梧州初中一模时间

别再小看一模语文基础题了，你以为他是送分小天使，但其实他是隐形杀手。那真真那基础都会考什么呀？今天真真会带你分析一模语文基础题题型有哪些，我们应该重点注意什么？我们要了解基础题他会以何种形式出现在我们的卷子上，那地区不同呢？他出题的形式也是不同， 绝大部分地区如你所见，就是这种，给你一段材料文字，在材料文字当中，他给你加上点点，画上拼音，挖出空空，画上线线，让你去答他的字音字形、选词、天空词语辨析、成语误用跟修改病句。那还有一部分地区，比如说黑吉辽地区，他 们考察基础题呢，就会以客观选择题的形式，比如第一道题，问你下列读音正确的一项或错误的一项，给你 a、 b、 c、 d 四个选项让你去选，但殊途同归，无论是哪种提问方式，它都是基础题，一定逃不开自 词句。那我们就说字字的话，他会考察字音字形，也就是看拼音写汉字，或者是给你加点字，让你注音啊。那很明显，这道题就是属于给你加点字，让你注音的，他一般会考到的字都是那种平时我们生活中会读错的字，就比如这个字到底读什么呢？正确答案就是 炙热下一个。看拼音写汉字，五彩斑斓的蓝呢？啊，一时让我写蓝，我竟想不起来呀，谁能想到他是文字旁的蓝，怎么去记呢？真真教你巧记字法，那就是跟前边的字一起 记，这个叫做语境联想法。当你下次看到斑的时候，你发现中间有个文字，那他的蓝也是文字旁的蓝，那同理。如 如果要是给了你文字旁的栏，但是没有给你班字呢？那你也能推测出来哦。我记得当时背的时候，这两个都是文字旁，这就是语境推测法，学会了吗？关于字音字形，他还会考你，请你把错别字修改过来，只不过这种提问方式很罕见了。来看一看这句话 错的是哪一个字呢？懦子牛，不是我说懦家得罪谁了，为什么是懦家的牛啊？所以你都能看出来他有问题，他一定是个错别字了。懦子牛，他说的是给小孩子趴在地上做牛，让他骑在背上，这是一个历史典故，那懦子是小孩子，小孩子的那个懦是子字旁的那个懦。 接下来呢，就是这道题对联。其实对联题，你把它放在基础题里考也行，你把它放在综合实践题里考也行。对联出现的时候，往往跟书法联系在一起，所以关于写对联呢，我们再复习三个要点啊。第一个要点就是上下联相对应位置的词 性完全对应，这个叫做结构一致。第二个呢，就是内容相关，你可不要城门楼对胯骨轴啊。第三个呢，就是坐起平收。接下来是这道题，你看这道题下列句子当中加点字字意相同的一项式，它是一道基础题还是一道文言文题呢？ 这怎么那么像？文言文当中请选出下列 a、 b、 c、 d 四个选项，加点词的意思和用法都相同的一项呢。所以我说现在的考题越来越灵活了，每一年的题型都在变化，但好在万变不离其宗，它不还是个解释加点词的意思，一个词意理解题。 那你就去看呗，明月别枝，精确的别，相见时难别亦难的别。维安主的主，江主上的主，儿童相见不相识的见，跟路转西桥忽线的线，这读起来就不一样，肯定不选它。商商呼若流水的商，跟如炭汤的汤读起来不一样，肯定不选它。正确答案就在 a 跟 b 里。选啊。真真，那到底应该 选 a 还是选 b 呢？听好了，孩子们，烟浊江浊。很明显，这三点水的指的都是一个事物、一个景观，一个地方，一个名词，对吗？所以它基本上演变不出来别的意思了。如果是我，我就直接选择 b 选项， 总比选择 a 选项别之精确的别跟相见时难别亦难的别要强，因为它们可以翻译出来动词，词性能翻译出来动词，那意思就不一定相同了。因为动词的意思是最难把控的，所以排除法我也会选择 b 选项，因为一个名词是折腾不出来什么太大的水花的。而这道题的正确答案真的就是 b 选项。邪修用寸，真门用寸。那现在看完了自语词，我们该来看句子了，来看话献句。但只有把小我融入祖国的大我之中，才能更好地升华人生境界，实现人生价值。说， 画线句有语病，请你把正确的句子写下来，只要是画线句，基本上考的都是语病。那这句话有什么语病呢？你觉得只有才用的正确吗？那可太正确不过了，关联词就是只有才老师，那关联词也对，他错哪了呢？你品，你细品，如果你发现一个单句主 胃病成分及其齐全，一个副句关联词也没有用错，那他就既不可能是成分残缺或赘余类型的病句，他也不可能是句式杂揉型的病句。那他能出现语病的是 什么呢？只有语序喽。你觉得一个人是先升华他的人生境界，还是先实现他的人生价值呢？老师，我觉得都可以吧，先提高了自己的境界眼界，然后才能更好的实现人生价值。 可以呀，你说的没错，但是这道题除了语序就没有别的毛病了，所以你硬着头皮也要给他改成先实现人生价值，从而升华人生境界。可能有了物质基础才能够有精神享受吧。你认真的吗？真的，答案就是这个啊，那这也太离谱了吧。不过你不用担心，因为这只是一道模拟考的题， 很多地区的模拟考的题没有那么严谨的，中考不会出现这种情况的，各位请放心。那至于具体的基础知识点有哪些，真真已经为各位整理成了电子版的笔记资料，需要的同学可以根据提示下载打印，认准真真老师唯一账号，不要被骗哦！

四月二十七日是咱们初三毕业生的第一次模考，一模通常是初三第一次最接近中考规格的大型综合考试。它的核心作用呢，不是说定终生，而是摸底定位和查漏。 首先啊，精准定位，知道自己在什么样的水平，看校内的排名区排名大致判断能上什么层次的高中，是重点高中，普高呢？还是职高？ 是志愿填报和目标选择的一个重要的参考依据。第二个就是暴露问题，找出最致命的薄弱点。一模他覆盖初中绝大多数的知识点人，测出哪些科目，哪些板块是长期薄弱， 是基础不牢呢？粗心呢？还是不会做题？还是因为时间不够比平时小，测验个人反应真实的短板？第三个就是适应中考，我们要学着去练节奏，练心态， 完全模拟中考，比如说科目时长，答题卡和阅卷标准，训练咱们答题的速度啊，时间分配啊，考场的一个心态，避免咱们在中考的时候去荒场。 第四个就是调整学习方向，从盲目刷题变成针对性的补漏。 一模后呢，距离中考还有两到三个月的时间，也是提分的黄金期，咱们根据一模的成绩，重点是补短板，而不是说全面的去乱学。 第五个呢，给家长和老师一个清晰的分析和分层教学， 家长呢，也可以根据此成绩更理想性的规划志愿和补习。重要提醒啊，县级段的复习是很多学校他的知识点，其实还没来得及全方位的复习，所以呢，相对来说会难一点。 一模不等于中考，很多学生二模、三模甚至中考都有一个大幅的逆袭，考得好别骄傲，考差了呢也别灰心，一模最大的价值它是发现问题，而不是定义。你还有最后的两到三个月的时间，同学们加油哦！

初三的一模、二模、三模哪次成绩最接近中考？这是所有初三家长最关心的一个问题，然后这三次模拟考呢，就像闯关升级一样，然后难度和错重点都不一样。今天呢，一次性给你讲清楚，家中有中考生的家长的话，记得点个小红心，咱们先收藏起来。 首先是一模考试，他是初三第一次完全按照中考模式进行的一个大型考试，学校呢，也会故意把难度提高，因为一轮复习刚刚结束吗？孩子的知识点咱还没有完全的进行一个整合，也没有经过系统的一个做题训练， 所以说学校为了督促孩子极早的进入一个冲刺状态，调整孩子浮躁的一个心态，所以呢，题目相对的话也是比较难一点。 如果说一模没有考好，我反而觉得是一件好事情，因为它可以让孩子及时的发现知识的一个漏洞，从而去进行一个查缺补漏。时间上的话，咱们还来得及，咱们马上调整状态，依然是有机会考上一个理想的高中的， 所以一模看的不是分数，是名次。然后是二模考试，二模一般在一模后一个月左右进行，这时候经过二轮复习，查缺补漏码也基本上已经完成了，孩子的应试心态也稳住了，整体的状态是处于巅峰期。 因此呢，二模的一个难度设置的也是比较合理的，题型分布基本上是和中考一样，这次的一个成绩是往往是最接近中考的一个真实水平的，如果说没有考好，咱们也别慌， 模拟考的唯一作用就是检验孩子复习的一个效果，但不代表是最终结果。中考不到最后一刻，咱们一切皆有可能。 最后是三模，三模一般会安排在中考前的三周左右进行，题目呢，通常也是比较简单的，目的呢就是帮孩子树立信心，帮孩子把考试压力降到最低，让孩子以最轻松的状态走进考场。 最后呢，咱们总结一下，三次模拟考的作用各不相同，一模看名次，二模看分数，三模看心态。而真正能让孩子超常发挥的就是咱们从现在开始 不急不躁，调整好状态，一步一个脚印，相信咱们的孩子呢，也一定能考出初中三年最好的一次成绩，来考上理想的高中。

啊啊啊啊啊啊啊 啊 啊啊啊 啊。

今天我们用一张二零二六年最新的中考异模数学试卷，带领大家进行一场最完美的一轮复习。时间宝贵，咱们直接开始。首先我们来看第一题， 下来交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪一个？什么叫中心对称图形呢？就是把这个图形绕着某一个点旋转一百八十度，能够和自身重合，那么它就属于中心对称图形了。 什么是轴对称图形呢？就是关于某一条直线对称，对吧？哎呀，它能够左右两边完全重合，我把它叫做轴对称图形， 所以你有发现它属于轴对称图形，但不属于中心对称图形。它属于轴对称图形，但是不属于中心对称图形。而这个呢，它既不属于轴对称图形，也不属于中心对称，所以这里面满足条件的只有我们的 a 选项。好，我们看立二， 现在我告诉你，有一个坡坡高呢，是等于一的，就是这个是一，而且水平距离 bc 呢，等于根号三。问，我们整个斜坡 ab， 也就是这条坡，它的坡度是什么？ 其实我们一个斜坡的坡度是用这个斜坡的高啊，也就是用一比上整个斜坡水平上的宽度，也就是比上根号三，所以我们知道坡度呢，也就是三分之高三，所以这题我们选的依然是 a 选项。好，接下来我们继续往后第三题。 如果 x 比上 y 呢，等于四分之七，那么 x 减 y 比上 y 的 值等于多少？其实这个题考的是我们见比设参，它的一个怎么样的方法技巧啊？比方说呢，你可以令它是七 m， 对 吧？那么它就是四 m 了，那么整个分子呢，它就会变成七 m， 减去四 m， 整个分母呢？它就会变成怎么样呢？四 m， 对 吧？哎，我们除以四 m， 所以 也就是三 m 比上四 m 等于多少？等于四分之三，所以选 d。 当然，像这种题，其实尤其是选择题目，你我我建议大家直接怎么样呢？ 你把这个就当做七，你把这个呢？就当做四，那整个题目它就会变成七，减去四，再除以四等于几呢？那不也是四分之三吗？搞定 好，接下来我们再来看第四题。 o 第四题看起来好像有一点点难度，对吧？有一个立方体的木块静止在斜面 o v 上啊，就是，这是个木块对吧？这是我们的斜面。好，它的受力分析呢？如图所示哈， 受力分析其实是我们高中物理里面的一个分支了。好，它的重力计的方向数值往下啊，这个就是这个物体自身带的重力。 好摩擦力 f 一 的方向与鞋面平行，就这个方向呢，和我们的鞋面是平行的，往上了，他到底想干嘛？支持力啊，就是我们这个面对他的一个弹力，对吧？哦，往上弹的一个力怎么样呢？与鞋面是垂直的哦，也就是这个呢，你如果把它延长，跟整个鞋面是垂直的关系。好，我们继续往后了。 如果鞋面的坡角角一等于三十度，就这个角多少度呢？啊，我告诉你是三十度的。好，现在让我们求什么？求支持力？ f 二啊，就是这一条线与我们重力啊，重力计这条线他们的夹角的度数是多少？那么这个你一看就知道，他肯定是一个钝角，并且跟我们三十度有关吗？ 和三十度有关的钝角，你说是哪一个呢？很明显，对吧？当然如果你说这样呢，我想系统性的求其怎么办？其实这里面方法很多， 但我个人觉得比较常规，比较简单的方法是哪一种呢？举个例子，比方说我直接把它延长出来，你正面你可以用什么平行线来进行搞定，对吧？啊？亮，在这里我索性就用什么呢？就用我们的呃八字模型吧啊来进行处理 啊，因为你要知道这个是垂直的吗？也就是这个角呢，它是九十度，对吧？这个角是直角，这个角呢是 直角，能看到，画的比较小。哈，好，你会发现喏，还有啊，我把它标一下，也就是我们这个角能看到吗？这个角 跟我们这个角这两个绿角是相等，大家能不能看到？把它放大，可以吧，两个绿角相等啊，对顶角吗？那么此时你会发现在这个三角形以及这个三角形中能不能看到？在这个，这个，这个这个三角形跟这个三角形中，对吧？我的对顶角等于对顶角， 我的直角和直角对应相等，你垂直吗？所以这个角一定是九十度，对吧？三角形内角和呢？一百八十度。现在我有两组内角对应相等，一组内角对应相等，两组内角呢？对应相等，对吧？ 对，我们的第三组内角一定对应相等，你这个角是三十度，所以我们知道也就是这个角能看到吗？这个角它一定也是 三十度。理解没有。当我们求出这个角等于三十度，那剩下的它的零补角，也就是我们角二呢一百八减去三十度嘛，所以也就是一百五十度了，因此这里我们选什么？哎，我们刚才说和三十度有关的，对吧？很明显也就是 b 选项了。 当然在这里面，如果你像这样做平行可不可以呢？也可以做出来方法非常多啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，我们再来看一下第五题了， 第五题这个题其实本质上考的是我们相似的判定呐。首先我告诉你，三角形顶点都在正方形的网格格点上呐，像这种这种这种都在格点，对吧？那么下面鹰眼三角形，你发现它的顶点也在格点上，那么哪一个相似呢？ 其实我告诉你，这个题正常情况你应该怎么做呢？我讲两种方法，第一个呢就是我们所谓的常规的方法，第二个就是流氓法。好，首先标准方法他是这么描述的， 你这个三角形在网格里面三边可以求，你这个边长度是几呢？这个边的长度一定是我们的单位一，对吧？好，那这个边的长度呢？它是正方形的对角线，在这个等腰直角三角形中，你可以求出来它是根号二，没有问题吧？ 剩下的那这条边的长度等于多少呢？嗯，你会发现他在一个一乘以二的直角三角形是一根号二，根号五。 那么我请问各位同学们，那我们剩下的 a、 b、 c、 d 每一个三角形的边长可以求出来吗？百分百可以举一个例子，比方说这个边长是几呢？是根号二，对吧？这个边长是几呢？你会发现它在一个一乘以三的 一乘以三的直角三角形中，你用勾股定律可以求出来，这个边是根号十，也就是这里的每一个每一个三角形，它的三边你都可以求出来，哪怕慢一点。 求出来之后呢？我们知道相似的判定里面有一种两个三角形，如果三边对应成比例，那么这两个三角形一定相似，对吧？但是在这里面你会发现我们需要怎么样呢？一二三四， 我们要求四个三角形的三个边，我们要求十二条边，而且我们要比来比去的比较麻烦，那这里有没有稍微快一点点的方法呢？哎，首先你要知道我是不是一个钝角三角形，没问题吧？我这个钝角三角形的钝角等于多少度呢？首先这个角是九十度直角，没问题吧？ 剩下你会发现我们这个角呢，也就是这个角多少度呀？这个角这是等腰直角三角形吗？因此我们这个角一定多少度是不等于四十五度，没问题吧？ 那此时你会发现我们整个大大的钝角等于多少度？四十五度加九十度，也就整个钝角他一定是一百三十五度，没有问题吧？哦，我是一个含有一百三十五度的钝角三角形，你但凡跟我相似，你是不是必须得有一个一百三十五度才可以，对吧？ 那请问 abcd 哪个三角形，哪个钝角三角形它有一百三十五度角呢？很明显只有谁只有 a 选项，对吧？你这是九十度吗？ 你这是一个等腰直角三角形，这个角四十五度吗？九十度加四十五度，一百三十五度。除了 a 选项之外，你会发现 bc 里它都不含有一百四十五，一百三十五度，为什么呢？你比方说你这个角是四十五度，你这个角一定是小于九十度的，对吧？这个角是不是百分百小于九十度， 所以你整个角一定是小一百三十五度？不行，同样的，我们再看 c 选项，就你这个角是直角，对吧？但你这个角呢？它大于四十五度，为什么呢？你会发现我们连一下，对吧？连一下，你是个等腰直角三角形，因此我们这个角呢，等于四十五度， 对吧？那你整个大角不就大于四十五度吗？那你加在一起，所以我们知道，那整个大大大大的钝角一定大于一百三十五度，也不满足题。 好，最终我们再来看 d 选项，那 d 选项怎么判定呢？你想想，如果我这个角等于一百三十五度，那么这两个角相加一定等于四十五度，那么也就是每个角等于多少度呢？每个小角一定等于二十二点五度，对吧？那它等于二十二点五度吗？ 你想想，你连接一下，对吧？我们知道它是一个等腰直角三角形，咱们这个角呢，百分百等于四十五度嘛？ 四十五度是整个三角形的外角，那么肯定等于这个角加上这个角了。你想想，你是二十二点五度，那我这个角不也是二十二点五度吗？能不能理解？就这个角他也是二十二点五度， 那么也就是我们是一个等腰三角形了，也就是你这个边呢长度。哎，这个，这个边的长度怎么样呢？等于这个边的长度，你觉得可能吗？ 我这正方形的边长是单位一吗？你这个是正方形对角线根号，对吧？所以很明显，也就是我们可以推出来这个角，能理解吗？这个角跟我们这个角它的大小是不相等的，因此呢，它不可能是四十五度一分为二的二十二点五度。因此呢，我们 d 选项 它也不是一个含有一百三十五度的钝角三角形，因此满足题的只能是我们的 a 选项。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天的例六， 这里考的就是我们位次图形，让我们找位次中心啊，也就是有一个三角形 a、 b、 c， 还有另外一个三角形 a、 b、 c， 对 吧？那么请问它的位次中心的坐标是什么？什么是我们的位次中心呢？它的特点就是你的 a 点跟 a 对 应点的连线， 以及你的 c 跟 c 点对应点的连线，对吧？哎，我不知道交于哪啊？包括你的 b 点跟 b， 你 对应点的连线，你一定会交于同一点，这个三条直线相交的同一点就是我们这两个位置图形的位置中心。 既然三条直线会交于两点，我们真的需要把三条直线都画出来吗？不需要，我们只需要画两条就可以了。比方说，首先我们画 a 跟 a 点，哎，这一条直线把它画出来，所以我们知道 v 四中心一定在我们的 y 轴上。好，接下来我们再找怎么样呢？找我们的 c 跟 c 点这两个对应点， 你会发现这两个多一点，他在一个二乘以三的怎么样的大大的长方形中，所以你接着画的话，他依然会在一个二乘以三的大的长方形中，也就是怎么样呢？他整个的连线是这么走的，他会走二乘以三的这个长方形矩形的对角线，对吧？ 所以也就是在哪里呢？啊？就在这个位置，那么这个点呢，很明显就是零负一，所以我们选择 d 选项。搞定。好，接下来我们再看一下 例期，其实你我发现前面整体来说都比较简单，例期其实也不难啊。好，我们给出一个烧瓶球的半径是五厘米。好，我们知道它的半径呢，等于五。好，液体已过半，现在我告诉你， c、 d 等于七厘米，整个 c d 是 七，那就相当于告诉你，这个边的长度呢，是等于二的，对吧？半径是五吧。 好，那么请问圆中的弦 a、 b 的 长度等于多少？这个题很明显考的是我们的垂径定理，那么正常情况下，我们的线应该用虚线表示，我就直接连了啊，我们知道圆的半径是五吗？你的半径是五。好，那么此时我们用勾股定理，我们可以求出来，那剩下这个边的长度呢？哎，求一下， 斜边是五，直角边呢是二，用勾股定律我们求出来，等于根号二十一，对吧？根据垂线定律，那么这个边也是根号二十一，所以整个长度呢，也就是二倍的根号二十一，选 c。 