圆怎么做九年级下册

九年级的小伙伴朱老师又来了，这道题可以说是难度的天花板，可以说百分之九十九的孩子几乎是做不上，那我们看一下这道题啥意思 啊？这里 ab 是 圆 o 的 直径，点， c 在 圆上，哎，然后 cd 是 垂直， ab 的 cd 垂直， ab 垂直于直径，那是不是正常？你在圆里就有垂直定律？我要一延长的话，看， 哎，一延长它与圆，加上这个焦点 m 的 话，这里是不是有垂镜，镜里 dm 和 cd 的 呢？是不是就相等？然后这里告诉你， a d 是 二，那我就标上这是二，对吧？ e 是 圆 o 上的一个动点， e 在 圆 o 上动， 然后这里 f 为 c 的 中点，你看他就起很关键的作用了。 f 想到中点，看这中点会想到啥？哎，其实常见的辅助线就是背长，中线呢？中位线呢？如果等腰有中点，三线合一啊，直角有中点，会想到啥？想到斜中， 那我们想一下，你看在圆里，它是终点，哎，刚才说了，你这垂直，我一延长，垂径定里，它是不是也是终点？那这个正常要连接谁呀？ m e 的 话，这个 d f 是 不是就变成谁了？是不是就变成这个谁呀？三角形 e c m 的 一个啥中位线对不对？ 你看他这里，他说若在谁呢？点 e， 在 运动过程中， df 的 最大值是四，让你求 cd 的 乘， df 的 最大值是四，让你求 cd 的 乘，那我们是不是就得找到 df 什么时候最大， 啥时候最大？哎，来我们看一下，你 df 最大值是四，那 df 的 最大值是不相当于求谁？求这个 c e 的 最大值，然后我们除以二， 那它最大值是？是四的话， c e 的 最大值是几啊？ m e 最大值是几？是不就是八？ m e 的 最大值是八，那在圆里，你看弦长啥时候最大，是不是？哎？直径的时候最大，这个时候最大， 哎，那也就说我们的直径是几？哎，直径是八，那半径一半是四，一半是四，那我们要求求啥呢？求 cd 的 长，求 cd 的 长，半径已经是四了，哎，那这个 ad 长是二，那咋地？哎，那我就连接谁呢？连接我这个 c o 连接 c o， c o 长是不是也是四啊？那这是二，对不对？哎，那咋的，那这个 c o d 长是不是也是二？哎？ o d 长是二，那我在这个直角三角形当中， 哎，你 c d 长是几啊？是不是四方减二方啊？哎，这块是不是二倍跟三呢？听明白了吗？我们 总结一下这道题啊，最开始的话，你看，哎，垂直于直径，那是不是延长之后是不是就有垂直定力？哎，这是一个关键，垂直定力就得到 d 是 谁？ c m 的 终点， 然后这里又一个关键信息， m 是 谁？ m 是 c 终点，那这样的话，这个 d f 就是 这个三角形的啥中位线，它最大的时候是不相当于谁？ m e 最大？ m e 在 圆里最大，是不就是直径的时候？那也就说我能把直径和半径求出来，直径和半径分别是四，直径和半径是四。给你，这是二，你要想求 c d， c d 只能放在这个直角三角形里吧。哎，放在直角三角形里，那也就说这是四，这是二，那 c d 咋呢？我们就求出来。 ok。

首先这节课我们先回顾一下前面我们所学的圆的有关知识。第一个圆的定义，谁能知道圆是什么样定义的？ 来，李思雨同学，你说圆是平面上到定点的距离，等于定长的所有点组成的集合，请做， 那么这里边包含了几层意思呢？定点他指的是什么？那么定长指的是什么半径？那大家想，因此要确定圆，他必须具备两个元元素，那一个它就是圆的什么圆心， 另一个半径，只要这两个条件确定了，那么这个圆也随之怎么样确定。那么大家想， 圆是到定点的距离等于定成的所有点组成的集合。还有另一层意思，那么我先问，圆上的点到圆心的距离什么关系？相，圆心到圆上的点距离什么关系？相等是相等， 那么圆到底能解决什么样的问题呢？大家来看下面这样一个问题，你有什么样的方法可以 破镜重圆，使破损的镜子恢复原状呢？大家想一下，这个破损的镜片里边，我们能不能知道它原来圆的圆心 不能，半径不能。那么在这样子圆的圆心半径还都不能确定的情况下，我们如何来恢复原状？ 那么我们就要学习今天的知识，确定圆的什么条件？那么 大家回忆一下，我们前面学过直线的确定过一点，我们可以做多少条直线？五十几点可以确定一条直线，那就说明点可以用来确定直线，那么点 可你不可以来确定圆了。这节课我们就来探索这个问题，下面大家来动一动自己的手，动一动自己的脑，来自己探索一下。首先大家看这个 屏幕上两个问题，第一个是过一个点 a 做圆怎么样做？能做多少个？第二个是过已知 a、 b 两点做圆怎么样做？能做多少个？现在大家试着自己完成一下，过点 北京或点 a， 要这个点 a 应该在圆什么上？我们刚才讲了，确定一个圆具备两个要素，一个是圆心，一个是半径。来， 我看大家都说差不多了，来，何轩同学，来，你给咱把你的这个给大家展示一下，来， 放这来，放开，我给大家展示一下，后边能看清不能？来，你说如同我们可以得知过 a 点可以做无数个圆，这，这是为什么？原因很简单，现在我们已经知道了，确定圆的两个要素是圆心和半径， 而过 a 点并没有确定他的圆的半径和圆心，因此过 a 点可以做无数个圆，有没有意义？回答的很好是吧？圆的半径和圆心都不能确定，所以这样的圆有多少个？无数个，那么 在这能不能再取一个圆心？可以，再以 a 和这个点一连，能不能再做出一个圆？可以，也可以，很好， 请坐。大家再来看过两点如何来确定圆，你给大家说一下。王斌同学，来，你也展示一下你的。首先由圆到 a 与 b 到 圆心的距离就相等，那么这个点就一定在 a、 b 的 垂直平分线上，那么我们就可以先做 a、 b 的 垂直平分线，我们先连接 a、 b， 指着讲，让大家能直观的我们先连接 a、 b， 再以大于二分之一 a b 的 半径画弧，测出 a、 b 的 垂直平分线，按垂直平分线上的任意一点到 a、 b 的 距离都相等， 那么所以我们两个任意一点都可以为 ab 的 圆心， ab 在 这个圆的 这个圆， ab 的 这个圆上，那么这个圆的圆心不定，其它的半径不定，那么这个圆也就不定了，那么就有无数个圆，这有无数个圆，这个圆，这个圆心，它和 ab 有 什么样的关系？它的分布有什么样的特点？ 我叫同学来说一下。陈诺然，你说在 ab 的 什么线垂直平分线上？好，请做完了没？展示完了。好， 那大家来。刚才这个同学已经讲了，做圆心都在 ab 的 什么线上？垂直平分线上，那么为什么 原先在 ab 的 垂直平分线上，刚才这个同学其实已经说过了，咱们回顾一下来。何轩，你说垂直平分线上的任何一点到 ab 的 距离都相等 很好，是因为圆上的点到圆心距离是什么相等，所以圆心应该到 a、 b 两点距离相等，那么他这一个圆心就应该在 a、 b 的 什么线上？垂直平分线上。 很好，刚，咱们现在把大家刚才做的我们来回忆一下，那也就是说过一点，我们能够做多少个圆？因为半径和圆心 不确定都不确定，我们可以做无数个圆，过两点也是无数个，因为他是圆心，是垂直平分线上任意一点， 而且他的圆心都在线段的，什么垂直平分线上，我们做无数个， 我们的圆现在还没有唯一确定，那么我们需要再来探索过三个点，这样做圆，这个就比刚才稍微困难了一点。 那这个要解决问题，大家可以互相讨论一下，还是挺聪明的，听到没？还行，我看他都讨论出来了，来，我让咱一个同学给大家展示一下他所做的。来，冯洛洛同学，来你上黑板给大家展示一下， 做一下，看怎么样来做，哎。圆规给大家做一下，其他同学不会的，你再继续就会这样做。他说要经过减 a、 减 b 和减 c， 要经过减 a 和减 c， 要做一个圆，经过点 a、 点 b、 点 c， 其实点 a、 点 b、 点 c 是 可以围成一个三角形连接 abbc。 他 画要做一个圆，要经过点 a、 点 b、 点 c， 也就是说 点 a、 点 a、 点 b 到点 减 a、 减 b 到圆心的距离相等。我们之前学过像线段垂直平分线上的点 到线段，两个的距离都相等，我们现在分别做 ab 的 垂直平分线和 bc 的 垂直平分线，以及 ac 的 垂直平分线大于二分之一 bc。 画图我一翻，来，你来帮一下他，拿一下东西，他需要你拿什么东西？帮一下他，你把圆规给他拿。现在是做 ab 的 线段垂直平分线， 现在又做 ac 的 垂直线段垂直线段垂直平分线，交给点头，那么 现在垂直平分线的点到两边端，两边的距离相等，那么点 o 到点 a， 点 b、 点 c 的 距离相等，那么圆心就确定了，圆心就是点 o。 现在确定一个圆的 两个因素，分别是圆心和半径，因为他他这个要他要做的圆要经过点 a、 点 b 和点 c， 所以 以 o a、 o b 或者是 o c 为半径， 以点 o 为圆心画圆，这样一个圆就做一个，经过减 a、 减 b、 减 c， 大家有没有意义？没有，这个同学讲的很清楚，大家就抱以热烈的掌声。大家来看，按照这个同学的做法，他是分别做了你这三点 确定的。三角形的三边什么线？平分线跟三角边的垂直平分线相交于一点，一个点，这个点就是什么圆心，一点就是圆心，其实他这个点， 你这个点到这三个点中任意点之间的距离就是谁半径，半径确定了，那么这个圆就是唯一确定的，是吧？其实大家来看， 我们初二的课本上也学过三角形三边的垂直平分线相交于一个点， 是不是同一个点？那其实我们做这个的时候，我们只需要做几条边的垂直平分线，两条这个圆心是不就可以长出来？那么 我现在回过头来再要问一下大家同学，那为什么要做这两条边的垂直平分线呢？连同心，你说因为是那垂直平分线上的点到两个端点的距离相等， 那么如果是 b、 c 的 垂直平分线上的点，他应该到 b 和 c 的 距离怎么样相等？那如果是 这个谁 a， b 垂直平分线上点，他应该在 b 和 a 的 距离是不是都相等，对不对？也就是说 o a 等于谁？ o b， o a 等于 o b， o b 又等于谁？ o c。 第三条线段 o a、 o b、 o c 相等不相等？相等，是不是三点到圆心的距离都相等，应该在同一个圆上，是吧？圆上。 那么因此也就是说我们过这三点可以做出一个圆，而是唯一的 一个圆，是吧？这是这个同学做的过这个三点，那么是不是过三点？这三点的位置关系，仅仅这一种关系。大家来看下面的这个题，如果三点 像如图所示的位置，这个是在不在同一直线上，而是这三点在同一直线，他还能不能做出一个圆？不能，不能。那不咱俩一起来看一下， 我们同样要到 ab 的 abc， 三个的距离要怎么样相等，是吧？我们肯定要说他分别就应该在 abbc 还有 ac 的 什么线上垂直平分线来做他的垂直平分线。大家来看 这两条线怎么样？平平有没有交点？没有。那原先能不能找到，不能那半径呢？不这样的圆能做出来吗？不能。所以我们在确定圆的时候，我们必须要加上 一个条件，我们知道三点可以确定一个圆，但是这三点必须是在 不能在同一直线上，所以我们得到结论是不在同 一直线上的三个点可以确定什么一个圆，这是得出的这样一个什么结论？我们得到这样一个结论，那现在刚才我们知道这三点我们可以确定一个圆怎么样做的，做两边的什么线， 确定出圆心，再确定半径，进而我们要做出谁圆。那么大家来看 这个圆经过了三角形的三个什么点？零点，我们现在就给他这个圆起一个名字，叫三角形的外接圆。那三角形的外接圆其实 就是三角形三个顶点确定的圆，这个外接圆的圆心就是三边垂直平分线的什么点交点叫做三角形的什么心？外心。如谁是三角形的外接圆？ 揉这个头圆谁？圆？藕是吧？圆藕。那么藕就是三角形 a、 b、 c 的 什么心？外心、外心， 那外心反过来他就是三角形三边垂直平分线的什么点？他到既然垂直平分线的焦点到三个顶点的距离角也都相等，这是我们 刚才经过分类探索，我们得到确定圆的条件是过不在同一直线上的三点，我们来确定了一个什么圆。

