， 三减 a 应该也大于等于零，就可以得出得出什么 a 等于三， a 等于三的话， b 就 等于七，那 a 等于三， b 等于七， a 等于三， b 等于七，那这个时候 a 加 b 就是 三加七等于十， b 是 考非负性的， a 减二应该等于零，这个也等于零，这个三部分都等于零，三部分 a 减二等于，可以得出 a 等于二，那 a 等于二的话，二加三等于五， b 就 等于谁呀？负五， 那 b 等于负五，那 c 就 等于乘等于五了，那这个时候 a 加 b 加 c 就 可以等于二，这里的 a 是 大于负一小于小于零的，那所以说 a 加一应该是大于零的， a 加一应该是大于 a 加一大于零的话，所以说它取决于值应该还是 a 加一。 第二个，你看二倍的括号根号下 b 减一的平方， b 减一呢？ b 是 大于零，小于零的，那 b 减一呢？已经是小于零，小于零的，小于零的话，它去绝对值化等于这样，一减 b， 一 减 b 的 话等于二倍。括号一减 b， 第三个 a 小 于 b， 那 所以 a 减 b 应该小于零，所以说去绝对值等于这样等于 b 减 a， b 减 a 啊，这里在上的时候，你发现去括号 a 加一加上二减去二， b 加上 b 减 a 啊，这里 a 跟 a 约掉， 除以六，然后二加一等于三，三减去 b 就 等于三减 b， 好 结果就是三减 b， 然后这里呢？第六个，这分母有理化，那分子分母同乘以，如果分母是正好五减四，我们就乘以刚好五加四。利用平方差公式，等于根号五的平方减，减去根号四，平方等于五减四。分母就是一了。 分子的话，就用根号五加根号四，最后写成根号五加根号四就可以了，这里呢， a。 首先我们看一下，这个里面被开方数负二分之一， a 应该是一个负数，因为 a 是 负数的时候，才能保证被开方数为正数，所以 a 是 负数。既然 a 是 负数，你把 a 平方之后放进去，把 a 平方之后放进去，应该是负 a 分 之一，把 a 平方之后放进去，应该这样， 放进去之后，那外面因为 a 是 负的，你把 a 平方之后放进去，里面，外面应该有一个符号，加一个符号啊，加一个符号，那这个时候你就可以化简一下，等于负的根号负 a。 第三个，这个是一个乘除，一个混合因子，那你可以先把根号八进行呃，进行化减，化减完就等于二倍的根号二，然后除以二倍，根号乘以十二，那这里再除的时候，二除以二没了，然后根号二除以根号六，写成它，然后根号二除以根号六，分母幺八写成三分之根号三乘以十二，等于四倍的根号三。正确， 这也是也是一个乘除的一个混合因子，那就是相当于根号六十，根号下六分之一乘以九十六，六分之九十六，根号下 除以根号六等于，这个可以换一换，换一换等于十六十六的话，开出来等于四四，除以根号六等于根号六分之四。然后呢，这里要再把根号六分之四分母以油立方写成三分之二倍的根号六。最后一题，让你这个第四题啊，他让你去分母油立方，那分母根号六减去根号五，你应该乘一个，这样根号六加根号五，所以这里面少一步应该写根号六 减去根号五，乘以根号六加上根号五，这样的话，分母也要分母，乘它的分子也要乘它根号六加上这样根号五，那这样的话，你发现这分子分母的话，就可以写成根号六的平方， 利用平方差公式，根号六的平方减去根号五的平方，连六减五等于一等于一分之根号六加根号五等于根号六加根号五就行了。我们观察这边， 哎，等号右边，等号右边， m 减 n， 看一个整体，你发现 m 减 n， 既要减 m 减 n 减二等于零，这个也要大等于零，所以说你发现 m 减 n， 所以 通过这个式，你发现 m 减 n 应该是怎样？应该等于二零二四，因为保证它的被开方数是大于等于零的话，你发现这两个式子是一个相反数， 所以 m 只能等于这样二零二四，当 m 等于二零二四的时候， m 减 n 等于二四的时候，那我们再看，说明这个加这个等于零，当这两项加在一起等于零的时候，那 想想这两项加的几等于零，说明这两项都在是什么？