好， 我们继续往后了，这是我们今天的例题，我们再看例八， 例八，它属于我们三角函数的一个实际应用。好，首先学生甲在量体 a 处，量体在哪？在这里，对吧？测的弧形岛。 c 啊，就是弧形岛啊， c 点在其南偏西十五度的方向上，什么意思啊？就是 哦，把 a 当做一个我们的观测中心啊，这左西右东，上北下南嘛，这时候就是我们的南，这边就是我们的西，对吧？ c 在 a 的 南偏西，南偏西，就是从南边往西边，这边偏段，偏十五度，对吧？偏十五度的方向， 其实就是告诉你角一等于十五度嘛。哎，好，我们把它清掉。那说白了，咱们白说了，也就是这个角等于多少度呢？它等于十五度 是吧？哎，我把它标出来可不可以？哎，我把它写在旁边，这个角是等于十五度的。好，我们继续往后 右，从 a 处向正东，正东就是水平，往右干嘛呢？行驶三百米到达凉亭 b 处，也就是告诉你这个长度是三百。好，测得弧形 c 在 其南偏西，六十度，一样的嘛，对吧？ no， 这是南岸， 这是 c 在 b 的 南偏西，六十度啊，这个六十度已经给你标出来了。好，我们继续往后啊，已经标出来，我们就不用管他了。 好，那么请问此时 b 和 c 之间的距离，也就是 bc 的 长度等于多少？其实在这里面，我们知道他相当于告诉我们怎么样两个条件，第一个条件就是我们这个角他一定是三十度，没有问题吧？好，第二个条件是什么呢？他相当于告诉你这个角他的度数等于多少度。 这个角是九十度吧，没问题吧？九十度加十五度，其实也就是一百零五度。那我想问一下，剩下的我们这个角的度数等于多少度， 也可以求，对吧？三角形内角和一百八十度吗？减去一百零五度，再减去三十度，所以我们知道剩下的一定是 四十五度。挠，我就觉得比较简单了。在一个还有特殊角的直角三角形中，我们知道其中任何一条边，他所有的边长，所有边长全部都可以求解出来，为什么呢？比方说我们过 a 点直接做垂线 对吧？做垂线，比方说亮在这里放个屁，看到没有，我在这放了个红色的屁啊，臭死，那踢一半就逃跑了，各位同城。 哎，我们知道三十度所对的直角边是整个斜边的一半，就是一百五，对吧？所以你这个等腰直角三角形，我们这个边也是一百五了。 你不管用勾股定力，还是根据特殊直角三角形三边比的关系，我们都可以求出来，这个边呢是一百五十倍的根号三，所以整个程度呢，那自然就选择 b 选项了，一百五加上一百五十倍的根号三，其实比较简单啊。好，接下来 我觉得目前稍微有那么一点点难度的，也就是我们的第九题。嗯，这里看起来好像很火人的样子，就是很多推看到这么亮了，我脑袋都大了，对吧？这怎么处理？其实我个人觉得比较简单啊，给出一个抛物线啊，像这样的啊，我告诉你， a 大 于零，开口向上吧， 它与 x 轴交于 a 点 m 零交于 b 点 n 零，并且 m 呢，在这个范围里面，请问 n 的 取舍范围是什么？ 其实这个理本质上他也是有流氓法的，但我个人觉得我们完全没有必要去掌握那么多的，让大家觉得怎么样呢？ 呃，需要记的方法，我们直接用标准方法来搞定，可不可以？首先我们可以得到两个条件，第一个条件，开口是向上的。第二个条件，他的对称轴是二分之一，因此我们可以画出一个开口向上的抛线，就大概长这个样子，现在怎么样呢？他与 x 轴，注意他有两个焦点，对吧？他有两个焦点。 那问题来，有人亮亮，那你这个 a 点跟 b 点谁在左谁在右呢？你又没有说，对吧？那乌七八糟的，那谁知道呀？好，其实因为这个题目，我告诉你，我们的对正轴是什么？咱们整个抛线的对正轴多少呀？ 抛物线对中轴是二分之一，对吧？那对正轴也就是 x 等于二分之一嘛？你其中一个焦点是什么呢？我现在已经告诉你，其中一个焦点的横坐标是负一到零之间，对吧？也就是这个呢，是负一，这个呢是零吧， 对不对？所以很明显也就是你这个 m 呢，那一定在对称轴的左边吗？对称轴二分之一非零，不都在二分之一的左边吗？好，问题来了，那另外一个焦点的横格标 n 的 取值范围是什么？其实这个题你会发现看起来好像很难的样子，其实它考的是什么呢？三个字，抛物线的对称性。 什么意思呢？你想讲啊，那你这个焦点在两个整数之间，对吧？那关于对称，那我这个点他也可以在两个整数之间吗？那请问这两个整数分别是什么呢？比方说，那请问这个点，对吧？ 那比方说我另这个点跟他关于对称轴对称，大家告诉请问这个点是多少？你可以用对称器，你也可以用距离嘛。比方说，同学们，实在不会的，你到我们对称轴二分之一个单位吧，对不对？所以你到我们的这个，呃，这个对正轴呢，也是二分之一个单位嘛？ 对称轴本来就是二分之一，你再往右边走二分之一，所以我们是几呢？哦，就这个点，对呢，就是一嘛，对不对？ 那剩下的你说另外一个点呢？他在两个怎么样呢？整数点之间嘛？剩下一个点一样的道理。 no， 你 会发现，哎，你索性求吧，负一在对应轴，负一在二分之一的左边，二分之三个单位，对吧？那你往右边走个二分之三呢？ 二分之一加二分之三减，那不就是二吗？对吧？所以也就是我们剩下一个焦点，我把它清掉了，那么剩下你这个焦点呢？一定在一到二之间，所以这个题呢，我们选择 c 选项搞定，是不很简单，不过如此吗？ 好，接下来我们再看一下我们今天的例式哦。这个题看起来好像就有一点点的难度了，呃，是吧，很多同学比较头疼的什么？呃？选择题的压轴题，填空题的压轴题。 好，我们一起来看看这题它到底有什么样的一个难度啊？给出一个矩形纸片，我告诉你， a、 b 是 十二的哪一个？就这个边等于十二。好， a d 等于十，就这个边呢？它的长度是十，我把它在图中标注出来， 好点， e 是 中点，那么也就是这个边是六，这个边是六，我们尽量把题案中的条件标注在我们图示里面。好，现在问题来了，把这个纸纸片呢折叠两次，第一次怎么折？ 使得，哎，沿着他们这样翻折，对吧？使得 a 点翻折到 e 点。这里其实我跟大家说一下，你可以把这些边呐，这些边呐，这些边呐全求出来，为什么呢？他是六吗？ 你另他是 x 可不可以？这个边不就是十减 x 吗？没问题吧？你把这个图形翻折到这里，你这边是不是也是十减 x？ 你 在这个直角三角形中用勾定力，你一定可以把 x 求出来，就是你在拿到题干的时候，你的脑海里面一定要有怎么样呢？啊？第一种像这种反应， 好，接下来我们再看，当然我们先放一下干嘛呢？好，接下来连接我们的 m e， 呃， n e 就 连了很多，之后呢？第二次折叠，你怎么折？哎，使得 n 与 e 重合，就像这样再折一次，对吧？使得 n 点跟 e 点重合，这是怎么折的？大家观察一下 哦，也就是折痕是 h g 了，对吧？沿着这里折叠是不是？哎，是的，你这个 n 点呢？折到哪去？折到 e 点这里，你这个 b 点呢？就落在 b 点，说白了也就是把这个图形，对吧？沿着 h g 折叠到这个图形，哎，这看起来好像不是特别的友好，好，现在问题来了， 折完之后呢，其实整个图形的形状、位置、大小、折痕全都是固定的。现在让我们求什么？求 e h g 哪个角 啊？ e h g， 也就这个角，对吧？我把它标出来，也就是我们这个直角它的正切值，嗯，是不是这个角？ e h g， 求三角函数方法，它只有三种，第一种干嘛呢？就是你判断它是不是特殊角，对吧？如果这个角是一个特殊角，那就不用说了。哎，我，其实我就 今天就尽量不要见题讲题吧，这个题其实我们直接讲非常快啊，但是我希望跟大家去分析他的底层逻辑，分析他的一些怎么样的处理方法。这个特殊角，如果他是三十度，四十度、六十度，那你就不需要管他在什么样三角形中直接求解就可以了？ 好，第二种方法是什么呢？如果他不是特殊角，对吧？你根本就不知道他多少度，那么此时你就需要把它放在一个直角三角形中，如果不在呢？你可以作出一些，对吧？哎，我们需要构造 哎，或者寻找一个直角三角形，如果没有，你得做垂线，这是第二种方法。第三种方法是什么呢？就是等角转化， 如果一个角的三角函数，你会发现在这里面怎么都无法求解，不好求，对吧？那你此时你就需要稍微的转换一下，你不好求，我就找一个和你相等的角来转化一下，进行求解就可以了。比方说，那我想问一下各位同学们，因为你要知道 正面他会产生折痕啊，注意，我们把这个四边形翻折，得到这个四边形，对吧？那我请问，根据对称性，我们这两个直角相不相等是不一定相等的，对吧？ 啊？他一定等于我们这个直角两只角相等，我可不可以求这个角的三角函数呢？一定可以，其实你有发现，那根据对称性，这还是九十度呢？他本身就在一个直角三角形中，对吧？好， 他多少度你知道吗？反正我是不知道的，我相信在座各位同学，你们也无法直接判断出来他是具体多少度。好，问题来了，你把它变成这个角，那又能怎么样呢？我想问一下各位同学们，因为你要知道脑，咱们是把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？ 我们这个角是直角九十度吧，你翻折到这里面，这个角是不是也是九十度？没问题吧？我们刚才说了，那你这一条折痕他怎么样呢？就是你要知道啊，你对应点的连线 一定被我们的折痕垂直平分了。哎，这个大家懂不懂？也是，这个角一定是直角，对吧？那我想问一下你呢？垂直于 e n， 我呢也垂之于人，那我请问这两条线它平行吗？也就这两条绿边，这两条绿边它平不平行？ 百分百是平行的，两只线平行，对吧？哎，比方说被我们第三条边所接，所以你要知道哦，咱们的同位角相等， 也就是咱们这个角跟我们这个角它是不同一角，所以它相等的，是吧？啊，也就是我们这个角呢？哎，我们转换成，你只要求这个角就可以了。好，那这个角接下来那又该怎么求结呢？其实你会发现，这个角本质上它等于哪个角， 它就等于我们这个角，对吧？是不等于这个角有没有问题？所以你只要把这个角把它求出来，我们依然可以轻松搞定。 其实到这里我们就已经可以直接求解了，但是为了让整个题目变得更加简单，好，我继续等角转换。比方说，哎，我去干嘛呢？我去连接这一条线，大家看清楚啊，我连接一点跟 a 点，对吧？哎，我们把它标成一条虚线，可不可以？ 好，我们知道，因为咱们是干嘛呢？咱们是把这个三角形翻折到这个三角形了，对不对？所以我们 a 点和 e 点是对称点吧。说白了，我们知道这个角一定是直角九十度，如果把这个角标做 a r 法呢？你会发现我们剩下了这个小小的绿角，也就是我们这个角，哎，这个角 它一定等于多少度呢？一定是九十度减去 a r 法，对吧？好，这么标有什么好处呢？此时你会发现，在我们整个大大大大的直角三角形中，我一个锐角是九十度减 a r 法，此时你会发现剩下这个角， 它不就是我们想要找到的 alpha 吗？此时你会发现，我们需不需要像刚才这样引着未知数呀，去构造方程，完全没必要，对吧？最终你会发现我们要求解的这个角，我们最终把它转化到这个直角三角形中去了，也是怎么样呢？哎，我们知道这个边呢，它是六的吗？对吧？ 以及我们这个边呢，它等于多少？等于十，对不对？所以你方我们需不需要引入未知数？完全不需要。这个角它的正切值等于多少？等于它所对的直角边，比上相邻的直角边，也就用十比上六，所以我们最终求出来三分之五搞定。 所以你会发现所有很多所谓的压轴题，它其实处理的方法是非常有限的，而且它的突破口呢，也往往都是一些常规的内容。好，接下来我们看填空题第十一题，那给出一个三角形啊，告诉你， a c 大 于 a b， a c 大 于 a b， 我 们自己就可以看出来 好， d 点在 a c 边上啊， d 点呢？跟 a c 不 重合的。好，我们需要再增加一个条件，就可以使得 a、 b、 d 哪个三角形？就是这个三角形，相似于 a、 c、 b， 对 吧？哎，相似于整个大三角形，你这个都画的其实不是特别标准啊， 我们要学会利用不太标准的图形求出我们标准答案。其实很简单，你会发现这个三角形跟整个大三角形，它本身就有一个公共的顶角，对不对？所以在这里面你千万不要去为难自己啊，我们再加上一组等角就可以了，干嘛呢？我使得你这个三角形的角 a、 b、 d， 对 吧？ 等于什么呢？等于整个大三角形，它的角 c 就 可以了，也就是角 a、 b、 d 等于角 c 就 可以了。当然，如果你说我要舍得两组边对应成比例，可不可以呢？也可以。或者你说我们这个角等于这个角，呃，就是这个角等于这个大角，行不行呢？也可以，对吧？ 你只要属于我们相似的判定都可以了。简单，我们就过得稍微快一点点。好，接下来看一下我们的例式二，这个东西属于我们的反比例里面的等比模型。好，在这里我也尽量跟大家讲的详细一点。 首先给出一个反比例函数， y 等于 x 分 之一啊，就是这条直线呢，是 y 等于 x 分 之一，对吧？为什么？因为 k 大 于零嘛，它经过一三项线，对不对？所以经过第三项线的啊，它的 k 是 正的，那 x 小 于零，就是我们取它第三项线，是吧？横格标负数的，也就这个半截。好。现在我们连接 o a， 连接 o a， a 点在哪呢？不知道，你可以把它当做一个动点嘛？现在我永远过 o 点做 o a 的 垂线和另外一个反比的函数呢，交于 b 点，我告诉你，是 o b 等于三倍的 o a， 就是我这条线段的长度，永远是你的三倍。好，在正面我们就索性先，哎，我们先直接把它写出来吧。就是这条线段呢，它是三 m 好 不好，这条线段呢，是三 m 的 长度，你这个线段呢是小 m， 我是 你三倍。 好，现在问题来了，嗯，那当 a 点在这个图像上运动的时候，点 b 呢？在另外一个反 b 的 函数图像上运动，这个反 b 的 函数呢？就是 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？现在让你求反比函数的表达式。其实我告诉你啊，这个等比模型的结论是什么呢？它的结论就是 你这两个 k 之比的绝对值，对吧？一比上 k， 哎，就是你要知道我们平常为什么要去学习很多的方法技巧，二者之比的绝对值一定等于什么呢？ 它一定等于。哎，这两个之比的平方等于这两条线段之比的平方啊，等于 o a 比上 o b 之比的平方，这个结论百分百成立， 对吧？ o a 比上 o b 是 一比三嘛，所以它就应该等于一比三的平方，所以它们的比值一定是一比九，理解了没有 啊？既然是一比九，那剩下你会发现他就比较简单了。为什么呢？因为你要知道你这个 k 是 呃，一，对吧，所以我们这个 k 呢？当然，我是经过二四象限的吗？ k 是 负的，所以他一定是负九。 所以你不妨当你学学会很多方法技巧之后，我们做题呢？那别人可能要五分钟呀，十分钟，甚至没有思路，那我们可能十秒钟就只能能够直接口算出来。好，问题来，这个问题我们该怎么去证明呢？其实很简单，对吧？因为你要知道，在我们这一条直线上呢，在一条直线上，我们出现了一个直角，九十度吗？ 那在一条线上出现了直角，所以如果你过端点分别往下做垂线，比方过 a 点往这边做垂线，对吧？哎，比方说就像这个样子，嗯，一样的，我们再过 b 点往这边做垂线，就像这样的， 对吧？那我把它标下，也就是咱们这个角呢？它是直角，它是直角，它是直角。那我请问 各位同学们，左右两个三角形相不相似？就是左边这个三角形跟右边这个三角形很明显，它一定是相似的，一线三垂直，我就不再说了，可不可以？ 那请问这两个三角形的相似比是多少呢？比方，这个我把它标作 m， 这个把它标作 n， 可以 吧？也就是三角形 o a m， 它一定相似于三角形 o a m 和怎么样呢？和我们的 b o n， 对 吧？和 b o n 两个三角形一定相似。相似比多少？很明显，你的斜边是 m， 我 的斜边是三 m， 也就是它的相似比呢？相似比多少？ 相似比，它就是等于 o a 比上 ob 的。 我先懒得用什么 e 比三呀啊，或者 m 比三 m 来表示，就是 o a 比 ob， 没问题吧？以这个线比上这个线，那不就是我们的相似比吗？好，那现在我想问一下，请问接下来那我们的 k 跟什么有关呢？ 相似比等于这么多，那我请问这两个三角形的面积比等于多少？大家能告诉吗？面积比等于多少？面积比是不等于相似比的平方是不等于 o a 比上 o b 的 平方没问题吧？你会发现 o a 比 o b 的 平方不就出来了吗？ 而这两个三角形的面积比还等于什么呀？举个例子，比方，你这个 x 分 之几呢？我就是 k 一， 可不可以？你这个呢？就是 k 二，可以吗？一个 k， 一个 k 二，那你要知道， ab 都是反比例函数图像上的点，你向 x 轴做垂线与坐标原点与坐标原点所围成这个直角三角形，面积等于多少？它是不是二分之 k 一 的绝对值？你这个面积是不等于二分之 k 二的绝对值，有没有问题？ 所以你用这个面积比上这个面积，那不就是 k 一 的绝对值比上 k 二的绝对值？ k 一 比 k 二， 那其实就是 k 一 比上 k 二的绝对值，我们是不是证明完毕？那也就是你只要过坐标原点，对吧？你发射一个九十度角，这个角呢，和两个反比的函数交 a b 两点，你要知道， 那么这两条线度啊，比值的平方一定等于这两个 k 之比的绝对值，因此这个结论呢，我们在这里就证明完毕了。你刚才这个就是 k 一 吗？对吧？你这个就是 k 二，理解没有？ 嗯，不就是怎么样呢？等于二者比值的平方吗？对吧？所以剩下你会发现，喏，它 o a 比上 o b 是 几比几？ o a 比上 o b 在 整个题目中，哎，我把整个题目还原了好不好，不然大家可能看起来觉得有一点点乱。 这个题我并没有单纯的说就题讲题啊，如果只是单纯就题讲题的话，我们完全可以脱离这个结论，对吧？啊？快速告诉大家，很明显，这个值多少就是一比九，是不是 啊？ k 等于多少？ k 一 他是一吗？所以也就是怎么样呢？ k 二的绝对值，你这个是一了，你这个下面 k 二绝对 k 二是负的吗？注意啊，他是经过二四象限的，所以你这个 k 一定是负的理解没有， 一比上一个负数绝对值等于一比九，所以这个 k 呢？你想想一比上一个负数的绝对值，对吧？中等一比九的，你这里面负数只能填几，只能填负九，理解没有。 好，那么接下来我们继续往后再来看一下我们的第十三题。这个题我个人觉得就简单一点点啊。首先给出一个平行四边形， a， b， c， d。 啊，我是一个大大大大的平行四边形， e 是 a、 d 的 中点，就是这条边呢，等于这条边两边相等， 现在点 f 是 c、 b 延长线上一点啊， f 在 整个 c b 的 延长线上，就像这个样子啊，并且 e、 f 的 平行 b d， e， f 平行 b， d 就 像这个样子，对吧？其实你要知道啊，咱们这一条线，它是平行于这条线的，对吧？ 另外这一条线呢，还平行这条线，是不是因此我们知道它也是一个平行四边形嘛？两组对边分别平行，它就是平行四边形了。好，现在我告诉你， a g 比上 a， e 等于 a。 呃，什么意思？ a g 比上 a e。 其实我告诉你各位同志们，就是在我们平常考试，如果你处理比例关系，尤其像这种，对吧？让你求比例关系最快的方式 就是令分母式单位一也是，我就令你是 a， 我 令你是一，对吧？那我比上你不就是 a 比一吗？你会发现整个题目里面就只含有一个字母了啊，对吧？