圆就是轴，就是图形，对不对？那么对称轴我们要记住一定要描述这是谁直线，那我说圆的对称轴是过半径的直线，对不对？对，过半径的直线过圆心了，没有过，过 好，那么我们用什么办法解决它的？什么办法？折点，我们找到了这一条对不对？找到这些好看，这些都可以作为它的对称轴， 是不是？是？好，我们接着研究它是轴对称图形，那么看它是不是中心对称图形，那么圆是不是中心对称图形？是怎么？怎么样能得到一个？我们同桌可以把这个圆如果大小一样的放在一起旋转，也看得更清楚一些， 对不对？一个圆，我们看圆，我们都知道玩过类似的游戏，对不对？对，他最后是不是和圆，我们旋转多少度最后都得到了， 是不是啊？是说明啊，圆是不是中心的图形？是圆是中心对称中心是谁？圆心？圆心，其实中心对称中心的对称中心 只有一个旋转的说对不对？那圆是中心对称中心，它的对称中心就是圆心，我们可以用过什么办法来得到？旋转谁呀？圆？我们刚才说他旋转任何一个角度都能对， 两重合，对不对？那么这一种在生活中有着非常广泛的应用，它叫做圆的旋转不变性，旋 转任何角度几乎都不变，对不对？旋转不变性，下垂推轮对不对？这是我们最 常见的应用。旋转不变性，那生活中与圆有关的轴对称性有关系的例子，我们可以举一些，比如像什么表表，它与对称性有什么关系？对称性有什么关系？那我们如果把轴心看的一个圆心，每个齿轮滑过的 部分，这个针尖组成的部分是不是个圆？它可以永远的绕着这个来转动对不对？对，比如圆的对称性里面还有我们全世界人民都喜欢对 称美了，对不对？我们许多的设计上都设计的对称的，比如像奥运会的会标是不是奥运五环是不是圆做的？对，圆来构造的构造，它体现了一种对称美， 对不对啊？对称，比如像我们说的射门对不对？它的旋转不变性，那我们应用在生活中，许多在设计里面就用它的对称性来解决问题。我们看下圆心角的卷阴，像这几个角， a、 o、 c 角必有地，他都是圆周角。那么根据这个我们可以总结出圆周角有什么特征，圆心角在圆上，圆心角这些角，你看读最后中间字母读谁？哦，那说明什么呢？过圆心这个描述，给他掐到 顶点在圆心上的角，顶点在圆心的角，同为圆心角。好，我们看我这个概念，那么大家看看下面哪些角是圆心角，哪些角不是圆心角？第四个是圆心角，其他他们的顶点不在圆心，对不对？虽然这个很简单， 因为我们现在放在这个里面看着简单，如果放在我们后面学习的时候会发现放在一个复杂图形里面去找个圆心角有时候也不容易，把圆心角和其他图形结合起来也不容易。只有第四个是圆心角，其他都不是。好，我们看这样一个问题，大家来看以后我们来 如何在等圆圆 o 和圆 o 撇中分别做相等的圆心角角 a、 o、 b 和圆心角 a 撇 o 撇 b， 将两个重叠并固定圆心， 然后把其中一个圆旋转一个角度，使得 o a 和 o 撇 a 撇重合。 你能发现哪些等价关系？为什么？在这图里面你能发现什么等价关系？我呢？分开看也可以。好，可以讨论一下，有什么想法都可以说。你讲告诉我们元音要是相等对不对？角 a o b 和角 a 撇 o 撇 b 撇相等，并且这两个元是什么元？等等，元有什么大小是相等，那么能得到什么等价关系？到杨艳艳来说， a 要素的弦和弧相等，那具体的说是谁？ a b 和 a 撇 b 相等，弧 a b 和弧 a 撇 b 相等， 弦 a b 等于弦 a 撇 b， 弧 a b 等于弧 a 撇 b 的 对不对？对，能不能在那写，能好再写。那么我们看出来它相等吗？ 我们在我们说了我们看出来的可靠不可靠？看出来有时候不可靠，要可靠怎么办？要证明，我们来操作一下，看这个过程，我们来看一下，我们发现了这些，当然我们也可以发现一些 其他的，比如像那长的壶煮起来的也很香的，对不对？当然我们为了这是我们更容易看出来的两个结论，那也是我们想要得到的最重要的结果。 那怎么证明？他？刚才不是说他转上去吗？对不对？对，条件我们再分一线，我们现在把它放到一起了， 对不对？对，是，现在是角 a o b 等于角 a 撇 o b， 因为 o 和 o 撇已经重合了，对不对？对，把它就到一块去的时候， 那怎么说明它全等？全等是一种证明方法，我们今天用它的旋转不变性来看一下，那我们就证明它，你看当我们这个旋转的时候， o a 和 o a 撇是不是重合了，是对不对？叫 a o b 和角 a 撇 o 撇 b 大 小是相等的，那么重合了没有？重合了，这半径 o b 和半径 o b 撇怎么样重合？那也就是最后是点 a 和点 a 撇重合，点 b 和点 b 撇重合， 这样两组点都重合了，这线段像不像呢？像，那么这个虎像不像？当然这个对我们现在来说感觉还是比较抽象一点，对不对？没有，我们全等看着那么直观， 我们看一下它，因为半径 o a 与半径 o a 撇是重合的，这是我们让他转的就可以实现的， 对不对？角 a o b 等于角 a 撇 o b， 那 么这个是我们已知就知道的，这样的话是半径 o b 和半径 o o 撇 b 撇就重合了，或者这里面就是 o b 撇就重合了，重合了之后，本身我们让他转的时候，就是点 a 和点 a 撇 重合的，最后我们这样点 b 和点撇就重合了，对不对？重合了之后，那弧 a b 和弧 a 撇 b 撇是不是就重合了？弦 a b 和弦 a 撇 b 撇就重合了，那么最后得到 这两个关联关系，我们再来看一下这个证明过程，我们就通过旋转让它重合得到结论来思考一下，再把这个过程来想一遍，想一下，看什么地方想不下去。好，我们看这个结论，我们得出一个结论， 刚才我们是在一个等圆中实现的，对不对？等圆中，最后把那两个等圆又放到一起，是不是相当于是一个圆了？我们说在同圆或等圆中 相等的圆心，要是不是我们前面说它圆心相等的对，最后得到了谁弦相等 壶香的，那我们都是这个结论，香的原叫所谓的壶香，所谓的咸香的，这是我们今天学的最重要的一个结论，也是一个相当于定义的或者性质。看他的，这是下面，这是他的几何描述。 我们几个圆形出来，在这个圆中，这个结论一定要记下来，不但要记下上面这个文字，还要记下下面如何去描述这一道。根据圆心角相等，我们得到了两段两个等量关系，一条两条线段， 两条弦相等，那么我们再来看这个问题，在下边推一步，那么这里面这个叫圆形角定圆心有圆角相等， 如果在同弦和董弦中的圆心角相等的话，那么他所对的弦相等，所对的弧相等。再来看刚才这里面我们是不是讲到了圆心角，还讲到了谁 弦，还讲到了弧。刚才是用圆心角得到了弦和弧相等， 那么能不能由弧或者弦相等得到圆心角相等？我们可以想一下，比如说我们说在同弦和同弦中真的有相等的圆心，要阻住的弧相等，阻住的弦也相等，那我们就来想， 如果在同弦不等，弦中弦相等的弦相等的圆心角相不相等。相相等。为什么大家给谁来说一下现在是弦相等的 圆形啊？这样子，首先当然是同圆或等，圆中很简单的哎，连接是吧？可以证明两个三角形的连接，两个半截和两个三角形全等，对不对？对，把半截连起来，这两个三角形怎么下的全等？全等条件，三面对应相等 对不对？对，我们现在说的是弦相等了对不对？弦相等了，那么在 三星肯定是相等的，那么这样三星全走给谁是相等的？圆心要相等对不对？圆心要相等，推到前面的斜棱是不是可以证明五也是相等的对不对？对，好，可以很好。那么如果 弧相等了，有没有这个结论？如果弧相等了，那么弦相怎么相的？相相等，相相等，相等，弧相等，弦也相等，当然所谓的圆心也相等。好，下面这几个结论也都是成立的。 在同样或等圆中相等的圆心要相等的和所对的弦相等，在同样不等圆中相等的弦所对应的圆心角相等，所对的弧也相等。那么这里面实际上你看我们得到几条结论啊？三条结论，那其中 它里面有几组量？三组量，把任何一个量作为已知，都能推出其他两个 对不对啊？都是差两个，那么我们第三句话是很麻烦，我们还简化一下，怎么简化？这三组量中只要有一组量相等，其余各组量都对应相等。好， 这个叫做等对等定律。课本没去概念，我们可以知道一下，这叫等对等定律。我们以后可以这样说，在同样和总缠中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦有一组量相等，那么 他们所对应的其余各组量分别相等。但是这里面剩下包括几个啊？就是我们刚才说的三个对不对？对，三个好，他的几何描述就这样来描述的几何语言来写出来，就这样的互相的得到弦和弦性要相等， 弦相等，得到弧和弦相等，圆角相等，得到弧和弦相等。并谈那句话，我们学习几何一定要把图形和它的性质结合起来，不能单独去背性质，能背下我 其实然了，对不对？这也可然了，把图形和并结合起来，这样系起来更容易。那几何最大的特点它就直观，是不是几何最大的特点它就是直观，几何最大的特点就是直观，那这个以后要注意是同样和怎样 好，我们看下这个问题，如果一在圆 o 中，弧 a b 等于弧 a c， 角 a c b 等于六十度，求证，角 a o b 等于角 b o c 等于角 b o c 三个角相等。好，大家看一下这个问题怎么解决？ 现在证的是三个角相的，看到这个角什么角了没有？这三个角都是圆形角，要证明圆形角相的，那怎么办？证没有不相的，或者证明相。好，大家再讨论一下，看这个问题怎么解决。 好，一会找同学来说，谁都知道他基本思路了，能得到这个结论的举手都会撒谎，是不是？是，那谁应该勇敢的站起来说一下，没有人， 哎，害怕，是不是这样结束了。因为弧 a b 等于弧 a c， 所以， 所以，嗯，弦 a b 就 等于弦 a c 好 了，然后它就是等边三角，等腰三角形，又因为角 a c b 等于六十度，所以它就是等边三角形，然后 三个边都相等，然后三个选项都相等，然后圆形的都相等。对了，没？对，你看你会，他不说好，对，很好，你看人家说了就是一次机会，说了就是机会好，这机会好像是我给你的，你也害怕，以后不要害怕，会就说。 那他基本思路是，首先证明这个三角形等边三角形，用水 弦，大家弦相同的，所有的原形叫就弦。哎，这么简单的一个，要不大家写一下？前面这些同学写的都可以，都可以，我们看下这个过程，基本就这样，对不对？好看这个问题。 abd 是 圆 o 的 直径， c 是 圆 o 上一点， 并且弧 a d 等于弧 c e， 那 么弦 b e 和弦 c e 什么关系？ b e 和 c e 什么关系？ 这一段和这段什么关系？为什么呢？为什么这样呢？直径相交于点 o， 这是两条直径，直径相交了， 这两对角对角相等了，对不对？对角相等了，也就是谁的这道湖和这道湖相等，相等对不对？对，这两道湖是相等的，又告诉我们， 湖为 d 等于湖为对应，那就这道湖，这道湖和这道湖相等，那么弦相怎么相等？相等， 大家看到了对菱角这个问题就好解决了。那么这个问题首先回答他的大小关系，然后再讲理由对不对？没有给出结论的我们先记啊，看下面这个问题， 正确的有水。姜大哥好，对，那么这个大家都会了，对不对？一定要记着，一定要描述成水，谢谢。 每条直径都是它对准轴，这肯定错了，对不对？对，好。第二等弦所对的弧相等等，弦所对的弧相等。 一个大圆和一个小圆，弦可以相等不？可以，可以取个弦相等，对不对？但是弧能相等不？不能，弧的相等，要注意谁，除了长度还有谁？关羽程度对不对？关羽程度好，那哪一个是对的？ 哪一个等弦所对的弧相等对还是错？错等弧所对的弦相等。弧如果相等了， 弦相等，相等。弧如果相等的话，弦就是相等弧如果相等的话，弧如果相等，说明它圆心要相等了，对不对？圆心要相等了，弦就相等，那么这个是对的。