零，那说明二 x y 等于谁呀？二 x y 等于负的二零二七，然后呢， x 加二 y 应该等于二零二四。通过这个二元一次方程，我可以得出来，三 x 加上三， y 应该等于谁呀？等于负三。那所以说化解一下， x 加 y 等于谁呀？负一。 通过上面的话我们可以看出， m 减 n 等于二零二四， x 加一， x 加 y 等于负一。那我们再算这个 x 加 y 的 时候，算它的结果值的时候，就可以看 x 加 y 等于负一，那就是负一的括号 m 减 n 值是二零二四。二零二四等于谁啊？一。

大家好，这节课咱们来学习第二章不等式跟不等式组第一节不等式及其性质的第二个式。 上节课呀，咱们学习过什么叫做不等式以及不等式的解，那么不等式的解跟它的解集又是怎么来区分的？我们一起来回顾一下哈。 不等式的定义，上节课咱们讲过叫做用符号哎，这些表示不等式的符号，不等号来连接的式子就叫做不等式。那不等式的解和解集， 我们一起来回顾一下。对于一个不等式来说，它的解呢，是有无数个的，但是解集呢，却只有一个 解是能使不等式成立的单个具体的数值，它是满足条件的个体，比如说 x 得五， x 得八，有无数个这样的个体。而解集呢，是能使不等式成立的所有数值的这个全体，它是一个范围， 是所有解的一个集合。通常咱们用不等式来表示，或者是竖轴来表示解集啊，解集是个范围。 接下来呢，我们就将类比等式的性质来研究不等式所具有的性质是什么。 所以呢，接下来咱们就开始探讨一下叫做不等式的基本性质，思考一下。根据不等式的特点，我们不难理解以下结论。一、 不等式的对称性什么叫对称性呢？如果一个数大于另一个数，那么另一个数就必然小于这个数，哎，这个就是他的对称性，你比他大，他就比你小。 那么我们用符号语言来表示，就是如果 a 大 于 b 的 话，那么 b 就 小于 a， 这个是很明显的一个常识问题，对不对？ 第二个就是不等式的传递性，什么叫传递性呢？也就是说如果一个数小于 第二个数，那么第二个数就小，第二个数也小于第三个数，那么第一个数就小于第三个数，哎，或者都变成大于也行。那这个我们要是用符号语言来表示的话呢，就是 如果 a 比 b 小， b 比 c 小， 那么 a 就 比 c a 小， 这个就是表明我不等式具有传递性。 这个是我们属于不等式的第一种基本性质，一个是对称性，一个是传递性啊。下面我们再来看一下不等式基本的性质，一 等式两边加或者是减同一个数所得的这个结果仍然是等式。那么这个性质在不等式上是否仍然成立呢？我们一起来看一下。比如说五大于二， 负一小于四，负三小于负五，如果我在这三个不等式的两边同时加上或者是减去同一个数， 哎，同时加或减同一个数，咱们看一下这个不等关系是否会发生改变。比如说我在五和二两边同时加上三，发现八仍然比五大，我在负一和四两边同时减去二，我发现负三仍然比二小。 我在负三和负五的两边同时加上五，我发现二仍然比零大。哎，经过咱们举例之后啊，会发现，在不等号的两边我同时加上或者是减去同一个数的话，那么这个不等式的 关系没有发生改变，仍然是原先大于号，现在还是大于号， 那么变形后的不等式就是刚才咱们所说的，你看八大于五，负三小于二，二大于零，没有发生改变。所以呢，咱们看到你看左边右边是不是都不变呢？ 由此我们就能够总结出来，不等式的两边都加或者是减同一个代数式。这里边咱们就上升到代数式的层面了， 可以说同时加个 a 呀，减个 b 呀也都行，那么不等号的方向 不变。我们把这个性质总结为不等式的基本性质一啊，它就属于我们不等式的第一条基本性质。咱们再来总结一下， 不等式的两边都加或减同一个代数式，不等式，不等号的方向不变啊，这个就是我们的不等式的第一个基本性质。 