那当然他也是一，但如果你说练了不行啊，那我们要是大题写过程怎么办呢？好，如果你大题写过程，你就引入两个未知数好不好？ 其实我更加建议平常自己做题的时候，尤其是选择填空，你就使得其中一个边为单位，一会更快的啊。好，我比上，你呢是 a 倍的。好，那我也是小 m， 你 这个边是二 m， 所以 这个边呢，也是二 m， 对 吧？以及你是 m， 所以 我们这个边呢，也是 m， 对 边相等吧。平行四边形 好，那接下来你会发现，喏，在这个三角形跟这个三角形中，大家能不能看到两直线平行？首先咱们知道内错角相等，对吧？ 哎，内错角相等，平行吗？另外，你还会发现我们的对顶角相等，咱们的对顶角相等，所以你会发现这两个三角形什么关系？它就不再是简单的相似，而是全等，对吧？这两个三角形，红角等于红角，绿角等于绿角。我有 m， 你 有 m， 所以 全等了。 你是 am， 所以 我们知道剩下这个边呢，它也是 am， 对 不对？就这个边是 am， 就是 这条边嘛。 好，剩下让我们求 b g 比上 f c。 b g 是 什么呀？它不就是 am 吗？好，整个 f c 呢，它不就是三倍的 m 吗？咔嚓，约掉了，所以等于三分之一。嗯，也是比较简单简单，我们就过得稍微快一点点啊，我们继续往后啦，哒哒哒。 好，再来看一下我们今天的例十四，其实这个题它的处理方法我个人觉得比较多，这个题我们最少可以用三种不同的方法来进行处理啊， 比方在边长为四的正方形，它的外侧啊，边长为四行，你的边长了四，你的边长了四，我们就把它标出来。好，现在我们干嘛呢？做一个直角三角形 a d， 使得这个角 a e d 呢，等于九十度，就这个角呢，是一个直角， 好， a d 呢？三十度，哪个角？也就是我们这个角是三十度的，对吧？啊？就是这个角啊，这个角 多少度？他是三十度，那其实我们可以求出很多线段的长度，比方说呢，你要知道咱们正方形的这个边长等于几？边长等于四吗？对吧？三十度所对的直角边等于斜边四的一半，所以我们知道这个边是二，以及你用勾股定律或者特殊直角三角形，我们求出来二倍根号三。 好，接下来我们看看这里到底想干嘛啊？好，第一个，让我们求 a e 和 d 的 长度和 a e 和 d， 哈哈，你这个有点瞧不起我了，也就是二加上二类根号三吧，对吧？长度和好。第二个，如果 o 是 a c 的 中点， 对角线的中点，正方形的性质大家必须得知道啊。连接 o e， 让我们求 o e 的 长是什么？ 这个题你可以直接怎么样的？用勾股定力，对吧？那求一条斜边，最常见就是把它放在一个横平竖直的直角三角形。先这么去求，可不可以？我告诉你，百分百可以， 你再遇到这种方正的几何图形里面，如果你没有思路，你想要拿下满分，你可以用间歇法都可以，对吧？那么在这面我用一个我个人觉得比较常见的方法啊，叫做边等角补模型，什么意思呢？首先你连接我的对角线也不算连接对角线吧，连接我们的 o d， 对吧？那么根据正方形的对，正方形的对角线是互相垂直平分且相等的，所以他是一个等腰直角三角形，明白了不？所以连接完毕之后，我们知道也就是这条绿边呢，他一定怎么样呢？等于这条绿边， 嗯，对吧？我这个方法，我个人觉得计算量是比较小的啊，绿边等于绿边，并且咱们这个角呢，一定是直角，他一定是九十度，对吧？ 哎，直角，好，现在我告诉你，所以你看看，你们平常错过了很多很多的几何，哎，哎，你们真的错过了很多的几何模型，什么叫做边等角补模型呢？边等角补就是一个四边形，如果零边相等， 对角互补，那你看看，这是不零边相的，这是不零边相的，对吧？我对角是不互补，对角是不互补，那么此时像这种图形，它的万能处理方法，旋转，你只要旋转，百分百就会轻松处理，你会翻很多答案，他会告诉你，同学们，转一下，为什么转呀？ 为什么要这么转，对吧？你倒是说呀，好，怎么转呢？你会发现连接对角线，他会把整个图形分成一个两个三角形，你随便旋转任何一个三角形就可以。怎么转呢？比方把这个三角形我们直接转到这里， ok， 哎，差不多就转到这里吧，就转过来，好不好？哎呦，我觉得稍微有一点点误差吧， 哎，就这样吧，好吧，就这样，我们把它转过来，有这样的，那对角互补有什么用呢？边等有什么用呢？你把这个三角形转到这里， 因为你这个绿边跟这个绿边相等，所以你把这个三角形转过来之后呢，你可以靠着这个绿边，对吧？那角补。对角互补有什么用？ 其实你要知道啊，我们这个角跟这个角对角互补，那么我们这个角跟这个角对角也是互补的。好，把它标一下，比方我把这里的三十度，我把它给清掉。嗯，如果我令这个角呢？比方这个角它是 arva， 可以 吗？这个角是 arva， 那 剩下我令这个角呢？它是贝塔， 就是用蓝角。这个角呢？我令它是 beta。 好， 角补有什么用？你把这个三角形旋转过来，你这个角是 alpha， 所以 我们知道，那剩下这个角它是不是也是 alpha， 对 吧？我们刚才说了吧，你的对角是互补的，你的 alpha 加 beta 一 百八十度， 那 ar 法在这，贝塔在这，那相加一百八十度，所以它是个大大的平角，懂了没有？如果你没有对角互补这个条件，你旋转过来呢？那它就不再是一个平角，它就不再是一条线，它就会翘起来，就翘成什么样子，就翘成可能像这个样子。懂了， 不对吧你，你整个图形，它就不再是一个完整的三角形了，它是一个三角形加另外一个三角形，它是个四连形，懂了吧？ 哎，对角互补可以保证，哎。比方放个哎屁，可以保证 p d e 三点在同一条线上。好，那旋转完毕，我们可以得到什么呢？其实我们百分百可以得到一个等腰三角形，哎，为什么呢？比方说我另这个边是一个红边好不好？你这个三角形有一条边是红边，可以吧？ 你把这个三角形旋转到这里之后呢？你这个边是红边，我们这个边一定也是红边，所以看到没有，你只要旋转边等角部，一定可以得到一个等腰三角形。 当然了，你把这个三角形转过来，你这个边是二，所以我们知道这个边呢，它也是二，对吧？就是 p d 这个边它也是二。那然后呢？注意啊，咱们这个角是九十度，九十度意味着什么？你可以用旋转的思想去处理，或者你说这样哈，我不太会用各种思想。行，那你这个角是 a r 法，可以吧？ 好，接下来你这个角呢，是贝塔行不行？哎，我们就不再用刚才的 a r 法，贝塔重新再来这个角直角嘛。那你不就相当于告诉 a r 加上贝塔是不一定等于九十度的，没问题吧？ 你把这个三角形旋转到这里，你这个角是 alpha， 所以 我们知道这个角呢，一定也是 alpha， 对 不对？我们刚说 alpha 加 beta 等于九十度嘛，你这个是 alpha， 你 这个是 beta， 所以 相加等于九十度呢。这个角是一个大大的直角，因此你会发现 我们可以得到一个大大大大等腰直角三角形。我们知道斜边是二加二倍根号三，那么请问直角边 o e 的 长度呢？等腰直角三角形，你从斜边到直角边，你除以根号就可以了，理解没有， 对吧？从斜边到直角边，二加上二倍根号三，这个就是我整个斜边吗？从斜边到我们的直角边，你除以根号就行了。除以根号，你除以根号呢？他就是根号，对吧？你除以根号呢？你算出来的根号六。嗯， 所以这个题你看，虽然是个大题，他为什么敢出填空呢？一般同学你去猜什么根号三呀，根号七呀，对吧？哎，什么二倍根号呀，你们猜一个的话，很难猜中的，根号加根号六。搞定。好，那接下来我们继续往后再来看一下我们今天的解答题。 那么解答题其实我们全国有百分之八十以上的中考，我们整个大题里面特别喜欢考我们这种怎么样呢？实数的运算跟我们逆的运算呀，啊，绝对值的化解呀，我们这种三角函数呀，对吧？哎，综合起来考察分值比较高。 呃，然后呢，又比较简单，所以大家千万不要轻易的丢分。好，一样的，首先我们我就不写几了，扩散六十度等于多少？ 扩散六十度，其实大家得知道啊，你画一个六十度的直角三角形，对吧？六十度，这个角就是三十度嘛， 哎，一二根号三，对不对？所以扩散六十度就是他的邻边比上斜边是不是二分之一，所以也就是三乘以二分之一。好，我们减去一个数，只要他不等于零， 他的零次方呢？一定等于几？一定是一，明白，没有什么派的零次方呀，哎，这个八的零次方呀，七分之五零次方都等于一，好减去。那么像这种负指数密怎么办呢？比方说七的负二次方，他说等于七的二次方，再来一个分之一的 比方说呢？哎，这个这个五的负三次方，他就是先把五三次方再来个分之一就可以了。好，这是我们负指数密，他的怎么样呢？一个运算的法则，所以在这里面你去算他怎么办呢？首先负四分之一，你先来一个平方，对吧？ 不，四分之一，你先求它的平方，它的平方等于多少？等于十六分之一嘛，对吧？你再把它倒过来，求它的倒数，你想想十六分之一，它的倒数呢？是不等于十六，所以这个东西你求出来它就是十六的，理解了吧， 我们减去十六。好，最终我们减去，最后还有一个什么呢？有一个绝对值，一样的绝对值，你在去处理的时候，你首先判断里面的正负根号三减二，那这个不用说了，一定是负数吧，负数带绝对值去掉之后呢，变成自身相反数，那么它的相反数等于多少？ 你减我的相反数，就是我减你根号三减二，相反数就是二减根号三，所以最终我们求出来等于多少？等于二减根号三，所以最终我们求出来等于二，再减根号三， 所以也就是，哎，加上根号三，呸，所以最终我们求它等于根号三，怎么样呢？我们最终再减去十七又二分之一， 对吧？把前面放在一起等于这么多，你用这种代分数或者假分数都可以啊，这种答案都是对的。好，我们继续往后了，我们再来看一下今天的例十六，这个题其实我个人觉得也比较常规啊，然后把这个图稍微的缩小一下，不然大家可能看不到，哎，再缩一点点好不好？ 这里你会发现我们整个中考里面喜欢考我们这种旋转呀面积哈，那往往也是送分了。好，那首先给出一个格点图形，它每一个小正方形的边长呢？都是一个档位 啊，就是边长都是一边长，都是一对吧。好，现在 abc 的 顶点都在格点上面， o 就是 这个，就是三角形 abc， 它的格点呢？顶点都在格点上面。好，普通，建立平面直角坐标系，使得圆点是 o， ab 坐标分别是这么多，其实这个量呢，就直接画就可以了好不好？ 嗯，负三负一，所以我们整个平面直角坐标系呢，就大概长这个样子？好，大家来验证啊，你会发现 a 点坐标包括我们 b 点坐标呢？是不是题干中所给出的这样，嗯，这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，以这个呢是我们的坐标原点，可以吧？ 好，接下来这个题第二问，我觉得有些同学他可能就会丢分了，他干嘛呢？现在我们要以 o 为位次中心， 化州三角形的 v 四三角形 a d、 c， 干嘛使得这两个三角形的相似比是二比一，注意啊，我和你相似比是二比一，对吧？你说前面是后面这个图形的二倍， 注意以谁以 o 为 v 四中心吗？其实我告诉你，它应该正常情况下，它应该有两种怎么样的图形？我可以像这样去发射一个 v 四中心吧，大家懂不懂？使得我们的 a 一 在这里，明白吗？ 对吧？我们的 c 呢？在这里，以及你的 b 一 呢？ b 一 在这里，懂吗？哎，这个边等于这个边， 这个边等于这个边，以及呢？这个边等于这个边，懂了没有？他也是以 o 为谓词中心的，但是你要注意这个题目，那两个第一个呢？他要求我们怎么样呢？嗯， 呃，在格格点这个图形中去作图，对吧？另外一个，你想想你，你这边都没有格点，你怎么找呀？你不好找，是不是我们要利用网格来进行作图嘛？所以在这面我们有第二种方法，也是怎么样呢？哎，我们连接 a o b 延长，是吧？ 注意啊，因为你要知道你这个连接 a o， 他 在一个什么？他在一个一乘以三的长方形中，他跟我们前面题目比较像，那你就反复的走一乘以三的 长方形，对吧？走它的对角线，这不就是一乘以三的这个长方形的对角线吗？这不就是一乘以三的长方形的对角线吗？对吧？走到对角线，你说走到哪个位置呢？你就走到这个位置，这个点就是我们要找到的 啊，怎么样呢？ a 一 了，对吧？这是我们的 a 一， 好，一样道理，接下来我们再找另外一个啊。好，我把它清掉了，清掉，不要了。 呃，然后接下来我们再找另外一个。呃，找 b， 他的位置对应点。好，一样的，你看他也是一乘以三的直角三角形吗？我们走走走，走一乘以三的直角三角形，走一乘以三的直角三角形，是不走到这里了呀，所以这个点他就是我们的 b e， 对 吧？好，最终我们再来找下 c 点啊，清掉，清掉，大家看起来可能会更加舒服一些。 c， 他 就在一个什么呢？他在一个二乘以三的直角三角形，对吧？二乘以三的直角三角形，我们走二乘以三的， 我们走二乘以三的吗？这不就二乘以三的一个直角三角形，对吧？二乘三，二乘三，所以你有发现我们这个点呢？哎，哪个就是这个点， 对吧？他就是我们的 c 了，所以这种扭法我们连接起来，我换个颜色连啊，好不好？换个比方说，胖胖的紫色吧， 连一下，他就是我们要找的我们的 v 四图形了。好，接下来我们看第三个，第三个是把某一个三角形绕着某一个点顺时针方向旋转九十度。什么叫顺时针呢？这是你们家的钟表，对吧？哎，你们家中表一边往这边转，这个叫顺时针， 那这边呢？就叫逆时针。首先你不要把这个方向给弄混了啊，不然的话你就直接嗝屁了，也就是把这个三角形绕着 b 点顺时针往这边转九十度。很多同学亮亮，我怎么去把一个三角形旋转呢？其实很简单啊，你就转什么呢？转对应顶点或者转转边，你直接旋转的话，很多同学可能不知道， 为了方便大家理解，我把这坐标系都清掉了，这样的话，我们做起来可能会更加的直观一点点。其实很简单，你把这一条线绕着 b 点设置针转个九十度是不可以了。那怎么样旋转线呢？很简单，你把这个线放在一个直角三角形中，理解没有， 对吧？他在一个二乘以四的直角三角形中，你旋转完毕之后呢？你把这个整个直角三角形绕着 b 点旋转九十度吗？你这个数值的他不就转到水平的位置了吗？就转到这里了，懂了没有？你这个水平的，他不就转到数值的位置了吗？ 懂了吗？就像这个样子吗？各位同学能不能理解，你这个二乘以四的直角三角形绕 b 点旋转九十度，就会到达我们的 a 二， 看到没有，这个点就是我们的 a 二了，明白了不啊？就像这样一样的道理，那接下来我们再转 o 这个 c 点，我觉得旋转是比较简单的啊，为什么呢？你这个线它就是水平的吗？三个单位，所以你转完之后是不是就是三个单位啊？所以我们这个，哎，我们的 c 二呢？就在这里，对吧？ c 二就在这里，是不是？其实我个人觉得这个图好像也不是特别标准，为什么呢？你绕 b 点旋转的话哈，其实有 b 二吗？他没有，对吧？其实这个三角形他就是我们旋转后的我们对应的图形。 b 点呢？你绕着 b 点转吗？这不就转完之后的我们旋转之后的三角形吗？ 搞定好简单，我们就过的稍微快一点点，我们继续往后了，一起来，再来看我们今天的历时期。 这个题其实本质上是我们三角函数的一个应用，其实我们现在全国各个地方三角函数以前有什么呢？有什么羊角福角问题，有什么方位角的问题，对吧？有我们的什么坡度问题。但是全国现在 慢慢慢慢的更形成我们三角函数的生活中的实际应用，比如水龙头呀，我们的行李箱呀，对吧？哎，我们的夹子呀，我们的这个平常生活的这种什么呢？照明灯呀，就是跟我们的实际生活联系的，它依然是什么呢？ 依然是我们所谓的什么仰角、俯角的问题啊。好，现在某校为了检测师生的体温，再需要这么安装了。某型号的侧卧门。好，如图，是侧卧门的。呃，前面是一图，现在我告诉你整个 a d 的 顶部 a 处距离地面是二点二米。你发现这种题的就是比较啰嗦， 你就直接告诉整个高度是二点二就可以了，对吧？就整个高度多少呢？是二点二我就不带单位了。 好，为了了解自己有效的测温区间，身高一点五米的小熊做了如下实验。啊，身高一点五米对吧？他在地面 n 处时测的，嗯，就是测温门开始显示额头的温度，就是在这里的时候开始测温度，此时在额头 b 测的阳角是十五度，阳角是什么呢？ 就是这个角，说白了啊，就这个角，对吧？你抬头去看你这个 a 嘛，你的水平视线跟你的啊，就是水平线跟你的视线所夹的这个角，就是我们，怎么样的啊？阳角十五度， 好，那然后呢？在地面 m 处就是你小葱跑到这里，对吧？那么此时阳角十五度，阳角十五啊，四十五度， 仰角多少度呢？仰角是四十五度，也就是告诉你怎么样呢？这个角它又等于四十五度了啊，就这个角对吧？它等于四十五度，一般像这种角度呢，我们都会尝试把它放在直角三角形中。好，我们继续往后了。 小聪的身高是一点五米，所以也说你这个 b n 是 一点五，你这个 c m 也是一点五，对吧？好，现在我告诉你，小聪在地面有效测温 m n， 让我们去求这一段的长度该怎么办？ 这个长度也就是求 bc 或者求 m 都可以，对吧？怎么求结呢？首先你要知道啊，这个十五度和这个四十五度。十五度，知道三角函数四十五是一个特殊直角三角形，所以我们都容易想到要把它放在一个横平竖直的直角三角形中，哎，也就大概长这个样子， ok， 好， 把它延长出来。 好，延长出来之后呢，比方说，呃，这个角呢，也就是九十度了，我在这里就放一个屁，行不行？你这二点二，先走开， 放个黑色的屁吧，看到没有？亮了，放个屁，臭死。那些听一半逃跑的各位同学们，好，现在你要知道咱们整个的高度多少？整个高度是二点二吗？ 而你这个高度一点五，这个高度一点五，所以咱们这个高度也是一点五，对吧？因此我们可以知道剩下的这一段的长度等于多少呢？这一段长度他这一点是二点二，减去一点五，也就零点七，没有问题吧？ 啊？这个长度它一定是零点七。好，现在我想问一下，四十五度怎么用的？你是一个等腰直角三角形，所以我们知道这个边的长度是不是也是零点七没问题吧？零点七。好，剩下的你让我求谁？你让我求 m n， 对 吧？我不，我只要求 bc 不 就可以了吗？ 求 bc， 我 不，我只要求整个 p b 是 不是就可以了？那接下来怎么求？这是一个含有十五度的直角三角形，我知道它的对边，我要求它的邻边，我要用什么？我一定要用它的正切值，对吧？也就是我们知道 tan 紧的 十五度，它等于多少呢？我就不再写什么 a p 比上 pb， 我 就不再写了，我直接用零点七比上 pb， 可不可以用零点七比上 pb， 它等于多少？约等于零点二七嘛？哦，约等于零点二七，但说白了 也就怎么样呢？左边乘以 pb， 右边乘以 pb， 右边乘以 pb 呢？也就是零点二七倍的 pb 等于多少？等于零点七，对吧？ 那接下来也就是 p b， 你 可不可以求出来？一定可以吗？你把 p b 求出来，约等于多少？你用零点七除以零点二七吗？哎，我们打个草稿，零点七除以它呢？其实就是七除以二点七，就是七十除以二十七嘛？ 七十除以二十七，我们上几呢？上三不够上二，好吧，二五十四，也就是剩下十六十六，我们上几呢？呃，你借了一个零，也是我们上 九，可以吗？试一下好不好？哎呸呸呸，什么叫亮亮你唱我揍你啊，求你，我们上上六行吗？六，一百二，四十二，不行，我们上五，对吧？好，五七三十五，一百三，剩下二十五，对吧？ 呃，那剩下也就二百五十除以二二十七呢？那此时我们好像真的可以上亮刚才所说的 九了。对，我们试一下啊，你上个九七九六十三，对吧？