如图，圆 o 中一条弦 ab 的 长度为八， c 点为 ab， 上一点 ac 的 长度为六， bc 的 长度为二。 cd 垂直于 o、 c， 并且与圆相交于地点，让我们求线段 cd 的 长度。 看到 o、 c 垂直于 c、 d， 我 们很容易想到连接 o、 d， 这样就可以把 c、 d 的 长度放到直角三角形 o、 c、 d 当中，用勾股定力来进行计算。只要我们想办法求出斜边 o、 d 和直角边 o、 c 的 长度，就可以用勾股定力算出 c、 d 的 长度。但是呢，斜边 o、 d 的 长度实际上就是圆 o 的 半径，题目当中并没有给我们，而且根据已知的这两个数据，我们知道 圆 o 的 半径实际上是可以变化的。不管这个圆大一点还是小一点，只要我们能找到一条长度为八的弦，我们都可以做出这样的图形。这道题目分析到这里，百分之九十以上同学都没有思路了，而学霸只要用好圆中的辅助线和怠速变形方法， 就能轻松搞定。那么怎么求 c、 d 的 长度呢？既然圆 o 的 半径是可以变化的，我们不妨设圆 o 的 半径等于 a。 接下来，我们只要运用好这两个数据，把 o、 c 的 长度用 a 来表达出来，就可以进一步表达出 c、 d 的 长度，也许就可以把这个 a 给削掉。那么如何表达出 o、 c 的 长度呢？很显然，我们要把 a、 c 和 c、 b 的 长度给用起来，我们就可以使用 垂径定力相关的几何辅助线，我们只要过圆心做弦的垂线，垂足为 c 点。接下来，不管是表达圆心与弦的垂线的长度，还是表达出 半径的长度，我们都可以放到直角三角形当中，用勾股定律来进行计算。在我们这道题目当中，我们只需要过 o 点做 a， b 的 垂线，垂足为一点，根据垂径定律， 垂直于弦的直径必然平分弦，所以说一点必然是 a， b 的 中点， a 的 长度必然也就是八除以二就等于四，而 e、 c 的 长度实际上就是 a、 c 的 长度六减去四就等于二。 这个时候我们要表达出 o、 c 的 长度，实际上只要放到直角三角形 o、 e、 d 的 当中就可以了。只要我们想办法求出 o， e 的 长度， e， c 的 长度是二已知的，然后通过勾股定就可以表达出 o， c 的 长度。那么 o， e 的 长度该如何来表达呢？也很简单，我们只要连接一下 a， o， 因为 o， d 的 长度是 a， 那 么 o， e 的 长度很显然它也是半径 a， 那 么在直角三角形 o、 e 当中，我们就可以通过勾股定律表达出 o、 e 的 长度。很显然， o 的 平方加上 a 的 平方就等于 o 的 平方，也就是 o 的 平方加上 a 的 平方，四的平方十六， 就等于 o 的 平方，也就是 a 的 平方，那么 o 的 平方就可以表达成 a 方减十六， o 的 平方我们也已经表达出来。那么在直角三角形 o、 e 这样呢？继续用勾股定 o， c 的 平方，实际上就等于 o 的 平方加上一个 e， c 的 平方，也就是 a 方 减十六，加上一个 e， c 的 平方，二的平方也就是四，就等于 a 的 平方减十二。 o， c 的 长度我们也表达出来，这个时候要求 c、 d 的 长度，我们接着在直角三角形 o、 c、 d 当中用勾股定律就可以了。很显然 c， d 的 平方就等于斜边 o， d 的 平方，也就是 a 的 平方减去一个 o， c 的 平方，也就是 a 方减十二就等于十二， c， d 的 平方就等于十二。那么 c， d 的 长度很显然就等于根号十二，也就是二根号三，轻松搞定。