如何用符号来进行表示呢？如果 a 大 于 b， 那 么在这个两边同时加或减 c， 符号发生改变。第二个， 如果 a 小 于 b， 那 么在不等号两边同时加或者是减 c， 不 等号也不发生改变。 c 位任意数或者是代数式，其实就说任意代数式就行了，数它本身就是特殊的代数式啊。 下面我们对应着看一道练习题，如图啊，变形不等式， 我们对这个不等式进行变形，变完之后让它符合不等号，左边只剩 x， 右边呢？剩一个。 呃，除 x 之外的式子的形式啊。咱们来看一下这个代数式，目前左边它就多了一个，减二分之一， 所以我们就可以考虑我在左边加一个二分之一，那不就没有这个负二分之一了吗？根据不等式的基本性质一，你在左边加，右边也得加啊，所以说在不等式两边同时加二分之一，就可以得到 左边加，右边加。因为同时加或减同一个式子，不等式的符号不发生改变，所以呢，它的最终结果就是 x 大 于四分之五。 下面我们再来继续探求不等式的另外两条基本性质，思考一下，等式两边都乘或者是除同一个不为零的数，所得的结果仍是等式。 那么这个性质在不等式上是否仍然成立呢？我们仍然是举一些例子来试验一下。 取出三个不等式，接下来我在这三个不等式的两侧同时进行变化， 比如说，第一个不等式在两边同时乘四，第二个同时乘二，第三个同时乘三。 我们来看一下，变形后的不等式，分别为十二和四满足大于符号。第二个负一和正二，满足小于符号。第三个负十五跟负二，十一大于。 我们仍然能够发现，在变化前的不等号和变化后的不等号是相等的，也就是说变形后不等号没有发生改变。 在这个过程当中，咱们是同时乘或者是除同一个不为零的什么数啊？ 正数了，哎，在这个过程中，咱们变的是正数。所以呢，我们总结一下，我们发现不等式两边都乘或除同一个正数，哎，这个正数咱们就不需要加不为零了，因为零他不是正数，所以不等号的方向呢 不变。这个呢，咱们把它叫做不等式的性质二。然后呢，咱们再来探究一下，刚才我们所乘或除的都是正数，现在呢，把它们都变成负数，那么这个结论是否仍然成立？咱们再来试一下， 还是用这三个式子。接下来呢，我在他们两边同时乘或除一个复数，第一个式子同时乘负四，第二个式子除负二，第三个式子乘负三。 然后我们经过计算，发现第一个变成了左边负十二，右边负四小于号。第二个左边负一，右边左边正一，右边负二大于号，第三个左边三分之五，左边十五， 右边二十一小于号。哎，经过计算，咱们发现不等式的符号都发生了改变，变形后不等号全和原来相反了。那么这种情况咱们总结一下，叫做等。 咋说等式呢？不等式啊，不等式的两边都成或除同一个负数，那么不等式的符号发生改变啊，一定要发生改变。那咱们把这个呀，叫做不等式的性质三啊，叫不等式的性质三。 好，下面我们再来归纳一下不等式的基本性质，这个位置应该是二逗三。哎，这个 ppt 出现了一些不同程度的问题啊。 不等式的基本性质二是不等式两边都成或出同一个正数。不等号的方向不变， 用符号表示为，比如说 a 大 于 b， 咱们乘的是正数，所以你要规定一下， c 是 大于零的，那么同时乘 c 不 变，同时除 c 也不变。 不等式的基本性质三，不等式的两边同时乘或除同一个负数，那么不等号的方向要发生改变。几何语言表示一下， a 大 于 b 的 情况下， 交代 c 是 个复数，那么他们同时乘 c 除 c， 符号必须发生改变。这就是我们所讲解的不等式的性质一、二、三。下面呢，我们针对不等式的性质二、性质三，做两道练习。 第一个，求解不等式，要想求解不等式，就是表示我最终的结果，左边只剩 x， 右边求出数。所以呢，咱们先观察圆的结构， 原式结构，左边是负四乘 x， 那 我怎么把负四干掉啊，我就得除个负四，所以我第一步同时在两边除负四，除负四，根据性质三要变号，所以最终是 x 小 于负四啊，大家注意， 来，依据性质三进行变形，两边同时除负四，不等号方向发生改变，除完负四，左边是 x， 右边负四，符号发生改变，最终结果 x 小 于负四。 