哎，六十三，嗯，一百八，二百四十三，所以也就于七。哦，也就是怎么样呢？ 他是二点五九，你在上就是上二三也不够，对吧？所以也就是他是约等于二点五九的，有没有问题？ p b 是 二点五九吗？整个是二点五九，所以我们整个 bc 的 长度呢？也就是我们要求的你的 m n， 对 吧？它就等于 bc， 等于什么呢？用这个二点五九，我减去你这个零点七吗？减去零点七，所以等于多少？等于一点 八九，但你要知道这个题目精确到零点一啊，精确到怎么样？精确到我们小数点后一位，所以我们知道它约等于多少？约等于一点九。 好，我就不带单位了，最终作答的部分呢，量就省略了好不好？所以其实你有办法像这种题呢，我个人觉得还是比较常规，也是比较简单的。好，接下来我们继续往后了， 我们再来看一下我们今天的例十八这个题，它相当于是我们相似的一道简单的综合应用了啊，我个人觉得难度也不高。好，首先呢，我们给出一个三角形 abc， 大 大大大三角形 好， d 分 别在两边上， d 点在这，一点在这啊。然后呢， d、 e 平行 bc， 而我们 d、 e 呢， 是平行于 bc 的， 对吧？哎，那既然平行，我们知道这个三角形跟整个大三角形百分百就是相似的。好，现在 a、 f 比上 f、 d， 我 告诉你 a、 e、 f 比上 f、 d 干嘛呢？等于 a， d 比 d， b 等于 a， d 比上 db， 这啥呀， 这个边比这个边，等于这个边比这个边，风马牛不相及，乌七八糟的，对吧？好，第一步，让我们求成 e f 平行 d， c， e f 平行 d， c。 其实我们去求两直线平行啊，当然，你可以用什么同位角，内错角，同旁内角，对吧？除此之外呢，在我们整个相似里面，你有两种方法，第一个，就用相似去证明我和你相似了吗？ 这个三角形要是相随整个大三角形，那不用说，我一定跟你平行，我就不再多解释了啊。第二个呢，用平行线分线段成比例定义，什么意思呢？比方说 d， 我 直接放这里啊， 因为 d 平行 bc， 好 吧，我们知道 d 是 平行 bc 的， 我考试，哎呀，我怎么直接比了呢？因为他 d 是 平行 bc 的， 对吧？两直线平行这个边，平行这个边。那我请问各位同学们， a、 d 比上 b、 d 等于什么？所以我们知道 a、 d 比上 b、 d， 它一定等于什么呢？ 哎，当然，这个题说了，等于 af 比 f、 d， 对 吧？啊，还等于 af 比 f d 好， 行，等于 af 比上 f、 d， 题目说的嘛，是不是 还等于什么呢？你这个线跟这个线平行，所以我左边比左边，那就一定等于右边比右边，对吧？所以它一定等于 a e 比上 e、 c， 结束了， 没了，搞定了你会发现 a、 f 比 f、 d 就是 这个边比这个边等于什么呢？等于这个边比这个边吧，对吧？所以我们知道，那这两条线一定平行， 平行线分线段乘比例定里是不是？那你只有这两条线平行，才能左边比左边，等于右边比右边吧，理解了，没有百分百是平行的啊。 好吧，好，当我们推出来平行之后呢？那第一问不就搞定了？那其实我们也知道这个三角形一定相似于整个大三角形，对吧？好，接下来我们继续往后了。这里我告诉你， a f 这三 af 这个边是三， f d 是 六，这个边是六，那你比我是一比二吗？所以这个边比这个边一定也是一比二了，对吧？没问题吧？所以也就是我们知道 a e 呢，比上 e、 c 就 等于你的三比六，也就是一比二的吗？是不是？我是 m， 你 一定就是二 m 了，一比二， 好，你要注意啊，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，第一问我们就用到了吗？一边，好，现在我告诉你， d 是 六倍根号三，这个题太简单了，这个边呢？六倍根号三，让我们求什么？求整个底边 bc 的 长度等于多少？我们刚才说了， 这个三角形一定相似于整个大大大大三角形，相似比是几比几，你不要觉得是一比二啊，这个三角形它的 m 比上整个大三角形三 m 相似比是一比三的，你是六倍的高三，所以整个里边十八倍的高三。简单，我就快一点，我就不再写标准过程啊， 我们直接过了。好，接下来我们来看一下我们后面的例十九。好，其实在我们正考里面，除了我们常规的像全等的判定呀，箱子的判定这种题目之外，还有一种他很多题目他喜欢考我们这种常规的四边形， 什么平行四边形，矩形啊，菱形，正方形，他简单的性质与判定的综合，比方说他就是一道非常具有代表性的题目。好，我们一起来看看。 首先我给出一个长方形，也就是矩形 a b， c， d 在 这里，对吧？好，延长 a d 至 f 点延长 a d 到 f 有 什么要求呢？使得 d f 等于 a d 好， d f 等于 a d， 并且我们知道这个角一定是直角。哎，其实你会发现啊，各位同学们， 那你这条线不就是 a f 的 垂直平分线，有没有问题？我这个线我既垂直，你吗？我怎么样？我还平分你吗？对吧？ 所以它是垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离相等对不对？以及垂直平分线上点到线段两端距离一定相等的。好，我们继续往后了，说白了就是怎么样呢？子边等于子边对吧？ 以及呢？绿边等于绿边，但是子边跟绿边相不相等，不知道啊，你目前为止你是不知道的，明白了没有？子边等于子边，绿边等于绿边。 好，这个题目先来告诉你，那过 a 点做 a e 平行， c f 就是 a e 呢？和 c f 是 平行的，那平行其实在几个题目里面就相当于怎么样呢？嗯，告诉你内错角同位角之间的关系，就这个角呢？它等于这个角，对吧？ 是不是这两个角相等？那又能怎么样？注意啊，因为你这个三角形，对吧？绿边的绿边等腰三角形，它有三线合一的性质， 你是底边上的中线，底边上的高，你一定是顶角的角平分线，所以这两个角相等，明白没有？ 这两个角相等，你是 a r 法，我也是 a r 法，我也是 a r 两个 a r 相等，所以咱们是等腰三角形，所以紫边跟绿边相等，也就我们可以推出四边相等，好不好？四边相等我就不再说了。这边，哎呦吼，四边相等，也就是这些角呢，我都把它清掉，可以吗？ 哎，这边角度七秒，我们正出它是个啥呀？它就是个菱形嘛，我就把它都标成子边，咱们都把它标成子边，可以吗？好，你给我发第一问，让我们证明菱形，我们就搞定了。 好，接下来我们看一下第二问好，连接我们的 b 交 a d 于点记。什么意思啊？但你发现我们后面好像跟点记没有关系啊，他说当 ab 等于二， ab 是 二，你角 a c b a c b 是 哪个角？ a c b 是 我们这个角，对吧？这个角， 这个角的正切值是一比二的啊，就是我的对边比上我的零边是一比二的，所以我们知道旁边这个边呢，他就一定是四啊，就是咱们这个边是四。其实让我求什么？求 b 的 长，这是不是有点过于简单了， 对吧？你是二吗？所以我这个边不也是二吗？那菱形的对角线相等且互相平分，这个边不也是二吗？你让我求 b， 这这这啥意思呀，对吧？ 而且你要知道这是一个长方形，长方形这个角还是个直角，对吧？所以你发现在这个大大大大直角三角形中，一条直角边四，另外一条直角边也是四，根据勾股定律，所以也就求出来四倍根号。这个题你会发现我们没有写任何的我们的函数标准过程，求解完毕，我们直接过了啊 啊，所以你看前面大题，我个人觉得都比较常规。好，接下来我们再看第二十题。这个题我觉得也不难。好， ab 是 圆的直径啊， ab 呢？而不是圆的弦啊。好， o d 垂直 ab， 那 你过圆心向弦做垂线，不用说了，垂进定力，这个边一定等这个边，对吧？ 好，垂直是 h， 好， bc 呢？垂直 ab， bc 垂直 ab， 那 已经标出来了，好，连接 a、 d 延长交 b 啊，这个，这个交 a d 的 延长线呢？于 c 点。好，现在问题来了，第一个求证， d 是 ac 的 终点， d 是 整个 ac 的 终点，也就是求证这个边等于这个边，对吧？其实证明的方式也有很多，比方说我求证，嗯，你用相似于整个大三角形一定相似的， 相似比是几比几呢？你这个三角形用这个边比上整个大三角形的这个边，相似比是一比二， 所以你这个三角形的这个边比上整个大三角形的这个边相似比是不是也是一比二？那 d 不 就是终点了吗？对吧？那除此之外，还有还有没有什么其他的方法呢？有，比方说，各位同学们， 我们就用到我们刚才所谓的垂进定律的结论吧，好不好？我们比方说连接一下 b d， 连完之后你要知道，首先这两个角相等，我觉得各位同学应该没有问题吧，是吧？就是这个角，对不对？ 等于这个角没问题吧，为什么呢？因为你垂直于弦，你平分弦，而且平分弦所对应的弧，也就是这条弧一定跟这个弧相等，等弧对等弦嘛，所以也就这条弦等于这条弦，对吧？嗯？等弦 对等角吗？所以，哎，也也不呸。不是啊，说你是个等腰三角形，所以两底角相等，除此之外，你还可以垂直平分线的。我既垂直你，我又平分你，我不就是等腰三角形了吗，对吧？哎，我到你两边距离相等吗？等腰三角形，所以这两个直角一定相等。 好，我离你是阿尔法，我离你是阿尔法。好，接下来你有法，我们用最笨的方式，你是个大大大大直角三角形，对吧？啊，这个角是直角的，题目中说的 对不对？你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角一定多少，一定是九十度减 ar 法，你这是一个大大的直角，没问题吧？拿走 ar 法，所以这个角呢，也是九十度减 ar 法。 好，到这里就证明完毕了。那依然是重点。为什么呢？你是个等腰三角形，所以咱们这个蓝边一定等于蓝边，对吧？等腰， 同时我也是一个等腰三角形，这个绿角等于绿角嘛。所以呢，我也是个蓝边。哦，你是蓝边，我是蓝边，你也是蓝边。三条蓝边相等地是个重点，所以我发现我们不管怎么样都可以挣出来搞定， 我们用两种不同的方法去推倒他了。啊。好，现在我们再来看一下那。哎呦，这个行吧，不要就不要，有什么大不了的，清掉 都不要了，可以吗？我们主要来看第二问，第二问现在告诉你， ab 呢是六，这个是三，这个是三了， ac 是 二倍的根号十三，那你这个边呢，就是根号十三，对吧？ 你要知道我们刚才第一问求证，你是终点吗？这不就根号十三吗？这个不也是根号十三吗？对吧？我们都知道根号十三，但是中间呢，我把它用一个彩色的点把它割开， 让我们求圆的半径，这是有点过于简单。首先你要知道啊，这是个直角三角形，知道斜边，直角边，我们可以求出这条边的长度几呢？这个边的长度一定是二，虽然这个度不是很标准啊，你让我求半径，那我首先得把半径给构造出来，对吧？好比方我们去连接 o a 吧， 可以吗？好，连接完毕之后，也就是差不多长这个样子，连接 o a， 那 此时扭法我们要求半径，我就令半径是 r， 可以吗？你这个是不是也是半径呀？对吧？也是半径拿走两个单位，所以剩下你会发现这条线段的长度呢？是 半径减去二，是吧？那最终在这个直角三角形中，咱们用勾股定律可以直接求解吗？你的平方，也就是半径减二的平方， 加上你的平方，就是我们垂径定律非常常见的一种题型，对不对啊？等于斜边的平方，所以我们求出半径的平方减去四倍，半径加上四加上九等于多少？等于半径的平方左右两边咔嚓了，我们知道四倍的半径等于十三，所以我们求出的半径呢，等于四分之十三。 计算过程，那样写的就稍微快一点点啊，我们继续往后了。好，接下来我们再来看看，我们后面稍微有一点点的，终于来了，对吧？我觉得这个题目算是我们所有大题里面有那么一点点分量。第二十一题， 好，首先我告诉你，你是角 e r 法角贝塔都是锐角，一个角的正切是二分之一，一个角正切是三分之一啊，求这两个角的度数之和。 好，如图一，小亮同学呢，在边上唯一的正方形的网格中画出了角 b a d 和角 c a d。 其实我告诉你，这个叫做一二三四五模型，他在我们处理某些特殊三角形或者某些怎么样的，嗯，线段求解的时候非常非常的快啊， 好，然后干嘛呢？在图中画出角 b a、 d 和角 c a d， b a d 是 哪个角？ b a、 d 是 这个角，对吧？你发现这个角呢？它的正切值不就是，喏，它在个一比二的直角三角形中吧，对吧？所以这个角的正切值呢，就是二分之一的，对不对？这个角的正切值二分之一， 好，剩下还有一个角 c a d c a d 在 哪？ c a d 其实就是这个角嘛，对吧？你会发现这是一，这是三，所以这个角的正切值呢，不就是三分之一吗？啊，一个是 a r a， 一个是 beta， 所以这两个角的度数之隔也就是这个角了，是不是阿尔法加贝拉就这个角嘛，对吧？好，现在问题来了，嗯，按照这个思路，求阿尔法和贝拉，也就是求这个角的度数之隔，这个很简单啊，那我们去求，既然能求出来，你觉得这个角可不能比方七十三度呀， 哎，四十六度呀，像这个咋求我都不会，对吧？更不要说你们了，说他很显然是一个特殊角，特殊角，它往往出现在特殊的直角三角形中，我们连接 bc 好 不好？ 连接 bc 之后，你会发现我们可以得到什么结论呢？你会发现呐，各位同学们呐，我们这是什么？这是一个一乘以二的直角三角形，对吧？同样的，我们这是一个什么呢？这也是一个一，哎，这也是一乘以二的直角三角形，看到没有 啊？大家都是一乘二，大家都是一乘二的直角三角形，所以这两个三角形一定全等。理解了。没有全等对边相等嘛，所以你这个子点 一定怎么样呢？等于此边，我们目前正出它等腰了，我们再正出一个直角就可以了，对吧？直角怎么正的？非常简单，比方说啊，我用最快的方式把它标注出来，我令这个角呢，是 a r f 可以 吗？那你全等对应角相等，这个角一定也是 a r f 没问题吧？好，接下来我再用这个角呢，我再令这个角是，嗯，比方说，这个角我把它丢一边去啊，这个一走开，我再令这个角是 b 的， 对吧？再用这个表示 beta 搞定了。因为你会发现，在我们这个直角三角形中，喏，在这个直角三角形中， a r 加 beta， 哎，我我，我们这个题有 a r 加 beta， 哎，你就忽略一下好不好？忽略忽略啊，你把 a r 加 beta 一定是九十度嘛，对吧？ a r 加 beta 一定是九十度直角，你这是 alpha， 你 这是 b 呢？我们刚说 alpha 加倍到九十度，苏宁凡他一定是一个直角，理解，没有。苏宁凡，我们是一个等腰直角三角形。因此，这个题，我们本来要求的这个角多少度呢？就这个角，对吧？一定是四十五度 好不好？哎，所以第一问呢，我们求出来四十五度，搞定了。好，接下来我们再来看一下啊。呃，第二问，第二，我觉得他跟第一问好像没有什么关系啊，那我就直接把它清掉了，我把这个也清掉了，可不可以？ 我把这个咱本来就不能带有阿尔法和贝塔，所以我都把它清掉。四十五度。好，现在我告诉你，如果一个角正切是刚好三，另外一个角正切是三分之刚好三，求阿尔法解密了，其实你要知道谁的正切等于刚好三呢？在这里面我就不再详细解释了。可不可以？我们前面其实已经讲的比较憨了，对吧？这个角是六十度， 对吧？你这个角多少度呢？这个角三十度，对应完我们再处理三角函数，我们如果知道它的特殊角，你就先把它求出来，就这两个角相加呢？你这完全送分的吗？九十度。 第二问比第一问更简单。好，这个题难的是我们的第三问。好，现在我告诉你，埃尔法，贝塔，呃，包括那个，这，这个念什么我已经有点忘了啊，对吧？他们都是锐角。嗯，现在我告诉你，我的正极是七分之一，对吧？ 啊？并且这两个角相加等于它让我们求它的正值，该怎么办？嗯？ 是 c 卡马还是 f 七龙啊？好像不对啊，好像是，不管读什么，嗯，就是求它的正值。就是首先我们需要构造一个三，一比三和一比七的。首先一比七，你要知道它是比较难构造的，我们先把它构造出来。可不可以画一个七， 这是怎么样呢？这是长度为七，没问题吧？是不是你数一下长度为七，然后另外一个长度为一，是吧？就像这个样子，那所以你要知道这个角就是我们的 beta 角，这个角是不是我们的 beta 角 把它标出来，就这个角，是不是这个角是咱们的贝塔角？好，那，呃，正确，是一比七。那现在这个一比三怎么弄的？一比三，你会发现如果你像这样画的话，他就有点麻烦了，是吧？我们用用用这个蓝色的画吧。一比三，你这么画出来， 这有啥用呀？你这个角呢？是埃尔法，埃尔法加贝塔，就这个角你放根本搞不定，对吧？这，这怎么求解？ 有点麻烦。那么在这面我们会想，一比三为不要放在一乘以三，我可以放在二乘以六的直角三角形中，可不可以，可以吗？对吧？我做两个一乘以三吧，所以你有法，也就这个边是二，剩下一个边是六，行不行？行吧？那所以也就是这个角呢？它就是我们的阿尔法，是吧？ 它就是我们的 a r 法，所以你所谓的就是让我们求这个角的正切值了，怎么求呢？有量了，可是这个好像也搞不定啊，大家会发现，其实我们刚才标注的是一个什么，它就是一乘以三的直角三角形，大家记不记得等下我在这里把它标出来啊？黑色的， 黑色的，大家记得吗？这是一个二乘以六，哎呸，二乘以六的一个直角三角形，对吧？ 好，接下来你会发现，各位同学们，如果我把这个去掉呢？看清楚啊，你，你，我这个红线怎么移动？你这个贝纳角肯定是不变的吗？对吧？我红线怎么移动，你这个贝纳角肯定不变吗？是吧？你这个角依然是不变的。好，接下来大家看看，如果我连接这条线呢？ 连接起来，大家观察一下，你会发现我把这条线放在了一个直角三角形呢，我也把它放在了一个 v， 为，能看到吗？所以切正反，这个边是一吧，这个边是三吧？哦，你是个二乘以六直角三角形，你两边这里是一比三，我也在一个一比三的直角三角形中。请问接下来各位朋友 护理完毕了没有？是不是已经搞定了？然后把它清掉不要了？把它清掉不要了，可不可以？所以大家能想到吗？你会发现呐，咱们这个直角三角形两只角边是一比三，我们这个直角三角形两只角边，这里也是一比三，所以这两三角形一定是相似的，对吧？ 啊，那既然相似，那我请问一下，举个例子，比方说我们令这个角，我就不再去像刚才那样犯错了啊，比方我令这个角是 x， 好吧，相似了，那你这个角是不是也是 x？ 没问题吧？好，接下来我再令这个角是 y， 比如这个角我们令它是 y， 对 吧？你告诉 x 加 y 等于多少度？它是一个直角三角形嘛？所以我们知道 x 加上 y 一定等于九十度，那你是 x， 你 是 y， 我 们刚说 x 加 y 等于九十度嘛，所以我们可以推出，那这个角百分百是一个直角， 对吧？所以我们把 ar 法加倍啦，直接把它放在了一个直角三角形中，你让我求整个大角它的正切值，对吧？你只要用这条边比上这条边就可以，那这个需要求出来吗？你可以把这个边求出来吗？你可以把这个边求出来，但这需不需要？求不需要， 因为你会发现这个三角形跟这个三角形相似比是几比几？我的一比上，你的二相似比是一比二吗？所以你用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边，那不就等于相似比吗？那不就是一比二吗？所以你把它的正切值呢？就是二分之一。 嗯，好吧，其实这个题主要考察我们所谓的一种转化思维了，我们接下来继续往后了，再来看一下我们今天的第二十二题，其实这个题你会发现呢，我个人觉得还没有我们前面那道圆难的 好。