大家好，这一讲，我们来讲无刻度直尺作图啊，有关圆的专题训练。好，这里面一共分三个专题啊，第一个是做共端点的等弧，第二个圆中对称啊，第三个啊，圆中的综合作图。 好，我们先看第一个做共端点的动弧。好，先看第一题，如图，圆 o 啊，经过格点 abc 啊，什么叫格点？就是这个网格线的焦点啊，叫格点 好，在弧 a b 上画点 f， 使得弧 af 等于弧 ac。 好，那我们说在同一个圆中，对吧，我们说等弧对，等角啊，所以我们要得到这两个弧相等啊，我们就要找什么呀，就要找等角啊。 好，我们来看一下这个弧啊，一个弧是 a c， 好， 你看，这是一个弧 a c 啊，好，这个 a c， 它所对应的角，那有没有呢？有啊，比方说有人说，老师我，呃，找这个角 a b c 啊，我们看一下啊， 找这个角，那如果要找这个角，那相当于是我们要把这个角要翻过去，要把这个角 a、 b、 c 把它翻折过去，也就是说我要做 c， 关于 a、 b 的 对称点，对吧？好，从这个网格来看的话， 做 c 关于 ab 的 对称点啊，它不现实。为什么？第一个格子不够，对吧？第二个很麻烦啊，为什么说麻烦呢？首先我们要过 c 点做 ab 的 垂线，这第一个， 第二个做完全线之后要延长一倍啊，格子也不够，也比较麻烦，所以我们找这个角 abc 是 不方便的啊，是不方便的。好，那我们找哪个角呢啊？我找这个角啊，看啊，你看 a 所在的这条隔线 跟这个弧 bc， 你 看，交于这一点啊，假设这一点是 d 吧。 好，你看这个，我连接 cd， 你 看，哎，我找这个角。各位啊，我现在找什么呢？找这个角 a， d， c， 你 看 a， d， c， a， d， c 是 不是弧 a、 c 所对应的圆周角啊，对吧？ 好，那找个角有什么好处啊？找个角的好处是，我现在把这个角把它翻折过来，是不是很容易啊？为什么呢？因为 a、 d 是 隔线， c 呢？是隔点，要找 c。 关于 a、 d 的 对称点很容易啊，这里在这里 啊，这是 c 撇。好，现在我连接 d、 c 撇啊，并延长 啊，因为两点可以画一条直线，对吧？我把这个 d 和 c 撇一延长。好，胶原与这一点，那么这点呢？就一定是 f， 为什么？因为这时候我们找到了这个角啊。 f d， a 是 等于 a、 d、 c 的。 好，这个角是这个弧 a、 c 所对应的角，这个角是弧 a、 f 所对应的角，而这两角相等，我们说等角，对，等弧。 好，我们再看第二题，如图， a、 o 是 格点。好，我们看 a， 在 这里啊，你看这格点 o 呢？你看，是圆心也是格点啊。好，这个圆 o 与网格线交于 f。 好， 这个 f 是 网格线的一点啊， 先将弦 a、 f 绕着点 o， 逆时针啊，旋转九十度，得到弦 m n， 然后 m 为可点。好，那我们看一下啊，好，这是 a， 这是 f。 好， 这个线段我们把它连起来啊， 将这个线段绕着点 o 啊，逆时针转九十度啊，好，那么旋转啊，那我们可以怎么做？我们可以，是不是可以连接 o、 f， 对 吧？那我们可以先把 o、 f 怎么样？逆时针转九十度，对吧？好，那怎么转呢？ 好，这个线段转不好转，那我们可以转一个三三角形啊，你看这个三角形啊，这个横着的是二点多啊，这个，这个不管，但是竖着呢，是一，对不对？那你把它转过去，那是不是也是横着一啊？所以，那这个 f 点应在哪里？应该在这个位置， 对吧？把 f 转九十过来，对吧？它对应的点是在这里，同样的，我们连接 a o， 好，我们现在把这个 a o 绕着 o 点逆时针转九十度。好，我们看一下啊，这个 a 是 格点， o 是 格点，我们看这个角， 你看这个角刚好是四十五度，对吧？所以我们找到它的这个对称点，你看在这里，对吧？哎， 这个点刚好转过来，你看，就是九十度。而题目说 m 是 格点，算，说明什么？说明这个点啊，就是 m， 而这个点呢，就是 n， 对 吧？好，这第一步啊，所以我们可以把 m n 连起来了。 好， a f 这个线段绕着点 o 逆时针转九十度啊，就变成它了啊。好，再看第二步，再画弦 m h 啊，再画弦 m h。 好， 要使得 m f 平分角 a m h 好，平分，那意味着这个角要等于这个角，对吧？那意味着要做弧 a f 等于弧 f h， 是 这意思吧？哦，它等价于要做弧 a f 等于弧 f h。 啊， 好，就变成这个问题了。好，那这个问题是不是又回到了什么呀？做共端点的等，对吧？好，所以，那我们就要找角啊，对吧？好，这个角 a m f 呢？这个角不好用啊，我们可以换个角。我们换什么角呢？我们换这个角啊，你看，我们找个点啊，找，这个是 d 吧。 好，我们看一下，连接 a d 啊，我们看一下这个角啊， a d f， 你 看这个角 a d f 就是 弧 af 所对应的圆周角，对吧？好，那为什么找这个角呢？ 因为这角比较方便，你看，我直接做 a 关于 d f 的 对称点 a 一 撇， 你看这个时候我把这个什么呀 d a 撇一连接并延长，你看这个地方啊，就是我们说的什么 h， 为什么？因为我做了 a 关于 d f 的 对称点 a 撇，那就会使得这个角是等于这个角的哦，让这个角等于了角 f d h， 而 f d h， 它就是弧，什么呀？ h f 所对应的圆周角，哦，这两个角相等，所以这两个弧相等，对吧？ 啊，这两个弧相等，那么它们所对应的圆周角也相等，所以最后就得到了什么？得到这个角 a m f 是 等于角 h m f 的 极，什么？极 m f 平分 这个角 a m h。 啊，好，我们再看第二个类型，圆中对称。好，我们先看第一个题啊，如图， o 是 格点圆 o 好， 那么说明 o 是 圆心啊，然后它经过格点 a 和 b， af 是 直径啊， p 为圆的一点过 p 要把弦 m h 垂直于 af， 好， 你看这个 p， 它既不在格点，也不在格线上，如果你直接做 p 垂直于 af， 这做不了， 对吧？做不了，好，那我们可以慢一点啊，你看一下，这个 b 在 格点上， 而 a 和 f 也是隔点啊，那我们过直线外一点，做这个直线的垂线，我们能不能做是可以的，对吧？啊，那我可以怎么做？看一下啊，这三角形 a f， 它是横一二三四五六，横六竖二， 所以我们把它旋转九十度之后，要变成什么？要变成横二竖几，横二竖六，对吧？所以我们找一二三四五六横二，你看到这个点，好，然后我们把这个啊一连 啊，那么这条线一定垂直于直径，对吧？好，那垂直啊，假设啊，这个点是 b 一 撇啊， 那这个 b 撇和 b 是 关于 a f 对 称的，对吧？好，这时候你看，我再把这个 b 和 p 一 连 啊，当然，把这个直径也延长啊，变成一个焦点。好，同样的，我把这个也一连。 好看，好啊，假设这个地方是 g 吧，那你看下三角形 g b b 一 撇，是不是一个等腰三角形啊？而且怎么样，它是关于这条直径对称的，对吧？ 好，那对称，那就好办了，对吧？那我现在只需要找 p 啊，关于这个 a f 啊，或者 a g 的 对称点 p 撇，然后让它一连，连完之后，那它是不是跟 b b 撇拼匀了，而 b b 撇是不是已经垂直于了 af 啊？ 啊，所以，哦，就变成这么个问题。好，那怎么做呢？可以教他一连啊，先连 b 撇和 p， 好，找到这个焦点，然后再把 b 和这个焦点一连啊，这个点就是 p 撇，然后再连接 p p 撇， 对吧？那这时候你看一下， p p 一 撇是平行于 b b 一 撇啊，而 b b 一 撇啊，刚才是做的垂线啊，是垂直于 af 的， 所以呢，所以这个 p p 一 撇是也垂直于 af， 然后题目是要划弦 m n， 说明什么？说明一个焦点是 m， 另外一个焦点就是 n 啊， 啊，所以最后就是 m n 垂直于 af。 好， 我们再看第二题，如图，以 ab 为直径啊，的一个半圆 o 经过格点 a 啊，好，我们看一下，这个 ab 是 直径。 好，那这个地方是 o， 对 吧？啊，这是圆心，为什么？你看这个 o 是 ab 的 中点，对吧？ 好， o 是 中点呢？好，我们看一下啊， c 是 格点啊，这是 c 格点 a 也是格点啊， b 呢，是格线上的一个点啊，好，我们看它的要求啊，在 ab 上找一点 h， 使得啊， a h 等于 ac。 好，那直接找，肯定找不了，对吧？啊？找不了。好，那我们看一下啊，这个 o 是 ab 的 啊，这个终点。好，我们看一下这个 b、 c 啊，这个 b、 c 的 终点，我们找到，对吧？在这里 啊，好，这是我们连接 o 和这个终点啊，连接它啊， 好，那这时候跟这个半圆就交于一点，对吧？好，现在啊，我来连接 a 和刚这个点，然后过来再连接 b 啊，就这个点是 d 吧。 好，那这个时候这个角 a、 d、 b 啊，就是九十度了，对吧？为什么？因为 ab 是 直径，直径，直径的圆周角，就九十度啊，好，现在我延长 a c， 延长 b、 d， 好， 再找一个点啊，这点就记吧。 好，那请问这个时候这个 d、 g 是 不是等于 b、 d 啊？理由是什么？理由是刚才连接的这个两个终点，对吧？所以这个是中微线， 所以它是平行且等于二分之一的 a、 c 的， 这你把它延长过来了，把 a、 c 也延长，那么这个线是依然平行于它，而这个点是 b、 c 的 中点，所以这个 d 肯定是 b、 g 的 中点，对吧？所以这里面利用了一个中位线啊，中位线 啊，这个 o、 d 是 三角形 b a、 g 的 中位线啊， 好，那个中线啊，好，再看啊， a、 d 垂直于 b g， 而 d 呢，又平分 b g， 所以 你看这个三角形 a、 b、 g 是 不是一个等腰三角形的， 对吧？也就是说这个 a、 g 是 等于 ab 的。 好，现在要让 a h 等于 ac， 那 其实这个问题变成什么？变成这样的问题啊？我看一下啊， 变这样一个问题。哦，这是一个点样三角形，这个是 a g b 啊，好，这是它的高线，这高线 ad 其实也对应轴，对吧？现在在幺 a g 上有一点 c， 要在另外一个腰 ab 上找一点 h， 那 实质上是什么？实质上是叫做这个 c 关于 ad 的 对称点，对吧？好，那这个我们经常做，对吧？在等腰三角形里面做腰关于对称轴的另外一个对称点，我们怎么做的？我们是交叉一连啊，先连接 bc， 让 bc 跟这个对称轴成了一个交点，然后再斜着一拉，你看这个点就是 h， 对吧？好，所以你看，我们倒着看啊，所以我们第一步怎么做？我们第一步找到什么呀？找到这个 c b 和 ad 的 交点，然后再把这个交点怎么样 延长过来，那这个地方就是 h 啊，好，我们再看第三个部分，圆中综合作图啊，如图，经过格点 ab 的 圆，好，这是 a， 这是 b 啊，这是格点啊， 好，与网格交于点 c， f g， 好， 先看这个图一啊说先化弦 a d， 使得 a、 d 垂直于 a c， 好， 那我们可以把先把 a、 c 先连起来啊， 啊，要使得 a、 d 垂直于 a c， 好， 那这里面我们可以先找到圆心啊，然后画出直径，对吧？那根据这个图，我们发现什么？这个圆的圆心 o 在 这里， 好，现在我连接 co 啊，并延长。好，那这时候它的直径，对吧？好，那我们说连接它啊，而我们说直径所对应的圆周角就是九十度，对吧？所以什么说明这个地方就是 d 啊， 好，这第一步 a、 d 垂直于 a c 啊，我们已经做完了啊。第二个，再画角 c d， a 的 角平分线，好， c d， a 在 这里，对吧？ 要画它的角平分线啊，那实际上我们就是要找这个弧 a c 的 中点，对吧？好，那这个找这个弧 a c 的 中点，我们可以利用什么？利用垂进的理，对吧？我们再找到 a c 的 中点，对吧？好，那 a c 中点可不可以找？好，找，是哪里啊？就这个地方， 所以我们现在连接怎么样 o 和这个中点啊？ 好，那这个地方就是一了。好，为什么用垂进的零啊？ 啊？可以得到什么？可以得到一是什么？是弧 a c 的 中点啊？好，那既然弧 a c 的 中点，所以什么？所以弧 a e 是 等于弧 e c 的， 所以你看这一连， 那么它所对应的圆周角怎么样相等啊？所以它就是怎么样是角平分线啊？好，再看第二问，在图二中， p 是 圆上一点，好，撇，在这里先画出 f g 的 中点 h， 好， 我们看一下啊， f 不 在格点上面啊，它在这个格线上面啊，它不是格线上面。 好，那如果直接找 f g 的 终点啊，很困难，对吧？几乎做不到啊。好，那我们可以怎么做呢？好，我们先看一下啊，先把圆心找到啊，圆心 o 在 这里。好，那我们看一下啊，如果我连接 o g 的 话啊，我们把它 o g 转九十度啊，转九十度，那我们是不是可以得到它的对应点在这里，对吧？啊，在这个 g 一 撇吧。好，我们再看啊， 我们连接 f o。 好， 我们把 f o 也转九十度过去啊，这个 f 在 这里对应点，这叫 f 一 撇。 好，再看一下啊，这时候我如果连接 g 一 撇， f 一 撇，请问这个 g 一 撇是不是和这个 f g 是 平行的，对吧？那有人说说，问，为什么呢？你看 你把这一连啊，这个是九十度，这个也是九十度， 这公共角说明这两个角相等，而这两个角对应的弧，你看分别是 f g 一 撇和 g f 一 撇，对吧？你看这两个弧相等，说明什么？说明这个 g 一 撇 f 一 撇平行于 f g 啊，这一步非常重要。好，然后再利用什么？利用它的对称性，所以我们可以交叉一连啊， 我连接 g 撇记，然后连接 f f 一 撇啊，交叉一连，你看这个点一定是中点，然后再一拉，好，跟它的交点啊，就是 h。 好， 接着看，再在弧 a p 上 找一点 q， 使得 a p q 是 三十度。好，那三十度，这个 q 在 哪里？不知道啊，但是我们可以利用什么？利用圆周角啊，等于它所对应的圆心角的一半。 换句话说，我要在这大指啊，在这个位置啊，这样搞一个六十度啊，这个六十度可能不太好搞，对吧？那我们可以搞这边三十度，因为你看，因为这是直角，对吧？如果这边是六十度的话，那这边就是三十度，对吧？ 好，那我们要利用什么呢？利用三十度角，所以点直角边等于斜边的一半。好，而这个斜边是圆的，半径是一二三，是三格， 所以换一张说，我们要找到啊，一点五格的位置，对吧？好，那一点五格，你看这个是一格，这里找半格。好，那半格比较简单，我们直接可以这样一拉啊， 对吧？这就是半格。那半格，我们还要再找个拉个半格啊，好，把，这个一连， 你看这个时候，你看它到它的距离是刚好是一个半呐，对不对？一个半，那它对应的就是三十度，那这边就是六十度，所以一个 q 就 这个位置啊，你看这样一连 过来这个 a、 p、 q 肯定是三十度。为什么？因为它对应的圆心角是六十度啊？为什么？因为这边是三十度啊，这个是九十一减这六十。好，以上就是我们这一讲的全部内容，谢谢各位。

圆与切线练习题看题如图，圆 o 的 切线， p、 c 交直径， a、 b 的 延长线于点皮， c 为切点角皮，等于三十度。连接 o c， a、 c。 一、 求角 a 的 度数二、若 p c 等于根号三，求 a、 c 弧的长 一角 a 是 圆周角，因为 p、 c 是 圆 o 的 切线， o、 c 是 圆 o 的 半径，所以 p、 c 垂直 o c。 因为 p c 是 圆 o 切线， o、 c 是 圆 o 半径， 所以 p、 c 垂直。 o、 c。 在 直角三角形 o、 c p 中，角 p 等于三十度， 所以在 r 提三角形 o、 c， p 中，角 p、 o、 c 等于三十度。角 b、 o、 c 就 等于九十度。减去三十度， 九十度减去角皮等于九十度。减三十度，等于六十度。 角 b、 o、 c 是 六十度。因为 o、 a、 o、 c 是 同圆半径相等，所以角 a 就 等于角 a c、 o、 o， a 等于 o、 c， 所以 角 a 等于角 a、 c、 o。 因为 b、 o、 c 是 三角形 a、 c、 o 的 外角等于和它不相邻的两个角。角 a 加上角 a c o。 角 b o、 c 等于角 a 加上角 a、 c、 o 等于二倍的角 a 等于六十度， 所以把角 a 求出来，所以角 a 等于三十度。 看第二问，若 p c 等于根号三，求 a、 c 弧的长， p c 是 根号三。 在阿提三角形 o、 c p 中， p c 等于根号。三角 p 等于三十度。 所以弹键的直角三角形 o、 c 皮中，弹键的角皮等于对边比上邻边 弹键的角皮等于弹键的三十度，等于 对边 oc 比上邻边 pc 等于 oc， 比上 pc 是 根号三，等于三十度。角正切值是三分之。根号三， 把 oc 就 求出来，所以 oc 等于一 半径。是以在求圆心角。因为 b、 o、 c 是 六十度，所以邻补角 a、 o、 c 是 一百八十度减六十度。 由一可知，角 b、 o、 c 等于 六十度，所以角 a、 o、 c 等于一百八十度。减去角 b、 o、 c 等于一百八十度，减去六十度等于一百二十度。 所以 a、 c 的 弧长代入公式 等于一百八十分之 n pi r n 是 一百二十 pi， 再乘半径一直接等于三分之二 pi。