当然，之后我们在真正进行计算的时候，中间这些过程都不需要分析，直接写红色部分就可以了啊。第二个，第三个求不等式， 左边呢，它是出现了一个 x 除以三，我得把三干掉，所以再乘个正三就行了。你根据性质二乘正数不变号。所以呢，咱们来变一下性，根据性质二进行一下变形，两边同时乘三，得到 左边乘三，右边乘三，不等式的符号不发生改变，进而计算得到 x 小 于等于六，完事。 下面呢，我们针对于这节课我们讲的这三个不等式的基本性质来对应着， 看一下例题啊，看一下例题，根据下，根据不等式的基本性质来解下列不等式，并将解集表示在数轴上。哎，大家注意这里边两个要求啊，来，第一个不等式， x 减五大于负一，观察一下，左边是减五，那咱们只需添加五满足。第一个不等式的基本性质，符号不变， 根据不等式的基本性质，一两边同时加五，得到 x 大 于负一加五，所以 x 大 于四。 再结合我们上节课所学的在竖轴表示不等式的解集，先画一条竖轴， 要写这句话啊，在不等式，在呃，把这个不等式的解集在竖轴上，表示在竖轴上找到正四的位置，因为是大于号，所以是空心，在等号就是实心了，对不对？大于四向右侧划射线， 所以就表示出来了，这是我们第一个。再来看第二个，负二， x 大 于等于三，先观察左边结构，负二乘 x， 要想只剩 x， 就 要除负二，所以我们根据不等式的基本性质，三两边同时除负二， 符号方向发生改变，解得 x 小 于等于负的二分之三。 然后呢，我们再把这个不等式的解集在竖轴上，表示如下。这句话要写啊，别直接画个竖轴，就在这表示了。先画竖轴，在竖轴上找到负二分之三实心点，因为有等号，小于等于往左画射线 就可以了。好，下面呢，我们再来对比一下等式和不等式的区别和联系。咱们学过不等式之后，发现它跟等式非常像，是不是 等式两边都成或出同一个不为零的数，所得结果仍然是等式？那么这个性质 在不等式上是否仍然成立呢？我们来对比一下它们的区别和联系。首先来说，联系就是 一加减，运算上面，两者行为一致，也就是同时加或者是减，这个不等式的方向不变，等式也仍然成立。二、传递性逻辑相似，但不等式传递时是有方向的哎， 等号谁？比如说 a 得 b， b 得 c， 那 么 a 得 c， 但是不等式呢？它也满足传递性，但它有方向，你大于大于，要不就小于小的意思啊。 第三个，在正数范围内乘除正数的性质与等式类似啊，乘除正数，也就是我的不等式的基本性质。二仍然成立啊， 区别上面来说，一乘或除以负数的时候，不等号反向了，而等式的话是不影响的，仍然是等式。不等式呢，他们的关系发生了相反，原先你比他大，这回你比他小，就这个意思。 第二，不等式没有两边同时消去的简单保号性。 什么意思呢？等式的时候，两边可以同时消去负二，同时消去负五，但是负不等式就不行了，你不能说两边同时消去负二，消去负五，符号要发生变化，也就是等式具有保号性，不等式就不行了。 好了，这是呢，咱们为了更清楚的认识，学习一下不等式，进行了一个简单的对比学习。下面呢，我们看一下，这就是我们这节课所学习的不等式的基本性质， 其中我们讲了三条基本性质，哎，第一条基本性质呢，是在两面同时加或者是减同一个代数式，不等式的符号不变， 用几何语言来表示啊。第二个基本性质呢，是在不等式的两边同时乘或除同一个正数，它的方向要发生改变。不等式的基本性质三呢，是在两边同时乘或除同一个负数，方向 要发生改变啊。大家主要是记住，不懂事的基本性质三，刚开始做的时候比较容易错，需要大家多进行一些练习。好了，这就是咱们这节课所学的内容，剩下几道练习题，大家对应着尝试着做一下啊。 好了，这节课呢，我们就上到这里，感谢大家。