首先，在我们三角形 a、 b、 c 中，我告诉你， ab 的 ac 的 啊，就是 ab 这个红边，对吧？等于 ac 这个红边，这两个红边是相等的好 啊， d 是 bc 终点。你这么说的话，我觉得就有点看不起我，你连接 bc， 他 百分百是个等腰三角形吗？你取终点，所以也就是我们知道这个边等于这个边，对吧？你这会还知道这个角呢？一定是直角，对吧？这个角一定是直角啊，就这个角一定是 我标这里吧，一定是九十度，可以吧？嗯，好，现在你看它又给出一个条件，角 abc 谁啊？ abc 就是 这个角，对吧？它的角平分线，交 a， 交 a d 一 点啊，这是个角平分线，角平分线。那行吧，我就把它标出来，你这两个角角相等吧，就是咱们这个角，对吧？ 怎么样呢？哎，我画的稍微好看一点点吧，就咱们这个角怎么样？一定等于这个角， 两个小角相等，两个蓝角相等。好，问题来了，嗯，现在我们以 o a 圆心啊， o e 为半径，以 o a 圆心， o e 为半径干嘛呢？ 呃，点 o 在 延长线上面，对吧？我们画个圆。好，如果 ab 是 二倍根号三，你想想啊，你这是二倍根号三，对吧？你是二倍根号三，我也是二倍根号三，你 b d 是 刚好三呀，你 b d 是 刚好三。其实说白了它是个什么东西？各位同学们， 他不就是一个等边三角形吗？对不对？等边三角形，你现在让我求半径，这咋处理？等边三角形 每个内角怎么样？六十度，你平分这个角三十度，所以呢，你要知道没有问题吧？等边三角形吧，所以这两个角都是三十度， 你是个直角三角形，所以我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们要求怎么样呢？求圆的半径。哎，我把这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢？拿走 连一下，这不就是半径吗？嘿嘿，那，那你会发现剩下我觉得非常简单。为什么呢？这个边是半径吧， 这个边是半径吧，两边相等吧。等腰三角形，等腰三角形一旦含有六十度，他立马是个等边，对吧？这不百分百是等边，那其实说白了也就是我们这个角呢，他也是六十度，是不是这个角，这不也是六十度的直角三角形，你看看较长直角边是刚好三吧。 嗯，这个直角边是刚好三，所以你不管根据勾股定律还是特殊直角三角形三边比的关系，这个边呢，他是一，这个边呢十二， 所以也就是我们求了第一半，你十二，当然这个题的方法很多啊，对吧？方法非常非常多啊，我们在这里随便说其中的一种。好，我们把它清掉了。清掉了好，第一个的条件在第二个里面有能用吗？他就不能了，因为他说的弱吗？对吧？ 那所以你会发现这些长度呀，这些特特殊的线段呀，你就不能再用了啊。好，我们都把它清掉。好，接下来我们一起来看第二问清的。第二问是什么呢？是圆和 a d 延长线交界 f， 呃，你把 a d 延长，对吧？和圆交 f 点好， m 是 c f 的 中点好，也就是我们告诉你这两边相等的，对吧？这个边等于这个边。其实我们知道这是一个直角三角形嘛，直角三角形斜边中线一定等于斜边的一半，也就是这三条线段一定相等。好，接下来 连接 md， 边延长的交于 n 点，对吧？让我们求什么？求 b n 等于 b d， 哈哈， b n 等于 b d， 这太简单了，我们为什么这么说呢？首先你会发现呐，各位同学们， 咱们可以标注一些角度啊，也就是我们可以推出这个小的蓝角，它一定等于这个小的蓝角，对吧？等于幺三角形，两底角相等吗？ 而你要知道，这个角呢，是我们这一段弧所对的圆周角，那么一定等于这段弧所对的另外一个圆周角也是怎么样呢？咱们这个角它也是一个蓝角。 好，那到这里你会发现还有什么呢？这个蓝角它的对应角是谁？我先把你这个绿色的九十度清掉啊，好，它等于这个角，对吧？ 好，当我们知道这两个角相等之后，整个题目就结束了，为什么呢？因为你要知道咱们这个角是直角的，是吧？我们刚才已经标注出来了。嗯，好，你会发现呢，那也就是你跟我相加是直角九十度，那么我跟你相加自然也是直角九十度，没问题吧？ 也就你会发现咱们这是一个直角三角形，我标哪比较好？标这里，对吧？这个角一定是九十度，那这时你会发现 我这是一个三角形。那我顶角的角平分线吗？角 abc 的 平分线，一个三角形，顶角的角平分线同时是底边上的高，那么他一定是等腰三角形，所以也就是我们可以推出怎么样呢？哦，也就是 b， d 这个边呢？一定等于边，这个边证明完毕，搞定 好，接下来我们看最后一题。那么给出一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b x 减三，与 x 轴交于 a 点，负四零啊，就是 a 点坐标呢，是负四零的，我们把它在途中呢，把它标注出来。 好， b 点坐标是一零， b 点坐标一零，与 y 轴交于 c 点，其实 c 点坐标我们也可以求出来，对吧？也就是零负三，我们看一下它到底想干嘛？ p 点是直线 a， c 下方抛物线上一点，也就是又在直线 a， c 的 下方，又在抛物线上，所以 p 点只能在这一段红色的圆。哎，这个，呃，弧线上运动好。 b 问，让我们求 a 加 b， 其实说白就是让我们求二次函数表达式啊，你想想知道，三个点坐标求二次函数表达式，我就直接省略了好不好。 y 等于四分之三， x 平方加上四分之九 x， 再怎么样呢？减去三，所以 a 等于四分之三， b 等于四分之九。因此呢，我们可以求出来 a 加 b 等于几，我们直接求出来。等于啊三， 好不好？简单，我们就过的稍微快一点点。好，这个题的第二个主要考察我们所谓的面积问题啊，好连接 a、 p、 c， p、 bc 啊，你会发现，把 a、 p 连接起来，把 c、 p 连接起来，把 bc 连接起来干嘛呢？ 好过 p 点做 x 轴的垂线啊，垂轴是 f， 和直线交一点，对吧？好，他帮我们做了很多线， 说当 p、 a、 c， 也就是这个三角形的面积等于五分之四倍的 a、 b、 c 等于这个三角形面积五分之四倍的时候，让我们求 p 点坐标。 其实我告诉你这个题常规的方法是什么呢？注意就是把 a、 b、 c 的 面积求出来，可不可以求知道 a、 b、 c 的 面积一定可以求出来，对吧？ 求完出，求完之后呢，那么五分之四倍的我们自然就会轻松搞定了，也就是我这个面积，整个三角形的面积等于一个固定的值， 你可以把这个三角形面积把它表示出来吗？用我们的牵扯法就可以了。在这里面我们会用到另外一个我个人觉得更加有意思的方法，叫做什么呢？叫做平行线的方法。什么意思呢？你想讲你这个三角形跟这个三角形，他们是不是有一条公共的底边？ a、 c 没有问题吧？ 那现在我要面积等于你的五分之四，底是公共的，是相等的，是重复的，我如何使得面积是你的五分之四呢？ 很简单，我只要使得 p 点到你的距离我的高和 b 点到你的距离，我只要使得这两条高是一个四比五的关系，说白了 就是我这条高是你的高的五分之四是不就可以了？好，如何保证我的高是五分之四呢？我们只要做一条平行线就可以轻松搞定了。首先呢，我们把直线 a、 c 把它画出来，那我想问一下，直线 a、 c 的 表达式咱们可不可以求出来？各位同学 一定可以，对吧？为什么呢？因为你要知道我们 a 点坐标是负四零， c 点坐标零负三吧，是吧？你是负四零，你是呃，零负三，呸，所以我们知道整个直线表达式一定给求出来，给我一点时间，好吧，零减负三三，呃，负四减零，负四三除以负四，也就是 负四分之三，也就是 y 等于负四分之三， x 再减去三。好吧，大家可以验证一下，你会发现量求的是对的。好，接下来我们过 b 点呢，直接做他的平行线，过 b 点做你这条直线的平行线。好，做完之后大概长什么样子呢？就大概长。哎，我把它画一下啊， 我把它画成虚线，可以吗？嗯，也就差不多长这个样子。那你要知道啊，两直线平行 k 是 相等的吧，你的 k 是 负四分之三，所以我的 k 一定也是负四分之三，对吧？好，那问题来了，我这个 b 怎么求呢？ 因为你要知道，咱们经过一零，我们不是随便画的平行线，我们是过一零点所做的平行线，有时候你把一零带进去，一定一定可以使得整个等式成立，对不对？所以你说你后面加的是几，你把一零带进去吗？横坐标零等于负四分之三，对吧？ 哎，有数量的我不理解，注意听清楚啊。你把横坐标一带进去吗？右边不就是负四分之三加上谁吗？等于左边你把 y 等于零带进去吗？是吧？所以你发现这里面就是四分之三了， 是不是你加上四分之三才能等于零吗？哦，也就是我们的屁股是什么呢？咱们后面这个屁股是加上四分之三。好，问题来了，各位同学，我如何使得 b 点到你的距离和你这个 p 点到你距离是 五分之四倍的关系呢？其实很简单，你首先看看他相当于往上平移了几个单位。我把这个都清掉啊，你想想从我们下面这个线到上面这个线，从这个线到这个线往上平移了几个单位得到的呀？你往上平移了，从负三到四分之三，他相当于往上平移了 四分之十五，相当于往上平移了四分之十五个单位，对吧？ 你往上平，我往下平移距离只要是你的四分啊，只要是你的五分之四是不就可以了？你往上平两个单位和往下平移两个单位之间距离相等吗？你往上平移和往下平移距离，对吧？哎，我往下平移，如果往下平移 四分之十五个单位，那么 p 点到你距离跟你 b 点到它距离百分百是相等的。但现在我要保证我的高是你的五分之四吗？那我干嘛？我直接乘以五分之四就可以了。理解，没有 咔嚓，咔嚓咔嚓也是。我们怎么样呢？往下平移三个单位就可以了。好，也是怎么样呢？我们往下移三个单位就可以轻松搞定了。 往下移三个单位我们可以得到什么样的直线呢？也就是差不多啊。哎，我随便画一下，在哪不知道啊，就差不多在这个位置，可不可以？嗯，大概长这个样子，你想想这条直线往下平移嘛，那也是在屁股上直接减三，对吧？所以也就是等于负四分之三 x， 你再减三呢？那不就减六了吗？哦，也就是我们这条直线上与抛线的交点就是我们要的 屁点了，理解没有？则是 b 到我的距离跟屁到他距离，我的距离一定是你的五分之四，面积就是五分之四，所以这个交点呢？这个就是我们的第一个屁，这个就是我们第二个屁。我们可以把所有屁点一个不拉全都求出来 好吗？可是问题来了，这个屁怎么求呢？太简单了，你讲讲二函数表达式，知道了你这个一函数表达式，也知道求二者的焦点简不简单？非常简单，对吧？使得它等于它构造方程吧。所以也就是怎么样呢？嗯，我写一下， 四分之三 x 平方加上四分之九， x 减三等于负，四分之三 x 减去六啊，这里的空间不够了，所以我直接稍微口算一下，给我点时间啊， 等一下我好不好？我同时移过去，四分之三 x 加上四分之二，也是加三， x 加上三分之四 x 方加上三分四 x 加上四。哎，刚我们求出来也就是他是 x 加二的平方，对吧？哎，等于零，所以我们求出来也是 x 一 等于 x 二等于负二啊。比如我们求出来 x 一 等于 x 二等于负二，其实这个意味着什么？各位同学们，就意味着也就是我们最终怎么样的。 它刚好是相切的，是吧？它只有一个焦点。为什么呢？我们算出来整个方程的解只有一个对应的数字吗？也是，我们求出来。你这个坐标呢？我写哪？写这里吧。哎，好不好？这里写不下，所以屁点的横坐标也就是负二，对吧？ 嗯，那纵坐标是多少呢？纵坐标。一个把屁点带到这里面去啊一个把屁点带到整个抛线里面去啊。那我们肯定带到这里面去了。乘一下二分之三减去二分之十二也是怎么样呢？等于负的二分之九 好不好？负的，哎，等于这个负的二分之九，我们直接写负的二分之九。好，我们写到这里。嗯，好，接下来我们再继续往后来看一下。第三问啊，其实我个人觉得第三问这个题 有一点放水了。你就是他属于角度的存在性问题，但是我个人觉得有点过于简单了。他是怎么描述的？你看啊，他是这么问的，有点过分。清掉清掉，都清掉，好不好？都清掉，这都不要了。 嗯，他这么说的。那同学们点 m 是 直线， a c 上方，抛线上一动点啊，又在 a c 的 上方，又在抛线上，所以要么在这一段，要么在这一段，对吧？哦，要不要分类讨论呢？嗯，并且使得 m a o 等于 o c a o c a 是 哪个角？ o c 是 这个角吗？就这个角的，它的大小多少呢？我不知道，但我知道这个角一定是固定的，对吧？哎，我只要舍得这个角等于这个角就可以了啊。其实你要知道啊， m a o m a o 是 什么呀？ m a o 其实你会发现 就是我们一条线。哎呦吼，就是我们这一条线怎么样呢？跟我们 a o 的 夹角，对吧？哎，我要跟整个 a o 的 夹角呢，会产生一个锐角，我要舍得。这个锐角怎么样呢？等于你这个角，是不是这个意思？ 好，其实正常情况下这个锐角应该有几个呢？应该是有两个的，为什么呢？我可以在你的上方产生一个加角，我使得这个加角等于你，对吧？我还可以怎么样？我还可以在你下方产生一个加角，对吧？使得这个加角，但你有办法下方呢？ 我们这个点就跟 c 点重合了，是不是？而且这个题目明确要求只能在抛线的上方，所以这个题我个人觉得它就比较简单，是不是？嗯，就这个点呢？就是我们的 m 点，这个该怎么求？这个我个人觉得比较简单啊， 我们在角度的存在性问题。我顺便说一下啊，整个初中阶段所有角度存在性问题，他只有三种方法，第一种方法干嘛呢？我写哪？我写这吧，好不好？第一种方法也就是构造全等或者相似。第二个就是干嘛呢？嗯，构造直角三角形斜边中线。 构造直角三角形斜边中线，好不好？来进处理。第三个干嘛呢？第三个做平行， 做平行啊，所有角度的存在性问题用这三个方法都可以搞定，比方说在正面，原来呢，我们该怎么处理呢？其实这个理我觉得用这三种方法中的任何一个都有点小题大做了，我怎么样使得这个角等于这个角呢？ 你这个题太没有水平了，你其其实直接把 c 点对吧？你对称上去找 c 一 撇啊，这两个角是不就相等了？其实我们这个原理是什么呢？这个原理它就相当于是构造全等啊，明白了没有？嗯，好，也就是我在这先把这个线清掉， 好不好？咱们首先找一个对应点，四点坐标是零三吧，我又找出一个点，使得这个点的坐标，是啊，零负三，我找出这个点是零三，这样的话，我这个点跟这个点啊，是不是就对称的？对称完毕之后，你会发现，你一旦把它连接起来连一下， 你这么想吧，其实你这么连，对吧？这个三角形跟这个三角形是不一定全等呀，全等三角形对应角，对应角自然就相等了，是不是？所以一定相等，你把这条线延长吧。哎呦，你这个还有点为难，我还把它延长， 对吧？延长。所以你要知道，这个点就是我们要找到 m 点，此时 m a、 b 呢，指的不就是这个角吗？它自然就等这个角了，是吧？ 那剩下我们该怎么求解呢？一样道理非常简单喏，我们知道 a 点坐标，知道这个点的坐标，知道两点坐标，求这个一次函数表达式非常简单，等于三减零，等于三零减负，四三除以四，四分之三，哎，口算一次函数 四分之三 x 加上三就可以了。好，现在你会发现，知道一次函数表达式，知道二次函数表达式，求二者的焦点，这个求焦点还需要量去描述吗？ 使得这个函数和这个函数表达式相等，对吧？也就是四分之三 x 平方加上四分之九 x 减三，等于什么呢？等于这个东西我真的担心，有些同学可能我不构造，他就觉得有点卡壳啊，所以最终我们求出来整个方程的解是什么呢？ 呃，等一下，我觉得我用表达定理求是不是更快一些？移过去，移过来，负六，对吧？二者相乘等于三分之四，乘以负六， 负八，负四二，对吧？也就是我们的 x 一 呢，等于负四， x 二呢？等于二，是吧？这个方法我们也会讲哦，在这里面我们就不再多说了啊。你说我们最终求出来有两个焦点，一个焦点横坐标负四。为什么呢？因为这条线与抛线的焦点是 a 点吗？横坐标不就负四吗？ 所以另外一个焦点横坐标是二，也就是指的是 m 点的横坐标是二。纵坐标呢？你肯定带到这里面去吗？ 嗯，二分之三加上二分之六，也就是怎么样呢？二分之九好不好？所以我们求出来也就是 m 点的坐标， m 点的坐标，横坐标二，纵坐标二分之九。搞定，跟着亮亮无脑学习。

雅理集团的初三一模刚刚考完，如果把这场考试只当这场考试考完就过了，那你真的太亏了。如果你能把这场考试出现的问题全部找补回来，那么你在六月份的正式中考的时候，我相信你一定能顺顺利利的。 好，我们先看这套卷子的基础题部分，我会先讲讲课过程中间我希望跟大家解决一些问题， 第一个是各个分段的娃，不管是六十七十八十一百、一百一，都能在这个视频中尽可能的找到自己的问题。 第二个如何解决？我感觉我自己还可以，平时考试也是一百多，然后有时候感觉自己稍微好一点，上一百一十几，但是总是基础丢分，那这个问题怎么解决？ 你上线上了多少？是一百零几还是一百一十几？一百二，你上线是很难稳定下来的，就是压轴题，你要拿的稳，拿的高，能保持在一百一十五，一百一十八这样的高分是非常困难的， 你会需要大量的积累，就因为你平时需要花很多的时间，很多的精力。然后考试呢？因为初中的数学每天都有新题，千变万化，所以你考试的时候碰到你熟悉的，你掌握的好的状态，你才可能稳定在一个高水平线的。 那么我们决定胜负的其实就是他的下限，就是你的基础部分，你不能丢分，所以下限就决定了你的高度，那么前面的一百分你是一分都不能丢的，真的是一点小差错都不行，一定要非常的严肃看待这件事情。好，看视频做个说明。 我在讲的时候，第一个会从衣食的角度就一道题，他会考到什么东西，你要能想到什么东西，或者你的思考方式应该怎么样的，我会做我的一个建议， 当然你也可以根据自己的情况去综合一下。第二个就是这道题如何能做到不丢分，就怎么去严谨的对待这道题，你也可以思考一下，假设你如果错了，或者当时其实感觉有点显不是算对了，但是不是对的，那么确信，那么你也可以对比一下，大家一起来探讨一下， 思考一下，看这个题怎么能保证稳拿分，因为我们的前提是一分都不能丢啊，这要求不低的。然后最后就是大概在哪个分段，我也会大概的估一下，相当于是一个中位数的参考吧。先看选择题，在下列四个数中是五位数的事，第一个考察五位数的概念 对吧？你这个时候就有第一个意识，什么是五位数，那我们初中阶段主要遇到的就是太开不进根号的根式，还有无限不循环的 小数，只要遇到这些数字，它就是我们的五位数。那这题里面首先分数它属于有理数，然后这是没有后面 没有尾巴了，它是一个有限的小数啊，这个就是个整数好根号九，其实根号九很有迷惑性，因为根号九的二次根式它是能开得进的，所以在第一遍审题的时候，这样看过去，很容易一下把它给忽略掉，而觉得它是有理数好，所以这道题考概念。 如果这道题丢分的话，要么是不仔细，太随意了，因为第一问往往是送分的，不要硬沟里翻船，仔仔细细的看概念，然后对照每一个答案，严谨的选择最正确的那个。那看第二个选择题下面用算正确的是 这种题，我建议每道题都稍微的算一下，因为很简单，二 x 的 七次方除以 x 的 五次方，然后五次 和这里的七次可以约掉，所以答案就是二 x 的 二次方，所以它是对的。 但是后面几个你还是得去算一下，因为有可能第一个我算错了，但是如果我能确保后面三个全错，那是不是相当于给我加了个保险？