圆的切线练习题看题如图， p a、 p、 b 为圆 o 的 两条切线， c、 d 切圆 o 于点 e 分 别交 p a、 p b 于点 c、 d、 f 为圆 o 上的点连 a、 f、 b、 f。 若 p a 等于五角， p 等于四十度，则三角形 p、 c、 d 的 周长和角 a、 f、 b 的 度数分别为，有四个选项， 因为 p a、 p、 b、 c、 d 都是圆 o 的 切线，切点为 a、 e、 b。 根据从圆外一点向圆所引的两条切线的长相等得出 c、 a 等于 c， e、 d、 b 等于 d e， p a 等于 p b。 所以 c、 a 等于 c， e、 d、 b 等于 d e， p a 等于 p b。 所以 所求的三角形 p c、 d 的 周长 等于 p c 加上 c， d 加上 p， d 等于 p c 加上 c， d 分 成 c、 e 和 d e， c、 e 加上 d， e 加上 p d。 因为 c、 e 和 a， c、 a 相等， c、 e 用 c、 a 代换 d， e 和 d b 相等， d、 e 用 d、 b 代换。三角形的周长就等于 p c 加上 c a 再加上 d、 b 再加上皮 d， p c 加 c a 等于 p a， p d 加上 b， d 等于 p b 等于 p a 加上 p b。 因为 p a 和 p b 是 相等的，那就等于二倍的 p a。 因为 p a 是 已知的，等于五，所以三角形 p、 c、 d 的 周长就等于二乘五，等于十。 下面求角 afb， afb 是 圆周角， 先连接半径 o， a 和 o b。 因为 p a、 p、 b 都是切线，所以角 o， a、 c 等于角 o， b、 d 等于九十度。 在四边形 a、 o、 b。 皮中 a、 o b。 皮中圆周角 a、 o、 b 就 等于三百六十度。减去一个九十度，再减九十度，再减去。角皮 角 a、 o、 b 等于三百六十度， 减去角 o， a、 c 减去角 o、 b、 d 再减去角皮等于三百六十度，减九十度，减去九十度，再减去角皮是四十度， 等于一百四十度。圆心角 aob 是 一百四十度，它所对的弧是 aeb 弧，同时 aeb 弧还对的圆周角是 afb， 所以 角 afb 的 度数就等于二分之一的角 aob， 所以圆周角 a、 f、 b 等于二分之一的角 a、 o、 b 等于二分之一。乘一百四十度，等于七十度。 三角形 p、 c、 d 的 周长是十角， a、 f、 b 是 七十度，那么选项就是四 d 正确。

朋友们好啊，今天继续给大家整理九年级下册数学的全册预习重点预习，抓主线，破难点，按章节拆分，明确核心重点，预习关键易错点，方便直接用来规划预习，精简实用。今天讲第三章元，这是中考几何核心分值约十到十五分一、 圆的基础概念。核心定义，平面内到定点圆心距离等于定长半径的点的集合。 b 记概念，弦直径最长弦弧 u 弧列弧半圆等圆等弧点与圆位置关系。 d。 等于点到圆心距离二等于半径。 d 大 于二点在圆外 d。 等于二 点在圆上 d 小 于 r 点在圆内。确定圆的条件，不在同一直线的三点确定一个圆。 二、高频考点，圆的对称性、对称性轴对称中心对称旋转不变性。圆心角弧弦关系，一组相等推出，其余三组都相等。圆心角 弧弦弦心距垂径定律，本章重中之重，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，推论平分弦的直径垂直于弦。平分弧 预习关键构造直角三角形半径半弦弦心距用勾股定理。三、本章枢纽圆周角与圆心角圆周角定理，圆周角等于所对弧上圆心角的二分之一。 三大推论必考一、同弧等弧所对圆周角相等。二、直径所对圆周角等于九十度 九十度圆周角所对弦是直径。三圆内接四边形对角互补预习重点，分类讨论证明圆周角定理四、 确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆三角形的外心三边垂直平分线交点到三顶点距离相等。律习要求会做三角形外接圆。五、直线与圆的位置关系切线是重点位置关系， d 等于圆心到直线距离， d 大 于二、二相离相切相交 切线的两种判定方法。一、直线与圆有唯一公共点。二、直线过半径外端且垂直于该半径。最常用切线性质切线垂直过切点的半径， 切线长定里，从圆外一点引两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分，两切线夹角。六、圆与圆的位置关系 了解为主。五种位置外离、外切相交、内切内含。用圆心距地与两圆半径 r 二的关系判断。七、弧长与扇形面积计算必考弧长与半径及圆心角度数相关。扇形面积同样与半径及圆心角度数相关。 圆锥测面积公式中二是底面半径， l 是 母线长。预习十分清母线底面半径、圆心角的关系。八、高效预习三步走， 一、记牢定理公式、垂径定理、圆周角定理、切线判定性质定理、弧长公式、扇形面积公式。二、画图标注每类图标清半径弦、圆心角、圆周角切线。三、做基础题，先列位置关系判断垂径定理计算圆周角角度换算。

九年级下册第三张圆，这里有一个定点，圆心， 很多个点到圆心的距离相等半径。圆的定义 到定点的距离等于定叉，所有的点组成图形。圆是一个轴对称图形， 这一条圆的直径，直径所在的直线是圆的对称轴。圆是中心对称图形。我们把它绕着圆心旋转一百八十度，跟原来图形重合， 这是圆心。这有一个角，角一角一，顶点在圆心上，它叫做圆心角。 这有一个点，角二，顶点在圆上，叫它圆周角。 角三是圆心角，角三和角二 都是这一段弧所对的圆心角和圆周角它们的关系，角三等于两倍，角二同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 这是一条线段， 它的两个端点都在圆上，它叫做弦。 这一条线段的垂直平分线经过圆心，这叫做垂静定力。一个圆有很多弦， 任意两条弦垂直平分线的焦点通过圆心，这样可以确定圆心的位置。好了，今天就讲到这里， 圆心、圆心、圆心圆心圆心。

三个偷分技巧，直接秒杀中考数学最后一个答题，圆你不会做不要紧啊，你要学会偷分技巧，范老师给你三个锦囊妙计，直接拿下他，抓紧记下来！第一，不管会不会，先写上这四句话，四分直接到手，一同圆内径相等。 二、直径对应的圆周角是九十度。三、垂直于弦的直径，平分弦。 四、切线垂直于过切点的半径。 第二个透分技巧，看到题干不同的字立刻写不同的话，看到切线立刻连接圆心和切点，写切线垂直半径， 看到直径立刻写直径对应的圆周角是九十度。第三个小技巧，遇见求角度不会的试试这三句话，第一句话，同弧所对应的圆周角相等。 第二句话，圆心角等于二倍的圆周角。第三句话，圆内接四边形对角互补，你记下来没学会这三个技巧，至少帮你再拿十分！

这边画了一个距离，那这个垂线段的长度是可以度娘的是，那么当垂线段的这个长度时相交，这是一种。 第二种，这叫直线和圆两个交点，也可以判定位置关系后面是等同的，特别是相近的时候，这里很特殊， 等于半斤几个焦点，一个有且只有一个，那这个我们在这几种情况当中，重点要研究的是香气的这一种情况， 所以说现在同学们谈一谈你们回去预习切线的判定的这个情况。我的理解就是九十二页的三十三杠二十五就是直线 l 绕着点 a 旋转的时候， 直线 l 会会和圆 o 有 另一个交点，当这一个交点和点 a 重合的时候，就可以有轴对称，证明这个图形是对称的， 然后就可以证明角 r f 等于九十度，就可以证明 l 与圆 o 相切啊。当角 f 旋转 到这个和点 a 重合的时候，那么就可以发现它是相切，而且加了一个什么词，轴对称是吧？好，还有没有好，坐下准备 我预习这一章。我发现圆的切线有三个性质，第一个是垂直于切线，第二个是圆的切线有三个性质，垂直于切线，圆心到切点是垂直关系， 圆心到切点是垂直关系，圆心到切线是垂直关系。那么垂足，垂足是到点斜点， 垂足是哪一个？点足是点，垂足是到切点的距离。通过程泽颖的描述，你们发现这个语言，数学语言的描述需要怎么做准确哦，再下来归纳，好吧，好，坐下来切线他，我发现圆的 有，圆的应该是三角，每一个三角形他只有一个内切圆，但是，但是如果是圆，他的内切圆就有无数个。 还有我发现三角，我切线，他的也不是切线。对，是切线。他的定义和判定，他的定义是语言具有的唯一公共点的，这条直线他的 判定是过半，过半径外端且垂直于这条半径的直线是人的切线。那么可不可以把他的判定和定义交换过来？ 定和定义交换过来成什么判？你和定义交换过来是不是互利啊？你说交换过来之后成不成立，是要问这个问题吗？好，刚才他讲了一个问题， 说一个三角形只有一个内切圆，但是后面第二句，一个圆有无数个外切圆，外切圆内切一个圆有无数个 外切三角形。你刚才的描述是不对的，他说一个圆有无数个外切圆， 外切三角形，是不是？第二句话是描述做外切一个圆有无数个外切三角形，描述要准确。好说下来加同学还有没有 啊？李佳玉，主要是我发现我从昨天通过预习的话，我知道了如何证明这个判定定 可以，我们可以用反正，反正话假设，假设它不与不与，假设直线 l 不 与这个圆相切，那么我们不研究相离的情况，我们研究相交，它就有两个交点，那么我们 o a 垂直于这个， o a 垂直于这个 l， 然后我们再连接 o b， 然后 o 圆的半径可知 o a 等于 o b， 但但是它圆的那个直角三角形斜边大于直角边，所以说 o， 因为 o a 又 o a 又 o b 又大于 o a， 然后 o a 又等于 o b， 他 们两个互相矛盾，所以说这个定律是成立的。你家用的是反证法来证他啊，现在我们来看， 根据图形，你来给大家讲解一下你的反正。好你上来给大家讲解一下我们的已知条件是怎样面对大家。他与这个切，他与这个直线 l 的 交点是 a， 我 们现在就要证明他，他判定定你的诚意，这是假假。我们用反证法假设 直线 l 与它，不与它不是相切，那么必有他们相交于 a 与圆有两个交点， 我们假设这个焦点为 b， 连接 o b， 由圆，由圆的，由圆的，可知它们两个半径相等，既 o a 等于 o b， 又因为 o a 垂直于 o b 斜，他的这个斜边容易大于直角边，就与就与 o 于就与 o v 与 o b， o a 等于 o b， 又因为 o b 大 于 o a， 它们两个就互相矛盾，他们两个。所以说这个过半径且垂直于这个的镜判定半径一个成立。 他用的是反证法，我们在前面研究切线的性质的时候，是用的反证法来证明的，他把这个反转脸摆在这，证明切线的判定，大家听明白没听明白了他的证法对不对？对。但是在这里我们要纠正一点， 就是你在反正假设结论不成意的时候，你不能把香梨排开，因为你假设它不垂直，假设它不相切，那么它就会是出现相交或相离，两种情况都需要探讨的。 云南买，所以你不能说我把箱移排开，不能排开，必须要去验证清楚，没有好，非常好下去，说明是动我脑筋的好圆式图。通过我的运行，我就发现 由圆的切线垂直于过切点的半径。可以推出两个结论，经过圆心且垂直于切线的直线过切点的半径， 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。在这个我们研究圆与直线的关系的时候，他通通常题目中会给我们 一条切线，但如果我们不知道切点的话，我们通常会做垂直去证明他的是半径，如果他给了切切点的话，那么我们会连接半径去证他的垂直。到后面 预习到了三角形的内切圆，我们知道三角形内切圆与三角形各边都相切，那么他的内心是三条边角平分线， 对三个角角平分线的焦点，他的内心。那么根据九十三页的隋唐练习第二题画出来，可以知道，无论是锐角、直角、钝角、三角形，他的内心永远都在 三角形的内部。而我们之前学到的外接圆，他的呃外心不一定在内部，比如说他的钝角三角形就在他的外面。大家听明白 圆是有讲的，没有他，其实我们给他核心起来非常好，坐下来他提供几个，第一个，他传授了圆的切线的判定定律，但是其中有两点你们是有没有注意听？ 就是切线我们在运用的过程当中，他说有两种情况，如果有半径就怎么办，如果有半径就正垂直， 那如果有垂直就正半径，所以他就把这个证明切线的这两个方法给大家提炼出来喽。 好，我们一会会来去的运用，所以我们给他规划起来，我们可以用几个字给他规划半径，一般就是连接连半径正垂直，那么做垂直正正半径好，这是 非常好的一个规划的高度。第二个，他对比了三角形的外接圆的圆心， 三角形的外接圆的圆心它的特点，第一个特点到三角形三个顶点的距离相等，所以我们就可以判定三角形的外心就是三边中垂线的 焦点，那么这个内心角平分线，他是角平分线的焦点，所以也就因为他一个特点就是到三边的距离相等，这就是内切的。而且他 对比到什么特征，他说外心他会随着三角形的形状的改变而改变，比如说 锐角三角形在内部，直角三角形在直角斜边上，那么钝角三角形的外心在外面，但是 内心永远都在三角形的内，所以他这里跟我用到了一个对比，是吧？ 刚才我们吕家运在用到了一个类比切线的性质。是啊，所以在每一个知识点当中就要去想到我们这堂课当中数学思想方法是什么？掌握数学思想方法，你就得打通我们的认读二脉， 你只能说这个知识点我用什么方法把它联想起来，用旧知识去引领新知识的学习 好。那么还有没有其他同学有说过？好，我跟你说我发现一个问题，就是通过刚源自如说的，因为外星和内星的问题。首首先我们就可以先回顾之前我们学的角平分线的一个证明，之前我们占角平分线是用三角形全部的去证明， 可是有个定义就是角平分线上的任意一点到那线段两端的射线，两端的那个射线叫什么？ 角的两边这距离是相等，我们可以通过内切圆的，由于圆的半径他是处处都是相等的，我们可以用这个来 证明，之前我们不只是三角形的来证明他这个定力成立的。你用内切的道具验证角平分线的性质，是吧？发现这一张他是在三角形的内部构建内切圆， 但是我后，我后来因为我在想我把它构建在一个四边形里面，我会发现一个问题，它跟假设我们构建这个四边形，它是正方形，但是我这个内切圆它构建在正方形里面，它占正方形这个面积的比值，无论你这个正方形怎么变都是一个定值， 百分之七十八点五是一个定值，那么这个定值我们下来做一个探讨的，下来看看是不是这样。好，坐下来刚刚他讲了一个问题，我们原来验证角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相的用三角形全的 是不是？那他现在说他学到了内切圆的圆心之后，他可以用这个倒回去证明他。你说这种情况就和曾经我给你们讲过的三角形的内角和定理，三角形 abc 这个定理的证明， 我们证明三角形内角和地理的时候，除了用了你们学起来拼剪这些之外，通过拼剪是不是给我们引导出的方法，就要想到做什么线引导，做平行线引导，做平行，把这两个角是移到这里来，是的，那么可以构造出了一百八十度， 是不是？同时当时我给你们讲有同学用到了什么，他说因为这一个角是三角形 abc 的 外角，所以这个角等于这两个角之和，所以说他加他一百八，把这个换成两个，想想这个证明对还是不对？对， 因为这一个三角形的外角定力是三角形内角和定力的推论，你不能由它的推论去验证它的本身，所以我们在这里证明 这个内千元的杠杆也是由角平分线的性质去证明它的，所以你不能反过来有它的验证。明白这个问题没有。 好，乔同学你家里还有，那先等会是要问一个问题，就是九十九十三页的这个问题解决的三题。他说已知圆 o 外有一点 p， 能用尺位做出 p 的 切线，目前我只知道一种方法，还有起物横合， 你的方法是什么呢？他说先连接 p 点才是圆 o 的 圆心。好，刚才我们 这个我也讲到了，真的九十三页问题解决。第三题，已知圆外一点屁，你能用圆规做点屁，做圆 o 的 切线吗？来看这一个问题，这个问题正好我们这里也给大家提出来 这种情况。好，你来给大家讲你是怎么做？上来讲，这个年纪可以这样，你就说用语言描述连接 o p 之后，以 o p 为这个直径，在这一个， 在以 o p 的 直径再做一个人，他就以这两个点交于 a 点和 b 点，再连接 ap 和 pb 这两个，这个人听明白没理由。你给大家说一下为什么要这样做？ 因为以他为直径做，做一个人之后，与他相交的这两个点到他的那个，到这两个点的距离相等，说 pa 等于 pb， 对 他因为角平分线的位置 像你遮的角平分线吗？ p a 为什么等于 p b？ 这是我们要提的问题，因为他这个画法你们认不认识？但是他的解释，那哪个同学能给他说一下？王一念上来说， 因为他所知道他的图形，因为他所做的圆是以 o p 为直径，那么角 o b p 就是 直径，所所对的圆周角就是九十度。再利用切线的判定就可以知道 b p 所在所在的直线就是他的判定，另一条 a p 也是一样的， 是不是？是，所以非常好。这种情况就是或圆外一点做圆的切线。 讲到这一个，我们可以和前面我们七十七页数学理解第四题书上七十七页第四题，我们当时讲的是圆内有一点 m， 要求做的是弦 a b， 使弦 a b 垂直于 o m， 并且 am 等于 b m。 这个题目我们当时做下来，第一，其实他归结到我们哪一个基本作图里面是做垂直过一点，做已知直线的垂线，那么这一点就在直线内，直线上和直线。 但是我现在确定他在直线上周情况不过 m 点做 o m 这条直线的垂线啊。现在我们把 m 点看到是动点，那么第一种情况，他动到点 a 的 时候， 动到点 a 的 时候，仍然要来做他的垂线。你们想如果这个时候点动到点 a 的 时候，仍然要来做他的垂线，其实就什么线，缺陷就是缺陷。 所以这种情况我也可以假设过点 a 圆上一点 a 做圆 o 的 切线，那么你们说方法和我们点 a 在 圆内一不一样，现在先不考虑这个，如果现在我们原来做的时候点 a 在 圆内了， 那么是不是应该是做直线 o a 的 垂线过点 a， 现在我点 a 运动到圆上来之后， 那真的要做 o a 的 垂线，方法和点在圆内的一不一样，一不一样就也就是做直线 o a 过点 a 做圆，做 直线 o a 的 垂线，做这个垂线。不用再讲了，以点 a 为圆心，任意长为半径作弧。交直线 o a 于两点，分别以这两点为圆心大于二分之一，它们的长度为半径作弧。