依然是表现一个严谨的方式。 好，二三得六，然后 x 三次乘以 x 的 二次，是不是指数应该是相加呀？应该是 x 的 五次，然后看第三个， 首先看符号，三次方，哎，是负的符号没有问题。那应该是二的三次方乘以 x 的 三次方，对吧？ 所以有二，这里有乘号，这里也有三次方。利用的一个思维的一个惯性，特别初学这种题的时候，很多同学就是喜欢用二乘三，等于六就完事了，这题就坑在这个地方，它应该是怎么样？二的三次方是八，应该是负八的 x 三次，所以它也错了。 然后第四个加法，它们是什么？这是什么概念吗？对，同类项 同一项没问题吧？两个加上一个，应该是三个 x 的 平方。不是啊，它这个样子啊。第三个考科学计算法，这个是每年必考的一道题。 好，看完这套文字之后最好我建议，虽然大部分的题，它的文字基本上就是一个背景，没什么含义，但是我还是建议把它阅读一遍，说不定你们的信息跟他会有关联，有的就会出现他给的是这个数据， 但是其实要算是什么？是算他可能还乘个二或者乘个三，乘完之后得到的新数据，再去用科学技术法表示。所以不要去忽略文字，这也是严谨的体现。 既然是题，每个字每个句话的意思都要去弄懂，要不然你就可能会被坑很多题，很多同学做题做关心的，哎，我一看这个数字，找他科学术法吗？一搞 a 学，刚好有个答案对应上完了。 好，首先这个做题的意思，第二个就是到底什么是科学记法？科学记法你的概念清不清楚？一定要写成 a 乘以十 n 次方的形式。 a 有 什么要求？ a 一定是在 一和十之间的，注意啊，它是包含一，但是不能小于一，而且怎么样不能大于十，也不能等于十，这个 n 呢？ n 怎么样？ n 一定是整数。 好，这两个要求好，那根据这个要求，那这个钱的数字小数点在哪呢？必须点在五这里吧。首先这些零点五小 v 一 的就 pass 掉，对吧？只能是 b， c， d 去选，然后最重要这个 n 选上， 这 n 选啥？ n 怎么选？我们知道小数点，我们知道小数点点在这了，对吧？那就数小数点移一位移，移了几位？一位？两位，三位，四位，五位，六位移了六位，而且它是一个小数往右边移，所以是 n， 这里是负六， 所以应该选它。你看，正六的给了一个错误答案，然后负五的数出小数点的也给了一个错误答案，所以这道题 选 c。 第四题，下列解锁图案中是中心对称，但不是轴对称图形的事。首先第一个审题，审题的意思，第二个他考到了两个概念，两个概念清不清楚？你要先想一下，然后什么是中心对称？好，有一个图， 我为了一个旋转中心旋转一百八十度，能跟自身完全重合，那这个图就是中心对称图形。你看这个图， 我把旋转中心就在这，他如果围绕这个点旋转一百八十度，不管你是顺时针还是逆时针， 旋转完之后还能跟自己重合。你看旋转完之后，它变成了这个位置，这个位置变成这个位置还是原来这个图，图形不变，就转完之后还不变，它就是中心对称图，但是 不能是轴对称图形。什么轴对称图形？它是一个图围绕它的其中一个对称轴 对称轴可能不止一条啊，我知道他其中一条对称轴，如果能左右翻折之后完全的重合，就左边这一侧完全等于右边这一侧翻折过后重合，那么他就是轴对称图形。 这个题需要的是中心对称，但不能是轴对称，就没有图。观察了。下一题。一家鞋店在一段时间内销售某种女鞋，卖了三十双， 然后各种尺码的销量如下表，所以这个表的意思就是我在一段时间内卖了三双鞋，然后鞋不同的尺码吧，二十二码的卖了一双，二十二点五码的卖了一双，然后把它列了个表， 现在我要购进一百双这种品牌的女鞋，那么这三个码数的进货数量最合适的是多少？这其实就是一个概率， 我进货肯定是把我卖的最好最香的货多进点货对不对？那卖的不好的我就少进点货呗，避免这个怎么样囤积货物？避免这个仓储的成本过高？先看看题，这个表，首先完不完整什么意思？就是是不是三十双鞋全部在里面了？你可以算一下，这两个加起来是十。 好，这个八合一和这个一加起来二十，然后三合七刚好是三十双，那我表示完整的那三双都在这， 那其中卖的这个码数是二十三点五、二十四、二十四点五，二十三点五、二十四、二十四点五，上面有多少双？刚好二十双吧， 就是我三十双，中间卖了二十双，是这三个码数，那我现在进货进一百双，对不对？是不是乘以它就可以了？大概是一百双的三分之二，那不就是六十六双喽？那看数据是不是只有币啊？ 好，这个地方审题基本上没有出过这个坑，但是我觉得也有可能出现的，就是因为这种题做太多了，就容易有惯性。那这个时候这个数据给的完不完整，我觉得你是要思考一下的，然后把这个题目的意思看明白。好，这个意识一定是要有的。 然后这种实际问题还有一个东西，他得怎么样？合理？合理是什么样？符合他的实际场景，实际背景。好，这道题其实错误率还挺高的，如果这道题丢分了，一般你应该在八十分左右。 好，将直角三角形与三角尺叠在一起， 这个就属于一道七年级平行线的题目，看到这种三角板平行线一定要想到什么？三线八角。好，如果角一是二十五度，那么第一个一是标，它是二十五度， 那么角二的度数为多少度？度数为多少度？三线八角，这个时候你要知道角二是等于这个角的嘛。 然后他给的是一个三角尺，虽然三角尺没有说，但是他既然是尺子，而且是常用的尺子，那他一定是四十五度，四十五度，九十度的三角尺，所以这个角是直角。那九十度减去二十五多少度？是不是六十五度呀？那六十五度和这个角有什么关系？是不是同位角， 同个角相等，那么就是选 b 六十五度。初一的题目应该没什么难度吧，这个题如果错的话，呃，六十分左右的小朋友啊， 那这种题呢，就是一定要把数据标清楚，不要看错页，然后一定要弄清楚这个三线八角的关系。三线八角 只要顺用平行线再出一就是三线八角，再出三呢，就是跟相似比例相结合。好啊。第七题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a c， a、 b 等于 a c 还是一样的意思。第一个一定要标注角， a 等于二十度， 然后观察图中尺规作图，好考尺规作图的痕迹。尺规作图只有两人的工具，一个是无刻度的尺子， 它能帮助你画直线，两点零乘一线还是圆规。圆规最大的作用其实就是帮你搞到两个等距离的线段好可知 b、 c、 d 的 度数多少？ b、 c、 d 问这个角度数， 先看它的作图痕迹啊，它应该做个什么图？呃，图确实有点歪啊，但是还是比较明显的是做角分线的作图方法。角分线， 这是一个最最基础的一个齿轮作图的作图方法，也是最常见的。然后齿轮作图呢？我估计考试的频率也会很高，然后说不定会考一些相对于就是跟一些几何题结合啊，相对来说可能会麻烦。你的题我也准备就是说专门搞个专题课，就专门讲齿轮作图。好， 那么先看它的作图痕迹。第一个很明显是以 c 为圆心，然后任意长为半径做了个圆弧， 与这个 c b 和 c a 交于两点。那刚刚说了，画圆弧就会有点线段吧，所以 c e 等于 c f 好， 有两个点，线段有两个交点 e 和 f， 再以分别以 e f 为圆心，大于 e f 的 二分之一作为半径画个圆。所以这个圆弧看起来比较抽象，但确实可能就是以 f 为圆心画的弧。而这个圆弧呢，它就是以 e 为圆心画的弧，它的半径应该是一样的，就这个 e 的 和 f 的 应该是一样长的，对吧？那我们再加上中间的 c 的 这公共线，公共边加起来，那就是 s、 s 全等，对吧？ 三角形 c 的 一全等于三角形 c 的 b 全等之后，自然就会有等角呀，所以这两个角就是相等的了，这就是此为作图给你的东西，给你造了一个角分线。那现在他问的就是角分线的其中的一个角多少度啊？问他， 那这是二十度， a c 等于 ab， 不 就等于要对等角吗？所以比角 b 和这个 b， c、 a 应该等于什么？我选这里啊，等于角 b c、 a， 它应该等于要八十度，减去顶角二十度除以二就等于八十度，这里又被分了一半，所以这个角就应该是四十度了。 好，但是考试图不会画这么歪的。然后呢？因为它是结合了几何的题，你的标注跟你的这个思考，我不确定它的题有没有，就是说看上去会画的像一个，比如说做角平分线，但实际上它不是做角平分线，你不要去想当然，你把这个做图的逻辑 得到的是什么东西，按他的痕迹好好思考一下，是不是你开始想的那个样子。千万不要陷入惯性思维，因为数学很多考试就是利用你的惯性思维，特别是一些简单题，他包装一下，看上去，哎，惯性就是那个，但其实他不是的，就喜欢考这些东西，也是看你严不严谨。 好，所以要衡量他给的这个数的作图到底给的是个什么东西，一定要弄清楚，保证不丢分。这道题丢分的话大概是七、八十分左右吧。好。第八题，在三角形 a、 b、 c 中，都是在 ab 边上，都在 ab 边上， 然后 b 都等于四，这条线段是四，然后 a、 d 是 六，好养成标注的好习惯。且角 b、 c、 d 等于角 a、 b、 c、 d 等于角 a， 这两个角相等，标的意思一定要有啊。问， b、 c 的 长， 这个线段长，看见这个图，看见两个角相等，那这个时候就要有意思。怎么样想到 a 字的子母相似吧。 好，为什么字母相似？哪两个三角形相似？这两个角是一样的了。 然后在小三角形 b、 d、 c 中是不是有个角 b， 然后在大三角形中 b、 c、 a 是 不是也有角 b？ 这就因为角 abc 等于角 c、 b、 d 啊，就指两个角 b 相等，然后又因为题目给的角 a 等于角 b、 c、 d， 所以 三角形 c、 b 的 相似于三角形好，就是因为两个角 a、 a 相似，那么相似，这里有相似比啊，你看 b、 c 有 没有要求的？在小三角形如果是 b、 c 的 话，对应大三角形的谁啊？是不是对应的是 a、 b， 然后小三角形的 b、 d 对 应大三角形的谁是 b、 c， 那 交叉相乘一下，就有 b、 c 的 平方等于 a， b 乘以 b d， a b 和 b d 是 不是有 a、 b 等于四加六等于十， b、 d 呢？等于四，就是说所以 b、 c 就 等于根号多少，是不是根号四十， 最后写完一下啊，所以，所以 b、 c 等于根号四十，等于二倍根号十，这就不就出来了吗？二倍根号十， 好，这道题其实呃没有太多的控制，就是你要识别它是一对相似，然后能找到这种常见的子母相似的这种图。然后这道题 没有太多的，就是说，呃，一些技巧方法就是可以让题目有灵活的这种让你出现一些错误判断的地方，你只要能识别他是一个子母相似，把这个标好之后应该是比较明显的， 因为我们同学成绩好的，基本上看到这两个角像的有个公共角，就马上可以到这个结论，对吧？就一下子就把它做完了。 好，所以这道题严谨的地方就这样标，然后还有一个地方计算，计算一定要不能出错，然后分段。这个题其实看起来简单，但是能看出字母相似快做出来的应该也在九十分以上吧。我们来看第九题，等腰三角形 a、 b、 c 内结圆 o 好， 等腰， 等腰三角形 a、 b、 c 内角圆 o 圆点 o 在 底边 a、 c 上很重要的信息，那这样说是底边， a、 c 就 底边吧，所以两腰相等，就是 ab 等于 bc 了，那等腰三角形，两腰就确定它们俩了。 然后这个既然是一个内接于圆，所以圆是三角形的外接圆，那么这个 a c 就是 直径，所以这个角一定是直角，那它还是个直角。等腰三角形 好， a b 等于根号二， a b 等于根号二，好，把相等的角，呃，把相等的线段都标一下，这也是一个意思， 则弧 a b 的 长求的是弧 a、 b， 那 再一个意思，求弧 a、 b 的 长。你应该知道什么，它所对的圆形角度连接 o b， 求这个角的度数，它的直角等于幺 o， 又是 a c 的 中点，所以这肯定是直角。 那么现在求弧长，只要等于什么圆的周长 乘以它圆心角所在三百六十度的比例吧。好，那我们看它的直径， 直径是 a c， 刚好是 abc 的 斜边，它是它的根号二倍，那直径就是二倍，半径就是一，所以周长就是二，乘以 pi 乘以三百六十六分之九十，就是四分之一，所以答案等于二分之一，派选 d。 那 这道题其实呃还比较简单，它没有特殊的点，唯一可能存在坑的地方在哪里？就是我们这个三角形，不是应该是一比一比根号二吗？ 斜边是根号二倍。但是很多同学可能做题做快了，或者惯性思维，或者题目比较复杂，他可能会把 b c 反过来弄成根号二倍，把 a、 c 当成是一份， 把 a、 c 当成一份，把这个它反而当成根号二倍了。啊，这就搞反了，因为题目给这个数据，它有时候就会给这种根号二，那你就是，哎呀，它是根号二倍，那你是一咯。所以把 a c 看成一了， 那这个就是一个逻辑陷阱，也是你的思维陷阱，所以一定要严谨的去标注，然后想清楚到底哪条边和哪条边是一样的，哪条边是个二倍。好，这道题选择题最后一道，一般选择题最后一道是稍微有一丁点难度的，但像以前的选择填空压轴基本是没有了。 进行数学文化竞赛，图中四个点分别描述了九年级四个班竞赛成绩的优秀率， y 好 非常重要。 直角坐标系中纵轴、横轴分别代表什么？数据是非常重要的，它的纵轴 y 代表的是 优秀率，就是班级优秀人数占全班参加人数的百分率。就比如说有八十个人参赛，然后有二十个人获得了优秀，你的优秀率就是八十分之一。那与该班参加竞赛人数 x 的 情况，参加 x 参加人数 x 就是 总人数呗。对呢，就这个里面的八十，对吧，就这个意思。 好，其中描述一班和四班的两个情况的点恰好在同一个翻译比例函数图像上。那么什么叫符合 好？什么叫做描述一班和四班两个班级情况的点？那我们可以这么去解释，它这个是一班，那它的点呢？哎，这么描述 x 代表什么？代表总人数， 然后 y 呢？代表优秀率什么的？优秀率总人数和成绩占优的同学是这么一个东西，那一班和四班恰好在同一个反比例函数选项上，反比例函数选项是什么？ 反比例函数出来是什么？是不是 y 等于 x 分 之 k？ 一 班和四班它就在这个上面，所以一班和四班它们的总人数和优秀率的乘积是不是固定的？ 我们反比例函数的特点就是横坐标和纵坐标之积等于个定值 k 嘛，也就是说一班包括四班， 他们的总人数，参赛的总人数乘以他的优秀率，优秀率为一样的。那现在问成绩，优秀人数就是参加比赛的总人数 乘以优秀率， 这等于什么优秀率？刚刚解说过了，就是优秀的人数占总人数多少，优秀率就是优秀的人数占参加比赛的总人数的百率。那这算出来是什么？是不是优秀人数啊？ 好，那这样，这样子，我们来看哪个班优秀人数最多。其实这样就告诉你，一班和四班的优秀人数是一样的吧，对不对？他与优秀人数是一样的。 好，那二班和三班到底谁优秀人数多呢？现在是唯一优秀人数最多，无非就是总人数乘以优秀率的成绩要最大。那现在一班和四班 x y 的 成绩最大的，一班和四班它对应的 x， y 是 这两个。 哎，结合在这个反比例函数里面，这是不是就是我们所谓的 k 面积啊？ k 面积这一班和四班的 k 面积是一样的。那二班和三班呢？ 二班对应的面积是这个蓝色的， 三班对的面积是这个。哎，很明显，是不是蓝色的要更大，对不对？所以这道题你知道解答完题目的意思，它其实就是求它们的 x 和 y 乘积最大，就是优选式最多， 所以就是选二百，选 b。 这道题它结合了这个反比例函数的特性， x y 相成为定值。 然后呢，还给了一个新的 x， y 的 含义， x 轴对应的是参赛的总人数， y 轴对应的是优秀率， y 轴对应的是优秀率，然后你还识别出 x 乘 y 的 结果就是优秀的人数， 然后结合图像纠结。所以这道题还是有点难度的，基本上在一百分上下的同学应该是没问题。 好，这选择题全部做完了，不知道感觉怎么样，就是说难题的话，没有太多难题，可能就实题稍稍的有点新意，他难不在麻烦他的这个难度呢？他不在别的地方，就在一个心上面，一个心意上面也是实际的应有。这道题出的比较好啊，比较适合考察。 好，接下来到了填空题，填空题是一个因式分解，所以因式分解这个是最基础的一种题型。因式分解就是把几个式子相加减的形式变成几个整式相乘的形式，那现在这两个式子中间都包含了这个 m 提取公因子 m， m 乘以 一减去 a 平方。好，这就是第一个坑，很多同学到这里就完了，把这个一写好，就我错了，分完之后还能再分。好，很多同学写到这里就完了，就我怕错了，因为这就是一个坑， 因为它还可以再分。这是个什么公式啊？一可以看成是一的平方，它就是一个平方差公式呀，对吧？这样子才是最终的答案， 因为这个 e 很 容易被忽略，看不到上面这个平方，因为 e 的 平方还是等于 e。 第二个呢，就是可能也是看这种题形式太简单了，容易清题，容易情敌。然后第三个呢，就是什么是因式分解？ 因式分解完成之后，有一句话就是要分解成不能再分的形式，所以很多做因式分解题，你一定要劝他的每个因式已经分的，不论已经分的不能再分了。 ok， 这个意思 ok， 这几个意思要有。 ok， 这个意思要有。什么是因式分解一定要分到不能再 好，这个意思一定要有，一定要分成，不能再分了。然后严谨地去对待每一道题。这道题，一般这道题如果错了的话，那可能一式分解有问题啊， 使代数式有意义，就考了一个二次根式，对吧？ x 曲子范围就根号下面怎么样？不能为负嘛？ 好，你对这个东西要特别熟悉， x 减二零二六，它得大于等于零，它不能为负，为零为正都可以。然后解这个不等式， x 就 大于等于二零二六，就它。答案就是 x 大 于等于二零二六。好，这个题应该都没问题啊。 选择题，当 x 等于什么时候，分式它与它的值会相反数？首先考了两个分式，第二个相反数啊，一定要想清楚，不要把倒数啊相反数搞混了。这个是易错点， 既然是它们两个的值会相反数的话，你让我们写成两个式子相加 等于零，要么它等于它的相反数也可以。好，那解这个就到了第二个点了，考虑分式方程怎么解。把它的公分母找到，公分母是谁？公分母 就是 x 减二，乘以 x 加二就是公分母，然后它乘以这个公分母， x 减二和 x 减二会约掉，就剩下了 x 加二， 然后它也乘以它啊。 x 加二和 x 加二约掉，剩下的是 x 减二。因为这里是正好啊，所以直接加上就行了。最好还是形成好习惯，打个括号等于零， 然后再走下一步，最后就是 x 加 x， 二 x， 然后二减二，没了等于零，所以 x 等于零。 到这里还要考虑一下 x 会不会使这两个分母怎么样。没有意义，就是使分母为零。很明显 x 等于零没关系，对不对？所以 x 等于零的时候， 它们两个式子的值会相反数。这个题还是有点难度的。分数，呃，七八十六七十左右吧，六七十分左右。同学可能解分式还是有点问题 好。十四题如图，图呢， 好似图 a、 b、 c 是 半径为四，图上没有给半径，可能待会要会制一下三个点。那三角形和圆就是个外接圆的关系嘛。 a， b、 c 等于六十度。好 形成好习惯，看见东西就把它标上，问 a、 c 的 长度等于多少？问弦 a、 c 的 长。那既然给了半径，是不是肯定要用上 跟，然后给了两个条件，一个是六十度角，然后要求的是 a c， 所以 这个时候你得把 o c 和 a o 给连上。为什么连上？首先两个半径是四， 半径有地方标了，然后红弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以这个是一百二十度。好，一百二十度。三角形，你看是一比一比根号三， 四倍根号三好。有同学不太熟悉的话，可以直接就往这里做个垂线啊，做个垂径， 然后这个角哎，也是六十度，你可以利用一比二比根号三，那这就是二三十度嘛。所对的边是它的一半，二比根号三，这一半也是二倍，根号三加起来也是四倍根号三，把它算出来 好。初冬阶段，这两个图要特别熟悉，它们的边长比较特别熟悉，包括三角函数就是锐角，三角函数都是记它们两个，这条边长是 a， 这条边长也是 a， 然后这条边长就是根号二倍的 a， 然后这条边长如果是 a， 那 这个斜边是二 a， 这个边长就是 a 倍的根号三。 然后这个图呢，其实就是这个小三角形，那么大三角形含一百二十度的点幺， 这是一百二十度，然后这是等幺底边呢，就是 a 倍根号三，就是一比一比根号三的关系。我第一下就这么出来的啊，就快一点，所以 a c 的 旋转就是四倍根号三。 这道题如果丢分几个边缘吧。十五题，若多边形的每一个外角都是四十五度，内角和外角内角。好，这道题就复习两个公式吧，就考虑公式记不记得任意多边形。 首先内角和内角和指的什么？就比如说随便画个多边形， 就这几个角加起来 一二三四五六，加起来六个内角六条边，这有几个角加起来叫内角和，它等于它的边数减去二乘以一百八。而外角和呢？ 什么叫做外角和？就是以它顶角的一边延长九角，这就七，然后延长角八，延长角九，延长角十， 延长角十一，延长角十二。好，七到十二个角加起来，它的度数就是外角和。没有公式。任意多平行的外角和都是 三百六十度。你知道知道这两个公式就行了。这个还会推啊，还会推好，他说每一个外角都是四十五度，其实他说的是正多边形，但这个在这题没含义，反正外角加起来都三百六，先把边数 n 给求出来， 等于三百六十度，除以四十五，所以等于八边形。再问多边形的内角和为多少度，再套这个公式， n 等于八了吗？所以八减去二除以一百八，然后六乘以八六八四十八， 一六得六，一百零好，幺零八零好。注意，这是个句号，它没有度的，所以要把度上标上，注意严谨细节啊。这题如果出错的话，就比较基础，但是有同学真的就不就这两个公式了， 现在开始每遇到一个新的题，你只要发现自己还有问题，还公式不记得，还有定义不熟， 一定马上弄懂，你就把现在这个机会弄懂的机会，当做你参加考试的前面最后一次机会去对待。所以你今天不搞懂，明天就要考这个，你今天搞不搞懂，一定要搞懂，不要想着后面还会有，后面还会有，后面还会反反复复的跟你复习，没有机会了。这两个公式，你现在当下如果错了，就把它记死，焊死在你脑子里面 啊。数学题的填空压轴找，然后也是一套思维题啊，雅雅，让同学们猜一个两位数，首先这里第一个信息，两位数，四位同学对这个数做出了如下猜测，那碰到这种题，文字比较多，首先你要会提取信息， 你要会提取信息，会把东西变简单，其实也是一种审题。首先甲，怎么说呢， 这个数比六十大，它是一个双数，双数两位数，我们就假设这个数就是十 a， 然后 加 b 吧，然后这个数就是十位是 a， 个位是 b， 那 这个数比六十小，那就是十 a 加 b 小 于六十， 还它是一个双数双数怎么表示？要不我们这么表示，十 a 加 b， 它肯定等于 n 等于二 n 双数嘛，所以 n 可以 是什么呀？ n 属于自然数。 好，一等于一个自然数，这是假的。一句话，已知的。什么？这个数比八十大，那还是这个数就十？ a 加 b， 它就大于八十，它是个单数， 所以十 a 加 b， 它就不是双数了，它是单数，我们是 n， 自然数是一，所以呢，我们可以就减个一，对吧，一样的 n 为自然数， 这就表示它是单数。第三个，丙，好，这个数的学生，这个学生说数字的和是十二，这个数的数字和是 a 加 b 嘛？十位上的数加上个位上的数等于十二，并且它加上五后是十一的倍数， 然后，并且它就这个数十 a 加 b， 我 还怎么样？加上五之后，哎，我等于十一的倍数等于十一倍。嗯嗯，还是自然数 好。这里的 n 其实反正不可能是零啊，这个数字加五也不可能是零，不用管那么多了。好，第一，这个数加上九之后是十的倍数。好，又是这个数加上九，那这个数就是十。 a 加 b， 再加个九 等于十的倍数，它加上六后是七的倍数，这次要加个六 十 a 加 b 加六等于七亿的倍数。好，出题人雅雅检查后发现每个同学恰好说对了一半，这个两位数是多少？ 说对了一半，哎，其实每个人都说了两句话，对吧？但是每个人只有一半是对的，就只有一边是对的，如果你对他就不对，如果他对他就不对。好， 这道题好，首先第一个逻辑来了，就是每个人两句话，只有一句话是对的。那你观察一下甲乙两句话， 一个说他小于六十，一个说他大于八十，这两个是互斥的，要么就你对，要么就我不对，对吧？一个说他是双数，一个说他是单数，你对，要么就我不对。所以这个时候怎么办？咱们可以站在就考场做题的角度啊，不是说要严谨的去证明啊，说明就是我考试的时候要形成一个 完整的逻辑，然后呢，把这个题在一个相对较短的时间里面做出来。那我们第一步可以用假设。 假设什么呢？你不就两句话吗？一句话对，一句话错，而且你对他肯定不对，对吧？我们假设这句话是对的，看能不能走得通，运气好走通了。哎，那就正确答案，那不通，那就再假设这个情况呗，你是对的，那你是错的，那他是小于六十的，他大于八十就不对了。 那每个人都有一句话是对的吧？这句话错了，这句话是不是对的？好，现在有两个信息了。第一个，他这个数小于六十，那小于六十， a 就 只能取多少？ 要保证是两位数， a 就 只能取一二三四五，能不能取到六？不能取了吧？你取到六，再加一个数，它就等于六十了，至少是它小于六十，所以 a 最大只能达到五，然后 b 呢？ b 可以 取的数就多了，只要是零到十九都可以吧，但是要保证什么是基数，所以个位只能是一三五七九。 好， ab 大 概范围就有了。我就做了一个假设，你看就得到了一个 ab 可能的数字组。第二个， a 加 b 等于十二，然后 a 加 b， 然后这个数加上五，这个数加上五等于十一倍的 n， 哪个是对的呢？依然假设。首先第一个是对的， a b 相加等于十二，然后我这里相加等于十二的可不多耶。比如说九加多少？九加三，从上写三加九等于十二，然后 然后就五加七，五加七等于十二，还有吗？没有了，就这两组其实选择很少。那你这句话是错的呗，我暂时先不管你， 那么下面哪句话是对的，那这个数加个九是十的倍数，这个数字加个六是七的倍数，我们看一下这个符不符合。那三和九，那这个数不是三十九吗？ 三十九加上九是不是得到准十？这不是十的倍数吧？不对，那看他能不能符合他好。三十九加上六等于四十五，四十五是七的倍数吧，也不是好两个多。错了，所以你得排除掉这个数字没走通。那再看看这个五和七，五和七就是五十七吗？ 首先看判断一下，五十七加上九，你显然不是十的倍数。又 pass 掉了。那五十七加上六呢？加上六等于六十三，六十三是七的倍数吗？七九六十三。 哦，它符合，那至少这五十七是通的。那它符合。你看计算一下，五十七是不是小于， 是不是小于六十？然后并不是一个双数吧，不是双数好，五十七是不是小于八十，对吧？打错了，然后他说这个基数好，又对了， 两个数字相加，五加七等于十二，对了，然后加个五，加个五是，呃，六十二，六十二不是十一的倍数吧，哎，也满足。然后刚刚算完，这个加个九不是十的倍数，加个六刚好是七的倍数，哎，刚好满足。丫丫说的话， 既让他们四个人每个人说的那一句话都对了一半，对吧？所以五十七就最后答案。 好，这个时候有个严谨的地方来了，他只有这一个答案嘛， 我先第一种假设，他是对的，他是错的。好，然后就接下来就自然就到了他是对的。但是我的假设第一步其实是个假设。哎， 那有可能他是错的，他是对的。我是不是也能做一种假设？是不是有又有一系列的推理，然后到这个地方是不是又有可能一个假设的分支？所以假设后面你要把所有的情况都考虑到最后，看这个题目是不是有多个答案，那就麻烦了。还好这道题啊，我也不知道，大家有兴趣可以验算一下啊。 好，这题做出来的分段其实已经到了一百加了。嗯，这种题其实我挺喜欢的，做起来挺有意思的，其实可以当个游戏玩，当然你现在就是学生在，当你现在学生在考试的时候，在学校里面可能觉得怎么会有意思呢？对吧？ 但是如果真的静下心来去体会数学的话，其实很多东西是很有意思的，那至少我当时读书的时候就有这种感觉。

哪一次模考最接近中考成绩啊？我要不要告诉他？其实二模是最接近中考成绩的一模看排名，三模练心态。一模考试是初三第一次按照中考模式进行的大型考试，主要的作用呢就是叫醒孩子， 而且学校为了督促孩子尽快的进入冲刺状态，故意会把考试难度提高，如果一模没考好，反而是件好事，因为它能让孩子及时的发现知识的漏洞。二模考试一般是在一模后一个月左右进行的， 这个时候经历了二轮复习，查漏补缺也基本完成，孩子的应试心态啊，也基本就稳定住了，处于巅峰期。而且这次的题目难度也比较合理，是最接近中考成绩的一次了。 三模一般会在中考前的三周左右进行，学校也会为了帮助孩子们建立自信心，题目出的通常比较简单，不行我一定得告诉他。

给大家出一期中考一模前语文，两周左右能完成的有效率的复习，需要的家长要给孩子记一下。那复习前呢，我们一定要知道整张试卷在考什么， 其实就是基础名著、诗歌、文言文阅读和作文核心的知识点。其实语文就这几部分，那基础知识是必须要拿分的， 把初中常考的生字、词语一定要让孩子再过一遍。语法是基础题的第三题，必考的，必须完全掌握 重点的名著要了解清楚。那文言文呢？课内必备的篇目必须滚瓜烂熟，重点诗词反复去记，务必吃透。 诗歌鉴赏重点攻克四大类题型，分析技巧，情意向、意境类、语言特色和练字型。阅读理解主要分为三个，说明议论和继续文。说明文主要包括，说明对象、说明语言、说明顺序、说明方法定义和题型要清楚。 继续文要掌握五大阅读核心的考点，抓准情节和人物。考点不清晰不全面的私信我。议论文主要围绕论题、论点、论证论据四大关键点。论点和论证方法是考试的重点。 作文呢，主要聚焦两大主题，情感类和成长类。每类作文必须准备五篇高质量的范文，自己做好灵活的套用。其实一轮复习的这个核心就是两周的时间，把语文的考点、题型、方法全部过一遍，抓住重点，高效复习。

好，十七题第一个绝对不能丢分啊，绝对不能丢分，每个计算每个计算精精确确的。 第一个二乘以三十三十度。跟我背，背不了，给我画图。它是二分之一。好，加上三分之一负二次方就是三分之一的平方，然后倒数就是九， 减去任何数的零次方，它就是一，绝对值是二就减去二转，这一步不要往下走，严谨意识是保对，你要再回头看一步，把这个东西检查一下是不是一定是对的，一定要回头，就这样回头确认， 然后这个相乘等于一，一减一没了，最后等于九减七。这个题基本上丢分的话 不行，反正这个题做到这一步，你也回一次头，每次回头确认了再走好吗？这也是考计算考计算呢。建议一步之 干一件事，严禁 跳步走， 严禁跳步走， a 平方减四，直接套平方差公式减二，符号 a 加二， 然后分母完全平方公式 a 减二，括号的平方啊。这一步到这一步，我只干了一件事，分子位置干了一件事，分母位置干了一件事，减去二分之一 a， 先不变，不着急变 好。这个地方啊，刘同学马上就把它导过来了对吧？也可以导啊，但是我建议一步只干一件事，先把它进行怎么样？因式分解 好下一步。这就知道写原式等于啊，减原式等于，然后 通分 a 减二，括号 a 加二，这里应该变成中括号了。应该都是 这个变成中括号了。 a 减二，括号的平方减去，你看它是 a 减二，它是 a 减二，对不对？你要我就分子分母都乘以二减 a， 二减 a， 括号 a 减二平方和二减平方一样吗？ 一样的啊，除以。好，这个时候你就可以把它倒过来了，就变成乘以 a 括号 a 减二，除以一，一就省略掉了，然后就把它合并，合并的话它变成了 a 减二库。好，下一步分子合并 a 减二括号 a 加二，括号减去，注意这里啊，加个括弧，因为这是减号，很容易出现符号的这个变化出错的，这是个易错点，也是一个坑啊。 这个时候 a 减二和二减 a 都平方了，所以它是一样的，乘以 a 乘以 a 减二。好，这个时候你就可以进行一些约分了， 分母 a 减二，这是一个 a 减二吧，约掉 ok， 再来啊，看到这里还有 a 减二，这里还二减 a， 对 不对？就这个可以变个形，把它变成 等于 a 减二，括弧 a 减二，把这个符号提出来，再加上 a 减二，除以 a 减二， 这里就变成 a。 好， 这时候可以再把分母这个约掉，变成一，跟它约掉一个， 它就变成了 a 加二，然后这里约掉了，其实还剩一个什么？还剩一个一， 还剩一个一啊，这个一千万不要遗漏了，然后乘以 a， 那 最后就会等于写不下，写这边啊， a 乘 a 的 平方加上三 a 啊，最后当 a 等于负一时，带入 a， 带入 a 平方加三 a， 所以 a 平方加三 a 等于负一平方加上三，乘以负一，就等于 负三加一。负二也是千万不能丢分啊，不能丢分，这种题一定是送分的，六分一个，然后每一步计算，回头看一看，一步一回头，确认了 再往下走啊，回头确认，每一步都是确认一下，看这一步到这一步对不对？这个做完之后再对比下对不对，特别这种约分拆括号，然后约完之后还剩个一，都是一错的点，千万不要错了，情愿多写几步，多看一下，把这六分稳稳的拽在手里 啊。这个题基本上扣分的同学技术的边缘，但是没关系，这种题就是专项练一练，十道不行刷二十道，二十道不行刷三十道就完全平方公式，平方差公式通分，然后去括号，这些东西约分弄会就行了。第六题，利用三角函数 求实际的一个公式，约分弄会就行了。第六题，利用三角函数求实际的一个量。给的是什么？长沙的历史卡 好看一下这个数据啊。再来看一下，然后从底端 a 观车变电站 c 出的阳角，阳角就是从你的视频线往上看，这个角度是阳角，然后从视频线往下看，呐，这视频线往下看，这个是辅角，然后第一个意思你要去标， 那我们是 a 点看塔尖， c 处都九十六十五度，然后再好细节啊，安全人员的引导下去看盖楼房顶， b 处看这个俯角是三十度， 已知 ab 的 楼高是十六，这是十六，求底部 ab 的 长。 这种题一个方式就是一定要把它补全。怎么补全？你看把这个 b 这里延长， 这不形成个三角形了吗？对吧？很多图就是把后框架有可能一定要补全，基本上就是做垂线或者做水平线，把这个图补完整，然后形成三十度，九十度，这不就六十度吗？我们要求的不就是这个 b， h 和 a、 d 是 一样的吧，所以三十度，那这个边就十六，跟这长度是一样的，那这个就是十六，和这三角形就是一比二，比根号三，所以这条边就是十六乘以根号三，那么低温 a d 就 出来了， 就是就是，十六倍更好升单位是以这个过程稍微省略一下啊，该电场的高度。求 cd 了， cd 这个长度，它是不是刚好在这个六十五度三角形里面？ 这个地方一定一题是垂直的，这题有个技巧，它会给你一些参考的三角函数的值， 它给你两个角度，不管是用 sine、 cosine 或者 cosine， 肯定是要用到六十五度，肯定是要用到这个角，这是一个很显著的一个题型， 那这个 a、 d 咱们已经知道了，就是十六倍根号三，又知道它的三角函数。记住，只要在一个三角形里面，我知道一条边和其中一个角的三角函数值，我就能把这个三角形所有的边全部给求出来。那我们要求的 c、 d 已知的是 a d 等于十六倍根号三，我们要用的角是六十五度， 是六十五度，所以我们要求的就是， 所以我们用的是哪个呢？是 sine 还是 cosine 还是探点呢？求 c、 d 是 六十五度的对边，已知 a、 d 是 六十五度的零边，就用探减 对边 c d 比上零点 a d 嘛，所以 c、 d 就 会等于 a d 乘以它减六十五 等于 a d 是 十六倍根号三乘以碳尖六十五，二点一四，然后这个时候根号叫你算出来了，然后这个二点一四幺乘，那咱们计算一下，先十六乘以一点七，一点七三 三六十八 两位小数，然后再来二十七点六八，再乘以二点一四 四八，三十二，十六，二十四。 好，小数点四位点在这，答案是五十九点二三五二，然后他进去到一米，进去到一米，这是考点啊，看谁看这个十分位小于五啊，所以就约等于 五十九米就 ok 了。好，这个计算也是一定要算两遍，竖着在草稿纸上慢慢的算好，因为这就是分呐啊，这道题基本上八十分左右，同学一定要拿下 好，二十题啊，看到这道题也是考场的一股清风啊，对吧，瞬瞬间想起一些美好的事情。 好电影 a， b， c， d， 这是呃电影 a， b， c， d 这四部 票房前四熊出没。好了解长沙这四部电影喜爱程度，抽取了若干名学生，首先抽取了这部分学生就是样本，这个样本容量一定是要求的 检查结果作为呃数据处理，制作了这个不完整的表和统计表，根据下来信息解答问题。首先这个样本的容量错了多少个学生，这种题一定是要求出来的，不管他问不问，一定需要怎么求，首先看哪个数据知道， bc 知道，然后频率，哎，频率也知道，那就是它了。 呃，三十五对应的是零点三五，所以总人数肯定是一百个人，这第一个得到的数据，那有他就好办了。零点三的频率就是百分之三十，一百个百分之三十，所以 a 就是 三十人， b 呢就是一百个，总共有三十一个，就零点三一，注意不要写成百分之三十一啊，频率一定要写成这种小数，然后 a 和 b 就 出来了， a 就 三十， b 就是 零点三一。好补全条形图， a 是 三十，那就大概这么高，好，跟他保持队形，写个三十。嗯， d 是 四个人，熊出没很合理啊。嗯，有四个人。好，第二位也补全了，第三位。 初中共有学生一千六百人，根据他喜欢 a 的 人数， a 是 百分之三十，那就是一千六百乘以百分之三十，然后约掉，约掉，约掉，最后等于三六一十八，四百八十人， 四百八十人喜欢。张老师随机抽取了四名学生，其中喜欢 a 的 人一个，喜欢 b 的 人有两个，喜欢 c 的 人有一个。若从若从四人中随机抽取两人 画树状图获得列表的方法抽取两人均喜爱 b。 哦，有点不一样，它这个地方等于选 b 的 有两个。那这怎么表示？咱们可以这样子，我画画的是简图啊，我们喜欢 a 的 人把它看成 a， 喜欢 b 的 人有两个嘛，就把它看成 b 一 和 b 二， 然后选 c 的 人选完之后可以第二个， 第一个选了 a， 那 第二个选的可能是 b 一 可能是 b 二可能是 c， 第一个选了 b 一， 第二个可能选的是 a， 第二个人可能是 b 二，第三个人可能是 c， 第一个选择 b 二，那第一个第二个人可能是 a， 第二个人可能是 b 一， 第三个人可能是 c， 第一个选择 c 的 话，那下一个可能是 a， 下一个可能是 b 一，下一个可能是 b 二，那就看一共有多少个。一二三四五六七八九十十一，十二。一共有十二种组合， 然后两个人均喜爱 b， 就是 选择双 b 嘛，就是 b 一， b 二， b 二， b 一， 就这两种可能啊，那就是两种选择，最后的概率就是六分之一。 这道题应该是比较简单的。呃，相信六十分的同学，七十分的同学都能做出来吧。