圆可以看成是到定点的距离，等于定长的所有点组成的图形， 而这个定点我们就把它称之为什么圆心定点，我们就称之为圆心。好，那么这个定长我们就称之为半径，称之为半径，好称之为半径。 那么请大家来思考一下，那么我们所说的圆，他是指这个圆面，还是指这条圆的圆？那么为什么呢？是不是从定义出发就是这样的？ 他说的是什么？从到定点的距离同与定长的圆而组成的一个什么图形？所以我们所说的圆， 它是指什么？一条封闭的地方去线，那么以 o 为圆心的圆，我们就记作什么圆 o 圆 o 不 做什么圆 o， 我 们可以把它叫什么表示成圆 o。 下面我们来看第五个圆，除颜 色外，他们有什么相同点与不同点？好，这五个圆除颜色外，他们有什么相同点？好，这位先生请讲下位置 好，他们的位置那么什么相大小？大小也行啊，也就是说半径相同，圆心不同。像这种圆，我们把它叫做等圆，也就是能够完全重合的叫做等圆。 那么这一组图片呢？他们这圆又有什么相同点？圆心相同，圆心相同，圆心不同。像这样的圆，我们把它称之为同心圆，我们把它称之为同心圆。 那么从刚才这两个同等圆与同心圆中，我们可以发现，圆心他确定圆什么，而半径却是相等。 那你说确定一个圆需要哪些条件呢？圆心条件，确定一个圆需要两个条件，圆心，圆心。 那么同学们能画出一个圆吗？能好，同学们拿出圆规，画出一个圆，好，我们找位同学到前面来画一个圆，好，这位同学，画好之后是吧？标上一个字母 在圆心位置 o， 他 都是有字母的圆心，那么如果以 o 为圆心的圆，我们就可以写成什么圆？ o， 好， 这位同学已经画好了，同学们知道圆，它是由无数的点而组成的，是不是这样的？现在我在圆上任取两点矮 b， 那 么我连接矮 b 他 们所成的线段，我们把它称之为什么？弦，称之为弦，称之为弦。 那么大家想一想，有多少条线呢？无数条。好，请同学们画出三条线，并且观察线越接近于圆心，线的长度将怎样变化？大家画三条线， 看一下，越接近圆心，弦的长度将怎样变化？好，这位同学都画好了啊，小熊老奶奶说一下，那么弦越接近圆心，那么弦的长度将怎样变化？好，好，那么你们能画出最长的弦吗？大家在刚才你们圆上画出一条最长的弦， 好，现在我们找一位同学到前面来画一条最长的弦，好，这题请你们画一下，画好之后标上字母。 好，这位同学，这条最长的弦已经画了，大家看他画的对不对？对，这就是一条什么最长的弦？好，那么我们把这条经过圆心的弦，我们叫做直径，我们叫做直径。好， 我们刚才研究了两点间的什么部分是线段，那么接下来我们将研究什么呢？两点间的什么？ 这叫圆上，那我们把圆上任意两点间的布，我们叫什么？圆和湖，简称为什么湖，而且用什么表示湖线，这个湖得有限，最高直径 a c， 它就将圆分成了什么？两两条湖，是不是啊？那么这每一条湖，我们把它叫做什么？ 半圆？讲，刚才这，这是一条弦，他将圆分成什么两，这每一条弧， 我们就把它这个什么半圆，好，那么请大家来思考一下，我们怎样来表示这个半圆？好，这里头先讲一下，可以就像先画一条弧，然后在下面表示，比如说是圆弧 a c， 那 就那就是圆弧，下面写 a c， 好， 那么你这是例如这个半圆是不是这样的？ 我可以用胡谁 a c 来去表示啊？胡矮什么？ c c， 好 什么？ 大家有没有什么疑问呢？他说半圆，我们可以用胡矮 c 来表示哦，他上下。好，你为什么以为你说因为他有两个半圆嘛，而不知道他的上下。哦，你说胡矮 c， 那 你到底是上面这个半圆还是下面这个半圆呢？是不是啊？那你有什么好的解决方法吗？ 就例如上面的那个半圆可以说是 a、 b、 c， 好， 可以说胡 a、 b、 c， 那 么你的意思说我们可以用什么三个字母来表示什么？半圆，是不是这样的？这样大家有没有什么永远还有， 所以例如这个半圆我们可以用干什么胡 a、 b、 c 来进行表示，是不是这样的？好， 那么下面这半圆呢？啊，可以再取一个点，再取一个点，是不是啊？那我们可以再随便取一点啊，比如点一，然后叫做什么 a a、 c， 这样我们就可以把半圆分清楚了， 那么这条叉也将圆分成了两条弧，像这一个大于半圆的弧， 我们把它叫做什么湖呢？优，优，大于半人的湖又称为优，那么优湖怎样来表示呢？好，这里呢？先讲一下湖， a c b， 湖 a c b， 那 你为什么会想到用三个字母来表示呢？ 因为你能确定 a， 如果是弧 a b 的 话，那上面那个小小于半圆的弧也可以表示为。好。你说这个也可以表示外 b， 这个也可以表示什么？外 b。 所以 u 弧我们也可以用几个字母三个是，是不是类似？半圆？是非常好， 所以 u 弧我们继续用 o 什么 i c b 来进行。那么这条小与半圆的弧呢？又把它叫做什么？裂？那么裂的弧又怎样表示为 b？ 大 点说，没关系啊，这个点。先讲一下弧 a b， 或者是在弧 a b 上面再取一点表示。 好，他说要么我们可以把它称为什么湖，什么 a b， 他 说要么在这个湖外边上再取一点什么 e 或者什么 f， 随便你是不是。我们也可以称为湖 a b， 湖 a b， 这是一个特殊的规定。 列胡，我们可以把中间这个字母给怎样插去，用几个字母，两个，两个，两个观点字母来表示。现在我来画出一条线啊，我来画出，大家看一下，我在上面有一个是 b， 我 把这字母写大， 大家看清楚这是什么 c。 好， 我画的这个 b c 这条弦，它是直径吗？不是，为什么是直径？因为那么直径一定是弦吗？ 是是是是是，是，不是一定是弦是，为什么？刚才直径的概念是怎么说的？经过圆心的弦叫做直径，所以直径是弦，弦不一定是直径，非常棒。好， 那么我们现在我在连接 i c， 我 连接 i c， 那 么大家来看一下 i c， 你 能不能找出勾胡与变胡？ 大家，这个非常简单呀，好，找一个试一下。好，这同学请你讲一下，猎虎是 a c， 狐 a c。 好， 猎狐，你可以直接说狐 a c， 还有没有狐 c b， 狐 c b， 是 不是这样的好，跟老师说， 哪位同学能不能找出所有的 u 啊？各位女生请讲一下， u 湖有湖 c b i， 湖 c b i， 还有呢？湖 i c b， 湖 i c b。 啊，这个是半圆， 非常好，他说这个湖 i c b， 是 不是 u 湖呢？这个湖 i c， 我 们从这都看他是不是半圆， 是半圆吗？对，那么半圆是不是右弧呢？不是不是啊，半圆是不是右弧？不是不是，我没干什么要找 k， 那 么半圆到底是不是右弧？我们来试一下，你 大于半圆的弧叫右弧，那所以半圆是不是右弧？不是，所以 i c b， 他 是不是右弧？不是， 那你还能说出来吗？啊？胡 c a b 啊，胡 c a b， 是 优胡吧？是非常好， 那么大家思考一下，那么以后我们再寻找优胡，辨识有什么好招呢？对对对，先先找弦，然后先画一个弦，然后再画一个弦，是不是直接？对对对，对，你要代表说一下，首先要找出弦， 首先要你说先找弦，对，但是要排除为直径的弦。好，那就说非直径的弦是不是就可以了？然后呢，每一条弦这上面对着什么湖？ 列列湖，上面是什么湖？有，那么也就是说我也可以先找什么湖？列湖，每一条列湖还有对应的一条什么湖有湖，非常棒。 好，大家同意不同意这一团的观点？同意，先找什么湖练湖，每一条练湖对应着一段什么湖有湖好，这是我们学习的圆的什么相关概念。好，我们接下来来看一段视频，检验一下同学们的记忆力， 注意他们每个人的位置及他们每个人所说的话。师傅，我不回来，你们千万不可走出圈外，这猴子可真会捣鬼，画个圈叫我们钻二师兄进来吧。嗯， 哈哈哈哈哈哈！定位， 孙悟空做了什么画了个圆？好，这位男生听两下，孙悟空画了一个圆石头，看，这个女生说他是以唐僧为圆心，画了一个圆，他是以唐僧为什么圆心画了一个什么圆？非常棒， 记忆力真的很好啊！好，那孙悟空说了什么？孙悟空说了一句什么话呢？好，这位男生，你能不能想起来孙悟空说了一句什么话呢？师傅，不要离开这个 哦，是不是这样的啊？大军是这回意思吧？师傅，你千万不能走出圈外，是不是这样回事？那说明唐僧是在什么位置呢？圈内，圈内，也就说在什么圆的通过内，或者什么圆内，是不是这样呢？好， 那么猪八戒说什么呢？看哪个圈圈下来了，请记住！好，哪个圈圈下来了？ 好，这位小姐，请你说一下，这个猴子画个圈让我们转哦，非常好，这记忆力，非常棒！非常知道猪八戒说，这猴跟猴子真是的，画个圈让我们转，是不是啊？是，非常好， 那说明猪八戒现在是在什么位置？圈外？猪八戒他是在圈外，也就是在什么圆的什么部外，是不是这样的？好，我们看沙僧，沙僧的一个角是在 员外，一个叫是在什么员内，那我们可以把沙僧看成是在什么员上。 沙僧说了什么，哪位能记起来呢？沙僧说了什么？好，大家说，没关系，错了没关系，敢说你就成功了一把。好，这个女生你来试一下， 好像是让那个猪八戒进来，是不是这样的？是的，他说是这样的吧，他怎么说的？不行，你再说他怎么说的？ 师傅让我换了一个圈，我们就进来，回去，回来。这个师傅说的，他说二师兄进来吧，师傅这样说的，拉了他的手，对吧？那说明猪八戒现在是在什么位置？在什么位？那么大家想一想，点与圆的位置关系 有几种？三种？哪三种？圆内圆内，还有什么点在圆上，点在圆上，还有呢？点在圆外圆外。好， 那么在平面内非常容易的能够观察到点与圆的什么位置关系，那么在实际情况当中又是怎样呢？ 接下来我们来看这是一个什么场景？爆爆爆爆爆爆！在大型工程中应用非常广泛，据说已经发展的非常成熟，那么安全仍然是我们要住的问题，下面我们来看这题， 现在要在 o 处进行一次工程爆破，矮处有一处民房，那么民房是否在爆炸范围内？ 怎样？请大家小组讨论。好的时候都记住了，这位女生请讲一下连接。 o i 如果 o a 大 于 o r， 说明不再爆炸，如果 o r o a 小 于或者等于 r， 那 说明在爆炸。好，那你的意思是说如果 o i 它要什么半径？要大于爆炸的半径，那个房子民房会不会被破坏， 不会被扣押，那么如果扣押呢？要我们先看，等于是不行，那扣押要等于这个爆炸半径呢？这个民房正好怎样被扣押？是不是这回事啊？好， 那么下一个呢？如果 o m 的 长度叫什么？半径小与半径，这时会发生什么情况？民房被设计干什么？这一回是不是这样的？好，很好，请坐好。那么大家来思考一下，点与圆的位置关系， 它与什么有关系呢？半径，半径啊，与半径，你就说与圆到半径，那么还有什么关系？点到圆心的什么与距离有关系？是不是所以点和圆的位置关系与点到圆心的距离和什么有关？半径，第一个 点 c 到圆心的距离，什么半径小与小与什么半径？那所以点 c 就 在什么圆。点矮到圆心的距离等于半径，那么所以点矮就在什么圆上。 点 b 到圆心的距离大于大于半径，那所以点 b 就 在什么圆。 非常好。好，那么我们如果把点到圆心的距离设为 d， 半径设为什么耳？那第二问题，如果 d 小 于耳，也在点在圆内，是不是这样的？是不是这样？你看 d， 点到圆心的距离为 d， 如果这个 d 要小于什么半径，那么这个点就在什么圆心内。 那如果 d 等于 r 呢？圆上，如果 d 要等于什么 r， 那 我们可以提出点在什么圆上， 是不是这样呢？好，那如果 d 要大于 r 呢？我们可以提出点在什么圆外？我们有数量关系，可以推出 位置关系。那么反过来，我们由这个位置关系能不能推出数量关系呢？能，好，能，所以就是什么等价于符号来进行表示。下面我们来看一个细节，点圆有形。 好，这位女生，请你讲一下，如果 p o 等于八，则点 p 在 圆外，为什么呢？因为这个 p o 大 于半径。哦， o p a 大 于半径，所以点 p 是 在什么？两万，非常好，请坐。

你们知道弧线和圆有几种面积关系呢？三种，三种确定知道，那你会判断圆的切线吗？会有几种方法呢？那现在我们先完成我们导穴岸上的一条路，看看能不能顺利完成。好停， 我们让跟这个同学先来说一下他的答案，大家听一下。直线和圆有三种位置关系，分别是相切、相离、相交。判断直线和圆的位置关系有两种方法， 可以根据公众点各自进行判断，也可以根据直线到圆 o 的 距离与半径作比较进行判断。好，来坐下大家来点评一下。 现在先看他回答的这一块，可以根据谁的个数进行判断，他说公共点的个数，这公共点指的是谁和谁的公共点，有说明吗？ 没有，那应该是直线和圆对直线和圆的焦点的个数，或者说直线和圆的公共点的个数，看你回答的准确吗？再看第二种方法， 也可以根据圆心到直线的距离，而他刚才说成了直线到圆心的距离，是吧？我们应该是点到直线的距离，而不应说成直线到点的距离，看你写正确吗？ 圆心到直线的距离与半径做比较进行判断。来，坐起来，转过来。直线和圆的位置关系，我们学了 三种相离，我们从图上可以看出，相交的时候，几个交点两个中间的时候，几个交点相离的时候呢？图中的 d 表示的是 d 表示的距离，用 d 来表示， r 表示的是。我们会用 d 和 r 来表示它们之间的关系吗？会，好，我教给同学来， d 小 于 r， 直线与圆相交， d 等于 r， 直线与圆相切， d 大 于 r， 直线与圆相离，对吗？对，好，正确，请做 回答的非常正确，我们今天继续来学习直线和圆的位置关系。现在自学教材九十二页做一做前面的内容，完成导学案上的内容差不多了啊，来，停， 我们现在小组内来先交流一下你们的答案。还是先小组内先交流一下。假小子在打对吗？那假小子变大了之后呢？你看看具体他又变怎么样了？对啊， 不是不是， 完了，没完了。那现在咱先看第一个问题，咱叫一个小组给咱说一下，来，这个小组代表谁来？说？好，大家认真听。左边有小变大，是点 o 到直线 l 的 距离也有小变道， 此时直线 l 与圆 o 相交，当角 v。 行，大家先看这块，一样吗？一样一样。好，接着当角 a 等于九十度时， d 达到了最大，此时直线 l 与圆相切，当角 a 继续增大时，点 o 到圆，直线 l 的 距离地逐渐变小， 此时直线 l 与圆 o 相交，对吗？对，那我看刚才在做的过程。老师，看的过程，大家发现这一块问题最大，角 r 法，它等于九十度时 必达到最。什么？刚才啊，有的同学说最大，有的同学说，在转的过程中好像距离还在变大呀，是最大吗？是，是最大，是，那老师刚才说了，我们可以自己动手操作看一下是吧？我们可以用我们的笔来看。老师，这来。好，同学你坐下。回答很好， 那把它当成一条直线看看。开始的时候是这样的，那这样转动的过程中，咱发现了这个角是不是越来越大，也发现了距离是不是远，越来越大了，是，到九十度的时候是不是就成这个样子了？对， 那这个时候他是半径，这个时候他的距离等于多少了？ d 等于啊， d 等于啊。刚才咱发现它怎么样的？ 那我们继续在转动的过程中， r 是 不是就大于九十度了？是，但是咱发现了这条直线他又和圆怎么样了？相交，对，又相交了。那相交了之后那个 距离是他又小于 r 了？对，而且角越大，他是不是离这个圆心越来越近？是，对，他就由 有大有变没小。理解了，没理解了。好，我们再来看。第二万是也点一组，那好，按顺序第二组。谁来给大家说第二个问题？问题按中当角 r 等于九十度时， d 等于 r， 此时 l 与圆 o 相切， 正确吧？最特殊的一种是吧？好，来，坐下。第三万，那我再点一组，这组 按顺序来回答，这是一般就是直线最圆的距离。还有第三个问题没有答案，经过直径一端的直线是圆的贴线吗？是不是？不是那组说一下。为啥不是？回答不是。声音这么响亮，咋没人举手呢？来，老师就教你，我看你想举又不想举的。来，你说说。 跟他过直角一端的时候，他没有说是垂直，有可能像相切，他没说垂直，是吧？是啊，那刚才在上面我们刚才有没有这种过了？他的一端 有，但不垂直的这种情况，不垂直的时候他该怎么样了？所以说正确吗？正确。这个同学回答的正确吗？正确，很好，来，坐下。那好，来，你坐下。那我来。这个女同学， 好，你来说下一段垂直与直径的直线是圆的贴线吗？不是，他没有过。呃，直径的一端， 他没有说是否过直径的一端，那任意过一端可以吗？那康老师这样，如果我这样行吗？ 不行不行，那必须要在怎么样外端外端过圆心行吗？不行是吧？是，好的，来坐下。那看来这两个条件 缺一缺一不可。那好，归纳总结最后的结论，我们填对一起把这个结论来说一下。经过一啊，经过半斤外端且 垂直于半斤的直线是圆的。界线，经过半斤的外端且垂直与半斤的直线是圆的。 大家看这个结论他是用来干什么的？你可以用这个结论来干什么？太圆吗？这他给的很明白的，是圆的牵线， 对吧？他就可以用来判定圆的切线，这是不是又学了一种新的方法？一般情况下我们把它就叫做圆的切线的判定定理。注意， 那我们现在看看，要用这个定力来判别他是否为圆的切线。我们首先看看我们要注意这条线他需要满足哪些条件的时候，他就是圆的切线了， 必须过半圈，过半圈的哪外端在哪？圆心，其实就是这个点在圆上，对点在圆上，是吧？是那，那我也可以理解为 他是不是要过圆上一点是好，那再看看他还要满足什么条件，还要和半径是没有关系。那还有第三个条件吗？ 直线，直线对切线，它是直线，不是线杠。那首先如果一条直线它满足于刚才我们所找到的这两个条件的时候， 那它一定就是一个圆的切线。所以说我们要用它的时候，我们就必须要注意抓住几点，两点或圆上一点 二，与获该点的半径垂直，不是与所有的半径垂直都可以，必须是过这个点的半径或者是 直径，半径可不可以扩充到直径，这个可以变化为半径。可以。那我们想想，如果说证明题的过程中我们要书写过程，我们应该怎么写？说了要满足几个条件，两个作为这道题的两个条件，必须要经过点，这样的点是谁？ a a， 那 m 垂直于 o a o a 两个条件，看书写我们一定要抓住，这是我们这节课应该注意的一个地方，因为 m 垂直于 o a 第二个条件， 且 m 经过圆 o 上的点的点 a， 那所以说我们就可以得到这个线 m， 它是尖尖会用。好，我们现在来看一下这个问题， ab 经过圆 o 上一点 a 几个条件了，一个了，且 ab 等于 oa， 角 o b a 等于四十五度。直线圆 o 的 切线吗？是这天线要满足两个条件，我们第一个条件 有了没有？要说明这个条件，那我们就要说明垂直，你可以能说明角是九十度吗？能说明哪个角是九十度？谁有想法了？ 这么厉害的来，我看你这个子是最大的，我看你这大个子的人是不是特别。因为 ab 等于 oa， 所以 角 aob 等于角 oba 等于四十五度，四十五度，对吧？那这一块利用了我们所学过的通边，所以角 oab 就 等于九十六， 这个跨度好像有点大，因为在三三角形 o a b 中，它内角和等于一百八十度，一百八十度减角 a o b 减角 o b a 就 等于一百八十度，减四十五度，减四十五度就等于九十度， 正确吗？对，正确吗？正确。 o a b， 你 听懂了？听懂了，好，接着说。然后就是因为他说了啊，他过来了， o a 就 垂直于那个 ab 嘛。哦，九十度了，所以 o a 就 垂直于 ab 了，所以直线 ab 就是 圆 o 的 切线， 对不对？几个条件？他这这块说了几个，一个我们要几个条件，两个说谁把那一句要补上，且 o a， 而且 a b 经过原物上的点，所以说 a b 就是 原物线，和你的想法一样吗？一样。好，来，坐下。回答很好，那非常流利，看来他的思维还就是秘诀。 那他问是不是我们先说判断，然后再说理由，再看看理由，看看 看完了没啊？依然还是要注意前面这些我们都是基础性的，对吧？关键就这款是信用的知识先证了垂直两个条件，第二个条件是他经过了圆 o 上的点，所以他才是圆上的切线。对，切好了，得贴线。几个条件，两个必须写在一起， 明白吧？明白了，你知圆 o 上有一点 a 过点 a， 你 能画圆 o 的 切线吗？看这次老师的要求是干什么呀？画不是做对吧？对，你会画吗？会，先干什么？先连半，先连半精，先连半精 o a。 对， 第二步呢？这次做垂直有没有尺规可以吗？当然可以，不用尺规行吗？可以。不用尺规可以吗？老师说的是画，不是做，做，是尺规。做画可以可以可以，我们可以借助什么呀？三脚板，三脚板 上面有直角对吧？两脚细可以吧？可以快速划出来，划出来会划了没？会做半径的外端，然后和半径怎么样了？垂直了，它就是圆的贴线，会做了没？会了，会了，会了。假设 他有这样一个圆，想想这个圆他要满足哪些要求？我们现在来完成倒学案。第二点，三角形的内切圆。回答问题，不忙着做符合条件的圆心具有什么特点？怎样做出圆的圆心？ 怎样做出圆的半径？这样的圆能做出几个？差不多了吧，完了，没来，做。好了， 坐起来，同学们，先坐起来，我们现在看与三角形三边都相切的这个圆。看。第一个问题，课代表王安监，符合条件的圆心，它具有什么特点呢？ 是每个角的角平分线经过的点，为什么呢？点要满足？他说角平分线上的点到角的两边的。 那其实我可以这样理解，实际上这个圆心它每条边的距离都是什么关系的？相当于这样说吗？可以，可以的。好，来，坐下。第二个来，谁知道举手又又又不敢举手了。 好来，这个同学，两个角平行线的交点就是圆的圆心，他说只要做出两条角平分线就可以了， 可以吗？可以哦，原因是刚才咱说了角平分线上的点到角两边的距离相等，咱是不是要满足距离相等呀？对对，好，坐下。第三个问题，怎样做出圆的半径？好来， 你来说，就你角平分线线的交点到三角形任意一边的五边线可以翻起 的，垂线断为半径，垂线断的长度它为半径，对吧？垂线是一条直线了，而我们的半径是什么呀？线断了，所以说是垂线断的 长度作为半径。好，来，坐下。回答，很好啊，做垂线。第四个，这样的圆，你能做出几个？几个呀？一个一个。为什么？因为，因为刚才咱说圆，他有几个条件可以决定圆， 圆的位置由谁来决定？圆心圆的大小由谁决定？那好，那圆心你能做几个呢？一个一个，因为三条角平分线只有几个焦点，一个一个焦点，所以说一个，对吧？然后再看半径固定吗？ 圆心定了之后交点这个角平分线的交点，他到三边的距离相等，没有第二个半径了，对吧？所以说几个呀？一个对一个来做起来。我们可以把上第一个问题 到三边的距离相等，这样确定圆心的角平分线和角平分线交于一点，那两条角平分线也交于一点，所以我们做三角的平分线还是做两角的平分线，两角半径做垂直，对吧？对，那你会做吗？会 角平分线。嗯，对，开始画好，留作图痕迹，做好的同学可以让老师看。谁做好了举手示意，让老师看看。你是龟座，现在把你做完了之后呢，就可以检查你的小腿，必须要是龟龟座，你可以检查 你的小腿来。好，停，我看咱基本上都做完了，看的时候有个别同学有这样的现象，大家注意，刚才咱说了半斤，半斤是不是要过圆心，过那个对角线，那么这一块我们就要根据 根据过直线 y 一 点做已知直线的垂线来确定这个半径。我们是尺规则图，对吧？能不能拿三角尺量一下？不能，不可以的，明白吧？明白。