注意，这个题还是要仔细啊，像这种计算什么东西，多算多算一下， 看明白题目意思。然后像这个频率，你算它零点三一之后，你要把零点三、零点三五、零点三一、零点零四加起来加和， 看是否等于一。如果是百分数的话，就看他等不等于百分之百啊，要验算一下，然后总人数这里要算一下，算一下，看他是不是一百人啊，这个都是要确认一下的，也是验算，保证不丢粉。好，下一题 如图， ab 是 圆 o 的 一条弦，好， c 是 圆 o y 的 一点， o c 垂直于 a， o a， 好， 这是个直角形成这个标记的好习惯。 o c 交 ab 于点 p 交圆 o 于点 q， q 和 p， c p 等于 c b， c p 等于 c b， c b 和 c p 相等，看见两个线段相等，又在这个三角形里面，你要意识到这两个角一定是相等的。 好，求证 b， c 是 切线，求证切线。那第一步干嘛？一定是好，一定是连接我们的 o b， 要证明的就是 o b， c 这个角是直角，那连接 o b 之后怎么证明直角呢？你看 o b 和 o a 这个地方 是两个半径相等吧，那这个角和这个角是不是相等？ 然后这里有一个直角，这个角和这个角看见直角就可以，怎么样保护鱼？那这个角和这角是个贝塔 哦，这个刚刚说了是等幺，这两个角又相等，所以贝塔阿尔法相加等于九十度，那这两个相加必然也是九十度啊，那不就得正了吗？好，过程写一下。 好，首先，因为 o a 和 o b 相等， o a 等于 o b， 这两个底角相等，又有 c p 和 c b 相等，所以两个底角被它相等。把这个先交代清楚，然后 因为 a o， 这里写的是 o c 垂直于 o a， 然后所以角 a o c 等于九十度，所以角 o a p 或者 o a b o a b 加上角 a p o a p o 等于九十度。好， 又因为因为什么这个 o c 交 ab 于点 p， o c 交 a b 于点 p， 所以 对顶角相等， a p o 角 a p o 等于角 c p b。 其实这句话也可以不写，但是严谨的角度还是交代一下，这两条线相交于点 p， 所以 这两个对顶角相等。好，请问我交代了什么？第一个，这个 我交代了两个底角相等，阿尔法等于阿尔法，贝塔等于贝塔。第二个，我交代了什么？我教了，因为他们垂直， 这个阿尔法和这个贝塔是相加，等于九十度的互余。第三个，我交代了什么？我交代了这两个角是对等角，他们两个相等，然后现在他和他互余，他和他相等，他就等于他都说明白了，最后召唤神龙，所以角 这个 c p b 加上角 a b o 等于九十度，所以 o b 垂直于 c b。 好， 这里我们只能证明到这个角是九十度，我们这边是切线呢。还有一个，又因为我们的 o b 是 什么？ o， b 为圆 o 的 半径， 所以 b c 为圆 o 的 半径，所以 b c 为圆 o 的 半径。 好，就这个地方，我们证明切线一定要满足两个要素，第一个，切点这个点，一个你在圆上，这就说明它是 o， b 是 半径，所以 b 在 圆上就说明了这个。 第二个，我要证明这个切半径和这个切线 b c， 它们的夹角是直角，要满足这两个条件，才能说明它是切线。 好，再来看第二位，若角 a 是 二十二点五度，那咱就把它擦一下。 好。第二位，他说角 a 是 二十二点五度，也就是二十二点五，那你也是二十二点五， 半径等于二，你是二，你是二，求出任意部分的面积。首先，任意部分的面积，你就要知道是这个 s 等于 s， 三角形 o、 b、 c 减去 s 扇形的。好，那我们现在目的就是把这两个面积给求出来。首先， o、 b、 c 这个长度里有吗？ o、 b 是 有。首先它的面积能求出来吗？它的面积是底乘高呗，而它的底是 b c， 高是 o b， 这个刚好是直角嘛。 所以第一步要把 c、 b 给求出来，求出来三角形面积就解决了。第二步，你看，你求这个扇形，扇形半径我有了，重点是这个角度多少度，我也把它算出来。好，咱们可以先走一下，算这个角度。 好，因为由一得角 o、 a、 b 等于角 oba， 因为角 a 等于二十二点二十二点五度，所以角 oba 也等于二十二点五度。 所以这个 a、 o、 b 角 a、 o、 b 就 等于要八十度，减去两个二十二点五度，等于一百三十五度。然后我们求这个角等于这个 a、 o、 b， 要减去这个九十度。九十度，因为 o、 c 这里 垂直于 o、 a， 所以 这个角 a、 o、 c a、 o、 c 等于九十度。所以我们要求的角 c、 o、 b 等于角 a、 o、 b 减去 a、 o、 b， 减去这个 a、 o、 c 等于一百三十五度。减九十度，刚好等于四十五度。哎，这刚好是四十五度。哎， 我们刚刚不是还愁 c、 b 怎么算吗？你看有直角有四十五度，那不就出来了吗？对不对？所以它面积顺序也搞定了。所以有时候想问题，当一条路想不通的时候，可以先摆着，从其他路走一走，可能互相就通了。好， 那咱们顺势把这个呃， c、 b、 o 也把它表示出来。又因为角 o、 b、 c 等于九十度，也是由低温得的， 咱们可以把它写在这里，加到后面， o、 b、 c 等于九十度，所以三角形 o、 c、 b 为等腰直角三角形， 所以 b、 c 等于 bo。 好， bo 是 等于二的，我们可以把这个加在这里， bo 等于 r 等于二，这就等于二了。 所以我们三角形 o、 b、 c 的 面积就等于 b， c 乘以 bo 乘以二分之一，就是二乘二。 b c、 b、 o 都知道乘二分之一等于二，而是扇形的面积就等于二的平方乘以 pi 乘以对圆心角的度数 半径不是二吗？二得四四乘以 pi 乘以八分之一，等于二分之一 pi。 所以 我们要求的阴影部分的面积就等于 s。 三角形 o、 b、 c 减去 s， 三型等于 r 减去二分之一。快啊，这就走完了。 然后这个证明过程呢，我是相当于写的相对比较详细的。就是说啊，其实这个还有个证明深度的问题，基本上把需要的定理，需要的依据写明白的话，其实可能还更多一点， 但是有可能就是说看这个判决老师他的那个要求，这么做基本上是找不到太多扣分点的。这个题的话，一般九十分没问题啊，应该是差不多二十二题， 长夜色 a、 b 两种饮品，小说记录，六十倍 a， 二十倍 b 这么多钱，三十倍 a， 四十倍 b 这么多钱。求单价， 求单价。那就设它们单价，一个为 x， 一个单价为 x， 一个单价为 y 呗。那后面有没有用的 x y， 没用的就放心用 x y。 好， 第一问， 第一问，设 a、 b 两种饮品的单价， 分别为 x、 y， 然后由奇得， 这值可列方程呢？六十 x 加上二十 y 等于一二二零元， 然后三十 x 加上四十 y 等于一零九零元，然后因为一是二是， 然后一般就直接解得啊，解得 x 和 y 的 值就可以了。正好是有个过程，我这里写不下了，我把这过程写在旁边，就是，六 x 加上二 y 等于一二二三 x 加上二 y， 四 y 等于幺零九，然后翻两倍六点六 y 等于二百一十八，一百一十八， 一百一十六九十六， y 等于一十六，那 y 等于十六等于一个的六一十五。 好，这两个算进去，一定要验算啊，然后经检验啊，经检验 一定是严谨啊，我写不到了，一定要严谨啊，一定要验算好。所以最后 a、 b 两种饮品的单价 分别为一四五和一四六月啊。第二位， 某班准备购买 a、 b 两种饮品，共三四位，这位嘉宾发过学生，咳咳咳，那这时候就可以设，因为数量关系有了吗？设买 a 总或者 a 饮品 n 杯。注意细节啊，这里千万不能用 x y 了，则 b 饮品 三十减 n 杯。 a 种饮品数量不超过 b 种饮品数量的四倍，那就由 t e 得 a 的 数量， a 的 数量是 n， 它不超过就小于等于不超过 b 的 四倍。四倍的三十减 n， 那就解得，解得上 n 小 于等于三四，一百二减四 n 五， n 小 于等于一百二十二十四，所以 n 小 于等于二十四， 然后再来，那么该商品买三十个最少花多少钱？这已经就要引入函数了。射射 三十杯饮品总计花费总 花费为 w 元，由 t e 得 w 等于 a 是 十五块钱一杯， n 杯加上 b 是 十六块钱一杯， 然后乘以三十减 n 整理得 w 等于负 n 加四百八十，因为 n 是 乘以负一，对不对？负一小于零，所以这个直线是不是左高右低啊？ w 随 n 怎么样增大而减小，所以当 n 等于二十四时， w 总价取得，取得最大值， w 最大值为 把 n 带进去，负二十四加上四百八十等于四百五十六。耶！先写个打 好刚刚蹲在那里的这个严谨看到没有？一定要验算，这个计算，一定要回头看，这都是计算，一定要回头！一定要反复确认。 这个题九分啊，天啊，好贵的。而且算到这里，有些题数据会比较难算，有时候他就是那么难算，就很难算， 那你得也得算，但你得确认这个式子也没列错，这是第一个。还有种情况，难算，可能式子列错了，那你就反复检验这个式子，根据题目意思看是不是列对了。特别这种实际应用的题，他解答的结果一定是要符合实际的。 一杯的单价，这个可以是有零头十五块六，十五块几都可以，但是如果求人数呢？就不能是三分之一个人，对吧？就一定是有整数的。所以这种题要稳，拿分的话， 计算的时候不要求快，稳稳当当的把分拿稳。过程这个概念的主要步骤至少得有，最好能把这个计算过程扩充。呃，计算过程扩充一下，写个主要步骤，写个一两步，让别人找不到扣你分的理由，同时你还得怎么样估计时间？在时间允许的情况下，可以让它更完整一点，就更完整一点。 而且这种题就是说平时可能做的比较少，做作业题肯定不会写这么多步骤，但是你在中考之前，每次考试一定要反复的用最标准的步骤，因为练练习，考试的机会是很难得的。你平时觉得我写这个东西肯定会啊 啊，我做这个题，我两两两三分钟做完了，但是考试的时候他布置让你做完，他让你写个完整的过程，要写在答题卡上，你不能有写错字，就是说你不能有一些失误，算错了又涂掉，怎么怎么样的，要保证准确，要写好。那这个时候能花多少时间你心里有数吗？你平时觉得两三分钟搞得定，但真上考试了，真去写步骤的话， 啪，五分钟，十分钟，就这道题写过程，那这个时候你咋办？彻底慌了呀。所以平时考试就要练习这种写标准步骤，写成习惯，写成肌肉记忆，撒手就来。那你考试的时候这道题才不会费时间。好，下一题如图，在矩形 a， b， c， d 中，一是 b 是 上的一点， e 在 b c 上，这是个矩形。这个背景条件很重要啊，得 f 垂直于 a e， 这是个垂直设 a d， a， e 比值是 number 的， a d 和我们的 a， e 比值是 number 的。 若 c， e 等于 c f c e 等于 c f 好，若 c 一 等于 f 一， f 一 等于 c。 求证。那么大等于一那么大，就是 a d 比上 e， a 是 等于一的话，那就是它们相等吗？ a、 d 得要等于我们的 a、 e 才行，就求证它们两个相等，既然题目给了这两个小线段相等，肯定从它入手，对吧？又是矩形，那矩形的一项条件就是直角连上我们的得一，你看这两边是不是全等啊？ 啊，搞到群里又怎么样，顺势你就想啊。 哈喽，高老师，咋了？ 刚刚我学生给我打视频，他学校组织了一个数学竞赛，然后他拿了第一名，而且是就代表着主力军，非常开心，太开心了， 好，继续啊。哎呀，还是很开心啊。 嗯，继续继续继续充电宝。对，没电了，我们继续求证。 a d 等于 a e， 然后 c 一 等于 f 一， 刚刚说它全等了，全等就一定会带来等线段和等角，一定带来这两个东西，你就往这两个方面想就完了。那就会有这两个角相等，然后这两个角相等。 哎，我们当我们在正两个三两个边要相等的时候，它它特别又组合成了一个什么三角形，对不对？ a、 e、 d 有 一种思路就是证明它两个底角相等嘛。 那你看这个角是它为 r 法，刚刚正的全等跟它相等了，那再来它是一个什么矩形啊？矩形就是平行四边形啊，对边平行啊，所以这个角 是不是和这个角是一个内错角关系啊？那不就有了吗？所以第一问就就搞定了好。 哇塞，是爆了啊，刚发过来的这个特等奖，点赞啊。 好，我们来这个写正面过程写一下，就是你要把逻辑稍微顺一下呐，证明两个边相等，这是我们的目的，证明两个内错角是它的主要的过程，然后这两个角相等，才有内错角。好捋，捋完了， 那就直接开始双手一这一，因为 四边形 a， b， c， d 为矩形。 我像这个九十度嘛，这个九十度还说它，再把这个写在一起，这个得 f 垂直于 a e， 所以 角 c 等于角 d f e 等于九十度，然后九十度有了，然后这两条边加的公共边，又因为题目给的给的上 c， e 等于 f 一， 并且公共边得一零得一， 所以 r t 三角形是吧？得一 f 全等于 r t 三角形， 得 e c h l 好， 全等的嘛，又带来等角，所以咱们的 角得 e f 等于角，得 e c 好。 又因为我们那个啥 a d b c 平行嘛， a d 平行于 b c， 所以 角 a、 d、 e 会等于我们的 d， c 好 念错角相等，所以或写个几，得 e c 得 e， c 等于角，得 e， f 得 e， f 等于 a d e， 所以那个 a 的 和 a 一 就相等了，所以 a 的 比上 a 一 就等于一及 number 等于一，第一问搞定，第二问 除二， a d 等于三， a d 等于四， 得 b， f 都在同一条直线上，得 b f。 求那么大的值。一个矩形嘛，那这个肯定是五了。好，反面交叉，反面交叉。这个标图不能像这么标啊，一定要标细一点，三四五好，求那么大的值，这里还有提杆的条件，别忘了去标一下， 这里是垂直的，然后求纳姆达的值的话，其实就是求 a d 比上 a e 啊，求的就是 a d 比上 a e， 而 a d 和 a e a d 是 知道的，不就求 a e 吗？ 求 a e a e。 这个时候最好要结合矩形的特性，这个三角形是一个三比四比五的三角形，咱们非常熟悉，对吧？可以在矩形里面有平行线，然后有内错角。你看这些角都是相等的啊，这个角会等于这个角， 然后也会等于这个角，哎，这九角都是相等的，所以他们的这个三角函数值都是会一样的。那我现在要得到这条边的话，其实我要得到 a 一， 其实我得到 b、 e 就 够了。你看这是个直角，有这个三，我有 b、 e 的 话，不是 a 就 求出来吗？证明转化目标，求 b、 e 就 行了，而 b、 e 刚好是在这个三角形里面，三角函数值咱们也知道。哎，那不就有了吗？你看往回过去。 第二题， a、 d、 b， 我 现在要介绍它为什么是三比四，不，现在介绍角相等，就写由一得吧。因为前面我已经说过了，它是平，它是矩形了，由一得 由一得，这个 d、 a、 b 等于九十度，所以 这我要标记一个，角一和角二和角三， 所以角一加角二等于九十度。又因为前面 d、 f、 a 垂直， d、 f 垂直于 a、 e， 所以 角二加角三也等于九十度，那不就有角一等于角三了？这是关键的结论。 好在 r、 t 三角形的 a、 b 中， a、 b 中，因为 a 的 等于四， a、 b 等于三，所以 a、 b 比上 a， d 等于 三比四，所以摊减角一，它是 b 一 比上 ab 也等于三比四， b 一 等于四分之三乘以 ab， ab 是 三，所以等于四分之九。 b 一 咱知道了， 在 r、 t 三角形 a、 b、 e 中，由勾股定里得 a、 e 等于根号下， a、 b 的 平方加上 b 的 平方， a、 b 是 九，加上 b 一 是四，四一，十六，九九、八十一等于多少？十四，一百四十四十六，加上八十一，还有根号， 还有十六分之二百二十五，哦，还等于四分之一十五。好， a b 出来了，所以 啊，所以说我们的 a 知道了，所以 a d 比上 a 一 等于四，比上四分之一十五 等于十五分之十六，即莫达等于十五分之十六。 好，大概的过程就这么写完了，这题难度其实不高的啊，基本上九十分段同学都应该能做的出来，然后前面一百分就到这了。 好，总结一下，以后一定要每次考试，每次练习都要去弄懂，其实中间我说过，就是碰到一个公式你不会，或者这个知识点不懂，现在我碰到了，那就把它搞懂的机会，你现在就是通过考试做一个练习，再找你的思维漏洞，找到了一个就不要放过他， 一定要把它弄懂，因为这就是你的最后一次机会，这个知识点今天错了，可能后面没有机会再给你找补了，下一次有可能就在中考上面，所以一定要弄懂，找寻归一，在上面的基础上，你也不是一些题完全要去死磕它怎么样的，因为现在些偏题怪题也要学会取舍， 就是符合你现在水平的性价比最高的一个，突出一个性价比，效率为王。 然后经常的自我反省，就是思考自己的一些问题，效率，方法，技巧，然后不断的总结归纳，不要小看最后的这八十来天，这是学习效率最高的时候，这八十天甚至可以比得上以前的一年两年都可以的，真的，我带了很多学生，我真的就是一点点时间， 从那可能就二十多分，三十多分到一百分就这么来的，很多同学可能平时一百零几分，一百上下，中考一共考了个一百一十几，所以不要小看这八十多天，那学校就非常高。 然后总错的总忘的，还是没想到的，一定找寻归一，经常的自我反省，不断的自我提升，然后最后一个永远要相信自己，你的努力一定会转化成为你的结果，一定会开花的。相信我，这是老天一定注定的。 只要你真的努力了，就相信自己吧。好，拜拜。

大家好，初三同学和家长请注意，一模二模时间已定，一模是咱们枣庄市出卷子，二模学校自己出卷子。这条视频关心到孩子中考填志愿与录取，一定要看完！首先一模时间是四月十六号、十七号，这两天全市统考 难度比中考略高一点，核心是查漏补缺，重点看排名，也直接决定二模的复习方向。二模时间是五月二十八、二十九号，这个考试难度最接近中考难度，成绩基本等于中考水平， 一模后就开始填志愿，所以说一模成绩和排名事关重要。最后，祝同学们金榜题名，旗开得胜！关注李老师，了解更多学生教育！

海宁中学家长反馈，学校已通知期中及一模考试安排日程，现将安排分享给大家参考。往年惯例，区属学校这类考试都为全区统考，所以其他区属学校的家长可以参考下。

一模的重要性你知道吗？第一，定位真实水平。最核心作用。一模是第一次完全按照中考标准进行的全真模拟成绩与排名，能精准判断在班级、年级、全区的位置，直接对应中考大致录取层次。 二、暴露知识漏洞。一模覆盖初中三年全部知识点，能后续针对性刷题补弱的依据，避免盲目复习。 三、调整答题策略，模拟中考时间分配，解决做不完题、粗心、审题失误等问题，优化答题顺序，规范书写步骤，减少非智力失分。 四、志愿填报重要参考多数地区一模成绩是签约重点高中指标生分配的核心依据，帮助合理定位目标，高中免志愿过高过低，降低中考落榜风险。 五、调整备考心态，提前感受中考氛围，缓解紧张焦虑，建立考试信心。考后总结经验，为二模中考积累实战技巧。 简单说，一模定方向，二模定高度，三模稳心态。一模成绩不是最终结果，但决定了接下来三个月的复习重点与升学底气。

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