我们来看一下下面这个题啊，来，先审题，在直角三角形 a、 b、 c 中角， c 等于九十度， e 是 a、 b 边上一点以 a、 e 为直径的半圆， o 与 b、 c 相切于点， d 连接 a、 d， b、 e 等于三， b， d 等于三根号五， p 是 a、 b 上的动点，当三角形 a、 b 边不要划一下 a、 b 边，题目中 a、 b 边划一下， 这个下面你读到哪里都不知道吗？然后 a、 d、 p 是 这样三角形，对吧？对，那么在 ab 边上，那就是不能在这个直线上啊，就是不能在外面啊。那么 a、 d， p 是 这样三角形，那么就三种情况嘛。第一种情况就是，呃， 比如说 a、 d 等于 ap， 对 吧？嗯，就 a 为顶点的，或者 d 为顶点，对吧？ p 为顶点比较简单来，第一种情况先写吧， 就是 p， a 等于 p d， 那 么这里的话就是 p 跟 o 重合了，对不对？嗯，那就是 o， a 等于 o d 嘛，是不是？也就是啊， p 与 o 重合，即 p 和 o 重合，那这样子的话，我们只要算半径即可，对吧？啊？在 a、 d 的 中垂线上，是不是？ 那么也就是说这个，呃， o、 d 连一下就好了。那么 o、 d 连一下的话，我们看一下这里的话，怎么去求这个半径啊？呃，来直角标一下， o， d， c 是 直角， o， d， c， o， d， b 都可以啊，好，我们直接设一个半径是 x 就 可以了啊， o， d 是 x， o， e 也是 x 嘛，对吧？那勾股定律就可以了。来写一下， x 加三的平方等于 x 方加这个 三根号五的平方，那么这里咱们算一下，算出来这个 x 就 等于六好，这样子的话，第一种答案出来， a、 p 的 答案就是六，所以 a、 p 等于六好。第二种情况呢，就是说是，呃， 比如说 a d 等于 a p， a d 等于 a p 啊，那么找到 p 点大概在 e 的 上方一点嘛，然后把它连起来，标个点 p， 然后连起来， ok， 好， 这种情况主要是算，相当于算 a d 嘛，对不对？算 a d 的 话应该是比较好算的啊。你先把这两个 x 叉掉，把它改成六，把六标上去。 哪个是六？ o a 是 六啊， o e 也是六， 你把那个 d e 也擦掉嘛？算了， d， e 擦掉，把 o、 d 补补好， d， e 擦掉，这 d， e 应该用不到了啊，然后把那 p 点擦掉， p 点也顺便擦掉，然后把 o、 o d 补好。好， 咱们把这个六标上去， o， d 是 六标上去，那么相当于求的是 ad， 对 不对？ ad 的 话，那么直接求比较好。 b， e 是 三，不要擦掉呀， b， e 是 三， 我们直接看一个 a 字形， a 字形可以把这个 a c 求出， a c 求出来， b c 就 出来了， b c 出来的话，那么 cd 就 出来， cd 出来的话就是 ad 就 出来了，对吧？咱们直接写一下好吗？呃，因为 o 道平行这个 ac 啊， 所以咱们这个呃三角形 b o 道相似于三角形，这个 b a c 好，所以 a c 直接写啊。 a c 可以 口算一下啊，我来口算一下吧， a c 应该等于这个九比十五，九比十五就是约掉一个。呃，九比十五，约掉一个三，五分之四，也就五分之三，五分之三，也就六乘以三分之五。 a c 等于六，乘以三分之五， 等于十对二十，然后写个十吧。 a c a c 写个十啊，然后是，呃，比 o 比 o a 应该是等于九比六，也就等于呃，三比二，也就是 c 道是二根号五 是吧？反正 a 之前都能求啊。在勾股定律， a 道就是二根号三十啊。记一下 二根号五和十一百，加上这个一百二十嘛，一百二十除以十三。对的，所以好的呀，所以 a p 也是二根二三就做完了啊。那么第三种情况同学们可以不用做。为什么这个时候肯定是跑到外面去了啊？ 就 d a 等于 d p 的 话， p 肯定在 a b 的 延长线上啊。所以说这个题就是在边上就两种情况，如果在直线上呢，就要多考。

多边形与圆的练习题看题如图，已知矩形 a、 b、 c、 d 的 边 a、 b、 c、 d 经过圆心 o， 点 e、 f 分 别是边 a、 b、 c、 d 与圆 o 的 交点 a、 e 等于三厘米， a， d 等于四厘米， d， f 等于五厘米。求圆 o 的 直径的长 作 fn 垂直， a、 b 与点 n 连接 o， f 因为 a、 b， c、 d 是 矩形， a， e 等于三厘米， a， d 等于四厘米， d， f 等于五厘米， 所以 角 d 等于角， a 等于角， a， n， f 等于九十度 四边形 d， a、 n， f 就是 矩形。 已知 a， d 是 四， d， f 是 五， 所以边 a， n 等于 d， f 等于五厘米， n， f 等于 a， d 边等于四厘米， a， e 是 三，那么 e， n 就 等于 a， n 减去 a， e， 所以 e， n 等于 a， n 减去 a， e 等于五，减三等于二。 c， m 设圆 o 的 半径是 r， o， f 就是 r， e， n 是 二，那么 o， n 就是 r， 减去二， 设圆 o 半径为 r。 在直角三角形 f， n， o 中， o， n 的 平方加上 n， f 的 平方就等于 o， f 的 平方。代入 o， n 是 r， 减去二的平方，加上 n， f 是 四的平方，等于 r 的 平方。 展开 r 平方减去四， r 加上四，加上十六，等于 r 平方。两边同时消掉 r 平方，得出 r 等于五， 所以圆 o 的 直径 是二， r 等于十厘米。